凑微分法和分部积分法学习笔记

例3 求下列不定积分
(1) 2x2 xdx
x 1
(2x
2
2
x) 3x x 1
3
3dx
(x 1)(2x 3) 3dx x 1
(2x 3)dx 3
dx x 1
x2 3x 3ln x 1 C
(2)
x2 x2
x x
1dx 1
(
x2 x2
x 1) x 1
2xdx
dx
x
2xdx 2 x
1
dx
(2x 11)dx x2 x 1
x
(2x 1)dx x2 x 1
x2
dx x
1
x
Fra Baidu bibliotek
d
(x2 x 1) x2 x 1
(
d(x 1) 2
x 1)2
3
24
x ln( x2 x 1) 2 3 arctan[2 3 (x 1)] C
3
3
2
(3)
1
dx x
2
(1
dx x)(1
x)
②若分母不能因式分解，则对分母进行配方，然后利用反正 切函数的基本积分公式求解。
a2
dx (x b)2
1 a
d( x b)
1
(
x
a
b
)2
1 arctan x b C
a
a
a
（3）分母为三次或三次以上：则首先将分母分解成一次和二 次的乘积，然后用待定系数法将其拆分成分母为一次和二次的 分式积分，再利用（1）或（2）的结论求解。
x cosxdx xd sin x xsin x sin xdx xsin x cosx C
若令u cos x, dv xdx,即v x2 ,则有 2
x cos xdx
cos xd
x2 2
x2 2
cos x
x2 2
d cos x
x2 2
cos x
1 2
x
2
sin
xdx
x x2 a2 a2
dx x2 a2 dx
x2 a2
而依前例题有
dx ln(x x2 a2
x2 a2 ) C1
x2 a2 dx 1 [x x2 a2 a2 ln(x x2 a2 )] C 2
例3
求
In
(x2
dx a2
)n
(a
0,
n
0,1,2,
)
解： I0 dx x C
(2) ln xdx x ln x xd ln x x ln x dx
xln x x C
(3) x sin2 xdx
x
1
cos2x 2
dx
1 2
xdx
1 2
x
cos2xdx
x2 4
1 4
xd
s
in
2x
x2 4
1 4
(x sin
2x
sin
2xdx)
x2 x sin 2x cos 2x C
1
f
(x
)dx
(
0)
1
(4) f (ln x) dx
x
f (ln x)d ln x
(5) f (cosx) sin xdx f (cosx)d cosx
(6) f (sin x) cosxdx f (sin x)d sin x
(7) f (arcsinx)
1 1 x2
dx
f
(arcsinx)d arcsinx
ln sin x C, 1
(sin x)1 C, 1 1
(3) cos3 xdx (1 sin2 x)d sin x (1 u2)du
u u3 C sin x 1 sin3 x C
3
3
(4) sin2 xdx
1
cos2xdx 2
1 2
dx
1 4
c
os2xd
(2x)
（3）一般的选择原则：在选择u(x)与v(x)上，一般来说，有 如下规律
反三角函数、对数函数、幂函数、三角函数、指数函数 相乘，将排在前者令为u(x)，排在后者令为v(x)的导数，一般 能简化计算。
4 举例
例1 求下列不定积分
(1) xexdx xdex xex exdx xex ex C
t2 ln(1 t)
t2d ln(1 t)
ln(1 ex) C x ln(1 ex) C
二 分部积分法
1 方法：若u(x),v(x)有连续导数,且 u(x)v(x)dx存在,则 u(x)v(x)dx也存在,且有 u(x)v(x)dx u(x)v(x) u(x)v(x)dx
或： u(x)dv(x) u(x)v(x) v(x)du(x)
x 2
sin 2x 4
C
5
有理函数
P(x) Q(x)
的不定积分（补）
若为假有理分式，则首先用多项式除法将有理函数变为多项 式与真有理分式的积分，而多项式的积分比较容易求得，因而 有理分式的积分问题关键是真有理分式的积分问题，真有理分 式的积分主要有以下几个方面：
（1）分母为一次形式：
dx xa
ln
x
1)
1 2
x 1d(x 1)
(3) (sin x cos)2 dx (1 2sin x cosx)dx dx sin 2xdx
x
1 2
sin
2 xd (2 x)
x
cos2x 2
C
(4)
a2
1
x2
dx(a
0)
1 a2
1
1 (x
)2
dx
1 a
1
1 (x
)2
d
(
x a
)
a
a
令u
x a
1 a
x 1
x x 1
例4 求下列不定积分
(1)
x
ln(1 x2 1 x2
)dx
1 2
ln(1 x2 1 x2
)d (1
x2)
1 2
ln(1
x2
)d
ln(1
x2
)
1 [ln(1 x2)]2 C 4
(2)
1
ex e2
x
dx
dex 1 (ex )2
arctanex
C
(3) sec xdx
dx cos x
I1
dx x2 a2
1 a
1
1 (x
)2
d
(
x a
)
1 a
arctan x a
C
a
当n 1时,有
In
(x2
x a2)n
xd(x2 a2)n
(x2
x a2)n
2n
(x2
x2 a2
)n1
dx
(x2
x a2)n
2n
(xx22aa22)na21dx
(x2
x a2)n
2n
(x2
dx a2)n
凑微分法和分部积分法 学习笔记
一、凑微分法 二、分部积分法
一 凑微分法（第一换元积分法）
1 方法： 若有 f (u)du F(u) C,且u u(x)可导,则有
f (u(x))u(x)dx F(u(x)) C 或 f (u(x))du(x) F(u(x)) C
2 操作方法：
f (x)dx g(u(x))u(x)dx g(u(x))du(x)
ccooss2xxdx
1
d
sin x s in 2
x
1 ln 1 sin x 2 1 sin x
C 1 ln 2
(1 sin x)2 1 sin2 x
C
ln 1 sin x C ln sec x tan x C cos x
(4)
dx 1 ex
ex ex
dx 1
d(ex 1) ex 1
因而要求 u(x)v(x)dx比 u(x)v(x)dx的计算简单才有意义
（2）此法常用于计算两类性质不同函数乘积的不定积分， 在计算中关键是u(x)与v(x)的选择问题，选择得当，计算将简
化；否则会更复杂，有时甚至无法求出。如 x cosxdx
令u x, dv cos xdx,即v sin x,则有
例2 求下列不定积分
(1) sin axcosbxdx(a,b 0)
1 2
[sin(a
b)x
sin(a
b)x]dx
当a
b时,
1 2
sin(a
b) xdx
1 2(a
b)
sin(a
b)
xd
(a
b)x
1 cos(a b)x C 2(a b)
当a
b
0时,
1 2
sin(a
b)xdx
1 2(a
2 证明： (u(x)v(x)) u(x)v(x) u(x)v(x)
u(x)v(x) (u(x)v(x)) u(x)v(x)
两边同时不定积分，则有：
u(x)v(x)dx u(x)v(x) u(x)v(x)dx
3 说明：
(1)此法是将u(x)v(x)的积分计算转化为 u(x)v(x)的积分计算
令u(x) y g( y)dy F( y) C
代回y u(x) F(u(x)) C
3 常见的换法：依微分的计算有如下一些常用换法
(1)
f (ax b)dx
1 a
f
(ax
b)d (ax
b)(a
0)
(2) f (ex )e xdx f (ex)dex
(3) f (x )x 1dx
1 2
(2x
5)50 d
(2x
5)
1 u50du 1 u51 C 1 (2x 5)51 C
2
102
102
(2)
1 x 1
dx x 1
(
x 1
x 1 x 1)(
x 1 x 1
dx x 1)
1 2
x
1dx
1 2
x
1dx
1 2
3
3
1 [(x 1) 2 (x 1) 2 ] C
3
x
1d
(
1 1 u2
du
arctanu a
C
1 a
arctan
x a
C
(5) xex2 dx 1 ex2 dx2 1 eudu
2
2
1 eu C 1 ex2 C
2
2
(6) f (x) f (x)dx f (x)df (x) udu
1 u2 C 1 [ f (x)]2 C
2
2
(5)
x x(x
1 1)2
dx
x 1 A B C 1 1 2 x(x 1)2 x x 1 (x 1)2 x x 1 (x 1)2
x(
x x
1 1)2
dx
dx x
dx x 1
2
(
x
dx 1)2
ln
x
d(x 1) x 1
2
d(x 1) (x 1)2
ln x ln x 1 2 C ln x 1 2 C
4
4
8
(4) arctanxdx x arctanx xd arctanx
x arctanx
x 1 x2
dx
x
arctanx
1 2
d(1 x2) 1 x2
x arctanx 1 ln(1 x2) C 2
例2 求下列不定积分（计算过程中出现方程）
(1) ex sin xdx sin xdex ex sin x exd sin x ex sin x ex cosxdx ex sin x cosxdex ex sin x (ex cosx exd cosx)
2na2
dx (x2 a2)n1
(x2
x a2)2
2nIn
2na2In1
所以有递推关系式：
In1
1 2na2
(x2
x a2)n
2n 1 2na2
In,n
1,2,
特别地有：
I2
(x2
dx a
2
)2
n
1
1 2a2
x2
x a2
1 2a3
arctan x a
C
例4 求下列不定积分：
(1) ln(1 x)dx x t2,t 0 ln(1 t)dt2
b)
sin(a
b) xd
(a
b)
x
1 cos(a b)x C 2(a b)
当a2
b2时,
1 2
sin(a
b)xdx
1 2
sin(a
b)xdx
1 [ 1 cos(a b)x 1 cos(a b)x] C
2 ab
ab
(2) (sin x) cosxdx (sin x) d sin x
(8)
f
(arctan
x)
1
1 x2
dx
f (arctanx)d arctanx
(9) f (tan x) sec2 xdx f (tan x)d tan x
(10) f (cotx) csc2 xdx f (cotx)d cot x
4 举例
例1 求下列不定积分
(1)
(2x
5)50 dx
x
a
C
dx (x a)k
(1
k
1 )(x
a)k
1
C
（2）分母为二次形式：
ax h dx x2 bx c
①若分母能因式分解，则用待定系数法将被积函数拆成两个 分母为一次的分式的和，然后用（1）的结论。
ax h x2 bx c
A1 x B1
A2 x B2
, ( A1,
A2为待定常数 )
1 2
(
x
1 1
x
1 )dx 1
1 2
[
dx x 1
dx ] x 1
1 2
(ln
x
1
ln
x
1
C1)
1 ln x 1 C 2 x 1
x 1
(4)
x(x2
dx 1)
解：首先用待定系数法拆分
x 1 x(x2 1)
A x
Bx C x2 1
(A
B)x2 x(x2
Cx 1)
A
比较两边分子，恒等式要求相同次数的系数必须全相等， 因此有：
ex sin x ex cosx ex sin xdx
ex
sin
xdx
1 2
ex (sin
x
c os x)
C
(2) x2 a2 dx(a 0) x x2 a2 xd x2 a2
x x2 a2
x2 dx x x2 a2 x2 a2 a2 dx
x2 a2
x2 a2
A B 0,C 1, A 1, A 1, B 1,C 1
x 1 x(x2 1)
1 x
x 1 x2 1
x( xx21 1)dx
(
1 x
xx211)dx
dx x
dx 1 x2
xdx 1 x2
ln
x
arctanx
1 2
d(1 x2) 1 x2
ln x arctanx 1 ln(x2 1) C 2