凑微分法和分部积分法学习笔记

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微积分下册主要知识点汇总

vduuvudv (3.1)
vdxuuvdxvu (3.2)
(或微分)的逆运算. 一般地, 下列类型的被
(其中m, n都是正整数).
arctanarccosarcsin)(lncossincossin等mxxmxxmxxxxexmxemxemxxmxxnnnnmxnnxnxnn
:
已知曲面上的点所满足的几何条件，建立曲面的方程;
已知曲面方程，研究曲面的几何形状.
. 可以证明空间中任一平面都可以用三元一次
DCzByAx
(1.3)
. 其中A、B、C、D是不全为零常数. 方程(1.3)称为平面的一般方程.
2 平行于某定直线并沿定曲线C移动的直线L所形成的轨迹称为柱面. 这条定曲
定积分的概念
定积分的性质
(a) 当ba时, ;0)(b
dxxf (b) 当ba时, abbadxxfdxxf)()(.
1
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2 ,)()(b
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1 设函数)(xf在闭区间],[ba上连续,函数)(tx满足条件：
1）,)(,)(ba 且bta)(；
2）)(t在],[(或],[)上具有连续导数,则有
ttfdxxfb
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(4.1)称为定积分的换元公式.
. 但是,在应用定积分的换元公式时应
1）用)(tx把变量x换成新变量t时, 积分限也要换成相应于新变量t的积分限,且
),(),(lim00000,
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微积分下册主要知识点

一、第一换元积分法(凑微分法)C x F C u F du u g dx x x g +=+=='⎰⎰)]([)()()()]([ϕϕϕ.二、常用凑微分公式三、第二换元法C x F C t F dt t t f dx x f +=+='=⎰⎰)]([)()()]([)(ψϕϕ,注: 以上几例所使用的均为三角代换, 三角代换的目的是化掉根式, 其一般规律如下: 当被积函数中含有a) ,22x a - 可令 ;sin t a x = b),22a x + 可令 ;tan t a x =xu x u x u x u x u x u a u e u x u x u b ax u x d x f dx xx f x d x f dx xx f x d x f xdx x f x d x f xdx x f x d x f xdx x f x d x f xdx x f da a f a dx a a f de e f dx e e f x d x f dx xx f x d x f dx x x f a b ax d b axf a dx b ax f xx xx x x xx x x arcsin arctan cot tan cos sin ln )(arcsin )(arcsin 11)(arcsin .11)(arctan )(arctan 11)(arctan .10cot )(cot csc )(cot .9tan )(tan sec )(tan .8cos )(cos sin )(cos .7sin )(sin cos )(sin .6)(ln 1)(.5)()(..4)(ln )(ln 1)(ln .3)0()()(1)(.2)0()()(1)(.1法分积元换一第换元公式积分类型22221==========+=-=-=+-==-=⋅=⋅=⋅=⋅=⋅≠=≠++=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰-μμμμμμμc),22a x - 可令 .sec t a x =当有理分式函数中分母的阶较高时, 常采用倒代换tx 1=.四、积分表续 4.3分部积分法分部积分公式：⎰⎰-=vdu uv udv (3.1)⎰⎰'-='vdx u uv dx v u (3.2)分部积分法实质上就是求两函数乘积的导数(或微分)的逆运算. 一般地, 下列类型的被积函数常考虑应用分部积分法(其中m , n 都是正整数). 5.1定积分的概念 5.2定积分的性质两点补充规定：(a) 当ba =时,;0)(=⎰badx x f (b) 当ba >时,⎰⎰-=abbadx x f dx x f )()(.性质1 .)()()]()([⎰⎰⎰±=±ba ba ba dx x g dx x f dx x g x f 性质2 ,)()(⎰⎰=ba ba dx x f k dx x kf (k 为常数). 性质3 ⎰⎰⎰+=bc ca ba dx x f dx x f dx x f )()()(. 性质4 .1ab dx dx ba ba -==⋅⎰⎰性质5 若在区间],[b a 上有),()(x g x f ≤ 则,)()(⎰⎰≤ba ba dx x g dx x f ).(b a < 推论1 若在区间],[b a 上,0)(≥x f 则 ,0)(≥⎰ba dx x f ).(b a < 推论2 ).(|)(|)(b a dxx f dx x f bab a<≤⎰⎰性质6 (估值定理)设M 及m 分别是函数)(x f 在区间],[b a 上的最大值及最小值,则性质7 (定积分中值定理) 如果函数)(x f 在闭区间],[b a 上连续,则在],[b a 上至少存在一个点ξ, 使 5.3微积分的基本公式一、引例二、积分上限的函数及其导数：⎰=Φxa dt t f x )()( 定理2 若函数)(x f 在区间],[b a 上连续,则函数就是)(x f 在],[b a 上的一个原函数. 三、牛顿—莱布尼兹公式定理3 若函数)(x F 是连续函数)(x f 在区间],[b a 上的一个原函数,则)()()(a F b F dx x f ba-=⎰. (3.6)公式(3.4)称为牛顿—莱布尼茨公式. 5.4定积分的换元法积分法和分部积分法一、定积分换元积分法定理1 设函数)(x f 在闭区间],[b a 上连续,函数)(t x ϕ=满足条件：（1）,)(,)(b a ==βϕαϕ且b t a ≤≤)(ϕ；（2）)(t ϕ在],[βα(或],[αβ)上具有连续导数,则有⎰⎰'=βαϕϕdt t t f dx x f ba)()]([)(. (4.1)公式(4.1)称为定积分的换元公式.定积分的换元公式与不定积分的换元公式很类似. 但是,在应用定积分的换元公式时应注意以下两点：（1）用)(t x ϕ=把变量x 换成新变量t 时, 积分限也要换成相应于新变量t 的积分限,且上限对应于上限,下限对应于下限；（2）求出)()]([t t f ϕϕ'的一个原函数)(t Φ后,不必象计算不定积分那样再把)(t Φ变换成原变量x 的函数,而只要把新变量t 的上、下限分别代入)(t Φ然后相减就行了.二、定积分的分部积分法 ⎰ba udv ⎰-=bab a vdu uv ][ 或 ⎰'badx v u ⎰'-=baba dx u v uv ][5.5广义积分一、无穷限的广义积分二、无界函数的广义积分 5.6定积分的几何应用一、微元法定积分的所有应用问题，一般总可按“分割、求和、取极限”三个步骤把所求的量表示为定积分的形式.可以抽象出在应用学科中广泛采用的将所求量U （总量）表示为定积分的方法——微元法，这个方法的主要步骤如下：(1) 由分割写出微元根据具体问题，选取一个积分变量，例如x 为积分变量，并确定它的变化区间],[b a ，任取],[b a 的一个区间微元],[dx x x +，求出相应于这个区间微元上部分量U ∆的近似值，即求出所求总量U 的微元 dx x f dU )(=；(2) 由微元写出积分根据dx x f dU )(=写出表示总量U 的定积分微元法在几何学、物理学、经济学、社会学等应用领域中具有广泛的应用，本节和下一节主要介绍微元法在几何学与经济学中的应用. 应用微元法解决实际问题时，应注意如下两点：(1) 所求总量U 关于区间],[b a 应具有可加性，即如果把区间],[b a 分成许多部分区间, 则U 相应地分成许多部分量, 而U 等于所有部分量U ∆之和. 这一要求是由定积分概念本身所决定的;(2) 使用微元法的关键是正确给出部分量U ∆的近似表达式dx x f )(，即使得U dU dx x f ∆≈=)(. 在通常情况下，要检验dx x f U )(-∆是否为dx 的高阶无穷小并非易事，因此，在实际应用要注意dx x f dU )(=的合理性.二、平面图形的面积（1）直角坐标系下平面图形的面积（2）极坐标系下平面图形的面积曲边扇形的面积微元 θθd r dA 2)]([21= 所求曲边扇形的面积 .)]([212θθϕβαd A ⎰=三、旋转体：由一个平面图形绕这平面内一条直线旋转一周而成的立体称为旋转体. 这条直线称为旋转轴.旋转体的体积微元 ,)]([2dx x f dV π= 所求旋转体的体积 .)]([2⎰=ba dx x f V π四、平行截面面积为已知的立体的体积：如果一个立体不是旋转体，但却知道该立体上垂直于一定轴的各个截面面积，那么，这个立体的体积也可用定积分来计算.体积微元 ,)(dx x A dV = 所求立体的体积 .)(⎰=ba dx x A V 5.7积分在经济分析的应用 6.1空间解析几何简介一、空间直角坐标系在平面解析几何中，我们建立了平面直角坐标系，并通过平面直角坐标系，把平面上的点与有序数组(即点的坐标),(yx)对应起来. 同样，为了把空间的任一点与有序数组对应起来，我们来建立空间直角坐标系.过空间一定点O, 作三条相互垂直的数轴，依次记为x轴（横轴）、y轴（纵轴）、z轴（竖轴），统称为坐标轴. 它们构成一个空间直角坐标系Oxyz（图6-1-1）.空间直角坐标系有右手系和左手系两种. 我们通常采用右手系.二、空间两点间的距离三曲面及其方程定义1在空间直角坐标系中，如果曲面S上任一点坐标都满足方程yxF，而不在曲面S上的任何点的坐标都不满足该方程，则方程z,(=),,,(=x)F的图形yzzF称为曲面S的方程, 而曲面S就称为方程0),,(=xy空间曲面研究的两个基本问题是:(1) 已知曲面上的点所满足的几何条件，建立曲面的方程;(2) 已知曲面方程，研究曲面的几何形状.平面平面是空间中最简单而且最重要的曲面. 可以证明空间中任一平面都可以用三元一次方程CzAx (1.3)+DBy++=来表示，反之亦然. 其中A、B、C、D是不全为零常数. 方程(1.3)称为平面的一般方程.柱面定义2 平行于某定直线并沿定曲线C 移动的直线L 所形成的轨迹称为柱面. 这条定曲线C 称为柱面的准线, 动直线L 称为柱面的母线.二次曲面在空间直角坐标系中，我们采用一系列平行于坐标面的平面去截割曲面，从而得到平面与曲面一系列的交线（即截痕），通过综合分析这些截痕的形状和性质来认识曲面形状的全貌. 这种研究曲面的方法称为平面截割法，简称为截痕法.椭球面 1222222=++c z b y a x )0,0,0(>>>c b a (1.4)椭圆抛物面 q y p x z 2222+=（同号与q p ）双曲抛物面 z qy p x =+-2222 ( p 与q 同号)单叶双曲面 1222222=-+c z b y a x )0,0,0(>>>c b a双叶双曲面 1222222-=+-cz b y a x )0,0,0(>>>c b a二次锥面 0222222=-+cz b y a x )0,0,0(>>>c b a6.2多元函数的基本概念一、平面区域的概念：内点、外点、边界点、开集、连通集、区域、闭区域二、二元函数的概念定义1 设D 是平面上的一个非空点集，如果对于D 内的任一点),(y x ，按照某种法则f ，都有唯一确定的实数z 与之对应，则称f 是D 上的二元函数，它在),(y x 处的函数值记为),(y x f ，即),(y x f z =，其中x ，y 称为自变量， z 称为因变量. 点集D 称为该函数的定义域，数集}),(),,(|{D y x y x f z z ∈=称为该函数的值域.类似地，可定义三元及三元以上函数. 当2≥n 时, n 元函数统称为多元函数.二元函数的几何意义三、二元函数的极限定义2 设函数),(y x f z =在点),(000y x P 的某一去心邻域内有定义，如果当点),(y x P 无限趋于点),(000y x P 时，函数),(y x f 无限趋于一个常数A ，则称A 为函数),(y x f z =当),(y x ),(00y x →时的极限. 记为A y x f y y x x =→→),(lim 0.或 A y x f →),( （),(),(00y x y x →）也记作A P f P P =→)(lim 0或 A P f →)( )(0P P →二元函数的极限与一元函数的极限具有相同的性质和运算法则，在此不再详述. 为了区别于一元函数的极限，我们称二元函数的极限为二重极限.四、二元函数的连续性定义3 设二元函数),(y x f z =在点),(00y x 的某一邻域内有定义，如果),(),(lim 0000y x f y x f y y x x =→→,则称),(y x f z =在点),(00y x 处连续. 如果函数),(y x f z =在点),(00y x 处不连续，则称函数),(y x f z =在),(00y x 处间断.与一元函数类似，二元连续函数经过四则运算和复合运算后仍为二元连续函数. 由x 和y 的基本初等函数经过有限次的四则运算和复合所构成的可用一个式子表示的二元函数称为二元初等函数. 一切二元初等函数在其定义区域内是连续的. 这里定义区域是指包含在定义域内的区域或闭区域. 利用这个结论，当要求某个二元初等函数在其定义区域内一点的极限时，只要算出函数在该点的函数值即可.特别地，在有界闭区域D 上连续的二元函数也有类似于一元连续函数在闭区间上所满足的定理. 下面我们不加证明地列出这些定理.定理1（最大值和最小值定理）在有界闭区域D 上的二元连续函数, 在D 上至少取得它的最大值和最小值各一次.定理2（有界性定理）在有界闭区域D 上的二元连续函数在D 上一定有界.定理3（介值定理）在有界闭区域D 上的二元连续函数, 若在D 上取得两个不同的函数值, 则它在D 上取得介于这两值之间的任何值至少一次. 6.3偏导数一、偏导数的定义及其计算法定义1 设函数),(y x f z =在点),(00y x 的某一邻域内有定义, 当y 固定在0y 而x 在0x 处有增量x ∆时, 相应地函数有增量如果xy x f y x x f x ∆-∆+→∆),(),(lim 00000存在, 则称此极限为函数),(y x f z =在点),(00y x 处对x 的偏导数, 记为例如，有),(00y x f x xy x f y x x f x ∆-∆+=→∆),(),(lim00000.类似地，函数),(y x f z =在点),(00y x 处对y 的偏导数为yy x f y y x f y ∆-∆+→∆),(),(lim00000,记为上述定义表明，在求多元函数对某个自变量的偏导数时, 只需把其余自变量看作常数，然后直接利用一元函数的求导公式及复合函数求导法则来计算之.二、关于多元函数的偏导数，补充以下几点说明：（1）对一元函数而言，导数dxdy可看作函数的微分dy 与自变量的微分dx 的商. 但偏导数的记号xu∂∂是一个整体. （2）与一元函数类似，对于分段函数在分段点的偏导数要利用偏导数的定义来求.（3）在一元函数微分学中，我们知道，如果函数在某点存在导数，则它在该点必定连续. 但对多元函数而言，即使函数的各个偏导数存在，也不能保证函数在该点连续.例如，二元函数在点)0,0(的偏导数为但从上节例5已经知道这函数在点)0,0(处不连续.三、偏导数的几何意义设曲面的方程为),(y x f z =，)),(,,(00000y x f y x M 是该曲面上一点，过点0M 作平面0y y =，截此曲面得一条曲线，其方程为则偏导数),(00y x f x 表示上述曲线在点0M 处的切线x T M 0对x 轴正向的斜率（图6-3-1）. 同理，偏导数),(00y x f y 就是曲面被平面0x x =所截得的曲线在点0M 处的切线y T M 0对y 轴正向的斜率.四、偏导数的经济意义设某产品的需求量),,(y p Q Q = 其中p 为该产品的价格, y 为消费者收入.记需求量Q 对于价格p 、消费者收入y 的偏改变量分别为和 ).,(),(y p Q y y p Q Q y -∆+=∆ 易见，p Qp ∆∆表示Q 对价格p 由p 变到p p ∆+的平均变化率. 而表示当价格为p 、消费者收入为y 时, Q 对于p 的变化率. 称为需求Q 对价格p 的偏弹性. 同理，y Qy ∆∆表示Q 对收入y 由y 变到y y ∆+的平均变化率. 而表示当价格p 、消费者收入为y 时, Q 对于y 的变化率. 称为需求Q 对收入y 的偏弹性.五、科布-道格拉斯生产函数在商业与经济中经常考虑的一个生产模型是科布-道格拉斯生产函数100,),(1<<>=-a c y cx y x p a a 且，其中p 是由x 个人力单位和y 个资本单位生产处的产品数量（资本是机器、场地、生产工具和其它用品的成本）。

03积分学知识点总结

1.不定积分
不定积分的表达式
不定积分的性质
基本积分公式表
常用的换元积分公式（凑微分）
分部积分法
当被积函数为两种不同类型函数乘积时一般经验:按“反,对,幂,指,三”的顺序排前者取为u
2.定积分
定积分的几何意义
定积分存在的充分条件
积分中值定理
变上限积分函数
牛顿-莱布尼茨公式
定积分的计算
定积分的换元法公式
定积分的分部积分法
两个常用结论
定积分的应用
X型区域
直角坐标
Y型区域平面图形的面积
极坐标
旋转体的体积
平面曲线的弧长：
3.广义积分
2个重要结论
4.二重积分
存在的充分条件
几何意义
二重积分中值定理
二重积分计算方法直角坐标法
极坐标法：
二重积分的重要结论
二重积分的应用
5.三重积分计算方法
6.曲线积分
对弧长的曲线积分
计算：
对坐标的曲线积分
计算：。

高等数学积分知识点总结

高等数学积分知识点总结高等数学积分知识点总结漫长的学习生涯中，很多人都经常追着老师们要知识点吧，知识点在教育实践中，是指对某一个知识的泛称。

相信很多人都在为知识点发愁，下面是店铺整理的高等数学积分知识点总结，仅供参考，希望能够帮助到大家。

高等数学积分知识点总结1一、不定积分计算方法1. 凑微分法2. 裂项法3. 变量代换法1) 三角代换2) 根幂代换3) 倒代换4. 配方后积分5. 有理化6. 和差化积法7. 分部积分法（反、对、幂、指、三）8. 降幂法二、定积分的计算方法1. 利用函数奇偶性2. 利用函数周期性3.参考不定积分计算方法三、定积分与极限1. 积和式极限2. 利用积分中值定理或微分中值定理求极限3. 洛必达法则4. 等价无穷小四、定积分的估值及其不等式的应用1. 不计算积分，比较积分值的大小1) 比较定理：若在同一区间[a,b]上，总有f(x)>=g(x),则 >=()dx2) 利用被积函数所满足的不等式比较之 a)b) 当0<x<兀 2时，2="" 兀<<1<="" p="">2. 估计具体函数定积分的值积分估值定理：设f(x)在[a,b]上连续，且其最大值为M，最小值为m则M(b-a)<= <=M(b-a)3. 具体函数的定积分不等式证法1) 积分估值定理2) 放缩法3) 柯西积分不等式≤ %4. 抽象函数的定积分不等式的证法1) 拉格朗日中值定理和导数的有界性2) 积分中值定理3) 常数变易法4) 利用泰勒公式展开法五、变限积分的导数方法高等数学积分知识点总结2A．Function函数（1）函数的定义和性质（定义域值域、单调性、奇偶性和周期性等）（2）幂函数（一次函数、二次函数，多项式函数和有理函数）（3）指数和对数（指数和对数的公式运算以及函数性质）（4）三角函数和反三角函数（运算公式和函数性质）（5）复合函数，反函数*（6）参数函数，极坐标函数，分段函数（7）函数图像平移和变换B．Limit and Continuity极限和连续（1）极限的定义和左右极限（2）极限的运算法则和有理函数求极限（3）两个重要的极限（4）极限的应用-求渐近线（5）连续的定义（6）三类不连续点（移点、跳点和无穷点）（7）最值定理、介值定理和零值定理C．Derivative导数（1）导数的定义、几何意义和单侧导数（2）极限、连续和可导的关系（3）导数的求导法则（共21个）（4）复合函数求导（5）高阶导数（6）隐函数求导数和高阶导数（7）反函数求导数*（8）参数函数求导数和极坐标求导数D．Application of Derivative导数的应用（1）微分中值定理（D-MVT）（2）几何应用-切线和法线和相对变化率（3）物理应用-求速度和加速度（一维和二维运动）（4）求极值、最值，函数的增减性和凹凸性*（5）洛比达法则求极限（6）微分和线性估计，四种估计求近似值（7）欧拉法则求近似值E．Indefinite Integral不定积分（1）不定积分和导数的关系（2）不定积分的公式（18个）（3）U换元法求不定积分*（4）分部积分法求不定积分*（5）待定系数法求不定积分F．Definite Integral 定积分（1）Riemann Sum（左、右、中和梯形）和定积分的定义和几何意义（2）牛顿-莱布尼茨公式和定积分的.性质*（3）Accumulation function求导数*（4）反常函数求积分H．Application of Integral定积分的应用（1）积分中值定理（I-MVT）（2）定积分求面积、极坐标求面积（3）定积分求体积，横截面体积（4）求弧长（5）定积分的物理应用I．Differential Equation微分方程（1）可分离变量的微分方程和逻辑斯特微分方程（2）斜率场*J．Infinite Series无穷级数（1）无穷级数的定义和数列的级数（2）三个审敛法-比值、积分、比较审敛法（3）四种级数-调和级数、几何级数、P级数和交错级数（4）函数的级数-幂级数（收敛半径）、泰勒级数和麦克劳林级数（5）级数的运算和拉格朗日余项、拉格朗日误差注意：（1）问答题主要考察知识点的综合运用，一般每道问答题都有3-4问，可能同时涵盖导数、积分或者微分方程的内容，解出的答案一般都是保留3位小数。

微积分下册主要知识点(中大南方学院)

a
x
定理若函数 f ( x) 在区间 [a , b] 上连续,则函数
Φ ( x) =
∫
x
a
f (t)dt
就是 f ( x) 在 [a , b] 上的一个原函数. .(1),(2) ）（指导书 P172 D3 D3. —莱布尼兹公式牛顿牛顿— 定理若函数 F ( x) 是连续函数 f ( x) 在区间 [a , b] 上的一个原函数,则
无穷限的广义积分一、一、无穷限的广义积分
∫ ∫
+∞
a b
∞ f ( x)dx = F (x ) |+ a = F ( +∞) − F ( a)
−∞ +∞
f ( x)dx = F (x ) |b − ∞ = F ( b) − F ( −∞)
∞ f ( x)dx = F (x ) |+ − ∞ = F ( +∞) − F (−∞)
换元公式
u = ax + b u = xµ u = ln x u = ex u = ax u = sin x u = cos x u = tan x u = cot x
x x x x 第 4.. ∫ f (e ) ⋅ e dx = ∫ f (e )de
一换
5.∫ f (a x ) ⋅ a x dx =
∫ ∫
b
a b
f ( x)dx =
∫
c
a
f (x )dx +
∫ f ( x )dx .
c b b
b
a
1 ⋅ dx = dx = b − a.
a
∫
b
性质 5 若在区间 [a , b ]上有 f ( x) ≤ g (x ), 则 ∫ f ( x )dx ≤ ∫ g (x )dx,

5.3 凑微分法和分部积分法

例7. 求
解: 令 u a x b , 则 d u ad x , 故
m 1 d u 1 1 u m 1 C 原式 = u
a a m 1
注: 当
时
例8. 求
想到公式
1 a
解:
2
dx 1 ( x )2

du 1 u2
x 1 令 u , 则 du d x a a 1 1 du arctan u C a a 1 u2
小练习: 求下列不定积分
dx (1) ; 2 1 25 x
(2) e x sin( e x )dx;
1 ln x (4) dx. x
(3) x
23
1 x dx;
3
1 Key : arcsin 5 x C ; cos e x C ; 5 4 3 1 2 3 3 (1 x ) C ; (1 ln x ) 2 C . 4 3
2. (3) 3. (1)(9) 4. (2)
P136. 5. (1) (4) (6) (9)
( x 2) 3 C 3 ln x 2 ln x 1 C ln x 1
例18 dx d ( x 1) arctan( x 1) C x2 2x 2 1 ( x 1) 2 1
2x 1
1
1 ( 2 x 2) 4 dx 例19 2 dx 2 2 x 2x 2 x 2x 2
u
指: 指数函数三: 三角函数
1 1 x
2
, vx
x 1 x
2
原式 = xarccos x
dx
2
1 2
xarccos x

凑微分法和分部积分法学习笔记35页PPT

Thank you
6、最大的骄傲于最大的自卑都表示心灵的最软弱无力。——斯宾诺莎 7、自知之明是最难得的知识。——西班牙 8、勇气通往天堂，怯懦通往地狱。——塞内加 9、有时候读书是一种巧妙地避开思考的方法。——赫尔普斯 10、阅读一切好书如同和过去最杰出的人谈话。——笛卡儿
1、不要轻言放弃，否则对不起自己。
2、要冒一次险!整个生命就是一场冒险。走得最远的人，常是愿意去做，并愿意去冒险的人。“稳妥”之船，从未能从岸边走远。-戴尔．卡耐基。
梦ห้องสมุดไป่ตู้境
3、人生就像一杯没有加糖的咖啡，喝起来是苦涩的，回味起来却有久久不会退去的余香。
凑微分法和分部积分法学习笔记 4、守业的最好办法就是不断的发展。 5、当爱不能完美，我宁愿选择无悔，不管来生多么美丽，我不愿失去今生对你的记忆，我不求天长地久的美景，我只要生生世世的轮回里有你。

5.3凑微分法和分部积分法

因此 A 1 , B 1 , C 2 ,
x 1 1 1 2 2 2 x x 1 ( x 1) x( x 1)
dx dx dx 原式 2 x x 1 ( x 1)2 d( x 1) d( x 1) ln x 2 x 1 ( x 1)2
1 d( x 2 1) ln x arctan x 2 2 x 1
1 ln x ln( x 2 1) arctan x C . 2
2. 当真分式分母中含有因子( x a) 时,则分解后
k
有下列k 个部分分式之和：
A1 A2 2 x a ( x a) Ak . k ( x a)
解 (1) (sin x) cos xdx (sin x) d sin x
t dt ( 令 t sin x )

ln sin x C , 1 ln t C , 1 1 1 (sin x ) t C , 1 . C , 1 1 1
1 1 1 d(a x) d (a x) 2a a x ax
1 ax 1 ln C ln a x ln a x C 2a a x 2a
1. 当真分式分母中含有因子( x 2 px q)k , p 2 4q 0 时,则分解后有下列k 个部分分式之和：
f [ ( x )] ( x )dx F [ ( x )] C [ f ( u)du]u ( x ) .
使用此公式的关键在于
(5 1)
第一换元积分公式（凑微分法）
说明
将
f ( x)dx 凑成 F '[ ( x)] '( x)dx.

微积分(下册)主要知识点汇总

微积分(下册)主要知识点汇总一、第一换元积分法（凑微分法）：对于形如$\int g[\phi(x)]\phi'(x)dx$的积分，可以令$u=\phi(x)$，则$du=\phi'(x)dx$，将原式转化为$\int g(u)du$的形式，然后进行积分，最后再将$u$用$\phi(x)$表示回去，即可得到结果$\int g[\phi(x)]\phi'(x)dx=F[\phi(x)]+C$。

二、常用凑微分公式：1.积分类型换元公式：int x^\mu(x^\mu-1)f(x)dx=\int x^\mu d(x^{\mu-1})$$当$\mu\neq 1$时成立。

int x^3f(\ln x)dx=\int x^3d(\ln x)=\int x^3\frac{1}{x}dx$$int e^xf(e^x)dx=\int e^xd(e^x)=e^xf(e^x)$$int_a^b f(x)dx=\int_{\ln a}^{\ln b}f(e^t)e^tdt$$当$a,b>0$时成立。

int \frac{f(\sin x)\cos x}{\sqrt{1-\sin^2 x}}dx=\int f(\sin x)d(\cos x)$$int \frac{f(\cos x)\sin x}{\sqrt{1-\cos^2 x}}dx=-\int f(\cos x)d(\sin x)$$int \frac{f(\tan x)}{\cos^2 x}dx=\int f(\tan x)d(\tan x)$$int \frac{f(\cot x)}{\sin^2 x}dx=-\int f(\cot x)d(\cot x)$$int f(\arctan x)\frac{1}{1+x^2}dx=\int f(t)dt$$int f(\arcsin x)\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}dx=-\int f(t)dt$$三、第二换元法：对于形如$\int f(x)dx=\intf[\psi(t)]\psi'(t)dt=F(t)+C=F[\phi(x)]+C$的积分，可以令$\psi(t)=x$，则$\psi'(t)dt=dx$，将原式转化为$\intf[\psi(t)]\psi'(t)dt$的形式，然后进行积分，最后再将$t$用$\phi(x)$表示回去，即可得到结果。

常用的凑微分公式记忆口诀

常用的凑微分公式记忆口诀1.引言在高等数学的不定积分章节中，学习了直接积分法、第一类换元积分法、第二类换元积分法后，我们可以求解出一些简单的不定积分，但对于某些不定积分，如，，等，仍然不能求出。

为了解决这类不定积分问题，我们需借助分部积分法。

定义：设函数与具有连续导数，则：（1）式称为分部积分公式，因为，，所以分部积分公式又可写成。

应用分部积分法时，计算步骤可分解如下：从以上计算步骤中可得，需将转化为。

显然，我们的目标是将求解比较困难的化为求解比较容易的，也即利用分部积分公式往往可以起到化难为易的作用。

反之，则越算越复杂，甚至不能求出。

例如：显然，比更复杂，不能求出积分。

因此，在利用分部积分法时，关键在于恰当选取与，才能有效凑出微分。

在分部积分公式中第一步是凑微分，我们得需将、中相对容易的确定为，即凑成。

因此，选取与要考虑两点：（1）容易求得；（2）比更易求出。

2.凑微分技巧我们将中学所学的基本初等函数归纳起来共有五类，即三角函数、指数函数、幂函数、反三角函数、对数函数（将这五类基本初等函数简记为“三、指、幂、反、对”），求这五类函数综中两类函数合在一起的积分，如：，，，通常情况下利用直接积分法和换元积分法无法求得，需借用分部积分。

因此，涉及到选取与，根据多年的任教经验，总结出了凑微分的口诀，即“三指高、幂居中、反对低，凑高不凑低”，即五类基本初等函数在分部积分中凑微分的优先级别由高到低的顺序分别为三角函数、指数函数、幂函数、反三角函数、对数函数。

下面以具体的实例说明。

3.举例综上所述，在分部积分中凑微分时，只需牢记凑微分口诀“三指高、幂居中、反对低，凑高不凑低”，就能避免解题走弯路，从而问题得以迎刃而解。

不定积分记忆技巧

不定积分记忆技巧不定积分是微积分中的一个重要概念，是求解各种积分问题的关键。

为了更好地掌握不定积分，我们可以采取一些记忆技巧，以下是不定积分记忆技巧的详细介绍：一、凑微分法凑微分法是不定积分的基本方法之一。

通过将复杂的函数拆分成更简单的函数，我们能够利用基本的积分公式来求解。

掌握这一方法的关键在于多做习题，练习观察函数的特点和组合方式。

二、变量代换法当遇到复杂的函数或无法直接求解的不定积分时，我们可以通过变量代换法来化简。

这种方法涉及到替换变量或转换函数形式，以便更容易地找到原函数的表达式。

常用的代换有三角代换、倒代换等。

三、公式法公式法是通过记忆基本的积分公式来求解不定积分的方法。

这些公式包括基本的积分表和常见的积分公式，如指数函数、对数函数、三角函数等。

为了熟练掌握公式法，需要不断积累和复习这些基本公式。

四、分解法对于一些复合函数或较为复杂的不定积分，我们可以通过分解法将其拆分成更简单的部分，然后分别求解。

这种方法需要我们具备较强的分析能力和对复合函数的熟悉程度。

五、三角函数法对于含有三角函数的不定积分，我们可以利用三角函数的性质和公式进行求解。

例如，利用三角函数的和差化积、积化和差等公式来简化不定积分。

六、反常积分法反常积分法是处理无穷区间上的积分的方法。

当被积函数在无穷区间上存在时，我们需要考虑使用反常积分法来求解。

这涉及到对积分上下限的处理和反常积分的收敛性判断。

七、分部积分法分部积分法是通过将两个函数的乘积进行分部积分来求解不定积分的方法。

这种方法的关键在于选择合适的函数进行分部积分，以便更容易地找到原函数的表达式。

为了熟练掌握分部积分法，需要多做习题并不断总结经验。

八、查表法查表法是通过查阅预先编制好的积分表来查找不定积分的值的方法。

这种方法适用于一些常见函数的积分值，可以节省计算时间。

为了熟练使用查表法，需要熟悉常见函数的积分表并掌握查阅方法。

九、对比法对比法是通过对比原函数与被积函数的相似性来寻找不定积分的求解方法。

不定积分分部积分法教学小记

不定积分分部积分法教学小记分部积分法是求解不定积分的一种常用方法，它利用乘积函数的求导和积分性质，通过适当的分解和选择，将不定积分转化为一个更简单的形式，从而得到原函数。

本文将重点介绍分部积分法的原理和应用。

一、分部积分法的原理分部积分法是基于积分的乘法法则推导得出的，乘法法则表明两个函数的乘积的导数可以通过其中一个函数的导数和另一个函数的积分来表示。

其具体公式为：∫ u·v dx = u·∫ v dx - ∫ u'·∫ v dx dx其中 u 和 v 是可导的函数，u' 表示 u 的导数。

根据分部积分法的原理，我们可以通过选择适当的 u 和 v 来将一个不定积分转化为一个更简单的形式，从而求得原函数。

通常情况下，选择 u 和 v 时可以选取具有以下特点的函数：1. u 是一个可以求导的函数，且 u' 的求导形式比较简单；2. v 是一个可以求积分的函数，且∫ v dx 的积分形式比较简单；3. 通过分部积分后，得到的新的不定积分能够比原不定积分更容易求解。

具体的分部积分过程如下：1. 选择合适的 u 和 v。

2. 对 u 求导，得到 u'。

3. 对 v 求积分，得到∫ v dx。

4. 将求导后的 u' 和求积分后的∫ v dx 带入分部积分的公式中，得到新的不定积分。

5. 如果新的不定积分可以通过已知的积分公式求解，则直接计算得到解；否则，可以再次应用分部积分法，或者尝试其他的积分方法来求解。

三、实例分析下面通过一个具体的实例来说明分部积分法的应用。

例题：求解不定积分∫ x·sin(x) dx。

解：根据分部积分法的原理，我们可以选择 u = x 和 v = -cos(x)，然后计算出 u' = 1 和∫ v dx = ∫(-cos(x)) dx = sin(x)，带入分部积分公式得到：∫ x·sin(x) dx = x·(-cos(x)) - ∫ 1·sin(x) dx其中 C 为常数。

大学高等数学上册讲义笔记-直接积分凑微分换元法分部积分法有理化积分

课时五不定积分考点重要程度分值常见题型1.直接积分★★★★3~0选择、填空5.凑微分必考10~6选择、填空、大题3.换元法4.分部积分法5.有理化积分★★★1.直接积分解：原式51732222210(5)73x x dx x x C=-=-+⎰解：原式2223333(3)33arctan 11x dx dx x x C x x+-==-=-+++⎰⎰解：原式22111(arctan 1dx x C x x x=-=--++⎰题4：2xxe dx⎰解：原式(2)(2)ln(2)xxe e dx Ce ==+⎰解：原式1(1cos )sin 222x x dx x C=-=-+⎰解：原式22cos sin (cos sin )(cos sin )cos sin cos sin x x x x x x dx dx x x x x-+-==--⎰⎰=(cos sin )sin cos x x dx x x C+=-+⎰（加项减项）sin 22sin cos x x x =22cos 2cos sin x x x=-22cos 1x =-212sin x=-2.凑微分题1：2(12)x dx+⎰解：原式23111(12)(1+2)(12)223x d x x C =+=⋅++⎰31(12)6x C =++解：原式11222221(1)(1)(1)2x xdx x d x C--=+=++=⎰⎰解：原式1112111(5)5()5ln 5xxx dx d Cx x ==-=-+⎰⎰解：原式22arctan C ===⎰解：原式1(1)ln(1)11xx x x x e dx d e e C e e=⋅=+=++++⎰⎰解：原式11(ln )ln(ln )ln ln dx d x x C x x x=⋅==+⎰⎰题7：tan xdx ⎰解：原式sinx 1cos ln cos cos cos dx d x x Cx x ==-=-+⎰⎰题8：3cos d θθ⎰解：原式22cos cos cos sin d d θθθθθ=⋅=⎰⎰231(1sin )sin sin 3d Cθθθθ=-=-+⎰解：原式22arctan(arctan (arctan C==+⎰3.换元法解：令t =，21(1)2x t =-，(1)dx t dt =-原式=11(1)(1)ln t dt dt t t C t t⋅-=-=-+⎰⎰=ln(1C++解：令sin x a t =，cos dx a tdt =原式=233211cos sec a cos a tdt tdt t a ⋅=⎰⎰=21tan a t C +2211tan =t C C a a =+⋅4.分部积分法u v dx udv uv v du uv v u dx''⋅==-⋅=-⋅⎰⎰⎰⎰题1：ln x xdx ⎰解：原式222222211111111ln ln ln ln ln 2222224xdx x x x d x x x x dx x x x C x ==-=-⋅=-+⎰⎰题2：arctan x xdx⎰解：原式21arctan 2xdx =⎰222211111=arctan arctan arctan (1)22221x x x d x x x dx x-=--+⎰⎰2111arctan arctan 222x x x x C =-++题3：ln xdx⎰解：原式ln ln ln 1ln x x xd x x x dx x x x C=-=-⋅=-+⎰⎰解：原式2222222tt tt t t e tdt tde t e e dt te e c eC=⋅==⋅-=-+=⎰⎰⎰5.有理化积分211(2)(3)()2356(3)(2)32(2)(3)(2)(3)x x A B A x B x A B x A Bx x x x x x x x x x ++-+-+--==+==-+--------()231A B x A B x +--=+1231A B A B +=⎧⇒⎨+=-⎩43A B =⎧⇒⎨=-⎩故2143()5632x dx dx x x x x +=--+--⎰⎰4ln 33ln 2x x C =---+课时五练习题1）22(1)x dx +⎰2）2cos 2xdx⎰3）(sin )x bax e dx -⎰4）tan ⎰5）6）x xdxe e-+⎰7）3tan sec xxdx⎰8）2⎰9）dx x⎰10）ln n x xdx⎰11）arcsin xdx⎰12）2ln xdx⎰13）2tan x xdx⎰14）38421x dx x x ++⎰。

关于不定积分计算的总结

4
4 cos t
1 2x 1 1
2
c
4 3 4x 4x2 4 3 4x 4x2

2x 1
1
c
4 3 4x 4x2 2 3 4x 4x2
②倒代换( x 1 ) 一般用在分子次数低，分母次数高的时候 t
dx
【例 2】求 x (xn 1)
(n 2, n N )
2
x
d
cos
x

1 cos x 2 sin 2 x

1 4
ln
1 1

cos cos
x x
c
②复杂的凑微分问题举例
【例 3】求
cos
cos x(1
2 x sin cos x
x esin
x
dx )
[分析] 复杂部分为 cos x esin x , 而
(cos x esin x ) sin xesin x cos x esin x cos x esin x (cos2 x sin x)
【注】若被积函数含有 ax2 bx c , 要先化为 2 (x) k 2 , 2 (x) k 2 ,
k 2 2 (x), 再做三角代换。
dx
【例 1】求
(2x 1) 3 4x 4x2
解：
dx

dx
2(x 1) 3 4x 4x2 2(x 1) 4 (2x 1)2
2 17 2
28
2
【注】求导至循环.
【例 3】求 x2 arctan xdx
arctan x x2
1 1 x2 1 x3 3

凑微分法和分部积分法学习笔记共35页

自命不凡。——邓拓 12、越是无能的人，越喜欢挑剔别人的错儿。——爱尔兰 13、知人者智，自知者明。胜人者有力，自胜者强。——老子 14、意志坚强的人能把世界放在手中像泥块一样任意揉捏。——歌德 15、最具挑战性的挑战莫过于提升自我。——迈克尔·F·斯特利
凑微分法和分部积分法学习笔记
21、没有人陪你走一辈子，所以你要适应孤独，没有人会帮你一辈子，所以你要奋斗一生。 22、当眼泪流尽的时候，留下的应该是坚强。 23、要改变命运，首先改变自己。
24、勇气很有理由被当作人类德性之首，因为这种德性保证了所有其余的德性。--温斯顿．丘吉尔。 25、梯子的梯阶从来不是用来搁脚的，它只是让人们的脚放上一段时间，以便让别一只脚能够再往上登。