最新2017-2018年中考数学复习第六单元圆第23讲圆的基本性质试题
2017年全国中考数学真题分类 圆的基本性质2017(填空题)
2017年全国中考数学真题分类圆的基本性质填空题二、填空题1. （2017重庆，15，4分）如图，BC 是⊙O 的直径，点A 在圆上，连接AO ，AC ，∠AOB ＝64゜，则∠ACB ＝ 度.答案：32 解析：从图形中可以看出，∠AOB 、∠C 分别是⊙O 中弧AB 所对的圆心角、圆周角，利用圆周角定理可得∠AOB ＝2∠C ，代入∠AOB 的度数即可得∠C 的度数.解：∵∠AOB 、∠C 分别是⊙O 中弧AB 所对的圆心角、圆周角，∴∠AOB ＝2∠C ．∵∠AOB ＝64°，∴∠C ＝32°.2. （2017四川自贡,17,3分）如图，等腰△ABC 内接于⊙O ,已知AB =AC , ∠ABC =30°，BD 是⊙O 的直径，如果CD ＝33，则AD ＝ .D OABC答案：4，解析：∵AB =AC , ∴弧AB ＝弧AC ，∵∠ABC =30°，∴∠ADB ＝∠ADC ＝30°，∴∠BDC＝60°.在Rt △BDC 中，∵BD 是⊙O 的直径,∴∠BAD ＝∠BCD =90°，∠DBC =180°-90°-60°-30°,∴∠ADB =∠DBC ，∴AB =CD =433.在Rt △ABD 中，∵ADB =30°，∴AD =433tan 303AB=︒ 4.3. （2017江苏盐城，14，3分）如图，将⊙O 沿弦AB 折叠，点C 在AmB 上，点D 在AB 上，若∠ACB ＝70°，则∠ADB ＝________°．答案：110°，解析：如图，设点D ′是点D 折叠前的位置，连接AD ′、BD ′，则∠ADB ＝∠AD ′B ．在圆内接四边形ACBD ′中，∠ACB ＋∠D ′＝180°，所以∠D ′＝180°－70°＝110°，所以∠ADB ＝110°．4. 14．（2017江苏连云港，14，4分）如图，线段AB 与O ⊙相切于点B ，线段AO 与O ⊙相交于点C ，12AB ，8AC ，则O ⊙的半径长为 ．答案：5，解析：连接OB ，根据切线的性质可知OB ⊥AB ，设圆的半径为r ，然后根据勾股定理可得222()r AB r AC +=+，即22212(8)r r +=+，解得r =5．5. （2017四川达州16，3分）如图，矩形ABCD 中，E 是BC 上一点，连接AE ，将矩形沿AE 翻折，使点B 落在CD 边F 处，连接AF ，在AF 上取点O ，以O 为圆心，OF 长为半径作O 与AD 相切于点P .若633AB BC ==，F 是CD 的中点；②O 的半径是2；③92AE CE =；④3S =阴影.其中正确结论的序号是 ． CDABOmCDABOmD 'E P答案：①②④，解析：由折叠可知AF =AB =6，在Rt △ADF 中，DF=3==，∴DF =12CD ，即F 是CD 的中点，所以①是正确的；连接OP ，则OP ⊥AD ，∵DF =3，AF =6，∴∠DAF =30°，∴AO =2OA ，而OP =PF ，∴AF =2OA +OF =6，∴OP =OF =2，∴⊙O 的半径为2，∴②是正确的；∵∠DAF =30°，∴∠AFD =60°，∵∠AFE =90°,∴∠EFC =30°，∴EF =2EC ，又∵∠FAE =∠BAE =30°，∴AE =2EF =4EC ，所以③是错误的；设⊙O 与CD 的另一个交点为I ，∵OI =OF ，∠OFI =60°，∴△OIF 为等边三角形，∴∠IOF =60°，∴∠POI =60°，∴OPDF =S OIF OPI S S S ∆--梯形扇形+OIF OIF S S ∆-扇形 =22360242360+π⨯+26024360π⨯=23π+23π，所以④是正确折，故本题填：①②④ E P6. 17．（2017四川眉山，17，3分）如图，AB 是⊙O 的弦，半径OC ⊥AB 于点D ，且AB ＝8cm ，DC＝2cm ，则OC ＝______cm ．答案：5，解析：连接OA ，因为半径OC ⊥AB 于点D ，所以AD ＝12AB ＝12×8＝4(cm)，设⊙O 的半径为x cm ，在Rt △OAD 中，OA 2＝OD 2＋AD 2，即x 2＝(x －2)2＋42，解得x ＝5，所以OC ＝5cm ．7. （2017江苏淮安，16，3分）如图，在圆内接四边形ABCD 中，若∠A 、∠B 、∠C 的度数之比为4∶3∶5，则∠D 的度数是________︒．答案：120，解析：因为四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，所以∠A ＋∠C ＝∠B ＋∠D ＝180°．因为∠A 、∠B 、∠C 的度数之比为4∶3∶5，所以∠A 、∠B 、∠C 、∠D 的度数之比为4∶3∶5∶6，所以∠D ＝636+×180°＝120°．8. 16．（2017湖南岳阳，16，4分）如右图，O 为等腰△ABC 的外接圆，直径AB =12，P为弧BC 上任意一点（不与B ，C 重合），直线CP 交AB 延长线于点Q，O 在点P 处切线PD 交BQ 于点D ，下列结论正确的是 .（写出所有正确结论得序号） ①若∠PAB =30°，则弧BP 的长为π； ②若PD ∥BC ，则AP 平分∠CAB ；③若PB =BD ，则PD=； ④无论点P 在弧BC 上的位置如何变化，CP ·CQ 为定值.AACA答案：③④，解析：直径AB =12，则半径长6. ∠APB =90°；等腰△ABC ，则CO ⊥AB . AC =BC =①因为∠PAB =30°，则弧BP 的圆心角为60°，弧BP 长为606180π⨯⨯=2π，故①错误． ②PD ∥BC ，DP 为切线，则∠QPD =∠BCP =∠PAB ，得不到AP 平分∠CAB ，故②错误. ③ PB =BD ，DP 为切线，则∠BPD =∠BDP =∠PAB ,因为△APQ 内角和180°，∠APB =90°，所以∠BPD =∠BDP =∠PAB =30°.因为第16题图AB =12，所以PB =BD =6.过B 作BE ⊥PD 于E 点，则BE =3，PE =DE =33，PD =63.故③正确. ④过O 作OF ⊥CP 于F 点，则∠COP =2∠COF =2∠CAP ，∠COF =∠CAP ；因为∠COF +∠OCF =∠Q +∠OCF ,所以∠Q =∠COF =∠CAP ，则△CAP ∽△CQA ，CP ·CQ =AC 2=（62）2=72，故④正确.9. 15．(2017江苏扬州，，3分)如图，已知⊙O 是△ABC 的外接圆，连接AO ，若∠B =40°，则∠OAC= ▲ °． 【答案】50【解析】根据“同弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半”，连接OC ，便有2AOC B ∠=∠=080再由OA=OC,根据“等边对等角”及“三角形内角和定理”可以求得050OAC ∠=10. 14．（2017甘肃酒泉，14，3分）如图，ABC △内接于O ⊙，若32OAB ∠°，则C ∠ ．答案：58°，解析：连接OB ．在△OAB 中，OA =OB （⊙O 的半径），∴∠OAB =∠OBA ；又∵∠OAB =28°，∴∠OBA =28°；∴∠AOB =180°﹣2×28°=124°； 而∠C =∠AOB （同弧所对的圆周角是所对的圆心角的一半），∴∠C =62°； 故答案是：62°．第14题图.ABC第15题图O11. 15．（2017江苏泰州，15，3分）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A、B、P的坐标分别为（1,0），（2,5），（4,2），若点C在第一象限内，且横坐标、纵坐标均为整数，P是△ABC的外心，则点C的坐标为.答案：（7,4），（6,5），解析：如图，以点P为圆心，PA为半径作圆，⊙P在第一项限经过的符合条件的点有两个，分别是（7,4）和（6,5）．故答案为（7,4），（6,5）.12.12．（2017浙江义乌，12，5分）如图，一块含45°角的直角三角形，它的一个锐角顶点A在⊙O上，边AB，AC分别与⊙O交于点D，E，则∠EOD的度数为．答案：90°，解析：根据一条弧所对的圆周角是它所对的圆心角的一半，得到∠EOD=2∠A=2×45°=90°．13.(2017湖北十堰，14，5分)如图，△ABC内接于⊙O，∠ACB=90°，∠ACB的角平分线交⊙O于D ，若AC =6，BD =52，则BC 的长为 ．答案：8，解析：连接DA ，因为∠ACB =90°，所以AB 为直径，所以∠ADB =90°，因为CD 平分∠ACB ，所以BD =AD ，在△ABD 中AB =22AD BD +=22(52)(52)+=10，在△ABC 中BC =22AB AC -=22106-=8．14. （2017湖北随州，13，3分）如图，已知AB 是⊙O 的弦，半径OC 垂直AB ，点D 是⊙O 上一点，且点D 与点C 位于弦AB 两侧，连接AD 、CD 、OB ，若∠BOC ＝70°，则∠ADC ＝________度．ABOCD答案：35，解析：∵半径OC 垂直AB ，∴⌒AC ＝⌒BC ，∴∠ADC ＝12∠BOC ＝12×70°＝35°．15. （2017江苏南京，15，2分）如图，四边形ABCD 是菱形，⊙O 经过点A ，C ，D 与BC 相交于点E ，连接AC ，AE ，若∠D ＝78°，则∠EAC ＝____．[来源∶Z &xx &k ．Com ]答案∶27°，解析∶∵四边形ABCD 是菱形，∴AD ＝DC ，AD ∥BC ，∴∠DAC ＝∠DCA ，．∵∠D ＝78°，∴∠DAC ＝51°，∴∠ACE ＝51°．∵，∴，∴∠DAE ＝∠D ＝78°，∴∠EAC ＝78°－51°＝27°．16.（2017甘肃庆阳，14，4分）如图，ABC △内接于O ⊙，若32OAB ∠°，则C ∠ ．答案：58°，解析：连接OB ．在△OAB 中，OA =OB （⊙O 的半径），∴∠OAB =∠OBA ；又∵∠OAB =28°，∴∠OBA =28°；∴∠AOB =180°﹣2×28°=124°； 而∠C =∠AOB （同弧所对的圆周角是所对的圆心角的一半），∴∠C =62°； 故答案是：62°．17. （2017·湖南株洲，15，3分）如图，已知AM 是圆O 的直径，直线BC 经过点M ，且AB ＝AC ，∠BAM ＝∠CAM ，线段AB 和AC 分别交圆于点D ，E ．∠BMD ＝40°，则∠EOM ＝ 度．答案：80，解析：由于AB ＝AC ，∠BAM ＝∠CAM ，所以M 是等腰△ABC 的顶角平分线，所以AM⊥B C ．因为AM 是圆O 的直径，所以BC 是圆O 的切线，所以∠BMD ＝∠BAM ＝40°，即∠CAM ＝40°，所以∠EOM ＝2∠CAM ＝80°，故答案为80．18. 15．（2017宁夏，3分）如图，点A ，B ，C 均在6×6的正方形网格格点上，过A ,B ,C 三点的外接圆除经过A ，B ，C 三点外还能经过的格点数为 ．A第15题图MBCEOD 第14题图CB A答案：5，解析：如图，根据“不在同一条直线上的三个点确定一个圆”，画出⊙O ．根据几何直观即可得到⊙O 除经过A ，B ，C 三点外还能经过的格点数是5．OAB C19. 12．(2017浙江绍兴，5分)如图，一块含45°角的直角三角板，它的一个锐角顶点A 在⊙O 上，边AB 、AC 分别与⊙O 交于点D 、E ，则∠DOE 的度数为 ．【答案】90°．【解析】根据圆周角定理得到，∠DOE =2∠A =90°，故答案为：90°．20. （2017湖北襄阳，15，3分）在半径为1的⊙O 中，弦AB,AC 的长分别为12BAC 的度数为 ．答案：105°或15°，解析：如图1，当点O 在∠BAC 的内部时，连接OA ，过点O 作OM ⊥AB ，ON ⊥AC ，垂足分别为M ，N ，则AM=21，AN=22.在Rt △AOM 中，cos ∠MAO=AO AM =21，∴∠MAO=60°.在Rt △AON 中，cos ∠NAO=AO AN =22，∴∠NAO=45°，∴∠BAC=60°+45°=105°；如图2，当点O 在∠BAC ′的外部时，∠BAC ′=60°+45°=105°.图1 图221. 16．(2017湖南永州，4分)如图，四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，点D 是AC ⌒的中点，点E是BC ⌒上的一点，若∠CED =40°，则∠ADC =________度．答案：100，解析：连接AE ，∵点D 是AC ⌒的中点，∴∠AED =∠CED =40°，∴∠AEC =80°．∵∠AEC +∠ADC =180°，∴∠ADC =180°-∠AEC =180°-80°=100°．22. （2017·辽宁大连，12，3分）如图，在⊙O 中，弦AB ＝8cm ，OC ⊥AB ，垂足为C ，OC ＝3cm ，则⊙O 的半径为 cm ．答案：5 解析：由于在⊙O 中，弦AB ＝8cm ，OC ⊥AB ，所以BC ＝21＝4cm ，设圆的半径为R ，第12题AB C O则R ＝22BC OC +＝2243+＝5cm ，故答案为：5．23. （2017山东东营，14，3分）如图，AB 是半圆直径，半径OC ⊥AB 于点O ，D 为半圆上一点，AC ∥OD ，AD 与OC 交于点E ，连结CD 、BD ，给出以下三个结论：①OD 平分∠COB ;②BD ＝CD ；③CD 2＝ CE ·CO ．其中正确结论的序号是________________．【答案】①②③【解析】由AC ∥OD ，可得∠CAD =∠ADO ，由OA =OD 可得∠DAO =∠ADO ，∴∠CAD =∠DAB ，根据圆周角定理可得∠BOD =2∠DAB ，∠COD =2∠CAD ，∴∠BOD =∠COD ，即OD 平分∠COB ，①正确；由∠BOD =∠COD ，根据“在同圆或等圆中，相等的 圆心角所对的弦相等”可得BD ＝CD ，②正确；∵AB 是半圆直径， OC ⊥AB ，∴AC =BC ，易得∠ CDA =∠COD ，又∵∠DCE =∠OCD ∴△CDE ∽△COD ，∴ CD 2＝ CE ·CO ，③正确24. (2017年湖南长沙，15，3分)如图，AB 为圆O 的直径，弦CD ⊥AB 于点E ，已知CD=6，EB=1，则圆O 的半径为答案：5，解析：连接OC ，因为弦CD ⊥AB ，所以CE=21CD=3，设OC=x ，则OE=x-1，由勾股定理得（x-1）2+32=x 2，所以x=5 E O DC A25. 13．（2017江苏省南通市，13，3分） 四边形ABCD 内接于圆，若∠A ＝110°，则∠C ＝______度．答案：70 解析：∵四边形ABCD 内接于圆，∴∠A ＋∠C ＝180°，因为∠A ＝110°，所以∠C ＝70°26. （2017青海西宁，17，2分）如图4，四边形ABCD 内接于⊙O ，点E 在BC 的延长线上，若∠BOD =120°，则∠DCE = .答案：60°，解析：∵∠BOD =120°∴∠BAD =60°，又∠BAD +∠BCD =180°．∠DCE +∠BCD =180°,∴∠DCE =∠BAD =60°27. （2017黑龙江大庆，14，3分）ABC ∆中，C ∠为直角，2=AB ，则这个三角形的外接圆半径为 .答案：1，解析：直角三角形外接圆圆心在斜边中点，或90°所对的弦为直径可知，半径为1．28. 17.（2017贵州遵义）如图，AB 是⊙O 的直径，AB =4，点M 是OA 的中点，过点M 的直线与⊙O交于C 、D 两点.若∠CMA=45°，则弦CD 的长为 ．答案：14，解析：过点O 作ON ⊥CD 于N ，连接OC ，∵∠CMA=45°，∠ONC=90°，∴△MON 是等腰直角三角形，∵AB=4，点M 是OA 的中点，∴OM=1，根据勾股定理解得ON=22，在Rt △CON 中，CN=222222()2OC ON -=-=142，∴CD=2CN=14.29. （2017内蒙古包头）如图，点A B C 、、为O 上的三个点，02,40BOC AOB BAC ∠=∠∠=，则ACB ∠=________度.（第17题）CB AO答案：20，解析：考点圆周角定理的应用，圆周角定理是指圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半.∵040BAC ∠=∴由圆周角定理可知0=280BOC BAC ∠∠=又∵2BOC AOB ∠=∠∴=40AOB ∠︒再次利用圆周角定理得到0=240AOB ACB ∠∠=,得020ACB ∠=.30. （2017湖北荆州，16，3分）如图，A 、B 、C 是⊙O 上的三点，且四边形OABC 是菱形.若点D 是圆上异于A 、B 、C 的另一点，则∠ADC 的度数是___________________.答案：60°或120°，解析：连接OB，∵四边形OABC是菱形，∴AB=OA=OB=BC，∴△AOB是等边三角形，∴∠ADC=60°，∠AD′C=120°．。
(完整版)圆的基本性质检测试题
圆的基本性质测试题班级 姓名 得分一：选择题（每题3分，共30分）（ ）1.下列语句中不正确的有①相等的圆心角所对的弧相等；②平分弦的直径垂直于弦；③圆是轴对称图形，对称轴是任意一条直径所在的直线， ④半圆是弧，⑸直径是圆内 最长的弦，⑥等弧所对的圆周角相等. A ．3个 Ｂ．4个 C ．5个 Ｄ．6个（ ）2. 如图，已知⊙O 的半径为5，弦AB=6，M 是AB 上任意一点，则线段OM 的长可能是：A ．2.5B ．3.5C ．4.5D ．5.5 （ ）3．如图，，已知AB 是⊙O 的直径，∠BOC=400，那么∠AOE=A.400B. 600C.800D.1200（ ）4．如图，将圆沿AB 折叠后，圆弧 恰好经过圆心，则 ∠AOB 等于:A ．60°B ．90°C ．120°D ．150°(第3题) (第4题) （第5题） （第6题）（ ）5. 两正方形彼此相邻且内接于半圆,若小正方形的面积为16cm 2,则该半圆的半径为A ．(45)+ cmB ．9 cmC ．45cmD ．62cm（ ）6. 如图，BD 是⊙O 的直径，圆周角∠A = 30︒，则∠CBD 的度数是 A ．30︒ B ．45︒ C ．60︒ D ．80︒（ ）7．AB 为⊙O 的直径，C 、D 是⊙O 上的两点，∠BAC ＝30º，AD ＝CD ，则∠DAC 的度数是:A ．30ºB ．60ºC ．45ºD ．75º（第7题） （第8题） （第9题） （第10题）（ ）8．如图，在⊙O 中，CD 是直径，弦AB ⊥CD ，垂足为E ，连接BC ，若AB =2cm ，∠BCD =22°30′，则⊙O 的半径为: A .4cm B.2cm C.1cm D.0.5cm （ ）9. 已知⊙O 的直径AB=12，弦AC=6，AD=62，则∠CAD=A. 60°B. 450C.1050 或150D. 60°或 450（ ）10．如图，AB 是⊙O 的直径，AB=2，点C 在⊙O 上，∠CAB=30°，D 为的中点，P 是直径AB 上一动点，则PC+PD 的最小值为: Ａ．22 Ｂ.2 Ｃ.1 Ｄ.2二：填空题（每题3分，共18分）11. 如图，⊙O 的半径OA=10cm ，弦AB=16cm ，P 为AB 上一动点，则点P 到圆心O 的最短距 离为 。
23.与圆有关的概念及性质(讲)
【名师点拨】应用定理时，一定注意“在同圆或等圆 中”的条件，同时要注意：(1)一条弦所对的弧有两条； (2)一条弧只对着一个圆心角，但却对着无数个圆周角
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基础点5 圆内接四边形的性质
1．圆内接四边形的对角30 ＿互_补___，如 图，∠A＋∠BCD＝ 31_18_0_°，∠B＋∠D＝ 32 _1_8_0_°； 2．圆内接四边形的任意一个外角等于 它的 33 _内__对__角_(和它相邻的内角的对 角)如图，∠DCE＝ 34 _∠__A_．
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基础点6 正多边形与圆的关系
以正六边形为例： 名称 正六边形
内角
120°
外角
60°
中心角 边长
60° R
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在Rt△OAB中，r2+
R
＝
R2,
即边心距r＝ R .
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答：不一定相等．圆内同一条弦所对的圆周角
互补或相等，如解图，弦AB所对的圆周角为
∠ACB或∠ADB，若AB所对的圆周角分别在A⌒CB
失分点12题图
和
A周⌒D角B 上都，在则A⌒弦CBAB或所A对⌒D的B圆上周，角则互弦补A；B若所A对B的所圆对周的角圆相等．
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∴sin∠D＝sin60°＝BC
4
3 2
＝2
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「精品」中考数学系统复习 第六单元 圆 第23讲 圆的基本性质(8年真题训练)练习
第六单元 圆第23讲 圆的基本性质命题点1 垂径定理1．(2012·河北T5·2分)如图，CD 是⊙O 的直径，AB 是弦(不是直径)，AB ⊥CD 于点E ，则下列结论正确的是(D)A ．AE >BE B.AD ︵＝BC ︵ C ．∠D ＝12∠AECD ．△ADE ∽△CBE命题点2 圆周角定理2．(2011·河北T16·3分)如图，点O 为优弧AB ︵所在圆的圆心，∠AOC ＝108°，点D 在AB 的延长线上，BD ＝BC ，则∠D ＝27°．重难点1 垂径定理及其应用已知AB 是半径为5的⊙O 的直径，E 是AB 上一点，且BE ＝2. (1)如图1，过点E 作直线CD⊥AB，交⊙O 于C ，D 两点，则CD ＝8；图1 图2 图3 图4探究：如图2，连接AD ，过点O 作OF⊥AD 于点F ，则OF (2)过点E 作直线CD 交⊙O 于C ，D 两点．①若∠AED＝30°，如图3，则CD ②若∠AED＝45°，如图4，则CD【思路点拨】 由于CD 是⊙O 的弦，因此利用圆心到弦的距离(有时需先作弦心距)，再利用垂径定理，结合勾股定理，求出弦的一半，再求弦．【变式训练1】 (2018·襄阳)如图，点A ，B ，C ，D 都在半径为2的⊙O 上．若OA⊥BC，∠C DA ＝30°，则弦BC 的长为(D )A ．4B ．2 2C . 3D ．2 3 【变式训练2】 【分类讨论思想】(2018·孝感)已知⊙O 的半径为10 cm ，AB ，CD 是⊙O 的两条弦，AB∥CD，AB ＝16 cm ，CD ＝12 cm ，则弦AB 和CD 之间的距离是2__cm 或14__cm ． 方法指导1．垂径定理两个条件是过圆心、垂直于弦的直线，三个结论是平分弦，平分弦所对的优弧与劣弧．2．圆中有关弦的证明与计算，通过作弦心距，利用垂径定理，可把与圆相关的三个量，即圆的半径，圆中一条弦的一半，弦心距构成一个直角三角形，从而利用勾股定理，实现求解．3．事实上，过点E 任作一条弦，只要确定弦与AB 的交角，就可以利用垂径定理和解直角三角形求得这条弦长．重难点2 圆周角定理及其推论已知⊙O 是△ABC 的外接圆，且半径为4. (1)如图1，若∠A＝30°，求BC 的长； (2)如图2，若∠A＝45°： ①求BC 的长；②若点C 是AB ︵的中点，求AB 的长； (3)如图3，若∠A＝135°，求BC 的长．图1 图2 图3【思路点拨】 连接OB ，OC ，利用同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍，构建可解的等腰三角形求解．【自主解答】 解：(1)连接OB ，OC.∵∠BOC＝2∠A＝60°，OB ＝OC ，∴△OBC 是等边三角形． ∴BC＝OB ＝4.(2)①连接OB ，OC.∵∠BOC＝2∠A＝90°，OB ＝OC ，∴△OBC 是等腰直角三角形．∵OB＝OC ＝4，∴BC＝4 2.②∵点C 是AB ︵的中点，∴∠ABC＝∠A＝45°. ∴∠ACB＝90°.∴AB 是⊙O 的直径．∴AB＝8.(3)在优弧BC ︵上任取一点D ，连接BD ，CD ，连接BO ，CO. ∵∠A＝135°，∴∠D＝45°.∴∠BOC＝2∠D＝90°.∵OB ＝OC ＝4，∴BC＝4 2.【变式训练3】 (2018·南充)如图，BC 是⊙O 的直径，A 是⊙O 上的一点，∠OAC＝32°，则∠B 的度数是(A )A ．58°B ．60°C ．64°D ．68°【变式训练4】 (2018·秦皇岛海港区一模)将量角器按如图所示的方式放置在三角形纸板上，使点C 在半圆上．点A ，B 的读数分别为88°，30°，则∠ACB 的大小为(C )A ．15°B ．28°C ．29°D ．34°方法指导1．在圆中由已知角求未知角，同(等)弧所对的圆心角和圆周角的关系是一个重要途径，其关键是找到同一条弧．2．弦的求解可以通过连接圆心与弦的两个端点，构建等腰三角形来解决．3．一条弦所对的两种圆周角互补，即圆内接四边形的对角互补．模型建立在半径已知的圆内接三角形中，若已知三角形一内角，可以求得此角所对的边． 易错提示注意同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，避免把数量关系弄颠倒．重难点3 圆内接四边形(2017·潍坊)如图，四边形ABCD 为⊙O 的内接四边形．延长AB 与DC 相交于点G ，AO⊥CD，垂足为E ，连接BD ，∠GBC＝50°，则∠DBC 的度数为(C )A ．50°B ．60°C ．80°D ．90°【思路点拨】 延长AE 交⊙O 于点M ，由垂径定理可得CD ︵＝2DM ︵，所以∠CBD＝2∠EAD.由圆内接四边形的对角互补，可推得∠ADE＝∠GBC，而∠ADE 与∠EAD 互余，由此得解． 【变式训练5】 (2018·邵阳)如图所示，四边形ABCD 为⊙O 的内接四边形，∠BCD＝120°，则∠BOD 的大小是(B )A ．80°B ．120°C ．100°D ．90°【变式训练6】 (2018·曲靖)如图，四边形ABCD 内接于⊙O，E 为BC 延长线上一点．若∠A＝n°，则∠DCE＝n°方法指导1．找圆内角(圆周角，圆心角)和圆外角(顶角在圆外，两边也在圆外或顶点在圆上，一边在圆内，另一边在圆外)的数量关系时，常常会用到圆内接四边形的对角互补和三角形外角的性质．2．在同圆或等圆中，如果一条弧等于另一条弧的两倍，则较大弧所对的圆周角是较小弧所对圆周角的两倍．Ｋ1．如图，在⊙O 中，如果AB ︵＝2AC ︵，那么(C)A ．AB ＝AC B ．AB ＝2AC C ．AB ＜2ACD ．AB ＞2AC2．(2018·邯郸模拟)如图，在半径为4的⊙O 中，弦AB∥OC，∠BOC＝30°，则AB 的长为(D )A ．2B ．2 3C ．4D ．4 33．(2017·承德模拟)如图，在平面直角坐标系中，⊙O′经过原点O ，并且分别与x 轴、y 轴交于点B ，C ，分别作O′E⊥OC 于点E ，O′D⊥OB 于点D.若OB ＝8，OC ＝6，则⊙O′的半径为(C )A ．7B ．6C ．5D ．44．(2018·聊城)如图，在⊙O 中，弦BC 与半径OA 相交于点D ，连接AB ，OC.若∠A＝60°，∠ADC ＝85°，则∠C 的度数是(D )A ．25°B ．27.5°C ．30°D ．35°5．(2018·陕西)如图，△ABC 是⊙O 的内接三角形，AB ＝AC ，∠BCA＝65°，作CD∥AB，并与⊙O 相交于点D ，连接BD ，则∠DBC 的大小为(A )A ．15°B ．35°C ．25°D ．45°6．(2018·河北模拟)如图，分别延长圆内接四边形ABDE 的两组对边，延长线相交于点F ，C.若∠F ＝27°，∠A＝53°，则∠C 的度数为(C )A ．30°B ．43°C ．47°D ．53°7．(2018·玉林)如图，小华为了求出一个圆盘的半径，他用所学的知识，将一宽度为2 cm 的刻度尺的一边与圆盘相切，另一边与圆盘边缘两个交点处的读数分别是“4”和“16”(单位：cm )，请你帮小华算出圆盘的半径是10cm .8．(2017·临沂)如图，∠BAC 的平分线交△ABC 的外接圆于点D ，∠ABC 的平分线交AD 于点E.(1)求证：DE ＝DB ；(2)若∠BAC＝90°，BD ＝4，求△ABC 外接圆的半径．解：(1)证明：∵AD 平分∠BAC，BE 平分∠ABC， ∴∠BAE＝∠CAD，∠ABE＝∠CBE. ∴BD ︵＝CD ︵.∴∠DBC＝∠BAE.∵∠DBE＝∠CBE＋∠DBC，∠DEB＝∠ABE＋∠BAE, ∴∠DBE＝∠DEB. ∴DE＝DB. (2)连接CD.∵BD ︵＝CD ︵，∴CD＝BD ＝4. ∵∠BAC＝90°，∴BC 是直径．∴∠BDC＝90°.∴BC＝BD 2＋CD 2＝4 2.∴△ABC 外接圆的半径为2 2.9．(2018·遵义)如图，四边形ABCD 中，AD∥BC，∠ABC＝90°，AB ＝5，BC ＝10，连接AC ，BD ，以BD 为直径的圆交AC 于点E.若DE ＝3，则AD 的长为(D )A ．5B ．4C ．3 5D ．2 5提示：过点D 作DF⊥AC 于点F ，利用△ADF∽△CAB，△DEF∽△DBA 可求解．10．(2018·宜宾)如图，AB 是半圆的直径，AC 是一条弦，D 是AC ︵的中点，DE⊥AB 于点E ，且DE 交AC 于点F ，DB 交AC 于点G.若EF AE ＝34，则CG GB 511．(2018·金华)如图1是小明制作的一副弓箭，点A ，D 分别是弓臂BAC 与弓弦BC 的中点，弓弦BC ＝60 cm .沿AD 方向拉动弓弦的过程中，假设弓臂BAC 始终保持圆弧形，弓弦不伸长．如图2，当弓箭从自然状态的点D 拉到点D 1时，有AD 1＝30 cm ，∠B 1D 1C 1＝120°.(1)图2中，弓臂两端B 1，C 1的距离为；(2)如图3，将弓箭继续拉到点D 2，使弓臂B 2AC 2为半圆，则D 1D 2.12．如图所示，AB 为⊙O 的直径，CD 为弦，且CD⊥AB，垂足为H.(1)如果⊙O 的半径为4，CD ＝43，求∠BAC 的度数； (2)若点E 为ADB ︵的中点，连接OE ，CE.求证：CE 平分∠OCD；(3)在(1)的条件下，圆周上到直线AC 的距离为3的点有多少个？并说明理由．解：(1)∵AB 为⊙O 的直径，CD⊥AB，∴CH＝12CD ＝2 3.在Rt △COH 中，sin ∠COH＝CH OC ＝32，∴∠COH＝60°.∴∠BAC＝12∠COH＝30°.(2)证明：∵点E 是ADB ︵的中点，∴OE⊥AB. 又∵CD⊥AB，∴OE∥CD.∴∠ECD＝∠OEC. 又∵OE＝OC ，∴∠OEC＝∠OCE. ∴∠OCE＝∠DCE，即CE 平分∠OCD.(3)圆周上到直线AC 的距离为3的点有2个．因为AC ︵上的点到直线AC 的最大距离为2，ADC ︵上的点到直线AC 的最大距离为6，2＜3＜6，根据圆的轴对称性，ADC ︵到直线AC 的距离为3的点有2个．。
中考数学复习练测课件 素养综合练测23 圆的基本性质
为菱形，则∠BAD 的度数为( B )
A．45°
B．60°
C．72°
D．36°
5．(2021·营口)如图，⊙O 中，点 C 为弦 AB 中点，连接 OC，OB，∠COB
＝56°，点 D 是A︵B上任意一点，则∠ADB 度数为( B )
A．112°
B．124°
C．122°
D．134°
6．(2021·黄冈)如图，⊙O 是 Rt△ ABC 的外接圆，OE⊥AB 交⊙O 于点 E，
∵∠AHM＝∠FOM＝90°，∠AMH＝∠FMO， ∴△ AHM∽△FOM.∴HAMH＝OFMO＝2. ∵AD＝4，∴OF＝OA＝2.∴OM＝1. ∴AM＝OA－OM＝1. 设 HM＝x，则 AH＝2x. 在 Rt△ AHM 中，AH2＋HM2＝AM2， 即(2x)2＋x2＝1，解得 x1＝ 55，x2＝－ 55(舍去)．
15．(2021·包头)如图，在锐角三角形 ABC 中，AD 是 BC 边上的高，以 AD 为直径的⊙O 交 AB 于点 E，交 AC 于点 F，过点 F 作 FG⊥AB，垂足为 H， 交A︵E于点 G，交 AD 于点 M，连接 AG，DE，DF. (1)求证：∠GAD＋∠EDF＝180°；
证明：由题可知∠AGF＝∠ADF. ∵GF⊥AB，AD 为圆的直径， ∴∠AGF＋∠GAE＝90°，∠AGAE＋∠DAE＝∠FAD＋∠DAE， 即∠GAD＝∠EAF. ∵四边形 AEDF 是圆的内接四边形， ∴∠EAF＋∠EDF＝180°. ∴∠GAD＋∠EDF＝180°.
A．60°
B．90°
C．120°
D．150°
3．(2021·牡丹江)如图，点 A，B，C 为⊙O 上的三点，∠AOB＝13∠BOC，
∠BAC＝30°，则∠AOC 的度数为( C )
中考数学第23讲《圆基本性质》考点集训.doc
2019-2020 年中考数学：（第 23 讲）《圆的基本性质》考点集训一、选择题1．已知 A， B，C 是平面内的三点，AB＝ 3，BC＝ 3， AC＝ 6，下列说法正确的是( B ) A．可以画一个圆，使A，B， C都在圆上B．可以画一个圆，使A，B 在圆上， C在圆外C．可以画一个圆，使A，C在圆上， B 在圆外D．可以画一个圆，使B，C在圆上， A 在圆内2． ( 2014·台州 ) 从下列直角三角板与圆弧的位置关系中，可判断圆弧为半圆的是( B )3．( 2014·珠海 ) 如图，线段AB是⊙O 的直径，弦CD丄 AB，∠ CAB＝20°，则∠ AOD等于( C )A． 160°B．150°C．140°D．120°, 第3题图), 第4题图) 4．( 2014·舟山 ) 如图，⊙ O的直径 CD垂直弦 AB 于点 E，且 CE＝2， DE＝ 8，则 AB的长为( D )A． 2 B ． 4 C ． 6 D ． 85． ( 2014·呼和浩特 ) 已知⊙O 的面积为2π，则其内接正三角形的面积为( C )3 3A． 3 3 B ． 3 6 C. 2 3 D. 2 66． ( 2014·泸州 ) 如图，在平面直角坐标系中，⊙P 的圆心坐标是(3 ，a)(a ＞ 3) ，半径为 3，函数 y＝ x 的图象被⊙P 截得的弦AB 的长为 4 2，则 a 的值是 ( B ) A． 4 B ． 3＋ 2 C ． 3 2 D ．3＋ 3, 第6题图), 第7题图)二、填空题7．( 2014·巴中 ) 如图，已知 A，B，C 三点在⊙O 上，AC⊥ BO于 D，∠ B＝ 55°，则∠BOC 的度数是 __70° __．8． ( 2014·潍坊 ) 如图，平行四边形 ABCD的顶点 A， B， D 在⊙O上，顶点 C 在⊙O直径BE上，连结 AE，∠ E＝ 36°，则∠ ADC 的度数是 __54° __．, 第8题图), 第9题图)9． ( 2014·内江 ) 如图，⊙ O是△ ABC的外接圆，∠ AOB＝ 60°， AB＝ AC＝ 2，则弦BC的长为 __2 3__．10． ( 2014·南京 ) 如图，在⊙O 中， CD是直径，弦AB⊥CD，垂足为E，连结 BC，若 AB ＝2 2 cm，∠ BCD＝ 22° 30′，则⊙O的半径为 __2__cm., 第10题图), 第11题图)︵︵︵11．( 2014·东营 ) 在⊙O中， AB 是⊙O的直径， AB＝ 8 cm，AC＝ CD＝ BD，M是 AB上一动点， CM＋ DM的最小值是 __8__cm.412．( 2014·乐山 ) 在△ ABC中， AB＝ AC＝ 5，sin B＝，⊙ O过点 B，C 两点，且⊙O 半径5r ＝10，则 OA的长为 __3 或 5__．三、解答题13．如图，四边形ABCD是圆内接四边形，F，E分别为BD，AD延长线上的点，如果DE平分∠ FDC，求证： AB＝ AC.易证∠1＝∠ADB＝∠ACB，∠ 2＝∠ABC，∵∠ 1＝∠2，∴∠ ABC＝∠ACB，∴ AB＝AC 14．如图，要把破残的圆片复制完整．已知弧上的三点A， B， C.(1)︵用尺规作图法找出 BAC所在圆的圆心；(保留作图痕迹，不写作法)(2) 设△ ABC是等腰三角形，底边 BC＝8 cm，腰 AB＝5 cm.求圆片的半径R.( 1) 如图，分别作 AB， AC的垂直平分线，设交点为O，则 O为所求圆的圆心1 2 2( 2) 连结 AO交 BC于 E，∵ AB＝ AC，∴ AE⊥BC，BE＝ BC＝ 4. 在 Rt △ ABE中，AE＝AB －BE2＝2 2 2 2 2 2 2＋ ( R－ 3)2 2 5 － 4 ＝ 3. 设⊙O的半径为 R，在 Rt △BEO中， OB＝BE＋ OE，即 R ＝ 4 ，∴ R225 25＝16＋ R － 6R＋9，∴ R＝6，所以所求圆片半径为6 cm4 15． ( 2014·上海 ) 如图，在平行四边形ABCD中， AB＝ 5， BC＝ 8，cos B＝5，点 P 是边BC上的动点，以 CP为半径的圆 C 与边 AD交于点 E，F( 点 F 在点 E 的右侧 ) ，射线 CE与射线BA交于点 G.(1)当圆 C 经过点 A 时，求 CP的长；(2)连结 AP，当 AP∥CG时，求弦 EF 的长．( 1) 如图 1，设⊙O的半径为 r ，当点 A 在⊙C上时，点 E 和点 A 重合，过点 A 作 AH⊥BC于 H，∴ BH＝ AB· cosB＝ 4，∴ AH＝ 3，CH＝ 4，∴ AC＝2 2( 2) AH＋ CH＝5，∴此时 CP＝ r ＝ 5如图 2，若 AP∥CE，则四边形APCE为平行四边形，∵CE＝ CP，∴四边形 APCE是菱形，连CM＝结 AC，EP，则 AC⊥EP，∴ AM＝CM，由 ( 1) 知 AB＝AC，则∠ACB＝∠B，∴CP＝ CE＝cos ∠ACB 25 25 2 2 78，∴ EF＝ 2 （8）－ 3 ＝416． ( 2014·天津 ) 已知⊙O的直径为 10，点 A，B， C 在⊙O 上，∠ CAB的平分线交⊙O于点 D.(1)如图①，若 BC为⊙O的直径， AB＝ 6，求 AC， BD， CD的长；(2)如图②，若∠ CAB＝ 60°，求 BD的长．( 1) ∵BC 是⊙O的直径，∴∠CAB＝∠BDC＝90° . ∵在直角△CAB 中， BC＝ 10，AB＝ 6，∴由勾股定理得AC＝22 22︵︵BC－ AB ＝10 － 6 ＝ 8. ∵AD平分∠CAB，∴CD＝ BD，∴ CD＝BD.在直2 2 2 ( 2) 连结 OB，OD.∵ AD平分角△BDC中，BC＝10，CD＋BD ＝ BC，∴易求 BD＝ CD＝ 5 2∠CAB，1且∠CAB＝ 60°，∴∠ DAB＝2∠CAB＝ 30°，∴∠ DOB＝ 2∠DAB＝60° . 又∵ OB＝ OD，∴△OBD 是等边三角形，∴ BD＝OB＝ OD.∵⊙O的直径为 10，则 OB＝ 5，∴ BD＝ 5。
2018届中考数学复习第六单元圆第23讲圆的基本性质考点测试题
第六单元圆第23讲圆的基本性质1．(2017·曲靖模拟)如图，C是⊙O上一点，若圆周角∠ACB＝40°，则圆心角∠AOB的度数是(C) A．50°B．60°C．80°D．90°2．(2017·红河州蒙自市一模)如图，在⊙O中，∠OAB＝45°，圆心O到弦AB的距离OE＝2 cm，则弦AB的长为(D) A．2 cm B. 3 cmC．2 3 cm D．4 cm3．(2017·个旧市一模)如图，一块直角三角板ABC的斜边AB与量角器的直径重合，点D对应54°，则∠BCD的度数为(C)A．27°B．54°C．63°D．36°4．(2017·黔东南)如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足为E，∠A＝15°，半径为2，弦CD的长为(A) A．2 B．1 C. 2 D．45．(2016·云南模拟)如图，⊙O的圆心角∠BOC＝112°，点D在弦BA的延长线上，且AD＝AC，则∠D的度数为(A) A．28°B．56°C．30°D．41°6．(2017·淮安)如图，在圆内接四边形ABCD中，若∠A，∠B，∠C的度数之比为4∶3∶5，则∠D的度数是120°．7．(2017·曲靖罗平县二模)如图，已知AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，∠ABC＝35°，则∠D＝55°．8．(2017·曲靖一模)如图，⊙O 的半径为4，△ABC 是⊙O 的内接三角形，连接OB ，OC.若∠BAC 和∠BOC 互补，则弦BC 的长度为9．(2016·曲靖模拟)如图，AB 是⊙O 的直径，C ，D ，E 都是⊙O 上的点，则∠1＋∠2＝90°．10．(2016·曲靖模拟)如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，AD 是⊙O 的直径．若⊙O 的半径是3，sin B ＝16，则线段AC 的长为1．11．(2013·西双版纳)如图，AB 是⊙O 的直径，点C 在⊙O 上，点P 在线段OA 上运动，设∠PCB＝α，则α的最大值是90°．12．如图，已知AB 是⊙O 的直径，BC 为弦，过圆心O 作OD⊥BC 交弧BC 于点D ，连接DC.若∠DCB＝32°，则∠BAC ＝64°．13．如图，A ，B 是⊙O 上的两点，∠AOB ＝120°，C 是弧AB ︵的中点，求证：四边形OACB 是菱形．证明：连接OC.∵C 是AB ︵的中点，∠AOB ＝120°，∴∠AOC ＝∠BOC＝60°. 又∵OA＝OC ＝OB ，∴△OAC 和△OBC 都是等边三角形． ∴AC ＝OA ＝OB ＝BC. ∴四边形OACB 是菱形．14．如图，点A ，B ，C 在⊙O 上，∠A ＝36°，∠C ＝28°，则∠B＝(C )A ．100°B ．72°C ．64°D ．36°15．(2017·青岛)如图，AB 是⊙O 的直径，点C ，D ，E 在⊙O 上．若∠AED＝20°，则∠BCD 的度数为(B )A ．100°B ．110°C ．115°D ．120°16．(2017·昆明官渡区模拟)如图，⊙O 的半径OD⊥弦AB 于点C ，连接AO 并延长交⊙O 于点E ，连接EC.若AB ＝8，CD ＝2，则EC 的长为(D )A ．2B ．8C .13D ．21317．如图，已知△ABC，以AB 为直径的⊙O 分别交AC 于D ，BC 于E ，连接ED ，若ED ＝EC.(1)求证：AB ＝AC ；(2)若AB ＝4，BC ＝23，求CD 的长．解：(1)证明：∵ED＝EC ，∴∠EDC ＝∠C. ∵∠EDC ＝∠B，∴∠B ＝∠C.∴AB＝AC. (2)连接AE.∵AB 为直径，∴AE ⊥BC. 由(1)知AB ＝AC ， ∴BE ＝CE ＝12BC ＝ 3.又由(1)知∠EDC＝∠B，∠C ＝∠C， ∴△EDC ∽△ABC.∴CE CA ＝CDCB ，即34＝CD 23.∴CD＝32.18．(2017·孝感)已知半径为2的⊙O 中，弦AC ＝2，弦AD ＝22，则∠COD 的度数为30°或150°．。
中考数学复习讲义课件 第6单元 第23讲 圆的基本性质
3．
《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作，其中《方田》
1 章计算弧田面积所用的经验公式是：弧田面积＝2 (弦×矢＋矢 2)．弧田是
由圆弧和其所对的弦围成(如图中的阴影部分)，公式中“弦”指圆弧所对弦
13．(2021·赤峰)如图，点 C，D 在以 AB 为直径的半圆上，且∠ADC＝120°， 点 E 是A︵D上任意一点，连接 BE，CE.则∠BEC 的度数为( B )
A．20° B．30° C．40° D．60°
[解析] 连接 AC． ∵四边形 ABCD 为⊙O 的内接四边形， ∴∠ADC＋∠ABC＝180°. ∴∠ABC＝180°－120°＝60°. ∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ACB＝90°. ∴∠BAC＝90°－60°＝30°. ∴∠BEC＝∠BAC＝30°. 故选 B．
4.(2021·长沙)如图，点 A，B，C 在⊙O 上，∠BAC＝54°，则∠BOC 的度 数为( B )
A．27° B．108° C．116° D．128° [解析] ∵∠A＝54°，∴∠BOC＝2∠A＝108°.故选 B．
5．(2021·邵阳)如图，点 A，B，C 是⊙O 上的三点．若∠AOC＝90°， ∠BAC＝30°，则∠AOB 的大小为( B )
15．(2021·天津)如图，在每个小正方形的边长为 1 的网格中，△ABC 的顶 点 A，C 均落在格点上，点 B 在网格线上．
(1)线段 AC 的长等于 5 ；
(2)以 AB 为直径的半圆的圆心为 O，在线段 AB 上有一点 P，满足 AP＝AC．请
用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点 P，并简要说明点 P 的位置 是如何找到的(不要求证明)： 取 BC 与网格线的交点 D，连接 OD 并延长 OD 交⊙O 于点 E，连接 AE 交 BC 于点 G，连接 BE，延长 AC 交 BE 的延
中考数学总复习 第六单元 圆 第23课时 圆的有关性质随堂小测
圆的有关性质1．如图Y －53，已知AB 为⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，垂足为E ，那么下列结论中错误的是( )图Y －53A ．CE ＝DE B.BC ︵＝BD ︵C ．∠BAC ＝∠BAD D ．AC ＜AD2．★如图Y －54，已知AB 是⊙O 的直径，CD 是⊙O 的弦，∠ABD ＝58°，则∠BCD ＝( )图Y －54A ．116°B ．32°C ．58°D ．64°3．如图Y －55，四边形ABCD 是圆内接四边形，E 是BC 延长线上一点，若∠BAD ＝105°，则∠DCE 的大小是( )图Y －55A ．115°B ．105°C ．100°D ．95°.★如图Y －56，AB 为⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点E ，已知CD ＝12，BE ＝2，则⊙O 的直径为______．图Y －565．如图Y －57，AC 是⊙O 的直径，点B 在⊙O 上，∠ACB ＝30°.(1)利用尺规作∠ABC的平分线B D，交AC于点E，交⊙O于点D，连接CD(保留作图痕迹，不写作法)；(2)在(1)所作的图形中，求△ABE与△CDE的面积之比．图Y－57参考答案1．D [解析] 根据垂径定理，可得CE ＝DE .又因为CD ⊥AB ，所以AC ＝AD .故选D.2．B [解析] 由AB 是⊙O 的直径知∠ADB ＝90°.又因为∠ABD ＝58°，所以∠BAD ＝∠BCD ＝90°－58°＝32°.故选B.3．B [解析] 因为四边形ABCD 是圆内接四边形，E 是BC 延长线上一点，所以∠DCE 是圆内接四边形ABCD 的外角，所以∠DCE ＝∠BAD ＝105°.4．20 [解析] 连接OC ，设OC 的长为r .∵CD ＝12，由垂径定理可得CE ＝6，△OEC 是直角三角形．∵BE ＝2，∴OE ＝r －2，由勾股定理可得OC 2＝OE 2＋CE 2，即r 2＝(r －2)2＋62，解得r ＝10，∴直径AB ＝20.5．[解析] (1)尺规作图：作一个角的平分线；(2)这两个三角形是相似的，相似三角形面积之比等于相似比的平方，所以只要求出边之比即可．以圆半径为中间媒介即可计算出两边之比．解：(1)如图所示．(2)连接OD ，设⊙O 半径为r .在△ABE 和△DCE 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠BAE ＝∠CDE ，∠AEB ＝∠DEC ， ∴△ABE ∽△DCE . ∵AC 是⊙O 的直经，∴∠ABC ＝90°.在Rt △ABC 中，∠ABC ＝90°，∠ACB ＝30°，∴AB ＝12AC ＝r . ∵BD 平分∠ABC ，∴∠ABD ＝∠ACD ＝45°，∴∠DOC ＝90°.在Rt △ODC 中，DC ＝OD 2＋OC 2＝2r ，∴S △ABE S △CDE ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫AB DC 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫r 2r 2＝12.。
中考数学 第一部分 基础知识过关 第六章 圆 第23讲 与圆有关的计算精练
第23讲与圆有关的计算A组基础题组一、选择题1.(2017广东广州)如图,圆锥的侧面展开图是一个圆心角为120°的扇形,若圆锥的底面圆半径是,则圆锥的母线长为( )A. B.2 C.3 D.52.(2018浙江衢州)如图,AB是圆锥的母线,BC为底面半径,已知BC=6 cm,圆锥的侧面积为15π cm2,则sin∠ABC的值为( )A. B. C. D.3.(2017临沂)如图,AB是☉O的直径,BT是☉O的切线,若∠ATB=45°,AB=2,则阴影部分的面积是( )A.2B.-πC.1D.+π4.(2017甘肃兰州)如图,正方形ABCD内接于半径为2的☉O,则图中阴影部分的面积为( )A.π+1B.π+2C.π-1D.π-25.(2018四川绵阳)蒙古包可近似地看作由圆锥和圆柱组成,若用毛毡搭建一个底面圆面积为25π m2,圆柱高为3 m,圆锥高为2 m的蒙古包,则需要毛毡的面积是( )A.(30+5)π m2B.40π m2C.(30+5)π m2D.55π m26.(2018东营)如图所示,圆柱的高AB=3,底面直径BC=3,现在有一只蚂蚁想要从A处沿圆柱表面爬到对角C处捕食,则它爬行的最短距离是( )A.3B.3C. D.37.如图,AB为半圆的直径,且AB=4,半圆绕点B顺时针旋转45°,点A旋转到A'的位置,则图中阴影部分的面积为( )A.πB.2πC.3πD.4π二、填空题8.一块等边三角形的木板边长为1,将木板沿水平翻滚如图所示,那么B点从开始到结束所经过的路线长为.9.(2017湖南永州)如图,这是某同学用纸板做成的一个底面直径为10 cm,高为12 cm的无底圆锥形玩具(接缝忽略不计),则做这个玩具所需纸板的面积是cm2(结果保留π).10.(2018甘肃兰州)如图,△ABC的外接圆圆O的半径为3,∠ACB=55°,则劣弧的长是.(结果保留π)11.(2017烟台)如图1,将一圆形纸片向右、向上两次对折后得到如图2所示的扇形AOB.已知OA=6,取OA的中点C,过点C作CD⊥OA交于点D,点F是上一点.若将扇形BOD沿OD翻折,点B恰好与点F重合,用剪刀沿着线段BD,DF,FA依次剪下,则剪下的纸片(形状同阴影图形)面积之和为.三、解答题12.(2018湖南衡阳)如图,☉O是△ABC的外接圆,AB为直径,∠BAC的平分线交☉O于点D,过点D作DE⊥AC分别交AC、AB的延长线于点E、F.(1)求证:EF是☉O的切线;(2)若AC=4,CE=2,求的长.(结果保留π)B组提升题组一、选择题1.若圆锥的轴截面为等边三角形,则称此圆锥为正圆锥,则正圆锥的侧面展开图的圆心角是( )A.90°B.120°C.150°D.180°2.(2018山西)如图,正方形ABCD内接于☉O,☉O的半径为2,以点A为圆心,AC长为半径画弧交AB、AD的延长线于点E、F,则图中阴影部分的面积为( )A.4π-4B.4π-8C.8π-4D.8π-8二、填空题3.(2018广东)如图,矩形ABCD中,BC=4,CD=2,以AD为直径的半圆O与BC相切于E,连接BD,则阴影部分的面积为.(结果保留π)4.(2017盘锦)如图,☉O的半径OA=3,OA的垂直平分线交☉O于B,C两点,连接OB,OC,用小扇形OBC围成一个圆锥的侧面,则这个圆锥的高为.5.(2017德州)某景区修建一栋复古建筑,其窗户设计如图所示.圆O的圆心与矩形ABCD对角线的交点重合,且圆与矩形上下两边相切(E为上切点),与左右两边相交(F,G为其中两个交点),图中阴影部分为不透光区域,其余部分为透光区域.已知圆的半径为1 m,根据设计要求,若∠EOF=45°,则此窗户的透光率(透光区域与矩形窗面的面积的比值)为.6.(2017江苏无锡)如图,已知矩形ABCD中,AB=3,AD=2,分别以边AD,BC为直径在矩形ABCD 的内部作半圆O1和半圆O2,一平行于AB的直线EF与这两个半圆分别交于点E、点F,且EF=2(EF与AB在圆O1和O2的同侧),则由,EF,,AB所围成图形(图中阴影部分)的面积等于.三、解答题7.已知,圆锥底面半径为10 cm,高为10 cm.(1)求圆锥的表面积;(2)若一只蚂蚁从底面一点A出发绕圆锥一周回到SA上一点M处,且SM=3AM,求它所走的最短距离.第23讲与圆有关的计算A组基础题组一、选择题1.C 圆锥的侧面展开图是扇形,且扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长,扇形的半径长等于圆锥的母线长,即=2π×,解得l=3.故选C.2.C 设圆锥的母线长为R cm,由题意得15π=π×3×R,解得R=5.即AB=5 cm,又BO=BC=3 cm,∴AO=4 cm,∴sin∠ABC==,故选C.3.C 设AT交☉O于D,连接BD.∵AB是☉O的直径,∴∠ADB=90°,而∠ATB=45°,BT是☉O的切线,∴△ADB,△BDT都是等腰直角三角形,∴AD=BD=TD=AB=,∴弓形AD的面积等于弓形BD的面积,∴阴影部分的面积=S△BTD=××=1.故选C.4.D 连接AC,OD,则AC=4,∴正方形ABCD的边长为2,∴正方形ABCD的面积为8.由题意可知,☉O的面积为4π.根据图形的对称性,知S阴影=-S△OAD=π-2.故选D.5.A ∵圆柱和圆锥的底面积为25π m2,∴圆柱和圆锥的底面半径为5 m.∵圆锥的高为2 m,∴圆锥的母线长为 m,∴毛毡的面积=圆柱的侧面积+圆锥的侧面积=2π×5×3+π×5×=30π+5π=(30+5)π(m2),故选A.6.C 圆柱的侧面展开图如下,由题意可知AB=3,BB'=3π,∴AC====.故选C.7.B 根据题意可得出阴影部分的面积等于扇形ABA'的面积加上半圆面积再减去半圆面积,即S阴影=S扇形ABA'+S半圆-S半圆=S扇形ABA'==2π.故选B.二、填空题8.答案π解析∵△ABC是等边三角形,∴∠ACB=∠BAC=60°,∴两次旋转的角度都是180°-60°=120°,∴B点从开始到结束所经过的路线长=2×=π.9.答案65π解析PB==13(cm).做这个玩具所需纸板的面积等于展开后扇形的面积,S=×10π×13=65π.10.答案解析根据圆周角定理可得∠AOB=2∠ACB,∵∠ACB=55°,∴∠AOB=110°,所以劣弧的长为=.11.答案36π-108解析如图,∵CD⊥OA,∴∠DCO=∠AOB=90°,∵OA=OD=OB=6,OC=OA=OD,∴∠ODC=∠BOD=30°.作DE⊥OB于点E,则DE=OD=3,∴S弓形BD=S扇形BOD-S△BOD=-×6×3=3π-9,则剪下的纸片面积之和为4×3×(3π-9)=36π-108.三、解答题12.解析(1)证明:如图,连接OD,交BC于点P,∵OA=OD,∴∠OAD=∠ODA,∵AD平分∠EAF,∴∠DAE=∠OAD,∴∠DAE=∠ODA,∴OD∥AE,∵AE⊥EF,易知OD为☉O的半径,∴OD⊥EF,易知OD为☉O的半径,∴EF是☉O的切线.(2)∵AB是☉O的直径,∴∠ACB=90°,又∵∠E=∠PDE=90°,∴四边形CEDP是矩形,∴PD=CE=2.又∵OD∥AE,点O是AB的中点,∴OP是△ACB的中位线,∴OP=AC=×4=2,∴OD=OB=2+2=4.在Rt△OPB中,OP=2,OB=4,∴∠POB=60°,∴的长==π.B组提升题组一、选择题1.D 设正圆锥的底面半径是r,则母线长是2r,底面周长是2πr.设正圆锥的侧面展开图的圆心角是n°,则=2πr,解得n=180.故选D.2.A ∵四边形ABCD为正方形,∴∠BAD=90°,因为圆和正方形是中心对称图形,∴S阴影=S扇形AEF-S△ABD=-=-=4π-4,故选A.二、填空题3.答案π解析连接OE.阴影部分的面积=S△BCD-(S正方形OECD-S扇形OED)=×2×4-=π.4.答案2解析连接AB,AC.∵BC为OA的垂直平分线,∴OB=AB,OC=AC,∴OB=AB=OA,OC=OA=AC,∴△OAB和△AOC都是等边三角形,∴∠BOA=∠AOC=60°,∴∠BOC=120°,设圆锥的底面半径为r,则2πr=,解得r=1,∴这个圆锥的高为=2.5.答案解析设☉O与矩形ABCD的另一个切点为M, 连接OM,OG,则M,O,E共线.由题意得∠MOG=∠EOF=45°,∴∠FOG=90°,且OF=OG=1 m,∴S透明区域=+2××1×1=+1(m2).过O作ON⊥AD于N,∴ON=FG=,∴AB=2ON=2×=,∴S矩形=2×=2,∴==.6.答案3--解析如图,连接AE,BF,延长FE交AD于G,则EG⊥AD.∵AB=3,EF=2,∴EG=.∵AD=2,∴O1A=O1E=1.∴∠AO1E=30°.∴O1G=.∴AG=1-=.∵弓形AE的面积=扇形AO1E的面积-△O1AE的面积=-O1A·EG=-×1×=-,∴图中阴影部分的面积=梯形AEFB的面积-2×弓形AE的面积=(EF+AB)·AG-2×=×(2+3)×-+=×-+=+-=3--.三、解答题7.解析(1)圆锥的母线长SA===40(cm),圆锥侧面展开图扇形的弧长l=2π×OA=2π×10=20π(cm),∴S侧=l×SA=×20π×40=400π(cm2),又S底=π×OA2=π×102=100π(cm2),∴S表=S底+S侧=500π(cm2).(2)沿母线SA将圆锥的侧面展开,得圆锥的侧面展开图,则线段AM的长就是蚂蚁所走的最短距离,由(1)知SA=40(cm),弧AA'的长=20π(cm), ∠ASA'=90°.又SA'=SA=40(cm),SM=3A'M,∴SM=SA'=30(cm),∴在Rt△ASM中,AM===50(cm),∴蚂蚁所走的最短距离是50 cm.。
近年中考数学 第一部分 知识梳理 第六单元 圆 第23课时 与圆有关的计算试题(2021年整理)
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第六单元圆第23课时与圆有关的计算湖南3年中考(2014~2016）命题点1 扇形的有关计算1．（2016岳阳11题4分)在半径为6 cm的圆中，120°的圆心角所对的弧长是________cm．2．（2016怀化11题4分）已知扇形的半径为 6 cm,面积为10π cm2,则该扇形的弧长等于________．3．（2016邵阳18题3分)如图所示，在3×3的方格纸中，每个小方格都是边长为1的正方形，点O、A、B均为格点，则扇形OAB的面积大小是________．第3题图命题点2 圆锥的有关计算4．(2016衡阳17题3分）若圆锥底面圆的周长为8π，侧面展开图的圆心角为90°，则该圆锥的母线长为________．5．（2015湘潭16题3分）小华为参加毕业晚会演出,准备制一顶圆锥形彩色纸帽，如图所示，如果纸帽的底面半径为8 cm，母线长为25 cm，那么制作这顶纸帽至少需要彩色纸板的面积为________cm2．（结果保留π）第5题图第6题图命题点3 正多边形与圆6．（2016株洲14题3分）如图，正六边形ABCDEF内接于半径为3的圆O，则劣弧AB的长度是________．命题点4 阴影部分面积的计算7．(2016常德14题3分）如图，△ABC是⊙O的内接正三角形,⊙O的半径为3,则图中阴影部分的面积是________．第7题图8．（2014怀化22题10分）如图，E是长方形ABCD的边AB上的点，EF⊥DE交BC于点F．（1）求证:△ADE∽△BEF；（2）设H是ED上一点，以EH为直径作⊙O，DF与⊙O相切于点G．若DH＝OH＝3，求图中阴影部分的面积（结果精确到小数点后面第一位，3≈1。
中考数学系统复习第六单元圆第23讲圆的基本性质8年真题训练练习
第六单元 圆第23讲 圆的基本性质命题点1 垂径定理1．(T5·2分)如图,CD 是⊙O 的直径,AB 是弦(不是直径),AB ⊥CD 于点E ,则下列结论正确的是(D)A ．AE >BE B.AD ︵＝BC ︵ C ．∠D ＝12∠AECD ．△ADE ∽△CBE命题点2 圆周角定理2．(2011·T16·3分)如图,点O 为优弧AB ︵所在圆的圆心,∠AOC ＝108°,点D 在AB 的延长线上,BD ＝BC ,则∠D ＝27°．重难点1 垂径定理及其应用已知AB 是半径为5的⊙O 的直径,E 是AB 上一点,且BE ＝2. (1)如图1,过点E 作直线CD⊥AB ,交⊙O 于C,D 两点,则CD ＝8；图1 图2 图3 图4探究：如图2,连接AD,过点O 作OF⊥AD 于点F,则OF ＝5 (2)过点E 作直线CD 交⊙O 于C,D 两点．①若∠AED＝30°,如图3,则CD ＝91； ②若∠AED＝45°,如图4,则CD ＝82．【思路点拨】 由于CD 是⊙O 的弦,因此利用圆心到弦的距离(有时需先作弦心距),再利用垂径定理,结合勾股定理,求出弦的一半,再求弦．【变式训练1】 (襄阳)如图,点A,B,C,D 都在半径为2的⊙O 上．若OA⊥BC ,∠CDA＝30°,则弦BC 的长为(D )A ．4B ．2 2C . 3D ．2 3【变式训练2】 【分类讨论思想】(孝感)已知⊙O 的半径为10 cm ,AB,CD 是⊙O 的两条弦,AB∥CD ,AB ＝16 cm ,CD ＝12 cm ,则弦AB 和CD 之间的距离是2__cm 或14__cm ． 方法指导1．垂径定理两个条件是过圆心、垂直于弦的直线,三个结论是平分弦,平分弦所对的优弧与劣弧．2．圆中有关弦的证明与计算,通过作弦心距,利用垂径定理,可把与圆相关的三个量,即圆的半径,圆中一条弦的一半,弦心距构成一个直角三角形,从而利用勾股定理,实现求解．3．事实上,过点E 任作一条弦,只要确定弦与AB 的交角,就可以利用垂径定理和解直角三角形求得这条弦长．重难点2 圆周角定理及其推论已知⊙O 是△ABC 的外接圆,且半径为4. (1)如图1,若∠A＝30°,求BC 的长； (2)如图2,若∠A＝45°： ①求BC 的长；②若点C 是AB ︵的中点,求AB 的长； (3)如图3,若∠A＝135°,求BC 的长．图1 图2 图3【思路点拨】 连接OB,OC,利用同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍,构建可解的等腰三角形求解． 【自主解答】 解：(1)连接OB,OC.∵∠BOC＝2∠A＝60°,OB ＝OC,∴△OBC 是等边三角形． ∴BC＝OB ＝4. (2)①连接OB,OC.∵∠BOC＝2∠A＝90°,OB ＝OC,∴△OBC 是等腰直角三角形． ∵OB＝OC ＝4,∴BC＝4 2.②∵点C 是AB ︵的中点,∴∠ABC＝∠A＝45°. ∴∠ACB＝90°.∴AB 是⊙O 的直径．∴AB＝8. (3)在优弧BC ︵上任取一点D,连接BD,CD,连接BO,CO. ∵∠A＝135°,∴∠D＝45°.∴∠BOC＝2∠D＝90°.∵OB ＝OC ＝4,∴BC＝4 2.【变式训练3】 (南充)如图,BC 是⊙O 的直径,A 是⊙O 上的一点,∠OA C ＝32°,则∠B 的度数是(A )A ．58°B ．60°C ．64°D ．68°【变式训练4】 (秦皇岛海港区一模)将量角器按如图所示的方式放置在三角形纸板上,使点C 在半圆上．点A,B 的读数分别为88°,30°,则∠ACB 的大小为(C )A ．15°B ．28°C ．29°D ．34°方法指导1．在圆中由已知角求未知角,同(等)弧所对的圆心角和圆周角的关系是一个重要途径,其关键是找到同一条弧． 2．弦的求解可以通过连接圆心与弦的两个端点,构建等腰三角形来解决． 3．一条弦所对的两种圆周角互补,即圆内接四边形的对角互补．模型建立在半径已知的圆内接三角形中,若已知三角形一内角,可以求得此角所对的边． 易错提示注意同弧所对的圆心角是圆周角的2倍,避免把数量关系弄颠倒．重难点3 圆内接四边形(2017·潍坊)如图,四边形ABCD 为⊙O 的内接四边形．延长AB 与DC 相交于点G,AO⊥CD ,垂足为E,连接BD,∠GBC＝50°,则∠DBC 的度数为(C )A ．50°B ．60°C ．80°D ．90°【思路点拨】 延长AE 交⊙O 于点M,由垂径定理可得CD ︵＝2DM ︵,所以∠CBD＝2∠EAD.由圆内接四边形的对角互补,可推得∠ADE＝∠GBC ,而∠ADE 与∠EAD 互余,由此得解．【变式训练5】 (邵阳)如图所示,四边形ABCD 为⊙O 的内接四边形,∠BCD＝120°,则∠BOD 的大小是(B )A ．80°B ．120°C ．100°D ．90°【变式训练6】 (曲靖)如图,四边形ABCD 内接于⊙O ,E 为BC 延长线上一点．若∠A＝n°,则∠DCE＝n°方法指导1．找圆内角(圆周角,圆心角)和圆外角(顶角在圆外,两边也在圆外或顶点在圆上,一边在圆内,另一边在圆外)的数量关系时,常常会用到圆内接四边形的对角互补和三角形外角的性质．2．在同圆或等圆中,如果一条弧等于另一条弧的两倍,则较大弧所对的圆周角是较小弧所对圆周角的两倍．Ｋ1．如图,在⊙O 中,如果AB ︵＝2AC ︵,那么(C)A ．AB ＝AC B ．AB ＝2AC C ．AB ＜2ACD ．AB ＞2AC2．(邯郸模拟)如图,在半径为4的⊙O 中,弦AB∥OC ,∠BOC＝30°,则AB 的长为(D )A ．2B ．2 3C ．4D ．4 33．(2017·承德模拟)如图,在平面直角坐标系中,⊙O′经过原点O,并且分别与x 轴、y 轴交于点B,C,分别作O′E⊥OC 于点E,O ′D⊥OB 于点D.若OB ＝8,OC ＝6,则⊙O′的半径为(C )A ．7B ．6C ．5D ．44．(聊城)如图,在⊙O 中,弦BC 与半径OA 相交于点D,连接AB,OC.若∠A＝60°,∠ADC＝85°,则∠C 的度数是(D )A ．25°B ．27.5°C ．30°D ．35°5．(陕西)如图,△ABC 是⊙O 的内接三角形,AB ＝AC,∠BCA＝65°,作CD∥AB ,并与⊙O 相交于点D,连接BD,则∠DBC 的大小为(A )A ．15°B ．35°C ．25°D ．45°6．(模拟)如图,分别延长圆内接四边形ABDE 的两组对边,延长线相交于点F,C.若∠F＝27°,∠A＝53°,则∠C 的度数为(C )A ．30°B ．43°C ．47°D ．53°7．(玉林)如图,小华为了求出一个圆盘的半径,他用所学的知识,将一宽度为2 cm 的刻度尺的一边与圆盘相切,另一边与圆盘边缘两个交点处的读数分别是“4”和“16”(单位：cm ),请你帮小华算出圆盘的半径是10cm .8．(2017·临沂)如图,∠BAC 的平分线交△ABC 的外接圆于点D,∠ABC 的平分线交AD 于点E.(1)求证：DE ＝DB ；(2)若∠BAC＝90°,BD ＝4,求△ABC 外接圆的半径．解：(1)证明：∵AD 平分∠BAC ,BE 平分∠ABC , ∴∠BAE＝∠CAD ,∠ABE＝∠CBE. ∴BD ︵＝CD ︵.∴∠DBC＝∠BAE.∵∠DBE＝∠CBE＋∠DBC ,∠DEB＝∠ABE＋∠BAE, ∴∠DBE＝∠DEB. ∴DE＝DB. (2)连接CD.∵BD ︵＝CD ︵,∴CD＝BD ＝4. ∵∠BAC＝90°,∴BC 是直径． ∴∠BDC＝90°.∴BC＝BD 2＋CD 2＝4 2.∴△ABC 外接圆的半径为2 2.9．(遵义)如图,四边形ABCD 中,AD∥BC ,∠ABC＝90°,AB ＝5,BC ＝10,连接AC,BD,以BD 为直径的圆交AC 于点E.若DE ＝3,则AD 的长为(D )A ．5B ．4C ．3 5D ．2 5提示：过点D 作DF⊥AC 于点F,利用△ADF∽△CAB ,△DEF∽△DBA 可求解．10．(宜宾)如图,AB 是半圆的直径,AC 是一条弦,D 是AC ︵的中点,DE⊥AB 于点E,且DE 交AC 于点F,DB 交AC 于点G.若EF AE ＝34,则CG GB ＝55．11．(金华)如图1是小明制作的一副弓箭,点A,D 分别是弓臂BAC 与弓弦BC 的中点,弓弦BC ＝60 cm .沿AD 方向拉动弓弦的过程中,假设弓臂BAC 始终保持圆弧形,弓弦不伸长．如图2,当弓箭从自然状态的点D 拉到点D 1时,有AD 1＝30 cm ,∠B 1D 1C 1＝120°.(1)图2中,弓臂两端B 1,C 1的距离为303cm ；(2)如图3,将弓箭继续拉到点D 2,使弓臂B 2AC 2为半圆,则D 1D 2的长为(105－10)cm .12．如图所示,AB 为⊙O 的直径,CD 为弦,且CD⊥AB ,垂足为H.(1)如果⊙O 的半径为4,CD ＝43,求∠BAC 的度数； (2)若点E 为ADB ︵的中点,连接OE,CE.求证：CE 平分∠OCD；(3)在(1)的条件下,圆周上到直线AC 的距离为3的点有多少个？并说明理由．解：(1)∵AB 为⊙O 的直径,CD⊥AB ,∴CH＝12CD ＝2 3.在Rt △COH 中,sin ∠COH＝CH OC ＝32,∴∠COH＝60°.∴∠BAC＝12∠COH＝30°.(2)证明：∵点E 是ADB ︵的中点,∴OE⊥AB. 又∵CD⊥AB ,∴OE∥CD.∴∠ECD＝∠OEC. 又∵OE＝OC,∴∠OEC＝∠OCE. ∴∠OCE＝∠DCE ,即CE 平分∠OCD.(3)圆周上到直线AC 的距离为3的点有2个．因为AC ︵上的点到直线AC 的最大距离为2,ADC ︵上的点到直线AC 的最大距离为6,2＜3＜6,根据圆的轴对称性,ADC ︵到直线AC 的距离为3的点有2个．。
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∴DM＝5a.
∴DF＝BF＝6a.∴ AB＝AF＋BF＝8a.
在Rt△ABC中，∠B＝30°，∠ACB＝90°，∴AC＝4a.
∴AE＝EF＝AF＝CE＝2a.∴∠ECF＝∠EFC.
∵∠AEF＝∠ECF＋∠EFC＝60°，∴∠CFE＝30°.
∴∠AFC＝∠AFE＋∠EFC＝60°＋30°＝90°，
即CF⊥AB.
9．(2016·石家庄四十二中学模拟)如图，将半径为8的⊙O沿AB折叠， 恰好经过与AB垂直的半径OC的中点D，则折痕AB的长为( D )
A．2 B．10 C．8 D．4
10．(2016·邯郸模拟)如图，点P是等边△ABC外接圆⊙O上一点，在以下判断中 ：①PB平分∠APC；②当弦PB最长时，△APC是等腰三角形；③若△APC是直角三角形时，则PA⊥AC；④当∠ACP＝30°时，△BPC是直角三角形．其中正确的有( D )
(1)如图1，当PQ∥AB时，求PQ的长度；
(2)如图2，当点P在BC上移动时，求PQ长的最大值．
图1图2
解：(1)连 接OQ.
∵PQ∥AB，OP⊥PQ，∴OP⊥AB.
∵在Rt△OBP中，tanB＝ ，∴OP＝3tan30°＝ .
∵在Rt△OPQ中，OP＝ ，OQ＝3，∴PQ＝ .
(2)连接OQ.
在Rt△OPQ中，PQ＝ ＝ ，当OP的长最小时，PQ的长最大，此时OP⊥BC，则OP＝ OB＝ ，
又由(1)知∠EDC＝∠B，且∠C＝∠C，
∴△EDC∽△ABC.
∴ ＝ ，即 ＝ .∴DC＝ .
8．(2016·株洲)已知AB是半径为1的⊙O直径，C是圆上一点，D是BC延长线上一点，过点D的直线交AC于E点，且△AEF为等边三角形．
(1)求证：△DFB是等腰三角形；
(2)若DA＝ AF，求证：CF⊥AB.
3．(2016·自贡)如图，⊙O中，弦AB与CD交于点M，∠A＝45°，∠AMD＝75°，则∠B的度数是( C )
A．15°B．25°C．30° D．75°
4．(2016·聊城)如图，四边形ABCD内接于⊙O，F是 上一点，且 ＝ ，连接CF并延长交AD的延长线于点E，连接AC.若∠ABC＝105°，∠BAC＝25° ，则∠E的度数为( B )
解：(1)证明：∵AB是⊙O直径，
∴∠ACB＝90°.
∵△AEF为等边三角形，
∴∠CAB＝∠EFA＝60°.
∴∠B＝30°.
∵∠EFA＝∠B＋∠FDB，
∴ ∠B＝∠FDB＝30°.
∴△DFB是等腰三角形．
(2)过点A作AM⊥DF于点M，设AF＝2a.
∵△AEF是等边三角形，∴FM＝EM＝a，AM＝ a.
第六单元 圆
第23讲 圆的基本性质
1．(2016·黄石)如图所示，⊙O的半径为13，弦AB的长度是24，ON⊥AB，垂足为N，则ON＝( A )
A．5 B．7 C ．9 D．11
2．(2016·兰州)如图，在⊙O中，若点C是 的中点，∠A＝50°，则∠BOC＝( A )
A．40°B．45°C．50°D．60°
A．①②③B．①③④ C．②③④D．①②④
11．如图，以△ABC的一边AB为直径的半圆与其他两边AC，BC的交点分别为D，E，且 ＝ .
(1)试判断△ABC的形状，并说明理由；
(2)已知半圆的半径为5，BC＝12，求sin∠AB D的值．
解：(1)△ABC为等腰三角形．理由如下：连接AE.
∵AB为直径，
(1)求证：AB＝AC；
(2)若AB＝4，BC＝2 ，求CD的长．
解：(1)证明：∵ED＝EC，
∴∠EDC＝∠C.
∵∠B＋∠ADE＝180°，
∠ADE＋∠EDC＝180°，
∴∠EDC＝∠B.
∴∠B＝∠C.∴AB＝AC.
(2)连接AE.
∵AB为直径，∴AE⊥BC.
由(1)知AB＝AC，∴BE＝CE＝ BC＝ .
A．45°B．50°C．55°D．60°
5．(2016·南京)如图，扇形OAB的圆心角为122°，C是 上一点，则∠ACB＝119°．
6．(2016·贵阳)如图，已知⊙O的半径为6 cm，弦AB的长为8 cm，P是AB延长线上一点，BP＝2 cm，则tan∠OPA的值是 ．
7．(2016·宁夏)如图，已知△ABC，以AB为直径的⊙O分别交AC于点D，交BC于点E，连接ED ，若ED＝EC.
∴PQ长的最大值为 ＝ .
又∵∠C＝∠C，∴△CDE∽△CBA.∴ ＝ .
∵BC＝12，半径为5，由(1)得AC＝AB＝10，CE＝6，
∴ ＝ ，即CD＝7.2.
∴AD＝AC－CD＝2.8，sin∠ABD＝ ＝ ＝ .
12．(2016·安徽模拟)在⊙O中，直径AB＝6，BC是弦，∠ABC＝30°，点P在BC上，点Q在⊙O上，且OP⊥PQ.
∴∠ADB＝∠AEB＝90°，∠C＋∠DBC＝90°，∠CDE＋∠EDB＝90°.
又∵ ＝ ，∴∠EDB＝∠
∴DE＝BE，CE＝BE.∴AE垂直平分BC.
∴AC＝AB，即△ABC为等腰三角形．
(2)∵∠ADE＋∠ABE＝180°，∠CDE＋∠ADE＝180°，∴∠CDE＝∠CBA.