高中数学知识点平面几何与立体几何知识点-精品

双曲线的渐近线为
高中数学知识点
圆锥曲线
【知识概要】
●1．圆锥曲线的概念、标准方程与几何性质
椭圆
双曲线
抛物线
与两个定点 F1 ，F2 的距
与两个定点 F1 ，F2 的距
离
离
与一个定点 F 和一条定直线 l 的距
定
(2c) 之 和等 于常 数 (2a) 的 (2c) 之 差 的 绝 对 值 等 于 常
义
离相等 (F l) 的点的轨迹。
l1 / /l2 k1 k2 且 b1 b2 ； l1 l2 k1k2 1。
（2）设两条直线 l1:A1x B1y C1 0 (A1, B1 不全为 0) 和 l2:A2x B2 y C2 0 (A2, B2 ， 不全为 0)，则有下列结论：
l1 / /l2 A1B2 A2B1 0 且 B1C2 B2C1 0 或 A1B2 A2B1 0 且 A1C2 A2C1 0 ；
mx2 ny2 1 (m 0, n 0, m n) ，双曲线的标准方程可以统一设成 mx2 ny2 1 (mn 0) 。
●3．椭圆和双曲线的离心率是反映椭圆的扁平程度以及双曲线开口大小的一
个量，其取值范围分别是 0 e 1 和 e 1．
椭圆的离心率 e
与c
、
a
（2）圆的一般方程： x2 y2 Dx Ey F 0 (D2 E2 4F 0) ，
其中圆心为 ( D , E ) ，半径 r 1 D2 E 2 4F 。
22
2
圆的方程的确定：数形结合是常用的方法，结合圆所具有的平面几何性质常 能使解题过程简化；待定系数法也是求圆的方程常用的方法。
① 几何法：若已知圆心坐标或半径，用标准式方程，求 a, b, r ；
② 代数法：若已知圆上三个点的坐标，用一般式求 D, E, F 。
●2．直线与圆、圆与圆的位置关系 （1）直线与圆的位置关系
设直线 l ： Ax By C 0 和圆 C ： (x a)2 (y b)2 r 2 ，圆心 (a, b) 到直线 l 的距
P1(x1,
y1)
到直线
Ax
By C
0
的距离为：
d
|
Ax1 By1 C| A2 B2
。
设平面两条平行线 l1:Ax By C 0,l2:Ax By D 0,C D ，
则l1与l2的距离为 d
CD 。
A2 B2
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二、圆 ●1．圆的方程
（1）圆的标准方程： (x a)2 (y b)2 r 2 (r 0) ，其中圆心为 (a, b) ，半径为 r。
、b
的关系： e2

c2 a2

a2 b2 a2
1
(
b a
)2
；
双曲线的离心率 e
与c
、
a
、b
的关系： e2

c2 a2

a2 b2 a2
1
(
b a
)2
。
●4．双曲线的特殊性质
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（1）等轴双曲线：双曲线 x2 y2 a2 称为等轴双曲线，其渐近线方程为
y x ，离心率 e 2 。
x x1 x2 , y y1 y2 。
2
2
●4．两点间的距离公式：
平 面 内 两 点 P1(x1, y1) ， P2(x2, y2) ， 则 P1, P2 两 点 间 的 距 离 为 ：
P1P2 (x1 x2)2 (y1 y2)2 。
●5．点到直线的距离公式：
平面内点
y
形
F2
O
x
P F1
②焦点在 y 轴上
y F2
O P
F1
OF
x
l
FO
x
l
③焦点在 y 轴上，开口向上： x2 2 py
④焦点在 y 轴上，开口向下：x2 2 py
x
③
y
④y
P
F
O
x
O x
F P
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椭圆
双曲线
抛物线
焦
① (c, 0)
点
② (0, c)
焦Байду номын сангаас在 x 轴上：
顶
(a, 0) ， (0, b)
c
②焦点在 y 轴上： y a2
c
2
②焦点在 x 轴上，开口向左准线：
x p 2
渐
①焦点在 x 轴上： y b x ③ 焦 点 在 y 轴 上 ， 开 口 向 上 准 线 ：
近
a y p
线
②焦点在 y 轴上：y a x
b
2
④焦点在 y 轴上，开口向下准线：
y p 2
到定点 F 的距离与到定直线 l (F l) 的距离之比等于定值 e 的点的集合． 0 e 1 时，轨迹是椭
②代数方法：设直线 y kx m 与圆 C ：C:(x a)2 (y b)2 r 2 相交于 A、B 两点，
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将直线方程与圆的方程联立后，整理出关于 x 的方程，求出 x1 x2 ， x1x2 ， 则 AB (1k 2)[(x1 x2)2 4x1x2] 。（整体运算）
（2）共轭双曲线：以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线，叫做
已知双曲线的共轭双曲线。 x2 y2 与 x2 y2 互为共轭双曲线，它们具有
a2 b2
a2 b2
共同的渐近线：
x2 a2

y2 b2

0
。
（3）渐近线是双曲线的特有标致，它反映了双曲线的变化范围和趋势。如果
（5）过两条已知直线 A1x B1y C1 0, A2x B2 y C2 0 交点的直线系：
A1x B1y C1 (A2x B2 y C2 ) 0(其中不包括直线A2x B2 y C2 0)
●3．中点公式：
平 面 内 两 点 P1(x1, y1) 、 P2(x2, y2) ， 则 P1, P2 两 点 的 中 点 P(x, y) 为
c2 a2 b2 ( a 0,b 0 )
p 为焦点到准线的距离
离
心
e c 1
e c 1
e 1
a
a
率
①焦点在 x 轴上： x a2 ①焦点在 x 轴上： x a2 ① 焦 点 在 x 轴 上 ， 开 口 向 右 准 线 ：
准
c
c x p
线
②焦点在 y 轴上： y a2
名称
条件
方程形式
不能表示的直线
特殊情况
点斜式
直线 l 的斜率为 k ， 且经过点 P(x1, y1)
k 0 时，
y y1 k(x x1)
不能表示垂直于 x 轴
的直线
方程为 y y1
直线 l 的斜率为 k ， 斜截式
在 y 轴上的截距为 b
y kx b
不能表示垂直于 x 轴 k 0 时 y b 的直线
A2 B2
③相离 d Aa BbC r(几何法）或 0 。（代数法）
A2 B2
（2）圆与圆的位置关系
设两圆圆心分别为 O1, O2 ，半径分别为 r1, r2 ，则：
①两圆相交 |r1 r2 |O1O2 r1 r2 ；②两圆外切 O1O2 r1 r2 ；
点 焦点在 y 轴上：
(0, a) ， (b, 0)
① (c, 0) ② (0, c)
焦点在 x 轴上： (a, 0) 焦点在 y 轴上： (0, a)
① ( p , 0) ；② ( p , 0)
2
2
③ (0, p) ；④ (0, p)
2
2
(0, 0)
关
系
c2 a2 b2 ( a b 0 )
③焦点在 y 轴上，开口向上： x2 2 py ④焦点在 y 轴上，开口向下：x2 2 py
①焦点在 x 轴上
y
P
F1 O
F2
①焦点在 x 轴上
y P
x
F1 O
F2
①焦点在 x 轴上，开口向右: y2 2 px
②焦点在 x 轴上，开口向左：y2 2 px
①y
x P
②
y P
图 ②焦点在 y 轴上
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直线与圆的方程
【知识概要】
一、直线
●1．直线的方程 （1）直线 l 的倾斜角 的取值范围是 0 ；平面内的任意一条直线都有 唯一确定的倾斜角。
（2）直线
l
的斜率
k

tan
(0




,
且

2
）。
变化情况如下：
倾斜角
斜率 k
变化关系

(0,
2
)
( , ) 2
离为 d ，则 d | Aa BbC| 。
A2 B2
①相交 d Aa BbC r(几何法）或直线与圆的方程组成的方程组，消去 y
A2 B2
或 x 转化为一元二次方程，其判别式 0 ；（代数法） ②相切 d Aa BbC ＝r(几何法）或 0 ；（代数法）
统一 定义 圆；
e 1时，轨迹是双曲线， e 1时，轨迹是抛物线。 (注:焦点要与对应准线配对使用)
●2．椭圆与双曲线的定义反映了它们的图形特点，是画图的依椐和基础，而 定义中的定值是求标准方程的基础。在许多实际问题中正确使用这一定义可以使 问题的解决更加灵活。另外当焦点位置不确定时，椭圆的标准方程可以统一设成