二次函数y=a2+k的图象和性质
华师大版数学九年级下册《二次函数y=a2的图象与性质》说课稿
华师大版数学九年级下册《二次函数y=a2的图象与性质》说课稿一. 教材分析华师大版数学九年级下册《二次函数y=a2的图象与性质》这一节，是在学生已经掌握了函数的概念、一次函数和二次函数的一般形式的基础上进行学习的。
本节课主要让学生了解二次函数y=a2的图象特征，掌握二次函数的性质，并能运用二次函数的性质解决一些实际问题。
教材通过例题和练习题的形式，帮助学生理解和掌握二次函数的图象与性质。
二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的函数知识，对一次函数和二次函数的一般形式有一定的了解。
但在学习本节课时，学生可能对二次函数的图象与性质的理解存在一定的困难，特别是对于二次函数的顶点式、对称轴等性质的理解。
因此，在教学过程中，我需要注重引导学生通过观察、分析、归纳等方法，自主探索和发现二次函数的性质，提高他们的数学思维能力。
三. 说教学目标1.知识与技能目标：让学生了解二次函数y=a^2的图象特征，掌握二次函数的性质，能够运用二次函数的性质解决一些实际问题。
2.过程与方法目标：通过观察、分析、归纳等方法，培养学生自主探索和发现二次函数的性质的能力，提高学生的数学思维能力。
3.情感态度与价值观目标：培养学生对数学的兴趣，增强学生对数学学科的学习自信心。
四. 说教学重难点1.教学重点：二次函数y=a^2的图象特征，二次函数的性质。
2.教学难点：二次函数的顶点式、对称轴等性质的理解和应用。
五. 说教学方法与手段在本节课的教学中，我将采用引导发现法、自主探究法、合作交流法等教学方法。
通过引导学生观察、分析、归纳等方法，自主探索和发现二次函数的性质。
同时，利用多媒体课件和数学软件，辅助学生直观地理解二次函数的图象与性质。
六. 说教学过程1.导入：通过复习一次函数和二次函数的一般形式，引导学生思考二次函数的图象与性质，为新课的学习做好铺垫。
2.探究二次函数的图象特征：让学生利用数学软件，绘制二次函数y=a^2的图象，观察和分析图象的形状、顶点、对称轴等特点，引导学生发现二次函数的图象特征。
武城县第四中学九年级数学上册第二十二章二次函数22.1二次函数的图象和性质22.1.3二次函数y＝a
3．如下图 , 直角∠AOB内的任意一点P到这个角的两边的距离之和为6 , 那么图中四边形的周长为( )
A
A．12 B．18 C．24 D．30
4．(教材P18〞随堂练习”变式)如下图 , 在▱ABCD中 , E , F分别是AB , CD的中点 , 连接AF , CE.连接AC , 当
CA＝CB时 , 判断四边形AECF是( )
休息时间到啦
同学们，下课休息十分钟。现在是休 息时间，你们休息一下眼睛，
看看远处，要保护好眼睛哦~站起来 动一动，久坐对身体不好哦~
16．(湘潭中考)如图，点 P 为抛物线 y＝14 x2 上一动点. (1)若抛物线 y＝14 x2 是由抛物线 y＝14 (x＋2)2－1 通过图象平移得到的， 请写出平移的过程；
4．如图是抛物线 y＝a(x＋1)2＋2 的一部分，
该抛物线在 y 轴右侧部分与 x 轴的交点坐标是(B )
1 A.(2
，0)
B．(1，0) C．(2，0) D．(3，0)
5．(新乡月考)二次函数y＝a(x－1)2＋k(a>0)中x , y的两组対应值如下表 :
x
－2
1
y
m
n
表中m , n的大小关系为n __<__m．(用〞<”连接)
8．(2019·哈尔滨)将抛物线y＝2x2向上平移3个单位长度 , 再向右平移2个单位长度 , 所得到的抛物线为(B ) A．y＝2(x＋2)2＋3 B．y＝2(x－2)2＋3 C．y＝2(x－2)2－3 D．y＝2(x＋2)2－3
9．(2019·凉山州)将抛物线y＝(,_2_)___.
(2)假设直线l经过y轴上一点N , 且平行于x轴 , 点N的坐标为(0 , －1) , 过点P作PM⊥l于M. ①问题探究 : 如下图① , 在対称轴上是否存在一定点F , 使得PM＝PF 恒成立 ？假设存在 , 求出点F的坐标 : 假设不存在 , 请说明理由． ②问题解决 : 如下图② , 假设点Q的坐标为(1 , 5) , 求QP＋PF的最小值．
九年级数学下第1章二次函数1.2二次函数的图像与性质第5课时二次函数y=a2+k的图象与性质习题湘教
解得 x＝－65或 2， ∴B(2，0)．
∵D(－1，1)， ∴BD2＝(2＋1)2＋(1－0)2＝10， CD2＝(0＋1)2＋(4－1)2＝10， BC2＝22＋42＝20， ∴BD2＋CD2＝BC2，且BD＝CD， ∴△BDC是等腰直角三角形．
(2)求tan ∠ABC. 解：令 x＝0，则 y＝13(0－4)2－3＝73，则 OC＝73. ∵二次函数图象的顶点坐标为(4，－3)，
∴点 B 与点 A 关于直线 x＝4 对称．
∴B 点坐标为(7，0)．∴OB＝7. 7
∴tan ∠ABC＝OOCB＝37＝13.
12．把二次函数 y＝a(x－h)2＋k 的图象先向左平移 2 个单位 长度，再向上平移 4 个单位长度，得到二次函数 y＝12(x ＋1)2－1 的图象．
探究培优 不习惯读书进修的人，常会自满于现状，觉得没有什么事情需要学习，于是他们不进则退2022年4月30日星期六2022/4/302022/4/302022/4/30
读书，永远不恨其晚。晚比永远不读强。2022年4月2022/4/302022/4/302022/4/304/30/2022 正确的略读可使人用很少的时间接触大量的文献，并挑选出有意义的部分。2022/4/302022/4/30April 30, 2022 书籍是屹立在时间的汪洋大海中的灯塔。
(1)当m＝5时，求n的值；
解：当 m＝5 时，y＝－12(x－5)2＋4， 当 x＝1 时，n＝－12×42＋4＝－4.
(2)当n＝2时，若点A在第一象限内，结合图象，求当y≥2 时，自变量x的取值范围；
解：当 n＝2 时，将 C(1，2)的坐标代入函数表达式 y＝－12(x－m)2＋4，得 2＝－12(1－m)2＋4， 解得 m＝3 或 m＝－1(舍去)， ∴此时抛物线的对称轴为 x＝3， 根据抛物线的对称性可知，当 y＝2 时，x＝1 或 x＝5， ∴x 的取值范围为 1≤x≤5.
九年级数学下第1章二次函数1.2二次函数的图像与性质第3课时二次函数y=a2的图象与性质习题湘教
(2)求出该抛物线与坐标轴的交点坐标．
解：由(1)可知抛物线的表达式为 y＝－(x－2)2. 当 y＝0 时，－(x－2)2＝0，解得 x1＝x2＝2， 所以抛物线与 x 轴的交点坐标为(2，0)． 当 x＝0 时，y＝－4，所以抛物线与 y 轴的交点坐标为(0，－4)．
17．如图，已知直线 l 经过 A(4，0)和 B(0，4)两点，抛物线 y＝ a(x－h)2 的顶点为 P(1，0)，直线 l 与抛物线的交点为 M，连 接 PM.
3．(1)当 a__＞____0 时，抛物线 y＝a(x－h)2 开口向上，若 x＜h(对 称轴左侧)，则函数值 y 随 x 的增大而减小；若 x＞h(对称轴 右侧)，则函数值 y 随 x 的增大而增大．
(2)当 a__＜____0 时，抛物线 y＝a(x－h)2 开口向下，若 x＜h(对称 轴左侧)，则函数值 y 随 x 的增大而增大；若 x＞h(对称轴右 侧)，则函数值 y 随 x 的增大而减小．
【点拨】A.y＝ax＋c 中，a＞0，c＞0，y＝a(x＋c)2 中，a＜0，c ＜0，故 A 错误；B．y＝ax＋c 中，a＜0，c＞0，y＝a(x＋c)2 中， a＜0，c＞0，故 B 正确；C．y＝ax＋c 中，a＞0，c＜0，y＝a(x ＋c)2 中，a＞0，c＞0，故 C 错误；D．y＝ax＋c 中，a＜0，c＞ 0，y＝a(x＋c)2 中，a＞0，c＜0，故 D 错误．
(2)将抛物线 y＝(x－3)2 向上平移 1 个单位，再向左平移 t(t＞0) 个单位得到新抛物线，若新抛物线的顶点 E 在△DAC 内， 求 t 的取值范围； 解：由题意可知：新抛物线的顶点坐标为(3－t，1)， 设直线 AC 的表达式为 y＝kx＋b(k≠0)． 将(1，4)，(3，0)代入 y＝kx＋b 中， 得3kk＋＋b＝ b＝4， 0. 解得kb＝ ＝－6. 2，
(整理)第10讲二次函数图象和性质
第10讲 二次函数（一）专题一：二次函数的图像与性质（一）知识点梳理1. 二次函数2()y a x h k =-+的图像和性质 a ＞02. 二次函数c bx ax y ++=2用配方法可化成()k h x a y +-=2的形式，其中 h ＝ ， k ＝ .3. 二次函数2()y a x h k =-+的图像和2ax y =图像的关系.4. 二次函数c bx ax y ++=2中c b a ,,的符号的确定. 5、图象的平移：将二次函数y=ax 2 (a ≠0）的图象进行平移，可得到y=ax 2＋c ，y=a(x －h)2，y=a(x －h)2＋k 的图象．⑴ 将y=ax 2的图象向上(c ＞0）或向下(c< 0）平移|c|个单位，即可得到y=ax 2＋c 的图象．其顶点是（0,c ）形状、对称轴、开口方向与抛物线y=ax 2相同． ⑵ 将y=ax 2的图象向左（h<0）或向右(h ＞0）平移|h|个单位，即可得到y=a(x －h)2的图象．其顶点是（h ，0），对称轴是直线x=h ，形状、开口方向与抛物线y=ax 2相同．⑶ 将y=ax 2的图象向左（h<0）或向右(h ＞0）平移|h|个单位，再向上(k>0)或向下(k<0)平移|k|个单位，即可得到y=a(x －h)2 +k 的图象，其顶点是（h ，k ），对称轴是直线x=h ，形状、开口方向与抛物线y=ax 2相同．（二）：经典考题精讲例1、二次函数y=ax 2＋bx 2＋c 的图象如图所示，则a 0，b 0，c 0.（填“＞”或“＜”＝．）例2、二次函数y=ax 2＋bx ＋c 与一次函数y=ax ＋c 在同一坐标系中的图象大致是图中的（ ）例3、在同一坐标系中，函数y=ax 2＋bx 与y=xb的图象大致是图中的（ ）例4、如图所示的是桥梁的两条钢缆具有相同的抛物线形状．按照图中建立的直角坐标系，左面的一条抛物线可以用y=0．0225x 2＋0．9x ＋10表示，而且左右两条抛物线关于y 轴对称，你能写出右面钢缆的表达式吗？例5、图中各图是在同一直角坐标系内，二次函数y=ax 2＋（a ＋c ）x ＋c 与一次函数y=ax ＋c 的大致图象，有且只有一个是正确的，正确的是（ ）例6、抛物线y=ax 2＋bx ＋c 如图所示，则它关于y 轴对称的抛物线的表达式是 ．例7、已知二次函数y=（m －2）x 2＋（m ＋3）x ＋m ＋2的图象过点（0，5）（1）求m 的值，并写出二次函数的表达式； （2）求出二次函数图象的顶点坐标、例8、 如图所示，有一边长为5cm 的正方形ABCD 和等腰三角形PQR ，PQ=PR=5cm ，QR=8cm ，点B 、C 、Q 、R 在同一直线ι上．当CQ 两点重合时，等腰△PQR 以1cm/秒的速度沿直线ι按箭头所示方向开始匀速运动，t 秒后，正方形ABCD 与等腰△PQR 重合部分的面积为Scm 2．解答下列问题：（1）当t=3秒时，求S 的值； （2）当t=5秒时，求S 的值；三：拓展与应用1. 抛物线()22-=x y 的顶点坐标是 .2．将抛物线23y x =-向上平移一个单位后，得到的抛物线解析式是 ．3. 如图所示的抛物线是二次函数2231y ax x a =-+- 的图象，那么a 的值是 ．4.二次函数2(1)2y x =-+的最小值是（ ） A.－2 B.2 C.－1 D.15. 请写出一个开口向上，对称轴为直线x ＝2，且与y 轴的交点坐标为(0，3)的抛物线的解析式 .6.已知二次函数22y x x m =-++的部分图象如右图所示，则关于x 的一元二次方程220x x m -++=的解为 ．7.已知函数y=x 2-2x-2的图象如图所示，根据其中提供的信息，可求得使y≥1成立的x 的取值范围是（ ）A ．-1≤x≤3B ．-3≤x≤1C ．x≥-3D ．x≤-1或x≥38. 二次函数c bx ax y ++=2（0≠a ）的图象如图所示，则下列结论： ①a ＞0； ②c ＞0； ③ b 2-4a c ＞0，其中正确的个数是( )A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个 第3题图第6题图9. 已知二次函数243y ax x=-+的图象经过点（－1，8）.（1）求此二次函数的解析式；（2）根据（1）填写下表.在直角坐标系中描点，并画出函数的图象；（3）根据图象回答：当函数值y<0时，x的取值范围是什么？专题二：二次函数与一元二次方程（一）：【知识梳理】1．二次函数与一元二次方程的关系：（1）一元二次方程ax2+bx+c=0就是二次函数y=ax2+bx+c当函数y的值为0时的情况．（2）二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点有三种情况：有两个交点、有一个交点、没有交点；当二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴有交点时，交点的横坐标就是当y=0时自变量x的值，即一元二次方程ax2＋bx＋c=0的根．（3）当二次函数y=ax2+bx+c的图象与 x轴有两个交点时，则一元二次方程y=ax2+bx+c 有两个不相等的实数根；当二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴有一个交点时，则一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有两个相等的实数根；当二次函数y＝ax2+ bx+c的图象与x轴没有交点时，则一元二次方程y=ax2+bx+c没有实数根（二）：【经典考题剖析】1.已知二次函数y=x2－6x+8，求：（1）抛物线与x轴J轴相交的交点坐标；（2）抛物线的顶点坐标；（3）画出此抛物线图象，利用图象回答下列问题：①方程x2－6x＋8=0的解是什么？②x取什么值时，函数值大于0？③x取什么值时，函数值小于0？2.已知抛物线y＝x2－2x－8，（1）求证：该抛物线与x轴一定有两个交点；（2）若该抛物线与x轴的两个交点分别为A、B，且它的顶点为P，求△ABP的面积．3.如图所示，直线y=-2x+2与x 轴、y 轴分别交于点A 、B ，以线段AB 为直角边在第一象限内作等腰直角△ABC ，∠BAC=90o， 过C 作CD ⊥x 轴，垂足为D （1）求点A 、B 的坐标和AD 的长（2）求过B 、A 、D 三点的抛物线的解析式4.如图，在矩形ABCD 中，AB=6cm ，BC=12cm ，点P 从点A 出发，沿AB 边向点B 以1cm/s 的速度移动，同时点Q 从点B 出发，沿BC 边向点C 以2cm/s 的速度移动，回答下列问题：（1） 设运动后开始第t （单位：s ）时，五边形APQCD 的面积为S（单位：cm 2），写出S 与t 的函数关系式，并指出自变量t 的取值范围 （2）t 为何值时S 最小？求出S 的最小值5. 如图，直线334y x k=+(0)k >与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，点P 是线段AB 的中点，抛物线283y x bx c =-++经过点A 、P 、O （原点）。
沪科版数学九年级上册21.2.1《二次函数y=a2的图象和性质》教学设计
沪科版数学九年级上册21.2.1《二次函数y＝a2的图象和性质》教学设计一. 教材分析《二次函数y＝a2的图象和性质》是沪科版数学九年级上册第21章第2节第1课时的一节内容。
本节主要让学生掌握二次函数y＝a2（a≠0）的图象和性质，包括开口方向、对称轴、顶点坐标、增减性等。
通过本节的学习，为学生后续学习二次函数的一般形式及实际应用打下基础。
二. 学情分析九年级的学生已经掌握了函数的基本概念和一次函数的性质，具备了一定的函数思维。
但二次函数的知识相对抽象，对学生空间想象能力和逻辑思维能力的要求较高。
因此，在教学过程中，要注重引导学生通过观察、分析、归纳等方法，自主探索二次函数的图象和性质。
三. 教学目标1.理解二次函数y＝a2（a≠0）的图象特征，掌握其开口方向、对称轴、顶点坐标等性质。
2.能够运用二次函数的性质解决实际问题，提高解决问题的能力。
3.培养学生的空间想象能力、逻辑思维能力和合作交流能力。
四. 教学重难点1.重难点：二次函数y＝a2（a≠0）的图象和性质的推导及应用。
2.难点：二次函数性质的理解和运用。
五. 教学方法1.采用问题驱动法，引导学生自主探究二次函数的图象和性质。
2.运用多媒体辅助教学，直观展示二次函数的图象，提高学生的空间想象能力。
3.采用合作交流的学习方式，培养学生的团队协作能力。
4.通过实例分析，让学生学会将二次函数的性质应用于实际问题。
六. 教学准备1.准备多媒体教学课件，包括二次函数图象的动态展示、实例分析等。
2.准备相关练习题，包括基础题、提高题和拓展题。
3.准备黑板、粉笔等教学工具。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用多媒体展示二次函数y＝x2的图象，引导学生回顾一次函数的图象和性质，为新课的学习做好铺垫。
2.呈现（10分钟）介绍二次函数y＝a2（a≠0）的图象和性质，包括开口方向、对称轴、顶点坐标、增减性等。
通过多媒体展示，让学生直观地感受二次函数的图象特征。
二次函数图像的性质与解析
二次函数图像的性质与解析一、二次函数的定义与标准形式1.二次函数的定义：一般地，形如y=ax^2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数。
2.二次函数的标准形式：y=a(x-h)2+k，其中顶点式y=a(x-h)2+k的图像为抛物线，a为抛物线的开口方向和大小，h、k为顶点坐标。
二、二次函数图像的性质1.开口方向：由a的符号决定，a>0时，开口向上；a<0时，开口向下。
2.对称性：二次函数图像关于y轴对称，即若点(x,y)在图像上，则点(-x,y)也在图像上。
3.顶点：二次函数图像的顶点为抛物线的最高点或最低点，顶点式y=a(x-h)^2+k中，(h,k)为顶点坐标。
4.轴：二次函数图像与x轴的交点为方程ax^2+bx+c=0的根，与y轴的交点为c/a。
5.增减性：当a>0时，二次函数图像在顶点左侧单调递减，在顶点右侧单调递增；当a<0时，二次函数图像在顶点左侧单调递增，在顶点右侧单调递减。
三、二次函数图像的解析1.求顶点：根据顶点式y=a(x-h)^2+k，直接得出顶点坐标为(h,k)。
2.求对称轴：对称轴为x=h。
3.求开口大小：开口大小由a的绝对值决定，绝对值越大，开口越大。
4.求与坐标轴的交点：与x轴的交点为方程ax^2+bx+c=0的根，与y轴的交点为c/a。
5.判断增减性：根据a的符号，判断二次函数图像在顶点两侧的单调性。
四、二次函数图像的应用1.实际问题：利用二次函数图像解决实际问题，如抛物线与坐标轴的交点问题、最值问题等。
2.几何问题：利用二次函数图像研究几何图形的性质，如求解三角形面积、距离等问题。
3.物理问题：利用二次函数图像研究物理现象，如抛物线运动、振动等。
五、二次函数图像的变换1.横向变换：对二次函数y=ax2+bx+c进行横向变换，如向左平移h个单位，得到y=a(x+h)2+k；向右平移h个单位，得到y=a(x-h)^2+k。
沪科版数学九年级上册《二次函数y=a2 k的图象和性质》教学设计3
沪科版数学九年级上册《二次函数y=a2 k的图象和性质》教学设计3一. 教材分析《二次函数y=a2x2+bx+c的图象和性质》是沪科版数学九年级上册的一章重要内容。
本章主要让学生掌握二次函数的图象和性质，了解二次函数在实际问题中的应用。
通过本章的学习，学生能进一步深化对函数概念的理解，提高解决实际问题的能力。
二. 学情分析九年级的学生已经学习了函数、方程等基础知识，对二次函数有一定的了解。
但学生在理解二次函数的图象和性质方面还存在一定的困难，如对开口方向、对称轴、顶点等概念的理解。
因此，在教学过程中，需要引导学生通过观察、操作、思考、交流等途径，深化对二次函数图象和性质的理解。
三. 教学目标1.知识与技能：让学生掌握二次函数y=a2x2+bx+c的图象和性质，能够运用二次函数解决实际问题。
2.过程与方法：通过观察、操作、思考、交流等途径，培养学生的动手操作能力、观察能力、思维能力。
3.情感态度与价值观：激发学生对数学的兴趣，培养学生的团队协作精神，使学生在解决实际问题中体验到数学的价值。
四. 教学重难点1.重点：二次函数y=a2x2+bx+c的图象和性质。
2.难点：二次函数图象的变换、开口方向、对称轴、顶点的求解。
五. 教学方法1.情境教学法：通过生活实例、问题情境，引发学生的兴趣，激发学生的思考。
2.启发式教学法：引导学生观察、操作、思考、交流，培养学生自主学习的能力。
3.小组合作学习：学生进行小组讨论、合作交流，提高学生的团队协作能力。
六. 教学准备1.教学课件：制作二次函数图象和性质的相关课件，便于引导学生观察、操作。
2.教学素材：准备一些实际问题，用于巩固学生对二次函数的应用。
3.学生活动材料：为学生提供一些图形、表格等，便于学生动手操作、观察。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用生活实例引入二次函数的概念，激发学生的兴趣。
例如，讲解抛物线运动的规律，引出二次函数y=a2x2+bx+c。
专题2 二次函数的图象和性质
专题2 二次函数的图象和性质知 识 点名师点晴二次函数概念、图象和性质1．二次函数的概念 会判断一个函数是否为二次函数． 2．二次函数的图象知道二次函数的图象是一条抛物线．3．二次函数的性质 会按在对称轴左右判断增减性． 4．二次函数的解析式确定能用待定系数法确定函数解析式．二次函数与二次方程的关系 5．判别式、抛物线与x 轴的交点、二次方程的根的情况三者之间的联系．会用数形结合思想解决此类问题． 能根据图象信息，解决相应的问题．☞考点归纳归纳 1：二次函数中各系数a 、b 、c 的几何意义基础知识归纳： a 决定开口方向，a ＞0开口向上，a ＜0开口向下，ab 乘积决定对称轴的位置（左同右异）， c 决定与y 轴的交点位置．基本方法归纳：根据a 、b 、c 的符号逐步分析判断．注意问题归纳：当只有ac 或者bc 时，要考虑用对称轴方程这个式子去代换变形．【例1】（2017山东省烟台市）二次函数2y ax bx c =++（a ≠0）的图象如图所示，对称轴是直线x =1，下列结论：①a b ＜0；②b 2＞4ac ；③a +b +2c ＜0；④3a +c ＜0．其中正确的是（ ）A ．①④B ．②④C ．①②③D ．①②③④归纳 2：二次函数图象与几何变换 基础知识归纳：二次函数的平移．基本方法归纳：关键是熟练掌握二次函数平移主要考虑顶点的变化． 注意问题归纳：平移规律是“左加右减，上加下减．【例2】（2017广西贵港市）将如图所示的抛物线向右平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度后，得到的抛物线解析式是（ ）A ．()211y x =-+ B ．()211y x =++ C ．()2211y x =-+ D ．()2211y x =++【2017年题组】1．（2017内蒙古包头市）已知一次函数14y x =，二次函数2222y x =+，在实数范围内，对于x 的同一个值，这两个函数所对应的函数值为1y 与2y ，则下列关系正确的是（ ） A ． 12y y > B ．12y y ≥ C ． 12y y < D ．12y y ≤2．（2017四川省乐山市）已知二次函数mx x y 22-=（m 为常数），当﹣1≤x ≤2时，函数值y 的最小值为﹣2，则m 的值是（ ）A ．23 B ．2 C ．23 或2 D ．23-或2 3．（2017四川省凉山州）已知抛物线222y x x m =+--与x 轴没有交点，则函数m y x=的大致图象是（ ）A ．B ．C ．D ．4．（2017四川省泸州市）已知m ，n 是关于x 的一元二次方程222240x tx t t -+-+=的两实数根，则(2)(2)m n ++的最小值是（ ）A ．7B ．11C ．12D ．166．（2017山东省威海市）已知二次函数2y ax bx c =++（a ≠0）的图象如图所示，则正比例函数y =（b +c ）x 与反比例函数xcb a y +-=在同一坐标系中的大致图象是（ ）A ．B ．C ．D ．7．（2017山东省泰安市）已知二次函数2y ax bx c =++的y 与x 的部分对应值如下表：x ﹣1 0 1 3 y﹣3131下列结论：①抛物线的开口向下；②其图象的对称轴为x =1；③当x ＜1时，函数值y 随x 的增大而增大；④方程20ax bx c ++=有一个根大于4，其中正确的结论有（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个8．（2017山东省泰安市）如图，在△ABC 中，∠C =90°，AB =10cm ，BC =8cm ，点P 从点A 沿AC 向点C以1cm /s 的速度运动，同时点Q 从点C 沿CB 向点B 以2cm /s 的速度运动（点Q 运动到点B 停止），在运动过程中，四边形P ABQ 的面积最小值为（ ）A ．19cm 2B ．16cm 2C ．15cm 2D ．12cm 29．（2017山东省淄博市）将二次函数221y x x =+-的图象沿x 轴向右平移2个单位长度，得到的函数表达式是（ ）A ．2(3)2y x =+- B ．2(3)2y x =++ C ． 2(1)2y x =-+ D ．2(1)2y x =-- 11．（2017江苏省盐城市）如图，将函数()21212y x =-+的图象沿y 轴向上平移得到一条新函数的图象，其中点A （1，m ），B （4，n ）平移后的对应点分别为点A '、B '．若曲线段AB 扫过的面积为9（图中的阴影部分），则新图象的函数表达式是（ ）A ．()21222y x =-- B ．()21272y x =-+ C ．()21252y x =-- D ．()21242y x =-+ 12．（2017江苏省苏州市）若二次函数21y ax =+的图象经过点（﹣2，0），则关于x 的方程2(2)10a x -+= 的实数根为（ ）A ．x 1=0，x 2=4B ．x 1=﹣2，x 2=6C ．x 1=32，x 2=52D ．x 1=﹣4，x 2=0 13．（2017江苏省连云港市）已知抛物线2y ax =（a ＞0）过A （﹣2，1y 、B （1，2y ）两点，则下列关系式一定正确的是（ ）A ．120y y >>B ．210y y >>C ．120y y >>D ．210y y >> 14．（2017浙江省嘉兴市）下列关于函数1062+-=x x y 的四个命题： ①当x =0时，y 有最小值10；②n 为任意实数，x =3+n 时的函数值大于x =3﹣n 时的函数值；③若n ＞3，且n 是整数，当n ≤x ≤n +1时，y 的整数值有（2n ﹣4）个； ④若函数图象过点（a ，y 0）和（b ，y 0+1），其中a ＞0，b ＞0，则a ＜b ． 其中真命题的序号是（ ）A ．①B ．②C ．③D ．④19．（2017湖北省咸宁市）如图，直线y =mx +n 与抛物线2y ax bx c =++交于A （﹣1，p ），B （4，q ）两点，则关于x 的不等式2mx n ax bx c +>++的解集是 ．20．（2017湖北省武汉市）已知关于x 的二次函数22(1)y ax a x a =+--的图象与x 轴的一个交点的坐标为（m ，0）．若2＜m ＜3，则a 的取值范围是 ．21．（2017上海市）已知一个二次函数的图象开口向上，顶点坐标为（0，﹣1 ），那么这个二次函数的解析式可以是．（只需写一个）25．（2017四川省广元市）已知二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，有下列结论：①abc ＜0；②a +c ＞b ；③3a +c ＜0；④a +b ＞m （am +b ）（其中m ≠1），其中正确的结论有 ．28．（2017江苏省常州市）已知二次函数23y ax bx =+-自变量x 的部分取值和对应函数值y 如下表：则在实数范围内能使得50y ->成立的x 取值范围是 ．x ... -2 -1 0 1 2 3 ... y...5-3-4-3...30．（2017天门）已知关于x 的一元二次方程221(1)(1)02x m x m -+++=有实数根． （1）求m 的值；（2）先作221(1)(1)2y x m x m =-+++的图象关于x 轴的对称图形，然后将所作图形向左平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度，写出变化后图象的解析式；（3）在（2）的条件下，当直线y =2x +n （n ≥m ）与变化后的图象有公共点时，求24n n -的最大值和最小值．34．（2017贵州省贵阳市）如图，直线y =2x +6与反比例函数ky x=（k ＞0）的图象交于点A （1，m ），与x 轴交于点B ，平行于x 轴的直线y =n （0＜n ＜6）交反比例函数的图象于点M ，交AB 于点N ，连接BM ． （1）求m 的值和反比例函数的表达式；（2）直线y =n 沿y 轴方向平移，当n 为何值时，△BMN 的面积最大？【2016年题组】1．（2016内蒙古呼伦贝尔市，第11题，3分）在平面直角坐标系中，将抛物线212y x =-向下平移1个单位长度，再向左平移1个单位长度，得到的抛物线的解析式是（ ） A ．21322y x x =--- B ．21122y x x =-+- C ．21322y x x =-+- D ．21122y x x =--- 2．（2016内蒙古呼和浩特市）已知a ≥2，2220m am -+=，2220n an -+=，则22(1)(1)m n -+-的最小值是（ ）A ．6B ．3C ．﹣3D ．03．（2016天津市）已知二次函数2()1y x h =-+（h 为常数），在自变量x 的值满足1≤x ≤3的情况下，与其对应的函数值y 的最小值为5，则h 的值为（ ）A ．1或﹣5B ．﹣1或5C ．1或﹣3D ．1或34．（2016四川省凉山州）二次函数2y ax bx c =++（0a ≠）的图象如图，则反比例函数ay x=-与一次函数y bx c =-在同一坐标系内的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．5．（2016四川省巴中市）如图是二次函数2y ax bx c =++图象的一部分，图象过点A （﹣3，0），对称轴为直线x =﹣1，给出四个结论： ①c ＞0； ②若点B （32-，1y ）、C （52-，2y ）为函数图象上的两点，则12y y <； ③2a ﹣b =0； ④244ac b a-＜0，其中，正确结论的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．48．（2016四川省自贡市）二次函数=++2y ax bx c 的图象如图，反比例函数=ay x与正比例函数=y bx 在同一坐标系的大致图象是（ ）A ．B ．C ．D ．12．（2016山东省威海市）已知二次函数2()y x a b =---的图象如图所示，则反比例函数aby x=与一次函数y =ax +b 的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．11．（2016山东省临沂市）二次函数2y ax bx c =++，自变量x 与函数y 的对应值如表：x … ﹣5 ﹣4 ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 … y…4﹣2﹣24…下列说法正确的是（ ）A ．抛物线的开口向下B ．当x ＞﹣3时，y 随x 的增大而增大C ．二次函数的最小值是﹣2D ．抛物线的对称轴是52x =-14．（2016山东省泰安市）一元二次方程22(1)2(1)7x x +--=的根的情况是（ ）A ．无实数根B ．有一正根一负根C ．有两个正根D ．有两个负根 15．（2016山东省泰安市）在﹣2，﹣1，0，1，2这五个数中任取两数m ，n ，则二次函数2()y x m n =-+的顶点在坐标轴上的概率为（ ） A ．25 B ．15 C ．14 D ．1216．（2016山东省滨州市）在平面直角坐标系中，把一条抛物线先向上平移3个单位长度，然后绕原点旋转180°得到抛物线256y x x =++，则原抛物线的解析式是（ ） A ．2511()24y x =---B ．2511()24y x =-+-C ．251()24y x =---D ．251()24y x =-++ 19．（2016浙江省衢州市）二次函数2y ax bx c =++（a ≠0）图象上部分点的坐标（x ，y ）对应值列表如下：x… ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 … y … ﹣3 ﹣2 ﹣3 ﹣6 ﹣11 …则该函数图象的对称轴是（ ）A ．直线x =﹣3B ．直线x =﹣2C ．直线x =﹣1D ．直线x =0 20．（2016甘肃省兰州市）点P 1（﹣1，1y ），P 2（3，2y ），P 3（5，3y ）均在二次函数22y x x c =-++的图象上，则1y ，2y ，3y 的大小关系是（ ）A ．321y y y >>B ．312y y y >=C ．123y y y >>D ．123y y y =>21．（2016甘肃省兰州市）二次函数2y a x b x c =++的图象如图所示，对称轴是直线x =﹣1，有以下结论：①abc ＞0；②24ac b <；③2a +b =0；④a ﹣b +c ＞2．其中正确的结论的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．423．（2016宁夏）若二次函数22y x x m =-+的图象与x 轴有两个交点，则m 的取值范围是 ． 25．（2016四川省凉山州）将抛物线2y x =-先向下平移2个单位，再向右平移3个单位后所得抛物线的解析式为．27．（2016湖北省荆州市）若函数2(1)42y a x x a =--+的图象与x 轴有且只有一个交点，则a 的值为 ．。
第1讲 二次函数的图像及性质
第1讲二次函数的图形及性质题型1：二次函数的概念1.下列函数表达式中，一定为二次函数的是（）A．y=5x−1B．y=ax2+bx+c C．y=3x2+1D．y=x2+1x题型2：利用二次函数定义求字母的值2.已知y=(m+1)x|m−1|+2m是y关于x的二次函数，则m的值为（）A．−1B．3C．−1或3D．0题型3：二次函数的一般形式3.二次函数y＝2x2﹣3的二次项系数、一次项系数和常数项分別是（）A．2、0、﹣3B．2、﹣3、0C．2、3、0D．2、0、3A．2B．﹣2C．﹣1D．﹣4题型4：根据实际问题列二次函数4.一个矩形的周长为16cm，设一边长为xcm，面积为y cm2，那么y与x的关系式是【变式4-1】如图，用长为20米的篱笆（AB+BC+CD=20），一边利用墙（墙足够长），围成一个长方形花圃．设花圃的宽AB为x米，围成的花圃面积为y米2，则y关于x的函数关系式是．【变式4-2】某商品的进价为每件20元，现在的售价为每件40元，每星期可卖出200件．市场调查反映：如调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出5件．则每星期售出商品的利润y （单位：元）与每件涨价x（单位：元）之间的函数关系式是（）A．y＝（200﹣5x）（40﹣20＋x）B．y＝（200＋5x）（40﹣20﹣x）C．y＝200（40﹣20﹣x）D．y＝200﹣5x题型5：自变量的取值范围5.．若y=(a−2)x2−3x+4是二次函数，则a的取值范围是（）A．a≠2B．a>0C．a>2D．a≠0【变式5-1】函数y=√x+2的自变量取值范围是（）x−1A．x≥−2B．−2≤x<1C．x>1D．x≥−2且x≠1【变式5-2】若y=(m+1)x m2−2m−1是二次函数，则m=，其中自变量x的取值范围是．22.1.2二次函数y=ax2的图像和性质二次函数y=ax2(a≠0)的图象用描点法画出二次函数y=ax2（a≠0）的图象，如图，它是一条关于y轴对称的曲线，这样的曲线叫做抛物线.二次函数y=ax2(a ≠0)的图象的画法用描点法画二次函数y=ax 2（a≠0）的图象时，应在顶点的左、右两侧对称地选取自变量x 的值，然后计算出对应的y 值，这样的对应值选取越密集，描出的图象越准确.注意：用描点法画二次函数y=ax 2(a≠0)的图象，该图象是轴对称图形，对称轴是y 轴．画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与轴的交点，与轴的交点.题型1：利用描点法作函数图像1.在直角坐标系中，画出函数y ＝2x 2的图象（取值、描点、连线、画图）．【变式1-1】在如图所示的同一平面直角坐标系中，画出函数y ＝2x 2，y ＝x 2，y ＝﹣2x 2与y ＝﹣x 2的图象．x y ＝2x 2 y ＝x 2 y ＝﹣2x 2 y ＝﹣x 2x ya>0a<0题型2：二次函数y=ax2的图像2.在同一坐标系中画出y1＝2x2，y2＝﹣2x2，y3＝x2的图象，正确的是（）A．B．C．D．【变式2-1】下列图象中，是二次函数y＝x2的图象的是（）A．B．C．D．【变式2-2】如图，在同一平面直角坐标系中，作出函数①y＝3x2；②y＝；③y＝x2的图象，则从里到外的三条抛物线对应的函数依次是（）A．①②③B．①③②C．②③①D．③②①题型3：二次函数y=ax2的性质3.抛物线y＝﹣3x2的顶点坐标为（）A．（0，0）B．（0，﹣3）C．（﹣3，0）D．（﹣3，﹣3）【变式3-1】抛物线，y＝x2，y＝﹣x2的共同性质是：①都开口向上；②都以点（0，0）为顶点；③都以y轴为对称轴．其中正确的个数有（）A．0个B．1个C．2个D．3个【变式3-2】．对于函数y＝4x2，下列说法正确的是（）A．当x＞0时，y随x的增大而减小B．当x＞0时，y随x的增大而增大C．y随x的增大而减小D．y随x的增大而增大【变式3-3】二次函数y＝﹣3x2的图象一定经过（）A．第一、二象限B．第三、四象限C．第一、三象限D．第二、四象限题型4：函数图像位置的识别4.已知a≠0，b＜0，一次函数是y＝ax+b，二次函数是y＝ax2，则下面图中，可以成立的是（）A．B．C．D．【变式4-1】函数y＝ax2与y＝ax+a，在第一象限内y随x的减小而减小，则它们在同一平面直角坐标系中的图象大致位置是（）A．B．C．D．【变式4-2】在图中，函数y＝﹣ax2与y＝ax+b的图象可能是（）A．B．C．D．题型5：函数值的大小比较5.二次函数y1＝﹣3x2，y2＝﹣x2，y3＝5x2，它们的图象开口大小由小到大的顺序是（）A．y3＜y1＜y2B．y3＜y2＜y1C．y1＜y2＜y3D．y2＜y1＜y3题型6：简单综合-三角形面积6.求直线y＝3x+4与抛物线y＝x2的交点坐标，并求出两交点与原点所围成的三角形面积．22.1.3二次函数y=a（x-h）²+k的图像和性质二次函数y=ax2+c(a≠0)的图象（1）（2）0 a>0 a<题型1：二次函数y=ax²+k的图象1.建立坐标系，画出二次函数y＝﹣x2及y＝﹣x2+3的图象．向上向下题型2：二次函数y=ax²+k的性质2.抛物线的开口方向是（）A．向下B．向上C．向左D．向右【变式2-2】抛物线y＝2x2+1的对称轴是（）A．直线x＝B．直线x＝﹣C．直线x＝2D．y轴题型3：二次函数y=a（x-h）²的图象3.画出二次函数（1）y＝（x﹣2）2（2）y＝（x+2）2的图象．课堂总结：题型4：二次函数y=a（x-h）²的性质4.对于二次函数y＝﹣（x﹣1）2的图象，下列说法不正确的是（）A．开口向下B．对称轴是直线x＝1C．顶点坐标为（1，0）D．当x＜1时，y随x的增大而减小题型5：二次函数y=a（x-h ）²+k 的图象和性质5.对于二次函数y ＝﹣5（x +4）2﹣1的图象，下列说法正确的是（ ） A ．图象与y 轴交点的坐标是（0，﹣1） B ．对称轴是直线x ＝4C ．顶点坐标为（﹣4，1）D ．当x ＜﹣4时，y 随x 的增大而增大 【变式5-1】再同一直角坐标系中画出下列函数的图象 （1）y ＝（x ﹣2）2+3 （2）y ＝（x +2）2﹣3【变式5-2】画函数y ＝（x ﹣2）2﹣1的图象，并根据图象回答： （1）当x 为何值时，y 随x 的增大而减小．（2）当x 为何值时，y ＞0．【变式5-3】写出下列二次函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标． （1）y ＝5（x +2）2﹣3；（2）y ＝﹣（x ﹣2）2+3；（3）y ＝（x +3）2+6．二次函数的平移 1.平移步骤：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式，确定其顶点坐标； ⑵ 保持抛物线的形状不变，将其顶点平移到处，具体平移方法如下： ()2y a x h k =-+()h k ，2y ax =()h k ，2.平移规律：在原有函数的基础上“值正右移，负左移；值正上移，负下移”．概括成八个字“左h k加右减，上加下减”．题型6：二次函数几种形式之间的关系（平移）6.将抛物线y＝（x﹣3）2﹣4先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到的抛物线的函数表达式为（）A．y＝（x﹣4）2﹣6B．y＝（x﹣1）2﹣3C．y＝（x﹣2）2﹣2D．y＝（x﹣4）2﹣2【变式6-1】将抛物线向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度，能得到抛物线y ＝2（x﹣2）2+3的是（）A．y＝2（x﹣1）2+1B．y＝2（x﹣3）2+1C．y＝﹣2（x﹣1）2+1D．y＝﹣2x2﹣1【变式6-2】将二次函数y＝x2﹣3的图象向右平移3个单位，再向上平移5个单位后，所得抛物线的表达式是．题型7：利用增减性求字母取值范围7.抛物线y＝（k﹣7）x2﹣5的开口向下，那么k的取值范围是（）A．k＜7B．k＞7C．k＜0D．k＞0【变式7-1】已知点（x1，y1）、（x2，y2）是函数y＝（m﹣3）x2的图象上的两点，且当0＜x1＜x2时，有y1＞y2，则m的取值范围是（）A．m＞3B．m≥3C．m≤3D．m＜3【变式7-2】二次函数y＝（x﹣h）2+k（h、k均为常数）的图象经过P1（﹣3，y1）、P2（﹣1，y2）、P3（1，y3）三点．若y2＜y1＜y3，则h的取值范围是．题型8：识别图象位置8.如果二次函数y＝ax2+c的图象如图所示，那么一次函数y＝ax+c的图象大致是（）A．B．C．D．【变式8-1】在同一平面直角坐标系中，函数y＝ax2+bx与y＝ax+b的图象不可能是（）A．B．C．D．【变式8-2】已知m是不为0的常数，函数y＝mx和函数y＝mx2﹣m2在同一平面直角坐标系内的图象可以是（）A．B．C．D．题型9：比较函数值的大小9.已知二次函数y＝（x﹣1）2+h的图象上有三点，A（0，y1），B（2，y2），C（3，y3），则y1，y2，y3的大小关系为（）A．y1＝y2＜y3B．y1＜y2＜y3C．y1＜y2＝y3D．y3＜y1＝y2题型10：简单综合问题10.已知抛物线y＝（x﹣5）2的顶点为A，抛物线与y轴交于点B，过点B作x轴的平行线交抛物线于另外一点C．（1）求A，B，C三点的坐标；（2）求△ABC的面积；（3）试判断△ABC 的形状并说明理由．【变式10-1】如图，在平面直角坐标系中，抛物线y ＝ax 2+3与y 轴交于点A ，过点A 与x 轴平行的直线交抛物线y ＝x 2于点B 、C ，求BC 的长度．【变式10-2】在同一坐标系内，抛物线y ＝ax 2与直线y ＝x +b 相交于A ，B 两点，若点A 的坐标是（2，3）．（1）求B 点的坐标；（2）连接OA ，OB ，AB ，求△AOB 的面积．22.1.4 二次函数y=ax 2+bx+c 的图象与性质二次函数一般式与顶点式之间的相互关系 1.顶点式化成一般式从函数解析式我们可以直接得到抛物线的顶点(h ，k)，所以我们称为顶点式，将顶点式去括号，合并同类项就可化成一般式． 2.一般式化成顶点式． 2()y a x h k =-+2()y a x h k =-+2()y a x h k =-+2y ax bx c =++2222222b b b b y ax bx c a x x c a x x c a a a a ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++=++=++-+⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦22424b ac b a x a a -⎛⎫=++⎪⎝⎭代入法，这三种方法都有各自的优缺点，应根据实际灵活选择和运用．题型1：一般式化成顶点式-配方法1.将二次函数y=x2−4x+5用配方法化为y=(x−ℎ)2+k的形式，结果为（）A．y=(x−4)2+1B．y=(x−4)2−1C．y=(x−2)2−1D．y=(x−2)2+1题型2：一般式化成顶点式-应用2.已知：二次函数y＝x2﹣2x﹣3．将y＝x2﹣2x﹣3用配方法化成y＝a（x﹣h）2+k的形式，并求此函数图象与x轴、y轴的交点坐标．题型3：公式法求顶点坐标及对称轴3.已知二次函数 y =−12x 2+bx +3 ，当 x >1 时，y 随x 的增大而减小，则b 的取值范围是（ ） A ．b ≥−1B ．b ≤−1C ．b ≥1D ．b ≤10a >0a <题型4：二次函数y=ax2+bx+c图像与性质4.若二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则下列说法不正确的是()A．当1<x<3时，y>0B．当x=2时，y有最大值C．图像经过点(4，−3)D．当y<−3时，x<0【变式4-2】二次函数y=ax2+bx+c的部分图象如图所示，当x>0时，函数值y的取值范围是()A．y⩽9B．y⩽2C．y<2D．y⩽3 4题型5：利用二次函数的性质比较函数值5.函数y＝﹣x2﹣2x+m的图象上有两点A（1，y1），B（2，y2），则（）A．y1＜y2B．y1＞y2几种常考的关系式的解题方法题型6：二次函数y=ax2+bx+c图像与系数的关系6.已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0，a，b，c为常数），如果a＞b＞c，且a+b+c＝0，则它的图象可能是（）A．B．C．D．【变式6-1】已知函数y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴为直线x=−4．若x1，x2是方程ax2+bx+c=0的两个根，且x1<x2，1<x2<2，则下列说法正确的是A．x1x2>0B．−10<x1<−9C．b2−4ac<0D．abc>0【变式6-2】如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）经过点(2，0)，，有下列结论：①b<0；②a+b>0；③4a+2b+3c<0；④无且对称轴为直线x=12，0)．其中正确结论有（）论a，b，c取何值，抛物线一定经过(c2aA．1个B．2个C．3个D．4个【变式6-3】如图，二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴交于点A、B两点，与y轴交于点C；对称轴为直线x=−1，点B的坐标为(1，0)，则下列结论：①AB=4；②b2−4ac>0；③b>0；④a−b+c<0，其中正确的结论有（）个.A．1个B．2个C．3个D．4个7.二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）中x，y的部分对应值如下表：x…﹣2﹣1012…y…0﹣4﹣6﹣6﹣4…则该二次函数图象的对称轴为（）A．y轴B．直线x=12C．直线x＝1D．直线x=32题型8：利用二次函数的性质求字母的范围8.已知二次函数y＝x2+bx+1当0<x<12的范围内，都有y≥0，则b的取值范围是A．b≥0B．b≥﹣2C．b≥﹣52D．b≥﹣32a题型9：利用二次函数的性质求最值9.二次函数y=−x2+2x+4的最大值是.题型10：给定范围内的最值问题10.已知二次函数y=ax2+bx+1.5的图象（0≤x≤4）如图，则该函数在所给自变量的取值范围内，最大值为，最小值为.。
二次函数的图像和性质总结精心整理
一、二次函数的定义
一般地，形如 的函数叫作二次函数。
二、二次函数的五种形式：
①y=ax （a≠0） ②y=ax +c （a≠0）
③y=a(x-h) （a≠0） ④y=a(x-h) +k （a≠0）顶点式
⑤y=ax +bx+c （a≠0） 一般式
三、y=ax （a≠0）的图像和性质：
⑥采用五点法画y=a(x-h) +k的图像
首选顶点（h,k），以顶点（h,k）为中心，往两边对称性的取两对点。
⑦平移
抛物线的 图像是由抛物线 的图像上下平移 个单位，左右平移 个单位而得到的。当 时向上平移；当 时向下平移；当 时向左平移；当 时向右平移。（上加下减，左加右减）
⑧利用待定系数法求 的解析式
当a＜0时，在对称轴左侧（或x＜ ）,x↑y↑;
在对称轴右侧（或x＞ ）,x↑y↓;
在对称轴右侧（或x＞0）,x↑y↑;
此时，二次函数有最低点，即二次函数y=ax 有最小值，当x=0时，y最小值=0;
当a＜0时，在对称轴左侧（或x＜0）,x↑y↑;
在对称轴右侧（或x＞0）,x↑y↓;
此时，二次函数有最高点，即二次函数y=ax 有最大值，当x=0时，y最大值=0;
⑥采用五点法画y=ax 的图像
也可以是两组对应值,当x=a时，y=b. 当x=c时，y=d.
六、y=a(x-h) +k （a≠0）的图像和性质：
①它的图像是一条顶点在任意位置的抛物线。
②顶点（h,k），对称轴是直线x=h。
③a的符号确定抛物线的开口方向。
a＞0,开口向上；a＜0，开口向下；
④︳a︳的值确定抛物线开口大小。
人教版九年级数学上册教学案： 二次函数的图像和性质(学生版)
22.1 二次函数的图像和性质教学目标：1．熟练掌握二次函数的有关概念．2．熟练掌握二次函数y＝ax2的性质和图象．3．掌握并灵活应用二次函数y＝ax2＋k,y＝a(x－h)2,y＝a(x－h)2＋k的性质及图象．4．掌握并灵活应用二次函数y＝ax2＋bx＋c的性质及其图象．5．能根据条件运用适当的方法确定二次函数解析式．教学重难点：图形和性质的应用,及两种形式的转化,解析式求解知识点一：二次函数的概念例题．下列函数中,二次函数是（）A．y=﹣4x+5B．y=x（2x﹣3）C．y=（x+4）2﹣x2D．y=变式1．圆的面积公式S=πR2中,S与R之间的关系是（）A．S是R的正比例函数B．S是R的一次函数C．S是R的二次函数D．以上答案都不对变式2．下列函数中,y关于x的二次函数的是（）A．y=x3+2x2+3B．y=﹣C．y=x2+x D．y=mx2+x+1知识点二：二次函数y＝ax2的性质和图象（1）二次函数y=ax2（a≠0）的图象的画法：①列表：先取原点（0,0）,然后以原点为中心对称地选取x值,求出函数值,列表．②描点：在平面直角坐标系中描出表中的各点．③连线：用平滑的曲线按顺序连接各点．④在画抛物线时,取的点越密集,描出的图象就越精确,但取点多计算量就大,故一般在顶点的两侧各取三四个点即可．连线成图象时,要按自变量从小到大（或从大到小）的顺序用平滑的曲线连接起来．画抛物线y=ax2（a≠0）的图象时,还可以根据它的对称性,先用描点法描出抛物线的一侧,再利用对称性画另一侧．例题．下列图象中,是二次函数y=x2的图象的是（）A．B．C．D．变式1．如图所示四个二次函数的图象中,分别对应的是①y=a1x2；①y=a2x2；①y=a3x2,则a1,a2,a3的大小关系是（）A．a1＞a2＞a3B．a1＞a3＞a2C．a3＞a2＞a1D．a2＞a1＞a3变式2．下列图象中,当ab＞0时,函数y=ax2与y=ax+b的图象是（）A．B．C．D．知识点三：二次函数y＝ax2＋k的性质和图象例题．函数y=+1与y=的图象的不同之处是（）A．对称轴B．开口方向C．顶点D．形状变式1．在直角坐标系中,函数y=3x与y=﹣x2+1的图象大致是（）A．B．C．D．变式2．在同一坐标系中,一次函数y=ax+b与二次函数y=bx2+a的图象可能是（）A．B．C．D．知识点四：二次函数y＝a(x－h)2的性质及图象例题．与函数y=2（x﹣2）2形状相同的抛物线解析式是（）变式1．在平面直角坐标系中,函数y=﹣x+1与y=﹣（x﹣1）2的图象大致是（）A．B．C．D．变式2．同一坐标系中,抛物线y=（x﹣a）2与直线y=a+ax的图象可能是（）A．B．C．D．变式3．函数y=a（x﹣1）2,y=ax+a的图象在同一坐标系的图象可能是（）A．B．C．D．知识点五：二次函数y＝a(x－h)2＋k的性质及图象例题．抛物线y=﹣2（x﹣3）2+5的顶点坐标是（）A．（3,﹣5）B．（﹣3,5）C．（3,5）D．（﹣3,﹣5）变式2．二次函数y=（x+1）2﹣2的图象大致是（）A．B．C．D．知识点六：二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的性质及其图象个单位,再向上或向下平移||个单位得到的 例题．用配方法将二次函数y=x 2﹣8x ﹣9化为y=a （x ﹣h ）2+k 的形式为（ ）A ．y=（x ﹣4）2+7B ．y=（x ﹣4）2﹣25C ．y=（x+4）2+7D ．y=（x+4）2﹣25变式1．将二次函数y=x 2+x ﹣1化为y=a （x+h ）2+k 的形式是（ ）A ．y=B ．y=（x ﹣2）2﹣2C ．y=（x+2）2﹣2D ．y=（x ﹣2）2+2变式2．已知二次函数的图象（0≤x≤4）如图,关于该函数在所给自变量的取值范围内,下列说法正确的是（）A ．有最大值 2,有最小值﹣2.5B ．有最大值 2,有最小值 1.5C ．有最大值1.5,有最小值﹣2.5D ．有最大值 2,无最小值变式3．二次函数y=ax 2+bx+c 的图象如图所示,则下列结论中错误的是（ ）4ac −b 24ab 2aA．函数有最小值B．c＜0C．当﹣1＜x＜2时,y＞0D．当x＜时,y随x的增大而减小变式4．当a≤x≤a+1时,函数y=x2﹣2x+1的最小值为1,则a的值为（）A．﹣1B．2C．0或2D．﹣1或2变式5．二次函数y=2x2﹣8x+m满足以下条件：当﹣2＜x＜﹣1时,它的图象位于x轴的下方；当6＜x＜7时,它的图象位于x轴的上方,则m的值为（）A．8B．﹣10C．﹣42D．﹣24知识点七：二次函数的系数与抛物线的特征之间的关系例题．如图是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分,且过点A（3,0）,二次函数图象的对称轴是直线x=1,下列结论正确的是（）A．b2＜4ac B．ac＞0C．2a﹣b=0D．a﹣b+c=0变式1．已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示,下列结论：①abc＞0；①2a+b＞0；①b2﹣4ac＞0；①a﹣b+c＞0,其中正确的个数是（）A．1B．2C．3D．4变式2．已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,OA=OC,则由抛物线的特征写出如下含有a、b、c三个字母的等式或不等式：①=﹣1；①ac+b+1=0；①abc＞0；①a﹣b+c＞0．其中正确的个数是（）A．4个B．3个C．2个D．1个变式3．已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）图象如图所示,下列结论：①abc＜0；①2a﹣b＜0；①b2＞（a+c）2；①点（﹣3,y1）,（1,y2）都在抛物线上,则有y1＞y2．其中正确的结论有（）A．4个B．3个C．2个D．1个变式4．如图,二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象的顶点在第一象限,且过点（0,1）和（﹣1,0）,下列结论：①ab＜0,①b2＞4,①0＜a+b+c＜2,①0＜b＜1,①当x＞﹣1时,y＞0．其中正确结论的个数是（）A．2个B．3个C．4个D．5个变式5．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图,给出下列四个结论：①b2﹣4ac＞0；①4a﹣2b+c＜0；①3b+2c＜0；①m（am+b）＜a﹣b（m≠﹣1）,其中正确结论的个数是（）A．4个B．3个C．2个D．1个知识点八：用待定系数法确定二次函数的解析式例题．已知抛物线y=ax2+bx+c经过点A（1,0）,B（﹣1,0）,C（0,﹣2）．求此抛物线的函数解析式和顶点坐标．变式1．已知二次函数的顶点坐标为（1,4）,且其图象经过点（﹣2,﹣5）,求此二次函数的解析式．变式2．已知：二次函数图象的顶点坐标是（3,5）,且抛物线经过点A（1,3）．（1）求此抛物线的表达式；（2）如果点A关于该抛物线对称轴的对称点是B点,且抛物线与y轴的交点是C点,求①ABC的面积．变式3．二次函数y=2x2+bx+c的图象经过点（2,1）,（0,1）．（1）求该二次函数的表达式及函数图象的顶点坐标和对称轴；（2）若点P（3+a2,y1）,Q（4+a2,y2）在抛物线上,试判断y1与y2的大小．（写出判断的理由）变式4．已知一个二次函数的图象经过A（0,﹣3）,B（1,0）,C（m,2m+3）,D（﹣1,﹣2）四点,求这个函数解析式以及点C的坐标．变式5．已知抛物线y1=﹣x2+mx+n,直线y2=kx+b,y1的对称轴与y2交于点A（﹣1,5）,点A与y1的顶点B的距离是4．（1）求y1的解析式；（2）若y2随着x的增大而增大,且y1与y2都经过x轴上的同一点,求y2的解析式．拓展点一：二次函数的概念求字母系数的值例题．若函数y=（m+1）x是二次函数,求m的值．变式1．已知函数y=（m2+m）x．（1）当函数是二次函数时,求m的值；（2）当函数是一次函数时,求m的值．变式2．已知函数y=（m2﹣m）x2+（m﹣1）x+m+1．（1）若这个函数是一次函数,求m的值；（2）若这个函数是二次函数,则m的值应怎样？拓展点二：二次函数的图像问题例题．画函数y=的图象．变式1．使用五点法画出二次函数y=x2﹣2x﹣3的图象．变式2．下表给出一个二次函数的一些取值情况：x…01234…y…30﹣103…（1）请在直角坐标系中画出这个二次函数的图象；（2）根据图象说明：当x取何值时,y的值大于0？变式3．某班“数学兴趣小组”对函数y=x2﹣2|x|的图象和性质进行了探究,探究过程如下,请补充完整．（1）自变量x的取值范围是全体实数,x与y的几组对应值列表如下：x…﹣3﹣﹣2﹣10123…y…3m﹣10﹣103…其中,m=．（2）根据表中数据,在如图所示的平面直角坐标系中描点,并画出了函数图象的一部分,请画出该函数图象的另一部分．（3）观察函数图象,写出两条函数的性质．（4）进一步探究函数图象发现：①函数图象与x轴有个交点,所以对应的方程x2﹣2|x|=0有个实数根；①方程x2﹣2|x|=2有个实数根；①关于x的方程x2﹣2|x|=a有4个实数根时,a的取值范围是．拓展点三：二次函数的性质的应用例题．二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,则下列结论中错误的是（）A．函数有最小值B．c＜0C．当﹣1＜x＜2时,y＞0D．当x＜时,y随x的增大而减小变式1．在平面直角坐标系中,已知抛物线与直线的图象如图所示,则下列说法：①当0＜x＜2时,y1＞y2；①y1随x的增大而增大的取值范围是x＜2；①使得y2大于4的x值不存在；①若y1=2,则x=2﹣或x=1．其中正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个变式2．已知函数图象如图所示,根据图象可得：（1）抛物线顶点坐标；（2）对称轴为；（3）当x=时,y有最大值是；（4）当时,y随着x得增大而增大．（5）当时,y＞0．变式3．（1）已知二次函数y1=﹣（x+1）2+4的图象如图所示,请在同一坐标系中画出二次函数y1=﹣（x﹣2）2+1的图象．（2）平行于x轴的直线y=k在抛物线y2=﹣（x﹣2）2+1上截得线段AB=4,求抛物线y2=﹣（x﹣2）2+1的顶点到线段AB的距离．（3）当﹣1＜x＜2时,利用函数图象比较y1与y2的大小．拓展点四：二次函数图像的平移问题例题．抛物线y=（x﹣2）2﹣1可以由抛物线y=x2平移而得到,下列平移正确的是（）A．先向左平移2个单位长度,然后向上平移1个单位长度B．先向左平移2个单位长度,然后向下平移1个单位长度C．先向右平移2个单位长度,然后向上平移1个单位长度D．先向右平移2个单位长度,然后向下平移1个单位长度变式1．将抛物线y=﹣5x2+1向左平移1个单位长度,再向下平移2个单位长度,所得到的抛物线为（）A．y=﹣5（x+1）2﹣1B．y=﹣5（x﹣1）2﹣1C．y=﹣5（x+1）2+3D．y=﹣5（x﹣1）2+3变式2．将抛物线y=x2﹣6x+21向左平移2个单位后,得到新抛物线的解析式为（）A．y=（x﹣8）2+5B．y=（x﹣4）2+5C．y=（x﹣8）2+3D．y=（x﹣4）2+3变式3．将抛物线y=（x+m）2向右平移2个单位后,对称轴是y轴,那么m的值是．拓展点五：确定二次函数的解析式例题．抛物线y=（x﹣2）2﹣1可以由抛物线y=x2平移而得到,下列平移正确的是（）A．先向左平移2个单位长度,然后向上平移1个单位长度B．先向左平移2个单位长度,然后向下平移1个单位长度C．先向右平移2个单位长度,然后向上平移1个单位长度D．先向右平移2个单位长度,然后向下平移1个单位长度变式1．将抛物线y=﹣5x2+1向左平移1个单位长度,再向下平移2个单位长度,所得到的抛物线为（）A．y=﹣5（x+1）2﹣1B．y=﹣5（x﹣1）2﹣1C．y=﹣5（x+1）2+3D．y=﹣5（x﹣1）2+3变式2．将抛物线y=x2﹣6x+21向左平移2个单位后,得到新抛物线的解析式为（）A．y=（x﹣8）2+5B．y=（x﹣4）2+5C．y=（x﹣8）2+3D．y=（x﹣4）2+3变式3．将抛物线y=（x+m）2向右平移2个单位后,对称轴是y轴,那么m的值是．易错点一：用配方法求抛物线的顶点坐标时易与用配方法解一元二次方程混淆例题．用配方法将二次函数y=x2﹣8x﹣9化为y=a（x﹣h）2+k的形式为（）A．y=（x﹣4）2+7B．y=（x﹣4）2﹣25C．y=（x+4）2+7D．y=（x+4）2﹣25变式1．将二次函数y=x2+x﹣1化为y=a（x+h）2+k的形式是（）A．y=B．y=（x﹣2）2﹣2C．y=（x+2）2﹣2D．y=（x﹣2）2+2变式2．解方程：（1）x2﹣2x﹣4=0（2）用配方法解方程：2x2+1=3x。
湘教版九年级数学下册二次函数y=a的图象与性质PPT精品课件
E开口向上
象
图形F也是抛物线 点O '（1，0）是F的顶点 直线l'（过点O '与y轴平行）
是F的对称轴 F也开口向上
讲授新课
问题1 抛物线F 是哪个函数的图象呢？
在抛物线 y 1 x2 上任取一点 P(a, 1 a 2 ) ，它在向右
2
2
平移1个单位后，P的像点Q的坐标是什么？
湘教版九年级数学下册课件：1.2 第3课时 二次函数y＝a2 的图象与性质
总结：
二次函数y=a（x-h)2的图象与y=ax2 的图象的关系
可以看作互相平移得到(h>0).
当向右平移 ︱h︱ 时 y=ax2
当向左平移 ︱h︱ 时
y=a(x-h)2 y=a(x+h)2
左右平移规律：
括号内左加右减；括号外不变.
注意符号不要 弄错了！
∴在对称轴左侧,即当x<-2时,y随x的增大而减小,
湘教版九年级数学下册课件：1.2 第3课时 二次函数y＝a2 的图象与性质
∵-5<-3,∴y1>y2.
湘教版九年级数学下册课件：1.2 第3课时 二次函数y＝a2 的图象与性质
今后在画 y a( x h)2 的图象时，你知道怎 么画吗？
( D)
湘教版九年级数学下册课件：1.2 第3课时 二次函数y＝a2 的图象与性质
图4－1
湘教版九年级数学下册课件：1.2 第3课时 二次函数y＝a2 的图象与性质
2．二次函数y＝－(x－1)2的图象的顶点坐标是( B )
A．(1，－1)
B．(1，0)
C．(0，－1)
D．(－1，0)
3．已知二次函数y＝－(x＋2)2，下列说法正确的是( A )
人教版九年级数学上册22.1.4《二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质》说课稿
人教版九年级数学上册22.1.4《二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质》说课稿一. 教材分析《二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质》是人教版九年级数学上册第22章第1节的一部分。
这部分内容是在学生已经学习了二次函数的一般形式y=ax^2+bx+c的基础上，进一步探讨二次函数的图象和性质。
通过这部分的学习，学生能够理解二次函数的图象特征，掌握二次函数的顶点式，并能够运用二次函数的性质解决实际问题。
二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的数学基础，对于二次函数的一般形式已经有了一定的了解。
但是，对于二次函数的图象和性质，学生可能还存在一些困惑和疑问。
因此，在教学过程中，我需要关注学生的学习情况，及时解答学生的疑问，帮助学生理解和掌握二次函数的图象和性质。
三. 说教学目标1.知识与技能目标：学生能够理解二次函数的顶点式，掌握二次函数的图象特征，能够运用二次函数的性质解决实际问题。
2.过程与方法目标：通过观察、分析、归纳等方法，学生能够自主探索二次函数的图象和性质，培养学生的数学思维能力。
3.情感态度与价值观目标：学生能够积极参与课堂活动，增强对数学的兴趣和自信心，培养学生的合作意识和探究精神。
四. 说教学重难点1.教学重点：学生能够理解二次函数的顶点式，掌握二次函数的图象特征。
2.教学难点：学生能够运用二次函数的性质解决实际问题，理解二次函数的图象和性质之间的关系。
五. 说教学方法与手段在教学过程中，我将采用以下教学方法和手段：1.情境教学法：通过创设生活情境，激发学生的学习兴趣，引导学生主动参与课堂活动。
2.问题驱动法：通过提出问题，引导学生思考和探究，激发学生的学习动力。
3.合作学习法：学生进行小组讨论和合作，培养学生的合作意识和团队精神。
4.数形结合法：通过绘制二次函数的图象，引导学生观察和分析，帮助学生理解和掌握二次函数的图象和性质。
六. 说教学过程1.导入：通过一个实际问题，引导学生思考二次函数的图象和性质，激发学生的学习兴趣。
初中：二次函数性质与图像
3．二次函数的图象与性质：
二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象是一条抛物线，当a＞0
时，抛物线的开口向上，这时当x≤－
b 2a
时，y随x的增大而减
小；当x≥－2ba时，y随x的增大而增大；当x＝－2ba时，y有最
小值
4ac－b2 4a
．当a＜0时，抛物线开口向下，这时当x≤－
b 2a
时，y随x的增大而增大；当x≥－
1．二次函数的定义： 一般地，形如_y＝ax2＋bx＋c(其中 a，b，c 是常数，a≠0) 的函数叫做二次函数．
2．二次函数的三种表达式：
(1)一般式：y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，a≠0).
(2)顶点式：y＝a(x－h)2＋k(a，h，k是常数，a≠0)，顶 点坐标是(h，k)． (3)交点式：y＝a(x－x1)(x－x2)(a，x1，x2是常数， a≠0)，其中x1，x2是二次函数与x轴的交点的横坐标，图 象的对称轴为直线__x＝x1＋2 x2．
＝ax2＋bx＋c的图象与x轴相交于A(－2，0)，B(1，0)
两点．有下列结论：①ac＞0；②二次函数y＝ax2＋bx
＋c的图象的对称轴为直线x＝－1；③2a＋c＝0；④a
－b＋c＞0.其中正确的有
()
A. 0个
B. 1个
C. 2个
D. 3个
【解析】 函数图象开口向下，∴a＜0，与y轴的交点在y轴的正半轴， ∴c＞0，∴ac＜0，故①错误． 二次函数的图象与x轴相交于点A(－2，0)，B(1，0)，由对称性可知其对
(1)b2－4ac＞0⇔抛物线与x轴有两个交点
－b±
2ba2－4ac，0.
(2)b2－4ac＝0⇔抛物线与x轴只有一个交点－2ba，0. (3)b2－4ac＜0⇔抛物线与x轴没有交点．
人教版九年级数学上册《二次函数y=a(x-h)2+k 的图象和性质》二次函数PPT精品教学课件
2
2
轴和顶点坐标、顶点高低、函数最值、函数增减性.
根据图象回答下列问题:
(1)图象的形状都是 抛物线 ；
(2)三条抛物线的开口方向__向__下___;
(3)对称轴分别是__x=_-_1_,_x_=_1__；
(4) 从左到右顶点坐标分别是(_-_1_,_0_)___(_1_,_0_)_;
y 1 x+12
y y = 2x2+1 y = 2x2 -1
把抛物线y=2x2 向上 平移 1 个单位就得到
8 y = 2x2
抛物线y=2x2+1;把抛物线y=2x2向下平移 1 个单
6
位就得到抛物线y=2x2-1.
4
2
所以，y = 2x2 -1的图象还可以由抛物线
y = 2x2+1 向下 平移 2 个单位得到.
-4 -2 O 2 4 x -1
2
y 1 (x 1)2 2
画出二次函数 y 1 x 12 , y 1 x 12 的图象，并考虑它们的开口方向、对称
2
2
轴和顶点坐标、顶点高低、函数最值、函数增减性.
(5)顶点都是最__高__点，函数都有最__大__值，最 _大___值均为__y_=_0_； (6)函数的增减性都相同： 对称轴左边时_y_随__x_增__大__而__增__大_， 对称轴右边时_y_随__x_增__大__而__减__小__.
y 3x2
顶点 (0,0)
y 3x2 2
y 3x2 3
向下平移
向上平移
两个单位长度
5个单位长度
(0, -2)
(0, 3)
巩固练习
1.下列抛物线的顶点坐标为(0,1)的是( A )
第1课时 二次函数y=a2的图像和性质
－4 －2 －2 －4
－6
－8
y x2
24
y 1 x2 2
y 2x2
对于抛物线 y = ax 2 ，｜a｜越大，抛物线的开口越小．
知识要点
y＝ax2 图像
位置开 口方向 对称性 顶点最值
增减性
a>0 y
O x
开口向上,在x轴上方
a<0 yx
O
开口向下,在x轴下方
a的绝对值越大，开口越小
关于y轴对称，对称轴是直线x＝0 顶点坐标是原点（0，0）
-3 -6 -9
议一议
根据你以往学习函数图像性质的经验，说说二次
函数y=x2的图像有哪些性质，并与同伴交流.
y
1.y＝x2是一条抛物线;
y=x2
2.图像开口向上;
3.图像关于y轴对称;
4.顶点（ 0 ，0 ）; 5.图像有最低点．
o
x
说说二次函数y=-x2的图像有哪些性质,与同伴交流.
1.y＝-x2是一条抛物线; 2.图像开口向下; 3.图像关于y轴对称; 4.顶点（ 0 ，0 ）; 5.图像有最高点．
O
x y=-ax2
二 二次函数y=ax2的性质 问题1：观察图形，y随x的变化如何变化？
(-2,4)
(2,4)
(-1,1)
(1,1)
y x2
y ax2
知识要点
对于抛物线 y = ax 2 （a＞0） 当x＞0时，y随x取值的增大而增大； 当x<0时，y随x取值的增大而减小.
问题2：观察图形，y随x的变化如何变化？
y
o
x
y=-x2
知识要点
二次函数y=ax2 的图像性质： 1. 顶点都在原点; 2. 图像关于y轴对称; 3.当a>0时，开口向上； 当a<0时，开口向下．
22.1.3二次函数y=a2+k的图象和性质
抛物线y=－
1 2
x2向下平移５个单位后，所得
抛物线为
y=－
1 2
x2－５ ，再向上平移７个单位
后，所得抛物线为
y=－
1 2
x2＋２
.
抛物线y=ax2＋c与y=－５x2的 形状大小，开口方向都相同，且
其顶点坐标是（０，３），则其 表达式为 y=－５x2＋３ ，它是由抛 物线y=－５x2向 上 平移 ３ 个 单位得到的．
抛物线y=ax2＋c与y=３x2的形 状相同，且其顶点坐标是
（０，１），则其表达式 为 y=３x2＋１ 或y=－３x2＋１ ，
１、在直角坐标系中，二次函数y=3x2+2 的图象大致是下图中的( A )
y
0x A
y 0x
B
y 0x
C
y 0x
D
2、函数y=3x2+5与y=3x2的图象
的不同之处是( C )
形状大小相同，开口方向相同，对称轴相同， 而顶点位置和抛物线的位置不同． 抛物线之间的平移规律：
向上平移
抛物线y=ax2 k个单位 抛物线 y=ax2+k
抛物线y=ax2
向下平移 k个单位
抛物线
y=ax2－k
一般地,抛物线y=ax2+k有如下特点:
y
(1)对称轴是y轴;
10
9 8
7
6
5
(2)顶点是(0,c).
抛物线y=ax2与y=ax2±k之间的关系是：
形状大小相同，开口方向相同，对称轴相同， 而顶点位置和抛物线的位置不同． 抛物线之间的平移规律：
向上平移
抛物线y=ax2 k个单位 抛物线 y=ax2+k
抛物线y=ax2
我的《二次函数y=a2的图象和性质》教案
《二次函数y=a²的图象和性质》教案一、教学目标1.理解二次函数y=a²的定义及性质。
2.掌握二次函数y=a²的图象特点。
3.能够运用二次函数y=a²的性质解决实际问题。
二、教学重难点1.重点：二次函数y=a²的图象和性质。
2.难点：二次函数y=a²的性质在实际问题中的应用。
三、教学过程1.导入新课通过引导学生回顾一次函数、二次函数的基本概念，引入二次函数y=a²。
提问：同学们，我们已经学过一次函数和二次函数，那么二次函数y=a²有什么特殊之处呢？今天我们就来学习一下二次函数y=a²的图象和性质。
2.探究二次函数y=a²的图象请同学们在坐标系中画出二次函数y=a²的图象。
引导学生观察图象，发现二次函数y=a²的图象是一个开口朝上或朝下的抛物线。
提问：同学们，你们能发现二次函数y=a²的图象有什么特点吗？3.分析二次函数y=a²的性质性质1：二次函数y=a²的图象是一个开口朝上或朝下的抛物线。
性质2：二次函数y=a²的对称轴是y轴。
性质3：二次函数y=a²的顶点是原点。
性质4：二次函数y=a²的导数为2a。
性质5：当a>0时，二次函数y=a²在y轴左侧单调递减，在y轴右侧单调递增；当a<0时，二次函数y=a²在y轴左侧单调递增，在y 轴右侧单调递减。
4.二次函数y=a²的应用请同学们举例说明二次函数y=a²在实际问题中的应用。
例如：物体自由落体运动、投篮的抛物线轨迹等。
引导学生运用二次函数y=a²的性质解决实际问题。
5.课堂小结提问：同学们，你们能用自己的语言概括一下二次函数y=a²的图象和性质吗？6.作业布置1.绘制二次函数y=a²的图象，并标出对称轴、顶点。