2018-2019学年北京市清华附中九年级第一学期10月月考数学测试题(扫描版,无答案)
清华附初三2019年10月月考
C17级数学统练试卷03一、选择题（8小题，每題2分，共16分)1.抛物线y =3(x - 2)2 + 5和顶点坐标是（）A. (-2,5)B. (-2,-5)C. (2,5)D. (2,-5)2.二次函数y=x2 - ax + b中，若a + b=0，则它的图象必经过点（）A. (-1, 1)B.(1, 1)C.(1, -1)D.(-1, -1)3.若x=1是方程ax2 + bx + c = 0的解，则（）A. a + b + c = 1B. a - b + c = 0C. a + b + c = 0D. a - b - c = 04.用配方法解方程x2 - 4x +1 = 0，配方后所得的方程是（）A. (x - 2)2 = 3B. (x + 2)2 = 3C. (x - 2)2 = -3D. (x + 2)2 = -35.关于x的一元二次方程x2 - 3x + m=0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是（）A. m<B. m≤C. m>D. m≥6.如图，在 ABCD中，E为CD上一点，连接AE、BD，且AE、BD交于点F，DE:EC=2:3，则S∆DEF : S∆ABF = （）A. 2:3B.4:9C.2:5D.4:257.如图是小明利用等腰直角三角板测量旗杆高度的示意图，等腰直角三角板的斜边BD与地面AF平行，当小明的视线恰好沿BC经过旗杆顶部点E时，测量出此时他所在的位置点A与旗杆底部点F的距离为10 米，如果小明的眼晴距离地面1.7米，那么旗杆EF的高度为（）A.10米B.11.7 米C.10米D.(5 + 1.7)米8.如图所示，二次函数 y = ax2 + bx + c (a ≠ 0)的图象经过点(-1,2)与x轴交点的横坐标分别为X1，X2，其中-2 < X1 < -1， 0 < X2 < 1 ，下列结论：(1)4a - 2b + c < 0；(2)2a - b < 0； (3)a-2b>0；(4)b2 >4a (c-2)，其中正确的有（）A.1个B. 2个C.3个D.4个二、填空題（8小题，每題2分，共16分）9.若二次根式有意义，则x的取值范围是____________.10.如果点P1(2,y1)、P2(3,y2)在抛物线y = - x2 + 2x上，那么y1__y2（填">"、 <"或"="）11.请写岀一个开口向下，对称轴为直线x=1的抛物线解析式，y = ____________。
北京市海淀区清华大学附中九年级(上)月考数学试卷(10月份)
北京市海淀区清华大学附中九年级（上）月考数学试卷（10月份）一、选择题（共10小题，每题3分，共30分）1．（3分）下列方程中，是一元二次方程的是（）A．2x﹣y=3B．x+=2C．x2﹣2x+1=0D．x﹣1=02．（3分）把抛物线y=（x+3）2+1向上平移2个单位，抛物线的解析式为（）A．y=（x+3）2﹣1B．y=（x+3）2+3C．y=（x+5）2+1D．y=（x﹣3）2+1 3．（3分）已知，AB是⊙O的弦，且OA=AB，则∠AOB的度数为（）A．30°B．45°C．60°D．90°4．（3分）下列安全标志图中，是中心对称图形的是（）A．B．C．D．5．（3分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，E为CD延长线上一点，如果∠ADE=120°，那么∠B等于（）A．130°B．120°C．80°D．60°6．（3分）平面直角坐标系内一点P（﹣2，3）关于原点对称的点的坐标是（）A．（3，﹣2）B．（2，3）C．（﹣2，﹣3）D．（2，﹣3）7．（3分）用配方法解一元二次方程x2+4x﹣5=0，此方程可变形为（）A．（x+2）2=9B．（x﹣2）2=9C．（x+2）2=1D．（x﹣2）2=1 8．（3分）如图，PA、PB分别是⊙O的切线，A、B为切点，点E是⊙O上一点，且∠AEB=65°，则∠P为（）A．75°B．60°C．50°D．45°9．（3分）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则函数值y＞0时，x 的取值范围是（）A．x＜﹣1B．x＞3C．﹣1＜x＜3D．x＜﹣1或x＞3 10．（3分）由四个直径相等的半圆围成的道路如图①所示，小张在道路上匀速行走，他从点C出发，沿箭头所示的方向经过点D再走到点A，共用时40秒，有一台摄像机选择了一个固定的位置记录了小张的走路过程，设小张走路的时间为t（单位：秒），他与摄像机的距离为y（单位：米），表示y与t的函数关系的图象大致如图②，则这个固定位置可能是图①中的（）A．点Q B．点P C．点M D．点N二、填空题（共6小题，每题3分，共18分）11．（3分）请写出一个开口向下且对称轴为y轴的抛物线的解析式．12．（3分）一元二次方程x2﹣2x=0的解为．13．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB=5，AD=3．矩形ABCD绕着点A逆时针旋转一定角度得到矩形AB'C'D'．若点B的对应点B'落在边CD上，则B'C的长为．14．（3分）点P（1，y1）和点Q（2，y2）分别为抛物线y=x2﹣3上的两点，则y1y2（用“＞”或“＜”填空）．15．（3分）如图，一块直角三角板ABC的斜边AB与量角器的直径重合，点D 对应的刻度值为60°，则∠BCD的度数为．16．（3分）如图所示，已知P是⊙O外一点，求作经过点P且与⊙O相切的直线．小明的作法如下：连接OP，取OP的中点M，以M为圆心，MO为半径作两段圆弧，分别与⊙O 交于A、B两点，连接PA、PB，PA、PB所在的直线即为所求，小明的作法的依据是：．三、解答题（共12小题）17．（5分）解方程：x2﹣2x﹣8=0．18．（5分）如图，点C在线段AB上，△DAC和△DBE都是等边三角形，求证：AB=CE．19．（5分）在直径为650mm的圆柱形油桶内装进不足半桶油后其横截面如图，若油面宽AB=600mm，求油的最大深度．20．（5分）已知关于x的方程x2+3x+=0有两个不相等的实数根．（1）求m的取值范围；（2）若m为符合条件的最大整数，求此时方程的根．21．（6分）△ABC与点O在10×10的网格中的位置如图所示，设每个小正方形的边长为1．（1）画出△ABC绕点O旋转180°后的图形；（2）在图中做出△ABC的外接圆⊙M，并标注出外接圆的圆心M．22．（6分）二次函数的图象与两坐标轴分别交于A（﹣1，0）、点B（3，0）和点C（0，﹣3），一次函数的图象与抛物线交于B、C两点．（1）求二次函数解析式；（2）在同一直角坐标系中作出二次函数的图象；（3）当自变量x取值范围是时，一次函数值大于二次函数值．23．（5分）如图，AB是半圆O的直径，C、D是半圆O上的两点，且OD∥BC，OD与AC交于点E．（1）若∠B=70°，求∠CAD的度数；（2）若AB=4，AC=3，求DE的长．24．（6分）已知关于x的方程x2+ax+b=0（b≠0）与x2+cx+d=0都有实数根，若这两个方程有且只有一个公共根，且ab=cd，则称它们互为“同根轮换方程”．如x2﹣x﹣6=0与x2﹣2x﹣3=0互为“同根轮换方程”．（1）若关于x的方程x2+4x+m=0与x2﹣6x+n=0互为“同根轮换方程”，求m的值；（2）已知方程①：x2+ax+b=0和方程②：x2+2ax+b=0，p、q分别是方程①和方程②的实数根，且p≠q，b≠0．试问方程①和方程②是否能互为“同根轮换方程”？如果能，用含a的代数式分别表示p和q；如果不能，请说明理由．25．（6分）如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，弦AD的延长线交直线BC于点C．（1）若AB=10，∠ACB=60°，求BD的长；（2）若点E是线段BC的中点，求证：DE是⊙O的切线．26．（7分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=x2+mx+n的图象经过点A（﹣1，a）、B（3，a），且最低点的纵坐标为﹣4．（1）求抛物线的表达式及实数a的值；（2）记抛物线在点A、B之间的部分图象为G（包含A、B两点），直线y=kx+3与G有公共点，结合图形直接写出实数k的取值范围．27．（8分）定义：在平面直角坐标系中，图形F上的点的纵坐标y与其横坐标x 的差y﹣x称为该点的“坐标差”，而该图形上所有点的“坐标差”的最大值称为该图形的“特征值”．（1）①点A（0，1）的“坐标差”为；（直接写出答案）②线段MN：y=2x+1（﹣1≤x≤2）的“特征值”为；（直接出错答案）（2）若二次函数y=﹣x2+bx+c（c≠0）的“特征值”为﹣1，点B与点C分别是此二次函数的图象与x轴和y轴的公共点，且点B与点C的“坐标差”相等，求此二次函数的解析式；（3）直接写出圆心为（2，3），半径为2的圆的“特征值”为．28．（8分）在△ABC中，∠C=60°，AC=BC，点D在线段BC上（不与点B、C重合），连接AD，将AD绕点D顺时针旋转60°得到DE，连接BE．（1）①依题意补全图1；②探究线段AB、BD、BE之间的数量关系，并写出证明过程．（2）若AB=6，AD=2，求BE的长（直接写出答案）北京市海淀区清华大学附中九年级（上）月考数学试卷（10月份）参考答案一、选择题（共10小题，每题3分，共30分）1．C；2．B；3．C；4．B；5．B；6．D；7．A；8．C；9．D；10．B；二、填空题（共6小题，每题3分，共18分）11．y=﹣x2+1；12．x1=0，x2=2；13．1；14．＜；15．60°；16．直径所对的圆周角是直角；经过半径的外端点，且垂直于半径的直线是圆的切线；三、解答题（共12小题）17．；18．；19．；20．；21．；22．0＜x＜3；23．；24．；25．；26．；27．1；1；1+2；28．；。
北京清华大学附属中学九年级数学第一学期10月月考试题
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．清华附中九年级月考试卷数学一、选择题（每小题4分，共32分）1．下面四张扑克牌中，图案属于中心对称的是（ ）B 2．若02)1(2=+-+mx x m 是关于x 的一元二次方程，则m 的取值范围是（ ）AA.1-≠mB.1-=mC.1-≥mD.0≠m 3．下列计算中，正确的是（ ）BA.532=⨯ B.2221=C.2223=-D. 532=+ 4．如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，已知∠ABO =30º， 则∠ACB 的大小为（ ）DA ．50ºB ．45ºC ．30ºD ．60º 5．下列一元二次方程中没有．．实数根的是（ ）D A ．0322=-+x x B ．0962=++x xC ．0522=--x x D ．0432=++x x6．已知点A 的坐标为）（3,2，O 为坐标原点，连结OA ，将线段OA 绕点O 按逆时针方向旋转90°得1OA ，则点1A 的坐标为（ ）AA ．）（2,3-B ．）（2,3-C ．）（3,2-D ．）（3,2-7．如图，每个正方形网格的边长为1个单位长度，将△ABC 的三边分别扩大一倍得到△111A B C （顶点均在格点上），若它们是以点P 为位似中心的位似图形，则点P 的坐标是（ ）CA ．)4,4(--B ．)3,3(--C ．)3,4(--D ．)4,3(--8．如图，AC 、BD 为圆O 的两条垂直的直径，动点P 从圆心O 出发，沿线段OC -⋂CD -线段DO 的路线作匀速运动．设运动时间为t 秒，∠APB 的度数为y度，则下列图象中表示y 与t 的函数关系最恰当的是（ ）C二、填空题（每小题4分，共16分） 9．函数21-=x y 中，自变量x 的取值范围是 ．10．关于x 的一元二次方程01)1(22=-++-a x x a 的一个根是0，则a 的值为 ．11．如图，在△ABC 中，DE //AB 分别交AC ，BC 于 点D ，E ，若AD =2，CD =3，则△CDE 与△CAB 的周长比为 ．12．如图，在平面直角坐标系中，已知点A (-4,0)，B (0,3)，对△AOB 连续作旋转变换，依次得到三角形(1)、(2)、(3)、(4)、…，则第(7)个三角形的直角顶点．．．．的坐标是 ；第(2013)个三角形的直角顶点．．．．的坐标是 ．初11级初三月考数学答案二、填空题（每小题4分，共16分）（第12题）三、解答题（每小题5分，共30分）13．计算：|3|212013261-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+-）（．解：原式=3213+++………………………4分=332+………………………………5分14．解方程：1242=+x x ． 解法一：因式分解，得()()620x x +-=………………..…2分 于是得 60x +=或20x -=126,2x x =-=……………………...5分解法二：1,4,12a b c ===-2464b ac ∆=-=………………..…2分482x -±==………….4分126,2x x =-=……….…………..…5分15．如图，在ABC △中，AB 是O 的直径，O 与AC 交于点D ，，， 7560=∠=∠C B 求BOD ∠的度数．解：在ABC △中，60,75B C ∠=︒∠=︒,45A ∴∠=︒.………………..………………….2分 AB 是⊙O 的直径，⊙O 与AC 交于点D,∴290DOB A ∠=∠=︒…………………………5分 16．已知321+=a ，321-=b ，求b a b ab a 22322--++的值.解：32-=a ，32+=b ………………..……….2分所以4=+b a ，1=ab ………………..………...3分原式)(2)(2b a ab b a +-++= 42142⨯-+=9=………………..……………………………...2分17．如图，等腰直角△ABC 绕直角顶点A 按逆时针方向旋转60°后得到△ADE ，CADCBO且BC =2，求EC 的长．解： △ABC 是等腰直角三角形，且斜边BC =2，∴AC =2，………………..………………………...1分 △ADE 是由△ABC 绕A 旋转60°得到，∴60=∠CAE ，AE AC =，………………..……...3分 ∴CAE Δ为等边三角形，………………..…………..4分∴CE =AC =2．………………..…………………....5分18．如图，有一块矩形纸板，长为20cm ，宽为14cm ，在它的四角各切去一个同样的正方形，然后将四周突出部分沿虚线折起，就能制作一个无盖方盒，如果要制作的无盖方盒的底面积为160cm 2，那么纸板各角应切去边长为多大的正方形？解：设切去的小正方形边长为x .cm ，………………则 160(202)(142)x x =--，…………..整理得 217300x x -+=，解得 122,15x x ==（不合题意，舍去），….............4分 答：纸板各角应切去边长为2cm 的正方形．………....5分 四、解答题（每小题5分，共20分）19．已知a ,b 为实数，且01)1(1=---+b b a ，求20132013b a -的值．解： 0-1)1-(1=-+b b a ，∴0-1)1(1=-++b b a ，………………..…..…..………...…1分 根据二次根式的性质可得：01)1(,01≥--≥+b b a ，……2分 ∴0-1)1(,01=-=+b b a∴1,1=-=b a ………………..….……….………..…………......4分 ∴20132013b a-=2111)1(20132013-=--=--………..…………....5分20．已知关于x 的一元二次方程0)2()1(22=++--m m x m x . （1）若此方程有实数根，求m 的取值范围； （2）若x =－1是这个方程的一个根，求1423+-+m m m 的值． 解：（1） 此方程有实数根，∴)2(4)1(4Δ2+--=m m m0)41(4≥-=m ………..……….…….……......1分 ∴41≤m …….………..…………….………..…......3分 （2）把x =－1代入原方程，得：0)2()1()1(2)1(2=++-⨯---m m m ，………..…………..4分化简得：0142=-+m m ，∴1101)14(14223=+=+-+=+-+m m m m m m ...……....5分21．已知：如图，在△ABC 中，AB =AC = 5，BC = 8，D ，E 分别为BC ，AB 边上一点，∠ADE =∠C ．（1）求证：△BDE ∽△CAD ； （2）若CD =2，求BE 的长．（1）证明：∵ AB =AC ，∴ ∠B =∠C ．………………..…..…..…..…1分 ∵ ∠ADE +∠BDE =∠ADB =∠C +∠CAD ， 且∠ADE =∠C ，∴ ∠BDE =∠CAD ．………………..…..…2分 ∴ △BDE ∽△CAD ．………………..….…3分（2）解：由（1）得DB ACBE CD=．……………….….….…4分 ∵ AB =AC = 5，BC = 8，CD =2， ∴ 6DB BC CD =-=．∴ 622.45DB CD BE AC ⨯⨯===．……………..…..5分22．如图，已知点C 、D 在以O 为圆心，AB 为直径的半圆上，且OC BD ⊥于点M ，CF ⊥AB 于点F 交BD 于点E ，8BD =,2CM =． （1）求⊙O 的半径；（2）求证：CE = BE ．M F ED C BA O解：（1）∵AB 为直径，∴90=∠ADB ，∵BD OC ⊥，∴M 为的中点，482121=⨯==BD BM ….…..1分 设半径为r ，则OM ＝OC －CM ＝r －2∴在OBM ΔRt 中，２BM OM OB +=22，∴２4)2(22+-=r r ，解得5=r ，∴半径为5；………..……..3分（2）（方法一）易证OBM OCF ΔΔ≅(AAS)， ∴OF =OM ，又OB =OC∴OB -OF =OC -OM ，即BF =CM再证CEM BEF ΔΔ≅(AAS 或ASA)，∴CE = BE ．………..…………………………..…….….….…..5分 （方法二）连结BC ，易证OBM OCF ΔΔ≅(AAS)， ∴OBM OCF ∠=∠，又OB =OC ，∴OCB OBC ∠=∠， ∴ECB EBC ∠=∠，∴CE = BE ．………..…………………………..…….….….…..5分 五、解答题（第23、24小题各7分，第25小题8分，共22分）23．已知关于x 的一元二次方程250x ax a -++=. （1）若2x =是该方程的一个根，求a 的值；（2）无论a 取任何值，该方程的根不可能为0x x =，写出0x 的值，并证明； （3）若a 为正整数，且该方程存在正整数解，求所有正整数a 的值． 解：（1）4250a a -++=，…………………..…………1分解得9a =. ..…………………………………..….2分 （2）01x = ………………………………3分把0x x =代入，20050x ax a -++=，200(1)50x a x -++=，当01x =时，无论a 取何值，此等式均不成立. 无论a 取任何值，该方程的根不可能为1x =.…………4分（3）2420a a ∆=--,记2n ∆=，n 为正整数；22(2)24a n --=[(2)][(2)]24a n a n ---+= 由于2a n -+为非负数，且22a n a n -+>--，且2a n -+与2a n --奇偶性相同，所以22212a n a n --=⎧⎨-+=⎩ 或24216a n a n --=⎧⎨-+=⎩解得：7a =或9a =……………………………………6分PQCBA经验证，当7a =或9a =时正整数数，符合题………7分 （注：两个答案全部猜对且无其他答案可给结论分1分.）24．在△ABC 中，AC AB =， 60<∠BAC ，把线段BC 绕点B 逆时针旋转60至BP ；如图所示位置有 60=∠ABQ ， 150=∠BCQ ．（1）若30=∠BAC ，则=∠ABP 度；若αBAC =∠，则=∠ABP （用α表示）；（2）求证：△ABQ 为等边三角形；（3）四边形CBPQ 的面积为1，求△ABC 的面积． 解：（1）15；α2130-………2分 证明：连结CP ，∵ BC BP =，60CBP ∠=︒ ∴ △BCP 为等边三角形. ∴ 60CBP ∠=︒ ∵ AB AC = ∴18019022CBA αα︒-∠==︒-,∴ 1302ABP ABC PBC α∠=∠-∠=︒-(2) ∵ △BCP 为等边三角形，∴ BP CP =，60BPC ∠=︒， 在△BAP 与△CAP 中AB AC AP AP BP CP =⎧⎪=⎨⎪=⎩∴ △BAP ≌△CAP∴ 1(36060)1502APB APC ∠=∠=︒-︒=︒BPA BCQ ∠=∠，又∵ 60ABP QBC ABC ∠=∠=∠-︒ ∴ △BAP ≌△BQC ∴ BA BQ =,∴ △ABQ 为等边三角形.…………………………………5分 (3) ∵ △BAP ≌△BQC∴ AP CQ =1506090PCQ ∠=︒-︒=︒易证：12CPQ S CP CQ ∆=⨯而111()224ABP S BP AP BP AP ∆=⨯⨯=⨯（注：作高与利用正弦型面积公式均可） ∴ 2CBPQBCP CPQ BCP ABP ABC S S S S S S ∆∆∆∆∆=+=+=∴ 1ABC S ∆=.……………………………………..7分 25．点P 在图形M 上, 点Q 在图形N 上,记max (,)d M N 为线段PQ 长度的最大值，min (,)d M N 为线段PQ 长度的最小值，图形,M N 的平均距离(,)Ed M N =maxmin (,)(,)2d M N d M N +． （1）在平面直角坐标系xOy 中，⊙O 是以O 为圆心，2的半径的圆，且1(,22A ，B ，求(,Ed A ⊙)O 及(,Ed B ⊙)O ；(直接写出答案即可)（2）半径为1的⊙C 的圆心C 与坐标原点O 重合，直线33433+-=x y 与x 轴交于点D ，与y 轴交于点F ，记线段DF 为图形G ，求(,Ed G ⊙)C ；（3）在（2）的条件下，如果⊙C 的圆心C 从原点沿x 轴向右移动，⊙C 的半径不变，且(,Ed G ⊙)C =52，求圆心C 的横坐标．解：（1）(,Ed A ⊙)O =2，……………………………….…1分(,Ed B ⊙)O =4 ………………………………….…2分（2）max (,d G ⊙)C =5，min (,d G ⊙)C =1，……………………………..…4分（求对1个给一分，对于圆外一点到圆上的一点的距离的最大值与最小值要求有说理或画图解释，点到直线上一点的距离的最小值为该点到垂足的距离，要求有说理或画图解释。
2018-2019学年北京市清华附中九年级(上)月考数学试卷(10月份)含答案解析
2018-2019学年北京市清华附中九年级（上）月考数学试卷（10月份）一、选择题（本题共16分,每小题2分)1．（2分）（2018秋•历城区期末）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．2．（2分）（2018秋•正定县期末）一元二次方程2x2+3x﹣4＝0的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（）A．2，﹣3，﹣4B．2，3，4C．2，﹣3，4D．2，3，﹣4 3．（2分）（2018秋•滨湖区期末）若要得到函数y＝（x+1）2+2的图象，只需将函数y＝x2的图象（）A．先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度B．先向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度C．先向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度D．先向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度4．（2分）（2015秋•涞水县期末）如图，⊙O的半径为5，AB为弦，半径OC⊥AB，垂足为点E，若CE＝2，则AB的长是（）A．4B．6C．8D．105．（2分）（2018秋•海淀区校级月考）点P1（﹣1，y1），P2（3，y2），P3（5，y3）均在二次函数y＝﹣x2+2x﹣1的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（）A．y1＝y2＞y3B．y3＞y1＝y2C．y1＞y2＞y3D．y1＜y2＜y3 6．（2分）（2018秋•正定县期末）如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠OCB＝40°，则∠A的大小为（）A．40°B．50°C．80°D．100°7．（2分）（2017•莘县一模）如图，在平行四边形ABCD中，E为CD上一点，连接AE、BE、BD，且AE、BD交于点F，S△DEF：S△ABF＝4：25，则DE：EC＝（）A．2：3B．2：5C．3：5D．3：28．（2分）（2012•桂林）如图，在边长为4的正方形ABCD中，动点P从A点出发，以每秒1个单位长度的速度沿AB向B点运动，同时动点Q从B点出发，以每秒2个单位长度的速度沿BC→CD方向运动，当P运动到B点时，P、Q两点同时停止运动．设P点运动的时间为t，△APQ的面积为S，则S与t的函数关系的图象是（）A．B．C．D．二、填空题（本题共16分,每小题2分)9．（2分）（2013•芙蓉区校级模拟）点A（﹣1，2）关于原点对称点B的坐标是．10．（2分）（2018秋•海淀区校级月考）请写出一个开口向下且经过原点的抛物线解析式．11．（2分）（2015秋•北京校级期中）二次函数y＝x2﹣2x+6化为y＝（x﹣m）2+k的形式，则m+k＝．12．（2分）（2016•余干县三模）如图在平面直角坐标系中，过格点A，B，C作一圆弧，圆心坐标是．13．（2分）（2019•无棣县一模）如图，在平面直角坐标系xOy中，四边形OABC是正方形，点C（0，4），D是OA中点，将△CDO以C为旋转中心逆时针旋转90°后，再将得到的三角形平移，使点C与点O重合，写出此时点D的对应点的坐标：．14．（2分）（2018秋•海淀区校级月考）如图，⊙O的半径为4，将⊙O的一部分沿着弦AB 翻折，劣弧恰好经过圆心O，则折痕AB的长为．15．（2分）（2018秋•海淀区校级月考）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与y轴交于点C，与x轴交于A，B两点，其中点B的坐标为B（4，0），抛物线的对称轴交x轴于点D，CE∥AB，并与抛物线的对称轴交于点E．现有下列结论：①b＞0；②4a+2b+c＜0；③AD+CE＝4．其中所有正确结论的序号是．16．（2分）（2017秋•海淀区期中）下面是“作已知三角形的高”的尺规作图过程．已知：△ABC ．求作：BC 边上的高AD ．作法：如图2，（1）分别以点A 和点C 为圆心，大于12AC 的长为单位作弧，两弧相交于P ，Q 两点； （2）作直线PQ ，交AC 于点O ；（3）以O 为圆心，OA 为半径作⊙O ，与CB 的延长线交于点D ，连接AD ．线段AD 即为所作的高．请回答：该尺规作图的依据是 ．三、解答题（本题共68分,第17-20,每小题5分,第23-26题,每小题5分,第27，28题,每小题5分)解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.17．（5分）（2010•花垣县校级自主招生）用适当的方法解方程x 2﹣5x +6＝0．18．（5分）（2009秋•海淀区期末）已知：k 是方程3x 2﹣2x ﹣1＝0的一个根，求代数式（k﹣1）2+2（k +1）（k ﹣1）+7的值．19．（5分）（2018秋•海淀区校级月考）将两个大小不同的含45°角的直角三角板如图1所示放置在同一平面内．从图1中抽象出一个几何图形（如图2），B 、C 、E 三点在同一条直线上，连结DC ．求证：BE ＝CD ．20．（5分）（2019•扬州一模）已知关于x 的一元二次方程x 2+2（m ﹣1）x +m 2﹣3＝0有两个不相等的实数根．（1）求m的取值范围；（2）若m为非负整数，且该方程的根都是无理数，求m的值．21．（5分）（2017秋•北京期末）如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形，在建立平面直角坐标系后，△ABC的顶点均在格点上，点B的坐标为（1，0）．（1）在图1中画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1，直接写出点C的对应点C1的坐标．（2）在图2中，以点O为位似中心，将△ABC放大，使放大后的△A2B2C2与△ABC的对应边的比为2：1（画出一种即可）．直接写出点C的对应点C2的坐标．22．（5分）（2018秋•海淀区校级月考）设二次函数y1＝x2﹣4x+3的图象为C1，二次函数y ＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与C1关于y轴对称．（1）求二次函数y2＝ax2+bx+c的解析式；（2）当﹣3＜x≤0时，直接写出y2的取值范围．23．（6分）（2018秋•海淀区校级月考）已知：如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，D，E分别为BC，AB边上一点，∠ADE＝∠C．（1）求证：△BDE∽△CAD；（2）若CD＝2，求BE的长．24．（6分）（2017秋•海淀区期中）如图，AB为⊙O上，过点O作OD⊥BC于点E，交⊙O 于点D，CD∥AB．（1）求证：E为OD的中点；（2）若CB＝6，求四边形CAOD的面积．25．（6分）（2013•泰安校级模拟）如图，已知正方形ABCD，点E在BC边上，将△DCE 绕某点G旋转得到△CBF，点F恰好在AB边上．（1）请画出旋转中心G（保留画图痕迹），并连接GF，GE；（2）若正方形的边长为2a，当CE＝时，S△FGE＝S△FBE；当CE＝时，S△FGE＝3S△FBE．26．（6分）（2018秋•海淀区校级月考）已知二次函数y＝ax2﹣（2a+1）x+c（a＞0）的图象经过坐标原点O，一次函数y＝﹣x+4与x轴、y轴分别交于点A、B．（1）c＝，点A的坐标为；（2）若二次函数y＝ax2﹣（2a+1）x+c的图象经过点A，求a的值；（3）若二次函数y＝ax2﹣（2a+1）x+c的图象与△AOB只有一个公共点，直接写出a的取值范围．27．（7分）（2018秋•海淀区校级月考）已知，在等腰△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，以AC为边作等边△ACE，直线BE交直线AD于点F．如图，60°≤∠BAC≤120°，△ACF与△ABC在直线AC的同侧．（1）①补全图形；②∠EAF+∠CEF＝；（2）猜想线段F A，FB，FE的数量关系，并证明你的结论；（3）若BC＝2，则AF的最大值为．28．（7分）（2018秋•海淀区校级月考）在平面直角坐标系xOy中，中心为点C正方形的各边分别与两坐标轴平行，若点P是与C不重合的点，点P关于正方形的仿射点Q的定义如下：设射线CP交正方形的边于点M，若射线CP上存在一点Q，满足CP+CQ＝2CM，则称Q为点P关于正方形的仿射点如图为点P关于正方形的仿射点Q的示意图．特别地，当点P与中心C重合时，规定CP＝0．（1）当正方形的中心为原点O，边长为2时．①分别判断点F（2，0），G（−32，34），H（3，3）关于该正方形的仿射点是否存在？若存在，直接写出其仿射点的坐标；②若点P在直线y＝﹣x+3上，且点P关于该正方形的仿射点Q存在，求点P的横坐标的取值范围；（2）若正方形的中心C在x轴上，边长为2，直线y=−√33+2√3与x轴、y轴分别交于点A，B，若线段AB上存在点P，使得点P关于该正方形的仿射点Q在正方形的内部，直接写出正方形的中心C的横坐标的取值范围．2018-2019学年北京市清华附中九年级（上）月考数学试卷（10月份）参考答案与试题解析一、选择题（本题共16分,每小题2分)1．（2分）（2018秋•历城区期末）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；B、不是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；D、既是轴对称图形又是中心对称图形，故本选项符合题意．故选：D．2．（2分）（2018秋•正定县期末）一元二次方程2x2+3x﹣4＝0的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（）A．2，﹣3，﹣4B．2，3，4C．2，﹣3，4D．2，3，﹣4【解答】解：一元二次方程2x2+3x﹣4＝0的二次项系数、一次项系数、常数项分别是2，3，﹣4．故选：D．3．（2分）（2018秋•滨湖区期末）若要得到函数y＝（x+1）2+2的图象，只需将函数y＝x2的图象（）A．先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度B．先向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度C．先向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度D．先向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度【解答】解：∵抛物线y＝（x+1）2+2的顶点坐标为（﹣1，2），抛物线y＝x2的顶点坐标为（0，0），∴将抛物线y＝x2先向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度即可得出抛物线y ＝（x+1）2+2．故选：B．4．（2分）（2015秋•涞水县期末）如图，⊙O的半径为5，AB为弦，半径OC⊥AB，垂足为点E，若CE＝2，则AB的长是（）A．4B．6C．8D．10【解答】解：如右图，连接OA，∵半径OC⊥AB，∴AE＝BE=12AB，∵OC＝5，CE＝2，∴OE＝3，在Rt△AOE中，AE=√OA2−OE2=4，∴AB＝2AE＝8，故选：C．5．（2分）（2018秋•海淀区校级月考）点P1（﹣1，y1），P2（3，y2），P3（5，y3）均在二次函数y＝﹣x2+2x﹣1的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（）A．y1＝y2＞y3B．y3＞y1＝y2C．y1＞y2＞y3D．y1＜y2＜y3【解答】解：∵y＝﹣x2+2x﹣1＝﹣（x﹣1）2，∴对称轴为x＝1，P2（3，y2），P3（5，y3）在对称轴的右侧，y随x的增大而减小，∵3＜5，∴y2＞y3，根据二次函数图象的对称性可知，P1（﹣1，y1）与（3，y1）关于对称轴对称，故y 1＝y 2＞y 3，故选：A ．6．（2分）（2018秋•正定县期末）如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，∠OCB ＝40°，则∠A 的大小为（ ）A ．40°B ．50°C ．80°D ．100°【解答】解：∵OB ＝OC∴∠BOC ＝180°﹣2∠OCB ＝100°，∴由圆周角定理可知：∠A =12∠BOC ＝50°故选：B ．7．（2分）（2017•莘县一模）如图，在平行四边形ABCD 中，E 为CD 上一点，连接AE 、BE 、BD ，且AE 、BD 交于点F ，S △DEF ：S △ABF ＝4：25，则DE ：EC ＝（ ）A ．2：3B ．2：5C ．3：5D ．3：2【解答】解：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB ∥CD ，∴∠EAB ＝∠DEF ，∠AFB ＝∠DFE ，∴△DEF ∽△BAF ，∵S △DEF ：S △ABF ＝4：25，∴DE AB =25， ∵AB ＝CD ，∴DE ：EC ＝2：3．故选：A ．8．（2分）（2012•桂林）如图，在边长为4的正方形ABCD 中，动点P 从A 点出发，以每秒1个单位长度的速度沿AB向B点运动，同时动点Q从B点出发，以每秒2个单位长度的速度沿BC→CD方向运动，当P运动到B点时，P、Q两点同时停止运动．设P点运动的时间为t，△APQ的面积为S，则S与t的函数关系的图象是（）A．B．C．D．【解答】解：①点P在AB上运动，点Q在BC上运动，此时AP＝t，QB＝2t，故可得S=12AP•QB＝t2，函数图象为抛物线；②点P在AB上运动，点Q在CD上运动，此时AP＝t，△APQ底边AP上的高保持不变，为正方形的边长4，故可得S=12AP×4＝2t，函数图象为一次函数．综上可得总过程的函数图象，先是抛物线，然后是一次增函数．故选：D．二、填空题（本题共16分,每小题2分)9．（2分）（2013•芙蓉区校级模拟）点A（﹣1，2）关于原点对称点B的坐标是（1，﹣2）．【解答】解：点A（﹣1，2）关于原点对称点B的坐标是（1，﹣2），故答案为：（1，﹣2）．10．（2分）（2018秋•海淀区校级月考）请写出一个开口向下且经过原点的抛物线解析式y＝﹣x2．【解答】解：开口向下且经过原点的抛物线解析式可为y＝﹣x2．故答案为y＝﹣x2．11．（2分）（2015秋•北京校级期中）二次函数y＝x2﹣2x+6化为y＝（x﹣m）2+k的形式，则m+k＝6．【解答】解：∵y＝x2﹣2x+6＝x2﹣2x+1+5＝（x﹣1）2+5，∴m＝1，k＝5，∴m+k＝1+5＝6．故答案是：6．12．（2分）（2016•余干县三模）如图在平面直角坐标系中，过格点A，B，C作一圆弧，圆心坐标是（2，0）．【解答】解：根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心，可以作弦AB和BC的垂直平分线，交点即为圆心．如图所示，则圆心是（2，0）．故答案为：（2，0）．13．（2分）（2019•无棣县一模）如图，在平面直角坐标系xOy中，四边形OABC是正方形，点C（0，4），D是OA中点，将△CDO以C为旋转中心逆时针旋转90°后，再将得到的三角形平移，使点C与点O重合，写出此时点D的对应点的坐标：（4，2）．【解答】解：∵△CDO绕点C逆时针旋转90°，得到△CBD′，则BD′＝OD＝2，∴点D坐标为（4，6）；当将点C与点O重合时，点C向下平移4个单位，得到△OAD′′，∴点D向下平移4个单位．故点D′′坐标为（4，2），故答案为：（4，2）．14．（2分）（2018秋•海淀区校级月考）如图，⊙O的半径为4，将⊙O的一部分沿着弦AB 翻折，劣弧恰好经过圆心O，则折痕AB的长为4√3．【解答】解：过O作OC⊥AB于D，交⊙O于C，连接OA，Rt△OAD中，OD＝CD=12OC＝2，OA＝4，根据勾股定理，得：AD=√AO2−OD2=2√3，由垂径定理得，AB＝2AD＝4√3，故答案为4√3．15．（2分）（2018秋•海淀区校级月考）如图，抛物线y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）与y 轴交于点C ，与x 轴交于A ，B 两点，其中点B 的坐标为B （4，0），抛物线的对称轴交x 轴于点D ，CE ∥AB ，并与抛物线的对称轴交于点E ．现有下列结论：①b ＞0；②4a +2b +c ＜0；③AD +CE ＝4．其中所有正确结论的序号是 ①③ ．【解答】解：①该函数图象的开口向下，a ＜0，−b 2a ＞0，∴b ＞0，正确；②把x ＝2代入解析式可得4a +2b +c ＞0，错误；③∵AD ＝DB ，CE ＝OD ，∴AD +OD ＝DB +OD ＝OB ＝4，可得：AD +CE ＝4，正确． 故答案为：①③．16．（2分）（2017秋•海淀区期中）下面是“作已知三角形的高”的尺规作图过程．已知：△ABC ．求作：BC 边上的高AD ．作法：如图2，（1）分别以点A 和点C 为圆心，大于12AC 的长为单位作弧，两弧相交于P ，Q 两点； （2）作直线PQ ，交AC 于点O ；（3）以O 为圆心，OA 为半径作⊙O ，与CB 的延长线交于点D ，连接AD ．线段AD 即为所作的高．请回答：该尺规作图的依据是 ①到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上； ②直径所对得圆周角是直角；③两点确定一条直线． ．【解答】解：①到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上；②直径所对得圆周角是直角；③两点确定一条直线．故答案为：①到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上；②直径所对得圆周角是直角；③两点确定一条直线．三、解答题（本题共68分,第17-20,每小题5分,第23-26题,每小题5分,第27，28题,每小题5分)解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.17．（5分）（2010•花垣县校级自主招生）用适当的方法解方程x2﹣5x+6＝0．【解答】解：方程x2﹣5x+6＝0，（x﹣2）（x﹣3）＝0，x﹣2＝0，x﹣3＝0，x1＝2，x2＝3．18．（5分）（2009秋•海淀区期末）已知：k是方程3x2﹣2x﹣1＝0的一个根，求代数式（k ﹣1）2+2（k+1）（k﹣1）+7的值．【解答】解：∵k是方程3x2﹣2x﹣1＝0的一个根，∴3k2﹣2k﹣1＝0，∴3k2﹣2k＝1；∴（k﹣1）2+2（k+1）（k﹣1）+7，＝k2﹣2k+1+2（k2﹣1）+7，＝k2﹣2k+1+2k2﹣2+7，＝3k2﹣2k+6，＝1+6，＝7．19．（5分）（2018秋•海淀区校级月考）将两个大小不同的含45°角的直角三角板如图1所示放置在同一平面内．从图1中抽象出一个几何图形（如图2），B、C、E三点在同一条直线上，连结DC．求证：BE＝CD．【解答】证明：∵△ABC 和△ADE 均为等腰直角三角形，∴AB ＝AC ，AD ＝AE ，∠BAC ＝∠DAE ＝90，即∠BAC +∠CAE ＝∠DAE +∠CAE ，∴∠BAE ＝∠CAD ，在△ABE 和△ACD 中，{AB =AC ∠BAE =∠CAD AE =AD，∴△ABE ≌△ACD （SAS ），∴BE ＝CD ．20．（5分）（2019•扬州一模）已知关于x 的一元二次方程x 2+2（m ﹣1）x +m 2﹣3＝0有两个不相等的实数根．（1）求m 的取值范围；（2）若m 为非负整数，且该方程的根都是无理数，求m 的值．【解答】解：（1）△＝[2（m ﹣1）]2﹣4（m 2﹣3）＝﹣8m +16．∵方程有两个不相等的实数根，∴△＞0．即﹣8m +16＞0．解得 m ＜2；（2）∵m ＜2，且m 为非负整数，∴m ＝0或m ＝1，当m ＝0时，原方程为x 2﹣2x ﹣3＝0，解得 x 1＝3，x 2＝﹣1，不符合题意舍去，当m ＝1时，原方程为x 2﹣2＝0，解得x 1=√2，x 2=−√2，综上所述，m ＝1．21．（5分）（2017秋•北京期末）如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形，在建立平面直角坐标系后，△ABC的顶点均在格点上，点B的坐标为（1，0）．（1）在图1中画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1，直接写出点C的对应点C1的坐标．（2）在图2中，以点O为位似中心，将△ABC放大，使放大后的△A2B2C2与△ABC的对应边的比为2：1（画出一种即可）．直接写出点C的对应点C2的坐标．【解答】解：（1）△ABC关于y轴对称的△A1B1C1如图所示，点C1的坐标（﹣3，1）；（2）放大后的△A2B2C2如图所示（画出一种即可），如图所示C2的坐标（﹣6，﹣2）．22．（5分）（2018秋•海淀区校级月考）设二次函数y1＝x2﹣4x+3的图象为C1，二次函数y ＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与C1关于y轴对称．（1）求二次函数y2＝ax2+bx+c的解析式；（2）当﹣3＜x≤0时，直接写出y2的取值范围．【解答】解：（1）二次函数y1＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1图象的顶点（2，﹣1），关于y轴的对称点坐标为（﹣2，﹣1）所以，所求的二次函数的解析式为y2＝（x+2）2﹣1，即y2＝x2+4x+3；（2）由二次函数的解析式为y2＝（x+2）2﹣1可知：开口向上，最小值为﹣1，把x＝0代入则y＝3，∴当﹣3＜x≤0时，y2的取值范围为：﹣1≤y2≤3；23．（6分）（2018秋•海淀区校级月考）已知：如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，D，E分别为BC，AB边上一点，∠ADE＝∠C．（1）求证：△BDE∽△CAD；（2）若CD＝2，求BE的长．【解答】（1）证明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C．∵∠ADE ＝∠C ，∠DAE ＝∠BAD ，∴∠ADE ＝∠B ，∴∠AED ＝∠ADB ．∵∠BED +∠AED ＝∠CDA +∠ADB ＝180°，∴∠BED ＝∠CDA ，∴△BDE ∽△CAD ．（2）解∵AB ＝AC ＝5，BC ＝8，CD ＝2，∴BD ＝6．∵△BDE ∽△CAD ，∴BE CD =BD CA ，即BE 2=65， ∴BE =125．24．（6分）（2017秋•海淀区期中）如图，AB 为⊙O 上，过点O 作OD ⊥BC 于点E ，交⊙O于点D ，CD ∥AB ．（1）求证：E 为OD 的中点；（2）若CB ＝6，求四边形CAOD 的面积．【解答】证明：（1）在⊙O 中，OD ⊥BC 于E ，∴CE ＝BE ，∵CD ∥AB ，∴∠DCE ＝∠B ，在△DCE 与△OBE 中{∠DCE =∠BCE =BE ∠CED =∠BEO，∴△DCE ≌△OBE （ASA ），∴DE＝OE，∴E是OD的中点；（2）连接OC，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∵OD⊥BC，∴∠CED═90°＝∠ACB，∴AC∥OD，∵CD∥AB，∴四边形CAOD是平行四边形，∵E是OD的中点，CE⊥OD，∴OC＝CD，∵OC＝OD，∴OC＝OD＝CD，∴△OCD是等边三角形，∴∠D＝60°，∴∠DCE＝90°﹣∠D＝30°，∴在Rt△CDE中，CD＝2DE，∵BC＝6，∴CE＝BE＝3，∵CE2+DE2＝CD2＝4DE2，∴DE=√3，CD＝2√3，∴OD＝CD＝2√3，∴四边形CAOD的面积＝OD•CE＝6√3．25．（6分）（2013•泰安校级模拟）如图，已知正方形ABCD，点E在BC边上，将△DCE 绕某点G旋转得到△CBF，点F恰好在AB边上．（1）请画出旋转中心G（保留画图痕迹），并连接GF，GE；（2）若正方形的边长为2a ，当CE ＝ a 时，S △FGE ＝S △FBE ；当CE ＝2a+√2a 2或EC =2a−√2a 2 时，S △FGE ＝3S △FBE ．【解答】解：（1）如图：分别作线段BC 、EF 的垂直平分线的交点就是旋转中心点G ．（2）∵G 是旋转中心，且四边形ABCD 是正方形，∴FG ＝EG ，∠FGE ＝90°∵S △FGE =FG 22，且由勾股定理，得2FG 2＝EF 2，∴S △FGE =EF 24． 设EC ＝x ，则BF ＝x ，BE ＝2a ﹣x ，在Rt △BEF 中，由勾股定理，得EF 2＝x 2+（2a ﹣x ）2，∴S △FGE =x 2+(2a−x)24． ∵S △FBE =x(2a−x)2， ①当S △FGE ＝S △FBE 时，则x 2+(2a−x)24=x(2a−x)2，解得：x ＝a ；∴EC ＝a ．②当S △FGE ＝3S △FBE 时，则x 2+(2a−x)24=x⋅(2a−x)2⋅3， ∴2x 2﹣4ax +a 2＝0，解得：x =2a+√2a 2或x =2a−√2a 2． ∴EC =2a+√2a 2或EC =2a−√2a 2． 故答案为：a ； 2a+√2a 2或EC =2a−√2a 2．26．（6分）（2018秋•海淀区校级月考）已知二次函数y ＝ax 2﹣（2a +1）x +c （a ＞0）的图象经过坐标原点O ，一次函数y ＝﹣x +4与x 轴、y 轴分别交于点A 、B ．（1）c ＝ 0 ，点A 的坐标为 （4，0） ；（2）若二次函数y ＝ax 2﹣（2a +1）x +c 的图象经过点A ，求a 的值；（3）若二次函数y ＝ax 2﹣（2a +1）x +c 的图象与△AOB 只有一个公共点，直接写出a 的取值范围．【解答】解：（1）∵二次函数y ＝ax 2﹣（2a +1）x +c （a ＞0）的图象经过坐标原点O ， ∴当x ＝0时，c ＝0，将y ＝0代入y ＝﹣x +4，得x ＝4，即点A 的坐标为（4，0），故答案为：0，（4，0）；（2）∵二次函数y ＝ax 2﹣（2a +1）x +c 的图象经过点A ，点A 的坐标为（4，0）， ∴0＝a ×42﹣（2a +1）×4，解得，a ＝0.5；（3）∵y ＝ax 2﹣（2a +1）x ＝x [ax ﹣（2a +1）]，∴函数y ＝ax 2﹣（2a +1）x 过点（0，0）和（2a+1a ，0），∵点A （4，0），点O 的坐标为（0，0），二次函数y ＝ax 2﹣（2a +1）x （a ＞0）的图象与△AOB 只有一个公共点，∴−−(2a+1)2a＞0+42，a ＞0， 解得，0＜a ＜12，即a 的取值范围是0＜a ＜12．27．（7分）（2018秋•海淀区校级月考）已知，在等腰△ABC 中，AB ＝AC ，AD ⊥BC 于点D ，以AC为边作等边△ACE，直线BE交直线AD于点F．如图，60°≤∠BAC≤120°，△ACF与△ABC在直线AC的同侧．（1）①补全图形；②∠EAF+∠CEF＝60°；（2）猜想线段F A，FB，FE的数量关系，并证明你的结论；（3）若BC＝2，则AF的最大值为4√33．【解答】解：（1）①图形如图1所示；②结论：∠EAF+∠CEF＝60°理由：如图1中，以A为圆心，AB为半径画圆．作AH⊥BE于H．∵AB＝AC＝AE，∴B，E，C在⊙A上，∵△AEC是等边三角形，∴∠EAC＝60°，∴∠EBC=12EAC＝30°，∵AB＝AE，AH⊥BE，∴∠EAH=12∠BAE，∵∠BCE=12∠BAE，∴∠BCE＝∠EAH，∴AD⊥BC，∴∠BDF＝∠AHF＝90°，∠BFD＝60°，∴∠HAF＝30°，∴∠EAF+∠CEF＝∠EAF+∠EBC+∠BCE＝∠EAF+∠EAH+∠EBC＝30°+30°＝60°．故答案为60°．（2）结论：F A＝FE+FB．理由：如图2中，在F A上取一点K，使得FK＝FE，连接EK．∵FE＝CK，∠EFK＝60°，∴△EFK是等边三角形，∴EK＝EF，∠EKF＝∠KEF＝60°，∵∠AEC＝∠KEF＝60°，∴∠AEK＝∠CEF，∵AE＝EC，EK＝EF，∴△AEK≌△CEF（SAS），∴AK＝FC，∵AD垂直平分线段BC，∴FB＝CF，∴F A＝FK+AK＝FE+FC＝FE+FB．（3）如图3中．∵60°≤∠BAC ≤120°，观察图象可知，当∠BAC ＝60°时，AF 的值最大，此时∵AB ＝AC ＝BC ＝2，AF ⊥BC ，∴AD ＝AB •sin60°=√3，DF ＝BD •tan30°=√33，∴AF =√3+√33=4√33，∴AF 的最大值为4√33． 故答案为4√33． 28．（7分）（2018秋•海淀区校级月考）在平面直角坐标系xOy 中，中心为点C 正方形的各边分别与两坐标轴平行，若点P 是与C 不重合的点，点P 关于正方形的仿射点Q 的定义如下：设射线CP 交正方形的边于点M ，若射线CP 上存在一点Q ，满足CP +CQ ＝2CM ，则称Q 为点P 关于正方形的仿射点如图为点P 关于正方形的仿射点Q 的示意图． 特别地，当点P 与中心C 重合时，规定CP ＝0．（1）当正方形的中心为原点O ，边长为2时．①分别判断点F （2，0），G （−32，34），H （3，3）关于该正方形的仿射点是否存在？若存在，直接写出其仿射点的坐标；②若点P 在直线y ＝﹣x +3上，且点P 关于该正方形的仿射点Q 存在，求点P 的横坐标的取值范围；（2）若正方形的中心C 在x 轴上，边长为2，直线y =−√33+2√3与x 轴、y 轴分别交于点A ，B ，若线段AB 上存在点P ，使得点P 关于该正方形的仿射点Q 在正方形的内部，直接写出正方形的中心C的横坐标的取值范围．【解答】解：（1）①如图1中，根据点P关于正方形的仿射点的定义可知：当点在正方形ABCD（边长为4中心为原点O）的内部时（包括正方形的边上），有仿射点，观察图象可知，点F，点G有仿射点，点F的仿射点坐标为（0，0），点G的仿射点坐标为（−12，14）．②如图2中，如图直线y ＝﹣x +3交CD 于K （1，2），交BC 于H （2，1），∴点P 在直线y ＝﹣x +3上，且点P 关于该正方形的仿射点Q 存在，点P 的横坐标的取值范围为1≤x ≤2；（2）如图3中，由题意A （0，2√3），B （6，0）．由（1）可知当边长为4的正方形的顶点D 在线段AB 上时，DE ＝2，∵DE ∥OA ，∴DE OA =BE OB ， ∴2√3=EB6， ∴EB ＝2√3，OE ＝6﹣2√3，∴OC 1＝6﹣2√3−2＝4﹣2√3，∴C 1（4﹣2√3）当边长为4的正方形的边经过点B 时，可得C 4（8，0），观察图象可知：满足条件的正方形的中心C 的横坐标的取值范围为4﹣2√3≤x ≤8．。
2019-2020学年北京市清华附中朝阳学校九年级(上)月考数学试卷(10月份)(含解析)印刷版
2019-2020学年北京市清华附中朝阳学校九年级（上）月考数学试卷（10月份）一、选择题（每题3分，共24分）1．（3分）把抛物线y＝x2向上平移1个单位长度得到的抛物线的表达式为（）A．y＝x2+1B．y＝x2﹣1C．y＝﹣x2+1D．y＝﹣x2﹣12．（3分）如图，A，B，C是⊙O上的三个点，若∠C＝35°，则∠AOB的度数为（）A．35°B．55°C．65°D．70°3．（3分）下列手机手势解锁图案中，是中心对称图形的是（）A．B．C．D．4．（3分）二次函数y＝kx2﹣6x+3的图象与x轴有交点，则k的取值范围是（）A．k＜3B．k＜3且k≠0C．k≤3D．k≤3且k≠05．（3分）如图，△ODC是由△OAB绕点O顺时针旋转30°后得到的图形，若点D恰好落在AB上，且∠AOC的度数为100°，则∠DOB的度数是（）A．40°B．30°C．38°D．15°6．（3分）如图，以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB是小圆的切线，点P为切点．若大圆半径为2，小圆半径为1，则AB的长为（）A．2B．2C．D．27．（3分）小明乘坐摩天轮转一圈，他离地面的高度y（米）与旋转时间x（分）之间的关系可以近似地用二次函数来刻画．经测试得出部分数据如下表：下列选项中，最接近摩天轮转一圈的时间的是（）A．8分B．7分C．6分D．5分8．（3分）如图，在⊙O中，直径AB＝4，CD＝2，AB⊥CD于点E，点M为线段EA上一个动点，连接CM、DM，并延长DM与弦AC交于点P，设线段CM的长为x，△PMC的面积为y，则下列图象中，能表示y与x的函数关系的图象大致是（）A．B．C．D．二、填空题（每题2分，共16分）9．（2分）点P（1，﹣2）关于原点的对称点的坐标是．10．（2分）写出一个图象开口向上，过点（0，0）的二次函数的表达式：．11．（2分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，E为CD延长线上一点．若∠B＝110°，则∠ADE的度数为．12．（2分）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A，点B的坐标分别为（0，2），（﹣1，0），将线段AB 绕点O顺时针旋转，若点A的对应点A′的坐标为（2，0），则点B的对应点B′的坐标为．13．（2分）如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，正六边形的周长是12，则⊙O的半径是．14．（2分）下面是“作已知三角形的高”的尺规作图过程．已知：△ABC．求作：BC边上的高AD．作法：如图2，（1）分别以点A和点C为圆心，大于AC的长为单位作弧，两弧相交于P，Q两点；（2）作直线PQ，交AC于点O；（3）以O为圆心，OA为半径作⊙O，与CB的延长线交于点D，连接AD．线段AD即为所作的高．请回答：该尺规作图的依据是．15．（2分）如图，⊙O的动弦AB，CD相交于点E，且AB＝CD，∠BED＝α（0°＜α＜90°）．在①∠BOD＝α，②∠OAB＝90°﹣α，③∠ABC＝α中，一定成立的是（填序号）．16．（2分）在平面直角坐标系xOy中，A（﹣m，0），B（m，0）（其中m＞0），点P在以点C（3，4）为圆心，半径等于2的圆上，如果动点P满足∠APB＝90°，（1）线段OP的长等于（用含m的代数式表示）；（2）m的最小值为．三、解答题（17-23小题每题5分，24-26小题每题6分，27题7分，共60分）17．（5分）画图：（1）如图1，在边长为1的小正方形组成的网格中，△OAB的顶点都在格点上，请将△OAB绕点O顺时针旋转90°，画出旋转后的△OA′B′；（2）在4×4的方格中有五个同样大小的正方形如图摆放，移动其中一个正方形到空白方格中，与其余四个正方形组成的新图形是一个中心对称图形．在图1，图2中分别画出两种符合题意的图形．18．（5分）《九章算术》是中国传统数学重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架．《九章算术》中记载：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，间径几何？”（如图①）阅读完这段文字后，小智画出了一个圆柱截面示意图（如图②），其中BO⊥CD于点A，求间径就是要求⊙O的直径．再次阅读后，发现AB＝寸，CD＝寸（一尺等于十寸），通过运用有关知识即可解决这个问题．请你补全题目条件，并帮助小智求出⊙O的直径．19．（5分）如图，AC是⊙O的直径，P A，PB是⊙O的切线，A，B为切点，∠BAC＝25°．求∠P的度数．20．（5分）如图，矩形ABCD为某中学课外活动小组围建的一个生物苗圃园，其中两边靠墙（墙足够长），另外两边用长度为16米的篱笆（虚线部分）围成．设AB边的长度为x米，矩形ABCD的面积为y平方米．（1）y与x之间的函数关系式为（不要求写自变量的取值范围）；（2）求矩形ABCD的最大面积．21．（5分）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径作⊙O交BC于点D，过点D作AC的垂线交AC 于点E，交AB的延长线于点F．（1）求证：DE与⊙O相切；（2）若CD＝BF，AE＝3，求DF的长．22．（5分）如图，AB是⊙O的直径，AB＝4cm，C为AB上一动点，过点C的直线交⊙O于D、E两点，且∠ACD＝60°，DF⊥AB于点F，EG⊥AB于点G，当点C在AB上运动时，设AF＝xcm，DE＝ycm （当x的值为0或3时，y的值为2），探究函数y随自变量x的变化而变化的规律．（1）通过取点、画图、测量，得到了x与y的几组对应值，如下表：（2）建立平面直角坐标系，描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象；（3）结合画出的函数图象，解决问题：点F与点O重合时，DE长度约为cm（结果保留一位小数）．23．（5分）如图①，在Rt△ABC中，∠C＝90°．将△ABC绕点C逆时针旋转得到△A′B′C，旋转角为α，且0°＜α＜180°．在旋转过程中，点B′可以恰好落在AB的中点处，如图②．（1）求∠A的度数；（2）当点C到AA′的距离等于AC的一半时，求α的度数．24．（6分）我们将能完全覆盖某平面图形的最小圆称为该平面图形的最小覆盖圆．例如线段AB的最小覆盖圆就是以线段AB为直径的圆．（1）请分别作出图①中两个三角形的最小覆盖圆（要求用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；（2）三角形的最小覆盖圆有何规律？请直接写出你所得到的结论（不要求证明）；（3）某城市有四个小区E，F，G，H（其位置如图②所示），现拟建一个手机信号基站，为了使这四个小区居民的手机都能有信号，且使基站所需发射功率最小（距离越小，所需功率越小），此基站应建在何处？请写出你的结论并说明研究思路．25．（6分）在平面直角坐标系xOy中，直线y＝2x﹣3与y轴交于点A，点A与点B关于x轴对称，过点B作y轴的垂线l，直线l与直线y＝2x﹣3交于点C．（1）求点C的坐标；（2）如果抛物线y＝nx2﹣4nx+5n（n＞0）与线段BC有唯一公共点，①求抛物线y＝nx2﹣4nx+5n的对称轴；②求n的取值范围．26．（6分）在平面直角坐标系xOy中，对于半径为r（r＞0）的⊙O和点P，给出如下定义：若r≤PO≤r，则称P为⊙O（1）当⊙O的半径为2时，点A（4，0），B（﹣，0），C（0，3），D（1，﹣1）中，⊙O的“近外点”是；（2）若点E（3，4）是⊙O的“近外点”，求⊙O的半径r的取值范围；（3）当⊙O的半径为2时，直线y＝x+b（b≠0）与x轴交于点M，与y轴交于点N，若线段MN 上存在⊙O的“近外点”，直接写出b的取值范围．27．（7分）在Rt△ABC中，斜边AC的中点M关于BC的对称点为O，将△ABC绕点O顺时针旋转至△DCE，连接BD，BE，如图所示．（1）在①∠BOE，②∠ACD，③∠COE中，等于旋转角的是（填出满足条件的角的序号）；（2）若∠A＝α，求∠BEC的大小（用含α的式子表示）；（3）点N是BD的中点，连接MN，用等式表示线段MN与BE之间的数量关系，并证明．2019-2020学年北京市清华附中朝阳学校九年级（上）月考数学试卷（10月份）参考答案与试题解析一、选择题（每题3分，共24分）1．（3分）把抛物线y＝x2向上平移1个单位长度得到的抛物线的表达式为（）A．y＝x2+1B．y＝x2﹣1C．y＝﹣x2+1D．y＝﹣x2﹣1【分析】直接根据二次函数图象平移的法则即可得出结论．【解答】解：把抛物线y＝x2向上平移1个单位长度所得抛物线的表达式是y＝x2+1．故选：A．2．（3分）如图，A，B，C是⊙O上的三个点，若∠C＝35°，则∠AOB的度数为（）A．35°B．55°C．65°D．70°【分析】由A，B，C是⊙O上的三个点，若∠C＝35°，直接利用圆周角定理求解即可求得答案．【解答】解：∵A，B，C是⊙O上的三个点，∠C＝35°，∴∠AOB＝2∠C＝70°．故选：D．3．（3分）下列手机手势解锁图案中，是中心对称图形的是（）A．B．C．D．【分析】根据中心对称图形的概念判断．【解答】解：A、不是中心对称图形；B、是中心对称图形；C、不是中心对称图形；D、不是中心对称图形．故选：B．4．（3分）二次函数y＝kx2﹣6x+3的图象与x轴有交点，则k的取值范围是（）A．k＜3B．k＜3且k≠0C．k≤3D．k≤3且k≠0【分析】利用kx2﹣6x+3＝0有实数根，根据判别式可求出k取值范围．【解答】解：∵二次函数y＝kx2﹣6x+3的图象与x轴有交点，∴方程kx2﹣6x+3＝0（k≠0）有实数根，即△＝36﹣12k≥0，k≤3，由于是二次函数，故k≠0，则k的取值范围是k≤3且k≠0．故选：D．5．（3分）如图，△ODC是由△OAB绕点O顺时针旋转30°后得到的图形，若点D恰好落在AB上，且∠AOC的度数为100°，则∠DOB的度数是（）A．40°B．30°C．38°D．15°【分析】根据旋转的性质求出∠AOD和∠BOC的度数，计算出∠DOB的度数．【解答】解：由题意得，∠AOD＝30°，∠BOC＝30°，又∠AOC＝100°，∴∠DOB＝100°﹣30°﹣30°＝40°，故选：A．6．（3分）如图，以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB是小圆的切线，点P为切点．若大圆半径为2，小圆半径为1，则AB的长为（）A．2B．2C．D．2【分析】由题意可得OP⊥AB，AP＝BP，根据勾股定理可得AP的长，即可求AB的长．【解答】解：如图：连接OP，AO∵AB是⊙O切线∴OP⊥AB，∴AP＝PB＝AB在Rt△APO中，AP＝＝∴AB＝2故选：A．7．（3分）小明乘坐摩天轮转一圈，他离地面的高度y（米）与旋转时间x（分）之间的关系可以近似地用二次函数来刻画．经测试得出部分数据如下表：下列选项中，最接近摩天轮转一圈的时间的是（）A．8分B．7分C．6分D．5分【分析】利用二次函数的性质，由题意，最值在自变量大于2.66小于3.23之间，由此不难找到答案．【解答】解：最值在自变量大于2.66小于3.23之间，所以最接近摩天轮转一圈的时间的是6分钟．故选：C．8．（3分）如图，在⊙O中，直径AB＝4，CD＝2，AB⊥CD于点E，点M为线段EA上一个动点，连接CM、DM，并延长DM与弦AC交于点P，设线段CM的长为x，△PMC的面积为y，则下列图象中，能表示y与x的函数关系的图象大致是（）A．B．C．D．【分析】△PMC的面积＝△PCD的面积﹣△OCD的面积．把特殊值CM＝2时，计算出△PMC的面积，然后利用排除法进行解题．【解答】解：如图所示：当CM＝2时，点M与圆心O重合．在直角△CEO中，∠CEO＝90°，CE＝，OC＝2，则由勾股定理得到：OE＝＝，所以，S△OCD＝CD×OE＝×2×＝2．∴S△OCE＝1，S△OAC＝，∴S△PMC＜S△OAC，即S△PMC＜1．观察选项，只有A符合题意．故选：A．二、填空题（每题2分，共16分）9．（2分）点P（1，﹣2）关于原点的对称点的坐标是（﹣1，2）．【分析】根据关于原点对称的点的坐标特点：两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点P（x，y）关于原点O的对称点是P′（﹣x，﹣y）可以直接得到答案．【解答】解：∵点P（1，﹣2），∴关于原点的对称点的坐标是：（﹣1，2）故答案为：（﹣1，2）．10．（2分）写出一个图象开口向上，过点（0，0）的二次函数的表达式：y＝x2（答案不唯一）．【分析】设二次函数的表达式为y＝ax2+bx+c（a≠0），根据a＞0时开口向上，可取a＝1，将（0，0）代入得出c＝0，即可得出二次函数表达式．【解答】解：设二次函数的表达式为y＝ax2+bx+c（a≠0），∵图象为开口向上，且经过（0，0），∴a＞0，c＝0，∴二次函数表达式可以为：y＝x2（答案不唯一）．故答案为：y＝x2（答案不唯一）．11．（2分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，E为CD延长线上一点．若∠B＝110°，则∠ADE的度数为110°．【分析】根据圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角（就是和它相邻的内角的对角）可得答案．【解答】解：∵∠B＝110°，∴∠ADE＝110°．故答案为：110°．12．（2分）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A，点B的坐标分别为（0，2），（﹣1，0），将线段AB 绕点O顺时针旋转，若点A的对应点A′的坐标为（2，0），则点B的对应点B′的坐标为（0，1）．【分析】根据旋转的性质即可得到结论．【解答】解：∵将线段AB绕点O顺时针旋转，若点A的对应点A′的坐标为（2，0），∴∠AOA′＝90°，∴∠BOB′＝∠AOA′＝90°，∴B′（0，1），故答案为：（0，1）．13．（2分）如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，正六边形的周长是12，则⊙O的半径是2．【分析】连接OA，OB，根据等边三角形的性质可得⊙O的半径，进而可得出结论【解答】解：连接OB，OC，∵多边形ABCDEF是正六边形，∴∠BOC＝60°，∵OB＝OC，∴△OBC是等边三角形，∴OB＝BC，∵正六边形的周长是12，∴BC＝2，∴⊙O的半径是2，故答案为：2．14．（2分）下面是“作已知三角形的高”的尺规作图过程．已知：△ABC．求作：BC边上的高AD．作法：如图2，（1）分别以点A和点C为圆心，大于AC的长为单位作弧，两弧相交于P，Q两点；（2）作直线PQ，交AC于点O；（3）以O为圆心，OA为半径作⊙O，与CB的延长线交于点D，连接AD．线段AD即为所作的高．请回答：该尺规作图的依据是①到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上；②直径所对得圆周角是直角；③两点确定一条直线．．【分析】直接利用基本作图方法分别分析得出答案．【解答】解：①到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上；②直径所对得圆周角是直角；③两点确定一条直线．故答案为：①到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上；②直径所对得圆周角是直角；③两点确定一条直线．15．（2分）如图，⊙O的动弦AB，CD相交于点E，且AB＝CD，∠BED＝α（0°＜α＜90°）．在①∠BOD＝α，②∠OAB＝90°﹣α，③∠ABC＝α中，一定成立的是①③（填序号）．【分析】如图，连接OC，设OB交CD于K．利用全等三角形的性质以及圆周角定理一一判断即可；【解答】解：如图，连接OC，设OB交CD于K．∵AB＝CD，OD＝OC＝OB＝OA，∴△AOB≌△COD（SSS），∴∠CDO＝∠OBA，∵∠DKO＝∠BKE，∴∠DOK＝∠BEK＝α，即∠BOD＝α，故①正确，不妨设，∠OAB＝90°﹣α，∵OA＝OB，∴∠OAB＝∠OBA，∴∠OBE+∠BEK＝90°，∴∠BKE＝90°，∴OB⊥CD，显然不可能成立，故②错误，∵CD＝AB，∴＝，∴＝，∴∠ABC＝∠DOB＝α，故③正确．故答案为①③．16．（2分）在平面直角坐标系xOy中，A（﹣m，0），B（m，0）（其中m＞0），点P在以点C（3，4）为圆心，半径等于2的圆上，如果动点P满足∠APB＝90°，（1）线段OP的长等于m（用含m的代数式表示）；（2）m的最小值为3．【分析】（1）根据斜边上的中线等于斜边的一半即可得出结果；（2）当P为OC与⊙C的交点时，OP最小；根据勾股定理求出OC，即可得出结果．【解答】解：（1）∵∠APB＝90°，A（﹣m，0），B（m，0），∴OP为Rt△ABP斜边上的中线，∴OP＝AB＝OB＝m；故答案为：m；（2）当P为OC与⊙C的交点时，OP最小；作CM⊥x轴于M，如图所示：则∠OMC＝90°，∴OC＝＝5，∴OP＝5﹣2＝3；故答案为：3．三、解答题（17-23小题每题5分，24-26小题每题6分，27题7分，共60分）17．（5分）画图：（1）如图1，在边长为1的小正方形组成的网格中，△OAB的顶点都在格点上，请将△OAB绕点O顺时针旋转90°，画出旋转后的△OA′B′；（2）在4×4的方格中有五个同样大小的正方形如图摆放，移动其中一个正方形到空白方格中，与其余四个正方形组成的新图形是一个中心对称图形．在图1，图2中分别画出两种符合题意的图形．【分析】（1）在网格中画旋转90°的图形，要运用网格里的垂直关系，要检查各对应点与原点的连线是否互相垂直且相等即可；（2）利用旋转设计图案关键是利用旋转中的三个要素（①旋转中心；②旋转方向；③旋转角度）设计图案即可，注意本题答案不唯一．【解答】解：（1）如图1所示：（2）如图所示：18．（5分）《九章算术》是中国传统数学重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架．《九章算术》中记载：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，间径几何？”（如图①）阅读完这段文字后，小智画出了一个圆柱截面示意图（如图②），其中BO⊥CD于点A，求间径就是要求⊙O的直径．再次阅读后，发现AB＝1寸，CD＝10寸（一尺等于十寸），通过运用有关知识即可解决这个问题．请你补全题目条件，并帮助小智求出⊙O的直径．【分析】根据题意容易得出AB和CD的长；连接OB，设半径CO＝OB＝x寸，先根据垂径定理求出CA的长，再根据勾股定理求出x的值，即可得出直径．【解答】解：根据题意得：AB＝1寸，CD＝10寸；故答案为：1，10；（2）连接CO，如图所示：∵BO⊥CD，∴．设CO＝OB＝x寸，则AO＝（x﹣1）寸，在Rt△CAO中，∠CAO＝90°，∴AO2+CA2＝CO2．∴（x﹣1）2+52＝x2．解得：x＝13，∴⊙O的直径为26寸．19．（5分）如图，AC是⊙O的直径，P A，PB是⊙O的切线，A，B为切点，∠BAC＝25°．求∠P的度数．【分析】先根据切线长定理得到P A＝PB，则利用等腰三角形的性质得∠P AB＝∠PBA，再根据切线的性质得∠CAP＝90°，于是利用互余计算出∠P AB＝65°，然后根据三角形内角和定理计算∠P的度数．【解答】解：∵P A，PB是⊙O的切线，∴P A＝PB，∴∠P AB＝∠PBA，∵P A为切线，∴CA⊥P A．∴∠CAP＝90°，∵∠BAC＝25°，∴∠P AB＝90°﹣∠BAC＝65°，∴∠P＝180°﹣2∠P AB＝50°．20．（5分）如图，矩形ABCD为某中学课外活动小组围建的一个生物苗圃园，其中两边靠墙（墙足够长），另外两边用长度为16米的篱笆（虚线部分）围成．设AB边的长度为x米，矩形ABCD的面积为y平方米．（1）y与x之间的函数关系式为y＝﹣x2+16x（不要求写自变量的取值范围）；（2）求矩形ABCD的最大面积．【分析】（1）设AB边的长度为x米，CB的长为（16﹣x）米，利用矩形的面积公式列出矩形面积y与x的关系式；（2）利用配方法求得函数的最大值即可．【解答】解：（1）y＝（16﹣x）x＝﹣x2+16x；（2）∵y＝﹣x2+16x，∴y＝﹣（x﹣8）2+64．∵0＜x＜16，∴当x＝8时，y的最大值为64．答：矩形ABCD的最大面积为64平方米．21．（5分）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径作⊙O交BC于点D，过点D作AC的垂线交AC 于点E，交AB的延长线于点F．（1）求证：DE与⊙O相切；（2）若CD＝BF，AE＝3，求DF的长．【分析】（1）连接OD，求出AC∥OD，求出OD⊥DE，根据切线的判定得出即可；（2）求出∠1＝∠2＝∠F＝30°，求出AD＝DF，解直角三角形求出AD，即可求出答案．【解答】（1）证明：连接OD，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∴AD⊥BC，又∵AB＝AC，∴∠1＝∠2，∵OA＝OD，∴∠2＝∠ADO，∴∠1＝∠ADO，∴OD∥AC，∵DE⊥AC，∴∠ODF＝∠AED＝90°，∴OD⊥ED，∵OD过0，∴DE与⊙O相切；（2）解：∵AB＝AC，AD⊥BC，∴∠1＝∠2，CD＝BD，∵CD＝BF，∴BF＝BD，∴∠3＝∠F，∴∠4＝∠3+∠F＝2∠3，∵OB＝OD，∴∠ODB＝∠4＝2∠3，∵∠ODF＝90°，∴∠3＝∠F＝30°，∠4＝∠ODB＝60°，∵∠ADB＝90°，∴∠2＝∠1＝30°，∴∠2＝∠F，∴DF＝AD，∵∠1＝30°，∠AED＝90°，∴AD＝2ED，∵AE2+DE2＝AD2，AE＝3，∴AD＝2，∴DF＝2．22．（5分）如图，AB是⊙O的直径，AB＝4cm，C为AB上一动点，过点C的直线交⊙O于D、E两点，且∠ACD＝60°，DF⊥AB于点F，EG⊥AB于点G，当点C在AB上运动时，设AF＝xcm，DE＝ycm （当x的值为0或3时，y的值为2），探究函数y随自变量x的变化而变化的规律．（1）通过取点、画图、测量，得到了x与y的几组对应值，如下表：（2）建立平面直角坐标系，描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象；（3）结合画出的函数图象，解决问题：点F与点O重合时，DE长度约为 3.5cm（结果保留一位小数）．【分析】（1）先求出OF＝1，利用勾股定理求出DF，进而求出∠ODF＝30°，进而判断出DE过点O 即可得出结论；（2）利用画函数图象的方法即可得出结论；（3）先作出图形，进而求出OD＝2，进而利用锐角三角函数求出DM，即可得出DE＝2即可得出结论．【解答】解：（1）如图1，（为了说明点C和点O重合，DE没画成过点O）连接OD，当x＝1时，AF＝1，∵OA＝2，∴OF＝OA﹣AF＝1，∵DF⊥AB，∴∠DFO＝90°，在Rt△OFD中，OD＝2，OF＝1，根据勾股定理得，DF＝＝，∴tan∠ODF＝＝＝，∴∠ODF＝30°，在Rt△CFD中，∠ACD＝60°，∴∠CDF＝30°，∴∠CDF＝∠ODF，∴DE过点O，∴DE是⊙O的直径，∴DE＝2OD＝4，∴y＝4，故答案为4.00；（2）描点，连线，得出函数图形如右图所示，（3）如图2，∵点F和点O重合，∴OD＝OA＝2，过点O作OM⊥DE于M，∴DE＝2DM，∵∠ACD＝60°，∴∠ODE＝90°﹣∠ACD＝30°，在Rt△OMD中，cos∠ODE＝，∴DM＝OD•cos∠ODE＝2×cos30°＝，∴DE＝2DM＝2≈3.5，故答案为：3.5．23．（5分）如图①，在Rt△ABC中，∠C＝90°．将△ABC绕点C逆时针旋转得到△A′B′C，旋转角为α，且0°＜α＜180°．在旋转过程中，点B′可以恰好落在AB的中点处，如图②．（1）求∠A的度数；（2）当点C到AA′的距离等于AC的一半时，求α的度数．【分析】（1）利用旋转的性质结合直角三角形的性质得出△CBB′是等边三角形，进而得出答案；（2）利用锐角三角函数关系得出sin∠CAD＝＝，即可得出∠CAD＝30°，进而得出α的度数．【解答】解：（1）将△ABC绕点C逆时针旋转得到△A′B′C，旋转角为α，∴CB＝CB′∵点B′可以恰好落在AB的中点处，∴点B′是AB的中点．∵∠ACB＝90°，∴CB′＝AB＝BB′，∴CB＝CB′＝BB′，即△CBB′是等边三角形．∴∠B＝60°．∵∠ACB＝90°，∴∠A＝30°；（2）如图，过点C作CD⊥AA′于点D，点C到AA′的距离等于AC的一半，即CD＝AC．在Rt△ADC中，∠ADC＝90°，sin∠CAD＝＝，∴∠CAD＝30°，∵CA＝CA′，∴∠A′＝∠CAD＝30°．∴∠ACA′＝120°，即α＝120°．24．（6分）我们将能完全覆盖某平面图形的最小圆称为该平面图形的最小覆盖圆．例如线段AB的最小覆盖圆就是以线段AB为直径的圆．（1）请分别作出图①中两个三角形的最小覆盖圆（要求用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；（2）三角形的最小覆盖圆有何规律？请直接写出你所得到的结论（不要求证明）；（3）某城市有四个小区E，F，G，H（其位置如图②所示），现拟建一个手机信号基站，为了使这四个小区居民的手机都能有信号，且使基站所需发射功率最小（距离越小，所需功率越小），此基站应建在何处？请写出你的结论并说明研究思路．【分析】（1）本题关键要确定最小覆盖圆的半径，然后才能作答；（2）中转站应建在△EFH的外接圆圆心处（线段EF的垂直平分线与线段EH的垂直平分线的交点处）；（3）根据△EFH是锐角三角形，可知其最小覆盖圆为△EFH的外接圆，所以中转站建在△EFH的外接圆圆心处，能够符合题中要求．【解答】解：（1）如图所示：（2）若三角形为锐角三角形，则其最小覆盖圆为其外接圆；若三角形为直角或钝角三角形，则其最小覆盖圆是以三角形最长边（直角或钝角所对的边）为直径的圆．（3）此中转站应建在△EFH的外接圆圆心处（线段EF的垂直平分线与线段EH的垂直平分线的交点处）．理由如下∠HEF＝∠HEG+∠GEF＝48°+33.88°＝81.88°，∠EHF＝50°，∠EFB＝48.12°，∴△EFH是锐角三角形，所以其最小覆盖圆为△EFH的外接圆，设此外接圆为⊙O，直线EG与⊙O交于点E，M，则∠故点G在⊙O内，从而⊙O也是四边形EFGH的最小覆盖圆．所以中转站建在△EFH的外接圆圆心处，能够符合题中要求．25．（6分）在平面直角坐标系xOy中，直线y＝2x﹣3与y轴交于点A，点A与点B关于x轴对称，过点B作y轴的垂线l，直线l与直线y＝2x﹣3交于点C．（1）求点C的坐标；（2）如果抛物线y＝nx2﹣4nx+5n（n＞0）与线段BC有唯一公共点，①求抛物线y＝nx2﹣4nx+5n的对称轴；②求n的取值范围．【分析】（1）根据题意分别求出A（0，﹣3），B（0，3），即可确定C点坐标；（2）求出对称轴为x＝2，顶点为（2，n）；根据n的范围，分3种情况①当n＞3时，抛物线最小值为n＞3，与线段BC无交点；②当n＝3时，抛物线顶点为（2，3），在线段BC上，此时抛物线与线段BC有一个公共点；③当0＜n＜3时，抛物线最小值为n，与直线BC有两个交点，若抛物线经过点B （0，3），则n＝，此时抛物线与线段BC有一个公共点B；若抛物线经过点（3，3），则n＝，此时抛物线与线段BC有两个公共点．【解答】解：（1）由题意可求A（0，﹣3），∴B（0，3），∴l为y＝3，∴C（3，3）；（2）y＝nx2﹣4nx+5n＝n（x﹣2）2+n，∴对称轴为x＝2，顶点为（2，n），①当n＞3时，抛物线最小值为n＞3，与线段BC无交点；②当n＝3时，抛物线顶点为（2，3），在线段BC上，此时抛物线与线段BC有一个公共点；③当0＜n＜3时，抛物线最小值为n，与直线BC有两个交点，若抛物线经过点B（0，3），则n＝，∵抛物线对称轴x＝2，∴抛物线经过点（4，3），∵点（4，3）不在线段BC上，此时抛物线与线段BC有一个公共点B；若抛物线经过点（3，3），则n＝，∵抛物线对称轴x＝2，∴抛物线经过点（1，3），点（1，3）在线段BC上，此时抛物线与线段BC有两个公共点；综上所述：当n＜时，抛物线与线段BC有一个公共点．26．（6分）在平面直角坐标系xOy中，对于半径为r（r＞0）的⊙O和点P，给出如下定义：若r≤PO≤r，则称P为⊙O（1）当⊙O的半径为2时，点A（4，0），B（﹣，0），C（0，3），D（1，﹣1）中，⊙O的“近外点”是B，C；（2）若点E（3，4）是⊙O的“近外点”，求⊙O的半径r的取值范围；（3）当⊙O的半径为2时，直线y＝x+b（b≠0）与x轴交于点M，与y轴交于点N，若线段MN 上存在⊙O的“近外点”，直接写出b的取值范围．【分析】（1）先求出r＝3，再分别求出OA，OB，OC，OD，再判断即可得出结论；（2）先求出OE，用圆的“近外点”满足的条件建立不等式组求解即可；（3）先判断出直线MN中OM＞ON，进而得出点M和点G是圆O的“近外点”的分界点，再分两种情况讨论计算．【解答】解：（1）∵⊙O的半径为2，∴r＝3，∵A（4，0），∴OA＝4＞3，∴点A不是⊙O的“近外点”，B（﹣，0），∴OB＝，而2＜＜3，∴B是⊙O的“近外点”，C（0，3），∴OC＝3，∴点C是⊙O的“近外点”，D（1，﹣1），∴OD＝＝＜2，∴点D不是⊙O的“近外点”，故答案为：B，C；（2）∵E（3，4），∴OE＝＝5，∵点E是⊙O的“近外点”，∴，∴≤r≤5；（3）如图，∵直线MN的解析式为y＝x+b，∴OM＞ON，①点N在y轴坐标轴时，当点M是⊙O的“近外点”，此时，点M（﹣2，0），将M（﹣2，0）代入直线MN的解析式y＝x+b中，解得，b＝，即：b的最小值为，过点O作OG⊥M'N'于G，当点G是⊙O的“近外点”时，此时OG＝3，在Rt△ON'G中，∠ON'G＝60°，∴ON'＝＝2，b的最大值为2，∴≤b≤2，②当点N在y轴负半轴时，同①的方法得出，﹣2≤b≤﹣，即：．27．（7分）在Rt△ABC中，斜边AC的中点M关于BC的对称点为O，将△ABC绕点O顺时针旋转至△DCE，连接BD，BE，如图所示．（1）在①∠BOE，②∠ACD，③∠COE中，等于旋转角的是③（填出满足条件的角的序号）；（2）若∠A＝α，求∠BEC的大小（用含α的式子表示）；（3）点N是BD的中点，连接MN，用等式表示线段MN与BE之间的数量关系，并证明．【分析】（1）根据旋转的性质即可得出结论；（2）先判断出MA＝MB＝MC＝AC，进而得出∠A＝∠ABM＝α，即：∠BMC＝∠A+∠ABM＝2α，再判断出∠BOC＝∠BMC＝2α，判断出点C，B，E在以O为圆心，OB为半径的圆上，即可得出结论；（3）先判断出∠DEC＝∠ACB＝90°﹣α，再判断出∠MBC＝∠ACB＝90°﹣α，进而判断出∠MBE+∠BED＝180°，得出BF∥DE，即可判断出四边形BFDE是平行四边形，即可得出结论．【解答】解：（1）如图1，连接OA，OB，OC，OD，OE，由旋转知，旋转角为∠BOC＝∠AOD＝∠COE，故答案为③；（2）如图2，连接BM，OB，OC，OE，在Rt△ABC中，点M是AC中点，∴MA＝MB＝MC＝AC，∴∠A＝∠ABM＝α，∴∠BMC＝∠A+∠ABM＝2α，∵点M和点O关于直线BC对称，∴∠BOC＝∠BMC＝2α，∵OC＝OB＝OE，∴点C，B，E在以O为圆心，OB为半径的圆上，∴∠BEC＝∠BOC＝α；（3）MN＝BE，理由：如图3，连接BM并延长至点F，使BM＝MF，连接FD，∵∠A＝α，∠ABC＝90°，∴∠ACB＝90°﹣∠A＝90°﹣α，∴∠DEC＝∠ACB＝90°﹣α，由（2）知，∠BEC＝α，∴∠BED＝∠BEC+∠DEC＝90°，∵BC＝CE，∴∠CBE＝∠CEB＝α，∵MB＝MC，∴∠MBC＝∠ACB＝90°﹣α，∴∠MBE＝∠MBC+∠CBE＝90°，∴∠MBE+∠BED＝180°，∴BF∥DE，∵BF＝2BM，AC＝2BM，∴BF＝AC，∵AC＝DE，∴BF＝DE，∴四边形BFDE是平行四边形，∴DF＝BE，∵BM＝MF，BN＝ND，∴MN＝DF，∴MN＝BE．。
北京市海淀区清华附中2019-2020学年九年级(上)月考数学试卷(10月份)
2019-2020学年九年级（上）月考数学试卷一．选择题（共8小题）1．下列倡导节约的图案中，是轴对称图形的是（）A．B．C．D．2．已知关于x的一元二次方程mx2+2x﹣1＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（）A．m＜﹣1 B．m＞1 C．m＜1且m≠0 D．m＞﹣1且m≠03．二次函数y＝2x2﹣4x﹣2的对称轴是（）A．直线x＝﹣1 B．直线x＝1 C．直线x＝0 D．直线y＝14．如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足为E．若∠B＝60°，AC＝3，则CD的长为（）A．6 B．C．D．35．已知二次函数的图象经过P（2，2），顶点为O（0，0），将该图象向右平移，当它再次经过点P时，所得抛物线的函数表达式为（）A．y＝x2B．y＝（x﹣2）2C．y＝（x﹣4）2D．y＝（x﹣2）2+26．如图，△ABC和△A1B1C1是以点O为位似中心的位似三角形，若C1为OC的中点，AB＝4，则A1B1的长为（）A．1 B．2 C．4 D．87．如图，▱ABCD中，E是边DC上一点，AE交BD于F，若DE＝2，EC＝3，则△DEF与△BAF的周长之比为（）A．3：2 B．2：3 C．2：5 D．3：58．如图1，AB是半圆O的直径，正方形OPNM的对角线ON与AB垂直且相等，Q是OP的中点．一只机器甲虫从点A出发匀速爬行，它先沿直径爬到点B，再沿半圆爬回到点A，一台微型记录仪记录了甲虫的爬行过程．设甲虫爬行的时间为t，甲虫与微型记录仪之间的距离为y，表示y与t的函数关系的图象如图2，那么微型记录仪可能位于图1中的（）A．点M B．点N C．点P D．点Q二．填空题（共7小题）9．如果，那么的值为．10．如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠BOD＝120°，则∠DCE＝．11．若方程x2+（m2﹣1）x+1+m＝0的两根互为相反数，则m＝．12．如图在平面直角坐标系中，过格点A，B，C作一圆弧，圆心坐标是．13．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0），其中自变量x与函数值y之间满足下面的对应关系：x… 1 3 5 …y… 1.5 1.5 ﹣2.6 …则a﹣b+c＝．14．如图，等边△AOB，且OA＝OC，∠CAB＝20°，则∠ABC的大小是．15．如图，已知点E在正方形ABCD的边AB上，以BE为边向正方形ABCD外部作正方形BEFG，连接DF，M、N分别是DC、DF的中点，连接MN．若AB＝7，BE＝5，则MN＝．三．解答题（共12小题）16．解方程：x2﹣3x+1＝0．17．已知m是一元二次方程x2+x＝5的实数根，求代数式（2m﹣1）（2m+1）﹣m（m﹣3）﹣7的值．18．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，AC＝，BD＝4．（1）求证：△ACD∽△ABC；（2）求△ABC的面积．19．关于x的一元二次方程ax2﹣bx﹣1＝0．（1）当a﹣b﹣2＝0时，利用根的判别式判断方程根的情况．（2）若方程有两个相等的实数根，写出一组满足条件的a、b的值，并求此时方程的根．20．如图，在四边形ABCD中，BD为一条对角线，AD∥BC，AD＝2BC，∠ABD＝90°，E为AD的中点，连接BE．（1）求证：四边形BCDE为菱形；（2）连接AC，若AC平分∠BAD，BC＝1，求AC的长．21．如图是把一个抛物线形桥拱，量得两个数据，画在纸上的情形．小明说只要建立适当的坐标系，就能求出此抛物线的表达式．你认为他的说法正确吗？如果不正确，请说明理由；如果正确，请你帮小明求出该抛物线的表达式．22．在平面直角坐标系xOy中，直线l：y＝kx+1（k≠0）与直线x＝k，直线y＝﹣k分别交于点A、B，直线x＝k与直线y＝﹣k交于点C，（1）求直线l与y轴的交点坐标；（2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点．记线段AB、BC、CA围成的区域（不含边界）为W．①当k＝1时，区域内的整点有个，其坐标为．②当k＝2时，区域W内的整点有个．23．如图，AB是⊙O的直径，M是OA的中点，弦CD⊥AB于点M，连接AD，点E在BC上，∠CDE＝45°，DE交AB于点F，CD＝6．（1）求∠OAD的度数；（2）求DE的长．24．阅读下面材料：小明观察一个由1×1正方形点阵组成的点阵图，图中水平与竖直方向上任意两个相邻点间的距离都是1．他发现一个有趣的问题：对于图中出现的任意两条端点在点阵上且互相不垂直的线段，都可以在点阵中找到一点构造垂直，进而求出交点与垂足之间的数值．请回答：（1）如图1，A、B、C是点阵中的三个点，请在点阵中找到点D，作出线段CD，使得CD⊥AB；（2）如图2，线段AB与CD交于点O，小明在点阵中找到了点E，连接AE．恰好满足AE⊥CD于E，再作出点阵中的其它线段，就可以构造相似三角形，经过推理和计算能够使问题得到解决．请你帮小明计算：OC＝OF＝；参考小明思考问题的方法，解决问题：（3）如图3，线段AB与CD交于点O．在点阵中找到点E，连接AE，满足AE⊥CD于F．计算：OC＝，OF＝．25．已知二次函数y＝ax2﹣（2a+1）x+c（a＞0）的图象经过坐标原点O，一次函数y＝x﹣4与x轴、y轴分别交于点A、B．（1）c＝，点A的坐标为．（2）若二次函数y＝a2﹣（2a+1）x+c的图象经过点A，求a的值．（3）若二次函数y＝a2﹣（2a+1）x+c的图象与△AOB只有一个公共点，直接写出a的取值范围．26．已知PA＝2，PB＝4，以AB为边作等边△ABC，使P、C落在直线AB的两侧，连接PC．（1）如图，当∠APB＝30°时，①按要求补全图形；②求AB和PC的长．（2）当∠APB变化时，其它条件不变，则PC的最大值为，此时∠APB＝．27．对于平面上A、B两点，给出如下定义：以点A为中心，B为其中一个顶点的正方形称为点A、B的“领域”．（1）已知点A的坐标为（﹣1，1），点B的坐标为（3，3），顶点A、B的“领域”的面积为．（2）若点A、B的“领域”的正方形的边与坐标轴平行或垂直，回答下列问题：①已知点A的坐标为（2，0），若点A、B的“领域”的面积为16，点B在x轴上方，求B点坐标；②已知点A的坐标为（2，m），若在直线l：y＝﹣3x+2上存在点B，点A、B的“领域”的面积不超过16，直接写出m的取值范围．。
2018-2019年北京市人大附中九年级(上)月考数学试卷(10月份)(无答案)
2018-2019学年北京市人大附中九年级（上）月考数学试卷（10月份）一、选择题（8×3＇=24＇）1．如图，以点P 为圆心作圆，所得的圆与直线l 相切的是（ ）A ．以PA 为半径的圆B ．以PB 为半径的圆C ．以PC 为半径的圆D ．以PD 为半径的圆2．抛物线y=（x-2）2+1的对称轴是（ ）A ．x=2B ．x=-2C ．x=1D ．x= -13．下列k 的值中，使方程x2-4x+k=0有两个不相等实数根的是（ ）A ．3B ．4C ．5D ．64．利用圆内接正多边形，可以设计出非常有趣的图案，下列图案中，是中心对称图形，但不是轴对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ．5．将关于x 的方程x 2-4x-2=0进行配方，正确的是（ ）A ．（x-2）2=2B ．（x+2）2=2C ．（x+2）2=6D ．（x-2）2=66．如图，A 、B 、C 在⊙O 上，∠ACB=40°，点D 在∠ACB上，M 为半径OD 上一点，则∠AMB 的度数不可能为（ ）A ．45°B ．60°C ．75°D ．85° 6题7．在学习了《圆》这一童节之后，甲、乙两位同学分别整理了一个命题：甲：相等的弦所对的圆心角相等； 乙：平分弦的直径垂直于这条弦．下面对这两个命题的判断，正确的是（ ）A ．甲对乙错B ．甲错乙对C ．甲乙都对D ．甲乙都错8．下表时二次函数y=ax 2+bx+c 的x ，y 的部分对应值：x … －1212 1 32 2 52 … y … 14 －1 －74 m －74 －1 n … 则对于该函数的性质的判断：①该二次函数有最大值；②不等式y ＞-1的解集是x ＜0或x ＞2；③方程ax2+bx+c=0的两个实数根分别位于-12＜x ＜0和2＜x ＜52之间；④当x ＞0时，函数值y 随x 的增大而增大；其中正确的是（ ）A ．②③B ．②④C ．①③D ．③④二、填空题（8×3＇=24＇）9．一元二次方程2x2+x-2=0的一次项系数为10．如图，AB 为⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点E ，已知CD=8，OE=3，则⊙O 的半径为11．请写出一个开口向上，且与y 轴交于（0，-1）的二次函数的解析式12．若x=1是方程2ax2+bx=3的根，当x=2时，函数y=ax2+bx 的函数值为13．点A （-3，y1），B （2，y2）在抛物线y=x2-5x 上，则y 1 y 2．（填“＞”，“＜”或“=”）14．为了测量一个光盘的半径，小周同学把直尺、光盘和三角板按图所示放置于桌面上，并测量出AB=3cm ，这张光盘的半径是 cm 10题14题15题16题16．如图1所示，E为矩形ABCD的边AD上一点，动点P、Q同时从点B出发，点P沿折线BE-ED-DC运动到点C时停止，点Q沿BC运动到点C时停止，它们运动的速度都是1cm/秒，设P、Q同时出发t秒时，△BPQ的面积为ycm2，已知y与t的函数关系图象如图2所示，请回答：（1）线段BC的长为cm．（2）当运动时间t=2.5秒时，P、Q之间的距离是cm．三、解答题（12×6＇=72＇）17．解方程：x（2x+1）=4x+218．如图，等边ΔABC的边长为6，点D是线段BC上的一点，CD=4，以AD为边作等边ΔADE，连接CE．求CE的长．19．已知关于x的方程x2-4mx+4m2-9=0．（1）求证：此方程有两个不等的实数根；（2）若方程的两个根分别为x1，x2，其中x1＞x2，若x1=3x2，求m的值．⌒中点，若∠BAC=70°，求∠C．20．如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，D是BC21．如图，园林小组的同学用一段长16米的篱笆围成一个一边基墙的矩形菜园ABCD，墙的长度为9米，设AB的长为x米，BC的长为y米．（1）①写出y与x的函数关系是：；②自变量x的取值范围是；（2）园林小组的同学计划使矩形菜园的面积为30平方米，试求此时边AB的长．22．在附中中心花园的草坪上，有一些自动旋转喷泉水装置，它的喷灌区域是一个扇形，小孙同学想了解这种装置能够喷灌的草坪面积，他测量出了相关数据，并画出了示意图，如图，这种旋转喷水装置的旋转角度为240°，喷灌起终点A，B两点的距离为12米，求这种装置能够喷的草坪面积．23．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=x2+mx+n与x轴正半轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C．（1）利用直尺和圆规，作出抛物线y=x2+mx+n的对称轴（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；（2）若△OBC是等腰直角三角形，且其腰长为3，求抛物线的解析式；（3）在（2）的条件下，点P为抛物线对称轴上的一点，则PA+PC的最小值为24．如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，过点C作⊙O的切线CM，AD⊥CM于点D，交⊙O于点E．（1）求证：AC平分∠BAD；（2）若AE=AO=2，求线段CD的长．25．在生活中，有很多函数并不一定存在解析式，对于这样的函数，我们可以通过列表和图象来对它可能存在的性质进行探索，例如下面这样一个问题：x …-5 -4 -3 -2 0 1 2 3 4 5 …y … 1.969 1.938 1.875 1.75 1 0 -2 -1.5 0 2.5 …进行了探究．下面是小孙同学的探究过程，请补充完整；（1）如图，在平面之间坐标系xOy中，描出了以上表中各对应值为坐标的点，根据描出的点，画出函数的图象：（2）根据画出的函数图象回答：①x=-1时，对应的函数值y的为（答案不唯一）；②若函数值y＞0，则x的取值范围是；③写出该函数的一条性质（不能与前面已有的重复）：（答案不唯一）．26．已知关于x的二次函数y=ax2-（2a+2）x+b（a≠0）在x=0和x=6时函数值相等．（1）求a的值；（2）若该二次函数的图象与直线y=-2x的一个交点为（2，m），求它的解析式：（3）在（2）的条件下，直线y=-2x-4与x轴，y轴分别交于A，B，将线段AB向右平移n（n＞0）个单位，同时将该二次函数在2≤x≤7的部分向左平移n个单位后得到的图象记为G，请结合图象直接回答，当图象G与平移后的线段有公共点时，n的取值范围．27．如图，在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，D为AC延长线上一点，连接BD，AE⊥BD于点E．（1）记△ABC得外接圆为⊙O．①请用文字描述圆心O的位置；②求证：点E一定在⊙O上．（2）将射线AE绕点A顺时针旋转45°后，所得到的射线与BD延长线交于点F，连接CF，CE．①依题意补全图形；②用等式表示线段AF，CE，BE的数量关系，并证明．28．在平面直角坐标系xOy中，对于图形G，若存在一个正方形γ，这个正方形的某条边与x轴垂直，且图形G上的所有的点都在该正方形的内部或者边上，则称该正方形γ为图形G的一个正覆盖．很显然，如果图形G存在一个正覆盖，则它的正覆益有无数个，我们将图形G的所有正覆盖中边长最小的一个，称为它的紧覆盖，如图所示，图形G为三条线段和一个圆弧组成的封闭图形，图中的三个正方形均为图形G的正覆盖，其中正方形ABCD就是图形G的紧覆盖．（1）对于半径为2的⊙O，它的紧覆盖的边长为（2）如图1，点P为直线y=-2x+3上一动点，若线段OP的紧覆盖的边长为2，求点P的坐标．（3）如图2，直线y=3x+3与x轴，y轴分别交于A，B，①以O为圆心，r为半径的⊙O与线段AB有公共点，且由⊙O与线段AB组成的图形G的紧覆益的边长小于4，直接写出r的取值范围；②若在抛物线y=ax2+2ax-2（a≠0）上存在点C，使得△ABC的紧覆益的边长为3，直接写出a的取值范围．。
2018-2019学年北京市人大附中九年级(上)月考数学试卷
2018-2019学年北京市人大附中九年级（上）月考数学试卷（10月份）一、选择题（8×3＇=24＇）1．如图，以点P 为圆心作圆，所得的圆与直线l 相切的是（ ） A ．以PA 为半径的圆 B ．以PB 为半径的圆 C ．以PC 为半径的圆 D ．以PD 为半径的圆 2．抛物线y=（x-2）2+1的对称轴是（ ）A ．x=2B ．x=-2C ．x=1D ．x= -13．下列k 的值中，使方程x2-4x+k=0有两个不相等实数根的是（ ）A ．3B ．4C ．5D ．64．利用圆内接正多边形，可以设计出非常有趣的图案，下列图案中，是中心对称图形，但不是轴对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ．5．将关于x 的方程x 2-4x-2=0进行配方，正确的是（ ） A ．（x-2）2=2 B ．（x+2）2=2 C ．（x+2）2=6 D ．（x-2）2=66．如图，A 、B 、C 在⊙O 上，∠ACB=40°，点D 在∠ACB 上，M 为半径OD 上一点，则∠AMB 的度数不可能为（ ）A ．45°B ．60°C ．75°D ．85° 6题 7．在学习了《圆》这一童节之后，甲、乙两位同学分别整理了一个命题： 甲：相等的弦所对的圆心角相等； 乙：平分弦的直径垂直于这条弦． 下面对这两个命题的判断，正确的是（ ）A ．甲对乙错B ．甲错乙对C ．甲乙都对D ．甲乙都错 8．下表时二次函数2则对于该函数的性质的判断：①该二次函数有最大值；②不等式y ＞-1的解集是x ＜0或x ＞2；③方程ax2+bx+c=0的两个实数根分别位于-12＜x ＜0和2＜x ＜52之间；④当x ＞0时，函数值y 随x 的增大而增大；其中正确的是（ ）A ．②③B ．②④C ．①③D ．③④ 二、填空题（8×3＇=24＇）9．一元二次方程2x2+x-2=0的一次项系数为10．如图，AB 为⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点E ，已知CD=8，OE=3，则⊙O 的半径为 11．请写出一个开口向上，且与y 轴交于（0，-1）的二次函数的解析式 12．若x=1是方程2ax2+bx=3的根，当x=2时，函数y=ax2+bx 的函数值为 13．点A （-3，y1），B （2，y2）在抛物线y=x2-5x 上，则y 1 y 2．（填“＞”，“＜”或“=”）14．为了测量一个光盘的半径，小周同学把直尺、光盘和三角板按图所示放置于桌面上，并测量出AB=3cm，这张光盘的半径是cm10题14题15题16题15．如图，网络格上正方形小格的边长为1，图中线段AB和点P绕着同一个点做相同的旋转，分别得到线段A′B′和点P′，则在1区～4区中，点P′所在的单位正方形区域是（选填区域名称）16．如图1所示，E为矩形ABCD的边AD上一点，动点P、Q同时从点B出发，点P沿折线BE-ED-DC运动到点C时停止，点Q沿BC运动到点C时停止，它们运动的速度都是1cm/秒，设P、Q同时出发t秒时，△BPQ的面积为ycm2，已知y与t的函数关系图象如图2所示，请回答：（1）线段BC的长为cm．（2）当运动时间t=2.5秒时，P、Q之间的距离是cm．三、解答题（12×6＇=72＇）17．解方程：x（2x+1）=4x+218．如图，等边ΔABC的边长为6，点D是线段BC上的一点，CD=4，以AD为边作等边ΔADE，连接CE．求CE的长．19．已知关于x的方程x2-4mx+4m2-9=0．（1）求证：此方程有两个不等的实数根；（2）若方程的两个根分别为x1，x2，其中x1＞x2，若x1=3x2，求m的值．⌒中点，若∠BAC=70°，求∠C．20．如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，D是BC21．如图，园林小组的同学用一段长16米的篱笆围成一个一边基墙的矩形菜园ABCD，墙的长度为9米，设AB的长为x米，BC的长为y米．（1）①写出y与x的函数关系是：；②自变量x的取值范围是；（2）园林小组的同学计划使矩形菜园的面积为30平方米，试求此时边AB的长．22．在附中中心花园的草坪上，有一些自动旋转喷泉水装置，它的喷灌区域是一个扇形，小孙同学想了解这种装置能够喷灌的草坪面积，他测量出了相关数据，并画出了示意图，如图，这种旋转喷水装置的旋转角度为240°，喷灌起终点A，B两点的距离为12米，求这种装置能够喷的草坪面积．23．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=x2+mx+n与x轴正半轴交于A，B两点（点A 在点B左侧），与y轴交于点C．（1）利用直尺和圆规，作出抛物线y=x2+mx+n的对称轴（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；（2）若△OBC是等腰直角三角形，且其腰长为3，求抛物线的解析式；（3）在（2）的条件下，点P为抛物线对称轴上的一点，则PA+PC的最小值为24．如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，过点C作⊙O的切线CM，AD⊥CM于点D，交⊙O于点E．（1）求证：AC平分∠BAD；（2）若AE=AO=2，求线段CD的长．25．在生活中，有很多函数并不一定存在解析式，对于这样的函数，我们可以通过列表和图象来对它可能存在的性质进行探索，例如下面这样一个问题：数的图象与性质进行了探究．下面是小孙同学的探究过程，请补充完整；（1）如图，在平面之间坐标系xOy中，描出了以上表中各对应值为坐标的点，根据描出的点，画出函数的图象：（2）根据画出的函数图象回答：①x=-1时，对应的函数值y的为（答案不唯一）；②若函数值y＞0，则x的取值范围是；③写出该函数的一条性质（不能与前面已有的重复）：（答案不唯一）．26．已知关于x的二次函数y=ax2-（2a+2）x+b（a≠0）在x=0和x=6时函数值相等．（1）求a的值；（2）若该二次函数的图象与直线y=-2x的一个交点为（2，m），求它的解析式：（3）在（2）的条件下，直线y=-2x-4与x轴，y轴分别交于A，B，将线段AB向右平移n （n＞0）个单位，同时将该二次函数在2≤x≤7的部分向左平移n个单位后得到的图象记为G，请结合图象直接回答，当图象G与平移后的线段有公共点时，n的取值范围．27．如图，在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，D为AC延长线上一点，连接BD，AE⊥BD 于点E．（1）记△ABC得外接圆为⊙O．①请用文字描述圆心O的位置；②求证：点E一定在⊙O上．（2）将射线AE绕点A顺时针旋转45°后，所得到的射线与BD延长线交于点F，连接CF，CE．①依题意补全图形；②用等式表示线段AF，CE，BE的数量关系，并证明．28．在平面直角坐标系xOy中，对于图形G，若存在一个正方形γ，这个正方形的某条边与x轴垂直，且图形G上的所有的点都在该正方形的内部或者边上，则称该正方形γ为图形G的一个正覆盖．很显然，如果图形G存在一个正覆盖，则它的正覆益有无数个，我们将图形G的所有正覆盖中边长最小的一个，称为它的紧覆盖，如图所示，图形G为三条线段和一个圆弧组成的封闭图形，图中的三个正方形均为图形G的正覆盖，其中正方形ABCD就是图形G的紧覆盖．（1）对于半径为2的⊙O，它的紧覆盖的边长为（2）如图1，点P为直线y=-2x+3上一动点，若线段OP的紧覆盖的边长为2，求点P的坐标．（3）如图2，直线y=3x+3与x轴，y轴分别交于A，B，①以O为圆心，r为半径的⊙O与线段AB有公共点，且由⊙O与线段AB组成的图形G的紧覆益的边长小于4，直接写出r的取值范围；②若在抛物线y=ax2+2ax-2（a≠0）上存在点C，使得△ABC的紧覆益的边长为3，直接写出a的取值范围．。
2018-2019学年最新北师大版九年级数学上学期10月份月考模拟测试题及答案-精品试题
初三上学期10月份月考数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1．－3的相反数是 （ ） A ．3 B ．3±C ．13D ．－132．方程234-=x x 的解为 （ ） A ．x ＝0 B ．x ＝2 C ．x ＝4 D ．x ＝83．已知b a 12=，则ba ba -+2的值是 （ ） A ．－5 B ．5 C ． －4 D ．44．若12x x ，是一元二次方程2560x x --=的两个根，则12x x +的值是 （ ） A ．1 B ．6 C ．－5 D ．55．已知一元二次方程012=+-x kx 有两个不相等的实数根,则k 的范围是 （ ）A ．41>k B ．41<k C ．41≠k D ．41<k 且0≠k 6．下列四个三角形，与左图中的三角形相似的是 （）7．如图，在ABC ∆中，BC DE //，6=AD ，3=DB ，4=AE ，则EC 的长为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．48．如图，梯形ABCD 中，AD //BC ，AD = 3，AB = 5，BC = 9，CD 的垂直平分线交BC 于E ，连结DE ，则四边形ABED 的周长等于 ( ) A ．17 B ．18 C ．19 D ．20AB CDFE第10题图第9题图第7题图A BCD第6题图第17题图第16题图AC BFE D第18题图9．如图，在等边△ABC 中，D 为BC 边上一点，E 为AC 边上一点，且∠ADE ＝60°，BD ＝3，CE ＝2，则△ABC 的边长为 （ ） A ．9 B ．12 C ．16 D ．1810．在矩形ABCD 中，BC=10cm 、DC=6cm ，点E 、F 分别为边AB 、BC 上的两个动点，E 从点A 出发以每秒5cm 的速度向B 运动，F 从点B 出发以每秒3cm 的速度向C 运动，设运动时间为t 秒．若∠AFD=∠AED ，则t 的值为 （ ） A ．12-B ．0.5 C ．32 D ．1 二、填空题（本大题共8小题，每小题2分，共16分） 11．如果分式32+x x有意义，那么x 的取值范围是____________． 12．若分式242--x x 的值为零，则x 的取值为__________．13．为纪念抗战胜利70周年，在北京天安门广场举行了盛大的阅兵仪式，已知天安门广场的面积为44万平方米，在比例尺为1:20000的地图上天安门的面积为__________2cm ．14．某公司在2013年的盈利额为200万元，预计2015年的盈利额将达到242万元，若每年比上一年盈利额增长的百分率相同，那么该公司在2014年的盈利额为________万元． 15．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，若AC ＝6，BC ＝8，则△ABC 的外接圆的半径为． 16．如图，在△ABC 中，BD ，CE 分别是边AC ，AB 上的中线，BD 与CE 相交于点O ，则=ODOB_____． 17．如图，点P 在△ABC 的边AC 上，只添加一个条件______________，使得△ABP ∽△ACB ．18．如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=6，BC=8，翻折∠C ，使点C 落在斜边AB 上某一点D 处，折痕为EF （点E 、F 分别在边AC 、BC 上），若△CEF 与△ABC 相似，则AD 的长为 ．三、解答题（本大题共10小题，共84分） 19．（本题满分6分）（1）化简：x xy x +2（2）计算：ba b b a a ---2220．（本题满分9分）ABCDE （第8题）（1）解方程：223+=x x ；（2）()36142=-x ； （3）解方程：0232=+-x x ． 21．（本题满分6分） 先化简，再求值：242122+-÷⎪⎭⎫ ⎝⎛+--x xx x ，其中34+-=x ． 22．（本题满分8分）如图，已知AB=AC=AD ，且AD ∥BC ．求证：D C ∠=∠2．23．（本题满分9分）如图：若AB ⊥BD ，CD ⊥BD ，动点P 在BD 上且CP ⊥AP ， 若AB=3， CD=2，BD=7．（1）说明：ΔABP ∽ ΔPDC ； （2）求出DP 的长．AB CD24．（本题满分9分）如图，△ABC 三个定点坐标分别为A （﹣1，3），B （﹣1，1），C （﹣3，2）． （1）请画出△ABC 关于y 轴对称的△A 1B 1C 1；（2）以原点O 为位似中心，将△A 1B 1C 1放大为原来的2倍，得到△A 2B 2C 2， 请在第三象限内画出△A 2B 2C 2，并求出111C B A S ∆：222C B A S ∆的值．25．（本题满分9分）如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝6，BC ＝8．（1）在△ABC 内放入正方形纸片DEFG ，使边EF 在斜边AB 上，点D 、G 分别在AC 、BC 上。