24.2.2弦、弧、圆心角、 弦心距之间的关系
九年级数学下 第24章 圆24.2 圆的基本性质第4课时 圆心角、弧、弦、弦心距间的关系说课
圆心角、弧、弦、弦心距间的关系教材分析：本课是沪科版九年级下册第24章第二节圆的有关性质,它是在学习了垂径定理后进而要学习的圆的又一个重要性质。
主要研究弧，弦，圆心角的关系。
教材中充分利用圆的对称性，通过观察，实验探究出性质，再进行证明，体现图形的认识，图形的变换，图形的证明的有机结合。
在证明圆的许多重要性质时都运用了圆的旋转不变性。
同时弧，弦，圆心角的关系定理在后继证明线段相等，角相等，弧相等提供了又一种方法。
重点：圆心角、弧、弦之间的相等关系难点：从圆的旋转不变性出发，得到圆心角，弦，弧之间的相等关系。
目的分析：知识与技能目标：（1）让学生在实际操作中发现并理解圆的旋转不变性。
（2）结合图形让学生理解圆心角的概念，学会辨别圆心角。
（3）引导学生发现圆心角、弧、弦之间相等关系，并初步学会运用这些关系解决有关问题。
过程与方法目标：培养学生观察，分析，归纳的能力，渗透旋转变化的思想及有特殊到一般的变化规律。
情感与态度目标：进一步培养学生的合情推理能力，发展学生的逻辑思维能力和推理论证的表达能力，同时对学生渗透事物之间是可相互转化的辨证唯物主义教育。
教法分析：1.学情：由于圆的知识是轴对称及旋转知识的后续学习，学生又有一定圆的相关概念，计算的知识储备，因此学习本节难度不是太大。
由于学生对圆的旋转不变性不甚了解，所以在探讨圆心角、弧、弦之间的相等关系时可能感到困难，另外对等弧等的理解可能不透彻，我会做直观的示范；初始阶段在证明角相等，线段相等等有关问题时受思维定势的影响，学生往往会走利用“三角形全等”的老路，这时我会有意识引导，针对性训练构建学生头脑中新的知识网络。
2．教学活动是教与学双边互动过程，必须充分发挥学生的主体和教师的主导作用，因此教学目标的达成，需优选教学法，根据学生的学情，本节课在探究圆心角，弦，弧之间的相等关系我采用发现模式，基本程序是：观察实践——概括归纳——重点研讨——推理反思。
这种教学模式注重知识的形成过程，有利于体现学生的主体地位和分析问题的方法，例题教学时采用讲授模式，一方面通过新知识的讲解练习，及时反馈，查缺补漏，使学生树立信心，培养学习能力，另一方面对大面积提高教学质量也是有意的。
圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系
圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系
1、与圆心角、弧、弦、弦心距相关的定理和推理：
在上例中，若∠DOC=∠AOB，则CD=AB，弧CD=弧AB，弦心距OE=弦心距OF；若CD=AB，则∠DOC=∠AOB，弧CD=弧AB，弦心距OE=弦心距OF；若弧CD=弧AB，则∠DOC=∠AOB，CD=AB，弦心距OE=弦心距OF；若弦心距OE=弦心距OF，则∠DOC=∠AOB，CD=AB，弧CD=弧AB.(特别的对于弦心距而言，要么指出“弦心距”三字，要么指出(OE⊥DC或OF⊥AB）.2、典型例题及常见辅助线的添线方法：
解法分析：本题主要利用的推论是同圆中，相等的弦心距所对的弦相等。
(1)(2)两问的添线方法一致，只是根据点在圆外、圆上、圆内分类讨论而已。
因此常见的辅助线的添线方法为作弦心距。
3、与四边形相关的综合练习：
解法分析：本题综合利用了同圆的半径相等、矩形的对角线相等且互相平分，X型基本图形、锐角三角比、三角形的内外角和知识，是一道比较综合的简单综合题。
解法分析：本题综合利用了全等三角形的判定和性质定理，勾股定理，平行四边形的性质定理。
第3问稍有难度，构造全等的直角三角形，利用垂直平分线性质定理解决问题。
解法分析：本题的第1问利用了子母三角形相似得到解析式；本题的第2问分类讨论，利用X型基本图形，列比例关系求解.
4、圆周角相关性质定理的补充：。
03 圆心角、弧、弦、弦心距之间关系
三．圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系【知识要点】（1）圆的对称性：圆是以圆心为对称中心的中心对称图形．圆不仅是轴对称图形，而且还是 图形，圆独有的性质是 ． （2）概念：弦、弦心距弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦。
经过圆心的弦叫做直线。
直径是圆中最大的弦。
弦心距：圆心到弦的距离叫做弦心距。
【典型例题】例1．（1）过已知⊙O 中一已知点P 的弦中，最短的弦是 ；最长的弦是 ．（2）已知⊙O 中，AB 是直径，长10cm ，点M 为⊙O 内的一点，OM=4cm ，则⊙O 中过点M 的弦中，最长的弦等于 ．（3）在⊙O 中，弦AB ∥弦CD ，且AB 、CD 的度数分别为︒120和︒60，⊙O 的半径为6cm ，则AB 与CD 之间的距离是 ．（4）如图1，⊙O 中，弦CD 与直径AB 交于E ，且∠AEC=︒30，AE=1cm ，BE=5cm ，则弦CD 的弦心距OF= cm ，弦CD 的长为 cm.（3）概念：弧，圆心角弧：圆上任意两点间的部分叫做弧。
弧分为半圆，优弧、劣弧三种。
圆心角 ：顶点在圆心的角叫圆心角，圆心角的度数等于它所对的弧的度数。
例2．（1）如图2，在△ABC 中，︒=∠︒=∠25,90B BCA ，以C 为圆心，CA 为半径的圆交· A C FE ODB 图1· O 图4AB C图2CBDD A图3· OECAB 于D ，则AD 的度数是 ．（2）在⊙O 中，弦AB 与过B 点的半径夹角为︒55，那么弦AB 所对的优弧AMB 的度数为 。
（3）一条弦的弦心距等于它所在圆的直径的41，则这条弦所对的劣弧的度数是 。
（4）已知⊙O 中，AB=2CD ，则弦AB 2CD ．（填“〉”、“〈”或“=” ） （5）如图3所示，已知C 是⊙O 直径AB 上一点，过C 作弦DE ，使CD=CO ，若AD 的度数为︒40，BE 的度数 。
（6）如图4，在⊙O 中，AB 的度数是︒50，∠OBC=︒40，那么∠OAC 等于 。
圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系
11.如图，已知AB是⊙ 的弦，且AC=BD，半径OE、OF分别过C、D两点.求证： .
12.如图，已知⊙ 的半径OA、OB，C在 上， 于D， 于E， .
求证： .
13.如图，在⊙ 中，AB是直径， ，D是CO的中点，DE∥AB.求证： .
14.如图，已知AB是⊙ 的直径，M、N分别是AO、BO的中点， 于M， 于N.
图5
图3图4
【家庭作业】
一、选择题
1.下列说法： 直径是弦； 弦是直径； 半圆是弧，但弧不一定是半圆； 长度相等的两条弧是等弧.其中正确的命题有（）个.
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
2.下列说法正确的是（）
A.弦是直径B.半圆是弧
C.过圆心的线段是直径D.圆心相同，半径相等的两个圆是同心圆
3.在⊙ 中，圆心角 是圆心角 的两倍，则下列式子中能成立的是（）
A. B. C. D.
4.在⊙ 中，圆心角 ，点O到弦AB的距离为4，则⊙ 的直径长为（）
A. B. C. 24 D. 16
二、填空题
5.（1）圆上任意两点之间的部分叫做________；（2）连结圆上任意两点的线段叫做_________；过圆心的弦就是__________；（3）圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做_____________；
【圆中相关圆心角的求解】
例4、如图所示，在 中，∠A= ，⊙O截 的三条边长所得的三条弦等长，求∠BOC．
例5、如图，在⊙O中，弦AB=CB，∠ABC= ，OD⊥AB于D，OE⊥BC于E．
求证： 是等边三角形．
【巩固练习】
1．如图，在⊙O中，AB的度数是 ，∠OBC= ，那么∠OAC等于（）
圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系
圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系在几何学中，圆是一种特殊的图形，由一组在同一平面上距离相等的点组成。
在圆周上有许多重要的概念，其中包括圆心角、弧、弦和弦心距。
本文将介绍这些概念之间的关系。
圆心角圆心角是指以圆心为顶点的角。
以弧上两点为端点的弧度被称为圆心角。
通常用希腊字母θ表示圆心角的大小。
圆心角可以用度数或弧度来度量。
弧在圆周上，弧是连接两个点的曲线部分。
弧的长度取决于圆的半径和弧所对应的圆心角。
根据弧的长度可以将其分类为小弧和大弧。
当弧的长度等于或小于半径的时候，称为小弧；当弧的长度大于半径时，称为大弧。
弦弦是连接圆周上任意两点的线段。
弦的长度也取决于圆的半径和弦所对应的圆心角。
弦可以划分为直径和非直径弦。
直径是通过圆心的弦，其长度等于圆的直径。
弦心距弦心距是指从圆心到弦的垂直距离。
当弦垂直于半径时，弦心距最短。
弦心距的长度也与圆的半径和弦所对应的圆心角有关。
圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系圆心角、弧、弦和弦心距之间存在一些重要的关系。
下面将分别介绍它们之间的关系。
1.圆心角和弧的关系：圆心角等于它所对应的弧的角度。
换句话说，如果一个圆心角的度数为θ，则对应的弧度长度为θ。
2.弦和圆心角的关系：当圆心角是一个锐角时，弦的长度小于半径，而当圆心角变为直角或钝角时，弦的长度会增加。
特别地，当圆心角为180度时，对应的弦称为直径，其长度等于圆的直径。
3.弦心距和圆心角的关系：弦心距等于2倍的半径乘以正弦(θ/2)，其中θ是对应的圆心角的度数。
对于同一弧度角，弦心距不受弦的位置影响。
综上所述，圆心角、弧、弦和弦心距之间存在着密切的关系。
它们的长度和大小相互影响，同时还与圆的半径有关。
理解这些关系有助于我们更好地理解和运用圆周几何学。
结论在圆周几何学中，圆心角、弧、弦和弦心距是重要的概念。
它们之间的关系非常密切，彼此之间的角度和长度相互耦合，同时又与圆的半径有关。
通过研究和理解这些关系，我们能够更好地解决与圆相关的问题，以及在实际应用中运用这些概念。
圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系
C
3、如图，⊙O中弦AB， CD相交于P，且AB=CD.
求证：PB=PD
P
O
A D
B
思考题：
已知AB和CD是⊙O的两条弦，OM和ON 分别是AB和CD的弦心距，如果AB>CD， 那么OM和ON有什么关系？为什么？ 圆中弧、圆心角、弦、弦心距的不等关系
1、在同圆或等圆中，大弦的弦心距较小；
AOB COD AB=CD ，_____________ ． AB = CD ，那么____________ AB=CD AB = CD ，_________ （3）如果∠AOB=∠COD，那么_____________ ．
（2）如果
（4）如果AB=CD，OE⊥AB于E，OF⊥CD于F，OE与OF相等吗？ 为什么？ OE﹦OF
┌ O
M
A
顶点在圆心的角称为圆心角，把以点Ａ和点 B的端点的弧AB称为圆心角∠ＡＯＢ所对的 弧，把象ＯＭ这样的以圆心Ｏ到弦ＡＢ的距 离称为弦ＡＢ的弦的弦心距．
(
练习：判别下列各图中的角是不是圆心角，
并说明理由。
O
①
O ②
O
O
③
④
圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系
在等圆中
B O A
两位同学先作一个度数相同的圆心角！
A
O
·
A
根据旋转的性质，将圆心角∠AOB绕圆心O旋转到∠A′OB′的 位置时， ∠AOB＝∠A′OB′，射线 OA与OA′重合，OB与OB′重 合．而同圆的半径相等，OA=OA′，OB=OB′，∴点 A与 A′重 合，B与B′重合．
∴ AB 与 A ' B '. 重合，AB与A′B′重合．
︵
24.2.2弦、弧、圆心角、 弦心距之间的关系
在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、 弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么 所对应的其余各组量都分别相等。
已知：如图，点P在⊙O上,点O在∠EPF的平分 线上，∠ EPF的两边交⊙O于点A和B。 求证：PA=PB.
E B
P
O
A F
已知：如图，点O在∠EPF的平分线上，⊙O和 ∠ EPF的两边分别交于点A，B和C，D。
C
A
E
O
B
D
如图，AB、CD是⊙O的两条弦，
OE、OF为AB、CD的弦心距，
如果AB＝CD，那么 ， ，
；
如果OE＝OF，那么 ， ，
；
如果弧AB＝弧CD，那么 ， ， ；
如果∠AOB＝∠COD，那么 ， ， 。
A
注意前提：
在同圆或等圆中
E
O
B
下列说法正确吗？为什么？
C
D
F
在⊙O和⊙O’中，∵∠AOB＝∠A’O’B’∴AB＝A’B’
在⊙O和⊙O’中，∵AB＝A’B’，∴弧AB＝弧A’B’
把顶点在圆心的周角等分成360份时，每一 份的圆心角是1°的角。1°的圆心角所对的弧 叫做1°的弧。
n°弧
C
一般地，n°的圆
D 心角对着n°的弧。
n°圆心角
圆心角的度数
O
A
1°圆心角 B
1°弧 和它所对的弧 的度数相等。
判断题：在两个圆中，分别有弧AB和弧CD，若弧 AB和弧CD的度数相等，则有：
AB和CD是⊙O的两条弦，OM和ON分 别是AB和CD的弦心距，如果AB>CD， 那么OM和ON有什么关系？为什么？
5、已知：如图， ⊙O的两条直径AB⊥CD，四 条弦AE//FD//CG//HB。
最新沪科版九年级数学下24.2.2弦、弧、圆心角、弦心距间的关系
·
A
O
·
A
根据旋转的性质，将圆心角∠AOB绕圆心O旋转到∠A′OB′的 位置时， ∠AOB＝∠A′OB′，射线 OA与OA′重合，OB与OB′重 合．而同圆的半径相等，OA=OA′，OB=OB′，∴点 A与 A′重 合，B与B′重合．
∴ AB 与 A ' B '. 重合，AB与A′B′重合．
︵
B
AOE 180 3 35
75
在同圆或等圆中,如果①两个圆心，②两条弧,
③两条弦,④两条弦心距中。 有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量 都分别相等.
拓展练习
2.如图，点O在∠CAE的平分线上，以O为 圆心的圆分别交∠CAE的两边于点B、C和 D、E。则AB与AD有怎样的大小关系？试 证明。
︵
AB A ' B '.
︵
︵
AB A ' B '.
归纳小结
D B C
B O A O'
B' A'
O A
前提条件
在同圆或等圆中， 相等的圆心角所对的弧相等， 所对的弦相等，所对弦的弦心B = CD
？！
O'
D 在同圆或等圆中， 相等的圆心角所对的弧相等， 所对的弦相等，所对弦的弦心距相等
（已知）
图 23.1.5
∴ AC-BC=BD-BC （等式的性质） ∴ AB=CD
∴ ∠1=∠2=45° （在同圆中，相等的弧所对的 圆心角相等）
例 3：
如图，AB是⊙O 的直径，BC = CD ∠COD=35°，求∠AOE 的度数． 解：
E D C A ∵
= DE
BC = CD
24.2圆的基本性质(3)-圆心角、弧、弦、弦心距间的关系
Eቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
B
· O
D
F C
（1）如果AB=CD, 那么_________,_______,_______;
(2)如果OE=OF, 那么_________,________,_______;
(3)如果A⌒B = C⌒D,那么________,_________,_______;
(4)如果∠AOB=∠COD,那么_______,_______,________.
A
O C
B
1、顶点在 圆心上 的角叫做圆心角。 2、在 同圆或等圆 中，相等的圆心 角所对的弦 相等 ，所对的弧 相等 。
3、在同圆或等圆中，如果两条弧、两条 弦、两个圆心角中有一组量相等，那么其余 各组量也 相等 。
请同学们认真学习课本第18页至第19页的内容， 回答下面的问题：
1、什么样的角是圆心角？
2、你能说出圆心角∠AOB， ∠A′OB′所
对的弦，弧吗？
3、将圆心角∠AOB 绕圆心O 旋转到 ∠A′OB′的位置，你能发现哪些等量关
系？为什么？
顶点在圆心上的角叫做圆心角。
︵ 如图所示，∠AOB叫作圆心角，AB 叫作圆心 角∠AOB所对的弧。
A．这两个圆心角所对的弦相等;
B．这两个圆心角所对的弧相等
C．这两个圆心角所对的弦的弦心距相等;
D．以上说法都不对
2．在同圆中，圆心角∠AOB=2∠COD，则两条弧AB与
CD关系是
（ A）
A． »AB 2C»D
C．»AB <2C»D
B．»AB >2C»D D．不能确定
3．如图1，⊙O中，如果 »AB 2C»D，那么 （ C ） A．AB=2AC B．AB=AC
圆的确定,圆心角、圆周角、弧、弦、弦心距之间的关系
儒洋教育学科教师辅导讲义6、多边形与圆如果一个圆经过一个多边形的各顶点，那么这个圆叫做这个多边形的外接圆，这个多边形叫做这个圆的内接多边形，提示：1、与圆的确定有关的两个图形一定要学生重点理解。
2、补充两个知识点：线段垂直平分线的性质和角平分线的性质3、和学生一起重点分析课本例题1和2，理解题目考察的细节和解题方法。
二、例题分析：1、以线段AB为弦的圆的圆心的轨迹是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。
cm。
2、已知扇形的圆心角为120°，半径为2cm，则扇形的弧长是cm，扇形的面积是23、点和圆的位置关系有三种：点在圆，点在圆，点在圆；例1：已知圆的半径r等于5厘米，点到圆心的距离为d，（1）当d=2厘米时，有d r，点在圆（2）当d=7厘米时，有d r，点在圆（3）当d=5厘米时，有d r，点在圆4、下列四边形：①平行四边形，②菱形；③矩形；④正方形。
其中四个顶点一定能在同一个圆上的有（）A、①②③④B、②③④C、②③D、③④5、（07上海中考）小明不慎把家里的圆形玻璃打碎了，其中四块碎片如图所示，为配到与原来大小一样的圆形玻璃，小明带到商店去的一块玻璃碎片应该是（）A．第①块 B．第②块C．第③块 D．第④块6、三角形的外接圆的圆心是（），A．三条中线的交点B．三条高的交点C．三条角平分线的交点D．三条边的垂直平分线的交点7、直角三角形的两条直角边分别为5cm和12cm，则其外接圆半径长为。
（三）巩固练习1、圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条的直线；圆是中心对称图形，对称中心为．2、三角形的外接圆的圆心——三角形的外心——三角形的交点；三角形的内切圆的圆心——三角形的内心——三角形的交点；3、三角形的外心一定在该三角形上的三角形（）（A）锐角三角形（B）钝角三角形（C）直角三角形（D）等腰三角形，第7题 （第2题） 7、如图，AB 和DE 是⊙O 的直径，弦AC ∥DE ，若弦BE=3，则弦CE=_______8、如图，OE ⊥AB 、OF ⊥CD ，如果OE=OF ，那么_______（只需写一个正确的结论）B A CEDOF（第8题） （第11题）9、已知，如图所示，点O 是∠EPF 的平分线上的一点，以O 为圆心的圆和角的两边分别交于点A 、Ｂ和C 、D 。
272圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系(很好-很全-很详细)
奋飞教育---您值得信赖的一对一个性化辅导学校咨询：27.2 圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系【学习目标】1.通过观察实验，使学生了解圆心角的概念.2.掌握在同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，就可以推出它们所对应的其余各组量也相等，以及它们在解题中的应用．【主要概念】【1】圆心角定义在纸上任意画一个圆，任意画出两条不在同一条直线上的半径，构成一个角，这样的角就是圆心角.如图所示，∠AOB的顶点在圆心，像这样，顶点在圆心的角叫做圆心角．【2】圆心角、弧、弦之间的关系定理在同一个圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等．【定理拓展】1在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角，•所对的弦也分○别相等2在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角，•所对的弧也分○别相等综上所述，同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，就可以推出它们所对应的其余各组量也相等．【经典例题】【例1】下列说法中，正确的是( )A.等弦所对的弧相等B.等弧所对的弦相等C.圆心角相等，所对的弦相等D.弦相等所对的圆心角相等【解析】根据弧、弦、圆心角的关系知：等弦所对的弧不一定相等，圆心角相等，所对的弦相等缺少等圆或同圆的条件，所以也不对；弦相等所对的圆心角相等 1奋飞教育---您值得信赖的一对一个性化辅导学校咨询：缺少等圆或同圆的条件，弦所对的弧也不一定是同弧，所以不正确；等弧所对的弦相等是成立的.【答案】B【例2】如图2，同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C、D，已知AB=4，CD=2，AB的弦心距等于1，那么两个同心圆的半径之比为( )图2A.3∶2B.∶2C.∶2D.5∶4【解析】作OE⊥CD于E，则CE=DE=1，AE=BE=2，OE=1.在Rt△ODE中，OD=2+12=2.在Rt△OEB中，OB=BE2+OE2=4+1=.∴OB∶OD=∶2.【答案】C【例3】半径为R的⊙O中，弦AB=2R，弦CD=R，若两弦的弦心距分别为OE、OF，则OE∶OF等于( )A.2∶1B.3∶2C.2∶3D.0【解析】∵AB为直径，∴OE=0.∴OE∶OF=0.【答案】D【例4】一条弦把圆分成1∶3两部分，则弦所对的圆心角为_____________. 【解析】1×360°=90°，∴弦所对的圆心角为90°. 4【答案】90°【例5】弦心距是弦的一半时，弦与直径的比是____________，弦所对的圆心角是____________.【解析】OD⊥AB，OD=DB=AD.设OD=x，则AD=DB=x.在Rt△ODB中，∵OD=DB，OD⊥AB,奋飞教育---您值得信赖的一对一个性化辅导学校咨询：∴∠DOB=45°.∴∠AOB=2∠DOB=90°， OB=OD2+DB2+x2+x2=2 x.∴AB∶BC=1∶2=2∶2. ∴弦与直径的比为2∶2，弦所对的圆心角为90°. 【答案】2∶2 90°【例6】如图6，已知以点O为公共圆心的两个同心圆，大圆的弦AB交小圆于C、D.图6(1)求证：AC=DB；(2)如果AB=6 cm，CD=4 cm，求圆环的面积.【分析】求圆环的面积不用求出OA、OC，应用等量代换的方法.事实上，OA、OC的长也求不出来.（1）证明：作OE⊥AB于E，∴EA=EB，EC=ED.∴EA－EC=EB－ED，即AC=BD.（2）解：连结OA、OC.∵AB=6 cm，CD=4 cm，∴AE=11AB=3 cm.CE=CD=2 cm. 22∴S环=π·OA2－π·OC2=π（OA2－OC2）=π［（AE2＋OE2）－（CE2＋OE2）］=π（AE2－CE2）=π（32－22）=5π（ cm2）.【例7】如图7所示，AB是⊙O的弦(非直径)，C、D是AB上的两点，并且AC=BD.求证：OC=OD.图7【分析】根据弧、弦、圆心角的关系得出.证法一：如图(1)，分别连结OA、OB.∵OA=OB，∴∠A=∠B.又∵AC=BD，∴△AOC≌△BOD.∴OC=OD.奋飞教育---您值得信赖的一对一个性化辅导学校咨询：证法二：如图(2)，过点O作OE⊥AB于E，∴AE=BE.∵AC=BD，∴CE=DE.∴OC=OD. (1) (2)【例8】如图8，⊙O的直径AB和弦CD相交于点E，已知AE=6 cm，EB=2 cm，∠CEA=30°，求CD的长.图8【分析】如何利用∠CEA=30°是解题的关键，若作弦心距OF，构造直角三角形，问题就容易解决.【解】过O作OF⊥CD于F，连结CO.∵AE=6 cm，EB=2 cm，∴AB=8 cm.∴OA=在Rt△OEF中，∵∠CEA=30°，∴OF=1OE=1（cm）. 21AB=4（cm），OE=AE－AO=2（cm）. 2 在Rt△CFO中，OF=1 cm，OC=OA=4(cm)，∴CF=OC2 OF2=(cm). 又∵OF⊥CD，∴DF=CF.∴CD=2CF=2（ cm）.【例9】如图9，AB是⊙O的直径，CD是弦，AE⊥CD，垂足为E，BF⊥CD，垂足为F，我们知道EC和DF相等.若直线EF平移到与直径AB相交于P(P不与A、B重合),在其他条件不变的情况下,结论是否依然成立?为什么?当EF∥AB时,情况又怎样?奋飞教育---您值得信赖的一对一个性化辅导学校咨询：图9【分析】考查垂径定理及三角形、梯形相关知识.可适当添加辅助线.【解】当EF交AB于P时,过O作OM⊥CD于M,则CM=DM.通过三角形,梯形知识或构造矩形可证明AM=MF,∴EC=DF.当EF∥AB时,同理作OM⊥CD于M,可证四边形AEFB为矩形.所以EF=AB.且EM=MF,又由垂径定理有CM=MD,∴EC=DF.【例10】如图10所示，AB、CD是⊙O的两条直径，弦BE=BD，则弧AC与弧BE是否相等？为什么？图10【分析】欲求两弧相等，结合图形，可考虑运用“圆心角、弧、弦、弦心距”四量之间的“等对等”关系，可先求弧AC与弧BE所对的弦相等，也可利用“等量代换”的思想，先找一条弧都与弧AC以及弧BE相等.【解】弧AC=弧BE.原因如下：法一：连结AC，∵AB、CD是直径，∴∠AOC＝∠BOD.∴AC＝BD.又∵BE＝BD，∴AC＝BE.∴弧AC=弧BE.法二：∵AB、CD是直径，∴∠AOC＝∠BOD.∴弧AC=弧BD.奋飞教育---您值得信赖的一对一个性化辅导学校咨询：∵BE＝BD，∴弧BE=弧BD.∴弧AC=弧BE.【例11】如图11所示，AB是⊙O的弦，C、D为弦AB上两点，且OC=OD，延长OC、OD，分别交⊙O于点E、F.试证:弧AE=弧BF.图11【分析】欲求弧相等，结合图形，可先求弧所对的圆心角相等，即求∠AOE＝∠BOF.【证明】∵OC＝OD，∴∠OCD＝∠ODC.∵AO＝OB，∴∠A＝∠B.∴∠OCD－∠A＝∠ODC－∠B，即∠AOC＝∠BOD，即∠AOE＝∠BOF.∴弧AE=弧BF.【例12】如图12，AB、CD、EF都是⊙O的直径，且∠1=∠2=∠3，弦AC、EB、DF是否相等？为什么？图12【分析】应用圆心角、弧、弦的关系解决.证明弦相等往往转化成圆心角相等. 【解】在⊙O中，∵∠1=∠2=∠3，又∵AB、CD、EF都是⊙O的直径，∴∠FOD=∠AOC=∠BOE.∴弧DF=弧AC=弧BE.∴AC=EB=DF.奋飞教育---您值得信赖的一对一个性化辅导学校咨询：【例13】为美化校园，学校准备在一块圆形空地上建花坛，现征集设计方案，要求设计的方案由圆和三角形组成(圆和三角形个数不限)，并且使整个图案成对称图形，请你画出你的设计方案图(至少两种).【解析】设计的基本思路是等分圆心角，或等分圆周，取得轴（或中心）对称的对应点，适当画圆或连线，设计出一些适合要求的图案.【答案】根据题意画出如下方案供选用，如图,本题答案不唯一，只要符合条件即可.【例14】如图14，已知在⊙O中，AD是⊙O的直径，BC是弦，AD⊥BC，E为垂足，由这些条件你能推出哪些结论？(要求：不添加辅助线，不添加字母，不写推理过程，只写出6条以上的结论)图14【解析】因AD⊥BC，且AD为直径，所以可以利用垂径定理得到一些结论，同时可证得AD垂直平分BC，据此又能得到许多结论.本题是2000年新疆建设兵团的模拟题，是一个开放性试题，开放到可以不写步骤，但它比书写证明一个结论步骤的题考查面更广，因为写出六个结论考生需要证明六个题.本题是一个考查考生发散思维能力和创新意识的好题.【答案】（1）BE=CE；（2）弧BD=弧CD；（3）弧AB=弧AC（4）AB=AC；（5）BD=DC；（6）∠ABC=∠ACB；（7）∠DBC=∠DCB；（8）∠ABD=∠ACD；（9）AD是BC的中垂线；奋飞教育---您值得信赖的一对一个性化辅导学校咨询：（10）△ABD≌△ACD；（11）O为△ABC的外心等等.【例15】如图15，AB为⊙O的弦，P是AB上一点，AB=10 cm，OP=5 cm，PA=4 cm，求⊙O的半径.图15【分析】圆中的有关计算，大多都是通过构造由半径、弦心距、弦的一半组成的直角三角形，再利用勾股定理来解决.【解】过O作OC⊥AB于C，连结OA，则AB=2AC=2BC.在Rt△OCA和△OCP中，OC2=OA2－AC2，OC2=OP2－CP2，∴OA2－AC2=OP2－CP2.∵AB=10，PA=4，AB=2AC=2BC，∴CP=AB－PA－BC=1，AC=5.∴OA2－52=52－1.∴OA=7，即⊙O的半径为7 cm.【例16】⊙O的直径为50 cm，弦AB∥CD，且AB=40 cm，CD=48 cm，求弦AB和CD之间的距离.【分析】（1）图形的位置关系是几何的一个重要方面，应逐步加强位置感的培养.（2）本题往往会遗忘或疏漏其中的一种情况.(1)【解】（1）当弦AB和CD在圆心同侧时，如图(1),作OG⊥AB于G，交CD于E，连结OB、OD.∵AB∥CD，OG⊥AB，∴OE⊥CD.∴EG即为AB、CD之间的距离.∵OE⊥CD，OG⊥AB，∴BG=11AB=×40=20（cm）， 22奋飞教育---您值得信赖的一对一个性化辅导学校咨询：DE=11CD=×48=24（cm）. 22在Rt△DEO中，OE=OD2-DE2=252-242=7（cm）.在Rt△BGO中，OG=OB2-BG2=252-202=15（cm）.∴EG=OG－OE=15－7=8（cm）.(2)（2）当AB、CD在圆心两侧时，如图(2)，同理可以求出OG=15 cm，OE=7 cm，∴GE=OG＋OE=15＋7=22（cm）.综上所述，弦AB和CD间的距离为22 cm或7 cm.【1】已知：AB交圆O于C、D，且AC＝BD.你认为OA＝OB吗？为什么？【2】如图所示，是一个直径为650mm的圆柱形输油管的横截面，若油面宽AB=600mm，求油面的最大深度。
圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系
圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系第一课时圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系(一)教学目标:(1)理解圆的旋转不变性,把握圆心角、弧、弦、弦心距之间关系定理推论及应用;(2)培育同学试验、观看、发觉新问题,探究和解决问题的力量;(3)通过教学内容向同学渗透事物之间可相互转化的辩证唯物主义教育,渗透圆的内在美(圆心角、弧、弦、弦心距之间关系),激发同学的求知欲.教学重点、难点:重点:圆心角、弧、弦、弦心距之间关系定理的推论.难点:从感性到理性的熟识,发觉、归纳力量的培育.教学活动设计教学内容设计(一)圆的对称性和旋转不变性同学动手画圆,对折、观看得出:圆是轴对称图形和中心对称图形;圆的旋转不变性.引出圆心角和弦心距的概念:圆心角定义:顶点在圆心的角叫圆心角.弦心距定义:从圆心到弦的距离叫做弦心距.(二)圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系应用电脑动画(试验)观看,在同圆等圆中,圆心角变化时,圆心角所对应的弧、弦、弦心距之间的关系,得出定理的内容.这样既培育同学观看、比较、分析和归纳学问的力量,又可以充分调动同学的学习的乐观性.定理:在同圆等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦相等,所对弦的弦心距也相等. (三)剖析定理得出推论问题1:定理中去掉“在同圆或等圆中”这个前提,否则也不肯定有所对的弧、弦、弦心距相等这样的结论.(同学分小组争论、沟通)举出反例:如图,∠aob=∠cod,但ab cd, .(强化对定理的理解,培育同学的思维批判性.)问题2、在同圆等圆中,若圆心角所对的弧相等,将又怎样呢?(同学分小组争论、沟通,老师与同学沟通对话),归纳出推论.推论:在同圆或等圆中,假如两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量都分别相等.(推论包含了定理,它是定理的拓展)(四)应用、巩固和反思例1、如图,点o是∠epf的平分线上一点,以o为圆心的圆和角的两边所在的直线分别交于点a、b和c、d,求证:ab=cd.解(略,教材87页)例题拓展:当p点在圆上或圆内是否还有ab=cd呢?(让同学自主思索,并使图形运动起来,让同学在运动中学习和讨论几何问题)练习:(教材88页练习)1、已知:如图,ab、cd是∠o的两条弦,oe、of为ab、cd的弦心距,依据本节定理及推论填空: .(1)假如ab=cd,那么______,______,______;(2)假如oe=og,那么______,______,______;(3)假如= ,那么______,______,______;(4)假如∠aob=∠cod,那么______,______,______.(目的:巩固基础学问)共3页，当前第1页123。
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M
A
P
O D
B
N
已知：如图，AD=BC.
求证：AB＝CD
C
E A
B
O D
如图，AB、CD是⊙O的两条弦， OE、OF为AB、CD的弦心距，
如果AB＝CD，那么 ， ， ； 如果OE＝OF，那么 ， ， ； 如果弧AB＝弧CD，那么 ， ， ； 如果∠AOB＝∠COD，那么 ， ， 。
1、如图，在⊙O中，弦AB所对的劣弧为
圆的 1 ，圆的半径为4cm，求AB的长
3
O
A
C
B
2、已知AB和CD为⊙O的两条直径，弦EC//AB, 弧EC的度数为40°，求∠BOD的度数。
E A O D C
B
3、已知：如图， PB＝PD. 求证： AB=CD 。
C A
P
B O D
4、已知：如图， ⊙O的两条半径 OA⊥OB，C、D是弧AB的三等分点。 求证：CD＝AE＝BF。
A E
C
F DOBFra bibliotek弧、弦、弦心距之间的不等量关系
在同圆或等圆中，是不是弧越长，它所
对的弦越长？是不是弦越长，它所对的 弧越长？ AB和CD是⊙O的两条弦，OM和ON分别是 AB和CD的弦心距，如果AB>CD，那么OM 和ON有什么关系？为什么？
5、已知：如图， ⊙O的两条直径AB⊥CD，四 条弦AE//FD//CG//HB。
（如：OC）
B
O
C
练习：判别下列各图中的角是不是圆心角， 并说明理由。
①
②
③
④
探究
如图，将圆心角∠AOB绕圆心O旋转到∠A’OB’ 的位置，你能发现哪些等量关系？为什么？ A′
A′ B B′ B′
B
O
·
A
O
·
A
根据旋转的性质， ︵ ︵ 重合，AB与A′B′重合． AB=A′B′
︵ ︵ ∴AB=A′B′
求证：E、F、H、G四等分圆周。
E
D G
A
O
B
F
C
H
谈一谈
通过本节学习你有哪些收获呢？还有 什么问题？
圆的旋转不变性 圆心角的定义 圆心角定理 圆心角定理的应用 弧的度数 学生练习
作业
1、课本P19-20：阅读与思考
2、名师大课堂：P11-12 3、（月考后）课本P20－21：练习、习题 25.2
A E O B
注意前提：
在同圆或等圆中
下列说法正确吗？为什么？
D
F
C
在⊙O和⊙O’中，∵∠AOB＝∠A’O’B’∴AB＝A’B’ 在⊙O和⊙O’中，∵AB＝A’B’，∴弧AB＝弧A’B’
把顶点在圆心的周角等分成360份时，每一份 的圆心角是1°的角。1°的圆心角所对的弧 叫做1°的弧。
n°弧
B
E
P
O A
F
已知：如图，点O在∠EPF的平分线上，⊙O和 ∠ EPF的两边分别交于点A，B和C，D。 求证：AB＝CD
B
A P O C D
E
F
已知：如图， ⊙O的弦AB，CD相交于点P， ∠DPO=∠ BPO 。 A 求证：AB＝CD
C P
O D
B
已知：如图， ⊙O的弦AB，CD相交于点P，过 P、O的直径为MN，∠APO=∠ CPO 。 求证：PB＝PD
24.2.2弦、弧、圆心角、 弦心距之间的关系
圆的性质
圆是轴对称图形，每一条直径所在的直线
都是对称轴。 圆是以圆心为对称中心的中心对称图形。 圆还具有旋转不变性，即圆绕圆心旋转任 意一个角度α，都能与原来的图形重合。
圆心角：顶点在圆心的角。
（如：∠AOB）
A
弦心距：从圆心到弦的距离。
AB A ' B '.
学法指导
认真阅读课本P17-18内容，会解决下列问题：
1、圆心角、弧、弦和弦心距的关系定理是 什么？题设和结论是什么？ 结合图形用符号表示出来。能否去掉条 件“同圆或等圆”呢？ 2、定理的推论是什么？ 3、看例4、例5：先做后对照；能说出每步 的根据。
（若有困难，同伴交流） 时间：8分钟
( )
（ 条 件 ）
结论
圆 心 角 相 等
圆心角所对的弧相等， 圆心角所对的弦相等， 圆心角所对弦的弦心距相等。
在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、 弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么 所对应的其余各组量都分别相等。
已知：如图，点P在⊙O上,点O在∠EPF的平分 线上，∠ EPF的两边交⊙O于点A和B。 求证：PA=PB.
如图，∠AOB＝∠A`OB`，OC⊥AB， OC`⊥A`B`。
猜想：弧AB与弧A`B`，弦AB与弦A`B`， OC与OC`之间的关系，并证明你的猜想。 定理 在同圆或等圆中， 相等的圆心角所对的弧相等， 所对的弦相等，所对的弦的 弦心距相等。
A C
O
B C' A'
B'
题设 在 同 圆 前 提 或 等 圆 中
C D
一般地，n°的圆 心角对着n°的弧。
圆心角的度数 和它所对的弧 的度数相等。
n°圆心角
O A
1°圆心角
B
1°弧
判断题：在两个圆中，分别有弧AB和弧CD，若弧AB 和弧CD的度数相等，则有： （1）弧AB和弧CD相等； （ ）
（2）弧AB所对的圆心角和弧CD所对的圆心角相等。 （ ）
注意：等弧的度数一定相等，但度 数相等的弧不一定是等弧！