2019版高考数学一轮复习课时分层： 二十六 4.1平面向量的概念及其线性运算
(通用版)2019版高考数学一轮复习第五章平面向量第一节平面向量的概念及线性运算实用课件理
(3)若向量 a 与 b 不相等，则 a 与 b 一定不可能都是零 向量． ( √ )
2．填空题 (1)给出下列命题： ①若 a ＝b ，b ＝c，则 a ＝c； ―→ ―→ ②若 A，B，C，D 是不共线的四点，则 AB ＝ DC 是四边形 ABCD 为平行四边形的充要条件； ③a ＝b 的充要条件是|a |＝|b |且 a ∥b ； 其中正确命题的序号是________．
B．若|a |>|b |，则 a >b D．若|a |＝0，则 a ＝0
[解析]
(1)长度相等且方向相同的向量叫做相等向量， 故 A 不正
确； 方向相同或相反的非零向量叫做共线向量， 但共线向量不一定在 ―→ ―→ ―→ 同一条直线上，故 B 不正确；显然 C 正确；当 AB ∥ CD 时， AB 所 ―→ 在的直线与 CD 所在的直线可能重合，故 D 不正确． (2)对于 A，当|a |＝|b |，即向量 a ，b 的模相等时，方向不一定相 同，故 a ＝b 不一定成立；对于 B，向量的模可以比较大小，但向量 不可以比较大小，故 B 不正确；C 显然正确；对于 D，若|a |＝0，则 a ＝0，故 D 不正确，故选 C.
答案：C
1 3.如图，△ABC 和△A′B′C′是在各边的 3 处相交的两个全等的等边三角形，设△ABC a 的边长为 a ，图中列出了长度均为 的若干个 3 向量，则 ―→ (1)与向量 GH 相等的向量有________； ―→ (2)与向量 GH 共线，且模相等的向量有________； ―→ (3)与向量 EA 共线，且模相等的向量有________．
(
)
C．方向相反的向量是共线向量，共线向量不一定是方向相 反的向量 D．共线向量就是相等向量
(通用版)2019版高考数学一轮复习第5章平面向量1第1讲平面向量的概念及线性运算教案理
第1讲 平面向量的概念及线性运算了解向量的实际背景.理解平面向量的概念，理解两个向量相等的含义. 理解向量的几何表示.掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义.掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义. 了解向量线性运算的性质及其几何意义. 了解平面向量的基本定理及其意义.掌握平面向量的正交分解及其坐标表示. 会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算. 理解用坐标表示的平面向量共线的条件. 理解平面向量数量积的含义及其物理意义. 了解平面向量的数量积与向量投影的关系.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算. 能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面 会用向量方法解决某些简单的平面几何问题.会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题.1．向量的有关概念(1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的模． (2)零向量：长度为0的向量，其方向是任意的． (3)单位向量：长度等于1个单位的向量．(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共线向量，规定：0与任一向量共线． (5)相等向量：长度相等且方向相同的向量． (6)相反向量：长度相等且方向相反的向量． 2．向量的线性运算向量b 与非零向量a 共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使得b ＝λa ． [说明] 三点共线的等价关系A ，P ，B 三点共线⇔AP →＝λAB →(λ≠0)⇔OP →＝(1－t )·OA →＋tOB →(O 为平面内异于A ，P ，B 的任一点，t ∈R )⇔OP →＝xOA →＋yOB →(O 为平面内异于A ，P ，B 的任一点，x ∈R ，y ∈R ，x ＋y ＝1)．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)向量与有向线段是一样的，因此可以用有向线段表示向量．( ) (2)AB →＋BC →＋CD →＝AD →.( )(3)若两个向量共线，则其方向必定相同或相反．( )(4)若向量AB →与向量CD →是共线向量，则A ，B ，C ，D 四点在一条直线上．( ) (5)若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c .( )(6)当两个非零向量a ，b 共线时，一定有b ＝λa ，反之成立．( ) 答案：(1)× (2)√ (3)× (4)× (5)× (6)√ 给出下列命题：①零向量的长度为零，方向是任意的；②若a ，b 都是单位向量，则a ＝b ； ③向量AB →与BA →相等．则所有正确命题的序号是( ) A ．① B ．③ C ．①③D ．①②解析：选 A.根据零向量的定义可知①正确；根据单位向量的定义可知，单位向量的模相等，但方向不一定相同，故两个单位向量不一定相等，故②错误；向量AB →与BA →互为相反向量，故③错误．(教材习题改编)如图，▱ABCD 的对角线交于M ，若AB →＝a ，AD →＝b ，用a ，b 表示MD →为( )A. 12a ＋12b B. 12a －12b C ．－12a －12bD ．－12a ＋12b解析：选D.MD →＝12BD →＝12(b －a )＝－12a ＋12b ，故选D.已知平面内四点A ，B ，C ，D ，若AD →＝2DB →，CD →＝13CA →＋λCB →，则λ的值为________．解析：依题意知点A ，B ，D 三点共线，于是有13＋λ＝1，λ＝23.答案：23平面向量的有关概念[典例引领]给出下列命题：①若两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同； ②若|a |＝|b |，则a ＝b 或a ＝－b ；③若A ，B ，C ，D 是不共线的四点，且AB →＝DC →，则ABCD 为平行四边形； ④a ＝b 的充要条件是|a |＝|b |且a ∥b ；其中真命题的序号是________．【解析】 ①是错误的，两个向量起点相同，终点相同，则两个向量相等；但两个向量相等，不一定有相同的起点和终点．②是错误的，|a |＝|b |，但a ，b 方向不确定，所以a ，b 不一定相等或相反．③是正确的，因为AB →＝DC →，所以|AB →|＝|DC →|且AB →∥DC →；又A ，B ，C ，D 是不共线的四点，所以四边形ABCD 为平行四边形．④是错误的，当a ∥b 且方向相反时，即使|a |＝|b |，也不能得到a ＝b ，所以|a |＝|b |且a ∥b 不是a ＝b 的充要条件，而是必要不充分条件．【答案】 ③平面向量有关概念的四个关注点(1)相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性． (2)共线向量即为平行向量，它们均与起点无关．(3)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量，解题时，不要把它与函数图象的移动混淆．(4)非零向量a 与a |a |的关系：a|a |是与a 同方向的单位向量．给出下列命题：①两个具有公共终点的向量一定是共线向量； ②两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小； ③若λa ＝0(λ为实数)，则λ必为零；④已知λ，μ为实数，若λa ＝μb ，则a 与b 共线． 其中正确命题的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析：选A.①错误．两向量共线要看其方向而不是起点与终点．②正确．因为向量既有大小，又有方向，故它们不能比较大小，但它们的模均为实数，故可以比较大小．③错误．当a ＝0时，无论λ为何值，λa ＝0.④错误．当λ＝μ＝0时，λa ＝μb ，此时，a 与b 可以是任意向量．平面向量的线性运算(高频考点)平面向量的线性运算包括向量的加、减及数乘运算，是高考考查向量的热点．常以选择题、填空题的形式出现．高考对平面向量的线性运算的考查主要有以下两个命题角度： (1)用已知向量表示未知向量；(2)求参数的值．[典例引领]角度一 用已知向量表示未知向量如图，正方形ABCD 中，点E 是DC 的中点，点F 是BC 的一个靠近B 点的三等分点，那么EF →等于( )A.12AB →－13AD →B.14AB →＋12AD →C.13AB →＋12DA →D.12AB →－23AD → 【解析】 在△CEF 中，有EF →＝EC →＋CF →. 因为点E 为DC 的中点，所以EC →＝12DC →.因为点F 为BC 的一个靠近B 点的三等分点， 所以CF →＝23CB →.所以EF →＝12DC →＋23CB →＝12AB →＋23DA →＝12AB →－23AD →，故选D. 【答案】 D角度二 求参数的值如图，在△ABC 中，AB ＝2，BC ＝3，∠ABC ＝60°，AH ⊥BC 于点H ，M 为AH 的中点．若AM →＝λAB →＋μBC →，则λ＋μ＝________．【解析】 因为AB ＝2，∠ABC ＝60°，AH ⊥BC ，所以BH ＝1. 因为点M 为AH 的中点，所以AM →＝12AH →＝12(AB →＋BH →)＝12⎝⎛⎭⎪⎫AB →＋13BC →＝12AB →＋16BC →， 又AM →＝λAB →＋μBC →， 所以λ＝12，μ＝16，所以λ＋μ＝23.【答案】 23向量线性运算的解题策略(1)向量的加减常用的法则是平行四边形法则和三角形法则，一般共起点的向量求和用平行四边形法则，求差用三角形法则，求首尾相连向量的和用三角形法则．(2)找出图形中的相等向量、共线向量，将所求向量与已知向量转化到同一个平行四边形或三角形中求解．[通关练习]1．化简AC →－BD →＋CD →－AB →得( ) A. AB → B. DA → C. BC →D ．0解析：选D.因为AC →－BD →＋CD →－AB →＝AC →＋CD →＋DB →＋BA →＝0.2．已知O ，A ，B 是平面上的三个点，直线AB 上有一点C ，满足2AC →＋CB →＝0，则OC →＝( ) A ．2OA →－OB → B ．－OA →＋2OB →C .23OA →－13OB → D ．－13OA →＋23OB →解析：选A.因为2AC →＋CB →＝0，所以A 为BC 的中点，所以2OA →＝OC →＋OB →，所以OC →＝2OA →－OB →.3．已知D 为三角形ABC 的边BC 的中点，点P 满足PA →＋BP →＋CP →＝0，AP →＝λPD →，则实数λ的值为________．解析：因为D 为边BC 的中点，所以PB →＋PC →＝2PD →， 又PA →＋BP →＋CP →＝0， 所以PA →＝PB →＋PC →＝2PD →， 所以AP →＝－2PD →，与AP →＝λPD →比较，得λ＝－2. 答案：－2平面向量共线定理的应用[典例引领]设两个非零向量a 与b 不共线．(1)若AB →＝a ＋b ，BC →＝2a ＋8b ，CD →＝3(a －b )，求证：A ，B ，D 三点共线； (2)试确定实数k ，使k a ＋b 和a ＋k b 共线．【解】 (1)证明：因为AB →＝a ＋b ，BC →＝2a ＋8b ，CD →＝3(a －b )， 所以BD →＝BC →＋CD →＝2a ＋8b ＋3(a －b )＝5(a ＋b )＝5AB →， 所以AB →，BD →共线，又它们有公共点B ， 所以A ，B ，D 三点共线． (2)因为k a ＋b 与a ＋k b 共线，所以存在实数λ，使k a ＋b ＝λ(a ＋k b )， 即(k －λ)a ＝(λk －1)b .又a ，b 是两个不共线的非零向量， 所以k －λ＝λk －1＝0.所以k 2－1＝0. 所以k ＝±1.若将本例(2)中的“共线”改为“反向共线”，则k 为何值？ 解：因为k a ＋b 与a ＋k b 反向共线，所以存在实数λ，使k a ＋b ＝λ(a ＋k b )(λ＜0)，所以⎩⎪⎨⎪⎧k ＝λ，k λ＝1，所以k ＝±1.又λ＜0，k ＝λ，所以k ＝－1. 故当k ＝－1时，两向量反向共线．[通关练习]1．设e 1，e 2是两个不共线的向量，则向量a ＝2e 1－e 2与向量b ＝e 1＋λe 2(λ∈R )共线的充要条件是( ) A ．λ＝0 B ．λ＝－1 C ．λ＝－2D ．λ＝－12解析：选D.因为a ＝2e 1－e 2，b ＝e 1＋λe 2，e 1，e 2不共线， 因为a ，b 共线⇔b ＝12a ⇔b ＝e 1－12e 2⇔λ＝－12.2．经过△OAB 重心G 的直线与OA ，OB 分别交于点P ，Q ，设OP →＝mOA →，OQ →＝nOB →，m ，n ∈R ，则1n ＋1m的值为________．解析：设OA →＝a ，OB →＝b ，则OG →＝13(a ＋b )，PQ →＝OQ →－OP →＝n b －m a ，PG →＝OG →－OP →＝13(a ＋b )－m a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13－m a ＋13b .由P ，G ，Q 共线得，存在实数λ使得PQ →＝λPG →，即n b －m a ＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎫13－m a ＋13λb ，从而⎩⎪⎨⎪⎧－m ＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎫13－m ，n ＝13λ，消去λ，得1n ＋1m＝3.答案：3求解向量共线问题的五个策略(1)向量共线的充要条件中，当两向量共线时，通常只有非零向量才能表示与之共线的其他向量，注意待定系数法和方程思想的运用．(2)证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得到三点共线． (3)若a 与b 不共线且λa ＝μb ，则λ＝μ＝0.(4)直线的向量式参数方程：A ，P ，B 三点共线⇔OP →＝(1－t )·OA →＋tOB →(O 为平面内任一点，t ∈R )．(5)OA →＝λOB →＋μOC →(λ，μ为实数)，若A ，B ，C 三点共线，则λ＋μ＝1.易错防范(1)作两个向量的差时，首先将两向量的起点平移到同一点，要注意差向量的方向是由减向量的终点指向被减向量的终点．(2)在向量共线的重要条件中易忽视“a ≠0”，否则λ可能不存在，也可能有无数个．1．下列各式中不能化简为PQ →的是( ) A. AB →＋(PA →＋BQ →) B ．(AB →＋PC →)＋(BA →－QC →) C. QC →－QP →＋CQ → D. PA →＋AB →－BQ →解析：选D.AB →＋(PA →＋BQ →)＝AB →＋BQ →＋PA →＝PA →＋AQ →＝PQ →； (AB →＋PC →)＋(BA →－QC →)＝(AB →＋BA →)＋(PC →－QC →)＝PC →＋CQ →＝PQ →； QC →－QP →＋CQ →＝PC →＋CQ →＝PQ →； PA →＋AB →－BQ →＝PB →－BQ →， 显然由PB →－BQ →得不出PQ →， 所以不能化简为PQ →的式子是D.2．设a 是非零向量，λ是非零实数，下列结论中正确的是( ) A ．a 与λa 的方向相反 B ．a 与λ2a 的方向相同 C ．|－λa |≥|a | D ．|－λa |≥|λ|a解析：选B.对于A ，当λ>0时，a 与λa 的方向相同，当λ<0时，a 与λa 的方向相反；B 正确；对于C ，|－λa |＝|－λ||a |，由于|－λ|的大小不确定，故|－λa |与|a |的大小关系不确定；对于D ，|λ|a 是向量，而|－λa |表示长度，两者不能比较大小．3．(2018·广东省五校协作体第一次诊断考试)设D 是△ABC 所在平面内一点，AB →＝2DC →，则( )A.BD →＝AC →－32AB →B.BD →＝32AC →－AB →C.BD →＝12AC →－AB →D.BD →＝AC →－12AB →解析：选A.BD →＝BC →＋CD →＝BC →－DC →＝AC →－AB →－12AB →＝AC →－32AB →，选A.4．(2018·山东临沂模拟)已知a ，b 是不共线的向量，AB →＝λa ＋b ，AC →＝a ＋μb ，λ，μ∈R ，则A ，B ，C 三点共线的充要条件为( ) A ．λ＋μ＝2 B ．λ－μ＝1 C ．λμ＝－1D ．λμ＝1解析：选D.因为A ，B ，C 三点共线，所以AB →∥AC →.设AB →＝mAC →(m ≠0)，所以⎩⎪⎨⎪⎧λ＝m ，1＝m μ，所以λμ＝1，故选D.5．已知向量a ，b ，c 中任意两个都不共线，但a ＋b 与c 共线，且b ＋c 与a 共线，则向量a ＋b ＋c ＝( )A ．aB ．bC ．cD ．0解析：选D .依题意，设a ＋b ＝m c ，b ＋c ＝n a ，则有(a ＋b )－(b ＋c )＝m c －n a ，即a －c ＝m c －n a .又a 与c 不共线，于是有m ＝－1，n ＝－1，a ＋b ＝－c ，a ＋b ＋c ＝0. 6．若|AB →|＝8，|AC →|＝5，则|BC →|的取值范围是________．解析：BC →＝AC →－AB →，当AB →，AC →同向时，|BC →|＝8－5＝3；当AB →，AC →反向时，|BC →|＝8＋5＝13；当AB →，AC →不共线时，3＜|BC →|＜13.综上可知3≤|BC →|≤13. 答案：[3，13]7．已知▱ABCD 的对角线AC 和BD 相交于O ，且OA →＝a ，OB →＝b ，则DC →＝________，BC →＝________(用a ，b 表示)．解析：如图，DC →＝AB →＝OB →－OA →＝b －a ，BC →＝OC →－OB →＝－OA →－OB →＝ －a －b .答案：b －a －a －b8．(2018·豫西五校联考)若M 是△ABC 的边BC 上的一点，且CM →＝3MB →，设AM →＝λAB →＋μAC →，则λ的值为________．解析：由题设知CM MB ＝3，过M 作MN ∥AC 交AB 于N ，则MN AC ＝BN BA ＝BM BC ＝14，从而AN AB ＝34，又AM →＝λAB →＋μAC →＝AN →＋NM →＝34AB →＋14AC →，所以λ＝34.答案：349.在△ABC 中，D 、E 分别为BC 、AC 边上的中点，G 为BE 上一点，且GB ＝2GE ，设AB →＝a ，AC →＝b ，试用a ，b 表示AD →，AG →. 解：AD →＝12(AB →＋AC →)＝12a ＋12b .AG →＝AB →＋BG →＝AB →＋23BE →＝AB →＋13(BA →＋BC →)＝23AB →＋13(AC →－AB →)＝13AB →＋13AC →＝13a ＋13b .10．设a ，b 是不共线的两个非零向量．(1)若OA →＝2a －b ，OB →＝3a ＋b ，OC →＝a －3b ，求证：A ，B ，C 三点共线； (2)若AB →＝a ＋b ，BC →＝2a －3b ，CD →＝2a －k b ，且A ，C ，D 三点共线，求k 的值． 解：(1)证明：由已知得，AB →＝OB →－OA →＝3a ＋b －2a ＋b ＝a ＋2b ，BC →＝OC →－OB →＝a －3b －3a －b ＝－2a －4b ， 故BC →＝－2AB →，又BC →与AB →有公共点B ，所以A ，B ，C 三点共线． (2)AC →＝AB →＋BC →＝3a －2b ，CD →＝2a －k b .因为A 、C 、D 三点共线，所以AC →＝λCD →，即3a －2b ＝2λa －k λb ， 所以⎩⎪⎨⎪⎧3＝2λ，2＝k λ，所以⎩⎪⎨⎪⎧λ＝32，k ＝43. 综上，k 的值为43.1．(2018·广州市综合测试(一))设P 是△ABC 所在平面内的一点，且CP →＝2PA →，则△PAB 与△PBC 的面积的比值是( ) A.13 B.12 C.23D.34解析：选B.因为CP →＝2PA →，所以|CP →||PA →|＝21，又△PAB 在边PA 上的高与△PBC 在边PC 上的高相等，所以S △PAB S △PBC ＝|PA →||CP →|＝12.2．(2018·福建省普通高中质量检查)已知D ，E 是△ABC 边BC 的三等分点，点P 在线段DE 上，若AP →＝xAB →＋yAC →，则xy 的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤19，49B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤19，14C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤29，12 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤29，14 解析：选D.由题意，知P ，B ，C 三点共线，则存在实数λ使PB →＝λBC →⎝ ⎛⎭⎪⎫－23≤λ≤－13，所以AB →－AP →＝λ(AC →－AB →)，所以AP →＝－λAC →＋(λ＋1)AB →，则⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－λx ＝λ＋1，所以x ＋y ＝1且13≤x ≤23，于是xy ＝x (1－x )＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋14，所以当x ＝12时，xy 取得最大值14；当x ＝13或x ＝23时，xy 取得最小值29，所以xy 的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤29，14，故选D. 3．给出下列四个命题：①若a ＋b 与a －b 是共线向量，则a 与b 也是共线向量； ②若|a |－|b |＝|a －b |，则a 与b 是共线向量； ③若|a －b |＝|a |＋|b |，则a 与b 是共线向量； ④若||a |－|b ||＝|a |＋|b |，则b 与任何向量都共线． 其中为真命题的有________(填上序号)．解析：由向量的平行四边形法则知道，若a ＋b 与a －b 是共线向量，则必有a 与b 也是共线向量．所以①是真命题；若|a |－|b |＝|a －b |，则a 与b 同向，或b 是零向量或a ，b 均为零向量，所以a 与b 是共线向量，所以②是真命题；若|a －b |＝|a |＋|b |，则a 与b 方向相反，或a ，b 中至少有一个零向量，所以a 与b 是共线向量，所以③是真命题；当a 是零向量，b 是非零向量时，||a |－|b ||＝|a |＋|b |成立，而b 不能与任何向量都共线，所以④是假命题．答案：①②③4．在直角梯形ABCD 中，∠A ＝90°，∠B ＝30°，AB ＝23，BC ＝2，点E 在线段CD 上，若AE →＝AD →＋μAB →，则μ的取值范围是________． 解析：由题意可求得AD ＝1，CD ＝3， 所以AB →＝2DC →.因为点E 在线段CD 上， 所以DE →＝λDC →(0≤λ≤1)． 因为AE →＝AD →＋DE →，又AE →＝AD →＋μAB →＝AD →＋2μDC →＝AD →＋2μλDE →，所以2μλ＝1，即μ＝λ2.因为0≤λ≤1，所以0≤μ≤12.答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12 5．如图，EF 是等腰梯形ABCD 的中位线，M ，N 是EF 上的两个三等分点，若AB →＝a ，BC →＝b ，AB →＝2DC →.(1)用a ，b 表示AM →； (2)证明A ，M ，C 三点共线．解：(1)AD →＝AB →＋BC →＋CD →＝a ＋b ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－12a ＝12a ＋b ，又E 为AD 中点， 所以AE →＝12AD →＝14a ＋12b ，因为EF 是梯形的中位线，且AB →＝2DC →， 所以EF →＝12(AB →＋DC →)＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋12a ＝34a ，又M ，N 是EF 的三等分点，所以EM →＝13EF →＝14a ，所以AM →＝AE →＋EM →＝14a ＋12b ＋14a＝12a ＋12b . (2)证明：由(1)知MF →＝23EF →＝12a ，所以MC →＝MF →＋FC →＝12a ＋12b ＝AM →，又MC →与AM →有公共点M ，所以A ，M ，C 三点共线．6．已知O ，A ，B 是不共线的三点，且OP →＝mOA →＋nOB →(m ，n ∈R )．求证：A ，P ，B 三点共线的充要条件是m ＋n ＝1.证明：充分性：若m ＋n ＝1，则OP →＝mOA →＋(1－m )OB →＝OB →＋m (OA →－OB →)， 所以OP →－OB →＝m (OA →－OB →)， 即BP →＝mBA →， 所以BP →与BA →共线．又因为BP →与BA →有公共点B ，则A ，P ，B 三点共线．必要性：若A ，P ，B 三点共线，则存在实数λ，使BP →＝λBA →， 所以OP →－OB →＝λ(OA →－OB →)． 又OP →＝mOA →＋nOB →.故有mOA →＋(n －1)OB →＝λOA →－λOB →， 即(m －λ)OA →＋(n ＋λ－1)OB →＝0.因为O ，A ，B 不共线，所以OA →，OB →不共线，所以⎩⎪⎨⎪⎧m －λ＝0，n ＋λ－1＝0.所以m ＋n ＝1.所以A ，P ，B 三点共线的充要条件是m ＋n ＝1.。
高考数学一轮复习讲义第五章平面向量概念及线性运算
向量的线性运算
例 2 在△ABC 中，D、E 分别为 BC、AC 边上的中点，G 为 BE 上一点，且 GB＝2GE，设A→B＝a，A→C＝b，试用 a，b 表示 A→D，A→G.
结合图形性质，准确灵活运用三角形法则和平行四边形法则是向 量加减运算的关键． 解 A→D＝12(A→B＋A→C)＝12a＋12b； A→G＝A→B＋B→G＝A→B＋23B→E＝A→B＋13(B→A＋B→C) ＝23A→B＋13(A→C－A→B)＝13A→B＋13A→C＝13a＋13b.
定义
法则(或几 何意义)
运算律
求两个向量 加法
和的运算
三角形 平行四边形
(1)交换律： a＋b＝b＋a
(2)结合律： (a＋b)＋c＝ a＋(b＋c) ．
要点梳理
忆一忆知识要点
求 a 与 b 的相
减法 反向量－b 的 和的运算叫做 a 与 b 的差
三角形 法则
a－b＝a＋(－b)
(1)|λa|＝ |λ||a| ；
一轮复习讲义
平面向量的概念及线性运算
要点梳理
忆一忆知识要点
1．向量的有关概念
名称
定义
备注
向量
既有大小又有方向的量；向 量的大小叫做向量的长度 平面向量是自由向量
(或称为模)
长度为 0 的向量；其方向
零向量 是任意的
记作 0
非零向量 a 的单位向量
单位向量 长度等于1个单位 的向量
为±|aa|
要点梳理
探究提高
(1)正确理解向量的相关概念及其含义是解题的关键． (2)相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性． (3)共线向量即为平行向量，它们均与起点无关． (4)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量．解题时， 不要把它与函数图象移动混为一谈． (5)非零向量 a 与|aa|的关系是：|aa|是 a 方向上的单位向量．
2019高考数学一轮复习 第五章 1-第一节 平面向量的概念及其线性运算
AD的中点,若 AO
=λ AB
+μ BC
,其中,λ,μ∈R,则λ+μ等于
(
)
A.1 B. 1 C. 1 D. 2
2
3
3
(2)在△ABC中,点M,N满足 AM
=2 MC
, BN
= NC
.若 MN
=x AB
+y AC
,则x=
,y=
.
考点突破
栏目索引
答案 (1)D (2) 1 ;- 1
小叫做向量的③ 长度 (或④ 模 )
响
零向量 长度为⑤ 0 的向量;其方向是任意的 单位向量 长度等于⑦ 1个单位 的向量
记作⑥ 0 非零向量a的单位向量为± | aa |
平行向量 方向⑧ 相同 或⑨ 相反 的非零向量
0与任意向量 平行 或共线
共线向量 ⑩ 方向相同或相反 的非零向量又叫做共线 向量
|| b
b
|,
不是a=b的充要条件.
⑤不正确.若b=0,则a与c不一定共线.
考点突破
栏目索引
规律总结 理解向量有关概念的五个关键点 (1)向量定义的关键是方向和长度. (2)非零共线向量的关键是方向相同或相反,长度没有限制. (3)相等向量的关键是方向相同且长度相等. (4)单位向量的关键是方向没有限制,但长度都是一个单位长度. (5)零向量的关键是方向没有限制,长度是0,规定零向量与任何向量共 线.
栏目索引
第一节 平面向量的概念及其线性运算
教材研读
总纲目录
1.向量的有关概念 2.向量的线性运算 3.共线向量定理
考点突破
考点一 平面向量的有关概念
2019届高三数学一轮复习：第24讲 平面向量的概念及其线性运算
a=b
相反向量 长度 相等,方向 相反 的向量
向量 a 的相反向量是 -a
说明:零向量的方向是不确定的 、 任意的 . 规定:零向量与任一向量 平行 .
2019年8月10日
遇上你是缘分，愿您生活愉快，身体健康，学业有成，金榜 题名！
8
课前双基巩固
2.向量的线性运算
向量 运算
定义
法则(或几何意义)
运算律
以当 a,b 同向时,a+b 的方向与 a 的方向相同,当 a,b
反向时,a+b 的方向仍与 a 的方向相同,②正确;对于 ③,因为不确定 a0 的方向与 a 的方向是否相同,所以 ③错误.
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课前双基巩固
6.若四边形 ABCD 满足������������=12 ������������且|������������|=|������������|,
(3)������������ 与������������ 是相反向量;
图 4-24-2
(4)������������ =12|������������ |.其中错误结论的序号是
.
[答案] (4)
[解析] 根据向量的概念可知(4) 错误.
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4
教学参考
2.[2015·全国卷Ⅱ] 设向量 a,b 不平行,
向量 λa+b 与 a+2b 平行,则实数
λ=
2019年高三一轮总复习理科数学课件：4-1平面向量的概念及其线性运算 精品
数 学（理）
提高效率 ·创造未来 ·铸就辉煌
必修部分
第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入
第一节 平面向量的概念及其线性运算
栏 目 导 航
考情分析
1 3
考点疑难突破
基础自主梳理
2 4 课时跟踪检测
1
考 情 分 析
考点分 布
考纲要求
1.平面向量的实际背景及基本概念
考点频 率
三角形 法则 _________ b＋a ； ________
(2)结合律： (a＋b)＋c＝
a＋(b＋c) 平行四边形 法则 ___________ _____________
求 a 与 b 的相反向量 减法 －b 的和的运算叫 做 a 与 b 的差
三角形 法则 ________
a－b＝a＋(－b)
λa＋λb ___________
3.共线向量定理 向量 a(a≠0)与 b 共线，当且仅当有唯一一个实数 λ，使得 b＝λa .
「应用提示研一研」 1．(1)一般地，首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量起点指向最后一 → → → → 个向量终点的向量，即A1A2＋A2A3＋A3A4＋…＋An－1An＝A1An，特别地，一个封闭图 形，首尾连接而成的向量和为零向量． → 1 → → (2)若 P 为线段 AB 的中点，O 为平面内任一点，则OP＝ (OA＋OB)． 2
2．辨明两个易误点 (1)作两个向量的差时，首先将两向量的起点平移到同一点，要注意差向量的方 向是由减向量的终点指向被减向量的终点． (2)在向量共线的充要条件中易忽视“a≠0”， 否则 λ 可能不存在， 也可能有无数 个．
3．三点共线的等价关系 → → → → → A，P，B 三点共线⇔AP＝λAB(λ≠0)⇔OP＝(1－t)· OA＋tOB(O 为平面内异于 A， → → → P，B 的任一点，t∈R)⇔OP＝xOA＋yOB(O 为平面内异于 A，P，B 的任一点，x∈R， y∈R，x＋y＝1)．
(北京专用)2019版高考数学一轮复习 第五章 平面向量 第一节 平面向量的概念及其线性运算教案 理
又 OP =m OA +n OB ,故有mO A +(n-1)O B =λ OA -λ OB ,
即(m-λ) OA+(n+λ-1) OB=0.
∵O,A,B三点不共线,∴ OA, OB 不共线,
∴
m λ 0, n λ 1
0,
∴m+n=1.
易错警示
(1)相等向量具有传递性,非零向量的平行也具有传递性. (2)共线向量即为平行向量,不要与线段的共线、平行混为一谈. (3)向量可以平移,平移后的向量与原向量是相等向量.解题时,不要把它 与函数图象的移动混为一谈.
(4)非零向量a与 a 的关系: a 是a方向上的单位向量.
|a|
|a|
1-1 设a0为单位向量,下述命题中: ①若a为平面内的某个向量,则a=|a|a0; ②若a与a0平行,则a=|a|a0; ③若a与a0平行且|a|=1,则a=a0.
典例2 (1)(2017北京西城一模,5)在△ABC中,点D满足 BC =3 BD,则
( D)
A. AD
= 1 AB
- 2 AC
33
B. AD
= 1 AB
+ 2 AC
33
C. AD
= 2 AB
- 1 AC
33
D. AD
= 2 AB
+ 1 AC
33
(2)(2015北京,13,5分)在△ABC中,点M,N满足 AM
∴存在实数λ,使ka+b=λ(a+kb),即(k-λ)a=(λk-1)b.
又a,b是两个不共线的非零向量,
2019版高考数学复习平面向量第一节平面向量的概念及其线性运算课件文
∴存在实数λ,使ka+b=λ(a+kb),
即(k-λ)a=(λk-1)b.
又a,b是两个不共线的非零向量,
∴k-λ=λk-1=0.
∴k2-1=0.
∴k=±1.
方法技巧
1.共线向量定理的应用
(1)可以利用共线向量定理证明向量共线,也可以由向量共线求参数的
值.
(2)若a,b不共线,则λa+μb=0的充要条件是λ=μ=0,这一结论结合待定系数
AD
=
AB
+
BD
=
AB
+
2
BC
=c+
2
(b-c)=
2
b+
1
c.故选D.
3
3
33
2-2
(2017北京海淀一模)在△ABC中,点D满足
AD
=2
AB
-
AC
,则(
D
)
A.点D不在直线BC上 B.点D在BC的延长线上
C.点D在线段BC上 D.点D在CB的延长线上
答案 D
AD
=2
AB
-
AC
3.共线向量定理
向量a(a≠0)与b共线的充要条件是存在唯一一个实数λ,使得
b=λa .
1.下列说法正确的是 ( C )
A.
AB
∥
CD
就是
AB
所在的直线平行于
CD
所在的直线
B.长度相等的向量叫相等向量
C.零向量长度等于0
D.共线向量是在同一条直线上的向量
平面向量 高三 一轮复习(完整版)
题记：向量由于具有几何形式与代数形式的“双重身份”，使它成为高中数学知识的一个交汇点，成为多项内容的媒介．一、平面向量的概念及其线性运算 【例1】判断下列命题的真假：1、有向线段就是向量，向量就是有向线段；2、非零向量a 与非零向量b 平行，则a 与b 的方向相同或相反；3、向量AB →与向量CD →共线，则A 、B 、C 、D 四点共线； 4、若向量a 与b 同向，且|a |>|b |，则a >b ；5、若向量|a |＝|b |，则a 与b 的长度相等且方向相同或相反；6、对于任意向量|a |＝|b |，且a 与b 的方向相同，则a ＝b ；7、由于零向量0方向不确定，故0不能与任意向量平行；8、起点不同，但方向相同且模相等的几个向量是相等向量；9、向量与的长度相等；10、两个相等向量若起点相同，则终点必相同； 11、只有零向量的模等于0； 12、共线的单位向量都相等； 13、向量与是两平行向量；14、与任一向量都平行的向量为向量； 15、若AB =DC ,则A 、B 、C 、D 四点构成平行四边形；16、设O 是正三角形ABC 的中心，则向量AB 的长度是OA 长度的3倍；17、在坐标平面上，以坐标原点O 为起点的单位向量的终点P 的轨迹是单位圆； 18、凡模相等且平行的两向量均相等；19、与共线的等价条件可以是存在一个实数λ，使=λ或=λ；20、设,,是任意的非零平面向量且互不共线，则a b a b +>+21、下列命题中：其中正确的是_____________① →→→→→→→⋅-⋅=-⋅c a b a c b a )(；② →→→→→→⋅⋅=⋅⋅c b a c b a )()(；③ 2()a b →→-2||a →=22||||||a b b →→→-⋅+； ④ 若0=⋅→→b a ，则0=→a 或0=→b ；⑤若,a b c b ⋅=⋅ 则a c =⑥22a a = ；⑦2a b ba a⋅=； ⑧222()a b a b ⋅=⋅ ； ⑨222()2a b a a b b -=-⋅+二、平面向量平行定理（共线定理）（1）若//(0)a b b ≠⇒（2）若a b λ=共线定理作用（1） （2）【例2】设两个非零向量a 与b不共线,（1）若,28,3().AB a b BC a b CD a b =+=+=-求证：A..B.D 三点共线;（2） 试确定实数k,使ka b + 和a kb +共线。
2019届高三数学一轮复习：第24讲 平面向量的概念及其线性运算
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4
教学参考
2.[2015·全国卷Ⅱ] 设向量 a,b 不平行,
向量 λa+b 与 a+2b 平行,则实数
λ=
.
[答案] 1
2
[解析] 因为 λa+b 与 a+2b 平行,所以存在唯
一实数
t,使得
λa+b=t(a+2b),所以
������ 1
= =
图 4-24-2
(4)������������ =12|������������ |.其中错误结论的序号是
.
[答案] (4)
[解析] 根据向量的概念可知(4) 错误.
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课前双基巩固
3.[教材改编] M 是△ABC 的边 BC 的中点,������������=a,������������=b,则
������������ =
.
[答案] 12(a+b) [解析] ∵
������������ +������������ =������������ ,������������ +������������ =������������ ,������������ =-
������������,∴������������=1(������������+������������)=1(a+b).
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课前双基巩固
知识聚焦
1.向量的有关概念及表示
名称
定义
2019届高考文科数学一轮复习教师用书：4.1平面向量的概念及其线性运算
第一节平面向量的概念及其线性运算1．向量的有关概念三角形法则平行四边形法则＝＋的相反向量－的三角形法则向量a (a ≠0)与b 共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使得b ＝λa .1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)向量与有向线段是一样的，因此可以用有向线段来表示向量．( ) (2)|a |与|b |是否相等与a ，b 的方向无关．( )(3)若向量AB ―→与向量CD ―→是共线向量，则A ，B ，C ，D 四点在一条直线上．( ) (4)当两个非零向量a ，b 共线时，一定有b ＝λa ，反之成立．( ) 答案：(1)× (2)√ (3)× (4)√2.如图，设P ，Q 两点把线段AB 三等分，则下列向量表达式错误的是( )A ．AP ―→＝13AB ―→B ．AQ ―→＝23AB ―→C ．BP ―→＝－23AB ―→D ．AQ ―→＝BP ―→解析：选D 由数乘向量的定义可以得到A 、B 、C 都是正确的，只有D 错误． 3．设a ，b 都是非零向量，下列四个选项中，一定能使a |a|＋b|b|＝0成立的是( )A ．a＝2b B ．a ∥b C ．a ＝－13bD ．a ⊥b解析：选C “a |a|＋b|b|＝0，且a ，b 都是非零向量”等价于“非零向量a ，b 共线且反向”，故答案为C.4．设D 为△ABC 所在平面内一点，BC ―→＝3CD ―→，则( )A ．AD ―→＝－13AB ―→＋43AC ―→B ．AD ―→＝13AB ―→－43AC ―→C ．AD ―→＝43AB ―→＋13AC ―→D ．AD ―→＝43AB ―→－13AC ―→解析：选A 由题意得AD ―→＝AC ―→＋CD ―→＝AC ―→＋13BC ―→＝AC ―→＋13AC ―→－13AB ―→＝－13AB ―→＋43AC ―→. 5．若菱形ABCD 的边长为2，则|AB ―→－CB ―→＋CD ―→|＝________. 解析：|AB ―→－CB ―→＋c |＝|AB ―→＋BC ―→＋CD ―→|＝|AD ―→|＝2. 答案：26．已知a 与b 是两个不共线向量，且向量a ＋λb 与－(b －3a )共线，则λ＝________.解析：由题意知存在k ∈R ，使得a ＋λb ＝k [－(b －3a )]，所以⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－k ，1＝3k ，解得⎩⎨⎧k ＝13，λ＝－13.答案：－13考点一 平面向量的有关概念 (基础送分型考点——自主练透)[考什么·怎么考]1．设a 0为单位向量，下列命题中：①若a 为平面内的某个向量，则a ＝|a |·a 0；②若a 与a 0平行，则a ＝|a |a 0；③若a 与a 0平行且|a |＝1，则a ＝a 0，假命题的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3解析：选D 向量是既有大小又有方向的量，a 与|a |a 0的模相同，但方向不一定相同，故①是假命题；若a 与a 0平行，则a 与a 0的方向有两种情况：一是同向，二是反向，反向时a ＝－|a |a 0，故②③也是假命题．综上所述，假命题的个数是3. 2．给出下列命题：①若a ＝b ，b ＝c ，则a ＝c ；②若A ，B ，C ，D 是不共线的四点，则AB ―→＝DC ―→是四边形ABCD 为平行四边形的充要条件；③a ＝b 的充要条件是|a |＝|b |且a ∥b ； ④若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c . 其中正确命题的序号是________．解析：①正确．∵a ＝b ，∴a ，b 的长度相等且方向相同， 又b ＝c ，∴b ，c 的长度相等且方向相同， ∴a ，c 的长度相等且方向相同，故a ＝c .②正确．∵AB ―→＝DC ―→，∴|AB ―→|＝|DC ―→|且AB ―→∥DC ―→， 又A ，B ，C ，D 是不共线的四点， ∴四边形ABCD 为平行四边形； 反之，若四边形ABCD 为平行四边形， 则AB ―→∥DC ―→且|AB ―→|＝|DC ―→|，因此，AB ―→＝DC ―→.③不正确．当a ∥b 且方向相反时，即使|a |＝|b |，也不能得到a ＝b ，故|a |＝|b |且a ∥b 不是a ＝b 的充要条件，而是必要不充分条件．④不正确．考虑b ＝0这种特殊情况． 综上所述，正确命题的序号是①②. 答案：①②[怎样快解·准解]有关平面向量概念的6个注意点(1)相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性． (2)共线向量即为平行向量，它们均与起点无关．(3)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量．解题时，不要把它与函数图象的移动混淆．(4)非零向量a 与a |a |的关系：a |a |是与a 同方向的单位向量，－a|a |是与a 反方向的单位向量．(5)两个向量不能比较大小，只可以判断它们是否相等，但它们的模可以比较大小． (6)两平行向量有向线段所在的直线平行或重合，易忽视重合这一条件． 考点二 向量的线性运算 (基础送分型考点——自主练透)[考什么·怎么考]所在平面内的任意一点，则OA ―→＋OB ―→＋OC ―→＋OD ―→等于( )A ．OM ―→B ．2OM ―→C ．3OM ―→D ．4OM ―→解析：选D 因为M 是平行四边形ABCD 对角线AC ，BD 的交点，所以OA ―→＋OC ―→＝2OM ―→，OB ―→＋OD ―→＝2OM ―→，所以OA ―→＋OB ―→＋OC ―→＋OD ―→＝4OM ―→.2．(2018·广东五校协作体第一次诊断考试)设D 是△ABC 所在平面内一点，AB ―→＝2DC ―→，则( )A ．BD ―→＝AC ―→－32AB ―→B ．BD ―→＝32AC ―→－AB ―→C ．BD ―→＝12AC ―→－AB ―→D ．BD ―→＝AC ―→－12AB ―→解析：选A BD ―→＝BC ―→＋CD ―→＝BC ―→－DC ―→＝AC ―→－AB ―→－12AB ―→＝AC ―→－32AB ―→，选A.3．设D ，E 分别是△ABC 的边AB ，BC 上的点，AD ＝12AB ，BE ＝23BC .若DE ―→＝λ1AB―→＋λ2AC ―→(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2＝________.解析：DE ―→＝DB ―→＋BE ―→＝12AB ―→＋23BC ―→＝12AB ―→＋23(BA ―→＋AC ―→)＝－16AB ―→＋23AC ―→，所以λ1＝－16，λ2＝23，即λ1＋λ2＝12.答案：12[怎样快解·准解]1．用已知向量表示未知向量的方法构造三角形，关键在于搞清构成三角形的三个向量间的相互关系，能熟练地找出图形中的相等向量，熟练运用相反向量将加减法相互转化．2．用已知向量表示未知向量的4步骤 (1)观察各向量的位置；(2)寻找相应的三角形或多边形；(3)运用法则找关系； (4)化简结果．3．向量线性运算的2个常用结论(1)在△ABC 中，D 是BC 的中点，则AD ―→＝12(AC ―→＋AB ―→)；(2)O 为△ABC 的重心的充要条件是OA ―→＋OB ―→＋OC ―→＝0.考点三 共线向量定理的应用 (重点保分型考点——师生共研)设两个非零向量a 与b 不共线，(1)若AB ―→＝a ＋b ，BC ―→＝2a ＋8b ，CD ―→＝3(a －b )， 求证：A ，B ，D 三点共线；(2)试确定实数k ，使k a ＋b 和a ＋k b 同向．解：(1)证明：∵AB ―→＝a ＋b ，BC ―→＝2a ＋8b ，CD ―→＝3a －3b ， ∴BD ―→＝BC ―→＋CD ―→＝2a ＋8b ＋3a －3b ＝5(a ＋b )＝5AB ―→， ∴AB ―→，BD ―→共线．又∵它们有公共点B ，∴A ，B ，D 三点共线． (2)∵k a ＋b 与a ＋k b 同向，∴存在实数λ(λ>0)，使k a ＋b ＝λ(a ＋k b )， 即k a ＋b ＝λa ＋λk b .∴(k －λ)a ＝(λk －1)b . ∵a ，b 是不共线的两个非零向量，∴⎩⎪⎨⎪⎧ k －λ＝0，λk －1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ k ＝1，λ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－1，λ＝－1， 又∵λ>0，∴k ＝1.[解题师说]1．共线向量定理的3个应用(1)向量共线的充要条件中，当两向量共线时，通常只有非零向量才能表示与之共线的其他向量，注意待定系数法和方程思想的运用．(2)证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得到三点共线．(3)若a 与b 不共线且λa ＝μb ，则λ＝μ＝0.(4)直线的向量式参数方程，A ，P ，B 三点共线⇔OP ―→＝(1－t )OA ―→＋t OB ―→(O 为平面内任一点，t ∈R)．(5)OA ―→＝λOB ―→＋μOC ―→(λ，μ为实数)，若A ，B ，C 三点共线，则λ＋μ＝1.[冲关演练]1．在四边形ABCD 中，AB ―→＝a ＋2b ，BC ―→＝－4a －b ，CD ―→＝－5a －3b ，则四边形ABCD 的形状是( )A ．矩形B ．平行四边形C ．梯形D ．以上都不对解析：选C 由已知，得AD ―→＝AB ―→＋BC ―→＋CD ―→＝－8a －2b ＝2(－4a －b )＝2BC ―→，故AD ―→∥BC ―→.又因为AB ―→与CD ―→不平行，所以四边形ABCD 是梯形．2．(2018·贵州适应性考试)已知向量e 1与e 2不共线，且向量AB ―→＝e 1＋m e 2，AC ―→＝n e 1＋e 2，若A ，B ，C 三点共线，则实数m ，n 满足的条件是( )A ．mn ＝1B ．mn ＝－1C ．m ＋n ＝1D ．m ＋n ＝－1解析：选A 因为A ，B ，C 三点共线，所以一定存在一个确定的实数λ，使得AB ―→＝λAC ―→，所以有e 1＋m e 2＝nλe 1＋λe 2，由此可得⎩⎪⎨⎪⎧1＝nλ，m ＝λ，所以mn ＝1.(一)普通高中适用作业A 级——基础小题练熟练快1．设D ，E ，F 分别为△ABC 的三边BC ，CA ，AB 的中点，则EB ―→＋FC ―→＝( ) A ．AD ―→B.12AD ―→C.12BC ―→ D ．BC ―→解析：选A 由题意得EB ―→＋FC ―→＝12(AB ―→＋CB ―→)＋12(AC ―→＋BC ―→)＝12(AB ―→＋AC ―→)＝AD ―→.2．已知O 是正六边形ABCDEF 的中心，则与向量OA ―→平行的向量为( ) A ．AB ―→＋AC ―→ B ．AB ―→＋BC ―→＋CD ―→ C ．AB ―→＋AF ―→＋CD ―→D ．AB ―→＋CD ―→＋DE ―→解析：选B AB ―→＋BC ―→＋CD ―→＝AD ―→＝2AO ―→＝－2OA ―→.3．设向量a ，b 不共线，AB ―→＝2a ＋p b ，BC ―→＝a ＋b ，CD ―→＝a －2b ，若A ，B ，D 三点共线，则实数p 的值为( )A ．－2B ．－1C ．1D ．2解析：选B 因为BC ―→＝a ＋b ，CD ―→＝a －2b ，所以BD ―→＝BC ―→＋CD ―→＝2a －b .又因为A ，B ，D 三点共线，所以AB ―→，BD ―→共线．设AB ―→＝λBD ―→，所以2a ＋p b ＝λ(2a －b )，所以2＝2λ，p ＝－λ，即λ＝1，p ＝－1.4．下列四个结论：①AB ―→＋BC ―→＋CA ―→＝0；②AB ―→＋MB ―→＋BO ―→＋OM ―→＝0； ③AB ―→－AC ―→＋BD ―→－CD ―→＝0；④NQ ―→＋QP ―→＋MN ―→－MP ―→＝0， 其中一定正确的结论个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析：选C ①AB ―→＋BC ―→＋CA ―→＝AC ―→＋CA ―→＝0，①正确；②AB ―→＋MB ―→＋BO ―→＋OM ―→＝AB ―→＋MO ―→＋OM ―→＝AB ―→，②错误；③AB ―→－AC ―→＋BD ―→－CD ―→＝CB ―→＋BD ―→＋DC ―→＝CD ―→＋DC ―→＝0，③正确；④NQ ―→＋QP ―→＋MN ―→－MP ―→＝NP ―→＋PN ―→＝0，④正确，故①③④正确．5．(2018·广东东莞二模)如图所示，已知AC ―→＝3BC ―→，OA ―→＝a ，OB ―→＝b ，OC ―→＝c ，则下列等式中成立的是( )A ．c ＝32b －12aB ．c ＝2b －aC ．c ＝2a －bD ．c ＝32a －12b解析：选A 因为AC ―→＝3BC ―→，OA ―→＝a ，OB ―→＝b ，所以OC ―→＝OA ―→＋AC ―→＝OA ―→＋32AB―→＝OA ―→＋32(OB ―→－OA ―→)＝32OB ―→－12OA ―→＝32b －12a ，故选A.6．设平行四边形ABCD 的对角线交于点P ，则下列命题中正确的个数是( ) ①AC ―→＝AB ―→＋AD ―→；②AP ―→＝12(AB ―→＋AD ―→)；③DB ―→＝AB ―→－AD ―→；④PD ―→＝PB ―→. A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析：选C 由向量加法的平行四边形法则，知①AC ―→＝AB ―→＋AD ―→，②AP ―→＝12(AB ―→＋AD ―→)都是正确的，由向量减法的三角形法则，知③DB ―→＝AB ―→－AD ―→是正确的，因为PD ―→，PB ―→的大小相同，方向相反，所以④PD ―→＝PB ―→是错误的．7．设向量a ，b 不平行，向量λa ＋b 与a ＋2b 平行，则实数λ＝________. 解析：因为向量λa ＋b 与a ＋2b 平行，所以可设λa ＋b ＝k (a ＋2b )，则⎩⎪⎨⎪⎧λ＝k ，1＝2k ，所以λ＝12.答案：128．已知▱ABCD 的对角线AC 和BD 相交于O ，且OA ―→＝a ，OB ―→＝b ，则DC ―→＝________，BC ―→＝________.(用a ，b 表示)解析：如图，DC ―→＝AB ―→＝OB ―→－OA ―→＝b －a ，BC ―→＝OC ―→－OB ―→＝－OA ―→－OB ―→＝－a －b .答案：b －a －a －b9．(2018·河南三市联考)在锐角△ABC 中，CM ―→＝3MB ―→，AM ―→＝x AB ―→＋y AC ―→，则x y ＝________.解析：由题设可得CA ―→＋AM ―→＝3(AB ―→－AM ―→)， 即4AM ―→＝3AB ―→＋AC ―→， 亦即AM ―→＝34AB ―→＋14AC ―→，则x ＝34，y ＝14，故x y ＝3.答案：310．已知S 是△ABC 所在平面外一点，D 是SC 的中点，若BD ―→＝x AB ―→＋y AC ―→＋z AS ―→，则x ＋y ＋z ＝________.解析：依题意得BD ―→＝AD ―→－AB ―→＝12(AS ―→＋AC ―→)－AB ―→＝－AB ―→＋12AC ―→＋12AS ―→，因此x＋y ＋z ＝－1＋12＋12＝0.答案：0B 级——中档题目练通抓牢1．已知在等腰梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ＝2CD ，点M 是腰BC 的中点，若AM ―→＝λAB ―→＋μAD ―→，则λ，μ的值分别为( )A.34，12B.12，34 C ．1，34D.12，12解析：选A 因为AM ―→＝12(AB ―→＋AC ―→)＝12(AB ―→＋AD ―→＋DC ―→)＝12(AB ―→＋AD ―→＋12AB ―→)＝34AB ―→＋12AD ―→，所以λ＝34，μ＝12.2．已知向量a ，b 不共线，且c ＝λa ＋b ，d ＝a ＋(2λ－1)b ，若c 与d 共线反向，则实数λ的值为( )A ．1B ．－12C ．1或－12D ．－1或－12解析：选B 由于c 与d 共线反向，则存在实数k 使c ＝kd (k ＜0)，于是λa ＋b ＝k []a ＋(2λ－1)b .整理得λa ＋b ＝k a ＋(2λk －k )b .由于a ，b 不共线，所以有⎩⎪⎨⎪⎧λ＝k ，2λk －k ＝1，整理得2λ2－λ－1＝0，解得λ＝1或λ＝－12.又因为k ＜0，所以λ＜0，故λ＝－12.3．(2018·长春质检)在△ABC 中，D 为△ABC 所在平面内一点，且AD ―→＝13AB ―→＋12AC ―→，则S △BCDS △ABD＝( ) A.16 B.13 C.12D.23解析：选B 如图，由已知得，点D 在△ABC 中与AB 平行的中位线上，且在靠近BC 边的三等分点处，从而有S △ABD ＝12S △ABC ，S △ACD ＝13S△ABC，S △BCD ＝⎝⎛⎭⎫1－12－13S △ABC ＝16S △ABC ，所以S △BCD S △ABD ＝13. 4．已知a ，b 是非零向量，命题p ：a ＝b ，命题q ：|a ＋b |＝|a |＋|b |，则p 是q 的__________条件(选填“充要”“充分不必要”“必要不充分”“既不充分也不必要”)．解析：若a ＝b ，则|a ＋b |＝|2a |＝2|a |，|a |＋|b |＝|a |＋|a |＝2|a |，即p ⇒q . 若|a ＋b |＝|a |＋|b |，由加法的运算法则知a 与b 同向共线， 即a ＝λb ，且λ>0，故q ⇒/ p . 所以p 是q 的充分不必要条件． 答案：充分不必要5．在梯形ABCD 中，已知AB ∥CD ，AB ＝2CD ，M ，N 分别为CD ，BC 的中点．若AB ―→＝λAM ―→＋μAN ―→，则λ＋μ＝________.解析：法一：由AB ―→＝λAM ―→＋μAN ―→， 得AB ―→＝λ·12(AD ―→＋AC ―→)＋μ·12(AC ―→＋AB ―→)，则⎝⎛⎭⎫μ2－1AB ―→＋λ2AD ―→＋⎝⎛⎭⎫λ2＋μ2AC ―→＝0， 得⎝⎛⎭⎫μ2－1AB ―→＋λ2AD ―→＋⎝⎛⎭⎫λ2＋μ2⎝⎛⎭⎫AD ―→＋12 AB ―→ ＝0， 得⎝⎛⎭⎫14λ＋34μ－1AB ―→＋⎝⎛⎭⎫λ＋μ2AD ―→＝0. 又因为AB ―→，AD ―→不共线，所以由平面向量基本定理得⎩⎨⎧14λ＋34μ－1＝0，λ＋μ2＝0，解得⎩⎨⎧λ＝－45，μ＝85.所以λ＋μ＝45.法二：连接MN 并延长交AB 的延长线于点T ，由已知易得AB ＝45AT ，∴45AT ―→＝AB ―→＝λAM ―→＋μAN ―→， 即AT ―→＝54λAM ―→＋54μAN ―→，∵T ，M ，N 三点共线，∴54λ＋54μ＝1.∴λ＋μ＝45.答案：456.在△ABC 中，D ，E 分别为BC ，AC 边上的中点，G 为BE 上一点，且GB ＝2GE ，设AB ―→＝a ，AC ―→＝b ，试用a ，b 表示AD ―→，AG ―→.解：AD ―→＝12(AB ―→＋AC ―→)＝12a ＋12b .AG ―→＝AB ―→＋BG ―→＝AB ―→＋23BE ―→＝AB ―→＋13(BA ―→＋BC ―→)＝23AB ―→＋13(AC ―→－AB ―→) ＝13AB ―→＋13AC ―→ ＝13a ＋13b . 7．设e 1，e 2是两个不共线的向量，已知AB ―→＝2e 1－8e 2，CB ―→＝e 1＋3e 2，CD ―→＝2e 1－e 2.(1)求证：A ，B ，D 三点共线；(2)若BF ―→＝3e 1－k e 2，且B ，D ，F 三点共线，求k 的值．解：(1)证明：由已知得BD ―→＝CD ―→－CB ―→＝(2e 1－e 2)－(e 1＋3e 2)＝e 1－4e 2， ∵AB ―→＝2e 1－8e 2，∴AB ―→＝2BD ―→.又∵AB ―→与BD ―→有公共点B ，∴A ，B ，D 三点共线． (2)由(1)可知BD ―→＝e 1－4e 2，∵BF ―→＝3e 1－k e 2，且B ，D ，F 三点共线， ∴存在实数λ，使BF ―→＝λBD ―→， 即3e 1－k e 2＝λe 1－4λe 2，得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝3，－k ＝－4λ. 解得k ＝12.C 级——重难题目自主选做1.如图，直线EF 与平行四边形ABCD 的两边AB ，AD 分别交于E ，F 两点，且交其对角线于K ，其中，AE ―→＝25AB ―→，AF ―→＝12AD ―→，AK ―→＝λAC ―→，则λ的值为( )A.29 B.27 C.25D.23解析：选A 因为AE ―→＝25AB ―→，AF ―→＝12AD ―→，则AB ―→＝52AE ―→，AD ―→＝2AF ―→，由向量加法的平行四边形法则可知AC ―→＝AB ―→＋AD ―→，所以AK ―→＝λAC ―→＝λ(AB ―→＋AD ―→)＝λ⎝⎛⎭⎫52 AE ―→＋2AF ―→ ＝52λAE ―→＋2λAF ―→，由E ，F ，K 三点共线可得52λ＋2λ＝1，所以λ＝29.2．在直角梯形ABCD 中，∠A ＝90°，∠B ＝30°，AB ＝23，BC ＝2，点E 在线段CD 上，若AE ―→＝AD ―→＋μAB ―→，则μ的取值范围是________．解析：由题意可求得AD ＝1，CD ＝3，所以AB ―→＝2DC ―→. ∵点E 在线段CD 上， ∴DE ―→＝λDC ―→(0≤λ≤1)． ∵AE ―→＝AD ―→＋DE ―→，又AE ―→＝AD ―→＋μAB ―→＝AD ―→＋2μDC ―→＝AD ―→＋2μλ DE ―→， ∴2μλ＝1，即μ＝λ2.∵0≤λ≤1， ∴0≤μ≤12.即μ的取值范围是⎣⎡⎦⎤0，12. 答案：⎣⎡⎦⎤0，12 (二)重点高中适用作业A 级——保分题目巧做快做1.设D ，E ，F 分别为△ABC 的三边BC ，CA ，AB 的中点，则EB ―→＋FC ―→＝( ) A ．AD ―→ B.12AD ―→C.12BC ―→ D ．BC ―→解析：选A 由题意得EB ―→＋FC ―→＝12(AB ―→＋CB ―→)＋12(AC ―→＋BC ―→)＝12(AB ―→＋AC ―→)＝AD ―→.2.(2018·合肥质检)已知O ，A ，B ，C 为同一平面内的四个点，若2AC ―→＋CB ―→＝0，则向量OC ―→等于( )A.23OA ―→－13OB ―→ B ．－13OA ―→＋23OB ―→C ．2OA ―→－OB ―→D ．－OA ―→＋2OB ―→解析：选C 因为AC ―→＝OC ―→－OA ―→，CB ―→＝OB ―→－OC ―→，所以2AC ―→＋CB ―→＝2(OC ―→－OA ―→)＋(OB ―→－OC ―→)＝OC ―→－2OA ―→＋OB ―→＝0，所以OC ―→＝2OA ―→－OB ―→.3.(2018·江西八校联考)在△ABC 中，P ，Q 分别是边AB ，BC 上的点，且AP ＝13AB ，BQ ＝13BC .若AB ―→＝a ，AC ―→＝b ，则PQ ―→＝( )A.13a ＋13b B ．－13a ＋13bC.13a －13b D ．－13a －13b解析：选A PQ ―→＝PB ―→＋BQ ―→＝23AB ―→＋13BC ―→＝23AB ―→＋13(AC ―→－AB ―→)＝13AB ―→＋13AC ―→＝13a ＋13b ，故选A.4．下列四个结论：①AB ―→＋BC ―→＋CA ―→＝0；②AB ―→＋MB ―→＋BO ―→＋OM ―→＝0； ③AB ―→－AC ―→＋BD ―→－CD ―→＝0；④NQ ―→＋QP ―→＋MN ―→－MP ―→＝0， 其中一定正确的结论个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析：选C ①AB ―→＋BC ―→＋CA ―→＝AC ―→＋CA ―→＝0，①正确；②AB ―→＋MB ―→＋BO ―→＋OM ―→＝AB ―→＋MO ―→＋OM ―→＝AB ―→，②错误；③AB ―→－AC ―→＋BD ―→－CD ―→＝CB ―→＋BD ―→＋DC ―→＝CD ―→＋DC ―→＝0，③正确；④NQ ―→＋QP ―→＋MN ―→－MP ―→＝NP ―→＋PN ―→＝0，④正确．故①③④正确．5．已知向量a ，b 不共线，且c ＝λa ＋b ，d ＝a ＋(2λ－1)b ，若c 与d 共线反向，则实数λ的值为( )A ．1B ．－12C ．1或－12D ．－1或－12解析：选B 由于c 与d 共线反向，则存在实数k 使c ＝kd (k ＜0)，于是λa ＋b ＝k []a ＋(2λ－1)b .整理得λa ＋b ＝k a ＋(2λk －k )b .由于a ，b 不共线，所以有⎩⎪⎨⎪⎧λ＝k ，2λk －k ＝1，整理得2λ2－λ－1＝0，解得λ＝1或λ＝－12.又因为k ＜0，所以λ＜0，故λ＝－12.6.(2018·南宁模拟)已知e 1，e 2是不共线向量，a ＝m e 1＋2e 2，b ＝n e 1－e 2，且mn ≠0，若a ∥b ，则mn＝________.解析：∵a ∥b ，∴a ＝λb ，即m e 1＋2e 2＝λ(n e 1－e 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧λn ＝m ，－λ＝2，故mn ＝－2.答案：－27．已知a ，b 是非零向量，命题p ：a ＝b ，命题q ：|a ＋b |＝|a |＋|b |，则p 是q 的____________________条件(选填“充要”“充分不必要”“必要不充分”“既不充分也不必要”)．解析：若a ＝b ，则|a ＋b |＝|2a |＝2|a |，|a |＋|b |＝|a |＋|a |＝2|a |，即p ⇒q .若|a ＋b |＝|a |＋|b |，由加法的运算法则知a 与b 同向共线，即a ＝λb ，且λ>0，故q ⇒/ p . 所以p 是q 的充分不必要条件． 答案：充分不必要8．已知S 是△ABC 所在平面外一点，D 是SC 的中点，若BD ―→＝x AB ―→＋y AC ―→＋z AS ―→，则x ＋y ＋z ＝________.解析：依题意得BD ―→＝AD ―→－AB ―→＝12(AS ―→＋AC ―→)－AB ―→＝－AB ―→＋12AC ―→＋12AS ―→，因此x＋y ＋z ＝－1＋12＋12＝0.答案：09.已知D 为三角形ABC 边BC 的中点，点P 满足PA ―→＋BP ―→＋CP ―→＝0，AP ―→＝λPD ―→，求实数λ的值．解：如图所示，由AP ―→＝λPD ―→且PA ―→＋BP ―→＋CP ―→＝0，得P 为以AB ，AC 为邻边的平行四边形的第四个顶点，因此AP ―→＝－2PD ―→，所以λ＝－2.10．设e 1，e 2是两个不共线的向量，已知AB ―→＝2e 1－8e 2，CB ―→＝e 1＋3e 2，CD ―→＝2e 1－e 2.(1)求证：A ，B ，D 三点共线；(2)若BF ―→＝3e 1－k e 2，且B ，D ，F 三点共线，求k 的值．解：(1)证明：由已知得BD ―→＝CD ―→－CB ―→＝(2e 1－e 2)－(e 1＋3e 2)＝e 1－4e 2， ∵AB ―→＝2e 1－8e 2，∴AB ―→＝2BD ―→.又∵AB ―→与BD ―→有公共点B ， ∴A ，B ，D 三点共线． (2)由(1)可知BD ―→＝e 1－4e 2，∵BF ―→＝3e 1－k e 2，且B ，D ，F 三点共线， ∴存在实数λ，使BF ―→＝λBD ―→， 即3e 1－k e 2＝λe 1－4λe 2，得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝3，－k ＝－4λ. 解得k ＝12.B 级——拔高题目稳做准做1．(2018·长春质检)在△ABC 中，D 为△ABC 所在平面内一点，且AD ―→＝13AB ―→＋12AC ―→，则S △BCDS △ABD＝( ) A.16 B.13 C.12 D.23解析：选B 如图，由已知得，点D 在△ABC 中与AB 平行的中位线上，且在靠近BC 边的三等分点处，从而有S △ABD ＝12S △ABC ，S △ACD ＝13S △ABC ，S △BCD ＝⎝⎛⎭⎫1－12－13S △ABC ＝16S △ABC ，所以S △BCD S △ABD ＝13.2.(2018·河南中原名校联考)如图，在直角梯形ABCD 中，AB ＝2AD＝2DC ，E 为BC 边上一点，BC ―→＝3EC ―→，F 为AE 的中点，则BF ―→＝( )A.23AB ―→－13AD ―→B.13AB ―→－23AD ―→C ．－23AB ―→＋13AD ―→D ．－13AB ―→＋23AD ―→解析：选C BF ―→＝BA ―→＋AF ―→＝BA ―→＋12AE ―→＝－AB ―→＋12(AD ―→＋12AB ―→＋CE ―→)＝－AB ―→＋12⎝⎛⎭⎫AD ―→＋12 AB ―→＋13 CB ―→＝－AB ―→＋12AD ―→＋14AB ―→＋16(CD ―→＋DA ―→＋AB ―→)＝－23AB ―→＋13AD ―→.3.在梯形ABCD 中，已知AB ∥CD ，AB ＝2CD ，M ，N 分别为CD ，BC 的中点．若AB ―→＝λAM ―→＋μAN ―→，则λ＋μ＝________.解析：法一：由AB ―→＝λAM ―→＋μAN ―→， 得AB ―→＝λ·12(AD ―→＋AC ―→)＋μ·12(AC ―→＋AB ―→)，则⎝⎛⎭⎫μ2－1AB ―→＋λ2AD ―→＋⎝⎛⎭⎫λ2＋μ2AC ―→＝0， 得⎝⎛⎭⎫μ2－1AB ―→＋λ2AD ―→＋⎝⎛⎭⎫λ2＋μ2⎝⎛⎭⎫AD ―→＋12AB ―→＝0， 得⎝⎛⎭⎫14λ＋34μ－1AB ―→＋⎝⎛⎭⎫λ＋μ2AD ―→＝0. 又因为AB ―→，AD ―→不共线，所以由平面向量基本定理得⎩⎨⎧14λ＋34μ－1＝0，λ＋μ2＝0，解得⎩⎨⎧λ＝－45，μ＝85.所以λ＋μ＝45.法二：连接MN 并延长交AB 的延长线于T ， 由已知易得AB ＝45AT ，∴45AT ―→＝AB ―→＝λAM ―→＋μAN ―→， 即AT ―→＝54λAM ―→＋54μAN ―→，∵T ，M ，N 三点共线，∴54λ＋54μ＝1.∴λ＋μ＝45.答案：454．在直角梯形ABCD 中，∠A ＝90°，∠B ＝30°，AB ＝23，BC ＝2，点E 在线段CD 上，若AE ―→＝AD ―→＋μAB ―→，则μ的取值范围是________．解析：由题意可求得AD ＝1，CD ＝3，所以AB ―→＝2DC ―→. ∵点E 在线段CD 上， ∴DE ―→＝λDC ―→(0≤λ≤1)． ∵AE ―→＝AD ―→＋DE ―→，又AE ―→＝AD ―→＋μAB ―→＝AD ―→＋2μDC ―→＝AD ―→＋2μλDE ―→，∴2μλ＝1，即μ＝λ2.∵0≤λ≤1，∴0≤μ≤12.即μ的取值范围是⎣⎡⎦⎤0，12. 答案：⎣⎡⎦⎤0，12 5．经过△OAB 重心G 的直线与OA ，OB 分别交于点P ，Q ，设OP ―→＝m OA ―→，OQ ―→＝n OB ―→，m ，n ∈R ，求1n ＋1m的值．解：设OA ―→＝a ，OB ―→＝b ，则OG ―→＝13(a ＋b )，PQ ―→＝OQ ―→－OP ―→＝n b －m a ，PG ―→＝OG ―→－OP ―→＝13(a ＋b )－m a ＝⎝⎛⎭⎫13－m a ＋13b . 由P ，G ，Q 共线得，存在实数λ使得PQ ―→＝λPG ―→， 即n b －m a ＝λ⎝⎛⎭⎫13－m a ＋13λb ， 则⎩⎨⎧－m ＝λ⎝⎛⎭⎫13－m ，n ＝13λ，消去λ，得1n ＋1m ＝3.6．已知O ，A ，B 是不共线的三点，且OP ―→＝m OA ―→＋n OB ―→(m ，n ∈R)．(1)若m ＋n ＝1，求证：A ，P ，B 三点共线； (2)若A ，P ，B 三点共线，求证：m ＋n ＝1. 证明：(1)若m ＋n ＝1， 则OP ―→＝m OA ―→＋(1－m )OB ―→ ＝OB ―→＋m (OA ―→－OB ―→)， ∴OP ―→－OB ―→＝m (OA ―→－OB ―→)， 即BP ―→＝m BA ―→，∴BP ―→与BA ―→共线． 又∵BP ―→与BA ―→有公共点B ， ∴A ，P ，B 三点共线． (2)若A ，P ，B 三点共线， 则存在实数λ，使BP ―→＝λBA ―→， ∴OP ―→－OB ―→＝λ(OA ―→－OB ―→)． 又OP ―→＝m OA ―→＋n OB ―→.故有m OA ―→＋(n －1)OB ―→＝λOA ―→－λOB ―→， 即(m －λ)OA ―→＋(n ＋λ－1)OB ―→＝0.∵O ，A ，B 不共线，∴OA ―→，OB ―→不共线，∴⎩⎪⎨⎪⎧m －λ＝0，n ＋λ－1＝0，∴m ＋n ＝1.。
2019届高三一轮：4.1《平面向量的概念及其线性运算》课件
3 个等价转化——与三点共线有关的等价转化
A，P，B 三点共线⇔A→P＝λA→B(λ≠0)⇔O→P＝(1－t)O→A＋tO→B(O 为平面内异于 A，P， B 的任一点，t∈R)⇔O→P＝xO→A＋yO→B(O 为平面内异于 A，P，B 的任一点，x∈R，y ∈R，x＋y＝1)。
4 个注意点——向量线性运算应注意的问题
→→→
→
终点的向量，即A1A2＋A2A3＋A3A4＋…＋An－1An＝A1An。特别地，一个封闭图形首尾
连接而成的向量和为零向量。
2 个结论——向量的中线公式及三角形的重心
(1)向量的中线公式 若 P 为线段 AB 的中点，O 为平面内一点，则O→P＝12(O→A＋O→B)。 (2)三角形的重心 已知平面内不共线的三点 A、B、C，P→G＝13(P→A＋P→B＋P→C)⇔G 是△ABC 的重心。 特别地，P→A＋P→B＋P→C＝0⇔P 为△ABC 的重心。
课前学案 基础诊断
夯基固本 基础自测
1．向量的有关概念 名称
定义
既有 _大__小_又有 __方__向__的量；向
备注
向量 量的大小叫做向量的 _长__度___(或 平面向量是自由向量
称 _模___)
长度为 零向量
_零___的向量，其方向是任 记作
___0_____
意的
单位 向量
长度等于
___1__个__单__位___的向量
③若 a 与 b 同向，且|a|＞|b|，则 a＞b；
④λ，μ 为实数，若 λa＝μb，则 a 与 b 共线。
其中假命题的个数为( )
A．1
B．2
C．3
D．4
解析：①不正确。|a|＝|b|但 a，b 的方向不确定，故 a，b 不一定相等；②不正确。
2019版高考数学(文)高分计划一轮高分讲义：第4章平面向量 4.1 平面向量的概念及线性运算
第 4章 平面向量4．1 平面向量的概念及线性运算[知识梳理]1．向量的有关概念2．向量的线性运算3．共线向量定理向量a (a ≠0)与b 共线，当且仅当有唯一的一个实数λ，使得b ＝λa .特别提醒：(1)限定a ≠0的目的是保证实数λ的存在性和唯一性．(2)零向量与任何向量共线．(3)平行向量与起点无关．(4)若存在非零实数λ，使得＝λ或＝λ或＝λ，AB → AC → AB → BC → AC → BC → 则A ，B ，C 三点共线．[诊断自测]1．概念思辨(1)△ABC 中，D 是BC 中点，E 是AD 的中点，则＝(＋AE → 14AC → )．( )AB →(2)若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c .( )(3)向量与向量是共线向量，则A ，B ，C ，D 四点在一条AB → CD → 直线上．( )(4)当两个非零向量a ，b 共线时，一定有b ＝λa ，反之成立．( )答案 (1)√ (2)× (3)× (4)√2．教材衍化(1)(必修A4P 78A 组T 5)设D 为△ABC 所在平面内一点，＝3BC → ，则( )CD → A.＝－＋B.＝－AD → 13AB → 43AC → AD → 13AB → 43AC →C.＝＋D.＝－AD → 43AB → 13AC → AD → 43AB → 13AC →答案 A解析 ＝＋＝＋＝＋(－)＝－＋AD → AB → BD → AB → 43BC → AB → 43AC → AB → 13AB → 43.故选A.AC → (2)(必修A4P 92A 组T 12)已知▱ABCD 的对角线AC 和BD 相交于O ，且＝a ，＝b ，则＝________，＝________(用a ，bOA → OB → DC → BC → 表示)．答案 b －a －a －b解析 如图，＝＝－＝b －a ，＝－＝－－＝－a －b .DC → AB → OB → OA → BC → OC → OB → OA → OB →3．小题热身(1)(2017·周口模拟)设a 0为单位向量，①若a 为平面内的某个向量，则a ＝|a |a 0；②若a 与a 0平行，则a ＝|a |a 0；③若a 与a 0平行且|a |＝1，则a ＝a 0.上述命题中，假命题的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3答案 D解析 向量是既有大小又有方向的量，a 与|a |a 0的模相等，但方向不一定相同，故①是假命题；若a 与a 0平行，则a 与a 0的方向有两种情况：一是同向，二是反向，反向时a ＝－|a |a 0，故②③也是假命题．综上所述，假命题的个数是3.故选D.(2)设e 1，e 2是两个不共线的向量，且a ＝e 1＋λe 2与b ＝－e 2－e 1共线，则实数λ＝________.13答案 13解析 ∵a ＝e 1＋λe 2与b ＝－e 2－e 1共线，∴存在实数t ，使得13b ＝t a ，即－e 2－e 1＝t (e 1＋λe 2)，13－e 2－e 1＝t e 1＋tλe 2，∴t ＝－1，tλ＝－， 即λ＝.131313题型1 平面向量的基本概念 判断下列各命题是否正确： 典例(1)单位向量都相等；(2)|a |与|b |是否相等，与a ，b 的方向无关；(3)若A ，B ，C ，D 是不共线的四点，则＝是四边形AB → DC → ABCD 为平行四边形的充要条件；(4)若a 与b 共线，b 与c 共线，则a 与c 也共线；(5)两向量a ，b 相等的充要条件是|a |＝|b |且a ∥b .根据向量的相关概念判定．解 (1)不正确．(2)正确，两个向量的长度相等，但它们的方向不一定相同．(3)正确，∵＝，∴||＝||且AB ∥DC .AB → DC → AB → DC → 又∵A ，B ，C ，D 是不共线的四点，∴四边形ABCD 是平行四边形．反之，若四边形ABCD 是平行四边形，则AB 綊DC ，且与方向相同．因此＝.AB → DC → AB → DC → (4)不正确，当b ＝0时，a 与c 可以不共线．(5)不正确，当a ∥b ，但方向相反时，即使|a |＝|b |，也不能得到a ＝b .方法技巧解决向量的概念问题应关注五点1．相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性．2．共线向量即平行向量，它们均与起点无关．相等向量不仅模相等，而且方向要相同，所以相等向量一定是平行向量，而平行向量则未必是相等向量．3．向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量．解题时，不要把它与函数图象移动混为一谈．4．非零向量a 与的关系：是a 方向上的单位向量．a |a |a|a |5．向量与数量不同，数量可以比较大小，向量则不能，但向量的模是非负实数，故可以比较大小．冲关针对训练下列4个命题：(1)若向量a 与b 同向，且|a |>|b |，则a >b ；(2)由于零向量方向不确定，故零向量不能与任意向量平行；(3)λ，μ为实数，若λa ＝μb ，则a 与b 共线；(4)两向量平行是这两个向量相等的必要不充分条件．其中错误命题的序号为________．答案 (1)(2)(3)解析 (1)不正确．因为向量是不同于数量的一种量，它由两个因素来确定，即大小与方向，所以两个向量不能比较大小．(2)不正确．由零向量方向性质可得0与任一向量平行．(3)不正确．当λ＝μ＝0时，a 与b 可能不共线．(4)正确．题型2 平面向量的线性运算 (2017·长沙模拟)若O ，E ，F 是不共线的任意三点， 典例1则以下各式中成立的是( )A.＝＋B.＝－EF → OF → OE → EF → OF → OE →C.＝－＋D.＝－－EF → OF → OE → EF → OF → OE →向量加、减法定义．答案 B解析 利用向量加、减法的运算性质易知，选B. 如图所示，在正方形ABCD 中，点E 是DC 的中点，点典例2F 是BC 的一个三等分点，那么等于( )EF →A.－12AB → 13AD →B.＋14AB → 12AD →C.＋12AB → 12DA →D.－12AB → 23AD →综合利用向量的加法、减法和数乘运算．答案 D解析 在△CEF 中，有＝＋.EF → EC → CF → 因为点E 是DC 的中点，所以＝.EC → 12DC → 因为点F 为BC 的一个三等分点，所以＝.CF → 23CB → 所以＝＋＝＋EF → 12DC → 23CB → 12AB → 23DA →＝－.故选D.12AB → 23AD → [条件探究] 若典例1中加入＝，则如何用，表示EA → AF → OE → OF →.OA → 解 如图，＝＋＝＋＝＋＝(＋)．OA → OE → EA → OE → 12EF → OE → 12(OF → －OE → )12OE → OF →方法技巧平面向量线性运算问题的求解策略1．进行向量运算时，要尽可能地将它们转化到三角形或平行四边形中，充分利用相等向量、相反向量，三角形的中位线及相似三角形对应边成比例等性质，把未知向量用已知向量表示出来．2．向量的线性运算类似于代数多项式的运算，实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在线性运算中同样适用．3．用几个基本向量表示某个向量问题的基本技巧：①观察各向量的位置；②寻找相应的三角形或多边形；③运用法则找关系；④化简结果．冲关针对训练1．(2017·潍坊模拟)在△ABC 中，P ，Q 分别是AB ，BC 的三等分点，且AP ＝AB ，BQ ＝BC .若＝a ，＝b ，则＝( )1313AB → AC → PQ → A.a ＋b B ．－a ＋b 13131313C.a －bD ．－a －b13131313答案 A 解析 ＝＋＝＋＝＋(－)＝＋PQ → PB → BQ → 23AB → 13BC → 23AB → 13AC → AB → 13AB → 13＝a ＋b .故选A.AC → 13132．(2018·昆明模拟)在△ABC 中，AB ＝2，BC ＝3，∠ABC ＝60°，AD 为BC 边上的高，O 为AD 的中点，若＝λ＋μ，则λ＋μAO → AB → BC → 等于( )A ．1 B. C. D.121323答案 D解析 ∵＝＋＝＋，AD → AB → BD → AB → 13BC → ∴2＝＋，即＝＋.AO → AB → 13BC → AO → 12AB → 16BC → 故λ＋μ＝＋＝.故选D.121623题型3 共线向量定理及其应用角度1 解决三点共线问题已知O ，A ，B 是不共线的三点，且 典例＝m ＋n (m ，n ∈R )．OP → OA → OB → (1)若m ＋n ＝1，求证：A ，P ，B 三点共线；(2)若A ，P ，B 三点共线，求证：m ＋n ＝ 1.本题用转化法、向量问题实数化．证明 (1)若m ＋n ＝1，则＝m ＋(1－m )＝＋m (－)，OP → OA → OB → OB → OA → OB → ∴－＝m (－)，OP → OB → OA → OB → 即＝m ，∴与共线．BP → BA → BP → BA→ 又∵B 与B 有公共点B ，∴A ，P ，B 三点共线．P → A→ (2)若A ，P ，B 三点共线，存在实数λ，使＝λ，BP → BA→ ∴－＝λ(－)．OP → OB → OA → OB → 又＝m ＋n .OP → OA → OB → 故有m ＋(n －1)＝λ－λ，OA → OB → OA → OB → 即(m －λ)＋(n ＋λ－1)＝0.OA → OB→ ∵O ，A ，B 不共线，∴，不共线，OA → OB→ ∴Error!∴m ＋n ＝1.角度2 利用共线求参数的取值 (2018·南京模拟)已知如图，平行四边形ABCD 中，E ，F典例分别是BC ，CD 的中点，连接AE ，BF 相交于P ，连接DP ，并延长交AB 的延长线于点G ，若＝x ，＝y ，＝z ，则AP → AE → BP → BF → AG → AB→ x ＝________，y ＝________，z ＝________.本题需作辅助线．答案 452543解析 如图，过E 作EQ 平行于AB ，交BF 于点Q ，因为E 为BC 的中点，所以EQ 平行于CD ，且EQ ＝CF ，又因为点F 为CD12的中点，所以＝＝＝＝，QP PB EP PA EQ AB 12CFAB 14所以＝，所以x ＝.AP → 45AE→ 45因为点Q 为FB 的中点，所以＝＝，BP → 44＋1＋5BF → 25BF→ 所以y ＝.因为＝＝，25DFBG FPPB 64所以＝＝，BG → 23DF → 13AB→ 所以＝，即z ＝.AG → 43AB→43所以x ＝，y ＝，z ＝.452543角度3 共线定理与三角形的面积 (2017·沈阳一模)在△ABC 中，O 为其内部一点，且满足典例＋＋3＝0，则△AOB 和△AOC 的面积比是( )OA → OC → OB→ A ．3∶4 B ．3∶2 C ．1∶1 D ．1∶3本题采用并项法．答案 D解析 根据题意，如图，在△ABC 中，M 为AC的中点，则＋＝2，OA → OC → OM → 又由＋＋3＝0，OA → OC → OB→ 则有2＝－3；OM → OB → 从而可得B ，O ，M 三点共线，且2OM ＝3BO ；由2OM ＝3BO 可得，＝＝，S △AOCS △ABC OM BM 35S △AOB ＋S △BOC ＝S △ABC ，25又由S △AOB ＝S △BOC ，则S △AOB ＝S △ABC ，15则＝.故选D.S △AOB S △AOC 13方法技巧1．证明向量共线，对于向量a ，b (b ≠0)，若存在实数λ，使a ＝λb ，则a 与b 共线．见角度1典例．2．证明三点共线，若存在实数λ，使＝λ，则A ，B ，C 三AB → AC→ 点共线．见角度1典例．3．利用共线定理解决几何问题要注意两直线相交必然存在两组三点共线，通过列方程组往往能把问题解决．冲关针对训练1．已知点D 为△ABC 所在平面上一点，且满足A ＝A －C ，若△ACD 的面积为1，则△ABD 的面积为( )D → 15B → 45A→ A ．1 B ．2 C ．3 D ．4答案 D解析 由A ＝A －C ，得5＝A ＋4A ，所以D → 15B → 45A → AD → B → C→A －A ＝4(A －A )，即B ＝4D .所以点D 在边BC 上，且D → B → C → D → D → C→|B |＝4|D |，所以S △ABD ＝4S △ACD ＝4.D → C → 2．(2017·大观区校级期末)设D 为△ABC 的边AB 的中点，P 为△ABC 内一点，且满足，＝＋，则＝( )AP → AD → 25BC→S △APD S △ABC A. B. C. D.352515310答案 C 解析 如图，∵＋＝＋＝，AD → 25BC → AD → DP → AP→ ∴D ＝B ，∠ADP ＝∠ABC ，P → 25C→ ∵D 是AB 的中点，∴AD ＝AB .12∴＝＝.故选C.S △APDS △ABC 12·AD ·DP sin ∠ADP 12·AB ·BC sin ∠ABC151．(2017·郴州三模)在△ABC 中，M 为边BC 上任意一点，N 为AM 中点，＝λ＋μ，则λ＋μ的值为( )AN → AB → AC → A. B. C. D ．1121314答案 A解析 设＝t ，BM → BC→则＝＝(＋)＝＋AN → 12AM → 12AB → BM →12AB → 12BM→ ＝＋t ＝＋(－)12AB → 12BC → 12AB → t 2AC → AB →＝＋(12－t 2)AB → t 2AC →∴λ＝－，μ＝12t 2t2∴λ＋μ＝.故选A.122．(2018·淮南模拟)在△ABC 中，点D 在线段BC 的延长线上，且＝3，点O 在线段CD 上(与点C 、D 不重合)，若BC → CD→ ＝x ＋(1－x )，则x 的取值范围是( )AO → AB → AC→ A. B.(0，12)(0，13)C. D.(－12，0)(－13，0)答案 D解析 设C ＝y ，则＝＋＝＋y O → BC → AO → AC → CO → AC → BC→＝＋y (－)AC → AC → AB → ＝－y ＋(1＋y )，AB → AC → ∵＝3，BC → CD → 点O 在线段CD 上(与点C 、D 不重合)，∴y ∈，(0，13)∵＝x ＋(1－x )，AO → AB → AC → ∴x ∈.(－13，0)故选D.3．(2018·湖北模拟)若M 为△ABC 内一点，＝＋，AM → 13AB → 14AC→则△ABM 和△ABC 的面积之比为( )A. B. C. D.14131223答案 A解析 设＝，＝，以AD ，AE 为邻边作平行四边AD → 13AB → AE → 14AC→形ADME ，延长EM 交BC 与F ，连接BM .则EF ∥AB，∴＝＝.故选A.S △ABM S △ABC AE AC 144．(2014·全国卷Ⅰ)已知A ，B ，C 为圆O 上的三点，若＝(AO→ 12＋)，则与的夹角为________．AB → AC → AB → AC→ 答案 90°解析 由＝可知O 为BC 的中点，即BC 为圆O AO → 12(AB →＋AC→ )的直径，又因为直径所对的圆周角为直角，所以∠BAC ＝90°，所以与的夹角为90°.AB → AC→[基础送分 提速狂刷练]一、选择题1．(2018·武汉调研)如图所示的方格纸中有定点O ，P ，Q ，E ，F ，G ，H ，则＋＝( )OP → OQ→A.OH →B.OG →C.EO →D.FO → 答案 D解析 在方格纸上作出＋，如图所示，则容易看出＋OP → OQ → OP→＝.故选D.OQ → FO→2．已知A ，B ，C 三点不共线，且点O 满足＋＋＝0，则下列结论正确的是( )OA → OB → OC→ A.＝＋ B.＝＋OA → 13AB → 23BC→ OA → 23AB → 13BC→ C.＝－ D.＝－－OA → 13AB → 23BC→ OA → 23AB → 13BC→答案 D解析 ∵＋＋＝0，∴O 为△ABC 的重心，OA → OB → OC→ ∴＝－×(＋)＝－(＋)＝－(＋＋)＝－(2OA →2312AB → AC → 13AB → AC → 13AB → AB → BC→ 13＋)＝－－.故选D.AB → BC →23AB → 13BC→ 3．(2017·衡水中学三调)在△ABC 中，＝，P 是直线BNAN → 14NC→ 上的一点，且满足＝m ＋，则实数m 的值为( )AP → AB → 25AC→ A ．－4 B ．－1 C ．1 D ．4答案 B解析 根据题意设＝n (n ∈R )，则BP → BN→＝＋＝＋n ＝＋n (－)AP → AB → BP → AB → BN → AB → AN → AB → ＝＋n＝(1－n )＋，又＝m ＋，AB → (15AC → －AB → )AB → n 5AC → AP → AB → 25AC → ∴Error!解得Error!故选B.4．(2018·石家庄一模)A ，B ，C 是圆O 上不同的三点，线段CO 与线段AB 交于点D (点O 与点D 不重合)，若＝λ＋μ(λ，μ∈R )，则λ＋μ的取值范围是( )OC → OA → OB→A ．(0,1)B ．(1，＋∞)C ．(1，]D ．(－1,0)2答案 B解析 设＝m ，则m >1，因为＝λ＋μ，OC → OD → OC → OA → OB → 所以m ＝λ＋μ，即＝＋，又知A ，B ，DOD → OA → OB → OD → λm OA → μm OB→ 三点共线，所以＋＝1，即λ＋μ＝m ，所以λ＋μ>1.故选B.λm μm 5．(2018·广东模拟)已知点O ，A ，B 不在同一条直线上，点P 为该平面上一点，且＝，则( )OP→3OA → －OB →2A ．点P 在线段AB 上B ．点P 在线段AB 的反向延长线上C ．点P 在线段AB 的延长线上D ．点P 不在直线AB 上答案 B 解析 ＝＝－＝＋(－)＝＋OP →3OA → －OB →232OA → 12OB → OA → 12OA → OB → OA → 12，即－＝＝，所以点P 在线段AB 的反向延长线BA → OP → OA → AP → 12BA→上．故选B.6．(2017·广东七校联考)已知向量i ，j 不共线，且＝i ＋m j ，AB → ＝n i ＋j ，m ≠1，若A ，B ，D 三点共线，则实数m ，n 应满足的AD → 条件是( )A ．m ＋n ＝1B ．m ＋n ＝－1C ．mn ＝1D ．mn ＝－1答案 C解析 因为A ，B ，D 三点共线，所以∥，存在非零实数AB → AD → λ，使得＝λ，即i ＋m j ＝λ(n i ＋j )，所以(1－λn )i ＋(m －λ)j ＝0，AB → AD → 又因为i 与j 不共线，所以Error!则mn ＝1.故选C.7．下列命题中是真命题的是( )①对任意两向量a ，b ，均有：|a |－|b |<|a |＋|b |；②对任意两向量a ，b ，a －b 与b －a 是相反向量；③在△ABC 中，＋－＝0；AB → BC → AC → ④在四边形ABCD 中，(＋)－(＋)＝0；AB → BC → CD → DA → ⑤－＝.AB → AC → BC → A ．①②③ B ．②④⑤ C ．②③④ D ．②③答案 D解析 ①假命题．∵当b ＝0时，|a |－|b |＝|a |＋|b |.∴①不成立．②真命题．∵(a －b )＋(b －a )＝a ＋(－b )＋b ＋(－a )＝a ＋(－a )＋b ＋(－b )＝(a －a )＋(b －b )＝0，∴a －b 与b －a 是相反向量．②成立．③真命题．∵＋－＝－＝0，∴③成立．AB → BC → AC → AC → AC → ④假命题．∵＋＝，＋＝，AB → BC → AC → CD → DA → CA → ∴(＋)－(＋)＝－＝＋≠0.AB → BC → CD → DA → AC → CA → AC → AC → ∴该命题不成立．⑤假命题．∵－＝＋＝≠，∴该命题不成AB → AC → AB → CA → CB → BC → 立．故选D.8．(2018·泉州模拟)已知D ，E ，F 分别为△ABC 的边BC ，CA ，AB 的中点，且＝a ，＝b ，给出下列命题：BC → CA → ①＝a －b ；②＝a ＋b ；③＝－a ＋b ；④＋＋AD → 12BE → 12CF → 1212AD → BE → ＝0.其中正确的是( )CF → A ．①② B ．②③ C ．③④ D ．②③④答案 D解析 由＝a ，＝b ，则BC → CA → ＝＋＝－a －b .＝＋＝a ＋b ，AD → 12CB → AC → 12BE → BC → 12CA → 12＝(＋)＝(－a ＋b )＝－a ＋b .CF → 12CB → CA → 121212所以＋＋＝－b －a ＋a ＋b ＋b －a ＝0，所以命题AD → BE → CF → 12121212②③④正确．故选D.9．(2018·兰州模拟)若点M 是△ABC 所在平面内的一点，且满足5＝＋3，则△ABM 与△ABC 的面积比为( )AM → AB → AC →A. B. C. D.15253545答案 C解析 如图，连接AM ，BM ，延长AC 到D 使AD ＝3AC ，延长AM 到E 使AE ＝5AM ，因为5＝＋3，所以AM → AB → AC → ＝5－3＝－＝.AB → AM → AC → AE → AD → DE →连接BE ，则四边形ABED 是平行四边形(向量AB 和向量DE 平行且模相等)．由于＝3，AD → AC → 所以S △ABC ＝S △ABD .13因为＝，所以S △AMB ＝S △ABE ，在平行四边形ABED 中，AM → 15AE → 15S △ABD ＝S △ABE ＝S ▱ABED ，12故＝＝.故选C.S △ABM S △ABC 15S △ABE 13S △ABD 3510．若O 为△ABC 所在平面内一点，且＋2＋3＝0，OA → OB → OC → 则S △OBC ∶S △AOC ∶S △ABO ＝( )A ．3∶2∶1B ．2∶1∶3C ．1∶3∶2D ．1∶2∶3答案 D解析 如图所示，延长OB 到D ，使得BD ＝OB ，延长OC 到E ，使得CE ＝2OC .连接AD ，DE ，AE.∵＋2＋3＝0，OA → OB → OC → ∴点O 为△ADE 的重心．∴S △OBC ＝S △ODE ＝×S △ADE ＝S △ADE ；161613118S △AOC ＝S △OAE ＝×S △ADE ＝S △ADE ；13131319S △ABO ＝S △OAD ＝×S △ADE ＝S △ADE .12121316∴S △OBC ∶S △AOC ∶S △ABO ＝∶∶＝1∶2∶3.1181916故选D.二、填空题11．(2018·广西模拟)如图所示，在△ABC 中，＝，P 是AN → 13AC →BN 上的一点，若＝m ＋，则实数m 的值为________．AP → AB → 211AC →答案 511解析 注意到N ，P ，B 三点共线，因此有＝m ＋＝mAP → AB → 211AC → ＋，从而m ＋＝1⇒m ＝.AB → 611AN → 61151112．(2017·泉州四校联考)设e 1，e 2是不共线的向量，若＝e 1－λe 2，＝2e 1＋e 2，＝3e 1－e 2，且A ，B ，D 三点共线，AB → CB → CD → 则λ的值为________．答案 2解析 ∵＝2e 1＋e 2，＝3e 1－e 2，CB → CD → ∴＝－＝(3e 1－e 2)－(2e 1＋e 2)＝e 1－2e 2，又A ，B ，DBD → CD → CB → 三点共线，则与共线，存在μ∈R 使得＝μ，即AB → BD → AB → BD → e 1－λe 2＝μ(e 1－2e 2)，由e 1，e 2是不共线的向量，得Error!解得λ＝2.13．(2018·河北衡水中学三调)如图，已知平面内有三个向量，，，其中与的夹角为120°，与的夹角为OA → OB → OC → OA → OB → OA → OC → 30°，且||＝||＝1，||＝2.若＝λ＋μ(λ，μ∈R )，则OA → OB → OC → 3OC → OA → OB →λ＋μ的值为________．答案 6解析 如图，作平行四边形OB 1CA 1，则＝＋，因为OC → OB 1→ OA 1→ 与的夹角为120°，与的夹角为30°，所以∠B 1OC ＝90°.OA → OB → OA → OC → 在Rt △OB 1C 中，∠OCB 1＝30°，|OC |＝2，3所以|OB 1|＝2，|B 1C |＝4，所以|OA 1|＝|B 1C |＝4，所以＝4＋2，所以OC → OA → OB → λ＝4，μ＝2，所以λ＋μ＝6.14．(2018·沈阳模拟)如图所示，在△ABC 中，点O 是BC 的中点，过点O 的直线分别交直线AB ，AC 于不同的两点M ，N ，若＝AB → m ，＝n ，则m ＋n 的值为________．AM → AC → AN →答案 2解析 连接AO ，∵O 是BC 的中点，∴＝(＋)．AO → 12AB → AC → 又∵＝m ，＝n ，∴＝＋.AB → AM → AC → AN → AO → m 2AM → n 2AN → ∵M ，O ，N 三点共线，∴＋＝1.∴m ＋n ＝2.m 2n 2三、解答题15．设两个非零向量a 与b 不共线．(1)若＝a ＋b ，＝2a ＋8b ，＝3(a －b )．求证：A ，B ，D AB → BC → CD → 三点共线；(2)试确定实数k ，使k a ＋b 和a ＋k b 共线．解 (1)证明：∵＝a ＋b ，＝2a ＋8b ，＝3(a －b )，AB → BC → CD → ∴＝＋＝2a ＋8b ＋3(a －b )＝2a ＋8b ＋3a －3b ＝5(a ＋b )BD → BC → CD → ＝5.∴，共线．AB → AB → BD → 又它们有公共点B ，∴A ，B ，D 三点共线．(2)∵k a ＋b 与a ＋k b 共线，∴存在实数λ，使k a ＋b ＝λ(a ＋k b )，即k a ＋b ＝λa ＋λk b .∴(k －λ)a ＝(λk －1)b .∵a ，b 是不共线的两个非零向量，∴k －λ＝λk －1＝0，∴k 2－1＝0，∴k ＝±1.16．如图所示，在△ABO 中，＝，＝，AD 与OC → 14OA → OD → 12OB → BC 相交于点M ，设＝a ，＝b .试用a 和b 表示向量.OA → OB → OM →解 设＝m a ＋n b ，OM → 则＝－＝m a ＋n b －a ＝(m －1)a ＋n b .AM → OM → OA → ＝－＝－＝－a ＋b .AD → OD → OA → 12OB → OA → 12又∵A 、M 、D 三点共线，∴与共线．AM → AD → ∴存在实数t ，使得＝t ，AM → AD → 即(m －1)a ＋n b ＝t.(－a ＋12b )∴(m －1)a ＋n b ＝－t a ＋t b .12∴Error!消去t ，得m －1＝－2n ，即m ＋2n ＝1.①又∵＝－＝m a ＋n b －a ＝a ＋n b ，CM → OM → OC → 14(m －14)＝－＝b －a ＝－a ＋b .CB → OB → OC → 1414又∵C ，M ，B 三点共线，∴与共线，CM → CB → ∴存在实数t 1，使得＝t 1，CM → CB → ∴a ＋n b ＝t 1，(m －14)(－14a ＋b )∴Error!消去t 1，得4m ＋n ＝1.②由 ①②得m ＝，n ＝，∴＝a ＋b .1737OM → 1737。
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课时分层作业二十六
平面向量的概念及其线性运算
一、选择题(每小题5分,共35分)
1.①有向线段就是向量,向量就是有向线段;
②向量a与向量b平行,则a与b的方向相同或相反;
③向量与向量共线,则A,B,C,D四点共线;
④如果a∥b,b∥c,那么a∥c.
以上命题中正确的个数为( )
A.1
B.2
C.3
D.0
【解析】选 D.①不正确,向量可以用有向线段表示,但向量不是有向线段;
②不正确,若a与b中有一个为零向量时也互相平行,但零向量的方向是不确定的,故两向量方向不一定相同或相反;
③不正确,共线向量所在的直线可以重合,也可以平行;
④不正确,当b=0时,a与c不一定平行,
故正确命题的个数为0.
2.设a是非零向量,λ是非零实数,下列结论中正确的是( )
A.a与λa的方向相反
B.a与λ2a的方向相同
C.|-λa|≥|a|
D.|-λa|≥|λ|·a
【解析】选B.对于A,当λ>0时,a与λa的方向相同,当λ<0时,a 与λa的方向相反.B正确;对于C,|-λa|=|-λ||a|,由于|-λ|的大小不确定,故|-λa|与|a|的大小关系不确定;对于D,|λ|a是向量,而|-λa|表示长度,两者不能比较大小.
3.(2018·威海模拟)设a,b不共线,=2a+p b,=a+b,=a-2b,若A,B,D三点共线,则实数p的值为( )
A.-2
B.-1
C.1
D.2
【解析】选 B.因为=a+b,=a-2b,所以=+=2a-b.又因为
A,B,D三点共线,所以,共线.设=λ,所以2a+p b=λ(2a-b),所以2=2λ,p=-λ,即λ=1,p=-1.
【变式备选】已知向量a,b,且=a+2b,=-5a+6b,=7a-2b,则一定共线的三点是 ( )
A.B,C,D
B.A,B,C
C.A,B,D
D.A,C,D
【解析】选C.因为=+=-5a+6b+7a-2b=2a+4b=2(a+2b)=2,所以A,B,D三点共线.
4.设平行四边形ABCD的对角线交于点P,则下列命题中正确的个数是
( )
①=+;②=(+);③=-;④=.
A.1
B.2
C.3
D.4
【解析】选 C.因为由向量加法的平行四边形法则,知
①=+,②= (+)都是正确的,由向量减法的三角形
法则,知③=
-
是正确的,因为
,
的大小相同,方向相反,
所以④
=
是错误的.
【变式备选】如图所示,已知=2
,
=a ,
=b ,
=c ,则下列等式
中成立的是
( )
A.c =b - a
B.c =2b -a
C.c =2a -b
D.c =a -b 【解析】选A.由
=2
得
+=2(+),即2=-+3,即c =b -a .
5.在△ABC 中,D,E,F 分别是AB,BC,AC 的中点,则= ( )
A.+
B.+
C.
+
D.
+
【解析】选 D.如图,因为=
,又因为
=
+,所以
=
+
.
6.如图所示,矩形ABCD 的对角线相交于点O,E 为AO 的中点,若
=λ
+μ(λ,μ为实数),则λ2+μ2= ( )
A. B. C.1 D.
【解析】选A.=+=+=+(+)=-,
所以λ=,μ=-,故λ2+μ2=.
7.如图,在直角梯形ABCD中,AB=2AD=2DC,E为BC边上一点,=3,F 为AE的中点,则= ( )
A.-
B.-
C.-+
D.-+
【解析】选C.方法一:如图,取AB的中点G,连接DG,CG,则易知四边
形DCBG为平行四边形,所以==-=-,所以
=+=+=+ (-)=+,于是
=-=-=-= -+.
方法二:=+=+
=-+(++)
=-+(++)
=-+++(++)
=-+.
二、填空题(每小题5分,共15分)
8.给出下列四个命题:
①若a+b与a-b是共线向量,则a与b也是共线向量;
②若|a|-|b|=|a-b|,则a与b是共线向量;
③若|a-b|=|a|+|b|,则a与b是共线向量;
④若||a|-|b||=|a|+|b|,则b与任何向量都共线.
其中为真命题的有________(填上序号).
【解析】由向量的平行四边形法则知道,若a+b与a-b是共线向量,则必有a与b也是共线向量.所以①是真命题;若|a|-|b|=|a-b|,则a 与b同向,或b是零向量或a,b均为零向量,所以a与b是共线向量,所以②是真命题;若|a-b|=|a|+|b|,则a与b方向相反,或a,b中至少有一个零向量,所以a与b是共线向量,所以③是真命题;当a是零向量,b是非零向量时,||a|-|b||=|a|+|b|成立,而b不能与任何向量都共线,所以④是假命题.
答案:①②③
9.直线l上有不同三点A,B,C,O是直线l外一点,对于向量=(1-c os α)+
sin α(α是锐角)总成立,则α=________.
【解析】因为直线l上有不同三点A,B,C,所以存在实数λ,使得
=λ,所以-=λ(-),
即=+λ,
所以所以sin α=cos α,因为α是锐角,所以α=45°.
答案:45°
10.设e1,e2是两个不共线的向量,已知
=2e1+k e2,=e1+3e2,=2e1-e2,若A,B,D三点共线,则实数k的值为________.
【解析】因为=2e1+k e2,
=-=(2e1-e2)-(e1+3e2)
=e1-4e2,
由A,B,D三点共线,得∥,
所以2e1+k e2=λ(e1-4e2),
所以则k=-8.
答案:-8
【变式备选】若点O是△ABC所在平面内的一点,且满足|-|=|+-2|,则△ABC的形状为________.
【解析】
+-2=(-)+(-)=+,-==-,
所以|+|=|-|,故A,B,C为矩形的三个顶点,△ABC为直角三角形.
答案:直角三角形
1.(5分)已知a,b是非零向量,则“a与b不共线”是“|a+b|<|a|+|b|”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
【解析】选A.若“a与b不共线”,由向量加法的几何意义知|a|,|b|构成的两边之和大于|a+b|构成的第三边,即“|a+b|<|a|+|b|”;若非零向量a,b反向共线,显然|a+b|<|a|+|b|成立,但“a与b不共线”不成立.
2.(5分)若点M是△ABC所在平面内的一点,且满足5=+3,则△ABM与
△ABC的面积比为( )
A. B. C. D.
【解析】选C.如图,设AB的中点为D.由5=+3,得3
-3=2-2,所以=,所以C,M,D三点共线,且= ,所以△ABM与△ABC公共边AB上的两高之比为3∶5,则△ABM与△ABC
的面积比为.
【变式备选】P是△ABC内的一点,=(+),则△ABC的面积与△ABP的面积之比为( )
A.2
B.3
C.
D.6
【解析】选B.由=(+),得3=+,
所以++=0,P是△ABC的重心.
所以△ABC的面积与△ABP的面积之比为3.
3.(5分)O是平面上一定点,A,B,C是平面上不共线的三个点,动点P
满足: =+λ(+),λ∈[0,+∞),则P的轨迹一定通过△ABC的
( ) A.外心 B.内心
C.重心
D.垂心
【解析】选B.作∠BAC的平分线AD.
因为=+λ,
所以=λ=λ′·(λ′∈[0,+∞)),
所以=·,
所以∥.
所以P的轨迹一定通过△ABC的内心.
4.(12分)(2018·龙岩模拟)已知△ABC的外接圆O的半径为5,AB=6,若=+,求||的最小值.
【解析】设AB中点为D,连接OD,则OD⊥AB,AD=AB=3,OA=5,所以
OD==4,=(+),
所以CH=||=|+|=2OD=8,又OC=5,
当O,C,H三点共线时,OH取得最小值3.
5.(13分)经过△OAB的重心G的直线与OA,OB分别交于点P,Q,设=
m,=n,m,n∈R+,求m+n的最小值.
【解析】设=a,=b,由题意知=×(+)=(a+b),
=-=n b-m a,
=-=a+b,
由P,G,Q三点共线得,存在实数λ,使得=λ,即
n b-m a=λa+λb,
从而消去λ得+=3.
于是m+n=(m+n)
=≥(2+2)=.
当且仅当m=n=时,m+n取得最小值.
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