高一数学充要条件(1)教案(20190314221609)
高一数学教案充要条件
高一数学教案充要条件教材：充要条件(1)目的：通过实例要求学生明白得充分条件、必要条件、充要条件的意义，并能够初步判定给定的两个命题之间的关系。
过程：一、复习：写出以下命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判定它们的真假：1) 假设x>0那么x2>0；2) 假设两个三角形全等，那么两三角形的面积相等；3) 等腰三角形两底角相等；4) 假设x2=y2那么x=y。
〔解答略〕二、给出推断符号，紧接着给出充分条件、必要条件、充要条件的意义1．由上例一：由x>0，通过推理可得出x2>0记作：x>0 ⇒x2>0 表示x>0是x2>0的充分条件即：只要x>0成立x2>0就一定成立x>0包蕴着x2>0；同样表示：x2>0是x>0的必要条件。
一样：假设p那么q, 记作p⇒q其中p是q的充分条件, q是p的必要条件明显：x2>0 ⇒x>0 我们讲x2>0不是x>0的充分条件x>0也不是x2>0的必要条件由上例二：两个三角形全等⇒两个三角形面积相等明显, 逆命题两个三角形面积相等⇒两个三角形全等∴我们讲：两个三角形全等是两个三角形面积相等的充分不必要条件两个三角形面积相等是两个三角形全等的必要不充分条件由上例三：三角形为等腰三角形⇔三角形两底角相等我们讲三角形为等腰三角形是三角形两底角相等的充分且必要条件，这种既充分又必要条件，称为充要条件。
由上例四：明显x2=y2⇐x=yx2=y2是x=y的必要不充分条件；x=y是x2=y2的充分不必要条件。
三、小结：要判定两个命题之间的关系，关键是用什么样的推断符号把两个命题联结起来。
四、例一：〔课本P34例一〕例二：〔课本P35-36 例二〕练习P35 、P36五、作业：P36-37 习题1.8。
高中数学-充要条件教案
教学目标（1）正确理解充分条件、必要条件和充要条件的概念；（2）能正确判断是充分条件、必要条件还是充要条件；（3）培养学生的逻辑思维能力及归纳总结能力；（4）在充要条件的教学中，培养等价转化思想．教学建议（一）教材分析1．知识结构首先给出推断符号“”，并引出充分条件与必要条件的意义，在此基础上讲述了充要条件的初步知识．2．重点难点分析本节的重点与难点是关于充要条件的判断．（1）充分但不必要条件、必要但不充分条件、充要条件、既不充分也不必要条件是重要的数学概念，主要用来区分命题的条件和结论之间的因果关系．（2）在判断条件和结论之间的因果关系中应该：①首先分清条件是什么，结论是什么；②然后尝试用条件推结论，再尝试用结论推条件．推理方法可以是直接证法、间接证法（即反证法），也可以举反例说明其不成立；③最后再指出条件是结论的什么条件．（3）在讨论条件和条件的关系时，要注意：①若，但，则是的充分但不必要条件；②若，但，则是的必要但不充分条件；③若，且，则是的充要条件；④若，且，则是的充要条件；⑤若，且，则是的既不充分也不必要条件．（4）若条件以集合的形式出现，结论以集合的形式出现，则借助集合知识，有助于充要条件的理解和判断．①若，则是的充分条件；显然，要使元素，只需就够了．类似地还有：②若，则是的必要条件；③若，则是的充要条件；④若，且，则是的既不必要也不充分条件．（5）要证明命题的条件是充要条件，就既要证明原命题成立，又要证明它的逆命题成立．证明原命题即证明条件的充分性，证明逆命题即证明条件的必要性．由于原命题逆否命题，逆命题否命题，当我们证明某一命题有困难时，可以证明该命题的逆否命题成立，从而得出原命题成立．（二）教法建议1．学习充分条件、必要条件和充要条件知识，要注意与前面有关逻辑初步知识内容相联系．充要条件中的，与四种命题中的，要求是一样的．它们可以是简单命题，也可以是不能判断真假的语句，也可以是含有逻辑联结词或“若则”形式的复合命题．2．由于这节课概念性、理论性较强，一般的教学使学生感到枯燥乏味，为此，激发学生的学习兴趣是关键．教学中始终要注意以学生为主，让学生在自我思考、相互交流中去结概念“下定义”，去体会概念的本质属性．3．由于“充要条件”与命题的真假、命题的条件与结论的相互关系紧密相关，为此，教学时可以从判断命题的真假入手，来分析命题的条件对于结论来说，是否充分，从而引入“充分条件”的概念，进而引入“必要条件”的概念．4．教材中对“充分条件”、“必要条件”的定义没有作过多的解释说明，为了让学生能理解定义的合理性，在教学过程中，教师可以从一些熟悉的命题的条件与结论之间的关系来认识“充分条件”的概念，从互为逆否命题的等价性来引出“必要条件”的概念．充要条件教学目标：（1）正确理解充分条件、必要条件和充要条件的概念；（2）能正确判断是充分条件、必要条件还是充要条件；（3）培养学生的逻辑思维能力及归纳总结能力；（4）在充要条件的教学中，培养等价转化思想．教学重点难点：关于充要条件的判断教学用具：幻灯机或实物投影仪教学过程设计1．复习引入练习：判断下列命题是真命题还是假命题（用幻灯投影）：（1）若，则；（2）若，则；（3）全等三角形的面积相等；（4）对角线互相垂直的四边形是菱形；（5）若，则；（6）若方程有两个不等的实数解，则．（学生口答，教师板书．）（1）、（3）、（6）是真命题，（2）、（4）、（5）是假命题．置疑：对于命题“若，则”，有时是真命题，有时是假命题．如何判断其真假的？答：看能不能推出，如果能推出，则原命题是真命题，否则就是假命题．对于命题“若，则”，如果由经过推理能推出，也就是说，如果成立，那么一定成立．换句话说，只要有条件就能充分地保证结论的成立，这时我们称条件是成立的充分条件，记作．2．讲授新课（板书充分条件的定义．）一般地，如果已知，那么我们就说是成立的充分条件．提问：请用充分条件来叙述上述（1）、（3）、（6）的条件与结论之间的关系．（学生口答）（1）“，”是“”成立的充分条件；（2）“三角形全等”是“三角形面积相等”成立的充分条件；（3）“方程的有两个不等的实数解”是“”成立的充分条件．从另一个角度看，如果成立，那么其逆否命题也成立，即如果没有，也就没有，亦即是成立的必须要有的条件，也就是必要条件．（板书必要条件的定义．）提出问题：用“充分条件”和“必要条件”来叙述上述6个命题．（学生口答）．（1）因为，所以是的充分条件，是的必要条件；（2）因为，所以是的必要条件，是的充分条件；（3）因为“两三角形全等”“两三角形面积相等”，所以“两三角形全等”是“两三角形面积相等”的充分条件，“两三角形面积相等”是“两三角形全等”的必要条件；（4）因为“四边形的对角线互相垂直”“四边形是菱形”，所以“四边形的对角线互相垂直”是“四边形是菱形”的必要条件，“四边形是菱形”是“四边形的对角线互相垂直”的充分条件；（5）因为，所以是的必要条件，是的充分条件；（6）因为“方程的有两个不等的实根”“”，而且“方程的有两个不等的实根”“”，所以“方程的有两个不等的实根”是“”充分条件，而且是必要条件．总结：如果是的充分条件，又是的必要条件，则称是的充分必要条件，简称充要条件，记作．（板书充要条件的定义．）3．巩固新课例1 （用投影仪投影．）B A是B的什么条件B是的什么条件是有理数是实数、是奇数是偶数是4的倍数是6的倍数（学生活动，教师引导学生作出下面回答．）①因为有理数一定是实数，但实数不一定是有理数，所以是的充分非必要条件，是的必要非充分条件；②一定能推出，而不一定推出，所以是的充分非必要条件，是的必要非充分条件；③、是奇数，那么一定是偶数；是偶数，、不一定都是奇数（可能都为偶数），所以是的充分非必要条件，是的必要非充分条件；④表示或，所以是成立的必要非充分条件；（注：可编辑下载，若有不当之处，请指正，谢谢!）。
公开课充要条件教案
充要条件●教学目标（一）教学知识点（二）能力训练要求1．充要条件的概念．1．理解并掌握充要条件的概念．2．判断命题的条件的充要性的方法．2．掌握判断命题的条件的充要性的方法．3．把充要条件的思想自觉地运用到解题之中．3．培养学生简单的逻辑推理的思维能力．●教学重点1．理解充要条件的意义．2．命题条件的充要性判断．●教学难点命题条件的充要性判断．●教学过程Ⅰ．复习回顾1、什么是充分条件和必要条件?2、试判断下列命题的条件是结论成立的什么条件?（1）若a是无理数，则a＋5是无理数．（2）若a＞b，则a＋c＞b＋c．（3）若一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有两个不等的实根，则判别式Δ＞0．Ⅱ．讲授新课§1.2.2充要条件一般地，如果既有p⇒q，又有q⇒p，就记作：“p⇔q”，“⇔”叫做等价符号，“p⇔q”表示“p⇒q，且q⇒p”．这时p既是p的充分条件,又是q的必要条件,则p是q的充分必要条件，简称充要条件．命题（1）中因：a是无理数⇒a＋5是无理数，所以“a是无理数”是“a＋5是无理数”的充分条件；又因“a＋5是无整数⇒a是无理数”则“a是无理数”又是“a＋5是无理数”的必要条件，因此，“a是无理数”是“a＋5是无理数”的充分必要条件．命题（2）中因“a＞b⇒a＋c＞b＋c”，又有“a＋c＞b＋c⇒a＞b”，则“a＞b”是“a＋c＞b＋c”的充要条件．命题（3）中因：“一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有两个不等实根⇒Δ＞0”，又有“Δ＞0”⇒“一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有两个不等实根．”则“一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有两个不等实根”是“判断式Δ＞0”的充要条件．例1 下列各题中，哪些p是q的充要条件．（1）p：b＝0，q：f(x)＝ax2＋bx＋c是偶函数；（2）p：x＞0,y＞0，q：xy＞0；（3）p：a＞b，q：a＋c＞b＋c；（4）p：两直线平行；q：两直线的斜率相等.命题（1）中因“（x－2）（x－3）＝0⇒x＝2或x＝3x－2＝0”；而“x－2＝0⇒（x－2）（x－3）＝0”，所以p是q的必要而不充分条件．命题（2）中因“同位角相等⇔两直线平行”，所以p是q的充要条件．命题（3）中因“x＝3⇒x2＝9”，而“x2＝9”x＝3”，所以p是q的充分而不必要条件．命题（4）中因“四边形的对角线相等四边形是平行四边形，又因“四边形是平行四边形四边形的对角线相等．”所以p是q的既不充分又不必要条件．命题（5）中因：p：x32+x＝x2⇔x（32+x－x）＝0，解得x＝0或x＝3；q：2x＋3＝x2得x＝－1或x＝3．则有p q且q p．所以p是q的既不充分也不必要条件．由命题（5）可知：对复杂命题条件的判断，应先等价变形后，再进行推理判定．例2.已知p、q是r的必要条件，s是r 的充分条件，q是s的充分条件问：（1）s是q的什么条件？（2）r是q的什么条件？（3）p是q的什么条件？例3. p：x∈{x|－1<x<3}，q：x∈{x|a≤x≤a2+1 }，若p是q的充分条件，求a的取值范围.解由“x∈M或x∈P”可得“x∈P”，又由“x∈M∩P”可得：x∈{x｜2＜x＜3}．则由x∈P，即x∈{x｜x＜3} x∈{x｜2＜x＜3}．但由“x∈{x｜2＜x＜3}⇒x∈{x｜x＜3}，即x∈P．故“x∈M或x∈P”是“x∈M∩P”的必要而不充分条件．例4 求证|a|＋|b|＝|a＋b|的充要条件是ab≥0.分析：充分性即证：xy≥0⇒｜x＋y｜＝｜x｜＋｜y｜必要性即证：｜x＋y｜＝｜x｜＋｜y｜⇒xy≥0．证明：①充分性．若xy＝0，则有x＝0或y＝0或x＝0且y＝0．此时显然｜x＋y｜＝｜x｜＋｜y｜．若xy＞0，则x，y同号．当x＞0且y＞0时，｜x＋y｜＝x＋y＝｜x｜＋｜y｜．当x＜0且y＜0时，｜x＋y｜＝－x－y＝（－x）＋（－y）＝｜x｜＋｜y｜综上所述，xy≥0⇒｜x＋y｜＝｜x｜＋｜y｜．②必要性∵｜x＋y｜＝｜x｜＋｜y｜，且x，y∈R∴（x＋y）2＝（｜x｜＋｜y｜）2即x2＋2xy＋y2＝x2＋2｜x｜｜y｜·y2⇒xy＝｜xy｜⇒xy≥0．因此｜x＋y｜＝｜x｜＋｜y｜⇒xy≥0．故xy≥0⇔｜x＋y｜＝｜x｜＋｜y｜．评述：证明“p的充要条件是q”时，即等价于“q是p的充要条件”．也就是需证明充分性：q⇒p；必要性p⇒q不能颠倒证反”．注：本题也可用绝对值的概念证明：｜x＋y｜＝｜x｜＋｜y｜⇔｜x＋y｜2＝（｜x｜＋｜y｜）2⇔x2＋2xy＋y2＝x2＋2｜xy｜＋y2⇔｜xy｜＝xy⇔xy≥0．故xy≥0⇔｜x＋y｜＝｜x｜＋｜y｜例5、已知圆o的半径是r，圆心o到直线l的距离为d.求证：d=r是直线l与圆o相切的充要条件.课堂小结：1.p是q的充分条件包括两种可能，即p是q的充分不必要条件或p是q的充要条件；同样，p是q的必要条件也包括两种可能，即p是q的必要不充分条件或p是q的充要条件.2.关于充要条件命题的证明，一般分充分性和必要性两个方面进行，其中由条件推出结论就是充分性，由结论推出条件就是必要性.3.充要条件是一种等价关系，许多数学问题的求解，就是求结论成立的充要条件. 在判断p 是q 的什么条件时，要“正逆互推，注意特例”.充要条件作业1、指出下列各组命题中，p 是q 的什么条件．（在“①充分而不必要条件”“②必要而不充分条件”“③充要条件”“④既不充分又不必要条件”中选出一种）?填写序号（1）p ：（x －2）（x －3）＝0，q ：x －2＝0（2）p ：同位角相等，q ：两直线平行．（3）p ：x ＝3，q ：x 2＝q ．（4）p ：四边形的对角线相等，q ：四边形是平行四边形．（5）p ：x 2＝3x+4，q ：x ＝4x 3+答案: (1) ____________(2)____________ (3) ___________ (4) ___________ (5)______________2、设集合M ＝{x ｜x ＞2}，P ＝{x ｜x ＜3＝，则“x ∈M 或x ∈P ”是“x ∈M ∩P ”的什么条件?3、若已知A 是B 的充分条件，C 是D 的必要条件，而B 是D 的充要条件，则D 是C 的_______条件；D 是A 的__________条件；A 是C 的__________条件，D 是B 的__________条件．4、已知p ：｜5x －2｜＞3，q ：5412-+x x ＞0．则⌝p 是⌝q 的什么条件?解：⌝p ：｜5x －2｜≤3，即：－51≤x ≤1⌝q ：－5≤x ≤1，则⌝p ⇒⌝q ；而⌝q p ．则⌝p 是⌝q 的充分而不必要条件．评述：要注意准确把握一个命题的否定．特别是不等式所表示的区域的否定，在命题的条件的确定中常用．5、证明：三角形ABC 三边为a,b,c, 三角形ABC 是等边三角形的充要条件是a 2+b 2+c 2=ab+ac+bc---精心整理，希望对您有所帮助。
新教材】14充分条件与必要条件教学设计(1)-人教A版高中数学必修第一册
新教材】14充分条件与必要条件教学设计(1)-人教A版高中数学必修第一册第一章集合与常用逻辑用语1.4充分条件与必要条件本课是高中数学第一章第4节，充要条件是中学数学中最重要的数学概念之一，它主要讨论了命题的条件与结论之间的逻辑关系,目的是为今后的数学研究特别是数学推理的研究打下基础。
从学生研究的角度看，与旧教材相比，教学时间的前置，造成学生在研究充要条件这一概念时的知识储备不够丰富，逻辑思维能力的训练不够充分，这也为教师的教学带来一定的困难．“充要条件”这一节介绍了充分条件,必要条件和充要条件三个概念,由于这些概念比较抽象,中学生不易理解,用它们去解决具体问题则更为困难,因此”充要条件”的教学成为中学数学的难点之一,而必要条件的定义又是本节内容的难点.课程目标A.正确理解充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件的概念；B.会判断命题的充分条件、必要条件、充要条件．C.通过研究，使学生明白对条件的判定应该归结为判断命题的真假.D.在观察和思考中，在解题和证实题中。
培养学生思维能力的严密性品质．学科素养1.数学抽象：充分条件、需要条件、充要条件的寄义；2.逻辑推理：判断命题的充分条件、需要条件、充要条件；3.直观想象：对条件的判定应该归结为判断命题的真假。
1.教学重点：理解充分条件、必要条件、充要条件的意义，掌握命题条件的充要性判断及其证明方法；2.教学难点：命题条件充要性的判断及其证明。
多媒体教学过程一、情景引入，温故知新情景1：如图所示电路中(整个电路及灯泡一切正常)。
记p:闭合开关A。
q:灯泡亮。
请把这个电路图改写为“若p，则q”形式的命题并判断真假。
落实中心素养目标通过初中所学及实例，让学生感知、了解，进而概括出充分条件与必要条件的寄义。
进步学生用数学抽象的思维体式格局思考并解决问题的能力。
谜底】真命题情景2：记p:x。
2.q:x。
0.判断命题“若x。
2，则x。
0”的真假。
谜底】真命题二、探索新知通过命题真假的判探究一充分条件与必要条件的含义定，归纳出充分条1.思考:下列“若P，则q”形式的命题中，哪些是真命题？哪些是假件、必要条件的含义。
[教学设计]公开课充要条件教案
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充要条件●教学目标（一）教学知识点（二）能力训练要求1．充要条件的概念．1．理解并掌握充要条件的概念．2．判断命题的条件的充要性的方法．2．掌握判断命题的条件的充要性的方法．3．把充要条件的思想自觉地运用到解题之中．3．培养学生简单的逻辑推理的思维能力．●教学重点1．理解充要条件的意义．2．命题条件的充要性判断．●教学难点命题条件的充要性判断．●教学过程Ⅰ．复习回顾1、什么是充分条件和必要条件?2、试判断下列命题的条件是结论成立的什么条件?（1）若a是无理数，则a＋5是无理数．（2）若a＞b，则a＋c＞b＋c．（3）若一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有两个不等的实根，则判别式Δ＞0．Ⅱ．讲授新课§1.2.2充要条件一般地，如果既有p⇒q，又有q⇒p，就记作：“p⇔q”，“⇔”叫做等价符号，“p⇔q”表示“p⇒q，且q⇒p”．这时p既是p的充分条件,又是q的必要条件,则p是q的充分必要条件，简称充要条件．命题（1）中因：a是无理数⇒a＋5是无理数，所以“a是无理数”是“a＋5是无理数”的充分条件；又因“a＋5是无整数⇒a是无理数”则“a是无理数”又是“a＋5是无理数”的必要条件，因此，“a是无理数”是“a＋5是无理数”的充分必要条件．命题（2）中因“a＞b⇒a＋c＞b＋c”，又有“a＋c＞b＋c⇒a＞b”，则“a＞b”是“a＋c＞b＋c”的充要条件．命题（3）中因：“一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有两个不等实根⇒Δ＞0”，又有“Δ＞0” ⇒“一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有两个不等实根．”则“一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有两个不等实根”是“判断式Δ＞0”的充要条件．例1 下列各题中，哪些p是q的充要条件．（1）p：b＝0，q：f(x)＝ax2＋bx＋c是偶函数；（2）p：x＞0,y＞0，q：xy＞0；（3）p：a＞b，q：a＋c＞b＋c；（4）p：两直线平行；q：两直线的斜率相等.命题（1）中因“（x－2）（x－3）＝0⇒x＝2或x＝3x－2＝0”；而“x－2＝0⇒（x－2）（x－3）＝0”，所以p是q的必要而不充分条件．命题（2）中因“同位角相等⇔两直线平行”，所以p是q的充要条件．命题（3）中因“x＝3⇒x2＝9”，而“x2＝9”x＝3”，所以p是q的充分而不必要条件．命题（4）中因“四边形的对角线相等四边形是平行四边形，又因“四边形是平行四边形四边形的对角线相等．”所以p是q的既不充分又不必要条件．命题（5）中因：p：x32+x＝x2⇔x（32+x－x）＝0，解得x＝0或x＝3；q：2x＋3＝x2得x＝－1或x＝3．则有p q且q p．所以p是q的既不充分也不必要条件．由命题（5）可知：对复杂命题条件的判断，应先等价变形后，再进行推理判定．例2.已知p、q是r的必要条件，s是r 的充分条件，q是s的充分条件问：（1）s是q的什么条件？（2）r是q的什么条件？（3）p是q的什么条件？例3. p：x∈{x|－1<x<3}，q：x∈{x|a≤x≤a2+1 }，若p是q的充分条件，求a的取值范围.解由“x∈M或x∈P”可得“x∈P”，又由“x∈M∩P”可得：x∈{x｜2＜x＜3}．则由x∈P，即x∈{x｜x＜3} x∈{x｜2＜x＜3}．但由“x∈{x｜2＜x＜3}⇒x∈{x｜x＜3}，即x∈P．故“x∈M或x∈P”是“x∈M∩P”的必要而不充分条件．例4 求证|a|＋|b|＝|a＋b|的充要条件是ab≥0.分析：充分性即证：xy≥0⇒｜x＋y｜＝｜x｜＋｜y｜必要性即证：｜x＋y｜＝｜x｜＋｜y｜⇒xy≥0．证明：①充分性．若xy＝0，则有x＝0或y＝0或x＝0且y＝0．此时显然｜x＋y｜＝｜x｜＋｜y｜．若xy＞0，则x，y同号．当x＞0且y＞0时，｜x＋y｜＝x＋y＝｜x｜＋｜y｜．当x＜0且y＜0时，｜x＋y｜＝－x－y＝（－x）＋（－y）＝｜x｜＋｜y｜综上所述，xy≥0⇒｜x＋y｜＝｜x｜＋｜y｜．②必要性∵｜x＋y｜＝｜x｜＋｜y｜，且x，y∈R∴（x＋y）2＝（｜x｜＋｜y｜）2即x2＋2xy＋y2＝x2＋2｜x｜｜y｜·y2xy＝｜xy｜⇒xy≥0．因此｜x＋y｜＝｜x｜＋｜y｜⇒xy≥0．故xy≥0⇔｜x＋y｜＝｜x｜＋｜y｜．评述：证明“p的充要条件是q”时，即等价于“q是p的充要条件”．也就是需证明充分性：q⇒p；必要性p⇒q不能颠倒证反”．注：本题也可用绝对值的概念证明：｜x＋y｜＝｜x｜＋｜y｜｜x＋y｜2＝（｜x｜＋｜y｜）2x2＋2xy＋y2＝x2＋2｜xy｜＋y2｜xy｜＝xyxy≥0．故xy≥0⇔｜x＋y｜＝｜x｜＋｜y｜例5、已知圆o的半径是r，圆心o到直线l的距离为d.求证：d=r是直线l与圆o相切的充要条件.课堂小结：1.p 是q 的充分条件包括两种可能，即p 是q 的充分不必要条件或p 是q 的充要条件；同样，p 是q 的必要条件也包括两种可能，即p 是q 的必要不充分条件或p 是q 的充要条件.2.关于充要条件命题的证明，一般分充分性和必要性两个方面进行，其中由条件推出结论就是充分性，由结论推出条件就是必要性.3.充要条件是一种等价关系，许多数学问题的求解，就是求结论成立的充要条件. 在判断p 是q 的什么条件时，要“正逆互推，注意特例”.充要条件作业1、指出下列各组命题中，p 是q 的什么条件．（在“①充分而不必要条件”“②必要而不充分条件”“③充要条件”“④既不充分又不必要条件”中选出一种）?填写序号（1）p ：（x －2）（x －3）＝0，q ：x －2＝0（2）p ：同位角相等，q ：两直线平行．（3）p ：x ＝3，q ：x 2＝q ．（4）p ：四边形的对角线相等，q ：四边形是平行四边形．（5）p ：x 2＝3x+4，q ：x ＝4x 3+答案: (1) ____________(2)____________ (3) ___________ (4) ___________ (5)______________2、设集合M ＝{x ｜x ＞2}，P ＝{x ｜x ＜3＝，则“x ∈M 或x ∈P ”是“x ∈M ∩P ”的什么条件?3、若已知A 是B 的充分条件，C 是D 的必要条件，而B 是D 的充要条件，则D 是C 的_______条件；D 是A 的__________条件；A 是C 的__________条件，D 是B 的__________条件．4、已知p ：｜5x －2｜＞3，q ：5412-+x x ＞0．则⌝p 是⌝q 的什么条件?解：⌝p ：｜5x －2｜≤3，即：－51≤x ≤1q ：－5≤x ≤1，则⌝p ⇒⌝q ；而⌝q p ．则⌝p 是⌝q 的充分而不必要条件．评述：要注意准确把握一个命题的否定．特别是不等式所表示的区域的否定，在命题的条件的确定中常用．5、证明：三角形ABC 三边为a,b,c, 三角形ABC 是等边三角形的充要条件是 a 2+b 2+c 2=ab+ac+bc。
高中数学—充要条件教学设计--教案
充分条件和必要条件(教案)（第一课时）教学目标：知识目标：（1）理解充分、必要条件的概念；（2）初步掌握充分、必要条件的判断方法。
能力目标：培养学生的阅读理解能力、逻辑推理能力和归纳总结的能力。
情感目标：让学生感受“在生活中数学地思维”，增加对学习逻辑知识的兴趣和信心，克服畏惧感，激发求知欲。
教学重难点：教学重点：充要条件的概念和判断方法。
教学难点：理解充要条件的概念。
课型：新授课教学方法：讲练结合教学法（配合多媒体辅助教学手段）教具：多媒体、投影仪教学程序：1、复习旧知，引入新课首先，在导入阶段的教学中，回顾上节研究的命题的一般形式“若p则q”和其真假判断的方法，先向学生介绍真假命题的简记符号。
同时以命题“若x>0，则x2>0。
”和其逆命题“若x2>0，则x>0。
”为例让学生学习符号的使用。
在此基础上，让学生先分析下面的问题：（幻灯显示）[幻灯显示]例1、判断下列命题的真假，并研究其逆命题的真假（用p与q的相互推出符号表示你的判断）。
p q（1）若x>2，则x>1。
（2）若两三角形面积相等，则这两个三角形全等。
（3）若三角形有两角相等，则它是等腰三角形（4）若a2>b2，则a>b。
教师在学生回答的基础上，结合（1）、（2）两个命题，分析引出对“充分的”和“必要的”这两个词汇的感性认识：首先，在原命题中研究前者对后者的制约程度：比如（1）中，p能推出q，表明要得到结论q，有了条件p就足够了，也就是说条件p 对于结论q是“充分的”。
在（2）中，p不能推出q，表明条件p对于结论q是“不充分的”。
其次，在逆命题中研究后者对前者的依赖程度：比如（2）中，p不能推出q，但p能被q推出，这说明p对于q又是一种什么样的联系呢？作出分析：命题（2）中，两三角形面积相等不能说明两三角形必然全等，但是，如果两三角形的面积不相等，则两三角形会全等吗？不会。
为什么？因为如果两三角形全等，则两三角形的面积是必然相等的。
高中教案数学充要条件
高中教案数学充要条件
教学目标：
1. 理解充要条件的定义和性质；
2. 掌握利用充要条件解决问题的方法。
教学重点：
1. 充要条件的概念；
2. 充要条件在证明和问题解决中的应用。
教学难点：
1. 理解充要条件与充分条件的区别；
2. 运用充要条件解决实际问题。
教学准备：
1. 教师准备教材《高中数学》教材相关内容；
2. 准备教学课件、黑板、粉笔等教学工具。
教学过程：
一、导入（5分钟）
教师通过实例引入充要条件的概念，让学生体会充要条件在数学中的重要性。
二、讲解（15分钟）
1. 教师讲解充要条件的定义、性质和特点；
2. 举例说明充要条件在数学中的应用；
3. 针对充要条件与充分条件之间的区别进行详细解释。
三、练习（20分钟）
学生进行课堂练习，巩固充要条件的理解与应用能力。
四、总结（5分钟）
教师对本节课内容进行简要总结，并强调充要条件在数学中的重要性。
五、作业布置（5分钟）
布置相关作业，巩固学生对充要条件的理解与掌握。
六、课后辅导（根据需要）
老师可根据学生的实际情况进行课后辅导，解答学生的疑问并巩固学生的学习成果。
高一数学上册《充分条件必要条件》教案、教学设计
1.创设情境，引入概念：
在教学中，通过生活中的实例或数学问题，引导学生发现充分条件和必要条件的概念。例如，探讨“下雨”和“地面湿润”之间的关系，让学生理解充分条件和必要条件的内涵。
2.深入剖析，理解概念：
采用讲解、举例、讨论等方式，帮助学生深入理解充分条件和必要条件的定义。通过对比、分析，让学生掌握充分必要条件的判定方法，以及与其他逻辑关系的区别。
（3）分享成果：各小组分享讨论成果，共同总结判断充分条件和必要条件的方法。
（四）课堂练习
1.教学活动设计：
在课堂练习阶段，我将设计具有层次性的练习题，让学生在实际问题中运用充分条件和必要条件。
2.教学过程：
（1）布置练习题：包括基本概念题、应用题和拓展题，让学生逐步提高解题能力。
（2）学生独立完成练习题，教师巡回指导，解答学生疑问。
鼓励学生开展小组讨论、合作学习，共同解决与充分条件和必要条件相关的问题。培养学生的合作精神和沟通能力，提高学习效果。
6.反馈评价，激励进步：
教学过程中，关注学生的学习反馈，及时评价学生的课堂表现。通过鼓励、表扬等方式，激发学生的学习兴趣，提高学生的自信心。
7.总结反思，提高认知：
在教学结束时，引导学生总结所学内容，反思学习过程中的困惑和收获。帮助学生建立知识体系，提高对充分条件和必要条件的认识。
高一数学上册《充分条件必要条件》教案、教学设计
一、教学目标
（一）知识与技能
1.理解充分条件的定义，掌握充分条件的表示方法，能够判断一个条件是否为另一个条件的充分条件。
2.理解必要条件的定义，掌握必要条件的表示方法，能够判断一个条件是否为另一个条件的必要条件。
3.掌握充分必要条件的概念，理解其与其他逻辑关系的联系与区别。
充要条件教学设计方案
一、教学目标1. 知识目标：使学生掌握充要条件的概念，理解充要条件的性质和判断方法。
2. 能力目标：培养学生运用充要条件进行逻辑推理的能力，提高学生的数学思维能力。
3. 情感目标：激发学生对数学的兴趣，培养学生严谨的数学态度。
二、教学重难点1. 教学重点：充要条件的概念、性质和判断方法。
2. 教学难点：充要条件的判断和应用。
三、教学过程1. 导入新课（1）回顾上节课所学内容，引导学生思考如何判断两个命题之间的关系。
（2）引出本节课主题：充要条件。
2. 新课讲解（1）介绍充要条件的概念：若命题A是命题B的充要条件，则A和B同时成立或同时不成立。
（2）讲解充要条件的性质：①自反性：A是A的充要条件。
②对称性：若A是B的充要条件，则B也是A的充要条件。
③传递性：若A是B的充要条件，B是C的充要条件，则A是C的充要条件。
（3）讲解充要条件的判断方法：①直接法：根据定义判断两个命题是否为充要条件。
②间接法：通过否定、逆否、等价等手段判断两个命题是否为充要条件。
3. 课堂练习（1）完成教材中的例题，巩固所学知识。
（2）学生之间互相出题，进行小组讨论，提高解题能力。
4. 课堂小结（1）回顾本节课所学内容，总结充要条件的概念、性质和判断方法。
（2）强调充要条件在数学证明中的应用。
5. 作业布置（1）完成教材中的课后习题。
（2）课后思考：充要条件在实际生活中的应用。
四、教学评价1. 课堂表现：观察学生在课堂上的参与程度、提问和回答问题的情况。
2. 作业完成情况：检查学生完成作业的情况，了解学生对本节课内容的掌握程度。
3. 课后反馈：通过课后作业和课堂提问，了解学生对充要条件的理解和应用能力。
五、教学反思本节课通过讲解充要条件的概念、性质和判断方法，使学生掌握了充要条件的基本知识。
在教学过程中，要注意以下几点：1. 注重学生对充要条件的理解，避免死记硬背。
2. 通过实例讲解，使学生了解充要条件在实际生活中的应用。
3. 加强课堂练习，提高学生的解题能力。
高中高一数学上册《充分条件必要条件》教案、教学设计
3.小组合作：各小组选择一个实际问题，分析其中的充分必要条件，并撰写一份分析报告，报告内容应包括问题背景、分析过程、结论及解题方法。
4.拓展阅读：阅读与充分条件和必要条件相关的数学故事或数学家传记，了解充分必要条件在数学发展史上的重要作用，下节课与同学们分享你的阅读心得。
（二）教学设想
1.采用情境教学法，引入生活中的实例，让学生在具体情境中感受充分条件和必要条件的概念。例如，通过分析“下雨”和“地面湿润”之间的关系，引导学生理解充分必要条件的内涵。
2.利用问题驱动法，设计具有挑战性的问题，激发学生的探究欲望。在教学过程中，教师可以设置一系列由浅入深的问题，引导学生逐步掌握充分必要条件的判断和应用。
（二）过程与方法
1.掌握从特殊到一般、从具体到抽象的思考方法，提高逻辑思维能力。
2.学会运用逻辑推理，分析问题中的因果关系，培养解决问题的能力。
3.学会与同伴合作，倾听他人意见，提高沟通与协作能力。
4.能够运用数学语言准确表达自己的思考，提高数学表达能力。
（三）情感态度与价值观
1.培养学生对数学学习的兴趣，激发学生的学习热情。
6.培养学生的自主学习能力，鼓励学生在课后进行拓展学习。教师可以推荐相关资料和习题，让学生在课后进行自我巩固和提升。
7.关注学生的个体差异，实施差异化教学。针对不同学生的学习需求，教师可以设置不同难度的题目，使每个学生都能在课堂上得到有效的提升。
8.融入数学文化，提高学生的数学素养。在教学过程中，教师可以适时介绍充分必要条件在数学发展史上的地位和作用，激发学生对数学的兴趣。
4.学生在合作学习方面，可能存在沟通不畅、分工不明确的问题。教师需引导学生学会倾听、表达和协作，使学生在合作中共同进步。
《充要条件》教案正式版
《充要条件》教案(一)教学目标1.知识与技能目标：（１）正确理解充要条件的定义,了解充分而不必要条件, 必要而不充分条件, 既不充分也不必要条件的定义．（２）正确判断充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件、既不充分也不必要条件.（３）通过学习，使学生明白对条件的判定应该归结为判断命题的真假,．2.过程与方法目标：在观察和思考中，在解题和证明题中，培养学生思维能力的严密性品质．3. 情感、态度与价值观：激发学生的学习热情，激发学生的求知欲，培养严谨的学习态度，培养积极进取的精神．（二）教学重点与难点重点：1、正确区分充要条件；2、正确运用“条件”的定义解题难点：正确区分充要条件．教具准备：与教材内容相关的资料。
教学设想：在观察和思考中，在解题和证明题中，培养学生思维能力的严密性品质．（三）教学过程学生探究过程：1.思考、分析已知p：整数a是2的倍数；q：整数a是偶数.请判断： p是q的充分条件吗？p是q的必要条件吗？分析：要判断p是否是q的充分条件，就要看p能否推出q，要判断p是否是q的必要条件，就要看q能否推出p．易知：p⇒q，故p是q的充分条件；又q ⇒ p，故p是q的必要条件．此时,我们说, p是q的充分必要条件２.类比归纳一般地,如果既有p⇒q ，又有q⇒p 就记作 p ⇔ q.此时,我们说,那么p是q的充分必要条件,简称充要条件.显然,如果p是q的充要条件,那么q 也是p的充要条件.概括地说,如果p ⇔ q,那么p 与 q互为充要条件.3.例题分析例1：下列各题中，哪些p是q的充要条件？（１）p:b＝0,q:函数f(x)＝ax2＋bx＋c是偶函数；（２）p:x ＞ 0,y ＞ 0,q: xy＞ 0；（３）p: a ＞ b ,q: a + c ＞ b + c；（４）p:x ＞ 5, ,q: x ＞ 10（５）p: a ＞ b ,q: a2＞ b2分析：要判断p是q的充要条件，就要看p能否推出q，并且看q能否推出p．解：命题（１）和（３）中，p⇒q ，且q⇒p，即p ⇔ q，故p 是q的充要条件；命题（２）中，p⇒q ,但q ≠>p，故p 不是q的充要条件；命题（４）中，p≠>q ，但q⇒p，故p 不是q的充要条件；命题（５）中，p≠>q ，且q≠>p，故p 不是q的充要条件；４．类比定义一般地，若p⇒q ,但q ≠>p，则称p是q的充分但不必要条件；若p≠>q，但q ⇒p，则称p是q的必要但不充分条件；若p≠>q，且q ≠>p，则称p是q的既不充分也不必要条件．在讨论p是q的什么条件时，就是指以下四种之一：①若p⇒q ,但q ≠>p，则p是q的充分但不必要条件；②若q⇒p，但p ≠>q，则p是q的必要但不充分条件；③若p⇒q，且q⇒p，则p是q的充要条件；④若p ≠>q，且q ≠>p，则p是q的既不充分也不必要条件．５．巩固练习：P14 练习第 1、2题说明：要求学生回答p是q的充分但不必要条件、或 p是q的必要但不充分条件、或p是q 的充要条件、或p是q的既不充分也不必要条件．６．例题分析例2：已知：⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d．求证：d＝r是直线l与⊙O相切的充要条件．分析：设p：d＝r，q：直线l与⊙O相切．要证p是q的充要条件，只需要分别证明充分性（p⇒q）和必要性（q⇒p）即可．证明过程略．例3、设p是r的充分而不必要条件，q是r的充分条件，r成立，则s成立．s是q的充分条件，问（1）s是r的什么条件？（2）p是q的什么条件？７．教学反思：充要条件的判定方法如果“若p，则q”与“若p则q”都是真命题，那么p就是q的充要条件，否则不是．８．作业：P1４：习题1.2A组第1(3)(2),2(3),3题。
【充要条件教案】
充要条件教案1、设计思想：新的课程标准指出：数学课程应面向全体学生，促进学生获得数学素养的培养和进步；逐步形成数学观念和数学意识．这与建构主义教学观相吻合．本节课正是基于这样的理念，通过创设丰富的问题情境，引导学生主动探究，强调学生的主体性，使学生实现知识的建构，培养学生“用数学〞的意识．在教学中尽量多地让学生亲身体验在“主动〞中开展，在“合作〞中增知，在“探究〞中创新．2、教材分析：教科书结合实例给出推断符号“⇒〞和等价符号“⇔〞，并引出充分条件、必要条件与充要条件的概念．它们是研究命题的条件与结论之间的逻辑关系的重要工具，是中学数学中最重要的数学概念之一．在“充分条件与必要条件〞这节内容前，教材安排了“命题及其关系〞作为必要的知识铺垫，并把充分、必要条件的定义安排在第一课时，第二课时学习充要条件．学习本节，要注意与前面有关逻辑初步知识内容的联络，本节所讲的充分条件、必要条件与充要条件中的p、q与四种命题中的p、q内容是一致的，即它们可以是简单命题，可以是不能判断真假的语句，也可以是“假设p那么q〞形式的复合命题，但本节中，一般只要求p、q是简单命题，而不作更深的讨论．新的国家标准规定：符号“⇒〞叫做推断符号．“qp⇒〞表示“假设p那么q〞，也表示“p蕴含q〞，有时也用“qp→〞，“qq⇐〞．p⇒〞还可写成“p符号“⇔〞叫做等价符号．“qq⇒〞；也表示“p等价q〞．“qp⇔〞p⇔〞表示“qp⇒〞且“p有时也写成“qp↔〞．本节的重点与难点是关于充分条件、必要条件及充要条件的概念的理解和判断．〔1〕充分但不必要条件、必要但不充分条件、充要条件、既不充分也不必要条件是重要的数学概念，主要用来区分命题的条件和结论之间的因果关系．〔2〕在判断条件和结论之间的因果关系中应该：①首先分清条件是什么，结论是什么；②然后尝试用条件推结论，再尝试用结论推条件．推理方法可以是直接法、间接法〔即反证法〕，也可以举反例说明其不成立；③最后再指出条件是结论的什么条件．〔3〕在讨论条件和条件的关系时，要注意：①假设qp⇒，但q⇒/p，那么p是q的充分但不必要条件；②假设pq⇒，但p⇒/q，那么p是q的必要但不充分条件；③假设qq⇒，那么p是q的充要条件；p⇒，且p④假设p⇒/q，且q⇒/p，那么p是q的既不充分也不必要条件．〔4〕假设条件p以集合P的形式出现，结论q以集合Q的形式出现，那么借助集合知识，有助于充要条件的理解和判断．①假设QP⊂，那么P是Q的充分条件；②假设PQ⊂，那么P是Q的必要条件；③假设QP=，那么P是Q的充要条件；④假设QQ⊄，那么P是Q的既不充分也不必要条件．P⊄，且P〔5〕要证明命题的条件是充要条件，就既要证明原命题成立，又要证明它的逆命题成立．证明原命题即证明条件的充分性，证明逆命题即证明条件的必要性．由于原命题与逆否命题等价，当我们证明某一命题有困难时，可以证明该命题的逆否命题成立，从而得出原命题成立．3、学情分析：虽然经过初中及高一的学习，学生已经具备一定的逻辑推理才能，但学生在学习本节内容时的知识储藏仍不够丰富．这些概念较抽象，与学生原有的思维习惯有所差异，理解和掌握这些内容有一定难度．结合以往的教学理论，我估计学生会在以下几个方面的学习中存在困难：⑴假设qp⇒，为什么把q叫p的必要条件；⑵在判断p是q的什么条件时，学生知道要判断p是否是q的充分条件，但会“忘记〞还要判断p是否是q的必要条件．⑶在详细关系判断中，较难确定谁是条件p．为了打破难点，理顺知识间的逻辑关系，让学生能在比拟、识别中把握三个概念的内涵，教学中对这局部内容进展整合处理，第一课时完成三个定义的学习以及初步运用，第二课时进展拓展应用训练．基于本节内容特点，教学中通过师生对实例的考察研究，采用探究式教学法，通过师生互动来实现本节课的教学目的．对学生的要求，不可追求一步到位，要有一个随着学习的深化，逐步进步、完善的过程．4、教学目的：1．初步理解充分条件、必要条件与充要条件的概念，掌握几种根本类型的断定方法，纯熟利用“⇒〞解决详细问题.2．从实例探究中感知概念；从原命题及逆否命题的比照分析中形成概念；从发散练习题的构造中理解概念；从集合的角度深化概念；进步数学语言的运用才能和逻辑推断才能．3．在对命题的条件与结论间逻辑关系的探究中培养学生思维的严谨性；通过严格推理和证明的教学，形成实事求是的科学态度和锲而不舍的钻研精神，认识数学的科学价值和人文价值，从而进一步树立辩证唯物主义的世界观．5、重点难点：关于充分条件、必要条件及充要条件的概念的理解和判断．6、课前准备：由于这是充分条件与必要条件的概念课，文字信息量较普通的数学课要大得多，因此用软件自制课件，以简化老师板书工作，增加课堂教学的信息容量，保证学生的活动空间和思维空间，努力进步单位教学效益．7、教学过程：一、感知概念〔1〕课前准备工作时音乐欣赏?我是一只鱼?；提问：鱼离不开水，没有水，鱼就无法生存．但只有水，够吗？引导探究：p：“有水〞；q：“鱼能生存〞．判断“假设p，那么q〞和“假设q，那么p〞的真假．〔2〕练习：①写出命题“假设22b>，那么abx+a>〞的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真x2假；②写出命题“假设0ab，那么0=a〞的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假．=设计意图：从详细问题出发来引出数学概念更符合学生的认知规律．〔1〕〔2〕在这里起到承上启下的作用，既复习了前面所学知识，又找准了学生知识构造上的生长点，为后面充分条件和必要条件的学习做准备．〔3〕感知概念、引出课题问题：能否改变②的条件，使原命题变成真命题？设计意图：这题有较大的思维空间，不同层次的学生都能在这个问题上有不同层次的施展．以此让学生认识到命题中的条件与结论之间应该具备某种关系，为下面探究活动提出了问题，并引出课题．以上两题的解答可以发现有的命题真，有的命题假，即有的命题可以从条件推得结论，有的那么不能；而另外也有命题只要结论成立，就一定不能少了命题给出的条件，但是没有这个条件，结论不一定能成立．那么命题中的条件与结论到底有怎样的关系呢？这是本节课要讨论的问题——充分条件与必要条件．二、形成概念一般地，“假设p，那么q〞是真命题，是指由p通过推理可以得出q．这时，我们就说，由p 可推出q，记作“qp⇒〞．学生练习：用“⇒〞和“⇒/〞符号表示“感知概念〞中的〔1〕和〔2〕及其逆命题．设计意图：理解“⇒〞符号的含义，为引出定义奠定知识根底.通过研究原命题，对建立在学生原有认知程度上“充分〞这个感性化的词汇获得数学意义上的认识，引出充分条件的定义；通过研究逆否命题，又让学生理解了q是p成立的“必需要有〞的条件，引出必要条件的定义．设计意图：通过以上的实例使学生亲身感知概念的发生与形成过程，使充分、必要条件定义的引入顺理成章，水到渠成，帮助学生打破难点1．通过以上分析，师生共同给出充分、必要条件的定义.定义：“qp⇒〞，也就是条件p“足以〞保证或“充分〞保证结论q成立，这时我们说p是q 的充分条件〔sufficient condition〕；从命题的角度看，“qp⇒〞，根据逆否命题与原命题的等价性，既也就是假如没有q成立，就一定没有p成立，q成立是p成立“必需要有〞的前提条件，我们说q 是p的必要条件〔necessary condition〕.尝试初步运用，设计2个探究问题：①假如p是q的必要条件，那么应该有qq⇒？p⇒还是p②如何判断p是q的什么条件？设计意图：以问题的形式，帮助学生打破难点2，即如何判断p是q的什么条件．引导学生探究出结论，即：p可能q是的充分条件，也可能是必要条件．因此要判断能否有qp⇒或pq⇒．再回到前面的〔1〕和〔2〕进展理论操作．先判断p是q的什么条件，由学生完成，老师适当点评，之后再独立判断q是p的什么条件．设计意图：因为已经有了前面原命题、逆命题的真假判断，以及对推断符号的理解，当学生的视线再回到〔1〕和〔2〕时，他们的认识已螺旋式上升，到达一个新的高度，这样，〔1〕和〔2〕既可以加深对定义的理解，又帮助学生感受在详细问题中如何判断充要关系，解决问题的时候又可以发现新的知识点，学生完全可以独立归纳出充分非必要、必要非充分以及充要条件的定义．由学生在实例中发现，并自己给出充要条件的定义，更符合学生的认知规律．给出定义：一般地，假如既有q p ⇒，又有p q ⇒，就记作q p ⇔．此时，我们说，p 是q 的充分必要条件，简称充要条件〔sufficient and necessary condition 〕．显然，假如p 是q 充要条件，那么q 也是p 的充要条件．概括地说，假如q p ⇔，那么p 与q 互为充要条件．例1 完成下表判别步骤：①认清条件和结论；②考察是否有q p ⇒和p q ⇒，即原命题和逆命题的真假；③下结论． 由学生自行归纳总结：设计意图：在理解定义的根底上解决简单问题，同时归纳判断充要条件的方法与步骤，并强化判断时先要确定谁是条件p ,促进学生养成正确的思维习惯，帮助学生打破难点3. 同时例1也作为课内的操作评价，让学生充分暴露思维障碍，帮助老师理解学生获取知识的现状，以便调整教学节奏.三、理解概念为帮助学生充分理解概念，设计2道发散题： 例2 以下条件中哪些是0>+b a 的充分不必要条件？A.0,0>>b aB. 0,0<<b aC. 0,0<>b a 且||||b a >D.2,3-==b aE.b a ->F. 0,0><b a 且||||b a >设计意图：加强学生思维的灵敏性、分析问题的深化性．例3 请同学们分成四个小组，分别编写：充分非必要条件、必要非充分条件、充要条件和既不充分又不必要条件四种类型的题目．设计意图：给学生提供活动的时〔思维时间〕空〔思维空间〕，让主体主动构建自己的认知构造，通过分组交流、思辨，帮助学生深化理解并运用定义，同时让学生在这一过程中获得成功的喜悦．四、深化概念探究问题：假如p 表示某元素x 属于集合P ，q 表示该元素属于集合Q ，如何用集合间的关系理解“q p ⇒〞的含义？结论：⑴ “q p ⇒〞即：Q x P x ∈⇒∈，那么Q P ⊆⑵“q p ⇔〞即Q x P x ∈⇒∈且P x Q x ∈⇒∈，那么Q P =；. 通过前面的学习，学生可以初步理解充分、必要、充要条件的概念，再从集合角度对这三个概念加以分析，那么可以使学生更准确深化地理解其中的内涵.例4 写出1||>x 的一个必要不充分条件__________________________．设计意图：解决的关键首先是确定谁是定义中的条件p ，再用集合的观点画数轴解决．例4强化认清条件和结论的重要性，使学生学惯用集合的思想进展判断，更直观、快捷．例5 ：⊙O 的半径为r ，圆心O 到直线l 的间隔 为d ，求证：d =r 是直线l 与⊙O 相切的充要条件．分析：要证明命题的条件是充要条件，就既要证明原命题成立，又要证明它的逆命题成立．证明原命题即证明条件的充分性，证明逆命题即证明条件的必要性．设计意图：通过师生互动探究，进步数学语言的运用才能和逻辑推理才能．五、知识小结(1)定义：①假设q p ⇒，那么p 是q 的充分条件．〔p 可能会多余浪费〕 ②假设p q ⇒，那么p 是q 的必要条件．〔p 可能还缺乏以使q 成立〕 ③假设q p ⇔，那么p 是q 的充要条件．〔p 不多不少，恰到好处〕 (2)判别步骤：①找出p 、q ；②判断q p ⇒与p q ⇒的真假．③根据定义下结论．小结的重点是强化三个概念，以及在问题解决中推理判断的方法．通过小结，交融知识，深化理解.9、作业设计：〔1〕用符号“⇒〞和“⇒/〞填空：①22yx=；x=__________y②内错角相等__________两直线平行；③整数a能被6整除______a的个位数学为偶数；④ac=bc______a=b．〔2〕以下“假设p那么q〞形式的命题中，哪些命题中的p是q的充分条件？哪些命题中的p 是q的必要条件？①假设两条直线的斜率相等，那么这两条直线平行；②假设5>x．x，那么10>③假设a+5是无理数，那么a是无理数．④假设0x=.xax，那么a-)-b)((=(3)以下各题中，p是q的什么条件？设计意图：前三题以落实教材习题为主，在理解定义的根底上解决简单问题，强化根底，稳固目的，促进学生养成正确的思维习惯，帮助学生打破难点3．(4)求圆222)()(r b y a x =-+-经过原点的充要条件．(5)求证：ABC ∆是等边三角形的充要条件是bc ac ab c b a ++=++222，这里a ，b ，c 是ABC ∆的三条边．(6) p 是q 的充要条件，r 是 s 的必要条件同时又是q 的充分条件，试确定p 与r 的关系． 设计意图：一为进步学生解决问题的才能，二是让学生充分暴露思维障碍，帮助老师理解学生获取知识的现状，以便调整教学节奏．【问题研讨】(1) 在教学设计中，改变了教材安排的授课顺序，教材安排第一课时学习充分条件和必要条件，第二课时学习充要条件.本设计将它整合为第一课时完成定义的学习以及初步运用，第二课时进展拓展应用训练，这样是否更有利于学生系统地学好和掌握本节内容的知识？(2) 老师的本意是想多从“贴近教材、贴近学生、贴近实际〞的角度来进展教学，详细理论过程中能否让学生有多种时机在不同的情境下去应用他们所学的知识(将知识“外化〞)？【参考资料】[1] 马复：?设计合理的数学教学?，高等教育出版社2003年版[2] 黄燕玲，喻平：?对数学理解的再认识?，?.数学教育学报?2002年第11卷第3期[3] 郑毓信，梁贯成：?认知科学建构主义与数学教育——数学学习心理学的现代研究?，上海教育出版社2002年版。
新教材高中数学第一章充要条件教案新人教A版必修第一册
新教材高中数学新人教B版选择性必修第二册：1.4.2 充要条件教学目标1.理解充要条件的意义.2.理解数学定义与充要条件的关系.教学重点：掌握充要条件的概念，理解充要条件的意义，会判断条件与结论之间的充要性．教学难点：判断条件与结论之间的充要性．教学过程：一、核心概念充要条件(1)如果“若p，则q”和它的逆命题“若q，则p”均是真命题，即既有，又有，就记作.此时，p既是q的充分条件，也是q的必要条件，我们说p是q的充分必要条件，简称为(sufficient and necessary condition)．(2)当p是q的充要条件时，q也是p的条件．(3)p是q的充要条件也常常说成“p成立q成立”，或“p与q”．新知拓展1．从概念的角度去理解充分条件、必要条件、充要条件(1)若p⇒q，则称p是q的充分条件，q是p的必要条件．(2)若p⇔q，则p是q的充要条件．(3)若p⇒q，且q⇒/p，则称p是q的充分不必要条件．(4)若p⇒/q，且q⇒p，则称p是q的必要不充分条件．(5)若p⇒/q，且q⇒/p，则称p是q的既不充分也不必要条件．2．从集合的角度去理解充分条件、必要条件、充要条件若p以集合A的形式出现，q以集合B的形式出现，即A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，则(1)若A⊆B，则p是q的充分条件．(2)若B⊆A，则p是q的必要条件．(3)若A＝B，则p是q的充要条件．(4)若A⊆B且B A，即A B，则p是q的充分不必要条件．(5)若B⊆A且A B，即B A，则p是q的必要不充分条件．(6)若A B且B A，则p是q的既不充分也不必要条件．3．“⇔”的传递性若p是q的充要条件，q是s的充要条件，即p⇔q，q⇔s，则有p⇔s，即p是s的充要条件．二、评价自测1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)当p是q的充要条件时，也可说成q成立当且仅当p成立．( )(2)符号“⇔”具有传递性．( )(3)若p⇒/q和q不能推出p有一个成立，则p一定不是q的充要条件．( )(4)“x＝1”是“x2－2x＋1＝0”的充分不必要条件．( )(5)“三角形的三条边相等”是“三角形的三个角相等”的充要条件．( )答案：（1）√、（2）√、（3）√、（4）×、（5）√2．做一做(请把正确的答案写在横线上)(1)“x2－3x＋2＝0”的充要条件是______________________．(2)“x2－1＝0”是“|x|－1＝0”的________条件．(从“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”中选一个合适的填空)(3)若△ABC∽△DEF，“相似比为3∶2”是“对应高的比为3∶2”的________条件．(从“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”中选一个合适的填空)答案：(1)x＝1或x＝2 (2)充要(3)充要三、典例分析题型一全称量词命题与存在量词命题的判定例1在下列各题中，试判断p是q的什么条件．(1)p：a＝b，q：ac＝bc；(2)p：a＋5是无理数，q：a是无理数；(3)若a，b∈R，p：a2＋b2＝0，q：a＝b＝0；C B C A.(4)p：A∩B＝A，q：U U【答案】(1)因为a＝b⇒ac＝bc，而ac＝bc不能推出a＝b，所以p是q的充分条件，但不是必要条件．(2)因为a＋5是无理数⇒a是无理数，并且a是无理数⇒a＋5是无理数，所以p是q的充要条件．(3)因为a2＋b2＝0⇒a＝b＝0，并且a＝b＝0⇒a2＋b2＝0，所以p是q的充要条件．(4)因为A∩B＝A⇒A⊆B⇒∁UA⊇∁UB，并且∁UB⊆∁UA⇒B⊇A⇒A∩B＝A，所以p是q的充要条件．题型探究已知p是q的充分条件，q是r的必要条件，也是s的充分条件，r是s的必要条件，问：(1)p是r的什么条件？(2)s是q的什么条件？(3)p，q，r，s中哪几对互为充要条件？【答案】作出“⇒”图，如右图所示，可知：p ⇒q ，r ⇒q ，q ⇒s ，s ⇒r .(1)p ⇒q ⇒s ⇒r ，且r ⇒q ，q 能否推出p 未知，∴p 是r 的充分条件． (2)∵s ⇒r ⇒q ，q ⇒s ， ∴s 是q 的充要条件．(3)共有三对充要条件，q ⇔s ；s ⇔r ；r ⇔q. 金版点睛：判断p 是q 的充分必要条件的两种思路(1)命题角度：判断p 是q 的充分必要条件，主要是判断p ⇒q 及q ⇒p 这两个命题是否成立．若p ⇒q 成立，则p 是q 的充分条件，同时q 是p 的必要条件；若q ⇒p 成立，则p 是q 的必要条件，同时q 是p 的充分条件；若二者都成立，则p 与q 互为充要条件．(2)集合角度：关于充分条件、必要条件、充要条件，当不容易判断p ⇒q 及q ⇒p 的真假时，也可以从集合角度去判断，结合集合中“小集合⇒大集合”的关系来理解，这对解决与逻辑有关的问题是大有益处的．此外，对于较复杂的关系，常用⇒，⇐，⇔等符号进行传递，画出它们的综合结构图，可降低解题难度． 跟踪训练1指出下列各题中，p 是q 的什么条件？ (1)p ：A∪B＝A ，q ：A∩B＝B ；(2)p ：⎩⎪⎨⎪⎧α>2，β>2，q ：⎩⎪⎨⎪⎧α＋β>4，αβ>4；(3)已知实数a ，b ，p ：a>0且b>0，q ：a ＋b>0且ab>0.【答案】(1)因为A ∪B ＝A ⇔B ⊆A ，而A∩B＝B ⇔B ⊆A ，所以A ∪B ＝A ⇔A∩B＝B ，所以p 是q 的充要条件．(2)由⎩⎪⎨⎪⎧α>2，β>2，根据不等式的性质可得⎩⎪⎨⎪⎧α＋β>4，αβ>4.即p ⇒q ，而由⎩⎪⎨⎪⎧α＋β>4，αβ>4不能推出⎩⎪⎨⎪⎧α>2，β>2.如：α＝1，β＝5满足⎩⎪⎨⎪⎧α＋β>4，αβ>4，但不满足α>2.所以p 是q 的充分不必要条件．(3)由a>0且b>0⇒a ＋b>0且ab>0，并且由a ＋b>0且ab>0⇒a>0且b>0，所以p 是q 的充要条件．题型二 充要条件的证明 例2已知0ab，求证：1a b 是33220a b ab a b 的充要条件．【证明】 ①充分性：∵1a b ，∴1b a ， ∴33223322(1)(1)(1)a b ab a b a a a a a a323222133120a a a a a a a a a ，即33220a b ab a b .②必要性：∵33220a b ab a b ，∴2222()()()0a b a ab b a ab b ，∴22()(1)0aab b a b .∵0ab ，∴0a且0b，∴220aab b .∴10a b ，∴1a b . 综上可知，当0ab 时，1a b 是33220a b ab a b 的充要条件．题型探究已知a ，b 是实数，求证：a 2－b 2＝1是a 4－b 4－2b 2＝1成立的充分条件．该条件是否为必要条件？试证明你的结论．【证明】因为a 2－b 2＝1，所以a 4－b 4－2b 2＝(a 2－b 2)·(a 2＋b 2)－2b 2＝(a 2＋b 2)－2b 2＝a 2－b 2＝1.即a 2－b 2＝1是a 4－b 4－2b 2＝1成立的充分条件． 另一方面，若a 4－b 4－2b 2＝1，即a 4－(b 4＋2b 2＋1)＝0，a 4－(b 2＋1)2＝0， (a 2－b 2－1)(a 2＋b 2＋1)＝0.又a 2＋b 2＋1≠0，所以a 2－b 2－1＝0，即a 2－b 2＝1. 因此a 2－b 2＝1是a 4－b 4－2b 2＝1成立的必要条件．金版点睛：充要条件的证明证明充要条件时要从充分性和必要性两个方面分别证明，首先分清哪个是条件，哪个是结论，然后确定推出方向，即充分性需要证明“条件”⇒“结论”，必要性需要证明“结论”⇒“条件”.跟踪训练2求证：关于x 的方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)有一正根和一负根的充要条件是ac <0.【证明】①必要性：由于方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一正根和一负根，∴Δ＝b 2－4ac >0，x 1x 2＝c a<0，∴ac <0.②充分性：由ac <0可得b 2－4ac >0及x 1x 2＝c a<0，∴方程ax 2＋bx ＋c ＝0有两个不相等的实根，且两根异号，即方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一正根和一负根．综上可知，关于x 的方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)有一正根和一负根的充要条件是ac <0.题型三 探求充要条件例3求关于x 的方程ax 2＋2x ＋1＝0至少有一个负实根的充要条件． 【答案】①当a ＝0时，方程为一元一次方程，其根为x ＝－12，符合要求．②当a ≠0时，方程为一元二次方程，此时ax 2＋2x ＋1＝0有实根的充要条件是判别式Δ≥0，即4－4a ≥0，从而a ≤1.设方程ax 2＋2x ＋1＝0的两根分别为x 1，x 2，则x 1＋x 2＝－2a ，x 1x 2＝1a.(ⅰ)方程ax 2＋2x ＋1＝0有一负根一正根的充要条件为⎩⎪⎨⎪⎧a ≤1，1a<0⇒a <0；(ⅱ)方程ax 2＋2x ＋1＝0有两个负根的充要条件为⎩⎪⎨⎪⎧a ≤1，－2a<0，1a >0⇒0<a ≤1.综上所述，方程ax 2＋2x ＋1＝0至少有一个负实根的充要条件是a ≤1. 金版点睛：探求充要条件的两种方法(1)先寻找必要条件，即将探求充要条件的对象视为结论，寻找使之成立的条件；再证明此条件是该对象的充分条件，即从充分性和必要性两方面说明．(2)将原命题进行等价变形或转换，直至获得其成立的充要条件，探求的过程同时也是证明的过程，因为探求过程的每一步都是等价的，所以不需要将充分性和必要性分开来证． 跟踪训练3已知方程x 2＋(2k －1)x ＋k 2＝0，求使方程有两个大于1的实数根的充要条件． 【答案】方程x 2＋(2k －1)x ＋k 2＝0，则方程有两个大于1的实数根x 1，x 2：⇔⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝(2k －1)2－4k 2≥0，(x 1－1)(x 2－1)>0，(x 1－1)＋(x 2－1)>0⇔⎩⎪⎨⎪⎧k ≤14，x 1x 2－(x 1＋x 2)＋1>0，(x 1＋x 2)－2>0四、随堂练习1．已知A ，B 是非空集合，命题p ：A ∪B ＝B ，命题q ：A B ，则p 是q 的( )A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．既不充分也不必要条件D ．必要不充分条件答案：D解析：由A ∪B ＝B ，得A ⊆B 或A ＝B ；反之，由A ⊆B ，得A ∪B ＝B ，所以p 是q 的必要不充分条件．2．“x 2＋(y －2)2＝0”是“x (y －2)＝0”的( )A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案：B解析： x 2＋(y －2)2＝0，即x ＝0且y ＝2，∴x (y －2)＝0.反之，x (y －2)＝0，即x ＝0或y ＝2，x 2＋(y －2)2＝0不一定成立．故“x 2＋(y －2)2＝0”是“x (y －2)＝0”的充分不必要条件．3．设x ∈R ，则“x <－1”是“|x |>1”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案：A解析：因为x <－1⇒|x |>1，而|x |>1⇒x <－1或x >1，故“x <－1”是“|x |>1”的充分不必要条件．4．关于x 的不等式|x |>a 的解集为R 的充要条件是________． 答案：a <0解析：由题意知|x |>a 恒成立，∵|x |≥0，∴a <0.5．已知x ，y 都是非零实数，且x >y ，求证：1x <1y的充要条件是xy >0.证明：证法一：①充分性：由xy >0及x >y ，得x xy >y xy ，即1x <1y. ②必要性：由1x <1y ，得1x －1y <0，即y －xxy<0.因为x >y ，所以y －x <0，所以xy >0. 所以1x <1y的充要条件是xy >0.证法二：1x <1y ⇔1x －1y <0⇔y －xxy<0.由条件x >y ⇔y －x <0，故由y －xxy<0⇔xy >0. 所以1x <1y ⇔xy >0，即1x <1y的充要条件是xy >0.。
《充要条件》教学设计与反思
一、教学设计1. 教学目标：（1）知识与技能：使学生掌握充要条件的概念，了解充要条件的表示方法，能够判断一个命题是否为充要条件。
（2）过程与方法：通过实例分析、讨论、归纳等方法，引导学生自主探究充要条件的性质和特点。
（3）情感态度与价值观：培养学生严谨的逻辑思维能力，激发学生对数学的兴趣。
2. 教学重点与难点：（1）教学重点：充要条件的概念、表示方法和判断方法。
（2）教学难点：如何正确判断一个命题是否为充要条件。
3. 教学过程：（1）引入：通过讲述一个实际问题，引出充要条件的概念。
（2）讲解：讲解充要条件的定义、表示方法和判断方法。
（3）实例分析：通过实例分析，让学生掌握充要条件的运用方法。
（4）讨论与归纳：组织学生进行讨论，归纳总结充要条件的性质和特点。
（5）练习与巩固：布置相关练习题，让学生巩固所学知识。
（6）反思与总结：对本节课的教学进行反思和总结，提出改进意见。
二、教学反思1. 教学内容方面：本节课的教学内容基本达到了预期目标，学生掌握了充要条件的概念、表示方法和判断方法。
但在讲解过程中，对于一些抽象的概念和表示方法，没有做到深入浅出，导致部分学生理解困难。
今后需要改进教学方法，尽量用简单明了的语言和实例来解释抽象概念。
2. 教学方法方面：本节课采用了实例分析、讨论、归纳等方法，引导学生自主探究充要条件的性质和特点。
但在实际教学过程中，发现部分学生对于讨论环节的参与度不高，可能是因为害怕回答问题或者缺乏自信。
今后需要加强课堂氛围的营造，鼓励学生积极参与讨论，提高学生的学习兴趣和自信心。
3. 学生学习效果方面：通过课堂练习和课后作业的检查，发现大部分学生已经掌握了充要条件的概念、表示方法和判断方法。
但仍有部分学生在判断充要条件时存在错误，可能是因为对于充要条件的理解不够深刻。
今后需要加强对这部分学生的个别辅导，帮助他们克服学习困难。
【高中数学】2023-2024学年人教A版必修第一册 充要条件教案
1.4.2 充要条件一、教学目标1.掌握充要条件的定义；2.会辨析充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件和既不充分也不必要条件；3.理解数学定义与充要条件的关系.二、教学重难点1.教学重点：充要条件的相关概念.2.教学难点：充要条件与教学定义之间的关系的理解.三、教学过程1.复习回顾问题1:我们初中学过的勾股定理内容是什么？答1:设a,b,c分别是ΔABC的三条边，且a ≤ b ≤ c.勾股定理：如果ΔABC为直角三角形，那么a2+b2=c2.在勾股定理中：“ΔABC为直角三角形”是“a2+b2=c2”的____充分___条件;“a2+b2=c2” 是“ΔABC为直角三角形”的____必要_____条件.问题2:我们初中学过的勾股定理的逆定理内容是什么？答2:设a,b,c分别是ΔABC的三条边，且a ≤ b ≤ c.勾股定理的逆定理：如果a2+b2=c2，那么ΔABC为直角三角形.在勾股定理的逆定理中：“ΔABC为直角三角形”是“a2+b2=c2”的____必要___条件;“a2+b2=c2” 是“ΔABC为直角三角形”的____充分_____条件.问题3:勾股定理及其逆定理有何关系？答3:勾股定理及其逆定理的条件与结论相反.【教师讲授】将命题“若p，则q”中的条件p和结论q互换，就得到一个新的命题“若q，则p”，称这个命题为原命题的逆命题.【设计意图】通过勾股定理及其逆定理引出原命题与逆命题的概念.同时也为后面的充要条件的定义做好铺垫。
2.数学建构思考1：下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题与它们的逆命题都是真命题？(1) 若两个三角形的两角和其中一角所对的边分别相等，则这两个三角形全等；(2) 若两个三角形全等，则这两个三角形的周长相等；(3) 若一元二次方程ax2+bx+c=0 有两个不相等的实数根，则ac<0；(4) 若A∪B是空集，则A与B均是空集．答1:(1)和(4)原命题与逆命题都是真命题.【教师讲授】如果“若p，则q”和它的逆命题“若q，则p”均是真命题，即既有p⇒q，又有q⇒p，就记作p⇔q .此时，p既是q的充分条件，也是q的必要条件，我们说p是q的充分必要条件，简称为充要条件.显然，如果p是q的充要条件，那么q也是p的充要条件．【设计意图】结合实例，让学生体会和理解原命题与逆命题之间的关系，并掌握充要条件的定义.思考2：判断(2)(3)中原命题与逆命题的真假.答2:(2)原命题真，逆命题假，即p q⇒，且q p⇒/；(3) 原命题假，逆命题真，即p q⇒；⇒/，且q p3.归纳小结【教师讲授】(1) 若p q⇒，且q p⇒/，则称p是q的充分不必要条件；(2)若p q⇒，则称p是q的必要不充分条件；⇒/，且q p(3)若p q⇒，则称p是q的充要条件；⇒，且q p(4)若p q⇒/，则称p是q的既不充分也不必要条件．⇒/，且q p【设计意图】结合实例，初步认识充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件和既不充分也不必要条件的定义.4.知识应用【例3】下列各题中，哪些p是q的充要条件？(1) p:四边形是正方形，q:四边形的对角线互相垂直且平分；(2) p:两个三角形相似，q:两个三角形三边成比例；(3) p:xy>0，q:x>0 ，y>0；(4) p:x=1是一元二次方程ax2+bx+c=0的一个根，q:a+b+c=0 (a ≠ 0)．【设计意图】通过应用，加深学生对充要条件概念的理解，学会判断p是否为q的充要条件的基本方法.同时，还可以引导学生，结合前面的归纳小结，对p不是q的充要条件的题，具体分析出p与q的关系.【探究】你能给出“四边形是平行四边形”的充要条件吗？答：由定义：“四边形的两组对边分别平行”(1)“四边形的两组对角分别相等”；(2)“四边形的两组对边分别相等”；(3) “四边形的一组对边平行且相等”；(4) “四边形的对角线互相平分”．思考3：你能给出“三角形全等”或“三角形相似”的其他形式的定义吗？【设计意图】先回顾平行四边形的定义，根据定义我们知道“两组对边分别平行的四边形叫平行四边形”，并给出平行四边形的其他4个充要条件，这样让学生体会到每个充要条件都是平行四边形的一种定义形式，它们是从不同的角度刻画了平行四边形的概念。