八年级上华东师大版16-3梯形的性质同步练习
华东师大版八年级数学上册同步练习题及答案(全套)
12.1.1 平方根（第一课时）◆随堂检测1、若x 2= a ，则 叫 的平方根，如16的平方根是 ，972的平方根是 2、3±表示 的平方根，12-表示12的 3、196的平方根有 个，它们的和为 4、下列说法是否正确？说明理由 （1）0没有平方根； （2）—1的平方根是1±； （3）64的平方根是8； （4）5是25的平方根； （5）636±= 5、求下列各数的平方根（1）100 （2）)8()2(-⨯- （3）1.21 （4）49151◆典例分析例 若42-m 与13-m 是同一个数的平方根，试确定m 的值◆课下作业●拓展提高一、选择1、如果一个数的平方根是a+3和2a-15，那么这个数是（ ）A 、49B 、441C 、7或21D 、49或441 2、2)2(-的平方根是（ ）A 、4B 、2C 、-2D 、2± 二、填空3、若5x+4的平方根为1±，则x=4、若m —4没有平方根，则|m —5|=5、已知12-a 的平方根是4±，3a+b-1的平方根是4±，则a+2b 的平方根是 三、解答题6、a 的两个平方根是方程3x+2y=2的一组解 （1） 求a 的值 （2）2a 的平方根7、已知1-x +∣x+y-2∣=0 求x-y 的值● 体验中考1、（09河南）若实数x ，y 满足2-x +2)3(y -=0，则代数式2x xy -的值为2、（08咸阳）在小于或等于100的非负整数中，其平方根是整数的共有 个3、（08荆门）下列说法正确的是（ ）A 、64的平方根是8B 、-1 的平方根是1±C 、-8是64的平方根D 、2)1(-没有平方根12.1.1平方根（第二课时）◆随堂检测1、259的算术平方根是 ；___ __ 2、一个数的算术平方根是9，则这个数的平方根是3x 的取值范围是 ，若a ≥04、下列叙述错误的是（ ）A 、-4是16的平方根B 、17是2(17)-的算术平方根 C 、164的算术平方根是18 D 、0.4的算术平方根是0.02◆典例分析例：已知△ABC 的三边分别为a 、b 、c 且a 、b |4|0b -=，求c 的取值范围 分析：根据非负数的性质求a 、b 的值，再由三角形三边关系确定c 的范围◆课下作业●拓展提高一、选择12=，则2(2)m +的平方根为（ ）A 、16B 、16±C 、4±D 、2±2 ）A 、4B 、4±C 、2D 、2± 二、填空3、如果一个数的算术平方根等于它的平方根，那么这个数是42(4)y +=0，则xy =三、解答题5、若a 是2(2)-的平方根，b 2a +2b 的值6、已知a b-1是400●体验中考1．(2009年山东潍坊)一个自然数的算术平方根为a ，则和这个自然数相邻的下一个自然数是（ ） A ．1a +B ．21a +C ．21a +D ．1a +2、（08年泰安市）88的整数部分是 ；若a<57<b ，（a 、b 为连续整数），则a= ， b=3、（08年广州）如图，实数a 、b 在数轴上的位置，化简 222()a b a b --- =4、（08年随州）小明家装修用了大小相同的正方形瓷砖共66块铺成10.56米2的房间，小明想知道每块瓷砖的规格，请你帮助算一算.12.1.2 立方根◆随堂检测1、若一个数的立方等于 —5，则这个数叫做—5的 ，用符号表示为 ，—64的立方根是 ，125的立方根是 ； 的立方根是 —5.2、如果3x =216，则x = . 如果3x =64， 则x = .3、当x 为 时，.4、下列语句正确的是（ ）A 、64的立方根是2B 、3-的立方根是27C 、278的立方根是32± D 、2)1(-立方根是1- 典例分析例 若338x 51x 2+-=-，求2x 的值.◆课下作业●拓展提高一、选择1、若22)6(-=a ，33)6(-=b ，则a+b 的所有可能值是（ ）A 、0B 、12-C 、0或12-D 、0或12或12- 2、若式子3112a a -+-有意义，则a 的取值范围为（ ）A 、21≥aB 、1≤aC 、121≤≤a D 、以上均不对 二、填空3、64的立方根的平方根是4、若162=x ，则（—4+x ）的立方根为三、解答题5、求下列各式中的x 的值（1）1253)2(-x =343 （2）64631)1(3-=-x6、已知：43=a ，且03)12(2=-++-c c b ，求333c b a ++的值●体验中考1、（09宁波）实数8的立方根是2、（08泰州市）已知0≠a ，a ，b 互为相反数，则下列各组数中，不是互为相反数的一组是（ ）A 、3a 与3bB 、a +2与b +2C 、2a 与2b -D 、3a 与3b3、（08益阳市）一个正方体的水晶砖，体积为100 cm 3，它的棱长大约在（ ） A 、4～5cm 之间 B 、5～6cm 之间 C 、6～7 cm 之间D 、7～8cm 之间12.2实数与数轴◆随堂检测1、下列各数：23，722-，327-，414.1，3π-，12122.3，9-，••9641.3中，无理数有 个，有理数有 个，负数有 个，整数有 个. 2、33-的相反数是 ，|33-|=57-的相反数是 ，21-的绝对值=3、设3对应数轴上的点A ，5对应数轴上的点B ，则A 、B 间的距离为4、若实数a<b<0，则|a| |b|；大于17小于35的整数是 ； 比较大小：3 5 5、下列说法中,正确的是( )A .实数包括有理数,0和无理数B .无限小数是无理数C .有理数是有限小数D .数轴上的点表示实数.◆典例分析例： 设a 、b 是有理数，并且a 、b 满足等式2522-=++b b a ，求a+b 的平方根◆课下作业●拓展提高一、选择1、 如图，数轴上表示1，2的对应点分别为A 、B ，点B 关于点A 的对称点为C ，则点C 表示的实数为 （ ）A ．2－1B ．1－2C ．2－2D ．2－2 2、设a 是实数，则|a|-a 的值（ ）A ．可以是负数B ．不可能是负数C ．必是正数D ．可以是整数也可以是负数 二、填空C A 0 B3、写出一个3和4之间的无理数4、下列实数1907，3π-，0，49-，21，31-，1.…（每两个1之间的0的个数逐次加1）中，设有m 个有理数，n 个无理数，则n m = 三、解答题5、比较下列实数的大小（1）|8-| 和3 （2）52- 和9.0- （3）215-和876、设m 是13的整数部分，n 是13的小数部分，求m-n 的值.● 体验中考2．（2011年青岛二中模拟）如图，数轴上A B ，两点表示的数分别为1-点B 关于点A 的对称点为C ，则点C 所表示的数为（ ） A．2- B．1-C．2-+D．1+3．（2011年湖南长沙）已知实数a在数轴上的位置如图所示，则化简|1|a -的结果为（ ）A ．1B ．1-C ．12a -D ．21a -3、（2011年江苏连云港）实数a b ，在数轴上对应点的位置如图所示， 则必有（ ）A ．0a b +>B ．0a b -<C ．0ab >D ．0a b< 4、（2011年浙江省杭州市模2）如图，数轴上点A 所表示的数的倒数是（ ）A . 2-B . 2C . 12D . 12-（第46题图）0 （第8题图）§13.1 幂的运算1. 同底数幂的乘法试一试（1） 23×２4＝（ ）×（ ）＝２()；（2） 53×５4＝5()； （3） a 3·a 4＝a ()．概 括：a m ·a n ＝（ ）（ ）＝ ＝a n m +．可得 a m ·a n ＝a n m +这就是说，同底数幂相乘， ．例1计算：（1） 103×１０4； （2） a ·a 3； （3） a ·a 3·a 5．练习1. 判断下列计算是否正确，并简要说明理由．（1） a ·a2＝a 2；（2） a ＋a 2＝a 3；（3）a 3·a 3＝a 9；（4）a 3＋a 3＝a 6．2. 计算：（1） 102×105； （2） a 3·a 7； （3） x ·x 5·x 7．3．填空：（1）ma 叫做a 的m 次幂，其中a 叫幂的________，m 叫幂的________；（2）写出一个以幂的形式表示的数，使它的底数为c ，指数为3，这个数为________； （3）4)2(-表示________，42-表示________；（4）根据乘方的意义，3a ＝________，4a ＝________，因此43a a⋅＝)()()(+同底数幂的乘法练习题1．计算： （1）=⋅64a a（2）=⋅5b b（3）=⋅⋅32m m m （4）=⋅⋅⋅953c c c c（5）=⋅⋅p n ma a a （6）=-⋅12m t t （7）=⋅+q qn 1（8）=-+⋅⋅112p p n n n2．计算：（1）=-⋅23b b （2）=-⋅3)(a a（3）=--⋅32)()(y y （4）=--⋅43)()(a a（5）=-⋅2433 （6）=--⋅67)5()5(（7）=--⋅32)()(q q n（8）=--⋅24)()(m m（9）=-32 （10）=--⋅54)2()2(（11）=--⋅69)(b b（12）=--⋅)()(33a a3．下面的计算对不对？如果不对，应怎样改正？（1）523632=⨯； （2）633a a a =+；（3）nnny y y 22=⨯； （4）22m m m =⋅；（5）422)()(a a a =-⋅-； （6）1243a a a =⋅；（7）334)4(=-； （8）6327777=⨯⨯；（9）42-=-a ； （10）32n n n =+． 4．选择题： （1）22+m a可以写成（ ）．A ．12+m aB ．22a am+ C ．22a a m ⋅ D ．12+⋅m a a（2）下列式子正确的是（ ）．A ．4334⨯= B ．443)3(=- C ．4433=- D ．3443= （3）下列计算正确的是（ ）．A ．44a a a =⋅ B ．844a a a =+C ．4442a a a =+D ．1644a a a =⋅2. 幂的乘方根据乘方的意义及同底数幂的乘法填空：（1） （23）2＝ × ＝２()；（2） （32）3＝ × ＝３()；（3） （a 3）4＝ × × × ＝a ()．概 括（a m ）n ＝ （n 个）＝ （n 个）=a mn 可得（a m ）n ＝a mn （m 、n 为正整数）．这就是说，幂的乘方， ．例2计算：（1） （103）5；（2） （b 3）4．练习 1. 判断下列计算是否正确，并简要说明理由．（1） （a 3）5＝a 8；（2） a 5·a 5＝a 15；（3） （a 2）3·a 4＝a 9．2. 计算：（1）（22）2； （2）（y 2）5； （3）（x 4）3； （ 4）（y 3）2·（y 2）3．3、计算:（1）x·（x2）3 （2）（x m ）n ·（x n ）m （3）（y 4）5－（y 5）4（4）（m 3）4+m 10m 2+m·m 3·m 8 （5）[（a －b ）n ] 2 [（b －a ）n －1] 2（6）[（a－b）n] 2 [（b－a）n－1] 2 （7）（m3）4+m10m2+m·m3·m8幂的乘方一、基础练习1、幂的乘方,底数_______,指数____.（a m）n= ___(其中m、n都是正整数)2、计算：（1）（23）2=_____；（2）（－22）3=______；（3）－（－a3）2=______；（4）（－x2）3=_______。
八年级数学上册 16.3《梯形的性质》课件 华东师大版
（C）144cm
A
（D）25cm
D
13cm
BHale Waihona Puke 5cmEF
5cm
C
B
E
F
C
3、 如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，且AD=AB=DC,对角 线BD⊥DC,则∠A=120 度.
A
D
BF
C
4、 如图，是用形状、大小完全相同的等腰梯 形镶嵌而成的地砖，则这块地砖中的等腰梯形的 底角（指锐角）是 60 度
5、 在梯形ABCD中,如果DC//AB,AD=BC ∠A=60°,DB ⊥AD,求∠DBC和∠C的度 数.
C D 解: ∵DC//AB AD=BC ∴梯形ABCD是等腰梯形 ∴ ∠A= ∠ABC= 60° (等腰梯形的两底角相等) A 又∵ DB ⊥AD ∴ ∠ADB=90° ∴ ∠DBA=90 °- 60 °=30 ° ∴ ∠DBC= ∠ABC- ∠DBA= 30 ° ∵ ∠C+ ∠ABC=180 °(两直线平行,同旁内角互补) ∴ ∠C=180 °- ∠ABC=120 °
１）等腰梯形同一底上的两个 内角相等
２）等腰梯形为轴对称图形， 对称轴是连接两底中心的 直线。
Ｂ
Ｃ
对称性： 轴对称图形
上下底中点连线所在的直线是对称轴。
A
E
D
边： 两底平行,两腰相等 B 角： 等腰梯形同一底边上的两个内角相等。
∵四边形ABCD是等腰梯形 ∴ ∠BAD= ∠ADC ∠ABC= ∠BCD ∵四边形ABCD是等腰梯形 ∴AD//BC AB=DC
梯 子
关注生活中的数学
D 腰 高 A E
上底
C
腰
下底
B
一组对边平行，另一组对边不平行的四边形叫做梯形. 等腰梯形
数学：16.3《梯形的性质》复习课件(华师大版八年级上)
拓展与探究
在等腰梯形ABCD中，AB∥CD,AD=BC,对角线AC与 BD相交于点O，过点C作CE∥DB交AB延长线于点E,
D C O
5
H B
A
7
3
E
（1）请判断△ACE的形状，并说明你的理由. （2）若AC⊥BD，则△ACE是 等腰直角 三角形. （3）在（2）的情况下过点C作CH⊥AB于H，若
3.已知:如图,梯形ABCD中， AD∥BC,AC⊥BD,AC=3,BD=4, 则AD+BC= 5 。
B
A
D
C
F
4、已知，梯形ABCD中，AD∥BC,AB=DC，
∠B=600，AD=15，AB=45，求BC的长。
A
45 15
D
45
1
45
B
E
45
C
5、已知：梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC=AD， BD⊥DC。 求：梯形ABCD的各个角的大小。
A
D
E
C
F
∴DE=1/2(BC+CF)=1/2BC+AD) 又∵BC+AD=10 ∴DE=5
1．有两个角相等的梯形是( D ) A．等腰梯形 B．直角梯形 C．一般梯形 D．等腰梯形或直角梯形 2．已知直角梯形的一腰长为10cm，这条腰与底所成的 角为30°，那么另一腰的长为( B ) A．2.5cm B．5cm C．10cm D．15cm 3．梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，对角线AC与BD 相交于点O，则图中全等三角形共有( C ) A．1对 B．2对 C．3对 D． 4 对 4．如图，AB∥CD，AE⊥DC， AE=12，BD=15，AC=20，则梯形 ABCD的面积是( C ) A．130 B．140 C．150 D．160
八年级数学梯形 同步练习5华师版 试题
梯形(5)学习目标1．掌握梯形，等腰梯形，直角梯形的概念2．掌握等腰梯形的性质3．了解等腰梯形是轴对称图形，会画出它的对称轴．学法指导要弄清梯形的定义与平行四边形的定义的区别，要掌握梯形几种常见的辅助线的作法．基础知识讲解1．梯形的概念只有一组对边平行的四边形叫做梯形．如图所示：在梯形ABCD中，AB与DC不平行，其中AD，BC叫做梯形的上底和下底，AB，DC叫做梯形的腰．梯形的定义包含两个条件①四边形．②只有一组边平行两腰相等的梯形叫做等腰梯形；有一个角为直角的梯形叫做直角梯形．2．等腰梯形的性质（1）等腰梯形同一底边上的两个内角相等．（2）等腰梯形的两条对角线相等．（3）等腰梯形是轴对称图形，对称轴为上，下底中点的连线所在的直线．3．等腰梯形的识别（1）两腰相等的梯形是等腰梯形．（2）同一底边上的两个内角相等的梯形是等腰梯形．（3）对角线相等的梯形是等腰梯形．4．解决梯形问题的基本思路梯形问题三角形或平行四边形问题通常利用平移，旋转等，引辅助线来实现转化，常见的辅助线大致有十种之多，如图所示．重点难点重点：梯形、直角梯形、等腰梯形的概念，等腰梯形的性质．难点：1．等腰梯形的识别方法2．在梯形问题的转化过程中，添加辅助线的方法很多，选择方法，要根据条件和结论去选择添加辅助线．易错误区分析1．学习本节内容易犯概念不清的错误（1）下列命题中，正确的是（）A．有一组对边平行，另一组对边相等的四边形是等腰梯形．B．有一组对边互补的梯形是等腰梯形C．有一组邻角相等的梯形是等腰梯形D．有两组角分别相等的四边形是等腰梯形错选：A正选：B错误分析：错在概念不清，等腰梯形是一组对边相等且不平行的梯形，这里只交待相等，没有交待它们不平行．2．判断①有一组对边平行的四边形是梯形（）②一组对边平行且不相等的四边形是梯形（）③一组对边平行，另一组对边不相等的四边形是梯形（）错解：①正确②错误③错误正解：①错误②正确③正确错误分析：没有认识到另一组对平行还是不平行．题目中交待一组对边平行，但没有说明这组对边是否相等，概念不清．3．已知：如图，梯形ABCD 中，∠B+∠C ＝90°,E 、F 分别为两底AD 、BC 的中点，连结EF.求证：EF=21（BC-AD ） 错证：延长BA 、CD 交于点G ，连结GE ∵∠B+∠C ＝90° ∴∠BGC ＝90°在Rt △BGC 中，∵F 是BC 的中点 ∴GF ＝21BC 在Rt △AGD 中，∵E 是AD 的中点 ∴GE ＝21AD∴EF ＝GF-GE=21BC-21AD ＝21（BC-AD ）正证：延长BA 、CD 交于点G ，连结GE 、GF ，如图所示 ∵∠B+∠C ＝90° ∴∠BGC ＝90° 在Rt △BGC 中，∵F 是BC 的中点∴AE=GE=21AD ∴∠GAD=∠AGE ∴GF=BF=21BC ∴∠B=∠BGF在Rt △ADG 中,∵E 是AD 的中点∵AD ∥BC ∴∠B=∠GAD ∴∠BGF=∠AGE∴线段GF 、GE 在同一条射线GF 上 ∴EF ＝GF-GE ＝21BC-21AD ＝21（BC-AD ）． 错证分析：忽略了连结GF ，再证GE 、GF 在同一直线上才可用EF ＝GF-GE.点拨：本题还有几种证法：（1）过点E 作EMJAB 交BC 于M ，过点E 作EN ∥DC 交BC 于N ，证EF=21MN 即可.（2）过点D 作DK ∥AB 交BC 于点K ，取KC 的中点L ，连结DL ，只要证四边形EFND 是平行四边形即可．这两种方法同学们自己可以证一下．典型例题例1．如图所示，某加工车间现有一块梯形钢板废料．为响应厂里提出的节省开支计划，打算把它切割后焊接成一块三角形．使面积不变，请你设计一下切割方案．分析：任取一腰中点与上下的顶点连结进行切割． 解：切割方案如图所示例2．如图所示，等腰梯形ABCD 中AD ∥CB ，AD ＝3，AB ＝5，BC ＝8，求∠B 的度．分析：过A 作AE ∥DC 交BC 于点E ，则四边形AECD 是平行四边形，故CE ＝AD ，由此可得BE 的长． 解：过A 作AE ∥DC 交BC 于点E ，则因为AD ∥BC ，AE ∥CD ，所以四边形AECD 是平行四边形，故CE ＝AD ． 又AD ＝3，从而CE ＝3，故BE ＝BC-CE ＝8-3＝5 所以BE ＝AB ，由于等腰梯形同一底上的两个内角相等， 所以∠B ＝∠C ，由AE ∥CD ，得∠AEB ＝∠C ，故∠AEB ＝∠B所以AB ＝AE ，所以AB ＝AE ＝BE.即△ABE 是等边三角形，所∠B ＝60°例3．已知：如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AD ＝24cm ，AB ＝8cm ，BC ＝25cm.动点P 从A 开始沿AD 边向D 以1cm ／S 的速度运动．动点Q 从C 点开始沿CB 边向B 以3cm ／S 的速度运动．P ，Q 分别从A ，C 同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t 秒，t 分别为何值时，四边形PQCD 为平行四边形？等腰梯形？分析：要使PQCD 为平行四边形，则只要PD=QC ，即24-t ＝3t ，要使PQCD 为等腰梯形，只要PQ=CD ，PD ≠QC 过P ，D 作BC 的垂线，垂足E ，F 则EF ＝PD ，QE ＝FC ＝2解：当PD ＝QC 时，四边形PQCD 为平行四边形．即24-t ＝3t ，即t ＝6秒当PQ ＝CD ，且PD ≠QC 时，四边形PQCD 为等腰梯形过P ，D 分别作BC 的垂线段，垂足分别为E ，F 则EF ＝PD ，QE ＝FC ＝2即2＝21[3t-(24-t)]即t=7秒 注意：由两点速度可知，自运动开始831秒内.两点均在运动中. 例4．已知：如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠B ＝40°，∠C ＝50°，M ，N 分别是BC ，AD 边的中点．BC ＞AD ．求证：MN=21（BC-AD ）分析：由于∠B+∠C ＝40°+50°＝90°，因而想到作辅助线，构造直角三角形来求证，根据梯形的特点，可用不同的添线方法来构造直角三角形．证法一：分别延长BA ，CD 交于点O ，连结ON ，OM 因为∠B+∠C ＝90°，所以△AOD ，△BOC 为Rt △在Rt △AOD 中，ON=21AD=AN 在Rt △BOC 中，OM=21BC=BM因为∠B0M=∠B=∠OAN ＝∠AON 所以∠ANO ＝∠BMO所以∠ANM+∠ANO ＝∠ANM+∠BMO ＝180° 所以O ，N ，M 三点共线所以MN=OM-ON=21BC-21AD=21（BC-AD ） 证法二：分别过点N 作NG ∥AB 交BC 于G ，作NH ∥CD ，交BC 于H ，如图所示，由已知条件可知ABGN ，NHCD 都是平行四边形，则∠NHG ＝∠C ，AN ＝BG ，DN ＝CH ，△GNH 为直角三角形.在△GNH 中，证M 为CH 中点，所以NM=21GH=21（BC-CD ） 例5．如图，铁路基横断面为等腰梯形ABCD ，已知路基底顶AB ＝6m ，斜坡BC 与下底CD 的夹角为60°，路基高AE ＝23m ，求下底CD 的宽．分析：由上底的两个顶点，作下底的垂线段为BF ，AE ．把等腰梯形分成两个全等的直角三角形和一个矩形． 解：∵四边形ABCD 是等腰梯形∴AD ＝BC 又∵BF ＝AE ，BF ⊥CD ，AE ⊥CD ，∠C=∠D ， ∴Rt △BCF ≌Rt △ADE ， ∴CF=DE存Rt △BCF 中，∠C ＝60° ∴∠CBF ＝30° ∴CF=21BC ，即BC ＝2CF ∴BC 2＝CF 2+BF 2即（2CF ）2＝CF 2+（23）2∴CF ＝2∴AB ∥CD BF ⊥CD AE ⊥CD ∴四边形ABEF 为矩形 ∴EF ＝AB ＝6（m ） ∴CD ＝DE+EF+CF ＝AB+2CF ＝6+2×2＝10（m ）6．如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AE 平分∠BAD ，BE 平分∠ABC ，且AE 、BE 交DC 于E 点，求证：AD ＝BA-BC分析：依题意得∠1+∠3＝90°，加上∠1=∠2，可联想到证等腰三角形，看能否将底集中在一起，延长AE ，BC 就可以达到的证明：延长AE 交BC 的延长线于F∵AD ∥BC ，∴∠4＝∠F ∴∠DAB+∠CBA=180°又∵∠3=21∠DAB ，∴∠1=21∠CBA ∵∠1+3=90° ∴AE ⊥BC又∵∠1=∠2，BE 为公共边 ∴△ABE ≌△FBE∴AB ＝BF ＝BC+CF ＝BC+AD ∴AE ＝EF在△AED 和△EFC 中 ∵AE ＝EF ，∠4＝∠F ，∠DEA ＝∠FEC ∴△AED ≌△FEC ∴AD ＝CF ∴AD ＝AB-BC例7．已知：如图，在等腰梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ＞CD ，AD=BC ，BD 平分∠ABC,∠A=60°,梯形周长是20cm ，求梯形的各边长．分析：由等腰梯形性质知：∠A ＝∠CBA=60°，又BD 平分∠ABC ，有∠1＝∠2＝30°，从而∠ADB=90°.则AD=21AB.又AB ∥CD ，知∠2=∠3=∠1，有BC=CD=AD ．故由周长是20cm ，可求各边长．解：∵四边形ABCD 为等腰梯形，∴∠A ＝∠ABC ＝60° ∵BD 平分∠ABC ， ∴∠1＝∠2＝30° ∴∠ADB=180°-∠A-∠2=180°-60°-30°=90°∴AD=21AB ∵AB ∥CD ，∴∠2=∠3，∴∠1=∠3 ∵BC=DC,∴AD=BC ∴AD=CD=BC=21AB∵AB+BC+CD+AD=20，∴AD=DC=BC=4，AB=8 答：梯形的各边长分别为4cm ，4cm ，4cm ，8cm. 创新思维例1．已知：四边形ABCD 中，AB ＝CD ，AC ＝BD ，AD ≠BC ． 求证：四边形ABCD 是等腰梯形．分析：要证四边形ABCD 是等腰梯形，因为AB=DC ，所以只要证四边形ABCD 是梯形即可，又因为AD ≠BC ，故只需证AD ∥BC 即可，要证AD ∥BC 现有图所示，四种作辅助线的方法，请任意选择其中两种图形，对原题进行证明．证明：方法一：在图（1）中作AE ∥DC方法二：在题图（2）中，过A 、D 分别作BC 的垂线交BC 于E 、F ．注意用推出符号“ ”证题，这种证题方法，证明思路清晰，做题步骤清楚有条理．例2．要剪切如图（尺寸单位：mm ）所示甲、乙两种直角梯形零件，且使两种零件的数量相等．有两种面积相等的矩形铝板，第一种长500mm ，宽300mm ，第二种长600mm ，外宽250mm 可供选用.（1）填空：为了充分利用材料，应选用第 种铝板，这时一块铝板最多能剪甲、乙零件共 个，剪下这些零件后，剩余的边角料的面积是 。
16.3 《梯形的性质》测试(华东师大版八年级上)doc
06-07八年级数学同步调查测试十一梯形的性质（16.3）一、选择题（本题共10题，每题3分，共30分）1．如果一个四边形只有一条对称轴，那么这个四边形可能是 ( ) A ．梯形 B ．菱形 C ．正方形 D ．等腰梯形 2．梯形ABCD 中两对角线相交于点O ，则此图中面积相等的三角形共有 ( )A ．1对B ．2对C ．3对D ．4对3．在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，那么它的四个角的比∠A ：∠B ：∠C ：∠D 可以是A ．2：3：4：5B ．3：4：2：5C ．4：2：5：3D ．5：4：3：2( )4．在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，AB=DC ，则四边形ABCD 是 ( )A ．等腰梯形B ．平行四边形C ．直角梯形D ．等腰梯形或平行四边形 5．下列说法中正确的是 ( )A ．有两个角对应相等的梯形是等腰梯形B ．有一组对边平行但不相等的四边形是梯形C ．梯形两底的垂线是梯形的高D ．梯形的对角线相等 6．下列结论中，不正确的是 ( )A ．等腰梯形两底中点连线是它的对称轴B ．直角梯形不可能等腰C ．等腰梯形中不可能有直角D ．有两边相等的梯形是等腰梯形7．以等腰梯形的对角线为边长的三角形不可能是 ( )A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．锐角三角形D ．不等边三角形 8．如图所示，等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AD=5，AB=6，BC=8，且AB ∥DE ，则∆DEC 的周长是( ) A ．3 B ．12 C ．15 D ．199．梯形两对角线的长分别为13cm 和20cm ，梯形的高为12cm ，则梯形的面积是( )A ．126 cm 2B ．130 cm 2C ．12 cm 2D ．156 cm 2 10．以线段6,10,13,16====d c b a 为边作梯形，其中a 、b 作为梯形的两底，这样的梯形 ( ) A ．能作出1个 B ．能作出2个 C ．能作出无数个 D ．不能作二、填空题（本题共10题，每题3分，共30分）11．已知等腰梯形中有一个内角是60 0，则这个等腰梯形在同一腰上的两个角分别为 ．12．在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠B=900，∠C ：∠D=1：3，∠C= ，∠D= ．13．在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠B=50 0，∠C=40 0 ，DE ∥AB 交BC 于E ，则四边形ABED 是 四边形，∆DEC 是 三角形．14．如图，梯形ABCD 中，如果DC ∥AB ，AD=BC ，∠A=60 0，DB ⊥AD ，那么∠DBC= ，D第14题BA CE 第8题B C D A∠C= ．15．等腰梯形的锐角等于60 0，它的上底是3cm ，腰长是4cm ，则下底是 ． 16．等腰梯形的两底和是10，两底差是4，一底角为45 0，则其面积为 ． 17．在等腰梯形ABCD 中，AB ∥CD ，对角线AC ⊥BD ，且CD=5，AB=9，则梯形ABCD 的高为 ． 18．梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AD=3，AB=4，BC=5，则腰CD 的取值范围是 ．19．如图，直角梯形ABCD 中，AD+AB=BC ，则∠ADC= ． 20．如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠B+∠C=90 0，AD=1，BC=3，E 、F 分别上AD 、BC 的中点，则EF= ．三、解答题（第21，22题各6分，第23-26题每题7分，共40分）21．如图，∆ABC 中，AB=AC ，在AB 上任取一点D ，过点D 作DE ∥BC 交AC 于点E ．（1）四边形BCED 是 梯形． （2）试说明你的结论的正确性．22．如图，等腰梯形ABCD 中，AB ∥DC ，AD=BC ，过点C 作CE ∥DB 交AB 延长线于E ，试说明AC=CE ．A CBD第19题E F CD BA 第20题第21题 CB A A第22题OEBCD23．已知：如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AD <BC ，E 、F 分别为AD 、BC 的中点，且EF ⊥BC ，试说明∠B=∠C ．24．有一块梯形的土地，现要平均分给两个农场种植（即将梯形的面积两等分），试设计两种方案（平分方案画在备用图上），并给予合理的解释．25．如图所示，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，E 是CD 的中点，EF ⊥AB 于点F ，AB=8cm ，EF=9cm ，试求梯形ABCD 的面积．第23题E F D C B A 第24题① BC D A ② B C D A 第25题CFE DBA26．如图所示，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，对角线AC 、BD 相交于点O ，AOD S ∆：COD S ∆=1：2，求AOB S ∆：S 梯形ABCD ．06—07八年级数学同步调查测试十一答案一、1．D 2．C 3．B 4．D 5．B 6．D 7．D 8．C 9．A 10．D 二、 11．600，1200 12．450，1350 13．平行，直角 14．300，1200 15．7cm 16．1017．7 18．2＜CD ＜6 19．135020．1三、21．（1）等腰（2）DE ∥BC,AB 与AC 不平行,BD=CE,从而四边形BCED 是等腰梯形 22．证AC=DB=CE 23．过E 作EG ∥DC 交BC 于H.证∠B=∠EGC=∠EHB=∠C24．方案一:连结梯形上,下底的中点E,F方案二:连结AC,取AC 中点E,连结BE,ED,则S 四边形ABED =S 四边形BCDEO第26题BCDA25．272cm 26.2：9。
华师大版数学八上163梯形梯形的性质同步测试
梯形的性质◆随堂检测一、等腰梯形的两腰，同一底上的两个角，对角线 .二、如图，在梯形ABCD中，∠B=50°，∠C=80°，则∠D= ，∠A .3、如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD=4，AB=2，BC=6，∠B=60°，则CD= .4、一等腰梯形的上底为9cm，下底为17cm，一底角为60°，则它的腰长为（）五、等腰梯形的上底与高相等，下底是上底的3倍，则其底角的度数为（）°或150°°或135°°或120°°或105°六、如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，DE∥BC交AB于点E，梯形周长为30cm，CD=5cm，则△ADE的周长为多少？◆典例分析如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD=4cm，BC=10cm，∠DBC=45°，求梯形ABCD的面积.分析：已知梯形的上底和下底，要求梯形的面积，需要求出梯形的高，为此，可过上底的一个极点作梯形的高，将梯形分成矩形和直角三角形.解：作AE⊥BC，DF⊥BC，别离交BC于E、F.因为梯形为等腰梯形，因此BE=CF=1042=3cm，因此BF=10－3=7cm. 又∠DBC=45°，因此△DBF为等腰直角三角形，因此DF=BF=7cm，因此梯形ABCD的面积为12ABCD S =梯形（AD+BC ）×DF=12（4+10）×7=49（2cm ）.◆课下作业●拓展提高一、下列说法正确的是（ ）A.对角线相等的四边形是等腰梯形B.一组对边平行，另一组对边相等的四边形是等腰梯形C.两组对角别离互补的四边形是等腰梯形D.等腰梯形是轴对称图形，通过两底中点的直线是它的对称轴二、若是等腰梯形的两底之差等于一腰长，那么那个等腰梯形的锐角是（ ）° ° ° °3、等腰梯形有一角为120°，腰长为3cm ，一底边长为4cm ，则另一底边长为（ ）D. 1cm 或7cm4、已知直角梯形的一条腰长为5cm ，这腰与底边成30°角，则这梯形另一腰的长为（）D.五、如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，∠D=2∠B ，AD=a ，CD=b ，则AB 等于（ ）A. 2ba + B. 2ab +C. a b +D. 2a b +六、如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠B=50°，∠C=80°，试说明CD=BC-AD.●体验中考一、（2009年山东威海）在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，∠A=60°，∠B=30°，AD=CD=6,则AB 的长度为（ ）A ．9B ．12C ．18D ．633+二、（2009年重庆市江津区）如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC,AB ＝AD ＝DC,∠B ＝60º.(1)求证：AB ⊥AC ； 第6题(2)若DC＝6,求梯形ABCD的面积 .参考答案：◆随堂检测一、相等相等相等.二、100° 130°.依照梯形上底和下底平行，可知∠A与∠B互补，∠C与∠D互补.3、2. 过A点作AE∥CD交BC于E，可得四边形AECD为平行四边形，因此∠AEC=∠C.又因为∠B=60°，因此∠AEC=∠B=60°，因此CD=AB=2.4、A. 能够等腰梯形上底的一极点向下底作垂线，如此垂线和腰还有下底组成直角三角形，再依照30°的直角边等于斜边的一半即可求得.五、B. 要分为上底较长和下底较长两种情形去考虑.六、20cm.解：因为梯形周长为30cm，因此AB+BC+CD+DA=30cm，又因为DE∥BC，因此四边形DEBC为平行四边形，因此EB=CD=5cm，因此△ADE的周长为AD+AE+DE=AD+AE+BC=AB+BC+CD+DA-2CD=30-2×5=20cm.◆课下作业●拓展提高一、D. 依照等腰梯形的性质可得.二、A. 依照30°的直角边等于斜边的一半即可求得.3、D. 要分底边长4cm为上底和下底两种情形来做.4、C. 依照30°的直角边等于斜边的一半即可求得.五、C. 过D作DE∥CB交AB于E，则四边形DEBC为平行四边形，因此∠DEB=∠B，又因为∠D=2∠B，因此∠ADE=∠AED，因此AD=AE，因此AB=AD+CD=a+b.六、解：过点D作DE∥AB交BC于E，则四边形ABED为平行四边形，AD=BE，因为∠DEC=∠B=50°，∠C=80°，因此∠EDC=50°，因此以∠EDC=∠DEC，因此DC=EC. 因为EC=BC-BE，因此DC=BC-AD.●体验中考一、C. 依照等腰梯形的性质可得.二、证明：（1）∵AD∥BC，AB=DC ∠B=60°∴∠DCB=∠B=60°∠DAC=∠ACB.又∵AD=DC ∴∠DAC=∠DCA ∴∠DCA=ACB=0602=30° ∴∠B+∠ACB=90°∴∠BAC=90°∴AB ⊥AC（2）过点A 作AE ⊥BC 于E ∵∠B=60°∴∠BAE=30°又∵AB=DC=6 ∴BE=3∴AE ===∵∠ACB=30°，AB ⊥AC∴BC=2AB=121()2ABCD S AD BC AE =+梯形1(612)2=+⋅=。
八年级数学第十六章第3节梯形的性质同步练习华东师大版
【模拟试题】（答题时间：45分钟）一. 选择题1. 如图，在等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠C ＝60°，则∠1＝（ ）A B C D1A. 35°B. 40°C. 60°D. 80°2. 等腰梯形的上底与高相等，下底是上底的3倍，则一个底角是（ ）A. 30°B. 45°C. 60°D. 75°3. 如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，CA 平分∠BCD ，CD ＝5，则AD 的长是（ ）A. 6B. 5C. 4D. 3A B CD4. 下列四边形：①等腰梯形，②正方形，③矩形，④菱形的对角线一定相等的是（ ）A. ①②③B. ①②③④C. ①②D. ②③*5. 如图，设M ，N 分别是直角梯形ABCD 两腰AD ，CB 的中点，DE ⊥AB 于点E ，将△ADE 沿DE 翻折，M 与N 恰好重合，则AE ∶BE 等于（ ）A. 2∶1B. 1∶2C. 3∶2D. 2∶3*6. 梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠B ＝50°，∠C ＝80°，BC ＝8cm ，AD ＝5cm ，则DC 长为（ ）A. 3cmB. 2cmC. 4cmD. cm*7. 梯形的两底长分别是16cm 和24cm ，下底角分别是60°和30°，则较短腰长为（ ）A. 3cmB. 83cmC. 12cmD. 4cm**8. 已知：如图所示，AB ∥CD ，AE ⊥DC ，AE ＝12，BD ＝15，AC ＝20，则梯形ABCD 的面积是（ ）A. 130B. 140C. 150D. 160A B CD E二. 填空题1. 梯形ABCD 中，AB ∥CD ，周长为30cm ，DE ∥BC 且交AB 于E ，CD ＝5cm ，则△ADE 的周长为_________．2. 已知直角梯形的两腰之比为1∶2，那么这个梯形的最大角为__________度．3. 等腰梯形的上底为6cm ，下底为8cm ，高为3cm ．则腰长为__________cm ．4. 等腰梯形有一角为120•°，•腰长为3cm ，•一底边长为4cm ，•则另一底边长为_______．5. 如图，在等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AE ∥DC ，AB ＝6cm ，则AE ＝__________cm . A B C E D*6. 如图所示，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠B 与∠C 互余，AD ＝5，BC ＝13，∠C ＝60°，则该梯形的面积为__________．A B C D三. 解答题1. 如图，等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AD ＝3，AB ＝4，BC ＝7，求∠B•的度数．A B CD2. 如图，E 、F 是梯形ABCD 的两底AD 、BC 的中点，且EF ⊥BC ，•试证明梯形ABCD 是等腰梯形．A BC D E F3. 已知：梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ＝4，BC ＝9，CD ＝5，DA ＝6．（1）求证：AB ⊥BC ；（2）求梯形ABCD 的面积．**4. 如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠BAD ＝90°，E 是DC 的中点，•证明∠AEB ＝2∠CBE ．A B C DE【试题答案】一. 选择题1. C2. B3. B4. A5. A6. A7. D8. C二. 填空题1. 20cm2. 1503. 24. 1cm 或7cm5. 66. 183（过A 或D 作一腰的平行线）三. 解答题1. 60° 提示：过A 作AE ∥CD ，得平行四边形AECD ，分析可知△ABE 为等边三角形．2. 提示：分别过E 作EG ∥AB 交BC 于G ，EH ∥DC 交BC•于H ，•可证得EG ＝•EH ，所以梯形ABCD 是等腰梯形可证得．3. （1）过点D 作DE ∥AB 交BC 于点E ，则AB ＝DE ＝4，∠DEC ＝∠ABC ，AD ＝BE ＝6，CE ＝9－6＝3．在△DEC 中，DC ＝5，DC 2＝25，DE 2＋CE 2＝42＋32＝25，所以DC 2＝DE 2＋CE 2．所以△DCE 是直角三角形，所∠DEC ＝90°．所以∠ABC ＝90°，即AB ⊥BC ；（2）梯形ABCD 的面积＝12（AD ＋BC ）·AB ＝30． 4. 由于DE ＝EC ，AD ∥BC ，如果延长AE 交BC 的延长线于F ，就构造出△ADE 和△FCE 全等．从而AE ＝EF ．这时BE 为R t △ABF 斜边上的中线．由此知∠EBF ＝∠F ．由∠AEB ＝∠CBE ＋∠F 可得结论．。
八年级数学梯形 同步练习4华师版
梯形(4)【基础知识精讲】1.什么叫梯形一组对边平行，另一组对边不平行的四边形叫梯形.2.与梯形相关的一些概念底：平行的两边叫做底腰：不平行的两边叫做腰高：两底的距离叫做梯形的高3.两种特殊的梯形直角梯形：有一个角是直角的梯形叫直角梯形性质：直角梯形斜腰中点到直角腰的两端距离相等等腰梯形：两腰相等的梯形叫等腰梯形性质：等腰梯形两底角相等，等腰梯形两条对角线相等【重点难点解析】重点：等腰梯形的性质和判定难点：添加辅助线将梯形转化成熟悉的平行四边形、三角形问题来解决例1 如图4.9－2，梯形ABCD中，AB∥DC，AD＝BC，延长AB到E，使BE＝DC，连结AC、CE，求证：AC＝CE分析本题考查等腰梯形的性质，平行四边形判定与性质.由于等腰梯形对角线相等，证题思路比较明显，那就是连DB.证DB＝CE.证明□DBEC.证明：∵DC∥AB BE＝DC 且E在AB的延长线上，即DC∥BE∴四边形DBEC是平行四边形∴CE＝DB又∵AD＝BC ∴梯形ABCD是等腰梯形∴AC＝BD ∴AC＝CE例2 等腰梯形一个底角为150°，腰长为10cm，下底为30cm，求上底的长.分析 本题查考知识点为等腰梯形性质，直角三角形性质及勾股定理的应用，通过上底的两个端点作下底的垂线，将等腰梯形转换成直角三角形与矩形，从而求出AD 的长度.解：∵AE ⊥BC DF ⊥BC∴AE ∥DC ，又AD ∥EC 且∠AEF ＝Rt ∠ ∴ADFE 为矩形 ∴AD ＝EF在Rt △ABE 中，∠B ＝30°，AB ＝10cm 则AE ＝5 由勾股定理得：BE ＝22AE AB ＝53 cm同理 FC ＝53cm∴EF ＝BC －BE －FC ＝30－103 cm ∴AD ＝EF ＝30－103cm例3 如图4.9－4，直角梯形ABCD 中，AB ∥DC ，∠ABC ＝60° ∠ABC 的平分线交AD 于E CE ⊥BE ，且BE ＝2，求CE 、DC 的长度.分析 CE 为Rt △BEC 的一条直角边，且∠EBC ＝21∠ABC ＝30°，通过特殊的直角三角形性质及勾股定理，求出CE 之长，再由直角梯形的性质，将上底转换为直角三角形的边计算.解：∠１＝21∠ABC ＝30° 又CE ⊥BE 在Rt △BEC 中 BC ＝2EC ∴BE 2＝BC 2－EC 2＝4EC 2－EC 2＝3EC 2即：3EC 2＝4 EC 2＝34EC ＝332在Rt △CDE 中，∵∠BEA ＝60° ∠CEB ＝90° ∴∠CED ＝30° DC ＝21EC ＝21×332＝33例4 如图4.9－5，已知梯形ABCD ，BC 是下底，∠ABC ＝60°，BD 平分∠ABC ，且BD ⊥CD ，若梯形的周长是30cm ，求此梯形的面积.分析 本题考查Rt △的性质、梯形面积公式，关键是求高与底边和，由于∠DBC ＝30°，∠BDC ＝90°，则DC ＝21BC ，作出高线通过勾股定理转换到底(腰). 解：过D 作BC 的高线、垂足为E ∵AD ∥BC ∠DBC ＝∠DBA ＝21∠ABC ＝30° ∴∠ADB ＝∠DBC ＝∠ABD ＝30° ∴AB ＝AD 又∵BD ⊥CD ∴DC ＝21BC ∠C ＝60°＝∠ABC ∴梯形ABCD 是等腰梯形 ∴DC ＝AB ＝AD ∴∠CDE ＝30° ∵DE ⊥BC ∴EC ＝21DC 由勾股定理得DE ＝23DC 设DC ＝x ，则AD ＝ＡＢ＝DC ＝x BC ＝2x DE ＝23x 依题意有：x+x+x+2x=30 则x ＝6 故AD ＝6cm BC ＝12cm DE ＝23×6＝33cm ∴S 梯形ABCD ＝21×(6+12)×33＝273cm 2【难题巧解点拨】例1 如图4.9－9，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AE 平分∠BAD ，BE 平分∠ABC ，且AE 、BE 交DC 于E 点.求证：AD ＝AB －BC分析 本题考查等腰三角形性质、三角形全等的判定，依题可得∠1+∠3＝90°，加上∠1＝∠2，可考虑证等腰三角形，看能否将底集中在一起，延长AE 、BC 就可达到目的，这里要注意辅助线不能作为既延长两线交于一点又使CF ＝AD ，同时三线合一的逆用需要证明.证明：延长AE 交BC 的延长线于F ∵AD ∥BC ∴∠4＝∠F ∴∠DAB+∠CBA ＝180° 又∵∠3＝21∠DAB ∠1＝21∠CBA ∴∠1+∠3＝90° ∴AE ⊥BE 又∵∠1＝∠2 BE 公共∴△ABE ≌△FBE ∴AB ＝BF ＝BC+CF ＝BC+AD ∴AE ＝EF 在△AED 和△EFC 中 ∵AE ＝EF ∠4＝∠F ∠DEA ＝∠FEC ∴△AED ≌△FEC ∴AD ＝CF ∴AD ＝AB －BC例2 如图4.9－10，在等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ＝DC ，点P 为BC 边上一点，PE ⊥AB ，PF ⊥CD ，BG ⊥CD ，垂足分别为E 、F 、G.求证：PE+PF ＝BG分析 这是一题考查学生综合解题能力的考题.一般要证两线段和等于一条线段的长，可以把长线段截成两段，再分别证明线段相等，或者把短线段延长成线段和再证两线段长的和等于长线段的长.本题宜采用前面的方法.证明：作PM ⊥BG ∵BG ⊥DC ，PF ⊥DC∴MPFG 是矩形 ∴MG ＝PF在Rt △EBP 和Rt △MPB 中∴△EBP ≌△MPB∴MB ＝PE ∴BG ＝BM+MG ∴BG ＝PE+PF【课本难题解答】例1 如图4.9－11，已知等腰梯形ABCD 、AD ∥BC ，对角线AC ⊥BD ，AD ＝3cm ，BC ＝7cm ，求梯形的面积S.(P 175B.1)分析 考虑到已知两底，求出高AE 就可解决问题，利用条件，可构造等腰直角三角形FAC ，再由直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，就可以得AE.(一)解：过A 作AE ⊥AC ，垂足为E ，过A 作AF ∥BD ，交CB 的延长线于F ，则BF ＝AD ，AF ＝BD. ∵ABCD 是等腰梯形，且BD ⊥AC ∴AF ＝AC 且AF ⊥AC ∵AE 为FC 的垂直平分线 ∴AE ＝21(BF+BC)＝21(AD+BC)＝21(3+7)＝５(cm)(二)如图4.9－12，过O 作OE ⊥BC 于E ，延长EO 交AD 于F ，于是OF ⊥AD ，由△ABC ≌△DCB ，得∠1＝∠2，所以OE 是Rt △BOC 的斜边上的中线，OE ＝21BC ，同理OF ＝21AD ，由此求得高EF. (三)如图4.9－13，过A 作AE ⊥BC 于E ，过D 作DF ⊥BC 于F ，由△ABC ≌△DCB 得∠2＝∠1＝45°，AE ＝EC ＝21(AD+BC) 注意：本题也可以分别计算△AOD 、△AOB 、△BOC 、△DOC 的面积，然后相加.例2 若以14cm，9cm为底，13cm，7cm为腰画梯形，这个梯形能不能画出来?为什么?分析梯形能不能画出来，实际上是看两底的差14－8＝5，与两腰13、7能否为边作出三角形来.答：不能画出来，因为根据画梯形的步骤，先要以两腰、两底的差为边作三角形，而由条件，两腰分别为13、7，两底的差为14－9＝5，以这三条线段为边不能画出三角形，所以梯形画不出来.【命题趋势分析】平移对角线将对角线集中于同一三角形中，变等腰梯形为等腰三角形，再由三角形知识求解历来为中考命题的热点，以填空、选择和解答题出现.【典型热点考题】例1 如图4.9－6，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC＝BC+AD，求∠DBC的度数.分析本题考查，等腰梯形的性质，等边三角形的判定和性质，要求∠DBC就是要知道边间的关系，由等腰梯形对角线相等想到将AC与BD集中在同一三角形DBE中，此时解题思路就很明显了，作辅助线延长BC至E，并使CE＝AD.解：过D作DE∥AC交BC的延长线于E∵AD∥BE ∴四边形ADEC是平行四边形∴AD＝CE AC＝DE ∴BE＝BC+CE＝BC+AD∵等腰梯形ABCD ∴AC＝BD又∵AC＝BC+AD ∴AC＝BE ∴BD＝AC＝BE＝DE∴△BDE为正三角形，即∠DBC＝60°例2 等腰梯形两条对角线互相垂直，若一条对角线长6cm，求梯形的高.分析本题考查等腰梯形的性质，等腰三角形三线合一性质及直角三角形的有关性质，根据梯形的常规辅助线作法由于对角线相等且垂直、平移其中一对角线，得等腰直角三角形，将梯形的高的问题转换成求等腰直角三角形高的问题.解：如图4.9－7，已知在梯形ABCD中AD∥BC，AB＝CD，AC＝6cm，求DE的长.过D 点作DF ∥AC 交BC 的延长线于F ∵BD ⊥AC ∴∠BOC ＝90° ∴∠BDF ＝90°∵DF ∥AC AD ∥BC ∴四边形ACFD 为平行四边形 ∴DF ＝AC ＝6cm ∴∠F ＝45° ∠EDF ＝90°－45°＝45° ∴EF ＝DE 在Rt △DEF 中，设DE 为x ，则EF 为x ，∴x 2+x 2=DF 2＝36 ∴2x 2＝36 x 2＝18 x ＝32 即DE ＝32例3 在梯形ABCD 中，AD ∥BC AB ＝DC ＝AD ＝5 CA ⊥AB ，求BC 之长和∠D 的度数.分析 本题考查梯形的定义、等腰三角形的性质、等腰梯形的性质，显而易见，∠1＝∠2＝∠3，从而得∠B ＝２∠2，转换为求直角三角形的边角问题.解：∵AD ∥BC ∴∠1＝∠2 又AD ＝DC ∴∠1＝∠3 ∴∠2＝∠3 ∴∠2＝21∠BCD 设∠2为x ，则∠B 为2x ∵x+2x ＝90°∴x ＝30° 即∠2＝30° ∴∠D ＝180°－(∠2+∠3)＝120° 在Rt △ABC 中，∠2＝30° BC ＝2AB ＝2×5＝10【同步达纲练习】 一、填空题1.梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ＝CD ＝acm ，BC ＝bcm ，∠B ＝60°，则AD ＝ ，若∠B ＝45°，则AD ＝ .2.梯形的上底边长为6cm ，过上底的一顶点引一腰的平行线，构成三角形的周长为21cm ，那么该梯形的周长为 .3.已知直角梯形两腰之比为1∶2，那么该梯形的最大角是 度，最小角是 度.4.等腰梯形上底为3，下底为7，腰长为5，则对角线长x 的取值范围是 .5.一组对边 而 不平行的四边形叫做梯形.6.一腰的梯形叫直角梯形，两腰的梯形叫等腰梯形.7.等腰梯形除具有一般梯形的性质外，还有(1)在同一底上的相等；(2)两腰；(3)两条对角线；(4)是对称图形，其对称轴是；(5)两腰延长线的交点和对角线的交点都在上.8.已知等腰梯形的一个底角等于60°，它的两底分别为13cm和37cm，它的周长是 .9.等腰梯形两底长的和是10，两底差是4，一底角为45°，则其面积为 .10.已知：直角梯形的一腰长为10cm，这条腰与底边的夹角是60°，较短的底边长是4cm，则另一腰的长为 .二、选择题1.梯形ABCD中，AD∥BC，那么∠A∶∠B∶∠C∶∠D可以等于( )A.4∶5∶6∶3B.6∶5∶4∶3C.6∶4∶5∶3D.3∶4∶5∶62.给出下列命题①一组对边平行的四边形是梯形；②一组对边平行且相等的四边形是梯形；③一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫梯形；④一组对边不相等的四边形叫梯形，其中真命题只有( )A.①③B.②③C.③④D.③3.给出下列结论：①对角线相等的梯形是等腰梯形；②等腰梯形中不可能有直角；③直角梯形不可能等腰；④等腰梯形两底中点连线是它的对称轴.其中正确结论的个数是( )A.2个B.3个C.4个D.1个4.给出下列结论：①梯形是轴对称图形；②等腰梯形是轴对称图形；③等腰梯形的对角线相等；④等腰梯形在同一底上的两个角相等，其中结论正确的只有( )A.①②③B.②③④C.①③④D.③④5.在下述图形中，有且仅有两条对称轴和一个对称中心的图形是( )A.等边三角形B.等腰梯形C.菱形D.正方形6.只有一组对边平行的四边形是( )A.梯形B.平行四边形C.菱形D.正方形7.梯形两对角线的长分别为13cm和20cm，梯形的高为12cm，则梯形的面积是( )A.126cm2B.130cm2C.120cm2D.156cm28.梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠B ＝50°，∠C ＝80°，AD ＝8cm ，BC ＝12cm ，则DC 等于( ) A.7cmB.6cmC.5cmD.4cm9.等腰梯形ABCD ，AD ∥BC ，AC ⊥BD ，AD ＝３cm ，BC ＝7cm ，则梯形的高等于( ) A.3cmB.4cmC.5cmD.6cm10.梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AD ＝2cm ，BC ＝5cm ，则S △ADC ∶S △ABC 等于( ) A.1∶5B.2∶5C.3∶5D.4∶5三、解答题1.如图4.9－14，在等腰梯形ABCD 中，对角线AC 与BD 互相垂直，且AD ＝3cm ，BC ＝7cm ，求BD 的长度.2.如图4.9－15，在梯形ABCD 中，已知其周长为40cm ，上底CD ＝7cm ，DE ∥BC ，G 、F 分别为AD 、AE 边上的中点，且GF ＝21BC ，求△AED 和△AFG 的周长.3.已知梯形的上底长4；下底长7，两腰分别为4和5，求作这个梯形.4.已知等腰梯形的锐角等于60°，它的两底分别为15cm 和49cm ，求它的腰长.5.在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ＝BC ，∠A ＝90°，∠D ＝45°，CD 的垂直平分线交CD 于E ，交AD 于F ，交BA 的延长线于G ，若AD ＝a ，(1)求证：ABCF 为正方形；(2)求BG.【素质优化训练】如图4.9－16，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝DC＝10cm，AC与BD相交于G，且∠AGD＝60°，设E为CG的中点，F为AB的中点，求EF的长.【生活实际运用】在研究等腰梯形时，常常通过辅助线，使等腰梯形与等腰三角形联系起来，用怎样的辅助线可以在等腰梯形中划出等腰三角形，举例说明.【知识探究学习】如图4.9－17，已知梯形ABCD中，AD∥BC，E为CD的中点，EF⊥AB于F，则有S梯形ABCD＝AB·EF，请说明其理由.参考答案【同步达纲练习】1.b－a b－2a2.33cm3.150° 30°4.2＜x＜85.平行 一组对边6.垂直于底 相等7.两个角 相等 相等 轴 两底中点所在的直线 底的垂直平分线 8.98cm 9.10 10.53cm二、1.A 2.C 3.A 4.B 5.C 6.A 7.A 8.D 9.C 10.B 三、1.522.26cm 13cm3.先以3、4、5为边作三角形，再以4、5为边作□4.34cm5.提示：先证∠CFD ＝90°，再证ABCF 为正方形 BG ＝a【素质优化训练】提示：连结BE.【生活实际运用】略.【知识探究学习】提示：连AE 、BE ，∵S △ABE ＝21S 梯ABCD ＝21AB ·EF ，∴S 梯＝AB ·EF.。
八年级数学梯形 同步练习3华师版
梯形(3)【基础知识精讲】1．梯形的定义：一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫做梯形．2．梯形的元素：(1)梯形的底：梯形中平行的两边叫做梯形的底，通常把较短的底叫上底，较长的底叫下底．(2)梯形的腰：梯形中不平行的两边叫梯形的腰．(3)梯形的高：梯形两底的距离是梯形的高．3．特殊梯形的定义：(1)等腰梯形：两腰相等的梯形．(2)直角梯形：一腰垂直于底的梯形．4．梯形的判定(1)定义：略．(2)有一组对边平行且不相等的四边形是梯形．5．等腰梯形的判定(1)定义：略．(2)在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形．(3)对角线相等的梯形是等腰梯形．【重点难点解析】解题中常用的是梯形的性质，特别是等腰梯形的如下性质：(1)两腰相等，两底平行；(2)在同一底上的两个角相等；(3)对角线相等；(4)是轴对称图形，底的垂直平分线是它的惟一对称轴．A．重点、难点提示1．掌握梯形的有关概念和性质；2．掌握等腰梯形的性质和判别条件；（这是重点，也是难点，要掌握好）3．掌握直角梯形的性质和判别条件．（有直角，就可以构造直角三角形，再利用直角三角形的性质处理直角梯形问题）B．考点指要梯形是重要的四边形之一，梯形的性质是中考的重要内容之一．一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫作梯形，平行的两边叫做梯形的底，不平行的两边叫做梯形的腰，夹在两底之间的垂线段叫作梯形的高．两条腰相等的梯形叫做等腰梯形．一条腰和底垂直的梯形叫做直角梯形．等腰梯形和直角梯形是两类特殊的梯形，它们的性质的考查频率较高．等腰梯形同一底上的两个内角相等，对角线相等．同一底上的两个内角相等的梯形是等腰梯形．（这些是常用方法，要掌握好）梯形问题常转化为三角形、平行四边形问题来解决，常用的转化方法有：【难题巧解点拨】例1：已知梯形ABCD 的面积是32，两底与高的和为16，如果其中一条对角线与两底垂直，则另一条对角线长为___________________．思路分析本题是几何中的计算问题．通过作对角线的平行线，可以将对角线与高，上底与下底和集中到同一个直角三角形中，这样就可以利用勾股定理求出对角线的长．解：如图4-50，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，BD ⊥BC ．设AD=x ，BC=y ，DB=z ，由题得：x+y+z=16，322z)y x (S ABCD =⋅+=梯形，（熟记梯形面积公式） 解得x+y=8，z=8，过D 作DE ∥AC 交BC 的延长线于E ．∴四边形ADEC 是平行四边形，（注意这种辅助线的作法很常用） ∴DE=AC ，AD=CE ．（将“上底+下底”转化到一条线段上） 在Rt △DBE 中，∠DBE=90°，BE=BC+CE=x+y=8，BD=8， 根据勾股定理得2888DB B E DE 2222=+=+=，∵AC=DE ，28AC =∴．点评：本题主要考查用“方程思想”解决几何中的计算问题．解题过程中作“对角线的平行线”，将对角线与高，上底与下底和集中到同一个直角三角形中，这样就可以通过解直角三角形计算出对角线长，体现了添加辅助线的目的是把“分散的条件得以集中，隐含条件加以显现”的作用．解梯形有关问题时，我们也常通过“作平行线将之转化为平行四边形的问题来解决”．例2：如图4-51，已知AB=BC ，AB ∥CD ，∠D=90°，AE ⊥BC ．求证：CD=CE ． 思路分析这是一个直角梯形，通过作CF ⊥AB ，可以将梯形分成矩形和三角形，结合直角梯形的性质，利用两次全等，达到证明CD=CE 的目的．证明：如图4-52，连结AC ，过C 作CF ⊥AB 于F ．在△CFB 和△AEB 中， （这是直角梯形中常见的辅助线）⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠︒=∠=∠BC AB BB 90AEB CFB （构造三角形证明三角形全等） ∴△CFB ≌△AEB （AAS ） ∴CF=AE ．∵∠D=90°，CF ⊥AB 且AB ∥CD ， ∴AD=CF ， ∴AD=AE ．在Rt △ADC 和Rt △AEC 中，⎩⎨⎧==AC AC AEAD ∴Rt △ADC ≌Rt △AEC （HL ） ∴CD=CE ．点评：本题主要考查直角梯形、三角形全等的综合运用．在直角梯形中，通过作梯形一底的垂线，将梯形分成特殊的四边形（矩形）和三角形．将题中已知条件AB=BC 中的两条线段AB 和BC 分别放到两个三角形中，结合直角梯形的性质，利用两次全等，达到证明CD=CE 的目的．解决梯形问题时，除可作以上辅助线外，作一腰的平行线、连对角线、作对角线的平行线也是经常用到的．例3：如图4-53，梯形ABCD 中，AB ∥DC ，AD=BC ，延长AB 至E ，使BE=DC ．求证：AC=CE ． 思路分析本题主要考查等腰梯形的性质及证明两条线段相等的基本方法． 证法一：∵四边形ABCD 是等腰梯形，∴∠ADC=∠BCD （等腰梯形同一底上的两个角相等） 又∵AB ∥DC ，∴∠BCD=∠CBE ，（两直线平行，内错角相等） ∴∠ADC=∠CBE ， 在△ADC 和△CBE 中，⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=BE DC CBE ADC BC AD ∴△ADC ≌△CBE （SAS ） ∴AC=CE ．证法二：如图4-54，连结BD ， ∵DC ∥BE ，DC=BE ，∴四边形DCEB 是平行四边形，（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形） ∴DB=CE ．又∵四边形ABCD 是等腰梯形， ∴AC=BD ，（等腰梯形对角线相等） ∴AC=CE ．证法三：如图4-55，作CF ⊥AE 于F ，DM ⊥AE 于M ． 在△AMD 和△BFC 中，⎪⎩⎪⎨⎧︒=∠=∠=∠=∠90CFB DMA BCAD CBF DAM ∴△AMD ≌△BFC （AAS ） ∴AM=BF ．又∵AB ∥DC ，MD ∥FC ， ∴DC=MF ． 又∵DC=BE ， ∴AM+MF=BF+BE ， ∴F 为AE 的中点， ∴CF 是AE 的垂直平分线， ∴AC=CE ．证法四：如图4-54，连结BD ． ∵DC ∥BE ，DC=BE ，∴四边形DCEB 是平行四边形，∴∠DBA=∠E ，（两直线平行，同位角相等） 又∵四边形ABCD 是等腰梯形， ∴AC=BD ，在△ABC 和△BAD 中，⎪⎩⎪⎨⎧===AB AB BC AD BD AC ∴△ABC ≌△BAD （SSS ） ∴∠CAB=∠DBA ， ∴∠CAB=∠E ，∴AC=CE ．（等角对等边）（此种方法虽然较繁，但其思路很有价值，即通过证明“三线合一”说明是等腰三角形）点评：证法一证两三角形全等得两线段相等；证法二、四利用角相等证线段相等；证法三中通过梯形常加的辅助线，作梯形底边上的高，连结梯形的对角线，将梯形分割成两个直角三角形与一个矩形，连结对角线再作对角线的平行线，将梯形转化为一个平行四边形和一个三角形．例4：要剪切如图4-56（尺寸单位：mm ）所示的甲、乙两种直角梯形零件，且使两种零件的数量相等．有两种面积相等的铝板，第一块长500mm ，宽300mm （如图4-57（1）），第二块长600mm ，宽250mm （如图4-57（2）），可供选用．（1）为了充分利用材料，应选用第_________种铝板，这时一块铝板最多能剪甲、乙两种零件共________个，剪完这些零件后，剩余的边角料面积是______________2mm ． （2）从图4-57（1）、4-57（2）中选出你要的铝板示意图，在上面画出剪切线；并把边角余料用阴影表示出来．思路分析通过计算，两直角梯形零件面积分别为22mm 30000mm 40000和，而铝板的面积均为2mm 150000，最多能剪出两个甲、两个乙零件，即在两铝板中设计打样．设计时，为了充分利用材料，考虑到（1）中宽为300mm ，则一种方案作两个乙高，另一种方案为一个甲的下底，思路便打开，类似地，（2）也可以这样分割设计，做出尝试．解：（1）应选用第一块铝板，最多能剪出甲、乙两种零件共4个，由计算得 第一块铝板面积为：)m m (150000300500S 2=⨯=， 而零件甲、乙的面积分别为)mm (40000200)300100(21S 2=⨯+⨯=甲， )mm (30000150)300100(21S 2=⨯+⨯=乙， ∴剩余的边角料的面积是2mm 10000； （2）如图4-58所示正确画出图形．（设计零件个数，从个数、数量上，结合图中数与数之间的关系考虑，往往是应用题的切入点，此外对图形的拼凑、计算、想象，可有利于思维向纵深发展．）【典型热点考题】例1 如图4-30，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，DC ⊥BC ，E 为AB 的中点，求证：EC=ED ．点悟：要证EC=ED，实际上只要证E点在CD的垂直平分线上，故过E点作EF⊥CD．又因为BC⊥CD，所以EF∥BC，由E为AB的中点，根据平行线等分线段定理的推论可证出F是CD的中点，EF是线段CD的中垂线，从而可证出EC=ED．解：过E作EF⊥CD，垂足为F．∵ BC⊥CD，∴ BC∥EF．∵ E为梯形ABCD腰AB的中点．∴ EF平分CD，∴ EF是CD的垂直平分线．∴ EC=ED．例2如图4-31，已知在四边形ABCD中，有AB=CD，∠B=∠C，AD＜BC．求证：四边形ABCD为等腰梯形．点悟：由题意知，只需证AD∥BC即可．如延长BA、CD，由∠B=∠C可得等腰△EBC和△EAD，从而可得AD∥BC．解：延长BA、CD，它们交于点E，∵∠B=∠C，∴ EB=EC．又∵ AB=DC，∴ AE=ED．∴∠EAD=∠EDA∵∠E＋∠EAD＋∠EDA=180°，∠B＋∠C＋∠E=180°．∴∠EAD=∠B．∴ AD∥BC，又∵ AD＜BC，∠B=∠C．∴四边形ABCD为等腰梯形．例3如图4-32，已知等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AC⊥BD，AD＋BC=10，DE⊥BC于E，求：DE的长．点悟：由等腰梯形知：AC=BD ，又AC ⊥BD ，AD ＋BC=10，如过D 作DF ∥CA ，交BC 的延长线于F ，则△BDF 为等腰直角三角形．BF=BC ＋AD=2DE ．解：过D 作DF ∥AC ，交BC 的延长线于F ，则四边形ACFD 为平行四边形， ∴ AC=DF ，AD=CF∵ 四边形ABCD 为等腰梯形 ∴ AC=DB ，BD=FD ． ∵ DE ⊥BC ， ∴51021)(21)(2121=⨯=+=+===AD BC CF BC BF EF BE . ∵ AC ∥DF ，BD ⊥AC ， ∴ BD ⊥DF ． ∵ BE=EF ， ∴521====BF EF BE DE 答：DE 的长为5．点拨：当对角线相等或垂直时，常作梯形对角线的平行线，构造成平行四边形，等腰三角形或直角三角形．例4 如图4-33，已知梯形ABCD 中，AD ∥BC ，E 、F 分别为AB 、CD 的中点，EF 分别交BD 、AC 于点G ，H ，求证：(1)EG=HF ，(2))(21AD BC GH -=点悟：由题知，EF 为梯形的中位线，所以EF ∥AD ∥BC ，则G 、H 也分别为BD 、AC 中点，故可应用三角形、梯形中位线定理解决问题．解：∵ E 、F 为梯形的两腰AB 、CD 的中点． ∴ AD ∥EF ∥BC ，且G 、H 分别为BD 、AC 的中点． ∴AD EG 21=，AD FH 21=，BC EH 21=. ∴ EG=HF ． ∵ GH=EH －EG∴)(212121AD BC AD BC GH -=-=点拨：梯形中位线的性质是“梯形中位线平行于两底，并且等于两底和的一半”，如果从运动的观点来认识梯形、三角形、平行四边形，那便可以找到它们中位线之间的联系．如图4-33所示：当梯形上底AD 的点D 和点A 重合，即AD=0时梯形ABCD 便转化为三角形，由梯形中位线BC 21)BC AD (21EF =+=转化为三角形的中位线；当梯形的上底扩大，使AD=BC 时，梯形ABCD 就变成了平行四边形，这时ADFE 与EFCB 均是平行四边形，于是得BC=EF=AD ． ∴ 平行四边形一组对边中线EF 表示为：)(21BC AD BC AD EF +=== 这样，梯形中位线的性质便与三角形中位线的性质以及平行四边形一组对边中点的连线统一起来了． 例5 如图4-34，已知四边形ABCD 为矩形，四边形ABDE 为等腰梯形，AE ∥BD ．求证：△BED ≌△BCD ．点悟：要证△BED ≌△BCD ，则考虑这两个三角形中的对应边，对应角的相等关系．而DE=AB=CD ，BD=BD ，且BE=AD=BC ，则问题得证，本题要证对应的角相等也不困难． 解：∵ 四边形ABCD 为矩形． ∴ DC=AB ，BC=AD ，∵ 四边形ABDE 为等腰梯形，且AD 、DE 为其对角线， ∴ DE=AB ，BE=AD ．在△BED 和△BCD 中，DE=DC ，BE=BC ， 又∵ BD=BD ，∴△BED ≌△BCD ．点拨：梯形有一组对边平行，而另一组对边不平行，在处理这类问题时，常把梯形问题转化为平行四边形的问题，或把直角梯形问题转化为矩形问题或直角三角形问题．例6 如图4-35，已知△ABC 中，D 为AB 的中点，E 为BC 的三等分点(BE ＞CE)，AE 、CD 交于点F ，求证：F 为CD 的中点．点悟：我们知道，由平行线等分线段定理及推论可得到线段中点，故过D 作DN ∥AE ，构造平行线等分线段定理推论2的基本图形．解：过D 作DN ∥AE 交BC 于N ． ∵ D 为AB 中点，∴ BN=EN ，又∵ E 为BC 的三等分点，（BE>CE ）∴ BN=NE=EC ． ∵ DN ∥FE ，∴ F 是CD 的中点．点拨：从上述证明过程中看出，有效利用中点D 成为证明的关键，通常在已知有线段中点时，常过该点作平行线，构造平行线段等分线段定理及推论的基本图形，以达到有关证明的目的．例7 如图4-36，如果把矩形ABCD 纸对折，折痕为GH ，再把A 点叠在折痕线上，折痕为BE ，得到Rt △ABE ，BE 交折痕GH 于P ，延长EA ’交BC 于F ，求证△BEF 为等边三角形．点悟：由折叠过程和平行线等分线段定理的推论1知：P 、A ’分别为BE 、EF 中点，而 ∠EAB=90°，有PA ’=PE ，BA ’为EF 的垂直平分线，从而∠BEF=∠EA ’P=∠DEF=∠A ’EB= 60°，又BE=BF ，∴△BEF 为等边三角形．解：∵ G 、H 分别为矩形ABCD 的边AB 、CD 的中点， ∴ 四边形AGHD ，GBCH 为矩形，AD ∥GH ∥BC ． ∴ P 、A ’分别为BE 、EF 的中点． ∵ Rt △A ’BE ≌Rt △ABE ，∴∠EA ’B=∠EAB=90°，∠AEB=∠BEF ． ∴∠PA ’=PE=BE 21，BA ’为EF 的垂直平分线， ∴∠BEF=∠PA ’E ，BE=BF ． ∵ GH ∥AD ， ∴∠PA ’E=∠DEF ， ∴∠A ’EB=∠BEF=∠DEF ． ∵∠A ’EB ＋∠BEF ＋∠DEF=180°， ∴∠BEF=60°．∵ BE=BF ， ∴△BEF 为等边三角形．点拨：折叠问题是一种常见题型，解此类题的关键是：折叠后重叠部分是全等形，同时要注意折叠前后图形中有关元素的联系．例8 如图4-37，已知梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AC 与BD 交于O ，且AC ⊥BD ，AC=4，BD=3．4，求梯形ABCD 的面积．点悟：梯形的面积常用(上底＋下底)×高21⨯来计算，而此题上、下底和高都是未知的， 故不能用此公式．但⨯⨯=⋅=42121BD AC S ABCD 梯形 3.4=6.8故面积可求． 解：∵ AC ⊥BD ，∴BD AO 21S ABD ⋅=∆, BD CO S BCD ⋅=∆21, ∴BD CO AO BD CO BD AO S S S BCD ABD ABCD ⋅+=⋅+⋅=+=∆∆)(212121梯形,即 ⨯⨯=⋅=42121BD AC S ABCD 梯形 3.4=6.8答：梯形ABCD 的面积为6．8．点拨：当梯形(或任意四边形)对角线互相垂直时，它们的面积等于对角线乘积的一半．例9 如图4-38，已知在等腰梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ＞CD ，AD=BC ，BD 平分∠ABC ，∠A=60°，梯形周长是20cm ，求梯形的各边长？点悟：由等腰梯形性质知：∠A=∠CBA=60°，又BD 平分∠ABC ，有∠1=∠2=30°，从而∠ADB=90°，则AB AD 21=又AB ∥CD ，知∠2=∠3=∠1，有BC=CD=AD ．故由周长为20cm ，可求各边长． 解：∵ 四边形ABCD 为等腰梯形， ∴∠A=∠ABC=60°，∵ BD 平分∠ABC ， ∴∠1=∠2=30°．∠A=60° ∴∠ADB=180°－∠A －∠2 =180°－60°－30° =90°． ∴AB AD 21=. ∵ AB ∥CD ， ∴∠2=∠3． ∴∠1=∠3， ∴ BC=DC ． ∵ AD=BC ， ∴AB BC CD AD 21===.∵ AB ＋BC ＋CD ＋AD=20． ∴ AD=DC=BC=4， AB=8答：梯形的各边长分别为4cm ，4cm ，4cm ，8cm ．【同步达纲练习一】 一、选择题1．下列命题中，真命题有 ( )①有两个角相等的梯形是等腰梯形； ②有两条边相等的梯形是等腰梯形； ③两条对角线相等的梯形是等腰梯形； ④等腰梯形上、下底中点连线，把梯形分成面积相等的两部分． (A)1个 (B)2个 (C)3个 (D)4个 2．以线段a=16，b=13，c=10，d=6为边作梯形，其中a 、c 作为梯形的两底，这样的梯形( )(A)只能作1个 (B)能作2个 (C)能作无数个 (D)不能作3．在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ⊥BC ，E 是CD 中点，则 ( ) (A)AE=BE (B)AE ＞BE(C)AE ＜BE (D)AE 、BE 大小不确定4．等腰梯形的两底长分别为a 、b ，且对角线互相垂直，它的一条对角线长是 ( ) (A))(22b a + (B)2 (a ＋b) (c))(21b a + (D)a ＋b二、填空题5．在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠B=50°，∠C=80°，AD=a ，BC=b ，则∠D=________，CD=________． 6．直角梯形一底与一腰的夹角为30°，并且这腰长为6厘米，则另一腰长为_________．7．已知梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AC ＜BC ，AC ⊥BD 于O ，AC=8，BD=6，则梯形ABCD 的面积为_________． 8．已知梯形上、下底长分别为6、8，一腰长为7，则另一腰a 的X 围是 _______，若a 为奇数，则此梯形为_________梯形．9．梯形不在同一底上的两组角的比值分别为3∶6和4∶2，则四个角的度数分别为_________．三、解答题10．梯形ABCD 中，AD ∥BC ，BD ⊥DC ，若AB=AD=DC ，梯形ABCD 的周长为10，求梯形ABCD 的面积．11．已知梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AD ＜BC ，且∠B ＋∠C=90°，E 为AD 中点，F 是BC 中点．求证：)(21AD BC EF -=【同步达纲练习二】1．有两个角相等的梯形是( )A．等腰梯形B．直角梯形C．一般梯形D．等腰梯形或直角梯形2．已知直角梯形的一腰长为10cm，这条腰与底所成的角为30°，那么另一腰的长为( )A．2.5cm B．5cm C．10cm D．15cm3．如图4-59，梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，对角线AC与BD相交于点O，则图中全等三角形共有( )A．1对B．2对C．3对D．4对（平移对角线BD即可）4．如图4-60，AB∥CD，AE⊥DC，AE=12，BD=15，AC=20，则梯形ABCD的面积是( )A．130 B．140 C．150 D．1605．等腰梯形中，上底：腰：下底=1：2：3，则下底上的内角的度数是____________．6．已知梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，若∠B=30°，AD=2cm，BC=6cm，那么梯形的周长为_____________．7．已知梯形的上底长为2，下底长为5，一腰长为4，则另一腰长的取值X围是_________________．89，则它的对角线长为8．已知：等腰梯形的两底分别为10cm和20cm，一腰长为cm_____________cm．9．如图4-61，已知等腰梯形ABCD，AD∥BC，E为梯形内一点且EA=ED．求证：EB=EC．10．如图4-62，四边形ABCD是矩形，四边形ABDE是等腰梯形，AE∥BD．求证：△BED≌△BCD．11．如图4-63，梯形ABCD 中，∠B+∠C=90°，E 、F 分别为上、下底的中点．求证：)AD BC (21EF -=．参考答案【同步达纲练习一】一、1．B ； 2．D ； 3．A ； 4．A ． 二、5．100°，b-a ； 6．3； 7．24； 8．5<a<9，等腰梯形； 9．60°，60°，120°，120°． 三、10．∵AD=AB=DC ． ∴∠1=∠2， ∵ AD ∥BC ，∴∠C=∠2+∠3，∠1=∠3． ∴∠2=∠3，∴∠C=2∠3． ∵ BD ⊥DC ，∴∠3=30°， ∴BC CD 21=．设CD=x ，则x+x+x+2x=10， ∴ x=2．在Rt △BCD 中，BD=322422=-． 作DE ⊥BC ，垂足为E ．则 32221421⨯⨯=⨯⨯DE ， ∴3=DE ，∴333)42(21S ABCD =⋅+=梯形． 11．过E 作EM//AB ，EN//CD 交BC 分别于M 、N ，则得、，有AE=BM ，EN=CD ，∠B=∠EMC ，∠C=∠ENB ，又∠B+∠C=90°，则∠EMC+∠ENB=90°，有∠MEN=90°。
华师版八年级数学梯形 同步练习
梯形 同步练习一、填空题1．等腰梯形ABCD 的对角线相交于O 点，∠BOC ＝120°，∠BDC ＝80°，则∠DAB ＝________．2．若等腰梯形的上底与一条腰长的和等于下底的长，则腰长与上底的夹角为________．3．一梯形是上底为4cm ，过上底的一顶点，作—直线平行于一腰，并与下底相交组成一个三角形，若三角形的周长为12cm ，则梯形的周长是________．4．等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠A ＝120°，两底分别为15cm 和49cm ，则其腰长为________．5．梯形ABCD 的面积是24，AD ∥BC ，且AD ＝5，BC ＝7，那么梯形的高是________．6．在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠B ＝50°，∠C ＝80°，BC ＝5，AC ＝3，则CD ＝________．7．在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AD ＝3，AB ＝4，BC ＝5，那么腰CD 的取值X 围是________．8．在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠B ＝90°，AD ＝1，△DBC 是等边三角形，则BC ＝________．9．在等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠B ＝60°，则∠D ＝________．二、选择题10．下列结论正确的是( )．A ．四边形可以分成平行四边形和梯形两类B ．梯形可分为直角梯形和等腰梯形两类C ．平行四边形是梯形的特殊形式D ．直角梯形和等腰梯形都是梯形的特殊形式11．四边形ABCD 中，若∠A ︰∠B ︰∠C ︰∠D ＝2︰2︰1︰3，那么这个四边形是( )．A ．梯形B ．等腰梯形C ．直角梯形D ．任意四边形12．一等腰梯形上底为9cm ，下底为17cm ，一底角为60°，则它的腰长为( )．A ．8cmB ．9cmC ．cm 28D ．8.5cm13．等腰梯形ABCD 中，对角线AC ＝BC ＋AD ，则∠DBC 的度数是( )．A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°三、解答题14．如图12-3-11，已知△ABC中，∠B＝∠C，点D、E分别在边AB、AC上，且AD ＝AE，试说明四边形BCED是等腰梯形．15．如图12-3-12，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝40°，∠C＝70°，试说明AB＋AD＝BC．16．梯形ABCD中，AB∥CD，AB>CD，CE∥DA，交AB于E，且△BCE的周长为7cm，CD为3cm，求梯形ABCD的周长．17．如图12-3-13所示，在梯形ABCD中，上底AD＝1 cm，下底BC＝4cm，对角线BD ⊥AC，且BD＝3cm，AC＝4cm．求梯形ABCD的面积．参考答案一、1．110°2．120°3．20 cm4．34 cm 5．4 6．27．2<CD<6 8．2 9．120°二、10．D 11．C 12．A 13．C14．略．15．过A作AE∥DC交BC于E，EC＝AD，AB＝BE．BE＋EC＝BC，所以AB＋AD＝BC．16．周长为13cm．17．解：过点D作DE∥AC交BC的延长线于点E．因为在梯形ABCD中，AD∥BC，所以四边形ACED是平行四边形，则AC＝DE，AD＝CE．又因为AC⊥BD．所以BD⊥DE，即△BDE是直角三角形．因为△BDE与梯形ABCD同高，且梯形ABCD中(AD＋BC)＝BC＋CE＝BE，所以)cm(64321SS2BDEABCD=⨯⨯==∆梯形．。
八年级数学梯形 同步练习1华师版 试题
梯形(1)一. 填空题1. 等腰梯形上底为6cm,下底为8 cm,高为3cm,则腰长为_______________.2. 若等腰梯形的锐角为60°,它的两底分别为11 cm, 35 cm, 则它的腰长为______ cm.3. 若直角梯形的一腰长为18 cm,这条腰和一个底所成的角是30°,则另一条腰长是______.4. 同一底上两个角相等的梯形是________形.5. 如图4.5-1,五边形ABCDE是正五边形,AC, AD, BD, BE, CE是对角线,则图形中共有等腰梯形_____________个.6. 如图4.5-2,在梯形ABCD中,DC∥AB,AC平分∠DAB, ∠DAB=∠CBA=60°,若梯形周长为80 cm,则AD=___________.7. 梯形ABCD中,对角线AC=BD,则ABCD是_________形,若延长两腰BA, CD相交于E,则△EBC是_________形.D CBA图4.5-1 图4.5-2二. 选择题8. 如图4.5-3,在梯形ABCD中,AB∥CD,将BC平移到DE的位置,若∠A=55°, ∠C=120°,则∠ADE等于 ( )A. 75°B. 65°C. 55°D. 45°CBA图4.5-39. 在梯形ABCD中,AD∥BC,那么四个叫之比可以成立的是 ( )A. 3:5:6:4B. 3:4:6:5C. 6:5:4:3D. 4:5:6:310. 若一底给定,一腰与底的夹角是90°时,等腰梯形 ( )A. 一定可以作出B. 一定作不出C. 可能作出D. 可以作出两个11. 以线段a=16, b=13, c=10, d=6为边作梯形,其中a,c作为梯形的两底,这样的梯形( )A. 可以作一个B. 可以作二个C. 可以作无数个D. 不能作12. 在直线梯形ABCD中,AD∥BC, AB⊥BC, E是CD的中点,则 ( )Ａ. AE=BE B. AE>BE C. AE<BE D. AE,BE大小不确定三. 解答题13. 如图4.5-4,四边形ABCD中,AB=CD, AC=BD,且AB不平行于CD,试问: 四边形ABCD是等腰体梯形吗?为什么?B图4.5-414.(1) 在等腰梯形ABCD中,AD∥BC,E是BC的中点,连结AE, DE, AE与DE相等吗?请说明理由.(2) 上题中,若添加条件BC=2AD,图4.5-5中有平行四边形吗?请指出来,并说明理由.EDCBA图4.5-5四. 应用题15. (1) 如图4.5-6(1),四边形ABCD是平行四边形,AE=EF=FD, BG=GH=HC,问四边形EGFH的面积与平行四边形ABCD的面积有什么关系?(2) 如图4.5-6(2),四边形ABCD是梯形,E,F是AD的三等分点,G,H是BC的三等分点,问四边形EGHF的面积与梯形ABCD的面积有什么关系?(3) 如图4.5-6(3),当四边形ABCD是任意四边形时,其余条件不变,四边形EGHF的面积与四边形ABCD的面积间存在某种关系吗?说明你的探索结果.G H FE DCB AHG F E DCBAHG F E DCBA图4.5-6(1) 图4.5-6(2) 图4.5-6(3)16. 如图4.5-7,已知在四边形ABCD 中,有AB=CD,∠B=∠C,AD<BC.求证: 四边形ABCD 为等腰梯形.DCB A图4.5-7五. 综合能力提高题17. 如图4.5-8为一直角梯形,上底为a,下底为2a,高为a,请动手试一试能不能将它分割为若干个与原图形形状一样的小直角梯形?至少可分成几个?a2aa图4.5-818. 根据要求编拟一道新题.已知: 如图4.5-9,在矩形ABCD 平面内有一点P,且PA=PD.求证: PB=PC.PDCB A图4.5-9请你将上述条件中的”矩形ABCD ”改为另一种四边形,其余条件不变,使结论”PB=PC ”仍然成立,再根据改编后的题目画出图形,并说明理由.。
梯形性质及判定练习题
梯形性质及判定练习题梯形是一种四边形，其两边边平行，而另外两边不平行。
在本练题中，我们将探讨梯形的性质以及如何判定一个四边形是否为梯形。
梯形的性质梯形具有以下性质：1. 两底角相等：梯形的两个底角（与较长边相对的两个角）是相等的。
两底角相等：梯形的两个底角（与较长边相对的两个角）是相等的。
2. 两腰相等：梯形的两条斜边（与底平行的两边）是相等的。
两腰相等：梯形的两条斜边（与底平行的两边）是相等的。
3. 对角线交点连线平分底角：梯形的对角线交点连线将底角平分。
对角线交点连线平分底角：梯形的对角线交点连线将底角平分。
4. 底角与顶角之和等于180度：梯形的底角和顶角之和总是等于180度。
底角与顶角之和等于180度：梯形的底角和顶角之和总是等于180度。
判定一个四边形是否为梯形要判定一个四边形是否为梯形，可以根据以下条件进行判断：1. 两对边平行：如果一个四边形的两对边都是平行的，那么它就是一个梯形。
两对边平行：如果一个四边形的两对边都是平行的，那么它就是一个梯形。
2. 底角相等：如果一个四边形的两个底角是相等的，那么它就是一个梯形。
底角相等：如果一个四边形的两个底角是相等的，那么它就是一个梯形。
如果一个四边形同时满足上述两个条件，那么我们可以确定它是一个梯形。
练题让我们来练一下判定一个四边形是否为梯形。
1. 判定以下四边形是否为梯形：*使用上述判定条件，来判断这个四边形是否为梯形，并解释理由。
*这个四边形是一个梯形。
它满足两对边平行的条件（上边和下边平行，左边和右边平行），同时底角相等。
2. 判定以下四边形是否为梯形：*使用上述判定条件，来判断这个四边形是否为梯形，并解释理由。
*这个四边形不是一个梯形。
虽然两对边平行（上边和下边平行，左边和右边平行），但底角并不相等。
练题结束。
通过不断练判定梯形的条件，我们可以更好地理解和应用梯形的性质。
华东师大版八年级数学梯形 同步练习2
梯形【学习目标】掌握梯形的概念，探索并了解等腰梯形的有关性质，并会运用分解梯形为平行四边形与三角形的方法解决一些简单的问题．【基础知识概述】 1．梯形的有关概念：(1)梯形的定义：一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫做梯形． 注意：定义需满足三个条件：①四边形；②一组对边平行；③一组对边不平行． (2)梯形的相关定义：①梯形的底：梯形中平行的两边叫做梯形的底．注意：通常把较短的底叫做上底，较长的底叫做下底，梯形的上下底则是以长短区分的，不是指位置定的．②梯形的腰：梯形中不平行的两边叫做梯形的腰． ③梯形的高：梯形两底的距离叫做梯形的高． (3)特殊梯形的定义：①等腰梯形：两腰相等的梯形．②直角梯形：一腰垂直于底的梯形． 2．梯形的分类：⎪⎩⎪⎨⎧⎩⎨⎧等腰梯形直角三角形特殊梯形一般梯形梯形3．梯形的识别：(1)定义法判定，四边形中①一组对边平行；②另一组对边不平行． (2)有一组对边平行且不相等的四边形是梯形．注意：此识别方法可由梯形定义和一组对边平行且相等的四边形是平行四边形得出． 4．等腰梯形的特征：(1)等腰梯形两腰相等、两底平行． (2)等腰梯形在同一底上的两个角相等． (3)等腰梯形的对角线相等．(4)等腰梯形是轴对称图形，它只有一条对称轴，底的垂直平分线是它的对称轴．注意：等腰梯形在同一底上的两个角相等，不能说成：(1)等腰梯形两底上的角相等；(2)等腰梯形同一底上的两底角相等．这两种说法都是错误的．5．等腰梯形的识别：(1)两腰相等的梯形是等腰梯形．(2)在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形． (3)对角线相等的梯形是等腰梯形． 6．等腰梯形特征及识别的作用：可以证明角、线段相等，直线平行及判定四边形为等腰梯形等． 7．解决梯形问题的基本思路：题三角形或平行四边形问分割、拼接转化 梯形问题−−−−−−→−．这种思路常通过平移或旋转来实现． 8．梯形的面积(如图12-3-1)：DE )AB CD (21S ⋅+=梯．【例题精讲】例1 已知如图12-3-2，四边形ABCD 中，AB ＝DC ，AC ＝BD ，AD ≠BC ，试说明四边形ABCD 是等腰梯形．分析：由条件知只需证明四边形ABCD 为梯形， 即证AD ∥BC ，可转证∠BAD ＋∠ABC ＝180°． 解：∵AB ＝CD ，BC ＝CB ，AC ＝DB ， ∴△ABC 与△DCB 重合，∴∠ABC ＝∠DCB ．同理可证∠BAD ＝∠CDA ． ∵∠ABC ＋∠DCB ＋∠BAD ＋∠CDA ＝360°， ∴∠ABC ＋∠BAD ＝180°， ∴AD ∥BC ．∵AD ≠BC ，AB ＝DC ， ∴四边形ABCD 为等腰梯形．思考：如此题不给AD ≠BC 这个条件，这还是等腰梯形吗？ (提示：不一定，它还可能为矩形)注意：所以证明四边形为梯形时，一定要考虑平行边是否相等(另一对边是否平行)．例2 如图12-3-3，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AD ＝AB ＝DC ，BD ⊥CD ．求∠C 的大小．分析：这是一个等腰梯形．所以∠ABC ＝∠C ．其中又有△ABD 是等腰三角形，所以有∠ABD ＝∠ADB ．当平行线与等腰三角形在一起，常常能把角进行迁移，可以推得∠ADB ＝∠DBC ＝∠ABD ，即∠C ＝∠ABC ＝2∠DBC ，在Rt △BCD 中便可容易地求得∠C ＝60°．解：因为在梯形ABCD中，AB＝DC，所以∠ABC＝∠C．又因为AD＝AB，则∠ABD＝∠ADB．又AD∥BC，所以∠ADB＝∠DBC．因此∠C＝∠ABC＝2∠DBC．在Rt△BCD中，∠C＋∠DBC＝3∠DBC＝90°，则∠DBC＝30°，∠C＝60°．例3 如图12-3-4，梯形ABCD中，AD∥BC，AD＝8，BC＝17，∠C＝70°，∠B＝55°，求DC的长．分析：要求DC的长，设法将DC放到一个三角形内去解决，这个三角形与已知条件AD＝8，BC＝17，∠C＝70°，∠B＝55°相联系，可过D作DE∥BA，在△DEC中求出DC．解：过D作DE∥AB交BC于E．∴∠1＝∠B＝55°．∵∠C＝70°，∴∠2＝55°，∴DC＝EC＝BC—BE．∵AD∥BC，DE∥AB，∴BE＝AD＝8．∵BC＝17，∴DC＝17—8＝9．说明：作梯形一腰的平行线，把梯形分成一个平行四边形和一个三角形是常用的引辅助线的方法．例4如图12-3-5，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AD⊥CD，AB＝BC，又AE⊥BC于E，试说明CD＝CE．分析：题设中有AB＝BC，AE⊥BC，故可联想连结AC，以构造等腰三角形，利用等腰三角形的性质证题．解：连结AC，∵AB ＝BC ， ∴∠BAC ＝∠1． 又∵AB ∥CD ， ∵∠BAC ＝∠2， ∴∠1＝∠2．又AD ⊥CD ，AE ⊥BC ， ∴∠D ＝∠AEC ＝90°， ∴△ADC 与△AEC 重合， ∴CD ＝CE ．例5 如图12-3-6，已知等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AC ⊥BD ，AD ＋BC ＝10，DE ⊥BC 于E ，求DE 的长．分析：由等腰梯形知AC ＝BD ，又AC ⊥BD ，AD ＋BC ＝10，如过D 作DF ∥AC ，交BC 的延长线于F ，则△BDF 为等腰直角三角形，BF ＝BC ＋AD ＝2DE ．解：过D 点作DF ∥AC ，交BC 的延长线于F ，则四边形ACFD 为平行四边形． ∴AC ＝DF ，AD ＝CF ． ∵四边形ABCD 为等腰梯形， ∴AC ＝DB ， ∴BD ＝FD ． ∵DE ⊥BC ，∴51021)AD BC (21)CF BC (21BF 21EF BE =⨯=+=+===． ∵AC ∥DF ，BD ⊥AC ， ∴BD ⊥DF ． ∵BE ＝FE ，∴5BF 21EF BE DE ====．例6 已知如图12-3-7，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AD<BC ，E 、F 分别为AD 、BC 的中点，且EF ⊥BC ．试说明∠B ＝∠C ．分析：要证∠B ＝∠C ，可把它们移到同一个三角形中，利用等腰三角形有关性质，证明这个问题．解：过E 作EM ∥AB ，EN ∥CD ，交BC 于M 、N ，得．∴AE ＝BM ，AB 平行且等于EM ，DE ＝CN ，CD 平行且等于NE ． ∵AE ＝DE ， ∴BM ＝CN ． 又∵BF ＝CF ， ∴FM ＝FN ． 又∵EF ⊥BC ， ∴EM ＝EN ， ∴∠1＝∠2．∵AB ∥EM ，CD ∥EN ， ∴∠1＝∠B ，∠2＝∠C ， ∴∠B ＝∠C ．例7 如图12-3-8，等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ＝CD ，对角线AC ⊥BD ，AD ＝4cm ，BC ＝10cm ．求梯形的面积．解：过A 作AE ⊥BC 于E ，过D 作DF 上BC 于F ， ∴32410CF BE =-==， ∴BF ＝7．∵AB ＝CD ，∠ABC ＝∠DCB ， ∴△ABC 与△DCB 重合， ∴∠ACB ＝∠DBC ． ∵AC ⊥BD ，∴∠ACB ＝∠DBC ＝45°， 在△DBF 中，DF ＝BF ＝7，∴)cm (4972104S 2=⨯+=． 说明：梯形引辅助线的方法很多，本文只举几种，希望大家自己能认真理解、总结、完善自己的知识系统．【中考考点】①会利用梯形特征与识别方法解决相关问题． ②会把梯形问题转化为三角形和平行四边形问题．【命题方向】本节多以填空题、计算题出现，还常和三角形、平行四边形一起以综合证明题的形式出现．【常见错误分析】什么叫做梯形？错解：一组对边平行的四边形叫做梯形．分析：因为一组对边平行的四边形，当它的另一组对边还平行时，这样的四边形是平行四边形，因而上述梯形的定义犯了定义过宽的错误，这样定义的方法把平行四边形的概念也包括进去了，实际上梯形和平行四边形是两个并列的概念．正解：一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫梯形．【学习方法指导】(1)类似平行四边形的学法，把梯形的性质与识别用表格列出来，进行对比． (2)学会利用分割、拼补的办法解决梯形问题．【同步达纲练习】 一、填空题1．等腰梯形ABCD 的对角线相交于O 点，∠BOC ＝120°，∠BDC ＝80°，则∠DAB ＝________． 2．若等腰梯形的上底与一条腰长的和等于下底的长，则腰长与上底的夹角为________．3．一梯形是上底为4cm ，过上底的一顶点，作—直线平行于一腰，并与下底相交组成一个三角形，若三角形的周长为12cm ，则梯形的周长是________．4．等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠A ＝120°，两底分别为15cm 和49cm ，则其腰长为________． 5．梯形ABCD 的面积是24，AD ∥BC ，且AD ＝5，BC ＝7，那么梯形的高是________． 6．在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠B ＝50°，∠C ＝80°，BC ＝5，AC ＝3，则CD ＝________． 7．在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AD ＝3，AB ＝4，BC ＝5，那么腰CD 的取值范围是________． 8．在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠B ＝90°，AD ＝1，△DBC 是等边三角形，则BC ＝________． 9．在等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠B ＝60°，则∠D ＝________．二、选择题10．下列结论正确的是( )．A ．四边形可以分成平行四边形和梯形两类B ．梯形可分为直角梯形和等腰梯形两类C ．平行四边形是梯形的特殊形式D ．直角梯形和等腰梯形都是梯形的特殊形式11．四边形ABCD 中，若∠A ︰∠B ︰∠C ︰∠D ＝2︰2︰1︰3，那么这个四边形是( )． A ．梯形 B ．等腰梯形 C ．直角梯形 D ．任意四边形 12．一等腰梯形上底为9cm ，下底为17cm ，一底角为60°，则它的腰长为( )． A ．8cmB ．9cmC ．cm 28D ．8.5cm13．等腰梯形ABCD 中，对角线AC ＝BC ＋AD ，则∠DBC 的度数是( )． A ．30° B ．45° C ．60° D ．90°14．如图12-3-11，已知△ABC中，∠B＝∠C，点D、E分别在边AB、AC上，且AD＝AE，试说明四边形BCED是等腰梯形．15．如图12-3-12，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝40°，∠C＝70°，试说明AB＋AD＝BC．16．梯形ABCD中，AB∥CD，AB>CD，CE∥DA，交AB于E，且△BCE的周长为7cm，CD为3cm，求梯形ABCD的周长．17．如图12-3-13所示，在梯形ABCD中，上底AD＝1 cm，下底BC＝4cm，对角线BD⊥AC，且BD ＝3cm，AC＝4cm．求梯形ABCD的面积．【同步达纲练习】 一、 1．110° 2．120° 3．20 cm 4．34 cm 5．4 6．2 7．2<CD<6 8．29．120°二、10．D 11．C 12．A 13．C 14．略．15．过A 作AE ∥DC 交BC 于E ， EC ＝AD ，AB ＝BE ．BE ＋EC ＝BC ，所以AB ＋AD ＝BC ． 16．周长为13cm ．17．解：过点D 作DE ∥AC 交BC 的延长线于点E ． 因为在梯形ABCD 中，AD ∥BC ， 所以四边形ACED 是平行四边形， 则AC ＝DE ，AD ＝CE ． 又因为AC ⊥BD ． 所以BD ⊥DE ，即△BDE 是直角三角形． 因为△BDE 与梯形ABCD 同高，且梯形ABCD 中(AD ＋BC)＝BC ＋CE ＝BE ， 所以)cm (64321S S 2BDE ABCD =⨯⨯==∆梯形．。
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16.3 梯形的性质一、课内训练：1．下列说法正确的是（）A．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是等腰梯形;B．有两个角相等的梯形一定是等腰梯形;C．一组对边平行但不相等的四边形一定是梯形;D．一组对边相等，而另一组对边不相等的四边形一定是梯形2．四边形四个内角度数之比为2：2：1：3，则此四边形是（）A．任意四边形 B．任意梯形 C．等腰梯形 D．直角梯形3．有两个角相等的梯形是（）A．等腰梯形 B．直角梯形 C．一般梯形 D．等腰梯形或直角梯形4．如图，等腰梯形ABCD的面积为100cm2，AB∥CD，AC⊥BD，求它的高．5．（一题多解）已知等腰梯形的一个锐角等于60°，它的两底分别为20cm和42cm，求它的腰长．6．如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=45°，AE⊥BC，且AE=AD=2cm，求这个梯形的面积．7．在周长为40cm的梯形ABCD中，AD∥BC，AE∥DC交BC于E，AD=5cm，△ABE的周长为（）A．40cm B．30cm C．20cm D．15cm8．如图，等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AD=BC，延长AB到E，使BE=CD，连接CE，求证：CE=CA．9．如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC=BC+AD，求∠DBC的度数．10．（05年陕西省中考·课改卷）如图是用12个全等的等腰梯形镶嵌（密铺）成的图形，这个图形中等腰梯形的上底长与下底长的比是________．11．请你想一想，能否将一个梯形纸片剪接成一个三角形？平行四边形？矩形？二、课外演练：1．下列说法正确的是（）A．平行四边形是一种特殊的梯形；B．等腰梯形两底角相等C．等腰梯形不可能是直角梯形； D．有两邻角相等的梯形是等腰梯形2．如图1，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AD=AB=12BC．•若梯形的周长是30cm，•则AD=________cm，∠B=______．（1）（2）（3）（4）3．等腰梯形的一个锐角等于60°，它的上底是3cm，腰长是4cm，则下底是____．4．梯形的上底长为6cm，过上底一个顶点引一腰的平行线，•交下底所得的三角形的周长是19cm，那么这个梯形的周长是（）A．31cm B．25cm C．19cm D．28cm5．（06年温州市中考）如图2，在梯形ABCD中，AD∥BC，CA平分∠BCD，CD=5，•则AD的长是（）A．6 B．5 C．4 D．36．如果等腰梯形两底差的一半等于它的高，则这个梯形的一个底角等于（）A．30° B．45° C．60° D．75°7．如图3所示，∠B=∠C=90°，E是BC的中点，DE平分∠ADC，∠CED=35°，则∠EAB的度数为_______．8．（05年佛山市中考·课改卷）如图4，是用形状、•大小完全相同的等腰梯形密铺成的图案，则这个图案中的等腰梯形的底角（指锐角）是______度．9．（综合题）梯形ABCD中，AB∥CD，∠A=60°，∠B=60°，CD=3cm，AD=10cm，则AB•的长是________cm．10．如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AC⊥BD，AD+BC=26，求梯形ABCD的高．11．如图，已知M是梯形ABCD一腰CD的中点，MN⊥AB，垂足为N．求证：S梯形ABCD=AB·MN．答案:一、课内训练：1．C 点拨：A也可能是平行四边形；B也可能是直角梯形，由相等的两个角的位置不同决定着；D如图四边形ABCD中，AB=CD，AD≠BC，而四边形ABCD不是梯形．2．D 点拨：设四个内角度数分别为2x，2x，x，3x，由四边形内角和知2x+2x+x+3x=360°，解得x=45°，此梯形有两个角是直角，故选D．3．D 点拨：可以是同一底边上的两个角相等，此时梯形是等腰梯形，也可以是邻角相等，此时梯形是直角梯形．4．解：如图，过点C作CF⊥AB于F，作CE∥DB交AB的延长线于E．∵CE∥DB，AB∥CD，∴四边形BECD是平行四边形．∴CE=BD，BE=CD．∴AE=•AB+•BE=AB+CD．∴S△AEC=12AE·CF=12（AB+CD）·CF=S梯形面积=100cm2，∵AD=BC，BD=AC，∴CE=AC，∵AC⊥BD，CE∥BD，• ∴AC⊥CE，∴△AEC是等腰直角三角形．∵CF⊥AE，∴F是AE中点．CF=12 AE．∴S△AEC =12AE·CF=CF2=100cm2，∴CF=10cm．点拨：由梯形面积公式联想到构造一个一条边等于梯形ABCD的上底与下底之和，且与梯形等高的三角形，把梯形转化为三角形问题，为此过C为CE∥DB交AB•的延长线于E，易知四边形BECD为平行四边形，BE=CD，所以AE=AB+CD，可见△AEC与梯形ABCD•等高，所以它们的面积相等，至此，问题变成了已知三角形面积求高．5．如图，解法一：如图（1），过A作AE∥CD交BC于E，得等边三角形ABE，AB=•BE=•BC-AD=42-20=22（cm）．解法二：如图（2），延长BA、CD交于点O，得等腰三角形OBC和OAD，AB=OB-•OA=•BC-AD=42-20=22（cm）．解法三：如图（3），作AM⊥BC，DN⊥BC，垂足为M，N，得矩形AMND，在Rt△ABM•中，•∠BAM=90°-60°=30°，BM=12（BC-AD）=11cm，因此AB=2BM=22cm．点拨：根据已知条件及求解的问题，有三种辅助线．6．解：∵AE⊥BC，∠B=45°，∴BE=AE=2cm，过D作DF⊥BC于F．∵四边形ABCD是等腰梯形，∴∠C=45°．∴四边形AEFD是矩形．∴EF=AD=2cm，CF=DF=AE=2cm．∴BC=BE+EF+FC=2+2+2=6．∴S梯形ABCD=12（AD+BC）·AE=12×（2+6）×2=8（cm）2．7．B 点拨：△ABE的周长等于梯形周长减去10．8．连接BD，∵梯形ABCD是等腰梯形，又∵AB∥CD，CD=BE．∴四边形BECD•是平行四边形．∴CE=BD．又∵四边形ABCD是等腰梯形，∴BD=AC，∴AC=CE．9．解：过D作DE∥AC交BC的延长线于E．∵AD∥BC，∴四边形ACED是平行四边形．∴DE=AC，AD=CE．又∵四边形ABCD是等腰梯形．∴AC=BD．又∵AC=BC+AD，∴AC=BC+CE=BE．∴BD=BE=DE．∴△BDE是等边三角形．∴∠DBC=60°．10．1：2 点拨：此等腰梯形是有一内角为60°且两腰与上底相等的．11．一个梯形纸片可以剪拼成一个三角形、平行四边形或矩形，剪拼方法如图所示，其中虚线与实线的交点都为梯形腰的中点．二、课外演练：1．C 点拨：B选项必须是同一底边上的两底角相等；D选项是直角梯形．2．6，60°点拨：作DF∥AB交BC于F，则AD=BF=12 BC，所以AD=305=6．△DCF是等边三角形，所以∠B=∠C=60°．3．7cm 点拨：由底角为60°，腰长为4，则下底的长为2+2+3=7（cm）．4．A 点拨：梯形的周长等于所得三角形周长加上上底的2倍．5．B 点拨：∵∠DCA=∠ACB，∠ACB=∠DAC，∴∠DAC=∠DCA，∴AD=CD=5．6．B 点拨：过梯形上底两顶点作下底的垂线，等腰梯形被分割成了一个矩形和两个等腰直角三角形，故底角是45°．7．35°点拨：过E作EF⊥AD，垂足为F，因为DE平分∠ADC，所以FE=CE，又因为E为BC中点，所以FE=BE，故AE平分∠BAD．所以2（∠EAB+∠ADE）=180°，而∠ADE=∠EDC=90°-35°=55°，故∠EAB=35°．8．60 点拨：三个等腰梯形的钝角和为360°．9．13 点拨：作梯形的两条高DE、CF，由∠A=∠B=60°，所以AE=BF=5，故AB=13．10．解：过D作DF∥AC交BC的延长线于F，作DE⊥BC于E，则四边形ACFD•是平行四边形，所以AC=DF，AD=CF．又因为四边形ABCD是等腰梯形，所以AC=BD．所以BD=DF．因为AC⊥BD，DF∥AC，所以BD⊥DF．所以△BDF•是等腰直角三角形，•所以∠F=•∠DBF=45°．又因为DE⊥BC，所以BE=EF，∠BED=90°，所以∠DBE=∠BDE=45°，所以DE=BE=12BF=12（BC+CF）=12（BC+CA）=12×26=13．点拨：当梯形的对角线相等或垂直时，常作梯形对角线的平行线，•构造平行四边形，等腰三角形或直角三角形．14．解法一：∵M是CD的中点，故连接并延长AM交BC的延长线于点E，易知△ADM•与△ECM关于点M成中心对称．∴S梯形ABCD=S△ABE．连接BM，由BM是△ABE的中线，∴S△ABE=2·S△ABM=2·12AB·MN=AB·MN．解法二：∵M是CD的中点，故过M作PQ∥AB，PQ分别与AD的延长线及BC相交于点P、Q，得ABQP，△PDM与△QCM关于点M成中心对称．∴S 梯形ABCD=S ABCD =AB·MN．点拨：利用中心对称思想方法，将原来的图形进行部分或整体的割补，把梯形问题转化为三角形问题或平行四边形问题来解决．。