3-4单位阶跃函数和单位冲激函数

如果电容电压发生跳变，必然有冲激电流流 过电容，电容极板上的电荷量发生跳变。
电容电荷的跳变量为：
q i ( t )dt CU s ( t )dt CU s
0 0 0 0
解二
q C[uC (0 ) uC (0 )] CU s
例4. 如图所示电路，iL(0) =0, 求电感电压和电流
0
d (t ) (t ) dt
(t ) ( t )dt

t
例3. 如图所示电路，uc(0) =0, 求电容电压和电流
解：
uC (t ) U s (t )
duC ( t ) d (t ) i(t ) C CU s CU s (t ) dt dt
§34 单位阶跃函数和单位冲激函数
一、单位阶跃函数:
1. 定义
1 t 0 (t ) 0 t 0
Leabharlann Baidu
t = 0，函数值不确定
(t 0 ) 0 (t 0 ) 1
(t )等效表示电路的输入示例
直流电压源和任意网络接通
(t ) 表示的等效电路模型
t t0 t t0
f (t ) f ( t ) t t0 0
例1. 矩形脉冲函数分解
解：
f ( t ) A (t ) A t t 0
例2. 试写出下图的时间函数表达式f(t)
解：
i (t ) 10 ( t 1) 10 t 2


(t )dt (t )dt 1
0
0
2.移位的单位阶跃函数
( t ) 0
即t t0 t (t )dt t t t0 dt 1
t 0
0 0
t0 0
t t t0
3.A为常数
t 0 t 0
t 0 t 0
f ( t ) ( t t 0 )dt
f ( t0 )
( t )dt f ( t0 )
单位冲激函数的采样性质 (sampling property)
三. 单位冲激函数和单位阶跃函数之间的关系
lim f ( t ) ( t )
0
lim f ( t ) ( t )


A ( t )dt A
0 0
( t )dt A
4. f(t)为任意函数


f ( t ) ( t )dt
0 0
0 0
f ( t ) ( t )dt
f (0)
( t )dt f (0)


f ( t ) ( t t 0 )dt
解：
i (t ) ( t ) 2 t 2 t 2
4.阶跃函数的作用：
(1)阶跃函数可以作为开关的数学模型，所以有
时也称为开关函数。
(2)表示某些分段函数。 (3)起到分解波形的作用。
二、单位冲激函数
1.定义
(t ) 0 t0 ( t )dt 1
(t ), (t ) 的波形
ε( t )
ε( t )
2. 移位的单位阶跃函数
1 t t 0 t 0 t 0 即t t 0 t 0 即t t 0
t0 0
3. f(t)为任意函数
f (t ) f ( t ) t 0 t0 t0
0 0 0 0
解二
L[iL (0 ) iL (0 )] LI s
解：
i L ( t ) I s ( t )
diL ( t ) d (t ) uL ( t ) L LI s LI s (t ) dt dt
如果电感电流发生跳变，必然有冲激电压施 加在电感两端，电感中的磁通量发生跳变。
电感磁通的跳变量为：
uL ( t )dt LI s ( t )dt LI s