3-4单位阶跃函数和单位冲激函数
阶跃函数和冲激函数
控制系统的性能优化
阶跃函数用于测试控制系统的 性能，通过观察系统对阶跃输 入的响应速度和超调量，可以
评估系统的性能。
冲激函数可用于分析系统的 频率响应，了解系统在不同 频率下的性能表现，为系统
性能优化提供依据。
通过调整控制系统的参数，结 合阶跃函数和冲激函数的特性， 可以优化控制系统的性能指标。
控制系统的故障诊断与修复
在图形上，冲激函数看起来像一个非 常窄的矩形脉冲。
应用场景
在信号处理中，冲激函数常被 用作单位冲激信号，用于表示 某一事件的发生或开始。
在物理学中，冲激函数可以用 于描述瞬间作用或力的作用， 例如碰撞或冲击。
在电路分析中，冲激函数可以 用于描述电路中的瞬态响应或 冲激响应。
03
阶跃函数与冲激函数的 比较
05
阶跃函数和冲激函数在 控制系统中的应用
控制系统的稳定性分析
01
阶跃函数用于分析控制系统的稳定性，通过观察系统
对阶跃输入的响应，可以判断系统是否稳定。
02
冲激函数可用于分析系统的零点和极点，进一步确定
系统的稳定性。
03
通过计算系统的传递函数，结合阶跃函数和冲激函数
的性质，可以判断系统在不同频率下的稳定性。
阶跃函数和冲激函数可用于检测控制系统的故障，通过观察系统对输入信号的响应变化，可以判断系 统是否存在故障。
阶跃函数和冲激函数还可以用于定位故障，通过分析系统在不同输入下的响应特性，可以确定故障发生 的位置。
在故障诊断的基础上，可以利用阶跃函数和冲激函数的特性，制定相应的修复措施，恢复控制系统的正 常运行。
04
阶跃函数和冲激函数在 信号处理中的应用
信号的分离与提取
第四节阶跃函数和冲激函数
t
x
dx
0,
t,
t<0 t>0
t
t
t
t
x
dx
t
t
'x
dx
tdt 1
'tdt 0
• 四.冲激函数的性质：
• 1.与普通函数的乘积： f t t f 0 t
筛选特性
f
t tdt
f
0 tdt
f
0
f t ' t f 0 ' t f ' 0 t
f
t
' t dt
f
' 0
• 而一些广义函数间乘积无定义如：δ(t)ε(t);δ(t)δ(t);δ(t)δ’(t)等。
第四节 阶跃函数和冲激函数
• 一. 阶跃函数和冲激函数
rn(t)
1
1 .阶跃函数 ：（引入）若有一个函数： 2
n 1
1
t
n
• rn(t)=
0
, t<-1/n 即信号从(-1/n,1/n)区间内从0幅度升高到1。
•
½+nt/2 , -1/n<t<1/n
•
1
, t>1/n
• 若所用时间很短 0，即在0- 0+的时间内由0 1，则定义为单位阶跃函数
波形如图:
t
t 0,t 0
• 冲激函 t
dt
t
t
x
dx
• 二.冲激函数的广义定义
• <1>δ(t)广义定义：对一个性能良好的函数φ(t)（检验函数）有以下定义
则δ(t) 为冲激函数：
(t ) (t )dt
，(0φ)(t)为一般函数，性能良好
知识点1第一章第4节阶跃函数和冲激函数
知识点1第一章第4节阶跃函数和冲激函数阶跃函数和冲激函数是控制工程和信号处理中常用的数学函数。
它们在描述系统的动态响应以及信号的特性时起到了重要的作用。
本文将详细介绍阶跃函数和冲激函数的定义、性质以及在实际应用中的意义。
一、阶跃函数的定义和性质阶跃函数（Step Function）是一类常见的跃变函数，它在数学上用于描述其中一时刻突然跃变的情况。
阶跃函数通常被表示为u(t)，其中t 为自变量。
阶跃函数的定义如下：1,t≥0u(t)=0,t<0在定义中，当t≥0时，阶跃函数的取值为1；当t<0时，阶跃函数的取值为0。
阶跃函数的图像呈现为一个从0跃变到1的过程。
阶跃函数具有以下性质：1.阶跃函数u(t)在t=0的时刻不可导，因为它在该点没有斜率。
2.在t<0时，阶跃函数的值恒为0；在t>0时，阶跃函数的值恒为13.阶跃函数可用于表示信号的开关状态，如电路的打开和关闭。
二、冲激函数的定义和性质冲激函数（Impulse Function）是另一种重要的数学函数，它在数学上用于描述一个瞬间产生的脉冲信号。
冲激函数通常被表示为δ(t)，其中t为自变量。
冲激函数的定义如下：无穷,t=0δ(t)=0,t≠0在定义中，只有当t=0时，冲激函数的取值为无穷大；其余时刻冲激函数的取值都为0。
冲激函数的图像呈现为在t=0时的一个尖峰。
冲激函数具有以下性质：1.冲激函数δ(t)在t≠0的时刻都为0，只有在t=0时取值为无穷大。
2. 冲激函数是一个特殊的函数，它的积分等于1，即∫δ(t)dt=13.冲激函数可用于描述系统对瞬变信号的响应。
三、阶跃函数和冲激函数在实际应用中的意义阶跃函数和冲激函数在控制工程和信号处理中具有广泛的应用，主要包括以下方面：1.系统响应：阶跃函数和冲激函数可用于描述系统对不同类型输入信号的响应。
通过对系统在不同时刻的输出特性进行测量，可以得到系统的传递函数或冲激响应等重要参数。
常见信号拉氏变换
常见信号拉氏变换1. 介绍拉氏变换是一种在信号处理领域中常用的数学工具，它能够将时域中的信号转换为复频域中的函数。
拉氏变换可以帮助我们更好地理解和分析各种常见信号的特性和行为。
本文将介绍常见信号的拉氏变换，并详细讨论每个信号类型的特点和拉氏变换公式。
我们将涵盖常见的连续时间信号和离散时间信号，以及它们在频域中的表示。
2. 连续时间信号2.1 常值信号常值信号是指在整个时间范围内保持恒定数值的信号。
它在时域中表示为：x(t)=A其中，A是常数。
对于常值信号，其拉氏变换为：X(s)=A s2.2 单位阶跃函数单位阶跃函数是一种在t=0时从零跳跃到单位幅度的函数。
它在时域中表示为：x(t)=u(t)其中，u(t)是单位阶跃函数。
单位阶跃函数的拉氏变换为：X(s)=1 s2.3 单位冲激函数单位冲激函数是一种在t=0时瞬时达到无穷大幅度的函数。
它在时域中表示为：x(t)=δ(t)其中，δ(t)是单位冲激函数。
单位冲激函数的拉氏变换为：X(s)=12.4 指数衰减信号指数衰减信号是一种随时间指数衰减的信号。
它在时域中表示为：x(t)=e−at其中，a是正常数。
指数衰减信号的拉氏变换为：X(s)=1 s+a2.5 正弦信号正弦信号是一种周期性的连续时间信号。
它在时域中表示为：x(t)=Asin(ωt+ϕ)其中，A是振幅，ω是角频率，ϕ是相位差。
正弦信号的拉氏变换为：X(s)=ω(s2+ω2)3. 离散时间信号3.1 单位取样序列单位取样序列是一种在离散时间点上取值为1的序列。
它在时域中表示为：x[n]=δ[n]其中，δ[n]是单位冲激函数。
单位取样序列的拉氏变换为：X(z)=13.2 指数衰减序列指数衰减序列是一种随时间指数衰减的离散时间信号。
它在时域中表示为：x[n]=a n u[n]其中，a是正常数，u[n]是单位阶跃函数。
指数衰减序列的拉氏变换为：X(z)=11−az−13.3 正弦序列正弦序列是一种周期性的离散时间信号。
阶跃函数与冲激函数的关系
阶跃函数与冲激函数的关系首先，我们来了解阶跃函数的定义。
阶跃函数又被称为单位跃跃函数或Heaviside阶跃函数，通常用符号u(t)表示。
它的定义如下：\[ u(t)=\begin{cases}0, \quad t<0 \\1, \quadt\geq0\end{cases} \]阶跃函数在t=0处从0跳跃到1，表示的是在该点之前信号为0，在该点及之后信号为1、阶跃函数是一个非常简单的信号，但它可以用来描述很多实际问题，如电路开关的打开时间、物体的运动状态等。
接下来我们来看看冲激函数的定义。
冲激函数又称为单位冲激函数或Dirac冲激函数，通常用δ(t)表示。
它的定义如下：\[ \int_{-\infty}^{\infty} \delta(t)dt=1 \]冲激函数的一个特点是在t=0时刻处取正无穷，而在其他时刻都是0，形状上类似于一个非常窄的脉冲。
冲激函数在数学上是很难准确定义的，但我们可以通过一些近似方法来描述它，如高斯分布等。
阶跃函数和冲激函数之间有着一定的关系。
首先，我们可以把阶跃函数表示为冲激函数的积分形式：\[ u(t)=\int_{-\infty}^{t} \delta(\tau)d\tau \]这个式子表示了在t之前的所有时刻上的冲激函数的叠加，从而得到阶跃函数。
这个等式在数学上可以通过积分的性质予以证明。
另外，冲激函数也可以表示为阶跃函数的导数形式：\[ \delta(t)=\frac{d}{dt}u(t) \]这个式子表示了冲激函数是阶跃函数的导数。
这个等式在微积分中可以通过导数的性质予以证明。
阶跃函数和冲激函数的关系在实际应用中有着重要的意义。
首先，冲激函数常常被用来描述理想的触发脉冲，以及用于控制系统中的激励信号。
阶跃函数则常常被用来描述系统的响应，如单位阶跃响应函数。
在信号与系统的分析中，通过对冲激信号的积分可以得到系统对任意输入信号的响应。
这一过程被称为卷积运算，是信号处理中的一种重要操作。
电路原理3-4阶跃函数
(t ), (t ) 的波形
ε( t )
ε( t )
2. 移位的单位阶跃函数
1 t t 0 t 0 t 0 即t t 0 t 0 即t t 0
t0 0
3. f(t)为任意函数
f (t ) f ( t ) t 0 t0 t0
( t )dt ( t )dt 1
0
0
2.δ(t-t0)定义为
( t ) 0
即t t 0 t ( t ) dt t t0 dt 1 t
t 0
0 0
3.A为常数
A ( t )dt A
0
d (t ) (t ) dt
(t ) (t )dt
t
例3. 如图所示电路，uc(0) =0, 求电容电压和电流
解：
uC (t ) U s (t )
duC ( t ) d (t ) i(t ) C CU s CU s (t ) dt dt
f ( t ) ( t t 0 )dt
f ( t0 )
( t )dt f ( t0 )
单位冲激函数的采样性质 (sampling property)
三. 单位冲激函数和单位阶跃函数之间的关系
lim f ( t ) ( t )
0
lim f ( t ) ( t )
§34 单位阶跃函数和单位冲激函数
一. 单位阶跃函数:
1. 定义
1 t，函数值不确定
(t 0 ) 0 (t 0 ) 1
(t )等效表示电路的输入示例
完整版拉普拉斯变换表
完整版拉普拉斯变换表拉普拉斯变换是探究信号和系统之间关系的重要工具，它在工程和科学领域中得到广泛应用。
本文将为读者详细介绍完整的拉普拉斯变换表，并讨论其应用。
拉普拉斯变换表如下所示：1. 常数函数L{1} = 1/s2. 单位阶跃函数L{u(t)} = 1/s3. 单位冲激函数L{δ(t)} = 14. 指数函数L{e^at} = 1/(s-a)5. 正弦函数L{sin(ωt)} = ω/(s^2+ω^2)6. 余弦函数L{cos(ωt)} = s/(s^2+ω^2)7. 常数乘以函数L{c*f(t)} = c*F(s)8. 函数相加L{f(t)+g(t)} = F(s) + G(s)9. 函数乘以指数L{e^at*f(t)} = F(s-a)10. 函数的积分L{∫f(t)dt} = F(s)/s11. 函数的导数L{df(t)/dt} = sF(s)-f(0)12. 积分的拉普拉斯变换L{∫F(s)ds} = f(t)13. 周延函数L{f(t)} = F(s)|s=jω14. 高斯函数L{e^(-a^2t^2)} = √π/a*e^(-(s^2)/(4a^2))15. 狄利克雷函数L{D(t-a)} = e^(-as)16. 波尔图-特拉潘函数L{e^(-as)/s} = 1/(s+a)拉普拉斯变换表是通过将函数从时间域转换到复频域来描述信号的性质。
每个函数在拉普拉斯域中都具有一个对应的表达式，使得我们可以分析和处理各种复杂的信号和系统。
接下来，我们将讨论拉普拉斯变换的一些应用。
1. 系统分析拉普拉斯变换可用于对线性时不变（LTI）系统进行分析。
通过将输入信号和系统的响应转换到拉普拉斯域，我们可以通过观察系统函数的性质来预测系统的输出。
这对于控制系统和信号处理中的滤波器设计非常有用。
2. 解决微分方程拉普拉斯变换也可用于求解线性常微分方程（ODEs）。
通过将微分方程转换为代数方程，我们可以通过求解代数方程得到原始微分方程的解。
信号与系统名词解释
1 双端口网络：若网络有两个端口，则称为双口网络或二端口网络2 阶跃响应：当激励为单位阶跃函数时，系统的零状态响应3 冲激响应：当激励为单位冲激函数时，系统的零状态响应4 周期信号频谱的特点：①离散性》频谱是离散的②谐波性》频谱在频率轴上位置都是基波的整数倍③收敛性》谱线高度随着谐波次数的增高总趋势是减小的5 模拟离散系统的三种基本部件：数乘器·加法器·单位延迟器6 模拟连续系统的三种基本部件：数乘器·加法器·积分器7 线性系统：一个既具有分解特性，又具有零状态线性和零输入线性的系统8 通频带：我们把谐振曲线有最大值9 离散系统稳定的充分必要条件：∑︳h（n）︳〈∞（H（z）的极点在单位圆内时该系统必是稳定的因果系统）10网络函数：在正弦稳态电路中，常用响应向量与激励向量之比定义为网络函数，以H（jw）表示11 策动点函数：激励和响应在网络的同一端口的网络函数12 传输函数（转移函数）：激励和响应在不同的端口的网络函数13 因果连续系统的充分必要条件：h（t）=0 t＜0 （收敛域在S右半平面的系统均为因果系统）14 连续时间稳定系统的充分必要条件：∫︳h（t）︳dt≤M M：有界正实常数即h（t）满足绝对可积，则系统是稳定的15 傅里叶变换的时域卷积定理：若f1（t）↔F1（jw），f2（t）↔F2（jw）则f1（t）*f2（t）↔F1（jw）F2（jw）16 傅里叶变换的频域卷积定理：若f1（t）↔F1（jw），f2（t）↔F2（jw）则f1（t）·f2（t）↔（1／2π）F1（jw）*F2（jw）17 稳定系统：18 系统模拟：对被模拟系统的性能在实验室条件下模拟装置模仿19 因果系统：未加激励不会产生零状态响应的系统20 稳定的连续时间系统：一个连续时间系统，如果激励f（t）是有界的，其零状态响应y f（t）也是有界的，则称该系统是稳定的连续时间系统21 H（s）（h（t））求法：由微分方程、电路、时域模拟框图，考虑零状态条件下取拉氏变换、画运算电路、作S域模拟框图，应用Y f（s）／F（s）糗大H（s）。
拉氏逆变换的公式
拉氏逆变换的公式1.常用的拉氏逆变换公式：1.1单位冲激函数δ(t)的拉氏逆变换：L^-1{1}=δ(t)其中，L^-1{}表示拉氏逆变换，δ(t)表示单位冲激函数。
例子：计算拉氏逆变换L^-1{1}。
根据拉氏逆变换的公式，我们可以得到：L^-1{1}=δ(t)这意味着当输入函数为1时，其拉普拉斯变换的逆变换为一个单位冲激函数。
1.2单位阶跃函数u(t)的拉氏逆变换：L^-1{1/s}=u(t)其中，L^-1{}表示拉氏逆变换，u(t)表示单位阶跃函数。
例子：计算拉氏逆变换L^-1{1/s}。
根据拉氏逆变换的公式，我们可以得到：L^-1{1/s}=u(t)这意味着当输入函数为1/s时，其拉普拉斯变换的逆变换为一个单位阶跃函数。
1.3 e^(-at) 的拉氏逆变换：L^-1{1/(s+a)} = e^(-at)其中，L^-1{}表示拉氏逆变换，a为常数。
例子：计算拉氏逆变换L^-1{1/(s+a)}。
根据拉氏逆变换的公式，我们可以得到：L^-1{1/(s+a)} = e^(-at)这意味着当输入函数为 1/(s+a) 时，其拉普拉斯变换的逆变换为e^(-at)。
2.拉氏逆变换的推导：拉普拉斯变换的定义式是：F(s) = L{f(t)} = ∫[0,∞] [f(t)e^(-st)] dt其中，F(s)是f(t)的拉普拉斯变换。
为了推导拉氏逆变换公式，我们需要将拉普拉斯变换的积分转换为时间域上的运算。
我们可以使用留数定理来实现这一点。
首先，我们假设F(s)是一个有界函数，并且F(s)在有穷半平面Re(s)≥a中有一个极点。
根据留数定理，我们可以得到拉普拉斯变换的逆变换公式：f(t) = 1/(2πi) ∮c F(s)e^(st) ds其中，∮c表示沿着一个包围所有极点的大圆的积分，i是虚数单位，s是复变量。
根据该公式，我们可以将拉普拉斯变换的逆变换计算为围绕所有极点的积分。
实际上，在计算积分时，仅需围绕与正半轴有关的极点进行积分。
冲激函数的定义
冲激函数的定义冲激函数是一种特殊的函数，它在数学和工程领域有着广泛的应用。
冲激函数在信号处理、控制理论、线性系统、微积分和物理学等领域都起着重要的作用。
本文将对冲激函数进行详细的定义和解释，以便读者更好理解其概念和应用。
1、什么是冲激函数冲激函数是数学中的一种特殊函数，也称为Dirac函数或Dirac delta函数。
冲激函数是在除零点外均为0，在零点附近无限大的函数。
冲激函数通常表示为δ(x)，其中x为自变量。
冲激函数在x=0处的值无限大，但在除零点外的其他点的值都为0。
在物理学和工程领域，冲激函数可以通过一个实验来理解它的概念。
如果我们在时间轴上以极短的时间间隔内向电路中输入一个短暂的电压脉冲，那么电路将会产生一个极短的电流脉冲，这个电流脉冲就可以用一个冲激函数来描述。
2、冲激函数的重要性冲激函数在数学中的重要性很大。
它可以用在微积分、偏微分方程、傅里叶分析、抽象代数和泛函分析等领域。
在控制系统和信号处理领域，冲激函数也是非常重要的。
它可以用来描述系统的 impulse response（冲击响应）函数，冲激响应是控制系统和信号处理中非常常见的一种概念。
冲激函数还可以用来分析和设计滤波器和信号处理系统。
在物理学中，冲激函数可以用来描述质点、电荷或电流的瞬间变化情况。
冲激函数也可以用来描述物理学中的波函数，比如在量子力学中，波函数可以在测量时间点上采用Delta函数的形式。
冲激函数有一些非常重要的性质。
下面我们将对其中的一些最主要的进行介绍。
3.1 奇异性冲激函数在所有除零点外的点上取值为0，但在零点处取值为无穷大。
冲激函数在数学上是一个奇异函数，可能常常忽略它在除零点外的任何部分。
3.2 瞬时能量3.3 单位冲激函数3.4 积分性质冲激函数的积分性质十分重要。
因为冲激函数在所有除零点外的点上都为0，所以对于任意函数f(x)，有：∫f(x)δ(x)dx=f(0)这意味着冲激函数的积分可以用来计算f(x)在零点处的值。
场论中的积分变换公式
场论中的积分变换公式积分变换公式是控制工程中常用的数学工具，用于将时间域中的函数转换为复频域中的函数。
它在研究信号的频谱特性、系统的稳定性、性能指标等方面具有重要作用。
以下是常见的几种积分变换公式：1.常数函数的积分变换公式：∫[0, t]1 dt = T其中，T表示积分上限。
2.单位冲激函数（单位脉冲函数）的积分变换公式：∫[0, t]δ(t) dt = 1其中，δ(t)表示单位冲激函数。
3.单位阶跃函数的积分变换公式：∫[0, t]u(t) dt = t其中，u(t)表示单位阶跃函数。
4.积分的线性性质：若F(t)的积分为F(s)，G(t)的积分为G(s)，则kF(t)+mG(t)的积分为kF(s)+mG(s)。
其中，k和m为常数。
5.拉普拉斯变换与积分变换的关系：L{f(t)}=F(s)-F(0-)其中，L表示拉普拉斯变换，F(t)表示时间域函数，F(s)表示复频域函数。
6.数学常函数e的积分变换公式：∫[0, t]e^(st) dt = 1 / s其中，s为复频域变量。
7.e的负幂函数的积分变换公式：∫[0, t]e^(-st) dt = 1 / (s + a)其中，s为复频域变量，a为常数。
8.正弦函数的积分变换公式：∫[0, t] sin(ωt) dt = ω / (s^2 + ω^2)其中，s为复频域变量，ω为角频率。
9.余弦函数的积分变换公式：∫[0, t] cos(ωt) dt= s / (s^2 + ω^2)其中，s为复频域变量，ω为角频率。
上述是常见的几种积分变换公式，它们在控制工程中具有广泛的应用。
通过积分变换公式，可以将时间域中的函数转换为复频域中的函数，以便研究系统的频谱特性、稳定性、性能指标等。
积分变换公式是控制理论中的重要工具，对于控制系统的分析与设计起到至关重要的作用。
阶跃函数和冲激函数
f ( t ) ( t t1 ) f (t1 ) (t t1 ) f (t ) (t t1 )dt f (t1 ) (t t1 )dt f (t1 ) ' f (t ) (t t1 )dt f ' (t1 )
0 r (t ) t
t0 t0
εxdx r t tεt
t
三、有延迟的单位冲激和单位阶跃信号 若冲激不是发生在原点,而是在 t t 0 则记为 ( t t 0 )
(t t0 ) 时移的冲激函数
1
0
t0
t
( t t 0 ) 0 , t t 0 t t 0 dt 1
例如：如图所示的函数：
f t
1
可表示为：
1
0
1
2
t
f t t 1 t 1 t t 1 t t 2
例如：如下图所示的函数：
f t
1
1 0 1 2 t
可表示为：
f t t 1 2 t t 2
0 单位冲激函数
sgnt
符号函数：(Signum)—奇异函数例
1 sgn( t ) 1 t 0 t0
1 (t ) [sgn( t ) 1] 2
O
t
sgn( t ) (t ) (t ) 2 (t ) 1
冲激函数的导数
s(t )
1 1
1/n
t
(虚线代表n增大时的 变化趋势)
该脉冲波形下的面积为1， 不妨称其为函数 pn t 的强度
rn(t)
1 1/2
(t)
冲激函数及其性质
可以使用`title`和`xlabel`等函数为图形添加标题和坐标轴标签，以便更好地描述图 形。
计算卷积结果并展示图形
在MATLAB中，可以使用`conv` 函数计算两个序列的卷积结果。
将冲激信号与另一个信号进行卷 积运算，可以得到卷积后的结果
2023
PART 02
冲激函数性质分析
REPORTING
筛选性质
筛选性质定义
01
冲激函数具有筛选性质，即与任何函数相乘的结果都等于该函
数在冲激点的取值。
数学表达式
02
对于任意函数f(t)，有f(t)*δ(t) = f(0)*δ(t)。
应用举例
03
在信号处理中，冲激函数可用于从复杂信号中提取特定时刻的
2023
冲激函数及其性质
https://
REPORTING
2023
目录
• 冲激函数基本概念 • 冲激函数性质分析 • 与其他函数关系探讨 • 在信号处理中应用举例 • MATLAB仿真实现冲激函数 • 总结回顾与拓展延伸
2023
PART 01
冲激函数基本概念
REPORTING
连续信号处理
在连续信号处理中，冲激函数可以表示为连续函 数的形式，通过求解冲激响应可以得到系统的输 出信号。
频域分析辅助工具
傅里叶变换
冲激函数在频域分析中具有重要的地位。通过傅里叶变换， 可以将时域信号转换为频域信号，进而分析信号的频谱特 性。
频域滤波器设计
利用冲激函数的频域特性，可以设计各种频域滤波器，实 现对信号频率成分的选择性过滤和处理。
线性叠加原理
常用傅里叶变换表
常用傅里叶变换表在数学和工程领域，傅里叶变换是一种非常重要的工具，它能够将一个时域信号转换为频域表示，从而帮助我们更好地理解和处理各种信号。
为了方便使用，人们总结出了常用的傅里叶变换表。
傅里叶变换的基本概念是将一个函数表示为不同频率的正弦和余弦函数的线性组合。
通过这种变换，我们可以从不同的角度分析信号的特性，例如频率成分、能量分布等。
常见的函数及其傅里叶变换如下：1、单位冲激函数（δ函数）单位冲激函数在时域中是一个在某一时刻瞬间出现的极大值，而在其他时刻为零。
它的傅里叶变换是常数 1。
2、单位阶跃函数单位阶跃函数在时域中从某一时刻开始值为 1。
其傅里叶变换为 1 ／（jω) ＋πδ(ω) 。
3、正弦函数正弦函数sin(ω₀t) 的傅里叶变换为π δ(ω ω₀) δ(ω ＋ω₀) 。
4、余弦函数余弦函数cos(ω₀t) 的傅里叶变换为π δ(ω ω₀) ＋δ(ω ＋ω₀) 。
5、指数函数指数函数 e^（αt) u(t) （其中 u(t) 为单位阶跃函数，α ＞ 0）的傅里叶变换为 1 ／（α ＋jω) 。
6、矩形脉冲函数矩形脉冲函数在一定区间内值为 1，其他区间为 0。
其傅里叶变换可以通过计算得到特定的表达式。
这些只是傅里叶变换表中的一部分常见函数。
在实际应用中，我们常常需要对复杂的信号进行傅里叶变换。
通过将复杂信号分解为上述常见函数的组合，再利用傅里叶变换的线性性质（即多个函数之和的傅里叶变换等于各个函数傅里叶变换之和），可以方便地求出复杂信号的频域表示。
傅里叶变换在许多领域都有广泛的应用。
在通信领域，它用于信号的调制和解调、频谱分析等。
在图像处理中，傅里叶变换可以帮助我们分析图像的频率特性，从而进行图像增强、滤波等操作。
在控制系统中，它可以用于分析系统的频率响应，帮助设计控制器。
例如，在音频处理中，我们可以通过傅里叶变换将声音信号从时域转换到频域，从而识别出不同的频率成分，实现音频的滤波、降噪等处理。
单位阶跃函数和单位冲激函数
单位阶跃函数和单位冲激函数
分析动态电路中的电参量如电流、电压时，必须将其表示成一个随时间变化的函数。
实际上，在某个时刻，将开关闭合或断开，就可表示成一个函数。
1、Unit-step Function 单位阶跃函数
在t ＝t 0 时刻，将直流电压源U 0 与电路接通，可表示成：
定义一个名为“单位阶跃函数”：
函数在t ＝0 时，发生了跃变。
但为了问题的方便，认定：
ε( t ＝0－) ＝0
ε( t ＝0＋) ＝1
显而易见：
只要令t' ＝t －t0 即可。
上述直流电源的开关例子可表示为：
u( t )＝u0 ε( t －t0 )
一个幅度为I0 的矩形脉冲，可以用单位阶跃函数表示成：
2、Unit-impulse Function 单位冲激函数
单位冲击函数是另一个奇异函数，用δ(t) 表示，其定义为：
由定义可见，δ(t)只存在于t ＝0 时刻，故有：
δ(t)的性质有：
δ(t) 与ε(t) 的关系证明如下：
例如：如果在t ＝0 时刻，将恒压源U0 加到一个事先没有电荷的电容C 上，则有：
得结论：
充电前后，电容电压发生跃变0→U0；
流过电容的电流为冲激电流CU0δ(t)；
电容极板上的电荷量的跃变是有限的，为冲激电流的强度CU0。
又例如，如果在t ＝0 时刻，将恒流源I0 加到一个事先没有电流的电感L 上，则有：
得结论：
给电感接上恒流源前后，迫使电感电流发生跃变0→I0；
电感两端产生的感应电动势为冲激电压LI0δ(t)；
电感中的磁匝链数的跃变是有限的，为冲激电压的强度LI0。
拉式变化公式表
拉式变化公式表拉普拉斯变换（Laplace Transform）公式表：一、基本函数的拉普拉斯变换。
1. 单位阶跃函数。
- 函数定义：u(t)=0, t < 0 1, t≥0- 拉普拉斯变换：L[u(t)]=(1)/(s), Re(s)>02. 冲激函数（狄拉克δ函数）- 函数定义：δ(t)，满足∫_-∞^∞δ(t)dt = 1且δ(t)=0 for t≠0 - 拉普拉斯变换：L[δ(t)] = 13. 指数函数。
- 函数定义：f(t)=e^at，其中a为常数。
- 拉普拉斯变换：L[e^at]=(1)/(s - a), Re(s)>a4. 正弦函数。
- 函数定义：f(t)=sin(ω t)，其中ω为角频率。
- 拉普拉斯变换：L[sin(ω t)]=(ω)/(s^2)+ω^{2}, Re(s)>0 5. 余弦函数。
- 函数定义：f(t)=cos(ω t)- 拉普拉斯变换：L[cos(ω t)]=(s)/(s^2)+ω^{2}, Re(s)>0二、拉普拉斯变换的性质。
1. 线性性质。
- 若L[f_1(t)] = F_1(s)，L[f_2(t)]=F_2(s)，则对于任意常数a和b，L[af_1(t)+bf_2(t)]=aF_1(s)+bF_2(s)2. 时移性质。
- 若L[f(t)] = F(s)，则L[f(t - t_0)u(t - t_0)]=e^-st_0F(s)，其中t_0>03. 频移性质。
- 若L[f(t)] = F(s)，则L[e^atf(t)]=F(s - a)4. 尺度变换性质。
- 若L[f(t)] = F(s)，则L[f(at)]=(1)/(a)F((s)/(a))，a>05. 微分性质。
- 一阶导数：若L[f(t)] = F(s)，则L[f^′(t)]=sF(s)-f(0)- 二阶导数：L[f^′′(t)] = s^2F(s)-sf(0)-f^′(0)- 一般地，n阶导数：L[f^(n)(t)]=s^nF(s)-s^n - 1f(0)-s^n - 2f^′(0)-·s - f^(n - 1)(0)6. 积分性质。
3-4单位阶跃函数与单位冲击函数省名师优质课赛课获奖课件市赛课一等奖课件
lim f (t) (t)
TK 0
先取极限
d (t) (t)
dt
后求导
先求导后取极限
令Tk 0
保持面积=1不变 则 1
lim df TK 0 dt
(t)
TK
是具有无限振幅，宽度为0，面积为1旳矩形脉冲。
§3-4 单位阶跃函数与单位冲激函数
2．数学体现式
(t)
d (t)
dt
0
dt
dt
106 (t t0 )A
(t t0 )V uc (t)
106 (t t0 )A
uC(t0-)=0
i(t) C duC dt
106
d (t t0 )
dt
106 (t t0 ) A
4． (t) 旳性质 取样性(采样性，筛分性)
设f(t)在t=0处为连续函数，则
f (t) (t)dt f (0) (t)dt f (0) (t)dt f (0)
设f(t)在t=t0处为连续函数，则
Байду номын сангаас
f (t) (t t0 )dt f (t0 ) (t t0 )dt f (t0 ) (t t0 )dt f (t0 )
5．任意函数可表达为强度不同旳冲激函数序列。
(t t0 )
1
0
t0
t
延迟旳阶跃函数
(t
t0
)
1 0
t t0 0 t t0 0
1
(t t0 ) 0
t t0 t t0
3．物理模型
2
2
u(t) 2 (t)v
V
2
u(0-)=0
(t=t0)
u(t0-) =0
(t) 又叫开关函数
冲激函数和阶跃函数
冲激函数和阶跃函数冲激函数和阶跃函数是数学建模中常用的两个非常重要的函数。
它们在信号处理、电路设计、控制系统等领域起着举足轻重的作用。
在本文中，我们将详细介绍冲激函数和阶跃函数的定义、性质以及其在实际应用中的意义。
首先，让我们来看看冲激函数。
冲激函数是一个在原点处取值无限大，在其他位置取值为零的函数。
它通常用符号δ(t)来表示，其中t为自变量。
冲激函数在时间域上的表示是一个瞬时的、无宽度的脉冲，因此也被称为单位冲击函数。
冲激函数在数学建模中用于描述突发事件或瞬间的冲击信号。
在信号处理中，冲激函数经常被用来分析系统的响应、频率响应、时域响应等。
冲激函数具有一些重要的性质。
首先，冲激函数满足单位面积的条件，即积分值为1。
其次，冲激函数是偶函数，即δ(t) = δ(-t)。
再次，冲激函数具有平移不变性，即δ(t - a)表示将冲激函数在时间轴上向右平移a个单位。
最后，冲激函数与其他函数的卷积运算可以将原函数的特性传递给卷积结果，这在信号处理中非常重要。
接下来，我们来介绍阶跃函数。
阶跃函数是数学建模中常用的一种特殊函数，用符号u(t)来表示。
这个函数在t = 0时取值为0，在t > 0时取值为1。
阶跃函数在数学中用来描述突变现象，比如开关的启动和停止。
在电路设计和控制系统中，阶跃函数非常有用，通常用来描述信号的启动时间、响应时间等。
阶跃函数也有一些重要的性质。
首先，阶跃函数具有连续性，即在t = 0时函数值连续。
其次，阶跃函数是单调非减的，即随着时间的增加，函数值逐渐增加。
再次，阶跃函数在t = 0时的导数是冲激函数，即u'(t) = δ(t)。
最后，阶跃函数与其他函数的卷积运算可以将原函数的特性传递给卷积结果，这在信号处理和控制系统中也非常重要。
冲激函数和阶跃函数在实际应用中有着广泛的意义和指导作用。
在信号处理中，冲激函数可以用来分析复杂系统的频率响应、时域响应等，帮助工程师更好地理解系统的性质和行为。
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解：
i L ( t ) I s ( t )
diL ( t ) d (t ) uL ( t ) L LI s LI s (t ) dt dt
如果电感电流发生跳变，必然有冲激电压施 加在电感两端，电感中的磁通量发生跳变。
电感磁通的跳变量为：
uL ( t )dt LI s ( t )dt LI s
0 0 0 0
解二
L[iL (0 ) iL (0 )] LI s
解：
i (t ) ( t ) 2 t 2 t 2
4.阶跃函数的作用：
(1)阶跃函数可以作为开关的数学模型，所以有
时也称为开关函数。
(2)表示某些分段函数。 (3)起到分解波形的作用。
二、单位冲激函数
1.定义
(t ) 0 t0 ( t )dt 1
§34 单位阶跃函数和单位冲激函数
一、单位阶跃函数:
1. 定义
1 t 0 (t ) 0 t 0
t = 0，函数值不确定
(t 0 ) 0 (t 0 ) 1
(t )等效表示电路的输入示例
直流电压源和任意网络接通
(t ) 表示的等效电路模型
t 0 t 0
t 0 t 0
f ( t ) ( t t 0 )dt
f ( t0 )
( t )dt f ( t0 )
单位冲激函数的采样性质 (sampling property)
三. 单位冲激函数和单位阶跃函数之间的关系
lim f ( t ) ( t )
0
lim f ( t ) ( t )
A ( t )dt A
0 0
( t )dt A
4. f(t)为任意函数
f ( t ) ( t )dt
0 0
0 0
f ( t ) ( t )dt
f (0)
( t )dt f (0)
f ( t ) ( t t 0 )dt
如果电容电压发生跳变，必然有冲激电流流 过电容，电容极板上的电荷量发生跳变。
电容电荷的跳变量为：
q i ( t )dt CU s ( t )dt CU s
0 0 0 0
解二
q C[uC (0 ) uC (0 )] CU s
例4. 如图所示电路，iL(0) =0, 求电感电压和电流
0
d (t ) (t ) dt
(t ) ( t )dt
t
例3. 如图所示电路，uc(0) =0, 求电容电压和电流
解：
uC (t ) U s (t )
duC ( t ) d (t ) i(t ) C CU s CU s (t ) dt dt
t t0 t t0
f (t ) f ( t ) t t0 0
例1. 矩形脉冲函数分解
解：
f ( t ) A (t ) A t t 0
例2. 试写出下图的时间函数表达式f(t)
解：
i (t ) 10 ( t 1) 10 t 2
(t )dt (t )dt 1
0
0
2.移位的单位阶跃函数
( t ) 0
即t t0 t (t )dt t t t0 dt 1
t 0
0 0
t0 0
t t t0
3.A为常数
(t ), (t ) 的波形
Hale Waihona Puke ε( t ) ε( t )
2. 移位的单位阶跃函数
1 t t 0 t 0 t 0 即t t 0 t 0 即t t 0
t0 0
3. f(t)为任意函数
f (t ) f ( t ) t 0 t0 t0