九 上 23章 《 旋转》 全章系统讲义
第23章旋转第1课时 旋转的概念及性质-人教版九年级数学上册讲义(机构专用)
人教版九年级数学上册讲义第二十三章旋转第1课时旋转的概念及性质知识要点旋转1、定义把一个图形绕某一点O转动一个角度的图形变换叫做旋转，其中O叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角。
2、性质（1）对应点到旋转中心的距离相等。
（2）对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角。
旋转特殊角度旋转60°得等边三角形。
旋转90°得等腰直角三角形。
旋转任意角度得等腰三角形。
对应练习1.如图，ΔABC 是等腰三角形，∠BAC = 36°，D 是BC 上一点，ΔABD 经过旋转后到达ΔACE 的位置，(1) 旋转中心是哪一点？(2)旋转了多少度？(3) 如果M 是AB 的中点，那么经过上述旋转后，点M 转到了什么位置？2.如图，是ΔAOB 绕点O 按逆时针方向旋转45°所得的．点B 的对应点是点_____ 线段OB 的对应线段是线段______ 线段AB 的对应线段是线段______∠A 的对应角是______ ∠B 的对应角是______ 旋转中心是点______ 旋转的角度是______3.如图是由正方形ABCD 旋转而成．（1）旋转中心是__________（2）旋转的角度是_________ （3）若正方形的边长是1，则C ’D =_________4.ΔA'OB '是ΔAOB 绕点O按逆时针方向旋转得到的. 已知∠AOB =20°，∠A'OB =24°，AB =3，OA =5则A'B '=____，OA' =____，旋转角=______.5.如图，ΔABC绕A 逆时针旋转使得C 点落在BC 边上的F 处，则对于结论：①AC =AF；②∠FAB =∠EAB；③EF =BC；④∠EAB =∠FAC，其中正确的结论是______________6.如图E 是正方形ABCD 内一点，将ΔABE 绕点B 顺时针方向旋转到ΔCBF，其中EB =3cm，则BF =_____cm ，∠EBF =______．7.如图将RtΔABC 绕C 点逆时针旋转30°后，点B 落在B ′，点A落在A’点位置，若A’C ⊥ AB，求∠B ’A’C 的度数．8．如图，将△ABC绕点A顺时针旋转60°得到△AED，若线段AB＝5，则BE的长度为．9．如图，将Rt△ABC绕直角顶点C顺时针旋转90°，得到△A'B'C'，连接AA′，若∠1＝25°，则∠BAA'的度数是．课后作业1．如图，将△ABC绕点A逆时针旋转一定角度，得到△ADE，此时点C恰好在线段DE上，若∠B=40°，∠CAE=60°，则∠DAC的度数为()• A.15° B.20° C.25° D.30°2．如图，在△ABD中，AD＝BD，将△ABD绕点A逆时针旋转得到△ACE，使点C落在直线BD上．（1）求证：AE∥BC；（2）连接DE，判断四边形ABDE的形状，并说明理由．3．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，△DCE是△ABC绕着点C顺时针方向旋转得到的，此时B、C、E在同一直线上.（1）旋转角的大小；（2）若AB＝10，AC＝8，求BE的长.4．如图，点E是正方形ABCD内的一点，连接AE、BE、CE．若AE=1，BE=2，CE=3，则∠AEB= 度．5．如图，P是等边三角形ABC内一点将△ACP绕点A顺时针旋转60°得到△ABQ，连接BP，若PA=2，PB=4，PC=2√3，则四边形APBQ的面积为．6．如图所示，点D是等边△ABC内一点，DA＝15，DB＝19，DC＝21，将△ABD绕点A逆时针旋转到△ACE的位置，当点E 在BD的延长线上时.求（1）∠BDA的度数；（2）△DEC的周长.7．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，将△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△A′B′C，M、M′分别是AB、A′B′的中点，若AC＝8，BC＝6，则线段MM′的长为 .8．如图，在等边△ABC中，点D为△ABC内的一点，∠ADB=120°，∠ADC=90°，将△ABD绕点A逆时针旋转60°得△ACE，连接DE．(1)求证：AD=DE；(2)求∠DCE的度数；(3)若BD=1，求AD、CD的长．9．正方形ABCD与正方形DEFG按如图1放置，点A、D、G在同一条直线上，点E在CD边上，AD=3，DE= √2，连接AE、CG．(1)线段AE与CG的关系为；(2)将正方形DEFG绕点D顺时针旋转一个锐角后，如图2，请问(1)中的结论是否仍然成立？请说明理由．长．对应练习答案1.答案：（1）A；（2）36°；（3）AC 的中点．2.B’，OB’，A'B '，∠A’，∠B '，O，45°3.A，45°，4.3,5，44°5.①③④6.答案：3，90°．7.答案：60°．8.解答：解：∵△ABC绕点A顺时针旋转60°得到△AED，∴AB＝AE，∠BAE＝60°，∴△AEB是等边三角形，∴BE＝AB，课后作业答案1.解答：解：由旋转的性质得：△ADE≌△ABC，∴∠D=∠B=40°，AE=AC，∵∠CAE=60°，∴△ACE是等边三角形，∴∠ACE=∠E=60°，∴∠DAE=180°-∠E-∠D=80DU=(180°-∠CAE)=(180°-60°)=80°，∴∠DAC=∠DAE-∠CAE=80°-60°=20°；故选：B．2.解答：证明：（1）由旋转性质得∠BAD＝∠CAE，AB＝AC，∵AD＝BD，∴∠B＝∠BAD，∵AB＝AC，∴∠B＝∠DCA；∴∠CAE＝∠DCA，∴AE∥BC.（2）四边形ABDE是平行四边形，理由如下：由旋转性质得AD＝AE，∵AD＝BD，∴AE＝BD，又∵AE∥BC，∴四边形ABDE是平行四边形．3.解答：解：（1）∵△DCE是△ABC绕着点C顺时针方向旋转得到的，此时点B、C、E在同一直线上，∴∠ACE＝90°，即旋转角为90°，（2）在Rt△ABC中，∵AB＝10，AC＝8，∴BC＝＝6，∵△ABC绕着点C旋转得到△DCE，∴CE＝CA＝8，∴BE＝BC+CE＝6+8＝144.解答：解：连接EE′∵△ABE绕点B顺时针旋转90°到△CBE′∴∠EBE′是直角，∴△EBE′是直角三角形，∵△ABE与△CE′B全等∴BE=BE′=2，∠AEB=BE′C∴∠BEE′=∠BE′E=45°，∵EE′2=22+22=8，AE=CE′=1，EC=3，∴EC2=E′C2+EE′2，∴△EE′C是直角三角形，∴∠EE′C=90°，∴∠AEB=135°．故答案为：135．5.解答：解：如图，连接PQ．∵△ACP绕点A顺时针旋转60°得到△ABQ，∴AP=AQ=2，PC=BQ=2√3，∠PAQ=60°，∴△PAQ是等边三角形，∴PQ=PA=2，∵PB=4，∴PB2=BQ2+PQ2，∴∠PQB=90°，∴S四边形APBQ=S△PBQ+S△APQ=•PQ•QB+•PA2=×2×2√3+×4=3√3，故答案为3√3．6.解答：解：（1）∵△ABC为等边三角形，∴∠BAC＝60°，AB＝AC，∵△ABD绕点A逆时针旋转到△ACE的位置，点E在BD的延长线上，∴AD＝AE，CE＝DB＝19，∠DAE＝∠BAC＝60°，∴△ADE为等边三角形，∴∠ADE＝60°，DE＝AD＝15，∴∠BDA＝120°；（2）△DEC的周长＝DE+DC+CE＝15+21+19＝55.7.解答：连接CM，CM′，∵AC=8，BC=6，∴AB= =10，∵M是AB的中点，∴CM= AB=5，∵Rt△ABC绕点C顺时针旋转90°得到Rt△A′B′C，∴∠A′CM′=∠ACM∵∠ACM+∠MCB=90°，∴∠MCB+∠BCM′=90°，又∵CM=C′M′，∴△CMM′是等腰直角三角形，∴MM′=CM=5 ，故答案为：5 ．8.解答：(1)证明：∵将△ABD绕点A逆时针旋转60°得△ACE∴△ABD≌△ACE，∠BAC＝∠DAE，∴AD＝AE，BD＝CE，∠AEC＝∠ADB＝120°，∵△ABC为等边三角形∴∠BAC＝60°∴∠DAE＝60°∴△ADE为等边三角形，∴AD＝DE，(2)∠ADC＝90°，∠AEC＝120°，∠DAE＝60°∴∠DCE＝360°﹣∠ADC﹣∠AEC﹣∠DAE＝90°，(3)∵△ADE为等边三角形∴∠ADE＝60°∴∠CDE＝∠ADC﹣∠ADE＝30°又∵∠DCE＝90°∴DE＝2CE＝2BD＝2，∴AD＝DE＝2在Rt△DCE中，．9.解答：解：(1)线段AE与CG的关系为：AE＝CG，AE⊥CG，理由如下：如图1，延长AE交CG于点H，∵四边形ABCD和四边形DGFE是正方形，∴AD＝CD，ED＝GD，∠ADE＝∠CDG＝90°，∴△ADE≌△CDG(SAS)，∴AE＝CG，∠EAD＝∠GCD，∵∠EAD+∠AED＝90°，∠AED＝∠CEH，∴∠GCD+∠CEH＝90°，∴∠CHE＝90°，即AE⊥CG，故答案为：AE＝CG，AE⊥CG；(2)结论仍然成立，理由如下：如图2，设AE与CG交于点H，∵四边形ABCD和四边形DGFE是正方形，∴AD＝CD，ED＝GD，∠ADC＝∠EDG＝90°，∴∠ADC+∠CDE＝∠EDG+∠CDE，即∠ADE＝∠CDG，∴△ADE≌△CDG(SAS)，∴AE＝CG，∠EAD＝∠GCD，∵∠EAD+∠APD＝90°，∠APD＝∠CPH，∴∠GCD+∠CPH＝90°，∴∠CHP＝90°，即AE⊥CG，∴AE＝CG，AE⊥CG，∴①中的结论仍然成立；。
新人教版九年级数学上册 第23章 旋转 课件
练习
4、如图将△ABC绕C点逆时针旋转30°后，
思考题
A
A M E B D C
练习
1、如图正方形CDEF旋转后能与正方形ABCD重 合，若O是CD的中点那么图形上可以作为旋转中 1、以C为旋转中心，把正方形 心的点是 _________ C、D 、O
CDEF逆时针旋转90°，可得到正 方形ABCD；
A
D O
E
2、以D为旋转中心，把正方形 CDEF顺时针旋转90°，可得到正 方形ABCD；
小结
1.旋转的定义和性质.
2.在运动中寻找变化的规律,学 会分析问题的方法.
23.2.1 中心对称
一、复习提问:
1.什么是轴对称呢？
把一个图形沿着某一条直线折叠能与另一个图形完 全重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称或轴对 称.
新人教版九年级上册第二十三章 旋转
23.1 图形的旋转 23.2 中心对称 23.2.1 中心对称 23.2.2 中心对称图形 23.2.3 关于原点对称的点的坐标
23.1 图形的旋转
•图形的旋转
转转你的脖子
扭扭你的腰
绕绕你的胳膊
踢踢你的腿
图形的旋转
在平面内，将一个图形绕一个定点 转动一定的角度，这样的图形运动称为 图形的旋转。 这个定点称为旋转中心。
哪些没有发生改变？ B′
N
人教版九年级上册 第二十三章 旋转章节复习讲义设计
旋转题型训练复习回顾1、旋转的定义把一个图形绕着某一点O转动一个角度的图形变换叫做旋转。
点O叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角，如果图形上的点P经过旋转变为点P＇,那么这两个点叫做这个旋转的对应点。
2、旋转的性质（1）对应点到旋转中心的距离相等。
（旋转中心就是各对应点所连线段的垂直平分线的交点。
）（2）对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角。
（3）旋转前、后的图形全等。
3、作旋转后的图形的一般步骤（1）明确三个条件：旋转中心，旋转方向，旋转角度；（2）确定关键点，作出关键点旋转后的对应点；（3）顺次连结。
例题解析例1．如图，如果把钟表的指针看做三角形OAB，它绕O点按顺时针方向旋转得到△OEF，在这个旋转过程中：（1）旋转中心是什么？旋转角是什么？（2）经过旋转，点A、B 分别移动到什么位置？1 / 13变式1：在旋转过程中,确定一个三角形旋转的位置所需的条件是()①三角形原来的位置;②旋转中心;③三角形的形状;④旋转角.A.①②④B.①②③C.②③④D.①③④变式2：下列关于旋转的说法不正确的是()A.旋转中心在旋转过程中保持不动B.旋转中心可以是图形上的一点,也可以是图形外的一点C.旋转由旋转中心、旋转方向和旋转角度所决定D.旋转由旋转中心所决定例2：如图,点A,B,C,D都在方格纸的格点上,若△AOB绕点O按逆时针方向旋转到△COD的位置,则旋转的角度为()A.30°B.45°C.90°D.135°(例2图)（变式1图）变式1：正方形ABCD又可看成是由正方形FGCE绕平移、轴对称、旋转的联系1.共同点:都是一种图形的变换,变换前后的两个图形全等.2.不同点:见表格.运动方向点,顺时针旋转运动量的衡量得到的.平移轴对称旋转直线直线顺时针逆时针移动一定距离翻折180°转动一定的角度旋转的性质例1：如图,在△ABC中,AC=BC,将△ABC绕点C逆时针旋转角α(0°<α<90°)得△到A B C,连接BB.1 1 1设CB交AB于D,A B分别交AB,AC于E,F.在图中不再添加其他任何线段的情况下,请你找出11 1一对全等的三角形,并加以证明错误!ABC与错误!错误!B C全等除外).1 1变式：如图所示,边长为3的正方形ABCD绕点C按顺时针方向旋转30°后得到正方形EFCG,EF 交AD于点H,求DH的长.例2：如图所示△，ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，点D是斜边上任意一点，以A点为中心，把△ACD顺时针旋转30°，画出旋转后的图形．中心对称1、中心对称的定义把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心，这两个图形中的对应点叫做关于中心的对称点。
九年级上册数学第23章《旋转》知识点梳理完整版
【学习目标】九年级数学上册第 23 章《旋转》知识点梳理1、通过具体实例认识旋转，探索它的基本性质，理解对应点到旋转中心的距离相等、对应点与旋转中心连线所成的角彼此相等的性质；2、通过具体实例认识中心对称，探索它的基本性质，理解对应点所连线段被对称中心平分的性质，了解平行四边形、圆是中心对称图形；3、能够按要求作出简单平面图形旋转后的图形，欣赏旋转在现实生活中的应用；4、探索图形之间的变化关系（轴对称、平移、旋转及其组合），灵活运用轴对称、平移和旋转的组合进行图案设计．【知识网络】【要点梳理】要点一、旋转1.旋转的概念：把一个图形绕着某一点 O 转动一个角度的图形变换叫做旋转..点 O 叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角(如∠AO A′),如果图形上的点 A 经过旋转变为点A′，那么，这两个点叫做这个旋转的对应点.要点诠释：旋转的三个要素：旋转中心、旋转方向和旋转角度.2.旋转的性质: (1)对应点到旋转中心的距离相等（OA= OA′）；(2)对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；(3)旋转前、后的图形全等(△ABC≌△A'B'C').要点诠释：图形绕某一点旋转，既可以按顺时针旋转也可以按逆时针旋转.3.旋转的作图: 在画旋转图形时，首先确定旋转中心，其次确定图形的关键点，再将这些关键沿指定的方向旋转指定的角度，然后连接对应的部分，形成相应的图形．要点诠释：作图的步骤：(1)连接图形中的每一个关键点与旋转中心；(2)把连线按要求（顺时针或逆时针）绕旋转中心旋转一定的角度（旋转角）；(3)在角的一边上截取关键点到旋转中心的距离，得到各点的对应点；(4)连接所得到的各对应点.要点二、特殊的旋转—中心对称1.中心对称：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心．这两个图形中的对应点叫做关于中心的对称点．要点诠释：（1）有两个图形，能够完全重合，即形状大小都相同；（2）位置必须满足一个条件：将其中一个图形绕着某一个点旋转180°能够与另一个图形重合 (全等图形不一定是中心对称的，而中心对称的两个图形一定是全等的) .2.中心对称图形：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．要点诠释：(1)中心对称图形指的是一个图形；（2）线段，平行四边形，圆等等都是中心对称图形.要点三、平移、轴对称、旋转类型一、旋转1.数学课上，老师让同学们观察如图所示的图形，问：它绕着圆心 O 旋转多少度后和它自身重合？甲同学说：45°；乙同学说：60°；丙同学说：90°；丁同学说：135°. 以上四位同学的回答中，错误的是（）.A．甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁【答案】B.【解析】因为圆被平分为 8 部分,所以旋转45°,90°,135°均能与原图形重合.【总结升华】同一图形的旋转角可以是多个.举一反三：【变式】以图 1 的边缘所在直线为轴将该图案向右翻折180°后，再按顺时针方向旋转180°，所得到图形是（）.【答案】A.类型二、中心对称2.如图，△A′B′C′是△ABC旋转后得到的图形，请确定旋转中心、旋转角.【答案与解析】∵对应点到旋转中心的距离相等，即OA=OA′∴O点在AA′的垂直平分线上同理 O 点也在BB′的垂直平分线上∴两条垂直平分线的交点 O 就是旋转中心，∠AOA′的度数就是旋转角．【总结升华】中心对称的对应点到对称中心的距离相等，所以对称中心在对应点的垂直平分线上.举一反三：【变式】下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（）.A．B．C．D．【答案】A.类型三、平移、轴对称、旋转3.（2015•裕华区模拟）如图，点 O 是等边△ABC内一点，∠AOB=110°，∠BOC=a．将△BOC绕点C 按顺时针方向旋转60°得△ADC，连接 OD．（1）求证：△COD是等边三角形；（2）当a=150°时，试判断△AOD 的形状，并说明理由；（3）探究：当 a 为多少度时，△AOD是等腰三角形？【思路点拨】（1）根据旋转的性质可得出 OC=OD，结合题意即可证得结论；（2）结合（1）的结论可作出判断；（3）找到变化中的不变量，然后利用旋转及全等的性质即可做出解答．【答案与解析】（1）证明：∵将△BOC绕点 C 按顺时针方向旋转60°得△ADC，∴CO=CD，∠OCD=60°，∴△COD是等边三角形．（2）解：当α=150°时，△AOD是直角三角形．理由是：∵将△BOC绕点 C 按顺时针方向旋转60°得△ADC，∴△BOC≌△ADC，∴∠ADC=∠BOC=150°，又∵△COD是等边三角形，∴∠ODC=60°，∴∠ADO=∠ADC﹣∠ODC=90°，∵∠α=150°∠AOB=110°，∠COD=60°，∴∠AOD=360°﹣∠α﹣∠AOB﹣∠COD=360°﹣150°﹣110°﹣60°=40°，∴△AOD 不是等腰直角三角形，即△AOD是直角三角形．（3）解：①要使AO=AD，需∠AOD=∠ADO，∵∠AOD=360°﹣110°﹣60°﹣α=190°﹣α，∠ADO=α﹣60°，∴190°﹣α=α﹣60°，∴α=125°；②要使 OA=OD，需∠OAD=∠ADO．∵∠OAD=180°﹣（∠AOD+∠ADO）=180°﹣（190°﹣α+α﹣60°）=50°，∴α﹣60°=50°，∴α=110°；③要使 OD=AD，需∠OAD=∠AOD．∵∠OAD=360°﹣110°﹣60°﹣α=190°﹣α，∠AOD==120°﹣，∴190°﹣α=120°﹣，解得α=140°．综上所述：当α的度数为125°或110°或140°时，△AOD是等腰三角形．【总结升华】本题以“空间与图形”中的核心知识（如等边三角形的性质、全等三角形的性质与证明等）为载体，内容由浅入深，层层递进．试题中几何演绎推理的难度适宜，蕴含着丰富的思想方法（如运动变化、数形结合、分类讨论、方程思想等），能较好地考查学生的推理、探究及解决问题的能力．举一反三：【变式】已知 D 是等边△ABC外一点,∠BDC=120º.求证：AD=BD+DC.【答案】∵△ABC为等边三角形，∴AB=AC，∠BAC=60°.将△ABD绕点A 逆时针旋转60°，得到△EAC，∴△DAB≌△EAC,即∠ABD=∠ACE,∵四边形 ABCD 中,∠BDC=120º,∠BAC=60°,∴∠DBA+∠DCA=180°,即∠ACE+∠DCA=180°,点 D,C,E 三点共线.∴BD+DC=CE+DC=DE.又∵∠DAE=60°.∴△ADE是等边三角形,即DE=AD.∴BD+DC=AD.4.如图，在四边形 ABCD 中，∠ABC＝30°，∠ADC＝60°，AD=CD. 求证：BD2=AB2+BC2.【思路点拨】利用 AD=CD 可以将△BCD绕点D 逆时针旋转60°，从而把条件集中到一个三角形中.【答案与解析】证明： ∵AD=CD，∠ADC=60°，∴△BCD 绕点 D 逆时针旋转 60°，得到△EAD， ∴∠BDE=∠CDA=60°，△BCD≌△EAD． ∴BC=AE， BD=DE ，∠DAE=∠DCB, ∴△BDE 为等边三角形． ∴BE=BD．∵在四边形 ABCD 中，∠ABC＝30°，∠ADC＝60°， ∴∠DCB+∠DAB=270°，即∠DAE+∠DAB=270°． ∴∠BAE=90°． ∵在 Rt△BAE 中， ，∴．【总结升华】由求证可知应该建立一个直角三角形，再由已知知道有 30°，60°的角，有等线段，可以构想通过旋转构建直角三角形.5 、正方形 ABCD 和正方形 AEFG 有一个公共点 A ，点 G 、E 分别在线段 AD 、AB 上（1） 如图连结 DF 、BF ，试问：当正方形 AEFG 绕点 A 旋转时，DF 、BF 的长度是否始终相等？若相等请证明；若不相等请举出反例.（2） 若将正方形 AEFG 绕点 A 顺时针方向旋转，连结 DG ，在旋转过程中，能否找到一条线段的长度与线段 DG的长度相等，并画图加以说明. 【答案与解析】(1) 如图， DF 、BF 的长度不是始终相等，当点 F 旋转到 AB 边上时，DF>AD>BF.（2）线段BE=DG如图: ∵正方形 ABCD 和正方形 AEFG∴AD=AB,AG=AE, ∠1+∠2=∠2+∠3 ∴∠DAG=∠BAE ∴△ADG≌△ABE ∴ DG=BE【总结升华】利用旋转图形的不变性确定全等三角形. 举一反三：【变式】（2015•沈阳）如图，正方形 ABCD 绕点 B 逆时针旋转 30°后得到正方形 BEFG ，EF 与 AD 相交于点 H ，延长DA 交 GF 于点 K ．若正方形 ABCD 边长为，求 AK 的长？【答案与解析】 解：连接 BH ，如图所示：∵四边形 ABCD 和四边形 BEFG 是正方形， ∴∠BAH=∠ABC=∠BEH=∠F=90°， 由旋转的性质得：AB=EB ，∠CBE=30°， ∴∠ABE=60°，在 Rt△ABH 和 Rt△EBH 中，，∴Rt△ABH≌△Rt△EBH（HL ）， ∴∠ABH=∠EBH=∠ABE=30°，AH=EH ， ∴AH= ×=1，∴EH=1， ∴FH=﹣1，在 Rt△FKH 中，∠FKH=30°， ∴KH=2FH=2（﹣1），∴AK=KH﹣AH=2（ ﹣1）﹣1=2 ﹣3； 故答案为： 2 3 .6. 如图，已知△ABC 为等腰直角三角形，∠BAC=900，E 、F 是 BC 边上点且∠EAF=45°.求证： ．3【思路点拨】通过求证可以猜测要证得直角三角形，所以可以考虑旋转.【答案与解析】∵ △ABC为等腰直角三角形且∠BAC=90°∴ AB=AC，将△CAF 绕点 A 顺时针旋转90°，如图，得到∴∴ ，，，,∴ ,连结，则在,中，∴ ①,又∵ ,∵ .又∵∴ 在与,中,.∴ ②,∴ 由①②得：. 【总结升华】旋转性质：旋转前，后的图形全等.。
第二十三章《旋转》全章教学课件(新人教版九年级数学上册)
课堂小结
定 义
三要素：旋转中心，旋
转方向和旋转角度 ① 旋转前后的图形全等； ② 对应点到旋转中心的距离相等; ③ 对应点与旋转中心所连线段的 夹角等于旋转角.
旋 转
性 质
作旋转图形 应 用
确定旋转中心
作图基本步骤五步 找两条对应点 连线段的垂直 平分线的交点
课后作业
见《学练优》本课时练习
九年级数学上（RJ） 教学课件
九年级数学上（RJ） 教学课件
第二十三章 旋转
23.1 图形的旋转
导入新课
讲授新课
当堂练习
课堂小结
学习目标
1.掌握旋转的有关概念及基本性质.（重点） 2.能够根据旋转的基本性质解决实际问题和进行简单作图. （难点）
导入新课
问题：观察下列动画，说一说，生活中的这些现象有什么
共同特点？
扇叶
使用扳手拧螺丝
3,
2
AHale Waihona Puke BCD3.如图，正方形A′B′C′D′是由正方形ABCD按顺时针方向旋转
45°而成的. （1）若AB=4，则S正方形A′B′C′D′= 16 ； （2） ∠BAB ′=45° , ∠B′AD= 45° . (3)若连接BB′,则∠ABB′= 67.5°.
能力提升： K是正方形ABCD内一点，以AK为一边作正方形AKLM，使L、
A
∠BOE呢？△ABC与△DEF呢？
答：OA=OD，∠AOD=∠BOE， △ABC≌△DEF. 问题2 旋转前后图形的形状和大小有 影响吗？ 答：没有 O F C B D
问题3 你能通过度量角的方法得出旋
E
转角度吗？你准备度量哪个角？
答：能，∠AOD.
A
归纳总结
2018年秋人教版九年级数学上册课件：第二十三章旋转 本章知识梳理(共28张PPT)
本章知识梳理
考纲要求
1. 通过具体实例认识平面图形关于旋转中心的旋转.探 索它的基本性质：一个图形和它经过旋转所得到的图形， 对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心连线 所成的角相等，等于旋转角. 2. 了解中心对称、中心对称图形的概念，探索它的基 本性质：成中心对称的两个图形，对称点的连线经过对 称中心，且被对称中心平分. 3. 探索线段、平行四边形、正多边形、圆的中心对称 性质. 4. 认识并欣赏自然界和现实生活中的中心对称图形.
（1）画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1，并写出点 A1的坐标； （2）画出△ABC绕点B逆时针旋转90°后得到的 △A2BC2，并写出点A2的坐标； （3）画出△A2B2C2关于原点O成中心对称的△A3B3C3， 并写出点A3的坐标.
考点4 旋转作图
解：（1）画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1，如答 图M23-3所示，此时点A1的坐标为（-2，2）.
考点4 旋转作图
1. （2017黔南州改编）如图M23-21，在边长为1个单 位长度的小正方形组成的网格中，给出了格点三角形 ABC（顶点是网格线的交点）. （1）先将△ABC竖直向上平移5个 单位，再水平向右平移4个单位得到 △A1B1C1，请画出△A1B1C1； （2）将△A1B1C1绕点B1顺时针旋转 90°，得△A2B1C2，请画出△A2B1C2.
考点2 中心对称与中心对称图形
5. 晋商大院的许多窗格图案蕴含着对称之美，现从中 选取以下四种窗格图案，其中是中心对称图形但不是轴 对称图形的是（ B ）
考点2 中心对称与中心对称图形
6. 在线段、等边三角形、平行四边形和圆中，不是中 心对称图形的为__等__边_三__角__形____. 7. 如图M23-19是一个中心对称图形，A为对称中心， 若∠C=90°，∠B=30°，BC=23，则BB′的长为 ____8____.
第23章旋转第2课时 旋转作图-人教版九年级数学上册讲义（机构专用）
人教版九年级数学上册讲义第二十三章旋转第2课时旋转作图旋转作图的一般步骤步 骤：(1)明确三个条件：旋转中心，旋转方向，旋转角度；(2)确定关键点，作出关键点旋转后的对应点；(3)顺次连接对应点．网格中旋转90°的画法1．确定关键点与旋转中心所在的矩形．2．搞清楚是顺时针还是逆时针，旋转矩形，确定对应点．3．确定旋转后的图形．确定旋转中心的步骤1．连接两组对应点．2．作对应点连线的垂直平分线．3．交点就是旋转中心．旋转过程边所扫过区域的面积旋转过程边所扫过区域的面积为扇形面积面积公式为：lR R n S 213602==π扇（其中n 是旋转度数，R 是旋转的那条线也是扇形的半径）计算公式为180r n l π=（其中n 是旋转度数，r 是旋转中心到哪个点的距离也是扇形的半径） 对应练习1.画出将线段 AB 绕点 O 按顺时针方向旋转 90° 后的图形．2.画出将ΔABC 绕点C 按逆时针方向旋转150°后的对应三角形．3．如图，在平面直角坐标系中，△ABC 的三个顶点坐标分别为A （﹣2，﹣1）、B （﹣1，1）、C （0，﹣2）．（1）点B 关于坐标原点O 对称的点的坐标为 ；（2）将△ABC 绕着点C 顺时针旋转90°，画出旋转后得到的△A1B1C ；（3）在（2）中，求边CA 所扫过区域的面积是多少？（结果保留π）．（4）若A 、B 、C 三点的横坐标都加3，纵坐标不变，图形△ABC 的位置发生怎样的变化？4．如图，在直角坐标系中，Rt△AOB的两条直角边OA，OB分别在x轴的负半轴，y轴的负半轴上，且OA＝2，OB＝1．将Rt△AOB绕点O按顺时针方向旋转90°，再把所得的像沿x轴正方向平移1个单位，得△CDO．(1)写出点A，C的坐标；(2)求点A和点C之间的距离．5．如图，在平面直角坐标系中有△ABC，其中A（﹣3，4），B（﹣4，2），C（﹣2，1）.把△ABC绕原点顺时针旋转90°，得到△A1B1C1.再把△A1B1C1向左平移2个单位，向下平移5个单位得到△A2B2C2.（1）画出△A1B1C1和△A2B2C2.（2）直接写出点B1、B2坐标.（3）P（a，b）是△ABC的AC边上任意一点，△ABC经旋转平移后P对应的点分别为P1、P2，请直接写出点P1、P2的坐标.6．在平面直角坐标系中，点的坐标为，将绕原点顺时针旋转得到，求点的坐标．7．如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形，在建立平面直角坐标系后，△ABC的顶点均在格点上，点B的坐标为（0，1）.（1）画出△ABC向右平移3个单位长度所得的△A1B1C1；写出C1点的坐标；（2）画出将△ABC绕点B按逆时针方向旋转90°所得的△A2B2C2；写出C2点的坐标；（3）在（2）的条件下求点A所经过路径的长度.8．如图，Rt△ABC的三个顶点分别是A(-3，2)，B(0，4)，C(0，2)，结合所给的平面直角坐标系解答下列问题：(1)画出△ABC以点C为旋转中心旋转180°后对应的△A1B1C；(2)平移△ABC，若点A的对应点A2的坐标为(0，-4)，画出平移后对应的△A2B2C2；(3)若将△A1B1C绕某一点旋转可以得到△A2B2C2，请直接写出旋转中心的坐标．课后作业1．在10×10网格中建立如图所示的平面直角坐标系，△ABC是格点三角形（三角形的顶点是网格线的交点）（1）画出△ABC绕点O逆时针方向旋转90°得到的△A1B1C1；（2）求点A在（1）的图形变换过程中所经过的路径长.2．如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点坐标分别是A（1，1），B（4，1），C（3，3）.（1）将△ABC向下平移5个单位后得到△A1B1C1，请画出△A1B1C1；（2）将△ABC绕原点O逆时针旋转90°后得到△A2B2C2，请画出△A2B2C2；（3）判断以O，A1，B为顶点的三角形的形状. （无须说明理由）3．如图，△ABC在平面直角坐标系中，顶点的坐标分别为A（﹣4，4），B（﹣1，1），C（﹣1，4）．（1）画出与△ABC关于y轴对称的△A1B1C1．（2）将△ABC绕点B逆时针旋转90°，得到△A2BC2，画两出△A2BC2．（3）求线段AB在旋转过程中扫过的图形面积．（结果保留π）4．如图，在平面直角坐标系中，有一Rt△ABC，且A（﹣1，3），B（﹣3，﹣1），C（﹣3，3），已知△A1AC1是由△ABC旋转得到的．（1）请写出旋转中心的坐标是，旋转角是度；（2）以（1）中的旋转中心为中心，分别画出△A1AC1顺时针旋转90°、180°的三角形；（3）设Rt△ABC两直角边BC＝a、AC＝b、斜边AB＝c，利用变换前后所形成的图案证明勾股定理．5．如图，把直角三角形ABC按逆时针方向旋转到△EBD的位置，使得A、B、D三点在一直线上．(1)旋转中心是哪一点？旋转角是多少度？(2)AC与DE的位置关系怎样？请说明理由．6．线段AB，CD在正方形网格中的位置如图所示，将线段AB绕点O按顺时针方向旋转一定角度α，可以得到线段CD．（1）请在下图中画出点O；（2）若点A、B、C、D的坐标分别为A(-5,5)、B(1,1)、C(5,1)、D(1,-5)，则点O的坐标为；（3）α=．对应练习答案1.2.3．解答：解：（1）∵B（﹣1，1），∴点B关于坐标原点O对称的点的坐标为（1，﹣1）．故答案为（1，﹣1）；（2）如图所示，△A1B1C即为所求作的图形；（3）∵CA＝＝，∠ACA1＝90°，∴S扇形CAA1＝＝；（4）∵A、B、C三点的横坐标都加3，纵坐标不变，∴图形△ABC的位置是向右平移了3个单位．4．解答：解：(1)点A的坐标是(-2，0)，点C的坐标是(1，2)．(2)连接AC，在Rt△ACD中，AD＝OA+OD＝3，CD＝2，∴AC2＝CD2+AD2＝22+32＝13，∴AC＝．5．解答：（1）解：如图所示，△A1B1C1和△A2B2C2即为所求：（2）解：点B1坐标为（2，4）、B2坐标为（0，﹣1）（3）解：由题意知点P1坐标为（b，﹣a），点P2的坐标为（b﹣2，﹣a﹣5）6．解答：解：轴于，轴于，如图，，，绕原点顺时针旋转得到可看作是绕原点顺时针旋转得到，则，，所以点的坐标为．7．解答：解：（1）如图所示.由图可知，C1（2，3）；（2）如图所示，由图可知，C2（﹣2，0）；（3）∵AB＝＝，∴点A所经过路径的长度＝＝.8．解答：解：(1)延长AC至A1，点B1与点O重合，连接A1C、B1C、A1B1，则△A1CB1就是所求三角形；(2)取B2(3，-2)，C2(4，-3)，连成△A2B2C2；(3)连接A1A2、B1B2，交于点E，则点E就是旋转中心，E(1.5，-1)．课后作业答案1．解答：解：（1）如图所示：（2）点A在（1）的图形变换过程中所经过的路径是一段圆弧，其半径为2，圆心角为90°，所以长度为.2．解答：解：（1）如图所示，△A1B1C1即为所求：（2）如图所示，△A2B2C2即为所求：（3）三角形的形状为等腰直角三角形，OB＝OA1＝，A1B＝，即，所以三角形的形状为等腰直角三角形.3．解答：解：（1）如图，△AlB1C1为所作；（2）如图，△A2BC2为所作；（3）AB＝＝3，所以线段AB在旋转过程中扫过的图形面积＝＝π．4．解答：解：（1）旋转中心坐标是O（0，0），旋转角是90度；（2）画出的图形如图所示；（3）有旋转的过程可知，四边形CC1C2C3和四边形AA1A2B是正方形．∵S正方形CC1C2C3＝S正方形AA1A2B+4S△ABC，∴（a+b）2＝c2+4×ab，即a2+2ab+b2＝c2+2ab，∴a2+b2＝c2．5．解答：解：(1)直角三角形ABC按逆时针方向旋转到△EBD的位置，∴旋转中心是点B，旋转角是90°；(2)AC⊥DE，理由：延长DE交AC于F，∵把直角三角形ABC按逆时针方向旋转到△EBD的位置，∴∠C＝∠D，∠DBE＝∠ABC＝90°，∴∠C+∠A＝∠D+∠A＝90°，∴∠DFA＝90°，∴AC⊥DE．6．解答：解：（1）如图所示，点O即为所求；（2）观察图象可知，O(-2,-2)．故答案为(-2,-2)．（3）观察图象可知α=90°．故答案为90°．。
九年级数学上册第二十三章旋转23.1图形的旋转(第2课时旋转作图)课时精讲新人教版(最新整理)
九年级数学上册第二十三章旋转23.1 图形的旋转（第2课时旋转作图）课时精讲（新版）新人教版编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（九年级数学上册第二十三章旋转23.1 图形的旋转（第2课时旋转作图）课时精讲（新版）新人教版）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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第2课时旋转作图1．在旋转的过程中,要确定一个图形旋转后的位置,除了应了解图形原来的位置外，还应了解__旋转中心___、__旋转方向___和__旋转角___．2．旋转作图的步骤：(1)首先确定__旋转中心___、旋转方向和__旋转角___；（2)其次确定图形的关键点；(3)将这些关键点沿指定的方向旋转指定的角度；（4)连接__对应点___，形成相应的图形．知识点1:旋转作图1．如图,在4×4的正方形网格中，△MNP绕某点旋转一定的角度,得到△M1N1P1，则其旋转中心一定是__点B___．2．如图，△ABC绕C点旋转后，顶点A的对应点为点D，试确定顶点B对应点的位置以及旋转后的三角形．解：图略3．任意画一个△ABC，作下列旋转:（1）以点A为旋转中心,把这个三角形逆时针旋转45°；解：图略(2）以三角形外任意一点O为旋转中心，把这个三角形顺时针旋转120°；解：图略(3)以AB边的中点D为旋转中心，把这个三角形旋转180°。
解:图略知识点2:在平面直角坐标系中的图形旋转4．将等腰直角三角形AOB按如图所示位置放置，然后绕点O逆时针旋转90°至△A′OB′的位置，点B的横坐标为2,则点A′的坐标为（C）A．（1，1) B．（2,错误!）C．（－1,1）D．(－错误!，错误!），第4题图) ,第5题图) 5．如图，将△ABC绕点C（0，1)旋转180°得到△A′B′C,设点A的坐标为（a,b），则点A′的坐标为（D )A．(－a，－b) B．(－a，－b－1)C．（－a，－b＋1）D．（－a，－b＋2）6．（2014·烟台）如图,将△ABC绕点P顺时针旋转90°得到△A′B′C′,则点P的坐标是( B）A．（1，1) B．(1,2）C．(1，3) D．（1，4)，第6题图）,第7题图)7．如图，正方形OABC的两边OA,OC分别在x轴、y轴上，点D(5，3)在边AB上，以C为中心,把△CDB旋转90°,则旋转后点D的对应点D′的坐标是（C )A．(2，10）B．(－2，0)C．(2，10)或（－2,0) D．（10,2)或(－2，0)8．如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A在x轴上，点C在y轴上,把矩形OABC 绕着原点顺时针旋转90°得到矩形OA′B′C′，若OA＝2,OC＝4，则点B′的坐标为（C ) A．(2，4) B．（－2,4)C．(4，2）D．(2，－4),第8题图) ，第9题图) 9．如图，将平面直角坐标系中的△AOB绕点O顺时针旋转90°得到△A′OB′.已知∠AOB ＝60°，∠B＝90°，AB＝3,则点B′的坐标是( A )A．（错误!,错误!) B．（错误!,错误!)C．(错误!,错误!) D．（错误!，错误!)10．如图，在方格纸中，△ABC的三个顶点和点P都在小方格的顶点，按要求画一个三角形，使它的顶点在方格的顶点上．(1)将△ABC平移,使点P落在平移后的三角形内部，在图甲中画出示意图；(2）以点C为旋转中心，将△ABC旋转，使点P落在旋转后的三角形内部，在图乙中画出示意图．解:图略11．如图,在平面直角坐标系中，Rt△ABC的三个顶点分别是A（－3，2），B(0，4)，C（0，2)．(1）将△ABC以点C为旋转中心旋转180°，画出旋转后对应的△A1B1C;平移△ABC，若A 的对应点A2的坐标为(0，－4)，画出平移后对应的△A2B2C2;（2)若将△A1B1C绕某一点旋转可以得到△A2B2C2，请直接写出旋转中心的坐标．解：（1）△A1B1C和△A2B2C2图略（2)旋转中心坐标（32，－1)12．如图，点O是等边△ABC内一点，∠AOB＝110°，∠BOC＝α，将△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得到△ADC，连接OD.(1)求证：△COD是等边三角形;(2)当α＝150°时，试判断△AOD的形状，并说明理由；（3）探究：当α为多少度时，△AOD是等腰三角形？解:（1）根据旋转的意义和性质知，∠OCD＝60°，CO＝CD,∴△COD是等边三角形（2)当α＝150°，即∠BOC＝150°时，△AOD是直角三角形．由旋转的性质可知，△BO C≌△ADC，∴∠ADC＝∠BOC＝150°。
2018年秋人教版九年级数学上册课件：第二十三章旋转 本章知识梳理(共28张PPT)
考点4 旋转作图
解：（1）画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1，如答 图M23-3所示，此时点A1的坐标为（-2，2）.
考点2 中心对称与中心对称图形
一、中心对称 1. 将n个边长都为2的正方形按如图M23-16所示摆放， 点A1，A2，…，An分别是正方形的中心，则这n个正方 形重叠部分的面积之和是___n_-_1___.
考点2 中心对称与中心对称图形
2. 如图M23-17，四边形ABCD是菱形，O是两条对角 线的交点，过O点的三条直线将菱形分成阴影和空白部 分. 当菱形的两条对角线的长分别为6和8时，则阴影部 分的面积为____1_2___.
考点3 关于原点对称的点的坐标
4. 直角坐标系第二象限内的点P（x2+2x，3）与另一点 Q（x+2，y）关于原点对称，试求x+2y的值.
解：根据题意，得（x2+2x）+（x+2）=0， y=-3. ∴x1=-1，x2=-2. ∵点P位于第二象限， ∴x=-2不合题意，舍去. ∴x=-1，y=-3. ∴x+2y=-7.
第二十三章 旋 转
本章知识梳理
考纲要求
1. 通过具体实例认识平面图形关于旋转中心的旋转.探 索它的基本性质：一个图形和它经过旋转所得到的图形， 对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心连线 所成的角相等，等于旋转角. 2. 了解中心对称、中心对称图形的概念，探索它的基 本性质：成中心对称的两个图形，对称点的连线经过对 称中心，且被对称中心平分. 3. 探索线段、平行四边形、正多边形、圆的中心对称 性质. 4. 认识并欣赏自然界和现实生活中的中心对称图形.
九年级数学上册第二十三章旋转章末小结讲义(新人教版).ppt
1
一、整体把握
2
二、加深理解
3
三、复习新知
例1 如图,将Rt△ABC绕点A逆时针旋转40°,得到
Rt△AB′C′,点C′恰好落在斜边AB上,连接BB′,则
∠BB′C′= 20° .
分析：根据旋转的性质可得 AB=AB′，∠BAB′=40°，然后 根据等腰三角形两底角相等求 出∠ABB′，再利用直角三角形 两锐角互余列式计算即可得 解．
4
例2 如图,在平面直角坐标系中,将线段AB绕点A按
逆时针方向旋转90°后,得到线段AB′,则点B′的
坐标为(4,2)
.
分析：抓住旋转的三要 素：旋转中心A，旋转方 向逆时针，旋转角度 90°，通过画图得B′坐 标.
5
例3 在方格纸上按以下要求作图,不用写作法: (1)作出“小旗子”向右平移6格后的图案. (2)作出“小旗子”绕O点按逆时针方向旋转90°
后的图案.
6
例4 一财主有一块平行四边形的土地，地里有一个 圆形池塘．财主立下遗嘱：要把这块土地平分给他 的两个儿子，中间的池塘也要平分，但不知怎么做， 你能帮忙想个办法吗？
7
8
9
五、归纳小结
10
11Βιβλιοθήκη
新人教版九年级数学上册第二十三章旋转标准课件份3
-4
-3
-2
-1 B
O -1
1
-2· 依次连接A ′B ′ ，B ′ C ′ ，C ′ A ′ ，就可得到与△ABC-3
关于原点对称的△ A′B′ C ′ .
-4
·
2 3 4 5x
A′
C′
新人教版九年级数学上册第二十三章 旋转标 准课件 份3（PP T优秀 课件）
A（-3，-1） B（2，-3） C（1,2） D（-2,3） 3.若点A(m,-2),B(1,n)关于原点对称,则m=__-_1__,n=__2___ .
新人教版九年级数学上册第二十三章 旋转标 准课件 份3（PP T优秀 课件）
新人教版九年级数学上册第二十三章 旋转标 准课件 份3（PP T优秀 课件）
新人教版九年级数学上册第二十三章 旋转标 准课件 份3（PP T优秀 课件）
新人教版九年级数学上册第二十三章 旋转标 准课件 份3（PP T优秀 课件）
课堂探究
关于原点对称的点的坐标 y
问题 如何确定平面直角坐标系中A点关于原
点对称的点A′坐标？
2 A
1
B′
记作A ( 2，1 ) △ABC≌△A′B′ C ′ 记作A′ ( -2，-1 )
C（3，-2）
想一想：
-4
点A与点B的位置关系是怎样的？点P与点C呢?
新人教版九年级数学上册第二十三章 旋转标 准课件 份3（PP T优秀 课件）
本节目标
1.掌握两点关于原点对称时，横纵坐标的关系. 2.会在平面直角坐标系内作关于原点对称的图形. 3.进一步体会数形结合的思想.
新人教版九年级数学上册第二十三章 旋转标 准课件 份3（PP T优秀 课件）
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《 23 章 旋转 》《知识点1 旋转的相关概念》 （1）定义：在平面内，把一个图形绕着某一个点O 旋转一个角度的图形变换叫做旋转． 点O 叫做 旋转中心 ，转动的角叫做 旋转角 。
如果图形上的点P 经过旋转变为点P ′，那么这两个点叫做 对应点。
（2）注意：1. 旋转的范围是在平面内旋转，否则有可能旋转为立体图形，因此“在平面内”这一条件不可忽略。
2. 旋转的三要素： ， 和 ；3. 旋转的方向有： ， ；4. 旋转角： 。
例1 已知：把△ABC 顺时针旋转60°后能与△A ’BC ’重合， 求：（1）找出旋转中心，（2）指出对应顶点和对应边， （3）指出旋转角（4）连接A A ’， △ABA ’是什么三角形？为什么？接CC ’，△CBC ’呢？A'C'BAC例2 如图，P 是等边△ABC 内一点，△BMC 是由△BPA 旋转所得，则旋转角是， ∠PBM ＝ ____．例3 我们知道，国旗上的一个五角星是旋转对称图形，为使它能与自身重合，需要旋转的角度为（ ） A. 36° B. 45° C.60° D. 72°练习：1. 下面生活中的实例，不是旋转的是（ ）A. 传送带传送货物B. 螺旋桨的运动C. 风车风轮的运动D. 自行车车轮的运动 2. 将一个三角形旋转，旋转中心应选在（ ）A. 三角形的顶点B. 三角形的外部C. 三角形的三条边上D. 平面内的任意位置3. 如图，四边形ABCD 是长方形，四边形AEFG 也是长方形，E 在AD 上，如果长方形ABCD 旋转后能与长方形AEFG 重合，那么（1）旋转中心是哪一点？ （2）旋转角是几度？EFGBDAC4.5.6.《知识点2 旋转的性质》由旋转的定义可知，旋转不改变图形的大小和形状，这说明旋转前后的两个图形是全等的.由此得到如下性质：1. 旋转前后的图形；2. 旋转后的对应线段；对应角；3. 同一个旋转，旋转角；4.对应点到旋转中心的距离相等.注意：经过旋转，图形上的每一点都绕旋转中心沿相同方向转动了相同的角度，对应点的排列次序相同.例1例2例3例4 已知平面直角坐标系上的三个点O（0，0），A（－1，1），B（－1，0），将△ABO绕点O顺时针方向旋转135°，点A、B的对应点为A l，B l，求点A l，B l的坐标。
例5例6如图，边长为3的两个正方形相互重合，按住期中一个不动，将另一个绕顶点A顺时针旋转45°，则这两个正方形重叠部分的面积是多少？例7例8练习：1.1题图 2题图 3题图2.3.4.4题图 5题图5.6.（1）等边三角形绕旋转中心至少旋转°与自身重合；（2）正方形绕旋转中心至少旋转°与自身重合；（3）五角星绕旋转中心至少旋转°与自身重合；（4）正n边形绕旋转中心至少旋转°与自身重合。
7.7题图8题图8.9.10.【旋转的性质应用专题】——培优例1（3）求AB的长。
例2例3例4例5练习：1. 如图，O 是锐角三角形ABC 内一点，∠AOB ＝∠BOC ＝∠COA ＝120°，P 是△ABC 内不同于O 的另一点； △A ′BO ′、△A ′BP ′分别由△AOB 、△APB 旋转而得，旋转角都为60°，则下列结论中正确的有( ) ①△O ′BO 为等边三角形，且A ′、O ′、O 、C 在一条直线上．②A ′O ′＋O ′O ＝AO ＋BO ． ③A ′P ′＋P ′P ＝PA ＋PB ． ④PA ＋PB ＋PC>AO ＋BO ＋CO ．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个2. 如图，已知点P 是正方形ABCD 内一点，连接PA 、PB 、PC ，将△PAB 绕点B 顺时针旋转90°到△P ′CB 的位置，①设AB 的长为a ，PB 的长为b )(a b <，求△PAB 旋转到△P ′CB 的过程中边PA 所扫过区域（图中阴影部分）的面积；②若135,4,2=∠==APB PB PA °，求PC 的长.3.4.5.6.(2018 广州中考25题）如图12，在四边形ABCD中，∠B＝60°，∠D＝30°，AB＝B C. （1）求∠A＋∠C的度数（2）连接BD,探究AD,BD,CD三者之间的数量关系，并说明理由。
（3）若AB ＝1，点E 在四边形ABCD 内部运动，且满足222+CE AE BE ,求点E 运动路径的长度。
7.8.9.10.甲、乙、丙三名同学探索课本上一道题：如图1，E是边长为a的正方形ABCD中CD边上任意一点，以点A 为中心，把ADE△顺时针旋转90 ，画出旋转后的图形．任务要求：（1）请你在图1中画出旋转后的图形；甲、乙、丙三名同学又继续探索：在正方形ABCD中，45∠EAF∠=︒，点F为BC上一点，点E为DC上一点，EAF 的两边AE、AF分别与直线BD交于点M、N．连接EF．甲发现：线段BF，EF，DE之间存在着关系式EF BF DE=+．△的周长是一个恒定不变的值．乙发现：CEF丙发现：线段BN，MN，DM之间存在着关系式222+=．BN DM MN（2）现请你参与三位同学的研究工作中来，你认为三名同学中哪个的发现是正确的，并说明你的理由．《知识点3 旋转作图》1.明确作图的条件:(1)已知旋转中心； (2)已知旋转方向与旋转角. 2.理解作图的依据:(1)旋转的定义: 在平面内，将一个图形绕一个定点O 沿某个方向转动一个角度的图形变换叫做旋转； (2)旋转的性质:经过旋转,图形上的每一点都绕旋转中心沿相同的方向转动了相同的角度,任意一对对应 点与旋转中心的连线所组成的角都是旋转角,对应点到旋转中心的距离相等. 3. 掌握作图的步骤:(1) 连：即连接图形中每一个关键点与旋转中心；（2） 转：把连线按要求绕旋转中心转过一定角度（作旋转角）；（3） 截：即在角的另一边上截取与关键点到旋转中心的距离相等的线段，得到各点的对应点； （4） 连：即连接所得到的各点；（5）写：即写出结论，说明作出图形。
例1 （1）如图，△ABC 是等腰直角三角形，画出以点A 为旋转中心，顺时针旋转45°后的图形△''C AB（2）（3）（1） （2） （3）例2 （1）（2）（1） （2）例3 如图3，小明将△ABC 绕O 点旋转得到△C B A '''，其中点C B A '''、、分别是A 、B 、C 的对应点。
随即又将△ABC 的边AC 、BC 及旋转中心O 擦去(不留痕迹)。
他说他还能把旋转中心O 及△ABC 的位置找到，你认为可以吗？若可以，试确定旋转中心及的位置；如不可以，请说明理由.例4如图所示，在正方形网格中，图①经过变换可以得到图②；图③是由图②经过旋转变换得到的，其旋转中心是点（填“A”或“B”或“C”）.练习：1.2.2题图3题图3.4.5.6.《知识点4 中心对称及其相关概念》（1）定义：把一个图形绕着某一点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么称这两个图形关于这点对称，也称这两个图形成中心对称，这个点叫做对称中心，两个图形中的对应点叫做对称点。
例1 如图，已知AD是△ABC的中线，画出以点D为对称中心，与△ABD•成中心对称的三角形．例2 如下所示的4组图形中,左边图形与右边图形成中心对称的有，对称中心怎么找？《知识点5 中心对称的性质及作图》1. 中心对称的基本性质：（1）成中心对称的两个图形具有图形旋转的一切性质。
（2）成中心对称的两个图形，对称点连线都经过，并且被对称中心平分。
拓展：成中心对称的两个图形，其对应线段相互平行（或在同一直线上）且相等。
2. 中心对称作图（1）确定中心对称的方法方法①任意连接一对对称点，取这条线段的中点，则该点为对称中心；方法②任意连接两对对称点，这两条线段的交点即是对称中心。
（2）中心对称作图的方法作图关键：确定对称中心，再作出原图形上特殊点关于对称中心的对称点.作图步骤：（1）连接原图形上的所有特殊点和对称中心；（2）再将以上连线延长找对称点，使得特殊点与对称中心的距离和对称中心的距离相等；（3）将对称点按原图形的形状顺次连接起来，即可得出关于对称中心对称的图形.例1例2例3例4练习：1.2.3.4.5.6.7. 如图，已知四边形ABCD和点O，画四边形A′B•′C′D′，使四边形A′B′C′D′和四边形ABCD关于点O成中心对称（只保留作图痕迹，不要求写出作法）．8.《知识点6 中心对称图形》1. 中心对称图形的有关概念：把一个平面图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够和原来的图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形。
这个点就是它的对称中心。
2．中心对称与中心对称图形的区别与联系中心对称中心对称图形区别1.是针对个图形2.对称点在个图形上3.对称中心在1. 是针对个图形2. 对称点在个图形上3. 对称中心在联系（1）都是通过把图形旋转180°重合来定义的；（2）两者可以进行相互转化，如果将成中心对称的两个图形看成一个图形，那么这个整体就是中心对称图形；反过来，如果把一个中心对称图形沿着过对称中心的任一条直线分成两个图形，那么这两个图形成中心对称。
例1例2例3例4练习：1.2.3.4.5.6.7.《知识点7 关于原点对称的点的坐标》两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反。
即点P （x ，y ）关于原点的对称点为),(y x P --'例1例2例3例4例5练习：1.2.3.4.《知识点8 图案设计》例1例2例3练习：1.2.3.。