第二章矩阵(1)
《线性代数》第二章矩阵
《线性代数》
第二章 矩 阵
本章重点：
•矩阵的运算、矩阵的初等行变换、矩
阵的秩和逆矩阵
本章难点：
•求逆矩阵
一、矩阵的概念
（一）矩阵的概念
a11 a12 a1n
A
a21
a22
a2n
am1
am2
amn
矩阵表示一张数表；
称为：m×n矩阵
记作：Amn
2
5
4
1
2
【解答】
由（1）（2）两题又验证，
152
10 31
1 0
矩阵乘法的交换律不成立。 即有：AB≠BA。
2 0 11
50
31
(2)11 0
51 30
1 3
2
5
210
am1 am2
在它的每个元素前 添上一个负号，就
得到A的负矩阵
a1n
a2n
amn
类似实数 里的负数.
7、单位矩阵
主对角线上的元素都是1，其余元素
都是0的n阶方阵。 记为：In或I
1 0 0
In
0
1
0
0 0 1
nn
主对角线以外的元素
全为零的方阵
1 1 2 1 2 1
3 3
0
2
2
0
5
1
3 9
3 0
6 6
2.1 矩阵的概念
与另外 m 个变量
P29 例3
之间存在如下的线性关系：
线性变换的系数可构成矩阵
A ( a ij ) m n .
线性变换和矩阵之间存在着一一对应关系.
16
§2.1 矩阵的概念 第 附：图像举例 二 章 矩 阵
30 33 37 40 48 58 53 52 65 64 71 69 62 68 76 67 74 86 88 70 58 48 37 33
a a 0 (?) aI a n n
0
11
§2.1 矩阵的概念 第 三、几种特殊的矩阵 二 章 3. 方阵 (1) 单位矩阵 矩 (2) 数量矩阵 阵 (3) 对角矩阵
1
2
0
0
记为 Λ diag ( 1 , 2 , , n ) . n n n
a11 a12 a 21 a 22 (A b) am1 am 2 a1 n a2 n am n b1 b2 bm
称为方程组的增广矩阵. 15
§2.1 矩阵的概念 第 例 二 章 矩 阵 线性变换是指 n 个变量
数表内部 进行操作
4
§2.1 矩阵的概念 第 二、矩阵的定义与一些基本概念 二 1. 矩阵的定义 章 定义 由 m×n 个数 ai j 排成的 m 行 n 列的数表 矩 阵 P26
定义 2.1 记为
A 或者
Am n
称为 m×n 阶矩阵，简记为 A
(a i j )mn
或
(a i j ) .
5
补
数表
二阶矩阵
（右矩阵）的行数相等时，两个矩阵才能相乘。
返回
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例4
A a0
0 b
0c
a1
B
b
1
c 1
0
0
0
求：AB和BA。
0 0 0
解：
0 AB a1ab1bc1c
0 0
BA 0 0 0 0 0 0
注：表明矩阵乘法不满足交换律。
AB＝0推不出A＝0或B＝0
AC＝BC且C不为0,推不出A=B (不满足消去律)
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设
A11 A12 L AA21 A22 L
M M As1 As2 L
A1r
A2r
k为数，那么
M
Asr
kA11 kA12 L kA kA21 kA22 L
M M kAs1 kAs2 L
则称为数量矩阵.即
a 0 L 0
A
0
a
L
0
M M O M
0
0
L
a
返回
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4.单位矩阵
如果n阶对角矩阵 A aij 中元素满足 a ii1i1 ,2 ,L,n,
则称为n阶单位矩阵，记为 E n .即
1 0 L 0
En
0 M
1 M
L O
0
M
0
0
L
1
返回
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§2 矩阵的运算
所以 B0,
故B 可逆。
B = ( A E ) A 1 = [ A ( A E ) ] 1 [ A E A ] 1
返回
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其中
8 2 6 0
AEA= 8 0 2 6
《线性代数》课件-第二章 矩阵及其运算
a11
A
A
a21
am1
a12 a22
am1
a1n
a2n
amn
数乘矩阵的运算规律
a, b, c R 结 合 (ab)c a(bc) 律 分 (a b) c ac bc 配 律 c (a b) ca cb
设 A、B是同型矩阵， , m 是数 (m)A (m A)
a11
a12
a13
a14
4
c11 a1kbk1
b11
b21
b31
b41
k 1
4
c12 a11b12 a12b22 a13b32 a14b42 a1k bk 2 k 1
一般地，
4
cij ai1b1 j ai 2b2 j ai 3b3 j ai4b4 j aikbkj k 1
行列式
矩阵
a11 a12
a1n
a21 a22
a2n
an1 an2
ann
(1) a a t( p1 p2 pn ) 1 p1 2 p2
p1 p2 pn
行数等于列数
共有n2个元素
a11 a12
a21
a22
am1 am1
anpn
a1n
a2n
amn
行数不等于列数 共有m×n个元素 本质上就是一个数表
第二章 矩阵及其运算
§1 矩阵
一、矩阵概念的引入 二、矩阵的定义 三、特殊的矩阵 四、矩阵与线性变换
B
一、矩阵概念的引入
例 某航空公司在 A、B、C、D 四座 A
城市之间开辟了若干航线，四座城市 之间的航班图如图所示，箭头从始发 地指向目的地.
城市间的航班图情况常用表格来表示:
第2章 矩阵及其运算
第二章 矩阵及其运算一、矩阵的概念与几类特殊方阵（一）矩阵及相关概念1.矩阵阶方阵阶矩阵或是，则称若或矩阵，简记称为列的表格行排成的个数n n A n m a A n m a a a a a a a a a n m a n m n m ij mn m m n n ij =⨯⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⨯⨯,)( (21)2222111211 2.0矩阵00，则称为零矩阵，记作中所有元素而都是如果矩阵A3.同型矩阵是同型矩阵与则称中如果，矩阵B A t n s m b B a A t s ij n m ij ,,,)(,)(====⨯⨯4.矩阵相等即对应的元素都相等同型矩阵),,(j i b a B A ij ij ∀=⇔= 1. 方阵的行列式 阶行列式其元素可构造对于方阵n a A ij )(=B A B A a a a a a a a a a A nnn n n n ≠≠=得不到由,.............. (2122221)11211(二)几类特殊方阵1.单位矩阵 主对角线上的运算全是1，其余元素均为0的n 阶段方阵，称为n 阶单位矩阵，记为E E A A AE EA ===0;2.对称矩阵),(,j i a a A A n A ji ij T ∀==即阶矩阵，如是设3.反对称矩阵对称矩阵反不一定是对称矩阵，但反也是对称矩阵，则反是同阶的若，即阶矩阵，如是设)()(,,)(,0),(-,-AB A B A B A B A a j i a a A A n A ii ji ij T λ-+=∀==4.对角矩阵 、积仍然是对角矩阵同阶的对角矩阵的和差，对角矩阵记为阶矩阵，如是设Λ≠∀≡)(0j i a n A ij5.逆矩阵 1,-==AA AB A E BA AB B n n A 记为的逆矩阵唯一的逆矩阵，是是可逆矩阵，，则称使阶矩阵阶矩阵，如存在是设6.正交矩阵T T T A A A E A A AA n A ===-1,是正交矩阵，则称阶矩阵，如是设7.伴随矩阵*=A A A A A A A A A A A n A a A n a A nn n n n n ij ij ij 的伴随矩阵，记为，称为阶矩阵所构成的的代数余子式的各元素阶矩阵，则由行列式是设....................)(212221212111二、矩阵的运算（一）矩阵的线性运算1.矩阵的加法CB A B A b a cC n m n m b B a A ij ij ij ij ij =++==⨯⨯==的和称为矩阵矩阵矩阵，则是两个设,)()()(),(2.矩阵的数乘kAA k b a ka n m k n m a A ij ij ij ij 记为的数乘，与矩阵称为数矩阵是一个常数，则矩阵，是设)()()(+=⨯⨯=3.矩阵的乘法nb r A r B Ax B AB A E A A A A B AB BA AB B A BA AB ABC B A b a b a b a b a c c C s m s n b B a A nk kj ik nj in j i j i ij ij ij ij ≤+≠======≠==≠==+++==⨯⨯==∑=)()(,00,0;0,;00,0)2(,)1(,...)()(),(212211则齐次方程组有非零解的解，若程中的每一列都是其次方应联想到或不能堆出，不能退出时，才能运算可交换即与只有换律矩阵的乘法一般没有交的乘积，记为与称为其中矩阵矩阵，则是两个设 ，命题成立矩阵，秩序是若不能退出的列数，则，且若可逆，则，且矩阵若立：以下两种情况消去率成，对于矩阵乘以不具有消去律n A r n m A C B A AC AB B A A r AB B A AB A AB =⨯=≠======≠=)(,,0,)3(0)(000),0(0（二）关于逆矩阵的运算规律A A =--11))(1( 111))(2(--=A k kA 111))(3(---=AB AB 11)())(4(--=T T A A 11)5(--=A A n n A A )())(6(11--=(三)关于矩阵转置的运算规律 A A T T =))(1( T T kA kA =))(2( T T T A B AB =))(3(T T T B A B A +=+))(4(（四）关于伴随矩阵的运算规律E A AA A A ==**)1( )2()2(1≥=-*n A A n )2())(3(2≥=-**n A A A n*-*=A k kA n 1))(4( **=)())(5(T T A A1)(,0)(;1)(,1)(;)(,)()6(-=-====***n A r A r n A r A r n A r n A r111-1-,)()(,1)()7(-**-**===A A A A A A AA A 可逆，则若（五）关于分块矩阵的运算法则⎥⎦⎤⎢⎣⎡++++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡4433221143214321)1(B A B A B A B A B B B B A A A A ⎥⎦⎤⎢⎣⎡++++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡DW CY DZ CX BW AY BZ AX W Z Y X D C B A )2( ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡T T T T T D BC AD C B A )3( ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡n n n C OO B C O O B )4( ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--O BC O O C B O C O O B C O O B 111-1-1-1-)4(，三、矩阵可逆的充分必要条件.8,.70.6)(.5,.4)(.30.2.121的特征值全不为总有唯一解非齐次方程组只有零解齐次方程组向量线性无关行的列是初等矩阵其中，有阶方阵存在可逆，等价于阶方阵A b Ax b Ax A P P P P A nA r A EBA AB B n A n i s =∀=⋅⋅⋅==≠==四、矩阵的初等变换与初等矩阵（一）矩阵的初等变换及相关概念1.矩阵的初等变换下述三种对矩阵的行列实施的变换称为矩阵的初等行列变换（1） 对调矩阵的两行列（2） 用非零常数k 乘以某行列中所有元素（3） 把矩阵某行列所有元素的k 倍加至另一行列对应的元素上去（4） 求秩（行列变换可混用）；求逆矩阵（只用行或只用列）；求线性方程组的解（只用行变换）（5） 不要混淆矩阵的运算2.行阶梯形矩阵与行最简形矩阵（1）具体如下特征的矩阵称为行阶梯形矩阵①零行（即元素全为零的行）全都位于非零行的下方②各非零行坐起第一个非零元素的列指标由上至下是严格增大（2）如果其非零行的第一个非零元素为1，并且这些非零元素所在列的其他元素均为零，这个行阶梯形矩阵称为行最简形矩阵对于任何矩阵A ，总可以经过有限次初等行变换把它化为行阶梯形矩阵和行最简形矩阵（二）初等矩阵的概念单位鞠振宁经过一次初等变换所得到的矩阵称为初等矩阵（三）初等矩阵的性质逆是同类型的初等矩阵初等矩阵均可逆，且其同样的行列初等变换做了一次与就是对矩阵，所得乘右左用初等矩阵.2)()(.1P A AP PA A P )()(100013-001100013001)1()(100021000110002000100101010000101010011-11-11-k E k E k E k E E E ij ij i i ij ij -=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---主对角线以外；主对角线；副对角线五、矩阵的等价（一）矩阵等价的概念的秩是矩阵阶单位矩阵是的等价标准形，其中后者是则称若等价，记作与则称矩阵矩阵经有限次初等变换变成矩阵A r r E A E A B A B A B A r r,,000~.~,⎥⎦⎤⎢⎣⎡ （二）矩阵等价的充分必要条件价向量组等价必有矩阵等向量可以互相线性表示；向量组等价是指两个等价是两个不同的概念矩阵的等价与向量组的使得阶可逆矩阵，阶可逆矩阵矩阵，则存在时设，使和存在可逆矩阵秩是同型矩阵且有相同的，等价于⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⨯=000,.2.1~r E PAQ Q n P m n m A BPAQ Q P B A B A六、常考题型及其解题方法与技巧题型一、有关矩阵的概念及运算题型二、求方阵的幂n A数学归纳法思路，可用相似对角化来求个线性无关的特征向量有，当思路可用二项式定理展开则且，能分解成两个矩阵的和，若思路律就可很方便地求出个矩阵的乘积，用结合能分解为一列与一行两则，若思路,43)(,2,1)(1nn n nA n A CB A CB BC C B A A A A A r +==+== 题型三、求与已知矩阵可交换的矩阵题型四、有关初等变换的问题题型五、关于伴随矩阵的命题题型六、矩阵可逆的计算与证明⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=====----*-O BC O O C B O C O O B C O O B A E E A A E E A A AA EBA E AB B 111-1-1-1-1114)()();()(3121，，分块矩阵法思路，初等变换法思路，伴随矩阵法思路或使，定义法，找出思路 题型七、求解矩阵方程为阶梯形方程组列方程用高斯消元法化不可逆，则可设未知数，若方法可以先求出可逆，则若方法解题思路的列向量表出的每列可由有解等价于A AB A X A B A r A r A B B Ax 2,,1)()(.2.111--===。
第二章 矩阵
在n阶矩阵A (aij )中，若当i j时都有aij 0,
称A为上三角矩阵。
同样，若在n阶矩阵A中，当i j时都有aij 0，
称A为下三角矩阵。
5 1 2 4
0 2 4 3
0 0
0 0
3 0
5 7
1 0 0 0
2 3 0 0
0 6
5 8
4 9
10
2. 矩阵的运算
定义1.4 矩阵的和（矩阵的加法）
b22
b23
b21
b22
b23
0
1
0
0 1 1 b31 b32 b33 b31 b32 b33 0 1 1
b11
b12
b13 b11 b12 b13 b13
b21
b22
b23
b21
b22 b23
b23
b21 b31 b22 b32 b23 b33 b31 b22 b33 b33
AB
(aij
bij ) mn
am1 bm1
a1n b1n
amn bmn
A-B=A+(-B)
A+(-A)= 0
定义1.5 矩阵的数乘
数k与m n矩阵A (aij )的数量乘积仍是m n矩阵，
ka11 ka12 L ka1n
记为kA，定义为kA
(kaij )mn
ka21 M
b11 b12 0
得到 b13 b23 b21 0, b22 b33
B
0
b22
0
b31 b32 b22
例题1.3 下面的对角矩阵A满足aii a jj (i j;
a11 0 L 0
A
0
a22 L
线性代数第二章第一节-矩阵的概念
矩阵的基本性质
01
02
03
04
矩阵的加法
两个矩阵相加时，对应位置的 元素相加。
矩阵的数乘
一个数与一个矩阵相乘时，该 数与矩阵的每个元素相乘。
矩阵的乘法
两个矩阵相乘时，必须满足左 矩阵的列数等于右矩阵的行数 。
矩阵的转置
将矩阵的行列互换得到转置矩 阵，记作A^T。
性质
逆矩阵是唯一的；如果A可逆，则A的逆矩阵也唯一；如果A和B都可 逆，则(A+B)-1=A-1+B-1；如果A可逆，k为非零常数，则kA1=(k-1)-1KA。
行列式的定义与性质
定义
n阶方阵A的行列式记为det(A)，即由n个 数a1,a2,...,an组成的n阶方阵A的行列式是 a1*a2*...*an。
规则
矩阵的加法满足交换律和结合律，即$A+B=B+A$和$(A+B)+C=A+(B+C)$。
例子
考虑两个矩阵$A=begin{bmatrix}1 & 2 3 & 4 end{bmatrix}$和$B=begin{bmatrix}5 & 6 7 & 8 end{bmatrix}$，则$A+B=begin{bmatrix}6 & 8 10 & 12 end{bmatrix}$。
特殊类型的矩阵
01
02
03
04
对角矩阵
除了主对角线上的元素外，其 他元素都为零的矩阵。
上三角矩阵
主对角线以下的元素都为零的 矩阵。
下三角矩阵
主对角线以上的元素都为零的 矩阵。
线性代数(复旦大学出版社)第二章 矩阵
第二章矩阵第一节矩阵的概念1、分类：行矩阵：只有一行的矩阵列矩阵：只有一列的矩阵零矩阵O：元素全为零的矩阵单位阵E：主对角线上元素为1，其他元素为0的方阵数量阵（纯量阵）：λE对角阵：不在主对角线上的元素都为0的方阵上（下）三角阵：主对角线上以下（上）的元素全为0的方阵2、两矩阵同型：两个矩阵行数且列数都相等两矩阵相等：两矩阵同型，且对应元素相等。
记做A=B。
3、不同型的零矩阵是不相等的第二节矩阵的运算设A,B,C为m×n矩阵，λ, μ为数一、加法：只有同型矩阵才能进行加法运算（1）交换律：A+B=B+A（2）结合律：(A+B)+C=A+(B+C)（3）A+O=A二、减法：A-B=A+(-B) -B称为B的负矩阵三、乘法：1、只有当第一个矩阵（左矩阵）的列数等于第二个矩阵（行矩阵）的行数时，两个矩阵才能相乘。
简记为：(m×s)(s×n)=(m×n)例: A为2×3矩阵，B为3×2矩阵，则AB=C为2×2矩阵2、数与矩阵：（1）(λμ)A=λ(μA)=μ(λA)（2）(λ+μ)A=λA+μA（3）λ(A+B)=λA+λ B（4）1*A=A, (-1)*A=-A矩阵与矩阵：（1）结合律：(AB)C=A(BC)（2）分配律：A(B+C)=AB+AC(B+C)A=BA+CA（3）λ(AB)=(λA)B=A(λB)（4）EA=AE=A（5）A k A l=A k+l（6）(A k)l=A kl3、矩阵乘法不满足交换律，即(AB)C≠(AC)B另外：（1）一般有AB≠BA （A与B可交换时，等式成立）（2）AB=O，不能推出A=O或B=O（3）AB=AC,A≠O,不能推出B=C（4）(AB)k≠A k B k（A与B可交换时，等式成立）4、可交换的：对于两个n阶方阵A,B,有AB=BA，则称A与B是可交换的。
纯量阵与任意同行方阵都是可交换的。
2.1 矩阵的概念 2.2矩阵的运算
a11 b11 a 21 b21 a b m1 m1
a12 b12 a 22 b22 a m 2 bm 2
a1n b1n a 2 n b2 n a mn bmn
简记为：A B (aij ) (bij ) (aij bij )
三、矩阵与矩阵的乘法
定义2· 5
B 设矩阵 A (aij ) ms ， (bij ) sn，由元素
cij ai1b1 j ai 2b2 j aisbsj aikbkj
k 1
s
构成的矩阵 C (cij ) mn称为矩阵A与矩阵B的乘积。 记为 即:
a11 a i1 a m1
a12 a 22 am2
a1n a2n a mn
•
1.
矩阵概念与行列式概念的区别：
a11 a12 a1n a 21 a 22 a 2 n 一个行列式 D a n1 a n 2 a nn
代表一个数
（*）
把方程组中系数aij及常数项 bi 按原来次序取出， 作一个矩阵
a11 a 21 a m1 a12 a 22 a1n a2n b1 b2 bm m×(n+1)
=A
增广矩阵
a m 2 a mn
则线性方程组（*）与 A 之间的关系是1-1对应的
则称矩阵A与矩阵B相等。记为：A=B
1 a c 1 1 例如：若 A B 且A=B 2 b 3 0 d
则有c=0; a=-1; b=2; d=3
一、矩阵的加法
线性代数教案_第二章_矩阵
授课章节第二章矩阵§2.1矩阵§2.2矩阵的运算目的要求理解矩阵的定义，掌握矩阵的运算重点矩阵的运算难点矩阵的乘法§2.1矩阵前面介绍了利用行列式求解线性方程组的方法，即Cramer法则。
但是Cramer法则有它的局限性：1. 系数行列式；2. 方程组中变量的个数等于方程的个数。
接下来要学习的还是关于解线性方程组，即Cramer法则无法用上的－――用“矩阵”的方法解线性方程组。
本节课主要学习矩阵的概念及其运算。
一、矩阵的概念矩阵是线性代数的核心，矩阵的概念、运算和理论贯穿线性代数的始终。
矩阵是一个表格，它的运算与数的运算是既有联系又有区别；矩阵与行列式也有很大的关联，但二者不能等同混淆。
对于分块矩阵，它在矩阵乘法、求逆、向量的线性表出、线性相关与秩、线性齐次方程组的解等方面，都有很大的用处。
矩阵是本课程的一个重要概念，在生产活动和日常生活中，我们常常用数表表示一些量或关系，如工厂中的产量统计表，市场上的价目表等等例1 某种物资有3个产地，4个销地，调配量如表1所示表 1 产地销地调配情况表销地产地B1 B2 B3 B4A1 1 6 3 5A2 3 1 2 0A3 4 0 1 2那么，表中的数据可以构成一个矩形数表：在预先约定行列意义的情况下，这样的简单矩形数表就能表明整个产销调配的状况。
不同的问题，矩形数表的行列规模有所不同，去掉表中数据的实际含义，我们得到如下矩阵的概念。
定义2.1 由个数排成的行列数表（2.1）称为一个行列矩阵，简称矩阵。
这个数称为矩阵的元素，其中称为矩阵的第行第列元素.（2.1）式也简记为或. 有时矩阵A也记作.注 1.元素是复数的矩阵称为复矩阵，元素是实数的矩阵称为实矩阵，本书中的矩阵除特别说明外，都指实矩阵.2.当时，称矩阵为长方阵（长得像长方形）；3.当时，称矩阵为阶方阵（长得像正方形），简称方阵；4. 两个矩阵的行数、列数均相等时，就称它们是同型矩阵.如果与是同型矩阵，并且它们的对应元素相等，即则称矩阵A与矩阵B相等，记作A＝B5.所有元素都为零的矩阵称为零矩阵，记为O. 值得注意的是：不同型的零矩阵是不相等的.例2设，，已知A＝B，求.【解】因为，，，所以二、几种特殊矩阵（1）矩阵，当时，即称为n阶方阵，记为. 特别地，一阶方阵.方阵中从左上角元素到右下角元素的这条对角线称为方阵的主对角线，从右上角元素到左下角元素的这条对角线称为方阵的副对角线。
线性代数详细解答 (袁晖坪版)第二章 矩阵
−3
1
4
⎟ ⎠
=
⎜ ⎝
9
−4
5
⎟ ⎠
(2) 由 AT + X T = BT ，得 X T = BT − AT ，所以
⎛ 2 −3⎞ ⎛1 2 ⎞ ⎛ 1 −5⎞
XT
=
BT
−
AT
=
⎜ ⎜
3
1
⎟ ⎟
−
⎜ ⎜
3
−1⎟⎟
=
⎜ ⎜
0
2
⎟ ⎟
⎜⎝ −1 4 ⎟⎠ ⎜⎝ 0 3 ⎟⎠ ⎜⎝ −1 1 ⎟⎠
因此得
X
⎛ 9 12 6.2 8.3 ⎞
解：
(1)
A
=
⎜ ⎜
11
10.2
8.5
8
⎟ ⎟
，
B
=
⎜⎜11.2
9.9
8.6
8.5
⎟ ⎟
⎜⎝ 9 10 7.2 6.8 ⎟⎠
⎜⎝ 9.1 9.6 8 7 ⎟⎠
⎛8.7 9.1 6.4 7.9 ⎞ ⎛ 9 12 6.2 8.3 ⎞
(2)
A
+
B
=
⎜ ⎜
11
10.2
8.5
8
AT
.
T
⎛⎛ 1 3 ⎞
⎞ ⎛ −1 5 −5 ⎞
解：
( AB)T
=
⎜⎜ ⎜⎜
2
⎜⎝
⎜ ⎝
−2
−1⎟⎟
1
⎟ ⎠
⎛ ⎜ ⎝
2 −1
5 0
1⎞⎟
3
⎟ ⎠
⎟ ⎟⎠
=
⎜ ⎜
5
⎜⎝10
10 −1
−10
线性代数第二章,矩阵及其运算
a1n b1
a2n
b2
L L
amn bm
§2 矩阵的运算
一、加法
设 A (ai j )mn ， B (bi j )mn 都是m n 矩阵，则加法定义为
a11 b11
A
B
a21
b21
L
a12 b12 L a22 b22 L
LL
am1 bm1 am2 bm2 L
显然，
AB B A
a22
L
L L L
am1 am2 L
a1n
a11 a21 L
a2n
，记
AT
a12
a22
L
L
L L L
amn
a1n an2 L
则称
AT
A
是
的转置矩阵。
am1
am 2
L
amn
显然，
① ( AT )T A ，② ( A B)T AT BT ，③( A)T AT ，④( AB)T BT AT
2． 即使 Amn ， Bnm ，则Amn Bnm 是m 阶方阵，而Bnm Amn 是n 阶方阵；
3． 如 果 A ， B
都 是n
阶
方
阵
，
例
如
2
A
1
4
2
，
B
2
3
4
6
，则
16
AB
8
32 16
，而BA
0 0
0
0
；
AB BA
综上所述，一般
（即矩阵乘法不满足交换率）。
但是下列性质显然成立：
三、乘法
乘法运算比较复杂，首先看一个例子
设变量t1, t2 到变量 x1, x2 , x3 的线性变换为
第二章 矩阵及其运算 《工程数学线性代数》课件PPT
0
x
§2 矩阵的运算
例 某工厂生产四种货物，它在上半年和下半年向三家商店 发送货物的数量可用数表表示：
a11 a12 a13 a14 a21 a22 a23 a24 a31 a32 a33 a34
其中aij 表示上半年工厂向第 i 家 商店发送第 j 种货物的数量．
c11 c12 c13 c14 c21 c22 c23 c24 c31 c32 c33 c34
行数不等于列数 共有m×n个元素 本质上就是一个数表
det(aij )
(aij )mn
三、特殊的矩阵
1. 行数与列数都等于 n 的矩阵，称为 n 阶方阵．可记作 An.
2. 只有一行的矩阵 A (a1, a2 ,L , an ) 称为行矩阵(或行向量) .
a1
只有一列的矩阵
B
a2
M
称为列矩阵(或列向量)
说明：只有当两个矩阵是同型矩阵时，才能进行加法运算.
知识点比较
a11 a12 a13 a11 b12 a13 a11 a12 b12 a13 a21 a22 a23 a21 b22 a23 a21 a22 b22 a23 a31 a32 a33 a31 b32 a33 a31 a32 b32 a33
( )A A A (A B) A B
备 注
矩阵相加与数乘矩阵合起来，统称为矩阵的线性运算.
知识点比较
a11 a12 a13 a11 a12 a13 a11 a12 a13 a21 a22 a23 a21 a22 a23 a21 a22 a23
a31 a32 a33 a31 a32 a33 a31 a32 a33
a12 a22
a13 a23
a14 a24
初等矩阵
第二章 矩阵
§2.5 初等矩阵
例6. 设n阶方阵A满足A2 = A, 证明 r(A) + r(EA) = n.
证明: 一方面, r(A) + r(EA) r(E) = n. 另一方面, A2 = A A(EA) = O
P1, P2, …, Ps 及n阶初等矩阵 Q1, Q2, …, Qt 使得 Ps…P2P1AQ1Q2…Qt = B.
推论3’ 若 mn 矩阵A和B等价(即A B 或 r(A) = r(B)), 则m阶可逆矩阵P
及n阶可逆矩阵Q, 使得 PAQ = B.
第二章 矩阵
§2.5 初等矩阵
推论3’ 若 mn 矩阵A和B等价(即A B 或 r(A) = r(B)), 则m阶可逆矩阵P 及n阶可逆矩阵Q, 使得 PAQ = B.
A
B
A1
E BA1
第二章 矩阵
§2.5 初等矩阵
应用三：结合等价标准型的一些证明
例5. 证明: 任意秩为 r 的矩阵可以表示成 r 个秩为1的矩阵之和.
第二章 矩阵
四. 矩阵的代数运算与矩阵的秩
§2.5 初等矩阵
命题1. 设A为sm矩阵, B为sn矩阵, 则 max{r(A), r(B)} r(A, B) r(A)+r(B).
及n阶初等矩阵Q1, Q2, …, Qt 使得Ps…P2P1AQ1Q2…Qt = Em(r)n.
推论2’ mn 矩阵A,若r(A)=r, 则m阶 可逆矩阵P及n阶可逆矩阵Q, 使得 PAQ= Em(r)n.
推论. A可逆A可写成初等矩阵的乘积.
第二章 矩阵
推论3
线性代数第二章 矩阵
(1)
其中 x1, x2 , , xn 是 n 个未知数，m 是方程的个数，
ai（j i 1, 2, , m，j 1, 2, , n）称为线性方程组的系
数，b1, b2, , bm 称为线性方程组的常数项．
由 n 个数 c1, c2 , , cn组成的有序数组 (c1, c2 , , cn ) 称为方程组（１）的解， 是指当 x1, x2 , , xn 分别用 c1, c2 , , cn 替换后，（１）的每个等式都变成了恒
例1 解线性方程组
x1 2x2 2x1 3x2
x3
x4 x4
2, 3,
x1 x2 x3 2x4 3.
我们就可以只考虑方程组的系数和常数项组成的 一个矩形数阵（后面我们称这种矩形数阵为矩阵）， 对于方程组（１），其对应的矩形数阵为
a11 a12 a21 a22
等式． 方程组（１）的解的全体组成一个集合，这个集合
称为方程组（１）的解集合． 求解方程组实质上就是找到方程组的所有解，即求
出它的解集合． 把具有相同解集合的两个方程组称为同解的方程组．
定义1 对线性方程组（１）进行如下三种变形，称 为线性方程组的初等变换：
１）用一个非零数 k 乘以某一个方程； ２）用任意数 k 乘以一个方程加到另外一个方程上； ３）交换两个方程的位置．
1．矩阵的加法
第二章 矩阵
第一节 矩阵的基本概念
一、矩阵的引入
所谓具有 m 个方程 n 个未知数的线性方程组的 一般形式是指
a11x1 a12 x2
a21x1
a22 x2
am1x1 am2 x2
第二章矩阵概念
矩阵概念和理论是学习经典数学的基础，又 是最有实用价值的数学概念和理论。特别是 计算机的广泛应用，它已成为现代各科技领 域处理信息的量化和表格化及信息分析处理 的强有力的工具。
§2．1 矩阵的概念
2.1 .1 关于矩阵的实际例子
先看三个实际例子：
例2．1 设要将某种物质从三个产地、、运 往四个销地、、、，用表示由产地调往销地 的物质数量，那么这一调运方案可用下面的 表格表示：
C A B 0 0 1 4
45
2
0
0
59
2
7 9 1 3 2 2 0 0 16 4 4 0
为上半年完成的物质调运表。
由于矩阵的加法是把对应元素相加，而数的加
法满足交换律与结合律，因此易知矩阵的加法 满足：
交换律 A+B=B+A，
矩阵
b11 b12 b1p
B b21
b22
b2 p
，
bn1
bn2
bnp
n
则由元素 cij ai1b1 j ai2b2 j ... ainbnj aik bkj
（i=1,2,…,m;j=1,2,…,p）
aij bij（i=1,2,…,m;j=1,2,…,n），则称矩阵
A 与B 相等，记为A=B。也就是说，两个矩阵 完全一样时，才叫做相等。
特别当m=n时，矩阵 A (aij )nn称为n阶方阵。
当m=1时，即只有一行的矩阵 A [a1, a2 ,..., an ]1n
称为行矩阵或行向量。
第二章 第一讲 矩阵的秩
互换变换：A的i行与j行交换变为B，则B 的子式或为A的子式，或与A的子式差一个符号， 秩不变。 倍乘变换：A的i 行元素乘以 k (k≠0) 得到B， 则B 的子式成为A的子式，或与A的子式差一个 因子 k≠0。则秩不变。
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倍加变换：A由i行的k倍加到 j行，得到
矩阵B。 ：B的一个子式若不包含第j行元素，则 也为A的一个子式；
1 2 1 1 0 3 4 4 , 0 5 1 0
5 0 , 由r(A)=2, 得 1 0
5. 即 1
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四、小结
1. 矩阵秩的概念 2. 求矩阵秩的方法 (1) 利用定义 寻找矩阵中非零子式的最高阶数; (2) 初等变换法
解： 对Ａ作初等行变换，变成行阶梯形矩阵。
1 1 2 1 A 1 2 4 1
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2 2 0 4
1 4 3 2
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r2 2 r1 r3 r1 r4 4 r1
返回
1 1 2 1 0 3 2 2 0 3 2 2 0 3 4 2
对A作初等行变换，变成行 阶梯形矩阵：
1 r r 1 3 2 5 1 1 8 1 1 3 4 7 3 5 0 1 2 4 11
解
A
7 11
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铃
5 1 2 1 7 1 11 8 r2 2r1
无解。
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因此，r(A) = 2 , r(B) = 3.
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自考04184线性代数(经管类)讲义第二章 矩 阵
第二章矩阵2.1矩阵的概念定义2.1.1由m×n个数a ij（i=1，2，…，m；j=1，2，…，n）排成一个m行n列的数表用大小括号表示称为一个m行n列矩阵。
矩阵的含义是：这m×n个数排成一个矩形阵列。
其中a ij称为矩阵的第i行第j列元素（i=1，2，…，m；j=1，2，…，n），而i称为行标，j称为列标。
第i行与第j列的变叉位置记为（i，j）。
通常用大写字母A，B，C等表示矩阵。
有时为了标明矩阵的行数m和列数n，也可记为A=（a ij）m×n或（a ij）m×n或A m×n当m=n时，称A=（a ij）n×n为n阶矩阵，或者称为n阶方阵。
n阶方阵是由n2个数排成一个正方形表，它不是一个数（行列式是一个数），它与n阶行列式是两个完全不同的概念。
只有一阶方阵才是一个数。
一个n阶方阵A中从左上角到右下角的这条对角线称为A的主对角线。
n阶方阵的主对角线上的元素a11，a22，…，a nn，称为此方阵的对角元。
在本课程中，对于不是方阵的矩阵，我们不定义对角元。
元素全为零的矩阵称为零矩阵。
用O m×n或者O（大写字）表示。
特别，当m=1时，称α=（a1，a2，…，a n）为n维行向量。
它是1×n矩阵。
当n=1时，称为m维列向量。
它是m×1矩阵。
向量是特殊的矩阵，而且它们是非常重要的特殊矩阵。
例如，（a，b，c）是3维行向量，是3维列向量。
几种常用的特殊矩阵：1.n阶对角矩阵形如或简写为（那不是A，念“尖”）的矩阵，称为对角矩阵，例如，是一个三阶对角矩阵，也可简写为。
2.数量矩阵当对角矩阵的主对角线上的元n阶数量矩阵素都相同时，称它为数量矩阵。
有如下形式：或。
（标了角标的就是N阶矩阵，没标就不知是多少的）特别，当a=1时，称它为n阶单位矩阵。
n阶单位矩阵记为E n或I n，即或在不会引起混淆时，也可以用E或I表示单位矩阵。
线性代数教案 第二章 矩阵及其运算
12m m mna a a 矩阵。
为了表示它是一个整体，总是加一个括号将它界起来，并通常用大写字母表示它。
记做12m m mn a a a ⎥⎦12m m mn a a a a ⎛⎪⎭。
切记不允许使用111212122212n n m m mna a a a a a a a a =A 。
矩阵的横向称行，纵向称列。
矩阵中的每个数称为元素，所有元素都是实数的矩阵称为实矩阵，所有元素都是复数的矩阵称为复矩阵。
本课中的矩阵除特殊说明外，都指12n n nn a a a ⎥⎦不是方阵没有主对角线。
在方阵中，00nn a ⎥⎦11212212000n n nn a a a a a a ⎤⎥⎥⎥⎥⎦（主对角线以上均为零）1122000000nn a aa ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎥⎥⎦（既}nn a .对角元素为1的对角矩阵，记作Ｅ 或001⎡⎢⎥⎦()11a ，此时矩阵退化为一个数矩阵的引进为许多实际的问题研究提供方便。
a x +)1(+⨯n 矩阵：12m m mnm a b a a a b ⎥⎦任何一个方程组都可以用这样一个矩阵来描述；反之，一个矩阵也完全刻划了一个方122m m m mn mn b a b a b ⎥+++⎦⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=4012B ，计算 B A +。
122m m m mn mn b a b a b ⎥---⎦与矩阵n m ij a A ⨯=}{的乘积（称之为数乘），12m m mn a a a λλ⎥⎦以上运算称为矩阵的线性运算，它满足下列运算法则：n b ⎪⎭上述几个例子显示，当有意义时，不一定有意义（例6），即便有相同的阶数，也不一定相等（例A = O 或Ba x +12m m mn a a a ⎥⎦为系数矩阵； m b ⎥⎦，称b 为常数项矩阵；12n x x x ⎡⎢⎢=⎥⎦X = b 。
四、矩阵的转置 5 (转置矩阵12m m mn a a a ⎥⎦12nnmn a a a ⎢⎥⎣⎦矩阵，称它为A 的转置矩阵，记作TA 。
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第二章 矩 阵I 重要知识点一、矩阵1、定义 由n m ⨯个数ij a ),2,1;,,2,1(n j m i ==排成m 行n 列的数表⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛mn m m n n a a a a a a a a a 212222111211称为n m ⨯矩阵，简记为n m ij a A ⨯=)(，当n m =时，A 也称为n 阶方阵。
2、几类特殊矩阵（1） 单位矩阵：主对角线上都是1，其余全为0的方阵，记为E 。
（2） 对角矩阵：除主对角线外其余全为0的方阵.kE 叫数量矩阵。
（3） 三角矩阵：主对角线上（下）方全为0的方阵称为下（上）三角矩阵。
上、下三角矩阵统称为三角矩阵。
（4） 矩阵的转置：将矩阵n m ij a A ⨯=)(的行与列的元素位置交换而形成的矩阵叫作A 的转置，记为m n ji T a A ⨯=)(或m n ji a A ⨯=)(/。
（5） 对称矩阵与反对称矩阵：设n n ij a A ⨯=)(，若A A T =，则称A 为对称矩阵，若A A T -=，则称A 为反对称矩阵。
（6） 正交矩阵：设n n ij a A ⨯=)(，若E AA A A T T ==，则称A 正交矩阵。
（7） 可交换矩阵：设A 、B 是同阶方阵，且BA AB =。
（8） 分块矩阵：用水平和竖直虚线将矩阵A 中的元素分割成若干小块，而形成的以这些小块为元素的矩阵。
3、矩阵的运算（1） 矩阵的相等：设n m ij a A ⨯=)(，n m ij b B ⨯=)(，若ij ij b a =（m i ,,2,1 =，),,2,1n j =，则称A 与B 相等，记为B A =。
（2） 矩阵的和与差：设n m ij a A ⨯=)(，n m ij b B ⨯=)(，定义n m ij ij b a B A ⨯±=±)(（m i ,,2,1 =，),,2,1n j =。
（3） 数乘矩阵：设n m ij a A ⨯=)(，定义n m ij ka kA ⨯=)(。
矩阵的加法和数乘运算满足下列运算规律： ① 交换律 A B B A +=+。
② 结合律 )()(C B A C B A ++=++。
③ 分配律 kB kA B A k +=+)(，lA kA A l k +=+)(。
（4） 矩阵的乘法：设s m ij a A ⨯=)(，n s ij b B ⨯=)(，定义n m ij c B A ⨯=⨯)(，其中sj is j i j i ij b a b a b a c +++= 2211。
矩阵乘法运算满足下列运算规律： ① 结合律 )()(BC A C AB =。
② 分配律 BC AC C B A +=+)(，CB CA B A C +=+)(。
③ 数与乘积的结合律 B kA kB A AB k )()()(==。
（5）方阵的幂：设n n ij a A ⨯=)(，定义相乘）个A k A A A A k ( ⋅=。
方阵的幂满足下列运算规律：l k l k A A A +=，kl l k A A =)(。
（6） 分块矩阵的运算：同阶矩阵分块相同才可相加减，在进行分块矩阵乘法时，应当注意前一个列的分法必须与后一个行的分法相同。
二、逆矩阵1、逆矩阵的定义：设n n ij a A ⨯=)(，若存在n 阶方阵B ，使得E BA AB ==，则称A 为可逆矩阵，并称B 为A 的逆矩阵，记1-=A B 。
2、可逆矩阵的性质：（1）若A 可逆，则1-A 唯一。
（2）矩阵A 可逆的充要条件是0≠A 。
（3）若A 可逆,则1,-A A T 均可逆,且有T T A A )()(11--=,A A =--11)(。
（4）若A ，B 为同阶可逆矩阵，则A B 也为可逆矩阵，且有111)(---=A B AB 。
（5）若A 可逆,且0≠k ，则AA 11=-，111)(--=A k kA 。
3、伴随矩阵设n n ij a A ⨯=)(，ij A 为元素ij a 的代数余子式，定义n n ji A A ⨯=)(*即：⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=nn n n n n a a a a a a a a a A 212222111211，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=nn nnn n A A A A A A A A A A212221212111*为A 的伴随矩阵。
4、矩阵的初等变换与初等矩阵（1） 矩阵的初等变换：①交换矩阵的某两行（列）；②以一个非零的数k 乘矩阵的某一行（列）；③把矩阵的某一行（列）k 倍加到另一行（列）；（2）初等矩阵：对单位矩阵施行一次第)3,2,1(=i i 种初等变换后而得到的矩阵叫第i 种初等矩阵。
初等矩阵为可逆矩阵，且其逆矩阵仍为初等矩阵。
即：),(),(1j i P j i P =-，))(())((11--=c i P c i P ，))(,())(,(1k j i P k j i P -=-。
（3）初等矩阵与初等变换的关系：对矩阵A 左（右）乘第)3,2,1(=i i 种初等矩阵，就相当于对A 的行（列）进行了一次同种的初等变换。
（4）可逆矩阵与初等矩阵的关系：任何一矩阵A 总可以经过有限次的初等变换化为⎪⎪⎭⎫⎝⎛O OO E r，这也称为A 的等价标准形。
矩阵A 可逆⇔A 可以表示为若干个同阶初等矩阵的乘积。
5、矩阵的秩及有关矩阵秩的结论（1） 矩阵的秩：矩阵A 的非零子式最高阶数叫矩阵A 的秩，记为)(A r 。
由于初等变换不改变矩阵的秩，故)(A r 等于A 的等价标准形⎪⎪⎭⎫⎝⎛O OO E r中的r 。
（2） 有关矩阵秩的重要公式与结论 ① )()()(A A r A r A r T T ==。
② 若O A ≠，则)(A r 1≥，只有零矩阵的秩为零。
③ )()()(B r A r B A r +≤±。
④ )}(),(min{)(B r A r AB r ≤。
⑤ 若A 可逆，则)()()(B r BA r AB r ==。
⑥ 设n m ij a A ⨯=)(，s n ij b B ⨯=)(，若O AB =，则n B r A r ≤+)()(。
三、本章的的重要性质及公式 1、转置矩阵的性质（1）A A T T =)(； （2）T T kA kA =)(； （3）T T T B A B A +=+)(； （4）T T T A B AB =)(。
2、逆矩阵的性质（1）A A =--11)(； （2）0,1)(11≠=--λλλA A ；（3）T T A A )()(11--=； （4）111)(---=A B AB 。
3、伴随矩阵*A 的性质（1）T T A A )()(**=； （2）*11*)()(--=A A ； （3）E A A A AA ==**（最常用）；（4）1*-=n A A ；（5）)3()(2**≥=-n A AA n ； （6）***)(AB AB =。
4、分块矩阵的性质（B A ,均为可逆矩阵）（1）⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---111B O O A B O O A ； （2）⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---O A B OO B A O 111； （2）⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----11111B O CB A A B O C A ； （4）⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----11111B CA B O A BC O A ； II 题型归纳及思路提示题型1 有关矩阵运算的命题（要熟悉矩阵运算的规律）例1设B A ,为n 阶对称矩阵，则下面结论不正确的是 。
（1）B A +也是对称矩阵； （2）AB 也是对称矩阵； （3）n m B A +也是对称矩阵； （4）T T AB BA +也是对称矩阵。
例2设A 为n 阶方阵，k 是非零常数，则=*)(kA 。
（1）1-n Ak ；（2）1-n Ak ；（3）1)1(--n n n Ak ；（4）11--n n Ak ；例3 设C B A ,,均为n 阶方阵，且E CA BC AB ===，则=++222C B A 。
（1） E 3； （2） E 2； （3） E ； （4） O ； 题型2 有关对称矩阵与反对称矩阵的证明题例4 证明：任何一个方阵都可以表示为一个对称矩阵与一个反对称矩阵之和。
题型3 求矩阵的高次幂三种类型：（1）维列向量为，其中n A T βααβ,=的类型； （2）已知矩阵B P ,，且B AP P =-1，求m A 。
（3）根据矩阵的特点进行归纳或分解后再进行计算。
例5设⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----=426213213A ，求n A 。
例6 设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=100010101A ，求n A 。
例7设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=101020101A ，而2≥n 为正整数，则=--12n n A A 。
题型4 求矩阵的行列式要考核的不单纯是行列式的计算，而是通过给出与行列式相关联的方阵、逆矩阵、伴随矩阵及向量在指定运算下所构成的行列式的计算，以达到考核这些概念的运算性质及行列式的性质等目的。
例8 设A 为三阶方阵，81=A ，求*18)31(A A --。
例9 设33)(⨯=ij a A ，ij A 为ij a 的代数余子式，且0,11≠=a a A ij ij ，求A 。
例10设⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=n n A 100000001100210001000，求A 的所有元素代数余子式之和。
例11设B A ,为n 阶正交矩阵，且1/-=B A ，证明0=+B A 。
例12设B A ,为n 阶方阵，试证明：E AB BE EA -=。
题型5 求逆矩阵与解矩阵方程求逆矩阵的主要方法：（1）*11A AA =-；（2）利用初等变换求逆； （3） 对于零特别多的矩阵采用分块矩阵求逆； （4） 利用定义E AB =求逆，有：B A =-1。
解矩阵方程的主要方法：先化简为：B AX =或B XA =或B AXC =，再求出B A X 1-=或1-=BA X 或11--=BC A X （要求C A ,均可逆）。
例13设⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-000000000000000121 nn a a a a A ，其中n i a i ,,2,1,0 =≠，求1-A 。
例14已知矩阵A 满足关系式O E A A =-+322，求1)4(-+E A 。
例15设矩阵A 的伴随矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=8030010100100001*A ，且E BA ABA 311+=--，其中E 为4阶单位矩阵，求矩阵B 。
例16设A 为n 阶方阵，且有自然数m ，使O A E m =+)(，证明A 可逆。
题型5 求矩阵的秩及与秩有关的命题例17设矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=k k k kA 111111111111，且3)(=A r ，则=k 。