一元二次方程根的判别式及韦达定理常见题型及注意事项-精选.

一元二次方程根的判别式及韦达定理常见题型及注意事项

一、一元二次方程跟的判别式的常见题型 题型1：不解方程，判断一元二次方程根的情况

.6232)3(;0123)2(;

0345)1(222x x x x x x =+=++=--

题型2：证明一元二次方程根的情况

求证：无论k 取何实数，关于x 的一元二次方程：2(1)40x k x k -++-=总有两个不等

实根。

题型3：已知一元二次方程根的情况．．

，求方程中未知系数的取值范围 1．（ 2011·重庆）已知关于x 的一元二次方程．．．．．．(a －1)x 2

－2x +1=0有两个不相等的．．．．．．实数根,则a 的取值范围是( )

A.a <2 B,a >2 C.a <2且a ≠1 D.a <－2· 变式1：（2010·安徽芜湖）关于x 的方程．．(a －5)x 2－4x －1＝0有实数根．．．．

，则a 满足（） A ．a ≥1 B ．a ＞1且a ≠5 C ．a ≥1且a ≠5 D ．a ≠5

注意：要特别注意二次项系数是否为0，即原方程是否“一定为一元二次方程”。 变式2：（2010 ·成都）若关于x 的一元二次方程2

420x x k ++=有两个实数根，求k 的取

值范围及k 的非负整数．．．．值.

变式3：已知关于x 的一元二次方程(12)10k x k x --=有两个实数根，求k 的取值范围

二、一元二次方程根与系数的关系------韦达定理的常见题型 题型1：已知一元二次方程的一根，求另一根及未知系数k 的值 已知23-

是方程210x kx ++=的一根，则方程的另一根是 ，k = 。

题型2：求与一元二次方程根有关的代数式的值； 1. 已知12,x x 是方程2

2430x

x --=的两根，计算： （1）22

12

x x +； ⑵ 12

11

x x +；⑶

212()x x -

变

式

：

已

知

,a b

是方程

2201230

x x -+=的两实根，求

22(20103)(20103)a a b b -+-+的值

题型3：已知一元二次方程两根的关系．．．．．，求方程中未知系数的取值 1． 关于x 的一元二次方程2

2(21)10x

k x k +-+-=的两个实根的平方和等于

9，求k 的

值

变式1： （2011·荆州）关于x 的方程0)1(2)13(2

=+++-a x a ax

有两个不相等的实根

1x 、2x ，且有a x x x x -=+-12211，则a 的值是（ ）

A ．1

B ．－1

C ．1或－1

D ． 2

注意：要特别注意应用韦达定理的前提条件是原方程有实根，即原方程：△≥0。故最后需验根 变式2：（2010·中山）已知一元二次方程022

=+-m x x

．

（1）若方程有两个实数根，求m 的范围；（2）若方程的两个实数根为1x ，2x ，且1x +32x =3，求m 的值。

三、综合练习

1．（2010·贵州毕节）已知关于x 的一元二次方程2

2(21)0x m x m +-+=有两个实数根1

x 和2x ．

（1）求实数m 的取值范围； （2）当2

2

120x x -=时，求m 的值．

2. （2011·四川南充市）关于的一元二次方程x 2+2x +k +1=0的实数解是x 1和x 2。

（1）求k 的取值范围；（2）如果x 1+x 2－x 1x 2＜－1且k 为整数，求k 的值。

3．（2010·绵阳）已知关于x 的一元二次方程x 2 = 2（1－m ）x －m 2 的两实数根为x 1，x 2．

（1）求m 的取值范围；

（2）设y = x 1 + x 2，当y 取得最小值时，求相应m 的值，并求出最小值．

4．（2010·孝感）关于x 的一元二次方程12

01x p x x

有两实数根=-+-、.2x

（1）求p 的取值范围； （2）若p x x x x 求,9)]1(2)][1(2[2211=-+-+的值.

5．（2011·四川乐山）已知关于x 的方程2

22(1)740x a x a a +-+--=的两根为1x 、2x ，

且满足12123320x x x x ---=.求242

(1)4a a a

++

⋅-的值。

6. （2010·孝感）已知关于x 的方程x 2－2（k －1）x +k 2=0有两个实数根x 1，x 2.

（1）求k 的取值范围；（2）若

12121x x x x +=-，求k 的值.

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