第5讲 因式分解 讲义
因式分解讲义
因式分解1.因式分解定义：把一个多项式化成几个整式乘积的形式，这种变形叫因式分解。
即：多项式→几个整式的积例：111()333ax bx x a b +=+ 2.因式分解的方法：（1）提公因式法：①定义：如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提到括号外面，将多项式写成因式乘积的形式，这个变形就是提公因式法分解因式。
公因式：多项式的各项都含有的相同的因式。
公因式可以是一个数字或字母，也可以是一个单项式或多项式。
⎧⎪⎨⎪⎩系数——取各项系数的最大公约数字母——取各项都含有的字母指数——取相同字母的最低次幂例：333234221286a b c a b c a b c -+的公因式是 ．②提公因式的步骤第一步：找出公因式；第二步：提公因式并确定另一个因式，提公因式时，可用原多项式除以公因式，所得商即是提公因式后剩下的另一个因式。
注意：提取公因式后，对另一个因式要注意整理并化简，务必使因式最简。
多项式中第一项有负号的，要先提取符号。
例1：把2233121824a b ab a b --分解因式.例2：把多项式3(4)(4)x x x -+-分解因式.（2）运用公式法定义：把乘法公式反过来用，就可以用来把某些多项式分解因式，这种分解因式的方法叫做运用公式法。
2222233223322.()().2().()().()()a ab a b a b b ab b a bc a b a b a ab bd a b a b a ab b -=+-±+=±+=+-+-=-++逆用平方差公式：逆用完全平方公式：a 逆用立方和公式：（拓展）逆用立方差公式：（拓展） 注意：①公式中的字母可代表一个数、一个单项式或一个多项式。
②选择使用公式的方法：主要从项数上看，若多项式是二项式可考虑平方差公式；若多项式是三项式，可考虑完全平方公式。
例1：因式分解21449a a -+例2：因式分解222()()a a b c b c ++++（3）分组分解法（拓展）①将多项式分组后能提公因式进行因式分解；例：把多项式1ab a b -+-分解因式解：1ab a b -+-=()(1)ab a b -+-=(1)(1)(1)(1)a b b a b -+-=+-②将多项式分组后能运用公式进行因式分解.例：将多项式2221a ab b --+因式分解解：2221a ab b --+=222(2)1()1(1)(1)a ab b a b a b a b -+-=--=-+--（4）十字相乘法（形如2()()()x p q x pq x p x q +++=++形式的多项式，可以考虑运用此种方法）方法：常数项拆成两个因数p q 和，这两数的和p q +为一次项系数2()x p q x pq +++2()()()x p q x pq x p x q +++=++例：分解因式230x x -- 分解因式252100x x ++（5）拆、添项法将多项式中的某一项拆成两项或多项，或者在多项式中添上两个符号相反的项，使得便于用分组分解法进行分解因式。
因式分解讲义
因式分解讲义【例1】33228273654.x y x y xy +++【例2】222499181212.a b c bc ca ab ++--+【例3】66.a b -【例4】()()2222ab c d a b cd---【例5】()()()333333.a b b c c a a b c ++++++++【例6】4242422424242222.a b b c c a a b b c c a a b c ++++++【例7】444222222222.a b c a b b c c a ---+++【例8】已知a 、b 、c 为三角形的三条边，且222433720.a ac c ab bc b ++--+=求证：2b a c=+【例9】()()()()245610123x x x x x ++++-【例10】()()211a b ab +-+【例11】()44444a a ++-【例12】将198551-分解为三个大于1005的因数相乘.【知1】余数定理：x c -除()f x 时，所得的余数为().f c （其中()f x 为整系数多项式）【知2】多项式的有理根：有理根p c =的分子p 是常数项0a 的因数，而q 是首项系数n a 的因数.【例1】323648.x x x +++【例2】()()()()3232232.l m x l m n x l m n x m n +++-+---+【例3】4325121797.x x x x +++-【例4】42 1.x px px p +++-【知3】待定系数法分解四次式：设为()()22x ax b x cx d ++++，解系数对应的方程组.【例1】43 2.x x --【例2】43222 1.x x x -++【例3】证明42631;1x x x x +-+-均在整系数多项式范围内不可约.【知4】对称式：一个关于多个（字母）变量的多项式，交换其中两个任意变量，多项式不发生改变。
初中因式分解讲义
初中因式分解讲义因式分解是初中数学中相当重要的一个概念，它是解决多项式问题的关键步骤。
通过因式分解，我们可以将一个多项式拆分成更简单的乘积形式，从而更好地理解和解决问题。
本讲义将介绍初中因式分解的基本方法和应用，帮助同学们系统地学习和掌握这一知识点。
一、因式分解的基本概念因式分解是指将一个多项式拆分成若干个乘积形式的过程。
在因式分解中，我们将多项式中的每一个项称为因式，拆分后的乘积形式称为因式分解式。
因式分解的结果应满足两个条件：1）拆分后的每个因式之积等于原多项式；2）每个因式都不能再进行继续拆分。
二、因式分解的基本方法1. 公因式提取法公因式提取法是指将多项式的公因式提取出来，并将多项式拆分成公因式与括号内的乘积形式。
通过公因式提取法，我们可以简化多项式的计算过程和展开过程。
举例说明：多项式7x+14可以进行公因式提取，提取公因式7后，原多项式可以写成7(x+2)，这就是因式分解的结果。
2. 分组分解法分组分解法是指将多项式的项进行适当的分组，然后利用公式或特定规律进行因式分解。
举例说明：多项式x²+xy+2x+2y可以进行分组分解，将x²+xy作为一组，并将2x+2y作为另一组。
然后，在第一组中提取公因式x，第二组中提取公因式2，最终得到因式分解式为x(x+y)+2(x+y)，即(x+2)(x+y)。
三、因式分解的应用因式分解在初中数学中有广泛的应用。
下面我们介绍几个典型的应用场景。
1. 最大公因数和最小公倍数在求最大公因数和最小公倍数的过程中，因式分解是非常有帮助的方法。
通过将两个数分别进行因式分解，然后提取公因式并相乘，我们可以得到它们的最大公因数；同时，将两个数进行因式分解，然后取分解式的所有因子的乘积，我们可以得到它们的最小公倍数。
2. 方程的解法在解一元二次方程和一元三次方程时，因式分解也经常被使用。
通过将方程进行因式分解，可以将原方程转化成更简单的乘积形式，从而更容易求解。
因式分解完整讲义
因式分解【知识要点】1．分解因式 （1）概念：把一个________化成几个___________的形式，这种变形叫做把这个多项式分解因式。
（2）注意：①分解因式的实质是一种恒等变形，但并非所有的整式都能因式分解。
②分解因式的结果中，每个因式必须是整式。
③分解因式要分解到不能再分解为止。
2．分解因式与整式乘法的关系整式乘法是____________________________________________________； 分解因式是____________________________________________________； 所以，分解因式和整式乘法为_______关系。
3．提公因式法分解因式（1）公因式：几个多项式__________的因式。
（2）步骤：①先确定__________，②后__________________。
（3）注意：①当多项式的某项和公因式相同时，提公因式后该项变为1。
②当多项式的第一项的系数是负数时，通常先提出“-”号。
4．运用公式法分解因式（1）平方差公式：_________________________（2）完全平方公式：_________________________注：分解因式还有诸如十字相乘法、分组分解法等基本方法，做为补充讲解内容。
【考点分析】考点一：利用提公因式法分解因式及其应用【例1】分解因式：（1）3241626m m m -+- （2）2()3()x y z y z +-+（3）2()()()x x y x y x x y +--+ （4）(34)(78)(1112)(78)a b a b a b a b --+--【例2】（1）已知5x y +=，6xy =，求2222x y xy +的值。
（2）已知6b a -=，7ab =，求22a b ab -的值。
【随堂练习】1．分解因式：（1）3423222102x y x y x y -+ （2）()()()(2)m n m n n m m n +---+（3）(23)()(32)()x y a b x y a b -++-+ （4）32222(2)(2)(2)x x x x x x ---+-注：（1）公因式应按“系数大（最大公约数），字母同，指数低”的原则来选取。
因式分解课件
分组分解法
方法介绍
将多项式分组，利用组与组之间的公 因式提取，使每个组都可以进行因式 分解。
实例说明
例如，对于$ax^2+bx+c$，可以分成 两组$(x+1)(x-1)$和$c(x+1)(x-1)$， 得到$(x+1)(x-1)(x+c)$。
03 因式分解的应用
在数学解题中的应用
约分
因式分解可以将一个较复 杂的分数转化为几个简单 的分数的乘积，简化计算 和约分。
现代数学已经形成了一套完整的因式分解理论和方法，包括各种高级的
分解技巧和算法。同时，因式分解也被广泛应用于其他学科领域的研究
和实践中。
02 因式分解的基本 方法
提公因式法
01
02
03
确定公因式
提取各项的公共因式，将 其放在括号外面，剩下的 因式留在括号内。
提公因式的依据
根据乘法的交换律和分配 律，提取公因式可以使表 达式简化。
变型公式
通过对公式进行适当的变形，可以将一些看似无法直接分解的多项式转化为可以分解的形式。例如， 对于形如x^2-1的多项式，可以通过变形转化为(x+1)(x-1)，再进一步进行因式分解。
如何进行复杂的分组分解
分组分解
对于一些包含多个不同项的多项式，可 以将其分为不同的组，然后分别对每一 组进行因式分解。例如，对于形如 x^2+2xy+y^2-z^2的多项式，可以将 其分为两个组：(x+y)^2-(z)^2，再分别 对两个组进行因式分解。
以简化方程的解法。
促进数学发展
因式分解的发展推动了数学理论 的发展，促进了数学与其他学科
的交叉融合。
因式分解的历史与发展
因式分解讲义
运用公式法分解因式的关键是要弄清各个公式的形式和特点，熟练地掌握公式。但有时需要经过适当 的组合、变形后，方可使用公式。
用公式法因式分解在求代数式的值，解方程、几何综合题中也有广泛的应用。因此，正确掌握公式法 因式分解，熟练灵活地运用它，对今后的学习很有帮助。
下面我们就来学习用公式法进行因式分解
题型展示：
对于二次三项 ax2 bx c （ a、b、 c 都是整数，且 a
0 ）来说，如果存在四个整数
a1， c1， a 2， c2
满 足 a1a 2 a， c1c2 c ， 并 且 a1c2 a2c1 b ， 那 么 二 次 三 项 式 ax 2 bx c 即
a1 a2 x 2 a1c2 a 2 c1 x c1c2 可以分解为 a1 x c1 a 2 x c2 。这里要确定四个常数 a1， c1 ， a2 ， c2 ，
ac bd 0 原式 0
说明：首先要充分利用已知条件 a2 b 2 1， c 2 d 2 1 中的 1（任何数乘以 1，其值不变） ，其次利用 分解因式将式子变形成含有 ac+bd 因式乘积的形式，由 ac+bd=0 可算出结果。
例 3. 分解因式： x 3 2x 3 分析：此题无法用常规思路分解，需拆添项。观察多项式发现当
说明：先提取公因式，再用完全平方公式分解彻底。
提高练习
1. 利用提公因式法简化计算过程
例：计算 123 987 268 987
1368
1368
456 987 1368
521 987 1368
2. 分解因式：
（ 1） 4m2 n3 12m3n2 2mn
（ 2） a 2 xn 2
abxn 1
acxn
初中因式分解讲义
初中因式分解讲义一、什么是因式分解?在代数学中，当一个多项式可以写成几个乘积的形式时，我们将其称为因式分解。
这个过程可以简化多项式的计算和求解。
二、因式分解的基本原则在进行因式分解时，我们需要遵循以下基本原则：1. 最大公因数原则：寻找多项式中的最大公因数，将其提取出来，作为分解的一部分。
2. 求和差化积原则：利用求和差化积的方法，将多项式中的和差变为积，从而进行因式分解。
3. 公式转换原则：利用特定的公式，将多项式进行转换，以便于进行因式分解。
三、因式分解的方法1. 提取公因式法提取公因式法是最常用的因式分解方法之一。
当多项式的各项有公因子时，可以将这个公因子提取出来，并将剩余的部分进行因式分解。
例如：将3x+6分解为3(x+2)2. 公式转换法公式转换法利用特定的公式将多项式进行转换，然后进行因式分解。
例如：将a²-b²分解为(a+b)(a-b)3. 分组分解法当一个多项式中含有四项及以上，并且无法直接进行其他方法的因式分解时，可以尝试使用分组分解法。
例如：将2x²+6x+3分解为(x+1)(2x+3)四、因式分解的应用因式分解在代数中有广泛的应用，可用于求解方程、简化分式、化简根式等。
它是解决复杂代数问题的重要工具。
五、练习题1. 将4x²-9y²分解。
2. 将6a³b-15ab²分解。
3. 将x³+y³分解。
4. 将3x³-27y³分解。
六、总结因式分解是代数学中重要的概念和工具，通过提取公因式、公式转换和分组分解等方法，能够简化多项式的计算和求解。
掌握因式分解的方法和应用，对于初中代数学习至关重要。
希望以上初中因式分解讲义能帮助你更好地理解和掌握因式分解的知识和技巧。
如果需要更多的练习或进一步讨论，请随时提问。
因式分解ppt课件
观察多项式的系数，可以发现其中的规律和特点，有助于因式分解的进行。
ห้องสมุดไป่ตู้
寻找公因式或公因子
提取公因式
通过观察多项式的各项，可以发现其 中的公因式，提取公因式是因式分解 的一种常用方法。
寻找公因子
在某些情况下，多项式中可能存在公 因子，通过寻找公因子可以简化因式 分解的过程。
灵活运用公式和分组方法
利用公式进行因式分解
在数学中存在许多公式可以用于因式分解，如平方差公式、 完全平方公式等，利用这些公式可以简化因式分解的过程。
分组方法
对于一些复杂的多项式，可以将其分组进行因式分解，这样 可以更好地理解和处理多项式。
04
因式分解的应用实例分析
代数式的化简与求值
代数式的化简
通过因式分解，可以将复杂的代数式 化简为简单的形式，便于计算和理解 。
$ax^n + bx^{n-1} + \ldots + y = a(x^m)^n + b(x^m)^{n-1} + \ldots + y$
因式分解的意义
01
02
03
简化计算
因式分解可以简化多项式 的计算过程，提高计算效 率。
便于应用
因式分解在解决实际问题 中具有广泛应用，如解方 程、求根、不等式等。
分组分解法
总结词
将多项式分组进行因式分解
详细描述
分组分解法是将多项式中的某些项进行分组，然后对每组进行因式分解的方法。这种方法可以简化多项式的结构 ，使其更容易进行因式分解。
03
因式分解的技巧与策略
观察多项式的结构特点
识别多项式的项数和各项的次数
观察多项式的项数和各项的次数，有助于确定因式分解的策略。
因式分解-讲义(精华版)
两课时（90分钟）一提（公因式）二套（公式）三分组，细看几项不离谱，两项只用平方差，三项十字相乘法，阵法熟练不马虎，四项仔细看清楚，若有三个平方数（项），就用一三来分组，否则二二去分组,五项、六项更多项，二三、三三试分组，以上若都行不通，拆项、添项看清楚。
制胜必备1、理解因式分解的概念2、掌握因式分解的基本方法：提取公因式法、公式法等3、能对简单多项式进行因式分解，并结合实际来应用希尔伯特说：“当我听别人讲解某些数学问题时， 常觉得很难理解，甚至不可能理解。
这时便想，是否可以将问题化简些呢往往，在终于弄清楚之后，实际上，它只是一个更简单的问题。
”秘诀：天才是一份灵感加上九十九份的汗水所成就的！(2) 运用公式法1 因式分解的定义及与整式乘法的关系(1) 因式分解：把一个多项式化为几个整式的积的形式 (2) 因式分解与整式乘法是互逆运算. 2 因式分解的常用方法 (1) 提公因式法如果一个多项式的各项都含有一个相同的因式，那么这个相同的因式，就叫做公因式. 提公因式法用公式可表示为ma+mb+mc=m ( a+b+c ),其分解步骤为：①确定多项式的公因式：公因式为各项系数的最大公约数与相同字母的最低次幕的乘积. ②将多项式除以它的公因式从而得到多项式的另一个因式.将乘法公式反过来对某些多项式进行因式分解，这种方法叫做公式法，即a2—b2= (a+b) (a-b), a2士2ab + b2= (a+b)2.3 •因式分解解题的思考顺序(1) 一提：如果多项式的各项有公因式，那么先提公因式；(2) 二用：如果各项没有公因式，那么可以尝试运用公式法来分解；(3) 三查：分解因式，必须进行到每一个多项式都不能再分解为止；分解因式的结果应为整式积的形式。
1 •下列因式分解中，正确的是( )1 1(A) 1- 4 x2= 4 (X + 2) (x- 2) (B)4x — x2 -2 = - 2(x- 1)2(C) ( x- y )3-y- X) = (X -y) (x -y + 1) ( x - -1)(D) x2—2 _x + y = ( x + y) (x -y -1)2 .下列各等式(1) a2—b2 = (a + b) (a-),(2) x2 43x +2 = x(x—+ 211,(4 )x2 + 十) 1(3 ) x2―2 —( x + y) (x -y )从左到右是因式分解的个数为(-2 —( x -x )(A) 1 个(B) 2 个(C) 3 个(D) 4 个3 .若x2+ mx + 25是一个完全平方式，则m的值是( )(A) 20 (B)10 (C)士20 (D)士104. 若x2+ mx + n 能分解成(x+2 ) (x -5),则m= _________ ,n= ;5. 若二次三项式2x2+x+5m在实数范围内能因式分解，则m= _____6 .若x2+kx—6有一个因式是(x—2)，则k的值是_______________ ;【兵法案例】分解因式：a3—2a2+a= _______【作战策略】因式分解常用的方法有提公因式法、公式法、分组分解法和十字相乘法。
因式分解(十字相乘)课件
提取公因式
将每一项的公因式提取出来， 将原多项式变成各项公因式的 乘积。
配方法
通过配方法，将不能直接提取 公因式的多项式进行因式分解。
分组分解
如果多项式中含有四个以上的 项，我们可以通过分组的方式 来进行因式分解。
常见的因式分解公式
1 平方差公式
a² - b² = (a + b)(a - b)
2 完全平方公式
因式分解(十字相乘)ppt课 件
因式分解是数学中重要的概念之一，它能够帮助我们解决各种代数问题，本 课程将详细介绍因式分解的定义、基本方法、常见公式和解题技巧。
因式分解的概念和定义
因式分解是将一个多项式拆分成多个较简单的乘积的过程，通过因式分解， 我们可以更好地理解一个多项式的结构和性质。
因式分解的基本方法和步骤
ห้องสมุดไป่ตู้
3 三项平方差公式
a² + 2ab + b² = (a + b)²
a³ - b³ = (a - b)(a² + ab + b²)
应用因式分解解决问题的例题
1
例题一
利用因式分解，求解二次方程2x² + x - 6 = 0的解。
2
例题二
利用因式分解，化简表达式(4x + 3)(2x - 5) + 7x。
总结和提醒
因式分解是解决代数问题的重要工具，通过学习和掌握因式分解的方法和技巧，我们可以更加轻松地解决各种 数学难题。
3
例题三
应用因式分解，计算多边形的面积。
因式分解的技巧和窍门
在进行因式分解时，需要灵活运用一些技巧和窍门，如提取公因式时寻找最大公约数，或使用配方法时查找合 适的形式进行配对。
因式分解(完全平方公式)课件
$x^2+4x+4=(x+2)^2$
解析
这是一个完全平方公式，其中$a=x$，$b=2$，$c=2$。将$a$和$b$的平方和 加上$2ab$得到$(x+2)^2$。
实例二
公式
$(x+y)^2=x^2+2xy+y^2$
解析
这是一个完全平方公式，其中$a=x$，$b=y$，$c=y$。将$a$和$b$的平方和加上$2ab$得到 $(x+y)^2=x^2+2xy+y^2$。
完成因式分解
如果多项式可以被完全分解为 几个整式的积，则因式分解完
成。
03
完全平方公式的概念和形 式
完全平方公式的定义
完全平方公式是指一个多项式等于一 个平方数与另一个平方数的乘积。
完全平方公式通常表示为 a^2+2ab+b^2或a^2-2ab+b^2，其 中a和b是实数。
完全平方公式的形式
完全平方公式可以表示为(a+b)^2或(a-b)^2，其中a和b是任意实数。 展开后得到a^2+2ab+b^2或a^2-2ab+b^2。
实例三
公式
$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$
解析
这是一个完全平方公式，其中$a=a$，$b=b$，$c=b$。将$a$和$b$的平方和加上$2ab$得到 $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$。
05
因式分解(完全平方公式) 的练习题
练习题一：将下列多项式因式分解
题目1
$x^2 - 4x + 4$
应用在数学问题中
因式分解是解决某些数学 问题的重要方法，如解方 程、求值等。
因式分解讲义
分解因式知识归纳：一．知识点1 分解因式的概念：把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式分解因式注意:①.结果应是积的形式.②每个因式都是整式.③要分解到不能分解为止.2.因式分解的方法:知识点2 提公因式法.ma+mb+mc=m(a+b+c)（公因式：我们把多项式各项都含有的相同因式，叫做这个多项式的公因式）知识点3 公式法(1)平方差公式：a2-b2=(a+b)(a-b).即两个数的平方差，等于这两个数的和与这个数的差的积.(2)完全平方公式：a2±2ab+b2=(a±b)2.其中，a2±2ab+b2叫做完全平方式.即两个数的平方和加上(或减去)这两个数的积的2倍，等于这两个数的和(或差)的平方.知识点4 分组分解法形如：am+an+bm+bn=(am+an)+(bm+bn)=a(m+n)+b(m+n)=(m+n)(a+b)把多项式进行适当的分组，分组后能够有公因式或运用公式，这样的因式分解方法叫做分组分解法.知识点5 十字相乘法：形如：x2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q).利用这个公式，可以把二次三项式因式分解，当p=q时，这个式子化成x2+2px+p2或x2+2qx+q2，是完全平方式，可以运用公式分解因式.二．典型例题例1 10b(x-y)2-5a(y-x)2例2.a2-b2+a+b；例3 (ab+b)2-(a+1)2例4 (x+y)2-9y2例5 a2-2ab+b2-c2 例6 x2+2xy+y2-4例7 a2-ab+ac-bc 例8 (a+b)-4(a2-b2)+4(a-b)2 例9 x2+3x+2 例10 x2-2x-3例11 （x2-1）2-6（x2-1)+9 例12 7x2+13x-2三.课堂训练⑴3222245954a b c a bc a b c +- (2)433()()()a b a a b b b a -+-+-(3)2244x y xy --+ (4)543351881a b a b a b ++(5)22616x xy y -- (6)2()2()80x y y x ----(7)322222--++-y x y xy x (8)224426x xy y x y -+-+-四．巩固提高1、多项式))(())((x b x a ab b x x a a --+---的公因式是（ ）A 、－a 、B 、))((b x x a a ---C 、)(x a a -D 、)(a x a --2、若22)32(9-=++x kx mx ，则m ，k 的值分别是（ ）A 、m=—2，k=6，B 、m=2，k=12，C 、m=—4，k=—12、D m=4，k=12、3、下列名式：4422222222,)()(,,,y x y x y x y x y x --+---+--中能用平方差公式分解因式的有（ ）A 、1个，B 、2个，C 、3个，D 、4个4、若16)3(22+-+x m x 是完全平方式，则m 的值等于_____。
因式分解ppt讲义
整式乘法 整式乘法 因式分解
(5).2πR+ 2πr= 2π(R+r)
因式分解
下列代数式从左到右旳变形是因式分解吗？
（1） a2 a a(a 1)
Байду номын сангаас
是
（2）(a 3)(a 3) a2 9
不是
（3）4x2 4x 1 (2x 1)2
不是
（4）x2 3x 1 x(x 3) 1
（5） x2 1 x( x 1 ) x
阐明
• 本课是在学生学习了整式乘法旳基础上，研究对整 式旳一种变形即因式分解，是把一种多项式转化成 几种整式相乘旳形式，它与整式乘法是互逆变形旳 关系．
你能发觉这两组等式之间 旳联络和区别吗? 它们旳左 右两边有何特点？
a(a+1)=__a_2+_a_____
a2+a=( a ) ( a+1)
(a+b)(a-b)=__a_2_-_b_2____ a2 - b2= ( a+b) ( a-b )
a2-2ab+b2=(a-b)2
十字相乘法
要点: 一拆(拆常数项), 二乘(十字相乘),
三验(验证十字相乘后旳和是否等于一次项.
x2 px q
x
a
x
b
x2+Px+q=(x+a)(x+b),其中p=a+b,q=ab
一般环节与注意点
1 一般环节: 先提公因式,再利用公式或十字相乘,后分组分 解,最终是重新整顿再分解.
注意： 1、要分解到不能再分为止，括号内合并同 类项后注意把数字因数提出来。
2、因式分解旳成果是连乘式。 3、因式分解旳成果里没有中括号。
《因式分解教学》课件
步骤：找出公因式， 将其提取出来，形 成新的多项式
注意事项：提取公 因式后，原多项式 变为新的多项式
应用：适用于多 项式中含有公因 式的情况
公式法
公式法是因式分解的一种基本方法，适用于多项式 公式法包括平方差公式、完全平方公式、立方差公式等 公式法可以简化因式分解的过程，提高解题效率 公式法需要掌握公式的推导过程和应用条件，以便正确使用
确定公因式： 找出所有项的
公共因子
提取公因式： 将公共因子提 取出来，形成
新的多项式
合并同类项： 将提取公因式 后的多项式合
并同类项
继续提取公因式： 如果多项式还有 公共因子，继续 提取公因式，直 到无法再提取为
止
公式法的注意事项
公式法适用于二 次三项式
公式法需要掌握 公式：a^2b^2=(a+b)(a-b)
因式分解在解方程中的应用
因式分解可以帮助我们简化方程，使方程更容易求解 因式分解可以帮助我们找到方程的解，例如在求解二次方程时 因式分解可以帮助我们判断方程是否有解，例如在求解一元三次方程时 因式分解可以帮助我们判断方程的解的个数，例如在求解一元四次方程时
因式分解的注意 事项
提公因式的注意事项
定义：一种用于分解二次三 项式的方法
注意事项：确保两个一次因 式的乘积等于原二次三项式
因式分解的应用
因式分解在代数中的应用
解方程：通过因式分解，可以简 化方程的求解过程
化简：通过因式分解，可以将复 杂的代数式化简为简单的形式
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求值：通过因式分解，可以快速 求出代数式的值
添加标题
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综合法： 将多种方 法综合使 用，以达 到因式分 解的目的
第5讲 因式分解
第五讲：因式分解多项式的因式分解是代数式恒等变形的基本形式之一，它被广泛地应用于初等数学之中，是我们解决许多数学问题的有力工具．因式分解方法灵活，技巧性强，学习这些方法与技巧，不仅是掌握因式分解内容所必需的，而且对于培养学生的解题技能，发展学生的思维能力，都有着十分独特的作用．初中数学教材中主要介绍了提取公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法．本讲及下一讲在中学数学教材基础上，对因式分解的方法、技巧和应用作进一步的介绍．1．运用公式法在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，例如：(1)a2-b2=(a+b)(a-b)；(2)a2±2ab+b2=(a±b)2；(3)a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)；(4)a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)．下面再补充几个常用的公式：(5)a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2；(6)a3+b3+c3-3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)；运用公式法分解因式时，要根据多项式的特点，根据字母、系数、指数、符号等正确恰当地选择公式．例1 分解因式：(1)a2+b2+c2-2bc+2ca-2ab；(2)x3+8y3+z3-6xyz；(3) a7-a5b2+a2b5-b7．例2 分解因式：a3+b3+c3-3abc．本题实际上就是用因式分解的方法证明前面给出的公式(6)．分析我们已经知道公式(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3的正确性，现将此公式变形为a3+b3=(a+b)3-3ab(a+b)．这个式也是一个常用的公式，本题就借助于它来推导．说明公式(6)是一个应用极广的公式，用它可以推出很多有用的结论，例如：我们将公式(6)变形为a3+b3+c3-3abc显然，当a+b+c=0时，则a3+b3+c3=3abc；当a+b+c＞0时，则a3+b3+c3-3abc≥0，即a3+b3+c3≥3abc，而且，当且仅当a=b=c时，等号成立．如果令x=a3≥0，y=b3≥0，z=c3≥0，则有等号成立的充要条件是x=y=z．这也是一个常用的结论．2．拆项、添项法因式分解是多项式乘法的逆运算．在多项式乘法运算时，整理、化简常将几个同类项合并为一项，或将两个仅符号相反的同类项相互抵消为零．在对某些多项式分解因式时，需要恢复那些被合并或相互抵消的项，即把多项式中的某一项拆成两项或多项，或者在多项式中添上两个仅符合相反的项，前者称为拆项，后者称为添项．拆项、添项的目的是使多项式能用分组分解法进行因式分解．例4 分解因式：x3-9x+8．分析本题解法很多，这里只介绍运用拆项、添项法分解的几种解法，注意一下拆项、添项的目的与技巧．说明由此题可以看出，用拆项、添项的方法分解因式时，要拆哪些项，添什么项并无一定之规，主要的是要依靠对题目特点的观察，灵活变换，因此拆项、添项法是因式分解诸方法中技巧性最强的一种．例5 分解因式：(1)x9+x6+x3-3； (2)(m2-1)(n2-1)+4mn；(3)(x+1)4+(x2-1)2+(x-1)4； (4)a3b-ab3+a2+b2+1．说明 (4)是一道较难的题目，由于分解后的因式结构较复杂，所以不易想到添加+ab-ab，而且添加项后分成的三项组又无公因式，而是先将前两组分解，再与第三组结合，找到公因式．这道题目使我们体会到拆项、添项法的极强技巧所在，同学们需多做练习，积累经验．3．换元法换元法指的是将一个较复杂的代数式中的某一部分看作一个整体，并用一个新的字母替代这个整体来运算，从而使运算过程简明清晰．例6 分解因式：(x2+x+1)(x2+x+2)-12．分析将原式展开，是关于x的四次多项式，分解因式较困难．我们不妨将x2+x看作一个整体，并用字母y来替代，于是原题转化为关于y的二次三项式的因式分解问题了．说明本题也可将x2+x+1看作一个整体，比如今x2+x+1=u，一样可以得到同样的结果，有兴趣的同学不妨试一试．例7 分解因式：(x2+3x+2)(4x2+8x+3)-90．分析先将两个括号内的多项式分解因式，然后再重新组合．说明对多项式适当的恒等变形是我们找到新元(y)的基础．例8 分解因式：(x2+4x+8)2+3x(x2+4x+8)+2x2．说明由本题可知，用换元法分解因式时，不必将原式中的元都用新元代换，根据题目需要，引入必要的新元，原式中的变元和新变元可以一起变形，换元法的本质是简化多项式．练习一1．分解因式：(1)x3+3x2-4；(2)x3+9x2+26x+24； (3)x4-12x+323．2．分解因式：(1)(2x2-3x+1)2-22x2+33x-1； (2)(x+y)3+2xy(1-x-y)-1； (3)(x+3)(x2-1)(x+5)-20．3.分解因式：（1）x（x+1）（x+2）（x+3）+1 （2）（x+1）（x+2）（x+3）（x+4）+1。
15.5因式分解-讲课稿
15.5因式分解(讲课稿)教学过程：好了，同学们，我们开始上课了，这节课呢我们来学习第15章第5节——因式分解。
首先，我们一起来回忆一下，在小学我们知道，像2×3×5=30这样把几个整数的乘积写成一个整数的形式，这种变形我们把它叫做整数-乘法，而反过来，把一个整数分解为几个因数的乘积，我们把它叫做因数-分解。
在本章第二节我们学过像这种多项式的乘法，它是不是等于x2+xy啊，当时，我们把这种变形叫做什么，整式乘法，而把这个多项式反过来，它是不是由一个多项式化成几个整式乘积的形式啊，根据类比的方法，我们应该把它叫做什么啊——因式分解，是吧，由此呢，我们就可以得出因式分解的定义，就是：我们由上面这两个式子，是不是可以发现因式分解和整式乘法它们之间是互逆的啊，我们用一关系图来表示这一变化过程就是：同学们再看一下最上面这个等式，能不能看出左边这个多项式有什么特点，是不是每一项都含有一个相同的因式x啊，我们可以把多项式每一项都含有的因式，取一个名字，叫公因式，由此我们就得出了公因式的定义。
在上面这个等式中，左边这个多项式的公因式是不是x呀，在这个等式的变形中，我们是不是把这个公因式x从这个多项式中提出来，就化为了两个整式的积，其中一个整式为公因式x，另一个整式为多项式x2+xy除以公因式x所得的呢？我们不妨一起来探索一下：①.7a2b2c+14ab27ab2②.-15xyz3+9y3z23yz2③.12u3v2-4u2v2+4uv24uv2我们先看第一个多项式，我们可以把它的每一项分解因数。
第一项可写成7×a·a·b·b·c，第二项可写成2×7·a·b·b，我们找一下这两项都含有的因式有哪些，有一个7，一个a，两个b，那么这个多项式的公因式是不是就是7×a·b·b，等于7ab2，…………通过这三道题，同学们有没有看出多项式的公因式与多项式每一项之间有什么关系呀，是不是公因式的系数就是多项式各项系数的最大公因数呀，字母部分是不是就是多项式各项的相同字母并取最低次数啊。
因式分解讲义
因式分解知识与技能目标：1、使学生了解因式分解的意义。
2、知道它与整式乘法在整式变形过程中的相反关系。
过程与方法目标：1、通过观察，发现分解因式与整式乘法的关系。
2、培养学生的观察能力和语言概括能力。
情感态度与价值观目标：1、通过观察，推导分解因式与整式乘法的关系。
2、让学生了解事物间的因果联系重点1、理解因式分解的意义；2、识别分解因式与整式乘法的关系．教学过程1、通过学过的公式，引入新课计算(a＋b)(a－b)＝a2－b2．这是大家学过的平方差公式，我们是在整式乘法中学习的．从式子(a＋b)(a－b)＝a2－b2中看，由等号左边可以推出等号右边，那么从等号右边能否推出等号左边呢？即a2－b2＝(a＋b)(a－b)是否成立呢？a2－b2＝(a＋b)(a－b)是成立的，那么如何去推导呢？这就是我们即将学习的内容：因式分解的问题．学生提出问题：老师，这个要学的内容就是换个形式来写多项式，具体有什么用途啊？回答：这部分内容是一个基础型的内容，因式分解学好了之后在后面我们还要学到一元二次方程，因式分解在一元二次方程就会用的很频繁，方便我们来求解一元二次方程。
它在数学求根作图方面有很广泛的应用。
2、讲授新课1．讨论993－99能被100整除吗？你是怎样想的？与同伴交流．93－99能被100整除．因为993－99＝99×992－99＝99×(992－1)＝99×9800＝99×98×100，其中有一个因数为100，所以993－99能被100整除．993－99还能被哪些正整数整除？（99，98，980，990，9702）从上面的推导过程看，等号左边是一个数，而等号右边是变成了几个数的积的形式．2．议一议你能尝试把a3－a化成n个整式的乘积的形式吗？与同伴交流．大家可以观察a3－a与993－99这两个代数式．a3－a＝a(a2－1)＝a(a－1)(a＋1)3．做一做（1）计算下列各式：①(m＋4)(m－4)＝__________；②(y－3)2＝__________；③3x(x－1)＝__________；④m(a＋b＋c)＝__________；⑤a(a＋1)(a－1)＝__________．（2）根据上面的算式填空：①3x2－3x＝( )( )；②m2－16＝( )( )；③ma＋mb＋mc＝( )( )；④y2－6y＋9＝( )2．⑤a3－a＝( )( )．能分析一下两个题中的形式变换吗？在（1）中我们知道从左边推右边是整式乘法；在（2）中由多项式推出整式乘积的形式是因式分解．把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式分解因式．4．想一想由a(a＋1)(a－1)得到a3－a的变形是什么运算？由a3－a得到a(a＋1)(a－1)的变形与这种运算有什么不同？你还能举一些类似的例子加以说明吗？总结一下：联系：等式（1）和（2）是同一个多项式的两种不同表现形式．区别：等式（1）是把几个整式的积化成一个多项式的形式，是乘法运算．所以，因式分解与整式乘法是相反方向的变形．5．例题下列各式从左到右的变形，哪些是因式分解？（1）4a(a＋2b)＝4a2＋8ab；（2）6ax－3ax2＝3ax(2－x)；（3）a2－4＝(a＋2)(a－2)；（4）x2－3x＋2＝x(x－3)＋2．接下来，我们具体来了解一下因式分解常见的第一种方法：提公因式法：知识与技能目标：1、让学生了解多项式公因式的意义。
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） ； （2）m2－16＝（ ）;（4）2b2－2＝______（
） （ ） （
） ； ） ．
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【例4】 下列各式中，不能用平方差公式分解因式的是（ A．y2－49x2 B．
）
1 D． ( p q ) 2 9 4
（2） (4a 1)(4a 1) （4） (2m n)(n 2m)
1 14 15 15
【测试 3】 利用平方差公式简化计算： 1
【测试 4】 若 9x2＋4y2＝（3x＋2y）2＋M，则 M 为（ ） A．6xy B．－6xy C．12xy D．－12xy 【测试 5】 下列等式正确的是（ ）
【作业 2】 已知 a＋b=5，ab=3，求代数式 a3b＋2a2b2＋ab3 的值。
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【例3】 已知（19x﹣31） （13x﹣17）﹣（13x﹣17） （11x﹣23）可因式分解成（ax+b） （8x+c） ，其中 a，b， c 均为整数，则 a+b+c=（ A．﹣12 ） B．﹣32 C．38 D．72
【互动5】因式分解： （1）x2－y2＝（ （3）49a2－4＝（
） （ ） （
1 x4 49
C．－m4－n2
【互动6】在括号中填入适当的式子，使等式成立： （1）x2＋6x＋（ ）＝（ ）2； （2）4m2－12mn＋（ ）＝（ ）2
【例5】 因式分解 4﹣4a+a2，正确的是（ A．4（1﹣a）+a2
） C． （2﹣a） （2+a） D． （2+a）2
B． （2﹣a）2
2 2 2 A． (4m n) 8m 8mn n
1 1 1 B． ( x ) 2 x 2 x 2 2 4
C． (3x 2 y)2 9 x2 12 xy 4 y 2
1 1 D． (4 y )2 16 y 2 2 y 4 16
模块三
因式分解
【例2】 分解因式： （1） 8x4 y3 z 2 6 x5 y 2 （2） 2m3 6m2 18m （3） 6 x 2 y 3x3 y 2
9 2 xy 2
【互动2】分解因式： 3x（m－n）＋2（m－n）
【互动3】分解因式： 3x（m－n）－2（n－m）
【互动4】分解因式： 2a（m－n）2－3b（n－m）
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第五讲 因式分解
模块一
自学课程（上课前完成哦）
本次课是暑假预习课的第一讲，请同学们学完自学课程第 3 页，第 5、6 行， 《提公因式》 、 《公式法》 、 《十字相乘》动画 课程
模块二
课前复习检测
课前测试（5 分钟） 钟 【测试 1】 如图，四张全等的矩形纸片拼成的图形，由图形面积关系能验证的公式是（ A．a2－b2＝a（a－b）＋b（a－b） B． （a－b）2＝a2－2ab＋b2 C． （a＋b）2＝a2＋2ab＋b2 D．a2－b2＝a（a＋b）－b（a＋b） ）
夯实基础 【例7】 将下列各式因式分解： （1）x2－5x＋6＝______； （3）x2＋5x＋6＝______； （2）x2－5x－6＝______； （4）x2＋5x－6＝______；
【例8】 因式分解（1）m2－12m＋20
（2） ． （x－1） （x＋4）－36
【例9】 因式分解（1） a3－ab2
（2） m2（x－y）＋n2（y－x）
【例10】 因式分解（1） x（x＋4）＋4
（2） 2mx2－4mxy＋2my2
【例11】 已知 x＋2y＝3，x2－4y2＝－15， （1）求 x－2y 的值； （2）求 x 和 y 的值．
Байду номын сангаас
模块五
课后检测
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a
b a b
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【测试 2】 下列各多项式相乘，可以用平方差公式的有______个
（1） ( x 2 y )( x 2 y ) （3） (a b)(a b)
1 2
1 2
系数 a，b，c，使得： a1a2 a ， c1c2 c ， a1c2 a2 c1 b ， x2 (a b) x ab ( x a)( x b)
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【例6】 把下列各式因式分解 （1） ．a2－16a＋64 （2） ．－x2－4y2＋4xy
模块四
因式分解综合
核心知识 十字相乘法：一个二次三项式 ax2 bx c ，若可以分解，则一定可以写成 (a1 x c1 )(a2 x c2 ) 的形式，它 的系数可以写成
a1 a2
c1 ，十字相乘法就是用试验的方法找出十字线两端的数，其实就是分解 c2
核心知识 因式分解：把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也可称为将这个多项 式分解因式. 因式分解与整式乘法互为逆变形：
m(a b c)
整式的乘积 因式分解
ma mb mc
式中 m 可以代表单项式，也可以代表多项式，它是多项式中各项都含有的因式，称为公因式 注意事项：①若不特别说明，分解因式的结果必须是每个因式在有理数范围内不能再分解为止； ②结果一定是乘积的形式； ③每一个因式都是整式； ④相同的因式的积要写成幂的形式. 在分解因式时，结果的形式要求： ①没有大括号和中括号； ②每个因式中不能含有同类项，如果有需要合并的同类项，合并后要注意能否再分解； ③单项式因式写在多项式因式的前面； ④每个因式第一项系数一般不为负数； 请新学员家长加入：海边数学中转交流群④ 461160424（学生勿加，老学员勿加）
2015 海边尖端班春季课程—海边出品 ⑤形式相同的因式写成幂的形式.
夯实基础 【互动1】请把些列多项式写成整式的乘积的形式： （1） x x =_________
2
（2） x 1 =__________
2
【例1】 ax、ay、－ax 的公因式是______；6mn2、－2m2n3、4mn 的公因式是______．
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课后线上检测
模块六
课后作业
【课后作业打印做完后，用作业端 app 或者扫描右边二维码关注海边微 信端，当天晚上前拍照提交，下次课课前会收到辅导老师语音批改反馈】
线下作业 【作业 1】 分解因式： （1） 2 x2 4 x 2 _____________ （2） ax2 4ax 4a ______________ （3） 8a 4a2 4 ______________ （4） 9 x2 24 xy 16 y 2 _____________