高三数学一轮复习 (教材回扣+考点分类+课堂内外+限时训练)专讲专练 7.2 一元二次不等式及其解法
高三数学一轮复习 （教材回扣+考点分类+课堂内外+限时训练）专讲专练 6
(4)由已知，an＞0，在递推关系式两边取对数，有 lgan＋1 ＝2lgan＋lg3.
令 bn＝lgan，则 bn＋1＝2bn＋lg3. 所以 bn＋1＋lg3＝2(bn＋lg3)，所以{bn＋lg3}是等比数列． 所以 bn＋lg3＝2n－1·2lg3＝2nlg3. 所以 bn＝2nlg3－lg3＝(2n－1)lg3＝lgan.所以 an＝32n－1.
(3)∵an＋1－an＝3n＋2，∴an－an－1＝3n－1(n≥2)， ∴an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1 ＝n3n2＋1(n≥2)． 当n＝1时，a1＝12×(3×1＋1)＝2符合公式， ∴an＝32n2＋n2.
方法点睛 已知数列的递推关系，求数列的通项时，通
变式训练1 根据数列的前n项，写出下列各数列的一个 通项公式：
(1)－1,7，－13,19，…； (2)0.8,0.88,0.888，…； (3)12，14，－58，1136，－2392，6614，…； (4)32，1，170，197，…； (5)0,1,0,1，….
解析：(1)符号问题可通过(－1)n或(－1)n＋1表示，其各项
此题也可用排除法求解，只需验证当n＝1时，A选项为
1 3
，B选项为
3 2
，C选项为
3 4
，均不为1，故排除A、B、C，从
而选D.
答案：D
2．已知数列{an}中，a1＝1，an＋1＝
2an an＋2
(n∈N*)，则a5
等于( )
2
1
2
1
A.5
B.3
C.3
D.2
解析：由a1＝1，an＋1＝a2n＋an2，得a2＝23，a3＝12，a4＝25， a5＝13.
高三数学一轮复习 (教材回扣+考点分类+课堂内外+限时训练)专讲专练 2.3 函数的单调性与最值
2014届高三数学一轮复习专讲专练（教材回扣+考点分类+课堂内外+限时训练）：2.3 函数的单调性与最值一、选择题1．给定函数①y ＝x 12 ；②y ＝log 12 (x ＋1)；③y ＝|x －1|；④y ＝2x ＋1，其中在区间(0,1)上单调递减的函数的序号是( )A ．①②B ．②③C ．③④D ．①④解析：①是幂函数，其在(0，＋∞)上为增函数，故此项不符合题意；②中的函数是由函数y ＝log 12 x 向左平移1个单位而得到的，因原函数在(0，＋∞)上为减函数，故此项符合题意；③当x ∈(0,1)时，y ＝|x －1|＝1－x ，故符合题意；④中的函数为指数函数，其底数大于1，故其在R 上单调递增，不符合题意，综上可知选择B.答案：B2．(2012·广东)下列函数中，在区间(0，＋∞)上为增函数的是( ) A ．y ＝ln(x ＋2)B ．y ＝－x ＋1C ．y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12xD ．y ＝x ＋1x解析：函数y ＝ln(x ＋2)的定义域为(－2，＋∞)，且在定义域内单调递增，满足题意，故选A.答案：A3．(2013·安庆月考)函数y ＝x －5x －a －2在(－1，＋∞)上单调递增，则a 的取值范围是( )A ．a ＝－3B ．a ＜3C ．a ≤－3D ．a ≥－3解析：y ＝x －5x －a －2＝1＋a －3x －a ＋2，需⎩⎪⎨⎪⎧a －3＜0，a ＋2≤－1，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＜3，a ≤－3，∴a ≤－3.答案：C4．若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a －2x ，x ≥2，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x－1，x ＜2是R 上的单调减函数，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，2) B.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，138 C ．(0,2)D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫138，2 解析：由题意可知⎩⎪⎨⎪⎧a －2＜0a －2×2≤⎝ ⎛⎭⎪⎫122－1，解得a ≤138. 答案：B5．(2013·山东曲阜师大附中月考)已知函数f (x )在[0，＋∞)上为增函数，g (x )＝－f (|x |)，若g (lg x )＞g (1)，则x 的取值范围是( )A ．(0,10)B ．(10，＋∞) C.⎝⎛⎭⎪⎫110，10D.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，110∪(10，＋∞)解析：∵g (lg x )＞g (1)，g (x )＝－f (|x |)， ∴－f (|lg x |)＞－f (1)． ∴f (|lg x |)＜f (1)．又∵f (x )在[0，＋∞)上是增函数，∴|lg x |＜1. ∴－1＜lg x ＜1. ∴110＜x ＜10.选C. 答案：C6．(2013·江西师大附中月考)设奇函数f (x )在[－1,1]上是增函数，且f (－1)＝－1，当a ∈[－1,1]时，f (x )≤t 2－2at ＋1对所有的x ∈[－1,1]恒成立，则t 的取值范围是( )A ．t ≥2或t ≤－2或t ＝0B ．t ≥2或t ≤－2C ．t ＞2或t ＜－2或t ＝0D ．－2≤t ≤2解析：由题意可知f (x )在[－1,1]上的最大值为f (1)＝－f (－1)＝1，所以，当a ∈[－1,1]时，f (x )≤t 2－2at ＋1对所有的x ∈[－1,1]恒成立等价于t 2－2at ＋1≥1时，即t 2－2at ≥0对a ∈[－1,1]恒成立．令g (a )＝(－2t )·a ＋t 2，则有⎩⎪⎨⎪⎧g －1＝t 2＋2t ≥0，g 1＝t 2－2t ≥0.解得t ≤－2或t ≥2或t ＝0.选A.答案：A 二、填空题7．函数y ＝x －x (x ≥0)的最大值为__________．解析：∵y ＝x －x ＝－(x )2＋x ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋14，∴y max ＝14.答案：148．若函数f (x )＝4xx 2＋1在区间(m,2m ＋1)上是单调递增函数，则m ∈__________. 解析：∵f ′(x )＝41－x 2x 2＋12，令f ′(x )＞0得－1＜x ＜1，∴f (x )的增区间为(－1,1)．又∵f (x )在(m,2m ＋1)上单调递增，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ≥－1，2m ＋1≤1.∴－1≤m ≤0.∵区间在(m,2m ＋1)上，∴隐含2m ＋1＞m ，即m ＞－1. 综上，－1＜m ≤0. 答案：(－1,0]9．(2013·厦门调研)已知函数f (x )＝ax －32x 2的最大值不大于16，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，12时，f (x )≥18，则a 的值为__________．解析：f (x )＝－32⎝⎛⎭⎪⎫x －a 32＋16a 2，由f (x )max ＝16a 2≤16得－1≤a ≤1，函数f (x )的图像的对称轴为x ＝a3，当－1≤a ＜34时，－13≤a 3＜14，⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，12是f (x )的递减区间，而f (x )≥18，即f (x )min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝a 2－38≥18，得a ≥1，与－1≤a ＜34矛盾，即不存在这样的a 值；当34≤a ≤1时，14≤a 3≤13， 结合图像知道区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，12的端点12离对称轴的距离大，故f (x )min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝a 2－38≥18，a ≥1，而34≤a ≤1，得a ＝1，∴a ＝1. 综上可知，a ＝1.答案：1 三、解答题10．已知函数f (x )＝1a －1x(a ＞0，x ＞0)．(1)求证：f (x )在(0，＋∞)上是单调递增函数；(2)若f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2，求a 的值． 解析：(1)设x 2＞x 1＞0，则x 2－x 1＞0，x 1x 2＞0，∵f (x 2)－f (x 1)＝⎝⎛⎭⎪⎫1a －1x 2－⎝⎛⎭⎪⎫1a －1x1＝1x 1－1x 2＝x 2－x 1x 1x 2＞0，∴f (x 2)＞f (x 1)．∴f (x )在(0，＋∞)上是单调递增函数．(2)∵f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2，又f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上单调递增， ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝12，f (2)＝2，解得a ＝25.11．已知函数f (x )＝a ·2x＋b ·3x，其中常数a ，b 满足ab ≠0. (1)若ab ＞0，判断函数f (x )的单调性；(2)若ab ＜0，求f (x ＋1)＞f (x )时的x 的取值范围．解析：(1)当a ＞0，b ＞0时，因为a ·2x、b ·3x都单调递增，所以函数f (x )单调递增； 当a ＜0，b ＜0时，因为a ·2x、b ·3x都单调递减，所以函数f (x )单调递减． (2)f (x ＋1)－f (x )＝a ·2x＋2b ·3x＞0.(ⅰ)当a ＜0，b ＞0时，⎝ ⎛⎭⎪⎫32x＞－a 2b ，解得x ＞log 32⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2b ；(ⅱ)当a ＞0，b ＜0时，⎝ ⎛⎭⎪⎫32x＜－a 2b ，解得x ＜log 32⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2b .12．(2013·南昌调研)f (x )的定义域为(0，＋∞)，且对一切x ＞0，y ＞0都有f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x y＝f (x )－f (y )，当x ＞1时，有f (x )＞0.(1)求f (1)的值；(2)判断f (x )的单调性并证明；(3)若f (6)＝1，解不等式f (x ＋3)－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x＜2. 解析：(1)f (1)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x x＝f (x )－f (x )＝0，x ＞0.(2)设0＜x 1＜x 2，则由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x y ＝f (x )－f (y )，得f (x 2)－f (x 1)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2x 1，∵x 2x 1＞1，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2x 1＞0.∴f (x 2)－f (x 1)＞0，即f (x )在(0，＋∞)上是增函数．(3)∵f (6)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫366＝f (36)－f (6)，∴f (36)＝2， 原不等式化为：f (x 2＋3x )＜f (36)， ∵f (x )在(0，＋∞)上是增函数，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3＞0，1x ＞0，x 2＋3x ＜36，解得0＜x ＜317－32.故原不等式的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，317－32.。
高三数学一轮复习 (教材回扣+考点分类+课堂内外+限时
2014届高三数学一轮复习专讲专练（教材回扣+考点分类+课堂内外+限时训练）：6.4 数列求和一、选择题1．(2013·菏泽调研)等差数列{a n }的通项公式a n ＝2n －1，数列(1a n a n ＋1)，其前n 项和为S n ，则S n 等于( )A.2n2n ＋1B.n 2n ＋1C.n2n －1D ．以上都不对解析：∵a n ＝2n －1， ∴1a n a n ＋1＝12n ＋12n －1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1.∴S n ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＋13－15＋15－17＋…＋12n －1－12n ＋1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n ＋1＝n2n ＋1. 答案：B2．(2013·济宁月考)若数列{a n }的通项为a n ＝4n －1，b n ＝a 1＋a 2＋…＋a n n，n ∈N *，则数列{b n }的前n 项和是( )A ．n 2B ．n (n ＋1)C ．n (n ＋2)D ．n (2n ＋1)解析：a 1＋a 2＋…＋a n ＝(4×1－1)＋(4×2－1)＋…＋(4n －1)＝4(1＋2＋…＋n )－n ＝2n (n ＋1)－n ＝2n 2＋n ，∴b n ＝2n ＋1，b 1＋b 2＋…＋b n ＝(2×1＋1)＋(2×2＋1)＋…＋(2n ＋1)＝n 2＋2n ＝n (n ＋2). 答案：C3．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2－4n ＋2，则|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 10|＝( ) A ．66 B ．65 C ．61 D ．56 解析：当n ＝1时，a 1＝S 1＝－1； 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n 2－4n ＋2－[(n －1)2－4(n －1)＋2] ＝2n －5.∴a 2＝－1，a 3＝1，a 4＝3，…，a 10＝15. ∴|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 10|＝1＋1＋81＋152＝2＋64＝66. 答案：A4．若S n ＝1－2＋3－4＋…＋(－1)n －1·n ，则S 17＋S 33＋S 50等于( )A ．1B ．－1C ．0D ．2解析：S n＝⎩⎪⎨⎪⎧n ＋12n 为奇数，－n2n 为偶数.故S 17＝9，S 33＝17，S 50＝－25，S 17＋S 33＋S 50＝1. 答案：A5．数列{a n }的通项公式a n ＝1n ＋n ＋2(n ∈N *)，若前n 项和为S n ，则S n 为( )A.n ＋2－1B.n ＋2＋n ＋1－2－1C.12(n ＋2－1) D.12(n ＋2＋n ＋1－2－1) 解析：∵a n ＝1n ＋n ＋2＝12(n ＋2－n )，∴S n ＝12(3－1＋4－2＋5－3＋6－4＋…＋n －n －2＋n ＋1－n －1＋n ＋2－n )＝12(－1－2＋n ＋1＋n ＋2)＝12(n ＋2＋n ＋1－2－1).答案：D6．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2－6n ，则{|a n |}的前n 项和T n ＝( ) A ．6n －n 2B ．n 2－6n ＋18C.⎩⎪⎨⎪⎧6n －n 21≤n ≤3，n 2－6n ＋18 n ＞3D.⎩⎪⎨⎪⎧6n －n 21≤n ≤3，n 2－6n n ＞3解析：由S n ＝n 2－6n ，得{a n }是等差数列，且首项为－5，公差为2. ∴a n ＝－5＋(n －1)×2＝2n －7. ∴n ≤3时，a n ＜0；n ＞3时a n ＞0.∴T n ＝⎩⎪⎨⎪⎧6n －n 21≤n ≤3，n 2－6n ＋18 n ＞3.答案：C 二、填空题7．设{a n }是等差数列，{b n }是各项都为正数的等比数列，且a 1＝b 1＝1，a 3＋b 5＝19，a 5＋b 3＝9，则数列{a n b n }的前n 项和S n ＝__________.解析：由条件易求出a n ＝n ，b n ＝2n －1(n ∈N *)．∴S n ＝1×1＋2×21＋3×22＋…＋n ×2n －1，①2S n ＝1×2＋2×22＋…＋(n －1)×2n －1＋n ×2n.②由①－②，得 －S n ＝1＋21＋22＋…＋2n －1－n ×2n，∴S n ＝(n －1)·2n＋1. 答案：(n －1)·2n＋1 8．在数列{a n }中，a n ＝1n ＋1＋2n ＋1＋…＋n n ＋1，又b n ＝2a n a n ＋1，则数列{b n }的前n 项和为__________．解析：∵a n ＝n n ＋12n ＋1＝n 2，∴b n ＝8n n ＋1＝8⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1. ∴b 1＋b 2＋…＋b n ＝8⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1＝8n n ＋1.答案：8nn ＋19．若数列{a n }是正项数列，且a 1＋a 2＋…＋a n ＝n 2＋3n (n ∈N *)，则a 12＋a 23＋…＋a nn ＋1＝__________.解析：令n ＝1，得a 1＝4，∴a 1＝16.当n ≥2时，a 1＋a 2＋…＋a n －1＝(n －1)2＋3(n －1)． 与已知式相减，得a n ＝(n 2＋3n )－(n －1)2－3(n －1)＝2n ＋2.∴a n ＝4(n ＋1)2.∴n ＝1时，a 1适合a n .∴a n ＝4(n ＋1)2. ∴a nn ＋1＝4n ＋4，∴a 12＋a 23＋…＋a n n ＋1＝n 8＋4n ＋42＝2n 2＋6n .答案：2n 2＋6n 三、解答题10．设数列{a n }满足a 1＝2，a n ＋1－a n ＝3·22n －1.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)令b n ＝na n ，求数列{b n }的前n 项和S n .解析：(1)由已知，当n ≥1时，a n ＋1＝[(a n ＋1－a n )＋(a n －a n －1)＋…＋(a 2－a 1)]＋a 1＝3(22n－1＋22n －3＋…＋2)＋2＝22(n ＋1)－1.∴当n ≥2时a n ＝22n －1，而a 1＝2，符合上式，于是数列{a n }的通项公式为a n ＝22n －1.(2)由b n ＝na n ＝n ·22n －1，知S n ＝1·2＋2·23＋3·25＋…＋n ·22n －1.①从而22·S n ＝1·23＋2·25＋3·27＋…＋n ·22n ＋1.②①－②，得(1－22)S n ＝2＋23＋25＋…＋22n －1－n ·22n ＋1.即S n ＝19[(3n －1)22n ＋1＋2]．11．已知等差数列{a n }满足a 3＝7，a 5＋a 7＝26，{a n }的前n 项和为S n . (1)求a n 及S n ； (2)令b n ＝1a 2n －1(n ∈N *)，求数列{b n }的前n 项和T n . 解析：(1)设等差数列{a n }的公差为d .因为a 3＝7，a 5＋a 7＝26，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋2d ＝7，2a 1＋10d ＝26，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝3，d ＝2.故a n ＝3＋2(n －1)＝2n ＋1，S n ＝3n ＋n n －12×2＝n 2＋2n .(2)由(1)知，a n ＝2n ＋1， 从而b n ＝1a 2n －1＝12n ＋12－1＝14·1n n ＋1＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1， 从而T n ＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1n ＋1＝n4n ＋1，即数列{b n }的前n 项和T n ＝n4n ＋1.12．已知数列{a n }是首项为a 1＝14，公比q ＝14的等比数列，设b n ＋2＝3log 14 a n (n ∈N *)，数列{c n }满足c n ＝a n ·b n .(1)求数列{b n }的通项公式； (2)求数列{c n }的前n 项和S n .解析：(1)由题意，知a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫14n (n ∈N *)，又b n ＝3log 14a n －2，故b n ＝3n －2(n ∈N *)．(2)由(1)，知a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫14n ，b n ＝3n －2(n ∈N *)，∴c n ＝(3n －2)×⎝ ⎛⎭⎪⎫14n (n ∈N *)．∴S n ＝1×14＋4×⎝ ⎛⎭⎪⎫142＋7×⎝ ⎛⎭⎪⎫143＋…＋(3n －5)×⎝ ⎛⎭⎪⎫14n －1＋(3n －2)×⎝ ⎛⎭⎪⎫14n，于是14S n ＝1×⎝ ⎛⎭⎪⎫142＋4×⎝ ⎛⎭⎪⎫143＋7×⎝ ⎛⎭⎪⎫144＋…＋(3n －5)×⎝ ⎛⎭⎪⎫14n ＋(3n －2)×⎝ ⎛⎭⎪⎫14n ＋1，两式相减，得34S n ＝14＋3⎣⎢⎡⎝ ⎛⎭⎪⎫142＋⎝ ⎛⎭⎪⎫143＋…⎦⎥⎤＋⎝ ⎛⎭⎪⎫14n －(3n －2)×⎝ ⎛⎭⎪⎫14n ＋1＝12－(3n ＋2)×⎝ ⎛⎭⎪⎫14n ＋1，∴S n ＝23－3n ＋23×⎝ ⎛⎭⎪⎫14n (n ∈N *)．。
2014届高三数学一轮复习 (教材回扣+考点分类+课堂内外+限时训练)专讲专练 2.4 函数的奇偶性与周期性
2014届高三数学一轮复习专讲专练（教材回扣+考点分类+课堂内外+限时训练）：2.4 函数的奇偶性与周期性一、选择题1．函数f (x )＝－x2|x ＋3|－3是( )A ．奇函数B ．偶函数C ．既是奇函数又是偶函数D ．非奇非偶函数解析：由⎩⎪⎨⎪⎧1－x 2＞0，|x ＋3|－3≠0，得－1＜x ＜1，且x ≠0.∴函数f (x )的定义域为(－1,0)∪(0,1)． ∵f (x )＝－x2|x ＋3|－3＝－x2x，∴f (－x )＝－x 2－x＝－f (x )．∴f (x )是奇函数． 答案：A2．(2012·福建)设函数D (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x 为有理数，0，x 为无理数，则下列结论错误的是( )A ．D (x )的值域为{0,1}B ．D (x )是偶函数C ．D (x )不是周期函数D ．D (x )不是单调函数解析：显然A ，D 是对的．若x 是无理数，所以－x 也是无理数；若x 是有理数，则－x 也是有理数，则D (－x )＝D (x )，所以D (x )是偶函数，B 对．对于任意有理数T ，f (x ＋T )＝f (x )(若x 是无理数，则x ＋T 也是无理数；若x 是有理数，则x ＋T 也是有理数)，故C 不对．答案：C3．(2012·山东)定义在R 上的函数f (x )满足f (x ＋6)＝f (x )．当－3≤x ＜－1时，f (x )＝－(x ＋2)2，当－1≤x ＜3时，f (x )＝x .则f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2 012)＝( )A ．335B ．338C ．1 678D ．2 012解析：由f (x ＋6)＝f (x )可知函数是周期为6的周期函数，又因为当－3≤x ＜－1时，f (x )＝－(x ＋2)2，当－1≤x ＜3时，f (x )＝x 可知，f (1)＝1，f (2)＝2，f (3)＝f (－3)＝－(－3＋2)2＝－1，f (4)＝f (－2)＝－(－2＋2)2＝0，f (5)＝f (－1)＝－1，f (6)＝f (0)＝0，故而f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＋f (5)＋f (6)＝1，故而f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2 012)＝335×1＋f (1)＋f (2)＝338.答案：B4．已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x －4)＝－f (x )，且在区间[0,2]上是增函数，则( )A ．f (－25)＜f (11)＜f (80)B ．f (80)＜f (11)＜f (－25)C ．f (11)＜f (80)＜f (－25)D ．f (－25)＜f (80)＜f (11)解析：由函数f (x )是奇函数且f (x )在[0,2]上是增函数可以推知，f (x )在[－2,2]上递增，又f (x －4)＝－f (x )⇒f (x －8)＝－f (x －4)＝f (x )，故函数f (x )以8为周期，f (－25)＝f (－1)，f (11)＝f (3)＝－f (3－4)＝f (1)，f (80)＝f (0)，故f (－25)＜f (80)＜f (11)．故选D.答案：D5．(2013·太原五中月考)若函数f (x )、g (x )分别是R 上的奇函数、偶函数，且满足f (x )－g (x )＝e x，则有( )A ．f (2)＜f (3)＜g (0)B ．g (0)＜f (3)＜f (2)C ．f (2)＜g (0)＜f (3)D ．g (0)＜f (2)＜f (3)解析：由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧f x －g x ＝e x，－f x －g x ＝e －x ，解得⎩⎪⎨⎪⎧f x ＝e x －e －x2，gx ＝－e x＋e－x2.故g (0)＝－1，f (x )为R 上的增函数，0＜f (2)＜f (3)，故g (0)＜f (2)＜f (3).答案：D6．(2013·曲阜师大附中质检)若偶函数y ＝f (x )对任意实数x 都有f (x ＋1)＝－f (x )，且在[0,1]上单调递减，则( )A ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫72＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫73＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫75B ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫75＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫72＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫73C ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫73＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫72＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫75D ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫75＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫73＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫72 解析：由f (x ＋1)＝－f (x )，知f (x )是周期函数，且最小正周期为2.故f ⎝ ⎛⎭⎪⎫72＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫4－12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫73＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋13＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13， f ⎝ ⎛⎭⎪⎫75＝f ⎝⎛⎭⎪⎫－2＋75＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－35＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫35. 又因为35＞12＞13，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫75＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫72＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫73. 答案：B 二、填空题7．(2012·上海)已知y ＝f (x )＋x 2是奇函数，且f (1)＝1，若g (x )＝f (x )＋2，则g (－1)＝__________.解析：令h (x )＝f (x )＋x 2，∴h (1)＝f (1)＋1＝2.h (－1)＝f (－1)＋1＝－2，∴f (－1)＝－3，∴g (－1)＝f (－1)＋2＝－1. 答案：－18．(2013·银川质检)已知f (x )是定义在(－3,3)上的奇函数，当0＜x ＜3时，f (x )的图像如图所示，那么不等式xf (x )＜0的解集为__________．解析：当0＜x ＜3时，由图像知，满足xf (x )＜0的解为： 0＜x ＜1，由奇函数的对称性可求. 答案：(－1,0)∪(0,1)9．(2012·江苏)设f (x )是定义在R 上且周期为2的函数，在区间[－1,1]上，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋1，－1≤x ＜0bx ＋2x ＋1，0≤x ≤1，其中a ，b ∈R ，若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，则a ＋3b 的值为______________．解析：由题意得，f (12)＝f (32)＝f (－12)，所以b2＋232＝－12a ＋1，∴32a ＋b ＝－1.①又f (－1)＝f (1)，∴b ＝－2a .② 解①②得a ＝2，b ＝－4，∴a ＋3b ＝－10. 答案：－10 三、解答题10．(2013·曲阜师大附中质检)定义域为[－1,1]的奇函数f (x )满足f (x )＝f (x －2)，且当x ∈(0,1)时，f (x )＝2x ＋x .(1)求f (x )在[－1,1]上的解析式； (2)求函数f (x )的值域．解析：(1)当x ＝0时，f (0)＝－f (0)，故f (0)＝0. 当x ∈(－1,0)时，－x ∈(0,1)，f (x )＝－f (－x )＝－(－2x ＋－x )＝2x －－x .若x ＝－1时，f (－1)＝－f (1)．又f (1)＝f (1－2)＝f (－1)，故f (1)＝－f (1)，得f (1)＝0，从而f (－1)＝－f (1)＝0.综上，f (x )＝⎩⎨⎧2x －－x ，x ∈－1，，0， x ＝0，±1，2x ＋x ， x ∈，(2)∵x ∈(0,1)时，f (x )＝2x ＋x ，∴f ′(x )＝2＋12x ＞0，故f (x )在(0,1)上单调递增．∴f (x )∈(0,3)．∵f (x )是定义域为[－1,1]上的奇函数， ∴当x ∈[－1,1]时，f (x )∈(－3,3)． ∴f (x )的值域为(－3,3)．11．(2013·舟山调研)已知函数f (x )＝x 2＋a x(x ≠0，常数a ∈R )． (1)讨论函数f (x )的奇偶性，并说明理由；(2)若函数f (x )在x ∈[2，＋∞)上为增函数，求a 的取值范围．解析：(1)当a ＝0时，f (x )＝x 2，对任意的x ∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，f (－x )＝(－x )2＝x 2＝f (x )，∴f (x )为偶函数．当a ≠0时，f (x )＝x 2＋a x(a ≠0，x ≠0)， 取x ＝±1，得f (－1)＋f (1)＝2≠0，f (－1)－f (1)＝－2a ≠0，∴f (－1)≠－f (1)，f (－1)≠f (1)． ∴函数f (x )既不是奇函数，也不是偶函数．(2)方法一：要使函数f (x )在x ∈[2，＋∞)上为增函数， 等价于f ′(x )≥0在x ∈[2，＋∞)上恒成立， 即f ′(x )＝2x －a x2≥0在x ∈[2，＋∞)上恒成立． 故a ≤2x 3在x ∈[2，＋∞)上恒成立． ∴a ≤(2x 3)min ＝16.∴a 的取值范围是(－∞，16]． 方法二：设2≤x 1＜x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝x 21＋a x 1－x 22－a x 2＝x 1－x 2x 1x 2[x 1x 2(x 1＋x 2)－a ]． 要使函数f (x )在x ∈[2，＋∞)上为增函数，必须f (x 1)－f (x 2)＜0恒成立． ∵x 1－x 2＜0，x 1x 2＞0，即a ＜x 1x 2(x 1＋x 2)恒成立， 又∵x 1＋x 2＞4，x 1x 2＞4， ∴x 1x 2(x 1＋x 2)＞16.∴a 的取值范围是(－∞，16]．12．(2013·沈阳质检)设f (x )是(－∞，＋∞)上的奇函数，f (x ＋2)＝－f (x )，当0≤x ≤1时，f (x )＝x .(1)求f (π)的值；(2)当－4≤x ≤4时，求f (x )的图像与x 轴所围成图形的面积； (3)写出(－∞，＋∞)内函数f (x )的单调增(或减)区间．解析：(1)由f (x ＋2)＝－f (x )得，f (x ＋4)＝f [(x ＋2)＋2]＝－f (x ＋2)＝f (x )， 所以f (x )是以4为周期的周期函数． ∴f (π)＝f (－1×4＋π)＝f (π－4) ＝－f (4－π) ＝－(4－π) ＝π－4.(2)由f (x )是奇函数与f (x ＋2)＝－f (x )，得：f [(x －1)＋2]＝－f (x －1)＝f [－(x －1)]，即f (1＋x )＝f (1－x )．故知函数y ＝f (x )的图像关于直线x ＝1对称．又0≤x ≤1时，f (x )＝x ，且f (x )的图像关于原点成中心对称，则f (x )的图像如图所示．当－4≤x ≤4时，f (x )的图像与x 轴围成的图形面积为S ，则S ＝4S △OAB ＝4×⎝ ⎛⎭⎪⎫12×2×1＝4.(3)函数f (x )的单调递增区间为[4k －1,4k ＋1](k ∈Z )，单调递减区间为[4k ＋1,4k ＋3](k ∈Z )．。
高三数学一轮复习 (教材回扣+考点分类+课堂内外+限时训练)专讲专练 2.7 对数与对数函数
2014届高三数学一轮复习专讲专练（教材回扣+考点分类+课堂内外+限时训练）：2.7 对数与对数函数一、选择题1．(2013·日照联考)设函数f (x )＝log 2x 的反函数为y ＝g (x )，若g ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －1＝14，则a等于( )A ．－2B ．－12C.12D ．2解析：因为函数f (x )＝log 2x 的反函数为y ＝2x，所以g (x )＝2x，由g ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －1＝14，得21a －11a --1＝14.所以1a －1＝－2，a ＝12. 答案：C2．已知函数f (x )＝a x＋log a x (a ＞0，且a ≠1)在[1,2]上的最大值与最小值之和为l og a 2＋6，则a 的值为( )A.12B.14 C ．2D ．4解析：由题可知函数f (x )＝a x＋log a x 在[1,2]上是单调函数，所以其最大值与最小值之和为f (1)＋f (2)＝a ＋log a 1＋a 2＋log a 2＝log a 2＋6，整理可得a 2＋a －6＝0，解得a ＝2或a ＝－3(舍去)，故a ＝2.答案：C3．若0＜a ＜1，x ＝log a 2＋log a 3，y ＝12log a 5，z ＝log a 21－log a 3，则( )A ．x ＞y ＞zB ．z ＞y ＞xC ．y ＞x ＞zD ．z ＞x ＞y解析：x ＝log a 6，y ＝log a 5，z ＝log a 7.因为0＜a ＜1，所以y ＝log a x 在(0，＋∞)上是减函数． 又7＞6＞5，故y ＞x ＞z .选C. 答案：C4．已知lg a ＋lg b ＝0(a ＞0，b ＞0且a ≠1，b ≠1)，则函数f (x )＝a x与函数g (x )＝－log b x 的图像可能是( )A ． B.C ． D.解析：由lg a ＋lg b ＝0(a ＞0，b ＞0，且a ≠1，b ≠1)，得ab ＝1.若a ＞1，则0＜b ＜1，而y ＝－log b x 的图像与y ＝log b x 的图像关于x 轴对称，故选B. 答案：B5．已知函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x－log 2x ，实数a ，b ，c 满足f (a )·f (b )·f (c )＜0(0＜a ＜b ＜c )，若实数x 0为方程f (x )＝0的一个解，那么下列不等式中，不可能．．．成立的是( ) A ．x 0＜a B ．x 0＞b C ．x 0＜cD ．x 0＞c解析：易知f (x )在(0，＋∞)上是减函数．由0＜a ＜b ＜c ，知f (a )＞f (b )＞f (c )． 又f (a )·f (b )·f (c )＜0，故f (c )＜0，从而f (a )·f (b )＞0.又f (x )的图像在(0，＋∞)上是一条连续不断的曲线，故x 0＞c 不可能成立．选D. 答案：D6．已知函数f (x )＝log 2(a －2x)＋x －2，若f (x )＝0有解，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，－4]∪[4，＋∞) B ．[1，＋∞) C ．[2，＋∞) D ．[4，＋∞)解析：方法一：f (x )＝log 2(a －2x )＋x －2＝0，得a －2x ＝22－x，即a －2x ＝42x ，令t ＝2x(t＞0)，则t 2－at ＋4＝0在t ∈(0，＋∞)上有解，令g (t )＝t 2－at ＋4，g (0)＝4＞0，故满足⎩⎪⎨⎪⎧a 2＞0，Δ＝a 2－16≥0，得a ≥4.方法二：f (x )＝l og 2(a －2x )＋x －2＝0，得a －2x ＝22－x，a ＝2x＋42x ≥4.答案：D 二、填空题7．(2013·金华联考)已知函数f (x )＝log 2(x 2－ax ＋a 2)的图像关于x ＝2对称，则a 的值为__________．解析：由题意f (x )＝f (4－x )，∴x 2－ax ＋a 2＝(4－x )2－a (4－x )＋a 2，整理得a ＝4. 答案：48．(2013·杭州月考)设f (x )＝11＋2lg x ＋11＋4lg x ＋11＋8lg x ，则f (x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝__________. 解析：f (x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫11＋2lg x ＋11＋4lg x ＋11＋8lg x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2lg x 1＋2lg x ＋4lg x 1＋4lg x ＋8lg x1＋8lg x ＝3.答案：39．(2013·湖南联考)已知f (x )是定义在R 上的奇函数，且f (x ＋2)＋f (x )＝0，当x ∈[0,1]时，f (x )＝2x－1，则f (log 18125)＝__________.解析：f (x )是定义在R 上的奇函数，且f (x ＋2)＋f (x )＝0，f (log 18 125)＝f (－log 25)＝－f (log 25)＝f (log 25－2)＝2log 25－2－1＝54－1＝14.答案：14三、解答题10．若f (x )＝x 2－x ＋b ，且f (log 2a )＝b ，log 2f (a )＝2(a ≠1)． (1)求f (log 2x )的最小值及相应的x 值；(2)x 取何值时，f (log 2x )＞f (1)，且log 2f (x )＜f (1)． 解析：(1)∵f (x )＝x 2－x ＋b . ∴f (log 2a )＝(log 2a )2－log 2a ＋b ， 由已知(log 2a )2－log 2a ＋b ＝b ， ∴log 2a (log 2a －1)＝0.∵a ≠1，∴log 2a ＝1. ∴a ＝2.又log 2f (a )＝2，∴f (a )＝4. ∴a 2－a ＋b ＝4. ∴b ＝4－a 2＋a ＝2. 故f (x )＝x 2－x ＋2.从而f (lo g 2x )＝(log 2x )2－log 2x ＋2＝⎝⎛⎭⎪⎫log 2x －122＋74. ∴当log 2x ＝12，即x ＝2时，f (log 2x )有最小值74.(2)由题意，⎩⎪⎨⎪⎧2x2－log 2x ＋2＞2，log 2x 2－x ＋＜2⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＞2，或0＜x ＜1，－1＜x ＜2⇒0＜x ＜1.11．已知f (x )＝lg(a x－b x)(a ＞1＞b ＞0)． (1)求f (x )的定义域；(2)问是否存在实数a 、b ，当x ∈(1，＋∞)时，f (x )的值域为(0，＋∞)，且f (2)＝lg2？若存在，求出a 、b 的值，若不存在，说明理由．解析：(1)由a x －b x＞0及a ＞1＞b ＞0，得⎝ ⎛⎭⎪⎫a b x＞1，故x ＞0.所以，f (x )的定义域为(0，＋∞)．(2)令g (x )＝a x －b x，由a ＞1＞b ＞0知，g (x )在(0，＋∞)上为增函数． 当x ∈(1，＋∞)时，f (x )取到一切正数等价于x ∈(1，＋∞)时，g (x )＞1. 故g (1)＝1，得a －b ＝1.① 又f (2)＝lg2，故a 2－b 2＝2.② 由①②解得a ＝32，b ＝12.12．(2013·辽宁测试)已知函数f (x )＝log 4(4x＋1)＋kx (k ∈R )为偶函数． (1)求k 的值；(2)若方程f (x )＝log 4(a ·2x－a )有且仅有一个根，求实数a 的取值范围． 解析：(1)∵f (x )为偶函数， ∴f (－x )＝f (x )．即log 4(4－x＋1)－kx ＝log 4(4x＋1)＋kx ，∴log 44x＋14x －log 4(4x＋1)＝2kx ，∴(2k ＋1)x ＝0，∴k ＝－12.(2)依题意知：log 4(4x ＋1)－12x ＝log 4(a ·2x－a )．(*)∴⎩⎪⎨⎪⎧4x＋1＝a ·2x－a x，a ·2x－a ＞0，令t ＝2x ，则(*)变为(1－a )t 2＋at ＋1＝0只需其有一正根． ①a ＝1，t ＝－1不合题意；②(*)式有一正一负根，∴⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝a 2－－a ＞0，t 1t 2＝11－a ＜0，经验证满足a ·2x－a ＞0，∴a＞1.③(*)式有两相等的根，Δ＝0，∴a ＝±22－2，又a ·2x－a ＞0，∴a ＝－2－22， 综上所述可知a 的取值范围为{a |a ＞1或a ＝－2－22}．。
高三数学一轮复习 (教材回扣+考点分类+课堂内外+限时训练)专讲专练 9.4 直线与圆、圆与圆的位置关系
2014届高三数学一轮复习专讲专练（教材回扣+考点分类+课堂内外+限时训练）：9.4 直线与圆、圆与圆的位置关系一、选择题1．(2012·重庆)对任意的实数k ，直线y ＝kx ＋1与圆x 2＋y 2＝2的位置关系一定是( )A ．相离B ．相切C ．相交但直线不过圆心D ．相交且直线过圆心解析：圆心C (0,0)到直线kx －y ＋1＝0的距离d ＝11＋k2≤1＜ 2.∴直线与圆相交，故选C.圆与直线的位置关系一般运用圆心到直线的距离d 与半径关系判断．若直线过定点，也可通过该点在圆内、圆外或圆上去判断．答案：C2．(2012·天津)设m ，n ∈R ，若直线(m ＋1)x ＋(n ＋1)y －2＝0与圆(x －1)2＋(y －1)2＝1相切，则m ＋n 的取值范围是( )A ．[1－3，1＋3]B ．(－∞，1－3]∪[1＋3，＋∞)C ．[2－22，2＋22]D ．(－∞，2－22]∪[2＋22，＋∞) 解析：由题得|m ＋n |m ＋12＋n ＋12＝1，即(m ＋n )2＝(m ＋1)2＋(n ＋1)2≥m ＋n ＋222，令t ＝m ＋n ，得t 2－4t －4≥0，解得t ≥2＋22或t ≤2－22，故m ＋n 的取值范围为(－∞，2－22]∪[2＋22，＋∞)．答案：D3．(2013·临沂质检)已知直线x ＋y ＝a 与圆x 2＋y 2＝4交于A 、B 两点，且|O A →＋O B →|＝|O A →－O B →|，其中O 为坐标原点，则实数a 的值为( )A ．2B ．±2C ．－2D ．± 2解析：如图，作平行四边形OADB ， 则O A →＋O B →＝O D →，O A →－O B →＝B A →， ∴|O D →|＝|B A →|. 又|O A →|＝|O B →|， ∴四边形OADB 为正方形．易知|O A →|为直线在y 轴上的截距的绝对值，∴a ＝±2. 答案：B4．(2013·安徽师大附中月考)直线l ：y ＝k (x －2)＋2与圆C ：x 2＋y 2－2x －2y ＝0相切，则直线l 的一个方向向量v ＝( )A ．(2，－2)B ．(1,1)C ．(－3,2)D.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12 解析：由已知得(x －1)2＋(y －1)2＝2，圆心(1,1)，半径2， 直线kx －y －2k ＋2＝0. ∵直线与圆相切，∴|1－k |1＋k2＝ 2.∴k ＝－1.∴直线的一个方向向量为(2，－2). 答案：A5．(2013·珠海调研)已知点P (x ，y )是直线kx ＋y ＋4＝0(k ＞0)上一动点，PA 、PB 是圆C ：x 2＋y 2－2y ＝0的两条切线，A 、B 是切点，若四边形PACB 的最小面积是2，则k 的值为( )A. 2B.212C ．2 2D ．2 解析：圆C 的标准方程为x 2＋(y －1)2＝1，圆心C (0,1)，半径为1，∴|PC |2＝|PA |2＋1.又S 四边形PACB ＝2×12×|PA |×1＝|PA |，∴当|PA |最小时，面积最小，而此时|PC |最小． 又|PC |最小为C 到直线kx ＋y ＋4＝0的距离d ＝5k 2＋1，∴面积最小为2时，有22＝⎝ ⎛⎭⎪⎫5k 2＋12－1，解得k ＝2(k ＞0). 答案：D6．(2013·湛江调研)设O 为坐标原点，C 为圆(x －2)2＋y 2＝3的圆心，且圆上的一点M (x ，y )满足O M →·C M →＝0，则y x等于( )A.33B.33或－33C. 3D.3或－ 3解析：∵O M →·C M →＝0，∴OM ⊥CM ，∴OM 是圆的切线． 设OM 的方程为y ＝kx ， 由|2k |k 2＋1＝3，得k ＝±3，即yx ＝± 3.答案：D 二、填空题7．过点P (3,4)作圆x 2＋y 2＝1的两条切线，切点分别为A 、B ，则线段AB 的长为__________．解析：如图所示，|OP |＝32＋42＝5，|OB |＝1，则|PB |＝52－12＝26，从而|BC |＝|OB |·|PB ||OP |＝265，|AB |＝2|BC |＝465.答案：4658．已知AC 、BD 为圆O ：x 2＋y 2＝4的两条相互垂直的弦，垂足为M (1，2)，则四边形ABCD 的面积的最大值为__________．解析：设圆心O 到AC 、BD 的距离为d 1、d 2，垂足分别为E 、F ，则四边形OEMF 为矩形，则有d 21＋d 22＝3.由平面几何知识知|AC |＝24－d 21，|BD |＝24－d 22， ∴S 四边形ABCD ＝12|AC |·|BD |＝24－d 21·4－d 22 ≤(4－d 21)＋(4－d 22) ＝8－(d 21＋d 22) ＝5，即四边形ABCD 的面积的最大值为5. 答案：59．(2013·安徽联考)若直线2ax －by ＋2＝0(a ＞0，b ＞0)被圆x 2＋y 2＋2x －4y ＋1＝0截得的弦长为4，则ab 的最大值是__________．解析：圆x 2＋y 2＋2x －4y ＋1＝0的圆心为(－1,2)，半径r ＝2， 若直线截得的弦长为4，则圆心在直线上， 所以－2a －2b ＋2＝0，即a ＋b ＝1. 所以ab ≤⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22＝14，当且仅当a ＝b ＝12时取等号．故(ab )max ＝14.答案：14三、解答题10．在平面直角坐标系xOy 中，曲线y ＝x 2－6x ＋1与坐标轴的交点都在圆C 上． (1)求圆C 的方程；(2)若圆C 与直线x －y ＋a ＝0交于A ，B 两点，且OA ⊥OB ，求a 的值．解析：(1)曲线y ＝x 2－6x ＋1与y 轴的交点为(0,1)，与x 轴的交点为(3＋22，0)，(3－22，0)．故可设C 的圆心为(3，t )，则有32＋(t －1)2＝(22)2＋t 2，解得t ＝1.则圆C 的半径为32＋t －12＝3.所以圆C 的方程为(x －3)2＋(y －1)2＝9.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，其坐标满足方程组：⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋a ＝0，x －32＋y －12＝9.消去y ，得到方程2x 2＋(2a －8)x ＋a 2－2a ＋1＝0. 由已知可得，判别式Δ＝56－16a －4a 2＞0. 因此x 1,2＝8－2a ±56－16a －4a 24，从而x 1＋x 2＝4－a ，x 1x 2＝a 2－2a ＋12.①由于OA ⊥OB ，可得x 1x 2＋y 1y 2＝0. 又y 1＝x 1＋a ，y 2＝x 2＋a ， 所以2x 1x 2＋a (x 1＋x 2)＋a 2＝0.②由①，②得a ＝－1，满足Δ＞0，故a ＝－1.11．(2013·苏北三市联考)已知平面区域⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，x ＋2y －4≤0恰好被面积最小的圆C ：(x －a )2＋(y －b )2＝r 2及其内部所覆盖．(1)试求圆C 的方程；(2)若斜率为1的直线l 与圆C 交于不同两点A 、B ，满足CA ⊥CB ，求直线l 的方程． 解析：(1)由题意知此平面区域表示的是以O (0,0)，P (4,0)，Q (0,2)构成的三角形及其内部，且△OPQ 是直角三角形，所以覆盖它的且面积最小的圆是其外接圆，故圆心是(2,1)，半径是5，所以圆C 的方程是(x －2)2＋(y －1)2＝5. (2)设直线l 的方程是y ＝x ＋b ， 因为CA ⊥CB ，所以圆C 到直线l 的距离是102， 即|2－1＋b |12＋12＝102，解得b ＝－1± 5. 所以直线l 的方程为y ＝x －1± 5.12．(2013·揭阳调研)已知点M (3,1)，直线ax －y ＋4＝0及圆(x －1)2＋(y －2)2＝4. (1)求过M 点的圆的切线方程；(2)若直线ax －y ＋4＝0与圆相切，求a 的值；(3)若直线ax －y ＋4＝0与圆相交于A 、B 两点，且弦AB 的长为23，求a 的值． 解析：(1)圆心C (1,2)，半径为r ＝2， 当直线的斜率不存在时，方程为x ＝3.由圆心C (1,2)到直线x ＝3的距离d ＝3－1＝2＝r 知， 此时，直线与圆相切．当直线的斜率存在时，设方程为y －1＝k (x －3)， 即kx －y ＋1－3k ＝0.由题意知|k －2＋1－3k |k 2＋1＝2，解得k ＝34.∴方程为y －1＝34(x －3)，即3x －4y －5＝0.故过M 点的圆的切线方程为x ＝3或3x －4y －5＝0. (2)由题意有|a －2＋4|a 2＋1＝2，解得a ＝0或a ＝43.(3)∵圆心到直线ax －y ＋4＝0的距离为|a ＋2|a 2＋1，∴⎝⎛⎭⎪⎫|a ＋2|a 2＋12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2322＝4，解得a ＝－34.。
高三数学一轮复习 (教材回扣+考点分类+课堂内外+限时训练)专讲专练 2.3 函数的单调性与最值课件
________________；
10 (2)存在x0∈I，使得□
________________. 结论 M为最大值
________________. M为最小值
1 f(x1)＜f(x2) 答案： □ 下降的
2 f(x1)＞f(x2) □ 3 上升的 □ 4 □
5 增函数 □ 6 减函数 □ 7 f(x)≤M □ 8 f(x0)＝M □
u＝g(x) 增函数 增函数 减函数 减函数
y＝f(u) 增函数 减函数 增函数 减函数
y＝f(g(x)) 增函数 减函数 减函数 增函数
规律：“同增异减”．
2．函数的最值
前提 设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足 (1)对于任意x∈I，都有 条件
7 ________________； □ 8 (2)存在x0∈I，使得□ 9 (1)对于任意x∈I，都有□
答案：2 2
02考点分类 案例剖析
研习考点,触类旁通
考点一
判断函数的单调性
[例1]
x 试讨论函数f(x)＝ 2 的单调性． x ＋1
第二章 函数与基本初等函数Ⅰ
§2.3
函数的单调性与最值
01教材回扣
02考点分类
03课堂内外
双基限时练
[高考调研
考纲解读
明确考向]
考情分析
•利用函数的单调性求单调区间、比较大小、 •理解函数的单调 性、最大值、最小 值及其几何意义． •会运用函数的图像 理解和研究函数的 性质. 解不等式、求变量的取值是历年高考考查的 热点． •利用函数的单调性求最值，及利用它们求参 数取值范围问题是重点，也是难点． •题型以选择题和填空题为主，与导数交汇命 题则会以解答题的形式出现.
高三数学一轮复习 (教材回扣+考点分类+课堂内外+限时
2014届高三数学一轮复习专讲专练（教材回扣+考点分类+课堂内外+限时训练）：9.5 椭 圆一、选择题1．(2013·浙江台州调研)已知点M (3，0)，椭圆x 24＋y 2＝1与直线y ＝k (x ＋3)交于点A 、B ，则△ABM 的周长为( )A ．4B ．8C ．12D ．16解析：直线y ＝k (x ＋3)过定点N (－3，0)，而M 、N 恰为椭圆x 24＋y 2＝1的两个焦点，由椭圆定义知△ABM 的周长为4a ＝4×2＝8.答案：B2．(2013·滨州月考)若以椭圆上一点和两个焦点为顶点的三角形面积的最大值为1，则椭圆长轴的最小值为( )A ．1 B. 2 C ．2 D ．2 2解析：设椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)，则使三角形面积最大时，三角形在椭圆上的顶点为椭圆短轴端点，∴S ＝12×2c ×b ＝bc ＝1≤b 2＋c 22＝a 22.∴a 2≥2.∴a ≥ 2.∴长轴长2a ≥22，故选D. 答案：D3．(2013·温州质检)设椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为e ，右焦点F (c,0)，方程ax 2＋bx －c ＝0的两个实数根分别为x 1，x 2，则点P (x 1，x 2)( )A ．必在圆x 2＋y 2＝1外 B ．必在圆x 2＋y 2＝1上 C ．必在圆x 2＋y 2＝1内D ．与x 2＋y 2＝1的位置关系与e 有关解析：由于x 21＋x 22＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2＝b 2a 2－2·－c a ＝b 2＋2ac a 2＝a 2－c 2＋2aca 2＝1＋c 2a －ca 2， ∵c ＞0,2a －c ＞0，故上式大于1，即x 21＋x 22＞1. ∴P (x 1，x 2)必在圆x 2＋y 2＝1外．答案：A4．(2013·沈阳二中质检)过椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左顶点A 的斜率为k 的直线交椭圆C 于另一个点B ，且点B 在x 轴上的射影恰好为右焦点F ，若13＜k ＜12，则椭圆离心率的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫14，94B.⎝ ⎛⎭⎪⎫23，1C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，23 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 解析：点B 的横坐标是c ，故B 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫c ，±b 2a ，已知 k ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫13，12，∴B ⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，b 2a .斜率k ＝b 2ac ＋a ＝b 2ac ＋a 2＝a 2－c 2ac ＋a 2＝1－e 2e ＋1.由13＜k ＜12，解得12＜e ＜23. 答案：C5．(2012·山东)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为32.双曲线x 2－y 2＝1的渐近线与椭圆C 有四个交点，以这四个交点为顶点的四边形的面积为16，则椭圆C 的方程为( )A.x 28＋y 22＝1B.x 212＋y 26＝1C.x 216＋y 24＝1 D.x 220＋y 25＝1 解析：由题可知双曲线的渐近线为y ＝±x ，它与椭圆的四个交点是对称的，以这四个交点为顶点的四边形是正方形，其面积为16，可知点(2,2)在椭圆上，即满足4a 2＋4b2＝1，又因为e ＝c a ＝32，故而b 2＝5，a 2＝20，因此答案选D. 答案：D6．(2012·课标全国)设F 1，F 2是椭圆E ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，P 为直线x ＝3a2上一点，△F 2PF 1是底角为30°的等腰三角形，则E 的离心率为( )A.12B.23C.34D.45解析：根据题意知|PF 2|＝|F 1F 2|＝2c ，直线PF 2的倾斜角是60°，所以32a －c ＝c ⇒e ＝34，所以选C.答案：C 二、填空题7．(2012·江西)椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左、右顶点分别是A ，B ，左、右焦点分别是F 1，F 2.若|AF 1|，|F 1F 2|，|F 1B |成等比数列，则此椭圆的离心率为__________．解析：依题意得|F 1F 2|2＝|AF 1||BF 1|，即4c 2＝(a －c )(a ＋c )＝a 2－c 2，整理得5c 2＝a 2，所以e ＝c a ＝55. 答案：558．(2012·四川)椭圆x 24＋y 23＝1的左焦点为F ，直线x ＝m 与椭圆相交于A 、B .当△FAB的周长最大时，△FAB 的面积是__________．解析：如图，当直线过右焦点时周长最大(不过焦点时，可用斜边大于直角边排除)，F (－1,0)，则由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，x 24＋y23＝1，得y ＝±32，∴S ＝32×2＝3.答案：39．(2013·韶关调研)已知F 1(－1,0)，F 2(1,0)为椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1的两个焦点，若椭圆上一点P 满足|PF 1→|＋|PF 2→|＝4，则椭圆的离心率e ＝________.解析：由题意2a ＝4，∴a ＝2，又∵c ＝1，∴e ＝12.答案：12三、解答题10．(2012·安徽)如图，点F 1(－c,0)，F 2(c,0)分别是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，经过F 1作x 轴的垂线交椭圆C 的上半部分于点P ，过点F 2作直线PF 2的垂线交直线x ＝a 2c于点Q .(1)如果点Q 的坐标是(4,4)，求此时椭圆C 的方程； (2)证明：直线PQ 与椭圆C 只有一个交点．解析：(1)点P (－c ，y 1)(y 1＞0)代入x 2a 2＋y 2b 2＝1得：y 1＝b 2a ，PF 2⊥QF 2⇔b 2a －0－c －c ×4－04－c ＝－1 ①又a 2c＝4 ② c 2＝a 2－b 2(a ，b ，c ＞0) ③由①②③得：a ＝2，c ＝1，b ＝3， 即椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1.(2)直线PQ 的方程为y －2a b 2a －2a ＝x －a 2c －c －a 2c，即y ＝ca x ＋a .将上式代入椭圆方程得，x 2＋2cx ＋c 2＝0，解得x ＝－c ，y ＝b 2a.所以直线PQ 与椭圆C 只有一个交点．11．设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)过点(0,4)，离心率为35.(1)求C 的方程；(2)求过点(3,0)且斜率为45的直线被C 所截线段的中点坐标．解析：(1)将(0,4)代入C 的方程得16b2＝1，∴b ＝4.又由e ＝c a ＝35，得a 2－b 2a 2＝925，即1－16a 2＝925，∴a ＝5，∴C 的方程为x 225＋y 216＝1.(2)过点(3,0)且斜率为45的直线方程为y ＝45(x －3)．设直线与C 的交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 将直线方程y ＝45(x －3)代入C 的方程，得x 225＋x －3225＝1，即x 2－3x －8＝0，解得x 1＝3－412，x 2＝3＋412.设线段AB 的中点坐标为(x ′，y ′)，则x ′＝x 1＋x 22＝32，y ′＝y 1＋y 22＝25(x 1＋x 2－6)＝－65，即中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，－65.12．(2013·大连模拟)设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点为F ，过F 的直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，直线l 的倾斜角为60°，AF →＝2FB →.(1)求椭圆C 的离心率；(2)如果|AB |＝154，求椭圆C 的方程．解析：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由题意知y 1＜0，y 2＞0. (1)直线l 的方程为y ＝3(x －c )，其中c ＝a 2－b 2.联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3x －c ，x 2a 2＋y 2b2＝1，得(3a 2＋b 2)y 2＋23b 2cy －3b 4＝0.解得y 1＝－3b 2c ＋2a 3a 2＋b 2，y 2＝－3b 2c －2a 3a 2＋b2. 因为AF →＝2FB →，所以－y 1＝2y 2.3b 2c ＋2a 3a 2＋b 2＝2·－3b 2c －2a 3a 2＋b2. ∴得离心率e ＝c a ＝23.(2)因为|AB |＝1＋13|y 2－y 1|， 所以23·43ab 23a 2＋b2＝154.由c a ＝23，得b ＝53a ，所以a ＝3，b ＝ 5. 椭圆C 的方程为x 29＋y 25＝1.。
高三数学一轮复习 (教材回扣+考点分类+课堂内外+限时
2014届高三数学一轮复习专讲专练（教材回扣+考点分类+课堂内外+限时训练）：4.5 两角和与差的正弦、余弦、正切公式一、选择题 1．已知cos2θ＝23，则sin 4θ＋cos 4θ的值为( ) A.1318 B.1118 C.79D ．－1 解析：∵cos2θ＝23，∴sin 22θ＝79，∴sin 4θ＋cos 4θ＝1－2si n 2θcos 2θ＝1－12(sin2θ)2＝1118.答案：B2．若α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，且sin 2α＋cos2α＝14，则tan α的值等于( )A.22B.33C. 2D. 3解析：因为sin 2α＋cos2α＝sin 2α＋1－2sin 2α＝1－sin 2α＝cos 2α，∴cos 2α＝14，sin 2α＝1－cos 2α＝34，∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，∴cos α＝12，sin α＝32，tan α＝sin αcos α＝ 3.答案：D3．已知α＋β＝π4，则(1＋tan α)(1＋tan β)的值是( )A ．－1B ．1C ．2D ．4解析：∵α＋β＝π4，tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝1，∴tan α＋tan β＝1－tan αtan β.∴(1＋tan α)(1＋tan β)＝1＋tan α＋tan β＋tan αtan β ＝1＋1－tan αtan β＋tan αtan β＝2. 答案：C4．若sin ⎝⎛⎭⎪⎫α－π4cos2α＝－2，则sin α＋cos α的值为( )A ．－72 B ．－12C.12D.72解析：∵22(sin α－cos α)＝－2(cos 2α－sin 2α)， ∴sin α＋cos α＝12.答案：C5．已知tan α＝14，tan(α－β)＝13，则tan β＝( )A.711B ．－117C ．－113D.113解析：tan β＝tan[α－(α－β)]＝tan α－tan α－β1＋tan αtan α－β＝14－131＋112＝－113.答案：C 6.sin －250°cos70°cos 2155°－sin 225°的值为( ) A ．－32B ．－12C.12 D.32 解析：－sin 270°－20°cos 90°－20°cos 225°－sin 225°＝cos20°sin20°cos50°＝sin40°2cos50°＝sin 90°－50°2cos50°＝12.答案：C 二、填空题7．已知sin α＝12＋cos α，且α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，则cos2αsin ⎝⎛⎭⎪⎫α－π4的值为__________． 解析：依题意得sin α－cos α＝12，又(sin α＋cos α)2＋(sin α－cos α)2＝2，即(sin α＋cos α)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝2，故(sin α＋c os α)2＝74；又α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，因此有sin α＋cos α＝72，所以cos2αsin ⎝⎛⎭⎪⎫α－π4＝cos 2α－sin 2α22sin α－cos α＝－2(sin α＋cos α)＝－142.答案：－1428．已知tan ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝2，则tan x tan2x 的值为__________．解析：因为tan ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝2，所以tan x ＝13，tan2x ＝2×131－19＝2389＝34，即tan x tan2x ＝49.答案：499．已知角α，β的顶点在坐标原点，始边与x 轴的正半轴重合，α，β∈(0，π)，角β的终边与单位圆交点的横坐标是－513，角α＋β的终边与单位圆交点的纵坐标是35，则cos α＝__________.解析：由题意知，cos β＝－513，sin(α＋β)＝35， 又∵α，β∈(0，π)，∴sin β＝1213，cos(α＋β)＝－45.∴cos α＝cos[(α＋β)－β]＝cos(α＋β)cos β＋sin(α＋β)sin β ＝－45×⎝ ⎛⎭⎪⎫－513＋1213×35＝2065＋3665＝5665. 答案：5665三、解答题10．已知－π2＜x ＜0，sin x ＋cos x ＝15.(1)求sin x －cos x 的值；(2)求3sin 2x 2－2sin x 2cos x2＋cos 2x2tan x ＋1tan x的值．解析：(1)由sin x ＋cos x ＝15两边平方得1＋2sin x cos x ＝125，所以2sin x cos x ＝－2425.∴(sin x －cos x )2＝1－2sin x cos x ＝4925.又∵－π2＜x ＜0，∴sin x ＜0，cos x ＞0，∴sin x －cos x ＜0.故sin x －cos x ＝－75.(2)3sin 2x 2－2sin x 2cos x2＋cos 2x2tan x ＋1tan x ＝2sin 2x2－sin x ＋1sin x cos x ＋cos xsin x ＝sin x ·cos x (2－cos x －sin x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－1225×⎝ ⎛⎭⎪⎫2－15＝－108125.11．(2012·广东)已知函数f (x )＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6(其中ω＞0，x ∈R )的最小正周期为10π.(1)求ω的值；(2)设α，β∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5α＋53π＝－65，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5β－56π＝1617，求cos(α＋β)的值．解析：(1)∵T ＝10π＝2πω，∴ω＝15.(2)由(1)得f (x )＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫15x ＋π6，∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5α＋5π3＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π2＝－2sin α＝－65.∴sin α＝35，cos α＝45.∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5β－5π6＝2cos β＝1617， ∴cos β＝817，sin β＝1517.∴cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β ＝45×817－35×1517＝－1385. 12．(2013·福建六校月考)如图，设A 是单位圆和x 轴正半轴的交点，P ，Q 是单位圆上的两点，O 是坐标原点，∠AOP ＝π6，∠AOQ ＝α，α∈[0，π)．(1)若Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫35，45，求cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6的值； (2)设函数f (α)＝OP →·OQ →，求f (α)的值域． 解析：(1)由已知可得cos α＝35，sin α＝45，∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＝cos αcos π6＋sin αsin π6＝35×32＋45×12＝33＋410. (2)f (α)＝OP →·OQ →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π6，sin π6·(cos α，sin α)＝32cos α＋12sin α＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π3.∵α∈[0，π)，∴α＋π3∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫π3，4π3.∴－32＜sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π3≤1，∴f (α)的值域为⎝ ⎛⎦⎥⎤－32，1.。
高三数学一轮复习 (教材回扣+考点分类+课堂内外+限时
2014届高三数学一轮复习专讲专练（教材回扣+考点分类+课堂内外+限时训练）：8.7 立体几何中的向量方法一、选择题1．长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝AA 1＝2，AD ＝1，E 为CC 1的中点，则异面直线BC 1与AE 所成角的余弦值为( )A.1010 B.3010 C.21510 D.31010解析：建立空间直角坐标系如图．则A (1,0,0)，E (0,2,1)，B (1,2,0)，C 1(0,2,2)． BC 1→＝(－1,0,2)，AE →＝(－1,2,1)，cos 〈BC 1→，AE →〉＝BC 1→·AE→|BC 1→|·|AE →|＝3010. 所以异面直线BC 1与AE 所成角的余弦值为3010. 答案：B2．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，若E 为A 1C 1中点，则直线CE 垂直于( ) A ．AC B ．BD C ．A 1DD ．A 1A 解析：以A 为原点，AB 、AD 、AA 1所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，设正方体棱长为1，则A (0,0,0)，C (1,1,0)，B (1,0,0)，D (0,1,0)，A 1(0,0,1)，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，1，∴CE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－12，1，AC →＝(1,1,0)，BD →＝(－1,1,0)，A 1D →＝(0,1，－1)，A 1A →＝(0,0，－1)．显然CE →·BD →＝12－12＋0＝0，∴CE →⊥BD →，即CE ⊥BD . 答案：B3．在90°的二面角的棱上有A 、B 两点，AC 、BD 分别在这个二面角的两个面内，且都垂直于棱AB ，已知AB ＝5，AC ＝3，CD ＝52，则BD ＝( )A ．4B ．5C ．6D ．7解析：由条件知AC ⊥AB ，BD ⊥AB ，AC ⊥BD ， 又CD →＝CA →＋AB →＋BD →，∴CD →2＝(CA →＋AB →＋BD →)2＝|CA →|2＋|AB →|2＋|BD →|2＝32＋52＋|BD →|2＝(52)2， ∴|BD →|2＝16，∴BD ＝4. 答案：A4．若直线l 的方向向量与平面α的法向量的夹角等于120°，则直线l 与平面α所成的角等于( )A ．120°B ．60°C ．30°D ．以上均错解析：设l 与α所成角为θ，则sin θ＝|cos120°|＝12.又0°≤θ≤90°，∴θ＝30°. 答案：C5．已知长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝BC ＝4，CC 1＝2，则直线BC 1和平面DBB 1D 1所成角的正弦值为( )A.32B.52C.105D.1010解析：如图建立空间直角坐标系， 则B (4,0,0)，C (4,4,0)，C 1(4,4,2)， 显然AC ⊥平面BB 1D 1D ， ∴AC →＝(4,4,0)为平面BB 1D 1D 的一个法向量． 又BC 1→＝(0,4,2)，∴cos 〈BC 1→，AC →〉＝BC 1→·AC→|BC 1→||AC →|＝1616＋4·16＋16＝105. 即BC 1与平面BB 1D 1D 所成角的正弦值为105. 答案：C6．(2013·德州调研)二面角的棱上有A 、B 两点，直线AC 、BD 分别在这个二面角的两个平面内，且都垂直于AB .已知AB ＝4，AC ＝6，BD ＝8，CD ＝217，则该二面角的大小为( )A ．150°B ．45°C ．60°D ．120°解析：由题意知AC →与BD →所成角即为该二面角的平面角． ∵CD →＝CA →＋AB →＋BD →，∴CD →2＝CA →2＋AB →2＋BD →2＋2CA →·AB →＋2AB →·BD →＋2CA →·BD →.∴(217)2＝62＋42＋82＋2|CA →||BD →|cos 〈CA →，BD →〉＝116＋2×6×8cos〈CA →，BD →〉，∴cos 〈CA →，BD →〉＝－12，∴〈CA →，BD →〉＝120°，∴〈AC →，BD →〉＝60°，∴该二面角的大小为60°.答案：C 二、填空题7．(2013·潍坊考试)如图，平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1，若ABCD 是边长为2的正方形，AA 1＝1，∠A 1AD ＝∠A 1AB ＝60°，则BD 1的长为__________．解析：∵BD 1→＝BA →＋BC →＋BB 1→，∴〈BD 1→〉2＝(BA →＋BC →＋BB 1→)2＝9，故BD 1＝3. 答案：38．(2013·怀化模拟)如图，在直三棱柱中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ＝1，侧棱AA 1＝2，M 为A 1B 1的中点，则AM 与平面AA 1C 1C 所成角的正切值为________．解析：以C 1为原点，C 1A 1，C 1B 1，C 1C 所在直线分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，则平面AA 1C 1C 的法向量为n ＝(0,1,0)，AM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，0－(1,0，2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，12，－2，则直线AM 与平面AA 1C 1C 所成角θ的正弦值为sin θ＝|cos 〈AM →，n 〉|＝|AM →·n ||AM →||n |＝110，∴tan θ＝13.答案：139．(2013·东城练习)如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F ，G ，H ，M 分别是棱AD ，DD 1，D 1A 1，A 1A ，AB 的中点，点N 在四边形EFGH 的四边及其内部运动，则当N 只需满足条件__________时，就有MN ⊥A 1C1；当N 只需满足条件__________时，就有MN ∥平面B 1D 1C .解析：以D 为坐标原点，DA ，DC ，DD 1所在直线分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，则M ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12，0，N (x,0，z )，A 1C 1→＝(－1,1,0)，因此MN →·A 1C 1→＝⎝⎛⎭⎪⎫x －1，－12，z ·(－1,1,0)＝1－x －12＝0，即x ＝12，故点N 在EG 上，就有MN ⊥A 1C 1.设平面B 1D 1C 的一个法向量为n ＝(－1,1,1)，若MN ∥平面B 1D 1C ，则MN →·n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1，－12，z ·(－1,1,1)＝1－x －12＋z ＝0即x －z －12＝0，故点N 在EH 上，就有MN ∥平面B 1D 1C .答案：点N 在EG 上 点N 在EH 上 三、解答题10．(2012·天津)如图，在四棱锥P －ABCD 中，AP ⊥平面ABCD ，AC ⊥AD ，AB ⊥BC ，∠BAC ＝45°，PA ＝AD ＝2，AC ＝1.(1)证明PC ⊥AD ；(2)求二面角A －PC －D 的正弦值；(3)设E 为棱PA 上的点，满足异面直线BE 与CD 所成的角为30°，求AE 的长． 解析：方法一：如图，以点A 为原点建立空间直角坐标系，依题意得A (0,0,0)，D (2,0,0)，C (0,1,0)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，12，0，P (0,0,2)．(1)易得PC →＝(0,1，－2)，AD →＝(2,0,0)， 于是PC →·AD →＝0，所以PC ⊥AD .(2)PC →＝(0,1，－2)，CD →＝(2，－1,0)． 设平面PCD 的法向量n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·PC →＝0，n ·CD →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧y －2z ＝0，2x －y ＝0.不妨令z ＝1，可得n ＝(1,2,1)． 可取平面PAC 的法向量m ＝(1,0,0)．于是c os 〈m ，n 〉＝m·n |m |·|n |＝16＝66，从而sin 〈m ，n 〉＝306. 所以二面角A －PC －D 的正弦值为306. (3)设点E 的坐标为(0,0，h )，其中h ∈[0,2]． 由此得BE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－12，h .由CD →＝(2，－1,0)，故cos 〈BE →，CD →〉＝BE →·CD→|BE →|·|CD →|＝3212＋h 2×5＝310＋20h2，所以，310＋20h2＝cos30°＝32， 解得h ＝1010，即AE ＝1010. 方法二：(1)由PA ⊥平面ABCD ，可得PA ⊥AD ， 又由AD ⊥AC ，PA ∩AC ＝A ，故AD ⊥平面PAC ， 又PC ⊂平面PAC ，所以PC ⊥AD . (2)如图，作AH ⊥PC 于点H ，连接DH.由PC ⊥AD ，PC ⊥AH ，可得PC ⊥平面ADH .因此DH ⊥PC ，从而∠AHD 为二面角A －PC －D 的平面角． 在Rt △PAC 中，PA ＝2，AC ＝1，由此得AH ＝25.由(1)知AD ⊥AH .故在Rt △DAH 中，DH ＝AD 2＋AH 2＝2305.因此sin ∠AHD ＝AD DH ＝306. 所以二面角A －PC －D 的正弦值为306.(3)如图，因为∠ADC ＜45°，故过点B 作CD 的平行线必与线段AD 相交，设交点为F ，连接BE ，EF .故∠EBF 或其补角为异面直线BE 与CD 所成的角．由于BF ∥CD ，故∠AFB ＝∠ADC ，在Rt △DAC 中，CD ＝5，sin ∠ADC ＝15，故sin ∠AFB ＝15.在△AFB 中，由BF sin ∠FAB ＝AB sin ∠AFB ，AB ＝12，sin ∠FAB ＝sin135°＝22，可得BF ＝52. 由余弦定理，BF 2＝AB 2＋AF 2－2AB ·AF ·cos∠FAB ，可得AF ＝12.设AE ＝h .在Rt △EAF 中，EF ＝AE 2＋AF 2＝ h 2＋14. 在Rt △BAE 中，BE ＝AE 2＋AB 2＝h 2＋12.在△EBF 中，因为EF ＜BE ，从而∠EBF ＝30°，由余弦定理得cos30°＝BE 2＋BF 2－EF 22BE ·BF.可解得h ＝1010.所以AE ＝1010. 11．(2012·湖北)如图1，∠ACB ＝45°，BC ＝3，过动点A 作AD ⊥BC ，垂足D 在线段BC 上且异于点B ，连接AB ，沿AD 将△ABD 折起，使∠BDC ＝90°(如图2所示)．(1)当BD 的长为多少时，三棱锥A －BCD 的体积最大；(2)当三棱锥A －BCD 的体积最大时，设点E ，M 分别为棱BC ，AC 的中点，试在棱CD 上确定一点N ，使得EN ⊥BM ，并求EN 与平面BMN 所成角的大小．图1图2解析：(1)方法一：在如图1所示△ABC 中，设BD ＝x (0＜x ＜3)，则CD ＝3－x . 由AD ⊥BC ，∠ACB ＝45°知，△ADC 为等腰直角三角形，所以AD ＝CD ＝3－x . 由折起前AD ⊥BC 知，折起后(如图2)，AD ⊥DC ，AD ⊥BD ，且BD ∩DC ＝D ， 所以AD ⊥平面BCD . 又∠BDC ＝90°，所以S △BCD ＝12BD ·CD ＝12x ·(3－x )．于是V A －BCD ＝13AD ·S △BCD ＝13(3－x )·12x (3－x )＝112·2x (3－x )(3－x )≤112⎣⎢⎡⎦⎥⎤2x ＋－x ＋－x 33＝23，当且仅当2x ＝3－x ，即x ＝1时，等号成立，故当x ＝1，即BD ＝1时，三棱锥A －BCD 的体积最大．方法二：同解法1，得V A －BCD ＝13AD ·S △BCD＝13(3－x )·12x (3－x ) ＝16(x 3－6x 2＋9x )． 令f (x )＝16(x 3－6x 2＋9x )，由f ′(x )＝12(x －1)(x －3)＝0，且0＜x ＜3，解得x ＝1.当x ∈(0,1)时，f ′(x )＞0；当x ∈(1,3)时，f ′(x )＜0. 所以当x ＝1时，f (x )取得最大值． 故当BD ＝1时，三棱锥A －BCD 的体积最大．(2)方法一：以D 为原点，建立如图a 所示的空间直角坐标系D －xyz . 由(1)知，当三棱锥A －BCD 的体积最大时，BD ＝1，A D ＝CD ＝2.于是可得D (0,0,0)，B (1,0,0)，C (0,2,0)，A (0,0,2)，M (0,1,1)，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，0，且BM →＝(－1,1,1)．设N (0，λ，0)，则EN →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，λ－1，0. 因为EN ⊥BN 等价于EN →·BM →＝0，即⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，λ－1，0·(－1,1,1)＝12＋λ－1＝0，故λ＝12，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，0.所以当DN ＝12(即N 是CD 的靠近点D 的一个四等分点)时，EN ⊥BM .设平面BMN 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )，由⎩⎪⎨⎪⎧n ⊥BN →，n ⊥BM →，及BN →＝⎝⎛⎭⎪⎫－1，12，0，得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ，z ＝－x ，可取n ＝(1,2，－1)．设EN 与平面BMN 所成角的大小为θ，则由EN →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－12，0，n ＝(1,2，－1)，可得sin θ＝cos(90°－θ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪n ·EN →|n |·|EN →|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪－12－16×22＝32，即θ＝60°.故EN 与平面BMN 所成角的大小为60°.图a图b图c图d方法二：由(1)知，当三棱锥A －BCD 的体积最大时，BD ＝1，AD ＝CD ＝2. 如图b ，取CD 的中点F ，连结MF ，BF ，EF ，则MF ∥AD . 由(1)知AD ⊥平面BCD ，所以MF ⊥平面BCD .如图c ，延长FE 至P 点使得FP ＝DB ，连BP ，DP ，则四边形DBPF 为正方形，所以DP ⊥BF .取DF 的中点N ，连结EN ，又E 为FP 的中点，则EN ∥DP ，所以EN ⊥BF .因为MF ⊥平面BCD ，又EN ⊂面BCD ，所以MF ⊥EN . 又MF ∩BF ＝F ，所以EN ⊥面BMF . 又BM ⊂面BMF ，所以EN ⊥BM .因为EN ⊥BM 当且仅当EN ⊥BF ，而点F 是唯一的，所以点N 是唯一的． 即当DN ＝12(即N 是CD 的靠近点D 的一个四等分点)，EN ⊥BM .连接MN ，ME ，由计算得NB ＝NM ＝EB ＝EM ＝52，所以△NMB 与△EMB 是两个共底边的全等的等腰三角形，如图d 所示，取BM 的中点G ，连接EG ，NG ，则BM ⊥平面EGN .在平面ENG 中，过点E 作EH ⊥GN 于H ，则EH ⊥平面BMN ，故∠ENH 是EN 与平面BMN 所成的角．在△EGN 中，易得EG ＝GN ＝NE ＝22，所以△EGN 是正三角形，故∠ENH ＝60°，即EN 与平面BMN 所成的角的大小为60°.12．(2012·福建)如图，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝AD ＝1，E 为CD 中点．(1)求证：B 1E ⊥AD 1；(2)在棱AA 1上是否存在一点P ，使得DP ∥平面B 1AE ？若存在，求AP 的长；若不存在，说明理由；(3)若二面角A －B 1E －A 1的大小为30°，求AB 的长．解析：(1)以A 为原点，AB →，AD →，AA 1→的方向分别为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系(如图)．设AB ＝a ，则A (0,0,0)，D (0,1,0)，D 1(0,1,1)，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，1，0，B 1(a,0,1)，故AD 1→＝(0,1,1)，B 1E →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2，1，－1，AB 1→＝(a,0,1)，AE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，1，0. ∵AD 1→·B 1E →＝－a2×0＋1×1＋(－1)×1＝0，∴B 1E ⊥AD 1.(2)假设在棱AA 1上存在一点P (0,0，z 0)，使得DP ∥平面B 1AE ，此时DP →＝(0，－1，z 0)． 又设平面B 1AE 的法向量n ＝(x ，y ，z )， ∵n ⊥平面B 1AE ， ∴n ⊥AB 1→，n ⊥AE →，得⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋z ＝0，ax2＋y ＝0.取x ＝1，得平面B 1AE 的一个法向量n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－a2，－a .要使DP ∥平面B 1AE ，只要n ⊥DP →，有a 2－az 0＝0，解得z 0＝12.又DP ⊄平面B 1AE ，∴存在点P ，满足DP ∥平面B 1AE ，此时AP ＝12.(3)连接A 1D ，B 1C ，由长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1及AA 1＝AD ＝1，得AD 1⊥A 1D . ∵B 1C ∥A 1D ，∴AD 1⊥B 1C .又由(1)知B 1E ⊥AD 1，且B 1C ∩B 1E ＝B 1， ∴AD 1⊥平面DCB 1A 1， ∴AD 1→是平面A 1B 1E 的一个法向量，此时AD 1→＝(0,1,1)．设AD 1→与n 所成的角为θ，则cos θ＝n ·AD 1→|n ||AD 1→|＝－a2－a 21＋a 24＋a2.∵二面角A －B 1E －A 1的大小为30°，∴|cosθ|＝cos30°，即3a22 1＋5a24＝32，解得a＝2，即AB的长为2.。
高三数学一轮复习 (教材回扣+考点分类+课堂内外+限时训练)专讲专练 2.7 对数与对数函数课件
第三十页，共54页。
02考点分类 案例剖析研习考 Nhomakorabea,触类旁通
第三十一页，共54页。
考点一 对数式的化简与求值
[例1]
求值：(1)
log89 log23
；(2)(lg5)2＋lg50·lg2；(3)
1 2
lg
32 49
－
4 3
lg 8＋lg 245.
第三十二页，共54页。
第五页，共54页。
01教材回扣 自主学习
必考必记,学教相长
第六页，共54页。
1.对数的概念
知识梳理
(1)对数的定义：
如果ax＝N(a＞0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对
数，记作□1 ____________，其中□2 __________叫做对数的
底数，□3 ________叫做真数．
第七页，共54页。
变式训练2
设a＝log32，b＝ln2，c＝5－
1 2
，则(
)
A．a＜b＜c
B．b＜c＜a
C．c＜a＜b
D．c＜b＜a
第四十二页，共54页。
解析：方法一：a＝log32＝
1 log23
，b＝ln2＝
1 log2e
，而
log23＞log2e＞1，所以a＜b，c＝5
－
1 2
＝
1 ，而 5
5 ＞2＝log24
∴函数y＝logau是关于u的增函数，且对x∈[0,1]时，u＝ 2－ax恒为正数．
其充要条件是a2＞ －1a， ＞0， 即1＜a＜2. ∴a的取值范围是(1,2)．
第四十六页，共54页。
方法点睛 研究函数问题，首先考虑定义域，即定义域 优先的原则．研究复合函数的单调性，一定要注意内层与外 层的单调性问题．复合函数的单调性的法则是“同增异 减”．本题的易错点为：易忽略2－ax＞0在[0,1]上恒成立， 即2－a＞0.实质上是忽略了真数大于0的条件．
高三数学一轮复习 (教材回扣+考点分类+课堂内外+限时
2014届高三数学一轮复习专讲专练（教材回扣+考点分类+课堂内外+限时训练）：8.5 直线、平面垂直的判定及性质一、选择题1．(2013·大连、沈阳联考)设a，b是平面α内两条不同的直线，l是平面α外的一条直线，则“l⊥a，l⊥b”是“l⊥α”的( )A．充要条件B．充分而不必要的条件C．必要而不充分的条件D．既不充分也不必要的条件解析：由判定定理可知l⊥a，l⊥b，推不出l⊥α，但l⊥α，一定能够得到l⊥a，l ⊥b.故选C.答案：C2．(2013·许昌四校联考)下列命题中错误的是( )A．如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面βB．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面βC．如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β＝l，那么l⊥平面γD．如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面β解析：借助正方体很容易判断出A、B、C是正确的，只有D是错误的．答案：D3．(2013·河北百校联考)三棱锥P－ABC的两侧面PAB、PBC都是边长为2a的正三角形，AC＝3a，则二面角A－PB－C的大小为( )A．90°B．30°C．45°D．60°解析：取PB的中点为M，连接AM、CM，则AM⊥PB，CM⊥PB，∴∠AMC为二面角A－PB －C的平面角，易得AM＝CM＝3a，则△AMC为正三角形，∴∠AMC＝60°.答案：D4．(2013·中山联考)设m，n，l表示不同直线，α，β，γ表示三个不同平面，则下列命题正确的是( )A．若m⊥l，n⊥l，则m∥nB．若m⊥β，m∥α，则α⊥βC．若α⊥γ，β⊥γ，则α∥βD．若α∩γ＝m，β∩γ＝n，m∥n，则α∥β解析：借助正方体易知A、C、D都是错误的．对于B，∵m∥α，∴α内一定存在一条直线c∥m，由m⊥β知c⊥β，故α⊥β.答案：B5．(2013·菱湖中学月考)已知E ，F 分别是正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱BC ，CC 1的中点，则截面AEFD 1与底面ABCD 所成二面角的正弦值是( )A.23B.23C.53D.223解析：过点D 作DG ⊥AE 于点G ，由三垂线定理知，D 1G ⊥AE ，∠DGD 1即为所求二面角的平面角，设正方体的棱长是1，易求得DG ＝255，∴D 1G ＝DG 2＋DD 21＝355，∴sin ∠DGD 1＝DD 1D 1G ＝53. 答案：C6．(2012·浙江)已知矩形ABCD ，AB ＝1，BC ＝ 2.将△ABD 沿矩形的对角线BD 所在的直线进行翻折，在翻折过程中，( )A ．存在某个位置，使得直线AC 与直线BD 垂直B ．存在某个位置，使得直线AB 与直线CD 垂直C ．存在某个位置，使得直线AD 与直线BC 垂直D ．对任意位置，三对直线“AC 与BD ”，“AB 与CD ”，“AD 与BC ”均不垂直解析：在矩形ABCD 中，作AE ⊥BD 于E ，连接CE .在翻折过程中，AE ⊥BD ，假设存在某个位置使AC ⊥BD ，则BD ⊥平面AEC ，则BD ⊥CE ，由条件知BD 与CE 不垂直，故A 错；对于C ，若AD ⊥BC ，则AD ⊥平面ABC ，AD ⊥AC ，△ACD 为直角三角形，∠CAD ＝90°，而CD ＜AD ，这种情况是不可能的，故C 错；对于AB ⊥CD ，因为BC ⊥CD ，由线面垂直的判定可得CD ⊥平面ACB ，则有CD ⊥AC ，而AB ＝CD ＝1，BC ＝AD ＝2，可得AC ＝1，那么存在AC 这样的位置，使得AB ⊥CD 成立，故B 正确，D 错误．答案：B 二、填空题7．已知四棱锥P －ABCD 的底面ABCD 是矩形，PA ⊥底面ABCD ，点E 、F 分别是棱PC 、PD 的中点，则①棱AB 与PD 所在的直线垂直； ②平面PBC 与平面ABCD 垂直； ③△PCD 的面积大于△PAB 的面积； ④直线AE 与直线BF 是异面直线．以上结论正确的是______．(写出所有正确结论的编号) 答案：①③8．如图，矩形ABCD 的边AB ＝a ，BC ＝2，PA ⊥平面ABCD ，PA ＝2，现有数据：①a ＝12；②a ＝1；③a ＝3；④a ＝2；⑤a ＝4，当在BC 边上存在点Q ，使PQ ⊥QD 时，a 可以取__________(填上一个你认为正确的数据序号即可)．答案：①(或②)9．如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面ABC，底面是以∠ABC为直角的等腰直角三角形，AC＝2a，BB1＝3a，D是A1C1的中点，点F在线段AA1上，当AF＝__________时，CF⊥平面B1DF.答案：a或2a三、解答题10．(2012·山东)在如图所示的几何体中，四边形ABCD是等腰梯形，AB∥CD，∠DAB ＝60°，FC⊥平面ABCD，AE⊥BD，CB＝CD＝CF.(1)求证：BD⊥平面AED；(2)求二面角F－BD－C的余弦值．解析：(1)因为四边形ABCD是等腰梯形，AB∥CD，∠DAB＝60°所以∠ADC＝∠BCD＝120°.又CB＝CD，所以∠CDB＝30°，因此∠ADB＝90°，AD⊥BD.又AE⊥BD，且AE∩AD＝A，AE，AD⊂平面AED.所以BD⊥平面AED.(2)方法一：由(1)知AD⊥BD，所以AC⊥BC.又FC⊥平面ABCD，因此CA，CB，CF两两垂直．以C为坐标原点，分别以CA，CB，CF所在的直线为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，不妨设CB＝1.则C (0,0,0)，B (0,1,0)，D ⎝⎛⎭⎪⎫32，－12，0，F (0,0,1)，因此BD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，－32，0，BF →＝(0，－1,1)．设平面BDF 的一个法向量为m ＝(x ，y ，z )， 则m ·BD →＝0，m ·BF →＝0，所以x ＝3y ＝3z ， 取z ＝1，则m ＝(3，1,1)．由于CF →＝(0,0,1)是平面BDC 的一个法向量． 则cos 〈m ，CF →〉＝m ·CF →|m ||CF →|＝15＝55，所以，二面角F －BD －C 的余弦值为55. 方法二：取BD 的中点G ，连接CG ，FG ，由于CB ＝CD ，因此，CG ⊥BD . 又FC ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ， 所以FC ⊥BD .由于FC ∩CG ＝C ，FC ，CG ⊂平面FCG ， 所以BD ⊥平面FCG ，故BD ⊥FG ， 所以∠FGC 为二面角F －BD －C 的平面角． 在等腰三角形BCD 中，由于∠BCD ＝120°， 因此CG ＝12CB ，又CB ＝CF ，所以GF ＝CG 2＋CF 2＝5CG ， 故cos ∠FGC ＝55，因此，二面角F－BD－C的余弦值为55.11．(2012·广东)如图所示，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，点E在线段PC上，PC⊥平面BDE.(1)证明：BD⊥平面PAC；(2)若PA＝1，AD＝2，求二面角B－PC－A的正切值．解析：方法一：(1)因为PA⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，∴BD⊥PA，又因为PC⊥平面BDE，BD⊂平面BDE，∴BD⊥PC，而PA∩PC＝P，所以BD⊥平面PAC.(2)由(1)知BD⊥平面PAC，所以BD⊥AC，又四边形ABCD为矩形，所以四边形ABCD是正方形．设AC交BD于O点，连接OE，因为PC⊥平面BDE，所以PC⊥OE，∠BEO是二面角B－PC－A的平面角．∵PA＝1，AD＝2，∴AC＝22，OB＝OC＝2，∴PC＝PA2＋AC2＝3，又OE PA ＝CO PC ＝23，∴OE ＝23. 在Rt △BEO 中，tan ∠BEO ＝BO EO ＝223＝3. 所以二面角B －PC －A 的正切值为3. 方法二： (1)同解法一．(2)建立如图所示的空间直角坐标系．由(1)知BD ⊥平面PAC ，∴BD ⊥AC . ∴四边形ABCD 是正方形．∴P (0,0,1)，B (2,0,0)，C (2,2,0)，D (0,2,0)， ∴BC →＝(0,2,0)，BP →＝(－2,0,1)．设平面BPC 的一个法向量为m ＝(x ，y ，z )． 则⎩⎪⎨⎪⎧m ·BC →＝0，m ·BP →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧2y ＝0，－2x ＋z ＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧y ＝0，z ＝2x ，令x ＝1，则m ＝(1,0,2)．易知平面PAC 的一个法向量为BD →＝(－2,2,0)， ∵cos 〈m ，BD →〉＝－2＋0＋05·22＝－1010，∴sin 〈m ，BD →〉＝31010，∴tan 〈m ，BD →〉＝－3，∴由图易知二面角B－PC－A是锐二面角，故其正切值为3.12．(2012·北京)如图①，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AC＝6.D，E分别是AC，AB上的点，且DE∥BC，DE＝2，将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1C⊥CD，如图②.图①图②(1)求证：A1C⊥平面BCDE；(2)若M是A1D的中点，求CM与平面A1BE所成角的大小；(3)线段BC上是否存在点P，使平面A1DP与平面A1BE垂直？说明理由．解析：(1)因为AC⊥BC，DE∥BC，所以DE⊥AC.所以DE⊥A1D，DE⊥CD.所以DE⊥平面A1DC.所以DE⊥A1C，又因为A1C⊥CD，所以A1C⊥平面BCDE.(2)如图，以C为坐标原点，建立空间直角坐标系C－xyz，设A 1(0,0,23)，D (0,2,0)，M (0,1，3)，B (3,0,0)，E (2,2,0)． 设平面A 1BE 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则n ·A 1B →＝0，n ·BE →＝0， 又A 1B →＝(3,0，－23)，BE →＝(－1,2,0)，所以⎩⎨⎧3x －23z ＝0，－x ＋2y ＝0.令y ＝1，则x ＝2，z ＝ 3.所以n ＝(2,1，3)．设CM 与平面A 1BE 所成的角为θ， 因为CM →＝(0,1，3)，所以sin θ＝|cos 〈n ，CM →〉|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪n ·CM →|n ||CM →|＝48×4＝22. 所以CM 与平面A 1BE 所成角的大小为π4.(3)线段BC 上不存在点P ，使平面A 1DP 与平面A 1BE 垂直，理由如下： 假设这样的点P 存在，设其坐标为(p,0,0)，其中p ∈[0,3]． 设平面A 1DP 的法向量为m ＝(x ，y ，z )，则m ·A 1D →＝0，m ·DP →＝0.又A 1D →＝(0,2，－23)，DP →＝(p ，－2,0)，所以⎩⎨⎧2y －23z ＝0，px －2y ＝0.令x ＝2，则y ＝p ，z ＝p3.所以m ＝⎝⎛⎭⎪⎫2，p ，p 3，平面A 1DP ⊥平面A 1BE ，当且仅当m·n ＝0，即4＋p ＋p ＝0.解得p＝－2，与p∈[0,3]矛盾．所以线段BC上不存在点P，使平面A1DP与平面A1BE垂直．11。
高三数学一轮复习 （教材回扣+考点分类+课堂内外+限时训练）专讲专练 选4-4 参数方程
202X届高三数学一轮复习专讲专练（教材回扣考点分类课堂内
外限时训练）：选4-4 参数方程
1．202X·北京直线错误!t为参数与曲线错误!α为参数的交点个数为__________．解析：将直线化为一般方程为＋－1＝0，曲线转化为一般方程为2＋2＝9，圆心0,0到直线的距离d＝错误!＝错误!＜r＝3，故直线与曲线的交点个数为2
答案：2
2．202X·天津已知抛物线的参数方程为错误!F|点M的横坐标为3，则F|＝|ME|，∴△MEF为正三角形，则|EM|＝2|DF|，即3＋错误!错误!
a，N的极坐标分别为2,0，错误!，圆C的参数方程为错误!θ为参数．
1设N的中点，求直线O，N的平面直角坐标分别为2,0，错误!
又N的中点，从而点，N的平面直角坐标分别为2,0，错误!，
所以直线的平面直角坐标方程为错误!＋3－2错误!＝0
又圆C的圆心坐标为2，－错误!，半径r＝2，
圆心到直线的距离d＝错误!＝错误!＜r，故直线与圆C相交．
12．202X·漳州质检已知直角坐标系O中，直线的参数方程为错误!t为参数，以直角坐标系O中的原点O为极点，轴的非负半轴为极轴，圆C的极坐标方程为ρ2－4ρcoθ＋3＝0
1求的普通方程及C的直角坐标方程；
2P为圆C上的点，求P到的距离的取值范围．
解析：1的普通方程为错误!－＋3错误!＝0，C的直角坐标方程为2＋2－4＋3＝0
2C的标准方程为－22＋2＝1，圆心为C2,0，半径为1，
点C到的距离为d＝错误!＝错误!，
∴P到的距离的取值范围是错误!。
高三数学一轮复习 (教材回扣+考点分类+课堂内外+限时训练)专讲专练 7
又B，C两点的坐标为(0,4)，0，43. 故S△ABC＝12×4－43×1＝43.
答案：C
解析：由图像可知，z＝x＋y在点A处取最小值zmin＝2， 无最大值．
答案：B
解析：作出可行域如图阴影部分所示，由图可知，z＝ 3x－4y经过点A时z有最小值，经过点B时z有最大值．易求 A(3,5)，B(5,3)．
第七章 不等式、推理与证明
§7.3 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题
01教材回扣 02考点分类 03课堂内外 双基限时练
01教材回扣 自主学习
必考必记,学教相长
解析：点(3,1)和(－4,6)在直线3x－2y＋a＝0的两侧，说 明将这两点坐标代入3x－2y＋a后，符号相反，
所以(9－2＋a)(－12－12＋a)＜0，解之得－7＜a＜24.
答案：A
当目标直线经过点A(3,1)时，z有最大值10，故选B. 答案：B
解析：画出x，y满足条件的可行域如图所示，要使目标
函数z＝ax＋y仅在点(3,0)处取得最大值，则直线y＝－ax＋z
的斜率应小于直线x＋2y－3＝0的斜率，即－a＜－
1 2
，∴a＞
1 2.
答案：D
•11、凡为教者必期于达到不须教。对人以诚信，人不欺我;对事以诚信，事无不成。 •12、首先是教师品格的陶冶，行为的教育，然后才是专门知识和技能的训练。 •13、在教师手里操着幼年人的命运，便操着民族和人类的命运。2022/1/182022/1/18January 18, 2022 •14、孩子在快乐的时候，他学习任何东西都比较容易。 •15、纪律是集体的面貌，集体的声音，集体的动作，集体的表情，集体的信念。 •16、一个人所受的教育超过了自己的智力，这样的人才有学问。 •17、好奇是儿童的原始本性，感知会使儿童心灵升华，为其为了探究事物藏下本源。2022年1月2022/1/182022/1/182022/1/181/18/2022 •18、人自身有一种力量，用许多方式按照本人意愿控制和影响这种力量，一旦他这样做，就会影响到对他的教育和对他发生作用的环境。
高三数学一轮复习 (教材回扣+考点分类+课堂内外+限时训练)专讲专练 7.7 数学归纳法课件
方法点睛 用数学归纳法证明等式时，要注意第(1)步中 验证n0的值，如本题要取n0＝2，在第(2)步的证明中应在归 纳假设的基础上推证n＝k＋1等式也成立，但必须用上归纳 假设．
第二十四页，共60页。
变式训练1 用数学归纳法证明下列等式： 2×1 4＋4×1 6＋6×1 8＋…＋2n21n＋2＝4nn＋1. 证明：(1)当n＝1时，等式左边＝2×1 4＝18， 等式右边＝411＋1＝18，∴等式成立．
第二十九页，共60页。
由于3k－1－1是2的倍数，故18(3k－1－1)能被36整除，这 就是说，当n＝k＋1时，f(n)也能被36整除．
由(1)(2)可知对一切正整数n都有f(n)＝(2n＋7)·3n＋9能被 36整除，m的最大值为36.
第三十页，共60页。
方法点睛 证明整除问题的关键是“凑项”，采用增 项、减项、拆项和因式分解等手段，凑出n＝k时的情形，从 而利用归纳假设使问题获证．
[例1] 设f(n)＝1＋12＋13＋…＋1n(n∈N*)． 求证：f(1)＋f(2)＋…＋f(n－1)＝n·[f(n)－1](n≥2，n∈ N*)．
第二十一页，共60页。
证明：当n＝2时，左边＝f(1)＝1. 右边＝2[1＋12－1]＝1，左边＝右边，等式成立． 假设n＝k时，结论成立，即 f(1)＋f(2)＋…＋f(k－1)＝k[f(k)－1]， 那么，当n＝k＋1时， f(1)＋f(2)＋…＋f(k－1)＋f(k)＝k[f(k)－1]＋f(k)
第二十五页，共60页。
(2)假设n＝k时等式成立，
即2×1 4＋4×1 6＋…＋2k21k＋2＝4k＋k 1成立，
那么当n＝k＋1时，
1 2×4
＋
1 4×6
＋
1 6×8
高三数学一轮复习 (教材回扣+考点分类+课堂内外+限时
2014届高三数学一轮复习专讲专练（教材回扣+考点分类+课堂内外+限时训练）：2.2 函数的定义域与值域一、选择题 1．函数f (x )＝3x21－x＋lg(－3x 2＋5x ＋2)的定义域是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，＋∞B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，1C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，13 D.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－13 解析：要使函数有意义，需满足⎩⎪⎨⎪⎧1－x ＞0－3x 2＋5x ＋2＞0⇒－13＜x ＜1，故函数的定义域是⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，1. 答案：B2．函数y ＝16－4x的值域是( ) A ．[0，＋∞) B ．[0,4] C ．[0,4)D ．(0,4)解析：由已知得0≤16－4x＜16,0≤16－4x＜16＝4， 即函数y ＝16－4x的值域是[0,4)． 答案：C 3．若函数f (x )＝x －4mx 2＋4mx ＋3的定义域为R ，则实数m 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，34B.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，34C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，34 D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，34 解析：若m ＝0，则f (x )＝x －43的定义域为R ；若m ≠0，则Δ＝16m 2－12m ＜0，得0＜m＜34，综上可知，所求的实数m 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，34.选D. 答案：D4．已知函数f (x )满足2f (x )－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x＝3x2，则f (x )的值域为( )A ．[2，＋∞)B ．[22，＋∞)C ．[3，＋∞)D ．[4，＋∞)解析：由2f (x )－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝3x2①令①式中的x 变为1x可得2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －f (x )＝3x 2②由①②可解得f (x )＝2x2＋x 2，由于x 2＞0，因此由基本不等式可得f (x )＝2x2＋x 2≥22x2·x 2＝22，当x 2＝2时取等号，因此其最小值为22，值域为[22，＋∞)．选B. 答案：B5．若函数y ＝f (x )的定义域是[0,2]，则函数g (x )＝f 2xx －1的定义域是( ) A ．[0,1] B ．[0,1) C ．[0,1)∪(1,4]D ．(0,1)解析：由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧0≤2x ≤2，x －1≠0⇒0≤x ＜1，选B.答案：B6．(2013·三明检测)函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1－2，x ∈－∞，2]21－x－2，x ∈2，＋∞的值域为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，＋∞B ．(－∞，0) C.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－32D ．(－2,0]解析：若x ≤2，则x －1≤1,0＜2x －1≤2，－2＜2x －1－2≤0.若x ＞2，则1－x ＜－1,0＜21－x＜12，－2＜21－x－2＜－32. 综上，函数的值域为(－2,0]，选D. 答案：D 二、填空题7．(2013·江西师大附中月考)若函数f (x ＋1)的定义域为[0,1]，则f (3x －1)的定义域为__________．解析：∵f (x ＋1)的定义域为[0,1]， ∴0≤x ≤1，∴1≤x ＋1≤2. 由1≤3x －1≤2，得23≤x ≤1.∴f (3x －1)的定义域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤23，1. 答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤23，1 8．(2013·福建四地六校联考)已知函数f (x )的图像如图所示，则函数g (x )＝log 2f (x )的定义域是__________．解析：由题意，可知f (x )＞0.观察图像，得2＜x ≤8.故g (x )的定义域为(2,8]． 答案：(2,8]9．(2011·潮阳模拟)设函数f (x )＝12(x ＋|x |)，则函数f [f (x )]的值域为__________．解析：先去绝对值，当x ≥0时，f (x )＝x ，故f [f (x )]＝f (x )＝x ， 当x ＜0时，f (x )＝0，故f [f (x )]＝f (0)＝0，即f [f (x )]＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x ≥00，x ＜0易知其值域为[0，＋∞)．答案：[0，＋∞) 三、解答题10．求下列函数的定义域和值域． (1)y ＝1－x －x ； (2)y ＝log 2(－x 2＋2x )； (3)y ＝e 1x解析：(1)要使函数y ＝1－x －x 有意义，则⎩⎪⎨⎪⎧1－x ≥0，x ≥0，∴0≤x ≤1.即函数的定义域为[0,1]．∵函数y ＝1－x －x 为减函数， ∴函数的值域为[－1,1]．(2)要使函数y ＝log 2(－x 2＋2x )有意义，则－x 2＋2x ＞0， ∴0＜x ＜2.∴函数的定义域为(0,2)．又∵当x ∈(0,2)时，－x 2＋2x ∈(0,1]， ∴log 2(－x 2＋2x )≤0.即函数y ＝log 2(－x 2＋2x )的值域为(－∞，0]． (3)函数的定义域为{x |x ≠0}， 函数的值域为{y |0＜y ＜1或y ＞1}．11．若f (x )＝12(x －1)2＋a 的定义域和值域都是[1，b ](b ＞1)，求a 、b 的值．解析：∵f (x )＝12(x －1)2＋a 在[1，b ]上是增函数，∴f (1)＝1，f (b )＝b ，即a ＝1，12(b －1)2＋a ＝b ，∴a ＝1，b ＝3或b ＝1(舍去)． 因此a 、b 的值分别为1和3.12．设O 为坐标原点，给定一个定点A (4,3)，而点B (x,0)在x 轴的正半轴上移动，l (x )表示AB →的长，求函数y ＝xl x的值域． 解析：依题意有x ＞0，l (x )＝x －42＋32＝x 2－8x ＋25，所以y ＝x l x ＝xx 2－8x ＋25＝11－8x ＋25x2. 由于1－8x ＋25x 2＝25⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －4252＋925，所以1－8x ＋25x 2≥35，故0＜y ≤53. 即函数y ＝x l x 的值域是⎝ ⎛⎦⎥⎤0，53.。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
2014届高三数学一轮复习专讲专练（教材回扣+考点分类+课堂
内外+限时训练）：7.2 一元二次不等式及其解法
一、选择题
1．已知函数f (x )＝⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ＋2，x ≤0，
－x ＋2，x ＞0，则不等式f (x )≥x 2
的解集是( )
A ．[－1,1]
B ．[－2,2]
C ．[－2,1]
D ．[－1,2]
解析：依题意得⎩⎪⎨⎪⎧
x ≤0，
x ＋2≥x
2
或⎩⎪⎨⎪⎧
x ＞0，
－x ＋2≥x
2
⇒－1≤x ≤0或0＜x ≤1⇒－1≤x ≤1.
答案：A
2．已知不等式x 2
－2x －3＜0的整数解构成等差数列{a n }的前三项，则数列{a n }的第四项为( )
A ．3
B ．－1
C ．2
D ．3或－1
解析：∵x 2
－2x －3＜0，∴－1＜x ＜3，
∴a 1＝0，a 2＝1，a 3＝2，a 4＝3或a 1＝2，a 2＝1，a 3＝0，a 4＝－1. 答案：D
3．若不等式ax 2
＋4x ＋a ＞1－2x 2
对任意实数x 均成立，则实数a 的取值范围是( ) A ．a ≥2或a ≤－3 B ．a ＞2或a ≤－3 C ．a ＞2
D ．－2＜a ＜2
解析：原不等式可化为(a ＋2)x 2
＋4x ＋a －1＞0，显然a ＝－2时不等式不恒成立，所以要使不等式对于任意的x 均成立，必须有a ＋2＞0，且Δ＜0，即
⎩
⎪⎨
⎪⎧
a ＋2＞0，
16－a ＋a －＜0，
解得a ＞2.
答案：C
4．在R 上定义运算⊙：a ⊙b ＝ab ＋2a ＋b ，则满足x ⊙(x －2)＜0的实数x 的取值范围为( )
A ．(0,2)
B ． (－2,1)
C ．(－∞，－2)∪(1，＋∞)
D ．(－1,2)
解析：x ⊙(x －2)＝x (x －2)＋2x ＋x －2＜0⇒x 2
＋x －2＜0⇒－2＜x ＜1. 答案：B
5． (2013·郯城调研)已知不等式ax 2－bx －1≥0的解集是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12
，－13，则不等式x 2
－
bx －a ＜0的解集是( )
A ．(2,3)
B ．(－∞，2)∪(3，＋∞) C.⎝ ⎛⎭
⎪⎫13，12
D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，13∪⎝ ⎛⎭
⎪⎫12，＋∞ 解析：由题意，知－12，－13是方程ax 2
－bx －1＝0的根，所以由根与系数的关系，得－
12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝b a ，－12×⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝－1a .解得a ＝－6，b ＝5，不等式x 2－bx －a ＜0即为x 2
－5x ＋6＜0，解集为(2,3)，故选A.
答案：A
6．设A ＝{x |x 2
－2x －3＞0}，B ＝{x |x 2
＋ax ＋b ≤0}，若A ∪B ＝R ，A ∩B ＝(3,4]，则a ＋b 等于( )
A ．7
B ．－1
C ．1
D ．－7
解析：由A 可知x ＜－1，或x ＞3，如图．
若A ∪B ＝R ，则x 2
＋ax ＋b ＝0的两根x 1，x 2必有x 1≤－1，x 2≥3. 又A ∩B ＝(3,4]，故x 1＝－1，x 2＝4. ∴－1＋4＝－a . ∴a ＝－3，－1×4＝b . ∴b ＝－4.故a ＋b ＝－7. 答案：D 二、填空题
7．(2013·宁阳二中月考)已知函数f (x )的定义域为[0,2]，则f (x 2
－1)的定义域为__________．
解析：令0≤x 2
－1≤2，∴x ∈[－3，－1]∪[1，3]． 答案：[－3，－1]∪[1，3]
8．(2013·金华调研)已知函数f (x )＝－x 2
＋2x ＋b 2
－b ＋1(b ∈R )，若当x ∈[－1,1]时，f (x )＞0恒成立，则b 的取值范围是__________．
解析：依题意，f (x )的对称轴为x ＝1，又开口向下， ∴当x ∈[－1,1]时，f (x )是单调递增函数．
若f (x )＞0恒成立，
则f (x )min ＝f (－1)＝－1－2＋b 2
－b ＋1＞0， 即b 2
－b －2＞0. ∴(b －2)(b ＋1)＞0. ∴b ＞2，或b ＜－1. 答案：b ＞2，或b ＜－1
9．(2013·淮南质检)若函数f (x )是定义在(0，＋∞)上的增函数，且对一切x ＞0，y ＞0满足f (xy )＝f (x )＋f (y )，则不等式f (x ＋6)＋f (x )＜2f (4)的解集为__________．
解析：由已知，得f (x ＋6)＋f (x )＝f [(x ＋6)x ]， 2f (4)＝f (16)．根据单调性，得(x ＋6)x ＜16， 解得－8＜x ＜2.又x ＋6＞0，x ＞0，所以0＜x ＜2. 答案：(0,2) 三、解答题
10．函数f (x )＝x 2
＋ax ＋3.
(1)当x ∈R 时，f (x )≥a 恒成立，求a 的范围； (2)当x ∈[－2,2]时，f (x )≥a 恒成立，求a 的范围． 解析：(1)f (x )≥a ，
即x 2
＋ax ＋3－a ≥0对x ∈R 恒成立， ∴a 2－4(3－a )≤0，解得－6≤a ≤2. (2)当x ∈[－2,2]时，f (x )≥a 恒成立， 即x 2＋ax ＋3－a ≥0恒成立， 令g (x )＝x 2
＋ax ＋3－a
∴Δ＝a 2－4(3－a )≤0，或⎩⎪⎨⎪⎧
－a 2≤－2，g －＝4－2a ＋3－a ≥0或
⎩⎪⎨⎪⎧
－a 2≥2，
g
＝4＋2a ＋3－a ≥0.
解得－6≤a ≤2，或－7≤a ≤－4，即－7≤a ≤2.
11．已知f (x )＝x 2
＋(lg a ＋2)x ＋lg b 满足f (－1)＝－2，且对一切实数x ，都有f (x )≥2x . (1)求a ，b ；
(2)在(1)的条件下，求f (x )的最小值．
解析：(1)由已知，得f (－1)＝1－(lg a ＋2)＋lg b ＝－2. ∴1＝lg a －lg b ，
∴a ＝10b .
又∵f (x )≥2x 恒成立．
∴x 2
＋x lg a ＋lg b ≥0对任意的x 恒成立， ∴Δ＝(lg a )2
－4lg b ≤0. ∴(lg a )2
≤4lg b . ∵a ＝10b ， ∴(lg10b )2≤4lg b .
∴(1＋lg b )2
≤4lg b ⇒(lg b －1)2
≤0. 又∵(lg b －1)2≥0，
∴lg b －1＝0⇒b ＝10，a ＝100. ∴a ＝100，b ＝10.
(2)由(1)知，f (x )＝x 2
＋4x ＋1＝(x ＋2)2
－3， ∴当x ＝－2时，f (x )的最小值为－3.
12．(2013·潍坊质检)已知函数f (x )和g (x )的图像关于原点对称，且f (x )＝x 2
＋2x . (1)求函数g (x )的解析式； (2)解不等式g (x )≥f (x )－|x －1|.
解析：(1)设函数y ＝g (x )图像上任意一点P (x ，y )关于原点的对称点为Q (x 0，y 0)，则
⎩⎪⎨⎪⎧
x 0＋x 2＝0，y 0
＋y 2＝0，
即⎩⎪⎨
⎪
⎧
x 0＝－x ，y 0＝－y .
由题知点Q (x 0，y 0)在函数y ＝f (x )的图像上， ∴－y ＝x 2
－2x ，即y ＝－x 2
＋2x . 故g (x )＝－x 2
＋2x .
(2)由g (x )≥f (x )－|x －1|，可得2x 2
－|x －1|≤0， 当x ≥1时，2x 2
－x ＋1≤0，此时不等式无解； 当x ＜1时，2x 2
＋x －1≤0，解得－1≤x ≤12.
因此原不等式的解集为⎣
⎢⎡⎦⎥⎤－1，12.。