2014北京数学一模分类汇编-24题
2014年北京市朝阳区高三一模数学(理)试题Word版带解析
北京市朝阳区高三年级第一次综合练习数学学科测试（理工类）2014．3（考试时间120分钟 满分150分）本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分第一部分（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． （1）复数i(2+i)z =在复平面内对应的点位于（A ）第一象限 （B ）第二象限 （C ）第三象限 （D ）第四象限 解析：i(2+i)12z i ==-+，所以对应的点在第二象限。
（2）已知集合1{|()1}2xA x =<，集合{|lg 0}B x x =>，则A B =（A ）{|0}x x > （B ）{|1}x x > （C ） {|1}{|0}x x x x >< （D ） ∅ 解析：1{|()1}{|0}2xA x x x =<=>，{|lg 0}{|1}B x x x x =>=>，所以A B = {|0x x > （3）已知平面向量a ，b 满足2==a b ，(2)()=2⋅--a +b a b ，则a 与b 的夹角为（A ）6π （B ） 3π（C ）32π （D ） 65π解析：22(2)()=a 2422cos(,)82ab b a b ⋅-+-=+⨯⨯-=-a +b a b ，所以a 与b 的夹角为3π。
（4）如图，设区域{(,)01,01}D x y x y =≤≤≤≤，向区域D 内随机投一点，且投入到区域内任一点都是等可能的，则点落 入到阴影区域3{(,)01,0}M x y x y x =≤≤≤≤的概率为（A ） 14 （B ） 13 （C ） 25（D ）27解析：本题考查几何概率模型，先利用积分的方法计算阴影部分的面积，S=13401144x dx x ==⎰，所以答案为A. （5）在ABC △中，π4A =，BC ，则“AC =（第6题图）是“π3B =”的 （A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件 （C ）充要条件 （D ）既不充分也不必要条件解析：由正弦定理得sin sin a b A B =,解得B=π3B =或2π3B =， 所以答案为B.（6）执行如图所示的程序框图,输出的S 值为（A ）2（B ）2-（C ）4 （D ）4-解析：第一次循环s=8，i=2；第二次循环s=4，i=3；第三次循环s=-4，i=4；输出结果，答案为D 。
2014北京中考西城一模数学试题及答案
北京市西城区2014年初三一模试题数 学 2014.4考生须知1．本试卷共6页，共五道大题，25道小题，满分120分，考试时间120分钟。
2．在试卷和答题纸上认真填写学校名称、姓名和准考证号。
3．试题答案一律填涂或书写在答题纸上，在试卷上作答无效。
4. 在答题纸上，选择题、作图题用2B 铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答。
5．考试结束，请将本试卷、答题纸和草稿纸一并交回。
一、选择题（本小题共32分，每小题4分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的。
1. 的绝对值是（ ）2- A. B. C. D. 22-1212-2. 2014年3月5日，李克强总理在政府工作报告中指出：2013年全国城镇新增就业人数约13 100 000人，创历史新高，将数字13 100 000用科学计数法表示为（ ）A. B. C. D. 613.110⨯71.3110⨯81.3110⨯80.13110⨯3. 由5个相同的正方体组成的几何体如图所示，则它的主视图是（ ）4. 从1到9这九个自然数中任取一个，是奇数的概率是（ ）A. B. C. D. 294959235. 右图表示一圆柱形输水管的横截面，阴影部分为有水部分，如果输水管的半径为5cm 水面宽为，则水的最大深度为（ ）AB 8cm CD A. B. C. D. 4cm 3cm 2cm 1cm 6. 为了解某小区家庭使用垃圾袋的情况，小亮随机调查了该小区10户家庭一周垃圾袋的使用量，结果如下：7，9，11，8，7，14，10，8，9，7（单位：个），关于这组数据下列结论正确的是（ ）A.极差是6B.众数是7C.中位数是8D.平均数是107. 已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（ ）x 2210mx x +-=m A. B. C. 且 D. 且1m <-1m >1m <0m ≠1m >-0m ≠8. 如图，在平面直角坐标系中，以点为顶点任作一直角，使其两边分别与轴、xOy (23)A ，PAQ ∠x y 轴A. B. C. D.主视方向第5题图的正半轴交于点、，连接，过点作于点，设点的横坐标为，的长为P Q PQ A AH PQ ⊥H P x AH y ，则下列图象中，能表示与的函数关系的图象大致是（ ）y x 二、填空题（本题共16分，每小题4分）9. 分解因式： 。
2014北京各区一模数学分类汇编--规律探究
2014北京各区一模数学分类汇编—规律探究（学生版）1.（西城）12. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，点(10)A ，，(20)B ，，正六边形ABCDEF 沿x 轴正方向无滑动滚动，当点D 第一次落在x 轴上时，点D 的坐标为： ；在运动过程中，点A 的纵坐标的最大值是；保持上述运动过程，经过(2014的正六边形的顶点是 .2.（海淀）12．在一次数学游戏中，老师在A B C 、、三个盘子里分别放了一些糖果，糖果数依次为0a ，0b ，0c ，记为0G =（0a ，0b ，0c ）. 游戏规则如下： 若三个盘子中的糖果数不完全相同，则从糖果数最多的一个盘子中拿出两个，给另外两个盘子各放一个（若有两个盘子中的糖果数相同，且都多于第三个盘子中的糖果数，则从这两个盘子字母序在前的盘子中取糖果），记为一次操作. 若三个盘子中的糖果数都相同，游戏结束. n 次操作后的糖果数记为n G =（n a ，n b ，n c ）．（1）若0G =（4，7，10），则第_______次操作后游戏结束；（2）小明发现：若0G =（4，8，18），则游戏永远无法结束，那么2014G =________．3.（东城）12. 在平面直角坐标系xOy 中，矩形OABC 如图放置，动点P 从（0，3）出发，沿所示方向运动，每当碰到矩形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当点P 第5次碰到矩形的边时，点P 的坐标为 ；当点P 第2014次碰到矩形的边时，点P 的坐标为____________.xyB 3B 2B 1A 4A 3A 2A 1OyxA 3A 2A 1P 2P 3P 1O4.（朝阳）12．如图，在反比例函数2y x=（x > 0）的图象上有点A 1，A 2，A 3，…，A n -1，A n ，这些点的横坐标分别是1，2，3，…，n -1，n 时，点A 2的坐标是__________；过点A 1 作x 轴的垂线，垂足为B 1，再过点A 2作A 2 P 1⊥A 1B 1于点P 1，以点P 1、A 1、A 2为顶点的△P 1A 1A 2的面积记为S 1，按照以上方法继续作图，可以得到△P 2 A 2A 3，…，△P n -1 A n -1 A n ，其面积分别记为S 2，…，S n -1，则S 1+ S 2+…+S n =________．5.（丰台）12.如图，直线l :y x ，点A 1坐标为(0，1)，过点A 1作y 轴的垂线交直线l 于点B 1，以原点O 为圆心，OB 1长为半径画弧交y 一轴于点A 2；再过点A 2作y 轴的垂线交直线于点B 2，以原点O 为圆心，OB 2长为半径画弧交y 轴于点A 3，…，按此做法进行下去，点A 4的坐标为(_______，_______)；点A n 的坐标为(_______，_______)．6.（石景山）12．在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l ：y=x ，作A 1（1，0）关于y=x 的对称点B 1，将点B 1向右水平平移2个单位得到点A 2；再作A 2关于y=x 的对称点B 2，将点B 2向右水平平移2个单位得到点A3；…．请继续操作并探究：点A3的坐标是 ，点B 2014的坐标是 ．7.（房山）12．如图，点P 1（x 1，y 1），点P 2（x 2，y 2），…，点P n （x n ，y n ）都在函数ky x=（x ＞0）的图象上，△P 1OA 1，△P 2A 1A 2，△P 3A 2A 3，…，△P n A n ﹣1A n 都是等腰直角三角形，斜边OA 1，A 1A 2，A 2A 3，…，A n ﹣1A n 都在x 轴上（n 是大于或等于2的正整数），已知点A 1的坐标为（2，0）则点P 1的坐标为 ；点P 2的坐标为 ；点P n 的坐标为 （用含n 的式子表示）．8.（通州）12．如图，在反比例函数)0(4>=x xy 的图象上，有点1P ，2P ，3P ，4P ……n P (n 为正整数，且n ≥1)， 它们的横坐标依次为1，2，3，4……n (n 为正整数， 且n ≥1)．分别过这些点作x 轴与y 轴的垂线，连接相邻两点，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为1S ，2S ，3S ……1-n S (n 为正整数，且n ≥2)，那么=++321S S S ，=++++-14321n S S S S S .（用含有n 的代数式表示）．9.（昌平）12． 已知：四边形ABCD 的面积为1. 如图1，取四边形ABCD 各边中点，则图中阴影部分的面积为 ；如图2，取四边形ABCD 各边三等分点，则图中阴影部分的面积为 ；取四边形ABCD 各边的n （n 为大于1的整数）等分点，则图中阴影部分的面积为 .10.（顺义）12．如图，所有正三角形的一边平行于x 轴，一顶点在y 轴上．从内到外，它们的边长依次为2,4,6,8，…，顶点依次用1A ，2A ，3A ，4A ，…表示，其中x 轴与边12A A ，边12A A 与45A A ，45A A 与78A A ，…均相距一个单位，则顶点3A 的坐标为 ；31A 的坐标为 ；32n A -（n 为正整数）的坐标为 ．11.（延庆）12．如图，正三角形ABC 、正四边形ABCM 、正五边形ABCMN 中，点E 在CB 的延长线上，点D，DB延长线交AE 于点F ． 图1中∠AFB 的度数为 ，图 若将条件“正三角形、正四边形、正五边形”改为“正n AFB 度数为 ． （用含n 的代数式表示） 图 1 图 2图3O A 9A 8A 7A 6A 5A 4A 3A 2A 1xyABCD EFNFE BAMCD图3图2图112.（平谷）12．如图，1P 、2P 、3P …n P （n 为正整数）分别是反比例函数)0(>=k xky 在第一象限图像上的点，1A 、2A 、3A …n A 分别为x 轴上的点，且11OA P ∆、212A A P ∆、323A A P ∆…n n n A A P 1-∆均为等边三角形.若点1A 的坐标为(2，0)，则点2A 的坐标为____________，点n A 的坐标为____________.13.（门头沟）12. 如图5，已知直线l：y =，过点A 1(1,0)作x 轴的垂线交直线l 于点B 1，在线段A 1B 1右侧作等边三角形A 1B 1C 1，过点C 1作x 轴的垂线交x 轴于A 2，交直线l 于点B 2，在线段A 2B 2 右侧作等边三角形A 2B 2C 2，按此作法继续下去 则B 2的坐标为_______________；B n 的坐标为________________.(n 为正整数)14.（怀柔）12．已知：顺次连接矩形各边的中点，得到一个菱形，如图①；再顺次连接菱形各边的中点，得到一个新的矩形，如图②；然后顺次连接新的矩形各边的中点，得到一个新的菱形，如图③；如此反复操作下去，则第4个图形中直角三角形的个数有________________个；第2014个图形中直角三角形的个数有_________________个．15.（密云）12．如图，已知∠AOB=α，在射线OA 、OB 上分别取点OA 1=OB 1，连接A 1B 1，在B 1A 1、B 1B 上分别取 点A 2、B 2， 使B 1B 2=B 1A 2，连接A 2B 2…按此规律下去，记∠A 2B 1B 2=θ1，∠A 3B 2B 3=θ2，…，∠An +1B n B n +1=θn ， 则（1）θ1= , （2）θn = .16.（燕山）12．如图，在平面直角坐标系中，已知点0P 的坐标为(1，0)，将线段0OP 绕点O 按顺时针方向旋转︒45，再将其长度伸长为0OP 的2倍，得到线段1OP ；又将线段1OP 绕点O 按顺时针方向旋转︒45，再将其长度伸长为1OP 的2倍，得到线段2OP ，…，这样依次得到线段3OP ，4OP ，…，n OP ．则点2P 的坐P标为 ；当14+=m n (m 为自然数)时，点n P 的坐标为 ．2014北京各区一模数学分类汇编—规律探究（教师版）1.（西城）【答案】(4,0) 2 B 或F2.（海淀）【答案】3； (11,9,10)3.（东城）【答案】4.（朝阳）【答案】(2,1)； 1n n-.（每空2分） 5.（丰台）【答案】6.（石景山）【答案】（3，2），（2013，2014）. 7.（房山）【答案】1(1,1)P，21)P ，n P +8.（通州） 【答案】 23；n 22-.9.（昌平）【答案】12,79，221n-（给1,1，2分） 10.（顺义）【答案】(0,1， (11,11)-，(,)n n -． 11.（延庆）【答案】60，90，nn 180)2(- 12.（平谷）【答案】），），（，（02022n13.（门头沟）【答案】14.(怀柔) 【答案】8，402815.（密云）【答案】各2分(1)1802α︒+ ，（2）(21)1802n nα-⨯︒+ 16.（燕山）【答案】(0,-4),)0()22,22(),)(22,22(1111和正偶数时为为正奇数时m m n n n n ----⋅-⋅⋅⋅-。
2014年北京市各区高三一模试题分类汇编03立体几何_图文
12014年北京市各区高三一模试题分类汇编 03立体几何 (理科1 (2014年东城一模理科2 (2014年西城一模理科如图, 设 P 为正四面体 A BCD -表面 (含棱上与顶点不重合的一点, 由点 P 到四个顶点的距离组成的集合记为 M , 如果集合 M 中有且只有 2个元素,那么符合条件的点 P 有( C(A 4个(B 6个(C 10个(D 14个3 (2014年西城一模理科已知一个正三棱柱的所有棱长均等于 2,它的俯视图是一个边长为 2的正三角形,那么它的侧(左视图面积的最小值是__4 (20145 (2014______6 (2014年朝阳一模理科如图,在四棱锥 S ABCD -中, SB ⊥底面 ABCD .底面ABCD 为梯形,AB AD ⊥, AB ∥ CD , 1, 3AB AD ==, 2CD =. 若点 E 是线段 AD 上的动点, 则满足 90SEC ∠=︒的点 E 的个数是 __2_7 (2014年丰台一模理科棱长为 2的正方体被一平面截成两个几何体,其中一个几何体的三视图如图所示,那么该几何体的体积是(B (A 143(B 4 (C 103 (D 38 (2014年石景山一模理科右图是某个三棱锥的三视图,其中主视图是等边三角形,左视图是直角三角形,俯视图是等腰直角三角形,则该三棱锥的体积是(B A . 12 B . 3 C .4 D . 69 (2014年顺义一模理科一个几何体的三视图如图所示,则这个几何体的体积是_________1 正视图侧视图俯视图111 侧视图俯视图主视图1主视图左视图俯视图ADC. P 俯视图主视图侧视图210 (2014年延庆一模理科右图是一个几何体的三视图,则该几何体的体积是 (AA . 3B . 34C . 1D . 3211 (2014年东城一模理科12 (2014年西城一模理科如图,在四棱柱1111ABCD A BC D -中,底面 ABCD 和侧面 11BCC B 都是矩形, E 是 CD 的中点, 1D E CD ⊥, 22AB BC ==(Ⅰ求证:1⊥BC D E ; (Ⅱ求证:1B C // 平面 1BED ;(Ⅲ若平面 11BCC B 与平面 1BED 所成的锐二面角的大小为π3,求线段 1D E 的长度 . 13 (2014年海淀一模理科如图 1,在 Rt △ ABC 中,∠ACB =30°,∠ ABC =90°, D 为 AC 中点,AE BD ⊥于 E ,延长 AE 交 BC 于 F ,将∆ABD 沿 BD 折起,使平面 ABD ⊥平面BCD ,如图 2所示.(Ⅰ求证:AE ⊥平面 BCD ; (Ⅱ求二面角 A – DC – B 的余弦值.(Ⅲ在线段 AF 上是否存在点 M 使得 //EM 平面 ADC ?若存在,请指明点 M 的位置;若不存在,请说明理由.14 (2014年朝阳一模理科如图 , 四棱锥 P ABCD -的底面为正方形 , 侧面 PAD ⊥底面A B C D . PAD △为等腰直角三角形,且 PA AD ⊥. E , F 分别为底边 AB 和侧棱 PC 的中点.(Ⅰ求证:EF ∥平面 PAD ;(Ⅱ求证:EF ⊥平面 PCD ;(Ⅲ求二面角 E PD C --的余弦值.15 (2014年丰台一模理科如图,在棱长为 1的正方体 ABCD-A1B1C1D1中, 点 E 是棱 AB 上的动点 . (Ⅰ求证:DA1⊥ ED1 ;(Ⅱ若直线 DA1与平面 CED1成角为 45o ,求AEAB的值; (Ⅲ写出点 E 到直线 D1C 距离的最大值及此时点 E 的位置(结论不要求证明 .主视图侧(左视图俯视图3主视图左视图俯视图1E BCAD FA E BCDPF316 (2014年石景山一模理科如图, 正三棱柱111ABC A B C -的底面边长是 2,D 是AC 的中点.(Ⅰ求证:1B C ∥平面 1A BD ;(Ⅱ求二面角1A BD A --的大小;(Ⅲ在线段 1AA 上是否存在一点 E , 使得平面 11B C E ⊥平面 1A BD ,若存在, 求出 AE 的长;若不存在,说明理由.17 (2014年顺义一模理科如图在四棱锥 P ABCD -中,底面 ABCD 是菱形, 060BAD ∠=, 平面 PAD ⊥平面 ABCD , 2PA PD AD ===, Q 为 AD 的中点, M 是棱PC 上一点,且 13PM PC =. (Ⅰ求证:PQ ⊥平面 ABCD ; (Ⅱ证明:PA ∥平面 BMQ (Ⅲ求二面角 M BQ C --的度数 .18 (2014年延庆一模理科在四棱锥 ABCD P -中, ⊥PA 平面 ABCD , 底面ABCD 是正方形,且 2==AD PA , F E , 分别是棱 PC AD , 的中点. (Ⅰ求证://EF 平面PAB ; (Ⅱ求证:⊥EF 平面 PBC ; (Ⅲ求二面角 D PC E --的大小.2014年北京市各区高三一模试题汇编 --立体几何 (理科答案1. ;2. C ; 3.; 4. 96 ; 5. 13, ; 6. 2 ; 7. B ; 8. B ; 9. ; 10. A ;11. 吧A 1A 1B1CC DFDM Q A C412(Ⅰ证明:因为底面 ABCD 和侧面 11BCC B 是矩形, 所以 BC CD ⊥, 1BC CC ⊥,又因为 1=CDCC C ,所以 BC ⊥平面11DCC D , ……………… 2分因为 1D E ⊂平面 11DCC D , 所以1BC D E ⊥. ………… 4分(Ⅱ证明 :因为 1111//, BB DD BB DD =,所以四边形 11D DBB 是平行四边形 .连接 1DB 交 1D B 于点 F ,连接 EF , 则 F 为 1DB 的中点 . 在1∆B CD 中,因为 DE CE =, 1DF B F =,所以1//EF B C . …………… 6分又因为 1⊄B C 平面 1BED , ⊂EF 平面1BED ,所以 1//BC 平面1BED . ……… 8分 (Ⅲ解 :由(Ⅰ可知 1BC D E ⊥, 又因为1D E CD ⊥, BCCD C =,所以 1D E ⊥平面 A BCD . ……………… 9分设 G 为 AB 的中点,以 E 为原点, EG , EC , 1ED如图建立空间直角坐标系, 设 1D E a =,则 1(0,0,0, (1,1,0, (0,0,, E B D a C 设平面1BED 法向量为 (, , x y z =n ,因为1(1,1,0, (0,0, EB ED a ==,由 10,0,EB ED ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n 得 0, 0.x y z +=⎧⎨=⎩令 1x =,得 (1,1,0 =-n . ………… 11分设平面 11BCC B 法向量为111(, , x y z =m ,因为1(1,0,0, (1,1, CB CB a ==,由 10, 0,CB CB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩m m得 11110, 0.x x y az =⎧⎨++=⎩令 11z =,得 (0,,1 a =-m . ………… 12分由平面 11BCC B 与平面 1BED 所成的锐二面角的大小为π3, 得||π|cos , |cos 3⋅<>===m n m n m n , …………… 13分解得1a =. ……………… 14分13(Ⅰ因为平面 ABD ⊥平面 BCD ,交线为 BD ,又在ABD ∆中, AE BD ⊥于 E , AE ⊂平面 ABD所以 AE ⊥平面 BCD . ———————————————— 3分 (Ⅱ由(Ⅰ结论AE ⊥平面 BCD 可得 AE EF ⊥. 由题意可知 EF BD ⊥,又 AE ⊥BD .如图, 以 E 为坐标原点, 分别以 , , EF ED EA 所在直线为 x 轴, y 轴,z 轴,建立空间直角坐标系 E xyz -—— 4分不妨设 2AB BD DC AD ====,则1BE ED ==. 由图 1条件计算得, AE =BC =BF =则 (0,0,0,(0,1,0,(0,1,0, 3E D B AF C -——————— 5分,0, (0,1, DC AD ==.由 AE ⊥平面 BCD 可知平面 DCB 的法向量为 EA . ——————— 6分设平面 ADC 的法向量为 (, , x y z =n ,则 0, 0. DC AD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n 即 0,0.y y +==⎪⎩令 1z =,则 1y x ==,所以 (11 =-n . —————————— 8分平面 DCB 的法向量为 EA 所以 cos , ||||EA EA EA ⋅<>==⋅n n n ,所以二面角 A DC B --————————————— 9分 (Ⅲ设AM AF λ=,其中[0,1]λ∈.由于 AF =, 所以AM AF λλ==,其中[0,1]λ∈———————————— 10分5所以,0,(13EM EA AM λ⎛=+=-⎝———————————— 11分由 0EM ⋅=n ,即 03λ=-(1-——— 12分解得3=(0,14λ∈. ———— 13分所以在线段 AF 上存在点M 使 EM ADC ∥平面 ,且34AM AF =. ———————— 14分 14(Ⅰ证明:取 PD 的中点 G ,连接 FG , AG .因为 F , G 分别是 PC , PD 的中点,所以 FG 是△ PCD 的中位线. 所以 FG ∥ CD , 且 12FG CD =.又因为 E 是 AB 的中点,且底面 ABCD 为正方形,所以 1122AE AB CD ==,且 AE ∥ CD .所以 AE ∥ FG ,且 AE FG =.所以四边形 AEFG 是平行四边形 . 所以 EF ∥ AG .又 EF ⊄平面 PAD , AG ⊂平面 PAD ,所以 EF 平面PAD . ………………… 4分 (Ⅱ证明 :因为平面 PAD ⊥平面 A B C D , PA AD ⊥,且平面 PAD I 平面 ABCD AD =,所以 PA ⊥平面 ABCD .所以 PA AB ⊥, PA AD ⊥. 又因为 ABCD 为正方形, 所以 AB AD ⊥,所以 , , AB AD AP 两两垂直.以点 A 为原点,分别以 , , AB AD AP 为 , , x y z 轴,建立空间直角坐标系(如图 .由题意易知 AB AD AP ==,设 2AB AD AP ===,则(0,0,0A , (2,0,0B , (2,2,0C , (0,2,0D , (0,0,2P , (1,0,0E , (1,1,1F .因为 (0,11EF =uu u r , , (022 PD =-u u u r , , , (200 CD =-uu u r , , , 且 (0,11(0,2,2 0EF PD ⋅=⋅-=u u u r u u u r, , (0,11(2,00 0EF CD ⋅=⋅-=u u u r u u u r, ,所以 EF PD ⊥, EF CD ⊥.又因为 PD , CD 相交于 D ,所以 EF ⊥平面PCD . …………… 9分(Ⅲ易得 (102 EP =-uu r , , , (0,22 PD =-u u u r, .设平面 EPD 的法向量为 (, , x y z =n ,则 0,0. EP PD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩uuruu u r n n 所以 20, 220. x z y z -+=⎧⎨-=⎩即 2, . x z y z =⎧⎨=⎩令 1z =,则 (2,1,1=n .由(Ⅱ可知平面 PCD 的法向量是 (0,11EF =uu u r, , 所以 cos , EFEF EF⋅〈〉===⋅uu u r uu u r n n n E PD C --的大小为锐角,所以二面角 E PD C --. ………… 14分 15. 解:以 D 为坐标原点,建立如图所示的坐标系,则D(0,0,0,A(1, 0, 0 , B(1,1,0, C(0,1,0,D1(0,1,2,A1(1,0,1,设E(1,m,0(0≤m≤ 1(Ⅰ证明:1(1,0,1 DA =, 1(1, ,1 ED m =-- 111(1 0( 110DA ED m ⋅=⨯-+⨯-+⨯=所以 DA1⊥ED1. ----4分 (Ⅱ设平面 CED1的一个法向量为 (, , v x y z =, 则100v C D v C E ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩,而 1(0,1,1 CD =-, (1, 1,0 CE m =-所以 0, (1 0, y z x m y -+=⎧⎨+-=⎩取 z=1,得 y=1,x=1-m, 得(1,1,1 v m =-.因为直线 DA1与平面 CED1成角为 45o ,所以 1sin45|cos , |DA v ︒=<> 所以11||||||DA v DA v ⋅=⋅2=,解得 m=12.-----11分 (Ⅲ点 E 到直线 D1C E 在 A 点处 .------14分 16(Ⅰ证明:连结 1AB 交 1A B 于 M ,连结 1B C DM ,, 因为三棱柱 111ABC A B C -是正三棱柱, 所以四边形 11AA B B 是矩形,所以 M 为 1A B 的中点.因为 D 是 AC 的中点,MA1A1B1CBCD所以 MD 是三角形 AB1C 的中位线，…………………………2 分所以 MD ∥B1C ．…………………………3 分因为平面 A 1C ∥平面 A 1BD ， B 1C 平面 A 1BD ，所以 B 1BD ．……………4 分（Ⅱ）解：作于 O ，所以平面 ABB1 A 1，所以在正三棱柱中如图建立空间直角坐标系．因为， AA ， D 是 AC 的中点．，3 ，…………………12 分，，，解得，又，即所以存在点 E ，使得平面平面A ．…………………………14 分 1BD 且令，则， y1， 0 ，， 0， 0 ， C(0 ，，所以 A(1，0 …………5 分 0 3 ， A1 (1，3 ， z 所以 D( ， 0 ，，， 0， 1 2 3 2 3 2 3 ，， 3 ，0 ．设， y， z 是平面 A1BD 的法向量，，， 2 所以即，， D B1 y OA A1 令，则，， x 结 BD ， Q 底面 ABCD 是菱形，且，所以，， 2 3 是平面 A1BD 的一个法向量．……………6 分由题意可知 AA 0 是平面 ABD 的一个法向量，………7 分 1 ， 3 ，．………………8 分所以二面角A ．…………………………9 分的大小为 3 x， 0 ，则，3 ， 3 ，，，（Ⅲ）设 E (1，所以，设平面 B1C1E 的法向量， y1 ， z1 ，所以即是等边三角形，由（Ⅰ）平面以 Q 为坐标原点，QA, QB, QP 分别为 x 轴 y 轴 z 轴建立空间直角坐标系则 Q (0, 0, 0, A(1, 0, 0, B(0, 3, 0, P(0, 0, 3 .————10 分设平面 BMQ 的法向量为，，，，，，注意到 MN ∥ PA 6，解得是平面 BMQ 的一个法向量——12 分（Ⅰ）证明：设 G 是 PB 的中点，连接 AG, GF ∵ E , F 分别是 AD, PC 的中点，∴ GF // 1 1 BC ， AE // BC 2 2 ∴ GF // AE ，∴ AEFG 是平行四边形，∴ EF // AG ………………2 分∵平面平面 PAB ，∴EF // 平面PAB ………………3 分（Ⅱ）∵，∴PB ，………………4 分∵，∴，又∵，∴ BC 平面 PAB ，∴，………………6 分∵ PB 与 BC 相交，∴平面 PBC ，∴平面 PBC ．………………7 分（Ⅲ）以 AB, AD, AP 分别为 x 轴、 y 轴、 z 轴，建立空间直角坐标系，…8 分∵，∴ E (0,1,0 ， C (2,2,0 ， P(0,0,2 ， F (1,1,1 设 H 是 PD 的中点，连接 AH ∵平面PBC ，∴同理可证平面 PCD ，∴ AH 是平面 PCD 的法向量，(0,1,1 ………………9 分，设平面 PEC 的法向量，则∴令，则∴分．………………13 分∴| ∴二面角 E 的大小为分 7。
北京市东城区2014届下学期高三年级一模考试数学试卷(文科 有答案)
北京市东城区2014届下学期高三年级一模考试数学试卷（文科） 有答案本试卷共150分。
考试时长120分钟。
第一部分（选择题 共40分）一、选择题：共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1. 已知集合{|(1)(2)0}A x x x =+-≥，则R C A ＝ A. {|1,2}x x x <->或 B. {|1,2}x x x ≤-≥或 C. {|12}x x -<<D. {|12}x x -≤≤2. 复数11ii+-＝ A. i -B. iC. 1i +D. 1i -3. 为了得到函数sin(2)3y x π=-的图象，只需把函数sin 2y x =的图象A. 向左平移3π个单位长度B. 向右平移3π个单位长度 C. 向左平移6π个单位长度 D. 向右平移6π个单位长度4. 若双曲线2214x y m -=，则m ＝A.B. 3 B.D.5. 设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1231,11a a a =+=，则63S S -＝ A. 27B. 39C. 45D. 636. 已知1343,log 2,log 1.6a b c ===则 A. a b c >>B. a c b >>C. b a c >>D. c a b >>7. 若一个空间几何体的三视图如图所示，则这个几何体的表面积为A. 4+B. 4C. 4+D. 88. 已知,a b 是正数，且满足224a b <+<，那么11b a ++的取值范围是 A. 1(,3)5B. 1(,2)3C. 1(,2)5D. 1(,3)3第二部分（非选择题 共110分）二、填空题：共6小题，每小题5分，共30分。
9. 5cos()4π-＝___________。
10. 设抛物线的顶点在原点，准线方程为x ＝2，则抛物线的方程为_______。
14年一模压轴题24题汇总 -学生版
10. （2014 门头沟一模） 24.已知：在△ABC 中，∠ABC=∠ACB=α，点 D 是 AB 边上任意一点，将射线 DC 绕点 D 逆时针旋转 α 与过点
A 且平行于 BC 边的直线交于点 E.
（1）如图 12-1，当 α=60°时，请直接写出线段 请直接写出线段 BD 与 AE 之间的数量关系；_______________ _______________ （2）如图 12-2，当 α=45°时，判断线段 判断线段 BD 与 AE 之间的数量关系，并进行证明； ； （3）如图 12-3，当 α 为任意锐角时，依题意补全图形，请直接写出线段 为任意锐角时 BD 与 AE 之间的数量关系： _______________________． （用含 α 的式子表示,其中 0 a 90 ）
7. （2014 房山一模） 24. 将等腰 Rt△ABC 和等腰 Rt△ADE 按图 1 方式放置，∠A=90°， AD 边与 AB 边重合， AB＝2AD＝4．将△
ADE 绕点 A 逆时针方向旋转一个角度α（0°≤α≤180°） ，BD 的延长线交直线 CE 于点 P.
（1）如图 2，BD 与 CE 的数量关系是 , 位置关系是 ；
EC 的值； GC
（2） 将图 24-1 中的 BEF 绕点 B 顺时针旋转至图 24-2 所示位置， 请问 （1） 中所得的结论是否仍然成立？ 若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由； （3）将图 24-1 中的 BEF 绕点 B 顺时针旋转 （ 0 90 ） ，若 BE 1 ， AB 2 ，当 E ， F ， D 三 点共线时，求 DF 的长及 tan ABF 的值。 A G F F E E B
A
A P D E G
2014年北京市各城区中考一模数学——应用题18题汇总
2014年北京市各城区中考一模数学——应用题汇总1、（2014年门头沟一模）18．某建筑集团完成一路段的高架桥铺设任务，在合同期内高通过这段对话,请你求出该建筑集团原来每天铺设的米数.2、（2014年丰台一模）17.列方程或方程组解应用题：为了进一步落实“北京市中小学课外活动计划”，某校计划用4000元购买乒乓球拍，用6000元购买羽毛球拍,且购买的乒乓球拍与羽毛球拍的数量相同.已知一副羽毛球拍比一副乒乓球拍贵40元，求一副乒乓球拍和一副羽毛球拍各是多少元．3、（2014年平谷一模）17. 端午节期间，某校“慈善小组”筹集善款600元，全部用于购买粽子到福利院送给老人.购买大枣粽子和豆沙粽子各花300元，已知大枣粽子比豆沙粽子每盒贵5元，结果购买的大枣粽子比豆沙粽子少2盒．请求出两种口味的粽子每盒各多少元?解题备注：4、（2014年顺义一模）18．重量相同的甲、乙两种商品，分别价值900元和1 500元，已知甲种商品每千克的价值比乙种商品每千克的价值少100元，分别求甲、乙两种商品每千克的价值．记者：5、（2014年石景山一模）18．某公司决定从厂家购进甲、乙两种不同型号的显示器共50台，购进显示器的总金额不超过77000元，已知甲、乙型号的显示器价格分别为1000元/台、2000元/台.（1）求该公司至少购买甲型显示器多少台？（2）若要求甲型显示器的台数不超过乙型显示器的台数，问有哪些购买方案？解题备注：6、（2014年海淀一模）17．某市计划建造80万套保障性住房，用于改善百姓的住房状况. 开工后每年建造保障性住房的套数比原计划增加25%，结果提前两年保质保量地完成了任务. 求原计划每年建造保障性住房多少万套？7、（2014年西城一模）17. 某校甲、乙给贫困地区捐款购买图书，每班捐款总数均为1200元，已知甲班比乙班多8人，乙班人均捐款是甲班人均捐款的1.2倍，求：甲、乙两班各有多少名学生。
2014年北京市西城区高考一模数学试卷(理科)【解析版】
2014年北京市西城区高考数学一模试卷（理科）一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分）1．（5分）设全集U＝R，集合A＝{x|0＜x≤2}，B＝{x|x＜1}，则集合∁U（A∪B）＝（）A．（﹣∞，2]B．（﹣∞，1]C．（2，+∞）D．[2，+∞）2．（5分）已知平面向量＝（2，﹣1），＝（1，1），＝（﹣5，1），若（+k）∥，则实数k的值为（）A．2B．C．D．﹣3．（5分）在极坐标系中，过点（2，）且与极轴平行的直线方程是（）A．ρ＝2B．θ＝C．ρcosθ＝2D．ρsinθ＝2 4．（5分）执行图题实数的程序框图，如果输入a＝2，b＝2，那么输出的a值为（）A．44B．16C．256D．log3165．（5分）下列函数中，对于任意x∈R，同时满足条件f（x）＝f（﹣x）和f（x ﹣π）＝f（x）的函数是（）A．f（x）＝sin x B．f（x）＝sin2x C．f（x）＝cos x D．f（x）＝cos2x 6．（5分）“m＜8”是“方程﹣＝1表示双曲线”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件7．（5分）某企业为节能减排，用9万元购进一台新设备用于生产．第一年需运营费用2万元，从第二年起，每年运营费用均比上一年增加2万元，该设备每年生产的收入均为11万元．设该设备使用了n（n∈N*）年后，盈利总额达到最大值（盈利额等于收入减去成本），则n等于（）A．4B．5C．6D．78．（5分）如图，设P为正四面体A﹣BCD表面（含棱）上与顶点不重合的一点，由点P到四个顶点的距离组成的集合记为M，如果集合M中有且只有2个元素，那么符合条件的点P有（）A．4个B．6个C．10个D．14个二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9．（5分）设复数＝x+yi，其中x，y∈R，则x+y＝．10．（5分）若抛物线C：y2＝2px的焦点在直线x+2y﹣4＝0上，则p＝；C的准线方程为．11．（5分）已知一个正三棱柱的所有棱长均等于2，它的俯视图是一个边长为2的正三角形，那么它的侧（左）视图面积的最小值是．12．（5分）若不等式组表示的平面区域是一个四边形，则实数a的取值范围是．13．（5分）科技活动后，3名辅导教师和他们所指导的3名获奖学生合影留念（每名教师只指导一名学生），要求6人排成一排，且学生要与其指导教师相邻，那么不同的站法种数是．（用数字作答）14．（5分）如图，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥BC，AB＝2，CD＝1，BC＝a（a＞0），P为线段AD（含端点）上一个动点，设＝x，＝y，对于函数y＝f（x），给出以下三个结论：①当a＝2时，函数f（x）的值域为[1，4]；②∀a∈（0，+∞），都有f（1）＝1成立；③∀a∈（0，+∞），函数f（x）的最大值都等于4．其中所有正确结论的序号是．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知b2+c2＝a2+bc．（Ⅰ）求A的大小；（Ⅱ）如果cos B＝，b＝2，求△ABC的面积．16．（13分）在某批次的某种灯泡中，随机地抽取200个样品，并对其寿命进行追踪调查，将结果列成频率分布表如下．根据寿命将灯泡分成优等品、正品和次品三个等级，其中寿命大于或等于500天的灯泡是优等品，寿命小于300天的灯泡是次品，其余的灯泡是正品．（Ⅰ）根据频率分布表中的数据，写出a，b的值；（Ⅱ）某人从灯泡样品中随机地购买了n（n∈N*）个，如果这n个灯泡的等级情况恰好与按三个等级分层抽样所得的结果相同，求n的最小值；（Ⅲ）某人从这个批次的灯泡中随机地购买了3个进行使用，若以上述频率作为概率，用X表示此人所购买的灯泡中次品的个数，求X的分布列和数学期望．17．（14分）如图，在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD和侧面BCC1B1都是矩形，E是CD的中点，D1E⊥CD，AB＝2BC＝2．（Ⅰ）求证：BC⊥D1E；（Ⅱ）求证：B1C∥平面BED1；（Ⅲ）若平面BCC1B1与平面BED1所成的锐二面角的大小为，求线段D1E的长度．18．（13分）已知函数f（x）＝，其中a≥0．（Ⅰ）当a＝0时，求函数f（x）的图象在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）如果对于任意x1，x2∈R，且x1＜x2，都有f（x1）＜f（x2），求a的取值范围．19．（14分）已知椭圆W：＝1，直线l与W相交于M，N两点，l与x 轴、y轴分别相交于C、D两点，O为坐标原点．（Ⅰ）若直线l的方程为x+2y﹣1＝0，求△OCD外接圆的方程；（Ⅱ）判断是否存在直线l，使得C，D是线段MN的两个三等分点，若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．20．（13分）在数列{a n}中，a n＝（n∈N*）．从数列{a n}中选出k（k≥3）项并按原顺序组成的新数列记为{b n}，并称{b n}为数列{a n}的k项子列．例如数列，，，为{a n}的一个4项子列．（Ⅰ）试写出数列{a n}的一个3项子列，并使其为等差数列；（Ⅱ）如果{b n}为数列{a n}的一个5项子列，且{b n}为等差数列，证明：{b n}的公差d满足﹣＜d＜0；（Ⅲ）如果{c n}为数列{a n}的一个m（m≥3）项子列，且{c n}为等比数列，证明：c1+c2+c3+…+c m≤2﹣．2014年北京市西城区高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分）1．（5分）设全集U＝R，集合A＝{x|0＜x≤2}，B＝{x|x＜1}，则集合∁U（A∪B）＝（）A．（﹣∞，2]B．（﹣∞，1]C．（2，+∞）D．[2，+∞）【解答】解：∵A＝（0，2]，B＝（﹣∞，1），∴A∪B＝（﹣∞，2]，∵全集为U＝R，∴∁U（A∪B）＝（2，+∞）．故选：C．2．（5分）已知平面向量＝（2，﹣1），＝（1，1），＝（﹣5，1），若（+k）∥，则实数k的值为（）A．2B．C．D．﹣【解答】解：∵＝（2，﹣1），＝（1，1），∴，又＝（﹣5，1），且（+k）∥，∴1×（2+k）﹣（﹣5）×（k﹣1）＝0，解得：k＝．故选：B．3．（5分）在极坐标系中，过点（2，）且与极轴平行的直线方程是（）A．ρ＝2B．θ＝C．ρcosθ＝2D．ρsinθ＝2【解答】解：点（2，）在直角坐标系下的坐标为（2，2），即（0，2）∴过点（0，2）且与x轴平行的直线方程为y＝2．即为ρsinθ＝2．故选：D．4．（5分）执行图题实数的程序框图，如果输入a＝2，b＝2，那么输出的a值为（）A．44B．16C．256D．log316【解答】解：若a＝2，则log3a＝log32＞4不成立，则a＝22＝4，若a＝4，则log3a＝log34＞4不成立，则a＝42＝16，若a＝16，则log3a＝log316＞4不成立，则a＝162＝256若a＝256，则log3a＝log3256＞4成立，输出a＝256，故选：C．5．（5分）下列函数中，对于任意x∈R，同时满足条件f（x）＝f（﹣x）和f（x ﹣π）＝f（x）的函数是（）A．f（x）＝sin x B．f（x）＝sin2x C．f（x）＝cos x D．f（x）＝cos2x 【解答】解：对于任意x∈R，f（x）满足f（x）＝f（﹣x），则函数f（x）是偶函数，选项中，A，B显然是奇函数，C，D为偶函数，又对于任意x∈R，f（x）满足f（x﹣π）＝f（x），则f（x+π）＝f（x），即f（x）的最小正周期是π，选项C的最小正周期是2π，选项D的最小正周期是＝π，故同时满足条件的是选项D．故选：D．6．（5分）“m＜8”是“方程﹣＝1表示双曲线”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：若方程﹣＝1表示双曲线，则（m﹣10）（m﹣8）＞0，即m＞10或m＜8．∴“m＜8”是“方程﹣＝1表示双曲线”的充分而不必要条件，故选：A．7．（5分）某企业为节能减排，用9万元购进一台新设备用于生产．第一年需运营费用2万元，从第二年起，每年运营费用均比上一年增加2万元，该设备每年生产的收入均为11万元．设该设备使用了n（n∈N*）年后，盈利总额达到最大值（盈利额等于收入减去成本），则n等于（）A．4B．5C．6D．7【解答】解：设该设备第n年的营运费为a n万元，则数列{a n}是以2为首项，2为公差的等差数列，则a n＝2n，则该设备使用了n年的营运费用总和为T n＝＝n2+n，设第n年的盈利总额为S n，则S n＝11n﹣（n2+n）﹣9＝﹣n2+10n﹣9＝﹣（n﹣5）2+16，∴当n＝5时，S n取得最大值16，故选：B．8．（5分）如图，设P为正四面体A﹣BCD表面（含棱）上与顶点不重合的一点，由点P到四个顶点的距离组成的集合记为M，如果集合M中有且只有2个元素，那么符合条件的点P有（）A．4个B．6个C．10个D．14个【解答】解：符合条件的点P有两类：（1）6条棱的中点；（2）4个面的中心．共10个点．故集合M中有且只有2个元素，那么符合条件的点P有4+6＝10．故选：C．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9．（5分）设复数＝x+yi，其中x，y∈R，则x+y＝．【解答】解：∵，又＝x+yi，∴，∴，则x+y＝．故答案为：．10．（5分）若抛物线C：y2＝2px的焦点在直线x+2y﹣4＝0上，则p＝8；C 的准线方程为x＝﹣4．【解答】解：直线x+2y﹣4＝0，令y＝0，可得x＝4，∴＝4，∴p＝8，C的准线方程为x＝﹣4故答案为：8；x＝﹣4．11．（5分）已知一个正三棱柱的所有棱长均等于2，它的俯视图是一个边长为2的正三角形，那么它的侧（左）视图面积的最小值是．【解答】解：∵正三棱柱的所有棱长均等于2，它的俯视图是一个边长为2的正三角形，故它的侧（左）视图一定是一个高为2的矩形，当侧（左）视图的底面为俯视图的高时侧（左）视图面积最小，此时侧（左）视图面积S＝2×＝故答案为：12．（5分）若不等式组表示的平面区域是一个四边形，则实数a的取值范围是（3，5）．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域，当直线x+y＝a经过点A（3，0）时，对应的平面区域是三角形，此时a＝3，当经过点B时，对应的平面区域是三角形，由，解得，即B（1，4），此时a＝1+4＝5，∴要使对应的平面区域是平行四边形，则3＜a＜5，故答案为：（3，5）13．（5分）科技活动后，3名辅导教师和他们所指导的3名获奖学生合影留念（每名教师只指导一名学生），要求6人排成一排，且学生要与其指导教师相邻，那么不同的站法种数是48．（用数字作答）【解答】解：采用捆绑及内部调整法，把三对师生看成三个整体，每对师生都有2种排列顺序，故不同的排法种数为A33×2×2×2＝6×8＝48．故答案为：48．14．（5分）如图，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥BC，AB＝2，CD＝1，BC＝a（a＞0），P为线段AD（含端点）上一个动点，设＝x，＝y，对于函数y＝f（x），给出以下三个结论：①当a＝2时，函数f（x）的值域为[1，4]；②∀a∈（0，+∞），都有f（1）＝1成立；③∀a∈（0，+∞），函数f（x）的最大值都等于4．其中所有正确结论的序号是②③．【解答】解：如图所示，建立直角坐标系．∵在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥BC，AB＝2，CD＝1，BC＝a（a＞0），∴B（0，0），A（﹣2，0），D（﹣1，a），C（0，a）．∵＝x，（0≤x≤1）．∴＝（﹣2，0）+x（1，a）＝（x﹣2，xa），∴＝＝（0，a）﹣（x﹣2，xa）＝（2﹣x，a﹣xa）∴y＝f（x）＝＝（2﹣x，﹣xa）•（2﹣x，a﹣xa）＝（2﹣x）2﹣ax（a﹣xa）＝（a2+1）x2﹣（4+a2）x+4．①当a＝2时，y＝f（x）＝5x2﹣8x+4＝，∵0≤x≤1，∴当x＝时，f（x）取得最小值；又f（0）＝4，f（1）＝1，∴f（x）max＝f（0）＝4．综上可得：函数f（x）的值域为．因此①不正确．②由y＝f（x）＝（a2+1）x2﹣（4+a2）x+4．可得：∀a∈（0，+∞），都有f（1）＝1成立，因此②正确；③由y＝f（x）＝（a2+1）x2﹣（4+a2）x+4．可知：对称轴x0＝．当0＜a≤时，1＜x0，∴函数f（x）在[0，1]单调递减，因此当x＝0时，函数f（x）取得最大值4．当时，0＜x0＜1，函数f（x）在[0，x0）单调递减，在（x0，1]上单调递增．又f（0）＝4，f（1）＝1，∴f（x）max＝f（0）＝4．因此③正确．综上可知：只有②③正确．故答案为：②③．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知b2+c2＝a2+bc．（Ⅰ）求A的大小；（Ⅱ）如果cos B＝，b＝2，求△ABC的面积．【解答】解：（Ⅰ）∵b2+c2＝a2+bc，即b2+c2﹣a2＝bc，∴cos A＝＝，又A∈（0，π），∴A＝；（Ⅱ）∵cos B＝，B∈（0，π），∴sin B＝＝，由正弦定理＝，得a＝＝3，∵b2+c2＝a2+bc，即4+c2＝9+2c，整理得：c2﹣2c﹣5＝0，解得：c＝1±，∵c＞0，∴c＝+1，＝bc sin A＝．则S△ABC16．（13分）在某批次的某种灯泡中，随机地抽取200个样品，并对其寿命进行追踪调查，将结果列成频率分布表如下．根据寿命将灯泡分成优等品、正品和次品三个等级，其中寿命大于或等于500天的灯泡是优等品，寿命小于300天的灯泡是次品，其余的灯泡是正品．（Ⅰ）根据频率分布表中的数据，写出a，b的值；（Ⅱ）某人从灯泡样品中随机地购买了n（n∈N*）个，如果这n个灯泡的等级情况恰好与按三个等级分层抽样所得的结果相同，求n的最小值；（Ⅲ）某人从这个批次的灯泡中随机地购买了3个进行使用，若以上述频率作为概率，用X表示此人所购买的灯泡中次品的个数，求X的分布列和数学期望．【解答】（本小题满分13分）解：（Ⅰ）a＝1﹣0.10﹣0.35﹣0.15﹣0.25＝0.15，b＝200﹣20﹣30﹣70﹣50＝30．…（2分）（Ⅱ）由表可知：灯泡样品中优等品有50个，正品有100个，次品有50个，∴优等品、正品和次品的比例为50：100：50＝1：2：1．…（4分）∴按分层抽样法，购买灯泡数n＝k+2k+k＝4k（k∈N*），∴n的最小值为4．…（6分）（Ⅲ）X的所有取值为0，1，2，3．…（7分）由题意，购买一个灯泡，且这个灯泡是次品的概率为0.1+0.15＝0.25，…（8分）从本批次灯泡中购买3个，可看成3次独立重复试验，∴，，，．…（11分）∴随机变量X的分布列为：…（12分）∴X的数学期望．…（13分）（注：写出，，k＝0，1，2，3．请酌情给分）17．（14分）如图，在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD和侧面BCC1B1都是矩形，E是CD的中点，D1E⊥CD，AB＝2BC＝2．（Ⅰ）求证：BC⊥D1E；（Ⅱ）求证：B1C∥平面BED1；（Ⅲ）若平面BCC1B1与平面BED1所成的锐二面角的大小为，求线段D1E的长度．【解答】（Ⅰ）证明：∵底面ABCD和侧面BCC1B1是矩形，∴BC⊥CD，BC⊥CC1，又∵CD∩CC1＝C，∴BC⊥平面DCC1D1，…（2分）∵D1E⊂平面DCC1D1，∴BC⊥D1E．…（4分）（Ⅱ）证明：∵BB1∥DD1，BB1＝DD1，∴四边形D1DBB1是平行四边形．连接DB1交D1B于点F，连接EF，则F为DB1的中点．在△B1CD中，∵DE＝CE，DF＝B1F，∴EF∥B1C．…（6分）又∵B1C⊄平面BED1，EF⊂平面BED1，∴B1C∥平面BED1．…（8分）（Ⅲ）解：由（Ⅰ）知BC⊥D1E，又∵D1E⊥CD，BC∩CD＝C，∴D1E⊥平面ABCD．…（9分）设G为AB的中点，以E为原点，EG，EC，ED1所在直线分别为x轴，y轴，z轴如图建立空间直角坐标系，设D1E＝a，则E（0，0，0），B（1，1，0），D1（0，0，a），C（0，1，0），B1（1，2，a），G（1，0，0）．设平面BED1法向量为＝（x，y，z），因为，由，得令x＝1，得＝（1，﹣1，0）．…（11分）设平面BCC1B1法向量为＝（x1，y1，z1），∵，∴由，得令z1＝1，得＝（0，﹣a，1）．…（12分）由平面BCC1B1与平面BED1所成的锐二面角的大小为，得，…（13分）解得a＝1．∴线段D1E的长度是1．…（14分）18．（13分）已知函数f（x）＝，其中a≥0．（Ⅰ）当a＝0时，求函数f（x）的图象在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）如果对于任意x1，x2∈R，且x1＜x2，都有f（x1）＜f（x2），求a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）由题意，得f'（x）＝（xlnx）'＝lnx+1，其中x＞0，…（2分）所以f'（1）＝1，又因为f（1）＝0，所以函数f（x）的图象在点（1，f（1））处的切线方程为y＝x﹣1．…（4分）（Ⅱ）先考察函数g（x）＝﹣x2+2x﹣3，x∈R的图象，配方得g（x）＝﹣（x﹣1）2﹣2，…（5分）所以函数g（x）在（﹣∞，1）上单调递增，在（1，+∞）单调递减，且g（x）＝g（1）＝﹣2．…（6分）max因为对于任意x1，x2∈R，且x1＜x2，都有f（x1）＜f（x2）成立，所以a≤1．…（8分）以下考察函数h（x）＝xlnx，x∈（0，+∞）的图象，则h'（x）＝lnx+1，令h'（x）＝lnx+1＝0，解得．…（9分）随着x变化时，h（x）和h'（x）的变化情况如下：即函数h （x ）在上单调递减，在上单调递增，且．…（11分）因为对于任意x 1，x 2∈R ，且x 1＜x 2，都有f （x 1）＜f （x 2）成立， 所以 ．…（12分）因为（即h （x ）min ＞g （x ）max ），所以a 的取值范围为．…（13分）19．（14分）已知椭圆W ：＝1，直线l 与W 相交于M ，N 两点，l 与x轴、y 轴分别相交于C 、D 两点，O 为坐标原点．（Ⅰ）若直线l 的方程为x +2y ﹣1＝0，求△OCD 外接圆的方程；（Ⅱ）判断是否存在直线l ，使得C ，D 是线段MN 的两个三等分点，若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由． 【解答】解：（Ⅰ）因为直线l 的方程为x +2y ﹣1＝0， 所以与x 轴的交点C （1，0），与y 轴的交点．…（1分）则线段CD 的中点，，…（3分）即△OCD 外接圆的圆心为，半径为， 所以△OCD 外接圆的方程为．…（5分）（Ⅱ）存在直线l ，使得C ，D 是线段MN 的两个三等分点． 理由如下：由题意，设直线l 的方程为y ＝kx +m （km ≠0），M （x 1，y 1），N （x 2，y 2）， 则，D （0，m ），…（6分）由方程组得（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣2＝0，…（7分）所以△＝16k2﹣8m2+8＞0，（*）…（8分）由韦达定理，得，．…（9分）由C，D是线段MN的两个三等分点，得线段MN的中点与线段CD的中点重合．所以，…（10分）解得．…（11分）由C，D是线段MN的两个三等分点，得|MN|＝3|CD|．所以，…（12分）即，解得．…（13分）验证知（*）成立．所以存在直线l，使得C，D是线段MN的两个三等分点，此时直线l的方程为，或．…（14分）20．（13分）在数列{a n}中，a n＝（n∈N*）．从数列{a n}中选出k（k≥3）项并按原顺序组成的新数列记为{b n}，并称{b n}为数列{a n}的k项子列．例如数列，，，为{a n}的一个4项子列．（Ⅰ）试写出数列{a n}的一个3项子列，并使其为等差数列；（Ⅱ）如果{b n}为数列{a n}的一个5项子列，且{b n}为等差数列，证明：{b n}的公差d满足﹣＜d＜0；（Ⅲ）如果{c n}为数列{a n}的一个m（m≥3）项子列，且{c n}为等比数列，证明：c1+c2+c3+…+c m≤2﹣．【解答】（Ⅰ）解：答案不唯一．如3项子列，，；（Ⅱ）证明：由题意，知1≥b1＞b2＞b3＞b4＞b5＞0，所以d＝b2﹣b1＜0．假设b1＝1，由{b n}为{a n}的一个5项子列，得，所以．因为b5＝b1+4d，b5＞0，所以4d＝b5﹣b1＝b5﹣1＞﹣1，即．这与矛盾．所以假设不成立，即b1≠1．所以，因为b5＝b1+4d，b5＞0，所以，即，综上，得．（Ⅲ）证明：由题意，设{c n}的公比为q，则．因为{c n}为{a n}的一个m项子列，所以q为正有理数，且q＜1，．设，且K，L互质，L≥2）．当K＝1时，因为，所以＝，所以．当K≠1时，因为是{a n}中的项，且K，L互质，所以a＝K m﹣1×M（M∈N*），所以＝．因为L≥2，K，M∈N*，所以．综上，．。
2014年北京市朝阳区中考一模数学试卷【含答案解析】
2014年北京朝阳中考一模数学试卷① 选择题（本题共32分，每小题4分）下列各题均有四个选项，其中只有一个．．是符合题意的． 1．5-的相反数是（ ）．A ．5B ．5-C ．15D ．15-2．高速公路假期免费政策带动了京郊旅游饿增长，据悉，2014年春节7天假期，北京市乡村民俗旅游接待游客约697000人次，比去年同期增长14.1%，将697000用科学计算法表示应为（ ）． A ．369710⨯ B ．469.710⨯ C ．56.9710⨯ D ．60.69710⨯② 把多项式2232x y xy y -+分解因式，正确的结果是（ ）．A ．2()y x y -B ．()()y x y x y +-C ．2()y x y +D ．22(2)y x xy y -+4．在九张质地都相同的卡片上分别写有数字1，2，3，4，5，6，7，8，9，在看不到数字的情况下，从中任意抽取一张卡片，则抽到的数字是奇数的概率是（ ）． A ．29 B ．13 C ．49 D ．595．如图，ABC △中，90C ∠=︒，点D 在AC 边上，DE AB ∥，若46ADE ∠=︒，则B ∠的度数是（ ）． A ．34︒ B ．44︒ C ．46︒ D ．54︒6．期中考试后，班里有两位同学议论他们小组的数学成绩，小辉说：“我们组考82分的人数最多”，小聪说：“我们组的7位同学成绩排在最中间的恰好也是82分”，上面两位同学的话能反映出的统计量是（ ）．A ．众数和平均数B ．平均数和中位数C ．众数和方差D ．众数和中位数7．如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线228y x mx =++的顶点A 在x 轴上，则m 的值是（ ）．A ．4±B ．8C ．8-D ．8±8．正方形网格中的图形（1）-（4）如图所示，其中图（1）、图（2）中的阴影三角形都是一个角是60︒的直角三角形，图（3）、图（4）中的阴影三角形都是有一个角是60︒的锐角三角形．以上图形中能围成正三棱柱的图形是（ ）．A ．（1）和（2）B ．（3）和（4）C ．（1）和（4）D ．（2）、（3）、（4）二、填空题（本题共16分，每小题4分）9．请写出一个经过第一、二、三象限，并且与y 轴交于点(0,1)的直线表达式，y =_______________．10．如图，某零件的外径为30mm ，现用一个交叉卡钳（两条尺长AC 和BD 相等，OC OD =）测量零件的内孔直径AB ，若:1:2OC OA =，且量得12mm CD =，则零件的厚度=x _______mm ．11．将一张半径4的圆形纸片（如图①）连续对折两次后展开得折痕AB 、CD ，且AB CD ⊥，垂足为M （如图②），之后将纸片如图③翻折，使点B 与点M 重合，折痕EF 与AB 相交于点N ，连接AE 、AF （如图④），则AEF △的面积是___________．12．如图，在反比例函数2(0)y xx=>的图像上有点1A ，2A ，3A ，，1n A -，n A ，这些点的横坐标分别是1，2，3，L ，1n -，n 时，点2A 的坐标是_________；过1A 作x 轴的垂线，垂足为1B ，再过点2A 作2111A P A B ⊥于点1P ，以点1P 、1A 、2A 为顶点的112P A A △的面积记为1S ，按照以上的方法继续作图，可以得到223P A A △，L ，11n n n P A A --△，其面积分别记为2S ，，1n S -，则121n S S S -+++=___________．三、解答题（本题共30分，每小题5分）13．计算：()10185+4cos 453π-⎛⎫----︒ ⎪⎝⎭．14．解不等式组：2202113x x x -⎧⎪+⎨>-⎪⎩≥．15．已知2240x x +-=，求代数式22(1)(6)3x x x ---+的值．16．如图，四边形ABCD 是正方形，AE 、CF 分别垂直于过顶点B 的直线l ，垂足分别为E 、F ，求证：=BE CF ．17．如图，在平面直角坐标系xOy 中，矩形ABCD 的边=6AD ，(1,0)A ，(9,0)B ，直线y kx b =+经过B 、D 两点．（1）求直线y kx b =+的表达式；（2）将直线y kx b =+平移，当它与矩形ABCD 没有公共点时，直接写出b 的取值范围．18．列方程或方程组解应用题： 从A 地到B 地有两条行车路线．路线一：全程30千米，但路况不太好；路线二：全程36千米，但路况比较好，一般情况下走路线二的平均车速是走路线一的平均速度的1.8倍，走路线二所用的时间比走路线一所用的时间少20分钟．那么走路线二的平均车速是每小时多少千米？四、解答题（本题共20分，每小题5分）19．如图，ABC △中，BC AC >，点D 在BC 上，且CA CD =，ACB ∠的平分线交AD 于点F ,E 是AB 的中点，连接EF ． （1）求证：//EF BD ；（2）若60ACB ∠=︒，8AC =，12BC =，求四边形BDFE 的面积．20．据报道，历经一年半的调查研究，北京市PM2.5污染源解析已经通过专家论证．各种调查显示，机动车成为PM2.5的最大来源，一辆车一天行驶20千米，那么这辆车每天至少就要向大气里排放0.035千克污染物．以下是相关的统计图，表：（1）请根据所给信息补全扇形统计图；（2）请你根据“2013年北京市全年空气质量等级天数统计表”计算该年重度污染和严重污染出现的频率共是多少？（精确到0.01）（3）小明是社区环保志愿者，他和同学们调查了本社区的100辆私人轿车，了解到其中每天出行超过20千米的有40辆．已知北京市2013年机动车保有量已突破520万辆，请你通过计算，估计2013年北京市一天中出行超过20千米的私人轿车至少要向大气里排放多少千克污染物？21．如图，CA、CB为Oe的切线，切点分别为A、B，直径AD的延长线与CB的延长线交于点E，AB、CO交于点M，连接OB．（1）求证：12ABO ACB ∠=∠；（2）若10sin10EAB∠=，12CB=，求Oe的半径及BEAE的值．空气质量等级优良轻度污染中度污染重度污染严重污染天数（天）41 135 84 47 45 1322．以下是小辰同学阅读的一份材料和思考：、五个边长为1的小正方形如图①放置，用两条线段把他们分割成三部分（如图②），移动其中的两部分，与未移动的部分恰好拼接成一个无空隙无重叠的新正方形（如图③）．小辰阅读后发现，拼接前后图形的面积相等，若设新正方形的边长为(0)x x >，可得25x =，5x =．由此可知新正方形边长等于两个小正方形组成的矩形的对角线长．参考上面的材料和小辰的思考方法，解决问题：五个边长为1的小正方形如图④放置，用两条线段把它们分割成四部分，移动其中的两部分，与未移动的部分恰好拼接成一个无空隙无重叠的矩形且所得矩形的邻边之比为1:2． 具体要求如下：（1）设拼接后的矩形的长为a ，宽为b ，则a 的长度为________． （2）在图④中，画出符合题意的两条分割线（只要画出一种即可）； （3）在图⑤中，画出拼接后符合题意的矩形（只要画出一种即可）．五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分） 23．已知关于x 的一元二次方程23(1)230mx m x m -+++=． ③ 如果该方程有两个不相等的实数根，求m 的取值范围；④ 在（1）的条件下，关于x 的二次函数23(1)23y mx m x m =-+++的图像与x 轴交点的横坐标都是整数，且4x <时，求m 的整数值．24．在ABC △中，AC BC =，在AED △中，AD ED =，点D 、E 分别在CA 、AB 上， ⑤ 如图①，若90ACB ADE ∠=∠=︒，则CD 与BE 的数量关系是 ；⑥ 若120ACB ADE ∠=∠=︒，将AED △绕点A 旋转至如图②所示的位置，则CD 与BE 的数量关系是 ； ⑦ 若2(090)ACB ADE αα∠=∠=<<︒，将AED △绕点A 旋转至如图③所示的位置，探究线段CD 与BE 的数量关系，并加以证明（用含α的式子表示）．25．在平面直角坐标系中，点(23,0)A -、点(0,2)B ，C 是线段OA 的中点． ⑧P 是直线AB 上的一个动点，当PC PO +的值最小时，⑨ 画出符合要求的点P （保留作图痕迹）； ② 求出点P 的坐标及PC PO +的最小值；（2）当经过点O 、C 的抛物线2y ax bx c =++与直线AB 只有一个公共点时，求a 的值并指出公共点所在的象限．2014年北京朝阳中考一模数学试卷答案一、选择题（本题共32分，每小题4分）1 2 3 4 5 6 7 8 A C A DB D B C二、填空题（本题共16分，每小题4分）910 11 12 答案不唯一，1y x =+3123(2,1)；11n-三、解答题（本题共30分，每小题5分） 13．解：原式2=322142---+⨯=4-．14．解：2202113x x x -⎧⎪+⎨>-⎪⎩≥解220x -≥得，1x ≥，解2113x x +>-得，4x <， 原不等式组的解集为14x <≤． 15．原式222(21)63x x x x =-+-++ 22=24263x x x x -+-++ 225x x =++∵224=0x x +- ∴22=4x x + ∴原式=4+5=9．故原代数式的值为9．16．证明：∵四边形ABCD 是正方形， ∴AB BC =，90ABC ∠=︒． ∵AE l ⊥，CF l ⊥， ∴90AEB BFC ∠=∠=︒．∵90ABE CBF ∠+∠=︒，90BCF CBF ∠+∠=︒ ∴ABE BCF ∠=∠． 在ABE △和BCF △中， AEB BFC ABE BCF AB BC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=∴ABE BCF ≅△△ (AAS)∴BE CF =．17．解：（1）依题可知，6AD =，=6AD ，(1,0)A ， 将(9,0)B ，(1,6)D 代入y kx b =+， 690k b k b +=⎧⎨+=⎩， 解得：34274k b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩．∴直线BD 的解析式是32744y x =-+．（2）(1,0)A ，(9,6)C直线34y x b =-+平移经过A 、C ，3104b -⨯+=，34b =；3964b -⨯+=，27516=44b =+． ∴34b <或514b >．18．解：路线一的平均车速是每小时x 千米，路线二的平均车速是每小时1.8千米． 20分钟1=3小时，依题可知：301363 1.8x x-=， 解得，30x =． 经检验，30x =是原方程的解，且符合题意． 1.8 1.83054x =⨯=（千米）． 答：线路二的平均车速为每小时54千米．19．证明：（1）∵CA CD =，ACF DCF ∠=∠ ∴AF DF =． ∵AE BE = ∴EF BD ∥．（2）过点F 作FH BC ⊥于H ． ∵CA CD =，60ACB ∠=︒， ∴ACD △为等边三角形． ∴60ADC ∠=︒．∴8AC AD ==，4AF DF ==．∵12BC =， ∴4BD =，122EF BD ==． 11()(24)236322BCFES EF BD FH =+⨯=⨯+⨯=． ∴四边形BDFE 的面积是63．20．（1）122.4%18.1%14.3%14.1%31.1%----=．（2）45+130.16365≈． （3）4052000000.035=72800100⨯⨯（千克）21．证明：（1）∵CA 、CB 为⊙O 的切线， ∴90CAO CBO ∠=∠=︒，CA CB = 在CAO △和CBO △中， CA AB OA OB CO CO =⎧⎪=⎨⎪=⎩∴CAO CBO ≅△△∴12ACO BCO ACB ∠=∠=∠∴AB AO ⊥．∴90OAB AOC ∠+∠=︒，90ACO AOC ∠+∠=︒∴12ABO OAB ACO ACB ∠=∠=∠=∠．⑩ 连结BD ． ∵10sin 10EAB ∠=，12CB = ∴1tan 3BO BCO BC ∠==，4BO =，410OC =． 在Rt CBO △中，4126105410BO BC BM CO ⋅⨯===． 121025AB BM ==． ∵AD 是⊙O 的直径， ∴90ABD ∠=︒，1tan 3BD BAD AB ∠==，4105BD =． ∴BD CO ∥∴15BE ED BD CE EO CO ===． ∴3BE =，1DE =，9AE =，∴3193BE AE ==． 22．解：（1）225ab b ==，252b =，102b =，210a b ==； （2）（3）23．解：（1）依题可知：209(1)4(23)0m m m m ≠⎧⎨∆=+-⨯⨯+>⎩22=69(3)0m m m ∆++=+>，3m ≠-∴方程有两个不相等的实数根时，m 的取值范围为0m ≠且3m ≠-．（2）23(1)230mx m x m -+++=[](23)(1)0mx m x -+-=11x =，22332m x m m+==+． ∵4x <，1x ，2x ，m 都是整数，且12x x ≠ ∴1m =-或=3m ．24．（1）2BE CD =．（2）3BE CD =．（3）2sin BE CD α=⋅过点C 作CH AB ⊥交AB 于H ．∵CA CB =，DA DE =，2ACB ADE α∠=∠=，∴ACB ADE ∽△△ ∴AD AE AC AB=． 又∵CAB DAE ∠=∠∴CAD BAE ∠=∠，∴ADC AEB ∽△△， ∴BE AB CD AC=． ∵CA CB =，AH AB ⊥，∴AH BH =，ACH BCH α∠=∠=． ∴22sin BE AB AH CD AC ACα=== ∴2sin BE CD α=⋅．25．（1）①画图；②O 点关于直线AB 的对称点为(3,3)O '-，设直线AB 的解析式为y kx b =+，2230b k b =⎧⎪⎨-+=⎪⎩， 解得，233b k =⎧⎪⎨=⎪⎩． 直线AB 的解析式为323y x =+． 当3x =-时，1y =，(3,1)P -．PC PO +的最小值为O C '，(3,0)C -，3O C '=．（2）设抛物线的解析式是2(3)=3y a x x ax ax =++．抛物线与直线AB 只有一个公共点时，23233y x y ax ax ⎧=+⎪⎨⎪=+⎩ 23(3)203ax a x +--= 2231(3)4(2)36033a a a a ∆=--⨯-=++= 291810a a ++=181********a -±-±== 当3223a --=时，交点坐标为第二象限； 当3+223a -=时，交点坐标为第三象限．2014年北京朝阳一模数学试卷部分解析一、选择题⑪ 【答案】A【解析】5-的相反数是5，故选A ．⑫ 【答案】C【解析】697000用科学记数法表示为56.9710⨯，故选C ．⑬ 【答案】A【解析】因式分解：2232222=(2)()x y xy y y x xy y y x y -+-+=-，故选A ．⑭ 【答案】D【解析】1~9一共9个数字，其中有5个奇数，任意抽取一张，抽到的数字是奇数的概率是59，故选D ．⑮ 【答案】B【解析】∵DE AB ∥，∴46A ADE ∠=∠=︒，∵90C ∠=︒，46A ∠=︒，∴44B ∠=︒，故选B ．⑯ 【答案】D【解析】人数最多的是众数，排在最中间的是中位数，故选D ．⑰ 【答案】B【解析】抛物线228y x mx =++的顶点A 在x 轴上，2=4280m ∆-⨯⨯=，8m =±，又因为对称轴在y 轴左侧，0m >，故8m =，故选B ．⑱ 【答案】C【解析】依图可知，围成的正三棱柱，上下两个底面是等边三角形，图（2）和图（3）不能拼接成，故选C ．二、填空题⑲ 【答案】答案不唯一，1y x =+【解析】经过一、二、三象限，0k >，经过(0,1)，1b =．故答案为：答案不唯一，1y x =+．⑳ 【答案】3【解析】依题可知，AOB COD ∽△△，12OC CD OA AB ==，12mm CD =，24mm AB =，30243mm 2x -==． 故答案为：3．21 【答案】123【解析】依题意可知，AEF △为等边三角形，43AE =，23(43)1234AEF S =⨯=△．故答案为：123．22 【答案】(2,1)；11n- 【解析】2A 在反比例函数2y x=上，其横坐标为2，纵坐标为1． 2(2,1)A ，32(3,)3A ，42(4,)4A ，52(5,)5A L 2(,)n A n n 12311222221(21)(1)()()=123341n S S S S n n n -⎡⎤++++=-+-+-++--⎢⎥-⎣⎦L L ． 故答案为：(2,1)；11n-．。
2014年北京市各区一模试题题型汇编--函数与导数(理科)附答案
2014年北京市各区高三一模试题题型汇编—函数与导数(理科) 1 (2014年东城一模理科)2 (2014年西城一模理科)下列函数中，对于任意x ∈R ，同时满足条件()()f x f x =-和(π)()f x f x -=的函数是（ ）（A ）()sin =f x x （C ）()cos =f x x（B ）()sin cos =f x x x （D ）22()cos sin =-f x x x3 (2014年西城一模理科)如图，在直角梯形ABCD 中，//AB CD ，AB BC ⊥，2AB =，1CD =，(0)BC a a =>，P 为线段AD （含端点）上一个动点，设AP xAD =，PB PC y ⋅=，对于函数()y f x =，给出以下三个结论：○1 当2a =时，函数()f x 的值域为[1,4]； ○2 (0,)a ∀∈+∞，都有(1)1f =成立；○3 (0,)a ∀∈+∞，函数()f x 的最大值都等于4. 其中所有正确结论的序号是________.4 (2014年海淀一模理科)下列函数()f x 图象中，满足1()(3)(2)4f f f >>的只可能是（）．A B C D5 (2014年海淀一模理科)已知(1,0)A ，点B 在曲线:G ln(1)y x =+上，若线段AB 与曲线D CP1:M 1y x=相交且交点恰为线段AB 的中点，则称B 为曲线G 关于曲线M 的一个关联点．记曲线G 关于曲线M 的关联点的个数为a ，则（ ）．A ．0a =B ．1a =C ．2a =D ．2a >6 (2014年海淀一模理科)函数2y x x =-的图象与x 轴所围成的封闭图形的面积等于______．7 (2014年朝阳一模理科) 已知集合1{|()1}2x A x =<，集合{|lg 0}B x x =>，则A B =U （A ．{|0}x x >B ．{|1}x x >C ．{|1}{|0}x x x x ><UD ．∅8 (2014年朝阳一模理科)已知函数2sin ()1xf x x =+．下列命题： ①函数()f x 的图象关于原点对称； ②函数()f x 是周期函数；③当2x π=时，函数()f x 取最大值；④函数()f x 的图象与函数1y x=的图象没有公共点，其中正确命题的序号是（） A ．①③ B ．②③ C ．①④ D ．②④9 (2014年丰台一模理科)已知函数()f x 是定义在[6,6]-上的偶函数，且(3)(1)f f >，则下列各式中一定成立的是)（A ）(0)(6)f f < （B ）(-3)(-2)f f > （C ）(1)(3)f f -< （D ）(-2)(1)f f > 10 (2014年丰台一模理科) “1m n >>”是 “log 2log 2m n <”的 （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件11 (2014年石景山一模理科)下列函数中，在(0)+∞，内单调递减，并且是偶函数的是（） A ．2y x =B ．1y x =+C ．lg ||y x =-D ．2x y =12 (2014年石景山一模理科)若存在实常数k 和b ，使得函数()f x 和()g x 对其定义域上的任意实数x 分别满足：()f x kx b ≥+和()g x kx b ≤+，则称直线:l y kx b =+为()f x 和()g x 的“隔离直线”．已知函数2()1f x x =-和函数()2ln g x x =，那么函数()f x 和函数()g x 的隔离直线方程为________．13 (2014年顺义一模理科)已知0a >且1a ≠，函数(1)34,(0)(),(0)xa x a x f x a x -+-≤⎧=⎨>⎩满足对任意实数12x x ≠，都有2121()()0f x f x x x ->-成立，则a 的取值范围是（）（A ）()0,1（B ）()1,+∞ （C ）51,3⎛⎤⎥⎝⎦（D ）5,23⎡⎫⎪⎢⎣⎭14 (2014年延庆一模理科)对于函数x e x f axln )(-=，（a 是实常数），下列结论正确的一个是()A ．1=a 时，)(x f 有极大值，且极大值点)1,21(0∈x B ．2=a 时，)(x f 有极小值，且极小值点)41,0(0∈x C ．21=a 时，)(x f 有极小值，且极小值点)2,1(0∈x D ．0<a 时，)(x f 有极大值，且极大值点)0,(0-∞∈x 15 (2014年东城一模理科)16 (2014年西城一模理科)已知函数2ln ,,()23,,x x x a f x x x x a >⎧⎪=⎨-+-⎪⎩≤ 其中0a ≥．（Ⅰ）当0a =时，求函数()f x 的图象在点(1,(1))f 处的切线方程；（Ⅱ）如果对于任意12,x x ∈R ，且12x x <，都有12()()f x f x <，求a 的取值范围.17 (2014年海淀一模理科) 已知曲线:e axC y =．（Ⅰ）若曲线C 在点(0,1)处的切线为2y x m =+，求实数a 和m 的值；（Ⅱ）对任意实数a ，曲线C 总在直线l ：y ax b =+的上方，求实数b 的取值范围．18 (2014年朝阳一模理科)已知函数21()ln 2f x ax x =-，a ∈R ．（Ⅰ）求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）若函数()f x 在区间[1,e]的最小值为1，求a 的值．19 (2014年丰台一模理科)已知曲线()xf x ax e =-(0)a ≠.（Ⅰ）求曲线在点（0,(0)f ）处的切线方程；（Ⅱ）若存在0x 使得0()0f x ≥，求a 的取值范围. 20 (2014年石景山一模理科)设函数2()ln ()f x x ax x a =+-∈R ．（Ⅰ）若1a =，求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）若函数()f x 在区间(01]，上是减函数，求实数a 的取值范围； （Ⅲ）过坐标原点O 作曲线)(x f y =的切线，证明：切点的横坐标为1．21 (2014年顺义一模理科)已知函数21()ln 2f x ax x x =-+（,0a R a ∈≠） （Ⅰ）当2a =时，求曲线()y f x =在(1,(1))f 处的切线方程；（Ⅱ）若在区间[)1,+∞上函数()f x 的图象恒在直线y ax =下方，求a 的取值范围21()()ln 2g x f x ax ax x x ax =-=-+-定义域(0,)+∞ 在区间[)1,+∞上，函数()f x 的图象恒在直线y ax =下方，22 (2014年延庆一模理科)已知函数b ax x x f +-=3)(3，),(R b a ∈． （Ⅰ）求)(x f 的单调区间；（Ⅱ）曲线)(x f y =在0=x 处的切线方程为023=-+a y ax ，且)(x f y =与x 轴有且只有一个公共点，求a 的取值范围．12D3_○2,○34 D5 B61 6_7A）8C9(C 10(A) 11C12_22 y x=-13C 14C 1516（Ⅰ）解：由题意，得()(ln )ln 1f x x x x ''==+，其中0x >… 2分所以 (1)1f '=，又因为(1)0f =，所以函数()f x 的图象在点(1,(1))f 处的切线方程为1y x =-. ………… 4分 （Ⅱ）解：先考察函数2()23g x x x =-+-，x ∈R 的图象，配方得2()(1)2g x x =---， ………… 5分所以函数()g x 在(,1)-∞上单调递增，在(1,)+∞单调递减，且max ()(1)2g x g ==-.………… 6分因为对于任意12,x x ∈R ，且12x x <，都有12()()f x f x <成立，所以 1a ≤. ……………… 8分 以下考察函数()ln h x x x =，(0,)x ∈+∞的图象，则 ()ln 1h x x '=+， 令()ln 10h x x '=+=，解得1e=x . ……… 9分 随着x 变化时，()h x 和()h x '的变化情况如下：即函数()h x 在1(0,)e 上单调递减，在1(,)e +∞上单调递增，且min 11()()e e==-h x h … 11分因为对于任意12,x x ∈R ，且12x x <，都有12()()f x f x <成立， 所以 1e≥a . …… 12分因为 12e->-（即min max ()()h x g x >）， 所以a 的取值范围为1,e [1].…………… 13分 17解（Ⅰ）e ax y a '=，——————————————————2分因为曲线C 在点（0，1）处的切线为L ：2y x m =+，所以120m =⨯+且0|2x y ='=—4分 解得1m =，2a =—————————————————5分（Ⅱ）法1：对于任意实数a ，曲线C 总在直线的y ax b =+的上方，等价于 ∀x ，a R ∈，都有e ax ax b >+，即∀x ，a ∈R ，e 0ax ax b -->恒成立，————6分 令()e ax g x ax b =--，————————————————————7分 ①若a=0，则()1g x b =-，所以实数b 的取值范围是1b <；————8分 ②若0a ≠，()(e 1)ax g x a '=-，由'()0g x =得0x =，———————9分'(),()g x g x 的情况如下：————————————————————————11分所以()g x 的最小值为(0)1g b =-，—————————————————————12分 所以实数b 的取值范围是1b <；综上，实数b 的取值范围是1b <．——————13分 法2：对于任意实数a ，曲线C 总在直线的y ax b =+的上方，等价于∀x ，a R ∈，都有e ax ax b >+，即∀x ，a ∈R ，e ax b ax <-恒成立，——————6分 令t ax =，则等价于∀t ∈R ，e t b t <-恒成立，令()e t g t t =-，则()e 1t g t '=-，—7分 由'()0g t =得0t =，———————————9分'(),()g t g t 的情况如下：——————————————————————11分所以()e t g t t =-的最小值为(0)1g =， ————————————12分 实数b 的取值范围是1b <．————————————————————13分 18解：函数()f x 的定义域是(0,)+∞，1()f x ax x '=-21ax x-=． （Ⅰ）（1）当0a =时，1()0f x x'=-<，故函数()f x 在(0,)+∞上单调递减．（2）当0a <时，()0f x '<恒成立，所以函数()f x 在(0,)+∞上单调递减．（3）当0a >时，令()0f x '=，又因为0x >，解得x =①当x ∈时，()0f x '<，所以函数()f x 在单调递减．②当)x ∈+∞时，()0f x '>，所以函数()f x 在)+∞单调递增． 综上所述，当0a ≤时，函数()f x 的单调减区间是(0,)+∞，当0a >时，函数()f x 的单调减区间是，单调增区间为)+∞．……7分（Ⅱ）（1）当0a ≤时，由（Ⅰ）可知，()f x 在[1,e]上单调递减， 所以()f x 的最小值为21(e)e 112f a =-=，解得240ea =>，舍去．（2）当0a >时，由（Ⅰ）可知，1，即1a ≥时，函数()f x 在[1,e]上单调递增， 所以函数()f x 的最小值为1(1)12f a ==，解得2a =．②当1e <，即211ea <<时，函数()f x 在上单调递减，在上单调递增，所以函数()f x 的最小值为11ln 122f a =+=，解得e a =，舍去．e ，即210ea <≤时，函数()f x 在[1,e]上单调递减， 所以函数()f x 的最小值为21(e)e 112f a =-=，得24ea =，舍去．综上所述，2a =．…………………………13分19解：（Ⅰ）因为(0)1f =-，所以切点为（0，-1）.()x f x a e '=-，(0)1f a '=-， 所以曲线在点（0,(0)f ）处的切线方程为：y=(a-1)x-1.-------------------4分（Ⅱ）（1）当a>0时，令()0f x '=，则ln x a =.因为()x f x a e '=-在(,)-∞+∞上为减函数，所以在(,ln )a -∞内()0f x '>，在(ln ,)a +∞内()0f x '<，所以在(,ln )a -∞内()f x 是增函数，在(ln ,)a +∞内()f x 是减函数， 所以()f x 的最大值为(ln )ln f a a a a =-因为存在0x 使得0()0f x ≥，所以ln 0a a a -≥，所以a e ≥. （2）当0a <时，()x f x a e '=-<0恒成立，函数()f x 在R 上单调递减,而11()10a f e a=->，即存在0x 使得0()0f x ≥，所以0a <.综上所述，a 的取值范围是(-∞,0)∪[e,+∞)----------------------------------------13分 20解：（Ⅰ）1a =时，2()ln (0)f x x ax xx =+->，1(21)(1)()21x x f x x x x-+'∴=+-＝，…………………………1分11(0)()0()()022x f x x f x ''∈<∈+∞>，，，，，，()f x 的减区间为1(0)2，，增区间1()2+∞，．…………………………3分（Ⅱ）1()2f x x a x'=+-()f x 在区间(01]，上是减函数， ()0f x '∴≤对任意(01]x ∈，恒成立，即120x a x+-≤对任意(01]x ∈，恒成立，…………5分12a x x ∴≤-对任意(01]x ∈，恒成立，令1()2g x x x=-，min ()a g x ∴≤，……7分 易知()g x 在(01]，单调递减，min ()(1)1g x g ∴==-．1a ∴≤-．…………………8分 （Ⅲ）设切点为(())M t f t ，，1()2f x x a x'=+-， 切线的斜率12k t a t=+-，又切线过原点()f t k t=， ()22212ln 211ln 0f t t a t at t t at t t t t=+-+-=+-∴-+=，即：， 存在性：1t =满足方程21ln 0t t -+=，所以，1t =是方程21ln 0t t -+=的根．…11分 再证唯一性：设()21ln t t t ϕ=-+，()1'20t t tϕ=+>，()t ϕ在(0,)+∞单调递增，且()1=0ϕ，所以方程21ln 0t t -+=有唯一解．综上，切点的横坐标为1．…………………………13分 2122解：（Ⅰ）a x x f 33)(2-='，………………1分（1）当0≤a 时，0)(≥'x f 恒成立，此时)(x f 在),(+∞-∞上是增函数，……2分 （2）当0>a 时，令0)(='x f ，得a x ±=；令0)(>'x f ，得a x -<或a x >令0)(<'x f ，得a x a <<-∴)(x f 在),(a --∞和),(+∞a 上是增函数，在],[a a -上是减函数．…………5 分（Ⅱ）∵a f 3)0(-='，b f =)0(，∴曲线)(x f y =在0=x 处的切线方程为ax b y 3-=-，即03=-+b y ax ，∴a b 2=，∴a ax x x f 23)(3+-=………………7 分由（Ⅰ）知，（1）当0≤a 时，)(x f 在区间),(+∞-∞单调递增，所以题设成立………………8 分 （2）当0>a 时，)(x f 在a x -=处达到极大值，在a x =处达到极小值，此时题设成立等价条件是0)(<-a f 或0)(>a f ， 即：02)(3)(3<+---a a a a 或02)(3)(3>+-a a a a 即：023<++-a a a a a 或023>+-a a a a a ………………11 分 解得：10<<a ………………12 分由（1）（2）可知a 的取值范围是)1,(-∞．………………13分。
北京市顺义区2014年中考一模数学试题8,12,22,23,24,25题及答案
顺义区2014届初三第一次统一练习数学试卷108．如图，点C 为⊙O 的直径AB 上一动点，2AB =，过点C 作DE AB ⊥交⊙O 于点D 、E ，连结AD ，AE ． 当点C 在AB 上运动时，设AC 的长为x ，ADE △的面积为y ，下列图象中，能表示y 与x 的函数关系的图象大致二、填空题（本题共16分，每小题4分）12．如图，所有正三角形的一边平行于x 轴，一顶点在y 轴上．从内到外，它们的边长依次为2,4,6,8，…，顶点依次用1A ，2A ，3A ，4A ，…表示，其中x 轴与边12A A ，边12A A 与45A A ，45A A 与78A A ，…均相距一个单位，则顶点3A 的坐标为 ；31A 的坐标为 ；32n A -（n 为正整数）的坐标为22．在ABC △中，BC a =，AC b =，AB c =，设c 为最长边．当222a b c +=时，ABC △是直角三角形；当222a b c +≠时，利用代数式22a b +和2c 的大小关系，可以判断ABC △的形状（按角分类）． （1）请你通过画图探究并判断：当ABC △三边长分别为6，8，9时， ABC △为____三角形；当ABC △三边长分别为6，8，11时，ABC △为______三角形．（2）小明同学根据上述探究，有下面的猜想：“当22a b +>2c 时，ABC △为锐角三角形；当22a b +<2c 时，ABC △为钝角三角形．” 请你根据小明的猜想完成下面的问题：当2a =，4b =时，最长边c 在什么范围内取值时， ABC △是直角三角形、锐角三角形、钝角三角形？23．已知抛物线2221y x mx m =-+-+与x 轴交点为A 、B （点B 在点A的右侧），与y 轴交于点C ．（1）试用含m 的代数式表示A 、B 两点的坐标；（2）当点B 在原点的右侧，点C 在原点的下方时，若BOC △是等腰三角形，求抛物线的解析式；（3）已知一次函数y kx b =+，点P （n ，0）是x 轴上一个动点，在OA 9A 8A 7A 6A 5A 4A 3A 2A 1x y（2）的条件下，过点P 作垂直于x 轴的直线交这个一次函数的图象于点M ，交抛物线2221y x mx m =-+-+于点N ，若只有当14n <<时，点M 位于点N 的下方，求这个一次函数的解析式．24．已知：如图，MNQ △中，MQ NQ ≠．（1）请你以MN 为一边，在MN 的同侧构造一个与MNQ △全等的三角形，画出图形，并简要说明构造的方法；（2）参考（1）中构造全等三角形的方法解决下面问题：如图，在四边形ABCD 中，180ACB CAD ∠+∠=︒，B D ∠=∠．求证：CD=AB ．25．设p q ，都是实数，且p q <．我们规定：满足不等式p x q ≤≤的实数x 的所有取值的全体叫做闭区间，表示为[]p q ，．对于一个函数，如果它的自变量x 与函数值y 满足：当p x q ≤≤时，有p y q ≤≤，我们就称此函数是闭区间[]p q ，上的“闭函数”．（1）反比例函数2014y x=是闭区间[]12014，上的“闭函数”吗？请判断并说明理由； （2）若一次函数()0y kx b k =+≠是闭区间[]m n ，上的“闭函数”，求此函数的解析式；（3）若实数c ，d 满足c d <，且2d >，当二次函数2122y x x =-是闭区间[]c d ，上的“闭函数”时，求c d ，的值． Q N M D CB AM E D CB A顺义区2014届初三第一次统一练习8.A12．(0,1， (11,11)-，(,)n n -．22. 解：（1）锐角，钝角．（2）∵c 为最长边，∴46c <≤．①222a b c +=，即220c c ==，∴当c =②222a b c +>，即220c c <<<，0∴当4c <≤时，这个三角形是锐角三角形．③222a b c +<，即220c c >>，6c <<时，这个三角形是钝角三角形． 五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分）23．解：（1）令0y =，有22210x mx m -+-+=．∴2()10x m --+=． ∴2()1x m -=．∴11x m =+，21x m =-．∵点B 在点A 的右侧，∴(1,0)A m -，(1,0)B m +．（2）∵点B 在原点的右侧且在点A 的右侧，点C 在原点的下方，抛物线开口向下，∴10m ->．∴1m >∴1OB m =+．令0x =，有21y m =-+．∴21OC m =-．∵BOC △是等腰三角形，且∠BOC =90°，∴OB OC =．即211m m +=-．∴210m m --=．∴12m =，21m =-（舍去）．∴2m =．∴抛物线的解析式为243y x x =-+-．……………………………… 4分（3）依题意并结合图象可知，一次函数的图象与二次函数的图象交点的横坐标分别为1和4，由此可得交点坐标为(1,0)和(4,3)-．将交点坐标分别代入一次函数解析式y kx b =+中， 得 0 4 3.k b k b +=⎧⎨+=-⎩， 解得 1 1k b =-⎧⎨=⎩，． 一次函数的解析式为1y x =-+24．解：（1）过点N 在MN 的同侧作∠MNR =∠QMN ，在NR 上截取NP=MQ ，连结MP ．MNP △即为所求．……… 画图1分，构造说明1分，共2分（2）证明：延长BC 到点E ，使CE=AD ，连结AE ．∵180ACB CAD ∠+∠=︒， 180ACB ACE ∠+∠=︒， ∴CAD ACE ∠=∠．又∵AD = CE ，AC = CA ，∴ACD △≌CAE △．∴∠D=∠E ，CD=AE ．∵∠B=∠D ，∴∠B=∠E ．∴AE =AB ．∴CD=AB ．25. 解：（1）是； 由函数2014y x=的图象可知，当12014x ≤≤时，函数值y 随着自变量x 的增大而减少，而当1x =时，2014y =；2014x =时，1y =，故也有12014y ≤≤， 所以，函数2014y x=是闭区间[]12014，上的“闭函数”．…………………… 1分 （2）因为一次函数()0y kx b k =+≠是闭区间[]m n ，上的“闭函数”，所以根据一次函数的图象与性质，必有：①当0k >时，()km b m m n kn b n +=⎧≠⎨+=⎩，解之得10k b ==，． ∴一次函数的解析式为y x =．…………………………………………………… 3分 ②当0k <时，()km b n m n kn b m +=⎧≠⎨+=⎩，解之得1k b m n =-=+，．∴一次函数的解析式为y x m n =-++．………………………………………… 5分 故一次函数的解析式为y x =或y x m n =-++．（3）由于函数2122y x x =-的图象开口向上，且对称轴为2x =，顶点为()22-，，由题意根据图象，分以下两种情况讨论：①当2c d <≤时，必有x c =时，y c =且x d =时，y d =， 即方程2122x x x -=必有两个不等实数根，解得10x =，26x =． 而0，6分布在2的两边，这与2c d <≤矛盾，舍去； ……………………… 6分 ②当2c d <<时，必有函数值y 的最小值为2-，由于此二次函数是闭区间[]c d ，上的“闭函数”，故必有2c =-，…………… 7分 从而有[][]2c d d =-，，，而当2x =-时，6y =，即得点()26-，；又点()26-，关于对称轴2x =的对称点为()66，，由“闭函数”的定义可知必有x d =时，y d =，即2122d d d -= ，解得10d =，26d =．故可得2c =-，6d =符合题意．………………………………………………… 8分 综上所述，26c d =-=，为所求的实数．。
2014东城数学一模试卷及答案
567S 北京市东城区2013--2014学年第二学期初三综合练习（一）数学试卷2014.5学校 班级 姓名 考号考生须知1.本试卷共6页，共五道大题，25道小题，满分120分.考试时间120分钟.2.在试卷和答题卡上认真填写学校、班级、姓名和考号.3.试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效.4.在答题卡上，选择题、作图题用2B 铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答.5.考试结束，请将本试卷、答题卡一并交回. 一、选择题（本题共32分，每小题4分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的. 1.15-的绝对值是 A. 5 B.15 C. 15- D. -5 2.从财政部公布的2014年中央公共财政预算支出结构中，交通运输支出约为4350亿元，比去年同期增长7.1%.将4 350用科学记数法表示应为A. ×103B. 0.435×104C. 4.35×104D. 43.5×1023．一个多边形的每个外角都等于72°，则这个多边形的边数为A ． 5B ． 6C ． 7D ． 84．有五张形状、大小、质地都相同的卡片，上面分别画有下列图形：①正方形；②正三角形；③平行四边形；④等腰梯形；⑤圆.将卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取一张，正面图形既是轴对称图形，又是中心对称图形的概率是A.51 B. 52 C. 53 D. 54 5. 在某校“我的中国梦”演讲比赛中，有9名学生参加决赛，他们决赛的最终成绩各不相同.其中的一名学生想要知道自己能否进入前5名，不仅要了解自己的成绩，还要了解这9名学生成绩的6.如图，AB ∥CD ，点E 在BC 上，且CD =CE ，∠D =74°， 则∠B 的度数为A. 74°B. 32°C. 22°D. 16°7.若二次函数y =x 2﹣2x +c 的图象与y 轴的交点为（0，﹣3），则此二次函数有-3 -4 8.在平面直角坐标系中，四边形OABC 是矩形，点B 的坐标为（4，3）．平行于对角线AC 的直线m123456789-1-1-21234567tSO 123456789-1-1-21234567t SO 从原点O 出发，沿x 轴正方向以每秒1个单位长度的速度运动，设直线m 与矩形OABC 的两边分别交于点M ，N ，直线m 运动的时间为t （秒）．设△OMN 的面积为S ，则能反映S 与t 之间函数关系的大致图象是A BCD 二、填空题（本题共16分，每小题4分）3a a -=________________.9.分解因式：10.现定义运算“★”，对于任意实数a 、b ，都有a ★b =a 2﹣3a +b ，如：3★5=32﹣3×3+5，根据定义的运算求2★（-1）=．若x ★2=6，则实数x 的值是．11. 在平面直角坐标系中，点O 为坐标原点，点P 在第一象限，P 与x 轴交于O , A 两点， 点A 的坐标为（6,0），P 的半径为13，则点P 的坐标为____________.12. 在平面直角坐标系xOy 中，矩形OABC 如图放置，动点P 从（0，3）出发，沿所示方向运动，每当碰到矩形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当点P 第5次碰到矩形的边时，点P 的坐标为；当点P 第2014次碰到矩形的边时，点P 的坐标为____________. 三、解答题（本题共30分，每小题5分） 13.计算：10182cos 45()(2014)2--︒+-．14．求不等式组20,132x x x ->⎧⎪⎨+≥-⎪⎩的最小整数解．15.已知：如图，正方形ABCD ，E ，F 分别为DC ，BC 中点．求证：AE =AF ． 16．先化简，再求值： 2442m m m m m++⎛⎫+÷ ⎪⎝⎭，其中m 是方程22410x x +-=的根． 17.列方程或方程组解应用题某商店需要购进甲、乙两种商品共160件，其进价和售价如下表：(注:利润=售价-进价) 若商店计划销售完这批商品后能使利润达到1100元，问甲、乙两种商品应分别购进多少件? 18.如图，已知等腰△AOB 放置在平面直角坐标系xOy 中，OA=OB ，点B 的坐标为(3，4).（1）求直线AB 的解析式；（2）问将等腰△AOB 沿x 轴正方向平移多少个单位，能使点B 落在反比例函数32y x= （x ＞0）的图象上.四、解答题（本题共20分，每小题5分） 19.如图，将一张矩形纸片ABCD 沿直线MN 折叠，使点C 落在点A 处，点D 落在点E 处，直线MN 交BC 于点M ，交AD 于点N ．甲 乙进价(元/件) 15 35售价(元/件) 20 45（1）求证：CM=CN；（2）若△CMN的面积与△CDN的面积比为3：1，且CD=4，求线段MN的长．20．某中学以“我最喜爱的书籍”为主题，对学生最喜爱的一种书籍类型进行随机抽样调查，收集整理数据后，绘制出以下两幅未完成的统计图，请根据图1和图2提供的信息，解答下列问题：（1）在这次抽样调查中，一共调查了多少名学生？（2）请把折线统计图（图1）补充完整；（3）求出扇形统计图（图2）中，体育部分所对应的圆心角的度数；（4）如果这所中学共有学生1800名，那么请你估计最喜爱科普类书籍的学生人数．21.如图，AB是⊙O的直径，点E是BD上一点，∠DAC=∠AED．（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）若点E是BD的中点，连结AE交BC于点F，当BD=5，CD=4时，求DF的值．22.阅读下面材料：小炎遇到这样一个问题：如图1，点E、F分别在正方形ABCD的边BC，CD上，∠EAF=45°，连结EF，则EF=BE+DF，试说明理由．图1 图2小炎是这样思考的：要想解决这个问题，首先应想办法将这些分散的线段相对集中．她先后尝试了翻折、旋转、平移的方法，最后发现线段AB，AD是共点并且相等的，于是找到解决问题的方法．她的方法是将△ABE绕着点A逆时针旋转90°得到△ADG，再利用全等的知识解决了这个问题（如图2）．参考小炎同学思考问题的方法，解决下列问题：（1）如图3，四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=90°点E，F分别在边BC，CD上，∠EAF=45°．若∠B，∠D都不是直角，则当∠B与∠D满足_ 关系时，仍有EF=BE+DF；（2）如图4，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D、E均在边BC上，且∠DAE=45°，若BD=1，EC=2，求DE的长．图3 图4五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分）23.已知：关于x的一元二次方程mx2﹣（4m+1）x+3m+3=0 （m＞1）．（1）求证：方程有两个不相等的实数根；（2）设方程的两个实数根分别为x1，x2（其中x1＞x2），若y是关于m的函数，且y=x1﹣3x2，求这个函数的解析式；（3）将（2）中所得的函数的图象在直线m=2的左侧部分沿直线m=2翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象．请你结合这个新的图象回答：当关于m的函数y=2m+b的图象与此图象有两个公共点时，b的取值范围．24.如图1，已知∠DAC=90°，△ABC是等边三角形，点P为射线AD上任意一点（点P与点A不重合），连结CP，将线段CP绕点C顺时针旋转60°得到线段CQ，连结QB并延长交直线AD于点E.（1）如图1，猜想∠QEP=°；（2）如图2，3，若当∠DAC 是锐角或钝角时，其它条件不变，猜想∠QEP 的度数，选取一种情况加以证明；（3）如图3，若∠DAC =135°，∠ACP =15°，且AC =4，求BQ 的长．图1 图2 图3 25.在平面直角坐标系xOy 中，直线112y x =-+分别与x 轴，y 轴交于过点A ，B ，点C 是第一象限内的一点，且AB =AC ，AB ⊥AC ，抛物线212y x bx c =-++经过A ，C 两点，与x 轴的另一交点为D .（1）求此抛物线的解析式；（2）判断直线AB 与CD 的位置关系，并证明你的结论；（3）点M 为x 轴上一动点，在抛物线上是否存在一点N ，使以A ,B ,M ,N 四点构成的四边形为平行四边形？若存在，求点N 的坐标；若不存在，请说明理由.北京市东城区2013--2014学年第二学期初三综合练习（一）数学试卷参考答案及评分标准一、选择题（本题共32分，每小题4分）题 号 1 2 3 4 5 6 7 8 答 案 B AABD BC D二、填空题（本题共16分，每小题4分）题 号91011 12 答 案 (1)(1)a a a +--3﹣1或4(3,2)（1，4） （5,0）三、解答题：（本题共30分，每小题5分） 13．（本小题满分5分） 解：原式=2222212-⨯+-………………4分 =21+．………………5分 14．（本小题满分5分）解：解不等式○1得x ＞2；………………1分 解不等式○2得x ≤8．………………3分 ∴不等式组的解集为 2＜x ≤8．………………4分∴不等式组的最小整数解为3．………………5分 15．（本小题满分5分）证明：∵四边形ABCD 为正方形，∴ AB =AD ，∠B =∠D =90°，DC =CB ．………………2分∵E 、F 为DC 、BC 中点，∴DE =DC ，BF =BC ． ∴DE =BF ．………………3分 ∵在△ADE 和△ABF 中，∴△ADE ≌△ABF （SAS ）．………………4分 ∴AE =AF ．………………5分 16．（本小题满分5分）解：原式=22442m m m m m ++⋅+ =22(2)2m m m m +⋅+ =22m m +．………………3分 ∵m 是方程22410x x +-=的根，∴22410m m +-=． ∴2122m m +=．………………………5分 17．（本小题满分5分）解：设甲种商品应购进x 件，乙种商品应购进y 件. ………………………1分根据题意，得 1605101100.x y x y +=⎧⎨+=⎩………………………3分解得 10060.x y =⎧⎨=⎩………………………4分答：甲种商品购进100件，乙种商品购进60件. ………………………5分]18.（本小题满分5分）解：（1）过点B 作BC ⊥x 轴于点C .由勾股定理可得 5OB =.………1分 ∵OA=OB ，∴点A 的坐标为（5,0）.………2分设直线AB 的解析式为 y kx b =+.可求直线AB 的解析式为210y x =-+.………3分（2）将等腰△AOB 沿x 轴正方向平移5个单位，能使点B 落在反比例函数32y x= （x ＞0）的图象上.………5分 四、解答题（本题共20分，每小题5分） 19.（本小题满分5分）（1）证明：由折叠的性质可得：∠ANM =∠CNM .∵四边形ABCD 是矩形，∴ AD ∥BC .∴∠ANM =∠CMN . ∴∠CMN =∠CNM .∴CM =CN . ………2分（2）解：过点N 作NH ⊥BC 于点H ，则四边形NHCD 是矩形. ∴HC =DN ，NH =DC .∵△CM N 的面积与△CDN 的面积比为3：1， ∴MC =3ND =3HC .∴MH =2HC .设DN =x ，则HC =x ，MH =2x ， ∴CM =3x =CN ，在Rt △CDN 中，DC =2x =4，∴2x =. ∴HM =2.在Rt △MNH 中，MN =2281626MH NH +=+=.20.（本小题满分5分） 解：（1）90÷30%=300（名），一共调查了300名学生.（2）艺术的人数：300×20%=60名，其它的人数：300×10%=30名；补全折线图如图.（3）体育部分所对应的圆心角的度数为：×360°=48°.（4）1800×=480（名）．答：1800名学生中估计最喜爱科普类书籍的学生人数为480．21．（本小题满分5分）解：（1）∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ADB =∠ADC =90°．∵∠B =∠AED =∠CAD ，∠C =∠C ，∴∠BAC =∠ADC =90°．∴AC 是⊙O 的切线．………………2分 （2）可证△ADC ∽△BAC ．∴AC CDBC AC=．即AC 2=BC ×CD =36． 解得AC =6． ∵点E 是BD 的中点， ∴∠DAE =∠BAE .∵∠CAF =∠CAD +∠DAE =∠ABF +∠BAE =∠AFD ， ∴CA =CF =6，∴DF =CA ﹣CD =2．………………5分22．（本小题满分5分）解： (1)∠B +∠D =180°（或互补）．………………1分 (2)∵AB =AC ，∴把△ABD 绕A 点逆时针旋转90°至△ACG ，可使AB与AC重合. ………………2分 ∠B =∠ACG , BD=CG , AD=AG∵△ABC 中，∠BAC =90°，∴∠ACB +∠ACG =∠ACB +∠B =90°． 即∠ECG =90°．∴EC 2+CG 2=EG 2．………………3分 在△AEG 与△AED 中,∠EAG =∠EAC +∠CAG =∠EAC +∠BAD =90°-∠EAD =45°=∠EAD ． 又∵AD =AG ，AE =AE ，∴△AEG ≌△AED ．………………4分 ∴DE =EG ． 又∵CG =BD ,∴BD 2+EC 2=DE 2． ∴5DE =．………………5分五、解答题：（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分） 23．（本小题满分7分） 解：（1）证明：所以方程有两个不等实根.………………2分………………5分()21,=210.m m >∴∆->21G QPED CBAQPDB（3）作出函数3(1)m m>y=-的图象，并将图象在直线2m =左侧部分沿此直线翻折，所得新图形如图所示.易知点,A B 的坐标分别为3(3,3),(2,).2A B --当直线过点 A 时，可求得 过点B 时，可求得 因此，……………7分24. （本小题满分7分）解： (1) ∠QEP =60°．………………1分 (2) ∠QEP =60°．证明: 如图1，以∠DAC 是锐角为例． ∵△ABC 是等边三角形， ∴AC =BC ，∠ACB =60°．又由题意可知，CP =CQ ，∠PCQ =6O °． ∴∠ACP =∠BCQ ． ∴△ACP ≌△BCQ ． ∴∠APC =∠Q ．设PC 与BQ 交于点G ， 图1 ∵∠1=∠2，∴∠Q EP =∠PCQ =60°． ………………4分 （3）由题意可求，∠APC =30°，∠PCB =45°． 又由（2）可证 ∠QEP =60°． ∴ 可证QE 垂直平分PC ，△GBC 为等腰直角三角形．2y m b =+9,b =-11,2b =-119.2b -<<-12345678910-1-2-1-2-3-4-512345xyOA BCDN 1N 2N 3N 4E∵AC =4，∴22GC =，26GQ =．∴2622BQ =-． ………………7分25．（本小题满分8分）解：（1）由题意可求点A (2，0)，点B （0,1）.过点C 作CE ⊥x 轴，易证△AOB ≌△ECA .∴OA =CE =2，OB =AE =1.∴点C 的坐标为（3,2）.………………1分 将点A (2，0)，点C (3，2)代入212y x bx c =-++，解得9,27.b c ⎧=⎪⎨⎪=-⎩∴二次函数的解析式为219722y x x =-+-.………………2分(2)令2197022x x -+-=，解得7D x =.∴D 点坐标为（7,0）.可求5,25,5AC CD AD ===. ∴△ACD 为直角三角形，∠ACD =90°. 又∵∠BAC =90°，∴AB ∥CD .………………4分（3）如图，由题意可知，要使得以A ,B ,M ,N 四点构成的四边形为平行四边形，只需要点N 到x轴的距离与点B 到x 轴的距离相等. ∵B 点坐标为（0,1）， ∴点N 到x 轴的距离等于1. 可得2197122x x -+-=和2197122x x -+-=-.解这两个方程得1234x x x x ====∴点N 的坐标分别为（1），（，1），，-1），，-1）.………………8分。
2014北京各区高考数学一模试题及答案解析.doc
2014北京各区高考数学一模试题及答案解析2014年北京市各县区的高考一模对于测验高三考生的复习成果和接下来的高考志愿填报具有非常重要的参考价值。
本人特将一模试题进行整理汇总，以下是2014年北京各城区高考一模试题及答案汇总，供考生参考！2014北京海淀区高考数学一模试题及答案解析数 学 （理科） 2014.4本试卷共4页，150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上 作答无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.1.已知集合{}211,2,,,,2A B y y x x A AB ⎧⎫===∈=⎨⎬⎩⎭集合则A.⎭⎬⎫⎩⎨⎧21 B.{}2 C.{}1 D.φ 2.复数()()1i 1i z =+-在复平面内对应的点的坐标为A. (1,0)B. (0,2)C.()1,0D. (2,0) 3.下列函数()f x 图象中，满足1()(3)(2)4f f f >>的只可能是A B C D4.已知直线l 的参数方程为1,1x t y t =+⎧⎨=-+⎩(t 为参数)，则直线l 的普通方程为A.02=--y xB.02=+-y xC.0x y +=D.02=-+y x 5.在数列{}n a 中，“12,2,3,4,n n a a n -==”是“{}n a 是公比为2的等比数列”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6. 小明有4枚完全相同的硬币，每个硬币都分正反两面.他想把4个硬币摆成一摞,且满足相邻两枚硬币的正面与正面不相对,不同的摆法有A. 4种B.5种C.6种D.9种。
2014年北京市各区高三一模试题分类汇编：12排列组合二项式定理复数(含答案解析)
2014年北京市各区高三一模试题分类汇编12排列组合二项式定理复数1.（2014海淀一模）2.复数()()1i 1i z =+-在复平面内对应的点的坐标为A. (1,0)B. (0,2)C.()1,0D. (2,0)2.（2014西城一模）9．设复数1i i 2i x y -=++，其中,x y ∈R ，则x y +=______．25- 3.（2014东城一模）（2）复数i 1i =- （A ）11i 22+ （B ）11i 22- （C ）11i 22-+ （D ）11i 22-- 4.（2014朝阳一模）（1）复数i(2+i)z =在复平面内对应的点位于（A ）第一象限 （B ）第二象限 （C ）第三象限 （D ）第四象限5.（2014大兴一模）（2）复数1i 1i+=- A . i - B . i C . 2i - D . 2i2014一模汇编：排列组合1.（2014海淀一模）6. 小明有4枚完全相同的硬币，每个硬币都分正反两面.他想把4个硬币摆成一摞,且满足相邻两枚硬币的正面与正面不相对,不同的摆法有A. 4种B.5种C.6种D.9种2.（2014西城一模）13. 科技活动后，3名辅导教师和他们所指导的3名获奖学生合影留念（每名教师只指导一名学生），要求6人排成一排，且学生要与其指导教师相邻，那么不同的站法种数是______. （用数字作答）483.（2014东城一模）（13）某写字楼将排成一排的6个车位出租给4个公司，其中有两个公 司各有两辆汽车，如果这两个公司要求本公司的两个车位相邻，那么不同分配方法共有 种．（用数字作答）244.（2014朝阳一模）（13）有标号分别为1,2,3的红色卡片3张，标号分别为1,2,3的蓝色卡片3张，现将全部的6张卡片放在2行3列的格内（如图）．若颜色相同的卡片在同一行，则不同的放法种数为 ．（用数字作答）725.（2014石景山一模）13．各大学在高考录取时采取专业志愿优先的录取原则．一考生从某大学所给的7个专业中，选择3个作为自己的第一、二、三专业志愿，其中甲、乙两个专业不能同时兼报，则该考生有_____________种不同的填报专业志愿的方法（用数字作答）．1806.（2014丰台一模）（8）如果某年年份的各位数字之和为7，我们称该年为“七巧年”.例如，今年年份2014的各位数字之和为7，所以今年恰为“七巧年”.那么从2000年到2999年中“七巧年”共有（A ）24个 （B ）21个 （C ）19个 （D ）18个2014一模汇编：二项式定理1.（2014东城一模）（9）61()x x-的二项展开式中的常数项为 ．（用数字作答）20-2.（2014石景山一模）3．在251()x x -的展开式中，x 的系数为（） A ．10 B ．10- C ．20D ．20-。
2014年北京市西城区高考一模数学试卷(文科)【解析版】
2014年北京市西城区高考数学一模试卷（文科）一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分）1．（5分）设全集U＝{x|0＜x＜2}，集合A＝{x|0＜x≤1}，则集合∁U A＝（）A．（0，1）B．（0，1]C．（1，2）D．[1，2）2．（5分）已知平面向量＝（2，﹣1），＝（1，3），那么||等于（）A．5B．C．D．133．（5分）已知双曲线C：＝1（a＞0，b＞0）的虚轴长是实轴长的2倍，则此双曲线的离心率为（）A．B．2C．D．4．（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．2B．C．4D．55．（5分）下列函数中，对于任意x∈R，同时满足条件f（x）＝f（﹣x）和f（x ﹣π）＝f（x）的函数是（）A．f（x）＝sin x B．f（x）＝sin2x C．f（x）＝cos x D．f（x）＝cos2x 6．（5分）设a＞0，且a≠1，则“函数y＝log a x在（0，+∞）上是减函数”是“函数y＝（2﹣a）x3在R上是增函数”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件7．（5分）某企业为节能减排，用9万元购进一台新设备用于生产．第一年需运营费用2万元，从第二年起，每年运营费用均比上一年增加2万元，该设备每年生产的收入均为11万元．设该设备使用了n（n∈N*）年后，盈利总额达到最大值（盈利额等于收入减去成本），则n等于（）A．4B．5C．6D．78．（5分）如图，设P为正四面体A﹣BCD表面（含棱）上与顶点不重合的一点，由点P到四个顶点的距离组成的集合记为M，如果集合M中有且只有2个元素，那么符合条件的点P有（）A．4个B．6个C．10个D．14个二、填空题（共6小题，每小题5分，满分30分）9．（5分）设复数＝x+yi，其中x，y∈R，则x+y＝．10．（5分）若抛物线C：y2＝2px的焦点在直线x+y﹣2＝0上，则p＝；C的准线方程为．11．（5分）已知函数f（x）＝，若f（x0）＝2，则实数x0＝；函数f（x）的最大值为．12．（5分）执行如图所示的程序框图，如果输入a＝2，b＝2，那么输出的a值为．13．（5分）若不等式组表示的平面区域是一个四边形，则实数a的取值范围是．14．（5分）如图，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥BC，AB＝2，CD＝1，BC＝2，P为线段AD（含端点）上一个动点．设＝x，＝y，记y ＝f（x），则f（1）＝；函数f（x）的值域为．三、解答题（共6小题，满分80分）15．（13分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知b2+c2＝a2+bc．（Ⅰ）求A的大小；（Ⅱ）如果cos B＝，b＝2，求a的值．16．（13分）某批次的某种灯泡共200个，对其寿命进行追踪调查，将结果列成频率分布表如下．根据寿命将灯泡分成优等品、正品和次品三个等级，其中寿命大于或等于500天的灯泡是优等品，寿命小于300天的灯泡是次品，其余的灯泡是正品．（Ⅰ）根据频率分布表中的数据，写出a，b，c的值；（Ⅱ）某人从这200个灯泡中随机地购买了1个，求此灯泡恰好不是次品的概率；（Ⅲ）某人从这批灯泡中随机地购买了n（n∈N*）个，如果这n个灯泡的等级情况恰好与按三个等级分层抽样所得的结果相同，求n的最小值．17．（14分）如图，在四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，AD＝2AB，SA ＝SD，SA⊥AB，N是棱AD的中点．（Ⅰ）求证：AB∥平面SCD；（Ⅱ）求证：SN⊥平面ABCD；（Ⅲ）在棱SC上是否存在一点P，使得平面PBD⊥平面ABCD？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．18．（13分）已知函数f（x）＝lnx﹣，其中a∈R．（Ⅰ）当a＝2时，求函数f（x）的图象在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）如果对于任意x∈（1，+∞），都有f（x）＞﹣x+2，求a的取值范围．19．（14分）已知椭圆W：＝1（a＞b＞0）的焦距为2，过右焦点和短轴一个端点的直线的斜率为﹣1，O为坐标原点．（Ⅰ）求椭圆W的方程．（Ⅱ）设斜率为k的直线l与W相交于A，B两点，记△AOB面积的最大值为S k，证明：S1＝S2．20．（13分）在数列{a n}中，a n＝（n∈N*）．从数列{a n}中选出k（k≥3）项并按原顺序组成的新数列记为{b n}，并称{b n}为数列{a n}的k项子列．例如数列，，，为{a n}的一个4项子列．（Ⅰ）试写出数列{a n}的一个3项子列，并使其为等比数列；（Ⅱ）如果{b n}为数列{a n}的一个5项子列，且{b n}为等差数列，证明：{b n}的公差d满足﹣＜d＜0；（Ⅲ）如果{c n}为数列{a n}的一个6项子列，且{c n}为等比数列，证明：c1+c2+c3+c4+c5+c6≤．2014年北京市西城区高考数学一模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分）1．（5分）设全集U＝{x|0＜x＜2}，集合A＝{x|0＜x≤1}，则集合∁U A＝（）A．（0，1）B．（0，1]C．（1，2）D．[1，2）【解答】解：∵全集U＝（0，2），集合A＝（0，1]，∴∁U A＝（1，2）．故选：C．2．（5分）已知平面向量＝（2，﹣1），＝（1，3），那么||等于（）A．5B．C．D．13【解答】解：∵＝（2，﹣1）+（1，3）＝（3，2），∴＝＝．故选：B．3．（5分）已知双曲线C：＝1（a＞0，b＞0）的虚轴长是实轴长的2倍，则此双曲线的离心率为（）A．B．2C．D．【解答】解：∵双曲线C：＝1（a＞0，b＞0）的虚轴长是实轴长的2倍，∴b＝2a，∴c＝＝，∴e＝＝．故选：D．4．（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．2B．C．4D．5【解答】解：由三视图知几何体是一个四棱柱，四棱柱的底面是一个直角梯形，梯形的下底是3，斜边为，高是1，梯形的上底为：3﹣＝1，棱柱的高为2，∴四棱柱的体积是：＝4，故选：C．5．（5分）下列函数中，对于任意x∈R，同时满足条件f（x）＝f（﹣x）和f（x ﹣π）＝f（x）的函数是（）A．f（x）＝sin x B．f（x）＝sin2x C．f（x）＝cos x D．f（x）＝cos2x 【解答】解：对于任意x∈R，f（x）满足f（x）＝f（﹣x），则函数f（x）是偶函数，选项中，A，B显然是奇函数，C，D为偶函数，又对于任意x∈R，f（x）满足f（x﹣π）＝f（x），则f（x+π）＝f（x），即f（x）的最小正周期是π，选项C的最小正周期是2π，选项D的最小正周期是＝π，故同时满足条件的是选项D．故选：D．6．（5分）设a＞0，且a≠1，则“函数y＝log a x在（0，+∞）上是减函数”是“函数y＝（2﹣a）x3在R上是增函数”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：若函数y＝log a x在（0，+∞）上是减函数，则0＜a＜1，此时2﹣a＞0，函数y＝（2﹣a）x3在R上是增函数，成立．若y＝（2﹣a）x3在R上是增函数，则2﹣a＞0，即a＜2，当1＜a＜2时，函数y＝log a x在（0，+∞）上是增函数，∴函数y＝log a x在（0，+∞）上是减函数不成立，即“函数y＝log a x在（0，+∞）上是减函数”是“函数y＝（2﹣a）x3在R上是增函数”的充分而不必要条件，故选：A．7．（5分）某企业为节能减排，用9万元购进一台新设备用于生产．第一年需运营费用2万元，从第二年起，每年运营费用均比上一年增加2万元，该设备每年生产的收入均为11万元．设该设备使用了n（n∈N*）年后，盈利总额达到最大值（盈利额等于收入减去成本），则n等于（）A．4B．5C．6D．7【解答】解：设该设备第n年的营运费为a n万元，则数列{a n}是以2为首项，2为公差的等差数列，则a n＝2n，则该设备使用了n年的营运费用总和为T n＝＝n2+n，设第n年的盈利总额为S n，则S n＝11n﹣（n2+n）﹣9＝﹣n2+10n﹣9＝﹣（n﹣5）2+16，∴当n＝5时，S n取得最大值16，故选：B．8．（5分）如图，设P为正四面体A﹣BCD表面（含棱）上与顶点不重合的一点，由点P到四个顶点的距离组成的集合记为M，如果集合M中有且只有2个元素，那么符合条件的点P有（）A．4个B．6个C．10个D．14个【解答】解：符合条件的点P有两类：（1）6条棱的中点；（2）4个面的中心．共10个点．故集合M中有且只有2个元素，那么符合条件的点P有4+6＝10．故选：C．二、填空题（共6小题，每小题5分，满分30分）9．（5分）设复数＝x+yi，其中x，y∈R，则x+y＝．【解答】解：∵，又＝x+yi，∴，∴，则x+y＝．故答案为：．10．（5分）若抛物线C：y2＝2px的焦点在直线x+y﹣2＝0上，则p＝4；C 的准线方程为x＝﹣2．【解答】解：直线x+y﹣2＝0，令y＝0，可得x＝2，∵抛物线C：y2＝2px的焦点在直线x+y﹣2＝0上，∴＝2，∴p＝4，准线方程为x＝﹣＝﹣2．故答案为：4，x＝﹣2．11．（5分）已知函数f（x）＝，若f（x0）＝2，则实数x0＝﹣1；函数f（x）的最大值为3．【解答】解：x≤0，x+3＝2，∴x＝﹣1；x＞0，＝2，x＝﹣（舍去）；x≤0，x+3≤3；x＞0，0＜＜1，∴函数f（x）的最大值为3．故答案为：﹣1，3．12．（5分）执行如图所示的程序框图，如果输入a＝2，b＝2，那么输出的a值为256．【解答】解：若a＝2，则log3a＝log32＞4不成立，则a＝22＝4，若a＝4，则log3a＝log34＞4不成立，则a＝42＝16，若a＝16，则log3a＝log316＞4不成立，则a＝162＝256若a＝256，则log3a＝log3256＞4成立，输出a＝256，故答案为：25613．（5分）若不等式组表示的平面区域是一个四边形，则实数a的取值范围是（3，5）．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域，当直线x+y＝a经过点A（3，0）时，对应的平面区域是三角形，此时a＝3，当经过点B时，对应的平面区域是三角形，由，解得，即B（1，4），此时a＝1+4＝5，∴要使对应的平面区域是平行四边形，则3＜a＜5，故答案为：（3，5）14．（5分）如图，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥BC，AB＝2，CD＝1，BC＝2，P为线段AD（含端点）上一个动点．设＝x，＝y，记y ＝f（x），则f（1）＝1；函数f（x）的值域为[，4]．【解答】解：如图，建立直角坐标系；设点P（a，b），则﹣2≤a≤﹣1；∴＝（a+2，b），＝（1，2）；＝（﹣a，﹣b），＝（﹣a，2﹣b）；又∵＝x，∴，即，（其中0≤x≤1）；∴•＝（﹣a，﹣b）•（﹣a，2﹣b）＝a2﹣b（2﹣b）＝（x﹣2）2﹣2x•（2﹣2x）＝5x2﹣8x+4；即y＝f（x）＝5x2﹣8x+4，其中0≤x≤1；∴当x＝1时，y＝f（1）＝5﹣8+4＝1；当x＝﹣＝时，y取得最小值f（）＝，当x＝0时，y取得最大值f（0）＝4；∴f（x）的值域是．故答案为：1，．三、解答题（共6小题，满分80分）15．（13分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知b2+c2＝a2+bc．（Ⅰ）求A的大小；（Ⅱ）如果cos B＝，b＝2，求a的值．【解答】解：（Ⅰ）∵b2+c2＝a2+bc，即b2+c2﹣a2＝bc，∴cos A＝＝，又∵A∈（0，π），∴A＝；（Ⅱ）∵cos B＝，B∈（0，π），∴sin B＝＝，由正弦定理＝，得a＝＝＝3．16．（13分）某批次的某种灯泡共200个，对其寿命进行追踪调查，将结果列成频率分布表如下．根据寿命将灯泡分成优等品、正品和次品三个等级，其中寿命大于或等于500天的灯泡是优等品，寿命小于300天的灯泡是次品，其余的灯泡是正品．（Ⅰ）根据频率分布表中的数据，写出a，b，c的值；（Ⅱ）某人从这200个灯泡中随机地购买了1个，求此灯泡恰好不是次品的概率；（Ⅲ）某人从这批灯泡中随机地购买了n（n∈N*）个，如果这n个灯泡的等级情况恰好与按三个等级分层抽样所得的结果相同，求n的最小值．【解答】解：（Ⅰ）根据频率分布表中的数据，得a＝＝0.15，b＝200﹣（10+30+70+60）＝30，c＝＝0.3．（Ⅱ）设“此人购买的灯泡恰好不是次品”为事件A．由表可知：这批灯泡中优等品有60个，正品有100个，次品有40个，所以此人购买的灯泡恰好不是次品的概率为．（Ⅲ）由（Ⅱ）得这批灯泡中优等品、正品和次品的比例为60：100：40＝3：5：2．所以按分层抽样法，购买灯泡数n＝3k+5k+2k＝10k（k∈N*），所以n的最小值为10．17．（14分）如图，在四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，AD＝2AB，SA ＝SD，SA⊥AB，N是棱AD的中点．（Ⅰ）求证：AB∥平面SCD；（Ⅱ）求证：SN⊥平面ABCD；（Ⅲ）在棱SC上是否存在一点P，使得平面PBD⊥平面ABCD？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．【解答】（Ⅰ）证明：∵底面ABCD是矩形，∴AB∥CD，又∵AB⊄平面SCD，CD⊂平面SCD，所以AB∥平面SCD．（Ⅱ）证明：∵AB⊥SA，AB⊥AD，∴AB⊥平面SAD，又∵SN⊂平面SAD，∴AB⊥SN．∵SA＝SD，且N为AD中点，∴SN⊥AD．∴SN⊥平面ABCD．（Ⅲ）解：如图，连接BD交NC于点F，在平面SNC中过F作FP∥SN交SC 于点P，连接PB，PD．∵SN⊥平面ABCD，∴FP⊥平面ABCD．又∵FP⊂平面PBD，∴平面PBD⊥平面ABCD．在矩形ABCD中，∵ND∥BC，∴＝＝．在△SNC中，∵FP∥SN，∴＝＝．则在棱SC上存在点P，使得平面PBD⊥平面ABCD，此时＝．18．（13分）已知函数f（x）＝lnx﹣，其中a∈R．（Ⅰ）当a＝2时，求函数f（x）的图象在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）如果对于任意x∈（1，+∞），都有f（x）＞﹣x+2，求a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）由，∴，∴k＝f′（1）＝3，又∵f（1）＝﹣2，∴函数f（x）的图象在点（1，f（1））处的切线方程为3x﹣y﹣5＝0；（Ⅱ）由f（x）＞﹣x+2，得，即a＜xlnx+x2﹣2x，设函数g（x）＝xlnx+x2﹣2x，则g′（x）＝lnx+2x﹣1，∵x∈（1，+∞），∴lnx＞0，2x﹣1＞0，∴当x∈（1，+∞）时，g′（x）＝lnx+2x﹣1＞0，∴函数g（x）在x∈（1，+∞）上单调递增，∴当x∈（1，+∞）时，g（x）＞g（1）＝﹣1，∵对于任意x∈（1，+∞），都有f（x）＞﹣x+2成立，∴对于任意x∈（1，+∞），都有a＜g（x）成立，∴a≤﹣1．19．（14分）已知椭圆W：＝1（a＞b＞0）的焦距为2，过右焦点和短轴一个端点的直线的斜率为﹣1，O为坐标原点．（Ⅰ）求椭圆W的方程．（Ⅱ）设斜率为k的直线l与W相交于A，B两点，记△AOB面积的最大值为S k，证明：S1＝S2．【解答】（Ⅰ）解：由题意得椭圆W的半焦距c＝1，右焦点F（1，0），上顶点M（0，b），∴直线MF的斜率为，解得b＝1，由a2＝b2+c2，得a2＝2，∴椭圆W的方程为．（Ⅱ）证明：设直线l的方程为y＝kx+m，其中k＝1或2，A（x1，y1），B（x2，y2）．由方程组得（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣2＝0，∴△＝16k2﹣8m2+8＞0，（*）由韦达定理，得，．∴＝．∵原点O到直线y＝kx+m的距离，∴＝≤＝，当且仅当m2＝2k2﹣m2+1，即2m2＝2k2+1时取等号．与k的取值无关系，因此S1＝S2．20．（13分）在数列{a n}中，a n＝（n∈N*）．从数列{a n}中选出k（k≥3）项并按原顺序组成的新数列记为{b n}，并称{b n}为数列{a n}的k项子列．例如数列，，，为{a n}的一个4项子列．（Ⅰ）试写出数列{a n}的一个3项子列，并使其为等比数列；（Ⅱ）如果{b n}为数列{a n}的一个5项子列，且{b n}为等差数列，证明：{b n}的公差d满足﹣＜d＜0；（Ⅲ）如果{c n}为数列{a n}的一个6项子列，且{c n}为等比数列，证明：c1+c2+c3+c4+c5+c6≤．【解答】解：（Ⅰ）解：答案不唯一．如3项子列：，，．…（2分）（Ⅱ）证明：由题意，知1≥b1＞b2＞b3＞b4＞b5＞0，所以d＝b2﹣b1＜0．…（4分）因为b5＝b1+4d，b1≤1，b5＞0，所以4d＝b5﹣b1＞0﹣1＝﹣1，解得．所以．…（7分）（Ⅲ）证明：由题意，设{c n}的公比为q，则．因为{c n}为{a n}的一个6项子列，所以q为正有理数，且q＜1，．…（8分）设，且K，L互质，L≥2）．当K＝1时，因为，所以，所以．…（10分）当K≠1时，因为是{a n}中的项，且K，L互质，所以a＝K5×M（M∈N*），所以＝．因为L≥2，K，M∈N*，所以．综上，．…（13分）。
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2014北京数学中考一模24题汇编1（昌平）．如图1，正方形ABCD 与正方形AEFG 的边AB 、AE （AB ＜AE ）在一条直线上，正方形AEFG 以点A 为旋转中心逆时针旋转，设旋转角为α. 在旋转过程中，两个正方形只有点A 重合，其它顶点均不重合，连接BE 、DG .（1）当正方形AEFG 旋转至如图2所示的位置时，求证：BE =DG ； （2）当点C 在直线BE 上时，连接FC ，直接写出∠FCD 的度数； （3）如图3，如果α=45°，AB =2，AE=G 到BE 的距离.A BCD E FG图2A BC D E FG图3GFED CBA 图12（朝阳）．在ABC △中，AC BC =，在AED △中，AD ED =，点D 、E 分别在CA 、AB 上， （1）如图①，若90ACB ADE ∠=∠=︒，则CD 与BE 的数量关系是 ； （2）若120ACB ADE ∠=∠=︒，将AED △绕点A 旋转至如图②所示的位置，则CD 与BE 的数量关系是 ；（3）若2(090)ACB ADE αα∠=∠=<<︒，将AED △绕点A 旋转至如图③所示的位置，探究线段CD 与BE 的数量关系，并加以证明（用含α的式子表示）．QPED CBA QPEDCBAQPEDCBA3（大兴）． 在等边三角形ABC 中，AD ⊥BC 于点D ．（1）如图1，请你直接写出线段AD 与BC 之间的数量关系: AD= BC ；（2）如图2，若P 是线段BC 上一个动点（点P 不与点B 、C 重合），联结AP ，将线段AP 绕点A 逆时针旋转60°，得到线段AE ，联结CE ，猜想线段AD 、CE 、PC 之间的数量关系，并证明你的结论；（3）如图3，若点P 是线段BC 延长线上一个动点，（2）中的其他条件不变，按照（2）中的作法，请在图3中补全图形，并直接写出线段AD 、CE 、PC 之间的数量关系．4（东城）. 如图1，已知∠DAC =90°，△ABC 是等边三角形，点P 为射线AD 上任意一点（点P 与点A 不重合），连结CP ，将线段CP 绕点C 顺时针旋转60°得到线段CQ ，连结QB 并延长交直线AD 于点E .（1）如图1，猜想∠QEP = °；（2）如图2，3，若当∠DAC 是锐角或钝角时，其它条件不变，猜想∠QEP 的度数，选取一种情况加以证明；（3）如图3，若∠DAC =135°，∠ACP =15°，且AC =4，求BQ 的长．图1 图2 图3A BCEDFGH CHF GE PB DA5（房山）．将等腰Rt ABC △和等腰Rt ADE △按图1方式放置，90A ∠=︒，AD 边与AB 边重合，24AB AD ==．将ADE △绕点A 逆时针方向旋转一个角度(0180)αα︒≤≤︒，BD 的延长线交直线CE 于点P ．（1）如图2，BD 与CE 的数量关系是 ，位置关系是 ； （2）在旋转的过程中，当AD BD ⊥时，求出CP 的长； （3）在此旋转过程中，求点P 运动的路线长．6（丰台）.在等腰直角△ABC 中，∠BAC=90°，AB=AC ，（1）如图1，点D 、E 分别是AB 、AC 边的中点，AF ⊥BE 交BC 于点F ，连结EF 、CD 交于点H.求证，EF ⊥CD ；（2）如图2，AD=AE ，AF ⊥BE 于点G 交BC 于点F ，过F 作FP ⊥CD 交BE 的延长线于点P ，试探究线段BP,FP,AF 之间的数量关系，并说明理由。
7（海淀）、在△ABC 中，AB AC =，将线段AC 绕着点C 逆时针旋转得到线段CD ，旋转角为α，且0180α︒<<︒，连接AD 、BD ．（1）如图1，当100BAC ∠=︒，60α=︒时，∠CBD 的大小为_________； （2）如图2，当100BAC ∠=︒，20α=︒时，求∠CBD 的大小； （3）已知∠BAC 的大小为m （60120m ︒<<︒），若∠CBD 的大小与（2）中的结果相同，请直接写出α的大小．8（怀柔）．问题：在ABC Δ中，错误！未找到引用源。
，∠A=100°，BD 为∠B 的平分线，探究AD 、BD 、BC 之间的数量关系.请你完成下列探究过程：（1）观察图形，猜想AD 、BD 、BC 之间的数量关系为 . （2）在对（1）中的猜想进行证明时，当推出∠ABC=∠C=40°后，可进一步推出∠ABD=∠DBC= 度.（3）为了使同学们顺利地解答本题（1）中的猜想，小强同学提供了一种探究的思路：在BC 上截取BE=BD ，连接DE,在此基础上继续推理可使问题得到解决.你可以参考小强的思路，画出图形，在此基础上对（1）中的猜想加以证明.也可以选用其它的方法证明你的猜想.9（门头沟）.已知：在△ABC 中，∠ABC =∠ACB =α，点D 是AB 边上任意一点，将射线DC 绕点D 逆时针旋转α与过点A 且平行于BC 边的直线交于点E .（1）如图12-1，当α=60°时，请直接写出线段BD 与AE 之间的数量关系；_______________ （2）如图12-2，当α=45°时，判断线段BD 与AE 之间的数量关系，并进行证明； （3）如图12-3，当α为任意锐角时，依题意补全图形，请直接写出线段BD 与AE 之间的数量关系：_______________________．（用含α的式子表示,其中090a <<）A BCDCB AD CB A图12-1B图12-2B图12-310（密云）． 如图1所示，将一个边长为2的正方形ABCD 和一个长为2、宽为1的长方形CEFD 拼在一起，构成一个大的长方形ABEF .现将小长方形CEFD 绕点C 顺时针旋转至'''D F CE ,旋转角为α.（1）当点'D 恰好落在EF 边上时，求旋转角α的值；（2）如图2，G 为BC 中点，且0°＜α＜90°，求证：D E GD ''=；（3）小长方形CEFD 绕点C 顺时针旋转一周的过程中，'DCD ∆与'CBD ∆能否全等？若能，直接写出旋转角α的值；若不能，说明理由.11（平谷）．（1）如图1，点E 、F 分别是正方形ABCD 的边BC 、CD 上的点，∠EAF =45°，连接EF ，则EF 、BE 、FD 之间的数量关系是：EF =BE +FD ．连结BD ，交AE 、AF 于点M 、N ，且MN 、BM 、DN 满足222DN BM MN +=，请证明这个等量关系； （2）在△ABC 中， AB =AC ，点D 、E 分别为BC 边上的两点． ①如图2，当∠BAC =60°，∠DAE =30°时，BD 、DE 、EC 应满足的等量关系是__________________；②如图3，当∠BAC =α，(0°<α<90°)，∠DAE =α21时，BD 、DE 、EC 应满足的等量关系是____________________．【参考：1cos sin 22=+αα】A B CEF 图1B CDE 图2AD图3AMN12（石景山）．在矩形ABCD 中，AD =12，AB =8，点F 是AD 边上一点，过点F 作∠AFE =∠DFC ，交射线AB 于点E ，交射线CB 于点G ． （1）若FG =_____CFG ∠=︒；（2） 当以F ，G ，C 为顶点的三角形是等边三角形时，画出图形并求GB 的长；（3）过点E 作EH//CF 交射线CB 于点H ，请探究：当GB 为何值时，以F ，H ，E ，C 为顶点的四边形是平行四边形．13（顺义）．已知：如图，MNQ △中，MQ NQ ≠．（1）请你以MN 为一边，在MN 的同侧构造一个与MNQ △全等的三角形，画出图形，并简要说明构造的方法；（2）参考（1）中构造全等三角形的方法解决下 面问题： 如图，在四边形ABCD 中，180ACB CAD ∠+∠=︒，B D ∠=∠． 求证：CD=AB ．14（通州）．已知：等边三角形ABC 中，点D 、E 、F 分别为边AB 、AC 、BC 的中点，点M 在直线BC 上，以点M 为旋转中心，将线段MD 顺时针旋转60º至D M '，连接D E '. （1）如图1，当点M 在点B 左侧时，线段D E '与MF 的数量关系是__________； （2）如图2，当点M 在BC 边上时，（1）中的结论是否依然成立？如果成立，请利用图2证明，如果不成立，请说明理由；备用图D CBAQNM（3）当点M 在点C 右侧时，请你在图．．3．中画出相应的图形．．．．．．．．，直接判断．．．．（1）中的结论是否依然成立？不必给出证明或说明理由.15（西城）．四边形ABCD 是正方形，BEF △是等腰直角三角形，90BEF ∠=︒，BE EF =．连接DF ，G 为DF 的中点，连接EG CG EC ，，． （1）如图1，若点E 在CB 边的延长线上，直接写出EG 与GC 的位置关系及ECGC的值； （2）将图1中的BEF △绕点B 顺时针旋转至图2所示位置，请问（1）中所得的结论是否仍然成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由．（3）将图1中的BEF △，绕点B 顺时针旋转(090)αα︒<<︒，若1BE =，AB =E 、F 、D 三点共线时，求DF 的长及tan ABF ∠的值．备用图图2图1ACBDGFEDBCA图1 图3图216（延庆）. 如图，正方形ABCD 的边长是2，M 是AD 的中点．点E 从点A 出发，沿AB 运动到点B 停止．连接EM 并延长交射线CD 于点F ，过M 作EF 的垂线交射线BC 于点G ，连接EG 、FG ． （1）设AE =x 时，△EGF 的面积为y ．求y 关于x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；（2）P 是MG 的中点，求点P 运动路线的长．PMFEDCBA17（燕山）.如图1，已知ABC ∆是等腰直角三角形，︒=∠90BAC ,点D 是BC 的中点．作正方形DEFG ，使点A 、C 分别在DG 和DE 上，连接 AE ，BG ．（1）试猜想线段BG 和AE 的数量关系是 ； （2）将正方形DEFG 绕点D 逆时针方向旋转)3600(︒≤<︒αα， ①判断（1）中的结论是否仍然成立？请利用图2证明你的结论； ②若4==DE BC ，当AE 取最大值时，求AF 的值．FGEDCABBACDEGF。