高考专题高中数学微课题研究性精品教程专题4.15：算两次思想的研究与拓展
算两次思想在高考解题中的应用
算两次思想在高考解题中的应用作者：雷亚庆
来源：《中学课程辅导·高考版》2018年第10期
波利亚说：“为了得到一个方程，我们必须把同一个量以两种不同的方法表示出来.”也就是将一个量“算两次”，从而建立相等关系，这就是算两次原理，又称福比尼原理.利用向量数量积推导两角差的余弦公式就是算两次思想的经典应用.它的本质实际就是从研究对象的不同表征去探索和发现，算两次思想在数学解题特别是高考解题中能发挥非常重要的作用，下举几例加以说明.
例1 （2018江苏高考第13题）.在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，∠ABC=120°，∠ABC的平分线交AC于点D，且BD=1，则4a+c的最小值为;;; .
分析：这是双变量最值问题，解决问题的关键是从已知条件中探寻a，b的等量关系，这时候面积算两次就要大显身手了.
“算两次”作为一种重要的数学解题方法，蕴涵着换一个角度看问题的转换思想.其实质是将同一个量从两个不同的角度計算两次，利用“殊途同归”获得的等量关系达到“出奇制胜”的目的.单墫教授编著的《算两次》中，将算两次原理形象地比喻成“三步舞曲”，即从两个方面考虑一
个适当量，“一方面……，另一方面……，综合起来可得……”，如果一个数学研究对象具有“双重身份”或“两面性”，也就是说既满足条件A又满足条件B，就可以考虑使用这种方法.。
高中数学教学中“算两次”思想方法的应用探析
高 中数 学教 学 中“ 算两 次” 思想 方法 的应用探析
蒋 科 煜 （ 江 苏 省海 安 县 曲塘 中学 ， 江 苏 南通 ， ２ ２ ６ ６ ０ ０ ）
摘要 ： 在数学教学中， “ 算两次” 是一种重要原理 ， 但其对教 学的促进意义没有得到重视 。为 了提升高中数学的教学质 量， 文章结合教学经验， 主要对在 高中数学教学中应用“ 算两次” 思想方法进行探讨， 并且提 出相关建议。
指 在 两 个层 面 充 分 考虑 适 当量 。假 设 两方 面 都 具 备 精 确 结
果， 会 综 合得 到 一个 等式 。 “ 算 两次 ’ ’ 不但 指在 两 个方 面 计 算 试题 ， 还 指转 换角 度对 问题进 行研 究 。学 生应 用“ 算两 次 ” 解
题， 可 扩展 思 维 ， 明确 数 学知 识 间 的联系 。此 外 ， “ 算两 次 ” 是 高 中数 学经 常 应用 的解 题方 式 ，也 是较 为重 要 的数 学 理念 ， 代表 方程 思想 的表 达方 式 ， 展现 了转换 角度解 题 的思 路 。 二、 在 数 学教 材解 题 当中 ， “ 算 在立 体几 何 中计 算 点面 距 所 使用 的
等 体积 法 ，便 是应 用三 菱 锥每 个面 都 可作 为底 面 的性质 ， 两 次 算出体积 而构建 等式求 高 。 又如 ， 在深入探 究几 何 中一 些动 点轨迹 时 ， 经 常参照 动 点符合 的两 个条 件 ， 以此列举 出等 式 。
关键 词 ： 算 两次 ； 高 中数 学 ； 教 学方 法 中图 分类 号 ： Ｇ ６ ３ ３ ． ６ 文献 标志 码 ： Ａ
文 章编 号 ： ２ ０ ９ ５ — ６ ４ ０ １ （ ２ ０ １ ６ ） ２ ３ － ０ ２ ３ ５ — ０ ｌ
高考专题高中数学微课题研究性精品教程专题7.15：圆锥曲线问题中同解思想问题的研究与拓展.docx
专题7.15：圆锥曲线问题中同解思想问题的研究与拓展【探究拓展】探究1：直线l 1:a 1x +b 1y +1=0和 l 2:a 2x +b 2y +1=0都过点(2，3)，则过点A (a 1,b 1)、B (a 2,b 2)的直线l 的方程为 . 2x +3y +1=0拓展：如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆22221(0)y x a b a b+=>>过点(1，又椭圆内接四边形ABCD (点A 、B 、C 、D 在椭圆上)的对角线AC ，BD 相交于点1(1 )4P ，，且2AP PC =u u u r u u u r ，2BP PD =u u u r u u u r ．（1）求椭圆的方程； （2）求直线AB 的斜率．（1）解：依题意，22222 1314. c a a b c a b ⎧=⎪⎪⎪+=⎨⎪⎪=-⎪⎩，解得224 1. a b ⎧⎪⎨⎪⎩=，=所求椭圆的方程为2214x y +=．（2）解：设()11 A x y ，，则221114x y +=．由2AP PC =u u u r u u u r ，得()1133428x y C --，．代入椭圆方程2214x y +=， 得()()21213342148x y --+=．整理，得221111319()04216x y x y +-+-=，即1118x y +=-． ③ 设()22 B x y ，，同理可得2218x y +=-． ④ 由③④可得直线AB 的方程为x ＋y =18-，所以AB 直线斜率为－1.探究2： 已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)经过点M (－2，－1)，离心率为22.过点M 作倾斜角互补的两条直线分别与椭圆C 交于异于M 的另外两点P 、Q . (1) 求椭圆C 的方程；(2) 试判断直线PQ 的斜率是否为定值，证明你的结论．解： (1) 由题设，得4a 2＋1b 2＝1，①且a 2－b 2a ＝22，②由①、②解得a 2＝6，b 2＝3，故椭圆C 的方程为x26＋y 23＝1.(2) 设直线MP 的斜率为k ，则直线MQ 的斜率为－k ， 假设∠PMQ 为直角，则k ·(－k )＝－1，即k ＝±1. 若k ＝1，则直线MQ 的方程为y ＋1＝－(x ＋2)， 与椭圆C 方程联立，得x 2＋4x ＋4＝0， 该方程有两个相等的实数根－2，不合题意；同理，若k ＝－1也不合题意．故∠PMQ 不可能为直角．记P (x 1，y 1)、Q (x 2，y 2)．设直线MP 的方程为y ＋1＝k (x ＋2)，与椭圆C 的方程联立，得(1＋2k 2)x 2＋(8k 2－4k )x ＋8k 2－8k －4＝0，则－2，x 1是该方程的两根，则－2x 1＝8k 2－8k －41＋2k 2，即x 1＝－4k 2＋4k ＋21＋2k 2. 设直线MQ 的方程为y ＋1＝－k (x ＋2)，同理得x 2＝－4k 2－4k ＋21＋2k2. 因y 1＋1＝k (x 1＋2)，y 2＋1＝－k (x 2＋2)，故k PQ ＝y 1－y 2x 1－x 2＝k (x 1＋2)＋k (x 2＋2)x 1－x 2＝k (x 1＋x 2＋4)x 1－x 2＝8k1＋2k28k1＋2k 2＝1，因此直线PQ 的斜率为定值．拓展1：椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)上任意点P (x 0,y 0)作两条倾斜角互补的两条直线交椭圆分别为A 、B 两点.求证：直线AB 的斜率为定值b 2x 0a 2y 0.拓展2：已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的一个焦点为(5，0)，离心率为53.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若动点P (x 0，y 0)为椭圆C 外一点，且点P 到椭圆C 的两条切线相互垂直，求点P 的轨迹方程．2222200220022:(1)3,954,1.94(2),,4(3,2),(3,2).(),(),194(94)18(c c e a b a c a x y C x y y y k x x x y y k x x y k x k y =∴==-=-=∴+=-±±-=-=-++=++解椭圆的标准方程为:若一切线垂直轴则另一切线垂直于轴则这样的点P 共个,它们的坐标分别为若两切线不垂直于坐标轴,设切线方程为即将之代入椭圆方程中并整理得:2000022222200000022220000012202200)9()40,,0,(18)()36()4(94)0,4()4(94)0,4(9)240,,1,:1,913,(3,2),(3,2)kx x y kx k y kx y kx k y kx k y x k x y k y k k x x y ⎡⎤-+--=∆=⎣⎦⎡⎤----+=--+=⎣⎦-∴--+-=∴=-=--∴+=-±±Q 依题意即:即两切线相互垂直即显然这四点也满足以上方22,13.P x y ∴+=程点的轨迹方程为探究3：设平面直角坐标系xOy 中，设二次函数2()2()f x x x b x R =++∈的图像与两坐标轴有三个交点，经过这三个交点的圆记为C .求： （1）求实数b 的取值范围； （2）求圆C 的方程；（3）问圆C 是否经过某定点（其坐标与b 无关）?请证明你的结论. 解：（1）由0(0)0f ∆>⎧⎨≠⎩解得1b <且0b ≠；（2）设二次函数与x 轴的两个交点分别为1(,0)x 和2(,0)x ，则1x 和2x 是关于x 的方程220x x b ++=的两个不同解，设圆C 方程为220x y Dx Ey F ++++=，将点1(,0)x ，2(,0)x ，(0,b )分别代入圆方程有21122220,0,0,x Dx F x Dx F b Eb F ⎧++=⎪⎪++=⎨⎪++=⎪⎩ 由前两个方程可知1x 和2x 是关于x 的方程20x Dx F ++=的两个不同解，所以2,D F b ==,代入第三个方程解得1E b =--，所以圆C 方程为222(1)0x y x b y b ++-++=；（3）由(2)圆C 方程整理为222(1)0x y x y b y ++-+-=，令222010x y x y y ⎧++-=⎪⎨-=⎪⎩解得21x y =-⎧⎨=⎩或01x y =⎧⎨=⎩，可知圆C 经过两个定点(－2,1)和(0,1).拓展：已知椭圆O 的中心在原点，长轴在x 轴上，右顶点(2,0)A 到右焦点的距离与它到右准线的距离之比. 不过A 点的动直线12y x m =+交椭圆O 于,P Q 两点． （1）求椭圆的标准方程；（2）证明,P Q 两点的横坐标的平方和为定值；（3）过点,,A P Q 的动圆记为圆C ,，已知动圆C 过定点A 和B (异于点A )，请求出定点B 的坐标.解：（1）设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)., 1b =, ∴椭圆的标（2）证明：设点),(),,(2211y x Q y x P 将 化简得：0)1(2222=-++m mx x ①∴212122,2(1)x x m x x m +=-=-, ∴222121212()24x x x x x x +=+-=,∴P ,Q 两点的横坐标的平方和为定值4.（3）法1：设圆的一般方程为:220x y Dx Ey F ++++=,,PQPQ圆过定点(2,0)，所以420D F ++=③圆过1122(,),(,)P x y Q x y , 则2211112222220,0,x y Dx Ey F x y Dx Ey F ++++=++++=⎧⎨⎩ 两式相加得： 22221212121220,x x y y Dx Dx Ey Ey F ++++++++=12y y m +=Q , 5220mD mE F -++=∴④点重合）所以1-≠m ，解得：0,1,x y =⎧⎨=⎩或2,0x y =⎧⎨=⎩(舍).所以圆过定点(0,1).法2：设圆的一般方程为:220x y Dx Ey F ++++=,联立22012x y Dx Ey F y x m ⎧++++=⎪⎨=+⎪⎩消去y 得到：2244()()0525E x m D x m EmF ++++++=⑤，由题可知方程①和⑤同解所以2242()5242(1)()5E m m D m m Em F ⎧=++⎪⎪⎨⎪-=++⎪⎩整理得23223522E D m Em F m ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=-⎪⎩，又有圆过点A ，可得420D F ++=且1m ≠-，由上述三个方程联立可得.拓展：试证明如下定理：定理 设斜率为k 的直线与椭圆()22221,0x y a b a b+=>>相交于,P Q 两个不同点（也不同于椭圆的右顶点A ），则过,,P Q A 的圆恒过一个异于点A 的顶点B 2222222222,++a k b abk a b a k ba kb ⎛⎫-⋅⋅ ⎪⎝⎭证明：设圆的一般方程为220x y Dx Ey F ++++=，直线PQ 的方程为：y kx m =+。
高中数学解题中“算两次”思想方法的应用探析
公式 ， 对 它 们 的结 论 进 行 证 明 时需 要 使 用 有 创 新 性 的 方 法 ， 创 新 性 主要 是 说 选 择 较 为 合 适 的 角 度 来 计 算 ， 更 方 便 地 建 立 等 量 或者 不 等 量 关 系 ， 这 时 算 两 次 法 便 是 一 种 很 好 的 方 法， 在 课 堂 教 学 中 教 师 要 注 意 在 讲 解 这 种 题 型 时 有 效 运 用 算两次法 ， 并让学生 听明白， 增 强 学 生 对 该 数 学 思 想 方 法 的 认识． 此外 ， 高 中数 学 课 本 上 有 不 少 定 义 与 公 式 都 有 好 几 种 表达形式 ， 像三角形面积公式 、 解 答 平 面 向 量 数 量 积 时 所 用 公式 、 圆 锥 曲线 定 义 等 ， 因 为它们有 多 种表 达方式 ， 所 以 在
２ ． 算 两 次 法 在 数 学 教 材 解 题 中 的 应 用
该 思 想 方 法 是 以教 材 为 基 础 通 过 对 很 多 道 题 的 解 答 和
证 明而获得 的， 所 以 说 它 来 自教 材 ， 从 数 学 水 平 和 思 想 上 来 说 又 比教 材 高 ． 在 高 考 数 学 的 命 题 过 程 中 它 是 一 个 重 要 考 查点， 高 考 对 它 的考 查 也 是 以 教 材 为 基 础 的 ， 对 于 算 两 次 法 现 在 的 新 数 学 教 材 中也 出 现 了 好 几 次 ， 例如在 等差 数列 中 求 出数 列 的 前 项 和 公 式 ， 在 推 导 中要 用 到 倒 序 相 加 法 ； 关 于 两个 角 在 推 导 其 和 、 差 的余 弦 公 式 时也 用 到 了算 两 次 法 但 在数 学 的 课 堂 教 学 中 ， 算两 次思想方法并 不被重 视 ， 不 少
高考数学专题复习分类讨论思想方法教案
高考数学专题复习——分类讨论思想方法教案一、教学目标1. 让学生理解分类讨论思想方法在解决数学问题中的应用。
2. 培养学生运用分类讨论解决数学问题的能力。
3. 提高学生对高考数学题型的应对策略。
二、教学内容1. 分类讨论思想方法的定义及作用。
2. 分类讨论思想方法在高中数学中的应用实例。
3. 高考数学题型中分类讨论思想方法的具体运用。
三、教学重点与难点1. 重点：分类讨论思想方法的理解与应用。
2. 难点：如何引导学生自主发现和运用分类讨论思想方法解决数学问题。
四、教学过程1. 导入：通过一个简单的数学问题引入分类讨论思想方法。
2. 新课：讲解分类讨论思想方法的定义、作用和应用实例。
3. 练习：让学生尝试解决一些运用分类讨论思想方法的高中数学问题。
五、课后作业2. 布置一些运用分类讨论思想方法的高中数学题目，让学生课后练习。
3. 鼓励学生查阅相关资料，了解分类讨论思想方法在高考数学题型中的应用。
六、教学策略1. 案例分析：通过分析典型的数学案例，让学生体会分类讨论思想方法的重要性。
2. 互动讨论：鼓励学生积极参与课堂讨论，分享自己在解决问题时运用分类讨论的经历。
3. 练习巩固：设计具有针对性的练习题，让学生在实践中掌握分类讨论思想方法。
4. 拓展延伸：引导学生关注高考数学题型的新动态，了解分类讨论思想方法在实际应用中的广泛性。
七、教学评价1. 课堂表现：观察学生在课堂上的参与程度、思考问题和解决问题的能力。
2. 课后作业：评估学生对分类讨论思想方法的理解和应用能力。
3. 阶段测试：通过阶段测试，检验学生对分类讨论思想方法的掌握情况。
4. 学生反馈：收集学生对教学过程和教学内容的意见和建议，不断优化教学方法。
八、教学资源1. 教材：选用权威的高中数学教材，为学生提供系统的知识体系。
2. 案例素材：收集各类高中数学题目，作为教学案例。
3. 教学课件：制作精美的教学课件，辅助课堂教学。
4. 网络资源：利用互联网查找相关资料，为学生提供更多的学习资源。
高考数学一轮复习“算两次”在解三角形中的运用
C＝6sin A
＋sin C，即6sin A＋sin C＝S.②.由①②得37－12cos（A＋C）＝S2＋25，所
以S2＝12－12cos（A＋C）≤12＋12＝24，所以S≤2 6，等号成立的条件是
cos（A＋C）＝－1，即A＋C＝π，此时四边形ABCD为圆内接四边形，所以
Smax＝2 6.
答案 2 6
象、数学建模等思维能力提出了较高要求，只要是列方程，均离不开“算两
次”原理.其实我们也可将“算两次”中表示同一数学对象拓展为表示相关对
象，即表示存在特定关系的边、角或面积的对象，通过“算两次”的方法找到
解决问题的关键点.
真题展示
（2022·新高考Ⅱ卷）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，分别以
教考衔接4
“算两次”在解三角形中
的运用
“算两次”就是从两个不同的角度或用两种不同的方法、途径表示同一数
学对象，根据结果的唯一性，得到方程的方法，也叫“富比尼”.“算两次”的
解题程序概括为三个步骤：“一方面，另一方面，综合可得.”“算两次”在运
用的过程中要求学生能用数学的眼光看问题，找寻等量关系，对学生的数学抽
（1）证明：BD＝b；
解 （1）证明：因为BDsin∠ABC＝asin C，所以由正弦定理得，BD·
b＝ac，
又b2＝ac，所以BD·
b＝b2，
又b＞0，所以BD＝b.
（2）若AD＝2DC，求cos∠ABC.
解 （2）如图所示，过点D作DE∥BC交AB于E，
2
因为AD＝2DC，所以 ＝ ＝2， ＝ ，
的正切值，再借助C＝2B以及其正切值的等量关系，取得问题的关键点，获得
“算两次”在高中数学中的应用探究
“算两次”在高中数学中的应用探究波利亚说：“为了得到一个方程，我们必须将同一个量以两种不同的方法表示出来”，即将一个量“算两次”，由此建立相等关系列出方程，它是从不同的角度考察问题，体现了转化及方程的思想。
“算两次”是一种重要的数学方法，她贯穿了我们对数学的学习过程，从小学的减法运算完后用加法运算检验其结果，除法运算完后用乘法运算检验其结果；为了得到一个方程，我们必须把同一个量用两种不同的方法表示出来，等等都属于“算两次”。
不仅计算题、求解题需要这样做，在证明中，用两种方法计算同一个量，更是一种行之有效的基本方法。
可见“算两次”在数学解题中有广泛的应用，本文专门探讨利用“算两次”解决高中阶段出现的一些问题问题。
一、“算两次”在与导数相关切线方程中的应用“算两次”在导数中的应用主要体现在切线方程，它的应用基础是一个量的两种表示。
在切线方程方面，能够通过两种表示的有两个量：切线斜率和切点（x0，f（x0））。
通过学习我们都知道，导数的几何意义即函数y=f（x）在x0处的导数f/（x0）为相应切线方程的斜率k。
如果我们知道函数在在x0处的切线或者与切线平行或垂直的直线我们就可以知道，通过这两方面都能求出。
当然在这中间还有一个共同的量――切点，它是切线与曲线的交点，能够起到沟通的作用。
我们不妨通过下面一道题来说明这个问题：例1：设直线y=x+b是曲线y=lnx的一条切线，则实数b 的值为？分析：我们不妨设切点为（x0，f（x0））（1）通过题意我们由切线y=x+b可知切线的斜率为k=1（2）再由函数y=lnx 可得k=1/x0通过上面的形式我们对k “算两次”可得x0= 1（1）由于切点为曲线上的点，可知切点为（1，0）（2）切点也在切线上，通过上述形式我们对于切点“算两次”，可得1+b=0则b=-1。
结合上述问题我们不难发现，我们对切线的斜率和切点进行了算两次，基于这类题目我们不妨看下列这些相似的问题：变式1：设曲线y=eax在x=0处的切线于x+2y+1=0垂直，求a变式2：曲线y=x3+x-2在P点的切线平行于y=4x-1，求P点坐标。
高中数学微型课题教案
高中数学微型课题教案
主题：二次函数的性质与图像
目标：通过学习，学生能够掌握二次函数的基本性质，理解二次函数的图像特征，并能够
准确绘制二次函数的图像。
教学重点：二次函数的顶点、对称轴、开口方向、图像特征等。
教学难点：解决实际问题时如何应用二次函数的性质和图像。
教学活动设计：
1.引入：通过展示一道实际问题，引导学生思考如何用二次函数来解决问题，激发学生的
学习兴趣。
2.讲授：介绍二次函数的定义、性质，讲解二次函数的顶点、对称轴、开口方向等基本概念，并结合图形展示进行说明。
3.实践：让学生通过练习题目，巩固所学知识，掌握二次函数的相关性质。
同时，引导学
生用二次函数解决实际问题。
4.拓展：提出一些深入思考的问题，引导学生探索更多与二次函数相关的知识，并给予适
当指导。
5.总结：对本节课所学内容进行总结，强调二次函数的重要性和应用价值，并鼓励学生继
续努力学习。
评估方式：课堂练习、作业、小组讨论等形式，评价学生对二次函数性质的理解和应用能力。
教学资源：教材、多媒体课件、练习题库等。
教学反思：在教学中要注重引导学生主动思考、积极合作，激发学生的学习兴趣和创造力，并不断完善教学方法，提高教学效果。
高考专题高中数学微课题研究性精品教程专题7.19：圆锥曲线中曲线系思想的研究与拓展.docx
专题7.19：圆锥曲线中曲线系思想的研究与拓展【探究拓展】探究1：平面直角坐标系中，三角形ABC 的顶点坐标分别为(0,),(,0),(,0)A a B b C c ，点(0,)P p 在线段OA 上（异于端点），设,,,a b c p 均为非零实数，直线,BP CP 分别交,AC AB 于点E ，F ，一同学已正确算出OE的方程：11110x y b c p a ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，则直线 OF 的方程为 . 1111()()0x y c bp a-+-= 探究1：在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C ：x 2+y 2＝r 2和直线l ：x ＝a （其中r 和a 均为常数，且0 < r < a ），M 为l 上一动点，A 1，A 2为圆C 与x 轴的两个交点，直线MA 1，MA 2与圆C 的另一个交点分别为P 、Q ． （1）若r ＝2，M 点的坐标为(4，2)，求直线PQ 方程； （2）求证：直线PQ 过定点，并求定点的坐标．【解】（1）当r ＝2，M (4，2)，则A 1(－2，0)，A 2(2，0).直线MA 1的方程：x －3y +2=0，解224320x y x y ⎧+=⎨-+=⎩，得()8655P ，．直线MA 2的方程：x －y －2=0，解22420x y x y ⎧+=⎨--=⎩，得()02Q -，．由两点式，得直线PQ 方程为：2x－y －2=0．另解：(1)当r ＝2，M (4，2)，则A 1(－2，0)，A 2(2，0).直线MA 1的方程：x －3y +2=0，直线MA 2的方程：x +y －2=0，所以P 、Q 在曲线(x －3y +2)( x －y －2)+t (x 2+y 2－4)=0上，当t =－1时，2x －2y －2=0为直线PQ 的方程.（2）证法一：由题设得A 1(－r ，0)，A 2(r ，0) .设M (a ，t )，直线MA 1的方程是：y = t a +r (x +r )，直线MA 1的方程是：y = t a －r (x －r ) ．解222()x y r t y x r a r ⎧+=⎪⎨=+⎪+⎩，得()222222()2()()()r a r rt tr a r P a r t a r t +-+++++，．解222()x y r t y x r a r ⎧+=⎪⎨=-⎪-⎩，得()222222()2()()()rt r a r tr a r Q a r t a r t -----+-+，． 于是直线PQ 的斜率k PQ ＝2ata 2－t 2－r 2，直线PQ 的方程为()2222222222()()2()()tr a r r a r rt at y x a r t a t r a r t ++--=-++--++． 上式中令y = 0，得x ＝r 2a ，是一个与t 无关的常数.故直线PQ 过定点()20r a，．证法二：由题设得A 1(－r ，0)，A 2(r ，0) .设M (a ，t )，直线MA 1的方程是：y =ta +r (x +r )，与圆C 的交点P 设为P (x 1，y 1) ． 直线MA 2的方程是：y =t a －r(x －r )；与圆C 的交点Q 设为Q (x 2，y 2) ．则点P (x 1，y 1) ，Q (x 2，y 2)在曲线［(a +r )y －t (x +r )］［(a －r )y －t (x －r )］=0上， 化简得 (a 2－r 2)y 2－2ty (ax －r 2)+t 2(x 2－r 2)＝0． ① 又有P (x 1，y 1) ，Q (x 2，y 2)在圆C 上，圆C ：x 2+y 2－r 2＝0．②－t 2×②得 (a 2－r 2)y 2－2ty (ax －r 2)－t 2(x 2－r 2) －t 2( x 2+y 2－r 2)＝0，化简得：(a 2－r 2)y －2t (ax －r 2) －t 2y ＝0．所以直线PQ 的方程为(a 2－r 2)y －2t (ax －r 2)-t 2y ＝0． ③在③中令y = 0得 x = r 2a，故直线PQ 过定点()20r a，．探究2：探究1：在平面直角坐标系xoy 中，如图，已知椭圆15922=+y x 的左、右顶点为A 、B ，右焦点为F. 设过点T （m t ,）的直线TA 、TB 与椭圆分别交于点M ),(11y x 、),(22y x N ，其中m>0,0,021<>y y . （1）设动点P 满足422=-PB PF ,求点P 的轨迹； （2）设31,221==x x ，求点T 的坐标； （3）设9=t ,求证：直线MN 必过x 轴上的一定点（其坐标与m 无关）解：（1）设点P （x ，y ），则：F （2，0）、B （3，0）、A （-3，0）。
“算两次”的思想方法及其在高中数学解题中的应用word资料3页
“算两次”思想方法及其在高中数学解题中应用“算两次”是一种重要数学方法，又称为富比尼（G。
Fubini）原理。
它基本思想是：将同一个量从两个不同角度计算两次，从而建立等量关系。
如立体几何中求距离常用等体积法，就是利用三棱锥可换底特点，两次计算体积建立等式求高（即距离）。
又如在剖析几何中求某些动点轨迹，常根据动点满足两个条件列出等式。
“算两次”常用于解各类数学竞赛题。
而在高中数学解题教学中“算两次”方法虽有应用但不受重视，没有从思想高度予以认识。
甚至解题教学中很少提到“算两次”概念。
“算两次”解题形式，单?教授将其比喻成“三步舞曲”，即从两个方面考虑一个适当量，“一方面……，另一方面……，综合起来可得……”。
如果两个方面都是精确结果，综合起来得到一个等式；如果至少有一个方面采用了估计，那么综合起来得到一个不等式。
“算两次”不仅体现了从两个方面去计算解题方法，还蕴涵着换一个角度看问题转换思想。
向学生介绍“算两次”解题应用，能有效地培养学生思维发散性，使学生体会到数学知识内在联系及统一性。
它应当成为学生进行再发现、再创造活动剖析方式。
本文介绍算两次原理在高中数学解题中应用情况，以期引起大家重视。
一、算两次与剖析几何例1 椭圆以正方形ABCD对角顶点A、C为焦点，且经过各边中点，求椭圆离心率。
评注如何建立关于a、c关系式从而求出e呢？在这里线段AM具有双重身份，可有两种表达形式，正是表达多样性使得“算两次”有了用武之地。
在很多与图形有关题目中只要细心寻找诸如AM这样量，“算两次”就有了一展身手机会。
二、算两次与向量评注本题解决关键是从两个角度来考虑向量AP。
一个角度顺其自然（题目已知），一个角度曲径通幽（隐藏结论）。
教学过程中教师有必要总结提炼出这里数学方法――算两次，使学生对问题解决能力得到进一步提升。
三、算两次与导数评注题中分别利用导数几何意义与斜率坐标公式得到切线斜率k两种算法，建立方程使问题得以解决。
浅谈高中数学教材中“算两次”的思想
例３ （ 苏教版必修 ２教材 Ｐ ５ ５ ） 如果用半径为 ｒ 的半 圆形铁皮卷成一个 圆锥筒 ， 那 么这个 圆锥筒 的高是多少？
复 习中提 到了这种 思想． “ 算 两 次” 思想 的应用 常 见于数
学竞赛 ， 但 事 实 上 这 种 思 想 方 法 在 高 中 数 学 教 材 中 并 不
作角 ， ， 其终 边 分别 与单 位 圆交于 Ｐ 。 （ Ｃ Ｏ Ｓ Ｏ ￣ ， ｓ ｉ ｎ ａ ） ， Ｐ
（ ｃ ｏ ， ｓ ｉ ） ， 则 ／Ｐ 。 Ｏ Ｐ ＝仅一 卢 ． 一 方 面 由 向 量 的 数 量 积
俞 防肪
（ 江苏 省海 门市 第 一 中学
摘
２ ２ ６ １ ０ ０ ）
要： 本文从教 材 中撷取 一些素材 ， 漫谈 高 中数 学教材 中算两次的思想．
文 献 标 识码 ： Ａ 文章 编 号 ： １ ０ ０ ８— ０ ３ ３ ３ （ ２ ０ １ ７ ） ３ １ — ０ ０ ２ ２— ０ ２
个量， 算 两次． 许多数学公式 的推导 和证 明都 可 以采用 如推导两角差 的余 弦公 式． 苏教 版必 修 ４教 材用 到
了算 两 次 的 思 想 ： 在直 角坐 标 系 中， 以Ｏ 轴 为 始 边 分 别
收 稿 日期 ： ２ ０ １ ７— ０ ７— ０ １
算 两 次 的 思 想．
学生数理化 （ 高中版 ・ 学研版 ） ， ２ ０ １ １ （ ０ ５ ） ． ［ ３ ］康 小峰 ． 高考 应 用性题 型解析 及 求解 策略 ［ Ｊ ］ ．
中学数 学 杂 志 ， ２ ０ １ ｌ （ ０ １ ） ． ［ 责任编辑 ： 杨惠民 ］
浅 谈 高 中 数 学 教材 中 “ 算两次 ＂ 的 思 想
高中数学解题中“算两次”思想的应用探析
2020年第10期教育教学2SCIENCE FANS “算两次”数学解题思想应用非常普遍，但教师尚未对其进行一定的归纳研究，没有引导学生掌握该思想的解题精髓。
笔者结合教学经验对该解题思想进行一定剖析。
1 算两次1.1 数学定义该数学解题思想基于富比尼原理开展教学应用，目前在数学教育工作中应用较多。
其解题本质主要是，通过“两个领域”对某一量进行“连续计算两次”，以推导出等量关系式。
基于“两个领域”与“连续计算两次”的过程，则将该解题思想定义为“算两次”解题思想。
1.2 逻辑思路部分数学学者在研究该解题思想时，提出了解题的基本逻辑思路。
基于两个领域对问题进行分析思考，假定两个领域都可以得出相应结果，则可以得出一个关于问题的等式[1]。
该数学解题思想，不仅体现了对问题进行多领域计算思考，还体现了引导学生转化视角对问题进行主动研究，提高学生数学学习效果。
学生基于该数学思想开展学习思考，可以拓展自身的发散思维，细化数学内容之间的逻辑关联，构建数学知识框架。
学生通过掌握该数学思想，可以灵活高效地解决很多数学问题。
同时灵活运用该思想可以很好提升学生解决问题的综合能力，增强学生综合学习实力。
2 教学应用2.1 公式推导渗透在高中数学学习中，学生需掌握很多基础定理与公式，因为很多公式定理都是基于基础公式推导而来。
在讲授具体数学定理与公式推导时，教师需对教学方式进行一定创新，合理渗透“算两次”教学思想，引导学生对数学定理与公式进行推导。
通过多视域思考分析，构建等量公式与不等量公式，以证明数学推导公式的科学性与正确性。
通过掌握“算两次”思想理论，学生可以不断拓展自身学习思考视域，提高自身解决数学问题的综合能力。
如高中数学人教A版教材，引导学生对“指数函数、对数函数、幂函数”进行学习，在函数定理推导时，教师可以渗透“算两次”数学思想，让学生从多个领域进行推导思考。
教师列出三组数据，每组数据的内部逻辑关系分别为：一次函数、二次函数、指数函数。
高考专题高中数学微课题研究性精品教程专题2.15：取对数思想的研究与拓展.docx
专题2.15：取对数思想的研究与拓展【课本溯源】已知c b a ,,均为不等于1的正数，且1≠ab ，求证：a bc c b a log log =【问题提出】问题1：设a 为正实数，aak lg =，则k 的取值范围是_________问题2：实数,x y 满足2238,49x xy y ≤≤≤≤，则34x y的最大值是 解：取常用对数，得不等式组⎩⎨⎧≤-≤≤+≤9lg lg lg 24lg 8lg lg 2lg 3lg y y y x ，求y x lg 4lg 3-的取值范围（两种方法：二元一次不等式组线性规划问题；待定系数法）求得y x lg 4lg 3-的取值范围是[]27lg ,2lg ，所以43yx 的最大值为27【拓展探究】探究1：各项均为正数的等比数列{}n a 中，若11a ≥，22a ≤，33a ≥，则4a 的取值范围是 .⎥⎦⎤⎢⎣⎡8,29探究2：设10<<<b a ，比较b a 和ab 的大小.变式1：（1）已知b a ,为实数，且b a e <<，其中e 是自然对数的底数，证明b a >ab ； （2）如果正实数b a ,满足b a =ab ，且1<a ，证明：b a =变化2：已知函数ln ().xy f x x==（1）求函数()y f x =的图象在1x e=处的切线方程； （2）求()y f x =的最大值； （3）比较20122011与20112012的大小，并说明为什么？变式3：已知函数ln ()xf x x=（1）求函数()f x 的单调区间；（2）设0,a >求函数()f x 在[]2,4a a 上的最小值；（3）某同学发现：总存在正实数a 、()b a b <，使b a a b =，试问：他的判断是否正确?若不正确，请说明理由；若正确，请直接写出a 的取值范围（不需要解答过程）．（4）设函数()x g x e ax =-，其中a 为实数. 若()g x 在()1,-+∞上是单调增函数，试求a x f =)(的零点个数（直接写出结论，无需写出过程）. ea x x a 1,ln ≤=变式4：已知函数2()(21)ln(21)(21)(0)f x x x a x x a =++-+->． （1）若函数()f x 在0x =处取极值，求a 的值；（2）如图，设直线1,2x y x =-=-将坐标平面分成Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ四个区域（不含边界），若函数()y f x =的图象恰好位于其中一个区域内，判断其所在的区域并求对应的a 的取值范围； （3）比较23420113452012⨯⨯⨯⋅⋅⋅⨯与34520122342011⨯⨯⨯⋅⋅⋅⨯的大小，并说明理由．变式5：数列{}n b 满足112b =，112(2,*)n nb n n N b -+=≥∈． （1）求2b ，3b ，猜想数列{}n b 的通项公式，并用数学归纳法证明；Ⅲ12-ⅠyxⅡO Ⅳ（2）设nn x b =，1n n y b +=，比较x x 与yy 的大小．拓展1： 已知实数16a ≤≤,函数21()x a M x e-+=,1()x a N x e-+=,且()()()()()22M x N x M x N x f x +-=-在区间[]1,6上的最小值为e ，则实数a 的取值范围是___________. []4,6拓展2：若()113x p f x -=，232)(2p x x f -⋅=，12,,x R p p ∈为常数，且()()()()()()()112212,,f x f x f x f x f x f x f x ≤⎧⎪=⎨>⎪⎩ （1）求()()1f x f x =对所有实数成立的充要条件（用12,p p 表示）；（2）设,a b 为两实数，a b <且12,p p ∈(),a b ,若()()f a f b =.求证：()f x 在区间[],a b 上的单调增区间的长度和为2b a-（闭区间[],m n 的长度定义为n m -） 可通过取对数运算，将问题转化为两个绝对值函数问题（变型）若11)(p x x g -=，2log )(322+-=p x x g ，12,,x R p p ∈为常数，且⎩⎨⎧>≤=)()(),()()(),()(212211x g x g x g x g x g x g x g（1）求)()(1x g x g =对所有实数成立的充要条件（用12,p p 表示）；（2）设,a b 为两实数，a b <且12,p p ∈(),a b ,若)()(b g a g =.求证：)(x g 在区间[],a b 上的单调增区间的长度和为2b a-（闭区间[],m n 的长度定义为n m -）拓展3：已知函数x x x f -+=e e )(，其中e 是自然对数的底数. （1）证明：)(x f 是R 上的偶函数；（2）若关于x 的不等式)(x mf ≤1e -+-m x 在),0(+∞上恒成立，求实数m 的取值范围；（3）已知正数a 满足：存在),1[0+∞∈x ，使得)3()(030x x a x f +-<成立. 试比较1e -a 与1e -a 的大小，并证明你的结论.【解析】本小题主要考查初等函数的基本性质、导数的应用等基本知识，考查综合运用数学思想方法分析与解决问题的能力. 满分16分.(1) 因为对任意x ∈R ，都有()()()e e e e xx x x f x f x -----=+=+=，所以()f x 是R 上的偶函数.(2) 解法一（官方解答）：由条件知()()e e 1e 10,x x x m --+-≤-+∞在上恒成立. 令e (0)x t x =>，则1t >，所以21111111t m t t t t -≤-=--+-++-对于任意1t >成立. 因为()()1111211311t t t t -++≥-⋅+=--，所以1113111t t -≥--++-， 当且仅当2t =，即ln2x =时等号成立. 因此实数m 的取值范围是1,3⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦.解法二：考虑不等式两边同乘x e ，则不等式转化为2[(e )1]1(1)e x x m m +≤+-在(0,)+∞上恒成立. 令e (1)x t t =>，则问题可简化为：2(1)10mt m t m +-+-≤在()1,t ∈+∞上恒成立. 构造函数2()(1)1g t mt m t m =+-+-，由图象易得当0m ≥时不符合题意. 当0m <时，11,2(1)0.m m g -⎧≤⎪⎨⎪<⎩或11,21()0.2m m m g m-⎧≥⎪⎪⎨-⎪<⎪⎩解得13m ≤-.综上可知，实数m 的取值范围为1(,]3-∞-. （江苏苏州 陈海锋）(3) 令函数()()31e 3e x x g x a x x =+--+，则()()21e 31exxg x a x '=-+-. 当1x ≥时，1e 0ex x ->，210x -≥，又0a >，故()0g x '>， 所以()g x 是[)1,+∞上的单调增函数，因此()g x 在[)1,+∞上的最小值是()11e e 2g a -=+-.由于存在[)01,x ∈+∞，使0030e e (3)0x x a x x -+--+<成立，当且仅当最小值()10g <， 故1e e 20a -+-<，即1e e 2a -+>.令函数()(e 1)ln 1h x x x =---，则()e 11h x x-'=-，令()0h x '=，得e 1x =-. 当()0,e 1x ∈-时，()0h x '<，故()h x 是()0,e 1-上的单调减函数. 当()e 1,x ∈-+∞时，()0h x '>，故()h x 是()e 1,-+∞上的单调增函数. 所以()h x 在()0,+∞上的最小值时()e 1h -.注意到()()1e 0h h ==，所以当()()1,e 10,e 1x ∈-⊆-时，()()()e 110h h x h -≤<=. 当()()e 1,e e 1,x ∈-⊆-+∞时，()()e 0h x h <=，所以()0h x <对任意的()1,e x ∈成立. ①当()1e e ,e 1,e 2a -⎛⎫+∈⊆⎪⎝⎭时，()0h a <，即()1e 1ln a a -<-，从而1e 1e a a --<； ②当e a =时，1e 1e a a --=；③当()e,(e 1,)a ∈+∞⊆-+∞时，()()e 0h a h >=，即()1e 1ln a a ->-，故1e 1e a a -->.综上所述，当1e e ,e 2a -⎛⎫+∈⎪⎝⎭时，1e 1e a a --<，当e a =时，1e 1e a a --=，当()e,a ∈+∞时，1e 1e a a -->. (3)的民间思路：难题分解1：如何根据条件求出参数a 的取值范围？ 分解路径1：直接求函数的最值.解：令30000()()(3)g x f x a x x =--+，只要在0[1,)x ∈+∞上，0min ()0g x <即可. 002200()1'()3(1)x x e g x a x e-=+-. 当01x =时，0'()0g x =.； 当01x >时，2010x ->，02()10x e ->，则0'()0g x >.故在区间[1,)+∞上，0'()0g x ≥，即函数0()g x 为[1,)+∞的增函数，则1min 0()(1)20g x g e e a -==+-<，解得12e e a -+>.（江苏苏州 何睦）分解路径2：参数分离可以吗？解：欲使条件满足，则)01,3x ⎡∈⎣，此时30030x x -+>，则0300()3f x a x x >-+， 构造函数00300()()3f x g x x x =-+，即求此函数在)01,3x ⎡∈⎣上的最小值. 0003200003200()(3)()(33)()(3)o x x x x e e x x e e x g x x x ----+-+-+'=-+. 因为)01,3x ⎡∈⎣，0000320000,30,0,330x x x x e e x x e e x --->-+>+>-+<， 则000032000()(3)()(33)0x x x x e e x x e e x ----+-+-+>. 则0()0g x '>在)01,3x ⎡∈⎣上恒成立，故10min()(1)2e e g x g -+==， 故12e e a -+>（江苏苏州 何睦）难题分解2：如何根据求得的参数a 的取值范围比较1e -a 与1e -a 的大小？ 分解路径1：（取对数）1-a e与1-e a均为正数，同取自然底数的对数，即比较(1)ln a e -与(1)ln e a -的大小，即比较ln 1e e -与ln 1aa -的大小.构造函数ln ()(1)1xh x x x =>-，则211ln ()(1)x x h x x --'=-， 再设1()1ln m x x x =--，21()xm x x-'=，从而()m x 在(1,)+∞上单调递减， 此时()(1)0m x m <=，故()0h x '<在(1,)+∞上恒成立，则ln ()1xh x x =-在(1,)+∞上单调递减. 当12e e a e -+<<时，11e a a e -->；当a e =时，11a e e a --=；当a e >时，11e a a e --<.（江苏苏州 何睦） 分解路径2：（变同底，构造函数比大小） 要比较1ea -与e 1a-的大小，由于e 1(1)ln e aae--=，那么1[(1)ln (1)]1e e a a a a e e-----=，故只要比较1a -与(1)ln e a -的大小. 令()(1)ln (1)h x e x x =---，那么1'()1e h x x-=-. 当1x e >-时，'()0h x <；当01x e <<-时，'()0h x >.所以在区间(0,1)e -上，()h x 为增函数；在区间(1,)e -+∞上，()h x 为减函数.又()0h e =，(1)0h =，则(1)0h e ->，1()02e e h -+>；那么当12e e a e -+<<时，()0h a >，()1h a e >，11e a a e -->；a e >当a e ≥时，()0h a ≤，()01h a e <≤，11e a a e --≤.综上所述，当12e e a e -+<<时，11e a a e -->；当a e =时，11a e e a --=；当时，11e a a e --<. （江苏苏州 王耀）【考点】函数的基本性质 (B)，利用导数研究函数的单调性与极值 (B)，综合运用数学思想方法分析与解决问题的能力.拓展4：已知i ，m ，n 是正整数，且1＜i ≤m ＜n ．（陈永高，2001）（1）证明：in i i m i P m P n <；（2）证明：(1＋m ) n ＞ (1＋n ) m ．证明：（1）对于1＜i ≤m 有im p = m ·…·(m －i ＋1)，⋅-⋅=m m m m m p i i m 1…m i m 1+-⋅，同理 ⋅-⋅=n n n n n p i in 1…ni n 1+-⋅， 由于 m ＜n ，对整数k = 1，2…，i －1，有mk m n k n ->-，所以 i i m i i n mp n p >，即im i i n i p n p m >．（概率模型解释？）（2） 取对数，求导【专题反思】你学到了什么？还想继续研究什么？。
高考专题高中数学微课题研究性精品教程专题2.19：函数问题中的结构思想研究与拓展.docx
专题2.19：函数问题中的结构思想研究与拓展【探究拓展】探究1：求22)()(),(b eb e b a b a F a +-+-=的最小值为_________. 探究2：已知点),(y x P 的坐标满足303200x y x y y ⎧-<⎪⎪-+<⎨⎪≥⎪⎩，则223y x y x ++的取值范围为_______. 探究3：某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数（1）sin 213°+cos 217°-sin13°cos17°（2）sin 215°+cos 215°-sin15°cos15°（3）sin 218°+cos 212°-sin18°cos12°（4）sin 2（-18°）+cos 248°- sin （-18°）cos48°（5）sin 2（-25°）+cos 255°- sin （-25°）cos55°（1）试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数 43 （2）根据（1）的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论是什么结构？余弦定理 容易证得探究4：函数()f x 与()g x 在R 上有定义，且()()()()()f x y f x g y g x f y -=-，(1)(2)0f f =≠，则(1)(1)g g +-=________．1提示：可证()()f y x f x y -=--，则()f x 是奇函数，由(2)(1(1))f f =--可得(1)(1)g g +-=1. 模型猜想：π()sin 3f x x =，π()cos 3g x x =． 拓展1：定义域均为R 的奇函数f (x )与偶函数g (x )满足f (x )＋g (x )＝10x ．试用f (x 1)，f (x 2)，g (x 1)，g (x 2)表示f (x 1－x 2)与g (x 1＋x 2)．f (x 1－x 2)＝f (x 1)g (x 2)－g (x 1)f (x 2)，g (x 1＋x 2)＝g (x 1)g (x 2)－f (x 1)f (x 2)．拓展2：已知,a b R ∈满足22(1)(1)1,a a b b ++++≤则a b +的最大值为________拓展3：求“方程34()()155x x +=的解”有如下解题思路：设34()()()55x xf x =+，则()f x 在R 上单调递减，且(2)1f =，所以原方程有唯一解2x =．类比上述解题思路，方程 623(2)2x x x x +=+++的解集为 {﹣1，2}解：242(1)(2)1(2)x x x x ⎡⎤+=+++⎣⎦（*）构造函数23()(1)f x x x x x =+=+，易得函数在定义域R 上单调递增，则（*）式方程可写为2()(2)f x f x =+变式1：解方程33(53)630x x x ++++=.【解析】观察发现可将方程改写成33(53)(53)()x x x x +++=-+，令3()f x x x =+，则()f x 为奇函数，容易证得()f x 在R 上是单调增函数. 原方程即为(53)()()f x f x f x +=-=-. 由单调性，故53x x +=-，得12x =-. 即12x =-为原方程的解. 变式2：若实数x 满足22222233x x x x ---->-,则∈x (,2)(1,)-∞-⋃+∞．【专题反思】你学到了什么？还想继续研究什么？。
高考专题高中数学微课题研究性精品教程专题4.15：算两次思想的研究与拓展
专题4.15：算两次思想的研究与拓展【课本溯源】如图，平行四边形ABCD 中，E 是DC 中点，AE 交BD 于M ，试用向量的方法证明：M 是BD 的一个三等分点.【探究拓展】探究1：在任意四边形ABCD 中，,E F 分别是,AD BC 的中点，求证：2AB DC EF += （算两次的数学思想，教材习题，三种方法）变式1：已知O 是线段AB 外一点，且,OA a OB b ==（1）若点,P Q 是线段AB 的三等分点，试用向量,a b 表示OP OQ +；（2）如果在线段AB 上有若干个等分点，你能得到什么结论？请证明你的结论.教材习题，倒序求和方法的思路来源变式2：已知点12,G G 分别是111A B C ∆和222A B C ∆的重心，且121A A e =，122B B e =，123C C e =，则12____GG =1231)3e e e ++（ 解：对向量12GG 进行算三次，利用重心模型，可得结论. 别是边变式3：等腰三角形ABC 中，F E A AC AB ,,120,1︒===分AC AB ,上的点，且,,AC n AF AB m AE ==其中),1,0(,∈n m 若BC EF ,的中点分别为,,N M 且,14=+n m则的最小值是.变式4：在正△ABC 中，点D 在边AB 上，AD =1，点E 在边BC 上，CE =2，点M ，N分别为线段DE ，AC 的中点，则MN =_____．探究2：在ABC ∆中，AD 为角平分线，点E 为AD 的中点，BE交AC 于点,,F ，若=，=2=1=，用,表示出解：由内角角平分线定理可得，2BD DC =，故1233AD a b =+， 由向量的三角形中线模型得：5163BE a b =-+，5163BF BE a b λλλ==-+，BF BA AF a b μ=+=-+得：62,55λμ==，故25BF a b =-+,变式1：在ABC ∆中，点E D ,分别在边AC BC 、上，且CA CE BC BD 31,41==，AD 与BE 交于R 点，求AD RD 及BE RE 的值1=9RD AD 及2=3RE BE 变式2：在OAB ∆中，11,,42OC OA OD OB ==AD 交BC 于点M ，设,,OA a OB b ==试以,a b 为基底表示OM （13=77OM a b +）变式3：在ABC ∆中，2,3==AC AB ，,3π=A D 是AC 边上的中点，点E 在AB 边上，且EB AE 21=，BD 与CE 交于点M ，N 是BC 的中点，则=⋅__________. ABMNEFNM ED CBA探究3：我们知道，对一个量用两种方法分别算一次，由结果相同可以构造等式，这是一种非常有用的思想方法—算两次（Fubini G ⋅原理），如小学有列方程解应用题，中学有等积法求高.结合二项式定理，利用等式nnnx x x 2)1()1()1(+=++()*N n ∈，证明：（1）∑==nr n nrnCC22)(；（2）∑=-=nr m n r m n rn C C C2)(变式1：利用上述想法及等式nn x x x x )sin (cos )cos (sin 2222+=+ 证明：1)cos (sin 2sin 2≤-+x x x n n n变式2：能否对下列组合恒等式给出一个合理的解释？（算两次的思想）组合数公式；11--=k n k n nC kC （可化简nn n n n nC C C C ++++ 32132：或倒序求和法）拓展1：在等式2cos 22cos 1x x =-（x ∈R ）两边求导，得：2(cos 2)(2cos 1) x x ''=-，由求导法则，得)sin (cos 42)2sin (x x x -⋅=⋅-，化简得等式：x x x cos sin 22sin =．（1）利用上题的想法（或其他方法），结合等式0122(1+x)=C C C C n n nn n n n x x x ++++（x ∈R ，正整数2n ≥），证明：112[(1)1]C nn k k n k n x k x--=+-=∑． （2）对于正整数3n ≥，求证：（i ）1(1)C 0nkknk k =-=∑；（ii ）21(1)C 0nk k n k k =-=∑； 证明：（1）在等式0122(1+x)=C C C C n n nn n n n x x x ++++两边对x 求导得112121(1)2(1)n n n n n n n n n n x C C x n C x nC x ----+=+++-+移项得112[(1)1]nn k k n k n x kC x --=+-=∑（*）（2）（i ）在（*）式中，令1x =-，整理得11(1)0nk knk kC -=-=∑，所以1(1)0nk kn k kC =-=∑ （ii ）由（1）知112121(1)2(1),3n n n n n n n n n n x C C x n C x nC x n ----+=+++-+≥两边对x 求导，得2232(1)(1)232(1)n n n n n n n n x C C x n n C x ---+=+++-在上式中，令1x =-，23220232(1)(1)(1)n n n n C C n n C -=+-++--即22(1)(1)0nk k nk k k C-=--=∑，亦即22(1)()0nk kn k k k C =--=∑（1）又由（i ）知1(1)0nkknk kC =-=∑（2）由（1）+（2）得21(1)C 0nk k n k k =-=∑拓展2：已知函数sin ()(0)xf x x x=>，设()n f x 是1()n f x -的导数，n ∈*N ． （1）求12πππ2()()222f f +的值；（2）证明：对于任意n ∈*N ，等式1πππ()()444n n nf f -+=都成立．解：(1)解：由已知102sin cos sin ()()()x x x f x f x x x x''===-， 故21223cos sin sin 2cos 2sin ()()()x x x x x f x f x x x x x x '⎛⎫''==-=--+ ⎪⎝⎭， 所以12234216(),()22f f πππππ=-=-+，即122f π⎛⎫ ⎪⎝⎭＋2122f ππ⎛⎫=- ⎪⎝⎭.(2)证明一（官方解法）：由已知得：0()sin xf x x =，等式两边分别对x 求导：00()()cos f x xf x x '+=， 即01()()cos sin()2f x xf x x x π+==+，类似可得：122()()sin sin()f x xf x x x π+=-=+，2333()()cos sin()2f x xf x x x π+=-=+， 344()()sin sin(2)f x xf x x x π+==+.下面用数学归纳法证明等式1()()sin()2n n n nf x xf x x π-+=+对所有的n *∈Ν都成立. (ⅰ)当1n =时，由上可知等式成立；(ⅱ)假设当n k =时等式成立，即1()()sin()2k k k kf x xf x x π-+=+. 因为[]111()()()()()(1)()()k k k k k k k kf x xf x kf x f x kf x k f x xf x --+'''+=++=++， (1)sin()cos()()sin 2222k k k k x x x x ππππ'+⎡⎤⎡⎤'+=++=+⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦， 所以1(1)(1)()()sin 2k k k k f x xf x x π++⎡⎤++=+⎢⎥⎣⎦.因此当1n k =+时，等式成立.综合(ⅰ)，(ⅱ)可知等式1()()sin()2n n n nf x xf x x π-+=+对所有的n *∈Ν都成立. 令4x π=，可得1()()sin()()44442n n n nf f x n πππππ*-+=+∈Ν.所以1)444n n nf f n πππ*-⎛⎫⎛⎫+=∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭Ν. 解法二：令()n g x =*1()(),n n nf x xf x n N -+∈ 所以101()()()cos g x f x xf x x =+=，又111()()()()(1)()()()nn n n n n n g x nf x f x xf x n f x xf x g x -++'''=++=++= 故2134()()sin ,()cos ,()sin ,g x g x x g x x g x x '==-=-=-所以4()()n n g x g x +=，即()4n g π=.【专题反思】你学到了什么？还想继续研究什么？。
高考专题高中数学微课题研究性精品教程专题6.：数列中函数思想的研究与拓展
专题6.20：数列中函数思想的研究与拓展【探究拓展】探究1：（1）若已知等差数列{}n a 的通项公式为：342)3(-+-=n p a n n ，则p 的值为________.（2）等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若m a n a n m ==,，则=+n m a ____,=+n m S _____.（3）设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若)(,n m m S n S n m ≠==，则______=+n m S .解析：0；2)1)((-++n m n m ；)(n m +-关注证明方法 （4）数列),2(122}{1≥-+=-n a a a n n n n 满足.若存在一个实数,λ使得}2{n n a λ+为等差数列，则=λ ．（5）等差数列{}n a 中，已知158≥a ，139≤a ，则12a 的取值范围是_______.（6）已知数列{}n a ，其中n n n a 32+=，且数列{}n n pa a -+1为等比数列，则_____=p .拓展1：设μλ,为非零常数，若{}n a 和{}μλ+n a 均为等比数列，20132013=a ，则 ____1=a .2013拓展2：记数列{}n a 的前n 项和为S n ，若{}n nS a 是公差为d 的等差数列，则{}n a 为等差数列时d 的值为 .拓展3：在等差数列{}n a 中，前n 项和n n S m =，前m 项和m m S n=，其中m n ≠，则m n S +的取值范围是 .()∞+，4探究2：设无穷等差数列{a n }的前n 项和为S n .（1）若首项=1a 32，公差1=d ，求满足2)(2k k S S =的正整数k ； （2）求所有的无穷等差数列{a n }，使得对于一切正整数k 都有2)(2k k S S =成立. 变式1：设数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足21n n a S An Bn +=++（0A ≠）．（1）若132a =，294a =，求证数列{}n a n -是等比数列，并求数列{}n a 的通项公式； （2）已知数列{}n a 是等差数列，求1B A -的值．变式2：设{}n a 是首项为a ，公差为d 的等差数列()0d ≠，n S 是其前n 项和.记 2n n nS b n c=+，N n *∈，其中c 为实数.（1）若0c =，且1b ，2b ，4b 成等比数列，证明：()2N nk k S n S k,n *=∈；（2）若{}n b 是等差数列，证明：0c =.变式3：设数列{a n }满足a n +1=2a n +n 2-4n +1．（1）若a 1=3，求证：存在2()f n an bn c =++（a ，b ，c 为常数），使数列{a n +f (n )}是等比数列，并求出数列{a n }的通项公式；（2）若a n 是一个等差数列{b n }的前n 项和，求首项a 1的值与数列{b n }的通项公式．【专题反思】你学到了什么？还想继续研究什么？。
高考解几试题中的“算两次”思想
高考解几试题中的“算两次”思想在高考解几试题中，有一类关于直（曲）线与曲线的相交的位置关系问题，在这类问题中，我们可以把同一个对象用两种不同的方法进行表征，即将同一个对象“算两次”，从而达到解决问题的目的，下面通过几例以示说明：一、同一个三角形“算两次”例1（2014年湖北卷）已知F1、F2是椭圆和双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且∠F1PF2=π3，则椭圆与双曲线的离心率的倒数之和的最大值为（）A. 433B. 233C. 3D. 2解析：设|F1F2|=2c，椭圆的长轴长为2a1，双曲线的实轴长为2a2，在F1PF2中，由椭圆的定义得|PF1|+|PF2|=2a1，由双曲线的定义不妨设|PF1|-|PF2|=2a2，所以|PF1|=a1+a2，由正弦定理易得|PF1||F1F2|=sin∠PF2F1sin∠F1P F2，所以椭圆与双曲线的离心率的倒数和a1c+a2c=2|PF1||F1F2|=4sin∠PF2F13≤433，故选A.评注：本题将焦点三角形PF1F2分别应用椭圆和双曲线的定义，围绕该图形各自计算，获得方程后，再解出PF1、PF2，实际上是对同一个三角形的“算两次”.二、同一条线段“算两次”例2（2014年江西卷）设椭圆C：x2a2+y2b2=1（a>b>0）的左右焦点为F1、F2，过F2作x轴的垂线与C相交于A、B两点，F1B与y 轴交于点D，若ADF1B，则椭圆C的离心率等于.解析：容易求得A（c，b2a），所以|AB|=2b2a，又在F1F2B中，由于OD∥BF2，其中O为坐标原点，D为F1B的中点，且ADF1B，所以|AF1|=|AB|，又|AF1|=|BF1|，所以F1AB为正三角形，所以|AB|=|AB|+|AF1|+|BF1|3=4a3，所以2b2a=4a3，（ba）2=23，故椭圆C的离心率为e=ca=1-（ba）2=33，故应填33.评析：对于线段|AB|，既可看作是三角形的一边，也可看作是椭圆C的弦，解题时，一边解三角形，一边求弦长，等式便水到渠成.三、同一个点的坐标“算两次”例3（2014年浙江卷）设直线x-3y+m=0（m≠0）与双曲线x2a2-y2b2=1（a>0，b>0）两条渐近线分别交于点A、B，若点P（m，0）满足|PA|=|PB|，则该双曲线的离心率是.解析：由x-3y+m=0bx+ay=0解得xA=-ama+3b，由x-3y+m=0bx-ay=0解得xB=-ama-3b，由x-3y+m=0y=-3（x-m）解得x=4m5，则4m5为AB中点的横坐标.所以8m5=-ama+3b+-ama-3b，化简得a2=4b2，所以，双曲线的离心率为1+（ba）2=52，故填52.评析：线段AB的中点也是直线与直线的交点，因该点具有二重性，从而为其坐标提供了两种不同的算法，因而也就寻得了解决问题的突破口.四、同一条直线的斜率“算两次”例4（2014年四川卷）已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（a>b>0）的焦距为4，其短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正三角形.（1）求椭圆C的标准方程；（2）设F为椭圆C的左焦点，T为直线x=-3上任意一点，过F 作TF的垂线交椭圆C于P、Q，求证：OT平分线段PQ（其中O为坐标原点）.解析：（1）容易求得椭圆C的标准方程为x26+y22=1.（2）设直线PQ的方程为x=ty-2，则kFT=-t，所以T（-3，t），则kOT=-t3，由x=ty-2x26+y22=1得（t2+3）y2-4ty-2=0，则易得PQ中点S 的坐标为（-6t2+3，2tt2+3），所以kOS=-t3.所以O、S、T三点共线，即OT平分线段PQ.评注：三点共线问题，通过其中任两点均可确定直线的斜率，因而可选择对直线的斜率进行“算两次”，达到解题之目的.由上可见，在解几试题中，常常可将一个量置于两种不同的背景中分别计算，从而获得方程.通过这种“算两次”的思想方法去解决问题，不仅能沟通数学知识与方法的内在联系，有效检测同学们思维的发散性与聚合性，而且对培养同学们的创新意识也大有裨益，值得我们重视.（上接第68页）所以CD=12（CA+CB）.（1）由DP=λPC，DP+PC=（1+λ）PC，CD=CP+PD=（1+λ）CP.（2）同理由AE=λ1EC，得CA=（1+λ1）CE，（3）BF=λ2FC，得CB=（1+λ2）CF.（4）将（2）、（3）、（4）式代入（1）得CP=12（1+λ）[（1+λ1）CE+（1+λ2）CF].因为E、P、F三点共线，所以1+λ12（1+λ）+1+λ22（1+λ）=1，再由λ1+λ2=1，解之得λ=12.（2）由（1）得CP=2PD，D是AB的中点，所以点P为ABC的重心.所以，x=1-1+x03，y=2+0+y03.解得x0=3x，y0=3y-2，代入y20=4x0得，（3y-2）2=12x.由于x0≠1，故x≠3.所求轨迹方程为（3y-2）2=12x（x≠3）.。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
高中数学学习材料 （灿若寒星 精心整理制作）专题4.15：算两次思想的研究与拓展【课本溯源】如图，平行四边形ABCD 中，E 是DC 中点，AE 交BD 于M ，试用向量的方法证明：M 是BD 的一个三等分点.【探究拓展】探究1：在任意四边形ABCD 中，,E F 分别是,AD BC 的中点，求证：2AB DC EF += （算两次的数学思想，教材习题，三种方法）变式1：已知O 是线段AB 外一点，且,OA a OB b ==（1）若点,P Q 是线段AB 的三等分点，试用向量,a b 表示OP OQ +； （2）如果在线段AB 上有若干个等分点，你能得到什么结论？请证明你的结论.教材习题，倒序求和方法的思路来源变式2：已知点12,G G 分别是111A B C ∆和222A B C ∆的重心，且121A A e =，122B B e =，123C C e =，则12____GG =1231)3e e e ++（ 解：对向量12GG 进行算三次，利用重心模型，可得结论. 别是边变式3：等腰三角形ABC 中， F E A AC AB ,,120,1︒===分AC AB ,上的点，且,,AC n AF AB m AE ==其中),1,0(,∈n m 若ABMNE CFBC EF ,的中点分别为,,N M 且,14=+n m 则MN 的最小值是 . 77变式4：在正△ABC 中，点D 在边AB 上，AD = 1，点E 在边BC 上，CE = 2，点M ，N 分别为线段DE ，AC 的中点，则MN = _____．探究2：在ABC ∆中，AD 为角平分线，点E 为AD 的中点，BE交AC 于点BF BE AD ,,F ，若a AB =，b AC =，且2=a ，1=b ，用b a ,表示出解：由内角角平分线定理可得，2BD DC =，故1233AD a b =+， 由向量的三角形中线模型得：5163BE a b =-+，5163BF BE a b λλλ==-+，BF BA AF a b μ=+=-+得：62,55λμ==，故25BF a b =-+,变式1：在A B C ∆中，点E D ,分别在边AC BC 、上，且CA CE BC BD 31,41==，AD 与BE 交于R 点，求AD RD 及BE RE 的值 1=9RD AD 及2=3RE BE 变式2：在O A B ∆中，11,,42OC OA OD OB ==AD 交BC 于点M ，设,,OA a OB b ==试以,a b 为基底表示OM （13=77OM a b +）变式3：在ABC ∆中，2,3==AC AB ，,3π=A D 是AC 边上的中点，点E 在AB 边上，且EB AE 21=，BD 与CE 交于点M ，N 是BC 的中点，则=⋅AN AM __________.探究3：我们知道，对一个量用两种方法分别算一次，由结果相同可以构造等式，这是一种非常有用的思想方法—算两次（Fubini G ⋅原理），如小学有列方程解应用题，中学有等积法求高. 结合二项式定理，利用等式nnnx x x 2)1()1()1(+=++()*N n ∈，证明：（1）∑==nr n nrnCC22)(；（2）∑=-=nr m n r m n rn C C C2)(变式1：利用上述想法及等式nn x x x x )sin (cos )cos (sin 2222+=+ 证明：1)cos (sin 2sin 2≤-+x x x nnn变式2：能否对下列组合恒等式给出一个合理的解释？（算两次的思想）NM ED CBA组合数公式；11--=k n k n nC kC （可化简nn n n n nC C C C ++++ 32132：或倒序求和法）拓展1：在等式2cos 22cos 1x x =-（x ∈R ）两边求导，得：2(cos 2)(2cos 1) x x ''=-，由求导法则，得)sin (cos 42)2sin (x x x -⋅=⋅-，化简得等式：x x x cos sin 22sin =．（1）利用上题的想法（或其他方法），结合等式0122(1+x)=C C C C n n nn n n n x x x ++++（x ∈R ，正整数2n ≥），证明：112[(1)1]C nn k k nk n x k x --=+-=∑． （2）对于正整数3n ≥，求证：（i ）1(1)C 0nkknk k =-=∑； （ii ）21(1)C 0nk k n k k =-=∑； 证明：（1）在等式0122(1+x)=C C C C n n nn n n n x x x ++++两边对x 求导得112121(1)2(1)n n n n n n n n n n x C C x n C x nC x ----+=+++-+移项得112[(1)1]nn k k n k n x kC x --=+-=∑ （*）（2）（i ）在（*）式中，令1x =-，整理得11(1)0nk knk kC -=-=∑，所以1(1)0nkk n k kC =-=∑（ii ）由（1）知112121(1)2(1),3n n n n n n n n n n x C C x n C x nC x n ----+=+++-+≥两边对x 求导，得2232(1)(1)232(1)n n n n n n n n x C C x n n C x ---+=+++-在上式中，令1x =-，23220232(1)(1)(1)n n n n C C n n C -=+-++--即22(1)(1)0nkk nk k k C-=--=∑，亦即22(1)()0nkkn k k k C =--=∑ （1）又由（i ）知 1(1)0nkknk kC=-=∑ （2）由（1）+（2）得21(1)C 0nk kn k k =-=∑拓展2：已知函数sin ()(0)xf x x x=>，设()n f x 是1()n f x -的导数，n ∈*N ． （1）求12πππ2()()222f f +的值；（2）证明：对于任意n ∈*N ，等式1πππ2()()4442n n nf f -+=都成立．解： (1) 解：由已知102sin cos sin ()()()x x xf x f x x x x''===-， 故21223cos sin sin 2cos 2sin ()()()x x x x x f x f x x x x x x '⎛⎫''==-=--+ ⎪⎝⎭，所以12234216(),()22f f πππππ=-=-+，即122f π⎛⎫ ⎪⎝⎭＋2122f ππ⎛⎫=- ⎪⎝⎭.(2) 证明一（官方解法）：由已知得：0()sin xf x x =，等式两边分别对x 求导：00()()cos f x xf x x '+=， 即01()()cos sin()2f x xf x x x π+==+，类似可得：122()()sin sin()f x xf x x x π+=-=+，2333()()cos sin()2f x xf x x x π+=-=+， 344()()sin sin(2)f x xf x x x π+==+.下面用数学归纳法证明等式1()()sin()2n n n nf x xf x x π-+=+对所有的n *∈Ν都成立. (ⅰ) 当1n =时，由上可知等式成立；(ⅱ) 假设当n k =时等式成立，即1()()sin()2k k k kf x xf x x π-+=+. 因为[]111()()()()()(1)()()k k k k k k k kf x xf x kf x f x kf x k f x xf x --+'''+=++=++， (1)sin()cos()()sin 2222k k k k x x x x ππππ'+⎡⎤⎡⎤'+=++=+⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦， 所以1(1)(1)()()sin 2k k k k f x xf x x π++⎡⎤++=+⎢⎥⎣⎦. 因此当1n k =+时，等式成立.综合(ⅰ)，(ⅱ)可知等式1()()sin()2n n n nf x xf x x π-+=+对所有的n *∈Ν都成立. 令4x π=，可得1()()sin()()44442n n n nf f x n πππππ*-+=+∈Ν. 所以12()4442n n nf f n πππ*-⎛⎫⎛⎫+=∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭Ν. 解法二：令()n g x =*1()(),n n nf x xf x n N -+∈ 所以101()()()cos g x f x xf x x =+=，又111()()()()(1)()()()nn n n n n n g x nf x f x xf x n f x xf x g x -++'''=++=++= 故2134()()sin ,()cos ,()sin ,g x g x x g x x g x x '==-=-=-所以4()()n n g x g x +=，即2()42n g π=，命题得证.【专题反思】你学到了什么？还想继续研究什么？。