线段垂直平分线知识专题
1.3.1线段的垂直平分线的性质
（2013•烟台）如图，△ABC中，AB=AC，∠BAC=54°，点D为AB中点，且OD⊥AB，∠BAC 的平分线与AB的垂直平分线交于点O，将∠C沿EF（E在BC上，F在AC上）折叠，点C与点O恰好重合，则∠OEC为108度．【考点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；翻折变换（折叠问题）．【分析】连接OB、OC，根据角平分线的定义求出∠BAO，根据等腰三角形两底角相等求出∠ABC，再根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得OA=OB，根据等边对等角可得∠ABO=∠BAO，再求出∠OBC，然后判断出点O是△ABC的外心，根据三角形外心的性质可得OB=OC，再根据等边对等角求出∠OCB=∠OBC，根据翻折的性质可得OE=CE，然后根据等边对等角求出∠COE，再利用三角形的内角和定理列式计算即可得解．【解答】解：如图，连接OB、OC，∵∠BAC=54°，AO为∠BAC的平分线，∴∠BAO=∠BAC=×54°=27°，又∵AB=AC，∴∠ABC=（180°﹣∠BAC）=（180°﹣54°）=63°，∵DO是AB的垂直平分线，∴OA=OB，∴∠ABO=∠BAO=27°，∴∠OBC=∠ABC﹣∠ABO=63°﹣27°=36°，∵AO为∠BAC的平分线，AB=AC，∴△AOB≌△AOC（SAS），∴OB=OC，∴点O在BC的垂直平分线上，又∵DO是AB的垂直平分线，∴点O是△ABC的外心，∴∠OCB=∠OBC=36°，∵将∠C沿EF（E在BC上，F在AC上）折叠，点C与点O恰好重合，∴OE=CE，∴∠COE=∠OCB=36°，在△OCE中，∠OEC=180°﹣∠COE﹣∠OCB=180°﹣36°﹣36°=108°．故答案为：108．【点评】本题考查了线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，等腰三角形三线合一的性质，等边对等角的性质，以及翻折变换的性质，综合性较强，难度较大，作辅助线，构造出等腰三角形是解题的关键．（2013•义乌市）（2013•锦州）在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线DE与AC所在的直线相交于点E，垂足为D，连接BE．已知AE=5，tan∠AED=，则BE+CE=6或16．【考点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；解直角三角形．【专题】压轴题；分类讨论．【分析】本题有两种情形，需要分类讨论．首先根据题意画出图形，由线段垂直平分线的性质，即可求得AE=BE，又由三角函数的性质，求得AD的长，继而求得答案．【解答】解：①若∠BAC为锐角，如答图1所示：∵AB的垂直平分线是DE，∴AE=BE，ED⊥AB，AD=AB，∵AE=5，tan∠AED=，∴sin∠AED=，∴AD=AE•sin∠AED=3，∴AB=6，∴BE+CE=AE+CE=AC=AB=6；②若∠BAC为钝角，如答图2所示：同理可求得：BE+CE=16．故答案为：6或16．【点评】本题考查了线段垂直平分线、等腰三角形、解直角三角形等知识点，着重考查了分类讨论的数学思想．（2012•邵阳）如图所示，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，ED是BC的垂直平分线，请写出图中两条相等的线段是BD=CD（答案不唯一）．【考点】线段垂直平分线的性质；含30度角的直角三角形；直角三角形斜边上的中线．【专题】压轴题；开放型．【分析】由ED是BC的垂直平分线，可得BE=CE，BD=CD，又由在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，易证得△AEC是等边三角形，即可得AE=EC=AC=BE．【解答】解：∵ED是BC的垂直平分线，∴BE=CE，BD=CD，∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，∴∠ECB=∠B=30°，∠A=90°﹣∠B=60°，∴∠ACE=90°﹣30°=60°，∴△AEC是等边三角形，∴AE=EC=AC，∴AE=AC=EC=BE．∴图中两条相等的线段是：BE=CE=AC=BE或BD=CD．故答案为：此题答案不唯一，如BD=CD等．【点评】此题考查了线段垂直平分线的性质、等边三角形的判定与性质以及含30°角的直角三角形的性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．（2008•凉山州）菱形ABCD中，AE垂直平分BC，垂足为E，AB=4cm．那么，菱形ABCD的面积是8cm2，对角线BD的长是4cm．【考点】线段垂直平分线的性质；菱形的性质．【专题】计算题；压轴题．【分析】要求菱形的面积就要求两对角线的长，可根据线段垂直平分线的性质计算．【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∴AB=BC=4cm，又∵AE垂直平分BC，∴BE=EC=×BC=×4=2cm在Rt△ABE中，AB=4cm，BE=2cm由勾股定理得AE===2=BC•AE=4×2=8cm2∵AB=BC=4cm，∴S菱形ABCD在Rt△AEC中，AE=2cm，EC=2cm∴AC==4，OC=AC=2在Rt△BCO中，BC=4cm，OC=2cm，∴OB===2对角线BD的长=2•OB=2×2=4cm．菱形ABCD的面积是8cm2，对角线BD的长是4cm．【点评】本题考查的是菱形的性质及线段垂直平分线的性质，是中学阶段的常规题．（2004•陕西）如图，有一腰长为5cm，底边长为4cm的等腰三角形纸片，沿着底边上的中线将纸片剪开，得到两个全等的直角三角形纸片，用这两个直角三角形纸片拼成的平面图形中有4（因还有一个凹四边形，所以填5也对）个不同的四边形．【考点】线段垂直平分线的性质；剪纸问题．【专题】压轴题；开放型．【分析】可动手操作拼图后解答．【解答】解：让三条相等的边互相重合各得到一个平行四边形；让斜边重合还可以得到一个一般的平行四边形．那么能拼出的四边形的个数是4个．【点评】本题主要考查学生的动手能力及空间想象能力．对于此类问题，学生只要亲自动手操作，答案就会很直观地呈现．（2002•天津）如图，在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点E，若AC平分∠DAB，且AB=AC，AC=AD，有如下四个结论：①AC⊥BD；②BC=DE；③∠DBC=∠DAC；④△ABC是正三角形．请写出正确结论的序号①③（把你认为正确结论的序号都填上）【考点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的判定与性质．【分析】由已知条件，首先得到等腰三角形，利用线段的垂直平分线的性质进一步得到其它结论．【解答】解：∵AB=AC，AC=AD，∴AB=AD∵AC 平分∠DAB∴AC 垂直平分BD，①正确；∴DC=CB，易知DC＞DE，∴BC＞DE，②错；D、C、B 可看作是以点A 为圆心的圆上，根据圆周角定理，得∠DBC=∠DAC，③正确；当△ABC 是正三角形时，∠CAB=60°那么∠DAB=120°，如图所示是不可能的，所以错误．故①③对．【点评】本题考查了等腰三角形的性质及垂直平分线的性质；利用等腰三角形的三线合一是常用的判断方法；注意把图形放入圆中解决可使问题简化．（2010•江西）课题：两个重叠的正多边形，其中的一个绕某一顶点旋转所形成的有关问题．实验与论证：设旋转角∠A 1A 0B 1=α（α＜∠A 1A 0A 2），θ3、θ4、θ5、θ6所表示的角如图所示．（1）用含α的式子表示角的度数：θ3=60°﹣α，θ4=α，θ5=36°﹣α；（2）图1﹣图4中，连接A 0H 时，在不添加其他辅助线的情况下，是否存在与直线A 0H 垂直且被它平分的线段？若存在，请选择其中的一个图给出证明；若不存在，请说明理由；归纳与猜想：设正n 边形A 0A 1A 2…A n﹣1与正n 边形A 0B 1B 2…B n﹣1重合（其中，A 1与B 1重合），现将正多边形A 0B 1B 2…B n﹣1绕顶点A 0逆时针旋转α（0°＜α＜°）；（3）设θn 与上述“θ3、θ4、…”的意义一样，请直接写出θn 的度数；（4）试猜想在正n 边形的情形下，是否存在与直线A 0H 垂直且被它平分的线段？若存在，请将这条线段用相应的顶点字母表示出来（不要求证明）；若不存在，请说明理由．【考点】线段垂直平分线的性质；全等三角形的判定；等边三角形的性质；正方形的性质．【分析】（1）由正三角形的性质得α+θ3=60°，再由正方形的性质得θ4=45°﹣（45°﹣α）=α，最后由正五边形的性质得θ5=108°﹣36°﹣36°﹣α=36°﹣α；（2）存在，如在图1中直线A 0H 垂直且平分的线段A 2B 1，△A 0A 1A 2≌△A 0B 1B 2，推得A 2H=B 1H，则点H 在线段A 2B 1的垂直平分线上；由A 0A 2=A 0B 1，则点A0在线段A 2B 1的垂直平分线上，从而得出直线A 0H 垂直且平分的线段A 2B 1（3）当n 为奇数时，θn =﹣α；当n 为偶数时，θn =α（4）多写几个总结规律：当n 为奇数时，直线A 0H 垂直平分，当n 为偶数时，直线A 0H 垂直平分【解答】解：（1）60°﹣α，α，36°﹣α（2）存在．下面就所选图形的不同分别给出证明：选图如，图中有直线A 0H 垂直平分A 2B 1，证明如下：方法一：证明：∵△A 0A 1A 2与△A 0B 1B 2是全等的等边三角形∴A 0A 2=A 0B 1∴∠A 0A 2B 1=∠A 0B 1A 2又∠A 0A 2H=∠A 0B 1H=60°∴∠HA 2B 1=∠HB 1A 2∴A 2H=B 1H，∴点H 在线段A 2B 1的垂直平分线上又∵A 0A 2=A 0B 1，∴点A0在线段A 2B 1的垂直平分线上∴直线A 0H 垂直平分A 2B 1方法二：证明：∵△A 0A 1A 2与△A 0B 1B 2是全等的等边三角形∴A 0A 2=A 0B 2∴∠A 0A 2B 1=∠A 0B 1A 2又∠A 0A 2H=∠A 0B 1H=60°∴∠HA 2B 1=∠HB 1A 2∴A 2H=B 1H，在△A 0A 2H 与△A 0B 1H 中∵A 0A 2=A 0B 1，HA 2=HB 1，∠A0A 2H=∠A 0B 1H ∴△A 0A 2H≌△A 0B 1H ∴∠A 0A 2H=∠A 0B 1H，∴A 0H 是等腰三角形A 0A 2B 1的角平分线，∴直线A 0H 垂直平分A 2B 1选图如，图中有直线A 0H 垂直平分A 2B 2，证明如下：∵A 0B 2=A 0A 2∴∠A 0B 2A 2=∠A 0A 2B 2又∵∠A 0B 2B 1=∠A 0A 2A 3∴∠HB 2A 2=∠HA 2B 2∴HB 2=HA 2∴点H 在线段A 2B 2的垂直平分线上又∵A 0B 2=A 0A 2，∴点A 0在线段A 2B 2的垂直平分线上∴直线A 0H 垂直平分A 2B 2（3）当n 为奇数时，θn =﹣α；当n 为偶数时，θn =α．（4）存在．当n 为奇数时，直线A 0H 垂直平分，当n 为偶数时，直线A 0H 垂直平分【点评】此题主要考查线段的垂直平分线的性质等几何知识．线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．（2009•烟台）（2003•海南）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，BC的垂直平分线交BC于D，交AB于点E，F在DE上，并且AF=CE．（1）求证：四边形ACEF是平行四边形；（2）当∠B的大小满足什么条件时，四边形ACEF是菱形？请证明你的结论；（3）四边形ACEF有可能是矩形吗？为什么？【考点】线段垂直平分线的性质；平行四边形的判定；菱形的判定；矩形的判定．【专题】几何综合题；压轴题．【分析】（1）ED是BC的垂直平分线，根据中垂线的性质：中垂线上的点线段两个端点的距离相等，得；EB=EC．由等边对等角得∠3=∠4，在直角三角形ACB中，∠2与∠4互余，∠1与∠3互余．∴∠1=∠2．∴AE=CE．又∵AF=CE，∴△ACE和△EFA都是等腰三角形．∵FD⊥BC，AC⊥BC，∴AC∥FE．∴∠1=∠5．∴∠AEC=∠EAF，∴AF∥CE．∴四边形ACEF是平行四边形．（2）由于△ACE是等腰三角形，当∠1=60°时△ACE是等边三角形，有AC=EC，有平行四边形ACEF是菱形．（3）当四边形ACEF是矩形时，有∠2=90°，而∠2与∠3互余．∠3≠0°，∴∠2≠90°．∴四边形ACEF不可能是矩形．【解答】（1）证明：∵ED是BC的垂直平分线，∴EB=EC．∴∠3=∠4．∵∠ACB=90°，∴∠2与∠4互余，∠1与∠3互余，∴∠1=∠2．∴AE=CE．又∵AF=CE，∴△ACE和△EFA都是等腰三角形．∴AF=AE，∴∠F=∠5，∵FD⊥BC，AC⊥BC，∴AC∥FE．∴∠1=∠5．∴∠1=∠2=∠F=∠5，∴∠AEC=∠EAF．∴AF∥CE．∴四边形ACEF是平行四边形．（2）解：当∠B=30°时，四边形ACEF是菱形．证明如下：∵∠B=30°，∠ACB=90°，∴∠1=∠2=60°．∴△EAC为等边三角形，∴AC=EC．∴平行四边形ACEF是菱形．（3）解：四边形ACEF不可能是矩形．理由如下：由（1）可知，∠2与∠3互余，∠3≠0°，∴∠2≠90°．∴四边形ACEF不可能是矩形．【点评】本题利用了：（1）中垂线的性质，（2）等边对等角和等角对等边，（3）直角三角形的性质，（4）平行四边形和判定和性质，（5）一组邻边相等的平行四边形是菱形，（6）矩形的性质．（1999•杭州）如图，O是△ABC的外心，弦AB的垂直平分线与AB和AC分别相交于点M、N，与BC边的延长线相交于点P，求证：OA2=ON•OP．【考点】线段垂直平分线的性质；三角形的外接圆与外心；相似三角形的判定与性质．【专题】证明题；压轴题．【分析】连接OB，所求的乘积式可化为：OA•OB=ON•OP；将上式化为比例式，然后证线段所在的三角形相似，即证△OAN∽△OPB．【解答】证明：连接OB；∵PM垂直平分AB，∴OA=OB，AM=BM，OM⊥AB；∴∠AOM=∠BOM=∠AOB；∵∠ACB=∠AOB，∴∠ACB=∠AOM；∴∠NAO+∠ANO=∠P+∠PNC；∵∠PNC=∠ANO，∴∠P=∠NAO；∵∠AOM=∠MOB，∴∠AON=∠BOP；∴△ANO∽△PBO，∴，即OA•OB=OP•ON；∵OA=OB，∴OA2=ON•OP．【点评】此题主要考查的是相似三角形的判定和性质，涉及到的知识点有：线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、圆周角定理、三角形的外角性质等，综合性强，难度偏大．（1998•上海）已知：如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=120°，AB的垂直平分线MN分别交BC，AB于点M，N，求证：CM=2BM．【考点】线段垂直平分线的性质．【专题】证明题；压轴题．【分析】先根据垂直平分线的性质，判定AM=BM，再求出∠B=30°，∠CAM=90°，根据直角三角形中30度的角对的直角边是斜边的一半，得出BM=AM=CA即CM=2BM．【解答】证法1：如答图所示，连接AM，∵∠BAC=120°，AB=AC，∴∠B=∠C=30°，∵MN是AB的垂直平分线，∴BM=AM，∴∠BAM=∠B=30°，∴∠MAC=90°，∴CM=2AM，∴CM=2BM．证法二：如答图所示，过A作AD∥MN交BC于点D．∵MN是AB的垂直平分线，∴N是AB的中点．∵AD∥MN，∴M是BD的中点，即BM=MD．∵AC=AB，∠BAC=120°，∴∠B=∠C=30°，∵∠BAD=∠BNM=90°，∴AD=BD=BM=MD，又∵∠CAD=∠BAC﹣∠BAD=120°﹣90°=30°，∴∠CAD=∠C，∴AD=DC，BM=MD=DC，∴CM=2BM．【点评】此题主要考查线段的垂直平分线的性质等几何知识．线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．（2011•河池）如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，AB的垂直平分线DE交AC于D，交AB 于E，下述结论错误的是（）A．BD平分∠ABC B．△BCD的周长等于AB+BCC．AD=BD=BC D．点D是线段AC的中点【考点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质．【分析】由在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，根据等边对等角与三角形内角和定理，即可求得∠ABC与∠C的度数，又由AB的垂直平分线是DE，根据线段垂直平分线的性质，即可求得AD=BD，继而求得∠ABD的度数，则可知BD平分∠ABC；可得△BCD的周长等于AB+BC，又可求得∠BDC的度数，求得AD=BD=BC，则可求得答案；注意排除法在解选择题中的应用．【解答】解：∵在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，∴∠ABC=∠C==72°，∵AB的垂直平分线是DE，∴AD=BD，∴∠ABD=∠A=36°，∴∠DBC=∠ABC﹣∠ABD=72°﹣36°=36°=∠ABD，∴BD平分∠ABC，故A正确；∴△BCD的周长为：BC+CD+BD=BC+CD+AD=BC+AC=BC+AB，故B正确；∵∠DBC=36°，∠C=72°，∴∠BDC=180°﹣∠DBC﹣∠C=72°，∴∠BDC=∠C，∴BD=BC，∴AD=BD=BC，故C正确；∵BD＞CD，∴AD＞CD，∴点D不是线段AC的中点，故D错误．故选D．【点评】此题考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质以及三角形内角和定理等知识．此题综合性较强，但难度不大，解题的关键是注意数形结合思想的应用，注意等腰三角形的性质与等量代换．（2011•丹东）如图，在Rt△ACB中，∠C=90°，BE平分∠ABC，ED垂直平分AB于D．若AC=9，则AE的值是（）【考点】线段垂直平分线的性质；含30度角的直角三角形．【专题】计算题；压轴题．【分析】由角平分线的定义得到∠CBE=∠ABE，再根据线段的垂直平分线的性质得到EA=EB，则∠A=∠ABE，可得∠CBE=30°，根据含30度的直角三角形三边的关系得到BE=2EC，即AE=2EC，由AE+EC=AC=9，即可求出AC．【解答】解：∵BE平分∠ABC，∴∠CBE=∠ABE，∵ED垂直平分AB于D，∴EA=EB，∴∠A=∠ABE，∴∠CBE=30°，∴BE=2EC，即AE=2EC，而AE+EC=AC=9，∴AE=6．故选C．【点评】本题考查了线段的垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等．（2008•德阳）（2006•淮安）如图，平行四边形ABCD中，AB=3，BC=5，AC的垂直平分线交AD于E，则△CDE的周长是（）【考点】线段垂直平分线的性质；平行四边形的性质．【专题】压轴题；转化思想．【分析】根据线段垂直平分线的性质和平行四边形的性质可知，△CDE的周长=CD+DE+CE=CD+DE+AE=CD+AD=AB+BC=3+5=8．【解答】解：根据垂直平分线上点到线段两个端点的距离相等知，EC=AE；根据在平行四边形ABCD中有BC=AD，AB=CD，∴△CDE的周长等于CD+DE+CE=CD+DE+AE=CD+AD=AB+BC=3+5=8．故选B．【点评】本题结合线段垂直平分线的性质考查了平行四边形的性质，利用中垂线将已知转化是解题的关键．（2013•仙桃）如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=120°，BC=6cm，AB的垂直平分线交BC于点M，交AB于点E，AC的垂直平分线交BC于点N，交AC于点F，则MN的长为（）A．4cm B．3cm C．2cm D．1cm【考点】线段垂直平分线的性质；等边三角形的判定与性质．【分析】连接AM、AN、过A作AD⊥BC于D，求出AB、AC值，求出BE、CF值，求出BM、CN 值，代入MN=BC﹣BM﹣CN求出即可．【解答】解：连接AM、AN、过A作AD⊥BC于D，∵在△ABC中，AB=AC，∠A=120°，BC=6cm，∴∠B=∠C=30°，BD=CD=3cm，∴AB==2cm=AC，∵AB的垂直平分线EM，∴BE=AB=cm同理CF=cm，∴BM==2cm，同理CN=2cm，∴MN=BC﹣BM﹣CN=2cm，故选C．【点评】本题考查了线段垂直平分线性质，等腰三角形的性质，含30度角的直角三角形性质，解直角三角形等知识点的应用，主要考查学生综合运用性质进行推理和计算的能力．（2012•勃利县校级模拟）△ABC中，AB=AC，BC=10，AB的垂直平分线与AC的垂直平分线分别交BC于点D、E且DE=4，则AD+AE的值为（）A．6B．10C．6或14D．6或10【考点】线段垂直平分线的性质．【分析】作出图形，根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得AD=BD，AE=CE，然后分两种情况讨论求解．【解答】解：∵AB、AC的垂直平分线分别交BC于点D、E，∴AD=BD，AE=CE，∴AD+AE=BD+CE，∵BC=10，DE=4，∴AD+AE=BD+CE=BC﹣DE=10﹣4=6，AD+AE=BD+CE=BC+DE=10+4=14（舍去），综上所述，AD+AE=6或14（舍去）．故选C．【点评】本题考查了线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，熟记性质是解题的关键，难点在于要分情况讨论．（2009•钦州）如图，AC=AD，BC=BD，则有（）A．AB垂直平分CD B．CD垂直平分ABC．AB与CD互相垂直平分D．CD平分∠ACB【考点】线段垂直平分线的性质．【分析】由已知条件AC=AD，利用线段的垂直平分线的性质的逆用可得点A在CD的垂直平分线上，同理，点B也在CD的垂直平分线上，于是A是符合题意的，是正确的，答案可得．【解答】解：∵AC=AD，BC=BD，∴点A，B在线段CD的垂直平分线上．∴AB垂直平分CD．故选A．【点评】本题考查的知识点为：与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上；两点确定一条直线．分别应用垂直平分线性质定理的逆定理是解答本题的关键．（2009•山西）（2008•眉山）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=a，DC=b，DC边的垂直平分线EF交BC 边于E，且E为BC边的中点，又DE∥AB，则梯形ABCD的周长等于（）A．2a+2b B．3a+b C．4a+b D．5a+b【考点】线段垂直平分线的性质；梯形．【分析】根据平行四边形的性质可知，AD=BE，由线段垂直平分线的性质可知，DE=EC，则梯形的性质可求解．【解答】解：根据已知，得四边形ABED是平行四边形，则DE=AB=a，BE=AD．根据线段的垂直平分线的性质，得CE=DE．又E为BC边的中点，所以BC=2CE=2AB=2a，AD=BE=a．所以梯形的周长是4a+b．故选C【点评】本题综合运用平行四边形的性质以及线段垂直平分线的性质．（2012•遂宁）如图，△ABC中，AB=AC=6，BC=4.5，分别以A、B为圆心，4为半径画弧交于两点，过这两点的直线交AC于点D，连接BD，则△BCD的周长是10.5．【考点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质．【分析】先判定出D在AB的垂直平分线上，再根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得BD=AD，再求出△BCD的周长=AC+BC，然后代入数据进行计算即可得解．【解答】解：根据作法，点D在线段AB的垂直平分线上，则BD=AD，则△BCD的周长=BD+CD+BC=AD+CD+BC=AC+BC，∵AC=6，BC=4.5，∴△BCD的周长=6+4.5=10.5．故答案为：10.5．【点评】本题考查了线段垂直平分线的判定与性质，熟记线段垂直平分线的性质是解题的关键．（2011•海南）如图，在△ABC中，AB=AC=3cm，AB的垂直平分线交AC于点N，△BCN的周长是5cm，则BC的长等于2cm．【考点】线段垂直平分线的性质．【专题】计算题；压轴题．【分析】由AB的垂直平分线交AC于点N，根据线段的垂直平分线的性质得到NA=NB，而BC+BN+NC=5cm，则BC+AN+NC=5cm，由AC=AN+NC=3cm，即可得到BC的长．【解答】解：∵AB的垂直平分线交AC于点N，∴NA=NB，又∵△BCN的周长是5cm，∴BC+BN+NC=5cm，∴BC+AN+NC=5cm，而AC=AN+NC=3cm，∴BC=2cm．故答案为：2．【点评】本题考查了线段的垂直平分线的性质：线段的垂直平分线的点到线段两端点的距离相等；也考查了三角形周长的定义．（2010•黄石）如图，等腰三角形ABC中，已知AB=AC，∠A=30°，AB的垂直平分线交AC于D，则∠CBD的度数为45°．【考点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质．【分析】根据三角形的内角和定理，求出∠C，再根据线段垂直平分线的性质，推得∠A=∠ABD=30°，由外角的性质求出∠BDC的度数，从而得出∠CBD=45°．【解答】解：∵AB=AC，∠A=30°，∴∠ABC=∠ACB=75°，∵AB的垂直平分线交AC于D，∴AD=BD，∴∠A=∠ABD=30°，∴∠BDC=60°，∴∠CBD=180°﹣75°﹣60°=45°．故填45．【点评】此题主要考查线段的垂直平分线的性质和等腰三角形的性质；利用三角形外角的性质求得求得∠BDC=60°是解答本题的关键．本题的解法很多，用底角75°﹣30°更简单些．（2008•临沂）如图，矩形ABCD中，AB=2，BC=3，对角线AC的垂直平分线分别交AD，BC于点E、F，连接CE，则CE的长为．【考点】线段垂直平分线的性质；矩形的性质．【专题】计算题；压轴题．【分析】本题首先利用线段垂直平分线的性质推出△AOE≌△COE，再利用勾股定理即可求解．【解答】解：EF垂直且平分AC，故AE=EC，AO=CO．所以△AOE≌△COE．设CE为x．则DE=AD﹣x，CD=AB=2．根据勾股定理可得x2=（3﹣x）2+22解得CE=．故答案为．【点评】本题考查的是线段垂直平分线的性质以及矩形的性质．关键是要设所求的量为未知数利用勾股定理求解．（1997•广西）如图，∠A=52°，O是AB、AC的垂直平分线的交点，那么∠OCB=38°．【考点】线段垂直平分线的性质．【分析】根据题意确定点O是△ABC的外心，所以连接OB．利用圆周角定理可知∠BOC=2∠A，然后等腰△BOC的性质和三角形内角和定理来求∠OCB的度数即可．【解答】解：∵O是AB、AC的垂直平分线的交点，∴点O是△ABC的外心．如图，连接OB．则∠BOC=2∠A=104°．又∵OB=OC，∴∠OBC=∠OCB．∴∠OCB=（180°﹣∠BOC）÷2=38°，故答案是：38°．【点评】本题考查了线段垂直平分线的性质．解答该题的技巧性在于利用线段垂直平分线的性质找到三角形外接圆的圆心，利用圆周角定理、三角形内角和定理将所求的角与已知角的数量关系联系起来．（2012•常州）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，对角线AC的中点为O，过点O作AC的垂线分别与AD、BC相交于点E、F，连接AF．求证：AE=AF．【考点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的判定与性质．【专题】证明题；压轴题．【分析】方法一：连接CE，由与EF是线段AC的垂直平分线，故AE=CE，再由AE∥BC可知∠ACB=∠DAC，故可得出△AOE≌△COF，故AE=CF，所以四边形AFCE是平行四边形，再根据AE=CE可知四边形AFCE是菱形，故可得出结论．方法二：首先证明△AOE≌△COF，可得OE=OF，进而得到AC垂直平分EF，再根据线段垂直平分线的性质可得AE=AF．【解答】证明：连接CE，∵EF是线段AC的垂直平分线，∴AE=CE，OA=OC，∵AE∥BC，∴∠ACB=∠DAC，在△AOE与△COF中，∵，∴△AOE≌△COF，∴AE=CF，∴四边形AFCE是平行四边形，∵AE=CE，∴四边形AFCE是菱形，∴AE=AF．另法：∵AD∥BC，∴∠EAO=∠FCO，∠AEO=∠CFO，∵，∴△AOE≌△COF﹙ASA﹚，∴OE=OF，∴AC垂直平分EF，∴AE=AF．【点评】本题考查的是线段垂直平分线的性质及菱形的判定定理，根据题意作出辅助线，构造出平行四边形是解答此题的关键．（2008•广安）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，E为CD中点，连接AE并延长AE交BC的延长线于点F（1）求证：CF=AD；（2）若AD=2，AB=8，当BC为多少时，点B在线段AF的垂直平分线上，为什么？【考点】线段垂直平分线的性质；梯形．【专题】几何综合题；压轴题．【分析】（1）通过求证△FEC≌△AED来证明CF=AD；（2）若点B在线段AF的垂直平分线上，则应有AB=BF∵AB=8，CF=AD=2，∴BC=BF﹣CF=8﹣2=6时有AB=BF．【解答】（1）证明：∵AD∥BC，∴∠F=∠DAE．（1分）又∵∠FEC=∠AED，∴∠ECF=∠ADE，∵E为CD中点，∴CE=DE，在△FEC与△AED中，∵，∴△FEC≌△AED．（3分）∴CF=AD；（4分）（2）解：当BC=6时，点B在线段AF的垂直平分线上，（6分）其理由是：∵BC=6，AD=2，AB=8，∴AB=BC+AD．（7分）又∵CF=AD，BC+CF=BF，∴AB=BF．（8分）∴△ABF是等腰三角形，∴点B在AF的垂直平分线上．（9分）【点评】本题利用了：（1）梯形的性质，（2）全等三角形的判定和性质，（3）中垂线的性质．（2006•厦门模拟）如图，已知：在△ABC中，∠BAC=90°，延长BA到点D，使AD=AB，点G、E、F分别为边AB、BC、AC的中点．求证：DF=BE．【考点】线段垂直平分线的性质；三角形中位线定理；平行四边形的性质；平行四边形的判定．【专题】证明题；压轴题．【分析】连接GF，易得AF是GD的中垂线，所以AD=AG．又∠BAC=90°，即AF⊥BD，所以DF=FG．因为EF为△ABC的中位线，所以BG=EF，BG∥EF，所以四边形BEFG为平行四边形，所以GF=BE．【解答】证法（﹣）：连接GF，∵AD=AB，点G为AB边的中点，∴AD=BG=AB．∴AD=AG．又∵∠BAC=90°，即AF⊥BD，∴DF=FG．∵EF为△ABC的中位线，∴EF=AB，EF∥AB．∴BG=EF，BG∥EF．∴四边形BEFG为平行四边形．∴GF=BE．∴BE=DF．证法（二）：∵F，E是AC，BC的中点，∴FE=AB（中位线定理）；∵AD=AB，∴AD=FE，∵点F是AC中点，∴AF=FC，又∠DAF=∠CFE=90°，∴△DAF≌△FEC，∴DF=EC，∴DF=BE．【点评】本题利用了中垂线的判定和性质，三角形中位线的性质，平行四边形的判定和性质求解．。
专题训练(四) 有关线段的垂直平分线和角的平分线的四种解题方法-学习文档
专题训练(四) 有关线段的垂直平分线和角的平分线的四种解题方法►方法一直接根据相关性质定理解题1．如图4－ZT－1所示，在四边形ABCD中，AC，BD相交于点O，AB＝BC＝CD＝DA.求证：AC与BD互相垂直平分．图4－ZT－1►方法二连线构造全等三角形2．如图4－ZT－2，AB＝AC，BD＝CD，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F.求证：DE＝DF.图4－ZT－23．如图4－ZT－3，在△ABC中，AB＝2AC，∠BAD＝∠CAD，AD＝DB.求证：CD⊥CA.图4－ZT－3►方法三作垂线段得距离4．如图4－ZT－4，在△ABC中，∠BAC的平分线AD平分底边BC.求证：AB＝AC.图4－ZT－45．如图4－ZT－5，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点O，OE⊥BC于点E，△ABC的周长为12，面积为6，求OE的长．图4－ZT－56.如图4－ZT－6所示，在△ABC中，AD是△ABC的角平分线，E，F分别是AB，AC上的点，并且有∠EDF＋∠EAF＝180°，DG⊥AB于点G.(1)试判断DE和DF的数量关系，并说明理由；(2)若△ADF和△AED的面积分别为50和39，求△EDG的面积．图4－ZT－67．如图4－ZT－7，DA⊥AB于点A，CB⊥AB于点B，P为AB边上一点，且DP平分∠ADC，CP平分∠DCB.求证：(1)P为AB的中点；(2)DC＝AD＋BC.图4－ZT－78．如图4－ZT －8，D 是△ABC 的边BC 的延长线上一点，BE 平分∠ABC，CE 平分∠ACD. 求证：(1)∠BAC＝2∠BEC；(2)∠CAE＋∠BEC＝90°.图4－ZT －8► 方法四 作线段的延长线构造全等三角形9．如图4－ZT －9，在△ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ，CD 垂直于∠ABC 的平分线BD 于点D ，BD 交AC 于点E.求证：BE ＝2CD.图4－ZT －9详解详析1．证明：∵AB ＝DA ，BC ＝CD ，∴点A ，C 在线段BD 的垂直平分线上，即AC 垂直平分BD ，同理可证得BD 垂直平分AC.∴AC 与BD 互相垂直平分．2．证明：连接AD.在△ABD 与△ACD 中，∵⎩⎨⎧AB ＝AC ，BD ＝CD ，AD ＝AD ，∴△ABD ≌△ACD ，∴∠BAD ＝∠CAD. 又∵DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，∴DE ＝DF.3．[解析] 要证明CD ⊥CA ，只要使∠ACD ＝90°即可．由于AD ＝DB ，可在AB 边上取中点E ，连接DE ，由AB ＝2AC 及∠BAD ＝∠CAD ，得△ADE ≌△ADC ，从而得∠ACD ＝∠AED.由AD ＝DB 知DE 是AB 的垂直平分线，可得∠AED ＝90°.证明：在AB 边上取中点E ，连接DE.因为AD ＝DB ，E 为AB 的中点，所以ED ⊥AB.因为AB ＝2AC ，所以AE ＝12AB ＝AC. 在△ADE 和△ADC 中，⎩⎨⎧AE ＝AC ，∠DAE ＝∠DAC ，AD ＝AD ，所以△ADE ≌△ADC ， 所以∠ACD ＝∠AED ＝90°，所以CD ⊥CA.4．[解析] 根据题意可知AD 是∠BAC 的平分线，可过点D 作∠BAC 两边的垂线段，根据角平分线的性质，并结合三角形的面积进行证明．证明：如图，分别过点D 作DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，垂足分别为E ，F.因为AD 为∠BAC 的平分线，所以DE ＝DF.又因为AD 平分BC ，所以BD ＝CD ，所以S △ABD ＝S △ACD .又S △ABD ＝12AB ·DE ，S △ACD ＝12AC ·DF ， 所以AB·DE ＝AC·DF ，所以AB ＝AC.5．[解析] 连接OA ，过点O 作OM ⊥AC 于点M ，OF ⊥AB 于点F ，则OE ＝OF ＝OM.由S △ABC ＝S △AOB ＋S △BOC ＋S △AOC 可求OE 的长．解：如图，连接OA ，过点O 作OM ⊥AC 于点M ，OF ⊥AB 于点F.∵BO 平分∠ABC ，OF ⊥AB ，OE ⊥BC ，∴OF ＝OE.同理OE ＝OM.∴OF ＝OE ＝OM.∵S △ABC ＝S △AOB ＋S △BOC ＋S △AOC ，∴12AB ·OF ＋12BC ·OE ＋12AC ·OM ＝6， ∴12OE ·(BC ＋AB ＋AC)＝6. 又∵△ABC 的周长为12，即BC ＋AB ＋AC ＝12，∴OE ＝1.6．解：(1)DE ＝DF.理由：过点D 作DN ⊥AC 于点N.∵DG ⊥AB 于点G ，∴∠EGD ＝∠FND ＝90°.∵AD 平分∠BAC ，DG ⊥AB ，DN ⊥AC ，∴DG ＝DN(角平分线的性质)．∵∠EAF ＋∠EDF ＝180°，∴∠AED ＋∠AFD ＝360°－180°＝180°.∵∠AED ＋∠DEG ＝180°，∴∠DEG ＝∠NFD.在△EGD 和△FND 中，⎩⎨⎧∠GED ＝∠DFN ，∠DGE ＝∠DNF ，DG ＝DN ，∴△EGD ≌△FND(AAS)，∴DE ＝DF.(2)由已知易证△ADG ≌△ADN.由(1)知△EGD ≌△FND ，∴S △ADG ＝S △ADN ，S △EGD ＝S △FND ，∴S △ADE ＋S △EGD ＝S △ADF －S △EGD ，即39＋S △EGD ＝50－S △EGD ，∴S △EGD ＝5.5.7．证明：(1)如图，过点P 作PE ⊥DC 于点E.∵DP 平分∠ADC ，PA ⊥AD ，PE ⊥DC ，∴PA ＝PE.同理PB ＝PE.∴PA ＝PB ，∴P 为AB 的中点．(2)在△ADP 与△EDP 中，∵DP 平分∠ADC ，∴∠ADP ＝∠EDP.又∵∠PAD ＝∠PED ＝90°，DP ＝DP ，∴△ADP ≌△EDP ，∴AD ＝ED.同理BC ＝EC.∵DC ＝DE ＋EC ，∴DC ＝AD ＋BC.8．证明：(1)∵∠ACD ＝∠BAC ＋∠ABC ，CE 平分∠ACD ，∴∠ECD ＝12∠ACD ＝12(∠BAC ＋∠ABC)． ∵BE 平分∠ABC ，∴∠EBC ＝12∠ABC. ∴∠ECD ＝∠BEC ＋∠EBC ＝∠BEC ＋12∠ABC ， ∴∠BEC ＋12∠ABC ＝12(∠BAC ＋∠ABC)， ∴∠BEC ＝12∠BAC ，即∠BAC ＝2∠BEC. (2)过点E 作EM ⊥BD 于点M ，EN ⊥BA 支BH 的延长线于点N ，EG ⊥AC 于点G. ∵CE 平分∠ACD ，EM ⊥BD ，EG ⊥AC ，∴EG ＝EM.∵BE 平分∠ABC ，EM ⊥BD ，EN ⊥BA ，∴EN ＝EM ，∴EG ＝EN ，∴AE 平分∠CAN ，∴∠CAE ＝12∠CAN ＝12(180°－∠BAC)， ∴∠CAE ＋∠BEC ＝12(180°－∠BAC)＋12∠BAC ＝90°. 9．[解析] 要证BE ＝2CD ，想到要构造等于2CD 的线段，结合角平分线， 利用轴对称的性质把△CBD 沿BD 翻折，使BC 重叠到BA 所在的直线上，构造全等三角形，然后证明BE 和CF(2CD)所在的三角形全等．证明：如图，延长BA ，CD 交于点F.∵BD ⊥CF(已知)，∴∠BDC ＝∠BDF ＝90°.∵BD 平分∠ABC(已知)，∴∠1＝∠2.在△BCD 和△BFD 中，⎩⎨⎧∠2＝∠1（已证），BD ＝BD （公共边），∠BDC ＝∠BDF （已证），∴△BCD ≌△BFD(ASA)，∴CD ＝FD ，即CF ＝2CD.∵∠5＝∠4＝90°，∠BDF ＝90°，∴∠3＋∠F ＝90°，∠1＋∠F ＝90°，∴∠1＝∠3.在△ABE 和△ACF 中，⎩⎨⎧∠4＝∠5，AB ＝AC ，∠1＝∠3（已证），∴△ABE ≌△ACF(ASA)，∴BE ＝CF ，∴BE ＝2CD.。
八年级数学重点题型强化训练05 线段垂直平分线专题(解析版)
八年级数学重点题型强化训练5——线段垂直平分线专题第1题第2题【分析】本题考查的是线段垂直平分线的性质：熟记：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离第3题可证BEF CED ≌△△，可得EF =BC 的中点，第5题第6题第7题第8题 第9题【答案】B 【分析】利用全等三角形的判定以及垂直平分线的性质得出OBC Ð，以及40，OBC OCB Ð=Ð=°，再利用翻折变换的性质得出，CEF FEO =Ð进而求出即可．50，BAC BAC Ð=°ÐQ 12OAB CAO \Ð=Ð=25OAB ABO Ð=Ð=∵在等腰ABC V 中，DG Q 是BC 的垂直平分线，BD CD \=，AD Q 是BAC Ð的平分线，DE DF \=，在Rt BDE △和Rt CDF △中，C ．60°D 【分析】先根据线段垂直平分线的性质得到BE CE =，则AC EC =，再根据等腰三角形的性质和三角形内，接着利用三角形外角性质计算出EBC Ð=Ð的度数．故选：C ．题型2：线段垂直平分线的判定11．如图，AD AC =，BD BC =，则下列判断一定正确的是（ ）A ．AB 垂直平分CDB ．CD 垂直平分ABC ．CD 平分ACB ÐD ．以上都不正确第11题第12题【答案】A【分析】根据线段垂直平分线的判定求解即可．【详解】解：∵AD AC =，BD BC =，∴点A 、B 在线段CD 的垂直平分线上，即AB 垂直平分CD ，故选：A ．12．如图，ABC AB AC BC >>V ，，边AB 上存在一点P ，使得PA PC AB +=．下列描述正确的是（ ）A ．P 是AC 的垂直平分线与AB 的交点B ．P 是ACB Ð的平分线与AB 的交点C ．P 是BC 的垂直平分线与AB 的交点D ．P 是AB 的中点【答案】C【分析】根据线段垂直平分线的判定解答即可．【详解】解：PA PC AB PA BP AB +=+=Q ，，PC BP \=，∴P 是BC 的垂直平分线与AB 的交点．故选：C ．13．如图，将长方形纸片沿AC 折叠后点B 落在点E 处，则下列关于线段BE 与AC 的关系描述正确的是（ ）A ．AC BE =B ．AC 和BE 相互垂直平分C ．AC BE ^且AC BE=D ．AC BE ^且AC 平分BE【答案】D 【分析】只要证明AC 是线段BE 的垂直平分线即可解决问题．【详解】解：ACE QV 是由ACB △翻折得到，AE AB \=，CB CE =，AC EB \^，AC 平分EB ，故选：D ．14．如图，已知：AB AC =，MB MC =．求证：直线AM 是线段BC 的垂直平分线．下面是小彬的证明过程，则正确的选项是（ ）证明：∵AB AC=∴点A 在线段BC 的垂直平分线上①∵MB MC=∴点M 在线段BC 的垂直平分线上②∴直线AM 是线段BC 的垂直平分线③A ．①处的依据是：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等B ．②处的依据是：与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上C ．③处的依据是：与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上D ．以上说法都不对【答案】B【分析】根据垂直平分线的判定方法逐项判断即可．【详解】解：①处的依据是：与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，故A 选项错误，不合题意；②处的依据是：与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，故B 选项正确，符合题意；③处的依据是：两点确定一条直线；故C 选项错误，不合题意；综上可知，选项D 错误，不合题意；故选B ．15．下列说法错误的是（ ）A ．若点P 是线段AB 的垂直平分线上的点，则PA PB=B ．若PA PB =，QA QB =，则直线PQ 是线段AB 的垂直平分线C ．若PA PB =，则点P 在线段AB 的垂直平分线上D ．若PA PB =，则过点P 的直线是线段AB 的垂直平分线【答案】D【分析】根据线段垂直平分线的判定方法，即可一一判定．【详解】解：A.若点P 是线段AB 的垂直平分线上的点，则PA PB =，故该说法正确，不符合题意；B.若PA PB =，QA QB =，则直线PQ 是线段AB 的垂直平分线，故该说法正确，不符合题意；C.若PA PB =，则点P 在线段AB 的垂直平分线上，故该说法正确，不符合题意；D.若PA PB =，则过点P 的直线不一定是线段AB 的垂直平分线，故该说法错误，符合题意；故选：D ．16．如图，AD 是ABC V 的角平分线，交BC 于D ，DE DF 、分别是ABD △和ACD V 的高，分别交AB AC 、于E 、F ，连接EF 交AD 于G ．下列结论：①AD 垂直平分EF ；②EF 垂直平分AD ；③AED AFD V V ≌；④当BAC Ð为60°时，AEF △是等边三角形，其中正确的结论的个数为（ ）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个第16题第17题【答案】B 【分析】根据角平分线性质求出DE DF =，证AED AFD V V ≌，推出AE AF =，再逐个判断即可．【详解】解：∵AD 是ABC V 的角平分线，DE DF 、分别是ABD △和ACD V 的高，∴DE DF =，90AED AFD Ð=Ð=°，在Rt AED △和Rt AFD △中，AD AD DE DF =ìí=î，∴()Rt Rt HL AED AFD ≌△△，故③正确；∴AE AF =，∴AD 垂直平分EF ，①正确；②错误；∵60BAC Ð=°，且AE AF =，∴AEF △是等边三角形，④正确．综上，①③④正确，共3个．故选：B ．17．如图，在△ABC 中，AD 是△ABC 的角平分线，点E 、F 分别是AD 、AB 上的动点，若∠BAC ＝50°，当BE +EF 的值最小时，∠AEB 的度数为（ ）A ．105°B ．115°C ．120°D ．130°【答案】B【分析】过点B 作BB ′⊥AD 于点G ，交AC 于点B ′，过点B ′作B ′F ′⊥AB 于点F ′，与AD 交于点E ′，连接BE ′，证明AD 垂直平分BB ′，推出BE ＝BE ′，由三角形三边关系可知，BE EF B E EF B F B F ¢¢¢¢+=+³³，即BE +EF 的值最小为B F ¢¢，通过证明△ABE ′≌△AB ′E ′，推出∠AE ′B ＝AE ′B ′，因此利用三角形外角的性质求出AE ′B ′即可．【详解】解：过点B 作BB ′⊥AD 于点G ，交AC 于点B ′，过点B ′作B ′F ′⊥AB 于点F ′，与AD 交于点E ′，连接BE ′，如图：此时BE +EF 最小．∵AD 是△ABC 的角平分线，∠BAC ＝50°，∴∠BAD ＝∠B ′AD ＝25°，∵BB ′⊥AD ，∴∠AGB ＝∠AGB ′＝90°，在△ABG 和△AB ′G 中，BAG B AG AG AGAGB AGB Ð=Ðìï=íïТ=Ðî¢，∴△ABG ≌△AB ′G （ASA ），∴BG ＝B ′G ， AB ＝AB ′，∴AD 垂直平分BB ′，∴BE ＝BE ′，在△ABE ′和△AB ′E ′中，BE BE AE AE AB AB ¢¢¢¢ìï=íï=î＝，∴△ABE ′≌△AB ′E ′（SSS ），∴∠AE ′B ＝AE ′B ′，∵AE ′B ′＝∠BAD + AF ′E ′＝25°+90°=115°，∴∠AE ′B ＝115°．即当BE +EF 的值最小时，∠AEB 的度数为115°．故选B ．18．如图，点P 是AOB Ð内的一点，PC OA ^于点C ，PD OB ^于点D ，连接OP ，CD ．若PC PD =，则下列结论不一定成立的是（ ）A ．AOP BOPÐ=ÐB ．OPC OPD Ð=ÐC ．PO 垂直平分CD D ．PD CD=【答案】D【分析】根据角平线的判定定理可判断A ，证明Rt COP Rt DOP V V ≌，可判断B ，根据Rt COP Rt DOP V V ≌，可得OC =OD ，进而可判断C ，根据等边三角形的定义，可判断D ．【详解】解：∵点P 是AOB Ð内的一点，PC OA ^于点C ，PD OB ^于点D ，PC PD =，∴OP 是∠AOB 的平分线，即AOP BOP Ð=Ð，故A 成立，不符合题意；∵OP =OP ，AOP BOP Ð=Ð，第19第20题=，利用ASA Ð，再根据E是CD的中点可求出ECECF=，结合已知可得BE的垂直平分线，根据线段垂直AE EF=+，进而即可求解．即可证得AB BC AD故答案为：70．题型3：与线段垂直平分线相关的尺规作图21．如图，在ABC V 直线MN ，交BC A ．9【答案】B 【分析】由题意可得MN ADC C AC BC =+V ，求解即可．【详解】解：由题意可得，A．3B 【答案】B【分析】利用基本作图得到V的周长为20再利用ABC【详解】解：由作法得DE \==，,DA DB AE BEA ．①③B ．①④C ．②④D ．③④【答案】B 【分析】依次对各个图形的作图痕迹进行分析即可．【详解】 由图①知AD AC =，AB AD >，AB AC \>，故图①能说明AB AC >；由图②知射线BD 是ABC Ð的平分线，不能说明AB AC >；由图③知CD AB ^，不能说明AB AC >；由图④知DE 是BC 的垂直平分线，DB DC \=．ADC QV 中AD DC AC +>，AD DB AC \+>，即AB AC >．故图④能说明AB AC >．故选：B24．如图所示，在Rt ABC △中，90C Ð=°，以B 为圆心，以任意长度为半径作弧，与BA ，BC 分别交于A．20°B．36【答案】C【分析】由作图可知：BO为=，再根据等腰三角形的性质得AD BD和定理即可求出AÐ的度数．【详解】解：由作图可知：平分EAC Ð；③AC CD =；④ABC S V C ．①③DA ．只有甲的答案正确B ．甲和乙的答案合在一起才正确C ．甲和丙的答案合在一起才正确D ．甲乙丙的答案合在一起才正确【答案】D 【分析】分四种情况讨论：当APB Ð为锐角时，当APB Ð为钝角时，当APB Ð为直角时，当135APB Ð=°时，分别画出图形，求出x 与y 的关系，即可得出答案．【详解】解：当APB Ð为锐角时，如图所示：∵AD BP ^，∴90ADP Ð=°，∴90PAD APD Ð+Ð=°，即90x y +=；当APB Ð为钝角时，如图所示：∵AD BP ^，∴90ADP Ð=°，∵APB Ð为ADP △的外角，∴APB ADP DAP Ð=Ð+Ð，∴90x y =+，即90x y -=；当APB Ð为直角时，如图所示：此时直线n 与PA 重合，∴此时直线n 与PA 所夹的角为0°，即90x y +=或90x y -=；当135APB Ð=°时，如图所示：18013545DPA Ð=°-°=°，∵AD BP ^，∴90ADP Ð=°，∴904545DAP Ð=°-°=°，∴45135180DAP APB Ð+Ð=°+°=即180x y +=；1AB 的长为半径作弧，两弧相交于AM ；的长为半径作弧，与BC 边相交于点N ，连接C．9AC，根据中垂线的定义和性质找到相等的边，进而由AC，A ．15B ．16C ．18D ．20【答案】A 【分析】根据题意得到MN 是线段AB 的垂直平分线，进而得到点D 是AB 的中点，根据三角形的面积公式计算，得到答案．【详解】解：由尺规作图可知，MN 是线段AB 的垂直平分线，\点D 是AB 的中点，ACD BCD S S \=△△，ADE CDE CDB S S S \+=V V V ，Q CDB △的面积为12，ADE V 的面积为9，1293CDE CDB ADE S S S \=-=-=V V V ，\四边形EDBC 的面积为：12315CDE CDB EDBC S S S =+=+=V V 四边形，故选：A ．30．如图，在ABC V 中，根据尺规作图痕迹，下列说法不一定正确的是（ ）．A ．AF BF=B ．90AFD FBC Ð+Ð=°C ．DF AB^D ．BAF CAFÐ=Ð【答案】D 【分析】由图中尺规作图痕迹可知，BE 为ABC Ð的平分线，DF 为线段AB 的垂直平分线，结合角平分线的定义和垂直平分线的性质逐项分析即可．【详解】解：由图中尺规作图痕迹可知， BE 为ABC Ð的平分线，DF 为线段AB 的垂直平分线．上求作点D ，使；，若点D 在边上，在上求作点E ，使．）作BC 的垂直平分线与BC 的交点即为所求；）如图：由题意得，只要作12BDE ABC S S △△=即可，由第（1）问得，12ABP ABC S S △△=，只要作BC ABD ACD S S =V V AB BC BDE ADEC S S △四边形=作BC 的垂直平分线与BC 交于D 点，BD CD \=，ABD QV 与ACD V 高相同，ABD ACD S S \=V V ．如图1：点D 即为所求；（2）如图：由题意得，只要作12BDE ABC S S △△=即可，作BC 的垂直平分线交BC 于P 点，由第（1）问得，12ABP ABC S S △△=，故只要作BDE ABP S S △△=即可，连接D 、P ，要使得BDE ABP S S △△=，只要作根据“夹在平行线之间的垂线段相等”，即，高相等，如图2：点E 即为所求．32．如图，在中，点E 在上且．(1)请用尺规作图的方法在边上确定点D ，使得；（保留作图痕迹，不写作法）(2)在（1）的条件下，若的周长为，求的长．【分析】（1）线段AB 的垂直平分线与BC 边的交点即为所求；（2）根据线段垂直平分线的性质，通过等量代换求解．【详解】（1）解：如图所示，线段AB 的垂直平分线与BC 边交于点D ，点D 即为所求；（2）解：Q ADE V 的周长为12cm ，\12AD AE DE ++=，Q BD AD =，AE CE =，\12BC BD CE DE AD AE DE =++=++=，即BC 的长为12cm ．题型4：与线段垂直平分线相关的计算与证明33．如图，在ABC V 中，AB 、AC 边的垂直平分线相交于点O ，分别交BC 边于点M 、N ，连接AM ，AN ．(1)若AMN V 的周长为6，求BC 的长；(2)若30B Ð=°，25C Ð=°，求MAN Ð的度数；(3)若MON a Ð=，请用a 表示MAN Ð的度数（直接写出即可）．ABC V BC AE CE =BC BD AD =ADE V 12cm BC【答案】(1)6(2)70°(3)1802MAN aÐ=°-【分析】（1）由垂直平分线的性质可得,AM BM AN CN ==，再由BC AM MN AN =++可得结论；（2）由垂直平分线的性质可得30,30,B BAM C CAN Ð=Ð=°Ð=Ð=°，再根据三角形内角和定理可得结论；（3）根据三角形内角和定理可得()1802MAN B C Ð=°-Ð+Ð，再由四边形内角和定理可得180B C MAN O Ð+Ð=°-Ð-Ð，代入求解即可【详解】（1）,OM ON Q 分别是AB 、AC 边的垂直平分线，,,AM BM AN CN \==6AM MN AN ++=Q 6BM MN CN \++=，即6BC =（2）,,AM BM AN CN ==Q 30,25,BAM B CAN C \Ð=Ð=°Ð=Ð=°180,B BAC C Ð+Ð+Ð=°Q 且BAC BAM MAN CANÐ=Ð+Ð+Ð180,B BAM MAN CANC \Ð+Ð+Ð+Ð+Ð=°即180,B B MANC C Ð+Ð+Ð+Ð+Ð=°18022180605070MAN B C \Ð=°-Ð-Ð=°-°-°=°（3）如图，180,B BAC C Ð+Ð+Ð=°Q 且BAC BAM MAN CAN Ð=Ð+Ð+Ð180,B BAM MAN CANC \Ð+Ð+Ð+Ð+Ð=°即180,B B MANC C Ð+Ð+Ð+Ð+Ð=°()1802MAN B C \Ð=°-Ð+Ð,,OM ON Q 分别是AB 、AC 边的垂直平分线，90AEO AFO \Ð=Ð=360AEO EAF AFO FOE \Ð+Ð+Ð+Ð=°180EAF O \Ð+Ð=°180,BAF MAN CAN O \Ð+Ð+Ð+Ð=°180,B C MAN O \Ð+Ð+Ð+Ð=°180B C MAN O\Ð+Ð=°-Ð-Ð()()180********MAN B C MAN O \Ð=°-Ð+Ð=°-°-Ð-Ð\解得，1802MAN aÐ=°-34．如图，在Rt ABC △中，45,90,ACB BAC AB AC Ð=°Ð=°=，点D 是AB 的中点，AF CD ^于H 交BC 于F ，BE AC ∥交AF 的延长线于E ．求证：BC 垂直且平分DE ．【答案】见解析【分析】根据全等三角形的判定证明(ASA)ABE CAD ≌V V ，在再证明(SAS)DBP EBP ≌V V 即可解决问题；【详解】证明：由题意可知，9090DAH ADH ACH ADH ÐÐÐÐ+=°+=°，，∴DAH ACH ÐÐ=，∵90BAC Ð=°，BE AC ∥，∴90CAD ABE ÐÐ==°．又∵AB CA =，∴在ABE V 与CAD V 中，DAH ACH AB AC CAD ABE Ð=Ðìï=íïÐ=Ðî，∴(ASA)ABE CAD ≌V V ．∴AD BE =，又∵AD BD =，∴BD BE =，在Rt ABC V 中，45,90,ACB BAC AB AC ÐÐ=°=°=，故45ABC Ð=°．∵90ABE Ð=°，∴904545EBF Ð=°-°=°，∴(SAS)DBP EBP ≌V V ，∴DP EP =，∴BC 垂直且平分DE ．35．如图，ABC V 中，AD 平分BAG Ð，DG 垂直平分BC ，DE AB ^于E ，DF AC ^于F ．(1)求证：BE CF =；(2)如果9AB =，5AC =，求BE 的长．【答案】(1)见解析；(2)2BE =．【分析】（1）由DG 垂直平分BC 可得DB DC =，由AD 平分BAG Ð， DE AB ^，DF AC ^，可得DE DF =，90DEB DFC Ð=Ð=°，从而证得()Rt Rt HL DBE DCF V V ≌，得证BE CF =；（2）易证()Rt Rt HL ADE ADF ≌△△，得到AE AF =，又BE CF =，因此2AB AE BE AF BE AC CF AC BE =+=+=+=+，代入即可解答．【详解】（1）连接DB ，DC ，∵DG 垂直平分BC ，∴DB DC =，∵AD 平分BAG Ð，DE AB ^，DF AC ^，∴DE DF =，90DEB DFC Ð=Ð=°，∴在Rt DBE V 和Rt DCF V 中DB DC DE DF=ìí=î∴()Rt Rt HL DBE DCF V V ≌，∴BE CF =．（2）∵DE AB ^，DF AC ^，∴在Rt ADE △和Rt ADF V 中AD AD DE DF=ìí=î∴()Rt Rt HL ADE ADF ≌△△，∴AE AF=∵BE CF=∴2AB AE BE AF BE AC CF AC BE =+=+=+=+，∵9AB =，5AC =，∴952BE =+，∴2BE =．36．如图，AB AC ＞，BAC Ð的平分线与BC 边的垂直平分线GD 相交于点D ，过点D 作DE AB ^于点E ，DF AC ^于点F ，求证：BE CF =．【答案】见解析【分析】连接DC ，根据GD 是BC 边的垂直平分线，得到DC DB =，根据AD 是BAC Ð的平分线，且DE AB ^，DF AC ^，得到DE DF =，根据DE DF DB DC =ìí=î，得到()HL DEB DFC V V ≌即可得证．【详解】如图，连接DC ，∵GD 是BC 边的垂直平分线，∴DC DB =，∵AD 是BAC Ð的平分线，且DE AB ^，DF AC ^，∴DE DF =，∵DE DF DB DC =ìí=î，∴()HL DEB DFC V V ≌∴BE CF =．37．如图，在ABC V 中，BAC Ð的平分线与BC 的中垂线DE 交于点E ，过点E 作AC 边的垂线，垂足N ，过点E 作AB 延长线的垂线，垂足为M ．(1)求证：BM CN =；(2)若2AB =，8AC =，求BM 的长．【分析】（1）连接BE ，CE ，由题意易得BE CE =，EM EN =，进而可证Rt Rt BME CNE ≌V V ，然后问题得解；（2）由（1）得：EM EN =，进而可证Rt Rt AME ANE ≌V V ，则有AB BM AC CN +=-，然后根据线段的和差关系可求解．【详解】（1）证明：连接BE ，CE ，DE Q 是BC 的垂直平分线，BE CE \=，AE Q 是BAC Ð的平分线，EM AB ^，EN AC ^，EM EN \=，在Rt BME △和Rt CNE △中，BE CE EM EN=ìí=î()Rt Rt BME CNE HL \V V ≌，BM CN \=；（2）由（1）得：EM EN =，在Rt AME △和Rt ANE △中，AE AE EM EN=ìí=îRt Rt AME ANE \≌V V ，请根据所给教材内容，结合图①，写出“线段垂直平分线的性质定理”完整的证明过程．定理应用：V中，AB、AC的垂直平分线分别交BC于点D、E，垂足分别为M，N，已知）如图②，在ABC的周长为20，则BC的长为__________．∵AB AC AD BC ^=，，的周长为7，可得∴19712AB BE +=-=，∴6AB BE ==；（2）∵30ABC Ð=°，45C Ð=°，∴1803045105BAC Ð=°-°-°=°，在BAD V 和BED V 中，BA BE BD BD DA DE =ìï=íï=î，∴()SSS BAD BED V V ≌，∴105BED BAC Ð=Ð=°，∴1054560CDE BED C Ð=Ð-Ð=°-°=°．40．如图，在ABC V 中，点E 在AB 上，点D 在BC 上，BD BE =，BAD BCE Ð=Ð，AD 与CE 相交于F ．(1)求证：AF CF =；(2)连接，试判断与的位置关系，并说明理由．【分析】（1）根据全等三角形的判定与性质，可得BA BC =，BDA BEC Ð=Ð，根据补角的性质，可得FDC FEA Ð=Ð，根据全等三角形的判定与性质，可得答案．（2）由AB CB =，AF CF =可得点B ，F 在AC 的垂直平分线，即可得出结论【详解】（1）在BAD V 和BCE V 中，∵B B BAD BCE BD BE Ð=ÐìïÐ=Ðíï=î，∴BAD V ≌BCE V ，∴AB CB =，BF BF AC与点A 重合，则 ， ．，四边形的直角沿直线l 折叠后（如图2），点B 落在四边形的边与AB 相交于点F ，猜想OF 、EF 、AB 三者数量关系，并证明．若折叠后点D 恰为AB 的中点（如图3），求的度数；45°，8数量关系为：AB OF EF =+；证明见解析q ==a OABC OCB ÐOABC q∴E O D FO D Ð=Ð．由折叠可得FOD EOC EOD q Ð=Ð=Ð=，∴390COA q Ð==°，∴30q =°．。
线段垂直平分线定理知识总结
线段垂直平分线定理知识总结一、线段垂直平分线的性质定理说明：1、这里的距离指的是点与点之间的距离，也就是两点之间线段的长度。
2、在使用该定理时必须保证两个前提条件：一是垂直于线段，二是平分这条线段。
例题、如图所示，在△ABC 中，已知AC=27，AB 的垂直平分线交AB 于点D ，交AC 于点E ，△BCE 的周长等于50，求BC 的长。
分析：题中给出了线段垂直平分线这个条件，所以可以考虑运用其性质定理，从而得出AE=BE ，把BE 与AE 进行等量代换，再根据△BCE 的周长及AC 的长，可求出BC 的长。
解：因为ED 是线段AB 的垂直平分线， 所以BE=AE 。
因为△BCE 的周长等于50， 即BE ＋EC ＋BC=50， 所以AE ＋EC ＋BC=50。
又因为AE ＋EC=AC=27， 所以BC=50－27=23。
二、线段垂直平分线定理的逆定理证明某一条直线是另一条线段的垂直平分线有两种方法：第一种：根据线段垂直平分线的定义，也就是经过线段的中点，并且垂直于这条EDCBA线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线。
使用这种方法必须满足两个条件：一是垂直二是平分；第二种：可以证明有两个点都在线段的垂直平分线上，根据两点确定一条直线，就可以判断这两点所在的直线就是这条线段的垂直平分线。
例题1、如图所示，P 为线段AB 外的一点，并且PA=PB 。
求证：点P 在线段AB 的垂直平分线上。
分析：要想说明某一点在线段的垂直平分线上，可以根据线段的垂直平分线的定义来进行判断。
证明：过点P 作PC ⊥AB ，垂足为点C 。
因为PA=PB ， 所以∠A=∠B 。
又因为PC ⊥AB ， 所以∠PAB=∠PBA=90°. 在△PAC 和△PBC 中A B PAC PBC PC PC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩所以△PAC ≌△PBC ， 所以AC=BC 。
又因为PC ⊥AB ，所以PC 垂直平分线段AB ，所以点P 在线段AB 的垂直平分线上。
线段的垂直平分线(知识讲解及专项练习)-2020-21学年数学八下册基础知识专项讲练(北师大版)
的周长是（ ）
A．21cm
B．18cm
C．15cm
D．13cm
8．如图，在 ABC 中， DE 垂直平分 AC ，交 AB 于点 E ，连接 EC ，若 BC 9cm ，
AB 10cm，则 EBC 的周长为（ ）
A．16cm
B．18cm
C．19cm
D． 28cm
9．如图，在钝角三角形 ABC 中， ABC为钝角，以点 B 为圆心，AB 长为半径面弧；再
垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等．
【变式】如图，点 P 是△ABC 内的一点，若 PB＝PC，则( )
A．点 P 在∠ABC 的平分线上
B．点 P 在∠ACB 的平分线上
C．点 P 在边 AB 的垂直平分线上
D．点 P 在边 BC 的垂直平分线上
【解析】根据到线段两端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上由 PC=PB 即可得出 P 在线段 BC 的垂直平分线上． 解答：解：∵PB=PC， ∴P 在线段 BC 的垂直平分线上， 故选 D． 知识点（4）：垂直平分线的运用--作图题
2 即可， （2）利用 MN 是垂直平分线得 DA＝DB，由等边对等角得∠B＝∠DAB＝15°，由外角求∠ADC ＝30°，利用直角三角形中 30º角的性质 BD＝AD＝2AC 即可． 【详解】 （1）如图，直线 MN 即为所求．
（2）连接 AD． ∵MN 垂直平分线段 AB， ∴DA＝DB， ∴∠B＝∠DAB＝15°， ∴∠ADC＝∠B+∠DAB＝30°，
①如图，直线 l 垂直平分线段 AB，P1、P2、P3 是 l 上的点.试说明 P1A= P1B.
证明：∵l⊥AB，∴∠P1CA=∠P1CB. 又 CA=CB，P1C= P1C， ∴△P1CA≌△P1CB (SAS). ∴P1A= P1B. 几何语言叙述： ∵直线 l 垂直平分 AB，P 是直线 l 上任意一点;
线段垂直平分线的性质和判定(分层作业)(解析版)
13.1.2线段垂直平分线的性质和判定夯实基础篇一、单选题：1．如图，△AB C中，AB=5，AC=6，BC=4，边AB的垂直平分线交AC于点D，则△BDC 的周长是（）A．8B．10C．12D．14【答案】B【知识点】线段垂直平分线的性质【解析】【解答】设边AB的垂直平分线交AB于点E，∵ED是AB的垂直平分线，∴AD=BD，∵△BDC的周长=DB+BC+CD，∴△BDC的周长=AD+BC+CD=AC+BC=6+4=10.故答案为：B.【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，三角形周长的计算，掌握转化思想的应用是解题的关键.2．如图，在△AB C中，∠B=30°，BC的垂直平分线交AB于点E，垂足为D，CE平分∠AC B．若BE=2，则AE的长为（）AB．1C D．2【答案】B【知识点】角平分线的性质；线段垂直平分线的性质；含30°角的直角三角形【解析】【解答】解：∵在△AB C中，∠B=30°，BC的垂直平分线交AB于E，BE=2，∴BE=CE=2，∴∠B=∠DCE=30°，∵CE平分∠ACB，∴∠ACB=2∠DCE=60°，∠ACE=∠DCE=30°，∴∠A=180°﹣∠B﹣∠ACB=90°．在Rt△CAE中，∵∠A=90°，∠ACE=30°，CE=2，∴AE=12CE=1．故选B．【分析】先根据线段垂直平分线的性质得出BE=CE=2，故可得出∠B=∠DCE=30°，再由角平分线定义得出∠ACB=2∠DCE=60°，∠ACE=∠DCE=30°，利用三角形内角和定理求出∠A=180°﹣∠B﹣∠ACB=90°，然后在Rt△CAE中根据30°角所对的直角边等于斜边的一半得出AE=12CE=1．3．如图所示，在△AB C中，∠ACB=90°，分别以点A，B为圆心，大于12AB长为半径画弧，两弧交于点M，N，作直线MN分别交AB，AC于点D，E，连结CD，BE.下列结论中，错误的是()A．AD=CD B．BE>CDC．∠BEC=∠BDC D．BE平分∠CBD【答案】D【知识点】三角形的外角性质；线段垂直平分线的性质【解析】【解答】解：由作图可得，DE是AB的垂直平分线，∴AE=BE，AD=BD，∴点D为AB的中点.∵∠ACB=90°，点D为AB的中点，∴CD为Rt△ABC的边AB上的中线，∴CD=AD=BD，故A选项正确；∵DE⊥AB，∴Rt△ADE中，AE＞A D.∵AE＞AD。
垂直平分线与角平分线典型题
线段的垂直平分线与角平分线（1）知识要点详解K线段垂直平分线的性质（1）垂直平分线性质宦理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.定理的数学表示：如图1，己知直线m与线段AB垂直相交于点D,H AD=BD,若点C在直线m上，则AC=BC.定理的作用:证明两条线段阳等（2）线段关于它的垂直平分线对称.课堂笔词：2、线段垂宜平分线性质定理的逆定理（1）线段垂直半分线的逆定理：到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上.走理的作用：证明一个点在某线段的垂直平分线定理的数学表示：如图2,已知直线m与线段AB垂直相交丁•点D, J1AD=BD,若AC=BC,则点C在直线m上.课堂笔记I:3、关于三角形三边垂直平分线的定理（1）关于三角形三边垂直平分线的定理：三角形三边的垂直平分线相交于一点,井且这一点到三个顶点的距离相等.定理的数学表示：如图3,若直线i、j,k分别是AABC三边AB、BC、CA的垂直平分线，则直线i 相交于一点0, H OA=OB=OC.定理的作用：证明三角形内的线段相等.（2）三角形三边垂直平分线的交点位置与三角形形状的关系：若三角形期用三用程,则左二辿垂真平分线的交点在三用形内邹;若二用形星真用三角形,则它三边垂直平分线的交点是其斜边的中点;若三角形星钝角三角形,则它aa垂直平赠的交点在三角形外部•反之，三角形三边垂直平分线的交点在三角形内部，则该三角形是锐角三角形；三角D・12cm文档收集于互联网，已重新整理排版word版本可编辑•欢迎下载支持. 形三边垂直半分线的交点在三角形的边上，则该三角形是直角三角形；三角形三边垂直平分线的交点在三角形外部，则该三角形是钝角三角形.经典例题:例1如图1,在Z\ABC中，BC=8cm, AB的垂直平分线交AB于点D,交边AC于点E, ABCE的周长等于18cm,则AC的长等于（）A. 6cm B・ 8cm C・ 10cm课堂笔记：针对性练习:已知：1）如图，AB=AC=14cm.AB的垂直平分线交AB于点D,交AC于点E,如果AEBC的周长是24cm,那么BC= ______________2）如图，AB=AC=14cm,AB的垂直平分线交AB于点D,交AC于点E,如果BC=8cm,那么Z\EBC的周长是________________3）如图，AB=AC,AB的垂直平分线交AB于点D,交AC于点E,如果ZA=28 度，那么ZEBC是_______ 例 2.已妬：AB=AC, DB=DC, E 是AD 上一点，求证：BE=CE a课堂笔记针对性练习:已知：在AABC中，ON是AB的垂直平分线QA=OC 求证：点O在BC的垂直平分线例3. ^EAABC中，AB=AC, AB的垂直平分线与边AC所在的直线相交所成锐角为50° , zfABC的底角ZB的大小为___________________ .课堂笔记针对性练习:1. _______________ 在AABC中，AB=AC. AB的垂直平分线与AC所在直线相交所得的锐角为40°，贝lj 底角B的大小为__ o例4、如图8,已知AD是厶期。
线段垂直平分线知识点+经典例题
第三讲 线段的垂直平分线【要点梳理】要点一、线段的垂直平分线1.定义经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线，也叫线段的中垂线．2.线段垂直平分线的做法求作线段AB 的垂直平分线.作法：（1）分别以点A ，B 为圆心，以大于AB 的长为半径作弧，两弧相交于C ，D 两点；（2）作直线CD ，CD 即为所求直线．要点诠释：(1)作弧时的半径必须大于AB 的长，否则就不能得到两弧的交点了．(2)线段的垂直平分线的实质是一条直线.要点二、线段的垂直平分线定理线段的垂直平分线定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等．要点诠释：线段的垂直平分线定理也就是线段垂直平分线的性质，是证明两条线段相等的常用方法之一．同时也给出了引辅助线的方法，“线段垂直平分线，常向两端把线连”.就是遇见线段的垂直平分线，画出到线段两个端点的距离，这样就出现相等线段，直接或间接地为构造全等三角形创造条件．要点三、线段的垂直平分线逆定理线段的垂直平分线逆定理：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上． 要点诠释：到线段两个端点距离相等的所有点组成了线段的垂直平分线.线段的垂直平分线可以看作是与这条线段两个端点的距离相等的所有点的集合．要点四、三角形的外心三角形三边垂直平分线交于一点，该点到三角形三顶点的距离相等，这点是三角形外接圆的圆心——外心.要点诠释:1.三角形三条边的垂直平分线必交于一点（三线共点），该点即为三角形外接圆的圆心.2.锐角三角形的外心在三角形内部；钝角三角形的外心在三角形外部；直角三角形的外心在斜边上，与斜边中点重合.3.外心到三顶点的距离相等.要点五、尺规作图作图题是初中数学中不可缺少的一类试题，它要求写出“已知，求作，作法和画图”，画图必须保留痕迹，在现行的教材里，一般不要求写出作法，但是必须保留痕迹.证明过程一般不用写出来.最后要点题即“xxx 即为所求”.2121【典型例题】类型一、线段的垂直平分线定理例1、如图，△ABC中AC＞BC，边AB的垂直平分线与AC交于点D，已知AC=5，BC=4，则△BCD的周长是（）A．9 B．8 C．7 D．6【思路点拨】先根据线段垂直平分线的性质得到AD=BD，即AD+CD=BD+CD=AC，再根据△BCD的周长=BC+BD+CD即可进行解答．【答案】A；【解析】因为BD=AD,所以△BCD的周长=BD+CD+BC=AD+CD+BC=5+4=9.【总结升华】此题正是应用了线段垂直平分线的性质定理，也就是已知直线是线段垂直平分线，那么垂直平分线上的点到线段的两个端点距离相等，从而把三角形的边进行转移，进而求得三角形的周长．【变式1】如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，AB的垂直平分线DE交AC于D，交AB于E，下述结论错误的是（）A．BD平分∠ABC B．△BCD的周长等于AB+BCC．AD=BD=BC D．点D是线段AC的中点【答案】D；提示:根据等边对等角、三角形内角和定理及线段垂直平分线的性质定理即可推得选项A、B、C正确；所以选D,另外，注意排除法在解选择题中的应用．【变式2】如图，△ABC中，BC=7，AB的垂直平分线分别交AB、BC于点D、E，AC的垂直平分线分别交AC、BC于点F、G．求△AEG的周长．【答案】解：∵DE为AB的中垂线，∴AE=BE，∵FG是AC的中垂线，∴AG=GC，△AEG的周长等于AE+EG+GA，分别将AE和AG用BE和GC代替得：△AEG的周长等于BE+EG+GC=BC，所以△AEG的周长为BC的长度即7．类型二、线段的垂直平分线的逆定理例2、如图，已知AB=AC,∠ABD=∠ACD，求证：AD是线段BC的垂直平分线．A【答案与解析】证明：∵ AB=AC（已知）∴∠ABC=∠ACB (等边对等角)又∵∠ABD=∠ACD (已知)∴∠ABD-∠ABC =∠ACD-∠ACB (等式性质)即∠DBC=∠DCB∴DB=DC （等角对等边）∵AB=AC（已知）DB=DC （已证）∴点A 和点D 都在线段BC 的垂直平分线上（和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上）∴AD 是线段BC 的垂直平分线。
垂直平分线和角平分线典型题
线段的垂直平分线与角平分线(1)知识要点详解1、线段垂直平分线的性质（1）垂直平分线性质定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.定理的数学表示：如图1，已知直线m 与线段AB 垂直相交于点D ，且AD ＝BD ，若点C 在直线m 上，则AC ＝BC.定理的作用：证明两条线段相等 （2）线段关于它的垂直平分线对称.2、线段垂直平分线性质定理的逆定理（1）线段垂直平分线的逆定理：到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上.定理的数学表示：如图2，已知直线m 与线段AB 垂直相交于点D ，且AD ＝BD ，若AC ＝BC ，则点C 在直线m 上.定理的作用：证明一个点在某线段的垂直平分线上.3、关于三角形三边垂直平分线的定理（1）关于三角形三边垂直平分线的定理：三角形三边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等.定理的数学表示：如图3，若直线,,i j k 分别是△ABC 三边AB 、BC 、CA 的垂直平分线，则直线,,i j k 相交于一点O ，且OA ＝OB ＝OC.定理的作用：证明三角形内的线段相等.（2）三角形三边垂直平分线的交点位置与三角形形状的关系：图1图2若三角形是锐角三角形，则它三边垂直平分线的交点在三角形内部；若三角形是直角三角形，则它三边垂直平分线的交点是其斜边的中点；若三角形是钝角三角形，则它三边垂直平分线的交点在三角形外部.反之，三角形三边垂直平分线的交点在三角形内部，则该三角形是锐角三角形；三角形三边垂直平分线的交点在三角形的边上，则该三角形是直角三角形；三角形三边垂直平分线的交点在三角形外部，则该三角形是钝角三角形.经典例题：例1如图1，在△ABC中，BC＝8cm，AB的垂直平分线交AB于点D，交边AC于点E，△BCE的周长等于18cm，则AC的长等于（）A．6cm B．8cm C．10cm D．12cm针对性练习：：1)如图，AB=AC=14cm,AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，如果△EBC的周长是24cm，那么BC=2) 如图，AB=AC=14cm,AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，如果BC=8cm，那么△EBC的周长是3）如图，AB=AC,AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，如果∠A=28度，那么∠EBC是例2. 已知：AB=AC，DB=DC，E是AD上一点，求证：BE=CE。
垂直平分线的性质定理和判定定理(含答案)
几何专题1：线段垂直平分线的性质定理和判定定理一、知识点(抄一遍)：1.线段垂直平分线的定义：垂直并且平分一条线段的直线.2.线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等.3.线段垂直平分线的判定定理：到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上.二、专题检测题1.证明线段垂直平分线的性质定理.（注意：证明文字性命题的三个步骤：①根据题意，画出图形；②写出已知和求证；③写出证明过程.）2.证明线段垂直平分线的判定定理.3.定理的几何语言表示（1）线段垂直平分线的性质定理：∵，∴ .（2）线段垂直平分线的判定定理：∵，∴ .4.如图所示，CD垂直平分线段AB，AB平分∠CAD. 求证：AD∥BC.5.如图，在△ABC中，AD是BC边上的高.AC的垂直平分线交DC于点E，且BD=DE.求证：AB+BD=DC.6.如图，已知在△ABC中，边AB，BC的垂直平分线相交于点P.求证：点P在AC的垂直平分线上.7.如图,在△ABC中，点D为BC上一点，连接AD，点E在线段AD上，并且∠1=∠2，∠3=∠4. 求证：AD垂直平分BC.8.如图所示，在△ABC中，AB=AC，D是AB上的一点，DE⊥BC，交BC于点E，交CA的延长线于点F.求证：点A在DF的垂直平分线上.几何专题1：线段的垂直平分线答案1. 证明线段垂直平分线的性质定理.已知：如图，直线l 是线段AB 的垂直平分线，垂足为M ，P 为直线l 上的任意一点，连接PA ，PB.求证：PA=PB.证明：①当P 点不与M 点重合时，∵直线l 垂直平分AB ，∴∠PMA=∠PMB=90°,AM=MB.在△APM 和△BPM 中，AM=BM∠PMA=∠PMBPM=PM∴ △APM ≌△BPM （SAS ）.∴ PA=PB. ②当P 点与M 点重合时， ∵AM=MB ， ∴PA=PB. 由①②可知，该命题成立.2. 证明线段垂直平分线的判定定理.已知：如图，线段AB ，P 为平面内一点，且PA=PB.求证：点P 在线段AB 的垂直平分线上.证明： ①当P 点不在线段AB 所在的直线上时， 过点P 作PC ⊥AB ，垂足为C.∵PA=PB,∴△PAB 是等腰三角形.∵PC ⊥AB,∴AC=BC.∴点P 在线段AB 的垂直平分线上. ②当P 点在线段AB 所在的直线上时， ∵PA=PB, ∴点P 是线段AB 的中点. ∴点P 在线段AB 的垂直平分线上. 由①②可知，该命题成立. 3. 定理的几何语言表示（1）线段垂直平分线的性质定理：∵直线l 垂直平分AB ，∴AP=BP.（2）线段垂直平分线的判定定理：∵PA=PB，∴点P在线段AB的垂直平分线上.4.如图所示，CD垂直平分线段AB，AB平分∠CAD. 求证：AD∥BC.证明：∵CD垂直平分线段AB，∴AC=BC，∴∠CAB=∠B.∵AB平分∠CAD，∴∠CAB=∠DAB，∴∠B=∠DAB，∴AD∥BC.5.如图，在△ABC中，AD是BC边上的高.AC的垂直平分线交DC于点E，且BD=DE.求证：AB+BD=DC.证明：连接AE.∵AD是BC边上的高，BD=DE∴AD垂直平分BE，∴AB=AE.∵点E在AC的垂直平分线上，∴AE=CE，∴AB=CE，∴AB+BD=CE+DE，即AB+BD=DC.6.如图，已知在△ABC中，边AB，BC的垂直平分线相交于点P.求证：点P在AC的垂直平分线上.证明：连接AP,BP,CP.∵点P在AB的垂直平分线上，∴AP=BP同理可证：BP=CP∴AP=CP∴点P在AC的垂直平分线上.7.如图,在△ABC中，点D为BC上一点，连接AD，点E在线段AD上，并且∠1=∠2，∠3=∠4. 求证：AD垂直平分BC.证明：∵∠1=∠2，∴BE=CE.∴点E在线段BC的垂直平分线上.同理可证：点A在线段BC的垂直平分线上∴AE垂直平分BC.即AD垂直平分BC.8.如图所示，在△ABC中，AB=AC，D是AB上的一点，DE⊥BC，交BC于点E，交CA的延长线于点F.求证：点A在DF的垂直平分线上.证明：∵AB=AC，∴∠B=∠C.∵DE⊥BC，∴∠FEC=∠FEB=90°，∴∠B+∠BDE=90°，∠C+∠F=90°.∴∠BDE=∠F.∵∠BDE=∠FDA,∴∠F=∠FDA.∴AF=AD，∴点A在DF的垂直平分线上.。
线段的垂直平分线与角平分线
线段的垂直平分线与角平分线【知识框架】1、线段垂直平分线的性质（1）垂直平分线性质定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.定理的数学表示：如图1.∵ CD ⊥AB.且AD ＝BD∴ AC ＝BC.定理的作用：证明两条线段相等 （2）线段关于它的垂直平分线对称. 2、线段垂直平分线的判定定理：到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上. 定理的数学表示：如图2.∵ AC ＝BC∴ 点C 在线段AB 的垂直平分线m 上.定理的作用：证明一个点在某线段的垂直平分线上. 3、关于线段垂直平分线性质定理的推论（1）关于三角形三边垂直平分线的性质：三角形三边的垂直平分线相交于一点.并且这一点到三个顶点．．．．．的距离相等.性质的作用：证明三角形内的线段相等.（2）三角形三边垂直平分线的交点位置与三角形形状的关系：若三角形是锐角三角形.则它三边垂直平分线的交点在三角形内部； 若三角形是直角三角形.则它三边垂直平分线的交点是其斜边的中点；若三角形是钝角三角形.则它三边垂直平分线的交点在三角形外部. 反之.也成立。
4、角平分线的性质定理：角平分线的性质定理：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等.定理的数学表示：如图4.∵ OE 是∠AOB 的平分线.F 是OE 上一点.且CF ⊥OA 于点C.DF ⊥OB 于点D. ∴ CF ＝DF.定理的作用：①证明两条线段相等；②用于几何作图问题； 角是一个轴对称图形.它的对称轴是角平分线所在的直线. 5、角平分线性质定理的逆定理：角平分线的判定定理：在角的内部到角的两边距离相等的点在这个角的角平分线上. 定理的数学表示：如图5.∵点P 在∠AOB 的内部.且PC ⊥OA 于C.PD ⊥OB 于D.且PC ＝PD.图1图2图4∴点P在∠AOB的平分线上.定理的作用：用于证明两个角相等或证明一条射线是一个角的角平分线注意角平分线的性质定理与判定定理的区别和联系.（1）关于三角形三条角平分线交点的定理：三角形三条角平分线相交于一点.并且这一点到三边的距离相等.定理的数学表示：如图6.如果AP、BQ、CR分别是△ABC的内角∠BAC、∠ABC、∠ACB的平分线.那么：① AP、BQ、CR相交于一点I；②若ID、IE、IF分别垂直于BC、CA、AB于点D、E、F.则DI＝EI＝FI.定理的作用：①用于证明三角形内的线段相等；②用于实际中的几何作图问题.（2）三角形三条角平分线的交点位置与三角形形状的关系：三角形三个内角角平分线的交点一定在三角形的内部.这个交点叫做三角形的内心（即内切圆的圆心）.7、关于线段的垂直平分线和角平分线的作图：（1）会作已知线段的垂直平分线；（2）会作已知角的角平分线；（3）会作与线段垂直平分线和角平分线有关的简单综合问题的图形.【典型例题】例1、如图1.在△ABC 中.BC ＝8cm.AB 的垂直平分线交AB 于点D.交边AC 于点E.△BCE 的周长等于18cm.则AC 的长等于（ ） A ．6cm B ．8cm C ．10cm D ．12cm【跟踪练习】（1）如图.AB=AC=14cm,AB 的垂直平分线交AB 于点D.交AC 于点E. 如果△EBC 的周长是24cm.那么BC=_________;（2）如图.AB=AC=14cm,AB 的垂直平分线交AB 于点D.交AC 于点E. 如果BC=8cm.那么△EBC 的周长是______;（3）如图.AB=AC,AB 的垂直平分线交AB 于点D.交AC 于点E. 如果∠A=28度.那么∠EBC=___.例2、已知： AB=AC.DB=DC.E 是AD 上一点.求证：BE=CE.【跟踪练习】已知：在△ABC 中.ON 是AB 的垂直平分线,OA=OC.求证：点O 在BC 的垂直平分线.例3、在△ABC 中.AB=AC.AB 的垂直平分线与边AC 所在的直线相交所成锐角为50°.△ABC 的底角∠B的大小为_______________。
垂直平分线的定理
知识要点详解1、线段垂直平分线的性质（1）垂直平分线性质定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。
定理的数学表示：如图1，已知直线m与线段AB垂直相交于点D，且AD=BD，若点C在直线m上，则AC＝BC.定理的作用：证明两条线段相等（2）线段关于它的垂直平分线对称.2、线段垂直平分线性质定理的逆定理（1）线段垂直平分线的逆定理：到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上。
定理的数学表示：如图2，已知直线m与线段AB垂直相交于点D，且AD＝BD，若AC=BC，则点C在直线m上.定理的作用：证明一个点在某线段的垂直平分线上3、关于三角形三边垂直平分线的定理（1）关于三角形三边垂直平分线的定理：三角形三边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等。
定理的数学表示：如图3，若直线i、j、k分别是△ABC三边AB、BC、CA的垂直平分线，则直线i、j、k相交于一点O，且OA=OB=OC.定理的作用：证明三角形内的线段相等.（2）三角形三边垂直平分线的交点位置与三角形形状的关系：若三角形是锐角三角形，则它三边垂直平分线的交点在三角形内部；若三角形是直角三角形，则它三边垂直平分线的交点是其斜边的中点；若三角形是钝角三角形，则它三边垂直平分线的交点在三角形外部.典型例题：例1如图1，在△ABC中，BC=8cm，AB的垂直平分线交AB于点D，交边AC于点E，△BCE的周长等于18cm，则AC的长等于（）A．6cm B．8cm C．10cm D．12cm例2 1)如图，AB=AC=14cm,AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，如果△EBC的周长是24cm，那么BC=2)如图，AB=AC=14cm,AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，如果BC=8cm，那么△EBC的周长是3）如图，AB=AC,AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，如果∠A=28度，那么∠EBC是例3 已知：在△ABC中，ON是AB的垂直平分线，OA=OC求证：点O在BC的垂直平分线例4 如图7，在△ABC中，AC＝23，AB的垂直平分线交AB于点D，交BC于点E，△ACE的周长为50，求BC边的长.4、角平分线的性质定理角平分线的性质定理：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。
线段的垂直平分线是线段的对称轴;
线段的垂直平分线是线段的对称轴;线段的垂直平分线，又称为对称轴，是指一条线段将另一条线段分成两个相等的部分。
它通常定义为一种平行于线段中点的两个线段，并且从线段的起点和终点分别抵达轴线。
垂直平分线是一条特殊的线段，它与线段本身形成了一个对称的结构。
二、线段的垂直平分线的特性1、线段的垂直平分线是一条垂直的线段，将线段的始末点分成两半。
2、垂直平分线与线段本身形成了一个对称的结构，也就是说，它可以对整个线段进行对称变换。
3、垂直平分线不仅是一条特定的线段，还可以标识出一个特定的点，即线段的中点。
4、垂直平分线的面积为零，它的长度取决于线段的长度。
三、线段的垂直平分线的作用1、垂直平分线可以帮助我们找出线段的中点。
不仅如此，它还可以帮助我们计算线段的距离和角度等相关参数，因此它在几何学中具有重要的作用。
2、垂直平分线也可用于绘制和测量图形中特定的物体。
例如，可以使用它来求出多边形的重心，以及测量两个不规则多边形之间距离的大小。
3、线段的垂直平分线还可以用于解决一些基本的几何问题，比如求解线段的垂直平分线或者求解两条线段之间的夹角。
4、在机械学中，垂直平分线也可以用于分析和研究轴系统以及轴系统中特定部件之间的关系。
四、线段的垂直平分线的实际应用1、垂直平分线可以用于构造和测量图形和几何形状，如构造正方形、三角形、圆等图形。
2、垂直平分线可以用于测量物体的长度或距离、计算物体的面积、求解几何问题等。
3、垂直平分线在机械学中的应用也比较广泛，可以用来分析和研究轴系统以及轴系统中特定部件之间的关系。
4、在某些艺术和设计方面，垂直平分线也可以用于帮助艺术家和设计师正确地构思出完美的构图和平衡感。
五、总结线段的垂直平分线又称为对称轴，是指一条线段将另一条线段分成两个相等的部分，并且它可以对整个线段进行对称变换。
垂直平分线既可以用来构造和测量图形，也可以用来测量物体的长度或距离。
在机械学和艺术方面，线段的垂直平分线也扮演着重要的角色。
线段的垂直平分线
线段的垂直平分线知识要点分析1. 线段垂直平分线性质定理及判定定理线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。
(这个结论是经常用来证明两条线段相等的根据之一.)到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上。
2. 三角形三条边的垂直平分线定理三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等。
(这是一个证明三条直线交于一点的证明根据.)3. 尺规作图尺规作图的概念：只用没有刻度的直尺和圆规进行作图，称尺规作图。
能写出尺规作图的步骤作已知线段的垂直平分线已知底边及底边上的高，求作一个等腰三角形。
【典型例题】考点一：线段垂直平分线性质定理和判定定理例1. 如图，A、B表示两个仓库，要在A、B一侧的河岸边建造一个码头，使它到两个仓库的距离相等，码头应建在什么位置？例2、已知：如图，直线MN⊥AB，垂足是C，且AC=BC，P是MN上的点. 求证：PA=PB.想一想：你能写出这个定理的逆命题吗？它是真命题吗？如果是，请你证明它。
这个定理的逆命题：到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上证明：取AB的中点C，过PC作直线.APBC21这个结论是经常用来证明点在直线上(或直线经过某一点)的根据之一.考点二：尺规作图例3、用尺规作线段的垂直平分线已知：线段AB（如图）. A B求作：线段AB的垂直平分线.现在同学们会作一条已知线段的垂直平分线了，那么你能作出一个三角形的三边的垂直平分线吗？如果能，请试一试观察一下三角形三条边的垂直平分线交于一点吗？如果交于一点，你能证明出来吗？例4、已知：在△ABC中，设AB、BC的垂直平分线交于点P，连接AP，BP，CP.求证：P点在AC的垂直平分线上.这就是我们今天学习的又一个定理三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等。
例5、边及底边上的高，求作等腰三角形.已知：线段a、h求作：△ABC，使AB=AC，BC=a，高AD=h(先分析,作出示意图形,再按要求去作图.)考点三：三角形三条边的垂直平分线的性质例6. 已知：△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的一条中线，AB的垂直平分线交AD于O求证：OA=OB=OC.严格性之于数学家,犹如道德之于人.证明的规范性在于：条理清晰，因果相应,言必有据.这是证明者谨记和遵循的原则 一、选择题1、如果一个三角形两边的垂直平分线的交点在第三边上，那么这个三角形是（ ）A. 直角三角形B. 锐角三角形C. 钝角三角形D. 不能确定*2、已知，如图，在△ABC 中，OB 和OC 分别平分∠ABC 和∠ACB ，过O 作DE ∥BC ，分别交AB 、AC于点D 、E ，若BD+CE ＝5，则线段DE 的长为 （ ）A. 5 B. 6 C. 7D. 82题图 3题图3、如图所示，有A 、B 、C 三个居民小区的位置成三角形，现决定在三个小区之间建一个购物超市，使超市到三个小区的距离相等，则超市应建在（ ）A 、AB 、BC 两边高线的交点处B 、AC 、BC 两边中线的交点处C 、AC 、BC 两边垂直平分线的交点处D 、∠A 、∠B 的平分线交点处 二、填空题4、如图所示，△ABC 中，∠C=90°，DE 是AB的中垂线，AB=2AC ，BC=18cm ，则BE 的长度为4题图 7题图*5、锐角△ABC 中，∠A=60°，AB ，AC 两边的垂直平分线交于点O ，则∠BOC 的度数是 __________。
线段的垂直平分线专题复习讲义
线段的垂直平分线复习讲义
知识梳理
1、线段垂直平分线的性质定理
线段垂直平分线上的点到的距离相等。
2、线段垂直平分线的判定定理
为。
为24．△ABC的周长是．
E．△ADE的周长是．
图1 图2 图3
例2、如图4，在△ABC中，DE垂直平分AC交BC于点D，∠C=30°，∠ABC=70°，∠BAD= 度。
练习、如图5，O是△ABC的两条垂直平分线的交点，∠BAC=70°，∠BOC的度数为。
图4 图5
例3、如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，AB,AC的垂直平分线交BC 于E,G,求证：E,G分别是BC的三等分点。
A
D F
B E G C
练习：如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=4∠B，AB的垂直平分线MN分别交BC，AB于点M，N，求证：CM=2BM．
例4、如图，△ABC中，AB=AC，∠DBC=∠DCB，
求证：直线AD是线段BC的垂直平分线．
练习：如图，△ABC中，AB=AC，点D是BC的中点，点E在AD上。
求证：BE=CE。
例5、AB=CD，AC、BD的垂直平分线相交于E．
求证：∠ABE=∠CDE．
练习：在三角形ABC中∠BAC的角平分线与BC的垂直平分线相交于D点，DN⊥AC，DM⊥AB。
（1）求证：BM=CN．
（2）求证：AB+AC=2AM．。
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到△ABC的三个顶点距离相等的点是△ABC的（A ）
A． 三边垂直平分线的交点
B．． 三边中线的交点
C
B
N
线段垂直平分线的判定：
定理：到一条线段两个端点的距离相等的点 在这条线段的垂直平分线上．
几何书写语言:
Q PA PB 点P在线段AB的垂直平分线上
A
M P
C
B
N
这个结论是经常用来证明点在直线上(或直线经过某一 点).
C
风筝型
条件： OA=OB,PA=PB
结论：
13对全等RtPAO RtPBO
的垂直平分线上．
作法
C
①分别以点A，B 为圆心， 以大于 1 AB 的长为半径画弧， 两弧相交2 于点C 和点D；
A· E ·B
②过点C,D作直线CD，
则直线CD就是线段AB的垂直平分线.
D
注意： 点E就是线段AB 的中点， 则用这种方法作出线段的中点.
分别作出直角三角形、锐角三角形、钝角三角形 三边的垂直平分线，说明交点分别在什么位置.
总结： 线段的垂直平分线 可以看成是到线段两端距离相等的所有点集合
线段是一个轴对称图形： 线段垂直平分线是它的一条对称轴
线段垂直平分线的性质：
定理：线段垂直平分线上的点到线段两个端点 的距离相等．
几何书写语言: Q 直线MN垂直平分AB，点P在MN上 M
P
PA=PB
A 这个结论是经常用来证明两条线段相等.
AOC RtBOC APC RtBPC OP平分AOB，OP平分APB
3 2个等腰三角形OAB，PAB 4 OP垂直平分AB 错5 AB与OP互相垂直平分
如图，已知线段AB，作线段AB的垂直平分线.
(定1一)垂条直直平线分需线要是找一条两
直 线，要确
个点，
主要依据是：____
到一条线段两个端点的距离相等的点在这条线段
锐角三角形三边的垂直平分线交点在三角形内； 直角三角形三边的垂直平分线交点在斜边中点上； 钝角三角形三边的垂直平分线交点在三角形外。
即： OA=OB=OC=r
三角形外心
1.定义：三角形外心是三角形三条垂直平分线的交点 2.性质：三角形的外心和三角形三个顶点的距离相等
3.三角形外心位置：
（1）锐角三角形的外心在三角形内部 （2）直角三角形的外心在斜边的中点上 （3）钝角三角形的外心在三角形外部