8年级数学(上)培优辅导之四(直角三角形)

（1）正确的结论有_________________（填序号）（2） 选一个结论加以证明。
10、△ABC和△DBE都是等腰直角三角形，B是直角顶点，D在AC边上，如AD=3，
CD=4，求四边形ADBE的面积与周长。
江山二中八年级数学（上）培优辅导之六（专题练习）
班级__________姓名____________
11、如图， 在△ABC中，∠BAC＝90°，AB=AC，E、F分别是BC上两点， 若∠EAF=45°，试推断BE、CF、EF之间的数量关系，并说明理由．
12．如图，在△ABC中，AB=5，AC=13，边BC上的中线AD=6，则BC的长为________．
B
A
A
E
F
P
A
CB
D
CB
C
（第11题）
（第12题）
证明线段平方关系等方面有广泛的应用．勾股定理是现阶段线段计算、证明线段平方关系的主要方
法，运用勾股定理的逆定理，通过计算也是证明两直线垂直位置关系的一种有效手段．等腰三角形
三边之比为1:1：2；30o的直角三角形三边比为1：3：2
30
例题求解
【例1】如图，以等腰直角三角形ABC的斜边AB为边向内作等边△ABD，连结DC，以DC为边
6、平面上依次四点A、B、C、D，且AB=3,BC=12，CD=13，AD=4，∠A=Rt∠，则由A、B、C、D
四点依次连接得到的图形面积为____________________.
7、△ABC的边AB=26，AC=25，BC上高AD=24，则△ABC的面积为___________；
8、 等 腰 三 角 形 一 条腰 上 的 中 线将 它 的 周 长 分 成12和9两 部 分 ， 则它 的 底 边 长 为
a
2
b
2
h
2
形是直角三角形．
C
ADB
【例5】 一个直角三角形的边长都是整数，它的面积和周长的数值相等，这样的直角三角形是否存在?若存在，确定它三边的长，若不存在，说明理由．
学历训练
1．如图，AD是△ABC的中线，∠ADC=45°，把△ACD沿AD对折，点C落在点C′的位
置，则BC′与BC之间的数量关系是______________．
则四边形ABCD
的面积是__________cm
2．
A
D
A
C
10
D
8
B
D
C
AB
B
C
（第3题）
（第4题）
（第5题）
（第7题）
5．如图，一个长为
10米的梯子，斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为
8米，如果梯子
的顶端下滑1米，则梯子底端的滑动距离
___________米。
6．如果一个三角形的一条边是另一条边的
【专题一】几何中的多值问题（分类讨论）
1、 直角三角形有两条边的长为6、8，那么第三边上的中线长是___________。
2、 直角三角形有两条边的长为5、12，那么斜边边上的中线长是___________。
3、用直角边为3、4的两个直角三角形拼成一个凸四边形，该四边形周长为___________。
10．如图，在四边形ABCD中，∠ABC=30°，∠ADC=60°，AD=CD，求证：BD2=AB2+BC2．
A
DB
C
8．△ABC，∠ACB＝90°，分别以三边为边长向外作正△ADC、正△EBC、正△ABF，
11.△ABC是等腰直角三角形，
AB=AC，D、E在BC边上，取∠DAE=45°。
设它们的面积分别为S1、S2、S3。
4、等腰三角形有两边的长为4和6，那么它的周长为______;面积为___________.
5、等腰三角形ABC，AB=AC，P在射线CB上，PD⊥AB于D，PE⊥AC于E，BF⊥AC于F，则
PD、PE、BF间的等量关系为________________________________________。
A
E
F
BDC
4．如图，在△ABC中，AB=AC，(1)若P是BC边上的中点，连结AP，
求证：BP×CP=AB2一AP2；(2)若P是BC边上任意一点，上面的结论还成立吗
?
若成立，请证明，若不成立，请说明理由；
(3)若P是BC边延长线上一点，线段
AB、AP、BP、
CP之间有什么样的关系?请证明你的结论
【例3】 如图，P为△ABC边BC上的一点，且PC＝2PB， 已知∠ABC＝45°，∠APC＝60°，
求∠ACB的度数．
A
BPC
【例4】在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，设AC＝b，BC＝a，AB=c，CD=h．
求证：（1）
1
1
1
；
(2)a b c h；
(3)以a
b、h、c
h为边的三角
6、△ABC的边AB=20，AC=15,BC上高AD=12，则△ABC的面积为___________；
7、如图，△ABC是等腰直角三角形，AB＝BC，D是斜边AC的中点，F、F分别AB、AC边上的点， 且DE⊥DF，若CF=3，AE=4，（1）求EF的长。（2）求证：四边形BEDF面积是一个定值，并求出定值。
别按下列要求画三角形：
(1)使三角形的三边长分别为
3，22
，5；(2)使三角形为钝角三角形
且面积为4．
C
M

9．如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=120°，MN垂直平分AB，求证：CM=2BM
10、如图，圆柱体的棱AB=10，AE=2，CD上F点，CF=6，圆柱底面周长为16，（1）如一只蚂蚁从E沿着外曲面爬到F，求出最短路线的长。 （2）如F点在里面， 蚂蚁从E爬到F，求出最短路线长。
7．如图△ABC和△DBE都是等腰直角三角形，且A、E、F、D在一条直线上，BFAD。
（1）求证：△ABE≌△CBD（2）AD、CD、BF之间有何数量关系？写出并证明你的结论。
9．（双正方形问题）以△ABC的边AC、AB向外作正方形ACFG和正方形ABDE，过A作AN BC，交GE于M，求证：M为GE中点。
（1）△ABC是直角三角形（2）△ABC是锐角三角形（3）△ABC是钝角三角形
2．如图，∠ACB=90°，AD是∠CAB的平分线，BC=4，CD=
3，求AC的长．
2
C
D
AB
3．如图，△ABC是等腰直角三角形，AB＝AC，D是斜边BC的中点，F、F分别是AB、AC边上的点，且DE⊥DF，若BE=12，CF=5，求△DEF的面积．
2倍，并且有一个角是
30°，那么这个三角形的形状
是()
A．直角三角形
B．钝角三角形
C．锐角三角形
D．不能确定
7．在四边形ABCD中，∠A=60°，∠B=∠D＝90°，BC=2，CD=3，则AB=_________.
8．如图，正方形网格中的每个小正方形边长都是
1，每个小格的顶点叫做格点，以格点为顶点分
过几秒钟，△PDC和△QEC全等。
【专题二】方程与勾股定理（代数几何相结合）
14、等腰三角形ABC，AB=AC=5，BC=6，则腰上的高=__________.
15、直角△ABC,∠C=90O,AC=6，BC=8，以BC为直角边向外作直角△BCD，使得△DBC
是等腰三角形，则CD=____________。
______________。
9、在△ABC中，已知AB＝AC，且过△ABC某一顶点的直线可将△ABC分成两个等腰三角
形，则△ABC各内角的度数分别为________________________________．
10、等腰三角形腰上的高等于腰的一半，这个等腰三角形的顶角度数为_________________.
为______________.
16．若△ABC的三边a、b、c满足条件：a2
b2
c2
338 10a 24b 26c，求三角形
的周长与面积。
江山二中八年级数学（上）培优辅导之五（特殊三角形）
班级__________姓名____________
1．已知△ABC两边a=4，b=3，按以下条件分别求第三边c的长度范围。
（第13题）
（第14题）
（第15题）
13．如图，设P是等边△ABC内的一点，PA=3，PB=4，PC=5，求∠APB的度数．
14．如图，一个的三边长均为正整数，已知它的一条直角边的长恰是2015，那么这样的直角
三角形共有几个？说明过程。
15．如图，用3个边长为l的正方形组成一个对称图形，则能将其完全覆盖的圆的最小半径
（1）如BD=3，CE=4，求DE长； （2）当D在E左边时，写出BD、DE、CE之间
（1）直接写出S1、S2、S3的数量关系：___________________；证明上述结论。
的等量关系，并证明。
（2）将正△ADC、正△EBC、正△ABF都改成半圆，结论成立吗？为什么？
江山二中八年级数学（上）培优辅导自测三（特殊三角形）
的周长为___________；
（第3题）（第4题）（第5题）
4、一只蚂蚁从圆柱体的B点绕着侧面一圈爬到棱AB中点C处，如AB=10,圆柱体的底
面周长为12，那么蚂蚁爬行的最短路程为___________；
5、Rt△ABC的斜边AB=10，AC=8，将BC沿BD对折，C点落在AB边的E点，那么
折痕BD=___________；S△ABD=__________;
C'AAD
P
B
D
C
B
C
（第1
题）
（第2题）
2．如图，△ABC是直角三角形，BC是斜边，将△ABP绕点A逆时针旋转后，能与△