高中必修1-5错误解题分析系列-《3.2三角函数基本关系式与诱导公式》

3.2三角函数基本关系式与诱导公式

一、知识导学

1．同角三角函数的基本关系式

平方关系：1cos sin 22=+αα；商数关系：α

α

αcos sin tan =

；倒数关系：1cot tan =⋅αα 同角三角函数的基本关系式可用图表示

（1）三个阴影部分三角形上底边平方和等于1的平方； （2）对角为倒数关系；

（3）每个三角函数为相邻两函数的积.

诱导公式可将“负角正化，大角小化，钝角锐化”. 3．诱导公式解决常见题型

（1）求值：已知一个角的某个三角函数，求这个角其他三角函数；

（2）化简：要求是能求值则求值，次数、种类尽量少，尽量化去根式，尽可能不含分母. 二、疑难知识导析

1．三角变换的常见技巧

“1”的代换；ααcos sin +，ααcos sin -，ααcos sin ⋅三个式子，据方程思想

知一可求其二（因为其间隐含着平方关系式1cos sin 2

2

=+αα）；

2．在进行三角函数化简和三角等式证明时，细心观察题目的特征，灵活恰当地选用公式，一般思路是将切割化弦.尽量化同名，同次，同角；

3．已知角α的某个三角函数值，求角α的其余5种三角函数值时，要注意公式的合理选择.在利用同角公式中的平方关系并要开方时，要根据角的范围来确定符号，常要对角的范围进行讨论.解决此类问题时，要细心求证角的范围. 三、典型例题导讲 [例1]已知=∈=

+θπθθθcot 05

1

cos sin ），则，（，__________

错解：两边同时平方，由，与5

1cos sin 2512cos sin =+-

=⋅θθθθ得5

7cos sin 2549cos sin 4)cos (sin cos sin 4cos cos sin 2sin )cos (sin 2222±=-∴=-+=-+⋅+=-θθθ

θθθθ

θθθθθθθ ∴.cot 53cos 54sin θθθ，进而可求，-==解得：43cot -=θ 或.cot 54cos 53sin θθθ，进而可求，=-=解得：34cot -=θ 错因：没有注意到条件),0(πθ∈时，由于0cos sin <⋅θθ 所以θθcos sin -的值为正而导致错误.

正解： ），，（，πθθθ05

1

cos sin ∈=

+ 两边同时平方，有联立，与5

1

cos sin 02512cos sin =+<-=⋅θθθθ 求出，，53cos 54sin -==θθ∴4

3cot -=θ [例2]若sinA=asinB,cosA=bcosB,A 、B 为锐角且a ＞1,0＜b ＜1，求tanA 的值 错解：由⎩⎨

⎧== ②

①B b A B a A cos cos sin sin 得tan A=

b

a

tan B 错因：对题目最终要求理解错误.不清楚最后结论用什么代数式表示

正解：由⎩⎨⎧== ②

①

B b A B a A cos cos sin sin ①2+②2得a 2sin 2B+b 2cos 2B=1

∴cos 2

B=2221b a a -- ∴sin 2

B=2221b a b -- ∴tan 2B=1

122--a b

∵B 为锐角 ∴tan B=1

122

--a b

②①得tan A=b a tan B =1

12

2

--a b b a [例3]（05年高考重庆卷）若函数)2

cos(2sin )

2

sin(42cos 1)(x

x a x x x f --++=

ππ

的最大值为2，

试确定常数a 的值.

.

15,.

44

4111sin ),sin(441sin 2

cos 212cos

2sin cos 4cos 2)(:2

222±==++=++=+=+=a a a

x a x a

x x

x a x x x f 解之得由已知有满足其中角解ϕϕϕ

点评：本试题将三角函数“

απαπ

-+,2

”诱导公式有机地溶于式子中，考查了学生对基

础知识的掌握程度，这就要求同学们在学习中要脚踏实地，狠抓基础. [例4] （05年高考北京卷）已知tan

2

α

=2，求

（1）tan()4πα+的值； （2）6sin cos 3sin 2cos αα

αα

+-的值．

解：（1）∵ tan

2α=2, ∴ 22tan

2242tan 1431tan 2

α

αα⨯=

==---; 所以tan tan

tan 14tan()41tan 1tan tan 4π

απααπαα+++==--=411347

13

-+=-+； （2）由(I), tan α=－34, 所以6sin cos 3sin 2cos αααα+-=6tan 13tan 2

αα+-=46()1

7346

3()23

-+=--.

点评：本题设计简洁明了，入手容易，但对两角和与差的三角函数、同角间的基本关系式要求熟练应用，运算准确. [例5]化简：)()4

1

4cos()414sin(

z n n n ∈-++--απαπ

错解：原式)]4

(

cos[)]4

(

sin[απ

παπ

π-+++-=n n

)4

cos()4

sin(

απ

απ

--+=)4

cos(

)]4

(

2

sin[απ

απ

π

----=

0)4

cos(

)4

cos(

=---=απ

απ

错因：对三角函数诱导公式不完全理解，不加讨论而导致错误. 正解：原式)]4

(

cos[)]4

(

sin[απ

παπ

π-+++-=n n

（1）当)(12z k k n ∈+=，时