高中必修1-5错误解题分析系列-《3.2三角函数基本关系式与诱导公式》
高中数学必修1-5知识点归纳与公式大全
必修 1 数学知识点第一章、集合与函数概念§ 1.1.1 、集合1、把研究的对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合。
集合三要素：确定性、互异性、无序性。
2、只要构成两个集合的元素是一样的，就称这两个集合相等。
3、常见集合：正整数集合：N*或N，整数集合：Z，有理数集合：Q，实数集合：R .4、集合的表示方法：列举法、描述法 .§ 1.1.2 、集合间的基本关系1、一般地，对于两个集合 A 、 B ，如果集合 A 中任意一个元素都是集合 B 中的元素，则称集合A是集合 B的子集。
记作 A B .2、如果集合A B ，但存在元素 x B ，且 x A ，则称集合A是集合B的真子集.记作：A B.3、把不含任何元素的集合叫做空集 .记作：.并规定：空集合是任何集合的子集.4、如果集合 A 中含有 n 个元素，则集合 A 有2n个子集 .§ 1.1.3 、集合间的基本运算1、一般地，由所有属于集合 A 或集合 B 的元素组成的集合，称为集合A与 B的并集 .记作：A B .2、一般地，由属于集合 A 且属于集合 B 的所有元素组成的集合，称为A与 B的交集.记作：A B .3、全集、补集？C U A { x | x U , 且 x U }§ 1.2.1 、函数的概念1、设 A、 B 是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系 f ，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有惟一确定的数 f x和它对应，那么就称 f: A B 为集合A到集合B的一个函数，记作：y f x , x A .2、一个函数的构成要素为：定义域、对应关系、值域. 如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，则称这两个函数相等 .§ 1.2.2 、函数的表示法1、函数的三种表示方法：解析法、图象法、列表法.§ 1.3.1 、单调性与最大（小）值1、注意函数单调性证明的一般格式：解：设 x1 , x2a, b 且 x1x2，则： f x1 f x2=,§1.3.2 、奇偶性1 、一般地，如果对于函数 f x 的定义域内任意一个x ，都有 f x f x ，那么就称函数 f x 为偶函数.偶函数图象关于y 轴对称.2、一般地，如果对于函数 f x 的定义域内任意一个x ，都有 f x f x ，那么就称函数 f x 为奇函数.奇函数图象关于原点对称.第二章、基本初等函数（Ⅰ）§ 2.1.1 、指数与指数幂的运算1、一般地，如果x n a ，那么x叫做a的n次方根。
高中数学-同角三角函数基本关系式及诱导公式
§4.2 同角三角函数基本关系式及诱导公式考试要求 1.理解同角三角函数的基本关系式sin 2α＋cos 2α＝1，＝tan α.2.掌握诱导公sin αcos α式，并会简单应用．知识梳理1．同角三角函数的基本关系(1)平方关系：sin 2α＋cos 2α＝1.(2)商数关系：＝tan α.sin αcos α(α≠π2＋k π，k ∈Z)2．三角函数的诱导公式公式一二三四五六角2k π＋α(k ∈Z )π＋α－απ－α－απ2＋απ2正弦sin α－sin α－sin αsin αcos αcos α余弦cos α－cos αcos α－cos αsin α－sin α正切tan αtan α－tan α－tan α口诀奇变偶不变，符号看象限常用结论同角三角函数的基本关系式的常见变形sin 2α＝1－cos 2α＝(1＋cos α)(1－cos α)；cos 2α＝1－sin 2α＝(1＋sin α)(1－sin α)；(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α.思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)若α，β为锐角，则sin 2α＋cos 2β＝1.( × )(2)若α∈R ，则tan α＝恒成立．( × )sin αcos α(3)sin(π＋α)＝－sin α成立的条件是α为锐角．( × )(4)若sin ＝，则cos α＝－.( √ )(3π2－α)1313教材改编题1．已知α是第二象限角，sin α＝，则cos α的值为．55答案 －255解析 ∵sin α＝，α是第二象限角，55∴cos α＝－＝－.1－sin2α2552．已知＝－5，那么tan α的值为．sin α－2cos α3sin α＋5cos α答案 －2316解析 由＝－5，知cos α≠0，等式左边分子、分母同时除以cos α，sin α－2cos α3sin α＋5cos α可得＝－5，解得tan α＝－.tan α－23tan α＋523163．化简·sin(α－π)·cos(2π－α)的结果为．cos (α－π2)sin (5π2＋α)答案 －sin 2α解析 原式＝·(－sin α)·cos αsin αcos α＝－sin 2α.题型一 同角三角函数基本关系例1 (1)已知cos α＝－，则13sin α＋5tan α＝ .513答案 0解析 ∵cos α＝－<0且cos α≠－1，513∴α是第二或第三象限角．①若α是第二象限角，则sin α＝＝＝，1－cos2α1－(－513)21213∴tan α＝＝＝－.sin αcos α1213－513125此时13sin α＋5tan α＝13×＋5×＝0.1213(－125)②若α是第三象限角，则sin α＝－＝－1－cos2α1－(－513)2＝－，1213∴tan α＝＝＝，sin αcos α－1213－513125此时，13sin α＋5tan α＝13×＋5×＝0.(－1213)125综上，13sin α＋5tan α＝0.(2)已知tan α＝，则＝ ；sin 2α＋sin αcos α＋2＝.12sin α－3cos αsin α＋cos α答案 － 53135解析 已知tan α＝，12所以＝＝－.sin α－3cos αsin α＋cos αtan α－3tan α＋153sin 2α＋sin αcos α＋2＝＋2sin2α＋sin αcos αsin2α＋cos2α＝＋2tan2α＋tan αtan2α＋1＝＋2＝.(12)2＋12(12)2＋1135(3)已知sin θ＋cos θ＝，θ∈(0，π)，则tan θ＝.713答案 －125解析 由sin θ＋cos θ＝，得sin θcos θ＝－，71360169因为θ∈(0，π)，所以sin θ>0，cos θ<0，所以sin θ－cos θ＝＝，1－2sin θcos θ1713联立Error!解得Error!所以tan θ＝－.125教师备选1．(2022·锦州联考)已知＝5，则cos 2α＋sin 2α等于( )sin α＋3cos α3cos α－sin α12A. B ．－3535C ．－3D ．3答案 A解析 由＝5，得＝5，sin α＋3cos α3cos α－sin αtan α＋33－tan α可得tan α＝2，则cos 2α＋sin 2α＝cos 2α＋sin αcos α12＝＝cos2α＋sin αcos αcos2α＋sin2α1＋tan α1＋tan2α＝.352．若α∈(0，π)，sin(π－α)＋cos α＝，则sin α－cos α的值为( )23A. B ．－2323C. D ．－4343答案 C解析 由诱导公式得sin(π－α)＋cos α＝sin α＋cos α＝，23所以(sin α＋cos α)2＝1＋2sin αcos α＝，29则2sin αcos α＝－<0，79因为α∈(0，π)，所以sin α>0，所以cos α<0，所以sin α－cos α>0，因为(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝，169所以sin α－cos α＝.43思维升华 (1)应用公式时注意方程思想的应用：对于sin α＋cos α，sin αcos α，sin α－cos α这三个式子，利用(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α，可以知一求二．(2)注意公式逆用及变形应用：1＝sin 2α＋cos 2α，sin 2α＝1－cos 2α，cos 2α＝1－sin 2α.跟踪训练1 (1)(2021·新高考全国Ⅰ)若tan θ＝－2，则等于( )sin θ(1＋sin 2θ)sin θ＋cos θA ．－ B ．－ C. D.65252565答案 C解析 方法一 因为tan θ＝－2，所以角θ的终边在第二或第四象限，所以Error!或Error!所以＝sin θ(1＋sin 2θ)sin θ＋cos θsin θ(sin θ＋cos θ)2sin θ＋cos θ＝sin θ(sin θ＋cos θ)＝sin 2θ＋sin θcos θ＝－＝.452525方法二 (弦化切法)因为tan θ＝－2，所以sin θ(1＋sin 2θ)sin θ＋cos θ＝sin θ(sin θ＋cos θ)2sin θ＋cos θ＝sin θ(sin θ＋cos θ)＝sin2θ＋sin θcos θsin2θ＋cos2θ＝＝＝.tan2θ＋tan θ1＋tan2θ4－21＋425(2)已知α是三角形的内角，且tan α＝－，则sin α＋cos α的值为．13答案 －105解析 由tan α＝－，得sin α＝－cos α，1313将其代入sin 2α＋cos 2α＝1，得cos 2α＝1，109所以cos 2α＝，易知cos α<0，910所以cos α＝－，sin α＝，310101010故sin α＋cos α＝－.105题型二 诱导公式例2 (1)已知sin ＝，则cos 的值为( )(α－π4)13(π4＋α)A. B ．－223223C. D ．－1313答案 D解析 cos ＝cos (π4＋α)[π2＋(α－π4)]＝－sin＝－.(α－π4)13延伸探究 本例(1)改为已知θ是第二象限角，且sin＝，则tan ＝.(θ＋π4)45(θ－π4)答案 34解析 ∵θ是第二象限角，且sin＝，(θ＋π4)45∴θ＋为第二象限角，π4∴cos＝－，(θ＋π4)35∴tan＝(θ－π4)sin (θ－π4)cos (θ－π4)＝sin [(θ＋π4)－π2]cos [(θ＋π4)－π2]＝－cos (θ＋π4)sin (θ＋π4)＝＝.－(－35)4534(2)的值为( )tan (π－α)cos (2π－α)sin (－α＋3π2)cos (－α－π)sin (－π－α)A ．－2B ．－1C ．1D ．2答案 B解析 原式＝－tan α·cos α·(－cos α)cos (π＋α)·[－sin (π＋α)]＝tan α·cos2α－cos α·sin α＝－·＝－1.sin αcos αcos αsin α教师备选1．已知函数f (x )＝a x －2＋2(a >0且a ≠1)的图象过定点P ，且角α的始边与x 轴的正半轴重合，终边过点P ，则等于( )cos(11π2－α)sin(9π2＋α)＋sin 2αcos (π2＋α)sin (－π－α)A. B ．－2323C. D ．－3232答案 B解析 易知函数f (x )＝a x －2＋2(a >0且a ≠1)的图象过定点P (2,3)，故tan α＝，则32cos(11π2－α)sin (9π2＋α)＋sin 2αcos (π2＋α)sin (－π－α)＝cos (3π2－α)sin (π2＋α)＋sin 2αcos (π2＋α)sin α＝－sin αcos α＋2sin αcos α－sin αsin α＝－cos αsin α＝－＝－.1tan α232．若sin x ＝3sin ，则cos x ·cos 等于( )(x －π2)(x ＋π2)A. B ．－310310C. D ．－3434答案 A解析 易知sin x ＝3sin ＝－3cos x ，(x －π2)所以tan x ＝－3，所以cos x cos(x ＋π2)＝－sin x cos x ＝－sin x cos x sin2x ＋cos2x ＝＝.－tan x tan2x ＋1310思维升华 (1)诱导公式的两个应用①求值：负化正，大化小，化到锐角为终了；②化简：统一角，统一名，同角名少为终了．(2)诱导公式的应用步骤任意负角的三角函数任意正角的三角函数0～2π内的角的――――――→利用诱导公式三或一――――――→利用诱导公式一三角函数锐角三角函数．――――――→利用诱导公式二或四或五或六跟踪训练2 (1)已知cos(75°＋α)＝，求cos(105°－α)＋sin(15°－α)＝ .13答案 0解析 因为(105°－α)＋(75°＋α)＝180°，(15°－α)＋(α＋75°)＝90°，所以cos(105°－α)＝cos[180°－(75°＋α)]＝－cos(75°＋α)＝－，13sin(15°－α)＝sin[90°－(α＋75°)]＝cos(75°＋α)＝.13所以cos(105°－α)＋sin(15°－α)＝－＋＝0.1313(2)(2022·盐城南阳中学月考)设tan(5π＋α)＝2，则＝.sin (－3π＋α)＋cos (α－π)cos (α－112π)＋sin(9π2＋α)答案 3解析 由已知tan(5π＋α)＝tan α＝2，sin (－3π＋α)＋cos (α－π)cos (α－112π)＋sin(9π2＋α)＝sin (π＋α)＋cos (π－α)cos (α＋π2)＋sin (π2＋α)＝－sin α－cos α－sin α＋cos α＝sin α＋cos αsin α－cos α＝＝3.tan α＋1tan α－1题型三 同角三角函数基本关系式和诱导公式的综合应用例3 已知f (α)＝.sin (α－3π)cos (2π－α)sin (－α＋3π2)cos (－π－α)sin (－π－α)(1)化简f (α)；(2)若α＝－，求f (α)的值；31π3(3)若cos＝，α∈，求f (α)的值．(－α－π2)15[π，3π2]解 (1)f (α)＝sin (α－3π)cos (2π－α)sin (－α＋3π2)cos (－π－α)sin (－π－α)＝－sin α×cos α×(－cos α)－cos α×sin α＝－cos α.(2)若α＝－，31π3则f (α)＝－cos＝－cos ＝－.(－31π3)π312(3)由cos＝，(－α－π2)15可得sin α＝－，15因为α∈，[π，3π2]所以cos α＝－，265所以f (α)＝－cos α＝.265教师备选设f (α)＝(1＋2sin α≠0)．2sin (π＋α)cos (π－α)－cos (π＋α)1＋sin2α＋cos(3π2＋α)－sin2(π2＋α)(1)化简f (α)；(2)若α＝－，求f (α)的值．23π6解 (1)f (α)＝(－2sin α)·(－cos α)－(－cos α)1＋sin2α＋sin α－cos2α＝2sin αcos α＋cos α2sin2α＋sin α＝cos α(2sin α＋1)sin α(2sin α＋1)＝＝.cos αsin α1tan α(2)当α＝－时，23π6f (α)＝f ＝(－23π6)1tan (－23π6)＝1tan (－4π＋π6)＝1tan π6＝＝.1333思维升华 (1)利用同角三角函数关系式和诱导公式求值或化简时，关键是寻求条件、结论间的联系，灵活使用公式进行变形．(2)注意角的范围对三角函数符号的影响．跟踪训练3 (1)(2022·聊城模拟)已知α为锐角，且2tan(π－α)－3cos ＋5＝0，tan(π＋α)(π2＋β)＋6sin(π＋β)－1＝0，则sin α的值是( )A. B. C. D.3553773101013答案 C解析 由已知得Error!消去sin β，得tan α＝3，∴sin α＝3cos α，代入sin 2α＋cos 2α＝1，化简得sin 2α＝，则sin α＝(α为锐角)．91031010(2)已知－π<x <0，sin(π＋x )－cos x ＝－，则＝.15sin 2x ＋2sin2x 1－tan x答案 －24175解析 由已知，得sin x ＋cos x ＝，15两边平方得sin 2x ＋2sin x cos x ＋cos 2x ＝，125整理得2sin x cos x ＝－.2425∴(sin x －cos x )2＝1－2sin x cos x ＝，4925由－π<x <0知，sin x <0，又sin x cos x ＝－<0，1225∴cos x >0，∴sin x －cos x <0，故sin x －cos x ＝－.75∴＝sin 2x ＋2sin2x 1－tan x2sin x (cos x ＋sin x )1－sin x cos x＝2sin x cos x (cos x ＋sin x )cos x －sin x ＝＝－.－2425×157524175课时精练1．cos等于( )(－19π3)A ．－B ．－3212C.D.1232答案 C解析 cos＝cos (－19π3)19π3＝cos＝cos ＝.(6π＋π3)π3122．若cos 165°＝a ，则tan 195°等于( )A.B.1－a 21－a 2aC ．－D ．－1－a 2aa1－a 2答案 C解析 若cos 165°＝a ，则cos 15°＝cos(180°－165°)＝－cos 165°＝－a ，sin 15°＝，1－a 2所以tan 195°＝tan(180°＋15°)＝tan 15°＝sin 15°cos 15°＝－.1－a 2a3．若cos ＝，则sin 等于( )(α－π5)513(7π10－α)A ．－ B ．－5131213C. D.1213513答案 D解析 因为－α＋＝，7π10(α－π5)π2所以－α＝－，7π10π2(α－π5)所以sin ＝cos ＝.(7π10－α)(α－π5)5134．(2022·天津西青区模拟)已知sin α＋cos α＝－，则tan α＋等于( )21tan αA ．2 B. C ．－2 D ．－1212答案 A解析 由已知得1＋2sin αcos α＝2，∴sin αcos α＝，12∴tan α＋＝＋1tan αsin αcos αcos αsin α＝＝＝2.sin2α＋cos2αsin αcos α1125．(多选)在△ABC 中，下列结论正确的是( )A ．sin(A ＋B )＝sin CB ．sin ＝cos B ＋C2A2C ．tan(A ＋B )＝－tan C (C ≠π2)D ．cos(A ＋B )＝cos C 答案 ABC解析 在△ABC 中，有A ＋B ＋C ＝π，则sin(A ＋B )＝sin(π－C )＝sin C ，A 正确．sin ＝sin ＝cos ，B 正确．B ＋C 2(π2－A 2)A2tan(A ＋B )＝tan(π－C )＝－tan C，(C ≠π2)C 正确．cos(A ＋B )＝cos(π－C )＝－cos C ，D 错误．6．(多选)已知α∈(0，π)，且sin α＋cos α＝，则( )15A.<α<ππ2B ．sin αcos α＝－1225C ．cos α－sin α＝75D ．cos α－sin α＝－75答案 ABD解析 ∵sin α＋cos α＝，15等式两边平方得(sin α＋cos α)2＝1＋2sin αcos α＝，125解得sin αcos α＝－，故B 正确；1225∵α∈(0，π)，sin αcos α＝－<0，1225∴α∈，故A 正确；(π2，π)cos α－sin α<0，且(cos α－sin α)2＝1－2sin αcos α＝1－2×＝，(－1225)4925解得cos α－sin α＝－，故D 正确．757．cos 1°＋cos 2°＋cos 3°＋…＋cos 177°＋cos 178°＋cos 179°＝ .答案 0解析 因为cos(180°－α)＝－cos α，于是得cos 1°＋cos 2°＋cos 3°＋…＋cos 89°＋cos 90°＋cos 91°＋…＋cos 177°＋cos 178°＋cos 179°＝cos 1°＋cos 2°＋cos 3°＋…＋cos 89°＋cos 90°－cos 89°－…－cos 3°－cos 2°－cos 1°＝cos 90°＝0.8．设f (θ)＝，则f ＝.2cos2θ＋sin2(2π－θ)＋sin (π2＋θ)－32＋2cos2(π＋θ)＋cos (－θ)(17π3)答案 －512解析 ∵f (θ)＝2cos2θ＋sin2θ＋cos θ－32＋2cos2θ＋cos θ＝，cos2θ＋cos θ－22cos2θ＋cos θ＋2又cos ＝cos17π3(6π－π3)＝cos ＝，π312∴f ＝＝－.(17π3)14＋12－212＋12＋25129．(1)已知cos α是方程3x 2－x －2＝0的根，且α是第三象限角，求的值；sin (－α＋3π2)cos(3π2＋α)tan2(π－α)cos (π2＋α)sin (π2－α)(2)已知sin x ＋cos x ＝－(0<x <π)，求cos x －2sin x 的值．713解 (1)因为方程3x 2－x －2＝0的根为x 1＝1，x 2＝－，23又α是第三象限角，所以cos α＝－，23所以sin α＝－，tan α＝.5352所以原式＝＝tan 2α＝.－cos αsin αtan2α－sin αcos α54(2)∵sin x ＋cos x ＝－(0<x <π)，713∴cos x <0，sin x >0，即sin x －cos x >0，把sin x ＋cos x ＝－，713两边平方得1＋2sin x cos x ＝，49169即2sin x cos x ＝－，120169∴(sin x －cos x )2＝1－2sin x cos x ＝，289169即sin x －cos x ＝，1713联立Error!解得sin x ＝，cos x ＝－，5131213∴cos x －2sin x ＝－.221310．(2022·衡水模拟)已知角α的终边经过点P (3m ，－6m )(m ≠0)．(1)求的值；sin (α＋π)＋cos (α－π)sin (α＋π2)＋2cos (α－π2)(2)若α是第二象限角，求sin 2＋sin(π－α)cos α－cos 的值．(α＋3π2)(π2＋α)解 (1)∵m ≠0，∴cos α≠0，即sin (α＋π)＋cos (α－π)sin (α＋π2)＋2cos (α－π2)＝－sin α－cos αcos α＋2sin α＝.－tan α－11＋2tan α又∵角α的终边经过点P (3m ，－6m )(m ≠0)，∴tan α＝＝－2，－6m3m 故sin (α＋π)＋cos (α－π)sin (α＋π2)＋2cos (α－π2)＝－tan α－11＋2tan α＝＝－.2－11＋2×(－2)13(2)∵α是第二象限角，∴m <0，则sin α＝－6m(3m )2＋(－6m )2＝－6m 35|m |＝，255cos α＝3m(3m )2＋(－6m )2＝3m 35|m |＝－，55∴sin 2＋sin(π－α)cos α－cos (α＋3π2)(π2＋α)＝cos 2α＋sin αcos α＋sin α＝2＋×＋(－55)255(－55)255＝.－1＋25511．(多选)已知角α满足sin α·cos α≠0，则表达式＋(k ∈Z )的取值可能sin (α＋k π)sin αcos (α＋k π)cos α为( )A ．－2 B ．－1或1C ．2 D ．－2或2或0答案 AC解析 当k 为奇数时，原式＝＋＝(－1)＋(－1)＝－2；－sin αsin α－cos αcos α当k 为偶数时，原式＝＋＝1＋1＝2.sin αsin αcos αcos α∴原表达式的取值可能为－2或2.12．(2022·河北六校联考)若sin α是方程5x 2－7x －6＝0的根，则等于( )sin (－α－3π2)sin (3π2－α)tan2(2π－α)cos (π2－α)cos (π2＋α)sin (π＋α)A. B. C. D.35534554答案 B解析 方程5x 2－7x －6＝0的两根为x 1＝－，x 2＝2，则sin α＝－.3535原式＝＝－＝.cos α(－cos α)tan2αsin α(－sin α)(－sin α)1sin α5313．曲线y ＝e x ＋x 2－x 在x ＝0处的切线的倾斜角为α，则sin＝.23(2α＋π2)答案 45解析 由题意得y ′＝f ′(x )＝e x ＋2x －，23所以f ′(0)＝e 0－＝，2313所以tan α＝，13所以α∈，(0，π2)所以cos α＝，310所以sin(2α＋π2)＝cos 2α＝2cos 2α－1＝2×－1＝.9104514．函数y ＝log a (x －3)＋2(a >0且a ≠1)的图象过定点Q ，且角α的终边也过点Q ，则3sin 2α＋2sin αcos α＝.答案 75解析 由题意可知点Q (4,2)，所以tan α＝，12所以3sin 2α＋2sin αcos α＝3sin2α＋2sin αcos αsin2α＋cos2α＝3tan2α＋2tan α1＋tan2α＝3×14＋2×121＋14＝.7515．(多选)已知f (α)＝，则下列说法正确的是( )2sin αcos α－2sin α＋cos α＋1(0≤α≤π2)A ．f (α)的最小值为－2B ．f (α)的最小值为－1C ．f (α)的最大值为－12D ．f (α)的最大值为1－2答案 BD解析 设t ＝sin α＋cos α＝sin，2(α＋π4)由0≤α≤，π2得≤α＋≤，π4π43π4则1≤t ≤，2又由(sin α＋cos α)2＝t 2，得2sin αcos α＝t 2－1，所以f (α)＝g (t )＝＝t －1－，t 2－1－2t ＋12t ＋1又因为函数y ＝t －1和y ＝－在[1，]上单调递增，2t ＋12所以g (t )＝t －1－在[1，]上单调递增，2t ＋12g (t )min ＝g (1)＝－1，g (t )max ＝g ()＝1－.2216．已知关于x 的方程2x 2－(＋1)x ＋m ＝0的两根分别是sin θ和cos θ，θ∈(0,2π)，求：3(1)＋的值；sin2θsin θ－cos θcos θ1－tan θ(2)m 的值；(3)方程的两根及此时θ的值．解 (1)原式＝＋sin2θsin θ－cos θcos θ1－sin θcos θ＝＋sin2θsin θ－cos θcos2θcos θ－sin θ＝sin2θ－cos2θsin θ－cos θ＝sin θ＋cos θ.由已知得sin θ＋cos θ＝，3＋12所以＋＝.sin2θsin θ－cos θcos θ1－tan θ3＋12(2)由已知得sin θcos θ＝，m2因为1＋2sin θcos θ＝(sin θ＋cos θ)2，所以1＋m ＝2，(3＋12)解得m ＝.32(3)联立Error!解得Error!或Error!因为θ∈(0,2π)，所以θ＝或.π3π6。
三角函数的概念同角三角函数的基本关系式诱导公式重难点分析与出题角度归纳
Xx 学校学科教师辅导讲义一）一、定义：角可以看作成平面内一条射线绕着端点从一个位置到另一个位置所称的图形。
旋转开始时的射线、终止时的射线分别叫作_______、_______,射线的端点O 叫做_________.按逆时针方向旋转形成的角叫做_______,顺时针方向旋转形成的角叫做_______,若一条射线没有作任何旋转，称它形成了一个_______。
二、在直角坐标系内讨论角：（1）角的顶点在原点，始边与x 轴的非负半轴重合，角的终边（除端点外）在第几项先，就说这个角是第几象限角（或者说这个角属于第几象限）；例如：30°、390°、-330°等都是第一象限角；120°、480°、-240°等都是第二象限角；240°、600°、-120°等都是第三象限角；-30°、-390°、330°等都是第四象限角。
注意：锐角_____第一象限角，但第一象限角_______锐角；钝角______第二象限角，但第二象限角________钝角。
（填“都是”或者“不都是”）（2）若角的终边在坐标轴上，就说这个角不属于任一象限。
例如：直角、周角、平角都不属于任一象限。
三、终边相同的角（重点）所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S={Z k k ∈•+=︒,360/αββ}，即任一与角α终边相同的角都可以表示为角α与整个周角的和。
四、1弧度角的定义：我们把等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角。
单位符号是 rad,读作弧度。
2、弧度数：在单位圆中，当圆心角为周角时，它所对的弧长为2π，所以周角的弧度数为2π，周角是2πrad 的角. 任意一个0°~360°的角的弧度数必然适合不等式 0≤x<2π. 任一正角的弧度数都是一个正实数；,任一负角的弧度数都是一个负实数； 零角的弧度数是0.五、弧度制与角度制的换算 360°=2πrad ；180°=πrad ；1°=180πrad ≈；1rad=π180≈°≈57°18′。
2025版高考数学一轮总复习第4章三角函数解三角形第2讲同角三角函数的基本关系式与诱导公式课件
组数 一
二
三
四
五
六
2kπ＋α 角
(k∈Z)
π＋α
－α
π－α
π2－α
π2＋α
正弦 余弦 正切
sin α cos α tan α
__－__si_n_α___ __－__s_in__α__ ___s_in__α___ __c_o_s__α___ ___c_o_s_α___ _－__c_o_s__α__ ___c_o_s_α___ __－__c_o_s_α__ ___si_n_α____ __－__s_i_n_α__ __t_a_n_α____ __－__t_a_n_α__ __－__t_an__α__
归纳拓展 1．同角三角函数基本关系式的常见变形 sin2α＝1－cos2α＝(1＋cos α)(1－cos α)； cos2α＝1－sin2α＝(1＋sin α)(1－sin α)； (sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α. (sin α＋cos α)2＋(sin α－cos α)2＝2； (sin α＋cos α)2－(sin α－cos α)2＝4sin αcos α；
1－sin 1＋sin
αα＋sin
α
π<α<32π得( A ) A．sin α＋cos α－2 C．sin α－cos α
B．2－sin α－cos α D．cos α－sin α
1－cos α 1＋cos α
[解析] 原式＝cos α
1－cossi2nαα2＋sin α
1－cos sin2α
α2，
α＋bcos α＋dcos
αα＝acttaann
αα＋＋db；
sin
αcos
α＝sin
αcos 1
3.2同角三角函数关系及诱导公式
求值： （1）
解：由 sin( k ) 2cos( k ) ，得 tan 2 ．
tan 4 1 ； 5 tan 2 6 1 2 2 1 2 sin cos 2 tan 2 5 5 7 ． （2）原式= 4 2 4 2 2 sin cos tan 1 25 点评：已知 tan 的值，解关于 sin ， cos 的齐次式化简，求2sin x cos x (sin x cos x) 2 sin x cos x 1 tan x （2） 证明： 左边= = cos2 x sin 2 x cos 2 x sin 2 x sin x cos x 1 tan x
【基础练习】 3 1. tan600°=______．
5 2. 已知 是第四象限角， tan ，则 sin 13______． 12
5
3 3.已知 cos ，且 ，则tan － 3 ＝______． 2 2 2
4.sin15°cos75°+cos15°sin105°=___1___． 2 2 1 3 5.已知 cos(75 ) ，且 180 90 ，则 cos(15 ) ______． 3 【范例解析】 8 例 1.已知 cos( ) ，求 sin( 5 ) ， tan(3 ) 的值． 17 分析：利用诱导公式结合同角关系，求值． 8 8 解：由 cos( ) ，得 cos 0 ， 是第二，三象限角． 17 17 15 若 是 第 二 象 限 角 ， 则 sin( 5 ) sin ， 17 15 tan(3 ) tan ； 8 15 若 是 第 三 象 限 角 ， 则 sin( 5 ) sin ， 17 第 1 页 共 3 页
同角三角函数的基本关系及诱导公式-高考复习
)
√2
A.6
(2)已知 sin
√2
B.
6
2√5
α= 5 ,则
2
C.3
5π
+)
2
5π
cos ( -)
2
sin (
tan(π+α)+
=
2
D.
3
.
答案 (1)D
5
5
(2) 或2
2
解析 (1)sin2θ+sin(3π-θ)cos(2π+θ)-√2cos2θ
sin
θ-2cos2θ=
=
,
2
2
2
sin +cos
tan +1
4+2-2
θ=2,故原式=
4+1
=
4
.
5
解题心得 1.利用 sin2α+cos2α=1 可以实现角 α 的正弦、余弦的互化,利用
tan
sin
α=cos
≠ π +
π
,∈Z
2
可以实现角 α 的弦切互化.
2.“1”的灵活代换:1=cos α+sin α=(sin α+cos α) -2sin αcos
解题心得1.利用诱导公式化简三角函数的基本思路:(1)分析结构特点,选择
恰当公式;(2)利用公式化成单角三角函数;(3)整理得最简形式.
2.化简要求:(1)化简过程是恒等变形;(2)结果要求项数尽可能少,次数尽可
能低,结构尽可能简单,能求值的要求出值.
3.用诱导公式求值时,要善于观察所给角之间的关系,利用整体代换的思想简
【例 1】 (1)若
1
高考数学复习、高中数学 同角三角函数的基本关系与诱导公式附答案解析
第2节 同角三角函数的基本关系与诱导公式考试要求 1.理解同角三角函数的基本关系式22sin sin cos 1,tan cos xx x x x+==；2. 能利用定义推导出诱导公式（2πααπ±±，的正弦、余弦、正切）.【知识衍化体验】【知识梳理】1. 同角三角函数的基本关系式平方关系：22sin cos 1αα+= 商数关系：sin tan cos ααα= 2．诱导公式:诱导公式可概括为：k ·π2±α（k ∈Z ）的各三角函数值的化简公式．记忆规律是：奇变偶不变，符号看象限． 常见的几组为:3.已知一个角的某一个三角函数值,求其余三角函数值时,要特别注意这个角的范围.4.求一个已知的角的三角函数值,其一般步骤为: (1)负角化为正角;(2)大角化为小角. 5．sinα±cosα与sinα·cosα之间的关系：(1) (sinα＋cosα)2＝1＋2sinα·cosα； (2) (sinα－cosα)2＝1－2sinα·cosα ； [微点提醒]1.诱导公式口诀中“奇变偶不变，符号看象限”其中的奇、偶是指的2π的奇数倍和偶数倍. 应用公式有时要先技术处理一下，如33sin()sin(2)()222πππααπα-=-+=+.2.利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要特别注意判断符号.【基础自测】疑误辨析1. 判断下列结论正误（1）sin()sin παα+=- （ ）（2）3sin()cos 2παα-= （ ）（3）3cos()sin 2παα+=- （ ）（4）2211+tan cos αα= （ ） 教材衍化2．（多选）下列式子化简结果和sin x 相同的是 （ ） A ．()sin x π-B ．()sin x π+C ．cos 2x π⎛⎫-⎪⎝⎭D ．cos 2x π⎛⎫-⎪⎝⎭3．角α的终边在直线2y x =上，则()()()()sin cos sin cos αππαπαπα-+-=+-- （ ）A ．13B ．1C ．3D ．1-考题体验4．（2016年全国III ）若3tan 4α= ，则2cos 2sin 2=αα+ （ ） A ．6425 B ．4825 C ．1 D ． 16255．（2013新课标Ⅱ）设θ为第二象限角，若1tan()42πθ+=，则sin cos θθ+=___． 6．（2016年全国II ）若3cos()45πα-=，则sin2=α （ ） A ． B ． C ． D ．【考点聚焦突破】考点一.同角三角函数基本关系式 角度1 公式的直接运用【例1-1】已知α为第四象限角，化简：ααααααcos 1cos 1sin sin 1sin 1cos +-++-7251515-725-角度2 关于sin ,cos αα的齐次式问题【例1-2】若tan α1）sin cos cos sin αααα+-的值；（2）222sin sin cos cos αααα-+的值．角度3 “sin cos sin sin αααα±⋅，”之间的关系【例1-3】已知sin α和cos α是方程250x x m -+=的两实根，求：（1）m 的值；（2）当(0,)απ∈时，求tan(3)πα-的值；（3）33sin +cos αα的值．(4) 2sin 22sin 1tan ααα+-规律方法 1.已知角的一个三角函数值求其余两个三角函数值，通过22sin cos 1αα+=事先正弦与余弦的互化，通过sin tan cos ααα=实现切和弦的互化.2. 利用2sin cos =1sin cos x x x x ±±⋅（）对sin cos ,sin cos ,sin cos x x x x x x +⋅-知一求二的问题.3.注意公式的逆运用及变形应用，如221=sin cos αα+，221sin cos αα-=，221cos =sin αα-.【训练1】（1）求值（2）已知A 、B 、C ,cos A A -是220x x a -+=方程的两根．①求角A ；②若221+2sin cos 3cos sin B BB B=--，求tanB .（3）已知关于x 的方程221)0x x m -+=的两根为sin ,cos θθ，θ∈(0，2π) ．求：①2sin cos sin cos 1tan θθθθθ+--； ①m 的值； ①方程的两根及此时θ.考点二.诱导公式的应用 【例2】化简：3tan()cos(2)sin()2cos(3)sin(3)ππαπαααππα++-----规律方法 诱导公式的两个简单应用:（1）求值：负化正，大化小，化到锐角为终了. (2)化简：统一角，统一名，同角名少为终了.【训练2】（1）已知72sin()123πα+=，则11cos()=12πα-________ （2）已知角θ的顶点在坐标原点，始边与x 轴正半轴重合，终边在直线2y x =上，则3sin()cos()2sin()sin()2πθπθπθπθ++----＝考点三.同角三角函数基本关系与诱导公式的综合应用 【例3】 是否存在22ππα∈（-,），0βπ∈（,），使得等式sin(3))2ππαβ-=-，))απβ-=+同时成立？若存在，求出αβ，的值，若不存在，请说明理由.规律方法 1.注意角的范围对三角函数值符号的影响，特别是多解时要考虑舍解，一解时要考虑漏解.2.一般情况下首先要注意分析角和角之间的关系，比如+36ππαα-，是互余的角,我们常常要在展开和保留整体角之间作出选择.【训练3】已知sin 3cos 36ππαα⎛⎫⎛⎫-=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则sin()=3sin()2αππα+-（ ）A ．-B ．C ．D反思与感悟 [思维升华]1. 有切有弦，常常切化弦，利用sin tan cos xx x=， 2. 关注齐次式2sin cos sin sin cos ,sin cos cos2a x b x x x xc xd x x+++， 3. 互相关联的sin cos ,sin cos ,sin cos x x x x x x +⋅-知一求二的问题，如求sin cos +sin cos y x x x x =+⋅的最大值，令sin cos =x x t +换元.[易错防范]利用诱导公式进行化简求值时，可利用公式化任意角的三角函数为锐角三角函数，基本思想是负化正，大化小，钝化锐.第2节 同角三角函数的基本关系与诱导公式【知识衍化体验】 【知识梳理】 2． 常见的几组为:【基础自测】1.(1).对 （2）.错 （3）.错 （4）.对 2． ACD对于A ：()sin sin x x π-=，则A 选项与sin x 相同，故A 选项正确； 对于B ：()sin sin x x π+=-，则B 选项与sin x 不相同，故B 选项不正确； 对于C ：cos sin 2x x π⎛⎫-=⎪⎝⎭，则C 选项与sin x 相同，故C 选项正确； 对于D ：cos cos sin 22x x x ππ⎛⎫⎛⎫-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则D 选项与sin x 相同，故D 选项正确. 3． C ．角α的终边在直线2y x =上，tan 2α∴=，则()()()()sin cos sin sin cos sin cos cso αππαααπαπααα-+---=+---+sin cos tan 13sin cos tan 1αααααα++===--.考题体验 4．A 由sin 3tan cos 4ααα==，22cos sin 1αα+=，得3sin 5α=，4cos 5α=或 3sin 5α=-，4cos 5α=-，所以24sin 22sin cos 25ααα==，则2164864cos 2sin 2252525αα+=+=，故选A ．5. 5-1tan()=42πθ+则1tan 3θ=-，sin θ=，cos θ=，sin cos = 5θθ+-. 6．D因为3cos cos )45πααα⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，所以sin cos 5αα+=， 所以181sin 225α+=,所以7sin 225α=-,故选D ． 【考点聚焦突破】【例1-1】因为α为第四象限角所以原式=αααααα2222cos 1)cos 1(sin sin 1)sin 1(cos --+-- ()ααααααααααsin cos cos 1sin 1sin cos 1sin cos sin 1cos -=---=--+-=【例题1-2】（1）cos sin 1tan 3cos sin 1tan αααααα++===----（2）原式2222222sin sin cos cos 2tan tan 1sin cos tan 1ααααααααα-+-+==++=． 【例1-3】(1)解： 1sin cos 5sin cos 5mαααα⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，11+2sin cos 25αα=，125m =-(2)sin cos 0,(,)2παααπ<∈,4sin 5α=,3cos 5α=-,4tan 3α=-4tan tan 3παα-=-=（3） (3)332211237sin cos (sin cos )(sin sin cos cos )=(1)525125αααααααα+=+-++=。
4.2同角三角函数的基本关系式及诱导公式(学案)
4.2同角三角函数的基本关系式及诱导公式(学案)知识归纳1、 同角三角函数的基本关系式（1） 平方关系 （2） 商数关系 （3） 倒数关系）记忆口诀：奇变偶不变，符号看象限（其中的奇、偶是指 的奇数倍和偶数倍，变与不变是指 的变化（2）利用诱导公式把任意的三角函数转化为锐角三角函数的基本步骤是：任意角的三角函数→正角的三角函数→00360 的角的三角函数→锐角三角函数 3、平方关系 s is α商数关系 t a nαc o t α倒数关系 s e c α 4、sin cos ,sin cos ,sin cos αααααα+-三者之间的关系()2sin cos 12sin cos αααα+=+()2sin cos 12sin cos αααα-=- ()()22sin cos sin cos 2αααα++-=()()22sin cos sin cos 4sin cos αααααα+--=5、同角三角函数关系式和诱导公式的应用主要包括三类题型：求值、化简、证明典型例题例1、（1）已知()cot 2πα-=，求3sin 2πα⎛⎫+⎪⎝⎭的值 （2） 已知()cot 0m m α=≠，求cos α例2、已知tan 1tan 1αα=--，求下列各式的值：()4sin 2cos 15cos 3sin αααα-+ ()2s i n c o s αα ()()23sin cos αα+例3、已知()()()()()3sin cos 2tan 2cot sin f ππαπααααππα⎛⎫---+ ⎪⎝⎭=----（1） 化简()f α（2） 若α是第三象限角，且31cos 25πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，求()f α的值 （3） 若313πα=-，求()f α的值例4、（1）求证：tan sin tan sin tan sin tan sin αααααααα⋅+=-⋅（2）已知()()sin 2cos 2αππα-=- 求证：()()()()sin 5cos 233cos sin 5παπαπαα-+-=----例5、已知关于x的方程)2210x x m -+=的两根为sin θ和cos θ，()0,2θπ∈求（1）sin cos 1cot 1tan θθθθ+--的值（2）m 的值（3）方程的两根及此时θ的值堂清练习1、19sin 6π⎛⎫- ⎪⎝⎭的值等于（ ）A 、12B 、12- C2D、2-2、如果A 为锐角，()1sin 2A π+=-，那么()cos A π-=（ ）A 、12- B 、12C、2-D23、已知a =200sin ，则160tan 等于A、- B、C、a-D、a4cos sin 1+=-，则θ是（ ）A 、第一象限角B 、第二象限角C 、第三象限角D 、第四象限角5、若022x π≤≤cos 2x =成立的x 的取值范围是（ ）A 、0,4π⎛⎫⎪⎝⎭B 、3,4ππ⎛⎫⎪⎝⎭ C 、5,44ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭ D 、30,,44πππ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦6、405cot 300tan +的值为＿＿＿＿。
高一数学同角三角函数的基本关系式和诱导公式试题答案及解析
高一数学同角三角函数的基本关系式和诱导公式试题答案及解析1.已知，并且是第二象限的角，那么的值等于（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由，又为第二象限角，，则．故选A．【考点】三角函数的平方公式．2.己知a为锐角，且，，则sina的值是( ). A．B．C．D．【答案】C.【解析】根据诱导公式，已知条件的两个式子可化为如下关系：，解得，又本题要求的是，因此由前述可知有，解得（a为锐角）.【考点】诱导公式，同角三角函数的基本关系.3.已知，则的值为．【答案】-11【解析】【考点】弦化切4.求的值域.【解析】可利用同角三角函数的基本关系式将函数化为利用换元法令原函数变为一元二次函数，可用一元二次函数求值域的方法解，注意的取值范围.解：原函数可化为令可得则【考点】同角三角函数的基本关系式,一元二次函数求值域.5.已知（1）化简；（2）若是第三象限角，且，求的值．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）根据诱导公式，将中的三角函数都转化为的三角函数，即可得到；（2）由，可得，又由条件是第三象限角及（1）中得到的的表达式，即可得到．（1）；（2）由得，，因为是第三象限角，所以，∴．【考点】1．诱导公式；2．同角三角函数基本关系．6.已知 .【答案】【解析】∵，∴,∴原式=.【考点】1.诱导公式；2.同角三角函数基本关系.7.已知，则tanα的值是（）A．±B．C．D．无法确定【答案】B【解析】∵，∴，即．【考点】同角三角函数的基本关系．8.( )A．B．C．D．【答案】D【解析】．【考点】同角三角函数基本关系．9.已知，则 ( )A．B．C．D．【答案】A【解析】由【考点】同角三角函数基本关系10. sin的值是（）A．B．－C．D．－【答案】B【解析】.【考点】诱导公式，特殊角的三角函数值.11.已知，则的值为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由条件，得，整理得：，即①，代入中，得，整理得：，即，解得（舍）或，把，代入①，得，所以，故选A．【考点】同角三角函数基本关系．12.若，的化简结果为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】，=.【考点】同角的基本关系.13.已知（1）求的值；（2）求的值.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）因为，可得＝−2，α为钝角且cosα＜0．再由sin2α+cos2α=1，求得cosα的值．（2）原式=，把tanα=-2代入运算求得结果．试题解析：解：（1）因为，所以cosa=(2)原式＝【考点】1.同角三角函数间的基本关系；2.三角函数的化简求值．14.若，则计算所得的结果为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】先根据诱导公式化简，原式=，再将代入即得答案为A.【考点】诱导公式.15.已知=，则的值等于( )A．B．－C．D．±【答案】Ａ【解析】诱导公式，注意，，所以选Ａ【考点】诱导公式16.已知，则的值是( )A．B．C．D．【答案】C【解析】由与可得，而，选C.【考点】同角三角函数的基本关系式.17.已知为第三象限角，.（1）化简；（2）若，求的值.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）应用三角诱导公式进行化简即可得出答案；（2）根据同角三角函数的基本关系式求出，由求出，最后由正切的二倍角公式可计算得结果.试题解析：（1） 6分（结果为酌情给3分）（2）由，得. 又已知为第三象限角所以，所以 8分所以 10分故 12分.【考点】1.诱导公式；2.同角三角函数的基本关系式；3.二倍角公式.18.已知tanα，是关于x的方程x2-kx+k2-3=0的两实根，且3π＜α＜π，求cos(3π+α)-sin(π+α)的值.【解析】关于方程两根的问题可用韦达定理解决，，从而求出k =±2，再根据角的范围可知为正，从而求得。
3-2第二节 同角三角函数的基本关系与诱导公式(2015年高考总复习)
1 B. 2 3 D．± 2
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解析
1 1 ∵sin(π＋α)＝－sinα＝ ，∴sinα＝－ . 2 2
2
3 ∴cosα＝± 1－sin α＝± . 2
答案 D
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【规律方法】
熟练运用诱导公式和基本关系式，并确定相
应三角函数值的符号是解题成败的关键．观察已知角与所求角之 间的关系，合理选用诱导公式，将不同名的化为同名，将不同角 的化为同角．
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解析
5π π 1 ＋ α ＋ α (1)sin 2 ＝sin 2 ＝cosα＝ ，∴选 5
C.
sinθ＋cosθ＝ 2， (2)由 2 2 sin θ＋cos θ＝1，
2 解得 sinθ＝cosθ＝ ，所以 tanθ＝ 2
π tanθ＋tan3 1＋ 3 π sinθ θ＋ ＝ 3 cosθ＝1.所以 tan π＝1－1× 3＝－2－ 3. 1－tanθtan 3
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第三章 三角函数、三角恒等变换、解三角形
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π sin(π－α)＝sinα，sin2＋α＝cosα
高一数学必修四三角函数诱导公式总结
高一数学必修四三角函数诱导公式总结【公式一：】设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等：sin(2kπ+α)=sinα(k∈Z)cos(2kπ+α)=cosα(k∈Z)tan(2kπ+α)=tanα(k∈Z)cot(2kπ+α)=cotα(k∈Z)【公式二：】设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系：sin(π+α)=-sinαcos(π+α)=-cosαtan(π+α)=tanαcot(π+α)=cotα【公式三：】任意角α与-α的三角函数值之间的关系：sin(-α)=-sinαcos(-α)=cosαtan(-α)=-tanαcot(-α)=-cotα【公式四：】利用公式二和公式三能够得到π-α与α的三角函数值之间的关系：sin(π-α)=sinαcos(π-α)=-cosαtan(π-α)=-tanαcot(π-α)=-cotα【公式五：】利用公式一和公式三能够得到2π-α与α的三角函数值之间的关系：sin(2π-α)=-sinαcos(2π-α)=cosαtan(2π-α)=-tanαcot(2π-α)=-cotα【公式六：】π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系：sin(π/2+α)=cosαcos(π/2+α)=-sinαtan(π/2+α)=-cotαcot(π/2+α)=-tanαsin(π/2-α)=cosαcos(π/2-α)=sinαtan(π/2-α)=cotαcot(π/2-α)=tanαsin(3π/2+α)=-cosαcos(3π/2+α)=sinαtan(3π/2+α)=-cotαcot(3π/2+α)=-tanαsin(3π/2-α)=-cosαcos(3π/2-α)=-sinαtan(3π/2-α)=cotαcot(3π/2-α)=tanα(以上k∈Z)【函数复习资料】一、定义与定义式：自变量x和因变量y有如下关系：y=kx+b则此时称y是x的一次函数。
(完整)高中数学各年级重难点分析
高中数学知识总结
1.课程内容：
必修课程由5个模块组成：
必修1：集合、函数概念与基本初等函数（指、对、幂函数）
必修2：立体几何初步、平面解析几何初步。
必修3：算法初步、统计、概率。
必修4：基本初等函数（三角函数）、平面向量、三角恒等变换。
必修5：解三角形、数列、不等式。
理科学习
选修2－1：常用逻辑用语、圆锥曲线与方程、空间中的向量与立体几何。
选修2－2：导数及其应用、推理与证明、数系的扩充与复数的引入。
选修2－3：计数原理、统计案例、概率。
选修4-5：不等式选讲。
文科学习
选修1－1：常用逻辑用语、圆锥曲线与方程、导数及其应用。
选修1－2：统计案例、推理与证明、数系的扩充与复数的引入、框图。
选修2—1：常用逻辑用语、圆锥曲线与方程、。
高中必修1-5错误解题分析系列-《3.4三角函数的图像与性质》
第三章 基本初等函数Ⅱ（三角函数）3.4三角函数的图像与性质一、知识导学1.三角函数线.设角α的终边与单位圆交于点P ，过点P 做x PM ⊥轴于M ，过点)0,1(A 做单位圆的切线，与角α的终边或终边的反向延长线相交于点T ，则有向线段AP OM MP ,,分别叫做角α的正弦线，余弦线，正切线.2.三角函数的图像（1）x y x y x y x y cot ,tan ,cos ,sin ====四种图像 （2）函数)sin(ϕω+=x A y 的图像 ①“五点作图法”②图像变化规律3.三角函数的定义域、值域及周期4.三角函数的奇偶性和单调性 二、疑难知识导析1.)sin(ϕω+=x A y +)0,0(>≠ωA B 中，ω,,B A 及ϕ，对正弦函数x y sin =图像的影响，应记住图像变换是对自变量而言.如：x y 2sin =向右平移6π个单位，应得)6(2sin π-=x y ，而不是)62sin(π+=x y2.用“五点法”作)sin(ϕω+=x A y )0,0(>≠ωA 图时，将ϕω+x 看作整体，取2,0π，πππ2,23,来求相应的x 值及对应的y 值，再描点作图.3.,cos ,sin x y x y ==)sin(ϕω+=x A y 的图像既是中心对称图形，又是轴对称图形.而x y tan =图像只是中心对称图形，掌握对称中心和对称轴的求法及位置特征，充分利用特征求出中)sin(ϕω+=x A y )0,0(>≠ωA 的各个参数.4.三角函数的定义域是研究其它一切性质的前提.求定义域实质上是解简单的三角不等式（组）.要考虑到分母不为零，偶次根式被开方数不小于零，对数的真数大于零、底数大于零且不等于1，同时还要考虑到函数本身的定义域.可用三角函数图像或三角函数线解不等式（组）.5.求三角函数的值域是常见题型.一类是x b x a y cos sin +=型，这要变形成)sin(22ϕ++=x b a y ；二是含有三角函数复合函数，可利用换元、配方等方法转换成一元二次函数在定区间上的值域.6.)sin(ϕω+=x A y )0,0(>>ωA 单调性的确定，基本方法是将ϕω+x 看作整体，如求增区间可由22ππ-k ≤ϕω+x ≤)(22z k k ∈+ππ解出x 的范围.若x 的系数为负数，通常先通过诱导公式处理.7.利用单调性比较函数值的大小.往往先利用对称型或周期性转化成同一单调区间上的两个同名函数.三、典型例题导讲[例1] 为了得到函数⎪⎭⎫⎝⎛-=62sin πx y 的图像，可以将函数x y 2cos =的图像（ ） A 向右平移6πB 向右平移3πC 向左平移6πD 向左平移3π错解：A错因：审题不仔细,把目标函数搞错是此题最容易犯的错误. 正解：B[例2] 函数⎪⎭⎫⎝⎛⋅+=2tantan 1sin x x x y 的最小正周期为( ) A π B π2 C2πD23π错解：A错因：将函数解析式化为x y tan =后得到周期π=T ,而忽视了定义域的限制,导致出错. 正解：B[例3]下列四个函数y=tan2x ，y=cos2x ，y=sin4x ，y=cot(x+4π),其中以点(4π,0)为中心对称的三角函数有（）个.A ．1B ．2C ．3D ．4错解：B错因：对三角函数图像的对称性和平移变换未能熟练掌握. 正解：D[例4]函数]),0[)(26sin(2ππ∈-=x x y 为增函数的区间是 ( )A. ]3,0[πB. ]127,12[ππC. ]65,3[ππD. ],65[ππ错解：B错因：不注意内函数的单调性. 正解： C[例5]函数f x x x x ()sin cos cos =-342的最大值为__________. 解：f x x xx ()sin cos sin()=-⋅+=+-32241225222ϕ当时，取最大值sin()()2152212x f x +=-=ϕ[例6] 函数y x x =-⋅cos 的部分图像是（ ）y y y yOO x O x x O xA B C D解：选D.提示：显然C A x x y 、为奇函数，故排除cos -=BD y x x y x x 选，故弃时，纵坐标且即当横坐标，，判断出相应的且令000000>→>>→>[例7] 当-≤≤=+ππ223x y x x 时，函数的（）sin cos A. 最大值为1，最小值为-1 B. 最大值为1，最小值为-12C. 最大值为2，最小值为-2D. 最大值为2，最小值为-1 解：选D 解析：y x x x =+=+sin cos sin()323π，而-≤≤ππ22x∴+∈-⎡⎣⎢⎤⎦⎥+∈-⎡⎣⎢⎤⎦⎥x x ππππ36563121，，故，sin() ∴==-y y ma xmi n21，[例8]已知定义在区间]32,[ππ-上的函数)(xf y =的图像关于直线6π-=x 对称，当]32,6[ππ-∈x 时，函数)22,0,0()sin()(πϕπωϕω<<->>+=A x A x f ，其图像如图所示.（1）求函数)(x f y =在]32,[ππ- （2）求方程22)(=x f 的解.解：（1）当],[326ππ-∈x 时，函数),0,0()sin()(22ππϕωϕω<<->>+=A x A x f ，观察图像易得：3,1,1πϕω===A ，即时，函数)sin()(3π+=x x f ，由函数)(x f y =的图像关于直线6π-=x 对称得，],[6ππ--∈x 时，x函数x x f sin )(-=. ∴⎪⎩⎪⎨⎧--∈--∈+=),[sin ],[)sin()(63263πππππx x x x x f .（2）当],[326ππ-∈x 时，由223)sin(=+πx 得，125124343πππππ=-=⇒=+x x x 或或；当],[6ππ--∈x 时，由22sin =-x 得，443ππ-=-=x x 或.∴方程22)(=x f 的解集为},,,{12512443ππππ---四、典型习题导练 1.函数y x =+sin()252π的图像的一条对称轴方程是（ ）A. x =-π2B. x =-π4C. x =π8D. x =54π2.已知点),(,),(2211y x B y x A 是函数)0(sin <<-=x x y π上的两个不同点，且21x x <， 试根据图像特征判定下列四个不等式的正确性：①2211sin sin x x x x <；②21sin sin x x <；③sin)sin (sin 2121>+x x 221x x +；④2221sinsinx x >.其中正确不等式的序号是 .3.函数的最小正周期是。
第2节 同角三角函数的基本关系与诱导公式--2025年高考数学复习讲义及练习解析
第二节同角三角函数的基本关系与诱导公式1．同角三角函数的基本关系(1)平方关系：01sin 2α＋cos 2α＝1．(2)cos α2．三角函数的诱导公式公式一二三四五六角α＋k ·2π(k ∈Z )π＋α－απ－απ2－απ2＋α正弦sin α－sin α－sin αsin αcos αcos α余弦cos α－cos αcos α－cos αsin α－sin α正切tan αtan α－tan α－tan α——口诀函数名不变，符号看象限函数名改变，符号看象限记忆规律奇变偶不变，符号看象限1．和积互化变形：(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α.2．弦切互化变形：sin 2α＝sin 2αsin 2α＋cos 2α＝tan 2αtan 2α＋1，cos 2α＝cos 2αsin 2α＋cos 2α＝1tan 2α＋1，sin αcos α＝sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝tan αtan 2α＋1.1．概念辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若α，β为锐角，则sin 2α＋cos 2β＝1.()(2)sin(π＋α)＝－sin α成立的条件是α为锐角．()(3)若cos(n π－θ)＝13(n ∈Z )，则cos θ＝13.()答案(1)×(2)×(3)×2．小题热身(1)已知α为锐角，且sin α＝45，则cos(π＋α)＝()A ．－35B ．35C ．－45D ．45答案A解析因为α为锐角，所以cos α＝1－sin 2α＝35，故cos(π＋α)＝－cos α＝－35.故选A.(2)(人教B 必修第三册7.2.3练习B T2改编)已知tan α＝2，则3sin α－cos αsin α＋2cos α＝()A ．54B ．－54C ．53D ．－53答案A解析原式＝3tan α－1tan α＋2＝3×2－12＋2＝54.故选A.(3)下列三角函数的值中(k ∈Z )，与sin π3的值相同的个数是()①πk πk πcos (2k ＋1)π－π6；⑤sin (2k ＋1)π－π3.A ．1B ．2C ．3D ．4答案C解析对于①，πsin (k ＋1)π＋π3，当k 为奇数时，sin (k ＋1)π＋π3＝sin π3；当k为偶数时，sin (k ＋1)π＋π3＝－sin π3，不满足题意．对于②，k πcos π6＝sin π3满足题意．对于③，k πsin π3，满足题意．对于④，cos (2k ＋1)π－π6＝cosπ6＝－sin π3，不满足题意．对于⑤，sin (2k ＋1)π－π3＝sin π3，满足题意．故选C.(4)(人教A 必修第一册习题5.3T5改编)－α)的结果为________．答案sin α解析原式＝sin αcos α·cos α＝sin α.考点探究——提素养考点一同角三角函数基本关系式的应用(多考向探究)考向1“知一求二”问题例1已知角α的终边在第三象限，且tan α＝2，则sin α－cos α＝()A ．－1B ．1C ．－55D ．55答案C解析由角α的终边在第三象限，则sin α<0，cos α<0，2，cos 2α＝1，解得cos α＝－55，sin α＝－255，所以sin α－cos α＝－255＋55＝－55.故选C.【通性通法】利用同角基本关系式“知一求二”的方法注意：由一个角的任一三角函数值可求出这个角的另外两个三角函数值，当利用“平方关系”公式求平方根时，会出现两解，需根据角所在的象限判断三角函数值的符号，当角所在的象限不明确时，要进行分类讨论．【巩固迁移】1．(2024·广东梅州模拟)已知cos α＝13，且α为第四象限角，则tan α＝()A ．－22B ．±22C ．±23D ．23答案A解析∵α为第四象限角，∴sin α<0，∴sin α＝－1－cos 2α＝－223，∴tan α＝sin αcos α＝－2 2.故选A.考向2“弦切互化”问题例2已知tan θ＝2，则1sin 2θ－cos 2θ的值为()A ．34B ．23C ．53D ．2答案C解析由题意，得1sin 2θ－cos 2θ＝sin 2θ＋cos 2θsin 2θ－cos 2θ＝tan 2θ＋1tan 2θ－1＝22＋122－1＝53.故选C.【通性通法】若已知正切值，求一个关于正弦和余弦的齐次式的值，则可以通过分子、分母同时除以一个余弦的齐次幂将其转化为一个关于正切的分式，代入正切值就可以求出这个分式的值，这是同角三角函数关系中的一类基本题型，形如a sin x ＋b cos xc sin x ＋d cos x，a sin 2x ＋b sin x cos x ＋c cos 2x 等类型可进行弦化切．【巩固迁移】2．(2023·苏州模拟)已知sin α＋3cos α3cos α－sin α＝5，则cos 2α＋sin αcos α＝()A ．35B ．－35C ．－3D ．3答案A解析由sin α＋3cos α3cos α－sin α＝5，得tan α＋33－tan α＝5，可得tan α＝2，则cos 2α＋sin αcos α＝cos 2α＋sin αcos αcos 2α＋sin 2α＝1＋tan α1＋tan 2α＝35.故选A.考向3sin α±cos α，sin αcos α之间关系的应用例3(2023·广东潮州模拟)已知π2<x <π，sin x ＋cos x ＝15，则sin x －cos x ＝________．答案75解析由(sin x ＋cos x )2＝1＋2sin x cos x ＝125，得2sin x cos x ＝－2425，所以(sin x －cos x )2＝1－2sin x cos x ＝4925，因为π2<x <π，所以sin x >cos x ，故sin x －cos x ＝75.【通性通法】“sin α±cos α，sin αcos α”关系的应用sin α±cos α与sin αcos α通过平方关系联系到一起，即(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α，sin αcos α＝(sin α＋cos α)2－12，sin αcos α＝1－(sin α－cos α)22.因此在解题时已知一个用方程思想可求另外两个．【巩固迁移】3．(2023·山东聊城模拟)已知α－π2，sin α＋cos α＝55，则tan α的值为________．答案－12解析∵sin α＋cos α＝55，∴sin 2α＋cos 2α＋2sin αcos α＝15，∴sin αcos α＝－25，∴sin 2α＋cos 2α－2sin αcos α＝95＝(sin α－cos α)2，又sin αcos α<0，α－π2，α－π2，sin α<0，cos α>0，∴cos α－sin α＝355，∴sin α＝－55，cos α＝255，∴tan α＝－12.考点二诱导公式的应用例4()A ．－2B ．－1C ．1D ．2答案B解析原式＝－tan αcos α(－cos α)cos(π＋α)[－sin(π＋α)]＝tan αcos 2α－cos αsin α＝－sin αcos α·cos αsin α＝－1.故选B.(2)已知＝23，其中α________．答案－23解析－2π3＋＝－23.【通性通法】1．利用诱导公式解题的一般思路(1)化绝对值大的角为锐角；(2)角中含有加减π2的整数倍时，用公式去掉π2的整数倍．2．常见的互余和互补的角(1)互余的角：π3－α与π6＋α；π3＋α与π6－α；π4＋α与π4－α等；(2)互补的角：π3＋θ与2π3－θ；π4＋θ与3π4－θ等．【巩固迁移】4．(2024·湖南长郡中学高三质量检测)已知f (α)________．答案12解析因为f (α)＝－sin αcos αcos α－cos αsin α＝cos α，所以cos π3＝12.考点三同角三角函数基本关系式与诱导公式的综合应用例5(1)已知＝13，且α则cos ()A ．13B ．－13C ．223D ．－223答案C解析由sin π＝13，而α，∴5π6－α－π6，＝223.故选C.(2)(2023·辽宁葫芦岛模拟)若sin(π－θ)＋cos(θ－2π)sin θ＋cos(π＋θ)＝12，则tan θ＝________．答案－3解析因为sin(π－θ)＋cos(θ－2π)sin θ＋cos(π＋θ)＝sin θ＋cos θsin θ－cos θ＝12，所以tan θ＋1tan θ－1＝12，解得tan θ＝－3.【通性通法】利用诱导公式与同角三角函数基本关系解题的思路和要求(1)思路：①分析结构特点，选择恰当的公式；②利用公式化成同角三角函数；③整理得最简形式．(2)要求：①化简过程是恒等变换；②结果要求项数尽可能少，次数尽可能低，结构尽可能简单，能求值的要求出值．【巩固迁移】5．已知cos167°＝m ，则tan193°＝()A ．1－m2B ．1－m 2m C ．－1－m 2m D ．－m 1－m 2答案C解析tan193°＝tan(360°－167°)＝－tan167°＝－sin167°cos167°＝－sin167°m，因为cos167°＝m ，所以sin167°＝1－m 2，所以tan193°＝－1－m 2m.故选C.6．已知cos α＝－513，且α________．答案1312解析∵cos α＝－513，α∴sin α＝1－cos 2α＝1213，∴coscos(α＋＝cos α－cos α(－sin α)＝1sin α＝1312.课时作业一、单项选择题1．(2023·广西桂林模拟)sin9330°的值为()A ．22B ．－12C ．12D ．－22答案B解析sin9330°＝sin(360°×25＋330°)＝sin330°＝sin(360°－30°)＝－sin30°＝－12.故选B.2．(2023·吉林长春质检)已知＝13，θ∈(0，π)，则tan θ＝()A ．22B ．24C ．－22D ．－24答案C解析依题意，得cos θ＝13，则cos θ＝－13.由于θ∈(0，π)，所以sin θ＝1－cos 2θ＝223，所以tan θ＝sin θcos θ＝－2 2.故选C.3．已知＝13，则cos ()A ．223B ．－223C ．13D ．－13答案D解析∵π4＋α＝π2，∴cos π2＋＝－13.故选D.4．(2023·江西南昌模拟)已知sin(θ＋π)＝0，θ∈(－π，0)，则sin θ＝()A ．－31010B ．－1010C ．31010D ．1010答案A解析∵sin(θ＋π)＝0，∴3cos θ－sin θ＝0，∵θ∈(－π，0)，sin 2θ＋cos 2θ＝1，∴sin θ＝－31010.故选A.5．若tan θ＝－2，则cos 2θ－sin 2θ＝()A ．－45B ．35C ．－35D ．45答案C解析解法一：由题意知tan θ＝－2，θ＝sin θcos θ＝－2，2θ＋cos 2θ＝1，解得cos 2θ＝15，所以cos 2θ－sin 2θ＝cos 2θ－(1－cos 2θ)＝2cos 2θ－1＝2×15－1＝－35.故选C.解法二：已知tan θ＝－2，所以cos 2θ－sin 2θ＝cos 2θ－sin 2θcos 2θ＋sin 2θ＝1－tan 2θ1＋tan 2θ＝－35.故选C.6．已知sin α，cos α是方程3x 2－2x ＋a ＝0的两个根，则实数a 的值为()A ．56B ．－56C ．43D ．34答案B解析由题意，得sin α＋cos α＝23，sin αcos α＝a3，所以sin 2α＋cos 2α＝(sin α＋cos α)2－2sin αcos α＝49－2a 3＝1，解得a ＝－56.故选B.7．已知锐角α终边上一点A 的坐标为(2sin3，－2cos3)，则角α的弧度数为()A ．3－π2B ．π2－3C ．π－3D ．3π2－3答案A解析tan α＝－2cos32sin3＝－又0<3－π2<π2，α为锐角，所以α＝3－π2.故选A.8．已知sin α＋cos α＝15，则tan(π＋α)＋12sin 2α＋sin2α＝()A ．－17524B ．17524C ．－2524D ．2524答案C解析由题意知sin α＋cos α＝15，有2sin αcos α＝－2425，所以tan(π＋α)＋12sin 2α＋sin2α＝tan α＋12sin α(sin α＋cos α)＝sin α＋cos αcos α·12sin α(sin α＋cos α)＝12sin αcos α＝－2524.故选C.二、多项选择题9．已知3sin(π＋θ)＝cos(2π－θ)，θ－π3，θ的值可能是()A ．－π6B ．－π3C ．π3D ．5π6答案AD解析∵3sin(π＋θ)＝cos(2π－θ)，∴－3sin θ＝cos θ，∴tan θ＝－33，∵θ－π3，θ＝－π6或θ＝5π6.故选AD.10．在△ABC 中，下列结论正确的是()A ．sin(A ＋B )＝sinC B ．sinB ＋C 2＝cosA2C ．tan(A ＋B )＝－tanD ．cos(A ＋B )＝cos C 答案ABC解析在△ABC 中，有A ＋B ＋C ＝π，则sin(A ＋B )＝sin(π－C )＝sin C ，A 正确；sinB ＋C2＝cos A2，B 正确；tan(A ＋B )＝tan(π－C )＝－tan C 正确；cos(A ＋B )＝cos(π－C )＝－cos C ，D 错误．故选ABC.11．给出下列四个结论，其中正确的是()A ．sin(π＋|α|)＝－sin α成立的条件是角α是锐角B ．若cos(n π－α)＝13(n ∈Z )，则cos α＝13C ．若α≠k π2(k ∈Z )，则＝－1tan αD ．若sin α＋cos α＝1，则sin n α＋cos n α＝1答案CD解析由诱导公式，知sin(π＋|α|)＝－sin|α|sin α，α≥0，α，α<0，所以A 错误．当n ＝2k (k ∈Z )时，cos(n π－α)＝cos(－α)＝cos α，此时cos α＝13，当n ＝2k ＋1(k ∈Z )时，cos(n π－α)＝cos[(2k＋1)π－α]＝cos(π－α)＝－cos α，此时cos α＝－13，所以B 错误．若α≠k π2(k ∈Z )，则＝cos α－sin α＝－1tan α，所以C 正确．将等式sin α＋cos α＝1两边平方，得sin αcos α＝0，所以sin α＝0或cos α＝0.若sin α＝0，则cos α＝1，此时sin n α＋cos n α＝1；若cos α＝0，则sin α＝1，此时sin n α＋cos n α＝1，故sin n α＋cos n α＝1，所以D 正确．故选CD.三、填空题12．已知＝32，且|φ|<π2，则tan φ＝________．答案－3解析∵＝32，∴－sin φ＝32，∴sin φ＝－32，∵|φ|<π2，∴cos φ＝12，∴tan φ＝sin φcos φ＝－ 3.13．(2023·河南平顶山联考)已知tan θ＝2，则1＋sin θcos θ的值为________．答案75解析∵tan θ＝2，∴1＋sin θcos θ＝sin 2θ＋cos 2θ＋sin θcos θsin 2θ＋cos 2θ＝tan 2θ＋tan θ＋1tan 2θ＋1＝22＋2＋122＋1＝75.14．(2023·全国乙卷)若θtan θ＝12，则sin θ－cos θ＝________．答案－55解析因为θ则sin θ>0，cos θ>0，又因为tan θ＝sin θcos θ＝12，则cos θ＝2sin θ，且cos 2θ＋sin 2θ＝4sin 2θ＋sin 2θ＝5sin 2θ＝1，解得sin θ＝55或sin θ＝－55(舍去)，所以sin θ－cos θ＝sin θ－2sin θ＝－sin θ＝－55.15．黑洞原指非常奇怪的天体，它体积小，密度大，吸引力强，任何物体到了它那里都别想再出来．数字中也有类似的“黑洞”，任意取一个数字串，长度不限，依次写出该数字串中偶数的个数、奇数的个数以及总的数字个数，把这三个数从左到右写成一个新数字串；重复以上工作，最后会得到一个反复出现的数字串，我们称它为“数字黑洞”，如果把这个数字串设为a ，则()A ．12B ．－12C ．32D ．－32答案D解析根据“数字黑洞”的定义，任取数字串2024，经过第一步之后变为404，经过第二步之后变为303，再变为123，再变为123，所以“数字黑洞”为123，即a ＝123，所以cos π6＝－32.故选D.16．(多选)已知角α满足sin αcos α≠0，则表达式sin(α＋k π)sin α＋cos(α＋k π)cos α(k ∈Z )的取值为()A ．－2B ．－1C ．2D ．1答案AC解析当k 为奇数时，原式＝－sin αsin α＋－cos αcos α＝(－1)＋(－1)＝－2；当k 为偶数时，原式＝sin αsin α＋cos αcos α＝1＋1＝2.所以原表达式的取值为－2或2.故选AC.17．(多选)已知角θ和φ都是任意角，若满足θ＋φ＝π2＋2k π，k ∈Z ，则称θ与φ广义互余．若sin(π＋α)＝－14，则下列角β中，可能与角α广义互余的是()A ．sin β＝154B ．cos(π＋β)＝14C ．tan β＝15D ．tan β＝155答案AC解析若α与β广义互余，则α＋β＝π2＋2k π(k ∈Z )，即β＝π2＋2k π－α(k ∈Z )．又由sin(π＋α)＝－14，可得sin α＝14若α与β广义互余，则sin β＝2k π－cos α＝±1－sin 2α＝±154(k ∈Z )，故A 正确；若α与β广义互余，则cosβ＝2k π－sin α＝14(k ∈Z )，而由cos(π＋β)＝14，可得cos β＝－14，故B 错误；由A ，B 可知sin β＝±154，cos β＝14，所以tan β＝sin βcos β＝±15，故C 正确，D 错误．故选AC.18．已知f (α)＝1＋sin α1－sin α－1－sin α1＋sin α，α为第二象限角．(1)若f (α)＝3，求43sin 2α＋cos 2α的值；(2)若cos 2αf (α)＝12，求cos(2023π＋α)＋cos 解(1)因为α为第二象限角，所以|cos α|＝－cos α，f (α)＝1＋sin α1－sin α－1－sin α1＋sin α＝(1＋sin α)2(1－sin α)(1＋sin α)－(1－sin α)2(1＋sin α)(1－sin α)＝(1＋sin α)21－sin 2α－(1－sin α)21－sin 2α＝1＋sin α|cos α|－1－sin α|cos α|＝2sin α|cos α|＝－2tan α.若f (α)＝3，则－2tan α＝3，所以tan α＝－32，所以43sin 2α＋cos 2α＝43sin 2α＋cos 2αsin 2α＋cos 2α＝43tan 2α＋1tan 2α＋1＝43×＋1＋1＝1613.(2)cos 2αf (α)＝cos 2α×(－2tan α)＝－cos 2α×2sin αcos α＝－2sin αcos α.因为cos 2αf (α)＝12，则－2sin αcos α＝12，所以sin αcos α＝－14.又α为第二象限角，所以sinα>0，cosα<0，sinα－cosα>0.所以cos(2023π＋α)＋cos(π＋α)＋cosα＋sinα＝(sinα－cosα)2＝1－2sinαcosα＝1＋2×14＝6 2 .。
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高中数学选修 2-1 目录 第一章 常用逻辑用语 1.1 命题及其关系 1.2 充分条件与必要条件 1.3 简单的逻辑联结词 1.4 全称量词与存在量词 第二章 圆锥曲线与方程 2.1 曲线与方程 2.2 椭圆 2.3 双曲线 2.4 抛物线 第三章 空间向量与立体几何 3.1 空间向量及其运算 3.2 立体几何中的向量方法
两角和与差的正弦、余弦和正切公 式
简单的三角恒等变换
高中数学选修 1-2 目录 第一章 统计案例 1.1 回归分析的基本思想及其初 步应用 1.2 独立性检验的基本思想及其 初步应用 第二章 推理与证明 2.1 合情推理与演绎推理 2.2 直接证明与间接证明 第三章 数系的扩充与复数的引 入 3.1 数系的扩充和复数的概念 3.2 复数代数形式的四则运算 第四章 目录 第一章 解三角形 正弦定理和余弦定理 应用举例 实习作业 第二章 数列 数列的概念与简单表示法 等差数列 等差数列的前 n 项和 等比数列 等比数列的前 n 项和 第三章 不等式 不等关系与不等式 一元二次不等式及其解法 二元一次不等式(组)与简单的线 性规划问题 基本不等式
圆的方程 直线、圆的位置关系 空间直角坐标系
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“我爱学习，学习使我妈快乐 我妈快乐，全家快乐！”
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高中数学必修一目录 第一章 集合与函数概念 集合 函数及其表示 函数的基本性质 第二章 基本初等函数(Ⅰ) 指数函数 对数函数 幂函数 第三章 函数的应用 函数与方程 函数模型及其应用
【全程复习方略】2013版高中数学 3.2同角三角函数的基本关系式与诱导公式课件 理 新人教B版
【规范解答】(1)∵sin(α+ )= 5 , „„„„„„2分
1.同角三角函数基本关系式
sin cos 1 (1)平方关系:_________________.
2 2
sin cos (2)商数关系:_________________. tan
【即时应用】
(1)已知α 是第三象限角,且sinα = 3 , 则cosα =______.
1 5 平方得sin2x+2sinxcosx+cos2x= 1 ， 25 即2sinxcosx= 24 ， 25 ∵(sinx-cosx)2=1-2sinxcosx= 49 . 25 又∵ ＜x＜0，∴sinx＜0，cosx＞0，sinx-cosx＜0，故 2 7 sinx-cosx= . 5
sin =2,得sinα =2cosα 代入sin2α +cos2α =1,解得 cos sinα = 2 5 . 5 答案： 2 5 5
由tanα =
3 sin( )cos( )tan( ) 2 2 (2)①f(α)= tan( ) ) sin( = (cos)sin(tan) ( tan) sin
利用诱导公式化简证明 【方法点睛】 1.利用诱导公式化简三角函数的思路和要求 (1)思路方法：①分析结构特点，选择恰当公式；②利用公式化
成单角三角函数；③整理得最简形式.
(2)化简要求：①化简过程是恒等变形；②结果要求项数尽可能
少，次数尽可能低，结构尽可能简单，能求值的要求出值.
2.三角恒等式证明的常用方法 (1)从左向右证或从右向左证(以从繁化到简为原则). (2)两边向中间证. (3)证明一个与原等式等价的式子,从而推出原等式成立.
三角函数的概念与三角公式应用(4知识点+3重难点+7方法技巧+5易错易混)(原卷版)2025高考数学
专题06三角函数的概念与三角公式应用（思维构建+知识盘点+重点突破+方法技巧+易混易错）知识点1任意角与弧度制1、角的概念（1）任意角：①定义：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形；②分类：角按旋转方向分为正角、负角和零角．（2）象限角：以角的顶点为坐标原点，角的始边为x轴正半轴，建立平面直角坐标系．这样，角的终边(除端点外)在第几象限，就说这个角是第几象限角；如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限．（3）终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，构成的角的集合是S＝{β|β＝k·360°＋α，k∈Z}．2、弧度制定义把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度记作rad知识点2任意角的三角函数三角函数正弦余弦正切定义设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P (x ，y )，那么y 叫做α的正弦，记作sin αx 叫做α的余弦，记作cos αyx叫做α的正切，记作tan α各象限符号Ⅰ＋＋＋Ⅱ＋－－Ⅲ－－＋Ⅳ－＋－三角函数线有向线段MP 为正弦线有向线段OM 为余弦线有向线段AT 为正切线知识点3同角三角函数基本关系式与诱导公式1、同角三角函数基本关系式（1）平方关系：sin 2α＋cos 2α＝1.（3）商数关系：sin αcos α＝tan ≠π2＋kπ，k ∈（3）基本关系式的几种变形①sin2α＝1－cos 2α＝(1＋cos α)(1－cos α)；cos 2α＝1－sin 2α＝(1＋sin α)(1－sin α)．②(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α.③sin α＝tan αcos ≠k π＋π2，k ∈2、三角函数的诱导公式公式一二三四五六角2k π＋α(k ∈Z )π＋α－απ－απ2－απ2＋α正弦sin α－sin α－sin αsin αcos αcos α余弦cos α－cos αcos α－cos αsin α－sin α正切tan αtan α－tan α－tan α口诀函数名改变，符号看象限函数名不变，符号看象限“奇变偶不变，符号看象限”中的奇、偶是指π/2的奇数倍和偶数倍，变与不变指函数名称的变化。
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3.2三角函数基本关系式与诱导公式一、知识导学1．同角三角函数的基本关系式平方关系：1cos sin 22=+αα；商数关系：αααcos sin tan =；倒数关系：1cot tan =⋅αα 同角三角函数的基本关系式可用图表示（1）三个阴影部分三角形上底边平方和等于1的平方； （2）对角为倒数关系；（3）每个三角函数为相邻两函数的积.诱导公式可将“负角正化，大角小化，钝角锐化”. 3．诱导公式解决常见题型（1）求值：已知一个角的某个三角函数，求这个角其他三角函数；（2）化简：要求是能求值则求值，次数、种类尽量少，尽量化去根式，尽可能不含分母. 二、疑难知识导析1．三角变换的常见技巧“1”的代换；ααcos sin +，ααcos sin -，ααcos sin ⋅三个式子，据方程思想知一可求其二（因为其间隐含着平方关系式1cos sin 22=+αα）；2．在进行三角函数化简和三角等式证明时，细心观察题目的特征，灵活恰当地选用公式，一般思路是将切割化弦.尽量化同名，同次，同角；3．已知角α的某个三角函数值，求角α的其余5种三角函数值时，要注意公式的合理选择.在利用同角公式中的平方关系并要开方时，要根据角的范围来确定符号，常要对角的范围进行讨论.解决此类问题时，要细心求证角的范围. 三、典型例题导讲 [例1]已知=∈=+θπθθθcot 051cos sin ），则，（，__________错解：两边同时平方，由，与51cos sin 2512cos sin =+-=⋅θθθθ得57cos sin 2549cos sin 4)cos (sin cos sin 4cos cos sin 2sin )cos (sin 2222±=-∴=-+=-+⋅+=-θθθθθθθθθθθθθθ ∴.cot 53cos 54sin θθθ，进而可求，-==解得：43cot -=θ 或.cot 54cos 53sin θθθ，进而可求，=-=解得：34cot -=θ 错因：没有注意到条件),0(πθ∈时，由于0cos sin <⋅θθ 所以θθcos sin -的值为正而导致错误.正解： ），，（，πθθθ051cos sin ∈=+ 两边同时平方，有联立，与51cos sin 02512cos sin =+<-=⋅θθθθ 求出，，53cos 54sin -==θθ∴43cot -=θ [例2]若sinA=asinB,cosA=bcosB,A 、B 为锐角且a ＞1,0＜b ＜1，求tanA 的值 错解：由⎩⎨⎧== ② ①B b A B a A cos cos sin sin 得tan A=batan B 错因：对题目最终要求理解错误.不清楚最后结论用什么代数式表示正解：由⎩⎨⎧== ② ①B b A B a A cos cos sin sin ①2+②2得a 2sin 2B+b 2cos 2B=1∴cos 2B=2221b a a -- ∴sin 2B=2221b a b -- ∴tan 2B=1122--a b∵B 为锐角 ∴tan B=1122--a b②①得tan A=b a tan B =1122--a b b a [例3]（05年高考重庆卷）若函数)2cos(2sin )2sin(42cos 1)(xx a x x x f --++=ππ的最大值为2，试确定常数a 的值..15,.444111sin ),sin(441sin 2cos 212cos2sin cos 4cos 2)(:2222±==++=++=+=+=a a ax a x ax xx a x x x f 解之得由已知有满足其中角解ϕϕϕ点评：本试题将三角函数“απαπ-+,2”诱导公式有机地溶于式子中，考查了学生对基础知识的掌握程度，这就要求同学们在学习中要脚踏实地，狠抓基础. [例4] （05年高考北京卷）已知tan2α=2，求（1）tan()4πα+的值； （2）6sin cos 3sin 2cos αααα+-的值．解：（1）∵ tan2α=2, ∴ 22tan2242tan 1431tan 2ααα⨯===---; 所以tan tantan 14tan()41tan 1tan tan 4παπααπαα+++==--=41134713-+=-+； （2）由(I), tan α=－34, 所以6sin cos 3sin 2cos αααα+-=6tan 13tan 2αα+-=46()173463()23-+=--.点评：本题设计简洁明了，入手容易，但对两角和与差的三角函数、同角间的基本关系式要求熟练应用，运算准确. [例5]化简：)()414cos()414sin(z n n n ∈-++--απαπ错解：原式)]4(cos[)]4(sin[αππαππ-+++-=n n)4cos()4sin(απαπ--+=)4cos()]4(2sin[απαππ----=0)4cos()4cos(=---=απαπ错因：对三角函数诱导公式不完全理解，不加讨论而导致错误. 正解：原式)]4(cos[)]4(sin[αππαππ-+++-=n n（1）当)(12z k k n ∈+=，时原式)]4(2sin[απππ+-+=k +)]4(2cos[απππ-++k )4sin(απ+=)4cos(απ--)4cos(απ-=)4cos(απ--=0（2）当)(2z k k n ∈=，时 原式)]4(2sin[αππ+-=k +)]4(2cos[αππ-+k)]4sin(απ+-=+)4cos(απ-=0[例6]（05年高考江苏卷）若316sin =⎪⎭⎫⎝⎛-απ，则⎪⎭⎫ ⎝⎛+απ232cos =（ ） A ．97-B ．31-C ．31D ．97错解：⎪⎭⎫⎝⎛+απ232cos =)]23(cos[αππ--=)23cos(απ-=1—2)6(sin 2απ-=97错因：诱导公式应用符号错. 正解：⎪⎭⎫⎝⎛+απ232cos =)]23(cos[αππ--=—)23cos(απ-=—1+2)6(sin 2απ-=—97.故选A. [例7]．（05年高考福建卷）已知51cos sin ,02=+<<-x x x π. （1）求sin x －cos x 的值；（2）求xx xx x x cot tan 2cos 2cos 2sin 22sin 322++-的值. 解法一：（1）由,251cos cos sin 2sin ,51cos sin 22=++=+x x x x x x 平方得 即 .2549cos sin 21)cos (sin .2524cos sin 22=-=--=x x x x x x 又,0cos sin ,0cos ,0sin ,02<-><∴<<-x x x x x π 故 .57cos sin -=-x x（2）xx x x x x xx x x x x sin cos cos sin 1sin 2sin 2cot tan 2cos 2cos 2sin 2sin 3222++-=++-125108)512()2512()sin cos 2(cos sin -=-⨯-=--=x x x x解法二：（1）联立方程⎪⎩⎪⎨⎧=+=+.1cos sin ,51cos sin 22x x x由①得,cos 51sin x x -=将其代入②，整理得,012cos 5cos 252=--x x ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=∴<<-=-=∴.54c o s ,53s i n ,02.54c o s 53c o s x x x x x π 或 故.57cos sin -=-x x（2）x x x x x x cot tan 2cos 2cos 2sin 2sin 322++- x x x xsin cos 1sin 2sin 22++-=125108)53542(54)53()sin cos 2(cos sin -=+-⨯⨯-=--=x x x x 点评：本小题主要考查三角函数的基本公式、三角恒等变换、三角函数在各象限符号等基本知识，以及推理和运算能力.[例8] (1)化简： sin 2αsec 2α－1＋1csc cos 22-αα+cos 2αcsc 2α (2)设sin(α+π2)=－14,且sin2α＞0求sinα,t an α解：原式=sin 2αtan 2α＋cos 2αcot 2α+cos 2αcsc 2α=cos 2α+sin 2α+cos 2αcsc 2α①②=1+cot 2α=csc 2α(2)解：由sin(α+π2 )=-14 ∴cosα=- 14∵sin2α＞0∴2kπ＜2α＜2kπ+πkπ＜α<kπ+π2(k∈z) ∴α为第一象限或第二象限的角∵cosα=- 14＜0 ∴α为第三角限角sinα=-1－cos 2α＝154 tan α= sin αcos α= 15点评：本题要求同学们熟练掌握同角三角函数之间的关系，在求值过程中特别注意三角函数值的符号的探讨.[例9] 求函数y x x =-+162sin 的定义域. 解：由题意有 2244k x k x πππ≤≤+-≤≤⎧⎨⎩(*)当k =-1时，-≤≤-2ππx ；当k =0时，0≤≤x π； 当k =1时，23ππ≤≤x∴函数的定义域是[][]--40，，ππ点评：有部分同学可能会认为不等式组（*）两者没有公共部分，所以定义域为空集，原因是没有正确理解弧度与实数的关系，总认为二者格格不入，事实上弧度也是实数. [例10] （05年高考天津卷） 已知)3tan(sin ,2572cos ,1027)4sin(π+αα=α=π-α及求. 解法一:由题设条件，应用两角差的正弦公式得)cos (sin 22)4sin(1027α-α=π-α= 即57cos sin =α-α ① 由题设条件，应用二倍角余弦公式得)sin (cos 57)sin )(cos sin (cos sin cos 2cos 25722α-α-=α+αα-α=α-α=α=故51sin cos -=α+α ②由①式和②式得 54cos ,53sin -=α=α.因此，43tan -=α，由两角和的正切公式.11325483343344331433tan 313tan )4tan(-=+-=+-=α-+α=π+α 解法二：由题设条件，应用二倍角余弦公式得α-=α=2sin 212cos 257解得53sin ,259sin 2±=α=α即 由57cos sin ,1027)4sin(=α-α=π-α可得 由于057sin cos ,0cos 57sin <-α=α>α+=α且， 故α在第二象限，于是53sin =α.从而5457sin cos -=-α=α（以下同解法一）.点评：ααcos sin +，ααcos sin -，ααcos sin ⋅三个式子，据方程思想知一可求其二（因为其间隐含着平方关系式1cos sin 22=+αα），在求值过程中要注意符号的讨论. 四、典型习题导练1． 当0＜x ＜л时,则方程cos (лcosx)=0的解集为( ) A. ⎭⎬⎫⎩⎨⎧65,6лл B.⎭⎬⎫⎩⎨⎧32,3лл C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫3л D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫32л 2．（05年高考全国卷Ⅰ）在ABC ∆中，已知C BA sin 2tan=+，给出以下四个论断： ① 1cot tan =⋅B A② 2sin sin 0≤+<B A③ 1cos sin 22=+B A④ C B A 222sin cos cos =+其中正确的是A ．①③ B.②④ C.①④ D.②③3．（05年全国卷Ⅲ）设02x π≤≤,sin cos x x =-,则A. 0x π≤≤B. 744x ππ≤≤C. 544x ππ≤≤D. 322x ππ≤≤4．函数y x =+-⎡⎣⎢⎤⎦⎥sin()πππ222在，上是（）A. 增函数B. 减函数C. 偶函数D. 奇函数5．曲线)4cos()4sin(2ππ-+=x x y 和直线21=y 在y 轴右侧的交点按横坐标从小到大依 次记为P 1，P 2，P 3，…，则|P 2P 4|等于（ ） A ．π B ．2π C ．3π D ．4π 6．已知，且，则的值为sin cos cos sin θθπθπθθ⋅=<<-18427．已知函数f (x )＝2sin x cos x ＋cos2x ． (1) 求f (4π)的值； (2) 设α∈(0，π)，f (2α)sin α的值． 8．（05年高考湖南卷）已知在△ABC 中，sinA （sinB ＋cosB ）－sinC ＝0，sinB ＋cos2C ＝0，求角A 、B 、C 的大小. 9．（06年高考安徽卷）已知310,tan cot 43παπαα<<+=- （1）求tan α的值；（2）求225sin 8sincos11cos 822222ααααπα++-⎛⎫- ⎪⎝⎭的值。