高数空间曲线及其方程ppt课件
合集下载
高等数学课件D852空间曲线
yx0
z
oo
1
x
2y
o
2y
x
9/16/2019
高等数学课件
机动 目录 上页 下页 返回 结束
x2z2a2 (3)
x2y2a2 z
a
oo a
y
x
9/16/2019
高等数学课件
机动 目录 上页 下页 返回 结束
y5x1 yx3
z
y5x1
yx3 o
y
9/16/2019
高等数学课件
ay
x
9/16/2019
高等数学课件
机动 目录 上页 下页 返回 结束
二、空间曲线的参数方程
将曲线C上的动点坐标x, y, z表示成参数t 的函数:
xx(t) yy(t) zz(t)
称它为空间曲线的 参数方程.
z
例如,圆柱螺旋线 的参数方程为
M
o
x yz a a vtsci o ntts令t,bv
此曲线在 xoy 面上的投影曲线方程为
9/16/2019
xyx2y2 1 z0
高等数学课件
机动 目录 上页 下页 返回 结束
z
则C 在xoy 面上的投影曲线 C´为
C
H(xz,y)0 0
y
消去 x 得C 在yoz 面上的投影曲线方程
消去y
R(yx,z)0
得C 在zox
0
面上的投影曲线方程
x C
T(xy,z)0
0
9/16/2019
高等数学课件
机动 目录 上页 下页 返回 结束
例如,
C: x2(xy2 1y)2 2 (zz2 11)21
盘龙线
x sin 3t cos t
z
oo
1
x
2y
o
2y
x
9/16/2019
高等数学课件
机动 目录 上页 下页 返回 结束
x2z2a2 (3)
x2y2a2 z
a
oo a
y
x
9/16/2019
高等数学课件
机动 目录 上页 下页 返回 结束
y5x1 yx3
z
y5x1
yx3 o
y
9/16/2019
高等数学课件
ay
x
9/16/2019
高等数学课件
机动 目录 上页 下页 返回 结束
二、空间曲线的参数方程
将曲线C上的动点坐标x, y, z表示成参数t 的函数:
xx(t) yy(t) zz(t)
称它为空间曲线的 参数方程.
z
例如,圆柱螺旋线 的参数方程为
M
o
x yz a a vtsci o ntts令t,bv
此曲线在 xoy 面上的投影曲线方程为
9/16/2019
xyx2y2 1 z0
高等数学课件
机动 目录 上页 下页 返回 结束
z
则C 在xoy 面上的投影曲线 C´为
C
H(xz,y)0 0
y
消去 x 得C 在yoz 面上的投影曲线方程
消去y
R(yx,z)0
得C 在zox
0
面上的投影曲线方程
x C
T(xy,z)0
0
9/16/2019
高等数学课件
机动 目录 上页 下页 返回 结束
例如,
C: x2(xy2 1y)2 2 (zz2 11)21
盘龙线
x sin 3t cos t
641空间曲线及其方程 20页PPT文档
第六章
第四节 空间曲线及其方程
一、空间曲线的一般方程
二、空间曲线的参数方程
三、曲面的参数方程
四、空间曲线在坐标面上的投影
五、小结与思考练习
11.08.2019
1
目录
上页
下页
返回
一、空间曲线的一般方程
空间曲线可视为两曲面的交线, 其一般方程为方程组
F(x, y,z) 0 G(x, y,z) 0 例如,方程组
11.08.2019
9
目录
上页
下页
返回
四、空间曲线在坐标面上的投影
设空间曲线
C
的一般方程为
GF((xx,,
y,z) y,z)
0 0
消去 z 得投影柱面H (x,y)0,
z
则C 在xoy 面上的投影曲线 C´为
C
消去 x 得C 在yoz 面上的投影曲线方程
x
y C
消去y 得C 在zox 面上的投影曲线方程
2y
14
o
2y
x
目录
上页
下页
返回
x2z2a2 (3)
x2y2a2 z
a
oo a
y
x
11.08.2019
15
目录
上页
下页
返回
(4)
y5x1 yx3
z
y 5x1
o
y
y x3
11.08.2019
16
目录
上页
下页
返回
(5)
x2 y2 1 49 y 3
z
2 x
3y
11.08.2019
11.08.2019
6
目录
上页
第四节 空间曲线及其方程
一、空间曲线的一般方程
二、空间曲线的参数方程
三、曲面的参数方程
四、空间曲线在坐标面上的投影
五、小结与思考练习
11.08.2019
1
目录
上页
下页
返回
一、空间曲线的一般方程
空间曲线可视为两曲面的交线, 其一般方程为方程组
F(x, y,z) 0 G(x, y,z) 0 例如,方程组
11.08.2019
9
目录
上页
下页
返回
四、空间曲线在坐标面上的投影
设空间曲线
C
的一般方程为
GF((xx,,
y,z) y,z)
0 0
消去 z 得投影柱面H (x,y)0,
z
则C 在xoy 面上的投影曲线 C´为
C
消去 x 得C 在yoz 面上的投影曲线方程
x
y C
消去y 得C 在zox 面上的投影曲线方程
2y
14
o
2y
x
目录
上页
下页
返回
x2z2a2 (3)
x2y2a2 z
a
oo a
y
x
11.08.2019
15
目录
上页
下页
返回
(4)
y5x1 yx3
z
y 5x1
o
y
y x3
11.08.2019
16
目录
上页
下页
返回
(5)
x2 y2 1 49 y 3
z
2 x
3y
11.08.2019
11.08.2019
6
目录
上页
第四节-空间曲线及其方程
x y x2 y2 1 z 0
目录 上页 下页 返回 结束
P51 题 7
z
z
O
ay x xz20y2 ax
O
ay x
z a2 ax (x 0 , z 0)
y0
目录 上页 下页 返回 结束
内容小结
• 空间曲线 • 求投影曲线
三元方程组 或参数方程 (如, 圆柱螺线)
思考与练习
P36 题 1，2，7（展示空间图形）
随着 t
目录 上页 下页 返回 结束
例 1 如果空间一点 M 在圆柱面 x2 y2 a2上以
角速度 绕z轴旋转，同时又以线速度v沿平行于z
轴的正方向上升（其中 、v都是常数），那么点
M 构成的图形叫做螺旋线．试建立其参数方程．
解
z
取时间t为参数，动点从A点出
发，经过t时间，运动到M点
M 在xoy面的投影M ( x, y,0)
目录 上页 下页 返回 结束
例2. 将下列曲线化为参数方程表示: 解: (1) 根据第一方程引入参数 , 得所求为
(2) 将第二方程变形为
故所求为
目录 上页 下页 返回 结束
三、空间曲线在坐标面上的投影
设空间曲线的一般方程：GF((xx,,
y, z) y, z)
0 0
消去变量z后得： H ( x, y) 0
第四节
第八章
空间曲线及其方程
一、空间曲线的一般方程 二、空间曲线的参数方程 三、空间曲线在坐标面上的投影
目录 上页 下页 返回 结束
一、空间曲线的一般方程
空间曲线可视为两曲面的交线, 其一般方程为方程组
例如,方程组
S2
S1
G(x, y, z) 0 L F (x, y, z) 0
目录 上页 下页 返回 结束
P51 题 7
z
z
O
ay x xz20y2 ax
O
ay x
z a2 ax (x 0 , z 0)
y0
目录 上页 下页 返回 结束
内容小结
• 空间曲线 • 求投影曲线
三元方程组 或参数方程 (如, 圆柱螺线)
思考与练习
P36 题 1，2，7（展示空间图形）
随着 t
目录 上页 下页 返回 结束
例 1 如果空间一点 M 在圆柱面 x2 y2 a2上以
角速度 绕z轴旋转，同时又以线速度v沿平行于z
轴的正方向上升（其中 、v都是常数），那么点
M 构成的图形叫做螺旋线．试建立其参数方程．
解
z
取时间t为参数，动点从A点出
发，经过t时间，运动到M点
M 在xoy面的投影M ( x, y,0)
目录 上页 下页 返回 结束
例2. 将下列曲线化为参数方程表示: 解: (1) 根据第一方程引入参数 , 得所求为
(2) 将第二方程变形为
故所求为
目录 上页 下页 返回 结束
三、空间曲线在坐标面上的投影
设空间曲线的一般方程：GF((xx,,
y, z) y, z)
0 0
消去变量z后得： H ( x, y) 0
第四节
第八章
空间曲线及其方程
一、空间曲线的一般方程 二、空间曲线的参数方程 三、空间曲线在坐标面上的投影
目录 上页 下页 返回 结束
一、空间曲线的一般方程
空间曲线可视为两曲面的交线, 其一般方程为方程组
例如,方程组
S2
S1
G(x, y, z) 0 L F (x, y, z) 0
§7.4空间曲线及其方程高数
单叶双曲面: x a sec cos y b sec sin 4 4 z c tan 0 2 圆环面: x ( R r cos ) cos y ( R r cos ) sin 0 2 0 2 z r sin 正螺面:
解: 取时间 t 为参数, 当 t = 0 时, 动点从 x 轴上的 一点A(a, 0, 0)出发, 经过 t 时间, 运动到点M(x, y, z ), M 在xoy面上的投影为M(x, y, 0). z 由于点M在圆柱面 x2 + y2 = a2上以 角速度 绕 z 轴旋转, 所以经过时间 t , AOM= t. 从而: x =| OM |cosAOM= a cos t. y =| OM | sinAOM= a sin t. o M 又由于点M同时又以线速度 v 沿平行于 z 轴的正方向上升, 所以 x A y M z=vt t x a cos t 因此, 螺旋线的参 y a sin t 数方程为: z v t
x2 y2 1 z 0
x
2
y
补充: 空间立体或曲面在坐标面上的投影.
空 间 立 体
曲 面
z 4 x 2 y 2 和锥面 例6: 设一个立体由上半球面 z 3( x 2 y 2 ) 所围成, 求该立体在xoy面上的投影.
解: 半球面和锥面的交线为 z 4 x 2 y2 , C : z 3( x 2 y 2 ) , 消去 z 得投影柱面方程: x2 + y2 = 1. 则交线C在xoy面上 的投影曲线方程为: x 2 y 2 1, z 0. 这是xoy面上的一个圆, 所以, 所求立体在xoy面上的投 影(区域)为: x 2 y 2 1.
第八章第4节空间曲线及其方程29395-29页精选文档
空 间 立 体
曲 面
16
例5 设一个 ,由 立上 体半z球4 面 x2y2 和z 3(x2y2)锥面所 ,求 围它 成 x在 oy 面上的 . 投影
解 半球面和锥面的交线为 C:z 4x2 y2, z 3(x2 y2),
消去 z得投影 x2 柱 y2面 1,
17
则交C 线 在xoy面上的投影为
x2 y2 1,
交线情况如何?
交线情况如何?
y
23
P37 题 7
z
z
ay x
ay x
x2 y2 ax z0
x2z2a2 (x0,z0) y0
24
作业
习8题 4 P 37
P37 3，4，5（1），6, 8
25
思考题
求 椭 圆 抛 物 面 2y2x2z与 抛 物 柱 面 2x2z的 交 线 关 于 xo面 y的 投 影 柱 面 和 在 xo面 y上 的 投 影 曲 线 方 程 .
y2 z2 x x2y z 0
如图,
14
y2 z2 x x2y z 0
（ 1） 消 去 z得 投 影x25y24xyx0,
z0
（ 2） 消 去 y得 投 影x25z22xz4x0,
y0
（ 3） 消 去 x得 投 影y2
z2
2yz0 .
x0
15
补充: 空间立体或曲面在坐标面上的投影.
一个圆,
z 0.
所求立x体 o面 y在 上的投影为
x2y21.
18
四、小结
空间曲线的一般方程、参数方程．
F(x, y,z) 0 G(x, y,z) 0
x x(t)
y
y(t)
z z ( t )
曲 面
16
例5 设一个 ,由 立上 体半z球4 面 x2y2 和z 3(x2y2)锥面所 ,求 围它 成 x在 oy 面上的 . 投影
解 半球面和锥面的交线为 C:z 4x2 y2, z 3(x2 y2),
消去 z得投影 x2 柱 y2面 1,
17
则交C 线 在xoy面上的投影为
x2 y2 1,
交线情况如何?
交线情况如何?
y
23
P37 题 7
z
z
ay x
ay x
x2 y2 ax z0
x2z2a2 (x0,z0) y0
24
作业
习8题 4 P 37
P37 3，4，5（1），6, 8
25
思考题
求 椭 圆 抛 物 面 2y2x2z与 抛 物 柱 面 2x2z的 交 线 关 于 xo面 y的 投 影 柱 面 和 在 xo面 y上 的 投 影 曲 线 方 程 .
y2 z2 x x2y z 0
如图,
14
y2 z2 x x2y z 0
（ 1） 消 去 z得 投 影x25y24xyx0,
z0
（ 2） 消 去 y得 投 影x25z22xz4x0,
y0
（ 3） 消 去 x得 投 影y2
z2
2yz0 .
x0
15
补充: 空间立体或曲面在坐标面上的投影.
一个圆,
z 0.
所求立x体 o面 y在 上的投影为
x2y21.
18
四、小结
空间曲线的一般方程、参数方程．
F(x, y,z) 0 G(x, y,z) 0
x x(t)
y
y(t)
z z ( t )
第四节--空间曲线及其方程
x2 y2 1. 2 x 3z 6 表示一个母线平行于 y 的柱面 , 其准线是 xz 面上的直
x2 y 2 1,
线 2x 3z 6 , 因而 2x 3z 6 在空间表示一个平面 .
是上述圆
2x 3z 6
柱面和平面的交线 .
z a2 x2 y 2 ,
例 2 方程组
2
a x
y2
2
a 2 表示何曲线 ? 2
精品资料
欢迎下载
第四节 空间曲线及其方程
一 空间曲线的一般方程
曲面 F x, y, z 0 和 G x, y, z 0 的交线 C 可表示为
F x, y, z 0, G x, y, z 0. 它称为 空间曲线 C 的一般方程 .
x2 y2 1,
例 1 方程组
表示何曲线 ?
2x 3z 6
解
2
x
2
y
1表示母线平行于 z 轴的圆柱面 , 其准线是 xy 面上的圆
x2 y2 1,
C 在 xy面上的投影曲线为 C :
( xy 面上的单位圆 ). 所求立体
z 0.
在 xy 面上的投影即该圆的内部 .
精品资料
欢迎下载
作业 P. 324 1 (1) , (2) , 2, 3, 4, 7, 8 提示 2 (2) 作图后易理解 .
3 由已知的方程组分别消去 x 和 y 即可 .
4 由已知方程消去 z . 7 参照例 2. 0 z a 2 x 2 y2 表上半球面 z
a 2 x 2 y 2 和平面
z 0所围的半球体的内部 , x2 y2 ax 表圆柱体 x2 y2 ax 0 的内部 .
叫做 螺旋线 . 试建立其参数方程 .
y
高数空间曲线及其方程ppt课件
解
由
z z
2 x2
x2 y2
y2
z
L
投影柱面
x2 y2 1
得交线L：
1
所求投影曲线为
x2 y2 1 z 1
x2 y2 1
x2 y2 1 .
.
z 0
.
o
.
x
y
z =0
2
9
例如,
C
:
x
2
x2 (y
y2 1) 2
空间曲线作为投影柱面的交线空间曲线作为投影柱面的交线投影柱面的交消去z消去x空间曲线作为投影柱面的交线空间曲线作为投影柱面的交线消去z消去x空间曲线作为投影柱面的交线空间曲线作为投影柱面的交线4x消去z空间曲线作为投影柱面的交线空间曲线作为投影柱面的交线3x2y123x2y126所围成的立体图作图练习3xy63x2y123x2y126所围成的立体图作图练习3xy63x2y123x2y126所围成的立体图作图练习3x2y126所围成的立体图作图练习3x2y126所围成的立体图作图练习所围立体图作出曲面所围立体图作出曲面学画草图学画草图所围立体图作出曲面备用题求曲线轴旋转的曲面与平面的交线在xoy平面的投影曲线方程
第四节
第七章
空间曲线及其方程
一、空间曲线的一般方程 二、空间曲线的参数方程 三、空间曲线在坐标面上的投影
1
一、空间曲线的一般方程
空间曲线可视为两曲面的交线, 其一般方程为方程组
例如,方程组
S2
G(x, y, z) 0
L
S1
F(x, y, z) 0
z
表示圆柱面与平面的交线 C.
第四部分空间曲线及其方程教学课件
z z (t )
为空间曲线的参数方程.
例3 如果空间一点M在圆柱面x2+y2=a2上以角速度ω 绕z轴旋转,同时又以线速度v沿平行于z轴的正方向上 升<其中ω、ν都是常数>,那么点M构成的图形叫做螺 旋线.试建立其参数方程. 解 ： 取时间t为参数.设当t=0时,动点位于x轴上的一
点A(a,0,0)处.经过时间t，动点由A运动到
第四节 空间曲线及其方程
一、空间曲线的一般方程 二、空间曲线的参数方程 三、空间曲线在坐标面上的投影
一、空间曲线的一般方程
空间曲线C可以看作两个曲面的交线,设两个曲面 的方程为:
S1:F<x,y,z>=0 和 S2:G<x,y,z>=0
则：G Fxx,,yy,,zz00 为空间曲线C的一般方程.
例1
的交线C，关于xOy面的投影柱面方程为：
x22y22y0
则
x2 2y2 2y 0
z0
即为交线C在xOy面上的投影方.程
例5 设一个立体由上半球面 z 4x2y2和锥面 z 3(x2y2)所围成， xO 面 求 y 上 它的 .在投影
解: 半球面和锥面的交线为:
C
:
z
z
4 x2 y2, 3(x2 y 2 ),
方程组
x2 y2 1
表示怎样的曲线?
2x 3z 6
解: x2 y2 1表示母线平行z轴于的圆柱面
2x3z 1表示一个平, 面
x2 y2 1 表示了平面与圆柱交面线的 . 2x3z 6
二、空间曲线的参数方程
若将曲线C上动点的坐标x、y、z 表示为参数t的 函数,则
x x(t)
y
y (t )
高数课件-空间曲线
y
0
同ห้องสมุดไป่ตู้得 C在yoz 面和xoz面上的投影曲線方程分別為
y
x
z
0
1,
(0
y
1);
x2 2z2 2z 0 y0
8-1
上頁 下頁
又如,
上半球面
和上半錐面
所圍的立體在 xoy 面上的投影區域為 二者交線在
xoy 面上的投影曲線所圍區域 .
二者交線
z
C
在 xoy 面上的投影曲線
投影區域： x2 y2 1, z 0.
C o 1 y
x
8-1
上頁 下頁
8-1
上頁 下頁
例1. 將曲線
化為參數方程表示。
解: 根據 x2 y2 1引入：
並求得 故所求參數方程為
8-1
上頁 下頁
三、空間曲線在座標面上的投影曲線
設空間曲線 C 的一般方程為
消去 z 得投影柱面
z
則C 在xoy 面上的投影曲線 C´為
C
H
(x, y) z0
0
y
消去 x 得C 在yoz 面上的投影曲線方程
R(
y, z) x0
0
消去y 得C 在zox 面上的投影曲線方程
x
T
(
C
x, z) y0
0
8-1
上頁 下頁
例如,
C
:
x
2
x2 y2 ( y 1)2
z2 1 (z 1)2
1
① ②
z
①-②，得 z 1 y,
將此代入①，得 C在xoy 面上的
C
o
1y
投影曲線方程為
x
x 2
高等数学课件D852空间曲线
05 空间曲线积分计算与应用
弧长积分计算方法
弧长微元法
利用曲线微元段的长度近似代替弧长，通过求和得到整个曲线的弧 长。
参数方程法
对于参数方程表示的曲线，可以通过参数的变化范围和参数方程求 解弧长积分。
极坐标法
对于极坐标表示的曲线，可以通过极坐标与直角坐标的转换关系，将 弧长积分转化为直角坐标系下的定积分求解。
常见问题及解决方法
空间曲线方程求解
空间曲线绘制
通过给定的条件（如切线方向、法线方向 、曲率、挠率等）求解空间曲线的方程。
利用计算机软件（如MATLAB、GeoGebra 等）绘制空间曲线图形，以便更直观地了 解其形状和特性。
空间曲线与平面位置关系判断源自空间曲线应用问题通过计算和分析判断空间曲线与平面的位 置关系，如相交、相切、相离等。
设定参数范围
根据曲线方程，设定参数的取 值范围，以便完整地绘制出曲 线。
绘制曲线
利用绘制工具，将曲线方程转 化为图形，并进行必要的调整
和修饰。
利用软件进行图形绘制
MATLAB绘制
其他软件
利用MATLAB的绘图函数，如plot3、 surf等，绘制空间曲线图形，并可通过 调整参数和视角来优化图形效果。
空间曲线分类
根据形状和特性，空间曲线可分为平 面曲线和空间曲线，其中空间曲线又 可分为一般空间曲线和特殊空间曲线 （如螺旋线、悬链线等）。
空间曲线基本性质
01
02
03
连续性
空间曲线在其定义域内是 连续的，即曲线上的点之 间没有间断。
可导性
空间曲线在其定义域内是 可导的，即曲线的切线方 向存在且唯一。
弯曲性
空间曲线具有一定的弯曲 程度，可以用曲率和挠率 来描述其弯曲程度。
13空间曲线及其方程27852
M 在xoy面的投影M ( x, y,0)
t
o
M
•
xA
M y
x acost y a sint
z vt
螺旋线的参数方程
❖1．3．3 空间直线的一般方程
空间直线可以看成是两个平面的交线．故其一 般方程为：
A1 x A2 x
B1 B2
y y
C1z C2z
D1 D2
0 0
.
如直线
x yz10 2x y 3z 4 0
x
2
y2
R2
z
o
y
x
o
y
x
❖1．3．2 空间曲线的参数方程
把空间曲线 C 上的点M的坐标 x, y, z都表示为 另一个变量 t 的函数，即
x x(t)
Байду номын сангаас
y
y(t )
空间曲线的参数方程
z z(t)
当给定t t1 时，就得到曲线上的一个点 ( x1 , y1 , z1 )，随着参数的变化可得到曲线上的全
部点.
❖1．3．2 空间曲线的参数方程
例 4 如果空间一点 M 在圆柱面 x2y2a2 上以角速度
绕 z 轴旋转 同时又以线速度 v 沿平行于 z 轴的正方向上
升(其中 、v 都是常数) 那么点 M 构成的图形叫做螺旋
线．试建立其参数方程．
解
z
取时间t为参数，动点从A点出发，经过 t 时间，运动到M点
❖1．3．1 空间曲线的一般方程
空间曲线C可看作空间两曲面的交线.
F(x, y,z) 0 G( x, y, z) 0
空间曲线的一般方程
特点 曲线上的点都满足方程，
满足方程的点都在曲线上，不
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
y2 = – 4x( 消去z L： y2+(z – 2)2 = ()4消去x )
.
y2+(z – 2)2 = 4
L
转动坐标系，有下页图
0
.
x
y2 = – 4x
y
SUCCESS
THANK YOU
2019/6/24
例 空间曲线作为投影柱面的交线 L： y 2 + (z – 2)2 = 4 (消
y2 = – 4x (消去z)
z
表示上半球面与圆柱面的交线C.
ay
x
二、空间曲线的参数方程
将曲线C上的动点坐标x, y, z表示成参数t 的函
数: 称它为空间曲线的 参数方程.
空间曲线——圆柱螺线
圆柱面 x 2 y 2 a 2
M(x,y,z)
x acos t = asin t y bt
（移=动及转动都是等速进 行z，所=以z与t成正比。)
z) 0
0
求曲面z 2 x2 y2 及 z x2 y2 的交线L在 xoy 平面的投影。
z 2 x 2 y 2
解由
z
x2
y2
z
得交线L：
1
x2 y2 1 z 1
o
x
.
y
求曲面z 2 x2 y2 及 z x2 y2 的交线L在 xoy 平面的投影。
解
由
z z
2 x2
x2 y2
y2
z
L
投影柱面
x2 y2 1
得交线L：
1
所求投影曲线为
x2 y2 1 z 1
x2 y2 1
x2 y2 1 .
.
z 0
.
o
.
x
y
z =0
2
例如,
C
:
x
2
x2 (y
y2 1) 2
–1
y
1
备用题 求曲线
绕 z 轴旋转的曲面与平面
x y z 1的交线在 xoy 平面的投影曲线方程.
解： 旋转曲面方程为 z x2 y2 ,它与所给平面的
交线为
z x2 y2 x y z 1
此曲线向 xoy 面的投影柱面方程为
此曲线在 xoy 面上的投影曲线方程为 x y x2 y2 1 z 0
第四节
第七章
空间曲线及其方程
一、空间曲线的一般方程 二、空间曲线的参数方程 三、空间曲线在坐标面上的投影
一、空间曲线的一般方程
空间曲线可视为两曲面的交线,其一般方程为方程组
例如,方程组
S2
G(x, y, z) 0
L
S1
F(x, y, z) 0
z
表示圆柱面与平面的交线 C.
2C
o 1y
x
又如,方程组
z2 1 (z 1)2
1
在xoy 面上的投影曲线方程为
x
2
2
y z
2 2 0
y
0
z
C
o
1y
x
又如,
上半球面
和锥面
所围的立体在 xoy 面上的投影区域为: 二者交线在
xoy 面上的投影曲线所围之域 .
二者交线
z
在 xoy 面上的投影曲线 所围圆域: x2 y2 1, z 0.
z
y=0
.
x=0
0
a
y
z=0
a
x
作图练习
作出曲面x y a， x z a , x , y , z 所围立体图
学画草图
z
a
.
0
a
x
a
y
作图练习
作出曲面 z 1 x2 y2 和 x2 y2 z 1 所围立体图形
z 1
0
x
3z2
8x
12
z
将其换成 投影柱面的交线
y2 = – 4x( 消去z y2+(z – 2)2 = ()4消去x )
y2+(z – 2)2 = 4
0
.
x
y2 = – 4x
y
例 空间曲线作为投影柱面的交线
L:
2 y2 z2 4 x 4z
y2
3z2
8x
12
z
将其换成 投影柱面的交线
三、空间曲线在坐标面上的投影
设空间曲线 C 的一般方程为
消去 z 得投影柱
则C面在xoy 面上的投影曲线 C´
为
H
(x, y) z0
0
z C
y
消去 x 得C 在yoz 面上的投影曲线方
程
R(
y, z) x0
0
消去y 得C 在zox
程
面上的投影曲线方
x C
T
(x, y
z
y2 = – 4x L
y2+(z – 2)2 = 4
y
0
x
作图练习
平面y=0 , z=0，3x+y =6, 3x+2y =12 和x+y+z =6所围成
的立体图
z
6
x+y+z=6
3x+y=6
0
2
x
6
6
y
作图练习
平面y=0 , z=0，3x+y =6, 3x+2y =12 和x+y+z =6所围成
的立体图
zห้องสมุดไป่ตู้
6
x+y+z=6
3x+y=6
0
.
2
x
6
6
y
作图练习
平面y=0 , z=0，3x+y =6, 3x+2y =12 和x+y+z =6所围成
的立体图
z
6
x+y+z=6
3x+y=6
3x+2y=12
0
.
2
4
x
6
6
y
作图练习
平面y=0 , z=0，3x+y =6, 3x+2y =12 和x+y+z =6所围成
当 t 从 0 2，
z
Q
螺线从点P Q
PQ 2b 叫螺距
.
0t P
x
点P在圆柱面上等速地绕z轴旋转； 同时又在平行于z轴的方向
等速地上升。 其轨迹就是圆柱螺线。
M
a
y
N
例1. 将下列曲线化为参数方程表示: 解: (1)根据第一方程引入参数 ,得所求为
(2) 将第二方程变形为
故所求为
的立体图
z
6
0
.
2
4
x
6
6
y
作图练习
作出曲面x y a， x z a , x , y , z 所围立体图
z
0
a
x
a
y
作图练习
作出曲面x y a， x z a , x , y , z 所围立体图
的立体图
z
6
x+y+z=6
3x+y=6
3x+2y=12
0
.
2
4
x
6
6
y
作图练习
平面y=0 , z=0，3x+y =6, 3x+2y =12 和x+y+z =6所围成
的立体图
z
6
x+y+z=6
0
.
2
4
x
6
6
y
作图练习
平面y=0 , z=0，3x+y =6, 3x+2y =12 和x+y+z =6所围成
Co 1 y
x
例 空间曲线作为投影柱面的交线
L:
2 y2 z2 4 x 4z
y2
3z2
8x
12
z
将其换成 投影柱面的交线
y2 = – 4x( 消去z
)
0 x
y2 = – 4x
y
例 空间曲线作为投影柱面的交线
L:
2 y2 z2 4 x 4z
y2