【习题】第二章一阶微分方程的初等解法
常微分方程第二章一阶微分方程的初等解法
一阶微分方程的初等解法， 一阶微分方程的初等解法，即把微分方程的求 解问题化为积分问题。 解问题化为积分问题。用数学方法经过有限次 代数运算和作有限次不定积分，将微分方程的 代数运算和作有限次不定积分， 解用初等函数或初等函数的待积式来表达， 解用初等函数或初等函数的待积式来表达，这 种方法，习惯上称为初等积分法或求积法。 种方法，习惯上称为初等积分法或求积法。能 初等积分法或求积法 用初等积分法求解的微分方程称为可积方程。 用初等积分法求解的微分方程称为可积方程。 可积方程
内江师范学院数学与信息科学学院 ( x , y ) 中几类可积方程的求解
同时， 问题 。同时，对一阶隐式方程和高阶方程中的某些特 殊可积函数类型的求解问题，也作适当的介绍。 殊可积函数类型的求解问题，也作适当的介绍。 主要内容
一、变量分离方程与变量替换 待定函数法) 二、线性方程与常系数变易法(待定函数法 线性方程与常系数变易法 待定函数法 三、恰当方程与积分因子（全微分方法） 恰当方程与积分因子（全微分方法） 四、一阶隐方程与参数表示 五、小结
转化” 这是数学学习的精髓。 基本思想：“变”或“转化”，这是数学学习的精髓。
内江师范学院数学与信息科学学院 吴开腾 制作
初等积分法的实质， 初等积分法的实质，就是尽可能设法把所遇到的 的实质 微分方程的求解问题转化为积分（求原函数） 微分方程的求解问题转化为积分（求原函数）问 转化为积分 题。应当指出，只有少数特殊类型的微分方程， 应当指出，只有少数特殊类型的微分方程， 才可能用初等积分法求解，在多数情况下，初等 才可能用初等积分法求解，在多数情况下， 积分法是不适用的。因此， 积分法是不适用的。因此，对于微分方程中常见 的类型在什么情况下能用初等积分法求解， 的类型在什么情况下能用初等积分法求解，是一 个很重要而又有实际意义的问题。 个很重要而又有实际意义的问题。
一阶微分方程的初等解法
一阶微分方程的初等解法一阶微分方程的初等解法●一阶微分方程的初等解法：方程的通解能够用初等函数或初等函数的积分表示出来。
●一阶微分方程的一般形式y′=f(x,y)也可写成对称形式（全微分形式）P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0在对称形式方程中，变量x与y是对称的，它即可以看作是以x自变量，y为未知函数的方程dy=−P(x,y)() Q(x,y)≠0也可看作是x为自变量，y为未知函数的方程dy dx=−Q(x,y)P(x,y) P(x,y)≠0●一阶微分方程的常见形式：1.可分离变量的一阶微分方程和齐次方程定义：如果一阶微分方程具有形式dy dx=f(x)g(y)则该方程称为可分离变量微分方程。
不妨设g(y)≠0,则可将方程化为dy g(y)=f(x)dx例求微分方程xdy+2ydx=0，满足初始条件y|x=2=1的特解。
解：由∵ xdy+2ydx =0分离变量dy y=−2dx x两边积分lny=−2lnx+lnC ∴ y=Cx−2是通解。
将初始条件代入C=4，即∴ y=Cx−2为方程的一个特解。
例放射性元素铀由于不断地有原子放射出微粒子而变成其它元素，铀的含量就不断减少，这种现象成为衰变。
由于原子物理学告之，铀的衰变速度与当时未衰变的原子的含量M成正比。
已知t=0时铀的含量为M0，求在衰变过程中含量M(t)随时间变化的规律。
解：铀的衰变速度就是M(t)对时间t的导数dM dt即dM dt=−λMλ(>0)是衰变常数。
初始条件M|t=0=M0分离变量dM M=−λdt于是M=Ce−λt是方程的通解代入初始条件M=M0e−λt齐次方程：如果一阶微分方程dy dx=f(x,y)中的函数f(x,y)可变形为φ�y x�即dy dx=φ�y x�则称为齐次方程。
求解步骤:变量代换法设u=y x，y=ux，得u+x du dx=φ(u)∴ xdu=(φ(u)−u)dx 可分离变量方程duφ(u)−u=dx x=>�duφ(u)−u= �dx x 得到齐次方程的通解。
第2章_第3节_一阶微分方程的初等解法(3)
例1
解
求方程 ( x 3 3 xy 2 ) d x ( y 3 3 x 2 y ) d y 0 M 的通解. N
M N 6 xy , y x
x 3 0
原方程是恰当方程,
2 y
u( x , y ) ( x 3 xy ) d x y 3 d y
2. 判别法
M N (5.1)是全微分方程 ， ( x, y) G y x 其中M，N在单连通域G内有一阶连续偏导数 .
3. 求解法 关键：求 u( x , y ).
常用的方法有三种：
1 特殊路径法 :
M ( x , y ) d x N ( x , y ) d y 0 恰当方程
C.
(方法2) 取 z φ( x , y ) x 2 y 2 , 则
x y M N 2x2 y y x 2 x, 2y
M x ( x 2 y2 ) x 2 , Ny
M N 2 2 x y y x 2 xy [ x ( x 2 y 2 ) x 2 ] 2 y N M x y 1 2 x y2
2 2 ( 3 xy y ) d x ( x xy ) d y 0的通解. ① M N 1 M N 解 ( ) N y x 1 2 [( 3 x 2 y ) ( 2 x y )] 1 , x xy x
μ( x )
1 dx e x
x.
§3 恰当方程与积分因子法
一、恰当(全微分)方程及其求法
1. 类型5 M ( x , y ) d x N ( x , y ) d y 0 (5.1)
若 u u( x , y ), 使
第二章 一阶微分方程的初等解法3
30 由 u N (x, y)求( y).
y
例1 验证方程 (ex y)dx (x 2sin y)dy 0
是恰当方程,并求它的通解.
2 分组凑微法
采用“分项组合”的方法,把本身已构成全微分的 项分出来,再把余的项凑成全微分.
---应熟记一些简单二元函数的全微分.
2 方程为恰当方程的充要条件
定理1 设函数M (x, y)和N(x, y)在一个矩形区
域R中连续且有连续的一阶偏导数,则方程
M (x, y)dx N(x, y)dy 0, (1)
为恰当方程的充要条件是
M (x, y) N (x, y) , (2).
y
x
二、恰当方程的求解
1 不定积分法
10 判断M (x, y)dx N(x, y)dy 0是否为恰当方程, 若是进入下一步.
或写成 d (x3 y4 3x2 y2 ) 0
故通解为: x3 y4 3x2 y2 c, c为任常数 。
定义1 若有函数u(x, y), 使得
du(x, y) M (x, y)dx N(x, y)dy
则称微分方程
M (x, y)dx N(x, y)dy 0 是恰当方程.
(1) 如何判断方程为恰当方程? M (x, y) N (x, y)
充要条件是
(M N ) y x , M
仅与y有关, 这时(1)的积分因子为 (M N )
( y) e( y)dy, ( y) y x .
M
例3 求微分方程 ydx xdy x2 ydy 的通解.
例4 求解方程
ydx ( y x)dy 0.
小结
1 积分因子不具有唯一性，只需找出一个。 2 求积分因子方法需要灵活掌握。
第二章 一阶微分方程的初等解法(12课时)
如
都是恰当方程.
M ( x , y )dx N ( x , y )dy 0 (1)
①方程(1)是否为恰当方程? ②若(1)是恰当方程,怎样求解? ③若(1)不是恰当方程,有无可能转化为恰当方程求解?
2. 方程为恰当方程的充要条件 定理1 设函数 M ( x , y ) 和 N ( x , y )在一个区域内连续可微, 则方程
dy a1 x b1 y c1 2.形如 的方程,这里 a1 , b1 , c1 , a2 , b2 , c2 dx a2 x b2 y c2 均为常数.
分三种情形来讨论:
(1) c1 c2 0
y a1 b1 y dy a1 x b1 y x g( ) x dx a2 x b2 y a b y 2 2 x 为齐次微分方程,可化为变量分离方程.
注:求非齐次线性微分方程(1)的通解可直接用公式
p( x )dx ye (
Q( x )e
p( x )dx
). dx c
dy 3 2 y 4 x 1 例3 求初值问题 dx x 的解. y(1) 1
二、伯努利(Bernoulli)方程
dy P ( x ) y Q( x ) y n , (3) dx 的方程称为伯努利(Bernoulli)方程.这里 P ( x ), Q( x ) 是x
M ( x , y )dx N ( x , y )dy 0
是恰当方程的充分必要条件是
M ( x , y ) N ( x , y ) . y x 注:若 M ( x , y )dx N ( x , y )dy 0为恰当方程,则其通解为 M ( x, y )dx [ N y M ( x, y )dx]dy c, c为任意常数.
一阶微分方程的初等解法(精)
化简得方程的通解：
y
C C
cos2 cos2
x x
其中C eC1为非0的任意常数。
另外，y 1也是方程的解，且y 1可在通解中
取CΒιβλιοθήκη 0得到，即如果在通解y
C C
cos 2 cos 2
x x
中
允许C 0，则y 1已含在通解中。但y 1不可
在通解中取适当的C得到，因此原方程的解为：
于是得到原方程的通解为
y x
, x,C
0.
例5 求解微分方程 dy y tan y
dx x
x
解：这是齐次方程。令u y ，则原方程变为 x
u x du u tan u, dx
化简并变量分离（当tanu 0时），得到
cot udu dx . x
两边积分，得到 ln sinu ln x C.
。例如： 2xdx x2 等。
§2.1 变量分离方程与变量变换
• 一、变量分离方程 • 二、可化为变量分离方程的类型 • 三、应用举例
一、变量分离方程
先看一些简单的例子：
1. dy ye x y , dx
2. dy x2 y2 1 , dx
3. dy e x ye y , dx
h(1y)dy与 g(x)dx，再加上任意常数即可。
先看一个简单的例子
求解方程 dy x2 y2 1 dx
解:
第一步:分离变量
dy y2 1
x 2dx
第二步:两边积分
dy y2 1
x2dx C
微分方程第2章习题解
∂( μ(xy)M ) = ∂( μ(xy)N )
∂y
∂x
即
μ(xy)(∂M − ∂N ) = N ∂μ(xy) − M ∂μ(xy)
∂y ∂x
∂x
∂y
µ(xy)(∂M − ∂N ) = ( yN − xM ) dµ(xy) ，
∂y ∂x
d (xy)
∂M ∂N −
∂y
∂x
dµ ( xy)
=
⋅
1
= g(xy) ，
µ(x, y) =
1
。
xM (x, y) + yN (x, y)
方法 3 用定义求积分因子。
由积分因子的定义，只需证明二元函数 µ(x, y) =
1
满足
xM (x, y) + yN (x, y)
∂(µM ) ∂(µN )
=
即可。为此，我们计算
∂y
∂x
∂( M )
∂(µM ) xM + yN
=
∂y
∂y
仅依赖于 x 的积分因子。 证 必要性。若方程 dy − f (x, y)dx = 0 为线性方程，则方程可写为
dy − (P(x) y + Q(x))dx = 0，令
M = −(P(x) y + Q(x)) , N = 1 ，
∂M ∂N
−
∂M
∂y
由题有 连续，
∂x = −P(x) ，
∂y
N
由定理 2-2 的结论 1 方程有积分因子 e∫ −P( x) dx ，仅依赖于 x 。
x m{[M (1,u) + N (1, u)u]dx + xN (1,u)du} = 0 ，
可以看出上方程为可分离变量的方程，只要给上式乘以积分因子
一阶微分方程的初等解法
第二章 一阶微分方程的初等解法研究对象一阶微分方程),(y x f dxdy =与0),,(='y y x F 的求解问题1 变量可分离方程 形如)()(y x f dxdy ϕ=的方程，称为变量可分离方程，其中)(x f 和)(y ϕ分别是y x ,的连续函数。
1）变量可分离方程的解法对于变量分离方程)()(y x f dxdy ϕ=， 分离变量得dx x f y dy )()(=ϕ， 再积分，得⎰⎰=dx x f y dy )()(ϕ，这就是方程的通解。
注意：在变量分离的过程中，必须保证0)(≠y ϕ。
但如果0)(=y ϕ有根为0y y =，则不难验证0y y =也是微分方程的解，有时无论怎样扩充通解的表达式中的任意常数，此解不包含在其中，解题时要另外补充上，不能遗漏。
2）可化为可分离变量的方程)a 齐次方程)(x y g dx dy =， 令xy u =，方程可化为分离变量的方程，x u u g dx du -=)(。
)b 分式线性方程 222111c y b x a c y b x a dx dy ++++=下面分三种情形来讨论：ⅰ）021==c c ，这时 yb x a y b x a dx dy 2211++= 为齐次方程。
ⅱ）02211≠b a b a 及02221≠+c c ，这时可作变换k y h x +=+=ηξ,，其中k h ,是线性代数方程⎩⎨⎧=++=++00222111c k b h a c k b h a 的唯一解，可将方程化为齐次方程 ηξηξξη2211b a b a d d ++=。
ⅲ）02211=b a b a 及02221≠+c c ，这时可设 λ==2121b b a a ，方程可化为222122)()(c y b x a c y b x a dx dy ++++=λ， 再令u y b x a =+22，则方程可进一步化为2122c u c u b a dx du +++=λ，这是一个变量可分离方程。
第二章 一阶微分方程的初等解法4.2
若能找到该曲线的参数表示: x (t), p (t),t为参数
即满足: F((t), (t)) 0,
y (t)'(t)dt c,
于是得到原方程参数形式的通解为
x (t)
y
(t)
'
(t)dt
c,
解的步骤: 10 设p dy ,则方程变为 dx
1 f f dp , (10) p y p dy
这是关于变量y, p的一阶微分方程.
1 f
dp dy
p y f
p
二、不显含y(或x)的方程
1 形如
F(x, dy) 0, (11) dx
方程的解法, 这里假设 F (x, y')有连续的偏导数 。 设p dy ,则(11)变为: F(x, p) 0,
例5 求解微分方程 y2 (1 ( dy )2 ) 1. dx
原方程参数形式的通解为
x cott c,
y
1
,
sin t
当y' 0时, 代入原方程得 y2 1,
故知y 1也是原方程的解 。
注:方程有多种解法
(1)
解出dy
y2 1 ,
dx
y
(2) 解出y 1 , 1 (dy)2 dx
用一(1)型
(3) 引入参数 y' t得y 1 , 1t2
总复习
❖ 1变量分离方程和变量变换
dy f (x)( y)
dx
(I ) dy g( y ) dx x
(II )
dy dx
f
a1x a2 x
b1 b2
y y
c1 c2
常微分方程考研讲义第二章 一阶微分方程的初等解法精品文档24页
第二章、一阶微分方程的初等解法[教学目标]1. 理解变量分离方程以及可化为变量分离方程的类型（齐次方程），熟练掌握变量分离方程的解法。
2. 理解一阶线性微分方程的类型，熟练掌握常数变易法及伯努力方程的求解。
3. 理解恰当方程的类型，掌握恰当方程的解法及简单积分因子的求法。
4. 理解一阶隐式方程的可积类型，掌握隐式方程的参数解法。
[教学重难点] 重点是一阶微分方程的各类初等解法 ，难点是积分因子的求法以及隐式方程的解法。
[教学方法] 讲授，实践。
[教学时间] 14学时[教学内容] 变量分离方程，齐次方程以及可化为变量分离方程类型，一阶线性微分方程及其常数变易法，伯努利方程，恰当方程及其积分因子法，隐式方程。
[考核目标]1.一阶微分方程的初等解法：变量分离法、一阶线性微分方程的常数变易法、恰当方程与积分因子法、一阶隐方程的参数解法。
2.会建立一阶微分方程并能求解。
§1 变量分离方程与变量变换1、 变量分离方程1) 变量分离方程形如 ()()dy f x g y dx= (或1122()()()()0M x N y dx M x N y dy +=) （2.1） 的方程，称为变量分离方程，其中函数()f x 和()g y 分别是,x y 的连续函数.2) 求解方法如果()0g y ≠，方程(2.1)可化为，这样变量就分离开了,两边积分,得到 ()()dy f x dx c g y =+⎰⎰ （2.2） 把,()()dy f x dx g y ⎰⎰分别理解为1,()()f x y ϕ的某一个原函数. 容易验证由（2.2）所确定的隐函数(,)y x c ϕ=满足方程（2.1）.因而（2.2）是（2.1）的通解.如果存在0y 使0()0g y =，可知0y y =也是（2.1）的解.可能它不包含在方程的通解（2.2）中，必须予以补上.3) 例题例1 求解方程dy x dx y=- 解 将变量分离，得到两边积分，即得因而，通解为22x y c += 这里的c 是任意的正常数.或解出显式形式例2 解方程并求满足初始条件：当0x =时.1y =的特解.解 将变量分离，得到两边积分，即得因而，通解为这里的c 是任意的常数.此外，方程还有解0y =.为确定所求的特解，以0x =.1y =代入通解中确定常数c ，得到 1c =-因而，所求的特解为例3 求方程()dy P x y dx= （2.3） 的通解，其中()P x 是x 的连续函数.解 将变量分离，得到两边积分，即得这里的c 是任意常数.由对数的定义，即有即令c e c ±=，得到()P x dx y ce ⎰= （2.4）此外，0y =也是（2.3）的解.如果在（2.4）中允许0c =，则0y =也就包括在（2.4）中，因而，（2.3）的通解为（2.4），其中c 是任意常数.注: 1.常数c 的选取保证(2.2)式有意义.2.方程的通解不一定是方程的全部解,有些通解包含了方程的所有解，有些通解不能包含方程的所有解.此时，还应求出不含在通解中的其它解, 即将遗漏的解要弥补上.3.微分方程的通解表示的是一族曲线，而特解表示的是满足特定条件00()y x y =的一个解，表示的是一条过点00(,)x y 的曲线.2、可化为变量分离方程的类型1）.形如 dy y g dx x ⎛⎫= ⎪⎝⎭（2.5） 的方程，称为齐次方程，这里的()g u 是u 的连续函数.另外,ⅰ)对于方程 (,)(,)dy M x y dx N x y = 其中函数(,)M x y 和(,)N x y 都是x 和y 的m 次齐次函数，即对0t >有 事实上，取1t x=，则方程可改写成形如(2.5)的方程. ⅱ)对方程(,)dy f x y dx =其中右端函数(,)f x y 是x 和y 的零次齐次函数，即对0t >有则方程也可改写成形如(2.5)的方程对齐次方程（2.5）利用变量替换可化为变量分离方程再求解.令y u x =（2.6） 即y ux =，于是 dy du x u dx dx=+ （2.7） 将（2.6）、（2.7）代入（2.5），则原方程变为整理后，得到 ()du g u u dx x-= （2.8） 方程（2.8）是一个可分离变量方程，按照变量分离法求解，然后将所求的解代回原变量，所得的解便是原方程（2.5）的解.例4 求解方程dy y y tg dx x x=+ 解 这是齐次方程，以,y dy du u x u x dx dx ==+代入，则原方程变为 即du tgu dx x= （2.9） 分离变量，即有两边积分，得到 这里的c 是任意的常数，整理后，得到sin u cx = （2.10）此外，方程（2.9）还有解0tgu =,即sin 0u =. 如果（2.10）中允许0c =，则sin 0u =就包含在（2.10）中，这就是说，方程（2.9）的通解为（2.10）.代回原来的变量，得到原方程的通解为例5 求解方程(0).dy x y x dx +=<解 将方程改写为 这是齐次方程，以,y dy du u x u x dx dx ==+代入，则原方程变为du xdx =（2.11） 分离变量，得到两边积分，得到（2.11）的通解即2[ln()](ln()0)u x c x c =-+-+> (2.12) 这里的c 是任意常数.此外，（2.11）还有解0u =注意，此解不包括在通解（2.12）中.代回原来的变量，即得原方程的通解2[ln()](ln()0)y x x c x c =-+-+>及解0y =.原方程的通解还可表为它定义于整个负半轴上.注：1.对于齐次方程dy y g dx x ⎛⎫= ⎪⎝⎭的求解方法关键的一步是令y u x =后，解出y ux =，再对两边求关于x 的导数得dy du u x dx dx=+，再将其代入齐次方程使方程变为关于,u x 的可分离方程. 2.齐次方程也可以通过变换x v y =而化为变量分离方程.这时x vy =，再对两边求关于y 的导数得dx dv v y dy dy =+，将其代入齐次方程dx x f dy y ⎛⎫= ⎪⎝⎭使方程变为,v y 的可分离方程小结：这一讲我们主要讲解了一阶微分方程的可分离变量法和齐次方程的dy y g dx x ⎛⎫= ⎪⎝⎭形状的解法.而这一齐次方程通过变量替换任然可化为可分离方程，因而，一定要熟练掌握可分离方程的解法.2）形如 111222a xb yc dy dx a x b y c ++=++ （2.13） 的方程经变量变换化为变量分离方程，这里的121212,,,,,a a b b c c 均为常数.分三种情况来讨论（1）120c c ==情形.这时方程（2.13）属齐次方程，有 此时，令y u x=，即可化为变量可分离方程. （2）11220a b a b =，即1122a b a b =的情形. 设1122a b k a b ==，则方程可写成 令22a x b y u +=，则方程化为这是一变量分离方程.（3）1112220,a b c c a b ≠及不全为零的情形. 这时方程（2.13）右端的分子、分母都是,x y 的一次式，因此11122200a xb yc a x b y c ++=⎧⎨++=⎩ （2.14） 代表xy 平面上两条相交的直线，设交点为(,)αβ.显然，0α≠或0β≠，否则必有120c c ==，这正是情形（1）（只需进行坐标平移，将坐标原点(0,0)移至(,)αβ就行了，若令X x Y y αβ=-⎧⎨=-⎩ （2.15） 则（2.14）化为从而（2.13）变为 1122a X bY dY Y g dX a X b Y X +⎛⎫== ⎪+⎝⎭（2.16） 因此，得到这种情形求解的一般步骤如下：(1)解联立代数方程（2.14），设其解为,x y αβ==；(2)作变换（2.15）将方程化为齐次方程（2.16）；(3)再经变换Y u X=将（2.16）化为变量分离方程； (4)求解上述变量分离方程，最后代回原变量可得原方程（2.13）的解.上述解题的方法和步骤也适用于比方程（2.13）更一般的方程类型此外，诸如以及（其中,M N 为,x y 的齐次函数，次数可以不相同）等一些方程类型，均可通过适当的变量变换化为变量分离方程.例6 求解方程 13dy x y dx x y -+=+- （2.17） 解 解方程组 1030x y x y -+=⎧⎨+-=⎩得1, 2.x y == 令12x X y Y =+⎧⎨=+⎩ 代入方程（2.17），则有 dY X Y dX X Y-=+ （2.18）再令 Y u X=即 Y uX = 则（2.18）化为两边积分，得因此记1,c e c ±=并代回原变量，就得此外，易验证即也就是（2.18）的解.因此方程（2.17）的通解为其中c 为任意的常数. 3、 应用举例例7 电容器的充电和放电如图（2.1）所示的R C -电路，开始时电容C 上没有电荷，电容两端的电压为零.把开关K 合上“1”后，电池E 就对电容C 充电，电容C 两端的电压C u 逐渐升高，经过相当时间后，电容充电完毕，再把开关K 合上“2”，这时电容就开始放电过程，现在要求找出充、放电过程中，电容C 两端的电压C u 随时间t 的变化规律.解 对于充电过程，由闭合回路的基尔霍夫第二定理，c u RI E += （2.19）对于电容C 充电时，电容上的电量Q 逐渐增多，根据C Q Cu =，得到 ()C C du dQ d I Cu C dt dt dt=== （2.20） 将（2.20）代入（2.19），得到c u 满足的微分方程 c c du RC u E dt+= （2.21） 这里R 、C 、E 都是常数.方程（2.21）属于变量分离方程.将（2.21）分离变量，得到两边积分，得到即这里12c c e =±为任意常数.将初始条件：0t =时，0C u =代入，得到2c E =-.所以 1(1)t RC C u E e -=- （2.22）这就是R C -电路充电过程中电容C 两端的电压的变化规律.由（2.22）知道，电压C u 从零开始逐渐增大，且当t →+∞时，C u E →，在电工学中，通常称RC τ=为时间常数，当3t τ=时，0.95C u E =，就是说，经过3τ的时间后，电容C 上的电压已达到外加电压的95%.实用上，通常认为这时电容C 的充电过程已基本结束.易见充电结果C u E =.对于放电过程的讨论，可以类似地进行.例8 探照灯反射镜面的形状在制造探照灯的反射镜面时，总是要求将点光源射出的光线平行地射出去，以保证照灯有良好的方向性，试求反射镜面的几何形状.解 取光源所在处为坐标原点，而x 轴平行于光的反射方向，设所求曲面由曲线()0y f x z =⎧⎨=⎩（2.23） 绕x 轴旋转而成，则求反射镜面的问题归结为求xy 平面上的曲线()y f x =的问题,仅考虑0y >的部分,过曲线()y f x =上任一点(,)M x y 作切线NT ，则由光的反射定律：入射角等于反射角，容易推知从而注意到及,,OP x MP y OM ===就得到函数()y f x =所应满足的微分方程式dy dx =（2.24）这是齐次方程.由2.12知引入新变量x u y=可将它化为变量分离方程.再经直接积分即可求得方程的解. 对于方齐次方程（2.24）也可以通过变换x v y =而化为变量分离方程也可由x yv =得dx dv v y dy dy=+代入（2.24）得到 于是sgn dy y y =（2.25） 积分（2.25）并代回原来变量，经化简整理，最后得2(2)y c c x =+ （2.26）其中c 为任意常数.（2.26）就是所求的平面曲线，它是抛物线，因此，反射镜面的形状为旋转抛物面22(2)y z c c x +=+ （2.27）小结: 本节我们主要讨论了一阶可分离微分方程和齐次微分方程的求解问题.将各种类型的求解步骤记清楚的同时要注意对解的讨论.§2 线性方程与常数变易法1、一阶线性微分方程在()0a x ≠的区间上可以写成 ()()dy P x y Q x dx=+ （2.28） 对于()a x 有零点的情形分别在()0a x ≠的相应区间上讨论.这里假设(),()P x Q x 在考虑的区间上是x 的连续函数.若()0Q x ≡，（2.28）变为 ()dy P x y dx= （2.3） 称为一阶齐线性方程.若()0Q x ≠，（2.28）称为一阶非齐线性方程.2、常数变易法（2.3）是变量分离方程，已在例3中求得它的通解为 ()P x dxy ce ⎰= （2.4）这里c 是任意的常数.下面讨论一阶非齐线性方程（2.28）的求解方法.方程(2.3)与方程(2.28)两者既有联系又有区别,设想它们的解也有一定的联系,在(2.4)中c 恒为常数时,它不可能是(2.28)的解,要使(2.28)具有形如(2.4)的解, c 不再是常数,将是x 的待定函数()c x ,为此令()()P x dxy c x e ⎰= （2.29）两边微分，得到()()()()()P x dxP x dx dy dc x e c x P x e dx dx⎰⎰=+ （2.30） 将（2.29）、（2.30）代入（2.28），得到 即 积分后得到()()()P x dxc x Q x e dx c -⎰=+⎰（2.31） 这里c 是任意的常数..将（2.31）代入（2.29），得到()()()()()() =()P x dxP x dx P x dx P x dx P x dxy e Q x e dx c ce e Q x e dx--⎛⎫⎰⎰=+ ⎪⎝⎭⎰⎰⎰+⎰⎰（2.32） 这就是方程（2.28）的通解.这种将常数变易为待定函数的方法，通常称为常数变易法.实际上常数变易法也是一种变量变换的方法.通过变换（2.29）可将方程（2.28）化为变量分离方程.注: 非齐线性方程的通解是它对应的齐线性方程的通解与它的某个特解之和.例1 求方程1(1)(1)x n dyx ny e x dx++-=+的通解，这里的n 为常数. 解 将方程改写为(1)1x n dy n y e x dx x -=++ （2.33） 先求对应的齐次方程 的通解，得令 ()(1)n y c x x =+ （2.34） 微分之，得到()(1)(1)()n dy dc x x n x c x dx dx=+++ （2.35） 以（2.34）、（2.35）代入（2.33），再积分，得 将其代入公式（2.34），即得原方程的通解 这里c 是任意的常数. 例2 求方程22dy y dx x y=-的通解. 解 原方程改写为2dx x y dy y=- （2.36） 把x 看作未知函数，y 看作自变量，这样，对于x 及dxdy来说，方程（2.36）就是一个线性方程了.先求齐线性方程 的通解为2x cy = （2.37）令2()x c y y =,于是 代入（2.36），得到 从而，原方程的通解为这里c 是任意的常数,另外0y =也是方程的解. 特别的，初值问题 的解为例3 试证（1）一阶非齐线性方程（2.28）的任两解之差必为相应的齐线性方程（2.3）之解；（2）若()y y x =是（2.3）的非零解，而()y y x =是（2.28）的解，则（2.28）的通解可表为()()y cy x y x =+，其中c 为任意常数.（3）方程（2.3）任一解的常数倍或两解之和（或差）仍是方程（2.3）的解. 证 （1）设12,y y 是非齐线性方程的两个不同的解，则应满足方程使 （1）—（2）有说明非齐线性方程任意两个解的差12y y -是对应的齐次线性方程的解.（2）因为 故结论成立.（3）因为12121212()()()(),(),()d y y d y y d cy p cy p y y p y y dx dx dx+-==+=- 故结论成立.3、Bernoulli 方程形如()()n dyP x y Q x y dx=+ （ 0,1n ≠） （2.38） 的方程，称为伯努利（Bernoulli ）方程，这里(),()P x Q x 为x 连续函数.利用变量变换可将伯努利方程化为线性方程来求解.事实上，对于0y ≠，用n y -乘（2.38）两边，得到1()()n n dyy y P x Q x dx--=+ （2.39） 引入变量变换1n z y -= （2.40） 从而(1)ndz dyn y dx dx-=- （2.41） 将（2.40）、2.41）代入（2.39），得到(1)()(1)()dzn P x z n Q x dx=-+- （2.42） 这是线性方程，用上面介绍的方法求得它的通解，然后再代回原来的变量，便得到（2.38）的通解.此外，当0n >时，方程还有解0y =. 例4 求方程26dy yxy dx x=-的通解 解 这是2n =时的伯努利方程，令 1z y -=,得 代入原方程得到这是线性方程，求得它的通解为 代回原来的变量y ，得到 或者这是原方程的通解. 此外，方程还有解0y =. 例5 求方程331dy dx xy x y =+的解 解 将方程改写为这是一个自变量为y ，因变量为x 的伯努利方程.解法同上.例6 求方程23y dy e x dx x+=的通解 这个方程只要做一个变换，令,y ydu dyu e e dx dx==，原方程改写为 便是伯努利方程.小结;这次主要讨论了一阶线性微分方程的解法.其核心思想是常数变易法.即将非齐线性方程对应的齐线性方程解的常数变易为待定函数，使其变易后的解函数代入非齐次线性方程，求出待定函数()c x ，求出非齐次方程的解.我们还讨论了伯努利方程，求解过程为，先变换，将原方程化为非齐线性方程，再求解.§3 恰当方程与积分因子1、恰当方程的定义 将一阶微分方程 写成微分的形式把,x y 平等看待，对称形式的一阶微分方程的一般式为(,)(,)0M x y dx N x y dy += （2.43） 假设(,),(,)M x y N x y 在某区域G 内是,x y 的连续函数，而且具有连续的一阶偏导数. 如果存在可微函数(,)u x y ,使得(,)(,)du M x y dx N x y dy =+ (2.44) 即(,), (,)u u M x y N x y x y∂∂==∂∂ (2.45) 则称方程(2.43)为恰当方程,或称全微分方程.在上述情形,方程(2.43)可写成(,)0du x y ≡,于是就是方程(2.43)的隐式通解,这里C 是任意常数(应使函数有意义). 2、 恰当方程的判定准则定理1设(,),(,)M x y N x y 在某区域G 内连续可微,则方程(2.43)是恰当方程的充要条件是, (,)M Nx y G y x∂∂=∈∂∂ (2.46) 而且当(2.46)成立时,相应的原函数可取为 00(,)(,)(,)xyx y u x y M s y ds N x t dt =+⎰⎰ (2.47)或者也可取为0(,)(,)(,)yxy x u x y N x t dt M s y ds =+⎰⎰ (2.48)其中00(,)x y G ∈是任意取定的一点.证明 先证必要性.因为(2.43)是恰当方程,则有可微函数(,)u x y 满足(2.45), 又知(,),(,)M x y N x y 是连续可微的,从而有下面证明定理的充分性,即由条件(2.46),寻找函数(,)u x y ,使其适合方程(2.45).从(2.47)可知即(2.45)成立,同理也可从(2.48)推出(2.45). 例1. 解方程21()02x xydx dy y++=(2.49)解 这里21, =()2x M xy N y =+,则y x M x N ==,所以(2.49)是恰当方程.因为N 于0y =处无意义,所以应分别在0y >和0y <区域上应用定理2.3,可按任意一条途径去求相应的原函数(,)u x y .先选取00(,)(0,1)x y =,代入公式(2.47)有 再选取00(,)(0,1)x y =-,代入公式(2.47)有 可见不论0y >和0y <,都有故方程的通解为2ln ||2x y y C +=. 3、恰当方程的解法上述定理已给出恰当方程的解法,下面给出恰当方程的另两种常用解法. 解法1. 已经验证方程为恰当方程,从(,)x u M x y =出发,有2(,)(,)()()2x u x y M x y dx y y y φφ≡+=+⎰ (2.50)其中()y φ为待定函数,再利用(,)y u N x y =,有221()22x x y y φ'+=+ 从而1()y yφ'=于是有 ()ln ||y y φ=只需要求出一个(,)u x y ,因而省略了积分常数.把它代入(2.50)便得方程的通解为 解法2. 分项组合的方法 对(2.49)式重新组合变为于是 2()ln ||02x d y d y +=从而得到方程的通解为 2ln ||2x y y C += 4、积分因子的定义及判别对于微分形式的微分方程(,)(,)0M x y dx N x y dy += （2.43）如果方程（2.43）不是恰当方程，而存在连续可微的函数(,)0x y μμ=≠，使得 (,)(,)0M x y dx N x y dy μμ+= (2.51) 为一恰当方程，即存在函数(,)v x y ，使则称(,)x y μ是方程（2.43）的积分因子.此时(,)v x y C =是(2.51)的通解，因而也就是（2.43）的通解.如果函数(,),(,)M x y N x y 和(,)x y μ都是连续可微的,则由恰当方程的判别准则知道, (,)x y μ为(2.43)积分因子的充要条件是 即 ()M N N M x y y xμμμ∂∂∂∂-=-∂∂∂∂ (2.52) 5、积分因子的求法方程(2.52)的非零解总是存在的，但这是一个以μ为未知函数的一阶线性偏微分方程，求解很困难，我们只求某些特殊情形的积分因子. 定理2 设(,),(,)M M x y N N x y ==和(,)x y ϕϕ=在某区域内都是连续可微的，则方程（2.43） 有形如((,))x y μμϕ=的积分因子的充要条件是：函数(,)(,)(,)(,)(,)(,)y x x y M x y N x y N x y x y M x y x y ϕϕ-- （2.53）仅是(,)x y φ的函数，此外，如果（2.53）仅是(,)x y φ的函数((,))f f x y ϕ=，而()()G u f u du =⎰，则函数((,))G x y e ϕμ= （2.54） 就是方程（2.43）的积分因子.证明 因为如果方程（2.43）有积分因子()μμϕ=，则由（2.52）进一步知 即由()μμϕ=可知左端是ϕ的函数，可见右端y x x yM N N M ϕϕ--也是ϕ的函数，即()y x x yM N f N M ϕϕϕ-=-，于是，有()d f d μϕϕμ=， 从而 ()()f d G e e ϕϕϕμ⎰==反之，如果（2.53）仅是ϕ的函数，即()y x x yM N f N M ϕϕϕ-=-，则函数（2.54）是方程（2.52）的解.事实上，因为因此函数（2.54）的确是方程（2.43）的积分因子.为了方便应用这个定理，我们就若干特殊情形列简表如下： 例2.解22(31)()0y xy dx xy x dy -++-=解 这里2231,M y xy N xy x =-+=-,注意 所以方程不是恰当的,但是 它仅是依赖与x ，因此有积分因子 给方程两边乘以因子x μ=得到 从而可得到隐式通解例3. 解方程2()(1)0xy y dx xy y dy ++++=解 这里2,1M xy y N xy y =+=++方程不是恰当的.但是 它有仅依赖于y 的积分因子 11dyy eyμ-⎰≡=方程两边乘以积分因子1y μ=得到 1()(1)0x y dx x dy y++++= 从而可得到隐式通解另外，还有特解0y =.它是用积分因子乘方程时丢失的解. 例4. 解方程 223(2)()0y x y dx xy x dy +++=解 这里2232,M y x y N xy x =+=+，不是恰当方程.设想方程有积分因子()x y αβμμ=，其中α，β是待定实数.于是只须取3,2αβ==.由上述简表知原方程有积分因子 从而容易求得其通解为： 六、积分因子的其他求法以例4为例，方程的积分因子也可以这样来求：把原方程改写为如下两组和的形式：前一组有积分因子11y μ=，并且 后一组有积分因子21xμ=，并且 设想原方程有积分因子其中α，β是待定实数.容易看出只须3,2αβ==，上述函数确实是积分因子，其实就是上面找到一个.例5. 解方程 1212()()()()0M x M y dx N x N y dy += 其中1M ，2M ，1N ，2N 均为连续函数.解 这里12()()M M x M y =，12()()N N x N y =.写成微商形式就形式上方程是变量可分离方程，若有0y 使得20()0M y =，则0y y =是此方程的解；若有0x 使得10()0N x =，则0x x =是此方程的解；若21()()0M y N x ≠，则有积分因子 并且通解为例6、试用积分因子法解线性方程（2.28）.解 将（2.28）改写为微分方程[()()]0P x y Q x dx dy +-= （2.55）这里()(),1M P x y Q x N =+=-，而 则线性方程只有与x 有关的积分因子方程（2.55）两边乘以()P x dxe μ-⎰=，得()()()()()0P x dx P x dx P x dxxP x e ydx e dy Q x e dx ---⎰⎰⎰-+= （2.56） （2.56）为恰当方程，又分项分组法 因此方程的通解为 即与前面所求得的结果一样.注：积分因子一般不容易求得可以先从求特殊形状的积分因子开始，或者通过观察法进行“分项分组”法求得积分因子.§4 一阶隐方程与参数表示1、一阶隐方程一阶隐式微分方程的一般形式可表示为:如果能解出(,)y f x y '=,则可化为显式形式,根据前面的知识求解.例如方程2()()0y x y y xy ''-++=,可化为y x '=或y y '=但难以从方程中解出y ',或即使解出y ',而其形式比较复杂,则宜采用引进参数的方法求解.一般隐式方程分为以下四种类型:1) (,)y f x y '= 2) (,)x f y y '= 3) (,)0F x y '= 4)(,)0F y y '=2、求解方法Ⅰ）可以解出y （或）x 的方程1) 讨论形如(,)y f x y '= （2.57）的方程的解法，假设函数(,)f x y '有连续的偏导数,引进参数y p '=,则方程(2.57)变为 (,)y f x p = (2.58)将(2.58) 的两边对x 求导数,得到 f f dp p x y dx∂∂=+∂∂ (2.59) 方程(2.59)是关于,x p 的一阶微分方程,而且属于显式形式.若求得(2.59)的通解形式为(,)p x c ϕ=,将其代入(2.58),于是得到(2.57)通解为 若求得(2.59)的通解形式为(,)x p c ψ=,于是得到(2.57)的参数形式的通解为 其中p 为参数, c 是任意常数.若求得(2.59)的通解形式为(,,)0x p c Φ=,于是得到(2.57)的参数形式的通解为 其中p 为参数, c 是任意常数.例1 求方程3()20dy dy x y dx dx +-= 的解 解 令dy p dx=,于是有32y p xp =+ (2.60) 两边对x 求导数,得到即 2320p dp xdp pdx ++=当0p ≠时,上式有积分因子p μ=,从而由此可知得到将其代入(2.60),即得故参数形式的通解为当0p =时,由(2.60)可知0y =也是方程的解.例2 求方程22()2dy dy x y x dx dx =-+的解. 解 令dy p dx=,得到222x y p xp =-+ (2.61) 两边对x 求导数,得到 2dp dp p p x p x dx dx =--+ 或 (2)(1)0dp p x dx--= 由10dp dx -=,解得p x c =+,于是得到方程的通解为222x y cx c =++ (2.62)由20p x -=,解得2x p =,于是得到方程的一个解为24x y = (2.63) 特解(2.63)与通解(2.62)中的每一条积分曲线均相切,因此称为方程的奇解.2) 讨论形如 (,)dy x f y dx= (2.64) 的方程的求解方法,方程(2.64)与方程(2.57)的求解方法完全类似,假定函数(,)f y y ' 有连续偏导数.引进参数dy p dx=,则(2.64) 变为 (,)x f y p = (2.65)将(2.65) 的两边对y 求导数,得到1f f dp p y x dy∂∂=+∂∂ (2.66) 方程(2.66))是关于,y p 的一阶微分方程,而且属于显式形式.设其通解为 则(2.64)的通解为Ⅱ）不显含y （或）x 的方程3) 讨论形如(,)0F x y '= (2.67) 的方程的解法. 记dy p y dx'==,此时(,)0F x p =表示的是xp 平面上的一条曲线,设曲线用参数形式表示为()x t ϕ=,()p t ψ= (2.68) 由于dy pdx =,进而两边积分,得到于是得到方程(2.67)参数形式的解为 c 是任意常数.例3 求解方程3330x y xy ''+-=解 令y p tx '==,则由方程得于是 23339(12)(1)t t dy dt t -=+ 积分得到故原方程参数形式的通解为：4) 讨论形如(,)0F y y '= (2.69) 的方程,其解法与方程(2.67)的求解方法类似.记dy p y dx'==,此时(,)0F y p =表示的是yp 平面上的一条曲线,设曲线用参数形式表示为 由关系式dy pdx =可知 ()()t dt t dx ϕψ'=,于是0p ≠时,有 故方程(2.69)的参数形式的通解c 是任意常数.此外,不难验证,若(,0)0F y =有实根y k =,则y k =也是方程的解. 例4 求解方程 22(1)(2)y y y ''-=-.解 令2y yt '-=,则有由此可以得 代入1dx dy p=，得到 积分,得到1x c t =+故原方程参数形式的通解为其中c 是任意常数.此外, 当0y '=时原方程变为24y =,于是2y =±也是方程的解.例5 求解方程y '=解 令y p '=,则有p =,取,(,)22p tgt t ππ=∈-,则sin sec tgt x t t === 由dy pdx =得到所以cos y t c =-+故原方程参数形式的通解为其中c 是任意常数.。
【习题】第二章一阶微分方程的初等解法
第二章一阶微分方程的初等解法x2-1已知f(x) f(t)dt 1, x0,试求函数f (x)的一般表达式。
0 x解 对方程f(x) f (t)dt 1，两边关于x 求导得xf (x) f (t)dt f 2(x)0，f (X)丄 f(x) f 2(x) 0，分离变量，可求得代入原方程可得 C 0,从而f(x)的一般表达式为f (x)评注：本题中常数的确定不能直接通过所给积分方程得到, 确定。
解由导数的定义可得x(t s) x(t)x (t) lims 0s2|im x(s) x (t)x(s) s 0[1 x(t)x(s)]slim 丄辿型 s 01 x(t)x(s) s显然可得x(0)0，故分离变量，再积分可得x(t)[1 2x (t)] !i 叫x(s) x(0)sx (0) [1 x 2(t)]f(x)、2(x C)'12x 。
而是需将通解代回原方程来2-2求具有性质x(t S) x(t) x(s) 1 x(t)x(s)的函数x(t)，已知x (0)存在。
x(t) tan[x(O)t C],再由x(0) 0,知C 0,从而x(t) ta n[x(0)t]。
评注：本题是函数方程的求解问题，利用导数定义建立微分关系，转化为求解常微分方程的初值问题。
2-3 若M(x,y)x N(x,y)y 0，证明齐次方程M (x, y)dx N(x,y)dy 0 有积分因1xM(x,y) yN(x, y)证方法1用凑微分法求积分因子。
我们有恒等式M (x, y)dx N (x, y)dy1 dx dv2{(M(x，y)x N(x，v)v)U 寺(M(x，v)x鱼din (xy)，x y空翌din仝，x y y所以原方程变为-{( M (x, y)x N (x, y)y)d ln(xy) (M (x, y)x N (x, y)y)d ln —} 0。
2 y1 1 M (x, y)x N(x, y)y「x-d ln(xy) d in 0，2 2 M(x,y)x N(x,y)y y由于M(x,y)xN(x, y)y为零次齐次函数，故它可表成仝的某一函数，记为f (上)，M (x,y)x N(x, y)y y yI XMX" N(x,y)y % 巧F(in^)，M(x,y)x N(x,y)y y yN(x，y)y)(¥3)}y用(x,y)1M(x,y)x乘上式两边，得N(x,y)y1(M) y(七)y2 [卫(xM(xM yN) yyN)原方程进一步可改写成1d In xy 21 x x -F(ln )d In0,2 y y它为一个恰当方程，表明1(x, y)为齐次方程的积分因子。
【典型例题】第二章一阶微分方程的初等解法
第二章 一阶微分方程的初等解法例2-1 求0)46()63(3222=+++dy y y x dx xy x 的通解。
解 解法1 不定积分法。
令2263),(xy x y x M +=,3246),(y y x y x N +=， 则xy yNxy y M 12,12=∂∂=∂∂，所以该方程为恰当方程。
2263),(xy x y x M xU+==∂∂， 关于x 积分，得)(3223y y x x U ϕ++=，32246),()(6y y x y x N y y x yU+=='+=∂∂ϕ， 34)(y y ='ϕ，4)(y y =ϕ，所以通解为C y y x x y x U =++=42233),(。
解法2 公式法利用恰当方程求解方法3中公式得方程通积分为C y x x y dy y dx xy x y x U x y=++=++=⎰⎰2234032234)63(),(解法3 分组法 去括号重新分组可得066432232=+++ydy x dx xy dy y dx x 0)(3)(222243=+++dy x dx y y x d积分，得原方程的通解为 C y y x x =++42233。
评注：求解一个对称形式方程的时候，首先应当判定它是不是恰当方程，如果是，则就可以直接进行求解，否则求其积分因子将方程化为恰当方程来求解。
实际应用中，往往在判断一个方程为恰当方程之后，并不需要严格按照解法1和解法2的常规方法求解，而可以采用分项组合的办法，先把那些本身已构成全微分的项分出，再把剩下的项凑成全微分，这样可以简化运算量，因此需要熟悉以下二元函数的全微分公式：)(xy d xdy ydx =+，)(2y x d y xdy ydx =-，)(2x yd x ydx xdy =- ，)(ln y xd xy xdy ydx =-，)(22y x arctg d y x xdy ydx =+-，)(ln 2122y x y x d y x xdy ydx +-=--， )ln(212222y x d y x ydy xdx +=++，)(ln 22y x y x d y x xdy ydx +-=--，)(2222y x d yx ydy xdx +=++。
第二章 第1节 一阶微分方程的初等解法(1)
a1 b1 当b2 0时, 令 , ( a1b2 a2b1 0 ) a2 b2
方程( 2.1)可写成
dy (a2 x b2 y ) c1 f[ ], dx (a2 x b2 y ) c2
dz dy 令 z a2 x b2 y , 则 a2 b2 ， dx dx
例1 求微分方程 d y 2 xy 的解. dx 解 y 0是方程的解. dy 分离变量 2xd x ( y 0) y dy 2 x d x, 两端积分 y
ln y x C1 ,
2
x2
y e e
C1 x 2
, y e e
C1 x 2
,
y Ce 为所求解(C为任意常数). C
dW W k d t , lnW kt ln c,
(W 0)
即 W ( t ) ce kt , 由 W (0) 100, 得 c 100
W ( t ) 100e kt
又依题设， W (1) 20 20 100e k ,
k ln 5, 于是 W ( t ) 100e (ln 5 )t 将W 1代入上式，得 ln 100 t 2.86 (分) ln 5
u( u2 3u 2) 2u 2 u , u xu , xu 2 2 1 u u 1 u u
2
1 u u dx du , u( u 1)( u 2) x 1 3 2 1 2 ) d u d x 1 u u2 A(u 1)( u 2) ( u u1 u 2 x Bu( u 2) Cu( u 1) 1 3 ln u ln( u 1) ln( u 2) ln x ln C , 2 2
一阶微分方程的初等解法TheElementarySolutionstoFirst
第四讲: §2.2 一阶线性微分方程
一、一阶线性微分方程
1 形如
= dy p(x) y + q(x) dx
(2.2.1)
的方程，称为一阶线性微分方程，其中 p( x),q( x)为连续
函数．如果 q ( x) ≡ 0, (2.2.1)变为
dy = p(x) y dx
(2.2.2)
则称(2.2.2)为一阶齐次线性微分方程．
函数 c(x), 即令
y = c(x)e∫ p(x)dx
(2.2.4)
将(2.2.4)代入到(2.2.1)，有
c′(x)e∫ p(x)dx + p(x)c(x)e∫ p(x)dx = p(x)c(x)e∫ p(x)dx + q(x)
即
c′(x) = q(x)e−∫ p(x)dx
于是
∫ = c(x) q(x)e−∫ p(x)dxdx + c
y = ce∫ p(x)dx
(2.2.3)
其中 c 为任意常数，∫ p(x)dx 为函数 p(x) 的一个不含常数
的原函数，以后不再重复强调．
University of Science and Technology LiaoNing
第四讲: §2.2 一阶线性微分方程
下面来求一阶非齐次线性微分方程(2.2.1)的通解．将(2.2.3)中的常数 c 变易为
第五讲: §2.3全微分方程
2 首次积分 提出两个问题 1) 如何判断一个微分方程是否为恰当方程？ 2) 若方程是恰当的,如何寻求全微分的原函数?
二、恰当方程的判定定理
定理 2.1 设 M ( x, y), N ( x, y) 在某区域 G 内具有连续的一阶偏
导数，则方程(2.3.1)是全微分方程的充要条件为
《常微分方程》第二章 一阶微分方程的初等积分法
分离变量方程（2.1）的解为
G( y) F(x) C y yi , i 1,2, , k
例1 求解方程 dy x
dx y
解
(y) 1 0
y
1 分离变量 ydy xdx
2 两边积分 3 求通解
ydy xdx
y2
x2 c
2Leabharlann 22x 2 y 2 c 或者 y c x2
注意/Note/：通解的形式及其中任意常数的意义。
•课堂练习/Exercise/
1 dy p(x) y dx
dy
1
3
dx (x y)2
2 dy e xy dx
dy 2x3 3xy2 x 4
dx 3x2 y 2y3 y
•思考以下方程的求解方法 1 dy f (ax by c) dx
也是方程(2.18)的解。
因此原方程(2.17)的通解为:
y 2 2xy x2 6 y 2x c 其中 c 为任意常数。
本节小结/Conclusion/
变量分离方程 ••
特点 解法
变量分离方程 与变量变换
• 举例
可化为变量分离的类型可齐化次为方齐程次方程的类型
记 ec~ c1 并代回原变量，得: X 2 (u2 2u 1) c1
并代回原变量，得:
Y 2 2 XY X 2 c1
( y 2)2 2(x 1)( y 2) (x 1)2 c1
此外，容易验证: u 2 2u 1 0
即
Y 2 2XY X 2 0
dX
1 u
X du 1 u u 1 u u(1 u)
一阶微分方程的初等解法
解: 将变量分离后得 dy p(x)dx y
两边积分得: ln y p(x)dx c1
由对数的定义有
y e p( x)dxc1
y e p( x)dxc1
即
y ec1e p(x)dx ce p(x)dx.
此外y 0也是方程的解,若在上式中充许c 0, 即知y 0也包括在上式中,
du dx
1u2 x
整理后得 u 1 u2 cx
变量还原得 y 1 ( y )2 cx
x
x
最后由初始条件y(1) 0,可得到c 1.
故初值问题的解为 y 1 (x2 1) 2
(II) 形如
dy a1x b1 y c1 , dx a2 x b2 y c2
方程的通解为 xc y ae(dxby) C
而经检验y=0也是原方程的解。
若y0 0,则所求初值解为 y 0.
若 y0 0 , 则所求初值问题的解为
( x )c ( y ) ea [d (xx0 )b( y y0 )] 1. x0 y0
解题步骤：分离、积分、写出通解和求特解。
它不包含在方程(2.2)的通解中,必须予以补上.
例1 求微分方程 dy y(1 y ) 的所有解.
dx
10
解: 方程两边同除以y(1 y ),再积分
10
dy y(1
y
)
dx
c1
10
积分得:
ln y 10 y
x c1
从上式中解出 y,再将常数记为 c,得
y
10 1 cex
( y x2 y2 )dx xdy, y(1) 0
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第二章一阶微分方程的初等解法x2-1已知f(x) f(t)dt 1, x0,试求函数f (x)的一般表达式。
0 x解 对方程f(x) f (t)dt 1，两边关于x 求导得xf (x) f (t)dt f 2(x)0，f (X)丄 f(x) f 2(x) 0，分离变量，可求得代入原方程可得 C 0,从而f(x)的一般表达式为f (x)评注：本题中常数的确定不能直接通过所给积分方程得到, 确定。
解由导数的定义可得x(t s) x(t)x (t) lims 0s2|im x(s) x (t)x(s) s 0[1 x(t)x(s)]slim 丄辿型 s 01 x(t)x(s) s显然可得x(0)0，故分离变量，再积分可得x(t)[1 2x (t)] !i 叫x(s) x(0)sx (0) [1 x 2(t)]f(x)、2(x C)'12x 。
而是需将通解代回原方程来2-2求具有性质x(t S) x(t) x(s) 1 x(t)x(s)的函数x(t)，已知x (0)存在。
x(t) tan[x(O)t C],再由x(0) 0,知C 0,从而x(t) ta n[x(0)t]。
评注：本题是函数方程的求解问题，利用导数定义建立微分关系，转化为求解常微分方程的初值问题。
2-3 若M(x,y)x N(x,y)y 0，证明齐次方程M (x, y)dx N(x,y)dy 0 有积分因1xM(x,y) yN(x, y)证方法1用凑微分法求积分因子。
我们有恒等式M (x, y)dx N (x, y)dy1 dx dv2{(M(x，y)x N(x，v)v)U 寺(M(x，v)x鱼din (xy)，x y空翌din仝，x y y所以原方程变为-{( M (x, y)x N (x, y)y)d ln(xy) (M (x, y)x N (x, y)y)d ln —} 0。
2 y1 1 M (x, y)x N(x, y)y「x-d ln(xy) d in 0，2 2 M(x,y)x N(x,y)y y由于M(x,y)xN(x, y)y为零次齐次函数，故它可表成仝的某一函数，记为f (上)，M (x,y)x N(x, y)y y yI XMX" N(x,y)y % 巧F(in^)，M(x,y)x N(x,y)y y yN(x，y)y)(¥3)}y用(x,y)1M(x,y)x乘上式两边，得N(x,y)y1(M) y(七)y2 [卫(xM(xM yN) yyN)原方程进一步可改写成1d In xy 21 x x -F(ln )d In0,2 y y它为一个恰当方程，表明1(x, y)为齐次方程的积分因子。
方法2化为分离变量方程求积分因子。
设M (x, y), N (x, y)是m 次齐次函数，则令 y ux ， dy xdu udx ，有M(x,y) M (x, xu) x m M (1,u), N(x, y) N(x,xu) x m N(1,u),将其代入原方程 M (x, y)dx N(x, y)dy 0中，得x m {[ M (1,u) N(1,u)u]dx xN(1,u)du} 0，可以看出上方程为可分离变量的方程，只要给上式乘以积分因子方程就可变量分离，即化为恰当方程，因此，齐次方程的积分因子是(x,y)1xM (x,y) yN(x,y) °方法3用定义求积分因子。
匚型丄巴即可。
为此，我们计算1MN矿扃[yN 匚 yM - NM]，(x,y)________ 1 ________ m 1x [M (1,u)uN(1,u)]1xM (x, y) yN(x, y)由积分因子的定义，只需证明二元函数(x, y)1 xM (x, y) yN(x, y)满足N(N) ( ) xM yN xx除了可以化为变量可分离方程以外， 我们还可以采用本例中所得到的结果， 很快寻找出一个1[N(xM yN)…■・、2 [(xM yN)N](xMyN) xx1NM[xMxNNM ]，(xM yN)2xx(M) (N)yxx(NM x MN x )y(NM y MN y )(xMyN)2N(x,y)显然g x (-)x g y (-)x2x1 -g x yg 1 N2 (M x N N X M), l(M y N MN y ), N 22xy 因而 (M) yN)N 2马g N 2-gx x2(xM gN)N 2(』上 x (xM)g xgN)2是齐次方程的积分因子。
评注：注意求积分因子方法的正确运用，对于齐次方程M (x, y)dx N (x, y)dy 0，积分因子(x,y)1xM(x,y) yN(x, y)将其转化为恰当方程来求解。
2-4解方程dy------------dx xy x y 解由题得dx3 3dy xy x y ，这是以x 为未知函数和以y 为自变量的迫努利方程，则有3dx x dy2故 z y 2 1 Ce y ,从而原方程的解为而空dy2yz 的解为z采用常数变易法，令z C(y)dz dyCeC(y)e2yz y2y 2e y22y 3,dz 3代入2zy 2y 中得dy2e y C ,x 2(1 Cey2) 1。
评注：在微分方程中，变量 x 与y 具有同等的地位，对同一个方程，既可以就y 求解,也可以就x 进行求解，如果方程鱼 f (x,y)就y 求解比较困难，可以尝试将原方程变化dxdx 1为，然后就x 进行求解，有时会取得意想不到的效果,dy f (x,y)参见典型习题2-15,4)，和 2-16，4 )。
2-5试导出方程 M(x, y)dx N(x,y)dy 0分别具有形为 (x y)和(xy)的积分因子的充要条件。
解根据判别准则(定理 2.1)， (x y)是方程M (x, y)dx N(x, y)dy 0的积分因子的充要条件是[业 y)M(x, y)] [ y)N(x, y)]M N y x yN xM评注：利用对称形式的微分方程的系数容易判断方程是否具有特殊形式的积分因子,而给出求积分因子的思路。
2-6设f(x, y)及丄连续，试证方程dy f(x, y)dx 0为线性方程的充要条件是它有 y则有M (Xy)( M yN) xN (i(xxy)Myy)y)(- MN 、 N d (j(x y) Md u(xy) M (X)y xd(x y)d(x y)M N yxd (x y) 1N M d(x y) (x y)f(x y),因此方程具有形如(x y)的积分因子的充要条件是f(x y)。
(xy)是方程 M (x, y)dxN (x, y)dy 0的积分因子的充要条件是 ((4xy)M)( "y)N)M^xy)(-y N (j(xy)(i(xy)-)N Mxxy(xy)(7) (yN XM )證，M N y x yN xMd (xy) d(xy)1 (xy)g(xy),因此方程具有形如(xy)的积分因子的充要条件是g(xy)。
仅依赖于x的积分因子。
证必要性。
若方程dy f(x, y)dx 0为线性方程，则方程可写为dy (P(x)y Q(x))dx 0,令M (P(x)y Q(x)) ,N 1，M N由题有卫连续，」x P(x)，y NP(x)dx由定理2-2的结论1方程有积分因子e ，仅依赖于x。
充分性。
设方程dy f (x, y)dx 0有仅依赖于x的积分因子(x)，即(x)dy (x) f (x, y)dx 0为恰当方程，有((x)f(x, y)) d (x)y dx(x)- f(x,y)) d (x) y dxf(x, y) 1 d (x)y (x) dx上式右端仅为x的函数，令其为P(x)，积分上式，得f(x,y) P(x)y Q(x)，故该方程为线性方程。
评注：一阶线性方程一般用常数变易法求解，此例给出了线性方程的又一种求解方法，即积分因子法。
2-7 设函数f(u),g(u)连续、可微且f(u) g(u)，试证方程yf (xy)dx xg(xy)dy 0I l 1有积分因子(xy[ f (xy) g (xy)])。
证 方法1用积分因子定义证明。
令 M yf(xy), Nxg(xy)(M p) (N 小yxf (fg) (f g )f g (f g) (f g )g 0(fg)22，(f g)2故该方程有积分因子(xy[ f(xy) g(xy)])。
方法2利用变量代换方法证明。
令u xy , du ydx xdy ，代入方程消掉一个变量x ，有恰当方程。
评注：求积分因子时，注意整体变量代换。
2-8假设方程证由于f (u)(du ~dy) yug(u)dy 0， yf (u)du — (f (u) yg(u))dy 0，这是分离变量方程，只要给两端乘以因子1[u( f (u) g(u))]就可分离变量，从而变为所以原方程的积分因子为[xy( f (xy)1g(xy))]。
M(x,y)dx N (x, y)dy 0中的函数满足关系 —y-Nf (x) Mg(y)，其中 xf (x), g(y)分别为x 和y 的连续函数，试证方程M (x,y)dxN(x, y)dy 0有积分因子exp( f (x)dx g(y)dy)。
(M )y(N ) x[M y e f (x)dx g(y)dyf (x)dx g( y)dyMg(y)e ]f (x)dx g(y)dy [N x ef (x) dxg (y)dye (M yf (x)dx g(y)dyNf (x)e]-x Mg(y) Nf(x)) 0故exp( f(x)dx g(y)dy)是方程M (x, y)dx N(x, y)dy 0 的积分因子。
评注：给出了积分因子的一种构造方法。
2-9设p(x, y)是方程M(x,y)dx N(x, y)dy 0的积分因子，从而可得可微函数U(x,y)，使得dU K Mdx Ndy)。
试证7(x, y)也是方程的积分因子的充要条件是7<x, y) 口(U )，其中柚)是t的可微函数。
证必要性。
若~t(x,y)也是方程的积分因子，则存在可微函数U~(x, y),使得dJ 7(Mdx Ndy)，即有~ 〜(1 (1dU 1Mdx Ndy) 上1Mdx Ndy) -dU ,1 〜dU dU则U -dU，即U是U的函数，当然竺也是U的函数，且记为竺©(U)，由于积1 dU dU分因子的可微性，(KU)是可微函数。
由dU -dU，则1(x,y) i (U)。
充分性。
证明—X, y) 1 (U )是积分因子。
为此将其乘以方程两端得-(U )(Mdx Ndy) 0,MU )[ 1 Mdx Ndy)] 0 ,MU )dU 0 ,d «U)dU 0。