2019-2020学年上海市浦东新区重点中学高三上学期第一次月考数学试卷
上海市浦东新区2019-2020学年度第一学期期末(一模)教学质量检测高三数学word版
上海市浦东新区2020届高三毕业班一模数学试卷一. 填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分） 1. 若集合{|03}A x x =<<，集合{|2}B x x =<，则A B =I2. 222lim 31n n n →∞=+ 3. 复数z 满足i 1i z ⋅=+（i 为虚数单位），则||z = 4. 若关于x 、y 的方程组为12x y x y +=⎧⎨-=⎩，则该方程组的增广矩阵为5. 设{}n a 是等差数列，且13a =，3518a a +=，则n a =6.在6(x +的二项展开式中，常数项为 7. 如果圆锥的底面圆半径为1，母线长为2，则该圆锥的侧面积为8. 已知集合111{2,1,,,,1,2,3}232A =---，任取k A ∈，则幂函数()k f x x =为偶函数的概 率为 （结果用数值表示）9. 在△ABC 中，边a 、b 、c 满足6a b +=，120C ∠=︒，则边c 的最小值为 10.若函数2y ax a =+存在零点，则实数a 的取值范围是11. 已知数列{}n a ，11a =，1(1)1n n na n a +=++，若对于任意的[2,2]a ∈-，*n ∈N ， 不等式1321t n a a n +<-⋅+恒成立，则实数t 的取值范围为 12. 如果方程组1212sin sin sin 0sin 2sin sin 2019n n x x x x x n x ++⋅⋅⋅+=⎧⎨++⋅⋅⋅+=⎩有实数解，则正整数n 的最小值是二. 选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13. 若命题甲：10x -=，命题乙：2lg lg 0x x -=，则命题甲是命题乙的（ ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 非充分也非必要条件14. 已知函数1()f x -为函数()f x 的反函数，且函数(1)f x -的图像经过点(1,1)，则函数1()f x -的图像一定经过点（ ）A. (0,1)B. (1,0)C. (1,2)D. (2,1) 15. 以抛物线24y x =的焦点为右焦点，且长轴为4的椭圆的标准方程为（ ）A. 2211615x y +=B. 221164x y +=C. 22143x y +=D. 2214x y += 16. 动点(,)A x y 在圆221x y +=上绕坐标原点作逆时针匀速圆周运动，旋转一周的时间恰 好是12秒，已知时间0t =时，点A 的坐标是31(,)2，则动点A 的纵坐标y 关于t （单位： 秒）的函数在下列哪个区间上单调递增（ ）A. [0,3]B. [3,6]C. [6,9]D. [9,12]三. 解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）17. 如图，四棱锥S ABCD -的底面是正方形，SD ⊥平面ABCD ，SD AD a ==，点E 是线段SD 上任意一点.（1）求证：AC BE ⊥；（2）试确定点E 的位置，使BE 与平面ABCD 所成角的大小为30°.18. 已知函数2()2cos 3sin 2f x x x =+.（1）求函数()f x 的最小正周期及单调递增区间；（2）在△ABC 中，6BC BA ⋅=uu u r uu r，若函数()f x 的图像经过点(,2)B ，求△ABC 的面积.19. 某贫困村共有农户100户，均从事水果种植，平均每户年收入为1.8万元，在当地政府 大力扶持和引导下，村委会决定2020年初抽出5x 户（*x ∈N ，9x ≤）从事水果销售工作， 经测算，剩下从事水果种植的农户平均每户年收入比上一年提高了4%x ，而从事水果销售 的农户平均每户年收入为1(3)5x -万元. （1）为了使从事水果种植的农户三年后平均每户年收入不低于2.4万元，那么2020年初至少应抽出多少农户从事水果销售工作？（2）若一年后，该村平均每户的年收入为()f x （万元），问()f x 的最大值是否可以达到2.1万元？20. 已知曲线22:1C x y -=，过点(,0)T t 作直线l 和曲线C 交于A 、B 两点. （1）求曲线C 的焦点到它的渐近线之间的距离；（2）若0t =，点A 在第一象限，AH x ⊥轴，垂足为H ，连结BH ，求直线BH 倾斜角的取值范围；（3）过点T 作另一条直线m ，m 和曲线C 交于E 、F 两点，问是否存在实数t ，使得0AB EF ⋅=uu u r uu u r和||||AB EF =uu u r uu u r同时成立？如果存在，求出满足条件的实数t 的取值集合，如果不存在，请说明理由.21. 定义1212231(,,,)||||||n n n f a a a a a a a a a -⋅⋅⋅=-+-+⋅⋅⋅+-（n ∈N ，3n ≥）为有限实数列{}n a 的波动强度.（1）求数列1，4，2，3的波动强度；（2）若数列a ，b ，c ，d 满足()()0a b b c -->，判断(,,,)(,,,)f a b c d f a c b d ≤是否正确，如果正确请证明，如果错误请举出反例；（3）设数列1a ，2a ，⋅⋅⋅，n a 是数列112+，222+，332+，⋅⋅⋅，2n n +的一个排列，求12(,,,)n f a a a ⋅⋅⋅的最大值，并说明理由.参考答案一. 填空题1. (0,2)2.233. 4. 111112⎛⎫⎪-⎝⎭5. 21n +6. 157. 2π8. 149.10. [0,311. (,1]-∞- 12. 90 11.111(1)n n a a n n n n +=+++，累加可得11211n a n n +=-++，∴322t a -⋅≥，即21t a ⋅≤， ∵[2,2]a ∈-，∴2211t t ⋅≤⇒≤-12. ∵2441936=，2452025=，∴从89n =开始分析，当89n =，12max (sin 2sin sin )123444504647891980n x x n x ++⋅⋅⋅+=----⋅⋅⋅-+⨯+++⋅⋅⋅+=当90n =，12max (sin 2sin sin )123454647902025n x x n x ++⋅⋅⋅+=----⋅⋅⋅-+++⋅⋅⋅+= 当12sin 2sin sin 1234243044045460470n x x n x ++⋅⋅⋅+=----⋅⋅⋅--⨯-⨯-+⨯+⨯+4849902019++⋅⋅⋅+=时，min 90n =二. 选择题13. A 14. B 15. C 16. D三. 解答题17．【解答】（1）证明：联结BD ，因为四边形ABCD 为正方形， 所以，BD AC ⊥，……………………………………………………2分 又因为SD ⊥平面ABCD ，AC ⊂≠平面ABCD ，所以SD AC ⊥．………………………………………………………4分由⎪⎩⎪⎨⎧=⋂⊥⊥D SD BD SD AC BD AC ⇒⊥AC 平面SBD ．………………………………………6分 又因为BE ⊂≠平面SED ，所以BE AC ⊥．……………………………………7分 （2）解法一：设t ED =，因为SD ⊥平面ABCD ，所以BE 与平面ABCD 所成角为EBD ∠．……………………………2分在EDB Rt ∆中，由tan tan EBD ∠=30︒at 2=a t 36=⇒．……………6分 所以，当a ED 36=时，BE 与平面ABCD 所成角的大小为30o ．………………7分 解法2：（1）以D 为坐标原点，建立空间直角坐标系．()000,,D ，()00,,a A ，()0,a ,a B ，()00,a ,C ．设t DE =,则)t ,,(E 00 ………………………………………………2分 则()0,a ,a -=，()t ,a ,a --=……………………………4分 因为0022=+-=⋅a a ，所以BE AC ⊥ …………………………………………………7分（2）取平面ABCD 的一个法向量为()100,,n = ……………………………8分 因为()t ,a ,a --=，可知直线BE 的一个方向向量为()t ,a ,a --=．设BE 与平面ABCD 所成角为θ，由题意知=θο30．与所成的角为ϕ，则222ta a t nd cos ++=⋅=ϕ，……………………………………10分因为21=ϕ=θcos sin ，所以，21222=++t a a t ，…………………12分 解得，a t 36=．……………………………………………………13分 当a ED 36=时，BE 与平面ABCD 所成角的大小为ο30．……………………14分18．【解答】（1）()2sin 216f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭……………………………3分,,,36T x k k k Z πππππ⎡⎤⇒=∈-+∈⎢⎥⎣⎦………………………………6分 （2）302162sin 2)(πππ=⇒⎪⎩⎪⎨⎧<<=+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=B B B B f …………………………10分 612BC BA ac ⋅=⇒=u u u r u u u r……………………………………………12分∴1sin 332ABC S ac B ==△………………………………………14分 19．【解答】（1）经过三年，种植户的平均收入为31.8(14%)x +………………2分因而由题意31.8(1) 2.425x +≥，得341 2.5161253x x +≥≥ ……………………4分由3x Z x ∈⇒≥,即至少抽出15户贫困农户从事水果销售工作. ……………………6分（2）2*5(3) 1.8(1005)(1)13466525()(180)(,9)100100255x x x x f x x x x N x -+⨯-+==-++∈≤ ……10分对称轴*16534x N =∉， …………………………………………………11分 因而当()95<=x 时，max () 2.12 2.1f x => ………………………………13分 可以达到2.1万元． ……………………………………………14分 20．【解答】（1）曲线C的焦点为())12,F F ，渐近线方程y x =±，……2分由对称性，不妨计算)2F 到直线y x =的距离，1d ==. ……4分（2） 设:(01)l y kx k =<<，11111(,),(,),(,0)A x y B x y H x --，从而1122BH y kk x ==7分 又因为点A 在第一象限，所以01k <<， ………………………8分 从而102BH k ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，……………………………………………9分所以直线BH 倾斜角的取值范围是1(0,arctan )2…………………10分 （3）当直线:0l y =，直线:m x t =((2,,0,AB E F =，t ⇒=当直线:l x t =，直线:0m y =时，t =（根据对称性，这种不讨论不扣分）11分 不妨设():()0l y k x t k =-≠，与双曲线联立可得22222(1)2(1)0k x k tx k t -+-+=，…12分由弦长公式，||AB == …14分 将k 替换成1k -，可得||EF = ……………………15分由||||AB EF =，可得2222(1)11t k t k -+=-+，解得22t =，此时2224(1)0k t k ∆=-+>成立．因此满足条件的集合为{ ……………………………………16分 21．【解答】解：（1）()1,4,2,31442236f =-+-+-=………………4分 （2）()(),,,,,,f a b c d f a c b d ≤是正确的…………………………………6分 解法1：()(),,,,,,f a b c d f a c b d a b c d a c b d -=-+-----，a b c a b c >><<Q 或，a b a c b c ∴---=--，c d b d b c ---≤-所以()(),,,,,,0f a b c d f a c b d -≤，即()(),,,,,,f a b c d f a c b d ≤并且当b c >时，d b ≥可以取等号，当c b >时，若d b ≤可以取等号， 所以等号可以取到…………………………………………10分 解法2：不妨设a b c >>，分4种情况讨论[1] 若d a ≥，则()()()()()(),,,,,,0f a b c d f a c b d a b d c a c d b -=-+-----=，()(),,,,,,f a b c d f a c b d ∴=…………………………………7分[2] 若a d b >≥，则()()()()()(),,,,,,0f a b c d f a c b d a b d c a c d b -=-+-----=，()(),,,,,,f a b c d f a c b d ∴=…………………………………………8分[3] 若b d c >≥，则()()()()()(),,,,,,f a b c d f a c b d a b d c a c b d -=-+-----=()20d b -<，()(),,,,,,f a b c d f a c b d ∴<…………………………9分[4] 若c d >，则()()()()()(),,,,,,f a b c d f a c b d a b c d a c b d -=-+-----=()20c b -<，()(),,,,,,f a b c d f a c b d ∴<…………………………10分（3）设2ii b i =+，1i n ≤≤，{}n b 是单调递增数列.分n 是奇、偶数情况讨论 ………………………………………11分()121122,,...,n n n f a a a x a x a x a =+++L ，其中{}1,1,1n x x ∈-，{}21,...,2,0,2n x x -∈-，并且120n x x x +++=L .经过上述调整后的数列，系数21,...,n x x -不可能为0.当n 为偶数时，系数中有12n -个2和12n-个2-，1个1和1个1-. 当n 为奇数时，有两种情况（1）系数中有12n -个2和32n -个2-，2个1-.（2）系数中有12n -个2-和32n -个2，2个1.[1] n 是偶数，*2,2,n k k k N =≥∈，()()2211122k k k k k b b b b b b ++-=+++--++L L ……………………13分()()()22111k k k k k =+++---+-++⎡⎤⎣⎦L L2112222222k k k k k ++⎡⎤++---+-⎣⎦L L ()2211=21222222k k k ++⎡⎤-+---⎣⎦2223212224k k k k ++=-+--+221429232n nn =+⋅-⋅+……………………………………15分 [2] n 是奇数，*21,n k k N =+∈，因为2120k k k b b b +-+>，212122k k k k k k b b b b b b ++++∴--≥+-，可知()()21211122k k k k k b b b b b b +++-++---++≥L L ()()21321122k k k k k b b b b b b ++++++++-++L L()12,,...,n f a a a ()21324321121,,,,,,,...,,,,k k k k k k k k f b b b b b b b b b b b +++--+≤()()21211122k k k k k b b b b b b +++-≤++---++L L…………………………17分()()()()()22+1211+2+1k k k k k k =+++-+---+++⎡⎤⎣⎦L L2+12+1122222+2+2k k k k k++⎡⎤++---⎣⎦L L ()222k =-()()+2+1k k ++()222222222+32k k k ++⎡⎤+---⋅⎣⎦223122121324k k k k ++=+-+-⋅+122154213222n nn -=+⋅-⋅+…………………………………………………18分 综上，()22121max22142923,42,,...,1542132322nnn n n n n n f a a a n n n -⎧+⋅-⋅+≥⎪⎪=⎡⎤⎨⎣⎦⎪+⋅-⋅+≥⎪⎩是偶数，是奇数，。
2019-2020学年沪教版上海市黄浦区格致中学高三第一学期(上)第一次检测数学试卷及答案
2019-2020学年沪教版高三（上）第一次检测数学试卷一、填空题1．集合，Q＝{x||x﹣1|≤2}，则P∪Q＝．2．已知，θ∈（0，π），则tanθ＝．3．若，且（），则实数λ的值为．4．若行列式中（x≠1），元素1的代数余子式大于0，则x满足的条件是．5．在复平面内，抛物线C：y＝4x2的焦点所对应的复数是z，则|z|＝．6．二项式（5x﹣1）n的展开式中的二项式系数和为W，各项系数和为P，且62W+128＝P，则n的值是．7．若，则它的反函数是f﹣1（x）＝．8．若一个圆锥的侧面展开图是面积为2π的半圆面，则该圆锥的体积为．9．如图中11个点，任意三点构成三角形的概率为．10．在平面直角坐标系xOy中，P为双曲线x2﹣y2＝1右支上的一个动点，若点P到直线x ﹣y+1＝0的距离大于c恒成立，则实数c的最大值为．11．对于数列{a n}，定义H n＝为{a n}的“优值”，现在已知某数列{a n}的“优值”H n＝2n+1，记数列{a n﹣kn}的前n项和为S n，若S n≤S6对任意的n恒成立，则实数k的取值范围是．12．已知a为实数，函数的最大值为g（a）＝．二、选择题13．已知a，b，c满足c＜b＜a且ac＜0，那么下列选项中一定成立的是（）A．ab＞ac B．c（b﹣a）＜0 C．cb2＜ab2D．ac（a+c）＜0 14．已知数据x1，x2，x3，…x n是上海普通职n（n≥3，n∈N*）个人的年收入，设这n个数据的中位数为x，平均数为y，方差为z，如果再加上世界首富的年收入x n+1，则这n+1个数据中，下列说法正确（）A．年收入平均数大大增大，中位数一定变大，方差可能不变B．年收入平均数大大增大，中位数可能不变，方差变大C．年收入平均数大大增大，中位数可能不变，方差也不变D．年收入平均数大大增大，中位数可能不变，方差可能不变15．如图1，一个密闭圆柱体容器的底部镶嵌了同底的圆锥实心装饰块，容器内盛有a升水．平放在地面，则水面正好过圆锥的顶点P，若将容器倒置如图2，水面也恰过点P．以下命题正确的是（）A．圆锥的高等于圆柱高的B．圆锥的高等于圆柱高的C．将容器一条母线贴地，水面也恰过点PD．将容器任意摆放，当水面静止时都过点P16．设数列{x n}的各项都为正数且x1＝1，△ABC内的点均满足△P n AB和△P n AC 的面积比为2：1，若，则x5的值为（）A．15 B．17 C．29 D．31三、解答题17．如图，直线PA⊥平面ABCD，四边形ABCD是正方形，且PA＝AD＝2，点E、F、G分别是线段PA、PD、CD的中点．（1）求异面直线EG与BD所成角的大小（结果用反三角表示）；（2）在线段CD上是否存在一点Q，使BF⊥EQ，若存在，求出DQ的长，若不存在，请说明理由．18．如图，有一码头P和三个岛屿A，B，C，PC＝30nmile，PB＝90nmile，AB＝30nmile，∠PCB＝120°，∠ABC＝90°．（1）求B，C两个岛屿间的距离；（2）某游船拟载游客从码头P前往这三个岛屿游玩，然后返回码头P，问该游船应按何路线航行，才能使得总航程最短？求出最短航程．19．在平面直角坐标系中，已知O为坐标原点，点A的坐标为（a，b），点B的坐标为（cos ωx，sinωx），其中a2+b2≠0且ω＞0．设．（1）若，b＝1，ω＝2，求方程f（x）＝1在区间[0，2π]内的解集；（2）若点A是y＝x+2上的动点，当x∈R时，设函数f（x）的值域为集合M，不等式x2+mx＜0的解集为集合P．若P⊆M恒成立，求实数m的最大值．20．已知曲线Γ：F（x，y）＝0，对坐标平面上任意一点P（x，y），定义F[P]＝F（x，y）．若两点P、Q，满足F[P]•F[Q]＞0，称点P、Q在曲线Γ同侧；若F[P]•F[Q]＜0，称点P、Q在曲线Γ两侧．（1）直线l过原点，线段AB上所有点都在直线l同侧，其中A（﹣1，1）、B（2，3），求直线l的倾斜角的取值范围；（2）已知曲线，O为坐标原点，求点集S＝{P|F[P]•F[O]＞0}的面积；（3）记到点（0，1）与到x轴距离和为5的点的轨迹为曲线C，曲线Γ：F（x，y）＝x2+y2﹣y﹣a＝0，若曲线C上总存在两点M、N在曲线Γ两侧，求曲线C的方程与实数a的取值范围．21．已知常数p＞0，数列{a n}满足a n+1＝|p﹣a n|+2a n+p，n∈N*．（1）若a1＝﹣1，p＝1，①求a4的值；②求数列{a n}的前n项和S n；（2）若数列{a n}中存在三项a r，a s，a t（r，s，t∈N*，r＜s＜t）依次成等差数列，求的取值范围．参考答案一、填空题1．集合，Q＝{x||x﹣1|≤2}，则P∪Q＝R．解：，∴P∪Q＝R．故答案为：R．2．已知，θ∈（0，π），则tanθ＝．解：∵已知＝﹣cosθ，∴cosθ＝．∵θ∈（0，π），故sinθ＝＝，则tanθ＝＝，故答案为：．3．若，且（），则实数λ的值为．解：∵＝（5﹣λ，﹣7+2λ），（），∴＝﹣（5﹣λ）+2（﹣7+2λ）＝0，解得．故答案为．4．若行列式中（x≠1），元素1的代数余子式大于0，则x满足的条件是．解：元素1的代数余子式为＝8x﹣45＞0，故，故答案为：5．在复平面内，抛物线C：y＝4x2的焦点所对应的复数是z，则|z|＝．解：抛物线C：y＝4x2的焦点：（0，），所以复数z＝（0，），所以|z|＝．故答案为：．6．二项式（5x﹣1）n的展开式中的二项式系数和为W，各项系数和为P，且62W+128＝P，则n的值是 6 ．解：二项式（5x﹣1）n的展开式中的二项式系数和为W＝2n，各项系数和为P＝（5﹣1）n＝4n，又62W+128＝P，所以62•2n+128＝4n；设t＝2n，则方程化为t2﹣62t﹣128＝0，解得t＝64或t＝﹣2（不合题意，舍去）；所以2n＝64，解得n＝6；所以n的值是6．故答案为：6．7．若，则它的反函数是f﹣1（x）＝﹣（x＞1）．解：，反解x，得2y＝x2+2，x2＝2y﹣2，因为x＜0时，y＞1，故x＝，所以反函数为y＝﹣，x＞1，故答案为：﹣（x＞1）8．若一个圆锥的侧面展开图是面积为2π的半圆面，则该圆锥的体积为．解：由题意一个圆锥的侧面展开图是面积为2π的半圆面，因为4π＝πl2，所以l＝2，半圆的弧长为2π，圆锥的底面半径为2πr＝2π，r＝1，所以圆锥的体积为：＝．故答案为：．9．如图中11个点，任意三点构成三角形的概率为；．解：因为图中，有两条线上分别有四个点，从这两条线上分别任取三个点，均不能构成三角形，共有2C43＝8种情况；中有7条线上分别有三个点，每条线上的三个点，均不能构成三角形，共有7种情况；因此从这11个点任选3个点，不能构成三角形的情况共有8+7＝15种；又从这11个点任选3个点，共有C113＝165种情况；所以，任意三点构成三角形的概率为：1﹣＝；故答案为：；10．在平面直角坐标系xOy中，P为双曲线x2﹣y2＝1右支上的一个动点，若点P到直线x﹣y+1＝0的距离大于c恒成立，则实数c的最大值为．解：由题意，双曲线x2﹣y2＝1的渐近线方程为x±y＝0，因为点P到直线x﹣y+1＝0的距离大于c恒成立，所以c的最大值为直线x﹣y+1＝0与直线x﹣y＝0的距离，即．故答案为：．11．对于数列{a n}，定义H n＝为{a n}的“优值”，现在已知某数列{a n}的“优值”H n＝2n+1，记数列{a n﹣kn}的前n项和为S n，若S n≤S6对任意的n恒成立，则实数k的取值范围是．解：由题意，H n＝＝2n+1，则a1+2a2+…+2n﹣1a n＝n•2n+1，n≥2时，a1+2a2+…+2n﹣2a n﹣1＝（n﹣1）2n，则2n﹣1a n＝n2n+1﹣（n﹣1）2n＝（n+1）2n，则a n＝2（n+1），对a1也成立，故a n＝2（n+1），则a n﹣kn＝（2﹣k）n+2，则数列{a n﹣kn}为等差数列，故S n≤S6对任意的n（n∈N*）恒成立可化为a6﹣6k≥0，a7﹣7k≤0；即解得，，故答案为：．12．已知a为实数，函数的最大值为g（a）＝．解：由题意可得函数f（x）的定义域为[﹣1，1]，由平方得，，由x∈[﹣1，1]得，t2∈[2，4]，故t的取值范围为，又，∴，由题意，g（a）即为的最大值，为二次函数h （t）的对称轴，①当a＞0时，函数的图象是开口向上的抛物线的一段，由＜0知，此时函数y＝h（t）在上单增，故g（a）＝h（2）＝a+2；②当a＝0时，h（t）＝t，t∈，故g（a）＝h（2）＝2；③当a＜0时，函数的图象是开口向下的抛物线的一段，＞0，若，即时，则；若，即时，则；若，即时，则g（a）＝h（2）＝a+2；综上，．故答案为：．二、选择题13．已知a，b，c满足c＜b＜a且ac＜0，那么下列选项中一定成立的是（）A．ab＞ac B．c（b﹣a）＜0 C．cb2＜ab2D．ac（a+c）＜0 解：∵a，b，c满足c＜b＜a且ac＜0，∴a＞0，c＜0，可得：A．ab﹣ac＝a（b﹣c）＞0，正确．B．c（b﹣a）＞0，不正确．C．取b＝0时，不正确；D．∵a+c可能小于等于0，可得ac（a+c）≥0，不正确．故选：A．14．已知数据x1，x2，x3，…x n是上海普通职n（n≥3，n∈N*）个人的年收入，设这n个数据的中位数为x，平均数为y，方差为z，如果再加上世界首富的年收入x n+1，则这n+1个数据中，下列说法正确（）A．年收入平均数大大增大，中位数一定变大，方差可能不变B．年收入平均数大大增大，中位数可能不变，方差变大C．年收入平均数大大增大，中位数可能不变，方差也不变D．年收入平均数大大增大，中位数可能不变，方差可能不变解：根据题意，数据x1，x2，x3，…，x n是上海普通职工n个人的年收入，而x n+1为世界首富的年收入；则x n+1会远大于x1，x2，x3，…，x n，故这n+1个数据中，年收入平均数大大增大，但中位数可能不变，也可能变大，但由于数据的集中程序也受到x n+1比较大的影响，而更加离散，则方差变大；故选：B．15．如图1，一个密闭圆柱体容器的底部镶嵌了同底的圆锥实心装饰块，容器内盛有a升水．平放在地面，则水面正好过圆锥的顶点P，若将容器倒置如图2，水面也恰过点P．以下命题正确的是（）A．圆锥的高等于圆柱高的B．圆锥的高等于圆柱高的C．将容器一条母线贴地，水面也恰过点PD．将容器任意摆放，当水面静止时都过点P解：设圆柱的高为H，圆锥的高为h，由题意知，Sh﹣Sh＝Sh＝S（H﹣h）⇒h＝H，∴A、B错误；∵由旋转体的性质得，将容器一条母线贴地，过高中点的平面，分几何体为体积相等的两部分，∴C正确；∵斜放几何体时，几何体的体积不对称，∴D错误．故选：C．16．设数列{x n}的各项都为正数且x1＝1，△ABC内的点均满足△P n AB和△P n AC的面积比为2：1，若，则x5的值为（）A．15 B．17 C．29 D．31解：因为，所以+（2x n+1）＝﹣：用图形表示上边的关系式：其中：＝（2x n+1），，所以，即＝，即＝，又＝＝，即2x n+1＝x n+1，即2（x n+1）＝x n+1+1，又x1＝1，即{x n+1}是以2为首项，以2为公比的等比数列，故x n+1＝2n，x n＝2n﹣1，故x5＝31．故选：D．三、解答题17．如图，直线PA⊥平面ABCD，四边形ABCD是正方形，且PA＝AD＝2，点E、F、G分别是线段PA、PD、CD的中点．（1）求异面直线EG与BD所成角的大小（结果用反三角表示）；（2）在线段CD上是否存在一点Q，使BF⊥EQ，若存在，求出DQ的长，若不存在，请说明理由．【解答】[理]解：（1）以A为原点建立如图坐标系则E（0，0，1），G（1，2，0），B（2，0，0），D（0，2，0）因此所以．即异面直线EG与BD所成角的为（2）假设CD存在点Q，使BF⊥EQ，设DQ＝x，则Q（x，2，0），F（0，1，1）因此因为BF⊥EQ所以即，所以CD存在点Q，使BF⊥EQ．18．如图，有一码头P和三个岛屿A，B，C，PC＝30nmile，PB＝90nmile，AB＝30nmile，∠PCB＝120°，∠ABC＝90°．（1）求B，C两个岛屿间的距离；（2）某游船拟载游客从码头P前往这三个岛屿游玩，然后返回码头P，问该游船应按何路线航行，才能使得总航程最短？求出最短航程．解：（1）设BC＝xnmile，则由余弦定理可得，∴x＝30nmile；（2）由题意，AC＝60，PA＝30，∴PA+AB+BC+CP＝60+30+30（nmile）．19．在平面直角坐标系中，已知O为坐标原点，点A的坐标为（a，b），点B的坐标为（cos ωx，sinωx），其中a2+b2≠0且ω＞0．设．（1）若，b＝1，ω＝2，求方程f（x）＝1在区间[0，2π]内的解集；（2）若点A是y＝x+2上的动点，当x∈R时，设函数f（x）的值域为集合M，不等式x2+mx＜0的解集为集合P．若P⊆M恒成立，求实数m的最大值．解：∵A（a，b），B（cosωx，sinωx），∴＝a cosωx+b sinωx，（1）若，b＝1，ω＝2＝cos2x+sin2x，＝2sin（2x+），由f（x）＝2sin（2x+）＝1，可得2x+＝或x＝，k∈Z，∴或x＝k，∵x∈[0，2π]，∴f（x）＝1在区间[0，2π]内的解集为{，，}，（2），由点A（a，b）是y＝x+2上的动点可得，b＝a+2，∴f（x）＝a cosωx+（a+2）sinωx，＝sin（ωx+φ），∴M＝[﹣，]，∵x2+mx＝0的解为0，﹣m，若P⊆M恒成立，则﹣m∈[﹣，]，而＝，∴即实数m的最大值．20．已知曲线Γ：F（x，y）＝0，对坐标平面上任意一点P（x，y），定义F[P]＝F（x，y）．若两点P、Q，满足F[P]•F[Q]＞0，称点P、Q在曲线Γ同侧；若F[P]•F[Q]＜0，称点P、Q在曲线Γ两侧．（1）直线l过原点，线段AB上所有点都在直线l同侧，其中A（﹣1，1）、B（2，3），求直线l的倾斜角的取值范围；（2）已知曲线，O为坐标原点，求点集S＝{P|F[P]•F[O]＞0}的面积；（3）记到点（0，1）与到x轴距离和为5的点的轨迹为曲线C，曲线Γ：F（x，y）＝x2+y2﹣y﹣a＝0，若曲线C上总存在两点M、N在曲线Γ两侧，求曲线C的方程与实数a 的取值范围．解：（1）显然直线l斜率存在，设方程为y＝kx⇒F（x，y）＝kx﹣y＝0则……故倾斜角的范围是……（2）因为故，点集S为圆x2+y2＝4在直线3x+4y﹣5＝0下方内部．……设直线和圆的交点为A、B，则O到AB的距离为1，故故所求面积为……（3）设曲线C上的动点为（x，y），则，化简得曲线C的方程为x2＝8（3﹣y）（0≤y≤3）和x2＝12（y+2）（﹣2≤y≤0），其轨迹为两段抛物线弧……【方法一】而曲线C上的点到的距离的范围是，……故……（16分）【方法二】当0≤y≤3时，F（x，y）＝y2﹣9y+24﹣a∈[6﹣a，24﹣a]；当﹣2≤y≤0时，F（x，y）＝y2+11y+24﹣a∈[6﹣a，24﹣a]；……故若有F[M]•F[N]＜0，则（6﹣a）（24﹣a）＜0⇒6＜a＜24．……（16分）21．已知常数p＞0，数列{a n}满足a n+1＝|p﹣a n|+2a n+p，n∈N*．（1）若a1＝﹣1，p＝1，①求a4的值；②求数列{a n}的前n项和S n；（2）若数列{a n}中存在三项a r，a s，a t（r，s，t∈N*，r＜s＜t）依次成等差数列，求的取值范围．解：（1）①∵a n+1＝|p﹣a n|+2a n+p，∴a2＝|1﹣a1|+2a1+1＝2﹣2+1＝1，a3＝|1﹣a2|+2a2+1＝0+2+1＝3，a4＝|1﹣a3|+2a3+1＝2+6+1＝9，②∵a2＝1，a n+1＝|1﹣a n|+2a n+1，∴当n≥2时，a n≥1，当n≥2时，a n+1＝﹣1+a n+2a n+1＝3a n，即从第二项起，数列{a n}是以1为首项，以3为公比的等比数列，∴数列{a n}的前n项和S n＝a1+a2+a3+a4+…+a n＝﹣1+＝﹣，（n≥2），显然当n＝1时，上式也成立，∴S n＝﹣；（2）∵a n+1﹣a n＝|p﹣a n|+a n+p≥p﹣a n+a n+p＝2p＞0，∴a n+1＞a n，即{a n}单调递增．（i）当≥1时，有a1≥p，于是a n≥a1≥p，∴a n+1＝|p﹣a n|+2a n+p＝a n﹣p+2a n+p＝3a n，∴．若数列{a n}中存在三项a r，a s，a t（r，s，t∈N*，r＜s＜t）依次成等差数列，则有2a s ＝a r+a t，即2×3s﹣1＝3r﹣1+3t﹣1．（*）∵s≤t﹣1，∴2×3s﹣1＝＜3t﹣1＜3r﹣1+3t﹣1．因此（*）不成立．因此此时数列{a n}中不存在三项a r，a s，a t（r，s，t∈N*，r＜s＜t）依次成等差数列．（ii）当时，有﹣p＜a1＜p．此时a2＝|P﹣a1|+2a1+p＝p﹣a1+2a1+p＝a1+2p ＞p．于是当n≥2时，a n≥a2＞p．从而a n+1＝|p﹣a n|+2a n+p＝a n﹣p+2a n+p＝3a n．∴a n＝3n﹣2a2＝3n﹣2（a1+2p）（n≥2）．若数列{a n}中存在三项a r，a s，a t（r，s，t∈N*，r＜s＜t）依次成等差数列，则有2a s ＝a r+a t，同（i）可知：r＝1．于是有2×3s﹣2（a1+2p）＝a1+3t﹣2（a1+2p），∵2≤S≤t﹣1，∴＝2×3s﹣2﹣3t﹣2＝﹣＜0．∵2×3s﹣2﹣3t﹣2是整数，∴≤﹣1．于是a1≤﹣a1﹣2p，即a1≤﹣p．与﹣p＜a1＜p矛盾．故此时数列{a n}中不存在三项a r，a s，a t（r，s，t∈N*，r＜s＜t）依次成等差数列．（iii）当≤﹣1时，有a1≤﹣p＜p．a1+p≤0．于是a2＝|P﹣a1|+2a1+p＝p﹣a1+2a1+p＝a1+2p．a3＝|p﹣a2|+2a2+p＝|a1+p|+2a1+5p．＝﹣a1﹣p+2a1+5p＝a1+4p．此时数列{a n}中存在三项a1，a2，a3依次成等差数列．综上可得：≤﹣1．。
2019-2020年高三上学期第一次月考数学试题 含答案
2019-2020年高三上学期第一次月考数学试题 含答案一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．每小题中只有一项符合题目要求)1、曲线在点处的切线方程为（ ）A ．y=2x+2B ．y=2x-2C ．y=x-1C ．y=x+12、函数y=ln （1－x ）的定义域为（ ）A ．（0,1） B.[0,1) C.(0,1] D.[0,1]3、如果是二次函数, 且的图象开口向上,顶点坐标为, 那么曲线上任一点的切线的倾斜角的取值范围是 （ ） A ． B ． C ． D ．4、定义域为的四个函数,,,中,奇函数的个数是( )A .B ．C ．D ．15、已知为常数,函数有两个极值点,则（ ）A ．B ．C ．D ．6、设，则函数的零点位于区间（ ）A ．（-1，0）B ．（0，1）C ．（1，2）D ．（2，3）7、已知函数在处取得极大值10，则的值为（ ）A.B.C.或D. 不存在8、已知函数f(x)为奇函数,且当x>0时, f(x) =x 2+ ,则f(-1)= ( ) （A ）-2 （B ）0 （C ）1 （D ）29、已知函数的图象如图1所示,则其导函数的图象可能是10、设函数是定义在上的奇函数，且对任意都有，当 时，，则的值为（ ）A.B. C. 2D.11、设为实数，函数的导函数为，且是偶函数，则曲线在原点处的切线方程为（ ）A ．B ．C ．D ．图1A ．B ．C ．D ．12．已知定义在上的奇函数，满足，且在区间上是增函数，若方程，在区间上有四个不同的根，则＝（）A．－12 B．－8 C．－4 D．4二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上)13、已知是定义在上的奇函数.当时，，则不等式的解集用区间表示为．14、已知在R上是奇函数，且.15、函数对于总有≥0 成立，则= ．16、已知,.若同时满足条件:①或;② ,.则的取值范围是三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)设函数是定义域为的奇函数．（1）求的值；（2）若，且在上的最小值为，求的值．18．(本小题满分12分)设,其中,曲线在点处的切线与轴相交于点.(1)确定的值; (2)求函数的单调区间与极值.19．(本小题满分12分)设函数，其中，区间（Ⅰ）求I的长度（注：区间的长度定义为）；（Ⅱ）给定常数，当时，求I长度的最小值。
2019-2020学年上海市浦东新区进才中学高三（上）第一次月考数学试卷（含答案解析）
2019-2020学年上海市浦东新区进才中学⾼三（上）第⼀次⽉考数学试卷（含答案解析）绝密★启⽤前2019-2020学年上海市浦东新区进才中学⾼三（上）第⼀次⽉考数学试卷（时间：120分钟满分：150分）注意：本试卷包含Ⅰ、Ⅱ两卷。
第Ⅰ卷为选择题，所有答案必须⽤2B铅笔涂在答题卡中相应的位置。
第Ⅱ卷为⾮选择题，所有答案必须填在答题卷的相应位置。
答案写在试卷上均⽆效，不予记分。
第I卷（选择题共20分）⼀、选择题（本⼤题共4⼩题，共20分）1.函数f（x）的图象⽆论经过怎样平移或沿直线翻折，函数f（x）的图象都不能与函数的图象重合，则函数f（x）可以是（）A. B. C. D.2.△ABC中“cos A+sin A=cos B+sin B”是“其为等腰三⾓形”的（）A. 充分⾮必要条件B. 必要⾮充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件3.已知实数a＞0，b＞0，对于定义在R上的函数f（x），有下述命题：①“f（x）是奇函数”的充要条件是“函数f（x-a）的图象关于点A（a，0）对称”；②“f（x）是偶函数”的充要条件是“函数f（x-a）的图象关于直线x=a对称”；③“2a是f（x）的⼀个周期”的充要条件是“对任意的x∈R，都有f（x-a）=-f（x）”；④“函数y=f（x-a）与y=f（b-x）的图象关于y轴对称”的充要条件是“a=b”其中正确命题的序号是（）A. ①②B. ②③C. ①④D. ③④4.存在函数f（x）满⾜，对任意x∈R都有（）A. B. C. D.第II卷（⾮选择题共130分）⼆、填空题（本⼤题共12⼩题，共54.0分）5.函数y=sin（ωx-）（ω＞0）的最⼩正周期是π，则ω= ______ ．6.若集合A={x||x-1|＜2}，B={x|＜0}，则A∩B= ______ ．7.⽅程lg x+lg（x+3）=1的解x=______．8.已知幂函数y=f（x）存在反函数，若其反函数的图象经过点，，则幂函数f（x）=______．9.函数f（x）=cos（2x+φ）的图象向左平移单位后为奇函数，则φ的最⼩正值为______．10.若集合A、B、C满⾜A∪B=B∩C，则下列结论：①A?C；②C?A；③A≠C；④A=?中⼀定成⽴的有______．（填写你认为正确的命题序号）11.已知偶函数f（x）在区间[0，+∞）上单调增加，则满⾜f（2x-1）＜f（）的x取值范围是______．12.当0≤x≤1时，如果关于x的不等式x|x-a|＜2恒成⽴，那么a的取值范围是______．13.若函数f（x）=，则y=f（x）图象上关于原点O对称的点共有______对．14.已知a、b、c都是实数，若函数＜＜的反函数的定义域是（-∞，+∞），则c的所有取值构成的集合是______．15.对于实数x，定义＜x＞为不⼩于实数x的最⼩整数，如＜2.8＞=3，＜-＞=-1，＜4＞=4．若x∈R，则⽅程＜3x+1＞=2x-的根为______．16.已知集合A=[t，t+1]∪[t+4，t+9]，0?A，存在正数λ，使得对任意a∈A，都有，则t的值是______．三、解答题（本⼤题共5⼩题，共76.0分）17.已知函数f（x）=3x2-2ax-b，其中a，b∈R．（1）若不等式f（x）≤0的解集是[0，6]，求a与b的值（2）若b=3a，求同时满⾜下列条件的a的取值范围．①对任意的x∈R都有f（x）≥0恒成⽴；②存在实数x，使得f（x）≤2-a成⽴．18.已知函数f（x）=的图象过点（1，2），且函数图象⼜关于原点对称．（1）求函数f（x）的解析式（2）若关于x的不等式xf（x）＞（t-2）x+（t-4）在（0，+∞）上恒成⽴，求实数t的取值范围．19.已知A、B分别在射线CM、CN（不含端点C）上运动，∠MCN=π，在△ABC中，⾓A、B、C所对的边分别是a、b、c．（Ⅰ）若a、b、c依次成等差数列，且公差为2．求c的值；（Ⅱ）若c=，∠ABC=θ，试⽤θ表⽰△ABC的周长，并求周长的最⼤值．20.已知f（x）=定义在实数集R上的函数，把⽅程f（x）=称为函数f（x）的特征⽅程，特征⽅程的两个实根α、β（α＜β）称为f（x）的特征根．（1）讨论函数的奇偶性，并说明理由；（2）把函数y=f（x），x∈[α，β]的最⼤值记作max f（x）、最⼩值记作min f（x），令g（m）=max f（x）-min f（x），若g（m）≤λ恒成⽴，求λ的取值范围．21.设n为正整数，集合A={α|α=（t1，t2，…t n），t k∈{0，1}，k=1，2，…，n}，对于集合A中的任意元素α=（x1，x2，…，x n）和β=（y1，y2，…y n），记M（α，β）=[（x1+y1-|x1-y1|）+（x2+y2-|x2-y2|）+…（x n+y n-|x n-y n|）]（Ⅰ）当n=3时，若α=（1，1，0），β=（0，1，1），求M（α，α）和M（α，β）的值；（Ⅱ）当n=4时，设B是A的⼦集，且满⾜：对于B中的任意元素α，β，当α，β相同时，M（α，β）是奇数；当α，β不同时，M（α，β）是偶数．求集合B中元素个数的最⼤值；（Ⅲ）给定不⼩于2的n，设B是A的⼦集，且满⾜：对于B中的任意两个不同的元素α，β，M（α，β）=0，写出⼀个集合B，使其元素个数最多，并说明理由．答案和解析1.【答案】D【解析】解：=-log2x．A．因为函数y=（）x与互为反函数，所以它们的图象关于y=x对称，所以A合适．B．y=log2（2x）=1+log2x，所以将函数y=log2（2x）沿着y轴向下平移⼀个单位得到y=log2x，然后关于x轴对称后可与函数的图象重合，所以B合适．C．将函数y=log2（x+1）沿着x轴向右平移⼀个单位得到y=log2x，然后关于x轴对称后可与函数的图象重合，所以C合适．故选：D．分别利⽤对数函数的运算法则确定函数与函数的关系．本题主要考查对数函数的图象和性质以及函数图象的变化，要求熟练掌握对数的图象和性质．2.【答案】D【解析】解：△ABC中，cos A+sin A=cos B+sin B，∴sin（A+）=sin（B+），∴A+=B+，或A+=π-（B+），化为：A=B，A+B=．∴△ABC为等腰三⾓形或直⾓三⾓形．反之不成⽴，例如A=C．因此“cos A+sin A=cos B+sin B”是“其为等腰三⾓形”的既不充分也不必要条件．故选：D．△ABC中，由cos A+sin A=cos B+sin B，利⽤和差公式、诱导公式及其三⾓形内⾓和定理即可得出A，B的关系．反之不成⽴，例如A=C．即可得出结论．本题考查了和差公式、诱导公式及其三⾓形内⾓和定理、简易逻辑的判定⽅法，考查了推理能⼒与计算能⼒，属于基础题．3.【答案】A【解析】解：①若“函数f（x-a）的图象关于点A（a，0）对称”，将f（x-a）向左平移a个单位得到f（x）的图象，此时关于点（0，0）对称，∴①正确．②若“函数f（x-a）的图象关于直线x=a对称”，将f（x-a）向左平移a个单位得到f（x）的图象，此时函数f （x）的图象关于直线x=0，即y轴对称，函数f（x）是偶函数，∴②正确．③若函数f（x）为常数函数不妨设f（x）=2，若a＞0，则2a是f（x）的⼀个周期，但f（x-a）=2，-f（x）=-2，∴f（x-a）=-f（x）不成⽴，∴③错误．④若函数y=f（x-a）=0，y=f（b-x）=0，则y=f（x-a）与y=f（b-x）的图象关于y轴对称，但a与b不⼀定相等，∴④错误．其中正确命题的序号是①②．故选：A．①根据奇函数的定义进⾏判断．②根据偶函数的定义的定义进⾏判断．③根据函数周期性的定义进⾏判断．④根据对称性质的定义进⾏判断．本题主要考查函数奇偶性和周期性的判断，利⽤函数奇偶性和周期性的定义和性质是解决本题的关键，综合性较强，难度较⼤．4.【答案】D【解析】解：A．取x=0，则sin2x=0，∴f（0）=0；取x=，则sin2x=0，∴f（0）=1；∴f（0）=0，和1，不符合函数的定义；∴不存在函数f（x），对任意x∈R都有f（sin2x）=sin x；B．取x=0，则f（0）=0；取x=π，则f（0）=π2+π；∴f（0）有两个值，不符合函数的定义；∴该选项错误；C．取x=1，则f（2）=2，取x=-1，则f（2）=0；这样f（2）有两个值，不符合函数的定义；∴该选项错误；D．令x+1=t，则f（x2+2x）=|x+1|，化为f（t2-1）=|t|；令t2-1=x，则t=±；∴；即存在函数f（x）=，对任意x∈R，都有f（x2+2x）=|x+1|；∴该选项正确．故选：D．利⽤x取特殊值，通过函数的定义判断正误即可．本题考查函数的定义的应⽤，基本知识的考查，但是思考问题解决问题的⽅法⽐较难．5.【答案】2【解析】解：∵y=sin（ωx-）（ω＞0），∴T==π，∴ω=2．故答案是：2．根据三⾓函数的周期性及其求法即可求值．本题主要考查了三⾓函数的周期性及其求法，属于基础题．6.【答案】（-1，2）【解析】解：由A中不等式变形得：-2＜x-1＜2，即-1＜x＜3，∴A=（-1，3），由B中不等式变形得：（x-2）（x+4）＜0，解得：-4＜x＜2，即B=（-4，2），则A∩B=（-1，2），故答案为：（-1，2）求出A与B中不等式的解集确定出A与B，找出两集合的交集即可．此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．。
上海市浦东新区2020届高三一模数学试卷
上海市浦东新区2020届高三一模数学试卷2019.12一、填空题（本大题共12题，1~6每题4分，7~12每题5分，共54分） 1. 若集合}30|{<<=x x A ，集合}2|{<=x x B ，则=B A ；2. =+∞→132lim 22n n n ； 3. 复数z 满足i i z +=⋅1（i 为虚数单位），则=||z ；4. 若关于x 、y 的方程组为⎩⎨⎧=-=+21y x y x ，则方程组的增广矩阵为 ；5. 设}{n a 是等差数列，且31=a ，1853=+a a ，则=n a ；6. 在6)1(xx +的二项展开式中，常数项为 ；7. 如果圆锥的底面圆半径为1，母线长为2，则该圆锥的侧面积为 ；8. 已知集合}3,2,1,21,31,21,1,2{---=A ，任取A k ∈，则幂函数k x x f =)(为偶函数的概率为 ；（结果用数值表示）9. 在ABC △中，边a 、b 、c 满足6=+b a ， 120=∠C ，则边c 的最小值为 ； 10. 若函数212x a ax y --+=存在零点，则实数a 的取值范围是 ；11. 已知数列}{n a ，11=a ，1)1(1++=+n n a n na ，若对于任意的]2,2[-∈a ，*∈N n ，不等式t n a n a 2311⋅-<++恒成立，则实数t 的取值范围为 ； 12. 如果方程组⎩⎨⎧=+++=+++2019sin sin 2sin 0sin sin sin 2121n n x n x x x x x 有实数解，则正整数n 的最小值是 ；二、选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13. 若命题甲：01=-x ，命题乙：0lg lg 2=-x x ，则命题甲是命题乙的（ ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分也非必要条件14. 已知函数)(1x f -为函数)(x f 的反函数，且函数)1(-x f 的图像经过点)1,1(，则函数)(1x f -的图像一定经过点（ ）A. )1,0(B. )0,1(C. )2,1(D. )1,2(15. 以抛物线x y 42=的焦点为右焦点，且长轴长为4的椭圆的标准方程为（ ）A. 1151622=+x xB. 141622=+y xC. 13422=+y xD. 1422=+y x16. 动点),(y x A 在圆122=+y x 上绕坐标原点作逆时针匀速圆周运动，旋转一周的时间恰好为12秒，已知时间0=t 时，点A 的坐标是)21,23(，则动点A 的纵坐标y 关于t （单位：秒）的函数在下列哪个区间上单调递增（ ）A. ]3,0[B. ]6,3[C. ]9,6[D. ]12,9[三、解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）17. 如图，四棱锥ABCD S -的底面是正方形，⊥SD 平面ABCD ，a AD SD ==，点E 是线段SD 上任意一点。
2019届上海市高三第一次月考数学试卷【含答案及解析】
2019届上海市高三第一次月考数学试卷【含答案及解析】姓名___________ 班级____________ 分数__________一、填空题1. 已知集合，，则 _____________.2. 函数的最大值等于____________.3. 复数满足，则复数的模等于____________.4. 函数的最小正周期为_______________.5. 一组数据8，9 ，，11，12的平均数是10，则这组数据的方差是_________.6. 已知函数是函数（且）的反函数，其图像过点，则 ____________.7. 方程（为参数）所表示曲线的准线方程是__________.8. 已知关于的展开式中，只有第4项的二项式系数最大，则展开式的系数之和为_________.9. 若变量满足约束条件，且的最小值为-6，则____________.10. 若正三棱锥的正视图与俯视图如图所示，则它的侧视图的面积为__________.11. 已知为集合中三个不同的数，通过如图所示算法框图给出的一个算法输出一个整数，则输出的数的概率是___________.12. 在中，，向量的终点在的内部（不含边界），则实数的取值范围是__________.13. 已知数列的前项和，对任意，且恒成立，则实数的取值范围是__________.14. 设函数的定义域为，如果存在非零常数，对于任意，都有，则称函数是“似周期函数”，非零常数为函数的“似周期”．现有下面四个关于“似周期函数”的命题：① 如果“似周期函数” 的“似周期”为-1，那么它是周期为2的周期函数；②函数是“似周期函数”；③函数是“似周期函数”；④如果函数是“似周期函数”，那么“ ，”．其中是真命题的序号是___________.（写出所有满足条件的命题序号）二、选择题15. 若函数在区间上存在一个零点，则实数的取值范围是（）A．___________________________________ B．C．或___________ D．16. 已知空间直线不在平面内，则“直线上有两个点到平面的距离相等”是“ ”的（）A．充分非必要条件 B．必要非充分条件C．充要条件______________ D．非充分非必要条件17. 双曲线的焦点坐标为（）A． B．C． D．18. 函数在区间上可找到个不同数，使得，则的最大值等于（）A．8 B．9______________________________________C．10______________________________________ D.11三、解答题19. 已知直三棱柱中，，，，是棱的中点.如图所示.（1）求证：平面；（2）求二面角的大小.20. 如图，2012年春节，摄影爱好者在某公园处，发现正前方处有一立柱，测得立柱顶端的仰角和立柱底部的俯角均为，设的眼睛距地面的距离米.（1）求摄影者到立柱的水平距离和立柱的高度；（2）立柱的顶端有一长 2米的彩杆绕其中点在与立柱所在的平面内旋转．摄影者有一视角范围为的镜头，在彩杆转动的任意时刻，摄影者是否都可以将彩杆全部摄入画面？说明理由．21. 在平面直角坐标系中，已知椭圆，设是椭圆上任一点，从原点向圆作两条切线，切点分别为．（1）若直线互相垂直，且点在第一象限内，求点的坐标；（2）若直线的斜率都存在，并记为，求证：．22. 已知函数是单调递增函数，其反函数是 .（1）若，求并写出定义域；（2）对于（1）的和，设任意，，，求证：；（3）求证：若和有交点，那么交点一定在上.23. 对于实数，将满足“ 且为整数”的实数称为实数的小数部分，用记号表示．对于实数，无穷数列满足如下条件：，其中．（1）若，求数列；（2）当时，对任意的，都有，求符合要求的实数构成的集合；（3）若是有理数，设（是整数，是正整数，互质），问对于大于的任意正整数，是否都有成立，并证明你的结论．参考答案及解析第1题【答案】第2题【答案】第3题【答案】第4题【答案】第5题【答案】第6题【答案】第7题【答案】第8题【答案】第9题【答案】第10题【答案】第11题【答案】第12题【答案】第13题【答案】第14题【答案】第15题【答案】第16题【答案】第17题【答案】第18题【答案】第19题【答案】第20题【答案】第21题【答案】第22题【答案】第23题【答案】。
2019-2020学年上海市浦东新区高考数学一模试卷
一.填空题（本大题共 12 题，1-6 每题 4 分，7-12 每题 5 分，共 54 分）
1．（4 分）集合 A={1，2，3，4}，B={1，3，5，7}，则 A∩B=
．
2．（4 分）不等式 ＜1 的解集为
．
！ 3．（4 分）已知函数 f（x）=2x﹣1 的反函数是 f﹣1（x），则 f﹣1（5）=
一.填空题（本大题共 12 题，1-6 每题 4 分，7-12 每题 5 分，共 54 分）
1．（4 分）集合 A={1，2，3，4}，B={1，3，5，7}，则 A∩B= 【解答】解：∵集合 A={1，2，3，4}，B={1，3，5，7}， ∴A∩B={1，3}． 故答案为：{1，3}．
{1，3} ．
个单位
！
=cosωx 的图象， 令 h（x）=f（x）+g（x）=sinωx+cosωx= sin（ωx+ ），
功
成 如果存在实数 m，使得对任意的实数 x，都有 h（m）≤h（x）≤h（m+1）成立，
∴ • ≤1，∴ω≥π，则 ω 的最小值为 π，
故答案为：π．
到
马 12．（5 分）在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，M、N 是双曲线
的最小值为（
A．﹣4 B．﹣2 C．﹣1 D．0
）
【解答】解：∵△ABC 中，
，AB=AC=1，
以 A 为原点，以 AB 所在对的直线为 x 轴，以 AC 所在的直线为 y 轴，建立如图 所示的平面直角坐标系，
则 B（1，0），C（0，1） 设 P 的坐标为（m，0）0≤m≤1，Q 的坐标为（0，n），0≤n≤1， ∴ =（﹣1，n）， =（m，﹣1），
2019-2020学年上海市浦东新区进才中学高三(上)第一次月考数学试卷(含答案解析)
绝密★启用前2019-2020学年上海市浦东新区进才中学高三（上）第一次月考数学试卷（时间：120分钟满分：150分）注意：本试卷包含Ⅰ、Ⅱ两卷。
第Ⅰ卷为选择题，所有答案必须用2B铅笔涂在答题卡中相应的位置。
第Ⅱ卷为非选择题，所有答案必须填在答题卷的相应位置。
答案写在试卷上均无效，不予记分。
第I卷（选择题共20分）一、选择题（本大题共4小题，共20分）1.函数f（x）的图象无论经过怎样平移或沿直线翻折，函数f（x）的图象都不能与函数的图象重合，则函数f（x）可以是（）A. B. C. D.2.△ABC中“cos A+sin A=cos B+sin B”是“其为等腰三角形”的（）A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件3.已知实数a＞0，b＞0，对于定义在R上的函数f（x），有下述命题：①“f（x）是奇函数”的充要条件是“函数f（x-a）的图象关于点A（a，0）对称”；②“f（x）是偶函数”的充要条件是“函数f（x-a）的图象关于直线x=a对称”；③“2a是f（x）的一个周期”的充要条件是“对任意的x∈R，都有f（x-a）=-f（x）”；④“函数y=f（x-a）与y=f（b-x）的图象关于y轴对称”的充要条件是“a=b”其中正确命题的序号是（）A. ①②B. ②③C. ①④D. ③④4.存在函数f（x）满足，对任意x∈R都有（）A. B. C. D.第II卷（非选择题共130分）二、填空题（本大题共12小题，共54.0分）5.函数y=sin（ωx-）（ω＞0）的最小正周期是π，则ω= ______ ．6.若集合A={x||x-1|＜2}，B={x|＜0}，则A∩B= ______ ．7.方程lg x+lg（x+3）=1的解x=______．8.已知幂函数y=f（x）存在反函数，若其反函数的图象经过点，，则幂函数f（x）=______．9.函数f（x）=cos（2x+φ）的图象向左平移单位后为奇函数，则φ的最小正值为______．10.若集合A、B、C满足A∪B=B∩C，则下列结论：①A⊆C；②C⊆A；③A≠C；④A=∅中一定成立的有______．（填写你认为正确的命题序号）11.已知偶函数f（x）在区间[0，+∞）上单调增加，则满足f（2x-1）＜f（）的x取值范围是______．12.当0≤x≤1时，如果关于x的不等式x|x-a|＜2恒成立，那么a的取值范围是______．13.若函数f（x）=，则y=f（x）图象上关于原点O对称的点共有______对．14.已知a、b、c都是实数，若函数＜＜的反函数的定义域是（-∞，+∞），则c的所有取值构成的集合是______．15.对于实数x，定义＜x＞为不小于实数x的最小整数，如＜2.8＞=3，＜-＞=-1，＜4＞=4．若x∈R，则方程＜3x+1＞=2x-的根为______．16.已知集合A=[t，t+1]∪[t+4，t+9]，0∉A，存在正数λ，使得对任意a∈A，都有，则t的值是______．三、解答题（本大题共5小题，共76.0分）17.已知函数f（x）=3x2-2ax-b，其中a，b∈R．（1）若不等式f（x）≤0的解集是[0，6]，求a与b的值（2）若b=3a，求同时满足下列条件的a的取值范围．①对任意的x∈R都有f（x）≥0恒成立；②存在实数x，使得f（x）≤2-a成立．18.已知函数f（x）=的图象过点（1，2），且函数图象又关于原点对称．（1）求函数f（x）的解析式（2）若关于x的不等式xf（x）＞（t-2）x+（t-4）在（0，+∞）上恒成立，求实数t的取值范围．19.已知A、B分别在射线CM、CN（不含端点C）上运动，∠MCN=π，在△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c．（Ⅰ）若a、b、c依次成等差数列，且公差为2．求c的值；（Ⅱ）若c=，∠ABC=θ，试用θ表示△ABC的周长，并求周长的最大值．20.已知f（x）=定义在实数集R上的函数，把方程f（x）=称为函数f（x）的特征方程，特征方程的两个实根α、β（α＜β）称为f（x）的特征根．（1）讨论函数的奇偶性，并说明理由；（2）把函数y=f（x），x∈[α，β]的最大值记作max f（x）、最小值记作min f（x），令g（m）=max f（x）-min f（x），若g（m）≤λ恒成立，求λ的取值范围．21.设n为正整数，集合A={α|α=（t1，t2，…t n），t k∈{0，1}，k=1，2，…，n}，对于集合A中的任意元素α=（x1，x2，…，x n）和β=（y1，y2，…y n），记M（α，β）=[（x1+y1-|x1-y1|）+（x2+y2-|x2-y2|）+…（x n+y n-|x n-y n|）]（Ⅰ）当n=3时，若α=（1，1，0），β=（0，1，1），求M（α，α）和M（α，β）的值；（Ⅱ）当n=4时，设B是A的子集，且满足：对于B中的任意元素α，β，当α，β相同时，M（α，β）是奇数；当α，β不同时，M（α，β）是偶数．求集合B中元素个数的最大值；（Ⅲ）给定不小于2的n，设B是A的子集，且满足：对于B中的任意两个不同的元素α，β，M（α，β）=0，写出一个集合B，使其元素个数最多，并说明理由．答案和解析1.【答案】D【解析】解：=-log2x．A．因为函数y=（）x与互为反函数，所以它们的图象关于y=x对称，所以A合适．B．y=log2（2x）=1+log2x，所以将函数y=log2（2x）沿着y轴向下平移一个单位得到y=log2x，然后关于x轴对称后可与函数的图象重合，所以B合适．C．将函数y=log2（x+1）沿着x轴向右平移一个单位得到y=log2x，然后关于x轴对称后可与函数的图象重合，所以C合适．故选：D．分别利用对数函数的运算法则确定函数与函数的关系．本题主要考查对数函数的图象和性质以及函数图象的变化，要求熟练掌握对数的图象和性质．2.【答案】D【解析】解：△ABC中，cos A+sin A=cos B+sin B，∴sin（A+）=sin（B+），∴A+=B+，或A+=π-（B+），化为：A=B，A+B=．∴△ABC为等腰三角形或直角三角形．反之不成立，例如A=C．因此“cos A+sin A=cos B+sin B”是“其为等腰三角形”的既不充分也不必要条件．故选：D．△ABC中，由cos A+sin A=cos B+sin B，利用和差公式、诱导公式及其三角形内角和定理即可得出A，B的关系．反之不成立，例如A=C．即可得出结论．本题考查了和差公式、诱导公式及其三角形内角和定理、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3.【答案】A【解析】解：①若“函数f（x-a）的图象关于点A（a，0）对称”，将f（x-a）向左平移a个单位得到f（x）的图象，此时关于点（0，0）对称，∴①正确．②若“函数f（x-a）的图象关于直线x=a对称”，将f（x-a）向左平移a个单位得到f（x）的图象，此时函数f （x）的图象关于直线x=0，即y轴对称，函数f（x）是偶函数，∴②正确．③若函数f（x）为常数函数不妨设f（x）=2，若a＞0，则2a是f（x）的一个周期，但f（x-a）=2，-f（x）=-2，∴f（x-a）=-f（x）不成立，∴③错误．④若函数y=f（x-a）=0，y=f（b-x）=0，则y=f（x-a）与y=f（b-x）的图象关于y轴对称，但a与b不一定相等，∴④错误．其中正确命题的序号是①②．故选：A．①根据奇函数的定义进行判断．②根据偶函数的定义的定义进行判断．③根据函数周期性的定义进行判断．④根据对称性质的定义进行判断．本题主要考查函数奇偶性和周期性的判断，利用函数奇偶性和周期性的定义和性质是解决本题的关键，综合性较强，难度较大．4.【答案】D【解析】解：A．取x=0，则sin2x=0，∴f（0）=0；取x=，则sin2x=0，∴f（0）=1；∴f（0）=0，和1，不符合函数的定义；∴不存在函数f（x），对任意x∈R都有f（sin2x）=sin x；B．取x=0，则f（0）=0；取x=π，则f（0）=π2+π；∴f（0）有两个值，不符合函数的定义；∴该选项错误；C．取x=1，则f（2）=2，取x=-1，则f（2）=0；这样f（2）有两个值，不符合函数的定义；∴该选项错误；D．令x+1=t，则f（x2+2x）=|x+1|，化为f（t2-1）=|t|；令t2-1=x，则t=±；∴；即存在函数f（x）=，对任意x∈R，都有f（x2+2x）=|x+1|；∴该选项正确．故选：D．利用x取特殊值，通过函数的定义判断正误即可．本题考查函数的定义的应用，基本知识的考查，但是思考问题解决问题的方法比较难．5.【答案】2【解析】解：∵y=sin（ωx-）（ω＞0），∴T==π，∴ω=2．故答案是：2．根据三角函数的周期性及其求法即可求值．本题主要考查了三角函数的周期性及其求法，属于基础题．6.【答案】（-1，2）【解析】解：由A中不等式变形得：-2＜x-1＜2，即-1＜x＜3，∴A=（-1，3），由B中不等式变形得：（x-2）（x+4）＜0，解得：-4＜x＜2，即B=（-4，2），则A∩B=（-1，2），故答案为：（-1，2）求出A与B中不等式的解集确定出A与B，找出两集合的交集即可．此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．7.【答案】2【解析】解：∵lg x+lg（x+3）=lg[x（x+3）]=lg（x2+3x）=1=lg10∴x2+3x=10∴x=2或-5∵x＞0∴x=2故答案为：2．先进行对数运算都化成同底数的对数，再根据同底数的对数相等只要真数相等即可．本题主要考查解对数方程的问题．这里注意对数的真数一定要大于0．8.【答案】＞【解析】解：依题意，点，在函数y=x a的反函数的图象上，则点（9，）在函数y=x a的图象上将x=9，y=，代入y=x a中，得=9a解得a=-则幂函数f（x）=＞．满足题意．故答案为：＞．利用函数y=x a的反函数的图象经过点，，可知点（9，）在函数y=x a的图象上，由此代入数值即可求得．本题主要考查了反函数，以及原函数与反函数之间的关系，属于基础题．9.【答案】【解析】解：函数f（x）=cos（2x+φ）的图象向左平移单位后得到函数为y=cos[2（x+）+φ]=cos（2x++φ），若函数为奇函数，则+φ=+kπ，k∈Z，解得φ=-+kπ，当k=1时，φ=π-=，故答案为：根据三角函数的奇偶性的性质即可得到结论．本题主要考查三角函数的图象关系以及三角函数奇偶性的应用，要求熟练掌握三角函数的图象和性质．10.【答案】①【解析】解：因为A⊆A∪B，且C∩B⊆C，A∪B=C∩B由题意得A⊆C，故答案为：①本题考查三个抽象集合之间的关系，由交集、并集的定义有结论A⊆A∪B，B⊆A∪B，A∩B⊆A，A∩B⊆B本题主要考查．集合的并集与交集运算，集合之间关系的理解，属于基础题．11.【答案】（，）【解析】解：如图所示：∵f（2x-1）＜f（）∴-＜2x-1＜，即＜x＜．故答案为：（，）本题采用画图的形式解题比较直观．本题考查函数的奇偶性的应用．关键是利用了偶函数关于y轴对称的性质．12.【答案】（-1，3）【解析】解：当x=0时，0＜2恒成立，当0＜x≤1时，不等式x|x-a|＜2恒成立可转化成|x-a|＜而函数y=在（0，1]上单调递减，有最小值为2当a∈[0，1]时，|x-a|＜恒成立当a＞1时，然后y=|x-a|=a-x，只需a-1＜2即1＜a＜3当a＜0时，然后y=|x-a|=x-a，只需1-a＜2即-1＜a＜0综上所述a∈（-1，3）故答案为：（-1，3）当x=0时，0＜2恒成立，当0＜x≤1时，不等式x|x-a|＜2恒成立可转化成|x-a|＜，然后讨论a的范围，去掉绝对值再进行求解即可．本题主要考查了函数恒成立问题，以及绝对值不等式解法和分类讨论的思想，属于中档题．13.【答案】4【解析】解：y=f（x）图象上关于原点O对称的点的个数只需观察f（x）=|lg（x-1）|（x＞1）的图象与f（x）=sin x关于原点对称的函数的图象交点个数即可，如上图可知：两个图象交点个数为4个，故答案为：4．y=f（x）图象上关于原点O对称的点的个数只需观察f（x）=|lg（x-1）|（x＞1）的图象与f（x）=sin x关于原点对称的函数的图象交点个数即可再分别画图象可观察得解．本题考查了作图能力，重点考查了数形结合的思想．14.【答案】{0}【解析】解：函数＜＜的反函数的定义域是（-∞，+∞），即函数f（x）的值域为（-∞，+∞），若a≥0，显然不合题意，则a＜0，此时y=x2的值域为[a2，+∞）；则需y=的值域包含（-∞，a2），结合函数y=在（a，c）内有意义，则c=0．∴c的所有取值构成的集合是{0}．故答案为：{0}．由题意可得，函数f（x）的值域为（-∞，+∞），当a≥0，显然不合题意，则a＜0，此时y=x2的值域为[a2，+∞）；然后结合反比例函数的图象及函数y=在（a，c）内有意义，可得c=0，则答案可求．本题考查互为反函数的两个函数特性间的关系，考查逻辑思维能力与推理运算能力，是中档题．15.【答案】-或【解析】解：设2x-=k∈Z，则x=，3x+1=k+1+，于是原方程等价于[]=-1，即-2＜≤-1，从而得-＜k≤-．∵k∈Z，∴k=-5或-4．∴x=-或．故答案为：-或．本题设2x-=k∈Z，则x=，3x+1=k+1+，于是原方程等价于[]=-1，从而得k=-5或-4，从而求出根．本题考查了综合逻辑分析能力，属于新定义题目，要求学生有较好的逻辑分析能力，属于中档题．16.【答案】1或-3【解析】解：当t＞0时，当a∈[t，t+1]时，则∈[t+4，t+9]，当a∈[t+4，t+9]时，则∈[t，t+1]，即当a=t时，；当a=t+9时，≥t，即λ=t（t+9）；当a=t+1时，≥t+4，当a=t+4时，≤t+1，即λ=（t+1）（t+4），∴t（t+9）=（t+1）（t+4），解得t=1．当t+1＜0＜t+4时，当a∈[t，t+1]时，则∈[t，t+1]．当a∈[t+4，t+9]，则∈[t+4，t+9]，即当a=t时，≤t+1，当a=t+1时，≥t，即λ=t（t+1），即当a=t+4时，≤t+9，当a=t+9时，≥t+4，即λ=（t+4）（t+9），∴t（t+1）=（t+4）（t+9），解得t=-3．当t+9＜0时，同理可得无解．综上，t的值为1或-3．故答案为：1或-3．t＞0时，当a=t时，；当a=t+9时，λ=t（t+9）；当a=t+1时，≥t+4，当a=t+4时，λ=（t+1）（t+4），从而t（t+9）=（t+1）（t+4），解得t=1；当t+1＜0＜t+4时，当a∈[t，t+1]时，则∈[t，t+1]．当a∈[t+4，t+9]，当a=t时，≤t+1，当a=t+1时，≥t，即λ=t（t+1），当a=t+4时，≤t+9，当a=t+9时，λ=（t+4）（t+9），从而t（t+1）=（t+4）（t+9），解得t=-3．当t+9＜0时，无解．本题考查实数值的求法，考查元素与集合的关系、分类讨论思想等基础知识，考查运算求解能力，是难题．17.【答案】解：（1）由题意，解得，；（2）若b=3a，则f（x）=3x2-2ax-3a，①对任意的x∈R都有f（x）≥0恒成立，则令f（x）=0，即3x2-2ax-3a=0，则△=（-2a）2-4×3×（-3a）≤0，解得-9≤a≤0；②f（x）≤2-，3x2-2ax-3a≤2-，即9x2-6ax-7a-6≤0，令g（x）=9x2-6ax-7a-6，则g（x）min=≤0，解得a≤-6或a≥-1．【解析】（1）由题意，不等式f（x）≤0的解集是[0，6]，则f（x）=0的两个根为0，6，进而求解；（2）若b=3a，则f（x）=3x2-2ax-3a，①对任意的x∈R都有f（x）≥0恒成立，即△≤0，②存在实数x，使得f （x）≤2-a成立，令g（x）=9x2-6ax-7a-6，g（x）最小值小于等于0；（1）考查二次函数，二次不等式，一元二次方程的关系；（2）考查二次函数和x轴的交点与判别式的关系，二次函数的最值与x轴交点的关系．18.【答案】解：（1）函数图象又关于原点对称，则f（-x）+f（x）=0，即=0，∴b=0，又f（1）=2，即a+1=2，∴a=1，∴f（x）=；（2）xf（x）＞（t-2）x+（t-4）在（0，+∞）上恒成立，即f（x）＞（t-2）+在（0，+∞）上恒成立，f（x）==x+≥2，当且仅当x=1时取等号，∴2＞（t-2）+，整理得t＜4．【解析】（1）函数图象关于原点对称，即f（x）是奇函数，又过（1，2），进而求解；（2）xf（x）＞（t-2）x+（t-4）在（0，+∞）上恒成立，即f（x）＞（t-2）+在（0，+∞）上恒成立，进而求解；（1）考查奇函数的性质，图象特点，求函数解析式的方法；（2）考查转化思想，恒成立问题的转化；19.【答案】解：（Ⅰ）∵a、b、c成等差，且公差为2，∴a=c-4、b=c-2．又∵∠，，∴，∴，恒等变形得c2-9c+14=0，解得c=7，或c=2．又∵c＞4，∴c=7．…（6分）（Ⅱ）在△ABC中，由正弦定理可得∠∠∠，∴，AC=2sinθ，．∴△ABC的周长f（θ）=|AC|+|BC|+|AB|===，…（10分）又∵，，∴＜＜，∴当，即时，f（θ）取得最大值．…（12分）【解析】（Ⅰ）由题意可得a=c-4、b=c-2．又因∠，，可得，恒等变形得c2-9c+14=0，再结合c＞4，可得c的值．（Ⅱ）在△ABC中，由正弦定理可得AC=2sinθ，．△ABC的周长f（θ）=|AC|+|BC|+|AB|=．再由，，利用正弦函数的定义域和值域，求得f（θ）取得最大值．本题主要考查正弦定理、余弦定理的应用，正弦函数的定义域和值域，属于中档题．20.【答案】解：（1）当m=0时，f（x）=，此时f（-x）=-f（x），函数f（x）为奇函数，当m≠0时，函数f（x）为非奇非偶函数．（2）证明f（x）是增函数f（x2）-f（x1）==，∵α＜x1＜x2＜β，∴＜，＜，则m（x1+x2）-2＜0，2x1x2＜x12+x22，∴2x1x2＜x12+x22＜m（x1+x2）+2，即2x1x2-m（x1+x2）-2＜0，∵x1＜x2，∴x1-x2＜0，即f（x1）-f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2），故函数f（x）在（α，β）是递增的，则恒成立，∴λ≥，∵，∴λ≥2．【解析】（1）根据函数奇偶性的定义即可讨论函数的奇偶性；（2）根据函数单调性的定义先判断函数的单调性，将不等式恒成立进行转化，利用参数分离法即可得到结论．本题主要考查函数奇偶性的判断以及函数最值的求解，利用条件判断函数的单调性是解决本题的关键．21.【答案】解：（I）M（α，α）=1+1+0=2，M（α，β）=0+1+0=1．（II）考虑数对（x k，y k）只有四种情况：（0，0）、（0，1）、（1，0）、（1，1），相应的分别为0、0、0、1，所以B中的每个元素应有奇数个1，所以B中的元素只可能为（上下对应的两个元素称之为互补元素）：（1，0，0，0 ）、（0，1，0，0）、（0，0，1，0）、（0，0，0，1），（0，1，1，1）、（1，0，1，1）、（1，1，0，1）、（1，1，1，0），对于任意两个只有1个1的元素α，β都满足M（α，β）是偶数，所以四元集合B={（1，0，0，0）、（0，1，0，0）、（0，0，1，0）、（0，0，0，1）}满足题意，假设B中元素个数大于等于4，就至少有一对互补元素，除了这对互补元素之外还有至少1个含有3个1的元素α，则互补元素中含有1个1的元素β与之满足M（α，β）=1不合题意，故B中元素个数的最大值为4．（Ⅲ）B={（0，0，0，…0），（1，0，0…，0），（0，1，0，…0），（0，0，1…0）…，（0，0，0，…，1）}，此时B中有n+1个元素，下证其为最大．对于任意两个不同的元素α，β，满足M（α，β）=0，则α，β中相同位置上的数字不能同时为1，假设存在B有多于n+1个元素，由于α=（0，0，0，…，0）与任意元素β都有M（α，β）=0，所以除（0，0，0，…，0）外至少有n+1个元素含有1，根据元素的互异性，至少存在一对α，β满足x i=y i=l，此时M（α，β）≥1不满足题意，故B中最多有n+1个元素．【解析】（Ⅰ）直接根据定义计算．（Ⅱ）注意到1的个数的奇偶性，根据定义反证证明．（Ⅲ）根据抽屉原理即可得证．本题主要考查集合的含义与表示、集合的运算以及集合之间的关系．综合性较强，难度较大．。
2019-2020学年上海市浦东新区建平中学高三(上)月考数学试卷(12月份)(附答案详解)
2019-2020学年上海市浦东新区建平中学高三（上）月考数学试卷（12月份）一、单选题（本大题共4小题，共20.0分） 1. “α=arcsin 13”是“sinα=13”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件2. 已知数列{a n }满足：a n ={1 , (1≤n ≤2018)−2⋅(13)n−2009. (n ≥2019)，设S n 表示数列{a n }的前n 项和.则下列结论正确的是( )A. n →+∞lim a n 和n →+∞limS n 都存在 B. n →+∞lima n 和n →+∞limS n 都不存在 C. n →+∞lima n 存在，n →+∞limS n 不存在 D. n →+∞lima n 不存在，n →+∞limS n 存在3. 对于实数a =0．2⋅019⋅，定义函数f(n)=k ，定义域为Z +，其中k 为a 的小数点后第n 位的数字，规定f(0)=2，则f(f(f(n)))的值域为( )A. {2,0，1，9}B. {2,0，1}C. {0,1}D. {2,0}4. 已知数列{a n }满足a 1=−12,a n+1=a n2+3a n +1，若b n =1a n +2，设数列{b n }的前项和为S n ，则使得|S 2019−k|最小的整数k 的值为( )A. 0B. 1C. 2D. 3二、单空题（本大题共12小题，共54.0分）5. 已知角α的终边过点(−2,3)，则sin2α= ______ ．6. 已知复数z 满足i ⋅z =1−i(其中i 为虚数单位)，则|z|= ______ ．7. 函数f(x)=1+sin 2x 得最小正周期是______ ．8. 若等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 2+a 4=14，S 7=70，则数列{a n }的通项公式为______．9. 若(2a 2+b 3)n 的二项展开式中有一项为ma 4b 12，则m =______． 10. 若抛物线y 2=2px(p >0)的焦点与双曲线x 26−y 210=1的右焦点重合，则实数p 的值是______．11. 一个总体分为A ，B 两层，其个体数之比为4：1，用分层抽样方法从总体中抽取一个容量为10的样本，已知B 层中甲、乙都被抽到的概率为128，则总体中的个体数是______ ．12. 设三条不同的直线l 1：ax +2by +3(a +b +1)=0，l 2：bx +2(a +b +1)y +3a =0，l 3：(a +b +1)x +2ay +3b =0，若它们交于同一点，则a +b 的值为______ ． 13. 已知△ABC 的面积为1，点P 满足3AB⃗⃗⃗⃗⃗ +2BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =4AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则△PBC 的面积等于______ ．14. 已知集合U ={1,2，3，4，5}，I ={X|X ⊆U}，从I 中任取两个不同的元素A ，B ，则A ∩B 中恰有三个元素的概率为______ ．15. 已知平面向量a ⃗ ，b ⃗ ，c ⃗ 满足a ⃗ ⋅b ⃗ =0，|c ⃗ |=1，|a ⃗ −c ⃗ |=|b ⃗ −c ⃗ |=5，则|a ⃗ −b ⃗ |的最大值为______ ．16. 设函数f(x)的定义域为(−1,1)且满足：①当x ∈(−1,0)时，f(x)>0；②f(x)+f(y)=f(x+y1+xy )，x ，y ∈(−1,1)； 以下关于函数f(x)有四个命题： (1)f(x)为奇函数； (2)f(x)为偶函数；(3)f(x)在定义域内单调递减；(4)存在正数m ，使得对于任意的x ∈(−1,1)有|f(x)|<m ． 其中真命题是______ ．三、解答题（本大题共5小题，共76.0分）17. 在棱长为2的正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，(如图)E 是棱C 1D 1的中点，F 是侧面AA 1D 1D 的中心． (1)求三棱锥A 1−D 1EF 的体积；(2)求EF 与底面A 1B 1C 1D 1所成的角的大小.(结果可用反三角函数表示)18.设D是函数y=f(x)定义域的一个子集，若存在x0∈D，使得f(x0)=−x0成立，则称x0是f(x)的一个“准不动点”，也称f(x)在区间D上存在准不动点．已知(4x+a⋅2x−1),x∈[0,1]．f(x)=log12(1)若a=1，求函数f(x)的准不动点；(2)若函数f(x)在区间[0,1]上存在准不动点，求实数a的取值范围．19.某城市为发展城市旅游经济，拟在景观河道的两侧，沿河岸直线l1与l2修建景观路(桥)，如图所示，河道为东西方向，现要在矩形区域ABCD内沿直线将l1与l2接通.已知AB=60m，BC=80m，河道两侧的景观道路修建费用为每米1万元，架设在河道上方的景观桥EF部分的修建费用为每米2万元．(1)若景观桥长90m时，求桥与河道所成角的大小；(2)如何设计景观桥EF的位置，使矩形区域ABCD内的总修建费用最低？最低总造价是多少？20.已知抛物线C：y2=4x，点P(4,4)．(1)求点P与抛物线C的焦点F的距离；(2)设斜率为1的直线l与抛物线C交于A，B两点，若△PAB的面积为2√2，求直线l的方程；(3)是否存在定圆M：(x−m)2+y2=4，使得过曲线C上任意一点Q作圆M的两条切线，与曲线C交于另外两点A，B时，总有直线AB也与圆M相切？若存在，求出m的值，若不存在，请说明理由．21.已知无穷数列{x n}，{y n}，{z n}满足：x n+1=|y n|−|z n|，y n+1=|z n|−|x n|，z n+1=|x n|−|y n|，n∈N∗.记a n=max{|x n|,|y n|,|z n|}(max{x,y，z}表示3个实数x，y，z 中的最大值)．(1)若x1=2，y2=3，z3=4，求y1，z1的可能值；(2)若x1=1，y1=2，求满足a2=a3的z1的所有值；(3)设x1，y1，z1是非零整数，且|x1|，|y1|，|z1|互不相等，证明：存在正整数k，使得数列{x n}，{y n}，{z n}中有且只有一个数列自第k项起各项均为0．答案和解析1.【答案】A【解析】解：∵“α=arcsin 13”⇒“sinα=13”，“sinα=13”⇒“α=arcsin 13+2kπ，k ∈Z ”或“α=π−arcsin 13+2kπ,k ∈Z ”， ∴“α=arcsin 13”是“sinα=13”的充分不必要条件． 故选A ．“α=arcsin 13”⇒“sinα=13”，“sinα=13”⇒“α=arcsin 13+2kπ，k ∈Z ”或“α=π−arcsin 13+2kπ,k ∈Z ”，由此知答案．本题考查必要条件、充分条件和充要条件，解题时要认真审题，仔细解答．2.【答案】A【解析】解：∵数列{a n }，对任意的正整数n ，a n ={1 , (1≤n ≤2018)−2⋅(13)n−2009. (n ≥2019)， 设S n 表示数列{a n }的前n 项和，∴a 1=a 2=a 3=⋯=a 2018=1，a 2019=−2⋅1310，a 2020=−2⋅1311，a 2019=−2⋅1312，…，∴S n =2018+=2018+=2017−， n →+∞limS n =−2⋅1310(1−13n−2009)1−13=−139，n →+∞lim a n =n →+∞lim(−2×(13)n−2019)=0， 故选：A ．推导出S n ，利用数列极限的运算法则化简求解即可． 本题考查了分组求和和极限的定义，属于中档题．3.【答案】D【解析】解：由题意可知函数f(x)是以4为周期的函数， 因为f(n)=k ，k ∈{2,0，1，9}，f(2)=0，f(0)=2，f(1)=2，f(9)=f(1)=2，所以f(f(n))∈{0,2}， 所以f(f(f(n)))∈{0,2}， 故选：D ．分析出函数是以4为周期的函数，根据定义求出f(n)，f(f(n))，f(f(f(n)))的取值范围即可．本题主要考查了函数周期性质的应用，属于基础题．4.【答案】C【解析】解：a n+1−a n =(a n +1)2≥0，a 1=−12，等号不成立，可得a n+1>a n ，∴数列{a n }是递增数列．∵数列{a n }满足a 1=−12,a n+1=a n2+3a n +1， ∴1an+1+1=1(an +1)(a n+2)=1a n+1−1a n +2，∴b n =1a n +2=1a n +1−1a n+1+1∴数列{b n }的前项和为S n =1a 1+1−1a 2+1+1a 2+1−1a 3+1+⋯…+1a n+1−1a n+1+1=2−1a n+1+1．则使得|S 2019−k|=|2−1a2020+1−k|使得|S 2019−k|最小的整数k 的值为2． 故选：C ．a n+1−a n =(a n +1)2≥0，可得数列{a n }是递增数列．数列{a n }满足a 1=−12,a n+1=a n 2+3a n +1，可得1an+1+1=1(an +1)(a n+2)=1a n+1−1a n+2，b n =1a n+2=1a n+1−1a n+1+1进而得出结论．本题考查了数列的递推关系、裂项求和方法、数列的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．5.【答案】−1213【解析】解：角α的终边过点(−2,3)，根据三角函数的定义可知：sinα=√13，cosα=√13， 则sin2α=2sinαcosα=−2√13×√13=−1213，故答案为：−1213．根据定义求出sinα，和cosα的值，利用二倍角公式可得sin2α的值．本题考查了三角函数的定义和二倍角公式的计算．属于基础知识考查．6.【答案】√2【解析】解：∵i⋅z=1−i(i为虚数单位)，∴z=1−ii =−i(1−i)−i2=1−i，∴|z|=√2，故答案为：√2．利用两个复数代数形式的乘除法，虚数单位i的幂运算性质，把复数化简到最简形式，利用复数的模的定义求出|z|．本题考查两个复数代数形式的乘除法，虚数单位i的幂运算性质，复数的模的定义和求法．7.【答案】π【解析】解：函数f(x)=1+sin2x=1+1−cos2x2=32−12cos2x的最小正周期为2π2=π，故答案为：π．利用二倍角公式化简函数的解析式，再利用余弦函数的周期性求得函数的最小正周期．本题主要考查二倍角公式的应用，余弦函数的周期性，属于基础题．8.【答案】a n=3n−2(n∈N∗)【解析】解：由等差数列的性质可得2a3=a2+a4=14，解得a3=7，由求和公式可得S7=7(a1+a7)2=7×2a42=70，解得a4=10，故等差数列的公差d=a4−a3=3，故数列{a n}的通项公式为a n=a3+(n−3)d=3n−2故答案为：a n=3n−2(n∈N∗)由等差数列的性质和求和公式可得a3，a4，可得公差，进而可得其通项公式．本题考查等差数列的通项公式的求解，涉及等差数列的求和公式，属基础题．9.【答案】154【解析】解：根据二项式的展开式的通项为T r+1=C n r 2n−r a 2n−2r b 3r，令{2n −2r =43r =12，解得{n =6r =4， 所以m =C 6422=60．故答案为：60．直接利用二项式的展开式的应用建立方程，进一步求出结果．本题考查的知识要点：二项式的展开式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．10.【答案】8【解析】解：∵双曲线的方程为x 26−y 210=1，∴a 2=6，b 2=10，可得c =√a 2+b 2=4 因此双曲线x 26−y 210=1的右焦点为F(4,0)∵抛物线y 2=2px(p >0)的焦点与双曲线的右焦点重合 ∴12p =4，解之得p =8故答案为：8根据双曲线的方程，可得c =√a 2+b 2=4，从而得到双曲线的右焦点为F(4,0)，再根据抛物线的简单几何性质，可得12p =4，解之即可得到实数p 的值．本题给出抛物线以原点为顶点，双曲线的右焦点为焦点，求抛物线方程，着重考查了双曲线、抛物线的标准方程与简单几何性质等知识，属于基础题．11.【答案】40【解析】解：设B 层中有n 个个体， ∵B 层中甲、乙都被抽到的概率为128，∴1C n2=128，∴n 2−n −56=0， ∴n =−7(舍去)，n =8，∵总体分为A ，B 两层，其个体数之比为4：1 ∴共有个体(4+1)×8=40 故答案为：40．设出B 层中的个体数，根据条件中所给的B 层中甲、乙都被抽到的概率值，写出甲和乙都被抽到的概率，使它等于128，算出n 的值，由已知A 和B 之间的比值，得到总体中的个体数．本题是分层抽样的相关知识．容易出错的是不理解分层抽样的含义或与其它混淆．抽样方法是数学中的一个小知识点，但一般不难，故也是一个重要的得分点，不容错过．12.【答案】−12【解析】解：设c =a +b +1，三条直线相交于点(x,y)， 则有{ax +2by +3(a +b +1)=0ax +2by +3(a +b +1)=0(a +b +1)x +2ay +3b =0，消去x ，y 可得，a 3+b 3+c 3−3abc =0， 即(a +b +c)(a 2+b 2+c 2−ab −bc −ac)=0，把c =a +b +1代入可得，(2a +2b +1)[(a −b)2+(b +1)2+(a +1)2]=0， 当(a −b)2+(b +1)2+(a +1)2=0时，解得a =b =−1，不符合题意； 所以2a +2b +1=0，解得a +b =−12． 故答案为：−12．设c =a +b +1，联立方程组消去x ，y ，可得a ，b ，c 之间的关系式，分解因式即可得到答案．本题主要考查了直线的交点问题，其中设c =a +b +1可大大的简化计算量，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于中档题．13.【答案】12【解析】解：取BC 的中点D ，∴AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ) ∵4AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =3AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +2BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CA⃗⃗⃗⃗⃗ =(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CA ⃗⃗⃗⃗⃗ )+(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ )+AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，∴AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =14(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )，∴AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =12AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴A ，P ，D 共线，∴PD ⃗⃗⃗⃗⃗ =12AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴S △PBC =12S △ABC =12×1=12， 故答案为：12．取BC 的中点D ，根据向量共线定理可得A ，P ，D 三点共线，继而得到S △PBC =12S △ABC ． 本题考查向量的线性运算，考查三角形面积的计算，属于基础题14.【答案】562【解析】解：∵集合U ={1,2，3，4，5}，I ={X|X ⊆U}， ∴集合I 的可能取值有25=32个，从I 中任取两个不同的元素A ，B ，基本事件总数n =C 322=496．A ∩B 中恰有三个元素，当A ∩B 确定后，如A ∩B ={3,4，5}时，可设A =A′∪{3,4，5}，B =B′∪{3,4，5}，A′∩B′=⌀， ∴{A′,B′}的情况有：{⌀,{1}}，{⌀,{2}}，{⌀,{1,2}}，{{1},{2}}，共4种，∵确定A ∩B 的方法有C 53种，∴A ∩B 中恰有三个元素包含的基本事件个数m =4×C 53=40，∴A ∩B 中恰有三个元素的概率为P =m n=40496=562．故答案为：562．集合I 的可能取值有25=32个，从I 中任取两个不同的元素A ，B ，基本事件总数n =C 322=496.A ∩B 中恰有三个元素，当A ∩B 确定后，如A ∩B ={3,4，5}时，可设A =A′∪{3,4，5}，B =B′∪{3,4，5}，A′∩B′=⌀，利用列举法求出{A′,B′}的情况有4种，由此求出A ∩B 中恰有三个元素包含的基本事件个数，由此能求出A ∩B 中恰有三个元素的概率．本题考查概率的求法，考查古典概型、列举法等基础知识，考查运算求解能力等基础知识，是基础题．15.【答案】8【解析】解：平面向量a ⃗ ，b ⃗ ，c ⃗ 满足a ⃗ ⋅b ⃗ =0，设OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ ，OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ，OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =c ⃗ ，以O 为原点，OA 为x 轴，OB 为y 轴，建立直角坐标系，作矩形OADB ，根据矩形的性质CA 2+CB 2=OC 2+CD 2，|c ⃗ |=1，|a ⃗ −c ⃗ |=|b ⃗ −c ⃗ |=5，25+25=1+CD 2， 所以CD =7，由|a ⃗ −b ⃗ |=|a ⃗ +b ⃗ |=OD ≤OC +CD =1+7=8， 当O ，C ，D 共线的时候成立， 故答案为：8．建立空间直角坐标系，根据矩形的性质求出CD ，再求出最大值．本题考查向量的数乘运算，向量数量积的运算及计算公式，向量夹角的定义，考查了计算能力，属于基础题．16.【答案】(1)(3)【解析】解：设函数f(x)的定义域为(−1,1)且满足：①当x ∈(−1,0)时，f(x)>0；②f(x)+f(y)=f(x+y1+xy )，x ，y ∈(−1,1)； 令x =y =0时，整理得f(0)+f(0)=f(0)，即f(0)=0，当y =−x 时，f(x)+f(−x)=f(0)=0，所以f(−x)=−f(x)，故函数f(x)为奇函数；故(1)正确，(2)错误；对于(3)设任意的−1<x <y <1，则f(x)−f(y)=f(x)+f(−y)=f(x−y1−xy )，由于−1<x <y <1，所以|xy|=|x||y|<1，即−1<xy <1， 由于x −y <0，所以x−y1−xy <0， 又由于x−y1−xy +1=(1+x)(1+y)1−xy >0，所以−1<x−y1+xy <0，即f(x−y 1−xy )>0，所以f(x)−f(y)>0，即f(x)>f(y)，故函数f(x)在定义域(−1,1)内单调递减，故(3)正确；对于(4)对于任意的x ∈(−1,1)有|f(x)|<m ，即m >f(x)max 即可， 由于当x ∈(−1,0)时，f(x)>0，当x ∈(0,1)时，f(x)<0， 函数f(x)在(−1,1)内单调递减，所以x →−1时，f(x)→+∞，x →+1时，f(x)→−∞， 所以函数y =|f(x)|无最大值，故不存在正数m ，使得对于任意的x ∈(−1,1)有|f(x)|<m ，故(4)错误． 故答案为：(1)(3)．直接利用抽象函数的定理，利用赋值法，函数的奇偶性的判定，函数的单调性的应用判定(1)(2)(3)(4)的结论．本题考查的知识要点：函数的性质的应用，赋值法，函数的奇偶性的判定，抽象函数的定义，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．17.【答案】解：(1)V A 1−D 1EF =V E−A 1D 1F =13⋅1⋅1=13.(6分)(体积公式正确3分)(2)取A 1D 1的中点G ，则FG ⊥平面A 1B 1C 1D 1，EF 在底面A 1B 1C 1D 1的射影为GE ，所求的角的大小等于∠GEF 的大小，(8分)在Rt △GEF 中tan∠GEF =√22，所以EF 与底面A 1B 1C 1D 1所成的角的大小是arctan √22.(12分)【解析】(1)由已知中棱长为2的正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，E 是棱C 1D 1的中点，F 是侧面AA 1D 1D 的中心，我们利用等体积法，可得三棱锥A 1−D 1EF 的体积等于三棱锥E −D 1A 1F 的体积，分别求出其底面面积和高，代入棱锥的体积公式，即可得到答案． (2)取A 1D 1的中点G ，易得FG ⊥平面A 1B 1C 1D 1，根据线面夹角的定义可得∠GEF 即为EF 与底面A 1B 1C 1D 1所成的角的平面角，解Rt △GEF 即可得到EF 与底面A 1B 1C 1D 1所成的角的大小．本题考查的知识点是棱锥的体积，直线与平面所成的角，其中(1)的关键是利用等体积法，将求三棱锥A 1−D 1EF 的体积转化为求三棱锥E −D 1A 1F 的体积，降低运算的难度，(2)的关键是确定出∠GEF 即为EF 与底面A 1B 1C 1D 1所成的角的平面角．18.【答案】解：(1)由题意，当a =1时，可得f(x)=log 12(4x +2x −1)=−x ，x ∈[0,1]， 可得：4x +2x −1=2x ， 即4x =1 ∴x =0．当a =1，函数f(x)的准不动点为x 0=0．(2)由定义：f(x)=log 12(4x +a2x −1)=−x ，x ∈[0,1]，上有零点”， 可得：F(x)=4x +a ⋅2x −1−2x ，即F(x)=(2x )2+a ⋅2x −1−2x ，上有零点”， 且4x +a ⋅2x −1>0， 令2x =t ， x ∈[0,1]， 则t ∈[1,2]那么F(x)转化为g(x)=t 2+at −t −1，上有零点”图象是一条连续不断的曲线， 且t 2+at −1>0，(1≤t ≤2)．根据二次函数根的分布：则有{g(1)≤0g(2)≥0或{g(1)≥0g(2)≤0．解得−12≤a ≤1．要使t 2+at −1>0(1≤t ≤2)恒成立．其对称轴x =−a2，在1≤t ≤2上是递增的，当t =1时最小值， 可得a >0．综上可得实数a 的取值范围是(0,1]．【解析】(1)由题意，当a =1时，可得f(x)=log 12(4x +2x −1)=−x ，x ∈[0,1]，可得函数f(x)的准不动点．(2)依题意，“f(x)在区间D 上有不动点”当且仅当“F(x)=f(x)+x 在区间D 上有零点”，F(x)在区间[0,1]上是一条连续不断的曲线，换元法转化为二次函数问题求解准不动点，可得实数a 的取值范围．本题主要考查了函数与方程的综合运用，以及函数零点最值等有关知识，属于中档题．19.【答案】解：(1)由题中图形可知，EM⊥BC，垂足为M，设EF与AB所成的角为α，即∠MEF=α(0≤tanα≤43)，则有MF=60tanα,EF=60cosα，当景观桥EF的长为90m时，则EF=60cosα=90，解得cosα=23，所以α=arccos23，所以桥与河道所成角的大小为π2−arccos23；(2)由AE+FC=80−60tanα，所以总修建费用为y=(80−60tanα)×1+60cosα×2=80−60(sinα−2)cosα，令t=sinα−2cosα，又0≤tanα≤43，故0<α<π2，则t<0且sinα−tcosα=2，所以sin(α+φ)=√1+t2，又|sin(α+φ)|≤1，所以2≤1，解得t≤−√3，所以t的最大值为−√3，则y有最小值80+60√3，此时α=π6，所以当景观桥EF与河道沿线所成的角为π3时，矩形区域ABCD内的总修建费用最低为80+60√3万元．【解析】(1)设EF与AB所成的角为α，即∠MEF=α(0≤tanα≤43)，利用边角关系表示出EF，然后令EF=90，即可求出α的值，从而得到答案；(2)求出中修建费用的函数关系，然后利用换元法结合辅助角公式以及三角函数的有界性，求解最值即可．本题考查了三角函数在实际生活中的应用问题，考查了辅助角公式的应用以及三角函数的有界性，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于中档题．20.【答案】解：(1)抛物线C：y2=4x的焦点坐标为(1,0)，则点P与抛物线C的焦点F的距离为√(4−1)2+42=5；(2)设直线l的方程为y=x+ a，把y=x+a方程代入抛物线y2=4x，可得x2+2(a−2)x+a2=0，∴x1+x2=4−2a，x1⋅x2= a2，∴|AB|=√1+k2⋅|x1−x2| =√2√(x1+x2)2−4x1x2=4√2(1−a)，点P到直线的距离d=|a|√2，∴S△PAB=12|AB|d=12×4√2(1−a)×√2=2√2，解得a=−1，∴直线l的方程y=x−1；(3)取Q(0,0)，圆(x−m)2+y2=4，切线为y=kx，由mk√1+k2=2，解得k2=4m2−4，①将直线y=kx代入抛物线方程y2=4x，解得A(4k2,4k)，B(4k2,−4k)，直线AB的方程为x=4k2，若直线和圆相切，可得|4k2−m|=2②由①②解得m=3或2(舍去)．综上可得，对任意的动点Q，直线AB与圆相切，必有m=3．下证m=3时，对任意的动点Q，直线AB和圆相切．理由如下：设Q(14a2,a)，l：x=t(y−a)+14a2，A(14y12,y1)，B(14y22,y2)，由|3−14a 2+ta|2=2，可得(a 2−4)t 2−(12a 2−6)at +(14a 2−3)2−4=0， ∴t 1+t 2=a(12a 2−6)a 2−4，t 1t 2=(14a 2−3)2−4a 2−4，又直线与曲线相交于A ，B ，由x =t(y −a)+14a 2，代入抛物线方程可得y 2−4ty +4ta −a 2=0，可得y 12=4t 1(y 1−a)+a 2，y 22=4t 2(y 2−a)+a 2，则a ，y 1是方程y 2=4t 1(y −a)+a 2的两根，即有ay 1=4t 1a −a 2，即为y 1=4t 1−a ，同理y 2=4t 2−a ． 则有A(14(4t 1−a)2,4t 1−a)，B(14(4t 2−a)2,4t 2−a)， 直线AB ：y −(4t 1−a)=22(t 2+t 1)−a(x −14(4t 1−a)2)，即为y −(4t 1−a)=4−a 24a(x −14(4t 1−a)2)，则圆心(3,0)到直线AB 的距离为 d =|4−a 24a (3−14(4t −a)2)+4t −a|√1+(24a)2，由(a 2−4)t 12−(12a 2−6)at 1+(14a 2−3)2−4=0， 代入上式，化简可得d =2|4+a 2|4+a 2=2，则有对任意的动点Q ，存在实数m =3，使得直线AB 与圆M 相切．【解析】(1)求得抛物线的焦点坐标，由两点距离公式，计算可得所求距离； (2)设直线l 的方程为y =x +a ，代入抛物线的方程，运用韦达定理和弦长公式以及三角形的面积公式，解方程可得a ，进而得到直线方程；(3)取Q(0,0)，切线为y =kx ，求得交点A ，B ，和直线AB ，由相切可得m =3，证明对任意的动点Q ，直线AB 与圆相切，必有m =3.设Q(14a 2,a)，l ：x =t(y −a)+14a 2，A(14y 12,y 1)，B(14y 22,y 2)，运用直线和圆相切的条件和韦达定理，求得AB 的方程，计算圆心到直线AB 的距离，即可得证．本题考查抛物线的方程和性质，主要考查抛物线的方程的运用，注意联立直线方程和抛物线方程，运用韦达定理，同时考查直线和圆的位置关系：相切的条件，具有一定的运算量，属于难题．21.【答案】解：(1)由题意可得，y 2=|z 1|−|x 1|，∵x 1=2，y 2=3，z 3=4， ∴|z 1|=5，z 1=±5， ∵|z 3|=|x 2|−|y 2|， ∴|x 2|−3=4，x 2=±7，又∵x 2=|y 1|−|z 1|=|y 1|−5≥−5，∴x 2=7，x 2=−7(舍去)，|y 1|=12，y 1=±12， ∴y 1，z 1 的可能取值为：y 1=12，z 1=5，y 1=12，z 1=−5， y 1=−12，z 1=5，y 1=−12，z 1=−5， (2)若x 1=1，y 1=2，设z 1=x ，则|x 2|=|y 1|−|z 1|=2−|x|，y 2=|z 1|−|x 1|=|x|−1，z 2=−1， ∵a n =max{|x n |,|y n |,|z n |}， ∴当0≤|x|<1时，a 2=2−|x|， 当1≤|x|<2时，a 2=1， 当|x|≥2时，a 2=|x|−1，又∵x 3=||x|−1|−1，y 3=1−|2−|x||，z 3=|2−|x||−||x|−1|， 当0≤|x|<1时，x 3=−|x|，y 3=|x|−1，z 3=1，即a 3=1， ∵a 3=a 2，∴|x|=1，不符合取值范围，舍去，当1≤|x|<2时，x 3=|x|−2，y 3=|x|−1，z 3=3−2|x|， a 3={2−|x|,2≤|x|<3|x|−1,1.5≤|x|<2，∵a 3=a 2，∴|x|=1，符合题意，当|x|≥2时，x 3=|x|−2，y 3=3−|x|，z 3=−1， ∵a 3=a 2，∴|x|=2，符合题意，综上所属，z 1 的所有取值是−2，−1，1，2，(3)证明：运用反证法，假设对任意正整数k ≥3，x k ，y k ，z k 都不为0， ∵x 1，y 1，z 1是非零整数，且|x 1|，|y 1|，|z 1|互不相等， 又∵假设对任意正整数k ≥3，x k ，y k ，z k 都不为0， ∴对任意k ≥1，a k 为正整数，当k≥1时，|x k+1|=||y k|−|z k||<max{|y k|,|z k|}≤a k，同理可得|y k+1|<a k，|z k+1|< a k，∴a k+1=max{|x k+1|,|y k+1|,|z k+1|}<a k，∴{a k}严格单调递减，∵a2为有限正整数，∴∃m≥3，使得a m≤0，与假设矛盾，∴存在正整数k≥3，使x k，y k，z k至少有一个为0，假设x k=0，且x1≠0，x2≠0，⋅⋅⋅，x k−1≠0，∵x n+1=|y n|−|z n，x k=0，∴|y k−1|=|z k−1|，且|y k−1|=|z k−1|≠|x k−1|，否则，若|y k−1|=|z k−1|=|x k−1|，∵x n+1=|y n|−|z n|，y n+1=|z n|−|x n|，z n+1=|x n|−|y n|，∴当n=k−2时，x k−1+y k−1+z k−1=0，∴x k−1=y k−1=z k−1=0，与假设矛盾，∴y k=|z k−1|−|x k−1|≠0，z k=|x k−1|−|y k−1|≠0，又∵|y k−1|=|z k−1|，∴y k=−z k，∵x n+1=|y n|−|z n|，y n+1=|z n|−|x n|，z n+1=|x n|−|y n|，x k=0，∴x k+1=0，y k+1=|z k|，z k+1=−|y k|=−|z k|，依次递推可得，对任意n≥k，x n=0，y n+1=|z k|，z n+1=−|z k|，且z k≠0，有且只有一个数列自第k项起各项均为0．【解析】(1)将特殊值代入已知条件，即可求解，(2)设z1=x，根据已知条件，可得a n的表达式，再结合x的取值范围，即可求解，(2)根据已知条件，运用反证法，即可求解．本题考查了数列的综合应用，考查了分类思想，需要较强的综合能力，难度系数大，属于难题．。
2019-2020年高三上学期第一阶段月考数学试卷含答案
2019-2020年高三上学期第一阶段月考数学试卷含答案一、 填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1．设a ∈{－1,1，12，3}，则使函数y ＝x a 的定义域为R 且为奇函数的a 的集合为 。
2．设集合M ＝{x |x ＝3m ＋1，m ∈Z }，N ＝{x |x ＝3n ＋2，n ∈Z }，若a ∈M ，b ∈N ，则a －b N ；ab N 。
3．a ，b 为实数，集合M ＝{ba，1}，N ＝{a,0}，f ：x →x 表示把集合M 中的元素x 映射到集合N 中仍为x ，则a ＋b = 。
4．定义在R 上的函数 f (x )满足 f (－x )＝－ f (x ＋2)，当x >1时， f (x )单调递增，如果x 1＋x 2>2且(x 1－1)(x 2－1)<0，则 f (x 1)＋ f (x 2)与0的大小关系是 5． 定义在实数集上的函数f （x ），对一切实数x 都有f （x ＋1）＝f （2－x ）成立，若f （x ）＝0仅有101个不同的实数根，那么所有实数根的和为 。
6． 设f （x ）定义在正整数集上，且f （1）=1，f （x ＋y ）=f （x ）＋f （y ）＋xy ． f （x ）= 。
7．已知函数f (x )＝－x ＋log 21－x 1＋x ，则11()()20162016f f +-= ． 8．函数741)(2+++=x x x x f 的值域为 。
9．已知A={x |x 2－4x +3<0，x ∈R }，B={x |21－x +a ≤0，x 2－2(a +7)x +5≤0，x ∈R } 若A ⊆B ，则实数a 的取值范围是 ．10．设函数212log (0)()log ()(0)xx f x x x >⎧⎪=⎨-<⎪⎩ 若f (a )>f (－a )，则实数a 的取值范围是 。
11． 已知函数f (x )满足：f (1)＝14，4f (x )f (y )＝f (x ＋y )＋f (x －y )(x ，y ∈R )，则f (2016)＝________.12．已知函数f (x )＝|lg x |.若0<a <b ，且f (a )＝f (b )，则a ＋2b 的取值范围是 。
2019-2020年高三上学期第一次月考数学试卷
2019-2020年高三上学期第一次月考数学试卷 注意事项： 1．本试卷共4页，包括填空题（第1题~第14题）、解答题（第15题~第20题）两部分．本试卷满分为160分，考试时间为120分钟．2．答题前，请务必将自己的姓名、学校、班级、学号写在答卷纸的密封线内．试题的答案写在答卷纸．．．上对应题目的答案空格内．考试结束后，交回答卷纸． 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答．卷纸．．相应位置．．．．上．1．已知集合，集合，则 .2、已知其中，是实数，是虚数单位，则=_______．3、若集合，，则的真子集的个数是 ▲ ．74．在平面直接坐标系中，角的始边与轴的正半轴重合，终边在直线上，且，则 ．5、已知条件：,条件:，则是的 条件. 充分不必要6、将函数的图像向左平移至少 个单位，可得一个偶函数的图像7．曲线在点（1,－1）处的切线方程是 ▲ ．8、已知函数y ＝sin （）（＞0，0＜）的部分图象如图所示，则的值为＿＿＿9．不等式的解集是 ▲ ．10．定义在R 上的函数f(x)= ，则f （xx ）的值为 ▲ ．011．如图为函数的图象，为函数的导函数，则不等式的解集为______ ______．答案12．定义在实数集上的偶函数,满足,且在[-3,-2]上单调减，又α、β是锐角三角形的三个内角，则与 的关系是__ ____.(用表示) ．13．若关于的方程有三个不等实数根，则实数的取值范围是 ▲ ． 14给出定义：若（其中为整数），则叫做离实数 最近的整数，记作，即 . 在此基础上给出下列关于函数的四个命题：①函数的定义域是R ，值域是[0，]；②函数的图像关于直线(k ∈Z)对称；③函数是周期函数，最小正周期是1；④ 函数在上是增函数。
o yx-33则其中真命题是__．①②③二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答卷纸指定区域内．．．．．．．．作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15. (本小题满分14分)已知函数（1）求函数的单调递增区间；（2）内角的对边分别为，若，，，且，试求角和角.16． (本小题满分14分) 已知，：，：．⑴ 若是的充分条件，求实数的取值范围；⑵若，“或”为真命题，“且”为假命题，求实数的取值范围.解：：，……..2分⑴∵是的充分条件，∴是的子集．……..4分∴，得，∴实数的取值范围为．……..6分⑵当时，：……..8分依题意，与一真一假，……..9分真假时，由，得．……..11分假真时，由，得．……..13分∴实数的取值范围为．……..14分17．（本小题满分15分）设函数的定义域是，对于任意正实数恒有，且当时，。
2019-2020年高三(上)第一次质量检测数学试卷(理科)
2019-2020年高三（上）第一次质量检测数学试卷（理科）一、填空题（共14小题，每小题3分，满分42分）1．（3分）（xx•松江区一模）集合A={0，2，a}，B={1，a2}，若A∪B={0，1，2，4，16}，则a的值为4．考点：并集及其运算．专题：计算题．分析：根据题意，由并集的计算方法，结合a与a2的关系，易得，即可得答案．解答：解：∵A={0，2，a}，B={1，a2}，A∪B={0，1，2，4，16}∴∴a=4，故答案为：4．点评：本题考查了集合的并集运算，并用观察法得到相对应的元素，从而求得答案，本题属于容易题．2．（3分）（xx•南昌模拟）如图所示的韦恩图中，A、B是非空集合，定义A*B表示阴影部分的集合．若x，y∈R，A={x|y=}，B={y|y=3x，x＞0}．则A*B为{x|0≤x≤1或x＞2}．考点：V enn图表达集合的关系及运算．专题：计算题；新定义．分析：先分别求出集合A和集合B，然后根据A*B表示阴影部分的集合得到A*B={x|x∈A 或x∈B且x∉A∩B}，最后根据新定义进行求解即可．解答：解：A={x|y=}=[0，2]B={y|y=3x，x＞0}=[1，+∞）根据A*B表示阴影部分的集合可知A*B={x|x∈A或x∈B且x∉A∩B}∴A*B={x|0≤x≤1或x＞2}故答案为：{x|0≤x≤1或x＞2}点评：本题主要考查了Venn图表达集合的关系及运算，同时考查了识图能力以及转化的能力，属于新颖题型．3．（3分）已知函数f（x）=x2﹣6x+8，x∈[1，a]，并且函数f（x）的最小值为f（a），则实数a的取值范围是（1，3]．考点：函数的最值及其几何意义；二次函数的性质．专题：常规题型；压轴题．分析：由题意知，函数f（x）在区间[1，a]上单调递减，结合二次函数的对称轴求出实数a 的取值范围．解答：解：函数f（x）=x2﹣6x+8=（x﹣3）2﹣1，x∈[1，a]，并且函数f（x）的最小值为f （a），又∵函数f（x）在区间[1，3]上单调递减，∴1＜a≤3，故答案为：（1，3]．点评：本题考查二次函数函数的单调区间，联系二次函数的图象特征，体现转化的数学思想．4．（3分）若函数f（x+1）=x2﹣2x+1的定义域为[﹣2，6]，则函数y=f（x）的单调递减区间[﹣1，2]．考点：二次函数的性质；函数的图象与图象变化．专题：函数的性质及应用．分析：由已知函数f（x+1）=x2﹣2x+1的定义域为[﹣2，6]，可得﹣2≤x≤6，进而﹣1≤x+1≤7，再利用换元法求得函数的解析式，进而得出函数y=f（x）的单调递减区间．解答：解：∵函数f（x+1）=x2﹣2x+1的定义域为[﹣2，6]，∴﹣2≤x≤6，∴﹣1≤x+1≤7．令x+1=t，则x=t﹣1，且﹣1≤t≤7，∴f（t）=（t﹣1）2﹣2（t﹣1）+1=（t﹣2）2，∴函数y=f（x）的单调递减区间是[﹣1，2]．故答案为[﹣1，2]．点评：本题考查了函数的定义域和单调性，正确理解函数的定义域是自变量的取值范围和掌握二次函数的单调性是解题的关键．另外利用换元法是解决此类题的常用方法．5．（3分）（2011•西山区模拟）设f（x）、g（x）分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当x＜0时f′（x）g（x）+f（x）g′（x）＞0且g（﹣3）=0，则f（x）g（x）＜0的解集为（﹣∞，﹣3）∪（0，3）．考点：函数的单调性与导数的关系；奇函数；偶函数．专题：计算题．分析：先根据f’（x）g（x）+f（x）g’（x）＞0可确定[f（x）g（x）]'＞0，进而可得到f（x）g（x）在x＜0时递增，结合函数f（x）与g（x）的奇偶性可确定f（x）g（x）在x ＞0时也是增函数，最后根据g（﹣3）=0可求得答案．解答：解：因f’（x）g（x）+f（x）g’（x）＞0，即[f（x）g（x）]'＞0故f（x）g（x）在x＜0时递增，又∵f（x），g（x）分别是定义R上的奇函数和偶函数，∴f（x）g（x）为奇函数，关于原点对称，所以f（x）g（x）在x＞0时也是增函数．∵f（﹣3）g（﹣3）=0，∴f（3）g（3）=0所以f（x）g（x）＜0的解集为：x＜﹣3或0＜x＜3故答案为：（﹣∞，﹣3）∪（0，3）．点评：本题主要考查复合函数的求导运算和函数的单调性与其导函数正负之间的关系．导数是一个新内容，也是高考的热点问题，要多注意复习．6．（3分）已知函数若f（f（0））=4a，则实数a=2．考点：函数与方程的综合运用．专题：计算题．分析：给出的是分段函数，根据所给变量的范围确定选用具体的解析式，从而得方程，故可解．解答：解：由题意，f（0）=20+1=2，∴f（2）=4+2a=4a，∴a=2故答案为2．点评：本题的考点是函数与方程的综合运用，主要考查分段函数的定义，考查求函数值，有一定的综合性7．（3分）已知p：，q：，则q是p的必要不充分条件．考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：计算题．分析：根据题意分别求出命题p和q，再根据充分必要条件的定义，进行判断；解答：解：已知p：，解得0＜x＜，q：，解得0≤x＜1，0＜x＜，⇒0≤x＜1，∴q是p的必要不充分条件；故答案为：必要不充分；点评：此题主要考查不等式的解法，以及充分必要条件的定义，是一道基础题；8．（3分）（xx•怀柔区二模）当x∈（1，2）时，不等式（x﹣1）2＜log a x恒成立，则实数a 的取值范围是（1，2]．考点：对数函数的单调性与特殊点．专题：计算题．分析：根据二次函数和对数函数的图象和性质，由已知中当x∈（1，2）时，不等式（x﹣1）2＜loga x恒成立，则y=log a x必为增函数，且当x=2时的函数值不小于1，由此构造关于a的不等式，解不等式即可得到答案．解答：解：∵函数y=（x﹣1）2在区间（1，2）上单调递增，∴当x∈（1，2）时，y=（x﹣1）2∈（0，1），若不等式（x﹣1）2＜log a x恒成立，则a＞1且1≤log a2即a∈（1，2]，故答案为：（1，2]．点评：本题考查的知识点是对数函数的单调性与特殊点，其中根据二次函数和对数函数的图象和性质，结合已知条件构造关于a的不等式，是解答本题的关键．9．（3分）（xx•东莞市模拟）已知函数满足对任意成立，则a的取值范围是．考点：函数单调性的性质．专题：综合题；数形结合；转化思想；综合法．分析：对任意成立，说明此函数是一个减函数，由此性质即可判断得出参数所满足的不等式，求解即可．解答：解：∵对任意成立∴函数是一个减函数，由于函数，故解得a∈故答案为：点评：本题考查函数单调性的性质，解题的关键是对“对任意成立”理解以及在分段函数的端点处函数值大小比较，即x=0时两个端点的函数值的比较．准确理解题意，认真审题是此类题正解解答的关键．本题易因为忘记比较端点处的函数值的大小比较而导致出错．做题时要注意转化的等价性10．（3分）f（x）是以2为周期的偶函数，且当x∈[0，1]时，f（x）=x，若在区间[﹣1，3]内，函数g（x）=f（x）﹣kx﹣k有4个零点，则实数k的取值范围是．考点：函数与方程的综合运用；函数的周期性；函数的零点；二项式定理．专题：计算题．分析：根据函数是一个偶函数且周期是2，写出函数在[﹣1，0]，[2，3]，[﹣1，0）上的函数解析式，根据g（x）仍为一次函数，有4个零点，故在四段内各有一个零点．分别在这四段上讨论零点的情况，零点的范围，最后求出几种结果的交集．解答：解：x在[0，1]，f（x）=x 由于f（x）是偶函数，x在[﹣1，0]，f（x）=﹣x f（x）是周期为2的函数f（2）=f（0）=0 函数解析式：y=﹣x+2 x在[2，3]时，函数解析式：y=x﹣2 g（x）仍为一次函数，有4个零点，故在四段内各有一个零点．x在[﹣1，0）g（x）=﹣x﹣kx﹣k=﹣（k+1）x﹣k 令g（x）=0 x=﹣﹣1≤﹣＜0解得k＞0 x在（0，1]g（x）=x﹣kx﹣k=（1﹣k）x﹣k 令g（x）=0 x=0＜≤1 解的0＜k≤x在（1，2]g（x）=﹣x+2﹣kx﹣k=﹣（k+1）x+2﹣k 令g（x）=0 x= 1＜≤2 解的0≤k＜x在（2，3]g（x）=x﹣2﹣kx﹣k=（1﹣k）x﹣2﹣k 令g（x）=0 x=2＜≤3 解的0＜k≤综上可知，k的取值范围为：0＜k≤故答案为：（0，]．点评：学生知识经验已较为丰富，智力发展已到了形式运演阶段，具备了较强的抽象思维能力和演绎推理能力，所以本题符合这类学生的心理发展特点，从而促进思维能力的进一步发展．11．（3分）函数f（x）=sin3x+x5﹣x﹣3在[﹣2π，2π]上最大值与最小值之和为﹣6．考点：利用导数求闭区间上函数的最值．专题：计算题；函数的性质及应用；导数的概念及应用．分析：构造g（x）=sin3x+x5﹣x，确定函数是奇函数，从而可求函数f（x）=sin3x+x5﹣x﹣3在[﹣2π，2π]上最大值与最小值之和．解答：解：令g（x）=sin3x+x5﹣x，则g（﹣x）=﹣sin3x﹣x5+x=﹣g（x），∴g（x）=sin3x+x5﹣x是奇函数∴g（x）=sin3x+x5﹣x在[﹣2π，2π]上最大值与最小值之和为0∴函数f（x）=sin3x+x5﹣x﹣3在[﹣2π，2π]上最大值与最小值之和为﹣6故答案为：﹣6点评：本题考查函数的奇偶性，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题．12．（3分）给出如下四个命题：①∀x∈（0，+∞），x2＞x3；②∃x∈（0，+∞），x＞e x；③函数f（x）定义域为R，且f（2﹣x）=f（x），则f（x）的图象关于直线x=1对称；④若函数f（x）=lg（x2+ax﹣a）的值域为R，则a≤﹣4或a≥0；其中正确的命题是③④．（写出所有正确命题的题号）考点：命题的真假判断与应用．专题：证明题．分析：令x=1，可判断①的真假；构造函数f（x）=e x﹣x，利用导数法法分析其值域，即可判断②的真假；利用函数对称变换法则“对称变换二倍减，横向减里边，纵向减外边”的口决，可判断③的真假；根据对数函数的性质，分析出内函数值域A⊇（0，+∞），进而根据二次函数的图象和性质求出a的范围可得④的真假；解答：解：当x=1时，x2=x3=1，故①为假命题；令f（x）=e x﹣x，则f′（x）=e x﹣1，当x∈（0，+∞），f′（x）＞0，即f（x）在（0，+∞）上为增函数，∴f（x）＞f（0）=1恒成立，故②为假命题；根据函数图象对称变换法则，可得若f（2﹣x）=f（x）恒成立，则f（x）的图象关于直线x=1对称，故③为真命题；若函数f（x）=lg（x2+ax﹣a）的值域为R，设函数y=x2+ax﹣a的值域为A，则A⊇（0，+∞），即△=a2+4a≥0，解得a≤﹣4或a≥0，故④为真命题；故答案为：③④点评：本题考查的知识点是命题的真假判断，其中熟练掌握幂函数、指数函数、对数函数及二次函数的图象与性质，函数图象的对称变换法则，是解答的关键．13．（3分）已知定义在（﹣1，+∞）上的函数，若f（3﹣a2）＞f（2a），则实数a取值范围为（，1）．考点：函数单调性的性质；分段函数的解析式求法及其图象的作法．专题：函数的性质及应用．分析：由函数的解析式可得函数在（﹣1，0）上是增函数，由2x+1在[0，+∞）是增函数，且20+1≥3﹣2=1，可得函数在（﹣1，+∞）上是增函数，故由不等式可得3﹣a2 ＞2a＞﹣1，由此求得实数a取值范围．解答：解：由于==3﹣，故函数在（﹣1，0）上是增函数．再由2x+1在[0，+∞）是增函数，且20+1≥3﹣2=1，可得函数在（﹣1，+∞）上是增函数．再由f（3﹣a2）＞f（2a），可得3﹣a2 ＞2a＞﹣1，解得﹣＜a＜1，故实数a取值范围为（，1）．点评：本题主要考查函数的单调性的性质，注意2a＞﹣1，这是解题的易错点，属于中档题．14．（3分）已知函数f（x）=若a，b，c互不相等，且f（a）=f（b）=f（c），则lga+lgb+lgc 的取值范围是（1，2）．考点：分段函数的解析式求法及其图象的作法；函数的零点．专题：函数的性质及应用．分析：画出函数的图象，根据f（a）=f（b）=f（c），不妨a＜b＜c，求出abc的范围即可．解答：解：不妨设a＜b＜c，则由函数的解析式可得f（a）=f（b）=f（c），即﹣lga=lgb=﹣c+50∈（0，1），∴ab=1，且0＜﹣c+50＜1，则abc=c∈（98，100），∴1＜lgc＜2，故lga+lgb+lgc=lg（abc）=lgc∈（1，2）．作出函数g（x）的图象如图：故答案为（1，2）．点评：本题主要考查分段函数、对数的运算性质以及利用数形结合解决问题的能力，属于基础题．二、解答题（共10小题，满分108分）15．（12分）若集A={（x，y）|x2+mx﹣y+2=0，x∈R}，B={（x，y）|x﹣y+1=0，0≤x≤2}当A∩B≠∅时，求实数m的取值范围．考点：集合关系中的参数取值问题．专题：转化思想．分析：由A∩B≠∅，将问题转化为方程组在[0，2]上有解，即x2+（m﹣1）x+1=0在[0，2]上有解，构造函数f（x）=x2+（m﹣1）x+1，则函数在[0，2]上有零点，结合二次函数的图象和性质及零点存在定理，可得实数m的取值范围．解答：解：问题等价于方程组在[0，2]上有解，即x2+（m﹣1）x+1=0在[0，2]上有解，令f（x）=x2+（m﹣1）x+1，则由f（0）=1知抛物线y=f（x）过点（0，1），∴抛物线y=f（x）在[0，2]上与x轴有交点等价于f（2）=22+2（m﹣1）+1≤0 ①或②由①得m≤﹣，由②得﹣＜m≤﹣1，∴实数m的取值范围为（﹣∞，﹣1]．点评：本题考查的知识点是集合关系中的参数取值问题，方程的根与函数零点之间的关系，其中将集合有公共元素转化为方程组有解，再转化为函数有零点，进而借助函数的图象和性质进行解答是本题的关键．16．（12分）已知x满足，求的最大值与最小值及相应的x的值．考点：对数函数图象与性质的综合应用．专题：函数的性质及应用．分析：由条件求得，化简函数y的解析式为，由此可得y最大值与最小值及相应的x的值．解答：已知x满足，求的最大值与最小值及相应的x的值．解：由题意，解得，∴．又∵=（log2x﹣1）（log2x﹣2）==，∴当时，，当log2x=3时，y max=2，即当时，；当x=8时，y max=2．点评：本题主要考查二元一次不等式、对数不等式的解法，属于中档题．17．（12分）设函数y=f（x）是定义在R+上的减函数，并且满足f（xy）=f（x）+f（y），．（1）求f（1）的值；（2）如果f（x）+f（2﹣x）＜2，求x的取值范围．考点：函数的值；函数单调性的性质．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：（1）利用赋值法：令x=y=1即可求解（2）利用赋值法可得，f（）=2，然后结合f（xy）=f（x）+f（y），转化已知不等式，从而可求解答：解：（1）令x=y=1，则f（1）=f（1）+f（1），∴f（1）=0（4分）（2）∵∴∴，又由y=f（x）是定义在R+上的减函数，得：解之得：．…（12分）点评：本题主要考查了利用赋值法求解抽象函数的函数值，及利用函数的单调性求解不等式，属于函数知识的综合应用18．（12分）某种商品每件进价12元，售价20元，每天可卖出48件．若售价降低，销售量可以增加，且售价降低x（0≤x≤8）元时，每天多卖出的件数与x2+x成正比．已知商品售价降低3元时，一天可多卖出36件．（1）试将该商品一天的销售利润表示成x的函数；（2）该商品售价为多少元时一天的销售利润最大？考点：函数最值的应用．专题：综合题；函数的性质及应用．分析：（1）确定每件商品的利润，每天卖出的商品件数，即可求得该商品一天的销售利润表示成x的函数；（2）求导函数，确定函数的极值，从而可得最大利润．解答：解：（1）由题意可设，每天多卖出的件数为k（x2+x），∴36=k（32+3），∴k=3 又每件商品的利润为（20﹣12﹣x）元，每天卖出的商品件数为48+3（x2+x）∴该商品一天的销售利润为f（x）=（8﹣x）[48+3（x2+x）]=﹣3x3+21x2﹣24x+384（0≤x≤8）（2）由f'（x）=﹣9x2+42x﹣24=﹣3（x﹣4）（3x﹣2）令f'（x）=0可得或x=4当x变化时，f'（x）、f（x）的变化情况如下表：0 4 8﹣0 + 0 ﹣384 ↘极小值↗极大值432 ↘0 ∴当商品售价为16元时，一天销售利润最大，最大值为432元点评：本题考查函数模型的构建，考查导数知识的运用，解题的关键是确定函数的解析式．19．（8分）设函数f（x）=e2x+|e x﹣a|，（a为实数，x∈R）．（1）求证：函数f（x）不是奇函数；（2）若g（x）=x a在（0，+∞）单调减，求满足不等式f（x）＞a2的x的取值范围；（3）求函数f（x）的值域（用a表示）．考点：反证法与放缩法；奇偶性与单调性的综合；其他不等式的解法．专题：计算题；应用题；分类讨论；转化思想．分析：（1）利用反证法，假设f（x）是奇函数，则f（﹣x）=﹣f（x），推出矛盾结果，即可证明函数f（x）不是奇函数；（2）利用g（x）=x a在（0，+∞）单调减，求出a的范围，然后解不等式f（x）＞a2，求出x的取值范围；（3）通过当a≤0，，，分别求函数f（x）的值域（用a表示）即可．解答：解：（1）证明：假设f（x）是奇函数，则f（﹣x）=﹣f（x），而x∈R，则f（0）=0，而f（0）=e0+|e0﹣a|=1+|1﹣a|≠0，故假设不成立，从而函数f（x）不是奇函数．（2）因g（x）=x a在（0，+∞）单调减，则a＜0，e2x+|e x﹣a|=e2x+e x﹣a＞a2则（e x﹣a）（e x+a+1）＞0，而（e x﹣a）＞0，则e x＞﹣a﹣1，于是x＞ln[﹣（a+1）]；（3）设e x=t，则t＞0，y=f（x）=t2+|t﹣a|，当a≤0时，y=f（x）=t2+t﹣a在t＞0时单调增，则f（x）＞f（0）=﹣a；当时，y=f（x）=t2+t﹣a≥f（a）=a2；当时，；故当a≤0时，f（x）的值域为（﹣a，+∞）；当时，f（x）的值域为（a2，+∞）；当时，f（x）的值域为．点评：本题考查函数的单调性的应用，函数的值域的求法，分类讨论思想的应用，考查转化思想计算能力．20．（8分）已知奇函数f（x）=ax3+bx2+cx（a≠0）在x=1处取得极大值2．（1）求函数y=f（x）的解析式；（2）对于区间[﹣2，2]上任意两个自变量的值x1，x2都有|f（x1）﹣f（x2）|≤c，求实数c的最小值；（3）若关于p的一元二次方程p2﹣2mp+4=0两个根均大于1，求函数的单调区间．考点：导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究函数的极值．专题：导数的概念及应用．分析：（1）根据奇函数的性质f（﹣x）=f（x），已知条件函数f（x）=ax3+bx2+cx（a≠0）在x=1处取得极大值2可以推出f′（1）=0和f（1）=2，代入即可求得函数y=f（x）的解析式；（2）根据题意对于区间[﹣2，2]上任意两个自变量的值x1，x2都有|f（x1）﹣f（x2）|≤c，将问题转化为）|f（x1）﹣f（x2）|≤|f（x）max﹣f（x）min|，求出f（x）的最大值和最小值即可；（3）已知关于p的一元二次方程p2﹣2mp+4=0两个根均大于1，根据根与系数的关系求出m的范围，利用导数研究函数g（x）的单调性；解答：解：（1）∵奇函数f（x）=ax3+bx2+cx（a≠0）在x=1处取得极大值2，奇函数f（﹣x）=﹣f（x），解得b=0，可得f′（x）=3ax2+c由题，解得，f（x）=﹣x3+3x；（2）|f（x1）﹣f（x2）|≤|f（x）max﹣f（x）min|=4，根据（1）可得f（x）=﹣x3+3x；求导得f′（x）=﹣3x2+3=﹣3（x2﹣1）令f′（x）=0，可得x=1或﹣1，当f′（x）＞0即﹣1＜x＜1，f（x）为增函数，当f′（x）＜0时即x＞1或x＜﹣1，f（x）为减函数，f（x）在x=1处取极大值f（1）=2，在x=﹣1处取得极小值f（﹣1）=﹣，2；f（﹣2）=2，f（2）=﹣2，∴f（x）max=2，f（x）min=﹣2，要使对于区间[﹣2，2]上任意两个自变量的值x1，x2都有|f（x1）﹣f（x2）|≤c，∴|f（x1）﹣f（x2）|≤|f（x）max﹣f（x）min|=4，故c的最小值为4；（3）p2﹣2mp+4=0两个根均大于1，则求得，g（x）=﹣x2+3+mlnx，则x＞0．．而，则时，g'（x）＞0，故是g（x）的单调增区间，时，g'（x）＜0，故是g（x）的单调减区间．点评：此题主要考查利用导数研究函数的单调性，考查的知识点比较全面是一道中档题，这类题是高考的热点问题；21．（10分）已知a，b∈R，若所对应的变换T M把直线L：2x﹣y=3变换为自身，求实数a，b，并求M的逆矩阵．考点：逆变换与逆矩阵．专题：计算题；选作题．分析：首先分析题目已知所对应的变换T M把直线L：2x﹣y=3变换为自身，故可根据变换的性质列出一组方程式求解出a，b即可得到矩阵M，再根据MM1=E，求得M的逆矩阵即可．解答：解：设P（x，y）为直线2x﹣y=3上任意一点其在M的作用下变为（x'，y'）则代入2x﹣y=3得：﹣（b+2）x+（2a﹣3）y=3其与2x﹣y=3完全一样．故得则矩阵又因为MM1=E则点评：此题主要考查矩阵变换的问题，其中涉及到逆矩阵的求法，题中是用一般方法求解，也可根据取特殊值法求解，具体题目具体分析找到最简便的方法．22．（10分）已知直线l的参数方程为（t为参数），若以直角坐标系xOy的O点为极点，Ox方向为极轴，选择相同的长度单位建立极坐标系，得曲线C的极坐标方程为（1）求直线l的倾斜角；（2）若直线l与曲线C交于A，B两点，求|AB|．考点：圆的参数方程；直线与圆相交的性质；直线的参数方程．专题：计算题．分析：（1）根据直线参数方程中的意义，求出直线l的倾斜角．（2）把曲线C的极坐标方程化为普通方程，可知曲线是圆，根据点到直线的距离公式和圆被直线所截得的弦长公式进行计算．解答：解：（1）直线参数方程可以化，根据直线参数方程的意义，这条经过点，倾斜角为60°的直线．（2）l的直角坐标方程为，的直角坐标方程为，所以圆心到直线l的距离，∴．点评：本题考查直线的参数方程、圆的极坐标方程，这两个方程是坐标系与参数方程中的重点．经过点P0（x0，y0）、倾斜角为α的直线的参数方程是其中t为参数，直线上的点P 处的参数t的几何意义是有限线段的数量．以及点到直线的距离公式的应用．23．（10分）甲、乙两名乒乓球运动员进行比赛，采用五局三胜制．若每一局比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为．现已完成一局比赛，乙暂时以1：0领先．（1）求甲获得这次比赛胜利的概率；（2）设比赛结束时比赛的局数为X，求随机变量X的概率分布列和数学期望．考点：互斥事件的概率加法公式；离散型随机变量及其分布列．专题：压轴题．分析：（1）甲获得这次比赛胜利，包括甲以3：1获胜和甲以3：2获胜，而前两种情况是互斥的，根据独立重复试验公式和互斥事件的概率公式，列出算式，得到结果．（2）比赛结束时比赛的局数为X，则X的可能取值是3、4、5，当X=3时，乙获得比赛胜利，当X=4时，甲和乙都有可能胜利，包括甲第2、3、4局都胜，或是乙，第2、3局胜一局，第4局一定胜．解答：解：（1）设甲获胜为事件A，则甲获胜包括甲以3：1获胜（记为事件A1）和甲以3：2获胜（记为事件A2），且事件A1，A2为互斥事件，∴P（A）=P（A1+A2）=P（A1）+P（A2）=．答：甲获得这次比赛胜利的概率为．（2）随机变量X的所有可能取值为3，4，5，随机变量的分布列为P（X=3）=，P（X=4）==，P（X=5）=．∴随机变量X的数学期望为E（X）=．点评：本小题主要考查古典概型及其概率计算，考查取有限个值的离散型随机变量及其分布列和均值的概念，通过设置密切贴近现实生活的情境，考查概率思想的应用意识和创新意识．24．（14分）已知多项式．（1）求f（1）及f（﹣1）的值；（2）试探求对一切整数n，f（n）是否一定是整数？并证明你的结论．考点：反证法与放缩法；函数的值．专题：计算题；压轴题．分析：（1）根据，直接求出f（1）和f（﹣1）的值．（2）对一切整数n，f（n）一定是整数．（10）先用数学归纳法证明：对一切正整数n，f（n）是整数．再证n=0时，f（0）是整数，再证当n为负整数时，令n=﹣m，m是正整数，证明f（﹣m）是整数，从而命题得证．解答：解：（1）∵，∴f（1）=1；f（﹣1）=0．（2）对一切整数n，f（n）一定是整数．证明如下：（10）先用数学归纳法证明：对一切正整数n，f（n）是整数．①当n=1时，f（1）=1，结论成立．②假设当n=k（k≥1，k∈N*）时，结论成立，即是整数，则当n=k+1时，==f（k）+k4+4k3+6k2+4k+1，根据假设f（k）是整数，而k4+4k3+6k2+4k+1显然是整数，故f（k+1）是整数，从而当n=k+1时，结论也成立．由①、②可知对对一切正整数n，f（n）是整数．…（7分）（20）当n=0时，f（0）=0是整数．…（8分）（30）当n为负整数时，令n=﹣m，则m是正整数，由（1）f（m）是整数，所以==﹣f（m）+m4是整数．综上，对一切整数n，f（n）一定是整数．…（10分）点评：本题主要考查二项式定理、用数学归纳法证明数学命题，推出当n=k+1时命题也成立，是解题的关键和难点，体现了分类讨论的数学思想，属于难题．。
上海市浦东新区达标名校2020年高考一月大联考数学试卷含解析
上海市浦东新区达标名校2020年高考一月大联考数学试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．如果直线1ax by +=与圆22:1C x y +=相交，则点(),M a b 与圆C 的位置关系是（ ） A ．点M 在圆C 上 B ．点M 在圆C 外 C ．点M 在圆C 内D ．上述三种情况都有可能2．各项都是正数的等比数列{}n a 的公比1q ≠，且2311,,2a a a 成等差数列，则3445a a a a ++的值为( )A．12 B．12C．12D．12或123．35(1)(2)x y --的展开式中，满足2m n +=的m n x y 的系数之和为（ ） A ．640B ．416C ．406D ．236-4．定义在R 上的函数()f x 满足()()2log 10()50x x f x f x x ⎧-≤⎪=⎨->⎪⎩，则()2019f =（）A ．-1B ．0C ．1D ．25．在钝角ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，B 为钝角，若cos sin a A b A =，则sin sin A C +的最大值为（ ） AB ．98C ．1D ．786．给甲、乙、丙、丁四人安排泥工、木工、油漆三项工作，每项工作至少一人，每人做且仅做一项工作，甲不能安排木工工作，则不同的安排方法共有（ ） A ．12种B ．18种C ．24种D ．64种7．已知函数()32,0log ,0x x f x x x ⎧≤=⎨>⎩，则=f f ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（ ） AB ．12C ．3log 2-D ．3log 28．已知,a R b R ∈∈，则“直线210ax y +-=与直线(1)210a x ay +-+=垂直”是“3a =”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件9．在平面直角坐标系中，经过点P，渐近线方程为y =的双曲线的标准方程为（ ）A ．22142-=x yB．221714x y-=C．22136x y-=D．221147y x-=10．在ABC∆中，角,,A B C的对边分别为,,a b c，3Cπ=，若()6,m c a b=--，(),6n a b c=-+，且//m n，则ABC∆的面积为（）A．3B．932C．332D．3311．已知0x>，a x=，22xb x=-，ln(1)c x=+，则（）A．c b a<<B．b a c<<C．c a b<<D．b c a<<12．函数3()cos ln||f x x x x x=+在[,0)(0,]ππ-的图象大致为（）A．B．C．D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2020年上海市浦东中学高三数学理月考试题含解析
2020年上海市浦东中学高三数学理月考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 设函数f（x）=x m+ax的导函数f′（x）=2x+1，则数列{}（n∈N*）的前n项和是（）A．B．C．D．参考答案：A【考点】数列的求和；导数的运算．【分析】函数f（x）=x m+ax的导函数f′（x）=2x+1，先求原函数的导数，两个导数进行比较即可求出m，a，然后利用裂项法求出的前n项和，即可．【解答】解：f′（x）=mx m﹣1+a=2x+1，∴a=1，m=2，∴f（x）=x（x+1），==﹣，用裂项法求和得S n=．故选A2. 已知集合的值为（）A．1或－1或0 B．－1 C．1或－1 D．0参考答案：A因为,即m=0,或者,得到m的值为1或－1或0，选A3. 复数在复平面内对应的点的坐标为（）A．B．C． D．参考答案：A4. 设a、b为两条不同的直线，α、β为两个不同的平面．下列命题中，正确的是( )A．若a、b与α所成的角相等，则a∥bB．若α⊥β，m∥α，则m⊥βC．若a⊥α，a∥β，则α⊥βD．若a∥α，b∥β，则a∥b参考答案：C【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．【分析】当两条直线与一个平面所成的角相等时，这两条直线的关系不能确定，当两个平面垂直时，一条直线与一个平面垂直，则这条直线与另一个平面的关系都有可能，当两条直线分别和两个平面平行，这两条直线之间没有关系，得到结论．【解答】解：当两条直线与一个平面所成的角相等时，这两条直线的关系不能确定，故A不正确，当两个平面垂直时，一条直线与一个平面垂直，则这条直线与另一个平面的关系都有可能，故B不正确，当一条直线与一个平面垂直，与另一个平面平行，则这两个平面之间的关系是垂直，故C正确，当两条直线分别和两个平面平行，这两条直线之间没有关系，故D不正确，故选C．【点评】本题考查空间中直线与平面之间的关系，对于这种问题中错误的结论只要找一个反例说明一下就可以得到结论是错误的．5. 函数的零点个数为（）A．0 B．1 C．2 D．3参考答案：A考点：零点与方程试题解析：函数的定义域为令令所以所以函数没有零点。
上海市浦东新区2019-2020学年高三第一学期数学一模考试卷
浦东新区2019学年度第一学期期末教学质量检测高三数学试卷 2019.12考生注意：1、本试卷共21道试题，满分150分，答题时间120分钟；2、请在答题纸上规定的地方解答，否则一律不予评分 .一、填空题（本大题满分54分）本大题共有12题，1-6题每题4分，7-12题每题5分．考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分或5分，否则一律得零分．1．若集合{|03}A x x =<<，集合{|2}B x x =<，则A B =____________．2．222lim 31n n n →∞=+____________．3．复数z 满足i 1i z ⋅=+（i 为虚数单位），则z =____________．4．若关于y x 、的方程组为12x y x y +=⎧⎨-=⎩，则该方程组的增广矩阵为____________．5．设{}n a 是等差数列，且13a =，3518a a +=，则n a =____________． 6．在6(x+的二项展开式中，常数项为____________． 7．如果圆锥的底面圆半径长为1，母线长为2，则该圆锥的侧面积为____________． 8．已知集合1112,1,,,,1,2,3232A ⎧⎫=---⎨⎬⎩⎭，任取k A ∈，则幂函数()k f x x =为偶函数的概率为____________．（结果用数值表示）9．在ABC △中，边a b c 、、满足6a b +=，120C ∠=︒，则边c 的最小值为___________．10．若函数2y ax a =+存在零点，则实数a 的取值范围是____________．11．已知数列{}n a 中，111,(1)1n n a na n a +==++，若对于任意的[2,2]a ∈-、*n N ∈，不等式1321t n a a n +<-⋅+恒成立，则实数t 的取值范围为_____________．12．如果方程组⎩⎨⎧=+++=+++2019sin sin 2sin 0sin sin sin 2121n n x n x x x x x 有实数解，则正整数n 的最小值是____________．二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案．考生必须在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分． 13．若命题甲：10x -=，命题乙：2lg lg 0x x -=.则命题甲是命题乙的（ ） （A ）充分非必要条件 （B ）必要非充分条件 （C ）充要条件 （D ）非充分非必要条件14．已知函数1()f x -为函数()f x 的反函数，且函数(1)f x -的图像经过点11（，），则函数1()f x -的图像一定经过点（ ）（A ）01（，） （B ）10（，） （C ）12（，） （D ）21（，）15．以抛物线24y x =的焦点为右焦点，且长轴为4的椭圆的标准方程为（ ）（A ）2211615x y += （B ）221164x y += （C ）22143x y += （D ）2214x y +=16．动点(,)A x y 在圆221x y +=上绕坐标原点作逆时针匀速圆周运动，旋转一周的时间恰好是12秒．已知时间0t =时，点A的坐标是12⎫⎪⎪⎝⎭． 则动点A 的纵坐标y 关于t （单位：秒）的函数在下列哪个区间上单调递增（ ） （A ）[]0,3 （B ）[]3,6 （C ）[]6,9 （D ）[]9,12三、解答题（本大题满分76分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．17．（本题满分14分）.本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分.如图，四棱锥ABCD S -的底面是正方形，SD ⊥平面ABCD ,a AD SD ==，点E 是线段SD 上任意一点． （1）求证：BE AC ⊥；（2）试确定点E 的位置，使BE 与平面ABCD 所成角的大小为30．18．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.已知函数2()2cos 2f x x x =+.（1）求函数()f x 的最小正周期及单调递增区间；（2）在ABC △中，6BC BA ⋅=，若函数()f x 的图像经过点)2,(B ，求ABC ∆的面积. S D BACE19．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.某贫困村共有农户100户，均从事水果种植，平均每户年收入为8.1万元．在当地政府大力扶持和引导下，村委会决定，2020年初抽出x 5户（9,≤∈*x N x ）从事水果销售工作．经测算，剩下从事水果种植的农户平均每户年收入比上一年提高了%4x ，而从事水果销售的农户平均每户年收入为⎪⎭⎫⎝⎛-x 513万元． （1）为了使从事水果种植的农户三年后平均每户年收入不低于2.4万元，那么2020年初至少应抽出多少农户从事水果销售工作？（2）若一年后，该村平均每户的年收入为()f x （万元），问()f x 的最大值是否可以达到2.1万元？20．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分.已知曲线:C 221x y -=，过点(,0)T t 作直线l 和曲线C 交于,A B 两点.（1）求曲线C 的焦点到它的渐近线之间的距离；（2）若0t =，点A 在第一象限，AH x ⊥轴，垂足为H ，连结BH .求直线BH 倾斜角的取值范围；（3）过点T 作另一条直线m ，m 和曲线C 交于,E F 两点. 问是否存在实数t ，使得0AB EF ⋅=和AB EF =同时成立.如果存在，求出满足条件的实数t 的取值集合；如果不存在，请说明理由.21．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分.定义()3,N ),,,(1322121≥∈-++-+-=*-n n a a a a a a a a a f n n n 为有限实数列{}n a 的波动强度． （1）求数列1423，，，的波动强度；（2）若数列,,,a b c d 满足()()0a b b c -->，判断()(),,,,,,f a b c d f a c b d ≤是否正确，如果正确请证明，如果错误请举出反例；（3）设数列n a a a ,,,21 是数列nn 2,,23,22,21321++++ 的一个排列，求()12,,,n f a a a 的最大值，并说明理由．浦东高三数学答案 2019.12一、填空题 注：填写等价即可得分1、 0,2)（；2、23； 3； 4、111112⎛⎫⎪-⎝⎭； 5、21n a n =+ ； 6、15；7、2π； 8、0.25； 9、10、； 11、(],1-∞-； 12、 90. 二、选择题 13----16： ABCD三、解答题 注：其他解法相应给分17．【解答】（1）证明：联结BD ，因为四边形ABCD 为正方形， 所以，BD AC ⊥，……………………………………………………2分 又因为SD ⊥平面ABCD ，AC ⊂≠平面ABCD ，所以SD AC ⊥．………………………………………………………4分 由⎪⎩⎪⎨⎧=⋂⊥⊥D SD BD SD AC BDAC ⇒⊥AC 平面SBD ．……………………………………………………………6分又因为BE ⊂≠平面S E ，所以BE AC ⊥．…………………………………………………………7分（2）解法一：设t ED =，因为SD ⊥平面ABCD ， 所以BE与平面A B 所成角为EBD ∠．…………………………………………………………2分 在EDBRt ∆中，由t a EBD ∠=30︒at 2=a t 36=⇒．……………………………………6分 所以，当a ED 36=时，BE 与平面A B C D 所成角的大小为30．………………………………7分解法2：（1）以D 为坐标原点，建立空间直角坐标系．()000,,D ，()00,,a A ，()0,a ,a B ，()00,a ,C ．S DBACE设t DE =,则)t ,,(E 00 ………………………………………………2分 则()0,a ,a -=，()t ,a ,a --=……………………………4分因为0022=+-=⋅a a BE AC ， 所以BE AC ⊥ (7)分 （2）取平面AB的一个法向量为()100,,n = ………………………………………………8分因为()t ,a ,a --=，可知直线BE 的一个方向向量为()t ,a ,a --=．设BE 与平面ABCD 所成角为θ，由题意知=θ30．与所成的角为ϕ，则222ta a t cos ++==ϕ，…………………………………………………………………10分 因为21=ϕ=θc o ss i n，所以，21222=++t a a t ，……………………………………………12分 解得，a t 36=．………………………………………………………………………………………13分 当a ED 36=时，BE 与平面A B C 所成角的大小为30．……………………………………14分18．【解答】（1）()2sin 216f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭ …………………………………………………………3分,,,36T x k k k Z πππππ⎡⎤⇒=∈-+∈⎢⎥⎣⎦ (6)分 （2）302162sin 2)(πππ=⇒⎪⎩⎪⎨⎧<<=+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=B B B B f………………………………………………10分612B C B A a c ⋅=⇒= (12)分∴1sin 2ABC S ac B ==△…………………………………………………………………14分19．【解答】（1）经过三年，种植户的平均收入为31.8(14%)x + ………………………………2分 因而由题意31.8(1)2.425x +≥，得1 2.516125x x +≥≥ ……………………………………4分 由3x Z x ∈⇒≥,即至少抽出15户贫困农户从事水果销售工作. …………………………………6分 （2）2*5(3) 1.8(1005)(1)13466525()(180)(,9)100100255x xx x f x x x x N x -+⨯-+==-++∈≤……10分 对称轴*16534x N =∉， ………………………………………………………………………………11分 因而当()95<=x 时，ma ()2.122f x=> ……………………………………………………13分 可以达到2万元． ………………………………………………………………………………14分 20．【解答】（1）曲线C的焦点为())12,F F ，渐近线方程y x =±，……………2分由对称性，不妨计算)2F 到直线y x =的距离，1d ==. ……………4分（2）设:(01)l y kx k =<<，11111(,),(,),(,0)A x y B x y H x --，从而1122BH y kk x ==………7分 又因为点A 在第一象限，所以01k <<， ………………………………………………8分从而102BH k ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，…………………………………………………………………………9分所以直线BH倾斜角的取值范围是1(,a r c t a n )2………………………………………10分 （3）当直线:0l y =，直线:m x t = ((2,,0,AB E F =，t ⇒=当直线:l x t =，直线:0m y =时，t =这种不讨论不扣分）………11分不妨设():()0l yk x t k=-≠，与双曲线联立可得22222(1)2(1)0k x k tx k t -+-+=，…12分由弦长公式，22||AB == ……………………14分 将k替换成1k-，可得2||21EF k =- ………………………………………15分由||||AB EF =，可得2222(1)11t k t k -+=-+，解得22t =，此时2224(1)0k t k ∆=-+>成立． 因此满足条件的集合为21．【解答】解：（1）()1,4,2,31442236f =-+-+-=…………………………………4分 （2）()(),,,,,,f a b c d f a c b d ≤是正确的…………………………………………………………6分解法1：()(),,,,,,f a b c d f a c b d a b c d a c b d -=-+-----，a b c a b c >><<或，a b a c b c ∴---=--，c d b d b c ---≤-所以()(),,,,,,0f a b c d f a c b d -≤，即()(),,,,,,f a b c d f a c b d ≤ 并且当b c >时，d b ≥可以取等号，当c b >时，若d b ≤可以取等号， 所以等号可以取到……………………………………………………………………………………10分 解法2：不妨设a b c >>，分4种情况讨论[1] 若d a ≥，则()()()()()(),,,,,,0f a b c d f a c b d a b d c a c d b -=-+-----=，()(),,,,,,f a b c d f a c b d ∴=………………………………………………………………………7分 [2]若a d b>≥，则()()()()()(),,,,,f a b c d f-=-+，()(),,,,,,f a b c d f a c b d ∴=………………………………………………………………………8分[3] 若b d c >≥，则()()()()()(),,,,,,f a b c d f a c b d a b d c a c b d -=-+-----=()20d b -<，()(),,,,,,f a b c d f a c b d ∴<………………………………………………9分[4] 若c d >，则()()()()()(),,,,,,f a b c d f a c b d a b c d a c b d -=-+-----=()20c b -<，()(),,,,,,f a b c d f a c b d ∴<………………………………………………10分（3）设2ii b i =+，1i n ≤≤，{}n b 是单调递增数列.分n 是奇、偶数情况讨论 ………………………………………………………………………11分()121122,,...,n n n f a a a x a x a x a =+++，其中{}1,1,1n x x ∈-，{}21,...,2,0,2n x x -∈-，并且120n x x x +++=.经过上述调整后的数列，系数21,...,n x x -不可能为0.当n 为偶数时，系数中有12n -个2和12n-个2-，1个1和1个1-. 当n 为奇数时，有两种情况（1）系数中有12n -个2和32n -个2-，2个1-.（2）系数中有12n -个2-和32n -个2，2个1.[1] n 是偶数，*2,2,n k k k N =≥∈，()()2211122k k k k k b b b b b b ++-=+++--++L L …………………………………………………13分()()()22111k k k k k =+++---+-++⎡⎤⎣⎦L L2112222222k k k k k ++⎡⎤++---+-⎣⎦L L ()2211=21222222k k k ++⎡⎤-+---⎣⎦2223212224k k k k ++=-+--+221429232n nn =+⋅-⋅+………………………………………………………………………15分[2] n 是奇数，*21,n k k N =+∈，因为2120k k k b b b +-+>，212122k k k k k k b b b b b b ++++∴--≥+-，可知()()21211122k k k k k b b b b b b +++-++---++≥L L ()()21321122k k k k k b b b b b b ++++++++-++L L()12,,...,n f a a a ()21324321121,,,,,,,...,,,,k k k k k k k k f b b b b b b b b b b b +++--+≤()()21211122k k k k k b b b b b b +++-≤++---++L L………………………………………………17分()()()()()22+1211+2+1k k k k k k =+++-+---+++⎡⎤⎣⎦L L2+12+1122222+2+2k k k k k++⎡⎤++---⎣⎦L L ()222k =-()()+2+1k k ++()222222222+32k k k ++⎡⎤+---⋅⎣⎦223122121324k k k k ++=+-+-⋅+122154213222n nn -=+⋅-⋅+………………………………………………………………………18分综上，()22121max22142923,42,,...,1542132322nnn n n n n n f a a a n n n -⎧+⋅-⋅+≥⎪⎪=⎡⎤⎨⎣⎦⎪+⋅-⋅+≥⎪⎩是偶数，是奇数，。
2019届上海市浦东实验学校高三上学期第一次月考数学试题(解析版)
2019届上海市浦东实验学校高三上学期第一次月考数学试题一、单选题1． 设全集U ＝{x ∈N|x ≥2}，集合A ＝{x ∈N|x 2≥5}，则∁U A ＝( ) A ．∅ B ．{2} C ．{5} D ．{2，5} 【答案】B 【解析】试题分析：,故选B ．【考点】1、二次不等式；2、集合的基本运算． 2．已知命题甲是“”，命题乙是“”，则（ ）A ．甲是乙的充分条件，但不是乙的必要条件B ．甲是乙的必要条件，但不是乙的充分条件C ．甲是乙的充要条件D ．甲既不是乙的充分条件，也不是乙的必要条件 【答案】B【解析】试题分析：由已知命题甲：，命题乙：；显然甲是乙的必要条件，但不是乙的充分条件，选B 【考点】充要条件3．设函数()2010x x f x x -⎧≤=⎨>⎩，，，则满足()()12f x f x +<的x 的取值范围是（ ）A ．(]1-∞-，B ．()0+∞，C ．()10-，D ．()0-∞，【答案】D【解析】分析：首先根据题中所给的函数解析式，将函数图像画出来，从图中可以发现若有()()12f x f x +<成立，一定会有2021x x x <⎧⎨<+⎩，从而求得结果.详解：将函数()f x 的图像画出来，观察图像可知会有2021x x x <⎧⎨<+⎩，解得0x <，所以满足()()12f x f x +<的x 的取值范围是()0-∞，，故选D .点睛：该题考查的是有关通过函数值的大小来推断自变量的大小关系，从而求得相关的参数的值的问题，在求解的过程中，需要利用函数解析式画出函数图像，从而得到要出现函数值的大小，绝对不是常函数，从而确定出自变量的所处的位置，结合函数值的大小，确定出自变量的大小，从而得到其等价的不等式组，从而求得结果. 4．已知函数()f x 满足：()114f =，()()()()4f x f y f x y f x y =++-(),x y R ∈，则()2019f =（ ）. A ．12B ．-12C ．14D ．-14【答案】B 【解析】【详解】 取x=1，y=0，得()102f =； 取x=1，y=1，得()()()24120ff f =+，故()124f =-；取x=2，y=1，得()()()()41231f f f f =+，故()132f =-； 取x=n ，y=1，有()()()11f n f n f n =++- 同理，()()()12f n f n f n +=++.联立得()()21f n f n +=--，故()()6f n f n +=. 所以周期为6，故()()()120193366332f f f =⨯+==-. 故答案为：B二、填空题5．设全集U R =，集合{|01}M x x =<≤，{|0}N x x =≤，则()U MC N = ．【答案】{|01}x x <≤ 【解析】试题分析：{|0},{|0},(){|01}U U N x x C N x x MC N M x x =≤∴=>∴==<≤【考点】集合的运算6．偶函数 y = f ( x ) 的图象关于直线 x = 2 对称， f (3) = 3 ，则 f (-1) = （_______） 【答案】3【解析】由偶函数可得f(-1)=f(1),由f(x)关于x=2对称可得f(1)=f(3)，即可得解. 【详解】由偶函数可得f(-1)=f(1),由f(x)关于x=2对称可得f(1)=f(3) 则f(-1)=f(3)=3. 故答案为3 【点睛】本题主要考查函数的奇偶性和对称性的运用，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.7．设集合22{5,log (36)}A a a =-+，集合{1,,}B a b =，若{2}AB =，则集合A B 的真子集的个数是 ． 【答案】15【解析】试题分析：：因为集合22{5,log (36)}A a a =-+，集合{1,,}B a b =，{2}A B =所以22log (36)2a a -+=，即2364a a -+=，解得12a a ==或．因为1a =时，B 中有相同元素，不满足互异性，故舍；2a ∴=所以12}5{A B b ⋃=，，，，有四个元素，所以它的真子集的个数是15个 【考点】交集及其运算，子集与子集真子集 8．设集合41{(,)|3,,}27x y M x y x y R -==∈，{(,)|)2,,}N x y x y x y R =-=∈，则MN = ．【答案】(){}5,2【解析】试题分析：4431{(,)|3,,},3327x y x y M x y x y R ---==∈∴=，即43x y -=-，又2{(,)|log )2,,},0x y N x yx y x y R x y ⎧-=⎪=-=∈∴⎨->⎪⎩，联立可解得52x y =⎧⎨=⎩，即(){}5,2MN =【考点】集合的运算9．设x ，y 满足约束条件1010330x y x y x y +-≥⎧⎪--≤⎨⎪-+≥⎩,则z ＝x ＋2y 的最大值为_______．【答案】7【解析】试题分析：线性约束条件对应的可行域为直线10,10,330x y x y x y +-=--=-+=围成的三角形区域，三个顶点分别为()()()0,1,1,0,3,2，当直线2z x y =+过点()3,2时取得最大值10【考点】线性规划问题10．若关于x 的不等式23ax -<的解集为51|33x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭，则a =________. 【答案】3-【解析】试题分析：因为等式23ax -<的解集为51|33x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭,所以51,33-为方程23ax -=的根,即3a ⇒=-,故填3-.【考点】绝对值不等式 绝对值方程11．已知0,0x y >>，若不等式22x y kxy x y+≥+恒成立，则实数k 的最大值为 ． 【答案】9k ≤． 【解析】试题分析：0,0x y >>则不等式22x y kxy x y+≥+恒成立等价于()()22225x y x y x y k xy y x ++≤=++恒成立．22559x y y x ++≥+=．当且仅当22x y y x =，即x y =时“=”成立． 9k ∴≤．【考点】函数恒成立问题12．已知全集{}1234,,,U a a a a =，集合A 是集合U 的恰有两个元素的子集，且满足下列三个条件：①若1a A ∈，则2a A ∈； ②若3a A ∉，则2a A ∉； ③若3a A ∈，则4a A ∉.则集合A =___________.（用列举法表示） 【答案】{}23,a a【解析】试题分析：集合U 的恰含有两个元素的子集有{}{}{}{}{}{}121314232434,,,,,,,,,,,a a a a a a a a a a a a 共6个,其中符合题意的有{}{}{}122324,,,,,a a a a a a .任选其一作答即可.【考点】集合的子集.13．关于x 的不等式201x px q ≤++≤的解集为[3,4]，则p q += ． 【答案】6p q +=【解析】试题分析：由题意，方程20x px q ++=无实数根，且当3,4x =时，2x px q ++的值为1，所以，93176164113p q p p q p q q ++==-⎧⎧∴∴+=⎨⎨++==⎩⎩【考点】一元二次函数的性质 14．已知R λ∈，函数()2443x x f x x x x λλ-≥⎧=⎨-+<⎩，，，若函数()f x 恰有2个零点，则λ的取值范围是_________. 【答案】(]1,3(4,)⋃+∞【解析】作出函数()f x 的图像，根据函数()f x 恰有2个零点，结合函数图像，即可得出结果. 【详解】由40x -=得4x =；由2430x x -+=得1x =或3x =；作出函数()2443x x f x x x x λλ-≥⎧=⎨-+<⎩，，的大致图像如下：因为函数()f x 恰有2个零点， 所以由图像可得：13λ<≤或4λ>. 故答案为：(]1,3(4,)⋃+∞ 【点睛】本题主要考查由函数零点求参数的问题，作出函数图像，由数形结合的方法即可求解，属于常考题型.15．已知函数()41f x x x =+-，若存在121,,,44n x x x ⎡⎤⋯∈⎢⎥⎣⎦，，使得()()()()121n n f x f x f x f x -++⋯+=，则正整数n 的最大值是________.【答案】6 【解析】【详解】 由题意得()4113,154f x x x ⎡⎤=+-∈⎢⎥⎣⎦.故n 尽可能大时的情形为11333331544++++=，此时6n =.16．存在实数a ，对任意(0,]x m ∈，不等式21(2)ln0ax x a x---⋅≤恒成立，则实数m 的取值范围是__________．【答案】3(0,2【解析】先化简不等式，转化为两个不等式组，结合二次函数图象与一次函数图象分析确定满足条件的解. 【详解】因为(0,]x m ∈，所以101aa x->⇒< 22201(2)ln 01ln 0x x a a x x a a x x ⎧--≥-⎪--⋅≤⇔⎨-≤⎪⎩或2201ln0x x a ax ⎧--≤⎪⎨-≥⎪⎩， 即2201x x a x a ⎧--≥⎨≥-⎩或2201x x a x a⎧--≤⎨≤-⎩， 当0a ≤时，则(0,1)x ∈时，220,1x x a x a --≥≤-，即此时不等式21(2)ln0ax x a x---⋅≤不成立， 当0a >时，设0x 为满足220x x a --=较小的根，则110(0,],min{,1}x x x x a ∈=-时，满足2201x x a x a⎧--≤⎨≤-⎩，即此时不等式21(2)ln 0a x x a x ---⋅≤恒成立当01x a =-时，即222(1)(1)01001a a a a a a a ----=∴+-=<<∴=因此01m <≤-=故答案为：3(0,]2- 【点睛】本题考查不等式恒成立问题以及二次函数图象性质，考查综合分析求解能力，属难题.三、解答题17．若奇函数f(x)在定义域(-1,1)上是减函数． （1）求满足2(1)(1)0f a f a -+-<的集合M ； （2）对（1）中的a ，求函数21()log [1()]xxa F x a-=-的定义域．【答案】（1）{|01}M a a =<<；（2）()F x 的定义域为{|01}x x <<．【解析】试题分析：（1）由f(x)是奇函数，且2(1)(1)0f a f a -+-<，可得2(1)(1)f a f a -<-，结合f(x)在(-1,1)是减函数得21111a a -<-<-<，解不等式可求M ；（2）由题意可得211()0xxa-->，结合01a <<，可知，21()x x u a-=是增函数可得20x x -<，可求定义域．试题解析：（1）∵()f x 是奇函数，又2(1)(1)0f a f a -+-<，∴2(1)(1)f a f a -<- 又()f x 是减函数，∴211a a ->-，再由(1,1)x ∈-，得21111a a -<-<-<， 解得：{|01}M a a =<<． （2）为使21()log [1()]x xa F x a-=-有意义，必须211()0xxa-->，即21()1xxa-<∵01a <<，∴11a>，21()x x u a -=是增函数，∴20x x -<解得01x <<，∴()F x 的定义域为{|01}x x <<． 【考点】抽象函数，复合函数的定义域18．（1）解关于x 的不等式：22(1)(1)2()a a x a x a a R +->++-∈．（2）如果24x a =-在上述表达式的解集中，求实数a 的取值范围．【答案】（1）φ；（2）(2,1)(3,)a ∈-+∞【解析】试题分析：（1）把原不等式右边的未知项移项到左边进行合并，同时右边的式子分解因式，然后根据1a >1a =，1a <三种情况，根据不等式的基本性质把x 的系数化为1，分别求出原不等式相应的解集即可；（2）分两种情况：1a >时，根据相应的解集列出关于a 的不等式组；同理1a <时列出相应的不等式组，求出两不等式组解集的并集即可得到a 的范围；试题解析：（1）原不等式2(1)2a x a a ->+-，当1a >时，解集为2x a >+；当1a <时，解集为2x a <+；当1a =时，解集为φ．（2）由题意，2124a a a >⎧⎨+<-⎩或2124a a a <⎧⎨+>-⎩，得(2,1)(3,)a ∈-+∞（或将24x a =-代入原不等式求解）【考点】不等式的解法19．经过多年的运作，“双十一”抢购活动已经演变成为整个电商行业的大型集体促销盛宴．为迎接2018年“双十一”网购狂欢节，某厂家拟投入适当的广告费，对网上所售产品进行促销．经调查测算，该促销产品在“双十一”的销售量p 万件与促销费用x 万元满足231p x =-+（其中0x a ≤≤，a 为正常数）．已知生产该产品还需投入成本102p+万元（不含促销费用），每一件产品的销售价格定为204p ⎛⎫+⎪⎝⎭元，假定厂家的生产能力完全能满足市场的销售需求．（1）将该产品的利润y 万元表示为促销费用x 万元的函数；（2）促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？并求出最大利润的值．【答案】（1）4161y x x =--+（0x a ≤≤）；（2）当1a ≥时，促销费用投入1万元，厂家的利润最大，为41611311--=+万元；当1a <时，促销费用投入a 万元,厂家的利润最大，为4161a a --+万元. 【解析】（1）根据产品的利润=销售额-产品的成本建立函数关系；（2）利用导数可求出该函数的最值． 【详解】（1）由题意知，()204102y p x p p ⎛⎫⎪⎝⎭=+--+， 将231p x =-+代入化简得：4161y x x =--+（0x a ≤≤）； （2）()()()()()()()222222143142311111x x x x x y x x x x -+++--+-'=--==-=-++++， （ⅰ）当1a ≥时，①当()0,1x ∈时，0y '>，所以函数4161y x x =--+在()0,1上单调递增，②当()1,x a ∈时，0y '<，所以函数4161y x x =--+在()1,a 上单调递减， 从而促销费用投入1万元时，厂家的利润最大； （ⅱ）当1a <时，因为函数4161y x x =--+在()0,1上单调递增， 所以在[]0,a 上单调递增，故当x a =时，函数有最大值， 即促销费用投入a 万元时，厂家的利润最大.综上，当1a ≥时，促销费用投入1万元，厂家的利润最大，为41611311--=+万元；当1a <时，促销费用投入a 万元，厂家的利润最大，为4161a a --+万元. 【点睛】本题考查函数模型的选择与应用以及利用导数求闭区间上函数的最值，属于综合题. 20．已知函数()y f x =，若在定义域内存在0x ，使得00()()f x f x -=-成立，则称0x 为函数()f x 的局部对称点.（1）若a 、b R ∈且0a ≠，证明：函数2()f x ax bx a =+-必有局部对称点；（2）若函数()2xf x c =+在区间[]1,2-内有局部对称点，求实数c 的取值范围；（3）若函数12()423x x f x m m +=-⋅+-在R 上有局部对称点，求实数m 的取值范围.【答案】（1）见解析（2）17[,1]8--（3）1m ≤【解析】（1）根据定义转化为方程，根据证明方程有解得结果；（2）根据定义转化为方程，利用变量分离转化为求对应函数值域，即得结果； （3）根据定义转化为方程，利用换元转化为对应一元二次方程有解问题，再根据实根分布求结果. 【详解】（1）由题意得222()()22001a x bx a ax bx a ax a a x ---=-+-∴-=≠∴=±根据定义可得函数2()f x ax bx a =+-必有局部对称点；（2）因为函数()2xf x c =+在区间[]1,2-内有局部对称点，所以2(2)xx c c -+=-+，即1(22)2x x c -=-+在区间[]1,2-内有解，设12,[,4]2xt t =∈，则111(22)()22x x c t t -=-+=-+在1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递增，在(1,4]上单调递减，所以51717[,1][,1)[,1]488c ∈----=--（3）因为函数12()423x x f x m m +=-⋅+-在R 上有局部对称点，所以1212423(423)x x x x m m m m --++-⋅+-=--⋅+-在R 上有解，2(442(22)2(3))0x x x x m m ---++-=+设22,[2,)x x t t -=+∈+∞，则22(222(3)0)t mt m --+-=，即222280t mt m -+-=在[2,)+∞上有解，所以222244(28)0224280m m m m m ⎧∆=--≥⎪<⎨⎪-+-≤⎩或2244(28)02m m m ⎧∆=--≥⎨≥⎩，211m m m ⎧-≤≤⎪<⎨⎪≤≤+⎩或2m m ⎧-≤≤⎪⎨≥⎪⎩1m ≤【点睛】本题考查函数新定义、函数值域以及一元二次方程实根分布，考查综合分析求解能力，属难题.21．设函数()||f x ax b =-，a ，b R ∈.（1）当0a =，1b =时，写出函数()f x 的单调区间；（2）当12a =时，记函数()f x 在[]0,4上的最大值为()g b ，在b 变化时，求()g b 的最小值；（3）若对任意实数a ，b ，总存在实数[]00,4x ∈，使得不等式0()f x m ≥成立，求实数m 的取值范围.【答案】（1）单调增区间为[1,)+∞，单调减区间为[0,1)，（2）14（3）14m ≤ 【解析】（1）先根据绝对值定义化简函数解析式，再直接写出单调区间；（2）先根据二次函数性质确定最大值取法，再比较大小确定()g b ，最后根据分段函数性质求()g b 最小值；（3）根据题意先分类讨论求出()f x 最大值，再求()f x 最大值的最小值，即得实数m 的取值范围.【详解】（1）当0a =，1b =时，1,1()111x f x ax b x ⎧≥⎪=-=⎨≤<⎪⎩ 所以函数()f x 的单调增区间为[1,)+∞，单调减区间为[0,1)， （2）2111()|||||1)|222f x ax b x b b =-=-=+- 所以{}1,41()max (0),(1),(4)max ,112,24b bg b f f f b b b b ⎧≥⎪⎧⎫⎪==-=⎨⎬⎨⎩⎭⎪-<⎪⎩因此min 11()()44g b g == （3）当0a =时{}max max min ,1()max ,2[()]12,1b b f x b b f x b b ⎧≥⎪=-=∴=⎨-<⎪⎩，令t =，则2[0,2],()||t f x at t b ∈=-+- 当0,a ≠时根据二次函数图象对称性可得当1(0)(2)()2f f f a==时()f x 最大值取最小值 1111||||224b b b a ∴=∴=-∴=，因此此时max min 1[()]4f x = 综上，max min 1[()]4f x =，从而14m ≤ 【点睛】本题考查函数单调性以及函数最值，考查综合分析求解能力，属难题.。
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2019-2020学年上海市浦东新区重点中学高三上学期第一次月考数学试卷
一. 填空题
1. 已知全集U R =，集合102x A x x ⎧+⎫
=≤⎨⎬-⎩⎭
，则集合u A =ð____________.
2. 已知函数34()log 2f x x ⎛⎫
=+ ⎪⎝⎭
，则方程1()4f x -=的解x =____________.
3. 已知线性方程组的增广矩阵为11334a --⎛⎫ ⎪⎝⎭，若该线性方程组的解为12-⎛⎫
⎪⎝⎭，则实数a =
____________.
4. 无穷等比数列*{}()n a n N ∈的前n 项的和是n S ，且1
lim 2
n n S →∞
=
，则首项1a 的取值范围是____________.
5. 已知虚数z 满足216z z i -=+，则||z =____________.
6. (1n 展开式的二项式系数之和为256，则展开式中x 的系数为____________.
7. 已知ABC 的内角A 、B 、C 所对应边的长度分别为a 、b 、c ，若
a c
b a
c a
b
b
--=
，则
角C 的大小是____________.
8. 学校有两个食堂，现有3名学生前往就餐，则三个人不在同一个食堂就餐的概率是____________.
9. 若数12345,,,,a a a a a 的标准差为2，则数1234532,32,32,32,32a a a a a ----
-的方差为
____________.
10. 如图，在矩形OABC 中，点E 、F 分别在线段AB 、BC 上，且满足
3,3AB AE BC CF ==，若(,)O B
O E O F R λμλμ=+∈，则λμ+=
____________.
11. 已知22430
()230
x x x f x x x x ⎧-+≤=⎨--+>⎩，当[,1]xa a +时不等式()(2)f x a f a x +≥-恒成立，
则实数a 的最大值是____________.
12. 已知()f x 是定义在R 上的奇函数，当01x ≤≤时，2()f x x =，当0x >时，(1)()(1f x f x f +=+，若直线y kx =与函数()y f x =的图像恰有11个不同的公共点，则实数k 的取值范围为____________.
13. 观察这个由自然数数列重新排列构成一个三角形数阵（如图），若把第 行的第个数记为，又，则
… … … …
14. 对于函数，有下列4个命题：
① 任取，都有恒成立； ② ，对于一切恒成立； ③ 函数有3个零点； ④ 对任意，不等式恒成立，则实数的取值范围是； 则其中所有真命题的序号是
二. 选择题
15. 下列函数中，值域为的函数是（ ） A. B. C. D.
16. 已知，则“
”是“”成立的（ ）条件
A. 充分不必要
B. 必要不充分
C. 充要
D. 既不充分也不必要
17. 若等比数列的公比为，则关于的二元一次方程组的
解的情况的下列说法中正确的是（ ）
A. 对任意，方程组有唯一解
B. 对任意，方程组无解
1,2,3,,,n ⋅⋅⋅⋅⋅⋅m n ,m n a ,1,12015m n m n a a +++=m n +=123
45
6
78910
11
12
131415
sin ,[0,2]()0.5(2),(2,)x x f x f x x π∈⎧=⎨-∈+∞⎩12,[0,)x x ∈+∞12()()2f x f x -≤()2(2)f x kf x k =+*()k N ∈[0,)x ∈+∞()ln(1)y f x x =--0x >()k f x x ≤
k 9
[,)8
+∞R 21y x =-1
1
x y x +=-12x y -=lg(1)y x =-0ab ≠1b
a
>1a b <{}n a q (0)q ≠,x y 13243
2a x a y a x a y +=⎧⎨+=-⎩q R ∈(0)q ≠q R ∈(0)q ≠
C. 当且仅当时，方程组有无穷多解
D. 当且仅当时，方程组无解
18. 已知函数，定义函数，给出下列命题：
① ；② 函数是奇函数；③ 当时，若，，总 有成立，其中所有正确命题的序号是（ ）
A. ②
B. ①②
C. ③
D. ②③
三. 解答题
19. 已知圆柱的底面半径为，上底面圆心为，正六边形内接于下底面圆，
与底面所成角为；
（1）试用表示圆柱的表面积；
（2）若圆柱体积为，求点到平面的距离；
20. 已知的角的对边分别为，设向量，，
（1）若∥，判断的形状；
（2）若，边长，，求的面积；
21. 已知函数；
23q =-2
3
q =-||
()21x f x a =⋅+(0)a ≠(),0
()(),0f x x F x f x x >⎧=⎨-<⎩
()|()|F x f x =()F x 0a <0mn <0m n +>()()0F m F n +<r O ABCDEF 1O OA 60︒r S 9πA
OEF ABC ∆,,A B C ,,a b c (,)m a b =(sin ,sin )n B A =(2,2)p b a =--m n ABC ∆m p ⊥2c =60C ︒∠=ABC ∆()|32|f x x =+
（1）解不等式；
（2）已知，若恒成立，求实数的取 值范围；
22. 设，函数；
（1）若，求函数在区间上的最大值；
（2）若，写出函数的单调区间；（写出必要的过程，不必证明）
（3）若存在，使得关于的方程有三个不相等的实数解，求实 数的取值范围；
23. 若数列满足条件：存在正整数，使得对一切，都成立， 则称数列为级等比数列；
（1）已知数列为2级等比数列，且前四项分别为、、、，求的值；
（2）若（为常数），且数列是3级等比数列，求所有可能的
值，并求取最小正值时数列的前项和；
（3）证明：正数数列为等比数列的充要条件是数列既为2级等比数列，也为3级 等比数列；
()4|1|f x x <--1m n +=(,0)m n >11
||()x a f x m n
--≤+(0)a >a a R ∈()||2f x x x a x =⋅-+2a =()f x [0,3]2a >()f x [2,4]a ∈-x ()()f x t f a =⋅t {}n a k n k n n n k
a a
a a +-=*n N ∈n k >{}n a k {}n a 41
3
2189a a ⋅2sin()6n n a n π
ω=+ω{}n a ωω{}n a 3n 3n S {}n a {}n a
2019-2020学年上海市浦东新区重点中学高三上学期第一次月考数学试卷
参考答案
一. 填空题 1、()[),12,-∞-+∞ 2、1 3、2
4、110,122⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，
5、 6、-56
7、
3π 8、34
9、36 10、3
2
11、-2 12、()6
13. 14. ①③
二. 选择题
15. D 16. A 17. C 18. D
三. 解答题
19.（1）；（2
； 20.（1）等腰三角形；（
2）；
21.（1）；（2）；
832
2(1S r π=+51(,)42-1003
a <≤
22.（1）；（2）增区间和，减区间；（3）； 23.（1）；（2）；（3）略；
(3)9f =2(,
]2a +-∞[,)a +∞2[,]2a a +9
(1,)8
94。