网孔电流法和节点电压法例题分析
电路分析网孔分析法和节点分析
将电路中的某些单口用其等效电路代替，可以简化 电路的分析和计算。
一、线性电阻的串联和并联
1．线性电阻的串联（见第一章）
2．线性电阻的并联（见第一章）
3．线性电阻的串并联 由若干个线性电阻的串联和并联所形成的单口网
络，就端口特性而言，等效于一个线性二端电阻。
i5 R2 i＋2 R5 ib uS－2
支路电流： i1,i2,i3,i4,i5,i6 网孔电流：
假想沿网孔边沿流动的电流，
i4
R4 ic R6 i6
如图中ia,ib,ic
R3 ＋uS3－i3 参考方向可以任意选取。
若以网孔电流为求解变量， 所需方程数将大大减少。（重点）
一、网孔电流
设想电流i1、i2和i3沿每个
图中 节点1与公共点O间电阻称为R1 节点2与公共点O间电阻称为R2 节点3与公共点O间电阻称为R3
二、Δ形联接
当三个电阻依次联成一个 闭合电路，且三个联接点再 分别与外电路相联，叫Δ形 联接。
图中：
节点1与2间电阻称为R12 节点2与3间电阻称为R23 节点3与1间电阻称为R31
方法： Y-变换
R2
R12
R23 R12 R 23 R31
特例：当三电阻相等时，则
R 3RY
或
RY
1 3
R
历年考题：
9、图示电路，求u 。(2V)
10、图示电路，求i 。(9/13A)
3Ω
6Ω
i
+ 18V
+u–
1A
3Ω 2A 2Ω 4Ω
–
2Ω
6Ω
3Ω
第三章网孔分析法和结点分析法
网孔法
经过整理后, 得 其中:
( R1 + R2 ) I m1 − R2 I m 2 = U s1 − U s 2 − R2 I m1+( R2 + R3 ) I m 2 = U s 2 − U s 3
R1+R2、R2+R3分别是网孔 1 与网孔 2 的电阻之和, 称为各
网孔的自电阻。因为选取自电阻的电压与电流为关联参考方向, 所以自电阻都取正号。 －R2是网孔 1 与网孔 2 公共支路的电阻, 称为相邻网孔的互 电阻。互电阻可以是正号, 也可以是负号。当流过互电阻的两个 相邻网孔电流的参考方向一致时, 互电阻取正号, 反之取负号。 Us1-Us2、Us2-Us3分别是各网孔中电压源电压的代数和, 称 为网孔电源电压。凡参考方向与网孔绕行方向一致的电源电压 取负号, 反之取正号。
代入两个节点电流方程中, 经移项整理后得
(1 R1 + 1 R 2 )U1 − 1 R 2 • U 2 = I s1
即
− 1 R 2 • U1 + (1 R 2 + 1 R 3 )U 2 = I s 2
(G1 + G2 )U1 − G2U 2 = I s1
− G2U1 + (G2 + G3 )U 2 = I s 2
I1 = I m1 I 2 = − I m1 + I m 2 I3 = − I m2
选取网孔的绕行方向与网孔电流的参考方向一致。
R1 I m1 + R2 I m1 − R2 I m 2 = U s1 − U s 2 R 2 I m 2 − R2 I m1 + R3 I m 2 = U s 2 − U s 3
设想在每个网孔中都有一个电流沿网孔边界都有一个电流沿网孔边界环流环流其参考方向如图所示其参考方向如图所示这样一个在网孔内环行的假这样一个在网孔内环行的假想电流想电流叫做网孔电流
02-4网孔法和节点法
+ US1 _
用 矩 阵 形 式 表 示 得：
R11 R21 R31
R12 R22 R32
R13 I m1 U S11 R23 I m2 U S22 R33 I m3 U S33
2.3
网孔电流法
2.4
节点电压法
2.4
节点电压法
一、解题步骤
二、只含电导和电流源的电路
三、含实际电压源支路的电路
四、含理想电压源支路的电路 五、含两个节点的电路
例题
2.4
节点电压法
G3 G2
1
_ US3 + Un2 IS4
2
一、解题步骤：
1. 设定参考点和节点 电压 Un3
3G6
Un1 IS1
2. 列KCL方程
2.3
网孔电流法
练习
解
列写图示电路的 网孔电流方程 2Ω
_ u 1 +
5A Im1 _ 20V +
1、设定网孔电流及 其参考方向
10A 2、在电流源两端增设电压 + u2 3、列写方程 _ 4、补充方程
Im2
2Ω _ 40V +
Im3
10Ω _ 10V +
2 0 I m1 20 u1 2 2 2 2 I 40 u 2 2 m2 2 2 10 0 10 40 20 Im3
R11 I m1 R12 I m2 R13 I m3 U S11 R21 I m1 R22 I m2 R23 I m3 U S22 R I R I R I U 32 m2 33 m3 S33 31 m1
电气工程学概论 第三章部分习题解答
2 按照以下步骤求解图示电路中5Ω电阻中的电流i 。
（1）将右侧支路等效成一个电阻之路后；用网孔电流法求解3Ω电阻中的电流； （2）用分流公式求解电流i 。
解：（1）网孔电流法：⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡--480136612II I i i ； ⎩⎨⎧=+-=-4813602II I II I i i i i A 4.2I =i A 8.4II =i （2）分流公式：A 4.221II ==i i3用网孔电流法求解图示电路中的电压U o 。
解：网孔电流()()⎩⎨⎧-=⨯-++-=⨯--++5010340104013683404082II I II I i i i i⎩⎨⎧-=+-=-2050401604050II I II I i i i i A 8I =i ，A 6II =i ， ()V 8040II I o =⨯-=i i U7用节点电压法求解图示电路中各支路电流。
解：节点电压法⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=-⎪⎭⎫ ⎝⎛++221211011021215111221U U U U⎪⎩⎪⎨⎧=-=-221106102110171221U U U U V 111001=U V 111202=U A 9.01=i A 9.02-=i A 82.1513==U i A 9.101024==Ui题3-2图Ω 4题3.3图50V题 3.7 图2 A11 求图示电路在ab 端口的戴维南等效电路。
解：方法1：()V515100cbdc ad abK =⨯-++=++=U U U UΩ=+=105201.R方法2：利用电源等效替换求戴维南等效电路原电路 ⇒⇒⇒13 在图示电路中，试问：（1）电阻R 为多大时，它吸收的功率最大？试求出最大功率。
（2）在a 、b间并联一理想电流源，以使R 中的电流为0，试求该理想电流源的方向和参数。
解：(1) 原电路的戴维南等效电路如图（a ）所示： 可通过网孔电流法和节点电压法求取U abK ，其中：节点电压法：2020//205020502020//201201201c ++=⎪⎭⎫⎝⎛+++U V 4125c =U ，V 5.37V 275abK a ===U U网孔电流法()⎩⎨⎧-=+++-=-502020//202020502040II III I i i i i A 85I -=i ，A 1615II =i ，V 5.375020II abK =+=i U等效电阻： R ab = [20//20+20//20] // 20 = 10Ω 当R =R ab =10Ω时，它的吸收功率最大，W 16.3510 205.372max=⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛=P3-11图b ada babababb 题3-13图(a)3.15 应用叠加原理求解电路中的电压u 。
电路分析网孔分析法和节点分析
电路分析网孔分析法和节点分析电路分析是电路理论和实际电路设计中的重要部分。
在电路分析中，有两种主要的方法，即网孔分析法和节点分析法。
本文将详细介绍这两种方法，并从理论和实践两个层面对这两种方法进行比较和对比。
首先，我们来看网孔分析法。
网孔分析法是通过将电路划分为若干个网孔来进行分析的方法。
网孔是由电路元件组成的闭合路径。
在网孔分析法中，我们可以根据基尔霍夫定律和欧姆定律，得到各个网孔中的电流和电压之间的关系。
通过解这些方程，我们可以得到电路中各个元件的电流和电压。
相对而言，网孔分析法适用于复杂的电路，因为通过合理划分网孔，可以降低计算复杂度。
其次，我们来看节点分析法。
节点分析法是通过将电路划分为若干个节点来进行分析的方法。
节点是电路中的交叉点或连接点。
在节点分析法中，我们可以根据基尔霍夫定律和欧姆定律，得到各个节点的电流和电压之间的关系。
通过解这些方程，我们可以得到电路中各个元件的电流和电压。
相对而言，节点分析法适用于简单的电路，因为节点分析法只需要解线性方程组，计算较为简单。
接下来，我们比较和对比这两种分析方法。
首先，网孔分析法和节点分析法都是基于基尔霍夫定律和欧姆定律进行分析的。
这两个定律是电路分析的基础，无论是网孔分析法还是节点分析法，都离不开这两个定律。
其次，网孔分析法和节点分析法在计算复杂度上有所不同。
网孔分析法需要对每个网孔进行分析和计算，所以在实际应用中可能需要解较多的方程，计算复杂度较高。
而节点分析法只需要解线性方程组，所以计算复杂度相对较低。
因此，网孔分析法适用于复杂的电路，而节点分析法适用于简单的电路。
最后，网孔分析法和节点分析法在电路分析结果的表示上有所不同。
在网孔分析法中，我们通常会得到各个网孔中的电流值，而在节点分析法中，我们通常会得到各个节点的电压值。
所以，在实际应用中，我们可以根据需要选择不同的方法，以得到更加直观和实用的分析结果。
综上所述，网孔分析法和节点分析法都是重要的电路分析方法，在不同的场景下，可以选择不同的方法进行电路分析。
运用节点法和网孔法进行电路分析
(4.25)
(4.26)
图7所示电路包含两个电压源，而且经我们指定参考节点，电压源 V 2 是一个浮动电压源。 如图中所示，超节点包括电压源和与它并联的电阻元件 R 4 。
图7 另一个超节点例子
首先，我们注意到通过电阻 R 4 的电流 I 4 由公式(4.27)给出：
R R1 R3
这种形式。如
果对角线上的某个元素由正、负两部分组成，那么一定有一个符号是错误的。 · 所有的对角线上的元素都是正的，其它元素都是负的，而且矩阵是对称的 Aij = A ji 。如果矩 阵不具有这个特性，那一定存在错误。 用上面的形式列写电路方程式，一定存在一组由真实电流值构成的解。 一旦我们把方程式变为矩阵形式，对结果进行逐条的检验。如果 det A = 0 ，那么就能得出 一组解。 未知电压 VK 为：
运用节点法和网孔法进行电路分析运用节点法和网孔法进行电路分析众所周知运用基尔霍夫定律和欧姆定律我们可以对任何一个电路进行分析以确定其运行条件电流和电压值
运用节点法和网孔法进行电路分析
众所周知，运用基尔霍夫定律和欧姆定律，我们可以对任何一个电路进行分析，以确定其 运行条件（电流和电压值）。一般电路分析的难点在于用最少的联立方程描述电路的运行特性。 在这一讲里，我们将介绍两种非常有效的可用于对任意电路进行分析的方法：节点法和网 孔法。这些方法是建立在对基尔霍夫定律的系统应用基础上的，我们将通过图1的例子电路来说 明求解的步骤。
图10 标注网孔电流方向 现在，让我们把注意力转移到标记各个支路上的元件电压。 电阻上电压极性与指定的网孔电流的方向一致。万一某一处支路被两个网孔共用，就像例 子中含有电阻 R 2 的支路，电压的极性与各自网孔中指定的网孔电流的方向一致。 在这个电路中，我们进行网孔分析的第一步是单独分析每个网孔，根据定义的网孔电流方 向在回路上应用KVL定律。 考虑网孔1 为了分析更方便，我们把网孔1从图11所示的电路中分离出来。这么做的时候，必须注意要 包括共享支路的所有信息。在这里，我们给出了网孔电流 I 2 在共享支路上的方向。
实验二网孔电流和节点电压分析法仿真
实验二网孔电流和节点电压分析法仿真一、实验目的1．加深对网孔和节点分析法的理解；2．熟练利用网孔和节点分析电路；3．验证网孔电流法和节点电压法。
二、实验仪器及元器件Windows7、Multisim10三、实验内容1. 实验原理网孔电流分析法简称网孔电流法，是根据KVL定律，用网孔电流为未知量，列出各网孔回路电压（KVL）方程，并联立求解出网孔电流，再进一步求解出各支路电流以求解电路的方法。
节点电压（节点电位）是节点相对于参考点的电压降。
对于具有n个节点的电路一定有n-1个独立节点的KCL方程。
节点电压分析法是以节点电压为变量，列节点电流（KCL）方程求解电路的方法。
2. 实验步骤（1）网孔电流分析法仿真实验A．搭建仿真实验电路如图2-1所示，并设网孔电流I1、I2、I3在网孔中按顺时针方向流动。
图2-1 网孔电流法仿真实验电路B.用网孔电流法列KVL方程，求解网孔电流。
C.在Multisim中，打开仿真开关，读出3个电流表的数据，记录并将测量值填入表2-1中，比较测量值和计算值，验证网孔电流分析法。
（2）节点电压分析法仿真实验A．搭建仿真实验电路如图2-2所示。
图2-2 节点电压分析电路B.用节点电压法求解流经电阻R3的电流。
C.在Multisim中，打开仿真开关，读出电压表和电流表的数据，记录并将测量值填入表2-2中，比较测量值和计算值，验证节点电压分析法。
表2-2 节点电压法实验数据与理论计算结果对比（3）能力提升对图2-3所示电路，分别用网孔电流法分析和实验测量各网孔电流（选顺时针方向），填入表2-3中，验证正确性。
表2-3 网孔电流法实验数据与理论计算结果对比将以上所有实验结果整理、分析，写入实验报告。
电路习题2正弦稳态电路的分析
9-001、 已知图示正弦电路中，电压表的读数为V 1 ：6V ；V 2 ：2V ；U S =10V 。
求:(1)、图中电压表V 3、V 4的读数；(2)、若A I 1.0=，求电路的等效复阻抗； （3）、该电路呈何性质？ 答案（1）V U U U 32.622214=+= V 4的读数为 6.32V ；832±=-U U 取 V U 10823=+=,所以V 3的读数为10 V 。
(2)、A I 1.0=，电路的等效复阻抗: Ω===1001.010I U Z （3）、由于复阻抗虚部为负值，故该电路呈电容性。
9-002、 答案 9-003、求图示电路的等效阻抗， 已知ω＝ 105rad/s 。
例 9 — 3 图解： 感抗和容抗为：所以电路的等效阻抗为9-004、例9-4 图示电路对外呈现感性还是容性？例 9 — 4 图解： 图示电路的等效阻抗为：所以 电路对外呈现容性。
9-005、3-9日光灯电源电压为V 220，频率为Hz 50，灯管相当于Ω300的电阻，与灯管串联的镇流器（电阻忽略不计）的感抗为Ω500，试求灯管两端电压与工作电流的有效值。
解：电路的总阻抗为 Ω≈+=58350030022Z 此时电路中流过的电流：灯管两端电压为： V RI U R 113377.0300=⨯==9-006、5、 与上题类似今有一个40W 的日光灯，使用时灯管与镇流器(可近似把镇流器看作纯电感)串联在电压为220V ，频率为50Hz 的电源上。
已知灯管工作时属于纯电阻负载，灯管两端的电压等于110V ，试求镇流器上的感抗和电感。
这时电路的功率因数等于多少？解：∵P =40W U R =110(V) ω=314rad/s∴36.011040====R L R U P I I (A) ∵U U U L R 222+=∴5.1901102202222=-=-=U U U R L (V) ∴52936.05.190===I U X LL L (Ω) 69.1314529===ωX L L (H)这时电路的功率因数为：9-007、日光灯电路在正常工作时可等效为R 、L 串联电路（灯管等效为电阻R ）（镇流器可近似把镇流器看作纯电感L)。
电路分析基础2网孔和节点分析
三、网孔分析法的计算步骤
1．在电路图上标明网孔电流及其参考方向。若全部网
孔电流均选为顺时针(或逆时针)方向，则网孔方程的全部
互电阻项均取负号。 2．用观察电路图的方法直接列出各网孔方程。 3．求解网孔方程，得到各网孔电流。 4．假设支路电流的参考方向。根据支路电流与网孔电 流的线性组合关系，求得各支路电流。 5．用VCR方程，求得各支路电压。
整理为
5i1 2i2 i3 12A 2i1 11 i2 6i3 6A i1 6i2 10 i3 19A
解得：
i 1 A i 2 A i 3 A 1 2 3 i i i 4 A i i i 3 A i i i 1 A 4 3 1 5 1 2 6 3 2
a a b a a 11 1 ,j 1 1 1 ,j 1 1 n
其中
D j a a b a a n 1 n ,j 1 n n ,j 1 nn
例 用网孔分析法求 电路各支路电流。
解：选定各网孔电流的参考方向。列出网孔方程：
( 2 1 2 ) i ( 2 ) i ( 1 ) i 6 V 18 V 1 2 3 ( 2 ) i ( 2 6 3 ) i ( 6 ) i 18 V 12 V 1 2 3 ( 1 ) i ( 6 ) i ( 3 6 1 ) i 25 V 6 V 1 2 3
i i2 7 A 1
3 A i 4 A u 2 V 求解以上方程得到： i 1 2
例
用网孔分析法求解电路的网孔电流。
解：当电流源出现在电路外围边界上时，该网孔电流等于 电流源电流，成为已知量，此例中为i3=2A。此时不必
网孔分析法简单步骤及简单例题
网孔电流法的特点：仅适用于平面电路。 网孔分析法简单例题 1、网孔分析法求解电流 I 2、网孔分析法求解各支路电流
网孔分析法简单步骤及简单例题
什幺是网孔分析法 网孔分析法是电路基本分析方法的一种，以网孔电流为待求变量，按 KVL 建立方程求解电路的方法。 根据基尔霍夫定律：可以提供独立的 KVL 方程的回路数为 b-n+1 个， 网孔只是其中的一组。 网孔电流：沿每个网孔边界自行流动的闭合的假想电流。 一般对于 M 个网孔，自电阻×本网孔电流 + ∑（±）互电阻×相邻。 网孔电流 + ∑本网孔中电压升。 网孔分方向（常设为顺时针方向） 2、按照规律，采用观察法分析网孔 a、网孔中电流源视为开路，电压源视为短路。 b、以 KVL 为基础，列出网孔内的自导与互导的电压方程 3、解网孔电流 4、由网孔电流计算其它待求量 注意：电流源及受控源的处理 网孔分析法的一般步骤：
的方法称为网孔分析法。其网孔电流方程也称为网孔方程。 【例 3-2-1】图 3-2-1 所示电路列写网孔方程。 解：假定网孔电流分别在网孔 1、2、3 中流动，网孔电流的参考方向 如图 3-2-1 所示。 以支路电流为变量，列写各网孔的 KVL 方程为 为得到以网孔电流为未知变量的电路方程，用网孔电流表示各支路电 流，即有
（1）选定一组网孔，标明网孔电流及其参考方向; （2）以网孔电流的方向为网孔的巡行方向，列写各网孔 KVL 方程; （3）求解上述方程，得各网孔电流; （4）原电路韭公共支路的电流就等于网孔电流。 原电路公共支路的电流等于网孔电流的代数和。 网孔分析方程 【网孔电流】根据电流的连续性，可以假定一个电流在指定的网孔中 流动，这种电流称为网孔电流，对于电路中每一个结点，网孔电流流入一次 又流出一次，所以当以网孔电流作为电路待求变量时，电路的 KCL 方程自动 满足，只需列写 b-n+1 个网孔的 KVL 方程。 【网孔分析法】以网孔电流为待求变量，按 KVL 建立方程求解电路
电路分析基础第5版第2章 网孔分析和节点分析
§2-3 含运算放大器的电阻电路
2.3.1 集成运放的结构和符号
运算放大器 (简称运放或集成运放) 是一种集成电路， 是具有很高开环电压放大倍数的放大器。
在集成运放发展的早期，主要用于模拟计算机的加、 减、乘、除、积分、微分、对数和指数等各种运算，故将 “运算放大器”的名称保留至今。
R11iA+R12iB+R13iC=uS11 R21iA+R22iB+R23iC=uS22 R31iA+R32iB+R33iC=uS33
等号左端是网孔中全部电阻上电压降代数和， 等号右端为该网孔中全部电压源电压升代数和。
(R1+R4+R5)iA+R5iB-R4ic= uS1- uS4 R5iA+(R2+R5+R6) iB+ R6iC = uS2
1. 自电导×节点电位 + 互电导×相邻节点电位 = 流进 该节点的电流源电流代数和。 2. 自电导均为正值，互电导均为负值。
[例] 列出图示电路的节点电位方程组。
R3
解：选d点作为参考点，有Vd = 0
节点电位方程组为
a
R1 b R2
c
Va= E
+ E
-
(1)
R4
IS
d
–R1—1 Va+ (R1—1 + R—12 + —R14)Vb– —R12Vc= 0
i1 1
G5 2
i5 i3 3
iS G1
i2 G3
i4
2.独立性：节点电位不受 KVL的约束，节点电位彼此 独立无关。
由KVL，对图中上网孔，有
G2
G4
4
选4为参考点
节点电压法经典例题85299
-----（2）
G5Va G3Vb (G3 G4 G5 )Vc G5U S -----（3）
自自电电
自互电
节点电压法方程式
一般情况，对于具有m 个节点的电路，有
G11V1 G12V2 G1mVm is1 Us1G1
其中
G21V1 G22V2 G2mVm is2 Us2G2
解：电路中含有与is（或受控 电流源）串联的电阻R2，
R2所在支路电流唯一由 电流源is确定，对外电路
R3
而言，与电流源串联的
电阻R2无关，不起作用，
应该去掉。
所以其电导1/R2不应出 现在节点方程中，则节 点电压方程如下所示：
u3
R4 R2
u1
R1 +
us -
R5
u2 is
R6
中国计量学院 吴霞
电路分析
5、列方程后，求出节点电压，依照支路电路与节点关系，求出 各支路电流。
网孔分析法与节点分析法的比较
常用网孔分析法与节点分析法来分析复杂 电路，这些方法的优点是联立求解的方程 数目少。
当电路只含有独立电压源而没有独立电流 源时，用网孔分析法容易。
当电路只含有独立电流源时而没有电压源 时，用节点分析法更容易些。
i3=(Vb-Vc)/R3 =(Vb-Vc)G3
R4
i4=(Vc-0)/R4 =VcG4
i5=(Va-Vc-US)/R5 =(Va-Vc-US
(G1 G5 ) Va G1Vb G5Vc iS G5U S
-----（1）
G1Va (G1 G2 G3 ) Vb G3Vc 0
点外）有公共电导，则互电导恒取负。
网孔分析法和节点分析法
网孔方程是描述网孔的KVL方程，当两个网孔共有 一个电流源（独立源或受控源）时就产生超级网孔。
4Ω
网孔1和网孔2看
i
+ 4V _
成一个网孔，即
3
超级网孔
2Ω 2Ω
4Ω
2Ω
+ 12V_
i
i
2A
1
2
+
超级网孔
6_V
KVL 方程
4i1 6i2 6i3 12 6 4
2i1 4i2 10i3 4
20V
_
i3
ia R3
ib
+ _10V
20 20
10 ia 25
30 8 1.143A 20 7
20 30
i1 = ia = 1.143A
25 20 ib 25 20
20 10 3 0.429A 20 7 30
i2 = ib =0.429A i3 = ia － ib
=0.714A
(G1＋G4)u1－G1u2－G4u3= iS1 －G1u1 +(G1+ G2＋G3) u2－G3u3= 0 网孔分－析法G和4节u点1－分析G法3u2+ (G3 +G4 ) u3 = iS2
i1 R1
R2 i2
+ u_s1
i5 ia R5
ib
R4
R6
+ _us2
i4
_ us4 + ic
i6
i3 R3
+ us3 _
网孔① －uS1＋i1R1＋i5R5＋uS4＋i4R4 = 0
网孔② 网孔③
i2R2＋ uS2－i6R6－i5R5 = 0 i6R6－uS3＋i3R3－i4R4－uS4 = 0
李瀚荪《电路分析基础》笔记和典型题(含考研真题)详解(网孔分析和节点分析)
第2章网孔分析和节点分析2.1 复习笔记一、网孔分析法1.网孔分析（1）概念①定义网孔分析法是以网孔电流作为求解的对象来分析电路的一种方法，又叫网孔电流法。
②网孔电流网孔电流是一种沿着网孔边界流动的假想电流，如图2-1中的所示。
图2-1 网孔电流③网孔电流方程具有m个网孔的电路，网孔方程的形式应为（2）求解步骤①选定网孔电流，为每一个网孔列写一个KVL方程；②通过欧姆定律解出方程中的支路电压；③写出以网孔电流为变量的方程组，就可解出网孔电流。
（3）难点分析①含有电流源的情况a．含有电流源和电阻的并联组合，可经等效变换成为电压源和电阻的串联组合再列回路方程；b．存在无伴电流源，且无伴电流源仅处于一个回路时，该回路的电流就是电流源电流；把无伴电流源的电压作为未知量，同时增加一个回路电流的附加方程。
②含有受控电压源的情况a．将受控电压源作为独立电压源列出回路电流方程；b．再把受控电压源的控制量用回路电流表示；c．将用回路电流表示的受控源电压移至方程的左边。
2.互易定理互易定理：在只含一个电压源，不含受控源的线性电阻电路中，若在支路x中的电压源u z，在支路y中产生的电流为i y，，则当电压源由支路x移至支路y时将在支路x中产生电流i y。
二、节点分析1．概念（1）定义节点分析是以节点电压作为求解对象的分析方法，又叫节点电压法。
（2）节点电压节点的节点电压是指该节点到参考节点的电压降。
如图2-2所示。
图2-2 节点分析法用图（3）节点方程对具有（n－1）个独立节点的电路，节点方程的形式为2.难点分析（1）电路中含有无伴电压源的情况①电压源的一端连接点作为参考点，另一端的结点电压已知，无需再列方程；②把无伴电压源的电流作为附加变量列入KCL方程，增加结点电压与无伴电压源电压之间的关系。
（2）电路中含有受控电源的情况①含有受控电流源时，先把它当作独立电流源，再把控制量用结点电压表示；②含有有伴受控电压源时，把控制量用有关结点电压表示并变换为等效受控电流源；③含有无伴受控电压源，参照无伴独立电压源的处理方法。
网孔电流法和节点电压法例题分析
课题8：支路电流法、网孔电流法和节点电压法课型：讲授教学目的：（1）利用支路电流法求解复杂直流电路（2）利用网孔电流法求解支路数目较多的电路。
（3）利用节点电压法求解节点较少而网孔较多的电路重点、难点：重点：支路电流法、网孔电流法、节点电压法求解复杂直流电路难点：列方程过程中电压、电流参考方向及符号的确定。
教学分析：本节主要还是在巩固基尔霍夫定律的基础上，利用实例分析支路电流法、网孔电流法、节点电压法并将其用于实践案例中。
复习、提问：（1）节点的概念和判别？（2）网孔的概念和判别？教学过程：导入：求解复杂电路的方法有多种，我们可以根据不同电路特点，选用不同的方法去求解。
其中最基本、最直观、手工求解最常用的就是支路电流法。
一、支路电流法利用支路电流法解题的步骤：（1）任意标定各支路电流的参考方向和网孔绕行方向。
（2）用基尔霍夫电流定律列出节点电流方程。
有n个节点，就可以列出n-1个独立电流方程。
（3）用基尔霍夫电压定律列出L=b-（n-1）个网孔方程。
说明：L指的是网孔数，b指是支路数，n指的是节点数。
（4）代入已知数据求解方程组，确定各支路电流及方向。
例1试用支路电流法求图1中的两台直流发电机并联电路中的负载电流I及每台发电机的输出电流I1、和I2。
已知：R1=1Ω，R2=0.6Ω，R=24Ω，E1=130V，E2=117V。
解：（1）假设各支路电流的参考方向和网孔绕行方向如图示。
图1（2）根据KCL，列节点电流方程该电路有A、B两个节点，故只能列一个节点电流方程。
对于节点A有：I1+I2=I ①（3）列网孔电压方程该电路中共有二个网孔，分别对左、右两个网孔列电压方程：I1R1-I2R2+E2-E1=0 ②（沿回路循行方向的电压降之和为零，如果在I R+I2R2-E2=0 ③该循行方向上电压升高则取负号）（4）联立方程①②③，代入已知条件，可得：-I1-I2+I=0I1-0.6I2=130-1170.6I2+24I=117解得各支路电流为：I1=10A I2=-5A I=5A从计算结果，可以看出发电机E1输出10A的电流，发电机E2输出-5A的电流，负载电流为5A。
(完整word版)网孔电流法与节点电压法
网孔电流分析
网孔电流分析是以网孔电流为变量列KVL 方程求解电路的方法。
【例】电路如图所示，电压源U1=8V，U2=6V，电阻R1=20 & ，R2=40 & ，R3=60 & 。
试用网孔电流分析法求网孔Ⅰ、Ⅱ的电流。
例8.4 电路图
解：假定网孔电流在网孔中顺时针方向流动，用网孔电流分析法可求得网孔Ⅰ、Ⅱ的电流分别为127mA、-9.091 mA。
在Multisim 2001 的电路窗口中创建图所示的电路，启动仿真，图中电流表的读数即为仿真分析的结果。
可见，理论计算与电路仿真结果相同。
例4 仿真电路图
节点电位分析
节点电位分析是以节点电位为变量列KCL 方程求解电路的方法。
当电路比较复杂时，节点电位法的计算步骤非常繁琐，但利用Multisim 2001 可以快速、方便地仿真出各节点的电位。
【例】电路如图所示，试用Multisim 2001 求节点a、b 电位。
例8.5 电路图
解：如图所示电路为3 节点电路，指定参考点c 后，利用Multisim 2001 可直接仿真出节点a、b 的电位，仿真结果见图8.10 中电压表的读数，V a=7.997V，V b=12.000V，与理论计算结果相同。
例8.5 仿真电路图。
网孔分析法简单步骤及简单例题
网孔电流+ ∑本网孔中电压升。
网孔分析法的分析方法
网孔分析法是电路基本分析方法的一种以网孔电流为待求变量按kvl建立方程求解电路的方法
网孔分析法简单步骤及简单例题
网孔分析法简单步骤及简单例题法的一种，以网孔电流为待求变量，按KVL建立方程求解电路的方法。
根据基尔霍夫定律：可以提供独立的KVL方程的回路数为b-n+1个，网孔只是其中的一组。
§2-5 网孔电流法
例题1
选树 ,2,3 1 i 4 i 5 i 6 0 所以连支电流独立
C1
①
4 1
②
2 3 6 C3
③
C2
i1 i 2 i 3 0 所以树支电流不独立 5 而 i1 i 4 i 5 ④ i 2 i 4 i 6 树支电流可由连支电流表示 i 3 i 5 i 6
2
2 i
12V
1
4
2i
4 i1
1
5
iM1
iM 2
5
i1
iM1 2 4 iM 2 4 12 iM1 4 iM 2 1 5 4 2i i i M1
X
3.几种特殊情况
6iM1 4iM 2 12 整理得： 6iM1 10iM 2 0 6 4 iM1 12 6 10 i 0 M2
?节点电压完备的独立电压变量个数树支数12完备的独立电压变量??树支电压节点电压数1?n例题返回例题x选树??i?321?0654?ii所以连支电流独立0321?i??????而iii所以树支电流不独立541ii??????c1c1c2c2c3c3441122335566????例题1642iii653iii树支电流可由连支电流表示连支电流是一组完备的独立电流变量
us 6
R5
us 3 R3
X
2.网孔分析法
u1 us1 u4 us 6 0 u s 6 u s 3 u 3 u 5 0 u u u u 0 4 5 2 s2 R1i1 us1 R4i4 us 6 0 us 6 us 3 R3i3 R5i5 0 R i R i R i u 0 4 4 5 5 2 2 s2
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课题8：支路电流法、网孔电流法和节点电压法课型：讲授教学目的：（1）利用支路电流法求解复杂直流电路（2）利用网孔电流法求解支路数目较多的电路。
（3）利用节点电压法求解节点较少而网孔较多的电路重点、难点：重点：支路电流法、网孔电流法、节点电压法求解复杂直流电路难点：列方程过程中电压、电流参考方向及符号的确定。
教学分析：本节主要还是在巩固基尔霍夫定律的基础上，利用实例分析支路电流法、网孔电流法、节点电压法并将其用于实践案例中。
复习、提问：（1）节点的概念和判别？（2）网孔的概念和判别？教学过程：导入：求解复杂电路的方法有多种，我们可以根据不同电路特点，选用不同的方法去求解。
其中最基本、最直观、手工求解最常用的就是支路电流法。
一、支路电流法利用支路电流法解题的步骤：（1）任意标定各支路电流的参考方向和网孔绕行方向。
（2）用基尔霍夫电流定律列出节点电流方程。
有n个节点，就可以列出n-1个独立电流方程。
（3）用基尔霍夫电压定律列出L=b-（n-1）个网孔方程。
说明：L指的是网孔数，b指是支路数，n指的是节点数。
（4）代入已知数据求解方程组，确定各支路电流及方向。
例1试用支路电流法求图1中的两台直流发电机并联电路中的负载电流I及每台发电机的输出电流I1、和I2。
已知：R1=1Ω，R2=0.6Ω，R=24Ω，E1=130V，E2=117V。
解：（1）假设各支路电流的参考方向和网孔绕行方向如图示。
图1（2）根据KCL，列节点电流方程该电路有A、B两个节点，故只能列一个节点电流方程。
对于节点A有：I1+I2=I ①（3）列网孔电压方程该电路中共有二个网孔，分别对左、右两个网孔列电压方程：I1R1-I2R2+E2-E1=0 ②（沿回路循行方向的电压降之和为零，如果在I R+I2R2-E2=0 ③该循行方向上电压升高则取负号）（4）联立方程①②③，代入已知条件，可得：-I1-I2+I=0I1-0.6I2=130-1170.6I2+24I=117解得各支路电流为：I1=10A I2=-5A I=5A从计算结果，可以看出发电机E1输出10A的电流，发电机E2输出-5A的电流，负载电流为5A。
由此可以知道：结论：两个电源并联时，并不都是向负载供给电流和功率的，当两电源的电动势相差较大时，就会发生某电源不但不输出功率，反而吸收功率成为负载。
因此，在实际供电系统中，直流电源并联时，应使两电源的电动势相等，内阻应相近。
所以当具有并联电池的设备换电池的时候，要全部同时换新的，而不要一新一旧。
思考：若将例1中的电动势E2、I2极性互换，列出用支路电流法求解I、I1、和I2所需的方程。
从前面的例子可以看出：支路电流法就是通过联立n-1个节点电流方程，L个网孔电压方程（n为节点数，L为网孔数）。
但所需方程的数量取决于需要解决的未知量的多少。
原则上，要求B条支路电流就设B个未知数。
那么有没有特例呢？例2 用支路电流法列出如图2电路中各支路电流的方程。
（已知恒流源I S所在支路电流是已知的）解：由电路图可见该电路中有一恒流源支路，且其大小是已知的，所以在解题的时候只需要考虑其余两条未知支路的电流即可。
（1）假设流过R1、R2的电流方向及网孔绕行方向如图示。
（2）列节点电流方程：I1+I2= I S（3）列网孔电压方程I2 R2+E-I1 R1=0联立以上两个方程，代入数据即可求得。
图2（象这种具有一个已知支路电流的电路就可以少列一个方程）例3 试用支路电流法求解如图3电路中各支路电流，列出方程。
（P191 9-13题）图3解：各支路电流、网孔绕行方向如图3示。
列KCL、KVL定律，得：I1+I2+10=IE2-I2 R2+ I1 R1- E1=0I R L+I2 R2- E2=0例4 用支路电流法求解电路图4中各支路的电流。
解：可以看出该电路共有6条支路，4个节点，3个网孔。
设定各支路电流和网孔绕行方向如图标示。
（1）根据KCL定律，列节点电流方程（可列三个独立方程）I1+I6=I2I3+I4=I1I4+I6=I5图4 （2）根据KVL定律，列出回路电压方程（可立出三个独立的回路电压方程）I1R1-I6R6+I4R4=0I2R2+I5R5+ I6R6 =0- I4R4 - I5R5+I3R3-E=0从该例发现，用支路电流法求解支路数量较多的电路时，所需列的方程数也较多，这就使得求解较为繁杂了。
那么针对这样的电路，有没有什么更适合的方法来求解呢？二、回路（网孔）电流法为了求解方便，我们考虑若以回路电流为未知量，是不是就可以大大减少了方程数量，避免求解繁琐呢？1、回路电流法：在电路中确定出全部独立回路，以回路电流为未知数，根据基尔霍夫电压定律列出含有回路电流的回路电压方程，然后求解出各回路电流，而各支路电流等于该支路内所通过的回路电流的代数和。
2、解题步骤：（以图5为例讲解）图5（1）确定独立回路，并设定回路绕行方向。
独立回路是指每次所选定的回路中至少要包含一条新支路，即其他支路未曾用过的支路。
如图5所示，设定顺时针方向为独立回路电流的绕行方向。
（2）列以回路电流为未知量的回路电压方程。
注意：①若某一电阻上有两个或两个以上独立回路电流流过时，该电阻上的电压必须写成两个或两个以上回路电流与电阻乘积的代数和。
而且要特别注意正、负符号的确定，以自身回路电流方向为准。
即自身回路电流与该电阻的乘积取正，如图5回路A中，R5上的压降为I A R5，取正。
而另一回路电流的方向与自身回路电流方向相同时，取正，相反时取负，如图5回路A中，I A和I C反向，此时I C在R5上的压降为I C R5，取负。
②若回路中含有电压源时，电动势方向和回路电流的绕行方向不一致时（电动势两端电压方向和电流绕行方向一致时），取正；反之取负。
按照以上原则，用回路电流法可列方程：（3）解方程求回路电流将已知数据代入方程，可求得各回路电流I A、I B、I C（4）求各支路电流。
支路电流等于流经该支路的各回路电流的代数和。
此时需注意的是电流方向问题，要以支路电流方向为参考，即若回路电流方向和支路电流方向一致，则取正，相反则取负。
如图5中，各支路电流：（5）进行验算。
验算时，选外围回路列KVL方程验证。
若代入数据，回路电压之和为0，则说明以上数据正确。
根据以上步骤，我们发现一个特点，解题的关键是第一步，确定独立回路，选择新的未曾使用过的独立回路，这个比较容易重复，那么如果我们选择网孔作为独立回路，是不是就不会有这样一个问题了呢？网孔是回路的特例，它是独立的。
网孔之间没有重叠交叉，列方程更加容易，这种方法称为网孔电流法。
下面我们就用网孔电流法来求解电路5中的支路电流。
例5 已知R1=R2= R3=R4= R5=R6=1KΩ，E1=1V，E2=2V，用网孔电流法求解图6电路中各支路电流。
解：（1）确定网孔。
并设定网孔电流的绕行方向。
如图6所示，规定网孔电流方向为顺时针方向。
（2）列以网孔电流为未知量的回路电压方程。
（3）解方程求各网孔电流。
图6解此方程组得：（4）求支路电流得：（5）验算。
列外围电路电压方程验证。
由上面的例子可以看出，网孔电流法的解题思想，就是用较少的方程求解多支路电路的支路电流。
先以回路电流为未知量，列出以电流为未知量的网孔电压方程，再求解支路电流。
要注意的是，列回路电压方程时，回路电流的方向，要以自身回路电流方向为参考。
电动势的方向也要依据回路电流方向。
然后求解支路电流时，要以支路电流方向为参考。
但是可以发现如果网孔较多的话，同样存在方程数量过多，解题繁琐的问题。
三、节点电压法对于节点较少而网孔较多的电路，用支路电流法和网孔电流法都比较麻烦，方程过多，不易求解。
在这种情况下，如果选取节点电压作为独立变量，可使计算简便得多。
这就是我们要学习的另一种方法——节点电压法。
1、节点电压法解题步骤：（1）选择参考节点，设定参考方向（2）求节点电压U（3）求支路电流例6 电路如图7，求解各支路电流I1、I2、I3、I4。
解：（1）选择参考节点，设定参考方向。
选择电路中B点作为参考点，并设定节点电压为U，其参考方向为由A至B。
（这里也可选择以A点为图7参考点，参考方向由B至A）图7（2）求节点电压U各支路的电流可应用KCL、KVL或欧姆定律得出，即：I1=（E1-U）/ R1I2=（E2-U）/ R2I3=（E3-U）/ R3I4=U/ R4根据KCL定律可得：I1+I2+I3+I4=0将I1、I2、I3、I4的值代入I1+I2+I3+I4=0中得：（E1-U）/ R1+（E2-U）/ R2+（E3-U）/ R3+U/ R4 =0可求得：这就是节点电压计算公式。
式中，分子的各项由电动势E和节点电压U的参考方向确定其正、负号，当E和U的参考方向相同取负号，相反时取正号。
凡是具有两个节点的电路，可直接利用上式计算求出节点电压。
（3）求支路电流。
求出节点电压U后，将U代入电流公式中，即可求出各支路电流。
I1=（E1-U）/ R1I2=（E2-U）/ R2I3=（E3-U）/ R3I4=U/ R4例7 求解图1电路中各支路电流I1、I2、I。
解：设B点为参考点，设定节点电压方向A至B，则A、B两点间电压U为各支路电流为：I1=（E1-U）/ R1=10AI2=（E2-U）/ R2=-5AI=U/ R=5A用节点电压法求解时，同样要注意的是电压方向问题，当电动势方向和电压参考方向相同时取负号，相反时取正号。
课堂小结：1、支路电流法即利用基尔霍夫电流定律列出（n-1）个节点电流方程和利用基尔霍夫电压定律列出L（网孔数）个回路电压方程，再联立解方程组，从而求解出各支路电流的最基本、最直观的一种求解复杂电路的方法。
2、网孔电流法用于求节点支路较多的电路，避免了用支路电流法求解方程过多，带来解题繁杂的问题。
解题方法是先求网孔电流再利用网孔电流求支路电流。
3、节点电压法用于节点较少而网孔较多的电路。
节点电压法求解步骤：选择参考节点，设定参考方向；求节点电压U；求支路电流。
4、支路电流法、网孔电流法、节点电压法三种方法中，列方程时，都要特别注意方向问题。
作业：见参考书1第190页9-6（用支路电流法求解）9-14 9-15。