高考理科数学基础知识巩固强化练习试题35 Word版含解析
(高考题 模拟题)高考数学 基础巩固练(二)理(含解析)-人教版高三全册数学试题
基础巩固练(二)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题，共60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．(2019·高考)已知复数z＝2＋i，则z·z＝( )A. 3B. 5 C．3 D．5答案 D解析解法一：∵z＝2＋i，∴z＝2－i，∴z·z＝(2＋i)(2－i)＝5.故选D.解法二：∵z＝2＋i，∴z·z＝|z|2＝5.故选D.2．(2019·某某高考)已知全集U＝{－1,0,1,2,3}，集合A＝{0，1,2}，B＝{－1,0,1}，则(∁U A)∩B＝( )A．{－1} B．{0,1}C．{－1,2,3} D．{－1,0,1,3}答案 A解析∵U＝{－1,0,1,2,3}，A＝{0,1,2}，∴∁U A＝{－1，3}．又∵B＝{－1,0,1}，∴(∁U A)∩B＝{－1}．故选A.3．(2019·某某二模)某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直观图可以是( )答案 B解析由正视图排除A，C；由侧视图排除D，故B正确．4．(2019·某某呼和浩特市高三3月第一次质量普查)在等比数列{a n}中，a2－a1＝2，且2a2为3a1和a3的等差中项，则a4为 ( )A ．9B ．27C ．54D ．81 答案 B解析 根据题意，设等比数列{a n }的公比为q ，若2a 2为3a 1和a 3的等差中项，则有2×2a 2＝3a 1＋a 3，变形可得4a 1q ＝3a 1＋a 1q 2，即q 2－4q ＋3＝0，解得q ＝1或3；又a 2－a 1＝2，即a 1(q －1)＝2，则q ＝3，a 1＝1，则a n ＝3n －1，则有a 4＝33＝27.故选B.5．(2019·某某市适应性试卷)函数f (x )＝(x 3－x )ln |x |的图象是( )答案 C解析 因为函数f (x )的定义域关于原点对称，且f (－x )＝－(x 3－x )ln |x |＝－f (x )，∴函数是奇函数，图象关于原点对称，排除B ，函数的定义域为{x |x ≠0}，由f (x )＝0，得(x 3－x )ln |x |＝0，即(x 2－1)ln |x |＝0，即x ＝±1，即函数f (x )有两个零点，排除D ，f (2)＝6ln 2>0，排除A.故选C.6．(2019·某某省内江二模)如果执行下面的程序框图，输出的S ＝110，则判断框处为( )A ．k <10?B ．k ≥11? C．k ≤10? D．k >11? 答案 C解析 由程序框图可知，该程序是计算S ＝2＋4＋…＋2k ＝k (2＋2k )2＝k (k ＋1)，由S ＝k (k ＋1)＝110，得k ＝10，则当k ＝10时，k ＝k ＋1＝10＋1＝11不满足条件，所以条件为“k ≤10？”．故选C.7．(2019·某某二模)勒洛三角形是由德国机械工程专家、机构运动学家勒洛(1829～1905)首先发现，所以以他的名字命名，其作法为：以等边三角形每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段弧，三段弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形，现在勒洛三角形内部随机取一点，则此点取自等边三角形内部的概率为( )A.2π－332(π－3)B.32(π－3)C.32(π＋3)D.2π－332(π＋3)答案 B解析 如题图，设BC ＝2，以B 为圆心的扇形的面积为π×226＝2π3，又∵△ABC 的面积为12×32×2×2＝3，∴勒洛三角形的面积为3个扇形面积减去2个正三角形的面积，即为2π3×3－23＝2π－23，故在勒洛三角形中随机取一点，此点取自等边三角形的概率为32π－23＝32(π－3)，故选B.8．(2019·某某一模)已知M (－4,0)，N (0,4)，点P (x ，y )的坐标x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，y ≥0，3x －4y ＋12≥0，则MP →·NP →的最小值为( )A.25B.425 C ．－19625 D ．－ 5 答案 C解析 由点P (x ，y )的坐标x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，y ≥0，3x －4y ＋12≥0，作出可行域如图中阴影部分，则MP →·NP →＝(x ＋2)2＋(y －2)2－8的最小值为点A (－2,2)到直线3x －4y ＋12＝0的距离的平方再减8，由d ＝|3×(－2)－4×2＋12|5＝25，可得(x ＋2)2＋(y －2)2－8的最小值为－19625.故选C.9．(2019·某某一模)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，a ＝3，c ＝23，b sin A ＝a cos ⎝⎛⎭⎪⎫B ＋π6，则b ＝( )A ．1 B. 2 C. 3 D. 5 答案 C解析 在△ABC 中，由正弦定理得asin A＝bsin B，得b sin A ＝a sin B ，又b sin A ＝a cos ⎝⎛⎭⎪⎫B ＋π6，∴a sin B ＝a cos ⎝⎛⎭⎪⎫B ＋π6，即sin B ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫B ＋π6＝cos B cos π6－sin B sin π6＝32cos B －12sin B ，∴tan B ＝33，又B ∈(0，π)，∴B ＝π6.∵在△ABC 中，a ＝3，c ＝23，由余弦定理得b ＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝9＋12－2×3×23×32＝ 3.故选C. 10．(2019·某某某某高三3月模拟)若函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx －π6(ω>0)在[0，π]上的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1，则ω的最小值为( )A.23B.34C.43D.32 答案 A解析 ∵0≤x ≤π，∴－π6≤ωx －π6≤ωπ－π6，而f (x )的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1，发现f (0)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝－12，∴π2≤ωπ－π6≤7π6，整理得23≤ω≤43.则ω的最小值为23.故选A.11．(2019·某某模拟)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，点A 为双曲线右支上一点，线段AF 1交左支于点B ，若AF 2⊥BF 2，且|BF 1|＝13|AF 2|，则该双曲线的离心率为( )A. 2B.655C.355D ．3 答案 B解析 因|BF 1|＝13|AF 2|，设|AF 2|＝3t ，则|BF 1|＝t ，t >0，由双曲线的定义可得|BF 2|＝|BF 1|＋2a ＝t ＋2a ，|AF 1|＝|AF 2|＋2a ＝3t ＋2a ， 则|AB |＝|AF 1|－|BF 1|＝2t ＋2a ，由AF 2⊥BF 2，可得(2a ＋2t )2＝(3t )2＋(t ＋2a )2，解得t ＝23a ，则在直角三角形ABF 2中，cos A ＝3t 2t ＋2a ＝2a 103a ＝35，在△AF 1F 2中，可得cos A ＝(3t )2＋(3t ＋2a )2－(2c )22·3t ·(3t ＋2a )＝4a 2＋16a 2－4c 216a 2＝35，化为c 2＝135a 2，则e ＝c a＝135＝655.故选B. 12．(2019·高考)数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线C ：x 2＋y 2＝1＋|x |y 就是其中之一(如图)．给出下列三个结论：①曲线C 恰好经过6个整点(即横、纵坐标均为整数的点)； ②曲线C 上任意一点到原点的距离都不超过2； ③曲线C 所围成的“心形”区域的面积小于3. 其中，所有正确结论的序号是( )A ．①B ．②C ．①②D ．①②③ 答案 C解析 由x 2＋y 2＝1＋|x |y ，当x ＝0时，y ＝±1；当y ＝0时，x ＝±1；当y ＝1时，x ＝0，±1.故曲线C 恰好经过6个整点：A (0,1)，B (0，－1)，C (1,0)，D (1,1)，E (－1,0)，F (－1,1)，所以①正确．由基本不等式，当y >0时，x 2＋y 2＝1＋|x |y ＝1＋|xy |≤1＋x 2＋y 22，所以x 2＋y 2≤2，所以x 2＋y 2≤2，故②正确．如图，由①知长方形CDFE 面积为2，三角形BCE 面积为1，所以曲线C 所围成的“心形”区域的面积大于3，故③错误．故选C.第Ⅱ卷 (非选择题，共90分)二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．(2019·某某一模)已知(a －x )(2＋x )5的展开式中x 3的系数为40，则实数a 的值为________．答案 3解析 ∵(a －x )(2＋x )5＝(a －x )(32＋80x ＋80x 2＋40x 3＋10x 4＋x 5)的展开式中x 3的系数为40a －80＝40，∴a ＝3.14．(2019·揭阳一模)在曲线f (x )＝sin x －cos x ，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2的所有切线中，斜率为1的切线方程为________．答案 x －y －1＝0解析 由f (x )＝sin x －cos x ，得f ′(x )＝cos x ＋sin x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4，由2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝1，得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝22，∵x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，∴x ＋π4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4，3π4，∴x ＋π4＝π4，即x ＝0.∴切点为(0，－1)，切线方程为y ＋1＝x ，即x －y －1＝0.15．(2019·某某一模)在四面体ABCD 中，AB ＝BC ＝1，AC ＝2，且AD ⊥CD ，该四面体外接球的表面积为________．答案 2π解析 如图，∵AB ＝BC ＝1，AC ＝2，∴AB ⊥BC ，又AD ⊥CD ，∴AC 的中点即为外接球的球心，外接球的半径为22，∴S 球＝4π×12＝2π.16．(2019·某某省十所名校高三尖子生第二次联考)若函数y ＝f (x )的图象存在经过原点的对称轴，则称y ＝f (x )为“旋转对称函数”，下列函数中是“旋转对称函数”的有________．(填写所有正确结论的序号)①y ＝⎩⎪⎨⎪⎧e x(x ≤0)，ln x (0<x ≤1)；②y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ln 1＋x 1－x ；③y ＝ln (e3x＋1)．答案 ①②解析 对于①，y ＝e x(x ≤0)的反函数为y ＝ln x (0<x ≤1)，所以函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧e x(x ≤0)，ln x (0<x ≤1)关于直线y ＝x 对称，故①是“旋转对称函数”．对于②，令y ＝f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ln 1＋x 1－x ，则f (－x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ln 1－x 1＋x ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－ln 1＋x 1－x ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ln 1＋x 1－x ＝f (x )，所以函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ln 1＋x 1－x 是偶函数，它的图象关于y 轴对称，故②是“旋转对称函数”．对于③，y ＝ln (e 3x＋1)>ln e 3x＝3x ，当x →＋∞时，y →3x ，则函数y ＝ln(e3x＋1)的图象只可能关于直线y ＝3x 对称，又y ＝ln (e3x＋1)>ln 1＝0，当x →－∞时，y →0，这与函数y ＝ln (e 3x＋1)的图象关于直线y ＝3x 对称矛盾，故③不是“旋转对称函数”．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．(一)必考题：60分．17．(本小题满分12分)(2019·某某某某高三第二次统考)已知数列{a n }中，a 1＝1，a n－a n －1＝2n －1(n ∈N *，n ≥2)．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝14a n －1，求数列{b n }的通项公式及其前n 项和T n .解 (1)当n ≥2时，由于a n －a n －1＝2n －1，a 1＝1，所以a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1＝1＋3＋…＋(2n －1)＝n 2， 又a 1＝1满足上式，故a n ＝n 2(n ∈N *)． (2)b n ＝14a n －1＝14n 2－1＝1(2n ＋1)(2n －1)＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1.所以T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＋13－15＋…＋12n －1－12n ＋1＝12⎝⎛⎭⎪⎫1－12n ＋1＝n2n ＋1. 18．(本小题满分12分)(2019·某某质量检测)如图，已知三棱柱ABC －A 1B 1C 1，侧面ABB 1A 1为菱形，A 1C ＝BC .(1)求证：A 1B ⊥平面AB 1C ；(2)若∠ABB 1＝60°，∠CBA ＝∠CBB 1，AC ⊥B 1C ，求二面角B －AC －A 1的余弦值． 解 (1)证明：因为侧面ABB 1A 1为菱形， 所以A 1B ⊥AB 1，记A 1B ∩AB 1＝O ，连接CO ， 因为A 1C ＝BC ，BO ＝A 1O ， 所以A 1B ⊥CO ，又AB 1∩CO ＝O ， 所以A 1B ⊥平面AB 1C .(2)解法一：因为∠CBA ＝∠CBB 1，AB ＝BB 1，BC ＝BC ，所以△CBA ≌△CBB 1，所以AC ＝B 1C . 又O 是AB 1的中点，所以CO ⊥AB 1， 又A 1B ⊥CO ，A 1B ∩AB 1＝O ， 所以CO ⊥平面ABB 1A 1.令BB 1＝2，因为∠ABB 1＝60°，侧面ABB 1A 1为菱形，AC ⊥B 1C ，O 为AB 1的中点， 所以CO ＝1.如图，以O 为坐标原点，OB 所在的直线为x 轴，OB 1所在的直线为y 轴，OC 所在的直线为z 轴建立空间直角坐标系．则O (0,0,0)，A (0，－1,0)，B (3，0,0)，C (0,0,1)，A 1(－3，0,0)， 所以AB →＝(3，1,0)，AC →＝(0,1,1)，AA 1→＝(－3，1,0)，A 1C →＝(3，0,1)． 设平面ABC 的法向量为n 1＝(x ，y ，z )， 则⎩⎪⎨⎪⎧n 1·AB →＝0，n 1·AC →＝0，即⎩⎨⎧3x ＋y ＝0，y ＋z ＝0，令x ＝1，则n 1＝(1，－3，3)，同理可得平面A 1AC 的一个法向量为n 2＝(1，3，－3)，cos 〈n 1，n 2〉＝n 1·n 2|n 1||n 2|＝－57，由图知二面角B －AC －A 1为钝角， 所以二面角B －AC －A 1的余弦值为－57.解法二：因为∠CBA ＝∠CBB 1，AB ＝BB 1，BC ＝BC ， 所以△CBA ≌△CBB 1， 所以AC ＝B 1C .设AB ＝2，因为∠ABB 1＝60°，侧面ABB 1A 1为菱形，所以AA 1＝AB 1＝2，OA ＝OB 1＝1，OB ＝OA 1＝ 3.又AC ⊥B 1C ，所以CO ＝1，AB ＝B 1C ＝2，又A 1C ＝BC ，O 为A 1B 的中点，所以BC ＝A 1C ＝2，所以△ABC 为等腰三角形，△A 1AC 为等腰三角形．如图，取AC 的中点M ，连接BM ，A 1M ，则∠BMA 1为二面角B －AC －A 1的平面角．在△BMA 1中，可得BM ＝A 1M ＝142，A 1B ＝23， 所以cos ∠BMA 1＝BM 2＋A 1M 2－A 1B 22BM ·A 1M ＝－57，所以二面角B －AC －A 1的余弦值为－57.19．(本小题满分12分)(2019·某某一模)已知F 为椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的右焦点，点P (2，2)在C 上，且PF ⊥x 轴．(1)求C 的方程；(2)过F 的直线l 交C 于A ，B 两点，交直线x ＝4于点M .证明：直线PA ，PM ，PB 的斜率成等差数列．解 (1)因为点P (2，2)在C 上，且PF ⊥x 轴，所以c ＝2，设椭圆C 的左焦点为E ，连接EP ，则|EF |＝2c ＝4，|PF |＝2，在Rt △EFP 中，|PE |2＝|PF |2＋|EF |2＝18，所以|PE |＝3 2.所以2a ＝|PE |＋|PF |＝42，a ＝22， 又b 2＝a 2－c 2＝4，故椭圆C 的方程为x 28＋y 24＝1.(2)证明：由题意可设直线l 的方程为y ＝k (x －2)， 令x ＝4，得M 的坐标为(4,2k )，由⎩⎪⎨⎪⎧x 28＋y 24＝1，y ＝k (x －2)得(2k 2＋1)x 2－8k 2x ＋8(k 2－1)＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则有x 1＋x 2＝8k 22k 2＋1，x 1x 2＝8(k 2－1)2k 2＋1. ①记直线PA ，PB ，PM 的斜率分别为k 1，k 2，k 3， 从而k 1＝y 1－2x 1－2，k 2＝y 2－2x 2－2，k 3＝2k －24－2＝k －22. 因为直线l 的方程为y ＝k (x －2)，所以y 1＝k (x 1－2)，y 2＝k (x 2－2)， 所以k 1＋k 2＝y 1－2x 1－2＋y 2－2x 2－2＝y1x1－2＋y2x2－2－2⎝⎛⎭⎪⎫1x1－2＋1x2－2＝2k－2·x1＋x2－4x1x2－2(x1＋x2)＋4. ②①代入②，得k1＋k2＝2k－2·8k22k2＋1－48(k2－1)2k2＋1－16k22k2＋1＋4＝2k－2，又k3＝k－22，所以k1＋k2＝2k3，故直线PA，PM，PB的斜率成等差数列．20．(本小题满分12分)(2019·某某一模)十九大以来，某贫困地区扶贫办积极贯彻落实国家精准扶贫的政策要求，带领广大农村地区人民群众脱贫奔小康．经过不懈的奋力拼搏，新农村建设取得巨大进步，农民收入也逐年增加．为了更好地制定2019年关于加快提升农民年收入力争早日脱贫的工作计划，该地扶贫办统计了2018年50位农民的年收入并制成如下频率分布直方图：(1)根据频率分布直方图估计50位农民的年平均收入x(单位：千元)(同一组数据用该组数据区间的中点值表示)；(2)由频率分布直方图可以认为该贫困地区农民年收入X服从正态分布N(μ，σ2)，其中μ近似为年平均收入x，σ2近似为样本方差s2，经计算得s2＝6.92，利用该正态分布，求：(ⅰ)在2019年脱贫攻坚工作中，若使该地区约有占总农民人数的84.14%的农民的年收入高于扶贫办制定的最低年收入标准，则最低年收入大约为多少千元？(ⅱ)为了调研“精准扶贫，不落一人”的政策要求落实情况，扶贫办随机走访了1000位农民．若每个农民的年收入相互独立，问：这1000位农民中的年收入不少于12.14千元的人数最有可能是多少？附：参考数据与公式 6.92≈2.63，若X～N(μ，σ2)，则①P(μ－σ＜X≤μ＋σ)＝0.6827；②P(μ－2σ＜X≤μ＋2σ)＝0.9545；③P(μ－3σ＜X≤μ＋3σ)＝0.9973.解 (1)x ＝12×0.04＋14×0.12＋16×0.28＋18×0.36＋20×0.10＋22×0.06＋24×0.04＝17.40.(2)由题意，X ～N (17.40,6.92)．(ⅰ)∵P (x ＞μ－σ)＝12＋0.68272≈0.8414，∴μ－σ＝17.40－2.63＝14.77时，满足题意， 即最低年收入大约为14.77千元．(ⅱ)由P (X ≥12.14)＝P (X ≥μ－2σ)＝0.5＋0.95452≈0.9773，得每个农民年收入不少于12.14千元的概率为0.9773，记1000个农民年收入不少于12.14千元的人数为ξ，则ξ～B (1000，p )，其中p ＝0.9773.于是恰好有k 个农民的年收入不少于12.14千元的概率是P (ξ＝k )＝C k1000p k(1－p )1000－k，从而由P (ξ＝k )P (ξ＝k －1)＝(1001－k )×pk (1－p )＞1，得k ＜1001p ，而1001p ＝978.233，∴当0≤k ≤978时，P (ξ＝k －1)＜P (ξ＝k )， 当979≤k ≤1000时，P (ξ＝k －1)＞P (ξ＝k )．由此可知，在走访的1000位农民中，年收入不少于12.14千元的人数最有可能是978. 21．(本小题满分12分)(2019·某某三模)已知a ∈R ，函数f (x )＝2x＋a ln x .(1)讨论函数f (x )的单调性；(2)若x ＝2是f (x )的极值点，且曲线y ＝f (x )在两点P (x 1，f (x 1))，Q (x 2，f (x 2))(x 1<x 2<6)处切线平行，在y 轴上的截距分别为b 1，b 2，求b 1－b 2的取值X 围．解 (1)f ′(x )＝－2x 2＋a x ＝ax －2x2，①当a ≤0时，f ′(x )<0在x ∈(0，＋∞)上恒成立， ∴f (x )在(0，＋∞)上单调递减；②当a >0时，x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，2a 时，f ′(x )<0，x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫2a ，＋∞时，f ′(x )>0，即f (x )在x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，2a 上单调递减，在x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫2a，＋∞上单调递增．(2)∵x ＝2是f (x )的极值点， ∴由(1)可知2a＝2，∴a ＝1.设在P (x 1，f (x 1))处的切线方程为y －⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 1＋ln x 1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－2x 21＋1x 1(x －x 1)，在Q (x 2，f (x 2))处的切线方程为y －⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 2＋ln x 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－2x 22＋1x 2(x －x 2)，∵这两条切线互相平行， ∴－2x 21＋1x 1＝－2x 22＋1x 2，∴1x 1＋1x 2＝12. ∵1x 2＝12－1x 1，且0<x 1<x 2<6， ∴16<12－1x 1<1x 1，∴14<1x 1<13，∴x 1∈(3,4)． 令x ＝0，则b 1＝4x 1＋ln x 1－1，同理，b 2＝4x 2＋ln x 2－1.解法一：∵1x 2＝12－1x 1，∴b 1－b 2＝4⎝⎛⎭⎪⎫1x 1－1x 2＋ln x 1－ln x 2＝4⎝⎛⎭⎪⎫2x 1－12－ln 1x 1＋ln ⎝⎛⎭⎪⎫12－1x1.设g (x )＝8x －2－ln x ＋ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫12－x ，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫14，13，∴g ′(x )＝8－1x －112－x ＝16x 2－8x ＋12x 2－x ＝(4x －1)22x 2－x<0， ∴g (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫14，13上单调递减， ∴g (x )∈⎝ ⎛⎭⎪⎫23－ln 2，0， 即b 1－b 2的取值X 围是⎝ ⎛⎭⎪⎫23－ln 2，0.解法二：∵x 2＝2x 1x 1－2， ∴b 1－b 2＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 1－1x 2＋ln x 1－ln x 2＝8x 1－2＋ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 12－1. 令g (x )＝8x ＋ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－1－2，其中x ∈(3,4)，∴g ′(x )＝－8x 2＋1x －2＝x 2－8x ＋16x 2(x －2)＝(x －4)2x 2(x －2)>0，∴函数g (x )在区间(3,4)上单调递增，∴g (x )∈⎝ ⎛⎭⎪⎫23－ln 2，0， ∴b 1－b 2的取值X 围是⎝ ⎛⎭⎪⎫23－ln 2，0.解法三：∵x 1x 2＝2(x 1＋x 2)，∴b 1－b 2＝4x 1－4x 2＋ln x 1－ln x 2＝4(x 2－x 1)x 1x 2＋ln x 1x 2＝2(x 2－x 1)x 1＋x 2＋ln x 1x 2＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 1x 21＋x 1x 2＋ln x 1x 2.设g (x )＝2(1－x )1＋x ＋ln x ，则g ′(x )＝－4(1＋x )2＋1x ＝(1－x )2x (1＋x )2.∵x 1x 2＝x 12－1∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，∴g ′(x )>0， ∴函数g (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1上单调递增，∴g (x )∈⎝ ⎛⎭⎪⎫23－ln 2，0， ∴b 1－b 2的取值X 围是⎝ ⎛⎭⎪⎫23－ln 2，0.(二)选考题：10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．22．(本小题满分10分)[选修4－4：坐标系与参数方程] (2019·某某模拟)已知曲线C 的极坐标方程为ρ＝4cos θsin 2θ，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t cos α，y ＝1＋t sin α(t 为参数，0≤α<π)．(1)把曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程，并说明曲线C 的形状； (2)若直线l 经过点(1,0)，求直线l 被曲线C 截得的线段AB 的长．解 (1)将曲线C 的极坐标方程ρ＝4cos θsin 2θ化为ρ2sin 2θ＝4ρcos θ，得到曲线C 的直角坐标方程为y 2＝4x ，故曲线C 是顶点为O (0,0)，焦点为F (1,0)的抛物线．(2)直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t cos α，y ＝1＋t sin α(t 为参数，0≤α<π)．若直线l 经过点(1,0)，则α＝3π4，∴直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t cos 3π4＝－22t ，y ＝1＋t sin 3π4＝1＋22t (t 为参数)．将其代入y 2＝4x ，得t 2＋62t ＋2＝0.设A ，B 对应的参数分别为t 1，t 2，则t 1＋t 2＝－62，t 1t 2＝2.|AB |＝|t 1－t 2|＝(t 1＋t 2)2－4t 1t 2＝(－62)2－4×2＝8.23．(本小题满分10分)[选修4－5：不等式选讲] (2019·某某模拟)已知函数f (x )＝ |x ＋1|＋|x －3|－m 的定义域为R . (1)某某数m 的取值X 围；(2)若m 的最大值为n ，当正数a ，b 满足23a ＋b ＋1a ＋2b ＝n 时，求7a ＋4b 的最小值．解 (1)∵函数的定义域为R ， ∴|x ＋1|＋|x －3|－m ≥0恒成立，设函数g (x )＝|x ＋1|＋|x －3|，则m 不大于函数g (x )的最小值， 又|x ＋1|＋|x －3|≥|(x ＋1)－(x －3)|＝4， 即函数g (x )的最小值为4，∴m ≤4. (2)由(1)知n ＝4，∴7a ＋4b ＝14(6a ＋2b ＋a ＋2b )⎝ ⎛⎭⎪⎫23a ＋b ＋1a ＋2b ＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫5＋2(3a ＋b )a ＋2b ＋2(a ＋2b )3a ＋b ≥ 14⎝⎛⎭⎪⎫5＋2×23a ＋b a ＋2b ·a ＋2b 3a ＋b ＝94， 当且仅当a ＋2b ＝3a ＋b ，即b ＝2a ＝310时取等号．∴7a ＋4b 的最小值为94.。
2020年高考原创知识巩固卷(三)数理【全国Ⅰ卷PDF版含答案与解析】
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高考理科数学基础知识巩固强化练习试题24 Word版含解析
小题基础练提分快
一、选择题
1．若a>b>0，c<d<0，则一定有()
A．ac>bdB．ac<bd
C．ad<bcD．ad>bc
答案：B
解析：根据c<d<0，有－c>－d>0，由于a>b>0，故－ac>－bd，ac<bd，故选B.
2．[2019·河南信阳月考]对于任意实数a，b，c，d，以下四个命题：
A．M<NB．M>N
C．M＝ND．不确定
答案：B
解析：∵M－N＝a1a2－a1－a2＋1＝a1(a2－1)－(a2－1)＝(a1－1)(a2－1)又a1，a2∈(0,1)，故(a1－1)(a2－1)>0，故M>N.
4．[2019·广州模拟]已知不等式ax2－5x＋b>0的解集为{x|－3<x<－2}，则不等式bx2－5x＋a>0的解集为()
答案：B
解析：解法一当x＝0时，不等式为1≥0恒成立；当x>0时，x2＋2ax＋1≥0⇒2ax≥－(x2＋1)⇒2a≥－，又－≤－2，当且仅当x＝1时取等号，所以2a≥－2⇒a≥－1，所以实数a的取值范围为[－1，＋∞)．
解法二设f(x)＝x2＋2ax＋1，函数图象的对称轴为直线x＝－a.
当－a≤0，即a≥0时，f(0)＝1>0，所以当x∈[0，＋∞)时，f(x)≥0恒成立；
刷题课时增分练综合提能力 课时练 赢高分
一、选择题
1．[2019·河南月考]若<<0，则下列结论不正确的是()
A．a2<b2B．ab>b2
C．a＋b<0D．|a|＋|b|＝|a＋b|
高考理科数学基础知识巩固强化练习试题25 Word版含解析
中表示的区域(用阴影部分表示)是( )C由y ·(x ＋y －2)≥0，得⎩⎪⎨⎪⎧ y ≥0，x ＋y －2≥0或⎩⎪⎨⎪⎧y ≤0，x ＋y －2≤作出不等式组表示的平面区域，，由图知，当直线u＝x－12，符合题意，故k＝河州统一检测]若目标函数z＝ax＋by(a>0a b＝4x－2＋14x－5的最大值为，所以5－4x>0，则f(x作出满足约束条件的可行域如图阴影部分所示．＝－32x ＋z2.x .平移直线l 0，当直线y ＝－取最大值，z max ＝3×2＋2×．某高科技企业生产产品A 和产品B 需要甲、乙两种新型材由题意，设产品A 生产x 件，产品，线性约束条件为⎩⎪⎨⎪⎧1.5x ＋0.5y ≤150，x ＋0.3y ≤90，5x ＋3y ≤600，x ≥0，y ≥0，作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，又由x ∈N ，y ∈N ，可知取得最大值时的最优解为(60,100)，所以z max ＝2 100×60＋900×100＝216 000(元)．太原模拟]已知点(x，y)所在的可行域如图中阴影部分所若使目标函数z＝ax＋y取得最大值的最优解有无数多)得m 的值为负数，在点A 处m 取得最小值，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝7－3x ，x ＋3y ＝13，解得x ＝1，y ＝4，此时m min ＝2×1－3×4＋4＝－6，则|m |max ＝6，在直线2x －3y ＋4＝0下方并满足约束条件的区域使得m 的值为正数，在点C处m 取得最大值，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝7－3x ，x ＝y ＋1，解得x ＝2，y ＝1，即C (2,1)，此时m max ＝5，|m |max ＝5，故|m |max ＝6，故z ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12|2x －3y ＋4|在点A (1,4)处取得最小值，最小值为z ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫126＝164，故选D.二、非选择题9．[2018·全国卷Ⅱ]若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －5≥0，x －2y ＋3≥0，x －5≤0，则z＝x ＋y 的最大值为________．答案：9解析：由不等式组画出可行域，如图(阴影部分)．x ＋y 取得最大值⇔斜率为－1的直线x ＋y ＝z (z 看做常数)的横截距最大，由图可得直线x ＋y ＝z 过点C 时z 取得最大值． 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，x －2y ＋3＝0得点C (5,4)， ∴ z max ＝5＋4＝9.10．[2019·郑州模拟]已知不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥0，x ＋y －1≥0，3x －y －3≤0表示的平面的中点即可．，0，解得A (1,0)． ，0，解得B (2,3)． 的中点坐标为 ⎛⎪⎫32，32，代入直线方程即f(x)在[0，＋∞)上为增函数．所以f(x)min＝f(0)＝a.。
高考数学基础知识专项练习(含答案)
高考数学基础知识专项练习(含答案)以下是高考数学基础知识专项练，共有20道题目，每题均有详细解答。
1.已知函数$f(x)=3x+5$，求$f(-2)$的值。
解：直接将$x=-2$代入原函数，得$f(-2)=3*(-2)+5=-1$。
答案：$-1$2.解不等式$x-8\leq12$。
解：将不等式两边加上8，得$x\leq20$。
答案：$x\leq20$3.化简$\dfrac{6x^3}{9x^4}$。
解：将分子和分母同时除以$3x$，得$\dfrac{2}{3x}$。
答案：$\dfrac{2}{3x}$4.若$3x^2-6x=a$，求$x$的值。
解：将方程移项，得$3x^2-6x-a=0$，再利用求根公式，得$x=\dfrac{2\pm\sqrt{4+3a}}{3}$。
答案：$x=\dfrac{2\pm\sqrt{4+3a}}{3}$5.已知等差数列的公差$d=3$，首项$a_1=2$，求第10项的值。
解：利用等差数列的通项公式$a_n=a_1+(n-1)d$，得$a_{10}=2+9*3=29$。
答案：$29$6.已知直角三角形两直角边分别为3和4，求斜边长。
解：使用勾股定理，得斜边长$c=\sqrt{3^2+4^2}=5$。
答案：$5$7.若$f(x)=x^2-2x+5$，求$f(3)$的值。
解：直接将$x=3$代入原函数，得$f(3)=3^2-2*3+5=7$。
答案：$7$8.已知函数$f(x)=\dfrac{1}{x+1}$，求$f(2)$的值。
解：直接将$x=2$代入原函数，得$f(2)=\dfrac{1}{2+1}=\dfrac{1}{3}$。
答案：$\dfrac{1}{3}$9.化简$2y-4y^2-3y+1$。
解：将同类项相加，得$-4y^2-y+1$。
答案：$-4y^2-y+1$10.已知函数$f(x)=\sqrt{x+3}$，求$f(1)$的值。
解：直接将$x=1$代入原函数，得$f(1)=\sqrt{1+3}=2$。
高考理科数学基础知识巩固强化练习试题5版含解析
∞， 0)．
故选 D.
二、非选择题
9．已知函数 f(x)是 R 上的奇函数，且满足 f(x＋2)＝－ f(x)，当 x∈(0,1]时，f(x)＝2x－1，则方程 f(x)＝log7|x－2|解的个数是 ________．
答案： 7
解析：由于函数 f(x)是 R 上的奇函数，∴f(0)＝0.由 f(x＋2)＝－ f(x)，
∴在对称轴处取得最小值，且离对称轴越远，函数值越大． ∵函 数 f(x)＝x2＋bx＋c 的图象的对称轴为 x＝2，
∴ f(2)<f(1)<f(4)，故选 A.
2．[2019 ·昆明模拟 ] 已知函数 f(x)＝ mx2＋ mx＋1的定义域是实数
集 R，则实数 m 的取值范围是 ( )
A ．(0,4) B．[0,4]
即 x≤－1 时， f(x＋1)＜f(2x)
2x≤ 0，
即为 2－ (x＋ 1)＜2－2x，即－ (x＋ 1)＜－ 2x，解得 x＜ 1.
因此不等式的解集为 (－∞，－ 1]．
x＋ 1≤ 0，
②当
时，不等式组无解．
2x＞ 0
x＋ 1＞ 0， ③当
即－ 1＜x≤0 时， f(x＋1)＜f(2x)即 1＜2－2x，解
5 基本初等函数
⑤
小题基础练提分快
一、选择题 1．[2019 ·杭州模拟 ]若函数 f(x)＝x2＋bx＋ c 的图象的对称轴为 x
＝2，则 ( )
A ．f(2)<f(1)<f(4)
B． f(1)< f(2)< f(4)
C． f(2)< f(4)< f(1)
D ． f(4)< f(2)< f(1)
答案： A 解析： ∵二次函数 f(x)＝x2＋bx＋c 的图象开口向上，
高考题模拟题高考数学基础巩固练五理含解析
高考题模拟题高考数学基础巩固练五理含解析基础巩固练(五)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷 (选择题，共60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．(2019·濮阳市二模)已知集合A ＝{x |x ＞0}，B ＝{x |log 2(3x －1)＜2}，则( ) A ．A ∪B ＝(0，＋∞) B ．A ∩B ＝⎝ ⎛⎦⎥⎤0，13C ．A ∪B ＝RD ．A ∩B ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，53 答案 A解析 依题意，得B ＝{x |log 2(3x －1)＜2}＝{x |0＜3x －1＜4}＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪13＜x ＜53，所以A ∩B ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13，53，A ∪B ＝(0，＋∞)．故选A.2．(2019·重庆一中模拟)若复数z 满足(1－i)z ＝2＋3i ，则复数z 的实部与虚部之和为( )A ．－2B ．2C ．－4D ．4 答案 B解析 由(1－i)z ＝2＋3i ，得z ＝2＋3i 1－i ＝－12＋52i.则复数z 的实部与虚部之和为－12＋52＝2.故选B.3．(2019·武汉市模拟)某学校为了了解本校学生的上学方式，在全校范围内随机抽查部分学生，了解到上学方式主要有：A 结伴步行，B 自行乘车，C 家人接送，D 其他方式，并将收集的数据整理绘制成如下两幅不完整的统计图．请根据图中信息，求本次抽查的学生中A 类人数是( )A ．30B ．40C ．42D ．48答案 A解析 根据选择D 方式的有18人，所占比例为15%，得总人数为1815%＝120人，故选择A 方式的人数为120－42－30－18＝30.故选A.4．(2019·兰州一中模拟)在等差数列{a n }中，a 10＜0，a 11＞0，且a 11＞|a 10|，则使{a n }的前n 项和S n ＜0成立的最大的自然数n 为( )A ．11B ．10C ．19D ．20 答案 C解析 ∵数列{a n }为等差数列，a 10＜0，a 11＞0，∴d ＞0，又∵a 11＞|a 10|，∴a 11＞－a 10，即a 10＋a 11＞0，由S 20＝a 1＋a 202×20＝10(a 10＋a 11)＞0，S 19＝a 1＋a 192×19＝19a 10＜0，故可得使{a n }的前n 项和S n ＜0成立的最大的自然数为19，故选C.5．(2019·湖南师大附中模拟)已知函数f (x )＝cos xe x ，则函数f (x )的图象在点(0，f (0))处的切线方程为( )A ．x ＋y ＋1＝0B ．x ＋y －1＝0C ．x －y ＋1＝0D ．x －y －1＝0 答案 B解析 ∵f (x )＝cos x e x ，∴f ′(x )＝－sin x －cos xe x， ∴f ′(0)＝－1，f (0)＝1，即函数f (x )的图象在点(0,1)处的切线的斜率为－1，∴函数f (x )的图象在点(0，f (0))处的切线方程为y ＝－x ＋1，即x ＋y －1＝0.故选B. 6．(2019·邯郸市模拟)某班有50名学生，一次数学考试的成绩ξ服从正态分布N (105,102)，已知P (95≤ξ≤105)＝0.32，估计该班学生数学成绩在115分以上的人数为( )A ．10B ．9C ．8D ．7 答案 B解析 ∵数学考试的成绩ξ服从正态分布N (105,102)， ∴数学考试的成绩ξ关于ξ＝105对称， ∵P (95≤ξ≤105)＝0.32， ∴P (ξ≥115)＝12(1－0.64)＝0.18，∴该班学生数学成绩在115分以上的人数为0.18×50＝9.故选B.7．(2019·安徽宣城第二次调研)如图，网格纸上小正方形的边长为2，粗线画出的是某多面体的三视图，则该几何体的体积为( )A.163 B.323 C.643 D.1283答案 C解析 由三视图可得其直观图为三棱锥E －ABD ，所以该几何体的体积为V ＝13×12×4×8×4＝643.8．(2019·武汉二中一模)已知二项式⎝⎛⎭⎪⎫2x －1x n(n ∈N *)的展开式中第2项与第3项的二项式系数之比是2∶5，则x 3的系数为( )A ．14B ．－14C ．240D ．－240 答案 C解析 由题意可得C 1n ∶C 2n ＝2∶5，解得n ＝6，T r ＋1＝C r 6(2x )6－r·(－1)r(x －12 )r ＝(－1)r 26－r C r 6·x 6－32r ，由6－32r ＝3，得r ＝2，所以x 3的系数为(－1)2×24×C 26＝240.故选C.9．(2019·宜春三模)在平面直角坐标系xOy 中，已知向量a ，b ，|a |＝|b |＝1，a ·b＝0，点Q 满足OQ →＝2(a ＋b )．曲线C ＝{P |OP →＝a cos θ＋b sin θ，0≤θ≤2π}，区域Ω＝{P |0＜r ≤|PQ →|≤R ，r ＜R }．若C ∩Ω为两段分离的曲线，则( )A ．1＜r ＜R ＜3B ．1＜r ＜3≤RC ．r ≤1＜R ＜3D ．1＜r ＜3＜R 答案 A解析 设a ＝(1,0)，b ＝(0,1)，则OQ →＝(2，2)，OP →＝(cos x ，sin x )，区域Ω表示的是平面上的点到点Q(2，2)的距离在r到R之间(包含边界)，如图中的阴影部分圆环，要使C∩Ω为两段分离的曲线，则1＜r＜R＜3，故选A.10．(2019·包头市一模)七巧板是我们祖先的一项创造，被誉为“东方魔板”，它是由五块等腰直角三角形(两块全等的小三角形、一块中三角形和两块全等的大三角形)、一块正方形和一块平行四边形组成的．如图是一个用七巧板拼成的正方形，现从该正方形中任取一点，则此点取自黑色部分的概率是( )A.316B.38C.14D.18答案 A解析设AB＝2，则BC＝CD＝DE＝EF＝1.∴S△BCI＝12×22×22＝14，S▱EFGH＝2S△BCI＝2×14＝12，∴所求的概率为P＝14＋122×2＝316，故选A.11．(2019·张家界市三模)设F1，F2分别是双曲线x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点，双曲线上存在一点P使得∠F1PF2＝60°，|OP|＝3b(O为坐标原点)，则该双曲线的离心率为( )A.43B.233C.76D.426答案 D解析设|PF1|＝m，|PF2|＝n，则由余弦定理可得m 2＋n 2－mn ＝4c 2，①m 2＝c 2＋|OP |2－2c |OP |cos ∠POF 1，n 2＝c 2＋|OP |2－2c |OP |cos(π－∠POF 1)，即n 2＝c 2＋|OP |2＋2c ·|OP |cos ∠POF 1，由以上两式可得m 2＋n 2＝2c 2＋2×9b 2，即m 2＋n 2＝2c 2＋18b 2，②又由双曲线的定义可得|m －n |＝2a ，即m 2＋n 2－2mn ＝4a 2，③由①③可得m 2＋n 2＝8c 2－4a 2，代入②可得9b 2＝3c 2－2a 2，即6c 2＝7a 2，故离心率e ＝76＝426，故选D. 12．(2019·南宁市二模)已知定义在R 上的奇函数f (x )满足当x ≥0时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 12 (x ＋1)，x ∈[0，1)，1－|x －3|，x ∈[1，＋∞)，则关于x 的函数y ＝f (x )－a (－1＜a ＜0)的所有零点之和为( )A ．2a－1 B ．2－a－1 C ．1－2－aD ．1－2a答案 B解析 作出函数f (x )与y ＝a 的图象如下，结合图象可知，函数f (x )与y ＝a 的图象共有5个交点， 故函数y ＝f (x )－a 有5个零点， 设5个零点分别为b ＜c ＜d ＜e ＜f ， ∴b ＋c ＝2×(－3)＝－6，e ＋f ＝2×3＝6， log 12(x ＋1)＝a ，故x ＝－1＋2－a，即d ＝－1＋2－a， 故b ＋c ＋d ＋e ＋f ＝－1＋2－a，故选B.第Ⅱ卷 (非选择题，共90分)二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．(2019·广西联合模拟)已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y －3≥0，x ＋2y －6≤0，x ＞0，则y x的最大值是________．答案 14解析 由约束条件可作出如图中阴影部分所示的可行域，两直线的交点为A (4,1)，则当过原点的直线过点A 时，斜率k max ＝y －0x －0＝14，即y x 的最大值为14.14．(2019·山东师大附中一模)对于实数x ，[x ]表示不超过x 的最大整数，已知正数数列{a n }满足S n ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫a n ＋1a n ，n ∈N *，其中S n 为数列{a n }的前n 项和，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤1S 1＋1S 2＋…＋1S 121＝________.答案 20解析 由题意可知S n ＞0，当n ＞1时，S n ＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤(S n －S n －1)＋1S n －S n －1化简可得S 2n －S 2n －1＝1，当n ＝1，S 21＝a 21＝1，所以数列{S 2n }是首项和公差都为1的等差数列，即S 2n ＝n ，∴S n ＝n ， 又n ＞1时，2(n ＋1－n )＝2n ＋1＋n ＜22S n ＜2n ＋n －1＝2(n －n －1)，记S ＝1S 1＋1S 2＋…＋1S 121，一方面S ＞2[122－121＋…＋2－1]＝2(122－1)＞20，另一方面S ＜1＋2[(121－120)＋…＋(2－1)]＝1＋2(121－1)＝21. 所以20＜S ＜21.即[S ]＝20.15．(2019·化州市三模)现有16张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张．从中任取3张，要求这3张卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多1张．不同取法的种数为________．答案 472解析 用间接法，符合条件的取法的种数为C 316－4C 34－C 24·C 112＝472.16．(2019·全国卷Ⅲ)学生到工厂劳动实践，利用3D 打印技术制作模型．如图，该模型为长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1挖去四棱锥O －EFGH 后所得的几何体．其中O 为长方体的中心，E ，F ，G ，H 分别为所在棱的中点，AB ＝BC ＝6 cm ，AA 1＝4 cm.3D 打印所用原料密度为0.9 g/cm 3，不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量为________g.答案 118.8解析 由题知挖去的四棱锥的底面是一个菱形，对角线长分别为6 cm 和4 cm ， 故V 挖去的四棱锥＝13×12×4×6×3＝12(cm 3)．又V 长方体＝6×6×4＝144(cm 3)，所以模型的体积为V 长方体－V 挖去的四棱锥＝144－12＝132(cm 3)， 所以制作该模型所需原料的质量为132×0.9＝118.8(g)．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．(一)必考题：60分．17．(本小题满分12分)(2019·吉林一中模拟)如图，在△ABC 中，AB ＝2，cos B ＝13，点D 在线段BC 上．(1)若∠ADC ＝3π4，求AD 的长；(2)若BD ＝2DC ，△ACD 的面积为423，求sin ∠BADsin ∠CAD 的值．解 (1)在△ABC 中，∵cos B ＝13，∴sin B ＝223.在△ABD 中，由正弦定理，得AB sin ∠ADB ＝ADsin B，又AB ＝2，∠ADB ＝π4，sin B ＝223.∴AD ＝83.(2)∵BD ＝2DC ，∴S △ABD ＝2S △ADC ，S △ABC ＝3S △ADC ， 又S △ADC ＝423，∴S △ABC ＝42，∵S △ABC ＝12AB ·BC sin B ，∴BC ＝6，∵S △ABD ＝12AB ·AD sin ∠BAD ，S △ADC ＝12AC ·AD sin ∠CAD ， S △ABD ＝2S △ADC ，∴sin ∠BAD sin ∠CAD ＝2·ACAB，在△ABC 中，由余弦定理， 得AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC cos B . ∴AC ＝42，∴sin ∠BAD sin ∠CAD ＝2·ACAB＝4 2.18．(本小题满分12分)(2019·青岛市二模)为了研究学生的数学核心素养与抽象能力(指标x )、推理能力(指标y )、建模能力(指标z )的相关性，将它们各自量化为1、2、3三个等级，再用综合指标w ＝x ＋y ＋z 的值评定学生的数学核心素养，若w ≥7，则数学核心素养为一级；若5≤w ≤6，则数学核心素养为二级；若3≤w ≤4，则数学核心素养为三级，为了了解某校学生的数学核心素养，调查人员随机访问了某校10名学生，得到如下数据：的概率；(2)在这10名学生中任取三人，其中数学核心素养等级是一级的学生人数记为X ，求随机变量X 的分布列及其数学期望．解w 7 8 9 5 7 8 6 8 4 6A 9A 4A 5A 7，A 10；建模能力三级的学生是A 1，A 2，A 3，A 6，A 8.记“所取的两人的建模能力指标相同”为事件A ，记“所取的两人的综合指标值相同”为事件B .则P (B |A )＝P (AB )P (A )＝C 23＋C 22C 24＋C 25＝416＝14.(2)由题意可知，数学核心素养一级的学生为A 1，A 2，A 3，A 5，A 6，A 8，非一级的学生为余下4人，∴X 的所有可能取值为0,1,2,3.P (X ＝0)＝C 06C 34C 310＝130，P (X ＝1)＝C 16C 24C 310＝310，P (X ＝2)＝C 26C 14C 310＝12，P (X ＝3)＝C 36C 04C 310＝16，∴随机变量X 的分布列为X 0 1 2 3 P1303101216∴E (X )＝0×130＋1×310＋2×2＋3×6＝1.8.19．(本小题满分12分)(2019·安徽黄山二模)如图，已知四边形ABCD 满足AD ∥BC ，BA ＝AD ＝DC ＝12BC ＝a ，E 是BC 的中点，将△BAE 沿AE 翻折成△B 1AE ，使得B 1D ＝62a ，F 为B 1D 的中点．(1)证明：B 1E ∥平面ACF ；(2)求平面ADB 1与平面ECB 1所成锐二面角的余弦值．解 (1)证明：连接ED 交AC 于点O ，连接OF ，由四边形ADCE 为菱形，F 为B 1D 的中点，得OF ∥B 1E ，又因为B 1E ⊄平面ACF ，OF ⊂平面ACF ，所以B 1E ∥平面ACF .(2)由(1)可知，以MD ，MA ，MB 1所在的直线分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系(如图)，则A ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，a 2，0，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫3a2，0，0，B 1⎝ ⎛⎭⎪⎫0，0，3a 2，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫3a 2，－a ，0，E ⎝⎛⎭⎪⎫0，－a 2，0， EC →＝⎝⎛⎭⎪⎫3a2，－a 2，0，EB 1→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，a 2，3a 2，AD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3a 2，－a 2，0，AB 1→＝⎝⎛⎭⎪⎫0，－a 2，3a 2.设平面ADB 1的法向量m ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧m ·AD →＝0，m ·AB 1→＝0，则⎩⎪⎨⎪⎧3a 2x －a2y ＝0，－a 2y ＋3a 2z ＝0，令y ＝1，解得m ＝⎝⎛⎭⎪⎫33，1，33，同理可得平面ECB 1的法向量n ＝⎝⎛⎭⎪⎫33，1，－33，∴cos 〈m ，n 〉＝m ·n |m ||n |＝35，故平面ADB 1与平面ECB 1所成锐二面角的余弦值为35.20．(本小题满分12分)(2019·福建莆田二模)已知抛物线C ：x 2＝2py (p ＞0)的焦点为F ，准线为l ，若点P 在C 上，点E 在l 上，且△PEF 是周长为12的正三角形．(1)求抛物线C 的方程；(2)过点F 的直线n 与抛物线C 相交于A ，B 两点，抛物线C 在点A 处的切线与l 交于点N ，求△ABN 面积的最小值．解 (1)由△PEF 是周长为12的正三角形，得|PE |＝|PF |＝|EF |＝4，又由抛物线的定义可得PE ⊥l .设准线l 与y 轴交于点D ，则PE ∥DF ，从而∠PEF ＝∠EFD ＝60°.在Rt △EDF 中，|DF |＝|EF |·cos∠EFD ＝4×12＝2，即p ＝2.所以抛物线C 的方程为x 2＝4y .(2)依题意可知，直线n 的斜率存在，故设直线n 的方程为y ＝kx ＋1，联立⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝4y ，y ＝kx ＋1，消去y 可得，x 2－4kx －4＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝－4. 所以|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2| ＝1＋k2(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝1＋k216k 2＋16＝4(1＋k 2)． 由y ＝x 24，得y ′＝x2， 所以过A 点的切线方程为y －y 1＝x 12(x －x 1)，又y 1＝x 214，所以切线方程可化为y ＝x 12·x －x 214.令y ＝－1，可得x ＝x 214－1x 12＝2·y 1－1x 1＝2k ，所以点N (2k ，－1)，所以点N 到直线n 的距离d ＝|2k 2＋2|k 2＋1＝2k 2＋1， 所以S △ABN ＝12|AB |·d ＝4(k 2＋1)3≥4，当k ＝0时，等号成立． 所以△ABN 面积的最小值为4.21．(本小题满分12分)(2019·武汉模拟)已知函数f (x )＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫ln x ＋2x －e x －1x 2(a ∈R ，a 为常数)在(0,2)内有两个极值点x 1，x 2(x 1＜x 2)．(1)求实数a 的取值范围； (2)求证：x 1＋x 2＜2(1＋ln a )．解 (1)∵函数f (x )＝a ⎝⎛⎭⎪⎫ln x ＋2x －e x －1x 2(a ∈R ，a 为常数)，∴x ＞0，f ′(x )＝(2－x )(e x －1－ax )x3， 设h (x )＝ex －1－ax ，x ＞0，由题意知y ＝h (x )在(0,2)上存在两个零点， ∵h ′(x )＝ex －1－a ，∴当a ≤0时，h ′(x )＞0，则h (x )在(0,2)上单调递增，h (x )至多有一个零点，不符合题意．当a ＞0时，由h ′(x )＝0，得x ＝1＋ln a .①若1＋ln a ＜2且h (2)＞0，即1＜a ＜e2时，h (x )在(0,1＋ln a )上单调递减，在(1＋ln a,2)上单调递增，则h (x )min ＝h (1＋ln a )＝－a ln a ＜0，且h (2)＞0，h (0)＝1e ＞0，∴h (x )在(0,1＋ln a )和(1＋ln a,2)上各有一个零点， ∴h (x )在(0,2)上存在两个零点．②若1＋ln a ＞2，即a ＞e 时，h (x )在(0,2)上单调递减，h (x )至多一个零点，舍去． ③若1＋ln a ＜2，且h (2)≤0，即e2≤a ＜e 时，此时h (x )在(0,1＋ln a )上有一个零点，而在(1＋ln a,2)上没有零点，舍去．综上，1＜a ＜e 2.即实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫1，e 2. (2)证明：令H (x )＝h (x )－h (2＋2ln a －x )，0＜x ＜1＋ln a ， 则H ′(x )＝h ′(x )＋h ′(2＋2ln a －x )＝e x －1－a ＋e2＋2ln a －x －1－a ＝ex －1＋a 2ex －1－2a ≥2a－2a ＝0，∴H (x )在(0,1＋ln a )上单调递增， 从而H (x )＜H (1＋ln a )＝0， ∴h (x )－h (2＋2ln a －x )＜0， ∴h (x 1)－h (2＋2ln a －x 1)＜0，∵h (x 1)＝h (x 2)，且h (x )在(1＋ln a,2)上单调递增， ∴h (x 2)＜h (2＋2ln a －x 1)，∴x 2＜2＋2ln a －x 1， ∴x 1＋x 2＜2(1＋ln a )．(二)选考题：10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．22．(本小题满分10分)[选修4－4：坐标系与参数方程](2019·江西重点中学联盟第二次联考)在直角坐标系xOy 中，直线l ：⎩⎨⎧x ＝t ，y ＝5＋2t(t 为参数)，以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ2cos2θ＋4＝0.(1)写出曲线C 的直角坐标方程；(2)已知点A (0，5)，直线l 与曲线C 相交于点M ，N ，求1|AM |＋1|AN |的值．解 (1)ρ2cos 2θ－ρ2sin 2θ＋4＝0⇒x 2－y 2＋4＝0⇒y 2－x 2＝4. (2)将直线l 的参数方程化为标准形式⎩⎪⎨⎪⎧x ＝15t ，y ＝5＋2t5(t 为参数)，代入曲线C 的方程，得35t 2＋4t ＋1＝0，则1|AM |＋1|AN |＝1|t 1|＋1|t 2|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪t 1＋t 2t 1t 2＝4. 23．(本小题满分10分)[选修4－5：不等式选讲] (2019·唐山联考)已知函数f (x )＝x |x －a |(a ∈R )， (1)当f (1)＋f (－1)＞1时，求a 的取值范围；(2)若a ＞0，对∀x ，y ∈(－∞，a ]都有不等式f (x )≤⎪⎪⎪⎪⎪⎪y ＋54＋|y －a |恒成立，求a 的取值范围．解 (1)f (1)＋f (－1)＝|1－a |－|1＋a |＞1，若a ≤－1，则1－a ＋1＋a ＞1，得2＞1，即a ≤－1时恒成立； 若－1＜a ＜1，则1－a －(1＋a )＞1，得a ＜－12，即－1＜a ＜－12；若a ≥1，则－(1－a )－(1＋a )＞1，得－2＞1，此时不等式无解． 综上所述，a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－12. (2)由题意知，要使不等式恒成立，只需[f (x )]max ≤⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎪⎪⎪⎪⎪⎪y ＋54＋|y －a |min .当x ∈(－∞，a ]时，f (x )＝－x 2＋ax ，[f (x )]max ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＝a24.因为⎪⎪⎪⎪⎪⎪y ＋54＋|y －a |≥⎪⎪⎪⎪⎪⎪a ＋54， 所以当y ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－54，a 时，⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎪⎪⎪⎪⎪⎪y ＋54＋|y －a |min＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪a ＋54＝a ＋54.于是a 24≤a ＋54，解得－1≤a ≤5.结合a ＞0，所以a 的取值范围是(0,5]．。
2019届高考理科数学全国通用版一轮复习解答题规范答题强化练 Word版含解析(全套打包)
规范答题强化练(一)函数与导数(45分钟48分)1.(12分)已知函数f(x)=e x+x2-x, g(x)=x2+ax+b,a,b∈R.(1)当a=1时,求函数F(x)=f(x)-g(x)的单调区间.(2)若曲线y=f(x)在点(0,1)处的切线l与曲线y=g(x)切于点(1,c),求a,b,c的值.(3)若f(x)≥g(x)恒成立,求a+b的最大值.【解析】(1) F(x)=e x-2x-b,则F′(x)=e x-2.(1分)令F′(x)=e x-2>0,得x>ln 2,所以F(x)在(ln 2,+∞)上单调递增.令F′(x)=e x-2<0,得x<ln 2,所以F(x)在(-∞,ln 2)上单调递减. (4分)(2)因为f′(x)=e x+2x-1,所以f′(0)=0,所以l的方程为y=1.依题意,g′(x)=2x+a,g′(1)=2+a=0,所以-=1, c=1.于是l与抛物线g(x)=x2-2x+b切于点(1,1),由12-2+b=1得b=2.所以a=-2,b=2,c=1.(3)设h(x)=f(x)-g(x)=e x-(a+1)x-b,则h(x)≥0恒成立.易得h′(x) =e x-(a+1).(6分)①当a+1≤0时,因为h′(x)>0,所以此时h(x)在(-∞,+∞)上单调递增.若a+1=0,则当b≤0时满足条件,此时a+b≤-1;(7分)若a+1<0,取x0<0且x0<,此时h(x0)=-(a+1)x0-b<1-(a+1)-b=0,所以h(x)≥0不恒成立.不满足条件;(8分)②当a+1>0时,令h′(x)=0,得x=ln (a+1).由h′(x)>0,得x>ln (a+1);由h′(x)<0,得x<ln (a+1).所以h(x)在(-∞,ln (a+1))上单调递减,在(ln (a+1),+∞)上单调递增.(10分)要使得“h(x)=e x-(a+1)x-b≥0恒成立”,必须有“当x=ln (a+1)时, h(x)min=(a+1)-(a+1)ln (a+1)-b≥0”成立.所以b≤(a+1)-(a+1)ln (a+1).则a+b≤2(a+1)-(a+1)ln (a+1)-1.令G(x)=2x-xln x-1,x>0,则G′(x)=1-ln x.令G′(x)=0,得x=e.由G′(x)>0,得0<x<e;由G′(x)<0,得x>e.所以G(x)在(0,e)上单调递增,在(e,+∞)上单调递减,所以,当x=e时, G(x)max=e-1.从而,当a=e-1,b=0时,a+b的最大值为e-1.综上, a+b的最大值为e-1.(12分)2.(12分)已知函数f(x)=a x+x2-xln a-b(a, b∈R, a>1),e是自然对数的底数.(1)当a=e, b=4时,求函数f(x)的零点个数.(2)若b=1,求f(x)在[-1,1]上的最大值.【解析】 (1)f(x)=e x+x2-x-4,所以f′(x)=e x+2x-1,所以f′(0)=0,(1分)当x>0时, e x>1,所以f′(x)>0,故f(x)是(0,+∞)上的增函数,(2分) 当x<0时, e x<1,所以f′(x)<0,故f(x)是(-∞,0)上的减函数,(3分) f(1)=e-4<0, f(2)= e2-2>0,所以存在x1∈(1,2)是f(x)在(0,+∞)上的唯一零点;(4分)f(-2)=+2>0, f(-1)=-2<0,所以存在x2∈(-2,-1)是f(x)在(-∞,0)上的唯一零点,所以f(x)的零点个数为2.(6分)(2)f′(x)=a x ln a+2x-ln a =2x+(a x-1)ln a,(7分)当x>0时,由a>1,可知a x-1>0, ln a>0,所以f′(x)>0,当x<0时,由a>1,可知a x-1<0, ln a>0,所以f′(x)<0,当x=0时, f′(x)=0,所以f(x)是[-1,0]上的减函数, [0,1]上的增函数,所以当x∈[-1,1]时, f(x)min=f(0), f(x)max为f(-1)和f(1)中的较大者.而f(1)-f(-1)=a--2ln a,设g(x)=x--2ln x(x>1),因为g′(x)=1+- =≥0(当且仅当x=1时等号成立),(8分)所以g(x)在(0,+∞)上单调递增,而g(1)=0,(10分)所以当x>1时, g(x)>0,即a>1时, a--2ln a>0,所以f(1)>f(-1).所以f(x)在[-1,1]上的最大值为f(1)=a-ln a.(12分)3.(12分)已知函数f(x)=ln x+,其中常数k>0.(1)讨论f(x)在(0,2)上的单调性.(2)当k∈[4,+∞)时,若曲线y=f(x)上总存在相异两点M(x1,y1),N(x2,y2),使曲线y=f(x)在M,N两点处的切线互相平行,试求x1+x2的取值范围.【解析】(1)由已知得, f(x)的定义域为(0,+∞),且f′(x)=--1=-=-(k>0),(2分)①当0<k<2时, >k>0,且>2,所以x∈(0,k)时, f′(x)<0; x∈(k,2)时, f′(x)>0.所以,函数f(x)在(0,k)上是减函数,在(k,2)上是增函数;(3分)②当k=2时, =k=2, f′(x)<0在区间(0,2)内恒成立,所以f(x)在(0,2)上是减函数;(4分)③当k>2时, 0<<2,k<,所以x∈时, f′(x)<0; x∈时,f′(x)>0,所以函数在上是减函数,在上是增函数.(6分)(2)由题意,可得f′(x1)=f′(x2), x1x2>0且x1≠x2,即--1 =--1,化简得, 4(x1+x2)=x1x2,(8分)由x1x2<,得4(x1+x2)<,即x1+x2>对k∈[4,+∞)恒成立,(10分)令g(k)=k+,则g′(k)=1-=>0对k∈[4,+∞)恒成立,所以g(k)在[4,+∞)上单调递增,则g(k)≥g(4)=5,所以≤,所以x1+x2>,故x1+x2的取值范围为.(12分)4.(12分) 设函数f(x)=ln x.(1)令F(x)=f(x)+(0<x≤3),若F(x)的图象上任意一点P (x0,y0)处切线的斜率k≤恒成立,求实数a的取值范围.(2)当a>0时,设函数g(x)=(x2-2x)f(x)+ax2-x,且函数g(x)有且仅有一个零点,若e-2<x<e,g(x)≤m,求m的取值范围.【解析】(1)F(x)=f(x)+=ln x+,x∈(0,3],则有F′(x0)=≤在x0∈(0,3]上恒成立,(2分)所以a≥,(4分)x0∈(0,3],当x0=1时,-+x0取得最大值,所以a≥. (6分) (2)因为x∈(0,+∞),令g(x)=(x2-2x)f(x)+ax2-x=0,则(x2-2x)ln x+ax2=x,即a=,(7分)令h(x)=,则h′(x)=--+=,(8分)令t(x)=1-x-2ln x,t′(x)=-1-=,因为t′(x)<0,所以t(x)在(0,+∞)上是减函数,又因为t(1)=h′(1)=0,所以当0<x<1时,h′(x)>0,当x>1时,h′(x)<0,所以h(x)在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减,所以h(x)max=h(1)=1,因为a>0,所以当函数g(x)有且仅有一个零点时,a=1.(10分)当a=1时,g(x)=(x2-2x)f(x)+x2-x,若e-2<x<e,g(x)≤m,则g(x)max≤m,g′(x)=(x-1)(3+2ln x),令g′(x)=0得x=1或x=,又因为e-2<x<e,所以函数g(x)在(e-2,)上单调递增,在(,1)上单调递减,在(1,e)上单调递增,又g()=-e-3+2,g(e)=2e2-3e,因为g()<g(e),所以g(x)max=g(e)=2e2-3e,所以m≥2e2-3e.(12分)规范答题强化练(二)三角(45分钟48分)1.(12分)已知函数f(x)=4cos ωx·sin (ωx+)(ω>0)的最小正周期为π.(1)求ω的值.(2)讨论f(x)在区间上的单调性.【解析】 (1)f(x)=4cos ωx·sin=2sin ωx·cos ωx+2cos 2ωx=(sin 2ωx+cos 2ωx)+=2sin+.(2分)因为f(x)的最小正周期为π,且ω>0,从而有=π,故ω=1.(4分)(2)由(1)知,f(x)=2sin +.若0≤x≤,则≤2x+≤.当≤2x+≤,即0≤x≤时,f(x)单调递增; (8分)当<2x+≤,即<x≤时,f(x)单调递减.综上可知,f(x)在区间上单调递增,在区间上单调递减. (12分)2.(12分)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且2cos 2cos B-sin (A-B)sin B+cos (A+C)=-.(1)求cos A的值.(2)若a=4,b=5,求向量在方向上的投影.【解析】 (1)由2cos 2cos B-sin (A-B)·sin B+cos (A+C)=-,得[cos (A-B)+1]cos B-sin (A-B)sin B-cos B=-,(2分)即cos (A-B)cos B-sin (A-B)sin B=-,则cos (A-B+B)=-,即cos A=-. (4分)(2)由cos A=-,0<A<π,得sin A=.(6分)由正弦定理,有=,所以sin B==.(8分)由题意知a>b,则A>B,故B=.根据余弦定理,有(4)2=52+c2-2×5×c×,解得c=1或c=-7(舍去).故向量在方向上的投影为||cos B=.(12分)3.(12分)设函数f(x)=cos +2cos 2x.(1)求f(x)的最大值,并写出使f(x)取最大值时x的集合.(2)已知△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若f(B+C)=,b+c=2,求a的最小值.【解析】 (1)因为f(x)=cos +2cos 2x=cos +1,所以f(x)的最大值为2.(3分)f(x)取最大值时,cos =1,2x+=2kπ(k∈Z),故x的集合为{x|x=kπ-,k∈Z}. (5分)(2)由f(B+C)=cos +1=,可得cos =,由A∈(0,π),可得A=.(8分)在△ABC中,由余弦定理,得a2=b2+c2-2bccos =(b+c)2-3bc,由b+c=2知bc≤=1,当b=c=1时bc取最大值,此时a取最小值1. (12分)4.(12分)设函数f(x)=-sin 2ωx-sin ωxcos ωx(ω>0),且y=f(x)图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为.(1)求ω的值.(2)求f(x)在区间上的最大值和最小值.【解析】(1)f(x)=-sin 2ωx-sin ωxcos ωx=-·-sin 2ωx=cos 2ωx-sin 2ωx=-sin .(4分)因为图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为,又ω>0,所以=4×.因此ω=1.(6分)(2)由(1)知f(x)=-sin .当π≤x≤时,≤2x-≤.所以-≤sin ≤1.(10分)因此-1≤f(x)≤.故f(x)在区间上的最大值和最小值分别为,-1. (12分)规范答题强化练（三）数列(45分钟48分)1.(12分)已知正项等比数列{a n}满足a1,2a2,a3+6成等差数列,且=9a1a5.(1)求数列{a n}的通项公式.(2)设b n=·a n,求数列{b n}的前n项和T n.【解析】(1)设正项等比数列{a n}的公比为q(q>0),由= 9a1 a5 = 9,(2分)故q2 = = 9,(3分)解得q=±3,因为q>0,所以q=3.又因为a1, 2a2, a3+6成等差数列,所以a1+(a3+6)-4a2=0,解得a1=3,(4分)所以数列{a n}的通项公式为a n=3n .(6分)(2)依题意得b n=(2n+1)·3n,则T n=3·31+5·32+7·33+…+(2n+1)·3n,①(7分)3T n=3·32+5·33+7·34+…+(2n-1)·3n+(2n+1)·3n+1,②由②-①得2T n=(2n+1)·3n+1-2·(32+33+…+3n)-32 =(2n+1)·3n+1-2·-32=2n·3n+1,(10分)所以数列{b n}的前n项和T n=n·3n+1.(12分)2.(12分)已知数列{a n}满足a1=1,a n+1=2a n+3,n∈N*(1)求证:数列{a n+3}是等比数列.(2)求数列{na n}的前n项和S n.【解析】(1)==2,(n∈N*),因此数列{a n+3}是等比数列,且公比为2. (4分)(2)由(1)及题设可知,数列{a n+3}是首项为4,公比为2的等比数列,因此a n+3=4×2n-1=2n+1,于是a n=2n+1-3;所以n·a n=n·2n+1-3n.(6分)设b n=n·2n+1,c n=-3n,并设它们的前n项和分别为T n,R n.则T n=1×22+2×23+3×24+…+n·2n+1,①(8分)所以2T n=1×23+2×24+…+(n-1)·2n+1+n·2n+2②②-①得T n=-22-23-24-…-2n+1+n·2n+2=n·2n+2-4·=(n-1)·2n+2+4,(10分)又R n=·n=-n2-n,故S n=T n+R n=(n-1)·2n+2-n2-n+4.(12分) 3.(12分)设数列{a n}的前n项和为S n,已知S n=2a n-1(n∈N*).(1)求数列{a n}的通项公式.(2)若对任意的n∈N*,不等式k(S n+1)≥2n-9恒成立,求实数k的取值范围.【解析】 (1)令n=1,S1=2a1-1=a1,解得a1=1.(2分)由S n=2a n-1,有S n-1=2a n-1-1, 两式相减得a n=2a n-2a n-1,化简得a n=2a n-1(n≥2),所以数列{a n}是以首项为1,公比为2 的等比数列,所以数列{a n}的通项公式a n=2n-1.(4分)(2)由k(S n+1)≥2n-9,整理得k≥,令b n=,则b n+1-b n=-=, n=1,2,3,4,5时,b n+1-b n=>0,所以b1<b2<b3<b4<b5. n=6,7,8,…时,b n+1-b n=<0,(8分)即b6>b7>b8>….因为b5=<b6=, 所以b n的最大值是b6=.所以实数k的取值范围是.(12分)4.(12分)数列{a n}的前n项和S n满足S n=2a n-a1,且a1,a3+1,a4成等差数列.世纪金榜导学号12560596(1)求数列{a n}的通项公式.(2)设b n=log2a1+log2a2+…+log2a n,求使(n-8)b n≥nk对任意n∈N*恒成立的实数k的取值范围.【解析】 (1)由题意,S n=2a n-a1,则当n≥2时,S n-1=2a n-1-a1,两式相减得a n=2a n-1(n≥2),所以a2=2a1,a3=2a2=4a1,a4=2a3=8a1,又a1,a3+1,a4成等差数列,所以2(4a1+1)=a1+8a1,解得a1=2,(4分)所以数列{a n}是以2为首项,2为公比的等比数列,所以a n=2n.(6分) (2)b n=log2a1+log2a2+…+log2a n=1+2+3+…+n=,由(n-8)b n≥nk对任意n∈N*恒成立,知≥k对n∈N*恒成立,(8分)设c n=(n-8)(n+1)=(n2-7n-8),则当n=3或4时,c n取得最小值,为-10,所以k≤-10.(12分)规范答题强化练(四)立体几何(45分钟48分)1.(12分)如图,多面体ABCDEF中,四边形ABCD为平行四边形,其中∠BAD=,AD=,AB=1,等边△ADE所在平面与平面ABCD垂直,FC⊥平面ABCD,且FC=.(1)点P在棱AE上,且=2,Q为△EBC的重心,求证:PQ∥平面EDC.(2)求平面DEF与平面EAB所成锐二面角的余弦值.【解析】(1)如图,在棱BE上取点M,使得BM=2ME;连接BQ并延长,交CE于点N.则在△ABE中,又AP=2PE,所以PM∥AB,(2分)又四边形ABCD为平行四边形,所以AB∥CD,所以PM∥CD. 在△BCE 中,Q为重心,所以BQ=2QN,又BM=2ME,(3分)所以MQ∥EC.又因为PM∩MQ=M,CD∩EC=C,所以平面MPQ∥平面DEC.又PQ⊂平面MPQ,所以PQ∥平面EDC.(4分)(2)在△ABD中,∠BAD=,AD=,AB=1,由余弦定理可得.BD2=AB2+AD2-2AB·ADcos∠BAD=12+()2-2×1×cos=1.所以BD=1.(6分)取AD的中点O,连接EO,OB.在△EAD中,EA=ED=AD=,所以EO⊥AD,且EO=AD=.又因为平面EAD⊥平面ABCD,平面EAD∩平面ABCD=AD,所以EO⊥平面ABCD.又在△ABD中,AB=BD=1,AD=,所以OB⊥AD,且OB=.如图,以O为坐标原点,分别以OA,OB,OE所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系.(8分)则A,D,B,E,C,F.则=,=,=,=.设平面ABE的法向量为m=(x1,y1,z1),则由可得整理得令z1=1,则x1=,y1=3.所以m=(,3,1)为平面ABE的一个法向量.设平面DEF的法向量为n=(x2,y2,z2),则由可得整理得令z2=-1,则x2=,y2=6.所以n=(,6,-1)为平面DEF的一个法向量. (10分)所以cos<m,n>===,设平面DEF与平面EAB所成锐二面角为θ,则cos θ=cos<m,n>=. (12分)2.(12分)在三棱柱ABC-A1B1C1中,AB⊥平面BCC1B1,∠BCC1=,AB=BC=2,BB1=4,点D在棱CC1上,且CD=λCC1(0<λ<1).建立如图所示的空间直角坐标系.(1)当λ=时,求异面直线AB1与A1D的夹角的余弦值.(2)若二面角A-B1D-A1的平面角为,求λ的值.【解析】(1)易知A(0,0,2),B1(0,4,0),A1(0,4,2).因为BC=CD=2,∠BCC1=,所以C(,-1,0),当λ=时,D(,1,0).所以=(0,4,-2),=(,-3,-2).(3分)所以cos<,>===.(5分)故异面直线AB1与A1D的夹角的余弦值为. (6分)(2)由CD=λCC1可知,D(,4λ-1,0) ,所以=(-,5-4λ,0),由(1)知,=(0,4,-2).设平面AB1D的法向量为m=(x,y,z),则即令y=1,解得x=,z=2,所以平面AB1D的一个法向量为m=.(7分)设平面A1B1D的法向量为n=(x′,y′,z′),则即令y′=1,解得x′=,z′=0,所以平面A1B1D的一个法向量为n=. (8分)因为二面角A-B1D-A1的平面角为,所以|cos<m,n>|===,即(5-4λ)2=9,解得λ=或λ=2(舍),故λ的值为.(12分)3.(12分)如图,在梯形ABCD中,AB∥CD,∠BCD=,四边形ACFE为矩形,且CF⊥平面ABCD,AD=CD=BC=CF=1.(1)求证:EF⊥平面BCF.(2)点M在线段EF(含端点)上运动,当点M在什么位置时,平面MAB与平面FCB所成锐二面角最大,并求此时二面角的余弦值.【解析】(1)在梯形ABCD中,因为AB∥CD,AD=CD=BC=1,又因为∠BCD=,所以AB=2,(2分)所以AC2=AB2+BC2-2AB·BC·cos 60°=3.所以AB2=AC2+BC2.所以BC⊥AC.因为CF⊥平面ABCD,AC⊂平面ABCD,所以AC⊥CF,(4分)而CF∩BC=C,所以AC⊥平面BCF,因为EF∥AC,所以EF⊥平面BCF. (6分)(2)由(1)可建立分别以直线CA,CB,CF为x轴,y轴,z轴的空间直角坐标系如图所示,(8分)AD=CD=BC=CF=1,令FM=λ(0≤λ≤),则C(0,0,0),A(,0,0),B(0,1,0),M(λ,0,1),所以=(-,1,0),=(λ,-1,1),设n1=(x,y,z)为平面MAB的一个法向量,由得取x=1,则n1=(1,,-λ),因为n2=(1,0,0)是平面FCB的一个法向量,(9分)所以cos θ===,(10分)因为0≤λ≤,所以当λ=0时,cos θ有最小值,所以点M与点F 重合时,平面MAB与平面FCB所成锐二面角最大,此时二面角的余弦值为.(12分)4.(12分)在如图所示的几何体中,平面ADNM⊥平面ABCD,四边形ABCD 是菱形,四边形ADNM是矩形,∠DAB=,AB=2,AM=1,E是AB的中点.(1)求证:DE⊥平面ABM.(2)在线段AM上是否存在点P,使二面角P-EC-D的大小为?若存在,求出AP的长;若不存在,请说明理由.【解析】(1)连接BD,因为四边形ABCD是菱形,∠DAB=,E是AB的中点,所以DE⊥AB,(2分)因为四边形ADNM是矩形,平面ADNM⊥平面ABCD且交线为AD,所以MA ⊥平面ABCD,又DE⊂平面ABCD,所以DE⊥AM,又AM∩AB=A,所以DE⊥平面ABM.(4分)(2)由DE⊥AB,AB∥CD,可得DE⊥CD,因为四边形ADNM是矩形,平面ADNM⊥平面ABCD且交线为AD,ND⊥AD,所以ND⊥平面ABCD,以D为原点,DE为x轴建立如图所示的空间直角坐标系,(6分)则D(0,0,0),E(,0,0),C(0,2,0),N(0,0,1),设P(,-1,m)(0≤m ≤1),则=(-,2,0),=(0,-1,m),因为ND⊥平面ABCD,平面ECD 的一个法向量为=(0,0,1),(7分)设平面PEC的法向量为n=(x,y,z),n·=n·=0,即取z=1,可得n=,(8分)假设在线段AM上存在点P,使二面角P-EC-D的大小为,则cos==,解得m=,(11分)所以在线段AM上,符合题意的点P存在,此时AP=. (12分)规范答题强化练(五)解析几何(45分钟48分)1.(12分)已知椭圆C:+=1(a>b>0)经过点,左右焦点分别为F1,F2,坐标原点O与直线x+y+b=0上的点的距离最小值为1.(1)求椭圆C的标准方程.(2)设Q是椭圆C上不在x轴上的一个动点,过点F2作OQ的平行线交椭圆C于M,N两个不同的点,的值是否为一个常数?若是,求出这个常数;若不是,请说明理由.【解析】(1)原点O与直线x+y+b=0上的点的距离最小值为1,则=1,所以b=.因为点在椭圆上,所以+=1,所以a=,所以椭圆C的标准方程为+=1. (3分)(2)设Q(x0,y0),M(x1,y1),N(x2,y2),OQ的方程为x=my,则MN的方程为x=my+1,由得即所以|OQ|=|y0|=, (6分)由得(2m2+3)y2+4my-4=0.所以y1+y2=-,y1y2=-, (8分)|MN|=|y1-y2|=·=·=. (10分)所以==.所以的值是常数. (12分)2.(12分)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的离心率为,且过点(2,0).(1)求椭圆C的方程.(2)过点M(1,0)任作一条直线与椭圆C相交于P,Q两点,试问在x轴上是否存在定点N,使得直线PN与直线QN关于x轴对称?若存在,求出点N的坐标;若不存在,说明理由.【解析】(1)由题意得b=2,a2=8,故椭圆C的方程为+=1.(4分) (2)假设存在点N(m,0)满足题设条件.当直线PQ与x轴不垂直时,设PQ的方程为y=k(x-1),代入椭圆方程化简得:(2+k2)x2-2k2x+k2-8=0,(6分)设P(x1,y1),Q(x2,y2),则x1+x2=,x1x2=,所以k PN+k QN=+=+==,(8分)因为2x1x2-(1+m)(x1+x2)+2m=-+2m=,(10分) 所以当m=4时,k PN+k QN=0,直线PN与直线QN关于x轴对称,当PQ⊥x轴时,由椭圆的对称性可知恒有直线PN与直线QN关于x轴对称,综上可得,在x轴上存在定点N(4,0),使得直线PN与直线QN关于x轴对称.(12分)3.(12分)已知F1,F2是椭圆Ω:+=1(b>0)的左,右焦点.(1)当b=1时,若P是椭圆Ω上在第一象限内的一点,且·=-,求点P的坐标.(2)当椭圆Ω的焦点在x轴上且焦距为2时,若直线l:y=kx+m与椭圆Ω相交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,且3x1x2+4y1y2=0,求证:△AOB的面积为定值.【解析】(1)当b=1时,椭圆方程为+y2=1,则F1(-,0),F2(,0)(1分).设P(x,y)(x>0,y>0),则=(--x,-y),=(-x,-y),(2分)由·=-,得x2+y2=,(3分)与椭圆方程联立解得x=1,y=,即点P的坐标为.(4分) (2)当椭圆Ω的焦距为2时,c=1.则b2=a2-c2=3,所以椭圆Ω的方程为+=1.由得:(3+4k2)x2+8kmx+4m2-12=0.(6分)因为Δ=64k2m2-16(3+4k2)(m2-3)=48(3+4k2-m2)>0,所以3+4k2-m2>0, 所以x1+x2=-,x1x2=.所以y1y2=(kx1+m)(kx2+m)=k2x1x2+km(x1+x2)+m2=.由3x1x2+4y1y2=0,得3·+4·=0.(8分)所以2m2=3+4k2.因为|AB|=·|x1-x2|=·=·=·=·.(10分)又点O到直线AB的距离d==,所以S△AOB=·|AB|·d=···=.即△AOB的面积为定值.(12分)4.(12分)已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,A为C上位于第一象限的任意一点,过点A的直线l交C于另一点B,交x轴的正半轴于点D.(1)若当点A的横坐标为3,且△ADF为以F为顶点的等腰三角形,求C 的方程.(2)对于(1)中求出的抛物线C,若点D(x0,0),记点B关于x 轴的对称点为E,AE交x轴于点P,且AP⊥BP,求证:点P的坐标为,并求点P到直线AB的距离d的取值范围.【解析】(1)由题知F,=3+,(2分)则D(3+p,0),FD的中点坐标为,(3分)则+=3,解得p=2,故C的方程为y2=4x.(4分)(2)依题可设直线AB的方程为x=my+x0(m≠0),A(x1,y1),B(x2,y2),则E(x2,-y2),由消去x,得y2-4my-4x0=0,因为x0≥.所以Δ=16m2+16x0>0,y1+y2=4m,y1y2=-4x0,(6分)设P的坐标为(x P,0),则=(x2-x P,-y2),=(x1-x P,y1),由题知∥,所以(x2-x P)y1+y2(x1-x P)=0,即x2y1+y2x1=(y1+y2)x P==,显然y1+y2=4m≠0,所以x P==-x0,即证x P(-x0,0),由题知△EPB为等腰直角三角形,所以k AP=1,即=1,也即=1,(8分)所以y1-y2=4,所以(y1+y2)2-4y1y2=16,即16m2+16x0=16,m2=1-x0,x0<1,又因为x0≥,所以≤x0<1,d===,令=t∈,x0=2-t2,d==-2t,(10分)易知f(t)=-2t在上是减函数,所以d∈.(12分)规范答题强化练（六）概率与统计(45分钟50分)1.(12分)某职称晋级评定机构对参加某次专业技术考试的100人的成绩进行了统计,绘制了频率分布直方图(如图所示),规定80分及以上者晋级成功,否则晋级失败(满分为100分).(1)求图中a的值.(2)估计该次考试的平均分(同一组中的数据用该组的区间中点值代表).(3)根据已知条件完成2×2列联表,并判断能否在犯错误的概率不超过0.15的前提下认为“晋级成功”与性别有关?(参考公式:K2=,其中n=a+b+c+d)【解析】(1)由频率分布直方图各小长方形面积总和为1,可知(2a+0.020+0.030+0.040)×10=1,故a=0.005.(2)由频率分布直方图知各小组依次是[50,60),[60,70),[70,80),[80,90), [90,100],其中点分别为55,65,75,85,95,对应的频率分别为0.05,0.30,0.40, 0.20,0.05,故可估计平均分=55×0.05+65×0.3+75×0.4+85×0.2+95×0.05=74(分).(3)由频率分布直方图知,晋级成功的频率为0.20+0.05=0.25,故晋级成功的人数为100×0.25=25(人),列联表如下(10分)假设“晋级成功”与性别无关,根据上表数据代入公式可得K2的观测值k=≈2.613>2.072,所以在犯错误的概率不超过0.15的前提下认为“晋级成功”与性别有关.(12分)2.(12分)在一次全国高中五省大联考中, 有90万名学生参加, 考后对所有学生成绩统计发现, 英语成绩服从正态分布N(μ,σ2).用茎叶图列举了20名学生的英语成绩, 巧合的是这20个数据的平均数和方差恰好比所有90万个数据的平均数和方差都多0.9,且这20个数据的方差为49.9.世纪金榜导学号12560836(1)求μ,σ.(2)给出正态分布的数据:P(μ-σ<X≤μ+σ)=0.682 6P(μ-2σ<X≤μ+2σ)=0.954 4①若从这90万名学生中随机抽取1名, 求该生英语成绩在(82.1,103.1)的概率;②若从这90万名学生中随机抽取1万名, 记X为这1万名学生中英语成绩在(82.1,103.1)的人数, 求X的数学期望.【解析】(1)因为通过计算可得这20个数据的平均数为=90,所以由题可得μ=90-0.9=89.1,σ==7. (3分)(2)①因为μ=89.1,σ=7,所以(82.1,103.1)=(μ-σ,μ+2σ),所以该生英语成绩在(82.1,103.1)的概率为=0.818 5. (6分)②由题可得X服从二项分布B(10 000,0.8185),所以E(X)=10 000×0.818 5=818 5. (12分)3.(13分)观察研究某种植物的生长速度与温度的关系,经过统计,得到生长速度(单位:毫米/月)与月平均气温的对比表如下:(1)求生长速度y关于温度t的线性回归方程.(斜率和截距均保留为三位有效数字).(2)利用(1)中的线性回归方程,分析气温从-5℃至20℃时生长速度的变化情况,如果某月的平均气温是2℃时,预测这月大约能生长多少. 附:回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为:【解析】(1)由题可知于是生长速度y关于温度t的线性回归方程为:=3.560+0.305t.(8分)(2)利用(1)的线性回归方程可以发现,月平均气温从-5℃至20℃时该植物生长速度逐渐增加,如果某月的平均气温是2℃时,预测这月大约能生长3.560+0.305×2=4.17 mm.(13分)4.(13分)近年来,微信越来越受欢迎,许多人通过微信表达自己、交流思想和传递信息.微信是现代生活中进行信息交流的重要工具.而微信支付为用户带来了全新的支付体验,支付环节由此变得简便而快捷.某商场随机对商场购物的100名顾客进行统计,其中40岁以下占,采用微信支付的占,40岁以上采用微信支付的占.(1)请完成下面2×2列联表:并由列联表中所得数据判断在犯错误的概率不超过多少的前提下认为“使用微信支付与年龄有关”?(2)若以频率代替概率,采用随机抽样的方法从“40岁以下”的人中抽取2人,从“40岁以上”的人中抽取1人,了解使用微信支付的情况,问至少有一人使用微信支付的概率为多少?参考公式:K2=,n=a+b+c+d.参考数据:【解析】(1)由已知可得,40岁以下的有100×=60人,使用微信支付的有60×=40人,40岁以上使用微信支付的有40×=10人.(2分)所以2×2列联表为:(4分)由列联表中的数据计算可得K2的观测值为k==,(6分)由于>10.828,所以在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为“使用微信支付与年龄有关”.(8分)(2)若以频率代替概率,采用随机抽样的方法从“40岁以下”的人中抽取2人,这两人使用微信支付分别记为A,B,则P(A)=P(B)=,从“40岁以上”的人中抽取1人,这个人使用微信支付记为C,则P(C)=,显然A,B,C相互独立,则至少有一人使用微信支付的概率为1-P()=1-××=,故至少有一人使用微信支付的概率为.(13分)。
2025年高考数学一轮复习-三角函数、解三角形(基础巩固卷)【含答案】
三角函数、解三角形(基础巩固卷)题号123456789101112答案一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知＝12，且θ()A.0B.12C.32D.12.黄金分割数5－12的近似值为0.618，这一数值也可表示为a＝2sin18°，若a2＋b＝4，则a2b1－cos72°＝()A.1 2B.2C.5＋12D.43.△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足a＝23，B＝45°，C ＝75°，则b＝()A.2B.6C.22D.324.我国古代数学家秦九韶在《数书九章》中记述了“三斜求积术”，即在△ABC 中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则△ABC的面积S＝根据此公式，若a cos B＋(b－2c)cos A＝0，且b2＋c2－a2＝4，则△ABC的面积为()A.6B.23C.3D.325.为得到函数f(x)＝sin2x＋cos2x的图象，只需将函数g(x)＝sin2x－cos2x的图象()A.向左平移π4个单位长度B.向左平移π2个单位长度C.向右平移π4个单位长度D.向右平移π2个单位长度6.已知αα＝－17，则sin2α－cos2α1＋cos2α的值是()A.－32B.－1 C.1 D.327.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若a sin A＋2c sin C＝2b sin C cos A，则角A的最大值为()A.π6B.π4C.π3D.2π38.故宫是世界上现存规模最大、保存最为完整的木质结构古建筑群.故宫宫殿房檐设计恰好使北房在冬至前后阳光满屋，夏至前后屋檐遮阴.已知北京地区夏至前后正午太阳高度角约为75°，冬至前后正午太阳高度角约为30°，图1是顶部近似为正四棱锥、底部近似为正四棱柱的宫殿，图2是其示意图，则其出檐AB的长度(单位：米)约为()A.3B.4C.6(3－1)D.3(3＋1)二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知函数f(x)＝sin x2，则以下结论恒成立的是()A.f(－x)＝－f(x)B.f(－x)＝f(x)C.f(2π－x)＝f(x)D.f(π＋x)＝f(π－x)10.已知函数f(x)＝cos2x1＋sin x，则()A.f(x＋π)＝f(－x)B.f(x)的最大值为4－22C.f(x)是奇函数D.f(x)的最小值为－1211.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，B＝π4，BC边上的高等于a3，则以下四个结论正确的有()A.cos C＝255B.sin∠BAC＝31010C.tan∠BAC＝3D.b2－c2＝a2312.已知函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)(ω＞0，|φ|＜π)的部分图象如图所示，关于此函数的描述下列选项正确的是()A.ω＝2B.φ＝π3C.若x 1＋x 2＝π3，则f (x 1)＝f (x 2)D.若x 1＋x 2＝π3，则f (x 1)＋f (x 2)＝0三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知α是第三象限角，且cos ＝35，则tan α＝________，sin （π－α）cos （π＋α）＝________.14.某设计师为天文馆设计科普宣传图片，其中有一款设计图如图所示.QRT 是一个以点O 为圆心、QT 长为直径的半圆，QT ＝23dm.QST 的圆心为P ，PQ ＝PT ＝2dm.QRT 与QST 所围的灰色区域QRTSQ 即为某天所见的月亮形状，则该月亮形状的面积为________dm 2.15.对任意两实数a ，b ，定义运算“*”：a *b a －2b ，a ≥b ，b －2a ，a ＜b ，则函数f (x )＝sin x *cosx 的值域为________.16.[2022·江西红色七校联考]在锐角三角形ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，△ABC 的面积为S ，若4S ＝b 2＋c 2－a 2，b ＝6，2cos 2B ＋cos 2B ＝0，则S ＝________.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(10分)下面给出有关△ABC 的四个论断：①S △ABC ＝32；②b 2＋ac ＝a 2＋c 2；③a c ＝2或12；④b ＝3.以其中的三个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题：已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若________，则________(用序号表示)；并给出证明过程.18.(12分)如图，在平面直角坐标系xOy 中，角φ的终边与单位圆的交点为A ，圆C ：x 2＋y 2＝3与x 轴正半轴的交点是P 0.若圆C 上一动点从P 0开始，以πrad/s 的角速度逆时针做圆周运动，t s 后到达点P .设f (t )＝|AP |2.(1)若φ＝π3且t ∈(0，2)，求函数f (t )的单调递增区间；(2)若2，π3＜φ＜5π6，求19.(12分)已知a ，b ，c 分别是△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边，3c sin A ＝4b sin C ，再从下面条件①与②中任选一个作为已知条件，完成以下问题.(1)证明：△ABC 为等腰三角形；(2)若△ABC 的面积为25，点D 在线段AB 上，且BD ＝2DA ，求CD 的长.条件①：cos C ＝23；条件②：cos A ＝19.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答给分.20.(12分)函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ＞0，ω＞0，|φ|.(1)求f (x )的最小正周期及解析式；(2)设g(x)＝f(x)－cos2x，求函数g(x)在区间0，π2上的单调性.21.(12分)已知在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，从以下三个条件中选取一个解答该题.①2b－ca＝cos Ccos A；②4cos(B＋C)＋2cos2A＝－3；③a3cos A＝bsin（A＋C）.(1)求角A的大小；(2)若a＝14，b＋c＝42，求△ABC的面积.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.22.(12分)已知f(x)＝x＋12sinx－34.(1)求f(x)的单调递增区间；(2)若2对任意的x∈π4，π3恒成立，求实数a的取值范围.参考答案1.D [由θ，得－π6＜θ－π6＜π3，又＝12，所以θ－π6＝π6，解得θ＝π3，故cos 0＝1，故选D.]2.B[把a ＝2sin 18°代入a 2＋b ＝4，得b ＝4－a 2＝4－4sin 218°＝4cos 218°，a 2b 1－cos 72°＝4sin 218°·4cos 218°1－cos 72°4sin 236°1－（1－2sin 236°）＝2.故选B.]3.C[由题意A ＝180°－45°－75°＝60°，由正弦定理b sin B ＝a sin A ，得b ＝a sin Bsin A＝23×sin 45°sin 60°＝22，故选C.]4.C[因为a cos B ＋(b －2c )cos A ＝0，所以由余弦定理可得a ×a 2＋c 2－b 22ac＋(b －2c )×b 2＋c 2－a 22bc ＝0，即b 2＋c 2－a 2＝bc ，又b 2＋c 2－a 2＝4，所以bc ＝4，由△ABC的面积公式得S 1216－4＝3，故选C.]5.A [f (x )＝2sinx g (x )＝2sin x g (x )的图象→f (x )的图象，即g (x )的图象向左平移π4个单位长度.故选A.]6.B [由α＝－17，可得tan 2α＋11－tan 2α＝－17，解得tan 2α＝－43，又由2tan α1－tan 2α＝－43，解得tan α＝－12，或tan α＝2(舍去)，则sin 2α－cos 2α1＋cos 2α＝2sin αcos α－cos 2α2cos 2α＝tan α－12＝－1.故选B.]7.A[由正弦定理可得a 2＋2c 2＝2bc cos A ，根据余弦定理得b 2＋c 2－2bc cos A ＋2c 2＝2bc cos A ，整理得4bc cos A ＝b 2＋3c 2≥23bc ，当且仅当b ＝3c 时等号成立，所以cos A ≥32，又A ∈(0，π)，所以0＜A ≤π6，故选A.]8.C[如图，根据题意得∠ACB ＝15°，∠ACD ＝105°，∠ADC ＝30°，CD ＝24，所以∠CAD ＝45°，所以在△ACD 中，由正弦定理得CD sin ∠CAD ＝ACsin ∠ADC，即24sin 45°＝ACsin 30°，解得AC ＝122，所以在Rt △ACB 中，sin ∠ACB ＝ABAC ，即sin 15°＝AB 122，解得AB ＝122sin 15°＝122sin(60°－45°)＝122×22－12×122×6－24＝32(6－2)＝63－6.故选C.]9.ACD [对于A ，B ，f (－x )＝sin x2＝－f (x )，所以A 正确，B 错误；对于C ，f (2π－x )＝sin 2π－x 2＝sin x2＝f (x )，所以C 正确；对于D ，因为f (π＋x )＝sin π＋x 2＝cos x2，f (π－x )＝sin π－x 2＝＝cos x2，所以f (π＋x )＝f (π－x )，所以D 正确，故选ACD.]10.AB [由题意，函数f (x )＝cos 2x 1＋sin x ，可得f (x ＋π)＝cos[2（x ＋π）]1＋sin （x ＋π）＝cos 2x1－sin x ，f (－x )＝cos （－2x ）1＋sin （－x ）＝cos 2x1－sin x，所以A 正确；f(x)＝cos2x1＋sin x＝1－2sin2x 1＋sin x＝4＋2sin x4－22，当且仅当sin x＝22－1时等号成立，故B正确；由f(－x)＝cos（－2x）1＋sin（－x）＝cos2x1－sin x，得f(－x)≠－f(x)，所以C不正确；1＋＝－121－32＝－2－3＜－12，所以D不正确.故选AB.]11.ABD[∵sin B＝a3c＝a3c＝22，∴c＝23a.由余弦定理知，cos B＝a2＋c2－b22ac＝＝22，解得b＝53a，b2－c2＝13a2，选项D正确；b＝53a，由正弦定理得sin B＝53sin∠BAC＝22，则sin∠BAC＝31010，选项B 正确；易知c＝105b，B＝π4，则C＜π4⇒∠BAC＞π2，tan∠BAC＝－3，选项C错误；sin C＝105sin B＝105×22＝55⇒cos C＝255，选项A正确.故选ABD.]12.AC[对于A，由题图知，f(x)的最小正周期T＝25π12－π，所以ω＝2πT ＝2，故A正确；对于B，由A知f(x)＝2sin(2x＋φ)，－π12，得2＋φ＝2kπ(k∈Z)，结合|φ|＜π解得φ＝π6，故B错误；对于C 、D ，由B 知f (x )＝x令2x ＋π6＝k π＋π2(k ∈Z )，得x ＝k π2＋π6(k ∈Z )，所以直线x ＝π6是函数f (x )图象的一条对称轴，由x 1＋x 2＝π3，知x 1，x 2关于直线x ＝π6对称，所以f (x 1)＝f (x 2)，故C 正确，D 错误.综上所述，正确的结论为A 、C.]13.34－45[因为＝35，所以－sin α＝35，所以sin α＝－35.又因为α是第三象限角，所以cos α＝－1－sin 2α＝－45，所以tan α＝sin αcos α＝34，sin （π－α）cos （π＋α）＝－sin αcos α－sin α＝cos α＝－45.]14.3＋π6[连接PO ，可得PO ⊥QT ，因为sin ∠QPO ＝QO PQ ＝32，所以∠QPO ＝π3，∠QPT ＝2π3，所以月牙的面积为S ＝12×π×(3)222×2π3－12×23×2.故答案为3＋π6.]15.[0，22][由题知a *b ＝2|a －b |，则f (x )＝sin x *cos x ＝2|sin x －cos x |＝22|∈[0，22].]16.3＋32[在△ABC 中，由余弦定理得，cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc，因为4S ＝b 2＋c 2－a 2，S ＝12bc sin A ，所以cos A ＝4S 2bc ＝4×12bc sin A 2bc＝sin A ，所以tan A＝1.又AA ＝π4由2cos 2B ＋cos 2B ＝0得2cos 2B ＋2cos 2B －1＝0，即cos 2B ＝14，又BB ＝π3，由正弦定理a sin A ＝b sin B 得，a ＝b sin A sin B ＝6×2232＝2.因为sin C ＝sin[π－(A ＋B )]＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝22×12＋22×32＝6＋24，所以S ＝12ab sin C ＝3＋32.]17.解方案一若①②③，则④.由②得b 2＝a 2＋c 2－ac ，得cos B ＝12，又B ∈(0°，180°)，即B ＝60°.由①S △ABC ＝32，得12ac sin B ＝32，又B ＝60°，故ac ＝2.由③a c ＝2或12，不妨取a c＝2，与ac ＝2联立，得a ＝2，c ＝1.故b 2＝a 2＋c 2－ac ＝4＋1－2＝3，得b ＝3，④成立.方案二若①②④，则③.由②得b 2＝a 2＋c 2－ac ，得cos B ＝12，又B ∈(0°，180°)，即B ＝60°.由①S △ABC ＝32，得12ac sin B ＝32，又B ＝60°，故ac ＝2.由④b ＝3，且b 2＝a 2＋c 2－ac ，可得a 2＋c 2－ac ＝3，从而(a ＋c )2＝9，a ＋c ＝3，与ac ＝2联立，＝2，＝1＝1，＝2，故a c ＝2或12，③成立.方案三若①③④，则②.(错误选择，零分)由①S △ABC ＝32，得12ac sin B ＝32，由③a c ＝2或12，不妨取a c ＝2，得c 2sin B ＝32，即sin B ＝32c2.由④b ＝3，且b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，a c＝2，可得5c 2－4c 2cos B ＝3，从而cos B ＝5c 2－34c 2.又sin 2B ＋cos 2B ＝1，得3c 4－10c 2＋7＝0，得c ＝1或73，当c ＝1时，得a ＝2，由余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B 及b ＝3，得cos B ＝12，又B ∈(0°，180°).即B ＝60°，即b 2＝a 2＋c 2－ac 成立，②成立；当c ＝73时，得a ＝273，由余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B 及b ＝3，得cos B ＝1314，故B ＝60°不成立，即b 2＝a 2＋c 2－ac 不成立，②不成立.方案四若②③④，则①.由②得b 2＝a 2＋c 2－ac ，得cos B ＝12，又B ∈(0°，180°)，即B ＝60°.由④b ＝3，且b 2＝a 2＋c 2－ac ，得a 2＋c 2－ac ＝3.由③a c ＝2或12，不妨取a c＝2，代入a 2＋c 2－ac ＝3中可得，3c 2＝3，得c ＝1，a ＝2，从而得12ac sin B ＝32，即S △ABC ＝32，①成立.18.解由已知条件和三角函数的定义得，A (cos φ，sin φ)，P (3cos πt ，3sin πt )，∴f (t )＝|AP |2＝(cos φ－3cos πt )2＋(sin φ－3sin πt )2＝4－23cos(πt －φ).(1)若φ＝π3，则f (t )＝4－23cos t 令2k π≤πt －π3≤π＋2k π(k ∈Z )，得13＋2k ≤t ≤43＋2k (k ∈Z ).又t ∈(0，2)，∴函数f (t )的单调递增区间是13，43.(2)由2，及π3＜φ＜5π6，得＝33，－π2＜π3－φ＜0，∴＝－63，∴4－23cos＝4＋23sin 4－2 2.19.解选择条件①cos C ＝23.(1)证明由3c sin A ＝4b sin C 和正弦定理得3a ＝4b ，由cos C ＝23和余弦定理得23＝a 2＋b 2－c 22ab ＝25b 2－9c 224b 2，∴b ＝c ，∴△ABC 为等腰三角形.(2)由(1)得3a ＝4b ，b ＝c ，∵cos ∠ACB ＝23，且∠ACB 为△ABC 一内角，∴sin ∠ACB ＝53，∴S △ABC ＝12ab sin ∠ACB ＝259c 2＝25，∴c ＝b ＝3，a ＝4.∵BD ＝2DA ，∴BD ＝2，DA ＝1，∴CD 2＝a 2＋BD 2－2a ·BD cos B ＝42＋22－2×4×2×23＝283，∴CD ＝2213.选择条件②cos A ＝19.(1)证明由3c sin A ＝4b sin C 和正弦定理得3a ＝4b ，由cos A ＝19和余弦定理得19＝b 2＋c 2－a 22bc ＝9c 2－7b 218bc ，∴b ＝c 或b ＝－97c (舍去)，∴△ABC 为等腰三角形.(2)由(1)得3a ＝4b ，b ＝c ，∵cos A ＝19，且A ∈(0，π).∴sin A ＝459，∴S △ABC ＝12bc sin A ＝259b 2＝25，∴c ＝b ＝3，a ＝4.∵BD ＝2DA ，∴BD ＝2，DA ＝1，∴CD 2＝b 2＋AD 2－2b ·AD cos A ＝283，∴CD ＝2213.20.解(1)由图可得A ＝1，T 2＝2π3－π6＝π2，则T ＝π，ω＝2，当x ＝π6时，f (x )＝1，可得2×π6＋φ＝π2＋2k π(k ∈Z )，而|φ|＜π2，于是有φ＝π6，所以f (x )的解析式为f (x )＝x π.(2)g (x )＝f (x )－cos 2x ＝x cos 2x ＝sin 2x cos π6＋cos 2x sin π6－cos 2x ＝32sin 2x －12cos 2x ＝x 由0≤x ≤π2，得－π6≤2x －π6≤5π6，当－π6≤2x －π6≤π2有0≤x ≤π3，g (x )单调递增，当π2＜2x －π6≤5π6有π3＜x ≤π2，g (x )单调递减，所以g (x )在0，π3单调递增，在，π2单调递减.21.解若选①，(1)根据正弦定理知，2b －c a ＝2sin B －sin C sin A＝cos C cos A ，即2sin B ·cosA ＝cos C ·sin A ＋sin C ·cos A ，即2sinB ·cos A ＝sin(A ＋C )，因为A ＋C ＝π－B ，所以2sin B ·cos A ＝sin B ，又B ∈(0，π)，故sin B ≠0，解得cos A ＝12.又A ∈(0，π)，所以A ＝π3.(2)因为a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A＝(b ＋c )2－2bc －2bc cos A ，a ＝14，b ＋c ＝42，A ＝π3，所以(14)2＝(42)2－2bc －2bc ×12，得bc ＝6，所以S △ABC ＝12bc ·sin A ＝12×6×sin π3＝332.若选②，(1)由题意可得4cos(B ＋C )＋2(2cos 2A －1)＝－3，又cos(B ＋C )＝－cos A ，所以－4cos A ＋2(2cos 2A －1)＝－3，所以4cos 2A －4cos A ＋1＝0，解得cos A ＝12，又A ∈(0，π)，所以A ＝π3.(2)因为a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A＝(b ＋c )2－2bc －2bc cos A ，a ＝14，b ＋c ＝42，A ＝π3，所以(14)2＝(42)2－2bc －2bc ×12，得bc ＝6，所以S △ABC ＝12bc ·sin A ＝12×6×sin π3＝332.若选③，(1)由正弦定理及a 3cos A ＝b sin （A ＋C ），得sin A 3cos A ＝sin B sin （A ＋C ），又sin(A ＋C )＝sin(π－B )＝sin B ，所以sin A 3cos A ＝sin B sin B ，得tan A ＝ 3.又A ∈(0，π)，所以A ＝π3.(2)因为a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A＝(b ＋c )2－2bc －2bc cos A ，a ＝14，b ＋c ＝42，A ＝π3，所以(14)2＝(42)2－2bc －2bc ×12，得bc ＝6，所以S △ABC ＝12bc ·sin A ＝12×6×sin π3＝332.22.解(1)化简得f (x )＝cosx ＋32cos2x ＋32cos 2－34＝14sin 2x ＋32×1＋cos 2x 2＋14sin 2x ＋34cos 2x －34＝12sin 2x ＋32cos 2x ＝x 令2k π－π2≤2x ＋π3≤2k π＋π2，k ∈Z ，解得k π－5π12≤x ≤k π＋π12，k ∈Z ，所以单调递增区间为－512π＋k π，π12＋k π，k ∈Z .(2)由(1)可得a sin x －cos x ≥2，即a ≥2＋cos x sin x，对任意的x ∈π4，π3恒成立，只需要amax 即可，2＋cos x sin x＝2sin x 2cos x 22sin x 2cos x 2令t＝sin x2cos x2＝tanx2，因为x∈π4，π3，则x2∈π8，π6，所以t＝tan x2∈2－1，33，所以2＋cos xsin x＝3＋t22t＝32t＋t2，由对勾函数性质可得，当t∈2－1，33时，y＝32t＋t2为减函数，所以当t＝2－1max＝22＋1，所以实数a的取值范围是[22＋1，＋∞).。
高考理科数学基础知识巩固强化练习试题31 Word版含解析
A．2 B．2
C．3D．4
答案：A
解析：根据A，B两点的坐标特征可知圆心在直线x＝1上，设圆心为P(1，m)，则半径r＝|m－2|，所以(m－2)2＝22＋m2，解得m＝0，所以圆心为P(1,0)，所以圆的方程为(x－1)2＋y2＝4，当x＝0时，y＝± ，所以|MN|＝2 .
解析：解法一因为圆过A(5,2)、B(3，－2)两点，所以圆心一定在线段AB的垂直平分线上．可求得线段AB的垂直平分线的方程为y＝－ (x－4)．设所求圆的圆心坐标为C(a，b)，则有 解得 所以C(2,1)，r＝|CA|＝ ＝ .所以所求圆的标准方程为(x－2)2＋(y－1)2＝10.
解法二设所求圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)，则
8．已知M(m，n)为圆C：x2＋y2－4x－14y＋45＝0上任意一点，且点Q(－2,3)，则 的最大值为()
A．3＋ B．1＋
C．1＋ D．2＋
答案：D
解析：由题意可知 表示直线MQ的斜率，设直线MQ的方程为y－3＝k(x＋2)，即kx－y＋2k＋3＝0，则 ＝k，将圆C化为标准方程得(x－2)2＋(y－7)2＝8，C(2,7)，r＝2 ，由直线MQ与圆C有交点，得 ≤2 ，得2－ ≤k≤2＋ ，所以 的最大值为2＋ ，选D.
6．[2019·西安八校联考]若过点A(3,0)的直线l与曲线(x－1)2＋y2＝1有公共点，则直线l斜率的取值范围为()
A．(－ ， ) B．[－ ， ]
C. D.
答案：D
解析：数形结合可知，直线l的斜率存在，设直线l的方程为y＝k(x－3)，则圆心(1,0)到直线y＝k(x－3)的距离应小于等于半径1，即 ≤1，解得－ ≤k≤ ，故选D.
高考数学强化复习 题集附答案
高考数学强化复习题集附答案第一节: 选择题1. 在解高次方程x^3+7x^2−2x−84=0时，下列命题正确的是（）A.当x为有理数时方程有有理数根B.当x为有理数时方程有无理数根C.无论x取什么值，方程都没有实数根D.无论x取什么值，方程都有实数根答案：D2. 设函数x=x^x，其中x>0，函数图象的单调性为（）A.当n>1时，x=x^x为增函数；当0<n<1时，x=x^x为减函数；B.当n>1时，x=x^x为减函数；当0<n<1时，x=x^x为增函数；C.当n>1时，x=x^x为增函数；当0<n<1时，x=x^x也为增函数；D.当n>1时，x=x^x为减函数；当0<n<1时，x=x^x也为减函数。
答案：A3. 已知函数x=xx+2和x=xx−1，（0＜x，x＜1）．若对任何1＜x＜2，恒有x的值分别为xx２+2和xx−1的值之比等于x的平方与x的平方之比，那么x的值是多少？答案：0.5第二节: 解答题1. 设集合A由集合B中的全部奇数元素组成，集合B由1至20的整数组成。
已知集合B中的元素按从小到大排列，且成等差数列，求集合A的元素个数和元素之和。
答案：集合A的元素个数为10，元素之和为100。
解析：集合B为：1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，13，14，15，16，17，18，19，20。
其中奇数元素为1，3，5，7，9，11，13，15，17，19。
元素个数为10，元素之和为100。
2. 已知正数x，x，当x>1时，函数x(x)=x^x为减函数。
求证：对于任意正整数x，x•x>x+x。
证明：假设x为任意正整数，且x>1，由题意知函数x=x^x为减函数。
则对于任意正整数x₁和x₂，当x₁<x₂时，有x^x₁ > x^x₂。
令x₁=1，x₂=x时，x^x₁ > x^x₂即，x > x^x。
2021年全国高考数学巩固试卷(理科)(5月份)(全国Ⅰ卷)(附答案详解)
2021年全国高考数学巩固试卷（理科）（5月份）（全国Ⅰ卷）一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1.(2021·全国·模拟题)已知集合A={x∈Z|(x+2)(4−x)≥0}，B={x|14≤2x≤4}，则A∩B=()A. {x|−1≤x≤2}B. {−1,0，1，2}C. {−2,−1,0，1，2}D. {0,1，2}2.(2021·全国·模拟题)已知复数z满足z(1+i)=i2+ai(i是虚数单位)，若z是纯虚数，则实数a=()A. 1B. −1C. 2D. −23.(2021·全国·模拟题)若tanα=7，则sin2α=()A. 45B. 1825C. 35D. 7254.(2021·全国·模拟题)已知向量a⃗，b⃗ 的夹角为60°，|a⃗|=3，|b⃗ |=4，则下列向量的模的平方为整数的是()A. a⃗+√22b⃗ B. a⃗+13b⃗ C. a⃗+14b⃗ D. a⃗+15b⃗5.(2021·全国·模拟题)对于二维码，人们并不陌生，几年前，在门票、报纸等印刷品上，这种黑白相间的小方块就已经出现了.二维码背后的趋势是整个世界的互联网化，这一趋势要求信息以更为简单有效的方式从线下流向线上.如图是一个边长为2的“祝你考试成功”正方形二维码，为了测算图中黑色部分的面积，在正方形区域内随机投掷200个点，其中落入黑色部分的有125个点，据此可估计黑色部分的面积为()A. 54B. 52C. 56D. 126.(2021·全国·模拟题)若空间某几何体的三视图如图所示，则该几何体外接球的表面积是()A. 16−2√2πB. 4√6πC. 24πD. 6+4√2π7.(2021·全国·模拟题)(x−3)(1+x)7展开式中，x3的系数为()A. 126B. −84C. 84D. −1268.(2021·全国·模拟题)若双曲线x2a2−y2=1(a>0)的一条渐近线与圆x2+(y−2)2= 1相切，则双曲线的渐近线方程是()A. y=±√3xB. y=±√33x C. y=±13x D. y=±3x9.(2018·河北省·历年真题)函数y=x2sinxe|x|的大致图象是()A. B.C. D.10.(2021·全国·模拟题)已知数列{a n}的前n项和为S n，a1=2，na n+1+S n+1=1(n∈N∗)，则S2+S4+S8+S16=()A. 398B. 7916C. 418D. 511.(2019·湖北省鄂州市·月考试卷)将函数y=sin2x−√3cos2x的图象向左平移φ(0<φ≤π2)个单位长度后得到f(x)的图象，若f(x)在(π4,π2)上单调递减，则φ的取值范围为()A. [π3,π2] B. [π6,π2] C. [π3,5π12] D. [π6,5π12]12.(2021·全国·模拟题)已知函数y=f(x)与y=g(x)，若存在实数x0使f(x0)=−g(−x0)成立，则称M(x0,f(x0))，N(−x0,g(−x0))是函数f(x)与g(x)的一对“望点”，若f(x)=√−x2−4x−3，g(x)=1−43x，则函数f(x)与g(x)“望点”的对数为()A. 2B. 0C. 4D. 1二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13.(2021·全国·模拟题)焦点与双曲线x2−y24=1右焦点相同的抛物线方程是______ ．14.(2021·全国·模拟题)若在前n项和为S n的等比数列{a n}中，a1a2a3a4=a52，S2=6，则数列{a n}的通项公式为______ ．15.(2021·全国·模拟题)已知函数f(x)=cosx，若存在x1，x2，…，x n满足0≤x1<x2<⋯<x n≤4π，且|f(x1)−f(x2)|+|f(x2)−f(x3)|+⋯+|f(x n−1)−f(x n)|=8(n∈N∗，且n≥2)，则n的最小值为______ ．16.(2020·河南省新乡市·期末考试)设正三棱锥P−ABC的高为H，且此棱锥的内切球的半径R=17H，则H2PA2=_______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.(2020·广西壮族自治区北海市·月考试卷)已知在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且(a+b)sinA=csinC+(2a−b)sinB．(1)求角C的大小；(2)若c=√2，求△ABC面积的最大值．18.(2020·北京市·模拟题)如图，在四棱锥P−ABCD中，AP⊥平面PCD，AD//BC，AB⊥BC，AP=AB=BC=12AD，E为AD的中点，AC与BE相交于点O．(1)证明：PO⊥平面ABCD．(2)求直线BC与平面PBD所成角的正弦值．19.(2017·山西省·其他类型)交强险是车主必须为机动车购买的险种．若普通6座以下私家车投保交强险第一年的费用(基准保费)统一为a元，在下一年续保时，实行的是费率浮动机制，保费与上一年度车辆发生道路交通事故的情况相联系，发生交通事故的次数越多，费率也就越高，具体浮动情况如表：某机构为了研究某一品牌普通6座以下私家车的投保情况，随机抽取了60辆车龄已满三年的该品牌同型号私家车的下一年续保时的情况，统计得到了下面的表格：以这60辆该品牌车的投保类型的频率代替一辆车投保类型的概率，完成下列问题：(Ⅰ)按照我国《机动车交通事故责任强制保险条例》汽车交强险价格的规定a= 950.记X为某同学家的一辆该品牌车在第四年续保时的费用，求X的分布列与数学期望值；(数学期望值保留到个位数字)(Ⅱ)某二手车销售商专门销售这一品牌的二手车，且将下一年的交强险保费高于基本保费的车辆记为事故车．假设购进一辆事故车亏损5000元，一辆非事故车盈利10000元：①若该销售商购进三辆(车龄已满三年)该品牌二手车，求这三辆车中至多有一辆事故车的概率；②若该销售商一次购进100辆(车龄已满三年)该品牌二手车，求他获得利润的期望值．20.(2021·广西壮族自治区北海市·期末考试)已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的两焦点之间的距离为2，两条准线间的距离为8(椭圆C的两条准线方程为x=±a2c，其中a2=b2+c2)，直线l：y=k(x−m)(m∈R,k≠0)与椭圆交于P，Q两点．(1)求椭圆C的方程；(2)设椭圆的左顶点为A，记直线AP，AQ的斜率分别为k1，k2，若k1k2=−1，求实数m的值．21.(2021·全国·模拟题)已知函数f(x)=xsinx+cosx+12ax2(x∈[−π,π]，a∈R)．(1)当a=0时，讨论函数f(x)的单调性；(2)当a>0时，探究关于x的方程f(x)=0的实数根的个数．22. (2021·全国·模拟题)已知在平面直角坐标系xOy 中，动点P 、Q 都在曲线C ：{x =2costy =2sint(t 为参数)上． (1)若以坐标原点O 为极点，x 轴非负半轴为极轴且取相同的单位长度建立极坐标系，求曲线C 的极坐标方程；(2)若动点P 、Q 分别为曲线C 参数方程参数分别取α，2α值时的点，且0≤α<2π，求线段PQ 中点到坐标原点O 距离的最小值．23. (2021·全国·模拟题)已知函数f(x)=|a −x|+|x +1|(a ∈R)．(1)当a =6时，解不等式f(x)≥9；(2)若f(x)−2a 2≥0对任意x ∈R 成立，求实数a 的最大值．答案和解析1.【答案】C【知识点】交集及其运算【解析】解：∵集合A={x∈Z|(x+2)(4−x)≥0}={x∈Z|−2≤x≤4}={−2,−1,0，1，2，3，4}，B={x|14≤2x≤4}={x|−2≤x≤2}，∴A∩B={−2,−1,0，1，2}．故选：C．求出集合A，B，由此能求出A∩B．本题考查交集的求法，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2.【答案】A【知识点】复数的概念、复数的四则运算【解析】解：z(1+i)=i2+ai(i是虚数单位)，∴z=−1+ai1+i =(−1+ai)(1−i)(1+i)(1−i)=−1+a2+a+12i，若z是纯虚数，则−1+a2=0，a+12≠0，则实数a=1，故选：A．利用复数的运算法则、纯虚数的定义即可得出．本题考查了复数的运算法则、纯虚数的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3.【答案】D【知识点】二倍角公式及其应用【解析】解：因为tanα=7，所以sin2α=2sinαcosαsin2α+cos2α=2tanαtan2α+1=2×772+1=725．故选：D．由tanα=7，根据sin2α=2tanαtan2α+1，求解即可．本题考查了二倍角公式，同角三角函数基本关系式在三角函数求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题．4.【答案】C【知识点】向量的概念及几何表示、向量的数量积【解析】解：∵向量a⃗，b⃗ 的夹角为60°，|a⃗|=3，|b⃗ |=4，∴|a⃗+λb⃗ |2=a⃗2+2λa⃗b⃗ +λ2b⃗ 2=9+2λ×3×4×12+16λ2=16λ2+12λ+9，且16λ2+12λ+9∈Z，∴λ≠√22,13,15，当λ=14时，16λ2+12λ+9=1+3+9=13∈Z，故选：C．根据已知条件可得，|a⃗+λb⃗ |2=a⃗2+2λa⃗b⃗ +λ2b⃗ 2=9+2λ×3×4×12+16λ2= 16λ2+12λ+9，将λ的值代入，依次验证，即可求解．本题考查了向量模的计算，需要学生熟练掌握公式，属于基础题．5.【答案】B【知识点】几何概型【解析】解：由几何概型中的面积型可得：S 黑S 正=125200，又S正=22=4，即S黑=52，故选：B．由几何概型中的面积型概率运算公式，求出正方形面积即可得解．本题考查了几何概型中的面积型，属基础题．6.【答案】C【知识点】空间几何体的三视图【解析】解：根据几何体的三视图转换为直观图，该几何体为多面体ABCDE；如图所示：所以AC=√42+(2√2)2=2√6，故外接球的半径为R=√6，所以S球=4⋅π⋅6=24π．故选：C．首先把三视图转换为几何体的直观图，进一步求出几何体的的外接球的半径，最后求出球的表面积．本题考查的知识要点：三视图和几何体的直观图之间的转换，几何体和球体的关系，球的表面积公式，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．7.【答案】B【知识点】二项式定理【解析】解：(x−3)(1+x)7展开式中，x3的系数C72−3C73=−84，故选：B．由题意利用二项展开式的通项公式，求得(x−3)(1+x)7展开式中，x3的系数．本题主要考查二项展开式的通项公式，属于基础题．8.【答案】A【知识点】圆锥曲线中的综合问题、双曲线的性质及几何意义【解析】解：圆x2+(y−2)2=1的圆心(0,2)与半径为：1，双曲线的渐近线方程为：x+ay=0，双曲线x2a2−y2=1(a>0)的一条渐近线与圆x2+(y−2)2=1相切，可得：√1+a2=1，解得a=√33，所以双曲线的渐近线方程为：y=±√3x.故选：A．求出圆的圆心与半径，双曲线的渐近线方程，然后求解渐近线方程即可．本题考查双曲线的简单性质的应用，直线与圆的位置关系的应用，是基础题．9.【答案】A【知识点】函数图象的应用、函数的奇偶性、函数图象的作法【解析】解：f(−x)=(−x)2sin(−x)e|−x|=−x2sinxe|x|=−f(x)，则f(x)是奇函数，图象关于原点对称，排除C，当x→+∞，f(x)→0，排除D，当f(x)=0时，得x=0或sinx=0，即当x≥0时，函数的零点分别为0，π，2π，3π，4π，……kπ，即函数零点间距相同，排除B，故选：A．根据条件判断函数的奇偶性和对称性，利用极限思想，函数零点分布分别进行判断即可．本题主要考查函数图象的识别和判断，利用函数奇偶性，极限思想以及零点分布利用排除法是解决本题的关键．10.【答案】B【知识点】数列的递推关系【解析】解：∵数列{a n}的前n项和为S n，a1=2，na n+1+S n+1=1(n∈N∗)，∴n(S n+1−S n)+S n+1=1，即(n+1)S n+1−nS n=1，故数列{nS n}是首项为2，公差为1的等差数列，∴nS n=2+(n−1)=n+1，∴S n=1+1n，∴S2+S4+S8+S16=4+12+14+18+116=7916，故选：B．根据递推关系式得到数列{nS n}是首项为2，公差为1的等差数列，进而求解结论．本题主要考查数列通项公式和前n项和的求解，属于基础题．11.【答案】D【知识点】函数y=A sin(ωx+φ)的图象与性质、函数的单调性与单调区间、函数图象的变换（平移、对称、伸缩、翻折变换）【分析】本题考查的知识要点：三角函数的图象的平移变换，正弦型函数的性质的应用． 直接利用三角函数的平移变换和函数的性质求出结果． 【解答】解：函数y =sin2x −√3cos2x =2sin(2x −π3)的图象向左平移φ(0<φ≤π2)个单位长度后得到f(x)的图象，即：f(x)=2sin(2x +2φ−π3)， 令π2+2kπ≤2x +2φ−π3≤2kπ+3π2(k ∈Z)，解得：kπ+5π12−φ≤x ≤kπ+11π12−φ(k ∈Z)，由于：f(x)在(π4,π2)上单调递减， 则：{kπ+5π12−φ≤π4π2≤kπ+11π12−φ,k ∈Z, 解得：kπ+π6≤φ≤kπ+5π12，k ∈Z ， ∵0<φ≤π2， ∴当k =0时，π6≤φ≤5π12满足题意，故选：D ．12.【答案】D【知识点】函数的性质【解析】解：令y =f(x)=√−x 2−4x −3，则(x +2)2+y 2=1(y ≥0)，表示圆心在(−2,0)，半径为1的半圆(x 轴非下方)，作出这个半圆及其关于原点成中心对称的半圆，则y 轴右侧半圆圆心为(2,0)，半径为1，点(2,0)到直线y =1−43x 的距离d =|4×2+3×0−3|√32+42=1，故该直线与半圆(x −2)2+y 2=1(y ≥0)相切，公共点只有一个，所以函数f(x)与g(x)“望点”的对数为1．化简得(x +2)2+y 2=1(y ≥0)，表示圆心在(−2,0)，半径为1的半圆(x 轴非下方)，转化到y 轴右侧半圆圆心为(2,0)，半径为1，从而根据直线与圆的位置关系判断． 本题考查了新定义的理解应用，同时考查了数形结合的思想及转化思想的应用，属于中档题．13.【答案】y 2=4√5x【知识点】双曲线的性质及几何意义 【解析】解：双曲线x 2−y 24=1右焦点(√5,0)，则抛物线的焦点坐标(√5,0)，所以抛物线的标准方程为：y 2=4√5x. 故答案为：y 2=4√5x.求出双曲线的焦点坐标，得到抛物线的焦点坐标，然后求解抛物线方程即可． 本题考查双曲线的简单性质以及抛物线的简单性质的应用，是基础题．14.【答案】a n =2n 或a n =(−3)n【知识点】等比数列的通项公式【解析】解：设等比数列{a n }的公比为q ，由题意知q ≠1， 由a 1a 2a 3a 4=a 52，S 2=6，得{a 14q 6=(a 1q 4)2a 1(1+q)=6，解得{a 1=6q =0(舍)或{a 1=2q =2或{a 1=−3q =−3． ∴a n =2n 或a n =(−3)n ．故答案为：a n =2n 或a n =(−3)n ．设等比数列{a n }的公比为q ，由a 1a 2a 3a 4=a 52，S 2=6解得a 1和q 值，再求出数列{a n }的通项公式．本题考查等比数列通项公式和性质，考查运算能力，属于基础题．15.【答案】5【知识点】利用导数研究闭区间上函数的最值 【解析】解：f(x)=cosx ， f(x)max −f(x)min =2，则n ≥5，若使n 取得最小值，则让x i (i =1,2，⋯，n)取最值点，令x1=0，x2=π，x3=2π，x4=3π，x5=4π，此时|f(x1)−f(x2)|+|f(x2)−f(x3)|+|f(x3)−f(x4)|+|f(x4)−f(x5)|=2×4=8．综上所述，n的最小值为5．故答案为：5．先由f(x)max−f(x)min=2得到n≥5，再举一个例子说明n=5时等式成立即可说明n 的最小值为5．本题考查三角函数的最值，考查逻辑推理的核心素养，属于难题．16.【答案】3539【知识点】棱柱、棱锥、棱台的侧面积、表面积和体积、简单多面体（棱柱、棱锥、棱台）及其结构特征【解析】【分析】本题考查棱锥的结构特征，以及棱锥的表面积和体积公式，属于中档题．由题意画出图形，取线段AB的中点D，设P在底面ABC的射影为O，连接CD，PD，设AB=a，则OD=√32a×13=√36a，设PD=ma，可得三棱锥的表面积，然后结合等体积法求解．【解答】解：如图，取线段AB的中点D，设P在底面ABC的射影为O，连接CD，PD，则点O 在CD上，设AB=a，则OD=√32a×13=√36a，设PD=ma，则正三棱锥P−ABC的表面积S=3×12a×ma+√34a2=6m+√34a2．又正三棱锥P−ABC的体积V=13×√34a2H，则R=3VS =√34a2H6m+√34a2=17H．解得m=√3，则H=√PD2−OD2=√3512a，又PA=√PD2+AD2=√132a，∴H2PA2=3539，故答案为：3539．17.【答案】解：(1)∵在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且(a+b)sinA= csinC+(2a−b)sinB，∴(a+b)a=c2+(2a−b)b，即a2+b2−c2=ab，∴cosC=a2+b2−c22ab =12，∴C=π3．(2)据(1)求解知，a2+b2−c2=ab，∵c=√2，∴a2+b2=2+ab．又a2+b2≥2ab，当且仅当a=b是，取等号，∴ab≤2，∴△ABC面积的最大值为12ab⋅sinC=12×2×sinπ3=√32．【知识点】余弦定理、正弦定理【解析】(1)由题意利用正弦定理、余弦定理，求得cos C的值，可得C．(2)由题意利用余弦定理、基本不等式，求得ab的最大值，可得△ABC面积的最大值．本题主要考查正弦定理、余弦定理的应用，基本不等式，属于中档题．18.【答案】解：(1)证明：∵AP⊥平面PCD且CD⊂平面PCD，∴AP⊥CD．∵AD//BC，BC=12AD，E为AD的中点，∴四边形BCDE 为平行四边形，∴BE//CD ，∴AP ⊥BE ． 又∵AB ⊥BC ，AB =BC =12AD ，且E 为AD 的中点， ∴四边形ABCE 为正方形，∴BE ⊥AC ．又AP ∩AC =A ，且AP 、AC 均在平面APC ，∴BE ⊥平面APC 且PO ⊂平面APC ，则BE ⊥PO ．∵AP ⊥平面PCD ，∴AP ⊥PC ，又AC =√2AB =√2AP ， ∴△PAC 为等腰直角三角形，O 为斜边AC 上的中点，∴PO ⊥AC ，又∵AC ∩BE =0且AC 、BE 均在平面ABCD ，∴PO ⊥平面ABCD ． (2)解：以O 为坐标原点，建立空间直角坐标系O −xyz ，如图所示． 设OB =1，则B(1,0，0)，C(0,1，0)，P(0,0，1)，D(−2,1，0)， 则BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,1,0)，PB⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0,−1)，PD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,1,−1)． 设平面PBD 的法向量为n ⃗ =(x,y,z)， 则{PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·n ⃗ =0PD ⃗⃗⃗⃗⃗ ·n ⃗ =0即{x −z =0−2x +y −z =0, 令z =1，得n⃗ =(1,3,1)． 设BC 与平面PBD 所成角为θ，则sinθ=|cos <BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,n ⃗ >|=|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗ ||BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|n ⃗⃗ |=√2⋅√11=√2211．【知识点】线面垂直的判定、直线与平面所成角【解析】本题考查线面垂直的证明，考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．(1)推导出AP ⊥平面PCD ，AP ⊥CD.从而四边形BCDE 为平行四边形，进而BE//CD ，AP ⊥BE.推导出四边形ABCE 为正方形，从而BE ⊥AC.进而BE ⊥平面APC ，则BE ⊥PO ，又AP ⊥平面PCD ，进而AP ⊥PC ，PO ⊥AC ，由此能证明PO ⊥平面ABCD ． (2)以O 为坐标原点，建立空间直角坐标系O −xyz ，推导出平面PBD 的法向量，由此能求出BC 与平面PBD 的正弦值．19.【答案】解：(Ⅰ)由题意可知X 的可能取值为0.9a ，0.8a ，0.7a ，a ，1.1a ，1.3a.…(2分)由统计数据可知：P(X =0.9a)=16，P(X =0.8a)=112，P(X =0.7a)=112，P(X =a)=13，P(X =1.1a)=14，P(X =1.3a)=112． 所以X 的分布列为：…(4分)所以EX =0.9a ×16+0.8a ×112+0.7a ×112+a ×13+1.1a ×14+1.3a ×112=11.9a 12=1130512≈942.(5分)(Ⅱ) ①由统计数据可知任意一辆该品牌车龄已满三年的二手车为事故车的概率为13，三辆车中至多有一辆事故车的概率为P =(1−13)3+∁31×13×(23)2=2027.…(8分)②设Y 为该销售商购进并销售一辆二手车的利润，Y 的可能取值为−5000，10000． 所以Y 的分布列为：所以EY =−5000×13+10000×23=5000.…(10分)所以该销售商一次购进100辆该品牌车龄已满三年的二手车获得利润的期望值为100EY =50万元．…(12分)【知识点】离散型随机变量的期望与方差、离散型随机变量及其分布列【解析】(Ⅰ)由题意可知X 的可能取值为0.9a ，0.8a ，0.7a ，a ，1.1a ，1.3a.由统计数据可知其概率及其分布列．(II)①由统计数据可知任意一辆该品牌车龄已满三年的二手车为事故车的概率为13，三辆车中至多有一辆事故车的概率为P =(1−13)3+∁31×13×(23)2．②设Y 为该销售商购进并销售一辆二手车的利润，Y 的可能取值为−5000，10000.即可得出分布列与数学期望．本题考查了随机变量的分布列与数学期望、相互独立与互斥事件的概率计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．20.【答案】解：(1)因为椭圆C 的两个焦点间距离为2，两准线间的距离为2×a 2c =8，所以a =2，c =1，所以b 2=a 2−c 2=3， 所以椭圆的方程为x 24+y 23=1．(2)法一：由(1)得A(−2,0)，设P(x 1,y 1)，则直线AP 的方程为y =k 1(x +2)， 联立{x 24+y 23=1,y =k 1(x +2),消去y ，得(3+4k 12)x 2+16k 12x +16k 12−12=0， 所以x A ⋅x 1=16k 12−123+4k 12，所以x 1=6−8k 123+4k 12，代入y =k 1(x +2)得y 1=12k13+4k 12， 所以P(6−8k 123+4k 12,12k13+4k 12)，由k 1k 2=−1，得k 2=−1k 1，所以Q(6k 12−83k 12+4,−12k13k 12+4)，因为直线l 的斜率存在，所以6−8k 123+4k 12≠6k 12−83k 2+4，即k 1≠±1，k 2≠±1．所以k PQ =12k 13+4k 12+12k13k 12+46−8k 123+4k 12−6k 12−83k 12+4=7k 14(1−k 12)，所以直线PQ 的方程为y +12k 13k 12+4=7k 14(1−k 12)(x −6k 12−83k 12+4)．令y =0，得x =−27，所以m =−27． 法二：设P(x 1,y 1)，Q(x 2,y 2)，A(−2,0)，联立{x 24+y 23=1,y =k(x −m)得(3+4k 2)x 2−8mk 2x +4m 2k 2−12=0，所以x 1+x 2=8mk 23+4k 2，x 1x 2=4m 2k 2−123+4k 2， y 1y 2=k 2(x 1−m)(x 2−m)=(3m 2−12)k 23+4k 2．因为k 1k 2=−1，所以AP ⊥AQ ，所以AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 1+2,y 1)⋅(x 2+2,y 2)=x 1x 2+2(x 1+x 2)+4+y 1y 2 =4m 2k 2−123+4k 2+16mk 23+4k 2+4+(3m 2−12)k 23+4k 2=k 2(7m 2+16m+4)3+4k 2=0．因为k ≠0，所以7m 2+16m +4=0， 解得：m =−27或m =−2．又因为当m =−2时，直线l 过左顶点A ，不符合题意，所以m =−27．【知识点】直线与椭圆的位置关系、椭圆的概念及标准方程【解析】(1)由椭圆C 的两个焦点间距离，两准线间的距离，列方程组，解得a ，b ，进而可得椭圆的方程．(2)法一：设P(x 1,y 1)，则直线AP 的方程为y =k 1(x +2)，联立椭圆的方程，关于x 的一元二次方程，由韦达定理可得x A x 1，进而可得x 1，y 1，即得点P 坐标，由k 1k 2=−1，得k 2=−1k 1，同理可得Q 点坐标，再计算k PQ ，写出直线PQ 方程，进而可得答案．法二：设P(x 1,y 1)，Q(x 2,y 2)，A(−2,0)，联立直线PQ 与椭圆的方程，可得关于x 的一元二次方程，由韦达定理可得x 1x 2，x 1+x 2，y 1y 2，再由k 1k 2=−1，可得AP ⊥AQ ，即AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，解得m ，进而可得答案．本题考查椭圆的方程，直线与椭圆的相交问题，解题中需要一定的计算能力，属于中档题．21.【答案】解：(1)当a =0时，f(x)=xsinx +cosx(x ∈[−π,π])，所以f(−x)=f(x)，即f(x)为偶函数．当x ∈[0,π]时，f(x)=xsinx +cosx ，所以f′(x)=sinx +xcosx −sinx =xcosx ， 所以当x ∈[0,π2]时，f′(x)≥0；当x ∈[π2,π]时，f′(x)≤0； 所以函数在[0,π2]上单调递增，在[π2,π]单调递减；又根据偶函数的图象关于y 轴对称知，函数f(x)在[−π,−π2]上单调递增，在[−π2,0]上单调递减；(2)因为f(x)=xsinx +cosx +12ax 2，所以f′(x)=xcosx +ax =x(a +cosx)， 当a ≥1时，f′(x)≥0对任意x ∈[0,π]恒成立，此时f(x)在[0,π]上单调递增， 又f(0)=1，所以关于x 的方程f(x)=0无实数根；当0<a <1时，∃x 0∈(0,π)使得x 0(a +cosx 0)=0，即cosx 0=−a ． 且当x ∈(0,x 0)时，f′(x)>0；当x ∈(x 0,π)时，f′(x)<0； 所以函数在(0,x 0)上单调递增，在(x 0,π)单调递减； f(0)=1，f(π)=12aπ2−1，①当12aπ2−1>0，即2π2<a <1时，关于的方程在区间[0,π]上无实数根，所以关于x 的方程f(x)=0在[−π,π]上无实数根；②当12aπ2−1≤0，即0<a ≤2π2时，关于的方程在区间[0,π]上有1个实数根， 所以关于x 的方程f(x)=0在[−π,π]上有2个实数根；综上，当0<a ≤2π2时，关于x 的方程f(x)=0在[−π,π]上有2个实数根；当a >2π2时关于x 的方程f(x)=0在[−π,π]上无实数根．【知识点】函数的零点与方程根的关系、利用导数研究函数的单调性【解析】(1)当a =0时，易知f(x)为偶函数，利用导数可判断出函数在[−π,π]上单调性； (2)f′(x)=xcosx +ax =x(a +cosx)，分a ≥1与0<a <1两类讨论，可得于x 的方程f(x)=0的实数根的个数．本题考查利用导数研究函数的单调性，考查函数的零点与方程根的关系，考查化归与转化思想，运算求解能力，属于难题．22.【答案】解(1)曲线C ：{x =2costy =2sint (t 为参数)转化为直角坐标方程为x 2+y 2=4，根据x 2+y 2=ρ2转换为极坐标方程为ρ=2．(2)点P 、Q 分别为曲线C 参数方程参数分别取α，2α值时的点， 所以P(2cosα,2sinα)，Q(2cos2α,2sin2α)， 所以中点的坐标为M(2cosα+2cos2α2,2sinα+2sin2α2)，点M 到原点的距离d =√(2cosα+2cos2α2)2+(2sinα+2sin2α2)2=√2+2cosα(0≤α<2π)，当α=π时，d min =0．【知识点】简单曲线的极坐标方程、曲线的参数方程【解析】(1)直接利用转换关系，在参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换； (2)利用中点坐标公式和两点间的距离公式的应用和三角函数关系式的变换的应用求出结果．本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，中点坐标公式的应用，两点间的距离公式的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．23.【答案】解：(1)当a =6时，不等式f(x)≥9即为|6−x|+|x +1|≥9，等价为{x ≤−16−x −x −1≥9或{−1<x <66−x +x +1≥9或{x ≥6x −6+x +1≥9，解得x ≤−2或x ∈⌀或x ≥7，所以原不等式的解集为(−∞,−2]∪[7,+∞)；(2)f(x)−2a2≥0对任意x∈R成立，即为2a2≤f(x)min，由f(x)=|a−x|+|x+1|≥|a−x+x+1|=|a+1|，当且仅当(a−x)(x+1)≥0取得等号，可得|a+1|≥2a2，即a+1≥2a2，或a+1≤−2a2，≤a≤1．解得−12则a的最大值为1．【知识点】不等式的恒成立问题、不等式和绝对值不等式【解析】(1)由零点分区间法和绝对值的意义，去绝对值，解不等式，求并集，可得所求解集；(2)由题意可得2a2≤f(x)min，由绝对值不等式的性质，可得最值，再由绝对值不等式的解法，可得所求最大值．本题考查绝对值不等式的解法和不等式恒成立问题解法，考查分类讨论思想和运算能力、推理能力，属于中档题．。
高三巩固训练理科数学
高三巩固训练理科数学参考公式:统计中2χ的公式：21212211222112)(++++-=n n n n n n n n n χ，其中21111n n n +=+，22122n n n +=+，12111n n n +=+，22212n n n +=+，22122111n n n n n +++=一、选择题:(本大题共12个小题，每小题5分，共60分.每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的)1. 已知集合2{12},{log 2}A x x B x x =-<=<，则A B =A ．(1,3)-B ．(0,4)C .(0,3)D ．(1,4)-2. 若复数iia 213-+（i R a ,∈为虚数单位）是纯虚数，则实数a 的值为 A ．2- B ．4 C .6- D ．63. 函数)22sin(2x y -=π是A ．最小正周期为π的奇函数 B. 最小正周期为π的偶函数 C. 最小正周期为2π的奇函数 D. 最小正周期为2π的偶函数4. 等差数列{}n a 中，已知112a =-，130S =，使得0n a >的最小正整数n 为A ．7B ．8C ．9D ．105. 为了解疾病A请计算出统计量，你有多大的把握认为疾病A 与性别有关下面的临界值表供参考：A. 95% 6.△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ,且a sin A +c sin C a sin C =b sin B ．则B ∠=A. 6πB. 4πC. 3πD. 34π7.某学校周五安排有语文、数学、英语、物理、化学、体育六节课，要求体育不排在第一节课,数学不排在第四节课，则这天课表的不同排法种数为A. 600B. 288C. 480D. 504 8. 设,m n 是空间两条直线，α,β是空间两个平面，则下列选项中不正确．．．的是 A ．当α⊂m 时，“//n α”是“n m //”的必要不充分条件 B ．当α⊂m 时，“m ⊥β”是“βα⊥”的充分不必要条件 C ．当n ⊥α时，“n ⊥β”是“α∥β”成立的充要条件 D ．当α⊂m 时，“α⊥n ”是“n m ⊥”的充分不必要条件 9. 函数2ln ||x y x x=+的图象大致为10.定义某种运算⊗，a b ⊗的运算原理如图 所示. 设x x f ⊗=1)(.()f x 在区间[2,2]-上的最大值为. A -2 B -1 C 0 D 211. 已知ABC ∆的外接圆半径为1，圆心为O ，且3450OA OB OC ++=，则 OC AB ⋅的值为A 15- B15C 65-D 6512. 若椭圆1C ：1212212=+b y a x （011>>b a ）和椭圆2C ：1222222=+b y a x （022>>b a ）的焦点相同且12a a >.给出如下四个结论：① 椭圆1C 和椭圆2C 一定没有公共点； ②1122a b a b >； ③ 22212221b b a a -=-； ④1212a a b b -<-.其中，所有正确结论的序号是A ①③B ①③④C ①②④D ②③④16题图第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：(本大题共4个小题，每小题4分，共16分)13.不等式组2000x x y x y -≤⎧⎪+≥⎨⎪-≥⎩表示平面区域为Ω，在区域Ω内任取一点(),P x y ，则P 点的坐标满足不等式222x y +≤的概率为 .14.已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 .15. 设dx x )12(20-⎰，则二项式4⎪⎭⎫ ⎝⎛+x a x 的展开式中的常数项为 .16.如图，F 1，F 2是双曲线C ：22221x y a b-=(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点，过F 1的直线与双曲线的左、右两支分别交于A ，B 两点．若 | AB | : | BF 2 | : | AF 2 |＝3 : 4 : 5，则双曲线的离心率为 .三、解答题:(本大题共6小题，共74分)17（本题满分12分）已知函数)()4sin cos 03f x x x πωωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的最小正周期 为π.⑴求)(x f 的解析式;(2)求)(x f 在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡-6,4ππ上的最大值和最小值及取得最值时x 的值. 18（本题满分12分）已知数列{}n a 满足13a =，*133()n n n a a n N +-=∈，数列{}n b 满足3nn na b =. （1）证明数列{}n b 是等差数列并求数列{}n b 的通项公式； （2）求数列}{n a 的前n 项和n S .19. （本题满分12分） 某企业计划投资A ，B 两个项目, 根据市场分析，A ，B 两个项目的利润率分别为随机变量X 1和X 2，X 1和X 2的分布列分别为：(1)若在A ，B 两个项目上各投资1000万元，Y 1和Y 2分别表示投资项目A 和B 所获得的利润，求利润的期望()()12,E Y E Y 和方差()()12,D Y D Y ；(2)由于资金限制,企业只能将x (0≤x ≤1000)万元投资A 项目，1000－x 万元投资B 项目，f (x )表示投资A 项目所得利润的方差与投资B 项目所得利润的方差的和．求f (x )的最小值，并指出x 为何值时，f (x )取到最小值．20.（本题满分12分）已知四边形ABCD 是菱形，060BAD ∠= 四边形BDEF 是矩形 ，平面BDEF ⊥平面ABCD ，G H 、分别是CE CF 、的中点.(1)求证 ： 平面//AEF 平面BDGH(2)若平面BDGH 与平面ABCD 所成的角为060， 求直线CF 与平面BDGH 所成的角的正弦值21. （本题满分12分）设),(),,(2211y x Q y x P 是抛物线px y 22=)0(>p 上相异两点，P Q 、到y 轴的距离的积为4且0=⋅OQ OP ．（1）求该抛物线的标准方程. （2）过Q 的直线与抛物线的另一交点为R ，与x 轴交点为T ，且Q 为线段RT 的中点，试求弦PR 长度的最小值． 22.(本题满分14分)设1ln )()(++=x xa x x f ，曲线)(x f y =在点))1(,1(f 处的切线与直线012=++yx 垂直.(1)求a 的值;(2) 若),1[+∞∈∀x ，)1()(-≤x m x f 恒成立，求m 的范围.（3）求证：*21.().41ni in N i=<∈-∑20题图2013.4济南市高三理科数学参考答案一、选择题: ：(本大题共12个小题，每小题5分，共60分)二、填空题：(本大题共4个小题，每小题4分，共16分)13 .8π14. 4163π+ 15. 24 16.三、解答题:(本大题共6小题，共74分) 17.解()4sin cos cos sin sin 33f x x x x ππωωω⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭----------------------------1分22sin cos x x x ωωω=-+sin 22x x ωω= -----------------------------------------------------------3分2sin 23x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ -----------------------------------------------------4分2,12T ππωω==∴= -----------------------------------------5分⎪⎭⎫ ⎝⎛+=∴32sin 2)(πx x f ---------------------------------------------------------6分(2)46x ππ-≤≤，22633x πππ∴-≤+≤1sin 2123x π⎛⎫∴-≤+≤ ⎪⎝⎭，即()12f x -≤≤，-------------------9分当2,36x ππ+=-即4x π=-时，()min 1f x =-，当2,32x ππ+=即12x π=时，()max 2f x =. ---------------------------------12分18.解（1）证明：由3n n n a b =，得1113n n n a b +++=， ∴1111333n n n n n n a a b b +++-=-= ---------------------2分所以数列{}n b 是等差数列，首项11b =，公差为13-----------4分∴121(1)33n n b n +=+-=------------------------6分 （2）13(2)3n n n n a b n -==+⨯ -------------------------7分n n a a a S +++=∴ 2113)2(3413-⨯+++⨯+⨯=n n ----①n n n S 3)2(343332⨯+++⨯+⨯=∴ -------------------②----------9分①-②得n n n n S 3)2(33313212⨯+-++++⨯=--n n n 3)2(3331212⨯+-+++++=-n n n 3)2(233⨯+-+=-----------------------------------11分23)2(433nn n n S +++-=∴------------------------------------------12分19. 解: (1)由题设可知Y 1和Y 2的分布列为--------------2分E (Y 1)＝50×0.8＋100×0.2＝60，----------------------------------3分 D (Y 1)＝(50－60)2×0.8＋(100－60)2×0.2＝400，------------------------4分E (Y 2)＝20×0.2＋80×0.5＋120×0.3＝80，---------------------------------------5分 D (Y 2)＝(20－80)2×0.2＋(80－80)2×0.5＋(120－80)2×0.3＝1200.-------------------6分 (2) ()()()()22121261000110001000100010x x f x D Y D Y x D Y x D Y -⎛⎫⎛⎫⎡⎤=+=+- ⎪ ⎪⎣⎦⎝⎭⎝⎭＝4410 [x 2＋3(1000－x )2]＝4410(4x 2－6000x ＋3×106)．--------------------------------10分 当600075024x ==⨯时，f (x )＝300为最小值．-------------------------------12分 20. 解:（1）G H 、分别是CE CF 、的中点所以//EF GH ------------① ---------------1分连接AC 与BD 交与O ,因为四边形ABCD 是菱形，所以O 是AC 的中点 连OG ,OG 是三角形ACE 的中位线//OG AE ---------② --------------3 分由①②知，平面//AEF 平面BDGH --------------4分（2）,BF BD ⊥平面BDEF ⊥平面ABCD ，所以BF ⊥平面ABCD ----------------------------5分 取EF 的中点N ,//ON BF ON ∴⊥平面ABCD ， 建系{,,}OB OC ON 设2AB BF t ==，,则()()()100,0,10B C F t ，，，，122t H ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭-----------------------------------------------------------6分 ()11,0,0,22t OB OH ⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭设平面BDGH 的法向量为()1,,n x y z =1101022n OB x tn OH x y z ⎧⋅==⎪⎨⋅=+=⎪⎩,所以(10,n t =- 平面ABCD 的法向量()20,0,1n = ---------------------------9分121|cos ,|2n n <>==,所以29,3t t == -------------------------------10分所以(1,CF =,设直线CF 与平面BDGH 所成的角为θ13133321336|,cos |sin 1=⨯=〉〈=n CF θ -------------------------------12分 21. 解：（1）∵ OP →·OQ →＝0，则x 1x 2＋y 1y 2＝0，--------------------------1分又P 、Q 在抛物线上，故y 12＝2px 1，y 22＝2px 2，故得 y 122p ·y 222p＋y 1y 2＝0， y 1y 2＝－4p 2222212144)(||p py y x x ==∴--------------------------3分 又|x 1x 2|＝4，故得4p 2＝4，p =1．所以抛物线的方程为: 22y x =-------------4分 （2）设直线PQ 过点E (a ,0）且方程为x ＝my ＋a联立方程组⎩⎨⎧=+=x y amy x 22消去x 得y 2－2my －2a ＝0 ∴ ⎩⎨⎧-==+ay y m y y 222121 ① --------------------------------6分设直线PR 与x 轴交于点M (b ,0)，则可设直线PR 方程为x ＝ny ＋b ,并设R (x 3,y 3)， 同理可知，⎩⎨⎧-==+by y n y y 223131 ② --------------------------7分由①、②可得32y b y a= 由题意，Q 为线段RT 的中点，∴ y 3＝2y 2，∴b =2a 分 又由（Ⅰ）知， y 1y 2＝－4，代入①，可得－2a ＝－4 ∴ a ＝2．故b ＝4．-----------------------9分 ∴831-=y y∴3123123124)(1||1|PR |y y y y n y y n -+⋅+=-+=2481222≥+⋅+=n n .当n =0，即直线PQ 垂直于x 轴时|PR |取最小值24--------------------12分 22.解：(1)2)1(ln )()1)(ln ()(++-+++='x x a x x x x ax x f -----------------------2分 由题设21)1(='f ，2142)1(=+∴a 11=+∴a ，0=∴a . -------------------------------4分(2) 1ln )(+=x xx x f ,),1(+∞∈∀x ，()(1)f x m x ≤-，即1ln ()x m x x≤-设1()ln ()g x x m x x=--，即0)(),,1(≤+∞∈∀x g x .22211()(1)mx x mg x m x x x -+-'=-+=-------------------------------------6分①若0,()0m g x '≤>，0)1()(=≥g x g ，这与题设0)(≤x g 矛盾.---------- -------8分 ②若0m >方程20mx x m -+-=的判别式214m ∆=- 当0≤∆，即12m ≥时，0)(≤'x g .)(x g ∴在)(0,+∞上单调递减，0)1()(=≤∴g x g ，即不等式成立. ----------------------------------------------------------------------9分当102m <<时，方程20mx x m -+-=，其根10x =>，11x =>，当0)(),,1(2>'∈x g x x ,)(x g 单调递增，0)1()(=>g x g ，与题设矛盾.综上所述，12m ≥ .------------------------------------------------------------------------10分 (3) 由(2)知,当1>x 时, 21=m 时,11ln 2x x x ⎛⎫<- ⎪⎝⎭成立.不妨令*21,21k x k N k +=∈-所以221121214ln 212212141k k k k k k k k ++-⎛⎫<-= ⎪--+-⎝⎭， ()()*21[ln 21ln 21],441kk k k N k +--<∈-----------------------11分()()()()()22211ln 3ln1441112ln 5ln 344211ln 21ln 21,441n n n n ⎧-<⎪⨯-⎪⎪-<⎪⨯-⎨⎪⎪⎪+--<⎪⨯-⎩ ---------------------12分 累加可得*211ln(21).().441ni in n N i =+<∈-∑*21ln .().41ni i n N i =<∈-∑------------------------14分。
高考理科数学基础知识巩固强化练习试题15 Word版含解析
C．－D．－
答案：A
解析：由tan2α＝，即＝，得tanα＝或tanα＝－3.又f(x)＝sin(x＋α)－sin(x－α)－2sinα＝2cosxsinα－2sinα≥0恒成立，所以sinα≤0，tanα＝－3，sinα＝－，cosα＝，所以sin＝sinαcos－cosαsin＝－，故选A.
A．－B.
C.D.
答案：A
解析：∵α∈，∴tanα>1.∴由tanα＋＝，解得tanα＝3.∴sin＝sin2α＋cos2α＝×＝×＝×＝－.故选A.
3．[2019·广州调研]已知α为锐角，cosα＝，则tan＝()
A.B．3
C．－D．－3
答案：A
解析：因为α是锐角，cosα＝，所以sinα＝，所以tanα＝＝2，所以tan＝＝，故选A.
8．[2019·嘉兴模拟]有四个关于三角函数的命题：
①∃x0∈R，sin2＋cos2＝；②∃x0，y0∈R，sin(x0－y0)＝sinx0－siny0；③∀x∈[0，π],＝sinx；④sinx＝cosy⇒x＋y＝.
其中假命题的序号为()
A．①④B．②④
C．①③D．②③
答案：A
解析：因为sin2＋cos2＝1≠，所以①为假命题；当x＝y＝0时，sin(x－y)＝sinx－siny，所以②为真命题；因为＝＝|sinx|＝sinx，x∈[0，π]，所以③为真命题；当x＝，y＝2π时，sinx＝cosy，但x＋y≠，所以④为假命题．故选A.
C.D．－
答案：B
解析：因为sin2α＝2sinαcosα＝－，即1－2sinαcosα＝，所以(cosα－sinα)2＝，又α为第二象限角，所以cosα<sinα，则cosα－sinα＝－.故选B.
2020高考数学基础巩固练(一)理(含解析)
基础巩固练(一)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷（非选择题)两部分．满分150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题,共60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．(2019·江西九校高三联考)已知集合A＝错误!错误!≥0｝,B＝｛x|y ＝lg (2x－1）｝,则A∩B＝( ）A．(0,1］B．[0，1］C.错误!D。
错误!答案C解析∵集合A＝错误!错误!≥0}＝｛x|0〈x≤1｝,B＝｛x|y＝lg （2x －1）}＝错误!x>错误!}，∴A∩B＝错误!错误!〈x≤1}＝错误!。
故选C。
2．(2019·南昌一模）已知复数z＝错误!(a∈R）的实部等于虚部,则a＝( )A．－错误!B。
错误!C．－1 D．1答案C解析∵z＝a＋i2i＝错误!＝错误!－错误!i的实部等于虚部，∴错误!＝－错误!，∴a＝－1.故选C.3．(2019·陕西宝鸡中学期中）设a＝20.1，b＝ln 错误!，c＝log3错误!，则a,b，c的大小关系是( )A．b>c〉a B．a〉c〉bC．b〉a>c D．a〉b>c答案D解析因为a＝20.1〉20＝1,0＝ln 1〈b＝ln 错误!<ln e＝1，c＝log3错误!〈log31＝0，所以a>b>c.故选D。
4．(2019·安庆高三上学期期末)函数f（x）＝错误!的部分图象大致是（）答案B解析∵函数f（x)的定义域是R，关于原点对称，且f（－x)＝－x－sin x｜－x｜＋1＝－x＋sin x｜x｜＋1＝－f（x）,∴函数f（x）是奇函数，图象关于原点对称,排除C，D，当x≥0时,f(x）＝错误!＝错误!＝1＋错误!≤1，排除A，故选B.5．（2019·厦门科技中学高三开学考试）古希腊数学家阿基米德用穷竭法建立了这样的结论:“任何由直线和抛物线所包围的弓形,其面积都是其同底同高的三角形面积的三分之四．”如图,已知直线x＝2交抛物线y2＝4x于A，B两点，点A，B在y轴上的射影分别为D，C，从长方形ABCD中任取一点，则根据阿基米德这一理论，该点位于阴影部分的概率为（）A.错误!B。
高考理科数学基础知识巩固强化练习试题20 Word版含解析
(2)将数列①的各项乘以 ，得到一个新数列a1，a2，a3，a4，…，an.则a1a2＋a2a3＋a3a4＋…＋an－1an＝()
A. B.
C. D.
答案：C
解析：依题意可得新数列为 ， ， ，…， × ，所以a1a2＋a2a3＋…＋an－1an＝ ＋ ＋…＋ ＝ ＝ × ＝ .故选C.
A．11B．12
C．13D．14
答案：C
解析：观察所给数列的项，发现从第3项起，每一项都是它的前两项的和，所以x＝5＋8＝13，故选C.
3．[2019·河南郑州模拟]已知数列1， ， ， ，…， ，则3 是这个数列的()
A．第20项B．第21项
C．第22项D．第23项
答案：D
解析：由 ＝3 ＝ ，得2n－1＝45，即2n＝46，解得n＝23.故选D.
12．[2019·山东枣庄第三中学质检]已知数列{an}的前n项和Sn＝5n2＋2n＋1，则数列的通项公式为an＝________.
答案：
解析：当n＝1时，a1＝8；当n≥2时，Sn－1＝5(n－1)2＋2(n－1)＋1.所以an＝Sn－Sn－1＝10n－3，此式对n＝1不成立，故an＝
刷题课时增分练⑳综合提能力 课时练 赢高分
5．在数列{an}中，已知a1＝1，an＋1＝－ ，记Sn为数列{an}的前n项和，则S2 018＝()
A. B．－
C. D．－
答案：B
解析：∵a1＝1，a2＝－ ＝－ ，a3＝－ ＝－2，a4＝－ ＝1，…，∴数列{an}的周期为3，∴S2 018＝S2 016＋a2 017＋a2 018＝672× ＋1＋ ＝－ .
4．[2019·湖南三市联考]设数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝ ，若a4＝32，则a1的值为()
新疆乌鲁木齐市2024高三冲刺(高考数学)人教版真题(巩固卷)完整试卷
新疆乌鲁木齐市2024高三冲刺（高考数学）人教版真题(巩固卷)完整试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 (共8题)第(1)题若双曲线的焦点与椭圆的焦点重合，则的值为（）A．2B．3C．6D．7第(2)题设直线与双曲线的两条渐近线分别交于点，若点满足，则该双曲线的离心率是A．B．C．D．第(3)题某圆锥高为，母线与底面所成的角为，则该圆锥的表面积为（）A．B．C．D．第(4)题在中，点为的中点，，与交于点，且满足，则的值为（）A．B．C．D．第(5)题已知抛物线的焦点为，准线为，抛物线的对称轴与准线交于点，为抛物线上的动点，，当最小时，点恰好在以，为焦点的椭圆上，则椭圆的长轴长为A．B．C．D．第(6)题设函数，对任意给定的，都存在唯一的，满足则正实数的最小值是A．B．C．2D．4第(7)题佩香囊是端午节传统习俗之一，香囊内通常填充一些中草药，有清香、驱虫、开窍的功效.因地方习俗的差异，香囊常用丝布做成各种不同的形状，形形色色，玲珑夺目.图1的由六个正三角形构成，将它沿虚线折起来，可得图2所示的六面体形状的香囊，那么在图2这个六面体中，棱AB与CD所在直线的位置关系为（）A．平行B．相交C．异面且垂直D．异面且不垂直第(8)题已知集合，，则（）A．B．C．D．二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分 (共3题)第(1)题给定事件A，B，C，且，则下列选项正确的是（）A．B．若，且A，B互斥，则A，B不可能相互独立C．若，则A，B互为对立事件D．若，则A，B，C两两独立第(2)题设函数，其中R，则（）A ．当时，有2个极值点B．当时有1个极值点C．当时，有0个极值点．D．若，成立，则第(3)题我们知道，平面几何中有些正确的结论在空间中不一定成立．下面给出的平面几何中的四个真命题，在空间中仍然成立的有（）A．平行于同一条直线的两条直线必平行B．垂直于同一条直线的两条直线必平行C．一个角的两边分别平行于另一个角的两边，那么这两个角相等或互补D．一个角的两边分别垂直于另一个角的两边，那么这两个角相等或互补三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 (共3题)第(1)题如图，由个边长为1个单位的小正方形组成一个大正方形．某机器人从C点出发，沿若小正方形的边走到D点，每次可以向右走一个单位或者向上走一个单位．如果要求机器人不能接触到线段，那么不同的走法共有______种．第(2)题某地进行老旧小区改造，有半径为60米，圆心角为的一块扇形空置地（如图），现欲从中规划出一块三角形绿地，其中在上，，垂足为，，垂足为，设，则___________（用表示）；当在上运动时，这块三角形绿地的最大面积是___________.第(3)题某同学在学习和探索三角形相关知识时，发现了一个有趣的性质：将锐角三角形三条边所对的外接圆的三条圆弧（劣弧）沿着三角形的边进行翻折，则三条圆弧交于该三角形内部一点，且此交点为该三角形的垂心（即三角形三条高线的交点）.如图，已知锐角外接圆的半径为2，且三条圆弧沿三边翻折后交于点.若，则___________；若，则的值为___________.四、解答题：本题共5小题，每小题15分，最后一题17分，共77分 (共5题)第(1)题已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．(1)求；(2)若，且的周长为，求的面积．第(2)题已知函数.(1)若在上单调递增，求实数的取值范围；(2)当时，求证：在上有唯一零点.第(3)题已知函数，且曲线与直线相切于点，（1）求；（2）若，求实数的取值范围.第(4)题在直角坐标系中，曲线的参数方程（为参数），是上的动点，点是线段的中点，动点点的轨迹为曲线.(1)求的参数方程；(2)在以为极点，轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线与的异于极点的交点为，与的异于极点的交点为，求.第(5)题在极坐标系中，曲线．以极点为坐标原点，极轴为轴非负半轴建立平面直角坐标系，设过点的直线与曲线有且只有一个公共点，求直线的斜率．。
新疆阿克苏地区2024高三冲刺(高考数学)部编版测试(巩固卷)完整试卷
新疆阿克苏地区2024高三冲刺（高考数学）部编版测试(巩固卷)完整试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 (共8题)第(1)题已知，当取最大值时，则的值为（）A．B．2C．3D．4第(2)题若函数的图象关于直线对称，则的值的个数为（）A．1B．2C．3D．4第(3)题已知函数，若恰有两个零点，则的取值范围为（）A．B．C．D．第(4)题已知集合，集合，则（）A．B．C．D．第(5)题某小区流感大爆发，当地医疗机构使用中西医结合的方法取得了不错的成效，每周治愈的患者人数如表所示：周数（x）12345治愈人数（y）51535？140由表格可得y关于x的线性经验回归方程为，则测此回归模型第4周的治愈人数为（）A．105B．104C．103D．102第(6)题设全集，集合，，则=（）A．B．C．D．第(7)题对两组呈线性相关的变量进行回归分析，得到不同的两组样本数据，第一组和第二组对应的线性相关系数分别为，则是第一组变量比第二组变量线性相关程度强的（）条件.A．充分不必要B．必要不充分C．充要D．既不充分也不必要第(8)题已知，且，则＝（）A．B．C．D．二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分 (共3题)第(1)题已知直线：与圆：，若存在点，过点向圆引切线，切点为，，使得，则可能的取值为（）A．2B．0C．D．第(2)题已知三棱锥，，为棱上一点，且，过点作平行于直线和的平面，分别交棱于．下列说法正确的是（）A．四边形为矩形B．四边形的周长为定值C．四边形的面积为定值D．当时，平面分三棱锥所得的两部分体积相等第(3)题我国古代数学名著《九章算术》中将“底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱”称为“堑堵”．现有一如图所示的“暂堵”，其中，若，则（）A．该“堑堵”的体积为2B．该“堑堵”外接球的表面积为C．若点P在该“堑堵”上运动，则的最大值为D．该“堑堵”上，与平面所成角的正切值为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 (共3题)第(1)题已知数列满足，，则数列的前8项和为______.第(2)题某中学开展劳动实习，学生加工制作零件，零件的截面如图（单位：）所示，四边形为矩形，，，均与圆O相切，B､C为切点，零件的截面BC段为圆O的一段弧，已知，，则该零件的截面的周长为___________.（结果保留）第(3)题若三点，，，（）共线，则的值等于___________.四、解答题：本题共5小题，每小题15分，最后一题17分，共77分 (共5题)第(1)题某数学学习小组的5位学生在一次考试后调整了学习方法，一段时间后又参加了第二次考试．两次考试的成绩如下表所示（满分100分）学生1学生2学生3学生4学生5第一次8289789281第二次8390759576(1)在5位学生中依次抽取3位学生．在前2位学生中至少有1位学生第一次成绩高于第二次成绩的条件下，求第三位学生第二次考试成绩高于第一次考试成绩的概率；(2)设（，2，…，5）表示第i位学生第二次考试成绩减去第一次考试成绩的值．从数学学习小组5位学生中随机选取2位，得到数据，定义随机变量X如下：求X的分布列和数学期望EX和方差．第(2)题已知椭圆：（）上的点到的两焦点的距离之和为6，的离心率为．（1）求的标准方程；（2）设坐标原点为，点在上，点满足，且直线，的斜率之积为，证明：为定值．第(3)题在关研究表明，正确佩戴安全头盔，规范使用安全带能够将交通事故死亡风险大幅降低，对保护群众生命安全具有重要作用.2020年4月，“一盔一带”安全守护行动在全国各地开展.行动期间，公安交管部门将加强执法管理，依法查纠摩托车和电动自行车骑乘人员不佩戴安全头盔，汽车驾乘人员不使用安全带的行为，助推养成安全习惯.该行动开展一段时间后，某市针对电动自行车骑乘人员是否佩戴安全头盔问题进行调查，在随机调查的1000名骑行人员中，记录其年龄和是否佩戴头盔情况，得到如下的统计图表：（Ⅰ）估算该市电动自行车骑乘人员的平均年龄；（Ⅱ）根据所给的数据，完成下面的列联表：是否佩戴头盔是否年龄（Ⅲ）根据（Ⅱ）中的列联表，判断是否有把握认为遵守佩戴安全头盔与年龄有关？附：，0.0500.0100.0013.841 6.63510.828第(4)题为监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取10件零件，度量其内径尺寸（单位：）.根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的内径尺寸服从正态分布.（1）假设生产状态正常，记表示某一天内抽取的10个零件中其尺寸在之外的零件数，求及的数学期望；（2）某天正常工作的一条生产线数据记录的茎叶图如下图所示：①计算这一天平均值与标准差；②一家公司引进了一条这种生产线，为了检查这条生产线是否正常，用这条生产线试生产了5个零件，度量其内径分别为（单位：）：85，95，103，109，119，试问此条生产线是否需要进一步调试，为什么？参考数据：，，，，，，，.第(5)题已知函数.（1）讨论函数的单调性.（2）若，设是函数的两个极值点，若，求证:.。
黑龙江鸡西市2024高三冲刺(高考数学)人教版真题(巩固卷)完整试卷
黑龙江鸡西市2024高三冲刺（高考数学）人教版真题(巩固卷)完整试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 (共8题)第(1)题给出定义：对于含参的关于自变量的不等式，使其在定义域内恒成立的一组参数称为这个不等式的一组“解”，以圆括号的形式来表示.例如：使不等式在实数范围内恒成立的一组“解”可以是，则对于定义域为的不等式而言，下列说法中正确的是（）A．该不等式的一组“解”不可以是B．该不等式的一组“解”可以是C．当时总能找到、使其成为不等式的一组解D．当时总能找到、使其成为不等式的一组解第(2)题算盘是我国一类重要的计算工具．如图是一把算盘的初始状态，自右向左前四位分别表示个位､十位､百位､千位，上面一粒珠子（简称上珠）代表5，下面一粒珠子（简称下珠）代表1，即五粒下珠的代表数值等于同组一粒上珠的代表数值，例如，个位拨动一粒上珠至梁上，十位未拨动，百位拨动一粒下珠至梁上，表示数字105．现将算盘的千位拨动一粒珠子至梁上，个位､十位､百位至多拨动一粒珠子至梁上，其它位置珠子不拨动．设事件“表示的四位数为偶数”，事件“表示的四位数大于5050”，则（）A．B．C．D．第(3)题已知复数，且，其中a，b为实数，则（）A．B．C．D．2第(4)题设，，则的最小值是（）A．B．C．D．1第(5)题若，是虚数单位，则 “”是“为纯虚数 ”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件第(6)题如图，已知正三棱柱的棱长都相等，为棱的中点，则与所成角的正弦值为（）A．B．C．D．第(7)题在平面内，定点A，B，C，D满足==,===–2，动点P，M满足=1，=，则的最大值是A．B．C．D．第(8)题已知数列的前项和为，且，则的值为（）A．B．C．D．二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分 (共3题)第(1)题设集合，，则（）A．B．C．D．第(2)题已知数列，其前n项和为，若存在常数，对任意的，恒有，则称为数列.则下列说法正确的是（）A．若是以1为首项，为公比的等比数列，则为数列B．若为数列，则也为数列C．若为数列，则也为数列D．若均为数列，则也为数列第(3)题已知函数，则（）．A．B．若有两个不相等的实根，则C．D．若，均为正数，则三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 (共3题)第(1)题二项式的展开式中常数项为____________．（用数字作答）第(2)题历史上数列的发展，折射出许多有价值的数学思想方法，对时代的进步起了重要的作用，比如意大利数学家列昂纳多·斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”：即1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，….即，，此数列在现代物理、准晶体结构及化学等领域有着广泛的应用，若此数列被4整除后的余数构成一个新的数列，又记数列满足，，，则的值为_____．第(3)题已知函数，若且，则的取值范围为___________.四、解答题：本题共5小题，每小题15分，最后一题17分，共77分 (共5题)第(1)题如图，在正三棱柱中，，点分别在棱和棱上，且，.(1)求证：平面平面；(2)求多面体的体积.第(2)题已知函数满足，其中为常数.(1)对，证明：；(2)是否存在实数，使得，且？若存在，求出，的值；若不存在，请说明理由.第(3)题已知数列的前项和为，，数列是以为公差的等差数列.(1)求的通项公式；(2)设，求数列的前项和.第(4)题已知椭圆的左、右焦点分别为，，点在C上，且．（1）求C的标准方程；（2）若直线与C交于A，B两点，当的面积最大时，求原点О到直线l的距离．第(5)题经研究发现，疾病在老年人中发病率较高，已知某养老院的男女比例为，为了解疾病在该养老院的发病情况，按性别用分层抽样的方法抽取100位老人作为样本，对这100位老人是否患有疾病进行了统计，其条形图如图所示.（1）完成下列的列联表，并判断有没有90％的把握认为患疾病与性别有关？男性女性合计患有疾病未患疾病合计（2）已知治疗疾病所需的费用为每人800元，若打了该疾病的预苗，则可将发病率降为5％，打预苗的费用为每人200元，用样本的频率来估计总体的概率，从经济的角度判断是否需要给该养老院的老人打该疾病的预苗，并说明理由.附：，其中.。
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A. － ＝1B. － ＝1
C．x2－ ＝1D. －y2＝1
答案：D
解析：由题意可得c＝ ，得a2＋b2＝5，双曲线的渐近线方程为y＝± x.将渐近线方程和抛物线方程y＝ x2＋ 联立，可得 x2± x＋ ＝0，由渐近线和抛物线相切可得Δ＝ －4× × ＝0，即有a2＝4b2，又a2＋b2＝5，解得a＝2，b＝1，可得双曲线的方程为 －y2＝1.故选D.
答案：2x－y－1＝0
解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，且x1≠x2，则y1＋y2＝2，又点A，B在抛物线y2＝4x上，所以 两式相减，得(y1＋y2)(y1－y2)＝4(x1－x2)，则 ＝ ＝2，即直线AB的斜率k＝2，所以直线AB的方程为y－1＝2(x－1)，即2x－y－1＝0.
6．[2019·长春检测]椭圆4x2＋9y2＝144内有一点P(3,2)，则以P为中点的弦所在直线的斜率为()
A．－ B．－
C．－ D．－
答案：A
解析：设以P为中点的弦所在直线与椭圆交于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，斜率为k，则4x ＋9y ＝144,4x ＋9y ＝144，两式相减得4(x1＋x2)(x1－x2)＋9(y1＋y2)(y1－y2)＝0，又x1＋x2＝6，y1＋y2＝4， ＝k，代入解得k＝－ .
8．[2019·唐山市联考]直线l与双曲线C： － ＝1(a>0，b>0)交于A，B两点，M是线段AB的中点，若l与OM(O是原点)的斜率的乘积等于1，则此双曲线的离心率为()
A．3B．2
C. D.
答案：D
解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(x0，y0)，代入双曲线的方程，得 两式相减得 － ＝0，又 所以 ＝ ，所以 ＝ ＝kOMkl＝1，所以e2＝1＋ ＝2，所以e＝ ，故选D.
3．[2019·兰州模拟]已知直线y＝kx－k－1与曲线C：x2＋2y2＝m(m>0)恒有公共点，则m的取值范围是()
A．[3，＋∞) B．(－∞，3]
C．(3，＋∞) D．(－∞，3)
答案：A
解析：直线y＝kx－k－1恒过定点(1，－1)．因为直线y＝kx－k－1与曲线C：x2＋2y2＝m(m>0)恒有公共点，则曲线C表示椭圆，点(1，－1)在椭圆内或椭圆上，所以12＋2×(－1)2≤m，所以m≥3，选A.
7．[2019·天津红桥区月考]已知双曲线 － ＝1(a>0，b>0)的两条渐近线与抛物线y2＝2px(p>0)的准线分别交于A，B两点，O为坐标原点．若双曲线的离心率为2，△AOB的面积为 ，则p＝()
A．1 B.
C．2 D．3
答案：C
解析：因为双曲线方程为 － ＝1，所以双曲线的渐近线方程是y＝± x.又抛物线y2＝2px(p>0)的准线方程是x＝－ ，故A，B两点的纵坐标分别是y＝± .因为双曲线的离心率为2，所以 ＝2，所以 ＝3，则 ＝ ，A，B两点的纵坐标分别是y＝± ＝± .又△AOB的面积为 ，x轴是∠AOB的平分线，所以 × p× ＝ ，解得p＝2.故选C.
优解因为直线y＝kx－k＋1过定点(1,1)，又点(1,1)在椭圆内部，所以直线与椭圆相交．
2．已知直线y＝kx＋1与双曲线x2－ ＝1交于A，B两点，且|AB|＝8 ，则实数k的值为()
A．± B．± 或±
C．± D．±
答案：B
解析：由直线与双曲线交于A，B两点，得k≠±2.将y＝kx＋1代入x2－ ＝1得，(4－k2)x2－2kx－5＝0，则Δ＝4k2＋4(4－k2)×5>0，解得k2<5.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝ ，x1x2＝－ ，所以|AB|＝ · ＝8 ，解得k＝± 或± .
5．[2019·浙江八校联考]抛物线y＝ax2与直线y＝kx＋b(k≠0)交于A，B两点，且这两点的横坐标分别为x1，x2，直线与x轴交点的横坐标是x3，则()
A．x3＝x1＋x2B．x1x2＝x1x3＋x2x3
C．x1＋x2＋x3＝0 D．x1x2＋x2x3＋x3x1＝0
答案：B
解析：由 消去y得ax2－kx－b＝0，可知x1＋x2＝ ，x1x2＝－ ，令kx＋b＝0得x3＝－ ，所以x1x2＝x1x3＋x2x3.
11．已知抛物线y2＝4x的焦点为F，过焦点的直线与抛物线交于A，B两点，则当|AF|＋4|BF|取得最小值时，直线AB的倾斜角的正弦值为________．
答案：
解析：当直线的斜率存在时，设直线方程为y＝k(x－1)(k≠0)，由 消去y得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，x1，x2>0，则x1＋x2＝ ①，x1x2＝1②， ＋ ＝ ＋ ＝ ＝ ＝1.当直线的斜率不存在时，易知|AF|＝|BF|＝2，故 ＋ ＝1.设|AF|＝a，|BF|＝b，则 ＋ ＝1，所以|AF|＋4|BF|＝a＋4b＝ (a＋4b)＝5＋ ＋ ≥9，当且仅当a＝2b时取等号，故a＋4b的最小值为9，此时直线的斜率存在，且x1＋1＝2(x2＋1)③，联立①②③得，x1＝2，x2＝ ，k＝±2 ，故直线AB的倾斜角的正弦值为 .
当且仅当k2＝ ，即k＝±1时，取得等号．
故选A.
二、非选择题
9．[2018·北京卷]若双曲线 － ＝1(a＞0)的离心率为 ，则a＝________.
答案：4
解析：由e＝ ＝ 知 ＝ 2＝ ，
∴a2＝16.
∵a＞0，∴a＝4.
10．[2019·沈阳监测]已知抛物线y2＝4x的一条弦AB恰好以P(1,1)为中点，则弦AB所在直线的方程是_________________．
二、非选择题
9．若直线y＝ x＋b和曲线4x2－y2＝36有两个不同的交点，则b的取值范围是________．
答案： ∪
解析：联立直线方程和曲线方程，消去y得，－ x2－5bx－b2－36＝0，由直线和曲线有两个不同的交点，所以Δ＝25b2－9(b2＋36)>0，解得b<－ 或b> .
10．直线x－y－1＝0与抛物线y2＝4x交于A，B两点，过线段AB的中点作直线x＝－1的垂线，垂足为M，则 · ＝________.
3．若直线x－y＋m＝0与双曲线x2－ ＝1交于不同的点A，B，且线段AB的中点在圆x2＋y2＝5上，则m的值为()
A．± B．±2
C．±1D．±
答案：C
解析：设A，B两点的坐标分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，线段AB的中点为M(x0，y0)．由 得x2－2mx－m2－2＝0(Δ>0)，∴x0＝ ＝m，y0＝x0＋m＝2m，∵点M(x0，y0)在圆x2＋y2＝5上，∴m2＋(2m)2＝5，∴m＝±1.
5．[2019·太原模拟]已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，△ABC的顶点都在抛物线上，且满足 ＋ ＋ ＝0，则 ＋ ＋ ＝()
A．0B．1
C．2D．2p
答案：A
解析：设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，F ，则 ＋ ＋ ＝(0,0)，故y1＋y2＋y3＝0.∵ ＝ ＝ ＝ ，同理可知 ＝ ， ＝ ，∴ ＋ ＋ ＝ ＝0.
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一、选择题
1．已知抛物线y2＝16x，直线l过点M(2,1)，且与抛物线交于A，B两点，|AM|＝|BM|，则直线l的方程是()
A．y＝8x＋15 B．y＝8x－15
C．y＝6x－11 D．y＝5x－9
答案：B
解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1≠x2)，代入抛物线方程得y ＝16x1，y ＝16x2，两式相减得，(y1＋y2)(y1－y2)＝16(x1－x2)，即 ＝ ，又y1＋y2＝2，所以kAB＝8，故直线l的方程为y＝8x－15.
4．[2019·宁波九校联考]过双曲线x2－ ＝1(b>0)的左顶点A作斜率为1的直线l，若l与双曲线的两条渐近线分别交于B，C，且2 ＝ ，则该双曲线的离心率为()
A. B.
C. D.
答案：C
解析：由题意可知，左顶点A(－1,0)．又直线l的斜率为1，所以直线l的方程为y＝x＋1，若直线l与双曲线的渐近线有交点，则b≠1.又双曲线的两条渐近线的方程分别为y＝－bx，y＝bx，所以可得xB＝－ ，xC＝ .由2 ＝ ，可得2(xB－xA)＝xC－xB，故2× ＝ － ，得b＝2，故e＝ ＝ .
2．直线l与抛物线C：y2＝2x交于A，B两点，O为坐标原点，若直线OA，OB的斜率分别为k1，k2，且满足k1k2＝ ，则直线l过定点()
A．(－3,0)B．(0，－3)
C．(3,0)D．(0,3)
答案：A
解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，因为k1k2＝ ，所以 · ＝ .又y ＝2x1，y ＝2x2，所以y1y2＝6.将直线l：x＝my＋b代入抛物线C：y2＝2x得y2－2my－2b＝0，所以y1y2＝－2b＝6，得b＝－3，即直线l的方程为x＝my－3，所以直线l过定点(－3,0)．
8．[2017·全国卷Ⅰ]已知F为抛物线C：y2＝4x的焦点，过F作两条互相垂直的直线l1，l2，直线l1与C交于A，B两点，直线l2与C交于D，E两点，则|AB|＋|DE|的最小值为()
A．16B．14
C．12D．10
答案：A
解析：
因为F为y2＝4x的焦点，所以F(1,0)．
由题意直线l1，l2的斜率均存在，且不为0，设l1的斜率为k，则l2的斜率为－ ，故直线l1，l2的方程分别为y＝k(x－1)，y＝－ (x－1)．
4．已知椭圆C： ＋ ＝1的左、右顶点分别为M，N，点P在椭圆C上，且直线PN的斜率为－ ，则直线PM的斜率为()