第4讲高一竞赛教师..

此时满足关系：
mg sinθ
=
m
⎛ ⎜⎝
v sinθ
⎞2 ⎟⎠
l
gl sin3 θ = v2
v = gl sin3 θ
【例7】 水 平 地 面 上 整 齐 的 堆 放 着 三 个 圆 柱 体 形 状 完 全 一 样 ， 半 径 为 r 。 假 设 他 们 的 质 量 mA = 2mB = 2mC = 2m
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1
vn
= v0 ， vt
= v0 cotθ
=
h s
v0
，而
v
=
v0 sinθ
=
h2
+ s
s2
v0
．
下面来求此位置的瞬时加速度 a ．由于船实际是沿水平方向做直线
运动，我们只需确定速度大小变化率．如图所示，取一小段时间
Δt → 0 ，船头从 A 点向左移至 A′ 点，绳绕滑轮转过一小角度 Δθ → ，
【解析】此题中关键要想清楚 M , m 两个球沿着绳子方向可以有平动加速度。
假设平动加速度方向向上，大小为 a 。 那么，取和 m 相同速度匀速运动的参考系。 在这个系中， m 开始时候速度为 0 加速度满足牛二定律： T = ma 对于 M ，所受到外力有两个效果：一个是向心加速度，一个是平动加速度。因此满足：
【解析】这是一个比较复杂的问题．C 物体速度最大的时候加速度为零，但此时 A 、B 的加速度并不为零．
C 物体的加速度 ac 沿绳 OC 方向的分量以 aC1 （如图）由两个分量构成，一个是绳伸长的加速度
aCr ，另一个是由于 C 点围绕 O 点作圆周运动产生的向心加速度 an ，即
aC1 = aCr = −an ，
【解析】⑴ 第一小题有多种解法．我们这里介绍一种比较简单的速度分解的方法．因为三人的对称性， 所以三人始终在一个等边三角形的三个顶点上，速度方向始终沿着该三角形的一条边．因此
每个人向着中心 O 的速度的分量不变，总是 v1 = v ⋅ cos 30° =
3 v（如图） 2
因此到达 O 点的时间
t = AO =
在
A′
点，船的速度应为
v′
=
sin
v0
(θ −
Δθ
)
，则速度增量
Δv
=
v0
⎛ ⎜⎜⎝
sin
1
(θ −
Δθ
)
−
1 sin θ
⎞ ⎟⎟⎠
．
由加速度定义： a = lim Δv ， Δx→∞ Δt
h ⋅ Δθ 而 Δt = cosθ =
h ⋅ Δθ
tanθ ，
vt
v0 cosθ
则有
a
=
lim
Δθ →∞
v0
1+
2h2 h2 + l02
l02
，
4
g
⎛ ⎜⎝
1 2 cosθ
− 1⎞⎟⎠
=
vC2 ⋅ sin2 θ h2 + l02
．
4
用逼近的方法可解得
h = 0.2076l0 此时
vC = 0.44 gl0 ， aA = aB = 0.304g ．
【例11】一根光滑的钢丝弯成如图所示的形状，其中套有一小环．当钢丝以恒定角速度 ω 绕其竖直对称轴 旋转时，小环在钢丝上任何位置都能保持相对静止．求钢丝的形状（即钢丝上任一点 x 、 y 坐标
2mg
=
2N1
cosθ
+
2μ N1
sinθ
得到
N1
=
cosθ
mg +μ
sinθ
整个系统平衡又有
2N2
=
4mg
，所以
N1
=
N2
−
mg
=
mg
=
cosθ
mg + μ sinθ
其中θ = π 于是得到 3 + μ 1 = 1 得到 μ = 2 − 3
6
22
（2） 假设某角度分离则。有
分离时候 A 心高度 h1 = 2r cosθ
连理可以得到 cosθ = 3 。 3
【例8】 轻杆，求压力．中点质量 m ，匀速 v ．
4
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【例9】 求脱离条件．
【例10】一对绕固定水平轴 O 和 O′ 同步转动动的凸轮，使传送装置的水平平板发生运动，如图所示，问 凸轮以多大角速度转动时，放在平板上的零件开始移动？当凸轮按顺时针方向转动情况下，零件 将往什么方向移动？（零件与平板之间的动摩擦因数为 μ ，凸轮半径为 r ）
【解析】 首先我们依据实际运动效果如图分解船的运动：船及与船相系的 绳端 A 的实际运动是水平向左的，这可看做是绳之 A 端一方面 沿绳方向向“前方”滑轮处“收短”，同时以滑轮为圆心转动而
成，即将实际速度 v 分解成沿绳方向“收短”的分速度 vn 和垂直于绳方向的转动分速度 vt ，注意 到绳子是不可伸长的，人收绳的速度 v0 也就是绳端 A 点沿绳方向移动速率 vn ，由图所示，v 、vt 、 vn 矢量关系及位置的几何关系易得：
3 3
l
=
2l
．
v1
3 v 3v
2
⑵ 由 A 点出发，过了一段极短的时间 Δt ， A 到了 A′ ， B 到了 B′ ， AA′ = BB′ = v ⋅ Δt ，在三角形 A′B′D 中
Δθ = B′D = v ⋅ Δt ⋅ sin 60° A′B′ l − v ⋅ Δt
= 3 ⋅ v ⋅ Δt ， 2l
对A
T − mg = m vC2 ⋅ sin2 θ ．
r
由关联速度的知识可知，此时 A 的速度
vA = vC ⋅ cosθ ．
根据机械能守恒
⎡ mgh − 2mg ⎢
h2
+ l02
−
l0
⎤ ⎥
⎢⎣
4 2 ⎥⎦
=
1 2
mvC2
+
1 2
⋅ 2m (vC
⋅ cosθ )2
由以上几式可解得
vC2
=
2g
h
+ l0 − 4h2 +
mg cosθ − N = mv02 R
得到 N = mg cosθ − mv02 R
⑵脱离条件要求
N
=
0
如果恰好在相对速度达到
v0
时候脱离则有：
0
=
mg
cosθ
−
mv02 R
可以得到 cosθ = v02 gR
【例6】 已知 M 以在光滑平面上被 m 推着向右运动， m 拴在长度为 L 的轻杆上，求脱离条件．
Δv = v ⋅ Δθ = 3 ⋅ v2 ⋅ Δt ， 2l
2
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a = Δv = 3 ⋅ v2 ． Δt 2 l
板块二 提高和技巧 【例4】 如图所示（俯视图）
在光滑平面上摆放 M , m 两个球．绳子长度为 l
分别给初速度 v0 ， v1 ． 问绳中拉力是多少？
aC
⋅ cosθ
=
aCr
−
vr2 r
．
其中 vr 是 C 围绕 O 点转的速度， vr = vC′ ⋅ sinθ ．当 C 有最大速度时， aC = 0 ，因此
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5
aCr
=
vC2
⋅ sin2 θ r
．
这也就是 A 物体的加速度．根据牛顿第二定律
对 C mg − 2T ⋅ cosθ = 0 ．
意义：物体做曲线运动必须有垂直于运动方向的力．此力只改变运动方向不改变大小．向心力是合外力在
垂直于运动方向上的分量．
本质：仍是牛顿第二定律 F心 = ma心 ．
角加速度定义为 β = lim Δω Δt→0 Δt
物理意义：角速度的变化率。 也是矢量。方向类似于角速度的定义，垂直于旋转运动所在平面，用右手定则确定。 在刚体部分我们会深入学习角加速度的性质。
ωmin =
r
μg 1+ μ2
；若凸轮按顺时针方向转动、角速度大于 ωmin ，
惯性力大小以图乙中大虚线圆半径所示，随着所受惯性力方向变化，矢量端点从 a 到 b 时零件向 右滑，从 c 到 d 时零件向左滑．
【例1】 如图所示， A 、 B 、C 三个物体的质量都是 m ，由如图位置静止释放，求 C 物体的最大速度和该 时刻 A 、 B 的加速度．
例题精讲
【例1】 如图所示，质点从 O 点由静止开始沿半径为 R 的圆周作速率均匀增大的运动， 到达 A 点时质点的加速度与速度方向夹角为α ，质点通过的弧 s 所对的圆心角 β ，试确定α 与 β 间的关系．
【解析】 根据题意可知，质点沿圆周作速度大小、方向均变化的运动．每个瞬时的加速
度均可分解为切向加速度 at 与法向加速度 an ，前者反映质点速率变化快慢，后 者反映质点速度方向变化快慢．由题给条件，质点经 A 点时的这两个分加速度
第四讲 圆周运动和牛顿定律
板块一 加速度有关概念
知识点睛
如图，其中 v0 为初速度， vt 为末速度，根据 Δt 时间内的轨迹可找出曲率半径 ρ 和圆心． 有： Δv∥ = vt − v0 ， Δv⊥ = vΔθ
Δv a∥ = Δt
a⊥
=
vΔθ Δt
= vω
a⊥ 也是 a向心 ，可以用 vω ，
v2 ， ω2 R 多种形式表达． R
【解析】以具有加速度 ω2r 的板为参考系，零件处于平衡．其所受力有重 力 mg ，板约束力（摩擦力与支持力合力）及惯性力 mωwr ，其中 静摩擦力达最大时板约束力方向与竖直成摩擦角ϕ = arctan μ ．三 力应构成闭合三角形，如图甲惯性力与约速力垂直的情况所对应 的 ω 是零件开始滑动的临界值，故有 sinϕ = mω2r = μ ，则 mg 1 + μ 2
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3
． 【解析】脱离的瞬间，支持力为零。也就是说，小球 m 的切向加速度的来源只能是重力的分力的作用。
因此可以得到 a切 = g cosθ
物体的总加速度是切向加速度和法向加速度的矢量和。如果这个矢量和有水平向右的分量，说明 m 还会继续向右加速。临界状态时候， M 不受水平方向上的力，所以不会加速。 m 必须也不加 速才是临界。因此，临界条件就是 m 的加速度竖直向下的一瞬间。加速度竖直向下说明他只受到 重力。 如果此时 M 的速度是 v 。
⎛ ⎝⎜⎜
sin
1
(θ −
Δθ
)
−
1 sinθ
h ⋅ Δθ tanθ
⎞ ⎠⎟⎟
=
lim
Δθ →∞
v02 cosθ h tanθ
⋅
sinθ − sin (θ − Δθ ) Δθ ⋅ sin (θ − Δθ )sinθ
v0 cosθ
= lim v02 cosθ Δθ →∞ h tanθ
cos
⎛⎜⎝θ
−
Δθ 2
6
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过程中下落高度 h2 = ( 3 − 2 cosθ )r
机械能守恒
2mgh2
=
1 2
2mv
2 A
+
2
1 2
mvB2
化简得到 vA2 + vB2 = 2gr( 3 − 2 cosθ ) 又 vA cosθ = vB sinθ
又分离的时候他们之间没有相互作用力，所以有
以 B 为参考系 2mg cosθ = 2m (vA sinθ + vB cosθ )2 2r
T = M (v0 + v1)2 − Ma = M (v0 + v1)2 − M T
l
l
m
得到
T = Mm(v0 + v1)2 l(M + m)
【例5】 设 m 在 M θ 处。 M 速度 v1 ， m 相对 M 有 v0 速度． ⑴ 求压力 N ． ⑵ 求脱离条件．
【解析】⑴取 M 为参考系的话，受力满足关系：
⎞ ⎟⎠
⋅
sin
Δθ 2
Δθ ⋅ sin (θ − Δθ ) ⋅ sinθ
=
v02 h
cot3 θ
=
v02 h
⋅
⎛ ⎜⎝
h s
⎞3 ⎟⎠
=
v02 h 2 s3
．
2
即船在离岸
s 远处的加速度 a
=
v02 h 2 s3
．
【例3】 （暑期题目）三只小蜗牛所在位置形成一个等边三角形，三角形的边长为 60cm．第一只蜗牛出 发向第二只蜗牛爬去，同时，第二只向第三只爬去，第三只向第一只爬去，每只蜗牛爬行的速度 都是 5cm/min．在爬行的过程中，每只蜗牛都始终保持对准自己的目标．经过多长时间蜗牛们会 相遇？相遇的时候，它们各自爬了多少路？ （秋季问题）开始时刻加速度是多少？
的关系式）．
【解析】 小环在钢丝上某一位置静止时受力如图所示，当然这是以钢丝为参考系观察的结果，则 f ⋅ cosθ = mg ⋅ sinθ ．
其中 f = mω2 x ．
由此得 tanθ = f = ω2 x ，即为钢丝在该息切线的斜率，所以钢丝的形状可以表示为 y = ω2 x2 ．
mg g
2g
分别为 at
=
2ห้องสมุดไป่ตู้ t2
， an
=
vA2 R
．而 vA2
= (att )2
，s
=
Rβ
，t
是质点运动到
A 点的时间，则有
an
=
at2t 2 R
，
an at
=
2st 2 t2R
=
2Rβ R
=
2β
，由图显见，
an at
=
tan A ，于是可确定 α
与β
间的
关系为 tanα = 2β ．
【例2】 在离水面高度为 h 的岸边，有人用绳子拉船靠岸，若有人收绳的 速率恒为 v0 ，试求船在离岸边 s 距离处时的速度与加速度的大小 各为多少？
（1） 假设有摩擦系数 μ 则他们可以不动的临界状况， μ 的最小值是多少？ （2） 全光滑，则什么情况下 A 与 B，C 分离？
【解析】 （1）对下面的 C 的轴，力矩平衡得到
f1 = f2 对切线交点作为轴得到 N1 + mg = N2 所以一定是 1 处先达到临界，这样对 A 圆柱列平衡。得到