第4讲高一竞赛教师..
高一上物理竞赛辅导
高一上物理竞赛辅导第1讲-----运动学专题1.隧道长550 米,一列火车车厢长50 米,正以36 千米/时的速度匀速行驶,车厢中某乘客行走的速度为1 米/秒,当列车过隧道时,乘客经过隧道的时间至少为( ) A.5 秒 B.50 秒 C.55 秒 D.60 秒2.甲乙两人同时从A 点出发沿直线向B 点走去.乙先到达B 点,然后返回,在C 点遇到甲后再次返回到B 点后,又一次返回并在D 点第二次遇到甲.设整个过程甲速度始终为v,乙速度大小也恒定保持8v.则AC:CD为:( )A.8:7B.8:6C.9:8D.9:73.一辆卡车以 40 千米/时的速度从甲站开往乙站,当它出发时恰好一辆公共汽车从乙站开往甲站,以后每隔15 分钟就有一辆公共汽车从乙站开往甲站,卡车在途中遇到6 辆公共汽车,则甲乙两站之间的距离可能为( )A.45 千米B.55 千米C.65 千米D.75 千米4.(选讲)一质点沿直线向Ox方向做加速运动,它离开O点的距离x随时间t变化的关系为x=5+2t3(m),它的速度随时间变化的关系为v=6t2(m/s),该质点在t=0到t=2s 内的平均速度是________,在t=2s到t=3s内的平均速度大小是__________*5.一物体做加速直线运动，依次通过A、B、C三点，AB=BC。
物体在AB段加速度为a1，在BC段加速度为a2，且物体在B点的速度为2CA B vv v +=，则( )(本讲重点图像法)A．a1> a2 B．a1= a2 C．a1< a2 D．不能确定**6．一辆火车从A站出发到B站停止,共行驶20min,其中加速运动时间为3min,减速运动时间为2min,其余15min为匀速运动.若火车的加速和减速都是匀变速,AB两站路程为42km,求火车匀速行驶那段路程时的平均速率.*7．蚂蚁离开巢沿直线爬行，它的速度与到蚁巢中心的距离成反比．当蚂蚁爬到距巢中心l1=1m 的A 点处时，速度是v1=2 cm／s．试问蚂蚁继续由A 点爬到距巢中心l2=2 m 的B 点需要多长的时间? (本讲重点图像法)8.在一静水湖的南北两岸，有两只船同时相向开出，各以其速度垂直于湖岸匀速驶向对岸。
第4讲[1].定义新运算.教师版
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一 定义新运算基本概念：定义一种新的运算符号，这个新的运算符号包含有多种基本（混合）运算。
基本思路：严格按照新定义的运算规则，把已知的数代入，转化为加减乘除的运算，然后按照基本运算过程、规律进行运算。
关键问题：正确理解定义的运算符号的意义。
注意事项：①新的运算不一定符合运算规律，特别注意运算顺序。
②每个新定义的运算符号只能在本题中使用。
我们学过的常用运算有：＋、－、×、÷等. 如：2＋3＝5 2×3＝6都是2和3，为什么运算结果不同呢？主要是运算方式不同，实际是对应法则不同.可见一种运算实际就是两个数与一个数的一种对应方法，对应法则不同就是不同的运算.当然，这个对应法则应该是对任意两个数，通过这个法则都有一个唯一确定的数与它们对应.只要符合这个要求，不同的法则就是不同的运算.在这一讲中，我们定义了一些新的运算形式，它们与我们常用的“＋”，“－”，“×”，“÷”运算不相同.二 定义新运算分类1.直接运算型2.反解未知数型3.观察规律型4.其他类型综合模块一、直接运算型【例 1】 若A*B 表示（A ＋3B ）×（A ＋B ），求5*7的值。
【解析】 A *B 是这样结果这样计算出来：先计算A ＋3B 的结果，再计算A ＋B 的结果，最后两个结果求乘积。
由 A*B ＝（A ＋3B ）×（A ＋B ） 可知： 5*7＝（5＋3×7）×（5＋7） ＝（5＋21）×12 ＝ 26×12 ＝ 312【巩固】 定义新运算为a △b ＝（a ＋1）÷b ，求的值。
6△（3△4） 【解析】 所求算式是两重运算，先计算括号，所得结果再计算。
由a △b ＝（a ＋1）÷b 得，3△4＝（3＋1）÷4＝4÷4＝1；6△（3△4）＝6△1＝（6＋1）÷1＝7【巩固】 设a △2b a a b =⨯-⨯，那么，5△6=______，(5△2) △3=_____.【解析】56552613=⨯-⨯=△ 5255222=⨯-⨯=△,1321216435=⨯-=△【巩固】 P 、Q 表示数，*P Q 表示P 与Q 的平均数，求3*(6*8) 【解析】 68373*(6*8)3*()3*7522++====【例 2】 规定：符号“&”为选择两数中较大数的运算，“◎”为选择两数中较小数的运算。
初高中衔接-第4讲、韦达定理(教师版)
第4讲、韦达定理1、定理内容对于一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠，如果方程有两个实数根12,x x ，那么1212,b cx x x x a a+=-=。
注：①韦达定理研究的是一元二次方程根和方程系数之间的关系；②定理成立的条件：判别式240b ac ∆=-≥即方程有解的情况下（个数不要求）；③方程要先化为一般式；④1212,b cx x x x a a+=-=负号不要忘。
2、证明过程先由公式法求出一元二次方程一般式20(0)ax bx c a ++=≠的两根12,x x ，即42b x a-±=；再计算12x x +、12x x ⋅的值即可。
3、推论：（1）以根12,x x 的一元二次方程可表示为21212()0x x x x x x -++⋅=或0))((21=--x x x x 。
（2）若一元二次方程首项系数为1（20x px q ++=）的两根为12,x x ，则1212,x x p x x q +=-⋅=。
4、韦达定理的应用（1）判定根的符号①若120c x x a ⋅=>，120bx x a +=->则：两根同正，120,0x x >>；②若120c x x a ⋅=>，120bx x a +=-<则：两根同负，120,0x x <<；③若120c x x a ⋅=<，120bx x a +=->则：两根异号，12,x x 一正一负；①若120c x x a ⋅=<，120bx x a+=-<则：两根异号，12,x x 一正一负。
注意：求与方程的根有关代数式的值时，一般先将所求的形式化为两根之和积的形式再整体代入。
学而思高一春季物理竞赛CPHO预备队第4讲
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一．电通量： 1．电通量是指穿过某一截面的电场线的条数，其大小为
E sin s
为截面与电场线的夹角． 以上的推理表达出来就是 二．高斯定量：在任意场源所激发的电场中，对任一闭合曲面的总通量可以表示为
式中 k 是静电常量， qi 为闭合曲面所围的所有电荷电量的代数和． 往往我们选取的高斯面 （即 闭合曲面） ，往往和电场线垂直或平行，这样便于电通量的计算． 三．典型模型 一些典型带电体的电场强度的计算． a.均匀带电球壳产生的电场 高球壳的半径为 R ，电荷量为 Q ，则
三、 库仑定律 电场强度 引入： 从公元前 600 年，希腊哲学家泰利无意中发现，用布摩擦过的琥珀，居然能把羽毛吸起来。静电 的常识可以说已经童叟皆知：电有两种，分别定义为正负（为什么是正负而不是雌雄或者黑白呢？ 喜欢物理的同学应该都听过夸克，夸克的分类就是按颜色和味道命名的，夸克有三种“颜色”，还有 六种“味道”。这其实是种数学思维的体现，有兴趣的同学可以问问自己老师） ，以毛皮摩擦过的橡胶 棒带电为负电荷， 丝绸摩擦过的玻璃棒带电为正电荷。 同种电荷相互那什么， 异种电荷相互那什么… 带电的实验判定标准一：能吸引轻小物体。
五、 电场，电场强度，电场线 最初是这样子滴，法拉第把一堆微小碎屑放到电荷附近，发现碎屑的分布得很有规律：
进一步的理论研究表面，不可能存在正真的远程力。两个物体之间远远的有相互作用，只能通过 某种真实的物质发生作用，这种物质可能没有原子分子结构（因为原子也不知终极的粒子） ，也可以 不带电。但是一定有质量，具备能量。对于静电力来说，法拉第想象是一种我们没有直接看到的物质 ---电场在起作用。 定义： 1．电场：带电体周围存在一种物质，是电荷间相互作用的介质，只要电荷存在，在其周围空间就存 在电场，电场具有力的性质和能的性质．定义放入电场中的某点的试探电荷所受电场力和它电荷 量的比值叫做该点的电场强度，它描述电场力的性质． 记为电场强度： F E ．其单位为： N / C q 由于规定为矢量方便结算，所以规定放在电场中某点正电荷所受电场力的方向就是该点电场强度 的方向． 容易推导点电荷电场的场强: E k
人教版高数必修四第4讲：三角函数的图像与性质(教师版)
三角函数的图像与性质一、三角函数的图像：1． 正弦线：设任意角α的终边与单位圆相交于点P(x ，y)，过P 作x 轴的垂线，垂足为M ，则有MP ry==αsin ，向线段MP 叫做角α的正弦线， 2．用单位圆中的正弦线作正弦函数y=sinx ，x ∈[0，2π]的图象（几何法）：把y=sinx ，x ∈[0，2π]的图象，沿着x 轴向右和向左连续地平行移动，每次移动的距离为2π，就得到y=sinx ，x ∈R 叫做正弦曲线-11y x-6π-5π6π5π-4π-3π-2π-π4π3π2ππf x () = sin x ()3．用五点法作正弦函数的简图（描点法）：正弦函数y=sinx ，x ∈[0，2π]的图象中，五个关键点是： 1、用单位圆中的余弦线作余弦函数的图象（几何法）： 为了作三角函数的图象，三角函数的自变量要用弧度制来度量，使自变量与函数值都为实数．在一般情况下，两个坐标轴上所取的单位长度应该相同，否则所作曲线的形状各不相同，从而影响初学者对曲线形状的正确认识．2、余弦函数y=cosx x ∈[0,2π]的五个点关键是(0,1) (2π,0) (π,-1) (23π,0) (2π,1) 现在把上述图象沿着x 轴向右和向左连续地平行移动，每次移动的距离为2π，就得到y=cosx ，x ∈R 的图象，-11y x-6π-5π6π5π-4π-3π-2π-π4π3π2ππf x () = cos x ()3、正切函数x y tan =的图象： 我们可选择⎪⎭⎫⎝⎛-2,2ππ的区间作出它的图象根据正切函数的周期性，把上述图象向左、右扩展，得到正切函数R x x y ∈=tan ，且()z k k x ∈+≠ππ2的图象，称“正切曲线”(0,0) (2π,1) (π,0) (23π,-1) (2π,0)二、三角函数的性质:siny x=cosy x=tany x=图象定义域R R,2x x k kππ⎧⎫≠+∈Z⎨⎬⎩⎭值域[]1,1-[]1,1-R最值当22x kππ=+时，max1y=；当22x kππ=-时，min1y=-．当2x kπ=时，max1y=；当2x kππ=+时，min1y=-．既无最大值也无最小值周期性2π2ππ奇偶性奇函数偶函数奇函数单调性在2,222k kππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦上是增函数；在32,222k kππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦上是减函数．在[]2,2k kπππ-上是增函数；在[]2,2k kπππ+上是减函数．在,22k kππππ⎛⎫-+⎪⎝⎭上是增函数．对称性对称中心(),0kπ对称轴2x kππ=+对称中心,02kππ⎛⎫+⎪⎝⎭对称轴x kπ=对称中心,02kπ⎛⎫⎪⎝⎭无对称轴类型一、三角函数的图像：例1. 作出函数xy2cos1-=的图象分析：首先将函数的解析式变形，化为最简形式，然后作出函数的图象。
2018年高一物理竞赛完整讲义(word版)含答案解析第4讲 机械振动.教师版
第四讲 机械振动1 .简谐振动的受力分析2 .等效法研究简谐振动3 .三角函数法描述振动第一部分：振动的受力特点以及参数知识点睛 一、模型引入 1．什么是振动？振动是自然界和工程技术领域常见的一种运动，广泛存在于机械运动、电磁运动、热运动、原子运动等运动形式之中．从狭义上说，通常把具有时间周期性的运动称为振动．如钟摆、发声体、开动的机器、行驶中的交通工具都有机械振动．如图：振动演示实验：当振子往复振动时，匀速的拉动纸带，就可以研究振子离开中心位置的位移与时间的关系。
广义地说，任何一个物理量在某一数值附近作周期性的变化，都称为振动．变化的物理量称为振动量，它可以是力学量，电学量或其它物理量．例如：交流电压、电流的变化、无线电波电磁场的变化等等．2．什么是机械振动？机械振动是最直观的振动，它是物体在一定位置附近的来回往复的运动，口语称为“来回晃悠”。
如活塞的运动，钟摆的摆动等都是机械振动．产生机械振动的条件是：物体受到回复力的作用； 回复力：使振动物体返回平衡位置的力叫回复力．回复力时刻指向平衡位置．回复力是以效果命名的力，它是振动物体在振动方向上的合外力，可能是几个力的合力，也可能是某个力或某个力的分力，可能是重力、弹力、摩擦力、电场力、磁场力等．3．简谐运动物体在跟偏离平衡位置的位移大小成正比，并且总指向平衡位置的回复力作用下的振动，叫简谐运动．表达式为：F kx =-．做简谐运动物体的位移是相对于平衡位置的，位移的方向总是由平衡位置指向物体，而回复力总由物体是指向平衡位置，所以回复力总跟位移方向相反，式中的负号表示了这种相反关系． 4．描述简谐运动的物理量⑴ 位移x ：由平衡位置指向振子所在处的有向线段，最大值等于振幅；知识模块本讲介绍⑵ 振幅A ：是描述振动强弱的物理量．（一定要将振幅跟位移相区别，在简谐运动的振动过程中，振幅是不变的，而位移是时刻在改变的）⑶ 周期T ：是描述振动快慢的物理量．频率1f T=．5.简谐振动的图像为了研究弹簧振子的运动规律，我们以小球的平衡位置为坐标原点O ，沿着它的振动方向建立坐标轴．小球在平衡位置的右边时它对平衡位置的位移为正，在左边时为负．左图所示的弹簧振子的频闪照片．频闪仪每隔0.05s 闪光一次，闪光的瞬间振子被照亮．拍摄时底片从下向上匀速运动，因此在底片上留下了小球和弹簧的一系列的像，相邻两个像之间相隔0.05s ．右图中的两个坐标轴分别代表时间t 和小球位移x ，因此它就是小球在平衡位置附近往复运动时的位移—时间图象，即x t -图象．简谐运动及其图象我们对弹簧振子的位移与时间的关系做些深入的研究．从图中可以看出，小球运动时位移与时间的关系很像正弦函数的关系．例题精讲【例1】 如图所示，质量为m 的小球放在劲度为k 的轻弹簧上，使小球上下振动而又始终未脱离弹簧，证明其做简谐振动．【例2】 把一个密度小于水的正方体木块放入水中，并用手稍微按入水中一点，证明手释放后木块做简谐振动，不考虑阻力与水面的变化．【解析】 设物体相对飘浮位置位移x ．其受合力为相比飘浮时的浮力差．F g V ρ∆=∆浮水gS x ρ=⋅浮K gS ρ=水【例3】 三根长度均为 2.00l =米，质量均匀的直杆，构成一正三角形框架ABC ．C 点悬挂在一光滑水平转轴上，整个框架可绕转轴转动．杆AB 是一导轨，一电动玩具松鼠可在导轨上运动，如图所示．现观察到松鼠正在导轨上运动，而框架却静止不动，试论证松鼠的运动是一种什么样的运动．【解析】 如图，松鼠受力如图：由力矩平衡可知：N 与f 合力必须过ABC框的C 点才能平衡．即Nx fh =，且N mg =∴mgx f h=为简谐振动．且mg K h=．第二部分 简谐振动参量关系：知识点睛由于是变力作用，所以简谐振动的物体运动量与时间的关系很难用初等数学解答，一般的解法是直接解微分方程．根据牛顿第二定律： f ma =可得物体的加速度为：f ka x m m==-对于给定的弹簧振子，m 和k 均为正值常量，令2kmω=则上式可以改写为 2a x ω=-或2220d xx dtω+=这是个二阶的微分方程，这里就给出具体解的过程了。
4整除部分讲义第4讲（教师版）
【热身题】例1 ：求一对整数b a ,，满足：(1))(b a ab +不能被7整除；（2）777)(b a b a --+能被77整除.【解】777)(b a b a --+=)](5)(3)[(7223355b a b a b a ab b a ab +++++=.))((7222ab b a b a ab +++根据题设要求(1)(2)知，|,)(|72226ab b a ++即.|7223ab b a ++令,7322=++ab b a 即,343)(2=-+ab b a 即19=+b a ，则.343192-=ab 故可令1,18==b a 即合要求.例2.三角形三边长均为质数，证明：其面积不可能为整数.证明：记三角形的三边长度为a 、b 、c因为a 、b 、c 均为质数所以a 、b 、c 有以下两种情况：①a=b=c=2 ②a 、b 、c 均为奇数根据海伦公式而公式里的p 为半周长（周长的一半）：对于情况①,有S △=√3,S △不为整数对于情况②,有,因为p=(a+b+c)/2不为整数,所以S △不为整数 所以不存在三边长均为质数而面积取值为整数的三角形第四讲 素数及唯一分解定理大于1的整数n 总有两个不同的正约数：1和n ．若n 仅有这两个正约数（称为n 没有真约数），则称n 为素数（或质数）．若n 有真约数，即n 可表示为a b ⋅的形式（这里a 、b 为大于1的整数），则称n 为合数．于是，正整数被分成三类，数1单独作一类，素数类及合数类．素数在正整数中特别重要，我们常用字母p 表示素数．由定义易得出下面的基本结论： ①大于1的整数必有素约数．②设p 是素数，n 是任意一个整数，则或者p 整除n ，或者p 与n 互素．事实上，p 与n 的最大公约数()p n ，必整除p ，故由素数的定义推知，或者()1p n =，，或者()p n p =，，即或者p 与n 互素，或者p n ∣．③设p 是素数，a 、b 为整数．若p ab ∣，则a 、b 中至少有一个数被p 整除．特别地可以推出，若素数p 整除(1)n a n ≥，则p a ∣．④素数有无穷多个．思考：如何证明素数有无穷多个？（提示：用反证法，假设素数只有有限多个，为12k p p p ，，，，考虑数121k N p p p =+ ，利用性质⑶．①）⑤每个大于1的正整数都可以分解为有限个素数的积；并且，若不计素因数在乘积中的次序，这样的分解是唯一的．将n 的素因数分解中的相同的素因子收集在一起，可知每个大于1的正整数n 可惟一的表示为1212k a a a k n p p p = ，其中12k p p p ，，，是互不相同的素数，12k a a a ，，，是正整数，这称为n 的标准分解．⑥n 的全部正约数为1212k b b b k p p p ，其中i b 是满足0(12)i i b a i k = ，，，≤≤的任意整数．由此易知，若记()n τ为n 的正约数的个数，()n σ为n 的正约数之和，则有12()(1)(1)(1)k n a a a τ=+++ ，121111212111()111k a a a k k p p p n p p p σ+++---=⋅--- ．例子：写出不超过100的所有的素数。
高一第4讲 函数奇偶性及运用(教师版)
第4讲 函数奇偶性及运用（教师版）一．学习目标1．结合具体函数，了解函数奇偶性的含义．2．掌握判断函数奇偶性的方法，了解奇偶性与函数图象对称性之间的关系．3．会利用函数的奇偶性解决简单问题．二．重点难点1．对函数奇偶性概念的理解．(难点)2．根据函数奇偶性的定义判断函数的奇偶性．(重点)3．函数奇偶性的应用．(难点、易错点)三．知识梳理1.函数的奇偶性：（1）定义：如果对于函数f (x )定义域内的任意x 都有f (－x )=－f (x )，则称f (x )为奇函数；如果对于函数f (x )定义域内的任意x 都有f (－x )=f (x )，则称f (x )为偶函数。
如果函数f (x )不具有上述性质，则f (x )不具有奇偶性.如果函数同时具有上述两条性质，则f (x )既是奇函数，又是偶函数。
注意：○1函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质； ○2 由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定义域内的任意一个x ，则－x 也一定是定义域内的一个自变量（即定义域关于原点对称）。
（2）利用定义判断函数奇偶性的格式步骤：○1 首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称；○2 确定f (－x )与f (x )的关系；○3 作出相应结论： 若f (－x ) = f (x ) 或 f (－x )－f (x ) = 0或1)()(=-x f x f （0)(≠x f ） ，则f (x )是偶函数；若f (－x ) =－f (x ) 或 f (－x )＋f (x ) = 0或1)()(-=-x f x f （0)(≠x f ），则f (x )是奇函数。
（3）函数奇偶性的简单性质：○1图象的对称性质：一个函数是奇函数的充要条件是它的图象关于原点对称；一个函数是偶函数的充要条件是它的图象关于y 轴对称；②设，的定义域分别是，那么在它们的公共定义域上：奇+奇=奇，奇奇=偶，偶+偶=偶，偶偶=偶，奇偶=奇(4) 常见的几种函数的奇偶性（1）()b kx x f +=：当且仅当b=0时为奇函数。
第4讲热学_循环效率及绝热近似.教师版
DP (nm) 1.35
1.70 1.87 3.21
TS (K) -21.0 -15.0 -14.2 -10.5
6.57 -7.5
8.17 -6.5
8.86 -4.5
试通过简单拟合总结出实验测得的 TS 与 DP 之间的关系，并说明实验测量结果与前述的简
单的理论关系的异同；
3.若假设上述实验结果与理论结果之间的差异仅仅来自于前述近似理论忽略了水的表
将从低温热源吸取热量 Q2 ，又接受外界对气体所作的功 W，向高温热源传热 Q1 W Q2 。
由于循环从低温热源吸热，可导致低热源的温度降得更快，这就是致冷机可以致冷的原理。
致冷机的功效常用从低温热源中吸热 Q2 和所消耗的外功 W 的比值来量度，称为致冷系数，
即 Q2 Q2 ，对卡诺致冷机而言， T2 。
面的面积。气体对外所做的净功W (W1 W2 ) 就
是闭合曲线 abcda 所围面积，气体在等温膨胀过程
abቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
中，从高温热源吸热 Q1
nRTI n V2 V1
，气体在等
温压缩过程 cd 中，向低温热源放热
Q2
nRT2
I
n
V3 V4
。应用绝热方程 T1V2 r1
T2V3r1
和 T1V1r1
T2V4
P0
0
p 31V 255 56 7
dQ 5 pdV 3Vdp 0
2
2
P1
1
V0
V1
V(m3）
解得Vc 41.13 ， pc 13.66
Qin
3 2
(
pcVc
p0V0 ) (Vc
V0 )
pc
2
p0
2021学年高一寒假讲义第4讲 三角函数图像和性质学生
第四讲三角函数图像和性质[玩前必备]1．正弦函数、余弦函数、正切函数的图象与性质π2．用“五点法”作图，就是令ωx ＋φ取下列5个特殊值：0, π2, π, 3π2, 2π，通过列表，计算五点的坐标，描点得到图象.3．三角函数图象变换4[常用结论]（1）对称与周期的关系正弦曲线、余弦曲线相邻的两个对称中心、相邻的两条对称轴之间的距离是半个周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是四分之一个周期；正切曲线相邻两个对称中心之间的距离是半个周期． （2）与三角函数的奇偶性相关的结论若y ＝A sin(ωx ＋φ)为偶函数，则有φ＝k π＋π2(k ∈Z )；若为奇函数，则有φ＝k π(k ∈Z )．若y ＝A cos(ωx ＋φ)为偶函数，则有φ＝k π(k ∈Z )；若为奇函数，则有φ＝k π＋π2(k ∈Z )．若y ＝A tan(ωx ＋φ)为奇函数，则有φ＝k π(k ∈Z )．[玩转典例]题型一 三角函数的5大性质例1 (安老师原创)已知函数f (x )＝2cos x ·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3－3sin 2x ＋sin x cos x ＋1. (1)求函数f (x )的最小正周期；(2)当x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2时，求函数f (x )的最大值及最小值； (3)写出函数f (x )的单调递增区间． (4)写出函数f (x )的对称轴和对称中心.(5)函数f (x )向右平移t 个单位为偶函数，求t 的最小正值。
[玩转跟踪]1．（2020·山东高三下学期开学）函数2()cos 3f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的最小正周期为（ ） A ．4π B ．2πC ．2π D ．π2．（2020届山东省济宁市高三3月月考）已知函数()()()2sin 20f x x ϕϕπ=+<<，若将函数()f x 的图象向右平移6π个单位长度后，所得图象关于y 轴对称，则下列结论中正确的是( ) A ．56πϕ= B ．,012π⎛⎫⎪⎝⎭是()f x 图象的一个对称中心 C ．()2fϕ=-D ．6x π=-是()f x 图象的一条对称轴3.（2019·呼和浩特开来中学）已知函数21()2cos 2f x x x =-+. (1)求2()3f π的值及f (x )的对称轴； (2)将()f x 的图象向左平移6π个单位得到函数()g x 的图象，求()g x 的单调递增区间.题型二 三角函数模型中“ω”范围的求法探究例2 (2020·洛阳尖子生第二次联考)已知函数 f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π6(ω>0)在区间⎣⎡⎦⎤－π4，2π3上单调递增，则ω的取值范围为( ) A.⎝⎛⎦⎤0，83 B.⎝⎛⎦⎤0，12 C.⎣⎡⎦⎤12，83D.⎣⎡⎦⎤38，2例3 已知函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3(ω>0)的一条对称轴x ＝π3，一个对称中心为点⎝⎛⎭⎫π12，0，则ω有( )A ．最小值2B ．最大值2C ．最小值1D ．最大值1例4 已知函数f (x )＝2sin ωx 在区间⎣⎡⎦⎤－π3，π4上的最小值为－2，则ω的取值范围是________． [玩转跟踪]1．(2020·湖南师大附中3月月考)若函数f (x )＝23sin ωx cos ωx ＋2sin 2ωx ＋cos 2ωx 在区间⎣⎡⎦⎤－3π2，3π2上单调递增，则正数ω的最大值为( ) A.18 B ．16C.14D.132.已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)，若f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上是单调函数，且f (－π)＝f (0)＝－f ⎝⎛⎭⎫π2，则ω的值为( ) A.23 B ．23或2C.13D ．1或133.设函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫ωx －π6(ω>0)．若f (x )≤f ⎝⎛⎭⎫π4对任意的实数x 都成立，则 ω的最小值为________． 题型三 三角函数的图像和图像变换 例5 （2017山东）设函数，其中．已知．（Ⅰ）求；（Ⅱ）将函数的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图象向左平移个单位，得到函数的图象，求在上的最小值．[玩转跟踪]1．(2014·辽宁卷) 将函数y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象向右平移π2个单位长度，所得图象对应的函数( ) ()sin()sin()62f x x x ππωω=-+-03ω<<()06f π=ω()y f x =4π()y g x =()g x 3[,]44ππ-A ．在区间⎣⎡⎦⎤π12，7π12上单调递减B ．在区间⎣⎡⎦⎤π12，7π12上单调递增 C ．在区间⎣⎡⎦⎤－π6，π3上单调递减 D ．在区间⎣⎡⎦⎤－π6，π3上单调递增 2.【2017课标1，9】已知曲线C 1：y =cos x ，C 2：y =sin (2x +2π3)，则下面结论正确的是 A ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2B ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 2 C ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2D ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 23.（2020届山东省济宁市第一中学高三二轮检测）将函数()213f x x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭的图象向左平移3π个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到函数()g x 的图象，则下列关于函数()g x 的说法正确的是（ ） A 12x π=对称 B ．图象关于y 轴对称 C ．最小正周期为π D ．图象关于点,04π⎛⎫⎪⎝⎭对称 题型四 由图象求y ＝A sin(ωx ＋φ)的解析式例6 (1)若函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的部分图象如图所示，则y ＝ .(2)已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ) ⎝⎛⎭⎫ω>0，|φ|<π2的部分图象如图所示，则y ＝f ⎝⎛⎭⎫x ＋π6取得最小值时x 的集合为 ．[玩转跟踪]1．(四川，6)函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω＞0，－π2＜φ＜π2 的部分图象如图所示，则ω，φ的值分别是( ) A ．2，－π3 B ．2，－π6 C ．4，－π6D ．4，π32.(2020·石家庄质检)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)＋B ⎝⎛⎭⎫A >0，ω>0，|φ|<π2的部分图象如图所示，将函数f (x )的图象向左平移m (m >0)个单位长度后，得到函数g (x )的图象关于点⎝⎛⎭⎫π3，32对称，则m 的值可能为( )A.π6B.π2 C.7π6D.7π12题型五 三角函数大题例7 已知函数f (x )＝23sin ⎝⎛⎭⎫x 2＋π4·cos ⎝⎛⎭⎫x 2＋π4－sin(x ＋π)． (1)求f (x )的最小正周期；(2)若将f (x )的图象向右平移π6个单位长度，得到函数g (x )的图象，求函数g (x )在区间[0，π]上的最大值和最小值．[玩转跟踪]1．（2020届山东省泰安市肥城市一模）已知函数4()cos f x x =-42sin cos sin x x x -（1）求()f x 的单调递增区间；（2）求()f x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值及取最小值时的x 的集合.2．(山东，18)设函数f (x )＝32－3sin 2ωx －sin ωx cos ωx (ω＞0)，且y ＝f (x )图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为π4. (1)求ω的值；(2)求f (x )在区间[π，3π2]上的最大值和最小值．[玩转练习]1．(2020·永州模拟)函数y ＝2cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6的部分图象大致是( )2．(2020·河南中原名校联盟联考)已知函数f (x )＝4sin(ωx ＋φ)(ω＞0)．在同一周期内，当x ＝π6时取最大值，当x ＝－π3时取最小值，则φ的值可能为( )A.π12 B.π3 C.13π6D.7π63．将曲线y ＝sin(2x ＋φ)⎝⎛⎭⎫|φ|＜π2向右平移π6个单位长度后得到曲线y ＝f (x )，若函数f (x )的图象关于y 轴对称，则φ＝( ) A.π3 B ．π6C ．－π3D ．－π64．(2020·郑州市第一次质量预测)已知曲线C 1：y ＝cos x ，C 2：y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －2π3，则下列结论正确的是( ) A ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移7π12个单位长度，得到曲线C 2B ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2C ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移7π12个单位长度，得到曲线C 2D ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π6个单位长度，得到曲线C 25.(多选)已知函数f (x )＝A sin ωx (A >0，ω>0)与g (x )＝A2cos ωx 的部分图象如图所示，则( )A ．A ＝1B ．A ＝2C ．ω＝π3D ．ω＝3π6．(多选)函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3的图象为C ，如下结论正确的是( ) A ．f (x )的最小正周期为πB ．对任意的x ∈R ，都有f ⎝⎛⎭⎫x ＋π6＋f ⎝⎛⎭⎫π6－x ＝0 C ．f (x )在⎝⎛⎭⎫－π12，5π12上是减函数 D ．由y ＝2sin 2x 的图象向右平移π3个单位长度可以得到图象C7．将函数y ＝sin x 的图象上所有的点向右平移π10个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象的函数解析式是____________．8．函数f (x )＝tan ωx (ω>0)的图象的相邻两支截直线y ＝2所得线段长为π2，则f ⎝⎛⎭⎫π6的值是________． 9．(2020·安徽合肥一中等六校教育研究会联考)将函数y ＝cos x 的图象向左平移φ(0≤φ<2π)个单位长度后，得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π6的图象，则φ＝________. 10．(一题两空)已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω＞0，|φ|＜π2一部分图象如图所示，则ω＝________，函数f (x )的单调递增区间为________．11．已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫A >0，ω>0，|φ|<π2的图象过点P ⎝⎛⎭⎫π12，0，图象上与点P 最近的一个最高点是Q ⎝⎛⎭⎫π3，5.(1)求函数f (x )的解析式； (2)求函数f (x )的单调递增区间．12．设函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π6＋sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π2，其中0<ω<3，且f ⎝⎛⎭⎫π6＝0.(1)求ω；(2)将函数y ＝f (x )的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，再将得到的图象向左平移π4个单位，得到函数y ＝g (x )的图象，求g (x )在⎣⎡⎦⎤－π4，3π4上的最小值．。
学而思高中物理竞赛讲义3
第4讲牛顿运动定律运用本讲导学 1. 惯性力的理解。
2. 分辨惯性系，非惯性系，在非惯性中使用牛顿第二定律知识点睛一．惯性力先思考一个问题:设有一质量为m的小球，放在一小车光滑的水平面上，平面上除小球(小球的线度远远小于小车的横向线度）之外别无他物，即小球水平方向合外力为零。
然后突然使小车向右对地作加速运动，这时小球将如何运动呢？地面上的观察者认为：小球将静止在原地，符合牛顿第一定律；－车上的观察者觉得：小球以a相对于小车作加速运动； s 我们假设车上的人熟知牛顿定律，尤其对加速度一定是由力引起的印象至深，以致在任何场合下，他都强烈地要求保留这一认知，于是车上的人说：小球之所以对小车有-a 的加速度，是因为受到了s一个指向左方的作用力，且力的大小为- ma；但他同时又熟知，力是物体与物体之间的相互作用，而s 小球在水平方向不受其它物体的作用, 物理上把这个力命名为惯性力。
以下推导引入惯性力后，牛顿定律方程的形式，这个方程必须和以地面为参考的牛顿定律在数学上完全等效： F 设a为质量为m的一质点对地加速度，a为某参考系S对地加速度，为该物体受合外力。
s F ma由牛顿第二定律得：讲述高端的，真正的物理 1 学高一·物理竞赛秋季班·第4讲·学生版' a a由相对运动的定义，物体m相对参考系S的a加速度a'为：s F ma'ma两式联立得：，移项得s F ma ma's - ma可以看成一个力，与真实力的合成提供物体相对新参考系的加速度a' s惯性力的理解： (1) 惯性力不是物体间的相互作用。
因此，没有反作用。
(2)惯性力的大小等于研究对象的质量m与非惯性系的加速度a的乘积，而方向与a 相反，即ss f ma s（3）我们把牛顿运动定律成立的参考系叫惯性系，不成立的叫非惯性系，设一个参考系相对绝对空 F f ma其中F为物理受的间加速度为a物体受相对此参考系加速度为a',牛顿定律可以写成：，s“真实的力”，f*为惯性力，是个“假力”。
高一物理第4讲：加速度(教师版)—飞阳素质成长中心
第4讲 加速度（教师版）1．加速度是描述速度变化快慢的物理量。
2．速度的变化量与所需时间的比值叫加速度。
3．公式：a=tv v t 0-，单位：m/s 2是速度的变化率。
v t =v 0+at 4．加速度是矢量，其方向与v ∆的方向相同。
5．注意v,t v v ∆∆∆,的区别和联系。
v ∆大，而t v ∆∆不一定大，反之亦然。
教学重点1、速度的变化量、速度的变化率的含义。
2、加速度的概念及物理意义。
教学难点1．理解加速度的概念，树立变化率的思想．2．区分速度、速度的变化量及速度的变化率．3．利用图象来分析加速度的相关问题．[例1]物体作匀加速直线运动，已知加速度为2m/s 2，那么在任意1s 内 [ ]A.物体的末速度一定等于初速度的2倍B.物体的未速度一定比初速度大2m/sC.物体的初速度一定比前1s 内的末速度大2m/sD.物体的末速度一定比前1s内的初速度大2m/s答案：B.[解析]在匀加速直线运动中，加速度为2m/s2，表示每秒内速度变化（增加）2m/s，即末速度比初速度大2m/s，并不表示末速度一定是初速度的2倍.在任意1s内，物体的初速度就是前1s的末速度，而其末速度相对于前1s的初速度已经过2s，当a=2m/s2时，应为4m/s.研究物体的运动时，必须分清时间、时刻、几秒内、第几秒内、某秒初、某秒末等概念.如图所示（以物体开始运动时记为t=0）。
[例2]一个做匀变速直线运动的物体连续通过两段长s的位移所用时间分别为t1、t2，则该物体的加速度为多少?答案：物体在这两段位移的平均速度分别为它们分别等于通过这两段位移所用的时间中点的瞬时速度.由于两个时间可知：[解析]根据匀变速运动的物体在某段时间内的平均速度等于中点时刻瞬时速度的关系，结合加速度的定义.即可算出加速度.由计算结果的表达式可知：当t1＞t2时，a＞0，表示物体作匀加速运动，通过相等位移所用时间越来越短；当t1＜t2时，a＜0，表示物体作匀减速运动，通过相等位移所用时间越来越长.[例3]图1表示一个质点运动的v－t图，试求出该质点在3s末、5s末和8s末的速度. 答案：质点的运动分为三个阶段：AB段（0～4s）质点作初速v0=6m/s的匀加速运动，由4s内的速度变化得加速度：所以3s末的速度为：v3=v0＋at=6m/s＋（1.5×3）m/s=10.5m/s方向与初速相同.BC段（4～6s）质点以4s末的速度（v4=12m/s）作匀速直线运动，所以5s末的速度：v5=12m/s方向与初速相同.CD段（6～12s）质点以 6s末的速度（即匀速运动的速度）为初速作匀减速运动.由6s 内的速度变化得加速度：因所求的8s末是减速运动开始后经时间t'=2s的时刻，所以8s末的速度为：其方向也与初速相同.[解析]利用v-t图求速度有两种方法：（1）直接从图上找出所求时刻对应的纵坐标，即得对应的速度值，再根据速度的正负可知此刻的方向；（2）根据图线求出加速度，利用速度公式算出所求时刻的速度.下面用计算法求解.质点的运动分为三个阶段：AB段（0～4s）质点作初速v0=6m/s的匀加速运动，由4s内的速度变化得加速度：所以3s末的速度为：v3=v0＋at=6m/s＋（1.5×3）m/s=10.5m/s方向与初速相同.BC段（4～6s）质点以4s末的速度（v4=12m/s）作匀速直线运动，所以5s末的速度：v5=12m/s方向与初速相同.CD段（6～12s）质点以 6s末的速度（即匀速运动的速度）为初速作匀减速运动.由6s 内的速度变化得加速度：因所求的8s末是减速运动开始后经时间t'=2s的时刻，所以8s末的速度为：其方向也与初速相同.匀变速运动速度公式的普遍表达式是：v t=v0+at使用中应注意不同运动阶段的初速和对应的时间.在匀减速运动中，写成v t=v0-at后，加速度a只需取绝对值代入.速度图象的斜率反映了匀变速直线运动的加速度.如图所示，其斜率式中夹角α从t轴起以逆时针转向为正，顺时针转向为负.如图3中与图线1，2对应的质点作匀加速运动，与图线3对应的质点作匀减速运动.图线越陡，表示加速度越大，故a1＞a2.[例4]一物体作匀变速直线运动，某时刻速度大小为v1 =4m/s，1s后的速度大小变为v2=10m/s，在这1s内物体的加速度大小 [ ]A.可能小于4m/s2B.可能等于6m/s2C.一定等于6m/s2D.可能大于10m/s2答案：BD当v2与v1同向时，得加速度当v2与v1反向时，得加速度必须注意速度与加速度的矢量性，不能认为v2一定与v1同向.对应于题中a1、a2两情况，其v－t图见图所示.由图可知：当v2与v1同向时，其平均速度和1s内的位移分别为当v2与v1反向时，其平均速度和1s内的位移分别为【例5】如图1—5—3所示为一物体作匀变速直线运动的v－t图像，试分析物体的速度和加速度的特点。
(初升高)高一语文衔接班第4讲——《赤壁赋》
（初升高）高一语文衔接班第4讲——《赤壁赋》
一、学习目标：
⏹ 通过诵读了解《赤壁赋》的大意
⏹ 接触高中文言文学习，了解高中文言文学习的一些基本方法。
二、学习重点：
⏹ 高中文言文教材的一些特点；
⏹ 了解《赤壁赋》
《赤壁赋》背后的故事
《赤壁赋》给我们的启示
三、重点讲解：
4、拓展
四、学习小贴士：
1、要反复诵读，读顺、读懂。
2、要联系作者的处境身世读文章，才能读出真正的韵味，也才能给自己更多的启示。
五、预习导学：
回顾自己学过的诗歌，想一想：
1、你喜欢哪些诗歌？
2、关于诗歌，你需要了解些什么？。
第4讲 平面向量万能建系法5种常见题型(解析版) 高一数学讲义(新人教2019)必修二
第4讲平面向量万能建系法5种常见题型【考点分析】考点一：常见建立坐标系方法边长为a 的等边三角形正方形已知夹角的任意三角形矩形直角梯形平行四边形等腰梯形圆【题型目录】【题型目录】题型一：建坐标系求向量值题型二：三角形建坐标系求向量最值问题题型三：四边形建坐标系求向量最值问题题型四：多边形建坐标系求向量最值问题题型五：建坐标系设三角函数求向量最值问题【典型例题】题型一：建坐标系求向量值【例1】如图在ABC 中，90ABC ∠=︒，F 为AB 中点，3CE =，8CB =，12AB =，则EA EB ⋅= （）A ．-15B ．-13C ．13D ．14则()120A -，，(00)B ，，(08)C ，，(60)F -，，又3CE =，8CB =，12AB =，则2210CF CB BF =+=，即310CE FC =，即710FE FC =，则()77601010BE BF FE BF FC +==+=-+ ，()(776,81010EA EF FA CF FA =+=+=--+- 【例2】已知正方形ABCD 的边长为2，以CD 为边作正三角形CDE ，使得,A E 位于直线CD 的两侧，则AC AE →→⋅的值为（）A ．6-B ．6-C ．6+D ．6+【答案】D 【分析】建立平面直角坐标系，利用向量的坐标运算求解.【详解】以A 为坐标原点，以,AB AD 为,x y 轴非负半轴，建立平面直角坐标系，如图，由正三角形CDE 及正方形ABCD ()()2,2,1,23C E +，所以()()2,21,23AC AE →→⋅=⋅+=故选：D【例3】如图甲所示，古代中国的太极八卦图是以同圆内的圆心为界，画出相等的两个阴阳鱼.其平面图形记为图乙中的正八边形ABCDEFGH ，其中2OA =，则以下结论错误的是（）A 0OE OG ++=B ．OA OD ⋅=-C ．4AG EH +=D ．AO 在OH 方向上的投影向量为2OH - 【答案】C【分析】选择合适的位置建立平面直角坐标系，写出相应点的坐标，逐项验证即可.【详解】由题意，分别以,HD BF 所在直线为,x y 轴，建立平面直角坐标系，如图所示：在正八边形ABCDEFGH 中，由AOB BOC COD DOE ∠=∠=∠=∠360458GOH HOA =∠=∠== 过A 作AM HD OM AM⊥⇒=因为2OA =，所以OM AM ==所以(2,2),(0,2),(2,A B E ---【例4】《九章算术》中有一个“引葭赴岸”问题：“今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐．问水深、葭长各几何？”其大意为现有水池1丈见方（即1CE =丈10=尺），芦苇生长在水池的中央，长出水面部分的长度为1尺．将芦苇向池岸牵引，牵引至恰巧与水岸齐接的位置（如图所示）．试问水深、芦苇的长度各是多少？若将芦苇,AB AC 均视为线段，在芦苇移动的过程中，设其长度不变，则AC DE ⋅=（）．A ．90平方尺B ．92平方尺C ．94平方尺D ．98平方尺【答案】C 【分析】设AB x =（尺），利用勾股定理可构造方程求得AB ，以A 为坐标原点可建立平面直角坐标系，利用平面向量数量积的坐标运算可求得结果.【详解】设AB x =（尺），则1AC x =+（尺），5AD = （尺），()22251x x ∴+=+，解得：12x =．以A 为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系（单位：尺），则()0,0A ，()5,0D ，()5,12C ，()5,12E -，()5,12AC ∴= ，()10,12DE =- ，5014494AC DE ∴⋅=-+= （平方尺）．故选：C.【例5】已知正方形ABCD 的边长为2，点P 满足1()2AP AB AC =+ ，则||PD = _________；PB PD ⋅= _________．【答案】(1).(2).1-【解析】以点A 为坐标原点，AB 、AD 所在直线分别为x 、y 轴建立如下图所示的平面直角坐标系，则点()0,0A 、()2,0B 、()2,2C 、()0,2D ，()()()()1112,02,22,1222AP AB AC =+=+= ，则点()2,1P ，()2,1PD ∴=- ，()0,1PB =- ，因此，PD == ()021(1)1PB PD ⋅=⨯-+⨯-=- .【题型专练】1．已知矩形ABCD 中，4AB =uuu r ，2AD = ，3DM MC = ，BP PC = ，则AM AP ⋅= （）A ．6B ．10C ．14D ．38【答案】C 【分析】以B 为原点，,BA BC 分别为,x y 轴建立平面直角坐标系，由条件得出点,P M 的坐标，进而得出向量,AP AM uuu r uuur的坐标，从而得出向量的数量积.【详解】以B 为原点，,BA BC 分别为,x y 轴建立平面直角坐标系.则()0,4A ,()2,4,D ()2,0C 由BP PC = ，则()1,0P ,由3DM MC = ，则()2,1M 所以()1,4AP =-uuu r ,()2,3AM =-uuur 所以()()124314AM AP ⋅=⨯+-⨯-=uuur uuu r 故选：C。
第4讲：v-t图像-教师版
学科教师辅导教案1、匀变速直线运动中速度与时间的关系式：2、匀变速直线运动中位移与时间的关系式：3、匀变速直线运动中位移与速度的关系式：4、匀变速直线运动的平均速度关系式：速度-时间图像求加速度【知识点一】：v-t图像求加速度图1 图2解题技巧：根据v-t图象，一般可以确定以下内容：（1）运动物体初速度的大小v0.图1各图线说明图2说明①表示物体做匀加速直线运动（斜率表示加速度）①表示0到t1内，做加速度越来越小的加速运动，t1以后做匀速直线运动②表示物体做匀速直线运动③表示物体静止④表示物体做匀减速直线；初速度为v0②斜率表示B点的加速度⑤交点的纵坐标表示三个运动质点的速度相同⑥ t1时刻物体速度为v1（图中阴影部分面积表示质点在0～t1时间内的位移）③阴影部分面积表示质点在0～t1时间内的位移○7与④平行，表示加速度相同，物体向负方向做匀加速直线运动；初速度为0（2）判断物体的运动是加速运动，还是减速运动.（3）计算加速度，a= Δv/Δt（4）确定加速度的方向【例1】I，Ⅱ分别为甲、乙两物体的速度-时间图线，则甲物体运动的加速度a1＝____m/s2，乙物体运动的加速度a2＝____ m/s2答案：-2.5；3.3【练习1】甲、乙两物体做直线运动的速度-时间图像如图所示，两条图线均为过原点的倾斜直线，甲、乙两根图线与时间轴的夹角分别为60°和30°，则甲、乙两物体的加速度大小之比为_________ 。
答案：3:1【例2】右图为某物体做直线运动的v－t图象．试分析物在各段时间内的运动情况并计算各阶段加速度的大小和方向．答案：0-1s，4m/s21-4s，-2m/s2【例3】如图所示为某一质点运动的速度图象，从图象可知（ABC ）A．第1S内的速度方向与第2S内速度方向相同B．第4S内的加速度方向与速度方向相反C．第2S内的加速度与第3S内的加速度相同D．第2S内的速度方向与加速度方向相同【练习2】有一个物体做直线运动，其速度——时间图像如图所示，从图中可以看出，物体加速度方向和速度方向相同的时间段是（D）A．0＜t＜2sB．2s＜t＜4sC．0＜t＜2s和6s＜t＜8sD．0＜t＜2s和5s＜t＜6s【练习3】一个质点做变速直线运动的v-t图像如下图，下列说法中正确的是（CD）A．第1s内与第5s内的速度方向相反B．第1s内的加速度大于第5s内的加速度C．OA、AB、BC段的加速度aBC＞aOA＞aABD．OA段的加速度与速度方向相同而BC段的加速度与速度方向相反【练习4】小球由空中某点下落，与地面相碰后，弹至某一高度，小球下落和弹起过程的速度图象如图所示，不计空气阻力，则 ( ABC )A.小球下落的最大速度为5 m/sB.小球向上弹起的最大速度为3 m/sC两个过程小球的加速度都为10 m/s2D.两个过程加速度大小相同，方向相反【练习5】如图所示，是某质点运动的速度—时间图象，求：(1)质点在各时间段的加速度 (2)质点在第9s末的速度是多大？答案：（1）0-4s，2.5m/s2;4-8s,0m/s2；8-12s，-5m/s2.（2）5m/s【练习6】一物体做直线运动，其加速度随时间变化的a-t 图象如图1所示，下列v-t 图象中，能正确描述此物体运动的是（ D ） 图1 A B C D速度-时间图像求位移【知识点二】：v-t 图像求位移左图：第⑥点， t 1时刻物体速度为v 1，图中阴影部分面积表示质点在0～t 1时间内物体的 位移 右图：阴影部分面积表示质点在0～t 1时间内物体的 位移【例1】汽车在加速过程中的瞬时速度变化情况如图所示，求： (1)汽车的加速度 (2)加速过程的位移(3)加速过程的平均速度，并在图上表示出来。
高一数学竞赛培训讲义：直线方程(教师版)
直线方程讲义1. 直线的倾斜角α的取值范围是[0,π).2. 已知直线上不同的两点P(x 1,y 1),Q(x 2,y 2),当x 1≠x 2时,直线PQ 的斜率为;当x 1=x 2时,直线PQ 的斜率不存在.3. 当直线与x 轴不垂直时,直线的斜率k 与直线的倾斜角α之间的关系是k=tan α.?4. 直线方程的五种形式: (注意 “截距”这个概念)5.两条直线的平行与垂直 1. 平行(1) 已知两条直线l 1,l 2的斜率分别是k 1,k 2,它们在y 轴上的截距分别是b 1,b 2,那么l 1∥l 2的充要条件是k 1=k 2,b 1≠b 2;l 1与l 2相交的充要条件是k 1≠k 2.(2) 已知两条直线l 1:a 1x+b 1y+c 1=0,l 2:a 2x+b 2y+c 2=0,那么l 1∥l 2的充要条件是l 1与l 2的斜率相等或都不存在.(3) 当两直线l 1,l 2的斜率都不存在时,则l 1与l 2平行.(填“平行”、“相交”或“垂直”)2. 垂直2121--y y x x(1) 已知两条直线l 1,l 2的斜率分别是k 1,k 2,那么l 1⊥l 2 ⇔k 1k 2=-1. (2) 已知两条直线l 1:a 1x+b 1y+c 1=0,l 2:a 2x+b 2y+c 2=0,那么l 1⊥l 2 的充要条件是a 1a 2+b 1b 2=0.(3) 当两直线中一条直线的斜率不存在,另一条直线的斜率为0时,l 1与l 2的位置关系为垂直.(填“平行”、“相交”或“垂直”)3. 两直线公共点的个数设两直线方程分别是l 1:a 1x+b 1y+c 1=0,l 2:a 2x+b 2y+c 2=0.(1) 若方程组(*)的解有一组,则l 1与l 2的位置关系为相交.(2) 若方程组(*)的解有无穷多组,则l 1与l 2的位置关系为重合. (3) 若方程组(*)无解,则l 1与l 2的位置关系为平行. 4. 距离(1) 平面上两点P(x 1,y 1),Q(x 2,y 2)之间的距离(2) 点P(x 0,y 0)到直线l:ax+by+c=0的距离d=(3) 两平行直线ax+by+m=0与ax+by+n=0间的距离.例题讲解直线的斜率公式例1已知点A(1,-3),B(2,m-1),C(-1,4),直线AC 的斜率等于直线BC 的斜率的3倍,求实数m 的值.[思维引导]直线AC 的斜率为定值,可以根据斜率公式建立等量关系,进而确定m 的值.根据题意得k AC =3k BC ,即=3×,解得m=. 直线的倾斜角与斜率例2已知线段PQ 两端点的坐标分别为(-1,1),(2,2).若直线l:x+my+m=0与线段PQ 有交点,求实数m 的取值范围.[思维引导]直线l 过定点(0,-1),借助图形观察直线l 的斜率的变化情况,很容易1112220,0a xb yc a x b y c ++=⎧⎨++=⎩7-25--3m 32发现斜率的变化情况.[解答]如图:(例2)①当m=0时,直线l 的斜率不存在,即x=0与已知线段PQ 有交点,满足题意.②当m ≠0时,直线l 的斜率为-,要想使直线l 与线段PQ 有交点,必须满足k l≥k AQ 或k l ≤k AP ,即-≥或-≤-2,所以-≤m<0或0<m ≤.综上所述,m ∈.[精要点评]本题直线l 必过一个定点(0,-1),直线l 夹在直线AQ 与直线AP 之间,所以学生很容易把直线l 的斜率认为只是k l ≥k AQ 或k l ≤k AP ,忽视直线l 倾斜角的变化.当倾斜角范围中有90°的时候,直线的斜率范围要分开写. 利用待定系数法求直线的方程例3经过点A(-5,2)且在x 轴上的截距等于在y 轴上的截距的2倍的直线方程是 .[解析]当截距为0时,直线经过点A(-5,2)和O(0,0),直线方程为2x+5y=0.当截距不为0时,设直线方程为+=1,由直线经过点A(-5,2),得+=1,解得b=-,则直线方程为x+2y+1=0.[精要点评]截距不是距离,可以为0,也可以为正数或负数.过点A(-5,-4)作一直线l,使它与两坐标轴相交且与两坐标轴围成的三角形面积为5,求直线l 的方程.[解答]设直线l 的方程为y+4=k(x+5),交x 轴于点,交y 轴于点(0,5k-4),1m 1m 321m 231221-,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦2x b y b -52b 2b 124-5,0k ⎛⎫ ⎪⎝⎭则有S=××|5k-4|=5,即=10,即25k 2-30k+16=0或25k 2-50k+16=0,解得k=或 k=.所以直线l 的方程为2x-5y-10=0或8x-5y+20=0. 两直线的平行与垂直关系例4(2014·广东六校联考)如果直线(2a+5)x+(a-2)y+4=0与直线(2-a)x+(a+3)y-1=0互相垂直,那么a= .[解析]由于直线(2a+5)x+(a-2)y+4=0与直线(2-a)x+(a+3)y-1=0互相垂直,则有(2a+5)(2-a)+(a-2)(a+3)=0,解得a=±2.若直线l 1:(3+a)x+4y=5-3a 和直线l 2:2x+(5+a)y=8平行,则a= .[解析]根据题意有=≠,解得a=-7.利用直线之间的关系求直线方程例5 已知两点M(0,2),N(-2,0),直线l:kx-y-2k+2=0(k 为常数).若点M,N 到直线l 的距离相等,求直线l 的方程.[解答]因为点M,N 到直线l 的距离相等, 所以l ∥MN 或l 过MN 的中点. 因为M(0,2),N(-2,0),所以k MN =1,MN 的中点坐标为C(-1,1). 又直线l:kx-y-2k+2=0过点D(2,2), 当l ∥MN 时,k=k MN =1,经检验符合题意;当l 过MN 的中点时,-k-1-2k+2=0,解得k=.综上,直线l 的方程为x-y=0或x-3y+4=0. 关于直线(或点)的对称问题例6 已知点A 的坐标为(-4,4),直线l 的方程为3x+y-2=0.(1) 求点A 关于直线l 的对称点A'的坐标;124-5k 1640--25k k 258532a +45a +5-38a 13(2) 求直线l 关于点A 的对称直线l'的方程.[思维引导](1) 点A 与A'关于直线l 对称,主要运用两点,一个是AA'⊥l,另一个是AA'的中点坐标满足直线l 的方程3x+y-2=0;(2) 关于点A 对称的两直线l 与l'互相平行,由此可以求出直线l 关于点A 的对称直线l'的方程.[解答](1) 设点A'的坐标为(x',y').因为点A 与A'关于直线l 对称,所以AA'⊥l,且AA'的中点在l 上,而直线l 的斜率是-3,所以k AA'=,即=. ①因为直线l 的方程为3x+y-2=0,AA'的中点坐标是,所以3·+-2=0. ②由①和②,解得x'=2,y'=6,所以点A'的坐标为(2,6).(2) 因为关于点A 对称的两直线l 与l'互相平行,于是可设l'的方程为3x+y+c=0.在直线l 上任取一点M(0,2),其关于点A 对称的点为M'(x',y'),于是M'点在l'上,且MM'的中点为点A,由此得=-4,=4,即x'=-8,y'=6,故有M'(-8,6).因为点M'在l'上,所以3×(-8)+6+c=0,所以c=18. 故直线l'的方程为3x+y+18=0. 在直线l:3x-y-1=0上求一点P,使得:(1) 点P 到点A(4,1)和B(3,4)的距离之和最小; (2) 点P 到点A(4,1)和B(0,4)的距离之差最大.[思维引导](1) A,B 两点在直线l 的同侧,直线l 上点P 到A,B 两点的距离之和等价于点P 到A,B'两点的距离之和(点B'与点B 关于直线l 对称);这样就将原来的问题转化为简单问题“在直线l:3x-y-1=0上求一点P,使得点P 到点A(4,1)和点B'的距离之和最小”了,所求点即为直线l 与AB'的交点.(2) A,B 两点在直线l 的异侧,直线l 上点P 到A,B 两点的距离之差等价于点P 到A,B'两点的距离之差(点B'与点B 关于直线l 对称);这样就将原来的问题转化为简13'-4'4y x +13'-4'4,22x y +⎛⎫ ⎪⎝⎭'-42x '42y +'02x +'22y +单问题“在直线l:3x-y-1=0上求一点P,使得点P 到点A(4,1)和点B'的距离之差最大”了,所求点即为直线l 与AB'的交点.[规范答题](1) 如图(1),设点B 关于直线l 的对称点为B',则PA+PB=PA+PB'≥AB',即PA+PB 的最小值等于AB'.此时直线AB'与直线l 的交点即为点P.(2分)设点B'(m,n),则解得 即点B'的坐标为. (6分)由两点式可求得直线AB'的方程为19x+17y-93=0.则易得直线AB'与l 的交点坐标为,即为所求的点P 的坐标. (7分)图(1) 图(2)(2) 如图(2),设点B 关于直线l 的对称点为B',则PA-PB=PA-PB'≤AB',即PA-PB 的最大值等于AB'.此时直线AB'与直线l 的交点即为点P.(9分)设点B'(m,n),则解得即点B'的坐标为(3,3).所以直线AB' 的方程为2x+y-9=0.(12分)343--10,22-41-,-33m nn m ++⎧⋅=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩3,524.5m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩324,55⎛⎫⎪⎝⎭1126,77⎛⎫ ⎪⎝⎭43--10,22-41-,3m n n m +⎧⋅=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩3,3.m n =⎧⎨=⎩所以直线AB'与直线l 的交点为(2,5),即点P 的坐标为(2,5).(14分) [精要点评]本题无法直接去做,需通过求点B 的对称点B',将PB 转化为PB',从而实现问题的解决.这里运用了重要的数学思想方法——化归思想!习题精选1. 直线l:xtan +y+1=0的倾斜角α= .[解析]因为α∈[0,π),k=tan α=-tan =tan （π-）=tan ,所以α=. 2. 已知两点A(3,2),B(8,12),若点C(-2,a)在直线AB 上,则实数a 的值是 .-8[解析]直线AB 的方程为y-2=(x-3),即y=2x-4,所以a=-8.3. 若点A(ab,a+b)在第一象限,则直线bx+ay-ab=0不经过第 象限.三 [解析]因为点A 在第一象限,所以ab>0且a+b>0,即a>0,b>0.因为bx+ay-ab=0⇒y=-x+b,因为-<0,直线与y 轴的交点为(0,b),所以直线不过第三象限. 4.若不论m 取何实数,直线l:mx+y-1+2m=0恒过一定点,则该定点的坐标为 . (-2,1)[解析]l:mx+y-1+2m=0变形为(x+2)m+y-1=0,易知定点坐标是(-2,1).5. 已知直线l 的方程为-3x+2y=12,那么直线l 的斜率为 ,在x 轴上的截距为 ,在y 轴上的截距为 . -4 6[解析]直线l 的斜截式方程为y=x+6,故k=.令y=0,得x=-4,所以直线l 在x 轴上的截距为-4;令x=0,得y=6,所以直线l 在y 轴上的截距为6.5π45π5π5π45π45π12-28-3b a ba 3232326. (必修2P73练习3改编)若直线l经过点A(1,2),且倾斜角是直线y=x+3的倾斜角的2倍,则直线l的方程为.x=1[解析]直线y=x+3的倾斜角为α=45°,所以所求直线的倾斜角为2α=90°,所以直线l的方程为x=1.7 (必修2P96练习3改编)过点(-1,3)且平行于直线x-2y+3=0的直线方程为.x-2y+7=0[解析]因为所求直线与直线x-2y+3=0平行,故可设所求直线方程为x-2y+c=0,又因为点(-1,3)在所求直线上,所以-1-2×3+c=0,解得c=7.8. 过点M(3,-4),且与直线2x+3y-21=0垂直的直线的方程是3x-2y-17=09. 若点A(1,3)在直线l上的射影为(-5,1),那么直线l的方程是. 3x+y+14=010.若动点P在直线x+2y-4=0上,O为原点,则OP的最小值为.11.已知直线l:y=3x+3.(1) 直线l关于点M(3,2)对称的直线的方程为y=3x-17;(2) 直线l关于直线x+y+2=0对称的直线的方程为x-3y-1=0. [解析](1) 设点N(x,y)是所求直线上任一点,则点N关于点M(3,2)的对称点(6-x,4-y)在直线l:y=3x+3上,代入得3x-y-17=0.(2) 设点M(x,y)是所求直线上任一点,则点M关于直线x+y+2=0的对称点为(-y-2,-x-2)在直线l:y=3x+3上,代入得x-3y-1=0.12、已知△ABC的顶点A(0,1),AB边上的中线CD所在直线的方程为2x-2y-1=0,AC 边上的高BH所在直线的方程为y=0.求△ABC的顶点B,C的坐标和BC边所在直线的方程.解析 AC边上的高BH所在直线方程为y=0,所以AC:x=0;又CD:2x-2y-1=0,所以C;设B(b,0),则AB的中点为D,代入方程2x-2y-1=0,解得b=2,所以B(2,0),所以kBC =,BC边所在直线的方程为x-4y-2=0.510,-2⎛⎫⎪⎝⎭1,22b⎛⎫⎪⎝⎭1413. 在△ABC 中,已知点A(5,-2),B(7,3),且AC 边的中点M 在y 轴上,BC 边的中点N 在x 轴上.(1) 求顶点C 的坐标; (2) 求直线MN 的方程.解析(1) 设点C(x 0,y 0),则AC 的中点M ,BC 的中点为N .因为点M 在y 轴上,点N 在x 轴上,所以x 0=-5,y 0=-3,即点C(-5,-3).(2) 由(1)得点M ,N(1,0),所以直线MN 的方程为+=1,即5x-2y-5=0.14. 过点P(4,1),作直线l 分别交x,y 轴正半轴于A,B 两点. (1) 当△AOB 面积最小时,求直线l 的方程; (2) 当OA+OB 取最小值时,求直线l 的方程.解析设直线l:+=1(a>0,b>0),因为直线l 经过点P(4,1),所以+=1. (1) +=1≥,所以ab ≥16,当且仅当a=8,b=2时等号成立,所以a=8,b=2时,△AOB 的面积最小,此时直线l 的方程为+=1,即x+4y-8=0. (2) 因为+=1,a>0,b>0,所以OA+OB=a+b=(a+b)=5++≥9,当且仅当a=6,b=3时等号成立,所以OA+OB 最小时,直线l 的方程为x+2y-6=0.005-2,22x y +⎛⎫ ⎪⎝⎭0073,22x y ++⎛⎫⎪⎝⎭50,-2⎛⎫⎪⎝⎭1x 5-2y x a y b 4a 1b 4a 1b 8x 2y4a 1b 41a b ⎛⎫+ ⎪⎝⎭a b 4b a。
(竞赛)第4讲 钠及其化合物(原卷版)
第4讲 高一化学学科素养能力竞赛专题训练——钠及其化合物【题型目录】模块一：易错试题精选 模块二：培优试题精选模块三：名校竞赛试题精选 【典型例题】模块一：易错试题精选1．探究Na 2O 2与水的反应，实验如图。
下列分析不正确的是A ．①、⑤中产生的气体能使带火星的木条复燃B ．①、④中均发生了氧化还原反应和复分解反应C ．②、⑤中KMnO 4与MnO 2的作用不同，产生气体的量也不同D ．沉淀经过滤、洗涤、干燥后称量：④中反应后的沉淀质量小于③中所得沉淀的质量 2．下列关于2Na O 和22Na O 的说法中，不正确的是 A ．2Na O 与22Na O 中的阴、阳离子数之比均为1∶2 B ．22Na O 可在呼吸面具或潜水艇中作为氧气的来源 C ．2Na O 和22Na O 的颜色不同D ．22Na O 与2Na O 都能与水反应生成碱，都属于碱性氧化物 3．下列有关钠及其化合物的叙述中不正确．．．的是 A ．除去碳酸钠固体中混有的碳酸氢钠，可将固体加热 B ．可用盐酸鉴别3NaHCO 和23Na CO 两种物质的溶液 C ．金属钠着火时，可用水来灭火D ．222Na Na O Na O NaOH 、、、长期放置在空气中，最终都将变为23Na CO 4．不能用来鉴别23Na CO 和3NaHCO 两种固体的操作是A ．分别加热这两种固体物质，并将生成的气体通入澄清的石灰水中B ．分别测量两种固体溶于水时，溶液的温度变化C ．分别在这两种固体中，逐滴加入同浓度的稀盐酸D ．分别在这两种物质的溶液中，加入少量澄清的石灰水5．实验室模拟“侯氏制碱法”制取3NaHCO ，下列说法错误的是（提示：浓氨水滴入生石灰中可制备3NH ，且3NH 极易溶于水） A ．X 溶液为饱和碳酸钠溶液，作用是吸收二氧化碳中的氯化氢 B ．装置中使用“多孔球泡”可增大3NH 的吸收速率C ．实验时，先向饱和NaCl 溶液中通入较多的3NH 再通入足量2COD ．利用锥形瓶中所得物质制备23Na CO 固体，还需经历过滤、洗涤、干燥及焙烧等过程 6．有两支试管，分别装有等物质的量浓度的Na 2CO 3和NaHCO 3溶液，下列方案中判断正确的是7．某化学实验探究小组用电磁搅拌加热器(温度最高可达65℃)加热饱和NaHCO 3溶液，并利用CO 2传感器检测溶液中CO 2的含量，其含量随温度变化如图所示：下列有关叙述错误的是A ．ab 段溶液中CO 2的含量降低的原因是温度升高，溶解的CO 2气体逸出B ．bc 段溶液中CO 2的含量升高的原因是溶液中3HCO受热分解生成CO 2气体 C ．实验室可用加热饱和NaHCO 3溶液的方法制取少量CO 2气体 D ．由图像可知，NaHCO 3固体受热分解的温度为48.2℃8．甲、乙、丙、丁四个烧杯中分别盛有一定量NaOH 溶液，向其中分别通入不同量的2CO ，再向所得溶液中分别滴加相同浓度的稀盐酸至过量，加热溶液，甲、乙、丙、丁四个烧杯中产生2CO 的质量与加入盐酸的体积关系如图Ⅰ~Ⅳ所示(忽略2CO 的溶解和HCl 的挥发)：则下列分析正确的是A ．Ⅰ图对应溶液中的溶质为23Na COB ．Ⅱ图a~b 段生成的2CO 质量与之前通入乙烧杯NaOH 溶液中的2CO 质量相等C ．Ⅲ图对应溶液中的溶质为NaOH 和23Na COD ．Ⅳ图O~a 段离子方程式为+2--33H +CO =HCO9．如图所示，在蒸发皿中放一小块钠，加热至熔化时，用玻璃棒蘸取少量无水4CuSO 粉末与熔化的钠接触，瞬间产生耀眼的火花，同时有红色物质生成。
竞聘英语教师演讲稿四篇
竞聘英语教师演讲稿四篇竞聘英语教师演讲稿四篇好的演讲稿可以引导听众，使听众能更好地理解演讲的内容。
在不断进步的时代，用到演讲稿的地方越来越多，那么一般演讲稿是怎么写的呢？下面是我整理的竞聘英语教师演讲稿9篇，希望对大家有所帮助。
竞聘英语教师演讲稿篇1尊敬的各位领导、老师：大家下午好！古希腊哲学家苏格拉底曾经说过：“世界上最快乐的事，莫过于为理想而奋斗。
”今天我正是为了我的理想而来。
我叫xx，原来在xx小学工作，近几年来一直从事小学英语的教学，今年因工作调动，调整到我们xx小学工作，我感到非常的高兴，同时，也非常感谢我们学校领导能给我这样一次展示自我、成就自我的机会。
我今天我竞聘的岗位是三、四年级的英语教学。
20xx年我毕业于北华大学外语学院师范英语专业，四年的大学学习让我掌握了扎实的语言功底。
作为年轻教师，我从不敢懈怠，坚持利用业余时间学习，提高自身业务水平。
通过一年的教学工作，我的教学业务水平得到了很大的提升。
今天，我竞聘的是高二年级理科英语教师，之所以竞聘这个岗位，基于以下三点原因：一、了解并热爱我的学生。
这一届高一学生从入学开始就担任一二班的英语教学工作。
在一年的教学实践中，我揣摩着，尝试着，与他们真诚沟通交流着，已经非常熟悉每个学生的性格特点和学习现状，这为教学工作的进一步开展，奠定了坚实的基础。
二、我有扎实的专业知识。
我深知英语学科在学校基本学科教学中的地位和作用，明确英语教师的职小学班主任竞聘责和任务，也明白英语教师所应必备的素质和要求，所以，自工作以来，我始终不忘学习，勤钻研，善思考，多研究，不断丰富提高自己。
三、我有较好的年龄优势。
我正当青春年华，精力旺盛，敬业精神高，能够全身心地投入到自己热爱的教学工作中去。
这一点也深受学生喜爱。
为了赶上课改的步伐，我利用课余时间学习了《英语课程标准》，深入了解它的基本理念。
其中强调教学要面向全体学生，注重素质教育，特别强调要关注每个学生的情感，激发他们的兴趣，帮助他们建立学习的成就感和自信心。
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【解析】 小环在钢丝上某一位置静止时受力如图所示，当然这是以钢丝为参考系观察的结果，则 f ⋅ cosθ = mg ⋅ sinθ ．
其中 f = mω2 x ．
由此得 tanθ = f = ω2 x ，即为钢丝在该息切线的斜率，所以钢丝的形状可以表示为 y = ω2 x2 ．
mg g
2g
对A
T − mg = m vC2 ⋅ sin2 θ ．
r
由关联速度的知识可知，此时 A 的速度
vA = vC ⋅ cosθ ．
根据机械能守恒
⎡ mgh − 2mg ⎢
h2
+ l02
−
l0
⎤ ⎥
⎢⎣
4 2 ⎥⎦
=
1 2
mvC2
+
1 2
⋅ 2m (vC
⋅ cosθ )2
由以上几式可解得
vC2
=
2g
h
+ l0 − 4h2 +
aC
⋅ cosθ
=
aCr
−
vr2 r
．
其中 vr 是 C 围绕 O 点转的速度， vr = vC′ ⋅ sinθ ．当 C 有最大速度时， aC = 0 ，因此
高一·物理·竞赛班·第 4 讲·教师版
5
aCr
=
vC2
⋅ sin2 θ r
．
这也就是 A 物体的加速度．根据牛顿第二定律
对 C mg − 2T ⋅ cosθ = 0 ．
1+
2h2 h2 + l02
l02
，
4
g
⎛ ⎜⎝
1 2 cosθ
− 1⎞⎟⎠
=
vC2 ⋅ sin2 θ h2 + l02
．
4
用逼近的方法可解得
h = 0.2076l0 此时
vC = 0.44 gl0 ， aA = aB = 0.304g ．
【例11】一根光滑的钢丝弯成如图所示的形状，其中套有一小环．当钢丝以恒定角速度 ω 绕其竖直对称轴 旋转时，小环在钢丝上任何位置都能保持相对静止．求钢丝的形状（即钢丝上任一点 x 、 y 坐标
分别为 at
=
2s t2
， an
=
vA2 R
．而 vA2
= (att )2
，s
=
Rβ
，t
是质点运动到
A 点的时间，则有
an
=
at2t 2 R
，
an at
=
2st 2 t2R
=
2Rβ R
=
2β
，由图显见，
an at
=
tan A ，于是可确定 α
与β
间的
关系为 tanα = 2β ．
【例2】 在离水面高度为 h 的岸边，有人用绳子拉船靠岸，若有人收绳的 速率恒为 v0 ，试求船在离岸边 s 距离处时的速度与加速度的大小 各为多少？
例题精讲
【例1】 如图所示，质点从 O 点由静止开始沿半径为 R 的圆周作速率均匀增大的运动， 到达 A 点时质点的加速度与速度方向夹角为α ，质点通过的弧 s 所对的圆心角 β ，试确定α 与 β 间的关系．
【解析】 根据题意可知，质点沿圆周作速度大小、方向均变化的运动．每个瞬时的加速
度均可分解为切向加速度 at 与法向加速度 an ，前者反映质点速率变化快慢，后 者反映质点速度方向变化快慢．由题给条件，质点经 A 点时的这两个分加速度
mg cosθ − N = mv02 R
得到 N = mg cosθ − mv02 R
⑵脱离条件要求
N
=
0
如果恰好在相对速度达到
v0
时候脱离则有：
0
=
mg
cosθ
−
mv02 R
可以得到 cosθ = v02 gR
【例6】 已知 M 以在光滑平面上被 m 推着向右运动， m 拴在长度为 L 的轻杆上，求脱离条件．
连理可以得到 cosθ = 3 。 3
【例8】 轻杆，求压力．中点质量 m ，匀速 v ．
4
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【例9】 求脱离条件．
【例10】一对绕固定水平轴 O 和 O′ 同步转动动的凸轮，使传送装置的水平平板发生运动，如图所示，问 凸轮以多大角速度转动时，放在平板上的零件开始移动？当凸轮按顺时针方向转动情况下，零件 将往什么方向移动？（零件与平板之间的动摩擦因数为 μ ，凸轮半径为 r ）
【解析】 首先我们依据实际运动效果如图分解船的运动：船及与船相系的 绳端 A 的实际运动是水平向左的，这可看做是绳之 A 端一方面 沿绳方向向“前方”滑轮处“收短”，同时以滑轮为圆心转动而
成，即将实际速度 v 分解成沿绳方向“收短”的分速度 vn 和垂直于绳方向的转动分速度 vt ，注意 到绳子是不可伸长的，人收绳的速度 v0 也就是绳端 A 点沿绳方向移动速率 vn ，由图所示，v 、vt 、 vn 矢量关系及位置的几何关系易得：
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3
． 【解析】脱离的瞬间，支持力为零。也就是说，小球 m 的切向加速度的来源只能是重力的分力的作用。
因此可以得到 a切 = g cosθ
物体的总加速度是切向加速度和法向加速度的矢量和。如果这个矢量和有水平向右的分量，说明 m 还会继续向右加速。临界状态时候， M 不受水平方向上的力，所以不会加速。 m 必须也不加 速才是临界。因此，临界条件就是 m 的加速度竖直向下的一瞬间。加速度竖直向下说明他只受到 重力。 如果此时 M 的速度是 v 。
⎞ ⎟⎠
⋅
sin
Δθ 2
Δθ ⋅ sin (θ − Δθ ) ⋅ sinθ
=
v02 h
cot3 θ
=
v02 h
⋅
⎛ ⎜⎝
h s
⎞3 ⎟⎠
=
v02 h 2 s3
．
2
即船在离岸
s 远处的加速度 a
=
v02 h 2 s3
．
【例3】 （暑期题目）三只小蜗牛所在位置形成一个等边三角形，三角形的边长为 60cm．第一只蜗牛出 发向第二只蜗牛爬去，同时，第二只向第三只爬去，第三只向第一只爬去，每只蜗牛爬行的速度 都是 5cm/min．在爬行的过程中，每只蜗牛都始终保持对准自己的目标．经过多长时间蜗牛们会 相遇？相遇的时候，它们各自爬了多少路？ （秋季问题）开始时刻加速度是多少？
⎛ ⎝⎜⎜
sin
1
(θ −
Δθ
)
−
1 sinθ
h ⋅ Δθ tanθ
⎞ ⎠⎟⎟
=
lim
Δθ →∞
v02 cosθ h tanθ
⋅
sinθ − sin (θ − Δθ ) Δθ ⋅ sin (θ − Δθ )sinθ
v0 cosθ
= lim v02 cosθ Δθ →∞ h tanθ
cos
⎛⎜⎝θ
−
Δθ 2
3 3
l
=
2l
．
v1
3 v 3v
2
⑵ 由 A 点出发，过了一段极短的时间 Δt ， A 到了 A′ ， B 到了 B′ ， AA′ = BB′ = v ⋅ Δt ，在三角形 A′B′D 中
Δθ = B′D = v ⋅ Δt ⋅ sin 60° A′B′ l − v ⋅ Δt
= 3 ⋅ v ⋅ Δt ， 2l
（1） 假设有摩擦系数 μ 则他们可以不动的临界状况， μ 的最小值是多少？ （2） 全光滑，则什么情况下 A 与 B，C 分离？
【解析】 （1）对下面的 C 的轴，力矩平衡得到
f1 = f2 对切线交点作为轴得到 N1 + mg = N2 所以一定是 1 处先达到临界，这样对 A 圆柱列平衡。得到
2mg
=
2N1
cosθ
+
2μ N1
sinθ
得到
N1
=
cosθ
mg +μ
sinθ
整个系统平衡又有
2N2
=
4mg
，所以
N1
=
N2
−
mg
=
mg
=
cosθ
mg + μ sinθ
其中θ = π 于是得到 3 + μ 1 = 1 得到 μ = 2 − 3
6
22
（2） 假设某角度分离则。有
分离时候 A 心高度 h1 = 2r cosθ
【解析】以具有加速度 ω2r 的板为参考系，零件处于平衡．其所受力有重 力 mg ，板约束力（摩擦力与支持力合力）及惯性力 mωwr ，其中 静摩擦力达最大时板约束力方向与竖直成摩擦角ϕ = arctan μ ．三 力应构成闭合三角形，如图甲惯性力与约速力垂直的情况所对应 的 ω 是零件开始滑动的临界值，故有 sinϕ = mω2r = μ ，则 mg 1 + μ 2
在
A′
点，船的速度应为
v′
=
sin
v0
(θ −
Δθ
)
，则速度增量
Δv
=
v0
⎛ ⎜⎜⎝
sin
1
(θ −
Δθ
)
−
1 sin θ
⎞ ⎟⎟⎠
．
由加速度定义： a = lim Δv ， Δx→∞ Δt
h ⋅ Δθ 而 Δt = cosθ =
h ⋅ Δθ
tanθ ，
vt
v0 cosθ
则有
a
=
li; v1)2 − Ma = M (v0 + v1)2 − M T
l
l
m
得到
T = Mm(v0 + v1)2 l(M + m)
【例5】 设 m 在 M θ 处。 M 速度 v1 ， m 相对 M 有 v0 速度． ⑴ 求压力 N ． ⑵ 求脱离条件．