第十章 命题自然推理和谓词自然推理
谓词 基本推理公式
谓词基本推理公式
谓词逻辑是逻辑学中的一种形式系统，它使用谓词来表达命题的性质和关系。
基本推理公式是谓词逻辑中的一些基本规则，用于推导命题的真假。
以下是几个常用的谓词逻辑基本推理公式：
1. 交换律：A→B ↔ B→A
2. 结合律：(A→B)→C ↔ A→(B→C)
3. 吸收律：A→(B∧C) ↔ (A→B)∧(A→C)
4. 分配律：(A∧B)→C ↔ A→(B→C)
5. 重写律：A→B ↔ ¬B→¬A
6. 否定引入律：¬(A∧B) ↔ (¬A∧¬B)
7. 否定消去律：¬¬A ↔ A
8. 双条件引入律：A↔B ↔ (A→B)∧(B→A)
9. 双条件消去律：A↔B ↔ (A∧B)∨(¬A∧¬B)
10. 全称量词引入律：∀x(P(x)) ↔ P(y)/y (y属于某个集合)
11. 存在量词引入律：∃x(P(x)) ↔ P(y)/y (y属于某个集合)
这些基本推理公式是谓词逻辑的基础，可以用于推导其他命题的真假。
在具体使用时，需要根据命题的具体情况进行选择和应用。
逻辑学知识
【逻辑学知识】自然推理系统一、自然推理是什么？所谓自然推理，就是从给定的前提命题出发，运用演绎推理的有效式即根据演绎推理规则进行的推理。
属“演绎推理”，前提命题的合取（∧）蕴涵（→）结论命题。
自然推理和公理化推理不同，它不预设公理，只是根据规则，从给定的前提命题出发得出结论命题。
这似乎更符合人们日常思维的习惯，因此，称之为自然推理。
自然推理是判定推理形式有效的一种方法。
自然推理的基本思想是确定一些推理规则，这些规则具有保真性，也就是说，依据这些规则，从真前提只会推出真结论。
二、自然推理系统的组成由以下三部分要素组成 :1. 字母表 :(1) 命题变项符号 p；q；r；---；(2) 联结词符号 :￢（非）；∧（合取）；∨（析取）；→（蕴涵）；↔（等值）；（同时表示运算优先级）(3) 括号与逗号: （）；，。
2. 合式公式集3. 推理规则三、基本规则1、前提引入规则，在推理的任何一步都可以引入前提，这条规则为p 规则。
2、重言蕴涵规则，如果在推理中有一些在先的命题，它们的合取（∧）重言地蕴涵（→）A，那么，在推理中就可以引入命题A，这条规则为T规则。
3、条件证明规则，如果能从假定前提A和一组前提R推出B，那么，可以从这组前提推出（A→B），这条规则为C·P规则。
即：R∧A → B 与R →（A→B）是等值的，写成公式：R ∧A → B ↔ R →(A→B)C·P规则（输出律）的证明：R → (A→B) ↔￢R ∨(A→B) ↔￢R ∨(￢A ∨B) ↔ (￢R ∨￢A) ∨B↔￢(R ∧A) ∨B ↔ R ∧A → B即：R →(A→B) ↔ R ∧ A → B上述证明应用了：实质蕴涵律：p→q ↔￢p ∨q德摩根律：￢(p ∧q) ↔￢p ∨￢q￢(p ∨q) ↔￢p ∧￢q结合律：p ∨(q ∨r) ↔ (p ∨q) ∨rp ∧(q ∧r) ↔ (p ∧q) ∧r其他定律请见“【逻辑学知识】重言蕴涵式和重言等值式” /blog-626289-889429.html四、例子例1在自然推理系统中构造下面推理的证明 :前提: p∨q，q→r，p→s，￢s结论 : r∧(p∨q)证明 :①p→s p规则前提引入②￢s p规则前提引入③￢p T规则①②(p→s)∧￢s→￢p④ p∨q p规则前提引入⑤ q T规则③④析取三段式⑥q→r p规则前提引入⑦r T规则⑤⑥假言推理（q→r）∧q → r⑧ r∧(p∨q) T规则④⑦合取，得证。
谓词逻辑 基本推理公式
谓词逻辑基本推理公式
谓词逻辑的基本推理公式包括：
1. 全称量词规则：如果个体域中每一个个体具有性质A，则存在一个个体具有性质A。
即，能找出一个就表示存在。
公式为A ( c ) ⇒∃ x A
( x )A(c)\Rightarrow\exists xA(x)A(c)⇒∃xA(x)。
规则成立的条件是c是个体域中某个确定的个体，代替c的x不在A©中出现过。
2. 存在量词规则：如果个体域中存在个体具有性质A，则至少存在一个个体具有性质A。
公式为∃ x A ( x ) ∀ y A ( y )\exists xA(x)\forall yA(y)∃x A(x)∀yA(y)。
3. 归结推理：将公式中的量词的指导变元及其辖域中的该变元换成该公式中没有出现的个体变元，公式的其余部分不变。
4. 代入规则：把公式中的某一自由变元，用该公式中没有出现的个体变元符号替代，且要把该公式中所有的该自由变元都换成新引入的这个符号。
5. 解释（赋值）：谓词公式A的个体域D是非空集合，则每一个常项指定D中一个元素；每一个n元函数指定Dn到D的一个函数；每一个n元谓词指定Dn到{0,1}的一个谓词。
按这个规则做的一组指派，称为A的一个解释或赋值。
以上是谓词逻辑的基本推理公式，通过这些公式可以推导出更复杂的逻辑推理结果。
《逻辑学》新大纲--汉语言文学
《普通逻辑》课程教学大纲课程名称：逻辑学课程编号：010132001总学时:24学分:1。
5适用对象:汉语言文学专业1。
课程性质：《普通逻辑》是汉语言文学专业本科生的专业限选课中的必修课。
其内容具有很强的理论抽象性，公式、符号、图、表颇多;同时又具有可操作性，处处都含有思维方法、演算技巧的应用。
本课程旨在使学生系统地了解和掌握普通逻辑的基本知识、基本原理和基本技能,进行逻辑思维训练，解决思维的实际问题，以提高思维的准确性和敏捷性，从而增强语言表达的逻辑力量，并且为进一步学习其他科学知识提供必要的逻辑工具.2。
教学目的：逻辑学是现代基础学科的重要门类，包括逻辑的应用、演绎逻辑、一般逻辑、归纳逻辑、方法论等。
通过本课程的学习，要使学生系统地理解和掌握普通逻辑学的基本概念、基本原理和推演技巧，提高思维的准确性和敏捷性,增强语言的表达能力和论辩能力，以及初步具有运用逻辑知识解决实际问题的能力，并为进一步学习其他专业知识提供必要的逻辑知识.3。
教学内容:教学内容与学时安排4.教学方式：开展多媒体教学和案例教学，大力采用互动、启发、探究、讨论、质疑、争论、搜集信息、自主学习等多种教学形式，鼓励学生参与课堂教学。
5。
课程考核方式：本课程为考查课。
期末占总成绩的80%，平时作业、小测验占总成绩的20％。
6。
教材与教学参考书目：教材：普通逻辑编写组。
《普通逻辑》（第五版）。
上海：上海人民出版社。
2010。
主要参考书目：［1] 吴家国主编《普通逻辑》，上海人民出版社，1993.4。
［2] 何向东主编.《逻辑学教程》。
北京：高等教育出版社.1999年8月。
[3］刘新友,田宏第主编《普通逻辑自学导引》,高等教育出版社,1991。
9.［4］何应灿主编《怎样提高逻辑思维能力》,华东师范大学出版社,1995.3.[5］中国人民大学哲学系逻辑教研室编《逻辑学》，中国人民大学出版社，2003。
7。
［6］王海传等编著.《逻辑学》。
编写组《普通逻辑》(第5版)笔记和课后习题详解
编写组《普通逻辑》（第5版）笔记和课后习题详解目录内容简介目录第1章引论1.1复习笔记1.2课后习题详解第2章复合命题及其推理2.1复习笔记2.2课后习题详解第3章命题的判定与自然推理3.1复习笔记3.2课后习题详解第4章简单命题的基本要素——概念4.1复习笔记4.2课后习题详解第5章性质命题及其推理5.1复习笔记5.2课后习题详解第6章关系命题及其推理6.1复习笔记6.2课后习题详解第7章谓词自然推理7.1复习笔记7.2课后习题详解第8章模态命题及其推理8.1复习笔记8.2课后习题详解第9章普通逻辑的基本规律9.1复习笔记9.2课后习题详解第10章归纳推理第第1章引论1.1复习笔记一、“逻辑”辨义在现代汉语里，“逻辑”是个多义词。
1．指客观事物发展的规律；2．指某种特殊的理论、观点或看问题的方法；3．指人们思维的规律、规则；4．指一门学问，即逻辑学。
二、传统逻辑与现代逻辑按其历史发展阶段和类型的不同，逻辑学可分为传统逻辑和现代逻辑。
（一）传统逻辑的产生1．古代中国春秋战国时期逻辑思想就有很大发展，随之产生逻辑学说，史称“名辩之学”。
主要内容表现在惠施、公孙龙、后期墨家、韩非等人的著述中。
其中对逻辑学贡献最大的为《墨经》和《正名篇》。
2．古代印度古代印度的逻辑学说被称为“因明”。
“因”是指推理的依据，“明”是指“学说”，“因明”就是古代印度关于推理的学说。
陈那的《因明正理门论》和商羯罗主的《因明入正理论》等是主要的代表作。
3．古代希腊古希腊是逻辑学的主要诞生地。
亚里士多德对逻辑学进行了全面的研究，并在历史上建立了第一个演绎逻辑系统，著有：《范畴篇》、《解释篇》、《前分析篇》、《后分析篇》、《论辩篇》和《辨谬篇》，这些著作合称为《工具论》。
他对逻辑学的重大贡献，奠定了西方逻辑学发展的基础。
（二）传统逻辑的发展1．斯多葛学派该学派着重研究假言命题、选言命题、联言命题以及由它们所组成的推理形式，并且提出不同类型的推理规则和逻辑公式，后人称之为“命题逻辑”。
命题逻辑和谓词逻辑
命题逻辑和谓词逻辑命题逻辑和谓词逻辑是逻辑学中的两个重要分支，它们在表达和推理形式上有所不同。
下面分别对命题逻辑和谓词逻辑进行介绍。
命题逻辑命题逻辑是逻辑学的基础，它以命题为基本单位，通过逻辑连接词和量词等来表达命题之间的关系。
命题逻辑主要关注命题的真值和推理的有效性，即如何从已知的命题推导出未知的命题。
命题逻辑的基本构成包括命题、逻辑连接词和量词。
命题是一个陈述句，它表达了一个事实或情况。
逻辑连接词包括否定、合取、析取、蕴含等，它们可以将多个命题组合成一个复合命题。
量词包括全称量词和存在量词，它们可以用来对命题进行概括和限制。
在命题逻辑中，一个复合命题的真值取决于其子命题的真值。
例如，对于一个析取命题“P或Q”，如果P为真而Q为假，则该析取命题为真；否则，该析取命题为假。
对于一个蕴含命题“如果P，则Q”，如果P为真而Q为假，则该蕴含命题为假；否则，该蕴含命题为真。
在推理方面，命题逻辑主要关注推理的有效性。
例如，假设有以下两个命题：P：所有的人都会死亡。
Q：张三是人。
根据全称量词的概括作用，我们可以得出一个推论：所有的人都会死亡，张三也是人，因此张三也会死亡。
这个推论是有效的，因为它是根据全称量词的概括作用得出的。
谓词逻辑谓词逻辑是一种更复杂的逻辑系统，它以谓词为基本单位，通过个体、谓词、量词等来表达命题之间的关系。
谓词逻辑主要关注个体和谓词之间的关系，以及它们之间的推理规则。
谓词逻辑的基本构成包括个体、谓词、量词和逻辑连接词。
个体是一个对象或实体，它可以是一个具体的物体、概念或过程等。
谓词是对个体的描述或判断，它可以是动词、形容词或关系动词等。
量词包括全称量词、存在量词和任意量词等，它们可以用来对个体进行概括和限制。
逻辑连接词包括否定、合取、析取、蕴含等，它们可以将多个命题组合成一个复合命题。
在谓词逻辑中，一个复合命题的真值取决于其子命题的真值和个体之间的关系。
例如，对于一个关系命题“张三喜欢李四”，如果张三和李四都是具体的个体，而且他们之间存在喜欢的关系，则该关系命题为真；否则，该关系命题为假。
第十章 现代逻辑基础
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（17）p∧q←→q∧p 交换律 p∨q←→q∨p 交换律 （18）(p∧q)∧r←→p∧(q∧r) 结合律 (p∨q) ∨r←→p∨(q∨r) 结合律 （19）p∧（q∨r）←→（p∧q）∨（p∧r） 分配律 p∨（q∧r）←→（p∨q）∧（p∨r） 分配律 （20）（p→q）←→﹁p∨q （21）（p←→q）←→（p→q）∧（q→p） （p←→q）←→（p∧q）∨（﹁p∧﹁q） （22）p←→p∧（q∨﹁q） p←→p∨（q∧﹁q）
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①判定（p∧（p→q））→q是否为重言式 （1）消去“→”：﹁（p∧（﹁p∨q））∨q （2）内移“﹁”：（﹁p∨（﹁﹁p∧﹁q）） ∨q（3）消去“﹁﹁”：（﹁p∨（p∧﹁q）） ∨q（4）展开：（﹁p∨p∨q）∧（﹁p∨﹁ q∨q）
（4）式即为原式的合取范式，在合取支﹁ p∨p∨q和﹁p∨﹁q∨q中，分别含有﹁p∨p和 ﹁q∨q这样的永真式，因此，原式是重言式。
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把上述材料转换成命题形式，并推导如下： ① p→﹁q 前提1 ② ﹁p→（﹁r→﹁q） 前提2 ③ ﹁s∨r→q 前提3 ④ ﹁s 前提4 ⑤ ﹁ s∨ r ④附加律 ⑥q ③⑤分离律 ⑦ ﹁p ①⑥否后律 ⑧ ﹁r→﹁q ②⑦分离律 ⑨r ⑥⑧否后律
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2、真值形式 真值形式是指由真值联结词（命题联结词）和命 题变项所构成的形式结构，也就是各种复合命题 的命题形式。所谓命题形式，其外延定义是： （1）任何命题变项p、q、r……是命题形式，且 ﹁p，p∧q，p∨q，p→q，p←→q是命题形式。 （2）如果A和B是命题形式，那么﹁A，A∧B， A∨B，A→B，A←→B也是命题形式。根据这样 的定义可知：p，p∧q→p，﹁﹁p，﹁p∨﹁q→ （p→q）等都是真值形式，但﹁q→，∧q，∨﹁ q→（p→等由于不符合规定，不是真值形式。
命题逻辑命题自然推理
11．自然推理·命题自然推理的基本规则·归谬规则什么是自然推理自然推理是判定推理形式有效性的又一种方法。
自然推理的基本思想是确定一些推理规则，这些规则具有保真性，也就是说，依据这些规则，从真前提只会推出真结论。
因此，从所要判定的推理的前提出发，依据这些规则，如果能形式地推出预期的结论，这就说明该推理如果前提真，结论就一定真，因而是有效的。
当然，如果不能如此地推出预期的结论，尚不能就此断定推理是无效的，要判定推理的无效，还要用其他的方法。
因此，自然推理不是一种能行方法。
自然推理区别于一般公理化推理之处在于，作为推理依据的只有推理规则，没有公理。
这似乎更符合人们日常思维的自然习惯，因此，称之为自然推理。
本章只讨论用自然推理判定命题推理，因此，称之为命题自然推理。
命题自然推理的基本规则命题白然推理包括三条基本规则：规则P 在一个推导的任意—步，都可以引人任意一个真值形式作为前提。
规则T 在一个推导中．如果有一些先行出现的真值形式的合取重言地蕴涵A ，则可以在该推导中引人A 。
规则D 在一个推导中，，如果从一前提集和A 能推出B ，则从该前提集能推出A →B 。
所谓A 重言地蕴涵B ，就是指A →B 是重言式；自然，所谓n A A ,,1 的合取重言地蕴涵B ，就是指→∧∧n A A 1B 是重言式。
在求合取范式时，前面列出的常用重言式是被确认的基础；规则T 的运用，同样以这些常用重言式为基础。
不难证明，基于这三条基本规则的命题自然推理具有保真性，即从真前提不会推出假结论。
下面通过实例来说明如何构造命题自然推理。
[例1] 如果工资提高(p)，或者物价提高(q)，则将有通贷膨胀(r)。
如果通货膨胀，则或者国家将采取紧缩政策(s)，或者人民将遭受损失(t)。
如果人民遭受损失，改革就会失去人心 (u)。
国家将不采取紧缩政策，并且改革不会失去人心。
因此，物价不会提高。
构造上述推理的自然推理如下：(1) {}1 ()r q p →∨ P(2) {}2 ()t s r ∨→ P(3) {}3 u t → P(4) {}4 u s ⌝∧⌝ P(5) {}4 s ⌝ T(4)(6) {}4 u ⌝ T(4)(7) {}4,3 t ⌝ T(3)（6）(8) {}4,3 t s ⌝∧⌝ T(5)（7）(10) {}4,3,2 r ⌝ T （2）（9）(11) {}4,3,2,1 )(q p ∨⌝ T （1）（10） (12) {}4,3,2,1 q p ⌝∧⌝ T （11）(13) {}4,3,2,1 q ⌝ T （12）最后一行即为顶期的结论。
《形式逻辑》课程笔记
《形式逻辑》课程笔记第一章绪论一、逻辑学的内容与对象1. 逻辑学是研究思维形式及其规律的科学，主要研究推理、论证、概念、判断、命题等思维形式，以及它们之间的逻辑关系和逻辑规律。
2. 逻辑学的对象包括：（1）思维形式：如概念、判断、推理、论证等。
（2）思维内容：如命题的真假、概念的内涵和外延等。
（3）思维规律：如同一律、矛盾律、排中律等。
二、逻辑学的性质与作用1. 逻辑学的性质：（1）逻辑学是一门基础科学，为其他科学提供研究方法和思维方式。
（2）逻辑学是一门工具科学，为实际应用提供逻辑分析和论证方法。
（3）逻辑学是一门交叉科学，与哲学、数学、计算机科学等领域密切相关。
2. 逻辑学的作用：（1）提高思维品质：通过学习逻辑学，可以培养严密的思维、批判性思维和创新性思维。
（2）指导科学研究：逻辑学为科学研究提供方法论指导，帮助科学家进行有效的推理和论证。
（3）促进人际沟通：逻辑学有助于提高沟通效果，使表达更加清晰、有条理。
（4）辅助决策制定：逻辑学为决策者提供逻辑分析工具，帮助做出合理、明智的决策。
三、逻辑学的研究与学习方法1. 逻辑学的研究方法：（1）形式化方法：将自然语言中的逻辑关系抽象为符号系统，研究符号系统中的逻辑结构。
（2）语义分析方法：研究逻辑形式的真假含义，探讨逻辑形式与现实世界的关系。
（3）辩证法：分析事物之间的矛盾和联系，揭示事物的本质和发展规律。
2. 逻辑学的学习方法：（1）理论学习：系统学习逻辑学的基本概念、原理和方法。
（2）案例分析：通过分析典型逻辑案例，加深对逻辑学理论的理解。
（3）实践应用：将逻辑学知识应用于实际问题，提高逻辑思维和论证能力。
（4）交流探讨：与他人交流逻辑学观点，取长补短，共同提高。
第二章推理概述一、推理的构成成分1. 推理是由前提、结论和推理形式组成的思维形式。
推理的目的是从前提出发，通过推理形式得出结论。
2. 前提：是推理中提出来的，作为推理依据的已知判断。
命题逻辑与谓词逻辑
如 D2 = {1，2，3}
根据上面的分析，在D2上的解释应有29个。
下面是其中的一个解释：
I: P(1, 1) P(1, 2) P(1, 3) P(2, 1) P(2, 2) P(2, 3) P(3, 1) P(3, 2) P(3,3)
T
T
T
F
F
T
FF
F
由于x = 3时，不存在一个y使P(x, y) = T。所以在这个解释下公式B为假，
要考察在这个解释下公式A的真假，根据量词(x)要对所有x 进行考察。由于：对x = 0时，
P(x)→Q( f (x), a) = P(0)→Q( f (0), 0) = P(0)→Q(1, 0) = F→F = T
对x = 1时
P(x)→Q( f (x), a) = P(1)→Q( f (1), 0) = P(1)→Q(0,0) = T→T = T
定义2-5 永真蕴涵：命题公式A永真蕴 涵命题公式B，当且仅当A→B是一个永真 式，记作AB，读作“A永真蕴涵B”，简 称“A蕴涵B”。
2.2 谓 词 逻 辑
• 1．谓词与个体 原子命题被分解为谓词和个体两部分。
• 个体是指可以单独存在的事物，它可以是 一个抽象的概念，也可以是一个具体的东 西。
定理2-2是反证法的理论依据。
6．谓词公式中的等价和蕴涵式 定义2-13 设P与Q是两个谓词公式，D是它们
共同的个体域。若对D上的任何一个解释，P与Q 的真值都相同，则称公式P和Q在域D上是等价的。 如果在任何个体域上P和Q都等价，则称P和Q是 等价的，记做：P Q。
下面是一些常用的等价式：
• 交换律 P∨QQ∨P
（证毕）
定理2-2 G为B1, B2, …, Bn的逻辑结论，当且仅当 (B1 ∧ B2 ∧ … ∧ Bn) ∧ ～ G
谓词与自然演绎推理
永真蕴含式 对 于 谓 词 公 式 P 和 Q ， 若 P→Q 永
真，则称P永真蕴含Q，且称Q为P的 逻辑结论，称P为Q的前提。
记作：P Q。
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常用的永真蕴含式
化简式 P∧QP P∧QQ 附加式 PP∨ Q QP∨ Q
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析取三段论 ~P, P ∨ Q Q 假言推理 P, P→ Q Q 拒取式 ~Q, P → Q ~ P
Artificial Intelligence
谓词及其推理
主要内容
谓词逻辑的基本概念 谓词公式的解释 谓词公式的永真性和可满足性 谓词公式的等价性与永真蕴含 推理及其方法
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谓词逻辑的基本概念
命题 一阶谓词 连词 量词 合式公式 量词辖域与约束变元
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谓词公式的解释
定义：设D为谓词公式P的个体域，若 对P中的个体常量、函数和谓词按如 下规则赋值：
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例1、设个体域D={1,2},求公式
A= (x)(y)P(x,y)
在D上的解释，并指出在每一种解释 下A的值。
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解： 设：P(1,1)=T, P(1,2)=F, P(2,1)=T, P(2,2)=F 则它们是A在D上的一个解释。因为 x=1或2时有y=1使得A的真值为T， 故在此解释下公式A的真值为T。
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又设： P(1,1)=T, P(1,2)=T, P(2,1)=F, P(2,2)=F 它们是A在D上的另一个解释。因为 对D中的所有x (x=1, x=2) ，不存在y， 使得A的真值为T，故在该解释下，公 式A的真值为F。
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例2、设个体域D={1,2}，求公式
B= (x) (P(x) → Q(f(x),b))
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推理方法解决的主要问题
数理逻辑：理解命题逻辑和谓词逻辑的概念和应用
推理规则：谓词逻辑的推理规则包括演绎推理、归纳推理和类比推理等，这些规则用于推导新的命题或证明已有 命题。
应用领域：谓词逻辑在数学、哲学、语言学和计算机科学等领域有广泛的应用，是形式化方法的重要基础。
混合逻辑的概念： 结合了经典逻辑和 非经典逻辑的推理 系统
推理过程：在命题逻辑中，推理过程通常包括前提和结论两个部分。前提是已知的事实或命 题，结论是根据推理规则从前提推导出的新命题。
应用领域：命题逻辑广泛应用于计算机科学、人工智能、数学、哲学等领域，用于描述和推 导各种逻辑关系和命题之间的联系。
定义：谓词逻辑是一种基于谓词的推理系统，用于研究命题之间的关系。
数据库查询语言： 使用逻辑语言查询 数据库中的数据
人工智能：逻辑在 人工智能领域中的 应用，如专家系统 和自然语言处理
人工智能中的逻辑推理：数理逻辑在机器学习、自然语言处理等领域中的应用，如推理、 归纳等。
人工智能中的知识表示：数理逻辑在知识图谱、专家系统等领域中的应用，如概念、命 题等。
人工智能中的规划与优化：数理逻辑在机器人学、物流优化等领域中的应用，如路径规 划、任务调度等。
定义：自然推理法是一种基于自然语言描述的推理方法，通过逻辑规则和语义理解来进行推理。
特点：自然推理法具有自然性和可理解性，能够模拟人类思维中的推理过程，使得推理结果更加符合人类的认知 和理解。
应用：自然推理法在人工智能、知识表示与推理、自然语言处理等领域有广泛的应用，例如在问答系统、智能助 手、机器翻译等领域中用于实现智能化的推理和决策。
数理逻辑的推理规 则
结论：结论是从前提中推导 出来的
前提：命题逻辑中的推理基 于前提和结论
命题逻辑与谓词逻辑的推理
命题逻辑与谓词逻辑的推理逻辑学作为一门独立的学科，研究的是思维和推理的规律。
而命题逻辑和谓词逻辑则是逻辑学的两个重要分支，它们以不同的方式来描述和分析命题与谓词之间的关系。
本文将探讨命题逻辑与谓词逻辑的推理方法，并指出它们在不同场景下的应用。
一、命题逻辑的推理命题逻辑是以命题为基本单位进行推理的一种逻辑体系。
命题即陈述句，可以判断为真或假。
命题逻辑的主要推理方法有以下几种：1. 演绎推理演绎推理是根据命题之间的逻辑关系进行推理的一种方法。
它包括三段论、假言推理等。
三段论是最基本的演绎推理形式，由一个前提和一个结论组成。
例如：前提1：所有人类都是动物。
前提2：苏珊是人类。
结论：苏珊是动物。
2. 归纳推理归纳推理是通过具体的个例推理出一般规律的方法。
它基于从个别到普遍的思维方式，从观察到的现象中归纳出普遍的结论。
例如：观察到一只黑猫、一只黑狗和一只黑兔，可以归纳出“所有黑色的动物都有四条腿”。
3. 消解推理消解推理是通过化简命题之间的复杂逻辑关系来进行推理的方法。
它通过消除重复的命题和运用逻辑原理，从而推导出新的命题。
例如：前提1：如果今天下雨，那么我就带伞。
前提2：我没有带伞。
结论：今天没有下雨。
二、谓词逻辑的推理谓词逻辑是以谓词为基本单位进行推理的一种逻辑体系。
谓词表示对主体的性质、状态或行为的陈述。
谓词逻辑的主要推理方法有以下几种：1. 量化推理量化推理是通过量词对谓词进行限定的一种推理方法。
量词包括全称量词和存在量词，它们用于描述一个谓词对应的个体集合的大小。
例如：全称量化：对于所有的学生，都存在一门科目他们都喜欢。
存在量化：存在一门科目，所有的学生都喜欢。
2. 谓词变元的代入推理谓词变元的代入推理是通过将谓词中的变元替换为具体的常量或变量，从而推导出新的命题的方法。
例如：谓词：爱(x, y)表示“x爱y”，其中x和y是变量。
代入推理：爱(小明, 小红)表示“小明爱小红”。
3. 逻辑关系的推理谓词逻辑中的逻辑关系推理是通过推理规则和推理公式来判断给定命题之间的关系。
引导学生学习命题逻辑与谓词逻辑的比较
引导学生学习命题逻辑与谓词逻辑的比较逻辑学作为一门重要的哲学学科，旨在研究有效推理和正确思维的方法。
在逻辑学中，命题逻辑和谓词逻辑是两个重要的分支，它们在逻辑体系、表达能力和应用场景等方面有一些不同之处。
本文将比较命题逻辑和谓词逻辑，以帮助学生更好地理解和应用这两个概念。
一、逻辑体系命题逻辑是基于命题的逻辑形式进行推理的一种逻辑体系。
命题是陈述性句子，可以被判断为真或假。
命题逻辑关注的是命题之间的逻辑关系，它使用逻辑符号表示命题的逻辑操作，如“与”、“或”、“非”等。
命题逻辑有严密的规则和推理机制，可以通过符号推导来验证逻辑的正确性。
谓词逻辑是基于谓词的逻辑形式进行推理的一种逻辑体系。
谓词是描述性句子，将名词与属性或关系相联系。
谓词逻辑关注的是对象之间的逻辑关系，它引入量词和变量来表示谓词的逻辑操作。
谓词逻辑具有更强的表达能力，可以描述复杂的逻辑关系和量化关系，如全称量化和存在量化等。
二、表达能力命题逻辑相对简单，适用于简单的二元关系和简单陈述的推理。
它可以用于推理、证明和分析等领域，尤其在计算机科学和数学中得到广泛应用。
命题逻辑的符号语言简洁明了，易于理解和使用。
然而，由于仅关注命题的真值，命题逻辑无法处理对象的属性和关系，因此在处理涉及属性和关系的问题时存在局限性。
谓词逻辑则具有更强的表达能力，可以描述对象的属性和关系，扩展了逻辑的应用范围。
它涉及量词与变量的引入，可以进行全称量化和存在量化，从而描述复杂的量化关系。
谓词逻辑在人工智能、自然语言处理和知识表达等领域有广泛应用。
然而，谓词逻辑的符号语言相对复杂，需要更深入的学习和理解才能灵活运用。
三、应用场景命题逻辑主要应用于形式化的推理和证明，特别是在数学和计算机科学中得到广泛应用。
它可以用于判断命题之间的逻辑关系，验证逻辑的一致性和正确性。
命题逻辑的简洁性和易理解性使其成为学习逻辑的起点，培养逻辑思维和分析能力。
谓词逻辑主要应用于知识工程、人工智能和自然语言处理等领域。
逻辑探秘命题逻辑与谓词逻辑
逻辑探秘命题逻辑与谓词逻辑逻辑探秘：命题逻辑与谓词逻辑在我们探索思维的奇妙世界时，逻辑如同照亮黑暗的明灯，帮助我们清晰地思考和准确地表达。
其中，命题逻辑和谓词逻辑是逻辑学中的两个重要分支，它们为我们理解和分析各种复杂的推理提供了有力的工具。
让我们首先来了解一下命题逻辑。
命题逻辑研究的是由简单陈述句组成的命题以及它们之间的关系。
这些命题要么是真的，要么是假的，没有中间状态。
比如，“今天是晴天”“ 3 ＋ 5 ＝8 ”，这些都是命题，要么为真，要么为假。
命题逻辑中的基本运算包括“与”“或”“非”。
“与”运算只有当两个命题都为真时，结果才为真；“或”运算只要两个命题中有一个为真，结果就为真；“非”运算则是将原命题的真假值取反。
通过这些运算，我们可以组合和推导各种复杂的命题表达式。
举个例子，如果我们有命题 P 表示“今天下雨”，命题 Q 表示“我带伞”，那么“今天下雨并且我带伞”可以表示为 P ∧ Q ，“今天下雨或者我带伞”可以表示为 P ∨ Q ，“今天不下雨”可以表示为 ¬P 。
命题逻辑在日常生活和计算机科学中都有广泛的应用。
在电路设计中，逻辑门就是基于命题逻辑的原理工作的。
通过组合不同的逻辑门，可以实现各种复杂的电路功能。
在编程语言中，条件判断语句也常常基于命题逻辑，帮助程序根据不同的条件执行不同的操作。
然而，命题逻辑也有其局限性。
它无法处理涉及到对象和它们之间关系的更复杂的语句。
这时候，谓词逻辑就派上用场了。
谓词逻辑不仅关注命题的真假，还关注命题中所涉及的对象、属性以及它们之间的关系。
在谓词逻辑中，我们使用谓词来描述对象的属性和关系。
比如说，“所有人都会呼吸”，这里“人”是对象，“会呼吸”是属性。
我们可以用符号来表示，设 P(x) 表示 x 会呼吸，“所有人都会呼吸”就可以表示为∀x （H(x) → P(x)），其中∀表示“对于所有的”， H(x) 表示 x 是人。
再比如，“有些学生喜欢数学”，设 S(x) 表示 x 是学生， L(x, y) 表示 x 喜欢 y ，那么这个命题可以表示为∃x （S(x) ∧ L(x, Math)），其中∃表示“存在某些”。
第十章 命题自然推理和谓词自然推理
第十章命题自然推理和谓词自然推理【堂上操练】一、填空：1．命题自然推理是________________建立的命题演算。
2．命题自然推理的主要特征是应用推理规则，通过引入假设而推出形式结论，因此又称这种推理为"_________"。
3．谓词自然推理是建立在________________基础上的，增加了能刻画简单命题的新符号，把简单命题表示为能进行各种逻辑运算的公式，从而能分析各种简单命题以及由它们组合的复合命题所建立的演算。
4．由于简单命题有一元的直言命题和多元的关系命题，所以，谓词自然推理也有_______和_______之分。
5．谓词变项是表示________或_______________的符号。
6．在谓词自然推理过程中，只要_________就能利用命题推理规则，________就能还原为谓词公式。
二、用命题的自然推理，证明下列公式是否有效式（定理）？1．（A → B）∧A →B2．A∧B→A3．（A∨B）∧B A4．（A → B）∧（B →C）→ （A→C）5．（A → B）（B→A）6．（A∨B）A∧ B7．（A∨B）∨C A ∨（B∨C）8．A ∧（B∨C）（A ∧B）∨（A∧C）三、用谓词逻辑公式表示以下直言命题：1．有些国有企业是老企业。
2．有些领导干部没有抵制住贪图享乐思想的侵蚀。
3．所有国有企业都要迎接加入WTO的挑战。
4．所有法人都不是某个人。
5．并非所有人都是自私的。
6．凡不是达到第一宇宙速度的物体都不能飞离地球。
四、用谓词逻辑公式表示以下关系命题：1．所有公民都应该保护妇女儿童的合法权益。
2．有些学生喜欢比较活泼的老师。
3．同事之间应该保留一定的个人空间。
4．全社会应当尊重教师。
5．有些理科学生认识艺术系的所有老师。
6．男孩子如果努力学习就有一些漂亮的女孩子赏识。
【课后作业】一、利用给出的符号给下面的论证构造命题自然推理形式证明：1．A参加会议（p）或A未被邀与会（q）。
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第十章命题自然推理和谓词自然推理【堂上操练】一、填空：1．命题自然推理是________________建立的命题演算。
2．命题自然推理的主要特征是应用推理规则，通过引入假设而推出形式结论，因此又称这种推理为"_________"。
3．谓词自然推理是建立在________________基础上的，增加了能刻画简单命题的新符号，把简单命题表示为能进行各种逻辑运算的公式，从而能分析各种简单命题以及由它们组合的复合命题所建立的演算。
4．由于简单命题有一元的直言命题和多元的关系命题，所以，谓词自然推理也有_______和_______之分。
5．谓词变项是表示________或_______________的符号。
6．在谓词自然推理过程中，只要_________就能利用命题推理规则，________就能还原为谓词公式。
二、用命题的自然推理，证明下列公式是否有效式（定理）？1．（A → B）∧A →B2．A∧B→A3．（A∨B）∧B A4．（A → B）∧（B →C）→ （A→C）5．（A → B）（B→A）6．（A∨B）A∧ B7．（A∨B）∨C A ∨（B∨C）8．A ∧（B∨C）（A ∧B）∨（A∧C）三、用谓词逻辑公式表示以下直言命题：1．有些国有企业是老企业。
2．有些领导干部没有抵制住贪图享乐思想的侵蚀。
3．所有国有企业都要迎接加入WTO的挑战。
4．所有法人都不是某个人。
5．并非所有人都是自私的。
6．凡不是达到第一宇宙速度的物体都不能飞离地球。
四、用谓词逻辑公式表示以下关系命题：1．所有公民都应该保护妇女儿童的合法权益。
2．有些学生喜欢比较活泼的老师。
3．同事之间应该保留一定的个人空间。
4．全社会应当尊重教师。
5．有些理科学生认识艺术系的所有老师。
6．男孩子如果努力学习就有一些漂亮的女孩子赏识。
【课后作业】一、利用给出的符号给下面的论证构造命题自然推理形式证明：1．A参加会议（p）或A未被邀与会（q）。
如果教师想让A参加会议（r），则A会被邀与会。
A未参加会议。
如果教师不想让A参加会议并且A未被邀与会，则A将自行其是（s）。
因而，A将自行其是。
2．如果调查继续进行（p），则将揭露出新的证据（q）。
如果揭露出新的证据，则司法部门将直接参与案情调查（r）。
如果司法部门直接参与调查，则报纸不会再公布案情（s）。
如果继续调查导致报纸不再公开案情，则揭露出新的证据会导致调查继续。
调查不再继续。
因而新的证据不会被揭露出来。
3．当且仅当罗杰签订了契约（R），并且契约是合法的（L），并且罗杰不履行契约（P），秦斯将赢得这场诉讼（J）。
如果罗杰没有接受秦斯的建议（A），则罗杰就没有签订契约。
事实上罗杰没有接受秦斯的建议。
因之，秦斯不会赢得这场诉讼。
4．如果有25个师够用（D），则将军会赢得这个战役（W）。
或者将有三个联队的空中战术支援（A），或者将军将不会赢得这个战役。
但是，实际情况并非25个师够用且将有三个联队的空中战术支援。
因此，25个师并不够用。
二、利用给出的符号给下面的论证构造谓词自然推理形式证明：1．所有水果（Sx）都是带甜味（Dx）的，所有辣椒（Lx）都是不带甜味的，所以，所有辣椒都不是水果。
2．非科学的东西（Ax）不是可信的（Bx），空想（Cx）或吹嘘（Dx）是非科学的东西，不踏实工作的人（Ex）吹嘘，所以，不踏实工作又空想的人是不可信的。
3．没有一个一贯说谎的人（Lx）是可靠的（Tx），有些一贯说谎的人戴着一顶顶桂冠（Fx），所以，有些戴着一顶顶桂冠的人是不可靠的。
4．所有外交官（Dx）都是政府官员（Px），有些外交官是能言善辩的（Ex），所有能言善辩的外交官是演说家（Qx），因而，有些能言善辩的政府官员是演说家。
5．有个人（Mx）谁都看不起他（R（x，y）），所以，至少有一个人看不起自己。
6．没有一个人尊重（R（x，y））不自重的人，没有一个人信任（H（x，y））他不尊重的人，因而，一个不受人尊重的人不被任何人信任。
参考答案【堂上操练】一、填空：1．运用自然演算方法2．假设推理3．命题自然推理4．一元的，多元的5．事物性质，事物之间关系6．消去谓词，添加谓词二、用命题的自然推理，证明下列公式是否有效式（定理）？1．证：（1）A → B 前提（2）A 前提（3）B （1），（2）蕴涵消去2．证：（1）A∧B 前提（2）A 合取消去3．证：（1）A∨B 前提（2） B 前提（3）A 相容选言推理否定肯定式4．证：（1）A 假设（2）A → B 前提（3）B （1）、（2）蕴涵消去（4）B → C 前提（5）C （3）、（4）蕴涵消去（6）A → C （1）、（5）蕴涵引入（消去假设（1））5．证：（1） B 假设（2）A → B 前提（3） A （1）、（2）否定后件（4）B→ A （1）、（3）蕴涵引入（消去假设（1））（逆证略，下同）6．证：（1）（A∨B）前提（2）A 假设1（3）A ∨B （2）析取引入（4） A （1）、（2）、（3）否定引入（消去假设1（2））（5） B 假设2（6）A ∨B （6）析取引入（7） B （1）、（5）、（6）、否定引入（消去假设2（5））（8）A∧ B （4）、（7）合取引入7．证：（1）（A∨B）∨C 前提（2）B 假设1（3）A∨B （2）析取引入（4）B∨C （2）析取引入（5）（A∨B）→（B∨C）（3）、（4），蕴涵引入（消去假设1（2））（6）C 假设2（7）B∨C （6）析取引入（8）C→（B∨C）（6）、（7），蕴涵引入（消去假设2（6））（9）B∨C （1）、（5）、（8），析取消去（10）A ∨（B∨C）（9），析取引入8．证：（1）A ∧（B∨C）前提（2）A （1）合取消去（3）B∨C （1）合取消去（4）B 假设1（5）A∧B （2）、（4），合取引入（6）（A∧B）∨（A∧C）（5），析取引入（7）B→（A∧B）∨（A∧C）（4）、（6），蕴涵引入（消去假设1（4））（8）C 假设2（9） A ∧C （2）、（8），合取引入（10）（A ∧B）∨（A∧C）（9），析取引入（11）C→（A ∧B）∨（A∧C）（8）、（10），蕴涵引入（消去假设2（8））（12）（A ∧B）∨（A∧C）（3）、（7）、（11），析取消去三、用谓词逻辑公式表示以下直言命题：1．设Gx：x是国有企业，Lx：x是老企业，则：（x）（Gx∧Lx）。
2．设Lx：x是领导干部，Dx：x是抵制住贪图享乐思想的侵蚀（的人），则：（x）（Lx∧Dx）。
3．设Gx：x是国有企业，Yx：x是迎接加入WTO的挑战（的企业），则：（x）（Gx→Yx）。
4．设Fx：x是法人，Mx：x是某个人，则（x）（Fx→Mx）。
5．设Rx：x是人，Zx：x是自私的（人），则（x）（Rx→Zx）。
6．设Dx：x达到第一宇宙速度的物体，Nx：x是能飞离地球，则（x）（Dx→Nx）。
四、用谓词逻辑公式表示以下关系命题：1．设Gx：x是公民，Fx：x是妇女儿童的合法权益，R（x，y）：x保护y，则（x）（Gx→（y）（Fy→R（x，y）））。
2．设Xx：x是学生，Bx：x是比较活泼的老师，R（x，y）：x喜欢y，则（x）（Xx∧（y）（By→R（x，y）））。
3．设Tx：x是同事，Lx：另一些同事，R（x，y）：x应该保留（距离）一定的个人空间，则（Ax）（T x→（y）（Ly→R（x，y）））。
4．设Qx：x是全社会的任一分子，Jx：x是教师，R（x，y）：x应当尊重y，则（x）（Qx→（y）（Jy→R（x，y）））。
5．设Lx：x是理科学生，Yx：x是艺术系的老师，R（x，y）：x认识y，则（x）（Lx∧（y）（Yy→R（x，y）））。
6．设p：男孩子努力学习，Px：x是漂亮姑娘，Nx：x是男孩子，则p→（x）（Px∧（y）（Ny ∧R（x，y）））【课后作业】一、利用给出的符号给下面的论证构造命题自然推理形式证明：1．前提1：p∨q，前提2：r→q，前提3：p，前提4：r∧q→s。
结论：s形式证明：（1）p∨q 前提（2）r→q 前提（3）p 前提（4）r∧q→s 前提（5）q （1）、（3），相容选言推理否定肯定式（6）r （2）、（5），蕴涵消去（7）r∧q （5）、（6），合取引入（8）s （4）、（7），蕴涵消去2．前提1：p?q，前提2：q→r，前提3：r→s，前提4：（p→s）→（q→p），前提5：p。
结论：q形式证明：（1）p→q 前提（2）q→r 前提（3）r→s 前提（4）（p→s）→（q→p）前提（5）p 前提（6）p→s 假言联锁（7）q→p （4）、（6），蕴涵消去（8）q （5）、（7），充分条件假言推理否定后件3．前提1：R∧L∧P J，前提2：A→R，前提3：A。
结论：J形式证明：（1）R∧L∧P J 前提（2）A→R 前提（3）A 前提（4）R （2）、（3），蕴涵消去（5）J→R∧L∧P等值消去（6）J （4）、（5），蕴涵消去4．前提1：D→W，前提2：A∨W，前提3：（D∧A）。
结论：D形式证明：（1）D→W 前提（2）A∨W前提（3）（D∧A）前提（4）D 间接证明的假设（5）W （1）、（5），蕴涵消去（6）A （2）、（6），相容选言推理否定肯定式（7）D∨ A （3）德·摩根律（8） D （6）、（7），蕴涵消去（9）D∧ D （4）、（8），合取引入（10） D （4）、（8），间接证明（消去间接证明的假设（4））二、利用给出的符号给下面的论证构造谓词自然推理形式证明：1．前提1：（x）（Sx→Dx），前提2：（x）（Lx→Dx）。
结论：（x）（Lx→Sx）形式证明：（1）（x）（Sx→Dx）前提（2）（x）（Lx→Dx）前提（3）Sa→Da （1），全称消去（4）La→Da （2），全称消去（5）Da→Sa （3），假言易位（6）La→Sa （4）、（5），假言三段论（7）（x）（Lx→Sx）（6），全称引入2．前提1：（x）（Ax→Bx），前提2：（x）（（Cx∨Dx）→Ax），前提3：（x）（Ex→Dx）。
结论：（x）（Ex∧Cx）→Bx）形式证明：（1）（x）（Ax→Bx）前提（2）（x）（（Cx∨Dx）?Ax）前提（3）（x）（Ex→Dx）前提（4）Aa→Ba （1），全称消去（5）（Ca∨Da）→Aa （2），全称消去（6）Ea→Da （3），全称消去（7）Ea∧Cx 假设（8）Ea （7），合取消去（9）Da （6）、（8），蕴涵消去（10）Aa （5）、（9），蕴涵消去（11）Ba （4）、（10），蕴涵消去（12）（Ea∧Ca）→Ba （7）、（11）蕴涵引入，（消去假设）（13）（x）（Ex∧Cx）→Bx）（12），全称引入３. 前提1：（x）（Lx→Tx），前提2：（x）（Lx∧Fx）。