苏教版必修5高中数学3.4.1《基本不等式的证明》word练习题

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高中数学(苏教版必修5)3.4.1基本不等式的证明

§3.4 基本不等式ab ≤a ＋b 2(a ≥0，b ≥0) 3．4.1 基本不等式的证明一、基础过关1．已知a >0，b >0，则1a ＋1b＋2ab 的最小值是________． 2．若a ，b ∈R ，且ab >0，则下列不等式中，恒成立的是________．①a 2＋b 2>2ab ②a ＋b ≥2ab ③1a ＋1b >2ab ④b a ＋a b≥2 3．已知m ＝a ＋1a －2(a >2)，n ＝⎝⎛⎭⎫12x 2－2 (x <0)，则m 、n 之间的大小关系是________． 4．设0<a <1<b ，则下列式子一定成立的有________．①log a b ＋log b a ≥2 ②log a b ＋log b a ≥－2③log a b ＋log b a ≤－2 ④log a b ＋log b a >25．若lg x ＋lg y ＝1，则2x ＋5y的最小值为________． 6．已知a ，b ∈(0，＋∞)，则下列不等式中恒成立的是________．①a ＋b ＋1ab≥2 2 ②(a ＋b )⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ≥4 ③a 2＋b 2ab≥2ab ④2ab a ＋b >ab 7．设a 、b 、c 都是正数，求证：bc a ＋ca b ＋ab c≥a ＋b ＋c . 8．已知x >y >0，xy ＝1，求证：x 2＋y 2x －y≥2 2. 二、能力提升9．若a <1，则a ＋1a －1有最______(填“大”或“小”)值，为__________． 10．若对任意x >0，x x 2＋3x ＋1≤a 恒成立，则a 的取值范围为________． 11．设x ，y ∈R ，a >1，b >1，若a x ＝b y ＝3，a ＋b ＝23，则1x ＋1y的最大值为________． 12．已知a ，b ，c 为不等正实数，且abc ＝1. 求证：a ＋b ＋c <1a ＋1b ＋1c. 三、探究与拓展13．已知a >b >0，求证：a 2＋16b (a －b )≥16. 答案1．4 2.④ 3.m >n 4.③ 5.2 6．①②③7．证明 ∵a 、b 、c 都是正数，∴bc a 、ca b 、ab c 也都是正数． ∴bc a ＋ca b ≥2c ，ca b ＋ab c ≥2a ，bc a ＋ab c≥2b ，三式相加得2⎝⎛⎭⎫bc a ＋ca b ＋ab c ≥2(a ＋b ＋c )，即bc a ＋ca b ＋ab c≥a ＋b ＋c . 8．证明 ∵xy ＝1，∴x 2＋y 2x －y ＝(x －y )2＋2xy x －y ＝(x －y )2＋2x －y＝(x －y )＋2x －y ≥2(x －y )·2x －y＝2 2.当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝2x －y xy ＝1，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6＋22y ＝6－22时取等号． 9．大－1 10.⎣⎡⎭⎫15，＋∞ 11.1 12．证明 ∵1a ＋1b ≥21ab＝2c ， 1b ＋1c ≥21bc＝2a ， 1c ＋1a ≥21ac＝2b ， ∴2⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ＋1c ≥2(a ＋b ＋c )，即1a ＋1b ＋1c ≥a ＋b ＋c . ∵a ，b ，c 为不等正实数，∴a ＋b ＋c <1a ＋1b ＋1c. 13．证明方法一 ∵a >b >0，∴a －b >0.∴a 2＋16b (a －b )＝[(a －b )＋b ]2＋16b (a －b )≥[2(a －b )b ]2＋16b (a －b )＝4(a －b )b ＋16b (a －b )≥4×2(a －b )b ×4b (a －b )＝16. 取“＝”时当且仅当：a －b ＝b >0且(a －b )b ＝4b (a －b )>0，即当a ＝22且b ＝2时“＝”成立．方法二 ∵a >b >0，∴a －b >0，b (a －b )≤⎝⎛⎭⎫a 22＝a 24，当且a ＝2b 时取等号，∴a 2＋16b (a －b )≥a 2＋16a 24＝a 2＋64a 2 ≥264＝16.当a ＝22，b ＝2时，等号成立．。

苏教版2017高中数学(必修五)学案 3.4.1 基本不等式的证明 Word版含解析

3．4 基本不等式ab ≤a ＋b2(a ≥0，b ≥0)3．4.1 基本不等式的证明1．理解基本不等式的内容及证明．(重点) 2．能运用基本不等式证明简单的不等式．(重点) 3．能用基本不等式求解简单的最大(小)值问题．(难点)[基础·初探]教材整理1 算术平均数与几何平均数阅读教材P 96，完成下列问题．对于正数a ，b ，我们把a ＋b2称为a ，b 的算术平均数，ab 称为a ，b 的几何平均数．若两个正数a ，b 的算术平均数为2，几何平均数为2，则a ＝________，b ＝________.【解析】由题意可知⎩⎨⎧a ＋b 2＝2，ab ＝2，∴⎩⎨⎧a ＋b ＝4，ab ＝4， ∴a ＝2，b ＝2. 【答案】 2 2教材整理2基本不等式阅读教材P97～P98，完成下列问题．如果a，b当且仅当a＝b时取“＝”)，我们把不等式ab≤a＋b2(a≥0，b≥0)称为基本不等式．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)对任意a，b∈R，都有a＋b≥2ab成立．()(2)不等式a2＋4≥4a成立的条件是a＝2.()【答案】(1)×(2)√[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：_________________________________________________ 解惑：_________________________________________________ 疑问2：_________________________________________________ 解惑：_________________________________________________ 疑问3：_________________________________________________解惑：__________________________________________________[小组合作型](1)求证：a＋b＋c≥ab＋bc＋ca；(2)求证：a2b＋b2c＋c2a≥a＋b＋c.【精彩点拨】(1)利用a＋b≥2ab，a＋c≥2ac，b＋c≥2bc求证；(2)利用a2b＋b≥2a2；b2c＋c≥2b2；c2a＋a≥2c2求证．【自主解答】(1)∵a>0，b>0，c>0，∴a＋b≥2ab，a＋c≥2ac，b＋c≥2bc. 又a，b，c为不全相等的正数，∴a＋b＋c≥ab＋ac＋bc.又a，b，c互不相等，故等号不能同时取到，所以a＋b＋c>ab＋ac＋bc.(2)∵a，b，c，a2b，b2c，c2a均大于0，∴a2b＋b≥2a2b·b＝2a，当且仅当a2b＝b时等号成立．b2c＋c≥2b2c·c＝2b，当且仅当b2c＝c时等号成立．c2a＋a≥2c2a·a＝2c，当且仅当c2a＝a时等号成立．相加得a2b＋b＋b2c＋c＋c2a＋a≥2a＋2b＋2c，∴a2b＋b2c＋c2a≥a＋b＋c.利用基本不等式证明不等式的条件要求：(1)利用基本不等式证明不等式，关键是所证不等式中必须有“和”或“积”式，通过将“和”式转化为“积”式或将“积”式转化为“和”式，从而达到放缩的效果．(2)注意多次运用基本不等式时等号能否取到．[再练一题]1．已知a ，b ，c ∈(0，＋∞)，且a ＋b ＋c ＝1. 求证：1a ＋1b ＋1c ≥9.【证明】法一 ∵a ，b ，c ∈(0，＋∞)，且a ＋b ＋c ＝1， ∴1a ＋1b ＋1c ＝a ＋b ＋c a ＋a ＋b ＋c b ＋a ＋b ＋c c＝3＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ＋a b ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c a ＋a c ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c b ＋b c ≥3＋2＋2＋2＝9.当且仅当a ＝b ＝c ＝13时等号成立．法二 ∵a ，b ，c ∈(0，＋∞)，且a ＋b ＋c ＝1， ∴1a ＋1b ＋1c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＋1c (a ＋b ＋c )＝3＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ＋a b ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c a ＋a c ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c b ＋a c ≥3＋2＋2＋2＝9，当且仅当a ＝b ＝c ＝13时等号成立．[探究共研型]探究1 【提示】不成立．如当x <0时，x ＋1x <0，显然不成立．探究2 当x <0时，能否应用基本不等式求解，x ＋1x 的范围是多少？【提示】可以，当x <0时，－x >0， ∴x ＋1x ＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤(－x )＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x≤－2(－x)·1(－x)＝－2.当且仅当－x＝－1x，即x＝－1时等号成立，∴x＋1x∈(－∞，－2]．探究3当x≥0时，如何求“x＋1x＋1”的最小值？【提示】x＋1x＋1＝(x＋1)＋1x＋1－1≥2(x＋1)·1x＋1－1＝2－1＝1，当且仅当x＋1＝1x＋1，即x＝0时等号成立．求函数y＝(x＋5)(x＋2)x＋1(x>－1)的最小值，并求相应的x值．【精彩点拨】y＝(x＋5)(x＋2)x＋1――→变形y＝(x＋1)＋kx＋1＋b――→基本不等式求最小值【自主解答】y＝(x＋5)(x＋2)x＋1＝(x＋1)2＋5(x＋1)＋4x＋1＝(x＋1)＋4x＋1＋5，∵x>－1，∴x＋1>0，∴y≥2(x＋1)·4x＋1＋5 ＝4＋5＝9.当且仅当x＋1＝4x＋1，即x＝1时，等号成立．∴函数y＝(x＋5)(x＋2)x＋1(x>－1)的最小值为9，此时x＝1.1．基本不等式使用的条件为“一正、二定、三相等”，三个条件缺一不可．在解题过程中，为了达到使用基本不等式的条件，往往需要通过配凑、裂项、转化、分离常数等变形手段，创设一个应用基本不等式的情境．2．应用基本不等式求函数最值，常见类型如下：(1)构造积为定值，利用基本不等式求最值； (2)构造和为定值，利用基本不等式求最值． [再练一题]2．(1)已知0<x <13，求函数y ＝x (1－3x )的最大值； (2)已知x >54，求函数y ＝4x －2＋14x －5的最小值.【导学号：91730065】【解】 (1)∵0<x <13， ∴1－3x >0，∴y ＝x (1－3x )＝13·3x (1－3x )≤ 13⎣⎢⎡⎦⎥⎤3x ＋(1－3x )22＝112，当且仅当x ＝16时，函数y ＝x (1－3x )取得最大值112. (2)∵x >54，∴4x －5>0， ∴y ＝4x －2＋14x －5＝4x －5＋14x －5＋3 ≥2(4x －5)·14x －5＋3＝5.当且仅当4x －5＝14x －5，即x ＝32时取等号．∴当x ＝32时，y 取最小值为5.1．a ＋1≥2a (a >0)中等号成立的条件是________．【解析】等号成立的条件是两项相等，即a ＝1. 【答案】 a ＝12．函数f (x )＝2x ＋8x (x >0)有最小值为________．【解析】 2x ＋8x ≥22x ·8x ＝8，当且仅当x ＝2时等号成立．【答案】 83．已知x ，y 为正实数，且x ＋4y ＝1，则xy 的最大值为________.【导学号：91730066】【解析】 ∵x >0，y >0，∴1＝x ＋4y ≥24xy ＝4xy ， ∴xy ≤116，当且仅当x ＝12，y ＝18时，等号成立． ∴(xy )max ＝116. 【答案】 1164．设b >a >0，且a ＋b ＝1，则四个数12，2ab ，a 2＋b 2，b 中最大的是________．【解析】 ∵b >a >0，∴a 2＋b 2>2ab . 又∵a ＋b ＝1，∴b >12.又b ＝b (b ＋a )＝b 2＋ab >b 2＋a 2，故b 最大．【答案】 b5．已知a ，b ，c ，d 都是正实数．求证：ad ＋bc bd ＋bc ＋adac ≥4.【证明】 ∵a ，b ，c ，d 都是正实数， ∴ad ＋bc bd ＋bc ＋ad ac ＝a b ＋c d ＋b a ＋d c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ＋a b ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫d c ＋c d ≥2b a ·ab ＋2d c ·cd ＝4.当且仅当a ＝b 且c ＝d 时取“＝”．我还有这些不足：(1)_________________________________________________ (2)_________________________________________________ 我的课下提升方案：(1)_________________________________________________ (2)_________________________________________________学业分层测评(十九) (建议用时：45分钟)[学业达标]一、填空题1．给出下面四个推导过程：①因为a ，b ∈(0，＋∞)，所以b a ＋ab ≥2b a ·a b ＝2；②因为x ，y ∈(0，＋∞)，所以lg x ＋lg y ≥2 lg x ·lg y ； ③因为a ∈R ，a ≠0，所以4a ＋a ≥24a ·a ＝4；④因为x ，y ∈R ，xy <0，所以x y ＋yx ＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫－x y ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－y x ≤－2⎝ ⎛⎭⎪⎫－x y ⎝ ⎛⎭⎪⎫－y x ＝－2. 其中正确的推导过程为________．【解析】 ②③错误，①④正确，对于②，lg x ，lg y 不一定为正数；对于③，a ∈R ，也失去了应用基本不等式的前提．【答案】 ①④2．已知函数f (x )＝4x ＋ax (x >0，a >0)在x ＝3时取得最小值，则a ＝________.【导学号：91730067】【解析】 ∵x >0，∴f (x )＝4x ＋ax ≥24a ＝4a . 当且仅当4x ＝a x ，即x ＝a2时等号成立．由题意可知a2＝3，即a ＝36. 【答案】 363．若a ，b ∈R ，且ab >0，则下列不等式中，恒成立的是________． (1)a 2＋b 2>2ab ；(2)a ＋b ≥2ab ；(3)1a ＋1b >2ab ；(4)b a ＋ab ≥2.【解析】 ∵a 2＋b 2－2ab ＝(a －b )2≥0，∴(1)错误．对于(2)(3)，当a <0，b <0时，明显错误．对于(4)，∵ab >0， ∴b a ＋a b ≥2b a ·a b ＝2.【答案】 (4)4．已知函数y ＝2＋3x 2＋12x 2，当x ＝________时，函数有最________值，为________．【解析】 ∵x 2>0， ∴y ＝2＋3x 2＋12x 2≥2＋23x 2·12x 2＝14，当且仅当3x 2＝12x 2，即x ＝±2时，取等号．【答案】 ±2 小 145．下列函数中最小值为4的是________．①y ＝x ＋4x ；②y ＝sin x ＋4sin x (0<x <π)；③y ＝3x ＋4·3－x ；④y ＝lg x ＋4log x 10. 【解析】对于③，y ＝3x ＋4·3－x ≥23x ·4·3－x ＝4，当且仅当3x ＝2时取等号．【答案】 ③6．设a ，b 是实数，且a ＋b ＝3，则2a ＋2b 的最小值是________．【解析】 ∵a ＋b ＝3，∴2a ＋2b ≥22a ·2b ＝22a ＋b ＝4 2. 当且仅当2a ＝2b ，即a ＝b ＝32时等号成立．【答案】 4 2 7．已知m ＝a ＋1a －2(a ＞2)，n ＝22－b 2(b ≠0)，则m ，n 之间的大小关系是________．【解析】 m ＝a ＋1a －2＝(a －2)＋1a －2＋2≥2(a －2)·1a －2＋2＝4，当且仅当a －2＝1a －2，即a ＝3时，“＝”成立，故m ∈[4，＋∞)，由b ≠0，得b 2≠0， ∴2－b 2＜2，∴22－b 2＜4，即n ∈(0,4)，综上易得m ＞n . 【答案】 m ＞n8．若a >b >1，P ＝lg a ·lg b ，Q ＝12(lg a ＋lg b )，R ＝lg ⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 2，则P ，Q ，R 的大小关系为________．【解析】 ∵a >b >1，∴lg a >lg b >0， ∴lg a ·lg b <12(lg a ＋lg b )，即P <Q ，又a ＋b 2>ab ，∴lg ⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 2>lg ab ＝12(lg a ＋lg b )， ∴R >Q ，即R >Q >P .【答案】 R >Q >P二、解答题9．已知a ，b 是正数，试比较21a ＋1b 与ab 的大小．【解】 ∵a >0，b >0，∴1a ＋1b ≥21ab >0， ∴21a ＋1b ≤221ab ＝ab ，即21a ＋1b≤ab . 10．已知a >0，b >0，a ＋b ＝1，求证：(1)1a ＋1b ＋1ab ≥8；(2)⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1b ≥9. 【证明】 (1)1a ＋1b ＋1ab ＝1a ＋1b ＋a ＋b ab ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b . ∵a ＋b ＝1，a >0，b >0，∴1a ＋1b ＝a ＋b a ＋a ＋b b ＝2＋a b ＋b a ≥2＋2＝4，∴1a ＋1b ＋1ab ≥8(当且仅当a ＝b ＝12时等号成立)．(2)法一 ∵a >0，b >0，a ＋b ＝1，∴1＋1a ＝1＋a ＋b a ＝2＋b a ，同理，1＋1b ＝2＋a b ，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋b a ·⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋a b ＝5＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ＋a b ≥5＋4＝9， ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1b ≥9(当且仅当a ＝b ＝12时等号成立)．法二 ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1b ＝1＋1a ＋1b ＋1ab . 由(1)知，1a ＋1b ＋1ab ≥8，故⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1b ＝1＋1a ＋1b ＋1ab ≥9.[能力提升]1．若x >0，y >0，且x ＋y ＝4，则下列不等式中恒成立的是________.【导学号：91730068】(1)1x ＋y≤14；(2)1x ＋1y ≥1；(3)xy ≥2； (4)1xy ≥1.【解析】若x >0，y >0，由x ＋y ＝4，得x ＋y 4＝1，∴1x ＋1y ＝14(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋1y ＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋y x ＋x y ≥14(2＋2)＝1，当且仅当x ＝y ＝2时，等号成立．【答案】 (2)2．若不等式x 2－ax ＋1≥0对一切x ∈(0,1]恒成立，则a 的取值范围是________．【解析】 x 2－ax ＋1≥0，x ∈(0,1]恒成立⇔ax ≤x 2＋1，x ∈(0,1]恒成立⇔a ≤x ＋1x ，x ∈(0,1]恒成立．∵x ∈(0,1]，x ＋1x ≥2，∴a ≤2.【答案】 (－∞，2]3．设0<a <1<b ，则log a b ＋log b a 的最大值为________．【解析】 ∵0<a <1<b ，∴log a b <0，log b a <0，－log a b >0，∴(－log a b )＋(－log b a )＝(－log a b )＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－1log a b ≥2， ∴log a b ＋log b a ≤－2.【答案】－24．已知x >y >0，xy ＝1，求x 2＋y 2x －y的最小值．【解】 ∵xy ＝1，∴x 2＋y 2x －y ＝(x －y )2＋2xy x －y＝(x －y )2＋2x －y ＝(x －y )＋2x －y ≥ 2(x －y )·2x －y＝2 2. 当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧ x －y ＝2x －y ，xy ＝1，即⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝6＋22，y ＝6－22时取等号．。

高中数学苏教版必修5 3.4.1 基本不等式的证明作业 Word版含解析

[学业水平训练]一、填空题1．(2021·镇江调研)a ＞0 ,b ＞0 ,a ＋b ＝4 ,那么以下各式中正确的选项是________． ①1a ＋1b ≤14；②1a ＋1b≥1； ③ab ≥2; ④1ab≥1. 解析：由a ＞0 ,b ＞0 ,知a ＋b 2≥ab , 又a ＋b ＝4 ,∴ab ≤2 ,∴ab ≤4 ,∴1ab ≥14 , ∴1a ＋1b ＝a ＋b ab ＝4ab ≥1 ,即1a ＋1b≥1. 答案：②2．数列{a n }的通项公式为a n ＝n ＋1 ,n ∈N * ,那么a 2n ＋1________a n a n ＋2.(用不等号填空)．解析：法一：a 2n ＋1＝(n ＋2)2＝n 2＋4n ＋4 ,a n a n ＋2＝(n ＋1)(n ＋3)＝n 2＋4n ＋3 ,a 2n ＋1－a n a n＋2＝1＞0 ,∴a 2n ＋1＞a n a n ＋2.法二：∵a n ＞0 ,且{a n }为等差数列 ,公差大于0 ,∴a n ＋a n ＋2＝2a n ＋1 ,∴a n a n ＋2＜(a n ＋a n ＋22)2＝a 2n ＋1. 答案：＞3．a ＞b ＞c ,那么 (a －b ) (b －c )与a －c 2的大小关系是________．解析：∵a ＞b ＞c ,∴a －b ＞0 ,b －c ＞0 ,∴a －c 2＝ (a －b )＋ (b －c )2≥ (a －b ) (b －c )(当且仅当a ＋c ＝2b 时 ,取 "＝〞)．答案： (a －b ) (b －c )≤a －c 24．假设a >b >1 ,P ＝lg a ·lg b ,Q ＝12(lg a ＋lg b ) ,R ＝lg(a ＋b 2) ,那么P 、Q 、R 的大小关系为________．解析：∵lg a >lg b >0 ,∴12(lg a ＋lg b )>lg a ·lg b ,即Q >P . 又∵a >b >1 ,∴a ＋b 2>ab . ∴lg(a ＋b 2)>lg ab ＝12(lg a ＋lg b ) ,即R >Q . 故有P <Q <R .答案：P <Q <R5．函数f (x )＝2x ,假设a ≠b ,记P ＝f ⎝⎛⎭⎫a ＋b 2 ,Q ＝12[f (a )＋f (b )] ,那么P ,Q 的大小关系是________．解析：P ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2＝ 2a ·2b <12(2a ＋2b )＝Q .答案：P <Q6．m ＝a ＋1a －2(a >2) ,n ＝⎝⎛⎭⎫12x 2－2(x ≠0) ,那么m 与n 之间的大小关系为________．解析：m ＝a ＋1a －2＝a －2＋1a －2＋2≥2 (a －2 )·1a －2＋2＝4 ,当且仅当a －2＝1a －2 ,即a ＝3时取等号 ,而n ＝⎝⎛⎭⎫12x 2－2<⎝⎛⎭⎫12－2＝4.∴m >n . 答案：m >n7．设f (x )＝x 2＋x ＋1 ,g (x )＝x 2＋1 ,那么f (x )g (x )的取值范围是________．解析：f (x )g (x )＝x 2＋x ＋1x 2＋1＝1＋x x 2＋1 ,当x ＝0时 ,f (x )g (x )＝1；当x >0时 ,f (x )g (x )＝1＋1x ＋1x≤1＋12＝32；当x <0时 ,x ＋1x ＝－⎣⎡⎦⎤ (－x )＋⎝⎛⎭⎫－1x ≤－2 ,那么f (x )g (x )＝1＋1x ＋1x≥1－12＝12.∴f (x )g (x )∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12 32. 答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤12 32二、解答题8．a ,b ,c ∈R ＋ ,且a ＋b ＋c ＝1 ,求证⎝⎛⎭⎫1a －1⎝⎛⎭⎫1b －1⎝⎛⎭⎫1c －1≥8. 证明：∵a ,b ,c ∈R ＋ ,a ＋b ＋c ＝1 ,∴1a －1＝1－a a ＝b ＋c a ≥2bc a, 同理 ,1b －1≥2ac b ,1c －1≥2ab c. ∵上述三个不等式两边均为正 ,∴⎝⎛⎭⎫1a －1⎝⎛⎭⎫1b －1⎝⎛⎭⎫1c －1≥2bc a ·2ac b ·2ab c＝8 , 当且仅当a ＝b ＝c ＝13时取等号． 9．a ,b ,c 为不全相等的正实数．求证：a ＋b ＋c >ab ＋bc ＋ca .证明：∵a >0 ,b >0 ,c >0 ,∴a ＋b ≥2ab >0 ,b ＋c ≥2bc >0 ,c ＋a ≥2ca >0.∴2(a ＋b ＋c )≥2(ab ＋bc ＋ca ) ,即a ＋b ＋c ≥ab ＋bc ＋ca .由于a ,b ,c 为不全相等的正实数 ,故等号不成立．∴a ＋b ＋c >ab ＋bc ＋ca .[（高|考）水平训练]一、填空题1．假设a >0 ,b >0 ,a ＋b ＝2 ,那么以下不等式对一切满足条件的a ,b 恒成立的是________．(写出所有正确命题的编号) ①ab ≤1；②a ＋b ≤2；③a 2＋b 2≥2；④a 3＋b 3≥3；⑤1a ＋1b≥2. 解析：①ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22＝1 ,成立． ②欲证a ＋b ≤2 ,即证a ＋b ＋2ab ≤2 ,即2ab ≤0 ,显然不成立．③欲证a 2＋b 2＝(a ＋b )2－2ab ≥2 ,即证4－2ab ≥2 ,即ab ≤1 ,由①知成立．④a 3＋b 3＝(a ＋b )(a 2－ab ＋b 2)≥3⇔a 2－ab ＋b 2≥32⇔(a ＋b )2－3ab ≥32⇔4－32≥3ab ⇔ab ≤56, 由①知 ,ab ≤56不恒成立． ⑤欲证1a ＋1b ≥2 ,即证a ＋b ab≥2 ,即ab ≤1 ,由①知成立．答案：①③⑤2．某民营企业的一种电子产品 ,2021年的年产量在2021年根底上增长率为a ；2021年方案在2021年的根底上增长率为b (a ,b ＞0) ,假设这两年的平均增长率为q ,那么q 与a ＋b 2的大小关系是________．解析：设2021年的年产量为1 ,那么2021年的年产量为(1＋a )(1＋b ) ,∴(1＋q )2＝(1＋a )(1＋b ) ,∴1＋q ＝ (1＋a ) (1＋b )≤1＋a ＋1＋b 2＝1＋a ＋b 2, ∴q ≤a ＋b 2,当且仅当a ＝b 时 ,取 "＝〞．答案：q ≤a ＋b 2二、解答题3．如图 ,在⊙O 上半圆中 ,设AC ＝a ,CB ＝b ,OF ⊥AB 交上半圆于F ,请你利用FC ≥OF 得出一个关于a ,b 的不等式 ,并证明你的结论．解：关于a ,b 的不等式为：a 2＋b 22≥a ＋b 2.证明如下： ∵OF ＝a ＋b 2 ,OC ＝a －b 2, FC ＝ ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a －b 22＝ a 2＋b 22.∵FC ≥OF ,∴ a 2＋b 22≥a ＋b 2. 4．假设a ,b ,c 都是小于1的正数 ,求证：(1－a )b ,(1－b )c ,(1－c )a 不可能同时大于14. 证明：法一：假设(1－a )b ,(1－b )c ,(1－c )a 同时大于14 ,因为1－a >0 ,b >0 ,所以 (1－a )＋b 2≥ (1－a )b >14＝12. 同理有 (1－b )＋c 2>12 , (1－c )＋a 2>12.三个不等式相加得32>32,矛盾 ,故假设不成立 ,所以(1－a )b ,(1－b )c ,(1－c )a 不可能同时大于14. 法二：假设(1－a )b >14 ,(1－b )c >14 ,(1－c )a >14同时成立．因为1－a >0 ,1－b >0 ,1－c >0 ,a >0 ,b >0 ,c >0 ,所以(1－a )b (1－b )c (1－c )a >164 ,即(1－a )a (1－b )b (1－c )c >164(*)．又(1－a )a ≤⎣⎢⎡⎦⎥⎤ (1－a )＋a 22＝14 ,同理 ,(1－b )b ≤14 ,(1－c )c ≤14 ,故(1－a )a (1－b )b (1－c )c ≤164 ,与(*)矛盾 ,故假设不成立 ,所以(1－a )b ,(1－b )c ,(1－c )a 不可能同时大于14.。

2019-2020学年度最新苏教版高中数学苏教版必修五学案：3.4-1 基本不等式的证明

2019-2020学年度最新苏教版高中数学苏教版必修五学案：3．4-1 基本不等式的证明能力突破训练1.已知函数f(x)的导函数为f'(x),且满足f(x)=af'(1)x+ln x,若f'=0,则a=()A.-1B.-2C.1D.22.(2017浙江,7)函数y=f(x)的导函数y=f'(x)的图象如图所示,则函数y=f(x)的图象可能是()3.若定义在R上的函数f(x)满足f(0)=-1,其导函数f'(x)满足f'(x)>k>1,则下列结论中一定错误的是()A.fB.f-C.f--D.f--4.已知常数a,b,c都是实数,f(x)=ax3+bx2+cx-34的导函数为f'(x),f'(x)≤0的解集为{x|-2≤x≤3}.若f(x)的极小值等于-115,则a的值是()A.-B.C.2D.55.若直线y=kx+b是曲线y=ln x+2的切线,也是曲线y=ln(x+1)的切线,则b= .6.在曲线y=x3+3x2+6x-1的切线中,斜率最小的切线方程为.7.设函数f(x)=a e x++b(a>0).(1)求f(x)在[0,+∞)上的最小值;(2)设曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程为y=x,求a,b的值.8.设函数f(x)=x e a-x+bx,曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程为y=(e-1)x+4.(1)求a,b的值;(2)求f(x)的单调区间.9.设a>1,函数f(x)=(1+x2)e x-a.(1)求f(x)的单调区间;(2)证明:f(x)在区间(-∞,+∞)上仅有一个零点;(3)若曲线y=f(x)在点P处的切线与x轴平行,且在点M(m,n)处的切线与直线OP平行(O是坐标原点),证明:m≤--1.10.已知函数f(x)=x3+-x2-ax-a,x∈R,其中a>0.(1)求函数f(x)的单调区间;(2)若函数f(x)在区间(-2,0)内恰有两个零点,求a的取值范围;(3)当a=1时,设函数f(x)在区间[t,t+3]上的最大值为M(t),最小值为m(t),记g(t)=M(t)-m(t),求函数g(t)在区间[-3,-1]上的最小值.思维提升训练11.(2017陕西咸阳二模)已知定义在R上的函数f(x)的导函数为f'(x),对任意x∈R满足f(x)+f'(x)<0,则下列结论正确的是()A.e2f(2)>e3f(3)B.e2f(2)<e3f(3)C.e2f(2)≥e3f(3)D.e2f(2)≤e3f(3)12.已知f'(x)为定义在R上的函数f(x)的导函数,对任意实数x,都有f(x)<f'(x),则不等式f(m+1)<e m+1f的解集为.13.已知函数f(x)=.(1)求函数f(x)的单调区间;(2)当x>0时,若f(x)>恒成立,求整数k的最大值.14.已知函数f(x)=ln x-ax2+x,a∈R.(1)若f(1)=0,求函数f(x)的单调递减区间;(2)若关于x的不等式f(x)≤ax-1恒成立,求整数a的最小值;(3)若a=-2,正实数x1,x2满足f(x1)+f(x2)+x1x2=0,求证:x1+x2≥-.15.(2017山东,理20)已知函数f(x)=x2+2cos x,g(x)=e x(cos x-sin x+2x-2),其中e≈2.718 28…是自然对数的底数.(1)求曲线y=f(x)在点(π,f(π))处的切线方程.(2)令h(x)=g(x)-af(x)(a∈R),讨论h(x)的单调性并判断有无极值,有极值时求出极值.参考答案专题能力训练7导数与函数的单调性、极值、最值能力突破训练1.D解析因为f'(x)=af'(1)+,所以f'(1)=af'(1)+1,易知a≠1,则f'(1)=-,所以f'(x)=-又因为f'=0,所以-+2=0,解得a=2.故选D.2.D解析设导函数y=f'(x)的三个零点分别为x1,x2,x3,且x1<0<x2<x3.所以在区间(-∞,x1)和(x2,x3)上,f'(x)<0,f(x)是减函数,在区间(x1,x2)和(x3,+∞)上,f'(x)>0,f(x)是增函数,所以函数y=f(x)的图象可能为D,故选D.3.C解析构造函数F(x)=f(x)-kx,则F'(x)=f'(x)-k>0,∴函数F(x)在R上为单调递增函数.->0,∴F->F(0).∵F(0)=f(0)=-1,∴f-->-1,即f---1=-,∴f--,故C错误.4.C解析依题意得f'(x)=3ax2+2bx+c≤0的解集是[-2,3],于是有3a>0,-2+3=-,-2×3=,则b=-,c=-18a.函数f(x)在x=3处取得极小值,于是有f(3)=27a+9b+3c-34=-115,则-a=-81,解得a=2.故选C.5.1-ln 2解析对函数y=ln x+2求导,得y'=,对函数y=ln(x+1)求导,得y'=设直线y=kx+b 与曲线y=ln x+2相切于点P1(x1,y1),与曲线y=ln(x+1)相切于点P2(x2,y2),则y1=ln x1+2,y2=ln(x2+1).由点P1(x1,y1)在切线上,得y-(ln x1+2)=(x-x1),由点P2(x2,y2)在切线上,得y-ln(x2+1)=(x-x2).因为这两条直线表示同一条直线,所以解得x1=,所以k==2,b=ln x1+2-1=1-ln2.6.3x-y-2=0解析y'=3x2+6x+6=3(x+1)2+3≥3.当x=-1时,y'min=3;当x=-1时,y=-5.故切线方程为y+5=3(x+1),即3x-y-2=0.7.解(1)f'(x)=a e x-当f'(x)>0,即x>-ln a时,f(x)在区间(-ln a,+∞)内单调递增;当f'(x)<0,即x<-ln a时,f(x)在区间(-∞,-ln a)内单调递减.①当0<a<1时,-ln a>0,f(x)在区间(0,-ln a)内单调递减,在区间(-ln a,+∞)内单调递增,从而f(x)在区间[0,+∞)内的最小值为f(-ln a)=2+b;②当a≥1时,-ln a≤0,f(x)在区间[0,+∞)内单调递增,从而f(x)在区间[0,+∞)内的最小值为f(0)=a++b.(2)依题意f'(2)=a e2-,解得a e2=2或a e2=-(舍去).所以a=,代入原函数可得2++b=3,即b=故a=,b=8.解(1)因为f(x)=x e a-x+bx,所以f'(x)=(1-x)e a-x+b.依题设,-即----解得a=2,b=e.(2)由(1)知f(x)=x e2-x+e x.由f'(x)=e2-x(1-x+e x-1)及e2-x>0知,f'(x)与1-x+e x-1同号.令g(x)=1-x+e x-1,则g'(x)=-1+e x-1.所以,当x∈(-∞,1)时,g'(x)<0,g(x)在区间(-∞,1)上单调递减;当x∈(1,+∞)时,g'(x)>0,g(x)在区间(1,+∞)上单调递增.故g(1)=1是g(x)在区间(-∞,+∞)上的最小值,从而g(x)>0,x∈(-∞,+∞).综上可知,f'(x)>0,x∈(-∞,+∞).故f(x)的单调递增区间为(-∞,+∞).9.解(1)由题意可知函数f(x)的定义域为R,f'(x)=(1+x2)'e x+(1+x2)(e x)'=(1+x)2e x≥0,故函数f(x)的单调递增区间为(-∞,+∞),无单调递减区间.(2)∵a>1,∴f(0)=1-a<0,且f(a)=(1+a2)e a-a>1+a2-a>2a-a=a>0.∴函数f(x)在区间(0,a)上存在零点.又由(1)知函数f(x)在区间(-∞,+∞)内单调递增,∴函数f(x)在区间(-∞,+∞)内仅有一个零点.(3)由(1)及f'(x)=0,得x=-1.又f(-1)=-a,即P--,∴k OP=----=a-又f'(m)=(1+m)2e m,∴(1+m)2e m=a-令g(m)=e m-m-1,则g'(m)=e m-1,∴由g'(m)>0,得m>0,由g'(m)<0,得m<0.∴函数g(m)在区间(-∞,0)内单调递减,在区间区间(0,+∞)内单调递增.∴g(m)min=g(0)=0,即g(m)≥0在R上恒成立,即e m≥m+1.∴a-=(1+m)2e m≥(1+m)2(1+m)=(1+m)3,即-1+m.故m--1.10.解(1)f'(x)=x2+(1-a)x-a=(x+1)(x-a).由f'(x)=0,得x1=-1,x2=a>0.当x变化时,f'(x),f(x)的变化情况如下表:x(-∞,-1) -1 (-1,a) a (a,+∞)故函数f(x)的单调递增区间是(-∞,-1),(a,+∞);单调递减区间是(-1,a).(2)由(1)知f(x)在区间(-2,-1)内单调递增,在区间(-1,0)内单调递减,从而函数f(x)在区间(-2,0)内恰有两个零点当且仅当--解得0<a<所以a的取值范围是(3)当a=1时,f(x)=x3-x-1.由(1)知f(x)在区间[-3,-1]上单调递增,在区间[-1,1]上单调递减,在区间[1,2]上单调递增.①当t∈[-3,-2]时,t+3∈[0,1],-1∈[t,t+3],f(x)在区间[t,-1]上单调递增,在区间[-1,t+3]上单调递减.因此f(x)在区间[t,t+3]上的最大值M(t)=f(-1)=-,最小值m(t)为f(t)与f(t+3)中的较小者.由f(t+3)-f(t)=3(t+1)(t+2)知,当t∈[-3,-2]时,f(t)≤f(t+3),则m(t)=f(t),所以g(t)=f(-1)-f(t).因为f(t)在区间[-3,-2]上单调递增,所以f(t)≤f(-2)=-故g(t)在区间[-3,-2]上的最小值为g(-2)=--②当t∈[-2,-1]时,t+3∈[1,2],且-1,1∈[t,t+3].下面比较f(-1),f(1),f(t),f(t+3)的大小.因为f(x)在区间[-2,-1],[1,2]上单调递增,所以f(-2)≤f(t)≤f(-1),f(1)≤f(t+3)≤f(2).因为f(1)=f(-2)=-,f(-1)=f(2)=-,从而M(t)=f(-1)=-,m(t)=f(1)=-所以g(t)=M(t)-m(t)=综上,函数g(t)在区间[-3,-1]上的最小值为思维提升训练11.A解析利用单调性解抽象不等式时,关键要注意结论与已知条件的联系,通过构造合适的函数来求解.令g(x)=e x f(x),则g'(x)=e x(f(x)+f'(x))<0,所以g(x)在R上单调递减,所以g(2)>g(3),即e2f(2)>e3f(3).故选A.12.(-∞,-2)解析若g(x)=,则g'(x)=->0,所以g(x)在R上为增函数.又不等式f(m+1)<e m+1f等价于,即g(m+1)<g,所以m+1<,解得m<-2.13.解(1)由f(x)=,知x∈(-1,0)∪(0,+∞).所以f'(x)=-令h(x)=1+(x+1)ln(x+1),则h'(x)=1+ln(x+1).令h'(x)=0,得x=-1,易得h(x)在区间--内单调递减,在区间-内单调递增.所以h(x)min=h-=1->0,∴f'(x)<0.故f(x)的单调递减区间为(-1,0),(0,+∞).(2)当x>0时,f(x)>恒成立,则k<(x+1)f(x).令g(x)=(x+1)f(x)=,则g'(x)=--令φ(x)=1-x+ln(x+1)(x>0)⇒φ'(x)=-<0,所以φ(x)在区间(0,+∞)内单调递减.又φ(2)=ln3-1>0,φ(3)=2ln2-2<0,则存在实数t∈(2,3),使φ(t)=0⇒t=1+ln(t+1).所以g(x)在区间(0,t)内单调递减,在区间(t,+∞)内单调递增.所以g(x)min=g(t)==t+1∈(3,4),故k max=3.14.解(1)因为f(1)=1-=0,所以a=2.此时f(x)=ln x-x2+x,x>0.则f'(x)=-2x+1=-(x>0).令f'(x)<0,则2x2-x-1>0.又x>0,所以x>1.所以f(x)的单调递减区间为(1,+∞).(2)(方法一)令g(x)=f(x)-(ax-1)=ln x-ax2+(1-a)x+1,则g'(x)=-ax+(1-a)=--当a≤0时,因为x>0,所以g'(x)>0.所以g(x)在区间(0,+∞)内是增函数,又g(1)=ln1-a×12+(1-a)+1=-a+2>0,所以关于x的不等式f(x)≤ax-1不能恒成立.当a>0时,g'(x)=--=--(x>0),令g'(x)=0,得x=所以当x时,g'(x)>0;当x时,g'(x)<0,因此函数g(x)在x内是增函数,在x内是减函数.故函数g(x)的最大值为g=ln a+(1-a)+1=-ln a.令h(a)=-ln a,因为h(1)=>0,h(2)=-ln2<0,又h(a)在a∈(0,+∞)内是减函数,且a为整数,所以当a≥2时,h(a)<0.所以整数a的最小值为2.(方法二)由f(x)≤ax-1恒成立,得ln x-ax2+x≤ax-1在(0,+∞)内恒成立,问题等价于a在区间(0,+∞)内恒成立.令g(x)=,因为g'(x)=--,令g'(x)=0,得-x-ln x=0.设h(x)=-x-ln x,因为h'(x)=-<0,所以h(x)在区间(0,+∞)上单调递减,不妨设-x-ln x=0的根为x0.当x∈(0,x0)时,g'(x)>0;当x∈(x0,+∞)时,g'(x)<0,所以g(x)在x∈(0,x0)内是增函数;在x∈(x0,+∞)内是减函数.所以g(x)max=g(x0)=因为h=ln2->0,h(1)=-<0,所以<x0<1,此时1<<2,即g(x)max∈(1,2).所以a≥2,即整数a的最小值为2.(3)证明:当a=-2时,f(x)=ln x+x2+x,x>0.由f(x1)+f(x2)+x1x2=0,得ln x1++x1+ln x2++x2+x1x2=0,从而(x1+x2)2+x1+x2=x1·x2-ln(x1·x2).令t=x1·x2(t>0),φ(t)=t-ln t,则φ'(t)=-可知,φ(t)在区间(0,1)内单调递减,在区间(1,+∞)内单调递增.所以φ(t)≥φ(1)=1,所以(x1+x2)2+x1+x2≥1,因此x1+x2-或x1+x2--(舍去).15.解(1)由题意f(π)=π2-2,又f'(x)=2x-2sin x,所以f'(π)=2π,因此曲线y=f(x)在点(π,f(π))处的切线方程为y-(π2-2)=2π(x-π),即y=2πx-π2-2.(2)由题意得h(x)=e x(cos x-sin x+2x-2)-a(x2+2cos x),因为h'(x)=e x(cos x-sin x+2x-2)+e x(-sin x-cos x+2)-a(2x-2sin x)=2e x(x-sin x)-2a(x-sin x)=2(e x-a)(x-sin x),令m(x)=x-sin x,则m'(x)=1-cos x≥0,所以m(x)在R上单调递增.因为m(0)=0,所以当x>0时,m(x)>0;当x<0时,m(x)<0.①当a≤0时,e x-a>0,当x<0时,h'(x)<0,h(x)单调递减,当x>0时,h'(x)>0,h(x)单调递增,所以当x=0时h(x)取到极小值,极小值是h(0)=-2a-1;②当a>0时,h'(x)=2(e x-e ln a)(x-sin x),由h'(x)=0得x1=ln a,x2=0.(ⅰ)当0<a<1时,ln a<0,当x∈(-∞,ln a)时,e x-e ln a<0,h'(x)>0,h(x)单调递增;当x∈(ln a,0)时,e x-e ln a>0,h'(x)<0,h(x)单调递减;当x∈(0,+∞)时,e x-e ln a>0,h'(x)>0,h(x)单调递增.所以当x=ln a时h(x)取到极大值.极大值为h(ln a)=-a[ln2a-2ln a+sin(ln a)+cos(ln a)+2],当x=0时h(x)取到极小值,极小值是h(0)=-2a-1;(ⅱ)当a=1时,ln a=0,所以当x∈(-∞,+∞)时,h'(x)≥0,函数h(x)在(-∞,+∞)上单调递增,无极值;(ⅲ)当a>1时,ln a>0,所以当x∈(-∞,0)时,e x-e ln a<0,h'(x)>0,h(x)单调递增;当x∈(0,ln a)时,e x-e ln a<0,h'(x)<0,h(x)单调递减;当x∈(ln a,+∞)时,e x-e ln a>0,h'(x)>0,h(x)单调递增.所以当x=0时h(x)取到极大值,极大值是h(0)=-2a-1;当x=ln a时h(x)取到极小值,极小值是h(ln a)=-a[ln2a-2ln a+sin(ln a)+cos(ln a)+2].综上所述:当a≤0时,h(x)在区间(-∞,0)上单调递减,在区间(0,+∞)上单调递增,函数h(x)有极小值,极小值是h(0)=-2a-1;当0<a<1时,函数h(x)在区间(-∞,ln a)和区间(0,+∞)上单调递增,在区间(ln a,0)上单调递减,函数h(x)有极大值,也有极小值,极大值是h(ln a)=-a[ln2a-2ln a+sin(ln a)+cos(ln a)+2],极小值是h(0)=-2a-1;当a=1时,函数h(x)在区间(-∞,+∞)上单调递增,无极值;当a>1时,函数h(x)在区间(-∞,0)和(ln a,+∞)上单调递增,在区间(0,ln a)上单调递减,函数h(x)有极大值,也有极小值,极大值是h(0)=-2a-1,极小值是h(ln a)=-a[ln2a-2ln a+sin(ln a)+cos(ln a)+2].- 11 - / 11。

2019-2020年数学·必修5(苏教版)练习：第3章3.4-3.4.基本不等式的证明 Word版含解析

第3章不等式3.4 基本不等式ab ≤a ＋b 2(a ≥0，b ≥0)3.4. 基本不等式的证明A 级基础巩固一、选择题1．如果a 、b 为绝对值不相等的非零实数，那么a b ＋b a的值是( ) A ．大于2B ．小于－2或大于2C ．小于等于2D ．大于－2或小于2解析：a ，b 同号时大于2，a ，b 异号时小于－2.答案：B2．下列各式中，对任何实数x 都成立的一个式子是( )A ．lg(x 2＋1)≥lg(2x )B ．x 2＋1>2x C.1x2＋1≤1 D ．x ＋1x≥2 解析：对于A ，当x ≤0时，无意义，故A 不恒成立；对于B ，当x ＝1时，x 2＋1＝2x ，故B 不成立；对于D ，当x <0时，不成立．对于C ，x 2＋1≥1，所以1x2＋1≤1成立．故选C. 答案：C3．给出下面四个推导过程：①因为a ，b ∈R ＋，所以b a ＋a b ≥2 b a ·a b＝2； ②因为x ，y ∈R ＋，所以lg x ＋lg y ≥2lg x·lg y ；③因为a ∈R ，a ≠0，所以4a＋a ≥2 4a·a ＝4； ④因为x ，y ∈R ，xy ＜0，所以x y ＋y x＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫－x y ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－y x ≤－2⎝ ⎛⎭⎪⎫－x y ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－y x ＝－2. 其中正确的推导为( )A ．①②B ．②③C ．③④D ．①④解析：①由于a ，b ∈R ＋，所以b a ，a b∈R ＋，符合基本不等式的条件，故①推导正确；②虽然x ，y ∈R ＋，但当x ∈(0，1)和y ∈(0，1)时，lg x 和lg y 都是负数，所以②的推导过程是错误的；③由a ∈R ，不符合基本不等式的条件，所以4a ＋a ≥2 4a ·a ＝4是错误的； ④由xy ＜0，得x y ，y x 均为负数，但在推导过程中将整体x y ＋y x 提出负号后，⎝ ⎛⎭⎪⎫－x y ，⎝ ⎛⎭⎪⎫－y x 均变为正数，符合基本不等式的条件，故④正确．答案：D4．已知t >0，则函数y ＝t2－4t ＋1t的最小值为( ) A ．－2 B.12 C ．1 D ．2。

苏教版必修5第3章第四节基本不等式1基本不等式的证明(学案含答案)

高中基本不等式的证明数学一、考点打破知识点课标要求题型说明a b （ a ≥0，基本不等式的证明中要1.掌握基本不等式ab基本不等 2选择题注意多次运用公式等号可否 b ≥0）；式的证明填空题同时取到，这一章节也是不 2.能用基本不等式证明简单不等式（指只等式的难点。

用一次基本不等式，即可解决的问题）二、重难点提示重点：理解掌握基本不等式，并能利用基本不等式证明不等式。

难点：理解基本不等式等号建立的条件。

考点一：基本不等式假如 a ， bab （当且仅当 a ＝ b是正数，那么ab2时取 “＝ ”），我们把不等式abab称为基本不等式。

2【重点解说】① 关于正数 a ，b ，我们把ab称为 a ，b 的算术均匀数，ab 称为 a ，b 的几何均匀2数，基本不等式可表达为：两个正数的算术均匀数不小于它们的几何均匀数。

② 关于 “=的”理解应为若a b ，则ab ab 且若abab ，则 ab ，也就a b 22是说当 ab 时，ab 。

2③ 注意 a 2b 22ab 与abab 建立的条件是不一样的，前者是a,b R ，后者是a, b R *2。

考点二：基本不等式的其余形式基本不等式的四种形式【重点解说】①② 两种形式的前提是 a, bR ，③④ 两种形式的前提是 a,bR * ；四种形式等号建立的条件都是 a b 。

考点三：利用基本不等式证明不等式（ 1）注意均值不等式的前提条件；（ 2）经过加减项的方法配凑成使用算术均匀数与几何均匀数定理的形式；（ 3）注意 “ 1的”代换；（ 4）灵巧变换基本不等式的形式并注意其变形式的运用。

第1页/共3页b 22b(a 0) ；b 2 如 a2b a(a 0)aa（ 5）合理配组，频频应用不等式。

基本不等式拥有将 “和式 ”转变为 “积式 ”和将 “积式 ”转变为 “和式 ”的放缩功能，经常用于比较数（式）的大小或证明不等式，解决问题的重点是剖析不等式两边的构造特色，选择好利用基本不等式的切入点。

苏教版数学高二-必修5试题 3.4.1基本不等式的证明 (2)

3.4.1 基本不等方式的证明一、选择题1．不等式a 2＋4≥4a 中等号成立的条件是__________.解析：由a 2＋4－4a ＝(a －2)2若a 2＋4＝4a ，则a ＝2答案：a ＝22．若1a <1b <0，则不等式(1)a ＋b<ab ，(2)|a|>|b|，(3)a<b ，(4)b a ＋a b>2中，正确的有_____个．解析：由1a <1b<0，得0>a>b. ∴(2)错误，(3)错误．∵b<a<0，∴a ＋b<0，ab>0.∴a ＋b<ab.即(1)正确．∴b a ＋a b>2成立．即(4)正确．答案：23．若a>b>1，P ＝lga·lgb ，Q ＝12(lga ＋lgb)，R ＝lg(a ＋b 2)，则P 、Q 、R 的大小关系为__________[]解析：∵a>b>1，∴lga>0，lgb>0，且lga>lgb. ∴lga·lgb<12(lga ＋lgb)．又12(lga ＋lgb)＝12lg(ab)＝lg ab ， ∵ab<a ＋b 2， ∴lg ab<lg(a ＋b 2)． ∴P<Q<R.答案：P<Q<R4．设a ＝2x ＋3x 2，b ＝62x ，c ＝ 4x ＋9x 2，且x≠0，则a 、b 、c 的大小关系为________．解析：由ab ≤a ＋b 2≤ a 2＋b 22，当且仅当a ＝b 时取等号，令a ＝2x ，b ＝3x ， ∵x≠0，∴a≠b,62x<2x ＋3x 2< 4x ＋9x 2. 答案：b<a<c5．已知x ，y 是正数，且xy ＝4，则y x ＋x y 取得最小值时，x 的值是________．解析：由y x ＋x y ≥2xy ＝22，此时y x ＝x y ，即x ＝y ＝2.答案：2 二、解答题6．已知x>－1，试比较x ＋1x ＋1与1的大小. 解：(1)∵x>－1，∴x ＋1>0，1x ＋1>0. ∴x ＋1x ＋1＝(x ＋1)＋1x ＋1－1 ≥2x ＋1·1x ＋1－1＝1 当x ＋1＝1x ＋1即x ＝0时，x ＋1x ＋1＝1. 当x>－1，且x≠0时x ＋1x ＋1>1. 7．已知a 、b 、c 为正数，求证：b ＋c －a a ＋c ＋a －b b ＋a ＋b －c c≥3. 证明：∵a 、b 、c 为正数．∴b ＋c －a a ＋c ＋a －b b ＋a ＋b －c c＝b a ＋c a ＋c b ＋a b ＋a c ＋b c－3 ＝(b a ＋a b )＋(c a ＋a c )＋(c b ＋b c)－3 ≥2b a ·a b ＋2c a ·a c ＋2c b ·b c－3＝3 当且仅当b a ＝a b ，c a ＝a c ，c b ＝b c，即a ＝b ＝c 时取等号． 8．已知a ，b ，c 为正实数且a ＋b ＋c ＝1.[]求证：(1a －1)(1b －1)(1c－1)≥8.证明：∵a ，b ，c 为正实数，a ＋b ＋c ＝1.∴1a －1＝1－a a ＝b ＋c a ＝b a ＋c a ≥2bc a. 同理1b －1≥2ac b ，1c －1≥2ab c. 由上述三个不等式两边均为正，分别相乘，∴(1a －1)(1b －1)(1c －1)≥2bc a ·2ac b ·2ab c＝8. 当且仅当a ＝b ＝c ＝13时取等号．。

高中数学 3.4.1 基本不等式的证明课后知能检测苏教版必修5

【课堂新坐标】（教师用书）2013-2014学年高中数学 3.4.1 基本不等式的证明课后知能检测苏教版必修5一、填空题1．下列不等式的推导过程正确的是________．(填序号) ①若a ，b ∈R ，则b a ＋ab ≥2b a ·ab＝2； ②若x ＞0，则 cos x ＋1cos x ≥2cos x ·1cos x＝2；③若x ＜0，则x ＋4x≤2x ·4x ＝4； ④若a ，b ∈R ，且ab ＜0，则b a ＋a b＝－[(－b a)＋(－a b)]≤－2－b a ·－ab＝－2.【解析】对于①，不能确定b a 与a b均为正数，不能使用基本不等式．同理知②也不正确．对于③，x 与4x 均为负数，也不能使用基本不等式，所以③错误．对于④，将负数b a 与ab分别转化为正数－b a ，－a b，然后再利用基本不等式求解，所以正确．故填④.【答案】 ④2．(2013·南通检测)若a ＞1，则y ＝a ＋1a －1的最小值为________．【解析】 ∵a ＞1，∴a －1＞0，1a －1＞0， ∴y ＝a ＋1a －1＝(a －1)＋1a －1＋1≥2a －1·1a －1＋1＝3，当且仅当a －1＝1a －1，即a ＝2时取等号，∴y min ＝3. 【答案】 3 3．已知m ＝a ＋1a －2(a ＞2)，n ＝22－b 2(b ≠0)，则m ，n 之间的大小关系是________．【解析】 m ＝a ＋1a －2＝(a －2)＋1a －2＋2≥2a －2·1a －2＋2＝4，当且仅当a－2＝1a －2，即a ＝3时，“＝”成立，故m ∈[4，＋∞)，由b ≠0，得b 2≠0， ∴2－b 2＜2，∴22－b 2＜4，即n ∈(0,4)，综上易得m ＞n . 【答案】 m ＞n4．已知x ＞1，则函数y ＝x ＋9xx －1的值域为________．【解析】 ∵x ＞1，∴x －1＞0.∴y ＝x ＋9x x －1＝x ＋9x －9＋9x －1＝x ＋9＋9x －1＝x －1＋9x －1＋10≥2x －1·9x －1＋10＝16，当且仅当x －1＝9x －1，即x ＝4时，y 取最小值16， ∴函数y ＝x ＋9xx －1的值域为[16，＋∞)．【答案】 [16，＋∞)5．(2013·无锡检测)已知a ，b ＞0且2a ＋b ＝4，则ab 的最大值为________．【解析】由2a ＋b ＝4，∴4＝2a ＋b ≥22ab . ∴2ab ≤2，∴2ab ≤4，∴ab ≤2，即(ab )max ＝2. 【答案】 26．若x ＋2y ＝2，则2x ＋4y的最小值为________．【解析】 2x ＋4y ＝2x ＋22y ≥22x ·22y ＝222＝4，当且仅当x ＝2y ＝1，即x ＝1，y ＝12时等号成立．【答案】 47．(2013·郑州高二检测)若a ＞b ＞0，则代数式a 2＋1b a －b的最小值为________．【解析】依题意得a －b ＞0，所以代数式a 2＋1ba －b ≥a 2＋1[b ＋a －b 2]2＝a 2＋4a2≥2a 2·4a 2＝4，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧b ＝a －b ＞0，a 2＝4a 2，即a ＝2，b ＝22时取等号，因此a 2＋1b a －b的最小值是4.【答案】 48．(2013·衡阳六校联考)已知M 是△ABC 内的一点，且AB →·AC →＝23，∠BAC ＝30°，若△MBC ，△MCA ，△MAB 的面积分别为12，x ，y ，则1x ＋4y的最小值为________．【解析】依题意得AB →·AC →＝|AB →|·|AC →|cos 30°＝23，则|AB →|·|AC →|＝4，故S △ABC＝12|AB →|·|AC →|sin 30°＝1，即12＋x ＋y ＝1，x ＋y ＝12，所以1x ＋4y ＝2(x ＋y )(1x ＋4y)＝2[5＋(y x＋4xy)]≥2(5＋2y x ·4x y )＝18，当且仅当y x ＝4x y ，即y ＝2x ＝13时，等号成立，因此1x ＋4y的最小值为18.【答案】 18 二、解答题9．求函数y ＝x 2＋8x －1(x ＞1)的最小值．【解】 y ＝x －12＋2x －1＋9x －1＝(x －1)＋9x －1＋2.由题意知x －1＞0，∴y ≥2x －1·9x －1＋2＝8.当且仅当x －1＝9x －1，即x ＝4时取“＝”，∴y min ＝8. 10．已知a ，b ，c ∈R ＋，且a ＋b ＋c ＝1，求证(1a －1)(1b －1)(1c－1)≥8.【证明】 ∵a ，b ，c ∈R ＋，a ＋b ＋c ＝1， ∴1a －1＝1－a a ＝b ＋c a ≥2bc a.同理，1b －1≥2ac b ，1c －1≥2ab c.上述三个不等式两边均为正，可分别相乘．∴(1a －1)(1b －1)(1c －1)≥2bc a ·2ac b ·2ab c＝8，当且仅当a ＝b ＝c ＝13时取等号．11．已知x ，y 为正数且2x ＋8y －xy ＝0，求x ＋y 的最小值．【解】由2x ＋8y －xy ＝0，得x ＝8y y －2(y ＞2)，令t ＝x ＋y ，则t ＝8y y －2＋y ＝8y －2＋16y －2＋y ＝8＋16y －2＋y ＝(y －2)＋16y －2＋10≥2y －2·16y －2＋10＝216＋10＝18.当且仅当y －2＝16y －2，即y ＝6，x ＝12时，等号成立．所以(x ＋y )min ＝18.。

苏教版数学高二第三章3.4.1基本不等式的证明课时活页训练

一、填空题1．设实数a ，b 满足0<a <b ，且a ＋b ＝1，则a 2＋b 2,2ab ，a ，12中最大的是________．答案：a 2＋b 22．若正数a ，b 满足ab ＝a ＋b ＋3，则ab 的取值范围是________．解析：∵a ＞0，b ＞0，∴a ＋b ＋3≥2ab ＋3，∴ab ≥2ab ＋3，∴(ab －3)(ab ＋1)≥0. ∴ab ≥3，∴ab ≥9.答案：[9，＋∞)3．已知a ＞0，b ＞0，a ＋b ＝4，则下列各式中正确的是________．①1a ＋1b ≤14 ②1a ＋1b≥1 ③ab ≥2 ④1ab≥1 解析：由a ＞0，b ＞0，知a ＋b 2≥ab ，又a ＋b ＝4，∴ab ≤4，∴1ab ≥14， ∴1a ＋1b ＝a ＋b ab ＝4ab ≥1，即1a ＋1b≥1. 答案：②4．已知a 、b 、c ∈(0，＋∞)，且a ＋b ＋c ＝1，则(a ＋1a )＋(b ＋1b )＋(c ＋1c)的最小值为________．解析：(a ＋1a )＋(b ＋1b )＋(c ＋1c) ＝(a ＋a ＋b ＋c a )＋(b ＋a ＋b ＋c b )＋(c ＋a ＋b ＋c c) ＝4＋(b a ＋a b )＋(c a ＋a c )＋(c b ＋b c )≥4＋2＋2＋2＝10，当且仅当a ＝b ＝c ＝13时取等号．答案：105．(2010年高考山东卷)已知x ，y ∈R ＋，且满足3x ＋y 4＝1，则xy 的最大值为________．解析：∵x ＞0，y ＞0且1＝x 3＋y 4≥2 xy 12，∴xy ≤3. 当且仅当x 3＝y 4即x ＝32，y ＝2时取等号．答案：36．设a 、b 、c 是互不相等的正数，则下列等式中不恒成立的是________．(1)|a －b |≤|a －c |＋|b －c |(2)a 2＋1a2≥a ＋1a (3)|a －b |＋1a －b≥2 (4)a ＋3－a ＋1≤a ＋2－a答案：(3)7．若a >b >1，P ＝lg a ·lg b ，Q ＝12(lg a ＋lg b )，R ＝ lg (a ＋b 2)，则P 、Q 、R 的大小关系为________．解析：∵lg a >lg b >0，∴12(lg a ＋lg b )>lg a ·lg b ，即Q >P . 又∵a >b >1，∴a ＋b 2>ab . ∴lg(a ＋b 2)>lg ab ＝12(lg a ＋lg b )，即R >Q . 故有P <Q <R .答案：P <Q <R8．下列推理过程正确的是________．(1)若a ，b ∈R ，则b a ＋a b ≥2b a ·a b＝2； (2)若x <0，则x ＋4x ≤2x ·4x＝4； (3)若a ，b ∈R ，且ab <0，则b a ＋a b＝－[(－b a )＋(－a b )]≤－2(－b a )·(－a b)＝－2. 解析：(1)中b a 与a b 未必均为正，故(1)错误；(2)中，当x <0时，x ＋4x ＝－[(－x )＋(－4x)]≤－2 (－x )·(－4x )＝－4，故(2)错误；(3)中b a 与a b 均为负，转化为－b a 与－a b均为正，可利用基本不等式．答案：(3)9．已知不等式(x ＋y )(1x ＋a y)≥9对任意正实数x ，y 恒成立，则正实数a 的最小值为________．解析：不等式(x ＋y )(1x ＋a y )≥9对任意正实数x ，y 恒成立，则1＋a ＋y x ＋ax y≥a ＋2a ＋1≥9， ∴a ≥2或a ≤－4(舍去)．所以正实数a 的最小值为4.答案：4二、解答题10．设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －y ＋2≥0，8x －y －4≤0，x ≥0，y ≥0，若目标函数z ＝abx ＋y (a ＞0，b ＞0)的最大值为8，求a ＋b 的最小值．解：如图所示，线性约束条件表示的区域为图中的阴影部分，A (0,2)，B ⎝⎛⎭⎫12，0，C (1,4)，当直线l ：y ＝－abx ＋z 过点C 时，z 取最大值8，即8＝ab ＋4，∴ab ＝4.又∵a ＞0，b ＞0，∴a ＋b ≥2 ab ＝2 4＝4.当且仅当a ＝b 即a ＝b ＝2时取“＝”．∴a ＋b 的最小值为4.11．任给正实数a ，b ，比较a ＋b 2，ab ，2ab a ＋b ， a 2＋b 22的大小．解：由a ＋b 2≥ab ，可得2ab a ＋b ≤ab ，因此2ab a ＋b≤ab ≤a ＋b 2，再比较a ＋b 2， a 2＋b 22的大小，平方可得a 2＋2ab ＋b 24，2a 2＋2b 24，由a 2＋b 2≥2ab 易知a ＋b 2≤ a 2＋b 22，可得2ab a ＋b ≤ab ≤a ＋b 2≤ a 2＋b 22. 12．已知a 、b 、c 是正实数．求证：a 2b ＋c ＋b 2a ＋c ＋c 2a ＋b ≥a ＋b ＋c 2. 证明：∵a 2b ＋c ＋b ＋c 4≥2a 2b ＋c ·b ＋c 4＝a ， b 2a ＋c＋a ＋c 4≥2b 2a ＋c ·a ＋c 4＝b ， c 2a ＋b ＋a ＋b 4≥2c 2a ＋b ·a ＋b 4＝c ，当a ＝b ＝c 时，上述三式等号成立．将以上三个不等式相加得(a 2b ＋c ＋b ＋c 4)＋(b 2a ＋c ＋a ＋c 4)＋(c 2a ＋b＋a ＋b 4)≥a ＋b ＋c ， ∴a 2b ＋c ＋b 2a ＋c ＋c 2a ＋b≥a ＋b ＋c 2.。

苏教版高中数学必修五课时练习----基本不等式的证明(3).doc

新课程同步课时练习----基本不等式的证明（3）【基础练习】1．已知x，y∈(0，+∞)，x+y=P，xy=S，如果①S是定值，当且仅当x=y时，x+y存在最大值P②S是定值，当且仅当x=y时，x+y存在最小值P③P是定值，当且仅当x=y时，xy有最大值S④P是定值，当且仅当x=y时，xy有最小值S其中正确命题的序号是（）A．①②B．①③C．②③D．②④2．设x>0，则432xx++的最小值是_____________.3．若正数x，y满足141x y+=，求xy的最小值.【巩固练习】1．下列结论正确的是（）A．当x>0且x≠1时，1lglgxx+≥2 B．当x>0时，1xx+≥2C．当x≥2时，1xx+的最小值为2 D．当0<x≤2时，1xx-无最大值2．若x+2y=4，x>0，y>0，则lgx+lgy 的最大值是（）A ．2B ．2lg2C ．lg2D ．－lg23．如果实数x ，y 满足x 2+y 2=1，则(1－xy)·(1+xy)有（）A ．最小值12和最大值1 B ．最大值1和最小值34C ．最小值34而无最大值 D ．最大值1而无最小值4．已知非负实数a ，b 满足2a+3b=10，则32b a +的最大值是（） A ．10 B ．25C ．5D ．105．a>0，b>0且a+b=1，则2211(1)(1)a b --的最小值（）A ．6B ．7C ．8D ．96．若x>1，则22222x x x -+-的最小值是_____________，此时x=_____________.7．当点(x ，y)在直线x+3y －2=0上移动时，函数z=3x +27y +3的最小值是__________.8．已知tanx=3tany （0<y<x<2π），则u=x －y 的最大值为_____________.9．已知a>0，b>0，且2a+b=1，求证：11t a b =+的最小值.10．若x>0，y>0且x y +≤a x y +成立，求a 的最小值.基本不等式的证明（3）参考答案【基础练习】1．C 2．432+3．在x=2，y=8时，取最小值16.【巩固练习】1．B 2．C 3．B 4．B 5．D 6．1，2 7．9 8．6π9．112()(2)3a bt a ba b b a=++=++≥322+，在212a=-，21b=-时，t取最小值322+10．原不等式即为a≥x yx y++，求x yx y++的最大值为2，∴a的最小值是2。

【实用型】第3章基本不等式练习(苏教版必修5).doc

我们提供最优质的文档基本不等式一、填空题：（每小题5分，计50分）1.若x>0,y>0且281x y+=，则xy 的最小值是；2.若x 、y R +∈且x+3y=1，则Z =的最大值；3.若实数a 、b 满足a+b=2，则3a +3b的最小值是；4.x>1,y>1且lgx+lgy=4则lgxlgy 最大值为；5.点（x ，y ）在直线x+3y-2=0上，则3273x y ++最小值为；6.若数列{n a }的通项公式是281n n a n =+则数列{n a }中最大项； 7.设a ，b R +∈，a+2b=3 ，则11a b+最小值是； 8.当x>1时，则y=x+21161x x x ++的最小值是； 9.已知不等式（x+y ）1()9a x y+≥对任意正实数x ，y 恒成立，则正实数a 的最小值为； 10.某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x 吨，运费为4万元/次，一年的总存储费用为4x 万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x= 吨.二、解答题：（12分×3+14分，计50分）11.在△ABC 中，已知A=600，a=4，求△ABC 的面积的最大值.12.已知x ＞y ＞0，求24()x y x y +-的最小值及取最小值时的x 、y 的值.13.已知a 、b 、c 都为正数，且不全相等，求证：lglg lg lg lg lg 222a b b c c a a b c +++++>++14.已知定点(6,4)P 与定直线1:4l y x =，过 P 点的直线l 与1l 交于第一象限Q 点，与x 轴正半轴交于点M ，求使OQM ∆面积最小的直线l 方程.参考答案我们提供最优质的文档 1.64 2.22 3.6 4.4 5.9 6.118 7.1+23 8.8 9.4 10.20 11.43 12.当且仅当21x y =⎧⎨=⎩时所求的最小值是8 13.略 14.设(,4)(0)Q a a a > ①6a ≠时，44:4(6)6PQ a l y x a --=-- 令0y =，得4(6)560441M a a x a a --=+=>-- 故1a > 2110110(12)211OQM Q M a S y x a a a ∆=⋅==-++-- 1121a a -+≥-，110(12)401a a -++≥-（当且仅当2a =时取“＝”号）所以当2a =时，m i n ()40OQM S ∆= ②当6a =时，11624724022OQM Q M S y x ∆=⋅=⨯⨯=> 由①②得，当2a =时，m i n ()40OQM S ∆=，此时(2,8)Q ，:100PQ l x y +-= 美文欣赏 1、走过春的田野，趟过夏的激流，来到秋天就是安静祥和的世界。

苏教版必修5第3章第四节基本不等式1 基本不等式的证明(习题+解析)

苏教版必修5第3章第四节基本不等式 1 基本不等式的证明（习题+解析）＋b ＋c ＝1，证明：（1）ab ＋bc ＋ca ≤31；（2） ac c b a a 222++≥1。

**8.（苏州市期末）已知a ，b ，x ，y 都是正数，且a ＋b ＝1，求证：（ax ＋by ）（bx ＋ay ）≥xy 。

***9．已知a >0，b >0，a ＋b ＝1，求证：（1）abb a 111++≥8；（2）)11)(11(ba ++≥9。

1. ② ③ ④解析：①中，若x ＜0，则结论不成立； ②中，22221122x x x x +=⨯=，成立；③()()2211122x x x x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=--+-≤--⨯-=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，成立；④1122x x xx+≥⨯=，成立。

2. ④解析：对于①，不能确定a b 与b a均为正数，不能使用基本不等式，同理，知②也不正确。

对于③，x 与x4均为负数，也不能使用基本不等式，所以③错误。

对于④，将负数a b 与b a 分别转化为正数－a b ，－ba ，然后再利用基本不等式求解，所以正确。

故填④。

3. ③解析：∵0<a <b ，∴2b >a ＋b ，∴b >2ba +。

∵b >a >0，∴ab >a 2，∴ab>a ，故b >2ba +>ab>a 。

4. 大－1解析：∵a <1，∴a －1<0，∴－)111(-+-a a ＝（1－a ）＋a -11≥2（a ＝0时取等号），∴a －1＋11-a ≤－2，∴a ＋11-a ≤－1。

5. ),51[+∞ 解析：∵x >0，∴132++x x x >0，易知a >0，∴xx x 132++≥a 1，∴a1≤x ＋x 1＋3， ∵x >0，x ＋x1＋3≥2xx 1⋅＋3＝5（x ＝1时取等号），∴a 1≤5，∴a ≥51。

2019-2020学年高中数学苏教版必修5同步训练：3.4 基本不等式 Word版含答案

3.4 基本不等式1、函数()(log 310,a y x a =+->且1)a ≠的图象恒过定点A ,若点A 在直线20mx ny ++=上,其中0,0m n >>,则21m n+的最小值为( )A. B. 4C.52 D. 922、若41x -<<,则当22222x x x -+-取最大值时 x 的值为( )A.-3B.-2C.-1D.03、若,,,,,a b c d x y 都是正实数,且P Q ==则( ) A. P Q = B. P Q ≥ C. P Q ≤ D. P Q >4、某工厂第一年产量为A ,第二年的增长率为()0a a >,第三年的增长率为()0b b >,这两年的平均增长率为 x ,则( )A. 2a bx += B. 2a bx +≤C. 2a bx +>D. 2a ba +≥5、已知,?a b 均为正实数,则下列不等式不一定成立的是( )A. a b++≥B. ()114a b a b ⎛⎫++≥⎪⎝⎭ C.22a b≥+D.≥6、已知等差数列{}n a 的各项均为正数, 95a =,则315a a 的最大值为( ) A.100 B.75 C.50 D.257、已知01?x <<,则( )A. 14 B. 12C.2D. 18、设,x y R ∈,且4x y +=,则33x y +的最小值为( ) A. 10B.C. D. 189、若01,01a b <<<<,且a b ≠,则22,2,a b ab a b ++中最大的是( )A. 22a b +B. C. 2ab D. a b +10、在ABC ∆中,角A,B,C 的对边分别为a,b,c,若2cos ,4cos a c Cb b B==－,则ABC ∆的面积的最大值为( )A.B.C.D.11、长为4，宽为3的矩形，当长增加x ,且宽减少2x时，面积最大，此时x = ，面积S = .12、已知在△ABC 中, 90,3,4ACB BC AC ∠=︒==,P 是AB 上异于点,?A B 的点,则点P 到,AC BC 的距离的乘积的最大值是__________.13、为净化水质,向一个游泳池加入某种化学药品,加药后池水中该药品的浓度 C (单位:1mg L -⋅)随时间t (单位: h )的变化关系为2204tC t =+,则经过__________h 后池水中该药品浓度达到最大.14、若()11,lg lg ,lg22a ba b P Q a b R +>>=+=,则,,P Q R 的大小关系是__________(用“>”连接).15、已知0x >,0y > ,且280x y xy +-=.求: 1. xy 的最小值; 2. x y +的最小值.答案以及解析1答案及解析：答案：D解析：∵当2x =-时, log 111a y =-=-,∴函数()(log 310,a y x a =+->且1)a ≠的图象恒过定点()2,1A --.∵点A 在直线20mx ny ++=上,∴220m n --+=,即22m n +=. ∵0,0m n >>,∴()21121122925222n m m n m n m n m n ⎛⎫⎛⎫+=++=++≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ (当且仅当22n m m n =时,等号成立).故选D.2答案及解析：答案：D解析：变形,可得()()()()222112221111222121221x x x x x x x x x x -+-+-++-===+----,∵41x -<<, ∴510x -<-<,∴原式()()11111221221x x x x ⎡⎤--=+=--+≤-=-⎢⎥---⎢⎥⎣⎦, 当且仅当()11221x x --=--, 即0?x =时取等号,故选D.3答案及解析：答案：C解析：Q P == (当且仅当adx bcyy x=时等号成立).4答案及解析：答案：B解析：∵这两年的平均增长率为 x , ∴()()()2111A x A a b +=++, ∴()()()2111x a b +=++,∴111122a b a bx +++++=+, ∴2a bx +≤,当且仅当11a b +=+,即a b =时取等号.5答案及解析：答案：D解析：A 项, a b+≥≥当且仅当a b ==时等号同时成立,B 项, ()1124a ba b a b b a ⎛⎫++=++≥⎪⎝⎭,当且仅当a b =时取等号;C 项,()2222a b a b a b+≥≥=++,当且仅当a b =时取等号.故选D.6答案及解析：答案：D解析：由等差数列的性质,可得3159210a a a +==.又3150,0a a >>,所以315a a +≥(当且仅当315a a =时,等号成立),即2315315252a a a a +⎛⎫≤= ⎪⎝⎭.7答案及解析：答案：B解析：因为221x +=,且01?x <<,由均值不等式可得222x +≥,所以12 (当且仅当x =即2x =时,等号成立).故选B.8答案及解析：答案：D解析：∵30,30x y >>,∴23322318x y +≥==⨯=,当且仅当2x y ==时取等号.9答案及解析：答案：D解析：方法一 ∵01,01a b <<<<,且a b ≠,∴22222,,a b ab a b a a b b +>+>>>,∴22a b a b +>+,故选D.方法二取11,23a b ==,则221336a b +=,15,36ab a b =+=,显然56最大,故选D.10答案及解析：答案：A 解析：11答案及解析：答案：1；252解析：依题意得：221125(4)(3)12(1)2222x S x x x x =+-=-++=--+ 所以当1x =时，252S =最大值.12答案及解析：答案：3解析：以 C 为坐标原点, CB 所在直线为 x 轴, CA 所在直线为y 轴建立平面直角坐标系,过点P 作PD y ⊥轴点D ,PE x ⊥轴于点E ,如图所示.设()(),0,0P x y x y >>,则AB 所在直线的方程为134x y +=,∵0,0x y >>,∴134x y =+≥当且仅当34x y =,即3,22x y ==时等号成立),∴3xy ≤.13答案及解析：答案：2 解析：2202044t C t t t==++.因为0t >,所以44t t +≥= (当且仅当4t t=,即 2t =时等号成立),所以2020544C t t=≤=+, 即当 2t =时, C 取得最大值.14答案及解析：答案：R Q P >> 解析：因为1a b >>,所以lg 0,lg 0,a b >>()()11lg lg ,lg lg 222a b Q a b P R ab Q +=+==>==,所以R Q P >>.15答案及解析：答案：1. 28xy x y =+≥,当且仅当28x y =,即16x =，4y =时等号成立.8≥,∴64xy ≥. 故xy 的最小值为64. 2.由28x y xy +=,得281y x+=，∴.()2828101010818x y x y x y y x y x ⎛⎫+=++=++≥+=+= ⎪⎝⎭, 当且仅当28x y y x=,即12x =,6y =时等号成立. 故x y +的最小值为18. 解析：。

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3．4.1 基本不等式的证明1．(a －b )2≥0⇒a 2＋b 2≥2ab ，那么(a )2＋(b )2≥2ab ，即a ＋b2≥ab ，当且仅当a＝b 时，等号成立．2.a ＋b2叫做a 、b 的算术平均数．3.ab 叫做a 、b 的几何平均数． 4．基本不等式a ＋b2≥ab ，说明两个正数的几何平均数不大于它们的算术平均数．5．如下图，在⊙O 中，AB 是圆的直径，CD ⊥AB 于点D ，由射影定理可知，CD 2＝AD ·DB ，则CD ＝AD ·DB 叫做AD 、DB 的几何平均数，OC ＝AD ＋DB2叫做AD 、DB 的算术平均数．由上图可知，OC ≥CD ，当△ABC 是等腰直角三角形时，有OC ＝CD . 6．不等式a ＋b2≥ab ，(a 、b ∈R ＋)，在证明不等式，求函数的最大值、最小值时，有着广泛的应用，因此我们也称它为基本不等式一、选择题1．如果a 、b 为绝对值不相等的非零实数，那么a b ＋b a的值是(B ) A ．大于2 B ．小于－2或大于2 C ．小于等于2 D ．大于－2或小于2解析：a 、b 同号时大于2，a 、b 异号时小于－2. 2．若a ＞b ＞0，则下列不等式成立的是(B) A ．a ＞b ＞a ＋b2＞ab B ．a ＞a ＋b2＞ab ＞bC ．a ＞a ＋b2＞b ＞ab D ．a ＞ab ＞a ＋b2＞b解析：由a －a ＋b 2＝a －b2＞0，ab －b ＝b (a －b )＞0，再结合基本不等式a ＋b2＞ab .3．给出下面四个推导过程： ①∵a ，b ∈R ＋，∴b a ＋a b ≥2b a ·ab＝2； ②∵x ，y ∈R ＋，∴lg x ＋lg y ≥2lg x ·lg y ； ③∵a ∈R ，a ≠0，∴4a＋a ≥24a·a ＝4；④∵x ，y ∈R ，xy ＜0，∴x y ＋yx＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫－x y ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－y x ≤－2⎝ ⎛⎭⎪⎫－x y ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－y x ＝－2. 其中正确的推导为(D)A ．①②B ．②③C ．③④D ．①④解析：①由于a ，b ∈R ＋，∴b a ，ab∈R ＋，符合基本不等式的条件，故①推导正确； ②虽然x ，y ∈R ＋，但当x ∈(0，1)和y ∈(0，1)时，lg x 和lg y 都是负数，∴②的推导过程是错误的；③由a ∈R，不符合基本不等式的条件， ∴4a＋a ≥24a ·a ＝4是错误的； ④由xy ＜0，得x y 、y x 均为负数，但在推导过程中将整体x y ＋y x 提出负号后，⎝ ⎛⎭⎪⎫－x y ，⎝ ⎛⎭⎪⎫－y x 均变为正数，符合基本不等式的条件，故④正确．4．已知a ＞0，b ＞0，a ＋b ＝2，则y ＝1a ＋4b的最小值是(C )A.72 B ．4 C.92D ．5 解析：y ＝1a ＋4b ＝12×2⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋4b ＝12(a ＋b )(1a ＋4b )＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫5＋b a ＋4a b ≥12(5＋2b a ×4a b )＝92. 5．下列结论正确的是(B )A ．当x ＞0且x ≠1时，lg x ＋1lg x ≥2B ．当x ＞0时，x ＋1x≥2C ．当x ≥2时，x ＋1x的最小值为2D ．当0＜x ≤2时，x －1x无最大值解析：当0＜x ＜1时，lg x ＋1lg x ＜0，∴A 错误；当x ＞0时，x ＋1x≥2x ·1x＝2，∴B 正确；当x ≥2时，x ＋1x 的最小值为52，∴C 错误；当0＜x ≤2时，x －1x是增函数，最大值在x ＝2时取得，∴D 错误．二、填空题6．某工厂第一年的产量为A ，第二年的增长率为a ，第三年的增长率为b ，这两年的平均增长率为x ，则x 与a ＋b2的大小关系是________．解析：因A (1＋x )2＝A (1＋a )(1＋b )≤A ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋a ＋1＋b 22＝A ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋a ＋b 22，∴x ≤a ＋b 2. 答案：x ≤a ＋b27．给出下列不等式：①a 2＋1＞2a ；②a 2＋4≥4a ；③⎪⎪⎪⎪⎪⎪b a ＋a b ≥2；④2a 2b 2a 2＋b 2≤ab .其中恒成立的不等式的序号是________．解析：当a ＝1时，①不成立；当ab ＜0时，④不成立．答案：②③8．(2013·天津卷)设a ＋b ＝2，b ＞0，则当a ＝________时，12|a |＋|a |b 取得最小值．解析：∵a ＋b ＝2，∴12|a |＋|a |b ＝a ＋b 4|a |＋|a |b ＝a 4|a |＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b 4|a |＋|a |b ≥a 4|a |＋1，显然当a ＜0且b ＝2|a |时，上式等号成立，将b ＝－2a 与a ＋b ＝2联立即得a ＝－2.答案：－2 三、解答题9．已知a ＞0，b ＞0，c ＞0，d ＞0，求证：ad ＋bc bd ＋bc ＋adac≥4. 证明：ad ＋bc bd ＋bc ＋adac＝a b ＋c d ＋b a ＋d c＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a b ＋b a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c d ＋d c ≥2＋2＝4，当且仅当a ＝b 且c ＝d 时取“＝”号，∴ad ＋bc bd ＋bc ＋adac≥4. 10．设x 1，x 2，…，x n 都是正整数，求证：x 21x 2＋x 22x 3＋…＋x 2n －1x n ＋x 2n x 1≥x 1＋x 2＋…＋x n . 证明：∵x 1，x 2，…，x n 都是正整数，∴由基本不等式得x 21x 2＋x 2≥2x 1，x 22x 3＋x 3≥2x 2， …x 2nx 1＋x 1≥2x n . 将以上n 个式子相加命题即得证． ►能力升级一、选择题11．设a ＞b ＞0，则a 2＋1ab＋1a （a －b ）的最小值是(D )A ．1B ．2C ．3D ．4 解析：∵a ＞b ＞0，a 2＋1ab＋1a （a －b ）＝a 2＋a －b ＋b ab （a －b ）＝a 2＋1b （a －b ）≥a 2＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋a －b 22＝a 2＋4a2≥4(当且仅当a ＝2b ＝2时取“＝”)，故选D . 12．若正数x ，y 满足x ＋3y ＝5xy ，则3x ＋4y 的最小值是(C ) A.245 B.285C ．5D ．6 解析：∵x ＋3y ＝5xy ，∴1y ＋3x ＝5.∴3x ＋4y ＝15(3x ＋4y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1y ＋3x ＝15⎝⎛⎭⎪⎫13＋12y x ＋3x y ≥15⎝ ⎛⎭⎪⎫13＋212y x ×3x y ＝15(13＋12)＝5. 13．若a ，b ∈R ，且ab ＞0，则下列不等式中恒成立的是(D ) A ．a 2＋b 2＞2ab B ．a ＋b ≥2ab C.1a ＋1b＞2abD.b a ＋a b≥2解析：令a ＝b ＝1可知A ，C 不成立；令a ＝b ＝－1可知B 不成立．二、填空题14．若a ＞0，b ＞0，a ＋b ＝2，则下列不等式对一切满足条件的a ，b 恒成立的是________(写出所有正确命题的序号)．①ab ≤1；②a ＋b ≤2；③a 2＋b 2≥2； ④a 3＋b 3≥3；⑤1a ＋1b≥2.解析：①项，∵a ＞0，b ＞0，2＝a ＋b ，a ＋b ≥2ab ，∴ab ≤1，即ab ≤1. ②项，∵a ＋b 2－⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22＝（a －b ）24≥0，∴a ＋b2≤a ＋b2.∴a ＋b ≤2（a ＋b ），故a ＋b ≤2. ③项，∵a 2＋b 22≥⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22，∴a 2＋b 2≥（a ＋b ）22. 又∵a ＋b ＝2，∴a 2＋b 2≥2.④项，∵a 3＋b 3＝(a ＋b )3－3a 2b －3ab 2＝8－3ab (a ＋b )＝8－6ab ≥8－6＝2(由①ab ≤1)． ⑤项，1a ＋1b≥2ab≥2.答案：①③⑤15．若不等式|2a －1|≤⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋1x 对一切非零实数x 恒成立，则实数a 的取值范围是________．解析：∵⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋1x ＝|x |＋1|x |≥2，当且仅当x ＝±1时取“＝”号，∴要使不等式恒成立，必须且只需|2a －1|≤2，即－2≤2a －1≤2⇒－12≤a ≤32.答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，32三、解答题16．(2013·新课标全国卷Ⅱ)设a ，b ，c 均为正数，且a ＋b ＋c ＝1，证明： (1)ab ＋bc ＋ca ≤13；(2)a 2b ＋b 2c ＋c 2a≥1.证明：(1)由a ＋b ＋c ＝1⇒(a ＋b ＋c )2＝1，即a 2＋b 2＋c 2＋2ab ＋2bc ＋2ac ＝1，而a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ca ，∴3(ab ＋bc ＋ca )≤1，即ab ＋bc ＋ca ≤13.(2)∵a 2b ＋b ≥2a ，b 2c ＋c ≥2c ，c 2a ＋a ≥2c ，三式相加得a 2b ＋b ＋b 2c ＋c ＋c 2a ＋a ≥2a ＋2b ＋2c ，即a 2b ＋b 2c ＋c 2a≥(a ＋b ＋c )＝1.。