高考数学单元复习测试题23-映射与函数
映射、函数、单调性奇偶性、反函数典型例题(有详细答案)
例1下列集合到集合的对应中，判断哪些是到的映射? 判断哪些是到的一一映射?(1)，对应法则．(2)，，，，．(3)，，对应法则取正弦．(4)，，对应法则除以2得的余数．(5)，，对应法则．(6)，，对应法则作等边三角形的内切圆．例2 给出下列关于从集合到集合的映射的论述，其中正确的有_________．(1)中任何一个元素在中必有原象;(2)中不同元素在中的象也不同;(3)中任何一个元素在中的象是唯一的;(4)中任何一个元素在中可以有不同的象;(5)中某一元素在中的原象可能不止一个;(6)集合与一定是数集；(7)记号与的含义是一样的．例3 (1) ，，，，．在的作用下，的原象是多少?14的象是多少?(2)设集合{偶数}，映射把集合A中的元素映射到集合B中的元素，则在映射下，象20的原象是多少？(3)是从到的映射，其中，，，则中元素的象是多少?中元素的原象是多少?例1 判断下列各组的两个函数是否相同，并说明理由．(1)与；(2)与(3)与；(4)与；(5)与例2已知集合，，那么集合中所含元素个数为( )．0 1 0或1 1或2例3 求下列函数的定义域，要求把结果写成区间形式．(1)；；(3)；(4)；(5)；(6)，(为圆的半径)画出下列函数的图象(1)且；(2)；(3)；(4)例5 某商场饮料促销，规定一次购买一箱在原价48元的基础上打9折，一次购买两箱可打8．5折，一次购买三箱可打8折，一次购买三箱以上均可享受7．5折的优惠．若此饮料只整箱销售且每人每次限购10箱，试用解析法写出顾客购买的箱数与所支付的费用之间的函数关系，并画出其图象．例6 若求的值．例1给出下列函数的图象,指出函数的单调区间,并指明其单调性.例2用函数单调性定义证明:(1)为常数)在上是增函数.(2)在上是减函数.例3函数在上是减函数,求的取值集合.例4 下列函数是否具有奇偶性.(1); (2);(3); (4)例5已知函数.判断的奇偶性,并加以证明.例6若函数在上是奇函数,试确定的解析式例7已知函数与的定义域都是,值域分别是与,在上是增函数而是减函数,）例1 给出下列函数:(1); (2);(3); (4);(5).其中不存在反函数的是__________________.例2求下列函数的反函数:(1) ; (2) ;(3)例3已知函数,求的值.例4已知函数与其反函数是同一个一次函数,试指出的所有取值可能.例5.已知函数,,求的反函数.例6.设定义域和值域都是的函数的反函数为,且对于任意都有,求证:对任意也成立.典型例题例1下列集合到集合的对应中，判断哪些是到的映射? 判断哪些是到的一一映射?(1)，对应法则．(2)，，，，．(3)，，对应法则取正弦．(4)，，对应法则除以2得的余数．(5)，，对应法则．(6)，，对应法则作等边三角形的内切圆．分析：解决的起点是读懂各对应中的法则含义，判断的依据是映射和一一映射的概念，要求对“任一对唯一”有准确的理解，对问题考虑要细致，周全．解：(1)是映射，不是一一映射，因为集合中有些元素(正整数)没有原象．(2)是映射，是一一映射．不同的正实数有不同的唯一的倒数仍是正实数，任何一个正数都存在倒数．(3)是映射，是一一映射，因为集合中的角的正弦值各不相同，且集合中每一个值都可以是集合中角的正弦值．(4)是映射，不是一一映射，因为集合中不同元素对应集合中相同的元素．(5)不是映射，因为集合中的元素(如4)对应集合中两个元素(2和-2)．(6)是映射，是一一映射，因为任何一个等边三角形都存在唯一的内切圆，而任何一个圆都可以是一个等边三角形的内切圆．边长不同，圆的半径也不同．说明：此题的主要目的在于明确映射构成的三要素的要求，特别是对于集合，集合及对应法则有哪些具体要求，包括对法则是数学符号语言给出时的理解．例2 给出下列关于从集合到集合的映射的论述，其中正确的有_________．(1)中任何一个元素在中必有原象;(2)中不同元素在中的象也不同;(3)中任何一个元素在中的象是唯一的;(4)中任何一个元素在中可以有不同的象;(5)中某一元素在中的原象可能不止一个;(6)集合与一定是数集；(7)记号与的含义是一样的．分析：此题是对抽象的映射概念的认识，理论性较强，要求较高，判断时可以让学生借助具体的例子来帮助．解：(1)不对(2)不对(3)对(4)不对(5)对(6)不对(7)不对说明：对此题的判断可以将映射中隐含的特点都描述出来，对映射的认识更加全面，准确．例3 (1) ，，，，．在的作用下，的原象是多少?14的象是多少?(2)设集合{偶数}，映射把集合A中的元素映射到集合B中的元素，则在映射下，象20的原象是多少？(3)是从到的映射，其中，，，则中元素的象是多少?中元素的原象是多少?分析：通过此题让学生不仅会求指定元素象与原象，而且明确求象与原象的方法．解：(1)由，解得，故的原象是6;又，故14的象是．(2)由解得或，又，故即20的原象是5．(3)的象是，由解得，故的原象是1．说明：此题主要作用在于明确利用代入法求指定元素的象，而求原象则需解方程或方程组．在本题中第(2)小题和第(3)小题在求象时，对和的制约条件都是两条，应解方程组，且还可以对方程组解的情况进行讨论(无解，有唯一解，无数解)．其中第(3)小题集合中的元素应是二元数(有序数对)，计算出的象必须写成有序数对的形式，所以求原象时必须先认清集合的特征．例1 判断下列各组的两个函数是否相同，并说明理由．(1)与；(2)与(3)与；(4)与；(5)与．分析：判断两个函数是否相同，应着眼于两个函数的定义域和对应法则的比较，而求定义域时应让原始的解析式有意义，而不能进行任何非等价变换，对应法则的判断需判断它的本质是否相同而不是从表面形式上下结论．解：(1)不同，因为它们定义域不同．(2)不同，前者的定义域是或，后者的定义域是．(3)相同，定义域均为非零实数，对应法则都是自变量取倒数后加1．(4)不同，定义域是相同的，但对应法则不同．(4)相同，将利用绝对值定义去掉绝对值结果就是．说明：此题的目的在于强化函数是三要素构成的整体，且三要素中值域是由定义域和对应法则共同确定的，判断时可以只考虑定义域和对应法则是否相同，同时提醒学生，认识函数对应法则必须认清它的本质，而不是从表面上做判断．例2已知集合，，那么集合中所含元素个数为( )．0 1 0或1 1或2分析：此题是以集合语言表述的问题，解决问题的第一步在于集合语言的翻译与理解，然后结合函数概念在运动变化过程中进行研究，求解时，可以先从形的角度，再从数的角度提高认识．解：从函数观点看，两个集合的交集中所包含的元素的个数，从数的角度即在中，令，看有几个相应的与之对应；从形的角度即的图象与直线有几个公共点，由于是不确定的，于是当时，有一个交点，当时，则没有交点，所以应选．说明：此题目的在于进一步认识函数概念本质，纠正只注意对应法则而忽视定义域作用的毛病，而且还应从数和形两角度认识问题，解决问题．例3 求下列函数的定义域，要求把结果写成区间形式．(1)；；(3)；(4)；(5)；(6)，(为圆的半径)分析：求定义域即使的解析式有意义，其中要注意有实际背景的问题和人为限制因素对定义域的影响．解：(1)使有意义应满足．故函数的定义域为．(2)使有意义应满足．故函数定义域为．(3)使有意义应满足．故函数定义域为．(4)分段函数的定义域为．(5)由于，所以或．故定义域为．(6)从有意义的角度对没有限制，但由于使圆的半径，应使非负数，故函数定义域为．说明：此题的目的一方面掌握求定义域的基本方法，熟悉用区间表示集合，另一方面包含对分段函数定义域的认识及有人为限制的问题求定义域应注意的问题．例4 画出下列函数的图象(1)且；(2)；(3)；(4)．分析：对于常见函数由于其特征学生很熟悉，故一般只要选几个关键点，但要注意人为限制的定义域对图象的影响．对分段函数可先处理为若干段常见函数，在转折点的取舍上格外注意．解：如图所示：例5 某商场饮料促销，规定一次购买一箱在原价48元的基础上打9折，一次购买两箱可打8．5折，一次购买三箱可打8折，一次购买三箱以上均可享受7．5折的优惠．若此饮料只整箱销售且每人每次限购10箱，试用解析法写出顾客购买的箱数与所支付的费用之间的函数关系，并画出其图象．分析：阅读理解题意是解此题的第一步，其次注意题目的限制条件对定义域的制约．解：由题意可得， ．如图：说明：一方面提高应用意识，另一方面体会函数图象的特点可以是一群孤立的点．例6 若求的值．分析：既然求，当然应在已知中令得，从方程的观点看，把和都当作未知数而要求得的值，还须再找出另一个与的方程．解：另 得，另，得．由此消去，解得=1．说明：把抽象函数记号与方程思想融与一体，深刻体会两者之间的关系是此题的主要目的．例1给出下列函数的图象,指出函数的单调区间,并指明其单调性.分析：通过图象直观观察其升降来判断其增减性,但必须注意区间端点的取舍要合理.解：图（1）中的单调区间有,,,.其中在和上是减函数,在和上是增函数.图（2）中的单调区间有和,其中在和上都是减函数.说明：图（1）中和不在定义域内,因此写单调区间时在这两个点上必须写成“开”而其余端点写成“开”或“闭”均可.图（2）中虽在两个区间上均为减区间,但不能把两个区间并起来.例2用函数单调性定义证明:(1)为常数)在上是增函数.(2)在上是减函数.分析:虽然两个函数均为含有字母系数的函数,但字母对于函数的单调性并没有影响,故无须讨论.证明: (1)设是上的任意两个实数,且,则=由得,由得,.,,即.于是即.在上是增函数.(2) 设是上的任意两个实数,且,则由得,由得.又,.于是即.在上是减函数.说明:由(1)中所得结论可知二次函数的单调区间只与对称轴的位置和开口方向有关,与常数无关.若函数解析式是分式,通常变形时需要通分,将分子,分母都化成乘积的形式便于判断符号.例3函数在上是减函数,求的取值集合.分析:首先需要对前面的系数进行分类讨论,确定函数的类型,再做进一步研究.解:当时,函数此时为,是常数函数,在上不具备增减性.当时,为一次函数,若在上是减函数,则有,解得.故所求的取值集合为.说明:此题虽比较简单,但渗透了对分类讨论的认识与使用.例4 下列函数是否具有奇偶性.(1); (2);(3); (4).分析:根据定义,检验与的关系,同时注意定义域.解: (1).是奇函数.(2). 是偶函数.(3)由于定义域不关于原点对称,故既不是奇函数也不是偶函数.(1) 的定义域为且,是关于原点对称的,且有和同时成立,故既是奇函数又是偶函数.例5已知函数.判断的奇偶性,并加以证明.分析:这是一个分段函数,且每一段的解析式都比较熟悉,所以在判断其奇偶性时可以借助函数图象观察图象的对称性而得出结论,但要证明则只能依靠定义.解: 为奇函数.下面给出证明.当时,;当时,综上为奇函数.说明:根据定义进行证明时,必须分别证明和时均有成立,二者缺一不可.例6若函数在上是奇函数,试确定的解析式.分析:欲求的值,根据方程思想只需找出关于的两个独立条件列方程,而列方程的依据是是上的奇函数.解:在中,由得,由得,得,.说明:由奇函数的定义得到的制约条件时,应利用一般与特殊的思想让取某两个特殊值即可.这个想法是建立在对奇函数定义中恒等关系的理解.例7已知函数与的定义域都是,值域分别是与,在上是增函数而是减函数,求证:在上为减函数.分析：证明的依据应是减函数的定义.证明：设是上的任意两个实数,且,则是上的增函数,是上的减函数,且.,即,.又的值域为,的值域为,.即在上为减函数.说明：此题涉及抽象函数的有关证明,要求较高,此外在的变形中涉及到增减项的技巧,它也应是源于单调性只能比较同一个函数的某两个函数值,必须构造出与的差和与的差.例1 给出下列函数:(1); (2);(3); (4);(5).其中不存在反函数的是__________________.分析:判断一个函数是否有反函数,从概念上讲即看对函数值域内任意一个,依照这函数的对应法则,自变量总有唯一确定的值与之对应,由于这种判断难度较大,故通常对给出的函数的图象进行观察,断定是否具有反函数.解: (1) ,(2)都没有问题,对于(3)当时,和,且.对于(4)时,和.对于(5)当时,和.故(3),(4),(5)均不存在反函数.说明:从图象上观察,只要看在相应的区间内是否单调即可.例2求下列函数的反函数:(1) ; (2) ;(3).分析:求反函数时,通常先由给定的解析式中解出,再求出原来的函数的值域,再把与互换.解: (1)由得,又得值域是..(2)由变形得.又得值域是,(3)由得; 由得.又(的值域是,而的值域是,.说明:在求解方程时,一定要注意题目中对 的限制条件的使用,分段函数存在反函数时,也应分段求解它的反函数,一般情况下,它的反函数仍然是个分段函数.例3 已知函数 ,求 的值.分析: 符号 的意义即反函数 在 时的值,故可先求 ,再求 的值,但如果真正搞清了反函数与原来函数的关系,就会知道它的另一层含义即当原来函数的函数值为4时相应的自变量的取值.解: 令,解此方程得,再考虑到,故.说明:此题意在要求学生不仅能在定义中理解互为反函数的两个函数之间的关系,还能从符号角度认识它们之间的关系,也正是基于这种理解才找到了更为简捷的方法.(此法对于求反函数比较复杂的题目尤为适用)例4 已知函数 与其反函数 是同一个一次函数,试指出 的所有取值可能.分析:此题可以有两种求解思路:一是求解 的反函数的解析式,与比较,让对应系数相等,列出关于 的方程,二是利用两个函数图象的对称性,找对称点,利用点的坐标满足解析式来列方程.解：由 知点在图象上,则点定在的图象上,于是 (1)又 过点,则点也在的图象上,于是 (2)由(1)得 或,当时,代入(2),此时(2)恒成立即;当代入(2)解得.综上, 的所有取值可能有 或 .说明:此题是反函数概念与方程思想的综合.在这个题目中特殊点的选取一般是考虑计算简单方便,而且这种取特殊点列方程的方法在其他地方也有应用,故对此种方法要引起重视.另外此题在最后作答时,要求写出 的所有取值可能即要把 的取值与 的取值搭配在一起,所以解方程组时要特别小心这一点.例5.已知函数 , ,求 的反函数.分析: 由于已知是,所求是的反函数,因此应首先由找到,再由求出的表达式,再求反函数.解:令,则,,,.于是有.由得,由于,.又,的值域是,的反函数是.说明:此题涉及对抽象函数符号的认识与理解,特别是在换元过程中,相应变量的取值范围也要随之发生改变,这一点是学生经常忽略的问题.例6.设定义域和值域都是的函数的反函数为,且对于任意都有,求证:对任意也成立.分析:由函数的性质推证其反函数的性质,应首先要把的问题转化成的问题,转化的依据是对互为反函数的两个函数关系的理解.证明:令,其中,那么.则有 (1)由于对任意成立,.由于,则.故有,即.说明:使用抽象函数符号进行简单的证明,是提高研究函数性质理论层次的一种要求,对于较好的学生应适当做一些这样的题目.。
映射与函数试题
高一数学同步测试（5）—映射与函数一、选择题：1．下列对应是从集合A 到集合B 的映射的是（ ）A ．A =R ，B ={x |x ＞0且x ∈R}，x ∈A ，f ：x →|x | B ．A =N ，B =N ＋，x ∈A ，f ：x →|x －1|C ．A ={x |x ＞0且x ∈R}，B =R ，x ∈A ，f ：x →x 2D ．A =Q ，B =Q ，f ：x →x12．已知映射f :A B ，其中集合A ＝{－3，－2，－1，1，2，3，4}，集合B 中的元素都是A中的元素在映射f 下的象，且对任意的a ∈A，在B 中和它对应的元素是|a|，则集合B 中的元素的个数是 （ ）A ．4B ．5C ．6D ．73．设集合A 和B 都是自然数集合N ，映射f ：A→B 把集合A 中的元素n 映射到集合B 中的元素2n ＋n ，则在映射f 下，象20的原象是（ ）A ．2B ．3C ．4D ．54．在x 克a %的盐水中，加入y 克b %的盐水，浓度变成c %(a ,b >0,a ≠b )，则x 与y 的函数关系式是（ ）A ．y =b c ac --x B ．y =c b ac --xC ．y =c b ca --xD ．y =ac c b --x5．函数y=3232+-x x 的值域是（ ）A ．(－∞，－1 )∪(－1，＋∞)B ．(－∞，1)∪(1，＋∞)C ．(－∞，0 )∪(0，＋∞)D ．(－∞，0)∪(1，＋∞)6．下列各组中，函数f (x )和g(x )的图象相同的是（ ）A ．f (x )=x ，g(x )=(x )2B ．f (x )=1，g(x )=x 0C ．f (x )=|x |，g(x )=2xD ．f (x )=|x |，g(x )=⎩⎨⎧-∞∈-+∞∈)0,(,),0(,x x x x7．函数y =1122---x x 的定义域为（ ）A ．{x |－1≤x ≤1}B ．{x |x ≤－1或x ≥1}C ．{x |0≤x ≤1}D ．{－1，1}8．已知函数f (x )的定义域为［0，1］，则f (x 2)的定义域为（ ）A ．(－1，0)B ．[－1，1]C ．(0，1)D ．［0，1］9．设函数f (x )对任意x 、y 满足f (x ＋y )=f (x )＋f (y )，且f (2)=4，则f (－1)的值为（ ） A ．－2B ．±21C ．±1D ．210．函数y=2－x x 42+-的值域是 （ ） A ．[－2，2] B ．[1，2] C ．[0，2]D ．[－2，2]11．若函数y=x 2—x —4的定义域为[0，m ]，值域为[254-，-4]，则m 的取值范围是 （ ） A ．(]4,0 B ．[23，4] C ．[23，3]D ．[23，＋∞] 12．已知函数f (x ＋1)=x ＋1，则函数f (x )的解析式为（ ）A ．f (x )=x 2B ．f (x )=x 2＋1(x ≥1) D ．f (x )=x 2－2x ＋2(x ≥1) C ．f (x )=x 2－2x (x ≥1)二、填空题：13．己知集合A ={1，2，3，k } ，B = {4，7，a 4，a 2＋3a }，且a ∈N*，x ∈A，y ∈B，使B中元素y =3x ＋1和A 中的元素x 对应，则a =__ _， k =__ . 14．若集合M={－1，0，1} ，N={－2，－1，0，1，2}，从M 到N 的映射满足：对每个x∈M，恒使x ＋f (x) 是偶数， 则映射f 有__ __个. 15．设f (x －1)=3x －1，则f (x )=__ _______. 16．已知函数f (x )=x 2－2x ＋2，那么f (1)，f (－1)，f (3)之间的大小关系为 .三、解答题：17．（1）若函数y = f (2x ＋1)的定义域为[ 1，2 ]，求f (x )的定义域.（2）已知函数f (x )的定义域为［－21，23］，求函数g (x )=f (3x )＋f (3x)的定义域.18．（1）已f (x 1)=xx-1，求f (x )的解析式. （2）已知y =f (x )是一次函数，且有f [f (x )]=9x ＋8，求此一次函数的解析式.19．求下列函数的值域：（1）y =－x 2＋x ，x ∈[1，3 ] （2）y =11-+x x （3）12y x x =--20．已知函数ϕ(x )=f (x )＋g (x )，其中f (x )是x 的正比例函数，g (x )是x 的反比例函数，且ϕ(31)=16，ϕ(1)=8． （1）求ϕ(x )的解析式，并指出定义域； （2）求ϕ(x )的值域.21．如图，动点P 从单位正方形ABCD 顶点A 开始，顺次经B 、C 、D 绕边界一周，当x 表示点P 的行程，y 表示PA 之长时，求y 关于x 的解析式，并求f (25)的值.22．季节性服装当季节即将来临时，价格呈上升趋势，设某服装开始时定价为10元，并且每周(7天)涨价2元，5周后开始保持20元的价格平稳销售；10周后当季节即将过去时，平均每周削价2元，直到16周末，该服装已不再销售.（1）试建立价格P与周次t之间的函数关系式.（2）若此服装每件进价Q与周次t之间的关系为Q＝－(t－8)2＋12，t∈[0，16]，t∈N*，试问该服装第几周每件销售利润L最大?参考答案一、选择题： CACBB CDBAC CC二、填空题：=2，k=5，，＋2，(1)＜f(3)＜f(－1)三、解答题：17.解析：（１）f(2x＋1)的定义域为[1，2]是指x的取值范围是[1，2]，+≤≤x∴x∴x≤∴≤≤≤的定义域为[3，5]31,5()2,41x,222f（２）∵f (x )定义域是［－21，23］∴g (x )中的x 须满足⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤-≤≤-2332123321x x2161 29232161≤≤-∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤-≤≤-x x x 即 ∴g (x )的定义域为［－21,61］.18.解析：（１）设11)(11111)(,1,1,-=∴-=-===x x f t tt t f t x x t 得代入则(x ≠0且x ≠1)（２）设f (x )=ax ＋b ，则f [f (x )]=af (x )＋b =a (ax ＋b )＋b =a 2x ＋ab ＋b =9x ＋843)(23)()(,4233892--=+=∴⎩⎨⎧-=-=⇒⎩⎨⎧=+=∴x x f x x f x f b a b ab a 或的解析式为或或 19．解析：（１）由y=－x 2＋x ⇒2)21(41--=x y ，∵410,31≤≤∴≤≤y x ．（２）可采用分离变量法. 12111-+=-+=x x x y ，∵1,012≠∴≠-y x∴值域为{y|y≠1且y∈R.}(此题也可利用反函数来法) （３）令12u x =- (0u ≥)，则21122x u =-+， 22111(1)1222y u u u =--+=-++， 当0u ≥时，12y ≤，∴函数12y x x =--的值域为1(,]2-∞．20．解析： (1)设f (x )=ax ，g (x )=x b ，a 、b 为比例常数，则ϕ(x )=f (x )＋g (x )=ax ＋xb 由⎪⎩⎪⎨⎧=+=+⎪⎩⎪⎨⎧==8163318)1(,16)31(b a b a 得ϕϕ，解得⎩⎨⎧==53b a∴ϕ(x )=3x ＋x 5，其定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞) (2)由y =3x ＋x5，得3x 2－yx ＋5=0(x ≠0)∵x ∈R 且x ≠0，∴Δ=y 2－60≥0，∴y ≥215或y ≤－215 ∴ϕ(x ) 的值域为(－∞，－215]∪［215，＋∞) 21．解析：当P 在AB 上运动时，y =x ，0≤x ≤1，当P 在BC 上运动时，y =2)1(1-+x ，1＜x ≤2当P 在CD 上运动时，y =2)3(1x -+，2＜x ≤3 当P 在DA 上运动时，y =4－x ，3＜x ≤4∴y =()()()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤<-≤<-+≤<-+≤≤43432)3(121 )1(11022x x x x x x x x ∴f (25)=2522．解析：(1)P ＝ ⎪⎩⎪⎨⎧∈∈-∈∈∈∈+*]16,10[ 240*]10,5[20*[0,5)210N N N t t t t t t t t 且且且 (2)因每件销售利润＝售价－进价，即L ＝P －Q故有：当t ∈[0，5)且t ∈N *时，L ＝10＋2t ＋(t －8)2－12＝81t 2＋6 即，当t ＝5时，L max ＝当t ∈[5，10)时t ∈N *时，L ＝－2t ＋16 即t ＝5时，L max ＝当t ∈[10，16]时，L ＝－4t ＋36即t ＝10时，L max ＝由以上得，该服装第5周每件销售利润L 最大.。
映射和函数含答案
第2课时 映射与函数 课时目标 1.了解映射的概念及含义，会判断给定的对应关系是否是映射.2.知道函数与映射的关系．1．映射的概念设A 、B 是两个非空集合，如果按照某种对应法则f ，对A 中的任意一个元素x ，在B 中____________________元素y 与x 对应，则称f 是集合A 到集合B 的______．这时，称y 是x 在映射f 作用下的____，记作______，x 称作y 的______．2．一一映射如果映射f 是集合A 到集合B 的映射，并且对于集合B 中的______________，在集合A 中都__________，这时我们说这两个集合的元素之间存在______________，并把这个映射叫做从集合A 到集合B 的___________________________________________．3．映射与函数由映射的定义可以看出，映射是______概念的推广，函数是一种特殊的映射，要注意构成函数的两个集合A ，B 必须是__________．一、选择题1．设f ：A →B 是从集合A 到集合B 的映射，则下面说法正确的是( )A ．A 中的每一个元素在B 中必有象B ．B 中每一个元素在A 中必有原象C ．A 中的一个元素在B 中可以有多个象D ．A 中不同元素的象必不同2．下列集合A 到集合B 的对应中，构成映射的是( )3．已知集合P ＝{x |0≤x ≤4}，Q ＝{y |0≤y ≤2}，下列不能表示从P 到Q 的映射的是( )A ．f ：x →y ＝12xB ．f ：x →y ＝13x C ．f ：x →y ＝23x D ．f ：x →y ＝x 4．设集合A 、B 都是坐标平面上的点集{(x ，y )|x ∈R ，y ∈R }，映射f ：A →B 使集合A 中的元素(x ，y )映射成集合B 中的元素(x ＋y ，x －y )，则在f 下，象(2,1)的原象是( )A ．(3,1) B.⎝⎛⎭⎫32，12C.⎝⎛⎭⎫32，－12D ．(1,3)5．给出下列两个集合之间的对应关系，回答问题：①A＝{你们班的同学}，B＝{体重}，f：每个同学对应自己的体重；②M＝{1,2,3,4}，N＝{2,4,6,8}，f：n＝2m，n∈N，m∈M；③M＝R，N＝{x|x≥0}，f：y＝x4；④A＝{中国，日本，美国，英国}，B＝{北京，东京，华盛顿，伦敦}，f：对于集合A 中的每一个国家，在集合B中都有一个首都与它对应．上述四个对应中是映射的有______，是函数的有______，是一一映射的有________．()A．3个2个1个B．3个3个2个C．4个2个2个D．2个2个1个6．集合A＝{1,2,3}，B＝{3,4}，从A到B的映射f满足f(3)＝3，则这样的映射共有() A．3个B．4个C．5个二、填空题7．设A＝Z，B＝{x|x＝2n＋1，n∈Z}，C＝R，且从A到B的映射是x→2x－1，从B到C的映射是y→12y＋1，则经过两次映射，A中元素1在C中的象为________．8．设f，g都是由A到A的映射，其对应法则如下表：映射f的对应法则如下：映射g则f[g(1)]的值为9．根据下列所给的对应关系，回答问题．①A＝N*，B＝Z，f：x→y＝3x＋1，x∈A，y∈B；②A＝N，B＝N*，f：x→y＝|x－1|，x∈A，y∈B；③A＝{x|x为高一(2)班的同学}，B＝{x|x为身高}，f：每个同学对应自己的身高；④A＝R，B＝R，f：x→y＝1x＋|x|，x∈A，y∈B.上述四个对应关系中，是映射的是________，是函数的是________．三、解答题10．设f：A→B是集合A到集合B的映射，其中A＝{正实数}，B＝R，f：x→x2－2x －1，求A中元素1＋2的象和B中元素－1的原象．11．下列对应是否是从A到B的映射，能否构成函数？(1)A＝R，B＝R，f：x→y＝1x＋1；(2)A＝{0,1,2,9}，B＝{0,1,4,9,64}，f：a→b＝(a－1)2.(3)A＝[0，＋∞)，B＝R，f：x→y2＝x；(4)A＝{x|x是平面M内的矩形}，B＝{x|x是平面M内的圆}，f：作矩形的外接圆．能力提升12．设f：x→x2是集合A到集合B的映射，如果B＝{1,2}，则A∩B一定是() A．∅B．∅或{1}C．{1}D．∅13．已知A＝{a，b，c}，B＝{－2,0,2}，映射f：A→B满足f(a)＋f(b)＝f(c)．求满足条件的映射的个数．1．映射中的两个集合A和B可以是数集、点集或由图形组成的集合等，映射是有方向的，A到B的映射与B到A的映射往往是不一样的．2．对应、映射、函数三个概念既有区别又有联系，在了解映射概念的基础上，深刻理解函数是一种特殊的映射，而映射又是一种特殊的对应．3．判断一个对应是否是映射，主要看第一个集合A 中的每一个元素在对应法则下是否都有对应元素，若有，再看对应元素是否唯一，至于B 中的每一个元素是否都有原象，则不作要求．4．对映射认识的拓展映射f ：A →B ，可理解为以下三点：(1)A 中每个元素在B 中必有唯一的元素与之对应；(2)对A 中不同的元素，在B 中可以有相同的元素与之对应；(3)A 中元素与B 中元素的对应关系，可以是：一对一、多对一，但不能一对多．第2课时 映射与函数知识梳理1．有一个且仅有一个 映射 象 f(x) 原象 2.任意一个元素有且只有一个原象 一一对应关系 一一映射 3.函数 非空数集作业设计1．A [由映射的定义知只要集合A 中的任意一个元素在B 中有且只有一个元素与之对应，就能构成一个映射，故B 、C 、D 都错，只有A 对．]2．D [选项A 中元素1在B 中有2个象，故A 错；选项B 中元素2没有象对应，故B 错；选项C 的错与选项A 相同；只有D 符合映射的定义．]3．C [如果从P 到Q 能表示一个映射，根据映射的定义，对P 中的任一元素，按照对应关系f 在Q 中有唯一元素和它对应，选项C 中，当x ＝4时，y ＝23×4＝83∉Q ，故选C .]4．B 5.C6．B [由于要求f(3)＝3，因此只需考虑剩下两个元素的象的问题，总共有如图所示的4种可能．]7.13解析 A 中元素1在B 中象为2×1－1＝1，而1在C 中象为12×1＋1＝13. 8．1解析 g(1)＝4，∴f [g(1)]＝f(4)＝1.9．①③ ① 解析 ①对x ∈A ，在f ：x →y ＝3x ＋1作用下在B 中都有唯一的象，因此能构成映射，又A 、B 均为数集，因而能构成函数；②当x ＝1时，y ＝|x －1|＝|1－1|＝0∉B ，即A 中的元素1在B 中无象，因而不能构成映射，从而不能构成函数．③对高一(2)班的每一个同学都对应着自己的身高，因而能构成映射，但由于高一(2)班的同学不是数集，从而不能构成函数．④当x≤0时，|x|＋x＝0，从而1|x|＋x无意义，因而在x≤0时，A中元素在B中无象，所以不能构成映射．10．解当x＝1＋2时，x2－2x－1＝(1＋2)2－2×(1＋2)－1＝0，所以1＋2的象是0.当x2－2x－1＝－1时，x＝0或x＝2.因为0∉A，所以－1的原象是2.11．解(1)当x＝－1时，y的值不存在，∴不是映射，更不是函数．(2)在f的作用下，A中的0,1,2,9分别对应到B中的1,0,1,64，∴是映射，也是函数．(3)∵当A中的元素不为零时，B中有两个元素与之对应，∴不是映射，更不是函数．(4)是映射，但不是函数，因为A，B不是数集．12．B[由题意可知，集合A中可能含有的元素为：当x2＝1时，x＝1，－1；当x2＝2时，x＝2，－ 2.所以集合A可为含有一个、二个、三个、四个元素的集合．无论含有几个元素，A∩B＝∅或{1}．故选B.]13．解(1)当A中三个元素都对应0时，则f(a)＋f(b)＝0＋0＝0＝f(c)有一个映射；(2)当A中三个元素对应B中两个时，满足f(a)＋f(b)＝f(c)的映射有4个，分别为2＋0＝2,0＋2＝2，(－2)＋0＝－2,0＋(－2)＝－2.(3)当A中的三个元素对应B中三个元素时，有两个映射，分别为(－2)＋2＝0,2＋(－2)＝0.因此满足条件中的映射共有7个．。
高中数学函数专题复习
高中数学函数专题复习2.1 映射与函数、函数的解析式一、选择题：1．设集合}21|{≤≤=x x A ，}41|{≤≤=y y B ，则下述对应法则f 中，不能构成A 到B 的映射的是（ ） A ．2:x y x f =→ B ．23:-=→x y x fC ．4:+-=→x y x fD ．24:x y x f -=→2．若函数)23(x f -的定义域为[－1，2]，则函数)(x f 的定义域是（ ） A ．]1,25[--B ．[－1，2]C ．[－1，5]D ．]2,21[3，设函数⎩⎨⎧<≥-=)1(1)1(1)(x x x x f ，则)))2(((f f f =（） A ．0B ．1C ．2D ．24．下面各组函数中为相同函数的是（ ） A ．1)(,)1()(2-=-=x x g x x fB ．11)(,1)(2-+=-=x x x g x x fC ．22)1()(,)1()(-=-=x x g x x f D ．21)(,21)(22+-=+-=x x x g x x x f5. 已知映射f ：B A →，其中，集合{},4,3,2,1,1,2,3---=A 集合B 中的元素都是A 中元素在映射f 下的象，且对任意的,A a ∈在B 中和它对应的元素是a ，则集合B 中元素的个数是( ) (A) 4 (B) 5 (C) 6 (D) 77．已知定义在),0[+∞的函数⎩⎨⎧<≤≥+=)20()2( 2)(2x xx x x f若425)))(((=k f f f ，则实数=k2.2函数的定义域和值域1．已知函数xxx f -+=11)(的定义域为M ，f[f(x)]的定义域为N ，则M ∩N= .2.如果f(x)的定义域为(0,1)，021<<-a ，那么函数g(x)=f(x+a)+f(x-a)的定义域为 . 3. 函数y=x 2-2x+a 在[0,3]上的最小值是4，则a= ；若最大值是4，则a= . 4．已知函数f(x)=3-4x-2x 2,则下列结论不正确的是（ ）A ．在（-∞，+∞）内有最大值5，无最小值，B ．在[-3，2]内的最大值是5，最小值是-13C ．在[1，2）内有最大值-3，最小值-13，D ．在[0，+∞）内有最大值3，无最小值5．已知函数1279,4322+--=-+=x x x y x x y 的值域分别是集合P 、Q ，则（ ）A ．p ⊂QB ．P=QC ．P ⊃QD ．以上答案都不对6．若函数3412++-=mx mx mx y 的定义域为R ，则实数m 的取值范围是（ ）A ．]43,0(B ．)43,0( C ．]43,0[ D ．)43,0[ 7．函数])4,0[(422∈+--=x x x y 的值域是（ ）A ．[0，2]B ．[1，2]C ．[－2，2]D ．[－2，2]8.若函数)(},4|{}0|{113)(x f y y y y x x x f 则的值域是≥⋃≤--=的定义域是( )A ．]3,31[ B ．]3,1()1,31[⋃ C ．),3[]31,(+∞-∞或 D ．[3,+∞)9．求下列函数的定义域：①12122---=x x x y10．求下列函数的值域： ①)1(3553>-+=x x x y ②y=|x+5|+|x-6|③242++--=x x y④x x y 21-+= ⑤422+-=x x xy 11．设函数41)(2-+=x x x f .（Ⅰ）若定义域限制为[0，3]，求)(x f 的值域； （Ⅱ）若定义域限制为]1,[+a a 时，)(x f 的值域为]161,21[-，求a 的值.2.3函数的单调性1．下述函数中，在)0,(-∞上为增函数的是（ ）A ．y=x 2－2B ．y=x3C ．y=x --21D ．2)2(+-=x y2．下述函数中，单调递增区间是]0,(-∞的是（ ）A ．y=－x1B ．y=－(x －1)C ．y=x 2－2D ．y=－|x |3．函数)(2∞+-∞-=，在x y 上是（ ）A ．增函数B ．既不是增函数也不是减函数C ．减函数D ．既是减函数也是增函数 4．若函数f(x)是区间[a,b]上的增函数，也是区间[b,c]上的增函数，则函数f(x)在区间[a,b]上是（ ）A ．增函数B ．是增函数或减函数C ．是减函数D ．未必是增函数或减函数5．已知函数f(x)=8+2x-x 2，如果g(x)=f(2-x 2)，那么g(x) ( ) A.在区间（-1，0）上单调递减 B.在区间（0，1）上单调递减C.在区间（-2，0）上单调递减D 在区间（0，2）上单调递减6．设函数),2(21)(+∞-++=在区间x ax x f 上是单调递增函数，那么a 的取值范围是（ ）A ．210<<aB ．21>a C ．a<-1或a>1 D ．a>－27．函数),2[,32)(2+∞-∈+-=x mx x x f 当时是增函数，则m 的取值范围是（ ）A ． [－8，+∞）B ．[8，+∞）C ．（－∞，－ 8]D ．（－∞，8]8．如果函数f(x)=x 2+bx+c 对任意实数t 都有f(4-t)=f(t),那么（ ）A ．f(2)<f(1)<f(4)B ．f(1)<f(2)<f(4)C ．f(2)<f(4)<f(1)D ．f(4)<f(2)<f(1)9．若函数34)(3+-=ax x x f 的单调递减区间是)21,21(-，则实数a 的值为 .10．(理科)若a >0，求函数)),0()(ln()(+∞∈+-=x a x x x f 的单调区间.2.4 函数的奇偶性1．若)(),()(12x f N n x x f n n 则∈=++是（ ）A ．奇函数B ．偶函数C ．奇函数或偶函数D ．非奇非偶函数2．设f(x)为定义域在R 上的偶函数，且f(x)在)3(),(),2(,)0[f f f π--∞+则为增函数的大小顺序为（ ） A ．)2()3()(->>-f f f π B ．)3()2()(f f f >->-π C ．)2()3()(-<<-f f f πD ．)3()2()(f f f <-<-π3．如果f (x )是定义在R 上的偶函数，且在),0[+∞上是减函数，那么下述式子中正确的是（ ） A ．)1()43(2+-≥-a a f f B ．)1()43(2+-≤-a a f fC ．)1()43(2+-=-a a f f D ．以上关系均不成立5．下列4个函数中：①y=3x －1，②);10(11log ≠>+-=a a xxy a且 ③123++=x x x y ，④).10)(2111(≠>+-=-a a a x y x且 其中既不是奇函数，又不是偶函数的是（ ）A ．①B ．②③C ．①③D ．①④6．已知f (x )是定义在R 上的偶函数，并满足：)(1)2(x f x f -=+，当2≤x ≤3，f (x )=x ，则f (5.5)=（ ）A ．5.5B ．－5.5C ．－2.5D ．2.57．设偶函数f (x )在),0[+∞上为减函数，则不等式f (x )> f (2x+1) 的解集是8．已知f (x )与g (x )的定义域都是{x|x ∈R ，且x ≠±1}，若f (x )是偶函数，g(x )是奇函 数，且f (x )+ g(x )=x-11，则f (x )= ，g(x )= .9．已知定义域为（－∞，0）∪（0，+∞）的函数f (x )是偶函数，并且在（－∞，0）上是增函数，若f (－3)=0，则不等式)(x f x<0的解集是 . 11．设f (x )是定义在R 上的偶函数，在区间（－∞，0）上单调递增，且满足f (－a 2+2a －5)<f (2a 2+a +1), 求实数a 的取值范围.2.7 .指数函数与对数函数1．当10<<a 时，aa aa a a ,,的大小关系是（ ） A ．aa aa a a >> B ．a aa aa a>>C ．aa a a aa>>D ．aa aaa a >>2．已知()|log |a f x x =，其中01a <<，则下列不等式成立的是（ ） A ．11()(2)()43f f f >> B ．11(2)()()34f f f >>C ．11()()(2)43f f f >>D ．11()(2)()34f f f >> 3．函数)2(x f y =的定义域为[1，2]，则函数)(log 2x f y =的定义域为（ ）A ．[0，1]B ．[1，2]C ．[2，4]D ．[4，16]4．若函数)2,3()(log )(321---=在ax x x f 上单调递减，则实数a 的取值范围是（ ）A ．[9，12]B ．[4，12]C ．[4，27]D ．[9，27]6．若定义在(—1，0)内的函数)1(log )(2+=x x f a 满足)(x f ＞0，则a 的取值范围是 7．若1)1(log )1(<-+k k ，则实数k 的取值范围是 . 8．已知函数)1,0)(4(log )(≠>-+=a a xax x f a 且的值域为R ，则实数a 的取值范围是 .10．求函数)(log )1(log 11log )(222x p x x x x f -+-+-+=的值域. 12．已知函数)10)(1(log )1(log )(≠>--+=a a x x x f a a 且 （1）讨论)(x f 的奇偶性与单调性； （2）若不等式2|)(|<x f 的解集为a x x 求},2121|{<<-的值；2.8 .二次函数1．设函数∈++=a x a ax x x f ,(232)(2R ）的最小值为m （a ），当m （a ）有最大值时a 的值为（ ） A ．34B ．43C ．98D ．89 2．已知0)53()2(,2221=+++--k k x k x x x 是方程（k 为实数）的两个实数根，则2221x x +的最大值为（ ）A ．19B ．18C ．955D ．不存在3．设函数)0()(2≠++=a c bx ax x f ，对任意实数t 都有)2()2(t f t f -=+成立，则函数值)5(),2(),1(),1(f f f f -中，最小的一个不可能是（ ）A ．f (－1)B ．f (1)C ．f (2)D ．f (5)4．设二次函数f (x )，对x ∈R 有)21()(f x f ≤=25，其图象与x 轴交于两点，且这两点的横坐标的立方和为19，则f (x )的解析式为5．已知二次函数12)(2++=ax ax x f 在区间[－3，2]上的最大值为4，则a 的值为6．一元二次方程02)1(22=-+-+a x a x 的一根比1大，另一根比－1小，则实数a 的取值范围是7．已知二次函数∈++=c b a c bx ax x f ,,()(2R ）满足,1)1(,0)1(==-f f 且对任意实数x 都有)(,0)(x f x x f 求≥-的解析式. 8．a >0，当]1,1[-∈x 时，函数b ax x x f +--=2)(的最小值是－1，最大值是1. 求使函数取得最大值和最小值时相应的x 的值.9．已知22444)(a a ax x x f --+-=在区间[0，1]上的最大值是－5，求a 的值. 10．函数)(x f y =是定义在R 上的奇函数，当22)(,0x x x f x -=≥时，（Ⅰ）求x <0时)(x f 的解析式；（Ⅱ）问是否存在这样的正数a ，b ，当)(,],[x f b a x 时∈的值域为]1,1[ab ？若存在，求出所有的a ，b 的值；若不存在，说明理由.2.9 .函数的图象1．函数)32(-x f 的图象，可由)32(+x f 的图象经过下述变换得到（ ） A ．向左平移6个单位 B ．向右平移6个单位 C ．向左平移3个单位 D ．向右平移3个单位2．设函数)(x f y =与函数)(x g y =的图象如右图所示，则函数)()(x g x f y ⋅=的图象可能是下面的（ ）4．如图，点P 在边长的1的正方形的边上运动，设M 是CD 边的中点，当P 沿A →B →C →M 运动时，以点P 经过的路程x 为自变量，APM ∆的面积为y ，则函数)(x f y =的图象大致是（ ） 6．设函数)(x f 的定义域为R ，则下列命题中： ①若)(x f y =为偶函数，则)2(+=x f y 的图象关于y 轴对称； ②若)2(+=x f y 为偶函数，则)(x f y =的图象关于直线2=x 对称；③若)2()2(x f x f -=-，则)(x f y =的图象关于直线2=x 对称；④函数)2(-=x f y 与函数)2(x f y -=的图象关于直线2=x 对称. 则其中正确命题的序号是10．m 为何值时，直线m x y l +-=:与曲线182+-=x y 有两个公共点？有一个公共点？无公共点？3.0导数复习1、导数的几何意义/0()f x 是曲线)(x f y =上点（)(,00x f x ）处的切线的斜率因此，如果)(x f y =在点0x 可导，则曲线)(x f y =在点（)(,00x f x ）处的切线方程为))(()(00/0x x x f x f y -=-注意：“过点A 的曲线的切线方程”与“在点A 处的切线方程”是不尽相同的，后者A 必为切点，前者未必是切点.（1）曲线y =x 3－2x +4在点(1,3)处的切线的倾斜角为 （ ）.A 30°.B 45°.C 60° .D 12（2）已知曲线24x y =的一条切线的斜率为12，则切点的横坐标为 （ ）.A 1.B 2.C 3.D 4（3）过点()1,0-作抛物线21y x x =++的切线，则其中一条切线为（ ）.A 220x y ++=.B 330x y -+=.C 10x y ++=.D 10x y -+=（4）求过点()1,1P 且与曲线3y x =相切的直线方程：导数的应用.利用导数判断函数单调性及求解单调区间导数和函数单调性的关系： 一般的，设函数y=f(x)在某个区间内有导数，如果在这个区间内有f '(x)>0, 那么f(x)为这个区间内的增函数, 对应区间为增区间； 如果在这个区间内有f '(x)<0，那么f(x)为这个区间内的减函数，对应区间为减区间。
高中数学函数与映射过关检测试卷及解析
高中数学函数与映射过关检测试卷及解析第二章函数训练9 函数与映射基础巩固站起来，拿得到！1.下列各图中,可表示函数y=f(x)的图象的只可能是( )答案：D解析：由函数的定义可知.2.若f(x)= ,则方程f(4x)=x的根是( )A. B.- C.2 D.-2答案：A解析：由f(4x)=x,得=x 4x2-4x+1=0 x= .3.下列各组中的函数图象相同的是( )A.f(x)=1,g(x)=x0B.f(x)=1,g(x)=C.f(x)= ,g(x)=(x+3)(x+3)0D.f(x)=|x|,g(x)=答案：C解析：考查定义域与对应法则.4.设M={x|02},N={y|02},给出下列四个图形,其中能表示集合M到集合N的函数关系的有( )A.0个B.1个C.2个D.3个答案：C解析：由图象及函数的定义域与值域可知②③正确.5.假如映射f:AB的象的集合是Y,原象的集合是X,那么X与A的关系是_______________;Y与B的关系是__________________.答案：X=A Y B解析：由函数定义易知.6.设函数f(x)= 若f(x)=3,则x=_______________.答案：解析：分别讨论7.在下列各个条件下求f(x):(1)f(2x+1)=x2-3x+1;(2)f( )= ;(3)f(x+ )=x2+ .解：(1)设2x+1=t,则x= .f(t)=f(2x+1)=x2-3x+1=( )2-3 +1= -2t+ .f(x)= -2x+ .(2)设t= 0,则x= .f(t)= .f(x)= (xR且x1).(3)∵f(x+ )=x2+ =(x+ )2-2,f(x)=x2-2,x(-,-2)［2,+］.能力提升踮起脚,抓得住!8.下面三个对应(Z为整数集);(1)Z中的元素x与2x对应;(2)Z中的元素x与对应;(3)Z中的元素x与x2-1对应,其中Z到Z的映射有( )A.0个B.1个C.2个D.3个答案：C解析：依照A中元素任意性,B中元素唯独性知(1)(3)对.9.确定函数y=x2+1的对应关系是( )A.f:RRB.f:(0,+)(0,+)C.f:R(0,+)D.f:R［1,+)答案：D解析：函数y=x2+1的定义域是R,对任意的xR,有y=x2+11,即y［1,+).10.设A到B的映射f1:x2x+1,B到C的映射f2:yy2-1,则A到C的映射f3是____________.答案：z4z2+4z解析：x2x+1,(2x+1)2-1=4x2+4x,即z4z2+4z.11.下列对应:(1)A=R+,B=R,对应法则是“求平方根”.(2)A={x|-33},B={y|01},对应法则是“平方除以9”.(3)A={x|xN*},B={-1,1},对应法则f:xy=(-1)x(xA,yB).(4)A={平面内的圆},B={平面内的矩形},对应法则是“作圆内接矩形”.(5)A=R,B=R+,f:xy=x2-1.其中,是A到B的映射有_________________.(将是映射的序号全部填上)答案：(2)(3)解析：映射是一类专门的对应,可一对一或多对一的对应,但不能是一对多的对应.12.已知函数f(x)= (a、b为常数,a0)满足f(2)=1,f(x)=x有唯独解,求函数f(x)的解析式和f［f(-3)］的值.解：∵f(2)=1,1= ,即2a+b=2. ①又∵f(x)=x有唯独解,即=x有唯独解,x =0.解之,得x1=0,x2= ,∵有唯独的解,x1=x2=0,得b=1. ②由①②得a= ,b=1.f(x)= .故f［f(-3)］=f( )=f(6)= .13.已知函数f(x)、g(x)同时满足条件:对一切实数x、y都有g(x-y)=g(x) g(y)+f(x)f(-1) =-1,f(0)=0,f(1)=1.试求g(0),g(1),g(2)的值.解：由g(x-y)=g(x)g(y)+f(x)f(y)知,g(x)=g(x-0)=g(x)g(0)+f(x)f(0),又f(0)=0,故g(x)=g(x)g(0) g(0)=1〔g(x)不恒为零,否则g(0)=g(1-1)=g2(1)+f2(1)=0 f(1)=0与f(1)=1矛盾〕.又g(-x)=g(0-x)=g(0)g(x)+f(0)f(x)=g(x) g(-1)=g(1),又g(0)=g(1-1)=g2(1)+f2(1)=1 g(1)=0〔f(1)=1〕,则g(-1)=g(1)=0.g(2)=g［1-(-1)］=g(1)g(-1)+f(1)f(-1)=-1.拓展应用跳一跳,够得着!14.已知定义域为R的函数f(x)满足f(a+b)=f(a)f(b)(a、bR)且f(x)0,若f(1) = ,则f(-2)等于( )A.2B.4C.D.答案：B解析：由f(a+b)=f(a)f(b),知f(0+0)=f2(0) f(0)=1(f(x)0),又f(2)=f(1+1)=f2(1)= ,f(2-2)=f(2)f(-2)=f(0)=1 f(-2)= =4.15.设A={a,b,c},B={-1,0,1},映射f:AB满足f(a)=f(b)+f(c),则映射f:AB的个数有_______个.答案：7解析：(1)当A中元素都对应0时,满足f(a)=f(b)+f(c),有一种映射.(2)当A中元素对应B中的两个元素时,满足f(a)=f(b)+f(c),有四种映射: 1=1+0,1=0+1,-1=-1+0,-1=0+(-1).(3)当A中元素对应B中三个元素时,满足f(a)=f(b)+f(c),有两种映射:0=1 +(-1),0=(-1)+1.满足条件的映射共有7个.16.如图所示,等腰梯形的两底分别为AD=2a,BC=a,BAD=45,直线MNA D,交AD于M,交折线ABCD于N,设AM=x,试将梯形ABCD位于直线MN 左侧的面积y表示成x的函数,并求此函数的定义域.解：过B、C分别作边AD的垂线,垂足分别为H和G,则AH= ,AG= a,当M位于H左侧时,AM=x,MN=x.故y=S△AMN= x2(0当M位于H、G之间时,y=S梯形ABNM= (AM+BN)MN= (x+x- ) = ax- a2(唐宋或更早之前，针对“经学”“律学”“算学”和“书学”各科目，其相应传授者称为“博士”，这与当今“博士”含义差不多相去甚远。
映射与函数真题及答案解析
映射与函数真题及答案解析是数学中常见且重要的概念。
在解题过程中，对的理解和运用能力往往会直接影响到解答的准确性和效率。
本文将通过一些真题及答案解析，探讨的相关知识点，帮助读者更好地理解和掌握这一主题。
一、函数的定义和性质在数学中，函数是一个将一个集合的元素映射到另一个集合的元素的规则。
它常用符号$f(x)$表示，其中$x$为输入，$f(x)$为对应的输出。
函数的定义域为输入可能的取值的集合，值域为输出可能的取值的集合。
对于函数的性质，有一些基本概念需要了解。
首先是函数的奇偶性质。
若对于定义域内的任意$x$，有$f(-x) = f(x)$成立，则函数是偶函数；若对于定义域内的任意$x$，有$f(-x) = -f(x)$成立，则函数是奇函数。
其次是函数的单调性质。
若对于定义域内的任意$x_1$和$x_2$，当$x_1 < x_2$时，有$f(x_1) \leq f(x_2)$或$f(x_1) \geqf(x_2)$成立，则函数是单调增加或单调减少的。
二、映射和函数的题型在高考或其他数学竞赛中，映射和函数常常成为试题的重点。
以下将通过一些典型题目进行解析，以帮助读者更好地理解相关知识点。
1. 已知函数$f(x) = x^2 - 2x + 1$，求函数的值域。
解析：首先，我们可以将函数写成标准形式$f(x) = (x-1)^2$。
显然，$(x-1)^2 \geq 0$对任意$x$都成立，因此函数值域的最小值为0。
而且，当$x - 1 = 0$时，$(x-1)^2 = 0$，所以函数的最小值为0。
因此，函数的值域为$[0, +\infty)$。
2. 已知函数$f(x) = \sqrt{3-x} - 2$，求函数的定义域。
解析：根据函数的定义，我们可以得到$\sqrt{3-x} - 2 \geq0$。
解这个不等式可以得到$3-x \geq 4$，即$x \leq -1$。
因此，函数的定义域为$(-\infty, -1]$。
高考第一轮复习经典题型 映射与函数 (含祥细解答)
映 射 与 函 数内容提要：一、你对映射的概念了解了吗 ？映射 f ：A → B 中，你是否注意到了A 中元素的任意性和B 中与它对应元素的唯一性 ？哪几种对应能够成映射 ？注：映射是一种特殊的对应，映射中的集合A 、B 可以是数集，也可以是点集或其它集合；映射包括集合A 、B以及从A 到B 的对应法则f ，三者缺一不可，对于一个从A 到B 的映射来说，A 中的每一个元素必有唯一的象，但B 中的每一个元素却不一定有原象，如果有，也不一定只有一个，亦即映射可以“多对一”，但不能“一对多”.二、函数的有关概念你理解了吗？，什么是函数的定义域 ？求函数的定义域的思路怎么样 ？你按要求把函数的定义域写成集合（或区间）的形式了吗 ？1、设B ,A 是两个非空的数集 ，如果按照某种确定的对应关系 f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数)(x f 和它对应，那么就称 B A f →:为从集合A 到集合B 的一个函数，记作 A x ,x f y ∈=)(（其中A 为函数的定义域，B 或B 的某一子集为函数的值域）．2、求函数的定义域要注意如下思路与方法 ( 注：函数的定义域与值域都要写成集合或区间的形式. )：⑴ 如果只给出函数的解析式（不注明定义域）其定义域应指的是：使解析式有意义的自变量的取值范 围（称为自然定义域），这时常可以通过解不等式（或不等式组）求得函数的定义域 .⑵ 如果函数是由实际题问确定的，这时应根据自变量的实际意义确这其取值范围 . ⑶ 对于含有字母参数的函数，求其定义域，必须对字母参数分类讨论 .⑷ 对于复合函数求定义域问题，其一般步骤是：先确定()f x 的定义域 [ a ，b ]，则复合函数 f [g ( x ) ] 的定义域应由不等式 a ≤ g ( x ) ≤ b 解出x 即得 . 三、求函数值域和最值有那些基本方法 ？你都掌握了吗 ？注：函数的值域取决于定义域和对应法则，不论采用什么方法求函数的值域均应考虑其定义域；求函数值域和最值的基本方法有：⑴ 配 方 法：这是求二次函数类值域最基本的方法，一般地，象 F ( x ) = a [f ( x )] 2 + b f ( x ) + c 的函数的值域问题，均可用配方法 .⑵ 分离常数法：求形如 (0)c x dy a a x b+=≠+的函数的值域可用此法 .⑶ 判别式法：把函数转化成关于x 的二次方程 F ( x ，y ) = 0，通过方程有实根，判别式 △ ≥ 0 ，从而求得原函数的值域；形如 211122222(,1a x b x c y a a a x b x c ++=++不同时为0 ）的函数的值域常用此法⑷ 换 元 法：运用代数或三角代换，将所给函数转化成值域容易确定的另一函数，从而求得原函数的值域；形如 ( , , , 0 )y a x b c x d a b c d ab =+±+≠均为常数,且的函数常 用此法求值域 .⑸ 不等式法：利用基本不等式：32, 3a b a b a b c abc +≥++≥，求函数的值域；用此法求函数值域时，要注意条件“一正、二定、三相等 ”.⑹ 函数单调性法：确定函数在定义域（ 或定义域某个子集上 ）的单调性质求出函数的值域；如：求函数 2254x y x +=+的值域可用此法 .⑺ 数形结合法：利用函数所表示的几何意义，借助于几何方法来求函数的值域 .四、求函数的解析式有那些类型与方法 ？求出一个函数的解析式后你注明函数的定义域了吗 ？函数的解析式是函数与自变量之间的一种对应关系，是函数与自变量之间建立联系的桥梁，求函数的解 析式主要有如下五种基本类型 ：⑴ 已知 f ( x ) 和 g ( x )，求 f [ g ( x ) ]；常用“代入法”.⑵ 已知 f [ g ( x ) ] 和 g ( x )，求 f ( x )；常用 “配凑法”或“换元法”. ⑶ 已知 f ( x ) 的形式，求 f ( x )；常用“待定系数法”. ⑷ 在实际问题中，根据函数的定义求函数的解析式 . ⑸ 已知 f ( x ) 所满足的部分性质，确定 f ( x ) 的解析式 .一、基础过关1、已知集合 A = { x | 0 ≤ x ≤ 6 }，B = { y | 0 ≤ y ≤ 3 }，则下列对应关系中，不能．．看作从A 到B 的映射的 是 ：111.:.:.:.:236A f x y xB f x y xC f x y xD f x y x →=→=→=→=2、 给出：（1）A R =，{|0}B y y =>，:||f x y x →=； （2）*{|2,}A x x x N =≥∈，{}|0,B y y y N =≥∈，2:22f x y x x →=-+；（3）{|0}A x x =>，{|}B y y R =∈，:f x y x →=±． 上述三个对应中 是A 到B 的映射．3、设 f ：x → x 2 是集合A 到集合B 的映射，如果B = { 1，2 }，则A ∩B 只可能是：A ． φB ． { 1 }C ． φ 或 { 1 }D ． φ 或 { 2 }4、给出下列3个命题 ：① 映射：B A f →:是函数，则A 叫做函数的定义域，B 叫做函数的值域 ； ②x x x f -+-=34)( 是函数 ；③ 函数3 ()y x x Z =∈的图象是一条直线。
高一数学《函数—映射与函数》测试题含答案
函数—映射与函数一. 选择题：1. 已知下列四个对应,其中是从A 到B 的映射的是A B A B A B A B a m a m a a m b n b m n c n b p c b p (1) (2) (3) (4)A. 34B. 12C. 23D. 142. 已知A x x B y y =≤≤=≤≤{|}{|}0402，,从A 到B 的对应法则为：1f x y x :→=12,2f x y x :→=-2,3f x y x :→=,4f x y x :||→=-2,其中能构成一一映射的是 A. 1234B. 123C. 13D. 143. 设A 到B 的映射为f x y x 121:→=+,B 到C 的映射f y z y 221:→=-,则A 到C 的映射f 是A. f x z x x :()→=+41B. f x z x :→=-212C. f x z x :→=22D. f x z x x :→=++44124. 下列函数fx 和gx 中,表示同一函数的是 A. f x x g x x x ()()==-21， B. f x x x g x x ()()=--=+2111， C. f x x g x x ()||()==，2D. f x x x g x x ()||||()||=++=+121，5. 某种玩具,每个价格为10.25元,买x 件玩具所需的钱数为f x x ().=1025元,此时x 的取值范围为 A. RB. ZC. QD. N6. 函数y x x x=+||的图象是7. 已知f x x ()12123-=+,且f m ()=6,则m 等于A. -14B.14 C. 32 D. -32 8. 已知函数f x cx x x ()()=+≠-2332满足f f x x [()]=,则c 等于A. 3B. -3C. 3或-3D. 5或3二. 填空题：9. 集合A x y B m n =={}{}，，，,从A 到B 可以建立____________个不同的映射; 10. 已知一一映射f x y x y x y :()()，，→+-,若在f 作用下,象为3,5,则原象是___________;11. 已知f x x x x x ()()()()=+>=<⎧⎨⎪⎩⎪10000π,则f f f [(())]-=3_________;12. 函数y ax ax ax =-++1432的定义域为R,则a 的取值范围是_________;三. 解答题： 13.已知集合A kB a a a ==+{}{}12347342，，，，，，，,且a N ∈,k N ∈,x A ∈,y B ∈,映射f A B :→,使B 中元素y x =+31和A 中元素x 对应,求a 和k 的值;14. 求下列函数的定义域：1y x x =-+-1212||2y x=++1111115. 已知fx 是一次函数,且满足3121217f x f x x ()()+--=+,求f x ();16. 函数y f x =()的定义域为()0，+∞,且对于定义域内的任意x,y 都有f xy f x f y ()()()=+,且f ()21=,求f ()22的值;试题答案先将函数写成分段函数的形式,y x x x x =+>-<⎧⎨⎩1010()(),再判断7. A方法一：直接令236x +=,解得x =32,再代入121x -,即得m =-14方法二：利用换元法或配凑法求得f m m ()=+47,令476m +=,即得m =-148. B由f f x x [()]=,得()2692c x c +=-,该方程有无穷多解的条件是260c +=且c 290-=解得c =-39. 410. ()41，-利用对应关系构造方程组x y x y +=-=⎧⎨⎩3511. π+1 12. 034≤<a 由题意知ax ax 2430++>恒成立,当a =0时,符合题意； 当a ≠0时,ax ax 2430++>恒成立⇔>=-⨯<⎧⎨⎩a a a 044302∆()解得034<<a ,综上可知,034≤<a 13. 解： B 中元素y x =+31和A 中元素x 对应,∴A 中元素1的象是4,2的象是7,3的象是10,即a 410=或a a 2310+=a N ∈,∴由a a 23100+-=得a =2k 的象是a k 4412，∴3+=,得k =5 故a k ==25， 14. 解：1由20102-≠-≥⎧⎨⎩||x x 得x x x ≠±≥≤-⎧⎨⎩211或∴此函数的定义域为()(][)()-∞---+∞，，，，2211222由x x x ≠+≠++≠⎧⎨⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪011011110得x x x x x x ≠≠-≠≠-≠-≠⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪0101210且且且∴此函数的定义域为()()()()-∞----+∞，，，，11121200 15. 解：设f x ax b ()=+,则f x a x b ()()+=++11,f x a x b ()()-=-+11∴+--=++---=++=+31213132125217f x f x a x b a x b ax a b x ()()()()∴=a 2且517a b += 即a b ==27， ∴=+f x x ()2716. 解： 对于定义域()0，+∞内的任意x,y,都有f xy f x f y ()()()=+ 令x y ==21，,则有f f f f ()()()()212110⨯=+∴=，再令x y ==212，,则有f f f ()()()212212⨯=+ f f ()()2110==，,∴=-f ()121令x y ==2222，,则有f f f ()()()22222222⨯=+ 即f f f ()()()122222212=∴=-，。
高三数学一轮同步练习测试卷--映射与函数
二、映射、与函数 （一）知识点1、映射、2、函数 (1)函数，函数图像与x 轴的垂线至多有一个公共点，但与y 轴垂线的公共点可能没有，也可能有任意个。
(2)同一函数的概念、(3)分段函数、【求分段函数的函数值、分段函数的值域】 3、函数的表示方法; 4、函数三要素的求法（1）求函数解析式的常用方法：待定系数法、代换（配凑）法、方程的思想。
（2）函数定义域的求法：确定定义域的原则：当函数用表格给出时，函数定义域是指表格中实数x 的集合；当函数用图像给出时，函数三要域是指图像在x 轴上投影所覆盖的实数x 的集合；当函数用解析式给出时，函数定义域是指使解析式式有意义的实数x 的集合；当函数由实际问题给出时，函数的定义域由实际问题的意义确定。
求函数定义域的依据：i 、分式的分母不为0，偶次根式的被开方数大于等于0，对数的真数大于0，三角形中的最大角、及最小角范围；ii 、复合函数的定义域。
（3）函数的值域： i 。
配方法 ii 。
换元法 iii 。
函数的有界性法 iiii 。
单调性法V ．数形结合的方法 vi 。
判别式法 vii 。
导数法（二）精选练习1．设2:f xx→是集合A 到集合B 的映射，如果B={1，2}，那么A B = （ ）A ．B ．{1}C ． 或{2}D ． 或{1}2.下列各组函数中, f(x)与g(x)是同一函数的是( ) A. f(x) = x －1, g(x)= x2x －1B. f(x) = x 2 , g(x) = (x)4C . f(x) = x 2, g(x) = 3x 6 D. f(x) = |x| , g(x) = 3x 33.与函数)1lg(10-=x y是同一函数的是 ( )A.1-=x yB.1-=x yC.112+-=x x y D .211⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=x x y 4．函数()f x 由下表定义若115,(),1,2,3,,n n a a f a n +===则2009a 的值为( ) A ．1B ．2C ．4D ．55．若函数(2)(2)()2(2)xf x x f x x -+<⎧=⎨≥⎩，则(3)f -的值为（ ） （A ）18 （B ）12（C ）2 （D ）8 6. 对于函数)]([)(,)],([)()],([)(11)(1232x f f x f x f f x f x f f x f x x x f n n ===+-=+ ，设 X 2 5 3 1 4f(x) 1 2 3 4 5)2*,(≥∈n N n 且，令集合},)(|{2007R x x x f x M ∈==，则集合M 为 （ ）A ．空集B ．实数集C ．单元素集D ．二元素集7．已知 函数⎩⎨⎧>≤=)0(log )0(3)(2x x x x f x ，那么)]41([f f 的值为( )A ． 9B ．91C ．9-D ．91-8．设函数⎪⎩⎪⎨⎧-=-2112)(xx f x 00>≤x x ，若1)(0>x f ，则0x 的取值范围是 （ ） A.（1-，1） B.（1-，∞+）C.（∞-，2-）⋃（0，∞+） D .（∞-，1-）⋃（1，∞+）9．设21)(,)0(2)0(232)(≥⎪⎩⎪⎨⎧≥<+=-x f x x x x f x 则的解集是（ ）A.),1[]21,(+∞--∞ B ．]21,1[-C ．),21[]1,(+∞--∞ D ．]1,21[-10．如图所示，阴影部分的面积S 是h 的函数)0(H h ≤≤，则该函数的图象是（ ）11.函数)34(log 1)(22-+-=x x x f 的定义域为（ ）A ． [1，3]B ．),3()1,(+∞⋃-∞C ．（1，3）D ．（1，2）∪（2，3） 12．函数)10(1||log )(<<+=a x x f a 的图象大致为（ a ）（二）填空题13．若从集合P 到集合Q={a ，b ，c}所有的不同映射共有81个，则从集合Q 到集合P 可作的不同映射共有 个. 14．函数y =的定义域为 . 15.则x,y 的对应关系的一个表达式为y= ; 16．已知函数2(3)log f x =(5)f 的值是17．设函数⎩⎨⎧+∞∈-∞∈=-),1(log )1,(2)(81x x x x f x ，则满足41)(=x f 的x 值是_________18. 函数y=x x 5.0log 4+-的值域是 （三）解答题19. （本小题满分18分）已知函数⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧∈--∈---∈+=]2,21[,1)21,1[,2)1,2[,1)(x x x x x x x x f（I ） 求)(x f 的值域；（II ）设函数]2,2[,2)(-∈-=x ax x g ，若对于任意],2,2[1-∈x 总存在]2,2[0-∈x ，使得)()(10x f x g =成立，求实数a 的取值范围.20.（本题满分14分）函数)(x f 和)(x g 的图象关于原点对称，且x x x f 2)(2+=(Ⅰ)求函数)(x g 的解析式；(Ⅱ)解不等式|1|)()(--≥x x f x g ；（Ⅲ）若1)()()(+-=x f x g x h λ在[]1,1-上是增函数，求实数λ的取值范围21．函数6)1(3)1()(22+-+-=x a x a x f ，（1）若)(x f 的定义域为R ，求实数a 的取值范围.（2）若)(x f 的定义域为[－2，1]，求实数a 的值. （12分）22.(本小题满分12分)已知定义域为R 的函数()f x 满足22(())().f f x x x f x x x -+=-+（I ）若(2)3f =,求(1)f ；又若(0)f a =,求()f a ；（II ）设有且仅有一个实数0x ,使得00()f x x =,求函数()f x 的解析表达式.23、(本小题满分14分） 已知函数1()||f x a x =-． （1）若()2f x x <在(1,)+∞上恒成立，求实数a 的取值范围；（2）若函数],[)(n m x f y 在=上的值域是[,]()m n m n ≠，求实数a 的取值范围.1－5DCDDA 6---10ABDDC 11-13DA13..64；14..(32,1]；15. x x y 22+=；16.32；17.3；18.),2[∞+-19、解：（I ）当)1,2[--∈x 时，x x x f 1)(+= 在)1,2[--上是增函数，此时)125[)(--∈x f 当)21,1[-∈x 时，2)(-=x f当]2,21[∈x 时，x x x f 1)(-= 在]2,21[上是增函数，此时]23,23[)(-∈x f ∴)(x f 的值域为]23,23[]2,25[--- ……………………………6 分（II ）（1）若0=a ，,2)(-=x g 对于任意]2,2[1-∈x ，]23,23[]2,25[)(1---∈ x f ，不存在]2,2[0-∈x 使得)()(10x f x g = 成立……………………9分（2）若当0>a 时， 2)(-=ax x g 在[-2，2]是增函数，]22,22[)(---∈a a x g 任给]2,2[1-∈x ，]23,23[]2,25[)(1---∈ x f ， 若存在]2,2[0-∈x ，使得)()(10x f x g =成立，则]22,22[]23,23[]2,25[---⊆---a a ………………………………12分 ⎪⎩⎪⎨⎧≥--≤=-23222522a a 47≥∴a ……………………………………14分 （3）若0<a ，2)(-=ax x g 在[-2，2]是减函数，]22,22[)(---∈a a x g⎪⎩⎪⎨⎧≥---≤=23222522a a 47-≤∴a …………………………………16分 综上，实数a 的取值范围是),47[]47,(+∞--∞ ………………………………18分20解：(Ⅰ)设函数)(x f y =的图象上任意一点),(00y x Q 关于原点的对称点为),(y x P ，则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+020200y y xx ，即⎩⎨⎧-=-=y y x x 00∵点()00,Q x y 在函数()y f x =的图象上,① ∴,22x x y -=-即x x y 22+-=，故x x x g 2)(2+-=.………………4分(Ⅱ)由|1|)()(--≥x x f x g ，可得0|1|22≤--x x ,当1x ≥时，2210x x -+≤，此时不等式无解② 当1x <时，2210x x +-≤，解得112x -≤≤………………………8分 因此，原不等式的解集为11,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦………………………9分（Ⅲ）()()()21211h x x x λλ=-++-+ ………………………10分①()[]1411,1h x x λ=-=+-当时，在上是增函数，1λ∴=- ………………………11分②11.1x λλλ-≠-=+当时，对称轴的方程为 ⅰ）当1-<λ时，111-≤+-λλ，解得1-<λ ………………………12分 ⅱ）当1->λ时，111≥+-λλ，解得01≤<-λ ………………………13分 综上所述，0≤λ. ………………………14分 21．解：（1）①若1,012±==-a a 即1）当a =1时，6)(=x f ，定义域为R ，适合； 2）当a =－1时，66)(+=x x f ，定义域不为R ，不合 ②若6)1(3)1()(,01222+-+-=≠-x a x a x g a ，为二次函数)(x f 定义域为R ，R x x g ∈≥∴对0)(恒成立，11150)511)(1(110)1(24)1(901222<≤-⇒⎩⎨⎧≤+-<<-⇒⎪⎩⎪⎨⎧≤---=∆>-∴a a a a a a a ； 综合①、②得a 的取值范围]1,115[-（2）命题等价于不等式06)1(3)1(22≥+-+-x a x a 的解集为[－2，1]，20112-=<-∴x a 且,12=x 是方程06)1(3)1(22=+-+-x a x a 的两根, ⎪⎩⎪⎨⎧==+->-<⇒⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-=-=⋅-=--=+>-<∴4023*******)1(31122221221a a a a a a x x a a x x a a 或或，解得a 的值为a =2. 22.【解析】（I ）因为对任意x R ∈有22(())()f f x x x f x x x -+=-+,所以22((2)22)(2)22f f f -+=-+,又(2)3f =,从而(1)1f = …2分若(0)f a =,则22(00)00f a a -+=-+,即()f a a =… …4分 （II ）因为对任意x R ∈,有22(())()f f x x x f x x x -+=-+又有且仅有一个实数0x ,使得00()f x x =,故对任意x R ∈,有20()f x x x x -+= ………6分在上式中令0x x =,有20000()f x x x x -+= ……8分又因为00()f x x =,所以2000x x -=,故0x =0或0x =1 … ……10分若0x =0,则2()f x x x =-,但方程2x x x -=有两个不相同实根,与题设条件矛盾,故00x ≠. 若0x =1,则有2()1f x x x =-+,易验证该函数满足题设条件.综上,所求函数()f x 的解析表达式为2()1f x x x =-+…… ………12分 23、解：（1）由条件可得：),1(21+∞<-在x xa 上恒成立 即12(1,)a x x <++∞在上恒成立 设1()2h x x x =+时()a h x <时在(1,)+∞上恒成立．∵'21()2h x x=-在(1,)+∞上'()0h x >恒成立，∴),1()(+∞在x h 单调增。
高数映射与函数例题
高数映射与函数例题高等数学中的映射与函数是重要的概念。
映射是指将一个集合中的元素对应到另一个集合中的元素的规则。
函数是一种特殊的映射，它满足每个自变量只有唯一的因变量对应。
下面我将给出一些关于映射与函数的例题，以帮助你更好地理解这个概念。
例题1，给定集合A={1, 2, 3, 4}，集合B={a, b, c, d}，写出一个映射f:A→B的规则。
解答，可以将每个元素1、2、3、4映射到集合B中的元素a、b、c、d。
例如，可以规定f(1)=a，f(2)=b，f(3)=c，f(4)=d。
例题2，已知函数f(x) = 2x + 1，求f(3)的值。
解答，将x=3代入函数f(x)中，得到f(3) = 2(3) + 1 = 7。
所以f(3)的值为7。
例题3，已知函数g(x) = x^2 + 3x，求g(-2)的值。
解答，将x=-2代入函数g(x)中，得到g(-2) = (-2)^2 + 3(-2) = 4 6 = -2。
所以g(-2)的值为-2。
例题4，已知函数h(x) = √x，求h(9)的值。
解答，将x=9代入函数h(x)中，得到h(9) = √9 = 3。
所以h(9)的值为3。
例题5，已知函数k(x) = |x|，求k(-5)的值。
解答，将x=-5代入函数k(x)中，得到k(-5) = |-5| = 5。
所以k(-5)的值为5。
通过以上例题，我们可以看到映射与函数的概念和运算方法。
映射是将一个集合中的元素对应到另一个集合中的元素，而函数是一种特殊的映射，满足每个自变量只有唯一的因变量对应。
在求函数值时，我们将给定的自变量代入函数表达式中，计算得到对应的因变量值。
希望以上例题能够帮助你理解映射与函数的概念和运算方法。
如果还有其他问题，请随时提问。
映射与函数练习题集锦
一、练习（20分钟）：1、设集合A 和B 都是自然数集合N ，映射f:A →B ，是把集合A 中的元素n 映射到集合B 中的元素2nn +，则在映射f 下，象20的原象是（ ）（A ）.2 （B ）.3 （C ）.4 （D ）.5２、如果（x,y ）在映射f 下的象是（x+y,x-y ）,哪么（1，2）在f 下的原象是（ ）（A ）.（3，1） （B ）31(,)22-. （C ）13()22,- （D ）（-1，3） 3、函数2323x y x -=+的值域是（ ） （A ）. ()(1,),1-⋃-+∞∞- （B ）()(1,),1-⋃+∞∞.（C ）()(0,),0-⋃+∞∞ （D ）()(1,),0-⋃+∞∞4、下列各组中，函数f(X)和g(X)的图象相同的是（ ）（A ）. 2(),()f x x g x == （B ）0()1,()f x g x x ==.（C ）(),()f x x g x == （D ）(),(),(0,),(,0)f x xg x x x x x ==∈+∞⎧⎨-∈-∞⎩5、函数()f x = ）（A ）. {}11x x -≤≤ （B ）.{}1x x ≤-或{}1x x ≥（.C ）.{}01x x ≤≤ （D ）{}1,1-6、已知函数f(X)的定义域为[0,1],则2()f x 的定义域为（ ）（A ）.（-1，0） （B ）[-1，1]. （C ）()0,1 （D ）[0，1]7、设函数f(X)对任意x,y 满足f(x+y)=f(x)+f(y),且f(2)=4,则f （-1)的值为( )（A ）. 2- （B ）12± （C ）1± （D ）28、已知(1)1232f x x -=+，且f(m)=6,则m 等于（ ）（A ）. 14- （B ）14 （C ）32 （D ）32-二、练习：（20分钟）1．在下列各组函数中，f（x）与g（x）表示同一函数的是（）．（A）（B）（C）（D）2．已知函数的定义域是A，函数的定义域是B，则A、B的关系是（）．（A） A=B （B）A B （C）A B （D）A∩B=Ф3．函数的定义域是（）．（A）（-∞，0）（B）[0，3] （C）[0，3] （D）[-3，0] 4．若函数f（x）的定义域是[0，2]，则函数的定义域是（）．（A）[] （B）[] （C）[0，4] （D）[-4，4]5．已知，则f（0）等于（）．（A）1 （B）3 （C）7 （D）97．在集合A到B的映射中，对于B中的任何一个元素y，以下结论中正确的是（）（A）在A中必有原象（B）在A中有唯一的原象（C）在A中不一定有原象（D）在A中一定没有原象三、练习：（20分钟）1．在给定映射f ：（x ，y ）→（xy ，x+y ）下，（1，2）的象是 （ ）（A ）（1，1） （B ）（2，3） （C ）（3，2） （D ）不存在2．设函数f （x ）=x 2-3x+1，则f （a ）-f （-a ）等于 （ ）（A ）0 （B ）-6a （C ）2a 2+2 （D ）2a 2-6a+23．下列各组函数中，f （x ）和g （x ）表示同一函数的是（ ）（A ） f （x ）=x 0，g （x ）=1 （ B ）f （x ）=|x|，g （x ）=2x （B ）f （x ）=2x ，g （x ）= （D ）f （x ）=x 2，g （x ）=211x 13．设函数f （x ）-的定义域是F ，g （x ）=的定义域是G ，则F 和G 的关系是 （ ）（A ）F G （B ）F G（C ）F=G （D ）F∩G=φ14．已知f （x+1x ）=x 2+21x，则f （x ）= （ ） （A ） x 2 （B ）2-x 2 （C ）x 2-2 （D ）x 2+215．函数y=（0≤x≤4）的值域是 （ ）（A ）〔0，+∞〕（B ）〔4，+∞〕（C ）〔-∞，4〕（D ）〔0，4〕四、练习：（20分钟）1．已知函数y=f（x）的图象，那么要得到函数y=f（x+3）的图象，只需将y=f（x）的图象（）（A）向左平移3个单位（B）向右平移3个单位（C）向上平移3个单位（D）向下平移3个单位2．已知f（2x）=3x-1，且f（a）=4，则a=________．3．设f（x）=2x+3，则f〔f（x）〕=________4.在给定映射f:(x，y)→（x+y，x-y）下，（3，1）的原象是__________5.已知二次函数f(x)=ax2+bx+c(a＞0)，它们图象的对称轴为x=3，则f（2）与f（）的大小关系是_____________。
高三数学 高考知识点 映射复习题
高三数学高考知识点映射复习题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1）．A. B. C. D.2．（）A. B.C. D.3是( )A. 26B. 2C.D.4．下列各图表示两个变量x、y的对应关系，则下列判断正确的是A. 都表示映射，都表示y是x的函数B. 仅③表示y是x的函数C. 仅④表示y是x的函数D. 都不能表示y是x的函数5．给出下列四个对应，其中构成映射的是(1) (2) (3) (4)A. (1)、（2）B. （1）、（4）C. （1）、（3）、（4）D. (3) 、(4)6（）A. 3个B. 4个C. 5个D. 6个7．下列对应不是映射的是（）．A. B. C. D.8．1，（）A. 1或2 B. 1和2C. 2D. 无法确定9）A. B. C. D.10（）．A. B. C. D.二、解答题11 求满足条件的映射的个数．12．已知A ＝B ＝R ，x ∈A ，y ∈B 对任意x ∈A ，x→y ＝ax ＋b 是从A 到B 的函数，若输出值1和8分别对应的输入值为3和10，求输入值5对应的输出值.13．已知(x ，y )在映射f 的作用下的像是(x ＋y ，xy )．(1)求(－2,3)在f 作用下的像；(2)若在f 作用下的像是(2，－3)，求它的原像．14．已知集合A ＝{0,2,4}，B ＝{0,4，m 2}，x ∈A ，y ∈B ，映射f ：A →B 使A 中元素x 和B 中元素y ＝2x 对应，求实数m 的值．15.（12分）16．（1（2（3）如果N 中的每一个元素在M三、填空题17A 到集合B 的映射，若集合A=_______．18________.19．已知2:f x x →是集合A 到集合B={0,1,4}有_______个．20 __________个．参考答案1．A）中的每一元素满足在映射，．2．C；；，，所以选C.3．DD.4．C【解析】根据函数的定义可知，仅④表示y是x的函数．故选C．5．B【解析】映射是一一对应或者多对一对应,(1),(4)符合,6．B【解析】分析：根据映射的定义，结合已知中f（3）=3，可得f（1）和f（2）的值均有两种不同情况，进而根据分步乘法原理得到答案详解：：若f（3）=3，则f（1）=3或f（1）=4；f（2）=3或f（2）=4；故这样的映射的个数是2×2=4个，故选：B．点睛：本题考查的知识点是映射的定义，分步乘法原理，考查了逻辑推理能力，属于基础题7．D【解析】选项A,B,C中的对应满足映射的条件，即集合M中的元素具有任意性、集合N中的元素具有唯一性。
精选高中数学第2章函数2.3映射的概念练习苏教版必修1
精选高中数学第2章函数2.3映射的概念练习苏教版必修12.3映射的概念甲类基础加固1．下列对应不是映射的是()分析：结合映射的定义，可以看出a、B和C在M中都满足任意数x，并且在N中有一个唯一确定的y对应于它，而D中的元素1在N中有两个元素a和B对应于它，这不是映射答案：d2.设a={x | 0≤ 十、≤ 2} ，B={y|1≤ Y≤ 2} ，在下图中可以表示从集合a到集合B的映射是（）解析：因为象集为{y|1≤y≤2}，故a，b错，又根据映射的定义知c错．答案：d3.已知集合a中的元素（x，y）对应于映射f下B中的元素（x+y，x-y），然后B中的元素（4，-2）对应于（）a．(1，3)c．(2，4)b、（1,6）d.（2,6）???x＋y＝4，?x＝1，?解析：由题意得解得??x－y＝－2，?y＝3.??答：a4．已知f：a→b是集合a到b的映射，又a＝b＝r，对应法则f：x→y＝x＋2x－3，k∈b且k在a中没有原象，则k的取值范围是()二a．(－∞，－4)c．[－4，＋∞)二2b、（-1,3）d．(－∞，－1)∪(3，＋∞)分析：因为y=x+2x-3=（x+1）-4≥ - 4，也就是说，图像集是[-4，+∞), 当kk就没有原象．答：a5．设f：x→ax－1为从集合a到b的映射，若f(2)＝3，则f(3)＝________．解析：由f(2)＝3，可知2a－1＝3，所以a＝2.所以f(3)＝3a－1＝3×2－1＝5.答案：56.如果a={a，B}，B={0，1}，那么从a到B的映射是公共的解析：由于a中元素a在b中有两个元素与之对应，元素b在b中也有两个元素与之对应，从a到B×2=4有两个映射。
回答：47．已知m＝{正整数}，p＝{正奇数}，映射f：a(a∈m)→b＝2a－1，则在映射f下，m中的元素11对应着p中的元素________，p中的元素11对应着m中的元素________．分析：由问题可知a=11，B=21，即M中的元素11对应p中的元素21；B=11，替换为b＝2a－1，a＝6，即p中的元素11对应着m中的元素6.回答：2168．集合a＝{a，b}，b＝{－1，0.1}，从a到b的映射f：a→b满足f(a)＋f(b)＝0，那么这样的映射f：a→b的个数是________．分析：从F（a）=0，F（b）=0，F（a）+F（b）=0；F（a）=1，F（b）=1，得到F（a）+F（b）=0；从F（a）=1，F（b）=1，F（a）+F（b）=0，总共有3个答案：39.如果集合a={0,1,2}，F:X→ x-2x是从a到B的映射，那么集合B至少有_________________解析：由a＝{0，1，2}，f：x→x－2x.令x＝0，1，2，X-2x分别为0、-1和0，由于集合中元素的相互各向异性，在B答案：210中至少有元素0和-1。
映射与函数习题
广州至慧教育之袁州冬雪创作学生姓名就读年级授课日期教研院审核【知识点回顾】一般地，设A、B是两个非空的数集，如果按某种对应法则f，对于集合A中的每个（任意性）元素x，在集合B中都有（存在性）唯一（唯一性）的元素y和它对应，这样的对应叫做集合A到集合B的一个函数（三性缺一不成）函数的实质：建立在两个非空数集上的特殊对应这种“特殊对应”有何特点：1).可以是“一对一” 2).可以是“多对一” 3).不克不及“一对多” 4). A中不克不及有剩余元素 5).B中可以有剩余元素断定两个函数相同：只看定义域和对应法则一般地，设A、B是两个集合，如果按某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的每个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应f:Ａ→Ｂ为从集合A 到集合B的一个映射（mapping）.思考：映射与函数区别与接洽？函数——建立在两个非空数集上的特殊对应映射——建立在两个非空集合上的特殊对应1）函数是特殊的映射，是数集到数集的映射．2）映射是函数概念的扩大，映射纷歧定是函数．3）映射与函数都是特殊的对应思考：映射有“三性”：①“有序性”：映射是有方向的，A 到B 的映射与B 到A 的映射往往不是同一个映射；②“存在性”：对于集合A 中的任何一个元素，集合B 中都存在元素和它对应；③“唯一性”：对于集合A 中的任何一个元素，在集合B 中和它对应的元素是唯一的.(1).函数的定义：如果A 、B 都是非空数集，那么A 到B 的映射f:A → B 就叫做A → B 的函数.记作：y=f (x).（2）定义域：原象集合A 叫做函数y=f (x)的定义域.（3）值域：象的集合C 叫做函数y=f (x)的值域.定义：给定一个集合A 到集合B 的映射，且a∈A， b∈B.如果元素a 和元素b 对应，那么我们把元素b 叫做元素a 的象，元素a 叫做元素b 的原象.给定映射f ：A→B.则集合A 中任何一个元素在集合B 中都有唯一的象，而集合B 中的元素在集合A 中纷歧定都有原象，也纷歧定只有一个原象. )(B C问题1：下图中的（1）（2）所示的映射有什么特点？答：发现规律：（1）对于集合A 中的分歧元素，在集合B 中有分歧的象，我们把这样的映射称为单射.（2）集合B 中的每个元素都有原象，我们把这样的映射称为满射.定义：一般地，设A 、B 是两个集合.f ：A→B 是集合A 到集合BA的分歧元素，在集合B 中有分歧的象，且B中每个元素都有原象，那么这个映射叫做A 到B上的一一映射.注意：1A 到B 是映射，B 到A 也是映射.2）映射和一一映射之间的充要关系，映射是一一映射的需要而不充分条件3）一一映射： A 和B 中元素个数相等. 例21）A={0,1,2,4,9},B={0,1,4,9,64},对应法则 f (a-1)2 答：是映射，不是一一映射.（如右图所示可以很容易能够出.）2）A={0,1,4,9,16},B={-1,0,1,2,3,4},对应法则 f ：求平方根？答：不是映射.3）A=Z，B=N*，对应法则 f：求相对值？答：不是映射. 4）A={11,16,20,21},B={6,2,4,0},对应法则 f：求被7除的余数答：是映射，且是一一映射.例3：已知集合Ａ＝Ｒ，Ｂ＝｛(x,y)|x,y∈Ｒ｝，f是从Ａ到Ｂ的映射f:x→(x+1,x2) .B中的对应元素（２）(2,1)在Ａ中的对应元素解:（1）将，2）（2）由题意得： x+1=2x2=1 ∴x=1 即（2,1）在A中的对应元素为1例4：设集合A={a、b},B={c、d、e}（1）可建立从A到B的映射个数.（2）可建立从B到A的映射个数.答：9,8（可以试着画图看看）小结：如果集合A中有m个元素，集合B中有n个元素，那么从集合A到集合B的映射共有nm个.【映射例题精解】例1在下列对应中、哪些是映射、那些映射是函数、那些不是？为什么？设A={1,2,3,4}，B={3,5,7,9}，对应关系是f(x)=2x+1,x属于A设A={1,4,9},B+{-1,1,-2,2,-3,3}对应关系是‘A中的元素开平方’设A=R，B=R,对应关系是f(x)=x的3次方，x属于A设A=R,B=R,对应关系是f(x)=2x的2次方+1，x属于A解析：1、是一一映射，且是函数2、不是映射（象是有且唯一）3、是一一映射，且是函数4、是映射，但不是函数，因为B中不是所有值在A中都有对应.例2设A={a,b,c},B={0,1},请写出两个从A到B的映射从A到B的映射共有2^3=8个：（a，b，c）→（0，0，0）；（a，b，c）→（0，0，1）；（a，b，c）→（0，1，0）；（a，b，c）→（1，0，0）；（a，b，c）→（0，1，1）；（a，b，c）→（1，0，1）；（a，b，c）→（1，1，0）；（a，b，c）→（1，1，1）.例3假设集合m={0 -1 1} n={-2 -1 0 1 2} 映射f:M→N 知足条件“对任意的x属于M ,x+f(x) 是奇数”，这样的映射有____个①当x=-1时，x+f(x)=-1+f(-1)恒为奇数，相当于题目中的限制条件“使对任意的x属于M，都有x+f(x)是奇数”f(-1)=-2,0,2②当x=0时，x+f(x)=f(0),根据题目中的限制条件“使对任意的x属于M，都有x+f(x)是奇数”可知f(0)只能等于-1和1③当x=1时，x+f(x)=1+f(1)恒为奇数f(1)=-2,0,2综上①②③可知，只有第②种情况有限制，所以这样的映射共有3×2×3=18个例4 设集合A={-1，0，1} B={2，3，4，5，6 } 从A到B 的映射 f知足条件：对每个X∈A 有 f（X）+X为偶数那么这样的映射f的个数是多少？映射可以多对一，要让f（X）+X＝偶数，当X＝－1和1时，只能从B中取奇数，有3，5两种能够，当X＝0从B中取偶数有2 4 6三种，则一共有2×2×3＝12个以后你学了分步与分类就很好懂得啦，完成一件事有两类分歧的方案,在第一类方案中有m种分歧的方法,在第二类方案中有n种分歧的方法.那么完成这件事共有N=m+n中分歧的方法,这是分类加法计数原理;完成一件事需要两个步调,做第一步有m种分歧的方法,做第二步有n种分歧的方法.那么完成这件事共有N=m×n种分歧的方法例5映足例6给出下列四个对应：①②③④其构成映射的是（）有①②①④有①③④有③④例7恒成立的（）例8）4，对应例9__________．数是__________3种对应方法（可对应5或6或7），3例10【讲堂操练】1．设f:A→B是集合A到集合B的映射，则正确的是（）A．A中每元素在B中必有象B．B中每元素在A中必有原象C．B中每元素在A中的原象是唯一的D．A中的分歧元素的象必分歧2．集合A={3,4},B={5,6,7},那么可建立从A到B的映射个数是_______，从B到A的映射个数是__________.3．设集合A和B都是自然数集N，映射f:A→B把集合A中的元素n影射到集合B f下，象20的原象是 （ ）A.2 B.3 C4．如果(x,y)在映射f 下的象是(x+y,x-y)，那么(1,2)在映射下的原象是 （ ）A.（3，1）B.（21,23-）C. （23,21-）D.（-1，3）5.已知点(x ，y)在映射f 下的象是(2x －y ，2x ＋y)， 求(1)点（２，３）在映射f 下的像；（２）点(4，6)在映射f 下的原象.6.设集合A ＝{1,2,3,k},B ＝{4,7,a4,a2＋3a},其中a,k∈N,映射f:A→B，使B 中元素y ＝3x ＋1与A 中元素x 对应，求a 及k 的值.【综合操练】一、选择题：1．下列对应是从集合A 到集合B 的映射的是（）A ．A=R ，B={x|x ＞0且x∈R}，x∈A，f ：x→|x|B ．A=N ，B=N ＋，x∈A，f ：x→|x－1|C ．A={x|x ＞0且x∈R}，B=R ，x∈A，f ：x→x2D ．A=Q ，B=Q ，f ：x→x 1 2．已知映射f:A B ，其中集合A ＝{－3，－2，－1，1，2，3，4}，集合B 中的元素都是A 中的元素在映射f 下的象，且对任意的a∈A，在B 中和它对应的元素是|a|，则集合B 中的元素的个数是（）A ．4B ．5C ．6D ．73．设集合A 和B 都是自然数集合N ，映射f ：A→B 把集合A中的元素n映射到集合B中的元素2n＋n，则在映射f下，象20的原象是（） A．2 B．3 C．4D．54．在x克a%的盐水中，加入y克b%的盐水，浓度变成x与y的函数关系式是（）A．C．5．函数A．(－∞，－ 1 )∪(－1，＋∞) B．(－∞，1)∪(1，＋∞)C．(－∞，0 )∪(0，＋∞) D．(－∞，0)∪(1，＋∞)6．下列各组中，函数f(x)和g(x)的图象相同的是（）A．f(x)=x，．f(x)=1，g(x)=x0C．f(x)=|x|，．f(x)=|x|，7．函数A．{x|－1≤x≤1} B．{x|x≤－1或x≥1}C．{x|0≤x≤1}D．{－1，1}8．已知函数f(x)的定义域为［0，1］，则f(x2)的定义域为（）A．(－1，0) B．[－1，1]C．(0，1) D．［0，1］9．设函数f(x)对任意x、y知足f(x＋y)=f(x)＋f(y)，且f(2)=4，则f(－1)的值为（）A．－2 B C．±1D．210．函数y=2A．[－2，2] B．[1，2] C．[0，2]D．[11．若函数y=x2—x—4的定义域为[0，m]，值域为-4]，则m的取值范围是（）B．4] C．[，3]AD．12．已知函数1)=x＋1，则函数f(x)的解析式为（）A．f(x)=x2B．f(x)=x2＋1(x≥1)D．f(x)=x2－2x＋2(x≥1) C．f(x)=x2－2x(x≥1)二、填空题：13．己知集合A ={1，2，3，k} ，B = {4，7，a4，a2＋3a}，且a∈N*，x∈A，y∈B，使B 中元素y=3x＋1和A中的元素x对应，则a=___，k =__.14．若集合M={－1，0，1} ，N={－2，－1，0，1，2}，从M到N的映射知足：对每个x∈M，恒使x＋f(x) 是偶数，则映射f有____个.15．设f(x－1)=3x－1，则f(x)=_________.16．已知函数f(x)=x2－2x＋2，那么f(1)，f(－1)，之间的大小关系为.三、解答题：17．（1）若函数y= f(2x＋1)的定义域为[ 1，2 ]，求f (x)的定义域.（2）已知函数f(x)，求函数g(x)=f(3x)＋的定义域.18．（1）已f(x)的解析式.（2）已知y=f(x)是一次函数，且有f[f(x)]=9x＋8，求此一次函数的解析式.19．求下列函数的值域：（1）y=－x2＋x，x∈[1，3 ]（2）（320＋g(x)，其中f(x)是x的正比例函数，g(x)是x的反比例函数，．（2的值域.21．如图，动点P从单位正方形ABCD顶点A开端，顺次经B、C、D绕鸿沟一周，当x暗示点P的行程，y暗示PA之长时，求y关于x的解析式，并求的值.22．季节性服装当季节即将到姑且，价格呈上升趋势，设某服装开端时定价为10元，而且每周(7天)涨价2元，5周后开端坚持20元的价格平稳销售；10周后当季节即将过去时，平均每周削价2元，直到16周末，该服装已不再销售.（1）试建立价格P与周次t之间的函数关系式.（2）若此服装每件进价Q与周次t之间的关系为Q＝－0.125(t－8)2＋12，t∈[0，16]，t∈N*，试问该服装第几周每件销售利润L最大?。
高中数学 第二章 函数 23 映射的概念作业必修1 试题
卜人入州八九几市潮王学校映射的概念班级学号日期一、填空题1．如图：以下对应是从集合A 到集合B 的映射的是〔1〕〔2〕〔3〕〔4〕2．A ＝[0，4]，B ＝[0,2]，以下从B A 到的对应f 不是映射的是 〔1〕x y x f 21=→：；〔2〕x y x f 31=→：；〔3〕x y x f 32=→：；〔4〕x y x f 81=→： ３．设N M f →：是从N M 到的一个映射，以下说法正确的有〔1〕M 中的每个元素在N 中必有元素与之对应；〔2〕N 中每个元素在M 中必有元素与之对应；〔3〕N 中每个元素在M 中存在惟一元素与之对应；〔4〕N 是M 中所有元素对应的元素的集合４．假设{1,0},{1,2}A B ==--，设对应f 是从B A 到的映射，假设B 中元素都是A 中元素在f 下的对应元素，那么这样的映射有个。
５．}10,7,4{},,2,1{==B m A ，假设13+=→x y x f ：是从B A 到的映射，那么m 的值是 ６．1212},,75,53,31{+-=→==+x x y x f B N A： ， 为从B A 到的一个映射，那么在f 的作用下与B 中元素10199对应的元素是 ７．}1001,,91,41,1{},10,,3,2,1{ ==B A ，设B y A x ∈∈,试给出一个对应法那么f ，使B A f →：是从B A 到的映射，=→y x f ： 8．b ax y x f B y A x R B A +=→∈∈==：,,,，假设与B 中元素５和２０对应的元素分别为５和１０，那么集合A 中元素７对应的元素是。
9．集合A 到集合}31,21,1,0{=B 的映射1||1-→x x f ：，那么集合A 中元素最多有个。
二、解答题10．集合A={}22x x -≤≤，B={}11y y -≤≤对应法那么:f x y kx →=，假设在f 的作用下可以建立从A 到B 的映射:f A B →，务实数k 的取值范围11．集合A={}{},,,1,0,1a b c B =-，映射:f A B →满足：()()(),f a f b f c +=求映射:f A B →的个数 三、错题剖析。
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第二章 函 数 课时训练5 映射与函数
一、选择题（每小题6分，共42分）
1.设（x 、y ）在映射f 下的象是（
2
,2y
x y x -+）,则(-5,2)在f 的原象是（ ） A.（-10，4） B.（-3，-7） C.（-6，-4） D.（-2
7
,23-）
答案：B ，解析：⎩⎨⎧-=-=⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=--=+.7,3,
22
,52
y x y x y
x 2.下列各组函数中表示同一函数的是（ ） A.f(x)=x 与g(x)=(x )2
B.f(x)=|x|与g(x)=33x
C.f(x)=x|x|与g(x)=⎩⎨⎧<->).
0(,),
0(,2
2x x x x D.f(x)=1
12--x x 与g(t)=t+1 (t ≠1)
答案：D ，解析：判断的依据是两个函数的定义域和对应法则是否一致.
3.(2010湖北八校模拟，2)设f,g 都是由A 到A 的映射，其对应法则如下表（从上到下）：
表1 映射f 的对应法则 表2 映射g 的对应法则
则与f ［g(1)
A.g ［f(1)］
B.g ［f(2)］
C.g ［f(3)］
D.g ［f(4)］ 答案：A ，
解析：f ［g(1)］=f(4)=1.g ［f(1)］=g(3)=1.
4.(2010湖北黄冈中学模拟，1)函数y=f(x)的图象与直线x=2的公共点共有（ ）
A.0个
B.1个
C.0个或1个
D.不能确定
答案：C ，解析：如果x=2与函数y=f(x)有公共点，则只有一个公共点，因为自变量取一个值只对应一个函数值.若无交点，则没有公共点，此时的x=2不在y=f(x)的定义域内,故选C.
5.如下图所示，①②③三个图象各表示两个变量x 、y 的对应关系，则有（ ） A.都表示映射，且②③表示y 关于x 的函数 B.②③表示y 关于x 的函数，且③有反函数 C.都表示y 关于x 的函数，且②③有反函数 D.都不能表示y 关于x 的函数
答案：B ，解析：根据函数与映射的概念作答知选B.
6.如果f(a+b)=f(a)·f(b)且f(1)=2，则
)2007()
2008()5()6()3()4()1()2(f f f f f f f f ++++ 等于（ ） A.2 007 B.1 003 C.2 008 D.2 006 答案：C ，解析：f(a+1)=f(a)·f(1)⇒
)
()
1(a f a f +=f(1)=2,原式=2+2+…+2=2×22008=2 008.
7.设集合A={1，2，3}，B={4，5，6}定义映射f ：A →B ，使对任意x ∈A,都有x 2+f(x)+x 2f(x)
是奇数，则这样的映射f 的个数为（ ）
A.7
B.9
C.10
D.18
答案：B ，解析：当x 为奇数时，x 2+1为偶数，则x 2+(x 2+1)f(x)为奇数；当x=2时，x 2+f(x)+x 2f(x)=5f(x)+4为奇数，则f(x)为奇数，即f(2)=5.。
∴这样的映射个数为3×3×1=9.
二、填空题（每小题5分，共15分） 8.设函数f(n)=k(其中n ∈N *),k 是2的小数后第n 位数，2=1.414 213 562 37…,则
个
8)]}8([{f f f f 个的值=_____.
答案：1，解析：本题根据题中条件有：
个
8)]}8([{f f f f =
个
7)]}6([{f f f f =
个
6)]}3([{f f f f =…=f(2)=1.
9.(2010江西南昌一模，15)定义符号函数sgn x=⎪⎩
⎪
⎨⎧<-=>),0(,1),0(,0),
0(,1x x x 则不等式：x+2>(2x-1)sgn x 的解集是_________.
答案：{x|-4333+<x<3}，解析：原不等式⇔⎪⎩
⎪
⎨⎧->
+<⎩⎨⎧->=⎩⎨⎧->+>.1212,
0,)1(2,0,122,00
x x x x x x x 或或 10.已知函数f(x)=⎩⎨⎧<<≤),
0(,cos 2),
0(,2πx x x x 若f ［f(x 0)］=2,则x 0=___________________.
答案：43π，解析：∵f(-2)=(-2)2=2，∴f(x 0)=-2，又f （43π）=2cos 43π=-2，∴x 0=4
3π.
三、解答题
11.设A=R ，B=R ，f:x →
2
1
2+x 是A →B 的映射： （1）设a ∈A,则a 在B 中的象是什么？（2）设t ∈A,那么t+1在B 中的象是什么？
（3）设s ∈A,若s →1在映射f 下的象为5,则s 应是多少？s 在映射f 下的象是什么？ 解析：（1）∵a ∈A,而f:x →
212+x 是A →B 的映射，∴a 在B 中的象为212+a ，即f:a →2
1
2+a . (2)∵t ∈A,A=R ,
∴t+1∈A,说明t+1是集合A 中的元素.根据映射的定义，元素t+1在B 中必定有且只有一个元素与它相对应，故满足对应法则f:x →
212+x ,元素t+1在B 中的象为2
3
221)1(2+=++t t .
(3)∵s ∈A,
∴s-1∈A,即s-1是集合A 中的元素，且有f:s-1→2
1
)1(2+-s ,又s-1在集合B 中的象为5， ∴
21)1(2+-s =5，解得s=2
11
.同理可得s 在映射f 下在集合B 中的象是6. 12.(2010全国大联考，18)若对任意正实数x,y 总有f(xy)=f(x)+f(y)。
(1)求f(1)；(2)证明f(x 2)=2f(x)和f(x
1
)=-f(x). (1)解析：令y=1,f(x ·1)=f(x)+f(1)，∴f(1)=0.
（2）证明：①令y=x,f(x ·x)=f(x)+f(x)，∴f(x 2)=2f(x). ②令y=
x 1,f(x ·x 1)=f(x)+f(x 1)，∵f(1)=0，∴有f(x
1
)=-f(x). 13.△ABC 中，|AB|=4，|AC|=2，P 、Q 分别是AB 、AC 上的动点，且满足S △APQ =2
1
S △ABC ，若|AP|=x ，|AQ|=y ， （1）写出x 的取值范围；(2)求f(x)的解析式. 解析：（1）由S △APQ =
21S △ABC ⇒21xysinA=21×2
1
×2×4sinA ⇒xy=4,而|AB|=4，|AC|=2， ∴0<x ≤4,0<y ≤2⇒xy ≤2x.。
∴2x ≥4⇒x ∈［2，4］， （2）f(x)=
x
4
(2≤x ≤4). 14.如下图，在三角形ABC 中，∠C=90°，AC=BC=22，一个边长为2的正方形由位置I 沿AB 平行移动到位置Ⅱ,若移动的距离为x ，正方形和三角形ABC 的公共部分的面积为f(x),试求f(x)的解析式.
解析：设AB 的中点为D ，则AD=CD=2.当0≤x<2时，f(x)= 2
1x 2
.如图（1）. 当2≤x<4时，f(x)=S △ABC -21(x-2)2-2
1
(4-x)2=-x 2+6x-6.如图（2）. 当4≤x ≤6时，f(x)=
2
1
(6-x)2.如图（3）. ∴f(x)=⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧
≤≤-<≤-+-<≤).
64()6(21),42(6
6),20(2122
2x x x x x x x。