立体几何中的翻折问题的分析与解

【原创】【试题研究】立体几何中的翻折问题的分析与解
湖北省罗田县第一中学 陈清华
1.典例分析与解
例1如图，已知等边中，分别为边的中点，为的中点，为边上一点，且，将沿折到的位置，使平面平面.
（I ）求证：平面平面；
（II ）求二面角的余弦值.
分析：（I ）易得，.又由平面平面平面.由以和平面平面
平面；（II ）先证和,再建立空间直角坐标系，然后求平面的法向量和平面的向量. 解（I ）因为为等边的边的中点，所以是等边三角形，且． 因为是的中点，所以.
又由于平面平面,平面，所以平面 又平面，所以.
因为，所以，所以. 在正中知，所以.
而，所以平面.
又因为平面，所以平面平面.
ABC ∆,E F ,AB AC M EF N BC 14
CN BC =AEF ∆EF A EF '∆A EF '⊥EF CB
-A MN '⊥A BF 'E A F B '--//EF BC A M EF '⊥A EF '⊥EFCB ⇒A M '⊥EFCB ⇒A M BF '⊥//MN CF BF CF ⊥⇒BF MN ⊥⇒BF ⊥A MN '⇒A MN '⊥A BF 'MG EF ⊥A M MG '⊥M xyz -A BF
'()n = A EF '()0,1,0p = ⇒
(
)
cos ,p n n p p n == ,E F ABC ∆,AB AC A EF '∆//EF BC M EF A M EF '⊥A EF '⊥EFCB A M '⊂A EF 'A M '⊥EFCB BF ⊂EFCB A M BF '⊥14
CN BC =//MF CN //MN CF ABC ∆BF CF ⊥BF MN ⊥A M MN M '= BF ⊥A MN 'BF ⊂A BF 'A MN '⊥A BF '
（II ）设等边的边长为4，取中点，连接，由题设知，由（I ）知平面，又平面，所以,如图建立空间直角坐标系，则,,,,.
设平面的一个法向量为，则由
得令，则. 平面的一个法向量为，所以
显然二面角是锐角，所以二面角
例2如图，在边长为的菱形中，，
点分别是边，的中点，，沿将翻折到，连接，得到如图的五棱锥，且.
（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）求四棱锥的体积.
ABC ∆BC G MG MG EF ⊥A M '⊥EFCB MG
⊂EFCB A M MG '⊥M xyz -()1,0,0F -(A '()B (FA ()
FB A BF '(),,n x y z = 0,0,FA n F B n ⎧=⎪⎨=⎪⎩ 0,30,x x ⎧=⎪⎨+=⎪⎩1z =()
n = A EF '()0,1,0p = ()
cos ,p n n p p n == E A F B '--E A F B '--4ABCD 60=∠DAB F E ,CD CB O EF AC = EF CEF ∆PEF ∆PD PB PA ,,ABFED P -10=PB PA BD ⊥BFED P -
分析（Ⅰ）由题证明，则平面，可得；（Ⅱ）由勾股定理可得，又，可知为四棱锥的高，则四棱锥的体积. 解（Ⅰ）证明：∵点分别是边的中点，
∴.
∵菱形的对角线互相垂直，∴.∴.
∴，
∵平面，平面，，
∴平面，∴平面，∴.
（Ⅱ）解：设。

连接，∵，
∴为等边三角形，∴，
在中，，
在中，，∴.
∵，，平面，平面，
∴平面，
梯形的面积
∴四棱锥的体积. 2.小试牛刀
练习1已知平行四边形，，，，为的中点，把
三角形沿折起至位置，使得，是线段的中点. PO EF AO EF ⊥⊥,⊥EF POA PA BD ⊥BO PO ⊥EF PO ⊥PO BFED P -BFED P -33333
131=⨯⨯=⋅=PO S V F E ,CE CD ,EF BD ∥ABCD AC BD ⊥AC EF ⊥PO EF AO EF ⊥⊥,⊂AO POA ⊂PO POA O PO AO = ⊥EF POA ⊥BD POA PA BD ⊥H BD AO = BO 60=∠DAB ABD ∆3,32,2,4=====PO HO HA BH BD BHO RT ∆722=+=HO BH BO PBO ∆22210PB PO BO ==+BO PO ⊥EF PO ⊥O BO EF = ⊂EF BFED ⊂BO BFED ⊥PO BFED BFED 1()2
S EF BD HO =+⋅=BFED P -33333131=⨯⨯=⋅=
PO S V ABCD 4AB =2AD =60DAB ∠=°E AB ADE DE 1A DE 1
4AC =F 1A C
（1）求证：面；
（2）求证：面面；
（3）求四棱锥的体积.
分析（1）取的中点，连接、，通过证明，利用直线与平面平行的判定定理证明面；（2）取的中点，连接、，通过证明面，然后通过平面与平面垂直的判定定理证明面面；（3）利用（2）的结果，直接求解几何体的体积即可．
解（1）证明：取的中点，连接，为中点，
，且， 为平行四边形边的中点，
，且， ，且，
四边形是平行四边形，，
平面，平面，
平面．
（2）取的中点，连接，
，，，为的中点，
为等边三角形，即折叠后也为等边三角形，
，且
在中，，，，
根据余弦定理，可得，在中，
，， //BF 1A DE 1
A
DE ⊥DEBC 1A DEBC -1DA G FG GE EG BF ////BF 1A DE DE H H A 1CH 1A H ⊥DEBC 1A DE ⊥DEBC 1DA G FG GE 、F 1A C //GF DC ∴12
GF DC =E ABCD AB //EB DC ∴12
EB DC ==//EB GF ∴EB GF =∴BEGF //BF EG ∴EG ⊂ 1A DE BF ⊄1A DE //BF ∴1A DE DE H 1A H CH 、4AB = 2AD =60DAB ∠=°E AB DAE ∴∆1DA E ∆1A H DE ∴⊥1A H =DHC ∆1DH =4DC =60HDC ∠=°2222212cos 6014214132
HC DH DC DH DC =+-=+-⨯⨯⨯= °1A HC ∆1A H 13HC =1
4AC =
，即， 又，所以面，
又面，面面
（3）由第（2）问知面，
. 练习2如图，在正方形中，点分别是的中点，将分别沿、折起，使两点重合于.
(Ⅰ)求证：平面⊥平面；
(Ⅱ)求四棱锥的体积.
分析（Ⅰ）由折叠前四边形形为正方形，可得折叠后，得平面，得平面平面；（Ⅱ）作棱锥的高在中，由
，得,很容易得出四边形的面积，即可得到四棱锥的体积. 解(Ⅰ)证明：连接交于，连接.在正方形中，点是的中点，点是的中点，所以，所以，因此，所以在等腰中，是的中点，且.因此在等腰中，，从而平面.又平面，所以平面⊥平面.即平面平面.
2221
1AC A H HC ∴=+1A H HC ⊥11A H DE A H HC DE DEBC HC DEBC DE HC H
⊥⎧⎪⊥⎪⎪⊂⎨⎪⊂⎪⎪=⎩ 面面1A H ⊥DEBC 1A H ⊂ 1A DE ∴1A DE ⊥DEBC 1A H ⊥
DEBC 1111(24)3332
A DEBC h =⨯+= -DEBC 底面V =S ABCD ,E F ,A
B B
C ,AE
D DCF ∆∆D
E D
F ,A C
P PBD BFDE P BFDE -ABCD OP EF BD EF ⊥⊥,EF ⊥OPD PBD ⊥BFDE PH Rt POD ∆OD PH OP PD ⋅=⋅23PH =
BFDE 11222
S EF BD =⋅=⨯=P BFDE -EF BD O OP ABCD E AB F BC ,BE BF DE DF ==DEB DFB ∆≅∆BDE BDF ∠=∠DEF ∆O EF EF OD ⊥PEF ∆EF OP ⊥EF ⊥OPD EF ⊂BFDE BFDE OPD PBD ⊥BFDE
（Ⅱ）由（Ⅰ）的证明可知平面⊥平面,易知，
，由于，所以.作于，则平面.在中，由
，得,又四边形的面积，所以，四棱锥的体积.
POD
DEF ,222
OP OE OF OD PD =====222184OP PD OD +==90OPD ∠= PH OD ⊥H PH ⊥DEF Rt POD ∆OD PH OP PD ⋅=⋅23
PH =
BFDE 11222S EF BD =⋅=⨯=P BFDE -1439V S PH =⋅=。