方程的根与函数的零点ppt课件

达
即f(2)·f(3)<0，
∴这个函数在区间[2,3]有零点。
又∵函数f(x)在定义域(0,+∞)内是增函数，
标 ∴它仅有一个零点。
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导 应用研究
求函数 f (x) ln x 2x 6 的零点个数．
学 解法二、函数 f (x) ln x 2x 6 的零点个数 方程 ln x 2x 6 0 的解的个数
学 不能用公式零求点方是一程 f (x)=0是的函根数图时像，与X
可转化为找个函点数吗?y = f (x)的轴交零点点的.横坐标
② 方程的根与函数零点的关系
达 方程f(x)=0有实数根
函数y=f(x)的图象与x轴有交点.
标
函数y=f(x)有零点
5
问题·探究
(Ⅰ)观察二次函数 f (x) =x 2－2x-3的图象
C. 4个 D. 5个
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总结交流
• 1、能否从知识内容和掌 握的数学思想方法的角 度谈谈对本节学习的收 获？
• 2、学习过程中还有哪些 不明白的，请提出。
• 3、本节课你自己的学习 表现如何，体会是什么？
函数零点方程根， 形数本是同根生。 函数零点端点判， 图象连续不能忘。
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必做题
作业布置
1．教材 P92 习题 3．1（A 组）第 2 题； 2．已知 f (x) 2(m 1)x2 4m 2m 1．
函数 y= x2－2x－3 y= x2－4x+4 y= x2－2x+3
测 评
函 数 的 图 象
方程的实数根
函数的图象 与x轴的交点
y
2 1
－1 0 1 2 3 x －1 －2 －3 －4
x1=－1,x2=3 (－1,0)、(3,0)
y
2 1
－1 0 1 2 x
x1=x2=2 (2,0)
y
3 2 1
－1 0
(2) 函数f x ax 2只有一个零点2，则a
标 A.1 B. 1 C. 0 D. 无法确定
(3) 已知函数的图象是连续不断的，对应关系见下
测 表，则函数在区间 1,6上的零点至少有（ ）
x1 2 3 4 5 6
评
y 12
A. 2个
21 7.8
B. 3个
11 5 2
点。
达
标
10
温 函数零点方程根， 馨 数形本是同根生。 提 函数零点端点判， 示 图象连续不能忘。
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例1.求函数f(x)=lnx+2x－6的零点所在区间及个数？
导 解：计算出x、f(x)的对应值表
增函数
x1 2 3 4 56 7 8 9
学 f x 负 负 正
由上表可知 f(2)<0, f(3) >0，
数数数形缺缺缺结形形形合时时时百少少少般直直直好观观观，，，隔形形形离少少少分数数数家时时时万难难难事入入入休微微微。，。。
第三章 函数与方程
§3.1.1 方程的根与函数的零点
1
今天我们可以从教科书中了解各式各样 方程的解法，但在数学发展史上，方程的求 解却经历了相当漫长的岁月.
我国古代数学家在约公元50--100年编 成的《九章术》中，给出了求一次方程、二 次方程和三次方程根的具体方法…

6
零点存在性定理（1）
导 如果函数y =f(x)在区间[a,b]上的
图象是连续不断的一条曲线，并且
学 f(a) ·f(b)<0,则函数在（a,b）内有零点。
注:只有上述两个条件同时满足,才能判
达 断函数在指定区间内存在零点。
标
7
端点函数值异号，
导 则函数有零点
y

学a
0
bx
y
达
a
0 b
x
5 4
12
3x
无实数根
无交点
3
问题2 若将上面特殊的一元二次方程推广到一
般的一元二次方程及相应的二次函数的图象与x
轴交点的关系，上述结论是否仍然成立？
判别式
△ =b2－4ac
△＞0
方程ax2 +bx+c=0 (a>0)的根
两个不相等 的实数根x1 、x2
△=0
有两个相等的 实数根x1 = x2
△＜0 没有实数根
韦达是法国十六世纪最有影响的数学家之一。 第一个引进系统的代数符号，并对方程论做 了改进。韦达讨论了方程根的各种有理变换， 发现了方程根与系数之间的关系即“韦达定 理” 。
2
问题·探究
前 问题1 求出表中一元二次方程的实数根，画出相应
的二次函数图像的简图，并写出函数的图象与x轴 的交点坐标
提
方程
x2－2x－3=0 x2－4x+4=0 x2－2x+3=0
函数y= ax2 +bx +c(a>0)的图象
y
x1 0
x2 x
y 0 x1 x
y
0
x
函数的图象 与 x 轴的交点
(x1,0) , (x2,0)
(x1,0)
没有交点
结论 1.方程根的个数就是 函数图象与x轴交点的个数。 2.方程的实数根就是 函数图象与x轴交点的横坐标。4
① 函数零点的定义
导 对于函数 y =f (x)，我们把使f (x)=0的 实数x叫做函数y =f(x)的零点。
（1） m 为何值时，函数有两个零点； （2）如果函数至少有一个零点在原点右侧，求 m 的值． 3. 以 零 点 作 为 出 发 点 整 理 y ax2 bx c ， ax2 bx c 0 ， ax2 bx c 0，ax2 bx c 0的相互关系，并将结果尝试用一种系统的、 简洁的方式总结表达．
标
函数图象连续

a

b
y

a 0

bx
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问题·探究
导 下图中在区间a,b 内有几个零点? 五个
什么情况下只有唯一一个零点？
学y
端点函数值异号的 单调函数
达
0a
标
b x 9
③ 零点存在性定理—唯一性（2）
导 如果函数 y=f(x) 在区间[a,b]上的图
象是连续不断的一条曲线，并且
学
f(a) ·f(b)﹤0,且是单调函数,那么这 个函数在(a,b)内必x 6 2x 的解的个数 函 数 f (x) ln x 与 函 数 f (x) 6 2x 图 象 -5
交点个数
标
6
4
2
fx = lnx
5
-2
gx = 6-2x
-4
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1 函数y 2x 1的零点是
达 A. 0,0 B. 1,1 C. 0 D.1
前 ① 在区间 2，1上 有 零点（填“有”或“无”）
f(-2)= 5 ，f(1)=＿＿- 4＿，
提 f(-2) ·f(1) <
0,（填“<” 或“y>”）
测 ②在区间[2,4]上 有 零点,
评
f(2)= - 3 , f(4)= 5 ,-2 -1
12 3 4
x
f(2) ·f(4) < 0