上外附中高一上数学期中考(2015.11)
最新上海市上海外国语大学附属中学高一上学期期中数学试题(解析版)
2019-2020学年上海市上海外国语大学附属中学高一上学期期中数学试题一、单选题 1．集合2{|1}A y y x ==-，2}{|1B x y x ==-，则下列关系式正确的是（ ）A ．AB = B ．A B ⊆C ．B A⊆D ．[1,)A B ⋂=+∞【答案】D【解析】先分别求得集合A 与集合B,进而即可得集合A 与集合B 的关系. 【详解】 集合2{|1}A y y x ==-,2}{|1B x y x ==-则{|0}A y y =≥,|11}{B x x x =≥≤-或 对比四个选项可知,A 、B 、C 均错误.因为{|0}|11}[1,){A B y y x x x ⋂=≥⋂≥≤-=+∞或 所以D 正确 故选:D 【点睛】本题考查了集合的交集运算,注意集合表示的元素属性和特征,属于基础题. 2．已知命题p 且q 为假命题，则可以肯定（ ） A ．p 为真命题 B ．q 为假命题C ．,p q 都是假命题D ．,p q 中至少有一个是假命题【答案】D【解析】本题考察的是复合命题．由条件可知，只有当都是真命题时“”才为真命题．所以应选D ．3．若:,1A a R a ∈<,:B x 的二次方程2(1)20x a x a +++-=的一个根大于零,另一根小于零,则A 是B 的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【详解】:,11120A a R a a a ∈<⇒-<<⇒-<，即两根之积小于零，充分性成立，反之不成立，A 是B 的充分不必要条件，故选A.4．买4个苹果和5只桃子的金额之和小于22元，而买6个苹果和3只桃子的金额之和大于24元，那么买2个苹果和买3只桃子的金额比较，其结果是（ ） A ．2个苹果贵 B ．3只桃子C ．相同D ．不能确定【答案】A【解析】设苹果的单价为a ,桃子的单价为b ,再列出不等式进行求解即可. 【详解】设苹果的单价为a ,桃子的单价为b ,由题可得45226324a b a b +<⎧⎨+>⎩,故1215663015120a b a b +<⎧⎨+>⎩,由不等式性质可知()()1206630151215a b a b -<+-+,化简得3a >.又12156612648a b a b +<⎧⎨+>⎩,由不等式性质可知()()66481215126a b a b ->+-+,化简得2b <.故362b a <<,即买2个苹果贵. 故选：A 【点睛】本题主要考查了根据讲实际中的情景利用数学语言表达,再根据不等式的性质判断分析的方法等.属于中档题.二、填空题5．用列举法表示集合：4,1M mZ m Z m ⎧⎫=∈∈⎨⎬+⎩⎭=_______________. 【答案】{}5,3,2,0,1,3---【解析】易得1m +为4的因数,再分别列举即可. 【详解】 由题41Z m ∈+,故1m +为4的因数,故14,2,1,1,2,4m +=---,故5,3,2,0,1,3m =---.故{}5,3,2,0,1,3M =---. 故答案为：{}5,3,2,0,1,3--- 【点睛】本题主要考查了集合的元素求解,属于基础题.6．若集合A={﹣1，1}，B={x|mx=1}，且A ∪B=A ，则m 的值为 ． 【答案】1或﹣1或0【解析】试题分析：由已知中集合A={﹣1，1}，B={x|mx=1}，且A ∪B=A ，我们易得到集合A 是集合B 的子集，结合子集的定义，我们分A=∅与A ≠∅两种情况讨论，即可求出满足条件的m 的值． 解：∵A ∪B=A ， ∴B ⊆A当m=0时，B=∅满足条件 当m ≠∅时，B={1}，或B={﹣1} 即m=1，或m=﹣1 故m 的值为：1或﹣1或0 故答案：1或﹣1或0【考点】集合的包含关系判断及应用．7．满足{}{},,,,M a b a b c d ⋃=的集合M 有___________个. 【答案】4【解析】由集合{}{},,,,M a b a b c d ⋃=，根据集合并集的运算，列举出所有的可能，即可得到答案. 【详解】由题意，集合满足{}{},,,,M a b a b c d ⋃=，则集合M 可能为{,},{,,},{,,},{,,,}c d a c d b c d a b c d ，共有4种可能，故答案为4个. 【点睛】本题主要考查了集合的并集运算及其应用，其中解答中熟记集合的并集运算，合理列举是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.8．设集合{(,)|46}A x y x y =+=，{(,)|327}B x y x y =+=，则满足()C A B ⊆I 的集合C 为________.【答案】(){}1,2或∅【解析】先求解A B I ,再根据集合间的关系求解即可. 【详解】因为{(,)|46}A x y x y =+=,{(,)|327}B x y x y =+=,又4613272x y x x y y +==⎧⎧⇒⎨⎨+==⎩⎩, 故{(1,2)}A B ⋂=,又()C A B ⊆I ,故(){}1,2C =或C =∅. 故答案为：(){}1,2或∅ 【点睛】本题主要考查了根据集合间的关系求解集合的问题,属于基础题.9．设全集{}22,3,3U a a =+-，集合{},3A a =，{}2U C A =，则a =___________.【解析】根据{}2U C A =与{}22,3,3U a a =+-可知{}23,3A a a =+-,再根据集合相等求解即可. 【详解】由{}2U C A =,{}22,3,3U a a =+-可知{}23,3A a a =+-,即{}{}23,3,3aa a +-=.故232,3a a a a ⎧+-=⎪⎨≠⎪⎩ .当0a ≥时,23a a a a +-=⇒=当0a <时,23a a a +-=-即()()2230130a a a a +-=⇒-+=,故3a =-.不满足2,3a ≠.故a =【点睛】本题主要考查了根据集合的基本关系求解参数的问题,需要根据题意分情况讨论,同时注意集合的互异性,属于中档题.10．命题“末位数字是0或5的整数能被5整除”的逆否命题是_____________. 【答案】不能被5整除的整数末位不是0且不是5 【解析】根据逆否命题的定义直接写出即可.【详解】命题“末位数字是0或5的整数能被5整除”的逆否命题是“不能被5整除的整数末位不是0且不是5”.故答案为：不能被5整除的整数末位不是0且不是5 【点睛】本题主要考查了原命题的逆否命题,属于基础题.11．有限集S 中的元素个数记作()n S ，设A 、B 是有限集合，给出下列命题： （1）A B =∅I 的充分不必要条件是()()()n A B n A n B =+U ； （2）A B ⊆的必要不充分条件是()()n A n B ≤； （3）A B =的充要条件是()()n A n B = 其中假命题是（写题号）________________. 【答案】(1)(3)【解析】(1)分别判断充分性与必要性证明即可.(2)根据元素与集合的关系以及充分与必要条件的定义判断即可. (3)根据集合相等的定义判断即可. 【详解】(1)当A B =∅I 时,()n A B U 即为集合,A B 的元素个数之和,即为()()n A n B +. 又当()()()n A B n A n B =+U 时,,A B 中的元素个数和等于A B U 中的元素个数,故A B =∅I .故A B =∅I 是()()()n A B n A n B =+U 的充要条件.故(1)错误.(2)当A B ⊆时,A 中的元素个数小于等于B 中的元素个数,故()()n A n B ≤, 但当()()n A n B ≤时A 也可能有不属于B 的元素.故A B ⊆是()()n A n B ≤的充分不必要条件,即A B ⊆的必要不充分条件是()()n A n B ≤.故(2)正确.(3)当()()n A n B =意为,A B 中的元素个数相等,并不一定有A B =.故(3)错误. 故答案为：(1)(3) 【点睛】本题主要考查了集合的基本关系与充分必要条件等的判定,属于基础题. 12．集合{}0,1,2,3,4,5S =，A 是S 的一个子集，当x A ∈时，若有1x A -∉且1x A +∉，则称x 为A 的一个“孤立元素”，那么S 的4元子集中无“孤立元素”的子集个数是__________． 【答案】6个【解析】根据孤立元素的定义，并且结合集合S 可以把S 的4元子集进行一一列举，即可得到答案． 【详解】由孤立元素的定义可得：{0S =，1，2，3，4，5}中不含“孤立元素”的集合4个元素有：{0，1，2，3}，{0，1，3，4}，{0，1，4，5}}，{1，2，3，4}，{1，2，4，5}，{2，3，4，5}，所以S 中无“孤立元素”的4个元素的子集A 的个数是6个． 故答案为6个． 【点睛】本题主要考查有关集合的新定义，解决此类问题的关键是正确理解新定义“孤立元素”，并且正确理解S 的4元子集，而在列举时应当做到不重不漏． 13．已知12a b -<<<，则2b a -的范围是______________. 【答案】()1,5-【解析】根据不等式的性质运算求解即可. 【详解】由题12a b -<<<,故12,12a b -<<-<<,0a b -<.故21a -<-<,224b -<<,则425b a -<-<,又1,0b b a >-->,故21b a ->-. 故125b a -<-<. 故答案为：()1,5- 【点睛】本题主要考查了利用不等式的性质求解范围的问题,属于中档题.14．不等式组222230x x x a ⎧+-≥⎨<⎩的解集是空集，则正数a 的取值范围是______________. 【答案】(]0,1【解析】由题可知22x a <有解但与2230x x +-≥无交集在根据区间端点满足的关系式求解即可. 【详解】由题因为正数a ,故22x a a a x ⇒-<<<,又()()2230130x x x x +-≥⇒-+≥,解得1x ≥或3x ≤-.由题意有a x a -<<与1x ≥或3x ≤-无交集,故113a a a ≤⎧⇒≤⎨-≥-⎩. 故正数a 的取值范围是(]0,1. 故答案为：(]0,1 【点睛】本题主要考查了根据集合的解求解参数范围的问题,需要根据题意分别求得不等式的取值范围,再列出区间端点满足的关系式求解即可.属于基础题. 15．关于x 的不等式0ax b ->的解集为(1,)+∞，则关于x 的不等式02ax bx +>-的解集为______【答案】()(),12,-∞-+∞U【解析】不等式0ax b ->的解集为(1,)+∞可以确定a 的正负以及,a b 的关系，从而可得02ax bx +>-的解. 【详解】不等式0ax b ->的解集为(1,)+∞，故0a >且0a b -=，故02ax bx +>-可化为()102a x x +>-即()()120x x +->， 它的解为()(),12,-∞-+∞U ，填()(),12,-∞-+∞U . 【点睛】本题考查一元一次不等式的解与对应方程之间的关系及分式不等式的解法，属于容易题.16．不等式|1||1|x x m ++-≥的解集是R ，则实数m 的取值范围是____________. 【答案】(],2-∞【解析】利用绝对值不等式分段求解的方法求得()|1||1|f x x x =++-的最小值,再利用恒成立问题求得实数m 的取值范围即可. 【详解】设()|1||1|f x x x =++-2,12,112,1x x x x x -≤-⎧⎪=-<<⎨⎪≥⎩,故min ()2f x =.故2m ≤.故答案为：(],2-∞ 【点睛】本题主要考查了去绝对值求解绝对值函数的最值问题,属于基础题.17．已知二次函数22()42(2)21f x x p x p p =----+，若在区间[1,1]-内至少存在一个实数x 使()0f x >，则实数p 的取值范围是__________.【答案】3(3,)2-【解析】试题分析：因为二次函数()f x 在区间[1,1]-内至少存在一个实数x ，使()0f x >的否定是：“函数()f x 在区间[1,1]-内任意实数x ，使()0f x ≤”，所以(1)0{(1)0f f ≤-≤，即2242(2)210{42(2)210p p p p p p ----+≤+---+≤，整理得222390{210p p p p +-≥--≥，解得32p ≥或3p ≤-，所以二次函数在区间[1,1]-内至少存在一个实数x ，使()0f x >的实数p 的取值范围是3(3,)2-.【考点】一元二次方程的根与系数的关系.【方法点晴】本题主要考查了一元二次方程的根的分布与系数的关系，其中解答中涉及到一元二次函数的图象与性质、不等式组的求解、命题的转化等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，其中根据二次函数的图象是开口方向朝上的抛物线，得到对于区间[1,1]-内的任意一个x 都有()0f x >时，得到不等式组是解答的关键，属于中档试题.18．已知01b a <<+，如果关于x 的不等式222()x b a x ->的解集中恰有3个整数解，则实数a 的取值范围是_______________. 【答案】()1,3【解析】因式分解求222()x b a x ->的解集,再根据解集中恰有3个整数解可求得区间端点满足的不等式再列式求解即可. 【详解】关于x 的不等式222()x b a x ->即()222120a x bx b -+-<, ,化简得()()110a x b a x b +--+<⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦∵()()110a x b a x b +--+<⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦的解集中的整数恰有3个,故二次函数()()1(1)a x b a x x b f ⎡⎤⎡⎤+--+⎣⎦⎣=⎦开口向上,又因为01b a <<+所以10,1a a ->>.∴不等式的解集为11b b x a a -<<-+,因为01b a <<+所以011ba<<+, 所以解集里的整数是2,1,0--三个.∴321ba -≤-<--, ∴321ba -≤-<--化简得2233a b a -<≤-, ∵1b a <+, ∴221a a -<+, ∴3a < 综上有13a << 故答案为：()1,3 【点睛】本题主要考查了根据不等式的解集求解参数的有关问题,需要注意含参数的二次不等式因式分解求解的方法,同时需要根据函数零点的区间列出对应的不等式求解的方法,属于难题.三、解答题19．已知全集U ，集合A 、B 、C 的关系如图，请在图中用阴影线表示下列集合的运算结果：（1）()U U A C B B C C I U I （2）()()U U A B C C C C B U I U I 【答案】(1)(2)【解析】(1)先分析U A C B ⋂与U B C C I ,再求并集即可. (2)先判断()U A B C C U I 与U C C B I ,再求并集即可. 【详解】(1) 先分析U A C B ⋂与U B C C I ,再求并集可得如图阴影部分.(2) 先判断()U A B C C U I 与U C C B I ,再求并集可得如图阴影部分.【点睛】本题主要考查了根据集合的运算与韦恩图关系的问题,需要根据题意分段分步分析,属于基础题.20．某商场将进货单价是40元的商品按销售单价50元售出时，每月能卖出500件该商品.如果这批商品在销售单价的基础上每涨1元，每月就减少销售10件，问此商品销售价为何值时每月可以获得最大利润？【答案】此商品销售价为70元时每月可以获得最大利润【解析】设售价为x 元,求出销售量与利润再分析最值即可.【详解】设售价为x 元,总利润为y 元,则()()240500105010140040000y x x x x =---=-+-⎡⎤⎣⎦()210709000x =--+,故当70x =元时, y 取得最大值9000.故此商品销售价为70元时每月可以获得最大利润.【点睛】本题主要考查了建立二次函数模型解决实际问题的最优解的问题,需要根据题意建立利润y 与售价x 间的关系,再根据二次的最值求解即可.属于基础题. 21．已知不等式3514x x -≤-的解集是A ，不等式1||2x m x ->的解集是B ． （1）当4m =时，求A B I ； （2）如果A B ⊆，求实数m 的取值范围.【答案】(1) 831|2x x ⎧<⎫≤⎨⎬⎩⎭；(2) 6m ≥或14m < 【解析】(1)根据分值不等式的求解方法求解集合,A B ,再求交集即可.(2) 先求解1||2x m x ->,再分m 的正负进行讨论,再利用A B ⊆列出区间端点满足的表达式求解即可.【详解】 3535211100444x x x x x x ---≤⇒-≤⇒≤---即()()214040x x x ⎧--≤⎨-≠⎩.解得142x ≤<. (1) 当4m =时, 求解1|4|2x x ->, 当4x <时有18423x x x ->⇒<.当4x ≥时1482x x x ->⇒>. 综上有83x <或8x >.此时A B =I 831|2x x ⎧<⎫≤⎨⎬⎩⎭ (2)先求解集合:B 1||2x m x ->当x m <时, 1223m x x x m ->⇒<；当x m ≥时, 122x m x x m ->⇒>. 故当0m <时,集合B R =,此时A B ⊆恒成立.当0m ≥,因为A B ⊆,且1:|42A x x ⎧⎫≤<⎨⎬⎩⎭,3:2|2x m x x m B ⎧>⎭<⎫⎨⎬⎩或. 此时243m ≤或122m >,解得6m ≥或14m <,即6m ≥或104m ≤< 综上所述, 6m ≥或14m < 【点睛】本题主要考查了分式不等式与绝对值不等式的求解以及根据不等式的解集求解参数范围的问题,需要根据题意分情况讨论求解含参的不等式,再根据集合的基本关系列出区间端点满足的关系式进行求解.属于中档题.22．已知二次函数2()(0,0)f x ax bx c a c =++>>的图像与x 轴有两个不同的交点，其中一个交点坐标是(),0c ，且当0x c <<时，恒有()0f x >.（1）求不等式()0f x <的解（用a 、c 表示）；（2）若不等式2210m km b ac -+++≥对所有[]1,1k ∈-恒成立，求实数m 的取值范围. 【答案】(1) 1,c a ⎛⎫ ⎪⎝⎭；(2) 2m ≤-或0m =或2m ≥ 【解析】(1)根据二次函数2()(0,0)f x ax bx c a c =++>>的图像与x 轴有两个不同的交点可知20ax bx c ++=有两个不同的实数根,利用过(),0c 与韦达定理可求得20ax bx c ++=的两根,再根据二次函数开口方向求解即可.(2)由题()0f c =可得10ac b ++=,代入2210m km b ac -+++≥有220m km -≥,对所有[]1,1k ∈-恒成立,再分m 与0的大小关系分类讨论即可.【详解】(1) 2()f x ax bx c =++的图像与x 轴有两个不同的交点,且过(),0c 可设另一个根为2x ,利用韦达定理有221c cx x a a=⇒=,又0,0a c >>,且当0x c <<时,恒有()0f x >,则1c a<. ∴()0f x <的解集为1,c a ⎛⎫ ⎪⎝⎭ (2)∵()0f c =∴20ac bc c ++=,又∵0c >,∴10ac b ++=故要使2210m km b ac -+++≥即220m km -≥,对所有[]1,1k ∈-恒成立,则 当0m >时, 2m k ≥恒成立,故 2m ≥当0m <时, 2m k ≤恒成立,故 2m ≤-当0m =时, 20200k -⋅≥对所有[]1,1k ∈-恒成立从而实数m 的取值范围为2m ≤-或0m =或2m ≥【点睛】本题主要考查了二次函数的方程的根与不等式的关系等,同时也考查了恒成立的问题,需要分类讨论进行求解,属于中档题.23．已知集合{}()1,2,3,,2A n n N *=⋅⋅⋅∈，对于A 的一个子集S ，若存在不大于n 的正整数m ，使得对S 中的任意一对元素1s 、2s ，都有12s s m -≠，则称S 具有性质P . （1）当10n =时，试判断集合{}9B x A x =∈>和{}31,C x A x k k N*=∈=-∈是否具有性质P ？并说明理由；（2）当1000n =时，若集合S 具有性质P . ①那么集合{}2001T x x S =-∈是否一定具有性质P ？并说明理由；②求集合S 中元素个数的最大值.【答案】（1）B 不具有性质P ，C 具有性质P ，理由见解析；（2）①T 具有性质P ，理由见解析；②1333.【解析】（1）当10n =时，集合{}1,2,3,.19,20A =L ，{}{}910,11,12,,19,20B x A x =∈>=L ，根据性质P 的定义可知其不具有性质P ；{}31,C x A x k k N *=∈=-∈，令110m =<，利用性质P 的定义即可验证；（2）当1000n =，则{}1,2,3,,1999,2000A =L . ①根据{}2001T x x S =-∈，任取02001t x T =-∈，其中0x S ∈，可得0120012000x ≤-≤，利用性质P 的定义加以验证即可说明集合{}2001T x x S =-∈具有性质P ；②设集合S 有k 个元素，由①可知，任给x S ∈，12000x ≤≤，则x 与2001x -中必有1个不超过1000，从而得到集合S 与T 中必有一个集合中至少存在一半元素不超过1000，然后利用性质P 的定义进行分析即可求得20002k k k t +≤+≤，即20002k k +≤，解此不等式得1333k ≤. 【详解】（1）当10n =时，集合{}1,2,3,,19,20A =L ，{}{}910,11,12,,19,20B x A x =∈>=L 不具有性质P .因为对任意不大于10的正整数m ，都可以找到该集合中的两个元素110b =与210b m =+，使得12b b m +=成立. 集合{}31,C x A x k k N *=∈=-∈具有性质P .因为可取110m =<，对于该集合中任一元素1131c k =-，2231c k =-，1k 、2k N *∈. 都有121231c c k k -=-≠；（2）当1000n =时，则{}1,2,3,,1999,2000A =L .①若集合S 具有性质P ，那么集合{}2001T x x S =-∈一定具有性质P . 首先因为{}2001T x x S =-∈，任取02001t x T =-∈，其中0x S ∈.因为S A ⊆，所以{}01,2,3,,2000x ∈L .从而0120012000x ≤-≤，即t A ∈，所以T A ⊆.由S 具有性质P ，可知存在不大于1000的正整数m ，使得对S 中的任意一对元素1s 、2s ，都有12s s m -≠.对于上述正整数m ，从集合{}2001T x x S =-∈中任取一对元素112001t x =-，222001t x =-，其中1x 、2x S ∈，则有1212t t s s m -=-≠.所以，集合{}2001T x x S =-∈具有性质P ；②设集合S 有k 个元素，由①可知，若集合S 具有性质P ，那么集合{}2001T x x S =-∈一定具有性质P .任给x S ∈，12000x ≤≤，则x 与2001x -中必有一个不超过1000.所以集合S 与T 中必有一个集合中至少存在一半元素不超过1000.不妨设S 中有2k t t ⎛⎫≥ ⎪⎝⎭个元素1b 、2b 、L 、t b 不超过1000. 由集合S 具有性质P ，可知存在正整数1000m ≤.使得对S 中任意两个元素1s 、2s ，都有12s s m -≠.所以一定有1b m +、2b m +、L 、t b m S +∉.又100010002000i b m +≤+=，故1b m +、2b m +、L 、t b m A +∈.即集合A 中至少有t 个元素不在子集S 中， 因此20002k k k t +≤+≤，所以20002k k +≤，得1333k ≤. 当{}1,2,,665,666,1334,,1999,2000S =L L 时，取667m =，则易知对集合S 中的任意两个元素1y 、2y ，都有12667y y -≠，即集合S 具有性质P .而此时集合S 中有1333个元素，因此，集合S 元素个数的最大值为1333.【点睛】本题考查集合之间包含关系的判断方法，以及元素与集合之间的关系等基础知识，是新定义问题，在解题时注意对新概念的理解与把握是解题的关键，此题对学生的抽象思维能力要求较高，特别是对数的分析，属于难题.。
2015-2016学年上海市复旦大学附属中学高一上学期期中考试数学试卷含详解
复旦大学附属中学2015学年第一学期高一年级数学期中考试试卷一、填空题（每题4分，共48分）1.函数2y x=-的定义域为______．2.已知,a b ∈R ，写出命题“若0ab ≠，则220a b ->”的否命题__________.3.已知,x y R +∈且2xy =,则当x =________时，224x y +取得最小值.4.已知集合3|11A x x Z x ⎧⎫=∈⎨⎬+⎩⎭，≥，则集合A 的子集个数为______个．5.已知定义在R 上的函数()f x 为奇函数，且0x >时，2()23f x x x =+-，则0x <时，()f x =________6.已知函数25()43kx f x kx kx +=++的定义城为R （R 为实数集），则k 的取值范围为_________7.若a b ，为非零实数，则不等式①232a a +>，②4433a b a b ab ++≥，③a b a b +-≥，④2b aa b+≥中恒成立的序号是_______．8.已知定义在R 上的奇函数()f x 与偶函数()g x 满足()()()210f x g x a x x a +=>++，若()113f =-，则a =__________．9.关于x 的方程()2290x a x a a R ++-=∈有唯一的实数根，则a =________．10.对于任意集合X 与Y ，定义：①{}|X Y x x X x Y -=∈∉且，②()()X Y X Y Y X =--△∪，（X Y △称为X 与Y 的对称差）．已知{}{}2|2|33A y y x x x R B y y ==-∈=-，，≤≤，则A B =△______．11.已知集合2{|(2)10,}A x x a x x R =+++=∈，{|0,}B x x x =>∈R ，若A B =∅ ，则实数a 的取值范围是________．12.若a 、b R ∈，且2249a b +≤≤，则22a ab b -+的最大值与最小值之和是________．二、选择题（每题4分，共16分）13.已知函数(1)=-y f x 的定义域为[0,1],则(1)f x +的定义域为（）A.[-2,-1]B.[-1,0]C.[0,1]D.[2,3]14.给出三个条件：①22ac bc >；②a bc c>；③a b >；④1a b >-．其中能分别成为a b >的充分条件的个数为（）A.0B.1C.2D.315.已知{}()(){}||330A x x B x x x =>=-+>，，则A B = （）A.()21-， B.()3-∞-， C.()2-∞，D.()01，16.非空集合G 关于运算⊕满足：①对任意a 、b G ∈，都有a b G ⊕∈；②存在e G ∈使对一切a G ∈都有a e e a a ⊕=⊕=，则称G 是关于运算⊕的融洽集，现有下列集合及运算中正确的说法有（）个（1）G 是非负整数集，⊕：实数的加法；（2）G 是偶数集，⊕：实数的乘法；（3）G 是所有二次三项式组成的集合，⊕多项式的乘法；（4）{}|G x x a a b Q ==+∈，，⊕：实数的乘法．A.1 B.2 C.3 D.4三、解答题（本题共5大题，满分56分）17.已知集合{}{}211|0A B x x ax b x R =-=++=∈，，，，若B ≠∅，且A B A ⋃=，求实数a b ，的值．18.已知二次函数()2f x ax bx =+对任意x ∈R 均有()()2f x f x =--成立，且函数的图像过点312A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，．（1）求函数()y f x =的解析式；（2）若不等式()f x t x -≤的解集为[]4m ，，求实数t 、m 的值．19.已知a R ∈，设集合(){}22|619320A x x a x a a =-+++-<，{}|10B x x a =-+≥．（1）当1a =时，求集合B ．（2）问：12a ≥是A B =∅ 的什么条件．（充分非必要条件、必要非充分条件、充要条件、既非充分也非必要条件）？并证明你的结论．20.设函数()f x x a a=++．（a R ∈且0a ≠）（1）分别判断当1a =及2a =-时函数的奇偶性；（2）在a R ∈且0a ≠的条件下，将（1）的结论加以推广，使命题（1）成为推广后命题的特例，并对推广的结论加以证明．21.已知关于x 不等式()()241292110kx k k x ---->，其中k ∈R ．（1）试求不等式的解集A ；（2）对于不等式的解集A ，若满足A B =Z （其中Z 为整数集）．试探究集合B 能否为有限集？若能，求出使得集合B 中元素个数最少时k 的取值范围，并用列举法表示集合B ；若不能，请说明理由．复旦大学附属中学2015学年第一学期高一年级数学期中考试试卷一、填空题（每题4分，共48分）1.函数y =的定义域为______．【答案】[1,2)(2,)-+∞ 【分析】由解析式有意义求解．【详解】由题意1020x x +≥⎧⎨-≠⎩，解得1x ≥-且2x ≠．故答案为：[1,2)(2,)-+∞ ．【点睛】本题考查求函数定义域，属于基础题．2.已知,a b ∈R ，写出命题“若0ab ≠，则220a b ->”的否命题__________.【答案】若0ab =，则220a b -≤【分析】根据否命题的形式写出即可.【详解】命题“若0ab ≠，则220a b ->”的否命题是“若0ab =，则220a b -≤”故答案为若0ab =，则220a b -≤【点睛】本题主要考查了否命题的形式，属于基础题.3.已知,x y R +∈且2xy =,则当x =________时，224x y +取得最小值.【答案】2【分析】由2xy =，解出2y x=，代入224x y +中，化简利用基本不等式即可求出x 的值.【详解】因为2xy =，所以2y x=222222216448x y x x x x ⎛⎫+= =++≥⎝⎭=⎪当且仅当2216x x=，即2x =时，224x y +取得最小值.故答案为2【点睛】本题主要考查了基本不等式的运用，注意基本不等式使用的条件，考查学生利用知识分析和解决问题的能力，属于基础题.4.已知集合3|11A x x Z x ⎧⎫=∈⎨⎬+⎩⎭，≥，则集合A 的子集个数为______个．【答案】8【分析】求出集合A 中元素，由子集的定义求解．【详解】3|11A x x Z x ⎧⎫=∈⎨⎬+⎩⎭，≥{012}=，，，子集个数为328=．故答案为：8.【点睛】本题考查求子集个数，掌握子集概念是解题关键．，含有n 元素的集合的子集个数为2n ．5.已知定义在R 上的函数()f x 为奇函数，且0x >时，2()23f x x x =+-，则0x <时，()f x =________【答案】223x x -++【分析】求0x <的解析式()f x ，可先求出()f x -的解析式，再利用奇函数()f x 与()f x -的关系求出()f x .【详解】设0x <，则0x ->，所以2()23f x x x -=--，又因为()f x 为定义在R 上的奇函数，所以()2()23f x f x x x =--=-++.故答案为223x x -++.【点睛】本题主要考查利用奇偶性求解函数的解析式，主要利用转化法把所求转化到已知区间，结合奇偶性可得，侧重考查数学抽象的核心素养.6.已知函数25()43kx f x kx kx +=++的定义城为R （R 为实数集），则k 的取值范围为_________【答案】3[0,4【分析】由函数25()43kx f x kx kx +=++的定义城为R ，转化为2430kx kx ++≠在R 上恒成立，结合二次函数的性质，分类讨论，即可求解.【详解】由题意，函数25()43kx f x kx kx +=++的定义城为R ，即2430kx kx ++≠在R 上恒成立，当0k =时，30≠恒成立，当0k ≠时，则满足2(4)430k k ∆=-⨯⨯<，即2430k k ∆=-<，解得304k <<，综上可得，实数k 的取值范围是3[0,4.故答案为：3[0,4.【点睛】本题主要考查了函数的定义域的定义，以及一元二次式的恒成立问题，其中解答中合理转化，结合二次函数的性质，分类讨论求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.7.若a b ，为非零实数，则不等式①232a a +>，②4433a b a b ab ++≥，③a b a b +-≥，④2b aa b+≥中恒成立的序号是_______．【答案】①②【分析】用作差法比较大小证明不等式，举反例说明不等式不成立．【详解】2232(1)20a a a +-=-+>，232a a +>恒成立，①正确；44333322222213()()()()()[()]024a b a b ab a b a b a b a ab b a b a b b +--=--=-++=-++≥，∴4433a b a b ab ++≥恒成立，②正确；2,1a b ==-时，③④均不成立，故答案为：①②．【点睛】本题考查不等式的性质，作差法是证明不等式的基本方法，必须掌握．对不恒成立的不等式可通过举反例说明，较方便．8.已知定义在R 上的奇函数()f x 与偶函数()g x 满足()()()210f x g x a x x a +=>++，若()113f =-，则a =__________．【答案】1【分析】由奇偶性求出(),()f x g x ，再由(1)f 求得a ．【详解】∵()()21f xg x x x a +=++，①，∴21()()f x g x x x a-+-=-+，∵()f x 是奇函数，()g x 是偶函数，∴21()()f x g x x x a-+=-+，②，（①-②）除以2，得22111()(2f x x x a x x a=-++-+，∴1111(1)(223f a a =-=-+，∵0a >，∴1a =．故答案为：1.【点睛】本题考查函数的奇偶性，掌握奇偶性定义是解题关键．9.关于x 的方程()2290x a x a a R ++-=∈有唯一的实数根，则a =________．【答案】3【分析】考虑绝对值的性质，方程的唯一实根只能是0，即0x =，由此分析可得结论．【详解】方程2290x a x a ++-=为2290x a x a ++-=，因此原方程有唯一实根，则0x =，290a -=，3a =±，3a =-时，方程为230x x -=，x =0或3，不合题意，3a =时，方程为230x x +=，0x =，3x =-舍去．故答案为：3.【点睛】本题考查方程根的分布，根据绝对值的性质易得结论．10.对于任意集合X 与Y ，定义：①{}|X Y x x X x Y -=∈∉且，②()()X Y X Y Y X =--△∪，（X Y △称为X 与Y 的对称差）．已知{}{}2|2|33A y y x x x R B y y ==-∈=-，，≤≤，则A B =△______．【答案】[3,1)(3,)--+∞ 【分析】先求出A B -和B A -，再计算A B∆【详解】由已知{|1}A y y =≥-，则{|3}(3,)A B y y -=>=+∞，{|31}[3,1)B A y y -=-≤<-=--，∴()()[3,1)(3,)A B A B B A ∆=--=--+∞ ，故答案为：[3,1)(3,)--+∞ 【点睛】本题考查集合的新定义，解题关键是理解新定义运算，把新运算转化为集合的运算．11.已知集合2{|(2)10,}A x x a x x R =+++=∈，{|0,}B x x x =>∈R ，若A B =∅ ，则实数a 的取值范围是________．【答案】4a >-【分析】根据A B =∅ 可知，A =∅或方程2(2)10x a x +++=只有非正根，由此可解得a 的范围.【详解】分A ≠∅和A =∅两种情况讨论．①当A ≠∅时，A 中的元素为非正数，A B =∅ ，即方程2(2)10x a x +++=只有非正数解，所以2(2)40,(2)0,a a ⎧∆=+-≥⎨-+≤⎩解得0a ≥；②当A =∅时，2(2)40a ∆=+-<，解得40a -<<．综上所述，实数a 的取值范围是4a >-．故答案为：4a >-【点睛】当A B =∅ 时，包含A ≠∅和A =∅两种情况，A =∅容易被忽略.12.若a 、b R ∈，且2249a b +≤≤，则22a ab b -+的最大值与最小值之和是________．【答案】312【分析】用三角换元法，转化为求三角函数的最值．【详解】设cos ,sin a r b r θθ==，则23r ≤≤，2222222221cos sin cos sin sin 22a ab b r r r r r θθθθθ-+=-+=-21(1sin 2)2r θ=-，因为1131sin 2222θ≤-≤，249r ≤≤，∴21272(1sin 2)22r θ≤-≤．即22a ab b -+的最大值为272，最小值为2，和为312．故答案为：312．【点睛】本题考查由已知条件求最值，解题关键是三角换元，换元后可把两个变量分开，分别求得最值，再结合求得结论．二、选择题（每题4分，共16分）13.已知函数(1)=-y f x 的定义域为[0,1],则(1)f x +的定义域为（）A.[-2,-1]B.[-1,0]C.[0,1]D.[2,3]【答案】A 【分析】由题意首先求得函数()f x 的定义域，然后求解函数(1)f x +的定义域即可.【详解】由题意可得，函数()f x 的定义域为：[]1,0-，则函数()1f x +的定义域满足：110x -≤+≤，解得：21x -≤≤-，表示为区间形式即[]2,1--.故选A .【点睛】本题主要考查抽象函数的定义域，属于中等题.14.给出三个条件：①22ac bc >；②a bc c>；③a b >；④1a b >-．其中能分别成为a b >的充分条件的个数为（）A.0B.1C.2D.3【答案】C 【分析】根据不等式的性质作答．【详解】由22ac bc >能得出a b >，由a bc c >不能得出a b >（0c <时不成立），a b >，显然有a b >（原因是b b ≥），1a b >-时可能有a b <，如12a b =-，因此有两个，①③满足题意．故选：C.【点睛】本题考查不等式的性质，掌握不等式的性质是解题基础．15.已知{}()(){}||330A x x B x x x =>=-+>，，则A B = （）A.()21-， B.()3-∞-， C.()2-∞， D.()01，【答案】B 【分析】求出集合,A B 后可求其交集．【详解】由20x -≥得2x ≤，当0x ≤x >显然成立，当02x <≤时，由x >得22x x ->，解得01x <<，∴(,1)A =-∞，又()(){}|330B x x x =-+>(,3)(3,)=-∞-+∞ ，∴(,3)A B =-∞- ．故选：B.【点睛】本题考查集合的交集运算，解题关键是正确解无理不等式．16.非空集合G 关于运算⊕满足：①对任意a 、b G ∈，都有a b G ⊕∈；②存在e G ∈使对一切a G ∈都有a e e a a ⊕=⊕=，则称G 是关于运算⊕的融洽集，现有下列集合及运算中正确的说法有（）个（1）G 是非负整数集，⊕：实数的加法；（2）G 是偶数集，⊕：实数的乘法；（3）G 是所有二次三项式组成的集合，⊕多项式的乘法；（4）{}|G x x a a b Q ==+∈，，⊕：实数的乘法．A.1 B.2 C.3 D.4【答案】B 【分析】根据新定义运算⊕判断．【详解】（1）任意两个非负整数的和仍然是非负整数，对任意a G ∈，0G ∈，00a a a +=+=，（1）正确；（2）任意两个偶数的积仍然是偶数，但不存在e G ∈，对任意a G ∈，使ae ea a ==，（2）错误；（3）21x x -+和21x x +-是两个二次三项式，它们的积2242(1)(1)21x x x x x x x -++-=-+-不是二次三项式，（3）错误；（4）设x a y c =+=+，,,,a b c d Q ∈，则2(xy ac bd ad bc G =+++，而且1G ∈，11x x x ⋅=⋅=，（4）正确．∴正确的有2个．故选：B.【点睛】本题考查新定义，解题关键是对新定义的理解与应用．三、解答题（本题共5大题，满分56分）17.已知集合{}{}211|0A B x x ax b x R =-=++=∈，，，，若B ≠∅，且A B A ⋃=，求实数a b ，的值．【答案】21a b =⎧⎨=⎩或21a b =-⎧⎨=⎩或01a b =⎧⎨=-⎩．【分析】A B A ⋃=得B A ⊆，结合B ≠∅，可根据B 的各种情形分类讨论．【详解】由A B A ⋃=得B A ⊆，由于B ≠∅，∴{1}B =-或者{1}B =或者{1,1}B =-，若{1}B =-，则111(1)a b --=-⎧⎨-⨯-=⎩，即21a b =⎧⎨=⎩，若{1}B =，则1111a b +=-⎧⎨⨯=⎩，即21a b =-⎧⎨=⎩，若{11}B =-，，则1111a b -+=-⎧⎨-⨯=⎩，即01a b =⎧⎨=-⎩，综上，21a b =⎧⎨=⎩或21a b =-⎧⎨=⎩或01a b =⎧⎨=-⎩．【点睛】本题考查集合的并集，考查集合间的包含关系，解题关键是根据包含关系确定集合B 中各种可能．18.已知二次函数()2f x ax bx =+对任意x ∈R 均有()()2f x f x =--成立，且函数的图像过点312A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，．（1）求函数()y f x =的解析式；（2）若不等式()f x t x -≤的解集为[]4m ，，求实数t 、m 的值．【答案】（1）21()2f x x x =+；（2）812t m =⎧⎨=⎩．【分析】（1）由()()2f x f x =--得出对称轴，结合点A 坐标可求得,a b ；（2）变形()f x t x -≤得21()02x t t --≤，显然0t >，直接解此不等式，由其解集为[4,]m 可求得,t m ．【详解】∵()()2f x f x =--，∴1x =-是()f x 图象的对称轴，又函数图象过点3(1,)2A ，∴1232baa b ⎧-=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得121a b ⎧=⎪⎨⎪=⎩，∴21()2f x x x =+；（2）2211()()()22f x t x x t x t x x t t --=-+--=--，由题意21()02x t t --≤的解集是[4,]m ，所以0t >，且由21()02x t t --≤得t x t -≤≤+∴4t t m⎧=⎪⎨=⎪⎩，解得812t m =⎧⎨=⎩．【点睛】本题考查求二次函数解析式，考查解一元二次不等式，掌握二次函数的性质是解题基础．19.已知a R ∈，设集合(){}22|619320A x x a x a a =-+++-<，{}|10B x x a =-+≥．（1）当1a =时，求集合B ．（2）问：12a ≥是A B =∅ 的什么条件．（充分非必要条件、必要非充分条件、充要条件、既非充分也非必要条件）？并证明你的结论．【答案】（1）[2,0]B =-；（2）充分非必要条件．【分析】（1）根据绝对值的性质解不等式得集合B ；（2）解不等式得集合,A B ，由A B =∅ 求出a 的范围，再判断是什么条件．【详解】（1）由110x -+≥得11x +≤，111x -≤+≤，20x -≤≤，所以[2,0]B =-；（2）由题意(31,32)A a a =-+，[1,1]B a a =---+，若A B =∅ ，则321a a +≤--或311a a -≥-+，解得34a ≤-或12a ≥．∴12a ≥是A B =∅ 的充分非必要条件．【点睛】本题考查解绝对值不等式，考查解一元二次不等式，考查充分必要条件的判断，掌握集合的包含关系与充分必要条件之间的联系是解题关键．20.设函数()f x =．（a R ∈且0a ≠）（1）分别判断当1a =及2a =-时函数的奇偶性；（2）在a R ∈且0a ≠的条件下，将（1）的结论加以推广，使命题（1）成为推广后命题的特例，并对推广的结论加以证明．【答案】（1）1a =时，()f x 既不是奇函数也不是偶函数，2a =-时，()f x 是奇函数．；（2）0a >时，()f x 既不是奇函数也不是偶函数，0a <时，()f x 是奇函数．证明见解析．【分析】（1）根据奇偶性定义判断；（2）0a >时，()f x 既不是奇函数也不是偶函数，0a <时，()f x 是奇函数．根据奇偶性定义证明即可．【详解】（1）1a =时，1()11f x x =++，定义域为210110x x ⎧-≥⎪⎨++≠⎪⎩，11x -≤≤，此时()2x f x x =+，()2x f x x -=-+，()()f x f x -≠-且()()f x f x -≠，()f x 既不是奇函数也不是偶函数，2a =-时，()22f x x =--，定义域为240220x x ⎧-≥⎪⎨--≠⎪⎩，22x -≤≤且0x ≠，此时()22f x x x ==---，()()f x f x x-==-，()f x 是奇函数．（2）0a >时，()f x 既不是奇函数也不是偶函数，0a <时，()f x 是奇函数．与（1）类似，0a >时，由2200a x x a a ⎧-≥⎪⎨++≠⎪⎩，得函数定义域是[,]a a -，()2f x x a =+，()2f x x a -=-+与()f x 既不相等也不是相反数，因此()f x 既不是奇函数也不是偶函数，0a <时，由2200a x x a a ⎧-≥⎪⎨++≠⎪⎩，得定义域是[,0)(0,]a a - ，()a x f x x =-，()()a x f x f x x -==-，()f x 是奇函数．【点睛】本题考查函数的奇偶性，掌握奇偶性定义是解题基础．判断奇偶性时应先确定函数定义域，在定义域内函数有时可化简，从而易于判断．21.已知关于x 不等式()()241292110kx k k x ---->，其中k ∈R ．（1）试求不等式的解集A ；（2）对于不等式的解集A ，若满足A B =Z （其中Z 为整数集）．试探究集合B 能否为有限集？若能，求出使得集合B 中元素个数最少时k 的取值范围，并用列举法表示集合B ；若不能，请说明理由．【答案】（1）k 0<时，212911(,)42k k A k ++=，0k =时，11(,)2A =-∞，01k <<或9k >时，211129(,)(,)24k k A k ++=-∞+∞ ，19k ≤≤时，212911(,)()42k k A k ++=-∞+∞ ．（2）k 0<，B 能为有限集；44k -<<-B 中元素个数最少，{2,3,4,5}B =．【分析】（1）对k 分类讨论，利用解一元二次不等式的解法可得；（2）根据A B =Z （其中Z 为整数集）．集合B 为有限集，可得，求出21294k k k++最大值可得集合B 元素个数最少时的集合．【详解】（1）0k =时，不等式为9(211)0x -->．112x <，∴11(,2A =-∞，（2）k 0<时，()21294(21104k k k x x k++-->，又方程()21294()211=04k k k x x k ++--两根为211294k k x k++=，2112x =k 0<时，由对勾函数图象知2112919311()34422k k x k k k ++==++≤<，所以21291142k k x k ++<<，212911(,)42k k A k ++=，（3）0k >时，由21291142k k k ++>得01k <<或9k >，不等式的解为112x <或21294k k x k++>，211129(,)(,)24k k A k++=-∞+∞ ，当19k ≤≤时，21291142k k k ++<，不等式的解为112x >或21294k k x k++<，212911(,)(,)42k k A k ++=-∞+∞ ．综上，k 0<时，212911(,)42k k A k ++=，0k =时，11(,)2A =-∞，01k <<或9k >时，211129(,)(,)24k k A k++=-∞+∞ ，19k ≤≤时，212911(,)(,)42k k A k ++=-∞+∞ ．（2）∵A B =Z （其中Z 为整数集）．集合B 能为有限集，当0k =时，11(,2A =-∞，此时AB =Z 中有无限个整数，不合题意，舍去；当01k <<或9k >，211129(,(,)24k k A k++=-∞+∞ ，此时A B =Z 中有无限个整数，不合题意，舍去；当19k ≤≤时，212911(,)()42k k A k ++=-∞+∞ ，此时A B =Z 中有无限个整数，不合题意，舍去；当k 0<，212919()344k k k k k++=++,由对勾函数，知函数19(34y k k =++在(,3)-∞-上递增，在(3,0)-上递减，∴3k =-时，19()34y k k =++的最大值为193(3)3432y =-++=-，231112911(,)()2242k k k ++∴⊆，所以当21293142k k k ++<≤,即44k --<<-+B 中元素最少时，{2,3,4,5}B =．【点睛】本题考查解含参数的一元二次不等式，解题时需分类讨论，属于中档题．。
上海外国语大学附属外国语学校2015-2016学年高一上学期期中考试数学试题Word版含答案
上外附中高一上学期期中数学试卷2015.11一. 填空题（本大题共14题，每题3分，共42分）1. 有四个集合：①2{|33}x x +=；②2{(,)|,,}x y y x x y R =-∈；③2{|0}x x -≥；④{|x 210,}x x x R -+=∈；其中表示空集的序号是 ； 2. 已知2{|21}A y y x x ==-+-，{|21}B y y x ==+，则A B = ；3. 若全集{1,2,3,4,5}U =且{2,3}U C A =，则集合A 的真子集共有 个；4. 已知集合2{|320}A x ax x =-+=，若A 中至少有一个元素，则a 的取值范围是 ；5. 有下列四个命题：①命题“若1xy =，则,x y 互为倒数”的逆命题；②命题“面积相等的三角形全等”的否命题；③命题“若1m ≤，则220x x m -+=有实根”的逆否命题；④命题“若A B B =，则A B ⊆”的逆否命题；其中是真命题的是 ；6. 若集合12,A A 满足12A A A =，则称12(,)A A 为集合A 的一个分拆，并规定：当且仅当12A A =时，12(,)A A 与21(,)A A 为集合A 的同一种分拆，则集合123{,,}A a a a =的不同分拆种数是 ；7. 若20a a +<，则22,,,a a a a --由大到小排列顺序是 ； 8. 若关于x 的不等式20ax bx c ++>的解集为{|12}x x -<<，则关于x 的不等式2cx +0bx a +>的解集是 ；9. 不等式4||x x<的解集是 ； 10. 若不等式|3|4x b -<的解集中的整数有且仅有1,2,3，则实数b 的取值范围是 ；11. 设0x >，则31x x ++的最小值为 ； 12. 已知方程2(1)(2)0x x x m --+=的三根可作为一个三角形的三边长，那么m 的取值范围是 ；13. 对于在区间[,]a b 上有意义的两个函数()f x 与()g x ，如果对任意[,]x a b ∈，均有|()()|1f x g x -≤，那么就称()f x 与()g x 在[,]a b 上是接近的，若函数2()32f x x x =-+与()23g x x =-在[,]a b 上是接近的，则该区间可以是 ；14. 三位同学合作学习，对问题“已知不等式222xy ax y ≤+对于[1,2],[2,3]x y ∈∈恒成立，求a 的取值范围”提出了各自解题思路，甲说：“可视x 为变量，y 为常量来分析”，乙说：“寻找x 与y 的关系，再作分析”，丙说：“把字母a 单独放在一边，再作分析”，参考上述说法或自己其他解法，可求出实数a 的取值范围是 ；二. 选择题（本大题共4题，每题3分，共12分）15. 下列说法中，正确的是（ ）A. 任何一个集合必有两个子集B. 若A B =∅，则,A B 中至少有一个为∅C. 任何集合必有一个真子集D. 若S 为全集，且AB S =，则A B S == 16. 已知p 与q 是两个命题，如果p 或q 为假命题，则（ ）A. ,p q 均为真命题B. ,p q 均为假命题C. ,p q 中至少有一个为真命题D. ,p q 中至多有一个为真命题17. 已知,a b 为非零实数，且a b <，则下列命题成立的是（ ）A. 22a b <B. 22a b ab <C. 2211ab a b <D. b a a b<18. 使关于x k ≥有解的实数k 的最大值是（ ）不确定三. 解答题（本大题共5题，共8+8+8+10+12=46分）19. 对于集合,A B ，我们把{(,)|,}a b a A b B ∈∈记为A B ⨯，若{1,0}A =-，{1,2}B =，求A B ⨯，A A ⨯；20. 记关于x 的不等式111a x +<+的解集为P ，不等式|2|4x +<的解集为Q ； （1）若3a =，求P ；（2）若PQ Q =，求实数a 的取值范围；21. 已知：,,,[0,1]a b c d ∈；（1）比较1(1)(1)M a b =--与11N a b =--的大小；（2）比较2(1)(1)(1)(1)M a b c d =----与21N a b c d =----的大小；22. 已知不等式：3||2x x a a -+≥； （1）设不等式的解集是M ，如果2M ∈，求实数a 的取值范围；（2）若实数1a ≥，对任意实数[1,2]x ∈恒成立，求实数a 的取值范围；23. 已知二次函数2()f x ax bx c =++和一次函数()g x bx =-，其中,,a b c 满足a b c >>且0a b c ++=(,,)a b c R ∈；（1）求证：两函数的图像交于不同的两点,A B ；（2）求c a的范围； （3）求线段AB 在x 轴上的射影11A B 的长的取值范围；参考答案1. ④；2. (,0]-∞；3. 7；4. 98a ≤； 5. ①②③；6. 27；7. 22a a a a ->>->；8. (,1)(0.5,)-∞-+∞；9. (0,2)； 10. (5,7)； 11. 1； 12. 3(,1]4；13. [1,2][3,4]（答案不唯一）； 14. 1a ≥-；15. D ； 16. D ； 17. C ； 18. B ；19. {(1,1),(1,2),(0,1),(0,2)}A B ⨯=--，{(1,1),(1,0),(0,1),(0,0)}A A ⨯=----；20.（1）(1,3)P =-；（2）[6,2]a ∈-；21.（1）11M N ≥；（2）22M N ≥；22.（1）116a ≤或52a ≥；（2）35[1,][,)22a ∈+∞；23.（1）略；（2）1(2,)2--；（3）；。
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上海外国语大学附属外国语学校高三（上）期中数学试卷一、填空题（每小题4分，满分56分）1.若（1 -ax）§的展开式中含有0的系数为-80,则实数a二 ______________ .2.一个圆锥的侧面展开图是圆心角为纟兀，半径为18的扇形，则这个圆锥的体积3为___________ .3.护-丄是函数f （x） =ln （e x+l） +ax为偶函数的条件.24.在一个口袋中装有5个白球和3个黑球，这些球除了颜色外完全相同.从中取出3个球,那么这三个球的颜色不完全一样的概率为 _____________ ・5.关于x的不等式］ugg （x_ 1） >1。
吕2 （一2x）的解集为_______________ •函数f （x） =cos2x+sinx在区间［-匹，匹］上的最小值是6.4 47.已知向量护（、/E，1）, b是不平行于x轴的单位向量，且；•亍二近，则b二________8・数列血｝满足％寻，a n+ ~（□€『）‘则5lim （ 8］ + 82+一・ +）= _________________ •n->89.已知m, n为两条不同的直线，a, B为两个不同的平面，给出下列四个命题:①若mua, n〃a,则m〃n.②若m丄a, n〃a,则mln.③若m丄a, m丄B，则a〃|3.④若m〃a, n〃a,则m〃n.其中正确的命题序号是____________ •10.如图，将正方形剪去两个底角为15。
的等腰三角形CDE和CBF,然后沿图中所画的线折成一个正三棱锥，这个正三棱锥侧面与底面所成的二面角的余弦值为.11. 若函数f (x) =ax 2+b|x|+c (UH O)在定义域R 上有四个单调区间，则实数a, b, c 应满 足的条件为 ____________ .12. 函数y=log2 (x? - ax+2)在［2, +^)上恒为正，则实数a 的取值范围是 ________________ . 13. 已知a>0,且aHl, f (x) ・a%,当xG (・1, 1)时均有f (x) <丄，则实数a 的2 取值范围是 .14. 函数y=f (x)的图彖与直线XN , x=b 及x 轴所围成图形的面积称为函数f (x)在［a, b ］上的面积，已知函数y=sinnx 在［0,卫］上的而积为2 (n€『)，则函数y=sin (3x n n 二、选择题.(每小题5分，共20分)15.若函数y=a x - (b+1) (a>0, a^l)的图象在第一、三、四象限，则有()A. a>l 且 b<lB. a>l 且 b>0C. 0<a< 1 且 b>0D. 0<a<l II b<0 16. 设｛如｝是公比为q (qHl),首项为a 的等比数列，Sn 是其前n 项和，则点(Sn ，S”i )()A. 一定在直线y=qx - a _EB. 一定在直线y 二ax+q 上C. 一定在直线y=ax - q 上D. —定在直线y 二qx+a 上17. 在△ABC 中，aco s 2-j+ccos 2y=|b ，则() A. a, b, c 依次成等差数列B. b, a, c 依次成等差数列C. a, c, b 依次成等差数列D. a, b, c 既成等差数列，也成等比数列 18. 若关于x 的不等式x 2+ax - a - 2>0和2x 2+2 (2a+l) x+4a 2+l >0的解集依次为A 和B, 那么使得A=R 和B=R 至少有一个成立的实数a ( )A. 可以是R 屮任何一个数B. 有有限个上的面积为,B-n) +1C.有无穷多个，但不是R中任何一个数都满足D.不存在三、解答题(共74分)19.(理)设庞数z满足z-4=a(其屮a为实数).(1)求忆|;(2)若忆-2|=2,求a的值.20.如图,在正四棱柱ABCD・ A J B I C I D I中,ZBjAB=60o(1)求AiC与平面ABCD所成的角的大小；(2)求异面直线BiC与AiCi所成角的大小.21 •已知函数f (x) =lo g (a_ a x) (0<宫<1)的丿又函数为f 1 (x)°a(1)判断f (x)的单调性并证明；(2)解关于x的不等式厂1 (X2-2) <f (x).22.白然状态下的鱼类是一种可再生资源，为了持续利用这一资源，需从宏观上考察其再生能力及捕捞强度对鱼群总量的影响.用xn表示某鱼群在第n年年初的总竝且x)>0.不考虑其他因素，设在第n年内鱼群的繁殖量及捕捞量都与xn成正比，死亡量与X：成正比，这些比例系数依次为正常数a, b, c(1)求Xn+l与Xn的关系式(2)若每年年初鱼群的总蚩保持不变，求X], a, b, c所应满足的条件(3)设a=2, c=l,为保证对任意X|G (0, 2),都有x n>0,则捕捞强度b的最大允许值是多少？并说明理由.23.已知集合M是具有下列性质的函数f (x)的全体：存在实数对(a, b),使得f (a+x) •f (a - x)二b 对定义域内任意实数x都成立(1)判断函数打(x)二x, f2 (x)二3*是否属于集合M(2)若函数f (x)二U具有反函数fJ (x),是否存在相同的实数对(a, b),使得f1+x(x)与f-' (x)同吋属于集合M?若存在，求出相应的a, b, t；若不存在，说明理由.(3)若定义域为R的函数f (x)属于集合M,且存在满足有序实数对(0, 1)和(1, 4)；当xG[0, 1]时,f (x)的值域为[1, 2],求当xe[-2016, 2016]时函数f (x)的值域.上海外国语大学附属外国语学校高三（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（每小题4分，满分56分）1.若（1・ax）5的展开式中含有J的系数为・80,则实数a二2・【考点】二项式定理的应用.【专题】转化思想；综合法；二项式定理.【分析】在二项展开式的通项公式屮，令x的幕指数等于3,求出r的值，即可求得J的系数，再根据J的系数等于・80,求得实数a的值.【解答】解：（1・ax） 5的展开式的通项公式为T r+1=C^ （・a）r*x r,令r=3,可得它的展开式中含有x3的系数为10・（- a3） =- 80,求得实数沪2,故答案为：2.【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题.2.一个圆锥的侧面展开图是圆心角为巴兀，半径为18的扇形，则这个圆锥的体积为3 —288^5 兀【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）；棱柱、棱锥、棱台的体积.【专题】计算题；函数思想；空间位置关系与距离.【分析】利用圆锥的侧面展开图川扇形的弧反等于圆锥底面的周长可得底面半径，进而求出圆锥的高，代入圆锥体积公式，可得答案.【解答】解：设此圆锥的底面半径为「，由题意，得42nr=—兀x 18,3解得r=12.故圆锥的高h=J ] g 2 一12 ，・・・圆锥的体积V二丄亦11二28&后3故答案为：288^5^.【点评】本题考查了圆锥的计算，圆锥的侧面展开图是一个扇形，此扇形的弧长等于圆锥底血的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长.本题就是把扇形的弧长等于圆锥底面周长作为相等关系，列方程求解.3.尹送是函数f⑴=m宀）+心偶函数的工^条件.【考点】函数奇偶性的性质.【专题】转化思想；定义法；函数的性质及应用.【分析】根据函数奇偶性的定义建立方程关系求出a的值，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可.【解答】解:若f (x) =ln (e x+l) +ax为偶函数，则f ( - x) =f (x),即In (e X+1) - ax=ln (『+1) +ax,即In (—^+1) - In (e x4-1) =2ax,e x1, x即In (—~~ ) - In (e x+l) =2ax,e x即In (e x4-1) - lne x - In (e x+l) =2ax,即・x=2ax,即2a= - 1,则s二一丄，2即&二-丄是函数f (x) =ln (e x+l) +ax为偶函数的充要条件，2故答案为：充要.【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据函数奇偶性的定义建立方程关系求出a是解决本题的关键.4.在一个口袋中装有5个白球和3个黑球，这些球除了颜色外完全相同.从中取出3个球, 那么这三个球的颜色不完全一样的概率为坐•_56—【考点】古典概型及其概率计算公式.【专题】集合思想；数学模型法；概率与统计.【分析】由排列组合的知识可得总的取法种数和颜色完全一样的取法种数，由概率公式可得. 【解答】解：从5个白球和3个黑球中任取3个共c沪56种取法，其中三个球的颜色完全一样的有C3+C3=n种方法，故所求概率P-56- 11-45,56 56故答案为：坐.56【点评】本题考查古典概型及其概率公式，属基础题.5.关于x的不等式log? (x2-l) >log2 ( -2x)的解集为(5,一1 -近」【考点】指、对数不等式的解法.【专题】计算题；函数思想；转化思想；数学模型法；不等式的解法及应用.【分析】由对数函数的性质化对数不等式为一元二次不等式组求解.【解答】解：由iog2 (x2-l) >lo g2 ( - 2x)，得1 x2_1>~2x ,解 w x< - 1 - V2.［-2x>0・••不等式log 2 (x 2-l) >log 2 (-2x)的解集为(1一血). 故答案为：(■ 8, - 1 _ V2).【点评】本题考查对数不等式的解法，考查了对数函数的性质，是基础题.6. 函数f (x)二cos^+sinx 在区间［-号，号］上的最小值是_三返_・【考点】三角函数的最值.【专题】三角函数的求值.【分析】化余眩为正眩，然后令sinx=t 换元，利用x 的范围求得t 的范围，配方后求得函数 最小值.【解答】解：f (x) =cos 2x+sinx= - sin 2x+sinx+l.令 sinx=t,2【点评】本题考查三角函数最值的求法，考查了利用换元法求二次函数的最值，是基础题. 7. 己知向量；二(1),乙是不平行于x 轴的单位向量，且二典，贝Ub 二—【考点】平而向量数量积的运算.【专题】计算题.【分析】利用列方程，解11!向量的坐标【解答】解；设& (x, y)，则由b 是不平行于x 轴的单位向量得到寸/ + /二1① 又；応二価得到価时尸后② 由①②解出x 豊，y 呼故答案为(2,並)2 2【点评】本题考查数量积计算和单位向量概念，另外还考查学生的解方程的能力.•••x€ ［-晋，晋］,.ginx 曰-爭，爭’8・数列｛a*｝满足 8[誌'a n +a n+l~ n+1（□€『）‘则 liin （哲 + 乜+…+ %）=— 1— • 4—【考点】数列的极限.【专题】计算题；极限思想；综合法；等差数列与等比数列.【分析】可以判断出数列｛a n +a n+I ｝是以2为首先，丄为公比的等比数列，从而可以由等比52数列的前n 项和公式求该数列的前n 项和，52 + a n+1） -]= lim ---------------- 1 ------ ‘ 而 n 1 1 nf 8 1 一丄8] + 8?+…+ ）二lim （幻+ *2+…+ ^n+i ），这样便可求出【解答】解：根据条件，m + s 二1 ' 52- 丄 / 1 \ n-1・・0+%+1二孕(R ；・•・数列｛an+an+1｝是以G 为首先，丄为公比的等比数列；525 liin [ （&1 + &2）+（乜+乜）+…+（ a n +a n+l 〕= nf 8lim [aj+2 （^2+83+…+%）+a n+1J L 8=lim [ （&] + &2+…+%）+（&1 + &2+…+s ）一 a i n+1=2 lim （ 8] + 8?+…+ 务）-~r n —8 b 4（i -丄） 52 5n 3 =11ID' nf 00 lim 00故答案为：丄. 4【点评】考查等比数列的通项公式，等比数列的前n 项和公式，以及数列极限的概念及其计 算，清楚lim ( aj + a 尹■■ + %)二lim (a l + a 2+"，+a n+l 是本题求解的关键• 〜 n —8 〜5 从而可以得到 lim [（且]+ 且2+一・ + 且11） + ^a j +a 2 + liin nf 00liin nf 8 &1 + &2+…+%）• ! 1 一 10；1_5（ai + a 2+-+a n ）呼9.已知m, n为两条不同的直线，a, B为两个不同的平面，给出下列四个命题：①若mua, n〃a,则m〃n.②若m丄a, n〃a,则mln.③若m丄a, m丄|3,则a〃（3.④若m〃a, n〃a,则m〃n・其中正确的命题序号是②③・【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断.【专题】对应思想；综合法；空间位置关系与距离.【分析】mua, n〃a,则m〃n或m与n是异面直线；若m丄a,则m垂直于a中所有的直线，n〃a,则n平行于a屮的一条直线1,故m丄1, m丄n；若m丄a, m丄卩，则a〃B； m〃a, n〃a,则m〃n,或m, n相交，或m, n异面.【解答】解：mua, n〃a,则m〃ri或m与n是异面直线，故①不正确；若m丄a,则m垂直于a中所有的直线，n〃a,则n平行于a中的一条直线1,.•.m丄1,故m丄n.故②正确；若m丄a, m丄B，则a〃卩.这是直线和平而垂直的一个性质定理，故③成立；m〃a, n〃a,则m〃n,或m, n相交，或m, n异面.故④不正确，综上可知②③正确，故答案为：②③.【点评】本题考查空间中直线与平面之间的关系，包含两条直线和两个平面，这种题冃需要认真分析，考虑条件中所给的容易忽略的知识，是一个基础题.10.如图，将正方形剪去两个底角为15。
上海市高一第一学期期中考试数学试卷含答案(共3套)
上海市高一上学期数学期中考试试卷一、单选题1.如图，为全集，、、是的三个子集，则阴影部分所表示的集合是（）A. B. C . D.【答案】C【考点】交、并、补集的混合运算【解析】【解答】图中的阴影部分是：M∩P的子集，不属于集合S，属于集合S的补集即是C I S的子集则阴影部分所表示的集合是（M∩P）∩∁I S故答案为：C．【分析】根据集合的运算结合韦恩图，即可确定阴影部分所表示的集合.2.下列各组函数中，表示同一函数的是（）A. 与B. 与C. 与D. （）与（）【答案】D【考点】判断两个函数是否为同一函数【解析】【解答】对于A选项，，f（x）的定义域为R，g（x）的定义域为[0，+∞），∴不是同一函数；对于B选项的定义域为的定义域为∴不是同一函数；对于C选项，f（0）=-1，g（0）=1，f（0）≠g（0），∴不是同一函数．对于B选项，f（x）的定义域为，g（x）的定义域为，且且两函数解析式化简后为同一解析式，∴是同一函数.故答案为：D.【分析】判断两个函数是否表示同一个，看定义域和对应关系是否相同即可.3.已知，则“ ”是“ ”的（）A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分又非必要条件【答案】A【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【解析】【解答】由题意可知：a，b∈R+，若“a2+b2＜1”则a2+2ab+b2＜1+2ab+a2•b2，∴（a+b）2＜（1+ab）2∴ab+1＞a+b．若ab+1＞a+b，当a=b=2时，ab+1＞a+b成立，但a2+b2＜1不成立．综上可知：“a2+b2＜1”是“ab+1＞a+b”的充分不必要条件．故答案为：A．【分析】根据不等式的性质，结合充分、必要条件的概念进行判断即可.4.汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行使的里程，下图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下得燃油效率情况，下列叙述中正确的是（）A. 消耗1升汽油，乙车最多可行使5千米B. 以相同速度行使相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多C. 甲车以80千米/小时的速度行使1小时，消耗10升汽油D. 某城市机动车最高限速80千米/小时，相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油【答案】D【考点】函数的图象【解析】【解答】对于A，消耗升汽油，乙车行驶的距离比千米小得多，故错；对于B, 以相同速度行驶相同路程，三辆车中甲车消耗汽油最少，故错；对于C, 甲车以千米/小时的速度行驶小时，消耗升汽油, 故错；对于D,车速低于千米/小时，丙的燃油效率高于乙的燃油效率，用丙车比用乙车量多省油，故对.故答案为：D.【分析】根据图象的实际意义，对选项逐一判断即可.二、填空题5.函数的定义域为________【答案】【考点】函数的定义域及其求法【解析】【解答】由题意得，即定义域为【分析】要使函数有意义，应满足分式的分母不为0，偶次根式被开方数非负，解不等式组即可求出函数的定义域.6.已知集合，，则________【答案】【考点】交集及其运算【解析】【解答】由题集合集合故.故答案为.【分析】通过求函数的定义域求出集合A，通过求二次函数的值域求出集合B，根据交集的含义求出相应的集合即可.7.不等式的解集是________【答案】【考点】其他不等式的解法【解析】【解答】不等式，则故答案为.【分析】通过作差，将分式不等式转化为整式不等式，解相应的一元二次不等式即可求不相应的解集. 8.“若且，则”的否命题是________【答案】若或，则【考点】四种命题【解析】【解答】“若且，则”的否命题是“若或，则”.即答案为：若或，则【分析】将原命题的条件和结论都进行否定，即可得到否命题.9.已知，则的取值范围是________【答案】【考点】简单线性规划【解析】【解答】作出所对应的可行域，即（如图阴影），目标函数z=a-b可化为b=a-z，可看作斜率为1的直线，平移直线可知，当直线经过点A（1，-1）时，z取最小值-2，当直线经过点O（0，0）时，z取最大值0，∴a-b的取值范围是，故答案为：．【分析】作出可行域及目标函数相应的直线，平移直线即可求出相应的取值范围.10.若，，且，则的取值范围是_________【答案】【考点】集合关系中的参数取值问题【解析】【解答】由题，，且，当时，，则；当时，，则可得故的取值范围是.【分析】通过解绝对值不等式表示出集合A，将集合之间的关系转化为区间端点值的大小比较，即可求出实数a的取值范围.11.若关于的不等式的解集是，则实数的取值范围是________ 【答案】【考点】不等式的综合【解析】【解答】略【分析】对二次项系数的取值分类讨论，当系数为0时，求出a值，直接验证符合题意；当二次项系数不为0时，开口向下，判别式小于0，解不等式组即可求出实数a的取值范围.12.若函数，则________【答案】【考点】函数解析式的求解及常用方法【解析】【解答】设,则则即即答案为.【分析】采用换元法，求出函数f（x）的表达式，代入即可求出f（2x+1）.13.若关于的不等式在上恒成立，则实数的最小值是__【答案】【考点】基本不等式在最值问题中的应用【解析】【解答】∵关于的不等式在上恒成立，∴，∵x＞，∴，当且仅当，即时取等号，∴，∴，解得，，∴实数a的最小值为．故答案为．【分析】将不等式恒成立问题进行转化，结合基本不等式求出相应式子的最值，即可求出实数a的最小值.14.已知函数，（），若不存在实数使得和同时成立，则的取值范围是________【答案】【考点】其他不等式的解法【解析】【解答】由f（x）＞1，得＞1，化简整理得，解得即的解集为A={x|-2＜x＜-1或2＜x＜3}．由g（x）＜0得x2-3ax+2a2＜0，即（x-a）（x-2a）＜0，g（x）＜0的解集为B={x|2a＜x＜a，a＜0}．由题意A∩B=∅，因此a≤-2或-1≤2a＜0，A的取值范围是{a|a≤-2或- ≤a＜0}．即答案为.【分析】分别解相应的不等式，结合不等式的解集即可确定实数a的取值范围.15.当时，可以得到不等式，，，由此可以推广为，则________【答案】【考点】归纳推理【解析】【解答】∵x∈R+时可得到不等式，∴在p位置出现的数恰好是分母的指数的指数次方即答案为.【分析】根据已知式子归纳猜想，得到相应的关系即可确定P.16.已知数集（，）具有性质：对任意、（），与两数中至少有一个属于集合，现给出以下四个命题：①数集具有性质；②数集具有性质；③若数集具有性质，则；④若数集（）具有性质，则；其中真命题有________（填写序号）【答案】②③④【考点】元素与集合关系的判断【解析】【解答】①数集中，，故数集不具有性质；②数集满足对任意、（），与两数中至少有一个属于集合，故数集具有性质；③若数列A具有性质P，则a n+a n=2a n与a n-a n=0两数中至少有一个是该数列中的一项，∵0≤a1＜a2＜…＜a n，n≥3，而2a n不是该数列中的项，∴0是该数列中的项，∴a1=0；故③正确；④当 n=5时，取j=5，当i≥2时，a i+a5＞a5，由A具有性质P，a5-a i∈A，又i=1时，a5-a1∈A，∴a5-a i∈A，i=1，2，3，4，5∵0=a1＜a2＜a3＜a4＜a5，∴a5-a1＞a5-a2＞a5-a3＞a5-a4＞a5-a5=0，则a5-a1=a5， a5-a2=a4， a5-a3=a3，从而可得a2+a4=a5， a5=2a3， A2+a4=2a3，即答案为②③④.【分析】根据集合中元素的特点，结合集合中元素的互异性，逐一判断即可确定真命题个数.三、解答题17.设集合，集合.（1）若“ ”是“ ”的必要条件，求实数的取值范围；（2）若中只有一个整数，求实数的取值范围.【答案】（1）解：若“ ”是“ ”，则B⊆A，∵A={x|-1≤x≤2}，①当时，B={x|2m ＜x＜1}，此时-1≤2m＜1⇒；②当时，B=∅，有B⊆A成立；③当时B=∅，有B⊆A成立；；综上所述，所求m的取值范围是（2）解：∵A={x|-1≤x≤2}，∴∁R A={x|x＜-1或x＞2}，①当时，B={x|2m＜x＜1}，若∁R A∩B中只有一个整数，则-3≤2m＜-2，得②当m当时，不符合题意；③当时，不符合题意；综上知，m的取值范围是-【考点】集合关系中的参数取值问题【解析】【分析】（1）根据必要条件的概念，将集合的关系转化为端点值比较大小，即可求出实数m的取值范围；（2）根据交集、补集的概念，结合区间端点值的大小关系，即可求出实数m的取值范围.18.若“ ，求证：”除了用比较法证明外，还可以有如下证法：（当且仅当时等号成立），学习以上解题过程，尝试解决下列问题：（1）证明：若，，，则，并指出等号成立的条件；（2）试将上述不等式推广到（）个正数、、、、的情形，并证明. 【答案】（1）解：，∴，当且仅当时等号成立（2）解：故.当且仅当时等号成立【考点】归纳推理，类比推理【解析】【分析】（1）根据题干中证法及不等式的性质，结合基本不等式，即可证明相应的不等式成立；（2）根据具体例子，归纳推广即可证明相应的不等式.19.某公司有价值10万元的一条流水线，要提高该流水线的生产能力，就要对其进行技术改造，改造就需要投入，相应就要提高产品附加值，假设附加值万元与技术改造投入万元之间的关系满足：①与和的乘积成正比；②当时，；③，其中为常数，且.（1）设，求出的表达式，并求出的定义域；（2）求出附加值的最大值，并求出此时的技术改造投入的的值.【答案】（1）解：设，当时，可得k=4，∴∴定义域为，t为常数，（2）解：因为定义域中函数在上单调递减，故.【考点】函数解析式的求解及常用方法，二次函数的性质【解析】【分析】（1）根据题意，采用待定系数法，设出表达式，求出相应的系数，即可得到f（x）机器定义域；（2）采用配方法，结合二次函数的单调性，求出函数的最大值即可.20.设数集由实数构成，且满足：若（且），则.（1）若，试证明中还有另外两个元素；（2）集合是否为双元素集合，并说明理由；（3）若中元素个数不超过8个，所有元素的和为，且中有一个元素的平方等于所有元素的积，求集合.【答案】（1）证明：若x∈A，则又∵2∈A，∴∵-1∈A，∴∴A中另外两个元素为，（2）解：，，，且，，，故集合中至少有3个元素，∴不是双元素集合（3）解：由，，可得，所有元素积为1，∴，、、，∴.【考点】元素与集合关系的判断【解析】【分析】（1）将x=2代入，即可求出集合A中的另外两个元素；（2）根据集合中元素的特点，确定集合A中至少有三个元素；（3）设出集合中相应的元素，结合元素之和，即可求出集合A.21.已知，设，，（，为常数）.（1）求的最小值及相应的的值；（2）设，若，求的取值范围；（3）若对任意，以、、为三边长总能构成三角形，求的取值范围.【答案】（1）解：。
2014-2015学年上海市复旦大学附属中学高一上学期期中考试数学试卷含详解
复旦大学附属中学2014学年第一学期高一年级数学期中考试试卷一、填空：(每题4分，共44分)1.用列举法表示集合*6,5A aN a Z a ⎧⎫=∈∈=⎨⎬-⎩⎭__________．2.命题“若21x =，则1x =”的否命题为__________．3.函数y =__________．4.已知集合1,2,3,4A ＝｛｝、1,2B ＝｛｝,满足A C B C ⋂=⋃的集合C 有___个5.已知,x y R +∈，且41x y +=，则x y ⋅的最大值为_____6.已知集合{()()(){}3,12340P x x Q x x x x =-≥=+-->，则P Q = __________．7.若不等式2(2)2(2)40a x a x -+--<对一切x ∈R 成立，则a 的取值范围是__.8.已知关于x 的不等式20ax bx c ++<的解集是1|22x x x ⎧⎫<->-⎨⎬⎩⎭或，则不等式20cx bx a -+>的解集为_________9.在整数集Z 中，被5除所得余数为k 的所有整数组成一个“类”，记为[]k ，即[]{}5,0,1,2,3,4k n k n Z k =+∈=.给出如下四个结论：①[]20111∈，②[]33-∈，③[][][][][]01234Z = ，④整数,a b 属于同一类的充要条件是[]0a b -∈.其中正确的个数是___________10.某物流公司计划在其停车库附近租地建仓库，已知每月土地占用费P (万元)与仓库到停车库的距离x (公里)成反比，而每月库存货物的运费K (万元)与仓库到停车库的距离x (公里)成正比.如果在距停车库18公里处建仓库，这两项费用P 和K 分别为4万元和144万元，那么要使这两项费用之和最小，仓库到停车库的距离x =________公里.11.设a ∈R ，若x ＞0时均有[(a －1)x －1](x 2－ax －1)≥0，则a ＝__________．二、选择题：(每题4分，共16分)12.三国时期赵爽在《勾股方圆图注》中，对勾股定理的证明可用现代数学表述为如下图所示，我们教材中利用该图作为几何解释的是（）.A.如果a b >，b c >，那么a c> B.如果0a b >>，那么22a b >C.对任意实数a 和b ，有222a b ab +≥，当且仅当a b =时等号成立 D.如果a b >，0c >那么ac bc>13.设x 取实数，则()f x 与()g x 表示同一个函数的是（）A.()(),f x x g x == B.()()()22,xf xg x x==C.()()()01,1f x g x x ==- D.()()29,33x f x g x x x -==-+14.123{3x x >>是12126{9x x x x +>>成立的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.即不充分也不必要条件15.在关于x 的方程()22401160x ax x a x -+=+-+=，和223100x ax a +++=中，已知至少有一个方程有实数根，则实数a 的取值范围是（）A.44a -≤≤B.97a a ≥≤-或C.24a a ≤-≥或 D.24a -<<三、解答题16.解方程：212324x x +-=17.若关于x 的不等式：21241(0)x x k k k +-≥+≠（1）解此不等式；（2）若21242{|1}x x x k k+-∈≥+，求实数k 的取值范围.18.已知，其中(){}22112,2103x P x Q x x x m ⎧⎫-=-≤=-+-≤⎨⎬⎩⎭，其中全集U =R ，若U x C P ∈是U x C Q ∈的必要而不充分条件，求实数m 的取值范围.19.现有A B C D 、、、四个长方体容器，AB 、的底面积均为2x ，高分别为,x y ；CD 、的底面积均为2y ，高也分别为x y 、(其中x y ≠)，现规定一种两人的游戏规则：每人从四种容器中取两个盛水，盛水多者为胜.问先取者在未能确定x 与y 大小的情况下有没有必胜的方案？若有的话，有几种？20.定义实数,a b 间的计算法∆则如下：2,,a a ba b b a b≥⎧∆=⎨<⎩（1）计算()231∆∆（2）对x z y <<的任意实数,,x y z ，判断等式()()x y z x y z ∆∆=∆∆是否恒成立，并说明理由：（3）写出函数()()12y x x x =∆∆-∆的解析式，其中22x -≤≤并求其值域.21.已知,,a b c ∈R ，满足a b c >>.（1）求证：1110a b b c c a++>---；（2）现推广：把1c a -的分子改为另一个大于1的正整数p ，使110p a b b c c a++>---对任意a b c >>恒成立，试写出一个p ，并证明之；（3）现换个角度推广：正整数m n P 、、满足什么条件时，不等式0m n pa b b c c a++>---对任意a b c >>恒成立，试写出条件并证明之.复旦大学附属中学2014学年第一学期高一年级数学期中考试试卷一、填空：(每题4分，共44分)1.用列举法表示集合*6,5A a N a Z a ⎧⎫=∈∈=⎨⎬-⎩⎭__________．【答案】{}1,2,3,4-【分析】对整数a 取值，并使65a-为正整数，这样即可找到所有满足条件的a 值，从而用列举法表示出集合A ．【详解】因为a Z ∈且*65N a∈-所以a 可以取1-，2，3，4.所以{}1,2,3,4A =-故答案为：{}1,2,3,4-【点睛】考查描述法、列举法表示集合的定义，清楚Z 表示整数集，属于基础题.2.命题“若21x =，则1x =”的否命题为__________．【答案】若21x ≠，则1x ≠【详解】根据逆否命题的写法：既否条件又否结论，原命题的否命题为若21x ≠，则1x ≠.故答案为若21x ≠，则1x ≠.3.函数y =【答案】[)(]2,11,2- 【分析】函数的定义域满足被开方数非负和分母不为0得到不等式组，从而可得函数的定义域.【详解】函数y =2010x x ⎧-≥⎨-≠⎩，解得22x -≤≤且1x ≠所以函数y =[)(]2,11,2-故答案为：[)(]2,11,2- 【点睛】本题考查具体函数的定义域，属于基础题.4.已知集合1,2,3,4A ＝｛｝、1,2B ＝｛｝,满足A C B C ⋂=⋃的集合C 有___个【答案】4由条件A C B C ⋂=⋃可知：B B C A C C B C A C A ⊆⋃=⋂⊆⊆⋃⊆⋂⊆（）（）（）（），则符合条件的集合C 的个数即为集合{3}4，的子集的个数，共4个．5.已知,x y R +∈，且41x y +=，则x y ⋅的最大值为_____【答案】116211414()44216x y xy x y +=⋅≤=，当且仅当x=4y=12时取等号.6.已知集合{()()(){}3,12340P x x Q x x x x =-≥=+-->，则P Q = __________．【答案】31,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭【分析】先求出不等式3x -≥的解集即为集合P ，根据数轴标根法求出()()()12340x x x +-->的解集，即求出集合Q ，由交集的运算求出P Q .【详解】由3x -≥()2103031x x x x ⎧-≥⎪⎪-≥⎨⎪-≥-⎪⎩，解得：12x ≤≤，即[]1,2P =.用数轴标根法解()()()12340x x x +-->得312x -<<或4x >.()31,4,2Q ⎛⎫=-+∞ ⎪⎝⎭ 。
最新上大附中 高一上期中考
2015学年高一第一学期上大附中期中考试试卷2015.11.24Section ADirections: After reading the passages below, fill in the blanks to make the passages coherent and grammatically correct. For the blanks with a given word, fill in each blank with the proper form of the given word; for the other blanks, use one word that best fits each blank.(A)Soon after her arrival, Mary learns about a secret garden that 21 (lock) away for 10 years. She becomes fascinated with the idea of the garden and determines to find it, and eventually she locates it and goes inside. It seems 22 (abandon), but she finds a few sprigs of new growth and begins tending to them 23 she knows nothing about gardening. Mary questions Ben, a gardener about the garden, but he makes it clear that it 24 (not discuss). She learns that the garden belonged to the late Mrs Craven and her husband ordered that it be locked away after her death because it caused him too much pain. Mary also befriends Dickon Snowerby, the brother of her housemaid Martha, 25 is a great lover of nature and beloved by every living thing, including every animal he meets, and he begins to help Mary tend the garden.26 spring comes, the garden begins to thrive along with the health of Colin and Mary. Soon Colin is able to stand and walk, but the children keep this a secret 27 he wants to surprise his father. When Mr Craven returns to Misselthwaite, he is surprised to find that the garden has been discovered and is now thriving again and thrilled that his son, whom he has come to regret neglecting all these years, has now been made strong and healthy through his connection with nature and the power of love that comes from the secret garden.（B）A successful person is thought by many 28 (be) a person that makes large amount ofmoney and lives in a very nice house in a wealthy neighborhood. But what is mentioned often enough 29 it comes to success is happiness.More doesn't necessarily mean that it will be 30 (good) for a person. But that is how people in many nations 31 (raise) to think. They are taught from a young age 32 they should have whatever their friends or neighbors have. And it is 33 makes these people bitter and unhappy.People in the US earn high salaries, but they are not happy because the long-hour work puts lots of stress 34 them and they even have to sit in traffic one hour each way to get to and back home from work. However, Mexicans are much happier even though they are not as rich as Americans. They know how 35 (live) a life at a slower pace and they take the time to appreciate what is around them.Having money doesn't necessarily mean that you are successful or happy. Happiness is the greatest success.21.【正】：has been locked【析】：for 10 years 用于现在完成时，主语是garden，与lock形成被动关系22.【正】：to be abandoned【析】：seem to do sth，it 与abandon形成被动关系23.【正】：even if【析】：tend 表示照顾，根据句子翻译即可得知24.【正】：will not be discussed【析】：根据句子翻译，另外，it与discuss形成被动关系25.【正】：who【析】：定语从句，先行词是人，在句中充当主语，用关系代词who26.【正】：as【析】：as 表示随着27.【正】：because【析】：根据句子翻译即可得知是因果关系28.【正】：to be【析】：be thought to be29.【正】：when【析】：when it comes to当提到...30.【正】：better【析】：主语使用了比较级31.【正】：are raised【析】：raise 是及物动词，缺少宾语的情况下要使用被动语态32.【正】：that【析】：宾语从句33.【正】：what【析】：表语从句缺少主语，用what34.【正】：on【析】：固定搭配put stress on35.【正】：to live【析】：特殊疑问词+动词不定式Section BDirections: Complete the following passage by using the words in the box. Each word can only be used once. Note that there is one word more than you need.Aristotle famously said, “ We are what we repeatedly do . Excellence ,then ,is not an act ,but a habit.“ success rarely comes from a single sweeping change but from the accumulation of small actions over time . So _36__ your daily habits is a good strategy that anyone , at any level , can employ. Here are several habits that would make a great __37___.1.Write down goals regard yourselfIt may seem simple to ___38___ a few goals for yourself , but it’s not enough simply write down the goals. Post your goal where you can see it .For instance , add it to the desktop of your computer. Every time you __39__ something , it is important to give yourself a reward for your hard work and efforts .You will become fulfilled enough to keep yourself motivated , ___40____ if there is no one else motivating you .2.Make To-Do list and set __41___Write down a list of things you need to do every morning .Crossing out each task as you finish it will give you a sense of accomplishment. A to- do list itself is good enough , but a deadline _42___ people to complete tasksmore productively . While making your to- do list , you’d better write down the estimated time you need to finish the project. Then you will always know what you should be working on .3.Keep a Diary and MeditateA diary entry at night can help you not only remember what has happened to you on a specific day ,but also take down useful information you ‘ve learned .After that , give yourself a fifteen minutes’ break to ___43___ your mind . It’s been proven that regular meditat ion improves intelligence , _____44____ health , creativity and medical flexibility .Hopefully ,you take the time to form these habits in your life . The chances are that you will see a __45___ change in your life with these habits .Keys：D F I B K E J C A G【析】：这是一篇讲述如何使个人变成优秀的建议，文章开头引用亚里士多德的名言引入，然后分三个小点分别概数。
上海市复旦大学附属中学2014-2015学年高一上学期期中数学试题(带答案解析)
上海市复旦大学附属中学2014-2015学年高一上学期期中考试-数学试题第I 卷（选择题)一、单选题1．三国时期赵爽在《勾股方圆图注》中，对勾股定理的证明可用现代数学表述为如下图所示，我们教材中利用该图作为几何解释的是（ ）.A ．如果a b >，b c >，那么a c >B ．如果0a b >>，那么22a b >C ．对任意实数a 和b ，有222a b ab +≥，当且仅当a b =时等号成立D ．如果a b >，0c >那么ac bc>2．设x 取实数，则()f x 与()g x 表示同一个函数的是（）A ．()(),f x x g x =B ．()()()22,xf xg x x==C ．()()()01,1f x g x x ==- D ．()()29,33x f x g x x x -==-+3．123{3x x >>是12126{9x x x x +>>成立的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．即不充分也不必要条件4．在关于x 的方程()22401160x ax x a x -+=+-+=，和223100x ax a +++=中，已知至少有一个方程有实数根，则实数a 的取值范围是（ ） A ．44a -≤≤B ．97a a ≥≤-或C ．24a a ≤-≥或D ．24a -<<第II 卷（非选择题)二、填空题5．用列举法表示集合*6,5A aN a Z a ⎧⎫=∈∈=⎨⎬-⎩⎭__________．6．命题“若21x =，则1x =”的否命题为__________．7．函数y =__________．8．已知集合1,2,3,4A ＝｛｝ 、1,2B ＝｛｝ ,满足A C B C ⋂=⋃ 的集合C 有___个9．已知,x y R +∈，且41x y +=，则x y ⋅的最大值为_____10．已知集合{()()(){}3,12340P x x Q x x x x =-≥=+-->，则P Q =I __________．11．若不等式2(2)2(2)40a x a x -+--<对一切x ∈R 成立，则a 的取值范围是 _ _ .12．已知关于x 的不等式20ax bx c ++<的解集是1|22x x x ⎧⎫<->-⎨⎬⎩⎭或，则不等式20cx bx a -+>的解集为_________13．在整数集Z 中，被5除所得余数为k 的所有整数组成一个“类”，记为[]k ，即[]{}5,0,1,2,3,4k n k n Z k =+∈=.给出如下四个结论：①[]20111∈， ②[]33-∈，③[][][][][]01234Z =U U U U ，④整数,a b 属于同一类的充要条件是[]0a b -∈. 其中正确的个数是___________14．某物流公司计划在其停车库附近租地建仓库，已知每月土地占用费P (万元)与仓库到停车库的距离x (公里)成反比，而每月库存货物的运费K (万元)与仓库到停车库的距离x (公里)成正比.如果在距停车库18公里处建仓库，这两项费用P 和K 分别为4万元和144万元，那么要使这两项费用之和最小，仓库到停车库的距离x = ________ 公里. 15．设a ∈R ，若x ＞0时均有[(a －1)x －1]( x 2－ax －1)≥0，则a ＝__________．三、解答题16．解方程：212324x x +-= 17．若关于x 的不等式：21241(0)x x k k k+-≥+≠ （1）解此不等式； （2）若21242{|1}x x x k k+-∈≥+，求实数k 的取值范围. 18．已知，其中(){}22112,2103x P x Q x x x m ⎧⎫-=-≤=-+-≤⎨⎬⎩⎭，其中全集U =R ，若U x C P ∈是U x C Q ∈的必要而不充分条件，求实数m 的取值范围.19．现有A B C D 、、、四个长方体容器，A B 、的底面积均为2x ，高分别为,x y ；C D 、的底面积均为2y ，高也分别为x y 、 (其中x y ≠)，现规定一种两人的游戏规则：每人从四种容器中取两个盛水，盛水多者为胜.问先取者在未能确定x 与y 大小的情况下有没有必胜的方案？若有的话，有几种？20．定义实数,a b 间的计算法∆则如下：2,,a a ba b b a b≥⎧∆=⎨<⎩ （1）计算()231∆∆（2）对x z y <<的任意实数,,x y z ，判断等式()()x y z x y z ∆∆=∆∆是否恒成立，并说明理由：（3）写出函数()()12y x x x =∆∆-∆的解析式，其中22x -≤≤并求其值域. 21．已知,,a b c ∈R ，满足a b c >>.（1）求证：1110a b b c c a++>---； （2）现推广：把1c a -的分子改为另一个大于1的正整数p ，使110pa b b c c a++>---对任意a b c >>恒成立，试写出一个p ，并证明之；（3）现换个角度推广：正整数m n P 、、满足什么条件时，不等式0m n pa b b c c a++>---对任意a b c >>恒成立，试写出条件并证明之.参考答案1．C 【解析】 【分析】将赵爽弦图中的直角三角形的两直角边长度取作,a b ，分别求出正方形的面积，以及四个直角三角形的面积，即可得出结果. 【详解】将赵爽弦图中的直角三角形的两直角边长度取作,a b ，斜边为222()c c a b =+， 则外围的正方形的面积为2c ，即22a b +； 四个阴影部分面积之和刚好为2ab ，对任意的正实数a 和b ，有222a b ab +≥，当且仅当a b =时等号成立. 故选：C. 【点睛】本题主要考查基本不等式的推导，熟记基本不等式即可，属于常考题型. 2．B 【解析】 【分析】()f x 与()g x 表示同一个函数，则函数的定义域、对应法则、值域都相同，对选项进行逐一分析,得到答案. 【详解】A. ()g x x ==表达式与()f x x =不同，所以不是同一函数，A 不正确.B ．()()1f x g x ==()0x >,()(),f x g x 的定义域、对应法则、值域都相同，所以表示同一函数，正确.C. ()()01g x x =-的定义域为{}|,1x x R x ∈≠且，()1f x =的定义域为R ，定义域不同，所以不是同一函数，C 不正确.D.()293x f x x -=+ 的定义域为{}|,3x x R x ∈≠-且，()3g x x =-的定义域为R ，定义域不同，所以不是同一函数，D 不正确. 故选：B 【点睛】本题考查同一函数的判断，属于基础题. 3．A 【解析】 试题分析：因为123{3x x >>12126{9x x x x +>⇒>，所以充分性成立；1213{1x x ==满足12126{9x x x x +>>，但不满足123{3x x >>，必要性不成立，所以选A.考点：充要关系【名师点睛】充分、必要条件的三种判断方法．1．定义法：直接判断“若p 则q”、“若q 则p”的真假．并注意和图示相结合，例如“p ⇒q”为真，则p 是q 的充分条件．2．等价法：利用p ⇒q 与非q ⇒非p ，q ⇒p 与非p ⇒非q ，p ⇔q 与非q ⇔非p 的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．3．集合法：若A ⊆B ，则A 是B 的充分条件或B 是A 的必要条件；若A ＝B ，则A 是B 的充要条件． 4．C 【解析】 【分析】可以采用补集思想．三个判别式均小于0的条件下取交集后再取补集即可． 【详解】若方程()22401160x ax x a x -+=+-+=，和223100x ax a +++=都没有实数根.则()()2122221601640443100a a a a ⎧=-<⎪⎪=--<⎨⎪=-+<⎪⎩V V V ，解得：24a -<<. 则方程()22401160x ax x a x -+=+-+=，和223100x ax a +++=中，已知至少有一个方程有实数根. 所以2a ≤-或4a ≥ 故选：C 【点睛】本题考查了命题与命题的否定，考查补集的方法解题，属于基础题． 5．{}1,2,3,4- 【解析】 【分析】对整数a 取值，并使65a-为正整数，这样即可找到所有满足条件的a 值，从而用列举法表示出集合A ． 【详解】 因为a Z ∈且*65N a∈- 所以a 可以取1-，2，3，4. 所以{}1,2,3,4A =- 故答案为：{}1,2,3,4- 【点睛】考查描述法、列举法表示集合的定义，清楚Z 表示整数集，属于基础题. 6．若21x ≠，则1x ≠ 【解析】 【详解】根据逆否命题的写法：既否条件又否结论，原命题的否命题为若21x ≠，则1x ≠.故答案为若21x ≠，则1x ≠. 7．[)(]2,11,2-U 【解析】 【分析】函数的定义域满足被开方数非负和分母不为0得到不等式组，从而可得函数的定义域. 【详解】函数y =.2010x x ⎧-≥⎨-≠⎩，解得22x -≤≤且1x ≠所以函数y =[)(]2,11,2-U故答案为：[)(]2,11,2-U 【点睛】本题考查具体函数的定义域，属于基础题. 8．4 【解析】由条件A C B C ⋂=⋃ 可知：B B C A C C B C A C A ⊆⋃=⋂⊆⊆⋃⊆⋂⊆（）（）（）（），则符合条件的集合C 的个数即为集合{3}，4 的子集的个数，共4个． 9．116【解析】211414()44216x y xy x y +=⋅≤=，当且仅当x=4y=12时取等号. 10．31,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭【解析】 【分析】先求出不等式3x -≥P ，根据数轴标根法求出()()()12340x x x +-->的解集，即求出集合Q ，由交集的运算求出P Q I.【详解】由3x -≥()2103031x x x x ⎧-≥⎪⎪-≥⎨⎪-≥-⎪⎩，解得：12x ≤≤，即[]1,2P =.用数轴标根法解()()()12340x x x +-->得312x -<<或4x >. ()31,4,2Q ⎛⎫=-+∞ ⎪⎝⎭U 。
上海师大附中2015-2016学年高一上学期期中数学试卷
2015-2016学年上海师大附中高一（上）期中数学试卷一．填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，只要求直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1．设集合A={x|0≤x＜3且x∈N}的真子集的个数是__________．2．命题“若a，b都是奇数，则a+b是偶数”的逆否命题是__________．3．已知函数，g（x）=x﹣3，，则f（x）g（x）+h（x）=__________．4．已知集合A={y|y=x2﹣2x﹣3}，集合B={y|y=﹣x2+2x+13}，则A∩B=__________．5．设常数a∈R，函数f（x）=|x﹣1|+|x2﹣a|，若f（2）=1，则f（1）=__________．6．已知全集U={0，1，2，3，4，5}，且B∩∁U A={1，2}，A∩∁U B={5}，∁U A∩∁U B={0，4}，则集合A=__________．7．已知集合A={a|关于x的方程有唯一实数解，a∈R}，用列举法表示集合A=__________．8．对于集合A，B，定义运算：A﹣B={x|x∈A且x∉B}，A△B=（A﹣B）∪（B﹣A）．若A={1，2}，B={x||x|＜2，x∈Z}，则A△B=__________．9．设全集为R，对a＞b＞0，集合M=，，则M∩C R N=__________．10．已知关于x的不等式ax2+2x+c＞0的解集为，其中a，c∈R，则关于x的不等式﹣cx2+2x ﹣a＞0的解集是__________．11．对于实数x，若n≤x＜n+1，规定[x]=n，（n∈Z），则不等式4[x]2﹣20[x]+21＜0的解集是__________．12．不等式（a﹣2）x2+2（a﹣2）x﹣3＜0对一切实数x恒成立，则实数a的取值范围是__________．13．定义关于x的不等式|x﹣A|＜B（A∈R，B＞0）的解集称为A的B邻域．若a+b﹣3的a+b邻域是区间（﹣3，3），则a2+b2的最小值是__________．14．给出下列四个命题：（1）若a＞b，c＞d，则a﹣d＞b﹣c；（2）若a2x＞a2y，则x＞y；（3）a＞b，则；（4）若，则ab＜b2．其中正确命题是__________．（填所有正确命题的序号）二．选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题都给出代号为A、B、C、D的四个结论，其中有且只有一个结论是正确的．必须用2B铅笔将正确结论的代号涂黑，选对得5分，不选、选错或者选出的代号超过一个，一律得零分．15．下列每组中的两个函数是同一函数的是( )A．f（x）=1与g（x）=x0B．与g（x）=xC．f（x）=x与D．f（x）=x与16．若a＞0，b＞0，则不等式﹣b＜＜a等价于( )A．＜x＜0或0＜x＜B．﹣＜x＜C．x＜﹣或x＞D．x＜或x＞17．下列说法正确的是( )A．“若x2=1，则x=1”的否命题是“若x2=1，则x≠1”B．“x=﹣1”是“x2﹣5x﹣6=0”的必要非充分条件C．“a+b≠3”是“a≠1或b≠2”的充分非必要条件D．“”是“a＞2且b＞2”的充分必要条件18．若x＞0，y＞0，且+≤a恒成立，则a的最小值是( )A．2 B．C．2 D．1三.解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须写出必要的步骤，答题务必写在答题纸上规定位置．19．解关于x的不等式：mx2﹣（2m+1）x+2＞0（m∈R）．20．（14分）已知集合，集合B={x||x+2a|≤a+1，a∈R}．（1）求集合A与集合B；（2）若A∩B=B，求实数a的取值范围．21．（14分）设A={x|x2﹣ax+a2﹣19=0}，B={x|x2﹣5x+6=0}，C={x|x2+2x﹣8=0}（1）A∩B=A∪B，求a的值；（2）若∅⊊（A∩B）且A∩C=∅，求a的值；（3）A∩B=A∩C≠∅，求a的值．22．（16分）我校为进行“阳光运动一小时”活动，计划在一块直角三角形ABC的空地上修建一个占地面积为S（平方米）的矩形AMPN健身场地．如图，点M在AC上，点N在AB上，且P点在斜边BC上．已知∠ACB=60°，|AC|=30米，|AM|=x米，x∈[10，20]．设矩形AMPN健身场地每平方米的造价为元，再把矩形AMPN以外（阴影部分）铺上草坪，每平方米的造价为元（k为正常数）．（1）试用x表示S，并求S的取值范围；（2）求总造价T关于面积S的函数T=f（S）；（3）如何选取|AM|，使总造价T最低（不要求求出最低造价）．23．（18分）已知M是满足下列性质的所有函数f（x）组成的集合：对于函数f（x），使得对函数f（x）定义域内的任意两个自变量x1、x2，均有|f（x1）﹣f（x2）|≤|x1﹣x2|成立．（1）已知函数f（x）=x2+1，，判断f（x）与集合M的关系，并说明理由；（2）已知函数g（x）=ax+b∈M，求实数a，b的取值范围；（3）是否存在实数a，使得，x∈[﹣1，+∞）属于集合M？若存在，求a的取值范围，若不存在，请说明理由．2015-2016学年上海师大附中高一（上）期中数学试卷一．填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，只要求直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1．设集合A={x|0≤x＜3且x∈N}的真子集的个数是7．【考点】子集与真子集．【专题】计算题．【分析】若集合A中有n个元素，则集合A有2n﹣1个真子集，由此能求出集合A={x|0≤x＜3且x∈N}的真子集的个数．【解答】解：∵集合A={x|0≤x＜3且x∈N}={0，1，2}，∴集合A={x|0≤x＜3且x∈N}的真子集的个数为23﹣1=7，故答案为：7．【点评】本题考查集合的子集和真子集的个数的求法，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．2．命题“若a，b都是奇数，则a+b是偶数”的逆否命题是若a+b不是偶数，则a，b不都是奇数．【考点】四种命题间的逆否关系．【专题】阅读型．【分析】根据逆否命题的定义，先否定原命题的题设做结论，再否定原命题的结论做题设，就得到原命题的逆否命题．【解答】解：∵“a，b都是奇数”的否命题是“a，b不都是奇数”，“a+b是偶数”的否命题是“a+b不是偶数”，∴命题“若a，b都是奇数，则a+b是偶数”的逆否命题是“若a+b不是偶数，则a，b不都是奇数”．故答案为：若a+b不是偶数，则a，b不都是奇数．【点评】本题考查四种命题间的逆否关系，解题时要注意四种命题间的相互转化．3．已知函数，g（x）=x﹣3，，则f（x）g（x）+h（x）=x（x≠±3）．【考点】函数解析式的求解及常用方法．【专题】计算题；转化思想；函数的性质及应用．【分析】先求出函数的定义域，再化简函数的解析式，可得答案．【解答】解：由得：x≠±3，又∵函数，g（x）=x﹣3，，∴f（x）g（x）+h（x）=+=x（x≠±3），故答案为：x（x≠±3）【点评】本题考查的知识点是函数解析式的求解与化简，要注意函数定义域的限制．4．已知集合A={y|y=x2﹣2x﹣3}，集合B={y|y=﹣x2+2x+13}，则A∩B=[﹣4，14]．【考点】交集及其运算．【专题】计算题；集合．【分析】求出A与B中y的范围确定出A与B，找出两集合的交集即可．【解答】解：由A中y=x2﹣2x﹣3=x2﹣2x+1﹣4=（x﹣1）2﹣4≥﹣4，得到A=[﹣4，+∞）；由B中y=﹣x2+2x+13=﹣（x﹣1）2+14≤14，得到B=（﹣∞，14]，则A∩B=[﹣4，14]，故答案为：[﹣4，14]【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．5．设常数a∈R，函数f（x）=|x﹣1|+|x2﹣a|，若f（2）=1，则f（1）=3．【考点】函数的值．【专题】函数的性质及应用．【分析】利用f（x）=|x﹣1|+|x2﹣a|，f（2）=1，求出a，然后求解f（1）即可．【解答】解：常数a∈R，函数f（x）=|x﹣1|+|x2﹣a|，若f（2）=1，∴1=|2﹣1|+|22﹣a|，∴a=4，函数f（x）=|x﹣1|+|x2﹣4|，∴f（1）=|1﹣1|+|12﹣4|=3，故答案为：3．【点评】本题考查函数值的求法，基本知识的考查．6．已知全集U={0，1，2，3，4，5}，且B∩∁U A={1，2}，A∩∁U B={5}，∁U A∩∁U B={0，4}，则集合A={3，5}．【考点】交、并、补集的混合运算．【专题】计算题；集合思想；数形结合法；集合．【分析】画出利用韦恩图，直接得出结果．【解答】解：全集U={0，1，2，3，4，5}，且B∩∁U A={1，2}，A∩∁U B={5}，∁U A∩∁U B={0，4}，由韦恩图可知A={3，5}故答案为：{3，5}【点评】本题考查了集合的描述法、列举法表示，集合的基本运算．若利用韦恩图，则形象、直观．7．已知集合A={a|关于x的方程有唯一实数解，a∈R}，用列举法表示集合A=．【考点】函数的零点．【专题】分类讨论；转化思想；分类法；函数的性质及应用．【分析】若关于x的方程有唯一实数解，则x+a=x2﹣1有一个不为±1的解，或x+a=x2﹣1有两解，其中一个为1或﹣1，分类讨论求出满足条件的a值，综合讨论结果，可得答案．【解答】解：若关于x的方程有唯一实数解，则x+a=x2﹣1有一个不为±1的解，或x+a=x2﹣1有两解，其中一个为1或﹣1，当x+a=x2﹣1有一个解时，△=1+4a+4=0，此时a=，x=，满足条件；若x+a=x2﹣1有两解，其中一个为1时，a=﹣1，x=0，或x=1，满足条件；若x+a=x2﹣1有两解，其中一个为﹣1时，a=1，x=2，或x=﹣1，满足条件；综上所述：A=，故答案为：【点评】本题考查的知识点是函数的零点与方程根的关系，分类讨论思想，转化思想，难度中档．8．对于集合A，B，定义运算：A﹣B={x|x∈A且x∉B}，A△B=（A﹣B）∪（B﹣A）．若A={1，2}，B={x||x|＜2，x∈Z}，则A△B={﹣1，0，2}．【考点】子集与交集、并集运算的转换．【专题】计算题；新定义；集合思想；集合．【分析】由已知中A﹣B={x|x∈A且x∉B}，A△B=（A﹣B）∪（B﹣A），结合已知中集合A，B，代入可得答案．【解答】解：∵A={1，2}，B={x||x|＜2，x∈Z}={﹣1，0，1}，∴A﹣B={2}，B﹣A={﹣1，0}，∴A△B={﹣1，0，2}，故答案为：{﹣1，0，2}【点评】本题考查的知识点是集合的交集，并集，补集运算，难度不大，属于基础题．9．设全集为R，对a＞b＞0，集合M=，，则M∩C R N={x|b＜x≤}．【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】由a＞b＞0，可得＞b，＜a，由基本不等式可得，＞，进而可得C R N，由交集的意义，分析可得答案．【解答】解：由a＞b＞0，可得＞b，＜a，由基本不等式可得，＞，由补集的运算可得C R N={x|x≤或x≥a}，由交集的意义，可得M∩C R N={x|b＜x≤}．【点评】本题考查集合间的混合运算，注意由不等式的性质，分析出集合间的关系，再来求解．10．已知关于x的不等式ax2+2x+c＞0的解集为，其中a，c∈R，则关于x的不等式﹣cx2+2x﹣a＞0的解集是（﹣2，3）．【考点】一元二次不等式的解法．【专题】转化思想；判别式法；不等式的解法及应用．【分析】根据一元二次不等式与对应二次方程的关系，结合根与系数的关系，求出a、c的值，即可求出不等式﹣cx2+2x﹣a＞0的解集．【解答】解：∵关于x的不等式ax2+2x+c＞0的解集为（﹣，），∴﹣，是一元二次方程ax2+2x+c=0的两实数根，且a＜0；即，解得a=﹣12，c=2；∴不等式﹣cx2+2x﹣a＞0化为﹣2x2+2x+12＞0，即x2﹣x﹣6＜0，化简得（x+2）（x﹣3）＜0，解得﹣2＜x＜3，该不等式的解集为（﹣2，3）．故答案为：（﹣2，3）．【点评】本题考查了一元二次不等式与对应二次方程的应用问题，也考查了转化思想的应用问题，是基础题目．11．对于实数x，若n≤x＜n+1，规定[x]=n，（n∈Z），则不等式4[x]2﹣20[x]+21＜0的解集是[2，4）．【考点】其他不等式的解法．【专题】不等式的解法及应用．【分析】由条件求得求得＜[x]＜，再根据[x]的定义，可得x的范围．【解答】解：不等式4[x]2﹣20[x]+21＜0，求得＜[x]＜，2≤x＜4，故答案为：[2，4）．【点评】本题主要考查一元二次不等式的解法，[x]的定义，属于基础题．12．不等式（a﹣2）x2+2（a﹣2）x﹣3＜0对一切实数x恒成立，则实数a的取值范围是（﹣1，2]．【考点】一元二次不等式的解法．【专题】转化思想；判别式法；不等式的解法及应用．【分析】根据题意，讨论a的值，求出不等式恒成立时a的取值范围．【解答】解：当a=2时，不等式化为﹣3＜0，对x∈R恒成立，当时，即，解得﹣1＜a＜2，不等式也恒成立；综上，实数a的取值范围是（﹣1，2]．故答案为：（﹣1，2]．【点评】本题考查了含有字母系数的不等式的解法与应用问题，解题时应对字母系数进行讨论，是基础题目．13．定义关于x的不等式|x﹣A|＜B（A∈R，B＞0）的解集称为A的B邻域．若a+b﹣3的a+b邻域是区间（﹣3，3），则a2+b2的最小值是．【考点】绝对值不等式的解法．【专题】转化思想；综合法；不等式的解法及应用．【分析】根据新定义由题意得：|x﹣（a+b﹣3）|＜a+b的解集为区间（﹣3，3），从而得到关于a，b的等量关系，再利用基本不等式求得a2+b2的最小值．【解答】解：由题意可得|x﹣（a+b﹣3）|＜a+b的解集为（﹣3，3），|x﹣（a+b﹣3）|＜a+b等价于（﹣3，2（a+b）﹣3），∴2（a+b）﹣3=3，求得a+b=3，∴a2+b2≥=，故a2+b2的最小值为，故答案为：．【点评】本小题主要考查绝对值不等式的解法、基本不等式等基础知识，考查运算求解能力与化归与转化思想，属于基础题．14．给出下列四个命题：（1）若a＞b，c＞d，则a﹣d＞b﹣c；（2）若a2x＞a2y，则x＞y；（3）a＞b，则；（4）若，则ab＜b2．其中正确命题是（1）（2）（4）．（填所有正确命题的序号）【考点】命题的真假判断与应用．【专题】综合题；规律型；转化思想；综合法；不等式的解法及应用；简易逻辑．【分析】分别利用不等式的基本性质逐一核对四个命题得答案．【解答】解：（1）由c＞d，得﹣d＞﹣c，又a＞b，则a﹣d＞b﹣c．故（1）正确；（2）若a2x＞a2y，则a2≠0，则，∴x＞y．故（2）正确；（3）若a＞0＞b，则a﹣b＞a＞0，则．故（3）错误；（4）若，则b＜a＜0，∴ab＜b2 ．故（4）正确．故答案为：（1）（2）（4）．【点评】本题考查命题的真假判断与应用，考查了不等式的基本性质，是基础题．二．选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题都给出代号为A、B、C、D的四个结论，其中有且只有一个结论是正确的．必须用2B铅笔将正确结论的代号涂黑，选对得5分，不选、选错或者选出的代号超过一个，一律得零分．15．下列每组中的两个函数是同一函数的是( )A．f（x）=1与g（x）=x0B．与g（x）=xC．f（x）=x与D．f（x）=x与【考点】函数的定义域及其求法．【专题】计算题；阅读型；函数思想；函数的性质及应用．【分析】分别由函数的定义域及对应关系是否相同逐一核对四个选项得答案．【解答】解：∵f（x）=1的定义域为R，g（x）=x0的定义域为{x|x≠0}，两函数的定义域不同，不是同一函数；=x，g（x）=x，两函数为相同函数；f（x）=x的定义域为R，g（x）=的定义域为[0，+∞），两函数的定义域不同，不是同一函数；f（x）=x，=|x|，两函数对应关系不同，不是相同函数．故选：B．【点评】本题考查函数相等的概念，考查了函数定义域的求法，是基础题．16．若a＞0，b＞0，则不等式﹣b＜＜a等价于( )A．＜x＜0或0＜x＜B．﹣＜x＜C．x＜﹣或x＞D．x＜或x＞【考点】不等关系与不等式．【专题】计算题．【分析】由题意不等式﹣b＜＜a，然后再进行等价变换，进行移项、通分，然后进行求解．【解答】解：故选D．【点评】此题考查不等关系与不等式的性质，解题的关键是利用已知条件进行通分．17．下列说法正确的是( )A．“若x2=1，则x=1”的否命题是“若x2=1，则x≠1”B．“x=﹣1”是“x2﹣5x﹣6=0”的必要非充分条件C．“a+b≠3”是“a≠1或b≠2”的充分非必要条件D．“”是“a＞2且b＞2”的充分必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】转化思想；数学模型法；函数的性质及应用．【分析】A．原命题的否命题是“若x2≠1，则x≠1”，即可判断出正误；B．由x2﹣5x﹣6=0解得x=﹣1或6，即可得出结论；C．由a=1且b=2⇒a+b=3，且逆否命题为：若“a+b≠3”，则“a≠1或b≠2”，即可判断出正误．D．由“a＞2且b＞2”⇒“”，反之不成立，例如a=1，b=5，即可判断出正误．【解答】解：A．“若x2=1，则x=1”的否命题是“若x2≠1，则x≠1”，因此不正确；B．由x2﹣5x﹣6=0解得x=﹣1或6．∴“x=﹣1”是“x2﹣5x﹣6=0”的充分非必要条件，因此不正确；C．由a=1且b=2⇒a+b=3，且逆否命题为：若“a+b≠3”，则“a≠1或b≠2”，因此“a+b≠3”是“a≠1或b≠2”的充分非必要条件，正确．D．由“a＞2且b＞2”⇒“”，反之不成立，例如a=1，b=5，因此“”是“a＞2且b＞2”的必要非充分条件，不正确．故选：C．【点评】本题考查了充要条件的判定、命题之间的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．18．若x＞0，y＞0，且+≤a恒成立，则a的最小值是( )A．2 B．C．2 D．1【考点】不等式的基本性质．【专题】坐标系和参数方程．【分析】由于≤2（x+y），x＞0，y＞0，且+≤a恒成立，即可得出．【解答】解：∵≤2（x+y），x＞0，y＞0，且+≤a恒成立，∴，∴a的最小值是．故选：B．【点评】本题考查了基本不等式的性质，属于基础题．三.解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须写出必要的步骤，答题务必写在答题纸上规定位置．19．解关于x的不等式：mx2﹣（2m+1）x+2＞0（m∈R）．【考点】其他不等式的解法．【专题】计算题；分类讨论；综合法；不等式的解法及应用．【分析】讨论m=0、m＞0以及m＜0时，对应的不等式解集的情况，求出解集即可．【解答】解：（1）当m=0时，原不等式可化为﹣x+2＞0，即x＜2；…（2）当m≠0时，分两种情形：①当m＞0时，原不等式化为（mx﹣1）（x﹣2）＞0，即；若时，即时，不等式的解集为；…若时，即时，不等式的解集为；…若时，即时，不等式的解集为（﹣∞，2）∪（2，+∞）；…②当m＜0时，原不等式化为；显然，不等式的解集为；…综上所述：当m=0时，解集为（﹣∞，2）；当时，解集为；当时，解集为；当m＜0时，解集为．…【点评】本题考查了含有字母系数的不等式的解法与应用问题，解题时应对字母系数进行分类讨论，是易错题目．20．（14分）已知集合，集合B={x||x+2a|≤a+1，a∈R}．（1）求集合A与集合B；（2）若A∩B=B，求实数a的取值范围．【考点】交集及其运算．【专题】计算题；集合．【分析】（1）求出A中不等式的解集确定出A，表示出B中不等式的解集确定出B即可；（2）由A与B的交集为B，得到B为A的子集，确定出a的范围即可．【解答】解：（1）由A中方程变形得：（x﹣3）（x+2）（x+1）≤0，解得：x≤﹣2或﹣1＜x≤3，即A=（﹣∞，﹣2]∪（﹣1，3]，当a+1＜0时，即a＜﹣1时，B=∅；当a+1≥0时，即a≥﹣1时，B=[﹣3a﹣1，﹣a+1]；（2）∵A∩B=B，∴B⊆A，当a＜﹣1时，B=∅满足题意；当a≥﹣1时，B=[﹣3a﹣1，﹣a+1]，此时有：﹣a+1≤﹣2或，解得，a≥3或﹣1≤a＜0，综上所述，a∈（﹣∞，0）∪[3，+∞）．【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．21．（14分）设A={x|x2﹣ax+a2﹣19=0}，B={x|x2﹣5x+6=0}，C={x|x2+2x﹣8=0}（1）A∩B=A∪B，求a的值；（2）若∅⊊（A∩B）且A∩C=∅，求a的值；（3）A∩B=A∩C≠∅，求a的值．【考点】集合关系中的参数取值问题；交、并、补集的混合运算．【专题】计算题．【分析】先通过解二次方程化简集合B，C．（1）根据A∩B=A∪B⇒A=B，利用二次方程根与系数的关系列出方程求出a的值．（2）根据∅⊊（A∩B）且A∩C=∅，⇒3∈A，将3代入二次方程求出a，注意要验证是否满足题意．（3）由A∩B=A∩C≠∅，⇒2∈A，将2代入二次方程求出a，注意要验证是否满足题意．【解答】解：（1）∵B={x|x2﹣5x+6=0}={ 2，3 }，A∩B=A∪B，∴A=B．∴2和3是方程x2﹣ax+a2﹣19=0 的两个根，∴2+3=a，∴a=5．（2）∵∅⊊（A∩B）且A∩C=∅，∴A与B有公共元素而与C无公共元素，∴3∈A∴9﹣3a+a2﹣19=0，解得a=﹣2，或a=5．当a=﹣2时，A={3，﹣5}满足题意；当a=5时，A={2，3}此时A∩C={2}不满足题意，∴a=﹣2（3）A∩B=A∩C≠∅，∴2∈A，∴4﹣2a+a2﹣19=0解得a=﹣3，a=5．当a=﹣3时，A={2，﹣5}满足题意；当a=5时，A={2，3}不满足题意，故a=﹣3．故答案为：a=﹣3．【点评】本小题主要考查交、并、补集的混合运算、集合关系中的参数取值问题、方程的解法等基础知识，考查运算求解能力，考查方程思想、化归与转化思想．属于基础题．22．（16分）我校为进行“阳光运动一小时”活动，计划在一块直角三角形ABC的空地上修建一个占地面积为S（平方米）的矩形AMPN健身场地．如图，点M在AC上，点N在AB上，且P点在斜边BC上．已知∠ACB=60°，|AC|=30米，|AM|=x米，x∈[10，20]．设矩形AMPN健身场地每平方米的造价为元，再把矩形AMPN以外（阴影部分）铺上草坪，每平方米的造价为元（k为正常数）．（1）试用x表示S，并求S的取值范围；（2）求总造价T关于面积S的函数T=f（S）；（3）如何选取|AM|，使总造价T最低（不要求求出最低造价）．【考点】函数的最值及其几何意义；函数解析式的求解及常用方法；函数的值．【专题】函数思想；数学模型法；函数的性质及应用．【分析】（1）由解直角三角形，可得矩形AMPN的面积，x∈[10，20]，运用二次函数的最值求法，可得值域；（2）由三角形的面积和题意可得总造价T=T1+T2，即可得到所求；（3）运用基本不等式，计算即可得到所求x=12或18．【解答】解：（1）在Rt△PMC中，显然|MC|=30﹣x，∠PCM=60°，∴，矩形AMPN的面积，x∈[10，20]，由x（30﹣x）≤（）2=225，当x=15时，可得最大值为225，当x=10或20时，取得最小值200，于是为所求．（2）矩形AMPN健身场地造价T1=，又△ABC的面积为，即草坪造价T2=，由总造价T=T1+T2，∴，．（3）∵，当且仅当即时等号成立，此时，解得x=12或x=18，答：选取|AM|的长为12米或18米时总造价T最低．【点评】本题考查函数模型的运用，考查函数的值域和最值的求法，注意运用函数的单调性和基本不等式，考查运算能力，属于中档题．23．（18分）已知M是满足下列性质的所有函数f（x）组成的集合：对于函数f（x），使得对函数f（x）定义域内的任意两个自变量x1、x2，均有|f（x1）﹣f（x2）|≤|x1﹣x2|成立．（1）已知函数f（x）=x2+1，，判断f（x）与集合M的关系，并说明理由；（2）已知函数g（x）=ax+b∈M，求实数a，b的取值范围；（3）是否存在实数a，使得，x∈[﹣1，+∞）属于集合M？若存在，求a的取值范围，若不存在，请说明理由．【考点】函数与方程的综合运用；函数的值．【专题】计算题；新定义；函数思想；转化思想；函数的性质及应用．【分析】（1）利用已知条件，通过判断任取，证明|f（x1）﹣f（x2）|≤|x1﹣x2|成立，说明f（x）属于集合M．（2）利用新定义，列出关系式，即可求出实数a，b的取值范围．（3）通过若p（x）∈M，推出，然后求解a∈（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）时，p（x）∉M．【解答】解：（1）任取，∵，∴﹣1≤x1+x2≤1，∴0≤|x1+x2|≤1∴|x1+x2||x1﹣x2|≤|x1﹣x2|即|f（x1）﹣f（x2）|≤|x1﹣x2|成立，f（x）属于集合M…（2）∵g（x）=ax+b∈M，∴使得任意x1、x2∈R，均有|g（x1）﹣g（x2）|≤|x1﹣x2|成立．即存在|g（x1）﹣g（x2）|=|a||x1﹣x2|≤|x1﹣x2|∴…（3）若p（x）∈M，则|p（x1）﹣p（x2）|≤|x1﹣x2|对任意的x1、x2∈[﹣1，+∞）都成立．即，∴|a|≤|（x1+2）（x2+2）|∵x1、x2∈[﹣1，+∞），∴|（x1+2）（x2+2）|≥1，∴|a|≤1，﹣1≤a≤1∴当a∈[﹣1，1]时，p（x）∈M；当a∈（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）时，p（x）∉M．…（18分）【点评】本题考查新定义的应用，函数与方程的综合应用，考查分析问题解决问题的能力、。
上海外国语大学附属外国语学校2022-2023学年高一上学期期中考试数学试卷含详解
（2）设 ， ， ，求证： ．
21.已知函数
（1）若对任意的 ， 恒成立，求实数 的取值范围；
（2）若 的最小值为 ，求实数 的值；
（3）若对任意实数 、 、 ，均存在以 、 、 为三边边长的三角形，求实数 的取值范围.
上外附中高一期中考试数学试卷
一、填空题（第1-6题每题4分，第7-12题每题5分，满分54分）
故选：B
三、解答题（本大题共有5题，满分76分）
17.设 、 是关于x的方程 的两个实数根,则 _______．
【答案】
【分析】根据韦达定理将 , 之间的关系找到,然后用换底公式进行化简,找到 之间的关系,将 用换底公式进行化简,代入 即可.
【详解】解:由题知 的两个实数根是 、 ,
根据韦达定理有 ,
（2）由（1）可得 是等差数列，结合等差数列的前 项和，根据题意列出方程求解，即可得到结果.
【小问1详解】
因为第n天注入水库的水量为 立方米，且大汛期的第一、二天注入水库的总水量为1700立方米，
将值代入可得 ，求得 ；
【小问2详解】
由（1）可知 ，
即可看作首项为 ，公差为 的等差数列，
其前 项和 ，
18.已知偶函数 在 上是严格增函数．
（1）求函数 的解析式；
（2）解关于 的不等式 ．
19.某水库共可蓄水130000立方米，该地区去年8月1日零时至8月22日24时为大汛期，在大汛期中第n天注入水库的水量为 立方米，其中P为定值．已知8月1日零时水库的存水量为110000立方米，且大汛期的第一、二天注入水库的总水量为1700立方米．
4.已知 ，且 ，若 ， ，则 __________．
上海市高一上学期期中考试数学试卷含答案
上海市高一上学期期中考试试卷数学第Ⅰ卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{0,1,2}A =，那么（ ）A ．0A ⊆B ．0A ∈C ．{1}A ∈D ．{0,1,2}A2．集合{|14}A x x =∈-<<N 的真子集个数为（ ）A ．7B ．8C ．15D ．163．命题“x ∀∈R ，||10x x -+≠”的否定是（ ）A ．x ∃∈R ，||10x x -+≠B ．x ∃∈R ，||10x x -+=C ．x ∀∈R ，||10x x -+=D ．x ∀∉R ，||10x x -+≠4．某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有96%的学生喜欢足球或游泳，60%的学生喜欢足球，82%的学生喜欢游泳，则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是（ ）A ．62%B ．56%C ．46%D ．42% 5．已知集合{|10}A x x =-≥，2{|280}B x x x =--≥，则()A B =R （ ） A ．[2,1]- B ．[1,4] C ．(2,1)- D ．(,4)-∞6．甲、乙两人沿着同一方向从A 地去B 地，甲前一半的路程使用速度1v ，后一半的路程使用速度2v ；乙前一半的时间使用速度1v ，后一半的时间使用速度2v ，关于甲，乙两人从A 地到达B 地的路程与时间的函数图像及关系（其中横轴t 表示时间，纵轴s 表示路程12v v <）可能正确的图示分析为（ ）A ．B ．C ．D ． 7．若函数24()43x f x mx mx -=++的定义域为R ，则实数m 的取值范围是（ ） A ．3(0,]4 B ．3[0,]4 C ．3[0,)4 D ．3(0,)48．若定义在R 的奇函数()f x 在(,0)-∞单调递减，且(2)0f =，则满足(1)0xf x -≥的x 的取值范围是（ ）A ．[1,1][3,)-+∞B ．[3,1][0,1]--C ．[1,0][1,)-+∞D ．[1,0][1,3]-二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．9．21x ≤的一个充分不必要条件是（ ）A ．10x -≤<B ．1x ≥C ．01x <≤D ．11x -≤≤ 10．下列各项中，()f x 与()g x 表示的函数不相等的是（ ）A ．()f x x =，2()g x xB ．()f x x =，2())g x x =C ．()f x x =，2()x g x x = D ．()|1|f x x =-，1(1)()1(1)x x g x x x -≥⎧=⎨-<⎩11．若函数22,1()4,1x a x f x ax x ⎧-+≤-=⎨+>-⎩在R 上是单调函数，则a 的取值可能是（ ） A ．0 B ．1 C ．32 D ．312．下列函数中，既是偶函数又在(0,3)上是递减的函数是（ ）A ．21y x =-+B ．3y x =C ．1y x =-+D ．y x =第Ⅱ卷三、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．若{}21,,0,,b a a a b a ⎧⎫=+⎨⎬⎩⎭，则20182018a b +=________． 14．已知(1)f x +的定义域为[2,3)-，则(2)f x -的定义域是 ．15．若12a b <-≤，24a b ≤+<，则42a b -的取值范围_________．16．已知函数21()234f x x x =-++，3()|3|2g x x =-，若函数(),()()()(),()()f x f x g x F x g x f x g x <⎧=⎨≥⎩， 则(2)F = ，()F x 的最大值为 ．四、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）设集合{25}A x x =-≤≤，{121}B x m x m =-≤≤+． （1）若AB =∅，求m 的范围； （2）若AB A =，求m 的范围．18．（12分）已知命题:p x ∃∈R ，2(1)(1)0m x ++≤，命题:q x ∀∈R ，210x mx ++>恒成立． 若,p q 至少有一个为假命题，求实数m 的取值范围．19．（12分）已知函数26,0()22,0x x f x x x x +≤⎧=⎨-+>⎩．（1）求不等式()5f x >的解集；（2）若方程2()02m f x -=有三个不同实数根，求实数m的取值范围．20．（12分）已知奇函数222,0()0,0,0x x x f x x x mx x ⎧-+>⎪==⎨⎪+<⎩． （1）求实数m 的值；（2）画出函数的图像；（3）若函数()f x 在区间[1,||2]a --上单调递增，试确定a 的取值范围．21．（12分）在一个月内分批购入每张价值为20元的书桌共36台，每批都购入x台（x是正整数），且每批均需付运费4元，储存购入的书桌一个月所付的保管费与每批购入书桌的总价值（不含运费）成正比，若每批购入4台，则该月需用去运费和保管费共52元，现在全月只有48元资金可以用于支付运费和保管费．f x；（1）求该月需用去的运费和保管费的总费用()（2）能否恰当地安排每批进货的数量，使资金够用？写出你的结论，并说明理由．22．（12分）已知()f x 是定义在[5,5]-上的奇函数，且(5)2f -=-，若对任意的m ，[5,5]n ∈-，0m n +≠，都有()()0f m f n m n+>+． （1）若(21)(33)f a f a -<-，求a 的取值范围；（2）若不等式()(2)5f x a t ≤-+对任意[5,5]x ∈-和[3,0]a ∈-都恒成立，求t 的取值范围．答案第Ⅰ卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．【答案】B【解析】∵集合{0,1,2}A =，∴0A ∈，故A 错误，B 正确；又∵{1}A ⊆，∴C 错误；而{0,1,2}A =，∴D 错误．2．【答案】C【解析】{0,1,2,3}A =中有4个元素，则真子集个数为42115-=．3．【答案】B【解析】全称量词命题的否定是存在量词命题．4．【答案】C【解析】由Venn 图可知，既喜欢足球又喜欢游泳的学生所占比60%82%96%46%X =+-=， 故选C ．5．【答案】C【解析】∵{|10}{|1}A x x x x =-≥=≥，2{|280}{|2B x x x x x =--≥=≤-或4}x ≥， ∴{|2A B x x =≤-或1}x ≥，则()(2,1)A B =-R ．6．【答案】A【解析】因为12v v <，故甲前一半路程使用速度1v ，用时超过一半，乙前一半时间使用速度1v ， 行走路程不到一半．7．【答案】C【解析】2430mx mx ++≠，所以0m =或000m m Δ≠⎧⇒=⎨<⎩或2030416120m m m m ≠⎧⇒≤<⎨-<⎩． 8．【答案】D 【解析】∵()f x 为R 上奇函数，在(,0)-∞单调递减，∴(0)0f =，(0,)+∞上单调递减．由(2)0f =，∴(2)0f -=，由(1)0xf x -≥，得0(1)0x f x ≥⎧⎨-≥⎩或0(1)0x f x ≤⎧⎨-≤⎩，解得13x ≤≤或10x -≤≤，∴x 的取值范围是[1,0][1,3]-，∴选D ．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．9．【答案】AC【解析】∵不等式21x ≤，∴11x -≤≤，“01x <≤”和“10x -≤<”是不等式21x ≤成立的一个充分不必要条件．10．【答案】ABC【解析】A ，可知()||g x x =，()f x x =，两个函数对应关系不一样，故不是同一函数；B ，()f x x =，x ∈R ，2()g x x ==，0x ≥，定义域不一样；C ，()f x x =，x ∈R ，2()x g x x=，0x ≠，定义域不一样； D ，1(1)()|1|1(1)x x f x x x x -≥⎧=-=⎨-<⎩与()g x 表示同一函数． 11．【答案】BC【解析】当1x ≤-时，2()2f x x a =-+为增函数，所以当1x >-时，()4f x ax =+也为增函数， 所以0124a a a >⎧⎨-+≤-+⎩，解得503a <≤． 12．【答案】AC【解析】A ：21y x =-+是偶函数，且在(0,3)上递减，∴该选项正确； B ：3y x =是奇函数，∴该选项错误；C ：1y x =-+是偶函数，且在(0,3)上递减，∴该选项错误；D ：y =第Ⅱ卷三、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．【答案】1 【解析】由集合相等可知0b a=，则0b =， 即{}{}21,,00,,a a a =，故21a =， 由于1a ≠，故1a =-，则20182018101a b +=+=．14．【答案】[)1,6【解析】∵(1)f x +的定义域为[2,3)-，∴23x -≤<，∴114x -≤+<， ∴()f x 的定义域为[1,4)-；∴124x -≤-<，∴16x ≤<，∴(2)f x -的定义域为[1,6)．15．【答案】(5,10)【解析】由题设42()()a b x a b y a b -=-++，42()()a b x y a y x b -=++-， 则42x y y x +=⎧⎨-=-⎩，解得31x y =⎧⎨=⎩，所以423()()a b a b a b -=-++，12a b <-≤，33()6a b <-≤，24a b ≤+<，所以53()()10a b a b <-++<，故54210a b <-<．16．【答案】0，6【解析】因为(2)6f =，(2)0g =，所以(2)0F =，画出函数()F x 的图象（实线部分）， 由图象可得，当6x =时，()F x 取得最大值6．四、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．【答案】（1）6m >或32m <-；（2）2m <-或12m -≤≤． 【解析】（1）已知{25}A x x =-≤≤，{121}B x m x m =-≤≤+． 当B =∅时，有121m m ->+，即2m <-，满足AB =∅；当B ≠∅时，有121m m -≤+，即2m ≥-， 又AB =∅，则15m ->或212m +<-，即6m >或322m -≤<-， 综上可知，m 的取值范围为6m >或32m <-． （2）∵A B A =，∴B A ⊆， 当B =∅时，有121m m ->+，即2m <-，满足题意；当B ≠∅时，有121m m -≤+，即2m ≥-，且12215m m -≥-⎧⎨+≤⎩，解得12m -≤≤， 综上可知，m 的取值范围为2m <-或12m -≤≤．18．【答案】2m ≤-或1m >-．【解析】当命题p 为真时，10m +≤，解得1m ≤-；当命题q 为真时，24110Δm =-⨯⨯<，解得22m -<<，当命题p 与命题q 均为真时，则有12122m m m ≤-⎧⇒-<≤-⎨-<<⎩，命题q 与命题p 至少有一个为假命题，所以此时2m ≤-或1m >-．19．【答案】（1）(1,0](3,)-+∞；（2）(2,2)(2,2)-．【解析】（1）当0x ≤时，由65x +>，得10x -<≤；当0x >时，由2225x x -+>，得3x >，综上所述，不等式的解集为(1,0](3,)-+∞．（2）方程2()02m f x -=有三个不同实数根，等价于函数()y f x =与函数22m y =的图像有三个不同的交点，如图所示， 由图可知，2122m <<，解得22m -<<-或22m <<， 所以实数m 的取值范围为(2,2)(2,2)--．20．【答案】（1）2m =；（2）图像见解析；（3）[3,1)(1,3]--． 【解析】（1）当0x <时，0x ->，22()()2()2f x x x x x -=--+-=--，又因为()f x 为奇函数，所以()()f x f x -=-，所以当0x <时，2()2f x x x =+，则2m =． （2）由（1）知，222,0()0,02,0x x x f x x x x x ⎧-+>⎪==⎨⎪+<⎩，函数()f x 的图像如图所示．（3）由图像可知()f x 在[1,1]-上单调递增，要使()f x 在[1,||2]a --上单调递增， 只需1||21a -<-≤，即1||3a <≤，解得31a -≤<-或13a <≤，所以实数a 的取值范围是[3,1)(1,3]--． 21．【答案】（1）144()4f x x x=+（036x <≤，*x ∈N ）；（2）只需每批购入6张书桌，可以使资金够用． 【解析】（1）设题中比例系数为k ，若每批购入x 台，则共需分36x批，每批价值为20x 元， 由题意36()420f x k x x=⋅+⋅， 由4x =时，()52f x =，得161805k ==， 所以144()4f x x x=+（036x <≤，*x ∈N ）． （2）由（1）知，144()4f x x x=+（036x <≤，*x ∈N ），所以()48f x ≥=（元），当且仅当1444x x=，即6x =时，上式等号成立， 故只需每批购入6张书桌，可以使资金够用．22．【答案】（1）8(2,]3；（2）3(,]5-∞．【解析】（1）设任意1x ，2x 满足1255x x -≤<≤， 由题意可得12121212()()()()()0()f x f x f x f x x x x x +--=-<+-，即12()()f x f x <， 所以()f x 在定义域[5,5]-上是增函数，由(21)(33)f a f a -<-，得521553352133a a a a -≤-≤⎧⎪-≤-≤⎨⎪-<-⎩，解得823a <≤， 故a 的取值范围为8(2,]3．（2）由以上知()f x 是定义在[5,5]-上的单调递增的奇函数，且(5)2f -=-，得在[5,5]-上max ()(5)(5)2f x f f ==--=，在[5,5]-上不等式()(2)5f x a t ≤-+对[3,0]a ∈-都恒成立，所以2(2)5a t ≤-+，即230at t -+≥，对[3,0]a ∈-都恒成立， 令()23g a at t =-+，[3,0]a ∈-，则只需(3)0(0)0g g -≥⎧⎨≥⎩，即530230t t -+≥⎧⎨-+≥⎩，解得35t ≤， 故t 的取值范围为3(,]5-∞．。
上师大附中2015学年第一学期期中考试
上师大附中2015学年第一学期期中考试高一年级 数学学科（考试时间：120分钟 满分：150分）一、填空题（本大题满分56分）本大题共14小题，只要求直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分。
1．集合{}*|03N A x x x =<∈≤，的真子集的个数是________。
2．命题“如果a b ，都是奇数，那么a b +是偶数”的逆否命题是________。
3．已知函数()()()223393x x f x g x x h x x x ==-=-+，，，则()()()f x g x h x +=________。
4．已知集合{}2|23A y y x x ==--，集合{}2|213B y y x x ==-++，则A B =I ________.5．函数()21f x x x a =-+-（常数a R ∈），若()21f =，则()1f =________。
6．已知全集{}012345U =，，，，，，且{}12U B C A =I ，，{}{}504U U A C B C A B ==I I ，，，则集合A =________。
7．已知集合2|11x a A a x a R x +⎧⎫==∈⎨⎬-⎩⎭关于的方程有唯一实数解，，且列举法表示集合A =________。
8．对于集合A B ，，定义运算：{}()()|A B x x A x B A B A B B A -=∈∉=--U 且，△，若{}12A =，，{}|2B x x x Z =<∈，，则A B =△________.9．已知全集U R =，实数a b ，满足0a b >>，集合{}||2a b M x b x N x x a +⎧⎫=<<=<<⎨⎬⎩⎭，，则U M C N =I ________。
10．已知关于x 的不等式220ax x c ++>的解集为1132⎛⎫- ⎪⎝⎭，，其中a c R ∈，，则关于x 的不等式220cx x a -+->的解集是________。
上大附中高一上期中考
2015学年高一第一学期上大附中期中考试试卷2015.11.24Section ADirections: After reading the passages below, fill in the blanks to make the passages coherent and grammatically correct. For the blanks with a given word, fill in each blank with the proper form of the given word; for the other blanks, use one word that best fits each blank.(A)Soon after her arrival, Mary learns about a secret garden that 21 (lock) away for 10 years. She becomes fascinated with the idea of the garden and determines to find it, and eventually she locates it and goes inside. It seems 22 (abandon), but she finds a few sprigs of new growth and begins tending to them 23 she knows nothing about gardening. Mary questions Ben, a gardener about the garden, but he makes it clear that it 24 (not discuss). She learns that the garden belonged to the late Mrs Craven and her husband ordered that it be locked away after her death because it caused him too much pain. Mary also befriends Dickon Snowerby, the brother of her housemaid Martha, 25 is a great lover of nature and beloved by every living thing, including every animal he meets, and he begins to help Mary tend the garden.26 spring comes, the garden begins to thrive along with the health of Colin and Mary. Soon Colin is able to stand and walk, but the children keep this a secret 27 he wants to surprise his father. When Mr Craven returns to Misselthwaite, he is surprised to find that the garden has been discovered and is now thriving again and thrilled that his son, whom he has come to regret neglecting all these years, has now been made strong and healthy through his connection with nature and the power of love that comes from the secret garden.（B）A successful person is thought by many 28 (be) a person that makes large amount ofmoney and lives in a very nice house in a wealthy neighborhood. But what is mentioned often enough 29 it comes to success is happiness.More doesn't necessarily mean that it will be 30 (good) for a person. But that is how people in many nations 31 (raise) to think. They are taught from a young age 32 they should have whatever their friends or neighbors have. And it is 33 makes these people bitter and unhappy.People in the US earn high salaries, but they are not happy because the long-hour work puts lots of stress 34 them and they even have to sit in traffic one hour each way to get to and back home from work. However, Mexicans are much happier even though they are not as rich as Americans. They know how 35 (live) a life at a slower pace and they take the time to appreciate what is around them.Having money doesn't necessarily mean that you are successful or happy. Happiness is the greatest success.21.【正】：has been locked【析】：for 10 years 用于现在完成时，主语是garden，与lock形成被动关系22.【正】：to be abandoned【析】：seem to do sth，it 与abandon形成被动关系23.【正】：even if【析】：tend 表示照顾，根据句子翻译即可得知24.【正】：will not be discussed【析】：根据句子翻译，另外，it与discuss形成被动关系25.【正】：who【析】：定语从句，先行词是人，在句中充当主语，用关系代词who26.【正】：as【析】：as 表示随着27.【正】：because【析】：根据句子翻译即可得知是因果关系28.【正】：to be【析】：be thought to be29.【正】：when【析】：when it comes to当提到...30.【正】：better【析】：主语使用了比较级31.【正】：are raised【析】：raise 是及物动词，缺少宾语的情况下要使用被动语态32.【正】：that【析】：宾语从句33.【正】：what【析】：表语从句缺少主语，用what34.【正】：on【析】：固定搭配put stress on35.【正】：to live【析】：特殊疑问词+动词不定式Section BDirections: Complete the following passage by using the words in the box. Each word can only be used once. Note that there is one word more than you need.Aristotle famously said, “ We are what we repeatedly do . Excellence ,then ,is not an act ,but a habit.“ success rarely comes from a single sweeping change but from the accumulation of small actions over time . So _36__ your daily habits is a good strategy that anyone , at any level , can employ. Here are several habits that would make a great __37___.1.Write down goals regard yourselfIt may seem simple to ___38___ a few goals for yourself , but it’s not enough simply write down the goals. Post your goal where you can see it .For instance , add it to the desktop of your computer. Every time you __39__ something , it is important to give yourself a reward for your hard work and efforts .You will become fulfilled enough to keep yourself motivated , ___40____ if there is no one else motivating you .2.Make To-Do list and set __41___Write down a list of things you need to do every morning .Crossing out each task as you finish it will give you a sense of accomplishment. A to- do list itself is good enough , but a deadline _42___ people to complete tasksmore productively . While making your to- do list , you’d better write down the estimated time you need to finish the project. Then you will always know what you should be working on .3.Keep a Diary and MeditateA diary entry at night can help you not only remember what has happened to you on a specific day ,but also take down useful information you ‘ve learned .After that , give yourself a fifteen minutes’ break to ___43___ your mind . It’s been proven that regular meditat ion improves intelligence , _____44____ health , creativity and medical flexibility .Hopefully ,you take the time to form these habits in your life . The chances are that you will see a __45___ change in your life with these habits .Keys：D F I B K E J C A G【析】：这是一篇讲述如何使个人变成优秀的建议，文章开头引用亚里士多德的名言引入，然后分三个小点分别概数。
上海高一上学期数学期中考试试卷
上海高一上学期数学期中考试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分） (2015高三上·荣昌期中) 若集合M={x|x﹣2＞0}，N={x|log2（x﹣1）＜1}，则M∩N=（）A . {x|2＜x＜3}B . {x|x＜1}C . {x|x＞3}D . {x|1＜x＜2}2. （2分）下列四个函数中，既是定义域上的奇函数又在区间（0,2）内单调递增的是（）A .B .C . y=xsinxD . y=tanx3. （2分） (2016高一上·武汉期末) 已知函数，若存在实数b，使函数g（x）=f（x）﹣b有两个零点，则实数a的取值范围是（）A . （0，2）B . （2，+∞）C . （2，4）D . （4，+∞）4. （2分） (2016高一上·黄陵期中) 在同一坐标系中，函数y=（）x与y=log2x的图象大致是（）A .B .C .D .5. （2分）已知f（x）= ，在（﹣∞，+∞）上是增函数，那么a的取值范围是（）A . （1，3）B . （1，2]C . [2，3）D . （1，+∞）6. （2分）设函数满足，且当时，.又函数，则函数在上的零点个数为（）A . 5B . 6C . 7D . 87. （2分）(2017高一上·广州月考) 设函数，对于给定的正数K，定义函数若对于函数定义域内的任意，恒有，则（）A . K的最小值为1B . K的最大值为1C . K的最小值为D . K的最大值为8. （2分）已知f（x）是周期为2的奇函数，当0＜x＜1时，f（x）=lgx．设，，则（）A . a＜b＜cB . b＜a＜cC . c＜b＜aD . c＜a＜b9. （2分）已知,则（）A .B .C .D .10. （2分） (2019高一上·浙江期中) 已知函数，则等于（）A .B . 0C . 1D . 211. （2分）设函数，则f(x)的值域是（）A .B .C .D .12. （2分）已知lg3＝a，lg4＝b，则log312等于（）A .B .C .D .二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2016高一上·黑龙江期中) 函数y=loga（3x﹣7）+1的图象恒过定点________．14. （1分） (2019高一上·无锡期中) 已知一次函数满足条件，则函数的解析式为 ________.15. （1分） (2019高一上·通榆月考) 设是定义在上的奇函数，当时则________16. （1分） (2018高一上·吉林期末) 已知奇函数，，，则不等式的解集是________．三、解答题 (共6题；共65分)17. （10分）已知函数f（x）= ．（1）求函数f（x）的定义域和值域；（2）判定f（x）的奇偶性，并求出它的单调区间．18. （10分） (2019高一上·平罗期中) 化简与求值：（1）；（2）．19. （10分）若函数y=2x ， y=5x与直线l：y=10的交点的横坐标分别为x1和x2 ，求 + 的值？20. （10分） (2018高一上·安吉期中) 已知函数f（x）=lg 的图象关于原点对称，其中a为常数．（Ⅰ）求a的值，并求出f（x）的定义域（Ⅱ）关于x的方程f（2x）+21g（2x-1）=a在x∈[ ， ]有实数解，求a的取值范围．21. （10分） (2016高一上·荔湾期中) 已知函数为奇函数，其中是自然对数的底数．（1）求出 a 的值．（2）用定义证明在上是增函数．（3）解关于的不等式．22. （15分）(2020·南京模拟) 若函数为奇函数，且时有极小值 .（1）求实数的值；（2）求实数的取值范围；（3）若恒成立，求实数的取值范围.参考答案一、单选题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共65分) 17-1、17-2、18-1、18-2、19-1、20-1、21-1、21-2、21-3、22-1、22-2、22-3、。
上海华东政法大学附属中学数学高一上期中经典题(含解析)
一、选择题1．(0分)[ID ：11821]若集合{}|1,A x x x R =≤∈，{}2|,B y y x x R ==∈，则A B =A ．{}|11x x -≤≤B ．{}|0x x ≥C ．{}|01x x ≤≤D ．∅2．(0分)[ID ：11818]已知函数f (x )＝23,0{log ,0x x x x ≤>那么f 1(())8f 的值为( )A ．27B ．127C ．－27D ．－1273．(0分)[ID ：11810]函数()log a x x f x x=（01a <<）的图象大致形状是（ ）A ．B ．C ．D ．4．(0分)[ID ：11799]已知(31)4,1()log ,1a a x a x f x x x -+<⎧=⎨≥⎩是(,)-∞+∞上的减函数，那么a的取值范围是（ ） A ．(0,1)B ．1(0,)3C ．11[,)73D ．1[,1)75．(0分)[ID ：11756]函数()111f x x =--的图象是（ ） A ． B ．C ．D ．6．(0分)[ID ：11792]函数223()2xx xf x e +=的大致图像是（ ）A ．B ．C ．D ．7．(0分)[ID ：11788]已知函数2221,2,()2,2,x x x x f x x -⎧-++<=⎨≥⎩且存在三个不同的实数123,,x x x ，使得123()()()f x f x f x ==，则123x x x ++的取值范围为（ ）A ．(4,5)B ．[4,5)C ．(4,5]D ．[4,5]8．(0分)[ID ：11769]函数sin21cos xy x=-的部分图像大致为A ．B ．C ．D ．9．(0分)[ID ：11740]三个数0.377,0.3,ln 0.3a b c ===大小的顺序是（ ） A ．a c b >>B ．a b c >>C ．b a c >>D ．c a b >>10．(0分)[ID ：11736]函数()245f x x x =-+在区间[]0,m 上的最大值为5，最小值为1，则实数m 的取值范围是（ ）A ．[)2,+∞B ．[]2,4C ．[]0,4D ．(]2,411．(0分)[ID ：11734]已知函数()f x =2log (1),(1,3)4,[3,)1x x x x ⎧+∈-⎪⎨∈+∞⎪-⎩，则函数[]()()1g x f f x =-的零点个数为（ ）A ．1B ．3C ．4D ．612．(0分)[ID ：11732]方程 4log 7x x += 的解所在区间是（ ） A ．(1,2)B ．(3,4)C ．(5,6)D ．(6,7)13．(0分)[ID ：11730]已知()()2,11,1x x f x f x x ⎧<⎪=⎨-≥⎪⎩，则()2log 7f =（ ）A ．7B ．72C ．74D ．7814．(0分)[ID ：11783]函数()(1)f x x x =-在[,]m n 上的最小值为14-，最大值为2，则n m -的最大值为（ ）A ．52B ．522+C ．32D ．215．(0分)[ID ：11760]设函数3()f x x x =+ ，. 若当02πθ<<时，不等式(sin )(1)0f m f m θ+-> 恒成立，则实数m 的取值范围是（ ）A ．1(,1]2B ．1(,1)2C ．[1,)+∞D ．(,1]-∞二、填空题16．(0分)[ID ：11924]给出下列四个命题：（1）函数()f x x x bx c =++为奇函数的充要条件是0c ；（2）函数()20xy x -=>的反函数是()2log 01y x x =-<<；（3）若函数()()2lg f x x ax a =+-的值域是R ，则4a ≤-或0a ≥；（4）若函数()1y f x =-是偶函数，则函数()y f x =的图像关于直线0x =对称. 其中所有正确命题的序号是______.17．(0分)[ID ：11919]已知函数241,0()3,0x x x x f x x ⎧--+≤=⎨>⎩，则函数(())3f f x =的零点的个数是________.18．(0分)[ID ：11917]下列各式：（1）122[(]--= （2）已知2log 13a〈 ，则23a 〉 . （3）函数2xy =的图象与函数2x y -=-的图象关于原点对称；（4）函数()f x 的定义域是R ，则m 的取值范围是04m <≤；（5）函数2ln()y x x =-+的递增区间为1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦. 正确的．．．有________．（把你认为正确的序号全部写上） 19．(0分)[ID ：11907]已知函数()()22log f x x a =+，若()31f =，则a =________．20．(0分)[ID ：11893]已知1240x x a ++⋅>对一切(],1x ∞∈-上恒成立，则实数a 的取值范围是______．21．(0分)[ID ：11869]如果函数221xx y a a =+-（0a >，且1a ≠）在[]1,1-上的最大值是14，那么a 的值为__________.22．(0分)[ID ：11866]已知函数()f x 满足对任意的x ∈R 都有11222⎛⎫⎛⎫++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭f x f x 成立，则 127...888f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭＝ ． 23．(0分)[ID ：11862]若幂函数()a f x x 的图象经过点1(3)9，，则2a -=__________.24．(0分)[ID ：11844]有15人进家电超市，其中有9人买了电视，有7人买了电脑，两种均买了的有3人，则这两 种都没买的有 人.25．(0分)[ID ：11863]若函数()22xf x b =--有两个零点，则实数b 的取值范围是_____.三、解答题26．(0分)[ID ：12023]已知函数()()221+0g x ax ax b a =-+>在区间[2,3]上有最大值4和最小值1. (1)求a 、b 的值； (2)设()()2g x f x x =-，若不等式()0f x k ->在x ∈(]2,5上恒成立，求实数k 的取值范围．27．(0分)[ID ：12017]学校某研究性学习小组在对学生上课注意力集中情况的调查研究中，发现其在40分钟的一节课中，注意力指数y 与听课时间x （单位：分钟）之间的关系满足如图所示的图象，当(]0,12x ∈时，图象是二次函数图象的一部分，其中顶点()10,80A ，过点()12,78B ；当[]12,40x ∈时，图象是线段BC ，其中()40,50C ．根据专家研究，当注意力指数大于62时，学习效果最佳．（Ⅰ）试求()y f x =的函数关系式；（Ⅱ）教师在什么时段内安排内核心内容，能使得学生学习效果最佳？请说明理由． 28．(0分)[ID ：11996]小张经营某一消费品专卖店，已知该消费品的进价为每件40元，该店每月销售量（百件）与销售单价x （元/件）之间的关系用下图的一折线表示，职工每人每月工资为1000元，该店还应交付的其它费用为每月10000元.（1）把y 表示为x 的函数；（2）当销售价为每件50元时，该店正好收支平衡（即利润为零），求该店的职工人数； （3）若该店只有20名职工，问销售单价定为多少元时，该专卖店可获得最大月利润？（注：利润=收入-支出）29．(0分)[ID ：11975]已知函数22()f x x x=+. （1）求(1)f ，(2)f 的值；（2）设1a b >>，试比较()f a 、()f b 的大小，并说明理由； （3）若不等式2(1)2(1)1f x x m x -≥-++-对一切[1,6]x ∈恒成立，求实数m 的最大值. 30．(0分)[ID ：11936]某厂生产某产品的年固定成本为250万元，每生产x 千件，需另投入成本C(x)（万元），若年产量不足80千件，C(x)的图象是如图的抛物线，此时C(x)<0的解集为(−30,0)，且C(x)的最小值是−75，若年产量不小于80千件，C(x)=51x +10000x−1450，每千件商品售价为50万元，通过市场分析，该厂生产的商品能全部售完.（1）写出年利润L(x)（万元）关于年产量x （千件）的函数解析式； （2）年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？【参考答案】2016-2017年度第*次考试试卷 参考答案**科目模拟测试一、选择题1．C2．B3．C4．C5．B6．B7．A8．C9．B10．B11．C12．C13．C14．B15．D二、填空题16．（1）（2）（3）【解析】【分析】根据奇函数的定义得到（1）正确根据反函数的求法以及定义域值域得到（2）正确由函数的值域是得出其真数可以取到所有的正数由二次函数判别式大于等于0求解可判断出（3）正确17．4【解析】【分析】根据分段函数的解析式当时令则解得当时做出函数的图像即可求解【详解】当时令则解得当时令得作出函数的图像由图像可知与有两个交点与有一个交点则的零点的个数为4故答案为：4【点睛】本题考查18．（3）【解析】（1）所以错误；（2）当时恒成立；当时综上或所以错误；（3）函数上任取一点则点落在函数上所以两个函数关于原点对称正确；（4）定义域为当时成立；当时得综上所以错误；（5）定义域为由复合函19．-7【解析】分析：首先利用题的条件将其代入解析式得到从而得到从而求得得到答案详解：根据题意有可得所以故答案是点睛：该题考查的是有关已知某个自变量对应函数值的大小来确定有关参数值的问题在求解的过程中需20．【解析】【分析】根据题意分离出参数a后转化为求函数的最值即可通过换元后利用二次函数的性质可求得最大值【详解】可化为令由得则在上递减当时取得最大值为所以故答案为【点睛】本题考查二次函数的性质函数恒成立21．3或【解析】【分析】令换元后函数转化为二次函数由二次函数的性质求得最大值后可得但是要先分类讨论分和求出的取值范围【详解】设则对称轴方程为若则∴当时解得或（舍去）若则∴当时解得或（舍去）答案：3或【点22．7【解析】【分析】【详解】设则因为所以故答案为723．【解析】由题意有：则：24．【解析】【分析】【详解】试题分析：两种都买的有人所以两种家电至少买一种有人所以两种都没买的有人或根据条件画出韦恩图：(人)考点：元素与集合的关系25．【解析】【分析】【详解】函数有两个零点和的图象有两个交点画出和的图象如图要有两个交点那么三、解答题26．27．28．29．30．2016-2017年度第*次考试试卷参考解析【参考解析】**科目模拟测试一、选择题1．C 解析：C 【解析】 【分析】求出集合B 后可得A B .【详解】因为集合{}|1,{|11}A x x x R x x =≤∈=-≤≤，{}2|,{|0}B y y x x R y y ==∈=≥则A B ={}|01x x ≤≤，选C【点睛】本题考查集合的交，注意集合意义的理解，如(){}|,x y f x x D =∈表示函数的定义域，而(){}|,y y f x x D =∈表示函数的值域，()(){},|,x y y f x x D =∈表示函数的图像.2．B解析：B 【解析】 【分析】利用分段函数先求f （1)8）的值，然后在求出f 1(())8f 的值． 【详解】 f＝log 2＝log 22－3＝－3，f＝f (－3)＝3－3＝.【点睛】本题主要考查分段函数求值以及指数函数、对数函数的基本运算，属基础题．3．C解析：C 【解析】 【分析】确定函数是奇函数，图象关于原点对称，x ＞0时，f （x ）＝log a x （0＜a ＜1）是单调减函数，即可得出结论． 【详解】由题意，f （﹣x ）＝﹣f （x ），所以函数是奇函数，图象关于原点对称，排除B 、D ； x ＞0时，f （x ）＝log a x （0＜a ＜1）是单调减函数，排除A ． 故选C ． 【点睛】本题考查函数的图象，考查函数的奇偶性、单调性，正确分析函数的性质是关键．4．C解析：C 【解析】【分析】要使函数()f x 在(,)-∞+∞上为减函数，则要求①当1x <，()(31)4f x a x a =-+在区间(,1)-∞为减函数，②当1x ≥时，()log a f x x =在区间[1,)+∞为减函数，③当1x =时，(31)14log 1a a a -⨯+≥，综上①②③解方程即可.【详解】令()(31)4g x a x =-+，()log a h x x =.要使函数()f x 在(,)-∞+∞上为减函数，则有()(31)4g x a x =-+在区间(,1)-∞上为减函数，()log a h x x =在区间[1,)+∞上为减函数且(1)(1)g h ≥,∴31001(1)(31)14log 1(1)a a a g a a h -<⎧⎪<<⎨⎪=-⨯+≥=⎩,解得1173a ≤<. 故选：C. 【点睛】考查分段函数求参数的问题.其中一次函数y ax b =+，当0a <时，函数y ax b =+在R 上为减函数，对数函数log ,(0)a y x x =>，当01a <<时，对数函数log ay x =在区间(0,)+∞上为减函数.5．B解析：B 【解析】 【分析】 把函数1y x=先向右平移一个单位，再关于x 轴对称，再向上平移一个单位即可. 【详解】 把1y x = 的图象向右平移一个单位得到11y x =-的图象， 把11y x =-的图象关于x 轴对称得到11y x =--的图象， 把11y x =--的图象向上平移一个单位得到()111f x x =--的图象， 故选：B . 【点睛】本题主要考查函数图象的平移，对称，以及学生的作图能力，属于中档题.6．B解析：B 【解析】由()f x 的解析式知仅有两个零点32x =-与0x =，而A 中有三个零点，所以排除A ，又()2232xx x f x e-++'=，由()0f x '=知函数有两个极值点，排除C ，D ，故选B ． 7．A解析：A 【解析】不妨设123x x x <<，当2x <时，()()212f x x =--+，此时二次函数的对称轴为1x =，最大值为2，作出函数()f x 的图象如图，由222x -=得3x =，由()()()123f x f x f x ==，，且1212x x +=，即122x x +=，12332,x x x x ∴++=+ 由图可知3323,425x x <<∴<+<， 即123x x x ++的取值范围是()4,5，故选A.8．C解析：C 【解析】 由题意知，函数sin 21cos xy x =-为奇函数，故排除B ；当πx =时，0y =，故排除D ；当1x =时，sin 201cos 2y =>-，故排除A ．故选C ． 点睛:函数图像问题首先关注定义域，从图像的对称性，分析函数的奇偶性，根据函数的奇偶性排除部分选择项，从图像的最高点、最低点，分析函数的最值、极值，利用特值检验，较难的需要研究单调性、极值等，从图像的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等．9．B解析：B 【解析】试题分析：根据指数函数和对数函数的单调性知：0.30771a =>=，即1a >；7000.30.31b <=<=，即01b <<；ln0.3ln10c =<=，即0c <；所以a b c >>，故正确答案为选项B ．考点：指数函数和对数函数的单调性；间接比较法．10．B解析：B 【解析】 【分析】由函数的解析式可得函数f （x ）＝x 2﹣4x +5＝（x ﹣2）2+1的对称轴为x ＝2，此时，函数取得最小值为1，当x ＝0或x ＝4时，函数值等于5，结合题意求得m 的范围． 【详解】∵函数f （x ）＝x 2﹣4x +5＝（x ﹣2）2+1的对称轴为x ＝2，此时，函数取得最小值为1， 当x ＝0或x ＝4时，函数值等于5．且f （x ）＝x 2﹣4x +5在区间[0，m ]上的最大值为5，最小值为1， ∴实数m 的取值范围是[2，4]， 故选：B ． 【点睛】本题主要考查二次函数的性质应用，利用函数图像解题是关键，属于中档题．11．C解析：C 【解析】 【分析】令[]()()10g x f f x =-=,可得[]()1f f x =,解方程()1f x =,结合函数()f x 的图象,可求出答案. 【详解】令[]()()10g x f f x =-=,则[]()1f f x =,令()1f x =,若2log (1)1x +=,解得1x =或12x =-,符合(1,3)x ∈-;若411x =-,解得5x =,符合[3,)x ∈+∞.作出函数()f x 的图象,如下图,(]1,0x ∈-时,[)()0,f x ∈+∞;()0,3x ∈时,()()0,2f x ∈;[3,)x ∈+∞时,(]()0,2f x ∈. 结合图象,若()1f x =,有3个解;若1()2f x =-,无解;若()5f x =,有1个解. 所以函数[]()()1g x f f x =-的零点个数为4个. 故选:C.【点睛】本题考查分段函数的性质,考查了函数的零点,考查了学生的推理能力,属于中档题.12．C解析：C 【解析】 【分析】令函数4()log 7xf x x =+-，则函数()f x 是()0,∞+上的单调增函数，且是连续函数，根据(5)(6)0f f ⋅<，可得函数4()log 7xf x x =+-的零点所在的区间为()5,6，由此可得方程4log 7x x +=的解所在区间． 【详解】令函数4()log 7xf x x =+-，则函数()f x 是()0,∞+上的单调增函数，且是连续函数.∵(5)0f <，(6)0>f ∴(5)(6)0f f ⋅<∴故函数4()log 7xf x x =+-的零点所在的区间为()5,6∴方程4log 7x x +=的解所在区间是()5,6 故选C. 【点睛】零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[,]a b 上是连续不断的曲线，且()()0f a f b ⋅<，还必须结合函数的图象与性质（如单调性、奇偶性）才能确定函数有多少个零点.13．C解析：C 【解析】 【分析】根据函数的周期性以及分段函数的表达式，结合对数的运算法则，代入即可得到结论． 【详解】2222log 4log 7log 83=<<=，20log 721∴<-<，()()2log 72227log 7log 7224f f -∴=-==.故选：C . 【点睛】本题主要考查函数值的计算，根据分段函数的表达式以及函数的周期性进行转化是解决本题的关键．14．B解析：B 【解析】 【分析】根据二次函数的图象和性质，求出最大值和最小值对应的x 的取值，然后利用数形结合即可得到结论． 【详解】当x≥0时，f （x ）=x （|x|﹣1）=x 2﹣x=（x ﹣12）2﹣1144≥-， 当x ＜0时，f （x ）=x （|x|﹣1）=﹣x 2﹣x=﹣（x+12）2+14， 作出函数f （x ）的图象如图：当x≥0时，由f （x ）=x 2﹣x=2，解得x=2． 当x=12时，f （12）=14-． 当x ＜0时，由f （x ）=）=﹣x 2﹣x=14-．即4x 2+4x ﹣1=0，解得x=44248-±-±=⨯=4182-±-±=，∴此时x=12-， ∵[m，n]上的最小值为14-，最大值为2，∴n=2，1122m --≤≤，∴n﹣m 的最大值为2﹣12--=52+， 故选：B ．【点睛】本题主要考查函数最值的应用，利用二次函数的图象和性质是解决本题的关键，利用数形结合是解决本题的基本数学思想．15．D解析：D 【解析】 【分析】 【详解】易得()f x 是奇函数，2()310()f x x f x '=+>⇒在R 上是增函数，不等式(sin )(1)0f m f m θ+-> 恒成立. 可得11(sin )(1)sin 1,0sin 111sin 1sin f m f m m m m m θθθθθ>-⇒>-⇒<<<⇒⇒≤--， 故选D.二、填空题16．（1）（2）（3）【解析】【分析】根据奇函数的定义得到（1）正确根据反函数的求法以及定义域值域得到（2）正确由函数的值域是得出其真数可以取到所有的正数由二次函数判别式大于等于0求解可判断出（3）正确 解析：（1）（2）（3） 【解析】 【分析】根据奇函数的定义得到（1）正确，根据反函数的求法以及定义域值域得到（2）正确， 由函数()()2lg f x x ax a =+-的值域是R ，得出其真数可以取到所有的正数，由二次函数判别式大于等于0求解，可判断出（3）正确，根据函数图像平移可判断（4）不正确. 【详解】解：（1）当0c时，()=+f x x x bx ，()()()-=---=-+=-f x x x bx x x bx f x ，当函数为奇函数时()()f x f x -=-，即()++=----+=+-x x bx c x x bx c x x bx c ，解得0c ，所以0c 是函数()f x x x bx c =++为奇函数的充要条件，所以（1）正确；（2）由反函数的定义可知函数()20xy x -=>的反函数是()2log 01y x x =-<<，所以（2）正确；（3）因为函数()()2lg f x x ax a =+-的值域是R ，所以2y x ax a =+-能取遍(0,)+∞的所有实数，所以240a a =+≥△，解得0a ≥或4a ≤-，所以（3）正确； （4）函数()1y f x =-是偶函数，所以()1y f x =-图像关于y 轴对称，函数()y f x =的图像是由()1y f x =-向左平移一个单位得到的，所以函数()y f x =的图像关于直线1x =-对称，故（4）不正确. 故答案为：（1）（2）（3） 【点睛】本题主要考查对函数的理解，涉及到函数的奇偶性、值域、反函数等问题.17．4【解析】【分析】根据分段函数的解析式当时令则解得当时做出函数的图像即可求解【详解】当时令则解得当时令得作出函数的图像由图像可知与有两个交点与有一个交点则的零点的个数为4故答案为：4【点睛】本题考查解析：4 【解析】 【分析】根据分段函数的解析式当0x ≤时，令()3f x =，则2413x x --+=，解得2x =-±0x >时，()31xf x =>，1x =，做出函数()f x ，1,22y y y ==-=--.【详解】241,0()3,0x x x x f x x ⎧--+≤=⎨>⎩，∴当0x ≤时，()()2241255f x x x x =--+=-++≤，令()3f x =，则2413x x --+=，解得2x =-±120,423,-<-+<-<--当0x >时，()31xf x =>，令()3f x =得1x =，作出函数()f x ，1,22,22y y y ==-=--由图像可知，()f x 与1y =有两个交点，与22y =-+ 则(())3f f x =的零点的个数为4. 故答案为：4 【点睛】本题考查了分段函数的零点个数，考查了数形结合的思想，属于基础题.18．（3）【解析】（1）所以错误；（2）当时恒成立；当时综上或所以错误；（3）函数上任取一点则点落在函数上所以两个函数关于原点对称正确；（4）定义域为当时成立；当时得综上所以错误；（5）定义域为由复合函解析：（3） 【解析】 （1）(112221222---⎛⎫⎡⎤-== ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭，所以错误；（2）2log 1log 3aa a <=，当1a >时，恒成立；当01a <<时，023a <<，综上，023a <<或1a >，所以错误； （3）函数2xy =上任取一点(),x y ，则点(),x y --落在函数2x y -=-上，所以两个函数关于原点对称，正确；（4）定义域为R ，当0m =时，成立；当0m >时，240m m ∆=-≤，得04m <≤，综上，04m ≤≤，所以错误；（5）定义域为()0,1，由复合函数的单调性性质可知，所求增区间为10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以错误； 所以正确的有（3）。
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上外附中高一上学期期中数学试卷
2015.11
一. 填空题（本大题共14题，每题3分，共42分）
1. 有四个集合：①2{|33}x x +=；②2{(,)|,,}x y y x x y R =-∈；③2{|0}x x -≥；④{|x 210,}x x x R -+=∈；其中表示空集的序号是 ；
2. 已知2{|21}A y y x x ==-+-，{|21}B y y x ==+，则A B = ；
3. 若全集{1,2,3,4,5}U =且{2,3}U C A =，则集合A 的真子集共有 个；
4. 已知集合2{|320}A x ax x =-+=，若A 中至少有一个元素，则a 的取值范围是 ；
5. 有下列四个命题：①命题“若1xy =，则,x y 互为倒数”的逆命题；②命题“面积相等 的三角形全等”的否命题；③命题“若1m ≤，则2
20x x m -+=有实根”的逆否命题；④ 命题“若A B B = ，则A B ⊆”的逆否命题；其中是真命题的是 ； 6. 若集合12,A A 满足12A A A = ，则称12(,)A A 为集合
A 的一个分拆，并规定：当且仅当 12A A =时，12(,)A A 与21(,)A A 为集合A 的同一种分拆，
则集合123{,,}A a a a =的不同分拆 种数是 ；
7. 若20a a +<，则22,,,a a a a --由大到小排列顺序是 ；
8. 若关于x 的不等式20ax bx c ++>的解集为{|12}x x -<<，则关于x 的不等式2cx + 0bx a +>的解集是 ；
9. 不等式4||x x
<的解集是 ； 10. 若不等式|3|4x b -<的解集中的整数有且仅有1,2,3，则实数b 的取值范围是 ； 11. 设0x >，则31
x x ++的最小值为 ； 12. 已知方程2(1)(2)0x x x m --+=的三根可作为一个三角形的三边长，那么m 的取值范
围是 ；
13. 对于在区间[,]a b 上有意义的两个函数()f x 与()g x ，如果对任意[,]x a b ∈，均有
|()()|1f x g x -≤，
那么就称()f x 与()g x 在[,]a b 上是接近的，若函数2()32f x x x =-+与()23g x x =-在[,]a b 上是接近的，则该区间可以是 ；
14. 三位同学合作学习，对问题“已知不等式22
2xy ax y ≤+对于[1,2],[2,3]x y ∈∈恒成立，求a 的取值范围”提出了各自解题思路，甲说：“可视x 为变量，y 为常量来分析”，乙说：“寻找x 与y 的关系，再作分析”，丙说：“把字母a 单独放在一边，再作分析”，参考上述说法或自己其他解法，可求出实数a 的取值范围是 ；
二. 选择题（本大题共4题，每题3分，共12分）
15. 下列说法中，正确的是（ ）
A. 任何一个集合必有两个子集
B. 若A B =∅ ，则,A B 中至少有一个为∅
C. 任何集合必有一个真子集
D. 若S 为全集，且A B S = ，则A B S ==
16. 已知p 与q 是两个命题，如果p 或q 为假命题，则（ ）
A. ,p q 均为真命题
B. ,p q 均为假命题
C. ,p q 中至少有一个为真命题
D. ,p q 中至多有一个为真命题
17. 已知,a b 为非零实数，且a b <，则下列命题成立的是（ ）
A. 22a b <
B. 22a b ab <
C. 2211ab a b <
D. b a a b
<
18. 使关于x k ≥有解的实数k 的最大值是（ ）
A .
B. C. D. 不确定
三. 解答题（本大题共5题，共8+8+8+10+12=46分）
19. 对于集合,A B ，我们把{(,)|,}a b a A b B ∈∈记为A B ⨯，若{1,0}A =-，{1,2}B =，求A B ⨯，A A ⨯；
20. 记关于x 的不等式111
a x +<+的解集为P ，不等式|2|4x +<的解集为Q ； （1）若3a =，求P ；（2）若P Q Q = ，求实数a 的取值范围；
21. 已知：,,,[0,1]a b c d ∈；
（1）比较1(1)(1)M a b =--与11N a b =--的大小；
（2）比较2(1)(1)(1)(1)M a b c d =----与21N a b c d =----的大小；
22. 已知不等式：3||2
x x a a -+
≥； （1）设不等式的解集是M ，如果2M ∈，求实数a 的取值范围； （2）若实数1a ≥，对任意实数[1,2]x ∈恒成立，求实数a 的取值范围；
23. 已知二次函数2()f x ax bx c =++和一次函数()g x bx =-，其中,,a b c 满足a b c >>且0a b c ++=(,,)a b c R ∈；
（1）求证：两函数的图像交于不同的两点,A B ；
（2）求c a
的范围； （3）求线段AB 在x 轴上的射影11A B 的长的取值范围；
参考答案
1. ④；
2. (,0]-∞；
3. 7；
4. 98a ≤
； 5. ①②③； 6. 27； 7. 22a a a a ->>->； 8. (,1)(0.5,)-∞-+∞ ；
9. (0,2)； 10. (5,7)； 11. 1； 12. 3(,1]4；
13. [1,2][3,4] （答案不唯一）； 14. 1a ≥-；
15. D ； 16. D ； 17. C ； 18. B ；
19. {(1,1),(1,2),(0,1),(0,2)}A B ⨯=--，{(1,1),(1,0),(0,1),(0,0)}A A ⨯=----；
20.（1）(1,3)P =-；（2）[6,2]a ∈-；
21.（1）11M N ≥；（2）22M N ≥；
22.（1）116a ≤或52a ≥；（2）35[1,][,)22
a ∈+∞ ；
23.（1）略；（2）1
(2,)2--；（3）；。