湖北省武汉市2017-2018学年高三上学期部分学校新起点调研测试数学(理)试题 Word版含答案
精品解析湖北省武汉市2017-2018学年度部分学校新高三起点调研考试理科数学试题(解析版)
2017-2018学年度武汉市部分学校新高三起点调研测试理科数学第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设集合，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】本题选择C选项.2. 设，其中是实数，则在复平面内所对应的点位于（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】D【解析】由，其中是实数，得：，所以在复平面内所对应的点位于第四象限.本题选择D选项.3. 已知等比数列中，，，成等比数列，设为数列的前项和，则等于（）A. B. 3或 C. 3 D.【答案】B【解析】因为，，成等比数列，，整理可得，，或，当时，则，当时，则，故选B.4. 将一枚质地均匀的骰子投两次，得到的点数依次记为和，则方程有实数解的概率是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】若方程有实根，则必有，若，则；若，则；若，则；若，则若，则；若，则，事件“方程有实根”包含基本事件共，事件的概率为，故选C.5. 函数（）的单调递增区间是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由函数得，得或，根据题意，设，则，图象开口向上，因函数为单调增函数，由得：也是增函数，又因在上是增函数，故的取值范围是，故选D.6. 一个几何体的三视图如图，则它的表面积为（）A. 28B.C.D.【答案】B【解析】如图所示，三视图所对应的几何体是长宽高分别为2,2,3的长方体去掉一个三棱柱后的棱柱：ABIE-DCJH，该几何体的表面积为：.本题选择D选项.点睛：(1)以三视图为载体考查几何体的表面积，关键是能够对给出的三视图进行恰当的分析，从三视图中发现几何体中各元素间的位置关系及数量关系．(2)多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积应注意重合部分的处理．(3)圆柱、圆锥、圆台的侧面是曲面，计算侧面积时需要将这个曲面展为平面图形计算，而表面积是侧面积与底面圆的面积之和．7. 已知，且，若，则一定有（）A. B. C. D.【答案】D【解析】对于，当时不成立，排除；对于，时，不成立，排除；对于，时不成立，排除，故选D.8. 某公司生产甲、乙两种桶装产品，已知生产甲产品1桶需耗原料2千克，原料3千克；生产乙产品1桶需耗原料2千克，原料1千克，每桶甲产品的利润是300元，每桶乙产品的利润是400元，公司在要求每天消耗原料都不超过12千克的条件下，生产产品、产品的利润之和的最大值为（）A. 1800元B. 2100元C. 2400元D. 2700元【答案】C【解析】设分别生产甲乙两种产品为桶，桶，利润为元，则根据题意可得，作出不等式组表示的平面区域，如图所示，作直线，然后把直线向可行域平移，可得，此时最大，故选C. 【方法点晴】本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.9. 已知不等式所表示的平面区域内一点到直线和直线的垂线段分别为，若三角形的面积为，则点轨迹的一个焦点坐标可以是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】直线与夹角为，且，与夹角为，，，即点轨迹方程为，半焦距为，焦点坐标为，故选A.10. 执行下面的程序框图，如果输入的，，，则输出的值满足（）A. B. C. D.【答案】D【解析】试题分析：运行程序，，判断否，，判断否，，判断是，输出，满足.考点：程序框图.11. 已知分别为椭圆（）的左、右顶点，是椭圆上的不同两点且关于轴对称，设直线的斜率分别为，若点到直线的距离为1，则该椭圆的离心率为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】设，则，，，又，点到的距离为，解得，故选B.【方法点睛】本题主要考查双曲线的方程以及几何性质、离心率的求法，属于难题.离心率的求解在圆锥曲线的考查中是一个重点也是难点，一般求离心率有以下几种情况：①直接求出，从而求出;②构造的齐次式，求出;③采用离心率的定义以及圆锥曲线的定义来求解;④根据圆锥曲线的统一定义求解．12. 设点是棱长为2的正方体的棱的中点，点在面所在的平面内，若平面分别与平面和平面所成的锐二面角相等，则点到点的最短距离是（）A. B. C. 1 D.【答案】A【解析】设在平面上的射影为在平面上的射影为，平面与平面和平面成的锐二面角分别为，则，，设到距离为，则，即点在与直线平行且与直线距离为的直线上，到的最短距离为，故选A.【方法点晴】本题主要考查的是正方体的性质、二面角的求法、空间直角坐标系和空间向量在立体几何中的应用，属于难题．解题时一定要注意二面角的平面角是锐角还是钝角，否则很容易出现错误，求二面角的常见方法有：1、利用定义找到二面角的平面角，根据平面几何知识求解；2、利用公式，求出二面角的余弦，从而求得二面角的大小；3、利用空间相夹角余弦公式．第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 设向量，，且，则实数__________．【答案】【解析】，由，得，解得，故答案为.14. 展开式中的系数为__________．（用数学填写答案）【答案】【解析】的二项展开式的通项公式为，令，求得，故展开式中的系数为，故答案为.【方法点晴】本题主要考查二项展开式定理的通项与系数，属于简单题. 二项展开式定理的问题也是高考命题热点之一，关于二项式定理的命题方向比较明确，主要从以下几个方面命题：（1）考查二项展开式的通项公式；（可以考查某一项，也可考查某一项的系数）（2）考查各项系数和和各项的二项式系数和；（3）二项展开式定理的应用.15. 设等差数列满足，，且有最小值，则这个最小值为__________．【答案】-12【解析】因为数列是等差数列，且，所以，是一元二次方程的二根，由得，或，当时，，，当时，取得最小值，由解得，时，取得最小值，此时，当时，，，当时，取得最小值，由解得，时，取得最小值，此时，故答案为.16. 已知函数（，，），直线与的图象的相邻两个交点的横坐标分别是2和4，现有如下命题：①该函数在上的值域是；②在上，当且仅当时函数取最大值；③该函数的最小正周期可以是；④的图象可能过原点.其中的真命题有__________（写出所有真命题的序号）【答案】③【解析】对于①，符号不确定，该函数在上的值域不一定是，故①错误；对于②，时函数也可能取最小值，故②错误；对于③，由，令，可得，故③正确；对于④，过原点与相矛盾，④错误，故答案为③.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 已知等差数列的前项和为，等比数列的前项和为，，，. （1）若，求的通项公式；（2）若，求.【答案】（1）；（2）或．【解析】试题分析：(1)由题意可得数列的公比为2，则数列的通项公式为.(2)首先由题意求得数列的公差，然后结合等差数列前n项和公式可得或.学%科%网...学%科%网...学%科%网...学%科%网...学%科%网...试题解析：（1）设的公差为，的公比为，则，.由，得①由，得②联立①和②解得（舍去），或，因此的通项公式.（2）∵，∴，或，∴或8.∴或.18. 在锐角中，内角的对边分别是，满足. （1）求角的值；（2）若且，求的取值范围.【答案】(1) ；(2) .【解析】试题分析：（1）根据余弦的二倍角公式以及两角和与差的余弦公式化简，可得的值，从而求得的值；（2），∴，∴，，再由正弦定理可得结果.试题解析：（1）由已知得化简得，又三角形为锐角三角形，故. （2）∵，∴，∴，由正弦定理得：即：，即由知.19. 甲、乙两名运动员参加“选拔测试赛”，在相同条件下，两人6次测试的成绩（单位：分）记录如下：甲 86 77 92 72 78 84乙 78 82 88 82 95 90（1）用茎叶图表示这两组数据，现要从中选派一名运动员参加比赛，你认为选派谁参赛更好？说明理由（不用计算）；（2）若将频率视为概率，对运动员甲在今后三次测试成绩进行预测，记这三次成绩高于85分的次数为，求的分布列和数学期望及方差.【答案】(1) 故选乙；(2) ，.【解析】试题分析：（1）根据茎叶图的定义，观察数据的平均值以及数据分散与集中程度可得结果；（2）甲运动员每次测试高于85分的概率大约是，成绩高于85分的次数为服从二项分布，从而可得分布列，利用二项分布的期望与方差公式可得结果.试题解析：（1）由图可知乙的平均水平比甲高，故选乙．（2）甲运动员每次测试高于85分的概率大约是，成绩高于85分的次数为服从二项分布，分布列为，20. 如图1，在矩形中，，，是的中点，将沿折起，得到如图2所示的四棱锥，其中平面平面.（1）设为的中点，试在上找一点，使得平面；（2）求直线与平面所成的角的正弦值.【答案】（1）；(2) 正弦值为.【解析】试题分析：（1）取中点，连接，由等比例定理及平行线的性质可得平面，则，∴为平行四边形，所以；（2）由等积变换可求出点到平面的距离，又知，从而可得直线与平面所成的角的正弦值.试题解析：（1）取中点，连接，∵，，∴且，所以共面，若平面，则，∴为平行四边形，所以（2）设点到的距离为，由可得.设中点为，作垂直直线于，连接，∵平面∴，则，，∴，所以直线与平面所成的角的正弦值为.21. 已知抛物线（）和定点，设过点的动直线交抛物线于两点，抛物线在处的切线交点为.（1）若在以为直径的圆上，求的值；（2）若三角形的面积最小值为4，求抛物线的方程.【答案】(1)；(2) .【解析】试题分析：（1）设出直线方程，与抛物线方程联立，根据韦达定理，导数的几何意义，结合处的切线斜率乘积为可得结果；（2）根据弦长公式、点到直线距离公式以及三角形面积公式可以得到，从而可得结果..试题解析：（1）可设，，，将方程代入抛物线方程得则，①又得，则处的切线斜率乘积为则有（2）由①可得点到直线的距离∴，∴，故抛物线的方程为22. 已知函数（）（…是自然对数的底数）.（1）求单调区间；（2）讨论在区间内零点的个数.【答案】(1) 当时，，单调增间为，无减区间；当时，单调减间为，增区间为(2) 所以或或时，有两个零点；当且时，有三个零点【解析】试题分析：(1) 求出，讨论，两种情况，分别令得增区间，得减区间；(2)要求在区间内零点的个数，考虑在区间的零点个数，利用导数研究函数的单调性，分三种情况，，，分别求出零点个数即可.试题解析：（1）当时，，单调增间为，无减区间；当时，单调减间为，增区间为（2）由得或先考虑在区间的零点个数当时，在单调增且，有一个零点；当时，在单调递减，有一个零点；当时，在单调递减，单调递增.而，所以或时，有一个零点，当时，有两个零点而时，由得所以或或时，有两个零点；当且时，有三个零点.【方法点晴】本题主要考查的是利用导数研究函数的单调性、利用导数研究函数的零点，属于难题．利用导数研究函数的单调性进一步求函数最值的步骤：①确定函数的定义域；②对求导；③令，解不等式得的范围就是递增区间；令，解不等式得的范围就是递减区间.。
湖北省武汉市武昌区2017-2018学年高三10月调研考试理数试题解析(解析版)Word版含解析
2017-2018学年第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.若复数112m i i +++是实数，则实数m =（ ） A ．12 B ．1 C ．32D ．2 【答案】B考点：复数的相关概念及运算．2.若变量,x y 满足约束条件211y xx y y ≤⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩，则2z x y =+的最大值是（ ）A ．52-B ．0C ．53D ．52【答案】C 【解析】试题分析：作出不等式组满足的平面区域，如图所示，由图知，当目标函数2z x y =+经过点12(,)33A 时取得最大值，即max 1252333z =+⨯=，故选C ．考点：简单的线性规划问题．3.某居民小区有两个相互独立的安全防范系统A 和B ，系统A 和系统B 在任意时刻发生故障的概率分别为18和p ．若在任意时刻恰有一个系统不发生故障的概率为940，则p =（ ）A ．110 B ．215 C ．16 D ．15【答案】B 【解析】试题分析：记“系统A 发生故障、系统B 发生故障”分别为事件A 、B ，“任意时刻恰有一个系统不发生故障”为事件C ，则119()()()()()(1)(1)8840P C P A P B P A P B p p =+=-⋅+-=，解得215p =，故选B ．考点：对立事件与独立事件的概率．4.已知双曲线221x y -=，点12,F F 为其两个焦点，点P 为双曲线上一点，若12PF PF ⊥，则12PF PF +的值为（ ）A ．2B ．．．【答案】C考点：1、双曲线的定义；2、双曲线的几何性质． 5.设123log 2,ln 2,5a b c -===，则（ ）A ．a b c <<B ．b c a <<C ．c a b <<D ．c b a << 【答案】C 【解析】试题分析：因为3ln 2log 2ln 2ln 3a b ==<=，3log 2332a ==，3c =<33a c >，所以a c >，所以c a b <<，故选C ． 考点：指数函数与对数函数的性质．6.执行如图所示的程序框图，若输出k 的值为8，则判断框内可填入的条件是（ ）A ．3?4S ≤B ．11?12S ≤C ．25?24S ≤D ．137?120S ≤ 【答案】B考点：程序框图．7.()()532x y x y -+的展开式中，42x y 的系数为（ ） A ．110 B ．120 C ．130 D ．150 【答案】A 【解析】试题分析：因为()52x y +展开式的通项公式为5152rrrr r T C xy -+=，所以()()532x y x y -+的展开式中含42x y 的项为2232532x C x y ⋅与1452y C x y -⋅，所以42x y 的系数为22155322110C C ⨯-=，故选A ．考点：二项式定理．8.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．12B ．18C ．24D ．30 【答案】C考点：空间几何体的三视图及体积．【方法点晴】在解答根据空间几何体三视图求其体积中，先从三视图的俯视图入手，如果俯视图是圆，几何体为圆锥或三圆柱，如果俯视图是三角形，几何体为三棱柱或三棱锥，如本题根据三视图得出该几何体为三棱柱截去三棱锥后的几何体，用两个体积相减即可． 9.动点(),A x y 在圆221x y +=上绕坐标原点沿逆时针方向匀速旋转，12秒旋转一周．已知时间0t =时，点A 的坐标是12⎛⎝⎭，则当012t ≤≤时，动点A 的纵坐标y 关于t （单位：秒）的函数的单调递增区间 是（ ）A ．[]0,1B ．[]1,7C ．[]7,12D ．[]0,1和[]7,12 【答案】D 【解析】试题分析：0t =时，点A 的坐标是12⎛⎝⎭，所以点A 的初始角为60︒，当点A转过的角度在[0,30]︒︒或[210,360]︒︒时，动点A 的纵坐标y 关于t （单位：秒）的函数的单调递增，因为12秒旋转一周，所以每秒转过的角度是3601230︒÷=︒，210307︒÷=︒，则当012t ≤≤时，动点A 的纵坐标y 关于t （单位：秒）的函数的单调递增区间是[]0,1和[]7,12，故选D ． 考点：1、三角的定义；2、三角函数的图象与性质．【方法点睛】三角函数的定义是研究三角问题的基础，在数学学习中，利用定义解题是一种良好的思维方式，因为定义是一切基本问题的出发点，对数学定义的反复应用必将增强对知识的理解与掌握，是学好数学的有效途径．10.已知1:p 设函数()()20f x ax bx c a =++>，且()12af =-，则()f x 在()0,2上必有零点；2:p 设,a b R ∈，则“a b >”是“a a b b >”的充分不必要条件． 则在()112212312:,:,:q p p q p p q p p ∨∧⌝∨和()412:p q p ∧⌝中，真是（ ）A ．13,q qB ．23,q qC ．14,q qD ．24,q q 【答案】C考点：1、复合真假的判定；2、函数零点；3、充分条件与必要条件．11.在ABC ∆中，090C ∠=，M 是BC 的中点，若1sin 3BAM ∠=，则s in BAC ∠=（ ）A ．23 D【答案】A考点：1、正弦定理；2、诱导公式．【技巧点睛】选用正弦定理或余弦定理的原则：如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．12.设直线l 与抛物线24y x =相交于,A B 两点，与圆()()22250x y r r -+=>相切于点M ，且M 为线段AB 的中点，若这样的直线l 恰有4条，则r 的取值范围是（ ） A ．()1,3 B ．()1,4 C ．()2,3 D ．()2,4 【答案】D 【解析】试题分析：设 ()11,A x y ，()22,B x y ，()00,M x y ，斜率存在时，设斜率为k ，则2211224,4,y x y x ==，则两式相减，得()()()1212124y y y y x x +-=-，当l 的斜率存在时，利用点差法可得02y k =．因为直线与圆相切，所以0015y x k=--，所以03x =，即M 的轨迹是直线3x =．将3x =代入24y x =，得212y =，所以0y -<<M 在圆上，所以()222005x y r -+=，所以220412416r y =+≤+=．因为直线l 恰有4条，所以00y ≠，所以2416r <<，故24r <<时，直线l 有2条；斜率不存在时，直线l 有2条；所以直线l 恰有4条时，24r <<，故选D ．考点：1、抛物线的几何性质；2、直线与圆的位置关系．第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.若向量,a b 满足：()()()3,1,2,a a b a a b b =-+⊥+⊥，则b =_____________．考点：1、向量数量积；2、向量的模．14.已知()20sin x dx πϕ-=⎰，则sin 2ϕ=____________． 【答案】916【解析】试题分析：因为()220sin cos()|sin cos x dx x πϕϕϕϕπ-=--=-+=⎰，所以27(cos sin )16ϕϕ-=，即71sin 216ϕ-=，所以9sin 216ϕ=． 考点：定积分的运算．【技巧点睛】对于给角求值问题，往往所给角都是非特殊角，解决这类问题的基本思路： (1)当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式．(2)当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”．15.已知直三棱柱111ABC A B C -的各项点都在同一球面上，若012,120AB AC AA BAC ===∠=，则该球的表面积等于___________． 【答案】20π 【解析】试题分析：设该球的圆心为O ，ABC 所在的圆面圆心为1O ，则1OO ⊥平面ABC 且11OO =．在ABC ∆中，因为02,120AB AC BAC ==∠=，所以30ACB ∠=︒．设ABC ∆外接圆的半径为r ，则由正弦定理，知24sin ABr ACB==∠，即2r =，所以该球的半径R ===，所以该球的表面积为2420S R =π=π．考点：1、棱柱的外接球；2、球的表面积． 16.已知函数()1212x f x kex x -=-+（k 为常数），曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线与x 轴平行，则()f x 的单调递减区间为_____________．【答案】(),0-∞考点：1、导数的几何意义；2、利用导数研究函数的单调性；3、函数图象．【思路点睛】求证不等式()()f x g x ≥，一种常见思路是用图像法来说明函数()f x 的图像在函数()g x 图像的上方，但通常不易说明；另一种思路就是构造函数()()()F x f x g x ＝－，通过导数研究函数()F x 的性质，进而证明欲证不等式．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.（本小题满分12分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知()*1121,n n n a a S n N n++==∈．（1）证明：数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等比数列； （2）求数列{}n S 的前n 项和n T ．【答案】（1）见解析；（2）()121n n T n =-+．考点：1、等比数列的定义；2、数列求和．18.（本小题满分12分）某公司招收大学毕业生，经过综合测试录用了14名男生和6名女生，这20名毕业生的测试成绩如茎叶图所示（单位：分）．公司规定：成绩在180分以上者到甲部门工作，在180分以下者到乙部门工作，另外只有成绩高于180分的男生才能担任助理工作．（1）现用分层抽样的方法从甲、乙两部门中选取8人．若从这8人中再选3人，求至少有一人来自甲部门的概率；（2）若从甲部门中随机选取3人，用X表示所选人员中能担任助理工作的人数，求X的分布列及数学期望．【答案】（1）1314；（2）分布列见解析，()95E X=．∴X的分布列为∴()119 01233010265E X=⨯+⨯+⨯+⨯=．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分考点：1、分层抽样的应用及古典概型概率公式；2、离散型随机变量的分布列与期望．19.（本小题满分12分）如图，在四棱锥S ABCD-中，SD⊥底面ABCD，//,,1,2,AB DC AD DC AB AD DC SD E⊥====为棱SB上的一点，平面EDC⊥平面SBC．（1）证明：2SE EB =；（2）求二面角A DE C --的大小． 【答案】（1）见解析；（2）120°．设平面EDC 的法向量(),,n x y z =，由,n DE n DC ⊥⊥，得00n DE n DC ⎧=⎨=⎩，∴2011120xy z y λλλλλ⎧++=⎪+++⎨⎪=⎩，取()2,0,n λ=-．由平面EDC ⊥平面SBC ，得m n ⊥，∴0m n =，∴20λ-=，即2λ=． 故2SE EB =．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分考点：1、面面垂直的性质；2、二面角；3、空间向量的应用．【知识点睛】(1)如图①，AB CD ，是二面角 l αβ--的两个面内与棱l 垂直的直线，则二面角的大小θ＝,AB CD <>；(2)如图②③，1n ，2n 分别是二面角 l αβ--的两个半平面αβ，的法向量，则二面角的大小12,θn n =<> (或12,πn n -<>)．20.（本小题满分12分）已知()()0,1,0,1A B -是椭圆2212x y +=的两个顶点，过其右焦点F 的直线l 与椭圆交于,C D 两点，与y 轴交于P 点（异于,A B 两点），直线AC 与直线BD 交于Q 点． （1）当CD =时，求直线l 的方程； （2）求证：OP OQ 为定值．【答案】（1）10x -=或10x -=；（2）见解析 【解析】试题分析：（1）首先根据题设条件设直线l 的方程为()1y k x =-，并与椭圆方程联立，然后利用韦达定理及弦长公式得)221122k CD k +==+k 值即可；（2）由()()()()1222,,,,0,1,0,1C x y D x y A B -分别得出直线,AC BD 的方程，然后联立两直线方程得到P 点坐标，再由直线和椭圆方程联立后利用韦达定理可得Q 点坐标，进而可得结论．（2）由()()1122,,,y C x y D x ，()()0,1,0,1A B -，得 直线AC 的方程为1111y y x x -=+，直线BD 的方程为2211y y x x +=-， 联立两条直线方程并消去x ，得()()21121111x y y y x y --=++． 由（1），知()()2211221212224221,1,,1212k k y k x y k x x x x x k k -=-=-+==++∴112112122112Q x y x y x x y x y x y x x ++-=-++，∴()()()12211212211212121222121222211222442121212x y x y x x kx x kx x x x kx x k x x x x k k k k k x x x x k k k++-=-+-+-=-++--=-+-=-+-+++，()()()()1221121221122211221122211441212x y x y x x kx x kx x x x k k k x x x x k x x k x x k k -++=---++⎛⎫=-++=-+=--+- ⎪++⎝⎭，∴1Q y k =-，∴1,Q Q x k ⎛⎫- ⎪⎝⎭，又()0,P k -， ∴()10,,1Q OP OQ k x k ⎛⎫=--= ⎪⎝⎭，故OP OQ 为定值．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分考点：1、直线的方程；2、直线与椭圆的位置关系；3、向量数量积．【方法点睛】在圆锥曲线求定值问题中常见的方法有两种：①从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关. ②直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．如本题就是采用方法②先将数量积OP OQ 用变量k 表示，最后消去变量k 得到定值． 21.（本小题满分12分） （1）证明：当[]0,1x ∈时，sin 2x x x ≤≤； （2）若不等式()2222cos 42x ax x x x ++++≤对[]0,1x ∈恒成立，求实数a 的取值范围． 【答案】（1）见解析；（2）(],2-∞-．∵()()00,10F F =>，∴当[]0,1x ∈时，()0F x ≥，即sin x x ≥． 记()sin H x x x =-，则当()0,1x ∈时，()cos 10H x x '=-<，∴()H x 在[]0,1上是减函数，∴()()00H x H ≤=，即sin x x ≤．综上，[]sin ,0,12x x x x ≤≤∈．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分【方法点晴】在证明不等式恒成立问题中常见方法有：①分离参数()a f x ≤恒成立(min ()a f x ≤即可)或()a f x ≥恒成立（max ()a f x ≥即可）；②数形结合；③讨论最值min ()0f x ≥或max ()0f x ≤恒成立；④直接讨论参数.考点：1、利用导数研究函数的单调性；2、不等式恒成立问题．请从下面所给的22 , 23 ,24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分.22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲 如图，O 和O '相交于A B 、两点，过A 作两圆的切线分别交两圆于C D 、两点，连结DB 并延长交O 于点E ，已知3AC BD ==．（1）求AB AD的值；（2）求线段AE的长．【答案】（1）9；（2）3．考点：1、弦切角定理；2、相似三角形．23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为2152xy t⎧=-⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩（t为参数）．以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为ρθ=．（1）把曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程，并说明它表示什么曲线；（2）若P是直线l上的一点，Q是曲线C上的一点，当PQ取得最小值时，求P的直角坐标．【答案】（1）(223x y +=，曲线C 是圆心为)（2）92P ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭-．考点：1、极坐标方程与直角坐标方程的互化；2、参数方程的应用． 24.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知0,0a b >>，函数()f x x a x b =-++的最小值为2． （1）求a b +的值；（2）证明：22a a +>与22b b +>不可能同时成立．【答案】（1）2a b +=；（2）见解析．考点：1、三角绝对值不等式的性质；2、基本不等式；3、反证法．。
(全优试卷)湖北省武汉市部分学校高三起点调研考试理科数学试题Word版含答案
2017-2018学年度武汉市部分学校新高三起点调研测试理科数学第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合2{20}A x x x =-≥，{12}B x x =<≤，则A B =I （ ）A ．{2}B ．{12}x x <<C ．{12}x x <≤D ．{01}x x <≤ 2.设(1)1i x yi -=+，其中,x y 是实数，则x yi +在复平面内所对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 3.已知等比数列{}n a 中，23a ，32a ，4a 成等比数列，设n S 为数列{}n a 的前n 项和，则33S a 等于（ ） A ．139 B ．3或139 C ．3 D ．794.将一枚质地均匀的骰子投两次，得到的点数依次记为a 和b ，则方程210ax bx ++=有实数解的概率是（ ） A ．736 B ．12 C. 1936 D ．5185.函数2()log (45)a f x x x =--（1a >）的单调递增区间是（ ）A ．(,2)-∞-B ．(,1)-∞- C. (2,)+∞ D ．(5,)+∞ 6.一个几何体的三视图如图，则它的表面积为（ ）A ．28B ．2425+ C. 2045+ D ．2025+ 7.已知,x y R ∈，且0x y >>，若1a b >>，则一定有（ ）A ．a bx y> B ．sin sin ax by > C. log log a b x y > D ．x y a b > 8.某公司生产甲、乙两种桶装产品，已知生产甲产品1桶需耗A 原料2千克，B 原料3千克；生产乙产品1桶需耗A 原料2千克，B 原料1千克，每桶甲产品的利润是300元，每桶乙产品的利润是400元，公司在要求每天消耗,A B 原料都不超过12千克的条件下，生产产品A 、产品B 的利润之和的最大值为（ ）A ．1800元B ．2100元 C. 2400元 D ．2700元9.已知不等式2230x y ->所表示的平面区域内一点(,)P x y 到直线3y x =和直线3y x =-的垂线段分别为,PA PB ，若三角形PAB 的面积为33，则点P 轨迹的一个焦点坐标可以是（ ）A ．(2,0)B ．(3,0) C. (0,2) D ．(0,3)10.执行下面的程序框图，如果输入的0x =，1y =，1n =，则输出,x y 的值满足（ ）A ．2y x =B ．3y x = C. 4y x = D ．5y x =11.已知,A B 分别为椭圆22219x y b +=（03b <<）的左、右顶点，,P Q 是椭圆上的不同两点且关于x 轴对称，设直线,AP BQ 的斜率分别为,m n ，若点A 到直线y =的距离为1，则该椭圆的离心率为（ ）A ．12 B ．4 C. 13D ．212.设点M 是棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -的棱AD 的中点，点P 在面11BCC B 所在的平面内，若平面1D PM 分别与平面ABCD 和平面11BCC B 所成的锐二面角相等，则点P 到点1C 的最短距离是（ ）A B ．2C. 1 D 第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.设向量(,1)a m =r ，(1,)b m =r，且a b b +=-r r r ，则实数m = ．14. 12展开式中2x 的系数为 ．（用数学填写答案）15.设等差数列{}n a 满足3736a a +=，46275a a =，且1n n a a +有最小值，则这个最小值为 ．16.已知函数()sin()f x x πωϕ=+（0a ≠，0ω>，2πϕ≤），直线y a =与()f x 的图象的相邻两个交点的横坐标分别是2和4，现有如下命题：①该函数在[2,4]上的值域是[]a ； ②在[2,4]上，当且仅当3x =时函数取最大值； ③该函数的最小正周期可以是83； ④()f x 的图象可能过原点.其中的真命题有 （写出所有真命题的序号）三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，等比数列{}n b 的前n 项和为n T ，11a =-，11b =，223a b +=.（1）若337a b +=，求{}n b 的通项公式； （2）若313T =，求n S .18. 在锐角ABC ∆中，内角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，满足cos 2cos 22cos()cos()066A B B B ππ-+-+=.（1）求角A 的值； （2）若3b =且b a ≤，求a 的取值范围.19. 甲、乙两名运动员参加“选拔测试赛”，在相同条件下，两人6次测试的成绩（单位：分）记录如下：甲 86 77 92 72 78 84 乙 78 82 88 82 95 90（1）用茎叶图表示这两组数据，现要从中选派一名运动员参加比赛，你认为选派谁参赛更好？说明理由（不用计算）；（2）若将频率视为概率，对运动员甲在今后三次测试成绩进行预测，记这三次成绩高于85分的次数为X ，求X 的分布列和数学期望()E X 及方差()D X .20. 如图1，在矩形ABCD 中，4AB =，2AD =，E 是CD 的中点，将ADE ∆沿AE 折起，得到如图2所示的四棱锥1D ABCE -，其中平面1D AE ⊥平面ABCE .（1）设F 为1CD 的中点，试在AB 上找一点M ，使得//MF 平面1D AE ； （2）求直线1BD 与平面1CD E 所成的角的正弦值.21. 已知抛物线2:2C x py =（0p >）和定点(0,1)M ，设过点M 的动直线交抛物线C 于,A B 两点，抛物线C 在,A B 处的切线交点为N .（1）若N 在以AB 为直径的圆上，求p 的值；（2）若三角形ABN 的面积最小值为4，求抛物线C 的方程.22.已知函数()1xf x e ax =--（a R ∈）（ 2.71828e =…是自然对数的底数）. （1）求()f x 单调区间；（2）讨论1()()()2g x f x x =•-在区间[]0,1内零点的个数.试卷答案一、选择题1-5:CDBCD 6-10: BDCAD 11、12：BA二、填空题13. 2 14. 552-15. -12 16.③ 三、解答题17.（1）设{}n a 的公差为d ，{}n b 的公比为q ，则1(1)n a n d =-+-，1n n b q -=.由223a b +=，得4d q += ① 由227a b +=，得228d q += ②联立①和②解得0q =（舍去），或2q =，因此{}n b 的通项公式12n n b -=.（2）∵231(1)T b q q =++，∴2113q q ++=，3q =或4q =-，∴41d q =-=或8.∴21113(1)222n S na n n d n n =+-=-或245n n -. 18.（1）由已知cos 2cos 22cos()cos()066A B B B ππ-+-+=得2222312sin 2sin 2(cos sin )044B A B B -+-=化简得sin A =，又三角形ABC 为锐角三角形，故3A π=.（2）∵3b a =≤，∴ca ≥，∴32C ππ≤<，63B ππ<≤由正弦定理得：sin sin a bA B=即：3sin 32B=，即32sin a B = 由13sin (,]22B ∈知[3,3)a ∈. 19.（1）由图可知乙的平均水平比甲高，故选乙 （2）甲运动员每次测试高于85分的概率大约是13，成绩高于85分的次数为X 服从二项分布，分布列为X 0123P8274929127()313E X =•=，()3333D X =••=20.（1）14AM AB =取1D E 中点L ，连接AL ，∵//FL EC ，//EC AB ，∴//FL AB且14FL AB =，所以,,,M F L A 共面，若//MF 平面1AD E ，则//MF AL ， ∴AMFL 为平行四边形，所以14AM FL AB ==（2）设点B 到1CD E 的距离为d ，由11B BCD D BCE V V --=可得122CED d S ∆•=设AE 中点为H ，作HG 垂直直线CE 于G ，连接DG ，∵1D E ⊥平面AECB ∴1D G EC ⊥，则13DG 123D B =，∴11132CED S EC D G ∆=••=26d =1BD 与平面1CD E 2.21.解：（1）可设:1AB y kx =+，11(,)A x y ，22(,)B x y ， 将AB 方程代入抛物线C 方程得2220x pkx p --= 则122x x pk +=，122x x p =- ①又22x py =得'x y p=，则,A B 处的切线斜率乘积为12221x x p p =-=-则有2p = （2）由①可得122N x x x pk +==21AB x =-=点N 到直线AB的距离d ==12ABN S AB d ∆=••=≥∴4=，∴2p =，故抛物线C 的方程为24x y = 22.解：（1）'()xf x e a =-当0a ≤时，'()0f x >，()f x 单调增间为(,)-∞+∞，无减区间； 当0a >时，()f x 单调减间为(,ln )a -∞，增区间为(ln ,)a +∞ （2）由()0g x =得()0f x =或12x =先考虑()f x 在区间[]0,1的零点个数当1a ≤时，()f x 在(0,)+∞单调增且(0)0f =，()f x 有一个零点； 当a e ≥时，()f x 在(,1)-∞单调递减，()f x 有一个零点； 当1a e <<时，()f x 在(0,ln )a 单调递减，(ln ,1)a 单调递增.而(1)1f e a =--，所以1a ≤或1a e >-时，()f x 有一个零点，当11a e <≤-时，()f x 有两个零点而12x =时，由1()02f =得1)a =所以1a ≤或1a e >-或1)a =时，()g x 有两个零点；当11a e <≤-且1)a ≠时，()g x 有三个零点。
湖北省部分重点中学2017-2018学年高三上学期起点考试数学(理)试题Word版含答案
湖北省部分要点中学2017-2018学年度上学期新起点考试数学试卷 (理科 )一、选择题：本大题共 12 小题，每题 5 分，共 60 分．在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项切合题目要求的．1．设函数的定义域为 M ，N =,则以以以下图的暗影部分所表示的会集是2．已知复数的实部是 m，虚部是 n，则 mn = A．3B．－ 3C．3i D．－3i3．已知函数，则 f (x)是奇函数是”“” “的A．充分不用要条件B．必需不充分条件C．充分必需条件D．既不充分也不用要条件4. 2.5 微米的颗粒物 .一般状况下是指环境空气中空气动力学当量直径小于或等于浓度越高 ,就代表空气污染越严重 ,以以以下图的茎叶图表示的是某市里甲、乙两个监测站某 10日内每日的浓度读数（单位：），则以下说法正确的选项是A．这 10 日内甲、乙监测站读数的极差相等B．这 10 日内甲、乙监测站读数的中位数中，乙的较大C．这 10 日内乙监测站读数的众数与中位数相等D．这 10 日内甲、乙监测站读数的均匀数相等5．设是两个不同样的平面，l,m是两条不同样的直线，则l ∥m；.以下为真的是A．p或q B．p且q C．p或q D．p且q6．如图 1 是某区参加 2015届高考学生的身高条形统计图，从左到右的各条形图表示的学生人数挨次记为（如 A2表示身高在［ 150,155）内的学生人数，图2是统计图1 中身高在［160,185）（单位：厘米）的学生人数，那么在流程图中的判断框内应填写的条件是．i ＜8?． i ＜7?． i ＜6?． i ＜9?A B C D7．已知定义在R上的函数 f (x)满足则 f (2014), f (2015), f (2016)的大小关系为A．C．f＞f ( 2 01 5)＞ f ( 2 0 1 6 )f (2016) ＝ f (2014) ＞f (2015)B．D．f (2016) ＞f (2014) ＞f (2015)f (2014) ＞ f (2015) ＝ f (2016)8．已知圆,设平面地域,,若圆心 C且圆与x 轴相切,则的最大值为A．5B． 29C．37D． 499．设为非零向量,,两组向量均由两个和两个摆列而成 ,而全部可能取值中的最小值为夹角为10．已知分别是双曲线的左右焦点,若在双曲线的右支上存在一点 M ,使得(此中O为坐标原点 ),且, 则双曲线的离心率为11．已知函数函数，若函数恰有4个零点，则b的取值范围是A12 .确立的曲线为函数,关于函数y ＝f (x)有以下说方程y ＝f (x)的图像法:①在上单调递减 ;＝4 f (x) +3x不存在零点 ;③函数y ＝f (x)的值f (x)R② F(x)域是 R;④若函数 g(x)和 f (x)的图像关于原点对称,则函数y＝g(x)的图像就是方程确立的曲线 .以下说法正确的选项是二、填空题：本大题共 4小题，每题 5分，共 20分． 请将答案填在答． 题．卡．对．应．题．号．的地点上．答错地点，书写不清，含糊其词均不得分．13． 设 张开式的常数项为＿＿＿＿14． 在平面直角坐标系xoy 中，点 A,B 在抛物线 y 2 ＝4x 上，满足 OA OB ＝－ 4， F 是抛物线的焦点，则＝＿＿＿＿＿＿15．若自然数n 使得 n +(n +1) +(n +2)作竖式加法不产生进位现象，则称 n 为 “良数 ”例.如32 是 “良数 ”，因为 32+33+34 不产生进位现象； 23 不是 “良数 ”，因为 23+24+25 产生进位现象，那么小于 1000 的 “良数 ”的个数为16.关于函数，有以下四个：① 任取，都有恒建立；②对全部恒建立；③函数y ＝f (x)－ln(x－1)有3 个零点；④对任意的x＞ 0，不等式恒成立.则此中真的序号是三、解答题：本大题共6 小题，共75分． 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（本小题满分12 分）设是公比大于1 的等比数列, S n为数列的前 n项和 ,已知S 3 =7,且构成等差数列(1) 求数列 的通项公式 ;(2)令 *,求数列的前 n 项和 T n .18 ．（本小题满分 12分）如图，四棱柱 ABCD －底面 ABCD 四边形,ABCDAD BC, AD ＝ 2BC A ,C,D与 的交点为为梯形，∥,过1三点的平面记为Q(1) 证明 : Q 为 BB 1 的中点 ;(2) 若 A A ＝4,CD ＝2,梯形 ABCD 与底面ABCD1的面积为 6,求平面所成角的大小 .19．（本小题满分 12 分）在一个盒子中 ,放有大小同样的红 ,白 ,黄三个小球 ,先从中任意摸出一 球,假如红球 ,记 1 分 ,白球记 2 分,黄球记 3 分 .现从这个盒子中有放回地先后摸出两球 ,所得分数分别记为 x, y ,设 O 为坐标原点 ,点 P 的坐标为 （ x －2, x －y ）,记(1)求随机变量 的最大值 ,并求事件 ” 获得最大值 ”的概率 ;(2)求随机变量的分布列和数学希望 .20．（本小题满分 12 分）已知椭圆 ,两定直线直线 l 1恰为抛物线 E : y 2 ＝16x 的准线 ,直线 l : x +2y －4 ＝0与椭圆相切 .(1) 求椭圆 C 的方程 ;A 右焦点为F ，过 F 的直线与椭圆 C 交于 P,Q 两点 直线(2) 假如椭圆 C 的左极点为,,与直线 l 2分别交于N,M 两点 ,求证 :四边形 MNPQ 的对角线的交点是定点 .AP, AQ21．（本小题满分 12分）已知函数(1) 求 的单调区间与极大值 ;(2) 任取两个不相等的正数,若存在建立 ,求证:;(3) 已知数列满足*,求证 :(e 为自然对数的底数 )四．选作题请考生在第22、23、24 题中任选一题作答，多答按所答的首题进行评分。
湖北省部分重点中学2018届新高三起点考试理数试卷
2017-2018学年度上学期新高三起点考试 数 学 试 卷（理科）
一、选择题（本大题共12小题,每小题5分,共60分） A
A
B
B
5．某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何 体的体积等于( )Dcm3
正视图
侧视图
俯视图
开始
否 是 输出n 结束
开始
D
否 是 输出n 结束
（1）设“至少1名倾向于选择实体店”为事件A，
（2）若从这10名购物者中随机抽取3名，设X表示抽到倾 向于选择购的男性购物者的人数，求X的分布列和数学期 望．
所以随机变量X的分布列为
X
0
1
2
3
P
D
B
B
D
A
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
7
三、解答题（本大题共6小题，70分）
19.随着络营销和电子商务的兴起，人们的购物方式更具 多样化，某调查机构随机抽取10名购物者进行采访，5名 男性购物者中有3名倾向于选择购，2名倾向于选择实体 店，5名女性购物者中有2名倾向于选择购，3名倾向于选 择实体店． （1）若从10名购物者中随机抽取2名，其中男、女各一 名，求至少1名倾向于选择实体店的概率；
湖北省2017-2018学年高三上学期第三次月考 数学理 Word版含答案
2017-2018学年数学（理）试题考试时间：150分钟 总分：150分一、选择题（每题5分）1.设集合{} 12A x R x =∈-<，{}2,xB y R y x R =∈=∈，则AB ＝（ ）A ．∅B ．[)0 3，C ．()0 3，D ．()1 3-，2.已知集合{}05≤-=a x x A ，{}06>-=b x x B ,N b a ∈,，且{}2,3,4A B N ⋂⋂=，则整数对()b a ,的个数为( )A.20B. 25C. 30D. 423.设函数()ln(1)f x x x =+-，记(1),a f b f f ===则 （ ） A. c a b << B. a b c << C. c b a << D. b c a <<4.设f′（x ）是函数f （x ）的导函数，将y=f （x ）和y=f′（x ）的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是（ ）CD5.直线y=4x 与曲线y=x 3在第一象限内围成的封闭图形的面积为（ ） A ． 2B ． 4C ． 2D ．46.设函数()f x 的定义域为D ，如果对于任意的1x D ∈，存在唯一的2x D ∈，使得 12()()2f x f x C+= 成立（其中C 为常数），则称函数()y f x =在D 上的均值为C ， 现在给出下列4个函数： ①3y x = ②4sin y x = ③lg y x = ④2xy = ，则在其定义域上的均值为 2的所有函数是下面的 （ ）A. ①②B. ③④C. ①③④D. ①③7.设f （x ）=|lnx|，若函数g （x ）=f （x ）﹣ax 在区间（0，3]上有三个零点，则实数a 的取值范围是（ ） A ．（0，）B ． （，e ）C ． （0，]D ． [，）8.设函数)(x f 的定义域为实数集R ，且)()1()2(x f x f x f -+=+，若2)4(-=f ，则函数1)2011(2)(++=x x e f e x g 的最小值是A.1B.3C.3lnD.2ln9.如图，正△ABC 的中心位于点G （0，1），A （0，2），动点P 从A 点出发沿△ABC 的边界按逆时针方向运动，设旋转的角度∠AGP=x （0≤x≤2π），向量在=（1，0）方向的射影为y （O 为坐标原点），则y 关于x 的函数y=f （x ）的图象是（ ）10.已知函数()M f x 的定义域为实数集R ,满足()1,0,M x Mf x x M∈⎧=⎨∉⎩(M 是R 的非空真子集),在R 上有两个非空真子集,A B ,且AB =∅,则()()()()11A B A B f x F x f x f x +=++的值域为A ．20,3⎛⎤ ⎥⎝⎦ B ．{}1 C ．12,,123⎧⎫⎨⎬⎩⎭D ．1,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦二、填空题（每题5分）11.已知p ：“∀x ∈R ，∃m ∈R,4x －2x ＋1＋m ＝0”，且非p 是假，则实数m 的取值范围为________．12.若函数f （x ）在定义域D 内某区间I 上是增函数，且在I 上是减函数，则称y=f （x ）在I上是“弱增函数”．已知函数h （x ）=x 2﹣（b ﹣1）x+b 在（0，1]上是“弱增函数”，则实数b 的值为________．13.已知函数2ln )(bx x a x f -=图象上一点))2(,2(f P 处的切线为22ln 23++-=x y ，若方程0)(=+m x f 在区间],1[e e内有两个不等实根，则实数m 的取值范围是14.定义在R 上的奇函数()f x 满足(4)()f x f x +=，且在[]2,0上的解析式为()⎩⎨⎧≤<≤≤-=21,sin 10),1(x x x x x x f π，则_______641429=⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛f f 15.已知函数()()f x g x ''、分别是二次函数()f x 和三次函数()g x 的导函数，它们在同一坐标系下的图象如图所示，设函数()()()h x f x g x =-，则(1),(0),(1)h h h -的大小关系为三、解答题16（本题12分）.在中，角所对的边分别为，已知，（1）求的大小；（2）若，求的取值范围.17（本题12分）.如图，四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是正方形，侧棱PD ⊥底面ABCD ，PD DC =，E 是PC 的中点．（I ）证明：PA //平面BDE ；（II ）求二面角B DE C --的平面角的余弦值；（Ⅲ）在棱PB 上是否存在点F ，使PB ⊥平面DEF ？证明你的结论．18（本题12分）.设2()f x x x =+,用)(n g 表示()f x 当[,1](*)x n n n N ∈+∈时的函数值中整数值的个数.(1)求)(n g 的表达式.(2)设32*23()()n n n a n N g n +=∈,求2121(1)nk n k k S a -==-∑.(3)设12(),2n n n ng n b T b b b ==+++L ,若)(Z l l T n ∈<,求l 的最小值. 19（本题13分）．经销商用一辆J 型卡车将某种水果从果园运送(满载)到相距400 km 的水果批发市场．据测算，J 型卡车满载行驶时，每100 km 所消耗的燃油量u(单位：L)与速度v(单位：km/h)，的关系近似地满足u ＝除燃油费外，人工工资、车损等其他费用平均每小时300元．已知燃油价格为每升(L)7.5元．(1)设运送这车水果的费用为y(元)(不计返程费用)，将y 表示成速度v 的函数关系式； (2)卡车该以怎样的速度行驶，才能使运送这车水果的费用最少？20（本题13分）.已知抛物线24y x =的焦点为F 2，点F 1与F 2关于坐标原点对称，以F 1,F 2为焦点的椭圆C 过点⎛ ⎝⎭. （Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）设点T )0,2(，过点F 2作直线l 与椭圆C 交于A,B 两点，且22F A F B λ=，若[]2,1,T A T B λ∈--+求的取值范围.21（本题13分）.已知函数()ln f x x a x =-，1(), (R).ag x a x +=-∈（1）若1a =，求函数()f x 的极值；（2）设函数()()()h x f x g x =-，求函数()h x 的单调区间；（3）若在[]1,e （e 2.718...=）上存在一点0x ，使得0()f x <0()g x 成立，求a 的取值范围.数学（理科）答案1.C2.C3.B4.D5.D6.D7.D8.B9.c 10.B 若A x ∈，则1)(,0)(,1)(===x f x f x f B A B A ，1)(=x F ；若Bx ∈，则,0)(=x f A 1)(,1)(,1)(===x F x f x f B A B ；若B x A x ∉∉，，则0)(=x f A ，0)(=x f B ， .1)(,0)(==x F x f B A 故选B.11.m 1≤ 12.1 13.]12,1(2e+14.516 15.)1()1()0(-<<h h h 16.解：（1）由已知条件结合正弦定理有：，从而有：，.（2）由正弦定理得：，，，即：.17.解：法一：（I ）以D 为坐标原点，分别以DA 、DC 、DP 所在直线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，设2PD DC ==，则(2,0,0)A ，(0,0,2)P ，(0,1,1)E ，(2,2,0)B)0,2,2(),1,1,0(),2,0,2(==-=设 1(,,)n x y z =是平面BDE 的一个法向量，则由 1100n D E n D B ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，得0220y z x y +=⎧⎨+=⎩取1y =-，得1(1,1,1)n =-．∵1220PA n ⋅=-=，1,//PA n PA BDE PA BDE ∴⊥⊄∴，又平面平面（II ）由（Ⅰ）知1(1,1,1)n =-是平面BDE 的一个法向量，又2(2,0,0)n DA ==是平面DEC 的一个法向量．设二面角B DE C --的平面角为θ，由图可知12,n n θ=<>∴121212cos cos ,||||3n n n n n n θ⋅=<>===⋅⨯．故二面角B DE C --的余弦值为33．（Ⅲ）∵)1,1,0(),2,2,2(=-= ∴0220,.PB DE PB DE =+-=∴⊥假设棱PB 上存在点F ，使PB ⊥平面DEF ，设)10(<<=λλPB PF ， 则(2,2,2)PF λλλ=-，(2,2,22)DF DP PF λλλ=+=-由0PF DF ∙=得22442(22)0λλλλ+--= ∴PBPF 31)1,0(31=∈=，此时λ即在棱PB 上存在点F ，13PF PB=，使得PB ⊥平面DEF ．法二：（I ）连接AC ，AC 交BD 于O ，连接OE ．在PAC ∆中，OE 为中位线，∴OE //PAPA BDE ⊄又平面,∴PA //平面BDE ．（II ）PD ⊥底面ABCD ,∴ 平面PDC ⊥底面ABCD ，CD 为交线,BC ⊥CD∴平面BCE ⊥平面PDC ，PC 为交线, PD =DC ，E 是PC 的中点∴DE ⊥PC∴DE ⊥平面PBC，∴ DE ⊥BE ∴BEC ∠即为二面角B DEC --的平面角．设PD DC a ==，在Rt BCE ∆中,,,,cos CE BC a BE BEC ===∴∠=故二面角B DE C --的余弦值为33．（Ⅲ）由（II ）可知DE ⊥平面PBC ，所以DE ⊥PB ，所以在平面PDE 内过D 作DF ⊥PB ，连EF ，则PB ⊥平面DEF ．在Rt PDB ∆中,PD a =，BD =，PB =，PF =．所以在棱PB 上存在点F ，13PF PB=，使得PB ⊥平面DEF ．18.解对,函数在单增,值域为,故.(2),故=-n(2n+1)(3)由得,且两式相减,得于是故若且,则的最小值是7.19.所以当v＝100时，y 取得最小值．答当卡车以100 km/h 的速度驶时，运送这车水果的费用最少．(16分) 20.（Ⅰ）设椭圆的半焦距为c ，由题意得1=c ，设椭圆C 的标准方程为)0(12222>>=+b a b y a x ，略21.解：（Ⅰ）()f x 的定义域为(0,)+∞，当1a =时，()ln f x x x =-，11()1x f x x x -'=-= ，所以()f x 在1x =处取得极小值1. （Ⅱ）1()ln a h x x a x x +=+-，22221(1)(1)[(1)]()1a a x ax a x x a h x x x x x +--++-+'=--==①当10a +>时，即1a >-时，在(0,1)a +上()0h x '<，在(1,)a ++∞上()0h x '>，所以()h x 在(0,1)a +上单调递减，在(1,)a ++∞上单调递增；②当10a +≤，即1a ≤-时，在(0,)+∞上()0h x '>，所以，函数()h x 在(0,)+∞上单调递增.（III ）在[]1,e 上存在一点0x ，使得0()f x <0()g x 成立，即 在[]1,e 上存在一点0x ，使得0()0h x <，即 函数1()ln a h x x a x x +=+-在[]1,e 上的最小值小于零. 由（Ⅱ）可知①即1e a +≥，即e 1a ≥-时， ()h x 在[]1,e 上单调递减， 所以()h x 的最小值为(e)h ，由1(e)e 0e a h a +=+-<可得2e 1e 1a +>-， 因为2e 1e 1e 1+>--，所以2e 1e 1a +>-； ②当11a +≤，即0a ≤时， ()h x 在[]1,e 上单调递增， 所以()h x 最小值为(1)h ，由(1)110h a =++<可得2a <-；③当11e a <+<，即0e 1a <<-时， 可得()h x 最小值为(1)h a +，因为0ln(1)1a <+<，所以，0ln(1)a a a <+<故(1)2ln(1)2h a a a a +=+-+>此时，(1)0h a +<不成立.综上讨论可得所求a 的范围是：2e 1e 1a +>-或2a <-.。
湖北省部分重点中学2017-2018学年新高三上学期起点考试 数学(理) Word版含答案
湖北省部分重点中学2017-2018学年度上学期新高三起点考试数学试卷(理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设集合A = {x||x-1|＜2},B= {]2,0[,2∈=x y x } ,则A ∩B=( ) A.[0,2] B.[1,3) C.(1,3) D.(1,4)2.已知复数i iz 2310-+=(其中i 为虚数单位),则|z | = ( ). A. 23 B. 22 C. 32D. 333.已知m,n 是两条不同的直线，α，β，γ，是三个不同的平面，下列中正确的是（ ） A.若m//α，n//α，则m//n B.若m//α，n//β，则a //β C.若a 丄γ，β丄γ，则a //β D.若m 丄α，n 丄α，则m//n4.己知P: ＞ax 5),3,2(2+∈∀x x 是假，则实数a 的取值范围是（ ） A. [52，+∞)B.[29, +∞） C .[314, +∞） D.(-∞，52] 5.把5件不同产品摆成一排，若产品A 与产品B 相邻，且产品A 与产品C 不相邻，则不同的 摆法有 ( )种.A. 12B. 24C. 36D. 48 6.若⎰===π0sin 41,215,2ln xdx c b a ，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A. a < b < c B. b < a < cC. c < b < aD. b < c < a7.己知等比数列{n a }满足14,25311=++=a a a a ，则=++321111a a a ( ). A.1813 B.913 C.87 D. 47 8.在5⎪⎭⎫ ⎝⎛-x a x 的展开式中，3a 的系数等于-5，则该展开式各项的系数中的最大值为（ ）A.5B.10C.15D. 209.若一个几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积为（ ） A.340 B. 380 C. 40 D. 8010.如图，F 1，F 2分别是双曲线＞0)(12222a by a x =-的左、右焦点，过F1的直线L 与双曲线的左右两支分别交于点B ，A 两点.若△ABF 2为等边三角形，则△B F 1F 2的面积为（） A.8 B. 28 C. 38 D.1611.若函数⎪⎩⎪⎨⎧-≥-=＜2)(,1)21(2,)2()(x x x a x f x 是R 上的单调递减函数，则实数a 的取值范围是（ ）A. (-∞，2)B.[813, 2） C. (0, 2） D.(-∞，813] 12.设定义域为R 的函数⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=＜,111),11＞,1)(x xx x x xx f ,若关于x 的方程0)()(2=++c x bf x f 有且仅有三个不同的解321,,x x x ,则232221x x x ++的值为（ ） A. 1 B.3 C.5 D.10二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分请将答案填在答题卡对应题号的位置上，答错位置，书写不清，模棱两可均不得分13.已知向量错误！未找到引用源。
省武汉市部分学校届高三上学期起点考试理数试题Word版含解析1
湖北省武汉市部分学校2017届高三上学期起点考试理数试题Word版含解析1第Ⅰ卷(共6０分)一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1。
设集合{}|｜2｜3A x ｘ=—Ａ。
3B。
4Ｃ．5D ．6【答案】C 【解析】考点：集合的运算。
2．i 是虚数单位，则11i=+( ) A 。
12i- B ．12i +—Ｃ。
12i+ Ｄ。
12【答案】A 【解析】试题分析：(１)（1)2ｉiｉｉi --==+＋－.故选A ．考点：复数的运算．3. 已知a ，b 是空间两条直线,α是空间一平面,b α⊂,若ｐ://ａｂ；q ：//a α，则( )Ａ．p是q的充分必要条件B .ｐ是q 的充分条件，但不是q的必要条件C。
p 是q的必要条件，但不是ｑ的充分条件Ｄ.p 既不是q的充分条件，也不是q 的必要条件【答案】Ｄ【解析】试题分析：//，a b ｂα⊂时，可能有aα⊂,因此p 不是q 的充分条件，同样当//a α时，a与b可能平行也可能异面．因此p 也不是q的必要条件.故选D．考点:充分必要条件的判断．4。
设等比数列｛}n a 的公比2q =，前ｎ项和为ｎS,则４3S S ＝( ) A.5 B .１52Ｃ．73 D .１５7【答案】D考点：等比数列的通项公式与前n 项和。
5。
要得到函数siｎ（４)4ｙxπ＝－的图象，只需将函数siｎ4y x =的图象（）A .向左平移1６π个单位 B 。
向右平移１６π个单位Ｃ。
向左平移4π个单位D .向右平移４π个单位【答案】B【解析】试题分析：siｎ（４）siｎ4（)4１６y x x ππ=-=-，因此可把siｎ4ｙx =的图象向右平移16π个单位，故选B .考点:三角函数的图象平移．6。
函数2１3（）log （9)ｆx x =-的单调递增区间为()A ．（）０，+∞B .()，0－∞C．()３,＋∞D ．（),3-∞－【答案】D 【解析】试题分析：２9０33x x x －＞⇒或，当3x时，２9t x＝－递增，又１3log y t =是减函数,因此（）f x 的增区间是(，3）－∞-，故选Ｄ．考点：函数的单调性．7。
2017-2018学年湖北省部分重点中学高三(上)起点数学试卷(理科)
2017-2018学年湖北省部分重点中学高三（上）起点数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．）1．（5分）已知集合A={x|x2+4x+3≥0}，B={x|2x＜1}，则A∩B=（）A．[﹣3，﹣1]B．（﹣∞，﹣3]∪[﹣1，0）C．（﹣∞，﹣3）∪（﹣1，0] D．（﹣∞，0）2．（5分）已知复数z满足•z=3+4i，则|z|=（）A．2 B．C．5 D．53．（5分）已知随机变量ξ服从正态分布N（μ，σ2），若P（ξ＜2）=P（ξ＞6）=0.15，则P（2≤ξ＜4）等于（）A．0.3 B．0.35 C．0.5 D．0.74．（5分）已知数列{a n}为等差数列，其前n项和为S n，2a7﹣a8=5，则S11为（）A．110 B．55 C．50 D．不能确定5．（5分）某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积等于（）cm3．A．4+B．4+πC．6+D．6+π6．（5分）在△ABC中，“A＜B＜C”是“cos2A＞cos2B＞cos2C”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件7．（5分）美索不达米亚平原是人类文明的发祥地之一．美索不达米亚人善于计算，他们创造了优良的计数系统，其中开平方算法是最具有代表性的．程序框图如图所示，若输入a，n，ξ的值分别为8，2，0.5，（每次运算都精确到小数点后两位）则输出结果为（）A．2.81 B．2.82 C．2.83 D．2.848．（5分）偶函数f（x）在（0，+∞）上递增，a=f（log2）b=f（）c=f（log32），则下列关系式中正确的是（）A．＜b＜c B．a＜c＜b C．c＜a＜b D．c＜b＜a9．（5分）若x，y满足条件，则目标函数z=x2+y2的最小值是（）A．B．2 C．4 D．10．（5分）若点P（x，y）坐标满足ln||=|x﹣1|，则点P的轨迹图象大致是（）A．B．C．D．11．（5分）抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F，过焦点F且倾斜角为的直线与抛物线相交于A，B两点，若|AB|=8，则抛物线的方程为（）A．y2=4x B．y2=8x C．y2=3x D．y2=6x12．（5分）已知函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的图象过点，且在（，）上单调，同时f（x）的图象向左平移π个单位之后与原来的图象重合，当，且x1≠x2时，f（x1）=f（x2），则f（x1+x2）=（）A．﹣B．﹣1 C．1 D．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）已知向量，，若，则实数x等于．14．（5分）设（x2﹣3x+2）5=a0+a1x+a2x2+…+a10x10，则a1等于．15．（5分）已知等腰梯形ABCD中AB∥CD，AB=2CD=4，∠BAD=60°，双曲线以A，B为焦点，且与线段CD（包括端点C、D）有两个交点，则该双曲线的离心率的取值范围是．16．（5分）若函数f（x）=x2（x﹣4）2﹣a|x﹣2|+2a有四个零点，则实数a的取值范围是．三、解答题（本大题共6小题，70分）17．（10分）等差数列{a n}的前n项和为S n，数列{b n}是等比数列，满足a1=3，b1=1，b2+S2=10，a5﹣2b2=a3．（1）求数列{a n}和{b n}的通项公式；（2）令c n=a n•b n，设数列{c n}的前n项和为T n，求T n．18．（12分）在如图所示的多面体ABCDEF中，四边形ABCD为正方形，底面ABFE为直角梯形，∠ABF为直角，，平面ABCD⊥平面ABFE．（1）求证：DB⊥EC；（2）若AE=AB，求二面角C﹣EF﹣B的余弦值．19．（12分）随着网络营销和电子商务的兴起，人们的购物方式更具多样化，某调查机构随机抽取10名购物者进行采访，5名男性购物者中有3名倾向于选择网购，2名倾向于选择实体店，5名女性购物者中有2名倾向于选择网购，3名倾向于选择实体店．（1）若从10名购物者中随机抽取2名，其中男、女各一名，求至少1名倾向于选择实体店的概率；（2）若从这10名购物者中随机抽取3名，设X表示抽到倾向于选择网购的男性购物者的人数，求X的分布列和数学期望．20．（12分）已知椭圆C：的离心率为，左焦点为F（﹣1，0），过点D（0，2）且斜率为k的直线l交椭圆于A，B两点．（1）求椭圆C的标准方程；（2）在y轴上，是否存在定点E，使恒为定值？若存在，求出E点的坐标和这个定值；若不存在，说明理由．21．（12分）设函数f（x）=aln（x+1），g（x）=e x﹣1，其中a∈R，e=2.718…为自然对数的底数．（Ⅰ）当x≥0时，f（x）≤g（x）恒成立，求a的取值范围；（Ⅱ）求证：＜＜（参考数据：ln1.1≈0.095）．22．（12分）已知f（x）=|2x+3|﹣|2x﹣1|．（Ⅰ）求不等式f（x）＜2的解集；（Ⅱ）若存在x∈R，使得f（x）＞|3a﹣2|成立，求实数a的取值范围．2017-2018学年湖北省部分重点中学高三（上）起点数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．）1．（5分）已知集合A={x|x2+4x+3≥0}，B={x|2x＜1}，则A∩B=（）A．[﹣3，﹣1]B．（﹣∞，﹣3]∪[﹣1，0）C．（﹣∞，﹣3）∪（﹣1，0] D．（﹣∞，0）【解答】解：由A中不等式变形得：（x+1）（x+3）≥0，解得：x≥﹣1或x≤﹣3，即A=（﹣∞，﹣3]∪[﹣1，+∞），由B中不等式变形得：2x＜1=20，即x＜0，∴B=（﹣∞，0），则A∩B=（﹣∞，﹣3]∪[﹣1，0），故选：B．2．（5分）已知复数z满足•z=3+4i，则|z|=（）A．2 B．C．5 D．5【解答】解：由•z=3+4i，得=﹣4﹣3i，∴．故选：D．3．（5分）已知随机变量ξ服从正态分布N（μ，σ2），若P（ξ＜2）=P（ξ＞6）=0.15，则P（2≤ξ＜4）等于（）A．0.3 B．0.35 C．0.5 D．0.7【解答】解：由题意可得，故选：B．4．（5分）已知数列{a n}为等差数列，其前n项和为S n，2a7﹣a8=5，则S11为（）A．110 B．55 C．50 D．不能确定【解答】解：2a7﹣a8=2（a1+6d）﹣（a1+7d）=a1+5d=a6=5，∴．故选：B．5．（5分）某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积等于（）cm3．A．4+B．4+πC．6+D．6+π【解答】解：由三视图还原原几何体如图，是一个半圆柱与一个直三棱柱的组合体，半圆柱的底面半径为1，高为3；直三棱柱底面是等腰直角三角形（直角边为2），高为3．∴V=．故选：D．6．（5分）在△ABC中，“A＜B＜C”是“cos2A＞cos2B＞cos2C”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：在△ABC中，“A＜B＜C”⇔a＜b＜c⇔sinA＜sinB＜sinC⇔sin2A＜sin2B ＜sin2C⇔1﹣2sin2A＞1﹣2sin2B＞1﹣2sin2C⇔“cos2A＞cos2B＞cos2C”．∴在△ABC中，“A＜B＜C”是“cos2A＞cos2B＞cos2C”的充要条件．故选：C．7．（5分）美索不达米亚平原是人类文明的发祥地之一．美索不达米亚人善于计算，他们创造了优良的计数系统，其中开平方算法是最具有代表性的．程序框图如图所示，若输入a，n，ξ的值分别为8，2，0.5，（每次运算都精确到小数点后两位）则输出结果为（）A．2.81 B．2.82 C．2.83 D．2.84【解答】解：模拟程序的运行，可得a=8，n=2，ξ=0.5m=4，n=3不满足条件|m﹣n|＜0.5，m=2.67，n=2.84满足条件|m﹣n|＜0.5，退出循环，输出n的值为2.84．故选：D．8．（5分）偶函数f（x）在（0，+∞）上递增，a=f（log2）b=f（）c=f（log32），则下列关系式中正确的是（）A．＜b＜c B．a＜c＜b C．c＜a＜b D．c＜b＜a【解答】解：∵函数f（x）为R上的偶函数，∴a=f（log2）=f（log23），∵0＜log32＜log23＜，函数f（x）在（0，+∞）上递增，∴f（log32）＜f（log23）＜f（），∴c＜a＜b．故选：C．9．（5分）若x，y满足条件，则目标函数z=x2+y2的最小值是（）A．B．2 C．4 D．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，z=x2+y2的几何意义为可行域内的动点与原点距离的平方，∵原点O到直线x+y﹣2=0的距离d=，∴z=x2+y2的最小值是2．故选：B．10．（5分）若点P（x，y）坐标满足ln||=|x﹣1|，则点P的轨迹图象大致是（）A．B．C．D．【解答】解：由题意，x=1时，y=1，故排除C，D；令x=2，则y=，排除A．故选B．11．（5分）抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F，过焦点F且倾斜角为的直线与抛物线相交于A，B两点，若|AB|=8，则抛物线的方程为（）A．y2=4x B．y2=8x C．y2=3x D．y2=6x【解答】解：由题意可知过焦点的直线方程为y=，联立抛物线方程整理可得3x2﹣5px+p2=0，∴x1+x2=p，x1x2=，∴|x1﹣x2|==p，又|AB|==8求得p=3，∴抛物线的方程为y2=6x．故选D．12．（5分）已知函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的图象过点，且在（，）上单调，同时f（x）的图象向左平移π个单位之后与原来的图象重合，当，且x1≠x2时，f（x1）=f（x2），则f（x1+x2）=（）A．﹣B．﹣1 C．1 D．【解答】解：函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的图象过点，则：2sinφ=﹣，解得：sinφ=﹣，由于：|φ|＜），所以：φ=﹣．则：f（x）=2sin（ωx）．同时f（x）的图象向左平移π个单位之后与原来的图象重合，所以：，=2sin（ωx），则：ωπ=2kπ，解得：ω=2k．函数在x∈（，）上单调，则：，解得：0．所以：ω=2．则：f（x）=2sin（2x）．函数的对称轴方程为：（k∈Z），已知：，且x1≠x2时，则：当k=﹣3时，x=﹣．由于：f（x1）=f（x2），所以：x=，则f（x1+x2）=f（）=2sin（﹣）=故选：A二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）已知向量，，若，则实数x等于7．【解答】解：因为，所以（3﹣x）×3+3×4=0⇒x=7，故答案为：7．14．（5分）设（x2﹣3x+2）5=a0+a1x+a2x2+…+a10x10，则a1等于﹣240．【解答】解：，所以=﹣240，故答案为：﹣240．15．（5分）已知等腰梯形ABCD中AB∥CD，AB=2CD=4，∠BAD=60°，双曲线以A，B为焦点，且与线段CD（包括端点C、D）有两个交点，则该双曲线的离心率的取值范围是[+1，+∞）．【解答】解：以AB为x轴，以AB的中垂线为y轴建立平面坐标系，则B（2，0），C（1，）．设双曲线的方程为=1，则a2+b2=c2=4，∴b2=4﹣a2，把x=1代入双曲线方程得y2===a2﹣5+，∵双曲线与线段CD（包括端点C、D）有两个交点，∴a2﹣5+≥3，解得a2≥4+2（舍）或a2≤4﹣2，∴0＜a＜=，∴e==≥=+1，故答案为：[+1，+∞）．16．（5分）若函数f（x）=x2（x﹣4）2﹣a|x﹣2|+2a有四个零点，则实数a的取值范围是（﹣8，0）∪（0，+∞）．【解答】解：由f（x）=0得x2（x﹣4）2=a|x﹣2|﹣2a，作出y=x2（x﹣4）2与y=a|x﹣2|﹣2a的函数图象，如图所示：∵f（x）有4个零点，且两函数图象均关于直线x=2对称，∴y=x2（x﹣4）2与y=a|x﹣2|﹣2a的函数图象在（2，+∞）上有两个交点，∵两函数图象都经过点（4，0），∴0＜﹣2a＜16，或﹣2a＜0，解得﹣8＜a＜0或a＞0．故答案为：（﹣8，0）∪（0，+∞）．三、解答题（本大题共6小题，70分）17．（10分）等差数列{a n}的前n项和为S n，数列{b n}是等比数列，满足a1=3，b1=1，b2+S2=10，a5﹣2b2=a3．（1）求数列{a n}和{b n}的通项公式；（2）令c n=a n•b n，设数列{c n}的前n项和为T n，求T n．【解答】解：（1）设数列{a n}的公差为d，数列{b n}的公比为q，则由，得，解得，所以a n=3+2（n﹣1）=2n+1，．…（6分）（2）由（1）可知c n=（2n+1）•2n﹣1．∴T n=3+5×2+7×22+…+（2n+1）•2n﹣1，…①…②①﹣②得：﹣T n=3+2×（2+22+…+2n﹣1）﹣（2n+1）•2n=1+2+22+…+2n﹣（2n+1）•2n=2n+1﹣1﹣（2n+1）•2n=（1﹣2n）•2n﹣1，∴T n=（2n﹣1）•2n+1．…（12分）18．（12分）在如图所示的多面体ABCDEF中，四边形ABCD为正方形，底面ABFE 为直角梯形，∠ABF为直角，，平面ABCD⊥平面ABFE．（1）求证：DB⊥EC；（2）若AE=AB，求二面角C﹣EF﹣B的余弦值．【解答】证明：（1）∵底面ABFE为直角梯形，AE∥BF，∠EAB=90°，∴AE⊥AB，BF⊥AB，∵平面ABCD⊥平面ABFE，平面ABCD∩平面ABFE=AB，∴AE⊥平面ABCD．BF⊥平面ABCD，∴BF⊥BC，设AE=t，以BA，BF，BC所在的直线分别为x，y，z轴建立如图坐标系，则B（0，0，0），C（0，0，1），D（1，0，1），E（1，t，0）∵=0，∴DB⊥EC．…（6分）解：（2）由（1）知是平面BEF的一个法向量，设=（x，y，z）是平面CEF的一个法向量，AE=AB=1，E（1，1，0），F（0，2，0），∴=（1，1，﹣1），=（0，2，﹣1），则，取z=2，=（1，1，2），∴cos＜＞==，即二面角C﹣EF﹣B的余弦值为．19．（12分）随着网络营销和电子商务的兴起，人们的购物方式更具多样化，某调查机构随机抽取10名购物者进行采访，5名男性购物者中有3名倾向于选择网购，2名倾向于选择实体店，5名女性购物者中有2名倾向于选择网购，3名倾向于选择实体店．（1）若从10名购物者中随机抽取2名，其中男、女各一名，求至少1名倾向于选择实体店的概率；（2）若从这10名购物者中随机抽取3名，设X表示抽到倾向于选择网购的男性购物者的人数，求X的分布列和数学期望．【解答】解：（1）设“至少1名倾向于选择实体店”为事件A，则表示事件“随机抽取2名，（其中男、女各一名）都选择网购”，则P（A）=1﹣P=1﹣=．（2）X的取值为0，1，2，3．P（X=k）=，P（X=0）=，P（X=1）=，P（X=2）=，P（X=3）=．E（X）=0×+1×+2×+3×=．20．（12分）已知椭圆C：的离心率为，左焦点为F（﹣1，0），过点D（0，2）且斜率为k的直线l交椭圆于A，B两点．（1）求椭圆C的标准方程；（2）在y轴上，是否存在定点E，使恒为定值？若存在，求出E点的坐标和这个定值；若不存在，说明理由．【解答】解：（1）由已知得，∴a2=2，b2=1，∴椭圆C的标准方程：（2）依题意过点D（0，2）且斜率为k的直线l的方程为：y=kx+2由得（1+2k2）x2+8kx+6=0设A（x1，y1），B（x2，y2）则x1+x2=﹣，x1x2=；又y1y2=（kx1+2）（kx2+2）=k2x1x2+2k（x1+x2）+4=﹣．y1+y2=（kx1+2）+（kx2+2）=k（x1+x2）+4=．设存在点E（0，m），则．所以==要使=t（t为常数），只要=t，从而（2m2﹣2﹣2t）k2+m2﹣4m+10﹣t=0即2m2﹣2﹣2t=0且m2﹣4m+10﹣t=0由（1）得t=m2﹣1，代入（2）解得m=，从而t=，故存在定点E（0，），使恒为定值．21．（12分）设函数f（x）=aln（x+1），g（x）=e x﹣1，其中a∈R，e=2.718…为自然对数的底数．（Ⅰ）当x≥0时，f（x）≤g（x）恒成立，求a的取值范围；（Ⅱ）求证：＜＜（参考数据：ln1.1≈0.095）．【解答】解：（Ⅰ）令h（x）=g（x）﹣f（x），当x≥0时，h（x）=g（x）﹣f（x）=e x﹣1﹣aln（x+1），h'（x）=e x﹣，（ⅰ）若a≤1，则＜1＜e x，h'（x）＞0，h（x）在（0，+∞）递增，h（x）≥h（0）=0，满足题意，（ⅱ）若a＞1，h'（x）=e x﹣，在（0，+∞）递增，h′（x）＞h′（0）=1﹣a，1﹣a＜0且x→+∞时，h′（x）→+∞，则∃x0∈（0，+∞）使h'（x0）=0进而h（x）在（0，x0）递减，在（x0，+∞）递增，存在h（x0）＜h（0）=0，不合题意，故a≤1；（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知，a=1时，g（x）＞f（x）对x＞0恒成立，即e x＞1+ln （x+1）令x=，则＞1+ln1.1≈1.0953＞，而当a=﹣1时，g（x）＞f（x）对x＜0恒成立，即e x＞x3+x+1，令x=﹣，则＞（﹣）3﹣+1≈，即＜，∴＜＜．22．（12分）已知f（x）=|2x+3|﹣|2x﹣1|．（Ⅰ）求不等式f（x）＜2的解集；（Ⅱ）若存在x∈R，使得f（x）＞|3a﹣2|成立，求实数a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）不等式f（x）＜2，等价于或或，得或，即f（x）＜2的解集是（﹣∞，0）；（Ⅱ）∵f（x）≤|（2x+3）﹣（2x﹣1）|=4，∴f（x）max=4，∴|3a﹣2|＜4，解得实数a的取值范围是．。
2017届湖北武汉市部分学校高三上学期起点考试数学(理)试题(解析版)
2017届湖北武汉市部分学校高三上学期起点考试数学（理）试题一、选择题1．设集合{}||2|3A x x =-<，N 为自然数集，则A N 中元素的个数为（ ） A ．3 B ．4 C ．5 D ．6 【答案】C【解析】试题分析：2332315x x x -<⇒-<-<⇒-<<，即{|15}A x x =-<<，则{0,1,2,3,4}A N = ，共有5个元素．故选C ． 【考点】集合的运算． 2．i 是虚数单位，则11i=+（ ） A ．12i - B ．12i +- C ．12i + D ．12 【答案】A【解析】试题分析：1111(1)(1)2i ii i i --==++-．故选A ． 【考点】复数的运算．3．已知a ,b 是空间两条直线，α是空间一平面，b α⊂，若p ：//a b ；q ：//a α，则（ ）A ．p 是q 的充分必要条件B ．p 是q 的充分条件，但不是q 的必要条件C ．p 是q 的必要条件，但不是q 的充分条件D ．p 既不是q 的充分条件，也不是q 的必要条件 【答案】D【解析】试题分析：//,a b b α⊂时，可能有a α⊂，因此p 不是q 的充分条件，同样当//a α时，a 与b 可能平行也可能异面．因此p 也不是q 的必要条件．故选D ． 【考点】充分必要条件的判断．4．设等比数列{}n a 的公比2q =，前n 项和为n S ，则43S S =（ ） A ．5 B ．152 C ．73 D ．157【答案】D【解析】试题分析：2312344111123123111a a a a S a a q a q a q S a a a a a q a q ++++++==++++232322112221511227q q q q q ++++++===++++．故选D ． 【考点】等比数列的通项公式与前n 项和． 5．要得到函数sin(4)4y x π=-的图象，只需将函数sin 4y x =的图象（ ）A ．向左平移16π个单位 B ．向右平移16π个单位 C ．向左平移4π个单位 D ．向右平移4π个单位 【答案】B【解析】试题分析：sin(4)sin 4()416y x x ππ=-=-，因此可把sin 4y x =的图象向右平移16π个单位，故选B ． 【考点】三角函数的图象平移．6．函数213()log (9)f x x =-的单调递增区间为（ ）A ．()0,+∞B ．(),0-∞C ．()3,+∞D ．(),3-∞- 【答案】D【解析】试题分析：29033x x x ->⇒<->或，当3x <-时，29t x =-递减，当3x >时，29t x =-递增，又13log y t =是减函数，因此()f x 的增区间是(,3)-∞-，故选D ．【考点】函数的单调性．7．若向量(1,2)a =- ，(1,1)b =--，则42a b + 与a b - 的夹角等于（ ）A ．4π-B ．6πC ．4π D ．34π 【答案】C【解析】试题分析：42(6,6)a b +=- ，(0,3)a b -=，设所求夹角为θ，则(42)()c o s (42)()a b a b a b a b θ+⋅-=+-2==，因为[0,]θπ∈，所以4πθ=．故选C ． 【考点】平面向量的夹角．8．若二次项8()a x x-的展开式中常数项为280，则实数a =（ ）A ．2B ．2±C ．【答案】C【解析】试题分析：882188()()r rr r r r r aT C xa C x x--+=-=-，令820r -=，4r =，因此常数项为44458()70280T a C a =-==，a =C ．【考点】二项式定理的应用．【名师点睛】二项式()na b +展开式的通项公式为1r n r r r n T C a b -+=，由这个通项公式可求展开式中的特定项，求某一项的系数，二项式系数等等，这个公式是解题的关键之一．9 ）A ．T T =．T T a =⋅ C ．T a = D ．T =【答案】B【解析】=B ．【考点】程序框图．10．如图，网格之上小正方形的边长为1，粗线画出的是某空间几何体的三视图，若该几何体的体积为20，则该几何体的表面积为（ ）A ．72B ．78C ．66D ．62 【答案】A【解析】试题分析：该几何体是棱长为3a 的正方体沿前后、左右、上下三个方向各挖一个长方体，因此该几何体的体积为333(3)72020V a a a =-⨯==．1a =，则222636164172S =⨯-⨯+⨯⨯=表．故选A ． 【考点】三视图，体积与表面积．11．连续地掷一枚质地均匀的骰子4次，正面朝上的点数恰有2次为3的倍数的概率为（ ） A ．116 B ．827 C ．281 D ．481【答案】B【解析】试题分析：掷骰子1次，正面朝上的点数是3的倍数的概率为2163P ==，掷4次时，每次之间是相互独立的，因此恰有2次为3的倍数的概率2224118(1)()3327C -⨯=．【考点】独立重复试验恰好发生k 次的概率．【名师点睛】概率问题理解角度不同选用公式就不一样，本题中记事件A 为“掷一枚质地均匀的骰子1次，正面朝上的点数恰为3的倍数”，则21()63P A ==，而题中事件可以看是抛掷骰子4次，事件A 恰好发生2次，显然每次抛掷都是相互独立的，因此可选用独立重复试验恰好发生k 次的概率公式求解，而这类问题也可用古典概型概率公式求解，抛掷骰子4次，向上一面的点可能是46种可能，恰有2次为3的倍数即4次是有2次是3的倍数，另2次不是3的倍数，这样共有222424C ⨯⨯中可能，从而可计算概率．12．已知双曲线Γ：22221y x a b-=（0a >0b >）的上焦点为(0,)F c （0c >），M 是双曲线下支上的一点，线段MF 与圆2222039c a x y y +-+=相切于点D ，且||3||MF DF =，则双曲线Γ的渐进线方程为（ ）A ．40x y ±=B ．40x y ±=C ．20x y ±=D ．20x y ±= 【答案】D【解析】试题分析：设下焦点为1(0,)F c -，圆2222039c a x y y +-+=的圆心为(0,)3c Q ，易知圆的半径为3b QD =，易知122333cF F c QF ==⨯=，又3M F D F =，所以1//F M QD ，且13F M Q D b ==，又Q D M F ⊥，所以1F M M F⊥，则112M O F F c ==，设(,)M x y ，由222222()x y c x y c b ⎧+=⎪⎨++=⎪⎩得22422224422b c b x c b cy c ⎧-=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩，代入22221y x a b-=得22222222(2)4144b c c b c a c ---=，化简得4224430a a b b +-=，解得224b a =，即2b a =，12a b =，所以渐近线方程为12a y x x b =±=±，即20x y ±=．故选D ．【考点】直线与圆的位置关系，双曲线的几何性质．【名师点睛】本题考查双曲线的几何性质，关键是求出,a b 之间的关系．解决解析几何问题还能纯粹地进行代数计算，那样做计算量很大，事倍功半，事倍功半，而是借助几何性质进行简化计算．本题中直线MF 与圆相切于D ，且3MF DF =，通过引入另一焦点1F ，圆心Q ，从而得出1F M MF ⊥，1FM b =，这样易于求得M 点坐标（用,,a b c 表示），代入双曲线方程化简后易得结论．二、填空题13．若实数x 、y 满足约束条件2,2,2,x y x y ≤⎧⎪≤⎨⎪+≥⎩则2z x y =+的最大值是 ．【答案】6【解析】试题分析：作出可行域，如图ABC ∆内部（含边界），作出线:20l x y +=，平移直线l ，当它过点(2,2)B 时，z 取得最大值6．【考点】简单的线性规划． 14．曲线1x y x =+在点1(1,)2处的切线方程为 ． 【答案】410x y -+=【解析】试题分析：2211'(1)(1)x x y x x +-==++，1x =时，1'4y =，所以切线方程为11(1)24y x -=-，即410x y -+=． 【考点】导数的几何意义．15．已知抛物线Γ：22x y =，过点(0,2)A -和(,0)B t 的直线与抛物线没有公共点，则实数t 的取值范围是 ． 【答案】(,1)(1,)-∞-+∞【解析】试题分析：显然0t ≠，直线AB 方程为12x y t +=-，即220x ty t --=，由22202x ty t x y--=⎧⎨=⎩，消去y 得2440tx x t -+=，由题意22(4)160t ∆=--<，解得11t t <->或．【考点】直线与抛物线的位置关系．【名师点睛】直线与抛物线位置关系有相交，相切，相离三种，判断方法是：把直线方程与抛物线方程联立方程组，消去一个未知数后得一个一元二次方程，Δ0>⇔相交，有两个交点，Δ0=⇔相切，有一个公共点，Δ0<⇔相离，无公共点，注意有一个公共点时不一定是相切，也能与对称轴平行，为相交．16．已知2,0,()ln(1),0x ax x f x x x ⎧+≤=⎨+>⎩，()2()F x f x x =-有2个零点，则实数a 的取值范围是 ．【答案】1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦【解析】试题分析：由题意，()F x 有两个零点，即函数()y f x =的图象与直线2x y =有两个交点，直线2xy =过原点，又(0)0f =，因此一个交点为原点，又记()ln(1)g x x =+，1'()1g x x =+，1'(0)12g =>，即l n (1)y x =+在原点处切线斜率大于12，并随x 的增大，斜率减小趋向于0，可知()f x 的图象与直线2xy =在0x >还有一个交点，因此22x x ax +=没有负实数根．所以102a -≥，12a ≤． 【考点】函数的零点．【名师点睛】函数的零点，是函数图象与x 轴交点的横坐标，零点个数就是方程解的个数，对于较复杂的函数零点问题一般要转化为两函数图象的交点问题，这样可以应用数形结合思想，借助函数图象观察寻找方法与结论．在转化时要注意含有参数的函数最好是直线，或者是基本初等函数，这样它们的变化规律易于掌握，交点个数易于判断．三、解答题17．已知{}n a 是各项均为正数的等差数列，公差为2．对任意的*n N ∈，n b 是n a 和1n a +的等比中项．221n n n c b b +=-，*n N ∈． （1）求证：数列{}n c 是等差数列； （2）若116c =，求数列{}n a 的通项公式． 【答案】（1）证明见解析；（2）2n a n =【解析】试题分析：（1）要证明数列{}n c 是等差数列，就是要证1n n c c --是常数，为此通过n b 可把1n n c c --用n a 表示出来，利用{}n a 是等差数列证明；（2）求通项公式，关键是求1a ，由已知22121231216c b b a a a a =-=-=，再由等差数列的定义就可求得1a ，从而得通项公式．试题解析：（1）证明：∵21n n n b a a +=，∴2222111()()n n n n n n c c b b b b -+--=---12111()()n n n n n n n n a a a a a a a a ++++-=---1211()()n n n n n n a a a a a a +++-=---122n n a d a d +=⋅-⋅12()n n d a a +=-228d ==（常数），∴数列{}n c 是等差数列．（2）解：116c =，则22218b b -=，∴231216a a a a ⋅-=，231()16a a a -=，1()216a d d +⋅=， 解得12a =，∴2(2)22n a n n =+-⋅=．【考点】等差数列的判断，等差数列的通项公式． 【名师点睛】等差数列的判断方法． 在解答题中常用：（1）定义法，对于任意的2n ≥，证明1n n a a --为同一常数； （2）等差中项法，证明122n n n a a a --=+（3,*n n N ≥∈）； 在选择填空题中还可用：（3）通项公式法：证n a pn q =+（,p q 为常数）对任意的正整数n 成立； （4）前n 项和公式法：证2n S An Bn =+（,A B 是常数）对任意的正整数n 成立． 18．△ABC 的内角A ，B ，C 对应的三边分别是a ，b ，c ，已知222()2cos a b ac B bc -=+．（1）求角A ；（2）若点D 为边BC 上一点，且2BD DC =，BA ⊥AD ，求角B ． 【答案】（1）23A π=；（2）6B =π【解析】试题分析：（1）本题是解三角形中的求角问题，已知条件是边角混合的关系，观察等式，先由余弦定理化“角”为“边”，整理后正好可得cos A ，从而求得A 角；（2）由已知可设DC x =，则2BD x =，试着,AB AC 用x 表示，一个是直角三角形中2cos AB x B =，另一个在ADC ∆中应用正弦定理2sin()sin()232ACDCB πππ=+-，也得出2cos AC x B =，从而知这是等腰三角形．从而得角B ．试题解析：（1）由222cos 2a c b B ac+-=，得222222()22a c b a b ac bc ac +--=⋅+， 即222b c a bc +-=-．∴2221cos 22b c a A bc +-==-，∵0A π<<，∴23A π=． （2）设DC 为1个单位长度，则2BD =． 在Rt ABD ∆中，cos 2cos AB BD B B ==． 在△ADC 中，由正弦定理sin sin CD ACDAC ADC=∠∠，即1sin()sin()322AC B πππ=-+．∴2cos AC B =，∴AB AC =，故6B C π==． 【考点】余弦定理，正弦定理．19．如图，四棱锥P ABCD -中，90ABC BAD ∠=∠=︒，2BC AD =，△PAB 与△PAD 都是等边三角形．（1）证明：CD ⊥平面PBD ；（2）求二面角C PB D --的平面角的余弦值． 【答案】（1）证明见解析；（2【解析】试题分析：（1）要证明线面垂直，就是要证线线垂直，要证CD 与平面PBD 中两条相交直线垂直，由平面几何知识易得CD BD ⊥，另一条垂线不易找到，考虑到PA PB PD ==，因此P 在平面ABCD 上的射影O 是ABD ∆的外心，从而O 是BD 中点，那么可得PO CD ⊥，第二个垂直也得到了，从而证得结论；（2）要求二面角，可根据二面角的定义先作二面角的平面角，由已知条件可得222DP BP BD +=，从而BP DP ⊥，由（1）的结论可得BP CD ⊥，从而又有BP ⊥平面CPD ，因此CPD ∠就是要作的平面角，解三角形可得此角． 试题解析：（1）证明：过P 作PO ⊥平面ABCD 于O ，连OA ． 依题意PA PB PD ==，则OA OB OD ==． 又△ABD 为Rt ∆，故O 为BD 的中点． ∵PO ⊂面PBD ，∴面PBD ⊥面ABCD ． 在梯形ABCD 中，222CD DB CB +=， ∴CD DB ⊥．∵面ABCD 面PBD BD =， ∴CD ⊥平面PBD ．（2）由（1）知CD ⊥平面PBD ， 又222DP PB DB +=， ∴DP BP ⊥．由三垂线定理知CP PB ⊥．∴CPD ∠为二面角C PB D --的平面角，∴cos PD CPD PC ∠===【考点】线面垂直的判断，二面角．20．某学校甲、乙两个班各派10名同学参加英语口语比赛，并记录他们的成绩，得到如图所示的茎叶图．现拟定在各班中分数超过本班平均分的同学为“口语王”．（1）记甲班“口语王”人数为m ，乙班“口语王”人数为n ，比较m ，n 的大小． （2）随机从“口语王”中选取2人，记X 为来自甲班“口语王”的人数，求X 的分布列和数学期望．【答案】（1）m n <；（2）分布列见解析，期望为89【解析】试题分析：（1）由茎叶图求出甲乙的平均数，从而得出4,5m n ==，因此得结论m n <；（2）从9人取任取2人，而甲班“口语王”有4人，因此随机变量X 的取值可能为0,1,2，由古典概型概率公式计算出概率()P X i =（0,1,2i =），从而得分布列，再由期望公式可计算出期望． 试题解析：（1）∵60727577808084889193800801010x +++++++++===甲，∴4m =； ∵61647072738586889794790791010x +++++++++===乙，∴5n =，∴m n <．（2）X 可取0，1,2，0245295(0)18C C P X C ===，1145295(1)9C C P X C ===，2045291(2)6C C P X C ===， X 的分布列为∴5518()01218969E X =⨯+⨯+⨯=． 【考点】茎叶图，随机变量的分布列，数学期望．21．如图，已知椭圆Γ：22143x y +=的左、右焦点分别为1F 、2F ，过点1F 、2F 分别作两条平行直线AB 、CD 交椭圆Γ于点A 、B 、C 、D ．（1）求证：||||AB CD =；（2）求四边形ABCD 面积的最大值．【答案】（1）证明见解析；（2）ABCD S 的最大值为6 【解析】试题分析：（1）圆锥曲线中证明两线段相等，一般要用解析法，计算这两条线段的长度得相等结论，直线AB 斜率不可能为0，因此可设设11(,)A x y ，22(,)B x y ，AB l ：1x my =-．所1x m y =-代入椭圆方程得出y 的一元二次方程，从而得1212,y y y y +，由圆锥曲线上的弦长公式得12AB y =-，同理CD 方程为1x my =+，并设33(,)C x y ，44(,)D x y，最后计算出CD ，它们相等；（2）原点O 实质上是平行四边形A B C D 对角线的交点，而112121122AOB S OF y y y y ∆=-=-，从而可得ABCD S =设211t m =+≥，因此只要求得1()96h t t t =++的最小值，即可得结论，此最小值可用函数的单调性得出（可先用基本不等式求解，发现基本不等式中等号不能取到）．试题解析：（1）设11(,)A x y ，22(,)B x y ，AB l ：1x my =-．联立221,431,x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩得22(34)690m y my +--=． ∴122634m y y m +=+，122934y y m =-+． 设33(,)C x y ，44(,)D x y ，由//AB CD ，得CD l ：1x my =+． 联立221,431,x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩得22(34)690m y my ++-=． ∴342634my y m +=-+，342934y y m =-+．∴1234()y y y y +=-+，1234y y y y =．∴1234||||y y y y -=-．而12|||AB y y =-，34|||CD y y =-，∴||||AB CD =．（2）由（1）知四边形A B C D 为平行四边形，4ABCD S S AOB =∆ ，且121||||2AOB S OF y y ∆=⋅-．∴1242||ABCD AOB S S y y ∆==-==== 设1()9f t t t =+（1t ≥），222191'()90t f t t t -=-=>，∴()f t 在[1,)+∞上单调递增，∴min ()(1)10f t f ==．故ABCD S 的最大值为6，此时0m =．【考点】直线与圆锥曲线相交综合问题．【名师点睛】若直线y kx b =+与椭圆相交于两点1122(,),(,)A x y B x y ，则12AB x =-12y =-，由直线方程与椭圆方程联立方程组消元后，应用韦达定理可得1212,x x x x +（或1212,y y y y +），这实质上解析几何中的是“设而不求”法． 22．已知函数3()3||2f x x x a =+-+（a R ∈）．（1）当0a =时，讨论()f x 的单调性；（2）求()f x 在区间[]0,2上的最小值．【答案】（1）()f x 的增区间为(,1)-∞-，(0,)+∞，减区间为(1,0)-；（2）当0a ≤时，()f x 的最小值为32a -+；当01a ≤≤时，()f x 的最小值为32a +；当1a ≥时，()f x 的最小值为3a ．【解析】试题分析：（1）研究单调性，可求出导函数'()f x ，然后解不等式'()0f x >得单调增区间，解不等式'()0f x <得减区间，注意绝对值，要分类求解；（2）由于[0,2]x ∈，因此先分类0a ≤，2a ≥，02a <<，前两种情形，绝对值符号直接去掉，因此只要用导数'()f x 研究单调性可得最值，第三种情形同样要去绝对值符号，只是此时是分段函数，333()2,2,()3()2,0.x x a a x f x x x a x a ⎧+-+≤≤⎪=⎨--+≤≤⎪⎩，2233,2,'()33,0.x a x f x x x a ⎧+≤≤⎪=⎨-≤≤⎪⎩，可以看出这时又要分类：01a <<，12a ≤≤，得单调性再得最小值．试题解析：（1）当0a =时，3()3||2f x x x =++．①当0x ≥时，3()32f x x x =++，2'()330f x x =+>，∴()f x 在(0,)+∞单调递增；②当0x <时，3()32f x x x =-+，2'()333(1)(1)f x x x x =-=-+． 10x -<<时，'()0f x <，∴()f x 在(1,0)-单调递减；1x <-时，'()0f x >，∴()f x 在(,1)-∞-单调递增．综上，()f x 的增区间为(,1)-∞-，(0,)+∞，减区间为(1,0)-．（2）①2a ≥时，3()3()2f x x a x =+-+，02x ≤≤，2'()333(1)(1)f x x x x =-=-+，min ()(1)3f x f a ==．②0a ≤时，3()3()2f x x x a =+-+，02x ≤≤，2'()330f x x =+>，()f x 在[]0,2单调递增，∴min ()(0)32f x f a ==-+．③02a <<时，而02x ≤≤，333()2,2,()3()2,0.x x a a x f x x x a x a ⎧+-+≤≤⎪=⎨--+≤≤⎪⎩ ∴2233,2,'()33,0.x a x f x x x a ⎧+≤≤⎪=⎨-≤≤⎪⎩ （i ）01a <<时，()f x 在[],2a 上单增，()f a 为最小值．2'()3(1)0f x x =-<在0x a ≤≤上恒成立，∴()f x 在[]0,a 上单调递减，∴3min ()()2f x f a a ==+．（ii ）12a ≤≤时，()f x 在[],2a 上单调递增，3min ()()2f x f a a ==+．在0x a ≤≤时，2'()3(1)f x x =-，∴min ()(1)3f x f a ==．综上可知，当0a ≤时，()f x 的最小值为32a -+；当01a ≤≤时，()f x 的最小值为32a +；当1a ≥时，()f x 的最小值为3a ．【考点】分段函数，用导数研究函数的单调性、最值．。
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2017-2018学年度
武汉市部分学校新高三起点调研测试
数学（理科）试卷
说明：本试卷满分150分。
考试用时120分钟。
★祝考试顺利★
注意事项：
1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2. 选择题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
非选择题用黑色墨水的签字笔或钢笔直接答在答题卡上，答在试卷上无效。
3.考试结束后，监考人员将本试卷和答题卡一并收回。
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知函数lg y x =的定义域为集合A ，集合{}
01B x x =≤≤，则A
B =
A. ()0,+∞
B. []0,1
C. [)0,1
D. (]0,1
2.若i 是虚数单位，则复数21i
z i
-=
+的实部与虚部之积为 A.34 B. 34- C. 34i D. 34
i - 3.设随机变量服从正态分布()2,9N ，若()(2)P c P c ξξ>=<-，则c 的值是 A.1 B.2 C.3 D. 4 4.“1a = ”是“()1
0,,14x ax x
∀∈+∞+
≥”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
5.等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若0n a >，公比1q >，352620,64,a a a a +==则5S = A.31 B.36 C. 42 D. 48
6. 若变量,x y 满足约束条件202x y y x y x -≥⎧⎪
≥⎨⎪≥-+⎩
，则2z x y =+的最小值为
A.0
B.3
C.
52 D. 83
7.已知一个棱锥的三视图如图所示，根据图中标出的尺寸（单位：cm ），
可得这个棱锥的侧面积是（ ）
A. 24cm
B. 212cm
C.
2(842)cm + D.
2(44223)cm ++
8.阅读程序框图，若输入m=4，n=6，则输出a ，i 分别是（ ）
A. 12,3a i ==
B. 12,4a i ==
C. 8,3a i ==
D.
8,4a i ==
9.已知函数()sin()(0,)2
f x wx w π
ϕϕ=+><的最小正周期是π，若图象向右
平移
3
π
个单位后得到的函数为奇函数，则函数()y f x =的图象 A. 关于点,012π⎛⎫
⎪⎝⎭对称 B.关于点5,012π⎛⎫
⎪⎝⎭
对称 C.关于直线12
x π
=
对称 D. 关于直线512
x π
=
对称 10.已知抛物线2
8y x =的准线与双曲线22
2116
x y a -
=相交于,A B 两点，点F 为抛物线的焦点，ABF ∆为直角三角形，则双曲线的离心率为
A.3
B.2
C.
6 D. 3
11.设数列{}n a 的通项公式为*(1)(21)cos
1()2
n
n n a n n N π
=--⋅+∈，其前n 项和为n S ，则120S =
A.60-
B. 120-
C.180
D.240
12.已知函数()(1)()f x x a x a R =+∈，设关于x 的不等式()()f x a f x +<的解集为A ，若
11,22A ⎡⎤
-⊆⎢⎥⎣⎦
，则实数a 的取值范围是
A. ()1,0-
B. 11,
2⎛
⎫
- ⎪ ⎪⎝⎭ C. 12⎛⎫
⎪ ⎪⎝⎭ D. 10,2⎛+ ⎝⎭
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．请将答案填在答题卡对应题号的位置
上．答错位置，书写不清，模棱两可均不得分．
13.对任意实数x ,有323
0123(2)(2)(2)x a a x a x a x =+-+-+-，则2a 的值是____．
14.过点(0,2)与圆22
(1)1x y -+=相切的直线方程为_________．
15.已知向量,a b 是平面向量，若⊥-⊥-a (a 2b),b (b 2a)，则a b 与的夹角是 _________． 16.若实数a ，b ，c 满足2a +2b =2a+b ，2a +2b +2c =2a+b+c ，则c 的最大值是________． 三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分10分）
已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，111,0,41(*)n n n n a a a a S n N +=≠=-∈ （ Ⅰ）证明：24n n a a +-=; （ Ⅱ）求数列{}n a 的通项公式。
18.（本小题满分12分）
已知函数()sin(2)(0)f x x ϕϕπ=+<<的图象过(,1)12
π
：
（ Ⅰ）求ϕ的值;
（ Ⅱ）在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为,,a b c ，若2
2
2
a b c ab +-=，且
(
)212A f π+=，求sin B
19．（本小题满分12分）
某校排球队和篮球队各有10名同学，现测得排球队10人的身高（单位：cm）分别是：162、170、171、182、163、158、179、168、183、168，篮球队10人的身高（单位：cm）分别是：170、159、162、173、181、165、176、168、178、179．
（Ⅰ）请把两队身高数据记录在如图所示的茎叶图中，并指出哪个队的身高数据方差较小（无需计算）；
（Ⅱ）利用简单随机抽样的方法，分别在两支球队身高超过170cm的
队员中各抽取一人做代表，设抽取的两人中身高超过178cm的人数为
X，求X的分布列和数学期望。
20．（本小题满分12分）
如图，在三棱锥P﹣ABC中，侧棱PA⊥底面ABC，∠BAC=120°，且
AB=AC=AP=1，点M为侧棱PB的中点，点N在棱BC上，且AN=BC．
（Ⅰ）求证：MN⊥AB；
（Ⅱ）求二面角M﹣AN﹣P的余弦值．
21．（本小题满分12分）
已知A（-2，0）点B（2,0）分别为椭圆C的左、右顶点，点F为椭圆C的右焦点，点P是椭
23。
圆C上异于A,B的动点，且△APB的面积的最大值为
（Ⅰ）求椭圆C的方程及离心率；
（Ⅱ）过点B做垂直于x轴的直线与AP相交于点D当直线AP绕点A旋转时，试判断以线段BD为直径的圆与直线PF的位置关系，并加以证明。
22．（本小题满分12分）
已知函数f（x）=lnx+ax+1，a∈R．
（Ⅰ）若不等式f（x）≤0恒成立，求a的取值范围；
（Ⅱ）数列{a n}中，a1=2，2a n+1=a n+1，数列{b n}满足b n=nlna n，记{b n}的前n项和为T n．求证：T n＜4﹣．。