2015-2016学年度北京市三帆中学九年级第一学期12月月考数学试卷(图片版无答案)
2015-2016学年第一学期北京四中初三数学12月月考
数学试卷（时间：120分钟总分：120分）姓名：班级：一、选择题(本题共30分，每小题3分)下面各题均有四个选项，其中只有一个．．．．是符合题意的． 1. 抛物线2(1)2y x =-+的顶点坐标是( ).A ．（1，2）B ．（1，-2）C ．（-1， 2）D ．（-1，-2）2．将抛物线22x y =先向左平移3个单位, 再向上平移4个单位, 则得到的抛物线的解析式为( ).A. 4)3(22+-=x yB. 4)3(22++=x yC. 4)3(22--=x yD. 4)3(22-+=x y3．已知二次函数y ＝-x (x -a )，若当x ≤2时，y 随x 增大而增大，当x ＞2时，y 随x 增大而减少，则a 的值是( ). A ． 1B ．2C ．-2D ．44．下列命题错误．．的是( ). A ．经过不在同一直线上的三个点一定可以作圆 B ．三角形的外心到三角形各顶点的距离相等C ．平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧D ．经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心 5.如图，在△ABC 中，∠A =90°，D 为BC 上一点，过D 作ED ⊥BC 交AC 于E ，若AB =6，AC =8，ED =3，则CD 的长为( ).A ．5B ．4C ． 3D ． 2（第5题图）（第6题图）（第7题图）6．如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，E 为CD 延长线上一点，如果∠ADE =120°，那么∠B 等于( ). A ．130°B ．120°C ．80°D ．60°7如图，已知⊙O 的半径为13，弦AB 长为24，则点O 到AB 的距离是( ). A. 6 B.5 C.4D.38. 如图，边长为1的小正方形网格中，⊙O 的圆心在格点上，则∠AED 的余弦值是( ).A.21B. 1C.23D. 552D OAB ECDC POABE(第8题图） （第9题图）9. 如图，P 为⊙O 外一点，P A 、PB 分别切⊙O 于A 、B ，CD 切⊙O 于点E ，分别交P A 、PB 于点C 、D ，若P A =5，则△PCD 的周长为( ). A ．5 B ．7 C ．8 D ．10 10．如图，点C 是以点O 为圆心，AB 为直径的半圆上的动点（点C 不与点A ，B 重合），AB =4．设弦AC 的长为x ，△ABC 的面积为y ，则下列图象中，能表示y 与x 的函数关系的图象大致是( ).A ． B. C. D.二、填空题（本题共18分，每小题3分） 11.二次函数y =x 2+4x +c 的对称轴是．12.已知抛物线522+-=x x y 经过两点1(-2,)A y 和),3(2y B ，则1y 与2y 的大小关系是．13.若⊙O 半径是4，弦AB =4，则弦AB 所对的圆周角等于°.14．如图，是二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c （a ≠0）的图象的一部分，给出下列命题：①a+b+c=0；②b ＞2a ；③ax 2+bx +c =0的两根分别为-3和1； ④a -2b +c ＞0．其中正确的命题是. （填写正确命题的序号）15.人教版九年级《数学》教材上指出“圆心为O 、半径为r 的圆可以看成是在平面内，所有到B OAABC定点O 的距离等于定长r 的点的集合”. 根据上述观点，在平面直角坐标系中，作圆C ，它的圆心为C (a ,b ) ，半径为r ，点P (x ,y )是圆C 上任意一点，可以得到：；（3）将（1）中的圆向左平移1个单位，再向上平移2个单位，所得新图形的方程为.16.数学课上，F 老师问“如何作出△ABC 的外接圆？”H 同学回答“可以分别作AB 、BC 的垂直平分线l 1，l 2，设它们的交点为O ，再以点O 为圆心，OA （或者OB 、OC ）为半径便可作出△ABC 的外接圆.”F 老师肯定了H 同学的作法.请你写出H 同学这样作图的依据：. 三、解答题（本题共72分，第17~26题，每小题5分，第27题7分，第28题7分，第29题8分）17．计算 :260sin 453tan 45cos 60︒-︒-︒+︒．18.如图，△ABC 中，点D 在AB 上，∠ACD =∠ABC ，若AD =2，AB =6.求：AC 的长．19.已知二次函数332++-=x )k (kx y 在x =0和x =4时的函数值相等．（1）求该二次函数的表达式；（2）画出该函数的图象，并结合图象直接写出：①当y ＜0时，自变量x 的取值范围； ②当0≤x <3时，y 的取值范围是多少？20.张大爷要围成一个矩形花圃．花圃的一边利用足够长的墙，另三边用总长为32米的篱笆恰好围成．围成的花圃是如图所示的矩形ABCD ．设AB 边的长为x 米．矩形ABCD 的面积为S 平方米．（1）求S 与x 之间的函数关系式（不要求写出自变量x 的取值范围）． （2）当x 为何值时，S 有最大值？并求出最大值．A21．已知：如图，在⊙O 中，点P 在直径AB 的延长线上，PC ，PD 与⊙O 相切，切点分别为点C ，点D ，连接CD 交AB 于点E ．如果⊙O 的半径等于351tan 2CPO ∠=.求：弦CD 的长．22．如图，小明同学在东西方向的环海路A 处，测得海中灯塔P 在它的北偏东60°方向上，在A 的正东400米的B 处，测得海中灯塔P 在它的北偏东30°方向上．问：灯塔P 到环海路的距离PC 3 1.732，结果精确到1米）23. 已知：如图，BC 为⊙O 的直径，点A 是BF 的中点，AD ⊥BC 于D ，连接BF 交AD 于E .求证：（1）AE =BE ；（2）BF =2AD ．EFDBOA24．已知：如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°，BD 平分∠ABC ，交AC 于点D ，经过B 、D 两点的⊙O 交AB 于点E ，交BC 于点F ，EB 为⊙O 的直径． （1）求证：AC 是⊙O 的切线；（2）当BC =2，cos ∠ABC 13=时，求⊙O 的半径．25. 如图，已知：实数m 是方程x 2－8x ＋16＝0的一个实数根，抛物线212y x bx c =-++交x 轴于点A （m ，0）和点B ，交y 轴于点C （0，m ）． （1）求抛物线的解析式；（2）设△AOC 的外接圆为⊙G ，若M 是⊙G 的ACO 上的一个动点，连接AM 、OM ．在y 轴左侧的抛物线上是否存在点N ，使得∠NOB ＝∠AMO ．若存在，求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由．26．已知：如图，正方形ABCD 的边长为6，点E 为BC 的中点，点F 在AB 边上，且∠EDF＝45°．（1）利用画图工具，在右图中画出满足条件的图形； （2）猜想tan ∠ADF 的值，并写出求解过程．27．在平面直角坐标系xOy 中，二次函数2()(0)y mx m n x n m =-++<的图象与y 轴正半轴交于A 点．（1）求证：该二次函数的图象与x 轴必有两个交点；A B CD C ABOxy（2）设该二次函数的图象与x 轴的两个交点中右侧交点为点B ，若45ABO ∠=︒，将直线AB 向下平移2个单位得到直线l ，求直线l 的解析式； （3）在（2）的条件下，设M (,)p q 为二次函数图象上的一个动点，当30p -<<时，点M关于x 轴的对称点都在直线l 的下方，求m 的取值范围．28．已知，△GAB ，△GDC 为等腰三角形，其中GA =GB ，GD =GC ，∠AGB = ∠DGC ，过点G 分别作AB 、 CD 的垂线垂足点E 、F . （1）求证：AD ＝BC ；（2）求证：△AGD ∽△EGF ；（3）如图2，若AD 、BC 所在直线互相垂直，求 ADEF 的值；（4）如图3，在(3)的条件下，若AD 、BC 所在直线相交于点P ，BD =6， ∠BGD =60°，设△BGD 的外心为O ，在BG 和DG 的长度发生变化的过程中，OP 的最小值为．12345-1-2-3-4-5-5-4-3-2-154321yx OF BEGD ACGFBDEACOPGBDAC（图1） （图2） （图3）29. 在平面直角坐标系xOy 中，⊙C 的半径为r ，P 是与圆心C 不重合的点，点P 关于⊙C的反演点的定义如下：若在射线．．CP 上存在一点P '，满足2r 'CP CP =⋅，则称P '为点P 关于⊙C 的反演点，图1为点P 及其关于⊙C 的反演点P '的示意图.(1)当点C 在原点O 且半径为1时，①求1,02A ⎛⎫⎪⎝⎭，),(B 2321关于⊙O 的反演点A ’、B ’的坐标及A ’B ’的长度； ②点P 在直线2y x =-+上，若点P 关于⊙O 的反演点为P '存在,求点P '的横坐标的取值范围；(2)当⊙C的圆心在x轴上，半径为1，直线y x=+x轴，y轴分别交于点A、B，若线段AB上存在点P，使得点P关于⊙C的反演点P'在⊙C的外部，求圆心C的横坐标的取值范围．（图1）（备用图）数学综合练习（二）参考答案一、选择题：（每小题3分）二、填空题：（每小题3分）11．直线x=-2；12. y1>y2；13. 30°或150°；14. （1）（3）；15.（1）x2+y2=1；（2）（x-4）2+y2=1；（3）（x+1）2+（y-2）2=1；16.线段垂直平分线的性质，圆的定义，等式性质，两条直线交于一点.三、解答题：17．解：原式211322332+⨯-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯= …………………………4分 213213+--= 0=．……………………………………5分18.解：∵∠ACD =∠ABC ，∠A=∠A , ……………………………………… 2分 ∴△ACD ∽△ABC . …………………………………………………… 3分∴AD AC AC AB=. ………………………………………………………… 4分 ∵AD =2，AB =6，∴26ACAC =. ∴212AC =. ∴23AC =. …………………………………………………………5分 19.解：(1) 由题意可知，此二次函数图象的对称轴为2x =，即()322k k -+-=.………………………………………1分 ∴1k =，∴y =x 24x 3. ………………………………………………………2分（2）如图1…………………3分①1＜x ＜3. ……………………………………………………………………………… 4分 ②31≤≤-y ……………………………………………………………………………… 5分20. 解：(1)BC =32-2x ∴S=(32-2 x ) x =32 x - x ²……………………………………………………………… 2分(2)S=32 x -2 x ²=-2(x ²-16 x )=-2(x ²-16 x +64)+128=-2(x -8)²+128…………………………………………………………… 4分 答：当x=8时,S 最大值是128平方米……………………………………………………………… 5分21．解：连接OC ．（如图1）∵PC ，PD 与⊙O 相切，切点分别为点C ，点D ，∴OC ⊥PC ，……………………………………………………………………… 1分 PC =PD ，∠OPC=∠OPD ．∴CD ⊥OP ，CD =2CE ． …………………………2分∵21tan =∠CPO ， 图1∴1tan tan 2OCE CPO ∠=∠=．……………3分 设OE=k ，则CE=2k，OC =．（0k >） ∵⊙O的半径等于=3k =．∴CE=6．………………………………………………… 4分 ∴CD =2CE=12．…………………………………………… 5分22．解：如图3，由题意，可得∠P AC =30°，∠PBC =60°． ………………………………………… 2分 ∴30APB PBC PAC ∠=∠-∠=︒．∴∠P AC=∠APB ．∴PB =AB = 400．…………………………… 3分在Rt △PBC 中，∠PCB =90°，∠PBC =60°，PB =400，∴sin 400346.42PC PB PBC =⋅∠=⨯==≈346（米）．………………4分 答：灯塔P 到环海路的距离PC 约等于346米． …………………………………… 5分23.证明：（1）延长AD 交圆O 于点A ’，连接AB . ∵AD ⊥BC 于D ，弧AB =弧A’B ，∵点A 为弧BF 的中点，∴弧AB =弧AF ，∴弧A’B =弧AF ，∴∠1=∠A ，∴AE =BE ；（2）由（1）可得弧AA’=弧BF ，∴AA’=BF ， ∵AD ⊥BC 于D ，∴AA ’=2AD , ∴BF =2AD ．24．（1）证明：如图，连结OD ．∴OD OB =．∴12∠=∠． ∵BD 平分ABC ∠,∴13∠=∠．∴23∠=∠． …………………………．．1分 ∴OD BC ∥．∴90ADO C ∠=∠=°．∴OD AC ⊥． ∵OD 是⊙O 的半径，∴AC 是⊙O 的切线． ……………………………………2分（2）解：在Rt △ACB 中，90C ∠=，BC =2 , cos ∠ABC 13=, ∴6cos BCAB ABC==∠． …………………………………………………… 3分设O ⊙的半径为r ，则6AO r =-．∵OD BC ∥，∴AOD ABC △∽△．∴OD AO BC AB =．∴626r r-=． 解得32r =．∴O ⊙的半径为32． ………………………………………………………… 5分25.解：（1）∵实数m 是方程x 2-8x +16=0的一个实数根，∴m =4；…………… 1分 即A （4，0）、C （0，4），代入抛物线的解析式中，可得：，解得；∴抛物线的解析式为：y =x 2+x +4；……………………………………………………………… 2分（2）如图：由于A （4，0）、C （0，4），那么OA=OC=4，即△OAC 是等腰直角三角形； 点N 在y 轴左侧，那么∠NOB ＜90°，因此∠AMO 也是锐角，即M 在弧ACO 上，由圆周角定理知：∠ACO=∠AMO=45°， 故∠NOB=∠AMO=45°；…………………………… 3分 设N 点坐标为（m ，n ），则|m |=|n |；当m =n 时，N （m ，m ），代入抛物线的解析式中，得： m =m 2+m +4，解得：m =-2（正值舍去）；∴N （-2，-2）；………………………………………………………… 4分当m =-n 时，N （m ，-m ），代入抛物线的解析式中， 得：-m =m 2+m +4，解得：m =2-2（正值舍去）；∴N （2-2，2-2）；……………………………………………………………… 5分综上所述，存在符合条件的N 点，且N 点坐标为：N （-2，-2）或（2-2，2-2）．26．解：（1）如图1． ………………………… 1分（2）猜想tan ∠ADF 的值为13．……………………2分求解过程如下: 如图2.在BA 的延长线上截取AG=CE ,连接DG ． ∵四边形ABCD 是正方形,∴AD=CD=BC=AB=6,∠DAF=∠ABC=∠ADC=∠BCD = 90°． ∴∠GAD = 90°．∴△AGD ≌△CED ． ………………………………3分 ∴∠GDA=∠EDC ，GD=ED ，AG=CE ． ∵∠FDE =45°,∴∠ADF +∠EDC=45°． ∴∠ADF +∠GDA =45°． ∴∠GDF=∠EDF ． ∵DF = DF ，∴∠GDF ≌∠EDF ．……………………………… 4分 ∴GF =EF ． 设AF =x , 则FB=6-x , ∵点E 为BC 的中点, ∴BE=EC=3． ∴AG=3． ∴FG=EF=3+x ．在Rt △BEF 中，∠B =90°，由勾股定理，得222BF BE EF +=, ∴2223(6)(3)x x +-=+． ∴x=2．∴AF=2． ……………………………………………………… 5分FEDCBA 图1GA BCDEF图2∴在Rt △ADF 中，tan ∠ADF =AF AD =13．27．解：（1）令2()=0mx m n x n -++，则22=()4=()m n mn m n ∆+--. ………………………………………………………1分 ∵二次函数图象与y 轴正半轴交于A 点，∴(0,)A n ，且0n >. 又0m <，∴0m n -<. ∴2=()0m n ∆->.∴该二次函数的图象与x 轴必有两个交点．………………………………………2分（2）令2()=0mx m n x n -++，解得：121,nx x m==．由（1）得0nm<，故B 的坐标为（1，0）. ………………………………………3分 又因为45ABO ∠=，所以(0,1)A ，即=1n .则可求得直线AB 的解析式为1y x =-+.再向下平移2个单位可得到直线:1l y x =--．…………………………………4分 （3）由（2）得二次函数的解析式为2(1)1y mx m x =-++∵M (,)p q 为二次函数图象上的一个动点， ∴2(1)1q mp m p =-++.∴点M 关于x 轴的对称点M '的坐标为(,)p q -. ∴点M '在二次函数2(1)1y mx m x =-++-上.∵当30p -<<时，点M 关于x 轴的对称点都在直线l 的下方，当0p =时，1q =；当3p =-时，124q m =+；……………………………5分 结合图象可知：(124)2m -+≤，解得：12m ≥-，………………………………………………………………………6分∴m 的取值范围为102m -≤<．……………………………………………………7分28．证明：（1）∵∠AGB =∠DGC ，∴∠AGD=∠BGC ，在△AGD 和△BGC 中，GA =GB ，∠AGD=∠BGC ，GD =GC ， ∴△AGD ≌△BGC ， ∴AD ＝BC.（2）∵∠AGB =∠DGC ，过点G 分别作AB 、 CD 的垂线垂足点E 、F . ∴∠AGE =21∠AGB , ∠DGF =21∠DGC , 2∴∠AGE =∠DGF . ∴cos ∠AGE =GDGFGA GE == cos ∠DGF .又∵∠AGD=∠BGC ，∴△AGD ∽△EGF （3）∵△AGD ∽△EGF ,∴GEAGEF AD =. ∵AD 、BC 所在直线互相垂直，∴AD ⊥EF∴△ABG 是等腰直角三角形，∴2=GEAG.∴.GE AG2=. （4）33-.29. （1）A 的反演点与O 的距离为2，所以A’=(2,0)，B 的反演点与O 的距离为1，所以B’=B ， 设P ’坐标为(x ，y) x ,y 不全为零，对应P 的坐标为2222(,)x yx y x y ++，2222222111()()448x yx y x yx y +=++-+-=，211()48x -≤，1144x -≤≤（2）P '在⊙C 的外部，即P 在⊙C 的内部且不是圆心， 只需令线段AB 和圆面C 有交集即可.考虑左侧边界位置，C 到线段AB 的距离为1，因此AC =2，C 横坐标为4 考虑右侧边界位置，C 到A 的距离为1，因此C 的横坐标为7 所以C 的横坐标取值范围为（4,7）。
北京人大附中2015届九年级上月考数学试卷(12月)含答案解析
)
A． B． C． D．
4．如图，⊙O 的直径 AB=8，弦 DE 经过 OB 的中点 C 且 DE⊥OB，则弦 DE 的长为 ()
A．3 B．2 C．4 D．6
5．如图，正△ABC 的边长为 3，以 A 为圆心，AB 为半径作弧，则图中阴影部分的面积是 ()
A．
B．
C． ﹣
D．3
6．如图，四边形 ABCD 中，AB=AC=AD，∠CBD=23°，则∠CAD 为(
④位置随点 C 的移动而移Байду номын сангаас，
正确的是(
)
A．①② B．②③ C．② D．④
8．如图，正△ABC 的边长为 3，点 N 在 AC 边上且 AN：NC=1：2，三角形边上的动点 M
从点 A 出发，沿 A→B→C 的方向运动，到达点 C 时停止．设点 M 运动的路程为 x，
y=MN2，则 y 关于 x 的函数图象大致为(
20．如图，已知，在△ABC 中，∠ABC=90°，BC 为⊙O 的直径，AC 与⊙O 交于点 D，点 E 为 AB 的中点，PF⊥BC 交 BC 于点 G，交 AC 于点 F． （1）求证：ED 是⊙O 的切线； （2）如果 CF=1，CP=2，sinA= ，求⊙O 的直径 BC．
21．据报道，历经一年半的调查研究，北京 PM 2.5 源解析已经通过专家论证．各种调查 显示，机动车成为 PM 2.5 的最大来源，一辆车一天行驶 20 千米，那么这辆车每天至少就 要向大气里排放 0035 千克污染物．以下是相关的统计图、表： 2013 年北京市全年空气质量等级天数统计表 空气质量等级 优 良 轻度污 中度污 重度污 严重污
四、解答题（本题共 20 分，每小题 5 分） 19．如图，直线 y=﹣ 2x+1 分别交 x 轴，y 轴于点 A，B，交反比例函数 y= 的图象于点 C， CB：BA=2：1． （1）求反比例函数 y= 的解析式； （2）若点 P 在 y 轴上且以点 B，C，P 为顶点的三角形与△AOB 相似，直接写出点 P 的坐 标．
2015-2016学年北京市东城区2016届九年级上期数学期末数学试题(含答案)
北京市东城区2015—2016学年第一学期期末统一测试初三数学2016.1学校班级姓名考号一、选择题（本题共30分，每小题3分）下面各题均有四个选项，其中只有一个．．是符合题意的．1．若关于的x方程230x x a++=有一个根为-1，则a的值为A．4-B．2-C．2D．4-2．二次函数224y x x=-++的最大值为A．3 B．4 C．5 D．63．下列图形中，是中心对称图形的为A. 1个B．2个C．3个D．4个4．一只不透明的袋子中装有4个黑球、2个白球，每个球除颜色外都相同，从中任意摸出3个球，下列事件为必然事件的是A．至少有1个球是黑球B．至少有1个球是白球C．至少有2个球是黑球D．至少有2个球是白球5．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若BC＝1，AC＝2，则cos A的值为A B C．12D．2yOxCy Ox B第10题6．若二次函数y =x 2＋bx 的图象的对称轴是经过点(2，0)且平行于y 轴的直线，则关于x 的方程x 2＋bx =5的解为A ．120,4x x ==B ．121,5x x ==C ．121,5x x ==-D ．121,5x x =-=7．如图，在△ABC 中，BC DE //，6=AD ，3=DB ，则ADEABC S S △△的值为A ．12B ． 23C ．45D ．498. 如图，⊙O 的半径为3，点P 是弦AB 延长线上的一点，连接OP ，若OP ∠P =30°，则弦AB 的长为A ．B ．CD ．29. 如图，点A , B , C 在⊙O 上，CO 的延长线交AB 于点D ，∠A =50°，∠B =30°，则∠ADC 的度数为 A ．70° B ． 90° C ．110°D ．120°10. 如图1， 在ABC △ 中，AB AC =，120BAC ∠=︒.点O 是BC 的中点，点D 沿B →A →C 方向从B 运动到C .设点D 经过的路径长为x ，图1中某条线段的长为y ，若表示y 与x 的函数关系的图象大致如图2所示，则这条线段可能是图1中的 A. BD B ．OD C ．AD D ．CD二、填空题（本题共18分，每小题3分）11．请你写出一个一元二次方程，满足条件：○1二次项系数是1；○2方程有两个相等的实数根. 此方程可以是 ．12．将抛物线y =x 2﹣2x +3向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度后，得到的抛物线的解析式为 ．13. 已知，AB 是⊙O 的一条直径 ，延长AB 至C 点，使AC =3BC ，CD 与⊙O 相切于D 点，若CD则⊙O 半径的长为 . 14. 如图，某校数学兴趣小组利用自制的直角三角形硬纸板DEF 来测量操场旗杆AB 的高度，他们通过调整测量位置，使斜边DF 与地面保持平行，并使边DE 与旗杆顶点A 在同一直线上，已知DE =0.5米，EF =0.25米，目测点D 到地面的距离DG =1.5米，到旗杆的水平距离DC =20米，则旗杆的高度为 米． 15．如图，已知A（2），B（1），将△AOB 绕着点O 逆时针旋转90°，得到△A ′O B ′，则图中阴影部分的面积为 ．16．阅读下面材料：在数学课上，老师提出如下问题： 小涵的主要作法如下：老师说：“小涵的作法正确．”请回答：小涵的作图依据是 ．三、解答题（本题共72分，第17—26题，每小题5分，第27题7分，第28题7分，第29题8分）17．计算：24cos45tan60(1)︒+-.18. 解方程： 2610x x --=.19．如图，△ABC 中，D 为BC 上一点，∠BAD =∠C ，AB =6， BD =4，求CD 的长.20．已知：抛物线y = x 2+(2m －1)x + m 2－1经过坐标原点，且当x < 0时，y 随x 的增大而减小.(1)求抛物线的解析式；(2)结合图象写出y < 0时，对应的x 的取值范围；(3)设点A 是该抛物线上位于x 轴下方的一个动点，过点A 作x 轴的平行线交抛物线于 另一点D ，再作AB ⊥x 轴于点B ， DC ⊥x 轴于点C. 当BC =1时，直接写出矩形ABCD 的周长．21．列方程或方程组解应用题：某公司在2013年的盈利额为200万元，预计2015年的盈利额将达到242万元，若每年比上一年盈利额增长的百分率相同，求该公司这两年盈利额的年平均增长率是多少？22． 如图，在方格网中已知格点△ABC 和点O ．（1）画△A ′B ′C ′，使它和△ABC 关于点O 成中心对称；（2）请在方格网中标出所有的D 点，使以点A ，O ，C ′，D 为顶点的四边形是平行四 边形．23．石头剪子布，又称“猜丁壳”，是一种起源于中国流传多年的猜拳游戏．游戏时的各方每次用一只手做“石头”、“剪刀”、“布”三种手势中的一种，规定“石头”胜“剪刀”、“剪刀”胜“布”、“布”胜“石头”．两人游戏时，若出现相同手势，则不分胜负游戏继续，直到分出胜负，游戏结束．三人游戏时，若三种手势都相同或都不相同，则不分胜负游戏继续；若出现两人手势相同，则视为一种手势与第三人所出手势进行对决，此时，参照两人游戏规则．例如甲、乙二人同时出石头，丙出剪刀，则甲、乙获胜．假定甲、乙、丙三人每次都是随机地做这三种手势，那么：（1）直接写出一次游戏中甲、乙两人出第一次手势时，不分胜负的概率；（2）请你画出树状图求出一次游戏中甲、乙、丙三人出第一次手势时，不分胜负的概率．24. 如图，△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O与BC相交于点D，与CA的延长线相交于点E，过点D作DF⊥AC于点F．（1）求证：DF是⊙O的切线；（2）若sin C=，半径OA=3，求AE的长．325. 如图所示，某数学活动小组要测量山坡上的电线杆PQ的高度．他们采取的方法是：先在地面上的点A处测得杆顶端点P的仰角是45°，再向前走到B点，测得杆顶端点P和杆底端点Q的仰角分别是60°和30°，这时只需要测出AB的长度就能通过计算求出电线杆PQ的高度.你同意他们的测量方案吗？若同意，画出计算时的图形，简要写出计算的思路，不用求出具体值；若不同意，提出你的测量方案，并简要写出计算思路.26. 请阅读下面材料，并回答所提出的问题.三角形内角平分线定理：三角形的内角平分线分对边所得的两条线段和这个角的两边对应成比例.已知：如图，△ABC 中， AD 是角平分线. 求证：DCBDAC AB =.证明：过C 作CE ∥DA ，交BA 的延长线于E .∴Ð1=ÐE ,Ð2=Ð3. ……………………………○1 AD 是角平分线，∴Ð1=Ð2.∴E ∠=∠3.AE AC =∴. .……………………………○2 又CE AD // ， DC BDAE AB =∴. ……………………………○3 ∴DCBDAC AB =. （1）上述证明过程中，步骤○1○2○3处的理由是什么？（写出两条即可） （2）用三角形内角平分线定理解答：已知，△ABC 中，AD 是角平分线，AB =7cm ， AC =4cm ，BC =6cm ，求BD 的长；（3）我们知道如果两个三角形的高相等，那么它们面积的比就等于底的比．请你通过研究△ABD 和△ACD 面积的比来证明三角形内角平分线定理．EDCBACBACBA27．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线28161y mx mx m =-+-（m ＞0）与x 轴的交点分别为A （x 1，0），B （x 2，0）．（1）求证：抛物线总与x 轴有两个不同的交点； （2）若AB =2，求此抛物线的解析式；（3）已知x 轴上两点C （2,0），D （5,0），若抛物线28161y mx mx m =-+-（m ＞0）与线段CD 有交点，请写出m 的取值范围.28. 已知：在等边△ABC 中， AB= D ，E 分别是AB ，BC 的中点（如图1）．若将△BDE 绕点B 逆时针旋转，得到△BD 1E 1，设旋转角为α（0°＜α＜180°），记射线CE 1与AD 1的交点为P ．（1）判断△BDE 的形状；（2）在图2中补全图形， 图1①猜想在旋转过程中，线段CE 1与AD 1的数量关系并证明； ②求∠APC 的度数；（3）点P 到BC 所在直线的距离的最大值为 ．（直接填写结果）图2 备用图29. 已知两个函数，如果对于任意的自变量x ，这两个函数对应的函数值记为y 1，y 2，都有点（x ，y 1）、（x ，y 2）关于点（x ，x ）对称，则称这两个函数为关于y =x 的对称函数.例如，112y x =和232y x =为关于y =x 的对称函数. （1）判断：①13y x =和2y x =-；②11y x =+和21y x =-；③211y x =+和221y x =-，其中为关于y =x 的对称函数的是__________（填序号）.（2）若132y x =+和2y kx b =+（0k ≠）为关于y =x 的对称函数.①求k 、b 的值.②对于任意的实数x ，满足x >m 时，12y y >恒成立，则m 满足的条件为______. （3）若21y a x b x c =++ (0)a ≠和22y x n =+为关于y =x 的对称函数，且对于任意的实数x ，都有12y y ＜，请结合函数的图象，求n 的取值范围.。
北京师大附中2015-2016学年度第一学期月考初三数学试题及答案
点的坐标是 2, 5 ．
（1）①点
3,1 的限变点的坐标是___________；
2 图象上某一个点的限变点， x
②在点 A 2, 1 ， B 1, 2 中有一个点是函数 y 这个点是_______________； （ 2 ）若点 P 在函数 y x 3(2≤x≤k , k 2) 点 Q 的纵坐标 b 的取值范围是 5≤b≤2 ，求 k
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北京师大附中 2015—2016 学年度第一学期月考
初 三 数 学 试 卷
试卷说明：本试卷满分 120 分，考试时间为 100 分钟． 一、选择题（每小题 3 分，共 30 分） 1． 把抛物线 y=3x 先向上平移 2 个单位， 再向右平移 3 个单位， 所得抛物线的解析式是 （
A B C
限 内 将 点 的 坐
（ 5 分）如图，点 E 是四边形 ABCD 对角线 BD 上一 22． ∠BAC=∠BDC=∠DAE．求证： ABE ∽ ACD
点，且
2 23． （8 分）已知二次函数的解析式是 y x 2 x 3 .
（1）在直角坐标系中，用五点法画出它的图象； （2）当 x 为何值时，函数值 y<0？ （3） 当-2<x<2 时， 观察图象直接写出函数值 y 的取值的范围.
2
21 或3 b 1 4
26. （8 分)（1）如图（2）如图（3）8
27． （8 分）解： （1）① ( 3,1) ； ………………………………1 分
② 点 B． ………………………………………………2 分
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北京市三帆中学2015-2016学年七年级下学期期中考试数学试题(无答案)
2015~2016学年北京西城区北京市三帆中学初一下学期期中数学试卷（含附加）一、选择题1.64的平方根是（ ）.A.4B.8C.4±D.8±2.下图中，1∠和2∠是同位角的是（ ）.A B C D 3.若2a >，则下列各式错误的是（ ）.A.20a ->B.57a +>C.2a ->- D.42a ->- 4.如图，12l l ∥，1110∠=︒，则2∠的度数是（ ）.A.68︒B.70︒C.105︒D.110︒ 5.下列说法正确的有（ ）个.①负数没有平方根，但负数有立方根：②916的平方根是34±5-；④27-的立方根是3±.A.1B.2C.3D.46.已知：212.5156.25=，212.6158.76=，212.7161.29=，212.8163.84=，下列说法正确的是（） A.12.612.7<40C.12.512.6<12.6=± 7.下列命题是假命题的是（ ）.A.同位角相等.B.平行于同一直线的两直线平行C.在同一平面内，过一点且只有一条直线与已知直线垂直D.两直线平行，内错角相等 8.如图，在平面直角坐标系xOy 中，()1,2A ，()0,1B ，()2,0C 若将ABC △平移到111A B C △，使点1A 与原点重合，则点1C 的坐标和111A B C △的面积分别是（ ）.A.()10,1C ，2B.()10,1C ，1.5C.()11,2C -，2D.()11,2C -，1.59.在平面上，过一定点O 作两条斜交的轴x 和y ，它们的交角是()90ωω≠︒，以定点O 为原点，在每条轴上取相同的单位长度，这样就在平面上建立了一个斜角坐标系，其中ω叫做坐标角，对于平面内任意一点P ，过P 作x 轴和y 轴的平行线，与两轴分别交于A 和B ，它们在两轴的坐标分别是x 和y ，于是点P 的坐标就是()xy ，如图，60ω=︒，且y 轴平分MOx ∠，2OM =则点M 的坐标是（ ）.21121212l 2l 112A.()2,2-B.()1,2-C.()2,2-D.()2,1-10.如果关于x ，y 的方程组436626x y x my -=⎧⎨+=⎩的解是整数，那么整数m 的值为（ ）.A.4，4-，5-，13B.4，4-，5-，13-C.4，4-，5，13D.4-，5，5-，13 二、填空题11.“a 的2倍减去b 的差不小于1-”用不等式可表示为_________.12.将命题“对顶角相等”改写成“如果……那么……”的形式为________.______；的绝对值是_______；比较大小：3_____13.14.如图，AB ，CD 交于点O ，OE CD ⊥于O ，连接CE ，（1）若25AOC ∠=︒，则BOE ∠=_______.（2）若2cm OC =. 1.5cm OE =， 2.5cm CE =，那么点E 到直线CD 的距离是_______cm .15.如图，以点A 为观测点，如果B 点的位置用有序数对()2,60︒来表示，那么点C 、点D 的位置分别记为()2.5________C ，D （________，________）.16.下列说法：①无限小数一定是无理数；②两个无理数的和一定是无理数；③有理数和无理数统称实数；④数轴上的每个点都表示一个实数；⑤每个实数都可以用数轴上的一个点表示，其中正确的是（填序号）__________.17.在解决“过直线AB 外一点P 画AB 的平行线”的问题时，小明使用了一块三角板来完成作图，他的作xEB DOAC 018.在平面直角坐标系中，把点向右平移2个单位，再向上平移1个单位记为一次“跳跃”，点()6,2A --经过第一次“跳跃”后的位置记为1A ，点1A 再经过一次“跳跃”后的位置记为2A ，…以此类推. （1）写出点3A 的坐标：3A ___________.（2）写出点n A 的坐标：n A _______（用含n 的代数式表示）.（3）将1A 、2A 、3A …顺次连接起来，会发现它们都在一条直线上，记这条直线为l ，则坐标系中的点()201,101M 与直线l 的位置关系是（单选）________；①M 在直线l 上；②M 在直线l 的上方；③M 在直线l 的下方. 三、解答题19.20.解答题：()32116x -= 21.解方程组：2512x y y x -=⎧⎨=-⎩①②22.解方程组：3511435x y x y -=⎧⎨+=⎩23.已知：如图，直线PQ 分别与直线AB 、CD 交于点E 和点F ，12∠=∠，射线EM 、EN 分别与直线CD 交于点M 、N ，且EM EN ⊥，340∠=︒，求4∠的度数.解：12∠=∠，（已知） ∴_______∥_______，（________） EM EN ⊥，（已知） ∴______（_________） 340∠=︒，（已知）BEM ∴∠=∠_______+∠_______=_______︒+______︒=_______︒， AB CD ∥（已证）4∴∠=∠_________（______）=______︒.（等量代换）24.列方程组解应用题，根据国家发改委实施“阶梯电价”的有关文件要求，某市决定从2012年6月1日起对居民生活用电试行“阶梯电价”的收费，具体收费标准见下表：若该市一户居民6月份用电320千瓦4321Q E CA MF NDBP25.已知在平面直角坐标系中，四边形OABC 的四个顶点坐标分别是()0,0O ，()0,3A ，()5,4B ，()4,0C .（1）在坐标系中画出四边形OABC ，并求四边形OABC 的面积. （2）连接线段AC ，将线段AC 向左平移m 个单位长度，再向下平移n 个单位长度，使得A 的对应点'A 恰好落在x 轴上，C 的对应点'C 恰好落在y 轴上，写出m 和n 的值. 26.阅读学习：数学中有很多恒等式可以用图形的面积来得到.如图1，可以求出阴影部分的面积是22a b -；如图2，若将阴影部分裁剪下来，重新拼成一个矩形，它的长是a b +，宽是a b -，比较图1，图2阴影部分的面积，可以得到恒等式()()22a b a b a b +-=-.（1）观察图3，请你写出()2a b +，()2a b -，ab 之间的一个恒等式___________. （2）观察图4，请写出图4所表示的代数恒等式：_________.（3）现有若干块长方形和正方形硬纸片如图5所示，请你用拼图的方法推出一个恒等式()2222a b a ab b +=++，仿照图4画出你的拼图并标出相关数据.图1图2图3图4baaa 2a 2ab b 2ababba27.在平面直角坐标系中，A 为x 轴负半轴上一点.B 为x 轴上一点，()0,2C -，()3,2D --，直线MN 经过C 、D 两点.（1）如图1.求BCD △的面积.（2）如图2，若()5,0A -，当BC AD =时，请尺规作图在图2中作出点B 的位置，并直接写出点B 的坐标.（3）如图3，当B 恰好为ADC ∠和ACN ∠的角平分线交点时，记BDC α∠=，BCN β∠=，求DBC ∠和DAC ∠的度数（用含α、β的式子表示）.并写出DAC ∠和DBC ∠之间的数量关系.四、附加题图5bbb aaa图1xx图2x图328.五一假期，小明和小华共同设计了一款拼图，他们用乒乓球粘成了下面几种造型的拼板（每种一块，色或底纹画出来.（2）如图2，小华想用拼板摆出一个三棱锥造型，三棱锥的每条棱上有三个乒乓球，他已经用3A 和6B 完成了一部分（图2是从上往下看的样子），请从剩下的拼板中挑出一块完成拼图，你认为需要的拼板是__________.（3）小明试图用部分拼板拼出图3中的大三角形，请判断他能否成功，如果能，在图3中用不同颜色或底纹画出拼板的摆法；如果不能，请说明理由.29.对有序数对(),m n 定义“f 运算”：()11,,22f m n m a n b ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，其中a 、b 为常数.f 运算的结果也是一个有序数对，在此基础上，可对平面直角坐标系中的任意一点(),A x y 规定“F 变换”：点(),A x y 在F 的变换下的对应点即为坐标为(),f x y 的点'A .（1）当0a =，0b =时，()2,4=f -________.（2）若点()2,2P -在F 变换下的对应点是它本身，求a 、b 的值.（3）坐标平面内有不共线的三点A 、B 、C ，若它们在变换下的对应点分别为D 、E 、F 且D 、E 、F 也不共线，猜想ABC △与DEF △的面积之间的关系：_______（用等式表示，不需要证明）. 30.光在两种物质分界面上改变传播方向又返回原来物质中的现象，叫做光的反射. 在光的反射现象中，有以下基本概念（如图1所示）：图1图2图3法线：过入射点所作的垂直于镜面的线叫做法线. 入射角：入射光线与法线的夹角. 反射角：反射光线与法线的夹角.法国土木工程兼物理学家菲涅耳（1788-1827），经过大量实验，提出光的反射定律： ①反射光线与入射光线、法线在同一平面内，反射光线与入射光线分居在法线两侧； ②反射角等于入射角；③在光的反射现象中，光路是可逆的. 请你根据以上信息，完成下面问题.（1）在生活中，我们可以利用直角平面镜的反射规律，在自行车的尾部制作反光灯，如图2所示的两个平面镜互相垂直，请你在图中画出入射光线AB 在两个平面镜上经过两次反射后的反射光线CD （不写作法，保留作图痕迹），则CD 与AB 的位置关系是________.由此可见反光灯是有利于夜间行车安全的.（2）如图3所示，OP 、OQ 为两个足够长的平面镜，15POQ ∠=︒，AB 为一条入射光线，B 为入射点，且AB OP ⊥，请问，经过________次反射之后，光线将与其中的某一个平面镜平行射出.图1图2图3Q。
北京三帆中学2015-2016学年上学期九年级数学期中考试试题
北京三帆中学2015-2016学年度第一学期期中考试试卷九年级 数学班级＿＿＿＿＿ 姓名＿＿＿＿＿ 学号＿＿＿＿＿ 成绩＿＿＿＿＿注意：（1）时间120分钟, 满分120分； （2）请将答案填写在答题纸上。
一、选择题（本题共30分, 每小题3分, 下列各题均有四个选项, 其中只有一个．．是符合题意的）1．抛物线23(2)4y x =--+的开口方向和顶点坐标分别是A ．向上, （2, 4）B ．向上, （-2, 4）C ．向下, （2, 4）D ．向下, （-2, 4）2．已知, 如图, 在Rt △ABC 中, ∠C ＝90°, BC ＝3, AC =4, 则sin B 的值是A ．43B ．34C ．35 D ．453．如图, 在△ABC 中, D , E 分别是AB , AC 边上的中点,与△ABC 的面积之比是A ．1:16B ．1:9C ．1:44．如图, A , B , C 三点在正方形网络线的交点处, 则tan A ．13B ．3 C5．已知方程)0(02≠=++a c bx ax 的解是15,x =-x 轴的两个交点的坐标分别是A ．（0, 5）,（0, -3）B ．（-5, 0）,（3, 0） C6．二次函数23+1y x =-的图象如图所示, 将其沿x 轴翻折后得到的抛物线的解析式为A ．231y x =--B ．23y x =C ．231y x =+D ．231y x =-7．某地下车库出口处安装了“两段式栏杆”, 如图1所示, 点A 是栏杆转动的支点, 点E 是栏杆两段的联结点．当车辆经过时, 栏杆AEF 最多只能升起到如图2所示的位置, 其示意图如图3所示（栏杆宽度忽略不计）, 其中AB ⊥BC , EF ∥BC , ∠AEF =143°, AB =AE =1.2米, 那么适合该地下车库的车辆限高标志牌为（参考数据：sin 37° ≈ 0.60, cos 37° ≈ 0.80, tan 37° ≈ 0.75）A ．B ．C ．D ．8．为了测量被池塘隔开的A , B 两点之间的距离, 根据实际情况, 作出如图图形, 其中AB ⊥BE , EF ⊥BE , AF 交BE 于D , C 在BD 上．有四位同学分别测量出以下四组数据：① BC , ∠ACB ； ② CD , ∠ACB , ∠ADB ； ③ EF , DE , BD ； ④ DE , DC , BC ． 能根据所测数据, 求出A , B 间距离的有A ．1组B ．2组C ．3组D ．4组9．若抛物线244y x x t =-+-（t 为实数）在03x <<的范围内与x 轴有公共点, 则t 的取值范围为A ．0＜t ＜4B ．0≤t ＜4C ．0＜t ＜1D．t ≥010．如图1, 在等边△ABC 中, 点E , D 分别是AC , BC 边的三等分点, 点P 为AB 边上的一个动点, 连接PE , PD , PC , DE ．设BP =x , 图1中某条线段的长为y , 若表示y 与x 的函数关系的图象大致如图2所示, 则这条线段可能是图1中的DA ．线段PDB ．线段PC C ．线段PED ．线段DEFCBA E 图1 图1 图2 图3班级＿＿＿＿＿ 姓名＿＿＿＿＿ 学号＿＿＿＿＿二、填空题（本题共18分, 每小题3分）11．将二次函数249y x x =-+化成2()y a x h k =-+的形式 ． 12．在△ABC 中, ∠C ＝90°, 21tan =A , 则sin A ＝ ． 13．若抛物线k x y +-=2)2(2过原点, 则该抛物线与x 轴的另一个交点坐标为 ．14．北京紫禁城是中国古代汉族宫廷建筑之精华. 经测算发现, 太和殿, 中和殿, 保和殿这三大殿的矩形宫院ABCD （北至保和殿, 南至太和门, 西至弘义阁, 东至体仁阁）与三大殿下的工字形大台基所在的矩形区域EFGH 为相似形, 若比较宫院与台基之间的比例关系, 可以发现接近于9:5, 取“九五至尊”之意. 根据测量数据, 三大殿台基的宽为40丈, 请你估算三大殿宫院的宽 为 丈. 15．如图, 在△ABC 中, AB =5, AC =4, E 是AB 上一点, AE =2, 在AC 上取一点F , 使以A , E , F 为顶点的三角形与△ABC 相似, 则AF 的长为 ．16．已知二次函数c bx ax y ++=2的图象与x 轴交于（1, 0）和（1x , 0）, 其中1-2-1x <<, 与y 轴交于正半轴上一点．下列结论：①0>b ；②241b ac <；③a b >；④a c a 2-<<-．其中正确结论的序号是 ．三、解答题（本题共30分, 每小题5分）17．计算: ︒⋅︒+︒-︒30cos 60tan 45sin 230sin18．已知：如图, 在ABC △中, D 是AC 上一点, E 是AB 上一点, 且∠AED =∠C . （1）求证：△AED ∽△ACB ；（2）若AB =6, AD =4, AC =5, 求AE 的长.19．在二次函数2(0)y ax bx c a =++≠中, 函数y 与自变量x 的部分对应值如下表：（1）求这个二次函数的解析式及m 的值；（2）在平面直角坐标系中,用列表）；（3）当y ＜3时, 则x 的取值范围是___________.20．如图,热气球的探测器在点A , 为45°, 看这栋高楼底部C 的俯角为60°, 为30米, 1.73, 结果精确到0.121．如图, 在平面直角坐标系中, △ABCB （3, 2）,C （5, -2）. 以原点O 为位似中心, 在y 放大为原来的两倍得到△'''C B A . （1）画出△'''C B A ； （2）分别写出B , C 两点的对应点'B , 'C 的坐标.22．已知：关于x 的函数2(21)y ax a x a =+++的图象与四、解答题（本题共20分, 每小题5分）23．如图, 在等边△ABC 中, D , E , F 分别为边AB , BC , CA 上的点, 且满足∠（1）求证：CF BD CE BE ⋅=⋅；（2）若DE ⊥BC 且DE =EF , 求BEEC的值.班级＿＿＿＿＿ 姓名＿＿＿＿＿ 学号＿＿＿＿＿24．如图, 在Rt △ABC 中, ∠C =90°, 53sin =B , 点D 在BC 边上,DC = AC = 6.（1）求AB 的值； （2）求tan ∠BAD 的值．25．学校要围一个矩形花圃, 其一边利用足够长的墙,围成, 由于园艺需要, （如图所示）, 总共36直于墙面的一边AB 的长为x 米（要求AB ＜AD ）, 面积为S 平方米．（1）求S 与x 之间的函数关系式, 并直接写出自变量x 的取值范围； （2）要想使矩形花圃ABCD 的面积最大, AB 边的长应为多少米？26．定义：直线y =ax+b (a≠0)称作抛物线y =ax 2+bx (a≠0)的关联直线. 根据定义回答以下问题： （1）已知抛物线y =ax 2+bx (a≠0)的关联直线为y =x+2, 则该抛物线的顶点坐标为_________； （2）求证：抛物线y =ax 2+bx 与其关联直线一定有公共点；（3）当a =1时, 请写出抛物线y =ax 2+bx 与其关联直线所共有的特征（写出一条即可）.五、解答题（本题共22分, 第27题7分, 第28题7分, 第 29题8分）27．已知：抛物线1C ：622++=bx x y 与抛物线2C 关于y 轴对称, 抛物线1C 与x 轴分别交于 点A （-3, 0）, B （m , 0）, 顶点为M ． （1）求b 和m 的值； （2）求抛物线2C 的解析式；（3）在x 轴, y 轴上分别有点P （t , 0）, Q （0, -2t ）, 其中t ＞0, 当线段PQ 与抛物线2C 有且只有一个公共点时，求t 的取值范围.y28．在Rt △ABC 中, ∠ACB =90°, ∠A =30°, D 为AB 的中点, 点E 在线段AC 上, 点F 在直线BC 上, ∠EDF =90°. （1）如图1, 若点E 与点A 重合, 点F 在BC 的延长线上, 则此时DFDE=________； （2）若点E 在线段AC 上运动, 点F 在线段BC 上随之运动（如图2）, 请猜想在此过程中DFDE的值是否发生改变. 若不变, 请求出DFDE的值；若改变, 请说明理由. （3）在（2）的条件下, 在线段EC 上取一点G , 在线段CB 的延长线上取一点H , 其中EGk FH, 请问k 为何值时, 恒有∠GDH =90°. 请在图3中补全图形, 直接．．写出．．符合题意的k 值, 并以此为条件, 证明∠GDH =90°.图1 图2 图329．如图1, 在平面直角坐标系中, 有一张矩形纸片OABC , 已知O （0, 0）, A （4, 0）, C （0, m ）, 其中m 为常数且m ≥2, 点P 是OA 边上的动点（与点O , A 不重合）． 现将△P AB 沿PB 翻折, 得到△PDB ；再在OC 边上选取适当的点E , 将△POE 沿PE 翻折, 得到△PFE , 并使直线PD , PF 重合．（1）设P （x , 0）, E （0, y ）, 求y 关于x 的函数关系式, 并求y 的最大值（用含m 的代数式表示）； （2）当m =3时, 若翻折后点D 落在BC 边上（如图2）, 求过E , P , B 三点的抛物线的解析式；（3）在（2）的情况下, 在该抛物线上是否存在点Q , 使△PEQ 是以PE 为直角边的直角三角形？若存在, 求出点Q 的坐标；若不存在, 说明理由．图1 图2北京三帆中学2015-2016学年度第一学期期中考试九年级数学参考答案及评分标准 2015.1115题只写对1个，给2分；两个都写对，但有其他错误答案，给2分.16题少写1个，给2分；选错误答案，给0分.·······2分·······3分·······4分。
北京人大附中2015届九年级上月考数学试卷(12月)含答案解析
18．列方程或方程组解应用题： 某酒店有三人间、双人间的客房，三人间每天每间 150 元，双人间每天每间 140 元，为了 吸引游客，实行团体入住五折优惠措施，一个 50 人的旅游团优惠期间到该酒店入住，住了 一些三人间和双人间客房，若每间客房正好住满且一天共花去住宿费 1510 元，则该旅行团 住了三人间和双人间客房各多少间？
)
A．
B．
C．
D．
15．如图，△ABC 与△ADE 都是等腰直角三角形，且∠BAC=∠DAE=90°，请找出一条与线 段 CE 相等的线段（以图中已知点的端点），画出这条线段并给出证明．
16．已知 m 是方程 x2﹣x﹣3=0 的根，求代数式（1+
）•（m﹣3）的值．
17．如图，半径为 5 的⊙O 中，AB 是直径，弦 BC=8，OD⊥AB 交 BC 于 D，求 CD 的长 及△OCD 的面积．
四、解答题（本题共 20 分，每小题 5 分） 19．如图，直线 y=﹣2x+1 分别交 x 轴，y 轴于点 A，B，交反比例函数 y= 的图象于点 C，
CB：BA=2：1． （1）求反比例函数 y= 的解析式；
（2）若点 P 在 y 轴上且以点 B，C，P 为顶点的三角形与△AOB 相似，直接写出点 P 的坐 标．
)
A． B． C． D．
4．如图，⊙O 的直径 AB=8，弦 DE 经过 OB 的中点 C 且 DE⊥OB，则弦 DE 的长为 ()
A．3 B．2 C．4 D．6
5．如图，正△ABC 的边长为 3，以 A 为圆心，AB 为半径作弧，则图中阴影部分的面积是 ()
A．
B．
C． ﹣ D．3
6．如图，四边形 ABCD 中，AB=AC=AD，∠CBD=23°，则∠CAD 为(
北京101中学2015届上学期初中九年级12月月考数学试卷 后有答案
北京101中学2015届上学期初中九年级12月月考数学试卷（考试时间：120分钟试卷总分：120分）一、选择题：本大题共8小题，共32分．1．下面四个几何体中，俯视图为四边形的是2．小郭想给水店打电话，可电话号码中有一个数字记不清了，只记得887134●8，小郭随意拨了一个数码补上，恰好是水店电话号码的概率为A．17B．18C．110D．193．若点（2，-9）和（-6，b）都在反比例函数kyx的图象上，则b的值为A．-3 B．3 C．-1 D．14．如图是一个旋转对称图形，以O为旋转中心，以下列哪一个角为旋转角旋转，能使旋转后的图形与原图形重合A. 60°B. 90°C. 120°D. 180°5．如图，EB为半圆O的直径，点A在EB的延长线上，AD切半圆O于点D，BC⊥AD 于点C，AB=1，半圆O的半径为2，则BC的长为A. 23B.32C.1D. 26．下列图形中，阴影部分面积为1的是7．如图，DE ∥BC ，M 是DE 的中点，CM 的延长线交AB 于点N 。
若:=4:5ADE DBCE S S ∆四边形，则DN ：AD 等于A ．1：5B ．1：4C ．1：3D ．1：28．如图，矩形ABCD 中，AB=3，BC=5，点P 是BC 边上的一个动点（点P 不与点B ，C 重合），现将△PCD 沿直线PD 折叠，使点C 落在点C′处；作∠BPC′的平分线交AB 于点E 。
设BP=x ，BE=y ，那么y 关于x 的函数图象大致应为二、填空题：本大题共4小题，共16分。
9．若点11A y （，），2(2,)B y 是双曲线2y x=-上的点，则1y _________2y （填“>”或“<”或“=”）。
10．如图，正方形OABC 与正方形ODEF 是位似图形，Ｏ为位似中心，相似比为1:点A 的坐标为（1,0），则E 点的坐标为____________。
2015-2016学年北京市西城区九年级(上)期末数学试卷-含详细解析
2015-2016学年北京市西城区九年级（上）期末数学试卷副标题一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）1.二次函数y=（x-5）2+7的最小值是（）A. B. 7 C. D. 52.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，则cos A的值为（）A.B.C.D.3.如图，⊙C与∠AOB的两边分别相切，其中OA边与⊙C相切于点P．若∠AOB=90°，OP=6，则OC的长为（）A. 12B.C.D.4.将二次函数y=x2-6x+5用配方法化成y=（x-h）2+k的形式，下列结果中正确的是（）A. B. C. D.5.若一个扇形的半径是18cm，且它的弧长是12πcm，则此扇形的圆心角等于（）A. B. C. D.6.如图，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（-1，2），AB⊥x轴于点B．以原点O为位似中心，将△OAB放大为原来的2倍，得到△OA1B1，且点A1在第二象限，则点A1的坐标为（）A.B.C.D.7.如图，一艘海轮位于灯塔P的南偏东37°方向，距离灯塔40 海里的A处，它沿正北方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的正东方向上的B处．这时，B处与灯塔P的距离BP的长可以表示为（）A. 40海里B. 海里C. 海里D. 海里8.如图，A，B，C三点在已知的圆上，在△ABC中，∠ABC=70°，∠ACB=30°，D是的中点，连接DB，DC，则∠DBC的度数为（）A.B.C.D.9.某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件市场调查反映，如果调整商品售价，每降价1元，每星期可多卖出20件设每件商品降价x元后，每星期售出商品的总销售额为y元，则y与x的关系式为A. B.C. D.10.二次函数y=2x2-8x+m满足以下条件：当-2＜x＜-1时，它的图象位于x轴的下方；当6＜x＜7时，它的图象位于x轴的上方，则m的值为（）A. 8B.C.D.二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）11.若，则的值为______．12.点A（-3，y1），B（2，y2）在抛物线y=x2-5x上，则y1______y2．（填“＞”，“＜”或“=”）13.△ABC的三边长分别为5，12，13，与它相似的△DEF的最小边长为15，则△DEF的周长为______．14.如图，线段AB和射线AC交于点A，∠A=30°，AB=20．点D在射线AC上，且∠ADB是钝角，写出一个满足条件的AD的长度值：AD=______．15.程大位所著《算法统宗》是一部中国传统数学重要的著作．在《算法统宗》中记载：“平地秋千未起，踏板离地一尺．送行二步与人齐，五尺人高曾记．仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉．良工高士素好奇，算出索长有几？”【注释】1步=5尺．译文：“当秋千静止时，秋千上的踏板离地有1尺高，如将秋千的踏板往前推动两步（10尺）时，踏板就和人一样高，已知这个人身高是5尺．美丽的姑娘和才子们，每天都来争荡秋千，欢声笑语终日不断．好奇的能工巧匠，能算出这秋千的绳索长是多少吗？”如图，假设秋千的绳索长始终保持直线状态，OA是秋千的静止状态，A是踏板，CD是地面，点B是推动两步后踏板的位置，弧AB是踏板移动的轨迹．已知AC=116.阅读下面材料：在学习《圆》这一章时，老师给同学们布置了一道尺规作图题：尺规作图：过圆外一点作圆的切线．已知：P为⊙O外一点．求作：经过点P的⊙O的切线．小敏的作法如下：如图，（1）连接OP，作线段OP的垂直平分线MN交OP于点C；（2）以点C为圆心，CO的长为半径作圆，交⊙O于A，B两点；（3）作直线PA，PB．所以直线PA，PB就是所求作的切线．老师认为小敏的作法正确．请回答：连接OA，OB后，可证∠OAP=∠OBP=90°，其依据是______；由此可证明直线PA，PB都是⊙O的切线，其依据是______．三、解答题（本大题共13小题，共72.0分）17.计算：4cos30°•tan60°-sin245°．18.如图，△ABC中，AB=12，BC=15，AD⊥BC于点D，∠BAD=30°，求tan C的值．19.已知抛物线y=-x2+2x+3与x轴交于A，B两点，点A在点B的左侧．（1）求A，B两点的坐标和此抛物线的对称轴；（2）设此抛物线的顶点为C，点D与点C关于x轴对称，求四边形ACBD的面积．20.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠A=∠BDC．（1）求证：△ABD∽△DCB；（2）若AB=12，AD=8，CD=15，求DB的长．21.某小区有一块长21米，宽8米的矩形空地，如图所示．社区计划在其中修建两块完全相同的矩形绿地，并且两块绿地之间及四周都留有宽度为x米的人行通道．如果这两块绿地的面积之和为60平方米，人行通道的宽度应是多少米？22.已知抛物线C1：y1=2x2-4x+k与x轴只有一个公共点．（1）求k的值；（2）怎样平移抛物线C1就可以得到抛物线C2：y2=2（x+1）2-4k？请写出具体的平移方法；（3）若点A（1，t）和点B（m，n）都在抛物线C2：y2=2（x+1）2-4k上，且n＜t，直接写出m的取值范围．23.如图，AB是⊙O的一条弦，且AB=．点C，E分别在⊙O上，且OC⊥AB于点D，∠E=30°，连接OA．（1）求OA的长；（2）若AF是⊙O的另一条弦，且点O到AF的距离为，直接写出∠BAF的度数．24.奥林匹克公园观光塔由五座高度不等、错落有致的独立塔组成．在综合实践活动课中，某小组的同学决定利用测角仪测量这五座塔中最高塔的高度（测角仪高度忽略不计）．他们的操作方法如下：如图，他们先在B处测得最高塔塔顶A的仰角为45°，然后向最高塔的塔基直行90米到达C处，再次测得最高塔塔顶A的仰角为58°．请帮助他们计算出最高塔的高度AD约为多少米．（参考数据：sin58°≈0.85，cos58°≈0.53，tan58°≈1.60）25.如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径．PC是⊙O的切线，C为切点，PD⊥AB于点D，交AC于点E．（1）求证：∠PCE=∠PEC；（2）若AB=10，ED=，sin A=，求PC的长．26.阅读下面材料：如图1，在平面直角坐标系xOy中，直线y1=ax+b与双曲线y2=交于A（1，3）和B（-3，-1）两点．观察图象可知：①当x=-3或1时，y1=y2；②当-3＜x＜0或x＞1时，y1＞y2，即通过观察函数的图象，可以得到不等式ax+b＞的解集．有这样一个问题：求不等式x3+4x2-x-4＞0的解集．某同学根据学习以上知识的经验，对求不等式x3+4x2-x-4＞0的解集进行了探究．下面是他的探究过程，请将（2）、（3）、（4）补充完整：（1）将不等式按条件进行转化：当x=0时，原不等式不成立；当x＞0时，原不等式可以转化为x2+4x-1＞；当x＜0时，原不等式可以转化为x2+4x-1＜；（2）构造函数，画出图象设y3=x2+4x-1，y4=，在同一坐标系中分别画出这两个函数的图象．双曲线y4=如图2所示，请在此坐标系中画出抛物线y3=x2+4x-1；（不用列表）（3）确定两个函数图象公共点的横坐标观察所画两个函数的图象，猜想并通过代入函数解析式验证可知：满足y3=y4的所有x的值为______；（4）借助图象，写出解集结合（1）的讨论结果，观察两个函数的图象可知：不等式x3+4x2-x-4＞0的解集为______．27.如图，在平面直角坐标系xOy中，二次函数y=-+bx+c的图象经过点A（1，0），且当x=0和x=5时所对应的函数值相等．一次函数y=-x+3与二次函数y=-+bx+c 的图象分别交于B，C两点，点B在第一象限．（1）求二次函数y=-+bx+c的表达式；（2）连接AB，求AB的长；（3）连接AC，M是线段AC的中点，将点B绕点M旋转180°得到点N，连接AN，CN，判断四边形ABCN的形状，并证明你的结论．28.在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=4，M为AB的中点．D是射线BC上一个动点，连接AD，将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到线段AE，连接ED，N为ED的中点，连接AN，MN．（1）如图1，当BD=2时，AN=______，NM与AB的位置关系是______；（2）当4＜BD＜8时，①依题意补全图2；②判断（1）中NM与AB的位置关系是否发生变化，并证明你的结论；（3）连接ME，在点D运动的过程中，当BD的长为何值时，ME的长最小？最小29.在平面直角坐标系xOy中，过⊙C上一点P作⊙C的切线l．当入射光线照射在点P处时，产生反射，且满足：反射光线与切线l的夹角和入射光线与切线l的夹角相等，点P称为反射点．规定：光线不能“穿过”⊙C，即当入射光线在⊙C外时，只在圆外进行反射；当入射光线在⊙C内时，只在圆内进行反射．特别地，圆的切线不能作为入射光线和反射光线．光线在⊙C外反射的示意图如图1所示，其中∠1=∠2．（1）自⊙C内一点出发的入射光线经⊙C第一次反射后的示意图如图2所示，P1是第1个反射点．请在图2中作出光线经⊙C第二次反射后的反射光线；（2）当⊙O的半径为1时，如图3，①第一象限内的一条入射光线平行于x轴，且自⊙O的外部照射在其上点P处，此光线经⊙O反射后，反射光线与y轴平行，则反射光线与切线l的夹角为______°；②自点A（-1，0）出发的入射光线，在⊙O内不断地反射．若第1个反射点P1在第二象限，且第12个反射点P12与点A重合，则第1个反射点P1的坐标为______；（3）如图4，点M的坐标为（0，2），⊙M的半径为1．第一象限内自点O出发的入射光线经⊙M反射后，反射光线与坐标轴无公共点，求反射点P的纵坐标的取值范围．答案和解析1.【答案】B【解析】解：∵y=（x-5）2+7∴当x=5时，y有最小值7．故选B．根据二次函数的性质求解．本题考查了二次函数的最值：当a＞0时，抛物线在对称轴左侧，y随x的增大而减少；在对称轴右侧，y随x的增大而增大，因为图象有最低点，所以函数有最小值，当x=-，函数最小值y=；当a＜0时，抛物线在对称轴左侧，y随x的增大而增大；在对称轴右侧，y随x的增大而减少，因为图象有最高点，所以函数有最大值，当x=-，函数最大值y=．2.【答案】A【解析】解：在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，由勾股定理，得AB==5．cosA==，故选：A．根据勾股定理，可得AB的长，根据锐角的余弦等于邻边比斜边，可得答案．本题考查了锐角三角函数的定义，在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．3.【答案】C【解析】解：连接CP，∵OA边与⊙C相切于点P，∴CP⊥AO，∴∠POC=45°，∴OP=CP=6，∴OC==6，故选：C．连接CP，由切线的性质可得CP⊥AO，再由切线长定理可得∠POC=45°，进而可得△POC是等腰直角三角形，利用勾股定理即可求出OC的长．本题考查了切线的性质定理、切线长定理以及勾股定理的运用，能够正确的判定△POC是等腰直角三角形是解题关键．4.【答案】C【解析】解：y=x2-6x+5=x2-6x+9-4=（x-3）2-4，故选：C．运用配方法把一般式化为顶点式即可．本题考查的是二次函数的三种形式，正确运用配方法把一般式化为顶点式是解题的关键．5.【答案】D【解析】解：根据弧长的公式l=，得n===120°，故选：D．把弧长公式进行变形，代入已知数据计算即可．本题考查的是弧长的计算，掌握弧长的公式l=是解题的关键．6.【答案】A【解析】解：∵点A的坐标为（-1，2），以原点O为位似中心，将△OAB放大为原来的2倍，得到△OA1B1，且点A1在第二象限，∴点A1的坐标为（-2，4）．直接利用位似图形的性质以及结合A点坐标直接得出点A1的坐标．此题主要考查了位似变换以及坐标与图形的性质，正确把握位似图形的性质是解题关键．7.【答案】D【解析】解：∵一艘海轮位于灯塔P的南偏东37°方向，∴∠BAP=37°，∵AP=40海里，∴BP=AP•sin37°=40sin37°海里；故选D．根据已知条件得出∠BAP=37°，再根据AP=40海里和正弦定理即可求出BP的长．本题考查解直角三角形，用到的知识点是方位角、直角三角形、锐角三角函数的有关知识，结合航海中的实际问题，将解直角三角形的相关知识有机结合，体现了数学应用于实际生活的思想．8.【答案】C【解析】解：∵∠ABC=70°，∠ACB=30°，∴∠A=80°，∴∠D=∠A=80°，∵D是的中点，∴，∴BD=CD，∴∠DBC=∠DCB==50°，故选：C．根据三角形的内角和定理得到∠A=80°，根据圆周角定理得到∠D=∠A=80°，根据等腰三角形的内角和即可得到结论．本题考查了圆周角定理，圆心角、弧、弦的关系，等腰三角形的性质，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．9.【答案】B【解析】解：降价x元，则售价为（60-x）元，销售量为（300+20x）件，根据题意得，y=（60-x）（300+20x），故选：B．根据降价x元，则售价为（60-x）元，销售量为（300+20x）件，由题意可得等量关系：总销售额为y=销量×售价，根据等量关系列出函数解析式即可．此题主要考查了根据实际问题列二次函数解析式，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，再列函数解析式．10.【答案】D【解析】不如先通过顶点坐标位置特征求出m的范围，将A选项剔除后，将B、C、D 选项带入其中，并根据二次函数对称周两侧图象增减性特点令x=-2时y值小于零和x=6时y值大于零去取舍各位合理．忘老师能够采纳．解：∵抛物线y=2x2-8x+m=2（x-2）2-8+m的对称轴为直线x=2，而抛物线在-2＜x＜-1时，它的图象位于x轴的下方；当6＜x＜7时，它的图象位于x轴的上方，∴m＜0，当m=-10时，则y=2x2-8x-10，令y=0，则2x2-8x-10=0，解得x1=-1，x2=5，则有当-2＜x＜-1时，它的图象位于x轴的上方；当m=-42时，则y=2x2-8x-42，令y=0，则2x2-8x-42=0，解得x1=-3，x2=7，则有当6＜x＜7时，它的图象位于x轴的下方；当m=-24时，则y=2x2-8x-24，令y=0，则2x2-8x-24=0，解得x1=-2，x2=6，则有当-2＜x＜-1时，它的图象位于x轴的下方；当6＜x＜7时，它的图象位于x轴的上方；故选：D．根据抛物线顶点式得到对称轴为直线x=2，通过顶点坐标位置特征求出m的范围，将A选项剔除后，将B、C、D选项带入其中，并根据二次函数对称性和增减性特点判断是否合理．本题考查了抛物线与x轴的交点以及抛物线的轴对称性：求二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标，令y=0，即ax2+bx+c=0，解关于x的一元二次方程即可求得交点横坐标．△=b2-4ac决定抛物线与x轴的交点个数：△=b2-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b2-4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．11.【答案】【解析】解：根据比例的合比性质，已知=，则=．已知的比值，根据比例的合比性质即可求得．熟练应用比例的合比性质．12.【答案】＞【解析】解：当x=-3时，y1=x2-5x=24；当x=2时，y2=x2-5x=-6；∵24＞-6，∴y1＞y2．故答案为：＞．分别计算自变量为-3、2时的函数值，然后比较函数值的大小即可．本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．也考查了二次函数的性质．13.【答案】90【解析】解：∵△ABC的三边长分别为5，12，13，∴△ABC的周长为：5+12+13=30，∵与它相似的△DEF的最小边长为15，∴△DEF的周长：△ABC的周长=15：5=3：1，∴△DEF的周长为：3×30=90．故答案为90．由△ABC的三边长分别为5，12，13，与它相似的△DEF的最小边长为15，即可求得△ABC的周长以及相似比，又由相似三角形的周长的比等于相似比，即可求得答案．此题考查了相似三角形的性质．熟练掌握相似三角形的周长比等于相似比是解题关键．14.【答案】10【解析】解：过B作BE⊥AC于E，∵∠A=30°，AB=20，∴AE=10，∵∠ADB是钝角，∴∠ADB＞∠AEB，∴0＜AD＜10，∴AD=10，故答案为：10．过B作BE⊥AC于E，由∠A=30°，AB=20，得到AE=10，推出∠ADB＞∠AEB，即可得到结论．本题考查了含30°角的直角三角形的性质，熟记直角三角形的性质是解题的关键．15.【答案】102+（x-5+1）2=x2【解析】解：设绳索长OA=OB=x尺，由题意得，102+（x-5+1）2=x2．故答案为：102+（x-5+1）2=x2．设绳索有x尺长，此时绳索长，向前推出的10尺，和秋千的上端为端点，垂直地面的线可构成直角三角形，根据勾股定理列出方程．本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，考查学生理解题意能力，关键是能构造出直角三角形，用勾股定理来求解．16.【答案】直径所对的圆周角是90°；经过半径外端，且与半径垂直的直线是圆的切线【解析】解：连接OA，OB后，可证∠OAP=∠OBP=90°，其依据是：直径所对的圆周角是90°；由此可证明直线PA，PB都是⊙O的切线，其依据是：经过半径外端，且与半径垂直的直线是圆的切线．故答案为：直径所对的圆周角是90°；经过半径外端，且与半径垂直的直线是圆的切线．分别利用圆周角定理以及切线的判定方法得出答案．此题主要考查了切线的判定以及圆周角定理，正确把握切线的判定方法是解题关键．17.【答案】解：原式=4××-（）2=6-=．【解析】根据特殊角三角函数值，可得实数的运算，根据实数的运算，可得答案．本题考查了特殊角三角函数值，熟记特殊角三角函数值是解题关键．18.【答案】解：∵△ABC中，AB=12，BC=15，AD⊥BC于点D，∠BAD=30°，∴∠ADB=∠ADC=90°，∴AB=2BD，∴BD=6，∴CD=BC-BD=15-6=9，∴AD=，∴tan C=．即tan C的值是．【解析】根据在△ABC中，AB=12，BC=15，AD⊥BC于点D，∠BAD=30°，可以求得BD、AD、CD的长，从而可以求得tanC的值．本题考查解直角三角形，解题的关键是计算出题目中各边的长，找出所求问题需要的条件．19.【答案】解：（1）令y=0，则-x2+2x+3=0，解得：x1=-1，x2=3．则A的坐标是（-1，0），B的坐标是（3，0）．y=-x2+2x+3=-（x-1）2+4，则对称轴是x=1，顶点C的坐标是（1，4）；（2）D的坐标是（1，-4）．AB=3-（-1）=4，CD=4-（-4）=8，则四边形ACBD的面积是：AB•CD=×4×8=16．【解析】（1）令y=0解方程即可求得A和B的横坐标，然后利用配方法即可求得对称轴和顶点坐标；（2）首先求得D的坐标，然后利用面积公式即可求解．本题考查了待定系数法求函数解析式以及配方法确定二次函数的对称轴和顶点坐标，正确求得A和B的坐标是关键．20.【答案】（1）证明：∵AD∥BC，∴∠ADB=∠DBC．∵∠A=∠BDC，∴△ABD∽△DCB；（2）∵△ABD∽△DCB，AB=12，AD=8，CD=15，∴=，即=，解得DB=10，DB的长10．【解析】（1）根据平行线的性质，可得∠ADB与∠DBC的关系，根据两个角对应相等的两个三角形相似，可得答案；（2）根据相似三角形的性质，可得答案．本题考查了相似三角形的判定与性质，利用了两个角对应相等的两个三角形相似，利用相似三角形的对应边成比例是解题关键．21.【答案】解：设人行道的宽度为x米，由题意得，2××（8-2x）=60，解得：x1=2，x2=9（不合题意，舍去）．答：人行道的宽度为2米．【解析】设人行道的宽度为x米，则矩形绿地的长度为：，宽度为：8-2x，根据两块绿地的面积之和为60平方米，列方程求解．本题考查了一元二次方程的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程求解．22.【答案】解：（1）根据题意得：△=16-8k=0，解得：k=2；（2）C1是：y1=2x2-4x+2=2（x-1）2，抛物线C2是：y2=2（x+1）2-8．则平移抛物线C1就可以得到抛物线C2的方法是向左平移2个单位长度，向下平移8个单位长度；（3）当x=1时，y2=2（x+1）2-8=0，即t=0．在y2=2（x+1）2-8中，令y=0，解得：x=1或-3．则当n＜t时，即2（x+1）2-8＜0时，m的范围是-3＜m＜1．【解析】（1）抛物线与x轴只有一个公共点，则判别式△=0，据此即可求得k的值；（2）把C1化成顶点式的形式，利用函数平移的法则即可确定；（3）首先求得t的值，然后求得等y=t时C2中对应的自变量的值，结合函数的性质即可求解．本题考查抛物线与x轴的交点的个数的确定，以及函数的平移方法，根据函数的性质确定m的范围是关键．23.【答案】解：（1）∵OC⊥AB，AB=，∴AD=DB=2，∵∠E=30°，∴∠AOD=60°，∠OAB=30°，∴OA==4；（2）如图，作OH⊥AF于H，∵OA=4，OH=2，∴∠OAF=45°，∴∠BAF=∠OAF+∠OAB=75°，则∠BAF′=∠OAF′-∠OAB=15°，∴∠BAF的度数是75°或15°．【解析】（1）根据垂径定理求出AD的长，根据圆周角定理求出∠AOD的度数，运用正弦的定义解答即可；（2）作OH⊥AF于H，根据勾股定理和等腰直角三角形的性质求出∠OAF的度数，分情况计算即可．本题考查的是垂径定理、圆周角定理和勾股定理的应用，掌握垂直弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧、在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解题的关键，注意分情况讨论思想的应用．24.【答案】解：∵∠B=45°，AD⊥DB，∴∠DAB=45°，∴BD=AD，设DC=x，则BD=BC+DC=90+x，∴AD=90+x，∴tan58°===1.60，解得：x=150，∴AD=90+150=240（米），答：最高塔的高度AD约为240米．【解析】根据已知条件求出BD=AD，设DC=x，得出AD=90+x，再根据tan58°=，求出x的值，即可得出AD的值．本题考查了解直角三角形的应用，要求学生能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形，注意方程思想的运用．25.【答案】解：（1）∵PC是圆O的切线，∴∠PCA=∠B．∵AB是圆O的直径，∴∠ACB=90°．∴∠A+∠B=90°．∵PD⊥AB，∴∠A+∠AED=90°．∴∠AED=∠B．∵∠PEC=∠AED，∴∠PCE=∠PEC．（2）如图所示，过点P作PF⊥AC，垂足为F．∵AB=10，sin A=，∴BC=AB•=6．∴AC==8．∵DE=，sin A=，∴AE=．∴EC=AC-AE=8-=．∵PC=PE，PF⊥EC，∴EF=．∵∠AED=∠PEF，∠EDA=∠EFP，∴△AED∽△PEF．∴，．解得：EP=．∴PC=．【解析】（1）由弦切角定理可知∠PCA=∠B，由直角所对的圆周角等于90°可知∠ACB=90°．由同角的余角相等可知∠AED=∠B，结合对顶角的性质可知∠PCE=∠PEC；（2）过点P作PF⊥AC，垂足为F．由锐角三角函数的定义和勾股定理可求得AC=8，AE=，由等腰三角形三线合一的性质可知EF=，然后证明△AED∽△PEF，由相似三角形的性质可求得PE的长，从而得到PC的长．本题主要考查的是切线的性质、圆周角定理、锐角三角函数的定义、勾股定理、相似三角形的性质和判定、等腰三角形的性质，证得△AED∽△PEF是解题的关键．26.【答案】±1和-4；x＞1或-4＜x＜-1【解析】解：（2）；（3）两个函数图象公共点的横坐标是±1和-4．则满足y3=y4的所有x的值为±1和-4．故答案是：±1和-4；（4）不等式x3+4x2-x-4＞0即当x＞0时，x2+4x-1＞，此时x的范围是：x＞1；当x＜0时，x2+4x-1＜，则-4＜x＜-1．故答案是：x＞1或-4＜x＜-1．（2）首先确定二次函数的对称轴，然后确定两个点即可作出二次函数的图象；（3）根据图象即可直接求解；（4）根据已知不等式x3+4x2-x-4＞0即当x＞0时，x2+4x-1＞，；当x＜0时，x2+4x-1＜，根据图象即可直接写出答案．本题考查了二次函数与不等式，正确理解不等式x3+4x2-x-4＞0即当x＞0时，x2+4x-1＞，；当x＜0时，x2+4x-1＜，分成两种情况讨论是本题的关键．27.【答案】解：（1）当x=0时，y=c，即（0，c）．由当x=0和x=5时所对应的函数值相等，得（5，c）．将（5，c）（1，0）代入函数解析式，得，解得．故抛物线的解析式为y=-x2+x-2；（2）联立抛物线与直线，得，解得，，即B（2，1），C（5，-2）．由勾股定理，得AB==；（3）如图：，四边形ABCN是平行四边形，证明：∵M是AC的中点，∴AM=CM．∵点B绕点M旋转180°得到点N，∴BM=MN，∵M是线段AC的中点，∴MA=MC.∴四边形ABCN是平行四边形．一次函数y=-x+3的图像于x轴交于点E.当y=0时，x=3.∴点E的坐标为（3，0）∴DE=1=DB.在Rt BDE中，DBE=DEB=45同理DAB=DBA=450∴ABE=DBA+DBE=900∴四边形ABCN是矩形.【解析】（1）根据当x=0和x=5时所对应的函数值相等，可得（5，c），根据待定系数法，可得函数解析式；（2）联立抛物线与直线，可得方程组，根据解方程组，可得B、C点坐标，根据勾股定理，可得AB的长；（3）根据线段中点的性质，可得M点的坐标，根据旋转的性质，可得MN与BM的关系，根据平行四边形的判定，可得答案．本题考查了二次函数综合题，利用函数值相等得出点（5，c）是解题关键，又利用了待定系数法求函数解析式；利用解方程组得出交点坐标，又利用了勾股定理；利用了平行四边形的判定：对角线互相平分的四边形是平行四边形．28.【答案】；垂直；BD为6，ME最小为7.【解析】解：（1）∵∠ACB=90°，AC=BC=4，BD=2，∴CD=2，∴AD==2，∵将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到线段AE，∴△ADE是等腰直角三角形，∴DE=AD=2，∵N为ED的中点，∴AN=DE=，∵M为AB的中点，∴AM=AB=2，∵=，==，∴，∵∠CAB=∠DAN=45°，∴∠CAD=∠MAN，∴△ACD∽△AMN，∴∠AMN=∠C=90°，∴MN⊥AB，故答案为：，垂直；（2）①补全图形如图2所示，②（1）中NM与AB的位置关系不发生变化，理由：∵∠ACB=90°，AC=BC，∴∠CAB=∠B=45°，∴∠CAN+∠NAM=45°，∵线段AD绕点A逆时针旋转90°得到线段AE，∴AD=AE，∠DAE=90°，∵N为ED的中点，∴，AN⊥DE，∴∠CAN+∠DAC=45°，∴∠NAM=∠DAC，在Rt△AND中，DAN=cos45°=，同理=，∴，∵∠DAC=45°-∠CAN=∠MAN，∴△ANM∽△ADC，∴∠AMN=∠ACD，∵D在BC的延长线上，∴∠ACD=180°-∠ACB=90°，∴∠AMN=90°，∴MN⊥AB；（3）连接ME，EB，过M作MG⊥EB于G，过A作AK⊥AB交BD的延长线于K，则△AKB等腰直角三角形，在△ADK与△ABE中，，∴△ADK≌△ABE，∴∠ABE=∠K=45°，∴△BMG是等腰直角三角形，∵BC=4，∴AB=4，MB=2，∴MG=2，∵∠G=90°，∴ME≥MG，∴当ME=MG时，ME的值最小，∴ME=BE=2，∴DK=BE=2，∵CK=BC=4，∴CD=2，∴BD=6，∴BD的长为6时，ME的长最小，最小值是7．（1）根据已知条件得到CD=2，根据勾股定理得到AD==2，根据旋转的性质得到△ADE是等腰直角三角形，求得DE=AD=2，根据直角三角形的性质得到AN=DE=，AM=AB=2，推出△ACD∽△AMN，根据相似三角形的性质即可得到结论；（2）①根据题意补全图形即可；②根据等腰直角三角形的性质得到∠CAB=∠B=45°，求得∠CAN+∠NAM=45°根据旋转的性质得到AD=AE，∠DAE=90°，推出△ANM△ADC，由相似三角形的性质得到∠AMN=∠ACD，即可得到结论；（3）连接ME，EB，过M作MG⊥EB于G，过A作AK⊥AB交BD的延长线于K，得到△AKB等腰直角三角形，推出△ADK≌△ABE，根据全等三角形的性质得到∠ABE=∠K=45°，证得△BMG是等腰直角三角形，求出BC=4，AB=4，MB=2，由ME≥MG，于是得到当ME=MG时，ME的值最小，根据等量代换即可得到结论．本题考查了旋转的性质，勾股定理，全等三角形的性质和判定，相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，直角三角形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．29.【答案】45；（-，【解析】解：（1）答案如图：（2）①由题意：∠1=∠2，∠APB=90°，∴∠1=45°，∴反射光与切线的夹角为45°．②由题意：这些反射点组成的多边形是正十二边形，∴入射光线与反射光线夹角为150°，∴∠AOP1=30°，∵OP1=1，∴P1（-，）．（3）如图：当反射光PA∥X轴时，反射光线与坐标轴没有交点．作PD⊥OC，PN⊥OM垂足分别为M，N，设PD=m．∵∠GPO=∠HPA，∠GPC=∠HPC=90°，∴∠OPC=∠APC=∠PCO，∴OP=OC，在RT△PON中，∵ON=PD=m，PN2=1-（2-m）2，∴PO2=m2+1-（2-m）2，∵PD∥OM，∵，∴CP=，CD2=（）2-m2，∴OC=PN+CD，OC2=（+）2，由：PO2=OC2得到：（）2-m2=（+）2，∴m1=2-，（m2=2+，m3=4，不合题意舍弃），∴根据左右对称性得到：满足条件的反射点P的纵坐标：1．（1）（2）两个问题，要根据题意，画出图象，可以解决．（3）当反射光线平行X轴时，反射光线与坐标轴没有交点，只要求出这样的反射点，就可以解决这个问题了．这是个几何，代数综合题．考查的知识点比较多，用到数形结合的思想，要求作图能力强，学会用方程的思想去思考．。
北师大版九年级数学上十二月月考.docx
初中数学试卷马鸣风萧萧油建学校2015-2016学年度上学期九年级十二月月考数 学 试 卷一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）下列各题中均有四个备选答案中，其中有且只有一个是正确的 1．在实数－2、0、2、3中，最小的实数是（ ） A ．－2B ．0C ．2D ．32．若代数式3-x 在实数范围内有意义，则x 的取值范围是（ ） A ．x ≥－3B ．x ＞3C ．x ≥3D ．x ≤33．在一次中学生田径运动会上，参加调高的15名运动员的成绩如下表所示：成绩（m ） 1.50 1.60 1.65 1.70 1.75 1.80 人数124332那么这些运动员跳高成绩的众数是（ ） A ．4B ．1.75C ．1.70D ．1.654．下列运算正确的是（ ）A ．232a a a =+B ．623623a a a =⋅C ．428aa a =÷ D ．338)2a a =（5．如图，线段AB 两个端点的坐标分别为A(6，6)、B(8，2)，以原点O 为位似中心，在第一象限内将线段AB 缩小为原来的21后得到线段CD ，则端点C的坐标为（）A ．(3，3)B ．(4，3)C ．(3，1)D ．(4，1) 6．如图，由4个大小相同的正方体组合而成的几何体，其俯视图是（ ）A B C D7．如图，圆锥体的高h=2cm ，底面半径r=2cm ，则圆锥体的全面积为（ ）cm 2．A ．4πB ．8πC ．12πD ．（4+4）π)8(题第xyOAB8．如图，△AOB 是直角三角形，AOB ∠=︒90，OA OB 2=，点A 在反比例函数x y 1=的图象上．若点B 在反比例函数xky =的图象 上， 则k 的值为 A ．4- B ．4 C ．2- D ．29.下列图形都是由同样大小的小圆圈按一定规律所组成的，其中第①个图形中一共有6个小圆圈，其中第②个图形中一共有9个小圆圈，其中第③个图形中一共有12个小圆圈，．．．，按此规律排列，则第⑦个图形中小圆圈的个数为（ ）① ② ③ A. 21 B. 24 C. 27 D. 3010．已知抛物线2y ax bx c =++（a ≠0）经过点（1，1）和（－1，0）.下列结论：①0a b c -+=；②2b ＞4ac ；③当a ＜0时，抛物线与x 轴必有一个交点在点（1，0）的右侧；④抛物线的对称轴为14x a=-．其中结论正确的个数有（ ） A ．4个 B ． 3个 C ．2个 D ．1个二、填空题（本大题5个小题，每小题3分，共15分）11．计算020152-=12．已知, ABC ∆与DEF ∆相似，ABC ∆与DEF ∆的相似比为4:1， 则ABC ∆与DEF ∆对应边上的高之比为 。
北京人大附中2015届九年级上月考数学试卷(12月)含答案解析
2014-2015学年北京市人大附中九年级（上）月考数学试卷（12月份）一、选择题（本题共32分，每小题4分）1．反比例函数y=的图象不一定经过点( )A．（﹣3，1）B．（﹣3，﹣1）C．（1，3）D．（，2）2．下列图形中，不是轴对称图形的是( )A．B．C．D．3．随机抛掷一枚质地均匀的硬币两枚，两次都是正面朝上的概率是( ) A．B．C．D．4．如图，⊙O的直径AB=8，弦DE经过OB的中点C且DE⊥OB，则弦DE的长为( )A．3 B．2C．4D．65．如图，正△ABC的边长为3，以A为圆心，AB为半径作弧，则图中阴影部分的面积是( )A．B．C．﹣D．36．如图，四边形ABCD中，AB=AC=AD，∠CBD=23°，则∠CAD为( )A．47°B．46°C．45°D．44°7．如图，AB为⊙O的一条固定直径，自左半圆上一点C，作弦CD⊥AB，∠OCD的平分线交⊙O于点E，当点C在左半圆（不包括A，B两点）上移动时，关于点E的说法：①到CD的距离始终不变；②位置始终不变；③始终平分；④位置随点C的移动而移动，正确的是( )A．①②B．②③C．②D．④8．如图，正△ABC的边长为3，点N在AC边上且AN：NC=1：2，三角形边上的动点M 从点A出发，沿A→B→C的方向运动，到达点C时停止．设点M运动的路程为x，y=MN2，则y关于x的函数图象大致为( )A．B．C．D．二、填空题（本题共16分，每小题4分）9．如图，DE∥BC，AD：DB=2：3，EC=6，则AE的长是__________．10．在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=5，AB=13，则tanA的值是__________．11．如图，用一个交叉卡钳（OA=OB，OC=OD）测量零件的内孔直径AB，若OC：OA=1：2，且量的CD=12mm，则零件的内孔直径AB是__________mm．12．如图，△ABC中，AB=AC=1，∠ABC=72°，BB1平分∠ABC交AC于B1，过B1做B1B2∥BC 交AB于B2，作B2B3平分∠AB2B1交AC于B3，过B3作B3B4∥BC交AB于B4，…则线段B1B2的长度为__________，线段B2n﹣1B2n的长度为__________．三、解答题（本题共30分，每小题5分）13．用配方法解方程：．14．计算：3sin30°﹣cos245°+2tan60°cos30°．15．如图，△ABC与△ADE都是等腰直角三角形，且∠BAC=∠DAE=90°，请找出一条与线段CE相等的线段（以图中已知点的端点），画出这条线段并给出证明．16．已知m是方程x2﹣x﹣3=0的根，求代数式（1+）•（m﹣3）的值．17．如图，半径为5的⊙O中，AB是直径，弦BC=8，OD⊥AB交BC于D，求CD的长及△OCD的面积．18．列方程或方程组解应用题：某酒店有三人间、双人间的客房，三人间每天每间150元，双人间每天每间140元，为了吸引游客，实行团体入住五折优惠措施，一个50人的旅游团优惠期间到该酒店入住，住了一些三人间和双人间客房，若每间客房正好住满且一天共花去住宿费1510元，则该旅行团住了三人间和双人间客房各多少间？四、解答题（本题共20分，每小题5分）19．如图，直线y=﹣2x+1分别交x轴，y轴于点A，B，交反比例函数y=的图象于点C，CB：BA=2：1．（1）求反比例函数y=的解析式；（2）若点P在y轴上且以点B，C，P为顶点的三角形与△AOB相似，直接写出点P的坐标．20．如图，已知，在△ABC中，∠ABC=90°，BC为⊙O的直径，AC与⊙O交于点D，点E为AB的中点，PF⊥BC交BC于点G，交AC于点F．（1）求证：ED是⊙O的切线；（2）如果CF=1，CP=2，sinA=，求⊙O的直径BC．21．据报道，历经一年半的调查研究，北京PM 2.5源解析已经通过专家论证．各种调查显示，机动车成为PM 2.5的最大来源，一辆车一天行驶20千米，那么这辆车每天至少就要向大气里排放0035千克污染物．以下是相关的统计图、表：2013年北京市全年空气质量等级天数统计表空气质量等级优良轻度污染中度污染重度污染严重污染天数（天）41 135 84 47 45 13（1）请根据所给信息补全扇形统计图；（2）请你根据“2013年北京市全年空气质量等级天数统计表”计算该年度重度污染和严重污染出现的频率共是多少？（精确到0.01）（3）小明是社区环保志愿者，他和同学们调查了本社区的100辆机动车，了解到其中每天出行超过20千米的有40辆．已知北京市2013年机动车保有量已突破520万辆，请你通过计算，估计2013年北京市一天中出行超过20千米的机动车至少要向大气里排放多少千克污染物？22．如图1，给定锐角三角形ABC，小明希望画正方形DEFG，使D，E位于边BC上，F，G分别位于边AC，AB上，他发现直接画图比较困难，于是他先画了一个正方形HIJK，是的H，I，位于射线BC上，K位于射线BA上，而不需要求J必须位于AC上．这是他发现可以将正方形HIJK通过放大或缩小得到满足要求的正方形DEFG．阅读以上材料，回答小明接下来研究的以下问题：（1）如图2，给定锐角三角形ABC，画出所有长宽比为2：1的长方形DEFG，使D，E位于边BC上，F，G分别位于边AC，AB上．（2）已知三角形ABC的面积为36，BC=12，在第（1）问的条件下，求长方形DEFG的面积．五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分）23．已知关于x的二次函数y1=x2﹣（m+3）x+m+2，y2=﹣x2+bx+c．（1）求证：方程x2﹣（m+3）x+m+2=0必有实根；（2）若m为整数，y1的图象与x轴有一个交点的横坐标a满足5＜a＜7，求m的值；（3）在第（2）问的条件下，小明利用函数图象解关于x的不等式y1＜y2，正确解得该不等式的解集为3＜x＜4，求y2的解析式．24．过正方形ABCD的顶点A任作一条直线l（l不过点B，C，D），过点B，C，D作l 的垂线段BF，CG，DH．（1）如图1，若直线l过线段BC的中点E，则BF：CG：DH=__________．（2）如图2，若直线l与线段BC相交于点E，则BF，CG，DH满足等量关系式__________，请证明你的猜想；（3）如果直线l与线段CB的延长线相交，直接写出BF，CG，DH满足的等量关系式__________，在直线l旋转一周的过程中（l不过点B，C，D），直接写出y=的取值范围__________．25．定义：在平面直角坐标系xOy中，给定两点M（x M，y M），N（x N，y N），对于给定的实数a，b，作a|x M﹣x N|+b|y M﹣y N|为M，N的权重为a，b的直角距离，记为d xy（M，N），例如：d2，3（（1，0），（4，7））=2|1﹣4|+3|0﹣7|=27．特别地，权重为1、1的直角距离，又称为等权重距离，则记为d（M，N），例如：d（（1，0），（4，7））=|1﹣4|+|0﹣7|=10．根据以上定义，回答以下问题：（1）d（（0，0），（﹣3，﹣2））=__________，d3，2（（0，0），（﹣1，2））=__________．（2）P为直线y=2x+4上一动点，求OP的等权重距离的最小值及此时P点的坐标；（3）P为直线y=2x+4上一动点，Q为以O为圆心的单位圆上的动点，则d（P，Q）的最小值是__________，d3，2（P，Q）的最小值是__________．2014-2015学年北京市人大附中九年级（上）月考数学试卷（12月份）一、选择题（本题共32分，每小题4分）1．反比例函数y=的图象不一定经过点( )A．（﹣3，1）B．（﹣3，﹣1）C．（1，3）D．（，2）【考点】反比例函数图象上点的坐标特征．【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特点即可得出结论．【解答】解：A、∵（﹣3）×1=﹣3≠3，∴函数图象不过此点，故本选项正确；B、∵（﹣3）×（﹣1）=3，∴函数图象过此点，故本选项错误；C、∵3×1=3，∴函数图象过此点，故本选项错误；D、∵×2=3，∴函数图象不过此点，故本选项错误．故选A．【点评】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．2．下列图形中，不是轴对称图形的是( )A．B．C．D．【考点】轴对称图形．【分析】根据轴对称图形的概念对各选项分析判断后利用排除法求解．【解答】解：A、不是轴对称图形，故本选项正确；B、是轴对称图形，故本选项错误；C、是轴对称图形，故本选项错误；D、是轴对称图形，故本选项错误．故选A．【点评】本题考查了轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．3．随机抛掷一枚质地均匀的硬币两枚，两次都是正面朝上的概率是( ) A．B．C．D．【考点】列表法与树状图法．【分析】列举出所有情况，看正面都朝上的情况数占总情况数的多少即可．【解答】解：共4种情况，正面都朝上的情况数有1种，所以概率是．故选B．【点评】本题考查了概率的求法；用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．得到所求的情况数是解决本题的关键．4．如图，⊙O的直径AB=8，弦DE经过OB的中点C且DE⊥OB，则弦DE的长为( )A．3 B．2C．4D．6【考点】垂径定理；勾股定理．【分析】连接OD，先求出OD及OC的长，再由勾股定理求出DE的长即可．【解答】解：连接OD，∵⊙O的直径AB=8，弦DE经过OB的中点C且DE⊥OB，∴OD=4，OC=2，DE=2CD．∵CD===2，∴DE=2CD=4．故选：C．【点评】本题考查的是垂径定理和勾股定理的应用，掌握垂直于弦的直径平分弦并且平分弦所对的弧是解题的关键．5．如图，正△ABC的边长为3，以A为圆心，AB为半径作弧，则图中阴影部分的面积是( )A．B．C．﹣D．3【考点】扇形面积的计算．【分析】根据等边三角形的面积公式求出正△ABC的面积，根据扇形的面积公式S=求出扇形的面积，求差得到答案．【解答】解：∵正△ABC的边长为3，∴正△ABC的面积为×3×=，扇形ABC的面积为=，则图中阴影部分的面积是﹣．故选：C．【点评】本题考查的是等边三角形的性质和扇形的面积计算，掌握扇形的面积公式S=是解题的关键．6．如图，四边形ABCD中，AB=AC=AD，∠CBD=23°，则∠CAD为( )A．47°B．46°C．45°D．44°【考点】圆周角定理．【分析】先根据四边形ABCD中，AB=AC=AD可知，B、C、D三点在以A为圆心，AD为半径的圆上，再由圆周角定理即可得出结论．【解答】解：∵四边形ABCD中，AB=AC=AD，∴B、C、D三点在以A为圆心，AD为半径的圆上．∵∠CBD=23°，∴∠CAD=2∠CBD=46°．故选B．【点评】本题考查的是圆周角定理，熟知在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解答此题的关键．7．如图，AB为⊙O的一条固定直径，自左半圆上一点C，作弦CD⊥AB，∠OCD的平分线交⊙O于点E，当点C在左半圆（不包括A，B两点）上移动时，关于点E的说法：①到CD的距离始终不变；②位置始终不变；③始终平分；④位置随点C的移动而移动，正确的是( )A．①②B．②③C．②D．④【考点】圆周角定理；垂径定理．【分析】连接OE，由CE平分∠OCD，得到∠1=∠2，而∠1=∠E，所以有OE∥CD，则OE⊥AB，即可得到OE平分半圆AEB．【解答】解：连OE，如图，∵CE平分∠OCD，∴∠1=∠2，而OC=OE，有∠1=∠E，∴∠2=∠E，∴OE∥CD，∵点O到CD的距离在变，∴点E到CD的距离发生变；故①错误；又∵弦CD⊥AB，∴OE⊥AB，∴OE平分半圆AEB，即点E是半圆的中点，∴点E位置始终不变；故②正确．故选C．【点评】本题考查了圆周角定理．在同圆或等圆中，同弧和等弧所对的圆周角相等，一条弧所对的圆周角是它所对的圆心角的一半．也考查了垂径定理的推论．8．如图，正△ABC的边长为3，点N在AC边上且AN：NC=1：2，三角形边上的动点M 从点A出发，沿A→B→C的方向运动，到达点C时停止．设点M运动的路程为x，y=MN2，则y关于x的函数图象大致为( )A．B．C．D．【考点】动点问题的函数图象．【分析】注意分析y随x的变化而变化的趋势，而不一定要通过求解析式来解决．【解答】解：∵等边三角形ABC的边长为3，N为AC的三等分点，∴AN=1．∴当点M位于点A处时，x=0，y=1．①当动点M从A点出发到AM=0.5的过程中，y随x的增大而减小，故排除D；②当动点M到达C点时，x=6，y=4，即此时y的值与点M在点A处时的值不相等．故排除A、C．故选：B．【点评】本题考查了动点问题的函数图象，解决本题应首先看清横轴和纵轴表示的量，然后根据动点的行程判断y的变化情况．二、填空题（本题共16分，每小题4分）9．如图，DE∥BC，AD：DB=2：3，EC=6，则AE的长是4．【考点】平行线分线段成比例．【专题】计算题．【分析】根据平行线分线段成比例定理得到=，即=，然后利用比例性质求AE．【解答】解：∵DE∥BC，∴=，即=∴AE=4．故答案为4．【点评】本题考查了平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．10．在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=5，AB=13，则tanA的值是．【考点】锐角三角函数的定义．【分析】根据勾股定理，可得BC的长，根据正切函数的定义，可得答案．【解答】解：在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=5，AB=13，由勾股定理，得BC===12，tanA==，故答案为：．【点评】本题考查锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．11．如图，用一个交叉卡钳（OA=OB，OC=OD）测量零件的内孔直径AB，若OC：OA=1：2，且量的CD=12mm，则零件的内孔直径AB是24mm．【考点】相似三角形的应用．【专题】计算题．【分析】由于OC：OA=OD：OB=1：2，加上∠COD=∠AOB，则可判断△COD∽△AOB，然后利用相似比开始计算出AB．【解答】解：∵OC：OA=OD：OB=1：2，而∠COD=∠AOB，∴△COD∽△AOB，∴==，∴AB=2CD=2×12mm=24mm．故答案为24．【点评】本题考查了相似三角形的应用：利用视点和盲区的知识构建相似三角形，用相似三角形对应边的比相等的性质求物体的高度或宽度．12．如图，△ABC中，AB=AC=1，∠ABC=72°，BB1平分∠ABC交AC于B1，过B1做B1B2∥BC 交AB于B2，作B2B3平分∠AB2B1交AC于B3，过B3作B3B4∥BC交AB于B4，…则线段B1B2的长度为，线段B2n﹣1B2n的长度为（）n﹣2．【考点】相似三角形的判定与性质．【分析】因为过B1作B1B2∥BC交AB于B2，于是得到△AB2B1∽△ABC，得到对应边对应成比例，因为AB=AC=m，∠ABC=72°，BB1平分∠ABC交AC于B1，所以△BCB1和△B2B1B是等腰三角形，根据余弦定理，可求出BC的长，根据相似三角形对应线段成比例，可求出B2B1的长，同理，可求得线段B2n﹣1B2n的长度．【解答】解：∵AB=AC=1，∠ABC=72°，BB1平分∠ABC交AC于B1，∴△BCB1和△B2B1B是等腰三角形，∵过B1作B1B2∥BC交AB于B2，∴=，∵BC2=AB2+AC2﹣2AB•ACcos36°，∴BC=，设B2B1是x，则B2B是x．∴=，∴x=即：B1B2=．同理可求出B2n﹣1B2n=（）n﹣2．故答案为：，（）n﹣2．【点评】本题考查相似三角形的判定和性质，关键是知道相似三角形的对应线段成比例，以及余弦定理求出BC的长，找出规律求出值．三、解答题（本题共30分，每小题5分）13．用配方法解方程：．【考点】解一元二次方程-配方法．【分析】先把常数项﹣3移项后；然后等上的两边同时乘以2把二次项的系数化为1；最后左右两边同时加上一次项系数﹣4的一半的平方．【解答】解：由原方程，得x2﹣2x=3，等上的两边同时乘以2，得x2﹣4x=6，方程两边同时加上一次项系数一半的平方，得x2﹣4x+4=10，配方得（x﹣2）2=10．∴，∴，．【点评】本题考查了解一元二次方程﹣﹣配方法．配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．14．计算：3sin30°﹣cos245°+2tan60°cos30°．【考点】特殊角的三角函数值．【分析】将特殊角的三角函数值代入求解．【解答】解：原式=3×﹣×（）2+2××=﹣．【点评】本题考查了特殊角的三角函数值，解答本题的关键是掌握几个特殊角的三角函数值．15．如图，△ABC与△ADE都是等腰直角三角形，且∠BAC=∠DAE=90°，请找出一条与线段CE相等的线段（以图中已知点的端点），画出这条线段并给出证明．【考点】全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形．【分析】连接BD，则BD=CE，证明△AEC≌△ADB即可．【解答】解：连接BD，则BD=CE；理由：∵△ABC与△ADE都是等腰直角三角形，∴AB=AC，AE=AD，∵∠BAC=∠DAE=90°，∴∠BAD=∠CAE，在△AEC和△ADB中，，∴△AEC≌△ADB（SAS），∴BD=CE．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解决问题的关键．16．已知m是方程x2﹣x﹣3=0的根，求代数式（1+）•（m﹣3）的值．【考点】分式的化简求值；一元二次方程的解．【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再根据m是方程x2﹣x﹣3=0的根得出m2=m+3，代入原式进行计算即可．【解答】解：原式=•（m﹣3）=，∵m是方程x2﹣x﹣3=0的根，∴m2﹣m﹣3=0，即m2=m+3，∴原式==1．【点评】本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键．17．如图，半径为5的⊙O中，AB是直径，弦BC=8，OD⊥AB交BC于D，求CD的长及△OCD的面积．【考点】垂径定理；勾股定理．【分析】过点O作OE⊥CD于点E，根据相似三角形的判定定理可得出△ODE∽△BOE，再由相似三角形的对应边成比例可求出OD的长，由勾股定理得出DE的长，进而得出CD 的长，根据三角形的面积公式即可得出结论．【解答】解：过点O作OE⊥CD于点E，∵BC=8，∴CE=BE=4，OE=3．∵OD⊥AB，∴∠BEO=∠OED=90°，∵∠ODE+∠OBE=90°，∠ODE+∠DOE=90°，∴∠DOE=∠OBE，∴△ODE∽△BDO，∴=，即=，解得DE=，∴CD=CE﹣DE=4﹣=，∴S△OCD=CD•OE=××3=．【点评】本题考查的是垂径定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．18．列方程或方程组解应用题：某酒店有三人间、双人间的客房，三人间每天每间150元，双人间每天每间140元，为了吸引游客，实行团体入住五折优惠措施，一个50人的旅游团优惠期间到该酒店入住，住了一些三人间和双人间客房，若每间客房正好住满且一天共花去住宿费1510元，则该旅行团住了三人间和双人间客房各多少间？【考点】二元一次方程组的应用．【分析】本题中的等量关系有两个：三人间所住人数+二人间所住人数=50人；三人间费用×0.5+二人间费用×0.5=1510，据此可列方程组求解．【解答】解：设三人间和双人间客房各x间、y间，根据题意，得，解得．答：该旅行团住了三人间和双人间客房各8间、13间．【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程组，再求解．利用二元一次方程组求解的应用题一般情况下题中要给出2个等量关系，准确的找到等量关系并用方程组表示出来是解题的关键．四、解答题（本题共20分，每小题5分）19．如图，直线y=﹣2x+1分别交x轴，y轴于点A，B，交反比例函数y=的图象于点C，CB：BA=2：1．（1）求反比例函数y=的解析式；（2）若点P在y轴上且以点B，C，P为顶点的三角形与△AOB相似，直接写出点P的坐标．【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．【分析】（1）由直线的解析式求得A、B的坐标，进而根据CB：BA=2：1求得C的纵坐标，将C坐标代入直线y=﹣2x+1中求出横坐标，代入反比例函数y=，确定出反比例解析式；（2）分两种情况分别讨论即可求得．【解答】解：（1）∵直线y=﹣2x+1分别交x轴，y轴于点A，B，∴A（，0），B（0，1），∵CB：BA=2：1，∴=，作CD⊥x轴于D，则CD∥OB，∴△ACD∽△ABO，∴=，∴=，∴CD=3，把y=3代入y=﹣2x+1，解得x=﹣1，∴C（﹣1，3），代入y=得，3=，∴k=﹣3，∴反比例函数y=的解析式为y=﹣；（2）当△CPB∽△AOB时，则=，即=，∴BP=2，∴OP=OB+BP=1+2=3，∴P（0，3）；当△PCB∽△AOB时，则=，∵OA=，OB=1，∴AB==，∵CB：BA=2：1，∴CB=，∴=，∴PB=，∴OP=PB+0B=+1=，∴P（0，）；故P的坐标为（0，3）或（0，）．【点评】此题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，涉及的知识有：坐标与图形性质，待定系数法确定函数解析式，一次函数与坐标轴的交点，三角形相似的性质，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．20．如图，已知，在△ABC中，∠ABC=90°，BC为⊙O的直径，AC与⊙O交于点D，点E为AB的中点，PF⊥BC交BC于点G，交AC于点F．（1）求证：ED是⊙O的切线；（2）如果CF=1，CP=2，sinA=，求⊙O的直径BC．【考点】切线的判定；相似三角形的判定与性质；解直角三角形．【专题】几何综合题．【分析】（1）连接OD，证OD⊥DE即可．易证∠ADB=90°，又点E为AB的中点，得DE=EB．根据等腰三角形性质可证∠ODE=∠OBE=90°，得证；（2）可证∠A=∠DBC，所以要求BC需先求DC．结合已知条件，证明△PDC与△FPC相似可求CD，得解．【解答】（1）证明：连接OD．∵BC为直径，∴△BDC为直角三角形．在Rt△ADB中，E为AB中点，∴BE=DE，∴∠EBD=∠EDB．又∵OB=OD，∴∠OBD=∠ODB，∵∠OBD+∠ABD=90°，∴∠ODB+∠EDB=90°．∴ED是⊙O的切线．（2）解：∵PF⊥BC，∴∠FPC=90°﹣∠BCP（直角三角形的两个锐角互余）．∵∠PDC=90°﹣∠PDB（直径所对的圆周角是直角），∠PDB=∠BCP（同弧所对的圆周角相等），∴∠FPC=∠PDC（等量代换）．又∵∠PCF是公共角，∴△PCF∽△DCP．∴=，则PC2=CF•CD（相似三角形的对应边成比例）．∵CF=1，CP=2，∴CD=4．可知sin∠DBC=sinA=，∴=，即=，∴直径BC=5．【点评】此题考查了切线的判定、相似三角形的判定和性质、三角函数等知识点，综合性较强，难度偏上．21．据报道，历经一年半的调查研究，北京PM 2.5源解析已经通过专家论证．各种调查显示，机动车成为PM 2.5的最大来源，一辆车一天行驶20千米，那么这辆车每天至少就要向大气里排放0035千克污染物．以下是相关的统计图、表：2013年北京市全年空气质量等级天数统计表空气质量等级优良轻度污染中度污染重度污染严重污染天数（天）41 135 84 47 45 13（1）请根据所给信息补全扇形统计图；（2）请你根据“2013年北京市全年空气质量等级天数统计表”计算该年度重度污染和严重污染出现的频率共是多少？（精确到0.01）（3）小明是社区环保志愿者，他和同学们调查了本社区的100辆机动车，了解到其中每天出行超过20千米的有40辆．已知北京市2013年机动车保有量已突破520万辆，请你通过计算，估计2013年北京市一天中出行超过20千米的机动车至少要向大气里排放多少千克污染物？【考点】扇形统计图；用样本估计总体；统计表；列表法与树状图法．【分析】（1）用单位1减去其他原因所占的百分比即可确定答案；（2）用重度污染和严重污染的天数除以所有的天数即可确定出现的频率；（3）用样本估计总体即可．【解答】解：（1）31.1；（2）≈0.16．该年度重度污染和严重污染出现的频率共是0.16．（3）=7 280 0，估计2013年北京市一天中出行超过20千米的机动车至少要向大气里排放72800千克污染物．【点评】本题考查了扇形统计图、用样本估计总体等知识，解题的关键是能够从统计图中整理出进一步解题的有关信息．22．如图1，给定锐角三角形ABC，小明希望画正方形DEFG，使D，E位于边BC上，F，G分别位于边AC，AB上，他发现直接画图比较困难，于是他先画了一个正方形HIJK，是的H，I，位于射线BC上，K位于射线BA上，而不需要求J必须位于AC上．这是他发现可以将正方形HIJK通过放大或缩小得到满足要求的正方形DEFG．阅读以上材料，回答小明接下来研究的以下问题：（1）如图2，给定锐角三角形ABC，画出所有长宽比为2：1的长方形DEFG，使D，E位于边BC上，F，G分别位于边AC，AB上．（2）已知三角形ABC的面积为36，BC=12，在第（1）问的条件下，求长方形DEFG的面积．【考点】位似变换．【分析】（1）如图2，先画长方形HIJK，使得HI=2HK，并且H，I位于射线BC上，K位于射线BA上，连结BJ并延长交AC于点F，再将长方形HIJK通过放大可得到满足要求的长方形DEFG；如备用图，先画长方形HIJK，使得HK=2HI，并且H，I位于射线BC上，K位于射线BA上，连结BJ并延长交AC于点F，再将长方形HIJK通过放大可得到满足要求的长方形DEFG；（2）作△ABC的高AM，交GF于N．由三角形ABC的面积为36，求出AM=6．再设AN=x，由GF∥BC，得出△AGF∽△ABC，根据相似三角形对应高的比等于相似比列出比例式=，由此求出x的值，进而求解即可．【解答】解：（1）如图2与备用图1，长方形DEFG即为所求作的图形；（2）在长方形DEFG中，如果DE=2DG，如备用图2，作△ABC的高AM，交GF于N．∵三角形ABC的面积=BC•AM=×12AM=36，∴AM=6．设AN=x，则MN=6﹣x，DG=MN=6﹣x，DE=GF=2（6﹣x）=12﹣2x．∵GF∥BC，∴△AGF∽△ABC，∴=，∴=，解得x=3，∴DG=6﹣x=3，DE=2DG=6，∴长方形DEFG的面积=6×3=18；在长方形DEFG中，如果DG=2DE，同理求出x=，∴DG=6﹣x=，DE=DG=，∴长方形DEFG的面积=×=．故长方形DEFG的面积为18或．【点评】本题考查了位似变换，相似三角形的判定与性质，根据题意作出符合要求的长方形DEFG是解题的关键．五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分）23．已知关于x的二次函数y1=x2﹣（m+3）x+m+2，y2=﹣x2+bx+c．（1）求证：方程x2﹣（m+3）x+m+2=0必有实根；（2）若m为整数，y1的图象与x轴有一个交点的横坐标a满足5＜a＜7，求m的值；（3）在第（2）问的条件下，小明利用函数图象解关于x的不等式y1＜y2，正确解得该不等式的解集为3＜x＜4，求y2的解析式．【考点】二次函数与不等式（组）；抛物线与x轴的交点．【分析】（1）利用根的判别式即可得出结论；（2）根据y1的图象与x轴有一个交点的横坐标a满足5＜a＜7可知当x=5时，y1＜0，当x=7时，y1＞0求出m的取值范围，再由m为整数即可求出m的值；（3）先求出当x=3，x=4时y1的值，再由y2也经过此点即可得出结论．【解答】解：（1）∵△=[﹣（m+3）]2﹣4（m+2）=（m+1）2≥0，∴方程x2﹣（m+3）x+m+2=0必有实根；（2）∵y1的图象与x轴有一个交点的横坐标a满足5＜a＜7，且抛物线开口向上，∴f（5）＜0，f（7）＞0，∴，解得3＜m＜5．∵m为整数，∴m=4；（3）∵由（2）知，m=4，∴关于x的二次函数y1=x2﹣（m+3）x+m+2可化为y1=x2﹣7x+6，∴当x=3时，y1=﹣6；当x=4时，y1=﹣6．∵二次函数y2=﹣x2+bx+c经过（3，﹣6），（4，﹣6），∴，解得，∴y2的解析式为y2=﹣x2+25x﹣72．【点评】本题考查的是二次函数与不等式组，能根据题意画出图形，利用数形结合求解是解答此题的关键．24．过正方形ABCD的顶点A任作一条直线l（l不过点B，C，D），过点B，C，D作l的垂线段BF，CG，DH．（1）如图1，若直线l过线段BC的中点E，则BF：CG：DH=1：1：2．（2）如图2，若直线l与线段BC相交于点E，则BF，CG，DH满足等量关系式DH=BF+CG，请证明你的猜想；（3）如果直线l与线段CB的延长线相交，直接写出BF，CG，DH满足的等量关系式BF=DH+CG，在直线l旋转一周的过程中（l不过点B，C，D），直接写出y=的取值范围1＜y≤2．【考点】四边形综合题．【分析】（1）如图1所示：设AB=2a，根据题意得：BE=a，由勾股定理可求得AE=a，由面积法可求得BF和HD的长度，然后再证明△BFE≌△CGE，得到BF=CG，从而可求得答案；（2）如图2所示：先根据同角的余角相等，证明∠ADH=∠FBE=∠GCE，由锐角三角函数的定义可得到，然后利用比例的性质对比例式进行变形可证得：，由AD=BC，于是可得到DH=BF+CG；（3）如图3所示：先证明∠ABF=∠HDE=∠GCE，由锐角三角函数的定义可得到，然后利用比例的性质对比例式进行变形可证得，由AB=DC于是得到BF=DH+CG；如图4、5所示可求得BF+CG+DH的最大值为2BD，最小值为BD，从而可求得y的范围．【解答】解：（1）如图1所示：连接ED．设AB=2a，根据题意得：BE=a．在Rt△ABE中，AE=，∵，即：，∴BF=．在△BFE和△CGE中，，∴△BFE≌△CGE．∴BF=CG．∵，即，∴HD=．∴BF：CG：DH=1：1：2．（2）DH=BF+CG．理由：如图2所示：∵∠ADH+∠DAH=90°，∠BAH+∠DAH=90°，∴∠ADH=∠BAH．同理∠FBE=∠BAH．∴∠ADH=∠FBE．∵BF⊥AE，GC⊥AE，∴BF∥GC．∴∠FBE=∠GCE．∴∠ADH=∠FBE=∠GCE．∴．由可知：，∴，即．∴．∴．∵AD=BC，∴DH=BF+CG．（3）BF=DH+CG．理由：如图3所示：根据题意可知：∠ABF=∠HDE=∠GCE．∴．∴．∴，即．∴．∴．∵AB=DC，∴BF=DH+CG．如图4所示：当直线经过点C时，BF+DH+CG有最小值，最小值=BD，∴y=1．如图5所示：BF+DH+CG有最大值，最小值=2AC=2BD，∴y=2．∵直线l不经过点B、C、D，∴y的取值范围是：1＜y≤2．【点评】本题主要考查的是正方形的性质、锐角三角函数的定义、比例的性质、全等三角形的性质和判定，利用比例的性质对比例式进行适当的变形是解题的关键．25．定义：在平面直角坐标系xOy中，给定两点M（x M，y M），N（x N，y N），对于给定的实数a，b，作a|x M﹣x N|+b|y M﹣y N|为M，N的权重为a，b的直角距离，记为d xy（M，N），例如：d2，3（（1，0），（4，7））=2|1﹣4|+3|0﹣7|=27．特别地，权重为1、1的直角距离，又称为等权重距离，则记为d（M，N），例如：d（（1，0），（4，7））=|1﹣4|+|0﹣7|=10．根据以上定义，回答以下问题：（1）d（（0，0），（﹣3，﹣2））=5，d3，2（（0，0），（﹣1，2））=7．（2）P为直线y=2x+4上一动点，求OP的等权重距离的最小值及此时P点的坐标；（3）P为直线y=2x+4上一动点，Q为以O为圆心的单位圆上的动点，则d（P，Q）的最小值是﹣，d3，2（P，Q）的最小值是﹣．。
2015-2016学年北京市西城区九年级(上)期末数学试卷
映，如果调整商品售价，每降价 1 元，每星期可多卖出 20 件．设每件商品降
价 x 元后，每星期售出商品的总销售额为 y 元，则 y 与 x 的关系式为（ ）
A．y=60（300+20x）
B．y=（60﹣x）（300+20x）
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C．y=300（60﹣20x）
D．y=（60﹣x）（300﹣20x）
（1）求 OA 的长； （2）若 AF 是⊙O 的另一条弦，且点 O 到 AF 的距离为
度数．
，直接写出∠BAF 的
24．（5 分）奥林匹克公园观光塔由五座高度不等、错落有致的独立塔组成．在 综合实践活动课中，某小组的同学决定利用测角仪测量这五座塔中最高塔的 高度（测角仪高度忽略不计）．他们的操作方法如下：如图，他们先在 B 处测 得最高塔塔顶 A 的仰角为 45°，然后向最高塔的塔基直行 90 米到达 C 处，再 次测得最高塔塔顶 A 的仰角为 58°．请帮助他们计算出最高塔的高度 AD 约为 多少米．（参考数据：sin58°≈0.85，cos58°≈0.53，tan58°≈1.60）
的平移方法； （3）若点 A（1，t）和点 B（m，n）都在抛物线 C2：y2=2（x+1）2﹣4k 上，且 n
＜t，直接写出 m 的取值范围． 23．（5 分）如图，AB 是⊙O 的一条弦，且 AB= ．点 C，E 分别在⊙O 上，且
OC⊥AB 于点 D，∠E=30°，连接 OA．
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为
；
（3）如图 4，点 M 的坐标为（0，2），⊙M 的半径为 1．第一象限内自点 O 出
发的入射光线经⊙M 反射后，反射光线与坐标轴无公共点，求反射点 P 的纵
坐标的取值范围．
北京三帆中学裕中校区2015年九年级上数学期中试题及答案
EDCBA北京三帆中学裕中校区2015—2016学年度第一学期九年级数学期中检测姓名 班级 分数一、选择题：（每题3分，共30分）下面各题均有四个选项，期中只有一个．．是符合题意的。
1. 已知ABC ∆∽DEF ∆，若对应边AB:DE ＝1：2，则它们的周长比等于（ ）． A.1：2 B.1：4 C.2：1 D.4：12. 将抛物线22x y =向左平移1个单位，再向上平移3个单位得到的抛物线表达式 是( ).A. 22(1)3y x =--B.22(1)3y x =++C. 22(1)3y x =-+D.22(1)3y x =+- 3. 如图，已知⊙O 中，半径OC 垂直于弦AB ，垂足为D ，若OD = 3，OA = 5， 则AB 的长为（ ）A. 2B. 4C. 6D. 8 4. 抛物线1)6(32-+-=x y 的对称轴是（ ）A ．1-=xB ． 6-=xC ．1=xD ．6=x5. 小明作了一顶圆锥形纸帽，已知纸帽底面圆的半径为10cm ，母线长为50cm ，则 圆锥形纸帽的侧面积为( ) A ．2250cm πB ．2500cm πC ．2750cm πD ．21000cm π6. 如图，在△ABC 中，点D 、E 分别是AC 、AB 边上的点，且∠ADE ＝∠ABC ，则下列等式成立的是 A.DE AE BC AC = B. AE ADBE CD = C. AD AE AC AB = D. DE ADBC AC= 7.在平面直角坐标系中，半径为3的圆的圆心在（4,3），则这个圆与x 轴的位置关 系是（ ）A ．相离B ．相交C ．相切D ．无法确定BA8.如图，已知直线AB 切⊙O 于点A ，CD 为⊙O 的直径，若∠BAC ＝123°，则AD 所对的圆心角的度数为A ．23°B ．33°C ．57°D ．66° 9.下列命题中，正确命题的个数为（ ）（1）三点确定一个圆 （2）垂直于半径的直线是圆的切线 （3）等弧所对的圆周角相等 （4）垂直于弦的直径平分弦及其所对的弧 A ． 1 B. 2 C. 3 D. 410. 如图，在边长为4的正方形ABCD 中，动点P 从A 点出发，以每秒1个单位长度的速度沿AB 向B 点运动，同时动点Q 从B 点出发，以每秒2个单位长度的速度沿BC →CD 方向运动，当P 运动到B 点时，P ，Q 两点同时停止运动．设P 点运动的时间为t ，△APQ 的面积为S ，则S 与t的函数关系的图象是（ ）二、填空题：（每题3分，共18分） 11. 二次函数622+-=x x y 化为的形式，则m k += .12. 若53=b a ，则bba +的值是 13. 已知点),(11b a A ，点(B ),22b a 两点都在二次函数 62+-=x y 的图象上，且1a <2a <0，那么1b 2b . 14. 如图，在△ABC 中，DE ∥BC 交AB 、AC 于点D 、E ，AE=1， AC=3，那么△ADE 与△ABC 面积的比为 .14题图15.有一种化学实验中用的圆形过滤纸片，如果需要找它的圆心，请你简要说明你 找圆心的方法是 . 16. 已知：二次函数y=ax 2+bx+c 的图象如图所示， 下列结论中：①c<0；②b 2-8a<4ac ； ③4a-2b+c<0；④（a+c ）2＜b 2；⑤c-a>0,其中正确的是 (填写序号)三、解答题：（每题5分，共25分）17. 如图，在44⨯的正方形网格中，ABC ∆和DEF ∆的 顶点都在边长为1的小正方形的格点上. ⑴求ABC ∠的度数及BC 的长．⑵判断ABC ∆与DEF ∆是否相似，并证明你的结论．18.如图，A B 为⊙O 的直径，CD ⊥AB 于点E ，交⊙O 于点 D ，OF ⊥AC 于点F ．当∠D = 30°，BC = 1时，求圆中 阴影部分的面积．19. 如图,已知这是一座圆弧形涵洞的入口的示意图,涵洞 的最高点C 到地面AB 的距离为6米,涵洞入口地面的宽度 AB 为4米,请你求这座涵洞圆弧所在圆的半径长．20.二次函数的图象经过点（1，2）和（0，-1）且对称轴为2=x ，求二次函数解 析式．BA21. 已知二次函数y =2x 2 -4x -6.（1）求出该函数与x ．轴．的交点坐标 ； 与y ．轴．的交点坐标 ； （2）在平面直角坐标系中，用描点法．．．画出这个二次函数的 图象；（3）当y>0时，则 x 的取值范围是 ；四、解答题：（每题5分，共25分）22. 如图，在Rt ABC △中，90C ∠=，BE 平分ABC ∠ 交AC 于点E ，点D 在AB 边上且DE BE ⊥． （1）判断直线AC 与DBE △外接圆O 的位置关系， 并 说明理由；（2）若6AD AE ==，OD 的长．23.已知：如图，△ABC 内接于⊙0，AM 平分∠BAC ，交⊙0于 点M,AD ⊥BC 于D. 求证：∠MAO=∠MAD24.如图，在平行四边形ABCD 中，点E 在BC 边上，点F 在DC 的延长线上，且∠DAE=∠F ． （1）求证：△ABE ∽△ECF ；（2）若AB=5，AD=8，BE=2，求FC 的长．25. 已知抛物线2(1)21y m x mx m =--++（1m >）． （1）求抛物线与x 轴的交点坐标；（2）若抛物线与x 轴的两个交点之间的距离为2，求m 的值；A26. 有这样一个问题：探究函数112-=x y 的图象与性质 小东根据学习函数的经验，对函数112-=x y 的图象与性质进行了探究。
2015-2016北京师范大学三帆中学朝阳分校初三上期中数学(18个新题)
1．下面的图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）．A．B．C．D．【答案】B【解析】既是轴对称图形又是中心对称图形的是B．2．如图，是的直径，、是圆上两点，，则的度数为66b1b394352a46788be7b06a038d653f3．如图，在中，若，，若的面积等于，则的面积等于ff8080814a19e782014a36b3cd032d1a4．已知：如图，某学生想利用标杆测量一棵大树的高度，3c6e122c1fa84a41a472aefb0c8adf205．如图，将的三边分别扩大一倍得到（顶点均在格点上），8aac49075114830701512e6778863bf66．如图，是⊙的直径，弦于点，，，则的长为ff8080814a19e688014a2d075f7c25987．将一图形绕着点O顺时针方向旋转70︒后，再绕着点O逆时针方向旋转120︒，这时如果要使图形回到原来的位置，需要将图形绕着点O什么方向旋转多少度？（）A．顺时针方向50︒B．逆时针方向50︒C．顺时针方向190︒D．逆时针方向190︒【答案】A【解析】由于先绕着点O顺时针方向旋转70︒，再绕着点O逆时针方向旋转120︒，要想回到原来的位置，只有顺时针方向旋转50︒．8．如图，已知⊙O 是以数轴的原点O 为圆心，半径为1的⊙， ，点 在数轴上运动，若过点 且与 平行的直线与ff80808148c43e7f0148ee1ed5523bcf9．下列图形中，旋转60︒后可以和原图形重合的是（ ）． A ．正六边形 B ．正五边形 C ．正方形 D ．正三角形 【答案】A【解析】正六边形旋转60︒后可以和原图形重合； 正五边形旋转72︒后可以和原图形重合； 正方形旋转90︒后可以和原图形重合； 正三角形旋转120︒后可以和原图形重合． 故选A ．10．如图，AC ，BD 是⊙O 直径，且AC BD ⊥，动点P 从圆心O 出发，沿O C D O →→→路线作匀速运动，设运动时间为t （秒），APB y =∠（度），则下列图象中表示y 与t 之间的函数关系最恰当的是（ ）． 8aac4907519fa10a0151ab17eb132222（补解析．） 【解析】在AC 上，APB ∠逐渐减小， 在CD 上，45APB =︒∠保持不变， 在DO 上，APB ∠逐渐增大． 故选C ．11．扇形的半径为9，圆心角为120 ，则它的弧长为ff8080814a39795c014a3ce84c3e089d12．已知：如图， 是 的内切圆，分别切 、 、 、于点 、 、 ， 的周长为 8aac49074e023206014e0635b010240513．如图，等边 的边长为 ， 为 上一点，且 ， 为 上一点 ff8080814d043c29014d1f72fb6f6af3（修改成填空）95c9bc13daf64aa084262866d5246f7614．如图，一幅三角板按下图所示叠放在一起，若固定AOB △，将ACD △绕着公共顶点A ，按顺时针方向旋转α度（0180<<α），当ACD △的一边与AOB △的某一边平行时，相应的旋转角α的值是________．【解析】分5种情况讨论：（1）当AC 边与OB 平行的时候904545=︒-︒=︒α； （2）当AD 边与OB 边平行的时候9045135=︒+︒=︒α； （3）当DC 边与OB 边平行的时候旋转角应为165=︒α； （4）当DC 边与AB 边平行时180609030=︒-︒-︒=︒α；（5）当DC 边与AO 边平行时180********=︒-︒-︒+︒=︒α． 故答案为：45︒，135︒，165︒，30︒，75︒．15．如图，在ABC △中，10cm AB =，20cm BC =，点P 从点A 开始沿AB 边向B 点以2cm/s 的速度移动，点Q 从点B 开始沿BC 边向点C 以4cm/s 的速度移动，如果P 、Q 分别从A 、B 同事出发，问经过__________秒钟，PBQ △与ABC △相似．【解析】设运动t 秒，则2AP t =，4BQ t =， ∴102BP t =-． 若BPQ BAC ∽△△， 则BP BA BQ BC =， 即10210420t t -=， 解得52t =．若BQP BAC ∽△△， 则BP BC BQ BA =， 即10220410t t -=， 解得1t =．综上，经过1或2.5秒钟，PBQ △与ABC △相似．16．已知ABC △的面积为1，O 、D 分别是边AC 、BC 的中点．（1）在图中将点D 绕点O 旋转180︒得到点E ，连接AE 、CE ，则四边形ADCE 的面积为__________． （2）在（1）的条件下，若1F 是AB 的中点，2F 是1AF 的中点，3F 是2AF 的中点，，n F 是1n AF -的中点（n 为大于1的整数），则2F CE △的面积为__________；n F CE △的面积为__________．【解析】（1）如图：∵AO OC =，DO OE =，∴四边形ADCE 是平行四边形， ∴AE DC =，CE AD =． 在ADC △和CEA △中， AD CE AC AC AE CD =⎧⎪=⎨⎪=⎩， ∴ADC △≌CEA △，∴12ADC CEA S S a ==△△，∴四边形ADCE 的面积是1122a a a +=．（2）过点C 作CM AB ⊥于M ．设ABC △边AB 上的高是CM h =，则12AB h a ⨯=． ∵BD DC =，AO CO =， ∴DE AB ∥，∴2EAF △的边2AF 上的高和BAD △的边2BF 上的高相等，都是12h ，∴222ABD BCF AEF ADC F CE E S S S S S +--=四边形△△ 113111224242a a AB h AB h =+-⨯⨯-⨯⨯ 58a =． ∵112BF AB =，112AF AB =，234BF AB =，214AF AB =，378BF AB =，318AF AB =，∴212n n n BF AB -=，12n n AF AB =．∴n n n ABDBCF AEF ADC F CEE SSS S S +--=四边形△△1111222222112n n n a a AB h AB h =+-⨯-⨯-⨯⨯ 1212n n a ++=． 故答案为58a ，1212n n a ++．17．如图，在 ABC 与 ADE 中， C =E ，1= 2，AC=AD=6，ff808081498992ec01499840c87f1ae118．已知：如图，直线 交 于 ， 两点， 的垂线 切 于点 ，过 点作 的直径 ff8080814724844801472a043c3b05da （只要第一问）19．如图，在 的正方形网格中， 和 的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上ff80808149990d4b0149db5d3803736320．如图，正方形ABCD 中，E 在BC 上，DEC △按顺时针方向转动一个角度后成DGA △． （1）图中哪一个点是旋转中心？ （2）旋转了多少度？（3）求GDE ∠的度数并指出DGE △的形状．【解析】（1）旋转中心是点D ．（2）∵DEC △按顺时针方向转动一个角度后成DGA △， ∴旋转角的度数等于ADC ∠的度数， ∵四边形ABCD 是正方形， ∴90ADC ∠=︒， ∴旋转了90︒．（3）由旋转的性质可知，90GDE =︒∠，DG DE =， ∴DGE △为等腰直角三角形．21．如图，AC是⊙O的直径，弦BD交AC于点E．（1）求证：ADE BCE△△．∽（2）如果2=⋅，求证：CD CBAD AE AC=．对的圆周角，AD AC又∵A A∠=∠，22．小华在晚上由路灯AC 走向路灯BD ，当他走到点P 时，发现身后的影子顶部刚好触到AC 的底部；当他向前再步行16m 到达Q 点时，发现身前的影子顶端接触到路灯BD 的底部．已知小华身高为1.5m 。
北京三帆中学2018-2019学年初三数学第一次月考试题(含答案)
北京三帆中学2018-2019学年初三数学第一次月考试题一．选择题（每小题2分，满分16分）1．如果二次函数y＝ax2+bx+c的图象全部在x轴的下方，那么下列判断中正确的是（）A．a＜0，b＜0 B．a＞0，b＜0 C．a＜0，c＞0 D．a＜0，c＜0 2．如图，△ABC的顶点都在正方形网格的格点上，则tan∠BAC的值为（）A．2 B．C．D．3．某学习小组在讨论“变化的鱼”时，知道大鱼与小鱼是位似图形（如图所示）．则小鱼上的点（a，b）对应大鱼上的点（）A．（﹣2a，2b）B．（﹣2a，﹣2b）C．（﹣2b，﹣2a）D．（﹣2a，﹣b）4．如图，点B，C，D在⊙O上，若∠BCD＝130°，则∠BOD的度数是（）A．50°B．60°C．80°D．100°5．在⊙O中，P为其内一点，过点P的最长弦的长为8cm，最短的弦的长为4cm，则OP 的长为（）A．cm B．cm C．2cm D．1cm6．如图，在大小为4×4的正方形网格中，是相似三角形的是（）A．①和②B．②和③C．①和③D．②和④7．已知学校航模组设计制作的火箭的升空高度h（m）与飞行时间t（s）满足函数表达式h ＝﹣t2+24t+1．则下列说法中正确的是（）A．点火后9s和点火后13s的升空高度相同B．点火后24s火箭落于地面C．点火后10s的升空高度为139mD．火箭升空的最大高度为145m8．已知抛物线y＝ax2+bx+c上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如表：有以下几个结论：①抛物线y＝ax2+bx+c的开口向下；②抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴为直线x＝﹣1；③方程ax2+bx+c＝0的根为0和2；④当y＞0时，x的取值范围是x＜0或x＞2；其中正确的是（）A．①④B．②④C．②③D．③④二．填空题（满分16分，每小题2分）9．计算；sin30°•tan30°+cos60°•tan60°＝．10．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AD、BC的延长线相交于点E，AB、DC的延长线相交于点F，设∠A＝α，则∠E+∠F＝（用含α的式子表示）．11．请写出一个开口向下且过点（0，2）的抛物线解析式：．12．我们知道，三角形的内心是三条角平分线的交点，过三角形内心的一条直线与两边相交，两交点之间的线段把这个三角形分成两个图形，若有一个图形与原三角形相似，则把这条线段叫做这个三角形的“内似线”，那么等边三角形“内似线”的条数为；如图，△ABC中，AB＝AC，点D在AC上，且BD＝BC＝AD，则BD是△ABC的“内似线”吗？答：（填是”或“不是”）13．如图，在矩形ABCD中，E是边AB的中点，连结DE交对角线AC于点F．若AB＝8，AD＝6，则CF的长为．14．抛物线y＝﹣x2+bx+c上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表：从上表可知，下列说法中正确的是（填写序号）①抛物线与x轴的一个交点为（3，0）；②函数y＝﹣x2+bx+c的最大值为6；③抛物线的对称轴是直线x＝；④在对称轴左侧，y随x增大而增大．15．如图，点A，B是⊙O上两点，AB＝12，点P是⊙O上的动点（P与A，B不重合），连接AP，PB，过点O分别作OE⊥AP于E，OF⊥PB于F，则EF＝．16．如图，正△ABC的边长为2，点A、B在半径为的圆上，点C在圆内，将正△ABC绕点A逆时针旋转，当点C第一次落在圆上时，旋转角的正切值为．三．解答题（共12小题，满分68分）17．（5分）计算：6tan30°﹣2sin60°+cos245°．18．（5分）如图，在△ABC中，∠B＝∠C＝67.5°．（Ⅰ）求sin A的值；（Ⅱ）求tan C的值．19．（5分）已知函数y＝﹣（x+1）2﹣2（1）指出函数图象的开口方向是，对称轴是，顶点坐标为（2）当x时，y随x的增大而增大（3）怎样移动抛物线y＝﹣x2就可以得到抛物线y＝﹣（x+1）2﹣220．（5分）在如图所示的格点图中，每个小正方形的边长都是1，以点O为位似的中心，画出△A'B′C′，使△ABC与△A′B'C′的相似比为1：2，则点C′的坐标为．21．（5分）如图，隧道的截面由半圆和长方形构成，长方形的长BC为8m，宽AB为1m，该隧道内设双向行驶的车道（共有2条车道），若现有一辆货运卡车高4m，宽2.3m．则这辆货运卡车能否通过该隧道？说明理由．22．（5分）如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，∠AED＝∠B，射线AG分别交线段DE，BC于点F，G，且＝．（1）求证：△ADF∽△ACG；（2）若＝，求的值．23．（5分）如图，大楼底右侧有一障碍物，在障碍物的旁边有一幢小楼DE，在小楼的顶端D处测得障碍物边缘点C的俯角为30°，测得大楼顶端A的仰角为45°（点B，C，E 在同一水平直线上）．已知AB＝80m，DE＝10m，求障碍物B，C两点间的距离．（结果保留根号）24．（5分）某企业设计了一款工艺品，每件的成本是50元，为了合理定价，投放市场进行试销．据市场调查，销售单价是100元时，每天的销售量是50件，而销售单价每降低1元，每天就可多售出5件，但要求销售单价不得低于成本．（1）求出每天的销售利润y（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式；（2）求出销售单价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？（3）如果该企业要使每天的销售利润不低于4000元，那么销售单价应控制在什么范围内？25．（5分）如图，PA、PB是⊙O的两条切线，A、B是切点，AC是⊙O的直径，∠BAC ＝35°，求∠P的度数．26．（7分）关于x的二次函数y＝﹣x2+bx+c经过点A（﹣3，0），点C（0，3），点D为二次函数的顶点，DE为二次函数的对称轴，E在x轴上．（1）求抛物线的解析式；（2）DE上是否存在点P到AD的距离与到x轴的距离相等？若存在，请求出P点的坐标；若不存在，请说明理由．27．（8分）△ABC中AB＝AC，D，E分别是BC，AC边上的点，且BD＝2CD，AE＝CE．（1）如图1，求的值；（2）如图2，若∠BAC＝90°，AB＝4，求DE的长．（3）过D作DF⊥BE于F，连结FC，求证∠CFE＝∠ABC．28．（8分）如图，平面直角坐标系中，直线AB：交y轴于点A（0，1），交x轴于点B．直线x＝1交AB于点D，交x轴于点E，P是直线x＝1上一动点，且在点D的上方，设P（1，n）．（1）求直线AB的解析式和点B的坐标；（2）求△ABP的面积（用含n的代数式表示）；（3）当S△ABP＝2时，以PB为边在第一象限作等腰直角三角形BPC，求出点C的坐标．参考答案一．选择题1．解：∵二次函数y＝ax2+bx+c的图象全部在x轴的下方，∴a＜0，＜0，∴a＜0，c＜0，故选：D．2．解：如图所示，连接BD，则BD2＝12+12＝2、AD2＝22+22＝8、AB2＝12+32＝10，∴BD2+AD2＝AB2，∴△ABD是直角三角形，且∠ADB＝90°，则tan∠BAC＝＝＝，故选：B．3．解：根据题意图形易得，两个图形的位似比是1：2∴对应点是（﹣2a，﹣2b）故选：B．4．解：圆上取一点A，连接AB，AD，∵点A、B，C，D在⊙O上，∠BCD＝130°，∴∠BAD＝50°，∴∠BOD＝100°，故选：D．5．解：如图所示，CD⊥AB于点P．根据题意，得：AB＝8cm，CD＝4cm．∵CD⊥AB，∴CP＝CD＝2．根据勾股定理，得OP＝＝2（cm）．故选：A．6．解：①和③相似，∵由勾股定理求出①的三角形的各边长分别为2、、；由勾股定理求出③的各边长分别为2、2、2，∴＝，＝，即＝＝，∴两三角形的三边对应边成比例，∴①③相似．故选：C．7．解：A、当t＝9时，h＝136；当t＝13时，h＝144；所以点火后9s和点火后13s的升空高度不相同，此选项错误；B、当t＝24时h＝1≠0，所以点火后24s火箭离地面的高度为1m，此选项错误；C、当t＝10时h＝141m，此选项错误；D、由h＝﹣t2+24t+1＝﹣（t﹣12）2+145知火箭升空的最大高度为145m，此选项正确；故选：D．8．解：设抛物线的解析式为y＝ax2+bx+c，将（﹣1，3）、（0，0）、（3，3）代入得：，解得：，∴抛物线的解析式为y＝x2﹣2x＝x（x﹣2）＝（x﹣1）2﹣1，由a＝1＞0知抛物线的开口向上，故①错误；抛物线的对称轴为直线x＝1，故②错误；当y＝0时，x（x﹣2）＝0，解得x＝0或x＝2，∴方程ax2+bx+c＝0的根为0和2，故③正确；当y＞0时，x（x﹣2）＞0，解得x＜0或x＞2，故④正确；故选：D．二．填空题（共8小题，满分16分，每小题2分）9．解：sin30°•tan30°+cos60°•tan60°＝×+×＝．故答案为：．10．解：∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠ADC+∠ABC＝180°，∠ECD＝∠A＝α，∠BCF＝∠A＝α，∴∠EDC+∠FBC＝180°，∴∠E+∠F＝360°﹣180°﹣2α＝180°﹣2α，故答案为：180°﹣2α．11．解：∵开口向下且过点（0，2）的抛物线解析式，∴可以设顶点坐标为（0，2），故解析式为：y＝﹣x2+2（答案不唯一）．故答案为：y＝﹣x2+2（答案不唯一）．12．解：①等边三角形“內似线”的条数为3条；理由如下：过等边三角形的内心分别作三边的平行线，如图1所示：则△AMN∽△ABC，△CEF∽△CBA，△BGH∽△BAC，∴MN、E F、GH是等边三角形ABC的內似线”；故答案为：3；②如图2所示，BD是△ABC的“内似线”，理由如下：∵AB＝AC，BD＝BC＝AD，∴∠ABC＝∠C＝∠BDC，∠A＝∠ABD，∴△BCD∽△ABC，又∵∠BDC＝∠A+∠ABD，∴∠ABD＝∠CBD，∴BD平分∠ABC，即BD过△ABC的内心，∴BD是△ABC的“內似线”；故答案为：是．13．解：在Rt△ABC中，AB＝8，BC＝AD＝6，∠B＝90°，∴AC＝＝10．∵AB∥CD，∴∠DCF＝∠EAF，∠CDF＝∠AEF，∴△AEF∽△CDF，∴＝．又∵E是边AB的中点，∴CD＝AB＝2AE，∴＝2，∴CF＝2AF．∵AC＝AF+CD＝10，∴CF＝AC＝．故答案为：．14．解：∵x＝0，y＝6；x＝1，y＝6，∴抛物线的对称轴为直线x＝，所以②错误，③正确，而x＝﹣2时，y＝0，∴x＝3时，y＝0，∴抛物线与x轴的一个交点为（3，0），所以①正确；∵a＝﹣1＜0，∴抛物线开口向下，∴在对称轴左侧，y随x增大而增大．所以④正确．故答案为①③④．15．解：∵点P是⊙O上的动点（P与A，B不重合），OE⊥AP于E，OF⊥PB于F，∴根据垂径定理知，∴AE＝EP、BF＝PF，即E为AP中点，F为PB中点，∴EF为△APB中位线；又AB＝12，∴EF＝AB＝×12＝6（三角形中位线定理）；故答案为：6．16．解：如图，分别连接OA、OB、OD；∵OA＝OB＝，AB＝2，∴△OAB是等腰直角三角形，∴∠OAB＝45°；同理可证：∠OAD＝45°，∴∠DAB＝90°；∵∠CAB＝60°，∴∠DAC＝90°﹣60°＝30°，∴旋转角的正切值是，故答案为：．三．解答题（共12小题，满分68分）17．解：6tan30°﹣2sin60°+cos245°＝6×﹣2×+（）2＝2﹣+＝+．18．解：（1）∵在△ABC中，∠B＝∠C＝67.5°，∴∠A＝180°﹣∠B﹣∠C＝180°﹣67.5°﹣67.5°＝45°，∴sin A＝sin45°＝，即sin A＝；（2）作BD⊥AC于点D，如下图所示，∵由（1）可知∠A＝45°，设BD＝a，∴AD＝a，AB＝，∵AB＝AC，∴AC＝，∴CD＝AC﹣AD＝，∴＝，即tan C＝．19．解：（1）∵函数y＝﹣（x+1）2﹣2，∴该函数图象的开口方向是向下，对称轴是直线x＝﹣1，顶点坐标是（﹣1，﹣2），故答案为：向下，直线x＝﹣1，（﹣1，﹣2）；（2）∵函数y＝﹣（x+1）2﹣2，∴当x＜﹣1时，y随x的增大而增大，故答案为：x＜﹣1；（3）将抛物线y＝﹣x2向左平移一个单位长度就可以得到抛物线y＝﹣（x+1）2﹣2．20．解：如图所示，满足条件的三角形有两个：△A′B′C′．观察图象可知：点C′的坐标为（10，﹣4）．故答案为：（10，﹣4）21．解：这辆货车可以通过该隧道．理由如下：根据题意可知，如图，在AD上取G，使OG＝2.3m，过G作EG⊥BC于F反向延长交半圆于点E，则GF＝AB＝1m，圆的半径OE＝AD＝×8＝4m，在Rt△OEG中，由勾股定理，得EG＝＝＞3，所以点E到BC的距离为EF＝+1＞3+1＝4，故货车可以通过该隧道．22．（1）证明：∵∠AED＝∠B，∠DAE＝∠CAB，∴∠ADF＝∠C．又∵＝，∴△ADF∽△ACG．（2）∵△ADF∽△ACG，∴＝．∵＝，∴＝，∴＝＝1．23．解：过点D作DF⊥AB于点F，过点C作CH⊥DF于点H．则DE＝BF＝CH＝10m，在Rt△ADF中，AF＝AB﹣BF＝70m，∠ADF＝45°，∴DF＝AF＝70m．在Rt△CDE中，DE＝10m，∠DCE＝30°，∴CE＝＝＝10（m），∴BC＝BE﹣CE＝（70﹣10）m．答：障碍物B，C两点间的距离为（70﹣10）m．24．解：（1）y＝（x﹣50）[50+5（100﹣x）]＝（x﹣50）（﹣5x+550）＝﹣5x2+800x﹣27500，∴y＝﹣5x2+800x﹣27500（50≤x≤100）；（2）y＝﹣5x2+800x﹣27500＝﹣5（x﹣80）2+4500，∵a＝﹣5＜0，∴抛物线开口向下．∵50≤x≤100，对称轴是直线x＝80，∴当x＝80时，y最大值＝4500；（3）当y＝4000时，﹣5（x﹣80）2+4500＝4000，解得x1＝70，x2＝90．∴当70≤x≤90时，每天的销售利润不低于4000元．25．解：∵PA、PB是⊙O的两条切线，A、B是切点，AC是⊙O的直径，∴∠OAP＝∠OBP＝90°，∵∠BAC＝35°，OA＝OB，∴∠BAC＝∠OBA＝35°，∴∠PAB＝∠PBA＝55°，∴∠P＝180°﹣∠PAB﹣∠PBA＝70°，即∠P的度数是70°．26．解：（1）把A（﹣3，0），C（0，3）代入y＝﹣x2+bx+c得，解得，所以抛物线解析式为y＝﹣x2﹣2x+3；（2）存在．如图，作PH⊥AD于H，∵y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4，∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，D（﹣1，4），E（﹣1，0），∴AD＝＝2，设P（﹣1，t），则PE＝PH＝t，DP＝4﹣t，∵∠PDH＝∠ADE，∴Rt△DPH∽Rt△DAE，∴＝，即＝，解得t＝﹣1，∴P点坐标为（﹣1，﹣1）．27．解：（1）如图1中，在BD上截取BF＝CD，∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∵BF＝CD，∠B∠C，AB＝AC，∴△ABF≌△ACD（SAS），∴AF＝AD，∵BD＝2CD，∴CD＝DF，且AE＝CE，∴DE＝AF＝AD，∴．（2）如图2中，作AH⊥BC于H，在线段BD上截取BF＝CD，则BF＝DF＝CD，且AE＝CE∴DE＝AF．∵AB＝AC＝4，∠BAC＝90°，∴BC＝4，∵AB＝AC，AH⊥BC，∴AH＝BH＝HC＝2，∵BF＝BC＝，∴FH＝BH﹣BF＝2﹣＝，在Rt△AFH中，AF＝＝∴DE＝AF＝．（3）如图3中，作EG∥CB交AB于G，连接CG交BE于K，在线段BD上截取BH＝CD，连接FH．∵AE＝EC，EG∥CB，∴AG＝BG，∵AB＝AC，∴BG＝CE，且BC＝CB，∠GBC＝∠ECB，∴△GBC≌△ECB（SAS），∴∠GCB＝∠EBC，∴BK＝CK∵EG∥BC，∴∠EGK＝∠GCB＝∠GEK＝∠EBC，∴∠GKB＝∠KGE+∠KEG＝2∠EBC，KG＝KE，∵DF⊥BE，∴∠BFD＝90°，∵BH＝DH＝DC，∴HF＝BH＝DH，∴∠HBF＝∠BFH，∴∠FHC＝2∠EBC，∴∠BKG＝∠FHC，∵AG＝GB，AE＝EC，∵GE∥BC∴，∵CH＝2FH，∴，∴，且∠BKG＝∠FHC，∴△BKG∽△CHF，∴∠KBG＝∠FCH，∵∠EFC＝∠EBC+∠BCF＝∠EBC+∠KBG＝∠ABC28．解：（1）∵经过A（0，1），∴b＝1，∴直线AB的解析式是．当y＝0时，，解得x＝3，∴点B（3，0）．（2）过点A作AM⊥PD，垂足为M，则有AM＝1，∵x＝1时，＝，P在点D 的上方，∴PD＝n﹣，由点B（3，0），可知点B到直线x＝1的距离为2，即△BDP的边PD上的高长为2，∴，∴；（3）当S△ABP＝2时，，解得n＝2，∴点P（1，2）．∵E（1，0），∴PE＝BE＝2，∴∠EPB＝∠EBP＝45°．第1种情况，如图1，∠CPB＝90°，BP＝PC，过点C作CN⊥直线x＝1于点N．∵∠CPB＝90°，∠EPB＝45°，∴∠NPC＝∠EPB＝45°．又∵∠CNP＝∠PEB＝90°，BP＝PC，∴△CNP≌△BEP，∴PN＝NC＝EB＝PE＝2，∴NE＝NP+PE＝2+2＝4，∴C（3，4）．第2种情况，如图2∠PBC＝90°，BP＝BC，过点C作CF⊥x轴于点F．∵∠PBC＝90°，∠EBP＝45°，∴∠CBF＝∠PBE＝45°．又∵∠CFB＝∠PEB＝90°，BC＝BP，∴△CBF≌△PBE．∴BF＝CF＝PE＝EB＝2，∴OF＝OB+BF＝3+2＝5，∴C（5，2）．第3种情况，如图3，∠PCB＝90°，CP＝EB，∴∠CPB＝∠EBP＝45°，在△PCB和△PEB中，∴△PCB≌△PEB（SAS），∴PC＝CB＝PE＝EB＝2，∴C（3，2）．∴以PB为边在第一象限作等腰直角三角形BPC，点C的坐标是（3，4）或（5，2）或（3，2）．。