江苏省常中高二数学周末试卷4
2023-2024学年江苏省扬州中学高二(上)期中数学试卷【答案版】
2023-2024学年江苏省扬州中学高二（上）期中数学试卷一.单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每题给出的四个选项中，只有一项是最符合题意的.（请将所有选择题答案填到答题卡的指定位置中.） 1．经过A(0，√3)、B （﹣1，0）两点的直线的倾斜角为（ ） A ．π6B ．π3C ．2π3D ．5π62．抛物线x 2＝2ay 的准线方程是y ＝2，则实数a 的值为（ ） A ．﹣8B ．﹣4C ．4D ．83．已知P （x ，y ）是椭圆x 2144+y 225=1上的点，则x +y 的值可能是（ ）A ．13B ．14C ．15D ．164．若点（2，1）在圆x 2+y 2﹣x +y +a ＝0的外部，则a 的取值范围是（ ） A ．(12，+∞) B ．(−∞，12)C ．(−4，12)D ．(−∞，−4)∪(12，+∞)5．已知F 1，F 2是椭圆x 225+y 29=1的两个焦点，过F 1的直线交椭圆于M ，N 两点，则△MNF 2的周长为（ ） A ．10B ．16C ．20D ．266．已知抛物线C ：y 2＝16x ，直线l ：x ＝4与C 交于A 、B 两点，M 是射线BA 上异于A 、B 的动点，圆C 1与圆C 2分别是△OMA 和△OMB 的外接圆（O 为坐标原点），则圆C 1与圆C 2面积的比值（ ） A ．小于1 B ．大于1C ．等于1D ．与M 点的位置有关7．由伦敦著名建筑事务所SteynStudio 设计的南非双曲线大教堂惊艳世界，该建筑是数学与建筑完美结合造就的艺术品．若将如图所示的大教堂外形弧线的一段近似看成双曲线y 2a 2−x 2b 2=1（a ＞0，b ＞0）下支的一部分，且此双曲线的下焦点到渐近线的距离为2，离心率为2，则该双曲线的方程为（ ）A ．y 212−x 24=1B ．3y 24−x 24=1C ．x 24−y 24=1D ．y 216−x 24=18．已知点M （2，4），若过点N （4，0）的直线l 交圆于C ：（x ﹣6）2+y 2＝9于A ，B 两点，则|MA →+MB →|的最大值为（ ） A ．12B ．8√2C ．10D ．6√2二.多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.（请将所有选择题答案填到答题卡的指定位置中.）9．已知直线l ：（a 2+a +1）x ﹣y +1＝0，其中a ∈R ，则（ ） A ．直线l 过定点（0，1）B ．当a ＝﹣1时，直线l 与直线x +y ＝0垂直C ．当a ＝0时，直线l 在两坐标轴上的截距相等D ．若直线l 与直线x ﹣y ＝0平行，则这两条平行直线之间的距离为√2210．已知椭圆E ：x 2a 2+y 2b2=1(a ＞b ＞0)的两个焦点分别为F 1，F 2，与y 轴正半轴交于点B ，下列选项中给出的条件，能够求出椭圆E 标准方程的选项是（ ） A ．a ＝2，c ＝1B ．已知椭圆E 的离心率为12，短轴长为2C ．△BF 1F 2是等边三角形，且椭圆E 的离心率为12D ．设椭圆E 的焦距为4，点B 在圆（x ﹣c ）2+y 2＝9上11．抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出．已知抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，一束平行于x 轴的光线l 1从点M （3，1）射入，经过抛物线上的点P （x 1，y 1）反射后，再经抛物线上另一点Q （x 2，y 2）反射后，沿直线l 2射出，则下列结论中正确的是（ ） A ．k PQ =−34B ．x 1x 2＝1C ．|PQ|=254D ．l 1与l 2之间的距离为412．已知双曲线C ：x 2−y 23=1的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 是双曲线C 的右支上一点，过点P 的直线l 与双曲线C 的两条渐近线分别交于M ，N ，则（ ）A ．PF 12−PF 22的最小值为8B ．PF 1•PF 2﹣OP 2为定值C ．若直线l 与双曲线C 相切，则点M ，N 的纵坐标之积为﹣2D ．若直线l 经过F 2，且与双曲线C 交于另一点Q ，则PQ 的最小值为6三.填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.（请将所有填空题答案填到答题卡的指定位置中.） 13．双曲线M ：x 2a 2−y 2b 2=1（a ＞0，b ＞0）的离心率为√3，则其渐近线方程为 ．14．在抛物线y 2＝﹣4x 上求一点P ，使其到焦点F 的距离与到A （﹣2，1）的距离之和最小，则该点的坐标是 ．15．阿基米德是古希腊著名的数学家、物理学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率π等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积．已知椭圆x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的右焦点为F （3，0），过F 作直线l 交椭圆于A 、B 两点，若弦AB 中点坐标为（2，﹣1），则该椭圆的面积为 ．16．已知圆C 1和圆C 2均与x 轴及直线y ＝kx （k ＞0）相切，两圆交于P ，Q 两点，其中P 点坐标为（3，2），已知两圆半径的乘积为134，则实数k 的值为 ．四.解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（请将所有解答题答案填到答题卡的指定位置中.） 17．（10分）已知方程x 24+y 2m=1（m ∈R 且m ≠0）．（1）若方程表示焦点在y 上的椭圆，且离心率为12，求m 的值； （2）若方程表示等轴双曲线，求m 的值及双曲线的焦点坐标．18．（12分）已知直线l 经过直线l 1：3x +4y ﹣11＝0，l 2：2x +3y ﹣8＝0的交点M ． （1）若直线l 经过点P （3，1），求直线l 的方程； （2）若直线l 与直线3x +2y +5＝0垂直，求直线l 的方程．19．（12分）已知圆C 经过A （1，4），B （5，0）两点，且在x 轴上的截距之和为2． （1）求圆C 的标准方程；（2）圆M 与圆C 关于直线x ﹣y +1＝0对称，求过点（3，0）且与圆M 相切的直线方程． 20．（12分）已知双曲线：x 25−m−y 2m−1=1(1＜m ＜5)的一个焦点与抛物线C ：y 2＝2px （p ＞0）的焦点重合．（1）求抛物线C 的方程；（2）若直线l ：x ＝ty +8交抛物线C 于A 、B 两点，O 为原点，求证：以AB 为直径的圆经过原点O ． 21．（12分）已知直线l ：y =kx +√2(k ∈R)，与双曲线C ：x 23−y 2=1的左支交于A ，B 两点．（1）求实数k 的取值范围； （2）若△OAB 的面积为6√25（O 为坐标原点），求此时直线l 的斜率k 的值．22．（12分）已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)过点(2，√2)，且离心率为√22． （1）求椭圆C 方程；（2）点A ，B 分别为椭圆C 的上下顶点，过点P （0，4）且斜率为k 的直线与椭圆C 交于不同的两点M ，N ，探究直线BM ，AN 的交点是否在一条定直线l 0上，若存在，求出该直线l 0的方程；若不存在，请说明理由．2023-2024学年江苏省扬州中学高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一.单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每题给出的四个选项中，只有一项是最符合题意的.（请将所有选择题答案填到答题卡的指定位置中.） 1．经过A(0，√3)、B （﹣1，0）两点的直线的倾斜角为（ ） A ．π6B ．π3C ．2π3D ．5π6解：设直线AB 的倾斜角为α，则0≤α＜π， 故k =tanα=√3−00−(−1)=√3， 故α=π3． 故选：B ．2．抛物线x 2＝2ay 的准线方程是y ＝2，则实数a 的值为（ ） A ．﹣8B ．﹣4C ．4D ．8解：由题意可得−a2=2，则a ＝﹣4． 故选：B ．3．已知P （x ，y ）是椭圆x 2144+y 225=1上的点，则x +y 的值可能是（ ）A ．13B ．14C ．15D ．16解：由椭圆x 2144+y 225=1，可设x ＝12cos θ，y ＝5sin θ，其中θ∈[0，2π]，则x +y ＝12cos θ+5sin θ＝13sin （θ+φ），其中tanφ=125， 因为﹣1≤sin （θ+φ）≤1，所以﹣13≤x +y ≤13，即x +y 的取值范围为[﹣13，13]，结合选项，可得A 符合题意． 故选：A ．4．若点（2，1）在圆x 2+y 2﹣x +y +a ＝0的外部，则a 的取值范围是（ ） A ．(12，+∞) B ．(−∞，12)C ．(−4，12)D ．(−∞，−4)∪(12，+∞)解：依题意，方程x 2+y 2﹣x +y +a ＝0可以表示圆，则（﹣1）2+12﹣4a ＞0，得a ＜12； 由点（2，1）在圆x 2+y 2﹣x +y +a ＝0的外部可知：22+12﹣2+1+a ＞0，得a ＞﹣4． 故−4＜a ＜12．故选：C ． 5．已知F 1，F 2是椭圆x 225+y 29=1的两个焦点，过F 1的直线交椭圆于M ，N 两点，则△MNF 2的周长为（ ） A ．10B ．16C ．20D ．26解：利用椭圆的定义可知，|F 1M |+|F 2M |＝2a ＝10，|F 1N |+|F 2N |＝2a ＝10， ∴△MNF 2的周长为|F 1M |+|F 2M |+F 1N |+|F 2N |＝10+10＝20． 故选：C ．6．已知抛物线C ：y 2＝16x ，直线l ：x ＝4与C 交于A 、B 两点，M 是射线BA 上异于A 、B 的动点，圆C 1与圆C 2分别是△OMA 和△OMB 的外接圆（O 为坐标原点），则圆C 1与圆C 2面积的比值（ ） A ．小于1 B ．大于1C ．等于1D ．与M 点的位置有关解：由抛物线C ：y 2＝16x ，可得焦点F （4，0），因为直线x ＝4与抛物线交于A ，B 两点，不妨设A 在B 的上方， 所以A （4，8），B （4，﹣8）， A ，B 两点关于x 轴对称， 所以OA ＝OB ， 所以∠OAB ＝∠OBA ，设圆C 1与圆C 2的半径分别为R 1，R 2， 在△OMA 和△OMB 中，由正弦定理可得，2R 1=OMsin∠OAB ，2R 2=OMsin∠OBA ， 所以有2R 1＝2R 2， 即R 1＝R 2， 故两圆的面积相等， 所以面积的比值为1， 故选：C ．7．由伦敦著名建筑事务所SteynStudio 设计的南非双曲线大教堂惊艳世界，该建筑是数学与建筑完美结合造就的艺术品．若将如图所示的大教堂外形弧线的一段近似看成双曲线y 2a 2−x 2b 2=1（a ＞0，b ＞0）下支的一部分，且此双曲线的下焦点到渐近线的距离为2，离心率为2，则该双曲线的方程为（ ）A ．y 212−x 24=1B ．3y 24−x 24=1C ．x 24−y 24=1D ．y 216−x 24=1解：设双曲线的一个焦点为（0，﹣c ），一条渐近线方程为y =a bx ，即ax ﹣by ＝0， 则焦点到渐近线的距离d =√a 2+b=b =2，∵e =ca =2，c 2＝a 2+b 2，b ＝2， ∴a 2=43，b 2＝4， ∴双曲线方程为：3y 24−x 24=1．故选：B ．8．已知点M （2，4），若过点N （4，0）的直线l 交圆于C ：（x ﹣6）2+y 2＝9于A ，B 两点，则|MA →+MB →|的最大值为（ ） A ．12B ．8√2C ．10D ．6√2解：由已知圆的方程可得：圆心C （6，0），半径为r ＝3， 设AB 的中点为P （x ，y ），则由圆的性质可得：NP ⊥CP ， 即NP →⋅CP →=0，而NP →=（x ﹣4，y ），CP →=（x ﹣6，y ）， 所以（x ﹣4）（x ﹣6）+y 2＝0，即点P 的轨迹方程为（x ﹣5）2+y 2＝1， 设E 为NC 的中点，则E （5，0），半径为1，所以|MP |的最大值为|ME |+1=√(2−5)2+42+1＝5+1＝6， 又|MA →+MB →|＝2|MP →|， 所以|MA →+MB →|的最大值为12， 故选：A ．二.多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.（请将所有选择题答案填到答题卡的指定位置中.）9．已知直线l ：（a 2+a +1）x ﹣y +1＝0，其中a ∈R ，则（ ） A ．直线l 过定点（0，1）B ．当a ＝﹣1时，直线l 与直线x +y ＝0垂直C ．当a ＝0时，直线l 在两坐标轴上的截距相等D ．若直线l 与直线x ﹣y ＝0平行，则这两条平行直线之间的距离为√22解：选项A ，把坐标（0，1）代入直线方程而立，A 正确；选项B ，a ＝﹣1时直线l 方程为x ﹣y +1＝0，斜率是1，直线x +y ＝0斜率是﹣1，两直线垂直，B 正确； 选项C ，a ＝0时直线方程为x ﹣y +1＝0，在x 轴上截距为x ＝﹣1，在y 轴上截距为y ＝1，不相等，C 错；选项D ，a 2+a +1＝1即a ＝0或﹣1时，直线l 方程为x ﹣y +1＝0与直线x ﹣y ＝0平行，距离为d =|1−0|√1+(−1)=√22，D 正确．故选：ABD ． 10．已知椭圆E ：x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)的两个焦点分别为F 1，F 2，与y 轴正半轴交于点B ，下列选项中给出的条件，能够求出椭圆E 标准方程的选项是（ ） A ．a ＝2，c ＝1B ．已知椭圆E 的离心率为12，短轴长为2C ．△BF 1F 2是等边三角形，且椭圆E 的离心率为12D ．设椭圆E 的焦距为4，点B 在圆（x ﹣c ）2+y 2＝9上 解：根据a 2＝b 2+c 2之间的关系可得选项A 正确； 根据e =c a =12，2b =2，a 2=b 2+c 2即可求解，故选项B 正确； △BF 1F 2是等边三角形，且椭圆E 的离心率为12，只能确定a =2c ，e =c a =12，不能求椭圆E 标准方程，故选项C 不正确； 设椭圆E 的焦距为4，点B 在圆（x ﹣c ）2+y 2＝9上，所以2c ＝4，（0﹣c ）2+b 2＝c 2+b 2＝a 2＝9，即可求出椭圆E 标准方程，故选项D 正确．故选：ABD ．11．抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出．已知抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，一束平行于x 轴的光线l 1从点M （3，1）射入，经过抛物线上的点P （x 1，y 1）反射后，再经抛物线上另一点Q （x 2，y 2）反射后，沿直线l 2射出，则下列结论中正确的是（ ） A ．k PQ =−34 B ．x 1x 2＝1C ．|PQ|=254D ．l 1与l 2之间的距离为4解：A ．由抛物线的光学性质可知，直线PQ 过抛物线的焦点F （1，0）， 又MP 是水平的，所以可得P(14，1)，因此k PQ =k PF =1−014−1=−43，即A 错误； B ．易知直线PQ 的方程为y =−43(x −1)，联立直线和抛物线{y =−43(x −1)y 2=4x ，消去y 可得4x 2﹣17x +4＝0，由韦达定理可知x 1+x 2=174，x 1x 2=1，即B 正确； C ．由x 1=14可得x 2＝4，所以点Q 的坐标为Q （4，﹣4），利用抛物线定义可知|PQ|=|PF|+|QF|=x 1+x 2+p =174+2=254，即C 正确； ∵l 1与l 2两直线平行，∴l 1与l 2之间的距离为d ＝|y 1﹣y 2|＝5，即D 错误． 故选：BC ．12．已知双曲线C ：x 2−y 23=1的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 是双曲线C 的右支上一点，过点P 的直线l 与双曲线C 的两条渐近线分别交于M ，N ，则（ ）A ．PF 12−PF 22的最小值为8B ．PF 1•PF 2﹣OP 2为定值C ．若直线l 与双曲线C 相切，则点M ，N 的纵坐标之积为﹣2D ．若直线l 经过F 2，且与双曲线C 交于另一点Q ，则PQ 的最小值为6 解：依题意得a ＝1，b =√3，c ＝2，F 1（﹣2，0），F 2（2，0），|PF 2|﹣|PF 1|＝2a ＝2， 设P （x 0，y 0），则x 0≥1，x 02−y 023=1，即y 02=3x 02−3，双曲线C 的两条渐近线方程为y =±√3x ，对于A ，PF 12−PF 22=(x 0+2)2+y 02−[(x 0−2)2+y 02]=8x 0≥8，A 正确；对于B ，|PF 1|⋅|PF 2|−|OP|2=√(x 0+2)2+y 02⋅√(x 0−2)2+y 02−(x 02+y 02)=√(x 0+2)2+3x 02−3⋅√(x 0−2)2+3x 02−3−(x 02+3x 02−3) =(2x 0+1)⋅(2x 0−1)−(4x 02−3)=2是定值，B 正确；对于C ，不妨设M(x 1，√3x 1)，N(x 2，−√3x 2)，直线l 的方程为x ＝my +n ， 由{x =my +n x 2−y 23=1，得（3m 2﹣1）y 2+6mny +3n 2﹣3＝0， 若直线l 与双曲线C 相切，则Δ＝36m 2n 2﹣12（3m 2﹣1）（n 2﹣1）＝0， 化简整理得n 2＝1﹣3m 2，则点M ，N 的纵坐标之积y 1y 2=−3x 1x 2=−3n 1−√3m n 1+√3m=−3n 21−3m 2=−3，C 错误；对于D ，若Q 在双曲线C 的右支，则通径最短，通径为2b 2a=6，若Q 在双曲线C 的左支，则实轴最短，实轴长为2a ＝2＜6，D 错误． 故选：AB ．三.填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.（请将所有填空题答案填到答题卡的指定位置中.） 13．双曲线M ：x 2a 2−y 2b 2=1（a ＞0，b ＞0）的离心率为√3，则其渐近线方程为 y ＝±√2x ．解：由题意可得e =ca =√3， 即c =√3a ，b =√c 2−a 2=√2a ， 可得双曲线的渐近线方程y ＝±ba x ，即为y ＝±√2x ． 故答案为：y ＝±√2x ．14．在抛物线y 2＝﹣4x 上求一点P ，使其到焦点F 的距离与到A （﹣2，1）的距离之和最小，则该点的坐标是 （−14，1） ．解：由抛物线方程为y 2＝﹣4x ，可得2p ＝4，p2=1，∴焦点坐标为F （﹣1，0），准线方程为x ＝1．设点P 在准线上的射影为Q ，连结PQ ，则根据抛物线的定义得|PF |＝|PQ |，由平面几何知识，可知当A 、P 、Q 三点共线时，|PQ |+|P A |达到最小值，此时|PF |+|P A |也达到最小值．∴|PF |+|P A |取最小值，点P 的纵坐标为1，将P （x ，1）代入抛物线方程，得12＝﹣4x ，解得x =−14，∴使P 到A 、F 距离之和最小的点P 坐标为（−14，1）．故答案为：（−14，1）15．阿基米德是古希腊著名的数学家、物理学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率π等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积．已知椭圆x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的右焦点为F （3，0），过F 作直线l 交椭圆于A 、B 两点，若弦AB 中点坐标为（2，﹣1），则该椭圆的面积为 9√2π ．解：设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），记AB 的中点为M ，即M （2，﹣1），因为AB 的中点为M ，所以由中点坐标公式得{x 1+x 2=4y 1+y 2=−2， 因为直线AB 过椭圆焦点F （3，0），所以直线AB 斜率为k =y 1−y 2x 1−x 2=0−13−2=1， 又因为A ，B 在椭圆x 2a 2+y 2b 2=1上， 所以{x 12a 2+y 12b 2=1x 22a 2+y 22b 2=1，两式相减得x 12−x 22a 2+y 12−y 22b 2=0， 整理得y 1−y 2x 1−x 2=−x 1+x 2y 1+y 2⋅b 2a 2，代值化简得2b 2＝a 2， 因为椭圆x 2a 2+y 2b 2=1的焦点为F （3，0），所以a 2﹣b 2＝9，得a =3√2，b ＝3，由题意可知，椭圆的面积为abπ=9√2π．故答案为：9√2π．16．已知圆C 1和圆C 2均与x 轴及直线y ＝kx （k ＞0）相切，两圆交于P ，Q 两点，其中P 点坐标为（3，2），已知两圆半径的乘积为134，则实数k 的值为 43 ．解：∵圆C 1和圆C 2与x 轴和直线y ＝kx （k ＞0）相切，两圆交于P ，Q 两点，其中P 点坐标为（3，2）， ∴C 1和C 2在第一象限，设a ，b 为圆C 1和圆C 2的半径，则C 1（ma ，a ），C 2（mb ，b ）（m ＞0），∵点P 在圆C 1和圆C 2，∴{(ma −3)2+(a −2)2=a 2(mb −3)2+(b −2)2=b 2， 又∵圆C 1和圆C 2与x 轴相切，∴a ，b 是m 2r 2﹣（6m +4）r +13＝0的两个根，又∵ab =134，∴13m 2=134，解得m ＝2或m ＝﹣2（舍去）， ∴k C 1C 2=12，∵直线C 1C 2的倾斜角是直线y ＝kx （k ＞0）的一半，∴k =2k C 1C 21−k C 1C 22=43． 故答案为：43． 四.解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（请将所有解答题答案填到答题卡的指定位置中.）17．（10分）已知方程x 24+y 2m =1（m ∈R 且m ≠0）．（1）若方程表示焦点在y 上的椭圆，且离心率为12，求m 的值；（2）若方程表示等轴双曲线，求m 的值及双曲线的焦点坐标．解：（1）因为方程为焦点在y 轴上，所以a 2＝m ，b 2＝4，则离心率e =c a =√m−4√m =12，解得m =163， 故m =163．（2）由题意得 m ＝﹣4，c =√a 2+b 2=√4+4=2√2，故焦点坐标为(±2√2，0)．18．（12分）已知直线l 经过直线l 1：3x +4y ﹣11＝0，l 2：2x +3y ﹣8＝0的交点M ．（1）若直线l 经过点P （3，1），求直线l 的方程；（2）若直线l 与直线3x +2y +5＝0垂直，求直线l 的方程．解：（1）由{3x +4y −11=02x +3y −8=0得{x =1y =2， 即直线l 1和l 2的交点为M （1，2）．∵直线l 还经过点P （3，1），∴l 的方程为y−21−2=x−13−1，即x +2y ﹣5＝0；（2）由直线l 与直线3x +2y +5＝0垂直，可设它的方程为2x ﹣3y +n ＝0．再把点M （1，2）的坐标代入，可得2﹣6+n ＝0，解得n ＝4，故直线l 的方程为2x ﹣3y +4＝0．19．（12分）已知圆C 经过A （1，4），B （5，0）两点，且在x 轴上的截距之和为2．（1）求圆C 的标准方程；（2）圆M 与圆C 关于直线x ﹣y +1＝0对称，求过点（3，0）且与圆M 相切的直线方程．解：（1）设圆C 的方程为x 2+y 2+Dx +Ey +F ＝0（D 2+E 2﹣4F ＞0），令y ＝0，可得x 2+Dx +F ＝0，则x 1+x 2＝﹣D ＝2，将A （1，4），B （5，0）代入可得，{1+16+D +4E +F =025+5D +F =0， 解得{D =−2E =0F =−15，所以圆C 方程为x 2+y 2﹣2x ﹣15＝0，即（x ﹣1）2+y 2＝16．（2）圆C 的圆心C （1，0），圆M 的圆心与C （1，0）关于x ﹣y +1＝0对称，∴设圆M 的圆心为M （a ，b ）则{a+12−b 2+1=0b a−1×1=−1，解得{a =−1b =2， 圆M 的标准方程为：（x +1）2+（y ﹣2）2＝16，若过点（3，0）的直线斜率不存在，则方程为x ＝3，此时圆心C （﹣1，2）到直线x ＝3的距离为3+1＝4＝r ，满足题意；若过点（3，0）且与圆C 相切的直线斜率存在，则设切线方程为y ＝k （x ﹣3），即kx ﹣y ﹣3k ＝0，则圆心到直线kx ﹣y ﹣3k ＝0的距离为√k 2=4，解得k =34， 所以切线方程为34x −y −94=0，即3x ﹣4y ﹣9＝0，综上，过点（3，0）且与圆C 相切的直线方程为x ＝3或3x ﹣4y ﹣9＝0．20．（12分）已知双曲线：x 25−m −y 2m−1=1(1＜m ＜5)的一个焦点与抛物线C ：y 2＝2px （p ＞0）的焦点重合．（1）求抛物线C 的方程；（2）若直线l ：x ＝ty +8交抛物线C 于A 、B 两点，O 为原点，求证：以AB 为直径的圆经过原点O ． 解：（1）由双曲线方程x 25−m −y 2m−1=1(1＜m ＜5)，可得其焦点在x 轴上且焦点坐标为F 1（﹣2，0），F 2（2，0），又F 2（2，0）为抛物线C ：y 2＝2px （p ＞0）的焦点，所以p 2=2⇒p =4， 即可得抛物线C 的方程为y 2＝8x ；（2）证明：设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），联立{x =ty +8y 2=8x⇒y 2−8ty −64=0，Δ＝64t 2+4×64＞0， 由韦达定理得y 1+y 2＝8t ，y 1y 2＝﹣64，所以OA →⋅OB →=x 1x 2+y 1y 2=(ty 1+8)(ty 2+8)+y 1y 2＝（t 2+1）y 1y 2+8t （y 1+y 2）+64＝（t 2+1）（﹣64）+8t （8t ）+64＝0，所以OA →⊥OB →，即以AB 为直径的圆经过原点O ．21．（12分）已知直线l ：y =kx +√2(k ∈R)，与双曲线C ：x 23−y 2=1的左支交于A ，B 两点． （1）求实数k 的取值范围；（2）若△OAB 的面积为6√25（O 为坐标原点），求此时直线l 的斜率k 的值．解：（1）不妨设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），联立{y =kx +√2x 23−y 2=1，消去y 并整理得(1−3k 2)x 2−6√2kx −9=0，因为直线l 与双曲线C 的左支交于A ，B 两点，所以1﹣3k 2≠0且Δ＞0，由韦达定理得x 1x 2=−91−3k 2＞0，x 1+x 2=6√2k 1−3k 2＜0，① 所以k ＞0，13＜k 2＜1，解得√33＜k ＜1， 则实数k 的取值范围为(√33，1)；（2）易知点O 到直线l 的距离d =√2√k +1， 若△OAB 的面积为6√25， 此时12|AB|⋅d =12√1+k 2|x 1−x 2|⋅√2√k 2+1=√22|x 1−x 2|=6√25，② 联立①②，解得6√1−k 2|3k 2−1|=125，即36k 4+k 2﹣21＝0，因为√33＜k ＜1， 所以k =√32， 故直线l 的斜率k 的值为√32． 22．（12分）已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1(a ＞b ＞0)过点(2，√2)，且离心率为√22． （1）求椭圆C 方程；（2）点A ，B 分别为椭圆C 的上下顶点，过点P （0，4）且斜率为k 的直线与椭圆C 交于不同的两点M ，N ，探究直线BM ，AN 的交点是否在一条定直线l 0上，若存在，求出该直线l 0的方程；若不存在，请说明理由．解：（1）因为椭圆的离心率为√22， 可得e =c a =√1−b 2a 2=√22， 即a 2＝2b 2，① 又因为椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1(a ＞b ＞0)过点(2，√2)， 所以42b 2+2b 2=1，②联立①②，解得a 2＝8，b 2＝4，所以椭圆C 方程为x 28+y 24=1：（2）易知A （0，2），B （0，﹣2），不妨设直线MN 的方程为y ＝kx +4，M （x 1，y 1），N （x 2，y 2），联立{x 28+y 24=1y =kx +4，消去y 并整理得（1+2k 2）x 2+16kx +24＝0， 此时Δ＝（16k ）2﹣4×24•（1+2k 2）＝64k 2﹣96＞0， 解得k 2＞32，由韦达定理得x 1+x 2=−16k1+2k 2，x 1⋅x 2=241+2k 2，直线AN 的方程为y −2=y 2−2x 2x ，直线BM 的方程为y +2=y 1+2x 1x ， 联立{y −2=y 2−x x 2x y +2=y 1+2x 1x ，可得y−2y+2=(y 2−2)x 1(y 1+2)x 2=kx 1x 2+2x 1kx 1x 2+6x 2， 因为x 1=−16k 1+2k 2−x 2， 所以y−2y+2=24k 1+2k 2+2(−16k 1+2k 2−x 2)24k 1+2k 2+6x 2=−8k−(2+4k 2)x 224k+(6+12k 2)x 2=−13，解得y ＝1，故直线BM ，AN 的交点在定直线y ＝1上．。
江苏省常州市第一中学2023-2024学年高二下学期4月期中数学试题
江苏省常州市第一中学2023-2024学年高二下学期4月期中数学试题一、单选题1．已知()2,1,3a =-r ，()4,,2b y =-r ，且()a ab ⊥+rr r ，则y 的值为（ ） A ．6 B ．10 C ．12 D ．14二、多选题2．已知向量()1,01a =-r ,，则下列向量中与a r成60o 夹角的是（ ）A ．()1,1,0-B ．()1,1,0-C ．()2,2,0-D ．()2,2,0-三、单选题3．在函数ln y x x =，cos y x =，2x y =，ln y x x =-中，导函数值不可能取到1的是（ ） A ．ln y x x = B ．cos y x = C ．2x y =D ．ln y x x =-4．在空间四边形ABCD 中，AB =BC =CD =DA =1，AB CD AC DB AD BC ⋅+⋅+⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r＝（ ）A ．－1B ．0C ．1D ．不确定5．当1x =时，函数()ln bf x a x x=+取得最大值2-，则(2)f '=（ ） A ．1-B ．12-C ．12D ．16．如图，在平行六面体ABCD A B C D '-'''中，5,3,7AB AD AA ==='，60BAD ∠=︒，45BAA DAA ∠∠'=='︒，则AC '的长为（ ）A BC D 7．已知()f x 是定义在R 上的奇函数，()f x 的导函数为()'f x ，若()'cos f x x ≥ 恒成立，则()sin f x x ≥的解集为（ ） A ．[)π,-+∞B ．[)π,+∞C ．π,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D ．[)0,+∞8．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，点O 为线段BD 的中点．设点P 在线段1CC 上，直线OP 与平面1A BD 所成的角为α，则cos α的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．四、多选题9．设空间两个单位向量()(),,0,0,,OA m n OB n p ==u u u r u u u r 与向量()1,1,1OC =u u u r 的夹角都等于π4，则cos AOB ∠=（ ）A BC D 10．已知()e xxf x =，下列说法正确的是（ ）A ．()f x 在x =1处的切线方程为e 10y -=B ．单调递减区间为()1,∞+C ．()f x 的极小值为1eD ．方程2024()1f x =有两个不同的解11．函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型，在现行的《高等数学》与《数学分析》教材中，对“初等函数”给出了明确的定义，即初等函数是指由常数及基本初等函数经过有限次的四则运算与有限次的复合步骤所构成，并可用一个数学式子表示的函数，如函数()(0)x f x x x =>，我们可以作变形：()()ln ln e e e ,ln xx x x x t f x x t x x =====，所以()f x 可看作是由函数()e t h t =和ln t x x =复合而成的，即()(0)x f x x x =>为初等函数．根据以上材料，关于初等函数1()(0)x h x x x =>的说法正确的是（ ）A ．无极小值B ．有极小值1C ．无极大值D ．有极大值1e e五、填空题12．已知向量(0,1,1),(4,1,0)||a b a b λ=-=+r r r r，λ=.13．在中国古代数学著作《九章算术》中记载了一种称为“曲池”的几何体，该几何体的上、下底面平行，且均为扇环形（扇环是指圆环被扇形截得的部分）．现有一个如图所示的曲池，它的高为2，1AA ，1BB ，1CC ，1DD 均与曲池的底面垂直，底面扇环对应的两个圆的半径分别为1和2，对应的圆心角为90︒，则图中异面直线1AB 与1CD 所成角的余弦值为．14．若关于x 的不等式()()e 1ln e 1xa x a -+≥-在[]0,1x ∈内有解，则实数a 的取值范围是．六、解答题15．已知函数()322f x x ax bx a =+-+，在x =1时取得极小值10.(1)求函数()f x 的解析式;(2)求函数()f x 在区间[]1,3-上的最值.16．如图，直三棱柱111ABC A B C -内接于圆柱，AC 为圆柱底面的直径，12AB AA BC ===，M 为11AC 中点，N 为1CC 中点.(1)求直线BM 与平面1A BC 所成角的正弦值(2)若求平面1A BC 与平面BMN 所成锐二面角的余弦值．17．已知函数()()e 1xf x ax a =--∈R .(1)若a 为常数，求曲线y =f (x )在点()()1,1f 处的切线方程； (2)讨论函数()f x 的单调性；(3)判断0.314e 与1.314的大小关系，并说明理由.18．如图所示，在四棱锥P ABCD -中，侧面PAD ⊥平面ABCD ，PAD V 是边长为2的等边三角形，底面ABCD 为直角梯形，其中//BC AD ，AB AD ⊥，1AB BC ==．(1)取线段PA 中点M ，连接BM ，判断直线BM 与平面PCD 是否平行并说明理由； (2)求B 到平面PCD 的距离；(3)线段PD 上是否存在一点E ，使得平面EAC 与平面DAC求出PEPD的值；若不存在，请说明理由． 19．已知函数()21ln ,,,f x a x mx bx m a b x=+--均为实数，()f x '为()f x 的导函数.(1)当1,0,2a m b =-==时，求函数()f x 的单调区间; (2)当2,1a m ==-时，若函数()1y f x x =+与直线y bx b =--在1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有两个不同的交点，求实数b 的取值范围.(3)当0,0a m >=时，已知()()1212,0,x x x x ∞∈+≠，若存在b ∈R ，使得()()12f x f x =成立，求证:()()120f x f x ''+>.。
江苏省苏州市2023-2024学年高二下学期6月期末考试 数学含答案
苏州市2023~2024学年第二学期学业质量阳光指标调研卷高二数学（答案在最后）2024.6注意事项学生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求：1．本卷共4页，包含单项选择题（第1题～第8题）、多项选择题（第9题～第1l 题）、填空题（第12题～第14题）、解答题（第15题～第19题）．本卷满分150分，答题时间为120分钟，答题结束后，请将答题卡交回．2．答题前，请您务必将自己的姓名、调研序列号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在答题卡的规定位置．3．请在答题卡上按照顺序在对应的答题区域内作答，在其他位置作答一律无效．作答必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔．请注意字体工整，笔迹清楚．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.函数2()1f x x =-+在[1,1.1]上的平均变化率为（）A.0.21 B.2.1C.－0.21D.-2.12.设全集{}3,1,0,1,3U =--，集合{}1,0,1A =-，{}3,B y y x x A ==∈，则U A B =I ð（）A.{3,0,3}- B.{1,0,1}- C.{1,1}- D.{0}3.对于满足4n ≥的任意正整数n ，45n ⨯⨯⋅⋅⋅⨯=（）A.3A nB.4A nC.4A n n - D.3A n n-4.已知a ,b ∈R ,则“0a b >>”是“11a b +>+”的什么条件A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件5.已知幂函数()221()1m f x m m x -+=+-在(0,)+∞上单调递减，则实数m 的值为（）A .2-或1B.1-或2C.1D.2-6.在一个口袋中装有大小和质地均相同的5个白球和3个黄球，第一次从中随机摸出一个球，观察其颜色后放回，同时在袋中加入两个与所取球完全相同的球，第二次再从中随机摸出一个球，则此次摸出的是黄球的概率为（）A.316B.38C.45D.127.设34a =，3log 2b =，11sin 44c =+，则（）A.a b c>> B.c b a>> C.a c b>> D.b a c>>8.已知5名同学排成一排合影留念，若甲不站在两端，乙不站在正中间，则不同的排法共有（）A.48种B.60种C.66种D.72种二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.下列说法中正确的有（）A.若随机变量x ，y 满足经验回归方程ˆ0.0249.76yx =-+，则x ，y 的取值呈现正相关B.若随机变量~(3,)X N σ，且(6)0.15P X >=，则(0)0.15P X <=C.若事件,A B 相互独立，则(|)()P A B P A =D.若5件产品中有2件次品，采取无放回的方式随机抽取3件，则抽取的3件产品中次品数为1的概率是3510.拐点（Inflection Point ）又称反曲点，是一条连续曲线由凸转凹或由凹转凸的点，直观地说，是使切线穿越曲线的点（即连续曲线的凹弧与凸弧的分界点）．拐点在统计学、物理学、经济学等领域都有重要应用．设函数()f x 对于区间(,)a b 内任一点都可导，且函数()()g x f x '=对于区间(,)a b 内任一点都可导，若0(,)x a b ∃∈，使得()00g x '=，且在0x x =的两侧()g x '的符号相反，则称点()()00,x f x 为曲线()y f x =的拐点．以下函数具有唯一拐点的有（）A.32()f x x x =+ B.311()3f x x x=+，0x >C.2()x f x a x =-（0a >，且1a ≠）D.()ln sin f x x x=+11.已知定义域为R 的连续函数()f x 满足e ()e ()()x x y f x y f x f y +-=+-，2(1)e f -=-，则（）A.(0)0f = B.e ()x f x 为奇函数C.()f x 在(,0)-∞上单调递减D.()f x 在(0,)+∞上的最大值为1三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.98被6除所得的余数为______．13.已知随机变量x ，y 的五组观测数据如下表：x12345y1.1e - 1.6e a6.5e 9e 由表中数据通过模型e mx n y +=得到经验回归方程为 2.6 3.8ˆe x y-=，则实数a 的值为______．14.已知函数32()(,,)f x x ax bx c a b c =+++∈R ，若关于x 的不等式()0f x <的解集为{|3x x t <+且}x t ≠，则()f x 的极小值为______．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知(13)nx -（其中x ∈R *n ∈N ）的展开式中第2项的二项式系数与第3项的二项式系数之和为36．（1）求n ；（2）记2012(13)nnn x a a x a x a x -=+++⋅⋅⋅+，求31223(1)3333n n n a a a a -+-+⋅⋅⋅+-的值．16.已知某射击运动员每次射击命中10环的概率为45，每次射击的结果相互独立，共进行4次射击．（1）求恰有3次命中10环的概率；（2）求至多有3次命中10环的概率；（3）设命中10环的次数为X ，求随机变量X 的数学期望()E X 和方差()D X ．17.已知函数12()(R)22x x tf x t +-=∈--为奇函数．（1）设函数1()2g x f x t ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，求122023202420242024g g g ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++⋅⋅⋅+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭的值；（2）若关于x 的方程()()4320xxf f a a ++-⋅-=有实数根，求实数a 的取值范围．18.某学校组织100名学生去高校参加社会实践．为了了解学生性别与颜色喜好的关系，准备了足量的红、蓝颜色的两种帽子，它们除颜色外完全相同．每位学生根据个人喜好领取1顶帽子，学校统计学生所领帽子的颜色，得到了如下22⨯列联表．红色蓝色合计男202545女401555合计6040100（1）是否有99%的把握认为“喜好红色或蓝色与性别有关”；（2）在进入高校某实验室前，需要将帽子临时存放，为此学校准备了标号为1号到7号的7个箱子，现从中随机选取4个箱子，①求所选的4个箱子的标号数之和为奇数的概率；②记所选的箱子中有X 对相邻序号（如：所选箱子的标号为1，2，3，5，则1，2和2，3为2对相邻序号，所以2X =），求随机变量X 的分布列和数学期望()E X ．附：22()()()()()n ad bc a b c d a c b d χ-=++++，其中n a b c d =+++．α0.10.050.01ax 2.7063.8416.63519.已知函数()()1ln f x x x =+．（1）求曲线()y f x =在1x =处的切线方程；（2）若关于x 的不等式()(1)f x m x >-在(1,)+∞上恒成立，求实数m 的最大值；（3）若关于x 的方程2()(1)10()f x ax a x a ++++=∈R 有两个实根1x ，()212x x x ≠，求证：121123a a x x -<+<+．苏州市2023~2024学年第二学期学业质量阳光指标调研卷高二数学2024.6注意事项学生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求：1．本卷共4页，包含单项选择题（第1题～第8题）、多项选择题（第9题～第1l 题）、填空题（第12题～第14题）、解答题（第15题～第19题）．本卷满分150分，答题时间为120分钟，答题结束后，请将答题卡交回．2．答题前，请您务必将自己的姓名、调研序列号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在答题卡的规定位置．3．请在答题卡上按照顺序在对应的答题区域内作答，在其他位置作答一律无效．作答必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔．请注意字体工整，笔迹清楚．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.函数2()1f x x =-+在[1,1.1]上的平均变化率为（）A.0.21 B.2.1C.－0.21D.-2.1【答案】D 【解析】【分析】根据平均变化率的公式计算即可.【详解】函数2()1f x x =-+在[1,1.1]上的平均变化率()()1.110.2102.11.110.1f f ---===--.故选:D2.设全集{}3,1,0,1,3U =--，集合{}1,0,1A =-，{}3,B y y x x A ==∈，则U A B =I ð（）A.{3,0,3}-B.{1,0,1}- C.{1,1}- D.{0}【答案】C 【解析】【分析】先求出集合B ，再根据补集和交集的定义即可得解.【详解】{}{}3,3,0,3B y y x x A ==∈=-，则{}1,1U B =-ð，所以{1,1}U A B =- ð.故选：C.3.对于满足4n ≥的任意正整数n ，45n ⨯⨯⋅⋅⋅⨯=（）A.3A n B.4A nC.4A n n - D.3A n n-【答案】D 【解析】【分析】根据排列数公式即可判断.【详解】易得45A n-3n n ⨯⨯⋅⋅⋅⨯=，故选：D.4.已知a ,b ∈R ,则“0a b >>”是“11a b +>+”的什么条件A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】分别从充分性和必要性入手进行分析即可.【详解】充分性：0a b >>⇒11a b +>+，充分性成立；必要性：当2,1a b =-=-时，11a b +>+成立，但0a b <<，故必要性不成立；所以“0a b >>”是“11a b +>+”的充分不必要条件.故选：A.【点睛】本题考查充分条件和必要条件的判断，考查推理能力，属于常考题.5.已知幂函数()221()1m f x m m x -+=+-在(0,)+∞上单调递减，则实数m 的值为（）A.2-或1B.1-或2C.1D.2-【答案】C 【解析】【分析】根据幂函数的定义和性质求解即可.【详解】因为幂函数()221()1m f x m m x-+=+-在(0,)+∞上单调递减，所以211210m m m ⎧+-=⎨-+<⎩，解得1m =.故选：C .6.在一个口袋中装有大小和质地均相同的5个白球和3个黄球，第一次从中随机摸出一个球，观察其颜色后放回，同时在袋中加入两个与所取球完全相同的球，第二次再从中随机摸出一个球，则此次摸出的是黄球的概率为（）A.316B.38C.45D.12【答案】B 【解析】【分析】借助全概率公式计算即可得.【详解】设事件A 为第一次从中随机摸出一个球的颜色为白色，事件B 为第二次再从中随机摸出一个球是黄球，则()()()()()+P B P A P B A P A P B A=⋅⋅53313338108216168=⨯+⨯=+=.故选：B .7.设34a =，3log 2b =，11sin 44c =+，则（）A.a b c >>B.c b a>> C.a c b>> D.b a c>>【答案】A 【解析】【分析】根据指数函数与对数函数的单调性即可比较,a b ，构造函数()sin x x x f -=，利用导数判断函数的单调性，即可比较11,sin 44的大小，进而可比较,b c 的大小，即可得解.【详解】因为31111444223333333log 3log 27log 25log 5log 4log 24a ===>=>=，所以a b >，令()sin x x x f -=，则()1cos 0f x x '=-≥，所以()f x 在R 上为增函数，所以()1004f f ⎛⎫>=⎪⎝⎭，即11sin 044->，所以11sin 44>，则3311111log 2log sin 24444b =>==+>+，即bc >，综上所述，a b c >>.故选：A.8.已知5名同学排成一排合影留念，若甲不站在两端，乙不站在正中间，则不同的排法共有（）A.48种B.60种C.66种D.72种【答案】B 【解析】【分析】分甲站在正中间与甲不站在正中间讨论即可得.【详解】若甲站在正中间，则共有1414A A 种排法，若甲不站在正中间，先排甲有12C 种，再排乙有13C 种，最后三人任意排有33A 种，则共有113233C C A 种排法，综上，共有1411314233A A C C A 24+3660+==种不同排法.故选：B.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.下列说法中正确的有（）A.若随机变量x ，y 满足经验回归方程ˆ0.0249.76yx =-+，则x ，y 的取值呈现正相关B.若随机变量~(3,)X N σ，且(6)0.15P X >=，则(0)0.15P X <=C.若事件,A B 相互独立，则(|)()P A B P A =D.若5件产品中有2件次品，采取无放回的方式随机抽取3件，则抽取的3件产品中次品数为1的概率是35【答案】BCD 【解析】【分析】根据回归方程即可判断A ；根据正态分布的对称性即可判断B ；根据相互独立事件的概率公式及条件概率公式即可判断C ；根据古典概型的概率公式即可判断D.【详解】对于A ，因为随机变量x ，y 满足经验回归方程ˆ0.0249.76yx =-+，所以x ，y 的取值呈现负相关，故A 错误；对于B ，因为随机变量~(3,)X N σ，且(6)0.15P X >=，所以()()060.15P X P x <=>=，故B 正确；对于C ，若事件,A B 相互独立，则()()()P AB P A P B =，所以()()()()|==P AB P A B P A P B ，故C 正确；对于D ，由题意抽取的3件产品中次品数为1的概率122335C C 3C 5P ==，故D 正确.故选：BCD .10.拐点（Inflection Point ）又称反曲点，是一条连续曲线由凸转凹或由凹转凸的点，直观地说，是使切线穿越曲线的点（即连续曲线的凹弧与凸弧的分界点）．拐点在统计学、物理学、经济学等领域都有重要应用．设函数()f x 对于区间(,)a b 内任一点都可导，且函数()()g x f x '=对于区间(,)a b 内任一点都可导，若0(,)x a b ∃∈，使得()00g x '=，且在0x x =的两侧()g x '的符号相反，则称点()()00,x f x 为曲线()y f x =的拐点．以下函数具有唯一拐点的有（）A.32()f x x x =+ B.311()3f x x x=+，0x >C.2()x f x a x =-（0a >，且1a ≠） D.()ln sin f x x x=+【答案】AC 【解析】【分析】拐点即二阶导数的变号零点，求出二阶导数以后逐一分析即可，其中D 需要找到两个拐点即可排除D.【详解】对于A ：()()232g x f x x x ==+'，()62g x x '=+，令()0g x '=得13x =-，当13x >-时，()0g x '>，当13x <-时，()0g x '<，12327f⎛⎫-= ⎪⎝⎭所以12,327⎛⎫- ⎪⎝⎭是函数()f x 的拐点，故A 正确；对于B ：()()221g x f x x x ==-'，()322g x x x+'=，0x >，令()0g x '=，方程无解，所以()f x 无拐点，故B 错误；对于C ：()()ln 2xg x f x a a x ='=-，()2ln 2xg x a a ='-，令()0g x '=得22log ln ax a=，当1a >且22log ln ax a >时，()0g x '>，当1a >且当22log ln a x a <时，()0g x '<，当01a <<且22log ln a x a >时，()0g x '<，当01a <<且22log ln a x a<时，()0g x '>，2222222log log ln ln ln a a f a a a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，所以2222222log ,log ln ln ln a a a a a ⎛⎫- ⎪⎝⎭是函数()f x 唯一拐点，故C 正确；对于D ：()()1cos g x f x x x ==+'，()21sin g x x x -'=-，因为()3ππ0,02g g ⎛⎫⎝'⎪⎭'，所以()0g x '=在3ππ,2⎛⎫⎪⎝⎭至少有一个零点1x 且为变号零点，又因为()π0,π02g g ⎛⎫->-< ⎪''⎝⎭，所以()0g x '=在ππ,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭至少有一个零点2x 且为变号零点所以()f x 有拐点但不唯一，故D 错误.故选：AC11.已知定义域为R 的连续函数()f x 满足e ()e ()()x x y f x y f x f y +-=+-，2(1)e f -=-，则（）A.(0)0f = B.e ()x f x 为奇函数C.()f x 在(,0)-∞上单调递减D.()f x 在(0,)+∞上的最大值为1【答案】ABD 【解析】【分析】令0x y ==，即可判断A ；由e ()e ()()x x y f x y f x f y +-=+-，得e ()e ()e ()x y x yf x y f x f y ---=+-，令()e ()xg x f x =，则()()()g x y g x g y -=+-，令0x y ==，即可判断B ；关于x 求导得，()()g x y g x -'='，从而可求出()g x d 的解析式，进而可求出()f x 的解析式，再利用导数即可判断CD .【详解】对于A ，令0x y ==，则()()()000f f f =+，所以()00f =，故A 正确；对于B ，由e ()e ()()x x y f x y f x f y +-=+-，得e ()e ()e ()x y x y f x y f x f y ---=+-，令()e ()xg x f x =，则()()()g x y g x g y -=+-，令0x y ==，则()()()000g g g =+，所以()00g =，令y x =，则()()()00g g x g x =+-=，所以()g x 为奇函数，即e ()x f x 为奇函数，故B 正确；由()()()g x y g x g y -=+-，关于x 求导得，()()g x y g x -'='，令()()Δ,y x h x g x -=='，则()()()()()Δ0Δ0ΔΔlimlim0ΔΔx x h x x h x g x x g x h x xx→→+-+-==''='，所以()h x C =（C 为常数），即()g x C '=，所以()g x Cx t =+（,C t 为常数），因为()()()1200,1e ee g g -=-=⨯-=-，所以()e g x x =，所以()e ex xf x =，则()()e 1exx f x ='-，当1x <时，()0f x '>，当1x >时，()0f x '<，所以()f x 在(),1∞-上单调递增，在()1,∞+上单调递减，所以()()max 11f x f ==，故C 错误；D 正确.故选：ABD .【点睛】关键点点睛：由e ()e ()()x x y f x y f x f y +-=+-，得出e ()e ()e ()x y x y f x y f x f y ---=+-，是解决本题的关键.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.98被6除所得的余数为______．【答案】2【解析】【分析】把98用二项式定理展开，把问题转化为92被6的余数.【详解】()990918272889999999862C 6C 62C 62C 62C 2=+=+⨯+⨯+⨯+ ，展开式的前9项都能被6整除，只有最后一项不能被6整除，所以问题转化为92被6的余数，而92512=，被6除的余数为2，所以98被6除的余数为2.故答案为：213.已知随机变量x ，y 的五组观测数据如下表：x12345y1.1e - 1.6e a6.5e 9e 由表中数据通过模型e mx n y +=得到经验回归方程为 2.6 3.8ˆe x y-=，则实数a 的值为______．【答案】4e 【解析】【分析】令ln z y =，则 2.6 3.8zx =- ，求出,x z ，再根据线性回归方程必过样本中心点即可得解.【详解】令ln z y =，则 1.1 1.6 6.5912345ln e ln e ln ln e ln e 16ln 3,555a ax z -+++++++++===，因为 2.6 3.8ˆe x y-=，所以 2.6 3.8z x =- ，所以16ln 2.63 3.85a+⨯-=，解得4e a =.故答案为：4e .14.已知函数32()(,,)f x x ax bx c a b c =+++∈R ，若关于x 的不等式()0f x <的解集为{|3x x t <+且}x t ≠，则()f x 的极小值为______．【答案】4-【解析】【分析】结合三次函数的性质可得函数解析式，借助导数可得其单调性即可得其极小值.【详解】由题意可得()()232()3f x x ax bx c x t x t =+++=---，即()()()()()()22332f x x t x t x t x t x t =-+---=---'，当()(),2,x t t ∞∞∈-⋃++时，()0f x '>，当(),2x t t ∈+时，()0f x '<，故()f x 在(),t ∞-、()2,t ∞++上单调递增，在(),2t t +上单调递减，共有()f x 的极小值为()()()222232124f t t t t t +=+--+-=-⨯=-.故答案为：4-.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知(13)nx -（其中x ∈R *n ∈N ）的展开式中第2项的二项式系数与第3项的二项式系数之和为36．（1）求n ；（2）记2012(13)n nn x a a x a x a x -=+++⋅⋅⋅+，求31223(1)3333n n n a a a a -+-+⋅⋅⋅+-的值．【答案】（1）8（2）255【解析】【分析】（1）根据第2项的二项式系数与第3项的二项式系数之和为36得12C C 36n n +=，即可求n ；（2）先令0x =，则01a =，再令13x =-，则83812023823333a a a a a =-+-++ 即可求解.【小问1详解】由题意，二项式(13)n x -的通项公式为1C (3)rrr n T x +=-，根据第2项的二项式系数与第3项的二项式系数之和为36得12C C 36n n +=，即2720n n +-=，*Nn ∈解得8n =.【小问2详解】由（1）可知8280128(13)x a a x a x a x -=++++ ，令0x =，则01a =，令13x =-，则83812023823333a a a a a =-+-++ ，则38122382553333a a a a -+-++= .16.已知某射击运动员每次射击命中10环的概率为45，每次射击的结果相互独立，共进行4次射击．（1）求恰有3次命中10环的概率；（2）求至多有3次命中10环的概率；（3）设命中10环的次数为X ，求随机变量X 的数学期望()E X 和方差()D X ．【答案】（1）256625（2）369625（3）165EX =；1625DX =【解析】【分析】（1）直接根据二项分布的概率公式计算即可；（2）用对立事件法求概率；（3）直接代入二项分布的期望和方差公式即可.【小问1详解】设运动员每次射击命中10环为随机变量ξ，则由题意可知44,5B ξ⎛⎫~ ⎪⎝⎭，则恰有3次命中10环的概率即()3134412563C 55625P ξ⎛⎫⎛⎫===⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；【小问2详解】至多有3次命中10环的概率即()()44443693141C 5625P P ξξ⎛⎫≤=-==-= ⎪⎝⎭；【小问3详解】416455EX np ==⨯=，()4116145525DX np p =-=⨯⨯=.17.已知函数12()(R)22x x tf x t +-=∈--为奇函数．（1）设函数1()2g x f x t ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，求122023202420242024g g g ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++⋅⋅⋅+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭的值；（2）若关于x 的方程()()4320xxf f a a ++-⋅-=有实数根，求实数a 的取值范围．【答案】（1）2023（2）2a ≥【解析】【分析】（1）由函数()f x 为奇函数可得()00f =，即可求出a ，再求出()()1g x g x +-的值即可得解；（2）先判断函数()f x 的单调性，根据函数()f x 为奇函数可得()()()4322x x x f f a a f a a +=--⋅-⋅+=，则问题转化为关于x 的方程432x x a a ⋅+=+，分离参数，再结合基本不等式即可得解.【小问1详解】函数的定义域为R ，因为函数12()(R)22x x tf x t +-=∈--为奇函数，所以()00f =，即1022t-=--，所以1t =，经检验，符合题意，所以121()22x x f x +-=--，则1()12g x f x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，因为()f x 为奇函数，所以()()0f x f x -+=，则()()1112222g x g x f x f x ⎛⎫⎛⎫+-=-+-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以122023202420242024g g g ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++⋅⋅⋅+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭1202322022202312024202420242024202420242g g g g g g ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++⋅⋅⋅++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦⎣⎦=2023220232⨯==；【小问2详解】121121211()22221221x x x x xf x +-+-==-⋅=-+--++，因为21x y =+是R 上的增函数，且恒大于零，所以()f x 在R 上单调递减，由()()4320xxf f a a ++-⋅-=，得()()()4322xxxf f a a f a a +=--⋅-⋅+=，所以432x x a a ⋅+=+，即()()2212214434212212121x x xx x x xa +-+++===++-+++，因为关于x 的方程()()4320xxf f a a ++-⋅-=有实数根，所以关于x 的方程421221xx a =++-+有实数根，而42122221x x ++-≥=+，当且仅当42121xx +=+，即0x =时取等号，所以2a ≥.18.某学校组织100名学生去高校参加社会实践．为了了解学生性别与颜色喜好的关系，准备了足量的红、蓝颜色的两种帽子，它们除颜色外完全相同．每位学生根据个人喜好领取1顶帽子，学校统计学生所领帽子的颜色，得到了如下22⨯列联表．红色蓝色合计男202545女401555合计6040100（1）是否有99%的把握认为“喜好红色或蓝色与性别有关”；（2）在进入高校某实验室前，需要将帽子临时存放，为此学校准备了标号为1号到7号的7个箱子，现从中随机选取4个箱子，①求所选的4个箱子的标号数之和为奇数的概率；②记所选的箱子中有X 对相邻序号（如：所选箱子的标号为1，2，3，5，则1，2和2，3为2对相邻序号，所以2X =），求随机变量X 的分布列和数学期望()E X ．附：22()()()()()n ad bc a b c d a c b d χ-=++++，其中n a b c d =+++．α0.10.050.01ax 2.7063.8416.635【答案】（1）有99%的把握认为“喜好红色或蓝色与性别有关”.（2）分布列见解析，12()7E X =【解析】【分析】（1）根据独立性检验计算判断结论；（2）根据古典概型计算概率；根据题意求离散型随机变量的可能取值及相应概率，列出分布列，根据数学期望公式计算出结果；【小问1详解】零假设0H :喜好红色或蓝色与性别无关，因为22100(20152540)24508.249 6.63560404555297⨯-⨯χ==≈>⨯⨯⨯，所以，根据独立性检验，没有充分证据推断0H 成立，因此有99%的把握认为“喜好红色或蓝色与性别有关”.【小问2详解】①根据题意可知箱子的标号有4个奇数3个偶数，标号为1号到7号的7个箱子，现从中随机选取4个箱子，设事件A 记为所选的4个箱子的标号数之和为奇数，则3113343447C C C C 16()C 35P A +==；②标号为1号到7号的7个箱子，现从中随机选取4个箱子，则选取4个箱子的所有情况有1234,1235,1236,1237,1245,1246,1247,1256,1257,1267,1345,1346,1347,1356,1357,1367,1456,1457,1467,1567,2345,2346,2347,2356,2357,2367,2456,2457,2467,2567,3456,3457,3467,3567,4567⎧⎫⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎩⎭记所选的箱子中有X 对相邻序号，可得0,1,2,3,X =则44471(0),C C 35P X ===47,C 1212(1)35P X ===47,C 1818(2)35P X ===47,C 44(3)35P X ===所以随机变量X 的分布列为X0123P13512351835435因此数学期望11218412()0123353535357E X =⨯+⨯+⨯+⨯=.19.已知函数()()1ln f x x x =+．（1）求曲线()y f x =在1x =处的切线方程；（2）若关于x 的不等式()(1)f x m x >-在(1,)+∞上恒成立，求实数m 的最大值；（3）若关于x 的方程2()(1)10()f x ax a x a ++++=∈R 有两个实根1x ，()212x x x ≠，求证：121123a a x x -<+<+．【答案】（1）22y x =-（2）2（3）证明见解析【解析】【分析】（1）借助导数的几何意义计算即可得；（2）由题意可得()()1ln 10x x m x +-->在(1,)+∞上恒成立，则可构造函数()()()1ln 1g x x x m x =+--，求导后分2m ≤及m>2讨论其单调性，在m>2时结合零点的存在性定理研究，即可得m 的具体范围，即可得其最大值；（3）借助因式分解可将原问题转化为ln 10x ax ++=有两个实根，借助导数研究其单调性可得两根范围，借助换元法，令111t x =，221t x =，可得11221ln 11ln 1a t t a t t -⎧+=⎪⎪⎨-⎪+=⎪⎩，两式作差可得112221ln t t t t a t t ⋅=-，从而将证明12112a x x -<+转化为证明21211221ln 02t t t t t t ⎛⎫- ⎪⎝⎭+>⋅，借助换元法令121t n t =>，即证21ln 02n n n -+>，构造相应函数，借助导数即可证明；再借助（2）中所得，结合两实根的范围，可得()()1111222221ln 1121ln 11t at t t t a t t t ⎧-=+>⎪+⎪⎨-⎪=+<⎪+⎩，即可得()()()()1112221313a t t t a t t t ⎧+>-⎪⎨-+>--⎪⎩，两式作差即可得证12113a x x +<+.【小问1详解】()11ln ln 1x f x x x x x ='+=+++，()11ln1121f =++='，又()()111ln10f =+=，则有()021y x -=-，即曲线()y f x =在1x =处的切线方程为22y x =-；【小问2详解】由题意可得()()1ln 10x x m x +-->在(1,)+∞上恒成立，令()()()1ln 1g x x x m x =+--，则()1ln 1g x x m x=++-'，令()()1ln 1x g x x m x α==++-'，则()22111x x x x xα'-=-=，则当(1,)x ∈+∞时，()0x α'>，故()g x '在(1,)+∞上单调递增，则当(1,)x ∈+∞时，()()11ln1121g x g m m >=++-='-'，当2m ≤时，()20g x m >'-≥，故()g x 在(1,)+∞上单调递增，有()()()12ln1110g x g m >=--=，符合要求，当m>2时，由()120g m ='-<，()11e ln e 110e emm m m g m =++-=+>'，则存在()01,emx ∈，使()00g x '=，即当()01,x x ∈时，()0g x '<，当()0,x x ∞∈+，()0g x '>，故()g x 在()01,x 上单调递减，在()0,x ∞+上单调递增，则()()010g x g <=，不符合要求，故舍去，综上所述，2m ≤，故实数m 的最大值为2；【小问3详解】()()()()()()()2111ln 111ln 10f x ax a x x x ax x x x ax ++++=++++=+++=，由0x >，即有ln 10x ax ++=有两个实根1x ，()212x x x ≠，令()ln 1x x ax μ=++，()1x a xμ'=+，当0a ≥时，()10x a xμ'=+>恒成立，()0x μ=不可能有两个实根，故舍去；当0a <，则10,x a ⎛⎫∈-⎪⎝⎭时，()0x μ'>，当1,x a ∞⎛⎫∈-+ ⎪⎝⎭时，()0x μ'<，故()x μ在10,a ⎛⎫-⎪⎝⎭上单调递增，在1,a ∞⎛⎫-+ ⎪⎝⎭上单调递减，则有()11ln 11ln 0a a a μ⎛⎫⎛⎫-=--+=--> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即()1,0a ∈-，又()1ln1110a a μ=++=+>，不妨令12x x <，则有12101x x a<<<-<，有1122ln 1ln 1x ax x ax +=-⎧⎨+=-⎩，令111t x =，221t x =，即有11221ln 11ln 1a t t a t t -⎧+=⎪⎪⎨-⎪+=⎪⎩，则有121211ln1ln 1a at t t t --+--=-，即()211212ln ln a t t t t t t --=，即112221lnt t t t a t t ⋅=-，则要证12112a x x -<+，只需证112212212ln tt t t t t t t ⋅-<+-，即证21211221ln 02t t t t t t ⎛⎫- ⎪⎝⎭+>⋅，令121t n t =>，即证21ln 02n n n -+>，令()21ln 2x h x x x-=+，1x >，则()()()2222222421112420442x x x x x h x x x x x-----+-=+=-'=<恒成立，故()h x 在()1,∞+上单调递减，故()()111ln102h x h -<=+=，即有21ln 02n n n-+>在1n >时恒成立，故12112a x x -<+得证；由（2）可知，当2m =时，()(1)f x m x >-在()1,∞+上恒成立，即()21ln 01x x x -->+在()1,x ∞∈+上恒成立，则当()0,1x ∈时，()121211ln ln 0111x x x x x x⎛⎫- ⎪-⎝⎭-=-->++，即()21ln 01x x x --<+，由12101x x a<<<-<，则11t >、201t <<，故()11121ln 01t t t -->+，()22221ln 01t t t --<+，则()11121ln 1t t t ->+，()22221ln 1t t t -<+，又11221ln 11ln 1a t t a t t -⎧+=⎪⎪⎨-⎪+=⎪⎩，即()()1111222221ln 1121ln 11t a t t t t a t t t ⎧-=+>⎪+⎪⎨-⎪=+<⎪+⎩，即()()()()1112221313a t t t a t t t ⎧+>-⎪⎨+<-⎪⎩，即()()()()1112221313a t t t a t t t ⎧+>-⎪⎨-+>--⎪⎩，则有()()()()1211221133a t a t t t t t +-+>---，整理得()()221212123a t t t t t t ->---，即123a t t >+-，即123t t a +<+，即12113a x x +<+；综上，121123a a x x -<+<+得证.【点睛】关键点点睛：最后一问关键点在于借助换元法，令111t x =，221t x =，从而将证明121123a a x x -<+<+转换为证明1223a t t a -<+<+.。
苏教版数学高二周末练习
高二数学周末练习(六)班级____________姓名____________学号____________成绩____________一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1．方程x 29－k ＋y 2k －1＝1表示椭圆的充要条件是▲________． 2．函数f (x )＝log 0.5(x －1)的定义域为▲________．3．已知双曲线C 的焦点、实轴端点恰好是椭圆x 225＋y 216＝1的长轴端点、焦点，则双曲线C 的渐近线方程是▲________．4．已知点P (x ，y )在不等式⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0 ，x ＋2y ≤4表示的平面区域上运动，则z ＝x ＋y 的最大值是▲________． 5．已知点P (x ，y )在椭圆x 24＋y 2＝1上，则x 2＋2x －y 2的最大值为▲________． 6．数列{a n }的前n 项和S n ＝2n －1，则a 12＋a 22＋a 32＋…＋a n 2＝▲________．7．已知动圆C 过点A (－2，0)，且与圆M ：(x －2)2＋y 2＝64相内切，则动圆C 的圆心的轨迹方程▲________．8．椭圆x 28＋k ＋y 29＝1的离心率e ＝12，则k 的值是▲________． 9．已知p ∶|1－x －13|≤2，q ：x 2－2x ＋1－m 2≤0(m ＞0)，又知非p 是非q 的必要非充分条件，则m 的取值范围是▲________．10．命题“p ∶∃x ∈ (1，52)，使不等式tx 2＋2x －3＞0”为真命题，则实数t 的取值范围是▲________． 11．已知a ＞2，b ＞1，且满足ab ＝a ＋2b ＋1，则2a ＋b 的最小值为▲________．12．圆C 1∶x 2＋y 2－2x ＋10y －24＝0与C 1∶x 2＋y 2＋2x ＋2y －24＝0公共弦的长为▲________．13．在△ABC 中，A ＝30°，AB ＝2，S △ABC ＝3．若以A ，B 为焦点的椭圆经过点C ，则该椭圆的离心率e ＝▲________．*14．已知函数f (x )＝2mx 2－2(4－m )x ＋1，g (x )＝mx ，若对于任一实数x ，f (x )与g (x )的值至少有一个为正数，则m 的取值范围是▲________．1．_______________；2．_______________；3．_______________；4．_______________；5．_______________；6．_______________；7．_______________；8．_______________；9．_______________；10．_______________；11．_______________；12．_______________；13．_______________；14．_______________；二、解答题：本大题共6小题，共计90分．15．在锐角△ABC 中，A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ．已知向量m ＝(12，cos A )，n ＝(sin A ， －32)，且m ⊥n ．（1）求角A 的大小；（2）若a ＝7，b ＝8，求△ABC 的面积．16． 如图，某小区拟在空地上建一个占地面积为2400平方米的矩形休闲广场，按照设计要求，休闲广场中间有两个完全相同的矩形绿化区域，周边及绿化区域之间是道路（图中阴影部分），道路的宽度均为2米．怎样设计矩形休闲广场的长和宽，才能使绿化区域的总面积最大？并求出其最大面积.17．在如图所示的几何体中，AB ⊥平面ACD ，DE ⊥平面ACD ，△ACD 为等边三角形，AD ＝DE＝2AB ，F 为CD 的中点．（1）求证：AF ∥平面BCE ；（2）求证：平面BCE ⊥平面CDE .18．已知双曲线的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，渐近线方程为y ＝±43x ，且经过点A (－33，42)，设F 1，F 2是双曲线的两个焦点，点P 在双曲线上，且PF 1·PF 2＝64．（1）求双曲线的方程；（2）求∠F 1PF 2．19．如图，椭圆C ∶x 2＋y 2m＝1(0＜m ＜1)的左顶点为A ，M 是椭圆C 上异于点A 的任意一点，点P 与点A 关于点M 对称．（1）若点P 的坐标为(95，435)，求m 的值； *（2）若椭圆C 上存在点M (x 0，y 0)，使得OP ⊥OM ，将m 用x 0表示，并求m 的取值范围．20．已知F(c，0)是椭圆C∶x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的右焦点，圆F∶(x－c)2＋y2＝a2与x轴交于E，D两点，B是椭圆C与圆F的一个交点，且BD＝3BE；（1）求椭圆C的离心率；*（2）过点B与圆F相切的直线l与C的另一交点为A，且△ABD的面积等于24613c，求出A点坐标和椭圆C的方程．周末练习6一、填空题1．(1，5)∪(5，9)； 2．(1，2] ； 3．y ＝±43x 4．4； 5．8； 6．4n －13； 7．x 216＋y 212＝1； 8． 4或－54； 9．[9，＋∞) 10．(－825，＋∞) ； 11．26＋5； 12．26455； 13．3－12； 14．(0，8)． 二、解答题：15．（1）因为m ⊥n ，所以m ·n ＝0，则12sin A －32cos A ＝0， 因为0°＜A ＜90°，所以cos A ≠0，则tan A ＝3，所以A ＝60°． （2）解法一：由正弦定理得a sin A ＝b sin B，又a ＝7，b ＝8，A ＝60°， 则sin B ＝87sin60°＝437，为△ABC 为锐角三角形，所以cos B ＝17， 因为sin C ＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝32×17＋12 ×437＝5314， 所以S △ABC ＝12ab sin C ＝103． 解法二：因为a ＝7，b ＝8，A ＝60°，所以由余弦定理可知，49＝64＋c 2－2×8c ×12，即c 2－8c ＋15＝0，解得c ＝3或c ＝5， 当c ＝3时，c 2＋a 2－b 2＝9＋49－64＜0，所以cos B ＜0，不合乎题意；当c ＝5时，c 2＋a 2－b 2＝25＋49－64＞0，所以cos B ＞0，合乎题意；所以S △ABC ＝12bc sin A ＝103． 16．设休闲广场的长为x 米，则宽为2400x米，绿化区域的总面积为S 平方米， S ＝(x －6)(2400x －4)＝2424－(4x ＋6×2400x )＝2424－4(x ＋3600x)，x ∈(6，600)． 因为x ∈(6，600)，所以x ＋3600x ≥2x ·3600x ＝120， 当且仅当x ＝3600x，即x ＝60时取等号 此时S 取得最大值，最大值为1944.答：当休闲广场的长为60米，宽为40米时，绿化区域总面积最大值，最大面积为1944平方米.17．证明：(1)如图，取CE 的中点G ，连接FG ，BG .∵F 为CD 的中点，∴GF ∥DE ，且GF ＝12DE . ∵AB ⊥平面ACD ，DE ⊥平面ACD ，∴AB ∥DE .∴GF ∥AB .又AB ＝12DE ，∴GF ＝AB .∴四边形GF AB 为平行四边形，则AF ∥BG .∵AF ⊄平面BCE ，BG ⊂平面BCE ，∴AF ∥平面BCE . (2)∵△ACD 为等边三角形，F 为CD 的中点，∴AF ⊥CD . ∵DE ⊥平面ACD ，AF ⊂平面ACD ，∴DE ⊥AF .又CD ∩DE ＝D ，∴AF ⊥平面CDE .∵BG ∥AF ，∴BG ⊥平面CDE .∵BG ⊂平面BCE ，∴平面BCE ⊥平面CDE .18．（1）由条件可设所求线方程为x 29k －y 216k＝1(k ＞0)，因为双曲线过点A (－33，42)， 所以(33)29k －(42)216k ＝1，所以k ＝1，则所求双曲线方程为x 29－y 216＝1． （2）由（1）知：F 1F 2＝10，|PF 2－PF 1|＝6，所以|PF 2－PF 1|2＝PF 12－2PF 1×PF 2+PF 22＝36， 又PF 1×PF 2＝64，所以PF 12＋PF 22＝164．cos ∠F 1PF 2＝PF 12＋PF 22－F 1F 222PF 1×PF 2＝164－100128＝12，又0＜∠F 1PF 2＜π，所以∠F 1PF 2＝60°． 19．如图，椭圆C ∶x 2＋y 2m＝1(0＜m ＜1)的左顶点为A ，M 是椭圆C 上异于点A 的任意一点，点P 与点A 关于点M 对称．（1）若点P 的坐标为(95，435)，求m 的值； *（2）若椭圆C 上存在点M (x 0，y 0)，使得OP ⊥OM ，将m 用x 0表示，并求m 的取值范围．19．（1）解：依题意，M 是线段AP 的中点，因为A (－1，0)，P (95，435)，所以 点M 的坐标为(25，235)． 由点M 在椭圆C 上， 所以425＋1225m ＝1，解得m ＝47． （2）解：设M (x 0，y 0)，则x 02＋y 02m ＝1，且－1＜x 0<1． ①因为M 是线段AP 的中点，所以P (2x 0＋1，2y 0)．因为 OP ⊥OM ，所以 x 0(2x 0+1)＋2y 02＝0． ②由 ①，② 消去y 0，整理得m ＝2x 02＋x 02x 02－2． 所以 m ＝1＋12(x 0＋2)＋6x 0＋2－8≤12－34， 当且仅当x 0＝－2＋3时，上式等号成立．所以 m 的取值范围是(0，12－34]．20．已知F (c ，0)是椭圆C ∶x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点，圆F ∶(x －c )2＋y 2＝a 2与x 轴交于E ，D 两点，B 是椭圆C 与圆F 的一个交点，且BD ＝3BE ；（1）求椭圆C 的离心率； *（2）过点B 与圆F 相切的直线l 与C 的另一交点为A ，且△ABD 的面积等于24613c ，求出A 点坐标和椭圆C 的方程．20．解（1）由题意，B (0，b )，E (c －a ，0)，D (c ＋a ，0)，因为BD ＝3BE ，∠EBD ＝90°，得BE ＝12ED ＝a ， 由BE 2＝(c －a )2＋b 2＝a 2，得a ＝2c ，即椭圆C 的离心率e ＝12． （2）C 的离心率e ＝12，令a ＝2c ，b ＝3c ，则C ∶x 24c 2＋y 23c2＝1． 直线l ⊥BF ，设l ∶y ＝33x ＋3c ． 由⎩⎨⎧x 24c 2＋y 23c 2＝1， y ＝33x ＋3． 得A (－2413c ，5313c )，AB ＝16313c ， 又点D (3c ，0)到直线l 的距离d ＝|3c －0＋3c |2＝3c ， △ABD 的面积S ＝12×AB ×d ＝12·16313c ·3c ＝24613， 解得c ＝2，故椭圆C ∶x 28＋y 26＝1．。
江苏省中等职业学校学业水平测试数学模拟试卷(4)
江苏省中等职业学校学业水平测试数学模拟试卷（四）一、单项选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每题所给的A 、B 、C 、D 四个选项中，只有一个选项是正确的，请选出正确的选项，并在答题卡上将该项涂黑．1．219+(-1)0 = ( )A ．4B ．2C ．4或－2D ． 5.52．不等式| x |>5的解集为 （ ）A ．{ x | x >5}B ．{x | x >±5}C ．{x | -5< x<5}D ．{x | x <-5或x >5}3．正弦函数sin y x =的图象 （ ）A ．关于x 轴对称B ．关于y 轴对称C ．关于原点中心对称D ．关于直线y x =对称4．下列函数中，定义域是),0(+∞的函数是 ( )A ．3x y =B ．21x y =C ．21-=xy D ．31x y = 5．已知sin α=43，cos α=47-，则是 （ ） A ．第一象限角 B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角6．y=3sinx －4的最大值为 （ ）A ．4B ．7C ．－1D ．－77．在等比数列中，a 7=5，a 8=25，则公比q = （ ） A ．51 B ．5 C ．20 D ．125 8．已知P (5,－4)，Q (－7,－2)，则12PQ = （ ） A ．(-1，-3) B ．(-12，2) C ．(-2，-6) D ．(-6，1)9．两直线l 1：x -2y -2=0，l 2：-6x -3y +1=0 的位置关系是 （ ）A ．平行B ．重合C ．垂直D ．无法确定10．在正方体1111D C B A ABCD -中，1AB 与平面ABCD 所成的角为 （ ）A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°11．[选做题]本题包括I 、II 两小题，请选定其中一题作答．I ．十进制数5转换成二进制数为 （ ）A ．2(101)B ．2(11)C ．2(110)D ．2(011)II ．如图为一工程的流程图，关键路径是 （ ）A ．A →D →FB ．A →C →E →H →FC ．B →G →D →F D ．B →G →C →E →H →F12．[选做题]本题包括I 、II 两小题，请选定其中一题作答．I ．如图所示的程序框图，若输出S 的值为-7，则判断框内可填写 ( )A ．3i <B . 4i <C . 5i <D . 6i <II ．某超市某月部分员工的工资表(如下表所示)，表中“应发工资”数组为 （ ）A B C D B 1 C 1 D 1 A 1 第10题图A ．(1420，1350，1230，1820)B ． (1070，930，960，1200)C ．(1870，1830，1710，2400)D ． (3650，2170，1990)二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．请把答案填写在答卷卡的相应位置上．13．不等式x (x +2)≤0的解集为____________________．14．设函数f (x )在区间(-3，4)内为减函数，则f (2) f (-2)（填“>”或“<”）．15．底面边长和侧棱长都是1的正三棱柱的侧面积是______________．16．口袋中装有大小，形状相同的2个黑球1个红球，从中任取1个球，则取到红球的概率是____________．17．[选做题]本题包括I 、II 两小题，请选定其中一题作答．I ．逻辑代数初步、算法与程序框图命题p ：三角形的内角和等于180°.则p ⌝：_______________________________. II ．数组a =(4，3，2)，b =(5，-6，7)，则a ²b =_____________________．三、解答题：本大题共6小题，共65分．请把答案写在答题卡相应的位置上．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．18．（本小题满分8分）设全集{}08,U x x x N =<≤∈，A ={1,2,4,5}，B ={3,5,7}，求： A ∩B ，()u C A B U ．19．（本小题满分10分）已知向量=(-3,4)，=(5,2)，求：2－3，²．20．（本小题满分10分）已知角的终边过点P(3,-1)，求sinα，的值．21．（本小题满分10分）某产品原来的产值为1万吨，计划从今年开始，年产量平均增长10%.(1)若经过x 年，年产量为y 万吨，试写出y 与x 的函数关系，并写出定义域。
江苏省常中高二数学周末试卷6
高二数学周末作业6答案（文）一．填充题1．垂直于同一条直线的两条直线的位置关系是 .平行，相交或异面2．已知圆锥的母线长为2，则圆锥的侧面积是 .2π3．过点(32)-，且与22194x y +=有相同焦点的椭圆方程是 .2211510x y +=4．已知椭圆5522=+ky x 的一个焦点为)2,0(,则实数k 的值为________.15．设m 、n 是两条不同的直线,αβγ，，是三个不同的平面,给出下列四个命题： ①若m n αα⊥，∥，则m n ⊥；②若m αββγα⊥∥，∥，，则m γ⊥； ③若,m n αα⊥⊥，则m n ∥；④若αγβγ⊥⊥，，则αβ∥；其中正确命题的序号是 ． ①②③ 6．椭圆122=+y mx 离心率是23，则长轴长是 .1or2 7．双曲线221916x y -= 的两个焦点为F 1，F 2，点P 在双曲线上，若120PF PF ⋅= ，则P 到x 轴的距离为 。
3.28．椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左、右焦点分别为12F F ，，点P 在椭圆上，2OPF △正三角形，则2b 的值是 ．9. 三棱锥P —ABC 中，PA ⊥平面ABC ，AB ⊥BC ，PA=AB=1，BC=2，则三棱锥P —ABC 的外接球表面积为 _________ .π410．一个盛满水的三棱锥容器，不久发现三条侧棱上各有一个小洞D 、E 、F ，且知SD ：DA=SE ：EB=CF ：FS=2：1，若仍用这个容器盛水，则最多可盛原来水的_______ .272311．如图所示，已知圆M A y x C ),0,1(,8)1(:22定点=++为圆上 一动点，点P 在AM 上，点N 在CM 上，且满足N 点,0,2=⋅=的轨迹为曲线E. 曲线E 的方程. .1222=+y x12. 如图，ABCDEF 为正六边形，则以F ，C 为焦点，且经过A 、E 、D 、B 四点的双曲线的离心率()ce a=为．113．已知椭圆22221x y a b+=(0a b >>)的左、右焦点分别为1(,0)F c -、2(,0)F c ，若椭圆上存在一点P 使得1221sin sin a cPF F PF F =，则该椭圆的离心率的取值范围为__________.1,1)14．已知12,F F 是椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左右焦点,弦AB 经过点2F ,且22142,cos 5AF F B AF B =∠=,则椭圆的离心率为二、解答题15.已知椭圆C 的中心在原点，长轴在x 轴上，一焦点与短轴的两端点构成的三角形为等边三角形，焦点与长轴上较远顶点的距离为2． ⑴求椭圆C 的方程；⑵若椭圆上一点P 与两焦点F 1、F 2的连线互相垂直，求ΔPF 1F 2的面积⑴2214x y +=；⑵1 16． 如图，在五面体ABCDEF 中，点O 是矩形ABCD 的对角线的交点，面CDE 是等边三角形，棱EF∥12BC ． ⑴证明FO ∥平面CDE ；⑵设BC =，证明：平面EOF ⊥平面CDF ． ⑴证明：取CD 中点M ，连结OM.在矩形ABCD 中。
江苏省宿迁市2023-2024学年高二下学期6月期末考试数学试题(解析版)
高二年级调研测试数学本试卷共4页，19小题，满分150分，考试用时120分钟．注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．将条形码横贴在答题卡上“条形码粘贴处”．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔在答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上．如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案．不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答无效．4．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 计算012456C C C ++=（ ）A. 20B. 21C. 35D. 36【答案】B 【解析】【分析】利用组合数计算公式计算可得结果.【详解】由组合数计算公式可得01245665C C C 152112×++=++=×. 故选：B2. 已知样本数据121x +，221x +，…，21n x +的平均数为5，则131x +，231x +，…，31n x +的平均数为（ ） A. 6 B. 7C. 15D. 16【答案】B 【解析】【分析】根据平均数的性质即可得12,,,n x x x …的平均数为2，则可得到新的一组数据的平均数. 【详解】由题意，样本数据121x +，221x +，…，21n x +的平均数为5，设12,,,n x x x …的平均数为x ， 即215+=x ，解得2x =，根据平均数性质知131x +，231x +，…，31n x +的平均数为317x +=. 故选：B3. 下表是大合唱比赛24个班级的得分情况，则80百分位数是（ ） 得分 7 8 9 10 11 13 14 频数 4246242A. 13.5B. 10.5C. 12D. 13【答案】D 【解析】【分析】根据百分位数的定义求解即可.【详解】因为00248019.2×=，24个班级的得分按照从小到大排序， 可得80百分位数是第20个数为13. 故选：D4. 已知a ，b 为两条不同直线，α，β，γ为三个不同平面，则下列说法正确的是（ ） A. 若a b ∥，b α⊂，则//a α B. 若//a α，b α⊂，则//a b C. //αγ，//βγ，则//αβ D. 若αγ⊥，βγ⊥，则//αβ【答案】C 【解析】【分析】由线线、线面、面面的位置关系即可求得本题. 【详解】若//a b ，b α⊂，则//a α或a α⊂，则A 错； 若//a α，b α⊂，则//a b 或a 与b 异面，则B 错；//αγ，//βγ，由平行的传递性可知，//αβ，则C 对；若αγ⊥，βγ⊥，则//αβ或相交.，D 错， 故选：C.5. 已知,,A B C 三点不共线，O 为平面ABC 外一点，下列条件中能确定,,,M A B C 四点共面的是（ ）的.A. OM OA OB OC =++B. 3OM OA OB BC =−−C. 1123OM OA OB OC =++D. 32OM OA OB BC =−−【答案】D 【解析】【分析】根据空间向量基本定理对选项逐个进行验证即可得出结论.【详解】由空间向量基本定理可知，若,,,M A B C 四点共面，则需满足存在实数,,x y z 使得OM xOA yOB zOC =++，且1x y z ++=， 显然选项A ，C 不成立；对于选项B ，由3OM OA OB BC =−−可得()33OM OA OB OC OB OA OC =−−−=− ，不合题意，即B 错误；对于D ，化简32OM OA OB BC =−−可得()323OM OA OB OC OB OA OB OC =−−−=−− ，满足()()3111+−+−=，可得D 正确； 故选：D6. 已知随机事件A ，B ，3()10P A =，1()2P B =，1(|)3P B A =，则(|)P A B =（ ） A.15B.16 C.320D.110【答案】A 【解析】【分析】根据题意，由乘法公式代入计算可得()P AB ，再由条件概率公式，代入计算，即可得到结果. 【详解】因为3()10P A =，1()2P B =，1(|)3P B A =， 则()()131(|)31010P B A P A P AB ×=×==， 则()()1110(|)152P AB P A BP B ===. 故选：A7. 已知9290129(21)x a a x a x a x +=+++⋅⋅⋅+，则682424682222a a a a +++的值为（ ）A. 255B. 256C. 511D. 512【答案】A 【解析】【分析】利用二项式定理写出展开式的通项，令0x =求出0=1a ，分别令12x =、12x =−，再两式相加可得8202825622a a a +++=，再减去0a 即可. 【详解】令0x =，得0=1a ， 令12x =，得93891202389251222222a a a a a a ++++++== ， 令12x =−，得38912023********a a a a a a −+−++−= ， 两式相加得82028251222a a a+++=， 得8202825622a a a +++= ， 则682424682552222a a a a +++=. 故选：A.8. 某工厂有甲、乙、丙3个车间生产同一种产品，其中甲车间的产量占总产量的20%，乙车间占35%，丙车间占45%．已知这3个车间的次品率依次为5%，4%，2%，若从该厂生产的这种产品中取出1件为次 ） A.331000B.1033C.1433D.311【答案】C 【解析】【分析】根据题意，由全概率公式可得抽取到次品的概率，再由条件概率公式代入计算，即可求解. 【详解】记事件A 表示甲车间生产的产品， 记事件B 表示乙车间生产的产品， 记事件C 表示丙车间生产的产品， 记事件D 表示抽取到次品，则()()()0.2,0.35,0.45P A P B P C ===, ()()()0.05,0.04,0.02P D A P D B P D C ===，取到次品的概率为()()()()()()()P D P A P D A P B P D B P C P D C =++0.20.050.350.040.450.020.033=×+×+×=，若取到的是次品，此次品由乙车间生产的概率为：()()()()()()0.350.040.014140.0330.03333P B P D B P BD P B D P D P D ×=====.故选：C二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9. 下列选项中叙述正确有（ ）A. 在施肥量不过量的情况下，施肥量与粮食产量之间具有正相关关系B. 在公式1xy=中，变量y 与x 之间不具有相关关系C. 相关系数10.6r =时变量间的相关程度弱于20.8r =−时变量间的相关程度D. 某小区所有家庭年收入x （万元）与年支出y （万元）具有相关关系，其线性回归方程为ˆˆ0.8ybx =+．若20x =，16y =，则ˆ0.76b =． 【答案】ACD 【解析】【分析】AB 的正误，根据相关系数的性质可判断C 的正误，根据回归方程的性质可判断D 的正误.【详解】对于A ，在施肥量不过量的情况下，施肥量越大，粮食产量越高， 故两者之间具有正相关关系，故A 正确.对于B ，变量y 与x 之间函数关系，不是相关关系，故B 错误. 对于C ，因为210.80.6r r =>=，故相关系数10.6r =时变量间的相关程度弱于20.8r =−时变量间的相关程度，故C 正确.对于D ，因为回归直线过(),x y ，故ˆ16200.8b=×+，故ˆ0.76b =，故D 正确. 故选：ACD.10. 已知点(2,3,3)A −−，(2,5,1)B ，(1,4,0)C ，平面α经过线段AB 的中点D ，且与直线AB 垂直，下列选项中叙述正确的有（ ） A. 线段AB 的长为36的是B. 点(1,2,1)P −在平面α内C. 线段AB 的中点D 的坐标为(0,4,1)−D. 直线CD 与平面α【答案】BCD 【解析】【分析】由空间两点间的距离公式即可得到线段AB 的长，判断A ；由AB ⊥平面α，垂足为点D ，PD AB ⊥，即可判断B ；由中点坐标公式可得点D 的坐标，判断C ；设直线CD 与平面α所成的角为β，sin cos ,AB CD AB CD AB CDβ⋅==，通过坐标运算可得，判断D.【详解】因为点(2,3,3)A −−，(2,5,1)B ， 所以6AB =,故A 错误；设D 点的坐标为(),,x y z ，因为D 为线段AB 的中点，所以2235310,4,1222x y z −++−+======−， 则D 的坐标为(0,4,1)−，故C 正确；因为点(1,2,1)P −，则()1,2,0PD =− ，又()4,2,4AB =，则()()1,2,04,2,40PD AB ⋅=−⋅=，所以PD AB ⊥，即PD AB ⊥， 又AB ⊥平面α，垂足为点D ，即D ∈平面α，所以PD ⊂平面α，故B 正确；由(1,4,0)C ，(0,4,1)D −，得()1,0,1CD =−−，设直线CD 与平面α所成的角为β，则sin cos ,ABβ= ，故D 正确.故选：BCD.11. 甲袋中有2个红球、3个黄球，乙袋中有3个红球、2个黄球，同时从甲、乙两袋中取出2个球交换，分别记交换后甲、乙两个袋子中红球个数的数学期望为()E X 、()E Y ，方差为()D X 、()D Y ，则下列结论正确的是（ ）A. ()()5E X E Y +=B. ()()E X E Y <C. ()()D X D Y <D. ()()D X D Y =【答案】ABD 【解析】【分析】依题意可知不管如何交换红球个数始终只有5个，易知5X Y +=，利用期望值和方差性质可得A ，D 正确，C 错误；易知随机变量X 的所有可能取值为0,1,2,3,4，写出对应的概率并得出分布列，可得() 2.4E X =，()()5 2.6E Y E X =−=，可得B 正确.【详解】根据题意，记甲、乙两个袋子中红球个数分别为,X Y ， 不管如何交换红球个数始终只有5个，易知5X Y +=，对于A ，由期望值性质可得()()()55E X E Y E Y =−=−，即()()5E X E Y +=，所以A 正确； 对于B ，易知随机变量X 的所有可能取值为0,1,2,3,4； 当从甲袋中取出2个红球，乙袋中取出2个黄球后交换，可得()()22222255C C 105C C 100P X P Y ====×=， 当从甲袋中取出1个红球，1个黄球，乙袋中取出2个黄球后交换，或者从甲袋中2个红球，乙袋中取出1个红球，1个黄球后交换，可得()()1111223232222555C C C C C 12314C C C 10025P X P Y ====+×==；当从甲袋中取出1个红球，1个黄球，乙袋中取出1个红球，1个黄球；或者从甲袋中取出2个红球，乙袋中取出取出2个红球；或者从甲袋中取出2个黄球，乙袋中取出取出2个黄球后交换，可得()()1111222223233322222222555555C C C C C C C C 422123C C C C C C 10050P X P Y ====×+×+×==； 当从甲袋中取出2个黄球，乙袋中取出1个红球，1个黄球；或者从甲袋中取出1个红球，1个黄球，乙袋中取出取出2个红球后交换，可得()()21111232323322225555C C C C C C 36932C C C C 10025P X P Y ====×+×==；当从甲袋中取出2个黄球，乙袋中取出2个红球后交换，可得()()22332255C C 941C C 100P X P Y ====×=，随机变量X 的分布列为所以期望值()132******** 2.4100255025100E X =×+×+×+×+×=， 可得()()5 2.6E Y E X =−=，即()()E X E Y <，可得B 正确； 对于C ，D ，由方差性质可得()()()()()251D Y D X D X D X =−=−=，即可得()()D X D Y =，所以C 错误，D 正确. 故选：ABD【点睛】关键点点睛：根据题意可得随机变量满足5X Y +=，利用期望值和方差性质可判断出AD 选项，再求出随机变量X 的分布列可得结论.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12. 已知随机变量X 服从正态分布()295,N σ，若(80)0.3P X <=，则(95110)P X ≤<=______． 【答案】0.2##15【解析】【分析】根据正态分布的对称性结合已知条件求解即可. 【详解】因为随机变量X 服从正态分布()295,N σ，(80)0.3P X <=， 所以(95110)(8095)0.5(80)0.2P X P X P X ≤<=<<=−<=, 故答案为：0.213. 如图，用四种不同颜色给图中的,,,,A B C D E 五个点涂色，要求每个点涂一种颜色，且图中每条线段的两个端点涂不同颜色．则不同的涂色方法共有______种．【答案】72 【解析】【分析】由图形可知点E 比较特殊，所以按照分类分步计数原理从点E 开始涂色计算可得结果.【详解】根据题意按照,,,,A B C D E 的顺序分5步进行涂色，第一步，点E 的涂色有14C 种，第二步，点A 的颜色与E 不同，其涂色有13C 种， 第三步，点B 的颜色与,A E 都不同，其涂色有12C 种，第四步，对点C 涂色，当,A C 同色时，点C 有1种选择；当,A C 不同色时，点C 有1种选择； 第五步，对点D 涂色，当,A C 同色时，点D 有2种选择；当,A C 不同色时，点D 有1种选择；根据分类分步计数原理可得，不同的涂色方法共有()111432C C C 121172×+×=种. 故答案为：7214. 如图，已知三棱锥−P ABC 的底面是边长为2的等边三角形，60APB ∠=°，D 为AB 中点，PA CD ⊥，则三棱锥−P ABC 的外接球表面积为______．【答案】20π3##20π3【解析】【分析】设PAB 外接圆的圆心为E ，三棱锥−P ABC 的外接球的球心为O ，连接OE ， ABC 的外接圆的圆心为G ，连接OG ，OB ，可证四边形OGDE 为矩形，利用解直角三角形可求外接球半径，故可求其表面积.【详解】因为ABC 为等边三角形，D 为AB 中点，故CD AB ⊥， 而PA CD ⊥，PA AB A = ，,PA AB ⊂平面PAB ，所以CD ⊥平面PAB . 设PAB 外接圆的圆心为E ，三棱锥−P ABC 的外接球的球心为O ，连接,OE BE ， 设ABC 的外接圆的圆心为G ，连接OG ，OB ， 则OE ⊥平面PAB ，OG CD ⊥故//OE CD ，故,,,O G D E 共面，而DE ⊂平面PAB ， 故CD DE ⊥，故四边形OGDE 为矩形.又12sinABBEAPB=×∠13OE DG CD===，故外接球半径为OB=，故外接球的表面积为1520π4π93×=，故答案为：20π3四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步聚．15.在()*23,Nnx n n≥∈的展开式中，第2，3，4项的二项式系数依次成等差数列．（1）证明展开式中不存在常数项；（2）求展开式中所有的有理项．【答案】（1）证明见解析；（2）7128x，4672x，280x，214x.【解析】【分析】（1）根据题意可求得7n=，利用二项展开式的通项可得展开式中不存在常数项；（2）由二项展开式的通项令x的指数为整数即可解得合适的k值，求出所有的有理项.【小问1详解】易知第2，3，4项的二项式系数依次为123C,C,Cn n n，可得132C+C2Cn n n=，即()()()121262n n n n nn−−−+=×，整理得()()270n n−−=，解得7n=或2n=（舍）；所以二项式为72x，假设第1k+项为常数项，其中Nk∈，即可得()1777277C 22C kk k kkk k x x −−−−=为常数项，所以1702k k −−=， 解得14N 3k =∉，不合题意； 即假设不成立，所以展开式中不存在常数项； 【小问2详解】由（1）可知，二项展开式的通项()1777277C22C kk k kk k k x x−−−−=可得， 其中的有理项需满足17Z 2k k −−∈，即37Z 2k −∈，且7k ≤；当30,77Z 2k k =−=∈，此时有理项为707772C 128x x =； 当32,74Z 2k k =−=∈，此时有理项为524472C 672x x =； 当34,71Z 2k k =−=∈，此时有理项为3472C 280x x =； 当36,72Z 2k k =−=−∈，此时有理项为16272142C x x−=； 综上可知，展开式中所有的有理项为7128x ，4672x ，280x ，214x . 16. 某校天文社团将2名男生和4名女生分成两组，每组3人，分配到A ，B 两个班级招募新社员． （1）求到A 班招募新社员的3名学生中有2名女生的概率；（2）设到A ，B 两班招募新社员的男生人数分别为a ，b ，记X a b =−，求X 的分布列和方差． 【答案】（1）35（2）85【解析】【分析】（1）由古典概型的概率求解122436C C 3C 5P ==； （2）由题意，X 的可能取值为2,0,2−，算出对应概率()2P X =−，()0P X =，()2P X =，即可列出X 的分布列，再求出()E X ，进而由公式求出方差．【小问1详解】到A 班招募新社员的3名学生中有2名女生的概率为122436C C 3C 5P ==. 【小问2详解】由题意，X 的可能取值为2,0,2−，则()032436C C 12C 5P X =−==，()122436C C 30C 5P X ===，()212436C C 12C 5P X ===， 所以X 的分布列为则()1312020555E X =−×+×+×=， 所以()()()()22213182000205555D X =−−×+−×+−×=. 17. 如图，正三棱柱111ABC A B C 中，D 为AB 的中点．（1）求证：1BC ∥平面1ACD ； （2）当1AA AB的值为多少时，1AB ⊥平面1ACD ?请给出证明． 【答案】（1）证明见答案. （2 【解析】【分析】（1）连接1AC ,交1AC 于点O ，连接DO ，能证出1//BC DO ，则能证出1BC ∥平面1ACD.（2）先把1AB ⊥平面1ACD 当做条件，得出11AB A D ⊥，得出1AA AB的值，过程要正面分析. 【小问1详解】连接1AC ,交1AC 于点O ，连接DO ， 因为O 是1AC 的中点，D 为AB 的中点， 所以DO 是1ABC 的中位线，即1//BC DO ,1BC ⊄平面1ACD ，DO ⊂平面1ACD ， 所以1BC ∥平面1ACD . 【小问2详解】1AA AB =时，1AB ⊥平面1ACD ，证明如下：因为1AA AB =，11tan A AB ∴∠，111tan AA DA B AD ∠= 1111A AB DA B ∴∠=∠，1112DA B AA D π∠+∠= ，1112A AB AA D π∴∠+∠=，即11AB A D ⊥.因为三棱柱111ABC A B C 为正三棱柱，ABC ∴ 为正三角形，且1AA ⊥平面ABC ，1,CD AB CD AA ∴⊥⊥，1AB AA A ∩=，AB ⊂平面11ABB A ，1AA ⊂平面11ABB A ，CD 平面11ABB A ，因为1AB ⊂平面11ABB A ，所以1AB CD ⊥，1A D CD D = ，1,A D CD ⊂平面1ACD ， 1AB ∴⊥平面1ACD .1AA AB∴18. 会员足够多的某知名户外健身俱乐部，为研究不高于40岁和高于40岁两类会员对服务质量的满意度．现随机抽取100名会员进行服务满意度调查，结果如下：年龄段满意度合计满意不满意 不高于40岁 50 20 70 高于40岁 25 5 30 合计7525100（1）问：能否认为，会员不高于40岁和高于40岁年龄结构对服务满意度有关；（2）用随机抽取的100名会员中的满意度频率代表俱乐部所有会员的满意度概率．从所有会员中随机抽取3人，记抽取的3人中，对服务满意的人数为X ，求X 的分布列和数学期望．参考公式：22()()()()()n ad bc a b c d a c b d χ−=++++（其中n a b c d =+++）．参考数据：()20P x χ≥ 0.150.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.0010x2.072 2.7063.841 5.024 6.635 7.879 10.828【答案】（1）不能认为会员不高于40岁和高于40岁年龄结构对服务满意度有关. （2）分布列见解析；94. 【解析】【分析】（1）首先根据列联表中的数据结合公式计算2χ值，然后对照表格得到结论；（2）由表格可知，对服务满意的人的概率为34，且33,4X B∼，根据二项分布公式即可求解． 【小问1详解】 由列联表可知：2217100(5052520)100.587255 2.072730630χ××−×<××==≈， 所以不能认为会员不高于40岁和高于40岁年龄结构对服务满意度有关. 【小问2详解】由表格可知，对服务满意人的概率为34，且33,4X B∼， 则0,1,2,3X =，可得：()303110C 464P X ===，()2133191C 4464P X === ， ()22331272C 4464P X ===，()3333273C 464P X === ， 故X 的分布列如图：可得()39344EX =×=. 19. 如图，在三棱台ABC DEF −中，2AB BC AC ===，1AD DF FC ===，N 为DF 的中点，二面角D AC B −−的大小为θ．（1）求证：AC BN ⊥； （2）若π2θ=，求三棱台ABC DEF −的体积； （3）若A 到平面BCFE cos θ的值． 【答案】（1）证明见解析； （2）78（3）3cos 5θ=−的【解析】【分析】（1）利用三棱柱性质，根据线面垂直的判定定理可得AC ⊥平面BMN ，可证明结论； （2）由二面角定义并利用棱台的体积公式代入计算可得结果；（3）建立空间坐标系，求出平面BCFE 的法向量，利用点到平面距离的向量求法即可得出cos θ的值. 【小问1详解】取AC 的中点为M ，连接,NM BM ；如下图所示：易知平面//ABC 平面DEF ，且平面ABC ∩平面DACF AC =，平面DEF ∩平面DACF DF =； 所以//AC DF ，又因为1AD FC ==， 可得四边形DACF 为等腰梯形，且,M N 分别为,AC DF 的中点，所以MN AC ⊥， 因为2AB BC AC ===，所以BM AC ⊥， 易知BM MN M = ，且,BM MN ⊂平面BMN ， 所以AC ⊥平面BMN ，又BN ⊂平面BMN ，所以AC BN ⊥； 【小问2详解】由二面角定义可得，二面角D AC B −−的平面角即为BMN ∠， 当π2θ=时，即π2BMN ∠=，因此可得MN ⊥平面ABC ，可知MN 即为三棱台的高，由1,2ADDF FC AC ====可得MN =；易知三棱台的上、下底面面积分别为DEFABC S S =因此三棱台ABC DEF −的体积为1738V =【小问3详解】由（1）知，BM AC ⊥，MN AC ⊥，二面角D AC B −−的平面角即为()0,πBMN θ∠=∈； 以M 为坐标原点，分别以,MA MB 所在直线为,x y 轴，过点M 作垂直于平面ABC 的垂线为z 轴建立如图所示的空间直角坐标系：可得()()()()1,0,0,1,0,0,,,0,0,0A C B N M θθ −，易知11,0,022NF MC==−，可得12F θθ − ；则()1,cos 2CBCF θθ =设平面BCFE 的一个法向量为(),,n x y z =，所以01cos sin 02n CB x n CF x y z θθ ⋅==⋅=++=， 令1y =，则1cos sin x z θθ−=，可得1cos sin n θθ−=； 显然()2,0,0AC =− ，由A 到平面BCFE，可得AC n n ⋅==，可得21cos 4sin θθ− =；整理得25cos 2cos 30θθ−−=，解得3cos 5θ=−或cos 1θ=； 又()0,πθ∈，可得3cos 5θ=−.【点睛】方法点睛：求解点到平面距离常用方法：（1）等体积法：通过转换顶点，利用体积相等可得点到面的距离；（2）向量法：求出平面的法向量，并利用点到平面距离的向量求法公式计算可得结果；。
中职数学 2023-2024学年江苏省徐州市中等职业学校就业班高二(下)期末数学试卷
2023-2024学年江苏省徐州市中等职业学校就业班高二（下）期末数学试卷一、选择题（本大题共15小题，每小题4分，共60分）A ．cos 27°B ．sin 27°C ．-sin 1°D ．cos 1°1．（4分）sin 13°cos 14°+cos 13°sin 14°=（ ）A ．B ．C ．sin 89°D ．cos 89°2．（4分）sin 67°cos 22°-cos 67°sin 22°=（ ）M 22M 2A ．cosαB ．cosβC ．cos 2αD ．cos 2β3．（4分）cos （α-β）cosβ-sin （α-β）sinβ=（ ）A ．B ．C ．D ．4．（4分）sin 22.5°•cos 22.5°=（ ）M 24M 22M 23M 28A ．0B ．sin 2αC ．cos 2αD ．15．（4分）（cosα-sinα）（cosα+sinα）=（ ）A ．28B ．2C ．4D ．6．（4分）在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ,b ,c ,a =4，b =6，C =60°，则c =（ ）M 7M 5M 7A ．B ．πC ．D ．7．（4分）函数y =2sin （3x +）的最小正周期为（ ）π5π2π32π3A ．B ．C ．D ．8．（4分）数列，，，⋯的一个通项公式为（ ）-1122-2224-3328-nn 22n-n n 22nn -12nn 2nA ．1，3，5，4，6B ．1，，1，，1C ．1，2，4，8，16D ．3，3，3，3，39．（4分）以下数列中，是等差数列的是（ ）1212A ．B ．C ．15D ．3110．（4分）在公比为2的等比数列{a n }中，若=，则该数列的前5项和是（ ）a 112312632A ．数据的个数为9，极值为18B ．数据的个数为10，极值为18C ．数据的个数为9，算术平均值为18D ．数据的个数为10，算术平均值为1811．（4分）关于样本标准差的计算公式s =，下列说法正确的是（ M [++⋯+]19（-18）x 12（-18）x 22（-18）x n 2A ．15B ．20C ．30D ．6012．（4分）从4名男同学和3名女同学中选出3名同学组成宣传“垃圾分类”志愿服务队，其中既有男同学又有女同学的选法种（ ）A ．6B ．7C ．8D ．913．（4分）已知的展开式中只有第五项的二项式系数最大，则n 的值是（ ）（x -）2√xn14．（4分）已知随机变量ξ∼B （6，0.3），则ξ的期望值E （ξ）=（ ）二、填空题（本大题共3小题，每小题4分，共12分）三、解答题（本大题共3小题，共28分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）A ．1.26B ．1.8C ．2D ．4.2A ．0.3B ．0.2C ．0.1D ．0.415．（4分）若随机变量ξ服从正态分布N （0，1），P （ξ>1）=0.2，则P （-1<ξ<0）等于（ ）16．（4分）数列，，，⋯的前6项和是 ．11×212×313×417．（4分）已知等差数列{a n }的前13项和S 13=39，则a 7=．18．（4分）在一次射击测试中，甲乙两名运动员各射击5次，命中的环数分别为：甲：6，9，7，9，9；乙：7，8，8，9，8，则 成绩较稳定．（填“甲”或“乙”）19．（10分）已知cosα=-，α是第二象限角．（1）求sin 2α，cos 2α的值；（2）求cos （2α+）的值．35π620．（10分）在等差数列{a n }中，a 3+a 5=30，a 2=7．（1）求{a n }的通项公式；（2）求{a n }的前10项和S 10．21．（8分）一个袋子中有大小相同的8个小球，其中5个红球、3个白球，现从中一次随机抽取3个球，记ξ是取到白球的个数（ξ=1），P （ξ≥2）．。
高二江苏数学试题及答案
高二江苏数学试题及答案一、单项选择题（每题3分，共15分）1. 若函数f(x) = x^2 - 4x + 3的零点为x1和x2，则x1 + x2的值为：A. 1B. 2C. 3D. 4答案：B2. 已知向量a = (3, -1)，向量b = (1, 2)，则向量a与向量b的点积为：A. 5B. 4C. 3D. 2答案：D3. 若直线l的方程为x + 2y - 3 = 0，且直线l与x轴的交点为A，与y轴的交点为B，则三角形OAB的面积为：A. 3/2B. 9/2C. 3D. 9答案：A4. 函数y = sin(2x)的最小正周期为：A. πB. 2πC. π/2D. π/4答案：A5. 已知数列{an}是等比数列，且a1 = 2，a4 = 16，则公比q为：A. 2B. 4C. 1/2D. 1/4答案：A二、填空题（每题4分，共20分）6. 已知双曲线方程为x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1，其中a = 2，b = 1，则该双曲线的渐近线方程为________。
答案：y = ±x/27. 函数f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x的导数为f'(x) = 3x^2 - 6x + 2，若f'(x) = 0，则x的值为________。
答案：1或28. 已知三角形ABC中，角A的正弦值为√3/2，角B的余弦值为1/2，则角C的大小为________。
答案：π/69. 已知等差数列{an}的首项a1 = 1，公差d = 2，则该等差数列的前n项和Sn为________。
答案：n^210. 已知抛物线方程为y^2 = 4x，焦点F的坐标为(1, 0)，若抛物线上的点P到焦点F的距离为2，则点P的坐标为________。
答案：(1/2, ±√2)三、解答题（共65分）11. （本题满分10分）已知函数f(x) = x^2 - 6x + 8，求该函数的对称轴方程和顶点坐标。
江苏省淮安市高二数学周末练习(四)
金湖二中高二数学周末练习（四）班级 学号 姓名1.两条直线没有公共点，则这两条直线的位置关系是 .2．已知直线的位置关系是与则若与平面a l a l l l ,,//,//,,=⋂βαβαβα . 3．下列命题中，所有正确的命题的序号是 .①一条直线和两条直线平行线中的一条垂直，则它也和另一条垂直；②空间四点A 、B 、C 、D ，若直线AB 和直线CD 是异面直线，那么直线AC 和直线BD 也是异面直线；③空间四点若不在同一个平面内，则其中任意三点不在同一条直线上； ④若一条直线l 与平面α内的两条直线垂直，则α⊥l .4．已知正四棱柱的底面边长是3cm ,侧面的对角线长是5 cm ，则这个正四棱柱的侧面积 为 .5．棱长都是1的三棱锥的体积为6．底面直径和高都是4cm 的圆柱的全面积为 cm 2。
7．一个体积为38cm 的正方体的顶点都在球面上，则球的表面积是 8．已知两条直线,m n ，两个平面,αβ，给出下面四个命题：①//,m n m n αα⊥⇒⊥ ②//,,//m n m n αβαβ⊂⊂⇒ ③//,////m n m n αα⇒ ④//,//,m n m n αβαβ⊥⇒⊥ 其中正确命题的序号是 .9．过两点A （4，y ），B （2，-3）的直线的倾斜角是1350，则y= 10．若直线过点（1，2），（4，2+3），则此直线的倾斜角为 11．若A(1，2)，B(－2，3)，C(4，m )在同一条直线上，则m 的值是12． 过点（1，0）且倾斜角是直线x －2y －1＝0的倾斜角的两倍的直线方程是 ． 13．如果AC ＜0，BC ＜0，那么直线Ax+By+C=0不通过第 象限14．设点），（，，23)32(- - - B A ，直线l 过点)21( ，P ，且与线段AB 相交， 则直线l 的斜率的取值范围为 ．15.如图，在四边形ABCD 中，，，，，AD=2，求四边形ABCD 绕AD 旋转一周所成几何体的表面积及体积.16．如图正方形ABCD 中，O 为中心，PO ⊥面ABCD ，E 是PC 中点， 求证：（1）PA ||平面BDE ； （2）面PAC ⊥面BDE.17．在△ABC 中，已知点(5,2)A ，(7,3)B ，且边AC 的中点M 在y 轴上，边BC 的中点N 在x 轴上. 求：（1）点C 的坐标； （2）直线AB 的方程； （3）直线MN 的方程；（4）直线AB 与两坐标轴围成三角形的面积.A18．已知直线13kx y k -+=，（1）当k 变动时，所有直线都通过定点P ，求定点P 的坐标； （2）求经过点P 且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程； （3）求经过点P ，且与直线2350x y -+=垂直的方程。
江苏省常州高级中学2023-2024学年第二学期阶段考试高二年级数学试题及答案
高二数学第二学期第一次月考参考答案一、单选题1．下列命题正确的有（ ） A ．='ππsin cos )(B ．已知函数=+f x x ln 21)()(，若='f x 10)(，则=x 00C ．已知函数f x )(在R 上可导，若='f 12)(，则=+−∆→xf x f x Δlim21Δ120)()(D ．设函数f x )(的导函数为'f x )(，且=++'f x x xf x 32ln 2)()(，则=−'f 429)(2．函数=−xf x x e 1)(的大致图象为（ ）A ．B ．C ．D ．0f x，得x >(0,1)单调递减，在图象符合. 3．已知定义在R 上的可导函数()f x 的导函数为()f x '，满足()f x x '<，且(2)1f =，则不等式21()12f x x <−的解集为（ ） A ．(2,)−+∞ B ．(0,)+∞ C ．(1,)+∞ D ．(2,)+∞4．若()32112132f x x x x =−+++是区间()1,4m m −+上的单调函数，则实数m 的取值范围是（ ） A ．5m ≤− B ．3m ≥ C ．5m ≤−或3m ≥ D ．53m −≤≤【答案】C【分析】求导，分析导函数的正负得到原函数的单调性，再由已知建立关于m 的不等式0f x，解得所以在1,2上单调递减，在若函数()31132f x x =−+5．已知函数()1ln f x x x=−在点1,1处的切线与曲线()212y ax a x =+−−只有一个公共点，则实数a 的取值范围为（ ） A ．{}1,9 B ．{}0,1,9 C ．{}1,9−− D ．{}0,1,9−−6．已知函数()1ln 2x x f x a=++，()24x bx g x =−−−，52x =是函数()g x 的极值点，若对任意的11e ,1x −⎡⎤∈⎣⎦，总存在唯一的()2,3x ∈−∞，使得()()12f x g x =成立，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(),0∞− B ．[)4,+∞C ．2,e e ⎛⎤⎥⎝⎦D ．(],1−∞−【答案】A0fx，得x >111(e )2e a −=−+112,2⎤−++⎥ 7．已知0.1sin0.1,ln1.1,e 1a b c ===−，则（ ） A ．b a c << B ．c b a << C ．b c a << D ．a b c <<【答案】A【分析】分别构造函数()()()()=e 1,sin ,ln 1sin xf x xg x x xh x x x −−=−=+−，利用导数判断函数的单调性即可求解.【详解】依题意，令()=e 1x f x x −−，则()e 1xf x '=−，当()0,x ∈+∞时，0fx ，8．已知函数()f x 及其导函数()f x '的定义域均为，记()()g x f x '=.若函数(1)y f x x =+−与(2)y g x =+均为偶函数，则下列结论中错误的是（ ）A ．(1)1g =B ．函数(1)f x y x+=的图象关于点(0,1)对称C ．函数()g x 的周期为2D ．()()20241[(1)(11)]0k g k g k =−++=∑【答案】C()()()()()()2214120241g g g ⎡⎤=⨯−+−+⋅⋅⋅+−⎣⎦ ()()()()10122141g g ⎡⎤=⨯−+−⎣⎦()()()()10122421012000g g =⨯+−=⨯−=选项D 正确. 故选：C.【点睛】关键点点睛：本题CD 的关键是利用其奇偶性和对称性得到其周期性，再计算出()(2)2g x g x ++=，结合其周期进行求和从而判断D 选项.二、多选题9．设函数()f x 在R 上可导，其导函数为()f x '，且函数()()g x xf x ='的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是（ ）A ．()f x 有两个极值点B ．()0f 为函数的极大值C ．()f x 有两个极小值D ．()1f −为()f x 的极小值【答案】BC【分析】根据()()g x xf x '=的图象，得到的单调性和极值情况，得出结论.【详解】根据()()g x xf x '=的图象，可得当<2x −时，()()0g x xf x '=>，可得()0f x '<，即单调递减，当20x −<<时，()()0g x xf x '=<，可得0fx，即单调递增， 当01x <<时，()()0g x xf x '=<，可得()0f x '<，即单调递减， 当1x >时，()()0g x xf x '=>，可得0f x，即单调递增，因此在2x =−和1x =处取得极小值，在0x =处取得极大值，共3个极值点，可得A 错误，C 正确；选项B ，()0f 为函数的极大值，即B 正确；()1f −不为函数的极小值，D 错误.故选：BC10．函数()()320ax bx d a f x cx =+++≠有两个极值点12,x x ，则下列结论正确的是（ ）A ．若()()120f x f x ⋅<，则有3个零点B ．过上任一点至少可作两条直线与相切C ．若()10af x <，则只有一个零点D ．()()1223b f x f x f a ⎛⎫+=− ⎪⎝⎭0f x；(x ∈上单调递增，在()12,x x 上单调递减；x 趋近于+∞时，此时由图象可知有同理当a<0时，易知且当x 趋近于−∞时，利用三次函数性质可知，当此时由图象可知有3个零点；所以若()()120f x f x ⋅<，则有3个零点，即A 正确；所以B 错误；（即，过三次函数的对称中心，有且仅有一条切线） 若12x x <，结论成立，理由见下。
江苏省常州高级中学2023-2024学年高二下学期期中质量检查数学试题(含简单答案)
常州高级中学2023-2024学年高二下学期期中质量检查数学试卷说明：1．请将答案填写在答卷上.2．本卷总分为150分，考试时间为120分钟.一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 曲线在点处的切线方程为（ ）A.B. C. D. 2. 已知，则（ ）A B. 1 C. 2 D. 53. 函数的图象大致是（ ）A. B.C. D.4. 已知向量与共线，则实数（ ）A 0B. 1C. 或2D. 或15. 在四面体中，点E 满足F 为BE 中点，且则实数λ=（ ）A.B.C.D.6. 已知函数在区间上单调递增，则最小值为（ ）A. B. C. D.7. 已知四棱锥的底面为直角梯形，，底面，且..的的2()ln f x x x =-(1,(1))f y x=-23y x =-32y x =-+21y x =-+()()231f x x xf '=+()1f '=1-2ln x x y x=()0,1,1a =- ()20,2,b k k =- k =1-2-ABCD DE DC λ=，111236AF AB AC AD =++ ，14131223()3e xf x a x =-()1,3a 13e -e212e -327e -P ABCD -//AB DC 90DAB ∠=︒PA ⊥ABCD，，则异面直线与所成的角的余弦值为（ ）A.B.C.D.8. 已知，对任意的，不等式恒成立，则的取值范围为（ ）A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9. 若，，则下列说法正确的是（ ）A. B. 事件与相互独立C. D. 10. 如图，在棱长为2的正方体中，，分别是棱，的中点，则下列说法正确的是（ ）A. ，，，四点共面B.C. 直线与所成角的余弦值为D. 点到直线的距离为111. 已知函数，则下列说法正确的是（ ）A. 在R 上是增函数B. ，不等式恒成立，则正实数的最小值为C. 若有两个零点，则D. 若过点恰有2条与曲线相切的直线，则三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．1PA AD DC ===2AB =AC PB 0λ>1x >2ln e 02xxλλ-≥λ[)2e,+∞1,2e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭[)e,+∞1,e ∞⎡⎫+⎪⎢⎣⎭()13P A =()12P B =()34P B A =()14P AB =A B ()712P A B =()38P B A =1111ABCD A B C D -E F 11B C 1BB A B E 1D DF BE⊥AFBE 23E 1DF ()e xf x x =-()exf 1x ∀>()()2ln f ax f x≥a 2e()f x t =12,x x 120x x +>()1,M m ()y f x =1e 1m -<<-12. 设，则______．13. 如图，在四棱锥中，底面为菱形，，，为棱的中点，且，则______．14. 若关于的方程有4个不同的实数解，则实数的取值范围是______．四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15. 为建设“书香校园”，学校图书馆对所有学生开放图书借阅，可借阅的图书分为“期刊杂志”与“文献书籍”两类，已知该校小明同学的图书借阅规律如下：第一次随机选择一类图书借阅，若前一次选择借阅“期刊杂志”，则下次也选择借阅“期刊杂志”的概率为，若前一次选择借阅“文献书籍”，则下次选择借阅“期刊杂志”的概率为．（1）求小明同学在两次借阅过程中恰有一次借阅“期刊杂志”的概率；（2）求小明同学在两次借阅过程中，第二次借阅的是“文献书籍”的概率．16. 如图1所示，为等腰直角三角形，分别为中点，将沿直线翻折，使得，如图2所示．（1）求证：平面平面；（2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值17. 某市为提高市民的健康水平，拟在半径为20米的半圆形区域内修建一个健身广场，该健身广场（如图所示的阴影部分）分休闲健身和儿童活动两个功能区，图中矩形区域是休闲健身区，以为底()(),0.3,0.6A B P A P B ⊆==()P A B =P ABCD -ABCD 4AB =2π3DAB ∠=M PC 5AM AB ⋅= AP AB ⋅=x 222ln ln 09exx mx x -+=m 1335ABC V 2,,AB AC E F ==,AC BC CEF △EF π2AEC =ÐAEC ⊥ABFE BCF CEF ABCD CD边的等腰三角形区域是儿童活动区，，，三点在圆弧上，中点恰好在圆心．设，健身广场的面积为．（1）求出关于的函数解析式；（2）当角取何值时，健身广场的面积最大？18. 如图，四棱锥的底面为矩形，平面平面是边长为2的等边三角形，为的中点，点为线段上一点（与点不重合）．（1）证明：；（2）当为何值时，直线与平面所成角最大？（3）在（2）的条件下，求点到平面的距离．19. 已知函数．（1）当时，求的单调区间；（2）若是的极小值点，求的取值范围．常州高级中学2023-2024学年高二下学期期中质量检查数学试卷 简要答案一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．【1题答案】的PCD P C D AB O COB θ∠=S S θθP ABCD -PCD ⊥,ABCD PCD V BC =E CD M PE ,P E AM BD ⊥AM AM BDM P BDM ()22(ln )(1),f x x a x a =--∈R 1a =()f x 1x =()f x a【答案】A 【2题答案】【答案】A 【3题答案】【答案】D 【4题答案】【答案】D 【5题答案】【答案】D 【6题答案】【答案】C 【7题答案】【答案】B 【8题答案】【答案】B二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．【9题答案】【答案】ACD 【10题答案】【答案】BD 【11题答案】【答案】ABD三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．【12题答案】【答案】##【13题答案】【答案】2【14题答案】120.5【答案】四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.【15题答案】【答案】（1） （2）【16题答案】【答案】（1）证明略 （2【17题答案】【答案】（1） （2）【18题答案】【答案】（1）证明略. （2） （3【19题答案】【答案】（1）的单调递减区间为，无增区间 （2）2,3e 9e 10⎛⎫⎪⎝⎭1930815()π400sin cos cos ,02S θθθθ⎛⎫=+<< ⎪⎝⎭π6θ=2AM =()f x ()0,∞+(),1a ∞∈-。
2023-2024学年江苏省常州市高二下学期6月联考数学阶段检测试题(含解析)
2023-2024学年江苏省常州市高二下学期6月联考数学阶段检测试题一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上．1. 设集合，，则（）{}1,0,1A =-(){}lg 20B x x =+>A B = A.B.C.D.{}1,0,1－{}0,1{}1()1,-+∞2. 已知，，且，则（ ）()1,2,a y =-r(),1,2b x =r()2//b a b- A ．，B ．，13x =1y =12x =4y =-C ．，D ．，2x =14y =-1x =1y =-3.设，且，则的（ ）0,0a b >>21a b +=22log log a b +A ．最小值为-3B ．最小值为3C ．最大值为-3D ．最大值为34.函数在区间的图象大致为( )x y xx cos )33(--=5.设随机变量ξ ～ N (μ，4)，函数f (x )＝x 2＋2x －ξ没有零点的概率是0.5，则P (1＜ξ≤3)＝（ ）附：随机变量ξ服从正态分布N (μ，σ2)，P (μ－σ＜ξ＜μ＋σ)＝0.6827，P (μ－2σ＜ξ＜μ＋2σ)＝0.9545．A ．0.1587B ．0.1359C ．0.2718D ．0.34136. 若过点可以作曲线的两条切线，则（ ）()1,b ()ln 1y x =+A ．B ．ln22b <<ln2b >C ．D ．0ln2b <<1b >7. 泊松分布是统计学里常见的离散型概率分布，由法国数学家泊松首次提出．泊松分布的概率分布列为P (X ＝k )＝e(k ＝0，1，2，…)，其中e 为自然对数的底数，λ是泊松分布的λk !均值．已知某种商品每周销售的件数相互独立，且服从参数为λ(λ＞0)的泊松分布．若每周销售1件该商品与每周销售2件该商品的概率相等，则两周共销售2件该商品的概率为（ ）A ．B ．C ．D ．8. 已知函数的定义域为，且满足，的导函数为，函()x f R 4)3()(=-+x f x f ()x f )(x g 数为奇函数，则=（ ）1)31(-+=x g y )2024()23(g f +A ．-3B ．3C ．-1D ．1二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分，请把答案填涂在答题卡相应位置上．9.下列说法正确的是 （ ）A ．“x >2”是“<”的充分不必要条件1x 12B ．命题“” 的否定是21,210x x ax ∃>--<21,210x x ax ∀≤--≥C ．已知幂函数的图象过点，则=()f x k x α=⋅1,2⎛ ⎝k α+32D ．已知随机变量服从两点分布，且，，令，则X ()00.6P X ==()10.4P X ==32Y X =-()20.6P Y =-=10. 如图，已知斜三棱柱中，，，，111ABC A B C -2BAC π∠=123BAA π∠=13CAA π∠=，，点是与的交点.下列选项中1AB AC ==12AA =O 1B C 1BC 正确的有( )A ．B ．()112AO AB AC AA =++32AO =C ．直线与AO BCD ．平面与平面不垂直ABC 11B BCC 11.在一个有限样本空间中，假设，且A 与B 相互独立，A 与C 互斥，()()()13P A P B P C ===则（ ）A ．B ．()23P A B ⋃=()()2P C A P A C=C ．D ．若，则()1P C AB =（）()()12P C B P C B +=()0P BC =3、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.某保险公司将其公司的被保险人分为三类：“谨慎的”“一般的”“冒失的”．统计资料表明，这三类人在一年内发生事故的概率依次为0.05,0.15,0.30.若该保险公司的被保险人中“谨慎的”被保险人占20%，“一般的”被保险人占50%，“冒失的”被保险人占30%，则该保险公司的一个被保险人在一年内发生事故的概率是．13.若不等式＋≥在x ∈(，2)上恒成立，则实数的取值范围为．a 21x x-2log 2x 12a 14.如图，已知点是圆台的上底面圆上的动点，在下底面圆上，A 1O O 1O ,BC O，则直线与平面所成角的正弦值的最大值为111,2,3,AO OO BO BC ====AO 1O BC ．4、解答题：本题共5小题，共77分．解答过程写出文字说明、证明过程或者演算过程．15. 已知集合，．{}14A x x =≤≤{}22210B x x mx m =-+-≤（1）命题p ：，命题q ：，且p 是q 的必要不充分条件，求实数m 的取值范围；x A ∈x B ∈（2）函数()22log 22+-=x ax y 的定义域为，若，求实数的取值范围。
2023-2024学年江苏省常州市高二下学期4月阶段性调研测试数学质量检测模拟试题(含解析)
2023-2024学年江苏省常州市高二下学期4月阶段性调研测试数学模拟试题一、单选题1．899091100⨯⨯⨯⨯ 可以表示为()．A ．10100A B ．11100A C ．12100A D ．13100A 【正确答案】C【分析】根据排列数的计算公式()()()12··1mn A n n n n m ⋅-⋅-- ＝＋即可判断﹒【详解】899091100⨯⨯⨯⨯ ＝12100A ，故选：C ﹒2．若平面α，β的法向量分别为()1,2,4a =-，(),1,2b x =-- ，并且//αβ，则x 的值为（）A ．10B ．10-C ．12D ．12-【正确答案】C根据两个法向量共线可得x 的值.【详解】因为//αβ，,a b 共线，故12124x --==-，故12x =，故选：C.3．根据组合数的性质可知，222223410C C C C +++⋅⋅⋅+=（）A ．310C B ．211C C ．311C D ．411C 【正确答案】C【分析】根据性质1121C C C C C r r r r r r r r n n +++++++⋅⋅⋅+=直接可得.【详解】由性质1121C C C C C r r r r r r r r n n +++++++⋅⋅⋅+=可得222232341011C C C C C +++⋅⋅⋅+=.故选：C4．从11名大学毕业生中选3人担任村主任助理，则甲、乙至少有1人入选，而丙没有入选的不同选法的种数为（）A ．49B ．56C ．64D ．84【正确答案】C【分析】分别在甲、乙有且仅有1人入选和甲、乙2人都入选的情况下确定选法种数，根据分类加法计数原理可求得结果.【详解】甲、乙有且仅有1人入选、丙没有入选的情况有：1228C C 56=种；甲、乙2人都入选、丙没有入选的情况有：18C 8=种；∴甲、乙至少有1人入选，而丙没有入选的不同选法的种数有56864+=种.故选：C.5．将一枚骰子连续抛两次，得到正面朝上的点数分别为x 、y ，记事件A 为“x y +为偶数”，事件B 为“7x y +<”，则(|)P B A 的值为（）A ．13B ．12C ．59D ．79【正确答案】B【分析】利用条件概率的公式求解即可.【详解】根据题意可知，若事件A 为“x y +为偶数”发生，则x 、y 两个数均为奇数或均为偶数，其中基本事件数为()1,1，()1,3，()1,5，()2,2，()2,4，()2,6，()3,1，()3,3，()3,5，()4,2，()4,4，()4,6，()5,1，()5,3，()5,5，()6,2，()6,4，()6,6，一共18个基本事件，∴()181362P A ==,而A 、B 同时发生，基本事件有当一共有9个基本事件，∴91()364P AB ==，则在事件A 发生的情况下，B 发生的概率为()()()114122P AB P B A P A ===,故选:B .6．已知三棱锥O ABC -中，点M 为棱OA 的中点，点G 为ABC 的重心，设OA a = ，OB b = ，OC c =，则向量MG =（）A ．111633a b c-++ B ．111633a b c--C ．111633a b c-+ D ．111633a b c-+- 【正确答案】A作出图形，利用重心的性质可得出OG关于a 、b 、c 的表达式，再由MG OG OM =- 可得结果.【详解】连接CG 并延长交AB 于点E ，连接OE ，则E 为AB 的中点，且23CG CE =，()()()111111222222CE CA AE CA AB CA CB CA CA CB OA OC OB OC=+=+=+-=+=-+-1122a b c =+- ，22111113322333OG OC CG OC CE c a b c a b c ⎛⎫∴=+=+=++-=++ ⎪⎝⎭ ，M 为OA 的中点，11111113332633MG OG OM a b c a a b c ⎛⎫∴=-=++-=-++ ⎪⎝⎭.故选：A.7．某次考试共有4道单选题，某学生对其中3道题有思路，1道题完全没有思路．有思路的题目每道做对的概率为0.8，没有思路的题目，只好任意猜一个答案，猜对的概率为0.25．若从这4道题中任选2道，则这个学生2道题全做对的概率为（）A ．0.34B ．0.37C ．0.42D ．0.43【正确答案】C【分析】根据排列组合以及概率的乘法公式即可求解.【详解】设事件A 表示“两道题全做对”，若两个题目都有思路，则223124C 0.80.32C P =⨯=,若两个题目中一个有思路一个没有思路，则1113224C C 0.80.250.1C P =⨯⨯=，故12()0.320.10.42P A P P =+=+=,故选：C8．《九章算术》是我国古代数学名著，它在几何学中的研究比西方早一千多年，例如堑堵指底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱；鳖臑指的是四个面均为直角三角形的三棱锥如图，在堑堵ABC ﹣A 1B 1C 1中，∠ACB ＝90°，若AB，AA 1＝2，当鳖臑A 1﹣ABC 体积最大时，直线B 1C 与平面ABB 1A 1所成角的余弦值为（）A．10B．10C ．13D．3【正确答案】A【分析】当鳖臑A 1﹣ABC 体积最大时，AC ＝BC ＝1，以C 为原点，CA 为x 轴，CB 为y 轴，CC 1为z 轴，建立空间直角坐标系，由此能求出直线B 1C 与平面ABB 1A 1所成角的余弦值．【详解】解：在堑堵ABC ﹣A 1B 1C 1中，∠ACB ＝90°，AB，AA 1＝2，当鳖臑A 1﹣ABC 体积最大时，AC ＝BC ＝1，以C 为原点，CA 为x 轴，CB 为y 轴，CC 1为z 轴，建立空间直角坐标系，B 1（0，1，2），C （0，0，0），A （1，0，0），B （0，1，0），11(0,1,2),(1,1,0),(0,0,2)B C BA BB =--=-=设平面ABB 1A 1的法向量(,,)n x y z =，则1020n BA x y n BB z ⎧⋅=-=⎪⎨⋅==⎪⎩ ，取x ＝1，得(1,1,0)n = ，设直线B 1C 与平面ABB 1A 1所成角为θ，则11sin B C n B C nθ⋅=所以cos θ=∴直线B 1C 与平面ABB 1A 1故选：A ．二、多选题9．从4名男生、3名女生中选2人分别担任班长和副部长，要求选出的2人中至少有一名男生，则不同的方法数为（）A ．112462C C A B ．()222732C C A -C ．()11224342C C C A +D ．2273A A -【正确答案】BCD【分析】根据选项注意分析即可.【详解】112462C C A 表示从4名男生中选1人，再从剩余的6人中选1人，最后将选出的2人进行排列，当选出的2人都为男生时，此算法有重复，故A 错误；()222732CC A -表示先从7人中选2人，减去2人都是女生的情况，最后将选出的2人进行排列，故B正确；()11224342C CC A +表示先从4名男生和3名女生中各选1人，或从4名男生中选2人，最后将选出的2人进行排列，故C 正确；2273A A -表示从7人中选出2人进行排列，然后减去2人都是女生的情况，故D 正确.故选：BCD10．已知()727012712x a a x a x a x -=+++⋅⋅⋅+，则（）A ．01a =B ．722a =C ．01271a a a a +++⋅⋅⋅+=-D ．701273a a a a +++⋅⋅⋅+=【正确答案】ACD【分析】令0x =可求得0a 可判断A ；写出该二项展开式的通项可得2a 可判断B ；令1x =，求得0127a a a a +++⋅⋅⋅+，进而求得127a a a +++ 可判断C ；由二项展开式的通项分析可知，当k 为偶数时，0k a >，当k 为奇数时，0k a <，然后令=1x -可得出所求式子的值，可判断D ．【详解】因为()727012712x a a x a x a x -=+++⋅⋅⋅+，令0x =，得01a =，故A 正确；()712x -展开式的通项为7177C 1(2)(2)C r r r r r r r T x x -+=-=-，则7222(2)C 84a =-=，故B 错误；令1x =，得01271a a a a -=+++⋅⋅⋅+，故C 正确；()712x -展开式的通项为17(2)C r r r r T x +=-，则()72C kkk a =-，其中07k ≤≤且N k ∈，当k 为偶数时，0k a >；当k 为奇数时，0k a <，令=1x -，可得70127012345673a a a a a a a a a a a a +++⋅⋅⋅+=-+-+-+-=，故D 正确.故选：ACD.11．假设某厂有两条包装食盐的生产线甲、乙，生产线甲正常情况下生产出来的包装食盐质量服从正态分布()2500,5N （单位：g ），生产线乙正常情况下生产出来包装食盐质量为x g ，随机变量x 服从正态密度函数()2200(1000)x x ϕ--，其中x ∈R ，则（）附：随机变量2(,)N ξμσ-，则()0.683P μσξμσ-<<+=，()220.954P μσξμσ-<<+=，()330.997P μσξμσ-<<+=．A ．正常情况下，从生产线甲任意抽取一包食盐，质量小于485g 的概率为0.15%B ．生产线乙的食盐质量()2~1000,100x N C ．生产线乙产出的包装食盐一定比生产线甲产出的包装食盐质量重D ．生产线甲上的检测员某天随机抽取两包食盐，称得其质量均大于515g ，于是判断出该生产线出现异常是合理的【正确答案】AD【分析】根据正态分布的参数，以及结合3σ原则的参考数据，即可判断选项.【详解】由条件可知，设生产线甲正常情况下生产出来的包装食盐的质量为X ，其中()2500,5X N ，其中500μ=，5σ=，则()()10.99748530.00150.15%2P X P X μσ-<=<-===，故A 正确；B.随机变量x 服从正态密度函数()2200(1000)x x ϕ--，可知，1000μ=，10σ=，所以生产线乙的食盐质量()2~1000,10x N ，故B 错误；C.不一定，可能小概率事件发生，生产线乙产出的包装食盐比生产线甲产出的包装食盐质量轻，故C 错误；D.()()10.99751530.00150.15%2P X P X μσ->=>+===，说明生产线甲抽到质量大于515g 的可能性很低，所以随机抽取两包质量均大于515g ，说明判断出该生产线出现异常是合理的，故D 正确.故选：AD12．已知离散型随机变量X 服从二项分布(),B n p ，其中N ,01n p *∈<<，记X 为奇数的概率为a ，X 为偶数的概率为b ，则下列说法中正确的有（）A ．1a b +=B ．12p =时，a b =C ．102p <<时，a 随着n 的增大而增大D ．112p <<时，a 随着n 的增大而减小【正确答案】ABC【分析】选项A 利用概率的基本性质即可，B 选项由条件可知满足二项分布，利用二项分布进行分析，选项C ，D 根据题意把a 的表达式写出，然后利用单调性分析即可.【详解】对于A 选项，由概率的基本性质可知，1a b +=，故A 正确，对于B 选项，由12p =时，离散型随机变量X 服从二项分布1,2B n ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则()()11C 10,1,2,3,,22kn kk nP X k k n -⎛⎫⎛⎫===-= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，所以()1351111C C C 2222nnn n n n a -⎛⎫⎛⎫=+++=⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ，()0241111C C C 2222nnn n n n b -⎛⎫⎛⎫=+++=⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以a b =，故B 正确，对于C,D 选项，()()()1111222nnnp p p p p a -+---⎡⎤⎡⎤--⎣⎦⎣⎦=，当102p <<时，()1122np a --=为正项且单调递增的数列，故a 随着n 的增大而增大故选项C 正确，当112p <<时，()12na p =-为正负交替的摆动数列，故选项D 不正确.故选：ABC.三、填空题13．在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，M 为棱1CC 上任意一点，则AM BC ⋅=_______.【正确答案】1【分析】根据空间向量的线性运算及数量积的运算性质求解.【详解】如图，在正方体中，M 为棱1CC 上任意一点，则11CM CC AA λλ==，01λ≤≤，()()21001AM BC A AC CM AB AD AA D D AD A λ∴=+⋅=++⋅⋅=++= .故1.14．()521x y -+展开式中含2x y 项的系数为______．【正确答案】－60【分析】根据二项式的通项公式进行求解即可.【详解】()()552112x y x y -+=+-⎡⎤⎣⎦，设该二项式的通项公式为()()5155C 12C 2rrr r rr T x y x y -+=⋅⋅-=⋅-，因为2x y 的次数为3，所以令3r =，二项式()32x y -的通项公式为()313C 2r r r r T x y '''-'+'=⋅⋅-，令1r '=，所以2x y 项的系数为()3153C C 260⋅⋅-=-，故60-15．某企业的一批产品由一等品零件、二等品零件混装而成，每包产品均含有10个零件．小张到该企业采购，利用如下方法进行抽检：从该企业产品中随机抽取1包产品，再从该包产品中随机抽取4个零件，若抽取的零件都是一等品，则决定采购该企业产品；否则，拒绝采购．假设该企业这批产品中，每包产品均含1个或2个二等品零件，其中含2个二等品零件的包数占10%，则小张决定采购该企业产品的概率为______．【正确答案】4375【分析】根据题意，分析可得含1个二等品零件的包数占90%，进而由对立事件和互斥事件的概率公式计算可得答案．【详解】解：根据题意，该企业这批产品中，含2个二等品零件的包数占10%，则含1个二等品零件的包数占90%，在含1个二等品零件产品中，随机抽取4个零件，若抽取的4个零件都是一等品，其概率491410C 3C 5P ==，在含2个二等品零件产品中，随机抽取4个零件，若抽取的4个零件都是一等品，其概率482410C 1C 3P ==，则小张决定采购该企业产品的概率93114310510375P =⨯+⨯=；故4375．四、双空题16．在数字通信中，信号是由数字“0”和“1”组成的序列.现连续发射信号n 次，每次发射信号“0”和“1”是等可能的.记发射信号“1”的次数为X .①当6n =时，()2P X ≤=_______；②已知切比雪夫不等式：对于任一随机变量Y ，若其数学期望()E Y 和方差()D Y 均存在，则对任意正实数a ，有()()()21D Y P Y E Y a a-<≥-.根据该不等式可以对事件“()Y E Y a -<”的概率作出下限估计.为了至少有98%的把握使发射信号“1”的频率在0.4与0.6之间，估计信号发射次数n 的最小值为_______.【正确答案】11321250【分析】①根据二项分布公式计算()2P X ≤；②运用二项分布公式算出()E X 和()D X ，再根据题意求出()X E X a -<中a 的表达式，最后利用切比雪夫不等式求解.【详解】①当6n =时，由已知16,2X B ⎛⎫⎪⎝⎭，所以()()()()2012P X P X P X P X ≤==+=+=652412666111111615112222264646432C C C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+⋅+⋅=++= ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭；②由已知1,2X B n ⎛⎫⎪⎝⎭，所以()()0.5,0.25E X n D X n ==，若0.40.6Xn≤≤，则0.40.6n X n ≤≤，即0.10.50.1n X n n -≤-≤，即0.50.1X n n -≤.由切比雪夫不等式()20.250.50.11(0.1)nP X n n n -≤≥-，要使得至少有98%的把握使发射信号“1”的频率在0.4与0.6之间，则20.2510.98(0.1)nn -≥，解得1250n ≥，所以估计信号发射次数n 的最小值为1250.故1132；1250.五、解答题17．在1，2，3，…，9这9个自然数中，任取2个不同的数.(1)求这2个数中恰有1个是奇数的概率；(2)设X 为所取的2个数中奇数的个数，求随机变量X 的概率分布及均值.【正确答案】(1)59(2)分布列见解析，均值为109．【分析】（1）由9个数中5个奇数，4个偶数，可得出取出的2个数中恰有1个是奇数的方法数，从而计算出概率；（2）X 的可能值依次为0,1,2，分别计算出概率的分布列，由均值公式计算出均值．【详解】（1）9个数中5个奇数，4个偶数，因此所求概率为11542959C C P C ==；（2）X 的可能值依次为0,1,2，24291(0)6C P X C ===，25295(2)18C P X C ===，X 的分布列为X012P1659518均值为15510()01269189E X =⨯+⨯+⨯=．18．已知在()()*2nx n -∈N 的展开式中，第2项与第8项的二项式系数相等.(1)求展开式中二项式系数最大的项；(2)求()112n x x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭展开式中的常数项.【正确答案】(1)41120x (2)1280【分析】（1）根据题目条件先求出n ，再根据二项式系数的性质求出结果；（2）()(2)(2112)n n n x x x x x =⎛⎫---⎝-⎪⎭- ，结合（1）中n 的结果，求出(2)n x -的常数项和x 的系数即可.【详解】（1）依题意得，17C C n n =，解得8n =，根据二项式系数的性质48C 最大，于是展开式中系数最大的项为.44448C (2)1120x x-=（2）()()888211(2)2x x x x x -⎛⎫--⎭--⎪= ⎝，8(2)x -展开式的常数项为：8(2)256-=，8(2)x -展开式的x 的系数为：778C (2)1024-=-，于是()8112x x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭展开式的常数项为：256(1024)1280--=19．如图，在四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 是直角梯形，,,AD BC AB BC SA ⊥⊥//平面ABCD ，22SA AB BC AD ====(1)求C 到平面SBD 的距离；(2)求平面SAB 与平面SCD 的夹角的正弦值.【正确答案】2633【分析】（1）根据等体积S BCD C SBD V V --=求解.（2）以A 为坐标原点，分别以,,AD AB AS 为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系A xyz -，设平面SAB 与平面SCD 的夹角为θ，则1212cos n n n n θ⋅=⋅ 代入求解.【详解】（1）SA ⊥ 平面ABCD ，所以SA 是三棱锥S BCD -的高，根据题意，设C 到平面SBD 的距离为h，SD BD SB ===，由S BCD C SBD V V --=得1133BCD SBD S SA S h ⋅⋅=⋅ ，代入数据11112223232h ⨯⨯⨯⨯=⨯⨯，得h =，所以C 到平面SBD的距离为3.（2）由SA ⊥平面ABCD ，,AB AD ⊂平面ABCD ，,SA AB SA AD ∴⊥⊥，又,,AD BC AB BC ⊥//则AB AD ⊥，,,SA AB AD ∴两两垂直，以A 为坐标原点，分别以,,AD AB AS 为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系A xyz -，则()()()0,0,2,1,0,0,2,2,0S D C ，则()()1,0,2,1,2,0SD DC =-=设平面SCD 的一个法向量为()1000,,n x y z = ，则()()()()1000001000001,0,2,,201,2,0,,20SD n x y z x z DC n x y z x y ⎧⋅=-⋅=-=⎪⎨⋅=⋅=+=⎪⎩ ，令01z =，则()12,1,1n =-，平面SAB 的一个法向量()21,0,0n =，设平面SAB 与平面SCD 的夹角为θ，则1212cos 3n n n n θ⋅===⋅，sin θ∴=SAB 与平面SCD的夹角的正弦值为320．（1）求证：11C C r r n n r n --=；（2）求和：123C 2C 3C C nn n n n n +++⋅⋅⋅+；（3）求证：当随机变量(),X B n p 时，()E X np=【正确答案】（1）证明见解析；（2）12n n -⋅；（3）证明见解析【分析】（1）由组合数公式证明即可；（2）由（1）中结论，结合二项式系数的性质求解；（3）写出()E X 的表达式，由（2）中结论，结合二项式定理求解．【详解】（1）()()()!!C !!!1!r n n n r r n r r n r r =⋅=---，()()()()()111!!C !1!!1!r n n n n n n r r n r r ---=⋅=----，所以11C C r r n n r n --=.（2）12301211111C 2C 3C C C C C C n n n n n n n n n n n n n n n -----+++⋅⋅⋅+=+++⋅⋅⋅+()012111111C C C C 2n n n n n n n n ------=+++⋅⋅⋅+=⋅.（3）()()()()()120011220C 11C 12C 1C 1nn n n nn n n n E X p p p p p p n p p --=⋅⋅-+⋅⋅-+⋅⋅-+⋅⋅⋅+-()()()1201121111C 1C 1C 1n n n nn n n n p p n p pn p p------=⋅⋅-+⋅⋅-+⋅⋅⋅+-()()()120001111111C 1C 1C 1n n n n n n n n p p p p pp p -------⎡⎤=⋅⋅⋅-+⋅-+⋅⋅⋅+-⎣⎦()11n n p p p np -=⋅⋅+-=.21．如图，四棱锥P ABCD -的底面为正方形，PA ⊥底面ABCD ，3PA AB ==，点E 在棱PD 上，且2PE ED =，点F 是棱PC 上的动点（不含端点）.(1)若F 是棱PC 的中点，求EAF ∠的余弦值；(2)求PA 与平面AEF 所成角的正弦值的最大值.【正确答案】15555【分析】（1）建立空间直角坐标系，求出AE ，AF的坐标，利用向量夹角公式求解；（2）设PF PC λ=，求出平面AEF 的法向量1n ，设PA 与平面AEF 所成角为θ，则12sin cos 1614,n PA θλλ=-+.【详解】（1）由PA ⊥平面ABCD ，AB ，AD ⊂平面ABCD ，所以PA AB ⊥，PA AD ⊥，又AB AD ⊥，所以PA 、AB 、AD 两两垂直，以A 为坐标原点，分别以AB ，AD ，AP 所在直线为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系A xyz -，则()0,0,3P ，()0,0,0A ，()3,0,0B ，()3,3,0C ，()0,3,0D ，()0,1,2E ，当F 为棱PC 的中点时，333,,222F ⎛⎫⎪⎝⎭，则()0,1,2AE = ，333,,222AF ⎛⎫= ⎪⎝⎭ ，9152cos 55,332AE AF AE AF AE AF⋅=⨯，所以EAF ∠15（2）()3,3,3PC =- ，设()3,3,3PF PC λλλλ==-，01λ<<，则()3,3,3AF AP λλλ--= ，则()3,3,33AF λλλ=- ，又()0,1,2AE =，设平面AEF 的一个法向量为()1111,,n x y z = ，则1100n AE n AF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即()111112033330y z x y z λλλ+=⎧⎨++-=⎩，取131,2,1n λλ-⎛⎫=-⎪⎝⎭ ，()0,0,3PA =-，设PA 与平面AEF 所成角为θ，111sin cos ,n PA n PA n PAθ==⋅令221611435y λλλ⎛⎫=-+=-+ ⎪⎝⎭，当13λ=时，min 5y =，即13λ=时，sin θ所以PA 与平面AEF22．法国数学家庞加莱是个喜欢吃面包的人，他每天都会到同一家面包店购买一个面包，该面包店的面包师声称自己所出售的面包的平均质量是1000g ，上下浮动不超过50g ，这句话用数学语言来表达就是：每个面包的质量服从期望为1000g ，标准差为50g 的正态分布.(1)已知如下结论：若()2,X N μσ~，从X 的取值中随机抽取(),2k k k *∈≥N 个数据，记这k 个数据的平均值为Y ，则随机变量2,Y N k σμ⎛⎫~ ⎪⎝⎭.利用该结论解决下面问题.①假设面包师的说法是真实的，随机购买25个面包，记随机购买25个面包的平均值为Y ，求()980P Y <；②庞加莱每天都会将买来的面包称重并记录，25天后，得到的数据都落在()950,1050上并经计算25个面包质量的平均值为978.72g.庞加莱通过分析举报了该面包师，从概率角度说明庞加菜举报该面包师的理由；(2)假设有两箱面包（面包除颜色外，其他都一样），已知第一箱中共装有6个面包，其中黑色面包有2个；第二箱中共装有8个面包，其中黑色面包有3个.现随机挑选一箱，然后从该箱中随机取出2个面包.求取出黑色面包个数的分布列及数学期望.附：①随机变量η服从正态分布()2,N μσ，则()0.6827P μσημσ-≤≤+=，()220.9545P μσημσ-≤≤+=，()330.9973P μσημσ-≤≤+=②通常把发生概率小于0.05的事件称为小概率事件，小概率事件基本不会发生【正确答案】(1)①0.02275；②答案见解析(2)分布列见解析，1724【分析】（1）（i ）由正太分布的对称性及3σ原则进行求解；（ii ）结合第一问求解的概率及小概率事件进行说明；（2）设取出黑色面包个数为随机变量ξ，则ξ的可能取值为0,1,2,求出相应的概率，进而求出分布列及数学期望.【详解】（1）（i ）假设面包师说法是真实的，则每个面包的质量()21000,50X N 由已知结论可知，()21000,10Y N 由附①数据知，()10.95459800.022752P Y -≤==（ii ），由附②知，事件“980Y ≤”为小概率事件，由题25个面包质量的平均值978.72980Y =<，小概率事件“980Y ≤”发生所以庞加莱认为面包师的说法不真实，进行了举报（2）由题意，设随机挑选一箱，取出两个面包，其中黑色面包个数为ξ，则ξ的取值为0，1，2设=i A “所取两个面包来自第i 箱”()1,2i =，所以1212A A P P ==设i B =“所取两个面包有i 各黑色面包”()1,2i =，由全概率公式()()()()()22540110222268C C 115302C 2C 140P P B A P A P B A PA ξ==+=⨯+⨯=∣∣，()()()()()111153421111222268C C C C 1144912C 2C 840P P B A P A P B A P A ξ==+=⨯+⨯=∣∣，()()()()()22322112222268C C 117322C 2C 840P P B A P A P B A P A ξ==+=⨯+⨯=∣∣，所以黑色面包个数ξ的分布列为ξ012P5314044984073840所以53449735951701214084084084024E ξ=⨯+⨯+⨯==。
2023-2024学年江苏省常州市高二下学期4月阶段测试数学质量检测模拟试题(含解析)
2023-2024学年江苏省常州市高二下册4月阶段测试数学模拟试题一、单选题1．已知随机变量X 服从正态分布()22,N σ，且()30.3P X ≥=，则(1)P X >=（）A ．0.3B ．0.4C ．0.6D ．0.7【正确答案】D【分析】根据正态分布的性质进行求解即可.【详解】因为()30.3P X ≥=，所以()()()1111310.30.7P X P X P X >=-<=-≥=-=，故选：D2．某班有6名班干部，其中4名男生，2名女生.从中选出3人参加学校组织的社会实践活动，在男生甲被选中的情况下，女生乙也被选中的概率为（）A ．35B ．25C ．12D ．23【正确答案】B【分析】设男生甲被选中为事件A ，女生乙被选中为事件B ，分别求得()P A ，()P AB ，再结合条件概率的计算公式，即可求解.【详解】解：由题意，从现有4名男生，2名女生选出3人参加学校组织的社会实践活动，设男生甲被选中为事件A ，其概率为2536C 1()C 2P A ==，设女生乙被选中为事件B ，则男生甲被选中且女生乙也被选中的概率为1436C 1()C 5P AB ==，所以在男生甲被选中的情况下，女生乙也被选中的概率为()1()25|1()52P AB P B A P A ===.故选：B.3．在空间直角坐标系o xyz -中，平面OAB 的法向量为()2, 2,1n =-，已知()1, 3, 1P -，则P 到平面OAB 的距离等于（）A ．4B ．2C ．3D ．1【正确答案】C【分析】根据点面距的向量公式计算．【详解】(1,3,1)OP =-所求距离为3OP n n⋅=．故选：C ．4．《易∙系辞上》有“河出图，洛出书”之说，河图、洛书是中华文化，阴阳术数之源，其中河图排列结构是一、六在后，二、七在前，三、八在左，四、九在右，五、十背中.如图，白圈为阳数，黑点为阴数.若从这10个数中任取3个数，则这3个数中至少有2个阳数的概率为（）A ．14B ．13C ．12D ．23【正确答案】C本题首先可以根据题意确定10个数中的阳数和阴数，然后求出任取3个数中有2个阳数以及任取3个数中有3个阳数的概率，最后两者相加，即可得出结果.【详解】由题意可知，10个数中，1、3、5、7、9是阳数，2、4、6、8、10是阴数，若任取3个数中有2个阳数，则2155310105512012C C P C ´===，若任取3个数中有3个阳数，则3531010112012C P C ===，故这3个数中至少有2个阳数的概率51112122P =+=，故选：C.本题考查超几何分布的概率计算，从有限的N 个物品（包括M 个指定物品）中抽取n 个物品，若抽取的n 个物品中有k 个指定物品，则概率k n k M N MnNC C P C --=，考查计算能力，是中档题.5．在某场新冠肺炎疫情视频会议中，甲､乙､丙､丁､戊五位疫情防控专家轮流发言，其中甲必须排在前两位，丙､丁必须排在一起，则这五位专家的不同发言顺序共有（）A ．8种B ．12种C ．20种D ．24种【正确答案】C先排甲，再将丙、丁捆绑在一起当一个元素排，再排乙、戊.【详解】当甲排在第一位时，共有323212A A =种发言顺序，当甲排在第二位时，共有1222228C A A =种发言顺序，所以一共有12820+=种不同的发言顺序.故选：C.方法点睛：本题主要考查排列的应用，属于中档题.常见排列数的求法为：（1）相邻问题采取“捆绑法”；（2）不相邻问题采取“插空法”；（3）有限制元素采取“优先法”；（4）特殊元素顺序确定问题，先让所有元素全排列，然后除以有限制元素的全排列数.6．已知随机变量ξ和η，其中127ηξ=+，且34E η=，若ξ的分布列如下表，则m 的值为ξ1234P 14mn112A ．13B ．14C ．16D ．18【正确答案】A【分析】根据随机变量ξ和η的关系得到E ξ，概率和为1，联立方程组解得答案.【详解】127ηξ=+且34E η=，则94E ξ=即11912344124E m n ξ=⨯+++⨯=111412m n +++=解得13m =故答案选A本题考查了随机变量的数学期望和概率，根据随机变量ξ和η的关系得到E ξ是解题的关键.7．()352()x x a -+的展开式的各项系数和为243，则该展开式中4x 的系数是（）．A ．5B ．40-C ．60-D ．100【正确答案】C()352()x x a -+的展开式的各项系数和为1x =的值，求出a 的值，根据()352()x x a -+产生4x 的项可求其系数【详解】解：1x =，()()3552()1+243x x a a ==-+所以2a =()352()x x a -+=()352(2)x x -+展开式中4x的系数是：()41455221260C C ⨯⨯+-⨯⨯=-故选：C考查二项展开式中各项系数的和的求法和求特定的项；基础题.8．如图已知矩形,1,ABCD AB BC ==AC 将ABC 折起，当二面角B AC D --的余弦值为13-时，则B 与D 之间距离为（）A ．1B CD【正确答案】C【分析】过B 和D 分别作BE AC ⊥，DF AC ⊥，根据向量垂直的性质，利用向量数量积进行转化求解即可．【详解】解：过B 和D 分别作BE AC ⊥，DF AC ⊥，在矩形,1,ABCD AB BC ==2AC ∴=，ABC ADC S S =△△，1122AB BC AC BE ∴⋅=⋅BE DF ∴==，则12AE CF ==，即211EF =-=，平面ABC 与平面ACD 所成角的余弦值为13-，cos EB∴< ,13FD >=- ， BD BE EF FD =++ ，∴2222233()22212cos 44BD BE EF FD BE EF FD BE EF FD BE EF FD EB FD EB=++=+++⋅+⋅+⋅=++-⋅<，51512(32322FD >=--=+= ，则BD =，即B 与D 故选：C ．二、多选题9．近年来中国进入一个鲜花消费的增长期，某农户利用精准扶贫政策，贷款承包了一个新型温室鲜花大棚，种植销售红玫瑰和白玫瑰.若这个大棚的红玫瑰和白玫瑰的日销量分别服从正态分布)(2,30N μ和)(2280,40N ，则下列选项正确的是（）附：若随机变量X 服从正态分布)(2,N μσ，则)(0.6827P X μσμσ-<<+≈.A ．若红玫瑰日销售量范围在)(30,280μ-内的概率是0.6827，则红玫瑰日销售量的平均数约为250B ．红玫瑰日销售量比白玫瑰日销售量更集中C ．白玫瑰日销售量比红玫瑰日销售量更集中D ．白玫瑰日销售量范围在)(280,320内的概率约为0.34135【正确答案】ABD【分析】由已知结合3σ原则求得μ，判断A 正确；比较方差的大小判断B 正确，C 错误；再由3σ原则求得白玫瑰日销售量范围在()280,320的概率可判断D 正确．【详解】对于A ，若红玫瑰日销售量范围在(30,280)μ-的概率是0.6827，则30280μ+=，即250μ=.∴红玫瑰日销售量的平均数约为250，正确；对于BC ，由于红玫瑰日销售量的方差10 90σ=，白玫瑰日销售量的方差20 160σ=，红玫瑰日销售量的方差小于白玫瑰日销售量的方差，则红玫瑰日销售量比白玫瑰日销售量更集中，故B 正确，C 错误；对于D ，白玫瑰日销售量范围在(280,320)的概率1()()0.341352P X P X μμσμσμσ=<<+=-<<+≈，故D 正确．故选：ABD ．10．小明与另外2名同学进行“手心手背”游戏，规则是：3人同时随机等可能选择手心或手背中的一种手势，规定相同手势人数多者每人得1分，其余每人得0分.现3人共进行了4次游戏，每次游戏互不影响，记小明4次游戏得分之和为X ，则下列结论正确的是（）A ．每次游戏中小明得1分的概率是34B ．X 的均值是2C ．X 的均值是3D ．X 的方差是14【正确答案】AC【分析】X 的可能取值为0，1，2，3，4，利用列举法求出小明每次得1分的概率34P =，从而3~(4,)4X B ，由此能求出()E X 和()D X ．【详解】解：3人同时随机等可能选择手心或手背中的一种手势，规定相同手势人数多者每人得1分，其余每人得0分，现3人共进行了4次游戏，记小明4次游戏得分之和为X ，则X 的可能取值为0，1，2，3，4，设其他两位同学为a ，b ，小明为c ，列表得：abc手心手心手背手心手背手背手心手心手心手心手背手心手背手心手背手背手心手心手背手背手背手背手背手心共有8种情况，小明得1分结果有6种情况，∴小明每次得1分的概率34P =，故A 正确；3~(4,)4X B ∴，故B 错误，C 正确；3()434E X ∴=⨯=，313()4444D X =⨯⨯=.故D 错误.故选：AC.11．已知2((0)n ax a>的展开式中第5项与第7项的二项数系数相等，且展开式的各项系数之和为1024，则下列说法正确的是（）A ．展开式中奇数项的二项式系数和为256B ．展开式中第6项的系数最大C ．展开式中存在常数项D ．展开式中含15x 项的系数为45【正确答案】BCD由二项式的展开式中第5项与第7项的二项数系数相等可知10n =,由展开式的各项系数之和为1024可得1a =,则二项式为10101222x x x-⎛⎫⎛+=+ ⎪ ⎝⎝⎭,易得该二项式展开式的二项式系数与系数相同,利用二项式系数的对称性判断A,B ；根据通项判断C,D 即可.【详解】由二项式的展开式中第5项与第7项的二项数系数相等可知10n =,又展开式的各项系数之和为1024,即当1x =时,()1011024a +=,所以1a =,所以二项式为10101222x x x-⎛⎫⎛+=+ ⎪ ⎝⎝⎭,则二项式系数和为1021024=,则奇数项的二项式系数和为110245122⨯=,故A 错误；由10n =可知展开式共有11项,中间项的二项式系数最大,即第6项的二项式系数最大,因为2x 与12x -的系数均为1,则该二项式展开式的二项式系数与系数相同,所以第6项的系数最大,故B 正确；若展开式中存在常数项,由通项()12102110r r r r T C xx--+=可得()121002r r --=,解得8r =,故C 正确；由通项()12102110r r r r TC xx--+=可得()1210152r r --=,解得2r =,所以系数为21045C =,故D 正确,故选:BCD本题考查二项式的定理的应用,考查系数最大值的项,考查求指定项系数,考查运算能力.12．如图，在正四棱锥P ﹣ABCD 中，AB ＝1，PB ＝2，E 是PC 的中点．设棱锥P ﹣ABCD 与棱锥E ﹣BCD 的体积分别为V 1，V 2，PB ，PC 与平面BDE 所成的角分别为α，β，则（）A ．PA ∥平面BDEB ．PC ⊥平面BDE C ．V 1：V 2＝4：1D ．sin α：sin β＝1：2【正确答案】ACD【分析】证明直线与平面平行判断A ；利用反证法说明B 错误；分别求出多面体的体积判断C ；建立空间直角坐标系，利用空间向量求解线面角判断D ，即可求解.【详解】连接AC ，BD ，设AC BD ＝O ，则O 为AC 的中点，连接OE ，∵E 为PC 的中点，则OE 为△PAC 的中位线，得PA ∥OE ，因为OE ⊂平面BDE ，PA ⊄平面BDE ，所以PA ∥平面BDE ，故A 正确；若PC ⊥平面BDE ，则PC ⊥OE ，又由PA ∥OE ，所以PC ⊥PA ，可得PA 2+PC 2＝AC 2，而PA ＝PC ＝2，AC =，不满足PA 2+PC 2＝AC 2，所以PC ⊥平面BDE 错误，故B 错误；由已知求得PO ==1111326V =⨯⨯⨯=，2111132424V =⨯⨯⨯⨯，所以V 1：V 2＝4：1，故C 正确；以O 为坐标原点，分别以OA ，OB ，OP 所在直线为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系．则(0,0,0),(0,(),(0,0,(,0,0)24422O B E P C -,可得((0,(0,(4422222OE OB PB PC =-==-=-- ，设平面BDE 的一个法向量为(),,n x y z = ．由04402n OE x z n OB y ⎧⋅==⎪⎪⎨⎪⋅==⎪⎩，取x =)n =，则sinα28n PB n PB ⋅===⋅ ，sinβ4n PC n PC⋅===⋅，所以sin :sin 1:2αβ=，故D 正确．故选：ACD．三、填空题13．若随机变量X 的分布列如下表，且()2E X =，则()23D X -的值为________.X02a P16p13【正确答案】4【分析】利用分布列求出p ，利用期望求解a ，然后求解方差即可．【详解】解：由题意可得：11163p ++=，解得12p =，因为()2E X =，所以：111022623a ⨯+⨯+⨯=，解得3a =．222111()(02)(22)(32)1623D X =-⨯+-⨯+-⨯=．(23)4()4D X D X -==．故4．本题考查离散型随机变量的分布列、方差的求法，属于中档题.14．已知()()()()10210012101222x a a x a xa x +=+++++⋅⋅⋅++，则9a =___________.【正确答案】10-【分析】根据：1010(1)[1(2)]x x +=-++，利用通项公式求得展开式第10项的系数．【详解】解：101021001210(1)[1(2)](2)(2)(2)x x a a x a x a x +=-++=+++++⋅⋅⋅++，则9910(1)10a C =⋅-=-，故答案为.10-15．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，190,2BCA AC CC ∠===，M 是11A B 的中点，以C 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系.若11A B C M ⊥，则异面直线CM 与1A B 所成角的余弦值为___________【正确答案】3【分析】设0CB t =>，由向量垂直的坐标表示可解得t ，即可由向量法求得1cos ,CM A B，从而求得结果.【详解】由题意得，设0CB t =>，则有()()()()()1110,0,0,2,0,2,0,,0,0,,2,1,,2,0,0,22tC A B t B t M C 骣琪琪桫，()112,,2,1,,02t A B t C M 骣琪=--=琪桫 ，由11A B C M ⊥ 得2112022t A B C M t ×=-+=Þ= ..因为()1,1,2CM = ，()12,2,2A B =-- ，所以1cos ,3CM A B =-，故异面直线CM 与1A B 夹角的余值为3.故答案为.316．荷花池中，有一只青蛙在成品字形的三片荷叶上跳来跳去（每次跳跃时，均从一叶跳到另一叶），而且逆时针方向跳的概率是顺时针方向跳的概率的两倍，如图所示，假设现在青蛙在A 叶上，则跳四次之后停在A 叶上的概率为______．【正确答案】827【分析】分析得出青蛙四次跳跃中有2次是顺时针方向跳，有2次是逆时针跳，分两种情况讨论：①青蛙先按逆时针开始从A B →；②青蛙先按顺时针开始从A C →.分析出剩余三次跳跃中青蛙顺时针和逆时针跳跃的次数，结合独立事件和互斥事件的概率公式可求得结果.【详解】因为逆时针方向跳的概率是顺时针方向跳的概率的两倍，所以逆时针方向跳的概率是23，顺时针方向跳的概率是13，若青蛙在A 叶上，则跳四次之后停在A 叶上，则满足四次跳跃中有2次是顺时针方向跳，有2次是逆时针跳，若先按逆时针开始从A B →，则剩余3次中有1次是按照逆时针，其余2次按顺时针跳，则对应的概率为2132214 33327C⎛⎫⨯⨯⨯=⎪⎝⎭；若先按顺时针开始从A C→，则剩余3次中有1次是按照顺时针，其余2次按逆时针跳，则对应的概率为2131124 33327C⎛⎫⨯⨯⨯=⎪⎝⎭.故跳四次之后停在A叶上的概率为448 272727+=．故8 27．思路点睛：求相互独立事件同时发生的概率的步骤：（1）首先确定各事件是相互独立的；（2）再确定各事件会同时发生；（3）先求出每个事件发生的概率，再求其积.四、解答题17．“渐升数”是指除最高数位上的数字外，其余每一个数字均比其左边的数字大的正整数（如13456和35678都是五位“渐升数”）.（1）求五位“渐升数”的个数；（2）如果把所有的五位“渐升数”按照从小到大的顺序排列，求第120个五位“渐升数”.【正确答案】（1）126个；（2）36789.【分析】（1）根据题意，“渐升数”中不能有0，则在其他9个数字中任取5个，每种取法对应1个“渐升数”即可求解；（2）分别计算1、2、3在最高数位的五位“渐升数”个数，求和可得第120个五位“渐升数”是最高数位为3的最大的五位“渐升数”.【详解】解：（1）根据题意，“渐升数”中不能有0，则在其他9个数字中任取5个，每种取法对应1个“渐升数”，则五位“渐升数”共有59C126=（个）.（2）对于所有的五位“渐升数”，1在最高数位的有48C70=（个），2在最高数位的有47C35=（个），3在最高数位的有46C15=（个）.因为703515120++=，所以第120个五位“渐升数”是最高数位为3的最大的五位“渐升数”，为36789.18．若423401234(2x a a x a x a x a x =++++．(1)求1234a a a a +++的值；(2)求2202413()()a a a a a ++-+的值．【正确答案】(1)88+(2)1【分析】(1)对二项式进行赋值即可求解；(2)先观察式子特征，注意到可进行平方变形，然后根据1x =±时的值来计算最终结果.【详解】（1）∵423401234(2x a a x a x a x a x =++++，令1x =，可得423014(2a a a a a =++++，令0x =，可得40(0a =，∴441234012340(2(088a a a a a a a a a a +++=++++-=+-=+（2）∵423401234(2x a a x a x a x a x +=++++，令1x =，可得423014(2a a a a a =++++①，令=1x -，可得142340(2a a a a a =+---+②，结合①②可得，22024130123401234()()()()a a a a a a a a a a a a a a a ++-+=-+-+++++44(2(2=⨯-+1=．19．小明下班回家途经3个有红绿灯的路口，交通法规定：若在路口遇到红灯，需停车等待；若在路口没遇到红灯，则直接通过.经长期观察发现：他在第一个路口遇到红灯的概率为45，在第二、第三个道口遇到红灯的概率依次减小，在三个道口都没遇到红灯的概率为245，在三个道口都遇到红灯的概率为845，且他在各路口是否遇到红灯相互独立.（1）求小明下班回家途中至少有一个道口遇到红灯的概率；（2）求小明下班回家途中在第三个道口首次遇到红灯的概率；（3）记ξ为小明下班回家途中遇到红灯的路口个数，求数学期望E ξ.【正确答案】（1）4345；（2）145；（3）95.【分析】（1）根据对立事件的概率关系结合已知，即可求解；（2）设第二、三个道口遇到红灯的概率分别为12214,,5p p p p <<，根据已知列出关于12,p p 方程组，求得12,p p ，即可求出结论；（3）ξ的可能值为0,1,2,3分别求出概率，得出随机变量的分布列，由期望公式，即可求解.【详解】（1）因为小明在三个道口都没遇到红灯的概率为245，所以小明下班回家途中至少有一个道口遇到红灯的概率为4345；（2）设第二、三个道口遇到红灯的概率分别为12214,,5p p p p <<，依题意121212(1)(1)54548545p p p p ⎧--=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩解得122313p p ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或121323p p ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（舍去），所以小明下班回家途中在第三个道口首次遇到红灯的概率111153345⨯⨯=；（3）ξ的可能值为0,1,2,3，2(0)45P ξ==，41212211113(1)53353353345P ξ==⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅=，42212141122(2)53353353345P ξ==⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅=，8(3)45P ξ==，ξ∴分布列为ξ123p245134522458452132289()0123454545455E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=本题考查互斥事件、对立事件概率关系，考查相互独立同时发生的概率，以及离散型随机变量分布列和期望，属于中档题.20．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为直角梯形，//AD BC ，AD DC ⊥，PA PD PB ==，122BC DC AD ===，E 为AD 的中点，且4PE =．(1)求证：PE ⊥平面ABCD ；(2)记PE 的中点为N ，若M 在线段BC 上，且直线MN 与平面PAB所成角的正弦值为9，求线段BM 的长．【正确答案】(1)证明见解析；(2)2或211【分析】（1）连接BE ，由勾股定理证得PE BE ⊥，由等腰三角形得性质证得PE AD ⊥，再结合线面垂直得判定定理即可得证；（2）建立空间直角坐标系，求得平面PAB 的法向量，设([0,2])=∈BM t t ，利用空间向量的夹角公式求出余弦值，进而列出方程，解之即可.【详解】（1）连接BE ，∵122===BC AD DE ，AD BC ∥，∴BC DE =且//BC DE ∴四边形BCDE 为平行四边形；∴2BE CD ==∵PA PD =且E 为AD 的中点，∴PE AD ⊥，所以===PD∴PB PD ==222PE BE PB +=，即PE BE ⊥，又∵AD BE E = ，∴PE ⊥平面ABCD（2）以E 为原点，EA 为x 轴，EB 为y 轴，EP 为z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，则()()()()2,0,0,0,2,0,2,2,0,0,0,4A B C P -,所以(2,2,0),(0,2,4)=-=-AB PB ，设平面PAB 的法向量为()111,,n x y z =，则00n AB n PB ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即1111220240x y y z -+=⎧⎨-=⎩，取()2,2,1n =r设([0,2])=∈BM t t ，则(,2,0)-M t ，而(0,0,2)N ，所以(,2,2)=-MN t ，∵平面PAB 的法向量为()2,2,1n =r，设直线MN 与平面PAB 所成的角为θ，则sin cos ,9MN n MN n MN n θ⋅===⋅化简得2112440-+=t t ，解得：2t =或211=t ，满足[0,2]t ∈故线段BM 的长度为2或211．21．某市举办了一次“诗词大赛”，分预赛和复赛两个环节，已知共有20000名学生参加了预赛，现从参加预赛的全体学生中随机地抽取100人的预赛成绩作为样本，得到如下的统计数据.得分（百分制）[0，20)[20，40)[40，60)[60，80)[80，100]人数1020302515（1）规定预赛成绩不低于80分为优良，若从样本中预赛成绩不低于60分的学生中随机地抽取2人，求恰有1人预赛成绩优良的概率；（2）由样本数据分析可知，该市全体参加预赛学生的预赛成绩Z 服从正态分布()2,N μσ，其中μ可近似为样本中的100名学生预赛成绩的平均值（同一组数据用该组数据的中间值代替），且2361σ=.利用该正态分布，估计全市参加预赛的全体学生中预赛成绩不低于72分的人数；（3）预赛成绩不低于91分的学生将参加复赛，复赛规则如下：①参加复赛的学生的初始分都设置为100分；②参加复赛的学生可在答题前自己决定答题数量n ，每一题都需要“花”掉一定分数来获取答题资格（即用分数来买答题资格），规定答第k 题时“花”掉的分数为()0.21,2,k k n =；③每答对一题得2分，答错得0分；④答完n 题后参加复赛学生的最终分数即为复赛成绩.已知学生甲答对每道题的概率均为0.75，且每题答对与否都相互独立，则当他的答题数量n 为多少时，他的复赛成绩的期望值最大？参考数据：若()2~,Z N μσ，则() 6.827P Z μσμσ-<<+≈，()220.9545P Z μσμσ-<<+≈，()330.9973P Z μσμσ-<<+≈【正确答案】（1）2552；（2）3173；（3）当他的答题数量7n =时，他的复赛成绩的期望值最大.【分析】（1）由表可知，样本中成绩不低于60分的学生共有40人，其中成绩优良的人数为15人，再结合排列组合与古典概型即可得解；（2）先求出样本中的100名学生预赛成绩的平均值，即为μ，从而推出~(53Z N ，219)，再根据正态分布的性质即可得解；（3）以随机变量ξ表示甲答对的题数，则~B ξ(,0.75)n ，记甲答完n 题所得的分数为随机变量X ，则2X ξ=，为了获取答n 道题的资格，甲需要“花”掉的分数为20.1()n n +，设甲答完n 题后的复赛成绩的期望值为()f n ，则2()1000.1()()f n n n E X =-++，最后利用配方法即可得解．【详解】解：（1）由题意得样本中成绩不低于60分的学生共有40分，其中成绩优良的人数为15人，记“从样本中预赛成绩不低于60分的学生中随机地抽取2人，恰有1人预赛成绩优良”为事件A ，则()1125152402552C C P A C ==答：“从样本中预赛成绩不低于60分的学生中随机地抽取2人，恰有1人预赛成绩优良”的概率为2552（2）由题意知样本中的100名学生预赛成绩的平均值为：100.1300.2500.3700.25900.1533x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=，则53μ=，由2361σ=得19σ=，所以()()()()17210.158652P Z P Z P Z μσμσμσ≥=≥+=--<≤+≈，所以，估计全市参加参赛的全体学生中，成绩不低于72分的人数为20000×0.15865=3173，即全市参赛学生中预赛成绩不低于72分的人数为3173.（3）以随机变量ξ表示甲答对的题数，则()~,0.75B n ξ，且()0.75E n ξ=，记甲答完n 题所加的分数为随机变量X ，则2X ξ=，∴()()2 1.5E X E n ξ==，依题意为了获取答n 道题的资格，甲需要“花”掉的分数为：()()20.2123...0.1n n n ⨯++++=+，设甲答完n 题后的复赛成绩的期望值为()f n ，则()()()221000.1 1.50.17104.9f n n n n n =-++=--+，由于*n ∈N ，所以当7n =时，()f n 取最大值104.9.即当他的答题数量7n =时，他的复赛成绩的期望值最大.本题考查古典概型、正态分布的性质、二项分布的性质及数学期望的实际应用，考查学生对数据的分析与处理能力，属于中档题．22．如图，四棱锥P —ABCD 的底面ABCD 是边长为2的正方形，PA ＝PB ＝3．(1)证明：∠PAD ＝∠PBC ；(2)当直线PA 与平面PCD 所成角的正弦值最大时，求此时二面角P —AB —C 的大小．【正确答案】(1)证明见解析(2)4π【分析】（1）根据直线与平面位置关系，把问题转化为全等三角形问题即可证明；（2）用等面积法建立二面角与线面角关系，当线面角满足正弦最大时，即可求二面角大小．【详解】（1）证明：分别取AB ，CD 的中点E ，F ，连接PE ，EF ，PF ，因为PA PB =，所以PE AB ⊥，又因为AB CD ，所以CD PE ⊥，又因为CD EF ⊥，PE EF E ⋂=，所以CD ⊥平面PEF ，因为PF ⊂平面PEF ，所以CD PF ⊥，在PCD 中，因为PF 垂直平分CD ，所以PC PD =，又因为PA PB =，AD BC =，所以PAD PBC ≅ ，从而可得PAD PBC ∠=∠；（2）解：由（1）知，PEF ∠是二面角P AB C --的平面角，设PEF α∠=，(0,)απ∈，在PEF !中，2222cos 12PF PE EF PE EF αα=+-⋅⋅=-，过点E 作EG PF ⊥于G ，则222sin 8sin ()322cos PE EF EG PF αα⋅⋅=-，因为CD ⊥平面PEF ，CD ⊂平面PCD ，所以平面PCD ⊥平面PEF ，又因为平面PCD 平面PEF PF =，EG PF ⊥，EG ⊂平面PEF ，所以EG ⊥平面PCD ，因为AB 平面PCD ，所以点A 到平面PCD 的距离等于点E 到平面PCD 的距离，即为EG ，设直线PA 与平面PCD 所成角为θ，所以1sin 3EG EG PA θ==，令322t α=-，(32t ∈-32)+，则2228(3)16()4322cos t EG t t t α--==-+-，当且仅当1t =，即4πα=时，EG 有最大值2，此时直线PA 与平面PCD 所成角为θ的正弦值1sin 3EG EG PA θ==最大，所以当直线PA 与平面PCD 所成角的正弦值最大时，二面角P AB C --的大小为4π．。
江苏省常州市第四中学2022年高二数学理下学期期末试卷含解析
江苏省常州市第四中学2021-2022学年高二数学理下学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知函数f（x）=x+b﹣2﹣，若方程|f（x）|=1有且仅有3个不等实根，则实数b的取值范围是（）A．[1，）B．[0，﹣1] C．[﹣1，1）D．[﹣1，1]参考答案：A【考点】根的存在性及根的个数判断．【专题】数形结合；转化思想；数形结合法；函数的性质及应用；直线与圆．【分析】若方程|f（x）|=1有且仅有3个不等实根，则y=x+b﹣3，y=x+b﹣1，与y=的图象共有3个交点，画出y=x+b﹣3，y=x+b﹣1，与y=的图象，数形结合可得答案．【解答】解：若|f（x）|=1，则f（x）=x+b﹣2﹣=1，或f（x）=x+b﹣2﹣=﹣1，即x+b﹣3=，或x+b﹣1=，画出y=x+b﹣3，y=x+b﹣1，与y=的图象如下图所示：若方程|f（x）|=1有且仅有3个不等实根，则y=x+b﹣3，y=x+b﹣1，与y=的图象共有3个交点，则b﹣1∈[0，），即b∈[1，），故选：A．【点评】本题考查的知识点是根的存在性与根的个数判断，数形结合思想，直线与圆的位置关系，难度中档．2. 如图，在四面体ABCD中，截面PQMN是正方形，则在下列命题中，错误的为( )A．AC⊥BDB．AC∥截面PQMNC．AC=BDD．异面直线PM与BD所成的角为45°参考答案：C考点：空间中直线与直线之间的位置关系；空间中直线与平面之间的位置关系．分析：首先由正方形中的线线平行推导线面平行，再利用线面平行推导线线平行，这样就把AC、BD 平移到正方形内，即可利用平面图形知识做出判断．解答：解：因为截面PQMN是正方形，所以PQ∥MN、QM∥PN，则PQ∥平面ACD、QM∥平面BDA，所以PQ∥AC，QM∥BD，由PQ⊥QM可得AC⊥BD，故A正确；由PQ∥AC可得AC∥截面PQMN，故B正确；异面直线PM与BD所成的角等于PM与QM所成的角，故D正确；综上C是错误的．故选C．点评：本题主要考查线面平行的性质与判定3.对一批产品的长度（单位：毫米）进行抽样检测，如图为检测结果的频率分布直方图．根据标准，产品长度在区间[20，25）上为一等品，在区间[15，20）和[25，30）上为二等品，在区间[10，15）和[30，35]上为三等品．用频率估计概率，现从该批产品中随机抽取1件，则其为二等品的概率是（）A．0.09 B．0.20 C．0.25 D．0.45参考答案：D【考点】古典概型及其概率计算公式；频率分布直方图．【分析】根据频率分布直方图，分别求出对应区间[15，20）和[25，30）上的频率即可．【解答】解：由频率分布直方图可知，对应区间[15，20）和[25，30）上的频率分别为0.04×5=0.20和0.05×5=0.25，∴二等品的频率为0.20+0.25=0.45．故从该批产品中随机抽取1件，则其为二等品的概率是0.45．故选：D．4. 若p是q的必要条件，s是q的充分条件，那么下列推理一定正确的是（）A、 B、 C、 D、参考答案：A5. 已知双曲线的左，右焦点分别为，点在双曲线的右支上，且，则此双曲线的离心率的最大值为（）．A．B．C．D．参考答案：A 略6. 运动会上，有6名选手参加100米比赛，观众甲猜测：4道或5道的选手得第一名；观众乙猜：3道的选手不可能得第一名；观众丙猜测：1，2，6道中的一位选手得第一名；观众丁猜测：4，5，6道的选手都不可能得第一名．比赛后发现没有并列名次，且甲、乙、丙、丁中只有1人猜对比赛结果，此人是（）A．甲B．乙C．丙D．丁参考答案：D【考点】F4：进行简单的合情推理．【分析】若甲对，则乙也对；若甲错乙对，则丙也对；由乙错知3道的选手得第一名，此时只有丁对．【解答】解：若甲对，则乙也对，故甲错；若甲错乙对，则丙也对，故乙错；由乙错知3道的选手得第一名，此时只有丁对．故选：D．7. 是方程至少有一个负数根的____________条件（填必要不充分、充分不必要、必要充分、既不充分也不必要）参考答案：充分不必要8. 己知集合,（1）若，求实数a的取值范围；（2）若，求实数a的取值范围．参考答案：（1）；（2）或【分析】（1）求出集合或，由，列出不等式组，能求出实数a的取值范围．（2）由，得到，由此能求出实数a的取值范围．【详解】解：（1）∵集合，或，，∴，解得∴实数a的取值范围是（2）或，解得或．∴实数a的取值范围是或【点睛】本题考查实数的取值范围的求法，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．将集合的运算转化成子集问题需注意，若则有，进而转化为不等式范围问题.9. 复数z满足?（1+2i）=4+3i，则z等于( )A．2﹣i B．2+i C．1+2i D．1﹣2i参考答案：B考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：利用复数的运算法则、共轭复数的定义即可得出．解答：解：∵?（1+2i）=4+3i，∴===2﹣i，∴z=2+i．故选：B．点评：本题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义，属于基础题10. 下表显示出函数值随自变量值变化的一组数据，由此判断它最可能的函数模型是( )A．一次函数模型D．对数函数模型参考答案：A二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 过抛物线x2=2py（p＞0）的焦点F作倾斜角为30°的直线，与抛物线分别交于A，B两点（点A在y轴左侧），则= ．参考答案：3【考点】抛物线的简单性质．【专题】综合题；方程思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】作AA1⊥x轴，BB1⊥x轴．则可知AA1∥OF∥BB1，根据比例线段的性质可知==，根据抛物线的焦点和直线的倾斜角可表示出直线的方程，与抛物线方程联立消去x，根据韦达定理求得x A+x B和x A x B的表达式，进而可求得x A x B=﹣（）2，整理后两边同除以x A2得关于的一元二次方程，求得的值，进而求得．【解答】解：如图，作AA1⊥x轴，BB1⊥x轴．则AA1∥OF∥BB1，∴==，又已知x A＜0，x B＞0，∴=﹣，∵直线AB方程为y=xtan30°+即y=x+，与x2=2py联立得x2﹣px﹣p2=0∴x A +x B =p ，x A ?x B =﹣p 2，∴x A x B =﹣p 2=﹣（）2=﹣（x A 2+x B 2+2x A x B ） ∴3x A 2+3x B 2+10x A x B =0 两边同除以x A 2（x A 2≠0）得3（）2+10+3=0∴=﹣3或﹣．又∵x A +x B =p ＞0，∴x A ＞﹣x B ，∴＜﹣1，∴=﹣=3．故答案为：3【点评】本题主要考查了抛物线的性质，直线与抛物线的关系以及比例线段的知识．考查了学生综合分析问题和解决问题的能力．12. 已知，则中共有项．参考答案：13. 圆被直线截得的弦长为____．参考答案：2 【分析】把圆的极坐标方程化为普通方程，把直线极坐标方程化为普通方程，可以发现直线是轴，让代入圆的普通方程中，这样可以求出弦长.【详解】,直线,所以，所以有或，因此弦长为.【点睛】本题考查了极坐标方程化为普通方程，考查了直线与圆的位置关系.14. 将正整数排成下表：………………………….则数表中的2008出现在第 行.参考答案：45 略 15. 在直线上有一点，它到点和点的距离之和最小，则点的坐标是__________。
江苏苏州2024年高二上学期期中调研数学试卷
2024~2025学年第一学期高二期中调研试卷数学答案注意事项学生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求：1.本卷共4页，包含单项选择题（第1题~第8题）､多项选择题（第9题~第11题）､填空题（第12题~第14题）､解答题（第15题~第19题）.本卷满分150分，答题时间为120分钟.答题结束后，请将答题卡交回.2.答题前，请务必将自己的学校、班级、姓名、考试号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在答题卡的规定位置.3.请在答题卡上按照顺序在对应的答题区城内作答，在其他位置作答一律无效.作答必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔.清注意字体工整，笔迹清楚.一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.1. 已知经过点()()1,2,,4A B m 的直线l 的斜率为2，则m 的值为（ ） A. 1− B. 0 C. 1 D. 22. 等差数列{}n a 中，1352,10a a a =+=，则6a 的值为（ ）A. 7B. 8C. 9D. 103. 已知动点M 与两定点()()0,0,0,3O A 的距离之比为12，则动点M 的轨迹方程为（ ） A. 228120x y x +−+=B. 228120x y y +−+= C 22230x y x ++−= D. 22230x y y ++−=4. 在2和8之间插入3个实数,,a x b 使得2,,,,8a x b 成等比数列，则x 的值为（ ）A. 4−B. 4−或4C. 4D. 55. 若两直线()12:220,:3110l x ayl a x ay ++=−−−=平行，则实数a 取值集合是（ ） A. 10,6B. {}0C. 16D. 1,126. 等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若11S 为定值时272k a a a ++也是定值，则k 的值为（ ）A. 9B. 11C. 13D. 不能确定.的7. 已知直线1:20l x y −=与2:30l x y +−=，过点()3,2P 的直线l 被12,l l 截得的线段恰好被点P 平分，则这三条直线12,,l l l 围成的三角形面积为（ ） A. 163B. C. 8 D. 3238. 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且11222,,1,,,n n n a n n a a a n n ++− == − 为奇数为偶数则18S 的值为（ ） A. 1023 B. 1461 C. 1533 D. 1955二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，选错或不答得0分，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.9. 已知数列{aa nn }是等差数列，{bb nn }是等比数列，*,,,m n p q ∈N .（ ）A. 若m n p q +=+，则m n p q a a a a +=+B. 若m n p q a a a a +=+，则m n p q +=+C. 若m n p q +=+，则m n p q b b b b =D. 若m n p q b b b b =，则m n p q +=+10. 已知公差不为0的等差数列{n a 的前n 项和为n S ，则（ ）A. 点(),n n a 在同一条直线上B. 点(),n n S 在同一条直线上C. 点,nS n n在同一条直线上 D. 点()()11,nk n k n S S ++−（,n k 均正整数，且k 为常数）在同一条直线上 11. 已知直线:20l kx y k −−+=，圆22:4O x y +=，则（ ）A. l 与坐标轴的正半轴围成的三角形面积最大值是4B. 若l 与圆O 相交于,A B 两点，且90AOB ∠=°，则2k =−C. 若圆O 上恰有四个点到l 的距离为1，则34k > D. 若对于两个不同的k 值，l 与圆O 分别相切于点P ，Q ，则PQ 所在直线的方程是240x y +−=为三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分，请把答案写在答题卡相应的位置上.12. 已知()()3,4,5,6A B −−两点到直线:10l ax y ++=的距离相等，则a 的值为__________. 13. 已知等比数列{}n a 满足6117101,2a a a a +==−，则116a a +=__________. 14. 如图，已知点()2,0A ，点B 为圆221:9O x y +=上的动点，若圆222:1O x y +=上存在一点M ，使得AM BM ⊥ ，则AB 的取值范围是__________.四､解答题：本题共5小题，共77分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应证明过程或演算步骤.15. 已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且4234,32nn S S a a ==+. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设12n n n b a −=，求数列{}n b 的前n 项和n T .16. 已知ABC 的三个顶点是()()()1,5,5,7,3,3A B C −−−，求：（1）边BC 上的中线所在直线的方程；（2）边BC 上的高所在直线的方程；（3）ABC ∠的角平分线所在直线的方程.17. 已知数列{}{},n n a b 满足112,224,n n n n n n a a b n b a b ++=−+ =−++ 且115,12a b ==−. （1）求3a ；（2）证明数列12n a n −−等比数列，并求n a .18. 已知圆22:4O x y +=内有一点()01,0P −，倾斜角为α的直线l 过点0P 且与圆O 交于,A B 两点. （1）当135α= 时，求AB 的长；是（2）是否存在弦AB 被点0P 三等分？若存在，求出直线l 的斜率；若不存在，请说明理由； （3）记圆O 与x 轴的正半轴交点为M ，直线MA 的斜率为1k ，直线MB 的斜率为2k ，求证：12k k 为定值.19. 已知点()()11,1,0,2P P −，向量()*11n n PP PP PP n +=+∈N ，点,,n n O P Q 一条直线上，且满足2n n OP OQ ⋅= .（1）求n OP ；（2）证明n Q 在同一个圆上，并求该圆的圆心M 和半径r ； （3）过n Q 引圆M 的切线，记切线与x 轴的交点为n R ，求证：122n OR OR OR +++< .在。
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高二数学周末作业4一、填空题1.已知球的表面积为π，则它的体积为2. 方程x 22m －y 2m －1＝1表示焦点在y 轴上的椭圆，则m 的取值范围是________．3. 中心角为135°，面积为B 的扇形围成一个圆锥，若圆锥的全面积为A ， 则A ∶B ＝__________.4. 设F 1，F 2是椭圆x 225＋y 29＝1的焦点，P 为椭圆上一点，则△PF 1F 2的周长为________．5.如图，在三棱柱A 1B 1C 1－ABC 中，D ，E ，F 分别是AB ，AC ，AA 1的中点，设三棱锥F －ADE 的体积为V 1，三棱柱A 1B 1C 1－ABC 的体积为V 2，则V 1∶V 2＝________.6. 过椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1 (a >b >0)的左焦点F 1作x 轴的垂线交椭圆于点P ，F 2为右焦点，若∠F 1PF 2＝60°，则椭圆的离心率为________．7.已知m ，n 是不重合的两条直线，α，β是不重合的两个平面．下列命题： ①若α⊥β，m ⊥α，则m ∥β； ②若m ⊥α，m ⊥β，则α∥β； ③若m ∥α，m ⊥n ，则n ⊥α； ④若m ∥α，m ⊂β，则α∥β． 其中所有真命题的序号是 ．8.已知直三棱柱ABC －A 1B 1C 1的6个顶点都在球O 的球面上，若AB ＝3，AC ＝4，AB ⊥AC ，AA 1＝12，则球O 的半径为9.在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)经过点M (32，2)，离心率e ＝223，则椭圆C 的准线方程为10.已知21,F F 分别是椭圆)0,0(12222>>=+b a by a x 的左右焦点，过1F 垂直与x 轴的直线交椭圆于B A ,两点，若2ABF ∆是锐角三角形，则椭圆离心率的范围是 11.如图所示，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，△ABC 为直角三角形，∠ACB ＝90°，AC ＝4，BC ＝CC 1＝3.P 是BC 1上一动点，则CP ＋P A 1的最小值为________(其中P A 1表示P ，A 1两点沿棱柱的表面距离)．12.已知椭圆C ：x 29＋y 24＝1，点M 与C 的焦点不重合．若M 关于C 的焦点的对称点分别为A ，B ，线段MN 的中点在C 上，则|AN |＋|BN |＝______．13.并注入水，使水面与球正好相切，然后将球取出，则这时容器中水的深度为14.已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率e ＝12，A ，B 是椭圆的左、右顶点，P 是椭圆上不同于A ，B 的一点，直线P A ，PB 的倾斜角分别为α，β，则cos (α－β)cos (α＋β)＝________.二、解答题15.如图，已知□ABCD ，直线BC ⊥平面ABE ，F 为CE 的中点． （1）求证：直线AE ∥平面BDF ；（2）若∠AEB =90°，求证：平面BDF ⊥平面BCE ．证明：（1）设AC ∩BD ＝G ，连接FG ．由四边形ABCD 为平行四边形，得G 是AC 的中点． 又∵F 是EC 中点，∴在△ACE 中，FG ∥AE ．∵AE ⊂/平面BFD ，FG ⊂平面BFD ，∴AE ∥平面BFD ； （2）∵π2AEB ∠=，∴AE BE ⊥．又∵直线BC ⊥平面ABE ，∴AE BC ⊥． 又BC BE B = ，∴直线AE ⊥平面BCE ．由（1）知，FG ∥AE ，∴直线FG ⊥平面BCE ．又直线FG ⊂平面DBF ，∴平面DBF ⊥平面BCE ．（第16题）16. 已知椭圆C 的中心在坐标原点，右准线为x ＝32，离心率为63.若直线y ＝t (t >0)与椭圆C 交于不同的两点A ，B ，以线段AB 为直径作圆M .(1) 求椭圆C 的标准方程；(2) 若圆M 与x 轴相切，求圆M 被直线x －3y ＋1＝0截得的线段长．解析：(1) 设椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)．由题意知c a ＝63，a 2c ＝32，解得a ＝23，则c ＝22，b ＝a 2－c 2＝2，故椭圆C 的标准方程为x 212＋y 24＝1.(5分)(2) 由题意可知，点M 为线段AB 的中点，且位于y 轴正半轴．故点M 的坐标为(0，t )．又圆M 与x 轴相切，所以圆M 的半径为t .不妨设点B 位于第一象限，因为MA ＝MB ＝t ，所以B (t ，t )．(7分)代入椭圆的方程，可得t 212＋t 24＝1，因为t >0，解得t ＝ 3.(10分)所以圆M 的圆心为()0，3，半径为3，其方程为x 2＋(y －3)2＝3.(12分) 因为圆心M 到直线x －3y ＋1＝0的距离d ＝|0－3×3＋1|2＝1.(14分)故圆M 被直线x －3y ＋1＝0截得的线段长为2(3)2－12＝2 2.(16分)17. 在三棱锥P ABC 中，已知顶点P 在底面的投影H 是△ABC 的垂心．(1) 证明：P A ⊥BC ；(2) 若PB ＝PC ，BC ＝2，且二面角PBCA 的大小为60°，求三棱锥P ABC 的体积V P ABC的值．【解析】 (1) 连结AH ，并延长交BC 于D ，连结BH ，并延长AC 交于E ，连结PD.由PH ⊥平面ABC ，得PH ⊥BC.(2分)又H 是△ABC 的垂心，可得AD ⊥BC.(4分)又PH ∩AD ＝H ，则BC ⊥平面PAD ，所以PA ⊥BC.(6分) (2) 由(1)知BC ⊥平面PAD ，则BC ⊥PD ，BC ⊥AD.所以∠PDA 为二面角PBCA 的平面角，则有∠PDA ＝60°.(7分) 由BC ⊥PD ，PB ＝PC ，可知BD ＝DC. 又BC ⊥AD ，所以AB ＝AC.在△ABC 中，因为H 是垂心，易知△ABD ∽△ACD ∽△AHE ∽△BHD ，所以AD BD ＝BDDH，即AD·DH ＝BD 2＝1，则S △PAD ＝12AD·PH ＝12AD·DH·tan 60°＝32，(10分)所以V PABC ＝13S △PAD ·BC ＝13×32×2＝33.(12分)18.如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，F 1，F 2分别是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，顶点B 的坐标为(0，b )，连接BF 2并延长交椭圆于点A ，过点A 作x 轴的垂线交椭圆于另一点C ，连接F 1C .(1)若点C 的坐标为⎝⎛⎭⎫43，13，且BF 2＝2，求椭圆的方程； (2)若F 1C ⊥AB ，求椭圆离心率e 的值．解： 设椭圆的焦距为2c, 则 F 1(－c, 0), F 2(c, 0)．(1)因为B (0, b ), 所以BF 2＝b 2＋c 2＝a .又BF 2＝2， 故a ＝ 2. 因为点C ⎝⎛⎭⎫43，13在椭圆上，所以169a 2＋19b 2＝1，解得b 2＝1. 故所求椭圆的方程为x 22＋y 2＝1.19. 在直角梯形ABCD 中，AD //BC ，1,AB AD ==,,AB BC CD BD ⊥⊥,如图（1）．把ABD ∆沿BD 翻折，使得平面A BD BCD '⊥平面，如图（2）． （Ⅰ）求证：CD A B '⊥； （Ⅱ）求三棱锥A BDC '-的体积；（Ⅲ）在线段BC 上是否存在点N ，使得A N 'BD ⊥？若存在，请求出BCBN的值；若不存在，请说明理由．解：（Ⅰ）∵平面A BD BCD '⊥平面，A BD BCD BD '⋂=平面平面，CD BD ⊥ ∴CD A BD '⊥平面， ……………………………2分 又∵AB A BD '⊂平面，∴CD A B '⊥． ……………………………4分（Ⅱ）如图（1）在2Rt ABD BD ∆==中，.30AD BC ADB DBC ∴∠==︒ ， .在tan 30Rt BDC DC BD =︒= 中，．∴1BDCS BD DC ∆=⋅=. ……………………………6分 如图（2），在R t A BD '∆中，过点A '做A E BD '⊥于E ，∴A E BCD '⊥平面．A B A D A E BD '''== ， ……………………………7分∴111333A BDCBDC V S A E '-∆'=⋅== . ……………………………8分 （Ⅲ）在线段BC 上存在点N ，使得A N 'BD ⊥，理由如下：如图（2）在Rt A EB '∆中，12BE ==，∴14BE BD =， ………………………………………9分过点E 做DC EN //交BC 于点N ，则1BN BE ==，∵BD EN BD CD ⊥∴⊥,， ……………………………10分 又A E BD '⊥，A E EN E '= ，BD A EN '∴⊥平面， 又A N A EN ''⊂平面，∴A N BD '⊥．∴在线段BC 上存在点N ，使得A N 'BD ⊥，此时14BN BC =．…………………12分20. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 224＋y 212＝1，设R (x 0，y 0)是椭圆C上的任一点，从原点O 向圆R ：(x －x 0)2＋(y －y 0)2＝8作两条切线，分别交椭圆于点P ，Q .(1) 若直线OP ，OQ 互相垂直，求圆R 的方程；(2) 若直线OP ，OQ 的斜率存在，并记为k 1，k 2，求证：2k 1k 2＋1＝0； (3) 试问OP 2＋OQ 2是否为定值？若是，求出该值；若不是，说明理由．(1) 由圆R 的方程知，圆R 的半径r ＝2 2. 因为直线OP ，OQ 互相垂直，且和圆R 相切，所以OR ＝2r ＝4，即x 20＋y 20＝16. ①(1分)又因为点R 在椭圆C 上，所以x 2024＋y 2012＝1. ②(2分)联立①②，解得⎩⎨⎧x 0＝±22，y 0＝±2 2.(3分)所以圆R 的方程为(x ±22)2＋(y ±22)2＝8.(4分)(2) 因为直线OP ：y ＝k 1x ，OQ ：y ＝k 2x 均与圆R 相切，所以|k 1x 0－y 0|1＋k 21＝22，化简得(x 20－8)k 21－2x 0y 0k 1＋y 20－8＝0.(6分) 同理，(x 20－8)k 22－2x 0y 0k 2＋y 20－8＝0，(7分)所以k 1，k 2是方程(x 20－8)k 2－2x 0y 0k ＋y 20－8＝0的两个不相等的实数根，所以k 1k 2＝y 20－8x 20－8.(8分) 因为点R (x 0，y 0)在椭圆C 上，所以x 2024＋y 2012＝1，即y 20＝12－12x 20，所以k 1k 2＝4－12x 20x 20－8＝－12，即2k 1k 2＋1＝0.(10分) (3) OP 2＋OQ 2是定值，定值为36.(11分) 理由如下：解法1 当直线OP ，OQ 不落在坐标轴上时，设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k 1x ，x 224＋y212＝1，解得⎩⎨⎧x 21＝241＋2k 21，y 21＝24k211＋2k 21.(12分)所以x 21＋y 21＝24(1＋k 21)1＋2k 21.同理，x 22＋y 22＝24(1＋k 22)1＋2k 22.(13分)因为k 1k 2＝－12，所以OP 2＋OQ 2＝x 21＋y 21＋x 22＋y 22＝24(1＋k 21)1＋2k 21＋24(1＋k 22)1＋2k 22＝24(1＋k 21)1＋2k 21＋24⎣⎡⎦⎤1＋⎝⎛⎭⎫－12k 121＋2⎝⎛⎭⎫－12k 12 ＝36＋72k 211＋2k 21＝36.(15分) 当直线OP ，OQ 落在坐标轴上时，显然有OP 2＋OQ 2＝36. 综上所述，OP 2＋OQ 2＝36.(16分)解法2 当直线OP ，OQ 不落在坐标轴上时，设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)．因为2k 1k 2＋1＝0，所以2y 1y 2x 1x 2＋1＝0，即y 21y 22＝14x 21x 22.(12分) 因为P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)在椭圆C 上，所以⎩⎨⎧x 2124＋y 2112＝1，x 2224＋y 2212＝1，即⎩⎨⎧y 21＝12－12x 21，y 22＝12－12x 22.(13分)所以⎝⎛⎭⎫12－12x 21⎝⎛⎭⎫12－12x 22＝14x 21x 22，整理得x 21＋x 22＝24， 所以y 21＋y 22＝⎝⎛⎭⎫12－12x 21＋⎝⎛⎭⎫12－12x 22＝12， 所以OP 2＋OQ 2＝36.(15分)当直线OP ，OQ 落在坐标轴上时，显然有OP 2＋OQ 2＝36. 综上所述，OP 2＋OQ 2＝36.(16分)。