一元二次方程复习
一元二次方程专题复习
一元二次方程专题复习（一）直接开平方法→配方法要点一、一元二次方程的解法---配方法1．配方法解一元二次方程： (1)配方法解一元二次方程： 将一元二次方程配成的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法.(2)配方法解一元二次方程的理论依据是公式：.(3)用配方法解一元二次方程的一般步骤： ①把原方程化为的形式；②将常数项移到方程的右边；方程两边同时除以二次项的系数，将二次项系数化为1；③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；④再把方程左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；⑤若方程右边是非负数，则两边直接开平方，求出方程的解；若右边是一个负数，则判定此方程无实数解. 要点诠释：（1）配方法解一元二次方程的口诀：一除二移三配四开方； （2）配方法关键的一步是“配方”，即在方程两边都加上一次项系数一半的平方. （3）配方法的理论依据是完全平方公式．类型一、用配方法解一元二次方程1.用配方法解方程x 2-7x-1＝0．【答案与解析】将方程变形为x 2-7x ＝1，两边加一次项的系数的一半的平方，得x 2-7x+＝1+，所以有＝1+．直接开平方，得x-＝或x-＝-．所以原方程的根为x ＝+或x ＝-．【总结升华】一般地，用先配方，再开平方的方法解一元二次方程，应按以下步骤进行： (1)把形如ax 2+bx+c ＝0(a ≠0)的方程中二次项的系数化为1； (2)把常数项移到方程的右边；2222()a ab b a b ±+=±(3)方程的两边都加“一次项系数一半的平方”，配方得形如(x+m)2＝n(n ≥0)的方程； (4)用直接开平方的方法解此题．举一反三：【变式】用配方法解方程.(1)x 2-4x-2＝0； (2)x 2+6x+8＝0.要点二、配方法的应用1．用于比较大小：在比较大小中的应用，通过作差法最后拆项或添项、配成完全平方，使此差大于零（或小于零）而比较出大小.2．用于求待定字母的值：配方法在求值中的应用，将原等式右边变为0，左边配成完全平方式后，再运用非负数的性质求出待定字母的取值．3．用于求最值：“配方法”在求最大（小）值时的应用，将原式化成一个完全平方式后可求出最值． 4．用于证明：“配方法”在代数证明中有着广泛的应用，我们学习二次函数后还会知道“配方法”在二次函数中也有着广泛的应用． 要点诠释：“配方法”在初中数学中占有非常重要的地位，是恒等变形的重要手段，是研究相等关系，讨论不等关系的常用技巧，是挖掘题目当中隐含条件的有力工具，一定要学好．类型二、配方法在代数中的应用2．若代数式，，则的值（ ）A ．一定是负数B ．一定是正数C ．一定不是负数D ．一定不是正数【答案】B ；【解析】（作差法）．故选Ｂ．【总结升华】本例是“配方法”在比较大小中的应用，通过作差法最后拆项、配成完全平方，使此差大于零而比较出大小.221078Ma b a =+-+2251N a b a =+++M N -22221078(51)M N a b a a b a -=+-+-+++2222107851a b a a b a =+-+----29127a a =-+291243a a =-++2(32)30a =-+>3．用配方法说明：代数式x2+8x+17的值总大于0.【答案与解析】x2+8x+17＝ x2+8x+42-42+17＝（x+4）2+1∵（x+4）2≥0，∴（x+4）2+1＞0，故无论x取何实数，代数式 x2+8x+17的值总大于0.【总结升华】利用配方法将代数式配成完全平方式后，再分析代数式值得符号.举一反三：【变式】求代数式 x2+8x+17的最小值4．（2014春•滦平县期末）已知x2+y2﹣4x+6y+13＝0，求（x+y）2013的值．【思路点拨】采用配方法求出x、y的值，代入计算即可得到答案．【答案与解析】解：x2+y2﹣4x+6y+13＝0，x2﹣4x+4+y2﹣+6y+9＝0，（x﹣2）2+（y+3）2＝0∴x﹣2＝0，y+3＝0，解得，x＝2，y＝﹣3，（x+y）2013＝﹣1．【总结升华】本题考查的是配方法的应用和非负数的性质的应用，掌握配方法的步骤和几个非负数的和为0，每个非负数都为0是解题的关键．1.一元二次方程的求根公式 一元二次方程，当时，.2.一元二次方程根的判别式 一元二次方程根的判别式：． ①当时，原方程有两个不等的实数根；②当时，原方程有两个相等的实数根；③当时，原方程没有实数根.3.用公式法解一元二次方程的步骤 用公式法解关于x 的一元二次方程的步骤：①把一元二次方程化为一般形式；②确定a 、b 、c 的值（要注意符号）； ③求出的值；④若，则利用公式求出原方程的解；若，则原方程无实根.要点诠释：（1）虽然所有的一元二次方程都可以用公式法来求解，但它往往并非最简单的，一定要注意方法的选用.（2）一元二次方程，用配方法将其变形为：①当时，右端是正数．因此，方程有两个不相等的实根：② 当时，右端是零．因此，方程有两个相等的实根： ③ 当时，右端是负数．因此，方程没有实根.20 (0)ax bx c a ++=≠2224()24b b ac x a a -+=240b ac ∆=->1,22b x a-±=240b ac ∆=-=1,22b x a=-240b ac ∆=-<5． 用公式法解下列方程．(1)； (2)．【总结升华】 用公式法解一元二次方程的关键是对a 、b 、c 的确定．用这种方法解一元二次方程的步骤是：(1)把方程化为一元二次方程的一般形式；(2)确定a ，b ，c 的值并计算的值；(3)若是非负数，用公式法求解．举一反三：【变式】用公式法解方程6．用公式法解下列方程：(1)； (2) ．【总结升华】首先把每个方程化成一般形式，确定出a 、b 、c 的值，在的前提下，代入求根公式可求出方程的根．23310x x --=2241x x =-24b ac -24b ac -2341x x =+2100x -+=(1)(1)x x +-=240b ac -≥举一反三：【变式】（2014秋•泽州县校级期中）用公式法解方程：5x 2﹣4x ﹣12＝0．【巩固练习】 一、选择题1.已知关于x 的一元二次方程，用配方法解此方程，配方后的方程是（ ）A ．B ．C ．D ． 2．用配方法解下列方程时，配方有错误的是（ ）A ．化为B ．化为C ．化为D ．化为3．（2015春•张家港市校级期中）若M=2x 2﹣12x+15，N=x 2﹣8x+11，则M 与N 的大小关系为（ ） A ．M ≥N B ． M ＞N C ． M ≤N D ． M ＜N 4．不论x 、y 为何实数，代数式的值 ( )A ．总小于2B ．总不小于7C ．为任何实数D ．不能为负数 5．已知，则的值等于（ ）A.4B.-2C.4或-2D.-4或2 6．若t 是一元二次方程的根，则判别式和完全平方式的关系是( )A.△=MB. △＞MC. △＜MD. 大小关系不能确定二、填空题 7．（1）x 2-x+ =（ ）2； （2）x 2+px+ =（ ）2. 220x x m --=2(1)1x m -=+2(1)1x m +=+22(1)1x m -=+22(1)1x m +=+22990x x --=2(1)100x -=22740t t --=2781416t ⎛⎫-= ⎪⎝⎭2890x x ++=2(4)25x +=23420x x --=221039x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭22247x y x y ++-+438．已知，则的值为 ． 9．已知4x 2-ax+1可变为（2x-b ）2的形式，则ab=_______．10．将一元二次方程x 2-2x-4=0用配方法化成（x+a ）2=b 的形式为____ ___，∴所以方程的根为_________． 11．把一元二次方程3x 2-2x-3=0化成3(x+m)2=n 的形式是___ ________；若多项式x 2-ax+2a-3是一个完全平方式，则a=_________. 12．（2015春•重庆校级期中）a 2+b 2﹣4a+2b+5=0，则b a 的值为 ．三、解答题 13. 用配方法解方程.(1) 3x 2-4x-2=0； (2)x 2-4x+6=0．14. 用公式法解下列方程：（2） ．15．（2014•甘肃模拟）用配方法证明：二次三项式﹣8x 2+12x ﹣5的值一定小于0．16．已知在⊿ABC 中,三边长a 、b 、c ,满足等式a 2-16b 2-c 2+6ab+10bc=0，求证:a+c=2b223730216b a a b -+-+=a -2(1)210x ax --=；22222(1)()ab x a x b x a b +=+>一元二次方程专题复习（二）温故知新:1.直接开平方法2.配方法3.公式法一、因式分解法因式分解法就是利用因式分解的手段，求出方程的解的方法，这种方法简单易行，是解一元二次方程最常用的方法。
一元二次方程复习知识点梳理
一元二次方程总复习考点1：一元二次方程的概念一元二次方程：只含有一个未知数，未知数的最高次数是2，且系数不为 0，这样的方程叫一元二次方 程．一般形式：ax 2＋bx+c=0(a ≠0）。
注意：判断某方程是否为一元二次方程时，应首先将方程化为一般形式。
考点2：一元二次方程的解法1.直接开平方法：对形如(x+a ）2=b （b ≥0）的方程两边直接开平方而转化为两个一元一次方程的方法。
X+a=±b∴1x =-a+b 2x =-a-b2.配方法：用配方法解一元二次方程：ax 2＋bx+c=0(k ≠0）的一般步骤是：①化为一般形式；②移项，将常数项移到方程的右边；③化二次项系数为1，即方程两边同除以二次项系数；④配方，即方程两边都加上一次项系数的一半的平方；化原方程为(x+a ）2=b 的形式；⑤如果b ≥0就可以用两边开平方来求出方程的解；如果b ≤0，则原方程无解．3.公式法：公式法是用求根公式求出一元二次方程的解的方法．它是通过配方推导出来的．一元二次方程的求根公式是aac b b x 242-±-=(b 2－4ac ≥0)。
步骤：①把方程转化为一般形式；②确定a ，b ，c 的值；③求出b 2－4ac 的值，当b 2－4ac ≥0时代入求根公式。
4.因式分解法：用因式分解的方法求一元二次方程的根的方法叫做因式分解法．理论根据：若ab=0，则a=0或b=0。
步骤是：①将方程右边化为0；②将方程左边分解为两个一次因式的乘积；③令每个因式等于0，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程，它们的解就是原一元二次方程的解．因式分解的方法：提公因式、公式法、十字相乘法。
5．一元二次方程的注意事项：⑴ 在一元二次方程的一般形式中要注意，强调a ≠0．因当a=0时，不含有二次项，即不是一元二次方程．⑵ 应用求根公式解一元二次方程时应注意：①先化方程为一般形式再确定a ，b ，c 的值；②若b 2－4ac ＜0，则方程无解．⑶ 利用因式分解法解方程时，方程两边绝不能随便约去含有未知数的代数式．如－2(x ＋4)2 =3（x＋4）中，不能随便约去x ＋4。
一元二次方程复习课(绝对经典)
2
关于 x的一元二次方程 x (2k 3) x k 0有
2 2
两个不相等的实数根 、
(1)求k的取值范围； （ ）若 6, 求（ ） 3 5的值 2 解： )由题意得， (2
2
解得， k1 1, k 2 3 3 k , k 1 4
2 8、x 2 4 x 2 0, 请用配方法转化成（ m） n的 x
形式，则
( x 2) 2
2
9、请写出一个一元二次方程，
它的根为-1和2
(x+1)(x-2)=0
将4个数a、b、c、d排成2行2列，两边各加一条竖线记成
a b a b , 定义 ad bc，这个式子叫做2阶行列式。 c d c d 若 x+1 x-1 1-x x+1 =6则x=
的一个根是-1，则
4 , 另一根为______ x=-3
若a为方程 x2 x 5 0 的解，则 a 2 a 1 的值 为 6
6、若a是方程x 3x 3 0的一个根，则
2
3a 9a 2
2
11
2
7、n是方程x m x n 0一个根（n 0）， n m -1
2、若（m+2）x 2 +（m-2） x -2=0是关于x的一元二 ≠－ 2 次方程则m 。
一元二次方程的一般式
ax bx c 0 （a≠0）
2
一元二次方程 一般形式 二次项系 一次项 常数项 数 系数
3x²=1
2y(y-3)= -4
3x²-1=0
2y2-6y+4=0
3 2
0
-6
-1 4
一元二次方程 复习
• 解：设商品的单价是(50+x)元，则每个商品的利 润是[(50+x)-40]；销售量是(500-10x)个。 • [(50+x)-40](500-10x)=8000 • 整理，得：x²-40x-300=0 • 解方程，得：x1=10,x2=30 • 故商品的的单价可定为50+10=60元或50+30=80元 • 当商品每个单价为60元时，其进货量只能是50010×10=400个；当商品每个单价为80元时，其进 货量只能是500-10×30=200个 • 答：售价定为60元时，进货是400个；售价定为80 元时，进货是200个。
26
• 传播问题： • 【例3】 某种电脑病毒传播非常快，若一台 电脑被传染，经过两轮感染就会有81台电脑 被传染，请你用学过的知识分析，每轮传染 中平均一台电脑会感染几台电脑？若病毒得 不到有效控制，3轮感染后，被感染的电脑 会不会超过700台？ • 增长率问题的一般形式：a（1±x）²=b（a 为起始时间的有关数量，b为终止时间的有 关数量）
19
• 2、2x²+(7/3)x=1 6x²+7x-3=0 △=b²-4ac＞0 x=（-7±9）/12 解得：x1=1/6,x2=-4/3 ∴原方程的解为：x1=1/6,x2=-4/3 • 四、解：1、6x²+x-15=0 (2x-3)(3x-5)=0 2x-3=0 或 3x-5=0
20
• • • • • • • •
27
• 解：设每轮感染中平均一台电脑会感染x台 电脑，则依题意得：（1+x）+（1+x）x=81 整理，得：（1+x）²=81 解得：x1=8，x2=-10（不合题意，舍去） ∴x=8 3轮感染后，被感染的电脑有 81+81×8=729>700 答：每轮感染中平均一台电脑会感染8台电 脑；若病毒得不到有效控制，3轮感染后， 被感染的电脑会超过700台。
《一元二次方程》全章复习与巩固—知识讲解
《一元二次方程》全章复习与巩固—知识讲解一元二次方程是高中数学中的重要内容，它是一种形如ax^2 + bx + c = 0的方程，其中a、b、c为实数，且a ≠ 0。
解一元二次方程的方法有因式分解、配方法和求根公式法。
下面将对这些解法进行讲解。
一、因式分解法如果一元二次方程能够因式分解为两个一次因式的乘积，即 (px + q) (rx + s) = 0，那么方程的解就可以直接得到。
具体步骤如下：1. 将二次方程化简成标准形式：ax^2 + bx + c = 0；2. 因式分解方程：(px + q) (rx + s) = 0；3. 解方程：px + q = 0 或 rx + s = 0；4.求解方程得到x的值。
例如，对方程x^2-5x+6=0应用因式分解法：1.方程已经是标准形式；2.可以将方程改写为(x-2)(x-3)=0；3.解方程得到x-2=0或x-3=0；4.求解方程可得x=2或x=3，这就是原方程的解。
二、配方法对于一元二次方程ax^2 + bx + c = 0，有时候可以通过配方法将方程转化为一个平方差或一个完全平方式。
具体步骤如下：1.当a≠0时，将方程两边同时除以a，化简为x^2+(b/a)x+c/a=0；2. 计算出一个值k，使得(b/a)^2 + 2(b/a)k + k^2 = k^2、其中，2(b/a)k为bx的一半，k^2为(c/a)的相反数的一半；3.将方程变形为(x+k)^2+m=0，即(x+k)^2=-m；4.解方程得到x+k=±√(-m)；5.求解方程得到x的值。
例如，对方程x^2-6x+8=0应用配方法：1.将方程化简为(x-3)^2-1=0；2.得到k=3，使得(-6/2)^2+2(-6/2)k+k^2=1；3.方程变形为(x-3)^2=1；4.解方程得到x-3=±1；5.求解方程可得x=2或x=4，这就是原方程的解。
三、求根公式法一元二次方程的求根公式是美国数学家Vieta发现的，它的公式形式为：x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / 2a。
高考考点知识点专题总结复习：一元二次方程
一元二次方程基础知识1 、一元二次方程方程中只含有一个未知数，而且未知数的最高次数是 2 的方程，一般地，这样的方程都整理成为形如的一般形式，我们把这样的方程叫一元二次方程。
其中分别叫做一元二次方程的二次项、一次项和常数项， a 、 b 分别是二次项和一次项的系数。
如：满足一般形式，分别是二次项、一次项和常数项， 2 ，－ 4 分别是二次项和一次项系数。
注：如果方程中含有字母系数在讨论是否是一元二次方程时，则需要讨论字母的取值范围。
2 . 一元二次方程求根方法（ 1 ）直接开平方法形如的方程都可以用开平方的方法写成，求出它的解，这种解法称为直接开平方法。
（ 2 ）配方法通过配方将原方程转化为的方程，再用直接开平方法求解。
配方：组成完全平方式的变形过程叫做配方。
配方应注意：当二次项系数为 1 时，原式两边要加上一次项系数一半的平方，若二次项系数不为 1 ，只需方程两边同时除以二次项系数，使之成为 1 。
（ 3 ）公式法求根公式：方程的求根公式步骤：1 ）把方程整理为一般形式：，确定 a 、 b 、 c 。
2 ）计算式子的值。
3 ）当时，把 a 、 b 和的值代入求根公式计算，就可以求出方程的解。
（ 4 ）因式分解法把一元二次方程整理为一般形式后，方程一边为零，另一边是关于未知数的二次三项式，如果这个二次三项式可以作因式分解，就可以把这样的一元二次方程转化为两个一元一次方程来求解，这种解方程的方法叫因式分解法。
3 、一元二次方程根的判别式的定义运用配方法解一元二次方程过程中得到，显然只有当时，才能直接开平方得：．也就是说，一元二次方程只有当系数、、满足条件时才有实数根．这里叫做一元二次方程根的判别式．4 、判别式与根的关系在实数范围内，一元二次方程的根由其系数、、确定，它的根的情况（是否有实数根）由确定．设一元二次方程为，其根的判别式为：则① 方程有两个不相等的实数根．② 方程有两个相等的实数根．③ 方程没有实数根．若，，为有理数，且为完全平方式，则方程的解为有理根；若为完全平方式，同时是的整数倍，则方程的根为整数根．说明：⑴用判别式去判定方程的根时，要先求出判别式的值：上述判定方法也可以反过来使用，当方程有两个不相等的实数根时，；有两个相等的实数根时，；没有实数根时，．⑵在解一元二次方程时，一般情况下，首先要运用根的判别式判定方程的根的情况（有两个不相等的实数根，有两个相等的实数根，无实数根）．当时，方程有两个相等的实数根（二重根），不能说方程只有一个根．①当时抛物线开口向上顶点为其最低点；②当时抛物线开口向下顶点为其最高点．5 、一元二次方程的根的判别式的应用一元二次方程的根的判别式在以下方面有着广泛的应用：⑴运用判别式，判定方程实数根的个数；⑵利用判别式建立等式、不等式，求方程中参数值或取值范围；⑶通过判别式，证明与方程相关的代数问题；（ 4 ）借助判别式，运用一元二次方程必定有解的代数模型，解几何存在性问题，最值问题．6 、韦达定理如果的两根是，，则，．（隐含的条件：）特别地，当一元二次方程的二次项系数为 1 时，设，是方程的两个根，则，．7 、韦达定理的逆定理以两个数，为根的一元二次方程（二次项系数为 1 ）是．一般地，如果有两个数，满足，，那么，必定是的两个根．8 、韦达定理与根的符号关系在的条件下，我们有如下结论：⑴当时，方程的两根必一正一负．若，则此方程的正根不小于负根的绝对值；若，则此方程的正根小于负根的绝对值．⑵当时，方程的两根同正或同负．若，则此方程的两根均为正根；若，则此方程的两根均为负根．更一般的结论是：若，是的两根（其中），且为实数，当时，一般地：① ，② 且，③ 且，特殊地：当时，上述就转化为有两异根、两正根、两负根的条件．其他有用结论：⑴若有理系数一元二次方程有一根，则必有一根（，为有理数）．⑵若，则方程必有实数根．⑶若，方程不一定有实数根．⑷若，则必有一根．⑸若，则必有一根．9 、韦达定理的应用⑴已知方程的一个根，求另一个根以及确定方程参数的值；⑵已知方程，求关于方程的两根的代数式的值；⑶已知方程的两根，求作方程；⑷结合根的判别式，讨论根的符号特征；⑸逆用构造一元二次方程辅助解题：当已知等式具有相同的结构时，就可以把某两个变元看作某个一元二次方程的两根，以便利用韦达定理；⑹利用韦达定理求出一元二次方程中待定系数后，一定要验证方程的．一些考试中，往往利用这一点设置陷阱10 、整数根问题对于一元二次方程的实根情况，可以用判别式来判别，但是对于一个含参数的一元二次方程来说，要判断它是否有整数根或有理根，那么就没有统一的方法了，只能具体问题具体分析求解，当然，经常要用到一些整除性的性质．方程有整数根的条件：如果一元二次方程有整数根，那么必然同时满足以下条件：⑴为完全平方数；⑵或，其中为整数．以上两个条件必须同时满足，缺一不可．另外，如果只满足判别式为完全平方数，则只能保证方程有有理根 ( 其中、、均为有理数 )11 、一元二次方程的应用1 ．求代数式的值；2. 可化为一元二次方程的分式方程。
一元二次方程复习
【主题训练1】(2014·怀化模拟)若(a-3) 的一元二次方程,则a的值为( )
+4xxa 2－+75=0是关于x
A.3
B.-3
C.±3
D.无法确定
【自主解答】选B.因为方程是关于x的一元二次方程,所以a2-
7=2,且a-3≠0,解得a=-3.
第三页，共28页。
【主题升华】 一元二次方程的有关定义及根
第十七页，共28页。
1.(2013·珠海中考)已知一元二次方程:①x2+2x+3=0,
②x2-2x-3=0,下列说法正确的是( )
A.①②都有实数解
B.①无实数解,②有实数解
C.①有实数解,②无实数解 D.①②都无实数解
第十八页，共28页。
【解析】选B.一元二次方程①的判别式的值为Δ= b2-4ac=412=-8<0,所以方程无实数根;一元二次方程②的判别式的值为 Δ=b2-4ac=4+12=16>0,所以方程有两个不相等的实数根.
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2.(2013·黄冈中考)已知一元二次方程x2-6x+c=0有一个根为2,则
另一根为( )
A.2
B.3
C.4
D.8
【解析】选C.由题意,把2代入原方程得:22-6×2+c=0,解得c=8,把
c=8代入方程得x2-6x+8=0,解得x1=2,x2=4.
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3.(2013·武汉中考)若x1,x2是一元二次方程x2-2x-3=0的两个根,则
得x1=1.9(不合题意,舍去),x2=0.1=10%. 答案:10%
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谢谢大家
第二十八页，共28页。
一元二次方程复习
（4）x +1/x=0
的三个要素及一个条 件
问题1、方程xy +y²=2是一元二次方程吗？是关于x的一
元二次方程吗？是关于y的一元二次方程吗？
巩固提高：
1、已知关于x的方程（m²-1）x²+（m-1）x-2m+1=0，当m=
时是
一元二次方程，当m=
时是一元一次方程，当m= 时，x=0。
2、若（m+2）x +（m-2）-2=0是关于x的一元二次方程则
m=
。
一元二次方程（关于x）
3x²-1=0
一般形式
二次项系数
一次项系数 常数项
3x（x-2）=2（x-2）
二、一元二次方程的解法
你还记得吗？请你选择最恰当的方法解下列一元二次方程
1、3x²-1=0
2、x（2x +3）=5（2x +3）
3、x²-4x-2=0
4、2 x ²-5x+1=0
点评：1、形如（x-k）²=h的方程可以用直接开平方法求解
为了解方程（y²-1）²-3（y²-1）+2=0，我们将y²-1
视为一个整体，设 y²-1=a ，则（y²-1）²=a²，原方
程可以化为：（1）a²- 3a+2=0，解得a1=1，a2=2。
当a=1时，y²-1=1，y =± 2 ，当a=2时，y²-1=2，
y=± 3
2
所以原方程的解为：y1= 2 ，y2 =- y 3= 3
2、千万记住：方程的两边有相同的含有未知数的因式的时候不能两边都除以这个因式， 因为这样能把方程的一个跟丢失了。要利用因式分解法求解 3、当方程的一次项系数是方程的二次项系数的两倍的时候可以用配方法求解， 当我们不能利用上边的方法求解的时候就就可以用公式法求解，公式法是万能的。
一元二次方程专题复习资料
一元二次方程专题复习 知识盘点1．方程中只含有 个未知数，并且整理后未知数的最高次数是 ，这样的 方程叫做一元二次方程。
通常可写成如下的一般形式 ( a 、b 、c 、为常数，a )。
2. 一元二次方程的解法：（1）直接开平方法：当一元二次方程的一边是一个含有未知数的 的平方，而另一边是一个 时，可以根据 的意义，通过开平方法求出这个方程的解。
（2）配方法：用配方法解一元二次方程()02≠=++a o c bx ax 的一般步骤是：①化二次项系数为 ，即方程两边同时除以二次项系数；②移项，使方程左边为 项和 项，右边为 项；③配方，即方程两边都加上 的平方；④化原方程为2()x m n +=的形式，如果n 是非负数，即0n ≥，就可以用 法求出方程的解。
如果n ＜0，则原方程 。
（3）公式法: 方程20(0)ax bx c a ++=≠，当24b ac -_______ 0时，x = ________（4）因式分解法：用因式分解法解一元二次方程的一般步骤是：①将方程的右边化为 ；②将方程的左边化成两个 的乘积；③令每个因式都等于 ，得到两个 方程；④解这两个方程，它们的解就是原方程的解。
3.一元二次方程的根的判别式 .（1）ac b 42->0⇔一元二次方程()002≠=++a c bx ax 有两个 的实数根,即-----=-----=2,1x x（2）ac b 42-=0⇔一元二次方程有两个 的实数根，即-----==21x x ,（3）ac b 42-<0⇔一元二次方程()002≠=++a c bx ax 实数根。
4. 一元二次方程根与系数的关系如果一元二次方程20ax bx c ++=(0)a ≠的两根为12,x x ，则12x x += ，12x x =提示：在应用一元二次方程根与系数的关系时，一定要保证元二次方程有实数根。
5. 列一元二次方程解应用题列一元二次方程解应用题的步骤和列一元一次方程解应用题的步骤一样，即审、找、设、列、解、答六步。
一元二次方程单元复习
一元二次方程单元复习一元二次方程基本概念：1、填表：2、一元二次方程(1－3x)(x+3)=2x2+1的一般形式是；它的二次项系数是；一次项系数是；常数项是。
3、二次项系数为5，一次项系数为－3，常数项为－1的一元二次方程是。
4、把(x+1)(2x+3)=5x2+2化成一般形式是，它的二次项系数是，一次项系数是，常数项是，根的判别式△= 。
5、已知方程2(m+1)x2+4mx+3m－2=0是关于x的一元二次方程，那么m的取值范围是。
6、已知关于x的方程(m+3)x2－mx+1=0，当m 时，原方程为一元二次方程，若原方程是一元一次方程，则m的取值范围是。
7、把方程a(x 2+x)+b(x 2－x)=1－c 写成关于x 的一元二次方程的一般形 式是 ，它的二次项系数是 、它是一元二次方程的条件是 。
一次项系数是 ，常数项是 。
8、已知关于x 的一元二次方程(2m －1)x 2+3mx+5=0有一根是x=－1，则m= 。
9、已知关于x 的方程(2k+1)x 2－4kx+(k －1)=0，问：(1)k 为 时，此方程是一元一次方程；此时方程的根为 ； (2)k 为 时，此方程是一元二次方程；此时一元二次方程的二次项系数是 ，一次项系数是 ，常数项为 。
10、当k 时，关于x 的方程(k+1)x 2+(2k －1)x+3=0是一元二次方程。
11、方程2x 2=8的实数根是 。
12、方程4(x －3)2=36的实数根是 。
13、方程(x 2－4)(x+3)=0的解是 。
解方程：14、240x -=； 15、2410y -=；16、m 2－3m －4＝0； 17、2690x x -+=；18、24210y y --=； 19、220n n --=；20、2122030x x -+=； 21、22320x x --=；22、(2)(1)70x x +-=； 23、224(21)9(4)x x -=+；24、(2x ＋1)2－3＝2(2x ＋1)； 25、(1－x) 2＝1－x 2；26、()()323212x x -+= 27、24120x x --=28、26730x x +-= 29、22510x x +-=30、方程53x 0.22-的解是 。
《一元二次方程》全章复习
《一元二次方程》全章复习1． 一元二次方程的有关概念2． 配方法的应用3． 根判别式，根与系数的关系4． 一元二次方程的解法：1）直接开平方法 2)因式分解法 3）配方法 4）公式法5． 实际问题：1）传播与数字问题 2）增长率与销售问题 3）有关面积的问题【巩固练习】1.下列方程是一元二次方程的是（ ） A.211x x x-=+ B.224x xy y -+= C.20ax bx c +=+ D.(x 1)1x x -=- 2.在一元二次方程2410x x --=中，二次项系数和一次项系数分别为（ ）A.1，4B.1，-4C.-1，-4D.2,4x x -3.在一元二次方程260x kx --=中，已知一个根为3x =，则实数k 的值为（ ）A.1B.-1C.2D.-24.关于x 的一元二次方程22(a 1)10x x a -++-=的一个根是0，则a 的值为（ ）A.1B.-1C.1或-1D.12 5.若关于x 的一元二次方程220x x m -+=没有实数根，则实数m 的取值范围是（ ）A.m <1B.m > -1C.m < -1D.m > 16. 若关于x 的方程2(m 1)02x m mx +-+=有两个不等的实数根，则m 的取值范围是7. 已知2410x x a +=-可变为2(2)x b -的形式，则ab=8. 若关于x 的方程2(2)10x x m m +++=-有两个相等的实数根，则m=9.已知一个矩形长比宽多2cm ，其面积为82cm ，则此长方形的周长是10. 若方程2310x x b +=+无解，则b 应满足的条件是11. 若关于x 的方程22(21)20k x x k -+-+=+有实数根，则k 的取值范围是 12. 若分式2817x x x -+-的值为0，则x= 13. 关于x 的方程22202x x a b a +-=+的根是14. 若关于x 的方程260x x k +=+的两根之差为2，则k=15. 已知关于x 的方程22(31)0x x m m --+=有两根为12,x x ，且121134x x +=-，则m= 16.用恰当的方法解下列方程： （1）21(3)13x += （2）2(21)2(2x 1)x +=+（3）(x 8)16x += （4）2280x x +-=（5）22(32)(2x 1)x +=- （5）2(21)4(21)40y y +-++=17.已知,αβ是方程2250x x +-=的两个实数根，求22ααβα++的值18.已知12,x x 是方程2214160x x +-=的两个实数根，求下列代数式的值，（1）212()x x - （2）2112x x x x + （3）12(2)(2)x x -- （4）12x x -19.已知关于x 的方程222(a 1)740x x a a +-+--=的两根为12,x x ，且满足12123340x x x x --+=，求a 的值20.实数k 在什么范围取值时，方程22(k 1)0kx kx -+-=有两个正的实数根21.若关于x 的方程2430x x k -+-=的两根为12,x x ，且满足123x x =，试求出方程的两个实数根及k 的值23.若n > 0，关于x 的方程21(m 2n)04x x mn --+=有两个相等的正的实数根，求m n24.如果2246130x x y y -++=，求(xy)z25.水果店花500元进了一批水果，按40%的利润定价，无人购买．决定打折出售，但仍无人购买，结果又一次打折后才售完．经结算，这批水果共盈利67元．若两次打折相同，每次打了几折？26.如图，在△ABC中，AB=10m，BC= 40m，∠C=90°，点P从点A开始沿AC边向点C以2m/s的速度匀速移动，同时另一点Q由C点开始以3m/s的速度沿着CB匀速移动，几秒时，△PCQ的面积等于450m2?25.某汽车销售公司6月份销售某厂家的汽车，在一定范围内，每部汽车的进价与销售量有如下关系：若当月仅售出1部汽车，则该部汽车的进价为27万元，每多售出1部，所有售出的汽车的进价均降低0.1万元/部，月底厂家根据销售量一次性返利给销售公司，销售量在10部以内（含10部），每部返利0.5万元；销售量在10部以上，每部返利1万元．（1）若该公司当月售出3部汽车，则每部汽车的进价为_________ 万元；（2）如果汽车的售价为28万元/部，该公司计划当月盈利12万元，那么需要售出多少部汽车？（盈利=销售利润+返利）。
(完整版)一元二次方程知识点总结和例题——复习,推荐文档
配方法解一元二次方程的一般步骤：现将已知方程化为一般形式；化二次项 系数为 1；常数项移到右边；方程两边都加上一次项系数的一半的平方，使 左边配成一个完全平方式；变形为(x+p)2=q 的形式，如果 q≥0，方程的根是 x=-p±√q；如果 q＜0,方程无实根． （3）公式法 公式法是用求根公式解一元二次方程的解的方法，它是解一元二次方程的一 般方法。
一个一元二次方程经过整理化成 ax2+bx+c=0（a≠0）后，其中 ax2 是二次项，
程，两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两 根之积等于常数项除以二次项系数所得的商。
a 是二次项系数；bx 是一次项，b 是一次项系数；c 是常数项。
7.分式方程
分母里含有未知数的方程叫做分式方程。
c a
。
温馨提示：利用根与系数的关系解题时，一元二次方程必须有实数根。
例题：
1、关于 x 的一元二次方程 x2 kx 4k 2 3 0 的两个实数根分别是 x1, x2 ，
且满足 x1 x2 x1x2 ，则 k 的值为：
（）
（A） 1或 3 4
（B） 1
3
（C）
4
（D）不存在
2、已知 , 是关于 x 的一元二次方程 x2 2m 3x m2 0 的两个不相
12、当 x =
时，代数式 x2 3x 比代数式 2x2 x 1的值大 2 ．
13、某商品原价每件 25 元，在圣诞节期间连续两次降价，现在商品每件 16
A．2 B．3 C．－2 或 3 D．2 或－3
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10、若（m+1） xm(m2)1 +2mx－1=0 是关于 x 的一元二次方程，则 m 的值是
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4.若关于x的一元二次方程 x mx n 0 0 的两个根互为相反数，则m= ———，
2
1 若两个根互为倒数，则n= —————。 5.已知方程 x 4x 3 0 的两个根为，
2
-7 则 5 ——————
2
6.写出以下列各数为根的方程： 2-5x+6=0 X X =2，x =3 ————————
1 2
X2+x-20=0 X1=4，x2=-5 ———————— X2-3x-4=0 X1=-1，x2=4 ———————— 2+13x+30=0 X X1=-10，x2=-3 ———————— 你发现了什么规律？
以x1，x2为根的一元二次方程为：
x （x1 x 2）x x1x 2 0
求根判别公式 6. 方程 3x 2 2 6x 的根的情况是。
2
有两个相等的实数根
x （k 1）x k 2 0
2
7.（山东.威海）已知关于x的一元二次方程 的根的情况是（ B ） A.有两个相等的实数根 B.有两个不相等的实数根 C.没有实数根 D.无法判定
思维拓展
8.（09.汕头）小明用下面的方法求出方程 2 x 3 0 的解，请你仿照他的方法求出下面另外两个方程的解，并 把你的解答过程填写在下面的表格中． 方程 换元法得 解新方 新方程 程
思维拓展 3.（2006，广东韶关）实数x、y满足关系式
x 2xy y x y 6 0
2 2
则x-y的值为（ A
A.-2或3
）
D 1或-6
B.2或-3 C. -1或6
4.（2006.日照）已知关于x的方程，
1 1 1 1 ，那么 x 1 的值 x x2 （ 2 x x） x
2 2
（） 3 . 4y 1 y
2
（4） （ . x 1） （ x 再降次；通过配方法 可以推出求根公式，公式法直接利用求根公 式；因式分解法要先使方程一边为两个一次 因式相乘，另一边为0，再分别使各一次因 式等于0.配方法、公式法适用于所有一元二 次方程，因式分解法用于某些一元二次方程。 总之，解一元二次方程的基本思路是：将二 次方程化为一次方程，即降次。
x
(32 2 x) 1
x
3 t 2
检验
求原方程的解
令 x t， 2 x 30 则 2t 3 0
x2 x 30
3 t 0 x 3 ，所以 x 9 2 4 2
x x2 4 0
双基训练 9.用适当的方法解方程：
1 2 （ 1） . （ 2 x 1） 32 0 2 2 （ 2） .3 x 4 x 1 0 （ 3） （ . 2 x 3） 4 （ 2 x 3）
2 2
则k的值为
1
。
2 ax bx 2 0 的根,则 3.若x=1是方程 2a+2b=_____ 4
4.（07.江苏淮安）写出一个两实数根之差 为3的一元二次方程 x2-3x=0 。
解方程
5.用适当的方法解方程：
（1） .7x（3 x） （ 4 x 3）
（2） （ . 3x 2） （ 4 x 3）
一元二次方程 复习课
知识结构
定义： 最高次数是2， 一个未知数， 1.概念 整式方程
一 元 二 次 方 程
+bx+c=0（a0） 一般形式：ax² 2.方程的解（两个） 直接开平方法 ①直接开平方法 配方法 选择顺序 ②因式分解法 3.解法 公式法 ③公式法
因式分解法 十字相乘法
④配方法
4.根的判别式、根与系数的关系 5.一元二次方程的应用
2
（ 4） .x 4 x 20 0
2
(5).3 x( x 1) 2( x 1) (6).(2 x 3) 9( x 2)
2 2
根与系数的关系的应用 1.设一元二次方程 3x x 5 0 1 的两个根为x1，x2，则x1+x2= ———— 3 5 x1· x2= ——————
2001年
2002 年
2003年
180
180(1+x)
2
180(1 x)
2
解:这两年的平均增长率为x,依题有
180(1 x) 304.2
（以下大家完成）
这种增长率的问题在实际生活 普遍存在,有一定的模式
若平均增长(或降低)百分率为x,增长(或 降低)前的是a,增长(或降低)n次后的量是A,则 它们的数量关系可表示为
2
为 ±2
。
实际问题-增长率 2003年我国政府工作报告指出:为解决农民负担 过重问题,在近两年的税费政策改革中,我国政府采取 了一系列政策措施,2001年中央财政用于支持这项改革 试点的资金约为180亿元,预计到2003年将到达304.2亿 元,求2001年到2003年中央财政每年投入支持这项改革 资金的平均增长率? 分析:设这两年的平均增长率为x,
30×20–(30–2x)(20–2x)=400 整理得 x2– 25x+100=0
X X 30cm
得 x1=20, x2=5
当x=20时,20-2x= -20(舍去);当x=5时,20-2x=10 答:这个长方形框的框边宽为5cm
1.某经济开发区今年一月份工业产值达 50亿元,第一季度总产值175亿元,设二月、 三月平均每月增长的百分率为x,根据题 意得方程为 .
一元二次方程的概念
1.下列方程是一元二次方程的是（ B ） 2 A. ax bx c 0 2 B. x 4
C. D.
x2 2 1 x x1
x 4 (x 2)
2
2
根与方程的关系
2.（06· 甘肃）关于x的一元二次方程
(k 4)x 3x k 3k 4 0 的一个根是0，
a(1 x) A
n
其中增长取“+”,降低取“－”
面积题 在长方形钢片上冲去一个长方形，制成一个四
周宽相等的长方形框。已知长方形钢片的长为30cm，宽 2 为20cm,要使制成的长方形框的面积为400cm ，求这个 长方形框的框边宽。 分析: 本题关键是如何用x的代数式表示这个长方形框的面积 解:设长方形框的边宽为xcm,依题意,得
2、在宽为20米、长为 32米的矩形地面上修筑 同样宽的两条互相垂直 的道路。余下的部分作 为耕地。要使耕地的面 积为540平方米，问道 路的宽应为多少米？ （列方程）
32米
20 米
3、如图，要建造一个面积为130平方米的小 仓库，仓库的一边靠墙且墙长16米，并在与 墙平行的一边开一道1米宽的门。现有能围 成32米的木板，求仓库的长和宽。（列方程）
2
3
2.已知方程 5x 2 kx 6 0的一个根为 2， 3 则k= -7 ，另一个根为x 。 5 2 3.设一元二次方程 x 3x 1 0 2 2 11 的两个根为x1，x2，则 x1 x 2 = ———— x 2 x1 1 1 -11 3 = —————— ， = ——————
2
综合运用 1.当x为何值时，代数式 x 7x 12
2
与代数式 x 5 之差为1.
x=4
2.（07，四川改编）三角形的一边长为10 2 2 x 另两边长为方程 20x 100 0 的两实数根，则这是一个（ D ） A.等边三角形 B.等腰三角形 C. 直角三角形 D. 等腰直角三角形