2019学年年高考数学一轮复习课时分层训练51直线与圆圆与圆的位置关系理北师大版300

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2019届一轮复习北师大版直线与圆、圆与圆的位置关系课件

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2.圆与圆的位置关系
设圆O1:(x-a1)2+(y-b1)2= r1 (r1>0), 圆O2:(x-a2)2+(y-b2)2= r22(r2>0).
2
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1.(2017北京朝阳一模,4)已知直线l过定点(0,1),则“直线l与圆(x-2)2+y2=4相
|m| 3 6 = ,所以m=± ,故选D. 2 2 2
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4.若点P(1,2)在以坐标原点为圆心的圆上,则该圆在点P处的切线方程为 x+2y-5=0 . 答案 x+2y-5=0 解析设圆的方程为x2+y2=r2,将P的坐标代入圆的方程,得r2=5,故圆的方

程为x2+y2=5. 设该圆在点P处的切线上的任意一点为M(x,y),则 PM =(x-1,y-2).由 OP ⊥
| m |
2
m 1
<1< 5,故直线l与圆C相
考点突破
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(2)解法一:将直线方程代入圆方程,得(k2+1)x2+4kx+3=0,直线与圆没有公共点的充要条件是Δ=16k2-12(k2+1)<0,解得k∈(- 3, 解法二:圆心(0,0)到直线y=kx+2的距离d= 的充要条件是d>1,即
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3.(2018北京海淀高三期末,5)已知直线x-y+m=0与圆O:x2+y2=1相交于A,B 两点,且△OAB为正三角形,则实数m的值为
3 6 B. 2 2 3 3 6 6 C. 或D. 或2 2 2 2

2019年高考数学一轮复习直线与圆、圆与圆的位置关系

第九单元
第62讲
解析几何
直线与圆、圆与圆的位置关系
复习目标
课前预习
高频考点
课时小结
课后练习
1．能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆的位置关系． 2．能根据给定两个圆的方程，判断两圆的位置关系． 3．能用直线和圆的方程解决一些简单的问题．
复习目标
课前预习
高频考点
课时小结
课后练习
1．直线与圆的位置关系将直线方程代入圆的方程得到一元二次方程，设判别式为 Δ，圆心 C 到直线的距离为 d，则直线与圆的位置关系可由下表进行判定：位置关系几何法代数法相离
答案：C
复习目标
课前预习
高频考点
课时小结
课后练习
3．(2015·广东卷)平行于直线2x＋y＋1＝0且与圆x2＋ y2＝5相切的直线的方程是( ) A．2x＋y＋5＝0或2x＋y－5＝0 B．2x＋y＋ 5＝0或2x＋y－ 5＝0 C．2x－y＋5＝0或2x－y－5＝0 D．2x－y＋ 5＝0或2x－y－ 5＝0
复习目标课前预习高频考点课时小结
课后练习
【变式探究】
1．(2015·山东卷)一条光线从点(－2，－3)射出，经y 轴反射后与圆(x＋3)2＋(y－2)2＝1相切，则反射光线所在直线的斜率为( ) 3 2 B．－2或－3 4 3 D．－3或－4 5 3 A．－3或－5 5 4 C．－4或－5
课时小结
课后练习
4．圆O1：x2＋y2－2x＝0和圆O2：x2＋y2－4y＝0的位置关系是( ) B．相交 D．内切 A．相离 C．外切
解：O1(1,0)，r1＝1，O2(0,2)，r2＝2，又|O1O2|＝ 12＋22＝ 5，所以r2－r1<|O1O2|<r1＋r2，故两圆相交．

【助力高考】2019年高考数学专题复习第51讲《直线与圆、圆与圆的位置关系》(含详细答案和教师用书)

♦♦♦学生用书（后跟详细参考答案和教师用书）♦♦♦把握命题趋势，提高复习效率，提升解题能力，打造高考高分！【助力高考】2019年高考备战数学专题复习精品资料第九章平面解析几何第51讲直线与圆、圆与圆的位置关系★★★核心知识回顾★★★知识点一、判断直线与圆的位置关系常用的两种方法(1)几何法：利用圆心到直线的距离d 和圆的半径r 的大小关系． ⇔相交； ⇔相切； ⇔相离． (2)代数法：――――→判别式Δ＝b 2－4ac⎩⎪⎨⎪⎧>0⇔相交；＝0⇔相切；<0⇔相离.知识点二、圆与圆的位置关系设圆O 1：(x －a 1)2＋(y －b 1)2＝r 21(r 1>0)，圆O 2：(x －a 2)2＋(y －b 2)2＝r 22(r 2>0).★★★高考典例剖析★★★考点一、直线与圆的位置关系例1：圆x 2＋y 2－2x ＋4y ＝0与直线2tx －y －2－2t ＝0(t ∈R )的位置关系为( ) A ．相离 B ．相切C ．相交D ．以上都有可能解：直线2tx －y －2－2t ＝0恒过点(1，－2)， ∵12＋(－2)2－2×1＋4×(－2)＝－5<0， ∴点(1，－2)在圆x 2＋y 2－2x ＋4y ＝0内，直线2tx －y －2－2t ＝0与圆x 2＋y 2－2x ＋4y ＝0相交，故选C.1．已知点M (a ，b )在圆O ：x 2＋y 2＝1外，则直线ax ＋by ＝1与圆O 的位置关系是( ) A ．相切 B ．相交 C ．相离D ．不确定考点二、圆与圆的位置关系例2：已知圆C 1：(x －a )2＋(y ＋2)2＝4与圆C 2：(x ＋b )2＋(y ＋2)2＝1外切，则ab 的最大值为( ) A.62 B.32 C.94D ．2 3♦♦♦跟踪训练♦♦♦2．已知圆C 1：(x －a )2＋(y ＋2)2＝4与圆C 2：(x ＋b )2＋(y ＋2)2＝1内切，求ab 的最大值． 3．已知圆C 1：(x －a )2＋(y ＋2)2＝4与圆C 2：(x ＋b )2＋(y ＋2)2＝1相交，求公共弦所在的直线方程．4． (2017·重庆调研)如果圆C ：x 2＋y 2－2ax －2ay ＋2a 2－4＝0与圆O ：x 2＋y 2＝4总相交，那么实数a 的取值范围是______________________．考点三、直线与圆的综合问题命题点1 求弦长问题例3： (2016·全国Ⅲ)已知直线l ：mx ＋y ＋3m －3＝0与圆x 2＋y 2＝12交于A ，B 两点，过A ，B 分别做l 的垂线与x 轴交于C ，D 两点，若|AB |＝23，则|CD |＝________. 解：设AB 的中点为M ，由题意知，圆的半径R ＝23， |AB |＝23，所以|OM |＝3，由|OM |＝|3m －3|m 2＋1＝3，解得m ＝－33，所以直线l ：x －3y ＋6＝0.由⎩⎨⎧x －3y ＋6＝0，x 2＋y 2＝12，解得A (－3，3)，B (0，23)，则AC 的直线方程为y －3＝－3(x ＋3)， BD 的直线方程为y －23＝－3x ，令y ＝0，解得C (－2,0)，D (2,0)，所以|CD |＝4. 命题点2 直线与圆相交求参数范围例4：已知过点A (0,1)且斜率为k 的直线l 与圆C ：(x －2)2＋(y －3)2＝1交于M ，N 两点． (1)求k 的取值范围；(2)若OM →·ON →＝12，其中O 为坐标原点，求|MN |. 解 (1)由题设，可知直线l 的方程为y ＝kx ＋1，因为l 与C 交于两点，所以|2k －3＋1|1＋k 2<1. 解得4－73<k <4＋73.所以k 的取值范围为⎝⎛⎭⎪⎫4－73，4＋73.(2)设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)．将y ＝kx ＋1代入方程(x －2)2＋(y －3)2＝1，整理得 (1＋k 2)x 2－4(1＋k )x ＋7＝0. 所以x 1＋x 2＝4(1＋k )1＋k 2，x 1x 2＝71＋k 2. OM →·ON →＝x 1x 2＋y 1y 2 ＝(1＋k 2)x 1x 2＋k (x 1＋x 2)＋1 ＝4k (1＋k )1＋k 2＋8.由题设可得4k (1＋k )1＋k 2＋8＝12，解得k ＝1，所以l 的方程为y ＝x ＋1. 故圆心C 在l 上，所以|MN |＝2. 命题点3 直线与圆相切的问题例5：已知圆C ：(x －1)2＋(y ＋2)2＝10，求满足下列条件的圆的切线方程． (1)与直线l 1：x ＋y －4＝0平行； (2)与直线l 2：x －2y ＋4＝0垂直； (3)过切点A (4，－1)．解 (1)设切线方程为x ＋y ＋b ＝0，则|1－2＋b |2＝10，∴b ＝1±25，∴切线方程为x ＋y ＋1±25＝0. (2)设切线方程为2x ＋y ＋m ＝0，则|2－2＋m |5＝10，∴m ＝±52，∴切线方程为2x ＋y ±52＝0. (3)∵k AC ＝－2＋11－4＝13，∴过切点A (4，－1)的切线斜率为－3，∴过切点A (4，－1)的切线方程为y ＋1＝－3(x －4)，即3x ＋y －11＝0.5．过点(3,1)作圆(x －2)2＋(y －2)2＝4的弦，其中最短弦的长为________．6．过点P (2,4)引圆(x －1)2＋(y －1)2＝1的切线，则切线方程为__________________． 7．已知点A ，B ，C 在圆x 2＋y 2＝1上运动，且AB ⊥BC .若点P 的坐标为(2,0)，则|P A →＋PB →＋PC →|的最大值为( ) A ．6 B ．7 C ．8D ．98．过点(2，0)引直线l 与曲线y ＝1－x 2相交于A ，B 两点，O 为坐标原点，当△AOB 的面积取最大值时，直线l 的斜率等于( ) A.33B ．－33C ．±33D ．－ 3考点四、直线与圆的综合问题例6：在平面直角坐标系中，A ，B 分别是x 轴和y 轴上的动点，若以AB 为直径的圆C 与直线2x ＋y －4＝0相切，则圆C 面积的最小值为( ) A.45π B.34π C ．(6－25)πD.54π 解： ∵∠AOB ＝90°，∴点O 在圆C 上．设直线2x ＋y －4＝0与圆C 相切于点D ，则点C 与点O 间的距离等于它到直线2x ＋y －4＝0的距离，∴点C 在以O 为焦点，以直线2x ＋y －4＝0为准线的抛物线上， ∴当且仅当O ，C ，D 共线时，圆的直径最小为|OD |. 又|OD |＝|2×0＋0－4|5＝45，∴圆C 的最小半径为25， ∴圆C 面积的最小值为π⎝⎛⎭⎫252＝45π. 故选A 。

2019版高考数学一轮复习第九章解析几何第三节直线与圆、圆与圆的位置关系实用

数法
1＋k12·|yA－yB|(其中 k≠0)．特别地，当 k＝0 时，|AB|
＝|xA－xB|；当斜率不存在时，|AB|＝|yA－yB|
切线问题 [例 3] 已知点 P( 2＋1,2－ 2)，点 M(3,1)，圆 C：(x－1)2 ＋(y－2)2＝4. (1)求过点 P 的圆 C 的切线方程； (2)求过点 M 的圆 C 的切线方程，并求出切线长． [解] 由题意得圆心 C(1,2)，半径 r＝2. (1)∵( 2＋1－1)2＋(2－ 2－2)2＝4，∴点 P 在圆 C 上．又 kPC＝2－2＋21－－21＝－1，∴切线的斜率 k＝－k1PC＝1. ∴过点 P 的圆 C 的切线方程是 y－(2－ 2)＝1×[x－( 2＋1)]，即 x－y＋1－2 2＝0.
第三节直线与圆、圆与圆的位置关系本节主要包括 2 个知识点：
1.直线与圆的位置关系；
2.圆与圆的位置关系.
K12课件
1
01 突破点(一) 直线与圆的位置关系
02
突破点(二) 圆与圆的位置关系
03
课线与圆的位置关系
基础联通抓主干知识的“源”与“流”
＝
a2|c＋| b2＝
|c| ＝ 2|c|
22，因此根据直角三角形的关系，弦长的
一半就等于
1－ 222＝ 22，所以弦长为 2.
(2)因为已知的两条直线平行且截圆 C 所得的弦长均为 8，所以圆心到直线的距离 d 为两平行直线距离的一半，即 d＝12×|2＋3＋101|＝3. 又直线截圆 C 所得的弦长为 8，所以圆的半径 r＝ 32＋42＝5，所以圆 C 的面积是 25π. [答案] (1) 2 (2)25π
[例 2] (1)若 a2＋b2＝2c2(c≠0)，则直线 ax＋by＋c＝0 被圆 x2 ＋y2＝1 所截得的弦长为________．

高考数学一轮复习---直线与圆、圆与圆的位置关系知识点与题型复习

直线与圆、圆与圆的位置关系知识点与题型复习一、基础知识1．直线与圆的位置关系(半径为r ，圆心到直线的距离为d )Δ＜0 Δ＝0 Δ＞02．圆与圆的位置关系(两圆半径为r 1，r 2，d ＝|O 1O 2|)|r －r |＜d ＜二、常用结论(1)圆的切线方程常用结论①过圆x 2＋y 2＝r 2上一点P (x 0，y 0)的圆的切线方程为x 0x ＋y 0y ＝r 2.②过圆(x －a )2＋(y －b )2＝r 2上一点P (x 0，y 0)的圆的切线方程为(x 0－a )(x －a )＋(y 0－b )(y －b )＝r 2. ③过圆x 2＋y 2＝r 2外一点M (x 0，y 0)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为x 0x ＋y 0y ＝r 2. (2)直线被圆截得的弦长弦心距d 、弦长l 的一半12l 及圆的半径r 构成一直角三角形，且有r 2＝d 2＋221⎪⎭⎫⎝⎛l .三、考点解析考点一直线与圆的位置关系考法(一) 直线与圆的位置关系的判断例、直线l ：mx －y ＋1－m ＝0与圆C ：x 2＋(y －1)2＝5的位置关系是( ) A ．相交 B ．相切 C ．相离 D ．不确定[解题技法]判断直线与圆的位置关系的常见方法： (1)几何法：利用d 与r 的关系．(2)代数法：联立方程组，消元得一元二次方程之后利用Δ判断．(3)点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内，可判断直线与圆相交．考法(二) 直线与圆相切的问题例、(1)过点P (2,4)作圆(x －1)2＋(y －1)2＝1的切线，则切线方程为( )A ．3x ＋4y －4＝0B ．4x －3y ＋4＝0C ．x ＝2或4x －3y ＋4＝0D ．y ＝4或3x ＋4y －4＝0 (2)已知圆C ：x 2＋y 2－2x －4y ＋1＝0上存在两点关于直线l ：x ＋my ＋1＝0对称，经过点M (m ，m )作圆C 的切线，切点为P ，则|MP |＝________.考法(三) 弦长问题例、(1)若a 2＋b 2＝2c 2(c ≠0)，则直线ax ＋by ＋c ＝0被圆x 2＋y 2＝1所截得的弦长为( ) A.12 B ．1 C.22D.2 (2)设直线y ＝x ＋2a 与圆C ：x 2＋y 2－2ay －2＝0相交于A ，B 两点，若|AB |＝23，则圆C 的面积为( ) A ．4π B ．2π C ．9π D ．22π跟踪练习：1．已知圆的方程是x 2＋y 2＝1，则经过圆上一点M ⎪⎪⎭⎫⎝⎛2222，的切线方程是________． 2．若直线kx －y ＋2＝0与圆x 2＋y 2－2x －3＝0没有公共点，则实数k 的取值范围是________．3．设直线y ＝kx ＋1与圆x 2＋y 2＋2x －my ＝0相交于A ，B 两点，若点A ，B 关于直线l ：x ＋y ＝0对称，则|AB |＝________.考点二圆与圆的位置关系例、已知圆M ：x 2＋y 2－2ay ＝0(a ＞0)截直线x ＋y ＝0所得线段的长度是22，则圆M 与圆N ：(x －1)2＋(y －1)2＝1的位置关系是( )A ．内切B ．相交C ．外切D ．相离变式练习：1．若圆C 1：x 2＋y 2＝1与圆C 2：x 2＋y 2－6x －8y ＋m ＝0外切，则m ＝( )A ．21B ．19C ．9D ．－112.(变结论)若本例两圆的方程不变，则两圆的公共弦长为________．[解题技法]几何法判断圆与圆的位置关系的3步骤： (1)确定两圆的圆心坐标和半径长；(2)利用平面内两点间的距离公式求出圆心距d ，求r 1＋r 2，|r 1－r 2|； (3)比较d ，r 1＋r 2，|r 1－r 2|的大小，写出结论．课后作业1．若直线2x ＋y ＋a ＝0与圆x 2＋y 2＋2x －4y ＝0相切，则a 的值为( ) A ．±5 B ．±5 C ．3 D ．±32．与圆C 1：x 2＋y 2－6x ＋4y ＋12＝0，C 2：x 2＋y 2－14x －2y ＋14＝0都相切的直线有( ) A ．1条 B ．2条 C ．3条 D ．4条3．直线y ＝kx ＋3被圆(x －2)2＋(y －3)2＝4截得的弦长为23，则直线的倾斜角为( ) A.π6或5π6 B ．－π3或π3 C ．－π6或π6 D.π64．过点(3,1)作圆(x －1)2＋y 2＝r 2的切线有且只有一条，则该切线的方程为( ) A ．2x ＋y －5＝0 B ．2x ＋y －7＝0 C ．x －2y －5＝0 D ．x －2y －7＝05．若圆x 2＋y 2＋2x －6y ＋6＝0上有且仅有三个点到直线x ＋ay ＋1＝0的距离为1，则实数a 的值为( ) A ．±1 B ．±24 C ．± 2 D ．±326．过点P (1，－2)作圆C ：(x －1)2＋y 2＝1的两条切线，切点分别为A ，B ，则AB 所在直线的方程为( ) A ．y ＝－34 B ．y ＝－12 C ．y ＝－32 D ．y ＝－147．在平面直角坐标系xOy 中，直线x ＋2y －3＝0被圆(x －2)2＋(y ＋1)2＝4截得的弦长为________． 8．若P (2,1)为圆(x －1)2＋y 2＝25的弦AB 的中点，则直线AB 的方程为________． 9．过点P (－3,1)，Q (a,0)的光线经x 轴反射后与圆x 2＋y 2＝1相切，则a 的值为________．10．点P 在圆C 1：x 2＋y 2－8x －4y ＋11＝0上，点Q 在圆C 2：x 2＋y 2＋4x ＋2y ＋1＝0上，则|P Q |的最小值是________．11．已知圆C 1：x 2＋y 2－2x －6y －1＝0和圆C 2：x 2＋y 2－10x －12y ＋45＝0. (1)求证：圆C 1和圆C 2相交；(2)求圆C 1和圆C 2的公共弦所在直线的方程和公共弦长．12．已知圆C 经过点A (2，－1)，和直线x ＋y ＝1相切，且圆心在直线y ＝－2x 上． (1)求圆C 的方程；(2)已知直线l 经过原点，并且被圆C 截得的弦长为2，求直线l 的方程．提高练习1．过圆x 2＋y 2＝1上一点作圆的切线，与x 轴、y 轴的正半轴相交于A ，B 两点，则|AB |的最小值为( ) A. 2 B.3 C ．2 D ．32．在平面直角坐标系xOy 中，A 为直线l ：y ＝2x 上在第一象限内的点，B (5,0)，以AB 为直径的圆C 与直线l 交于另一点D .若AB ―→·CD ―→＝0，则点A 的横坐标为________． 3．已知圆C ：x 2＋(y －a )2＝4，点A (1,0)．(1)当过点A 的圆C 的切线存在时，求实数a 的取值范围； (2)设AM ，AN 为圆C 的两条切线，M ，N 为切点，当|MN |＝455时，求MN 所在直线的方程．。

北师大版高中数学必修二高考一轮复习同步训练直线与圆、圆与圆的位置关系

课时作业(四十七) [第47讲直线与圆、圆与圆的位置关系][时间：45分钟分值：100分]基础热身1．直线x ＋3y －2＝0被圆(x －1)2＋y 2＝1截得的线段的长为( ) A ．1 B. 2 C. 3 D ．22．从原点向圆x 2＋y 2－12y ＋27＝0作两条切线，则该圆夹在两条切线间的劣弧长为( )A ．πB ．2πC ．4πD ．6π 3．[2011·哈尔滨九中二模] 已知直线l 过点(－2,0)，当直线l 与圆x 2＋y 2＝2x 有两个交点时，其斜率k 的取值范围是( )A ．(－22，22)B ．(－2，2)C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－24，24 D.⎝⎛⎭⎫－18，18 4．集合A ＝{(x ，y )|x 2＋y 2＝4}，B ＝{(x ，y )|(x －3)2＋(y －4)2＝r 2}，其中r >0，若A ∩B 中有且仅有一个元素，则r 的取值集合为( )A ．{3}B ．{7}C ．{3,7}D ．{2,7} 能力提升 5．[2011·山东实验中学二模] 圆2x 2＋2y 2＝1与直线x sin θ＋y －1＝0⎝⎛⎭⎫θ≠π2＋k π，k ∈Z 的位置关系是( ) A ．相离 B ．相切 C ．相交 D ．不能确定 6．[2011·重庆卷] 在圆x 2＋y 2－2x －6y ＝0内，过点E (0,1)的最长弦和最短弦分别为AC 和BD ，则四边形ABCD 的面积为( )A ．5 2B ．10 2C ．15 2D ．20 2 7．[2011·吉林一中冲刺] 曲线y ＝1＋4－x 2(|x |≤2)与直线y ＝k (x －2)＋4有两个交点时，实数k 的取值范围是( )A.⎝⎛⎦⎤512，34B.⎝⎛⎭⎫512，＋∞ C.⎝⎛⎭⎫13，34 D.⎝⎛⎭⎫0，512 8．[2010·江西卷] 直线y ＝kx ＋3与圆(x －2)2＋(y －3)2＝4相交于M ，N 两点，若|MN |≥23，则k 的取值范围是( )A.⎣⎡⎦⎤－34，0 B.⎝⎛⎦⎤－∞，－34∪[0，＋∞) C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－33，33D.⎣⎡⎦⎤－23，0 9．[2011·郑州三模] 若函数f (x )＝1b e ax 的图像在x ＝0处的切线l 与圆C ：x 2＋y 2＝1相离，则P (a ，b )与圆C 的位置关系是( )A ．点在圆外B ．点在圆内C ．点在圆上D ．不能确定10．[2011·吉林一中冲刺] 在平面直角坐标系xOy 中，已知x 2＋y 2＝4圆上有且仅有四个点到直线12x －5y ＋c ＝0的距离为1，则实数c 的取值范围是________．11．[2010·山东卷] 已知圆C 过点(1,0)，且圆心在x 轴的正半轴上，直线l ：y ＝x －1被圆C 所截得的弦长为22，则过圆心且与直线l 垂直的直线的方程为________．12．已知直线x ＋y ＋m ＝0与圆x 2＋y 2＝2交于不同的两点A 、B ，O 是坐标原点，|OA →＋OB →|≥|AB →|，那么实数m 的取值范围是________．13．[2011·江苏卷] 设集合A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫(x ，y )⎪⎪m 2≤(x －2)2＋y 2≤m 2，x ，y ∈R ，B ＝{(x ，y )|2m ≤x ＋y ≤2m ＋1，x ，y ∈R }，若A ∩B ≠∅，则实数m 的取值范围是________．14．(10分)求与圆x 2＋y 2－2x ＝0外切且与直线x ＋3y ＝0相切于点M (3，－3)的圆的方程．15．(13分)已知圆C ：x 2＋y 2－2x ＋4y －4＝0，是否存在斜率为1的直线m ，使m 被圆C 截得的弦为AB ，且以AB 为直径的圆过原点？若存在，求出直线m 的方程；若不存在，说明理由．难点突破16．(12分)已知与圆C ：x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0相切的直线l 交x 轴，y 轴于A ，B 两点，|OA |＝a ，|OB |＝b (a >2，b >2)．(1)求证：(a －2)(b －2)＝2； (2)求线段AB 中点的轨迹方程； (3)求△AOB 面积的最小值．课时作业(四十七)【基础热身】1．C [解析] 圆心到直线的距离d ＝|1＋0－2|12＋(3)2＝12， ∴弦长l ＝2r 2－d 2＝ 3.2．B [解析] 圆即x 2＋(y －6)2＝32，数形结合知所求的圆弧长为圆周长的三分之一，即13×(2π)×3＝2π.3．C [解析] 圆心坐标是(1,0)，圆的半径是1，直线方程是y ＝k (x ＋2)，即kx －y ＋2k ＝0，根据点线距离公式得|k ＋2k |k 2＋1<1，即k 2<18，解得－24<k <24.4．C [解析] 集合A ，B 表示两个圆，A ∩B 中有且仅有一个元素即两圆相切，有内切和外切两种情况，由题意，外切时，r ＝3；内切时，r ＝7，即r 的值是3或7.【能力提升】5．A [解析] 圆心到直线的距离d ＝11＋sin 2θ，根据θ的取值范围，0≤sin 2θ<1，故d >12＝r ⎝⎛⎭⎫注意条件θ≠π2＋k π，k ∈Z 时，sin θ≠±1.. 6．B [解析] 将圆方程配方得(x －1)2＋(y －3)2＝10. 设圆心为G ，易知G (1,3)．最长弦AC 为过E 的直径，则|AC |＝210.最短弦BD 为与GE 垂直的弦，如图1－2所示．易知|BG |＝10，|EG |＝(0－1)2＋(1－3)2＝5， |BD |＝2|BE |＝2BG 2－EG 2＝2 5.所以四边形ABCD 的面积为S ＝12|AC ||BD |＝10 2.故选B.7．A [解析] 曲线y ＝1＋4－x 2为一个半圆，直线y ＝k (x －2)＋4为过定点的直线系，数形结合、再通过简单计算即可．曲线和直线系如图，当直线与半圆相切时，由|－2k －1＋4|1＋k 2＝2，解得k ＝512，又k AP＝34，所以k 的取值范围是⎝⎛⎦⎤512，34.8．C [解析] 直线过定点(0,3)．当直线与圆的相交弦长为23时，由垂径定理定理可得圆心到直线的距离d ＝1，再由点到线的距离公式可得|2k －3＋3|1＋k 2＝1，解得k ＝±33.结合图像可知当直线斜率满足k ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－33，33时，弦长|MN |≥2 3. 9．B [解析] f ′(x )＝a b e ax ，所以在x ＝0处的切线斜率为k ＝ab ，切点为⎝⎛⎭⎫0，1b ，切线方程为y －1b ＝ab x ，即ax －by ＋1＝0，它与圆x 2＋y 2＝1相离，所以圆心到该直线的距离大于1，即1a 2＋b2>1，即a 2＋b 2<1，所以点在圆内．10．(－13,13) [解析] 直线12x －5y ＋c ＝0是平行直线系，当圆x 2＋y 2＝4上有且只有四个点到该直线的距离等于1时，得保证圆心到直线的距离小于1，即|c |13<1，故－13<c <13.11．x ＋y －3＝0 [解析] 由题意，设所求的直线方程为x ＋y ＋m ＝0，设圆心坐标为(a,0)，则由题意知：⎝ ⎛⎭⎪⎫|a －1|22＋2＝(a －1)2，解得a ＝3或－1，又因为圆心在x 轴的正半轴上，所以a ＝3，故圆心坐标为(3,0)．因为圆心(3,0)在所求的直线上，所以有3＋0＋m ＝0，即m ＝－3，故所求的直线方程为x ＋y －3＝0.12．(－2，－2]∪[2，2) [解析] 方法1：将直线方程代入圆的方程得2x 2＋2mx ＋m 2－2＝0，Δ＝4m 2－8(m 2－2)>0得m 2<4，即－2<m <2.设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－m ，x 1x 2＝m 2－22，|OA →＋OB →|≥|AB →|即|OA →＋OB →|≥|OB →－OA →|，平方得OA →·OB →≥0，即x 1x 2＋y 1y 2≥0，即x 1x 2＋(m ＋x 1)(m ＋x 2)≥0，即2x 1x 2＋m (x 1＋x 2)＋m 2≥0，即2×m 2－22＋m (－m )＋m 2≥0，即m 2≥2，即m ≥2或m ≤－ 2.综合知－2<m ≤－2或2≤m <2.方法2：根据向量加减法的几何意义|OA →＋OB →|≥|AB →|等价于向量OA →，OB →的夹角为锐角或者直角，由于点A ，B 是直线x ＋y ＋m ＝0与圆x 2＋y 2＝2的交点，故只要圆心到直线的距离大于或者等于1即可，也即m 满足1≤|m |2<2，即－2<m ≤－2或者2≤m <2.13.12≤m ≤2＋2 [解析] 若m <0，则符合题的条件是：直线x ＋y ＝2m ＋1与圆(x －2)2＋y 2＝m 2有交点，从而由|2－2m －1|2≤|m |，解之得2－22≤m ≤2＋22，矛盾；若m ＝0，则代入后可知矛盾；若m >0，则当m 2≤m 2，即m ≥12时，集合A 表示一个环形区域，且大圆半径不小于12，即直径不小于1，集合B 表示一个带形区域，且两直线间距离为22，从而当直线x ＋y ＝2m 与x ＋y ＝2m ＋1中至少有一条与圆(x －2)2＋y 2＝m 2有交点，即可符合题意，从而有|2－2m |2≤|m |或|2－2m －1|2≤|m |，解之得2－22≤m ≤2＋2，所以综上所述，实数m 的取值范围是12≤m ≤2＋ 2.14．[解答] 设所求圆的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2(r >0)，由题知所求圆与圆x 2＋y 2－2x ＝0外切，则(a －1)2＋b 2＝r ＋1.①又所求圆过点M 的切线为直线x ＋3y ＝0，故b ＋3a －3＝ 3.② |a ＋3b |2＝r .③ 解由①②③组成的方程组得a ＝4，b ＝0，r ＝2或a ＝0，b ＝－43，r ＝6. 故所求圆的方程为(x －4)2＋y 2＝4或x 2＋(y ＋43)2＝36. 15．[解答] 设存在直线方程为y ＝x ＋b 满足条件，代入圆的方程得2x 2＋2(b ＋1)x ＋b 2＋4b －4＝0，直线与该圆相交则Δ＝4(b ＋1)2－8(b 2＋4b －4)>0，解得－3－32<b <－3＋3 2.设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－(b ＋1)，x 1x 2＝b 2＋4b －42，以AB 为直径的圆过原点时，AO ⊥BO ，即x 1x 2＋y 1y 2＝0，即2x 1x 2＋b (x 1＋x 2)＋b 2＝0，把上面式子代入得b 2＋4b －4－b (b ＋1)＋b 2＝0，即b 2＋3b －4＝0，解得b ＝－4或b ＝1，都在－3－32<b <－3＋32内，故所求的直线是y ＝x －4或y ＝x ＋1.【难点突破】16．[解答] (1)证明：圆的标准方程是(x －1)2＋(y －1)2＝1，设直线方程为x a ＋yb＝1，即bx ＋ay －ab ＝0，圆心到该直线的距离d ＝|a ＋b －ab |a 2＋b 2＝1，即a 2＋b 2＋a 2b 2＋2ab －2a 2b－2ab 2＝a 2＋b 2，即a 2b 2＋2ab －2a 2b －2ab 2＝0，即ab ＋2－2a －2b ＝0，即(a －2)(b －2)＝2.(2)设AB 中点M (x ，y )，则a ＝2x ，b ＝2y ，代入(a －2)(b －2)＝2，得(x －1)(y －1)＝12(x >1，y >1)．(3)由(a －2)(b －2)＝2得ab ＋2＝2(a ＋b )≥4ab ，解得ab ≥2＋2(舍去ab ≤2－2)，当且仅当a ＝b 时，ab 取最小值6＋42，所以△AOB 面积的最小值是3＋2 2.。

2019年高考数学一轮复习第八章解析几何课时分层作业五十二 8.4 直线与圆、圆与圆的位置关系

2019年高考数学一轮复习第八章解析几何课时分层作业五十二 8.4 直线与圆、圆与圆的位置关系理一、选择题(每小题5分,共25分)1.(xx·山东高考)已知圆M:x2+y2-2ay=0(a>0)截直线x+y=0所得线段的长度是2,则圆M与圆N:(x-1)2+(y-1)2=1的位置关系是( )A.内切B.相交C.外切D.相离【解析】选B.圆M:x2+y2-2ay=0(a>0)可化为:x2+=a2,由题意,d=,所以有,a2=+2,解得a=2.所以圆M:x2+=22,圆心距=,半径和=3,半径差=1,所以二者相交.2.(xx·桂林模拟)已知圆C1:(x+1)2+(y-1)2=1,圆C2与圆C1关于直线x-y-1=0对称,则圆C2的方程为 ( )A.(x+2)2+(y-2)2=1B.(x-2)2+(y+2)2=1C.(x+2)2+(y+2)2=1D.(x-2)2+(y-2)2=1【解析】选B.圆C1:(x+1)2+(y-1)2=1的圆心坐标为(-1,1),关于直线x-y-1=0对称的圆心坐标为(2,-2),所求的圆C2的方程为(x-2)2+(y+2)2=1.【变式备选】若圆C1:x2+y2=1与圆C2:x2+y2-6x-8y+m=0外切,则m= ( )A.21B.19C.9D.-11【解析】选C.圆C1的圆心是原点(0,0),半径r1=1,圆C2:(x-3)2+(y-4)2=25-m,圆心C2(3,4),半径r2=,由两圆相外切,得|C1C2|=r1+r2=1+=5,所以m=9.3.过点P(3,1)作圆C:(x-1)2+y2=1的两条切线,切点分别为A,B,则直线AB的方程为( )A.2x+y-3=0B.2x-y-3=0C.4x-y-3=0D.4x+y-3=0【解析】选A.如图,圆心坐标为C(1,0),易知A(1,1).又k AB·k PC=-1,且k PC==,所以k AB=-2.故直线AB的方程为y-1=-2(x-1),即2x+y-3=0.【一题多解】选A.易知P,A,C,B四点共圆,其方程为(x-1)·(x-3)+(y-0)(y-1)=0,即x2+y2-4x-y+3=0.又已知圆为x2+y2-2x=0,所以所求方程为2x+y-3=0.【变式备选】已知圆的方程为x2+y2-6x -8y=0.设该圆过点(3,5)的最长弦和最短弦分别为AC和BD,则四边形ABCD的面积为 ( )A.10B.20C.30D.40【解析】选B.圆心坐标是(3,4),半径是5,圆心到点(3,5)的距离为1.最短弦BD和最长弦(即圆的直径)AC 垂直,故最短弦的长为2=4,所以四边形ABCD的面积为|AC|·|BD|=×10×4=20.4.(xx·朝阳模拟)已知过定点P(2,0)的直线l与曲线y=相交于A,B两点,O为坐标原点,当△AOB的面积最大时,直线l的倾斜角为( ) A.150° B.135° C.120° D.30°【解析】选A.曲线y=为圆x2+y2=2的上半圆,由题意可得△AOB的面积S=|OA|·|OB|sin∠AOB=××sin∠AOB=sin∠AOB,当sin∠AOB=1即∠AOB=90°时,△AOB的面积取到最大值,此时在Rt△AOB中易得O到直线l的距离OD=1,在Rt△POD中,易得sin∠OPD==,可得∠OPD=30°,所以直线l的倾斜角为150°.【变式备选】已知圆C1:x2+y2-2x-4y-4=0与圆C2:x2+y2+4x-10y+25=0相交于A,B两点,则线段AB的垂直平分线的方程为( )A.x+y-3=0B.x-y+3=0C.x+3y-1=0D.3x-y+1=0【解析】选A.由题设可知线段AB的垂直平分线过两圆的圆心C1(1,2),C2(-2,5),由此可得圆心连线的斜率k==-1,故由点斜式方程可得y-2=-(x-1),即x+y-3=0.5.已知圆心(a,b)(a>0,b<0)在直线y=-2x+1上的圆,其圆心到x轴的距离恰好等于圆的半径,在y轴上截得的弦长为2,则圆的方程为( )A.(x-3)2+(y+5)2=25B.(x-2)2+(y+3)2=9C.(x-1)2+(y+1)2=1D.+=【解析】选B.设圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2.则由题知解得所以圆的方程为(x-2)2+(y+3)2=9.二、填空题(每小题5分,共15分)6.(xx·宁德模拟)若直线2x+y+m=0过圆x2+y2-2x+4y=0的圆心,则m的值为________.【解析】圆x2+y2-2x+4y=0的圆心为C(1,-2),因为直线2x+y+m=0过圆x2+y2-2x+4y=0的圆心,所以圆心C(1,-2)在直线2x+y+m=0上,所以2×1-2+m=0,解得m=0.答案:07.(xx·大连模拟)若☉O:x2+y2=5与☉O1:(x-m)2+y2=20(m∈R)相交于A,B两点,且两圆在点A处的切线互相垂直,则线段AB的长度是________.【解析】由题意☉O1与☉O在A处的切线互相垂直,则两切线分别过另一圆的圆心,所以O1A⊥OA.又因为|OA|=,|O1A|=2,所以|OO1|=5.又A,B关于OO1对称,所以AB为Rt△OAO1斜边上的高的2倍.所以|AB|=2×=4.答案:48.如图,已知圆C与x轴相切于点T(1,0),与y轴正半轴交于两点A,B(B在A的上方),且|AB|=2.则圆C在点B处的切线在x轴上的截距为________.【解析】由题意,设圆心C(1,r)(r为圆C的半径),则r2=+12=2,解得r=.所以圆C的方程为(x-1)2+(y-)2=2.令x=0,得y=±1,所以点B(0,+1).又点C(1,),所以直线BC的斜率为k BC=-1,所以过点B的切线方程为y-(+1)=x-0,即y=x+(+1).令y=0,得切线在x轴上的截距为--1.答案:--1【一题多解】同上面的方法得出圆C的方程.令x=0,得y=±1,所以点B(0,+1).又点C(1,),设过点B的切线方程为y-(+1)=kx,即kx-y+(+1)=0.由题意,圆心C(1,)到直线kx-y+(+1)=0的距离d==r=,解得k=1.故切线方程为x-y+(+1)=0.令y=0,得切线在x轴上的截距为--1.答案:--1三、解答题(每小题10分,共20分)9.(xx·宁德模拟)已知直线l:kx-y+k-=0与圆x2+y2=12交于A,B两点,过A,B分别作l的垂线与x轴交于C,D两点,若|AB|=4,求|CD|.【解析】由圆的方程x2+y2=(2)2可知:圆心为(0,0),半径r=2,因为弦长为|AB|=4=2r,说明直线过圆心.则有:0-0+k-=0,解得k=,直线AB的方程为y=x.设直线AB的倾斜角为θ,则tan θ=,所以θ=60°.Rt△AOC中,|CO|===4,所以|CD|=2|OC|=8.【变式备选】设圆(x-3)2+(y+5)2=r2(r>0)上有且仅有两个点到直线4x-3y-2=0的距离等于1,则圆半径r 的取值范围是( )A.3<r<5B.4<r<6C.r>4D.r>5【解析】选B.圆心C(3,-5),半径为r,圆心C到直线4x-3y-2=0的距离d==5,由于圆C上有且仅有两个点到直线4x-3y-2=0的距离等于1,则r-1<d<r+1,所以4<r<6.10.已知以点C(t∈R,t≠0)为圆心的圆与x轴交于点O,A,与y轴交于点O,B,其中O为原点.(1)求证:△OAB的面积为定值.(2)设直线y=-2x+4与圆C交于点M,N,若|OM|=|ON|,求圆C的方程.【解析】(1)因为圆C过原点O,且|OC|2=t2+.所以圆C的方程是(x-t)2+=t2+,令x=0,得y1=0,y2=;令y=0,得x1=0,x2=2t,所以S△OAB=|OA|·|OB|=×|2t|×=4,即△OAB的面积为定值.(2)因为|OM|=|ON|,|CM|=|CN|,所以OC垂直平分线段MN.因为k MN=-2,所以k OC=.所以=,解得t=2或t=-2.当t=2时,圆心C的坐标为(2,1),|OC|=,此时C到直线y=-2x+4的距离d=<,圆C与直线y=-2x+4相交于两点.当t=-2时,圆心C的坐标为(-2,-1),|OC|=,此时C到直线y=-2x+4的距离d=>.圆C与直线y=-2x+4不相交,所以t=-2不符合题意,舍去.所以圆C的方程为(x-2)2+(y-1)2=5.1.(5分)(xx·合肥模拟)设曲线C的方程为(x-2)2+(y+1)2=9,直线l的方程为x-3y+2=0,则曲线C上到直线l的距离为的点的个数为 ( )A.1B.2C.3D.4【解析】选B.曲线C是以点(2,-1)为圆心,半径为3的圆,则圆心到直线l的距离为=,小于半径,所以圆与直线l相交,作出圆和直线图象如图:其中点C为圆心,AD为过圆心且与直线l垂直的直线,则可知A,D分别为圆被直线l划分的两部分中离直线l最远的点,由于BC=,则AB=3-<,所以在A这一部分是没有点到直线l的距离为的,因为BD=3+,故在点B这一部分是有两个点到直线l的距离为,综上曲线C上有两个点到直线l的距离为.2.(5分)已知圆C1:(x-1)2+(y+1)2=1,圆C2:(x-4)2+(y-5)2=9,点M,N分别是圆C1,圆C2上的动点,P为x轴上的动点,则|PN|-|PM|的最大值是( )A.7B.3+4C.9D.2+2【解析】选C.圆C1的圆心为C1(1,-1),半径为1,圆C2的圆心为C2(4,5),半径为3,要使|PN|-|PM|的值最大,需PN最大,PM最小,PN最大为|PC2|+3,PM最小为|PC1|-1,故|PN|-|PM|的最大值是|PC2|+3-(|PC1|-1)=|PC2|-|PC1|+4,C2关于x轴的对称点为C2′(4,-5),|PC2|-|PC1|=|PC2′|-|PC1|≤|C1C2′|==5,故|PN|-|PM|的最大值是5+4=9.【变式备选】设直线l:(m-1)x+(2m+ 1)y+3m=0(m∈R)与圆(x-1)2+y2=r2(r>0)交于A,B两点,C为圆心,当实数m变化时,△ABC面积的最大值为4,则mr2=_____.【解析】设CA,CB的夹角为θ,所以S△ABC=r2sin θ≤r2,r2=4⇒r=2,此时圆心C到直线l的距离为2,所以=2,解得m=-或m=-,所以mr2=-4或-28.答案:-4或-283.(5分)已知AC,BD为圆O:x2+y2=4的两条相互垂直的弦,垂足为M(1,),则四边形ABCD的面积的最大值为__________.【解析】设圆心O到AC,BD的距离分别为d1,d2,则+=OM2=3,则|AC|=2,|BD|=2,所以四边形的面积S=|AC|·|BD|=2≤5,所以四边形ABCD的面积的最大值为5.答案:54.(12分)已知点P(0,5)及圆C:x2+y2+4x-12y+24=0.(1)若直线l过P且被圆C截得的线段长为4,求l的方程.(2)求过P点的圆C的弦的中点的轨迹方程.【解析】(1)如图所示,|AB|=4,D是AB的中点,CD⊥AB,AD=2,AC=4.在Rt△ACD中,可得CD=2.设所求直线的斜率为k,则直线的方程为y-5=kx,即kx-y+5=0.由点C到直线AB的距离公式,得=2,得k=.当k=时,直线l的方程为3x-4y+20=0.又直线l的斜率不存在时,也满足题意,此时方程为x=0.所以所求直线的方程为3x-4y+20=0或x=0.(2)设过P点的圆C的弦的中点为D(x,y),则CD⊥PD,即·=0,所以(x+2,y-6)·(x,y-5)=0,化简得所求轨迹方程为x2+y2+2x-11y+30=0.5.(13分)(xx·郑州模拟)已知过点A(0,1)且斜率为k的直线l与圆C:(x-2)2+(y-3)2=1交于M,N两点.(1)求k的取值范围.(2)若·=12,其中O为坐标原点,求|MN|.【解析】(1)由题设,可知直线l的方程为y=kx+1.因为直线l与圆C交于两点,所以<1.解得<k<.所以k的取值范围为.(2)设M(x1,y1),N(x2,y2).将y=kx+1代入圆C的方程(x-2)2+(y-3)2=1,整理得(1+k2)x2-4(1+k)x+7=0.所以x1+x2=,x1x2=.·=x1x2+y1y2=(1+k2)x1x2+k(x1+x2)+1=+8.由题设可得+8=12,解得k=1,所以l的方程为y=x+1.故圆C的圆心(2,3)在l上,所以|MN|=2.29303 7277 牷39573 9A95 骕38595 96C3 雃28495 6F4F 潏ao29665 73E1 珡s'29388 72CC 狌 23861 5D35 崵31089 7971 祱40297 9D69 鵩a。

2019届高考数学一轮复习：《直线与圆、圆与圆的位置关系》教学案(含解析)

直线与圆、圆与圆的位置关系[知识能否忆起]一、直线与圆的位置关系(圆心到直线的距离为d ，圆的半径为r)二、圆与圆的位置关系(⊙O 1、⊙O 2半径r 1、r 2，d ＝|O 1O 2|)[小题能否全取]1．(教材习题改编)圆(x －1)2＋(y ＋2)2＝6与直线2x ＋y －5＝0的位置关系是( ) A ．相切 B ．相交但直线不过圆心 C ．相交过圆心D ．相离解析：选B 由题意知圆心(1，－2)到直线2x ＋y －5＝0的距离d ＝5，0＜d ＜6，故该直线与圆相交但不过圆心．2．(2018·银川质检)由直线y ＝x ＋1上的一点向圆x 2＋y 2－6x ＋8＝0引切线，则切线长的最小值为( ) A.7 B ．2 2 C ．3D. 2解析：选A 由题意知，圆心到直线上的点的距离最小时，切线长最小．圆x 2＋y 2－6x ＋8＝0可化为(x －3)2＋y 2＝1，则圆心(3,0)到直线y ＝x ＋1的距离为42＝22，切线长的最小值为22－1＝7.3．直线x －y ＋1＝0与圆x 2＋y 2＝r 2相交于A ，B 两点，且AB 的长为2，则圆的半径为( ) A.322B.62C ．1D ．2解析：选B 圆心(0,0)到直线x－y＋1＝0的距离d＝12.则r2＝⎝⎛⎭⎪⎫12|AB|2＋d2＝32，r＝62.4．(教材习题改编)若圆x2＋y2＝1与直线y＝kx＋2没有公共点，则实数k的取值范围是________．解析：由题意知21＋k2＞1，解得－3＜k＜ 3.答案：(－3，3)5．已知两圆C1：x2＋y2－2x＋10y－24＝0，C2：x2＋y2＋2x＋2y－8＝0，则两圆公共弦所在的直线方程是____________．解析：两圆相减即得x－2y＋4＝0.答案：x－2y＋4＝01.求圆的弦长问题，注意应用圆的几何性质解题，即用圆心与弦中点连线与弦垂直的性质，可用勾股定理或斜率之积为－1列方程来简化运算．2．对于圆的切线问题，要注意切线斜率不存在的情况．典题导入[例1] (2018·陕西高考) 已知圆C：x2＋y2－4x＝0，l是过点P(3,0)的直线，则( )A．l与C相交B．l与C相切C．l与C相离D．以上三个选项均有可能[自主解答] 将点P(3,0)的坐标代入圆的方程，得32＋02－4×3＝9－12＝－3<0，所以点P(3,0)在圆内．故过点P的直线l定与圆C相交．[答案] A本例中若直线l为“x－y＋4＝0”问题不变．解：∵圆的方程为(x－2)2＋y2＝4，∴圆心(2,0)，r＝2.又圆心到直线的距离为d＝62＝32＞2.∴l与C相离．由题悟法判断直线与圆的位置关系常见的方法(1)几何法：利用圆心到直线的距离d和圆半径r的大小关系．(2)代数法：联立直线与圆的方程消元后利用Δ判断．(3)点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内可判断直线与圆相交．以题试法1．(2018·哈师大附中月考)已知直线l 过点(－2,0)，当直线l 与圆x 2＋y 2＝2x 有两个交点时，其斜率k 的取值范围是( )A ．(－22，22)B ．(－2，2)C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－24，24D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－18，18解析：选C 易知圆心坐标是(1,0)，圆的半径是1，直线l 的方程是y ＝k(x ＋2)，即kx －y ＋2k ＝0，根据点到直线的距离公式得|k ＋2k|k 2＋1＜1，即k 2＜18，解得－24＜k ＜24.典题导入[例2] (1)(2018·广东高考)在平面直角坐标系xOy 中，直线3x ＋4y －5＝0与圆x 2＋y 2＝4相交于A 、B 两点，则弦AB 的长等于( )A ．3 3B ．2 3 C. 3D ．1(2)(2018·天津高考)设m ，n ∈R ，若直线(m ＋1)x ＋(n ＋1)y －2＝0与圆(x －1)2＋(y －1)2＝1相切，则m ＋n 的取值范围是( )A ．[1－3，1＋ 3 ]B ．(－∞，1－ 3 ]∪[1＋3，＋∞)C ．[2－22，2＋2 2 ]D ．(－∞，2－2 2 ]∪[2＋22，＋∞)[自主解答] (1)圆x 2＋y 2＝4的圆心(0,0)，半径为2，则圆心到直线3x ＋4y －5＝0的距离d ＝532＋42＝1.故|AB|＝2r 2－d 2＝24－1＝2 3.(2)圆心(1,1)到直线(m ＋1)x ＋(n ＋1)y －2＝0的距离为|m ＋n|＋2＋＋2＝1，所以m ＋n ＋1＝mn≤14(m ＋n)2，整理得[(m ＋n)－2]2－8≥0，解得m ＋n≥2＋22或m ＋n≤2－2 2.[答案] (1)B (2)D由题悟法1．圆的弦长的常用求法：(1)几何法：设圆的半径为r ，弦心距为d ，弦长为l ，则⎝ ⎛⎭⎪⎫l 22＝r 2－d 2.(2)代数方法：运用韦达定理及弦长公式： |AB|＝1＋k 2|x 1－x 2|＝＋k 21＋x 22－4x 1x 2].[注意] 常用几何法研究圆的弦的有关问题．2．求过一点的圆的切线方程时，首先要判断此点与圆的位置关系，若点在圆内，无解；若点在圆上，有一解；若点在圆外，有两解．以题试法2．(2018·杭州模拟)直线y ＝kx ＋3与圆(x －2)2＋(y －3)2＝4相交于M ，N 两点，若|MN|≥23，则k 的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－34，0 B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－33，33 C ．[－3， 3]D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－23，0|MN|≥23，则d2解析：选B 如图，设圆心C(2,3)到直线y ＝kx ＋3的距离为d ，若＝r 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫12|MN|2≤4－3＝1，即|2k|21＋k 2≤1，解得－33≤k≤ 33.典题导入[例3] (1)(2018·山东高考)圆(x＋2)2＋y2＝4与圆(x－2)2＋(y－1)2＝9的位置关系为( )A．内切B．相交C．外切D．相离(2)设两圆C1、C2都和两坐标轴相切，且都过点(4,1)，则两圆心的距离|C1C2|＝________.[自主解答] (1)两圆圆心分别为(－2,0)，(2,1)，半径分别为2和3，圆心距d＝42＋1＝17.∵3－2＜d ＜3＋2，∴两圆相交．(2)由题意可设两圆的方程为(x－r i)2＋(y－r i)2＝r2i，r i＞0，i＝1,2.由两圆都过点(4,1)得(4－r i)2＋(1－r i)2＝r2i，整理得r2i－10r i＋17＝0，此方程的两根即为两圆的半径r1，r2，所以r1r2＝17，r1＋r2＝10，则|C1C2|＝1－r22＋1－r22＝2×1＋r22－4r1r2＝2×100－68＝8.[答案] (1)B (2)8由题悟法两圆位置关系的判断常用几何法，即利用两圆圆心之间的距离与两圆半径之间的关系，一般不采用代数法．若两圆相交，则两圆公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差得到．以题试法3．(2018·青岛二中月考)若⊙O：x2＋y2＝5与⊙O1：(x－m)2＋y2＝20(m∈R)相交于A、B两点，且两圆在点A处的切线互相垂直，则线段AB的长是________．解析：依题意得|OO1|＝5＋20＝5，且△OO1A是直角三角形，S△O O1A＝12·|AB|2·|OO1|＝12·|OA|·|AO1|，因此|AB|＝2·|OA|·|AO1||OO1|＝2×5×255＝4.答案：4一、选择题1．(2018·人大附中月考)设m ＞0，则直线2(x ＋y)＋1＋m ＝0与圆x 2＋y 2＝m 的位置关系为( ) A ．相切 B ．相交 C ．相切或相离D ．相交或相切解析：选C 圆心到直线l 的距离为d ＝1＋m 2，圆半径为m.因为d －r ＝1＋m 2－m ＝12(m －2m ＋1)＝12(m－1)2≥0，所以直线与圆的位置关系是相切或相离．2．(2018·福建高考)直线x ＋3y －2＝0与圆x 2＋y 2＝4相交于A ，B 两点，则弦AB 的长度等于( ) A ．2 5 B ．2 3 C. 3D ．1解析：选B 因为圆心(0,0)到直线x ＋3y －2＝0的距离为1，所以AB ＝24－1＝2 3.3．(2018·安徽高考)若直线x －y ＋1＝0与圆(x －a)2＋y 2＝2有公共点，则实数a 的取值范围是( ) A ．[－3，－1] B ．[－1,3] C ．[－3,1]D ．(－∞，－3]∪[1，＋∞)解析：选C 欲使直线x －y ＋1＝0与圆(x －a)2＋y 2＝2有公共点，只需使圆心到直线的距离小于等于圆的半径2即可，即|a －0＋1|12＋－2≤2，化简得|a ＋1|≤2，解得－3≤a≤1.4．过圆x 2＋y 2＝1上一点作圆的切线与x 轴，y 轴的正半轴交于A ，B 两点，则|AB|的最小值为( ) A. 2 B. 3 C ．2D ．3解析：选C 设圆上的点为(x 0，y 0)，其中x 0>0，y 0>0，则切线方程为x 0x ＋y 0y ＝1.分别令x ＝0，y ＝0得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 0，0，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1y 0，则|AB|＝ ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 02＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1y 02＝1x 0y 0≥1x 20＋y 202＝2.当且仅当x 0＝y 0时，等号成立． 5．(2018·兰州模拟)若圆x 2＋y 2＝r 2(r ＞0)上仅有4个点到直线x －y －2＝0的距离为1，则实数r 的取值范围为( )A ．(2＋1，＋∞)B ．(2－1, 2＋1)C ．(0, 2－1)D ．(0, 2＋1)解析：选A 计算得圆心到直线l 的距离为22＝ 2＞1，如图．直线l ：x －y －2＝0与圆相交，l 1，l 2与l 平行，且与直线l 的距离为1，故可以看出，圆的半径应该大于圆心到直线l 2的距离 2＋1.6．(2018·临沂模拟)已知点P(x ，y)是直线kx ＋y ＋4＝0(k ＞0)上一动点，PA ，PB 是圆C ：x 2＋y 2－2y ＝0的两条切线，A ，B 是切点，若四边形PACB 的最小面积是2，则k 的值为( )A. 2B.212C ．2 2D ．2解析：选D 圆心C(0,1)到l 的距离d ＝5k 2＋1，所以四边形面积的最小值为2×⎝ ⎛⎭⎪⎫12×1×d 2－1＝2，解得k 2＝4，即k ＝±2. 又k ＞0，即k ＝2.7．(2018·朝阳高三期末)设直线x －my －1＝0与圆(x －1)2＋(y －2)2＝4相交于A 、B 两点，且弦AB 的长为23，则实数m 的值是________．解析：由题意得，圆心(1,2)到直线x －my －1＝0的距离d ＝4－3＝1，即|1－2m －1|1＋m 2＝1，解得m ＝±33. 答案：±338．(2018·东北三校联考)若a ，b ，c 是直角三角形ABC 三边的长(c 为斜边)，则圆C ：x 2＋y 2＝4被直线l ：ax ＋by ＋c ＝0所截得的弦长为________．解析：由题意可知圆C ：x 2＋y 2＝4被直线l ：ax ＋by ＋c ＝0所截得的弦长为2 4－⎝⎛⎭⎪⎫c a 2＋b 22，由于a 2＋b 2＝c 2，所以所求弦长为2 3.答案：2 39．(2018·江西高考)过直线x ＋y －22＝0上点P 作圆x 2＋y 2＝1的两条切线，若两条切线的夹角是60°，则点P 的坐标是________．解析：∵点P 在直线x ＋y －22＝0上，∴可设点P(x 0，－x 0＋22)，且其中一个切点为M.∵两条切线的夹角为60°，∴∠OPM ＝30°.故在Rt △OPM 中，有OP ＝2OM ＝2.由两点间的距离公式得OP ＝ x 20＋－x 0＋222＝2，解得x 0＝ 2.故点P 的坐标是( 2， 2)．答案：( 2， 2)10．(2018·福州调研)已知⊙M ：x 2＋(y －2)2＝1，Q 是x 轴上的动点，QA ，QB 分别切⊙M 于A ，B 两点． (1)若|AB|＝423，求|MQ|及直线MQ 的方程；(2)求证：直线AB 恒过定点．解：(1)设直线MQ 交AB 于点P ，则|AP|＝223，又|AM|＝1，AP ⊥MQ ，AM ⊥AQ ，得|MP|＝ 12－89＝13，又∵|MQ|＝|MA|2|MP|，∴|MQ|＝3.设Q(x,0)，而点M(0,2)，由x 2＋22＝3，得x ＝±5，则Q 点的坐标为(5，0)或(－5，0)．从而直线MQ 的方程为2x ＋5y －25＝0或2x －5y ＋25＝0.(2)证明：设点Q(q,0)，由几何性质，可知A ，B 两点在以QM 为直径的圆上，此圆的方程为x(x －q)＋y(y－2)＝0，而线段AB 是此圆与已知圆的公共弦，相减可得AB 的方程为qx －2y ＋3＝0，所以直线AB 恒过定点⎝ ⎛⎭⎪⎫0，32. 11．已知以点C ⎝ ⎛⎭⎪⎫t ，2t (t ∈R ，t≠0)为圆心的圆与x 轴交于点O 、A ，与y 轴交于点O 、B ，其中O 为原点． (1)求证：△AOB 的面积为定值；(2)设直线2x ＋y －4＝0与圆C 交于点M 、N ，若|OM|＝|ON|，求圆C 的方程．解：(1)证明：由题设知，圆C 的方程为(x －t)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －2t 2＝t 2＋4t 2，化简得x 2－2tx ＋y 2－4t y ＝0，当y ＝0时，x ＝0或2t ，则A(2t,0)；当x ＝0时，y ＝0或4t ，则B ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，4t ，所以S △AOB ＝12|OA|·|OB|＝12|2t|·⎪⎪⎪⎪⎪⎪4t ＝4为定值． (2)∵|OM|＝|ON|，则原点O 在MN 的中垂线上，设MN 的中点为H ，则CH ⊥MN ， ∴C 、H 、O 三点共线，则直线OC 的斜率 k ＝2t t ＝2t ＝12，∴t ＝2或t ＝－2.∴圆心为C(2,1)或C(－2，－1)，∴圆C 的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝5或(x ＋2)2＋(y ＋1)2＝5，由于当圆方程为(x ＋2)2＋(y ＋1)2＝5时，直线2x ＋y －4＝0到圆心的距离d ＞r ，此时不满足直线与圆相交，故舍去，∴圆C 的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝5.12．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆x 2＋y 2－12x ＋32＝0的圆心为Q ，过点P(0,2)，且斜率为k 的直线与圆Q 相交于不同的两点A 、B.(1)求k 的取值范围；(2)是否存在常数k ，使得向量OA ＋OB 与PQ 共线？如果存在，求k 值；如果不存在，请说明理由．解：(1)圆的方程可写成(x －6)2＋y 2＝4，所以圆心为Q(6,0)．过P(0,2)且斜率为k 的直线方程为y ＝kx ＋2，代入圆的方程得x 2＋(kx ＋2)2－12x ＋32＝0，整理得(1＋k 2)x 2＋4(k －3)x ＋36＝0.①直线与圆交于两个不同的点A 、B 等价于Δ＝[4(k －3)]2－4×36(1＋k 2)＝42(－8k 2－6k)>0，解得－34<k<0，即k 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－34，0. (2)设A(x 1，y 1)、B(x 2，y 2)则OA ＋OB ＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)，由方程①得x 1＋x 2＝－－1＋k2.②又y 1＋y 2＝k(x 1＋x 2)＋4.③因P(0,2)、Q(6,0)，PQ ＝(6，－2)，所以OA ＋OB 与PQ 共线等价于－2(x 1＋x 2)＝6(y 1＋y 2)，将②③代入上式，解得k ＝－34.而由(1)知k ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－34，0，故没有符合题意的常数k.1．已知两圆x 2＋y 2－10x －10y ＝0，x 2＋y 2＋6x －2y －40＝0，则它们的公共弦所在直线的方程为________________；公共弦长为________．解析：由两圆的方程x 2＋y 2－10x －10y ＝0，x 2＋y 2＋6x －2y －40＝0，相减并整理得公共弦所在直线的方程为2x ＋y －5＝0.圆心(5,5)到直线2x ＋y －5＝0的距离为105＝25，弦长的一半为50－20＝30，得公共弦长为230.答案：2x ＋y －5＝0 2302．(2018·上海模拟)已知圆的方程为x 2＋y 2－6x －8y ＝0，a 1，a 2，…，a 11是该圆过点(3,5)的11条弦的长，若数列a 1，a 2，…，a 11成等差数列，则该等差数列公差的最大值是________．解析：容易判断，点(3,5)在圆内部，过圆内一点最长的弦是直径，过该点与直径垂直的弦最短，因此，过(3,5)的弦中，最长为10，最短为46，故公差最大为10－4610＝5－265. 答案：5－2653.(2018·江西六校联考)已知抛物线C ：y 2＝2px(p ＞0)的准线为l ，焦点为F ，圆M 的圆心在x 轴的正半轴上，圆M 与y 轴相切，过原点O 作倾斜角为π3的直线n ，交直线l 于点A ，交圆M 于不同的两点O 、B ，且|AO|＝|BO|＝2.(1)求圆M 和抛物线C 的方程；(2)若P 为抛物线C 上的动点，求P M ,·P F ,的最小值；(3)过直线l 上的动点Q 向圆M 作切线，切点分别为S 、T ，求证：直线ST 恒过一个定点，并求该定点的坐标．解：(1)易得B(1，3)，A(－1，－3)，设圆M 的方程为(x －a)2＋y 2＝a 2(a ＞0)，将点B(1，3)代入圆M 的方程得a ＝2，所以圆M 的方程为(x －2)2＋y 2＝4，因为点A(－1，－3)在准线l 上，所以p 2＝1，p ＝2，所以抛物线C 的方程为y 2＝4x.(2)由(1)得，M(2,0)，F(1,0)，设点P(x ，y)，则P M ,＝(2－x ，－y)，P F ,＝(1－x ，－y)，又点P 在抛物线y 2＝4x 上，所以P M ,·P F ,＝(2－x)(1－x)＋y 2＝x 2－3x ＋2＋4x ＝x 2＋x ＋2，因为x≥0，所以P M ,·P F ,≥2，即P M ,·P F ,的最小值为2.(3)证明：设点Q(－1，m)，则|QS|＝|QT|＝m 2＋5，以Q 为圆心，m 2＋5为半径的圆的方程为(x ＋1)2＋(y－m)2＝m 2＋5，即x 2＋y 2＋2x －2my －4＝0，①又圆M 的方程为(x －2)2＋y 2＝4，即x 2＋y 2－4x ＝0，② 由①②两式相减即得直线ST 的方程3x －my －2＝0，显然直线ST 恒过定点⎝ ⎛⎭⎪⎫23，0.1．两个圆：C 1：x 2＋y 2＋2x ＋2y －2＝0与C 2：x 2＋y 2－4x －2y ＋1＝0的公切线有且仅有( ) A ．1条 B ．2条 C ．3条D ．4条解析：选B 由题知C 1：(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝4，则圆心C 1(－1，－1)，C 2：(x －2)2＋(y －1)2＝4，圆心C 2(2,1)，两圆半径均为2，又|C 1C 2|＝＋2＋＋2＝13＜4，则两圆相交⇒只有两条外公切线．2．(2018·江苏高考)在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为x 2＋y 2－8x ＋15＝0，若直线y ＝kx －2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，则k 的最大值是________．解析：设圆心C(4,0)到直线y ＝kx －2的距离为d ，则d ＝|4k －2|k 2＋1，由题意知，问题转化为d≤2，即d ＝|4k －2|k 2＋1≤2，得0≤k≤43，所以k max ＝43.答案：433．过点(－1，－2)的直线l 被圆x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0截得的弦长为 2，则直线l 的斜率为________．解析：将圆的方程化成标准方程为(x －1)2＋(y －1)2＝1，其圆心为(1,1)，半径r ＝1.由弦长为2得弦心距为22.设直线方程为y ＋2＝k(x ＋1)，即kx －y ＋k －2＝0，则|2k －3|k 2＋1＝22，化简得7k 2－24k ＋17＝0，得k ＝1或k ＝177. 答案：1或1774．圆O 1的方程为x 2＋(y ＋1)2＝4，圆O 2的圆心为O 2(2,1)． (1)若圆O 2与圆O 1外切，求圆O 2的方程；(2)若圆O 2与圆O 1交于A 、B 两点，且|AB|＝22，求圆O 2的方程．解：(1)设圆O 2的半径为r 2， ∵两圆外切，∴|O 1O 2|＝r 1＋r 2，r 2＝|O 1O 2|－r 1＝2(2－1)，故圆O 2的方程是(x －2)2＋(y －1)2＝4(2－1)2. (2)设圆O 2的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝r 22，又圆O 1的方程为x 2＋(y ＋1)2＝4，此两圆的方程相减，即得两圆公共弦AB 所在直线的方程：4x ＋4y ＋r 22－8＝0. 因为圆心O 1(0，－1)到直线AB 的距离为 |r 22－12|42＝ 4－⎝ ⎛⎭⎪⎫2222＝2，解得r 22＝4或r 22＝20. 故圆O 2的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝4或(x －2)2＋(y －1)2＝20.。

2019高三数学北师大版理科一轮：课时规范练47 直线与

课时规范练47直线与圆、圆与圆的位置关系基础巩固组1.对任意的实数k,直线y=kx-1与圆x2+y2-2x-2=0的位置关系是()A.相离B.相切C.相交D.以上三个选项均有可能2.(2017河南六市联考二模,理5)已知圆C:(x-1)2+y2=r2(r>0).设条件p:0<r<3,条件q:圆C上至多有2个点到直线x-y+3=0的距离为1,则p是q的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3.若圆C1:x2+y2=1与圆C2:x2+y2-6x-8y+m=0外切,则m=()A.21B.19C.9D.-114.已知圆M:x2+y2-2ay=0(a>0)截直线x+y=0所得线段的长度是2,则圆M与圆N:(x-1)2+(y-1)2=1的位置关系是()A.内切B.相交C.外切D.相离5.(2017山东潍坊二模,理7)已知圆C1:(x+6)2+(y+5)2=4,圆C2:(x-2)2+(y-1)2=1,M,N分别为圆C1和C2上的动点,P为x轴上的动点,则|PM|+|PN|的最小值为() A.7 B.8 C.10 D.136.(2017福建宁德一模)已知圆C:x2+y2-2x+4y=0关于直线3x-ay-11=0对称,则圆C中以-为中点的弦长为()A.1B.2C.3D.47.直线y=-x+m与圆x2+y2=1在第一象限内有两个不同的交点,则m的取值范围是()A.(,2)B.(,3)C. D.〚导学号21500571〛8.(2017福建泉州一模)过点P(-3,1),Q(a,0)的光线经x轴反射后与圆x2+y2=1相切,则a的值为.9.设直线y=x+2a与圆C:x2+y2-2ay-2=0相交于A,B两点,若|AB|=2,则圆C的面积为.10.已知直线ax+y-2=0与圆心为C的圆(x-1)2+(y-a)2=4相交于A,B两点,且△ABC为等边三角形,则实数a=.综合提升组11.(2017山东潍坊模拟,理9)已知圆M过定点(0,1)且圆心M在抛物线x2=2y上运动,若x轴截圆M所得的弦为|PQ|,则弦长|PQ|等于()A.2B.3C.4D.与点位置有关的值12.已知直线x+y-k=0(k>0)与圆x2+y2=4交于不同的两点A,B,O是坐标原点,且有||≥|,则k的取值范围是()A.(,+∞)B.[,+∞)C.[,2)D.[,2) 〚导学号21500572〛13.已知圆C:x2+y2=4,过点A(2,3)作圆C的切线,切点分别为P,Q,则直线PQ的方程为.14.已知过原点的动直线l与圆C1:x2+y2-6x+5=0相交于不同的两点A,B.(1)求圆C1的圆心坐标;(2)求线段AB的中点M的轨迹C的方程;(3)是否存在实数k,使得直线L:y=k(x-4)与曲线C只有一个交点?若存在,求出k的取值范围;若不存在,说明理由.创新应用组15.已知圆心为C的圆满足下列条件:圆心C位于x轴正半轴上,与直线3x-4y+7=0相切,且被y轴截得的弦长为2,圆C的面积小于13.(1)求圆C的标准方程;(2)设过点M(0,3)的直线l与圆C交于不同的两点A,B,以OA,OB为邻边作平行四边形OADB.是否存在这样的直线l,使得直线OD与MC恰好平行?如果存在,求出l的方程;若不存在,请说明理由.16.(2017福建福州一模)已知圆O:x2+y2=4,点A(-,0),B(,0),以线段AP为直径的圆C1内切于圆O,记点P的轨迹为C2.(1)证明|AP|+|BP|为定值,并求C2的方程;(2)过点O的一条直线交圆O于M,N两点,点D(-2,0),直线DM,DN与C2的另一个交点分别为S,T,记△DMN,△DST的面积分别为S1,S2,求的取值范围.〚导学号21500573〛参考答案课时规范练47直线与圆、圆与圆的位置关系1.C直线y=kx-1恒经过点A(0,-1),02+(-1)2-2×0-2=-1<0,则点A在圆内,故直线y=kx-1与圆x2+y2-2x-2=0相交,故选C.2.C圆心(1,0)到直线x-y+3=0的距离d=-=2.由条件q:圆C上至多有2个点到直线x-y+3=0的距离为1,则0<r<3.则p是q的充要条件.故选C.3.C圆C1的圆心C1(0,0),半径r1=1,圆C2的方程可化为(x-3)2+(y-4)2=25-m,所以圆心C2(3,4),半径r2=-,从而|C1C2|==5.由两圆外切得|C1C2|=r1+r2,即1+-=5,解得m=9,故选C.4.B圆M的方程可化为x2+(y-a)2=a2,故其圆心为M(0,a),半径R=a.所以圆心到直线x+y=0的距离d= a.所以直线x+y=0被圆M所截弦长为2-=2-a,由题意可得a=2,故a=2.圆N的圆心N(1,1),半径r=1.而|MN|=--,显然R-r<|MN|<R+r,所以两圆相交.5.A圆C1关于x轴的对称圆的圆心坐标A(-6,-5),半径为2,圆C2的圆心坐标(2,1),半径为1,|PM|+|PN|的最小值为圆A与圆C2的圆心距减去两个圆的半径和,即-----3=7.故选A.6.D∵圆C:x2+y2-2x+4y=0关于直线3x-ay-11=0对称,∴直线3x-ay-11=0过圆心C(1,-2),∴3+2a-11=0,解得a=4,∴-即为(1,-1),点(1,-1)到圆心C(1,-2)的距离d=--=1,圆C:x2+y2-2x+4y=0的半径r=,∴圆C中以-为中点的弦长为2-=2-=4.故选D.7.D当直线经过点(0,1)时,直线与圆有两个不同的交点,此时m=1;当直线与圆相切时,有圆心到直线的距离d==1,解得m=(切点在第一象限),所以要使直线与圆在第一象限内有两个不同的交点,则1<m<.8.-因为P(-3,1)关于x轴的对称点的坐标为P'(-3,-1),(x-a),即x-(3+a)y-a=0,圆心(0,0)到直线的距离d==1,所以直线P'Q的方程为y=---所以a=-.9.4π圆C的方程可化为x2+(y-a)2=2+a2,直线方程为x-y+2a=0,所以圆心坐标为(0,a),半径r2=a2+2,圆心到直线的距离d=.由已知(2+=a2+2,解得a2=2,故圆C的面积为π(2+a2)=4π.10.4±由△ABC为等边三角形可得,C到AB的距离为,即(1,a)到直线ax+y-2=0的距离d=,即a2-8a+1=0,可求得a=4±.11.A设M,r=-,∴圆M的方程为(x-a)2+-=a2+-,令y=0,得x=a±1,∴|PQ|=a+1-(a-1)=2.故选A.12.C设AB中点为D,则OD⊥AB,∵||≥|,∴2||≥|,∴||≤2|.∵||2+|2=4,∴||2≥1.∵直线x+y-k=0(k>0)与圆x2+y2=4交于不同的两点A,B,∴||2<4.∴4>||2≥1∴4>≥1.∵k>0,∴≤k<2,故选C.13.2x+3y-4=0以O(0,0),A(2,3)为直径端点的圆的方程为x(x-2)+y(y-3)=0,即x2+y2-2x-3y=0,与圆C:x2+y2=4相减得2x+3y-4=0,故直线PQ的方程为2x+3y-4=0.14.解 (1)因为圆C1:x2+y2-6x+5=0可化为(x-3)2+y2=4,所以圆C1的圆心坐标为(3,0).(2)由题意可知直线l的斜率存在,设直线l的方程为y=mx,M(x0,y0).由-得(1+m2)x2-6x+5=0,则Δ=36-20(1+m2)>0,解得-<m<,故x0=,且<x0≤3.因为m=,所以x0=,整理得-.所以M的轨迹C的方程为-+y2=.(3)存在实数k,使得直线L:y=k(x-4)与曲线C只有一个交点.由(2)得M的轨迹C为一段圆弧,其两个端点为P,Q-,直线L:y=k(x-4)过定点E(4,0),①k PE=-=-,k QE=--,当-≤k≤时,直线L与曲线C只有一个交点.②当直线L与曲线C相切时,L的方程可化为kx-y-4k=0,则-,解得k=±.综上所述,当-≤k≤或k=±时,直线L与曲线C只有一个交点.15.解 (1)设圆C:(x-a)2+y2=r2(a>0),由题意知解得a=1或a=.又S=πr2<13,∴a=1,∴圆C的标准方程为(x-1)2+y2=4.(2)当斜率不存在时,直线l为x=0,不满足题意.当斜率存在时,设直线l:y=kx+3,A(x1,y1),B(x2,y2),又l与圆C相交于不同的两点,联立得-消去y得(1+k2)x2+(6k-2)x+6=0.∴Δ=(6k-2)2-24(1+k2)=12k2-24k-20>0,解得k<1-或k>1+.x1+x2=--,y1+y2=k(x1+x2)+6=,=(x1+x2,y1+y2),=(1,-3),假设,则-3(x1+x2)=y1+y2,解得k=--,假设不成立,∴不存在这样的直线l.16.(1)证明设AP的中点为E,切点为F,连接OE,EF(图略),则|OE|+|EF|=|OF|=2,故|BP|+|AP|=2(|OE|+|EF|)=4.所以点P的轨迹是以A,B为焦点,长轴长为4的椭圆.其中,a=2,c=,b=1,则C2的方程是+y2=1.(2)解设直线DM的方程为x=my-2(m≠0 .∵MN为圆O的直径,∴∠MDN=90°,∴直线DN的方程为x=-y-2,由-得(1+m2)y2-4my=0,∴y M=,由-得(4+m2)y2-4my=0,∴y S=,∴,∴.∵|DM|=|y M-0|,|DS|=|y S-0|,|DN|=|y N-0|,|DT|=|y T-0|,又△DMN,△DST都是有同一顶点的直角三角形, ∴.设s=1+m2,则s>1,0<<3,∴-.。

高考数学一轮复习第八章第四节直线与圆圆与圆的位置关系课时作业理含解析北师大版

高考数学一轮复习：第四节直线与圆、圆与圆的位置关系授课提示：对应学生用书第359页[A 组基础保分练]1．（2021·江西上饶模拟）直线ax －by ＝0与圆x 2＋y 2－ax ＋by ＝0的位置关系是（） A ．相交 B ．相切 C ．相离 D ．不能确定解析：将圆的方程化为标准方程得⎝⎛⎭⎫x －a 22＋⎝⎛⎭⎫y ＋b 22＝a 2＋b 24，所以圆心坐标为⎝⎛⎭⎫a 2，－b 2，半径r ＝a 2＋b 22．因为圆心到直线ax －by ＝0的距离d ＝⎪⎪⎪⎪a 22＋b 22a 2＋b 2＝a 2＋b 22＝r ，所以直线与圆相切．答案：B 2．（2021·长春质检）圆x 2＋y 2＝4与圆x 2＋y 2－4x ＋4y －12＝0的公共弦所在直线和两坐标轴所围成图形的面积为（） A ．1 B ．2 C ．4 D ．8解析：由（x 2＋y 2－4）－（x 2＋y 2－4x ＋4y －12）＝0得公共弦所在直线的方程为x －y ＋2＝0，它与两坐标轴分别交于（－2，0），（0，2），所以直线和两坐标轴所围成图形的面积为12×2×2＝2．答案：B 3．（2021·湖南十四校二联）已知直线x －2y ＋a ＝0与圆O ：x 2＋y 2＝2相交于A ，B 两点（O 为坐标原点），且△AOB 为等腰直角三角形，则实数a 的值为（） A ．6或－ 6 B ．5或－ 5 C ． 6 D ． 5解析：因为直线x －2y ＋a ＝0与圆O ：x 2＋y 2＝2相交于A ，B 两点（O 为坐标原点），且△AOB为等腰直角三角形，所以O 到直线AB 的距离为1，由点到直线的距离公式可得|a |12＋（－2）2＝1，所以a ＝±5．答案：B 4．（2021·洛阳市第一次统考）直线l ：y ＝kx ＋1与圆O ：x 2＋y 2＝1相交于A ，B 两点，则“k ＝1”是“|AB |＝2”的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件解析：依题意，注意到|AB |＝2＝|OA |2＋|OB |2等价于圆心O 到直线l 的距离等于22，即有1k 2＋1＝22，k ＝±1．因此，“k ＝1”是“|AB |＝2”的充分不必要条件．答案：A 5．（2021·衡水一中模考）圆C 1：（x ＋1）2＋（y －2）2＝4与圆C 2：（x －3）2＋（y －2）2＝4的公切线的条数是（） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 解析：圆C 1：（x ＋1）2＋（y －2）2＝4的圆心为（－1，2），半径为2，圆C 2：（x －3）2＋（y －2）2＝4的圆心为（3，2），半径为2，两圆的圆心距|C 1C 2|＝（－1－3）2＋（2－2）2＝4＝2＋2，即两圆的圆心距等于两圆的半径之和，故两圆相外切，故公切线的条数为3．答案：C 6．（2021·武汉调研）已知直线l ：x ＋y －5＝0与圆C ：（x －2）2＋（y －1）2＝r 2（r ＞0）相交所得的弦长为22，则圆C 的半径r ＝（） A ． 2 B ．2 C ．2 2 D ．4解析：法一：依题意，得圆C 的圆心坐标为（2，1），圆心到直线l 的距离d ＝|2＋1－5|1＋1＝2，因为弦长为22，所以2r 2－d 2＝22，所以r ＝2．法二：联立得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －5＝0，（x －2）2＋（y －1）2＝r 2，整理得2x 2－12x ＋20－r 2＝0，设直线l 与圆C 的两交点分别为A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），所以x 1＋x 2＝6，x 1x 2＝20－r 22，所以|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝2（x 1＋x 2）2－4x 1x 2＝22，所以r ＝2．答案：B 7．（2021·广东天河模拟）已知圆C 的方程为x 2－2x ＋y 2＝0，直线l ：kx －y ＋2－2k ＝0与圆C 交于A ，B 两点，则当△ABC 面积最大时，直线l 的斜率k ＝_________．解析：由x 2－2x ＋y 2＝0，得（x －1）2＋y 2＝1，则圆的半径r ＝1，圆心C （1，0），直线l ：kx －y ＋2－2k ＝0与圆C 交于A ，B 两点，当CA 与CB 垂直时，△ABC 面积最大，此时△ABC 为等腰直角三角形，圆心C 到直线AB 的距离d ＝22，则有|2－k |1＋k 2＝22，解得k ＝1或7．答案：1或7 8．（2021·珠海六校联考）已知直线y ＝ax 与圆C ：x 2＋y 2－2ax －2y ＋2＝0相交于A ，B 两点，且△ABC 为等边三角形，则圆C 的面积为_________．解析：圆C ：x 2＋y 2－2ax －2y ＋2＝0可化为（x －a ）2＋（y －1）2＝a 2－1，因为直线y ＝ax和圆C 相交，△ABC 为等边三角形，所以圆心C 到直线ax －y ＝0的距离为32·a 2－1，即d＝|a 2－1|a 2＋1＝3（a 2－1）2，解得a 2＝7，所以圆C 的面积为6π．答案：6π9．已知圆M 过C （1，－1），D （－1，1）两点，且圆心M 在直线x ＋y －2＝0上．（1）求圆M 的方程；（2）设P 是直线3x ＋4y ＋8＝0上的动点，P A ，PB 是圆M 的两条切线，A ，B 为切点，求四边形P AMB 面积的最小值．解析：（1）设圆M 的方程为（x －a ）2＋（y －b ）2＝r 2（r ＞0），根据题意得⎩⎪⎨⎪⎧（1－a ）2＋（－1－b ）2＝r 2，（－1－a ）2＋（1－b ）2＝r 2，a ＋b －2＝0，解得a ＝b ＝1，r ＝2，故所求圆M 的方程为（x －1）2＋（y －1）2＝4．（2）由题意知，四边形P AMB 的面积为S ＝S △P AM ＋S △PBM ＝12（|AM |·|P A |＋|BM |·|PB |）．又|AM |＝|BM |＝2，|P A |＝|PB |，所以S ＝2|P A |，而|P A |2＝|PM |2－|AM |2＝|PM |2－4，所以S ＝2|PM |2－4．因此要求S 的最小值，只需求|PM |的最小值，即在直线3x ＋4y ＋8＝0上找一点P ，使得|PM |的值最小，所以|PM |min ＝3，所以四边形P AMB 面积的最小值为2|PM |2－4＝25．10．已知圆O ：x 2＋y 2＝r 2（r ＞0）与直线3x －4y ＋15＝0相切．（1）若直线l ：y ＝－2x ＋5与圆O 交于M ，N 两点，求|MN |；（2）设圆O 与x 轴的负半轴的交点为A ，过点A 作两条斜率分别为k 1，k 2的直线交圆O 于B ，C 两点，且k 1k 2＝－3，试证明直线BC 恒过一点，并求出该点的坐标．解析：（1）由题意知，圆心O 到直线3x －4y ＋15＝0的距离d ＝159＋16＝3＝r ，所以圆O ：x 2＋y 2＝9．又圆心O 到直线l ：y ＝－2x ＋5的距离d 1＝54＋1＝5，所以|MN |＝29－d 21＝4．（2）证明：易知A （－3，0），设B （x 1，y 1），C （x 2，y 2），则直线AB ：y ＝k 1（x ＋3），由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k 1（x ＋3），x 2＋y 2＝9，得（k 21＋1）x 2＋6k 21x ＋9k 21－9＝0，所以－3x 1＝9k 21－9k 21＋1，即x 1＝－3k 21＋3k 21＋1，所以y 1＝k 1（x 1＋3）＝6k 1k 21＋1，所以B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3－3k 21k 21＋1，6k 1k 21＋1．同理C ⎝ ⎛⎭⎪⎫3－3k 22k 22＋1，6k 2k 22＋1．由k 1k 2＝－3得k 2＝－3k 1，将－3k 1代替k 2，可得C ⎝ ⎛⎭⎪⎫3k 21－27k 21＋9，－18k 1k 21＋9．当3－3k 21k 21＋1≠3k 21－27k 21＋9，即k 1≠±3时，k BC ＝6k 1k 21＋1＋18k 1k 21＋93－3k 21k 21＋1－3k 21－27k 21＋9＝4k 13－k 21，k 1≠±3．从而直线BC ：y －6k 1k 21＋1＝4k 13－k 21⎝ ⎛⎭⎪⎫x －3－3k 21k 21＋1．即y ＝4k 13－k 21⎣⎢⎡⎦⎥⎤x －3－3k 21k 21＋1＋9－3k 212（k 21＋1），化简得y ＝4k 13－k 21⎝⎛⎭⎫x ＋32．所以直线BC 恒过一点，该点为⎝⎛⎭⎫－32，0．当k 1＝±3时，k 2＝∓3，此时x B ＝－32＝x C ，所以直线BC 的方程为x ＝－32，过点⎝⎛⎭⎫－32，0．综上，直线BC 恒过定点⎝⎛⎭⎫－32，0． [B 组能力提升练]1．（2021·安徽马鞍山模拟）在平面直角坐标系xOy 中，若圆C ：（x －3）2＋（y －a ）2＝4上存在两点A ，B 满足：∠AOB ＝60°，则实数a 的最大值是（） A ．5 B ．3C ．7D ．2 3 解析：根据题意，圆C 的圆心为（3，a ），在直线x ＝3上，分析可得：当圆心距离x 轴的距离越远，∠AOB 越小，如图，当a >0时，圆心C 在x 轴上方，若OA ，OB 为圆的切线且∠AOB ＝60°，此时a 取得最大值，此时∠AOC ＝30°，有|OC |＝2|AC |＝4，即（3－0）2＋（a －0）2＝16，解得a ＝7，故实数a 的最大值是7．答案：C 2．（2021·安徽合肥模拟）在平面直角坐标系xOy 中，圆C 经过点（0，1），（0，3），且与x 轴正半轴相切，若圆C 上存在点M ，使得直线OM 与直线y ＝kx （k >0）关于y 轴对称，则k 的最小值为（）A ．233B ． 3C ．2 3D ．4 3 解析：如图，因为圆C 经过点（0，1），（0，3），且与x 轴正半轴相切，所以圆心的纵坐标为2，半径为2，则圆心的横坐标为22－12＝3，所以圆心坐标为（3，2），设过原点与圆相切的直线方程为y ＝k 1x ，由圆心到直线的距离等于半径，得|3k 1－2|k 21＋1＝2，解得k 1＝0（舍去）或k 1＝－43．所以若圆C 上存在点M ，使得直线OM 与直线y ＝kx （k >0）关于y 轴对称，则k 的最小值为43．答案：D 3．（2020·高考全国卷Ⅰ）已知⊙M ：x 2＋y 2－2x －2y －2＝0，直线l ：2x ＋y ＋2＝0，P 为l 上的动点．过点P 作⊙M 的切线P A ，PB ，切点为A ，B ，当|PM |·|AB |最小时，直线AB 的方程为（）A ．2x －y －1＝0B ．2x ＋y －1＝0C ．2x －y ＋1＝0D ．2x ＋y ＋1＝0 解析：⊙M ：（x －1）2＋（y －1）2＝4，则圆心M （1，1），⊙M 的半径为2．如图，由题意可知PM ⊥AB ，∴S 四边形P AMB ＝12|PM |·|AB |＝|P A |·|AM |＝2|P A |，∴|PM |·|AB |＝4|P A |＝4|PM |2－4．当|PM |·|AB |最小时，|PM |最小，此时PM ⊥l ．故直线PM 的方程为y －1＝12（x －1），即x －2y ＋1＝0．由⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋1＝0，2x ＋y ＋2＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝0，∴P （－1，0）．又∵P A 与⊙M 相切，∴直线P A 的方程为x ＝－1（∵在⊙M 中，－1≤x ≤1）， ∴P A ⊥x 轴，P A ⊥MA ，∴A （－1，1）．又直线AB 与l 平行，设直线AB 的方程为2x ＋y ＋m ＝0，将A （－1，1）的坐标代入2x ＋y ＋m ＝0，得m ＝1． ∴直线AB 的方程为2x ＋y ＋1＝0．答案：D4．已知圆的方程为x 2＋（y －1）2＝4，圆心为C ，若过点P ⎝⎛⎭⎫1，12的直线l 与此圆交于A ，B 两点，则当∠ACB 最小时，直线l 的方程为（） A ．4x －2y －3＝0 B ．x ＋2y －2＝0 C ．4x ＋2y －3＝0 D ．x －2y ＋2＝0解析：圆心坐标为（0，1），当弦长|AB |最小时，∠ACB 最小，此时直线AB 与PC 垂直，k l ＝－11－120－1＝2，所以直线l 的方程为y －12＝2（x －1），即4x －2y －3＝0．答案：A5．已知直线l ：x ＋ay －1＝0（a ∈R ）是圆C ：x 2＋y 2－4x －2y ＋1＝0的对称轴．过点A （－4，a ）作圆C 的一条切线，切点为B ，则|AB |＝_________．解析：由于直线x ＋ay －1＝0是圆C ：x 2＋y 2－4x －2y ＋1＝0的对称轴，所以圆心C （2，1）在直线x ＋ay －1＝0上，所以2＋a －1＝0，所以a ＝－1，所以A （－4，－1）．所以|AC |2＝36＋4＝40．又r ＝2，所以|AB |2＝40－4＝36．所以|AB |＝6．答案：6 6．（2021·江苏启东中学检测）已知圆C 1：（x －1）2＋（y ＋1）2＝1，圆C 2：（x －4）2＋（y －5）2＝9，点M ，N 分别是圆C 1，圆C 2上的动点，P 为x 轴上的动点，则|PN |－|PM |的最大值是_________．解析：圆C 1：（x －1）2＋（y ＋1）2＝1的圆心为C 1（1，－1），半径为1，圆C 2：（x －4）2＋（y －5）2＝9的圆心为C 2（4，5），半径为3．要使|PN |－|PM |最大，需|PN |最大，且|PM |最小，|PN |的最大值为|PC 2|＋3，|PM |的最小值为|PC 1|－1，故|PN |－|PM |的最大值是（|PC 2|＋3）－（|PC 1|－1）＝|PC 2|－|PC 1|＋4，设C 2（4，5）关于x 轴的对称点为C ′2（4，－5），|PC 2|－|PC 1|＝|PC ′2|－|PC 1|≤|C 1C ′2|＝（4－1）2＋（－5＋1）2＝5，故|PC 2|－|PC 1|＋4的最大值为5＋4＝9，即|PN |－|PM |的最大值是9．答案：97．已知圆O ：x 2＋y 2＝9及点C （2，1）．（1）若线段OC 的垂直平分线交圆O 于A ，B 两点，试判断四边形OACB 的形状，并给出证明；（2）过点C 的直线l 与圆O 交于P ，Q 两点，当△OPQ 的面积最大时，求直线l 的方程．解析：（1）四边形OACB 为菱形，证明如下：易得OC 的中点为⎝⎛⎭⎫1，12，设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），易得OC 的垂直平分线的方程为y ＝－2x ＋52，代入x 2＋y 2＝9，得5x 2－10x －114＝0，∴x 1＋x 22＝1，y 1＋y 22＝－2×1＋52＝12，∴AB 的中点为⎝⎛⎭⎫1，12，则四边形OACB 为平行四边形，又OC ⊥AB ，∴四边形OACB 为菱形．（2）当直线l 的斜率不存在时，l 的方程为x ＝2，则P ，Q 的坐标为（2，5），（2，－5），∴S △OPQ ＝12×2×25＝25．当直线l 的斜率存在时，设l 的方程为y －1＝k （x －2）⎝⎛⎭⎫k ≠12，即kx －y ＋1－2k ＝0⎝⎛⎭⎫k ≠12，则圆心O 到直线l 的距离d ＝|1－2k |k 2＋1．由平面几何知识得|PQ |＝29－d 2，∴S △OPQ ＝12×|PQ |×d ＝12×29－d 2×d ＝（9－d 2）d 2≤⎝⎛⎭⎫9－d 2＋d 222＝92．当且仅当9－d 2＝d 2，即d 2＝92时，S △OPQ 取得最大值为92．∵25＜92，∴S △OPQ 的最大值为92，此时，令4k 2－4k ＋1k 2＋1＝92，解得k ＝－7或k ＝－1．故直线l 的方程为x ＋y －3＝0或7x ＋y －15＝0．[C 组创新应用练]1．已知直线l ：x ＋y －1＝0截圆Ω：x 2＋y 2＝r 2（r ＞0）所得的弦长为14，点M ，N 在圆Ω上，且直线l ′：（1＋2m ）x ＋（m －1）y －3m ＝0过定点P ，若PM ⊥PN ，则|MN |的取值范围为（）A ．[2－2，2＋ 3 ]B ．[2－2，2＋ 2 ]C ．[6－2，6＋ 3 ]D ．[6－2，6＋ 2 ]解析：由题意，2r 2－12＝14，解得r ＝2，因为直线l ′：（1＋2m ）x ＋（m －1）y －3m ＝0过定点P ，故P （1，1），设MN 的中点为Q （x ，y ），则OM 2＝OQ 2＋MQ 2＝OQ 2＋PQ 2，即4＝x 2＋y 2＋（x －1）2＋（y －1）2，化简可得⎝⎛⎭⎫x －122＋⎝⎛⎭⎫y －122＝32，所以点Q 的轨迹是以⎝⎛⎭⎫12，12为圆心，62为半径的圆，所以|PQ |的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤6－22，6＋22，|MN |的取值范围为[6－2，6＋2]．答案：D2．已知从圆C ：（x ＋1）2＋（y －2）2＝2外一点P （x 1，y 1）向该圆引一条切线，切点为M ，且有|PM |＝|PO |（O 为坐标原点），则当|PM |取得最小值时点P 的坐标为_________．解析：如图所示，圆C 的圆心为C （－1，2），半径r ＝2，因为|PM |＝|PO |，所以|PO |2＋r 2＝|PC |2，所以x 21＋y 21＋2＝（x 1＋1）2＋（y 1－2）2，即2x 1－4y 1＋3＝0．要使|PM |最小，只要|PO |最小即可．当直线PO 垂直于直线2x －4y ＋3＝0，即直线PO 的方程为2x ＋y ＝0时，|PM |最小，此时点P 即为两直线的交点，由⎩⎪⎨⎪⎧2x －4y ＋3＝0，2x ＋y ＝0，得⎩⎨⎧x ＝－310，y ＝35，故当|PM |取得最小值时，点P 的坐标为⎝⎛⎭⎫－310，35．答案：⎝⎛⎭⎫－310，35。

2019年高考数学一轮复习课时分层训练51直线与圆圆与圆的位置关系理北师大版

课时分层训练(五十一) 直线与圆、圆与圆位置关系A 组根底达标一、选择题1．点M (a ，b )在圆O ：x 2＋y 2＝1外，那么直线ax ＋by ＝1与圆O 位置关系是( )A ．相切B ．相交C ．相离D ．不确定B [由题意知点在圆外，那么a 2＋b 2>1，圆心到直线距离d ＝1a 2＋b2<1，故直线与圆相交．]2．(2021·东北三省四市模拟(二))直线x －3y ＋3＝0与圆(x －1)2＋(y －3)2＝10相交所得弦长为( ) A.30 B.532C ．4 2D ．33 A [圆心(1,3)到直线距离为|1－3×3＋3|12＋32＝102，从而得所求弦长为210－⎝ ⎛⎭⎪⎫1022＝30，应选A.] 3．过点(1，－2)作圆(x －1)2＋y 2＝1两条切线，切点分别为A ，B ，那么AB 所在直线方程为( )A ．y ＝－34B ．y ＝－12C ．y ＝－32D ．y ＝－14B [圆(x －1)2＋y 2＝1圆心为(1,0)，半径为1，以(1－1)2＋(－2－0)2＝2为直径圆方程为(x －1)2＋(y ＋1)2＝1，将两圆方程相减得AB 所在直线方程为2y ＋1＝0，即y ＝－12.]4．(2021·深圳二调)在平面直角坐标系中，直线y ＝2x 与圆O ：x 2＋y2＝1交于A ，B 两点，α，β始边是x 轴非负半轴，终边分别在射线OA 和OB 上，那么tan(α＋β)值为( )【导学号：79140281】A ．－2 2B ．－2C ．0D ．22A [由题可知tan α＝tan β＝2，那么tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝－22，应选A.]5．(2021·广东惠州一模)圆C ：x 2＋y 2＋2x －4y ＋1＝0圆心在直线ax －by ＋1＝0上，那么ab 取值范围是( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，14B.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，18C.⎝⎛⎦⎥⎤0，14D.⎝⎛⎦⎥⎤0，18B [把圆方程化为标准方程为(x ＋1)2＋(y －2)2＝4， ∴圆心坐标为(－1,2)，半径r ＝2， ∵圆C 圆心在直线ax －by ＋1＝0上， ∴－a －2b ＋1＝0，即a ＝1－2b ，那么ab ＝b (1－2b )＝－2b 2＋b＝－2⎝⎛⎭⎪⎫b －142＋18，∴当b ＝14时，ab 有最大值，最大值为18，那么ab 取值范围是⎝⎛⎦⎥⎤－∞，18.应选B.]二、填空题6．圆C 1：x 2＋y 2－6x －7＝0与圆C 2：x 2＋y 2－6y －27＝0相交于A ，B 两点，那么线段AB 中垂线方程为________________．x ＋y －3＝0 [∵圆C 1圆心C 1(3,0)，圆C 2圆心C 2(0,3)，∴直线C 1C 2方程为x ＋y －3＝0，AB 中垂线即直线C 1C 2，故其方程为x ＋y －3＝0.]7．假设圆x 2＋y 2＝4与圆x 2＋y 2＋2ay －6＝0(a ＞0)公共弦长为23，那么a ＝________.1 [两圆方程作差易知公共弦所在直线方程为y ＝1a，如图，由得|AC |＝3，|OA |＝2，∴|OC |＝1a＝1，∴a ＝1.]8．(2021·全国卷Ⅲ)直线l ：x －3y ＋6＝0与圆x 2＋y 2＝12交于A ，B 两点，过A ，B 分别作l 垂线与x 轴交于C ，D 两点，那么|CD |＝__________. 4 [法一：由圆x 2＋y 2＝12知圆心O (0,0)，半径r ＝23.∴圆心(0,0)到直线x －3y ＋6＝0距离d ＝61＋3＝3，|AB |＝212－32＝2 3.过C 作CE ⊥BD 于E . 如下图，那么|CE |＝|AB |＝2 3. ∵直线l 方程为x －3y ＋6＝0，∴k AB ＝33，那么∠BPD ＝30°，从而∠BDP ＝60°.∴|CD |＝|CE |sin 60°＝|AB |sin 60°＝2332＝4.法二：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧x －3y ＋6＝0，x 2＋y 2＝12，得y 2－33y ＋6＝0，解得y 1＝3，y 2＝23， ∴A (－3，3)，B (0,23)．过A，B作l垂线方程分别为y－3＝－3(x＋3)，y－23＝－3x，令y＝0，得x C＝－2，x D＝2，∴|CD|＝2－(－2)＝4.]三、解答题9．点P(2＋1,2－2)，M(3,1)，圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝4.【导学号：79140282】(1)求过点P圆C切线方程；(2)求过点M圆C切线方程，并求出切线长．[解] 由题意得圆心C(1,2)，半径r＝2.(1)∵(2＋1－1)2＋(2－2－2)2＝4，∴点P在圆C上．又k PC＝2－2－22＋1－1＝－1，∴切线斜率k＝－1k PC＝1.∴过点P圆C切线方程是y－(2－2)＝x－(2＋1)，即x－y＋1－22＝0.(2)∵(3－1)2＋(1－2)2＝5＞4，∴点M在圆C外部．当过点M直线斜率不存在时，直线方程为x＝3，即x－3＝0.又点C(1,2)到直线x－3＝0距离d＝3－1＝2＝r，即此时满足题意，所以直线x＝3是圆切线．当切线斜率存在时，设切线方程为y－1＝k(x－3)，即kx－y＋1－3k＝0，那么圆心C到切线距离d＝|k－2＋1－3k|k2＋1＝r＝2，解得k ＝34.∴切线方程为y －1＝34(x －3)，即3x －4y －5＝0.综上可得，过点M 圆C 切线方程为x －3＝0或3x －4y －5＝0. ∵|MC |＝(3－1)2＋(1－2)2＝5，∴过点M 圆C 切线长为|MC |2－r 2＝5－4＝1.10．(2021 ·全国卷Ⅰ)过点A (0,1)且斜率为k 直线l 与圆C ：(x －2)2＋(y －3)2＝1交于M ，N 两点．(1)求k 取值范围；(2)假设OM →·ON →＝12，其中O 为坐标原点，求|MN |. [解] (1)由题设可知直线l 方程为y ＝kx ＋1. 因为直线l 与圆C 交于两点，所以|2k －3＋1|1＋k2<1，解得4－73<k <4＋73. 所以k 取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫4－73，4＋73. (2)设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)．将y ＝kx ＋1代入方程(x －2)2＋(y －3)2＝1，整理得(1＋k 2)x 2－4(1＋k )x ＋7＝0. 所以x 1＋x 2＝4(1＋k )1＋k 2，x 1x 2＝71＋k 2.OM →·ON →＝x 1x 2＋y 1y 2＝(1＋k 2)x 1x 2＋k (x 1＋x 2)＋1＝4k (1＋k )1＋k 2＋8.由题设可得4k (1＋k )1＋k 2＋8＝12，解得k ＝1，所以直线l 方程为y ＝x ＋1.故圆心C 在直线l 上，所以|MN |＝2.B 组能力提升11．(2021·南宁、钦州第二次适应性考试)过动点M 作圆：(x －2)2＋(y －2)2＝1切线MN ，其中N 为切点，假设|MN |＝|MO |(O 为坐标原点)，那么|MN |最小值是( ) A.324B.728C. 2D.928B [设圆心C (2,2)，因为|MN |＝|MO |，所以|MN |2＝|MC |2－1＝|MO |2.设M (x ，y )，那么(x －2)2＋(y －2)2－1＝x 2＋y 2，化简得4x ＋4y －7＝0，即为点M 轨迹方程，那么|MN |最小值为|MO |最小值，即点O 到直线4x ＋4y －7＝0距离，所以|MN |min ＝|－7|16＋16＝728，应选B.]12．(2021·江苏高考)在平面直角坐标系xOy 中，A (－12,0)，B (0,6)，点P 在圆O ：x 2＋y 2＝50上．假设PA →·PB →≤20，那么点P 横坐标取值范围是________． [－52，1] [设P (x ，y )，那么PA →＝(－12－x ，－y )，PB →＝(－x,6－y )． ∵PA →·PB →≤20，∴(－12－x )·(－x )＋(－y )·(6－y )≤20，即2x －y ＋5≤0.如图，作圆O ：x 2＋y 2＝50，直线2x －y ＋5＝0与⊙O 交于E ，F 两点， ∵P 在圆O 上且满足2x －y ＋5≤0， ∴点P 在EDF 上．由⎩⎨⎧x 2＋y 2＝50，2x －y ＋5＝0得F 点横坐标为1，又D 点横坐标为－52，∴P 点横坐标取值范围为[－52，1]．]13．圆C 方程为x 2＋(y －4)2＝4，点O 是坐标原点，直线l ：y ＝kx 与圆C 交于M ，N 两点．(1)求k 取值范围；(2)直线l 能否将圆C 分割成弧长比为13两段弧？假设能，求出直线l 方程；假设不能，请说明理由.【导学号：79140283】[解] (1)将y ＝kx 代入圆C 方程x 2＋(y －4)2＝4. 得(1＋k 2)x 2－8kx ＋12＝0. ∵直线l 与圆C 交于M ，N 两点，∴Δ＝(－8k )2－4×12(1＋k 2)>0，得k 2>3，(*) ∴k 取值范围是(－∞，－3)∪(3，＋∞)． (2)假设直线l 将圆C 分割成弧长比为13两段弧，那么劣弧MN 所对圆心角∠MCN ＝90°，由圆C ：x 2＋(y －4)2＝4知圆心C (0,4)，半径r ＝2. 在Rt△MCN 中，可求弦心距d ＝r ·sin 45°＝2，故圆心C (0,4)到直线kx －y ＝0距离|0－4|1＋k2＝2，∴1＋k 2＝8，k ＝±7，经历证k ＝±7满足不等式(*)，故l 方程为y ＝±7x .因此，存在满足条件直线l ，其方程为y ＝±7x .。

2019高三数学文北师大版一轮课时分层训练：44 直线与圆、圆与圆的位置关系

课时分层训练(四十四)直线与圆、圆与圆的位置关系(对应学生用书第269页)A组基础达标(建议用时：30分钟)一、选择题1．已知点M(a，b)在圆O：x2＋y2＝1外，则直线ax＋by＝1与圆O的位置关系是()A．相切B．相交C．相离D．不确定B[由题意知点在圆外，则a2＋b2>1，圆心到直线的距离d＝1a2＋b2<1，故直线与圆相交．]2．已知圆x2＋y2＋2x－2y＋a＝0截直线x＋y＋2＝0所得弦的长度为4，则实数a的值是()【导学号：00090284】A．－2 B．－4C．－6 D．－8B[由x2＋y2＋2x－2y＋a＝0，得(x＋1)2＋(y－1)2＝2－a，所以圆心坐标为(－1,1)，半径r＝2－a，圆心到直线x＋y＋2＝0的距离为|－1＋1＋2|2＝2，所以22＋(2)2＝2－a，解得a＝－4.]3．(2018·南昌模拟)若圆C1：x2＋y2－2ax＋a2－9＝0(a∈R)与圆C2：x2＋y2＋2by ＋b2－1＝0(b∈R)内切，则ab的最大值为()A． 2 B．2C．4 D．2 2B[圆C1：x2＋y2－2ax＋a2－9＝0(a∈R)．化为(x－a)2＋y2＝9，圆心坐标为(a,0)，半径为3.圆C2：x2＋y2＋2by＋b2－1＝0(b∈R)，化为x2＋(y＋b)2＝1，圆心坐标为(0，－b)，半径为1，∵圆C1：x2＋y2－2ax＋a2－9＝0(a∈R)与圆C2：x2＋y2＋2by＋b2－1＝0(b∈R)内切，∴a2＋b2＝3－1，即a2＋b2＝4，ab≤12(a2＋b2)＝2.∴ab的最大值为2.]4．(2017·河北衡水中学三模)已知圆C：(x－1)2＋y2＝25，则过点P(2，－1)的圆C的所有弦中，以最长弦和最短弦为对角线的四边形的面积是()A．1013 B．921C．1023 D．911C[易知最长弦为圆的直径10.又最短弦所在直线与最长弦垂直，且|PC|＝2，∴最短弦的长为2r2－|PC|2＝225－2＝223.故所求四边形的面积S＝12×10×223＝1023]．5．(2018·福州模拟)过点P(1，－2)作圆C：(x－1)2＋y2＝1的两条切线，切点分别为A，B，则AB所在直线的方程为()A．y＝－34B．y＝－12C．y＝－32D．y＝－14B[圆(x－1)2＋y2＝1的圆心为(1,0)，半径为1，以|PC|＝(1－1)2＋(－2－0)2＝2为直径的圆的方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝1，将两圆的方程相减得AB所在直线的方程为2y＋1＝0，即y＝－12.故选B．]二、填空题6．已知圆C1：x2＋y2－6x－7＝0与圆C2：x2＋y2－6y－27＝0相交于A，B两点，则线段AB的中垂线方程为________________．x＋y－3＝0[∵圆C1的圆心C1(3,0)，圆C2的圆心C2(0,3)，∴直线C 1C 2的方程为x ＋y －3＝0，AB 的中垂线即直线C 1C 2，故其方程为x ＋y －3＝0.]7．若直线3x －4y ＋5＝0与圆x 2＋y 2＝r 2(r >0)相交于A ，B 两点，且∠AOB ＝120°(O为坐标原点)，则r ＝__________.2 [如图，过点O 作OD ⊥AB 于点D ，则|OD |＝532＋(－4)2＝1. ∵∠AOB ＝120°，OA ＝OB ，∴∠OBD ＝30°，∴|OB |＝2|OD |＝2，即r ＝2.]8．(2017·安徽十校联考)已知圆C ：(x ＋2)2＋y 2＝4，直线l ：kx －y －2k ＝0(k ∈R )，若直线l 与圆C 恒有公共点，则实数k 的最小值是__________.【导学号：00090285】－33 [圆心C (－2,0)，半径r ＝2.又圆C 与直线l 恒有公共点．所以圆心C (－2,0)到直线l 的距离d ≤r . 因此|－2k －2k |k 2＋1≤2，解得－33≤k ≤33. 所以实数k 的最小值为－33.]三、解答题9．已知点A (1，a )，圆x 2＋y 2＝4.(1)若过点A 的圆的切线只有一条，求a 的值及切线方程；(2)若过点A 且在两坐标轴上截距相等的直线被圆截得的弦长为23，求a 的值．[解] (1)由于过点A 的圆的切线只有一条，则点A 在圆上，故12＋a 2＝4，∴a ＝±3.2分当a ＝3时，A (1，3)，易知所求切线方程为x ＋3y －4＝0；当a ＝－3时，A (1，－3)，易知所求切线方程为x －3y －4＝0. 5分(2)设过点A 的直线方程为x ＋y ＝b ，则1＋a ＝b ，即a ＝b －1，8分又圆心(0,0)到直线x ＋y ＝b 的距离d ＝|b |2， ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫|b |22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2322＝4，则b ＝±2. 因此a ＝b －1＝±2－1. 12分10．(2017·唐山模拟)已知定点M (0,2)，N (－2,0)，直线l ：kx －y －2k ＋2＝0(k 为常数)．(1)若点M ，N 到直线l 的距离相等，求实数k 的值；(2)对于l 上任意一点P ，∠MPN 恒为锐角，求实数k 的取值范围．[解] (1)∵点M ，N 到直线l 的距离相等，∴l ∥MN 或l 过MN 的中点．∵M (0,2)，N (－2,0)，∴直线MN 的斜率k MN ＝1，MN 的中点坐标为C (－1,1). 3分又∵直线l ：kx －y －2k ＋2＝0过定点D (2,2)，∴当l ∥MN 时，k ＝k MN ＝1；当l 过MN 的中点时，k ＝k CD ＝13.综上可知，k 的值为1或13. 6分(2)∵对于l 上任意一点P ，∠MPN 恒为锐角，∴l 与以MN 为直径的圆相离，即圆心(－1,1)到直线l 的距离大于半径，10分∴d ＝|－k －1－2k ＋2|k 2＋1>2，解得k <－17或k >1. 12分B 组能力提升(建议用时：15分钟)1．(2015·山东高考)一条光线从点(－2，－3)射出，经y 轴反射后与圆(x ＋3)2＋(y－2)2＝1相切，则反射光线所在直线的斜率为( )A ．－53或－35B ．－32或－23C ．－54或－45D ．－43或－34D [由已知，得点(－2，－3)关于y 轴的对称点为(2，－3)，由入射光线与反射光线的对称性，知反射光线一定过点(2，－3)．设反射光线所在直线的斜率为k ，则反射光线所在直线的方程为y ＋3＝k (x －2)，即kx －y －2k －3＝0.由反射光线与圆相切，则有d ＝|－3k －2－2k －3|k 2＋1＝1，解得k ＝－43或k ＝－34，故选D ．]2．(2017·济南质检)过点P (1，3)作圆x 2＋y 2＝1的两条切线，切点分别为A ，B ，则P A →·PB→＝__________. 【导学号：00090286】32 [如图所示，可知OA ⊥AP ，OB ⊥BP ，OP ＝1＋3＝2.又OA ＝OB ＝1，可以求得AP ＝BP ＝3，∠APB ＝60°.故P A →·PB →＝3×3×cos 60°＝32.]3．已知圆C 的方程为x 2＋(y －4)2＝4，点O 是坐标原点，直线l ：y ＝kx 与圆C交于M ，N 两点．(1)求k 的取值范围；(2)直线l 能否将圆C 分割成弧长的比为13的两段弧？若能，求出直线l 的方程；若不能，请说明理由．[解] (1)将y ＝kx 代入圆C 的方程x 2＋(y －4)2＝4.得(1＋k 2)x 2－8kx ＋12＝0.2分∵直线l 与圆C 交于M ，N 两点，∴Δ＝(－8k )2－4×12(1＋k 2)>0，得k 2>3，(*)∴k 的取值范围是(－∞，－3)∪(3，＋∞).5分 (2)假设直线l 将圆C 分割成弧长的比为13的两段弧，则劣弧MN 所对的圆心角∠MCN ＝90°，由圆C ：x 2＋(y －4)2＝4知圆心C (0,4)，半径r ＝2.8分在Rt △MCN 中，可求弦心距d ＝r ·sin 45°＝2，故圆心C(0,4)到直线kx－y＝0的距离|0－4|1＋k2＝2，∴1＋k2＝8，k＝±7，经验证k＝±7满足不等式(*)，10分故l的方程为y＝±7x.因此，存在满足条件的直线l，其方程为y＝±7x. 12分。

高考数学一轮复习课后限时集训52 直线与圆、圆与圆的位置关系理北师大版-北师大版高三全册数学试

课后限时集训52直线与圆、圆与圆的位置关系建议用时：45分钟一、选择题1．圆x 2＋y 2－2x ＋4y ＝0与直线2tx －y －2－2t ＝0(t ∈R )的位置关系为( ) A ．相离 B ．相切 C ．相交D ．以上都有可能C [直线2tx －y －2－2t ＝0恒过点(1，－2)， ∵12＋(－2)2－2×1＋4×(－2)＝－5＜0， ∴点(1，－2)在圆x 2＋y 2－2x ＋4y ＝0内部，直线2tx －y －2－2t ＝0与圆x 2＋y 2－2x ＋4y ＝0相交．]2．过点P (0,1)的直线l 与圆(x －1)2＋(y －1)2＝1相交于A ，B 两点，若|AB |＝2，则该直线的斜率为( )A ．±1B ．± 2C ．± 3D ．±2A [由题意设直线l 的方程为y ＝kx ＋1，因为圆(x －1)2＋(y －1)2＝1的圆心为(1,1)，半径为r ＝1，又弦长|AB |＝2，所以圆心到直线的距离为d ＝r 2－⎝⎛⎭⎪⎫|AB |22＝1－12＝22，所以有|k |k 2＋1＝22，解得k ＝±1.故选A.] 3．过点(3,1)作圆(x －1)2＋y 2＝r 2的切线有且只有一条，则该切线的方程为( )A ．2x ＋y －5＝0B ．2x ＋y －7＝0C ．x －2y －5＝0D ．x －2y －7＝0B [∵过点(3,1)作圆(x －1)2＋y 2＝r 2的切线有且只有一条，∴点(3,1)在圆(x －1)2＋y 2＝r 2上．∵圆心与切点连线的斜率k ＝1－03－1＝12，∴切线的斜率为－2，则圆的切线方程为y －1＝－2(x －3)，即2x ＋y －7＝0.] 4．圆x 2－4x ＋y 2＝0与圆x 2＋y 2＋4x ＋3＝0的公切线共有( ) A ．1条 B ．2条 C ．3条D ．4条D [根据题意，圆x 2－4x ＋y 2＝0，即(x －2)2＋y 2＝4，其圆心坐标为(2,0)，半径为2. 圆x 2＋y 2＋4x ＋3＝0，即圆(x ＋2)2＋y 2＝1，其圆心坐标为(－2,0)半径为1. 则两圆的圆心距为4，两圆半径和为3，因为4>3，所以两圆的位置关系是外离，故两圆的公切线共有4条．故选D.]5．(2019·某某模拟)过点P (1，－2)作圆C ：(x －1)2＋y 2＝1的两条切线，切点分别为A ，B ，则AB 所在直线的方程为( )A ．y ＝－34 B ．y ＝－12C ．y ＝－32D ．y ＝－14B [圆(x －1)2＋y 2＝1的圆心为(1,0)，半径为1，以|PC |＝1－12＋－2－02＝2为直径的圆的方程为(x －1)2＋(y ＋1)2＝1，将两圆的方程相减得AB 所在直线的方程为2y ＋1＝0，即y ＝－12.]二、填空题6．(2019·某某高考)已知圆C 的圆心坐标是(0，m )，半径长是r .若直线2x －y ＋3＝0与圆相切与点A (－2，－1)，则m ＝__________，r ＝__________.－25 [如图，由圆心与切点的连线与切线垂直，得m ＋12＝－12，解得m ＝－2. ∴圆心为(0，－2)，则半径r ＝－2－02＋－1＋22＝ 5.]7．(2019·某某模拟)已知直线l ：kx －y －k ＋2＝0与圆C ：x 2＋y 2－2y －7＝0相交于A ，B 两点，则|AB |的最小值为________．2 6 [直线kx －y －k ＋2＝0可化为y －2＝k (x －1)，故直线l 过定点E (1,2)，又E (1,2)在圆x 2＋y 2－2y －7＝0内，所以，当E 是AB 中点时，|AB |最小，由x 2＋y 2－2y －7＝0得x 2＋(y －1)2＝8，即圆心C (0,1)，半径22，所以|AB |＝28－|EC |2＝28－2＝2 6.]8．(2019·某某模拟)已知直线y ＝ax 与圆C ：x 2＋y 2－6y ＋6＝0相交于A ，B 两点，C 为圆心．若△ABC 为等边三角形，则a 的值为________．± 3 [根据题意，圆C ：x 2＋y 2－6y ＋6＝0即x 2＋(y －3)2＝3，其圆心为(0,3)，半径r ＝3，直线y ＝ax 与圆C ：x 2＋y 2－6y ＋6＝0相交于A ，B 两点，若△ABC 为等边三角形，则圆心C 到直线y ＝ax 的距离d ＝32，则有|－3|1＋a 2＝32，解得a ＝± 3.] 三、解答题9．已知圆C 经过点A (2，－1)，和直线x ＋y ＝1相切，且圆心在直线y ＝－2x 上． (1)求圆C 的方程；(2)已知直线l 经过原点，并且被圆C 截得的弦长为2，求直线l 的方程． [解] (1)设圆心的坐标为C (a ，－2a )，则a －22＋－2a ＋12＝|a －2a －1|2.化简，得a 2－2a ＋1＝0，解得a ＝1. 所以C 点坐标为(1，－2)，半径r ＝|AC |＝1－22＋－2＋12＝ 2.故圆C 的方程为(x －1)2＋(y ＋2)2＝2.(2)①当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为x ＝0，此时直线l 被圆C 截得的弦长为2，满足条件．②当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y ＝kx ，由题意得|k ＋2|1＋k2＝1，解得k ＝－34，则直线l 的方程为y ＝－34x .综上所述，直线l 的方程为x ＝0或3x ＋4y ＝0.10．圆O 1的方程为x 2＋(y ＋1)2＝4，圆O 2的圆心坐标为(2,1)． (1)若圆O 1与圆O 2外切，求圆O 2的方程；(2)若圆O 1与圆O 2相交于A ，B 两点，且|AB |＝22，求圆O 2的方程．[解] (1)因为圆O 1的方程为x 2＋(y ＋1)2＝4，所以圆心O 1(0，－1)，半径r 1＝2. 设圆O 2的半径为r 2，由两圆外切知|O 1O 2|＝r 1＋r 2. 又|O 1O 2|＝2－02＋1＋12＝22，所以r 2＝|O 1O 2|－r 1＝22－2.所以圆O 2的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝12－8 2. (2)设圆O 2的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝r 22，又圆O 1的方程为x 2＋(y ＋1)2＝4，相减得AB 所在的直线方程为4x ＋4y ＋r 22－8＝0. 设线段AB 的中点为H ，因为r 1＝2，所以|O 1H |＝r 21－|AH |2＝ 2.又|O 1H |＝|4×0＋4×－1＋r 22－8|42＋42＝|r 22－12|42，所以|r 22－12|42＝2，解得r 22＝4或r 22＝20.所以圆O 2的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝4或(x －2)2＋(y －1)2＝20.1．若圆x 2＋y 2＝r 2(r ＞0)上恒有4个点到直线x －y －2＝0的距离为1，则实数r 的取值X 围是( )A ．(2＋1，＋∞)B ．(2－1，2＋1)C ．(0，2－1)D ．(0，2＋1) A [计算得圆心到直线l 的距离为22＝2＞1，如图，直线l ：x－y －2＝0与圆相交，l 1，l 2与l 平行，且与直线l 的距离为1，故可以看出，圆的半径应该大于圆心到直线l 2的距离2＋1.]2．一条光线从点(－2，－3)射出，经y 轴反射后与圆(x ＋3)2＋(y －2)2＝1相切，则反射光线所在直线的斜率为( )A ．－53或－35B ．－32或－23C ．－54或－45D ．－43或－34D [圆(x ＋3)2＋(y －2)2＝1的圆心为(－3,2)，半径r ＝1.作出点(－2，－3)关于y 轴的对称点(2，－3)．由题意可知，反射光线的反向延长线一定经过点(2，－3)．设反射光线的斜率为k ，则反射光线所在直线的方程为y －(－3)＝k (x －2)，即kx －y －2k －3＝0.由反射光线与圆相切可得|k ×－3－2－2k －3|1＋k 2＝1，即|5k ＋5|＝1＋k 2，整理得12k 2＋25k ＋12＝0，即(3k ＋4)(4k ＋3)＝0，解得k ＝－43或k ＝－34.故选D.]3．(2016·全国卷Ⅲ)已知直线l ：mx ＋y ＋3m －3＝0与圆x 2＋y 2＝12交于A ，B 两点，过A ，B 分别作l 的垂线与x 轴交于C ，D 两点．若|AB |＝23，则|CD |＝________.4 [由直线l ：mx ＋y ＋3m －3＝0知其过定点(－3，3)，圆心O 到直线l 的距离为d ＝|3m －3|m 2＋1.由|AB |＝23得⎝ ⎛⎭⎪⎫3m －3m 2＋12＋(3)2＝12，解得m ＝－33.又直线l 的斜率为－m ＝33，所以直线l 的倾斜角α＝π6.画出符合题意的图形如图所示，过点C 作CE ⊥BD ，则∠DCE ＝π6.在Rt △CDE 中，可得|CD |＝|AB |cos α＝23×23＝4.]4．(2019·某某模拟)已知圆C 经过P (4，－2)，Q (－1,3)两点，且圆心C 在直线x ＋y －1＝0上．(1)求圆C 的方程；(2)若直线l ∥PQ ，且l 与圆C 交于点A ，B 且以线段AB 为直径的圆经过坐标原点，求直线l 的方程．[解] (1)∵P (4，－2)，Q (－1,3)，∴线段PQ 的中点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12，斜率k PQ ＝－1，则PQ 的垂直平分线方程为y －12＝1×(x －32)，即x －y －1＝0. 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x －y －1＝0，x ＋y －1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝0，∴圆心C (1,0)，半径r ＝4－12＋－2－02＝13.故圆C 的方程为(x －1)2＋y 2＝13. (2)由l ∥PQ ，设l 的方程为y ＝－x ＋m . 代入圆C 的方程，得2x 2－2(m ＋1)x ＋m 2－12＝0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝m ＋1，x 1x 2＝m 22－6. 故y 1y 2＝(m －x 1)(m －x 2)＝m 2＋x 1x 2－m (x 1＋x 2)，依题意知OA ⊥OB ，则OA →·OB →＝0. ∴(x 1，y 1)·(x 2，y 2)＝x 1x 2＋y 1y 2＝0，于是m 2＋2x 1x 2－m (x 1＋x 2)＝0，即m 2－m －12＝0. ∴m ＝4或m ＝－3，经检验，满足Δ>0. 故直线l 的方程为y ＝－x ＋4或y ＝－x －3.1．在平面直角坐标系xOy 中，点A (0,3)，直线l ：y ＝2x －4，设圆C 的半径为1，圆心在l 上．若圆C 上存在点M ，使MA ＝2MO ，则圆心C 的横坐标a 的取值X 围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，125B ．[0,1]C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，125 D ．⎝⎛⎭⎪⎫0，125A [因为圆心在直线y ＝2x －4上，所以圆C 的方程为(x －a )2＋[y －2(a －2)]2＝1，设点M (x ，y )，因为MA ＝2MO ，所以x 2＋y －32＝2x 2＋y 2，化简得x 2＋y 2＋2y －3＝0，即x 2＋(y ＋1)2＝4，所以点M 在以D (0，－1)为圆心，2为半径的圆上．由题意，点M (x ，y )在圆C 上，所以圆C 与圆D 有公共点，则|2－1|≤|CD |≤2＋1，即1≤a 2＋2a －32≤3.由a 2＋2a －32≥1得5a 2－12a ＋8≥0，解得a ∈R ；由a 2＋2a －32≤3得5a 2－12a ≤0，解得0≤a ≤125.所以点C 的横坐标a 的取值X 围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，125.故选A.]2．已知直线x ＋y －k ＝0(k ＞0)与x 2＋y 2＝4交于不同的两点A ，B ，O 为坐标原点，且|OA →＋OB →|≥33|AB →|，则k 的取值X 围是________．[2，22) [由已知得圆心到直线的距离小于半径，即|k |2＜2，又k ＞0，故0＜k ＜2 2. ①如图，作平行四边形OACB ，连接OC 交AB 于M ，由|OA →＋OB →|≥33|AB →|得|OM →|≥33|BM →|，即∠MBO ≥π6，因为|OB |＝2，所以|OM |≥1，故|k |2≥1，k ≥ 2. ②综合①②得，2≤k ＜2 2.]。

2019高三数学理北师大版一轮教师用书：第8章第4节直线与圆、圆与圆的位置关系

第四节　直线与圆、圆与圆的位置关系[考纲传真]　(教师用书独具)1.能根据给定直线、圆的方程判断直线与圆的位置关系；能根据给定两个圆的方程判断两圆的位置关系.2.能用直线和圆的方程解决一些简单的问题.3.初步了解用代数方法处理几何问题的思想．(对应学生用书第136页)[基础知识填充]1．判断直线与圆的位置关系常用的两种方法(1)几何法：利用圆心到直线的距离d 和圆半径r 的大小关系．d <r ⇔相交；d ＝r ⇔相切；d >r ⇔相离．(2)代数法：Error!――――→判别式 Δ＝b 2－4ac 2．圆与圆的位置关系(两圆半径为r 1，r 2，d ＝|O 1O 2|)相离外切相交内切内含图形量的关系d ＞r 1＋r 2d ＝r 1＋r 2|r 1－r 2|＜d ＜r 1＋r 2d ＝|r 1－r 2|(r 1≠r 2)d ＜|r 1－r 2|(r 1≠r 2)[知识拓展]1．圆的切线方程常用结论(1)过圆x 2＋y 2＝r 2上一点P (x 0，y 0)的圆的切线方程为x 0x ＋y 0y ＝r 2.(2)过圆(x －a )2＋(y －b )2＝r 2上一点P (x 0，y 0)的圆的切线方程为(x 0－a )(x －a )＋(y 0－b )(y －b )＝r 2.(3)过圆x 2＋y 2＝r 2外一点M (x 0，y 0)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为x 0x ＋y 0y ＝r 2.2．圆与圆的位置关系的常用结论(1)两圆的位置关系与公切线的条数：①内含：0条；②内切：1条；③相交：2条；④外切：3条；⑤相离：4条．(2)当两圆相交时，两圆方程(x 2，y 2项系数相同)相减便可得公共弦所在直线的方程．[基本能力自测]1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)“k ＝1”是“直线x －y ＋k ＝0与圆x 2＋y 2＝1相交”的必要不充分条件．( )(2)如果两个圆的方程组成的方程组只有一组实数解，则两圆外切．( )(3)如果两圆的圆心距小于两半径之和，则两圆相交．( )(4)若两圆相交，则两圆方程相减消去二次项后得到的二元一次方程是公共弦所在直线的方程．( )(5)过圆O ：x 2＋y 2＝r 2上一点P (x 0，y 0)的圆的切线方程是x 0x ＋y 0y ＝r 2.( )[答案]　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√　(5)√2．直线x －y ＋1＝0与圆(x ＋1)2＋y 2＝1的位置关系是( )A ．相切B ．直线过圆心C ．直线不过圆心，但与圆相交D ．相离B [依题意知圆心为(－1,0)，到直线x －y ＋1＝0的距离d ＝＝0，所以直线过圆心．]12＋(－1)23．(教材改编)圆(x ＋2)2＋y 2＝4与圆(x －2)2＋(y －1)2＝9的位置关系为( )A ．内切B ．相交C ．外切D ．相离B [两圆圆心分别为(－2,0)，(2,1)，半径分别为2和3，圆心距d ＝＝.42＋117∵3－2<d <3＋2，∴两圆相交．]4．直线3x ＋4y ＝b 与圆x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0相切，则b 的值是( )A ．－2或12B ．2或－12C ．－2或－12D ．2或12D [由圆x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0，知圆心(1,1)，半径为1，所以＝1，解得b ＝2或12.]|3×1＋4×1－b |32＋425．在平面直角坐标系xOy 中，直线x ＋2y －3＝0被圆(x －2)2＋(y ＋1)2＝4截得的弦长为__________．　[圆心为(2，－1)，半径r ＝2.2555圆心到直线的距离d ＝＝，|2＋2×(－1)－3|1＋4355所以弦长为2＝2＝.]r 2－d222－(355)2 2555(对应学生用书第137页)直线与圆的位置关系　(1)(2017·豫南九校联考)直线l ：mx －y ＋1－m ＝0与圆C ：x 2＋(y －1)2＝5的位置关系是( )A ．相交B ．相切C ．相离D ．不确定(2)(2017·大连双基测试)圆x 2＋y 2＝1与直线y ＝kx ＋2没有公共点的充要条件是________．(1)A (2)－＜k ＜　[(1)法一：∵圆心(0,1)到直线l 的距离d ＝33<1<.|m |m 2＋15故直线l 与圆相交．法二：直线l ：mx －y ＋1－m ＝0过定点(1,1)，∵点(1,1)在圆C ：x 2＋(y －1)2＝5的内部，∴直线l 与圆C 相交．(2)法一：将直线方程代入圆方程，得(k 2＋1)x 2＋4kx ＋3＝0，直线与圆没有公共点的充要条件是Δ＝16k 2－12(k 2＋1)＜0，解得－＜k ＜.33法二：圆心(0,0)到直线y ＝kx ＋2的距离d ＝，直线与圆没有公共2k 2＋1点的充要条件是d ＞1.＞1，解得－＜k ＜.]2k 2＋133[规律方法]　判断直线与圆的位置关系的常见方法(1)几何法：利用d 与r 的关系.(2)代数法：联立方程之后利用Δ判断.(3)点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内，可判断直线与圆相交.上述方法中最常用的是几何法，点与圆的位置关系法适用于动直线问题.[跟踪训练]　圆(x －3)2＋(y －3)2＝9上到直线3x ＋4y －11＝0的距离等于1的点的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4C [因为圆心到直线的距离为＝2，又因为圆的半径为3，|9＋12－11|5所以直线与圆相交，由数形结合知，圆上到直线的距离为1的点有3个．]圆的切线、弦长问题◎角度1　求圆的切线方程(切线长)　若点P (1,2)在以坐标原点为圆心的圆上，则该圆在点P 处的切线方程为________.【导学号：79140279】x ＋2y －5＝0　[设圆的方程为x 2＋y 2＝r 2，将P 的坐标代入圆的方程，得r 2＝5，故圆的方程为x 2＋y 2＝5.设该圆在点P 处的切线上的任意一点为M (x ，y )，则＝(x －1，y －2)．由⊥(O 为坐标原点)，得·＝0，即1×(x －1)PM → OP → PM → OP → PM → ＋2×(y －2)＝0，即x ＋2y －5＝0.]◎角度2　求弦长　(2017·河北张家口期末)已知直线：12x －5y ＝3与圆x 2＋y 2－6x －8y ＋16＝0相交于A ，B 两点，则|AB |＝________.4　[把圆的方程化成标准方程为(x －3)2＋(y －4)2＝9，所以圆心坐标2为(3,4)，半径r ＝3，所以圆心到直线12x －5y ＝3的距离d ＝＝1，则|AB |＝2＝4.]|12×3－5×4－3|122＋(－5)2r 2－d 22◎角度3　由弦长及切线问题求参数　(2018·深圳二调)已知直线l ：x ＋my －3＝0与圆C ：x 2＋y 2＝4相切，则m ＝________.±　[由于直线与圆相切，则有圆心到直线的距离d ＝＝52|0＋0－3|1＋m 2＝2，整理得m 2＝，解得m ＝±.]31＋m 25452[规律方法]　1.圆的切线方程的求法设切线方程为y －y 0＝k (x －x 0)，利用点到直线的距离公式表示出圆心到切线的距离d ，然后令d ＝r (联立方程组用判别式Δ＝0)，求出k .2.弦长的求法若弦心距为d ，圆的半径长为r ，则弦长l ＝2(或联立方程组，用根与系r 2－d 2数的关系，弦长公式求).[跟踪训练]　(1)已知直线l ：x ＋ay －1＝0(a ∈R )是圆C ：x 2＋y 2－4x －2y ＋1＝0的对称轴．过点A (－4，a )作圆C 的一条切线，切点为B ，则|AB |＝( )A ．2B ．42C ．6D ．210(2)(2017·湖南五市十校共同体联考)已知直线l ：mx ＋y ＋＝0与圆(x ＋1)32＋y 2＝2相交，弦长为2，则m ＝________.(3)(2016·全国卷Ⅰ)设直线y ＝x ＋2a 与圆C ：x 2＋y 2－2ay －2＝0相交于A ，B 两点，若|AB |＝2，则圆C 的面积为________．3(1)C (2)　(3)4π　[(1)圆C 的标准方程为(x －2)2＋(y －1)2＝22，圆心33为C (2,1)，半径r ＝2，由直线l 是圆C 的对称轴，知直线l 过点C ，所以2＋a ×1－1＝0，a ＝－1，所以A (－4，－1)，于是|AC |2＝40，所以|AB |＝＝＝6.故选C ．|AC |2－2240－4(2)由已知可得圆心为(－1,0)，半径为，圆心到直线l 的距离d ＝2，|3－m |m 2＋1所以＋1＝2，解得m ＝.(|3－m |m 2＋1)2 33(3)圆C ：x 2＋y 2－2ay －2＝0化为标准方程是C ：x 2＋(y －a )2＝a 2＋2，所以圆心C (0，a )，半径r ＝.|AB |＝2，点C 到直线y ＝x ＋2a 即a 2＋23x －y ＋2a ＝0的距离d ＝，由勾股定理得|0－a ＋2a |2＋＝a 2＋2，解得a 2＝2，所以r ＝2，所以圆C 的面积(232)2 (|0－a ＋2a |2)2为π×22＝4π.]圆与圆的位置关系　已知两圆C 1：x 2＋y 2－2x －6y －1＝0和C 2：x 2＋y2－10x －12y ＋45＝0.(1)求证：圆C 1和圆C 2相交；(2)求圆C 1和圆C 2的公共弦所在直线的方程和公共弦长．[解]　(1)证明：圆C 1的圆心为C 1(1,3)，半径r 1＝，圆C 2的圆心为11C 2(5,6)，半径r 2＝4，两圆圆心距d ＝|C 1C 2|＝5，r 1＋r 2＝＋4，|r 1－r 2|＝4－，1111∴|r 1－r 2|＜d ＜r 1＋r 2，∴圆C 1和C 2相交．(2)圆C 1和圆C 2的方程左、右两边分别相减，得4x ＋3y －23＝0，∴两圆的公共弦所在直线的方程为4x ＋3y －23＝0.圆心C 2(5,6)到直线4x ＋3y －23＝0的距离＝＝3，故公共弦|20＋18－23|16＋9长为2＝2.16－97[规律方法]　1.判断两圆位置关系的方法常用几何法，即用两圆圆心距与两圆半径和及差的绝对值的大小关系判断，一般不用代数法.重视两圆内切的情况，作图观察.2.两圆相交时，公共弦所在直线方程的求法两圆的公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差消去x 2，y 2项得到.3.两圆公共弦长的求法求两圆公共弦长，常选其中一圆，由弦心距d ，半弦长，半径r 构成直角三角l2形，利用勾股定理求解.[跟踪训练]　(1)(2016·山东高考)已知圆M ：x 2＋y 2－2ay ＝0(a >0)截直线x ＋y ＝0所得线段的长度是2，则圆M 与圆N ：(x －1)2＋(y －1)2＝1的位置关系是( )2A ．内切B ．相交C ．外切D ．相离(2)若圆C 1：x 2＋y 2＝1与圆C 2：x 2＋y 2－6x －8y ＋m ＝0外切，则m ＝( )【导学号：79140280】A ．21B ．19C ．9D ．－11(1)B (2)C [(1)法一：由Error!得两交点为(0,0)，(－a ，a )．∵圆M 截直线所得线段长度为2，2∴＝2.又a >0，∴a ＝2.a 2＋(－a )22∴圆M 的方程为x 2＋y 2－4y ＝0，即x 2＋(y －2)2＝4，圆心M (0,2)，半径r 1＝2.又圆N ：(x －1)2＋(y －1)2＝1，圆心N (1,1)，半径r 2＝1，∴|MN |＝＝.(0－1)2＋(2－1)22∵r 1－r 2＝1，r 1＋r 2＝3,1<|MN |<3，∴两圆相交．法二：∵x 2＋y 2－2ay ＝0(a >0)⇔x 2＋(y －a )2＝a 2(a >0)，∴M (0，a )，r 1＝a .∵圆M 截直线x ＋y ＝0所得线段的长度为2，∴圆心M 到直线2x ＋y ＝0的距离d ＝＝，解得a ＝2.a2a 2－2以下同法一．(2)圆C 1的圆心为C 1(0,0)，半径r 1＝1，因为圆C 2的方程可化为(x －3)2＋(y －4)2＝25－m ，所以圆C 2的圆心为C 2(3,4)，半径r 2＝(m ＜25)．从而|C 1C 2|＝＝5.由两圆外切得25－m 32＋42|C 1C 2|＝r 1＋r 2，即1＋＝5，解得m ＝9，故选C ．]25－m。

高考数学一轮复习课时检测第八章第四节直线与圆、圆与圆的位置关系理

高考数学一轮复习课时检测第八章第四节直线与圆、圆与圆的位置关系理一、选择题1．直线x＋y＝1与圆x2＋y2－2ay＝0(a>0)没有公共点，则a的取值范围是( )A．(0，2－1) B．(2－1，2＋1)C．(－2－1，2＋1) D．(0，2＋1)解析：由圆x2＋y2－2ay＝0(a>0)的圆心(0，a)到直线x＋y＝1的距离大于a，且a>0可得a的取值范围．答案：A2．(2011·大纲全国卷)设两圆C1、C2都和两坐标轴相切，且都过点(4,1)，则两圆心的距离|C1C2|＝( )A．4 B．4 2C．8 D．8 2解析：依题意，可设圆心坐标为(a，a)、半径为r，其中r＝a>0，因此圆方程是(x－a)2＋(y－a)2＝a2，由圆过点(4,1)得(4－a)2＋(1－a)2＝a2，即a2－10a＋17＝0，则该方程的两根分别是圆心C1，C2的横坐标，|C1C2|＝2×102－4×17＝8.答案：C3．设直线x＋ky－1＝0被圆O：x2＋y2＝2所截弦的中点的轨迹为M，则曲线M与直线x－y－1＝0的位置关系是 ( ) A．相离B．相切C．相交D．不确定解析：∵直线x＋ky－1＝0过定点N(1,0)，且点N(1,0)在圆x2＋y2＝2的内部，∴直线被圆所截弦的中点的轨迹M是以ON为直径的圆，圆心为P(12，0)，半径为12，∵点P(12，0)到直线x－y－1＝0的距离为24<12，∴曲线M与直线x－y－1＝0相交．答案：C4．(2011·重庆高考)在圆x2＋y2－2x－6y＝0内，过点E(0,1)的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD的面积为 ( ) A．5 2 B．10 2C ．15 2D ．20 2解析：由题意可知，圆的圆心坐标是(1,3)，半径是10，且点E (0,1)位于该圆内，故过点E (0,1)的最短弦长|BD |＝210－12＋22＝25(注：过圆内一定点的最短弦是以该点为中点的弦)，过点E (0,1)的最长弦长等于该圆的直径，即|AC |＝210，且AC ⊥BD ，因此四边形ABCD 的面积等于12|AC |×|BD |＝12×210×25＝10 2.答案：B5．(2012·绍兴模拟)直线x ＋7y －5＝0截圆x 2＋y 2＝1所得的两段弧长之差的绝对值是( )A.π4B.π2 C ．πD.3π2解析：圆心到直线的距离d ＝|0＋0－5|1＋49＝22. 又∵圆的半径r ＝1，∴直线x ＋7y －5＝0截圆x 2＋y 2＝1的弦长为 2. ∴劣弧所对的圆心角为π2.∴两段弧长之差的绝对值为32π－π2＝π.答案：C6．若直线y ＝x ＋b 与曲线y ＝3－4x －x 2有公共点，则b 的取值范围是 ( ) A ．[1－22，1＋22] B ．[1－2，3] C ．[－1,1＋22]D ．[1－22，3]解析：在平面直角坐标系内画出曲线y ＝3－4x －x 2与直线y ＝x ，在平面直角坐标系内平移该直线，结合图形分析可知，当直线沿左上方平移到过点(0,3)的过程中的任何位置相应的直线与曲线y ＝3－4x －x 2都有公共点；当直线沿右下方平移到与以点C (2,3)为圆心、2为半径的圆相切的过程中的任何位置相应的直线与曲线y ＝3－4x －x 2都有公共点．注意与y ＝x 平行且过点(0,3)的直线方程是y ＝x ＋3；当直线y ＝x ＋b 与以点C (2,3)为圆心、2为半径的圆相切时，有|2－3＋b |2＝2，b ＝1±2 2.结合图形可知，满足题意的b 的取值范围是[1－22，3]．答案：D二、填空题7． (2012·海门模拟)两圆(x ＋1)2＋(y －1)2＝r 2和(x －2)2＋(y ＋2)2＝R 2相交于P ，Q 两点，若点P 坐标为(1,2)，则点Q 的坐标为________．解析：由两圆的方程可知它们的圆心坐标分别为(－1,1)，(2，－2)，则过它们圆心的直线方程为x －－12－－1＝y －1－2－1，即y ＝－x ，根据圆的几何性质可知两圆的交点应关于过它们圆心的直线对称，故由P (1,2)可得它关于直线y ＝－x 的对称点即Q 点的坐标为(－2，－1)．答案：(－2，－1)8．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆x 2＋y 2＝4上有且只有四个点到直线12x －5y ＋c ＝0的距离为1，则实数c 的取值范围是________．解析：因为圆的半径为2，且圆上有且仅有四个点到直线12x －5y ＋c ＝0的距离为1，即要圆心到直线的距离小于1，即|c |122＋－52<1，解得－13<c <13.答案：(－13,13)9． (2012·盐城模拟)已知圆C 过点(1,0)，且圆心在x 轴的正半轴上，直线l ：y ＝x －1被该圆所截得的弦长为22，则圆C 的标准方程为____________．解析：设圆心坐标为(a,0)(a >0)，则圆心到直线x －y －1＝0的距离为|a －1|2.因为圆截直线所得的弦长为22，根据半弦、半径、弦心距之间的关系有(|a －1|2)2＋2＝(a －1)2，即(a －1)2＝4，所以a ＝3或a ＝－1(舍去)，则半径r ＝3－1＝2，圆心坐标为(3,0)．所以圆C 的标准方程为(x －3)2＋y 2＝4.答案：(x －3)2＋y 2＝4 三、解答题10．已知点A (1，a )，圆x 2＋y 2＝4.(1)若过点A 的圆的切线只有一条，求a 的值及切线方程；(2)若过点A 且在两坐标轴上截距相等的直线被圆截得的弦长为23，求a 的值．解：(1)由于过点A 的圆的切线只有一条，则点A 在圆上，故12＋a 2＝4，∴a ＝± 3. 当a ＝3时，A (1，3)，切线方程为x ＋3y －4＝0；当a ＝－3时，A (1，－3)，切线方程为x －3y －4＝0， ∴a ＝3时，切线方程为x ＋3y －4＝0，a ＝－3时，切线方程为x －3y －4＝0.(2)设直线方程为 x ＋y ＝b ，由于直线过点A ，∴1＋a ＝b ，a ＝b －1. 又圆心到直线的距离d ＝|b |2，∴(|b |2)2＋(232)2＝4.∴b ＝± 2.∴a ＝±2－1.11．已知圆C ：x 2＋y 2－2x ＋4y －4＝0，问是否存在斜率为1的直线l ，使l 被圆C 截得的弦为AB ，以AB 为直径的圆经过原点．若存在，写出直线l 的方程；若不存在，说明理由．解：依题意，设l 的方程为y ＝x ＋b ①x 2＋y 2－2x ＋4y －4＝0②联立①②消去y 得：2x 2＋2(b ＋1)x ＋b 2＋4b －4＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则有⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝－b ＋1，x 1x 2＝b 2＋4b －42，③∵以AB 为直径的圆过原点， ∴ OA ⊥ OB ，即x 1 x 2＋y 1y 2＝0，而y 1y 2＝(x 1＋b )(x 2＋b )＝x 1x 2＋b (x 1＋x 2)＋b 2∴2x 1x 2＋b (x 1＋x 2)＋b 2＝0，由③得b 2＋4b －4－b (b ＋1)＋b 2＝0，即b 2＋3b －4＝0，∴b ＝1或b ＝－4. ∴满足条件的直线l 存在，其方程为x －y ＋1＝0或x －y －4＝0.12．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆x 2＋y 2－12x ＋32＝0的圆心为Q ，过点P (0,2)且斜率为k 的直线与圆Q 相交于不同的两点A ，B .(1)求k 的取值范围；(2)是否存在常数k ，使得向量 OA ＋ OB 与 PQ 共线？如果存在，求k 值；如果不存在，请说明理由．解：(1)圆的方程可化为(x －6)2＋y 2＝4，其圆心为Q (6,0)．过点P (0,2)且斜率为k 的直线方程为y ＝kx ＋2.代入圆的方程得x 2＋(kx ＋2)2－12x ＋32＝0，整理得(1＋k 2)x 2＋4(k －3)x ＋36＝0.①直线与圆交于两个不同的点A ，B ，所以Δ＝[4(k －3)]2－4×36(1＋k 2)＝42(－8k 2－6k )>0，解得－34<k <0，即k 的取值范围为(－34，0)．(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则 OA ＋ OB ＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)．由方程①，得x 1＋x 2＝－4k －31＋k2，② 又∵y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)＋4.③而P (0,2)，Q (6,0)， PQ ＝(6，－2)，所以 OA ＋ OB 与 PQ 共线等价于(x 1＋x 2)＝－3(y 1＋y 2)，将②③ 代入上式，解得k ＝－34.由(1)知k ∈(－34，0)，故没有符合题意的常数k .。

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会当凌绝顶，一览众山小
1 | OA| ＝ 2，∴｜OC| ＝a＝ 1，∴ a＝ 1.] 8．(2016 ·全国卷Ⅲ ) 已知直线 l ： x－ 3y＋6＝ 0 与圆 x2＋ y2＝ 12 交于 A， B两点，过 A， B 分别作 l 的垂线与 x 轴交于 C， D两点，则 | CD| ＝ __________. 4 [ 法一：由圆 x2＋ y2＝ 12 知圆心 O(0,0) ，半径 r ＝2 3. ∴圆心 (0,0) 到直线 x－ 3y ＋6＝0 的
∴圆心的坐标为 ( － 1,2) ，半径 r ＝ 2，
∵圆 C的圆心在直线 ax－ by＋ 1＝ 0 上，
∴－ a－ 2b＋ 1＝0，即 a＝ 1－ 2b，则 ab＝ b(1 － 2b) ＝－ 2b2＋ b
2
11 ＝－ 2 b－ 4 ＋8，
1
1
∴当 b＝ 4时， ab 有最大值，最大值为 8，
1 则 ab 的取值范围是－∞， 8 . 故选 B.]
∴｜CD| ＝ sin 60
°
＝ sin 60
°＝
＝ 4. 3
2
x－ 3y＋6＝ 0，法二：设 A( x1，y1) ， B( x2， y2) ，由 x2＋ y2＝12，
得 y2－3 3y＋6＝ 0，解得 y1＝ 3， y2＝ 2 3，
∴ A( －3， 3) ， B(0,2 3) ．过 A，B 作 l 的垂线方程分别为
α ，β 的始边是 x 轴的非负半轴，终边分别在射线 OA和 OB上，则 tan( α＋ β ) 的值为
()
【导学号： 79140281】
A．－ 2 2 C． 0
B．－ 2 D． 2 2
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A
[ 由题可知 tan α＝ tan β ＝
2，那么
tan(
α
＋
β
)
＝
tan α＋ tan 1－ tan α tan
ββ＝－ 2
2，
故选 A.]
5．(2017 ·广东惠州一模
) 已知圆
C：x2＋
y
2
＋
2x
－
4y＋
1＝
0
的圆心在直线
ax－by＋ 1＝ 0 上，
则 ab 的取值范围是 ( )
1 A. －∞， 4
1 B. －∞， 8
1 C. 0，4
1 D. 0，8
B [ 把圆的方程化为标准方程为 ( x＋ 1) 2＋ ( y－ 2) 2＝4，
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课时分层训练 ( 五十一 ) 直线与圆、圆与圆的位置关系
A 组基础达标
一、选择题
1．已知点 M( a， b) 在圆 O： x2＋y2＝ 1 外，则直线 ax＋ by＝ 1 与圆 O的位置关系是 (
)
A．相切
B．相交
C．相离
D．不确定
B [ 由题意知点在圆外，则
a2＋ b2>1，圆心到直线的距离
【导学号： 79140282】
[ 解 ] 由题意得圆心 C(1,2) ，半径 r ＝ 2. (1) ∵（ 2＋ 1－1) 2＋ (2 － 2－ 2) 2＝4，
∴点 P 在圆 C上．
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－ 3＝ 0， AB的中垂线即直线 C1C2，故其方程为 x＋ y－ 3＝0.] 7．若圆 x2＋ y2＝ 4 与圆 x2＋ y2＋ 2ay－ 6＝ 0( a＞ 0) 的公共弦长为 2 3，则 a＝ ________.
1 [ 两圆的方程作差易知公共弦所在的直线方程为
1 y＝ a，如图，由已知得 | AC| ＝ 3，
12＋ 32 ＝ 2 ，从而得所求弦长为
2
2
10－
10 2
＝
30，故选 A.]
3．过点
(1
，－
2)
作圆(x－1) Nhomakorabea2
＋
y2＝
1
的两条切线，切点分别为
A，B，则 AB所在直线的方程
为( )
3 A． y＝－ 4
1 B． y＝－ 2
3 C． y＝－ 2
1 D． y＝－ 4
B [ 圆 ( x－1) 2＋ y2＝ 1 的圆心为 (1,0) ，半径为 1，
二、填空题 6．已知圆 C1： x2＋y2－ 6x－ 7＝0 与圆 C2： x2＋ y2－ 6y－ 27＝ 0 相交于 A， B 两点，则线段 AB
的中垂线方程为 ________________ ．
x＋ y－ 3＝0 [ ∵圆 C1 的圆心 C1(3,0) ，圆 C2 的圆心 C2(0,3) ，∴直线 C1 C2 的方程为 x＋y
以 (1 － 1) 2＋ ( －2－ 0) 2＝ 2 为直径的圆的方程为 ( x－ 1) 2＋ ( y＋ 1) 2＝ 1，
1 将两圆的方程相减得 AB所在直线的方程为 2y＋ 1＝0，即 y＝－ 2.]
4．(2018 ·深圳二调 ) 在平面直角坐标系中，直线 y＝ 2x 与圆 O：x2＋ y2＝ 1 交于 A，B 两点，
1 d＝ a2＋ b2<1，故直线与圆相
交． ] 2．(2018 ·东北三省四市模拟 ( 二 )) 直线 x－3y＋ 3＝ 0 与圆 ( x－ 1) 2＋ ( y－ 3) 2＝ 10 相交所得
弦长为 (
)
A. 30
53 B.
2
C． 4 2
D． 3 3
|1 －3×3＋ 3|
10
A [ 圆心 (1,3) 到直线的距离为
y－ 3＝－ 3( x＋ 3) ， y－ 2 3＝－ 3x，令 y＝ 0，得 xC＝－ 2， xD＝ 2，∴｜CD| ＝ 2－ ( － 2) ＝ 4.] 三、解答题 9．已知点 P( 2＋ 1,2 － 2) ， M(3,1) ，圆 C： ( x－ 1) 2＋( y－ 2) 2＝ 4.
(1) 求过点 P 的圆 C的切线方程； (2) 求过点 M的圆 C的切线方程，并求出切线长．
距离 d＝ 6 ＝ 3， | AB| ＝ 2 12－ 32＝ 2 3. 过 C作 CE⊥ BD于 E. 1＋ 3
如图所示，则 | CE| ＝ | AB| ＝ 2 3.
∵直线 l 的方程为 x－ 3y＋ 6＝ 0，
3 ∴ kAB＝，则∠ BPD＝30°，从而∠ BDP＝60°．
3
| CE|
| AB| 2 3