高考解答题母题(理科数学)
高考数学专题01经典母题30题(理)-高考数学走出题海之黄金30题系列(原卷板)
一、选择题1．已知命题p ：∀x ∈R ，sinx ≤1，则( )．A ．¬p：∃x0∈R ，sinx0≥1B ．¬p：∀x ∈R ，sinx ≥1C ．¬p：∃x0∈R ，sinx0>1D ．¬p：∀x ∈R ，sinx>12．已知集合A={y|y=lg(x-3)},B={a|a 2-a+3>0},则“x>4”是“AB ”的()A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 3．已知复数21i z i=+(i 是虚数单位)，则复数z 在复平面内对应的点位于() (A)第一象限(B)第二象限(C)第三象限(D)第四象限4．已知3log 4.12a =，3log 2.72b =，3log 0.112c ⎛⎫= ⎪⎝⎭则()A ．a>b>cB ．b>a>cC ．a>c>bD ．c>a>b5．函数()323922y x x x x =---<<有( )A ．极大值5，极小值27-B ．极大值5，极小值11-C ．极大值5，无极小值D ．极小值27-，无极大值6．函数sin ln sin x x y x x -⎛⎫= ⎪+⎝⎭的图象大致是()7．函数()|2|ln f x x x =--在定义域内零点的个数为（）A ．0B ．1C ．2D ．38．函数)sin(ϕω+=x A y 在一个周期内的图象如右，此函数的解析式为（）A ．)32sin(2π+=x yB ．)322sin(2π+=x yC)32sin(2π-=x y D ．)32sin(2π-=x y 9．在ABC ∆中，3,1,cos cos c a a B b A ===，则AC CB ⋅=（） A ．21B ．23C ．21-D ．23- 10．已知等差数列{a n }，且3（a 3+a 5）+2(a 7+a 10+a 13)=48,则数列{a n }的前13项之和为（）A.24B.39C.104D.5211．若,,a b c 为实数，则下列命题正确的是（）A ．若a b >，则22ac bc >B ．若0a b <<，则22a ab b >>C ．若0a b <<，则11a b <D ．若0a b <<，则b a a b> 12．已知直线⊥l 平面α，直线m ⊆平面β，给出下列命题,其中正确的是()①m l ⊥⇒βα//②m l //⇒⊥βα③βα⊥⇒m l //④βα//⇒⊥m lA．②④B.②③④C.①③D.①②③13．一个正三棱柱的三视图如图所示，这个三棱柱的侧(左)视图的面积为36则这个三棱柱的体积为( )A．12B．16C．83D．12 314．已知双曲线22221x ya b-=，以右顶点为圆心，实半轴长为半径的圆被双曲线的一条渐近线分为弧长为1：2的两部分，则双曲线的离心率为（）A.3B.23C.5D.515．执行如图所示的程序框图，若输入n=10,则输出的S= ( )A. B. C. D.16．阅读如图所示的程序框图，若输入的k=10，则该算法的功能是（）A. 计算数列{2n-1}的前10项和B.计算数列{2n-1}的前9项和C.计算数列{2n -1}的前10项和D.计算数列{2n -1}的前9项和二、填空题17．已知0,0x y >>，1221x y +=+，则2x y +的最小值为 . 18．点(,)M x y 是不等式组0333x y x y⎧≤≤⎪≤⎨⎪≤⎩表示的平面区域Ω内的一动点，且不等式20x y m -+≥总成立，则m 的取值范围是________________.19．在三棱柱111C B A ABC -中侧棱垂直于底面， 90=∠ACB ，30=∠BAC ，1=BC ，且三棱柱111C B A ABC -的体积为3，则三棱柱111C B A ABC -的外接球的表面积为 ．三、解答题20．在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边长分别为a 、b 、c ， 且1cos 22A C +=． （1）若3a =，7b =c 的值； （2）若()()sin 3sin f A A A A =-，求()f A 的取值范围．21．已知向量1(cos ,1),(3sin ,)2m x n x =-=-,设函数()()f x m n m =+⋅.(1).求函数f(x)的最小正周期;(2).已知a,b,c 分别为三角形ABC 的内角对应的三边长,A 为锐角,a=1,3c =()f A 恰是函数f(x)在[0,]2π上的最大值,求A,b 和三角形ABC 的面积.22．寒假期间，我市某校学生会组织部分同学，用“10分制”随机调查“阳光花园”社区人们的幸福度，现从调查人群中随机抽取16名，如果所示的茎叶图记录了他们的幸福度分数（以小数点前的一位数字为茎，小数点后的一位数字为叶）；若幸福度分数不低于8.5分，则该人的幸福度为“幸福”.（I ）求从这16人中随机选取3人，至少有2人为“幸福”的概率；（II ）以这16人的样本数据来估计整个社区的总体数据，若从该社区（人数很多）任选3人，记ξ表示抽到“幸福”的人数，求ξ的分布列及数学期望.23．为了倡导健康、低碳、绿色的生活理念，某市建立了公共自行车服务系统鼓励市民租用公共自行车出行，公共自行车按每车每次的租用时间进行收费，具体收费标准如下：①租用时间不超过1小时，免费；②租用时间为1小时以上且不超过2小时，收费1元；③租用时间为2小时以上且不超过3小时，收费2元；④租用时间超过3小时的时段，按每小时2元收费（不足1小时的部分按1小时计算）已知甲、乙两人独立出行，各租用公共自行车一次，两人租车时间都不会超过3小时，设甲、乙租用时间不超过1小时的概率分别是0.4和0.5，租用时间为1小时以上且不超过2小时的概率分别是0.5和0.3.（Ⅰ）求甲、乙两人所付租车费相同的概率；（Ⅱ）设甲、乙两人所付租车费之和为随机变量ξ，求ξ的分布列和数学期望E ξ24．已知数列{}n a 是首项和公比均为14的等比数列，设()*1423log ,n n b a n N +=∈. {}n n n n c c a b =⋅数列满足（1）求证数列{}n b 是等差数列；（2）求数列{}n c 的前n 项和n S .25．如图，在三棱锥ABC P -中，直线⊥PA 平面ABC ，且︒=∠90ABC ，又点Q ，M ，N 分别是线段PB ，AB ，BC 的中点，且点K 是线段MN 上的动点.(1)证明：直线//QK 平面PAC ；(2)若BC AB PA ==，求二面角Q AN M --的平面角的余弦值.26．四棱锥P ABCD -底面是菱形，PA ABCD 平面⊥，60ABC ︒∠=,,E F 分别是,BC PC 的中点.（1）求证:平面AEF ⊥平面PAD ；（2）H 是PD 上的动点，EH 与平面PAD 所成的最大角为45︒，求二面角E AF C --的正切值. 27．已知椭圆2222:1x y C a b +=()0a b >>的右焦点F (1,0)，长轴的左、右端点分别为12,A A ,且121FA FA ⋅=-.（1）求椭圆C 的方程；（2）过焦点F 斜率为k （0>k ）的直线l 交椭圆C 于,A B 两点，弦AB 的垂直平分线与x 轴相交于D 点.试问椭圆C 上是否存在点E 使得四边形ADBE 为菱形？若存在，求k 的值；若不存在，请说明理由.28．已知椭圆22221x y a b+=(a>b>0)经过点6，1)2． (1)求椭圆的标准方程；(2)已知点6，0)，若A ，B 为已知椭圆上两动点，且满足2PA PB ⋅=-，试问直线AB 是否恒过定点，若恒过定点，请给出证明，并求出该定点的坐标；若不过，请说明理由．29．已知函数R a xa x f x∈+-=ln 1)(（1）求)(x f 的极值 （2）若()ln 0xkx -<∞在0，+上恒成立，求k 的取值范围（3）已知e x x R x x <+∈+2121,是，求证：2121ln ln ln)(x x x x +>+30．已知函数2()(21)ln f x x a x a x =-++.（1）求函数()f x 在区间[1,]e 上的最小值； （2）设()(1)g x a x =-，其中01a <<，判断方程()()f x g x =在区间[1,]e 上的解的个数（其中e 为无理数，约等于2.7182且有221e e e ->-）.。
2020年高考数学(理) 导数的几何意义母题
专题10 导数的几何意义【母题原题1】【2020年高考全国Ⅲ卷，理数】若直线l 与曲线y=和x 2+y 2=15都相切，则l 的方程为（ ）A. y =2x +1B. y =2x +12C. y =12x +1 D. y =12x +12D根据导数的几何意义设出直线l 的方程，再由直线与圆相切的性质，即可得出答案. 设直线l在曲线y =(0x ，则00x >，函数y =y '=，则直线l的斜率k=， 设直线l的方程为)0y x x =-，即00x x -+=， 由于直线l 与圆2215x y +== 两边平方并整理得205410x x --=，解得01x =，015x =-（舍），则直线l 的方程为210x y -+=，即1122y x =+. 故选：D.e 1a b ==-，B ．a=e ，b =1C ．1e 1a b -==，D ．1e a -=，1b =-De ln 1,x y a x '=++1|e 12x k y a ='==+=，1e a -∴=将(1,1)代入2y x b =+得21,1b b +==-，故选D ．【名师点睛】本题关键得到含有a ，b 的等式，利用导数几何意义和点在曲线上得到方程关系．【母题原题3】【2018年高考全国Ⅲ卷，理数】曲线()1e xy ax =+在点()01，处的切线的斜率为2-，则a =________．3-()e 1e x x y a ax =++'，则()012f a =+=-'，所以3a =-，故答案为：3-．【名师点睛】本题主要考查导数的计算和导数的几何意义，属于基础题． 【命题意图】本类题通常主要考查导数的几何意义，切线方程的不同形式的求解．【命题规律】导数的几何意义最常见的是求切线方程和已知切线方程求参数值，常以选择题、填空题的形式出现，有时也出现在解答题的第一问，难度中等． 【答题模板】1．求曲线y=f （x ）的切线方程若已知曲线y=f （x ）过点P （x 0，y 0），求曲线过点P 的切线方程． （1）当点P （x 0，y 0）是切点时，切线方程为y –y 0=f'（x 0）（x –x 0）． （2）当点P （x 0，y 0）不是切点时，可分以下几步完成： 第一步：设出切点坐标P'（x 1，f （x 1））；第二步：写出过点P'（x 1，f （x 1））的切线方程y –f （x 1）=f'（x 1）（x –x 1）； 第三步：将点P 的坐标（x 0，y 0）代入切线方程求出x 1；第四步：将x 1的值代入方程y –f （x 1）=f'（x 1）（x –x 1）可得过点P （x 0，y 0）的切线方程． 2．根据切线的性质求倾斜角或参数值由已知曲线上一点P （x 0，y 0）处的切线与已知直线的关系（平行或垂直），确定该切线的斜率k ，然后利用导数的几何意义得到k=f'（x 0）=tan θ，其中倾斜角θ∈[0，π），进一步求得倾斜角θ或有关参数的值． 3．已知切线的斜率求切点已知斜率k ，求切点（x 1，f （x 1）），应先解方程f'（x 1）=k 得出x 1，然后求出f （x 1）即可．【经验分享】利用导数的几何意义求曲线的切线方程的问题的关键就是抓住切点，首先要分清题目所求的是“在曲线上某点处的切线方程”还是“过某点的切线方程”．（1）求曲线y ＝f （x ）在0x x 处的切线方程可先求0()f 'x ，再利用点斜式写出所求切线方程；（2）求过某点的曲线的切线方程要先设切点坐标，求出切点坐标后再求切线方程．总之，求解切线问题的关键是切点坐标，无论是已知切线斜率还是切线经过某一点，切点坐标都是化解难点的关键所在．【方法总结】导数的几何意义蕴含着“逼近”和“以直代曲”的思想方法，对后面即将学习的利用导数研究函数的性质有至关重要的作用，同时导数的几何意义的应用即利用导数的几何意义求解曲线的切线方程问题是本课的重点和难点．有关切线方程的问题有以下四类题型： 类型一：已知切点，求曲线的切线方程，此类题较为简单，只须求出曲线的导数()f 'x ，并代入点斜式方程即可．类型二：已知斜率，求曲线的切线方程，此类题可利用斜率求出切点，再用点斜式方程加以解决． 类型三：已知过曲线上一点，求切线方程，过曲线上一点的切线，该点未必是切点，故应先设切点，再求切点，即用待定切点法． 类型四：已知过曲线外一点，求切线方程，此类题可先设切点，再求切点，即用待定切点法来求解．1．（2020·广西壮族自治区钦州一中高二月考（理））已知曲线e ln xy a x x =+在点()1,ae 处的切线方程为2y x b =+，则（ ）A ．,1a e b ==-B ．,1a e b ==C ．1,1a e b -==D ．1,1a e b -==-D通过求导数，确定得到切线斜率的表达式，求得a ，将点的坐标代入直线方程，求得b ． 详解：ln 1,xy ae x '=++1|12x k y ae ='==+=，1a e -∴=将(1,1)代入2y x b =+得21,1b b +==-，故选D ．2．（2020·广西壮族自治区南宁三中高三月考）函数()31ln 3f x x a x =+的图象在()()1,1f 处的切线方程为630x y b --=，则a b +=( )A ．3B ．4C ．5D ．6D根据函数()31ln 3f x x a x =+，令1x =，求得切点为11,3⎛⎫⎪⎝⎭，然后求导，求得斜率()1k f '=，写出切线方程，再由切线方程630x y b --=对应系数求解. 因为()31ln 3f x x a x =+， 当1x =时，()113f =，故切点为11,3⎛⎫ ⎪⎝⎭.所以()2a x xf x ='+， 则斜率()11kf a '==+，所以切线方程为()()1113y a x -=+-， 又因为切线方程为：630x y b --=， 比较系数知1a =，5b =， 所以a b +=6. 故选D.（2020·广西壮族自治区蒙山中学高二月考（理））已知直线y=x+1与曲线y =ln(x +a)相切，则α的值为A ．1B ．2C ．-1D ．-2 B设切点P(x 0,y 0)，则，又∵y ′|x=x 0=1x0+a=1∴x 0+a =1∴y 0=0,x=0−1∴a =2，故答案选B 。
高三数学母题集
高三数学母题集以下是高中数学常考题型，以及部分母题，供您参考：1. 集合与函数概念（1）已知集合A={xx=2k+1，k∈Z}，B={xx=4k+1，k∈Z}，则A与B的关系为（）A. A⊊BB. A⊋BC. B⊊AD. 无关系2. 三角函数与平面向量（1）已知函数$f(x) = \cos(2x - \frac{\pi}{3}) + \cos 2x$，将函数$f(x)$的图象向左平移$\varphi(\varphi > 0)$个单位长度后得到函数$g(x)$的图象，若函数$g(x)$的图象关于原点对称，则$\varphi$的最小值是（）A. $\frac{\pi}{6}$B. $\frac{\pi}{3}$C. $\frac{2\pi}{3}$D.$\frac{5\pi}{6}$3. 数列与不等式（1）设数列$\{ a_{n}\}$的前$n$项和为$S_{n}$，且$S_{n} = 2a_{n} - 2(n \in \mathbf{N}^{})$．（Ⅰ）求数列$\{ a_{n}\}$的通项公式；（Ⅱ）若$b_{n} = \log_{2}a_{n + 1}，c_{n} = \frac{b_{n}}{a_{n + 1}}，$求数列$\{ c_{n}\}$的前$n$项和$T_{n}$．4. 解析几何初步（1）已知抛物线C：y^2 = 2px（p > 0）的焦点为F，点A在第一象限内且在C上，点M的坐标为（2,0），若△OAF是等腰三角形（O为坐标原点），则△OAF的面积是（）A. √2B. 2√2C. 4√2D. 8√2以上只是部分母题，如果想获得全部的母题，可以到教辅网站获取。
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专题01 经典母题30题-2019年高考数学走出题海之黄金30题系列(江苏版)(解析版)
2019年高考数学走出题海之黄金30题系列专题一 经典母题一、填空题母题1【集合运算】【2017年江苏，理1】已知集合{1,2}A =，2{,3}B a a =+，若{1}A B =，则实数a 的值为 ▲ ． 【答案】1【解析】由题意1B ∈，显然233a +≥，所以1a =，此时234a +=，满足题意，故答案为1母题2【复数概念与运算】【2017江苏，理2】已知复数(1i)(12i)z =++，其中i 是虚数单位，则z 的模是 ▲ ． 【答案】10【解析】(1i)(12i)1i 12i 2510z =++=++=⨯=，故答案为10． 母题3【函数的性质】【2018年江苏卷】函数满足，且在区间上，则的值为________．【答案】【解析】由得函数的周期为4，所以因此母题4【函数与导数】【2018年江苏卷】若函数在内有且只有一个零点，则在上的最大值与最小值的和为________．【答案】–3 【解析】 由得，因为函数在上有且仅有一个零点且，所以，因此从而函数在上单调递增，在上单调递减，所以，母题5【三角形函数的图象和性质】【2018年江苏卷】已知函数的图象关于直线对称，则的值是________．【答案】【解析】 由题意可得，所以，因为，所以母题6【平面向量的数量积】【2016年高考江苏卷】如图，在△ABC 中，D 是BC 的中点，E ，F 是AD 上的两个三等分点，4BC CA ⋅=，1BF CF ⋅=- ，则BE CE ⋅的值是 ▲ .【答案】78【解析】因为222211436=42244AD BC FD BC BA CA BC AD BC AD --⋅=-⋅--==（）（）， 2211114123234FD BCBF CF BC AD BC AD -⋅=-⋅--==-（）（），因此22513,82FD BC ==，2222114167.22448ED BC FD BC BE CE BC ED BC ED --⋅=-⋅--===（）（） 母题7【几何体的体积】【2018年江苏卷】如图所示，正方体的棱长为2，以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为________．【答案】【解析】由图可知，该多面体为两个全等正四棱锥的组合体，正四棱锥的高为1，底面正方形的边长等于，所以该多面体的体积为母题8 【集合与数列、不等式】【2018年浙江卷】已知集合，．将的所有元素从小到大依次排列构成一个数列．记为数列的前n项和，则使得成立的n的最小值为________．【答案】27【解析】设，则，由得，所以只需研究是否有满足条件的解，此时，，为等差数列项数，且.由得满足条件的最小值为.母题9【双曲线的性质】2018年江苏卷】在平面直角坐标系中，若双曲线的右焦点到一条渐近线的距离为，则其离心率的值是________．【答案】2【解析】因为双曲线的焦点到渐近线即的距离为所以，因此母题10 【平面向量、直线与圆】【2018年江苏卷】在平面直角坐标系中，A为直线上在第一象限内的点，，以AB为直径的圆C与直线l交于另一点D．若，则点A的横坐标为________．【答案】3【解析】设，则由圆心为中点得易得，与联立解得点D的横坐标所以.所以，由得或，因为，所以母题11【程序框图与伪代码】【2016年高考江苏卷】右图是一个算法的流程图，则输出的a的值是▲ .母题12 【平面向量与三角函数】【2015江苏高考，14】设向量a k (cos ,sin cos )(0,1,2,,12)666k k k k πππ=+=，则110k =∑(a k a k+1)的值为母题13 【古典概型】【2018年江苏卷】某兴趣小组有2名男生和3名女生，现从中任选2名学生去参加活动，则恰好选中2名女生的概率为________． 【答案】【解析】：从5名学生中抽取2名学生，共有10种方法，其中恰好选中2名女生的方法有3种，因此所求概率为【几何概型】【2017江苏高考，7】记函数2()6f x x x =+-的定义域为D ．在区间[4,5]-上随机取一个数x ，则x D ∈的概率是 ▲ ． 【答案】59【茎叶图、平均数】【2018年江苏卷】已知5位裁判给某运动员打出的分数的茎叶图如图所示，那么这5位裁判打出的分数的平均数为________．【答案】90 【解析】由茎叶图可知，5位裁判打出的分数分别为，故平均数为.母题14【三角形与不等式】【2018年江苏卷】在中，角所对的边分别为，，的平分线交于点D ，且，则的最小值为________．【答案】9 【解析】 由题意可知，,由角平分线性质和三角形面积公式得，化简得，因此当且仅当时取等号，则的最小值为.母题15【导数的几何意义】【2014江苏，理11】在平面直角坐标系xoy 中，若曲线2by ax x=+（,a b 为常数）过点(2,5)P -，且该曲线在点P 处的切线与直线7230x y ++=平行，则a b += . 【答案】3-． 【解析】曲线2b y ax x =+过点(2,5)P -，则452b a +=-①，又2'2b y ax x =-，所以7442b a -=-②，由①②解得1,2,a b =-⎧⎨=-⎩所以3a b +=-．母题16【直线与圆的位置关系】【2015江苏高考，10】在平面直角坐标系xOy 中，以点)0,1(为圆心且与直线)(012R m m y mx ∈=---相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为母题17【直线和椭圆、双曲线】【【2018年理北京卷】已知椭圆，双曲线．若双曲线N 的两条渐近线与椭圆M 的四个交点及椭圆M 的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆M 的离心率为__________；双曲线N 的离心率为__________．【答案】 2【解析】由正六边形性质得椭圆上一点到两焦点距离之和为，再根据椭圆定义得，所以椭圆M 的离心率为双曲线N 的渐近线方程为，由题意得双曲线N 的一条渐近线的倾斜角为，母题18【线性规划】【2018年理北京卷】若 ,y 满足，则2y− 的最小值是_________.【答案】3 【解析】不等式可转化为，即， 满足条件的在平面直角坐标系中的可行域如下图 令，由图象可知，当过点时，取最小值，此时，的最小值为.母题19【平面向量坐标运算】【2017江苏高考，12】如图，在同一个平面内，向量OA ，OB ，OC 的模分别为1，1，2，OA 与OC 的夹角为α，且tan α=7，OB 与OC 的夹角为45°．若OC mOA nOB =+(,)m n ∈R ，则m n += ▲ ．【答案】3【解析】由tan 7α=可得72sin 10α=，2cos 10α=，根据向量的分解， 易得cos 45cos 2sin 45sin 0n m n m αα⎧︒+=⎪⎨︒-=⎪⎩，即2222102720210n m n m ⎧+=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，即510570n m n m +=⎧⎨-=⎩，即得57,44m n ==，所以3m n +=．母题20【数列通项公式与求和、数列基本量运算】【2017江苏高考，9】等比数列{}n a 的各项均为实数，其前n 项和为n S ，已知3676344S S ==,，则8a = ▲ ． 【答案】32二、解答题母题21【立体几何点线面位置关系】【2018年江苏卷】在平行六面体中，．求证：（1）；（2）．【答案】答案见解析【解析】证明：（1）在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，AB∥A1B1．因为AB平面A1B1C，A1B1平面A1B1C，所以AB∥平面A1B1C．（2）在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，四边形ABB1A1为平行四边形．又因为AA1=AB，所以四边形ABB1A1为菱形，因此AB1⊥A1B．又因为AB1⊥B1C1，BC∥B1C1，所以AB1⊥BC．又因为A1B∩BC=B，A1B平面A1BC，BC平面A1BC，所以AB1⊥平面A1BC．因为AB1平面ABB1A1，所以平面ABB1A1⊥平面A1BC．母题22【解三角形与三角函数恒等变换】【2018年江苏卷】已知为锐角，，．（1）求的值；（2）求的值．【答案】（1）（2）【解析】（1）因为，，所以．因为，所以，因此，．（2）因为为锐角，所以．又因为，所以，因此．因为，所以，因此，．母题23【等差数列与等比数列的综合应用】【2018年江苏卷】设是首项为，公差为d的等差数列，是首项为，公比为q的等比数列．（1）设，若对均成立，求d的取值范围；（2）若，证明：存在，使得对均成立，并求的取值范围（用表示）．【答案】（1）d的取值范围为．（2）d的取值范围为，证明见解析.【解析】（1）由条件知：．因为对n=1，2，3，4均成立，即对n=1，2，3，4均成立，即11，1d3，32d5，73d9，得．因此，d的取值范围为．（2）由条件知：．若存在d，使得（n=2，3，···，m+1）成立，即，即当时，d满足．因为，则，从而，，对均成立．因此，取d=0时，对均成立．下面讨论数列的最大值和数列的最小值（）．①当时，，当时，有，从而．因此，当时，数列单调递增，故数列的最大值为．②设，当x >0时，，所以单调递减，从而<f （0）=1．当时，，因此，当时，数列单调递减，故数列的最小值为．因此，d 的取值范围为．【新定义数列】【2017江苏高考，理19】对于给定的正整数k ，若数列{}n a 满足：1111n k n k n n n k n k a a a a a a --+-++-++++++++2n ka =对任意正整数()n n k >总成立，则称数列{}n a 是“()P k 数列”．（1）证明：等差数列{}n a 是“(3)P 数列”；（2）若数列{}n a 既是“(2)P 数列”，又是“(3)P 数列”，证明：{}n a 是等差数列． 【解析】（1）因为{}n a 是等差数列，设其公差为d ，则1(1)n a a n d =+-， 从而，当4n ≥时，n k n k a a a -++=+11(1)(1)n k d a n k d --+++-122(1)2n a n d a =+-=，1,2,3,k =所以n n n n n n n a a a a a a a ---+++++=321123+++6， 因此等差数列{}n a 是“(3)P 数列”．n n n a a a ++++=-23141()n n a a -+，④将③④代入②，得n n n a a a -++=112，其中4n ≥， 所以345,,,a a a 是等差数列，设其公差为d'．在①中，取4n =，则235644a a a a a +++=，所以23a a d'=-， 在①中，取3n =，则124534a a a a a +++=，所以132a a d'=-， 所以数列{}n a 是等差数列．母题24【等比数列通项公式和数列求和】【2016年高考江苏卷】（本小题满分16分） 记{}1,2,100U =,.对数列{}()*n a n ∈N 和U 的子集T ，若T =∅，定义0T S =；若{}12,,k T t t t =,，定义12k T t t t S a a a =+++.例如：{}=1,3,66T 时，1366+T S a a a =+.现设{}()*n a n ∈N 是公比为3的等比数列，且当{}=2,4T 时，=30T S . （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）对任意正整数()1100k k ≤≤，若{}1,2,,T k ⊆，求证：1T k S a +<；（3）设,,C D C U D U S S ⊆⊆≥，求证：2C CDD S S S +≥.由（2）得22()2A B C CDD CDC CDD S S S S S S S S S ≥⇒-≥-⇒+≥.试题解析：（1）由已知得1*13,n n a a n -=⋅∈N .于是当{2,4}T =时，2411132730r S a a a a a =+=+=. 又30r S =，故13030a =，即11a =.所以数列{}n a 的通项公式为1*3,n n a n -=∈N .（2）因为{1,2,,}T k ⊆，1*30,n n a n -=>∈N ，所以1121133(31)32k k k r k S a a a -≤+++=+++=-<.因此，1r k S a +<.故21E F S S ≥+，所以2()1C C DD CDS S S S -≥-+，即21C CDD S S S +≥+.综合①②③得，2C C DD S S S +≥.母题25【立体几何与空间向量】【2018年江苏卷】如图，在正三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，AB =AA 1=2，点P ，Q 分别为A 1B 1，BC 的中点．（1）求异面直线BP 与AC 1所成角的余弦值； （2）求直线CC 1与平面AQC 1所成角的正弦值． 【答案】（1）（2）【解析】如图，在正三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，设AC ，A 1C 1的中点分别为O ，O 1，则OB ⊥OC ，OO 1⊥OC ，OO 1⊥OB ，以为基底，建立空间直角坐标系O −xyz ．因为AB =AA 1=2，所以．（1）因为P 为A 1B 1的中点，所以，从而，故．因此，异面直线BP 与AC 1所成角的余弦值为．（2）因为Q 为BC 的中点，所以，因此，．设n =（x ，y ，z ）为平面AQC 1的一个法向量，则即不妨取，设直线CC 1与平面AQC 1所成角为，则，所以直线CC 1与平面AQC 1所成角的正弦值为．母题26【应用题之函数】【2016江苏】现需要设计一个仓库，它由上下两部分组成，上部分的形状是正四棱锥1111P A B C D -，下部分的形状是正四棱柱1111ABCD A B C D -(如图所示)，并要求正四棱柱的高1OO 是正四棱锥的高1PO 的4倍.（1）若16m,2m,AB PO ==则仓库的容积是多少？（2）若正四棱锥的侧棱长为6m ，则当1PO 为多少时，仓库的容积最大？【答案】（1）312（2）123PO = 【解析】试题分析：（1）明确柱体与锥体积公式的区别，分别代入对应公式求解；（2）先根据体积关系建立函数解析式，()()32636063V V V h h h =+=-<<锥柱，然后利用导数求其最值. 试题解析：解：（1）由PO 1=2知OO 1=4PO 1=8. 因为A 1B 1=AB =6，所以正四棱锥P -A 1B 1C 1D 1的体积()22311111=6224m ;33V A B PO ⋅⋅=⨯⨯=锥 正四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1的体积()2231=68288m .V AB OO ⋅=⨯=柱 所以仓库的容积V =V 锥+V 柱=24+288=312（m 3）.(2)设A 1B 1=a (m)，PO 1=h (m)，则0<h <6，OO 1=4h .连结O 1B 1.因为在Rt △11PO B 中，2221111O B PO PB +=，所以222362a h +=（），即()22236.a h =- 于是仓库的容积()()22231132643606333V V V a h a h a h h h h =+=⋅+⋅==-<<柱锥， 从而()()2226'36326123V h h =-=-. 令'0V =，得23h = 或23h =-（舍）. 当023h <<时，0V'> ，V 是单调增函数； 当236h <<时，0V'<，V 是单调减函数.故23h=时，V取得极大值，也是最大值.因此，当123PO=m时，仓库的容积最大.母题27【直线和椭圆位置关系】【2018年江苏卷】如图，在平面直角坐标系中，椭圆C过点，焦点，圆O的直径为．（1）求椭圆C及圆O的方程；（2）设直线l与圆O相切于第一象限内的点P．①若直线l与椭圆C有且只有一个公共点，求点P的坐标；②直线l与椭圆C交于两点．若的面积为，求直线l的方程．【答案】（1）椭圆C的方程为；圆O的方程为（2）①点P的坐标为；②直线l的方程为【解析】（1）因为椭圆C的焦点为，可设椭圆C的方程为．又点在椭圆C上，所以，解得因此，椭圆C的方程为．因为圆O的直径为，所以其方程为．（2）①设直线l与圆O相切于，则，所以直线l的方程为，即．由，消去y，得．（*）因为直线l与椭圆C有且只有一个公共点，所以．因为，所以．因此，点P的坐标为．②因为三角形OAB的面积为，所以，从而．设，由（*）得，所以．因为，所以，即，解得舍去），则，因此P的坐标为．综上，直线l的方程为．母题28【导数的综合运用】【2018年江苏卷】记分别为函数的导函数．若存在，满足且，则称为函数与的一个“S点”．（1）证明：函数与不存在“S点”；（2）若函数与存在“S点”，求实数a的值；（3）已知函数，．对任意，判断是否存在，使函数与在区间内存在“S点”，并说明理由．【答案】（1）证明见解析（2）a的值为（3）对任意a>0，存在b>0，使函数f（x）与g（x）在区间（0，+∞）内存在“S点”．【解析】（1）函数f（x）=x，g（x）=x2+2x-2，则f′（x）=1，g′（x）=2x+2．由f（x）=g（x）且f′（x）= g′（x），得，此方程组无解，因此，f（x）与g（x）不存在“S”点．（2）函数，，则．设x0为f（x）与g（x）的“S”点，由f（x0）与g（x0）且f′（x0）与g′（x0），得，即，（*）得，即，则．当时，满足方程组（*），即为f（x）与g（x）的“S”点．因此，a的值为．（3）对任意a>0，设．因为，且h（x）的图象是不间断的，所以存在∈（0，1），使得，令，则b>0．函数，则．由f（x）与g（x）且f′（x）与g′（x），得，即（**）此时，满足方程组（**），即是函数f（x）与g（x）在区间（0，1）内的一个“S点”．因此，对任意a>0，存在b>0，使函数f（x）与g（x）在区间（0，+∞）内存在“S点”．母题29【应用问题、三角函数与导数】【2018年江苏卷】某农场有一块农田，如图所示，它的边界由圆O 的一段圆弧（P为此圆弧的中点）和线段MN构成．已知圆O的半径为40米，点P到MN的距离为50米．现规划在此农田上修建两个温室大棚，大棚Ⅰ内的地块形状为矩形ABCD，大棚Ⅱ内的地块形状为，要求均在线段上，均在圆弧上．设OC与MN所成的角为．（1）用分别表示矩形和的面积，并确定的取值范围；（2）若大棚Ⅰ内种植甲种蔬菜，大棚Ⅱ内种植乙种蔬菜，且甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为．求当为何值时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大．【答案】（1）矩形ABCD的面积为800（4sinθcosθ+cosθ）平方米，△CDP的面积为1600（cosθ–sinθcosθ），sinθ的取值范围是[，1）．（2）当θ=时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大【解析】解：（1）连结PO并延长交MN于H，则PH⊥MN，所以OH=10．过O作OE⊥BC于E，则OE∥MN，所以∠COE=θ，故OE=40cosθ，EC=40sinθ，则矩形ABCD的面积为2×40cosθ（40sinθ+10）=800（4sinθcosθ+cosθ），△CDP的面积为×2×40cosθ（40–40sinθ）=1600（cosθ–sinθcosθ）．过N作GN⊥MN，分别交圆弧和OE的延长线于G和K，则GK=KN=10．令∠GOK=θ0，则sinθ0=，θ0∈（0，）．当θ∈[θ0，）时，才能作出满足条件的矩形ABCD，所以sinθ的取值范围是[，1）．答：矩形ABCD的面积为800（4sinθcosθ+cosθ）平方米，△CDP的面积为1600（cosθ–sinθcosθ），sinθ的取值范围是[，1）．（2）因为甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为4∶3，设甲的单位面积的年产值为4k，乙的单位面积的年产值为3k（k>0），则年总产值为4k×800（4sinθcosθ+cosθ）+3k×1600（cosθ–sinθcosθ）=8000k（sinθcosθ+cosθ），θ∈[θ0，）．设f（θ）= sinθcosθ+cosθ，θ∈[θ0，），则．令，得θ=，当θ∈（θ0，）时，，所以f（θ）为增函数；当θ∈（，）时，，所以f（θ）为减函数，因此，当θ=时，f（θ）取到最大值．答：当θ=时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大．母题30【圆锥曲线中的定值】【2012江苏，理19】如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆22221 x ya b+=(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1(－c,0)，F2(c,0)．已知点(1，e)和(e，32)都在椭圆上，其中e为椭圆的离心率．(1)求椭圆的方程；(2)设A，B是椭圆上位于x轴上方的两点，且直线AF1与直线BF2平行，AF2与BF1交于点P.①若AF1－BF2＝62，求直线AF1的斜率；②求证：PF1＋PF2是定值．＝22221122(1)1 ()2m m mmy ym++++=+.同理，22222(1)12m m mBFm+-+=+.①由以上两式可得AF1－BF2＝22212m mm++，解2221622m mm+=+得m2＝2，注意到m＞0，故2m=.所以直线AF1的斜率为122m=.所以PF 1＋PF 2＝23222=22 .因此，PF 1＋PF 2是定值.学科&网。
专题17 数列综合-2020年高考数学(理)母题题源解密(解析版)
第四步：查看关键点、易错点及解题规范，例如错位相减去的计算量较大，注意检验．
【知识总结】
1．等差数列的常用性质
（1）通项公式的推广：an=am+（n–m）d（n，m∈N*）．
（2）若{an}是等差数列，且k+l=m+n（k，l，m，n∈N*），则ak+al=am+an；反之，不一定成立．
（3）若{an}是等差数列，公差为d，则{a2n}也是等差数列，公差为2d．
（4）若{an}，{bn}是等差数列，则{pan+qbn}（p，q∈N*）也是等差数列．
（5）若{an}是等差数列，则ak，ak+m，ak+2m，…（k，m∈N*）组成公差为md的等差数列．
2．与等差数列各项的和有关的性质
（1）若Sm=n，Sn=m，则Sm+n=–（m+n）；若Sm=Sn，则Sm+n=0．
专题17 数列综合
【母题原题1】【2020年高考全国Ⅲ卷，理数】设数列{an}满足a1=3， ．
（1）计算a2，a3，猜想{an}的通项公式并加以证明；
（2）求数列{2nan}的前n项和Sn．
【答案】（1） ， ， ，证明见解析；（2） .
【解析】
【分析】
（1）利用递推公式得出 ，猜想得出 的通项公式，利用数学归纳法证明即可；
（2）若{an}是等差数列，则{ }也成等差数列，其首项与{an}首项相同，公差是{an}公差的 ．
（3）若{an}是等差数列，Sm，S2m，S3m分别为{an}的前m项，前2m项，前3m项的和，则Sm，S2m–Sm，S3m–S2m成等差数列．
（4）关于等差数列奇数项和与偶数项和的性质
高考解答题母题(理科数学)
2013年高考解答题母题（理科）1.（三角函数母题）已知函数．（1）求函数的最小值和最小正周期；（2）设的内角的对边分别为且，，若，求的值．解析：（1），则的最小值是，最小正周期是；（2），则，，，，，由正弦定理，得，由余弦定理，得，即，由解得．点评：高考三角类解答题无非就是两种，（1）三角函数题——考查三角函数的性质或图像；（2）是解三角形，有点省份也会考解三角形的应用题。
2．（概率母题）形状如图所示的三个游戏盘中（图（1）是正方形，M、N分别是所在边中点，图（2）是半径分别为2和4的两个同心圆，O为圆心，图（3）是正六边形,点P为其中心）各有一个玻璃小球，依次摇动三个游戏盘后，将它们水平放置，就完成了一局游戏．（I）一局游戏后，这三个盘中的小球都停在阴影部分的概率是多少？（II）用随机变量表示一局游戏后，小球停在阴影部分的事件数与小球没有停在阴影部分的事件数之差的绝对值，求随机变量的分布列及数学期望．解析：（I ）“一局游戏后，这三个盘中的小球都停在阴影部分”分别记为事件A 1、A 2、A 3，由题意知，A 1、A 2、A 3互相独立，且P (A 1)，P (A 2)，P (A 3)，P (A 1 A 2 A 3)= P (A 1) P (A 2) P (A 3)××（II ）一局游戏后，这三个盘中的小球都停在阴影部分的事件数可能是0，1，2，3，相应的小球没有停在阴影部分的事件数可能取值为3，2，1，0，所以ξ可能的取值为1，3，则P (ξ=3)= P (A 1 A 2 A 3)+ P ()=P (A 1) P (A 2) P (A 3)+ P ()P ()P ()××+ ××， P (ξ=1)=1－=．所以分布列为数学期望E ξ=1×+3×=．点评：概率题主要考察茎叶图、抽样方法、直方图、统计案例、概率、随机变量的分布列以及数学期望等基础知识，试题多考查运用概率统计知识解决简单实际问题的能 力，数据处理能力和应用意识。
高考数学母题题源系列专题07三角函数图像与应用理
考点：三角函数性质
10．【江苏省启东中学高三上学期期中模拟数学试卷】将函数 （ ）的图象，向左平移 个单位，得到 函数的图象，若 在 上为增函数，则 的最大值为_____ _____．
【答案】
考点：三角函数图像及性质
【母题原题4】【2016江苏，理14】在锐角三角形ABC中，若sinA=2sinBsinC，则tanAtanBtanC的最小值是▲.
【答案】8
【考点】三角恒等变换，切的性质应用
【名师点睛】消元与降次是高中数学中的主旋律，利用三 角形中隐含的边角关系作为消元依据是本题突破口，斜三角形 中恒有 ，这类同于正、余弦定理，是一个关于切的等量关系，平时应多总结积累常见的三角恒等变形，提高转化问题能力，培养消元意识．此类问题的求解有两种思路：一是边化角，二是角化边．
7.求解三角函数对称性的方法：
（1）求函数 的对称中心、对称轴问题往往转化为解方程问题：①由 的对称中心是 ， ，所以 的中心，由方程 解出 即可；②因为 的对称轴是 ， ，所以可由 解出 ，即为函数 的对称轴；注意 的对称中心为 ；
（2） 对于函数 ，其对称轴一定经过图象的最高点或最低点，对称中心一定是函 数的零点，因此在判 断直线 或点 是否是函数的对称轴或对称中心时，可通过检验 的值进行判断．
【命题规律】1.高考对三角函数的图象与性质的考查往往集中于正弦函数、余弦函数、正切函数的图象与性质；函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及性质，主要考查三角函数图象的识别及其简单的性质(周期、单调性、奇偶性、最值、对称性、图象平移及变换等)．
2.高考中主要涉及如下题型：(1)考查周期、单调性、极 值等简单性质；(2)考查与三角函数有关的零点问题；(3)考查图象的识别．
【考点】两角和正切公式
中国高考数学母题1000
中国高考数学母题1000引言中国高考是全国范围内举行的一种选拔性考试，对于参加高考的学生来说，数学是其中一门重要的科目。
为了帮助学生更好地备考，提高数学水平，我们整理了一份中国高考数学母题1000，供学生们参考和练习。
本文将介绍该母题的组成和内容。
母题的设计1. 题量和难度分布中国高考数学母题1000共计1000道题目，涵盖了高中数学的各个知识点。
这些题目包括选择题、填空题、计算题和证明题，从易到难，难度分布均匀。
•选择题：大约占总题量的60%，涵盖了数学的基础知识和计算能力。
•填空题：占总题量的20%，注重学生对数学概念的理解和应用。
•计算题：占总题量的10%，考察学生的计算能力和解决实际问题的能力。
•证明题：占总题量的10%，考核学生的逻辑思维和推理能力。
2. 知识点覆盖中国高考数学母题1000涵盖了高中数学的各个知识点，包括但不限于：•函数与方程•立体几何•三角函数与三角恒等变换•数列与数学归纳法•概率与统计•导数与微分•积分与微积分应用这些知识点是高中数学的核心内容，也是高考数学的考点。
3. 解题思路和答案解析每道题目都附有详细的解题思路和答案解析，以帮助学生进行自我评估和巩固知识点。
解题思路详细清晰，包括步骤和推导过程，有助于学生理解解题思路和方法。
答案解析中也会给出解题过程和注意事项，引导学生掌握解题技巧和方法。
如何使用母题1. 系统性地练习学生可以按照母题的顺序，系统性地进行练习，逐个解答每道题目，并查看答案解析，理解解题思路和方法。
通过练习，学生可以巩固知识点，提高解题能力和答题速度。
2. 针对性地练习学生也可以根据自己的实际情况，选择某个知识点或题型进行练习。
比如，对于数列与数学归纳法这个知识点，学生可以选择相关的题目进行练习，加深对该知识点的理解和掌握。
3. 模拟考试学生可以将母题当作一套模拟考试，按照规定的时间限制，尽量在模拟考试的环境下完成所有题目。
模拟考试能够帮助学生熟悉考试的节奏和压力，提高答题速度和应对临场的能力。
专题20 圆锥曲线综合-2020年高考数学(理)母题题源解密(全国Ⅰ专版)(解析版)
专题20 圆锥曲线综合【母题来源一】【2020年高考全国Ⅰ卷理数】已知A 、B 分别为椭圆E ：2221x y a+=（a >1）的左、右顶点，G 为E 的上顶点，8AG GB ⋅=，P 为直线x =6上的动点，P A 与E 的另一交点为C ，PB 与E 的另一交点为D ． （1）求E 的方程； （2）证明：直线CD 过定点.【解析】（1）由题设得A （–a ，0），B （a ，0），G （0，1）. 则(,1)AG a =，GB =（a ，–1）.由AG GB ⋅=8得a 2–1=8，即a =3.所以E 的方程为29x +y 2=1．（2）设C （x 1，y 1），D （x 2，y 2），P （6，t ）.若t ≠0，设直线CD 的方程为x =my +n ，由题意可知–3<n <3. 由于直线P A 的方程为y =9t （x +3），所以y 1=9t （x 1+3）.直线PB 的方程为y =3t （x –3），所以y 2=3t（x 2–3）.可得3y 1（x 2–3）=y 2（x 1+3）.由于222219x y +=，故2222(3)(3)9x x y +-=-，可得121227(3)(3)y y x x =-++， 即221212(27)(3)()(3)0.m y y m n y y n ++++++=①将x my n =+代入2219xy +=得222(9)290.m y mny n +++-=所以12229mn y y m +=-+，212299n y y m -=+．代入①式得2222(27)(9)2(3)(3)(9)0.m n m n mn n m +--++++= 解得n =–3（含去），n =32.故直线CD 的方程为3=2x my +，即直线CD 过定点（32，0）． 若t =0，则直线CD 的方程为y =0，过点（32，0）.综上，直线CD 过定点（32，0）.【点睛】本题主要考查了椭圆的简单性质及方程思想，还考查了计算能力及转化思想、推理论证能力，属于难题.【母题来源二】【2019年高考全国Ⅰ卷理数】已知抛物线C ：y 2=3x 的焦点为F ，斜率为的直线l 与C 的交点为A ，B ，与x 轴的交点为P ． （1）若|AF |+|BF |=4，求l 的方程； （2）若，求|AB |． 【答案】（1）3728y x =-；（2【解析】设直线()()11223:,,,,2l y x t A x y B x y =+． （1）由题设得3,04F ⎛⎫⎪⎝⎭，故123||||2AF BF x x +=++，由题设可得1252x x +=．由2323y x t y x⎧=+⎪⎨⎪=⎩，可得22912(1)40x t x t +-+=，则1212(1)9t x x -+=-．从而12(1)592t --=，得78t =-． 所以l 的方程为3728y x =-． （2）由3AP PB =可得123y y =-．由2323y x t y x⎧=+⎪⎨⎪=⎩，可得2220y y t -+=． 所以122y y +=．从而2232y y -+=，故211,3y y =-=． 代入C 的方程得1213,3x x ==． 323AP PB =故||3AB =． 【名师点睛】本题考查抛物线的几何性质、直线与抛物线的综合应用问题，涉及平面向量、弦长的求解方法，解题关键是能够通过直线与抛物线方程的联立，利用根与系数的关系构造等量关系.【母题来源三】【2018年高考全国Ⅰ卷理数】设椭圆22:12x C y +=的右焦点为F ，过F 的直线l 与C 交于,A B 两点，点M 的坐标为(2,0)．（1）当l 与x 轴垂直时，求直线AM 的方程； （2）设O 为坐标原点，证明：OMA OMB ∠=∠．【答案】（1）y x =y x =-（2）见解析. 【解析】（1）由已知得(1,0)F ，l 的方程为x =1．由已知可得，点A 的坐标为或(1,，所以AM 的方程为2y x =-+y x =． （2）当l 与x 轴重合时，0OMA OMB ∠=∠=︒．当l 与x 轴垂直时，OM 为AB 的垂直平分线，所以OMA OMB ∠=∠．当l 与x 轴不重合也不垂直时，设l 的方程为(1)(0)y k x k =-≠，1221(,),(,)A y x y x B ，则12x x <<MA ，MB 的斜率之和为212122MA MB x x y yk k +=+--． 由1122,y k k x y k x k =-=-得121212(23()42)(2)MA MB x x x x k k x x kk k -+++=--．将(1)y k x =-代入2212x y +=得2222(21)4220k x k x k +-+-=．所以21221222422,2121x x x k k k x k -+==++， 则3131322244128423()4021k k k k kk k k k x x x x --++-++==+．从而0MA MB k k +=，故MA ，MB 的倾斜角互补，所以OMA OMB ∠=∠． 综上，OMA OMB ∠=∠．【命题意图】（1）了解椭圆或抛物线的实际背景，了解椭圆或抛物线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用. （2）掌握椭圆或抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单性质. （3）了解圆锥曲线的简单应用. （4）理解数形结合的思想. 【命题规律】解析几何的解答题一般难度较大，多为试卷的压轴题之一，常考查直线与圆锥曲线的位置关系及最值范围、定点、定值、存在性问题及证明问题，多涉及最值求法，综合性强.从近三年高考情况来看，多考查直线与椭圆或抛物线的位置关系，常与向量、圆等知识相结合，解题时，充分利用数形结合思想，转化与化归思想．同时注重数学思想在解题中的指导作用，以及注重对运算能力的培养. 【方法总结】（一）求椭圆的方程有两种方法:（1）定义法.根据椭圆的定义，确定a 2，b 2的值，结合焦点位置可写出椭圆方程. （2）待定系数法.这种方法是求椭圆的方程的常用方法，其一般步骤是：第一步，做判断.根据条件判断椭圆的焦点在x 轴上，还是在y 轴上，还是两个坐标轴都有可能（这时需要分类讨论）.第二步，设方程.根据上述判断设方程为22221(0)x y a b a b +=>>或22221(0)y x a b a b+=>>.第三步，找关系.根据已知条件，建立关于,,a b c 的方程组（注意椭圆中固有的等式关系222c a b =－）. 第四步，得椭圆方程.解方程组，将解代入所设方程，即为所求.【注意】用待定系数法求椭圆的方程时，要“先定型，再定量”，不能确定焦点的位置时，可进行分类讨论或把椭圆的方程设为22100()mx ny m n m n >>+≠＝，且. （二）用待定系数法求抛物线标准方程的步骤：若无法确定抛物线的位置，则需分类讨论.特别地，已知抛物线上一点的坐标，一般有两种标准方程. （三）直线与圆锥曲线的弦长问题有三种解法：（1）过圆锥曲线的焦点的弦长问题，利用圆锥曲线的定义可优化解题．（2）将直线的方程与圆锥曲线的方程联立，求出两交点的坐标，再运用两点间距离公式求弦长． （3）它体现了解析几何中的设而不求的思想，其实质是利用两点之间的距离公式以及一元二次方程根与系数的关系.（四）圆锥曲线中的定点、定值问题定点、定值问题多以直线与圆锥曲线为背景，常与函数与方程、向量等知识交汇，形成了过定点、定值等问题的证明.解决此类问题的关键是引进参变量表示所求问题，根据等式的恒成立、数式变换等寻找不受参数影响的量.可以先研究一下特殊情况，找出定点或定值，再视具体情况进行研究.同时，也要掌握巧妙利用特殊值解决相关的定点、定值问题，如将过焦点的弦特殊化，变成垂直于对称轴的弦来研究等.1．（西藏日喀则市2020届高三上学期学业水评测试（模拟）数学试题）已知椭圆C :22221(0)x y a b a b+=>>经过点⎫⎪⎪⎝⎭（1）求椭圆C 的方程；（2）过点()2,0M 的直线l 交椭圆于A ，B 两点，F 为椭圆C 的左焦点，若5FA FB ⋅=，求直线l 的方程.【答案】（1）22132x y +=；（2）20x y --=或20x y +-=.【解析】 【分析】（1）由,b a ===，可得2221132c c⎝⎭+=，将点,12⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭代入，利用待定系数法即可求解.（2）设直线l 的方程为2x my =+，设点()11,A x y 、()22,B x y ，将直线与椭圆方程联立，消x ，利用韦达定理可得122823m y y m -+=+，122223y y m =+，再利用向量数量积的坐标运算即可求解. 【详解】（1）设椭圆C 的焦距为()20c c >，则3c a =，∴a =，b =，所以，椭圆C 的方程为2222132x y c c +=，将点,12⎛⎫ ⎪⎪⎝⎭的坐标代入椭圆C的方程得2221132c c⎝⎭+=， 解得1c =，则b ==a ==因此，椭圆C 的方程为22132x y +=.（2）若直线l 斜率为0，则,A B 为长轴的两交点， 此时0FA FB ⋅<不合题意，设直线l 的方程为2x my =+，设点()11,A x y 、()22,B x y ，将直线l 的方程代入椭圆的方程， 并化简得()2223820m y my +++=，()()22264422324210m m m ∆=-⨯⨯+=->，解得m <或m >， 由韦达定理可得122823m y y m -+=+，122223y y m =+， ()()11111,3,FA x y my y =+=+，同理可得()223,FB m y y =+，所以()()()()21212121233139FA FB my my y y m y y m y y ⋅=+++=++++()22222124952323m m m m +=-+=++， 即22429523m m -+=+，解得：1m =±，符合题意， 因此，直线l 的方程为20x y --=或20x y +-=. 【点睛】本题考查了待定系数法求椭圆方程、直线与椭圆的位置关系，此题要求有较高的计算能力，属于中档题.2．（重庆市巴蜀中学2020届高三下学期适应性月考九数学试题）已知椭圆1C ：22163x y +=的长轴为AB ，动点P 是椭圆上不同于A ，B 的任一点，点Q 满足AP AQ ⊥，BP BQ ⊥. （1）求点Q 的轨迹2C 的方程；（2）过点()0,6R 的动直线l 交2C 于M ，N 两点，y 轴上是否存在定点S ，使得RSM RSN π∠+∠=总成立？若存在，求出定点S ；若不存在，请说明理由.【答案】（1）221126y x +=（0y ≠）；（2）存在，()0,2S .【解析】 【分析】（1）设()00,P x y （00y ≠），(),Q x y ， ()A ，)B，根据AP AQ ⊥，BP BQ ⊥，由0AP AQ ⋅=，0BP BQ ⋅=，利用代入求解.（2）设()11,M x y ，()22,N x y ，假设存在这样的点()0,S t ,当直线l 的斜率存在时，设方程为6y kx =+与椭圆方程联立， 根据RSM RSN π∠+∠=，由0MS NS k k +=，结合韦达定理求解. 【详解】（1）设()00,P x y （00y ≠），(),Q x y ，()A，)B，AP AQ ⊥，BP BQ ⊥，0AP AQ ∴⋅=，0BP BQ ⋅=，((000000x x y y x x y y ⎧+=⎪∴⎨-+=⎪⎩解得002x x y y =-⎧⎪⎨=-⎪⎩代入2200163x y +=，得点Q 的轨迹2C 的方程为221126y x +=（0y ≠）.（2）设()11,M x y ，()22,N x y ，假设存在这样的点()0,S t 满足RSM RSN π∠+∠=，当直线l 的斜率存在时，设为6y kx =+，代入椭圆221126y x+=中，得()22212240k x kx +++=，122122k x x k -∴+=+，122242x x k ⋅=+， ()()2221449624840k k k ∆=-+=->， RSM RSN π∠+∠=，0MS NS k k ∴+=，即12120y t y tx x --+=， 即()()2112x y t x y t -+-,()()211266x kx t x kx t =+-++-,()()()()1212222241212262620222k kkx x t x x kt t k k k -=+-+=+-=-=+++， 0k ≠，2t ∴=，即()0,2S ；当斜率不存在时，直线l 也过()0,2.综上，y 轴上存在定点()0,2S ，使得RSM RSN π∠+∠=总成立. 【点睛】本题主要考查椭圆方程的求法，直线与椭圆的位置关系以及定点问题，还考查了运算求解的能力，属于中档题.3．（四川省绵阳市江油中学2020-2021学年高三8月第二次考试文科数学试题）已知A （0，2），B （0，﹣2），动点P （x ，y ）满足PA ，PB 的斜率之积为12-． （1）求动点P 的轨迹C 的方程；（2）已知直线l ：y ＝kx +m ，C 的右焦点为F ，直线l 与C 交于M ，N 两点，若F 是△AMN 的垂心，求直线l 的方程．【答案】（1）2284x y +=1（x ≠0）；（2）y ＝x 83-．【解析】 【分析】（1）根据动点P （x ，y ）满足PA ，PB 的斜率之积为12-，可得P 的坐标之间的关系，且横坐标不为0，求出P 的轨迹方程；（2）由（1）可得右焦点F 的坐标，联立直线与椭圆的方程可得两根之和及两根之积，由F 是△AMN 的垂心可得AF ⊥MN ，NF ⊥AM ，可得m 的值． 【详解】（1）因为动点P （x ，y ）满足PA ，PB 的斜率之积为12-， 所以2212y y x x -+⋅=-（x ≠0）， 整理可得2284x y +=1，所以动点P 的轨迹C 的方程：2284x y +=1（x ≠0）；（2）由（1）可得右焦点F （2，0），可得k AF 2002-==--1， 因为F 为垂心，所以直线MN 的斜率为1， 设M （x 1，y 1），N （x 2，y 2），联立直线l 与椭圆的方程：2228y x mx y =+⎧⎨+=⎩，整理得：3x 2+4mx +2m 2﹣8＝0， △＝16m 2﹣4×3×（2m 2﹣8）＞0，即m 2＜12，x 1+x 243m =-，x 1x 22283m -=，因为AM ⊥NF ， 所以k AM ⋅k NF ＝﹣1，即121222y y x x -⋅=--1， 整理可得y 2（y 1﹣2）+x 1（x 2﹣2）＝0， 即y 1y 2+x 1x 2﹣2x 1﹣2y 2＝0， 即y 1y 2+x 1x 2﹣2x 1﹣2（x 2+m ）＝0， 整理可得y 1y 2+x 1x 2﹣2（x 1+x 2）﹣2m ＝0，而y 1y 2＝（x 1+m ）（x 2+m ）＝x 1x 2+m （x 1+x 2）+m 2283m -= 所以283m --243m -⋅-2m 2283m -+=0， 解得m 83=-或m ＝2（舍）， 所以直线l 的方程为：y ＝x 83-．【点睛】本题主要考查轨迹方程的求法，直线与椭圆的位置关系以及垂心的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.4．（2020届河北省衡水中学高三卫冕联考数学试题）如图所示椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右顶点分别为1A ，2A ，上、下顶点分别为1B ，2B ，右焦点为F ，13A F =，离心率12e =.（1）求椭圆C 的方程；（2）过点(0,1)E 作斜率为的直线l 与椭圆C 交于点M ，N （点N 在第一象限），直线1MB 与直线2NB 交于点T ，求点T 的坐标.【答案】（1）22143x y +=；（2）10,3).【解析】 【分析】（1）根据13A F =及12e =可求,a b 的值，从而可得椭圆的方程. （2）联立直线方程和椭圆方程可求,M N 的坐标，再求得直线12,MB NB 的方程后可得点T 的坐标. 【详解】解：（1）由13A F =及12e =， 可知32112a c a c c a +=⎧=⎧⎪⇒⎨⎨==⎩⎪⎩，所以2223b a c =-=，所以椭圆C 的方程为22143x y +=.（2）依题可设过点(0,1)E 且斜率为52的直线5:12l y x =+，()11,M x y ，()22,N x y ， 联立方程组2221437520512x y x x y x ⎧+=⎪⎪⇒+-=⎨⎪=+⎪⎩， 解得11x =-，227x =，则132y =-，2127y =， 所以31,2M ⎛⎫--⎪⎝⎭，212,77N ⎛⎫⎪⎝⎭， 由（1）知，1B，2(0,B .所以直线13:2MB y x ⎫=+⎪⎭，①直线2:62NB y x ⎛=+- ⎝⎭，②由①②，解得103x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩，所以点T的坐标为10,3). 【点睛】本题考查椭圆方程的求法、直线与椭圆的相交时交点坐标的求法、直线与直线的交点的求法，后两者均需联立曲线的方程，消元后求解即可，本题属于中档题.5．（广西钦州市第一中学2021届高三8月月考数学试题）已知椭圆22:24C x y +=． （1）求椭圆C 的离心率；（2）设O 为原点，若点A 在直线2y =上，点B 在椭圆C 上，且OA OB ⊥，求线段AB 长度的最小值．【答案】（1）2c e a ==（2）【解析】试题分析：（1）由椭圆C 的方程可以求椭圆C 的离心率（2）设椭圆C 的椭圆方程，结合OA OB ⊥，得出结果.（1）由题意，椭圆C 的标准方程为22142x y +=，所以224,2a b ==，从而2222c a b =-=，因此2,a c ==C的离心率2c e a ==. （2）设点A ，B 的坐标分别为00(,2),(,)t x y ，其中00x ≠， 因为OA OB ⊥，所以0OA OB ⋅=，即0020tx y +=，解得02y t x =-，又220024x y +=， 所以22200||()(2)AB x t y =-+-=2200002()(2)y x y x ++-=2220002044y x y x +++ =2220002042(4)42x x x x --+++=22002084(04)2x x x ++<≤， 因为22002084(04)2x x x +≥<≤，且当204x =时间等号成立，所以2||8AB ≥， 故线段AB长度的最小值为考点：本小题主要考查椭圆的标准方程与几何性质、两点距离公式、不等式等基础知识，试题注重了知识的结合，考查了平面向量与圆锥曲线的结合、不等式与函数的结合等，有一定的综合性，考查转化与化归等数学思想，考查正确的计算能力，考查同学们分析问题与解决问题的能力.6．（山东省泰安市2020届高三第四轮模拟复习质量数学试题）已知椭圆1C ：()222210x y a b a b +=>>的左、右顶点分别是双曲线2C ：2221x y m -=的左、右焦点，且1C 与2C相交于点⎝⎭. （1）求椭圆1C 的标准方程； （2）设直线l ：13y kx =-与椭圆1C 交于A ，B 两点，以线段AB 为直径的圆是否恒过定点？若恒过定点，求出该定点；若不恒过定点，请说明理由.【答案】（1）2212x y +=；（2）过定点，()0,1.【解析】 【分析】（1）将两个曲线的交点当然双曲线的方程可得m 的值，进而求出双曲线的左右焦点，即椭圆的左右顶点，再将交点的坐标代入椭圆的方程可得b 的值，进而求出椭圆的方程；（2）由对称性可得圆的圆心在y 轴上，设M 的坐标，设A ，B 的坐标，将直线与椭圆联立，求出两根之和及两根之积，求出数量积0MA MB ⋅=，求出M 的坐标． 【详解】（1）将⎝⎭代入2221x y m -=，解得21m = ∴2212a m =+=将⎝⎭代入22212x y b += 解得21b =∴椭圆1C 的标准方程为2212x y +=.（2）设()11,A x y ，()22,B x y ，由221312y kx x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩整理得()2291812160k x kx +--=， ∴12212918k x x k +=+，12216918x x k-=+ ()22144649180k k ∆=++>.由对称性可知，以AB 为直径的圆若恒过定点，则定点必在y 轴上. 设定点为()00,M y ，则()110,MA x y y =-，()220,MB y y y =-()()121020MA MB x x y y y y ⋅=+--()212120120x x y y y y y y =+-++()()22121212012021339k x x k x x x x y k x x y ⎡⎤=+-+-+-++⎢⎥⎣⎦()()2212012001211339k x x k y x x y y ⎛⎫=+-+++++ ⎪⎝⎭()22200021819615918y k y y k-++-=+0=∴202001096150y y y ⎧-=⎨+-=⎩解得01y = ∴()0,1M∴以线段AB 为直径的圆恒过定点()0,1. 【点睛】本题考查求椭圆，双曲线的方程，及直线与圆锥曲线的综合，及以线段的端点为直径的圆的性质，属于难题.7．（四川省内江市2020届高三下学期第三次模拟考试数学试题）已知椭圆()2222:10y x C a b a b+=>>的离，且椭圆上一点到两个焦点的距离之和为（1）求椭圆C 的方程；（2）斜率为k 的动直线l 与椭圆C 交于A 、B 两点，点1,03S ⎛⎫- ⎪⎝⎭在直线l 上，求证无论直线l 如何转动，以AB 为直径的圆恒过点()1,0T .【答案】（1）2212y x +=；（2）证明见解析.【解析】 【分析】（1）根据椭圆的离心率，以及椭圆的定义及性质，列出方程组求解，即可得出a =1c =，1b =，进而可求出椭圆方程；（2）由题意可得，直线l 的方程为13y k x ⎛⎫=+⎪⎝⎭，设()11,A x y ，()12,B x y ，将直线l 的方程代入椭圆方程，根据韦达定理，计算0TA TB ⋅=，即可证明结论成立.（1）因为椭圆的离心率为2，则2c e a ==；又椭圆上一点到两个焦点的距离之和为2a =，由22222c a a b a c ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪=-⎪⎪⎩，解得a =1c =，1b =， 故所求椭圆方程为2212y x +=；（2）证：由题意可得，直线l 的方程为13y k x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭， 设()11,A x y ，()12,B x y ，则代入椭圆方程2212y x +=，整理得：()22222182039k k k x x -+++=.∵点S 在椭圆内，∴此方程必有二实根1x ，2x ，且()2122232k x x k +=-+，()21221892k x x k -⋅=+. 于是，()()11221,1,TA TB x y x y ⋅=--()()1212111133x x k x k x ⎛⎫⎛⎫=--++⋅+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()()()22212121113939k x x k x x k =++-+++ ()()()()()()222222211182392092k k k k k k k ⎡⎤=+---+++=⎣⎦+可知TA TB ⊥，即以AB 直径的圆过点T .本题主要考查待定系数法求椭圆的方程，考查椭圆中存在定点满足某条件的问题，熟记椭圆的标准方程及椭圆的简单性质即可，属于常考题型.8．（湖南省长沙市雅礼中学2020届高三高考数学模拟试题（一）（a 卷））在平面直角标系xOy 中，点P ⎛ ⎝⎭在椭圆()2222:10x y M a b a b +=>>（1）求椭圆M 的标准方程；（2）过椭圆M 的右顶点A 作椭圆M 的两条弦AB 、AC ，记直线AB 、AC ，BC 的斜率分别为1k 、2k 、k ，其中1k 、2k 的值可以变化，当1k =，求1212k k k k --的所有可能的值.【答案】（1）2214x y +=；（2）14.【解析】 【分析】（1）由题意可得221314a b+=，c e a ==，求出,a b ，即得椭圆M 的标准方程；（2）点()2,0A .设()11,B x y ，()22,C x y ，直线BC 的方程为()2y x m m =+≠-.把，直线BC 的方程代入椭圆M 的方程，结合韦达定理，即求答案. 【详解】（1）根据题意221314a b+=，离心率c e a ==2a =，1b =，所以椭圆M 的标准方程为：2214x y +=.（2）点()2,0A .设()11,B x y ，()22,C x y ，直线BC 的方程为()2y x m m =+≠-.由2214y x m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，可得()2258410x mx m ++-=. ① 1x ，2x 是方程①的两个根，()22264454116800,m m m m ∴∆=-⨯⨯-=-+><<2m ≠-.1285m x x ∴+=-，()212415m x x -=. ()()()()212121212121212211111112224m x m x m k k k k k k x x x x x x +⎛⎫⎛⎫++∴--=---=---=- ⎪⎪---++⎝⎭⎝⎭()()()()222222511114444116444555m m m mm m ++=-=-=-=-++++.故1212k k k k --的所有可能的值为14. 【点睛】本题考查椭圆的标准方程，考查与椭圆有关的定值问题，属于较难的题目.9．（四川省内江六中2020届高三高考数学强化训练试题（三））设椭圆:C 22221x y a b+=（0a b >>）的左右顶点为12A A ，，上下顶点为12B B ，，菱形1122A B A B 的内切圆C '，椭圆的离心率为2. （1）求椭圆C 的方程；（2）设M N ，是椭圆上关于原点对称的两点，椭圆上一点P 满足PM PN =，试判断直线PM PN ，与圆C '的位置关系，并证明你的结论.【答案】（1）22163x y += （2）直线PM 、PN 与圆C '相切，证明见解析 【解析】 【分析】（1）由离心率得a =，用两种方法表示出菱形1122A B A B 的面积可求得,b a ，得椭圆方程；（2）设()11M x y ，，()22P x y ，.当直线PM 的斜率存在时，设直线PM 的方程为y kx m =+，代入椭圆方程，用韦达定理得1212,x x x x +，利用OP OM ⊥，即12120x x y y +=得,k m 的关系，求出圆心C '到直线PM 的距离可得直线与圆的位置关系．直线PM 的斜率不存在时，直接计算可得，由对称性PN 的结论也可得．【详解】（1）设椭圆的半焦距为c .由椭圆的离心率为2知，b c a =，. 设圆C '的半径为r，则r ab =，2，解得b =a =∴椭圆C 的方程为22163x y += （2）∵M N ，关于原点对称，PM PN =，∴OP MN ⊥. 设()11M x y ，，()22P x y ，.当直线PM 的斜率存在时，设直线PM 的方程为y kx m =+.由直线和椭圆方程联立得()2226x kx m ++=，即()222124260k x kmx m +++-=，∴12221224212621km x x k m x x k ⎧+=-⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩. ∵()11OM x y =，，()22OP x y =，，∴()()12121212OM OP x x y y x x kx m kx m ⋅=+=+++()()()22222121222264112121m km k x x km x x m k km m k k --=++++=+⋅+⋅+++()222322021m k k --==+， ∴22220m k --=，2222m k =+， ∴圆C '的圆心O 到直线PMr ==，∴直线PM 与圆C '相切.当直线PM 的斜率不存在时，依题意得()11,N x y --，()11,P x y -. 由PM PN=得1122x y =，∴2211x y =，结合2211163x y +=得212x =， ∴直线PM 到原点O， ∴直线PM 与圆C '也相切. 同理可得，直线PN 与圆C '也相切.∴直线PM 、PN 与圆C '相切【点睛】本题考查求椭圆的标准方程，考查直线与椭圆相交问题，考查直线与圆的位置关系．直线与椭圆相交，一般采取设而不求思想，即设交点坐标1122(,),(,)x y x y ，设直线方程y kx m =+，由直线方程与椭圆方程联立，消元后用韦达定理得1212,x x x x +，把这个结论代入其他条件求解． 10．（甘肃省天水市一中2020届高三一轮复习第一次模拟考试数学试题）已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>（1）求C 的方程； （2）若斜率为12-的直线l 与椭圆C 交于P ，Q 两点（点P ，Q 均在第一象限），O 为坐标原点，证明：直线OP ，PQ ，OQ 的斜率依次成等比数列．【答案】(1) 2214x y +=.(2)见解析.【解析】 【分析】（1）根据题中条件，得到2c ac ⎧=⎪⎨⎪=⎩，再由222b a c =-，求解，即可得出结果； （2）先设直线l 的方程为12y x m =-+，()11,P x y ，()22,Q x y ,联立直线与椭圆方程，结合判别式、韦达定理等，表示出1212OP OQ y y k k x x =，只需和2PQ k 相等，即可证明结论成立. 【详解】（1）由题意可得22c a c ⎧=⎪⎨⎪=⎩，解得2{a c ==， 又2221b ac =-=，所以椭圆方程为2214x y +=.（2）证明：设直线l 的方程为12y x m =-+，()11,P x y ，()22,Q x y , 由221214y x m x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，消去y ，得()222210x mx m -+-= 则()()222481420m m m∆=--=->，且1220x xm +=>，()212210x x m =->故()22121212121111122422m y y x m x m x x m x x m -⎛⎫⎛⎫=-+-+=-++=⎪⎪⎝⎭⎝⎭ ()212122121212111424OP OQPQ x x m x x m y y k k k x x x x -++==== 即直线OP ，PQ ，OQ 的斜率依次成等比数列. 【点睛】本题主要考查求椭圆的标准方程，以及椭圆的应用，熟记椭圆的标准方程以及椭圆的简单性质即可，属于常考题型.11．（甘肃省白银市靖远县2020届高三高考数学第四次联考试题）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率为2，且椭圆C的右顶点到直线0x y -+=的距离为3． （1）求椭圆C 的方程；（2）过点(2,0)P 的直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，求OAB 面积的最大值(O 为坐标原点）．【答案】（1）22182x y +=；（2）2.【解析】 【分析】（1）由离心率的值及右顶点到直线0x y -=的距离为3和a ，c ，b 之间的关系求出a ，b 的值，进而求出椭圆的方程；（2）设直线l 的方程与椭圆联立求出两根之和及两根之积，进而求出面积的表达式，换元，由均值不等式的可得面积的最大值． 【详解】（1）由椭圆的方程可得右顶点(,0)a，所以右顶点到直线0x y -+=的距离为3d ==，0a >可得：a =由离心率c e a ===，可得c =222862b a c =-=-=， 所以椭圆C 的方程为：22182x y +=；（2）由题意显然直线l 的斜率不为0，设直线l 的方程为：2x my =+，设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，联立直线l 与椭圆的方程可得：222{182x my x y =++=，整理可得：22(4)440m y my ++-=，12244my y m -+=+，12244y y m-=+ 所以1211··22OABSOP y y =-===设2t ，取等号时，0m =，即斜率不存在， 这时24AOBS==， 当0m ≠，2t >，则2222t m =-，所以2442422AOBt St t t ==++- 令2()f t t t =+，2t >，则22222()10t f t t t -=-+=>'恒成立，所以()f t 在2t >单调递增，无最小值，也无最大值，所以2442422AOBt St t t ==++-无最大值， 综上所述当且仅当2t =，即0m =时，所以OAB 面积的最大值为2． 【点睛】本题考查求椭圆的方程及直线与椭圆的综合及均值不等式的应用，考查了利用韦达定理搭桥建立各个变量之间的关系，从而求得圆锥曲线的最值问题，计算量相对较大，属于较难题.12．（新高考课改专家2021届高三数学命题卷试题）已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的右焦点为F ，下顶点为1B ，上顶点为2B ，离心率为12，且122FB FB ⋅=-. （1）求椭圆C 的标准方程；（2）设椭圆C 的右顶点为A ，椭圆C 上有一点P （不与A 重合），直线PF 与直线2x =相交于M .若AM =P 的横坐标.【答案】（1）22143x y +=；（2）0或85【解析】 【分析】（1）由所以22122FB FB c b ⋅=-=-，又12c e a ==，得2a c =，又222a c b -=联立即可求解； （2）可求出M 坐标，可知直线PF 斜率存在且不为0,求出斜率，即可得出直线方程，联立直线与椭圆就能求得P 的横坐标. 【详解】（1）由题意：12(,0),(0,),(0,)F c B b B b =-=，所以22122FB FB c b ⋅=-=-， 又12c e a ==，2a c ∴=， 又222a c b -=，联立以上三式得：224,3a b ==，所以椭圆的标椎方程22143x y +=；（2）3AM ，可知2,3M ，()1,0F ，则直线斜率30321k ，所以直线PF 方程为)1y x =-，代入椭圆可得2580x x ，解得0x =或85x =， 所以点P 的横坐标为0或85. 【点睛】本题考查了椭圆的标椎方程的求法和直线相交的求解，属于基础题.13．（安徽省合肥市2020届高三下学期第三次教学质量检测数学试题）在平面直角坐标系xOy 中，已知点P 是椭圆E ：24x +y 2＝1上的动点，不经过点P 的直线l 交椭圆E 于A ，B 两点．（1）若直线l 经过坐标原点，证明：直线PA 与直线PB 的斜率之积为定值；（2）若0OA OB OP ++=，证明：△ABP 三边的中点在同一个椭圆上，并求出这个椭圆的方程．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析，椭圆的方程为2241x y +=.【解析】 【分析】（1）设11(,)A x y ，22(,)P x y ，则11(,)B x y --，再将PA PB k k ⋅表示出来，根据,A B 在椭圆上化简，证得直线PA 与直线PB 的斜率之积为定值；（2）设11(,)A x y ，22(,)B x y ，33(,)P x y ，由0OA OB OP ++=，得1230x x x ++=，1230y y y ++=，再得到AB 的中点1212(,)22x x y y D ++，化简得33(,)22x y D --，又223314x y +=，则2233()4()122x y-+-=，知D 在椭圆2241x y +=上，同理可得,AP BP 的中点都在椭圆2241x y +=，得证. 【详解】（1）设11(,)A x y ，22(,)P x y ，则11(,)B x y --， 则PA PBk k ⋅2212122122121221y y y y y y x x x x x x ----=⋅=----， 又222214x y +=，221114x y +=，相减得222221211()4y y x x -=--，得PA PB k k ⋅14=-，即直线PA 与直线PB 的斜率之积为定值，定值为14-.（2）设11(,)A x y ，22(,)B x y ，33(,)P x y ，由0OA OB OP ++=， 得1230x x x ++=，1230y y y ++=， AB 的中点1212(,)22x x y y D ++，化简得33(,)22x y D --， 又223314x y +=，则2233()4()122x y -+-=，知D 在椭圆2241x y +=上，同理可得,AP BP 的中点都在椭圆2241x y +=，即△ABP 三边的中点在同一个椭圆上，这个椭圆的方程为2241x y +=.【点睛】本题考查了椭圆的标准方程及结构特征，考查了学生观察、分析能力，运算能力，属于中档题.14．（福建省三明第一中学2020届高三模拟（六）数学试题）已知椭圆22122:1(0)x y C a b a b+=>>的一焦点F 与抛物线22:4C y x =．（1）求椭圆1C 的标准方程；（2）过焦点F 的直线l 与抛物线2C 交于A 、B 两点，与椭圆1C 交于C 、D 两点，求||||CD AB 的最大值．【答案】（1）2212x y +=；（2）4. 【解析】 【分析】（1）首先求出抛物线的焦点坐标，可得c 的值，结合离心率以及222a b c =+，即可求出椭圆1C 的标准方程（2）分析直线斜率存在与不存在两种情况，当斜率不存在时可直接求出AB 、CD 即可得比值，当斜率存在时，设出直线的方程和椭圆方程联立，运用弦长公式把||||CD AB 用斜率k 表示出来，然后用基本不等式求最值. 【详解】（1）因为抛物线22:4C y x =的焦点坐标为(1,0)，所以椭圆的一个焦点坐标为(1,0)F ，即1c = ，又椭圆离心率为2，所以2c a =，故可求得a = 所以2221b a c =-=，所以椭圆1C 的标准方程为2212x y +=（2）当直线l 的斜率不存在时，直线:1l x =，此时易求得||4AB =，CD =，所以||||4CD AB =， 当直线l 的斜率存在时，设直线:(1)l y k x =-，联立椭圆方程得：()2222124220kxk x k +-+-=设()11,C x y ，()22,D x y ，则2122412k x x k +=+，21222212k x x k -=+所以||CD ==所以)221||12k CD k +=+同理，将直线方程与曲线2C 联立得：()2222240k x k x k -++=设()33,A x y ，()44,B x y ，则234224k x x k++=，341x x = 所以()2234224124||22k k AB x x k k++=++=+=所以)()()22222221||121||44121222k CD k AB k k k k ++===<⎛⎫+++ ⎪⎝⎭所以||||4CD AB ≤||||CD AB的最大值为4． 【点睛】本题主要考查了求椭圆的标准方程，考查了直线和椭圆的位置关系，考查了弦长公式以及基本不等式求最值，属于较难题.15．（湖北省武汉外国语学校2020届高三下学期高考冲刺押题联考（一）数学试题）已知椭圆()2222:10x y E a b a b+=>>，长轴长为4，P 为椭圆E 上一点，F 为椭圆的右焦点，满足PF 与x 轴垂直，且32PF =． （1）求椭圆E 的方程；（2）已知Q 为直线4x =上一点，直线QF 与椭圆E 依次交于A ，B 两点（按照Q 、A 、F 、B 的顺序），证明：QA FA QBFB=．【答案】（1）22143x y +=；（2）证明详见解析.【解析】 【分析】（1）2a =和P x c =可得椭圆的标准方程；（2）设直线方程和各点的坐标，则根据直线上的两点间距离公式、斜率公式、韦达定理代入QA FA QBFB=等式显然成立，可得证明. 【详解】（1）由题意可知24a =，可得2a =，P x c =代入椭圆的方程可得：232b PF a ==，可得23b =．从而椭圆的方程为：22143x y +=．（2）由题意可知直线AB 的斜率肯定存在，设():1AB y k x =-，()11,A x y ，()22,B x y ，()4,Q t ，根据已知有2112x x <<<， 由根据直线上的两点间距离公式及斜率公式得QA 114t y k x -=-，则1QA x =-，同理，2QB x =-，12,FA x FB x =-=-所以1244QA x QB x -==-，1211FA x FBx -==-， 根据题意，等价于证明：11224141x x x x --=--，分式化整式可得：()12122580x x x x -++=①，联立22143y kx k x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得：()22224384120k x k x k +-+-=，由韦达定理可得：2122843k x x k +=+，212241243k x x k -=+，代入①得：222282440804343k k k k --+=++， 化简得：()222824408430k k k --++=，显然成立． 【点睛】本题考查了椭圆的标准方程和性质，直线和椭圆的位置关系，韦达定理．。
高中数理化母题
高中数理化母题是指那些在各个学科领域中具有基础性和广泛适用性的题目。
以下是对高中数学、物理和化学母题的简要概述：高中数学母题：1. 基础代数：包括解方程、函数、数列等基本概念以及运用。
2. 几何学：包括基本几何定理的理解和应用，如三角形、四边形、圆等的基本性质。
3. 概率统计：理解并运用概率和统计的基本概念和方法，解决实际问题。
4. 数学应用题：这类题目需要学生应用所学知识解决实际问题，提高实际应用能力。
5. 数学模型：理解并运用数学模型解决实际问题，培养数学思维。
高中物理母题：1. 力学：包括运动学、动力学、重力、摩擦力等基本概念及其应用。
2. 电学：包括电荷、电场、电流、磁场等基本概念以及运用。
3. 热学：理解温度、热量、热力学等基本概念，解决日常生活和生产中的问题。
4. 光学：包括光的折射、反射、颜色等基本概念及其运用。
5. 实验题：实验题需要学生根据实验目的和原理设计实验步骤，分析实验结果等，是锻炼学生实验操作能力和实验设计能力的重要手段。
高中化学母题：1. 化学反应和物质构成：理解化学反应的基本原理，熟悉物质的构成和分类。
2. 物质性质和应用：了解常见物质的性质及其在日常生活和生产中的应用。
3. 化学实验：掌握化学实验的基本操作，了解常见仪器的使用方法，进行化学实验的设计和评价。
4. 化学计算题：化学计算题需要学生运用化学知识解决实际问题，培养计算能力和逻辑思维能力。
以上是对高中数理化母题的简要概述，这些母题是各个学科的基础，也是培养学生基本素养的重要手段。
当然，具体的学习内容和难度还需要根据各个学校的教学大纲和考试要求来进行调整。
同时，学生们在学习的过程中也需要根据自己的实际情况和兴趣来选择适合自己的学习内容和难度。
专题18 统计综合-2021年高考数学(理)母题题源解密(解析版)
专题18 统计综合【母题原题1】【2020年高考全国Ⅲ卷，理数】某学生兴趣小组随机调查了某市100天中每天的空气质量等级和当天到某公园锻炼的人次，整理数据得到下表（单位：天）：（1）分别估计该市一天的空气质量等级为1，2，3，4的概率；（2）求一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；（3）若某天的空气质量等级为1或2，则称这天“空气质量好”；若某天的空气质量等级为3或4，则称这天“空气质量不好”．根据所给数据，完成下面的2×2列联表，并根据列联表，判断是否有95%的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关？附：22()()()()()n ad bcKa b c d a c b d-=++++，【答案】（1）该市一天的空气质量等级分别为1、2、3、4的概率分别为0.43、0.27、0.21、0.09；（2）350；（3）有，理由见解析.【解析】 【分析】（1）根据频数分布表可计算出该市一天的空气质量等级分别为1、2、3、4的概率； （2）利用每组的中点值乘以频数，相加后除以100可得结果；（3）根据表格中的数据完善22⨯列联表，计算出2K 的观测值，再结合临界值表可得结论. 【详解】（1）由频数分布表可知，该市一天的空气质量等级为1的概率为216250.43100++=，等级为2的概率为510120.27100++=，等级为3的概率为6780.21100++=，等级为4的概率为7200.09100++=；（2）由频数分布表可知，一天中到该公园锻炼的人次的平均数为100203003550045350100⨯+⨯+⨯=（3）22⨯列联表如下：()221003383722 5.820 3.84155457030K ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯，因此，有95%的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关.【点睛】本题考查利用频数分布表计算频率和平均数，同时也考查了独立性检验的应用，考查数据处理能力，属于基础题.【母题原题2】【2019年高考全国Ⅲ卷理数】为了解甲、乙两种离子在小鼠体内的残留程度，进行如下试验：将200只小鼠随机分成A ，B 两组，每组100只，其中A 组小鼠给服甲离子溶液，B 组小鼠给服乙离子溶液，每只小鼠给服的溶液体积相同、摩尔浓度相同．经过一段时间后用某种科学方法测算出残留在小鼠体内离子的百分比．根据试验数据分别得到如下直方图：记C 为事件：“乙离子残留在体内的百分比不低于5.5”，根据直方图得到P （C ）的估计值为0.70． （1）求乙离子残留百分比直方图中a ，b 的值；（2）分别估计甲、乙离子残留百分比的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）． 【答案】（1） 0.35a =，0.10b =；（2）4.05，6． 【解析】（1）由已知得0.70=a +0.20+0.15，故a =0.35． b =1–0.05–0.15–0.70=0.10．（2）甲离子残留百分比的平均值的估计值为 2×0.15+3×0.20+4×0.30+5×0.20+6×0.10+7×0.05=4.05． 乙离子残留百分比的平均值的估计值为3×0.05+4×0.10+5×0.15+6×0.35+7×0.20+8×0.15=6.00．【名师点睛】本题考查频率分布直方图和平均数，属于基础题．【母题原题3】【2018年高考全国Ⅲ卷理数】某工厂为提高生产效率，开展技术创新活动，提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式．为比较两种生产方式的效率，选取40名工人，将他们随机分成两组，每组20人．第一组工人用第一种生产方式，第二组工人用第二种生产方式．根据工人完成生产任务的工作时间（单位：min ）绘制了如下茎叶图：（1）根据茎叶图判断哪种生产方式的效率更高？并说明理由；（2）求40名工人完成生产任务所需时间的中位数m ，并将完成生产任务所需时间超过m 和不超过m 的工人数填入下面的列联表：（3）根据（2）中的列联表，能否有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异？附：()()()()()22n ad bcKa b c d a c b d-=++++，【答案】（1）第二种生产方式的效率更高．理由见解析（2）80（3）能【解析】（1）第二种生产方式的效率更高．理由如下：（i）由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人中，有75%的工人完成生产任务所需时间至少80分钟，用第二种生产方式的工人中，有75%的工人完成生产任务所需时间至多79分钟．因此第二种生产方式的效率更高．（ii）由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人完成生产任务所需时间的中位数为85．5分钟，用第二种生产方式的工人完成生产任务所需时间的中位数为73．5分钟．因此第二种生产方式的效率更高．（iii）由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人完成生产任务平均所需时间高于80分钟；用第二种生产方式的工人完成生产任务平均所需时间低于80分钟，因此第二种生产方式的效率更高．（iv）由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布在茎8上的最多，关于茎8大致呈对称分布；用第二种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布在茎7上的最多，关于茎7大致呈对称分布，又用两种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布的区间相同，故可以认为用第二种生产方式完成生产任务所需的时间比用第一种生产方式完成生产任务所需的时间更少，因此第二种生产方式的效率更高．以上给出了4种理由，考生答出其中任意一种或其他合理理由均可得分．（2）由茎叶图知7981802m+==．列联表如下：（3）由于2240(151555)10 6.63520202020K⨯-⨯==>⨯⨯⨯，所以有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异．【名师点睛】本题主要考查了茎叶图和独立性检验，考察学生的计算能力和分析问题的能力，贴近生活．【命题意图】主要考查频率分布直方图、考查独立性检验、考查变量间的相关关系．考查考生的数据分析能力、逻辑推理能力．【命题规律】统计的解答题通常考查随机抽样，频率分布直方图，变量的相关性，独立性检验，求线性回归方程、利用回归方程进行预测等，常与概率知识相交汇命题．【答题模板】1．频率分布表与频率分布直方图的绘制步骤如下：（1）求极差，即求一组数据中最大值与最小值的差；（2）决定组距与组数；（3）将数据分组；（4）列频率分布表，落在各小组内的数据的个数叫作频数，每小组的频数与样本容量的比值叫作这一小组的频率，计算各小组的频率，列出频率分布表；（5）画频率分布直方图，依据频率分布表画出频率分布直方图，其中纵坐标（小长方形的高）表示频率与组距的比值，其相应组距上的频率等于该组上的小长方形的面积，即每个小长方形的面积=组距×频率组距=频率．各个小长方形的面积的总和等于1．2．频率分布折线图和总体密度曲线（1）频率分布折线图：连接频率分布直方图中各小长方形上端的中点，就得到频率分布折线图．（2）总体密度曲线：随着样本容量的增加，作频率分布直方图时所分的组数增加，组距减小，相应的频率分布折线图会越来越接近于一条光滑曲线，统计中称这条光滑曲线为总体密度曲线．3．独立性检验的一般步骤（1）根据样本数据列出2×2列联表．（2）计算随机变量K2的观测值k，查下表确定临界值k0．P（K2≥k0）0.50 0.40 0.25 0.15 0.10k00.455 0.708 1.323 2.072 2.706P（K2≥k0）0.05 0.025 0.010 0.005 0.001k0 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 （3）如果k≥k0，就推断“X与Y有关系”，这种推断犯错误的概率不超过P（K2≥k0）；否则，就认为在犯错误的概率不超过P（K2≥k0）的前提下不能推断“X与Y有关系”，或者在样本数据中没有发现足够证据支持结论“X与Y有关系”．【知识总结】1．众数、中位数、平均数定义特点众数在一组数据中出现次数最多的数．体现了样本数据的最大集中点，不受极端值的影响，而且不唯一．中位数将一组数据按大小顺序依次排列（相同的数据要重复列出），处在最中间位置的那个数据（或最中间两个数据的平均数）．中位数不受极端值的影响，仅利用了排在中间位置的数据的信息，只有一个．平均数一组数据的算术平均数．与每一个样本数据有关，只有一个．（1）众数、中位数与平均数都是描述一组数据的集中趋势的量，平均数是最重要的量．（2）平均数反映的是一组数据的平均水平，众数和中位数则反映一组数据的“重心”．（3）在实际问题中求得的平均数、众数和中位数应带上单位．2．极差、标准差与方差定义特点极差一组数据中最大值与最小值的差反映一组数据的波动情况，一般情况下，极差大，则数据的波动性大；极差小，则数据的波动性小，但极差只考虑了两个极端值，可靠性较差．标准差标准差是样本数据到平均数的一种平均距离，即反映了各个样本数据聚集于样本平均数周围的程度．标准差越小，表明各个样本数据在样本平均数周围越集中；标准差越大，表明各个样本数据在样本平均数的两边越分散．方差方差是标准差的平方，即s2=1n[（x1–x）2+（x2–x）2+…+（x n–x）2]同标准差一样，方差也是用来衡量样本数据的离散程度的，但是平方后扩大了偏差的程度．3．平均数的性质（1）若给定一组数据x1，x2，…，x n的平均数为x，则ax1，ax2，…，ax n的平均数为a x；ax1+b，ax2+b，…，ax n+b的平均数为a x+b．（2）若M个数的平均数是X，N个数的平均数是Y，则这（M+N）个数的平均数是MX+NYM+N；若两组数据x1，x2，…，x n和y1，y2，…，y n的平均数分别是x和y，则x1+y1，x2+y2，…，x n+y n的平均数是x+y．4．方差的性质若给定一组数据x1，x2，…，x n，其方差为s2，则ax1，ax2，…，ax n的方差为a2s2；ax1+b，ax2+b，…，ax n+b的方差为a2s2，特别地，当a=1时，有x1+b，x2+b，…，x n+b的方差为s2，这说明将一组数据中的每一个数据都加上一个相同的常数，方差是不变的，即不影响数据的波动性．【方法总结】1．在频率分布直方图中：（1）众数是最高的小长方形底边中点的横坐标；（2）中位数左边和右边的小长方形的面积和是相等的；（3）平均数是频率分布直方图的“重心”，其估计值等于频率分布直方图中每个小长方形的面积乘以小长方形底边中点的横坐标之和．2．绘制频率分布直方图时需注意：（1）频率分布直方图中的纵轴表示频率组距，而不是频率；（2）频率分布直方图中各小长方形的高之比就是相应各组的频率之比；（3）频率分布直方图中各个小长方形的面积是相应各组的频率，所有的小长方形的面积之和等于1，即频率之和为1．3．由频率分布直方图进行相关计算时，需掌握下列关系式：（1）频率组距×组距=频率；（2）频数样本容量=频率，此关系式的变形为频数频率=样本容量，样本容量×频率=频数．4．作样本的茎叶图时，要先根据数据的特点确定茎、叶，再作茎叶图．茎部位的数字由上向下，从小到大排列；叶部位的数字由内向外，从小到大排列．5．给定两组数据的茎叶图，比较数字特征时，“重心”下移者平均数较大，数据集中者方差较小．6．用样本的数字特征估计总体的数字特征类型1：直接给出样本数据，根据平均数、众数、方差、标准差的概念进行相关计算得出相应数据．类型2：利用茎叶图给出样本数据，一般情况下，茎叶图中的数据多为两位数（茎叶图中，一位数的“茎”处的数字为0），明确每一行中“茎”处的数字是该行数字共用的十位数字，“叶”处的数字是个位数字，正确写出茎叶图中的所有数字，再根据平均数、中位数、众数、方差、标准差的概念进行相关计算．1．（2020·广西壮族自治区高三月考（理））水稻是人类重要的粮食作物之一，耕种与食用的历史都相当悠久，日前我国南方农户在播种水稻时一般有直播、撒酒两种方式．为比较在两种不同的播种方式下水稻产量的区别，某市红旗农场于2019年选取了200块农田，分成两组，每组100块，进行试验．其中第一组采用直播的方式进行播种，第二组采用撒播的方式进行播种．得到数据如下表：约定亩产超过900斤（含900斤）为“产量高”，否则为“产量低”（1）请根据以上统计数据估计100块直播农田的平均产量（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）（2）请根据以上统计数据填写下面的2×2列联表，并判断是否有99%的把握认为“产量高”与“播种方式”有关？附22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++：【答案】（1）100块直播农田的平均产量为907斤，（2）有99%的把握认为“产量高”与“播种方式”有关. 【解析】【分析】（1）根据48183931850870890910930100100100100100X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯，算出答案即可 （2）由题目中给的数据完善22⨯列联表，然后算出2K 的观察值即可 【详解】（1）100块直播农田的平均产量为：48183931850870890910930907100100100100100X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=（斤） （2）由题中所给的数据得到22⨯列联表如下所示：由表中的数据可得2K 的观察值()2120820070503050258 6.01001635300k ⨯⨯⨯>⨯⨯-⨯==>所以有99%的把握认为“产量高”与“播种方式”有关【点睛】本题考查的是平均数的算法及独立性检验，考查了学生的计算能力，属于基础题.2．（2020·钦州市第三中学高三月考（理））某花圃为提高某品种花苗质量，开展技术创新活动，在,A B 实验地分别用甲、乙方法培育该品种花苗.为观测其生长情况，分别在实验地随机抽取各50株，对每株进行综合评分，将每株所得的综合评分制成如图所示的频率分布直方图，记综合评分为80分及以上的花苗为优质花苗.（1）用样本估计总体，以频率作为概率，若在,A B两块实验地随机抽取3株花苗，求所抽取的花苗中优质花苗数的分布列和数学期望；（2）填写下面的列联表，并判断是否有99%的把握认为优质花苗与培育方法有关.附：下面的临界值表仅供参考.（参考公式：22()()()()()n ad bcKa b c d a c b d-=++++，其中n a b c d=+++）【答案】（1）分布列见解析，9()5E X=；（2）列联表见解析;有99%的把握认为优质花苗与培育方法有关系.【解析】【分析】（1）根据题意,可知0,1,2,3X =.由独立重复试验概率求法依次求得各组概率,即可得分布列;由数学期望公式即可求解.（2）求得优质花苗的数量,填写列联表.由列联表求得2K 值,与临界值比较即可判断.【详解】（1）由频率分布直方图可知,优质花苗的频率为(0.040.02)100.6+⨯=,即概率为0.6. 设所抽取的花苗为优质花苗的株数为X ,则35~3,X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭,于是30328(0)5125P X C ⎛⎫==⨯=⎪⎝⎭； 2133236(1)55125P X C ⎛⎫==⨯⨯=⎪⎝⎭； 2233254(2)55125P X C ⎛⎫==⨯⨯=⎪⎝⎭；333327(3)5125P X C ⎛⎫==⨯=⎪⎝⎭. 其分布列为：所以,所抽取的花苗为优质花苗的数学期望()355E X =⨯= （2）频率分布直方图,优质花苗的频率为(0.040.02)100.6+⨯=,则样本中优质花苗的株数为60株,列联表如下表所示：可得22100(20103040)16.667 6.63560405050K ⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯.所以,有99%的把握认为优质花苗与培育方法有关系【点睛】本题考查了频率分布直方图的应用,离散型随机变量的分布列与均值求法,独立性检验思想的应用,属于基础题.3．（2020·广西壮族自治区高三其他（理））某学生为了测试煤气灶烧水如何节省煤气的问题设计了一个实验，并获得了煤气开关旋钮旋转的弧度数x 与烧开一壶水所用时间y 的一组数据，且作了一定的数据处理（如表），得到了散点图（如图）.表中211i w x =，101110i i w w ==∑.（1）根据散点图判断，y a bx =+与2dy c x=+哪一个更适宜作烧水时间y 关于开关旋钮旋转的弧度数x 的回归方程类型？（不必说明理由）（2）根据判断结果和表中数据，建立y 关于x 的回归方程；（3）若旋转的弧度数x 与单位时间内煤气输出量t 成正比，那么x 为多少时，烧开一壶水最省煤气？ 附：对于一组数据()11,u v ，()22,u v ，()33,u v ，…，(),n n u v ，其回归直线v u αβ=+的斜率和截距的最小二乘估计分别为()()()121niii nii v v u u u u β==--=-∑∑，v u αβ=-.【答案】（1）2d y c x =+更适宜（2）2205y x =+（3）x 为2时，烧开一壶水最省煤气【解析】【分析】（1）根据散点图是否按直线型分布作答；（2）根据回归系数公式得出y 关于ω的线性回归方程，再得出y 关于x 的回归方程； （3）利用基本不等式得出煤气用量的最小值及其成立的条件. 【详解】（1）2dy c x=+更适宜作烧水时间y 关于开关旋钮旋转的弧度数x 的回归方程类型. （2）由公式可得：()()()101102116.2200.81iii i i w w y y d w w==--===-∑∑， 20.6200.785c y dw =-=-⨯=，所以所求回归方程为2205y x =+. （3）设t kx =，则煤气用量220205520k S yt kx kx k x x ⎛⎫==+=+≥= ⎪⎝⎭， 当且仅当205kkx x=时取“=”，即2x =时，煤气用量最小. 故x 为2时，烧开一壶水最省煤气.【点睛】本题考查拟合模型的选择，回归方程的求解，涉及均值不等式的使用，属综合中档题. 4．（2020·广西壮族自治区高三一模（理））某校为了了解高一新生是否愿意参加军训，随机调查了80名新生，得到如下2×2列联表（1）写出表中x，y，z，M，N的值，并判断是否有99.9%的把握认为愿意参加军训与性别有关；（2）在被调查的不愿意参加军训的学生中，随机抽出3人，记这3人中男生的人数为ξ，求ξ的分布列和数学期望．参考公式：()()()()()22n ad bcKa b c d a c b d-=++++附：【答案】(1)M＝40，x＝35，z＝20，y＝20，N＝55，有99.9%的把握认为愿意参加志愿者填报培训与性别有关．(2)分布列见详解，E(ξ）69 115 =.【解析】【分析】（1）根据表格中数据，即可求得x，y，z，M，N的值，再计算2K，结合参考表格即可作出判断；（2）列出ξ的取值，根据古典概型概率计算公式求得分布列，再根据分布列计算数学期望即可.【详解】（1）由表格数据可知：M＝80﹣40＝40，x＝40﹣5＝35，z＝25﹣5＝20，y＝40﹣20＝20，N＝80﹣25＝55，∵K2280(2035510)40402555⨯-⨯=≈⨯⨯⨯13.09＞10.828，∴有99.9%的把握认为愿意参加志愿者填报培训与性别有关．（2）在被调查的不愿意参加军训的学生中，随机抽出3人，记这3人中男生的人数为ξ，则ξ的可能取值为0,1,2,3，P（ξ＝0）32032557115CC==，P（ξ＝1）125203251946C CC==，P （ξ＝2）21520325223C C C ==， P （ξ＝3）353251230C C ==，∴ξ的分布列为：E （ξ）01231154623230115=⨯+⨯+⨯+⨯=． 【点睛】本题考查独立性检验中2K 的计算，以及古典概型的概率计算，涉及离散型随机变量的分布列和数学期望的求解，属综合中档题.5．（2020·宜宾市叙州区第一中学校高二月考（理）） 2022年北京冬奥会的申办成功与“3亿人上冰雪”口号的提出，将冰雪这个冷项目迅速炒“热”．北京某综合大学计划在一年级开设冰球课程，为了解学生对冰球运动的兴趣，随机从该校一年级学生中抽取了100人进行调查，其中女生中对冰球运动有兴趣的占23，而男生有10人表示对冰球运动没有兴趣． （1）完成下面的22⨯列联表，并回答能否在犯错误的概率不超过0.1的前提下认为“对冰球是否有兴趣与性别有关”？（2）若将频率视为概率，现再从该校一年级全体学生中，采用随机抽样的方法每次抽取1名学生，抽取5次，记被抽取的5名学生中对冰球有兴趣的人数为X ，若每次抽取的结果是相互独立的，求X 的分布列、期望和方差． 附表：参考公式：()()()()()22,.n ad bc K n a b c d a b c d a c b d -==+++++++【答案】（1）见解析；（2）见解析.【解析】（1）根据已知数据得到如下列联表：根据列联表中的数据，得到2K 的观测值()25510044551510301003.030 2.767525033k ⨯⨯⨯⨯-⨯≈>⨯==， 所以能在犯错误的概率不超过0.1的前提下可以认为“对冰球是否有兴趣与性别有关”. （2）由列联表中数据可知，对冰球有兴趣的学生频率是34，将频率视为概率，即从大一学生中抽取一名学生，对冰球有兴趣的概率是34， 由题意知3~(5,)X B ，从而X 的分布列为：()315544E X np ==⨯=，()()33151514416D X np p ⎛⎫=-=⨯⨯-= ⎪⎝⎭.6．（2020·四川省泸县第二中学高二月考（理））2019年初，某高级中学教务处为了解该高级中学学生的作文水平，从该高级中学学生某次考试成绩中按文科、理科用分层抽样方法抽取400人的成绩作为样本，得到成绩频率分布直方图如图所示，::1:2:4a b c =，参考的文科生与理科生人数之比为1:4，成绩（单位：分）分布在[]0,60的范围内且将成绩（单位：分）分为[)0,10，[)10,20，[)20,30，[)30,40，[)40,50，[]50,60六个部分，规定成绩分数在50分以及50分以上的作文被评为“优秀作文”，成绩分数在50分以下的作文被评为“非优秀作文”.（1）求实数,,a b c 的值； （2）（i ）完成下面22⨯列联表；（ii ）以样本数据研究学生的作文水平，能否在犯错误的概率不超过0.010的情况下认为获得“优秀作文”与学生的“文理科“有关？注：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.【答案】（1）0.005a =，0.01b =，0.02c =（2）（i ）填表见解析（ii ）在犯错误的概率不超过0.010的情况下，不能认为“获得优秀作文”与“学生的文理科”有关 【解析】【分析】（1）根据频率直方图得到()100.35a b c ⨯++=，::1:2:4a b c =，解得答案. （2）（i ）计算400人中文科生的数量为80，理科生的数量为320，完善列联表得到答案. （2）（ii ）计算2 1.32 6.635K ≈<，对比临界值表得到答案.【详解】（1）由频率分布直方图可知，()()101100.0180.0220.0250.35a b c ⨯++=-⨯++=， 因为::1:2:4a b c =，所以240.035a b c a a a ++=++=， 解得0.005a =，所以20.01b a ==，40.02c a ==. 即0.005a =，0.01b =，0.02c =.（2）（i ）获奖的人数为0.0051040020⨯⨯=人， 因为参考的文科生与理科生人数之比为1:4， 所以400人中文科生的数量为1400805⨯=，理科生的数量为40080320-=. 由表可知，获奖的文科生有6人，所以获奖的理科生有20614-=人， 不获奖的文科生有80674-=人，不获奖的理科生有32014306-=. 于是可以得到22⨯列联表如下：（ii ）计算()2240063061474 1.32 6.6352038080320K ⨯⨯-⨯=≈<⨯⨯⨯； 所以在犯错误的概率不超过0.010的情况下，不能认为“获得优秀作文”与“学生的文理科”有关. 【点睛】本题考查了频率直方图，列联表，独立性检验，意在考查学生的计算能力和应用能力. 7．（2020·四川省绵阳南山中学高三一模（理））为调查某地区被隔离者是否需要社区非医护人员提供帮助，用简单随机抽样方法从该地区调查了500位被隔离者，结果如下：（1）估计该地区被隔离者中，需要社区非医护人员提供帮助的被隔离者的比例；（2）能否有99%的把握认为该地区的被隔离者是否需要社区非医护人员提供帮助与性别有关？ 【答案】（1）14%；（2）有99%的把握认为该地区的被隔离者是否需要帮助与性别有关． 【解析】【分析】（1）计算出样本中需要提供帮助的被隔离者所占比，由此估计该地区被隔离者所占比例； （2）根据列联表的数据，计算出随机变量的观测值29.967K ≈，比0.010所对应的k 值6.635大，得出结论“有99%的把握认为该地区的被隔离者是否需要帮助与性别有关”. 【详解】解：（1）∵调查的500位被隔离者中有403070+=位 需要社区非医护人员提供帮助，∴该地区被隔离者中需要帮助的被隔离者的比例的估算值为7014%500=； （2）根据列联表所给的数据，代入随机变量的观测值公式，22500(4027030160)9.96770430200300K ⨯⨯-⨯=≈⨯⨯⨯．∵9.967 6.635>，∴有99%的把握认为该地区的被隔离者是否需要帮助与性别有关． 【点睛】本题考查了古典概型，考查了独立性检验的问题，属于基础题.8．（2020·四川省阆中中学高三其他（理））共享单车进驻城市，绿色出行引领时尚．某市有统计数据显示，2020年该市共享单车用户年龄等级分布如图1所示，一周内市民使用单车的频率分布扇形图如图2所示．若将共享单车用户按照年龄分为“年轻人”（20岁－39岁）和“非年轻人”（19岁及以下或者40岁及以上）两类，将一周内使用的次数为6次或6次以上的称为“经常使用单车用户”，使用次数为5次或不足5次的称为“不常使用单车用户”．已知在“经常使用单车用户”中有56是“年轻人”．（1）现对该市市民进行“经常使用共享单车与年龄关系”的调查，采用随机抽样的方法，抽取一个容量为200的样本，请你根据图表中的数据，补全下列22⨯列联表，并根据列联表的独立性检验，判断是否有85%的把握认为经常使用共享单车与年龄有关？使用共享单车情况与年龄列联表（2）将（1）中频率视为概率，若从该市市民中随机任取3人，设其中经常使用共享单车的“非年轻人”人数为随机变量X，求X的分布列与期望．参考数据：独立性检验界值表其中，22()()()()()n ad bcKa b c d a c b d-=++++，n a b c d=+++【答案】（1）列联表见解析，有85%的把握可以认为经常使用共享单车与年龄有关；（2）分布列见解析，数学期望为0.3．【解析】【分析】（1）补全的列联表，利用公式求得2 2.083 2.072K≈>，即可得到结论；（2）由（1）的列联表可知，经常使用单车的“非年轻人”的概率，即可利用独立重复试验求解随机变量X取每个数值的概率，列出分布列，求解数学期望. 【详解】（1）补全的列联表如下：于是100a =，20b =，60c =，20d =，∴22200(100206020) 2.083 2.0721208016040K ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯，即有85%的把握可以认为经常使用共享单车与年龄有关． （2）由（1）的列联表可知，经常使用共享单车的“非年轻人”占样本总数的频率为20100%10%200⨯=， 即在抽取的用户中出现经常使用单车的“非年轻人”的概率为0.1， ∵~(3,0.1)X B ，0,1,2,3X =∴3(0)(10.1)0.729P X ==-=，(1)0.243P X ==(2)0.027P X ==，3(3)0.10.001P X ===，∴X 的分布列为∴X 的数学期望()30.10.3E X =⨯=．【点睛】本题主要考查了22⨯列联表,独立性检验，二项分布，二项分布的期望，属于中档题. 9．（2020·四川省宜宾市第四中学校高三二模（理））2020年春季，某出租汽车公司决定更换一批新的小汽车以代替原来报废的出租车，现有采购成本分别为11万元/辆和8万元/辆的,A B 两款车型，根据以往这两种出租车车型的数据，得到两款出租车车型使用寿命频数表如下：（1）填写下表，并判断是否有99%的把握认为出租车的使用寿命年数与汽车车型有关？（2）从A和B的车型中各随机抽取1车，以X表示这2车中使用寿命不低于7年的车数，求X的分布列和数学期望；（3）根据公司要求，采购成本由出租公司负责，平均每辆出租车每年上交公司6万元，其余维修和保险等费用自理.假设每辆出租车的使用寿命都是整数年，用频率估计每辆出租车使用寿命的概率，分别以这10辆出租车所产生的平均利润作为决策依据，如果你是该公司的负责人，会选择采购哪款车型？附：()()()()()22n ad bcKa b c d a c b d-=++++，n a b c d=+++.【答案】（1）填表答案见解析，有99%的把握认为出租车的使用寿命年数与汽车车型有关.（2）分布列答案见解析，数学期望：1.2.（3）采购B款车型.【解析】【分析】（1）根据题目所给数据填写22⨯列联表，计算出2K的值，由此判断出有99%的把握认为出租车的使用寿命年数与汽车车型有关.（2）利用相互独立事件概率乘法公式计算出分布列，并求得数学期望.（3）分别计算出两种车型的平均利润，由此判断出采购B款车型.【详解】（1）填表如下：。
专题18数列的通项公式及前n项和-高考数学(理)母题题源系列含解析
专题18数列的通项公式及前n 项和-高考数学（理）母题题源系列含解析【母题原题1】【2018天津，理18】设是等比数列，公比大于0，其前n 项和为，是等差数列． 已知，，，．{}n a ()n S n *∈N {}n b 11a =322a a =+435a b b =+5462a b b =+（I ）求和的通项公式；{}n a {}n b（II ）设数列的前n 项和为，{}n S ()n T n *∈N （i ）求；n T（ii ）证明．221()22()(1)(2)2n nk k k k T b b n k k n +*+=+=-∈+++∑N 【考点分析】本小题主要考查等差数列的通项公式，等比数列的通项公式及前n 项和公式等基础知识．考查等差数列求和的基本方法和运算求解能力．满分13分．【答案】（I ）；（II ）（i ）．（ii ）证明见解析．12,n n n a b n -==122n n T n +=--【解析】试题分析：（I ）由题意得到关于的方程，解方程可得，则．结合等差数列通q2q =12n n a -=设等差数列的公差为，由，可得由，{}n b d 435a b b =+13 4.b d +=5462a b b =+可得 从而 故 131316,b d +=11,1,b d ==.n b n =所以数列的通项公式为，数列的通项公式为{}n a 12n n a -={}n b .n b n = （II）（i）由（I），有，故．122112nn n S -==--1112(12)(21)22212n n n k k n n k k T n n n +==⨯-=-=-=-=---∑∑ （ii ）证明：，()()()()()()()()1121222222212121221k k k k k k+k k k k T +b b k k k k k k k k k ++++--++⋅===-++++++++ ()()()32432122122222222123243212n n n nk k k k T b b k k n n n ++++=+⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=-+-++-=- ⎪ ⎪ ⎪+++++⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑． 【名师点睛】本题主要考查数列通项公式的求解，数列求和的方法，数列中的指数裂项方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力．【母题原题2】【2017天津，理18】已知为等差数列，前n 项和为，是首项为2的等比数列，且公比大于0，{}n a ()n S n *∈N {}n b2312b b +=，，．3412b a a =-11411S b =（Ⅰ）求和的通项公式；{}n a {}n b（Ⅱ）求数列的前n 项和．221{}n n a b -()n *∈N【答案】（Ⅰ），；（Ⅱ）．32n a n =-2n n b =1328433n n +-⨯+ 联立①②，解得，，由此可得．11a =3d =32n a n =-所以，数列的通项公式为，数列的通项公式为．{}n a 32n a n =-{}n b 2nn b =（Ⅱ）设数列的前项和为，由，，有，221{}n n a b -n n T 262n a n =-12124n n b --=⨯221(31)4n n n a b n -=-⨯故，23245484(31)4n n T n =⨯+⨯+⨯++-⨯23414245484(34)4(31)4n n n T n n +=⨯+⨯+⨯++-⨯+-⨯，上述两式相减，得：23112(14)324343434(31)44(314n n n n T n n +⨯--=⨯+⨯+⨯++⨯--⨯=----111)4(32)48n n n ++⨯=--⨯-，得．1328433n n n T +-=⨯+ 所以，数列的前项和为．221{}n n a b -n 1328433n n +-⨯+ 【考点】等差数列、等比数列、数列求和【名师点睛】利用等差数列和等比数列通项公式及前项和公式列方程组求数列的首项和公差或公比，进而写出通项公式及前项和公式，这是等差数列、等比数列的基本要求，数列求和的方法有倒序相加法、错位相减法、裂项相消法和分组求和法等，本题考查的是错位相减法求和．n n【母题原题3】【2016天津，理18】已知是各项均为正数的等差数列，公差为，对任意的是和的等比中项．{}n a d n n N ,b *∈n a 1n a +(Ⅰ)设，求证：是等差数列；22*1,n n n c b b n N +=-∈{}n c (Ⅱ)设 ，求证：()22*11,1,nnn n k a d T b n N===-∈∑2111.2nk kT d =<∑ 【答案】（Ⅰ）详见解析（Ⅱ）详见解析()222111111111111212121nn n k k k kT d k k d k k d n ===⎛⎫⎛⎫==-=⋅- ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭∑∑∑，易得结论． 试题解析：（I ）证明：，为定值，∴为等差数列．22112112n n n n n n n n c b b a a a a d a +++++=-=-=⋅21212()2n n n n c c d a a d +++-=-={}n c（II）证明：（*）2213211(1)nk n k n k T b C C C -==-=++⋅⋅⋅+∑21(1)42n n nC d -=+⋅212(1)nC d n n =+- 由已知，将代入（*）式得，∴，得证．22212123122122()4C b b a a a a d a d a d d =-=-=⋅=+=214C d =22(1)n T d n n =+2111112(1)nnk k kT d k k ===+∑∑21111(1)2311221k k d ⋅=⋅⋅++--+-+212d <【名师点睛】分组转化法求和的常见类型（1）若an ＝bn±c n ，且{bn}，{cn}为等差或等比数列，可采用分组求和法求{an}的前n 项和．（2）通项公式为an ＝的数列，其中数列{bn}，{cn}是等比数列或等差数列，可采用分组求和法求和． 【母题原题4】【2015天津，理18】已知数列满足，且成等差数列．{}n a 212()*,1,2n n a qa q q n N a a +=≠∈==为实数，且1，233445,,a a a a a a(I)求的值和的通项公式；q {}n a (II)设，求数列的前项和．*2221log ,nn n a b n N a -=∈n b n 【答案】(I) ； (II) ．1222,2,.n n n n a n -⎧⎪=⎨⎪⎩为奇数,为偶数1242n n n S -+=-当时，，2(*)n k n N =∈2222nkn k a a ===所以的通项公式为{}n a 1222,2,.n n n n a n -⎧⎪=⎨⎪⎩为奇数,为偶数(II) 由(I)得，设数列的前项和为，则22121log 2n n n n a nb a --=={}n b n n S012111111232222n n S n -=⨯+⨯+⨯++⨯， 1231111112322222n n S n =⨯+⨯+⨯++⨯， 两式相减得，23111111112212122222222212n n n n n n n n n n S --=+++++-=-=--- 整理得，所以数列的前项和为．1242n n n S -+=-{}n b n 124,*2n n n N -+-∈【名师点睛】本题主要考查等差、等比数列定义与性质，求和公式以及错位相减法求和的问题，通过等差数列定义、等比数列性质，分为奇偶数讨论求通项公式，并用错位相减法基本思想求和．是中档题．n【命题意图】 高考对本部分内容的考查基础知识为主，重点考查求数列的通项公式和数列求和问题．【命题规律】 高考试题对该部分内容考查的主要角度有：其一求数列的通项公式，其二数列求和，其三证明数列成等差数列或成等比数列．【答题模板】解答本类题目，以2017年试题为例，一般考虑如下三步：第一步：求数列 的通项公式：本题从等比数列入手，由于，设公比为，表达出和，利用列方程求出，写出的通项公式；{}n b {}n b 12b =q 2b 3b 2312b b +=q {}n b第二步：求数列 的通项公式：借助第一步的结果，由于数列成等差数列，设公差为，结合，解方程组求出和，写出数列的通项公式．{}n a {}n a d 3411142,11b a a S b =-=1a d {}n a第三步：利用错位相减法求和： 列出数列的前n 项和，两边同乘以4，两式相减后求和．221{}n n a b -n T 【方法总结】1．数列中 与的关系：an ＝{}n a n a n S ⎩⎨⎧S1，n ＝1，Sn －Sn －1，n≥2.2． 等差数列（1）等差数列的有关概念①定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列．符号表示为为常数．*1(,n n a a d n N d +-=∈)②等差中项：数列成等差数列的充要条件是，其中叫做的等差中项．,,a A b 2a bA +=A ,a b （2）等差数列的有关公式 ①通项公式：．1(1)n a a n d =+-②前项和公式：．n 11()(1)22n n n a a n n S na d +-=+=（3）等差数列的性质已知数列是等差数列，是其前项和．{}n a n S n ①通项公式的推广：．*()(,)n m a a n m d n m N =+-∈ ②若，则．*(,,,)k l m n k l m n N +=+∈k l m n a a a a +=+③若的公差为，则也是等差数列，公差为．{}n a d {}n a 2d④若 是等差数列，则也是等差数列．{}n b {}n n pa qb + ⑤数列，…构成等差数列．232,,n n n n n S S S S S -- （4）． 妙设等差数列中的项若奇数个数成等差数列，可设中间三项为；,,a d a a d -+若偶数个数成等差数列，可设中间两项为，其余各项再依据等差数列的定义进行对称设元．,a d a d -+（5）等差数列的四种判断方法①定义法：为常数⇔是等差数列．*1(,n n a a d n N d +-=∈{}n a ②等差中项法： (n ∈N*)⇔是等差数列．122n n n a a a ++=+{}n a ③通项公式： (为常数)⇔ 是等差数列．n a pn q =+,p q {}n a④前n 项和公式：（ 为常数)⇔ 是等差数列．2n S An bn =+A B 、{}n a 3．等比数列（1）等比数列的有关概念 ①定义如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数(不为零)，那么这个数列就叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q 表示，定义的表达式为．*1(0,)n na q q n N a +=≠∈ ②等比中项如果a 、G 、b 成等比数列，那么G 叫做a 与b 的等比中项．即：G 是a 与b 的等比中项⇔G2＝ab ．“a ，G ，b 成等比数列”是“G 是a 与b 的等比中项”的充分不必要条件．（2）等比数列的有关公式 ①通项公式：．11n n a a q -=②前项和公式： ；n 111,1,(1),111n n n na q S a a q a q q q q =⎧⎪=--⎨=≠⎪--⎩（3）等比数列的性质已知数列是等比数列，是其前n 项和．(m ，n ，p ，q ，r ，k ∈N*){}n a n S ①若，则；2m n p q r +=+=2m n p q r a a a a a == ②数列…仍是等比数列；23,,,,m m k m k m k a a a a +++③数列，…仍是等比数列(此时{an}的公比)．232,,n n n n n S S S S S --1q ≠-（4）等比数列的三种判定方法 （1）定义：⇔是等比数列．*1(0,)n na q q n N a +=≠∈{}n a （2）通项公式：均是不为零的常数， ⇔是等比数列．1(n n a cq c q -=、*)n N ∈{}n a(3)等比中项法：⇔是等比数列．2*1212(0,)n n n n n n a a a a a a n N ++++=⋅⋅≠∈{}n a（5）求解等比数列的基本量常用的思想方法①方程的思想：等比数列的通项公式、前n 项和公式中联系着五个量：，已知其中三个量，可以通过解方程(组)求出另外两个量；其中基本量是a1与q ，在解题中根据已知条件建立关于a1与q 的方程或者方程组，是解题的关键．1,,,,n na q n a S②分类讨论思想：在应用等比数列前n 项和公式时，必须分类求和，当时，；当时，；在判断等比数列单调性时，也必须对与分类讨论．1q =1n S na =1q ≠1(1)1n n a q S q-=-1a q 5．数列求和的常用方法（1）公式法：直接利用等差数列、等比数列的前n 项和公式求和 等差数列的前n 项和公式：Sn ＝＝na1＋d ； 等比数列的前n 项和公式：Sn ＝错误!（2）倒序相加法：如果一个数列{an}的前n 项中首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n 项和即可用倒序相加法，如等差数列的前n 项和公式即是用此法推导的．（3）错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n 项和即可用此法来求，如等比数列的前n 项和公式就是用此法推导的．（4）裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和．（5）分组转化求和法：一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组求和法，分别求和而后相加减．（6）并项求和法：一个数列的前n 项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和．形如an ＝(－1)nf(n)类型，可采用两项合并求解．例如，．222222S=-+-++-=++++++=10099989721(10099)(9897)(21)5050 n1．【2018天津南开中学模拟】已知数列是首项的等差数列，设．（1）求证：是等比数列；（2）记，求数列的前项和；（3）在（2）的条件下，记，若对任意正整数，不等式恒成立，求整数的最大值．【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）11．详解：（1）由及，得，所以．因为，所以，即．则，所以数列是首项，公比的等比数列．（2）由（1），得，所以（3）因为，则问题转化为对任意正整数使不等式恒成立．设，则．所以，故的最小值是/．由，得整数可取最大值为11．【名师点睛】该题考查的是有关数列的问题，涉及到的知识点有用定义证明等比数列，对数的运算，裂项相消法求和，恒成立问题求有关参数的取值范围和最值问题，在解题的过程中，注意对公式的正确使用以及对问题的正确理解．2．【2018天津河西区三模】已知数列的前项和为，数列是首项为1，公差为2的等差数列．（1）求数列的通项公式；（2）设数列满足，求数列的前项和．【答案】（1）；（2）．【解析】分析：（1）利用进行求解；（2）利用类似的方法求出，进而求出，再利用等比数列的求和公式进行求解．相减可得：，又，解得，时，对上式也成立，∴，∴，∴数列的前项和．【名师点睛】利用数列的通项公式和前项和公式的关系求通项时，要注意为分段函数，解题时容易忽视验证“”的通项是否满足的通项．3．【2018天津部分区二模】已知数列的奇数项依次成公比为2的等比数列，偶数项依次成公差为4的等差数列，数列的前项和为，且，．（1）求数列的通项公式；（2）令，求数列的前项和．【答案】（1）；（2）．【解析】分析：（I）设数列的奇数项的公比为，偶数项的公差为．由已知，，可得，为奇数时，，为偶数时，；（II）由（1）知．为偶数时，，为奇数时，．详解：（1）设数列的奇数项的公比为，偶数项的公差为．由已知，得．∵，∴，解得为奇数时，；为偶数时，，∴（2）由（1）知即为偶数时，为奇数时，，．【名师点睛】本题考查数列的性质和综合运用，分类讨论思想，难度较大．解题时要认真审题，仔细解答．4．【2018天津河东区二模】已知等比数列满足条件，，．（1）求数列的通项公式；（2）数列满足，，求的前项和．【答案】（1）（2）【解析】分析：第一问首先利用等比数列的通项公式得到数列的首项和公比所满足的条件，从而求得相关的值，得到该数列的通项公式；第二问利用和与项的关系，得到，，再将时的情况进行验证，得到，，之后应用错位相减法对数列求和即可得结果．详解：（1）设的通项公式为，综上，①②由①-②得到，【名师点睛】该题考查的是有关数列的通项公式与求和的问题，在求解的过程中，注意对等比数列的通项公式的应用，得到题中的数列的首项和公比所满足的条件，从而求得结果；再者就是利用和与项的关系求通项的时候，需要对首项进行验证，在应用错位相减法求和时，需要明确步骤应该怎么写．5．【2018天津河北区二模】已知等差数列{}中，=1，且，，成等比数列．（I）求数列{}的通项公式及前n项和；（II）设，求数列{}的前2n项和．【答案】（Ⅰ），（Ⅱ）【解析】分析：（Ⅰ）设等差数列{}的公差为d，由题意可求得，故可得数列的通项公式和前n项和公式．（Ⅱ）由（Ⅰ）可得，故选用分组求和的方法将数列{}的项分为计数项和偶数项两部分后再求和．详解：（I）设等差数列{}的公差为d，∵，且，，成等比数列，∴，∴当n为偶数时，，当n为奇数时，．∴数列{}的奇数项是以为首项，为公比的等比数列；偶数项是以8为首项，16为公比的等比数列．∴数列{}的前2n项的和．【名师点睛】（1）等差、等比数列的运算中，要注意五个量之间的关系，根据条件得到方程（或方程组），通过解方程（方程组）达到求解的目的．（2）数列求和应从通项入手，若通项符合等差数列或等比数列，则直接用公式求和；若通项不符合等差或等比数列，需要通过对通项变形，转化为等差或等比或可求数列前n项和的数列求解．当数列的通项中含有或的字样时，一般要分为n为奇数和n为偶数两种情况求解．6．【2018天津十二校二模】已知数列的前项和满足：，（为常数，，）．（Ⅰ）求的通项公式；（Ⅱ）设，若数列为等比数列，求的值；（Ⅲ）在满足条件（Ⅱ）的情形下，．若数列的前项和为，且对任意满足，求实数的取值范围．【答案】（1）；（2）；（3）．详解：（1）且数列是以为首项，为公比的等比数列（2）由得，因为数列为等比数列，所以，，所以， 解得．【名师点睛】裂项相消法是最难把握的求和方法之一，其原因是有时很难找到裂项的方向，突破这一难点的方法是根据式子的结构特点，常见的裂项技巧：（1）；（2） ； （3）；（4） ；此外，需注意裂项之后相消的过程中容易出现丢项或多项的问题，导致计算结果错误．7．【2018天津滨海新区七校模拟】已知数列的前项和为，满足 ()，数列满足()，且{}n a n n S 21n n S a =-*n N ∈{}n b ()()111n n nb n b n n +-+=+*n N ∈11b =（1）证明数列为等差数列，并求数列和的通项公式；n b n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭{}n a {}n b（2）若，求数列的前项和；()()()()122141132log 32log n n n n n c a a -++=-++{}n c n 2n T（3）若，数列的前项和为，对任意的，都有，求实数的取值范围．n n n d a b ={}n d n n D *n N ∈n n D nS a ≤-a【答案】（1）， ；（2）；（3）12n n a -=2n b n =11343n -+0a ≤【解析】试题分析：（1）两边同除以，得，可求得．用公式，统一成，可求得．（2）由（1），代入得 ，由并项求和可得．（3）由（1）由错位相减法可求得，代入可求．11,2{,1n n n S S n a S n --≥==n a n a 12n n a -=n c ()11112123n n n -⎛⎫=-+ ⎪++⎝⎭2nT 12n n d a n -==n D当时， ，所以． =1n 11121=S a a =-1=1a 当时， ， ，2n ≥21n n S a =--1-121n n S a =- 两式相减得，又，所以，12n n a a -=1=1a 12nn a a -= 从而数列为首项，公比的等比数列，{}n a 1=1a =2q 从而数列的通项公式为． {}n a 12n n a -=（2） ()()()41(2123n n c n n -⎛⎫+=⎪ ⎪++⎝⎭()11112123n n n -⎛⎫=-+ ⎪++⎝⎭2123212n n n T c c c c c -=++++=1111111135574143343n n n +--+--=-+++ （3）由（1）得， 12n n d a n -==()221112232122n n n D n n --=⨯+⨯+⨯+-+ ，()()2311212223212122n n n n D n n n --=⨯+⨯+⨯+-+-+因为 ，从而数列为递增数列()()1+121121n nn n d d n n +⎡⎤-=-+----⎣⎦210n =->{}n d 所以当时， 取最小值，于是．=1n n d 1=0d 0a ≤【名师点睛】本题考查知识较多，有递推公式求通项公式，及通项公式与前n 项和关系，裂项求和，并项求和，等差数列求和，错位相减法，数列与不等式交汇等，需要对数列基本知识，基本方法掌握非常好． 8．【2018天津十二模拟一】已知等比数列的前项和为，满足，，数列满足，，且．{}n a n n S 4212a a -=423+2S 3S S ={}n b ()()111n n nb n b n n +-+=+*n N ∈11b = （1）求数列，的通项公式；{}n a {}n b（2）设， 为的前项和，求．()22log 212{ 2nn na n k n n c n k=-+==，n T {}n c n 2n T【答案】（1）， ；（2）．2n n a ∴=2n b n =21166899221n n nn -+-+⨯+ 【解析】试题分析：（1）由，可推出， ，结合，即可求出数列的通项公式，再将两边同除以得，可推出数列为等差数列，从而可求出的通项公式；（2）由（1）知，利用分组求和，裂项相消法及错位相减法即可求出．423+2S 3S S =432a a =2q =4212a a -={}n a ()()111n n nb n b n n +-+=+()1n n +111n n b b n n +-=+n b n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭{}n b ()22log 2,212{2,22nn n n k n n c nn k =-+==2n T（2）由（1）知()()2211log 2,21,2122{{2,2,222nn n n n n k n k n n n n c c nnn k n k -=-=-++=⇒===∴21232n nT c c c c =++++13521111111124622133521212222n n n n -⎛⎫⎡⎤=-+-++-+++++ ⎪⎢⎥-+⎝⎭⎣⎦135212462212222n n n n -⎡⎤=+++++⎢⎥+⎣⎦设， 则， 两式相减得， 整理得．1352124622222n n A -=++++357211246242222n nA +=++++35721213222221422222n n n A -+=++++-211668992n n A -+=-⨯ ∴． 221166899221n n n nT n -+=-+⨯+ 【名师点睛】（1）分组转化法求和的常见类型主要有分段型（如 ），符号型（如 ），周期型 （如 ）；（2）用错位相减法求和的注意事项：①要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形；②在写出“”与“”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“”的表达式；③在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于1和不等于1两种情况求解．,{2,n n n n a n =为奇数为偶数()21nn a n =-πsin3n n a =n S n qS n n S qS - 9．【2018天津十二模拟二】已知正项等比数列，等差数列满足，且是与的等比中项．（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和．【答案】（1）；（2）．又，则：，解得或因为中各项均为正数，所以，进而． 故．（2）设设数列的前项和为，数列的前项和为，当为偶数时，， 当为奇数时， ， 而 ①，则②，由①-②得：，，因此， 综上：．10．【2018天津部分区期末考】已知为等差数列，且，其前8项和为52， 是各项均为正数的等比数列，且满足， ．{}n a 24a ={}n b 124b b a +=36b a = （1）求数列和的通项公式；{}n a {}n b（2）令，数列的前项和为，若对任意正整数，都有成立，求实数的取值范围．22log log n nn n nb ac a b =+{}n c n n T n 2n T n λ-<λ 【答案】（1）， ；（2）2n a n =+2n n b =3λ≥ 【解析】试题分析：立，然后根据可得结果．1132312n n ⎛⎫-+< ⎪++⎝⎭试题解析：（1）设等差数列的公差为，{}n a d 由题意得，即，解得，114{82852a d a d +=+=1134{2713a d a d +=+=13{1a d ==所以．()312n a n n =+-=+设各项均为正数的等比数列的公比为，则有，解得，所以．{}n b q 124366{8b b a b a +====12{2b q ==2n n b =（2）由（1）可知 22224422n n n n n c n n n n +++=+=++1122.2n n ⎛⎫=+- ⎪+⎝⎭111111122132411n c n n n n n ⎛++=+⨯-+-++-+- -++⎝．11212n n ⎛⎫-+ ⎪++⎝⎭，因为对任意正整数，都有成立，即对任意正整数恒成立，n 2n T n λ-<113212n n λ⎛⎫>-+ ⎪++⎝⎭n又，所以．故实数的取值范围为．1132312n n ⎛⎫-+<⎪++⎝⎭3λ≥λ[)3,+∞ 11．【2018天津一中期中考】设数列的前项和为，满足， ，且． {}n a n n S 21234n n S na n n +=--*n N ∈13a = （Ⅰ）求、的值；2a 3a （Ⅱ）求数列的通项公式{}n a【答案】（Ⅰ）， ； （Ⅱ）见解析．25a =37a =【解析】分析：（Ⅰ）分别令就可以求得， ．1,2n n ==25a =37a = （Ⅱ）根据（Ⅰ）猜测，利用数学归纳可证明该猜测．21n a n =+详解：(Ⅰ) ， ．25a =37a = （Ⅱ）由题意得，13222n n S n a n +=++ 结合①②，由归纳原理知，对任意， ．*n N ∈21n a n =+【名师点睛】与自然数有关的问题，可以用数学归纳法，在归纳假设中，我们一般设当时，命题成立，也可以假设时，命题成立，然后再证明， 也成立．n k =()P k 0n n k ≤≤()P n 1n k =+()1P k +12．【2018天津滨海新区模拟】已知数列的首项前项和为，且{}n a 15a =n n S ()*15n n S S n n N +=++∈（I ）证明数列是等比数列；{}1n a +（II ）令 求函数在点处的导数并比较 与的大小。
专题01 经典母题30题(理)(第01期)-2015年高考数学(全国通用版) Word版含解析
专题一经典母题30题(第一期)1．设复数11z i=-，则z 的共轭复数是( ) A ．11i +B ．1i +C ．11i-D ．1i - 【答案】D【解析】由题可知，i i ii z +=-=-=11112，故z ＝1＋i 的共轭复数为z ＝1－i ；2．已知函数()223f x x x =-++，若在区间[]4,4-上任取一个实数0x ，则使()00f x ≥成立的概率为()A ．1【答案】B【解析】因为f (x 0)≥0，所以－x 02＋2x 0＋3≥0，解得：－1≤x 0≤3，所以使f (x 0)≥0成立的B ．317个项中，整式的个数是()A ．1B ．3C ．5D ．7 【答案】B【解析】二项展开式的通项为，(,016)k Z k ∈≤≤，要使得它为整式，则k ＝6，8，10，故有三项，选B .4．在边长为1的正三角形ABC 中，设2BC BD = ，CA CE λ= ，若，则λ的值为()(A B )2(C D )3【答案】C【解析】由题意可得：5.设ABC∆的内角A，B，C所对边的长分别是a，b，c，且3b=，1c=，2A B=.则a 的值为()(A B C D【答案】D【解析】由题意可知：BbaBBABA cos2cossin2sin2sinsin=⇒=⇒=，所以，由余弦定理可得：Baccab cos2222-+=即122=a，6.(0ω>)的图象分别向左.向右各平移图象的对称轴重合，则ω的最小值为()A.1C.2D.4【答案】Cω＞0)为y＝2ω＞0)的图象向右平移个单位后，所得图像的解析式为②，解①得=0ω不合题意，解②得：ω＝2k ，k ∈Z ，则ω的最小值为2，故选C7.如图所示的程序框图输出的所有点都在函数()A ．1+=x y 的图像上B ．x y 2=的图像上C ．xy 2=的图像上 D ．12-=x y 的图像上【答案】D【解析】由题可知，输入x ＝1，y ＝1，由于1≤4，输出点(1，1)，进入循环， x ＝1＋1＝2，y ＝2×1＝2，由于2≤4，输出点(2，2)，进入循环， x ＝2＋1＝3，y ＝2×2＝4，由于3≤4，输出点(3，4)，进入循环， x ＝3＋1＝4，y ＝2×4＝8，由于4≤4，输出点(4，8)，进入循环，x ＝4＋1＝5＞4，循环结束；故点(2，2)，点(3，4)点(4，8)满足均在函数12-=x y 的图像上；8.对于三次函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d (a ≠0)，给出定义：设f '(x )是函数y ＝f (x )的导数，f ''(x )是f '(x )的导数，若方程f ''(x )＝0有实数解x 0，则称点(x 0，f (x 0))为函数y ＝f (x )的“拐点”．某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”，任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心。
数学高考知识点母题
数学高考知识点母题对于将要参加高考的学生而言，数学科目往往是其中最需要投入大量精力和时间准备的一门科目。
数学高考试题难度较大，需要考生熟练掌握各个知识点，并能够将这些知识点灵活运用于解题过程中。
在准备数学高考中，母题是一种非常重要且有效的复习方式。
本文将为大家介绍一些数学高考知识点的母题，并通过这些题目来加深对知识点的理解和掌握。
1. 函数函数作为数学高考中一个重要的知识点，经常出现在高考试题中。
函数的概念是理解后续相关知识点的基础，因此熟练掌握函数的定义、性质和图像是非常重要的。
下面是一道关于函数的母题：母题：已知函数 f(x) = 2x + 3，求解以下函数等式 f(x) = 4x + 1 的解。
2. 数列数列是高考数学中的一个基础知识点，通常包括等差数列和等比数列。
在解数列相关的问题时，学生需要掌握数列的递推关系、通项公式、前n项和等的计算等。
以下是一道关于数列的母题：母题：已知等差数列 {an} 的公差为 3，当 a1 = 2 时，求首项为 100的项 an 的值。
3. 几何几何是数学高考中必考的一个重要知识点，其中平面几何和空间几何是其中的核心内容。
在解几何相关的问题时，学生需要掌握几何图形的性质、坐标系的应用、面积和体积的计算等。
以下是一道关于几何的母题：母题：已知三角形 ABC 中，AB = 5，BC = 7，AC = 8，求三角形ABC 的面积。
4. 概率与统计概率与统计是高考数学中的一项重要内容，包括了概率的计算和统计的分析等。
在解概率与统计相关的问题时，学生需要掌握事件的概率计算、条件概率、期望和方差的计算等。
以下是一道关于概率与统计的母题：母题：甲、乙两个人射击目标，甲命中率为 0.6，乙命中率为 0.4。
若甲和乙轮流射击，甲先射，直至其中一人打中为止，求甲先打中的概率。
通过以上的数学高考知识点的母题，我们可以看到不同知识点所对应的典型题型和解题方法。
在准备数学高考时，我们可以通过做这些母题来检验自己的练习是否扎实，同时也能够加深对知识点的理解和掌握程度。
专题12 构造函数比较大小-备战2022年高考数学(理)母题题源解密(全国乙卷)(解析版)
专题12 构造函数比较大小【母题来源】2021年高考乙卷【母题题文】设2ln1.01a =，ln1.02b =，1c =-．则（ ） A ．a b c << B ．b c a <<C ．b a c <<D ．c a b <<【答案】B【试题解析】()()2222ln1.01ln1.01ln 10.01ln 120.010.01ln1.02a b ===+=+⨯+>=,所以b a <;下面比较c 与,a b 的大小关系.记()()2ln 11f x x =+,则()00f =,()2121x f x x -='=+ 由于()()2214122x x x x x x +-+=-=-所以当0<x <2时，()21410x x +-+>,()1x >+,()0f x '>,所以()f x 在[]0,2上单调递增，所以()()0.0100f f >=,即2ln1.011>,即a c >;令()()ln 121g x x =+,则()00g=,()212212x g x x -==+', 由于()2214124x x x +-+=-，在x >0时,()214120x x +-+<,所以()0g x '<,即函数()g x 在[0,+∞)上单调递减，所以()()0.0100gg <=,即ln1.021,即b <c ; 综上，b c a<<, 故选：B.【命题意图】高考对本部分内容的考查主要是指数式、对数式的互化以及构造函数比较大小，以能力为主，重点考查函数的单调性．主要体现在以下几个方面： （1）掌对数的四则运算.（2）将各个值中的共同的量用变量替换，构造函数，利用导数研究相应函数的单调性，进而比较大小. （3）考查导数的概念、导数公式、求导法则、导数的应用，考查数学式子的变形能力、运算求解能力、化归与转化思想及分析问题与解决问题的能力． 【命题方向】从全国看，高考在逐年加大对导数问题的考查力度，问题的难度、深度与广度在不断加大，对本部分的要求一般有三个层次：第一层次主要考查求导公式，求导法则与导数的几何意义；第二层次是导数的简单应用，包括求函数的单调区间、极值、最值等；第三层次是综合考查，如零点、证明不等式、恒成立问题、求参数等，包括解决应用问题，将导数内容和传统内容中有关不等式、数列及函数单调性有机结合，设计综合题. 【得分要点】（1）运用对数式的运算公式比较a 、b 的大小 （2）将各个值中的共同的量用变量替换，构造函数 （3）利用导数研究相应函数的单调性，进而比较大小 比较大小常用方法： 模板一：利用函数单调性同底的指数式和对数式以及同指数的指数式的大小，可以利用函数的单调性来比较，即 （1）比较形如m a 与n a 的大小，利用指数函数xy a =的单调性；（2）比较形如log a m 与log a n 的大小，利用对数函数log a y x =的单调性； （3）比较形如m a 与mb 的大小，利用幂函数my x =的单调性. 模板二：中间桥梁法既不同底又不同指的指数式、对数式比较大小，不能直接利用函数的单调性来比较，可利用特殊数值作为中间桥梁，进而可比较大小.（1）比较形如m a 与n b 的大小，一般找一个“中间值c ”，若m a c <且n c b <，则m na b <；若m a c >且n c b >，则m na b >.常用到的特殊值有0和1.(00log 1,1log ,1a a a a ===)（2）比较形如m a 与n b 的大小，一般可以取一个介于两值中间且与题目中两数都能比较大小的一个中间值，即n a 或者m b ，进而利用中间值解決问题.一、单选题1．（2021·辽宁锦州市·高三一模）已知实数a ，b ，c 满足ln a b ca b ce e e ==-且1a >，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．a b c >> B ．a c b >> C ．b c a >> D ．b a c >>【答案】A 【分析】首先由1a >得出1,0b c ><，排除两个选项，然后引入函数()ln f x x x =-，利用导数得单调性，引入函数设()x xh x e=，由导数得单调性，然后比较,a b 的大小得出结论． 【详解】解：∵实数a ，b ，c 满足ln a b ca b ce e e ==-，1a >， ∵1b >，0c <，则排除B ，C 选项， 令()lnf x x x =-， 所以()1x f x x-'=， ∵()f x 在01x <<上单调递减，在1x <上单调递增， ∵()()11f x f ≥=，即ln x x <，∵ln b b b be e <， ∵a b a b e e<，设()x x h x e =，()10x xh x e -'=<，()h x 在1x >上单调递减，则()()h a h b <，∵a b >，排除D 选项. 故选：A.关键点点睛：本题考查实数的大小比较，解题方法利用指数函数、对数函数的性质，构造新函数，由导数研究单调性，结合中间值b be，比较,a b 大小． 2．（2020·黑龙江高二期末（理））已知3,ln 3ln a b ππ==，c ＝e （e 为自然对数的底数），则a 、b 、c 的大小关系是（ ） A ．a ＞b ＞c B ．c ＞a ＞bC ．c ＞b ＞aD ．b ＞a ＞c【答案】D 【分析】 构造函数()(0)ln xf x x x=>，利用导数判断函数单调性，即可求解. 【详解】 设()(0)ln xf x x x=>， 则2ln 1()(ln )x f x x -'=令()0f x '=解得x e =当0x e <<时，()0,()f x f x '<单调递减， 当(,)x e ∈+∞时，()0,()f x f x '>单调递增， 又因为3e π<<， 所以3ln ln 3ln e e e ππ=<<，即b ＞a ＞c 故选：D 【点睛】本题主要考查了利用导数判断函数的单调性，由单调性判断函数值的大小，属于中档题.3．（2020·哈师大阿城学院附中高二期中（文））已知函数()f x 在R 上都存在导函数()f x '，对于任意的实数都有2()()x f x e f x -=，当0x <时，()()0f x f x +'>，若()2ln2a f =，(1)f b e -=，11(ln )44c f =，则a ，b ，c 的大小关系是（ ） A ．a c b >> B ．a b c >> C ．c b a >> D ．c a b >>【答案】B()()x g x e f x =，利用导数研究()g x 的奇偶性、单调性，利用奇偶性、单调性比较大小.【详解】令()()x g x e f x =，因为0x <时，()()0f x f x +'>，所以当0x <时，''()(()())0xg x e f x f x =+>，又2()()x f x e f x -=， 所以()()()()x x g x e f x e f x g x --=-==，所以()g x 为偶函数，所以()g x 在(,0)-∞上单 调递增，在(0,)+∞上单调递减，又()2ln2(ln2)a f g ==，(1)(1)(1)f b g g e-==-=， 111(ln )(ln )(ln 4)444c f g g ===，所以a b c >>. 故选：B 【点睛】本题主要考查构造函数比较大小的问题，涉及到函数的单调性、奇偶性，考查学生逻辑推理能力，数学运算能力，是一道中档题.4．（2020·宁夏银川市·银川一中高三二模）已知函数()f x 在R 上都存在导函数()f x '，对于任意的实数x都有()()2x f x e f x -=，当0x <时，()()0f x f x +'>，若()2ln2a f =，()1f b e-=，11ln 44c f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则a ，b ，c 的大小关系是 A ．a c b << B ．a b c >> C ．c b a >> D ．c a b >>【答案】B 【分析】构造函数()()xg x e f x =，结合已知可判断函数的奇偶性及单调性，然后即可求解不等式．【详解】令()()xg x e f x =，∵当0x <时，()()0f x f x +'>， 则()()()0,0xg x e f x f x x '=+'>⎤⎣⎦<⎡， 所以当0x <时，函数()g x 单调递增；因为对于任意的实数x 都有()()()()2=x x x f x e e f x e f x f x --=⇔-， 所以()()()()()2xx x x g x ef x e f x e f x eg x ---=-=⋅=⋅= 即()g x 为偶函数，所以当0x >时，函数()g x 单调递减， 又()()()ln22ln2ln2ln2a f ef g ===，()()()()11111f b e f g g e--==-=-=，()()1ln 41111ln ln ln ln 4ln 44444c f e f g g g ⎛⎫⎛⎫⎛⎫====-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 又ln 41ln 2>>，所以()()()ln 41ln 2g g g <<，即a b c >>． 故选：B ． 【点睛】本题主要考查导数在函数单调性中的应用，解题的关键是构造函数g （x ）并判断出单调性及奇偶性．5．（2021·全国高二期末）设ln ,5ln5a b c ππ===，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A ．a b c >>B ．a c b >>C ．b a c >>D ．b c a >>【答案】C 【分析】 令()ln xf x x=，利用导数可得()f x 在(),e +∞单调递减，即可比较大小. 【详解】 令()ln x f x x =，则()21ln xf x x -'=， 当x e >时，()0f x '<，即()f x 在(),e +∞单调递减，()()()ln 2ln 4ln ln 5ln 4,,5245a fb fc f πππ========， ()()()45f f f π∴>>，即b a c >>.故选：C. 【点睛】关键点睛：解决本题得关键是构造函数()ln xf x x=，根据导数求出单调性，利用单调性比较.6．（2021·江西抚州市·临川一中高三其他模拟（理））已知ln 55a =，1b e=，ln 44c =，则a ，b ，c 的大小顺序为（ ） A ．a c b << B ．c a b <<C ．a b c <<D ．b a c <<【答案】A 【分析】 构造函数()ln xf x x=，根据单调性比较大小即可. 【详解】令()ln xf x x=，则()ln 555a f ==，()ln e b f e e ==，()ln 444c f ==，而()21ln 'xf x x -=且0x >，即()0,x e ∈时()f x 单调增，(),x e ∈+∞时()f x 单调减， ∵45e <<，则a c b <<. 故选：A.7．（2020·四川成都市·树德中学高二期中（理））下列三个数：33ln 22a =-，lnb ππ=-，ln 33c =-，大小顺序正确的是（ ） A ．a c b >> B ．a b c >>C ．b c a >>D ．b a c >>【答案】A 【分析】构造函数()ln f x x x =-，对其求导，判断单调性，进而可得出结果. 【详解】构造函数()ln f x x x =-， 因为1()10f x x'=-<对一切(1,)x ∈+∞恒成立， 所以函数()ln f x x x =-在(1,)x ∈+∞上是减函数，从而有3(3)()2f f f π⎛⎫>> ⎪⎝⎭， 即a c b >>. 故选：A ． 【点睛】本题主要考查根据函数单调性比较大小，涉及导数的方法判断函数单调性，属于常考题型.8．（2021·全国高三专题练习）已知a 、b 满足0a b e <<<，则ln +ba a a 与ln +ab b b的大小关系为（ ） A ．ln ln +>+a ba ba b a b B ．ln ln +=+a ba b a b a bC ．ln ln +<+a ba b a b a bD ．不能确定【答案】C 【分析】构造函数()ln x f x x =，利用导数分析出函数()f x 在区间()0,e 上单调性，可比较出ln a a 与ln bb的大小关系，再利用对数函数的单调性可得出b a 与a b 的大小关系，进而可得出ln +b a a a 与ln +ab b b的大小关系.【详解】 令()ln x f x x =，其中0x e <<，则()21ln xf x x-'=，当0x e <<时，()0f x '>. 所以，函数()f x 在区间()0,e 上单调递增，0a b e <<<，()()f a f b ∴<，即ln ln a ba b<，即ln ln b a a b <，即ln ln b a a b <，可得b a a b <， 所以，ln ln +<+a ba ba b a b. 故选：C. 【点睛】思路点睛：解答比较函数值大小问题，常见的思路有两个： （1）判断各个数值所在的区间； （2）利用函数的单调性直接解答.数值比较多的比较大小问题也也可以利用两种方法的综合应用.9．（2020·全国高三其他模拟（理））给出以下不等关系：ln 2>；ln 2<；∵3eln 2>∵15>，e 为自然对数的底数，其中正确的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B 【分析】 引入函数()f x=由导数确定函数的单调性，然后由()(2)f e f >，()(4)f e f <，22(8)()f f e e <=，(15)(16)f f >分别判断各选项，得出结论．【详解】 构造函数()f x=0x >，则()11ln 2f x x ⎫'=-⎪⎭，由()0f x '>可得11ln 02x ->，解得20e x <<；由()0f x '<可得11ln 02x -<，解得2e x >.所以函数()f x 在()20,e 上为增函数，在()2e ,+∞上为减函数.对于∵，由2e e 2>>，可得()()e 2f f >ln 2<=⇔>，，所以∵正确； 对于∵，由2e 4e <<可得()()e 4f f <ln 2<⇔<，所以∵正确；对于∵，由()()2max 2ee f x f ==可得()28ef <23ln 2e <⇔<，所以∵错误；对于∵，由2e 1516<<可得()()1516f f >，ln 2ln152>=⇔>，也即15>所以∵错误. 故选：B ． 【点睛】关键点点睛：本题考查比较大小，解题关键是引入新函数()f x=，利用导数确定单调性后，由函数单调性得出函数值大小．10．（2020·黑龙江哈尔滨市·高三月考（理））已知0.2log 0.3a =， 1.1log 0.3b =，0.11.1c =，则a ，b ，c 的大小关系是（ ） A ．a b c << B ．b a c << C ．c a b << D ．b c a <<【答案】B 【分析】分别利用对数函数指数函数的单调性和0,1比较大小即可得解. 【详解】由0.20.20.2log 1log 0.3log 0.2<<，可得01a <<， 由 1.1 1.1log 0.3log 10b =<=，0.101.111.1c >==， 可得：b a c <<. 故选：B. 【点睛】本题主要考查了利用对数函数和指数函数的单调性比较大小，属于基础题.11．（2021·石嘴山市第三中学高三其他模拟（文））已知322a =，232b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，23log 2c =，则a ，b ，c 的大小关系是（ ） A ．a b c >> B ．b a c >> C ．a c b >> D ．b c a >>【答案】A 【分析】根据指对数的性质，比较指数式、对数式的大小. 【详解】2322330log 122942c b a ⎛⎫<=<<== ⎪⎝=<=⎭∵a b c >>. 故选：A.12．（2020·浙江衢州市·高一期末）已知202112020a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，120202021b =，12020log2021c =，则a 、b 、c 的大小关系是（ ） A ．a b c << B ．a c b <<C ．c a b <<D ．c b a <<【答案】C 【分析】利用指数函数、对数函数的单调性比较a 、b 、c 三个数与0、1的大小关系，由此可得出a 、b 、c 三个数的大小关系. 【详解】00221111*********a <⎛⎫⎛⎫<= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=，102020120212021b >==，1120202020log 2021log 10c =<=， 因此，c a b <<.故选：C. 13．（2020·广东佛山市·佛山一中高一月考）已知()()1log 2n a n +=+，()()2log 3n b n +=+()n N *∈，0.51log 0.52c =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A ．a b c >>B ．a c b >>C ．b a c >>D ．b c a >> 【答案】A【分析】 化简()()21log 1n n a+=+，利用作商法及基本不等式判断大小关系即可. 【详解】 解：1n ≥，∴1a >，1b >， ∴()()21log 1n n a+=+， ∴()()()()()()()()22222log 1log 3log 1log 32n n n n n n b n n a +++++++⎡⎤=+⋅+<⎢⎥⎢⎥⎣⎦ ()22222(2)log (2)1log (43)122n n n n n ++⎡⎤+-⎡⎤++==<⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦， ∴b a <.0.510.51log 0.52log 0.511c =<=，∴a b c >>.故选：A.【点睛】本题考查对数的运算及基本不等式的应用，属于中档题.解决该类比较大小的题的相应方法如下： ()1特殊值法：代入特殊值直接比较大小；()2数形结合法：画出大致图象判断大小；()3作差法：两者做差判断正负；()4作商法：两者相除判断与1的大小.14．（2020·浙江高一期末）已知2log 3a =，2log b e =，ln 2c =，则a ，b ，c 的大小关系为． A ．c a b >>B ．c b a >>C ．b a c >>D ．a b c >>【答案】D【分析】根据指数函数的的单调性判断可得；【详解】解：因为函数2log y x =，ln y x =在定义域上单调递增，又32e >>，所以222log 3log log 21e >>=，所以1a b >>，ln ln 2e >，所以1c <所以a b c >>故选：D。
高考数学母题
高考数学母题1. 引言高考是中国学生求学生涯中最为重要的考试之一，数学也是高考科目中的一门重要考试科目。
对于绝大多数学生来说，高考数学的备考是一项重要且复杂的任务。
而在备考数学的过程中，做好母题的训练是至关重要的。
本文将围绕高考数学母题展开讨论，介绍其定义、作用和如何正确进行母题训练。
2. 高考数学母题的定义高考数学母题是指在高考试卷中经常出现且难度较大的一类题目。
这类题目通常包含多个知识点和解题方法，有一定的创新性和探索性。
高考数学母题在试卷中所占的比例相对较小，但对于高考成绩的提升却起到了至关重要的作用。
3. 高考数学母题的作用3.1 能力的检验高考数学母题的出现，旨在检验学生对数学知识的掌握程度和解题能力。
这类题目往往要求学生在各个知识点的基础上进行综合运用，考察学生的数学思维、逻辑推理和问题解决能力。
通过解答高考数学母题，可以系统性地检验学生在数学领域的能力。
3.2 提升解题能力高考数学母题的难度相对较高，解答时需要学生运用多种方法和思路。
通过对母题的训练，学生能够提升解题能力，培养创新思维和问题解决能力。
在解题过程中，学生需要运用各种数学工具和技巧，培养灵活运用数学知识的能力。
3.3 增强应试能力高考数学母题在难度上和思维上与常规题目有所不同，能够在一定程度上突破学生的思维定势。
通过解决母题，学生能够逐渐适应高难度题目的解题思路和思维逻辑，增强应试能力，应对高考数学试卷中的各类题目。
4. 如何正确进行高考数学母题训练4.1 多角度分析在解答高考数学母题时，学生应该从多个角度进行分析。
首先，需要仔细阅读题目，理解问题的意思和要求。
然后，分析题目中涉及到的知识点，并找出解题的关键。
最后，结合已学的数学知识，灵活运用解题思路和方法，得出正确的解答。
4.2 反复练习高考数学母题的解答并不是一蹴而就的过程，需要学生进行反复的练习。
在初次解答完母题后，学生应该对解答过程和结果进行深入分析，找出解题中存在的问题和不足之处，并进行针对性的训练。
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2014年高考解答题数学母题1.（三角函数母题）已知函数．（1）求函数的最小值和最小正周期；（2）设的内角的对边分别为且，，若，求的值．解析：（1），则的最小值是，最小正周期是；（2），则，，，，，由正弦定理，得，由余弦定理，得，即，由解得．点评：高考三角类解答题无非就是两种，（1）三角函数题——考查三角函数的性质或图像；（2）是解三角形，有点省份也会考解三角形的应用题。
2．（概率母题）形状如图所示的三个游戏盘中（图（1）是正方形，M、N分别是所在边中点，图（2）是半径分别为2和4的两个同心圆，O为圆心，图（3）是正六边形,点P为其中心）各有一个玻璃小球，依次摇动三个游戏盘后，将它们水平放置，就完成了一局游戏．（I）一局游戏后，这三个盘中的小球都停在阴影部分的概率是多少？（II）用随机变量表示一局游戏后，小球停在阴影部分的事件数与小球没有停在阴影部分的事件数之差的绝对值，求随机变量的分布列及数学期望．解析：（I）“一局游戏后，这三个盘中的小球都停在阴影部分”分别记为事件A1、A2、A3，由题意知，A1、A2、A3互相独立，且P(A1)，P(A2)，P(A3)，P(A1 A2 A3)= P(A1) P(A2) P(A3)××（II）一局游戏后，这三个盘中的小球都停在阴影部分的事件数可能是0，1，2，3，相应的小球没有停在阴影部分的事件数可能取值为3，2，1，0，所以ξ可能的取值为1，3，则P(ξ=3)= P(A1 A2 A3)+ P()=P(A1) P(A2) P(A3)+ P()P()P()××+ ××，P(ξ=1)=1－=．所以分布列为数学期望Eξ=1×+3×=．点评：概率题主要考察茎叶图、抽样方法、直方图、统计案例、概率、随机变量的分布列以及数学期望等基础知识，试题多考查运用概率统计知识解决简单实际问题的能力，数据处理能力和应用意识。
3（立体几何母题）．如图，四棱锥S ABCD -的底面是正方形，SD ⊥平面ABCD ，SD AD a ==，点E 是SD 上的点，且()01DE a λλ=<≤. （1）求证：对任意的(]0,1λ∈，都有AC⊥BE； （2）若二面角C-AE-D 的大小为60，求λ的值.解析：（1）如图建立空间直角坐标系D xyz -，则()()()()(),0,0,,,0,0,,0,0,0,0,0,0,A a B a a C a D E a λ，()(),,0,,,AC a a BE a a a λ=-=-- ，∴0AC BE ∙=对任意(]0,1λ∈都成立，即AC⊥BE 恒成立；（2）显然()10,1,0n = 是平面ADE 的一个法向量，设平面ACE 的一个法向量为()2,,n x y z =，∵()(),,0,,0,AC a a AE a a λ=-=-，∴22000000n AC ax ay x y ax az x z n AE λλ⎧∙=-+=-=⎧⎧⎪⇒⇒⎨⎨⎨-+=-=∙=⎩⎩⎪⎩ ，取1z =，则x y λ==， ()()2,,,,1n x y z λλ==， ∵二面角C-AE-D 的大小为60 ，∴(]1212121cos ,,0,122n n n n n n λλ∙===∈⇒=，∴2λ=为所求。
点评：空间几何体的解答题一般以柱体或锥体为背景，考查线面、面面关系，空间角和距离等，主要用向量方法来处理。
4（解析几何母题）．在平面直角坐标系内已知两点(1,0)A -、(1,0)B ，若将动点(,)P x y 的横坐标保持不变，()Q x ，且满足1AQ BQ ⋅=. （Ⅰ）求动点P 所在曲线C 的方程；（Ⅱ）过点B作斜率为l 交曲线C 于M 、N 两点，且0OM ON OH ++= ，又点H 关于原点O 的对称点为点G ，试问M 、G 、N 、H 四点是否共圆？若共圆，求出圆心坐标和半径；若不共圆，请说明理由.解析：（Ⅰ）设点P 的坐标为(,)x y ，则点Q的坐标为()x ，依据题意，有(),().AQ x BQ x =+=- 221,12 1.AQ BQ x y ⋅=∴-+=∴动点P 所在曲线C 的方程是22 1.2x y +=（Ⅱ）因直线l 过点B，且斜率为k =，故有:1).l y x =-联立方程组22121)x y y x ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，消去y ，得22210.x x --=设11(,)M x y 、22(,)N x y ，可得1212112x x x x +=⎧⎪⎨=-⎪⎩，于是12121x x y y +=⎧⎪⎨+=⎪⎩.又0OM ON OH ++= ，得1212(,),OH x x y y =----即(1,H -而点G 与点H关于原点对称，于是，可得点G 若线段MN 、GH 的中垂线分别为1l 和2l，GH k =121:),:.2l y x l y =-=联立方程组1)2y x y ⎧-⎪⎨⎪=⎩，解得1l 和2l的交点为11(,8O因此，可算得1||O H =1||O M == 所以M 、G 、N 、H四点共圆，且圆心坐标为11(,8O（第5题）5（解析几何母题）．如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线的顶点在原点，焦点为F （1，0）．过抛物线在x 轴上方的不同两点A 、B 作抛物线的切线AC 、BD ，与x 轴分别交于C 、D 两点，且AC 与BD 交于点M ，直线AD 与直线BC 交于点N ． （1）求抛物线的标准方程； （2）求证：MN ⊥x 轴；（3）若直线MN 与x 轴的交点恰为F （1，0），求证：直线AB 过定点．解析：（1）设抛物线的标准方程为22(0)y px p =>， 由题意，得12p=，即2p =． 所以抛物线的标准方程为24y x =．（2）设11( )A x y ，，22( )B x y ，，且10y>，20y >． 由24y x =（0y >），得y=y '=． 所以切线AC 的方程为11)y y x x -=-，即1112()y y x x y -=-．整理，得112()yy x x =+， ① 且C 点坐标为1( 0)x -，． 同理得切线BD 的方程为222()yy x x =+，②且D 点坐标为2( 0)x -，． 由①②消去y ，得122112M x y x y x -=． 又直线AD 的方程为1212()y y x x =+，③直线BC 的方程为2112()y y x x x x =++． ④ 由③④消去y ，得122112N x y x y x y y -=-． 所以M N x x =，即MN ⊥x 轴．（3）由题意，设0(1 )M y ，，代入（1）中的①②，得0112(1)y y x =+，0222(1)y y x =+．所以1122( ) ( )A x y B x y ，，，都满足方程02(1)y y x =+． 所以直线AB 的方程为02(1)y y x =+．故直线AB 过定点(1 0)-，．点评:新课标高考中，解析几何大题多考椭圆和抛物线，常和向量等结合考查其轨迹、标准方程、简单的几何性质等基础知识，同时考查了学生运算求解、推理论证的能力．6（导数母题1）． 已知2()ln ,()3f x x x g x x ax ==-+-． (1) 求函数()f x 在[,2](0)t t t +>上的最小值；(2) 对一切(0,)x ∈+∞，2()()f x g x ≥恒成立，求实数a 的取值范围； (3) 证明：对一切(0,)x ∈+∞，都有12ln xx e ex>-成立．解析： (1) '()ln 1f x x =+，当1(0,)x e ∈，'()0f x <，()f x 单调递减，当1(,)x e ∈+∞，'()0f x >，()f x 单调递增．① 102t t e<<+<，t 无解；② 102t t e <<<+，即10t e <<时，min 11()()f x f e e==-； ③ 12t t e ≤<+，即1t e≥时，()f x 在[,2]t t +上单调递增，min ()()ln f x f t t t ==；所以min110()1ln t e e f x t t t e ⎧-<<⎪⎪=⎨⎪≥⎪⎩， ，． (2) 22ln 3x x x ax ≥-+-，则32ln a x x x≤++， 设3()2ln (0)h x x x x x =++>，则2(3)(1)'()x x h x x +-=，(0,1)x ∈，'()0h x <，()h x 单调递减，(1,)x ∈+∞，'()0h x >，()h x 单调递增，所以min ()(1)4h x h ==．因为对一切(0,)x ∈+∞，2()()f x g x ≥恒成立，所以min ()4a h x ≤=． （3） 问题等价于证明2ln ((0,))x x x x x e e>-∈+∞，由⑴可知()ln ((0,))f x x x x =∈+∞的 最小值是1e -，当且仅当1x e=时取到．设2()((0,))x x m x x e e =-∈+∞，则1'()xx m x e -=，易得max1()(1)m x m e ==-，当且仅当1x =时取到，从而对一切(0,)x ∈+∞，都有12ln xx e ex>-成立．7（导数母题2）．已知函数()(,)mx x nf x m n R +=∈在1x =处取得极值2.⑴求()f x 的解析式；⑵设A 是曲线()y f x =上除原点O 外的任意一点,过OA 的中点且垂直于x 轴的直线交曲线于点B ,试问：是否存在这样的点A ,使得曲线在点B 处的切线与OA 平行？若存在,求出点A 的坐标；若不存在,说明理由；⑶设函数2()2g x x ax a =-+,若对于任意1x R ∈,总存在2[1,1]x ∈-,使得21()()g x f x ≤,求 实数a 的取值范围. 解析：⑴∵2()mx x nf x +=,∴22()2()()()m x n mx xmn mx x n x n f x +-⋅-++'==.又()f x 在1x =处取得极值2.∴(1)0(1)2f f '=⎧⎨=⎩,即2(1)(1)102m n n m n -++⎧=⎪⎨=⎪⎩,解得1n =,4m =,经检验满足题意,∴241()x x f x +=.⑵由⑴知22244(1)()xx f x -+'=.假设存在满足条件的点A ,且02041(,)x x A x +,则041OA x k +=,又202022220044()16(4)22(4)[()1]2()x x x x x f --++'==.则由02()OA x k f '=,得202220016(4)41(4)x x x -++=,∴420054x x =,∵00x ≠, ∴2045x =,得05x =±.故存在满足条件的点A ,此时点A的坐标为59(或59(--.⑶4(1)(1)(1)()x x x f x -+-+'=,令()0f x '=,得1x =-或1x =.当x 变化时,()f x '、()f x 的变化情况如下表：∴f 又0x >时,()0f x >,∴()f x 的最小值为(1)2f -=-.∵对于任意的1x R ∈,总存在2[1,1]x ∈-,使得21()()g x f x ≤,∴当[1,1]x ∈-时,()g x 最小值不大于2-.又222()2()g x x ax a x a a a =-+=-+-.∴当 1a ≤-时,()g x 的最小值为(1)13g a -=+,由132a +≤-,得1a ≤-； 当1a ≥时,()g x 最小值为(1)1g a =-,由12a -≤-,得3a ≥；当11a -<<时,()g x 的最小值为2()g a a a =-.由22a a -≤-,即220a a --≥,解得1a ≤-或2a ≥.又11a -<<,∴此时a 不存在.综上,a 的取值范围是(,1][3,)-∞-+∞ .另解：同解法1得()f x 的最小值为2-.∵对于任意的1x R ∈,总存在2[1,1]x ∈-,使得21()()g x f x ≤,∴当[1,1]x ∈-时,2()22g x x ax a =-+≤-有解,即2(21)2x a x -≥+在[1,1]-上有解.令21x t -=,则22214t t x ++=,∴2294,[3,1]t t at t ++≥∈-.∴当[3,0)t ∈-时,19119424(2)[()()]1tta t t ≤++=--+-≤-；当0t =时,得940≥,不成立,∴a 不存在；当(0,1)t ∈时,194(2)ta t ≥++.令9()2,(0,1]tt t t ϕ=++∈,∵(0,1]t ∈时,9()10tx ϕ'=-<,∴()t ϕ在(0,1]上为减函数,∴()(1)12t ϕϕ≥=,∴14123a ≥⨯=.综上,a 的取值范围是(,1][3,)-∞-+∞ .点评:导数题常放在高考解答题的最后一题，主要考查导数的几何意义、导数的求法以及导数在研究函数的性质和证明不等式等方面的应用，考查等价转化、分类讨论等数学思想方法以及分析问题与解决问题的能力．选修4-4：坐标系与参数方程母题在直角坐标系xoy 中，直线l的参数方程为3,22x t y t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）。