高考数学大二轮复习第二编专题整合突破专题二函数与导数第三讲导数的简单应用课件文

2.根据函数的单调性求参数取值范围的思路 (1)求 f′(x)． (2)将单调性转化为导数 f′(x)在该区间上满足的不等 式恒成立问题求解．
考点 利用导数研究函数的极值与最值 典例示法 题型 1 求函数的极值(最值) 典例 5 [2016·合肥质检]已知函数 f(x)＝e1－x(2ax－ a2)(其中 a≠0)． (1)若函数 f(x)在(2，＋∞)上单调递减，求实数 a 的取 值范围； (2)设函数 f(x)的最大值为 g(a)，当 a>0 时，求 g(a)的最 大值．
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考点 导数的几何意义
典例示法
典例 1 (1)[2016·山东高考]若函数 y＝f(x)的图象上
存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则
称 y＝f(x)具有 T 性质．下列函数中具有 T 性质的是( )
A．y＝sinx B．y＝ln x
C．y＝ex
D．y＝x3
[解析] 设函数 y＝f(x)图象上两点的横坐标为 x1，x2. 由题意知只需函数 y＝f(x)满足 f′(x1)·f′(x2)＝－1(x1≠x2)即 可．y＝f(x)＝sinx 的导函数为 f′(x)＝cosx，f′(0)·f′(π)＝ －1，故 A 满足；y＝f(x)＝ln x 的导函数为 f′(x)＝1x， f′(x1)·f′(x2)＝x11x2>0，故 B 不满足；y＝f(x)＝ex 的导函数 为 f′(x)＝ex，f′(x1)·f′(x2)＝ex1＋x2>0，故 C 不满足；y ＝f(x)＝x3 的导函数为 f′(x)＝3x2，f′(x1)·f′(x2)＝9x12x22≥0， 故 D 不满足．故选 A.
(3)已知切线上一点(非切点)，求 y＝f(x)的切线方程： 设切点 P(x0，y0)，利用导数求得切线斜率 f′(x0)，然后 由斜率公式求得切线斜率，列方程(组)解得 x0，再由点斜式 或两点式写出方程． 2．利用切线(或方程)与其他曲线的关系求参数 已知过某点切线方程(斜率)或其与某线平行、垂直，利 用导数的几何意义、切点坐标、切线斜率之间的关系构建方 程(组)或函数求解．
且21m>1，由 g′(x)>0，得 0<x<1 或 x>21m；
由
g′(x)<0，得
1 1<x<2m.
故当 x 在(0，＋∞)上变化时，g′(x)、g(x)的变化情况
如下表：
x (0,1) 1
g′ ＋
0
(x)
1，21m －
1 2m
21m，＋∞
0
＋
g(x)
极大值
极小值
2．函数的单调性 在某个区间(a，b)内，如果 f′(x)>0(f′(x)<0) ，那 么函数 y＝f(x)在这个区间内单调递增(单调递减)．
3．函数的极值 设函数 f(x)在点 x0 附近有定义，如果对 x0 附近所有的 点 x，都有 f(x)<f(x0) ，那么 f(x0)是函数的一个极大值， 记作 y 极大值＝f(x0)；如果对 x0 附近的所有的点都有 f(x)>f(x0) ，那么 f(x0)是函数的一个极小值，记作 y 极小值 ＝f(x0)．极大值与极小值统称为极值． 4．函数的最值 将函数 y＝f(x)在[a，b]内的 各极值 与 端点处的函数值 f(a)，f(b)比较 ，其中 最大的一个是最大
(2)[2015·陕西高考]设曲线 y＝ex 在点(0,1)处的切线与曲 线 y＝1x(x>0)上点 P 处的切线垂直，则 P 的坐标为__(_1_,1_)___．
[解析] y′＝ex，则 y＝ex 在点(0,1)处的切线的斜率 k 切 ＝1，又曲线 y＝1x(x>0)上点 P 处的切线与 y＝ex 在点(0,1)处 的切线垂直，所以 y＝1x(x>0)在点 P 处的切线的斜率为－1， 设 P(a，b)，则曲线 y＝1x(x>0)上点 P 处的切线的斜率为 y′|x ＝a＝－a－2＝－1，可得 a＝1，又 P(a，b)在 y＝1x上，所以 b ＝1，故 P(1,1)．
根据上表知 g21m<0. 又 g(x)＝mxx－2＋m1 ＋m＋ln x＋1.
∴g2＋m1 >0， 故在21m，＋∞上，函数 g(x)又有一个零点，不符合题 意． 综上所述，m＝12.
1．导数与单调性之间的关系 (1)导数大(小)于 0 的区间是函数的单调递增(减)区间． (2)函数 f(x)在 D 上单调递增⇔∀x∈D，f′(x)≥0 且 f′(x)在区间 D 的任何子区间内都不恒为零； 函数 f(x)在 D 上单调递减⇔∀x∈D，f′(x)≤0 且 f′(x) 在区间 D 的任何子区间内都不恒为零．
[解] (1)由 f(x)＝e1－x(2ax－a2)， 得 f′(x)＝－e1－x(2ax－a2)＋2ae1－x＝－e1－x(2ax－a2－ 2a)＝0，又 a≠0，故 x＝1＋2a， 当 a>0 时 ， f(x) 在 －∞，1＋2a 上 为 增 函 数 ， 在 1＋2a，＋∞上为减函数，∴1＋2a≤2，即 a≤2， ∴0<a≤2；当 a<0 时，不合题意， 故 a 的取值范围为(0,2]．
第二编 专题整合突破
专题二 函数与导数
第三讲 导数的简单应用
主干知识整合
[必记公式]
1．基本初等函数的八个导数公式
原函数
导函数
f(x)＝C(C 为常数) f(x)＝xα(α∈R)
f′(x)＝ 0 f′(x)＝ αxα－1
f(x)＝sinx f(x)＝cosx
f′(x)＝ cosx f′(x)＝ －sinx
解得ab＝ ＝－ －12，. ∴a＋b＝－3.
考点 利用导数研究函数的单调性 典例示法 题型 1 利用导数研究函数的单调性(单调区间) 典例 2 [2015·重庆高考]已知函数 f(x)＝ax3＋x2(a∈ R)在 x＝－43处取得极值． (1)确定 a 的值； (2)若 g(x)＝f(x)ex，讨论 g(x)的单调性．
则 g′(x)＝2mx－1＋1x－2m＝2mx2－2mx ＋1x＋1＝
2mx－1x－1
x
.
当 m＝12时，g′(x)≥0，又 g(x)不是常数函数，故 g(x)
在(0，＋∞)上单调递增．
∴函数 g(x)有且只有一个零点 x＝1，满足题意．
当 0<m<12时，由 g′(x)＝0，得 x＝21m或 x＝1.
＝0.故选 B.
2．[2014·江苏高考]在平面直角坐标系 xOy 中，若曲线 y＝ax2＋bx(a，b 为常数)过点 P(2，－5)，且该曲线在点 P 处 的切线与直线 7x＋2y＋3＝0 平行，则 a＋b 的值是__－__3____．
解析 ∵y＝ax2＋bx，∴y′＝2ax－xb2，
由题意可得4a＋b2＝－5， 4a－b4＝－72，
解析
y′
＝
2x－1－2x x－12
＝
－
2 x－12
，y′|x＝2 Nhomakorabea＝
－
2－212＝－2，因此 k1＝－2，设直线 l 方程为 y＝－2x＋b，
即 2x＋y－b＝0，由题意得|2×2＋54－b|＝2 5，解得 b＝18
或 b＝－2，所以直线 l 的方程为 2x＋y－18＝0 或 2x＋y＋2
[解] (1)对 f(x)求导得 f′(x)＝3ax2＋2x， 因为 f(x)在 x＝－43处取得极值，所以 f′－43＝0， 即 3a·196＋2·－43＝136a－83＝0，解得 a＝21. (2)由(1)得 g(x)＝21x3＋x2ex， 故 g′(x)＝23x2＋2xex＋12x3＋x2ex ＝12x3＋52x2＋2xex＝12x(x＋1)(x＋4)ex.
f(x)＝ax(a>0，且 a≠1)
f′(x)＝ axln a
原函数
导函数
f(x)＝ex
f′(x)＝ ex
f(x)＝logax(a>0，且 a≠1)
f′(x)＝
1 xlogae
＝
1 xln a
f(x)＝ln x
1 f′(x)＝ x
2.导数四则运算法则 (1)[f(x)±g(x)]′＝ f′(x)±g′(x) ； (2)[f(x)·g(x)]′＝ f′(x)g(x)＋f(x)g′(x) ；
(2)由(1)得，当
a>0
时，f(x)max＝f1＋2a＝2a·e－
a 2
即
g(a)＝2ae－
a 2
.
则
g′(a)＝(2－a)e－
a 2
＝0，得
a＝2，
∴g(a)在(0,2)上为增函数，在(2，＋∞)上为减函数，
∴g(a)max＝g(2)＝4e.
题型 2 知极值的个数求参数范围
典例 6
令 g′(x)＝0，解得 x＝0，x＝－1 或 x＝－4. 当 x<－4 时，g′(x)<0，故 g(x)为减函数； 当－4<x<－1 时，g′(x)>0，故 g(x)为增函数； 当－1<x<0 时，g′(x)<0，故 g(x)为减函数； 当 x>0 时，g′(x)>0，故 g(x)为增函数． 综上知 g(x)在(－∞，－4)和(－1,0)内为减函数，在(－4， －1)和(0，＋∞)内为增函数．
(2)∵f(1)＝m－1，f′(1)＝2m，故切线方程为 y－m＋1
＝2m(x－1)，即 y＝2mx－m－1.
从而方程 mx2－x＋ln x＝2mx－m－1 在(0，＋∞)上有
且只有一解．
设 g(x)＝mx2－x＋ln x－(2mx－m－1)，则 g(x)在(0，
＋∞)上有且只有一个零点．
又 g(1)＝0，故函数 g(x)有零点 x＝1.
题型 2 根据函数的单调性求参数的范围 典例 3 [2016·西安质检]已知函数 f(x)＝mx2－x＋ln x. (1)若在函数 f(x)的定义域内存在区间 D，使得该函数在 区间 D 上为减函数，求实数 m 的取值范围； (2)当 0<m≤12时，若曲线 C：y＝f(x)在点 x＝1 处的切 线 l 与曲线 C 有且只有一个公共点，求 m 的值或取值范围．