11.2.1 三角形的内角习题课件
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人教版初中数学八年级上册 11.2.1 三角形的内角教学课件(共22张PPT)
•
11、一个好的教师，是一个懂得心理 学和教 育学的 人。21.8.1023:14:3623:14Aug-2110- Aug-21
•
12、要记住，你不仅是教课的教师， 也是学 生的教 育者， 生活的 导师和 道德的 引路人 。23:14:3623:14:3623:14Tues day, August 10, 2021
第十一章 三角形
11.2.1 三角形的内角
11.2.1 三角形的内角
学习目标：
⑴、探索并证明三角形内角和定理。 ⑵、能应用三角形内角和定理解决 一些简单的问题。
自学提纲
请同学们仔细阅读课本P11—13内容，思考下列问题：
1、三角形的内角和定理是：
。
2、为什么三角形三个内角的和等于180°，在 小学用什么方法验证？你们还能动手操作吗?
•
17、儿童是中心，教育的措施便围绕 他们而 组织起 来。下 午11时14分36秒下午11时14分23:14:3621.8.10
• 2、Our destiny offers not only the cup of despair, but the chalice of opportunity. (Richard Nixon, American President )命运给予我们的不是失望之酒，而是机会之杯。二〇二一年六月十七日2021年6月17日星期四
（1）、（必做题）P13 第1题；第2题。
（2）、(选做题)：请从以下三个图案中选取其中的一 个证明三角形的内角和是180°
一份耕耘,一份收获
A
l
B
C
A E
B
C
D
D
A
B
C
A
B
C
人教版数学八年级上册 11.2.1三角形的内角 课件(共25张PPT)
在△ABC中,∠C ＝ 180° － ∠CAB － ∠ABC ＝ 180°－30 °－60 °＝90°
方法二
解：过点C画MN⊥AD分别交 AD、BE于点M、N
北D
C
M
1
50°
北 E
2 40
N
°
B
在△AMC中 ∠AMC=90°, ∠MAAC=50°
∴∠1=180 °-90°-50° =40°
∵ AD∥BE ∴ ∠AMC+ ∠BNC =180 °
几种变形:
∠A+∠B+∠C=1800的几种变形:
∠A=1800 –(∠B+∠C).
∠B=1800 –(∠A+∠C).
A
∠C=1800 –(∠A+∠B).
∠A+∠B=1800-∠C.
∠B+∠C=1800-∠A.
B
C
∠A+∠C=1800-∠B.
这里的结论,以后可以直接运用.
（1）在△ABC中,∠A=35°,∠ B=43°， 则∠ C= 1020 . （2）在△ABC中,∠C=90°,∠B=50°, 则∠A = ＿4＿00＿＿。 （3）在△ABC中, ∠A=40°,∠A=2∠B， 则∠C = ＿1＿20＿0 ＿。
你真棒！
2.在△A B C中，∠A =∠B +∠C， 问△A B C是什么三角形？
3. 在△A B C 中，∠C =2 (∠B +∠A )， 求∠C 的度数。
探究2
如图,C岛在A岛的北偏东50°方向，B岛在A岛
的北偏东80°方向，C岛在B岛的北偏西40°方
北
向。求下面各题.
（1）∠DAC＝__5_0_°_ ∠DAB＝__8_0_°__
方法二
解：过点C画MN⊥AD分别交 AD、BE于点M、N
北D
C
M
1
50°
北 E
2 40
N
°
B
在△AMC中 ∠AMC=90°, ∠MAAC=50°
∴∠1=180 °-90°-50° =40°
∵ AD∥BE ∴ ∠AMC+ ∠BNC =180 °
几种变形:
∠A+∠B+∠C=1800的几种变形:
∠A=1800 –(∠B+∠C).
∠B=1800 –(∠A+∠C).
A
∠C=1800 –(∠A+∠B).
∠A+∠B=1800-∠C.
∠B+∠C=1800-∠A.
B
C
∠A+∠C=1800-∠B.
这里的结论,以后可以直接运用.
（1）在△ABC中,∠A=35°,∠ B=43°， 则∠ C= 1020 . （2）在△ABC中,∠C=90°,∠B=50°, 则∠A = ＿4＿00＿＿。 （3）在△ABC中, ∠A=40°,∠A=2∠B， 则∠C = ＿1＿20＿0 ＿。
你真棒！
2.在△A B C中，∠A =∠B +∠C， 问△A B C是什么三角形？
3. 在△A B C 中，∠C =2 (∠B +∠A )， 求∠C 的度数。
探究2
如图,C岛在A岛的北偏东50°方向，B岛在A岛
的北偏东80°方向，C岛在B岛的北偏西40°方
北
向。求下面各题.
（1）∠DAC＝__5_0_°_ ∠DAB＝__8_0_°__
新人教版八年级上册数学11.2.1三角形的内角——三角形的内角和优质课件
新人教版八年级上册数学 11.2.1三角形的内角——三角形的内角和 优质课 件
科 目：数学
适用版本：新人教版
适用范围：【教师教学】
第十一章 三角形
11.2
与三角形有关的角
第一页，共三十页。
1 课时讲解 三角形内角和定理
三角形内角和的应用
2 课时流程
逐点 导讲练
课堂 小结
第二页，共三十页。
作业提 升
的和等于180°.
第十二页，共三十页。
归纳
知1－讲
在这里，为了证明的需要，在原来的图形上添加的
线叫做辅助线.在平面几何里，辅助线通常画成虚线.
为了证明三个角的和为180°,转化为一个平角或同旁 内角互补,这种转化思想是数学中的常用方法.
第十三页，共三十页。
知1－练
1.如图，一种滑翔伞的形状是左右对称的四边形ABCD， 其中∠A = 150°，∠B= ∠D=40°.求∠C的度数.
一个钝角 两个锐角
一个直角 两个锐角 三个都为锐角
钝角三角形
直角三角形 锐角三角形
钝角三角形
直角三角形
第十九页，共三十页。
锐角三角形
知2－练
例2 如图是A，B，C三岛的平面图， C岛在A岛的北偏东50°
方向，B岛在A岛的北 偏东80°方向，C岛在
B岛的北偏西40°方向.从B岛看A，C两岛的视角∠ ABC是
第二十七页，共三十页。
知2－练
4.如图，一艘渔船在B处测得灯塔A在北偏东60°的方向，另一艘 货轮在C处测得灯塔A在北偏东40°的方向，那么在灯塔A处 观看B和C处时的视角∠BAC是多少度？
第二十八页，共三十页。
解：因为在B处测得灯塔A在北偏东60°的方向， 所以∠ABD＝60°. 又因为∠DBE＝90°， 所以∠ABE＝90°－∠ABD＝90°－60°＝30°. 因为在C处测得灯塔A在北偏东40°的方向， 所以∠ACE＝90°－40°＝50°. 所以∠BAC＝∠ACE－∠ABE＝50°－30°＝20°. 即在灯塔A处观看B和C处时的视角∠BAC是20°.
科 目：数学
适用版本：新人教版
适用范围：【教师教学】
第十一章 三角形
11.2
与三角形有关的角
第一页，共三十页。
1 课时讲解 三角形内角和定理
三角形内角和的应用
2 课时流程
逐点 导讲练
课堂 小结
第二页，共三十页。
作业提 升
的和等于180°.
第十二页，共三十页。
归纳
知1－讲
在这里，为了证明的需要，在原来的图形上添加的
线叫做辅助线.在平面几何里，辅助线通常画成虚线.
为了证明三个角的和为180°,转化为一个平角或同旁 内角互补,这种转化思想是数学中的常用方法.
第十三页，共三十页。
知1－练
1.如图，一种滑翔伞的形状是左右对称的四边形ABCD， 其中∠A = 150°，∠B= ∠D=40°.求∠C的度数.
一个钝角 两个锐角
一个直角 两个锐角 三个都为锐角
钝角三角形
直角三角形 锐角三角形
钝角三角形
直角三角形
第十九页，共三十页。
锐角三角形
知2－练
例2 如图是A，B，C三岛的平面图， C岛在A岛的北偏东50°
方向，B岛在A岛的北 偏东80°方向，C岛在
B岛的北偏西40°方向.从B岛看A，C两岛的视角∠ ABC是
第二十七页，共三十页。
知2－练
4.如图，一艘渔船在B处测得灯塔A在北偏东60°的方向，另一艘 货轮在C处测得灯塔A在北偏东40°的方向，那么在灯塔A处 观看B和C处时的视角∠BAC是多少度？
第二十八页，共三十页。
解：因为在B处测得灯塔A在北偏东60°的方向， 所以∠ABD＝60°. 又因为∠DBE＝90°， 所以∠ABE＝90°－∠ABD＝90°－60°＝30°. 因为在C处测得灯塔A在北偏东40°的方向， 所以∠ACE＝90°－40°＝50°. 所以∠BAC＝∠ACE－∠ABE＝50°－30°＝20°. 即在灯塔A处观看B和C处时的视角∠BAC是20°.
人教版数学八年级上册11.2.1：三角形的内角-课件(共15张PPT)
人教版八年级上数学 第十一章三角形
11.2.1三角形的内角
你知道吗？
下图所示是我们常用的三角板,它们的三个角之和为多少度?
30°+60°+90°=180° A 45°+45°+90°=180°
这个三角形的内角和是
B
C 多少度？你怎么知道的
我们的目标:
1、会阐述三角形内角和定理。 2、会应用三角形内角和定理进行计算；(求三角形 的角的度数) 3、能通过动手实践去验证三角形的内角和定理。
2
D
在△ABD中，
∠ADB=180°-∠B-∠BAD
A
B
=180°-75°-20°
=85°.
如图△ABC中,CD平分∠ACB,DE∥BC,
∠A＝70°,∠ADE＝50°, 求∠BDC的度数.
解: ∵DE//BC ∴∠B=∠ADE＝50°
∵∠A＝70°
A
∴∠ACB=180 °-∠A-∠B
D
E
=180°-70°-50°
证明：过点A作EF∥BC，
∴∠B=∠1. (两直线平行,内错角相等)
EA F 12
CB
∠C=∠2.
A
(两直线平行,内错角相等)
∵∠2+∠1+∠BAC=180°， ∴∠B+∠BC+∠BAC=C180°.
B
C
想一想 同学们还有 其他的方法吗？
证法2：延长BC到D，过点C作
CE∥BA，：
量一量
画一个三角形，用量角器测量的 三角形每个内角的度数，并计算 出三个角的和是多少？
拼拼看：
你还有什么办法可以验证呢? 把三个角拼在一起试试看？
想一想 从刚才拼角的过 程你能想出证明的办法 吗?
11.2.1三角形的内角
你知道吗？
下图所示是我们常用的三角板,它们的三个角之和为多少度?
30°+60°+90°=180° A 45°+45°+90°=180°
这个三角形的内角和是
B
C 多少度？你怎么知道的
我们的目标:
1、会阐述三角形内角和定理。 2、会应用三角形内角和定理进行计算；(求三角形 的角的度数) 3、能通过动手实践去验证三角形的内角和定理。
2
D
在△ABD中，
∠ADB=180°-∠B-∠BAD
A
B
=180°-75°-20°
=85°.
如图△ABC中,CD平分∠ACB,DE∥BC,
∠A＝70°,∠ADE＝50°, 求∠BDC的度数.
解: ∵DE//BC ∴∠B=∠ADE＝50°
∵∠A＝70°
A
∴∠ACB=180 °-∠A-∠B
D
E
=180°-70°-50°
证明：过点A作EF∥BC，
∴∠B=∠1. (两直线平行,内错角相等)
EA F 12
CB
∠C=∠2.
A
(两直线平行,内错角相等)
∵∠2+∠1+∠BAC=180°， ∴∠B+∠BC+∠BAC=C180°.
B
C
想一想 同学们还有 其他的方法吗？
证法2：延长BC到D，过点C作
CE∥BA，：
量一量
画一个三角形，用量角器测量的 三角形每个内角的度数，并计算 出三个角的和是多少？
拼拼看：
你还有什么办法可以验证呢? 把三个角拼在一起试试看？
想一想 从刚才拼角的过 程你能想出证明的办法 吗?
八年级数学新人教版11.2.1三角形的内角(第1课时)PPT课件
已 三知角：△形A B的C.内角和等于1800.
求证：∠A +∠B +∠C =180°
４５ 1
E
A
2
1
F
2
3
证明:过A作EF∥BC
B
C
所以∠B=∠2（ 两直线平行,内错角相等 ）
同理 ∠C=∠1（ 两直线平行,内错角相等）
因为∠2+∠1+∠BAC=180°（ 平角定义）
所以∠B+∠C+∠BAC=180° (等量代换)
5
三角形的内角和等于1800.
A
1
E
４
2
3５
B
证明:作AB∥CE,并延长ＢＣ至Ｄ
所以 ∠1= ∠A(两直线平行,内错角相等)
∠2= ∠B (两直线平行,同位角相等)
因为∠1+∠B + ∠ACB=180° (等量代换)
1
2
CD
6
三角形的内角和等于1800.
∴ ∠BCD = 360 °-40 °- 40 °- 150 °=130 °
另解： 由题意得 在△ABC中
B
A 40 ° 150°
40 °
∠BAC＝∠DAC＝75°C
∠BCA ＝180 °- ∠BAC - ∠B ＝180 °- 75 ° - 40°= 65 °
∴ ∠ACD = ∠ BCD = 65 °
新人教版 八年级数学
11.２.１三角形的内角(第1课时)
1
你有什么办法可以探究它呢?
方法一:通过具体的度量,验证三角形的内角和 方法二:剪拼法.把三个角拼在一起试试看？
2
1
2
3
４
５ 1
2
数学人教版八年级上册11.2.1三角形的内角 PPT课件
A 4C
解: 在△ABC中∠B+∠1+∠BAC=180°
在△ACD中∠D+∠2+∠DAC=180°
∴∠B+∠D+∠1+∠2+∠BAC+∠CAD=360°
即∠B+∠D+∠BCD+∠BAD=360°
40°+40°+∠BCD+150°=360°
∴∠BCD=360°－40°－40°－150°
A
B
C
探索直角三角形的性质
问题2 在△ABC中, 若∠C=90°, 你能求出∠A, ∠B的度数吗? 为什么? 你能求出∠A+∠B的度数吗?
利用上面的结果, 你能得出什么结论? A
直角三角形的两个锐 角互余．
B
C
探索直角三角形的性质
直角三角形可以用符号“Rt△”表示, 直角三角形ABC可以写成Rt△ABC．
内角三兄弟之争
在一个直角三角形里住着三个内角, 平时, 它们三兄弟非常团结。可是有一天, 老二突 然不高兴, 发起脾气来, 它指着老大说: “你凭什么度数最大, 我也要和你一样 大！”“不行啊！”老大说: “这是不可能 的, 否则, 我们这个家就再也围不起来了 ……”“为什么? ”老二很纳闷。
同学们, 你们知道其中的道理吗?
利用三角形内角和定理可得: 有两个角互余的三角形是直角三角形．
探索直角三角形的判定
问题5 类比性质的几何推理格式, 判定的几何推 理格式又该怎样表示?
A
推理格式:
在Rt△ABC中,
∵ ∠A+∠B=90°,
∴ △ABC是直角三角形． B
C
课堂练习
练习 如图, ∠ACB=90°, CD⊥AB, 垂足为D, ∠ACD与∠B有什么关系? 为什么?
人教版八年级上册 数学 课件 11.2.1三角形的内角(共19张PPT)
北偏东50°方向，B岛在A D
C.
岛的北偏东80 °方向，C岛
在B岛的北偏西40 °方向。 从B岛看A、C两岛的视角
80°
.50°
A
∠ABC是多少度？从C岛看
A、B两岛的视角∠ACB是
多少度？
北 E
40°
. B 东
四、运用新知、解决问题
解：∠CAB= ∠BAD - ∠CAD =80°-50° = 30°
C
又∵∠1+∠2+∠BAC=180° 结论：
∴∠C+∠B+∠BAC=180° 三角形三个内角的和等于180°。
三、思考探索、获取新知
证法2：过A作AE∥BC， ∴∠B=∠1 ，
E
A
F
1
(两直线平行,内错角相等)
∵∠EAC+∠C=180°
(两直线平行,同旁内角互补)
B
C
∴∠1+∠BAC+∠C=180°
六、布置作业
必做题：习题11.2第3、4题 选做题：习题11.2第9题
谢谢
∠A+∠B=180°－∠C. ∠B+∠C=_1_8_0_°___－__∠_ A. ∠A+∠C=_1_8_0_°__－__∠__B
B
C
为了证明三个角的和为180°，转化为一个平角或同旁内
角，这种转化思想是数学中的常用方法。
四、运用新知、解决问题
例1：如图，在△ABC中，∠BAC=40 ° ，∠B=75 ° ，AD是
答：从B岛看A,C两岛的视角∠ABC是60°，从C岛看A、B
两岛的视角∠ACB是90°
四、运用新知、解决问题
讨论
• 1. 一个三角形中能有两个直角吗？ • 2 .一个三角形中能有两个钝角吗？ • 3. 一个三角形的三个内角都能小于60°吗？
人教版数学八年级上册《11.2.1 三角形的内角》(第1课时)课件(21张PPT)
•
17、儿童是中心，教育的措施便围绕 他们而 组织起 来。上 午10时54分8秒 上午10时54分 10:54:0821.4.23
谢谢观赏
You made my day!
•
15、一年之计，莫如树谷；十年之计 ，莫如 树木； 终身之 计，莫 如树人 。2021年4月上 午10时 54分21.4.2310:54Apri l 23, 2021
•
16、提出一个问题往往比解决一个更 重要。 因为解 决问题 也许仅 是一个 数学上 或实验 上的技 能而已 ，而提 出新的 问题， 却需要 有创造 性的想 像力， 而且标 志着科 学的真 正进步 。2021年4月23日星期 五10时 54分8秒10:54:0823 April 2021
2. 与高、角平分线结合求角度
3.三角形的内角和定理在实际问题中的应用 例4 如图是A， B， C 三岛的平面图，C岛在A岛的北偏东50° 方向，B岛在A岛的北偏东80 °方向，C岛在B岛的北偏西40 °方 向.从B岛看A、C两岛的视角∠ABC是多少度？从C岛看A、B两岛 的视角∠ACB呢？
D北
课堂小结
三角形的 内角和定理
证明 内容
借助平行线的“移角”的功能， 将三个角转化成一个平角
三角形内角和等于180 °
•
9、要学生做的事，教职员躬亲共做； 要学生 学的知 识，教 职员躬 亲共学 ；要学 生守的 规则， 教职员 躬亲共 守。21.4.2321.4.23Fr iday, April 23, 2021
解：如图所示，连接BC. 在△CDB 中，∵ ∠BDC ＝ 140°， ∴ ∠DBC+ ∠BCD ＝ 180° - ∠BDC ＝ 40° . 在△CGB 中，∵ ∠BGC ＝ 110°， ∴ ∠GBC+ ∠BCG ＝ 180° - ∠BGC ＝ 70° .
人教版八年级数学上册11.2.1 三角形的内角(2)(共24张PPT)
复习备用
1.三角形三个内角的和等于多少度?
2.在△ABC中,若∠A=50°，∠B=40°,∠C等于 度. 3.在△ABC中，若∠C= 90°，你能求出∠A、∠B的度数吗? 你能求出∠A+∠B的度数吗?
1
激情引入
一个火柴游戏
你能只用六根火柴摆出12个直角 三角形来吗?看到这个问题，可能很 多同学都是随口就回答，不可能!但 真的是这样吗?请大家不妨看右图.
知识点二：两个角互余的三角形是直角三角形
新知探究 有两个角互余的三角形是直角三角形
几何语言
在△ABC 中， ∵∠A +∠B =90° ∴△ABC 是直角三角形．
15
知识点二：两个角互余的三角形是直角三角形
新知探究
例2 如图，∠C=90 °, ∠1= ∠2，△ADE是直角三角形吗？ 为什么？
解：在Rt△ABC中， ∠2+ ∠A=90 °.
在Rt△ABC 中，
A
∵ ∠C =90°，
∴ ∠A +∠B =90°．
直角三角形的表示：
B
C
直角三角形可以用符号“Rt△”表示.
如：直角三角形ABC 可以写成Rt△ ABC．
7
知识点一：直角三角形两锐角互余
典例讲评
例1 如图， ∠C=∠D=90 °,AD、BC相交于点E. ∠CAE
与∠DBE有什么关系？为什么？
∵ ∠1= ∠2, ∴∠1 + ∠A=90 °. 即△ADE是直角三角形.
16
知识点二：两个角互余的三角形是直角三角形
学以致用
1. 一个三角形三个内角的度数之比为1:2:3,则这个三角形一定
是( B )
A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.等腰直角三角形
1.三角形三个内角的和等于多少度?
2.在△ABC中,若∠A=50°，∠B=40°,∠C等于 度. 3.在△ABC中，若∠C= 90°，你能求出∠A、∠B的度数吗? 你能求出∠A+∠B的度数吗?
1
激情引入
一个火柴游戏
你能只用六根火柴摆出12个直角 三角形来吗?看到这个问题，可能很 多同学都是随口就回答，不可能!但 真的是这样吗?请大家不妨看右图.
知识点二：两个角互余的三角形是直角三角形
新知探究 有两个角互余的三角形是直角三角形
几何语言
在△ABC 中， ∵∠A +∠B =90° ∴△ABC 是直角三角形．
15
知识点二：两个角互余的三角形是直角三角形
新知探究
例2 如图，∠C=90 °, ∠1= ∠2，△ADE是直角三角形吗？ 为什么？
解：在Rt△ABC中， ∠2+ ∠A=90 °.
在Rt△ABC 中，
A
∵ ∠C =90°，
∴ ∠A +∠B =90°．
直角三角形的表示：
B
C
直角三角形可以用符号“Rt△”表示.
如：直角三角形ABC 可以写成Rt△ ABC．
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知识点一：直角三角形两锐角互余
典例讲评
例1 如图， ∠C=∠D=90 °,AD、BC相交于点E. ∠CAE
与∠DBE有什么关系？为什么？
∵ ∠1= ∠2, ∴∠1 + ∠A=90 °. 即△ADE是直角三角形.
16
知识点二：两个角互余的三角形是直角三角形
学以致用
1. 一个三角形三个内角的度数之比为1:2:3,则这个三角形一定
是( B )
A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.等腰直角三角形
11.2.1 三角形的内角(课件)人教版数学八年级上册
D． 锐角三角形
第一课时 三角形的内角和
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［解析］ ∵ 三个内角的度数之比为 2∶4∶9，
方
法
∴ 可设三个内角度数分别为 2x，4x，9x,
技
巧
由三角形内角和定理，得 2x+4x+9x=180°，解得 x=12
点
拨 ，∴2x=24，4x=48，9x=108，
∴ 这个三角形的三个内角度数分别为 24°，48°，
技
巧 间的数量关系，或不知道任何一个角的度数，只知道三个
点
拨 角之间的数量关系，一般根据“三角形的内角和是
180°”这一数量关系列方程（或方程组）求解.
第一课时 三角形的内角和
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例 一个三角形三个内角的度数之比为 2∶4∶9，这个
方
法
）
技 三角形是 （
巧
A． 直角三角形
点
拨
B． 等腰三角形
C． 钝角三角形
108°，
∵ 三角形最大的内角是钝角，
∴ 这个三角形是钝角三角形．
［答案］ C
第二课时 直角三角形的性质与判定
● 考点清单解读
● 重难题型突破
● 易错易混分析
第二课时 直角三角形的性质与判定
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■考点一 直角三角形的性质
考
点
文字 直角三角形的两个锐角
清
单
语言 互余
解
读 性质
符号 若△ABC 是直角三角形，
清
单 便，则可转化为求同一个直角三角形中另一个锐角的度数，
解
读 再利用直角三角形中两锐角的互余关系求解.
第二课时 直角三角形的性质与判定
对点典例剖析
考
第一课时 三角形的内角和
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［解析］ ∵ 三个内角的度数之比为 2∶4∶9，
方
法
∴ 可设三个内角度数分别为 2x，4x，9x,
技
巧
由三角形内角和定理，得 2x+4x+9x=180°，解得 x=12
点
拨 ，∴2x=24，4x=48，9x=108，
∴ 这个三角形的三个内角度数分别为 24°，48°，
技
巧 间的数量关系，或不知道任何一个角的度数，只知道三个
点
拨 角之间的数量关系，一般根据“三角形的内角和是
180°”这一数量关系列方程（或方程组）求解.
第一课时 三角形的内角和
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例 一个三角形三个内角的度数之比为 2∶4∶9，这个
方
法
）
技 三角形是 （
巧
A． 直角三角形
点
拨
B． 等腰三角形
C． 钝角三角形
108°，
∵ 三角形最大的内角是钝角，
∴ 这个三角形是钝角三角形．
［答案］ C
第二课时 直角三角形的性质与判定
● 考点清单解读
● 重难题型突破
● 易错易混分析
第二课时 直角三角形的性质与判定
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■考点一 直角三角形的性质
考
点
文字 直角三角形的两个锐角
清
单
语言 互余
解
读 性质
符号 若△ABC 是直角三角形，
清
单 便，则可转化为求同一个直角三角形中另一个锐角的度数，
解
读 再利用直角三角形中两锐角的互余关系求解.
第二课时 直角三角形的性质与判定
对点典例剖析
考
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第十一章
三角形
11.2 与三角形有关的角
11．2.1 三角形的内角
1．下列各组角能构成同一个三角形的三个内角的是( A )
A．95°，80°，5°
B．63°，70°，67° C．34°，36°，50°
D．25°，160°，15°
2．在△ABC中，∠A＝60°，∠B＝70°，则△ABC是( A ) A．锐角三角形
DE于点F.
(1)求证：CF∥AB； (2)求∠DFC的度数．
(1)证明：∵∠3＝45°，∠1＋∠2＝90°，又∠1＝∠2，∴∠3＝∠1 ＝45°，∴CF∥AB
(2)解：∵∠D＝30°，∠1＝45°，∴∠DFC＝180°－30°－45°＝
105°
18．如图①，在△ABC中，AD⊥BC于点D，CE⊥AB于点E.
方法技能： 1．三角形内角和定理的应用：①在三角形中，已知两个内角的度数，
可求出第三个内角的度数；②在三角形中，已知三个内角的关系，利用方
程，可求出三个内角的度数． 2．因为三角形内角和为180°，所以任何一个三角形中最少有2个锐角
，最多有3个锐角，最多有1个钝角，最多有1个直角．
3．判定直角三角形的方法：①三角形中有一个内角是90°；②三角形 中有两个内角的和等于90°.
B．直角三角形
C．钝角三角形 D．无法确定
3．如图，直线l1∥l2，∠1＝55°，∠2＝65°，则∠3的度数是(C ) A．50° B．55° C．60° D．65° 4．如图，在△ABC中，AD是△ABC的角平分线，∠B＝40°，∠BAD ＝40°，则∠C的度数是( B ) A．50° B．60° C．70° D．80°
解：∵AD⊥BC，∴∠1＋∠C＝90°，又∵∠1＝∠B，∴∠B＋∠C＝
90°，∴△ABC是直角三角形
11．(2015· 绵阳)如图，在△ABC中，∠B，∠C的平分线BE，CD相交于
点F，∠ABC＝42°，∠A＝60°，则∠BFC的度数是(C )
A．118° B．119° C．120° D．121°
12．(习题10变式)如图，AB∥CD，AE平分∠BAC，CE平分∠ACD， 则△ACE是( B ) A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形
13．(2015· 淮安)将一副三角尺按如图所示的方式放置，使含30°角的 三角尺的短直角边和含45°角的三角尺的一条直角边重合， 则∠1的度数是 75° ．
1 个内角是钝角，最多有____ 1 个内角是直 14．一个三角形中最多有____ 角，最多有____ 3 个内角是锐角．
1 1 15．在△ABC中，已知∠A＝2∠B＝3∠C，试判断△ABC的形状．
解：设∠A＝x°，则∠B＝2x°，∠C＝3x°，由∠A＋∠B＋∠C＝ 180°得x＋2x＋3x＝180，解得x＝30，∴∠C＝3x°＝90°，故△ABC是直 角三角形
16．(例题变式)如图，B岛在A岛的南偏西54°方向上，C岛在A岛的南
偏东51°方向上，B岛在C岛的北偏西81°方向上，求∠ABC的度数．
解：∠BAC＝51°＋54°＝105°，∠ACB＝81°－51°＝30°，
∴∠ABC＝180°－105°－30°＝45°
17．将一副三角板拼成如图所示的图形，过点C作CF平分∠DCE交
8．如图，AD是Rt△ABC的斜边BC上的高，则图中与∠B互余的角有( B )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
9．如图，AB，CD相交于点O，AC⊥CD于点C.若∠BOD＝38°， 则∠A＝ 52° ．
10．如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，∠1＝∠B.试说，求三角形的内角度数时，考虑不全面导致漏解．
5．(习题3变式)在△ABC中，∠A＋∠B＝100°，∠C＝2∠B， 求∠A，∠B，∠C的度数．
解：∠C＝180°－(∠A＋∠B)＝80°， 1 ∠B＝ ∠C＝40°， 2 ∠A＝100°－∠B＝60°
6．在一个直角三角形中，有一个锐角等于60°，则另一个锐角的度数 是( D ) A．75° B．60° C．45° D．30° 7．下列条件中不能使△ABC成为直角三角形的是( D ) A．∠A＋∠B＝∠C 1 B．∠A＝∠B＝2∠C C．∠A∶∠B∶∠C＝2∶3∶5 D．∠A＝2∠B＝3∠C
(1)猜想∠1与∠2的关系，并说明理由；
(2)如果∠ABC是钝角，如图②，(1)中的结论是否还成立？说明理由．
解：(1)∠1＝∠2.理由：∵AD⊥BC，CE⊥AB，∴△ABD和△BCE是直 角三角形，∴∠1＋∠B＝90°，∠2＋∠B＝90°，∴∠1＝∠2 (2)结论仍然成立．理由：∵AD⊥BC，CE⊥AB，∴∠D＝∠E＝90°， ∴∠1＋∠CBE＝90°，∠2＋∠DBA＝90°.∵∠DBA＝∠CBE，∴∠1＝ ∠2
三角形
11.2 与三角形有关的角
11．2.1 三角形的内角
1．下列各组角能构成同一个三角形的三个内角的是( A )
A．95°，80°，5°
B．63°，70°，67° C．34°，36°，50°
D．25°，160°，15°
2．在△ABC中，∠A＝60°，∠B＝70°，则△ABC是( A ) A．锐角三角形
DE于点F.
(1)求证：CF∥AB； (2)求∠DFC的度数．
(1)证明：∵∠3＝45°，∠1＋∠2＝90°，又∠1＝∠2，∴∠3＝∠1 ＝45°，∴CF∥AB
(2)解：∵∠D＝30°，∠1＝45°，∴∠DFC＝180°－30°－45°＝
105°
18．如图①，在△ABC中，AD⊥BC于点D，CE⊥AB于点E.
方法技能： 1．三角形内角和定理的应用：①在三角形中，已知两个内角的度数，
可求出第三个内角的度数；②在三角形中，已知三个内角的关系，利用方
程，可求出三个内角的度数． 2．因为三角形内角和为180°，所以任何一个三角形中最少有2个锐角
，最多有3个锐角，最多有1个钝角，最多有1个直角．
3．判定直角三角形的方法：①三角形中有一个内角是90°；②三角形 中有两个内角的和等于90°.
B．直角三角形
C．钝角三角形 D．无法确定
3．如图，直线l1∥l2，∠1＝55°，∠2＝65°，则∠3的度数是(C ) A．50° B．55° C．60° D．65° 4．如图，在△ABC中，AD是△ABC的角平分线，∠B＝40°，∠BAD ＝40°，则∠C的度数是( B ) A．50° B．60° C．70° D．80°
解：∵AD⊥BC，∴∠1＋∠C＝90°，又∵∠1＝∠B，∴∠B＋∠C＝
90°，∴△ABC是直角三角形
11．(2015· 绵阳)如图，在△ABC中，∠B，∠C的平分线BE，CD相交于
点F，∠ABC＝42°，∠A＝60°，则∠BFC的度数是(C )
A．118° B．119° C．120° D．121°
12．(习题10变式)如图，AB∥CD，AE平分∠BAC，CE平分∠ACD， 则△ACE是( B ) A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形
13．(2015· 淮安)将一副三角尺按如图所示的方式放置，使含30°角的 三角尺的短直角边和含45°角的三角尺的一条直角边重合， 则∠1的度数是 75° ．
1 个内角是钝角，最多有____ 1 个内角是直 14．一个三角形中最多有____ 角，最多有____ 3 个内角是锐角．
1 1 15．在△ABC中，已知∠A＝2∠B＝3∠C，试判断△ABC的形状．
解：设∠A＝x°，则∠B＝2x°，∠C＝3x°，由∠A＋∠B＋∠C＝ 180°得x＋2x＋3x＝180，解得x＝30，∴∠C＝3x°＝90°，故△ABC是直 角三角形
16．(例题变式)如图，B岛在A岛的南偏西54°方向上，C岛在A岛的南
偏东51°方向上，B岛在C岛的北偏西81°方向上，求∠ABC的度数．
解：∠BAC＝51°＋54°＝105°，∠ACB＝81°－51°＝30°，
∴∠ABC＝180°－105°－30°＝45°
17．将一副三角板拼成如图所示的图形，过点C作CF平分∠DCE交
8．如图，AD是Rt△ABC的斜边BC上的高，则图中与∠B互余的角有( B )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
9．如图，AB，CD相交于点O，AC⊥CD于点C.若∠BOD＝38°， 则∠A＝ 52° ．
10．如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，∠1＝∠B.试说，求三角形的内角度数时，考虑不全面导致漏解．
5．(习题3变式)在△ABC中，∠A＋∠B＝100°，∠C＝2∠B， 求∠A，∠B，∠C的度数．
解：∠C＝180°－(∠A＋∠B)＝80°， 1 ∠B＝ ∠C＝40°， 2 ∠A＝100°－∠B＝60°
6．在一个直角三角形中，有一个锐角等于60°，则另一个锐角的度数 是( D ) A．75° B．60° C．45° D．30° 7．下列条件中不能使△ABC成为直角三角形的是( D ) A．∠A＋∠B＝∠C 1 B．∠A＝∠B＝2∠C C．∠A∶∠B∶∠C＝2∶3∶5 D．∠A＝2∠B＝3∠C
(1)猜想∠1与∠2的关系，并说明理由；
(2)如果∠ABC是钝角，如图②，(1)中的结论是否还成立？说明理由．
解：(1)∠1＝∠2.理由：∵AD⊥BC，CE⊥AB，∴△ABD和△BCE是直 角三角形，∴∠1＋∠B＝90°，∠2＋∠B＝90°，∴∠1＝∠2 (2)结论仍然成立．理由：∵AD⊥BC，CE⊥AB，∴∠D＝∠E＝90°， ∴∠1＋∠CBE＝90°，∠2＋∠DBA＝90°.∵∠DBA＝∠CBE，∴∠1＝ ∠2