专题27 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题-2016年高考理数热点题型和提分秘籍(解析版)

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专题27 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题-2016年高考文数热点题型和提分秘籍(原卷版)

【高频考点解读】1.会从实际情境中抽象出二元一次不等式组；2.了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组；3.会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决. 【热点题型】题型一二元一次不等式(组)表示的平面区域例1、(1)若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x ＋3y ≥4，3x ＋y ≤4所表示的平面区域被直线y ＝kx ＋43分为面积相等的两部分，则k 的值是( )A.73B.37C.43D.34(2)如图阴影部分表示的区域可用二元一次不等式组表示为________．【提分秘籍】二元一次不等式(组)表示平面区域的判断方法：直线定界，测试点定域．注意不等式中不等号有无等号，无等号时直线画成虚线，有等号时直线画成实线．测试点可以选一个，也可以选多个，若直线不过原点，则测试点常选取原点．【举一反三】(1)在平面直角坐标系中，若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1≥0，x －1≤0，ax －y ＋1≥0(a 为常数)所表示的平面区域的面积等于4，则a的值为( )A ．－5B ．3C ．5D ．7(2)如图所示的平面区域(阴影部分)满足不等式________．题型二求线性目标函数的最值例2、(1)若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≤x ，x ＋y ≤1，y ≥－1，且z ＝2x ＋y 的最大值和最小值分别为m 和n ，则m －n等于 ( )A ．5B ．6C ．7D ．8(2)已知a >0，x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x ＋y ≤3，y ≥a x －3，若z ＝2x ＋y 的最小值为1，则a ＝________.【提分秘籍】线性规划问题的解题步骤：(1)作图——画出约束条件所确定的平面区域和目标函数所表示的平行直线系中过原点的那一条直线； (2)平移——将l 平行移动，以确定最优解的对应点的位置；(3)求值——解方程组求出对应点坐标(即最优解)，代入目标函数，即可求出最值．【举一反三】(1)已知平面直角坐标系xOy 上的区域D 由不等式组⎩⎨⎧0≤x ≤2，y ≤2，x ≤2y给定．若M (x ，y )为D 上的动点，点A的坐标为(2，1)，则z ＝OM →·OA →的最大值为( )A ．3B ．4C ．32D ．4 2(2)若x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≥0，kx －y ＋2≥0，y ≥0，且z ＝y －x 的最小值为－4，则k 的值为( )A ．2B ．－2C.12D ．－12题型三线性规划的实际应用例3、某客运公司用A 、B 两种型号的车辆承担甲、乙两地间的长途客运业务，每车每天往返一次．A 、B 两种车辆的载客量分别为36人和60人，从甲地去乙地的营运成本分别为1600元/辆和2 400元/辆，公司拟组建一个不超过21辆车的客运车队，并要求B 型车不多于A 型车7辆．若每天运送人数不少于900，且使公司从甲地去乙地的营运成本最小，那么应配备A 型车、B 型车各多少辆？【提分秘籍】解线性规划应用问题的一般步骤： (1)分析题意，设出未知量； (2)列出线性约束条件和目标函数； (3)作出可行域并利用数形结合求解； (4)作答．【举一反三】某企业生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲产品要用A 原料3吨、B 原料2吨；生产每吨乙产品要用A 原料1吨、B 原料3吨．销售每吨甲产品可获得利润5万元、每吨乙产品可获得利润3万元，该企业在一个生产周期内消耗A 原料不超过13吨、B 原料不超过18吨，那么该企业可获得的最大利润是________万元．题型四求非线性目标函数的最值例4、(1)设实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y －2≤0，x ＋2y －4≥0，2y －3≤0，则yx 的最大值为________．(2)已知O 是坐标原点，点A (1,0)，若点M (x ，y )为平面区域⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥2，x ≤1，y ≤2上的一个动点，则|OA →＋OM →|的最小值是________．【提分秘籍】常见代数式的几何意义有(1)x 2＋y 2表示点(x ，y )与原点(0,0)的距离； (2)x －a2＋y －b2表示点(x ，y )与点(a ，b )之间的距离；(3)yx 表示点(x ，y )与原点(0,0)连线的斜率；(4)y －b x －a 表示点(x ，y )与点(a ，b )连线的斜率．【举一反三】(1)设不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x －2y ＋3≥0，y ≥x 所表示的平面区域是Ω1，平面区域Ω2是与Ω1关于直线3x －4y －9＝0对称的区域，对于Ω1中的任意一点A 与Ω2中的任意一点B ，|AB |的最小值等于( )A.285B ．4C.125D ．2(2)设变量x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧5x ＋2y －18≤0，2x －y ≥0，x ＋y －3≥0，若直线kx －y ＋2＝0经过该可行域，则k 的最大值为________．【高考风向标】1.【2015高考重庆，文10】若不等式组2022020x y x y x y m +-≤⎧⎪+-≥⎨⎪-+≥⎩,表示的平面区域为三角形，且其面积等于43，则m 的值为（）(A)-3 (B) 1 (C)43(D)3 2.【2015高考四川，文9】设实数x ，y 满足2102146x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎨⎪+≥⎩，则xy 的最大值为( )(A )252 (B )492(C )12 (D )14 3.【2015高考广东，文4】若变量x ，y 满足约束条件2204x y x y x +≤⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩，则23z x y =+的最大值为（）A ．10B ．8C ．5D ．24.【2015高考新课标1，文15】若x ,y 满足约束条件20210220x y x y x y +-≤⎧⎪-+≤⎨⎪-+≥⎩,则z =3x +y 的最大值为．5.【2015高考陕西，文11】某企业生产甲乙两种产品均需用A ，B 两种原料，已知生产1吨每种产品需原料及每天原料的可用限额表所示，如果生产1吨甲乙产品可获利润分别为3万元.4万元，则该企业每天可获得最大利润为（）A ．12万元B ．16万元C ．17万元D ．18万元6.【2015高考湖南，文4】若变量x y ，满足约束条件111x y y x x +≥⎧⎪-≤⎨⎪≤⎩，则2z x y =-的最小值为( )A 、1-B 、0C 、1D 、22z x y =-1-7.【2015高考福建，文10】变量,x y 满足约束条件02200x y x y mx y +≥⎧⎪-+≥⎨⎪-≤⎩，若2z x y =-的最大值为2，则实数m 等于（）A ．2-B ．1-C ．1D ．28.【2015高考安徽，文5】已知x ，y 满足约束条件0401x y x y y -≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩，则y x z +-=2的最大值是（）（A ）-1 （B ）-2 （C ）-5 （D ）19.【2015高考山东，文12】若,x y 满足约束条件13,1y x x y y -≤⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩则3z x y =+的最大值为 .710.【2015高考浙江，文14】已知实数x ，y 满足221x y +≤，则2463x y x y +-+--的最大值是．11．（2014·安徽卷）x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≤0，x －2y －2≤0，2x －y ＋2≥0.若z ＝y －ax 取得最大值的最优解不唯一，则实数a的值为( )A.12或－1 B ．2或12 C ．2或1 D ．2或－112．（2014·北京卷）若x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≥0，kx －y ＋2≥0，y ≥0，且z ＝y －x 的最小值为－4，则k 的值为( ) A ．2 B ．－2 C.12 D ．－1213．（2014·福建卷）若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≤0，x ＋2y －8≤0，x ≥0，则z ＝3x ＋y 的最小值为________．14．（2014·广东卷）若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≤x ，x ＋y ≤1，y ≥－1，且z ＝2x ＋y 的最大值和最小值分别为m 和n ，则m －n ＝( )A ．5B ．6C ．7D ．815．（2014·湖南卷）若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≤x ，x ＋y ≤4，y ≥k ，且z ＝2x ＋y 的最小值为－6，则k ＝________.16．（2014·全国卷）设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，x ＋2y ≤3，x －2y ≤1，则z ＝x ＋4y 的最大值为________．17．（2014·新课标全国卷Ⅰ] 不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥1，x －2y ≤4的解集记为D ，有下面四个命题：p 1：∀(x ，y )∈D ，x ＋2y ≥－2， p 2：∃(x ，y )∈D ，x ＋2y ≥2， p 3：∀(x ，y )∈D ，x ＋2y ≤3， p 4：∃(x ，y )∈D ，x ＋2y ≤－1. 其中的真命题是( ) A ．p 2，p 3 B ．p 1，p 2 C ．p 1，p 4 D ．p 1，p 318．（2014·新课标全国卷Ⅱ] 设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －7≤0，x －3y ＋1≤0，3x －y －5≥0，则z ＝2x －y 的最大值为( )A ．10B ．8C ．3D ．219．（2014·山东卷）已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y －1≤0，2x －y －3≥0，当目标函数z ＝ax ＋by (a ＞0，b ＞0)在该约束条件下取到最小值25时，a 2＋b 2的最小值为( )A. 5B. 4C. 5D. 220．（2014·陕西卷）在直角坐标系xOy 中，已知点A (1，1)，B (2，3)，C (3，2)，点P (x ，y )在△ABC 三边围成的区域(含边界)上．(1)若P A →＋PB →＋PC →＝0，求|OP →|；(2)设OP →＝mAB →＋nAC →(m ，n ∈R)，用x ，y 表示m －n ，并求m －n 的最大值．【高考押题】1．在直角坐标平面内，不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y ≤x ＋1，y ≥0，0≤x ≤t所表示的平面区域的面积为32，则t 的值为( )A ．－3或 3B ．－3或1C ．1D. 32．在平面直角坐标系xOy 中，满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧|x |≤|y |，|x |<1的点(x ，y )的集合用阴影表示为下列图中的( )3．不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x ＋y －4≤0，kx －y ≤0表示面积为1的直角三角形区域，则k 的值为( )A ．0B ．1C ．2D ．3 4． x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≤0，x －2y －2≤0，2x －y ＋2≥0.若z ＝y －ax 取得最大值的最优解不唯一，则实数a 的值为( )A.12或－1 B ．2或12 C ．2或1D ．2或－15．设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －7≤0，x －3y ＋1≤0，3x －y －5≥0，则z ＝2x －y 的最大值为( )A ．10B ．8C ．3D ．26．在平面直角坐标系中，不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≥0，x －y ＋2≥0，x ≤2表示的平面区域的面积为________．7．设z ＝2x ＋y ，其中x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥0，x －y ≤0，0≤y ≤k ，若z 的最大值为6，则k 的值为________，z 的最小值为________．8．铁矿石A 和B 的含铁率a ，冶炼每万吨铁矿石的CO 2的排放量b 及每万吨铁矿石的价格c 如表：某冶炼厂至少要生产1.9(万吨)铁，若要求CO2的排放量不超过2(万吨)，则购买铁矿石的最少费用为________(百万元)．9．若直线x＋my＋m＝0与以P(－1，－1)、Q(2,3)为端点的线段不相交，求m的取值范围．10．某玩具生产公司每天计划生产卫兵、骑兵、伞兵这三种玩具共100个，生产一个卫兵需5分钟，生产一个骑兵需7分钟，生产一个伞兵需4分钟，已知总生产时间不超过10小时．若生产一个卫兵可获利润5元，生产一个骑兵可获利润6元，生产一个伞兵可获利润3元．(1)试用每天生产的卫兵个数x与骑兵个数y表示每天的利润ω(元)；(2)怎样分配生产任务才能使每天的利润最大，最大利润是多少？：。

2016届高考数学一轮复习—专题二、二元一次不等式(组)及简单的线性规划问题(教学教案+复习技法+含解析)

2016届高考数学一轮复习专题二、二元一次不等式(组)及简单的线性规划问题[知识能否忆起]1．二元一次不等式(组)表示的平面区域(1)在平面直角坐标系中二元一次不等式(组)表示的平面区域：(2)二元一次不等式表示的平面区域的确定：二元一次不等式所表示的平面区域的确定，一般是取不在直线上的点(x0，y0)作为测试点来进行判定，满足不等式的，则平面区域在测试点所在的直线的一侧，反之在直线的另一侧．2．线性规划中的基本概念[小题能否全取]1.(教材习题改编)如图所示的平面区域(阴影部分)，用不等式表示为( )A ．2x －y －3＜0B ．2x －y －3＞0 C ．2x －y －3≤0D ．2x －y －3≥02．(教材习题改编)已知实数x 、y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，y ≤2，x －y ≤0，则此不等式组表示的平面区域的面积是( )A.12B.14C ．1D.183．(2012·安徽高考)若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x ＋2y ≥3，2x ＋y ≤3则z ＝x －y 的最小值是( )A ．－3B ．0 C.32D ．34.写出能表示图中阴影部分的二元一次不等式组是__________．5．完成一项装修工程需要木工和瓦工共同完成．请木工需付工资每人50元，请瓦工需付工资每人40元，现有工人工资预算2 000元，设木工x 人，瓦工y 人，则所请工人数的约束条件是________．1.确定二元一次不等式表示平面区域的方法与技巧确定二元一次不等式表示的平面区域时，经常采用“直线定界，特殊点定域”的方法． (1)直线定界，即若不等式不含等号，则应把直线画成虚线；若不等式含有等号，把直线画成实线；(2)特殊点定域，即在直线Ax ＋By ＋C ＝0的某一侧取一个特殊点(x 0，y 0)作为测试点代入不等式检验，若满足不等式，则表示的就是包括该点的这一侧，否则就表示直线的另一侧．特别地，当C ≠0时，常把原点作为测试点；当C ＝0时，常选点(1,0)或者(0,1)作为测试点．2．最优解问题如果可行域是一个多边形，那么目标函数一般在某顶点处取得最大值或最小值，最优解就是该点的坐标，到底哪个顶点为最优解，只要将目标函数的直线平行移动，最先通过或最后通过的顶点便是．特别地，当表示线性目标函数的直线与可行域的某条边平行时，其最优解可能有无数个．典题导入[例1](2011·湖北高考)直线2x ＋y －10＝0与不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，x －y ≥－2，4x ＋3y ≤20表示的平面区域的公共点有( )A ．0个 B．1个 C ．2个D ．无数个由题悟法二元一次不等式(组)表示平面区域的判断方法：直线定界，测试点定域．注意：不等式中不等号有无等号，无等号时直线画成虚线，有等号时直线画成实线．测试点可以选一个，也可以选多个，若直线不过原点，测试点常选取原点．以题试法1．(1)(2012·海淀期中)若满足条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，x ＋y －2≤0，y ≥a的整点(x ，y )恰有9个，其中整点是指横、纵坐标都是整数的点，则整数a 的值为( )A ．－3B ．－2C ．－1D ．0(2)(2012·北京朝阳期末)在平面直角坐标系中，不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥0，x －y ＋4≥0，x ≤a所表示的平面区域的面积是9，则实数a 的值为________．典题导入[例2](1)(2012·新课标全国卷)设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥－1，x ＋y ≤3，x ≥0，y ≥0，则z ＝x －2y的取值范围为________．(2)(2012·广州调研)已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≤1，2x－2y ＋1≤0，若目标函数z ＝ax ＋y (a ≠0)取得最小值时的最优解有无数个，则实数a 的值为________．若本例(2)条件变为目标函数z ＝ax ＋y (a ≠0)仅在点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1处取得最小值，其它条件不变，求a 的取值范围．由题悟法1．求目标函数的最值的一般步骤为：一画二移三求．其关键是准确作出可行域，理解目标函数的意义．2．常见的目标函数有： (1)截距型：形如z ＝ax ＋by .求这类目标函数的最值常将函数z ＝ax ＋by 转化为直线的斜截式：y ＝－a b x ＋zb，通过求直线的截距zb的最值间接求出z 的最值．(2)距离型：形如z ＝(x －a )2＋(y －b )2. (3)斜率型：形如z ＝y －b x －a.注意：转化的等价性及几何意义．以题试法2．(1)设z ＝2x ＋y ，其中x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥0，x －y ≤0，0≤y ≤k ，若z 的最大值为6，则k 的值为________；z 的最小值为________．(2)已知O 是坐标原点，点A (1,0)，若点M (x ，y )为平面区域⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥2，x ≤1，y ≤2上的一个动点，则|OA ＋OM |的最小值是________．典题导入[例3] (2012·四川高考)某公司生产甲、乙两种桶装产品．已知生产甲产品1桶需耗A 原料1千克、B 原料2千克；生产乙产品1桶需耗A 原料2千克，B 原料1千克．每桶甲产品的利润是300元，每桶乙产品的利润是400元．公司在生产这两种产品的计划中，要求每天消耗A 、B 原料都不超过12千克．通过合理安排生产计划，从每天生产的甲、乙两种产品中，公司共可获得的最大利润是( )A ．1 800元 B．2 400元 C ．2 800元D．3 100元由题悟法与线性规划有关的应用问题，通常涉及最优化问题．如用料最省、获利最大等，其解题步骤是：①设未知数，确定线性约束条件及目标函数；②转化为线性规划模型；③解该线性规划问题，求出最优解；④调整最优解．以题试法3．(2012·南通模拟)铁矿石A 和B 的含铁率a ，冶炼每万吨铁矿石的CO 2的排放量b 及每万吨铁矿石的价格c 如下表：某冶炼厂至少要生产1.9(万吨)铁，若要求CO 2的排放量不超过2(万吨)，则购买铁矿石的最少费用为________百万元．1．(2012·三明模拟)已知点(－3，－1)和点(4，－6)在直线3x －2y －a ＝0的两侧，则a 的取值范围为( )A ．(－24,7)B ．(－7,24)C ．(－∞，－7)∪(24，＋∞)D ．(－∞，－24)∪(7，＋∞)2．已知实数对(x ，y )满足⎩⎪⎨⎪⎧x ≤2，y ≥1，x －y ≥0，则2x ＋y 取最小值时的最优解是( )A ．6B ．3C ．(2,2)D ．(1,1)3．(2012·山东高考)设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≥2，2x ＋y ≤4，4x －y ≥－1，则目标函数z ＝3x －y 的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，6 B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，－1 C ．[－1,6]D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－6，324．在不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≤0，x ＋y ≥0，y ≤a确定的平面区域中，若z ＝x ＋2y 的最大值为3，则a的值是( )A ．1B ．2C ．3D ．45．(2012·石家庄质检)已知点Q (5,4)，动点P (x ，y )满足⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋2≥0，x ＋y －2≤0，y －1≥0，则|PQ |的最小值为( )A ．5B.43C ．2D ．76．(2013·山东烟台模拟)已知A (3，3)，O 是坐标原点，点P (x ，y )的坐标满足⎩⎪⎨⎪⎧3x －y ≤0，x －3y ＋2≥0，y ≥0，设 Z 为OA 在OP 上的投影，则Z 的取值范围是( )A ．[－3， 3 ]B ．[－3,3]C ．[－3，3]D ．[－3，3 ]7．(2013·成都月考)若点P (m,3)到直线4x －3y ＋1＝0的距离为4，且点P 在不等式2x ＋y ＜3表示的平面区域内，则m ＝________.8．(2012·“江南十校”联考)已知x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧y －2≤0，x ＋3≥0，x －y －1≤0，则x 2＋y 2的最大值为________．9．(2012·上海高考)满足约束条件|x |＋2|y |≤2的目标函数z ＝y －x 的最小值是________．10．画出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋5≥0，x ＋y ≥0，x ≤3表示的平面区域，并回答下列问题：(1)指出x ，y 的取值范围； (2)平面区域内有多少个整点？11．某玩具生产公司每天计划生产卫兵、骑兵、伞兵这三种玩具共100个，生产一个卫兵需5分钟，生产一个骑兵需7分钟，生产一个伞兵需4分钟，已知总生产时间不超过10小时．若生产一个卫兵可获利润5元，生产一个骑兵可获利润6元，生产一个伞兵可获利润3元．(1)用每天生产的卫兵个数x 与骑兵个数y 表示每天的利润W (元)； (2)怎样分配生产任务才能使每天的利润最大，最大利润是多少？12．变量x 、y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －4y ＋3≤0，3x ＋5y －25≤0，x ≥1.(1)设z ＝y x，求z 的最小值； (2)设z ＝x 2＋y 2，求z 的取值范围．1．(2012·龙岩阶段性检测)在平面直角坐标系中，不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≥0，2x －y ≥0，a ＞x ≤a表示的平面区域的面积为5，直线mx －y ＋m ＝0过该平面区域，则m 的最大值是________．解析：平面区域如图所示，A (a,2a )，B⎝⎛⎭⎪⎫a ，－a 2.∴S △OAB ＝12×5a 2×a ＝54a 2＝5，∴a ＝2，即A (2,4)，B (2，－1)．又mx －y ＋m ＝0过定点(－1,0)，即y ＝mx ＋m ，斜率m 的最大值为过A 点时的值为42－－＝43.答案：432．(2012·济南质检)已知实数x ，y 满足|2x ＋y ＋1|≤|x ＋2y ＋2|，且－1≤y ≤1，则z ＝2x ＋y 的最大值为( )A ．6B ．5C ．4D ．－3解析：选B |2x ＋y ＋1|≤|x ＋2y ＋2|等价于(2x ＋y ＋1)2≤(x ＋2y ＋2)2，即x 2≤(y ＋1)2，即|x |≤|y ＋1|.又－1≤y ≤1，作出可行域如图阴影部分所示．则当目标函数过C (2,1)时取得最大值，所以z max ＝2×2＋1＝5.3．若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥1，x －y ≥－1，2x －y ≤2，(1)求目标函数z ＝12x －y ＋12的最值．(2)若目标函数z ＝ax ＋2y 仅在点(1,0)处取得最小值，求a 的取值范围．解：(1)作出可行域如图，可求得A (3,4)，B (0,1)，C (1,0)．平移初始直线12x －y ＋12＝0，过A (3,4)取最小值－2，过C (1,0)取最大值1.∴z 的最大值为1，最小值为－2.(2)直线ax ＋2y ＝z 仅在点(1,0)处取得最小值，由图象可知－1<－a2<2，解得－4<a <2.故所求a 的取值范围为(－4,2)．1．(2012·广东高考)已知变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤1，x －y ≤1，x ＋1≥0，则z ＝x ＋2y 的最小值为( )A ．3B ．1C ．－5D ．－6解析：选C变量x ，y 满足的不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤1，x －y ≤1，x ＋1≥0表示的平面区域如图所示，作辅助线l 0：x ＋2y ＝0，并平移到过点A (－1，－2)时，z ＝x ＋2y 达到最小，最小值为－5.2．(2011·四川高考)某运输公司有12名驾驶员和19名工人，有8辆载重量为10吨的甲型卡车和7辆载重量为6吨的乙型卡车．某天需送往A 地至少72吨的货物，派用的每辆车需满载且只运送一次，派用的每辆甲型卡车需配2名工人，运送一次可得利润450元；派用的每辆乙型卡车需配1名工人，运送一次可得利润350元．该公司合理计划当天派用两类卡车的车辆数，可得最大利润z ＝( )A ．4 650元B ．4 700元C ．4 900元D ．5 000元解析：选C 设当天派用甲型卡车x 辆，乙型卡车y 辆，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ≤19，x ＋y ≤12，10x ＋6y ≥72，0≤x ≤8，0≤y ≤7.设每天的利润为z 元，则z ＝450x ＋350y .画出可行域如图阴影部分所示．由图可知z ＝450x ＋350y ＝50(9x ＋7y )，经过点A 时取得最大值．又由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝12，2x ＋y ＝19得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝7，y ＝5，即A (7,5)．所以当x ＝7，y ＝5时，z 取到最大值，z max ＝450×7＋350×5＝4 900元．。

二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题精讲附配套练习

第二节二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题[考纲传真] 1.会从实际情境中抽象出二元一次不等式组.2.了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组.3.会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决．1．二元一次不等式(组)表示的平面区域2.1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)不等式Ax ＋By ＋C >0表示的平面区域一定在直线Ax ＋By ＋C ＝0的上方．( )(2)线性目标函数的最优解可能不唯一．( )(3)目标函数z ＝ax ＋by (b ≠0)中，z 的几何意义是直线ax ＋by －z ＝0在y 轴上的截距．( )(4)不等式x 2－y 2<0表示的平面区域是一、三象限角的平分线和二、四象限角的平分线围成的含有y 轴的两块区域．( )[答案] (1)× (2)√ (3)× (4)√2．(教材改编)不等式组⎩⎨⎧x －3y ＋6<0，x －y ＋2≥0表示的平面区域是( )C [x －3y ＋6<0表示直线x －3y ＋6＝0左上方的平面区域，x －y ＋2≥0表示直线x －y ＋2＝0及其右下方的平面区域，故选C.]3．(2016·全国卷Ⅲ)若x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x －y ＋1≥0，x －2y ≤0，x ＋2y －2≤0，则z ＝x ＋y 的最大值为________．32 [不等式组表示的平面区域如图中阴影部分．由⎩⎨⎧x －2y ＝0，x ＋2y －2＝0得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12.当直线z ＝x ＋y 过点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12时，z max ＝1＋12＝32.]4．(2016·保定调研)在平面直角坐标系xOy 中，若点P (m,1)到直线4x －3y －1＝0的距离为4，且点P (m,1)在不等式2x ＋y ≥3表示的平面区域内，则m ＝__________.6 [由题意得|4m －3－1|5＝4及2m ＋1≥3，解得m ＝6.]5．在平面直角坐标系中，不等式组⎩⎨⎧x ≥1，x ＋y ≤0，x －y －4≤0表示的平面区域的面积是__________.【导学号：01772202】1 [不等式组表示的区域如图中的阴影部分所示，由x ＝1，x ＋y ＝0得A (1，－1)，由x ＝1，x －y －4＝0得B (1，－3)，由x ＋y ＝0，x －y －4＝0得C (2，－2)， ∴|AB |＝2，∴S △ABC ＝12×2×1＝1.](1)(2016·浙江高考)若平面区域⎩⎨⎧x ＋y －3≥0，2x －y －3≤0，x －2y ＋3≥0夹在两条斜率为1的平行直线之间，则这两条平行直线间的距离的最小值是( )A.355 B. 2 C.322D. 5(2)(2016·衡水中学调研)若不等式组⎩⎨⎧x －y ＋5≥0，y ≥a ，0≤x ≤2表示的平面区域是一个三角形，则a 的取值范围是( )【导学号：01772203】A ．a <5 B.a ≥7 C ．5≤a <7D.a <5或a ≥7(1)B (2)C [(1)根据约束条件作出可行域如图阴影部分，当斜率为1的直线分别过A 点和B 点时满足条件，联立方程组⎩⎨⎧x ＋y －3＝0，x －2y ＋3＝0求得A (1,2)，联立方程组⎩⎨⎧2x －y －3＝0，x ＋y －3＝0求得B (2,1)，可求得分别过A ，B 点且斜率为1的两条直线方程为x －y ＋1＝0和x －y －1＝0，由两平行线间的距离公式得距离为|1＋1|2＝2，故选B.(2)如图，当直线y ＝a 位于直线y ＝5和y ＝7之间(不含y ＝7)时满足条件，故选C.][规律方法] 1.可用“直线定界、特殊点定域”的方法判定二元一次不等式表示的平面区域，若直线不过原点，特殊点常选取原点．2．不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面区域的交集，画出图形后，面积关系结合平面几何知识求解．[变式训练1](2016·豫北六校第二次联考)已知区域D ：⎩⎨⎧x －y ＋1≥0，x ＋y －1≥0，3x －y －3≤0的面积为S ，点集T ＝{(x ，y )∈D |y ≥kx ＋1}在坐标系中对应区域的面积为12S ，则k 的值为( )A.13B.12 C ．2D.3A [作出不等式组对应的区域，如图中阴影部分所示．直线y ＝kx ＋1过定点A (0,1)，点集T ＝{(x ，y )∈D |y ≥kx ＋1}在坐标系中对应区域的面积为12S ，则直线y ＝kx ＋1过BC 中点D .由⎩⎨⎧x －y ＋1＝0，3x －y －3＝0，解得⎩⎨⎧x ＝2，y ＝3，即B (2,3)．又C (1,0)，∴BC 的中点为D ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，32，则32＝32k ＋1，解得k ＝13.](1)(2016·全国卷Ⅱ)若x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x －y ＋1≥0，x ＋y －3≥0，x －3≤0，则z ＝x－2y 的最小值为________．(2)(2017·福州质检)已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤2，x ≥12，y ≥x ，且数列4x ，z,2y 为等差数列，则实数z 的最大值是__________．(1)－5 (2)3[(1)不等式组⎩⎨⎧x －y ＋1≥0，x ＋y －3≥0，x －3≤0表示的可行域如图阴影部分所示．由z ＝x －2y 得y ＝12x －12z .平移直线y ＝12x ，易知经过点A (3,4)时，z 有最小值，最小值为z ＝3－2×4＝－5.(2)在平面直角坐标系内画出题中的不等式组表示的平面区域为以⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，(1,1)为顶点的三角形区域(包含边界)，又由题意易得z ＝2x ＋y ，所以当目标函数z ＝2x ＋y 经过平面区域内的点(1,1)时，z ＝2x ＋y 取得最大值z max ＝2×1＋1＝3.]☞角度2 求非线性目标函数的最值(1)(2016·山东高考)若变量x ，y 满足⎩⎨⎧x ＋y ≤2，2x －3y ≤9，x ≥0，则x 2＋y 2的最大值是( )A ．4 B.9 C ．10D.12(2)(2017·湖北七市4月联考)若变量x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x ≥－1，y ≥x ，3x ＋5y ≤8，则z＝y x －2的取值范围是__________． (1)C (2)⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，13 [(1)作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示．x 2＋y 2表示平面区域内的点到原点距离的平方，由⎩⎨⎧x ＋y ＝2，2x －3y ＝9得A (3，－1)，由图易得(x 2＋y 2)max ＝|OA |2＝32＋(－1)2＝10.故选C.(2)作出不等式组⎩⎨⎧x ≥－1，y ≥x ，3x ＋5y ≤8所表示的区域，如图中△ABC 所表示的区域(含边界)，其中点A (1,1)，B (－1，－1)，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，115.z ＝y x －2表示△ABC 区域内的点与点M (2,0)的连线的斜率，显然k MA ≤z ≤k MB ，即11－2≤z ≤－1－1－2，化简得－1≤z ≤13.]☞角度3 线性规划中的参数问题(2016·河北石家庄质检)已知x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x ≥1，y ≥－1，4x ＋y ≤9，x ＋y ≤3，若目标函数z ＝y －mx (m >0)的最大值为1，则m 的值是( )【导学号：01772204】A ．－209 B.1 C ．2D.5B [作出可行域，如图所示的阴影部分．∵m >0，∴当z ＝y －mx 经过点A 时，z 取最大值，由⎩⎨⎧ x ＝1，x ＋y ＝3，解得⎩⎨⎧x ＝1，y ＝2，即A (1,2)，∴2－m ＝1，解得m ＝1.故选B.][规律方法] 1.求目标函数的最值的一般步骤为：一作图、二平移、三求值．其关键是准确作出可行域，理解目标函数的意义．2．常见的目标函数有：(1)截距型：形如z ＝ax ＋by .求这类目标函数的最值时常将函数z ＝ax ＋by 转化为直线的斜截式：y ＝－a b x ＋z b ，通过求直线的截距zb 的最值间接求出z 的最值．(2)距离型：形如z ＝(x －a )2＋(y －b )2. (3)斜率型：形如z ＝y －bx －a.易错警示：注意转化的等价性及几何意义.(2016·天津高考)某化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，需要A ，B ，C三种主要原料．生产1车皮甲种肥料和生产1车皮乙种肥料所需三种原料的吨数如下表所示：现有A 种原料200吨，B 种原料360吨，C 种原料300吨．在此基础上生产甲、乙两种肥料．已知生产1车皮甲种肥料，产生的利润为2万元；生产1车皮乙种肥料，产生的利润为3万元．分别用x ，y 表示计划生产甲、乙两种肥料的车皮数．(1)用x ，y 列出满足生产条件的数学关系式，并画出相应的平面区域； (2)问分别生产甲、乙两种肥料各多少车皮，能够产生最大的利润？并求出此最大利润．[解] (1)由已知，x ，y 满足的数学关系式为⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋5y ≤200，8x ＋5y ≤360，3x ＋10y ≤300，x ≥0，y ≥0.该二元一次不等式组所表示的平面区域为图①中的阴影部分.5分(2)设利润为z 万元，则目标函数为z ＝2x ＋3y .考虑z ＝2x ＋3y ，将它变形为y ＝－23x ＋z 3，它的图象是斜率为－23，随z 变化的一族平行直线，z 3为直线在y 轴上的截距，当z3取最大值时，z 的值最大．根据x ，y 满足的约束条件，由图②可知，当直线z ＝2x ＋3y 经过可行域上的点M 时，截距z3最大，即z 最大.7分解方程组⎩⎨⎧4x ＋5y ＝200，3x ＋10y ＝300，得点M 的坐标为(20,24)，所以z max ＝2×20＋3×24＝112.答：生产甲种肥料20车皮，乙种肥料24车皮时利润最大，且最大利润为112万元.12分[规律方法] 1.解线性规划应用题的步骤(1)转化——设元，写出约束条件和目标函数，从而将实际问题转化为线性规划问题；(2)求解——解这个纯数学的线性规划问题；(3)作答——将数学问题的答案还原为实际问题的答案．2．解线性规划应用题，可先找出各变量之间的关系，最好列成表格，然后用字母表示变量，列出线性约束条件；写出要研究的函数，转化成线性规划问题．[变式训练2] 某企业生产甲、乙两种产品均需用A ，B 两种原料，已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示．如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得最大利润为( )A.12万元B.16万元 C ．17万元D.18万元D [设每天生产甲、乙产品分别为x 吨、y 吨，每天所获利润为z 万元，则有⎩⎨⎧3x ＋2y ≤12，x ＋2y ≤8，x ≥0，y ≥0，z ＝3x ＋4y ，作出可行域如图阴影部分所示，由图形可知，当直线z ＝3x ＋4y 经过点A (2,3)时，z 取最大值，最大值为3×2＋4×3＝18.][思想与方法]1．确定二元一次不等式表示的平面区域的方法是“直线定界，特殊点定域”．(1)直线定界：即若不等式不含等号，则应把直线画成虚线；若不等式含有等号，把直线画成实线．(2)特殊点定域：当C ≠0时，常把原点作为测试点；当C ＝0时，常选点(1,0)或者(0,1)作为测试点．2．利用线性规划求最值的步骤是： (1)在平面直角坐标系内作出可行域；(2)考虑目标函数的几何意义，将目标函数进行变形；(3)确定最优解：在可行域内平行移动目标函数变形后的直线，从而确定最优解；(4)求最值：将最优解代入目标函数求最值． [易错与防范]1．画平面区域避免失误的重要方法就是首先使二元一次不等式标准化． 2．求二元一次函数z ＝ax ＋by (ab ≠0)的最值，利用其几何意义，通过求y ＝－a b x ＋z b 的截距z b 的最值间接求出z 的最值，要注意：当b >0时，截距zb 取最大值时，z 也取最大值；截距zb 取最小值时，z 也取最小值．当b <0时，结论与b >0的情形恰好相反．课时分层训练(七) 二次函数与幂函数A 组基础达标 (建议用时：30分钟)一、选择题1．已知幂函数f (x )＝k ·x α的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，22，则k ＋α＝( )【导学号：01772040】A.12 B.1 C.32D.2C [由幂函数的定义知k ＝1.又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝22，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫12α＝22，解得α＝12，从而k ＋α＝32.]2．函数f (x )＝2x 2－mx ＋3，当x ∈[－2，＋∞)时，f (x )是增函数，当x ∈(－∞，－2]时，f (x )是减函数，则f (1)的值为( )A ．－3 B.13 C.7D.5B [函数f (x )＝2x 2－mx ＋3图象的对称轴为直线x ＝m4，由函数f (x )的增减区间可知m4＝－2，∴m ＝－8，即f (x )＝2x 2＋8x ＋3，∴f (1)＝2＋8＋3＝13.]3．若幂函数y ＝(m 2－3m ＋3)·xm 2－m －2的图象不过原点，则m 的取值是( )A ．－1≤m ≤2 B.m ＝1或m ＝2 C ．m ＝2D.m ＝1B [由幂函数性质可知m 2－3m ＋3＝1，∴m ＝2或m ＝1.又幂函数图象不过原点，∴m 2－m －2≤0，即－1≤m ≤2，∴m ＝2或m ＝1.]4．已知函数y ＝ax 2＋bx ＋c ，如果a >b >c 且a ＋b ＋c ＝0，则它的图象可能是( )【导学号：01772041】A B C DD [由a ＋b ＋c ＝0，a ＞b ＞c 知a ＞0，c ＜0，则ca ＜0，排除B ，C.又f (0)＝c ＜0，所以也排除A.]5．若函数f (x )＝x 2－ax －a 在区间[0,2]上的最大值为1，则实数a 等于( ) A ．－1 B.1 C.2D.－2B [∵函数f (x )＝x 2－ax －a 的图象为开口向上的抛物线， ∴函数的最大值在区间的端点取得． ∵f (0)＝－a ，f (2)＝4－3a ，∴⎩⎨⎧ －a ≥4－3a ，－a ＝1，或⎩⎨⎧－a ≤4－3a ，4－3a ＝1，解得a ＝1.] 二、填空题6．(2017·上海八校联合测试改编)已知函数f (x )＝ax 2－2ax ＋1＋b (a ＞0)．若f (x )在[2,3]上的最大值为4，最小值为1，则a ＝________，b ＝________.1 0 [因为函数f (x )的对称轴为x ＝1，又a ＞0，所以f (x )在[2,3]上单调递增，所以⎩⎨⎧f (2)＝1，f (3)＝4，即⎩⎨⎧a ·22－2a ·2＋1＋b ＝1，a ·32－2a ·3＋1＋b ＝4，解方程得a ＝1，b ＝0.]7．已知P ＝2，Q ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫253，R ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫123，则P ，Q ，R 的大小关系是________.【导学号：01772042】P ＞R ＞Q [P ＝2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫223，根据函数y ＝x 3是R 上的增函数且22＞12＞25，得⎝ ⎛⎭⎪⎫223＞⎝ ⎛⎭⎪⎫123＞⎝ ⎛⎭⎪⎫253，即P ＞R ＞Q .] 8．已知函数f (x )＝x 2－2ax ＋5在(－∞，2]上是减函数，且对任意的x 1，x 2∈[1，a ＋1]，总有|f (x 1)－f (x 2)|≤4，则实数a 的取值范围是________．[2,3] [f (x )＝(x －a )2＋5－a 2，根据f (x )在区间(－∞，2]上是减函数知，a ≥2，则f (1)≥f (a ＋1)，从而|f (x 1)－f (x 2)|max ＝f (1)－f (a )＝a 2－2a ＋1，由a 2－2a ＋1≤4，解得－1≤a ≤3，又a ≥2，所以2≤a ≤3.] 三、解答题9．已知幂函数f (x )＝x (m 2＋m )－1(m ∈N *)经过点(2，2)，试确定m 的值，并求满足条件f (2－a )＞f (a －1)的实数a 的取值范围．[解] 幂函数f (x )经过点(2，2)， ∴2＝2(m 2＋m )－1，即2＝2(m 2＋m )－1， ∴m 2＋m ＝2，解得m ＝1或m ＝－2.4分又∵m ∈N *，∴m ＝1.∴f (x )＝x ，则函数的定义域为[0，＋∞)，并且在定义域上为增函数．由f (2－a )＞f (a －1)，得⎩⎨⎧2－a ≥0，a －1≥0，2－a ＞a －1，10分解得1≤a ＜32.∴a 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫1，32.12分10．已知函数f (x )＝x 2＋(2a －1)x －3，(1)当a ＝2，x ∈[－2,3]时，求函数f (x )的值域；(2)若函数f (x )在[－1,3]上的最大值为1，求实数a 的值． [解] (1)当a ＝2时，f (x )＝x 2＋3x －3，x ∈[－2,3]，对称轴x ＝－32∈[－2,3]，2分 ∴f (x )min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝94－92－3＝－214，f (x )max ＝f (3)＝15， ∴值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－214，15.5分(2)对称轴为x ＝－2a －12.①当－2a －12≤1，即a ≥－12时， f (x )max ＝f (3)＝6a ＋3，∴6a ＋3＝1，即a ＝－13满足题意；8分 ②当－2a －12＞1，即a ＜－12时，f (x )max ＝f (－1)＝－2a －1，∴－2a －1＝1，即a ＝－1满足题意．综上可知a ＝－13或－1. 12分B 组能力提升 (建议用时：15分钟)1．(2017·江西九江一中期中)函数f (x )＝(m 2－m －1)x 4m 9－m 5－1是幂函数，对任意的x 1，x 2∈(0，＋∞)，且x 1≠x 2，满足f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2＞0，若a ，b ∈R ，且a＋b ＞0，ab ＜0，则f (a )＋f (b )的值( )【导学号：01772043】A ．恒大于0 B.恒小于0 C ．等于0D.无法判断A [∵f (x )＝(m 2－m －1)x 4m 9－m 5－1是幂函数， ∴m 2－m －1＝1，解得m ＝2或m ＝－1.当m ＝2时，指数4×29－25－1＝2 015＞0，满足题意．当m ＝－1时，指数4×(－1)9－(－1)5－1＝－4＜0，不满足题意，∴f (x )＝x 2 015.∴幂函数f (x )＝x 2 015是定义域R 上的奇函数，且是增函数．又∵a ，b ∈R ，且a ＋b ＞0，∴a ＞－b ，又ab ＜0，不妨设b ＜0，则a ＞－b ＞0，∴f (a )＞f (－b )＞0，又f (－b )＝－f (b )，∴f (a )＞－f (b )，∴f (a )＋f (b )＞0.故选A.]2．设f (x )与g (x )是定义在同一区间[a ，b ]上的两个函数，若函数y ＝f (x )－g (x )在x ∈[a ，b ]上有两个不同的零点，则称f (x )和g (x )在[a ，b ]上是“关联函数”，区间[a ，b ]称为“关联区间”．若f (x )＝x 2－3x ＋4与g (x )＝2x ＋m 在[0,3]上是“关联函数”，则m 的取值范围为________．⎝ ⎛⎦⎥⎤－94，－2 [由题意知，y ＝f (x )－g (x )＝x 2－5x ＋4－m 在[0,3]上有两个不同的零点．在同一直角坐标系下作出函数y ＝m 与y ＝x 2－5x ＋4(x ∈[0,3])的图象如图所示，结合图象可知，当x ∈[2,3]时，y ＝x 2－5x ＋4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－94，－2，故当m ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤－94，－2时，函数y ＝m 与y ＝x 2－5x ＋4(x ∈[0,3])的图象有两个交点．]3．已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋1(a ，b ∈R )，x ∈R .(1)若函数f (x )的最小值为f (－1)＝0，求f (x )的解析式，并写出单调区间； (2)在(1)的条件下，f (x )＞x ＋k 在区间[－3，－1]上恒成立，试求k 的范围． [解] (1)由题意知⎩⎪⎨⎪⎧－b 2a ＝－1，f (－1)＝a －b ＋1＝0，解得⎩⎨⎧a ＝1，b ＝2.2分所以f (x )＝x 2＋2x ＋1，由f (x )＝(x ＋1)2知，函数f (x )的单调递增区间为[－1，＋∞)，单调递减区间为(－∞，－1].6分(2)由题意知，x 2＋2x ＋1＞x ＋k 在区间[－3，－1]上恒成立，即k ＜x 2＋x ＋1在区间[－3，－1]上恒成立，8分令g (x )＝x 2＋x ＋1，x ∈[－3，－1]，由g (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋34知g (x )在区间[－3，－1]上是减函数，则g (x )min ＝g (－1)＝1，所以k ＜1，即k 的取值范围是(－∞，1).12分第三节基本不等式[考纲传真] 1.了解基本不等式的证明过程.2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题．1．基本不等式ab ≤a ＋b2(1)基本不等式成立的条件：a >0，b >0. (2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b . 2．几个重要的不等式 (1)a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R )； (2)b a ＋ab ≥2(a ，b 同号且不为零)； (3)ab ≤⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22(a ，b ∈R )；(4)⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22≤a 2＋b22(a ，b ∈R )． 3．算术平均数与几何平均数设a >0，b >0，则a ，b 的算术平均数为a ＋b2，几何平均数为ab ，基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．4．利用基本不等式求最值问题已知x >0，y >0，则(1)如果xy 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 有最小值是2p (简记：积定和最小)．(2)如果x ＋y 是定值q ，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值是q 24(简记：和定积最大)．1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数y ＝x ＋1x 的最小值是2.( )(2)函数f (x )＝cos x ＋4cos x ，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2的最小值等于4.( )(3)x >0，y >0是x y ＋yx ≥2的充要条件．( ) (4)若a >0，则a 3＋1a 2的最小值为2a .( ) [答案] (1)× (2)× (3)× (4)×2．若a ，b ∈R ，且ab >0，则下列不等式中，恒成立的是( ) A ．a 2＋b 2>2ab B ．a ＋b ≥2ab C.1a ＋1b >2abD.b a ＋a b ≥2D [∵a 2＋b 2－2ab ＝(a －b )2≥0，∴A 错误；对于B ，C ，当a <0，b <0时，明显错误．对于D ，∵ab >0，∴b a ＋ab ≥2b a ·a b ＝2.]3．(2016·安徽合肥二模)若a ，b 都是正数，则⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋b a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋4a b 的最小值为( )A ．7 B.8 C ．9D.10C [∵a ，b 都是正数，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋b a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋4a b ＝5＋b a ＋4a b ≥5＋2b a ·4ab ＝9，当且仅当b ＝2a >0时取等号，故选C.]4．若函数f (x )＝x ＋1x －2(x >2)在x ＝a 处取最小值，则a 等于( ) 【导学号：01772209】A ．1＋ 2 B.1＋ 3 C ．3D.4C [当x >2时，x －2>0，f (x )＝(x －2)＋1x －2＋2≥2(x －2)×1x －2＋2＝4，当且仅当x －2＝1x －2(x >2)，即x ＝3时取等号，即当f (x )取得最小值时，x ＝3，即a ＝3，选C.]5．(教材改编)若把总长为20 m 的篱笆围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是__________m 2.25 [设矩形的一边为x m ，矩形场地的面积为y ，则另一边为12×(20－2x )＝(10－x )m ，则y ＝x (10－x )≤⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋(10－x )22＝25，当且仅当x ＝10－x ，即x ＝5时，y max ＝25.](1)(2015·湖南高考)若实数a ，b 满足1a ＋2b ＝ab ，则ab 的最小值为( )A.2B.2C ．2 2 D.4(2)(2017·郑州二次质量预测)已知正数x ，y 满足x 2＋2xy －3＝0，则2x ＋y 的最小值是__________．(1)C (2)3 [(1)由1a ＋2b ＝ab 知a >0，b >0，所以ab ＝1a ＋2b ≥22ab ，即ab ≥22，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧1a ＝2b ，1a ＋2b ＝ab ，即a ＝42，b ＝242时取“＝”，所以ab 的最小值为2 2.(2)由x 2＋2xy －3＝0得y ＝3－x 22x ＝32x －12x ，则2x ＋y ＝2x ＋32x －12x ＝3x 2＋32x≥23x 2·32x ＝3，当且仅当x ＝1时，等号成立，所以2x ＋y 的最小值为3.] [规律方法] 1.利用基本不等式求函数最值时，注意“一正、二定、三相等，和定积最大，积定和最小”．2．在求最值过程中若不能直接使用基本不等式，可以考虑利用拆项、配凑、常数代换、平方等技巧进行变形，使之能够使用基本不等式．[变式训练1] (1)(2016·湖北七市4月联考)已知a >0，b >0，且2a ＋b ＝1，若不等式2a ＋1b ≥m 恒成立，则m 的最大值等于( )A ．10 B.9 C ．8D.7(2)(2016·湖南雅礼中学一模)已知实数m ，n 满足m ·n >0，m ＋n ＝－1，则1m ＋1n 的最大值为__________．(1)B (2)－4 [(1)∵2a ＋1b ＝2(2a ＋b )a ＋2a ＋b b ＝4＋2b a ＋2a b ＋1＝5＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ＋a b ≥5＋2×2b a ×a b ＝9，当且仅当a ＝b ＝13时取等号．又2a ＋1b ≥m ，∴m ≤9，即m的最大值等于9，故选B.(2)∵m ·n >0，m ＋n ＝－1，∴m <0，n <0，∴1m ＋1n ＝－(m ＋n )⎝ ⎛⎭⎪⎫1m ＋1n ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋n m ＋m n ≤－2－2n m ·m n ＝－4，当且仅当m ＝n ＝－12时，1m ＋1n 取得最大值－4.]已知a >0，b >0，a ＋b ＝1，求证：(1)1a ＋1b ＋1ab ≥8；(2)⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1b ≥9. [证明] (1)1a ＋1b ＋1ab ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ， ∵a ＋b ＝1，a >0，b >0， ∴1a ＋1b ＝a ＋b a ＋a ＋b b ＝2＋a b ＋b a ≥2＋2＝4，3分∴1a ＋1b ＋1ab ≥8(当且仅当a ＝b ＝12时等号成立).5分(2)法一：∵a >0，b >0，a ＋b ＝1， ∴1＋1a ＝1＋a ＋b a ＝2＋b a ，同理1＋1b ＝2＋a b ，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋b a ⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋a b ＝5＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ＋a b ≥5＋4＝9，10分 ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1b ≥9(当且仅当a ＝b ＝12时等号成立).12分法二：⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1b ＝1＋1a ＋1b ＋1ab ，由(1)知，1a ＋1b ＋1ab ≥8，10分故⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1b ＝1＋1a ＋1b ＋1ab ≥9.12分 [规律方法] 1.“1”的代换是解决问题的关键，代换变形后能使用基本不等式是代换的前提，不能盲目变形．2．利用基本不等式证明不等式，关键是所证不等式必须是有“和”式或“积”式，通过将“和”式转化为“积”式或将“积”式转化为“和”式，达到放缩的效果，必要时，也需要运用“拆、拼、凑”的技巧，同时应注意多次运用基本不等式时等号能否取到．[变式训练2] 设a ，b 均为正实数，求证：1a 2＋1b 2＋ab ≥2 2.【导学号：01772210】[证明] 由于a ，b 均为正实数，所以1a 2＋1b 2≥21a 2·1b 2＝2ab ，3分当且仅当1a 2＝1b 2，即a ＝b 时等号成立，又因为2ab ＋ab ≥22ab ·ab ＝22，当且仅当2ab ＝ab 时等号成立，所以1a 2＋1b 2＋ab ≥2ab ＋ab ≥22，8分当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧ 1a 2＝1b 2，2ab ＝ab ，即a ＝b ＝42时取等号.12分制50≤x ≤100(单位：千米/时)．假设汽油的价格是每升2元，而汽车每小时耗油⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋x 2360升，司机的工资是每小时14元． (1)求这次行车总费用y 关于x 的表达式；(2)当x 为何值时，这次行车的总费用最低，并求出最低费用的值．[解](1)设所用时间为t＝130x(h)，y＝130x×2×⎝⎛⎭⎪⎫2＋x2360＋14×130x，x∈[50,100].2分所以这次行车总费用y关于x的表达式是y＝130×18x＋2×130360x，x∈[]50，100.(或y＝2 340x＋1318x，x∈[]50，100).5分(2)y＝130×18x＋2×130360x≥26 10，当且仅当130×18x＝2×130360x，即x＝1810，等号成立.8分故当x＝1810千米/时，这次行车的总费用最低，最低费用的值为2610元.12分[规律方法] 1.设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数．2．根据实际问题抽象出函数的解析式后，只需利用基本不等式求得函数的最值．3．在求函数的最值时，一定要在定义域(使实际问题有意义的自变量的取值范围)内求解．[变式训练3]某化工企业2016年年底投入100万元，购入一套污水处理设备．该设备每年的运转费用是0.5万元，此外每年都要花费一定的维护费，第一年的维护费为2万元，由于设备老化，以后每年的维护费都比上一年增加2万元．设该企业使用该设备x年的年平均污水处理费用为y(单位：万元)．(1)用x表示y；(2)当该企业的年平均污水处理费用最低时，企业需重新更换新的污水处理设备．则该企业几年后需要重新更换新的污水处理设备．[解](1)由题意得，y＝100＋0.5x＋(2＋4＋6＋ (2x)x，即y＝x＋100x＋1.5(x∈N*).5分(2)由基本不等式得：y＝x＋100x＋1.5≥2x·100x＋1.5＝21.5，8分当且仅当x＝100x，即x＝10时取等号．故该企业10年后需要重新更换新的污水处理设备.12分[思想与方法]1．基本不等式具有将“和式”转化为“积式”和将“积式”转化为“和式”的放缩功能，因此可以用在一些不等式的证明中，还可以用于求代数式的最值或取值范围．如果条件等式中，同时含有两个变量的和与积的形式，就可以直接利用基本不等式对两个正数的和与积进行转化，然后通过解不等式进行求解．2．基本不等式的两个变形：(1)a2＋b22≥⎝⎛⎭⎪⎫a＋b22≥ab(a，b∈R，当且仅当a＝b时取等号)．(2)a2＋b22≥a＋b2≥ab≥21a＋1b(a>0，b>0，当且仅当a＝b时取等号)．[易错与防范]1．使用基本不等式求最值，“一正”“二定”“三相等”三个条件缺一不可．2．“当且仅当a＝b时等号成立”的含义是“a＝b”是等号成立的充要条件，这一点至关重要，忽视它往往会导致解题错误．3．连续使用基本不等式求最值要求每次等号成立的条件一致．课时分层训练(七)二次函数与幂函数A组基础达标(建议用时：30分钟)一、选择题1．已知幂函数f (x )＝k ·x α的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，22，则k ＋α＝( ) 【导学号：01772040】A.12B.1C.32D.2C [由幂函数的定义知k ＝1.又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝22，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫12α＝22，解得α＝12，从而k ＋α＝32.] 2．函数f (x )＝2x 2－mx ＋3，当x ∈[－2，＋∞)时，f (x )是增函数，当x ∈(－∞，－2]时，f (x )是减函数，则f (1)的值为( )A ．－3B.13C.7D.5B [函数f (x )＝2x 2－mx ＋3图象的对称轴为直线x ＝m 4，由函数f (x )的增减区间可知m 4＝－2，∴m ＝－8，即f (x )＝2x 2＋8x ＋3，∴f (1)＝2＋8＋3＝13.]3．若幂函数y ＝(m 2－3m ＋3)·xm 2－m －2的图象不过原点，则m 的取值是( )A ．－1≤m ≤2B.m ＝1或m ＝2 C ．m ＝2 D.m ＝1B [由幂函数性质可知m 2－3m ＋3＝1，∴m ＝2或m ＝1.又幂函数图象不过原点，∴m 2－m －2≤0，即－1≤m ≤2，∴m ＝2或m ＝1.]4．已知函数y ＝ax 2＋bx ＋c ，如果a >b >c 且a ＋b ＋c ＝0，则它的图象可能是( )【导学号：01772041】A B C DD [由a ＋b ＋c ＝0，a ＞b ＞c 知a ＞0，c ＜0，则c a ＜0，排除B ，C.又f (0)＝c ＜0，所以也排除A.]5．若函数f (x )＝x 2－ax －a 在区间[0,2]上的最大值为1，则实数a 等于( )A ．－1B.1C.2D.－2B [∵函数f (x )＝x 2－ax －a 的图象为开口向上的抛物线，∴函数的最大值在区间的端点取得．∵f (0)＝－a ，f (2)＝4－3a ，∴⎩⎨⎧ －a ≥4－3a ，－a ＝1，或⎩⎨⎧ －a ≤4－3a ，4－3a ＝1，解得a ＝1.] 二、填空题6．(2017·上海八校联合测试改编)已知函数f (x )＝ax 2－2ax ＋1＋b (a ＞0)．若f (x )在[2,3]上的最大值为4，最小值为1，则a ＝________，b ＝________.1 0 [因为函数f (x )的对称轴为x ＝1，又a ＞0，所以f (x )在[2,3]上单调递增，所以⎩⎨⎧ f (2)＝1，f (3)＝4，即⎩⎨⎧a ·22－2a ·2＋1＋b ＝1，a ·32－2a ·3＋1＋b ＝4，解方程得a ＝1，b ＝0.] 7．已知P ＝2，Q ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫253，R ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫123，则P ，Q ，R 的大小关系是________. 【导学号：01772042】P ＞R ＞Q [P ＝2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫223，根据函数y ＝x 3是R 上的增函数且22＞12＞25，得⎝ ⎛⎭⎪⎫223＞⎝ ⎛⎭⎪⎫123＞⎝ ⎛⎭⎪⎫253，即P ＞R ＞Q .] 8．已知函数f (x )＝x 2－2ax ＋5在(－∞，2]上是减函数，且对任意的x 1，x 2∈[1，a ＋1]，总有|f (x 1)－f (x 2)|≤4，则实数a 的取值范围是________．[2,3] [f (x )＝(x －a )2＋5－a 2，根据f (x )在区间(－∞，2]上是减函数知，a ≥2，则f (1)≥f (a ＋1)，从而|f (x 1)－f (x 2)|max ＝f (1)－f (a )＝a 2－2a ＋1，由a 2－2a ＋1≤4，解得－1≤a ≤3，又a ≥2，所以2≤a ≤3.]三、解答题9．已知幂函数f (x )＝x (m 2＋m )－1(m ∈N *)经过点(2，2)，试确定m 的值，并求满足条件f (2－a )＞f (a －1)的实数a 的取值范围．[解] 幂函数f (x )经过点(2，2)， ∴2＝2(m 2＋m )－1，即2＝2(m 2＋m )－1，∴m 2＋m ＝2，解得m ＝1或m ＝－2.4分又∵m ∈N *，∴m ＝1.∴f (x )＝x ，则函数的定义域为[0，＋∞)，并且在定义域上为增函数．由f (2－a )＞f (a －1)，得⎩⎨⎧ 2－a ≥0，a －1≥0，2－a ＞a －1，10分解得1≤a ＜32.∴a 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫1，32.12分 10．已知函数f (x )＝x 2＋(2a －1)x －3， (1)当a ＝2，x ∈[－2,3]时，求函数f (x )的值域；(2)若函数f (x )在[－1,3]上的最大值为1，求实数a 的值．[解] (1)当a ＝2时，f (x )＝x 2＋3x －3，x ∈[－2,3]，对称轴x ＝－32∈[－2,3]，2分∴f (x )min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝94－92－3＝－214， f (x )max ＝f (3)＝15，∴值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－214，15.5分 (2)对称轴为x ＝－2a －12.①当－2a－12≤1，即a≥－12时，f(x)max＝f(3)＝6a＋3，∴6a＋3＝1，即a＝－13满足题意；8分②当－2a－12＞1，即a＜－12时，f(x)max＝f(－1)＝－2a－1，∴－2a－1＝1，即a＝－1满足题意．综上可知a＝－13或－1. 12分B组能力提升(建议用时：15分钟)1．(2017·江西九江一中期中)函数f(x)＝(m2－m－1)x4m9－m5－1是幂函数，对任意的x1，x2∈(0，＋∞)，且x1≠x2，满足f(x1)－f(x2)x1－x2＞0，若a，b∈R，且a＋b＞0，ab＜0，则f(a)＋f(b)的值()【导学号：01772043】A．恒大于0 B.恒小于0C．等于0 D.无法判断A[∵f(x)＝(m2－m－1)x4m9－m5－1是幂函数，∴m2－m－1＝1，解得m＝2或m＝－1.当m＝2时，指数4×29－25－1＝2 015＞0，满足题意．当m＝－1时，指数4×(－1)9－(－1)5－1＝－4＜0，不满足题意，∴f(x)＝x2 015.∴幂函数f(x)＝x2 015是定义域R上的奇函数，且是增函数．又∵a，b∈R，且a＋b＞0，∴a＞－b，又ab＜0，不妨设b＜0，则a＞－b＞0，∴f(a)＞f(－b)＞0，又f(－b)＝－f(b)，∴f(a)＞－f(b)，∴f(a)＋f(b)＞0.故选A.]2．设f(x)与g(x)是定义在同一区间[a，b]上的两个函数，若函数y＝f(x)－g(x)在x ∈[a ，b ]上有两个不同的零点，则称f (x )和g (x )在[a ，b ]上是“关联函数”，区间[a ，b ]称为“关联区间”．若f (x )＝x 2－3x ＋4与g (x )＝2x ＋m 在[0,3]上是“关联函数”，则m 的取值范围为________．⎝ ⎛⎦⎥⎤－94，－2 [由题意知，y ＝f (x )－g (x )＝x 2－5x ＋4－m 在[0,3]上有两个不同的零点．在同一直角坐标系下作出函数y ＝m 与y ＝x 2－5x ＋4(x ∈[0,3])的图象如图所示，结合图象可知，当x ∈[2,3]时，y ＝x 2－5x ＋4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－94，－2，故当m ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤－94，－2时，函数y ＝m 与y ＝x 2－5x ＋4(x ∈[0,3])的图象有两个交点．]3．已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋1(a ，b ∈R )，x ∈R .(1)若函数f (x )的最小值为f (－1)＝0，求f (x )的解析式，并写出单调区间；(2)在(1)的条件下，f (x )＞x ＋k 在区间[－3，－1]上恒成立，试求k 的范围．[解] (1)由题意知⎩⎪⎨⎪⎧ －b 2a＝－1，f (－1)＝a －b ＋1＝0，解得⎩⎨⎧a ＝1，b ＝2.2分所以f (x )＝x 2＋2x ＋1，由f (x )＝(x ＋1)2知，函数f (x )的单调递增区间为[－1，＋∞)，单调递减区间为(－∞，－1].6分(2)由题意知，x 2＋2x ＋1＞x ＋k 在区间[－3，－1]上恒成立，即k ＜x 2＋x ＋1在区间[－3，－1]上恒成立，8分令g (x )＝x 2＋x ＋1，x ∈[－3，－1]，。

高中数学二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题.doc

第 2 讲二元一次不等式(组 )与简单的线性规划问题一、选择题1.不等式 (x－ 2y＋1)(x＋ y－ 3)≤0 在直角坐标平面内表示的区域(用阴影部分表示 )，应是下列图形中的 ()x－ 2y＋1≤0，解析法一不等式(x－2y＋1)(x＋y－3)≤0等价于或x＋ y－ 3≥ 0 x－2y＋ 1≥0，画出对应的平面区域，可知 C 正确 .x＋y－3≤0，法二结合图形，由于点 (0，0)和 (0，4)都适合原不等式，所以点 (0，0)和(0，4)必在区域内，故选 C.答案 Cy≤－ x＋ 2，2.(2016 泰·安模拟 )不等式组y≤ x－1，所表示的平面区域的面积为 ()y≥ 01 1 1A.1B.2C.3D.4解析作出不等式组对应的区域为△BCD ，由题意知 x By＝－ x＋2， 1 1＝，C＝由得y D ＝，所以△ BCD ×(x C1 x 2.2 S ＝2y＝ x－ 1，1 1－x B)×2＝4.答案 Dx － y ≤0，3.(2017 广·州二测 )不等式组 x ＋ y ≥－ 2，的解集记为 D ，若 (a ， b)∈D ，则 z ＝x － 2y ≥－ 2 2a －3b 的最小值是 ( )A. －4B.－1C.1D.4解析画出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示，当 a ＝－ 2，b ＝0，z ＝2a － 3b 取得最小值－ 4.答案Ay ≤－ x ＋ 1，4.(2017 长·春质量监测 )若 x ， y 满足约束条件 y ≤ x ＋1，则 3x ＋5y 的取值范y ≥ 0，围是 ( )A.[ －5，3]B.[3 ， 5]C.[－3，3]D.[ －3，5] 解析作出如图所示的可行域及 l 0：＋＝，平行移动 l 0 到 1 过点 A(0 ， 1) 3x 5y 0 l 时， 3x ＋ 5y 有最大值 5，平行移动 l 0 至 l 2 过点 B(－ 1， 0)时， 3x ＋5y 有最小值－ 3，故选 D.答案Dx ＋y － 2≤ 0，5.x ，y 满足约束条件 x －2y －2≤0，若 z ＝ y － ax 取得最大值的最优解不唯一，2x －y ＋2≥0.则实数 a 的值为 ()11A. 2或－ 1B.2 或2C.2 或 1D.2 或－ 1解析如图，由 y ＝ax ＋z 知 z 的几何意义是直线在 y 轴上的截距，故当 a ＞ 0 时，要使 z ＝y －ax 取得最大值的最优解不唯一，则 a ＝ 2；当 a ＜0 时，要使 z ＝y －ax 取得最大值的最优解不唯一，则 a ＝－ 1. 答案 Dx ＋y －3≤0，若函数y ＝2 x图象上存在点 (x ，y)满足约束条件 x －2y － 3≤ 0，则实数 m 的最6.x ≥m ，大值为 ( )13A. 2B.1C.2D.2x ＋ y －3≤0，解析在同一直角坐标系中作出函数y ＝ 2x 的图象及所表示的x － 2y －3≤0平面区域，如图阴影部分所示 .由图可知，当 m ≤1 时，函数 y ＝2x 的图象上存在点 (x ，y)满足约束条件，故 m的最大值为 1.答案Bx ≥1，y ≥－ 1，7.(2017 石·家庄质检 )已知 x ，y 满足约束条件若目标函数 z ＝y －4x ＋y ≤9， x ＋y ≤3，mx(m>0)的最大值为 1，则 m 的值是 ( )20A. － 9B.1C.2D.5解析作出可行域，如图所示的阴影部分 .化目标函数 z ＝y －mx(m ＞0)为 y ＝mx ＋z ，由图可知，当直线 y ＝ mx ＋z 过 A 点时，直线在 y 轴的截距最大，由x ＝1，x ＋y ＝3，解得x ＝1，y ＝2，即 A(1，2)，∴ 2－ m ＝1，解得 m ＝1.故选 B.答案Bx － y ＋1≤0，8.(2016 贵·州黔东南模拟 )若变量x 、 y满足约束条件y ≤ 1，x>－1，则 (x －2)2＋y 2 的最小值为()A.3 2 2B. 59C.2D.5 解析作出不等式组对应的平面区域如图中阴影部分所示.设 z ＝(x －2)2＋y 2，则 z 的几何意义为区域内的点到定点 D(2，0)的距离的平方，y ＝ 1，x ＝0，由图知 C 、D 间的距离最小，此时 z 最小 .由得即 C(0，1)，x － y ＋ 1＝ 0 y ＝1，此时 z min ＝ (x －2)2＋ y 2＝4＋1＝5，故选 D.答案 D 二、填空题x ＋ y － 2≥ 0，设变量 x ， y 满足约束条件 x － y － 2≤ 0，则目标函数 z ＝ x ＋2y 的最小值为9.y ≥ 1，________.解析由线性约束条件画出可行域 (如图所示 ).由 z ＝ x ＋ 2y ，得1 11 y ＝－ 2x ＋ 2z ，2z 的几何意义是直线1 1y ＝－ 2x ＋2z 在y 轴上的截距，要使z 最小，需使 1 2z 最小，易知当直线1 1y ＝－ 2x ＋ 2z 过点A(1，1) 时， z 最小，最小值为 3.答案310.(2017 滕·州模拟 )已知 O 是坐标原点，点M 的坐标为 (2，1)，若点 N(x ， y)为x ＋y ≤2，→ →1，平面区域 x ≥上的一个动点，则 OM · 的最大值是 ________.2 ONy ≥x解析依题意，得不等式组对应的平面区域如图中阴影部分所示，1 11 3 其中 A 2，2 ，B 2，2 ， C(1，1).→ →设 z ＝ OM ·ON ＝2x ＋y ，当目标函数 z ＝2x ＋y 过点 C(1，1)时，z ＝2x ＋ y 取得最大值 3.答案311.已知－ 1＜ x ＋ y ＜ 4 且 2＜x －y ＜3，则 z ＝ 2x －3y 的取值范围是 ________(答案用区间表示 ).a＋b＝2，解析法一设2x－3y＝a(x＋y)＋b(x－y)，则由待定系数法可得a－b＝－ 3，a＝－1，1 5 －2＜－1（ x＋ y）＜1，2 2 2解得 5 所以 z＝－2(x＋y)＋2(x－y).又 5 15 b＝2，5＜2（x－y）＜2，所以两式相加可得 z∈(3，8).－1＜x＋y＜ 4，法二作出不等式组表示的可行域，如图2＜ x－ y＜3中阴影部分所示 .平移直线 2x－3y＝0，当相应直线经过 x－y＝2与 x＋ y＝ 4 的交点 A(3，1)时，z 取得最小值，z min＝2×3－ 3×1＝3；当相应直线经过x＋y＝－ 1 与 x－y＝ 3 的交点 B(1，－ 2)时， z 取得最大值， z max＝2×1＋3×2＝8.所以 z∈ (3，8).答案(3， 8)2x＋y≥0，已知实数，满足x－y≥ 0，设 b＝x－ 2y，若 b 的最小值为－ 2，则 b 的12. x y0≤x≤ a，最大值为 ________.解析作出不等式组满足的可行域如图阴影部分所示 .x b作出直线 l0：x－2y＝0，∵ y＝2－2，∴当 l 0平移至 A 点处时 b 有最小值， b min＝－ a，又b min＝－ 2，∴ a＝2，当 l0平移至 B(a，－ 2a)时，b 有最大值 b max＝a－2×(－2a)＝5a＝ 10.答案1013.某公司生产甲、乙两种桶装产品.已知生产甲产品 1 桶需耗 A 原料 1 千克、 B 原料 2 千克；生产乙产品 1 桶需耗 A 原料 2 千克、 B 原料 1 千克 .每桶甲产品的利润是 300 元，每桶乙产品的利润是400 元.公司在生产这两种产品的计划中，要求每天消耗A、B 原料都不超过 12 千克 .通过合理安排生产计划，从每天生产的甲、乙两种产品中，公司共可获得的最大利润是()A.1 800 元B.2 400 元C.2 800 元D.3 100 元解析设每天生产甲种产品x 桶，乙种产品 y 桶，则根据题意得 x、 y 的约束x≥ 0， x∈N，y≥ 0， y∈N，条件为设获利 z 元，则 z＝300x＋ 400y.x＋ 2y≤12，2x＋y≤12.画出可行域如图 .画直线 l ：300x＋ 400y＝0，即 3x＋ 4y＝0.平移直线l，从图中可知，当直线过点M 时，目标函数取得最大值x＋2y＝12，由解得2x＋y＝12，.x＝ 4，y＝ 4，即M 的坐标为 (4，4)，∴z max＝300×4＋400× 4＝ 2 800(元)，故选 C.答案 C2x＋y－2≤0，y－114.(2017 许·昌监测 )设实数 x，y 满足x－ y＋ 1≥0，则x－1的最小值是 ()x－ 2y－1≤0，A. －51 B.－21C.2D.5解析作出不等式对应的平面区域如图中阴影部分y－1所示，则w＝的几何意义是区域内的点P(x，y)x－11 4与定点 A(1，1)所在直线的斜率，由图象可知当 P 位于点3，3时，直线 AP 的4斜率最小，此时 w＝y－1 3－1＝－1的最小值为1 2，故选 B. x－13－1答案 Bx＋ 2y－3≤0，，满足约束条件x＋ 3y－3≥0，若目标函数 z＝ax＋y(其中 a>0)15.已知变量 x yy－ 1≤ 0，仅在点 (3， 0)处取得最大值，则 a 的取值范围是 ________.解析画出 x、y 满足约束条件的可行域如图所示，要使目标函数 z＝ax＋ y 仅在点 (3，0)处取得最大值，则直线 y＝－ ax＋z 的斜率1 1应小于直线 x＋2y－ 3＝ 0 的斜率，即－ a<－2，∴a>2.1答案2，＋∞16.(2015 浙·江卷 )若实数 x，y 满足 x2＋ y2≤1，则 |2x＋y－4|＋|6－ x－3y|的最大值是 ________.解析∵x2＋ y2≤1，∴2x＋y－4＜ 0， 6－ x－ 3y＞0，∴|2x＋ y－4|＋|6－ x－ 3y|＝4－2x－y＋ 6－ x－ 3y＝10－3x－4y.令z＝ 10－3x－4y，4如图，设 OA 与直线－ 3x－ 4y＝0 垂直，∴直线 OA 的方程为 y＝3x，4y＝3x，得 A －3 4联立5，－5 ，x2＋y2＝ 1，∴当 z＝10－ 3x－4y 过点 A 时， z 取最大值，3 4z max＝ 10－3× －5－4× －5＝ 15.答案15。

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专题27 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题1．会从实际情境中抽象出二元一次不等式组。

2．了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组。

3．会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决。

热点题型一二元一次不等式(组)表示平面区域例1、 (1)在平面直角坐标系xOy 中，不等式组⎩⎪⎨⎪⎧1≤x ＋y ≤3，－1≤x －y ≤1表示图形的面积等于( )A ．1B ．2C ．3D ．4(2)已知不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥0，x ＋y －1≥0，3x －y －3≤0表示的平面区域为D ，若直线y ＝kx ＋1将区域D 分成面积相等的两部分，则实数k 的值是________。

解析：(1)不等式组对应的平面区域如图，【热点题型】【高频考点解读】对应的区域为正方形ABCD ，其中A (0,1)，D (1,0)，边长AD ＝2，则正方形的面积S ＝2×2＝2，故选B 。

由方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1＝0，3x －y －3＝0，解得A (1,0)。

由方程组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1＝0，3x －y －3＝0，解得B (2,3)。

所以AB 的中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，32，代入直线方程y ＝kx ＋1得，32＝32k ＋1，解得k ＝13。

【提分秘籍】平面区域面积问题的解题思路 (1)求平面区域的面积：①首先画出不等式组表示的平面区域，若不能直接画出，应利用题目的已知条件转化为不等式组问题，从而再作出平面区域；②对平面区域进行分析，若为三角形应确定底与高，若为规则的四边形(如平行四边形或梯形)，可利用面积公式直接求解。

若为不规则四边形，可分割成几个三角形分别求解再求和即可。

(2)利用几何意义求解的平面区域问题，也应作出平面图形，利用数形结合的方法去求解。

【举一反三】已知约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x ＋y －4≤0，kx －y ≤0表示面积为1的直角三角形区域，则实数k 的值为( )A ．1B ．－1C ．0D ．－2解析：先作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x ＋y ≤4对应的平面区域，如图：热点题型二求线性目标函数的最值例2、设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1≥0，x －y －1≤0，x －3y ＋3≥0，则z ＝x ＋2y 的最大值为( )A ．8B ．7C ．2D ．1解析：作出约束条件表示的可行域如图中阴影部分所示，作直线y ＝－12x ，平移直线y ＝－12x ，当直线y ＝－12x ＋z 2经过点C 时在y 轴上的截距z2取得最大值，即z 取得最大值，由⎩⎪⎨⎪⎧x －y －1＝0，x －3y ＋3＝0得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3y ＝2，即C (3,2)，代入z ＝x ＋2y 得z max ＝3＋2×2＝7，故选B 。

高考数学二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题

§7.3二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题考纲解读分析解读通过分析高考试题可以看出,题型以选择题、填空题为主,分值为5分,属中低档题.考查数形结合思想,体现数学的应用,命题侧重以下几点:1.考查线性目标函数的最值,借助数形结合的思想,将直线在纵轴上的截距弄清楚;2.准确作图是解题关键,要清楚目标函数的最值、最优解的概念,若目标函数不是线性的,则常与线段的长度、直线的斜率等有关.五年高考考点一二元一次不等式(组)与平面区域1.(2016浙江,4,5分)若平面区域----夹在两条斜率为1的平行直线之间,则这两条平行直线间的距离的最小值是()A. B. C. D.答案 B2.(2014课标Ⅰ,11,5分)设x,y满足约束条件--且z=x+ay的最小值为7,则a=() A.-5 B.3C.-5或3D.5或-3答案 B3.(2014福建,11,5分)已知圆C:(x-a)2+(y-b)2=1,平面区域Ω:--若圆心C∈Ω,且圆C与x轴相切,则a2+b2的最大值为()A.5B.29C.37D.49 答案 C4.(2014山东,10,5分)已知x,y满足约束条件----当目标函数z=ax+by(a>0,b>0)在该约束条件下取到最小值2时,a2+b2的最小值为()A.5B.4C.D.2 答案 B5.(2014安徽,13,5分)不等式组---表示的平面区域的面积为.答案 46.(2013山东,14,4分)在平面直角坐标系xOy中,M为不等式组--所表示的区域上一动点,则|OM|的最小值是.答案教师用书专用(7—9)7.(2013北京,14,5分)已知点A(1,-1),B(3,0),C(2,1).若平面区域D由所有满足=λ+μ(1≤λ≤2,0≤μ≤1)的点P组成,则D的面积为.答案 38.(2013北京,12,5分)设D为不等式组--表示的平面区域.区域D上的点与点(1,0)之间的距离的最小值为.答案9.(2013浙江,15,4分)设z=kx+y,其中实数x,y满足---若z的最大值为12,则实数k=.答案 2考点二简单的线性规划问题1.(2017课标全国Ⅰ,7,5分)设x,y满足约束条件-则z=x+y的最大值为()A.0B.1C.2D.3答案 D2.(2017课标全国Ⅱ,7,5分)设x,y满足约束条件--则z=2x+y的最小值是()A.-15B.-9C.1D.9答案 A3.(2017北京,4,5分)若x,y满足则x+2y的最大值为()A.1B.3C.5D.9答案 D4.(2017山东,3,5分)已知x,y满足约束条件-则z=x+2y的最大值是()A.-3B.-1C.1D.3答案 D5.(2017浙江,4,5分)若x,y满足约束条件--则z=x+2y的取值范围是()A.[0,6]B.[0,4]C.[6,+∞)D.[4,+∞)答案 D6.(2016北京,7,5分)已知A(2,5),B(4,1).若点P(x,y)在线段AB上,则2x-y的最大值为()A.-1B.3C.7D.8答案 C7.(2015陕西,11,5分)某企业生产甲、乙两种产品均需用A,B两种原料.已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示.如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元,则该企业每天可获得最大利润为()A.12万元B.16万元C.17万元D.18万元答案 D8.(2015福建,10,5分)变量x,y满足约束条件--若z=2x-y的最大值为2,则实数m等于() A.-2 B.-1 C.1 D.2答案 C9.(2014课标Ⅱ,9,5分)设x,y满足约束条件----则z=x+2y的最大值为()A.8B.7C.2D.1 答案 B10.(2013课标全国Ⅱ,3,5分)设x,y满足约束条件--则z=2x-3y的最小值是()A.-7B.-6C.-5D.-3 答案 B11.(2016课标全国Ⅲ,13,5分)设x,y满足约束条件---则z=2x+3y-5的最小值为.答案-1012.(2016课标全国Ⅰ,16,5分)某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料.生产一件产品A需要甲材料1.5 kg,乙材料1 kg,用5个工时;生产一件产品B需要甲材料0.5 kg,乙材料0.3 kg,用3个工时.生产一件产品A的利润为2 100元,生产一件产品B的利润为900元.该企业现有甲材料150 kg,乙材料90 kg,则在不超过600个工时的条件下,生产产品A、产品B的利润之和的最大值为元.答案216 00013.(2015课标Ⅰ,15,5分)若x,y满足约束条件---则z=3x+y的最大值为.答案 4教师用书专用(14—31)14.(2015天津,2,5分)设变量x,y满足约束条件---则目标函数z=3x+y的最大值为()A.7B.8C.9D.1415.(2015广东,4,5分)若变量x,y满足约束条件则z=2x+3y的最大值为()A.2B.5C.8D.10答案 B16.(2015安徽,5,5分)已知x,y满足约束条件--则z=-2x+y的最大值是()A.-1B.-2C.-5D.1答案 A17.(2015湖南,4,5分)若变量x,y满足约束条件-则z=2x-y的最小值为()A.-1B.0C.1D.2答案 A18.(2014天津,2,5分)设变量x,y满足约束条件---则目标函数z=x+2y的最小值为()A.2B.3C.4D.5答案 B19.(2013福建,6,5分)若变量x,y满足约束条件则z=2x+y的最大值和最小值分别为()A.4和3B.4和2C.3和2D.2和0答案 B20.(2013天津,2,5分)设变量x,y满足约束条件----则目标函数z=y-2x的最小值为()A.-7B.-4C.1D.2答案 A21.(2013陕西,7,5分)若点(x,y)位于曲线y=|x|与y=2所围成的封闭区域,则2x-y的最小值是()A.-6B.-2C.0D.222.(2015课标Ⅱ,14,5分)若x,y满足约束条件----则z=2x+y的最大值为.答案823.(2015山东,12,5分)若x,y满足约束条件-则z=x+3y的最大值为.答案724.(2015湖北,12,5分)若变量x,y满足约束条件--则3x+y的最大值是.答案1025.(2015北京,13,5分)如图,△ABC及其内部的点组成的集合记为D,P(x,y)为D中任意一点,则z=2x+3y的最大值为.答案726.(2014大纲全国,15,5分)设x、y满足约束条件--则z=x+4y的最大值为.答案 527.(2014辽宁,14,5分)已知x,y满足约束条件----则目标函数z=3x+4y的最大值为.答案1828.(2014湖南,13,5分)若变量x,y满足约束条件则z=2x+y的最大值为. 答案729.(2014浙江,12,4分)若实数x,y满足---则x+y的取值范围是.答案[1,3]30.(2013课标全国Ⅰ,14,5分)设x,y满足约束条件--则z=2x-y的最大值为.答案 331.(2016天津,16,13分)某化肥厂生产甲、乙两种混合肥料,需要A,B,C三种主要原料.生产1车皮甲种肥料和生产1车皮乙种肥料所需三种原料的吨数如下表所示:现有A种原料200吨,B种原料360吨,C种原料300吨,在此基础上生产甲、乙两种肥料.已知生产1车皮甲种肥料,产生的利润为2万元;生产1车皮乙种肥料,产生的利润为3万元.分别用x,y表示计划生产甲、乙两种肥料的车皮数.(1)用x,y列出满足生产条件的数学关系式,并画出相应的平面区域;(2)问分别生产甲、乙两种肥料各多少车皮,能够产生最大的利润?并求出此最大利润.解析(1)由已知,x,y满足的数学关系式为该二元一次不等式组所表示的平面区域为图1中的阴影部分.图1(2)设利润为z万元,则目标函数为z=2x+3y.考虑z=2x+3y,将它变形为y=-x+,这是斜率为-,随z变化的一族平行直线.为直线在y轴上的截距,当取最大值时,z的值最大.又因为x,y满足约束条件,所以由图2可知,当直线z=2x+3y经过可行域上的点M时,截距最大,即z最大.图2解方程组得点M的坐标为(20,24).所以z max=2×20+3×24=112.答:生产甲种肥料20车皮、乙种肥料24车皮时利润最大,且最大利润为112万元.三年模拟A组2016—2018年模拟·基础题组考点一二元一次不等式(组)与平面区域表示一个三角形区域,则实数a的取值范围是1.(2018湖南师大附中12月月考,10)在直角坐标系中,若不等式组-()A.a>0B.a≥0C.a≤-2D.a>-2答案 D-表示的平面区域内存在点P(x0,y0),满足x0-2y0=2,则m的取值范2.(2017广东惠州二调,11)设关于x,y的不等式组-围是()A.-∞-B.-C.-∞-D.-∞-答案 D3.(2016湖南长沙一中月考,6)不等式组-表示的平面区域是() A.矩形 B.三角形C.直角梯形D.等腰梯形答案 D4.(2017辽宁铁岭协作体第一次联考,15)设不等式组--表示的平面区域为M,若直线l:y=k(x+1)上存在区域M内的点,则k的取值范围是.答案考点二简单的线性规划问题5.(2018广东惠州一调,6)点P(x,y)为不等式组----所表示的平面区域内的动点,则m=x-y的最小值为()A.-1B.1C.4 0 答案 D6.(2018河南郑州一中12月月考,8)已知x,y∈N*且满足约束条件--则x+y的最小值为()A.1B.4C.6D.7答案 C7.(2018河北衡水中学四调,8)已知a>0,x,y满足约束条件-若z=2x+y的最小值为1,则a的值为() A. B. D.1 D.2答案 B8.(2017广东惠州一调,8)已知----则z=22x+y的最小值是()A.1B.16C.8D.4 答案 C9.(2016福建四校第一次联考,9)已知正数x,y满足--则z=4-x·的最小值为()A.1B.C.D.答案 C10.(2018河南顶级名校11月联考,14)若x,y满足约束条件--则的最大值是. 答案 6B组2016—2018年模拟·提升题组(满分:45分时间:30分钟)一、选择题(每小题5分,共30分)1.(2018四川成都外国语学校12月月考,7)已知变量x,y满足约束条件---若目标函数z=y-ax仅在点(-3,0)处取到最大值,则实数a的取值范围为()A.∞B.(3,5)C.(-1,2)D.答案 A2.(2018清华大学学科素养测试,6)设x,y满足约束条件|x-2|+|y-2|≤4,则z=2x+y的取值范围是()A.[-2,10]B.[2,10]C.[-2,14]D.[2,14]答案 C3.(2018河南洛阳期中联考,11)在平面直角坐标系xOy中,已知点A(2,3),B(3,2),C(1,1).点P(x,y)在△ABC三边围成的区域(含边界)内,设=m-n(m,n∈R),则2m+n的最大值为()A.-1B.1C.2D.3答案 B4.(2017江西南昌十校二模,9)已知x,y满足约束条件-则z=|x-2y+2|的最小值为()A.3B.0C.1D.答案 D5.(2017河南百校联盟12月模拟,4)已知实数x,y满足---则z=--的取值范围为()A.-∞-B.-∞-C.--D.-∞答案 B6.(2016 河北石家庄质检,7)已知x,y满足约束条件-若目标函数z=y-mx(m>0)的最大值为1,则m的值是()A.-B.1C.2D.5答案 B二、填空题(每小题5分,共15分)7.(2018全国千校联盟12月联考,14)已知实数x,y满足---则z=x2+(y+1)2的取值范围为.答案8.(2018河南许昌、平顶山两市联考,14)设x,y满足约束条件-记z=x+3y+2的最小值为k,则函数f(x)=e x+k+1-4的图象恒过定点.答案(-1,-3)9.(2018河北衡水中学9月大联考,15)已知实数x,y满足约束条件则sin(x+y)的取值范围为(用区间表示).答案C组2016—2018年模拟·方法题组方法1平面区域问题的求解方法1.(2018湖北华师一附中期中,6)已知P(x,y)为区域-内的任意一点,当该区域的面积为4时,z=2x-y的最大值是() A.6 B.0 C.2 D.22.(2017河北“五个一联盟”第一次模拟,10)已知函数f(x)的定义域为[-2,+∞),且f(4)=f(-2)=1,f '(x)为f(x)的导函数,函数y=f '(x)的图象如图所示,则所表示的平面区域的面积是()A.2B.4C.5D.8答案 B3.(2016湖北武汉重点中学联考,15)若不等式组表示的平面区域为三角形,则实数k的取值范围是.答案0<k≤或k<-2方法2目标函数最值问题的求解方法4.(2018江西南昌二中期中模拟,7)已知x,y满足约束条件--则下列目标函数中,在点(4,1)处取得最大值的是() A.z=x-y B.z=-3x+yC.z=-x-yD.z=3x-y答案 D5.(2017山西晋中二模,7)已知D=---,给出下列四个命题:p1:∀(x,y)∈D,x+y+1≥0; p2:∀(x,y)∈D,2x-y+2≤0;p3:∃(x,y)∈D,-≤-4;p4:∃(x,y)∈D,x2+y2≤2. 其中真命题是()A.p1,p2B.p2,p3C.p2,p4D.p3,p46.(2016安徽安庆期中联考,5)已知实数x,y满足条件---则z=-的最大值为()A. B. C. D.答案 B7.(2018湖北重点中学联考,15)已知变量x,y满足约束条件---则F(x,y)=log2(y+1)+lo(x+1)的最小值为.答案-2方法3线性规划中参变量问题的求解方法8.(2017河南安阳一模,5)已知z=2x+y,其中实数x,y满足且z的最大值是最小值的4倍,则a的值是()A. B. C.4 D.答案 B9.(2017安徽师大附中期中考试,7)设x,y满足约束条件若z=的最小值为,则a的值为()A.1B.2C.3D.4答案 A10.(2018湖北八校12月联考,14)已知x,y满足约束条件-且z=x+3y的最小值为2,则常数k=.答案-2方法4线性规划的实际问题的求解方法11.(2018河南百校联盟12月联考,16)某旅游景区的一家庭作坊计划每天制作高、中、低档3种旅游纪念品共50个,制作一个高档纪念品需要14分钟,利润为12元;制作一个中档纪念品需要11分钟,利润为11元;制作一个低档纪念品需要9分钟,利润为7元.若已知每天制作时间不超过11小时,则这个家庭作坊每天制作旅游纪念品的最大利润为元.答案58612.(2017广东肇庆调研,20)某玩具公司每天计划生产卫兵、骑兵、伞兵这三种玩具共100个,生产一个卫兵需5分钟,生产一个骑兵需7分钟,生产一个伞兵需4分钟,已知总生产时间不超过10小时,若生产一个卫兵可获利润5元,生产一个骑兵可获利润6元,生产一个伞兵可获利润3元.(1)试用每天生产的卫兵个数x与骑兵个数y表示每天的利润w(元);(2)怎样分配生产任务才能使每天的利润最大?最大利润是多少?解析(1)依题意知每天生产的伞兵个数为100-x-y,所以利润w=5x+6y+3(100-x-y)=2x+3y+300.(2)约束条件为----∈整理得∈目标函数为w=2x+3y+300.作出可行域,为图中阴影区域内的整点.初始直线l0:2x+3y=0,平移初始直线,当经过点A时,w有最大值,由得故最优解为点A(50,50),所以w max=550.所以每天生产卫兵50个,骑兵50个,伞兵0个时利润最大,最大利润为550元.。

高考数学二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题

高考数学二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题题组一二元一次不等式(组)表示的平面区域1.(2009·福建高考)在平面直角坐标系中，若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x＋y－1≥0，x－1≤0，ax－y＋1≥0(a为常数)所表示的平面区域的面积等于2，则a的值为() A．－5 B．1C．2 D．3解析：不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x＋y－1≥0，x－1≤0，ax－y＋1≥0所围成的区域如图所示．则A(1,0)，B(0,1)，C(1,1＋a)且a>－1，∵S△ABC＝2，∴12(1＋a)×1＝2，解得a＝3.答案：D2．已知D是由不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x－2y≥0，x＋3y≥0所确定的平面区域，则圆x2＋y2＝4在区域D内的弧长为() A.π4 B.π2 C.3π4 D.3π2解析：如图，l1、l2的斜率分别是k1＝12，k2＝－13，不等式组表示的平面区域为阴影部分．∵tan∠AOB＝12＋131－12×13＝1，∴∠AOB＝π4，∴弧长＝π4·2＝π2.答案：B3．点(3,1)和(－4,6)在直线3x －2y ＋a ＝0的两侧，则a 的取值范围是________．解析：点(3,1)和(－4,6)在直线3x －2y ＋a ＝0的两侧，说明将这两点坐标代入3x －2y ＋a 后，符号相反，所以(9－2＋a )(－12－12＋a )＜0，解之得－7＜a ＜24. 答案：(－7,24)题组二求目标函数的最值4.(2009·天津高考)设变量x 、y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥3，x －y ≥－1，2x －y ≤3，则目标函数z ＝2x ＋3y 的最小值为 ( ) A ．6 B ．7 C ．8 D ．23 解析：约束条件 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥3，x －y ≥－1，2x －y ≤3表示的平面区域如图易知过C (2,1)时，目标函数z ＝2x ＋3y 取得最小值． ∴z min ＝2×2＋3×1＝7. 答案：B5．(2009·陕西高考)若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥1，x －y ≥－1，2x －y ≤2，目标函数z ＝ax ＋2y 仅在点(1,0)处取得最小值，则a 的取值范围是 ( ) A ．(－1,2) B ．(－4,2) C ．(－4,0] D ．(－2,4) 解析：可行域为△ABC ，如图当a ＝0时，显然成立．当a ＞0时，直线ax ＋2y －z ＝0的斜率k ＝－a2＞k AC ＝－1，a＜2.当a ＜0时，k ＝－a2＜k AB ＝2，∴a ＞－4. 综合得－4＜a ＜2.答案：B6．已知关于x 、y 的二元一次不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≤4，x －y ≤1，x ＋2≥0.(1)求函数u ＝3x －y 的最大值和最小值； (2)求函数z ＝x ＋2y ＋2的最大值和最小值．解：(1)作出二元一次不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≤4，x －y ≤1，x ＋2≥0表示的平面区域，如图所示．由u ＝3x －y ，得y ＝3x －u ，得到斜率为3，在y 轴上的截距为－u ，随u 变化的一组平行线，由图可知，当直线经过可行域上的C 点时，截距－u 最大，即u 最小，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋2y ＝4，x ＋2＝0，得C (－2,3)，∴u min ＝3×(－2)－3＝－9.当直线经过可行域上的B 点时，截距－u 最小，即u 最大，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＝4，x －y ＝1，得B (2,1)，∴u max ＝3×2－1＝5.∴u ＝3x －y 的最大值是5，最小值是－9. (2)作出二元一次不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≤4，x －y ≤1，x ＋2≥0表示的平面区域，如图所示．由z ＝x ＋2y ＋2，得y ＝－12x ＋12z －1，得到斜率为－12，在y 轴上的截距为12z －1，随z变化的一组平行线，由图可知，当直线经过可行域上的A 点时，截距12z －1最小，即z 最小，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝1，x ＋2＝0，得A (－2，－3)，∴z min ＝－2＋2×(－3)＋2＝－6.当直线与直线x ＋2y ＝4重合时，截距12 z －1最大，即z 最大，∴z max ＝4＋2＝6.∴z ＝x ＋2y ＋2的最大值是6，最小值是－6.题组三线性规划的实际应用7.(2009·湖北高考)在“家电下乡”活动中，某厂要将100台洗衣机运往邻近的乡镇．现有4辆甲型货车和8辆乙型货车可供使用．每辆甲型货车运输费用400元，可装洗衣机20台；每辆乙型货车运输费用300元，可装洗衣机10台．若每辆车至多只运一次，则该厂所花的最少运输费用为 ( ) A ．2 000元 B ．2 200元 C ．2 400元 D ．2 800元解析：设需使用甲型货车x 辆，乙型货车y 辆，运输费用z 元，根据题意，得线性约束条件⎩⎪⎨⎪⎧20x ＋10y ≥100，0≤x ≤4，0≤y ≤8，求线性目标函数z ＝400x ＋300y 的最小值．解得当⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝2时，z min ＝2 200.答案：B8．(2009·四川高考)某企业生产甲、乙两种产品．已知生产每吨甲产品要用A 原料3吨、B 原料2吨；生产每吨乙产品要用A 原料1吨、B 原料3吨．销售每吨甲产品可获得利润5万元、每吨乙产品可获得利润3万元 .该企业在一个生产周期内消耗A 原料不超过13吨、B 原料不超过18吨，那么该企业可获得最大利润是 ( ) A ．12万元 B ．20万元 C ．25万元 D ．27万元解析：设该企业生产甲产品为x 吨，乙产品为y 吨，则该企业可获得利润为z ＝5x ＋3y ，且⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，3x ＋y ≤13，2x ＋3y ≤18，联立⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋y ＝13，2x ＋3y ＝18，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝4.由图可知，最优解为P (3,4)，∴z 的最大值为z ＝5×3＋3×4＝27(万元)．答案：D9．某人上午7时乘摩托艇以匀速v km/h(4≤v ≤20)从A 港出发到距50 km 的B 港去，然后乘汽车以匀速w km/h(30≤w ≤100)自B 港向距300 km 的C 市驶去．应该在同一天下午4至9点到达C 市．设乘摩托艇、汽车去所需要的时间分别是x h 、y h ．若所需的经费p ＝100＋3(5－y )＋2(8－x )元，那么v 、w 分别为多少时，所需经费最少？并求出这时所花的经费．解：依题意⎩⎪⎨⎪⎧4≤50x≤2030≤300y ≤1009≤x ＋y ≤14x >0，y >0，考查z ＝2x ＋3y 的最大值，作出可行域，平移直线2x ＋3y ＝0，当直线经过点(4,10)时，z 取得最大值38.故当v ＝12.5、w ＝30时所需要经费最少，此时所花的经费为93元．10.(2010·诸城模拟) ( ) A ．直线x ＋y ＝1的左下方 B ．直线x ＋y ＝1的右上方 C ．直线x ＋2y ＝1的左下方 D ．直线x ＋2y ＝1的右上方解析：∵2m ＋4n ＝2m ＋22n ≥22m ＋2n∴22m ＋2n <22，即m ＋2n <1，∴点(m ，n )必在直线x ＋2y ＝1的左下方．答案：C 11. 设m 为实数，若⎩⎨⎧(x ，y )⎪⎪⎪⎭⎬⎫⎩⎪⎨⎪⎧ x －2y ＋5≥03－x ≥0mx ＋y ≥0⊆{(x ，y )|x 2＋y 2≤25}，则m 的取值范围是____________．解析：由题意知，可行域应在圆内，如图：如果－m >0，则可行域取到x ＜－5的点，不能在圆内；故－m ≤0，即m ≥0.当mx ＋y ＝0绕坐标原点旋转时，直线过B 点时为边界位置．此时－m ＝－43，∴m ＝43.∴0≤m ≤43.答案：0≤m ≤4312．已知O 为坐标原点，A (2,1)，P (x ，y )满足⎩⎪⎨⎪⎧x －4y ＋3≤0，3x ＋5y ≤25，x －1≥0，则|OP u u u r |·cos ∠AOP 的最大值等于________．解析：在平面直角坐标系中画出不等式组所表示的可行域(如图)，由于|OP u u u r |·cos ∠AOP＝cos OP OA AOPOA∠u u u r u u u rg u u u r＝OP OAOAu u u r u u u rg u u u r ，而OA u u u r ＝(2,1)，OP u u u r ＝(x ，y )，所以|OP u u u r |·cos ∠AOP ＝2x ＋y 5，令z ＝2x ＋y ，则y ＝－2x ＋z ，即z 表示直线y ＝－2x ＋z 在y 轴上的截距，由图形可知，当直线经过可行域中的点M 时，z 取到最大值，由⎩⎪⎨⎪⎧x －4y ＋3＝0，3x ＋5y ＝25，得M (5,2)，这时z ＝12，所以|OP u u u r |·cos ∠AOP ＝125＝1255，故|OP u u u r |·cos ∠AOP 的最大值等于1255.125答案：5。

二元一次不等式(组)及简单的线性规划问题Word版含答案

二元一次不等式(组)及简单的线性规划问题【课前回顾】1．一元二次不等式(组)表示的平面区域以上简称为“直线定界，特殊点定域”. 3．简单的线性规划中的基本概念1．不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －3y ＋6<0，x －y ＋2≥0表示的平面区域是( )解析：选C x －3y ＋6<0表示直线x －3y ＋6＝0左上方部分，x －y ＋2≥0表示直线x －y ＋2＝0及其右下方部分．故不等式组表示的平面区域为选项C 所示阴影部分．2．不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x ＋3y ≥4，3x ＋y ≤4所表示的平面区域的面积等于( )A.32 B.23 C.43D.34解析：选C 平面区域如图中阴影部分所示．解⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3y ＝4，3x ＋y ＝4可得A (1,1)，易得B (0,4)，C ⎝⎛⎭⎫0，43，|BC |＝4－43＝83. ∴S △ABC ＝12×83×1＝43.3．(2017·全国卷Ⅱ)设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y －3≤0，2x －3y ＋3≥0，y ＋3≥0，则z ＝2x ＋y 的最小值是( )A ．－15B ．－9C ．1D ．9解析：选A 法一：作出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示．易求得可行域的顶点A (0，1)，B (－6，－3)，C (6，－3)，当直线z ＝2x ＋y 过点B (－6，－3)时，z 取得最小值，z min ＝2×(－6)－3＝－15.法二：易求可行域顶点A (0,1)，B (－6，－3)，C (6，－3)，分别代入目标函数，求出对应的z 的值依次为1，－15,9，故最小值为－15.5．若点(m,1)在不等式2x ＋3y －5>0所表示的平面区域内，则m 的取值范围是________．解析：∵点(m,1)在不等式2x ＋3y －5>0所表示的平面区域内，∴2m ＋3－5>0，即m >1.答案：(1，＋∞)4．若实数x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －1≥0，x －y ≤0，x ＋y －6≤0，则x －2y 的最大值为________．解析：画出可行域如图中阴影部分所示，令z ＝x －2y ，可知z ＝x －2y 在点A (1,1)处取得最大值－1.答案：－1考点一二元一次不等式(组)表示的平面区域(一)直接考——求平面区域的面积解决求平面区域面积问题的方法步骤 (1)画出不等式组表示的平面区域；(2)判断平面区域的形状，并求得直线的交点坐标、图形的边长、相关线段的长(三角形的高、四边形的高)等，若为规则图形则利用图形的面积公式求解；若为不规则图形则利用割补法求解．1．不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －6≤0，x ＋y －3≥0，y ≤2表示的平面区域的面积为( )A ．4B ．1C ．5D ．无穷大解析：选B 不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －6≤0，x ＋y －3≥0，y ≤2表示的平面区域如图所示(阴影部分)，△ABC 的面积即所求．求出点A ，B ，C 的坐标分别为A (1,2)，B (2，2)，C (3,0)，则△ABC 的面积为S ＝12×(2－1)×2＝1.2．不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋5≥0，y ≥2，0≤x ≤2所表示的平面区域的面积为________．解析：如图，平面区域为直角梯形，易得A (0,2)，B (2,2)，C (2,7)，D (0，5)，所以AD ＝3，AB ＝2，BC ＝5.故所求区域的面积为S ＝12×(3＋5)×2＝8.答案：8(二)迁移考——根据平面区域满足的条件求参数根据平面区域确定参数的方法在含有参数的二元一次不等式组所表示的平面区域问题中，首先把不含参数的平面区域确定好，然后用数形结合的方法根据参数的不同取值情况画图观察区域的形状，根据求解要求确定问题的答案．3．已知约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x ＋y －4≤0，kx －y ≤0表示面积为1的直角三角形区域，则实数k 的值为( )A ．1B ．－1C ．0D ．－2解析：选A 作出约束条件表示的可行域如图中阴影部分所示，要使阴影部分为直角三角形，当k ＝0时，此三角形的面积为12×3×3＝92≠1，所以不成立，所以k >0，则必有BC ⊥AB ，因为x ＋y －4＝0的斜率为－1，所以直线kx －y ＝0的斜率为1，即k ＝1，故选A. 4．若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，2x ＋y ≤2，y ≥0，x ＋y ≤a 表示的平面区域是一个三角形，则实数a 的取值范围是( )A.⎣⎡⎭⎫43，＋∞ B ．(0,1]C.⎣⎡⎦⎤1，43 D ．(0,1]∪⎣⎡⎭⎫43，＋∞解析：选D 不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，2x ＋y ≤2，y ≥0表示的平面区域如图中阴影部分所示．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ，2x ＋y ＝2，得A 23，23，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝0，2x ＋y ＝2，得B (1,0)．若原不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，2x ＋y ≤2，y ≥0，x ＋y ≤a 表示的平面区域是一个三角形，则直线x ＋y ＝a 中a 的取值范围是0<a ≤1或a ≥43.考点二求目标函数的最值角度(一) 求线性目标函数的最值及范围求目标函数最值的一般步骤1．(2017·全国卷Ⅲ)设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋2y －6≤0，x ≥0，y ≥0，则z ＝x －y 的取值范围是( )A ．[－3,0]B ．[－3,2]C ．[0,2]D ．[0,3]解析：选B 作出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示，作出直线l 0：y ＝x ，平移直线l 0，当直线z ＝x －y 过点A (2,0)时，z 取得最大值2，当直线z ＝x －y 过点B (0,3)时，z 取得最小值－3，所以z ＝x －y 的取值范围是[－3,2]．2．(2017·全国卷Ⅰ)设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≤1，2x ＋y ≥－1，x －y ≤0，则z ＝3x －2y 的最小值为________．解析：画出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≤1，2x ＋y ≥－1，x －y ≤0所表示的可行域如图中阴影部分所示，由可行域知，当直线y ＝32x－z2过点A 时，在y 轴上的截距最大，此时z 最小，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＝1，2x ＋y ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝1.即A (－1,1)．所以z min ＝－5. 答案：－5角度(二) 求非线性目标函数的最值常见的2种非线性目标函数及其意义(1)点到点的距离型：形如z ＝(x －a )2＋(y －b )2，表示区域内的动点(x ，y )与定点(a ，b )的距离的平方；(2)斜率型：形如z ＝y －bx －a，表示区域内的动点(x ，y )与定点(a ，b )连线的斜率． 3．(2018·太原模拟)已知实数x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋y ＋3≥0，2x －y ＋2≤0，x ＋2y －4≤0，则z ＝x 2＋y 2的取值范围为( )A ．[1,13]B ．[1,4] C.⎣⎡⎦⎤45，13D.⎣⎡⎦⎤45，4解析：选C 不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，由此得z ＝x 2＋y 2的最小值为点O 到直线BC ：2x －y ＋2＝0的距离的平方，z min ＝45，最大值为点O 与点A (－2,3)的距离的平方，z max ＝|OA |2＝13.角度(三) 线性规划中的参数问题求解线性规划中含参问题的基本方法(1)把参数当成常数用，根据线性规划问题的求解方法求出最优解，代入目标函数确定最值，通过构造方程或不等式求解参数的值或取值范围．(2)先分离含有参数的式子，通过观察的方法确定含参的式子所满足的条件，确定最优解的位置，从而求出参数．4．当实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －4≤0，x －y －1≤0，x ≥1时，1≤ax ＋y ≤4恒成立，则实数a 的取值范围是________．解析：作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －4≤0，x －y －1≤0，x ≥1表示的平面区域如图中阴影部分所示，由1≤ax ＋y ≤4恒成立，结合图可知，a ≥0且在A (1,0)处取得最小值，在B (2,1)处取得最大值，所以a ≥1，且2a ＋1≤4，故a 的取值范围为⎣⎡⎦⎤1，32. 答案：⎣⎡⎦⎤1，32 【针对训练】1．(2017·浙江高考)若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x ＋y －3≥0，x －2y ≤0，则z ＝x ＋2y 的取值范围是( )A ．[0,6]B ．[0,4]C ．[6，＋∞)D ．[4，＋∞)解析：选D 作出不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示，由z ＝x ＋2y ，得y ＝－12x ＋z 2，∴z 2是直线y ＝－12x ＋z 2在y 轴上的截距，根据图形知，当直线y＝－12x ＋z 2过A 点时，z 2取得最小值．由⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＝0，x ＋y －3＝0，得x ＝2，y ＝1，即A (2,1)，此时，z＝4，∴z ＝x ＋2y 的取值范围是[4，＋∞)．2．(2018·成都一诊)若实数x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －4≤0，x －2y －2≤0，x －1≥0，则y －1x的最小值为________．解析：作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，因为y －1x 表示平面区域内的点与定点P (0,1)连线的斜率．由图知，点P与点A ⎝⎛⎭⎫1，－12连线的斜率最小，所以⎝⎛⎭⎫y －1x min ＝k PA ＝－12－11－0＝－32. 答案：－323．(2018·郑州质检)已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥2，x ＋y ≤4，2x －y －m ≤0.若目标函数z ＝3x ＋y 的最大值为10，则z 的最小值为________．解析：画出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示，作直线l ：3x ＋y ＝0，平移l ，从而可知经过C 点时z 取到最大值，由⎩⎪⎨⎪⎧ 3x ＋y ＝10，x ＋y ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝1，∴2×3－1－m ＝0，m ＝5.由图知，平移l 经过B 点时，z 最小，∴当x ＝2，y ＝2×2－5＝－1时，z 最小，z min ＝3×2－1＝5. 答案：5考点三线性规划的实际应用1．解线性规划应用题3步骤(1)明确问题中的所有约束条件，并根据题意判断约束条件是否能够取到等号．(2)注意结合实际问题的实际意义，判断所设未知数x ，y 的取值范围，特别注意分析x ，y 是否是整数、是否是非负数等．(3)正确地写出目标函数，一般地，目标函数是等式的形式．【典型例题】(2016·全国卷Ⅰ)某高科技企业生产产品A 和产品B 需要甲、乙两种新型材料．生产一件产品A 需要甲材料1.5 kg ，乙材料1 kg ，用5个工时；生产一件产品B 需要甲材料0.5 kg ，乙材料0.3 kg ，用3个工时．生产一件产品A 的利润为2 100元，生产一件产品B 的利润为900 元．该企业现有甲材料150 kg ，乙材料90 kg ，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A 、产品B 的利润之和的最大值为________元．解析：设生产A 产品x 件，B 产品y 件，由已知可得约束条件为 ⎩⎪⎨⎪⎧1.5x ＋0.5y ≤150，x ＋0.3y ≤90，5x ＋3y ≤600，x ∈N ，y ∈N.即⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋y ≤300，10x ＋3y ≤900，5x ＋3y ≤600，x ∈N ，y ∈N.目标函数为z ＝2 100x ＋900y ，由约束条件作出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示．作直线2 100x ＋900y ＝0，即7x ＋3y ＝0，当直线经过点M 时，z 取得最大值，联立⎩⎪⎨⎪⎧10x ＋3y ＝900，5x ＋3y ＝600，解得M (60,100)．则z max ＝2 100×60＋900×100＝216 000(元)．答案：216 000【针对训练】某旅行社租用A ，B 两种型号的客车安排900名客人旅行，A ，B 两种车辆的载客量分别为36人和60人，租金分别为1 600元/辆和2 400元/辆，旅行社要求租车总数不超过21辆，且B 型车不多于A 型车7辆，则租金最少为( )A ．31 200元B ．36 000元C ．36 800元D ．38 400元解析：选C 设旅行社租用A 型客车x 辆，B 型客车y 辆，租金为z ，则线性约束条件为⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤21，y －x ≤7，36x ＋60y ≥900，x ，y ∈N.目标函数为z ＝1 600x ＋2 400y . 画出可行域如图中阴影部分所示，可知目标函数过点N 时，取得最小值，由⎩⎪⎨⎪⎧ y －x ＝7，36x ＋60y ＝900，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝12，故N (5,12)，故z min ＝1 600×5＋2 400×12＝36 800(元)．【课后演练】1．不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x >0，y >0，2x ＋y <6所表示的平面区域内的整点个数为( )A ．2B ．3C ．4D ．5解析：选C 由不等式2x ＋y <6得y <6－2x ，且x >0，y >0，则当x ＝1时，0<y <4，则y ＝1,2,3，此时整点有(1,1)，(1,2)，(1,3)；当x ＝2时，0<y <2，则y ＝1，此时整点有(2,1)；当x ＝3时，y 无解．故平面区域内的整点个数为4.2．不等式(x －2y ＋1)(x ＋y －3)≤0在坐标平面内表示的区域(用阴影部分表示)应是( )解析：选C (x －2y ＋1)(x ＋y －3)≤0⇔⎩⎪⎨⎪⎧ x －2y ＋1≥0，x ＋y －3≤0或⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋1≤0，x ＋y －3≥0.结合图形可知选C.3．(2017·北京高考)若x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ≤3，x ＋y ≥2，y ≤x ，则x ＋2y 的最大值为( )A ．1B ．3C ．5D ．9解析：选D 不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所示，是以点A (1,1)，B (3,3)，C (3，－1)为顶点的三角形及其内部．设z ＝x ＋2y ，当直线z ＝x ＋2y 经过点B 时，z 取得最大值，所以z max ＝3＋2×3＝9.4．(2018·兰州模拟)若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，3x ＋4y ≤12，则z ＝2x ·⎝⎛⎭⎫12y 的最大值为( )A ．16B ．8C ．4D ．3解析：选A 作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，3x ＋4y ≤12所表示的平面区域如图中阴影部分所示．又z ＝2x ·⎝⎛⎭⎫12y ＝2x －y ，令u ＝x －y ，则直线u ＝x －y 在点(4,0)处u 取得最大值，此时z 取得最大值且z max ＝24－0＝16，故选A.5．(2017·郑州二模)已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧y ≥x ＋2，x ＋y ≤6，x ≥1，则z ＝2|x －2|＋|y |的最小值是( )A ．6B ．5C ．4D ．3解析：选C 作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y ≥x ＋2，x ＋y ≤6，x ≥1表示的可行域如图中阴影部分所示，其中A (2,4)，B (1,5)，C (1，3)，∴x ∈[1,2]，y ∈[3,5]．∴z ＝2|x －2|＋|y |＝－2x ＋y ＋4，当直线y ＝2x －4＋z 过点A (2,4)时，直线在y 轴上的截距最小，此时z 有最小值，∴z min ＝－2×2＋4＋4＝4，故选C.6．(2018·郑州第二次质量预测)已知直线y ＝k (x ＋1)与不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －4≤0，3x －y ≥0，x >0，y >0表示的平面区域有公共点，则k 的取值范围为( )A ．[0，＋∞) B.⎣⎡⎦⎤0，32 C.⎝⎛⎦⎤0，32 D.⎝⎛⎭⎫32，＋∞解析：选C 画出不等式组表示的可行域如图中阴影(不含x 轴)部分所示，直线y ＝k (x ＋1)过定点M (－1，0)，由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y －4＝0，3x －y ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝3，过点M (－1，0)与A (1,3)的直线的斜率是32，根据题意可知0<k ≤32.7．点(－2，t )在直线2x －3y ＋6＝0的上方，则t 的取值范围是________．解析：因为直线2x －3y ＋6＝0的上方区域可以用不等式2x －3y ＋6＜0表示，所以由点(－2，t )在直线2x －3y ＋6＝0的上方得－4－3t ＋6＜0，解得t ＞23.答案：⎝⎛⎭⎫23，＋∞ 8．(2017·全国卷Ⅲ)若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，x ＋y －2≤0，y ≥0，则z ＝3x －4y 的最小值为________．解析：作出约束条件表示的可行域如图中阴影部分所示，作出直线l ：3x －4y ＝0，平移直线l ，当直线z ＝3x －4y 经过点A (1,1)时，z 取得最小值，最小值为3－4＝－1.答案：－19．若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －1≥0，x －y ≤0，x ＋y －4≤0，则yx的最大值为________．解析：作出约束条件表示的可行域如图中阴影部分所示，由斜率的意义知，yx 是可行域内一点与原点连线的斜率，由图可知，点A (1,3)与原点连线的斜率最大，故yx 的最大值为3.答案：310．(2018·西安质检)若变量x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧|x |＋|y |≤1，xy ≥0，则2x ＋y 的取值范围为________．解析：作出满足不等式组的平面区域如图中阴影部分所示，平移直线2x ＋y ＝0，经过点A (1,0)时，2x ＋y 取得最大值2×1＋0＝2，经过点B (－1,0)时，2x ＋y 取得最小值2×(－1)＋0＝－2，所以2x ＋y 的取值范围为[－2,2]．答案：[－2,2]11．(2018·安庆二模)若实数x ，y 满足：|x |≤y ≤1，则x 2＋y 2＋2x 的最小值为( ) A.12 B ．－12C.22D.22－1 解析：选B 作出不等式|x |≤y ≤1表示的可行域如图中阴影部分所示．x 2＋y 2＋2x ＝(x ＋1)2＋y 2－1，(x ＋1)2＋y 2表示可行域内的点(x ，y )到点(－1,0)距离的平方，由图可知，(x ＋1)2＋y 2的最小值为点(－1,0)到直线y ＝－x 的距离的平方，即为⎝⎛⎭⎫222＝12，所以x 2＋y 2＋2x 的最小值为12－1＝－12.12．(2018·石家庄质检)若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤0，x －y ≤0，x 2＋y 2≤4，则z ＝y －2x ＋3的最小值为( )A ．－2B ．－23C ．－125D.2－47解析：选C 作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，因为目标函数z ＝y －2x ＋3表示区域内的点与点P (－3,2)连线的斜率．由图知当区域内的点与点P 的连线与圆相切时斜率最小．设切线方程为y －2＝k (x ＋3)，即kx －y ＋3k ＋2＝0，则有|3k ＋2|k 2＋1＝2，解得k ＝－125或k ＝0(舍去)，所以z min ＝－125，故选C.13．某农户计划种植黄瓜和韭菜，种植面积不超过50亩，投入资金不超过54万元，假设种植黄瓜和韭菜的产量、成本和售价如下表植面积(单位：亩)分别为( )A ．50,0B ．30,20C ．20,30D ．0,50解析：选B 设黄瓜、韭菜的种植面积分别为x 亩，y 亩，则总利润z ＝4×0.55x ＋6×0.3y －1.2x －0.9y ＝x ＋0.9y .此时x ，y 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤50，1.2x ＋0.9y ≤54，x ≥0，y ≥0.画出可行域如图，得最优解为A (30,20)．14．(2018·石家庄模拟)已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≤0，x －2y －2≤0，2x －y ＋2≥0，且b ＝－2x －y ，当b 取得最大值时，直线2x ＋y ＋b ＝0被圆(x －1)2＋(y －2)2＝25截得的弦长为________．解析：作出约束条件表示的可行域如图中阴影部分所示，由图知，当直线y ＝－2x －b 经过点A (－2，－2)时，b 取得最大值，即b max ＝－2×(－2)－(－2)＝6，此时直线方程为2x ＋y ＋6＝0.因为圆心(1,2)到直线2x ＋y ＋6＝0的距离d ＝|2＋2＋6|22＋12＝25，所以直线被圆截得的弦长L ＝252－(25)2＝2 5.答案：2 515．(2018·河南六市联考)已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧y ≥1，y ≤2x －1，x ＋y ≤m .若目标函数z ＝x －y 的最小值为－1，则实数m ＝________.解析：作出不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所示，作直线l ：y ＝x ，平移l 可知，当直线l 经过A 时符合题意，由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝2x －1，x －y ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝3.又A (2,3)在直线x ＋y ＝m 上，所以m ＝5.答案：516.已知D 是以点A (4,1)，B (－1，－6)，C (－3,2)为顶点的三角形区域(包括边界与内部)，如图所示．(1)写出表示区域D 的不等式组．(2)设点B (－1，－6)，C (－3,2)在直线4x －3y －a ＝0的异侧，求实数a 的取值范围．解：(1)直线AB ，AC ，BC 的方程分别为7x －5y －23＝0，x ＋7y －11＝0,4x ＋y ＋10＝0.原点(0,0)在区域D 内，故表示区域D 的不等式组为⎩⎪⎨⎪⎧7x －5y －23≤0，x ＋7y －11≤0，4x ＋y ＋10≥0.(2)根据题意有[4×(－1)－3×(－6)－a ][4×(－3)－3×2－a ]＜0，即(14－a )(－18－a )＜0，解得－18＜a ＜14.故实数a 的取值范围是(－18,14)．17．变量x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －4y ＋3≤0，3x ＋5y －25≤0，x ≥1.(1)设z 1＝4x －3y ，求z 1的最大值；(2)设z 2＝yx ，求z 2的最小值；(3)设z 3＝x 2＋y 2，求z 3的取值范围．解：作出可行域如图中阴影部分所示，易得A⎝⎛⎭⎫1，225，B (1,1)，联立⎩⎪⎨⎪⎧x －4y ＋3＝0，3x ＋5y －25＝0，解得C (5,2)，(1)z 1＝4x －3y ⇔y ＝43x －z 13，易知平移直线y ＝43x 至过点C 时，z 1最大，且最大值为4×5－3×2＝14.(2)z 2＝yx 表示可行域内的点与原点连线的斜率大小，显然直线OC 斜率最小，故z 2的最小值为25.(3)z 3＝x 2＋y 2表示可行域内的点到原点距离的平方，而2＝OB 2<OA 2<OC 2＝29，故z 3∈[2,29]．。

二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题

二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题要点梳理1．二元一次不等式表示的平面区域(1)一般地，二元一次不等式Ax ＋By ＋C >0在平面直角坐标系中表示直线Ax ＋By ＋C ＝0某一侧所有点组成的平面区域．我们把直线画成虚线以表示区域不包括边界直线．当我们在坐标系中画不等式Ax ＋By ＋C ≥0所表示的平面区域时，此区域应包括边界直线，则把边界直线画成实线．(2)由于对直线Ax ＋By ＋C ＝0同一侧的所有点(x ，y )，把它的坐标(x ，y )代入Ax ＋By ＋C 所得到实数的符号都相同，所以只需在此直线的某一侧取一个特殊点(x 0，y 0)，由Ax 0＋By 0＋C 的符号即可判断Ax ＋By ＋C >0表示直线Ax ＋By ＋C ＝0哪一侧的平面区域．23.应用利用线性规划求最值，一般用图解法求解，其步骤是：(1)在平面直角坐标系内作出可行域．(2)考虑目标函数的几何意义，将目标函数进行变形．(3)确定最优解：在可行域内平行移动目标函数变形后的直线，从而确定最优解．(4)求最值：将最优解代入目标函数即可求出最大值或最小值. 强化训练1．若函数y ＝2x 图象上存在点(x ，y )满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y －3≤0，x －2y －3≤0，x ≥m ，则实数m 的最大值为 A.12 B ．1 C.32D ．2 2．已知正三角形ABC 的顶点A (1,1)，B (1,3)，顶点C 在第一象限，若点(x ，y )在△ABC 内部，则z ＝－x ＋y 的取值范围是A ．(1－3，2)B ．(0,2)C ．(3－1,2)D ．(0,1＋3)3．设不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥1，x －2y ＋3≥0，y ≥x 所表示的平面区域是Ω1，平面区域Ω2与Ω1关于直线3x －4y －9＝0对称．对于Ω1中的任意点A 与Ω2中的任意点B ，|AB |的最小值等于( )A.285B ．4 C.125 D ．2 4．若点(1,3)和(－4，－2)在直线2x ＋y ＋m ＝0的两侧，则m 的取值范围是__________．5．如图所示的平面区域(阴影部分)满足不等式____________．6．设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧ x －y ≥－1，x ＋y ≤3，x ≥0，y ≥0，则z ＝x －2y 的取值范围为________．7．已知z ＝2x －y ，式中变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧ y ≤x ，x ＋y ≥1，x ≤2，则z 的最大值为________． 8．已知变量x ，y 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋2y －3≤0，x ＋3y －3≥0，y －1≤0，若目标函数z ＝ax ＋y (其中a >0)仅在点(3,0)处取得最大值，则a 的取值范围是__________．. 9．已知向量a ＝(x ＋z,3)，b ＝(2，y －z )，且a ⊥b .若x ，y 满足不等式|x |＋|y |≤1，则z 的取值范围为__________．10．完成一项装修工程需要木工和瓦工共同完成．请木工需付工资每人50元，请瓦工需付工资每人40元，现有工人工资预算2 000元，设木工x 人，瓦工y 人，则请工人的约束条件是________________．11．某营养师要为某个儿童预订午餐和晚餐．已知一个单位的午餐含12个单位的碳水化合物，6个单位的蛋白质和6个单位的维生素C ；一个单位的晚餐含8个单位的碳水化合物，6个单位的蛋白质和10个单位的维生素C.另外，该儿童这两餐需要的营养中至少含64个单位的碳水化合物，42个单位的蛋白质和54个单位的维生素C.如果一个单位的午餐、晚餐的费用分别是2.5元和4元，那么要满足上述的营养要求，并且花费最少，应当为该儿童分别预订多少个单位的午餐和晚餐？。

二元一次不等式与简单的线性规划问题

抓高考命题的“形”与“神” 求平面区域的面积
结束
1．求平面区域的面积，要先作出不等式组表示的平面区域，然后根据区域的形状求面积．
2．求平面区域的面积问题，平面区域形状为三角形的居多，尤其当△ABC 为等腰直角三角形(A 为直角)时，点 B 到直线 AC 的距离即△ABC 的腰长|AB|.由点到直线的距离公式求得|AB|，面积便可求出．
A．－4
B．6
C．10 D．17
()
突破点一突破点二突破点三课时达标检测
二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题结束
[解析] 由约束条件作出可行域如图所示，目标函数可化为y＝－25x＋15z，在图中画出直线y＝－25x，平移该直线，易知经过点A时z最小．又知点A 的坐标为(3,0)，∴zmin＝2×3＋5×0＝6.故选B.
二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题结束
x＋y－2≤0， 2. [考点二]若不等式组x＋2y－2≥0，
x－y＋2m≥0
表示的平面区域
为三角形，且其面积等于43，则 m 的值为
()
A．－3
B．1
C.43
D．3
解析：作出可行域，如图中阴影部分所示，
突破点一突破点二突破点三课时达标检测
突破点一突破点二突破点三课时达标检测
二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题结束
2x＋y－6≤0， [例1] 不等式组 x＋y－3≥0，
y≤2
表示的平面区域的面积
为 A．4
B．1
C．5
() D．无穷大
2x＋y－6≤0， [解析] 不等ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ组 x＋y－3≥0，

二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题一

7．3二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题1．二元一次不等式表示的平面区域(1)一般地，二元一次不等式Ax＋By＋C＞0在平面直角坐标系中表示直线Ax＋By＋C＝0某一侧所有点组成的________．我们把直线画成虚线以表示区域________边界直线．当我们在坐标系中画不等式Ax＋By＋C≥0所表示的平面区域时，此区域应________边界直线，则把边界直线画成________．(2)由于对直线Ax＋By＋C＝0同一侧的所有点(x，y)，把它的坐标(x，y)代入Ax＋By＋C，所得的符号都________，所以只需在此直线的同一侧取一个特殊点(x0，y0)(如原点)作为测试点，由Ax0＋By0＋C的________即可判断Ax＋By＋C＞0表示的是直线Ax＋By＋C＝0哪一侧的平面区域．2．线性规划(1)不等式组是一组对变量x，y的约束条件，由于这组约束条件都是关于x，y的一次不等式，所以又可称其为线性约束条件．Z＝Ax＋By是要求最大值或最小值的函数，我们把它称为________．由于Z＝Ax＋By是关于x，y的一次解析式，所以又可叫做________．另外注意：线性约束条件除了用一次不等式表示外，也可用一次方程表示．(2)一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的________的问题，统称为线性规划问题．(3)满足线性约束条件的解(x，y)叫做________，由所有可行解组成的集合叫做________．其中，使目标函数取得最大值或最小值的可行解都叫做这个问题的________．线性目标函数的最值常在可行域的边界上，且通常在可行域的顶点处取得；而求最优整数解首先要看它是否在可行域内．(4)用图解法解决简单的线性规划问题的基本步骤：①首先，要根据_________________ (即画出不等式组所表示的公共区域)．②设__________，画出直线l0.③观察、分析、平移直线l0，从而找到最优解．④最后求得目标函数的__________．(5)利用线性规划研究实际问题的解题思路：首先，应准确建立数学模型，即根据题意找出__________条件，确定__________函数．然后，用图解法求得数学模型的解，即__________，在可行域内求得使目标函数__________．自查自纠1．(1)平面区域不包括包括实线(2)相同符号2．(1)目标函数线性目标函数(2)最大值或最小值(3)可行解可行域最优解(4)①线性约束条件画出可行域②z＝0④最大值或最小值(5)约束线性目标画出可行域取得最值的解(2016·济南模拟)已知点(－3，－1)和点(4，－6)在直线3x －2y －a ＝0的两侧，则a 的取值范围为( ) A ．(－24，7) B ．(－7，24)C ．(－∞，－7)∪(24，＋∞)D ．(－∞，－24)∪(7，＋∞)解：根据题意知(－9＋2－a )(12＋12－a )＜0，即(a ＋7)(a －24)＜0，解得－7＜a ＜24.故选B .(2017·全国卷Ⅲ)设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋2y －6≤0，x ≥0，y ≥0，则z ＝x －y 的取值范围是( )A ．[－3，0]B ．[－3，2]C ．[0，2]D ．[0，3]解：绘制不等式组表示的可行域，结合目标函数的几何意义可得函数在点A (0，3)处取得最小值z ＝0－3＝－3. 在点B (2，0) 处取得最大值z ＝2－0＝2.故选B .(2016·北京)若x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ≤0，x ＋y ≤3，x ≥0，则2x ＋y 的最大值为( )A ．0B ．3C ．4D ．5解：作出可行域如图中阴影部分所示，则当z ＝2x ＋y 经过点P (1，2)时，取最大值，z max ＝2×1＋2＝4.故选C .(2017·全国卷Ⅲ)若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，x ＋y －2≤0，y ≥0，则z ＝3x －4y 的最小值为________．解：由题意，画出可行域如图，目标函数为z ＝3x －4y ，则直线y ＝34x －z4纵截距越大，z 值越小．由图可知，在A (1，1)处取最小值，故z min ＝3×1－4×1＝－1.故填－1.(2017届云南四川贵州百校大联考)设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －2≥0，2x ＋y －4≤0，4x －y ＋1≥0，则目标函数z ＝y －3x 的最大值是________．解：作可行域如图所示，由目标函数z ＝y －3x 得直线y ＝3x ＋z ，当直线y ＝3x ＋z 平移经过点A ⎝⎛⎭⎫12，3时，目标函数z ＝y －3x 取得最大值为32.故填32.类型一二元一次不等式(组)表示的平面区域(2016·郑州模拟)在平面直角坐标系xOy 中，满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧|x |≤|y |，|x |＜1的点(x ，y )的集合用阴影表示为下列图中的( )解：|x |＝|y |把平面分成四部分，|x |≤|y |表示含y 轴的两个区域；|x |＜1表示x ＝±1所夹含y 轴的区域．故选C . 【点拨】关于不等式组所表示的平面区域(可行域)的确定，可先由“直线定界”，再由“不等式定域”，定域的常用方法是“特殊点法”，且一般取坐标原点O (0，0)为特殊点．不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≥0，x ＋2y －4≤0，x ＋3y －2≥0表示的平面区域的面积为________．解：不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示，易求得|BD |＝2，C 点坐标(8，－2)，所以S △ABC ＝S △ABD ＋S △BCD ＝12×2×(2＋2)＝4.故填4.类型二利用线性规划求线性目标函数的最优解(2017·天津)设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ≥0，x ＋2y －2≥0，x ≤0，y ≤3，则目标函数z ＝x ＋y 的最大值为( )A.23 B ．1 C.32D ．3解：可行域为四边形ABCD 及其内部，所以直线z ＝x ＋y 过点B (0，3)时取最大值3.故选D .【点拨】线性规划问题有三类：(1)简单线性规划，包括画出可行域和考查截距型目标函数的最值，有时考查斜率型或距离型目标函数；(2)线性规划逆向思维问题，给出最值或最优解个数求参数取值范围；(3)线性规划的实际应用. 一般情况下，目标函数的最大或最小值会在可行域的端点或边界上取得．(2017·北京)若x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ≤3，x ＋y ≥2，y ≤x ，则x ＋ 2y 的最大值为( )A ．1B ．3C ．5D ．9解：如图，画出可行域，z ＝x ＋2y 表示斜率为－12的一组平行线，当过点C (3，3)时，目标函数取得最大值z max＝3＋2×3＝9.故选D .类型三含参数的线性规划问题(1)(北京西城区2017届期末)实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ≤3，x ＋y ≥0，x －y ＋6≥0.若z ＝ax ＋y 的最大值为3a ＋9，最小值为3a－3，则a 的取值范围是( ) A ．[－1，0] B ．[0，1]C ．[－1，1]D ．(－∞，－1]∪[1，＋∞)解：作出不等式组对应的平面区域如图，由z ＝ax ＋y 得y ＝－ax ＋z.因为z ＝ax ＋y 的最大值为3a ＋9，最小值为3a －3，所以当直线y ＝－ax ＋z 经过点B (3，9)时直线截距最大，当经过点A (3，－3)时，直线截距最小．则直线y ＝－ax ＋z 的斜率－a 满足，－1≤－a ≤1，即－1≤a ≤1.故选C .(2)在平面直角坐标系中，若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1≥0，x －1≤0，ax －y ＋1≥0(a 为常数)所表示的平面区域的面积等于2，则a 的值为( )A ．－5B ．1C ．2D ．3解：如图可得阴影部分即为满足x －1≤0与x ＋y －1≥0的可行域，而直线ax －y ＋1＝0恒过点(0，1)，故看作直线绕点(0，1)旋转，若不等式组所表示的平面区域内的面积等于2，则它是三角形，设该三角形为△ABC ，因为△ABC 的点A 和B的坐标分别为A (0，1)和B (1，0)，且S △ABC ＝2，设点C 的坐标为C (1，y )，则12×1×y ＝2⇒y ＝4，将点C (1，4)代入ax －y ＋1＝0得a ＝3.故选D .【点拨】例3(1)考查了简单的线性规划中的斜率问题，通过y ＝－ax ＋z 得到参数－a 是动直线y ＝－ax ＋z 的斜率，z ＝ax ＋y 的最大值为3a ＋9，则动直线y ＝－ax ＋z 纵截距的最大值为3a ＋9，最优解在三个端点处取得；例3(2)中的ax －y ＋1＝0，即为y ＝ax ＋1，其中a 为动直线的斜率，利用数形结合的方法求解．注意把握两点：①参数的几何意义；②条件的合理转化．(1)已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，x ＋y ≤2，y ≥0.若z ＝ax ＋y 的最大值为4，则a ＝( )A ．3B ．2C ．－2D ．－3解：画出不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所示，因为目标函数z ＝ax ＋y 的最大值为4，即目标函数对应直线与可行域有公共点时，在y 轴上的截距的最大值为4，所以作出过点D (0，4)的直线，由图可知，目标函数在点B (2，0)处取得最大值，有a ×2＋0＝4，得a ＝2.故选B .(2)若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≤x ，x ＋y ≤4，y ≥k ，且z ＝2x ＋y 的最小值为－6，则k ＝________.解：易得出约束条件中三条直线两两所成的交点(k ，k )，(4－k ，k )，(2，2)，且可行域如图，则k ≤2.最小值在点(k ，k )处取得，3k ＝－6，得k ＝－2.故填－2.类型四非线性目标函数的最优解问题(2016·江苏)已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋4≥0，2x ＋y －2≥0，3x －y －3≤0，则x 2＋y 2的取值范围是________．解：可行域如图中阴影部分所示，x 2＋y 2为可行域中任一点(x ，y )到原点(0，0)的距离的平方．由图可知，x 2＋y 2的最小值为原点到直线AC 的距离的平方，即⎝ ⎛⎭⎪⎫|－2|52＝45.易求得B (2，3)，最大值为OB 2＝22＋32＝13.故填⎣⎡⎦⎤45，13. 【点拨】线性规划问题，首先明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域，分界线是实线还是虚线，其次确定目标函数的几何意义，是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等等，最后结合图形确定目标函数最值或范围．即：一画，二移，三求．其关键是准确作出可行域，理解目标函数的意义．常见的目标函数有：(1)截距型：形如z ＝ax ＋by .求这类目标函数的最值常将函数z ＝ax ＋by 转化为直线的斜截式：y ＝－a b x ＋zb ，通过求直线的截距的最值间接求出z 的最值．(2)距离型：形如z ＝(x －a )2＋(y －b )2 .(3)斜率型：形如z ＝y －bx －a ，本题属于距离形式．(2015·全国卷Ⅰ)若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －1≥0，x －y ≤0，x ＋y －4≤0，则yx的最大值为________．解：作出可行域如图中阴影部分所示，由斜率的意义知，yx是可行域内一点与原点连线的斜率，由图可知，点A (1，3)与原点连线的斜率最大，故yx的最大值为3.故填3.类型五线性规划与整点问题设实数x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －5＞0，2x ＋y －7＞0，x ≥0，y ≥0，若x ，y 为整数，则3x ＋4y 的最小值为( )A ．14B ．16C ．17D ．19解：画出可行域如图，令3x ＋4y ＝z ，y ＝－34x ＋z4，过x 轴上的整点(1，0)，(2，0)，(3，0)，(4，0)，(5，0)处作格子线，可知当y ＝－34x ＋z4过(4，1)时有最小值(对可疑点(3，2)，(2，4)，(4，1)逐个试验)，此时z min ＝3×4＋4＝16.故选B .【点拨】求解整点问题，对作图精度要求较高，可行域内的整点要找准，最好使用“网点法”先作出可行域中的各整点．设不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＞0，y ＞0，y ≤－nx ＋3n （n ∈N *）所表示的平面区域为D n ，记D n 内的整点(即横坐标和纵坐标均为整数的点)个数为a n (a n ∈N *)，则数列{a n }的通项公式为a n ＝______.解：直线y ＝－nx ＋3n ＝－n (x －3)，过定点(3，0)，由y ＝－nx ＋3n ＞0得x ＜3，又x ＞0，所以x ＝1或x ＝2.直线x ＝2交直线y ＝－nx ＋3n 于点(2，n )，直线x ＝1交直线y ＝－nx ＋3n 于点(1，2n )，所以整点个数a n ＝n ＋2n ＝3n .故填3n.类型六线性规划在实际问题中的应用(2015·陕西)某企业生产甲、乙两种产品均需用A ，B 两种原料．已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示．如果生产1吨甲、乙产品可获得利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得最大利润为( )A.12万元 B ．16万元 C ．17万元 D ．18万元解：设每天生产甲、乙两种产品分别为x 、y 吨，利润为z 元，则⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋2y ≤12，x ＋2y ≤8，x ≥0，y ≥0，目标函数为z ＝3x ＋4y .作出二元一次不等式组所表示的平面区域(阴影部分)，即可行域．由z ＝3x ＋4y 得y ＝－34x ＋z 4，平移直线y ＝－34x 至经过点B 时，直线y ＝－34x ＋z4的纵截距最大，此时z 最大，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋2y ＝12，x ＋2y ＝8，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝3，即B (2，3)．所以z max ＝3x ＋4y ＝6＋12＝18.即每天生产甲、乙两种产品分别为2吨、3吨，能够获得最大利润，最大的利润是18万元．故选D . 【点拨】对于此类有实际背景的线性规划问题，可行域通常是位于第一象限的一个凸多边形区域，此时变动直线的最佳位置一般通过这个凸多边形在第一象限的某个顶点．(2016·全国卷Ⅰ)某高科技企业生产产品A 和产品B 需要甲、乙两种新型材料．生产一件产品A 需要甲材料1.5 kg ，乙材料1 kg ，用5个工时；生产一件产品B 需要甲材料0.5 kg ，乙材料0.3 kg ，用3个工时．生产一件产品A 的利润为2 100元，生产一件产品B 的利润为900元．该企业现有甲材料150 kg ，乙材料90 kg ，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A 、产品B 的利润之和的最大值为________元．解：设某高科技企业生产产品A 和产品B 分别为x 件，y 件，生产产品A 、产品B 的利润之和为z 元，依题意得⎩⎪⎨⎪⎧1.5x ＋0.5y ≤150，x ＋0.3y ≤90，5x ＋3y ≤600，x ∈N ，y ∈N ，即⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋y ≤300，10x ＋3y ≤900，5x ＋3y ≤600，x ∈N ，y ∈N ，目标函数z ＝2 100x ＋900y .作出可行域如图所示．当直线z ＝2 100x ＋900y 经过点M (60，100)时，z 取得最大值．z max ＝2 100×60＋900×100＝216 000.故生产产品A 、产品B 的利润之和的最大值为216 000元．故填216000.1．解客观题可利用特殊点判断二元一次不等式(组)表示的平面区域所在位置，如果直线Ax ＋By ＋C ＝0不经过原点，则把原点代入Ax ＋By ＋C ，通过Ax ＋By ＋C 的正负和不等号的方向，来判断二元一次不等式(组)表示的平面区域所在的位置．2．求目标函数z ＝ax ＋by (ab ≠0)的最值，将函数z ＝ax ＋by 转化为直线的斜截式：y ＝－a b x ＋zb，通过求直线的截距z b 的最值间接求出z 的最值．最优解一般在顶点或边界取得．但要注意：①当b ＞0时，截距zb取最大值，z也取最大值；截距z b 取最小值，z 也取最小值；②当b ＜0时，截距z b 取最大值，z 取最小值；截距zb 取最小值时，z 取最大值．3．如果可行域是一个多边形，那么一般在其顶点处目标函数取得最大值或最小值．最优解一般是多边形的某个顶点，到底是哪个顶点为最优解，有三种解决方法：第一种方法：将目标函数的直线平行移动，最先通过或最后通过可行域的一个便是．第二种方法：利用围成可行域的直线斜率来判断．特别地，当线性目标函数的直线与可行域某条边重合时，其最优解可能有无数组．第三种方法：将可行域所在多边形的每一个顶点P i 逐一代入目标函数Z P i ＝mx ＋ny ，比较各个ZP i ，得最大值或最小值．1．(2015·烟台模拟)不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y ≤－x ＋2，y ≤x －1，y ≥0所表示的平面区域的面积为( )A ．1 B.12 C.13 D.14解：作出不等式组对应的区域为如图△BCD ，由题意知x B ＝1，x C ＝2.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x ＋2，y ＝x －1，得y D ＝12，所以S △BCD ＝12×(x C －x B )×12＝14.故选D .2．(湖北孝感市2017届期中)已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧y ≤x ，x ＋y ≤1，y ≥－1，则目标函数z ＝2x －y 的最大值为( )A ．－3 B.12 C ．5 D ．6解：作出不等式组表示的平面区域，得到如图的△ABC 及其内部，其中A (－1，－1)，B (2，－1)，C (0.5，0.5)，将直线2x －y ＝0进行平移，当其经过点B 时，目标函数z 达到最大值．所以z 最大值＝5.故选C .3．(2016·天津)设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≥0，2x ＋3y －6≥0，3x ＋2y －9≤0.则目标函数z ＝2x ＋5y 的最小值为( )A ．－4B ．6C ．10D ．17解：可行域为一个三角形ABC 及其内部，其中A (0，2)，B (3，0)，C (1，3)，根据目标函数的几何意义，可知当直线y ＝－25x ＋z5过点B (3，0)时，z 取得最小值2×3－5×0＝6.故选B .4．(2017·浙江)若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x ＋y －3≥0，x －2y ≤0，则z ＝x ＋2y 的取值范围是( )A ．[0，6]B ．[0，4]C ．[6，＋∞)D ．[4，＋∞)解：如图，可行域为一开放区域，所以直线过点(2，1)时取最小值4，无最大值．故选D .5．(2016·浙江)在平面上，过点P 作直线l 的垂线所得的垂足称为点P 在直线l 上的投影．由区域⎩⎪⎨⎪⎧x －2≤0，x ＋y ≥0，x －3y ＋4≥0中的点在直线x ＋y －2＝0上的投影构成的线段记为AB ，则|AB |＝( ) A ．2 2 B ．4 C ．3 2 D ．6解：如图△PQR 为线性区域，区域内的点在直线x ＋y －2＝0上的投影构成了线段AB .由⎩⎪⎨⎪⎧x －3y ＋4＝0，x ＋y ＝0得Q (－1，1)，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，x ＋y ＝0得R (2，－2)，|AB |＝|RQ |＝（－1－2）2＋（1＋2）2＝3 2.故选C .6．(2016·商丘模拟)已知a ＞0，x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x ＋y ≤3，y ≥a （x －3），若z ＝2x ＋y 的最小值为1，则a ＝( )A.14B.12C ．1D ．2解：作出可行域如图中阴影部分所示，当直线z ＝2x ＋y 通过A (1，－2a )时，z 取最小值，z min ＝2×1＋(－2a )＝1，所以a ＝12.故选B .7．(2016·全国卷Ⅲ)若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥0，x －2y ≤0，x ＋2y －2≤0，则z ＝x ＋y 的最大值为________．解：画出可行域，如图所示阴影部分，易得A (0，1)，B (－2，－1)，C ⎝⎛⎭⎫1，12，可得z ＝x ＋y 在C 点处取得最大值为32.故填32.8．(山西四校2017届联考)已知y ＝－2x －z 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≤0，x －2y －2≤0，2x －y ＋2≥0，若2x ＋y ＋k ≥0恒成立，则实数k 的取值范围为________．解：可行域为一个三角形ABC 及其内部，其中A (2，0)，B (－2，－2)，C (0，2)，直线z ＝－2x －y 过点B 时取最大值6，而2x ＋y ＋k ≥0恒成立等价于k ≥[－(2x ＋y )]max ＝6.故填[6，＋∞)．9．(2016·昆明模拟)已知变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥0，x －2y ＋2≥0，x －y ≤0，求z ＝2x －y 的最大值．解：作出可行域如图中阴影部分所示．当直线过点B (2，2)时，z ＝2x －y 取得最大值2.10．变量x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －4y ＋3≤0，3x ＋5y －25≤0，x ≥1.(1)假设z 1＝4x －3y ，求z 1的最大值；(2)设z 2＝yx ，求z 2的最小值；(3)设z 3＝x 2＋y 2，求z 3的取值范围．解：作出可行域如图中阴影部分，联立易得A ⎝⎛⎭⎫1，225，B (1，1)，C (5，2)．(1)z 1＝4x －3y ⇔y ＝43x －z 13，易知平移y ＝43x 至过点C 时，z 1最大，且最大值为4×5－3×2＝14.(2)z 2＝y x 表示可行域内的点与原点连线的斜率大小，显然直线OC 斜率最小．故z 2的最小值为25.(3)z 3＝x 2＋y 2表示可行域内的点到原点距离的平方，而2＝OB 2＜OA 2＜OC 2＝29.故z 3∈[2，29]．11．(2015·广东模拟)某工厂生产甲、乙两种产品，每种产品都有一部分是一等品，其余是二等品，已知甲产品为一等品的概率比乙产品为一等品的概率大0.25，甲产品为二等品的概率比乙产品为一等品的概率小0.05. (1)分别求甲、乙产品为一等品的概率P 甲，P 乙；(2)已知生产一件产品需要用的工人数和资金数如表所示，且该厂有工人32名，可用资金55万元．设x ，y 分解：(1)依题意得⎩⎪⎨⎪甲乙1－P 甲＝P 乙－0.05，解得⎩⎪⎨⎪⎧P 甲＝0.65，P 乙＝0.4，故甲产品为一等品的概率P 甲＝0.65，乙产品为一等品的概率P 乙＝0.4.(2)依题意得x ，y 应满足的约束条件为⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋8y ≤32，20x ＋5y ≤55，x ≥0，y ≥0，且z ＝0.65x ＋0.4y .作出以上不等式组所表示的平面区域(如图阴影部分)，即可行域．作直线l ：0.65x ＋0.4y ＝0即13x ＋8y ＝0，把直线l 向上方平移到l 1的位置时，直线经过可行域内的点M ，且l 1与原点的距离最大，此时z 取最大值．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＝8，4x ＋y ＝11，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝3.故M 的坐标为(2，3)，所以z 的最大值为z max ＝0.65×2＋0.4×3＝2.5.当实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －4≤0，x －y －1≤0，x ≥1时，1≤ax ＋y ≤4恒成立，则实数a 的取值范围是________．解：作出可行域为一三角形，且易求出三个顶点坐标分别为(1，0)，⎝⎛⎭⎫1，32，(2，1)，都代入1≤ax ＋y ≤4得⎩⎪⎨⎪⎧1≤a ≤4，1≤a ＋32≤4，1≤2a ＋1≤4.解不等式组可得1≤a ≤32.故填⎣⎡⎦⎤1，32.。

高考数学考点27 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题

温馨提示：考点27 二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题一、选择题1. (2014·湖北高考文科·T4)若变量x,y满足约束条件错误！未找到引用源。

则2x+y的最大值是()A.2B.4C.7D.8【解题提示】根据已知的约束条件画出满足约束条件4,2,0,0,x yx yx y+≤⎧⎪-≤⎨⎪≥≥⎩的可行域,再用角点法,求出目标函数的最大值.【解析】选C. 满足约束条件4,2,0,0,x yx yx y+≤⎧⎪-≤⎨⎪≥≥⎩的可行域如下图中阴影部分所示：目标函数z=2x+y,即y=-2x+z,显然,当直线经过点B时z的值最大,最大值为7.2.(2014·广东高考文科·T4)若变量x,y满足约束条件28,04,03,x yxy+≤⎧⎪≤≤⎨⎪≤≤⎩则z=2x+y的最大值等于( )A.7B.8C.10D.11【解题提示】画出可行域,标出边界点,目标函数对应动直线的斜率为-2.【解析】选C.作出可行域OABCD是3×4的矩形去掉一个1×2的直角三角形,其中B(2,3),C(4,2),所以当动直线z=2x+y经过点C(4,2)时取得最大值10.3.(2014·广东高考理科)若变量x,y 满足约束条件,1,1,y x x y y ≤⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩且z=2x+y 的最大值和最小值分别为m 和n,则m-n= ( )A.5B.6C.7D.8【解题提示】画出可行域,标出边界点,目标函数对应动直线的斜率为-2.【解析】选B.如图,可行域是以A 11(,)22,B(-1,-1),C(2,-1)为顶点的等腰直角三角形,所以当动直线z=2x+y 经过点C(2,-1)时取得最大值3,经过点B(-1,-1)时取得最小值-3,所以m-n=6.4.（2014·福建高考文科·Ｔ11）11．已知圆()()22:1C x a y b -+-=，设平面区域70,70,0x y x y y +-≤⎧⎪Ω=-+≥⎨⎪≥⎩，若圆心C ∈Ω,且圆C 与x 轴相切，则22a b +的最大值为（）.5.29.37.49A B C D【解题指南】画出可行域，发现最优解．【解析】由圆C 与x 轴相切可知，b=1．又圆心C （a,b ）在平面区域Ω（如图2）内，由301x y y -+=⎧⎨=⎩，解得21x y =-⎧⎨=⎩；由701x y y +-=⎧⎨=⎩，解得61x y =⎧⎨=⎩．故[]2,6a ∈-．所以当6,1a b ==时，22a b +取最大值为37．5. （2014·山东高考理科·Ｔ9）已知,x y 满足约束条件10,230,x y x y --≤⎧⎨--≥⎩当目标函数(0,0)z ax by a b =+>>在该约束条件下取到最小值22a b +的最小值为（） A 、5 B 、4 C、D 、2【解题指南】本题考查了简单的线性规划问题，再利用两点间距离公式的几何意义求解.【解析】选B.解方程组⎩⎨⎧=--=--03201y x y x 求得交点为()1,2，则522=+b a ，22b a +的最小值即为在直线522=+b a 上找一点使得它到原点的距离平方最小.即求点()0,0到直线522=+b a 的距离的平方为4255222==⎪⎪⎭⎫⎝⎛. 6. （2014·山东高考文科·Ｔ10）与(2014·山东高考理科·Ｔ9）相同已知,x y 满足约束条件10,230,x y x y --≤⎧⎨--≥⎩当目标函数(0,0)z ax by a b =+>>在该约束条件下取到最小值22a b +的最小值为（） A 、5 B 、4 C、D 、2【解题指南】本题考查了简单的线性规划问题，再利用两点间距离公式的几何意义求解.【解析】选B.解方程组⎩⎨⎧=--=--03201y x y x 求得交点为()1,2，则522=+b a ，22b a +的最小值即为在直线522=+b a 上找一点使得它到原点的距离平方最小.即求点()0,0到直线522=+b a 的距离的平方为4255222==⎪⎪⎭⎫⎝⎛. 7. （2014·天津高考文科·Ｔ2同2014·天津高考理科·Ｔ2））设变量y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≤--≥-+.1,02,02y y x y x 则目标函数y x z 2+=的最小值为（）A.2B. 3C. 4D. 5【解析】选B. 由2z x y =+得1122y x z =-+。

考点26 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题

温馨提示：考点26 二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题一、选择题1.(2018·天津高考理科·T2)同 (2018·天津高考文科·T2)设变量x,y满足约束条件则目标函数z=3x+5y的最大值为()A.6B.19C.21D.45【命题意图】本题是线性规划问题,考查考生对含有二元一次不等式约束条件和线性目标函数的规划问题的理解和应用数学手段解决实际问题的能力,考查数形结合思想.【解析】选C.在平面直角坐标系中画出可行域ABCD以及直线l:3x+5y=0,平移直线l,可知:当直线l过点C(2,3)时,z取得最大值为3×2+5×3=21.2.(2018·北京高考理科·T8)同(2018·北京高考文科·T8)设集合A={(x,y)|x-y≥1,ax+y>4,x-ay≤2},则()A.对任意实数a,(2,1)∈AB.对任意实数a,(2,1)∉AC.当且仅当a<0时,(2,1)∉AD.当且仅当a≤时,(2,1)∉A【命题意图】本小题主要考查集合与线性规划的综合应用,意在考查转化与分析能力,培养学生的逻辑思维能力与转化思想,体现了逻辑推理、数学运算的数学素养.【解析】选D.(2,1)∈A,等价于解得a>,即(2,1)∈A,当且仅当a>,所以当且仅当a≤时,(2,1)∉A.二、填空题3.(2018·北京高考文科·T13)若x,y满足x+1≤y≤2x,则2y-x的最小值是.【命题意图】本小题主要考查线性规划,属容易题,意在考查线性规划求最值,培养学生的逻辑思维能力与数形结合思想,体现了逻辑推理、数学建模、数学运算的数学素养.【解析】x+1≤y≤2x,等价于不等式组画出可行域如图,令z=2y-x,化为斜截式得y=x+z,直线斜率为,在y轴上的截距为z,直线越往下,z越小,z越小,由得最优解为(1,2),所以z=2y-x的最小值为3.答案:34.(2018·浙江高考T12)若x,y满足约束条件则z=x+3y的最小值是,最大值是.【命题意图】考查线性规划的基础知识.【解析】由线性约束条件得可行域如图所示,求得A点坐标为(4,-2),B点坐标为(2,2),所以z min=4+3×(-2)=-2, z max=2+3×2=8.答案:-285.(2018·全国卷I高考理科·T13)同(2018·全国卷I高考文科·T14)若x,y满足约束条件则z=3x+2y的最大值为.【解析】画出可行域如图阴影部分所示(含边界),可知目标函数过点(2,0)时取得最大值,z max=3×2+2×0=6.答案:66.(2018·全国卷II高考理科·T14)同 (2018·全国卷II高考文科·T14)若x,y满足约束条件则z=x+y的最大值为.【命题意图】本题考查了线性规划的知识及运用,重点考查了学生的作图和运算求解能力.【解析】画出可行域如图,由z=x+y得y=-x+z,作平行于y=-x的一系列平行线,可以得到过点A时,纵截距z最大,由x-2y+3=0与x=5解得A(5,4)代入z=x+y得其最大值为9.答案:97.(2018·全国Ⅲ高考文科·T15)若变量x,y满足约束条件则z=x+y的最大值是.【命题意图】本小题主要考查线性规划,属容易题,意在考查线性规划求最值,培养学生的逻辑思维能力与数形结合思想,体现了逻辑推理、数学建模、数学运算的数学素养.【解析】作出可行域由图可知目标函数在直线x-2y+4=0与x=2的交点(2,3)处取得最大值3.答案:38.(2018·北京高考理科·T12)若x,y满足x+1≤y≤2x,则2y-x的最小值是.【命题意图】本小题主要考查线性规划,属容易题,意在考查线性规划求最值,培养学生的逻辑思维能力与数形结合思想,体现了逻辑推理、数学建模、数学运算的数学素养.【解析】x+1≤y≤2x,等价于不等式组画出可行域如图,令z=2y-x,化为斜截式得y=x+z,直线斜率为,在y轴上的截距为z,直线越往下,z越小,z越小,由得最优解为(1,2),所以z=2y-x的最小值为3.答案:3关闭Word文档返回原板块。

高二数学考点28 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题

高二数学考点28 二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题一、选择题1.（2012·安徽高考文科·Ｔ8）若x ，y 满足约束条件则y x z -=的最小值是（）（A ）-3 （B ）0 （C ）32 （D ）3【解题指南】先作出可行域，根据x y -的几何意义求出最小值.【解析】选A .约束条件对应ABC ∆及其内部区域（含边界），其中3(0,3),(0,),(1,1)2A B C ，则z[3,0]t x y =-∈-，其中(0,3)A 为最小值点. 2.（2012·广东高考文科·Ｔ5）已知变量x ，y 满足约束条件11.10 x y x y x +≤⎧⎪-≤⎨⎪+≥⎩ 则z=x+2y 的最小值为（）（A ）3 （B ）1 （C ）-5 （D ）-6【解题指南】解本小题的关键是正确作出可行域，按照“直线定界，特殊点定域”的原则进行，在找最优解时，要判断准z 的值与直线z=x+2y 在y 轴的截距是正相关，还是负相关.本题是正相关.【解析】选C. 作出如图所示的可行域,当直线z=x+2y经过点B(-1,-2)时,z取得最小值,最小值为-5.3.（2012·广东高考理科·Ｔ5）已知变量x，y满足约束条件211yx yx y≤⎧⎪+≥⎨⎪-≤⎩，则z=3x+y的最大值为（）（A）12 （B）11 （C）3 （D）1-【解题指南】解本小题的关键是正确作出可行域，按照“直线定界，特殊点定域”的原则进行，在找最优解时，要判断准z的值与直线z=3x+y在y轴的截距是正相关，还是负相关.【解析】选B.作出如图所示的可行域，当直线z=3x+y经过点B（3，2）时，z 取得最大值，最大值为11.4.（2012·福建高考文科·Ｔ10）若直线2y x =上存在点(,)x y 满足约束条件30230x y x y x m +-≤⎧⎪--≤⎨⎪≥⎩，则实数m 的最大值为（）(A)1- (B)1 (C)32 (D)2【解题指南】本题考查线性规划问题，检验学生的数形结合能力和转化能力.【解析】选B.如图，当2y x =经过且只经过30x y +-=和x m =的交点时，m 取到最大值，此时，即(,2)m m 在直线30x y +-=上，则1m =．5.（2012·辽宁高考文科·Ｔ9）与（2012·辽宁高考理科·Ｔ8）相同设变量x ，y 满足10,020,015,x y x y y -⎧⎪+⎨⎪⎩…剟剟则2x+3y 的最大值为（）(A) 20 (B) 35 (C) 45 (D) 55【解题指南】作出线性约束条件表示的可行域，找到最优解.【解析】选D. 如图，线性约束条件表示的可行域（图中阴影部分），最优解为点（5,15），则max 2531555z =⨯+⨯=.6.（2012·福建高考理科·Ｔ9）若函数2x y =图象上存在点(,)x y 满足约束条件30230x y x y x m +-≤⎧⎪--≤⎨⎪≥⎩，则实数m 的最大值为（） (A)12 (B)1 (C)32 (D)2【解题指南】结合不等式先画可行域，描出动直线x m =，其他直线和函数都是确定的，当x=m 向右移动到y=2x 的最终可接触点时，即为所求.【解析】选B ．如图，当2x y =经过且只经过30x y +-=和x m =的交点时，即三条线有唯一公共点，m 取到最大值，此时，即(,2)m m 在直线30x y +-=上，由选项知，1m =是解． 7. （2012·新课标全国高考文科·Ｔ5）已知正三角形ABC 的顶点A(1,1)，B(1,3)，顶点C 在第一象限，若点（x ，y ）在△ABC 内部，则z=－x+y 的取值范围是（）（A ）(1－3，2) （B ）(0，2) （C ）(3－1，2) （D ）(0，1+3)【解题指南】先求得点C 的坐标，然后画出可行域，通过平移目标函数，求得z 的取值范围.【解析】选A.由顶点C 在第一象限且与A ，B 构成正三角形可求得点C坐标为()12，将目标函数化为斜截式为y x z =+，结合图形可知当y x z =+过点C 时z取到最小值，此时min 1z =y x z =+过点B 时z 取到最大值，此时max 2z =，综合可知z的取值范围为()12.8.（2012·天津高考文科·Ｔ2）设变量x ，y 满足约束条件2+20,240,10,x y x y x -≥⎧⎪-+≥⎨⎪-≤⎩则目标函数32z x y =-的最小值为（）(A)-5 (B)-4 (C)-2 (D)3【解题指南】作出可行域可知，所求目标函数的图象经过直线2+2=0x y -与直线-2+4=0x y 的交点A （0,2）时取得最小值-4.【解析】选B.作出可行域，设直线2+2=0x y -与直线-2+4=0x y 的交点为C ，解得C （0,2），故目标函数的图象经过点C 时取得最小值-4.9.（2012·山东高考文科·Ｔ6）与（2012·山东高考理科·Ｔ5）相同设变量,x y 满足约束条件222441x y x y x y +≥⎧⎪+≤⎨⎪-≥-⎩，则目标函数3z x y =-的取值范围是（A ）3[,6]2- （B ）3[,1]2-- （C ）[1,6]- （D ）3[6,]2-【解题指南】本题可先根据题意画出可行域，将目标函数化为斜截式，平移目标函数得取值范围.【解析】选A. 画出约束条件222441x yx yx y+≥⎧⎪+≤⎨⎪-≥-⎩表示的可行域如图所示,由目标函数3z x y=-得直线zxy-=3，当直线平移至点B(2,0)时, 目标函数3z x y=-取得最大值为6, 当直线平移至点)3,21(A时, 目标函数3z x y=-取得最小值为23-.所以目标函数3z x y=-的取值范围是3[,6]2-.10.（2012·江西高考理科·Ｔ8）某农户计划种植黄瓜和韭菜，种植面积不超过50亩，投入资金不超过54万元，假设种植黄瓜和韭菜的产量、成本和售价如下表：为使一年的种植总利润（总利润＝总销售收入-总种植成本）最大，那么黄瓜和韭菜的种植面积（单位：亩）分别为（）(A)50，0 (B)30,20 (C)20,30 (D)0,50【解题指南】由题意列出约束条件，写出关于总利润的目标函数，画出可行域，结合图形，将目标函数平移求得总利润最大时，黄瓜和韭菜的亩数.【解析】选B .设黄瓜和韭菜的种植面积分别为x 亩，y 亩，总利润为z 万元，则z 关于,x y 的关系式为40.55 1.260.30.9z x x y y =⨯-+⨯-0.9x y =+，且,x y 满足约束条件为画可行域如图，设110:9l y x =-，将1l 上下平移可知，当直线0.9z x y =+过点()30,20A 时，z 取最大值，因此，当总利润z 最大时，30x =，20y =.二、填空题11. （2012·新课标全国高考理科·T14）设x,y 满足约束条件1300x y x y x y -≥-⎧⎪+≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩则z=x-2y的取值范围为 .【解题指南】由约束条件画出可行域，然后将目标函数化为斜截式后平移求得z 的取值范围.【解析】作出不等式组的可行域，如图阴影部分，作直线20x y -=，并向左上，右下平移，过点A 时，2z x y =-取得最大值，过点B 时，2z x y =-取最小值.由1030x y x y -+=⎧⎨+-=⎩得()1,2B ，由030y x y =⎧⎨+-=⎩，得()3,0A .max 3203z ∴=-⨯=,min 1223z =-⨯=-.[]3,3z ∴∈-【答案】[]3,3-12. （2012·安徽高考理科·Ｔ11）若,x y 满足约束条件：02323x x y x y ≥⎧⎪+≥⎨⎪+≤⎩；则x y -的取值范围是 . 【解题指南】先作出可行域，根据x y -的几何意义求出最大值和最小值即得到取值范围.【解析】约束条件对应ABC ∆边界及内部区域：3(0,3),(0,),(1,1)2A B C 则[3,0]t x y =-∈-，其中A(0,3), C(1,1)为最值点.【答案】[3,0]-13.（2012·湖北高考文科·Ｔ14）若变量x ，y 满足约束条件则目标函数z=2x+3y 的最小值是________. 【解题指南】本题考查线性规划,解答本题的关键是正确地画出可行域,找到最小值点,再代入求解即可.【解析】先作出可行域,如图:当线性目标函数经过点A(1,0)时,目标函数z=2x+3y 有最小值2.【答案】214.（2012·江苏高考·Ｔ14）已知正数a b c ，，满足：4ln 53ln b c a a c c c a c b -+-≤≤≥，，则ba 的取值范围是 . 【解题指南】考查不等式的性质、导数的应用以及转化和化归的思想.关键是对不等式的变形和构造函数()ln =-h x x x ，利用导数求最值.【解析】534-≤≤-c a b c a 变形为5341⋅-≤≤⋅-c b c a a a ，设1,()ln ()2==-≥a x h x x x x c ，利用导数可以证明()h x 在[1(,1)2上单调递减，在[(1,)+∞上单调递增，所以()(1)1≥=h x h ，故ln 1≥∴≥b b e a a ，ln 1≥∴≥b b e a a ②，由①②可得7≤≤b e a .【答案】[,7]e15.（2012·浙江高考文科·Ｔ14）设z=x+2y ，其中实数x ，y 满足则z 的取值范围是_________.【解题指南】利用线性规划的方法求出其最大值和最小值.【解析】由1020x y x y -+=⎧⎨+-=⎩解得13(,)22.作直线:20l x y +=，平移l 至原点时取得最小值０；平移l 至点13(,)22时取得最大值72．【答案】70,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦16.（2012·陕西高考理科·Ｔ14）设函数ln ,0()21,0x x f x x x >⎧=⎨--≤⎩，D 是由x 轴和曲线()y f x =及该曲线在点(1,0)处的切线所围成的封闭区域，则2z x y =-在D 上的最大值为 .【解题指南】先确定封闭区域D 的大致范围和关键点，其中求出切线方程是关键，然后确定z 的含义，最后再把点的坐标代入求最大值.【解析】当0x >时，()ln f x x =，所以1()f x x '=，所以曲线在点（1,0）处的切线的斜率1k =，该曲线在点(1,0)处的切线方程是1y x =-，所以区域D 是一个三角形，当直线2x y z -=过点（0，1-）时,z 的值最大为2.【答案】2关闭Word文档返回原板块。

高考数学分类题库考点27 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题()理新人教版

考点27 二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题一、选择题1.（2011·安徽高考文科·Ｔ6）设变量x ，y 满足⎪⎩⎪⎨⎧≥≤≤+，，，0x 1y -x 1y x 则x y +2的最大值和最小值分别为（）（A ）1，-1 （B ）2，-2 （C ）1，-2 （D ）2，-1 【思路点拨】画出可行域，确定三条直线的交点，代入x+2y 取最值.【精讲精析】选B. 0,1,1==-=+x y x y x 三条直线的交点分别为（0,1），（0，-1），（1,0），分别代入x+2y ，得到最大值为2，最小值为-2.2.（2011·安徽高考理科·Ｔ4）设变量,x y 满足1,x y +≤则2x y +的最大值和最小值分别为（）（Ａ）１，－１（Ｂ）２，－２（Ｃ）１，－２（Ｄ）２，－１【思路点拨】此题属于线性规划问题，先画出1x y +≤表示的平面区域，再求目标函数z=2x y +的最值.【精讲精析】选B.首先画出1x y +≤表示的平面区域. x+y=1, x+y=-1, x-y=-1, x-y=1,这四条直线的交点为（0,1），（0, -1），（1, 0），（-1, 0），由图像可知当目标函数过点（0,1）时取得最大值2，过点（0，-1）时取得最小值-2.3.（2011·福建卷理科·Ｔ8）已知O 是坐标原点，点A （-1,1），若点M （x,y ）为平面区域2,1,2x y x y +≥⎧⎪≤⎨⎪≤⎩上的一个动点，则OA OM ⋅u u u r u u u u r的取值范围是（）(A)[-1,0] (B)[0,1] (C)[0,2] (D)[-1,2]【思路点拨】结合约束条件画出可行域，OA OM x y ⋅=-+u u u r u u u u r令z=作为目标函数，数形结合求值域.【精讲精析】选C. 由题意,不等式组2,1,2x y x y +≥⎧⎪≤⎨⎪≤⎩表示的平面区域如图所示：1xy-11-1由数量积的坐标运算易得：[]min max ,-,,1,10,0,22,0,2.OA OM x y x y z y x z y x z B z y x z C z OA OM ⋅=-++==+=+==+=⋅u u u r u u u u ru u u r u u u u r令即易知目标函数过点（）时，目标函数过点（）时，故的取值范围是 4.（2011·山东高考文科·Ｔ7）设变量x ，y 满足约束条件250200x y x y x +-≤⎧⎪--≤⎨⎪≥⎩，则目标函数231z x y =++的最大值为（）(A)11 (B)10 (C)9 (D)8.5【思路点拨】本题可先根据题意画出平面区域，将目标函数化为斜截式，平移目标函数得最值. 【精讲精析】选B.画出平面区域表示的可行域如图所示,由目标函数231z x y =++得直线2133z y x -=-+，当直线平移至点A(3,1)时, 目标函数231z x y =++取得最大值为10,故选B.5.（2011·湖南高考理科·T7）设m>1，在约束条件下，⎪⎩⎪⎨⎧≤+≤≥1y x mx y xy 目标函数z=x+my 的最大值小于2，则m的取值范围为（） (A))21,1(+(B)),21(+∞+(C)（1，3） (D)),3(+∞【思路点拨】本题主要考查了线性规划的基础知识和数形结合思想的运用，只要准确认真作图，本题就容易了，而且题型只有两种：一是已知约束条件和目标函数求最值.二是已知最值和约束条件而求目标函数中的参数情况或已知最值和目标函数而求约束条件中的参数情况.【精讲精析】选A.在平面直角坐标系中作出直线y x x y 1=+=和，再作出直线y mx =和直线1zy x m m=-+，即可解决. 6.（2011·天津高考文科·Ｔ2）设变量x ，y 满足约束条件1,40,340,≥⎧⎪+-≤⎨⎪-+≤⎩x x y x y 则目标函数3z x y =-的最大值为（） (A)-4 (B)0 (C)43(D)4【思路点拨】本题考查线性规划问题.【精讲精析】选D.作出线性约束条件x 1,x y 40,x 3y 40≥⎧⎪+-≤⎨⎪-+≤⎩的可行域，如图所示，显然，可行域是由点)35,1(A ，)2,2(B ，)3,1(C 所围成的三角形区域，显然，当线性目标函数03=--z y x 经过点)2,2(B 时，z 有最大值4223max =-⨯=z .故选D.7.（2011·浙江高考理科·Ｔ5）设实数x 、y 满足不等式组25>027>00,0x y x y x y +-⎧⎪+-⎨⎪≥≥⎩，若x 、y 为整数，则34x y +的最小值是（）（A ）14 （B ）16 （C ）17 （D ）19 【思路点拨】线性规划问题，要注意其中最优点应为整点.043=+y【精讲精析】选B.25=0x y +-与27=0x y +-的交点为（3，1），通过直线平移可知（3，1）即为最优点，因为25>0x y +-与27>0x y +-不包括边界,区域中不含（3，1）,所以当直线移至（4，1）时34x y + 取得最小值16.8.（2011·浙江高考文科·Ｔ3）若实数x ，y 满足不等式组2502700,0x y x y x y +-≥⎧⎪+-≥⎨⎪≥≥⎩,则3x +4y 的最小值是（）(A)13 (B)15 (C)20 (D)28 【思路点拨】线性规划问题，画出可行域,通过平移直线340x y +=可得. 【精讲精析】选A.25=0x y +-与27=0x y +-的交点为（3，1），通过直线平移可知（3，1）即为最优点，此时34x y + 取得最小值13.二、填空题9.（2011·新课标全国高考理科·Ｔ13）若变量,x y 满足约束条件329,69,x y x y ≤+≤⎧⎨≤-≤⎩则2z x y =+的最小值为______【思路点拨】可以设2(2+)()z x y x y x y λμ=+=+-，然后利用待定系数法，求得λ和μ的值，然后通过"2"x y +和""x y -本身的范围求得2z x y =+的范围.另外本题也可以用线性规划的知识来解决.【精讲精析】解析1：令2(2)()z x y x y x y λμ=+=++-＝(2)()x y λμλμ++-，212λμλμ+=⎧∴⎨-=⎩，11=⎧∴⎨=-⎩λμ，(2)()z x y x y ∴=+--，又3299()6x y x y ≤+≤-≤--≤-Q ，，6(2)()3x y x y ∴-≤+--≤，min 6z ∴=-.解析2：由约束条件32969x y x y ≤+≤⎧⎨≤-≤⎩，画出可行域如下图所示，将目标函数2=+z x y 化为斜截式为1122=-+y x z ，平移目标函数，可知当目标函数过9x y -=和23x y +=的交点（4,-5）时，Z 有最小值，将点（4,-5）代入目标函数2=+z x y 得min 6.z =-【答案】-610.（2011·湖南高考文科T14）设m>1，在约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤+≤≥1y x mx y xy 下，目标函数z=x+5y 的最大值为4，则m的值为______【思路点拨】本题考查利用线性规划法求二元函数在不等式条件下的最值.y【精讲精析】在平面直角坐标系中作出对应的区域和451,=+≤+≥y x y x x y ,.3=≤m mx y 直线，即可得到再作出【答案】311.（2011·陕西高考文科·T12）如图，点(,)x y 在四边形ABCD 内部和边界上运动，那么2x y -的最小值为________.【思路点拨】本题为线性规划问题，采用数形结合法解答，解答本题的关键是确定目标函数过哪一个点时取得最小值．【精讲精析】目标函数2z x y =-，当0x =时，z y =-，所以当y 取得最大值时，z 的值最小；移动直线20x y -=，当直线移动到过点A 时，y 最大，即z 取值最小，此时2111z =⨯-=．【答案】1。

高考理科数学考点解析二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题

二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题一、选择题1.(2017·北京高考文科·T4)同(2017·北京高考理科·T4)若x ,y 满足错误！未找到引用源。

则x+2y 的最大值为 ( ) A.1 B.3 C.5 D.9【命题意图】本题主要考查线性规划求线性目标函数的最值.意在培养学生数形结合能力.【解析】选D.线性约束条件32x x y y x ≤⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩表示的平面区域如图阴影部分所示,将z=x+2y 转化为y=-12错误！未找到引用源。

x+2z错误！未找到引用源。

, 由直线l :y=-12x 平移可知, 当直线y=-12x+错误！未找到引用源。

2z过点A 时,z=x+2y 的值最大, 由3x y x =⎧⎨=⎩解得A (3,3), 所以z max =3+2×3=9.【方法技巧】线性规划也是高考中常考的知识点,一般以客观题形式出现,基本题型是给出约束条件求目标函数的最值,常见的结合方式有:纵截距、斜率、两点间的距离、点到直线的距离,解决此类问题常利用数形结合.2.(2017·山东高考理科·T4)已知x ,y 满足3035030x y x y x -+≤⎧⎪++≤⎨⎪+≥⎩则z=x+2y 的最大值是A.0B.2C.5D.6【命题意图】本题考查应用线性规划求目标函数的最值,意在考查考生的数形结合的数学思想和运算求解能力.【解析】选C.由3035030x yx yx-+≤⎧⎪++≤⎨⎪+≥⎩画出可行域及直线x+2y=0如图所示,平移x+2y=0发现,当其经过直线3x+y+5=0与x=-3的交点(-3,4)时,z=x+2y取最大值,最大值为z=-3+2×4=5.3.(2017·全国丙卷·文科·T5)设x,y满足约束条件3260x yxy+-≤⎧⎪≥⎨⎪≥⎩则z=x-y的取值范围是()A.[-3,0]B.[-3,2]C.[0,2]D.[0,3]【命题意图】本题考查线性规划问题,考查学生的运算能力和数形结合能力.【解析】选B.绘制不等式组表示的可行域,结合目标函数的几何意义可得函数在点A(0,3)处取得最小值z=0-3=-3.在点B(2,0)处取得最大值z=2-0=2.【反思总结】目标函数一般在端点处取最值,可通过端点值得代入进行求解排除,以提高解题速度.4.(2017·全国甲卷理科·T5)设x ,y 满足约束条件2330233030x y x y y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪+≥⎩则z=2x+y 的最小值是( )A.-15B.-9C.1D.9【命题意图】考查线性规划问题,通过画可行域以及求最值过程意在考查学生数形结合思想的运用以及化归思想的运用.【解析】选A.绘制不等式组表示的可行域如图阴影(含边界)所示,结合目标函数的几何意义可得函数在点B (-6,-3)处取得最小值z=-12-3=-15.【光速解题】直接解出三条直线的三个交点坐标,将三点的坐标代入z=2x+y ,比较三个值的大小即可判断.5.(2017·天津高考理科·T2)设变量x ,y 满足约束条件2022003x y x y x y +≥⎧⎪+-≥⎪⎨≤⎪⎪≤⎩则目标函数z=x+y的最大值为 ( ) A.23 B.1 C.32D.3 【命题意图】本题是对简单线性规划的考查,着重考查目标函数在可行域中的最值问题【解析】选D.可行域为四边形ABCD 及其内部,如图,其中A (0,1),B (0,3),C 3,32⎛⎫- ⎪⎝⎭,D 24,33⎛⎫- ⎪⎝⎭,所以直线z=x+y 过点B 时取最大值3.6.(2017·山东高考文科·T3)已知x ,y 满足约束条件250302x y x y -+≤⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩则z=x+2y 的最大值是( )A.-3B.-1C.1D.3【命题意图】本题考查应用线性规划求目标函数的最大值,意在考查考生的数形结合的数学思想和运算求解能力.【解析】选D.由250302x y x y -+≤⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩画出可行域及直线x+2y=0如图所示,平移x+2y=0发现,当其经过直线x-2y+5=0与y=2的交点P (-1,2)时,z=x+2y 取最大值,最大值为z=-1+2×2=3.7.(2017·全国乙卷文科·T7)设x ,y 满足约束条件3310x y x y y +≤⎧⎪-≥⎨⎪≥⎩则z=x+y 的最大值为 ( )A.0B.1C.2D.3【命题意图】本题主要考查线性规划的相关知识,考查利用平面区域求目标函数的最值.【解析】选D.如图,目标函数z=x+y经过A(3,0)时最大,故z max=3+0=3,故选D.8.(2017·浙江高考·T4)若x,y满足约束条件3020xx yx y≥⎧⎪+-≥⎨⎪-≤⎩则z=x+2y的取值范围是()A.[0,6]B.[0,4]C.[6,+∞)D.[4,+∞)【命题意图】本题主要考查线性规划问题,意在考查学生根据线性约束条件画出可行域的能力.【解析】选D.根据约束条件,在平面直角坐标系中画出可行域如图所示,其向右向上为无穷延伸的,z相当于直线x+2y-z=0的纵截距的两倍,由图可知,当直线x+2y-z=0经过点A(2,1)时,zmin =4且z无最大值,所以z∈[)4.+∞.二、填空题9.(2017·全国丙卷·理科·T13)若x,y满足约束条件20x yx yy-≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩则z=3x-4y的最小值为.【命题意图】本题考查线性规划问题,考查学生画图、用图的能力.【解析】绘制不等式组表示的可行域,结合目标函数的几何意义可得,目标函数在点A(1,1)处取得最小值z=3x-4y=-1.答案:-1【反思总结】目标函数的最值点就是在对应直线的交点处取得,可通过代入交点求解.10.(2017·全国乙卷理科·T14)设x ,y 满足约束条件21210x y x y x y +≤⎧⎪+≥-⎨⎪-≤⎩则z=3x-2y 的最小值为 .【命题意图】本题主要考查线性规划的相关知识,主要考查利用平面区域求目标函数的最优解.【解析】如图所示,不等式组表示的可行域为△ABC ,易求得A (-1,1),B 11,33⎛⎫-- ⎪⎝⎭,C 11,33⎛⎫⎪⎝⎭,直线z=3x-2y 在x 轴上的截距越小,z 就越小, 所以,当直线z=3x-2y 过点A 时,z 取得最小值, 所以z 取得最小值为3×(-1)-2×1=-5. 答案:-5 三、简答题16.(2017·天津高考文科·T16)某电视台播放甲、乙两套连续剧,每次播放连续剧时,需要播放广告.已知每次播放甲、乙两套连续剧时,连续剧播放时长、广告播放时长、收视人次如下表所示:已知电视台每周安排的甲、乙连续剧的总播放时间不多于600分钟,广告的总播放时间不少于30分钟,且甲连续剧播放的次数不多于乙连续剧播放次数的2倍.分别用x,y表示每周计划播出的甲、乙两套连续剧的次数.(1)用x,y列出满足题目条件的数学关系式,并画出相应的平面区域.(2)问电视台每周播出甲、乙两套连续剧各多少次,才能使收视人次最多?【命题意图】本题是对简单线性规划的考查,着重考查目标函数在可行域中的最值问题【解析】(1)由已知,x,y满足的数学关系式为7060600 553020,0,x yx yx yx x Ny y N+≤⎧⎪+≥⎪⎪≤⎨⎪≥∈⎪≥∈⎪⎩即7x6y60 x+y6x-2y0x0x N, y0N,+≤⎧⎪≥⎪⎪≤⎨⎪≥∈⎪≥∈⎪⎩，，，，，y该二元一次不等式组所表示的平面区域为图1中的阴影部分:(2)设总收视人次为z 万,则目标函数为z=60x+25y. 考虑z=60x+25y ,将它变形为y=-125x+25z ,这是斜率为-125,随z 变化的一族平行直线.25z 为直线在y 轴上的截距,当25z取得最大值时,z 的值最大.又因为x ,y 满足约束条件,所以由图2可知,当直线z=60x+25y 经过可行域上的点M 时,截距25z最大,即z 最大.解方程组766020x y x y +=⎧⎨-=⎩得点M 的坐标为(6,3).所以,电视台每周播出甲连续剧6次、乙连续剧3次时才能使总收视人次最多. 【反思总结】解决线性规划实际应用问题,关键是读懂题意,把题目中信息翻译成数学关系式,画出可行域,进而求解实际问题.。

二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题

二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题1．二元一次不等式(组)表示的平面区域a ．二元一次不等式(组)表示的平面区域的确定(1)(经典题，5分)双曲线x 2－y 2＝4的两条渐近线与直线x ＝3围成一个三角形区域，表示该区域的不等式组是( )A.⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，x ＋y ≥0，0≤x ≤3B.⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，x ＋y ≤0，0≤x ≤3C.⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≤0，x ＋y ≤0，0≤x ≤3D.⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≤0，x ＋y ≥0，0≤x ≤3 答案：A 解析：双曲线x 2－y 2＝4，即x 24－y 24＝1的两条渐近线方程为y ＝±x ，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝0，x －y ＝0，与直线x ＝3围成的三角形区域如图所示．由图可知，点(1，0)在三角形区域内，且(1，0)满足x －y ≥0，x ＋y ≥0.又∵0≤x ≤3，∴表示该区域的不等式组是⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，x ＋y ≥0，0≤x ≤3.故选A.b ．求不等式组表示的平面区域的面积(2)(经典题，5分)设平面点集A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫（x ，y ）⎪⎪（y －x ）⎝⎛⎭⎫y －1x ≥0，B ＝{(x ，y )|（x －1）2＋（y －1）2≤1}，则A ∩B 所表示的平面图形的面积为( )A.34πB.35π C.47π D.π2答案：D解析：集合B 所表示的区域是第一象限内圆心为(1，1)，半径为1的圆面．而集合A 在第一象限内表示由y ＝x 与y ＝1x 的图像相交所成的四个区域中的上、下两个区域，交点(1，1)恰好为圆的圆心，A ∩B 所表示的平面图形为阴影区域M 与N ，如图所示．由于直线y ＝x 是圆与曲线y ＝1x的对称轴，所以区域M 与区域P 面积相同，故A ∩B 所表示的区域面积等于区域N 与P 所表示的区域面积之和，恰好为半圆面积π2，故选D.c ．根据平面区域满足的条件求参数的值(3)(2015重庆，5分)若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≤0，x ＋2y －2≥0，x －y ＋2m ≥0表示的平面区域为三角形，且其面积等于43，则m 的值为( ) A ．－3 B ．1 C.43 D ．3答案：B解析：作出不等式组表示的平面区域如图阴影部分所示．若表示的平面区域为三角形，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2＝0，x ＋2y －2＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝0，即C (2，0)，则由C (2，0)在直线x －y ＋2m ＝0的下方，得2＋2m ＞0，解得m ＞－1；由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2m ＝0，x ＋y －2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－m ，y ＝1＋m ，即A (1－m ，1＋m )；由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2m ＝0，x ＋2y －2＝0，解得⎩⎨⎧x ＝2－4m 3，y ＝2＋2m 3，即B ⎝⎛⎭⎫2－4m 3，2＋2m 3，则三角形ABC 的面积S △ABC ＝S △ADC －S △BDC ＝12×(2＋2m )×(1＋m )－12×(2＋2m )×2＋2m 3＝43，即(m ＋1)2＝4，解得m ＝1或m ＝－3(舍去)，故选B.2．简单的线性规划问题a ．线性目标函数的最值及取值范围(4)(2018全国Ⅰ，5分) 若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －2y －2≤0，x －y ＋1≥0，y ≤0，则z ＝3x ＋2y 的最大值为________．答案：6解析：(法一)约束条件表示的区域是以A (2，0)，B (－1，0)，C (－4，－3)为顶点的三角形区域(含边界)，把目标函数z ＝3x ＋2y 化为y ＝－32x ＋z 2，平移直线y ＝－32x ，当直线经过点A (2，0)时，在y 轴的截距最大，即z 最大，所以z m a x ＝3×2＋2×0＝6.(法二)约束条件表示的区域是以A (2，0)，B (－1，0)，C (－4，－3)为顶点的三角形区域(含边界)，所以z 的最大值一定在顶点位置取得，把三点坐标代入z ＝3x ＋2y ，比较大小，得最大值为6.(5)(2018天津，5分)设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤5，2x －y ≤4，－x ＋y ≤1，y ≥0，则目标函数z ＝3x ＋5y 的最大值为( )A ．6B ．19C ．21D ．45 答案：C解析：根据题意，画出可行域如图：由z ＝3x ＋5y 得y ＝－35x ＋z5，所以直线y ＝－35x ＋z5在y 轴上的截距最大时目标函数取最大值．作出直线y ＝－35x 并平移，可知在点A 处目标函数取最大值，联立⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋y ＝1，x ＋y ＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝3，即A (2，3)，故z 的最大值为z max ＝3×2＋5×3＝21.答案选C.b ．非线性目标函数的最值及取值范围(6)(2015全国Ⅰ，5分)若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －1≥0，x －y ≤0，x ＋y －4≤0，则yx的最大值为________．答案：3解析：作出可行域，如图中阴影部分所示．由斜率的意义，知y x ＝y －0x －0表示可行域内一点与原点连线的斜率，由图可知点A (1，3)与原点连线的斜率最大，故yx的最大值为3.变式思考：若约束条件不变，则2x ＋yy ＋1的取值范围是________．答案：⎣⎡⎦⎤54，2提示：2x ＋y y ＋1＝2x －1y ＋1＋1＝112·y ＋1x －12＋1，先求出可行域内的点与点⎝⎛⎭⎫12，－1连线的斜率的取值范围，进而求出2x ＋yy ＋1的取值范围．(7)(2016山东，5分)若变量x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤2，2x －3y ≤9，x ≥0，则x 2＋y 2的最大值是( )A ．4B ．9C ．10D ．12答案：C解析：由约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤2，2x －3y ≤9，x ≥0，作出可行域如图所示．不等式组表示的可行域是以A (0，－3)，B (0，2)，C (3，－1)为顶点的三角形区域，x 2＋y 2＝(x －0)2＋(y －0)2表示点(x ，y )到原点(0，0)距离的平方，最大值必在顶点处取到．∵|OA |2＝(0－0)2＋(－3－0)2＝9，|OB |2＝(0－0)2＋(2－0)2＝4，|OC |2＝(3－0)2＋(－1－0)2＝10，∴x 2＋y 2的最大值为10.故选C.(8)(2018山东模拟，5分)已知变量x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －2≥0，x －2y ＋4≥0，3x －y －3≤0，则z ＝|2x ＋y ＋5|的最大值是________，最小值是________．答案：12 7解析：由约束条件作出可行域，如图中阴影部分所示．设点P (x ，y )为可行域上任意一点，则z ＝|2x ＋y ＋5|＝|2x ＋y ＋5|22＋12·5表示点P 到直线2x＋y ＋5＝0的距离的5倍．直线2x ＋y ＋5＝0平行于直线2x ＋y －2＝0，结合图形可得：当点P 位于图中点B (2，3)处时，目标函数取最大值；当点P 位于线段AC 上时，目标函数取最小值，∴z max ＝12，z min ＝7.(9)(2015浙江，5分)已知实数x ，y 满足x 2＋y 2≤1，则|2x ＋y －4|＋|6－x －3y |的最大值是________．答案：15解析：x 2＋y 2≤1表示的平面区域如图所示．由x 2＋y 2≤1得2x ＋y －4<0，6－x －3y >0，∴|2x ＋y －4|＋|6－x －3y |＝－2x －y ＋4＋6－x －3y ＝－3x －4y ＋10.令z ＝－3x －4y ＋10，得y ＝－34x －z 4＋52，要使z ＝－3x －4y ＋10最大，则直线y ＝－34x －z 4＋52在y 轴上的截距最小，此时直线与圆x 2＋y 2＝1相切．由z ＝－3x －4y＋10得3x ＋4y ＋z －10＝0，由点到直线的距离公式得|z －10|32＋42＝1，解得z ＝5或z ＝15，∴z 的最大值为15.c ．线性规划中的参数问题(10)(2015福建，5分)变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥0，x －2y ＋2≥0，mx －y ≤0，若z ＝2x －y 的最大值为2，则实数m 等于( )A ．－2B ．－1C ．1D ．2 答案：C 解析：因为目标函数z ＝2x －y 取得最大值2，所以直线2x －y －2＝0必过可行域的顶点．易知直线2x －y －2＝0与x －2y ＋2＝0的交点为A(2，2)，如图所示，又mx －y ＝0过原点(0，0)，结合图形可知mx －y ＝0过点(2，2)，故有2m －2＝0，解得m ＝1，故选C.(11)(2015山东，5分)已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，x ＋y ≤2，y ≥0，若z ＝ax ＋y 的最大值为4，则a ＝( )A ．3B ．2C ．－2D ．－3 答案：B解析：作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示，则A (2，0)，B (1，1)．若z ＝ax ＋y 过A 时取得最大值4，则2a ＝4，解得a ＝2，此时目标函数为z ＝2x ＋y ，即y ＝－2x ＋z ，当直线y ＝－2x ＋z 经过点A (2，0)时，在y 轴上的截距最大，此时z 取得最大值4，满足条件；若z ＝ax ＋y 过B 时取得最大值为4，则a ＋1＝4，解得a ＝3，此时目标函数为z ＝3x ＋y ，即y ＝－3x ＋z ，当直线y ＝－3x ＋z 经过A (2，0)时，在y 轴上的截距最大，此时z 取得最大值6，不满足条件；显然目标函数过原点O 时不满足条件．综上，a ＝2，故选B.(12)(经典题，5分)x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≤0，x －2y －2≤0，2x －y ＋2≥0.若z ＝y －ax 取得最大值的最优解不唯一，则实数a 的值为( )A.12 或－1 B ．2或12 C ．2或1 D ．2或－1 答案：D解析：作出不等式组对应的平面区域，如图阴影部分△ABC 所示．由z ＝y －ax 得y ＝ax ＋z ，即直线在y 轴上的截距最大，z 也最大．若a ＝0，则y ＝z ，此时目标函数只在A 处取得最大值，不满足条件；若a ＞0，直线y ＝ax ＋z 的斜率k ＝a ＞0，要使z ＝y －ax 取得最大值的最优解不唯一，则直线y ＝ax ＋z 与直线2x －y ＋2＝0的斜率相等，此时a ＝2；若a ＜0，直线y ＝ax ＋z 的斜率k ＝a ＜0，要使z ＝y －ax 取得最大值的最优解不唯一，则直线y ＝ax ＋z 与直线x ＋y －2＝0的斜率相等，此时a ＝－1.综上，a ＝－1或a ＝2，故选D.3．线性规划的应用a ．线性规划的实际应用 (13)(2016天津，13分)某化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，需要A ，B ，C 三种主要原料．生产1车皮甲种肥料和生产1车皮乙种肥料所需三种原料的吨数如下表所示：现有A 种原料200吨，B 种原料360吨，C 种原料300吨，在此基础上生产甲、乙两种肥料．已知生产1车皮甲种肥料产生的利润为2万元；生产1车皮乙种肥料产生的利润为3万元．分别用x ，y 表示计划生产甲、乙两种肥料的车皮数．(Ⅰ)用x ，y 列出满足生产条件的数学关系式，并画出相应的平面区域；(Ⅱ)问分别生产甲、乙两种肥料各多少车皮，能够产生最大的利润？并求出此最大利润．答案：(Ⅰ)见解答过程(Ⅱ)生产甲种肥料20车皮，乙种肥料24车皮时利润最大，且最大利润为112万元解：(Ⅰ)由已知得x ，y 满足的数学关系式为⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋5y ≤200，8x ＋5y ≤360，3x ＋10y ≤300，x ≥0，y ≥0，(4分) 该二元一次不等式组所表示的区域为如图所示的阴影部分．(6分)(Ⅱ)设利润为z 万元，则目标函数为z ＝2x ＋3y .(7分)由z ＝2x ＋3y 得y ＝－23x ＋z 3，∴当直线y ＝－23x ＋z3在y 轴上的截距取最大值时，z 的值最大．(9分)当直线y ＝－23x ＋z 3经过可行域中的点M 时，如图所示，在y 轴上的截距z3 的值最大，此时z 的值最大．(10分)由⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋5y ＝200，3x ＋10y ＝300，得点M 的坐标为M (20，24)， ∴z max ＝2×20＋3×24＝112.答：生产甲种肥料20车皮，乙种肥料24车皮时利润最大，且最大利润为112万元．(13分)b ．线性规划中的最优整数解问题(14)(经典题，10分)某工厂生产甲、乙两种产品，已知生产1件甲产品需要消耗A 原料10个，B 原料5个，C 原料4个；生产1件乙产品需要消耗A 原料4个，B 原料4个，C 原料9个. 每生产1件甲产品的利润是600元，1件乙产品的利润是1000元，工厂在生产这两种产品的计划中需要消耗原料A ，B ，C 分别不超过300个，200个，360个．问甲、乙两种产品各生产多少件，能使利润总额最大？最大为多少？答案：当生产甲产品11件，乙产品35件时，能使利润总额最大，最大为41600元解：设生产甲、乙两种产品分别为x 件，y 件，利润为z 元，则z ＝600x ＋1000y ，其中x ，y 所满足的关系式为⎩⎪⎨⎪⎧10x ＋4y ≤300，5x ＋4y ≤200，4x ＋9y ≤360，x ≥0，x ∈Z ，y ≥0，y ∈Z ，若先不考虑x ，y 为整数的条件，作出不等式组所表示的可行域，如图阴影部分所示．(4分)由于z ＝200(3x ＋5y )，设μ＝3x ＋5y ，则当μ最大时，z 最大．将μ＝3x ＋5y 转化为y ＝－35x ＋μ5，易知直线NQ ，MN ，PM 的斜率分别为－52，－54，－49，直线l ：y ＝－35x ＋μ5的斜率为－35，∵k MN <k l <k PM ，∴当直线l 经过M 点时，在y 轴上的截距最大，即M 点为最优解点．由方程组⎩⎪⎨⎪⎧5x ＋4y ＝200，4x ＋9y ＝360 得M 点的坐标为(36029，100029)，此时μ＝3x ＋5y ＝2091929.(6分)∵x ，y 都是正整数，∴μ＝3x ＋5y 也应该为正整数，∴μ＝3x ＋5y ≤209，μ∈N *.若3x ＋5y ＝209，则x ＝209－5y 3＝70－2y ＋y －13，可设y ＝3k ＋1(k 为非负整数)，则x ＝68－5k ，代回约束条件，整理发现k 不存在；(8分)若3x ＋5y ＝208，则x ＝70－2y ＋y －23，设y ＝3k ＋2(k 为非负整数)，则x ＝66－5k ，代回约束条件，可求得k ＝11，∴x ＝11，y ＝35，此时z max ＝600×11＋1000×35＝41600.答：当生产甲产品11件，乙产品35件时，能使利润总额最大，最大为41600元．(10分)随堂普查练291．(经典题，5分)在平面直角坐标系中，O 是坐标原点，两定点A ，B 满足|OA →|＝|OB →|＝OA →·OB →＝2，则点集{P |OP →＝λOA →＋μOB →，|λ|＋|μ|≤1，λ，μ∈R }所表示的区域的面积是( )A ．2 2B ．2 3C ．4 2D ．4 3 答案：D解析：由|OA →|＝|OB →|＝OA →·OB →＝2，知〈OA →，OB →〉＝π3.设OA →＝(2，0)，OB →＝(1，3)，OP→＝(x ，y )，则⎩⎨⎧x ＝2λ＋μ，y ＝3μ，解得⎩⎨⎧μ＝y 3，λ＝12⎝⎛⎭⎫x －y 3.由|λ|＋|μ|≤1得|3x －y |＋|2y |≤23，作出可行域如图所示，则所求面积S ＝2×12×4×3＝43，故选D.2．(经典题，5分)若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x ＋3y ≥4，3x ＋y ≤4所表示的平面区域被直线y ＝kx ＋43分为面积相等的两部分，则k 的值是( )A.73B.37 C.43 D.34 答案：A解析：不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，求得点A ，B ，C 的坐标分别为 (1，1)，(0，4)，⎝⎛⎭⎫0，43.由直线y ＝kx ＋43恒过点C ⎝⎛⎭⎫0，43，且平面区域被此直线分为面积相等的两部分，可知当直线y ＝kx ＋43与直线3x ＋y ＝4的交点D 的横坐标为点A 的横坐标的一半时，可满足要求，因此x D ＝12.代入直线3x ＋y ＝4，可得y D ＝52，故点D 的坐标为⎝⎛⎭⎫12，52，代入直线y ＝kx ＋43，得52＝k ·12＋43，解得k ＝73，故选A.3．(2018全国Ⅲ，5分)若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＋3≥0，x －2y ＋4≥0，x －2≤0，则z ＝x ＋13y 的最大值是________．答案：3解析：根据题意，画出可行域如图：由z ＝x ＋13y ，得y ＝－3x ＋3z ，即3z 为直线y ＝－3x ＋3z 在y 轴上的截距．由图像可知当直线y ＝－3x ＋3z 过点A 时目标函数取得最大值．联立⎩⎪⎨⎪⎧x －2＝0，x －2y ＋4＝0，可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝3，即A (2，3)，所以z max ＝2＋13×3＝3.4．(经典题，5分)实数x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y ≥0，x －y ≥0，2x －y －2≥0，则W ＝y －1x ＋1的取值范围是( )A.⎣⎡⎦⎤－1，13B.⎣⎡⎦⎤－12，13 C.⎣⎡⎭⎫－12，＋∞ D.⎣⎡⎭⎫－12，1 答案：D解析：画出题中不等式组所表示的可行域如图所示，目标函数W ＝y －1x ＋1表示可行域内的点与定点A (－1，1)的连线的斜率．由图可知点A (－1，1)与点(1，0)连线的斜率为最小值，最大值趋近于1，但永远达不到1，故－12≤W ＜1，故选D.5．(2019改编，5分)已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋4≥0，2x ＋y －2≥0，3x －y －3≤0，则(x ＋1)2＋y 2的取值范围是________．答案：⎣⎡⎦⎤165，18解析：在平面直角坐标系中画出可行域如图所示．(x ＋1)2＋y 2表示可行域内的点到点(－1，0)距离的平方．可以看出可行域内的点到点(－1，0)最小的距离为点(－1，0)到直线2x ＋y －2＝0的距离，即d ＝|2×（－1）－2|4＋1＝455，则(x＋1)2＋y 2 的最小值为165；可行域内B 点距离点(－1，0)最远，B 点为直线x －2y ＋4＝0与3x－y －3＝0的交点，则B (2，3)，此时(x ＋1)2＋y 2＝(2＋1)2＋32＝18.综上，(x ＋1)2＋y 2的取值范围为⎣⎡⎦⎤165，18.6．(经典题，5分)当实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －4≤0，x －y －1≤0，x ≥1时，1≤a x ＋y ≤4恒成立，则实数a的取值范围是________．答案：⎣⎡⎦⎤1，32 解析：实数x ，y 满足的可行域如图中阴影部分所示：图中A (1，0)，B (2，1)，C ⎝⎛⎭⎫1，32.当a ≤0时，∵0≤y ≤32，1≤x ≤2，∴1≤ax ＋y ≤4不可能恒成立．当a ＞0时，借助图像得当直线z ＝ax ＋y 过点A 时，z 取得最小值；当直线z ＝ax ＋y 过点B 或C 时，z 取得最大值，故⎩⎪⎨⎪⎧1≤a ≤4，1≤2a ＋1≤4，1≤a ＋32≤4，解得1≤a ≤32.故a 的取值范围是⎣⎡⎦⎤1，32.7．(2018山西五校联考，5分)若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≥0，x －y ≤0，x －2y ＋2≥0，且z ＝yx －a仅在点A ⎝⎛⎭⎫－1，12处取得最大值，则实数a 的取值范围为( ) A ．[－2，－1) B ．(－∞，－1) C ．(－2，－1) D ．(－1，1) 答案：C解析：由约束条件作出可行域如图中阴影部分所示．z ＝yx －a表示的几何意义为可行域内的点(x ，y )与点(a ，0)连线的斜率．当a ≥0时，由图形可知z 不可能在A ⎝⎛⎭⎫－1，12处取得最大值，舍去；当－1≤a <0时，必然存在直线x ＝a 与可行域有交点，此时无斜率，可以理解为斜率趋向于正无穷，故无最大值；当－2<a <－1时，仅在A 处取到最大值，符合题意；当a ≤－2时，易知不符合要求．故选C.8．(2015陕西，5分)某企业生产甲、乙两种产品均需用A ，B 两种原料．已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示．如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4A.12万元 B ．16万元 C ．17万元 D ．18万元答案：D解析：设每天生产甲、乙两种产品分别为x ，y 吨，利润为z 元，则⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋2y ≤12，x ＋2y ≤8，x ≥0，y ≥0，目标函数为z ＝3x ＋4y .作出二元一次不等式组所表示的平面区域(阴影部分)即可行域如图所示．由z ＝3x ＋4y 得y ＝－34x ＋z 4，平移直线y ＝－34x ＋z 4，由图像可知当直线y ＝－34x ＋z4 经过点B 时，直线y ＝－34x ＋z4在y 轴上的截距最大，此时z 最大．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋2y ＝12，x ＋2y ＝8，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝3，即B (2，3)，∴z max ＝3x ＋4y ＝6＋12＝18.故每天生产甲、乙两种产品分别为2吨，3吨，能够获得最大的利润，最大的利润是18万元，故选D.课后提分练29 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题A 组(巩固提升)1．(2017全国Ⅲ，5分)设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋2y －6≤0，x ≥0，y ≥0，则z ＝x －y 的取值范围是( )A ．[－3，0]B ．[－3，2]C ．[0，2]D ．[0，3] 答案：B解析：作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋2y －6≤0，x ≥0，y ≥0表示的可行域如图所示，结合目标函数的几何意义可得函数在点A (0，3)处取得最小值，z min ＝0－3＝－3；在点B (2，0)处取得最大值，z max ＝2－0＝2.故选B.2．(2018广东模拟，5分)已知实数x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ≥0，y ≥x ，y ≥－x ＋b ，若z ＝2x ＋y 的最小值为3，则实数b ＝( )A.94B.32 C ．1 D.34 答案：A解析：作出不等式组对应的平面区域，如图阴影部分所示．由z ＝2x ＋y ，得y ＝－2x ＋z . 平移直线y ＝－2x ，由图可知，当直线y ＝－2x ＋z 经过点A 时，直线y ＝－2x ＋z 在y 轴上的截距最小，此时z 取最小值3，即2x ＋y ＝3.由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＝3，y ＝2x ，解得⎩⎨⎧x ＝34，y ＝32，即A ⎝⎛⎭⎫34，32，又点A 也在直线y ＝－x ＋b 上，即32＝－34＋b ，∴b ＝94.故选A.3．(2016浙江，5分)在平面上，过点P 作直线l 的垂线所得的垂足称为点P 在直线l 上的投影．由区域⎩⎪⎨⎪⎧x －2≤0，x ＋y ≥0，x －3y ＋4≥0 中的点在直线x ＋y －2＝0上的投影构成的线段记为AB ，则│AB │＝( )A ．2 2B ．4C ．3 2D ．6答案：C解析：作出不等式组对应的平面区域如图阴影部分所示．区域内的点在直线x ＋y －2＝0上的投影构成线段AB ，而AB ＝RQ .由⎩⎪⎨⎪⎧x －3y ＋4＝0，x ＋y ＝0 得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝1，即Q (－1，1)；由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，x ＋y ＝0 得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝－2，即R (2，－2)，则QR ＝（－1－2）2＋（1＋2）2＝9＋9＝3 2.故选C.4．(经典题，5分)设关于x ，y 的不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋1>0，x ＋m <0，y －m >0表示的平面区域内存在点P (x 0，y 0)，满足x 0－2y 0＝2，则m 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫－∞，43B.⎝⎛⎭⎫－∞，13C.⎝⎛⎭⎫－∞，－23D.⎝⎛⎭⎫－∞，－53 答案：C解析：作不等式组表示的可行域，如图所示，要使可行域存在，必有m <1－2m .若可行域内存在点P (x 0，y 0)满足x 0－2y 0＝2，则可行域内含有直线y ＝12x －1上的点，故只需边界点(－m ，1－2m )在直线y ＝12x －1上方，且(－m ，m )在直线y ＝12x －1的下方．解不等式组⎩⎪⎨⎪⎧m <1－2m ，1－2m >－12m －1，m <－12m －1，得m <－23，故选C.5．(经典题，5分)已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y －1≤0，2x －y －3≥0，当目标函数z ＝ax ＋by (a >0，b >0)在该约束条件下取到最小值25时，a 2＋b 2的最小值为( )A ．5B ．4 C. 5 D ．2 答案：B解析：由⎩⎪⎨⎪⎧x －y －1＝0，2x －y －3＝0 求得交点坐标为(2，1)，则2a ＋b ＝25，∴b ＝25－2a ，∴a 2＋b 2＝a 2＋(25－2a )2＝(5a －4)2＋4≥4，∴a 2＋b 2的最小值为4，故选B.6．(经典题，5分)设不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x －2y ＋3≥0，y ≥x 所表示的平面区域是Ω1，平面区域Ω2与Ω1关于直线3x －4y －9＝0对称．对于Ω1中的任意点A 与Ω2中的任意点B ，|AB |的最小值等于( )A.285 B ．4 C.125D ．2 答案：B 解析：由题意知，|AB |的最小值即为区域Ω1中的点到直线3x －4y －9＝0的距离的最小值的两倍．画出已知不等式组表示的平面区域，如图所示，可看出点(1，1)到直线3x －4y －9＝0的距离最小，故|AB |的最小值为2×|3×1－4×1－9|5＝4，故选B.7．(经典题，5分)若x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≥0，kx －y ＋2≥0，y ≥0，且z ＝y －x 的最小值为－4，则k 的值为( )A ．2B ．－2 C.12 D ．－12答案：D解析：若k ≥0，z ＝y －x 没有最小值，不合题意；若k ＜0，则不等式组所表示的平面区域如图所示．由图可知，z ＝y －x 在点⎝⎛⎭⎫－2k ，0处取最小值，故0－⎝⎛⎭⎫－2k ＝－4，解得k ＝－12，故选D.8．(2018安徽模拟，5分)已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≥x ，x ＋y ≤2，x ≥a ，且z ＝2x ＋y 的最大值是最小值的3倍，则a 的值是( )A.13B.14 C ．7 D ．不存在答案：A解析：作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示．由z ＝2x ＋y 得y ＝－2x ＋z ，由图像可知，当直线y ＝－2x ＋z 经过点(1，1)(直线y ＝x 和x ＋y ＝2的交点)时，z 最大，为3；当直线y ＝－2x ＋z 经过点(a ，a )(直线y ＝x 和x ＝a 的交点)时，z 最小，为3a .又∵z ＝2x ＋y 的最大值是最小值的3倍，∴a ＝13，故选A.9．(经典题，5分)给定区域D ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＋4y ≥4，x ＋y ≤4，x ≥0，令点集T ＝{(x 0，y 0)∈D |x 0，y 0∈Z ，(x 0，y 0)是z ＝x ＋y 在D 上取得最大值或最小值的点}，则T 中的点共确定________条不同的直线．答案：6解析：不等式组表示的可行域为图中阴影部分所示，取得最小值时的整数点为(0，1)，最大值时的整数点为(0，4)，(1，3)，(2，2)，(3，1)，(4，0)，故共可确定6条直线．10．(2016全国Ⅰ，5分)某高科技企业生产产品A 和产品B 需要甲、乙两种新型材料．生产一件产品A 需要甲材料1.5 kg ，乙材料1 kg ，用5个工时；生产一件产品B 需要甲材料0.5 kg ，乙材料0.3 kg ，用3个工时，生产一件产品A 的利润为2100元，生产一件产品B 的利润为900元．该企业现有甲材料150 kg ，乙材料90 kg ，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A 、产品B 的利润之和的最大值为________元．答案：216000解析：设生产产品A 、产品B 分别为x ，y 件，利润之和为z 元，那么由题意得约束条件为⎩⎪⎨⎪⎧1.5x ＋0.5y ≤150，x ＋0.3y ≤90，5x ＋3y ≤600，x ≥0，x ∈Z ，y ≥0，y ∈Z ，目标函数z ＝2100x ＋900y .约束条件等价于⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋y ≤300，10x ＋3y ≤900，5x ＋3y ≤600，x ≥0，x ∈Z ，y ≥0，y ∈Z ，①作出二元一次不等式组①表示的可行域(不考虑x ，y ∈Z )，如图中阴影部分所示．将z ＝2100x ＋900y 变形，得y ＝－73x ＋z 900，当直线y ＝－73x ＋z900经过点M 时，z 取得最大值．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧10x ＋3y ＝900，5x ＋3y ＝600，得M 的坐标为(60，100)，∴当x ＝60，y ＝100时，z max ＝2100×60＋900×100＝216000.故生产产品A 、产品B 的利润之和的最大值为216000元．B 组(冲刺满分)11.(经典题，5分)若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，y ≥0，y －x ≤2表示的平面区域为I ，则当a 从－2连续变化到1时，动直线x ＋y －a ＝0扫过I 中的那部分区域的面积为________．答案：74解析：如图所示，I 为△BOE 所表示的区域，动直线x ＋y ＝a 扫过I 中的那部分区域为四边形BOCD .易知B (－2，0)，O (0，0)，C (0，1)，D ⎝⎛⎭⎫－12，32，E (0，2)，△CDE 为直角三角形，∴S 四边形BOCD ＝12×2×2－12×1×12＝74.12．(经典题，5分)已知O 是坐标原点，点A (－1，1)，若点M (x ，y )为平面区域⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥2，x ≤1，y ≤2上的一个动点，则OA →·OM →的取值范围是( )A ．[－1，0]B ．[0，1]C ．[0，2]D ．[－1，2]答案：C解析：不等式组表示的可行域是如图阴影部分所示的△BDN ，易得N (0，2)，D (1，1)．设z ＝OA →·OM →＝－x ＋y ，即y ＝x ＋z ，由图可知，当直线y ＝x ＋z 过点D 时，z min ＝－1＋1＝0；当直线y ＝x ＋z 过点N 时，z max ＝0＋2＝2，故z 的取值范围为[0，2]，即OA →·OM →的取值范围为[0，2]，故选C.13．(2018豫南联考，5分)已知不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1≥0，x －y ＋1≥0，2x －y －2≤0表示的平面区域为D ，若对任意的(x ，y )∈D ，不等式t －4<x －2y ＋6<t ＋4恒成立，则实数t 的取值范围是________．答案：(3，5)解析：作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示．可求得A (3，4)，B (0，1)，C (1，0)．设z ＝x －2y ＋6，平移直线y ＝12x ，可知z ＝x －2y ＋6在A (3，4)处取得最小值1，在C (1，0)处取得最大值7，所以⎩⎪⎨⎪⎧t －4<1，t ＋4>7，解得3<t <5.故实数t 的取值范围是(3，5)．14．(经典题，10分)某工厂在甲、乙两地的两个分厂各生产某种机器12台和6台，现销售给A 地10台、B 地8台．已知从甲地调运1台至A 地、B 地的运费分别为400元和800元，从乙地调运1台至A 地、B 地的运费分别为300元和500元．请你设计调运方案，使总运费不超过9000元．答案：方案1 从甲地调8台给A 地，4台给B 地；再从乙地调2台给A 地，4台给B 地．方案2 从甲地调9台给A 地，3台给B 地；再从乙地调1台给A 地，5台给B 地．方案3 从甲地调10台给A 地，2台给B 地；再从乙地调6台给B 地解：设从甲地调x 台给A 地，则给B 地(12－x )台；从乙地调y 台给A 地，则给B 地(6－y )台，(2分)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝10，400x ＋800（12－x ）＋300y ＋500（6－y ）≤9000，0≤x ≤12，0≤y ≤6，x ，y ∈N ，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝10，2x ＋y ≥18，0≤x ≤12，0≤y ≤6，x ，y ∈N .作出可行域(不考虑x ，y ∈N )，如图所示．(6分)由图知，符合条件的x ，y 为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝8，y ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝9，y ＝1 或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝10，y ＝0.所以为使总运费不超过9000元，可有三种调运方案．方案1 从甲地调8台给A 地，4台给B 地；再从乙地调2台给A 地，4台给B 地．方案2 从甲地调9台给A 地，3台给B 地；再从乙地调1台给A 地，5台给B 地．方案3 从甲地调10台给A 地，2台给B 地；再从乙地调6台给B 地．(10分)。

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【高频考点解读】1.会从实际情境中抽象出二元一次不等式组；2.了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组；3.会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决. 【热点题型】题型一二元一次不等式(组)表示的平面区域【例1】 (1)若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，2x ＋y ≤2，y ≥0，x ＋y ≤a表示的平面区域是一个三角形，则a 的取值范围是( )A.⎣⎡⎭⎫43，＋∞ B ．(0，1]C.⎣⎡⎦⎤1，43 D ．(0，1]∪⎣⎡⎭⎫43，＋∞ (2)若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x ＋3y ≥4，3x ＋y ≤4所表示的平面区域被直线y ＝kx ＋43分为面积相等的两部分，则k 的值是( )A.73B.37 C.43 D.34【答案】 (1)D (2)A 【解析】【提分秘籍】二元一次不等式(组)表示平面区域的判断方法：直线定界，测试点定域，注意不等式中不等号有无等号，无等号时直线画成虚线，有等号时直线画成实线．测试点可以选一个，也可以选多个，若直线不过原点，则测试点常选取原点．【举一反三】(1)若函数y ＝2x图象上存在点(x ，y )满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3≤0，x －2y －3≤0，x ≥m ，则实数m 的最大值为( )A.12 B ．1 C.32 D ．2(2)在平面直角坐标系中，若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1≥0，x －1≤0，ax －y ＋1≥0(a 为常数)所表示的平面区域的面积等于2，则a 的值为( )A ．－5B ．1C ．2D ．3【答案】 (1)B (2)D 【解析】题型二简单线性目标函数的最值问题【例2】 (1)设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －7≤0，x －3y ＋1≤0，3x －y －5≥0，则z ＝2x －y 的最大值为( )A ．10B ．8C ．3D ．2(2)若x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≥0，kx －y ＋2≥0，y ≥0，且z ＝y －x 的最小值为－4，则k 的值为( )A ．2B ．－2 C.12 D ．－12 【答案】 (1)B (2)D 【解析】【提分秘籍】(1)线性目标函数的最大(小)值一般在可行域的顶点处取得，也可能在边界处取得．(2)已知目标函数的最值或其他限制条件，求约束条件或目标函数中所含参数的值或取值范围的问题．解决这类问题时，首先要注意对参数取值的讨论，将各种情况下的可行域画出来，以确定是否符合题意，然后在符合题意的可行域里，寻求最优解，从而确定参数的值．【举一反三】(1)x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≤0，x －2y －2≤0，2x －y ＋2≥0.若z ＝y －ax 取得最大值的最优解不唯一，则实数a 的值为( )A.12或－1 B ．2或12 C ．2或1 D ．2或－1(2)若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≤0，x ＋2y －8≤0，x ≥0，则z ＝3x ＋y 的最小值为________．【答案】 (1)D (2)1 【解析】当目标函数z ＝3x ＋y 经过点A (0，1)时，z ＝3x ＋y 取得最小值z min ＝3×0＋1＝1. 题型三实际生活中的线性规划问题【例3】某旅行社租用A ，B 两种型号的客车安排900名客人旅行，A ，B 两种车辆的载客量分别为36人和60人，租金分别为1 600元/辆和2 400元21辆，且B型车不多于A 型车7辆，则租金最少为()A．31 200元B．36 000元C．36 800元D．38 400元【答案】 C【解析】【提分秘籍】线性规划的实际应用问题，需要通过审题理解题意，找出各量之间的关系，最好是列成表格，找出线性约束条件，写出所研究的目标函数，转化为简单的线性规划问题，再按求最优解的步骤解决．【举一反三】某农户计划种植黄瓜和韭菜，种植面积不超过50亩，投入资金不超过54万元，假设种植黄瓜和韭菜的产量、成本和售价如下表为使一年的种植总利润(总利润＝总销售收入－总种植成本)最大，那么黄瓜和韭菜的种植面积(单位：亩)分别为()A．50，0 B．30，20 C．20，30 D．0，50【答案】 B【解析】【高考风向标】1.【2015高考北京，理2】若x ，y 满足010x y x y x -⎧⎪+⎨⎪⎩≤，≤，≥，则2z x y =+的最大值为（）A ．0B ．1C ．32D ．2【答案】D【解析】如图，先画出可行域，由于2z x y =+，则1122y x z =-+，令0Z =，作直线12y x =-，在可行域中作平行线，得最优解(0,1)，此时直线的截距最大，Z 取得最小值2. 2．【2015高考广东，理6】若变量x ，y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤≤≥+2031854y x y x 则y x z 23+=的最小值为（）A ．531 B. 6 C. 523 D. 4【答案】C3.【2015高考天津，理2】设变量,x y满足约束条件2030230xx yx y+≥⎧⎪-+≥⎨⎪+-≤⎩，则目标函数6z x y=+的最大值为( )（A）3 （B）4 （C）18 （D）40 【答案】C【解析】4.【2015高考陕西，理10】某企业生产甲、乙两种产品均需用A，B两种原料．已知生产1吨每种产品需原料及每天原料的可用限额如表所示，如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得最大利润为（）A．12万元B．16万元C．17万元D．18万元【答案】D【解析】5.【2015高考福建，理5】若变量,x y 满足约束条件20,0,220,x y x y x y +≥⎧⎪-≤⎨⎪-+≥⎩则2z x y =- 的最小值等于 ( )A ．52-B ．2-C ．32- D ．2 【答案】AxyBOA【解析】6.【2015高考山东，理6】已知,x y 满足约束条件020x y x y y -≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，若z ax y =+的最大值为4，则a = （）（A ）3 （B ）2 （C ）-2 （D ）-3 【答案】B【解析】不等式组020x y x y y -≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩在直角坐标系中所表示的平面区域如下图中的阴影部分所示，若z ax y =+的最大值为4，则最优解可能为1,1x y == 或2,0x y == ，经检验，2,0x y ==是最优解，此时2a = ；1,1x y ==不是最优解.故选B.7.【2015高考新课标1，理15】若,x y 满足约束条件10040x x y x y -≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≤⎩，错误！未找到引用源。

则y x 错误！未找到引用源。

的最大值为 .【答案】3 【解析】8.【2015高考浙江，理14】若实数,x y 满足221x y +≤，则2263x y x y +-+--的最小值是．【答案】3.【解析】122≤+y x 表示圆122=+y x 及其内部，易得直线y x 36--与圆相离，故y x y x 36|36|--=--，当022≥-+y x 时，2263=24x y x y x y +-+---+，如下图所示，可行域为小的弓形内部，目标函数42+-=y x z ，则可知当53=x ，54=y 时，3min =z ，当022<-+y x 时，2263=834x y x y x y+-+----，可行域为大的弓形内部，目标函数y x z 438--=，同理可知当53=x ，54=y 时，3min =z ，综上所述，|36||22|y x y x --+-+.9．【2015高考新课标2，理14】若x ，y 满足约束条件1020,220,x y x y x y -+≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≤⎩，，则z x y =+的最大值为____________．【答案】32【解析】【考点定位】线性规划．xy–1–2–3–41234–1–2–3–41234DCBO10.【2015高考湖南，理4】若变量x ，y 满足约束条件1211x y x y y +≥-⎧⎪-≤⎨⎪≤⎩，则3z x y =-的最小值为（）A.-7B.-1C.1D.2 【答案】A. 【解析】【高考押题】1．不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y ≤－x ＋2，y ≤x －1，y ≥0所表示的平面区域的面积为 ( )A ．1B.12C.13D.14【答案】 D【解析】作出不等式组对应的区域为△BCD ，由题意知x B ＝1，x C ＝2.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x ＋2，y ＝x －1，得y D ＝12，所以S △BCD ＝12×(x C －x B )×12＝14.2．若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≤x ，x ＋y ≤1，y ≥－1，且z ＝2x ＋y 的最大值和最小值分别为m 和n ，则m －n ＝( )A ．5B ．6C ．7D ．8【答案】 B 【解析】3．若点(x ，y )位于曲线y ＝|x |与y ＝2所围成的封闭区域，则2x －y 的最小值为( )A ．－6B ．－2C ．0D ．2【答案】 A【解析】如图，曲线y ＝|x |与y ＝2所围成的封闭区域如图中阴影部分，令z ＝2x －y ，则y ＝2x －z ，作直线y ＝2x ，在封闭区域内平行移动直线y ＝2x ，当经过点(－2，2)时，z 取得最小值，此时z ＝2×(－2)－2＝－6.4．在平面直角坐标系 xOy 中，P 为不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y ≤1，x ＋y －2≥0，x －y －1≤0所表示的平面区域上一动点，则直线OP 斜率的最大值为( )A ．2 B.1 C.12D.13【答案】 B 【解析】5．已知变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥1，x ＋y ≥1，1＜x ≤a ，目标函数z ＝x ＋2y 的最大值为10，则实数a 的值为 ( )A ．2 B.83 C ．4D ．8【答案】 C【解析】结合图形求解．作出不等式组对应的平面区域，当目标函数经过点(a ，a －1)时取得最大值10，所以a ＋2(a －1)＝10，解得a ＝4，故选C.6．若A 为不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，y ≥0，y －x ≤2表示的平面区域，则当a 从－2连续变化到1时，动直线x ＋y ＝a 扫过A 中的那部分区域的面积为________．【答案】 74【解析】7．在平面直角坐标系xOy 中，M 为不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y －6≤0，x ＋y －2≥0，y ≥0所表示的区域上一动点，则|OM |的最小值是________．【答案】2【解析】如图所示阴影部分为可行域，数形结合可知，原点O 到直线x ＋y －2＝0的垂线段长是|OM |的最小值，∴|OM |min ＝|－2|12＋12＝ 2.8．(2015·盐城调研)设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≤x ＋1，y ≥2x －1，x ≥0，y ≥0，若目标函数z ＝abx ＋y (a ＞0，b ＞0)的最大值为35，则a ＋b 的最小值为________．【答案】 8 【解析】三、解答题9．(2015·合肥模拟)画出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋5≥0，x ＋y ≥0，x ≤3表示的平面区域，并回答下列问题：(1)指出x ，y 的取值范围； (2)平面区域内有多少个整点？解 (1)不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋5≥0，x ＋y ≥0，x ≤3表示的平面区域如图所示．结合图中可行域得x ∈⎣⎡⎦⎤－52，3，y ∈[－3，8]．10．制订投资计划时，不仅要考虑可能获得的盈利，而且要考虑可能出现的亏损．某投资人打算投资甲、乙两个项目，根据预测，甲、乙项目可能的最大盈利率分别为100%和50%，可能的最大亏损率分别为30%和10%.若投资人计划投资金额不超过10万元，要求确保可能的资金亏损不超过1.8万元，问投资人对甲、乙两个项目各投资多少万元，才能使可能的盈利最大？解设投资人分别用x 万元，y 万元投资甲、乙两个项目，由题意知⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤10，0.3x ＋0.1y ≤1.8，x ≥0，y ≥0，：。

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