2018届高考数学艺术生短期集训专题知识突破：考点31 数列的求和
专题30 数列求和5题型分类-备战2025年高考数学一轮专题复习全套考点突破和专题检测(原卷版)
专题30数列求和5题型分类数列求和的几种常用方法1．公式法直接利用等差数列、等比数列的前n项和公式求和．(1)等差数列的前n项和公式：S n＝n(a1＋a n)2＝na1＋n(n－1)2d.(2)等比数列的前n项和公式：S n1，＝a1(1－q n)1－q，q≠1.2．分组求和法与并项求和法(1)分组求和法若一个数列是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组求和法，分别求和后相加减．(2)并项求和法一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和．形如a n＝(－1)n f(n)类型，可采用两项合并求解．3．错位相减法如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n 项和即可用此法来求，如等比数列的前n 项和公式就是用此法推导的．4．裂项相消法把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和．常见的裂项技巧(1)1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1.(2)1n (n ＋2)＝(3)1(2n －1)(2n ＋1)＝(4)1n ＋n ＋1＝n ＋1－n .(5)1n (n ＋1)(n ＋2)＝121n (n ＋1)－1(n ＋1)(n ＋2).常用结论常用求和公式(1)1＋2＋3＋4＋…＋n ＝n (n ＋1)2.(2)1＋3＋5＋7＋…＋(2n －1)＝n 2.(3)12＋22＋32＋…＋n 2＝n (n ＋1)(2n ＋1).(4)13＋23＋33＋…＋n 3＝n (n ＋1)22.（一）分组求和(1)若数列{c n }的通项公式为c n ＝a n ±b n ，且{a n }，{b n }为等差或等比数列，可采用分组求和法求数列{c n }的前n 项和．(2)若数列{c n }的通项公式为c n ＝a n ，n 为奇数，b n ，n 为偶数，其中数列{a n }，{b n }是等比数列或等差数列，可采用分组求和法求{c n }的前n 项和．（二）错位相减法求和(1)如果数列{a n}是等差数列，{b n}是等比数列，求数列{a n·b n}的前n项和时，常采用错位相减法．(2)错位相减法求和时，应注意：①在写出“S n”与“qS n”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”，以便于下一步准确地写出“S n－qS n”的表达式．②应用等比数列求和公式时必须注意公比q是否等于1，如果q＝1，应用公式S n＝na1.b（三）裂项相消法的原则及规律(1)裂项原则一般是前面裂几项，后面就裂几项，直到发现被消去项的规律为止．(2)消项规律消项后前面剩几项，后面就剩几项，前面剩第几项，后面就剩倒数第几项．2（四）倒序相加法将一个数列倒过来排列，当它与原数列相加时，若有规律可循，并且容易求和，则这样的数列求和时可用倒序相加法（等差数列前n项和公式的推导即用此方法）．一、单选题1．（2024高二上·陕西西安·阶段练习）数列9,99,999，…的前n 项和为A ．109（10n －1）＋n B ．10n －1C ．109（10n －1）D ．109（10n －1）－n 2．（2024高二下·湖北·阶段练习）高斯（Gauss ）被认为是历史上最重要的数学家之一，并享有“数学王子”之称．小学进行123100++++L 的求和运算时，他这样算的：1100101+=，299101+=，…，5051101+=，共有50组，所以501015050⨯=，这就是著名的高斯算法，课本上推导等差数列前n 项和的方法正是借助了高斯算法．已知正数数列{}n a 是公比不等于1的等比数列，且120231a a =，试根据以上提示探求：若24()1f x x =+，则()()()122023f a f a f a +++= （）A ．2023B ．4046C ．2022D ．40443．（2024高三下·江西·开学考试）已知数列21443n n ⎧⎫⎨⎬+-⎩⎭的前n 项和为n T ，若对任意的*n ∈N ，不等式263n T a a <-恒成立，则实数a 的取值范围是（）A ．2,[1,)3⎛⎤-∞-+∞ ⎥⎝⎦ B ．2(,1],3⎡⎫-∞-+∞⎪⎢⎣⎭ C ．2,13⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．2,(1,)3x ⎛⎫--+∞ ⎪⎝⎭ 4．（2024·浙江）已知数列{}n a满足)111,N n a a n *+==∈.记数列{}n a 的前n 项和为n S ，则（）A ．100332S <<B ．10034S <<C ．100942S <<D ．100952S <<二、填空题5．（2024高二下·江苏南京·期中）已知数列{}i a 的项数为()N n n *∈，且1C (1,2,)i i n i n a a i n -++== ，则{}i a 的前n 项和n S 为．6．（2024高二上·湖北黄冈·期末）1202年意大利数学家列昂那多-斐波那契以兔子繁殖为例，引人“兔子数列”，又称斐波那契数列，即11235813213455 ，，，，，，，，，，该数列中的数字被人们称为神奇数，在现代物理，化学等领域都有着广泛的应用.若此数列各项被3除后的余数构成一新数列{}n a ，则数列{}n a 的前2022项的和为.7．（2024高二上·上海黄浦·期中）数列()()()22311,(12),122,1222,,122,n -+++++++++ 的前n 项和为.8．（2024高三下·全国·开学考试）现取长度为2的线段MN 的中点1M ，以1MM 为直径作半圆，该半圆的面积为1S （图1），再取线段1M N 的中点2M ，以12M M 为直径作半圆．所得半圆的面积之和为2S （图2），再取线段2M N 的中点3M ，以23M M 为直径作半圆，所得半圆的面积之和为3S ，以此类推，则1ni i iS ==∑．9．（2024高三·全国·对口高考）已知函数4()42x x f x =+，则()(1)f x f x +-=；数列{}n a 满足2016n n a f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则这个数列的前2015项的和等于.10．（2024·江苏·模拟预测）若数列{}n a 满足C (1,2,3,,1)ii n i n a a i n -+==- ，12n a =，则{}n a 的前n 项和为.11．（2024高三·全国·专题练习）已知{}n a 为无穷等比数列，13a =，n a 的各项和为9，2n n b a =，则数列{}n b 的各项和为．12．（2024·全国）某校学生在研究民间剪纸艺术时，发现剪纸时经常会沿纸的某条对称轴把纸对折，规格为20dm 12dm ⨯的长方形纸，对折1次共可以得到10dm 12dm ⨯，20dm 6dm ⨯两种规格的图形，它们的面积之和21240dm S =，对折2次共可以得到5dm 12dm ⨯，10dm 6dm ⨯，20dm 3dm ⨯三种规格的图形，它们的面积之和22180dm S =，以此类推，则对折4次共可以得到不同规格图形的种数为；如果对折n 次，那么1nkk S==∑2dm .13．（2024·湖北·模拟预测）“数学王子”高斯是近代数学奠基者之一，他的数学研究几乎遍及所有领域，并且高斯研究出很多数学理论，比如高斯函数､倒序相加法､最小二乘法､每一个n 阶代数方程必有n 个复数解等.若函数()22log 1x f x x =-，设()112311,,2n n a a f f f f n n n n n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==++++∈≥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭N ，则1210a a a +++=.14．（2024·黑龙江齐齐哈尔·三模）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1211121n n S S S n ++⋅⋅⋅+=+，设函数()1cos π2f x x =+，则32021122022202220222022a a a a f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++⋅⋅⋅+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭．15．（2024高三上·河北·阶段练习）德国大数学家高斯年少成名，被誉为数学届的王子，19岁的高斯得到了一个数学史上非常重要的结论，就是《正十七边形尺规作图之理论与方法》．在其年幼时，对123100+++⋯⋯+的求和运算中，提出了倒序相加法的原理，该原理基于所给数据前后对应项的和呈现一定的规律生成，因此，此方法也称之为高斯算法，现有函数()xf x ={}n a 满足()121(0)(1)N n n a f f f f f n n n n *-⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++++∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，若12n n n b a +=，则{}n b 的前n 项和n S =．16．（2024高三上·福建泉州·期中）已知12cos 2cos x x f x x +⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则202112022i i f =⎛⎫=⎪⎝⎭∑.17．（2024高三·全国·对口高考）数列()55,55,555,5555,,101,9n- 的前n 项和n S =.18．（2024高二上·湖北黄冈·期末）已知{}n a 的前n 项和为n S ，()()1221n n n n aa n +++-=，50600S =，则12a a +=.三、解答题19．（2024高一下·山西·阶段练习）已知数列{}221:1,12,122,,1222,-+++++++ n n a ，求数列{}n a 的前n 项和n S .20．（2024高三上·河北·期末）已知数列{}n a 满足312232222n na a a a n ++++= .(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)若2log n n b a =，求数列11n n b b +⎧⎫⎨⎬⋅⎩⎭的前n 项和.21．（2024高三上·河北邯郸·阶段练习）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足11340,4n n a S a +--==．(1)证明：数列{}n a 是等比数列；(2)求数列{}n na 的前n 项和n T ．22．（2024·陕西商洛·模拟预测）已知公差为正数的等差数列{}n a 的前n 项和为2,3n S a =，且136,,23a a a +成等比数列.(1)求n a 和n S .(2)设n b =，求数列{}n b 的前n 项和n T .23．（2024高三上·海南·期末）已知数列{}n a 满足14a =，*122(N )n n a a n +=+∈．(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)若1n n n b a a +=+，求数列{}n b 的前n 项和n S ．24．（2024高一下·广东梅州·期末）已知等差数列{}n a 的前四项和为10，且237,,a a a 成等比数列(1)求通项公式na (2)设2n an b =，求数列n b 的前n 项和nS 25．（2024高三上·辽宁大连·期末）已知数列{}n a 满足：()*111,1,2,n n n a n a a n a n +-⎧==∈⎨⎩N 为奇数为偶数.设21n n b a -=.(1)证明：数列{}2n b -为等比数列，并求出{}n b 的通项公式；(2)求数列{}n a 的前2n 项和2n S .26．（2024高三上·重庆·阶段练习）已知数列{}n a 中，2122a a ==，且22,4,n n na n a a n ++⎧=⎨⎩为奇数为偶数.(1)求{}n a 的通项公式；(2)求{}n a 的前10项和10S .27．（2024·云南红河·一模）已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，其中公比451211,8a a q a a +≠-=+，且378S =．(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)若2log ,1, n n na nb n a ⎧⎪=⎨⎪⎩为奇数为偶数，求数列}n b 的前2n 项和2n T ．28．（2024·全国·模拟预测）已知数列{}n a 的前n 项积为,0,2nn n n n T T a a T ≠=-．(1)求证：数列{}n T 是等差数列，并求数列{}n a 的通项公式；(2)令()()()11111n n n n b a a -+=-+-，求数列{}n b 的前n 项和n S ．29．（2024高三上·云南·阶段练习）已知数列{}n a 满足：312232222n n a a a a n +++⋅⋅⋅+=（*n ∈N ），数列{}n b 满足5012n n b a =+.(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)求1299b b b ++⋅⋅⋅+.30．（2024高二下·江西萍乡·期末）已知函数()142xa f x =++关于点11,22⎛⎫⎪⎝⎭对称，其中a 为实数.(1)求实数a 的值；(2)若数列{}n a 的通项满足2023n n a f ⎛⎫=⎪⎝⎭，其前n 项和为n S ，求2022S .31．（2024高三上·天津河北·期末）已知{}n a 是等差数列，其公差d 不等于0，其前n 项和为{},n n S b 是等比数列，且11223131,,2a b a b S a b ===-=.(1)求{}n a 和{}n b 的通项公式；(2)求数列{}n n a b 的前n 项和n T ；(3)记1222n n n n a c a a ++=，求{}n c 的前n 项和n P .32．（2024高三·全国·专题练习）记n S 为数列{}n a 的前n 项和，()1121n n a S n a ==+，，.(1)求{}n a 的通项公式；(2)求数列12n n a -⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T .33．（2024高三上·全国·期末）数列{}n a 为等差数列，{}n b 为等比数列，公比11223303,1,4,12q a b a b a b <<====.(1)求{}{}n n a b ､的通项公式；(2)求数列{}nna b 的前n 项和.34．（2024·吉林白山·一模）已知等比数列{}n a 满足12a =，且2420a a +=．(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)若数列{}n b 满足n n b n a =⋅，{}n b 其前n 项和记为n S ，求n S ．35．（2024·全国·模拟预测）已知{}2n n a 是等差数列，n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等比数列．(1)求证：12a a =；(2)记{}n a 的前n 项和为n S ，对任意*n ∈N ，16n S ≤≤，求1a 的取值范围．36．（2024高二上·湖南张家界·阶段练习）已知等差数列{}n a 满足24a =，4527a a -=，公比不为1-的等比数列{}n b 满足34b =，()45128b b b b +=+．(1)求{}n a 与{}n b 通项公式；(2)设()*13N n n n c n a a +=∈⋅，求{}n c 的前n 项和n S ．37．（2024·全国·模拟预测）已知正项等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且425S S =，222n n a a =．(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)设11n n n n a b S S ++=，求数列{}n b 的前n 项和n T ．38．（2024·新疆·一模）非零数列{}n a 满足()()()()*112212n n n n n n n a a a a a a a n +++++--=-∈N ，且121,2a a ==．(1)设1nn n na b a a +=-，证明：数列{}n b 是等差数列；(2)设11n n n c a a +=，求{}n c 的前n 项和n T ．39．（2024高三上·辽宁沈阳·期中）已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足112n n n S a a ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，(1)求nS (2)求12233411111n n S S S S S S S S ++++⋯+++++40．（2024·广东广州·模拟预测）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且21n n S a =-.(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)若数列{}n b 满足2log ,,n n na nb a n ⎧=⎨⎩为奇数为偶数，求数列{}n b 的前2n 项和2n T .41．（2024高三上·山西忻州·阶段练习）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，123a =-，1322n n S S +=-（*n ∈N ）.(1)求{}n a 的通项公式；(2)设数列{}n b ，{}n c 满足()32log n n b a =-，n n n c a b =+，求数列{}n c 的前n 项和n T .42．（2024·四川攀枝花·二模）已知数列{}n a 满足()*1144,313n n na a a n a +=-=∈-N ．(1)证明：11n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是等比数列；(2)求数列1n n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭的前n 项和n S ．43．（2024高二上·黑龙江哈尔滨·期末）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且2321n n S a n =-+．(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)若2n n b a =，求数列{}n b 的前n 项和n T ．44．（2024高三上·云南曲靖·阶段练习）已知数列{}n a 是公差为()0d d ≠的等差数列，n S 是{}n a 的前n 项和，n *∈N ．(1)若11a =，且22n n a a =，求数列{}n a 的通项公式；(2)若13a d =，数列{}n b a 的首项为1a ，满足13n n b b a a +=，记数列{}n b 的前n 项和为n T ，求5T ．45．（2024高三上·广东东莞·期末）数列{}n a 的前n 项积为n T ，且满足()()1122n T n n =++．(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)记()1ln nn n b a =-，求数列{}n b 的前2n 项和2n S ．46．（2024·全国·模拟预测）已知数列{}n a 满足11334n n a a a +==-，，记)23n n b a =-+．(1)求数列{}n b 的通项公式；(2)已知()1111n n n n n b c b b +++=-⋅，记数列{}n c 的前n 项和为n S ．求证：221n S ≥．47．（2024高二下·福建厦门·阶段练习）数列{}n a 的前n 项和为n S ，数列{}n b 的前n 项积为n T ，且()()**21,!n n n S a n T n n =-∈=∈N N ．(1)求{}n a 和{}n b 的通项公式；(2)若,,n n na n cb n ⎧=⎨⎩为奇数为偶数，求{}n c 的前n 项和n P ．48．（2024高三上·云南德宏·阶段练习）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足2n n S a n =-.(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)设()()211n n b n a =++，求数列{}n b 的前n 项和n T .49．（2024高三上·河北廊坊·期末）已知数列{}n a 是递增的等比数列，142332,12a a a a =+=.(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)若()()1111n n n n a b a a ++=++，求数列{}n b的前n 项和n S .50．（2024·四川绵阳·二模）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且5645,60S S ==．(1)求{}n a 的通项公式；(2)求数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T ．51．（2024高三·全国·专题练习）仓库有一种堆垛方式，如图所示，最高一层2盒，第二层6盒，第三层12盒，第四层20盒，第五层30盒，L，请你寻找至少两个堆放的规律．52．（2024·广东广州·三模）已知正项数列{}n a 和{},n n b S 为数列{}n a 的前n 项和，且满足242n n n S a a =+，()*22log n n a b n N =∈（1）分别求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）将数列{}n a 中与数列{}n b 相同的项剔除后，按从条到大的顺序构成数列{}n c ，记数列{}n c 的前n 项和为n T ，求100T ．53．（2024·湖南岳阳·三模）已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，其公比1q ≠-，4578127a a a a +=+，且4393S a =+．(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)已知13log ,,n n n a n b a n ⎧⎪=⎨⎪⎩为奇数为偶数，求数列{}n b 的前n 项和n T ．54．（2024·湖南衡阳·模拟预测）已知等差数列{}n a 与等比数列{}n b 的前n 项和分别为：,n n S T ，且满足：()21413,2n n n S a S n +==+，22214n n n T S n n -=---(1)求数列{}{},n n a b 的通项公式；(2)若,2n nn c n S =⎨⎪⎩为奇数为偶数求数列{}n c 的前2n 项的和2n U .55．（2024高三下·湖南常德·阶段练习）已知数列{}n a ，{}n b ，n S 为数列{}n a 的前n 项和，210,4n a a b =>，若12a =，()2211202n n n n a a a a n ----=≥，且()211n n nb n b n n +-+=+，*N n ∈.(1)求数列{}{},n n a b 的通项公式；(2)若数列{}n c 的通项公式为,2,4n n n n n a b n c a b n ⎧-⎪⎪=⎨⎪⎪⎩为奇数为偶数，令n T 为{}n c 的前n 项的和，求2n T .56．（2024高三上·江苏南京·阶段练习）已知等比数列{}n a 的公比1q >，前n 项和为n S ，满足：234613,3S a a ==.(1)求{}n a 的通项公式；(2)设1,,n n n a n b b n n -⎧=⎨+⎩为奇数为偶数，求数列{}n b 的前2n 项和2n T .57．（2024·广东汕头·一模）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，()*322n n a S n n N =+∈.(1)证明：数列{}1n a +为等比数列，并求数列{}n a 的前n 项和为n S ；(2)设()31log 1n n b a +=+，证明：222121111n b b b ++⋅⋅⋅+<.58．（2024·浙江宁波·模拟预测）设各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足()()222*330,n n S n n S n n n N -+--+=∈.(1)求1a 的值：(2)求数列{}n a 的通项公式：(3)证明：对一切正整数n244⎫+≤-⎪⎭.59．（2024高三上·天津和平·阶段练习）已知{}n a 为等差数列，前n 项和为(){},*∈n n S n N b 是首项为2的等比数列，且公比大于0，2334111412,2,11b b b a a S b +==-=．(1){}n a 和{}n b 的通项公式；(2)求数列{}2n n a b ⋅的前8项和8T ；(3)证明：()212591nii i b b =<-∑．60．（2024·河北沧州·模拟预测）已知数列{}n a 为等差数列，n S 为其前n 项和，若34102252,33+==a a S ．(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)若()22π1cos3n n n b a =+，求数列{}n b 的前18项和18T ．61．（2024·湖北武汉·模拟预测）已知数列{}n a 满足211222,1,3nn n n a a a a a +++-===．(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)求111222(1)n n n n n a a +++⎧⎫⎛⎫+-⎪⎪-⋅⎨⎬ ⎪⎪⎪⎝⎭⎩⎭的前n 项和n T ．62．（2024·安徽合肥·模拟预测）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知21342n n n n S S S a +++=-，11a =，23a =．(1)证明：数列{}12n n a a +-是等差数列；(2)记22(1)n n n a b n n++=+，n T 为数列{}n b 的前n 项和，求n T ．63．（2024·浙江·模拟预测）已知数列{}n a 满足2*11,N ,5n n a a n a +=∈=.(1)求数列{}n a 的通项；(2)设22,1n n n n a b S a =-为数列{}n b 的前n 项和，求证12n S <．64．（2024·江西南昌·三模）已知n S 是数列{}n a 的前n 项和，满足()111n n n S S n n a ++=+，且112a =.(1)求n S ；(2)若()221n n b n a =+，求数列{}n b 的前n 项和n T .65．（2024·山东烟台·三模）已知数列{}()11,1,11n n n a a na n a +=-+=．(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)若数列{}n b 满足()1πsin cos π2n n n b a a +⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，求数列{}n b 的前2n 项和2nT66．（2024·福建漳州·模拟预测）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且11a =，21nnS n a =+.(1)求{}n a 的通项公式；(2)记数列12log n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ，求集合{}*10,N k k T k ≤∈中元素的个数.67．（2024·福建厦门·模拟预测）已知数列{}n a 满足111,12nn n a a a a +==+．(1)证明1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列，并{}n a 的通项公式；(2)设214n n n c n a a +=，求数列{}n c 的前n 项和n T ．68．（2024高三上·河北邢台·阶段练习）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且231n n S a =-．(1)求{}n a 的通项公式；(2)若()()1311n n n n b a a +=++，求数列{}n b 的前n 项和n T ．69．（2024高三上·江西赣州·阶段练习）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且540S =，9126S =.(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)求数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T ，并证明：16n T <.70．（2024·广东汕头·三模）已知各项均为正数的数列{an }中，a 1=1且满足221122n n n n a a a a ++-=+，数列{bn }的前n 项和为Sn ，满足2Sn +1=3bn .(1)求数列{an }，{bn }的通项公式；(2)设n n n c a b =+，求数列{}n c 的前n 项和Sn ；(3)若在bk 与bk +1之间依次插入数列{an }中的k 项构成新数列{}n c '：b 1，a 1，b 2，a 2，a 3，b 3，a 4，a 5，a 6，b 4，……，求数列{cn }中前50项的和T 50.71．（2024·福建福州·模拟预测）已知数列{}n a 的首项145a =，1431n n n a a a +=+，*n ∈N .(1)设1nn na b a =-，求数列{}n b 的通项公式；(2)在k b 与1k b +（其中*k ∈N ）之间插入2k 个3，使它们和原数列的项构成一个新的数列{}n c .记n S 为数列{}n c 的前n 项和，求36S .72．（2024高三上·江苏镇江·阶段练习）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，数列{}n b 为等比数列，满足12542,30,2a b S b ===+是3b 与5b 的等差中项.(1)求数列{}{},n n a b 的通项公式；(2)设()(1)nn n n c a b =-+，求数列{}n c 的前20项和20T .73．（2024·广东广州·模拟预测）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知11a =，且数列23n n S a ⎧⎫-⎨⎩⎭是公比为13的等比数列.(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)若()1213n n b n -=+，求其前n 项和nT 74．（2024高三上·湖南长沙·阶段练习）已知数列{}n x 的首项为1，且1121212222n n n n n nx x nx x x -+--++++= .(1)求数列{}n x 的通项公式；(2)若()()1121,2n n n n b n x x S +=+-为{}n b 前n 项的和，求n S .75．（2024·湖北武汉·模拟预测）已知n S 是数列{}n a 的前n 项和，2n n S na =，23a =．(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)若16n n b a =-，求数列{}n b 的前n 项和n T ．76．（2024高三上·重庆沙坪坝·阶段练习）已知数列{}n a 为等差数列，数列{}n b 为等比数列，且*∈N n b ，若1212312342,15a b a a a b b b b ==++=+++=．(1)求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；(2)设由{}n a ，{}n b 的公共项构成的新数列记为{}n c ，求数列{}n c 的前5项之和5S ．77．（2024高三·全国·专题练习）求和()()()22122323322332322n n n n n S --=+++⋅++⋅⋅⋅++⋅+⋅+⋅⋅⋅+．78．（2024·天津津南·模拟预测）已知{}n a 是单调递增的等差数列，其前n 项和为n S .{}n b 是公比为q 的等比数列.1142423,,a b a b S q S ====⋅.(1)求{}n a 和{}n b 的通项公式；(2)设()1,,7n n n n n nn a b n c a b n a S -⎧⎪=⎨⎪+⎩为奇数为偶数，求数列{}n c 的前n 项和n T .79．（2024·天津）已知{}n a 为等差数列，{}n b 为等比数列，()()115435431,5,4a b a a a b b b ===-=-．（Ⅰ）求{}n a 和{}n b 的通项公式；（Ⅱ）记{}n a 的前n 项和为n S ，求证：()2*21n n n S S S n ++<∈N ；（Ⅲ）对任意的正整数n ，设()21132,,,.n nn n n n n a b n a a c a n b +-+⎧-⎪⎪=⎨⎪⎪⎩为奇数为偶数求数列{}n c 的前2n 项和．80．（2024·天津·一模）已知数列{}n a 是等差数列，其前n 项和为n A ，715a =，763A =；数列{}n b 的前n 项和为n B ，()*233n n B b n =-∈N .(1)求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；(2)求数列1n A ⎧⎫⎨⎩⎭的前n 项和n S ；(3)求证：12nkk ka B =<∑.。
高考数学艺体生百日突围专题数列的通项与求和(综合篇含答案)
【高考备考艺体生文化课精选好题突围系列】专题三 数列的通项与求和数列的通项【背一背根底知识】：假设数列{}n a 的第n 项n a 与项数n 之间的关系可以用一个式子表示出来，记作()n a f n =，称作该数列的通项公式.2．等差数列的通项公式：1(1)n a a n d =+-()m a n m d =+-． 3．等比数列的通项公式：11n n m n m a a q a q --== 4.等差数列性质：假设n S 是公差为d 的等差数列{n a }的前n 项和，那么 ①()n m a a n m d =+-；②假设*,,,m n p q N m n p q ∈+=+且，那么m n p q a a a a +=+； ③232,,,n n n n n S S S S S --仍是等差数列；5.等比数列性质：假设n S 是公差为d 的等比数列{n a }的前n 项和，那么 ①n m n m a a q -=；②假设*,,,m n p q N m n p q ∈+=+且，那么m n p q a a a a = ③232,,,n n n n n S S S S S --仍是等差数列〔其中1q ≠-或n 不是偶数〕； 【讲一讲根本技能】 1. 必备技能：〔1〕等差数列的断定：①定义法；②等差中项法；③通项公式法；④前n 项和公式法；作解答题时只能用前两种方法〔2〕等比数列的断定：①定义法；②等比中项法；③通项公式法；④前n 项和公式法；作解答题时只能用前两种方法〔3〕数列通项公式求法：①观察法：对数列前几项或求出数列前几项求通项公式问题，常用观察法，通过观察数列前几项特征，找出各项共同构成的规律，横向看各项的关系构造，纵向看各项与项数n 的关系时，分解所给数列的前几项，观察这几项的分解式中，哪些部分是变化的，哪些部分是不变化的，变化部分与序号的关系，，归纳出n a 的通项公式，再用数学归纳法证明.②累加法：对于可转化为)(1n f a a n n +=+形式数列的通项公式问题，化为1()n n a a f n +-=，通过累加得n a =112211()()()n n n n a a a a a a a ----+-++-+=1(1)(2)(1)f n f n f a -+-+++，求出数列的通项公式，注意相加等式的个数③累积法：对于可转化为1()n n a a f n +=形式数列的通项公式问题，化为1()n na f n a +=，通过累积得n a =121121n n n n a a a a a a a ---⨯⨯⨯⨯ =1(1)(2)(1)f n f n f a -⨯-⨯⨯⨯，求出数列的通项公式，注意相乘等式的个数④构造法：对于化为1()n n a pa f n +=+〔其中p 是常数〕型，常用待定系数法将其化为1(1)[()]n n a Af n p a Af n +++=+，由等比数列定义知{()n a Af n +}是公比为p 的等比数列，由等比数列的通项公式先求出()n a Af n +通项公式，再求出n a 的通项公式.⑤利用前n 项和n S 与第n 项n a 关系求通项 对递推公式为nS 与n a 的关系式(或()n n S f a =)，利用⎩⎨⎧≥⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=-)2()1(11n S S n S a n nn n a =1n n S S --成立的条件是n ≥2，求n a 时不要漏掉n =1即n a =1S 的情况，当1a =1S 适宜n a =1n n S S --时，n a =1n n S S --；当1a =1S 不适宜n a =1n n S S --时，用分段函数表示.2. 典型例题例1 在数列{}n a 中，11,a =()11,2.1n n n a a n a --=≥+(1)求数列{n a }的通项公式； (2)求数列{2n n a a +}的前n 项和n S .【分析】〔1〕递推式，要求通项公式，我们应该把进展变形，看能否构成等差〔比〕数列，由111n n n a a a --=+得1111111n n n n a a a a ---+==+，从而新数列1{}na 是等差数列，通项可求；〔2〕根据〔1〕求出2n n a a +=1(2)n n +=111()22n n -+，利用拆项消去法即可求出该数列的前n 项和. 【解析】〔1〕由于()11,21n n n a a n a --=≥+，那么11111111111n n n n n n a a a a a a ----+==+⇔-=，所以1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为1公差1的等差数列，那么1n n a =，所以n a =()1,n N n *∈.例2例3 在数列{}n a 中，n n a n na 21+=+，且21=a . (1)求数列{n a }的通项公式； (2)求数列{2n n a a +}的前n 项和n S 【分析】〔1〕由n n a n n a 21+=+得+12n n a na n =+，即111n n a n a n --=+，故2113a a =，3224a a =， , 111n n a n a n --=+,用累乘法得12(1)n a a n n =+，故4(1)n a n n =+；〔2〕根据〔1〕求出n a =4(1)n n +=114()1n n -+，利用拆项消去法即可求出该数列的前n 项和. 【解析】〔1〕∵n n a n n a 21+=+，∴+12n n a na n =+， ∴121121n n n n n a a a a a a a a ---=⋅⋅⋅⋅122142143(1)n n n n n n --=⋅⋅⋅⋅⋅=++. 〔2〕因为n a =4(1)n n +=114()1n n -+， 所以n S =11111114(1)4()4()4()223341n n -+-+-++-+=41n n +.例 3 数列{}n a 的前n 项和为n S ，且)(22*N n a S n n ∈-=，数列{}n b 中，11b ，121n n n b b b +=+．〔*n N ∈〕〔1〕求数列{}n a ,{}n b 的通项n a 和n b 〔2〕设nn na cb =，求数列{}n c 的前n 项和n T ．【分析】〔1〕由22n n S a =-，可得当n ≥2时，1122n n S a --=-，两式相减可得12n n a a -=，从而可知数列{}n a 是以2为首项，2为公比的等比数列，故可得2n a n =；根据121nn n b b b +=+，两边取倒数，可得数列1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以1为首项，2为公差的等差数列，从而可求{}n b 的通项；〔2〕()212n nn na c nb ==-⋅，所以数列{}n c 的前n 项和n T 利用错位相减法可求数列{}n c 的前n 项和.【解析】【练一练趁热打铁】{}n a 中，其前n 项和n S 满足：11=S ，1221--=n n S n n S (n ≥2).求数列{a n }的通项公式.【答案】2(1)n a n n =+．【解析】2.设数列{}n a 满足211233333n n n a a a a -++++=…，n ∈*N ． (1) 求数列{}n a 的通项公式； (2)数列{}3log n n a a +的前n 项和n T . 【答案】〔1〕13n n a =；〔2〕nT =11(1)(1)232n n n +--．【解析】〔1〕由题意，2n ≥时，22123113333n n n a a a a ---++++=，∴1113333n n n n a --=-=，13n n a =，又113a =适宜上式，∴13n n a =，*n N ∈． 〔2〕由〔1〕3log n na a +=13nn -，所以n T =211112333n n -+-++-=211112333n n +++----=11(1)(1)331213n n n -+--=11(1)(1)232n n n +--. 数列的求和【背一背根底知识】1. 数列{}n a 的前n 项和为12n n S a a a =+++．2．等差数列{}n a 的前n 和公式：11()(1)22n n n a a n n S na d +-=+=． 3．等比差数列{}n a 的前n 和公式：1111,1,1(1),1,111n n n na q na q S a a q a q q q q q ==⎧⎧⎪⎪==--⎨⎨≠≠⎪⎪--⎩⎩，【讲一讲根本技能】 1.必备技能：(1)分组转化法有些数列，既不是等差数列，也不是等比数列，假设将数列通项拆开或变形，可转化为几个等差、等比数列或常见的数列，即先分别求和，然后再合并． (2)错位相减法这是在推导等比数列的前n 项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列{a n ·b n }的前n 项和，其中{a n }，{b n }分别是等差数列和等比数列． (3)倒序相加法这是在推导等差数列前n 项和公式时所用的方法，也就是将一个数列倒过来排列(反序)，当它与原数列相加时假设有公式可提，并且剩余项的和易于求得，那么这样的数列可用倒序相加法求和． (4)裂项相消法利用通项变形，将通项分裂成两项或n 项的差，通过相加过程中的互相抵消，最后只剩下有限项的和．这种方法，适用于求通项为1a n a n ＋1的数列的前n 项和，其中{a n }假设为等差数列，那么1a n a n ＋1＝1d ⎝⎛⎭⎫1a n －1a n ＋1.常见的拆项公式： ①1n n ＋1＝1n －1n ＋1； ②1nn ＋k＝1k (1n －1n ＋k )； ③12n －12n ＋1＝12(12n －1－12n ＋1)； ④1n ＋n ＋k ＝1k(n ＋k －n )．例1数列{}n a 满足11a ＝，1()(1)1n n na n a n n ＋＝＋＋＋，*n ∈N ．〔1〕证明：数列n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列； 〔2〕设3n n n b a ={}n b 的前n 项和n S ．【分析】〔1〕将等式两边同时除以(1)n n +即可使问题得证；〔2〕先由〔1〕得出n b 的表达式，再用错位相减法即可求解． 【解析】例2正项数列{n a }，{n b }满足：，{n b }是等差数列，且对任意正整数n ，都有成等比数列．〔1〕求数列{n b }的通项公式；〔2〕求n S ＝12111na a a +++． 【分析】〔1〕因为成等比数列，所以，由得，解得：，所以公差 ，数列的通项公式为；〔2〕由知，，所以，采用裂项相消的方法，即可求出．【解析】〔1〕∵对任意正整数n ，都有成等比数列，且数列{n a }，{n b }均为正项数列， ∴n a ＝〔n∈N *〕．由a 1＝3，a 2＝6得又{b n }为等差数列，即有b 1＋b 3＝2b 2，解得b 1＝，b 2＝，∴数列{b n }是首项为，公差为的等差数列．∴数列{b n }的通项公式为n b ＝〔n∈N *〕．〔2〕由〔1〕得，对任意n∈N *，＝(1)(2)2n n ++，从而有，∴例3数列{}n a 中，11a =，121n n a a n +=+-. 〔1〕求{}n a 的通项公式；〔2〕设{}n a 的前n 项和为n T ，求n T .【分析】〔1〕由题知112()n n a n a n +++=+，所以{n a n +}是首项为2公比为2，利用等比数列的通项公式即可求得数列{n a n +}的通项公式，从而即可求得数列{}n a 的通项公式．〔2〕 采用分组求和法求和． 【解析】【练一练趁热打铁】1. 设数列{}n a 满足211233333n n n a a a a -++++=…，n ∈*N ． (1)求数列{}n a 的通项；〔2〕设n nnb a =，求数列{}n b 的前n 项和n S ． 【答案】〔1〕13n na =；〔2〕1213344n n n S +-=⋅+． 【解析】2. 设数列{}n a 的前n 项和n S 满足：()12--=n n na S n n ，等比数列{}n b 的前n 项和为n T ，公比为1a ，且3352b T T +=． 〔1〕求数列{}n a 的通项公式； 〔2〕设数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧+11n n a a 的前n 项和为n M ，求证：4151<≤n M ．【答案】〔1〕4-3n a n =；〔2〕见解析． 【解析】3. {}n a 是各项均为正数的等比数列，31a +是2a 与4a 的等差中项且212n n n a a a ++=+． 〔Ⅰ〕求{}n a 的通项公式； 〔Ⅱ〕设2(1)n n na b a +=，求数列{}n b 的前n 项和n T ． 【答案】〔Ⅰ〕12n n a -=；〔Ⅱ〕1122+12n n n --+． 【解析】〔20*5=100分〕1．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，n *∈N ，公差30,15,d S ≠=1341,,a a a 成等比数列． 〔Ⅰ〕求数列{}n a 的通项公式；〔Ⅱ〕设2n n b a =，求数列{}n b 的前n 项和n T ．【答案】〔Ⅰ〕21n a n =+；〔Ⅱ〕 22 4.n n T n +=+-【解析】〔Ⅰ〕依题意，1211132315,2(3)(12).a d a d a a d ⨯⎧+=⎪⎨⎪+=+⎩ ,解得13,2.a d =⎧⎨=⎩ 因此1(1)32(1)21n a a n d n n =+-=+-=+，即21n a n =+． 〔Ⅱ〕依题意，1212212+=+⨯==+n n n n a b ． 12n n T b b b =+++231(21)(21)(21)n +=++++++ =23122 (2)n n +++++4(12)12n n -=+-22 4.n n +=+- 2. 设数列{}n a 的前项n 和为n S ，假设对于任意的正整数n 都有22n n S a n =-．〔1〕设2n n b a =+，求证：数列{}n b 是等比数列， 〔2〕求数列{}n na 的前n 项和n T ．【答案】〔1〕详见解析〔2〕2(1)24+(1)n n T n n n +=-++【解析】由①—②得：2341212+12+12++122n n n T n ++'-=⨯⨯⨯⨯-⨯22242n n n T n ++'-=--⨯2(1)24n n T n +'=-+由123n T n ''=++++可得(1)2n n n T +⋅''= +n n T T '=2n T ''=2(1)24+(1)n n n n +-++3. 数列{}n a 的各项均为正数，前n 项和为n S ，且),(2)1(*N n a a S n n n ∈+= 〔1〕求证：数列{}n a 是等差数列；〔2〕设,,121n n nn b b b T S b +⋅⋅⋅++==求.n T 【答案】〔1〕详见解析；〔2〕21n n + 【解析】4. 数列{}n a 满足11=a ，*++∈=-N n n a a na n n n ,11． 〔1〕求数列{}n a 的通项公式；〔2〕设nnn a b 2=，数列{}n b 的前n 项和n T ，求n T ． 【答案】〔1〕)(1*∈=N n na n ；〔2〕22)1(1+⋅-=+n n n T ． 【解析】5. 数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()21n n S a n N *=-∈． 〔1〕求数列{}n a 的通项公式； 〔2〕设+1131,log 1n n n n nb b bc a n n ==++{}n c 的前n 项和n T ．【答案】〔1〕()1=3n n a n N *∈；〔2〕11n -+ 【解析】〔1〕当1n =时，由21n n S a =-，得：11=.3a由21n n S a =- ① ()-1-1212n n S a n =-≥ ② 上面两式相减，得：()11=23n n a a n -≥所以数列{}n a 是以首项为13，公比为13的等比数列，得：()1=3n n a n N *∈。
高考数学一轮复习 第五章 数列 第31讲 数列求和实战演练 理(2021年最新整理)
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2018年高考数学一轮复习第五章数列第31讲数列求和实战演练理1．(2016·北京卷)已知错误!为等差数列，S n为其前n项和．若a1＝6，a3＋a5＝0,则S6＝6.解析:设等差数列错误!的公差为d，∵a1＝6，a3＋a5＝0，∴6＋2d＋6＋4d＝0，∴d＝－2,∴S6＝6×6＋错误!×（－2）＝6。
2．(2015·全国卷Ⅱ)设S n是数列错误!的前n项和，且a1＝－1，a n＋1＝S n S n＋1，则S n＝－错误!。
解析：∵a n＋1＝S n＋1－S n,∴S n＋1－S n＝S n＋1S n，又由a1＝－1，知S n≠0.∴错误!－错误!＝1，∴错误!是等差数列，且公差为－1，而错误!＝错误!＝－1,∴错误!＝－1＋（n－1)×(－1)＝－n，∴S n＝－错误!。
3．（2016·山东卷）已知数列错误!的前n项和S n＝3n2＋8n,错误!是等差数列，且a n＝b n＋b n。
＋1b n的通项公式；（1)求数列｛｝（2）令c n＝错误!，求数列错误!的前n项和T n。
解析：（1）由题意知,当n≥2时，a n＝S n－S n－1＝6n＋5.当n＝1时，a1＝S1＝11，所以a n＝6n＋5。
2019届高考数学艺术生短期集训专题知识突破：考点31 数列的求和
考点三十一 数列的求和知识梳理1．公式法求和 常用的求和公式有：(1) 等差数列的前n 项和公式：S n ＝n (a 1＋a n )2＝na 1＋n (n －1)2d .(2) 等比数列的前n 项和公式：S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧na 1，q ＝1，a 1（1－q n ）1－q ＝a 1－a n q 1－q ，q ≠1.(3)1＋2＋3＋…＋n ＝n (n ＋1)2；(4)12＋22＋32＋…＋n 2＝n (n ＋1)(2n ＋1)6；(5)13＋23＋33＋…＋n 3＝n 2(n ＋1)24；(6)1＋3＋5＋…＋2n －1＝n 2； (7)2＋4＋6＋…＋2n ＝n 2＋n . 2.错位相减法求和适用于一个等差数列和一个等比数列对应项相乘构成的数列求和． 3.倒序相加法求和适用于首末等距离的两项之和等于同一个常数这样的数列求和． 4.裂项相消法求和方法是把数列的通项拆分成两项之差，在求和时一些项正负抵消，从而可以求和． 常用的裂项公式有： (1)1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1； (2)1(2n －1)(2n ＋1)＝12⎝⎛⎭⎫12n －1－12n ＋1；(3)1n ＋n ＋1＝n ＋1－n .(4)1n (n ＋1)(n ＋2)＝12⎣⎡⎦⎤1n (n ＋1) － 1(n ＋1)(n ＋2)；5.分组求和通过把数列分成若干组，然后利用等差、等比等求和公式求和．典例剖析题型一 错位相减法求和例1 (2015山东文)已知数列{a n }是首项为正数的等差数列，数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n ·a n ＋1的前n 项和为n2n ＋1.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝(a n ＋1)·2n a，求数列{b n }的前n 项和T n . 解析 (1)设数列{a n }的公差为d ， 令n ＝1，得1a 1a 2＝13，所以a 1a 2＝3.令n ＝2，得1a 1a 2＋1a 2a 3＝25，所以a 2a 3＝15.解得a 1＝1，d ＝2，所以a n ＝2n －1.经检验，符合题意． (2)由(1)知b n ＝2n ·22n －1＝n ·4n ，所以T n ＝1·41＋2·42＋…＋n ·4n ， 所以4T n ＝1·42＋2·43＋…＋n ·4n ＋1，两式相减，得－3T n ＝41＋42＋…＋4n －n ·4n ＋1＝4(1－4n )1－4－n ·4n ＋1＝1－3n 3×4n ＋1－43.所以T n ＝3n －19×4n ＋1＋49＝4＋(3n －1)4n ＋19.变式训练 设等差数列{a n }的公差为d ，前n 项和为S n ，等比数列{b n }的公比为q ，已知b 1＝a 1，b 2＝2，q ＝d ，S 10＝100.(1) 求数列{a n }，{b n }的通项公式；(2) 当d >1时，记c n ＝a nb n，求数列{c n }的前n 项和T n .解析 (1)由题意有⎩⎪⎨⎪⎧ 10a 1＋45d ＝100，a 1d ＝2，即⎩⎪⎨⎪⎧ 2a 1＋9d ＝20，a 1d ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝9，d ＝29.故⎩⎪⎨⎪⎧a n ＝2n －1，b n ＝2n －1或⎩⎨⎧a n ＝19(2n ＋79)，b n＝9·⎝⎛⎭⎫29n －1.(2)由d >1，知a n ＝2n －1，b n ＝2n －1，故c n ＝2n －12n －1，于是T n ＝1＋32＋522＋723＋924＋…＋2n －12n －1，①12T n ＝12＋322＋523＋724＋925＋…＋2n －12n .②①－②可得12T n ＝2＋12＋122＋…＋12n －2－2n －12n ＝3－2n ＋32n ，故T n ＝6－2n ＋32n －1.解题要点 错位相减法求和是最为重要的求和方法，要熟练掌握，计算时要注意首末留下的项的符号，同时计算要准确．题型二 利用裂项相消法求和例2 设数列{a n }满足a 1＝1，且a n ＋1－a n ＝n ＋1(n ∈N *)，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 前10项的和为________．答案2011解析 ∵a 1＝1，a n ＋1－a n ＝n ＋1，∴a 2－a 1＝2，a 3－a 2＝3，…，a n －a n －1＝n ，将以上n －1个式子相加得a n －a 1＝2＋3＋…＋n ＝(2＋n )(n －1)2，即a n ＝n (n ＋1)2，令b n ＝1a n ，故b n ＝2n (n ＋1)＝2⎣⎡⎦⎤1n －1n ＋1，故S 10＝b 1＋b 2＋…＋b 10＝2⎣⎡⎦⎤1－12＋12－13＋…＋110－111＝2011. 变式训练 已知数列{a n }是递增的等比数列，且a 1＋a 4＝9，a 2a 3＝8. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设S n 为数列{a n }的前n 项和，b n ＝a n ＋1S n S n ＋1，求数列{b n }的前n 项和T n .解析 (1)由题设知a 1·a 4＝a 2·a 3＝8.又a 1＋a 4＝9.可解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝1，a 4＝8或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝8，a 4＝1(舍去)． 由a 4＝a 1q 3得公比q ＝2，故a n ＝a 1q n －1＝2n －1.(2)S n ＝a 1(1－q n )1－q ＝2n －1，又b n ＝a n ＋1S n S n ＋1＝S n ＋1－S n S n S n ＋1＝1S n －1S n ＋1，所以T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝⎝⎛⎭⎫1S 1－1S 2＋⎝⎛⎭⎫1S 2－1S 3＋…＋⎝⎛⎭⎫1S n －1S n ＋1＝1S 1－1S n ＋1 ＝1－12n ＋1－1.解题要点 熟记常见的裂项公式是求解的关键． 题型三 分组求和与并项求和例3 数列112，314，518，7116，…，(2n －1)＋12n ，…的前n 项和S n 的值等于____________.答案 n 2＋1－12n解析 该数列的通项公式为a n ＝(2n －1)＋12n ，则S n ＝[1＋3＋5＋…＋(2n －1)]＋⎝⎛⎭⎫12＋122＋…＋12n ＝n 2＋1－12n . 变式训练 数列{a n }满足a n ＋a n ＋1＝12(n ∈N ＋)，且a 1＝1，S n 是数列{a n }的前n 项和，则S 21＝________.答案 6解析 由a n ＋a n ＋1＝12＝a n ＋1＋a n ＋2，∴a n ＋2＝a n ，则a 1＝a 3＝a 5＝…＝a 21，a 2＝a 4＝a 6＝…＝a 20，∴S 21＝a 1＋(a 2＋a 3)＋(a 4＋a 5)＋…＋(a 20＋a 21)＝1＋10×12＝6.当堂练习1．若数列{a n }为等比数列，且a 1＝1，q ＝2，则T n ＝1a 1a 2＋1a 2a 3＋…＋1a n a n ＋1的结果可化为____________.答案 23⎝⎛⎭⎫1－14n 解析 a n ＝2n －1，设b n ＝1a n a n ＋1＝⎝⎛⎭⎫122n －1，则T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝12＋⎝⎛⎭⎫123＋…＋⎝⎛⎭⎫122n －1＝12⎝⎛⎭⎫1－14n 1－14＝23⎝⎛⎭⎫1－14n . 2．数列{a n }的通项公式a n ＝1n ＋n ＋2(n ∈N *)，若前n 项和为S n ，则S n 为____________.答案 12(n ＋2＋n ＋1－2－1)解析 ∵a n ＝1n ＋n ＋2＝12(n ＋2－n )，∴S n ＝12(3－1＋4－2＋5－3＋6－4＋…＋n －n －2＋n ＋1－n －1＋n ＋2－n )＝12(－1－2＋n ＋1＋n ＋2)＝12(n ＋2＋n ＋1－2－1).3. 若数列{a n }的通项公式是a n ＝(－1)n (2n －1)，则a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 100＝____________. 答案 100解析 由题意知，a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 100＝－1＋3－5＋7＋…＋(－1)100(2×100－1)＝(－1＋3)＋(－5＋7)＋…＋(－197＋199)＝2×50＝100.4．已知数列{a n } 的前n 项和S n ＝n 2＋n2，n ∈N * .(1)求数列{a n } 的通项公式；(2)设b n ＝2a n ＋(－1)n a n ，求数列{b n } 的前2n 项和．解析 (1)当n ＝1时，a 1＝S 1＝1；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n 2＋n 2－(n －1)2＋(n －1)2＝n .故数列{a n }的通项公式为a n ＝n .(2)由(1)知，a n ＝n ，故b n ＝2n ＋(－1)n n .记数列{b n }的前2n 项和为T 2n ， 则T 2n ＝(21＋22＋…＋22n )＋(－1＋2－3＋4－…＋2n )．记A ＝21＋22＋ (22)，B ＝－1＋2－3＋4－…＋2n ，则A ＝2(1－22n )1－2＝22n ＋1－2，B ＝(－1＋2)＋(－3＋4)＋…＋[－(2n －1)＋2n ]＝n . 故数列{b n }的前2n 项和T 2n ＝A ＋B ＝22n ＋1＋n －2.5．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，等比数列{b n }的公比为12，满足S 3＝15，a 1＋2b 1＝3，a 2＋4b 2＝6.(1)求数列{a n }，{b n }的通项a n ，b n ；(2)求数列{a n ·b n }的前n 项和T n .解析 (1)设{a n }的公差为d ，所以⎩⎪⎨⎪⎧3a 1＋3d ＝15，a 1＋2b 1＝3，a 1＋d ＋2b 1＝6，解得a 1＝2，d ＝3，b 1＝12，所以a n ＝3n －1，b n ＝⎝⎛⎭⎫12n.(2)由(1)知T n ＝2×12＋5×⎝⎛⎭⎫122＋8×⎝⎛⎭⎫123＋…＋(3n －4)·⎝⎛⎭⎫12n －1＋(3n －1)⎝⎛⎭⎫12n ，① ①×12得12T n ＝2×⎝⎛⎭⎫122＋5×⎝⎛⎭⎫123＋…＋(3n －4)×⎝⎛⎭⎫12n ＋(3n －1)⎝⎛⎭⎫12n ＋1，② ①－②得12T n ＝2×12＋3×⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫122＋⎝⎛⎭⎫123＋…＋⎝⎛⎭⎫12n －(3n －1)⎝⎛⎭⎫12n ＋1 ＝1＋3×14⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫12n －11－12－(3n －1)·⎝⎛⎭⎫12n ＋1，整理得T n ＝－(3n ＋5)⎝⎛⎭⎫12n＋5.课后作业一、 填空题 1．122－1＋132－1＋142－1＋…＋1(n ＋1)2－1的值为____________.答案 34－12⎝⎛⎭⎫1n ＋1＋1n ＋2解析 ∵1(n ＋1)2－1＝1n 2＋2n ＝1n (n ＋2)＝12⎝⎛⎭⎫1n －1n ＋2，∴122－1＋132－1＋142－1＋…＋1(n ＋1)2－1 ＝12⎝⎛⎭⎫1－13＋12－14＋13－15＋…＋1n －1n ＋2＝12⎝⎛⎭⎫32－1n ＋1－1n ＋2＝34－12⎝⎛⎭⎫1n ＋1＋1n ＋2. 2．已知等差数列{a n }的前n 项和S n 满足S 3＝0，S 5＝－5，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a 2n －1a 2n ＋1的前8项和为____________.答案 －815解析 设数列{a n }的公差为d ，则S n ＝na 1＋n （n －1）2d .由已知可得⎩⎪⎨⎪⎧3a 1＋3d ＝0，5a 1＋10d ＝－5，解得a 1＝1，d ＝－1，故{a n }的通项公式为a n ＝2－n .所以1a 2n －1a 2n ＋1＝1（3－2n ）（1－2n ）＝12⎝⎛⎭⎫12n －3－12n －1，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a 2n －1a 2n ＋1的前8项和为12⎝⎛⎭⎫1－1－11＋11－13＋…＋116－3－116－1＝－815. 3．若数列{a n }的通项为a n ＝4n －1，b n ＝a 1＋a 2＋…＋a nn ，n ∈N *，则数列{b n }的前n 项和是____________.答案 n (n ＋2)解析 a 1＋a 2＋…＋a n ＝(4×1－1)＋(4×2－1)＋…＋(4n －1)＝4(1＋2＋…＋n )－n ＝2n (n ＋1)－n ＝2n 2＋n ， ∴b n ＝2n ＋1，b 1＋b 2＋…＋b n ＝(2×1＋1)＋(2×2＋1)＋…＋(2n ＋1) ＝n 2＋2n ＝n (n ＋2).4．设数列1，(1＋2)，…，(1＋2＋22＋…＋2n －1)，…的前n 项和为S n ，则S n ＝____________.答案 2n ＋1－n －2解析 ∵a n ＝1＋2＋22＋…＋2n －1＝1－2n 1－2＝2n －1， ∴S n ＝(2＋22＋23＋ (2))－n ＝2(1－2n )1－2－n ＝2n ＋1－n －2.5．设数列{a n }的通项公式是a n ＝(－1)n ·n ，则a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 100＝____________. 答案 50解析 由题意知，a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 100＝－1＋2－3＋4＋…＋(－1)200·100＝(－1＋2)＋(－3＋4)＋…＋(－99＋100)＝50.6．已知数列{}a n ：12，13＋23，14＋24＋34，…，110＋210＋310＋…＋910，…，若b n ＝1a n a n ＋1，那么数列{}b n 的前n 项和S n为____________. 答案4nn ＋1解析 a n ＝1＋2＋3＋…＋n n ＋1＝n 2，∴b n ＝1a n a n ＋1＝4n (n ＋1)＝4⎝⎛⎭⎫1n －1n ＋1，∴S n ＝4⎣⎡ ⎝⎛⎭⎫1－12＋⎝⎛⎭⎫12－13＋…＋⎦⎤⎝⎛⎭⎫1n －1n ＋1＝4⎝⎛⎭⎫1－1n ＋1＝4n n ＋1.7．等差数列{a n }的通项公式a n ＝2n －1，数列{1a n a n ＋1}，其前n 项和为S n ，则S n 等于____________.答案n 2n ＋1解析 ∵a n ＝2n －1，∴1a n a n ＋1＝1(2n ＋1)(2n －1)＝12⎝⎛⎭⎫12n －1－12n ＋1.∴S n ＝12⎝⎛⎭⎫1－13＋13－15＋15－17＋…＋12n －1－12n ＋1＝12⎝⎛⎭⎫1－12n ＋1＝n2n ＋1. 8．数列{a n }，{b n }满足a n b n ＝1，a n ＝n 2＋3n ＋2，则{b n }的前10项之和为____________. 答案512解析 b n ＝1a n ＝1(n ＋1)(n ＋2)＝1n ＋1－1n ＋2，S 10＝b 1＋b 2＋b 3＋…＋b 10＝12－13＋13－14＋14－15＋…＋111－112＝12－112＝512.9．设{a n }是等差数列，{b n }是各项都为正数的等比数列，且a 1＝b 1＝1，a 3＋b 5＝19，a 5＋b 3＝9，则数列{a n b n }的前n 项和S n ＝__________. 答案 (n －1)·2n ＋1解析 由条件易求出a n ＝n ，b n ＝2n －1(n ∈N *)．∴S n ＝1×1＋2×21＋3×22＋…＋n ×2n －1，①2S n ＝1×2＋2×22＋…＋(n －1)×2n －1＋n ×2n .②由①－②，得－S n ＝1＋21＋22＋…＋2n －1－n ×2n ，∴S n ＝(n －1)·2n ＋1.10．若数列{a n }的通项公式为a n ＝(－1)n (3n －2)，则a 1＋a 2＋…＋a 10＝____________. 答案 15解析 a 1＋a 2＋…＋a 10＝－1＋4－7＋10－…＋(－1)10·28＝(－1＋4)＋(－7＋10)＋…＋(－25＋28)＝15. 11． (1002－992)＋(982－972)＋…＋(22－12)＝____________. 答案 5 050解析 原式＝100＋99＋98＋97＋…＋2＋1＝100×(100＋1)2＝5 050.二、解答题12．已知{a n }是各项均为正数的等比数列，{b n }是等差数列，且a 1＝b 1＝1，b 2＋b 3＝2a 3，a 5－3b 2＝7. (1)求{a n }和{b n }的通项公式；(2)设c n ＝a n b n ，n ∈N *，求数列{c n }的前n 项和．解析 (1)设数列{a n }的公比为q ，数列{b n }的公差为d ，由题意q ＞0.由已知，有⎩⎪⎨⎪⎧2q 2－3d ＝2，q 4－3d ＝10，消去d ，整理得q 4－2q 2－8＝0，又因为q ＞0，解得q ＝2，所以d ＝2.所以数列{a n }的通项公式为a n ＝2n －1，n ∈N *；数列{b n }的通项公式为b n ＝2n －1，n ∈N *.(2)由(1)有c n ＝(2n －1)·2n －1，设{c n }的前n 项和为S n ，则S n ＝1×20＋3×21＋5×22＋…＋(2n －3)×2n －2＋(2n －1)×2n －1，2S n ＝1×21＋3×22＋5×23＋…＋(2n －3)×2n －1＋(2n －1)×2n ，上述两式相减，得－S n ＝1＋22＋23＋…＋2n －(2n －1)×2n ＝2n ＋1－3－(2n －1)×2n ＝－(2n －3)×2n －3，所以，S n ＝(2n －3)·2n ＋3，n ∈N *.13．在等差数列{a n }中，a 2＝4，a 4＋a 7＝15. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝2a n －2＋n ，求b 1＋b 2＋b 3＋…＋b 10的值． 解析 (1)设等差数列{a n }的公差为d ，由已知得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋d ＝4，(a 1＋3d )＋(a 1＋6d )＝15，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝3，d ＝1.所以a n ＝a 1＋(n －1)d ＝n ＋2.(2)由(1)可得b n ＝2n ＋n ，所以b 1＋b 2＋b 3＋…＋b 10＝(2＋1)＋(22＋2)＋(23＋3)＋…＋(210＋10)＝(2＋22＋23＋…＋210)＋(1＋2＋3＋…＋10)＝2(1－210)1－2＋(1＋10)×102＝(211－2)＋55＝211＋53＝2 101.。
2018年高考数学一轮复习第五章数列第31讲数列求和课件理
(4)求 Sn＝a＋2a2＋3a3＋…＋nan 时只要把上式等号两边同时乘以 a 即可根据错位 相减法求得．( ×)
(5)如果数列an是周期为 k 的周期数列，那么 Skm＝mSk(m，k 为大于 1 的正整 数)．( √ )
解析：(1)正确．根据等差数列求和公式以及运算的合理性可知． (2)正确．根据等比数列的求和公式和通项公式可知． (3)错误．直接验证可知n2－1 1＝12n－1 1－n＋1 1. (4)错误．含有字母的数列求和常需要分类讨论，此题需要分 a＝0，a＝1，以及 a≠0 且 a≠1 三种情况求和，只有当 a≠0 且 a≠1 时才能用错位相减法求和． (5)正确．根据周期性可得．
(2)由 an＝2n－1 得 bn＝2n－1＋q2n－1. 当 q＞0 且 q≠1 时，Sn＝[1＋3＋5＋7＋…＋(2n－1)]＋(q1＋q3＋q5＋q7＋…＋q2n－ 1)＝n2＋q11－－qq22n； 当 q＝1 时，bn＝2n，则 Sn＝n(n＋1)．
2．倒序相加法与并项求和法 (1)倒序相加法 如果一个数列an的前 n 项中首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常 数，那么求这个数列的前 n 项和可用倒序相加法，如等差数列的前 n 项和公式即是用 此法推导的． (2)并项求和法 在一个数列的前 n 项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和． 形如 an＝(－1)nf(n)类型，可采用两项合并求解． 例如，Sn＝1002－992＋982－972＋…＋22－12＝(1002－992)＋(982－972)＋…＋(22 －12)＝(100＋99)＋(98＋97)＋…＋(2＋1)＝5 050.
• ＝3×5＝15.
5．已知数列an的前 n 项和为 Sn 且 an＝n·2n，则 Sn＝_(_n_－___1_)_·_2_n_＋__1.＋2
专题 数列的通项公式、求和及数列的综合问题 2018届高考数学三轮透析专题
2018届高考数学三轮透析专题 数列的通项公式、求和及数列的综合问题【主题考法】本主题考题形式为选择题、填空题，主要考查求数列通项公式、数列求和及数列的综合问题，考查运算求解能力、转化与化归思想，难度为中档或难题，分数为5分. 【主题回扣】1.求数列的通项公式的常见类型和解法：（1）观察法：对已知数列前几项或求出数列前几项求通项公式问题，常用观察法，通过观察数列前几项特征，找出各项共同构成的规律，横向看各项的关系结构，纵向看各项与项数n 的关系时，分解所给数列的前几项，观察这几项的分解式中，哪些部分是变化的，哪些部分是不变化的，变化部分与序号的关系，，归纳出n a 的通项公式，再用数学归纳法证明.（2）累加法：对于可转化为)(1n f a a n n +=+形式数列的通项公式问题，化为1()n n a a f n +-=，通过累加得n a =112211()()()n n n n a a a a a a a ----+-++-+ =1(1)(2)(1)f n f n f a -+-+++，求出数列的通项公式，注意相加等式的个数（3）累积法：对于可转化为1()n n a a f n +=形式数列的通项公式问题，化为1()n na f n a +=，通过累积得n a =121121n n n n a a a a a a a ---⨯⨯⨯⨯ =1(1)(2)(1)f n f n f a -⨯-⨯⨯⨯，求出数列的通项公式，注意相乘等式的个数（4）构造法：对于化为1()n n a pa f n +=+（其中p 是常数）型，常用待定系数法将其化为1(1)[()]n n a Af n p a Af n +++=+，由等比数列定义知{()n a Af n +}是公比为p 的等比数列，由等比数列的通项公式先求出()n a Af n +通项公式，再求出n a 的通项公式.（5）利用前n 项和n S 与第n 项n a 关系求通项：对递推公式为n S 与n a 的关系式(或()n n S f a =)，利用⎩⎨⎧≥⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=-)2()1(11n S S n S a n n n 进行求解.注意n a =1n n S S --成立的条件是n ≥2，求n a 时不要漏掉n =1即n a =1S 的情况，当1a =1S 适合n a =1n n S S --时，n a =1n n S S --；当1a =1S 不适合n a =1n n S S --时，用分段函数表示.2.数列求和的主要方法：（1）分组求和：若给出的数列不是特殊数列，但把数列的每一项分成两项，或把数列的项重新组合，使之转化为等比或等差数列，分组利用等比或等差数列的前n 和公式求前n 项和.（2）拆项相消法：若数列的每一项都可拆成两项之差，求和时中间的一些项正好相互抵消，于是将前n 项和转化为首尾若干项和，注意未消去的项是哪些项.常用拆相公式: ①若{}n a 是各项都不为0公差为(0)d d ≠的等差数列，则11nn a a+=1111()n n d a a +=- ②n a（3）倒序相加法：如果一个数列与首尾两相距离相等的两项之和等于首尾两项之和，则正着写和与到序写和的两式对应项相加，就转化为一个常数列的前n 项和.推导等差数列的前项和公式正是应用了此法，体现了转化与化归数学思想（4）错位相减法：若数列{}n a 是公差为(0)d d ≠的等差数列，{}n b 是公比为(1)q q ≠的等比数列，则在数列{}n n a b 的前项和n S =112233n n a b a b a b a b ++++= 211121311n n a b a b q a b q a b q -++++ ①，两边同乘以公比q 得n qS =231121311n n a b q a b q a b q a b q ++++② ，①式与②式错位相减得(1)n q S -=221111211131211111()()()n n n n n n a b a b q a b q a b q a b q a b q a b q a b q ---+-+-++-- =21111(1)n n n a b d q q q a b q -++++-，转化为等比数列211,,,,n q q q -，的前n 项和问题，注意转化出的等比数列的首项及项数.（5）并项求和法：若数列某项组合相加可将其化为等比数列或等差数列的和问题，常用并项法，即通过并项化为特殊数列，利用公式求和． 【易错提醒】1.已知数列的前n 项和求a n ，易忽视n ＝1的情形，直接用S n －S n －1表示．事实上，当n ＝1时，a 1＝S 1；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1.2.利用错位相减法求和时，要注意寻找规律，不要漏掉第一项和最后一项． 7．裂项相消法求和时，一注意分裂前后的值要相等，如1n n ＋≠1n －1n ＋2，而是1n n ＋＝12)111(+-n n ；二注意要注意消去了哪些项，保留了哪些项. 8．通项中含有(－1)n 的数列求和时，要把结果写成n 为奇数和n 为偶数两种情况的分段形式． 【主题考向】考向一 数列的通项公式【解决法宝】对数列求通项公式问题要熟练掌握常见的求通项公式方法，根据题中条件，选择合适的方法求解，特别是已知数列的递推公式求通项公式问题，常需要对所给条件进行变形，如两边去倒数等，转化为常见形式，在选择合适的方法求解. 例1 【甘肃省兰州市2018届高三一诊】数列中，，对任意，有，令，，则（ ）A. B. C.D.【分析】由得，用累加法即可求出n a ，从而求出n b ，再利用拆项消去法即可求出{n b }的前2018项和.【解析】，∴，，，∴，，故选D.考向二 数列求和【解决法宝】1.在处理一般数列求和时，一定要注意运用转化思想.把一般的数列求和转化为等差数列或等比数列进行求和.在利用分组求和法求和时，常常根据需要对项数n 进行讨论.最后再验证是否可以合并为一个表达式.2.分组求和的策略：(1)根据等差、等比数列分组；(2)根据正号、负号分组.3.裂项相消法求和就是将数列中的每一项裂成两项或多项，使这些裂开的项出现有规律的相互抵消，要注意消去了哪些项，保留了哪些项.消项规律：消项后前边剩几项，后边就剩几项，前边剩第几项，后边就剩倒数第几项.4.用错位相减法求和，一般是和式两边同乘以等比数列{bn}的公比，然后作差求解.在写“Sn ”与“qSn ”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”，以便下一步准确地写出“Sn －qSn ”的表达式. 例2．【广东省中山纪念等六校2018届第一次联考】数列满足，且，则等于（ ）．A.B.C.D.【分析】先用累加法求出na 的通项公式，再用拆项消去法求和.【解析】∵，∴212=-a a ，323=-a a ，……，n a a n n =--1，∴)()()(123121--++-+-=-n n n a a a a a a a a =n ++++ 432=2)1)(2(-+n n ，∴n a =12)1)(2(+-+n n =2)1(+n n ，∴，∴，故选A ．考向三 数列综合问题【解题法宝】1.求解数列与函数交汇问题注意两点：(1)数列是一类特殊的函数，其定义域是正整数集(或它的有限子集)，在求数列最值或不等关系时要特别重视； (2)解题时准确构造函数，利用函数性质时注意限制条件.2.数列为背景的不等式恒成立、不等式证明，多与数列的求和相联系，最后利用数列或数列对应函数的单调性处理. 例3．等差数列的前项和为，已知，，则的最小值为（ ）．A.B.C.D. 无最小值【分析】先由等差数列的通项公式与前n 项和公式求出首项与公差，即求出数列的前n 项和，即可用n 将表示出来，利用导数或单调性即可求出其最小值.∴当时，．当时，．∴为最小项，，故选．【主题集训】1.【云南省昆明市一中2018届第六次月考】已知数列的前项和为，则的值是（ ）A.B.C.D.【答案】C【解析】当时，；当时，，所以12-=n a n ，所以2015583=+=+a a ，故选C ．2.【江西抚州七校2017届高三上学期联考，10】若数列{}n a 满足()()()()1123252325lg 1n n n a n a n n n +⎛⎫+-+=+++⎪⎝⎭，且15a =，则数列23n a n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的第100项为（ ） A ．2 B ．3 C ．1lg99+ D ．2lg99+ 【答案】B【解析】由()()()()1123252325lg 1n n n a n a n n n +⎛⎫+-+=+++⎪⎝⎭可得：)11lg(32521n n a n a n n +=+-++，记32b +=n a n n ，有)11lg(b 1n b n n +=-+，由累加法得：1lgn b n +=，数列23n a n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的第100项为31100lg =+，故选B.3.【福建省厦门外国语学校2018届下学期第一次月考】已知函数，且，则等于（ ）A. －2013B. －2014C. 2013D. 2014 【答案】D4.【河南百校联盟2017届高三11月质检】已知正项数列{}n a 中，11a =，22a =，222112n n n a a a -+=+（2n ≥），11n n n b a a +=+，记数列{}n b 的前n 项和为n S ，则33S 的值是（ ）【答案】D 【解析】222n n a a -=3．21n a =∴1则)33133S ==.故选D ．5.【河南省南阳市2018届高三上学期期末】设数列的通项公式，若数列的前项积为，则使成立的最小正整数为（ ） A. 9 B. 10 C. 11 D. 12 【答案】C【解析】因为，所以，该数列的前项积为，由题意知，使成立的最小正整数为，故选C.6.【河南中原名校2017届高三上学期第三次质检，5】记数列{}n a 的前n 项和为n S ，若31n n S a =+，则10a =（ ）A ．91032-B ．101032- C. 91032 D ．101032【答案】A【解析】由31n n S a =+①，得1131n n S a ++=+②，②-①，得1133n n n a a a ++=-，得132n n a a +=，又1131a a =+，所以112a =-，故数列{}n a 是以12-为首项，32为公比的等比数列，所以11323n n a -⎛⎫⎛⎫=- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭,故991010133222a ⎛⎫=-⨯=- ⎪⎝⎭.故选A.7.【广东省华南师范大学附属中学2018届综合测试（三）】等比数列的前项和（为常数），若n n S a 23+≤λ恒成立，则实数的最大值是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】由题知，所以，，所以，得，所以，得，所以时，，故选C 。
高考数学：数列求和——三大类高频题型的命题规律和满分答题要点
高考数学：数列求和——三大类高频题型的命题规律和满分答题要点近几年出题频率较高的三类数列求和题型有：错位相减法、裂项相消法、分类讨论法等。
下面将它们的解题程序归纳如下：1.错位相减法求和一般地,如果数列{an}是等差数列,{bn}是等比数列,求数列{an·bn}的前n项和时,可采用错位相减法求和,一般是在等式的两边同乘以等比数列{bn}的公比,然后作差求解.若{bn}的公比为参数(字母),则应对公比分等于1和不等于1两种情况分别求和.例题：2.利用裂项相消法探求数列的前n项和如果一个数列的通项为分式或根式的形式，且能拆成结构相同的两式之差，那么通过累加将一些正、负项相互抵消，只剩下有限的几项。
从而求出该数列的前n项和．破解此类题的关键点如下：①裂项技巧．一般将an通过恒等变形拆成形如an=f(n)-f(n-k)的形式(k=1，2，……) ②抵消规律.正、负项相互抵消后，所剩项的一般规律是：前边剩几项，后边就剩几项，前边剩第几项，后边就剩倒数第几项，注意剩下的项有前后对称的特点，否则，极易出错．例题：[2018长春市高三第一次质量监测,17]总结：利用裂项相消法求数列的和时，要过好三关：一是通过基本运算快速求出数列的通项；二是根据所求通项的结构特点，借助常见的裂项技巧，找准裂项方向，准确裂项；三是把握消项规律，准确求和，切忌出现丢项或多项的问题，导致结果错误．3.利用分类讨论法探求数列的前n项和若数列的通项公式为分段函数、周期函数或形如(-1)^nan，|an|等形式，在求数列的前n项和时，没有固定的方法可套用，观察数列的规律，发现按照某种标准分类后，每类均可求和，最后相加即可得出结果，在解决问题的过程中渗透着转化与化归、分类讨论数学思想方法。
对项数的奇偶进行分类讨论求数列的前n项和时，一般是先求项思路分析：数为偶数的一组，但要注意n的取值变化不再是1，2，3，…，而是2，4，6，…，当代入公式求和时．注意首项、公差(比)和项数都会对应发生改变；项数为奇数求和时，可代入相应公式求和，也可利用偶数项的结论(Sn=S↓(n-1)+bn)，能简化求和过程．总结：破解此类题的关键点如下．①找规律．根据数列的通项公式或递推公式去发现或证明存在某一规律：如通项公式为分段函数的形式等．②定标准．根据规律确定如何分类，是以项数的奇偶分类还是其他.③分类求和．若该类是等差(比)数列可直接求和，但要注意新首项、新公差(比)、新项数分别是多少；若不是特殊数列，再转化为其他方法求和．。
专题32 数列求和(解析版)
【解析】由题意知数列{2n-1}为1,3,5,7,9,11,13,…,{3n-2}为1,4,7,10,13,16,19,…,所以数列
为1,7,13,19,…,即an=1+6(n-1)=6n-5,所以数列 的前n项和为 =3n2-2n.
8.(2020·全国卷Ⅱ文科·T14)记Sn为等差数列 的前n项和.若a1=-2,a2+a6=2,则S10=.
9.(2020·全国卷Ⅱ文科·T6)记Sn为等比数列{an}的前n项和.若a5-a3=12,a6-a4=24,则 =()
A.2n-1B.2-21-nC.2-2n-1D.21-n-1
【解析】选B.设等比数列的公比为q,由a5-a3=12,a6-a4=24可得: ⇒ ,
所以an=a1qn-1=2n-1,Sn= = =2n-1,因此 = =2-21-n.
答案:25
【解析】设等差数列 的公差为d.因为 是等差数列,且a1=-2,a2+a6=2,根据等差数列通项公式:an=a1+ d,可得a1+d+a1+5d=2,即-2+d+ +5d=2,整理可得:6d=6,解得:d=1.根据等差数列前n项和公式:Sn=na1+ d,n∈N*,可得:S10=10× + =-20+45=25,所以S10=25.
解析：（Ⅰ）当 时， ，因为 ，所以 =3，
当 时， = = ，即 ，因为 ，所以 =2，所以数列{ }是首项为3，公差为2的等差数列，所以 = ；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知， = ，
所以数列{ }前n项和为 = = ．
讲典例 备高考
类型一、公式法求和
基础知识：
（1）等差数列前n项和公式：Sn＝na1＋ d＝ .
数列的求和公式和递推公式
数列的求和公式和递推公式一、数列的求和公式1.等差数列求和公式：设等差数列的首项为a1，末项为an，公差为d，项数为n，则等差数列的求和公式为：S = n/2 * (a1 + an) = n/2 * (2a1 + (n -1)d)。
2.等比数列求和公式：设等比数列的首项为a1，公比为q（q≠1），项数为n，则等比数列的求和公式为：S = a1 * (1 - q^n) / (1 - q)，当q=1时，S = n * a1。
3.斐波那契数列求和公式：设斐波那契数列的前n项和为S，则有S =F(n+2) - 1，其中F(n)为斐波那契数列的第n项。
4.平方数列求和公式：设平方数列的前n项和为S，则有S = n(n +1)(2n + 1) / 6。
5.立方数列求和公式：设立方数列的前n项和为S，则有S = n^2(n + 1)/ 2。
二、数列的递推公式1.等差数列递推公式：设等差数列的第n项为an，首项为a1，公差为d，则等差数列的递推公式为：an = a1 + (n - 1)d。
2.等比数列递推公式：设等比数列的第n项为an，首项为a1，公比为q（q≠1），则等比数列的递推公式为：an = a1 * q^(n-1)。
3.斐波那契数列递推公式：设斐波那契数列的第n项为F(n)，则有F(n)= F(n-1) + F(n-2)，其中F(1)=1，F(2)=1。
4.线性递推公式：设数列的第n项为an，首项为a1，公差为d，则线性递推公式为：an = an-1 + d。
5.多项式递推公式：设数列的第n项为an，首项为a1，多项式系数为c1, c2, …, cm，则多项式递推公式为：an = c1 * an-1 + c2 * an-2 + … + c m * an-m。
通过以上知识点的学习，学生可以掌握数列的求和公式和递推公式的基本概念和方法，为高中数学学习打下基础。
习题及方法：1.等差数列求和习题：已知等差数列的首项为3，末项为20，公差为2，求该数列的前10项和。
艺术生高考数学--数列
高三第二轮复习专题四---------数列基本知识点一，数列的概念1、数列定义： .一般形式：1a ,2a ,3a ,…,n a ,…，简记作: .2、通项公式的定义：如果数列}{n a 的第n 项n a 与 之间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式就叫这个数列的通项公式。
3、递推公式定义：如果已知数列{}n a 的第1项（或前几项），且 间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式。
4、数列{n a }的前n 项和n S 与通项n a 的关系：11(1)(2)n nn S n a S S n -=⎧=⎨-⎩≥ 二，等差数列知识点1、等差数列定义：一般地，如果一个数列从 起，每一项与它的前一项的 等于同一个 ，那么这个数列就叫等差数列，这个常数叫做等差数列的 ，它通常用字母d 表示。
用递推公式表示为:1(2)n n a a d n --=≥或1(1)n n a a d n +-=≥.2、通项公式： ，可以看成关于n 的一次函数。
说明：等差数列的单调性：d 0>为递增数列，0d =为常数列，0d < 为递减数列。
3、等差中项的概念：如果a ，A ，b ，那么A 叫做a 与b 的等差中项，其中2a b A +=。
即：a ，A ，b 成等差数列⇔2a b A +=或2A=a+b 。
4、等差数列的前n 和的求和公式： = ，可以看成关于n 的无常数项的二次函数。
5、等差数列的性质：（粗体为重要性质）（1）在等差数列{}n a 中，对任意m ，n N +∈，()n m a a n m d =+-，n m a a d n m-=-()m n ≠； （2）在等差数列{}n a 中，若m ，n ，p ，q N +∈且m n p q +=+，则 ；（3）n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，*N k ∈，则k S ， ，k k S S 23-……成等差数列。
（4）若项数为偶数，设共有2n 项，则①S 奇-S 偶nd =； ② 1n n S a S a +=奇偶； （5）若项数为奇数，设共有21n -项，则①S 偶-S 奇n a a ==中；②1S n S n =-奇偶。
最新-2018高考数学二轮复习 专题三：第二讲数列求和及综合应用 文 课件 精品
(2)∵cn＝bann＝4n2－2＝(2n－1)4n－1， 4n－1
∴Tn＝c1＋c2＋…＋cn＝1＋3×4＋5×42＋…＋(2n－ 1)4n－1①
4Tn＝1×4＋3×42＋5×43＋…＋(2n－3)4n－1＋(2n－ 1)4n②
②－①得 ＝ 31[(36Tnn＝－－5)14－n＋2(54]＋，42＋43＋…＋4n－1)＋(2n－1)4n
A．511个
B．512个
C．1023个
D．1024个
(2)(2010年江苏卷)函数y＝x2(x＞0)的图象在点(ak，a2k )处 的切线与x轴交点的横坐标为ak＋1，k为正整数，a1＝16，则a1 ＋a3＋a5＝________.
答案：(1)B (2)21
高分突破
等差、等比数列的判定以及可转化为 等差或等比数列的求和问题
法四(迭代法)：an＝5an－1＋4＝5·(5an－2＋4)＋4 ＝52an－2＋5×4＋4 ＝…＝5n－1a1＋(5n－2＋5n－3＋…＋5＋1)×4 ＝3×5n－1＋4×1－1－5n5－1＝4·5n－1－1.
∴Tn＝ 91[(6n－5)4n＋5]．
裂项相消法求和
(2009年广东卷文)已知点 1，13 是函数f(x)＝ax(a＞0，
且a≠1)的图象上一点，等比数列{an}的前n项和为f(n)－c，
数列{bn}(bn＞0)的首项为c，且前n项和Sn满足Sn－Sn－1＝
Sn＋ Sn＋1(n≥2)．
(1)求数列{an}和{bn}的通项公式；
答案：
1
n(a1 2
an )
na1＋ n(n
1)d 2
2
na1 a1
(1 q 1 q
2018届高考数学(理)一轮复习高频考点大突破学案：专题31数列求和
【方法规律】 (1) 利用裂项相消法求和时，应注意抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项，也有可能前
面剩两项，后面也剩两项 .
(2) 将通项公式裂项后，有时候需要调整前面的系数，使裂开的两项之差和系数之积与原通项公式相等
.
【变式探究】 设 Sn 为等差数列 { an} 的前 n 项和，已知 S3＝ a7， a8－ 2a3＝ 3. (1) 求 an；
(6 n 6) n 1 (3n 3)n
3(n 1) 2n 1 ，
又 Tn c1 c2 c3
cn ，
得 Tn
2
3
4
3 [2 2 3 2 4 2
n1
(n 1) 2 ] ，
2Tn 3 [2 23 3 2 4 4 25
(n 1) 2 n 2] ，
两式作差，得
Tn 3 [2 22 23 24
2n 1 ( n 1) 2n 2]
23
1
1
n 1 2n n
2n 1 2n
1 1
2n
2
整理得 Sn
4
n2 2n 1
所以数列
bn 的前 n 项和为 4
n2 2n 1 ,n
N*.
【 2015 高考四川，理 16】设数列 { an} 的前 n 项和 Sn
2
2 2n
n， 2n
2an a1，且 a1, a2
1,a3 成等差数列 .
（ 1）求数列 { an} 的通项公式；
{ cn} 的前
n 项和
Tn.
【解析】 (1) 由题意知，当 n≥２时， an＝ Sn－ Sn－1＝ 6n＋ 5.
当 n＝ 1 时， a1＝ S1＝ 11，符合上式 .
所以 an＝ 6n＋ 5. 设数列 { bn} 的公差为 d，
(福建专用)2018年高考数学总复习 第六章 数列 课时规范练31 数列求和 理 新人教A版
课时规范练31 数列求和一、基础巩固组1.数列1,3,5,7,…,(2n-1)+,…的前n项和S n的值等于()A.n2+1-B.2n2-n+1-C.n2+1-D.n2-n+1-2.在数列{a n}中,a1=-60,a n+1=a n+3,则|a1|+|a2|+…+|a30|=()A.-495B.765C.1 080D.3 1053.已知数列{a n}的前n项和S n满足S n+S m=S n+m,其中m,n为正整数,且a1=1,则a10等于()A.1B.9C.10D.554.已知函数f(x)=x a的图象过点(4,2),令a n=,n∈N*.记数列{a n}的前n项和为S n,则S2 018等于()A.-1B.+1C.-1D.+15.已知数列{a n}中,a n=2n+1,则+…+=()A.1+B.1-2nC.1-D.1+2n〚导学号21500545〛6.设数列{a n}的前n项和为S n,a1=2,若S n+1=S n,则数列的前2 018项和为.7.已知等差数列{a n}满足:a5=11,a2+a6=18.(1)求数列{a n}的通项公式;(2)若b n=a n+2n,求数列{b n}的前n项和S n.二、综合提升组8.如果数列1,1+2,1+2+4,…,1+2+22+…+2n-1,…的前n项和S n>1 020,那么n的最小值是()A.7B.8C.9D.109.(2017山东烟台模拟)已知数列{a n}中,a1=1,且a n+1=,若b n=a n a n+1,则数列{b n}的前n项和S n为()A. B.C. D.〚导学号21500546〛10.(2017福建龙岩一模)已知S n为数列{a n}的前n项和,对n∈N*都有S n=1-a n,若b n=log2a n,则+…+= .11.(2017广西模拟)已知数列{a n}的前n项和为S n,且S n=a n-1(n∈N*).(1)求数列{a n}的通项公式;(2)设b n=2log3+1,求+…+.三、创新应用组12.(2017全国Ⅰ,理12)几位大学生响应国家的创业号召,开发了一款应用软件.为激发大家学习数学的兴趣,他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动.这款软件的激活码为下面数学问题的答案:已知数列1,1,2,1,2,4,1,2,4,8,1,2,4,8,16,…,其中第一项是20,接下来的两项是20,21,再接下来的三项是20,21,22,依此类推.求满足如下条件的最小整数N:N>100且该数列的前N项和为2的整数幂.那么该款软件的激活码是()A.440B.330C.220D.110 〚导学号21500547〛课时规范练31数列求和1.A该数列的通项公式为a n=(2n-1)+,则S n=[1+3+5+…+(2n-1)]+=n2+1-2.B由a1=-60,a n+1=a n+3可得a n=3n-63,则a21=0,|a1|+|a2|+…+|a30|=-(a1+a2+…+a20)+(a21+…+a30)=S30-2S20=765,故选B.3.A∵S n+S m=S n+m,a1=1,∴S1=1.可令m=1,得S n+1=S n+1,∴S n+1-S n=1,即当n≥1时,a n+1=1,∴a10=1.4.C由f(4)=2,可得4a=2,解得a=,则f(x)=∴a n=,S2 018=a1+a2+a3+…+a2 018=()+()+()+…+()=-1. 5.C a n+1-a n=2n+1+1-(2n+1)=2n+1-2n=2n,所以+…++…+=1-=1-6∵S n+1=S n,又a1=2,∴当n≥2时,S n=…S1=…2=n(n+1).当n=1时也成立,∴S n=n(n+1).∴当n≥2时,a n=S n-S n-1=n(n+1)-n(n-1)=2n.当n=1时,a1=2也成立,所以a n=2n.则数列的前2 018项和=7.解 (1)设{a n}的首项为a1,公差为d.由a5=11,a2+a6=18,得解得a1=3,d=2,所以a n=2n+1.(2)由a n=2n+1得b n=2n+1+2n,则S n=[3+5+7+…+(2n+1)]+(21+22+23+…+2n)=n2+2n+=n2+2n+2n+1-2.8.D a n=1+2+22+…+2n-1=2n-1.∴S n=(21-1)+(22-1)+…+(2n-1)=(21+22+…+2n)-n=2n+1-n-2,∴S9=1 013<1 020,S10=2 036>1 020,∴使S n>1 020的n的最小值是10.9.B由a n+1=,得+2,∴数列是以1为首项,2为公差的等差数列,=2n-1,又b n=a n a n+1,∴b n=,∴S n=,故选B.10对n∈N*都有S n=1-a n,当n=1时,a1=1-a1,解得a1=当n≥2时,a n=S n-S n-1=1-a n-(1-a n-1),化为a n=a n-1.∴数列{a n}是等比数列,公比为,首项为a n=∴b n=log2a n=-n则+…++…+=1-11.解 (1)当n=1时,a1=a1-1,∴a1=2.当n≥2时,∵S n=a n-1,①S n-1=a n-1-1(n≥2),②∴①-②得a n=,即a n=3a n-1,∴数列{a n}是首项为2,公比为3的等比数列,∴a n=2·3n-1.(2)由(1)得b n=2log3+1=2n-1,+…++…+=+…+12.A设数列的首项为第1组,接下来两项为第2组,再接下来三项为第3组,以此类推,设第n组的项数为n,则前n组的项数和为第n组的和为=2n-1,前n组总共的和为-n=2n+1-2-n.由题意,N>100,令>100,得n≥14且n∈N*,即N出现在第13组之后.若要使最小整数N 满足:N>100且前N项和为2的整数幂,则S N-应与-2-n互为相反数,即2k-1=2+n(k∈N*,n≥14),所以k=log2(n+3),解得n=29,k=5.所以N=+5=440,故选A.百度文库是百度发布的供网友在线分享文档的平台。
2018年高考数学一轮复习 第五章 数列 课时达标31 数列求和 理
2018年高考数学一轮复习 第五章 数列 课时达标31 数列求和 理[解密考纲]考查数列的通项公式、数列求和的方法，主要考查公式法、裂项相消法和错位相减法求前n 项和，以及利用S n 与a n 的关系求通项公式，三种题型均有考查 ，位于各类题型的中间靠后位置．一、选择题1．数列{a n }的前n 项和为S n ，若a n ＝1n n ＋，则S 6 ＝( D )A ．142B ．45C ．56D ．67解析：因为a n ＝1nn ＋＝1n －1n ＋1，所以S 6＝1－12＋12－13＋…＋16－17＝1－17＝67. 2．已知S n ＝12＋1＋13＋2＋12＋3＋…＋1n ＋1＋n，若S m ＝10，则m ＝( B ) A ．11 B ．99 C ．120D ．121解析：因为1n ＋1＋n＝n ＋1－nn ＋1－n＝n ＋1－n ，所以S m ＝2－1＋3－2＋…＋m ＋1－m ＝m ＋1－1.由已知得m ＋1－1＝10，所以m ＝120，故选C ．3．在数列{a n }中，已知a 1＝1，a n ＋1－a n ＝sin n ＋π2，记S n 为数列{a n }的前n 项和，则S 2 017＝( D )A ．1 006B ．1 007C ．1 008D ．1 009解析：由题意，得a n ＋1＝a n ＋sinn ＋π2，所以a 2＝a 1＋sin π＝1，a 3＝a 2＋sin3π2＝0，a 4＝a 3＋sin 2π＝0，a 5＝a 4＋sin 5π2＝1，…，因此，数列{a n }是一个以4为周期的周期数列，而2 017＝4×504＋1，所以S 2 017＝504×(a 1＋a 2＋a 3＋a 4)＋a 2 017＝1 008＋a 1＝1 009，故选D ．4．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 5＝5，S 5＝15，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n a n ＋1的前100项和为( A )A ．100101B ．99101C ．99100D ．101100解析：设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d .∵a 5＝5，S 5＝15，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋4d ＝5，5a 1＋－2d ＝15，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝1，∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝n .∴1a n a n ＋1＝1nn ＋＝1n －1n ＋1，∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n a n ＋1的前100项和为1－12＋12－13＋…＋1100－1101＝1－1101＝100101. 5．数列{a n }的通项公式a n ＝n cos n π2，其前n 项和为S n ，则S 2 017＝( B )A ．2 017B ．1 008C ．504D ．0解析：因为a n ＝n cosn π2，所以当n 为奇数时，a n ＝0，当n 为偶数时，a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧n ，n ＝4m ，－n ，n ＝4m －2，其中m ∈N *，所以S 2 017＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＋…＋a 2 016＋a 2 017 ＝a 2＋a 4＋a 6＋a 8＋…＋a 2 016＝－2＋4－6＋8－10＋12－14＋…＋2 016＝(－2＋4)＋(－6＋8)＋(－10＋12)＋…＋(－2 014＋2 016) ＝2×504＝1 008，故选B ．6．已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1·a n ＝2n (n ∈N *)，S n 是数列{a n }的前n 项和，则S 2 018＝( B )A ．22 018－1B ．3×21 009－3 C ．3×21 009－1D ．3×22 018－2解析：依题意得a n ·a n ＋1＝2n，a n ＋1·a n ＋2＝2n ＋1，于是有a n ＋1·a n ＋2a n ·a n ＋1＝2，即a n ＋2a n＝2，数列a 1，a 3，a 5，…，a 2n －1，…是以a 1＝1为首项、2为公比的等比数列；数列a 2，a 4，a 6，…，a 2n ，…是以a 2＝2为首项、2为公比的等比数列，于是有S 2 018＝(a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 2 017)＋(a 2＋a 4＋a 6＋…＋a 2 018)＝1－21 0091－2＋－21 0091－2＝3×21 009－3，故选B ．二、填空题7．在数列{a n }中，a n ＝1n ＋1＋2n ＋1＋…＋n n ＋1，又b n ＝2a n a n ＋1，则数列{b n }的前n 项和为8n n ＋1. 解析：∵a n ＝n n ＋2n ＋1＝n 2，∴b n ＝8n n ＋＝8⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1.∴b 1＋b 2＋…＋b n ＝8⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1＝8n n ＋1.8．(2017·河南郑州模拟)设数列{a n }的通项公式为a n ＝2n －10(n ∈N *)，则|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 15|＝130.解析：由a n ＝2n －10(n ∈N *)知{a n }是以－8为首项，2为公差的等差数列，又由a n ＝2n －10≥0得n ≥5，所以当n <5时，a n <0，当n ≥5时，a n ≥0，所以|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 15|＝－(a 1＋a 2＋a 3＋a 4)＋(a 5＋a 6＋…＋a 15)＝20＋110＝130.9．若数列{a n }是正项数列，且a 1＋a 2＋…＋a n ＝n 2＋3n (n ∈N *)，则a 12＋a 23＋…＋a nn ＋1＝2n 2＋6n .解析：令n ＝1，得a 1＝4，∴a 1＝16.当n ≥2时，a 1＋a 2＋…＋a n －1＝(n －1)2＋3(n －1)． 与已知式相减，得a n ＝(n 2＋3n )－(n －1)2－3(n －1)＝2n ＋2. ∴a n ＝4(n ＋1)2，当n ＝1时，a 1适合a n . ∴a n ＝4(n ＋1)2，∴a nn ＋1＝4n ＋4，∴a 12＋a 23＋…＋a n n ＋1＝n 8＋4n ＋42＝2n 2＋6n .三、解答题10．在数列{a n }中，a 1＝3，a n ＝2a n －1＋(n －2) (n ≥2，n ∈N *)． (1)求a 2，a 3的值；(2)证明：数列{a n ＋n }是等比数列，并求{a n }的通项公式； (3)求数列{a n }的前n 项和S n . 解析：(1)令n ＝2得a 2＝2a 1＝6. 令n ＝3，得a 3＝2a 2＋1＝13. (2)证明：因为a n ＋na n －1＋n －＝2a n －1＋n －2＋n a n －1＋n －1＝2，所以数列{a n ＋n }是首项为4，公比为2的等比数列， 所以a n ＋n ＝4·2n －1＝2n ＋1，所以a n ＝2n ＋1－n .(3)因为数列{a n }的通项公式a n ＝2n ＋1－n ，所以S n ＝(22＋23＋…＋2n ＋1)－(1＋2＋…＋n )＝－2n1－2－n n ＋2＝2n ＋2－n 2＋n ＋82.11．(2015·浙江卷)已知数列{a n }和{b n }满足a 1＝2，b 1＝1，a n ＋1＝2a n (n ∈N *) ，b 1＋12b 2＋13b 3＋ (1)b n ＝b n ＋1－1(n ∈N *)． (1)求a n 与b n ；(2)记数列{a n b n }的前n 项和为T n ，求T n .解析：(1)由a 1＝2，a n ＋1＝2a n ，得a n ＝2n (n ∈N *)． 由题意知，当n ＝1时，b 1＝b 2－1，故b 2＝2. 当n ≥2时，1n b n ＝b n ＋1－b n ，整理得b n ＋1n ＋1＝b nn ，所以b n ＝n (n ∈N *)． (2)由(1)知a n b n ＝n ·2n，因此，T n ＝2＋2×22＋3×23＋…＋n ·2n， 2T n ＝22＋2×23＋3×24＋…＋n ·2n ＋1，所以T n －2T n ＝2＋22＋23＋ (2)－n ·2n ＋1.故T n ＝(n －1)2n ＋1＋2(n ∈N *)．12．已知数列{a n }是公差不为零的等差数列，其前n 项和为S n ，且S 5＝30，又a 1，a 3，a 9成等比数列．(1)求S n ；(2)若任意n >t ，n ∈N *，都有1S 1＋a 1＋2＋1S 2＋a 2＋2＋…＋1S n ＋a n ＋2>1225，求t 的最小值．解析：(1)设公差为d ，由条件得⎩⎪⎨⎪⎧5a 1＋5×42d ＝30，a 1＋2d 2＝a 1a 1＋8d ，解得a 1＝d ＝2.∴a n ＝2n ，S n ＝n 2＋n . (2)∵1S n ＋a n ＋2＝1n 2＋n ＋2n ＋2＝1n 2＋3n ＋2＝1n ＋n ＋＝1n ＋1－1n ＋2， ∴1S 1＋a 1＋2＋1S 1＋a 2＋2＋…＋1S n ＋a n ＋2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13－14＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＋1－1n ＋2 ＝12－1n ＋2>1225. ∴1n ＋2<12－1225＝150，即n ＋2>50，n >48. ∴t 的最小值为48.。
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考点三十一 数列的求和知识梳理1．公式法求和 常用的求和公式有：(1) 等差数列的前n 项和公式：S n ＝n (a 1＋a n )2＝na 1＋n (n －1)2d .(2) 等比数列的前n 项和公式：S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧na 1，q ＝1，a 1（1－q n ）1－q ＝a 1－a n q 1－q ，q ≠1.(3)1＋2＋3＋…＋n ＝n (n ＋1)2；(4)12＋22＋32＋…＋n 2＝n (n ＋1)(2n ＋1)6；(5)13＋23＋33＋…＋n 3＝n 2(n ＋1)24； (6)1＋3＋5＋…＋2n －1＝n 2； (7)2＋4＋6＋…＋2n ＝n 2＋n . 2.错位相减法求和适用于一个等差数列和一个等比数列对应项相乘构成的数列求和． 3.倒序相加法求和适用于首末等距离的两项之和等于同一个常数这样的数列求和． 4.裂项相消法求和方法是把数列的通项拆分成两项之差，在求和时一些项正负抵消，从而可以求和． 常用的裂项公式有： (1)1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1； (2)1(2n －1)(2n ＋1)＝12⎝⎛⎭⎫12n －1－12n ＋1；(3)1n ＋n ＋1＝n ＋1－n .(4)1n (n ＋1)(n ＋2)＝12⎣⎡⎦⎤1n (n ＋1) － 1(n ＋1)(n ＋2)；5.分组求和通过把数列分成若干组，然后利用等差、等比等求和公式求和．典例剖析题型一 错位相减法求和例1 (2015山东文)已知数列{a n }是首项为正数的等差数列，数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n ·a n ＋1的前n 项和为n 2n ＋1. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝(a n ＋1)·2n a，求数列{b n }的前n 项和T n . 解析 (1)设数列{a n }的公差为d ， 令n ＝1，得1a 1a 2＝13，所以a 1a 2＝3.令n ＝2，得1a 1a 2＋1a 2a 3＝25，所以a 2a 3＝15.解得a 1＝1，d ＝2，所以a n ＝2n －1.经检验，符合题意． (2)由(1)知b n ＝2n ·22n －1＝n ·4n ， 所以T n ＝1·41＋2·42＋…＋n ·4n ， 所以4T n ＝1·42＋2·43＋…＋n ·4n ＋1， 两式相减，得－3T n＝41＋42＋…＋4n －n ·4n ＋1＝4(1－4n )1－4－n ·4n ＋1＝1－3n 3×4n ＋1－43.所以T n ＝3n －19×4n ＋1＋49＝4＋(3n －1)4n ＋19.变式训练 (2015湖北文)设等差数列{a n }的公差为d ，前n 项和为S n ，等比数列{b n }的公比为q ，已知b 1＝a 1，b 2＝2，q ＝d ，S 10＝100. (1) 求数列{a n }，{b n }的通项公式；(2) 当d >1时，记c n ＝a nb n，求数列{c n }的前n 项和T n .解析 (1)由题意有⎩⎪⎨⎪⎧ 10a 1＋45d ＝100，a 1d ＝2，即⎩⎪⎨⎪⎧ 2a 1＋9d ＝20，a 1d ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝9，d ＝29.故⎩⎪⎨⎪⎧a n ＝2n －1，b n ＝2n －1或⎩⎨⎧a n ＝19(2n ＋79)，b n＝9·⎝⎛⎭⎫29n －1.(2)由d >1，知a n ＝2n －1，b n ＝2n －1，故c n ＝2n －12n －1，于是T n ＝1＋32＋522＋723＋924＋…＋2n －12n －1，①12T n ＝12＋322＋523＋724＋925＋…＋2n －12n .②①－②可得12T n ＝2＋12＋122＋…＋12n －2－2n －12n ＝3－2n ＋32n ， 故T n ＝6－2n ＋32n －1.解题要点 错位相减法求和是最为重要的求和方法，要熟练掌握，计算时要注意首末留下的项的符号，同时计算要准确． 题型二 利用裂项相消法求和例2 (2015江苏)设数列{a n }满足a 1＝1，且a n ＋1－a n ＝n ＋1(n ∈N *)，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 前10项的和为________． 答案2011解析 ∵a 1＝1，a n ＋1－a n ＝n ＋1，∴a 2－a 1＝2，a 3－a 2＝3，…，a n －a n －1＝n ，将以上n －1个式子相加得a n －a 1＝2＋3＋…＋n ＝(2＋n )(n －1)2，即a n ＝n (n ＋1)2，令b n ＝1a n，故b n ＝2n (n ＋1)＝2⎣⎡⎦⎤1n －1n ＋1，故S 10＝b 1＋b 2＋…＋b 10＝2⎣⎡⎦⎤1－12＋12－13＋…＋110－111＝2011. 变式训练 (2015安徽文)已知数列{a n }是递增的等比数列，且a 1＋a 4＝9，a 2a 3＝8. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设S n 为数列{a n }的前n 项和，b n ＝a n ＋1S n S n ＋1，求数列{b n }的前n 项和T n .解析 (1)由题设知a 1·a 4＝a 2·a 3＝8.又a 1＋a 4＝9.可解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝1，a 4＝8或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝8，a 4＝1(舍去)．由a 4＝a 1q 3得公比q ＝2，故a n ＝a 1q n －1＝2n －1. (2)S n ＝a 1(1－q n )1－q＝2n－1，又b n ＝a n ＋1S n S n ＋1＝S n ＋1－S n S n S n ＋1＝1S n －1S n ＋1，所以T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝⎝⎛⎭⎫1S 1－1S 2＋⎝⎛⎭⎫1S 2－1S 3＋…＋⎝⎛⎭⎫1S n －1S n ＋1＝1S 1－1S n ＋1 ＝1－12n ＋1－1.解题要点 熟记常见的裂项公式是求解的关键． 题型三 分组求和与并项求和例3 数列112，314，518，7116，…，(2n －1)＋12n ，…的前n 项和S n 的值等于____________.答案 n 2＋1－12n解析 该数列的通项公式为a n ＝(2n －1)＋12n ，则S n ＝[1＋3＋5＋…＋(2n －1)]＋⎝⎛⎭⎫12＋122＋…＋12n ＝n 2＋1－12n . 变式训练 数列{a n }满足a n ＋a n ＋1＝12(n ∈N ＋)，且a 1＝1，S n 是数列{a n }的前n 项和，则S 21＝________. 答案 6解析 由a n ＋a n ＋1＝12＝a n ＋1＋a n ＋2，∴a n ＋2＝a n ，则a 1＝a 3＝a 5＝…＝a 21，a 2＝a 4＝a 6＝…＝a 20， ∴S 21＝a 1＋(a 2＋a 3)＋(a 4＋a 5)＋…＋(a 20＋a 21) ＝1＋10×12＝6.解题要点 分组和并项的目的，都是通过变形，把原式化为等差、等比或其它可求和的形式，体现了转化与划归的思想．当堂练习1．若数列{a n }为等比数列，且a 1＝1，q ＝2，则T n ＝1a 1a 2＋1a 2a 3＋…＋1a n a n ＋1的结果可化为____________. 答案 23⎝⎛⎭⎫1－14n 解析 a n ＝2n －1，设b n ＝1a n a n ＋1＝⎝⎛⎭⎫122n －1，则T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝12＋⎝⎛⎭⎫123＋…＋⎝⎛⎭⎫122n －1＝12⎝⎛⎭⎫1－14n 1－14＝23⎝⎛⎭⎫1－14n . 2．数列{a n }的通项公式a n ＝1n ＋n ＋2(n ∈N *)，若前n 项和为S n ，则S n 为____________.答案 12(n ＋2＋n ＋1－2－1)解析 ∵a n ＝1n ＋n ＋2＝12(n ＋2－n )，∴S n ＝12(3－1＋4－2＋5－3＋6－4＋…＋n －n －2＋n ＋1－n －1＋n ＋2－n )＝12(－1－2＋n ＋1＋n ＋2)＝12(n ＋2＋n ＋1－2－1).3. 若数列{a n }的通项公式是a n ＝(－1)n (2n －1)，则a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 100＝____________. 答案 100解析 由题意知，a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 100＝－1＋3－5＋7＋…＋(－1)100(2×100－1)＝(－1＋3)＋(－5＋7)＋…＋(－197＋199)＝2×50＝100. 4．已知数列{a n } 的前n 项和S n ＝n 2＋n2，n ∈N * .(1)求数列{a n } 的通项公式；(2)设b n ＝2a n ＋(－1)n a n ，求数列{b n } 的前2n 项和． 解析 (1)当n ＝1时，a 1＝S 1＝1；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n 2＋n 2－(n －1)2＋(n －1)2＝n .故数列{a n }的通项公式为a n ＝n . (2)由(1)知，a n ＝n ，故b n ＝2n ＋(－1)n n . 记数列{b n }的前2n 项和为T 2n ，则T 2n ＝(21＋22＋…＋22n )＋(－1＋2－3＋4－…＋2n )． 记A ＝21＋22＋…＋22n ，B ＝－1＋2－3＋4－…＋2n ， 则A ＝2(1－22n )1－2＝22n ＋1－2，B ＝(－1＋2)＋(－3＋4)＋…＋[－(2n －1)＋2n ]＝n . 故数列{b n }的前2n 项和T 2n ＝A ＋B ＝22n ＋1＋n －2.5．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，等比数列{b n }的公比为12，满足S 3＝15，a 1＋2b 1＝3，a 2＋4b 2＝6.(1)求数列{a n }，{b n }的通项a n ，b n ； (2)求数列{a n ·b n }的前n 项和T n .解析 (1)设{a n}的公差为d ，所以⎩⎪⎨⎪⎧3a 1＋3d ＝15，a 1＋2b 1＝3，a 1＋d ＋2b 1＝6，解得a 1＝2，d ＝3，b 1＝12，所以a n ＝3n －1，b n ＝⎝⎛⎭⎫12n.(2)由(1)知T n ＝2×12＋5×⎝⎛⎭⎫122＋8×⎝⎛⎭⎫123＋…＋(3n －4)·⎝⎛⎭⎫12n －1＋(3n －1)⎝⎛⎭⎫12n ，① ①×12得12T n ＝2×⎝⎛⎭⎫122＋5×⎝⎛⎭⎫123＋…＋(3n －4)×⎝⎛⎭⎫12n ＋(3n －1)⎝⎛⎭⎫12n ＋1，② ①－②得12T n ＝2×12＋3×⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫122＋⎝⎛⎭⎫123＋…＋⎝⎛⎭⎫12n －(3n －1)⎝⎛⎭⎫12n ＋1 ＝1＋3×14⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫12n －11－12－(3n －1)·⎝⎛⎭⎫12n ＋1，整理得T n ＝－(3n ＋5)⎝⎛⎭⎫12n＋5.课后作业一、 填空题 1．122－1＋132－1＋142－1＋…＋1(n ＋1)2－1的值为____________. 答案 34－12⎝⎛⎭⎫1n ＋1＋1n ＋2解析 ∵1(n ＋1)2－1＝1n 2＋2n ＝1n (n ＋2)＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋2，∴122－1＋132－1＋142－1＋…＋1(n ＋1)2－1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＋12－14＋13－15＋…＋1n －1n ＋2 ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫32－1n ＋1－1n ＋2 ＝34－12⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＋1＋1n ＋2. 2．已知等差数列{a n }的前n 项和S n 满足S 3＝0，S 5＝－5，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a 2n －1a 2n ＋1的前8项和为____________. 答案 －815解析 设数列{a n }的公差为d ，则S n ＝na 1＋n （n －1）2d .由已知可得⎩⎪⎨⎪⎧3a 1＋3d ＝0，5a 1＋10d ＝－5，解得a 1＝1，d ＝－1，故{a n }的通项公式为a n ＝2－n . 所以1a 2n －1a 2n ＋1＝1（3－2n ）（1－2n ）＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －3－12n －1，所以数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1a 2n －1a 2n ＋1的前8项和为12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1－11＋11－13＋…＋116－3－116－1 ＝－815.3．若数列{a n }的通项为a n ＝4n －1，b n ＝a 1＋a 2＋…＋a nn ，n ∈N *，则数列{b n }的前n 项和是____________. 答案 n (n ＋2)解析 a 1＋a 2＋…＋a n ＝(4×1－1)＋(4×2－1)＋…＋(4n －1)＝4(1＋2＋…＋n )－n ＝2n (n ＋1)－n ＝2n 2＋n ， ∴b n ＝2n ＋1，b 1＋b 2＋…＋b n ＝(2×1＋1)＋(2×2＋1)＋…＋(2n ＋1) ＝n 2＋2n ＝n (n ＋2).4．设数列1，(1＋2)，…，(1＋2＋22＋…＋2n －1)，…的前n 项和为S n ，则S n ＝____________. 答案 2n ＋1－n －2解析 ∵a n ＝1＋2＋22＋…＋2n －1＝1－2n 1－2＝2n －1， ∴S n ＝(2＋22＋23＋…＋2n )－n ＝2(1－2n )1－2－n ＝2n ＋1－n －2. 5．设数列{a n }的通项公式是a n ＝(－1)n ·n ，则a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 100＝____________. 答案 50解析 由题意知，a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 100＝－1＋2－3＋4＋…＋(－1)200·100＝(－1＋2)＋(－3＋4)＋…＋(－99＋100)＝50.6．已知数列{}a n ：12，13＋23，14＋24＋34，…，110＋210＋310＋…＋910，…，若b n ＝1a n a n ＋1，那么数列{}b n 的前n 项和S n 为____________. 答案4nn ＋1解析 a n ＝1＋2＋3＋…＋n n ＋1＝n 2，∴b n ＝1a n a n ＋1＝4n (n ＋1)＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1，∴S n ＝4⎣⎡ ⎝⎛⎭⎫1－12＋⎝⎛⎭⎫12－13＋…＋⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1n ＋1＝4nn ＋1. 7．等差数列{a n }的通项公式a n ＝2n －1，数列{1a n a n ＋1}，其前n 项和为S n ，则S n 等于____________. 答案n 2n ＋1解析 ∵a n ＝2n －1， ∴1a n a n ＋1＝1(2n ＋1)(2n －1)＝12⎝⎛⎭⎫12n －1－12n ＋1.∴S n ＝12⎝⎛⎭⎫1－13＋13－15＋15－17＋…＋12n －1－12n ＋1＝12⎝⎛⎭⎫1－12n ＋1＝n2n ＋1.8．数列{a n }，{b n }满足a n b n ＝1，a n ＝n 2＋3n ＋2，则{b n }的前10项之和为____________. 答案512解析 b n ＝1a n ＝1(n ＋1)(n ＋2)＝1n ＋1－1n ＋2，S 10＝b 1＋b 2＋b 3＋…＋b 10＝12－13＋13－14＋14－15＋…＋111－112＝12－112＝512.9．设{a n }是等差数列，{b n }是各项都为正数的等比数列，且a 1＝b 1＝1，a 3＋b 5＝19，a 5＋b 3＝9，则数列{a n b n }的前n 项和S n ＝__________. 答案 (n －1)·2n ＋1解析 由条件易求出a n ＝n ，b n ＝2n －1(n ∈N *)． ∴S n ＝1×1＋2×21＋3×22＋…＋n ×2n －1，① 2S n ＝1×2＋2×22＋…＋(n －1)×2n －1＋n ×2n .② 由①－②，得－S n ＝1＋21＋22＋…＋2n －1－n ×2n ， ∴S n ＝(n －1)·2n ＋1.10．若数列{a n }的通项公式为a n ＝(－1)n (3n －2)，则a 1＋a 2＋…＋a 10＝____________. 答案 15解析 a 1＋a 2＋…＋a 10＝－1＋4－7＋10－…＋(－1)10·28＝(－1＋4)＋(－7＋10)＋…＋(－25＋28)＝15.11． (1002－992)＋(982－972)＋…＋(22－12)＝____________. 答案 5 050解析 原式＝100＋99＋98＋97＋…＋2＋1＝100×(100＋1)2＝5 050.二、解答题12． (2015天津文)已知{a n }是各项均为正数的等比数列，{b n }是等差数列，且a 1＝b 1＝1，b 2＋b 3＝2a 3，a 5－3b 2＝7. (1)求{a n }和{b n }的通项公式；(2)设c n ＝a n b n ，n ∈N *，求数列{c n }的前n 项和．解析 (1)设数列{a n }的公比为q ，数列{b n }的公差为d ，由题意q ＞0.由已知，有⎩⎪⎨⎪⎧2q 2－3d ＝2，q 4－3d ＝10，消去d ，整理得q 4－2q 2－8＝0，又因为q ＞0，解得q ＝2，所以d ＝2.所以数列{a n }的通项公式为a n ＝2n －1，n ∈N *； 数列{b n }的通项公式为b n ＝2n －1，n ∈N *. (2)由(1)有c n ＝(2n －1)·2n －1， 设{c n }的前n 项和为S n ，则S n ＝1×20＋3×21＋5×22＋…＋(2n －3)×2n －2＋(2n －1)×2n －1， 2S n ＝1×21＋3×22＋5×23＋…＋(2n －3)×2n －1＋(2n －1)×2n ， 上述两式相减，得－S n ＝1＋22＋23＋…＋2n －(2n －1)×2n ＝2n ＋1－3－(2n －1)×2n ＝－(2n －3)×2n －3， 所以，S n ＝(2n －3)·2n ＋3，n ∈N *.13．(2015福建文)在等差数列{a n }中，a 2＝4，a 4＋a 7＝15. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝2a n －2＋n ，求b 1＋b 2＋b 3＋…＋b 10的值． 解析 (1)设等差数列{a n }的公差为d ，由已知得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋d ＝4，(a 1＋3d )＋(a 1＋6d )＝15，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝3，d ＝1.所以a n ＝a 1＋(n －1)d ＝n ＋2. (2)由(1)可得b n ＝2n ＋n ，所以b 1＋b 2＋b 3＋…＋b 10＝(2＋1)＋(22＋2)＋(23＋3)＋…＋(210＋10) ＝(2＋22＋23＋…＋210)＋(1＋2＋3＋…＋10) ＝2(1－210)1－2＋(1＋10)×102＝(211－2)＋55 ＝211＋53＝2 101.。