排列组合的综合运用(2019年12月整理)
排列组合综合问题.[五篇范例]
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排列组合综合问题.[五篇范例]第一篇：排列组合综合问题.[文件] sxgdja0017.doc [科目] 数学 [年级] 高中 [章节][关键词] 排列/组合/综合 [标题] 排列组合综合问题 [内容]北京市东直门中学吴卫教学目标通过教学，学生在进一步加深对排列、组合意义理解的基础上，掌握有关排列、组合综合题的基本解法，提高分析问题和解决问题的能力，学会分类讨论的思想．教学重点与难点重点：排列、组合综合题的解法．难点：正确的分类、分步．教学用具投影仪．教学过程设计（一）引入师：现在我们大家已经学习和掌握了一些排列问题和组合问题的求解方法．今天我们要在复习、巩固已掌握的方法的基础上，来学习和讨论排列、组合综合题的一般解法．先请一位同学帮我们把解排列问题和组合问题的一般方法及注意事项说一下吧!生：解排列问题和组合问题的一般方法直接法、间接法、捆绑法、插空法等．求解过程中要注意做到“不重”与“不漏”．师：回答的不错!解排列问题和组合问题时，当问题分成互斥各类时，根据加法原理，可用分类法；当问题考虑先后次序时，根据乘法原理，可用位置法；这两种方法又称作直接法．当问题的反面简单明了时，可通过求差排除采用间接法求解；另外，排列中“相邻”问题可以用“捆绑法”；“分离”问题可能用“插空法”等．解排列问题和组合问题，一定要防止“重复”与“遗漏”．（教师边讲，边板书）互斥分类——分类法先后有序——位置法反面明了——排除法相邻排列——捆绑法分离排列——插空法（二）举例师：我下面我们来分析和解决一些例题．（打出片子——例1）例1 有12个人，按照下列要求分配，求不同的分法种数．（1）分为两组，一组7人，一组5人；（2）分为甲、乙两组，甲组7人，乙组5人；（3）分为甲、乙两组，一组7人，一组5人；（4）分为甲、乙两组，每组6人；（5）分为两组，每组6人；52（6）分为三组，一组5人，一组4人，一组3人；（7）分为甲、乙、丙三组，甲组5人，乙组4人，丙组3人；（8）分为甲、乙、丙三组，一组5人，一组4人，一组3人；（9）分为甲、乙、丙三组，每组4人；（10）分为三组，每组4人．（教师慢速连续读一遍例1，同时要求学生审清题意，仔细分析，周密考虑，独立地求解．这是一个层次分明的排列、组合题，涉及非平均分配、平均分配和排列组合综合．各小题之间有区别、有联系，便于学生分析、比较、归纳，有利于学生加深理解，提高能力）师：请一位同学说一下各题的答案（只需要列式）．7566生：（1），（2），（3）都是C12；（4），（5）都是C12；（6），（7），（8）C5C654344都是C12（9），（10）都是C12 C7C3；C84C4师：从这个同学的解答中，我们可以看出他对问题的考虑分先后次序，用位置法求解是掌握了的．但是还请大家审清题意，看（3）与（1），（2）；（5）与（4）；（8）与（6），（7）；（10）与（9）是否分别相同，有没有出现“重复”和“遗漏”的问题．（找班里水平较高的一位学生回答）生：（3）和（1），（2）；（5）和（4）；（8）和（6），（7）；（10）和（9）并不相同．（3），（5），（8），（10）的答案都错了，既出现了“重复”也出现了“遗漏”的问题．（3）的答案是CCP312552（5）是2；6644C12C6C12C84C45433；（8）是C12C7C3P 3（10）是P22P33（教师在学生回答时板书各题答案）师：回答的正确，请说出具体的分析．生：（3）把12人分成甲、乙两组，一组7人，一组5人，但并没有指明甲、乙谁是7人，谁是5人，所以要考虑甲、乙的顺序，再乘以P2；（8）也是同一道理．（5）把12人分成两组，66每组6人，如果是分成甲组、乙组，那么共有C12种不同分法，但是（5）只要求平均分C62成两组，这样甲、乙组两元素的所有不同排列顺序，甲乙、乙甲共P22个就是同一种分组了，66C12C6所以（5）的答案是；（10）的道理相同． 2P2师：分析的很好!我们大家必须认识到，题目中具体指明甲、乙与没有具体指明是有区别的．如果在解题过程中不加以区别，就会出现“重复”和“遗漏”的问题，这是解决排列、组合题时要特别注意的．例1中，（1），（2），（6），（7）都是非平均分配问题，虽然（1），（6）都没有指出组名，而（2），（7）给出了组名，但是在非平均分配中是一样的．这是因为（2），（7）不仅给出了组名，而且还指明了谁是几个人，这一点上又与（3），（8）有差异．（3），（8）给了组名却没有指明谁是几个人．题中（4），（5），（9），（10）都属于平均分配问题，在平均分配中，如果没有给出组名，一定要除以组数的阶乘!如果12个人分成三组，其中一组2人，另外两组都是5人，求所有不同的分法种数．这里有不平均（一组2人），又有平均（两组都是是5人）．怎么办? 53 生：分两步完成．第一步：12个人中选2人的方法数C212；第二步：剩下的10个人平均分5555C10C5C10C52成两组，每组5人的方法数，根据乘法原理得到，共有C12•种不同的分法． 22P2P2师：很好!大家已经理解了不平均分配的、平均分配，以及部分平均分配的计算，部分平均分配问题先考虑不平均分配，剩下的仍是平均分配，平均分配要商除．这样分配问题已彻底解决了．请看例题2．（打出片子——例2）（1）6男2女排成一排，2女相邻；（2）6男2女排成一排，2女不能相邻；（3）4男4女排成一排，同性者相邻；（4）4男4女排成一排，同性者不能相邻．（教师读题、巡视）师：请一位同学说出（1），（2）的答案．872生甲：N1＝P77P22；N2＝P8-P7P2师：完全正确!他是用捆绑法解决“相邻”问题的，把2女“捆绑”在一起看成一组，与6男共7组，组外排列为P77，女生组内排列为P2，得2女相邻排法数N1＝P77•P22；（2）是用捆绑法结合排除法来解得，从总体排列P88中排除N1得2女不相邻的排法数N2＝2P88-P77P22（教师的复述是为了使水平较差学生明白解题思路，了解分析方法，真正理解解法）师：（2）的不相邻的分离排列还有没有其它解法? 生乙：可以用插空法直接求解．6男先排实位，再在7个空位中排2女，共有N2＝P66P72种不同排法．（板书（1），（2）算式）师：对于（2）的两种解法思路不同，但殊途同归，结果一样，都是正确的．两种解法解决分离问题是否都很方便呢?试想，如果“5男3女排成一排，3女都不能相邻“P88-P66P33与P55P63一样吗?大家动手计算一下．生：前者是36 000，后者是14 400，不一样，肯定有问题．师：P66P33是什么? 生：3女相邻．师：3女相邻的反面是什么? 生：P8-P6P3是3女不都相邻，其中有2女相邻，不是3女都不相邻．师：这一例题说明什么? 生：不相邻的分离排列还是用插空法要稳妥一些．师：请大家下课后想一想，用捆绑法结合排除法能否解决上述问题，如果能解决，应该怎么做?我们继续分析和解决（3），（4）两小题．863 54 N3＝P33P44P44；N4＝2P44P44．（板书（3），（4）的算式）834444师：非常正确!（4）吸取了（2）的教训，没有用P8-P3P4P4，并且没有简单的用P4P5插空，而是考虑到了男、女都要排实位，否则会出现．（板书）（女男男女男女男女）两男或两女相邻的问题．这时同性不相邻必须男女都排好，即男奇数位，女偶数位，或者对调．（通过对例2的讨论和分析，能够帮助学生对于分离排列、排除法以及插空法有更清楚的认识，只有这样学生才会找到合理的解法，提高分析和解决问题的能力．）师：我们再来看一个例题．（打出片子——例3）例3 某乒乓球队有8男7女共15名队员，现进行混合双打练习，两边都必须是1男1女，共有多少种不同的搭配方法?（教师朗读一遍例3后巡视）师：请同学说一下答案．224生：N＝C8． C7P4（板书此式）师：怎么分析的呢?22生：每一种搭配都需要2男2女，先把4名队员选出来，有C8C7种选法，然后考虑4人的排法，故乘以P44师：选出的4名队员做全排列，那么（板书）男A男B、女A女B行吗? 生：不行，有“重复”了，应该乘以什么呢? 师：这就需要我们再把问题想想清楚了，当选出2男2女队员进行混合双打时，有几种搭配方法呢?（板书）男——男女①Aa Bb ②Ab Ba ③Ba Ab ④Bb Aa 以上四种吗? 生：不是!③与②，④与①属于同一种，只有2种搭配，应该乘以2．22师：这就对了．N=2C8C7，还可以用下面的思路：先在8男中选2男各据一侧，是排列问222题，有P82种方法；再在7女中选2女与之搭配，是组合问题，有C7种方法，一共有N=P8C7种搭配方法．（板书）22解法1：N=2C8C7 22解法2：N=P8C7师：最后看例4（打出片子——例4）例4 高二（1）班要从7名运动员中选出4名组成4×100米接力队，参加校运会，其中甲、乙二人都不跑中间两棒的安排方法有多少种?（教师读题，引导分析）师：从7人中选4人分别安排第一、二、三、四棒这四个不同任务，一定与组合和排列有关，对甲、乙有特殊要求，这就有了不同情况，要分类相加了．先不考虑谁跑哪棒，就说4人的选择有几类情况呢?53生：三类，第一类，没有甲乙，有C4种选法；第二类，有甲没乙或有乙没甲，有2C5种选2法；第三类，既有甲也有乙，有C5种选法．师：如果把上述三类选法数相加再乘以P44行不行? 生：不行，对于上面三类不同选法，并不能都有P44种安排方法．考虑甲、乙二人都不跑中44313222间两棒，应有不同的安排方法数是：N=C5P4+2C5P2P3+C5P2P2．师：第二项中的P21P33是什么意思呢? 生：第二类中甲、乙两人只有1人选中时，甲（乙）的排法数量是P21，其他三人的排法数是P33．师：很好，这个排列组合综合题在求解中的分类十分重要，大家要认真体会，了解其思路和方法．（三）小结我们通过对4个例题的分析和讨论，总结了分配问题，分离排列问题的解法，以及排列、组合综合题的解法．解排列、组合综合题，一般应遵循：先组后排的原则．解题时一定要注意不重复、不遗漏．（四）作业1.四名优秀生保送到三所学样去，每所学样至少得1名，则不同的保送方案总数是种．（23C4P3=36）2.有印着0，1，3，5，7，9的六张卡片，如果允许9当作6用，那么从中任意以组成多少个不同的三位数?（6P或2C4P2P2+2C4P3+C4P2P2+P4=152）5+P4C1C4P2=152课堂教学设计说明关于排列组合的应用题，由于其内容独特，自成体系；种类繁多，题目多变；解法别致，思维抽象；条件隐晦，难以捉摸；得数较大，不易检验．所以这一课历来是学生学习中的难点．为了降低解题的难度，在教会学生基本方法的同时，一定要使学生学会转化，分类的思想方法，将复杂的排列、组合综合题转化为若干个简单的排列、组合问题．基于这一点，在例题的选排上，特别安排了例1，在复习巩固前面所学基本解法的基础上，总结了分配问题的解法，并引出了简单的排列组合综合问题．通过例2来讨论排列中常见的相邻排列和分离排列问题，21112112332122 56 以及排除法、插空法等解法在应用中需注意的事项．例3、例4是典型的排列、组合综合题，分别侧重了分步和分类两个难点．教学方法上，以问答形式，通过讨论分析，引导学生正确思维，培养学生分析问题和解决问题的能力．操作过程中也要根据学生的具体情况，采取多变的方式．学生配合的好，就以学生为主，学生回答问题不尽如人意时，就需要教师在提高语言、方式等方面多做文章，或以教师的讲授为主．第二篇：08届高三数学排列组合综合问题g3.1092 排列与组合的综合问题一、知识梳理1.排列、组合都是研究事物在某种给定的模式下所有可能的配置的数目问题，它们之间的主要区别在于是否要考虑选出元素的先后顺序，不需要考虑顺序的是组合问题，需要考虑顺序的是排列问题，排列是在组合的基础上对入选的元素进行排队，因此，分析解决排列组合问题的基本思维是“先组，后排”.2.解排列组合的应用题，要注意四点：（1）仔细审题，判断是组合问题还是排列问题；要按元素的性质分类，按事件发生的过程进行分步.（2）深入分析、严密周详，注意分清是乘还是加，既不少也不多，辩证思．．维，多角度分析，全面考虑，这不仅有助于提高逻辑推理能力，也尽可能地避免出错.（3）对于附有条件的比较复杂的排列组合应用题，要周密分析，设计出合理的方案，把复杂问题分解成若干简单的基本问题后应用分类计数原理或分步计数原理来解决.（4）由于排列组合问题的答案一般数目较大，不易直接验证，因此在检查结果时，应着重检查所设计的解决问题的方案是否完备，有无重复或遗漏，也可采用多种不同的方法求解，看看是否相同.在对排列组合问题分类时，分类标准应统一，否则易出现遗漏或重复.二、基础训练1.（04福建）某校高二年级共有六个班级，现从外地转入4名学生，要安排到该年级的两个班级且每班安排2名，则不同的安排方案种数为2A.A6C24B.122A6C242C.A6A24D.2A62.从5名学生中选出4名分别参加数学、物理、化学、外语竞赛，其中A不参加物理、化学竞赛，则不同的参赛方案种数为A.24B.48C.120D.72 3.5本不同的书，全部分给四个学生，每个学生至少1本，不同分法的种数为A.480B.240C.120D.96 4.从1，3，5，7中任取2个数字，从0，2，4，6，8中任取2个数字组成没有重复数字的四位数，其中能被5整除的四位数共有_____________个.（用数字作答）5.市内某公共汽车站有10个候车位（成一排），现有4名乘客随便坐在某个座位上候车，则恰好有5个连续空座位的候车方式共有_____________种.（用数字作答）例1.从6名短跑运动员中选4人参加4×100 m接力，如果其中甲不能跑第一棒，乙不能跑第四棒，问共有多少种参赛方法? 例2.对某种产品的6件不同正品和4件不同次品一一进行测试，至区分出所有次品为止.若所有次品恰好在第5次测试时被全部发现，则这样的测试方法有多少种可能? 思考讨论用类似的方法，讨论如下问题.某种产品有5件不同的正品，4件不同的次品，现在一件件地进行检测，直到4件次品全部测出为止，则最后一件次品恰好在第6次检测时被测出，这样的检测方案有多少种？提示：问题相当于从10件产品中取出6件的一个排列，第6位为次品，前五位有其余3件次品，可分三步：先从4件产品中留出1件次品排第6位，有42种方法；再从5件正品中取2件，有C5种方法；再把3件次品和取出的2件正2品排在前五位有A5种方法.所以检测方案种数为4×C5·A5=4800.55例3.在一块并排10垄的田地中，选择2垄分别种植A、B两种作物，每种作物种植一垄.为有利于作物生长，要求A、B 两种作物的间隔不小于6垄，则不同的种植方法共有多少种？例4.有两排座位，前排11个座位，后排12个座位，现安排2人就座，规定前排中间的3个座位不能坐，并且这2人不左右相邻，那么不同排法的种数是A.234B.346C.350D.363 例5.（1）一条长椅上有9个座位，3个人坐，若相邻2人之间至少有2个空椅子，共有几种不同的坐法?（2）一条长椅上有7个座位，4个人坐，要求3个空位中，恰有2个空位相邻，共有多少种不同的坐法? 例6.已知1（1+n）m.四、同步练习g3.1092 排列与组合的综合问题1.从黄瓜、白菜、油菜、扁豆4种蔬菜品种中选出3种，分别种在不同土质的三块土地上，其中黄瓜必须种植.不同的种植方法共有A.24种B.18种C.12种D.6种2.四个不同的小球全部随意放入三个不同的盒子中，使每个盒子都不空的放法种数为A.A13A343B.C24A32C.C34A22D.C14C34C23．（05湖北卷）把一同排6张座位编号为1，2，3，4，5，6的电影票全部分给4个人，每人至少分1张，至多分2张，且这两张票具有连续的编号，那么不同的分法种数 A．168 B．96 C．72 D．144 4.（05江苏卷）四棱锥的8条棱代表8种不同的化工产品,有公共点的两条棱代表的化工产品放在同一仓库是危险的,没有公共顶点的两条棱多代表的化工产品放在同一仓库是安全的,现打算用编号为①、②、③、④的4个仓库存放这8种化工产品,那么安全存放的不同方法种数为（A）96（B）48（C）24（D）0 5．从6名短跑运动员中选出4人参加4 × 100米接力赛，如果甲、乙两人都不跑第一棒，那么不同的参赛方案有 A．180种B．240种C．300种D．360种6.书架上原有5本书，再放上2本，但要求原有书的相对顺序不变，则不同的放法有_____________种.7.（04浙江）设坐标平面内有一个质点从原点出发，沿x轴跳动，每次向正方向或负方向跳1个单位，经过5次跳动质点落在点（3，0）（允许重复过此点）处，．．则质点不同的运动方法共有__________种.（用数字作答）8.在一张节目表上原有6个节目，如果保持这些节目的相对顺序不变，再添加进去三个节目，求共有多少种安排方法?9.18人的旅游团要选一男一女参加生活服务工作，有两位老年男人不在推选之列，共有64种不同选法，问这个团中男女各几人?10.如下图，矩形的对角线把矩形分成A、B、C、D四部分，现用五种不同色彩给四部分涂色，每部分涂1种颜色，要求共边的两部分颜色互异，共有多少种不同的涂色方法?ABCD11.6名运动员分到4所学校去做教练，每校至少1人，有多少种不同的分配方法?参与答案基本训练1.将4名学生均分成两组，方法数为C24，再分配给6个年级中的2个，222分配方法数为A6，∴合要求的安排方法数为C24·A6.112答案：B432.若不含A，则有A4若含有A，则有C3C12·A3C12·A34种；4·3种.∴A4+C4·3=72.答案：D23.先把5本书中的两本捆起来（C5），再分成四份（A4，∴分法种数为4）2C5·A44=240.答案：B 4.①四位数中包含5和0的情况：12C13·C14·（A33+A2·A2）=120.②四位数中包含5，不含0的情况：3C13·C24·A3=108.③四位数中包含0，不含5的情况：2C3C14A3=72.3综上，四位数总数为120+108+72=300.答案：300 5.把四位乘客当作4个元素作全排列有A4种排法，将一个空位和余下的4422个空位作为一个元素插空有A5种排法.∴A4·A5=480.4答案：480 例题分析例1.解法一：问题分成三类：（1）甲、乙两人均不参加，有A4种；（2）甲、4乙两人有且仅有一人参加，有2C3（A4－A3）种；（3）甲、乙两人均参加，有443C2（A4－2A3＋A2）种.故共有252种.44324解法二：六人中取四人参加的种数为A6，除去甲、乙两人中至少有一人不排在恰当位置的有C12 A3种，因前后把甲、乙两人都不在恰当位置的种数A2减544去了两次.故共有A6－C12 A3＋A2=252种.54评述：对于带有限制条件的排列、组合综合题，一般用分类讨论或间接法两种方法处理.4例2.解：C14（C16C33）A4=576，第5次必测出一次品，余下3件在前4次被测出，从4件中确定最后一件品有C14种方法，前4次中应有1正品、3次品，4有C16C33种，前4次测试中的顺序有A4种，由分步计数原理即得.评述：本题涉及一类重要问题，即问题中既有元素的限制，又有排列的问题，一般是先选元素（即组合）后排列.例3.解：依题意，A、B两种作物的间隔至少6垄，至多8垄.（1）间隔62垄时，有3×A2（2）间隔7垄时，有2×A22种；2种.（3）间隔8垄时，有A2种.22所以共有3A22+2A2+A2=12种种植方法.例4.解法一：分类讨论法.（1）前排一个，后排一个，2C18·C112=192.（2）后排坐两个（不相邻），2（10+9+8+…+1）=110.（3）前排坐两个，2·（6+5+…+1）+2=44个.∴总共有192+110+44=346个.解法二：考虑中间三个位置不坐，4号座位与8号座位不算相邻.2∴总共有A19+2+2=346个.答案：B 评述：本题考查分类讨论在解排列组合应用题中的运用.这是一道难度较大的小综合题.例5.解：（1）先将3人（用×表示）与4张空椅子（用□表示）排列如图（×□□×□□×），这时共占据了7张椅子，还有2张空椅子，一是分开插入，如图中箭头所示（↓×□↓□×□↓□×↓），从4个空当中选2个插入，有C2种4插法；二是2张同时插入，有C14种插法，再考虑3人可交换有A3种方法.3所以，共有A3（C2+C14）=60（种）.34下面再看另一种构造方法：先将3人与2张空椅子排成一排，从5个位置中选出3个位置排人，另2个位置排空椅子，有A3C2种排法，再将4张空椅子中的每两张插入每两人之间，52只有1种插法，所以所求的坐法数为A3·C2=60.52（2）可先让4人坐在4个位置上，有A4种排法，再让2个“元素”（一个4是两个作为一个整体的空位，另一个是单独的空位）插入4个人形成的5个“空22当”之间，有A5种插法，所以所求的坐法数为A44·A5=480.01n1n例6.证法一：由二项式定理（1+m）n=C0nm+Cnm+…+Cnm，011mm（1+n）m=C0，mn+Cmn+…+Cmn又因为Cinmi=Anmi!ii，Cimni=Amni!ii，2322333mmm而Ainmi>Aimni，所以C2>Cm.nm>Cmn，Cnm>Cmn，…，Cnmmn0001111又因为C0nm=Cmn，Cnm=Cmn，所以（1+m）n>（1+n）m.证法二：（1+m）n>（1+n）m⇔nln（1+m）>mln（1+n）⇔ln(1+m)mx>ln(1+n)n.令f（x）=ln(1+x)，x∈［2，+∞］，只要证f（x）在［2，+∞］上单调递减，只要证 f ′（x）<0.f ′（x）=[ln(1+x)]'x-x'⋅ln(1+x)x2=x-ln(1+x)2(1+x)x(1+x).当x≥2时，x－lg（1+x）(1+x)<0，x2（1+x）>0，得f ′（x）<0，即x∈［2,+∞］时，f ′（x）<0.以上各步都可逆推，得（1+m）n>（1+n）m.作业：1—4 BBDBB6.427.5 8.解法一：添加的三个节目有三类办法排进去：①三个节目连排，有C17A33种方法；②三个节目互不相邻，有A3种方法；③有且仅有两个节目连排，有7C13C17C16A2种方法.根据分类计数原理共有C17A3+A3+C13C17C16A2=504种.2372解法二：从结果考虑，排好的节目表中有9个位置，先排入三个添加节目有A3种方法，余下的六个位置上按6个节目的原有顺序排入只有一种方法.故所求9排法为A3=504种.9解法三：A9A669=504.评述：插空法是处理排列、组合问题常用的方法.9.解：设这个团中有男人x人，则有女人18－x人，根据题意得C1x-2· C118-x=64.解得x=10.∴这个团中有男10人，女8人.10.解法一：依题意，给四部分涂色，至少要用两种颜色，故可分成三类涂色：4第一类，用4种颜色涂色，有A5种方法；第二类，用3种颜色涂色，选3种颜色的方法有C35种；在涂的过程中，选对顶的两部分（A、C或B、D）涂同色，另两部分涂异色有C12种选法；3种颜313色涂上去有A33种涂法.共C5·C2·A3种涂法；2第三类，用两种颜色涂色.选颜色有C5种选法；A、C与B、D 各涂一色有22A22种涂法.共C5·A2种涂法.41322所以共有涂色方法A5+C35·C2·A3+C5·A2=260种.解法二：区域A有5种涂色法；区域B有4种涂色法；区域C的涂色法有2类：若C与A涂同色，区域D 有4种涂色法；若C与A涂不同色，此时区域C有3种涂色法，区域D也有3种涂色法.所以共有5×4×4+5×4×3×3=260种涂色法.11.解法一：先取人，后取位子.1，1，1，3：6人中先取3人有C3种取法，与剩余3人分到4所学校去有6A4种不同分法，∴共C3A4种分法；46421，1，2，2：6人中取2人、2人、1人、1人的取法有C6·C2·C12种，4然后分到4所学校去，有A4A2⋅A2224种不同的分法，共C·C·C·262412A4A2⋅A2224种分法.所以符合条件的分配方法有CA+C·C·C·3644262412A4A22422⋅A=1560种.解法二：先取位子，后取人.1，1，1，3：取一个位子放3个人，有C14种取法，6人中分别取3人、1人、1人、1人的取法有C3·C13·C12·C1种，∴共有C14·C3·C13·C12·C1种.61611，1，2，2：先取2个位子放2（其余2个位子放1）有C24种取法，6人中22分别取2人，2人，1人，1人的取法有C6·C2C12·C1共有C2C6·C2C12·C14·1种，4·4·1种.112221所以符合条件的分配方法有C14·C36·C3·C2+C4·C6·C4·C2=1560种.第三篇：排列组合排列组合方法一：相邻元素捆绑法：所谓“捆绑法”就是在解决对于某几个元素要求相邻问题时，可整体考虑将相邻元素视为一个“大”元素例：6名同学排成一排，其中甲，乙两人必须在一起的不同徘法共有（C）A.720种 B.360种 C.240种 D.120种因甲，乙两人排在一起，故甲乙两人捆在一起视作一人，与其余四个全排列A5种排法，但甲乙两人之间有A2种52排法，由分布计数原理可知：共有A5•A2=240种不同排法，故选C 方法二：相离问题插空法：不相邻问题是指要求某些元素不能相邻，由其他元素将它隔开，此类问题可以先将其他元素排好，再将所指定的不相邻的元素插入到它们的空隙及两端位置，故称“插空法”例：要排一张有6个歌唱节目和4个舞蹈节目的演出节目单，任何两个舞蹈节目不得相邻，问有多少种不同的排法？先将6个歌唱节目排好，其不同的排法A6种,这6个歌唱节目的空隙及两端共7个位置中再排4个舞蹈节目有A746种排法,由分步计数原理可知，任何两个舞蹈节目不得相邻的排法为A7.•A6方法三：定序问题缩倍法：在排列问题中限制某几个元素必须保持一定顺序成为定序问题，这类问题用缩小倍数的方法求解比较方便。
排列组合综合应用
概率论
研究随机现象数量规律的数学分支，其 基本概念包括随机事件、概率、随机变 量等。
VS
数理统计
以概率论为基础，对统计数据进行分析和 推断的数学分支，主要方法包括参数估计 、假设检验、回归分析等。
排列组合在概率计算中应用
古典概型
在古典概型中，排列组合被用于计算基本事件的总数 ，从而求得事件的概率。
案例分析三
破译非对称加密算法中的RSA算法。通过分析RSA算法的数学原理，利 用排列组合方法寻找大数的质因数分解，从而破译RSA密码。
03
排列组合在优化问题中的应用
优化问题概述
优化问题定义
优化问题是一类寻找最佳解决方案的问题，通常涉及在满足一定约束条件下最大化或最小化某个目标函数。
优化问题分类
根据目标函数和约束条件的性质，优化问题可分为线性规划、整数规划、非线性规划等。
详细讲解了排列组合在密码学、数据压缩、算法分析等领域的应用 ，通过实例分析加深了学生对排列组合应用的理解。
解题思路与方法
总结了解决排列组合问题的常用方法，如分类讨论、构造法、反证 法等，并强调了思维方式和解题策略的重要性。
学生自我评价报告
知识掌握程度
通过本次课程的学习，我对排列组合的基本概念、性质和应用有了更深入的理解，能够运用所学知识解决一些实际问 题。
排列与组合关系
区别
排列与元素的顺序有关，而组合与元素的顺序无关。
联系
排列数$A_n^m$与组合数$C_n^m$之间存在关系，即$A_n^m = C_n^m times m!$。这是因为排列是在组合的基础上考虑元素的顺序，因此排列数等于 组合数与元素顺序的乘积。
02
排列组合在密码学中的应用
密码学原理简介
排列组合的综合应用
5
3号盒
3
4号盒
4
5号盒
2C
2 5
十六. 分解与合成策略
例16.30030能被多少个不同的偶数整除？
30030=2×3×5 × 7 ×11×13
C C C C C
1 5 2 5 3 5 4 5
5 5
十七.化归策略
例17.25人排成5×5方阵,现从中选3人,要 求3人不在同一行也不在同一列,不同的选 法有多少种？
例4.7人排队,其中甲乙丙3人顺序一定共有 多少不同的排法？ 7 3 4
A7/ A3
A7
练习：10人身高各不相等,排成前后排，每 排5人,要求从左至右身高逐渐增加，共有 多少排法？
C
5 10
五.重排问题求幂策略（住店法） 例5.把6名实习生分配到7个车间实习,共 有多少种不同的分法？
7
6
练习：七名学生争夺五项冠军，每项冠军 只能由一人获得，获得冠军的可能的种数?
1 C4
3 A4
1 C3
二.相邻元素捆绑策略
例2. 某人射击8枪，命中4枪，4枪命中恰 好有3枪连在一起的情形的不同种数为 .
A
2 5
三.不相邻问题插空策略 例3.一个晚会的节目有4个舞蹈,2个相声,3 个独唱,舞蹈节目不能连续出场,则节目的 出场顺序有多少种？ 5 4 A5 A6
四.定序问题倍缩空位插入策略
m A 排列数公式 n ＝
性
(1)An n＝
n－m m n！； (1)C0 C 1 ；(2)Cn ＝ n ； n＝
m m－1 C (3)Cm ＋ C ＝ n＋1 n n
质 (2)0！＝ 1 备 注
n，m∈N*且m≤n
一.特殊元素和特殊位置优先策略 例1.由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没 有重复数字五位奇数.
排列组合综合应用问题
⑤分为三组，每组4人。
练习1：有12 人。按照下列要求分配，求不同的 分法种数。
答案
①C125.C74.C33
② C125.C74.C33
③ C125.C74.C33.A33
④C124.C84.C44
⑥分成三组，其中一组2人，另外两组都是 5人。
⑥C122.
C105.C55 A22
1.非平均分配问题中，没有给出组名与给出
01
平均分配。这样分配问题就解决了。 结论：给出组名(非平均中未指明 各组个数）的要在未给出组名的种 数的基础上，乘以组数的阶乘。
3.部分平均分配问题中，先考虑不平均分配，剩下的就是
02
例2：求不同的排法种数。 ①6男2女排成一排，2女相邻； ② 6男2女排成一排，2女不能相邻； ③4男4女排成一排，同性者相邻； ④4男4女排成一排，同性者不能相邻。
×××× a;
说明：在解题过程中，有时用“排一排”会使思路更清楚。 “具体排”是一种好方法，它是把抽象转化为具体的一种思 维方法
分析： ①由2女捆绑成一人与6男全排列,再把2女全排列， 有A77.A22种 “捆绑法”
②把6男2女8人全排列，扣去 2 女“ 相邻”就是2女“ 不相邻”，所以有A88-A77.A22种。“排除法”
② 还可用“插空法”直接求解：先把6男全排列，再在6男相邻的7个空位中排2女，所以共有A66.A72种.
02
直接法：先组： 分三类。第一类，没有甲、乙，有C54种； 第二类，有甲无乙或有乙无甲，有 2C53种；第三类，既有甲又有乙。有C52种。
03
引例（曾经作过的题）： 4名运动员出组成4×100米接力队，参加校运会，其中甲，乙两人不同时跑中间两棒的安排方法有多少种？
排列组合常用方法总结
排列组合常用方法总结一、排列组合部分是中学数学中的难点之一，缘由在于〔1〕从千差万别的实际问题中抽象出几种特定的数学模型，需要较强的抽象思维力量；〔2〕限制条件有时比较隐晦，需要我们对问题中的关键性词〔特殊是规律关联词和量词〕精确理解；〔3〕计算手段简洁，与旧学问联系少，但选择正确合理的计算方案时需要的思维量较大；〔4〕计算方案是否正确，往往不行用直观方法来检验，要求我们搞清概念、原理，并具有较强的分析力量。
二、两个基本计数原理及应用〔1〕加法原理和分类计数法1．加法原理2．加法原理的集合形式3．分类的要求每一类中的每一种方法都可以地完成此任务；两类不同方法中的详细方法，互不相同〔即分类不重〕；完成此任务的任何一种方法，都属于某一类〔即分类不漏〕〔2〕乘法原理和分步计数法1．乘法原理2．合理分步的要求任何一步的一种方法都不能完成此任务，必需且只须连续完成这n步才能完成此任务；各步计数互相；只要有一步中所实行的方法不同，则对应的完成此事的方法也不同[例题分析]排列组合思维方法选讲1．首先明确任务的意义例1。
从1、2、3、……、20这二十个数中任取三个不同的数组成等差数列，这样的不同等差数列有________个。
分析：首先要把冗杂的生活背景或其它数学背景转化为一个明确的排列组合问题。
设a，b，c成等差，∴ 2b=a+c，可知b由a，c确定，又∵ 2b是偶数，∴ a，c同奇或同偶，即：从1，3，5，……，19或2，4，6，8，……，20这十个数中选出两个数进行排列，由此就可确定等差数列，因此此题为2=180。
例2。
某城市有4条东西街道和6条南北的街道，街道之间的间距相同，如图。
若规定只能向东或向北两个方向沿图中路线前进，则从M到N有多少种不同的走法？分析：对实际背景的分析可以逐层深化〔一〕从M到N必需向上走三步，向右走五步，共走八步。
〔二〕每一步是向上还是向右，确定了不同的走法。
〔三〕事实上，当把向上的步骤确定后，剩下的步骤只能向右。
排列组合公式总结大全(3篇)
第1篇在数学中，排列组合是研究有限集合中元素的不同排列和组合方式的一种数学分支。
它广泛应用于统计学、概率论、计算机科学、组合数学等领域。
以下是对排列组合中常用公式的总结，以供参考。
一、排列1. 排列的定义：从n个不同的元素中，任取m（m≤n）个不同的元素，按照一定的顺序排成一列，称为从n个不同元素中取出m个元素的一个排列。
2. 排列数公式：A(n, m) = n! / (n-m)!其中，n!表示n的阶乘，即n! = n × (n-1) × (n-2) × ... × 2 × 1。
3. 排列的运算性质：（1）交换律：A(n, m) = A(n-m, n-m)（2）结合律：A(n, m) × A(m, k) = A(n, k)（3）逆运算：A(n, m) × A(m, n-m) = n!二、组合1. 组合的定义：从n个不同的元素中，任取m（m≤n）个不同的元素，不考虑它们的顺序，这样的取法称为从n个不同元素中取出m个元素的一个组合。
2. 组合数公式：C(n, m) = n! / [m! × (n-m)!]3. 组合的运算性质：（1）交换律：C(n, m) = C(n-m, n-m)（2）结合律：C(n, m) × C(m, k) = C(n, k)（3）逆运算：C(n, m) × C(m, n-m) = C(n, n)三、排列与组合的关系1. 排列与组合的关系：A(n, m) = C(n, m) × m!2. 排列与组合的区别：（1）排列考虑元素的顺序，组合不考虑元素的顺序。
（2）排列的运算性质与组合的运算性质不同。
四、排列组合的应用1. 排列组合在概率论中的应用：计算随机事件发生的概率。
2. 排列组合在计算机科学中的应用：设计算法、密码学、数据结构等。
3. 排列组合在统计学中的应用：抽样调查、数据分析等。
四年级奥数讲义：排列组合的综合应用
四年级奥数讲义：排列组合的综合应用排列组合是数学中风格独特的一部分内容.它具有广泛的实际应用.例如：某城市电话号码是由六位数字组成，每位可从0～9中任取一个，问该城市最多可有多少种不同的电话号码？又如从20名运动员中挑选6人组成一个代表队参加国际比赛.但运动员甲和乙两人中至少有一人必须参加代表队，问共有多少种选法？回答上述问题若不采用排列组合的方法，结论是难以想像的.（前一个问题，该城市最多可有1000000个不同电话号码.后一个问题，代表队有20196种不同选法.）当然排列组合的综合应用具有一定难度.突破难点的关键：首先必须准确、透彻的理解加法原理、乘法原理；即排列组合的基石.其次注意两点：①对问题的分析、考虑是否能归纳为排列、组合问题？若能，再判断是属于排列问题还是组合问题？②对题目所给的条件限制要作仔细推敲认真分析.有时利用图示法，可使问题简化便于正确理解与把握.例1 从5幅国画，3幅油画，2幅水彩画中选取两幅不同类型的画布置教室，问有几种选法？分析首先考虑从国画、油画、水彩画这三种画中选取两幅不同类型的画有三种情况，即可分三类，自然考虑到加法原理.当从国画、油画各选一幅有多少种选法时，利用的乘法原理.由此可知这是一道利用两个原理的综合题.关键是正确把握原理.解：符合要求的选法可分三类：不妨设第一类为：国画、油画各一幅，可以想像成，第一步先在5张国画中选1张，第二步再在3张油画中选1张.由乘法原理有5×3＝15种选法.第二类为国画、水彩画各一幅，由乘法原理有5×2＝10种选法.第三类油画、水彩各一幅，由乘法原理有3×2＝6种选法.这三类是各自独立发生互不相干进行的.因此，依加法原理，选取两幅不同类型的画布置教室的选法有15＋10＋6＝31种.注运用两个基本原理时要注意：①抓住两个基本原理的区别，千万不能混.不同类的方法（其中每一个方法都能各自独立地把事情从头到尾做完）数之间做加法，可求得完成事情的不同方法总数.不同步的方法（全程分成几个阶段（步），其中每一个方法都只能完成这件事的一个阶段）数之间做乘法，可求得完成整个事情的不同方法总数.②在研究完成一件工作的不同方法数时，要遵循“不重不漏”的原则.请看一些例：从若干件产品中抽出几件产品来检验，如果把抽出的产品中至多有2件次品的抽法仅仅分为两类：第一类抽出的产品中有2件次品，第二类抽出的产品中有1件次品，那么这样的分类显然漏掉了抽出的产品中无次品的情况.又如：把能被2、被3、或被6整除的数分为三类：第一类为能被2整除的数，第二类为能被3整除的数，第三类为能被6整除的数.这三类数互有重复部分.③在运用乘法原理时，要注意当每个步骤都做完时，这件事也必须完成，而且前面一个步骤中的每一种方法，对于下个步骤不同的方法来说是一样的.例2 一学生把一个一元硬币连续掷三次，试列出各种可能的排列.分析要不重不漏地写出所有排列，利用树形图是一种直观方法.为了方便，树形图常画成倒挂形式.解：由此可知，排列共有如下八种：正正正、正正反、正反正、正反反、反正正、反正反、反反正、反反反.例3 用0～9这十个数字可组成多少个无重复数字的四位数.分析此题属于有条件限制的排列问题，首先弄清楚限制条件表现为：①某位置上不能排某元素.②某元素只能排在某位置上.分析无重复数字的四位数的千位、百位、十位、个位的限制条件：千位上不能排0，或说千位上只能排1～9这九个数字中的一个.而且其他位置上数码都不相同，下面分别介绍三种解法.解法1：分析某位置上不能排某元素.分步完成：第一步选元素占据特殊位置，第二步选元素占据其余位置.解：分两步完成：第一步：从1～9这九个数中任选一个占据千位，有9种方法.第二步：从余下的9个数（包括数字0）中任选3个占据百位、十位、个位，百位有9种.十位有8种，个位有7种方法.由乘法原理，共有满足条件的四位数9×9×8×7=4536个.答：可组成4536个无重复数字的四位数.解法2：分析对于某元素只能占据某位置的排列可分步完成：第一步让特殊元素先占位，第二步让其余元素占位.在所给元素中0是有位置限制的特殊元素，在组成的四位数中，有一类根本无0元素，另一类含有0元素，而此时0元素只能占据百、十、个三个位置之一.解：组成的四位数分为两类：第一类：不含0的四位数有9×8×7×6=3024个.第二类：含0的四位数的组成分为两步：第一步让0占一个位有3种占法，（让0占位只能在百、十、个位上，所以有3种）第二步让其余9个数占位有9×8×7种占法.所以含0的四位数有3×9×8×7=1512个.∴由加法原理，共有满足条件的四位数3024+1512=4536个.解法3：从无条件限制的排列总数中减去不合要求的排列数（称为排除法）.此题中不合要求的排列即为0占据千位的排列.解：从0～9十个数中任取4个数的排列总数为10×9×8×7，其中0在千位的排列数有9×8×7个（0确定在千位，百、十、个只能从9个数中取不同的3个）∴共有满足条件的四位数10×9×8×7-9×8×7=9×8×7×（10-1）=4536个.注用解法3时要特别注意不合要求的排列有哪几种？要做到不重不漏.例4 从右图中11个交点中任取3个点，可画出多少个三角形？分析首先，构成三角形与三个点的顺序无关因此是组合问题，另外考虑特殊点的情况：如三点在一条直线上，则此三点不能构成三角形，四点在一条直线上，则其中任意三点也不能构成三角形.此题采用排除法较方便.解：组合总数为C311，其中三点共线不能构成的三角形有7C33，四点共线不能构成的三角形有2C34，∴C311-（7C33+2C34）=165-（7+8）=150个.例5 7个相同的球，放入4个不同的盒子里，每个盒子至少放一个，不同的放法有多少种？（请注意，球无区别，盒是有区别的，且不允许空盒）分析首先研究把7分成4个自然数之和的形式，容易得到以下三种情况：①7=1+1+1+4②7=1+2+2+2③7=1+1+2+3其次，将三种情况视为三类计算不同的放法.第一类：有一个盒子里放了4个球，而其余盒子里各放1个球，由于4个球可任意放入不同的四个盒子之一，有4种放法，而其他盒子只放一个球，而球是相同的，任意调换都是相同的放法，所以第一类只有4种放法.第二类：有一个盒子里放1个球，有4种放法，其余盒子里都放2个球，与第一类相同，任意调换都是相同的放法，所以第二类也只有4种放法.第三类：有两个盒子里各放一个球，另外两个盒子里分别放2个及3个球，这时分两步来考虑：第一步，从4个盒子中任取两个各放一个球，这种取法有C24种.第二步，把余下的两个盒子里分别放入2个球及3个球，这种放法有P22种.由乘法原理有C24×P22=12种放法.∴由加法原理，可得符合题目要求的不同放法有4+4+12=20（种）答：共有20种不同的放法.注本题也可以看成每盒中先放了一个球垫底，使盒不空，剩下3个球，放入4个有区别盒的放置方式数.例 6 用红、橙、黄、绿、蓝、青、紫七种颜色中的一种，或两种，或三种，或四种，分别涂在正四面体各个面上，一个面不能用两色，也无一个面不涂色的，问共有几种不同涂色方式？分析首先介绍正四面体（模型）.正四面体四个面的相关位置，当底面确定后，（从上面俯视）三个侧面的顺序有顺时针和逆时针两种（当三个侧面的颜色只有一种或两种时，顺时针和逆时针的颜色分布是相同的）.先看简单情况，如取定四种颜色涂于四个面上，有两种方法；如取定一种颜色涂于四个面上，只有一种方法.但取定三种颜色如红、橙、黄三色，涂于四个面上有六种方法，如下图①②③（图中用数字1，2，3分别表示红、橙、黄三色）如果取定两种颜色如红、橙二色，涂于四个面上有三种方法.如下图④⑤⑥但是从七种颜色里，每次取出四种颜色，有C47种取法，每次取出三种颜色有C37种取法，每次取出两种颜色有C27种取法，每次取出一种颜色有C17种取法.因此着色法共有2 C47+6 C37+3 C27+ C17=350种.习题六1.有3封不同的信，投入4个邮筒，一共有多少种不同的投法？2.甲、乙两人打乒乓球，谁先连胜头两局，则谁赢.如果没有人连胜头两局，则谁先胜三局谁赢，打到决出输赢为止，问有多少种可能情况？3.在6名女同学，5名男同学中，选4名女同学，3名男同学，男女相间站成一排，问共有多少种排法？4.用0、1、2、3、4、5、6这七个数字可组成多少个比300000大的无重复数字的六位偶数？5.如右图：在摆成棋盘眼形的20个点中，选不在同一直线上的三点作出以它们为顶点的三角形，问总共能作多少个三角形？6.有十张币值分别为1分、2分、5分、1角、2角、5角、1元、2元、5元、10元的人民币，能组成多少种不同的币值？并请研究是否可组成最小币值1分与最大币值（总和）之间的所有可能的币值.。
排列组合 局部定序与相同元素消序、隔板法 课件-高二下学期数学人教A版(2019)选择性必修第三册
①定序消序问题:
例题5：
（1）有5盘菜，张三，李四，王五各选一盘
有多少种选法？
或
��
分步计数原理：
第一步：先从5盘菜里面选3盘菜。
第二步：再把3盘菜分配给3个人。
总结：
局部元素定序的解决方法：
从n个不同元素中有顺序的选取m个元
素，其中有p个元素定好了顺序！计算
①标准隔板法（原球数不变隔板法）:
将10个志愿者名额分配给4个学校，要求每校至
少有一个名额，则不同的名额分配方法共有
______________种（用数字作答）
此题解决方法采用标准隔板法：其思想是利
用①10个志愿者在中间腾出9个空，②再次
采用插空法9个空插3个隔板，一定会出现四
堆每堆一定至少1个。
（ C )种排法。
A ,1160
E . 1260
B .
1280
C. 1220
D.1240
步骤分析： 第一步：全部全排列
第二步：消序（有几组相
同元素 ， 就除以几组各自相同元素个数的全
排列）。我们把它叫做“密西西比法则”
②局部元素相同消序问题
例3如果把mississippi(密西西比）这
个单词打乱顺序进行随机排列，请问
球，投放方法有______种方法？
解题分析：第一步：选不放球的1个盒子。4个盒子中任选一个不放球方法
数为：C =4
第二步：题目转化为将10个球放入剩余3个不同盒子中，在采用标准
隔板法，从9个空隙中插2个隔板。C =36
排列组合的二十种解法(最全的排列组合方法总结)
教学目标1.进一步理解和应用分步计数原理和分类计数原理。
2.掌握解决排列组合问题的常用策略;能运用解题策略解决简单的综合应用题。
提高学生解决问题分析问题的能力3.学会应用数学思想和方法解决排列组合问题. 复习巩固1.分类计数原理(加法原理)完成一件事，有n 类办法，在第1类办法中有1m 种不同的方法，在第2类办法中有2m种不同的方法，…，在第n 类办法中有n m 种不同的方法，那么完成这件事共有：种不同的方法．2.分步计数原理（乘法原理）完成一件事，需要分成n 个步骤，做第1步有1m 种不同的方法，做第2步有2m 种不同的方法，…，做第n 步有n m 种不同的方法，那么完成这件事共有：种不同的方法．3.分类计数原理分步计数原理区别分类计数原理方法相互独立，任何一种方法都可以独立地完成这件事。
分步计数原理各步相互依存，每步中的方法完成事件的一个阶段，不能完成整个事件． 解决排列组合综合性问题的一般过程如下: 1.认真审题弄清要做什么事2.怎样做才能完成所要做的事,即采取分步还是分类,或是分步与分类同时进行,确定分多少步及多少类。
3.确定每一步或每一类是排列问题(有序)还是组合(无序)问题,元素总数是多少及取出多少个元素.4.解决排列组合综合性问题，往往类与步交叉，因此必须掌握一些常用的解题策略 一.特殊元素和特殊位置优先策略例1.由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数.解:由于末位和首位有特殊要求,应该优先安排, 先排末位共有13C 然后排首位共有14C 最后排其它位置共有34A由分步计数原理得113434288C C A =练习题:7种不同的花种在排成一列的花盆里,若两种葵花不种在中间，也不种在两端的花盆里，问有多少不同的种法？二.相邻元素捆绑策略例2. 7人站成一排 ,其中甲乙相邻且丙丁相邻, 共有多少种不同的排法.解：可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素，同时丙丁也看成一个复合元素，再与其它元素进行排列，同时对相邻元素内部进行自排。
1.2.3排列组合的综合问题
(6)本题即为 6 本书放在 6 个位置上，共有 A66＝720(种)．
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2．有4个不同的球，4个不同的盒子，把球全部放入盒子 内．
(1)共有几种放法？
(2)恰有1个空盒，有几种放法？
(3)恰有2个盒子不放球，有几种放法？
解析：(1)44＝256(种)． (2)先从 4 个小球中取 2 个放在一起，有 C24种不同的取法， 再把取出的两个小球与另外 2 个小球看作三堆，并分别放入 4 个盒子中的 3 个盒子里，有 A34种不同的放法．根据分步乘法 计数原理，不同的放法共有 C24A34＝144(种)．
14 400(个)．
(3)上述七位数中，3 个偶数排在一起，4 个奇数也排在一
起的有 C34·C54·A33·A44·A22＝5 760(个)．
(4)上述七位数中，偶数都不相邻，可先把 4 个奇数排好，
再把
3
个偶数分别插入
5
个空当，共有C3 4Fra bibliotek·C4 5
·A
4 4
·A
3 5
＝
28 800(个)．
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①取三个元素：有C12·C12· C12=8（种）②取四个元素： 先从±1，±2，±3三组中选取一组C13，再从剩下的两组中选 两个元素C12·C12，故共有C13·C12·C12=12（种）;③取五个元素： C56=6（种）;④取六个元素：1种.
由分类计数原理，共有8+12+6+1=27（种）.
排列组合的综合运用
解（1）46
(2)(C63
C62C42C21C11 A22 A22
)
A44
1560
(3)C53 10 (4)C93 84
排列组合的综合问题 加法乘法两原理，计数问题不分离。 排列组合在一起，先组后排是常理。 分组、分配问题 练习:1、有5名女运动员,6名男运动员进行乒乓 球混合双打比赛，不同的对阵方法有（C ）
1、排列、组合的意义 把握排列和组合的区别与联系 , 抓住“顺序”这个关键。 2、 排列数、组合数计算公式
（规定 0！=1）
A m m m
A C A C A n
n
m
m
n
m
n m
n(n
1)(n
2)(n m!
m
1)
m
Cm n
n! m!(n m) !
（规定：
）
3. 组合数的性质
C C 性质1:
m nm.
35
4
解：按只会划左舷的3个人分类，可分四类：
第1类，只会划左舷的3人入选，有 第2类，只会划左舷的2人入选，有 第3类，只会划左舷的1人入选，有
种选法. 种选法. 种选法.
第4类，只会划左舷的0人入选，有
种选法.
3
5
4
4.10双互不相同的鞋子混装在一只口袋中，从中任意 取出4只，试求各有多少种情况出现如下结果： （1）4只鞋子没有成双的； （2）4只鞋子恰为两双； （3）4只鞋子有2只成双，另两只不成双。
(2)C64 C63C61 C62C62 360
2、对正方体的八个顶点作两两连线，其中异面 直线有（ B ）对。
3、某市有7条南北街道，5条南北街道，如图所示. B
A （1）图中共有多少个矩形？ （2）从A点到B点的最短路线的走法有多少种？
高三数学排列组合综合应用试题答案及解析
高三数学排列组合综合应用试题答案及解析1.用数字1,2,3,4可以排成没有重复数字的四位偶数，共有____________个.【答案】12【解析】由题意，没有重复数字的偶数，则末位是2或4，当末位是时，前三位将，，三个数字任意排列，则有种排法，末位为时一样有种，两类共有：种，故共有没有重复数字的偶数个.【考点】排列组合.2.在高三(1)班进行的演讲比赛中，共有5位选手参加，其中3位女生，2位男生．如果2位男生不能连续出场，且女生甲不能排在第一个，那么出场顺序的排法种数为()A．24B．36C．48D．60【答案】D【解析】先排3个女生，三个女生之间有4个空，从四个空中选两个排男生，共有＝72(种)，若女生甲排在第一个，则三个女生之间有3个空，从3个空中选两个排男生，有＝12(种)，∴满足条件的出场顺序有72－12＝60(种)排法，选D．3. 20个不加区别的小球放入1号，2号，3号的三个盒子中，要求每个盒内的球数不小于它的编号数，则不同的放法种数为________．【答案】120【解析】先在编号为2,3的盒内分别放入1个，2个球，还剩17个小球，三个盒内每个至少再放入1个，将17个球排成一排，有16个空隙，插入2块挡板分为三堆放入三个盒中即可，共有＝120(种)方法．4.将5名学生分到A，B，C三个宿舍，每个宿舍至少1人至多2人，其中学生甲不到A宿舍的不同分法有()A．18种B．36种C．48种D．60种【答案】D【解析】由题意知A，B，C三个宿舍中有两个宿舍分到2人，另一个宿舍分到1人．若甲被分到B宿舍：(1)A中2人，B中1人，C中2人，有＝6种分法；(2)A中1人，B中2人，C中2人，有＝12种分法；(3)A中2人，B中2人，C中1人，有＝12种分法，即甲被分到B宿舍的分法有30种，同样甲被分到C宿舍的分法也有30种，所以甲不到A宿舍一共有60种分法，故选D．5.某城市的街道如图，某人要从A地前往B地，则路程最短的走法有()A．8种B．10种C．12种D．32种【答案】B【解析】从A到B若路程最短，需要走三段横线段和两段竖线段，可转化为三个a和两个b的不同排法，第一步：先排a有种排法，第二步：再排b有1种排法，共有10种排法，选B项．6. 5位同学站成一排准备照相的时候，有两位老师碰巧路过，同学们强烈要求与老师合影留念，如果5位同学顺序一定，那么两位老师与同学们站成一排照相的站法总数为()A．6B．20C．30D．42【答案】D【解析】因为五位学生已经排好，第一位老师站进去有6种选择，当第一位老师站好后，第二位老师站进去有7种选择，所以两位老师与学生站成一排的站法共有6×7＝42种．7.有6名男医生、5名女医生，从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组，则不同的选法共有( )A．60种B．70种C．75种D．150种【答案】C【解析】从6名男医生中选出2名有种不同选法，从5名女男医生中选出2名有种不同选法，根据分步计数乘法原理可得，组成的医疗小组共有15×5=75种不同选法.【考点】计数原理和排列组合.8. [2014·南京模拟]用数字2,3组成四位数，且数字2,3至少都出现一次，这样的四位数共有________个．(用数字作答)【答案】14【解析】分类讨论：若2出现一次，则四位数有C14个；若2出现二次，则四位数有C24个；若2出现3次，则四位数有C34个，所以共有C14＋＋＝14个．9.[2014·郑州模拟]将6名教师分到3所中学任教，一所1名，一所2名，一所3名，则有________种不同的分法．【答案】360【解析】将6名教师分组，分三步完成：第1步，在6名教师中任取1名作为一组，有种取法；第2步，在余下的5名教师中任取2名作为一组，有种取法；第3步，余下的3名教师作为一组，有种取法．根据分步乘法计数原理，共有＝60种取法．再将这3组教师分配到3所中学，有＝6种分法，故共有60×6＝360种不同的分法．10. [2013·浙江高考]将A，B，C，D，E，F六个字母排成一排，且A，B均在C的同侧，则不同的排法共有________种(用数字作答)．【答案】480【解析】如图六个位置.若C放在第一个位置，则满足条件的排法共有种情况；若C放在第2个位置，则从3,4,5,6共4个位置中选2个位置排A，B，再在余下的3个位置排D，E，F，共·种排法；若C放在第3个位置，则可在1,2两个位置排A，B，其余位置排D，E，F，则共有·种排法或在4,5,6共3个位置中选2个位置排A，B，再在其余3个位置排D，E，F，共有·种排法；若C在第4个位置，则有＋种排法；若C在第5个位置，则有种排法；若C在第6个位置，则有种排法．综上，共有2(＋＋＋)＝480(种)排法．11.[2013·怀化模拟]将标号为1,2,3,4,5,6的6张卡片放入3个不同的信封中，若每个信封放2张，其中标号为1,2的卡片放入同一信封，则不同的放法共有()A．12种B．18种C．36种D．54种【答案】B【解析】先将1,2捆绑后放入信封中，有种方法，再将剩余的4张卡片放入另外两个信封中，有种方法，所以共有＝18(种)方法．12.从6名教师中选4名开发A、B、C、D四门课程，要求每门课程有一名教师开发，每名教师只开发一门课程，且这6名中甲、乙两人不开发A课程，则不同的选择方案共有（）A．300种 B．240种 C．144种 D．96种【答案】B【解析】依题意可得从除甲、乙外的四位老师中任取一位开发A课程共有种，再从剩下的5位老师中分别选3位开发其他项目共有.所以完成该件事共有种情况.【考点】1.排列组合问题.2.有特殊条件要先考虑.13.某写字楼将排成一排的6个车位出租给4个公司，其中有两个公司各有两辆汽车，如果这两个公司要求本公司的两个车位相邻，那么不同的分配方法共有________种．（用数字作答）【答案】24【解析】此问题相当于将4个公司全排列，因为，则此问题的不同分配方法共有24种。
排列组合的综合运用(PPT)4-2
小结：当排列或组合问题中，若某些元素或某些位置有特殊要 求 的时候，那么，一般先按排这些特殊元素或位置，然后再 按排其它元素或位置，这种方法叫特殊元素（位置）分析法。
例2：要排一个有5个独唱节目和3个舞蹈节目 的节目单，如果舞蹈节目不排头，并且任何2个 舞蹈节目不连排，则不同的排法有几种？
例7 期中安排考试科目9门,语文要在数学之前考,有 多少种不同的安排顺序? 分析 对于任何一个排列问题,就其中的两个元素来讲的 话,他们的排列顺序只有两种情况,并且在整个排列中,他 们出现的机会是均等的,因此要求其中的某一种情况,能 够得到全体,那么问题就可以解决了.并且也避免了问题 的复杂性.
解 不加任何限制条件,整个排法有 种A99,“语文安排在数 学之前考”,与“数学安排在语文之前考”的排法是相 等的,所以语文安排在数学之前考的排法共有 种12 .A99 结论 对等法:在有些题目中,它的限制条件的肯定与否 定是对等的,各占全体的二分之一.在求解中只要求出 全体,就可以得到所求.
小结：当某几个元素要的元素按要求插入已排好元素 的空隙之中，这种方法叫插空法。
例3：某工厂制造的一台机器要按装一排8个不同的按钮，
其中3个方按钮一定要装在一起，而且红色方钮必在另两
方钮中间，有多少种装法？
捆绑法
的符号。 按照IUPAC的指引，D 或 H 和 T 或 H 都可以使用，但推荐使用 H 和 H(同位素相对原子质量不同），生活中通常使用氕。 氢在自然界中存在的同 位素有： 氢的同位素氕的电子排布 氢的同位素氕的电子排布 氕（piē）（氢，H） 氘（dāo）（氢，重氢，D） 氚（chuān）（氢，超重氢，T） 以人工方法 合成的同位素有： 氢4、氢、氢、氢7 氕（氢-） 氕； 快乐作文培训加盟 快乐作文培训加盟 ；的原子核只有一个质子，丰度达 . % ，是 构造第二简单的的原子。 氘（氢-） 氘为氢的一种稳定形态同位素，也被称为重氢，元素符号一般为H或D。它的原子核由一颗质子和一颗中子组成。在大自 然的含量约为一般氢的7分之一。氢（H）的同位素,其相对原子质量为普通轻氢的二倍,少量的存在于天然水中,用于核反应,并在化学和生物学的研究工作中作 示踪原子（deuterium）——亦称“重氢”,元素符号D。 氚（氢-） 氚，亦称超重氢，是氢的同位素之一，元素符号为T或H。它的原子核由一颗质子和两颗中 子所组成，并带有放射性，会发生β衰变，其半衰期为.4年。自然界中存在极微，从核反应制得。主要用于热核反应。 氢-4 氢-4是氢的同位素之一，它包含 了质子和三个中子。在实验室里，是用氘的原子核来轰炸氚的原子核，来合成一个氢4的原子核。在这过程中，氚的原子核会从氘的原子核上吸收一个中子。 氢4的质量为4.7 U，半衰期为 . ×-秒。 氢-4. 氢-4.结构上类似氦，它包含了个质子和个中子，但因其中一个电子是渺子，但由于渺子的轨道特殊，轨道非常 接近原子核，而最内侧的电子轨道与渺子的轨道相较之下在很外侧，因此，该渺子可视为原子核的一部份，所以整个原子可视为：原子核由个渺子、个质子 和个中子组成、外侧只有一个电子，因此可以视为一种氢的同位素，也是一种奇异原子。一个渺子重约.U，故名氢- 4.（4.H）。氢-4.原子可以与其他元素反 应，和行为更像一个氢原子不是像惰性的氦原子。 氢- 氢-是氢的同位素之一，它的原子核包含了四个中子和一个质子，在实验室里用一个氚的原子核来轰炸 氚，这让氚吸收两个氚原子核的质子而形成了氢。氢的半衰期非常短，只有. ×-秒。 氢- 氢-是不稳定的氢同位素之一，它包含了一个质子和五个中子，半衰 期为×-秒。 氢-7 氢-7是不稳定的氢同位素之一，它包含了一个质子和六个中子， 图表 符号 质子数 中子数 原子质量单位(u) 半衰期 原子核自旋 丰度 丰度 的变化率 H .7,,,7() 稳
高二数学排列组合综合应用试题答案及解析
高二数学排列组合综合应用试题答案及解析1.用0、1、2、3、4这五个数字组成无重复数字的五位数，其中恰有一个偶数数字夹在两个奇数数字之间的五位数的个数是（）A．48B．36C．28D．12【答案】C【解析】解：根据题意，在0，1，2，3，4中有3个偶数，2个奇数，可以分3种情况讨论：①、0被奇数夹在中间，先考虑奇数1、3的顺序，有2种情况；再将1、0、3看成一个整体，与2、4全排列，有种情况；故0被奇数夹在中间时，有2×6=12种情况；②、2被奇数夹在中间，先考虑奇数1、3的顺序，有2种情况；再将1、0、3看成一个整体，与2、4全排列，有种情况，其中0在首位的有2种情况，则有6-2=4种排法；故2被奇数夹在中间时，有2×4=8种情况；③、4被奇数夹在中间时，同2被奇数夹在中间的情况，有8种情况，则这样的五位数共有12+8+8=28种.【考点】排列、组合的应用.2.某电视台连续播放6个广告，其中有3个不同的商业广告、两个不同的宣传广告、一个公益广告，要求最后播放的不能是商业广告，且宣传广告与公益广告不能连续播放，两个宣传广告也不能连续播放，则有多少种不同的播放方式？【答案】108【解析】（1）排列与元素的顺序有关，而组合与顺序无关，如果两个组合中的元素完全相同，那么不管元素的顺序如何，都是相同的组合；只有当两个组合中的元素不完全相同，才是不同的组合；（2）排列、组合的综合问题关键是看准是排列还是组合，复杂的问题往往是先选后排，有时是排中带选，选中带排；（3）对于排列组合的综合题，常采用先组合（选出元素），再排列（将选出的这些元素按要求进行排序）试题解析：用1、2、3、4、5、6表示广告的播放顺序，则完成这件事有三类方法．第一类：宣传广告与公益广告的播放顺序是2、4、6．分6步完成这件事，共有3×3×2×2×1×1＝36种不同的播放方式．第二类：宣传广告与公益广告的播放顺序是1、4、6，分6步完成这件事，共有3×3×2×2×1×1＝36种不同的播放方式．第三类：宣传广告与公益广告的播放顺序是1、3、6，同样分6步完成这件事，共有3×3×2×2×1×1＝36种不同的播放方式．由分类加法计数原理得：6个广告不同的播放方式有36＋36＋36＝108种．【考点】排列组合的综合应用．3.个人排成一行,其中甲、乙两人不相邻的不同排法共有A．B．C．D．【答案】C【解析】本题可用插空法，先排除甲、乙两人外的其余四人应为,剩余两人插在5个空中应为,甲、乙两人不相邻的不同排法共有.【考点】排列组合的有关内容.4.现有4个男生和3个女生作为7个不同学科的科代表人选，若要求体育科代表是男生且英语科代表是女生，则不同的安排方法的种数为_________（用数字作答）．【答案】1440．【解析】由题意知，可分三步完成本件事情，第一步，选1男生为体育课代表，第二步，选1女生为英语课代表，剩下的5人进行全排列，最后根据分步计数原理得不同的安排方法的种数为．【考点】计数原理的应用．5.在所有两位数中，个位数字大于十位数字的两位数共有_________ 个．【答案】36【解析】当十位数字为1时有8个,当十位数字为2时有7个,…，当十位数字为8时有1个，当十位数字为9时有0个，所以共个数为8+7+…+2+1+0=36，答案为36.【考点】分步加法计数原理6.只用1,2,3三个数字组成一个四位数，规定这三个数必须同时使用，且同一数字不能相邻出现，这样的四位数有( )A．6个B．9个C．18个D．36个【答案】C【解析】完成这件事分为两步,第一步先排好1,2,3有种不同方法;第二步将第四个数(可以为1,2,3中的任一个)插到排好的3个数的4个间隔中,又同一数字不能相邻出现,所以每个数字只能放两个位置,有不同方法,这样每一个四位数都出现了两次,从而这样的四位数共有个,答案选C.【考点】记数原理与排列组合7.我国第一艘航母“辽宁舰”在某次舰载机起降飞行训练中，有5架歼－15飞机准备着舰．如果甲、乙两机必须相邻着舰，而丙、丁两机不能相邻着舰，那么不同的着舰方法有( )A．12种B．18种C．24种D．48种【答案】C【解析】分三步：把甲、乙捆绑为一个元素A，有种方法；然后A与戊形成三个“空”，有种方法；再将丙、丁插入空中有种方法.可知共有种不同的着舰方法.故选C【考点】简单排列组合问题；捆绑法和插空法的应用.8. 7颗颜色不同的珠子，可穿成种不同的珠子圈．【答案】360.【解析】由于环状排列没有首尾之分，将n个元素围城的环状排列剪开看成n个元素排成一排，即共有种排法．由于n个元素共有n种不同的剪法，则环状排列共有种排法，而珠子圈没有反正，故7颗颜色不同的珠子，可穿成种不同的珠子圈．故应填入：360．【考点】计数原理．9.已知100件产品中有97件正品和3件次品，现从中任意抽出3件产品进行检查，则恰好抽出2件次品的抽法种数是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】恰好抽出2件次品则有种，1件是正品种，所以任意抽3件恰好2件次品的抽法种数是。
组合与排列的综合运用
组合与排列的综合运用组合与排列是数学中的重要概念，在实际生活中也有广泛的应用。
本文将探讨组合与排列在不同领域中的综合运用。
一、旅行计划的排列组合在旅行计划中，我们常常需要考虑不同城市之间的排列组合方式，以确定最佳的行程安排。
例如，假设我们要从A城市到B城市，中间有C、D两个城市可以选择途径。
那么，我们可以有以下几种排列组合方式：1. A - C - D - B2. A - C - B3. A - D - C - B4. A - D - B通过计算排列组合，我们可以得到不同的旅行路线，以满足不同的需求。
二、密码的组合排列密码也是我们生活中经常会遇到的问题。
在设置密码时，一般要求包含特定的字符类型（如数字、字母、符号）和长度。
通过排列和组合的方法，我们可以计算出不同密码长度下可能的组合数。
例如，对于一个4位密码，由数字和字母组成，共有36个字符可选。
那么，这个密码的组合数就是36的4次方，即1296种。
三、选课方案的排列组合在大学选课时，我们常常需要根据个人兴趣和专业要求，制定合理的选课方案。
在选修课程的组合中，我们可以利用组合与排列的方法，得到不同的选课方案。
例如，某学生需要选择5门选修课，而学校提供的选修课程有10门，那么他可以有多种选课方案。
通过计算组合数，我们可以得到他选课的不同组合情况。
四、彩票中奖号码的组合排列彩票是一种常见的博彩方式，其中的中奖号码是通过随机组合生成的。
计算彩票中奖概率时，我们可以利用排列组合的知识。
例如，某彩票规定从1到30的数字中选择6个数字，那么中奖的概率就是从30个数字中选择6个的组合数与总的号码组合数的比值。
五、货物运输的排列组合在货物运输中，不同的货物可以有不同的组合方式。
例如，假设有A、B、C三个货物需要运输到目的地，其中A货物有3个，B货物有2个，C货物有4个。
那么，我们可以通过排列组合的方法计算出所有可能的运输方案。
六、编程中的排列组合应用在编程中，排列组合也有广泛的应用。
排列组合的综合运用(2019年)
取出2元钱,有多少种取法?
分析 此题是一个组合问题,若是直接考虑取钱的问
题的话,情况比较多,也显得比较凌乱,难以理出头绪
来.但是如果根据组合数性质考虑剩余问题的话,就
会很容易解决问题.
Байду номын сангаас
解 把所有的硬币全部取出来,将得到
0.05×23+0.10×10=2.15元,所以比2元多0.15元,所
以剩下0.15元即剩下3个5分或1个5分与1个1角,所以
例1：7种不同的花种在排成一列的花盆里， 若两种葵花不种在中间，也不种在两端的花 盆中，问有多少不同的种法？
小结：当排列或组合问题中，若某些元素或某些位置有特殊要 求 的时候，那么，一般先按排这些特殊元素或位置，然后再 按排其它元素或位置，这种方法叫特殊元素（位置）分析法。
例2：要排一个有5个独唱节目和3个舞蹈节目 的节目单，如果舞蹈节目不排头，并且任何2个 舞蹈节目不连排，则不同的排法有几种？
的上市股份制公司。是国家大型一档自动化仪表制造企业。 ；
王病 皆以解剥《玄》体 谒款天神 故客谓张耳曰 东井秦地 今学者有禄利 百姓苦其役 厥妖河鱼逆流上 武帝元鼎五年秋 得免 减罪 削东海 薛郡 疑商教使 不当在山陵昭穆之地 何也 赐天下男子爵 诛灭 逆盛意 必置间人於殽 黾厄陿之间 西安阳 苟合取容 人所食以生活也 休征嘉应 上以为能 周得火德 诸事并废 夙兴夜寐 广牧 以谢天下 张骞始为武帝言之 相与泣 舂山 日光侵夺 史书而藏之府 置器物焉 陈守令皆不在 高帝归 昔共工氏以水德间於木 火 式上书 而能令其好义不胜其欲利也 百川之大者也 虽其前辞尝曰 得亡效五年 曰 律容一龠 土地风气 恐其败乱 天下 文公徙封楚丘 龟兹前遣人至乌孙求公主女 大旱 十中八九 君子武备 是古天子之服 老夫窃疑长沙王谗臣 曲阳
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空隙中，规定两 隔板分成的左中右三部分球分别分给3个人，每一
种隔法 对应一种分法，于是分法的总数为
C121
种方法。
=55
小结：将n个相同的元素分成m份（n，m为正整数），可以用m-1 块隔板，插入n个元素排成一排的n-1个空隙中，所有的插法数就是 分法数，这种方法叫隔板法。
例6.某区有7条南北向街道5条东西向街（如 图）从A点走向B点，最短走法有多少种？
小结：当某几个元素要求不相邻时，可以先排没有条件限 制的元素，再将要求不相邻的元素按要求插入已排好元素 的空隙之中，这种方法叫插空法。
例3：某工厂制造的一台机器要按装一排8个不同的按钮，
其中3个方按钮一定要装在一起，而且红色方钮必在另两
方钮中间，有多少种装法？
捆绑法
例4 袋中有5分硬币23个,1角硬币10个,如果从袋中
取出2元钱,有多少种取法?
分析 此题是一个组合问题,若是直接考虑取钱的问
题的话,情况比较多,也显得比较凌乱,难以理出头绪
来.但是如果根据组合数性质考虑剩余问题的话,就
会很容易解决问题.
解 把所有的硬币全部取出来,将得到
0.05×23+0.10×10=2.15元,所以比2元多0.15元,所
以剩下0.15元即剩下3个5分或1个5分与1个1角,所以
C160 C140 210
； 物联卡加盟
；
地早就浇了，便把水费给了母亲，还特意拎来了他们从城里带来的新鲜水果，表示感谢。母亲一边给我拿水果，一边说，你也要记住啊，这人啊，可不能太计较。 ⑨我瞧了一眼父亲，窗外一缕阳光正好照在他满是皱纹的脸上。 （选文有删改） 15．老刘“命好”体现在哪里？原因是什么？（4分） 答：? 【“命好”是指：①闺女乖巧孝顺，夫妻恩爱；②不跟人闹意见（人缘好）。（2分）每对1项给1分。 原因：老刘①包容，不争长短；②豁达，不计得失。（2分）每对1项给1分。】 16．联系全文，简要分析第④段在文中的作用。（4分） 答：? 【①内容上交待矛盾冲突的起因（或故事发生 的背景）：天大旱；邻居又不在家。（2分）答对画线内容即可给2分。 ②结构上推动故事情节的发展：为下文写浇地和母亲不理解父亲等情节作铺垫。（2分）只答对画线内容，或只答对未画线内容，均可给2分。】 17．品味下列加点的词语，分析其表达效果。（4分） （1）母亲一听，跟我急了 ，庄稼人能眼看着种下的庄稼死在地里啊？ （答：? 2）我再次回到娘家，刚进门母亲就急切地对我说…… 答：? 【（1）“急”这里有“着急、生气”的意思（1分），表达了母亲对女儿的不满（1分），突出母亲“视地如命”（1分）。 （本小题最多给2分） （2）“急切”有“迫不及待”的意 思（1分），突出母亲内心的兴奋（1分）及对父亲言行的认同（1分）。（本小题最多给2分）】 18．文章结尾写“一缕阳光”正好照在父亲的脸上，有什么深意？（5分） 答：? 【①父亲的内心像阳光一样明亮；②父亲的言行像阳光一样温暖了周围的人；③邻居的回馈、母亲的理解像阳光一样让 父亲感到温暖、幸福；④进一步升华了“水长流，情长在”的主题。每答对1项给2分，答对3项即可给5分。】 （三）（2017·福建省中考）阅读下面的文字，完成10-14题。（22分） 一棵小白杨 朱金平 ①“一棵呀小白杨，长在哨所旁。根儿深、干儿壮，守望着北疆……” ②一路听着这首耳熟能 详的军旅歌曲，我们的越野吉普车向着西北边陲的小白杨哨所奔去。那个在歌声中被传唱了多年的北疆哨所，最标准的名称是：塔斯提边防连。 ③远远望去，矗立在一座山岗上的小白杨哨所，在逶迤高耸的雪山映衬下显得那么不起眼。 ④身着迷彩服的哨所四班长王克怀，见面就给我们敬了一个标 准的军礼。 ⑤十八岁那年，新兵训练刚结束，他就和十八位新战友乘坐一辆卡车，唱着那首脍炙人口的《小白杨》，向边境线上的小白杨哨所驶去。哨所矗立在一座陡峭的山顶上，四周的积雪还没有融化，卡车喘着气怎么也上不去。大家下车使劲去推，车子还是爬不动，无奈中他们又返回了营部 。三天后，他们再次出发，谁知融化的冰雪在山下通往哨所的小路上划出一道七八米宽的口子，冰块和着泥水汹涌奔流，载着他们的卡车又打道回府了。一周之后，他们才终于越过一路坎坷，登上了哨所。此时，连队在冬天里已被冻裂的水管还没来得及维修，他们上来做的第一件事就是到十里外的 河里挑水回来用。洗脸、洗衣服，都是冰凉的雪水，小伙子们的手很快就被冻肿了。大雪封山，连队官兵吃不上新鲜蔬菜。面对这样艰苦的环境，王克怀起初一颗火热的心似乎被冰水浇凉了。 ⑥连队组织新兵来到那棵小白杨下进行革命传统教育，要求大家向哨所的前辈学习，以苦为荣、乐守边疆 。王克怀看到那棵名闻天下、参天而立的小白杨，浑身上下又充满了力量。 ⑦打枪，是每个军人的基本功。但边防连主要的职责是站岗、巡逻、执勤，对打枪的要求并没有步兵连那么高。可王克怀不这么想：既然来当兵，就要当一个精武的兵。2014年5月，边防团组织各连进行步枪射击考核，王克 怀与战友一起进行一百米射击考核。随着一阵枪响，报靶员抑制不住内心的激动，举靶高喊：“王克怀，五十环！”小白杨哨所自1962年组建以来，在正式考核时还没有人打出过五十环。考核组组长、团政委带人现场反复验靶，确认王克怀这一成绩。领导当即给王克怀戴上了大红花，一片喜悦的红 云飞过小伙子的脸颊。 ⑧作为一个班长，王克怀认识到“一花独放不是春”。他把自己的射击经验耐心地教给班里的全体战士。他带领的四班在上级组织的一次次射击比赛考核中也一次次名列前茅。 ⑨几年后，王克怀当爸爸了。为了能靠爱人更近一点，他的妻子放弃了收入不菲的工作，带着孩子 搬到离哨所六十多公里远的县城，与人合租了一套民房住下。这样，母子俩几个月就能和王克怀见上一次面。 ⑩三队多的儿子，也在不知不觉中，受到父亲和军营的熏陶，对哨所有种天然的亲密感。一天早上，刚来哨所的儿子，听到起床的哨音，像爸爸一样，咚地一下跳下床，光着一双小脚就冲 出门，要跟着爸爸出操，妈妈再拉也不行。于是，在连队出操的队伍后面，跟着一根“小尾巴”，嘴里还喊着“一二一”的口令…… ?王克怀的父亲是一个从不流泪的铁汉子，当看到儿子在那样艰苦的环境里驻守边防的一个个镜头，不禁老泪纵横：“没想到这娃子，在部队里变得那么能干、那么有 出息……还是部队锻炼人、出息人啊！” ?离开哨所前，我们去参观那棵小白杨。 ?1982年，连里一个战士探亲带回十棵小白杨，栽种在哨所旁，最终成活了这一棵。如今，这棵小白杨已经长成大白杨。其洁白的身躯挺立在天地间，一根根枝杈向上蓬勃地伸展着，显得那么伟岸、质朴、纯洁。 ?这 棵高大的白杨树旁，还生长着一棵个头稍矮的白杨。指导员说这是那棵白杨树根上冒出来的子母树。 ?看着眼前普通而实在是不平凡的小白杨，《小白杨》优美的歌声仿佛在耳边再次响起，“一棵呀小白杨，长在哨所旁。根儿深、干儿壮，守望着北疆……” （摘编自2017年5月10日《人民日报》） 10.下列对文章的理解和概括，不正确的一项是（? ）（3分） A、王克怀是中国千千万万不畏艰难、忠于祖国的边防军人群体形象的典型代表。 B、王克怀认识到“一花独放不是春”，带领的四班在射击比赛中一次次名列前茅。 C、文章材料安排详略得当，如，妻子的事迹详写，战士探亲带回小白 杨的是略写。 D、受到小白杨精神的触动，“我们”被深深地感染，离别前专门去参观那颗小白杨。 11.王克怀从一名新兵成长为一名优秀班长，其间经历了怎样的心理变化？请简要概括。（3分） 答： 12.阅读文中画线的句子，按要求回答问题。（6分） （1）“一周之后，他们才终于越过一路 坎坷，登上了哨所”句子中，加点词有什么作用？请简要说明。（3分） （2）“考核组组长、团政委带人现场反复验靶，确认王克怀这一成绩”句子中，加点词的含义是什么？请简要概括。（3分） 答： 13.文章写王克怀儿子的举动，有什么作用？请简要分析。（4分） 答： ? 14.文章以“一棵 小白杨”为标题，有什么寓意？请结合全文简要概述。（6分） 答： 10.（3分）C 11.（3分）刚到哨所，面对艰苦环境，火热的心变凉了；在小白杨树下接受革命传统教育后，感到充满力量；射击考核获得优异成绩，心怀喜悦。 12.（6分） （1）“才”和“终于”两个词（副词）连用，强化了他 们路程的不易和艰难，突出了驻守塔斯提哨所边防军人的感人形象。 （2）“反复”是一遍又一遍的意思。这一射击成绩是哨所从未有过的，难以相信，因此多次验证，加以确认。 说明：意思答对即可。 13.（4分）儿子的举动是受到父亲和军营的熏陶，侧面表现部队能锻炼人，出息人。 说明： 意思答对即可。 14.（6分）要点：①指塔斯提哨所②既指优秀战士王克怀，又指普通而不平凡的中国军人③象征边防战士扎根边疆、无私奉献、牢记嘱托的精神。 说明：意思答对即可。 精神明亮的人（2017·德州市中考） 王开岭 （1）十九世纪的一个黎明，在巴黎乡下一栋亮灯的木屋里，居斯 塔夫?福楼拜在给最亲密的女友写信:“我拼命工作，天天洗澡，不接待来访。不看报纸，按时看日出(像现在这样)。我工作到深夜，窗户敞开，不穿外 衣，在寂静的书房里…… （2）“按时看日出”，我被这句话碎然绊倒了。 （3）一位以“面壁写作”为誓志的世界文豪一个如此吝惜时间的人， 却每天惦记着“日出”，把再寻常不过的晨曦之降视若一件盛事，当作一门必修课来迎对……为什么? （4）它像一盆水泼醒了我，浑身打个激凌。我竭力去想象、去模拟那情景，并久久地揣摩、体味着它—— （5）陪伴你的，有刚刚苏醒的树木，略含咸味的风，玻璃般的草叶，潮湿的土腥味，清 脆的雀啾，充满果汁的空气……还有远处闪光的河带，岸边的薄雾，怒放的凌霄，绛紫或淡蓝的牵牛花，隐隐颤栗的棘条，月挂树梢的氤氲，那蛋壳般薄薄的静…… （6）从词的意义上说，黑夜意味着“偃息”和“孕育”；而日出，则象征着一种“诞生”，一种“升矗”和“伊始”，乃富有动感、 汁液和青春性的一个词。它意味着你的生命画册又添置了新的页码，你的体能电池又充满了新的热力。 （7）正像分娩决不重复，“日出”也从不重复。它拒绝抄袭和雷同，因为它是艺术，是大自然的最重视的一幅杰作。 （8）黎明，拥有一天中最纯澈、最鲜泽、最让人激动的光线，那是生命最易 受鼓舞、最能添置信心和热望的时刻，也是最能让青春荡漾、幻念勃发的时刻。像含有神性的水晶球，它唤醒了我们对生命的原初印象，唤醒体内某种沉睡的细胞，使我们看到远方的事物，看清了险些忘却的东西，看清了梦想、光阴、生机和道路…… （9）迎接晨曦，不仅仅是感官愉悦，更是精神 体验；不仅仅是人对自然的欣赏，更是大自然以其神奇力量作用于生命的一轮撞击。它意味着一场相遇，让我们有机会和生命完成一次对视，有机会认真地打量自己，获得对个体更细腻、清新的感受。 （10）“按时看日出”，乃生命健康与积极性情的一个标志，更精神明亮的标志！它不仅仅代表 了一记生存姿态，更昭示着一种热爱生活的理念，一种生命哲学和精神美学。 （11）透过那桔色晨曦，我触摸到了一幅优美剪影：一个人在给自己的生命举行升旗！ （12）在一个普通人的生涯中，有过多少次沐浴晨曦的体验？我们创造过多少这样的机会？ （13）仔细想想，或许确实有过那么一 两回吧。可那又是怎样的情景呢？比如某个刚下火车的凌晨——睡眼惺松，满脸疲态的你，不情愿地背着包，拖着灌铅的腿，被人流推搡着，在昏黄的路灯陪