辽宁省庄河高级中学2016-2017学年高中数学必修五人教B版导学案：3-2均值不等式 精品

3．2 均值不等式（一）编号22 编写： 验证： 审核：一、学习目标：1．掌握均值定理的推导2．培养学生应用均值定理分析问题、解决问题的能力.二、重点难点：重点：均值定理的推导极其应用难点：均值定理在实际问题中的应用三、学习过程：（一）自学教材，填空⒈正数a 、b 的算术平均数为 ；几何平均数为 ．⒉均值不等式是 。

其中前者是 ，后者是 ．如何给出几何解释？⒊在均值不等式中a 、b 既可以表示数，又可以表示代数式，但都必须保证 ；另外等号成立的条件是 ．⒋试根据均值不等式写出下列变形形式，并注明所需条件（1）a 2+b 2 ( ) （2）2ba （ ） （3）ab ＋b a （ ） （4）x ＋x 1( )（5）x ＋x1( ) （6）ab ≤ （ ）⒌在用均值不等式求最大值和最小值时，必须注意a+b 或ab 是否为 值，并且还需要注意等号是否成立．（二）典型例题例⒈已知a 、b 、c ∈（0，＋∞），且a+b+c=1，求证a 1 +b 1+c1≥9．例⒉（１）一个矩形的面积为100m 2。

问这个矩形的长、宽各为多少时，矩形的周长最短？最短周长是多少？（２）已知矩形的周长为36m 。

问这个矩形的长、宽各为多少时，它的面积最大？最大面积是多少？（三）课堂训练⒈已知a 、b ∈（0，1）且a ≠b ，下列各式中最大的是（ ）Ａ．a 2+b 2 Ｂ．２ab Ｃ．2a b Ｄ．a +b ⒉判断下列不等式的证明过程中的正误，并指出错因。

（1）若a 、b ∈R ，则a b ＋b a ≥2ba ab ∙＝2（ ） （2）若x 、y ∈R ＋，则lgx ＋lgy ≥2y x lg lg ∙（ ）（3）x ∈R －，则x ＋x 4≥－2xx 4∙＝－4（ ） （4）若x ∈R ，则x2＋x-2≥2x x -∙22＝2（ ）⒊x ∈R ，下列不等式恒成立的是（ ）A ．x 2+1≥xB ．112+x <1 C ．lg(x 2+1)≥lg(2x) D ．x 2+4>4x ⒋设x>0，则函数y=2－x4－x 的最大值为 ；此时x 的值是 。

5．若x>1，则log x 2＋log 2x 的最小值为 ；此时x 的值是 。

6．⑴函数f(x)=x(2－x)的最大值是 ；此时x 的值为___________________；． ⑵函数f(x)=2x(2－x)的最大值是 ；此时x 的值为___________________； ⑶函数f(x)=x(2－2x)的最大值是 ；此时x 的值为___________________； ⑷函数f(x)=x(2＋x)的最小值是 ；此时x 的值为__________________；（四）课后练习(题目分为A 、B 、C 三级，A 、B 为必须掌握的，C 供学有余力的学生选作。

)A1．下列命题正确的是（ ）Ａ．a 2+1>2a Ｂ．│x+x 1│≥2 Ｃ．abba +≤2 Ｄ．sinx+x sin 4最小值为4． A2．以下各命题(1)x 2+112+x 的最小值是1；（2）1222++x x 最小值是2；(3)若a>0,b>0,a+b=1则（a+a 1）(b+b1)的最小值是4，其中正确的个数是（ ） Ａ．0 Ｂ．1 Ｃ．2 Ｄ．3A3 设a>0,b>0则不成立的不等式为（ ）Ａ．a b ＋ba≥2 Ｂ．a 2+b 2≥2ab Ｃ．ab 2＋b a 2≥a ＋b Ｄ．b a 11+≥2+b a +2B4 设a 、b ∈R ＋，若a+b=2，则ba 11+的最小值等于（ ） Ａ．1 Ｂ．2 Ｃ．3 Ｄ．4 B5 已知a ≥b>0，下列不等式错误的是（ ） Ａ．a 2+b 2≥2ab Ｂ．222b a a +≥Ｃ．b a ab ab +≤2 Ｄ．112--+≥b a abA6 若a 、b 为正数且a+b=4，则ab 的最大值是________． B7 已知x>1.5，则函数y ＝2x+324-x 的最小值是_________．C8 已知a 、b 为常数且0<x<1，则xb x a -+122的最小值是_________________________． B9 已知x,y ∈（－3，3）且xy ＝－1，求s=22121233yx -+-的最小值。

B10 在△ABC 中∠C=90°，AC=3，BC=4，一条直线分△ABC 的面积为相等的两个部分，且夹在AB 与BC 之间的线段最短，求此线段长。

（五）课后反思：通过本节课的学习，你有什么收获？写在下面。

3．2 均值不等式（二）编号 编写： 验证： 审核：一、学习目标：1．通过学习，进一步加深对均值不等式的理解，能灵活地用均值不等式解决有关问题。

2．培养学生观察、比较、分析、归纳等数学意识与解决问题的能力。

二、重点难点：重点：均值定理应用 难点：均值定理的理解 三、学习过程：（一）填空1、（1）222b a ab +≤ （2） 22⎪⎭⎫⎝⎛+≤b a（3）≥+b a a b （条件： ） （4）≤⎪⎭⎫⎝⎛+22b a（5）≥+b ba 2（条件： ） （6）推广：如果有n 个正数n a a a a ,,,,321 ，则na a a n+++ 21 n n a a a 212、均值不等式求最值，在利用“两个正数的和为定值，则可求其积的最大值；积为定值，则可求其和的最小值”这个结论时，应注意使这个结论成立的三个前提条件。

即：“一正二定三相等”。

（1）一正：各项或各因式非负； （2）二定：和或积为定值；（3）三相等：各项或各因式都能取得相等的值。

（二）典型例题1、判断()123f x x x=+的最小值是12吗？为什么？如果是，需要什么条件2、是否可以用均值不等式的相关知识求()1f x =+的最值，为什么？跟踪练习：已知0,0x y >> ，且191x y+=，求x y +的最小值4.求函数()271011x x y x x ++=>-+的最小值及此时x 的值。

（三）课堂训练1、下列结论正确的是（）A.当01x x >≠且时，1lg 2lg x x +≥ B.当0x >2≥ C.当2x ≥时，1x x +的最小值是2 D.当02x <≤时，1x x-无最大值2、已知30x -<<，则y =的最小值为（ ） A.92 B.32- C.12 D.92-3、若01,01x y <<<<，则x y ≠，则22,,2,x y x y xy ++中最大的一个是（ ）A.22x y + B.x y + C.2xy D.4.若正数a,b 满足ab=a+b+3,则ab 的取值范围是（ ）A.[)+∞,9B. [)+∞,6C.(]9,0D.()6,05、函数241x x y x -+=-在1x >的条件下的最小值为 ；此时x =6、当1x >时，求4311y x x =++-的最小值以及对应的x 的值. 7.若x,y>0,且x+2y=3,求yx 11+的最小值.（四）课后练习A1、若x R ∈，则下列不等式成立的是（ ）A.()()2lg 1lg 2x x +≥B.212x x +> C.2111x <+ D ．()2122x x +≤ A2、设,x y 满足220x y +=的正数，则lg lg x y +的最大值是（ ） A.50 B.20 C.1lg5+ D.1 A3、已知01x <<，则()33x x -取得最大值时x 的值为（ ） A.13 B.12 C.34 D.23B4、已知正数,x y ，满足491x y+=，则xy 有（ ） A.最小值12 B.最大值12 C.最小值144 D.最大值144B5、已知52x ≥，则()24524x x f x x -+=-有（ ）A.最大值54 B.最小值54C.最大值1D.最小值1 C6、点(),P x y 在经过()3,0A ，()1,1B 的两点的直线上，那么24xy+的最小值是（ ）A.不存在C7、若1a b >>，P =()1lg lg 2Q a b =+，lg 2a b R +⎛⎫= ⎪⎝⎭，则下列不等式成立的是（ ）A.R P Q <<B. P Q R <<C. Q P R <<D. P R Q <<A8、已知221x y +=，对于满足条件的,x y 恒有不等式0x y k +-≥成立，则k 的最大值为 ；A9、判断下列不等式的证明过程中的正误，并指出错因。

（1）若a 、b ∈R ，则a b ＋b a ≥2ba ab ∙＝2（ ） （2）若,x y R +∈，则lgx ＋lgy ≥2y x lg lg ∙（ ）（3）若0x <，则x ＋x 4≥－2xx 4∙＝－4（ ） （4）若x ∈R ，则x2＋x-2≥2x x -∙22＝2（ ）A10、求函数()()2301xf x x x x =<++的值域B11、已知0,0x y >>a 应该满足什么范围？四、选做题C ()2,,,2a b aba b R a b++∈+这四个数之间的大小.五、课后反思：通过本节课的学习，你有什么收获？写在下面。