中考数学专题复习32 解直角三角形及其应用
2024年中考数学复习专题课件++ 解直角三角形的实际应用
解：延长 BA，交 PQ 的延长线于点 C，则∠ACQ＝90°，由题意得 BC＝225 m，PQ＝200 m， 在 Rt△BCQ 中，∠BQC＝45°， 则 CQ＝BC＝225 m，∴PC＝PQ＋CQ＝425 m， 在 Rt△PCA 中， tan∠APC＝tan 15°＝APCC＝4A2C5≈0.27， 解得 AC≈114.75 m，∴AB＝BC－AC≈110 m. 答：奇楼 AB 的高度约为 110 m.
8．(2023·贵州)贵州旅游资源丰富．某景区为给游客提供更好的游览体 验，拟在景区内修建观光索道．设计示意图如图所示，以山脚 A 为起点， 沿途修建 AB，CD 两段长度相等的观光索道，最终到达山顶 D 处，中途设 计了一段与 AF 平行的观光平台 BC 为 50 m．索道 AB 与 AF 的夹角为 15°， CD 与水平线夹角为 45°，A，B 两处的水平距离 AE 为 582 m，DF⊥AF， 垂足为 F.(图中所有点都在同一平面内，点 A，E，F 在同一水平线上)
解：过点 D 作 DE⊥BC 于点 E，则四边形 ADEF 是矩形，在 Rt△DEC 中，CD ＝20，∠C＝18°， DE＝CD·sin C≈6.2.∴AF＝DE＝6.2. ∵ABFF＝34，∴AAFB＝35，∴AB＝53×6.2≈10(m)． 答：斜坡 AB 的长约为 10 m.
6．(2023·通辽)如图，一艘海轮位于灯塔 P 的北偏 东 72°方向，距离灯塔 100 n mile 的 A 处，它沿正 南方向航行一段时间后，到达位于灯塔 P 的南偏东 40°方向上的 B 处．这时，B 处距离灯塔 P 有多远？ (结果取整数；参考数据：sin 72°≈0.95， cos 72°≈0.31，tan 72°≈3.08，sin 40°≈0.64，cos 40°≈0.77， tan 40°≈0.84.)
中考数学专题32三角形压轴综合问题(全国通用解析版)
三角形压轴综合问题一、解答题1．（2022·青海·中考真题）两个顶角相等的等腰三角形.如果具有公共的顶角的顶点.并把它们的底角顶点连接起来.则形成一组全等的三角形.把具有这个规律的图形称为“手拉手”图形. (1)问题发现：如图1.若△ABC和△ADE是顶角相等的等腰三角形.BC.DE分别是底边.求证：BD=CE；图1(2)解决问题：如图2.若△ACB和△DCE均为等腰直角三角形.∠ACB=∠DCE=90°.点A.D.E在同一条直线上.CM为△DCE中DE边上的高.连接BE.请判断∠AEB的度数及线段CM.AE.BE之间的数量关系并说明理由.图2【答案】(1)见解析(2)∠DCE=90°；AE=AD+DE=BE+2CM【解析】【分析】（1）先判断出∠BAD=∠CAE.进而利用SAS判断出△BAD∠∠CAE.即可得出结论；（2）同（1）的方法判断出△BAD∠∠CAE.得出AD=BE.∠ADC=∠BEC.最后用角的差.即可得出结论．(1)证明：∠△ABC和△ADE是顶角相等的等腰三角形.∠AB=AC.AD=AE.∠BAC=∠DAE.∠∠BAC−∠CAD=∠DAE−∠CAD.∠∠BAD=∠CAE．在△BAD和△CAE中.{AB=AC∠BAD=∠CAEAD=AE.∠△BAD≌△CAE(SAS).∠BD=CE．(2)解：∠AEB=90°.AE=BE+2CM.理由如下：由（1）的方法得.△ACD≌△BCE.∠AD=BE.∠ADC=∠BEC.∠△CDE是等腰直角三角形.∠∠CDE=∠CED=45°.∠∠ADC=180°−∠CDE=135°.∠∠BEC=∠ADC=135°.∠∠AEB=∠BEC−∠CED=135°−45°=90°．∠CD=CE.CM⊥DE.∠DM=ME．∠∠DCE=90°.∠DM=ME=CM.∠DE=2CM．∠AE=AD+DE=BE+2CM．【点睛】此题是三角形综合题.主要考查了全等三角形的判定和性质.等腰三角形.等边三角形.等腰直角三角形的性质.判断出△ACD∠∠BCE是解本题的关键．2．（2022·辽宁大连·中考真题）综合与实践问题情境：数学活动课上.王老师出示了一个问题：如图1.在△ABC中.D是AB上一点.∠ADC=∠ACB．求证∠ACD=∠ABC．独立思考：（1）请解答王老师提出的问题．实践探究：（2）在原有问题条件不变的情况下.王老师增加下面的条件.并提出新问题.请你解答．“如图2.延长CA至点E.使CE=BD.BE与CD的延长线相交于点F.点G.H分别在BF,BC上.BG=CD.∠BGH=∠BCF．在图中找出与BH相等的线段.并证明．”问题解决：（3）数学活动小组河学时上述问题进行特殊化研究之后发现.当∠BAC=90°时.若给出△ABC 中任意两边长.则图3中所有已经用字母标记的线段长均可求.该小组提出下面的问题.请你解答．“如图3.在（2）的条件下.若∠BAC=90°.AB=4.AC=2.求BH的长．”.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）BH=√173【解析】【分析】（1）利用三角形的内角和定理可得答案；（2）如图.在BC上截取BN=CF,证明△CEF≌△BDN,再证明EF=DN,∠EFC=∠DNB,证明△GHB≌△CND,可得BH=DN,从而可得结论；（3）如图.在BC上截取BN=CF,同理可得：BH=DN=EF,利用勾股定理先求解BC=√22+42=2√5,证明△ADC∽△ACB,可得AD=1,CD=√5,可得BG=CD=√5,证明△BGH∽△BCF,可得BF=2BH,而EF=GH,可得BE=3BH,再利用勾股定理求解BE.即可得到答案．【详解】证明：（1）∵∠ADC=∠ACB,∠A=∠A,而∠ACD=180°−∠A−∠ADC,∠ABC=180°−∠A−∠ACB,∴∠ACD=∠ABC,（2）BH=EF,理由如下：如图.在BC上截取BN=CF,∵BD=CE,∠ACD=∠ABC,∴△CEF≌△BDN,∴EF=DN,∠EFC=∠DNB,∵∠BGH=∠BCF.∠GBN=∠FBC,∴∠BHG=∠BFC,∠∠EFC=∠BND,∠∠BFC=∠DNC,∠∠BHG=∠DNC,∠BG=CD,∠△GHB≌△CND,∴BH=DN,∴BH=EF.（3）如图.在BC上截取BN=CF,同理可得：BH=DN=EF,∵AC=2,AB=4,∠BAC=90°,∴BC=√22+42=2√5,∵∠DAC=∠BAC,∠ACD=∠ABC,∴△ADC∽△ACB,∴ADAC =ACAB=CDBC,∴AD2=24=2√5,∴AD=1,CD=√5,∴BG=CD=√5,∵∠GBH=∠FBC,∠BGH=∠BCF,∴△BGH∽△BCF,∴BGBC =GHCF=BHBF=√52√5=12,∴BF=2BH,而EF=GH,∴BE=3BH,∵AB=4,AD=1,BD=CE,∴BD=CE=3,∴AE=3−2=1,而∠BAE=∠BAC=90°,∴BE=√AB2+AE2=√17,∴BH=√17 3.【点睛】本题考查的是三角形的内角和定理的应用.全等三角形的判定与性质.勾股定理的应用.相似三角形的判定与性质.作出适当的辅助线构建全等三角形是解本题的关键．3．（2022·山东青岛·中考真题）【图形定义】有一条高线相等的两个三角形称为等高三角形．例如：如图∠．在△ABC 和△A ′B ′C ′中.AD,A ′D ′分别是BC 和B ′C ′边上的高线.且AD =A ′D ′.则△ABC 和△A ′B ′C ′是等高三角形．【性质探究】如图∠.用S △ABC .S △A ′B ′C ′分别表示△ABC 和△A ′B ′C ′的面积．则S △ABC =12BC ⋅AD,S △A ′B ′C ′=12B ′C ′⋅A ′D ′.∠AD =A ′D ′∠S △ABC :S △A ′B ′C =BC:B ′C ′．【性质应用】(1)如图∠.D 是△ABC 的边BC 上的一点．若BD =3,DC =4.则S △ABD :S △ADC =__________；(2)如图∠.在△ABC 中.D .E 分别是BC 和AB 边上的点．若BE:AB =1:2.CD:BC =1:3.S △ABC =1.则S △BEC =__________.S △CDE =_________；(3)如图∠.在△ABC 中.D .E 分别是BC 和AB 边上的点.若BE:AB =1:m .CD:BC =1:n .S △ABC =a .则S △CDE =__________．【答案】(1)3:4(2)12；16(3)a mn【解析】【分析】（1）由图可知△ABD和△ADC是等高三角形.然后根据等高三角形的性质即可得到答案；（2）根据BE:AB=1:2.S△ABC=1和等高三角形的性质可求得S△BEC.然后根据CD:BC=1:3和等高三角形的性质可求得S△CDE；（3）根据BE:AB=1:m.S△ABC=a和等高三角形的性质可求得S△BEC.然后根据CD:BC=1:n.和等高三角形的性质可求得S△CDE．(1)解：如图.过点A作AE∠BC.则S△ABD=12BD⋅AE.S△ADC=12DC⋅AE∠AE=AE.∠S△ABD:S△ADC=BD:DC=3:4．(2)解：∠△BEC和△ABC是等高三角形.∠S△BEC:S△ABC=BE:AB=1:2.∠S△BEC=12S△ABC=12×1=12；∠△CDE和△BEC是等高三角形.∠S△CDE:S△BEC=CD:BC=1:3.∠S△CDE=13S△BEC=13×12=16．(3)解：∠△BEC和△ABC是等高三角形.∠S△BEC:S△ABC=BE:AB=1:m.∠S△BEC=1m S△ABC=1m×a=am；∠△CDE和△BEC是等高三角形.∠S △CDE :S △BEC =CD:BC =1:n .∠S △CDE =1n S △BEC =1n ×a m =a mn ．【点睛】本题主要考查了等高三角形的定义、性质以及应用性质解题.熟练掌握等高三角形的性质并能灵活运用是解题的关键．4．（2022·山东烟台·中考真题）(1)【问题呈现】如图1.∠ABC 和∠ADE 都是等边三角形.连接BD .CE ．求证：BD ＝CE ．(2)【类比探究】如图2.∠ABC 和∠ADE 都是等腰直角三角形.∠ABC ＝∠ADE ＝90°．连接BD .CE ．请直接写出BD CE 的值．(3)【拓展提升】如图3.∠ABC 和∠ADE 都是直角三角形.∠ABC ＝∠ADE ＝90°.且AB BC ＝AD DE ＝34．连接BD .CE ．∠求BD CE 的值；∠延长CE 交BD 于点F .交AB 于点G ．求sin∠BFC 的值．【答案】(1)见解析(2)√22 (3)∠35；∠45【解析】【分析】（1）证明△BAD ∠∠CAE .从而得出结论；（2）证明△BAD ∠∠CAE .进而得出结果；（3）∠先证明△ABC ∠∠ADE .再证得△CAE ∠∠BAD .进而得出结果；∠在∠的基础上得出∠ACE ＝∠ABD .进而∠BFC ＝∠BAC .进一步得出结果．(1)证明：∠∠ABC和△ADE都是等边三角形.∠AD＝AE.AB＝AC.∠DAE＝∠BAC＝60°.∠∠DAE﹣∠BAE＝∠BAC﹣∠BAE.∠∠BAD＝∠CAE.∠∠BAD∠∠CAE（S A S）.∠BD＝CE；(2)解：∠∠ABC和∠ADE都是等腰直角三角形.∴ABAE =ABAC=√2.∠DAE＝∠BAC＝45°.∠∠DAE﹣∠BAE＝∠BAC﹣∠BAE.∠∠BAD＝∠CAE.∠∠BAD∠∠CAE.∴BDCE =ABAC=√2=√22；(3)解：∠ABAC =ADDE=34.∠ABC＝∠ADE＝90°.∠∠ABC∠∠ADE.∠∠BAC＝∠DAE.ABAC =ADAE=35.∠∠CAE＝∠BAD.∠∠CAE∠∠BAD.∴BDCE =ADAE=35；∠由∠得：∠CAE∠∠BAD.∠∠ACE＝∠ABD.∠∠AGC＝∠BGF.∠∠BFC＝∠BAC.∠sin∠BFC=BCAC =45．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质.全等三角形的判定和性质.相似三角形的判定和性质等知识.解决问题的关键是熟练掌握“手拉手”模型及其变形．5．（2022·广西·中考真题）已知∠MON =α.点A .B 分别在射线OM,ON 上运动.AB =6．(1)如图∠.若α=90°.取AB 中点D .点A .B 运动时.点D 也随之运动.点A .B .D 的对应点分别为A′,B′,D′.连接OD,OD′．判断OD 与OD′有什么数量关系?证明你的结论：(2)如图∠.若α=60°.以AB 为斜边在其右侧作等腰直角三角形ABC .求点O 与点C 的最大距离：(3)如图∠.若α=45°.当点A .B 运动到什么位置时.△AOB 的面积最大?请说明理由.并求出△AOB 面积的最大值．【答案】(1)OD =OD ′.证明见解析(2)3√3+3(3)当OA =OB 时.△AOB 的面积最大；理由见解析.△AOB 面积的最大值为9√2+9【解析】【分析】（1）根据“直角三角形斜边中线等于斜边一半”可得OD =12AB .OD ′=12A ′B ′.进而得出结论； （2）作△AOB 的外接圆I .连接CI 并延长.分别交∠I 于O ′和D .当O 运动到O ′时.OC 最大.求出CD 和等边三角形AO ′B 上的高O ′D .进而求得结果；（3）作等腰直角三角形AIB .以I 为圆心.AI 为半径作∠I .取AB 的中点C .连接CI 并延长交∠I 于O .此时△AOB 的面积最大.进一步求得结果．（3）以AB 为斜边在其右侧作等腰直角三角形ABC .连接OC 交AB 于点T .在OT 上取点E .使OE =BE .连接BE .由（2）可知.当OC ⊥AB 时.OC 最大.当OA =OB 时.此时OT 最大.即△AOB 的面积最大.由勾股定理等进行求解即可．(1)解：OD =OD ′.证明如下：∵ ∠AOB =α=90°.AB 中点为D .∴OD =12AB .∵D ′为A ′B ′的中点.∠A ′OB ′=α=90°.∴OD ′=12A ′B ′.∵AB =A ′B ′.∴OD =OD ′；(2)解：如图1.作△AOB 的外接圆I .连接CI 并延长.分别交∠I 于O ′和D .当O 运动到O ′时.OC 最大.此时△AOB 是等边三角形.∠BO ′=AB =6.OC 最大=CO ′=CD +DO ′=12AB +√32BO ′=3+3√3； (3)解：如图2.作等腰直角三角形AIB .以I 为圆心.AI 为半径作∠I .∠AI =√22AB =3√2.∠AOB =12∠AIB ＝45°. 则点O 在∠I 上.取AB 的中点C .连接CI 并延长交∠I 于O .此时△AOB 的面积最大.∠OC =CI +OI =12AB +3√2=3+3√2.∠S△AOB最大=12×6×(3+3√2)=9+9√2．【点睛】本题考查了直角三角形性质.等腰三角形性质.确定圆的条件等知识.解决问题的关键是熟练掌握“定弦对定角”的模型．6．（2022·山东潍坊·中考真题）【情境再现】甲、乙两个含45°角的直角三角尺如图∠放置.甲的直角顶点放在乙斜边上的高的垂足O处.将甲绕点O顺时针旋转一个锐角到图∠位置．小莹用作图软件Geogebra按图∠作出示意图.并连接AG,BH.如图∠所示.AB交HO于E.AC交OG于F.通过证明△OBE≌△OAF.可得OE=OF．请你证明：AG=BH．【迁移应用】延长GA分别交HO,HB所在直线于点P.D.如图∠.猜想并证明DG与BH的位置．．关系．【拓展延伸】小亮将图∠中的甲、乙换成含30°角的直角三角尺如图∠.按图∠作出示意图.并连接HB,AG.如图∠所示.其他条件不变.请你猜想并证明AG与BH的数量．．关系．【答案】证明见解析；垂直；BH=√3AG【解析】【分析】证明△BOH≅△AOG.即可得出结论；通过∠BHO=∠AGO.可以求出∠DGH+∠BHO+∠OHG=90°.得出结论AG⊥BH；证明△BOH∽△AOG.得出AGBH =OAOB=√33.得出结论；【详解】证明：∵AB=AC,AO⊥BC.∴OA=OB,∠AOB=90°.∵∠BOH+∠AOH=90°,∠AOG+∠AOH=90°.∴∠BOH=∠AOG.∵OH=OG.∴△BOH≅△AOG.∴AG=BH；迁移应用：AG⊥BH.证明：∵△BOH≅△AOG.∴∠BHO=∠AGO.∵∠DGH+∠AGO=45°.∴∠DGH+∠BHO=45°.∵∠OHG=45°.∴∠DGH+∠BHO+∠OHG=90°.∴∠HDG=90°.∴AG⊥BH；拓展延伸：BH=√3AG.证明：在Rt△AOB中.tan30°=OAOB =√33.在Rt△HOG中.tan30°=OGOH =√33.∴OAOB =OGOH.由上一问题可知.∠BOH=∠AOG.∴△BOH∽△AOG.∴AGBH =OAOB=√33.∴BH=√3AG．【点睛】本题考查旋转变换.涉及知识点：全等三角形的判定与性质.相似三角形的判定与性质、锐角三角函数、等角的余角相等.解题关键结合图形灵活应用相关的判定与性质．7．（2022·辽宁锦州·中考真题）在△ABC中.AC=BC.点D在线段AB上.连接CD并延长至点E.使DE=CD.过点E作EF⊥AB.交直线AB于点F．(1)如图1.若∠ACB=120°.请用等式表示AC与EF的数量关系：____________．(2)如图2．若∠ACB=90°.完成以下问题：∠当点D.点F位于点A的异侧时.请用等式表示AC,AD,DF之间的数量关系.并说明理由；∠当点D.点F位于点A的同侧时.若DF=1,AD=3.请直接写出AC的长．AC【答案】(1)EF=12(2)∠AD+DF=√2AC；∠4√2或2√2；2【解析】【分析】（1）过点C作CG∠AB于G.先证明∠EDF∠∠CDG.得到EF=CG.然后等腰三角形的性质和含30度直角三角形的性质.即可求出答案；（2）∠过点C作CH∠AB于H.与（1）同理.证明∠EDF∠∠CDH.然后证明△ACH是等腰直角三角形.即可得到结论；∠过点C作CG∠AB于G.与（1）同理.得∠EDF∠∠CDG.然后得到△ACG是等腰直角三角形.利用勾股定理解直角三角形.即可求出答案．(1)解：过点C作CG∠AB于G.如图.∠EF⊥AB.∠∠EFD=∠CGD=90°.∠∠EDF=∠CDG.DE=CD.∠∠EDF∠∠CDG.∠EF=CG；∠在△ABC中.AC=BC.∠ACB=120°.×(180°−120°)=30°.∠∠A=∠B=12AC.∠CG=12AC；∠EF=12AC；故答案为：EF=12(2)解：∠过点C作CH∠AB于H.如图.与（1）同理.可证∠EDF∠∠CDH.∠DF=DH.∠AD+DF=AD+DH=AH.在△ABC中.AC=BC.∠ACB=90°.∠△ABC是等腰直角三角形.∠∠CAH=45°.∠△ACH是等腰直角三角形.∠AH=√2AC.2∠AD+DF=√2AC；2∠如图.过点C作CG∠AB于G.与（1）同理可证.∠EDF∠∠CDG.∠DF=DG=1.∠AD=3.当点F在点A、D之间时.有∠AG=1+3=4.与∠同理.可证△ACG是等腰直角三角形.∠AC=√2AG=4√2；当点D在点A、F之间时.如图：∠AG=AD−DG=3−1=2.与∠同理.可证△ACG是等腰直角三角形.∠AC=√2AG=2√2；综合上述.线段AC的长为4√2或2√2．【点睛】本题考查了等腰直角三角形的判定和性质.全等三角形的判定和性质.勾股定理解直角三角形.三角形的内角和定理.解题的关键是熟练掌握所学的知识.正确的作出辅助线.正确得到三角形全等．8．（2022·北京·中考真题）在△ABC中.∠ACB=90∘.D为△ABC内一点.连接BD.DC.延长DC到点E.使得CE=DC.(1)如图1.延长BC到点F.使得CF=BC.连接AF.EF.若AF⊥EF.求证：BD⊥AF；(2)连接AE.交BD的延长线于点H.连接CH.依题意补全图2.若AB2=AE2+BD2.用等式表示线段CD与CH的数量关系.并证明．【答案】(1)见解析(2)CD=CH；证明见解析【解析】【分析】（1）先利用已知条件证明△FCE≅△BCD(SAS).得出∠CFE=∠CBD.推出EF∥BD.再由AF⊥EF即可证明BD⊥AF；（2）延长BC到点M.使CM＝CB.连接EM.AM.先证△MEC≅△BDC(SAS).推出ME=BD.通过等量代换得到AM2=AE2+ME2.利用平行线的性质得出∠BHE=∠AEM=90°.利用直角三角形斜边中线等于斜边一半即可得到CD=CH．(1)证明：在△FCE和△BCD中.{CE=CD∠FCE=∠BCDCF=CB.∠ △FCE≅△BCD(SAS).∠ ∠CFE=∠CBD.∠ EF∥BD.∠AF⊥EF.∠BD⊥AF．(2)解：补全后的图形如图所示.CD=CH.证明如下：延长BC到点M.使CM＝CB.连接EM.AM.∠∠ACB=90∘.CM＝CB.∠ AC垂直平分BM.∠AB=AM.在△MEC和△BDC中.{CM=CB∠MCE=∠BCDCE=CD.∠ △MEC≅△BDC(SAS).∠ ME=BD.∠CME=∠CBD.∠AB2=AE2+BD2.∠ AM2=AE2+ME2.∠ ∠AEM=90°.∠∠CME=∠CBD.∠ BH∥EM.∠ ∠BHE=∠AEM=90°.即∠DHE=90°.∠CE=CD=12DE.∠ CH=12DE.∠ CD=CH．【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质.垂直平分线的性质.平行线的判定与性质.勾股定理的逆用.直角三角形斜边中线的性质等.第二问有一定难度.正确作辅助线.证明∠DHE=90°是解题的关键．9．（2022·福建·中考真题）已知△ABC≌△DEC.AB＝AC.AB＞BC．(1)如图1.CB平分∠ACD.求证：四边形ABDC是菱形；(2)如图2.将（1）中的∠CDE绕点C逆时针旋转（旋转角小于∠BAC）.BC.DE的延长线相交于点F.用等式表示∠ACE与∠EFC之间的数量关系.并证明；(3)如图3.将（1）中的∠CDE绕点C顺时针旋转（旋转角小于∠ABC）.若∠BAD=∠BCD.求∠ADB 的度数．【答案】(1)见解析(2)∠ACE+∠EFC=180°.见解析(3)30°【解析】【分析】（1）先证明四边形ABDC是平行四边形.再根据AB＝AC得出结论；（2）先证出∠ACF=∠CEF.再根据三角形内角和∠CEF+∠ECF+∠EFC=180°.得到∠ACF+∠ECF+∠EFC=180°.等量代换即可得到结论；（3）在AD上取一点M.使得AM＝CB.连接BM.证得△ABM≌△CDB.得到∠MBA=∠BDC.设∠BCD=∠BAD=α.∠BDC=β.则∠ADB=α+β.得到α+β的关系即可．(1)∠△ABC≌△DEC.∠AC＝DC.∠AB＝AC.∠∠ABC＝∠ACB.AB＝DC.∠CB平分∠ACD.∠∠ACB=∠DCB.∠∠ABC=∠DCB.∠AB∥CD.∠四边形ABDC是平行四边形.又∠AB＝AC.∠四边形ABDC是菱形；(2)结论：∠ACE+∠EFC=180°．证明：∠△ABC≌△DEC.∠∠ABC=∠DEC.∠AB＝AC.∠∠ABC=∠ACB.∠∠ACB=∠DEC.∠∠ACB+∠ACF=∠DEC+∠CEF=180°.∠∠ACF=∠CEF.∠∠CEF+∠ECF+∠EFC=180°.∠∠ACF+∠ECF+∠EFC=180°.∠∠ACE+∠EFC=180°；(3)在AD上取一点M.使得AM＝CB.连接BM.∠AB＝CD.∠BAD=∠BCD.∠△ABM≌△CDB.∠BM＝BD.∠MBA=∠BDC.∠∠ADB=∠BMD.∠∠BMD=∠BAD+∠MBA.∠∠ADB=∠BCD+∠BDC.设∠BCD=∠BAD=α.∠BDC=β.则∠ADB=α+β.∠CA＝CD.∠∠CAD=∠CDA=α+2β.∠∠BAC=∠CAD−∠BAD=2β.(180°−∠BAC)=90°−β.∠∠ACB=12∠∠ACD=(90°−β)+α.∠∠ACD+∠CAD+∠CDA=180°.∠(90°−β)+α+2(α+2β)=180°.∠α+β=30°.即∠ADB＝30°．【点睛】本题考查了菱形的判定定理、全等三角形的判定和性质、三角形内角和定理等.灵活运用知识.利用数形结合思想.做出辅助线是解题的关键．10．（2022·山东威海·中考真题）回顾：用数学的思维思考(1)如图1.在∠ABC中.AB＝AC．∠BD.CE是∠ABC的角平分线．求证：BD＝CE．∠点D.E分别是边AC.AB的中点.连接BD.CE．求证：BD＝CE．（从∠∠两题中选择一题加以证明）(2)猜想：用数学的眼光观察经过做题反思.小明同学认为：在∠ABC中.AB＝AC.D为边AC上一动点（不与点A.C重合）．对于点D在边AC上的任意位置.在另一边AB上总能找到一个与其对应的点E.使得BD＝CE．进而提出问题：若点D.E分别运动到边AC.AB的延长线上.BD与CE还相等吗？请解决下面的问题：如图2.在△ABC 中.AB ＝AC .点D .E 分别在边AC .AB 的延长线上.请添加一个条件（不再添加新的字母）.使得BD ＝CE .并证明．(3)探究：用数学的语言表达如图3.在△ABC 中.AB ＝AC ＝2.∠A ＝36°.E 为边AB 上任意一点（不与点A .B 重合）.F 为边AC 延长线上一点．判断BF 与CE 能否相等．若能.求CF 的取值范围；若不能.说明理由．【答案】(1)见解析(2)添加条件CD =BE .见解析(3)能.0＜CF ＜√5−1【解析】【分析】（1）∠利用ASA 证明△ABD ∠∠ACE ．∠利用SAS 证明△ABD ∠∠ACE ．（2）添加条件CD =BE .证明AC +CD =AB +BE .从而利用SAS 证明△ABD ∠∠ACE ．（3）在AC 上取一点D .使得BD =CE .根据BF =CE .得到BD =BF .当BD =BF =BA 时.可证△CBF ∠∠BAF .运用相似性质.求得CF 的长即可．(1)∠如图1.∠AB =AC .∠∠ABC =∠ACB .∠BD .CE 是△ABC 的角平分线.∠∠ABD =12∠ABC .∠ACE =12∠ACB .∠∠ABD=∠ACE.∠AB=AC.∠A=∠A.∠∠ABD∠∠ACE.∠BD=CE．∠如图1.∠AB=AC.点D.E分别是边AC.AB的中点.∠AE=AD.∠AB=AC.∠A=∠A.∠∠ABD∠∠ACE.∠BD=CE．(2)添加条件CD=BE.证明如下：∠AB=AC.CD=BE.∠AC+CD=AB+BE.∠AD=AE.∠AB=AC.∠A=∠A.∠∠ABD∠∠ACE.∠BD=CE．(3)能在AC上取一点D.使得BD=CE.根据BF=CE.得到BD=BF.当BD=BF=BA时.E与A重合.∠∠A＝36°.AB=AC.∠∠ABC=∠ACB=72°.∠A=∠BF A=36°.∠∠ABF=∠BCF=108°.∠BFC=∠AFB.∠△CBF∠∠BAF.∠BF AF =CFBF.∠AB＝AC＝2=BF. 设CF=x.∠2 x+2=x2.整理.得x2+2x−4=0.解得x=√5−1.x=−√5−1（舍去）.故CF= x=√5−1.∠0＜CF＜√5−1．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质.三角形全等的判定和性质.三角形相似的判定和性质.一元二次方程的解法.熟练掌握等腰三角形的性质.三角形全等的判定.三角形相似的判定性质是解题的关键．11．（2022·贵州铜仁·中考真题）如图.在四边形ABCD中.对角线AC与BD相交于点O.记△COD的面积为S1.△AOB的面积为S2．（1）问题解决：如图∠.若AB//CD.求证：S1S2=OC⋅ODOA⋅OB（2）探索推广：如图∠.若AB与CD不平行.（1）中的结论是否成立？若成立.请证明；若不成立.请说明理由．（3）拓展应用：如图∠.在OA上取一点E.使OE=OC.过点E作EF∥CD交OD于点F.点H为AB的中点.OH交EF于点G.且OG=2GH.若OEOA =56.求S1S2值．【答案】（1）见解析；（2）（1）中的结论成立.理由见解析：（3）2554【解析】【分析】（1）如图所示.过点D作AE∠AC于E.过点B作BF∠AC于F.求出DE=OD⋅sin∠DOE，BF= OB⋅sin∠BOF.然后根据三角形面积公式求解即可；（2）同（1）求解即可；（3）如图所示.过点A作AM∥EF交OB于M.取BM中点N.连接HN.先证明∠OEF∠∠OCD.得到OD=OF.证明∠OEF∠∠OAM.得到OFOM=OEOA=56.设OE=OC=5m，OF=OD=5n.则OA=6m，OM=6n.证明∠OGF∠∠OHN.推出ON=32OF=15n2.BN=MN=ON−OM=3n2.则OB=ON+BN=9n.由（2）结论求解即可．【详解】解：（1）如图所示.过点D作AE∠AC于E.过点B作BF∠AC于F.∠DE=OD⋅sin∠DOE，BF=OB⋅sin∠BOF.∠S△OCD=S1=12OC⋅DE=12OC⋅OD⋅sin∠DOE.S△AOB=S2=12OA⋅BF=12OA⋅OB⋅sin∠BOF.∠∠DOE=∠BOF.∠sin∠DOE=sin∠BOF；∠S1 S2=12OC⋅OD⋅sin∠DOE12OA⋅OB⋅sin∠BOF=OC⋅ODOA⋅OB；（2）（1）中的结论成立.理由如下：如图所示.过点D作AE∠AC于E.过点B作BF∠AC于F.∠DE=OD⋅sin∠DOE，BF=OB⋅sin∠BOF.∠S△OCD=S1=12OC⋅DE=12OC⋅OD⋅sin∠DOE.S△AOB=S2=12OA⋅BF=12OA⋅OB⋅sin∠BOF.∠∠DOE=∠BOF.∠sin∠DOE=sin∠BOF；∠S1 S2=12OC⋅OD⋅sin∠DOE12OA⋅OB⋅sin∠BOF=OC⋅ODOA⋅OB；（3）如图所示.过点A作AM∥EF交OB于M.取BM中点N.连接HN.∠EF∥CD.∠∠ODC=∠OFE.∠OCD=∠OEF.又∠OE=OC.∠∠OEF∠∠OCD（AAS）.∠OD=OF.∠EF∥AM.∠∠OEF∠∠OAM.∠OF OM=OE OA=56.设OE=OC=5m，OF=OD=5n.则OA=6m，OM=6n.∠H是AB的中点.N是BM的中点.∠HN是∠ABM的中位线.∠HN∥AM∥EF.∠∠OGF∠∠OHN.∠OG OH =OFON.∠OG=2GH.∠OG=23OH.∠OG OH =OF ON=23.∠ON=32OF=15n2.BN=MN=ON−OM=3n2.∠OB=ON+BN=9n.由（2）可知S1S2=OC⋅ODOA⋅OB=5m⋅5n6m⋅9n=2554．【点睛】本题主要考查了解直角三角形.相似三角形的性质与判定.全等三角形的性质与判定.三角形中位线定理.正确作出辅助线是解题的关键．12．（2022·湖北武汉·中考真题）已知CD是△ABC的角平分线.点E.F分别在边AC.BC上.AD= m.BD=n.△ADE与△BDF的面积之和为S．(1)填空：当∠ACB=90°.DE⊥AC.DF⊥BC时.∠如图1.若∠B=45°.m=5√2.则n=_____________.S=_____________；∠如图2.若∠B=60°.m=4√3.则n=_____________.S=_____________；(2)如图3.当∠ACB=∠EDF=90°时.探究S与m、n的数量关系.并说明理由：(3)如图4.当∠ACB=60°.∠EDF=120°.m=6.n=4时.请直接写出S的大小．【答案】(1)∠5√2.25；∠4；8√3(2)S=12mn(3)S=6√3【解析】【分析】（1）∠先证四边形DECF为正方形.再证∠ABC为等腰直角三角形.根据CD平分∠ACB.得出CD∠AB.且AD=BD=m,然后利用三角函数求出BF=BD cos45°=5.DF=BD sin45°=5.AE=AD cos45°=5即可；∠先证四边形DECF为正方形.利用直角三角形两锐角互余求出∠A=90°-∠B=30°.利用30°直角三角形先证求出DE=12AD=12×4√3=2√3.利用三角函数求出AE=ADcos30°=6.DF=DE=2√3.BF=DF tan30°=2.BD=DF÷sin60°=4即可；（2）过点D作DH∠AC于H.DG∠BC于G.在HC上截取HI=BG.连接DI.先证四边形DGCH为正方形.再证∠DFG∠∠DEH（ASA）与∠DBG∠∠DIH（SAS）.然后证明∠IDA=180°-∠A-∠DIH=90°即可；（3）过点D作DP∠AC于P.DQ∠BC于Q.在PC上截取PR=QB.连接DR.过点A作AS∠DR于S.先证明∠DQF∠∠DPE.∠DBQ∠∠DRP.再证∠DBF∠∠DRE.求出∠ADR=∠ADE+∠BDF=180°-∠FDE=60°即可．(1)解：∠∠∠ACB=90°.DE⊥AC.DF⊥BC.CD是△ABC的角平分线.∠四边形DECF为矩形.DE=DF.∠四边形DECF为正方形.∠∠B=45°.∠∠A=90°-∠B=45°=∠B.∠∠ABC为等腰直角三角形.∠CD平分∠ACB.∠CD∠AB.且AD=BD=m,∠m=5√2.∠BD=n=5√2.∠BF=BDcos45°=5.DF=BDsin45°=5.AE=ADcos45°=5.ED=DF=5.∠S= S△ADE+SΔBDF=12×5×5+12×5×5=25；故答案为5√2.25；∠∠∠ACB=90°.DE⊥AC.DF⊥BC.CD是△ABC的角平分线.∠四边形DECF为矩形.DE=DF.∠四边形DECF为正方形.∠∠B=60°.∠∠A=90°-∠B=30°.∠DE=12AD=12×4√3=2√3.AE=AD cos30°=6.DF=DE=2√3.∠∠BDF=90°-∠B=30°.∠BF=DF tan30°=2.∠BD=DF÷sin60°=4.∠BD=n=4.∠S=S△ADE+SΔBDF=12×2√3×6+12×2×2√3=8√3.故答案为：4；8√3；(2)解：过点D作DH∠AC于H.DG∠BC于G.在HC上截取HI=BG.连接DI.∠∠DHC=∠DGC=∠GCH=90°.∠四边形DGCH为矩形.∠CD是△ABC的角平分线.DH∠AC.DG∠BC.∠DG=DH.∠四边形DGCH为正方形.∠∠GDH=90°.∠∠EDF=90°.∠∠FDG+∠GDE=∠GDE+∠EDH=90°.∠∠FDG=∠EDH.在∠DFG和∠DEH中.{∠FDG=∠EDH DG=DH∠DGF=∠DHE.∠∠DFG∠∠DEH（ASA）∠FG=EH.在∠DBG和∠DIH中.{DG=DH∠DGB=∠DHIBG=IH.∠∠DBG∠∠DIH（SAS）.∠∠B=∠DIH.DB=DI=n.∠∠DIH+∠A=∠B+∠A=90°.∠∠IDA=180°-∠A-∠DIH=90°.∠S△ADI=12AD⋅DI=12mn.∠S=S△ADE+SΔBDF=S△ADE+SΔHDI=SΔADI=12mn；(3)过点D作DP∠AC于P.DQ∠BC于Q.在PC上截取PR=QB.连接DR.过点A作AS∠DR于S.∠CD是△ABC的角平分线.DP∠AC.DQ∠BC.∠DP=DQ.∠∠ACB=60°∠∠QDP=120°.∠∠EDF=120°.∠∠FDQ+∠FDP=∠FDP+∠EDP=120°.∠∠FDQ=∠EDP.在∠DFQ和∠DEP中.{∠FDQ=∠EDPDQ=DP∠DQF=∠DPE.∠∠DFQ∠∠DEP（ASA）∠DF=DE.∠QDF=∠PDE.在∠DBQ和∠DRP中.{DQ=DP∠DQB=∠DPRBQ=RP.∠∠DBQ∠∠DRP（SAS）.∠∠BDQ=∠RDP.DB=DR.∠∠BDF=∠BDQ+∠FDQ=∠RDP+∠EDP=∠RDE.∠DB=DE.DB=DR.∠∠DBF∠∠DRE.∠∠ADR=∠ADE+∠BDF=180°-∠FDE=60°.∠S=S△ADR=12AS⋅DR=12ADsin60°×DR=12×6×√32×4=6√3．【点睛】本题考查等腰直角三角形判定与性质.正方形判定与性质.三角形全等判定与性质.直角三角形判定.三角形面积.角平分线性质.解直角三角形.掌握等腰直角三角形判定与性质.正方形判定与性质.三角形全等判定与性质.直角三角形判定.三角形面积.角平分线性质.解直角三角形是解题关键．13．（2022·黑龙江·中考真题）△ABC和△ADE都是等边三角形．(1)将△ADE绕点A旋转到图∠的位置时.连接BD.CE并延长相交于点P（点P与点A重合）.有PA+PB=PC（或PA+PC=PB）成立；请证明．(2)将△ADE绕点A旋转到图∠的位置时.连接BD.CE相交于点P.连接P A.猜想线段P A、PB、PC 之间有怎样的数量关系？并加以证明；(3)将△ADE绕点A旋转到图∠的位置时.连接BD.CE相交于点P.连接P A.猜想线段P A、PB、PC 之间有怎样的数量关系？直接写出结论.不需要证明．【答案】(1)证明见解析(2)图∠结论：PB=PA+PC.证明见解析(3)图∠结论：PA+PB=PC【解析】【分析】（1）由△ABC是等边三角形.得AB=AC.再因为点P与点A重合.所以PB=AB.PC=AC.P A=0.即可得出结论；（2）在BP上截取BF=CP.连接AF.证明△BAD≌△CAE（SAS）.得∠ABD=∠ACE.再证明△CAP≌△BAF（SAS）.得∠CAP=∠BAF.AF=AP.然后证明△AFP是等边三角形.得PF=AP.即可得出结论；（3）在CP上截取CF=BP.连接AF.证明△BAD≌△CAE（SAS）.得∠ABD=∠ACE.再证明△BAP≌△CAF（SAS）.得出∠CAF=∠BAP.AP=AF.然后证明△AFP是等边三角形.得PF=AP.即可得出结论：PA+PB=PF+CF=PC．(1)证明：∠∠ABC是等边三角形.∠AB=AC.∠点P与点A重合.∠PB=AB.PC=AC.P A=0.∠PA+PB=PC或PA+PC=PB；(2)解：图∠结论：PB=PA+PC证明：在BP上截取BF=CP.连接AF.∠△ABC和△ADE都是等边三角形.∠AB=AC.AD=AE.∠BAC=∠DAE=60°∠∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD.∠∠BAD=∠CAE.∠△BAD≌△CAE（SAS）.∠∠ABD=∠ACE.∠AC=AB.CP=BF.∠△CAP≌△BAF（SAS）.∠∠CAP=∠BAF.AF=AP.∠∠CAP+∠CAF=∠BAF+∠CAF.∠∠FAP=∠BAC=60°.∠△AFP是等边三角形.∠PF=AP.∠PA+PC=PF+BF=PB；(3)解：图∠结论：PA+PB=PC.理由：在CP上截取CF=BP.连接AF.∠△ABC和△ADE都是等边三角形.∠AB=AC.AD=AE.∠BAC=∠DAE=60°∠∠BAC+∠BAE=∠DAE+∠BAE.∠∠BAD=∠CAE.∠△BAD≌△CAE（SAS）.∠∠ABD=∠ACE.∠AB=AC.BP=CF.∠△BAP≌△CAF（SAS）.∠∠CAF=∠BAP.AP=AF.∠∠BAF+∠BAP=∠BAF+∠CAF.∠∠FAP=∠BAC=60°.∠△AFP是等边三角形.∠PF=AP.∠PA+PB=PF+CF=PC.即PA+PB=PC．【点睛】本题考查等边三角形的判定与性质.全等三角形的判定与性质.熟练掌握等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质是解题的关键．14．（2022·陕西·中考真题）问题提出(1)如图1.AD是等边△ABC的中线.点P在AD的延长线上.且AP=AC.则∠APC的度数为__________．问题探究(2)如图2.在△ABC中.CA=CB=6,∠C=120°．过点A作AP∥BC.且AP=BC.过点P作直线l⊥BC.分别交AB、BC于点O、E.求四边形OECA的面积．问题解决(3)如图3.现有一块△ABC型板材.∠ACB为钝角.∠BAC=45°．工人师傅想用这块板材裁出一个△ABP型部件.并要求∠BAP=15°,AP=AC．工人师傅在这块板材上的作法如下：∠以点C为圆心.以CA长为半径画弧.交AB于点D.连接CD；∠作CD的垂直平分线l.与CD于点E；∠以点A为圆心.以AC长为半径画弧.交直线l于点P.连接AP、BP.得△ABP．请问.若按上述作法.裁得的△ABP型部件是否符合要求？请证明你的结论．【答案】(1)75°(2)15√32(3)符合要求.理由见解析【解析】【分析】（1）利用等腰三角形的判定及性质.结合三角形内角和.先求出∠PCD=15°即可；（2）连接BP．先证明出四边形ACBP是菱形．利用菱形的性质得出BP=AC=6.由∠ACB= 120°.得出∠PBE=60°．根据l⊥BC.得BE=PB⋅cos60°=3.PE=PB⋅sin60°=3√3.即可求出S△ABC=1BC⋅PE=9√3.再求出OE=√3.利用S四边形OECA=S△ABC−S△OBE即可求解；2（3）由作法.知AP=AC.根据CD=CA,∠CAB=45°.得出∠ACD=90°．以AC、CD为边.作正方形ACDF.连接PF．得出AF=AC=AP．根据l是CD的垂直平分线.证明出△AFP为等边三角形.即可得出结论．(1)解：∵AC=AP.∴∠ACP=∠APC.∵2(∠ACD+∠PCD)+∠CAP=180°.∴2×(60°+∠PCD)+30°=180°.解得：∠PCD=15°.∴∠ACP=∠ACD+∠PCD=75°.∴∠APC=75°.故答案为：75°；(2)解：如图2.连接BP．图2∠AP∥BC,AP=BC=AC.∠四边形ACBP是菱形．∠BP=AC=6．∠∠ACB=120°.∠∠PBE=60°．∠l⊥BC.∠BE=PB⋅cos60°=3,PE=PB⋅sin60°=3√3．∠S△ABC=12BC⋅PE=9√3．∠∠ABC=30°.∠OE=BE⋅tan30°=√3．∠S△OBE=12BE⋅OE=3√32．∠S四边形OECA =S△ABC−S△OBE=15√32．(3)解：符合要求．由作法.知AP=AC．∠CD=CA,∠CAB=45°.∠∠ACD=90°．如图3.以AC、CD为边.作正方形ACDF.连接PF．图3∠AF=AC=AP．∠l是CD的垂直平分线.∠l是AF的垂直平分线．∠PF=PA．∠△AFP为等边三角形．∠∠FAP=60°.∠∠PAC=30°.∠∠BAP=15°．∠裁得的△ABP型部件符合要求．【点睛】本题考查了等边三角形的性质.等腰三角形的判定及性质、三角形内角和定理、菱形的判定及性质、锐角三角函数、正方形、垂直平分线.解题的关键是要灵活运用以上知识点进行求解.涉及知识点较多.题目较难．15．（2022·湖南岳阳·中考真题）如图.△ABC和△DBE的顶点B重合.∠ABC=∠DBE=90°.∠BAC=∠BDE=30°.BC=3.BE=2．(1)特例发现：如图1.当点D.E分别在AB.BC上时.可以得出结论：ADCE=______.直线AD与直线CE 的位置关系是______；(2)探究证明：如图2.将图1中的△DBE绕点B顺时针旋转.使点D恰好落在线段AC上.连接EC.（1）中的结论是否仍然成立？若成立.请证明；若不成立.请说明理由；(3)拓展运用：如图3.将图1中的△DBE绕点B顺时针旋转α(19°<α<60°).连接AD、EC.它们的延长线交于点F.当DF=BE时.求tan(60°−α)的值．【答案】(1)√3.垂直(2)成立.理由见解析(3)8√5−9√311【解析】【分析】（1）解直角三角形求出EC.AD.可得结论；（2）结论不变.证明△ABD∽△CBE.推出ADEC =ABBC=√3.∠ADB=∠BEC.可得结论；（3）如图3中.过点B作BJ⊥AC于点J.设BD交AK于点K.过点K作KT⊥AC于点K.求出BJ.JK.可得结论．(1)解：在Rt△ABC中.∠B=90°.BC=3.∠A=30°.∠AB=√3BC=3√3.在Rt△BDE中.∠BDE=30°.BE=2.∠BD=√3BE=2√3.∠EC=1.AD=√3.∠ADEC=√3.此时AD⊥EC.故答案为：√3.垂直；(2)结论成立．理由：∠∠ABC=∠DBE=90°.∠∠ABD=∠CBE.∠AB=√3BC.BD=√3BE.∠AC BC =DBEB.∠△ABD∽△CBE.∠AD EC =ABBC=√3.∠ADB=∠BEC.∠∠ADB+∠CDB=180°.∠∠CDB+∠BEC=180°.∠∠DBE+∠DCE=180°.∠∠DBE=90°.∠∠DCE=90°.∠AD⊥EC；(3)如图3中.过点B作BJ⊥AC于点J.设BD交AK于点K.过点K作KT⊥AC于点K．∠∠AJB=90°.∠BAC=30°.∠∠ABJ=60°.∠∠KBJ=60°−α．∠AB=3√3.∠BJ=12AB=3√32.AJ=√3BJ=92.当DF=BE时.四边形BEFD是矩形.∠∠ADB=90°.AD=√AB2−BD2=√(3√3)2−(2√3)2=√15.设KT=m.则AT=√3m.AK=2m.∠∠KTB=∠ADB=90°.∠tanα=KTBT =ADBD.∠m BT =√152√3.∠BT=2√55m.∠√3m+2√55m=3√3.∠m=45−6√1511.∠AK=2m=90−12√1511.∠KJ=AJ−AK=92−90−12√1511=24√15−8122.∠tan(60°−α)=KJBJ =8√5−9√311．【点睛】本题属于三角形综合题.考查了解直角三角形.相似三角形的判定和性质等知识.解题的关键是学会添加常用辅助线.构造直角三角形解决问题.属于中考压轴题．16．（2022·湖北十堰·中考真题）已知∠ABN=90°.在∠ABN内部作等腰△ABC.AB=AC.∠BAC=α(0°<α≤90°)．点D为射线BN上任意一点（与点B不重合）.连接AD.将线段AD绕点A逆时针旋转α得到线段AE.连接EC并延长交射线BN于点F．(1)如图1.当α=90°时.线段BF与CF的数量关系是_________；(2)如图2.当0°<α<90°时.（1）中的结论是否还成立？若成立.请给予证明；若不成立.请说明理由；(3)若α=60°.AB=4√3.BD=m.过点E作EP⊥BN.垂足为P.请直接写出PD的长（用含有m的式子表示）．【答案】(1)BF=CF(2)成立；理由见解析(3)PD=6−m2或PD=0或PD=m2−6【解析】【分析】（1）连接AF.先根据“SAS”证明ΔACE≌ΔABD.得出∠ACE=∠ABD=90°.再证明Rt△ABF≌Rt△ACF.即可得出结论；（2）连接AF.先说明∠EAC=∠BAD.然后根据“SAS”证明ΔACE≌ΔABD.得出∠ACE=∠ABD= 90°.再证明Rt△ABF≌Rt△ACF.即可得出结论；（3）先根据α=60°.AB=AC.得出∠ABC为等边三角形.再按照∠BAD＜60°.∠BAD=60°.∠BAD＞60°三种情况进行讨论.得出结果即可．(1)解：BF=CF；理由如下：连接AF.如图所示：。
2015年广西中考数学总复习课件第32课时 解直角三角形及其应用
；
(2) 互余关系： sinA ＝ cos(90°－ A) ； cosA ＝ sin(90°－ A) ．
第32课时ຫໍສະໝຸດ 解直角三角形及其应用考点3
直角三角形的边角关系
1．直角三角形的边角关系
图7－32－2 第32课时 解直角三角形及其应用
a2 ＋b2 ＝c2 (1)三边关系：勾股定理：______________ ； C (2)三角关系：∠A＋∠B＝∠________ ； b a (3) 边 角 间 的 关 系 ： sinA ＝ ________ ， cosA ＝ ________ ， c c a tanA＝________ ． b 2．解直角三角形的一般方法： (1) 已知两边，先用勾股定理求第三边，再利用三角函数求 两个锐角的度数； (2) 已知一个锐角和一边，先用互余关系求另一个锐角，再 利用三角函数求出另两边． 第32课时 解直角三角形及其应用
1．cos60°的值等于( A ) 1 A. 2 2 B. 2 3 C. 2 3 D. 3
3 2．在Rt△ACB中，∠C＝90°，AB＝10，tanA＝ ，则BC的长 4 为( A )
A．6 B．7.5 C．8 D．12.5
第32课时
解直角三角形及其应用
3 ．如图 7－32－6，一河坝的横断面为等腰梯形 ABCD ，坝顶 宽10 米，坝高 12米，斜坡 AB 的坡度i ＝ 1∶1.5 ，则坝底 AD的长度
坝的坡面，使得坡面的坡角∠ADB＝ 50°，则此时应将坝底向外
拓宽多少米？(结果保留到0.01米，参考数据：sin62°≈0.88， cos62°≈0.47，tan50°≈1.20)
图7－32－9 第32课时 解直角三角形及其应用
解：过点A作BC的垂线交BC于点E.在Rt△ABE中，AB＝25，∠ ABC＝62°， ∴AE＝25sin62°≈25×0.88＝22. BE＝25cos62°≈25×0.47＝11.75. 在Rt△ADE中，AE＝22，tan50°≈1.20， AE 22 ∴DE＝ ≈ ≈18.333. tan50° 1.20 ∴DB＝DE－BE≈18.333－11.75≈6.58. 答：应将坝底向外拓宽约6.58米.
中考数学专题复习——解直角三角形的实际应用的基本类型课件
) D.6 3 m
2.(202X·益阳中考)南洞庭大桥是南益 高速公路上的重要桥梁,小芳同学在校 外实践活动中对此开展测量活动.如 图,在桥外一点A测得大桥主架与水面的交汇点C的俯角 为α,大桥主架的顶端D的仰角为β,已知测量点与大桥
主架的水平距离AB=a,则此时大桥主架顶端离水面的高
CD为 ( C )
【核心突破】 【类型一】 仰角俯角问题 例1(202X·天津中考)如图,海面上一艘 船由西向东航行,在A处测得正东方向上 一座灯塔的最高点C的仰角为31°,再向东继续航行30 m
到达B处,测得该灯塔的最高点C的仰角为45°,根据测 得的数据,计算这座灯塔的高度CD(结果取整数). 参考数据:sin 31°≈0.52,cos 31°≈0.86, tan 31°≈0.60.
____2_2____海里(结果保留整数).(参考数据sin 26.5° ≈0.45,cos 26.5°≈0.90,tan 26.5°≈0.50, 5 ≈ 2.24)
5.(202X·上海宝山区模拟)地铁10 号线某站点出口横截面平面图如图 所示,电梯AB的两端分别距顶部9.9 米和2.4米,在距电梯起点A端6米的P处,用1.5米高的测 角仪测得电梯终端B处的仰角为14°,求电梯AB的坡度 与长度.
解直角三角形的实际 应用的基本类型
【主干必备】 解直角三角形的实际应用的基本类型
应用 类型
图示
测量方式
解答要点
仰角 俯角 问题
(1)运用仰角测距离. (2)运用俯角测距离. (3)综合运用仰角俯 角测距离.
水平线与竖直 线的夹角是 90°,据此构 造直角三角形.
应用 类型
坡度 (坡 比)、 坡角 问题
A.asinα+asinβ C.atanα+aβ D. a a
中考数学复习专题,解直角三角形的应用
中考数学复习专题，解直角三角形的应用知识点一、仰角、俯角问题仰角：指从下往上看，视线与水平线的夹角。
俯角：指从上往下看，视线与水平线的夹角。
解题方法：仰角、俯角问题一般是通过作水下的垂线，构造一个直角三角形，然后再把仰角、俯角转化为直角三角形的内角解题。
经典例题：（2018年，广西中考）。
如图所示，从甲楼底部A处测得乙楼顶部C处，的仰角是30度，从甲楼顶部B处测得乙楼底部D处的俯角是45度，已知甲楼的高AB是120m，则乙楼的高是多少米？（结果保留根号）知识点二、坡度、坡角问题坡度：我们通常把坡面的铅直高度h与水平的宽度l的比值h/l叫作坡面的坡度（或坡比），坡度一般用i来表示，即i=h/l。
坡度、坡角的转化：tan=i=h/l解题方法：坡度、坡角问题，我们要把这两个概念弄清楚，不要混淆了。
坡度是一个比值，而坡角是一个锐角。
（2018年绍兴期中考试）水库大坝截面的迎水坡坡比（DE与AE的长度之比）为1：0.6，背水坡的坡比为1：2，大坝高DE=30O米，坝顶宽CD=10O米，求大坝的截面的周长和面积。
A知识点三、方向角问题方向角我一般用“南偏××”或“北偏××”表示。
方向角具有互逆性。
解题方法：把方向角要能转化成直角三角形的内角，如果没有直角三角形要先做辅助线构造直角三角形。
（2018眉山中考）知识改变世界，科技改变生活。
导航装备的不断更新极大方便了人们的出行。
如图，某校组织学生乘车到黑龙滩（用C表示）开展社会实践活动，车到达A地后，发现C地恰好在A地的正北方向，且距离A在13千米，导航显示车辆应沿北偏东60度方向行驶至B地，再沿北偏西37度方向行驶一段距离才能到达C地，求B,C两地之间的距离。
（sin53度≈0.8，cos53度≈0.6, tan53度≈1.3。
结果保留根号）。
中考数学专题复习之 解直角三角形及其应用 课件
3．(2020·怀化)如图，某数学兴趣小组为测量一 棵古树的高度，在 A 点处测得古树顶端 D 的仰角为 30°，然后向古树底端 C 步行 20 米到达点 B 处，测 得古树顶端 D 的仰角为 45°，且点 A、B、C 在同 一直线上，求古树 CD 的高度．(已知： 2≈1.414，
3≈1.732，结果保留整数)
解：过点 C 作 CD⊥AB，垂足为 D.如图所示：
根据题意可知∠BAC＝90°－60°＝30°， ∠DBC＝90°－30°＝60°， ∵∠DBC＝∠ACB＋∠BAC， ∴∠BAC＝30°＝∠ACB，∴BC＝AB＝60 km，
∵在 Rt△BCD 中，∠CDB＝90°，∠DBC＝
60°，
sin ∠DBC＝CBDC，∴sin 60°＝C6D0 ，
解：由题意可知，AB＝20 米，∠DAB＝30°， ∠C＝90°，∠DBC＝45°，
∵△BCD 是等腰直角三角形，∴CB＝CD， 设 CD＝x，则 BC＝x，AC＝20＋x， 在 Rt△ACD 中， tan 30°＝CCDA＝ABC＋DCB＝20x＋x＝ 33，
解 得 x ＝ 10 3 ＋ 10≈10×1.732 ＋ 10 ＝ 27.32≈27，
即 CD＝27 米，
答：古树 CD 的高度为 27 米．
4．(2020·德州)如图，无人机在离地面 60 米的 C 处，观测楼房顶部 B 的俯角为 30°，观测楼房底部 A 的俯角为 60°，求楼房的高度．
解：过 B 作 BE⊥CD 交 CD 于 E，
由题意得∠CBE＝30°，∠CAD＝60°， ∵在 Rt△ACD 中，
∴ CD ＝ 60×sin
60 ° ＝ 60×
3 2
＝
30
3
(km)>47 km，
中考数学专题复习《解直角三角形及其应用》知识点梳理及典例讲解课件
图
形
概
念
定
义
一般指以观测者的位置为中心，将正北
或正南方向作为起始方向旋转到目标方
向线所成的角（一般指锐角），通常表
方向角
示成北（南）偏东（西）多少度，方向
角的角度在0°～90°之间.点A，B，C关于
点O的方向角分别是北偏东30°，南偏东
60°，北偏西45°（也称西北方向）
图
形
考点一
锐角三角函数的定义
典例1 （2023·芜湖镜湖一模）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝
2，AB＝3，则cosB的值为（ D ）
A.
C.
5
2
3
2
B.
5
3
D.
2
3
典例1图
典例2 （2023·蚌埠蚌山模拟）如图，在由边长为1的小正方形组成的网
格中，点A，B，C，D，E均在格点上，半径为2的☉A与BC交于点F，则
DF⊥CE于点F，则∠AEF＝∠DFC＝∠DFE＝90°.
又∵ ∠DAB＝90°，∴ 四边形AEFD是矩形.
∴ ∠ADF＝90°，AE＝DF.∵ ∠ADC＝120°，∴
∠CDF＝∠ADC－∠ADF＝30°.在Rt△CDF中，
cos30°＝ ，CD＝100，∴ DF＝CD·cos30°＝
＝50
tan53.3°≈1.34，sin68.2°≈0.93，cos68.2°≈0.37，tan68.2°≈2.50）.
解：如图，过点D作DE⊥AB，交AB的延长线于点E，过
点C作CF⊥AB，交AB的延长线于点F.易得四边形CDEF
是矩形，∴ EF＝CD＝10cm，DE＝CF.在Rt△ADE中，
中考数学专题训练：解直角三角形及其应用(附参考答案)
中考数学专题训练：解直角三角形及其应用（附参考答案）1.如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，则下列结论不正确的是( )A．sin B＝ADAB B．sin B＝ACBCC．sin B＝ADAC D．sin B＝CDAC2.如图，在由边长为1的小正方形组成的网格中，点A，B，C，D都在这些小正方形的格点上，AB，CD相交于点E，则sin ∠AEC＝( )A．2√55B．√55C．12D．√1043.计算sin 30°·tan 45°的结果是( )A．12B．√32C．√36D．√244.已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝60°，则tan B的值为( ) A．√33B．1C．√3D．25.如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，则cos B的值为( )A．13B．12C．√22D．√326.如图，AD是△ABC的高．若BD＝2CD＝6，tan C＝2，则边AB的长为( )A．3√2B．3√5C．3√7D．6√27.已知α为锐角，且2sin (α－10°)＝√3，则α等于( )A．50°B．60°C．70°D．80°8.如图，在点F处看建筑物顶端D的仰角为32°，向前走了15米到达点E，即EF＝15米，在点E处看点D的仰角为64°，则CD的长用三角函数表示为( )A．15sin 32°B．15tan 64°C．15sin 64°D．15tan 32°9.如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，E为BD上一点，使得AE ＝AC.若BE＝3ED，则sin ∠BAE＝( )A．12B．15C．35D．3410.如图，河对岸有铁塔AB，C，D，B三点共线，在C处测得塔顶A的仰角为30°，向铁塔方向水平前进14 m到达D处，在D处测得A的仰角为45°，塔高AB为( )A．4(4√3－1)m B．7(√3＋1)mC．(16√3＋7)m D．(10√3＋7)m11.如图，在一次数学实践活动中，小明同学要测量一座与地面垂直的塔AB的高度，他从塔底部点B处前行30 m到达斜坡CE的底部点C处，然后沿斜坡CE前行20 m到达最佳测量点D处，在点D处测得塔顶A的仰角为30°，已知斜坡的斜面坡度i＝1∶√3，且点A，B，C，D，E在同一平面内，小明同学测得塔AB的高度是( )A．(10√3＋20)m B．(10√3＋10)mC．20√3 m D．40 m12.如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝1，AB＝2，则sin B的值是______．13.在△ABC中，∠A＝45°，AB＝4√2，BC＝5，则△ABC的面积为_________．14.如图，在平面直角坐标系中，已知点A(1，0)，点B(0，－3)，点C在x轴上，，则点C的坐标为______．且点C在点A右方，连接AB，BC.若tan ∠ABC＝1315.如图，在杭州西湖风景区游船处，在离水面高度为5 m的岸上，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子BC的长为13 m，此人以0.5 m/s的速度收绳，10 s后船移动到点D的位置，则船向岸边移动了______________m.(假设绳子是直的，结果保留根号)16.某港口P位于东西方向的海岸线上，“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行16海里，“海天”号每小时航行12海里，它们离开港口一个半小时后相距30海里．如果知道“远航”号沿北偏东45°方向航行，那么“海天”号沿______________方向航行．17.湖中小岛上码头C处一名游客突发疾病，需要救援．位于湖面B点处的快艇和湖岸A处的救援船接到通知后立刻同时出发前往救援．计划由快艇赶到码头C 接该游客，再沿CA方向行驶，与救援船相遇后将该游客转运到救援船上．已知C在A的北偏东30°方向上，B在A的北偏东60°方向上，且B在C的正南方向900米处．(1)求湖岸A与码头C的距离；(结果精确到1米，参考数据：√3≈1.732)(2)救援船的平均速度为150米/分，快艇的平均速度为400米/分，在接到通知后，快艇能否在5分钟内将该游客送上救援船？请说明理由．(接送游客上下船的时间忽略不计)18.如图，已知正方形ABCD和正方形BEFG，点G在AD上，GF与CD交于点H，tan ∠ABG＝1，正方形ABCD的边长为8，求BH的长．219.小华将一张纸对折后做成的纸飞机如图1，纸飞机机尾的横截面是一个轴对称图形，其示意图如图2.已知AD＝BE＝10 cm，CD＝CE＝5 cm，AD⊥CD，BE⊥CE，∠DCE＝40°.(结果精确到0.1 cm，参考数据：sin 20°≈0.34，cos 20°≈0.94，tan 20°≈0.36，sin 40°≈0.64，cos 40°≈0.77，tan 40°≈0.84)(1)连接DE，求线段DE的长；(2)求点A，B之间的距离．参考答案1．C 2．A 3．A 4．A 5．B 6．D 7．C 8．C 9．C 10．B 11．A 12．12，0) 15.(12－√39) 16.北偏西45°13. 2或14 14.(9417.(1)湖岸A与码头C的距离约为1 559米(2)在接到通知后，快艇能在5分钟内将该游客送上救援船，理由略18.BH＝1019.(1)DE的长为3.4 cm (2)点A，B之间的距离为22.2 cm。
中考数学复习解直角三角形及其应用
中考数学复习解直角三角形及其应用考点一、直角三角形的性质1、直角三角形的两个锐角互余可表示如下：∠C=90°⇒∠A+∠B=90°2、在直角三角形中，30°角所对的直角边即是斜边的一半。
∠A=30°可表示如下： ⇒BC=21AB ∠C=90°3、直角三角形斜边上的中线即是斜边的一半 ∠ACB=90°可表示如下： ⇒CD=21AB=BD=AD D 为AB 的中点 4、勾股定理直角三角形两直角边a ，b 的平方和即是斜边c 的平方，即222c b a =+ 5、摄影定理在直角三角形中，斜边上的高线是两直角边在斜边上的摄影的比例中项，每条直角边是它们在斜边上的摄影和斜边的比例中项∠ACB=90° BD AD CD •=2 CD ⊥AB AB BD BC •=2 6、常用干系式由三角形面积公式可得： AB •CD=AC •BC考点二、直角三角形的鉴定 （3~5分）1、有一个角是直角的三角形是直角三角形。
2、要是三角形一边上的中线即是这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。
3、勾股定理的逆定理要是三角形的三边长a ，b ，c 有干系222c b a =+，那么这个三角形是直角三角形。
考点三、锐角三角函数的概念 （3~8分） 1、如图，在△ABC 中，∠C=90°①锐角A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦，记为sinA ，即casin =∠=斜边的对边A A②锐角A 的邻边与斜边的比叫做∠A 的余弦，记为cosA ，即cbcos =∠=斜边的邻边A A③锐角A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正切，记为tanA ，即batan =∠∠=的邻边的对边A A A④锐角A 的邻边与对边的比叫做∠A 的余切，记为cotA ，即abcot =∠∠=的对边的邻边A A A2、锐角三角函数的概念锐角A 的正弦、余弦、正切、余切都叫做∠A 的锐角三角函数4、各锐角三角函数之间的干系 （1）互余干系 sinA=cos(90°—A)，cosA=sin(90°—A) tanA=cot(90°—A)，cotA=tan(90°—A) （2）平方干系5、锐角三角函数的增减性 当角度在0°~90°之间变化时， （1）正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小） （2）余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大） （3）正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小） （4）余切值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大） 考点四、解直角三角形 （3~5） 1、解直角三角形的概念在直角三角形中，除直角外，一共有五个元素，即三条边和两个锐角，由直角三角形中除直角外的已知元素求出所有未知元素的历程叫做解直角三角形。
2020届中考数学专题：解直角三角形及其应用知识点及典型例题(含答案)
解直角三角形及其应用【学习目标】1．了解解直角三角形的含义，会综合运用平面几何中有关直角三角形的知识和锐角三角函数的定义解直角三角形；2．会运用有关解直角三角形的知识解决实际生活中存在的解直角三角形问题．【要点梳理】要点一、解直角三角形在直角三角形中，由已知元素(直角除外)求未知元素的过程，叫做解直角三角形.在直角三角形中，除直角外，一共有5个元素，即三条边和两个锐角.设在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，则有：①三边之间的关系：a2+b2=c2(勾股定理).②锐角之间的关系：∠A+∠B=90°.③边角之间的关系：，，，，，.④，h为斜边上的高.要点诠释：(1)直角三角形中有一个元素为定值(直角为90°)，是已知值.(2)这里讲的直角三角形的边角关系指的是等式，没有包括其他关系(如不等关系).(3)对这些式子的理解和记忆要结合图形，可以更加清楚、直观地理解.要点二、解直角三角形的常见类型及解法已知条件解法步骤Rt△ABC 两边两直角边(a，b)由求∠A，∠B=90°－∠A，斜边，一直角边(如c，a)由求∠A，∠B=90°－∠A，一边一一直角边和一锐角锐角、邻边(如∠A，b)∠B=90°－∠A，，角锐角、对边(如∠A，a)∠B=90°－∠A，，斜边、锐角(如c，∠A)∠B=90°－∠A，，要点诠释：1．在遇到解直角三角形的实际问题时，最好是先画出一个直角三角形的草图，按题意标明哪些元素是已知的，哪些元素是未知的，然后按先确定锐角、再确定它的对边和邻边的顺序进行计算.2．若题中无特殊说明，“解直角三角形”即要求出所有的未知元素，已知条件中至少有一个条件为边.要点三、解直角三角形的应用解直角三角形的知识应用很广泛，关键是把实际问题转化为数学模型，善于将某些实际问题中的数量关系化归为直角三角形中的边角关系是解决实际应用问题的关键.解这类问题的一般过程是：(1)弄清题中名词、术语的意义，如仰角、俯角、坡度、坡角、方向角等概念，然后根据题意画出几何图形，建立数学模型.(2)将已知条件转化为几何图形中的边、角或它们之间的关系，把实际问题转化为解直角三角形的问题.(3)根据直角三角形(或通过作垂线构造直角三角形)元素(边、角)之间的关系解有关的直角三角形.(4)得出数学问题的答案并检验答案是否符合实际意义，得出实际问题的解.拓展：在用直角三角形知识解决实际问题时，经常会用到以下概念：(1)坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，用字母表示.坡度(坡比)：坡面的铅直高度h和水平距离的比叫做坡度，用字母表示，则，如图，坡度通常写成=∶的形式.(2)仰角、俯角：视线与水平线所成的角中，视线中水平线上方的叫做仰角，在水平线下方的叫做俯角，如图.(3)方位角：从某点的指北方向线按顺时针转到目标方向的水平角叫做方位角，如图①中，目标方向PA，PB，PC的方位角分别为是40°，135°，245°.(4)方向角：指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角，叫做方向角，如图②中的目标方向线OA，OB，OC，OD的方向角分别表示北偏东30°，南偏东45°，南偏西80°，北偏西60°.特别如：东南方向指的是南偏东45°，东北方向指的是北偏东45°，西南方向指的是南偏西45°，西北方向指的是北偏西45°.要点诠释：1．解直角三角形实际是用三角知识，通过数值计算，去求出图形中的某些边的长或角的大小，最好画出它的示意图.2．非直接解直角三角形的问题，要观察图形特点，恰当引辅助线，使其转化为直角三角形或矩形来解.3．解直角三角形的应用题时，首先弄清题意(关键弄清其中名词术语的意义)，然后正确画出示意图，进而根据条件选择合适的方法求解.【典型例题】类型一、解直角三角形1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边，根据下列条件，解这个直角三角形．(1)∠B=60°，a＝4； (2)a＝1，3b=．【答案】(1)∠A＝90°－∠B＝90°－60°＝30°．由tanbBa=知，tan4tan6043b a B==⨯=g°．由cosaBc=知，48cos cos60acB===°．(2)由tan 3bB a==得∠B ＝60°，∴ ∠A ＝90°-60°＝30°． ∵ 222a b c +=，∴ 2242c a b =+==．2．如图所示，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠B ＝30°，b ＝20，解这个直角三角形．【答案】由∠C ＝90°知，∠A+∠B ＝90°，而∠B ＝30°， ∴ ∠A ＝90°-30°＝60°．又 sin 30b c=°，∴ 1202c =．∴ c ＝40．由勾股定理知222a cb =-．∴ 2224020a =-，203a =．举一反三：（1）已知a=23，b=2 ，求∠A 、∠B 和c ；（2）已知sinA=23, c=6 ，求a 和b ； 【答案】（1）c=4；∠A=60°、∠B=30°； （2）a=4；b=25 类型二、解直角三角形在解决几何图形计算问题中的应用3．如图所示，BC 是半圆⊙O 的直径，D 是»AC 的中点，四边形ABCD 的对角线AC 、BD 交于点E ，(1)求证：△ABE ∽△DBC ； (2)已知BC ＝52，CD ＝52，求sin ∠AEB 的值；(3)在(2)的条件下，求弦AB 的长．【答案】(1)∵ »»AD CD =，∴ ∠1＝∠2，又BC是⊙O的直径，∴∠BAC＝∠BDC＝90°．∴△ABE∽△DBC．(2)由△ABE∽△DBC，∴∠AEB＝∠DCB．在Rt△BDC中，BC＝52，CD＝52，∴ BD＝225BC CD-=，∴ sin∠AEB＝sin∠DCB＝525552BDBC==．(3)在Rt△BDC中，BD＝5，又∠1＝∠2＝∠3，∠ADE＝∠BDA，∴△AED∽△BAD．∴AD DEDB AD=，∴2AD DE DB=g．又∵52CD AD==，∴ CD2＝(BD－BE)·BD，即25(5)52BE⎛⎫=-⎪⎪⎝⎭g，∴354BE=．在Rt△ABE中，AB＝BE．sin∠AEB＝32355452⨯=．举一反三：如图，在△ABC中，AC=12cm，AB=16cm，sinA=13．（1）求AB边上的高CD；（2）求△ABC的面积S；（3）求tanB．【答案】（1）CD=4cm；（2）S=32 cm2；（3）tanB=+224.类型三、解直角三角形在解决实际生活、生产问题中的应用4．某过街天桥的截面图为梯形，如图所示，其中天桥斜面CD的坡度为1:3i=（i＝1:3是指铅直高度DE 与水平宽度CE 的比)，CD 的长为10 m ，天桥另一斜面AB 的坡角∠ABC ＝45°．(1)写出过街天桥斜面AB 的坡度； (2)求DE 的长；(3)若决定对该过街天桥进行改建，使AB 斜面的坡度变缓，将其45°坡角改为30°，方便过路群众，改建后斜面为AF ，试计算此改建需占路面的宽度FB 的长(结果精确到.0.01 m)． 【答案】(1)作AG ⊥BC 于G ，DE ⊥BC 于E ，在Rt △AGB 中，∠ABG ＝45°，AG ＝BG ． ∴ AB 的坡度1AGi BG'==． (2)在Rt △DEC 中，∵ 3tan 3DE C EC ∠==，∴ ∠C ＝30°． 又∵ CD ＝10 m ．∴ 15m 2DE CD ==． (3)由(1)知AG ＝BG ＝5 m ，在Rt △AFG 中，∠AFG ＝30°，tan AGAFG FG∠=，即3535FB =+，解得535 3.66(m)FB =-=． 答：改建后需占路面的宽度FB 的长约为3.66 m ．5．腾飞中学在教学楼前新建了一座“腾飞”雕塑．为了测量雕塑的高度，小明在二楼找到一点C ，利用三角板测得雕塑顶端A 点的仰角为30°，底部B 点的俯角为45°，小华在五楼找到一点D ，利用三角板测得A 点的俯角为60°(如图所示)．若已知CD 为10米，请求出雕塑AB 的高度．(结果精确到0.1米，参考数据3＝1.73)．【答案】过点C 作CE ⊥AB 于E ．∵ ∠D ＝90°－60°＝30°，∠ACD ＝90°－30°＝60°， ∴ ∠CAD ＝180°－30°－60°＝90°．∵ CD ＝10，∴ AC ＝12CD ＝5． 在Rt △ACE 中，AE ＝AC ·sin ∠ACE ＝5×sin 30°＝52， CE ＝AC ·cos ∠ACE ＝5×cos 30°＝532，在Rt △BCE 中，∵ ∠BCE ＝45°， ∴ 5553(31)222AB AE BE =+=+=+≈6.8(米)． ∴ 雕塑AB 的高度约为6.8米．【巩固练习】一、选择题1.在△ABC 中，∠C ＝90°，4sin 5A =，则tan B ＝( )． A ．43 B ．34 C ．35 D ．452．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠B ＝35°，AB ＝7，则BC 的长为( )．A ．7sin 35°B ．7cos35°C ．7cos 35°D ．7tan 35°3．河堤、横断面如图所示，堤高BC ＝5米，迎水坡AB 的坡比是1:3(坡比是坡面的铅直高度BC 与水平宽度AC 之比)，则AC 的长是( )．A ．53米B ．10米C ．15米D ．103米4．如图所示，正方形ABCD 中，对角线AC 、BD 交于点O ，点M 、N 分别为OB 、OC 的中点， 则cos ∠OMN 的值为( )．A ．12B ．22C ．32D ．1第3题 第4题 第5题5．如图所示，某游乐场一山顶滑梯的高为h ，滑梯的坡角为α，那么滑梯长l 为 ( )A ．sin h α B ．tan h α C ．cos h αD ．sin h αg6．如图所示，在△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝16 cm ，AB 的垂直平分线MN 交AC 于D ，连接BD ，若3cos5BDC∠=，则BD的长是( )．A．4 cm B．6 cm C．8 cm D．10 cm7．如图所示，一艘轮船由海平面上A地出发向南偏西40°的方向行驶40海里到达B地，再由B地向北偏西20°的方向行驶40海里到达C地，则A、C两地相距( )．A．30海里 B．40海里 C．50海里 D．60海里第6题第7题第8题8．如图所示，为了测量河的宽度，王芳同学在河岸边相距200 m的M和N两点分别测定对岸一棵树P 的位置，P在M的正北方向，在N的北偏西30°的方向，则河的宽度是( )．A．2003m B．20033m C．1003m D．100m二、填空题9．如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AM是BC边上的中线，sin∠CAM＝35，则tan∠B的值为______．10．如图所示，等边三角形ABC中，D、E分别为AB、BC边上的点，AD＝BE，AE与CD交于点F，AG⊥CD于点G，则AGAF的值为________．第9题第10题第11题11．如图所示，一艘海轮位于灯塔P的东北方向，距离灯塔402海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东30°方向上的B处，则海轮行驶的路程AB为________海里(结果保留根号)．12．如图所示，直角梯形ABCD中，AB⊥BC，AD∥BC，BC＞AD，AD＝2，AB＝4，点E在AB上，将△CBE 沿CE翻折，使B点与D点重合，则∠BCE的正切值是________．13．如图所示．线段AB、DC分别表示甲、乙两座建筑物的高．AB⊥BC，DC⊥BC，两建筑物间距离BC＝30米，若甲建筑物高AB＝28米，在A点测得D点的仰角α＝45°，则乙建筑物高DC＝__ __米．第12题第13题第14题14.在一次夏令营活动中，小明同学从营地A出发，要到A地的北偏东60°方向的C处，他先沿正东方向走了200m到达B地，再沿北偏东30°方向走，恰能到达目的地C(如图所示)，那么，由此可知，B、C两地相距________m．三、解答题15．如图所示，某校综合实践活动小组的同学欲测量公园内一棵树DE的高度，他们在这棵树正前方一座楼亭前的台阶上A点处测得树顶端D的仰角为30°，朝着这棵树的方向走到台阶下的点C处，测得树顶端D的仰角为60°．已知A点的高度AB为2米，台阶AC的坡度为1:3(即AB:BC＝1:3)，且B、C、E三点在同一条直线上．请根据以上条件求出树DE的高度(测倾器的高度忽略不计)．16. 如图所示，某校数学兴趣小组的同学欲测量一座垂直于地面的古塔BD的高度，他们先在A处测得古塔顶端点D的仰角为45°，再沿着BA的方向后退20m至C处，测得古塔顶端点D的仰角为30°．求该古塔BD的高度(3≈1.732，结果保留一位小数)．17．如图所示是某品牌太阳能热水器的实物图和横断面示意图，已知真空集热管AB与支架CD所在直线相交于水箱横断面⊙O的圆心，支架CD与水平面AE垂直，AB＝150厘米，∠BAC＝30°，另一根辅助支架DE＝76厘米，∠CED＝60°．(1)求垂直支架CD的长度．(结果保留根号)(2)求水箱半径OD的长度．(结果保留三个有效数字，参考数据：2≈1.41，3≈1.73)【答案与解析】 一、选择题 1.【答案】B ；【解析】如图，sin A ＝45BC AB =，设BC ＝4x ．则AB ＝5x ．根据勾股定理可得AC ＝223AC AB BC x =-=，∴ 33tan 44AC x B BC x ===． 2.【答案】C ；【解析】在Rt △ABC 中，cos BCB AB=．∴ BC ＝ABcosB ＝7cos 35°． 3.【答案】A ； 【解析】由tan BCi A BC===1:3知，353AC BC ==g (米)． 4.【答案】B ；【解析】由题意知MN ∥BC ，∠OMN ＝∠OBC ＝45°，∴ 2cos 2OMN ∠=． 5.【答案】A ；【解析】由定义sin h l α=，∴ sin h l α=. 6.【答案】D ；【解析】∵ MN 是AB 的中垂线, ∴ BD ＝AD ．又3cos 5DC BDC BD ∠==， 设DC ＝3k ，则BD ＝5k ，∴ AD ＝5k ，AC ＝8k ．∴ 8k ＝16，k ＝2，BD ＝5×2＝10．7.【答案】B ；【解析】 连接AC ，∵ AB ＝BC ＝40海里，∠ABC ＝40°+20°＝60°， ∴ △ABC 为等边三角形，∴ AC ＝AB ＝40海里． 8.【答案】A【解析】依题意PM ⊥MN ，∠MPN ＝∠N ＝30°，tan30°200PM=，2003PM =．二、填空题9．【答案】23；【解析】在Rt△ACM中，sin∠CAM＝35，设CM＝3k，则AM＝5k，AC＝4k．又∵ AM是BC边上的中线，∴ BM＝3k，∴ tan∠B＝4263 AC kBC k==．10．【答案】32；【解析】由已知条件可证△ACE≌△CBD．从而得出∠CAE＝∠BCD．∴∠AFG＝∠CAE+∠ACD＝∠BCD+∠ACD＝60°，在Rt△AFG中，3sin602 AGAF==°．11．【答案】40403+；【解析】在Rt△APC中，PC＝AC＝AP·sin∠APC＝2 402402⨯=．在Rt△BPC中，∠BPC＝90°-30°＝60°，BC＝PC·tan∠BPC＝403，所以AB＝AC+BC＝40403+．12．【答案】12；【解析】如图，连接BD，作DF⊥BC于点F，则CE⊥BD，∠BCE＝∠BDF，BF＝AD＝2，DF＝AB＝4，所以21 tan tan42BFBCE BDFDF∠=∠===．13．【答案】58；【解析】α＝45°，∴ DE＝AE＝BC＝30，EC＝AB＝28，DE＝DE+EC＝58 14．【答案】200；【解析】由已知∠BAC＝∠C＝30°，∴ BC＝AB＝200.三、解答题15.【答案与解析】过点A作AF⊥DE于F，则四边形ABEF为矩形，∴ AF＝BE，EF＝AB＝2．设DE＝x，在Rt△CDE中，3tan tan603DE DECE xDCE===∠°．在Rt △ABC 中，∵ 13AB BC =，AB ＝2，∴ 23BC =． 在Rt △AFD 中，DF ＝DE-EF ＝x-2．∴ 23(2)tan tan 30DF x AF x DAF -===-∠°∵ AF ＝BE ＝BC+CE ． ∴ 33(2)233x x -=+，解得6x =． 答：树DE 的高度为6米．16.【答案与解析】根据题意可知：∠BAD ＝45°，∠BCD ＝30°，AC ＝20m ．在Rt △ABD 中，由∠BAD ＝∠BDA ＝45°，得AB ＝BD ．在Rt △BDC 中，由tan ∠BCD ＝BD BC ，得3tan 30BD BC BD ==°． 又∵ BC-AB ＝AC ．∴ 320BD BD -=，∴ BD ＝2031-≈27.3(m)． 答：该古塔的高度约为27.3m ．17.【答案与解析】(1)在Rt △DCE 中，∠CED ＝60°，DE ＝76，∵ sin ∠CED ＝DC DE，∴ DC ＝DE ×sin ∠CED ＝383(厘米) 答：垂直支架CD 的长度为383厘米．(2)设水箱半径OD ＝x 厘米，则OC ＝(383)x +厘米，AO ＝(150)x +厘米，∵ Rt △OAC 中，∠BAC ＝30°∴ AO ＝2×OC ，即：150+x ＝2(383)x +厘米，AO ＝(150+x)厘米， 解得：150763x =-≈18.52≈18.5(厘米)答：水箱半径OD 的长度约为18.5厘米．。
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课时32．解直角三角形及其应用
【课前热身】
1．如图，太阳光线与地面成60°角，一棵倾斜的大树与地面成30°角，
这时测得大树在地面上的影子约为10米，则大树的高约为________
米．（结果保留根号）
（第1题）
2. 某坡面的坡度为1
_______度．
3．王英同学从A 地沿北偏西60º方向走100m 到B 地，再从B 地向正南方向走200m 到C 地，此时王英同学离A 地 ( )
A ．150m
B ．350m
C ．100 m
D ．3100m
【考点链接】
1．解直角三角形的概念：在直角三角形中已知一些_____________叫做解直角三角形．
2．解直角三角形的类型：已知____________；已知___________________．
3．如图（1）解直角三角形的公式：
（1）三边关系：__________________．（2）角关系：∠A+∠B ＝_____，
（3）边角关系：sinA=___，sinB=____，cosA=_______．cosB=____，
tanA=_____ ，tanB=_____．
4．如图（2）仰角是____________,俯角是____________．
5．如图（3）方向角：OA ：_____，OB ：_______，OC ：_______，OD ：________．
6．如图（4）坡度：AB 的坡度i AB ＝_______，∠α叫_____，tanα＝i ＝____．
（图2） （图3） （图4）
【典例精析】
例1 Rt
A B C ∆的斜边AB ＝5, 3cos 5A =
，求A B C ∆中的其他量.
例2 海中有一个小岛P ，它的周围18海里内有暗礁，渔船跟踪鱼群由西向东航行，在点A
测得小岛P 在北偏东60°方向上，航行12海里到达B 点，这时测得小岛P 在北偏东45°方向上．如果渔船不改变航线继续向东航行，有没有触礁危险？请说明理由．
O A B C
例3（07辽宁）为了农田灌溉的需要，某乡利用一土堤修筑一条渠道，在堤中间挖出深为
1.2米，下底宽为2米，坡度为1：0.8的渠道（其横断面为等腰梯形），并把挖出来
的土堆在两旁，使土堤高度比原来增加了0.6米．（如图所示）
求：（1）渠面宽EF；
（2）修200米长的渠道需挖的土方数．
【中考演练】
1．在R t A B C
∆中，0
C
∠=，AB＝5，AC＝4，则sinA的值是_________.
90
2．升国旗时，某同学站在离旗杆24m处行注目礼，当国旗升至旗杆顶端时，该同学视线的
仰角恰为30°，若两眼距离地面1.2m，则旗杆高度约为_______. 1.73
=，结果精确到0.1m）
3．已知：如图，在△ABC中，∠B = 45°，∠C = 60°，AB = 6．求BC的长. (结果保留根号)
﹡4．如图，在测量塔高AB时，选择与塔底在同一水平面的同一直线上的C、D两点，用测角仪器测得塔顶A的仰角分别是30°和60°．已知测角仪器高CE=1.5米，CD=30米，求塔高AB．（保留根号）。