专题四 特色专题 解答题专攻(三) 特色专题专练

电磁感应解答题
1．(2013·宁波模拟)如图1所示，两平行导轨间距L＝0.1 m，足够长光滑的倾斜部分和粗糙的水平部分圆滑连接，倾斜部分与水平面的夹角θ＝30°，垂直斜面方向向上的磁场的磁感应强度B＝0.5 T，水平部分没有磁场。

金属棒ab质量m＝0.005 kg，电阻r＝0.02 Ω，运动中与导轨有良好接触，并且垂直于导轨，电阻R＝0.08 Ω，其余电阻不计，当金属棒从斜面上离地高h＝1.0 m以上任何地方由静止释放后，在水平面上滑行的最大距离x都是1.25 m。

(取g＝10 m/s2)求：
(1)棒在斜面上的最大速度；
(2)水平面的动摩擦因数；
(3)从高度h＝1.0 m处滑下后电阻R上产生的热量。

图1
解析：(1)金属棒从离地高h＝1.0 m以上任何地方由静止释放后，在到达水平面之前已经开始匀速运动
设最大速度为v，则感应电动势E＝BL v
感应电流I＝E
R＋r
安培力F＝BIL
匀速运动时，有mg sin θ＝F
解得v＝1.0 m/s
(2)在水平面上运动时，金属棒所受滑动摩擦力F f＝μmg 金属棒在摩擦力作用下做匀减速运动，有
F f＝ma
v2＝2ax
解得μ＝0.04
(用动能定理同样可以解答)
(3)下滑的过程中，由动能定理可得：
mgh－W＝1
2m v
2
安培力所做的功等于电路中产生的焦耳热，有W＝Q
电阻R上产生的热量：Q R＝
R
R＋r
Q
解得Q R ＝3.8×10－
2 J 。

答案：(1)1 m/s (2)0.04 (3)3.8×10－
2 J 2．(2013·南昌二模)如图2所示，OP 1Q 1与OP 2Q 2是位于同一水平面上的两根金属导轨，处在沿竖直方向的匀强磁场中，磁感应强度为B ，长度相等的导轨OP 1段与OP 2段相互垂直，交于O 点。

导轨的P 1Q 1与P 2Q 2段相互平行，相距为2b 。

一根质量为m
的金属杆，在t ＝0时从O 点出发，在外力作用下以恒定的速度v 沿导
轨向右滑动。

在滑动的过程中，金属杆速度的方向始终保持与导轨的平
行段相平行，且与OP 1成45°夹角，金属杆与导轨有良好的接触。

假定
导轨与金属杆有电阻，且每单位长度的电阻都是r 。

不计金属杆与导轨
之间的摩擦。

求： 图2
(1)金属杆在正交的OP 1、OP 2导轨上滑动时，通过金属杆中的电流；
(2)从开始运动到t ＝b v 过程，外力一共做的功；
(3)若控制外力，使金属杆从静止开始做匀加速直线运动，加速度大小为a ，试写出外力随时间变化的规律。

解析：(1)设经过时间t ，杆切割磁感线的有效长度为
L ＝2v t
相应的感应电动势大小为
E ＝BL v ＝2B v 2t
回路中的总电阻为
R ＝(22v t ＋2v t )r
通过金属杆中的电流为
I ＝E R ＝2B v 2t (22v t ＋2v t )r ＝B v (2＋1)r
(2)金属杆受外力和安培力作用，由动能定理可得
W F －W 安＝0
W 安＝0＋F 安max 2·b ＝12·B ·B v (2＋1)r ·2b ·b ＝B 2v b 2(2＋1)r
W F ＝W 安＝B 2v b 2
(2＋1)r
(3)分两段讨论
(ⅰ)当0≤t ≤2b a
时， x ＝12at 2，v ＝at ，I 1＝Bat (2＋1)r
F 1－BI 1·2x ＝ma
F 1＝ma ＋B 2a 2t 3
(2＋1)r
(ⅱ)当t >2b a
时 R ＝[22b ＋2(x －b )＋2b ]r ＝(22b ＋at 2)r
I 2＝B ·2b ·at R ＝2abBt (22b ＋at 2)r
F 2＝ma ＋4ab 2B 2t (22b ＋at 2)r
答案：(1)B v (2＋1)r (2)B 2v b 2
(2＋1)r
(3)见解析 3．(2013·广东省韶关市一模)如图3所示，足够长的金属导轨MN 、PQ 平行放置，间距为L ，与水平面成θ角，导轨与定值电阻R 1和R 2相连，且R 1＝R 2＝R ，R 1支路串联开关S ，原来S 闭合。

匀强磁场垂直导轨平面向上，有一质量为m 、有效电阻也为R 的导体棒ab 与
导轨垂直放置，它与导轨的接触粗糙且始终接触良好，现让
导体棒ab 从静止开始释放，沿导轨下滑，当导体棒运动达
到稳定状态时速率为v ，此时整个电路消耗的电功率为重力
功率的34。

已知重力加速度为g ，导轨电阻不计，求： 图3
(1)匀强磁场的磁感应强度B 的大小和达到稳定状态后导体棒ab 中的电流强度I ；
(2)如果导体棒ab 从静止释放沿导轨下滑x 距离后运动达到稳定状态，在这一过程中回路中产生的电热；
(3)导体棒ab 达到稳定状态后，断开开关S ，从这时开始导体棒ab 下滑一段距离后，通过导体棒ab 横截面的电量为q ，这段距离是多少。

解析：(1)回路中的总电阻为：R 总＝32R 当导体棒ab 以速度v 匀速下滑时棒中的感应电动势为：E ＝BL v
此时棒中的感应电流为：I ＝E R 总
此时回路的总电功率为：P 电＝I 2R 总
此时重力的功率为：P 重＝mg v sin θ
据题给条件有：P 电＝34
P 重 解得：I ＝mg v sin θ2R ，B ＝32L mgR sin θ2v
(2)设导体棒ab 与导轨间的滑动摩擦力大小为f ，根据能的转化和守恒定律可知： 14
mg v sin θ＝f v
解得：f ＝14
mg sin θ 导体棒ab 减少的重力势能等于增加的动能、回路中产生的焦耳热以及克服摩擦力做功的和：
mg sin θ·x ＝12
m v 2＋Q ＋fx 解得：Q ＝34mg sin θ·x －12
m v 2 (3)S 断开后，回路中的总电阻为：R ′总＝2R
设这一过程经历的时间为Δt ，这一过程回路中的平均感应电动势为E －，通过导体棒ab
的平均感应电流为I －，导体棒ab 下滑的距离为s ，则：
E －＝ΔΦΔt ＝BLs Δt
I －＝E －R ′总＝BLs 2R Δt
得：q ＝I －Δt ＝BLs 2R
解得：s ＝4q 3
2v R mg sin θ
答案：见解析
4．磁悬浮铁路系统是一种新型的交通运输系统，它是利用电磁系统产生的吸引力或排斥力将车辆托起，使整个列车悬浮在导轨上。

同时利用电磁力进行驱动。

采用直线电机模式获得驱动力的列车可简化为如下情境：固定在列车下端的矩形金属框随车平移；轨道区域内存在垂直于金属框平面的磁场，磁感应强度沿Ox 方向按正弦规律分布，最大值为B 0，其空间变化周期为2d ，整个磁场以速度v 1沿Ox 方向向前高速平移，由于列车沿Ox 方向匀速行驶速度v 2与磁场平移速度不同，而且v 1>v 2，列车相对磁场以v 1－v 2的速度向后移动切割磁感线，金属框中会产生感应电流，该电流受到向前的安培力即为列车向前行驶的驱动力。

如图4所示，设金属框电阻为R ，长PQ ＝L ，宽NP ＝d ，求：
图4
(1)如图为列车匀速行驶时的某一时刻，MN 、PQ 均处于磁感应强度最大值处，此时金属框内感应电流的大小和方向。

(2)列车匀速行驶s 距离的过程中，矩形金属线框产生的焦耳热。

解析：(1)磁场沿Ox 方向运动，v 1>v 2，等效金属框相对磁场向x 轴负方向运动。

由于此时刻MN 、PQ 边所在处的磁感应强度大小均为B 0且方向相反。

金属框产生的感应电动势E ＝2B 0L (v 1－v 2)
感应电流I ＝E R
故I ＝2B 0L (v 1－v 2)R
，电流的方向根据右手定则可知为N →M →Q →P →N 。

(2)设经过时间t ，金属框MN 、PQ 所在处磁感应强度大小均为B ，则B ＝B 0cos ωt ω＝2πT ，又T ＝2d
(v 1－v 2)
得：ω＝π(v 1－v 2)d
i ＝2BL (v 1－v 2)R ＝2B 0L R (v 1－v 2)cos ωt
得到电流瞬时值的表达式为
i ＝2B 0L R (v 1－v 2)cos π(v 1－v 2)d t
其最大值为I m ＝2B
0L (v 1－v 2)R
交流电有效值为I ＝I m
2 经历的时间为t ＝s
v 2
矩形金属线框的发热功率为Q ＝I 2Rt
得Q ＝2B 02L 2s (v 1－v 2)2
R v 2。

答案：(1)2B 0L (v 1－v 2)R 方向为N →M →Q →P →N (2)2B 02L 2s (v 1－v 2)2
R v 2。