高二数学圆的方程

圆的方程（1）
一、知识小结
1．圆的方程形式：
（1）圆的标准方程
以点C (,)a b 为圆心，以r 为半径的圆的方程为222()()x a y b r -+-=，上述方程叫做圆的标准方程．当0a b ==，即圆心在原点()0,0O 时，圆的标准方程为222x y r +=．
（2）圆的一般方程
当2240D E F +->时，方程220x y Dx Ey F ++++=表示一个圆，该方程叫做圆的一
般方程，圆心坐标为,2
2D F ⎛⎫-- ⎪⎝⎭ 圆的一般方程有如下特点：
①22x y 与项的系数相同且不为零；
②不含xy 项；
③2240D E F +->．
2．点与圆、直线与圆以及圆与圆的相互关系
（1）点与圆的位置关系
已知点()00,P x y 和圆()()222x a y b r -+-=，点到圆心的距离d 与圆的半径r 的大小关系决定了点与圆的位置关系：
①点P 在圆外22200()()d r x a y b r ⇔>⇔-+->； ②点P 在圆上22200()()d r x a y b r ⇔=⇔-+-=； ③点P 在圆内22200()()d r x a y b r ⇔<⇔-+-<．
（2）直线与圆的位置关系
已知直线0ax by c ++=和圆()()222x a y b r -+-=，圆心到直线的距离d 与圆的半径r 的大小关系决定了直线与圆的位置关系： ①直线与圆相离d r ⇔>，
②直线与圆相切d r ⇔=，
③直线与圆相交d r ⇔<． 已知圆的弦长为AB 、圆心到弦的距离d 以及圆的半径r ，则它们满足以下关系式：
AB =
（3）圆与圆的位置关系
两圆的圆心1C 、2C 之间的距离与两圆半径1r 、2r 的大小关系决定了圆与圆的位置关系： ①两圆外离1212C C r r ⇔>+； ②两圆外切1212C C r r ⇔=+； ③两圆相交121212r r C C r r ⇔-<<+； ④两圆内切1212C C r r ⇔=-； ⑤两圆内含1212C C r r ⇔<-．
（4）圆系方程
①过已知圆221111:0C x y D x E y F ++++=与直线:0l ax by c ++=的两交点的圆的方程一般可写成：()()221110x y D x E y F ax by c λλ+++++++=∈R ．
②过两圆221111:0C x y D x E y F ++++=与222222:0C x y D x E y F ++++=的两交点的圆的方程一般可写成：
()()222211122201x y D x E y F x y D x E y F λλ+++++++++=≠-（除圆2C 外）
． 特别地，当1λ=-时，方程()()1212120D D x E E y F F -+-+-=表示两圆的公共弦所在的直线的方程．
圆的方程（2）
二、应用举例
例1、求过()0,0A ，()2,0B ，()0,4C 三点的圆的方程．
例2、求经过圆222880x y x y +---=与直线230x y +-=的两个交点，且圆心在y 轴上的圆的方程．
例3、已知圆22:412390C x y x y ++-+=和直线:3450l x y -+=，求圆C 关于直线l 对称的圆的方程．
圆的方程（3）
一、应用举例：
例4、定点()3,0A 为圆221x y +=外一点，P 为圆上一点，点Q 在线段AP 上，且 :1:3PQ QA =，求点Q 的轨迹方程．
例5、已知圆2260x y x y m ++-+=与直线230x y +-=相交于P 、Q 两点，O 为坐标原点，且OP OQ ⊥，求实数m 的值．
例6、求过点()5,3A 与圆()2
2:116C x y -+=相切的直线方程．
例7、ABC △中，2BC =，
0AB m AC =>，求点A 的轨迹方程，并说明其轨迹是什么图形．
圆的方程（4）
一、应用举例：
例8、已知圆()()22
:1225C x y -+-=，直线()()():211740l m x m y m m +++--=∈R
（1）证明不论m取什么实数，直线l与圆C相交于两点；
（2）求直线l被圆截得的线段的最短长度及此时m的值．
例9、已知圆222428360
4,2，A ，B为圆上两个动点，且+---=，点P的坐标为()
x y x y
∠=，（1）判断点P与圆的位置关系；（2）求弦AB的中点M的轨迹方程．90
APB
例10、（1）（2007年上海高考题）如图，A，B是直线l上的两点，且2
AB=．两个半径相等的动圆分别与l相切于A，B点，C是这两个圆的公共点，则圆弧AC，CB与线段AB围成图形面积S的取值范围是．Array（2）过点()
11,2
A作圆
22241640
x y x y
++--=的弦，其中弦长为整数的共有．。