【数学】1.1.2 余弦定理 课件1(人教A版必修5)

例6.已知在△ABC中，a=8，b=7，B=60o，求c.
解：由余弦定理得
练习.已知在△ABC中，a=1，b=
，B=60o，求c。3
二、新课讲解 利用余弦定理可判断三角形的形状. 由a2=b2+c2－2bccosA可得 （1）若A为直角，则a² = b² +c²
（2）若A为锐角，则a² < b² +c²
（3）若A为钝角，则a² > b² +c²
练习： 1.在ABC中，已知a 7，b 10，c 6，试判断ABC 钝角三角形 的形状.
2.在锐角三角形三条边的长度分别为2、3、x，试求x 的取值范围. ( 5, 13) 变式：若该三角形是钝角三角形呢？ (1, 5,) ( 13,5)
练习
角时，应先求最小的边所对的角.
一般地，在“知三边及一角”要求剩下的两个 o ∴B=180 -(A+C) ≈ 180o-(41o+33o)=106°
二、新课讲解
余弦定理的推论：
b c a cos A 2bc 2 2 2 a c b cos B 2ac 2 2 2 a b c cos C 2ab
2 2 2
b a c 2ac cos B
2 2 2
c a b 2ab cos C
2 2 2
注：利用余弦定理，可以从已知的两边及其夹角求 出三角形的第三条边
三、例题讲解 例3 在△ABC中，已知b=60cm，c=34cm，A=41o， 解该三角形（角度精确到1°，边长精确到1cm）. 解：∵a² =b ² +c² -2bccosA =60² +34² -2×60×34×cos41o≈1676.82 ∴a≈41(cm) 故由正弦定理可得 故由余弦定理可得
练习：在△ABC中， a 3 3, c 3 3, C 15 ，求此 三角形的面积． 3 3 3或 2
一、复习回顾
2.利用正弦定理解三角形 题型一:已知两角和任意一边，求出其他两边和一角 步骤：利用三角形内角和先求第三角，再用正弦定理求 另外两边. 题型二:已知两边及其中一边对角，求出其他一边和两角 若已知a、b、A的值，则解该三角形的步骤如下： a b （1）先利用 求出sinB，从而求出角B； sin A sin B 注意：求角B时应注意检验！
2 2 2 ° ac + b c sin A 34sin 41 34´ 0.656 cos C 0.8384. sin C== 换 2ab a 41 41
0.5440.
∵ c<a， ∴ C<A,故C是锐角 ∴ 利用计算器可求得 C≈33°
o o ∴ 利用计算器可求得 ≈33 ∴ B =180o-(A+C) ≈ 180C (41° +33o)=106°
2 2 2
c2 a 2 b2 2ab cos C
b2 c 2 a 2 cos A 2bc 2 c a 2 b2 cos B 2ca 2 a b2 c 2 cos C 2ab
利用余弦定理及其推论，可以解决以下两类解三角形的 问题：（1）已知两边及其夹角，求其它的边和角； （2）已知三边，求三个角. 练习：在△ABC中 （1）已知a= ，c=2，B=150o，求b； 7 ，c= ，求A. 45o （2）已知a=2，b=
sin A : sin B : sin C a : b : c
B
c
A
思考： 在△ABC中,已知AB=2,BC=5,△ABC的面积为4， 三角形面积公式： 4 1 1 1 ∠ABC=θ ，则 sin θ = . SABC bc sin A ca sin B ab sin C 5 2 2 2
2 3 4 3 sin C 3 ,b , 1.在△ABC中，已知 a ，则 3 3 sin B 2 △ABC中的最小内角的度数是（ C）
D．15º 1 2.△ABC的两边长为2，3，其夹角的余弦为 ，则其外 3 接圆的半径为( ) A．60º B．45º C．30º
C
9 2 A. 2
9 2 B. 4
第一章 解三角形
1.1.2 余弦定理
一、复习回顾 1.正弦定理及其推论： a b c =2R (R为△ABC外接圆半径） sin A sin B sin C C a 2 R sin A, b 2R sin B, c 2R sin C a a b c b
sin A 2R ,sin B 2R ,sin C 2R
9 2 C. 8
2 2 D. 9
3.在△ABC中，若A=120º ，c=5，b=3，则sinBsinC =( A )
45 A. 196 35 B. 196 25 C. 196 45 D. 98
2 4.在△ABC, ∠B=30o,AB= 2 3 ,面积S= 3 ,则AC=______.
练习 在 ⊿ABC中，内角A、B、C对边的边长分别 是 a、b、c已知 c＝2，C＝ ． ，求 a 、 b； 3 （2）若 sin C sin( B A) 2sin 2 A ，求 ⊿ABC的面积． （1）若⊿ABC的面积等于
练习 在 ⊿ABC中，内角A、B、C对边的边长分别 是 a、b、c已知 c＝2，C＝ ． ，求 a 、 b； 3 （2）若 sin C sin( B A) 2sin 2 A ，求 ⊿ABC的面积． （1）若⊿ABC的面积等于
3
解:(2) sin( B A) sin( B A) 4sin A cos A sin B cos A 2sin A cos A 当cos A 0时, 可得 sin B 2sin A
b 2a
a 2 b2 ab 4， 2 3 4 3 联立方程组 解得a＝ ，b＝ 3 3 b 2a， 1 2 3 △ ABC的面积为S ab sin C 2 3
四、小结
b2 c 2 a 2 cos A 2 2 2 2bc a b c 2bc cos A 2 2 2 c a b 2 2 2 cos B b a c 2ac cos B 2ca 2 2 2 2 2 2 a b c c a b 2ab cos C cos C 2ab 利用余弦定理判断三角形的形状：
三边(a,b,c)
三、例题讲解
例5.已知△ABC的三条边长的比为1：2： 7，求该 三角形的最大内角. 解：依题意可设该三角形三条边分别为
a k , b 2k , c 7k ,(k 0)
则角C为最大内角 a 2 b2 c 2 k 2 (2k )2 ( 7k )2 1 cos C 2ab 2k 2k 2 又∵0o<C<180o
3
解:(2) sin( B A) sin( B A) 4sin A cos A sin B cos A 2sin A cos A 4 3 2 3
当cos A 0时,A＝ ，B ，a ，b 2 6 3 3 1 2 3 △ ABC的面积为S ab sin C 2 3
3
解： (1) △ABC的面积为 3 1 即 S ab sin c＝ 3 ab＝4 2 2 2 由余弦定理及条件可得：a b ab 4 a 2 b2 ab 4， 联立方程组 解得a＝2，b＝2 ab 4，
练习 在 ⊿ABC中，内角A、B、C对边的边长分别 是 a、b、c已知 c＝2，C＝ ． ，求 a 、 b； 3 （2）若 sin C sin( B A) 2sin 2 A ，求 ⊿ABC的面积． （1）若⊿ABC的面积等于
∴C=120o
变式.在△ABC中，若sinA:sinB:sinC=1:2: 7 ，求该三 角形的最大内角. 120o
三、例题讲解 余弦定理：a
b c 2bc cos A 2 2 2 b a c 2ac cos B 2 2 2 c a b 2ab cos C
2 2 2
解三角形的四种基本类型： 已知条件 一边和二角 (如a,B,C) 两边和夹角 (如a,b,C)
两边和其中 一边的对角 (如a,b,A)
定理选用
正弦定理
一般解法 由A+B+C=180°求角A,由正 弦定理求出b与c
由余弦定理求出第三边c，再 余弦定理 由正弦定理求出剩下的角 由正弦定理求出角B,再求角C, 正弦定理 最后求出 c边.可有两解,一解 或无解. 先由余弦定理求出其中两个 余弦定理 角,再利用内角和为180°求出 第三个角.
（1）若A为直角，则a² = b² +c²
（2）若A为锐角，则a² < b² +c²
余弦定理及其推论：
（3）若A为钝角，则a² > b² +c²
2 2 2
注: 由上述推论, 可以由三角形的三条边求出相应的三个角
三、例题讲解 例4 在△ABC中，已知a=134.6cm，b=87.8cm， c=161.7cm，解三角形（角度精确到1′）。
解：
∴A≈56°20′
∴B≈32°53′
二、新课讲解
余弦定理及其推论：
a b c 2bc cos A b2 a2 c2 2ac cos B
依条件可知，
b
A
c
C
a
B
即 c2 a2 b2 2ab cos C
同理可得 a2 b2 c2 2bc cos A, b2 a2 c2 2ac cos B
二、新课讲解 余弦定理：
三角形任何一边的平方等于其他两边的平方和减去 这两边与它们夹角的余弦的积的两倍，即
a b c 2bc cos A
（2）利用A、B求3）再利用 求出边c. sin A sin C
二、新课讲解 题型三 :已知三角形的两条边及其夹角 求出另一边。 问题：在△ ABC中，a=8，b=3，C=60o，求,c .