高中数学第二章几个重要的不等式滚动训练四(1_3)北师大版选修4_5
2017-2018学年高中数学北师大版选修4-5训练：第二章
一、选择题1.下列说法：①二维形式的柯西不等式中a ，b ，c ，d 没有取值限制.②二维形式的柯西不等式中a ，b ，c ，d 只能取数，不能为代数式.③柯西不等式的向量式中取等号的条件是α＝β.其中正确的个数有( )A.1个B.2个C.3个D.0个解析 由柯西不等式的概念知，只①正确，a ，b ，c ，d 是实数，没有其取值限制.答案 A2.函数y ＝2x ＋91－2x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，12的最小值是( ) A.20B.25C.27D.18解析 y ＝2x ＋91－2x ＝[2x ＋(1－2x )]⎣⎢⎡⎦⎥⎤2x ＋91－2x ＝[(2x )2＋(1－2x )2]⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫91－2x 2 ≥⎝⎛⎭⎪⎫2x ·2x ＋1－2x 91－2x 2＝(2＋3)2＝25. 答案 B 3.设a 、b ∈(0，＋∞)，且a ≠b ，P ＝a 2b ＋b 2a ，Q ＝a ＋b ，则( )A.P >QB.P ≥QC.P <QD.P ≤Q解析 ∵⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2b ＋b 2a (a ＋b )＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫a b 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2[(a )2＋(b )2] ≥⎝ ⎛⎭⎪⎫a b ·b ＋b a ·a 2＝(a ＋b )2， ∵a >0，b >0，∴a ＋b >0.∴⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2b ＋b 2a ≥（a ＋b ）2a ＋b＝a ＋b .又∵a ≠b ，而等号成立的条件是a b ·a ＝b a·b ， 即a ＝b ，∴a 2b ＋b 2a >a ＋b .即P >Q .答案 A二、填空题4.设a 、b 、c 是正实数，且a ＋b ＋c ＝9，则2a ＋2b ＋2c 的最小值是________.解析 ∵(a ＋b ＋c )⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋2b ＋2c ＝[(a )2＋(b )2＋ (c )2]⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫2a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2b 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2c 2 ≥⎝⎛⎭⎪⎫a ·2a ＋b ·2b ＋c ·2c 2＝18.∴2a ＋2b ＋2c ≥2. 答案 2 5.若a 2＋b 2＋c 2＝2，x 2＋y 2＋z 2＝4，则ax ＋by ＋cz 的取值范围是__________. 解析 ∵(a 2＋b 2＋c 2)(x 2＋y 2＋z 2)≥(ax ＋by ＋cz )2，∴(ax ＋by ＋cz )2≤8，∴－22≤ax ＋by ＋cz ≤2 2.答案 [－22，22]6.设a ，b ，m ，n ∈R ，且a 2＋b 2＝5，ma ＋nb ＝5，则m 2＋n 2的最小值为________. 解析 运用柯西不等式求解.根据柯西不等式(ma ＋nb )2≤(a 2＋b 2)(m 2＋n 2)，得25≤5(m 2＋n 2)，m 2＋n 2≥5，m 2＋n 2的最小值为 5.答案 5三、解答题7.若2x ＋3y ＝1，求4x 2＋9y 2的最小值，并求出最小值点.解 由柯西不等式(4x 2＋9y 2)(12＋12)≥(2x ＋3y )2＝1，∴4x 2＋9y 2≥12.当且仅当2x ·1＝3y ·1，即2x ＝3y 时取等号.由⎩⎨⎧2x ＝3y ，2x ＋3y ＝1.得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝14，y ＝16. ∴4x 2＋9y 2的最小值为12，最小值点为⎝ ⎛⎭⎪⎫14，16. 8.设a ，b ∈(0，＋∞)，若a ＋b ＝2，求1a ＋1b 的最小值.解 ∵(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＝[(a )2＋(b )2]⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1b 2 ≥⎝⎛⎭⎪⎫a ·1a ＋b ·1b 2＝(1＋1)2＝4. ∴2⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ≥4，即1a ＋1b ≥2. 当且仅当a ·1b ＝b ·1a，即a ＝b 时取等号， ∴当a ＝b ＝1时，1a ＋1b 的最小值为2.9.已知a 2＋b 2＝1，a ，b ∈R ，求证：|a cos θ＋b sin θ|≤1. 证明 ∵(a cos θ＋b sin θ)2≤(a 2＋b 2)(cos 2θ＋sin 2θ) ＝1·1＝1，∴|a cos θ＋b sin θ|≤1.。
新北师大版高中数学高中数学选修4-5第二章《重要的不等式》检测(有答案解析)(3)
一、选择题1．已知a 、b R ∈，224a b +=，求32a b +的最大值为（ ）A ．B ．C ．D ．42．函数y =的最小值是（ ）A B 1C ．11+D ．3．已知a ，0b >，5a b += ）A ．18B ．9C ．D ．4．设,x y ∈R ，且0xy ≠，则222241x y y x ⎛⎫⎛⎫++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的最小值为（ ） A ．9-B ．9C ．10D ．05．m 个互不相同的正偶数与n 个互不相同的正奇数的和为117,对所有这样的m 与n,3m+2n 的最大值是( ) A ．35 B ．37 C ．38D ．416．已知空间向量(1,0,0),(1,1,0),(0,0,1),OA OB OC === 向量,OP xOA yOB zOC =++且424x y z ++=,则OP 不可能是 A ．12B ．1C ．32D ．47．y=x 的最大值是 （ ）A ．1B ．2C D ．48．已知1=，则以下式子成立的是 A ．221a b +> B ．221a b += C ．221a b +<D ．221a b =9．已知a ＋b ＋c ＝1，且a ， b ， c ＞0，则 222a b b c a c+++++ 的最小值为( ) A ．1B ．3C ．6D ．910．若实数a ，b ，c 均大于0，且a ＋b ＋c ＝3，则的最小值为( )A ．3B ．1C D 11．已知,,(0,1)a b c ∈，且1ab bc ac ++=，则111111a b c++---的最小值为（ ）A B C ．62- D12．若a ＜b ＜c ，x ＜y ＜z ，则下列各式中值最大的一个是（ ） A ．ax+cy+bz B ．bx+ay+cz C ．bx+cy+azD ．ax+by+cz二、填空题13．若222494x y z ++=，则+3x y z +的最大值为______. 14．已知a ，b ，c 均为非负数，且494a b c ++=，则111111a b c +++++的最小值为______．15．已知x,y,z ∈R,有下列不等式: ①x 2+y 2+z 2+3≥2(x+y+z);x y2+≥②③|x+y|≤|x -2|+|y+2|; ④x 2+y 2+z 2≥xy+yz+zx.其中一定成立的不等式的序号是_____16．若实数1x y z ++=，则22223x y z ++的最小值为__________． 17．函数2910,122y x x x ⎛⎫⎛⎫=+∈ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭的最小值为________18．若正数,,a b c 满足41a b c ++=,_________ 19．设,x y R ∈,则222211()(4)x y y x++的最小值为________．20．已知,(0,)x y ∈+∞<恒成立，利用柯西不等式可求得实数k 的取值范围是________．三、解答题21．已知f (n )＝1＋312＋313＋314＋＋31n ，()g n =32－212n，n ∈N *. （1）当n ＝1，2，3时，试比较f (n )与g(n )的大小关系； （2）猜想f (n )与g(n )的大小关系，并给出证明． 22．已知,x y R ∈，且1x y +=. （1）求证：22334x y +≥； （2）当0,0x y >>时，不等式221111|2||1|a a x y ⎛⎫⎛⎫--≥-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭恒成立，求a 的取值范围.23．已知函数()31f x x x =+++. （1）求不等式()4f x ≤的解集；（2）设函数()f x 的最小值为n ，若正实数,,a b c ，满足a b c n ++=，证明4118a b c++≥. 24．若正数,,a b c 满足1a b c ++=，求111323232a b c +++++的最小值. 25．已知222x y +=，且x y ≠，求()()2211x y x y ++-的最小值．26．已知函数()2f x m x =-+，m R ∈，且()20f x -≥的解集为[]3,3-. （1）求m 的值；（2）若a ，b ，c 是正实数，且23++=a b c m ，求证：111323a b c++≥.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【分析】利用柯西不等式可求得32a b +的最大值. 【详解】224a b +=，由柯西不等式可得()()()222223232a b a b ++≥+，即()23213452a b +≤⨯=，32a b ∴-+≤当且仅当a =b =时，32a b +取得最大值.因此，32a b +的最大值为 故选：B. 【点睛】本题考查利用柯西不等式求最值，解答的关键在于对代数式进行合理配凑，考查计算能力，属于基础题.2．B解析：B 【分析】将y =y =不等式求得2y 的最小值，从而可求出y 的最小值.【详解】y ==根据柯西不等式，得222(1)2(3)5y x x =-++-++22(1)2(3)52[(1)(3)x x x x ≥-++-++--2[(1)(3)]2511x x =-+-++++当且仅当13x x -=-，即13x =时等号成立.此时，min 1y ==，故选：B. 【点睛】本题主要考查利用柯西不等式求最小值的问题，属于基础题.3．C解析：C 【分析】. 【详解】由题意，()()2111318a b ≤++++=，=∴当72a =，32b =时，故选：C. 【点睛】本题考查了函数的最值，考查柯西不等式的运用，正确运用柯西不等式是关键.属于较易题.4．B解析：B 【解析】 【分析】利用柯西不等式得出最小值． 【详解】 （x 224y +）（y 221x+）≥（x 12y x y ⋅+⋅）2＝9．当且仅当xy 2xy=即xy=时取等号． 故选：B ． 【点睛】本题考查了柯西不等式的应用，熟记不等式准确计算是关键，属于基础题．5．B解析：B 【解析】 【分析】由题意结合数列求和的问题将原问题转化为柯西不等式的问题，然后利用柯西不等式求解最值即可，注意等号成立的条件. 【详解】由题意可得：()()135212462117n m ⎡⎤++++-+++++≤⎣⎦，结合等差数列前n 项和公式有：22117n m m ++≤，配方可得：22146924n m ⎛⎫++≤ ⎪⎝⎭，结合柯西不等式有：()2222213232322n m n m ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+++≥++⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦，即：23469231324n m ⎛⎫++≤⨯ ⎪⎝⎭，据此可得：32337.541642n m +≤≈， 由于23n m +为整数，故2337n m +≤，事实上，1+2+3+4+5+6+7+8+10+11+12+14+16+18=117 此时5个奇数,9个偶数,得到5×2+9×3=37,故3m +2n 的最大值是37. 本题选择B 选项. 【点睛】柯西不等式有代数形式和向量形式两种不同的形式.从解决问题的角度看，受思维特点和知识熟悉程度影响，不同的人会喜欢不同的处理方式.从柯西不等式的地位与作用看，由于柯西不等式是经典不等式，向量形式只是其中一种，利用代数形式研究一些相对复杂的问题更让人们所习惯.同时需要注意综合各个部分知识的应用和等号成立的条件.6．A解析：A 【分析】由题求得OP 的坐标，求得OP ，结合424x y z ++=可得答案.【详解】(),,x y y z =+ ，()222OP x y y z =+++利用柯西不等式可得()()()22222224214216x y y z x y z ⎡⎤⎡⎤+-++++≥++=⎣⎦⎣⎦21621OP ∴≥. 故选A. 【点睛】本题考查空间向量的线性坐标运算及空间向量向量模的求法，属基础题.7．C解析：C 【解析】 【分析】首先求得平方的最大值，然后确定y 的最大值即可. 【详解】函数有意义，则210x -≥，即11x -≤≤， 且()()22222211211222x x y x x ⎡⎤+-⎢⎥=+-≤+=⎢⎥⎣⎦， 则y =x 21x +-2 当且仅当221x x =-，即2x =时等号成立. 本题选择C 选项. 【点睛】本题主要考查函数最值的求解，均值不等式的应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.8．B解析：B 【解析】由柯西不等式可得(()()2222222111111b aa ab b ⎡⎤⎡⎤=--≤+--+=⎣⎦⎣⎦， 2211b a-=-时，上式取等号，所以2211ab a b =--()()222211a b a b =--，故221a b +=．故选B ．9．D解析：D 【解析】2221,a b c a b b c c a ++=∴+++++()1112++a b c a b b c c a ⎛⎫=⋅++ ⎪+++⎝⎭()()()()21111119a b b c c a a b b c c a ⎛⎫⎡⎤=+++++⋅++≥++= ⎪⎣⎦+++⎝⎭，当且仅当13a b c ===时等号成立，故选D.【易错点晴】本题主要考查利用基本不等式求最值，属于难题.利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数否在定义域内，二是多次用≥或≤时等号能否同时成立）.10．D解析：D 【解析】()()()22222221111119,3a b c a b c a b c ++++≥⨯+⨯+⨯=∴++≥，1a b c ===时等号成立，故选D. 11．D解析：D 【解析】21110,,1,()3()33,()111a b c a b c ab bc ca a b c a b c<<∴++≥++=∴++≥++---(1a -+11)b c -+-2111111[(1)(1)(1)]9,111111a b c a b c a b c-+-+-=∴++≥------9(111)a b c -+-+-≥=D.，故选 【点睛】本题考查柯西不等式，涉及转化化归思想，考查逻辑思维能力、等价转化能力、运算求解能力，综合性较强，属于中档题.本题想用基本不等式公式求得a b c ++≥利用柯西不等式公式求得111()(111)111a b c a b c++-+-+----9,≥从而求得1119111(111)a b c a b c ++≥≥=----+-+- 12．D解析：D 【解析】试题分析：根据条件：a ＜b ＜c ，x ＜y ＜z ，结合排序不等式：反序和≤乱序和≤同序和，即可得出同序和ax+by+cz 最大． 解：∵a ＜b ＜c ，x ＜y ＜z ，排序不等式：反序和≤乱序和≤同序和， 得：同序和ax+by+cz 最大． 故选D ．点评：本题主要考查了不等关系与不等式、排序不等式等基本知识，解答关键是利用不等关系与不等式的性质：反序和≤乱序和≤同序和．二、填空题13．3【分析】利用条件构造柯西不等式即可【详解】由题得所以所以所以的最大值为3故答案为：3【点睛】该题考查的是有关利用柯西不等式求最值的问题属于基础题目解析：3 【分析】利用条件构造柯西不等式()22222221(3)49112x y z x y z ⎛⎤⎛⎫++≤++++ ⎥ ⎪ ⎝⎭⎥⎝⎦即可 【详解】由题得()()()()22222221231132x y z x y z ⎡⎤⎛⎫⎡⎤++++≥++⎢⎥ ⎪⎣⎦⎝⎭⎢⎥⎣⎦，所以()29434x y z ⨯≥++，所以333x y z -≤++≤， 所以3x y z ++的最大值为3 故答案为：3. 【点睛】该题考查的是有关利用柯西不等式求最值的问题，属于基础题目.14．2【分析】根据题意得到再由柯西不等式即可求出结果【详解】因为均为非负数且则所以由柯西不等式可得：所以；当且仅当即由解得：即时等号成立故答案为：2【点睛】本题主要考查由柯西不等式求最值熟记柯西不等式即解析：2 【分析】根据题意得到()()()1419118a b c +++++=，再由柯西不等式，即可求出结果. 【详解】因为a ，b ，c 均为非负数，且494a b c ++=，则()()()1419118a b c +++++=， 所以由柯西不等式可得：()()()()21419111123361111a b a b c c ⎛⎫++≥++=⎡⎤ ++++⎪⎣⎦+++⎝+⎭， 所以11136211118a b c ++≥=+++；==12233a b c +=+=+， 由12233494a b c a b c +=+=+⎧⎨++=⎩解得：2120a b c =⎧⎪⎪=⎨⎪=⎪⎩，即12,,02a b c ===时，等号成立. 故答案为：2. 【点睛】本题主要考查由柯西不等式求最值，熟记柯西不等式即可，属于常考题型.15．①③④【解析】【分析】由题意逐一考查所给的四个说法的正误即可【详解】逐一考查所给的四个说法：则说法①正确；当时不成立说法②错误；由绝对值三角不等式的性质可得：|x−2|+|y+2|⩾|(x−2)+( 解析：①③④ 【解析】 【分析】由题意逐一考查所给的四个说法的正误即可. 【详解】逐一考查所给的四个说法：()()()()222222321110x y z x y z x y z +++-++=-+-+-≥，则()22232x y z x y z +++≥++，说法①正确；当1x y ==-时，2x y+≥②错误；由绝对值三角不等式的性质可得：|x −2|+|y +2|⩾|(x −2)+(y +2)|=|x +y |，说法③正确； ()()()()222222102x y z xy yz zx x y y z z x ⎡⎤++-++=-+-+-≥⎣⎦， 则222x y z xy yz zx ++≥++，说法④正确. 综上可得，一定成立的不等式的序号是①③④. 【点睛】本题主要考查不等式的性质，利用不等式求最值，均值不等式成立的条件等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.16．【解析】由柯西不等式得（2x2+y2+3z2）（+1+）≥（x+y+z ）2=1∴2x2+y2+3z2≥即的最小值为故答案为： 解析：611【解析】由柯西不等式得，（2x 2+y 2+3z 2）（12+1+13）≥（x+y+z ）2=1 ∴2x 2+y 2+3z 2≥611，即22223x y z ++的最小值为611故答案为：611． 17．25【解析】故答案为【方法点睛】本题主要考查了一般形式的柯西不等式属于中档题解决问题的关键是利用柯西不等式求最值时关键是对原目标函数进行配凑以保证出现常数结果同时要注意等号成立的条件配凑过程采取如下解析：25 【解析】()222229232321212212212y x x x x x x x x ⎛⎫⎡⎤=+=+=++- ⎪⎣⎦---⎝⎭225≥=，故答案为25.【方法点睛】本题主要考查了一般形式的柯西不等式，属于中档题. 解决问题的关键是利用柯西不等式求最值时， 关键是对原目标函数进行配凑，以保证出现常数结果.同时，要注意等号成立的条件, 配凑过程采取如下方法：一是考虑题设条件；二是对原目标函数进行配凑后利用柯西不等式解答18．【分析】直接利用柯西不等式列式化简后可求得最大值【详解】由柯西不等式得即即【点睛】本小题主要考查利用利用柯西不等式求最大值考查化归与转化的数学思想方法属于基础题【分析】直接利用柯西不等式列式，化简后可求得最大值. 【详解】 由柯西不等式得222222111112⎡⎤⎫⎡⎤⎢⎥++++≥⎪⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎭⎝⎭⎣⎦，即()2542a b c ++≥≤. 【点睛】 本小题主要考查利用利用柯西不等式求最大值，考查化归与转化的数学思想方法，属于基础题.19．9【详解】由柯西不等式可知解析：9【详解】 由柯西不等式可知2222211()(4)(12)9x y y x++≥+=． 20．【解析】试题分析：由柯西不等式得所以即考点：柯西不等式解析：k >【解析】试题分析：由柯西不等式得22(13)()x y ≤++，所以≤k >考点：柯西不等式三、解答题21．（1）答案见解析；（2）f (n )≤g(n )，证明见解析.【分析】（1）利用解析式计算、比较可得答案；（2）由（1）的结果猜想可得f (n )≤g(n )，再利用数学归纳法进行证明可得答案.【详解】（1）当n ＝1时，f (1)＝1，g(1)＝1，所以f (1)＝g(1)；当n ＝2时，f (2)＝98，g(2)＝118，所以f (2)＜g(2)； 当n ＝3时，f (3)＝251216，g(3)＝312216，所以f (3)＜g(3)． （2）由（1）猜想： f (n )≤g(n )，用数学归纳法证明．①当n ＝1，不等式显然成立．②假设当n ＝k (k ∈N *)时不等式成立，即1＋312＋313＋314＋＋31k ≤32－212k ， 则当n ＝k ＋1时， f (k ＋1)＝f (k )＋31(1)k +≤32－212k ＋31(1)k +22233111122(1)2(1)2(1)k k k k =-+-++++，因为212(1)k +－23112(1)k k ++＝332(1)k k ++－212k ＝32312(1)k k k --+＜0， 所以f (k ＋1)＜32－212(1)k +＝g(k ＋1)． 由①②可知，对一切n ∈N *，都有f (n )≤g(n )成立.【点睛】关键点点睛：掌握数学归纳法原理是本题解题关键.22．（1）证明见解析；（2）[]4,5-.【分析】（1）由柯西不等式即可证明；（2）可先化简计算221111x y ⎛⎫⎛⎫-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的最小值，再分2a ≥，1a 2-<<，1a ≤-三种情况讨论即可得到答案.【详解】（1）由柯西不等式得： 22222)11x x ⎡⎤⎛⎡⎤++≥⋅⎢⎥ ⎣⎦⎝⎢⎥⎣⎦， ()22243()13x y x y ∴+⨯≥+=， 当且仅当334x y ==时取等号， 22334x y ∴+≥； （2）由0,0x y >>，1x y +=， 得222211(1)(1)(1)(1)112111x x y y x y x y x y x y xy ⎛⎫+-+-++⎛⎫--=⋅=⋅=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 114x y xy=+≥≥ 当且仅当12x y ==时等号成立， 要使得不等式221111|2||1|a a x y ⎛⎫⎛⎫--≥-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭恒成立， 即可转化为|2||1|9a a -++≤，当2a ≥时，219a -≤，可得25a ≤≤，当1a 2-<<时，39≤，可得1a 2-<<，当1a ≤-时，219a -+≤，可得41a -≤≤-，a ∴的取值范围为：[]45-，.【点睛】易错点睛：本题主要考查柯西不等式，均值不等式，绝对值不等式的综合应用. 柯西不等式以及均值不等式注意等号成立的条件.23．（1）[]4,0-；（2）证明见解析【分析】（1）由314x x +++≤，分3,31,1x x x ≤--<<-≥-三种情况，分别解不等式，进而可得出答案；（2）先求出()f x 的最小值，进而利用柯西不等式，可证明结论成立.【详解】（1）()4f x ≤，即314x x +++≤，原不等式等价于3143x x x ⎧⎨----≤≤-⎩或33114x x x ⎧⎨+---≤<<-⎩或3141x x x ⎧⎨+++≤≥-⎩， 解得43x -≤≤-或31x -<<-或10x -≤≤，综上，原不等式的解集为[]4,0-.（2）因为()31312f x x x x x =+++≥+--=，所以函数()f x 的最小值2n =， 则正实数,,a b c ，满足2a b c ++=，由柯西不等式，可得()2411a b ca b c ⎛⎫++++≥ ⎪⎝⎭， 即()2411221116a b c ⎛⎫++≥++=⎪⎝⎭，当且仅当2a b c ==时，等号成立. 所以4118a b c++≥. 【点睛】本题考查绝对值不等式的解法，考查不等式的证明，考查学生的推理能力与计算求解能力，属于中档题.24．1【解析】 试题分析：由柯西不等式得[]111(32)(32)(32)323232a b c a b c ⎛⎫+++++++ ⎪+++⎝⎭9≥=，所以1111323232a b c ++≥+++ 试题因为,,a b c 均为正数，且1a b c ++=，所以(32)(32)(32)9a b c +++++=． 于是由均值不等式可知[]111(32)(32)(32)323232a b c a b c ⎛⎫+++++++ ⎪+++⎝⎭9≥=， 当且仅当13a b c ===时，上式等号成立． 从而1111323232a b c ++≥+++． 故111323232a b c +++++的最小值为1．此时13a b c ===． 考点：柯西不等式25．1【分析】令,u x y v x y =+=-，得224u v ，利用柯西不等式可以求出. 【详解】令,u x y v x y =+=-，则,22u v u v x y ， 222x y +=，22()()8u v u v ∴++-=，得224u v ，由柯西不等式可得2222211114u v u v ， 即22111u v ， 当且仅当222u v ==，即2,0x y 或0,2x y 时，等号成立， 故()()2211x y x y ++-的最小值为1.【点睛】本题考查柯西不等式的应用,考查考生分析问题、解决问题的能力. 26．(1) 3m =;(2)证明见解析.【分析】(1)根据(2)0f x -≥的解集为[3,3]-,结合绝对值不等式的解法,即可求m 的值;(2)利用柯西不等式,即可证明结论.【详解】(1)依题意(2)||0f x m x -=-≥,即||x m m x m ≤-≤≤，，3m ∴=； (2)证明: 233(,,0)a b c a b c ++=>, 所以由柯西不等式得3=≤ 所以111323a b c ++≥,当且仅当23a b c ==,即111,,23a b c ===时取等号. 【点睛】本题考查含绝对值不等式的解法和柯西不等式的运用，属于中档题.。
高中数学第二章几个重要的不等式2.2排序不等式练习北师大版选修4_5
§2 排序不等式课后篇巩固探究A组1.顺序和S、逆序和S'、乱序和S″的大小关系是()A.S≤S'≤S″B.S≥S'≥S″C.S≥S″≥S'D.S≤S″≤S'解析:由排序不等式可知,逆序和≤乱序和≤顺序和.答案:C2.设x,y,z均为正数,P=x3+y3+z3,Q=x2y+y2z+z2x,则P与Q的大小关系是()A.P≥QB.P>QC.P≤QD.P<Q解析:不妨设x≥y≥z,则x2≥y2≥z2,由排序不等式可得,顺序和为P,乱序和为Q,则P≥Q.答案:A3.若a<b<c,x<y<z,则下列各式中值最大的一个是()A.ax+cy+bzB.bx+ay+czC.bx+cy+azD.ax+by+cz解析:由于a<b<c,x<y<z,因此由排序不等式知,顺序和ax+by+cz最大.故选D.答案:D4.已知a,b,c均为正数,则a2(a2-bc)+b2(b2-ac)+c2(c2-ab)()A.大于零B.大于或等于零C.小于零D.小于或等于零解析:设a≥b≥c>0,则a3≥b3≥c3,根据排序不等式,得a3·a+b3·b+c3·c≥a3b+b3c+c3a.因为ab≥ac≥bc,a2≥b2≥c2,所以a3b+b3c+c3a≥a2bc+b2ca+c2ab.所以a4+b4+c4≥a2bc+b2ca+c2ab,即a2(a2-bc)+b2(b2-ac)+c2(c2-ab)≥0.答案:B5.设a1,a2,a3,a4是1,2,3,4的一个排列,则a1+2a2+3a3+4a4的取值范围是.解析:a1+2a2+3a3+4a4的最大值为顺序和12+22+32+42=30,最小值为逆序和1×4+2×3+3×2+4×1=20.答案:[20,30]6.如图所示,矩形OPAQ中,a1≤a2,b1≤b2,若阴影部分的矩形的面积之和为S1,空白部分的矩形的面积之和为S2,则S1与S2的大小关系是.解析:由题图可知,S1=a1b1+a2b2,而S2=a1b2+a2b1,根据顺序和≥逆序和可知,S1≥S2.答案:S1≥S27.若a,b,c均为正数,求证:a3+b3+c3≥3abc.证明不妨设a≥b≥c>0,则a2≥b2≥c2>0,由排序不等式可得a3+b3≥a2b+ab2,c3+b3≥c2b+cb2,a3+c3≥a2c+ac2,三式相加得2(a3+b3+c3)≥a(b2+c2)+b(a2+c2)+c(a2+b2).又因为a2+b2≥2ab,c2+b2≥2cb,a2+c2≥2ac,所以2(a3+b3+c3)≥6abc,即a3+b3+c3≥3abc.8.设a,b均为正数,求证:.证明不妨设a≥b>0,则a2≥b2>0,>0,由不等式的性质得>0.则由排序不等式可得,即.9.设a,b,c都是正数,求证:a+b+c≤.证明由题意不妨设a≥b≥c>0.由不等式的性质,知a2≥b2≥c2,ab≥ac≥bc.根据排序不等式,得a2bc+ab2c+abc2≤a3c+b3a+c3b.①又由不等式的性质,知a3≥b3≥c3,且a≥b≥c.再根据排序不等式,得a3c+b3a+c3b≤a4+b4+c4.②由①②及不等式的传递性,得a2bc+ab2c+abc2≤a4+b4+c4.因为a,b,c均为正数,所以abc>0,所以两边同除以abc即得a+b+c≤.B组1.设a,b,c>0,则式子M=a5+b5+c5-a3bc-b3ac-c3ab与0的大小关系是()A.M≥0。
高中数学第二章几个重要的不等式滚动训练三(1_2)北师大版选修4_5
第二章 几个重要的不等式滚动训练三(§1～§2)一、选择题1．已知a ，b 是给定的正数，则4a 2sin 2α＋b2cos 2α的最小值为( )A ．2a 2＋b 2B ．2abC ．(2a ＋b )2D ．4ab答案 C 解析4a 2sin 2α＋b 2cos 2α＝(sin 2α＋cos 2α)⎝ ⎛⎭⎪⎫4a2sin 2α＋b 2cos 2α≥⎝⎛⎭⎪⎫sin α·2a sin α＋cos α·b cos α2＝(2a ＋b )2， 当且仅当sin α·b cos α＝cos α·2asin α时，等号成立．故4a 2sin 2α＋b 2cos 2α的最小值为(2a ＋b )2. 2．已知a ，b ，c 为正数且a ＋b ＋c ＝32，则a 2＋b 2＋b 2＋c 2＋c 2＋a 2的最小值为( ) A ．4B ．42C ．6D ．6 2 答案 C解析 ∵a ，b ，c 为正数，∴2a 2＋b 2＝1＋1a 2＋b 2≥a ＋b . 同理2b 2＋c 2≥b ＋c ，2c 2＋a 2≥c ＋a ，相加得2(a 2＋b 2＋b 2＋c 2＋c 2＋a 2)≥2(b ＋c ＋a )＝62， 即a 2＋b 2＋b 2＋c 2＋c 2＋a 2≥6， 当且仅当a ＝b ＝c ＝2时取等号．3．已知(x －1)2＋(y －2)2＝4，则3x ＋4y 的最大值为( ) A ．21B ．11C ．18D ．28 答案 A解析 根据柯西不等式，得[(x －1)2＋(y －2)2][32＋42]≥[3(x －1)＋4(y －2)]2＝(3x ＋4y －11)2， ∴(3x ＋4y －11)2≤100.可得3x ＋4y ≤21，当且仅当x －13＝y －24＝25时取等号． 4．已知x ＋y ＋z ＝1，则2x 2＋3y 2＋z 2的最小值为( ) A.211 B.311 C.511 D.611答案 D解析 ∵()2x 2＋3y 2＋z 2·⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋13＋1≥(x ＋y ＋z )2＝1，∴2x 2＋3y 2＋z 2≥611.当且仅当2x 12＝3y 13＝z 1时，等号成立． 5．已知x ，y ，z ∈R ＋，且1x ＋2y ＋3z ＝1，则x ＋y 2＋z3的最小值为( )A ．5B ．6C ．8D ．9 答案 D解析 由柯西不等式知，⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋2y ＋3z ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y 2＋z 3≥(1＋1＋1)2＝9，因为1x ＋2y ＋3z ＝1，所以x ＋y 2＋z3≥9.即x ＋y 2＋z3的最小值为9. 6．设c 1，c 2，…，c n 是a 1，a 2，…，a n 的某一排列(a 1，a 2，…，a n 均为正数)，则a 1c 1＋a 2c 2＋…＋a n c n的最小值是( ) A ．n B.1nC.n D ．2n答案 A解析 不妨设a 1≥a 2≥…≥a n ＞0，则1a 1≤1a 2≤…≤1a n，由排序不等式知，a 1c 1＋a 2c 2＋…＋a n c n ≥a 1·1a 1＋a 2·1a 2＋…＋a n ·1a n＝n . 二、填空题7．函数y ＝3sin x ＋22(1＋cos2x )的最大值是________． 答案 5解析 y ＝3sin x ＋22(1＋cos2x )＝3sin x ＋4cos 2x ≤(32＋42)(sin 2x ＋cos 2x )＝5， 当且仅当3|cos x |＝4sin x 时等号成立．8．设x ，y ，z ∈R ，若x 2＋y 2＋z 2＝4，则x －2y ＋2z 的最小值为________． 答案 －6解析 由柯西不等式，得(x 2＋y 2＋z 2)[12＋(－2)2＋22]≥(x －2y ＋2z )2， 故(x －2y ＋2z )2≤4×9＝36.当且仅当x 1＝y －2＝z 2＝k ，k ＝±23时，上式取得等号，当k ＝－23时，x －2y ＋2z 取得最小值－6.9．已知点P 是边长为23的等边三角形内一点，它到三边的距离分别为x ，y ，z ，则x ，y ，z 所满足的关系式为________，x 2＋y 2＋z 2的最小值是________．答案 x ＋y ＋z ＝3 3解析 利用三角形面积相等，得 12×23(x ＋y ＋z )＝34×(23)2， 即x ＋y ＋z ＝3.由(1＋1＋1)(x 2＋y 2＋z 2)≥(x ＋y ＋z )2＝9， 得x 2＋y 2＋z 2≥3，当且仅当x ＝y ＝z ＝1时取等号．10．已知2x ＋3y ＋z ＝8，则当x 2＋y 2＋z 2取得最小值时，x ，y ，z 形成的点(x ，y ，z )＝______.答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫87，127，47解析 由柯西不等式，得(22＋32＋12)(x 2＋y 2＋z 2)≥(2x ＋3y ＋z )2，即x 2＋y 2＋z 2≥8214＝327.当且仅当x 2＝y3＝z 时等号成立．又2x ＋3y ＋z ＝8，解得x ＝87，y ＝127，z ＝47，所以所求点为⎝ ⎛⎭⎪⎫87，127，47.三、解答题11．已知实数a ，b ，c 满足a ＋2b ＋c ＝1，a 2＋b 2＋c 2＝1， 求证：－23≤c ≤1.证明 因为a ＋2b ＋c ＝1，a 2＋b 2＋c 2＝1， 所以a ＋2b ＝1－c ，a 2＋b 2＝1－c 2. 由柯西不等式，得(12＋22)(a 2＋b 2)≥(a ＋2b )2，5(1－c 2)≥(1－c )2， 所以3c 2－c －2≤0，解得－23≤c ≤1.12．设a 1，a 2，…，a n 是1,2，…，n 的一个排列，求证： 12＋23＋…＋n －1n ≤a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n －1a n. 证明 设b 1，b 2，…，b n －1是a 1，a 2，…，a n －1的一个排列，且b 1＜b 2＜…＜b n －1；c 1，c 2，…，c n －1是a 2，a 3，…，a n 的一个排列，且c 1＜c 2＜…＜c n －1，则1c 1＞1c 2＞…＞1c n －1且b 1≥1，b 2≥2，…，b n －1≥n －1，c 1≤2，c 2≤3，…，c n －1≤n .利用排序不等式，有a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n －1a n ≥b 1c 1＋b 2c 2＋…＋b n －1c n －1≥12＋23＋…＋n －1n.∴原不等式成立． 13．设a ，b ，c ，d ∈R ＋，令S ＝a a ＋d ＋b ＋b b ＋c ＋a ＋c c ＋d ＋b ＋dd ＋a ＋c，求证：1＜S ＜2.证明 首先证明b a ＜b ＋ma ＋m(a ＞b ＞0，m ＞0)．因为b a －b ＋m a ＋m ＝b (a ＋m )－a (b ＋m )a (a ＋m )＝m (b －a )a (a ＋m )＜0，所以S ＝a a ＋d ＋b ＋b b ＋c ＋a ＋c c ＋d ＋b ＋dd ＋a ＋c＜a ＋c (a ＋b ＋d )＋c ＋b ＋d (b ＋c ＋a )＋d ＋c ＋a (c ＋d ＋b )＋a ＋d ＋b (d ＋a ＋c )＋b ＝2(a ＋b ＋c ＋d )a ＋b ＋c ＋d＝2，所以S ＜2. 又S ＞a a ＋b ＋d ＋c ＋b b ＋c ＋a ＋d ＋c c ＋d ＋b ＋a ＋dd ＋a ＋c ＋b ＝a ＋b ＋c ＋da ＋b ＋c ＋d＝1，所以1＜S ＜2. 四、探究与拓展14．已知5a 2＋3b 2＝158，则a 2＋2ab ＋b 2的最大值为______．答案 1 解析 ∵⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫552＋⎝ ⎛⎭⎪⎫332[(5a )2＋(3b )2]≥⎝ ⎛⎭⎪⎫55×5a ＋33×3b 2＝(a ＋b )2＝a 2＋2ab ＋b 2，当且仅当5a ＝3b ，即a ＝38，b ＝58时取等号．∴815×(5a 2＋3b 2)≥a 2＋2ab ＋b 2. ∴a 2＋2ab ＋b 2≤815×(5a 2＋3b 2)＝815×158＝1，∴a 2＋2ab ＋b 2的最大值为1.15．已知a ，b ，c 均为实数，且a ＋b ＋c ＋2－2m ＝0，a 2＋14b 2＋19c 2＋m －1＝0.(1)求证：a 2＋14b 2＋19c 2≥(a ＋b ＋c )214；(2)求实数m 的取值范围．(1)证明 由柯西不等式得⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12b 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13c 2·(12＋22＋32)≥(a ＋b ＋c )2，当且仅当a ＝14b ＝19c 时，等号成立，即⎝⎛⎭⎪⎫a 2＋14b 2＋19c 2×14≥(a ＋b ＋c )2，∴a 2＋14b 2＋19c 2≥(a ＋b ＋c )214.(2)解 由已知得a ＋b ＋c ＝2m －2，a 2＋14b 2＋19c 2＝1－m ，∴由(1)可知，14(1－m )≥(2m －2)2， 即2m 2＋3m －5≤0， 解得－52≤m ≤1.又∵a 2＋14b 2＋19c 2＝1－m ≥0，∴m ≤1，∴－52≤m ≤1.即实数m 的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－52，1.。
2018-2019学年北师大版数学选修4-5同步指导学案：第二章 几个重要的不等式 滚动训练四(§1～§3)
滚动训练四(§1～§3)一、选择题1．设a ，b ∈R ＋且a ＋b ＝16，则1a ＋1b 的最小值是( )A.14B.18 C.116 D.12答案 A解析 (a ＋b )⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ≥⎝⎛⎭⎫a ·1a ＋b ·1b 2＝4， ∴1a ＋1b ≥14. 当且仅当a ·1b ＝b ·1a ，即a ＝b ＝8时取等号．2．若A ＝x 21＋x 22＋…＋x 2n ，B ＝x 1x 2＋x 2x 3＋…＋x n －1x n ＋x n x 1，其中x 1，x 2，…，x n 都是正数，则A 与B 的大小关系为( ) A ．A ＞B B ．A ＜B C ．A ≥B D ．A ≤B答案 C解析 依数列{x n }的各项都是正数，不妨设0＜x 1≤x 2≤…≤x n ，则x 2，x 3，…，x n ，x 1为数列{x n }的一个排列．依排序原理，得x 1x 1＋x 2x 2＋…＋x n x n ≥x 1x 2＋x 2x 3＋…＋x n x 1，即x 21＋x 22＋…＋x 2n ≥x 1x 2＋x 2x 3＋…＋x n x 1.3．用数学归纳法证明1＋2＋22＋…＋2n ＋1＝2n ＋2－1(n ∈N ＋)的过程中，在验证n ＝1时，左端计算所得的项为( ) A ．1 B ．1＋2 C ．1＋2＋22 D ．1＋2＋22＋23答案 C解析 当n ＝1时，左端＝1＋2＋22，故选C.4．已知x ，y ，z ，a ，b ，c ，k 均为正数，且x 2＋y 2＋z 2＝10，a 2＋b 2＋c 2＝90，ax ＋by ＋cz ＝30，a ＋b ＋c ＝k (x ＋y ＋z )，则k 等于( ) A.19 B.13 C ．9 D ．3 答案 D解析 因为x 2＋y 2＋z 2＝10，a 2＋b 2＋c 2＝90，ax ＋by ＋cz ＝30， 所以(a 2＋b 2＋c 2)(x 2＋y 2＋z 2)＝(ax ＋by ＋cz )2， 又(a 2＋b 2＋c 2)(x 2＋y 2＋z 2)≥(ax ＋by ＋cz )2， 当且仅当a x ＝b y ＝cz＝k 时，等号成立，则a ＝kx ，b ＝ky ，c ＝kz ，代入a 2＋b 2＋c 2＝90， 得k 2(x 2＋y 2＋z 2)＝90， 于是k ＝3，故选D. 5．用数学归纳法证明不等式1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n ＜1314(n ≥2，n ∈N ＋)的过程中，由n ＝k 递推到n ＝k ＋1不等式左边( ) A ．增加了一项12(k ＋1)B ．增加了两项12k ＋1，12k ＋2C ．增加了B 中两项但减少了一项1k ＋1D ．以上各种情况均不对 答案 C解析 ∵n ＝k 时，左边＝1k ＋1＋1k ＋2＋…＋12k ，n ＝k ＋1时，左边＝1k ＋2＋1k ＋3＋…＋12k ＋12k ＋1＋12k ＋2，∴增加了两项12k ＋1，12k ＋2，少了一项1k ＋1.6．函数y ＝5x －1＋9－3x 的最大值是( ) A ．6 3 B ．2 3 C ．5 2 D ．214答案 D解析 函数的定义域为[1,3]，且y ＞0.由柯西不等式可得y ＝5x －1＋9－3x ＝5x －1＋3×3－x ≤(25＋3)(x －1＋3－x )＝214，当且仅当53＝x －13－x，即x ＝3914时，函数取得最大值214，故选D.7．若2x ＋3y ＋5z ＝29，则函数μ＝2x ＋1＋3y ＋4＋5z ＋6的最大值为( ) A. 5 B ．215 C ．230 D.30答案 C解析 由柯西不等式可得(2x ＋1·1＋3y ＋4·1＋5z ＋6·1)2≤(2x ＋1＋3y ＋4＋5z ＋6)(12＋12＋12)，∵2x ＋3y ＋5z ＝29， ∴(2x ＋1·1＋3y ＋4·1＋5z ＋6·1)2≤120， ∴μ＝2x ＋1＋3y ＋4＋5z ＋6≤230，∴μ＝2x ＋1＋3y ＋4＋5z ＋6的最大值为230.故选C. 二、填空题8．已知a ，b ，c 都是正数，且2a ＋b ＋c ＝6，则a 2＋ab ＋ac ＋bc 的最大值为________． 答案 9解析 ∵a ，b ，c 都是正数，∴a 2＋ab ＋ac ＋bc ＝(a ＋b )(a ＋c )≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b ＋a ＋c 22. ∵2a ＋b ＋c ＝6，∴a 2＋ab ＋ac ＋bc ≤9， ∴a 2＋ab ＋ac ＋bc 的最大值为9.9．已知两组数1,2,3和45,25,30，若c 1，c 2，c 3是45,25,30的一个排列，则c 1＋2c 2＋3c 3的最大值是________，最小值是________． 答案 220 180解析 由排序不等式知顺序和最大，逆序和最小，故所求最大值为1×25＋2×30＋3×45＝220，最小值为1×45＋2×30＋3×25＝180.10．已知实数x ，y ，z 满足2x ＋y ＋3z ＝32，则(x －1)2＋(y ＋2)2＋z 2的最小值为________． 答案16147解析 ∵12＋22＋32＝14，由柯西不等式可得(22＋12＋32)[(x －1)2＋(y ＋2)2＋z 2]≥(2x －2＋y ＋2＋3z )2＝322，∴(x －1)2＋(y ＋2)2＋z 2≥16147，当且仅当2x －1＝1y ＋2＝3z 时，等号成立，即(x －1)2＋(y ＋2)2＋z 2的最小值是16147.11．已知a ，b ，c 都是正数，a ＋2b ＋3c ＝9，则14a ＋118b ＋1108c 的最小值为________．答案 19解析 ∵(a ＋2b ＋3c )⎝⎛⎭⎫14a ＋118b ＋1108c＝[(a )2＋(2b )2＋(3c )2]·⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫12a 2＋⎝⎛⎭⎫132b 2＋⎝⎛⎭⎫163c 2≥⎝⎛⎭⎫12＋13＋162＝1，当且仅当a ＝3b ＝9c 时取等号，又a ＋2b ＋3c ＝9，∴14a ＋118b ＋1108c ≥19，即最小值为19.三、解答题12．设函数y ＝|x ＋1|＋|x －2|的最小值为M . (1)求实数M 的值；(2)若不等式a －x ＋4＋2x ≤M (其中a ＞0)恒成立，求实数a 的取值范围． 解 (1)因为|x ＋1|＋|x －2|≥|(x ＋1)－(x －2)|＝3，所以M ＝3. (2)因为(a －x ＋2·2＋x )2≤[12＋(2)2](a －x ＋2＋x )＝3(a ＋2)，当且仅当2＋x ＝2·a －x 时，等号成立，即当x ＝2a －23∈[－2，a ]时，a －x ＋2(2＋x )取得最大值3(a ＋2)，所以3(a ＋2)≤3.又a ＞0，所以0＜a ≤1.13．已知函数f (x )＝|x ＋1|－|2x －2|. (1)求不等式f (x )≥x －1的解集；(2)若f (x )的最大值是m ，且a ，b ，c 均为正数，a ＋b ＋c ＝m ，求b 2a ＋c 2b ＋a 2c的最小值．解 (1)由已知可得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＜－1，x －3≥x －1或⎩⎪⎨⎪⎧ －1≤x ≤1，3x －1≥x －1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＞1，－x ＋3≥x －1，解得0≤x ≤2.故不等式的解集为[0,2]．(2)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －3，x ＜－1，3x －1，－1≤x ≤1，显然当x ＝1时，f (x )取－x ＋3，x ＞1，得最大值，∴m ＝f (1)＝2， ∴a ＋b ＋c ＝2.又(a ＋b ＋c )⎝⎛⎭⎫b 2a ＋c 2b ＋a 2c ＝[(a )2＋(b )2＋(c )2]·⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫b a 2＋⎝⎛⎭⎫c b 2＋⎝⎛⎭⎫a c 2≥(a ＋b ＋c )2， ∴b 2a ＋c 2b ＋a 2c ≥a ＋b ＋c ＝2，当且仅当a ＝b ＝c 时取等号，故b 2a ＋c 2b ＋a 2c 的最小值是2. 14．已知数列{a n }和{b n }，其中a n ＝1＋3＋5＋…＋(2n ＋1)，b n ＝1＋2＋…＋2n －1，当n ∈N ＋时，试比较a n 与b n 的大小，并证明你的结论．解 由已知得a n ＝1＋(2n ＋1)2·(n ＋1)＝(n ＋1)2，b n ＝2n －12－1＝2n－1.当n ＝1时，a 1＝4，b 1＝1，则a 1＞b 1， 当n ＝2时，a 2＝9，b 2＝3，则a 2＞b 2， 当n ＝3时，a 3＝16，b 3＝7，则a 3＞b 3， 当n ＝4时，a 4＝25，b 4＝15，则a 4＞b 4， 当n ＝5时，a 5＝36，b 5＝31，则a 5＞b 5 当n ＝6时，a 6＝49，b 6＝63，则a 6＜b 6， 当n ＝7时，a 7＝64，b 7＝127，则a 7＜b 7， …，由此猜想，当n∈N＋，n≤5时，a n＞b n.当n∈N＋，n≥6时，a n＜b n.前一结论上面已用列举法证明，后一结论用数学归纳法证明如下：①当n＝6时，上面已证a6＜b6.②假设当n＝k(k∈N＋，k≥6)时，上述结论成立，即当k≥6时，(k＋1)2＜2k－1.当n＝k＋1时，要证a k＋1＜b k＋1，即证(k＋2)2＜2k＋1－1，只需证(k＋2)2＜2·2k－1，根据归纳假设，2·2k－1＞2[(k＋1)2＋1]－1，所以只需证(k＋2)2＜2(k＋1)2＋1，即证k2＋4k＋4＜2k2＋4k＋3，即证k2＞1.因为k≥6，所以此式显然成立．故当n＝k＋1时结论成立．由①②可知，当n∈N＋，n≤5时，a n>b n，当n∈N＋，n≥6时，a n<b n.。
高中数学 北师大版选修4-5几个重要的不等式第二章
§1柯西不等式1.1简单形式的柯西不等式学习目标1.认识并理解平面上的柯西不等式的代数和向量形式.2.会用柯西不等的代数形式和向量形式证明比较简单的不等式，会求某些函数的最值.预习自测1.柯西不等式若a，b，c，d∈R，则(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2，等号成立⇔ad＝bc.2.柯西不等式的向量形式设α，β为平面上的两个向量，则|α·β|≤|α||β|，当且仅当β是零向量，或存在实数k，使α＝kβ时，等号成立.自主探究1.如何证明：a1，a2，b1，b2∈R时，(a21＋a22)(b21＋b22)≥(a1b1＋a2b2)2?提示(a21＋a22)(b21＋b22)－(a1b1＋a2b2)2≥0⇔a21b21＋a22b22＋a21b22＋a22b21－a21b21－a22b22－2a1b1a2b2≥0⇔a21b22－2a1b1a2b2＋a22b21≥0⇔(a1b2－a2b1)2≥0.上式中等号成立⇔a1b2＝a2b1.2.设平面上两个向量为α＝(a1，a2)，β＝(b1，b2)，你能证明|α||β|≥|α·β|吗？提示∵cos〈α，β〉＝α·β|α||β|＝a1b1＋a2b2a21＋a22b21＋b22，∴cos2〈α，β〉＝（a1b1＋a2b2）2（a21＋a22）（b21＋b22）≤1，即(a 21＋a 22)(b 21＋b 22)≥(a 1b 1＋a 2b 2)2， a 21＋a 22·b 21＋b 22≥|a 1b 1＋a 2b 2|.∴|α||β|≥|α·β|，等号成立的充要条件为α＝λβ (λ≠0).典例剖析知识点1 利用柯西不等式证明不等式【例1】 已知3x 2＋2y 2≤6，求证：2x ＋y ≤11. 证明 由于2x ＋y ＝23(3x )＋12(2y ). 由柯西不等式(a 1b 1＋a 2b 2)2≤(a 21＋a 22)(b 21＋b 22)得(2x ＋y )2≤⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫232＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122(3x 2＋2y 2)≤⎝ ⎛⎭⎪⎫43＋12×6＝116×6＝11， ∴|2x ＋y |≤11，∴2x ＋y ≤11.【反思感悟】 柯西不等式(a 21＋a 22)(b 21＋b 22)≥(a 1b 1＋a 2b 2)2⇔a 21＋a 22b 21＋b 22≥|a 1b 1＋a 2b 2|，应用时关键是对已知条件的变形.1.已知a ，b ，c ，d ∈R ，x >0，y >0，且x 2＝a 2＋b 2，y 2＝c 2＋d 2，求证：xy ≥ac ＋bd .证明 由柯西不等式知：ac ＋bd ≤a 2＋b 2c 2＋d 2＝x 2·y 2＝xy . ∴xy ≥ac ＋bd .【例2】 (二维形式的三角不等式)设x 1，y 1，x 2，y 2∈R ，用代数的方法证明x 21＋y 21＋x 22＋y 22≥（x 1－x 2）2＋（y 1－y 2）2.证明 (x 21＋y 21＋x 22＋y 22)2＝x 21＋y 21＋2x 21＋y 21x 22＋y 22＋x 22＋y 22≥x 21＋y 21＋2|x 1x 2＋y 1y 2|＋x 22＋y 22 ≥x 21＋y 21－2(x 1x 2＋y 1y 2)＋x 22＋y 22＝x 21－2x 1x 2＋x 22＋y 21－2y 1y 2＋y 22＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2∴x 21＋y 21＋x 22＋y 22≥（x 1－x 2）2＋（y 1－y 2）2【反思感悟】 在平面中设α＝(x 1，y 1)，β＝(x 2，y 2)，则α±β＝(x 1±x 2，y 1±y 2)，由向量加法的三角形法则知：|α|＋|β|≥|α＋β|⇔x 21＋y 21＋x 22＋y 22≥（x 1＋x 2）2＋（y 1＋y 2）2，由向量减法的几何意义知：|α|＋|β|≥|α－β|⇔x 21＋y 21＋x 22＋y 22≥（x 1－x 2）2＋（y 1－y 2）2.2.利用柯西不等式证明：a 2＋b 28≥⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 42. 证明 ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 42＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a 4＋b 42≤(a 2＋b 2)⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫142＋⎝ ⎛⎭⎪⎫142＝a 2＋b 28. 知识点2 利用柯西不等式求函数的最值【例3】 求函数y ＝5x －1＋10－2x 的最大值. 解 函数的定义域为{x |1≤x ≤5}.y ＝5x －1＋25－x ≤52＋2x －1＋5－x ＝27×2＝63当且仅当55－x ＝2x －1 即x ＝12727时取等号，故函数的最大值为6 3.【反思感悟】 解题的关键是对函数解析式进行变形，使形式上适合应用柯西不等式，还要注意求出使函数取得最值时的自变量的值.3.已知x ＋y ＝1，求2x 2＋3y 2的最小值.解 2x 2＋3y 2＝[(2x )2＋(3y )2]⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫132×65≥65⎝⎛⎭⎪⎫2x ·12＋3y ·132＝65(x ＋y )2＝65.课堂小结1.二维形式的柯西不等式(a 21＋a 22)(b 21＋b 22)≥(a 1b 1＋a 2b 2)2，当且仅当a 1b 2＝a 2b 1时等号成立.2.推论：(1)(a ＋b )·(c ＋d )≥(ac ＋bd )2；(2)a 21＋a 22·b 21＋b 22≥|a 1b 1＋a 2b 2|； (3)a 21＋a 22·b 21＋b 22≥|a 1b 1|＋|a 2b 2|.3.柯西不等式的向量形式|α·β|≤|α||β|，当且仅当存在实数λ≠0，使α＝λβ时等号成立.4.二维形式的三角不等式(1)a 21＋a 22＋b 21＋b 22≥（a 1＋b 1）2＋（a 2＋b 2）2(或a 21＋a 22＋b 21＋b 22≥ （a 1－b 1）2＋（a 2－b 2）2)；(2)（a 1－b 1）2＋（a 2－b 2）2＋（b 1－c 1）2＋（b 2－c 2）2≥（a 1－c 1）2＋（a 2－c 2）2.随堂演练1.写出空间直角坐标系中柯西不等式的代数形式.解 (a 21＋a 22＋a 23)(b 21＋b 22＋b 23)≥(a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3)2(a 1，a 2，a 3，b 1，b 2，b 3∈R ). 当且仅当a 1b 1＝a 2b 2＝a 3b 3时等号成立.2.写出空间代数形式的三角不等式. 解 有两种形式分别对应定理3、定理4.定理3为a 21＋a 22＋a 23＋b 21＋b 22＋b 23≥（a 1＋b 1）2＋（a 2＋b 2）2＋（a 3＋b 3）2 定理4为（a 1－b 1）2＋（a 2－b 2）2＋（a 3－b 3）2＋ （b 1－c 1）2＋（b 2－c 2）2＋（b 3－c 3）2 ≥（a 1－c 1）2＋（a 2－c 2）2＋（a 3－c 3）2. 3.已知a 2＋b 2＋c 2＝1，x 2＋y 2＋z 2＝1. 求证：ax ＋by ＋cz ≤1. 证明 由柯西不等式得：(a 2＋b 2＋c 2)(x 2＋y 2＋z 2)≥(ax ＋by ＋cz )2.∵a 2＋b 2＋c 2＝1，x 2＋y 2＋z 2＝1，∴|ax ＋by ＋cz |≤1. ∴ax ＋by ＋cz ≤1.一、选择题 1.下列说法：①二维形式的柯西不等式中a ，b ，c ，d 没有取值限制.②二维形式的柯西不等式中a ，b ，c ，d 只能取数，不能为代数式. ③柯西不等式的向量式中取等号的条件是α＝β. 其中正确的个数有( ) A.1个 B.2个 C.3个D.0个解析 由柯西不等式的概念知，只①正确，a ，b ，c ，d 是实数，没有其取值限制. 答案 A2.函数y ＝2x ＋91－2x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12的最小值是( ) A.20 B.25 C.27D.18解析 y ＝2x ＋91－2x ＝[2x ＋(1－2x )]⎣⎢⎡⎦⎥⎤2x ＋91－2x＝[(2x )2＋(1－2x )2]⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫2x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫91－2x 2 ≥⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ·2x ＋1－2x 91－2x 2＝(2＋3)2＝25. 答案 B3.设a 、b ∈(0，＋∞)，且a ≠b ，P ＝a 2b ＋b 2a ，Q ＝a ＋b ，则( ) A.P >Q B.P ≥Q C.P <QD.P ≤Q解析 ∵⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2b ＋b 2a (a ＋b )＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫a b 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2[(a )2＋(b )2]≥⎝ ⎛⎭⎪⎫a b ·b ＋b a ·a 2＝(a ＋b )2，∵a >0，b >0，∴a ＋b >0.∴⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2b ＋b 2a ≥（a ＋b ）2a ＋b＝a ＋b .又∵a ≠b ，而等号成立的条件是a b ·a ＝ba ·b ，即a ＝b ，∴a 2b ＋b 2a >a ＋b .即P >Q . 答案 A 二、填空题4.设a 、b 、c 是正实数，且a ＋b ＋c ＝9，则2a ＋2b ＋2c 的最小值是________. 解析 ∵(a ＋b ＋c )⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋2b ＋2c ＝[(a )2＋(b )2＋(c )2]⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫2a 2＋⎝⎛⎭⎪⎫2b 2＋⎝⎛⎭⎪⎫2c 2 ≥⎝ ⎛⎭⎪⎫a ·2a ＋b ·2b ＋c ·2c 2＝18.∴2a ＋2b ＋2c ≥2. 答案 25.若a 2＋b 2＋c 2＝2，x 2＋y 2＋z 2＝4，则ax ＋by ＋cz 的取值范围是__________. 解析 ∵(a 2＋b 2＋c 2)(x 2＋y 2＋z 2)≥(ax ＋by ＋cz )2， ∴(ax ＋by ＋cz )2≤8，∴－22≤ax ＋by ＋cz ≤2 2. 答案 [－22，22]6.设a ，b ，m ，n ∈R ，且a 2＋b 2＝5，ma ＋nb ＝5，则m 2＋n 2的最小值为________. 解析 运用柯西不等式求解.根据柯西不等式(ma ＋nb )2≤(a 2＋b 2)(m 2＋n 2)，得25≤5(m 2＋n 2)，m 2＋n 2≥5，m 2＋n 2的最小值为 5. 答案5三、解答题7.若2x ＋3y ＝1，求4x 2＋9y 2的最小值，并求出最小值点. 解 由柯西不等式(4x 2＋9y 2)(12＋12)≥(2x ＋3y )2＝1， ∴4x 2＋9y 2≥12.当且仅当2x ·1＝3y ·1，即2x ＝3y 时取等号.由⎩⎨⎧2x ＝3y ，2x ＋3y ＝1.得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝14，y ＝16.∴4x 2＋9y 2的最小值为12，最小值点为⎝ ⎛⎭⎪⎫14，16.8.设a ，b ∈(0，＋∞)，若a ＋b ＝2，求1a ＋1b 的最小值. 解 ∵(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b＝[(a )2＋(b )2]⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1b 2≥⎝⎛⎭⎪⎫a ·1a ＋b ·1b 2＝(1＋1)2＝4.∴2⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ≥4，即1a ＋1b ≥2. 当且仅当a ·1b ＝b ·1a，即a ＝b 时取等号， ∴当a ＝b ＝1时，1a ＋1b 的最小值为2.9.已知a 2＋b 2＝1，a ，b ∈R ，求证：|a cos θ＋b sin θ|≤1. 证明 ∵(a cos θ＋b sin θ)2≤(a 2＋b 2)(cos 2θ＋sin 2θ) ＝1·1＝1，∴|a cos θ＋b sin θ|≤1.1.2 一般形式的柯西不等式学习目标1.理解三维形式的柯西不等式，在此基础上，过渡到柯西不等式的一般形式.2.会用三维形式及一般形式的柯西不等式证明有关不等式和求函数的最值.预习自测1.定理2，设a 1，a 2，…，a n 与b 1，b 2，…，b n 是两组实数，则有(a 21＋a 22＋…＋a 2n )(b 21＋b 22＋…＋b 2n )≥(a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n )2，当向量(a 1，a 2，…，a n )与向量(b 1，b 2，…，b n )共线时，等号成立.2.证明柯西不等式的一般形式的方法称为参数配方法.3.推论设a 1，a 2，a 3，b 1，b 2，b 3是两组实数，则有(a 21＋a 22＋a 23)(b 21＋b 22＋b 23)≥(a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3)2.当向量(a 1，a 2，a 3)与向量(b 1，b 2，b 3)共线时“＝”成立.自主探究1.由二维的柯西不等式的向量式|α||β|≥|α·β|，你能推导出二维的柯西不等式的代数式吗？提示 设α＝(a 1，a 2)，β＝(b 1，b 2)，则α·β＝a 1b 1＋a 2b 2代入向量式得：(a 21＋a 22)(b 21＋b 22)≥(a 1b 1＋a 2b 2)2.当且仅当a 1b 2＝a 2b 1时，等号成立.2.在空间向量中，|α||β|≥|α·β|，你能据此推导出三维的柯西不等式的代数式吗？ 提示 设α＝(a 1，a 2，a 3)，β＝(b 1，b 2，b 3)， 则α·β＝a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3代入向量式得(a 21＋a 22＋a 23)(b 21＋b 22＋b 23)≥(a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3)2.当且仅当α与β共线时，即存在一个数k ，使得a i ＝kb i (i ＝1，2，3)时，等号成立.3.你能猜想出柯西不等式的一般形式并给出证明吗？提示 柯西不等式的一般形式为：若a 1，a 2，…，a n ，b 1，b 2，…，b n 都为实数，则有(a 21＋a 22＋…＋a 2n )(b 21＋b 22＋…＋b 2n )≥(a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n )2，证明如下：若a 1＝a 2＝…＝a n ＝0，则不等式显然成立，故设a 1，a 2，…，a n 至少有一个不为零，则a 21＋a 22＋…＋a 2n >0.考虑二次三项式(a 21＋a 22＋…＋a 2n )x 2＋2(a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n )x ＋(b 21＋b 22＋…＋b 2n )＝(a 1x ＋b 1)2＋(a 2x ＋b 2)2＋…＋(a n x ＋b n )2≥0. 对于一切实数x 成立，设二次三项式的判别式为Δ，则Δ4＝(a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n )2－(a 21＋a 22＋…＋a 2n )(b 21＋b 22＋…＋b 2n )≤0. 所以(a 21＋a 22＋…＋a 2n )(b 21＋b 22＋…＋b 2n )≥(a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n )2.即(a 21＋a 22＋…＋a 2n )12()b 21＋b 22＋…＋b 2n 12≥|a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n |a1 b1＝a2b2＝…＝a nb n.等号成立⇔典例剖析知识点1 利用柯西不等式证明不等式【例1】 设a ，b ，c 为正数且互不相等，求证：2a ＋b ＋2b ＋c ＋2c ＋a >9a ＋b ＋c. 证明 2(a ＋b ＋c )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋b ＋1b ＋c ＋1c ＋a＝[(a ＋b )＋(b ＋c )＋(c ＋a )]·⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋b ＋1b ＋c ＋1c ＋a ＝[(a ＋b )2＋(b ＋c )2＋(c ＋a )2]· ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫ 1a ＋b 2＋⎝⎛⎭⎪⎫ 1b ＋c 2＋⎝⎛⎭⎪⎫ 1c ＋a 2 ≥⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b ·1a ＋b＋b ＋c · 1b ＋c＋c ＋a · 1c ＋a 2 ＝(1＋1＋1)2＝9.∴2a ＋b ＋2b ＋c ＋2c ＋a ≥9a ＋b ＋c . ∵a ，b ，c 互不相等，∴等号不可能成立，从而原不等式成立.【反思感悟】 有些问题本身不具备运用柯西不等式的条件，但是我们只要改变一下多项式的形态结构，就可以达到利用柯西不等式的目的.1.已知a 1，a 2，a 3为实数，b 1，b 2，b 3为正实数.求证：a 21b 1＋a 22b 2＋a 23b 3≥（a 1＋a 2＋a 3）2b 1＋b 2＋b 3.证明 由柯西不等式得：⎝ ⎛⎭⎪⎫a 21b 1＋a 22b 2＋a 23b 3(b 1＋b 2＋b 3) ≥⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1b 1·b 1＋a 2b 2·b 2＋a 3b 3·b 32＝(a 1＋a 2＋a 3)2.∴a 21b 1＋a 22b 2＋a 23b 3≥（a 1＋a 2＋a 3）2b 1＋b 2＋b 3.知识点2 利用柯西不等式求函数的最值【例2】 已知a ，b ，c ∈(0，＋∞)且a ＋b ＋c ＝1，求4a ＋1＋4b ＋1＋4c ＋1的最大值. 解4a ＋1＋4b ＋1＋4c ＋1＝4a ＋1·1＋4b ＋1·1＋4c ＋1·1 ≤(4a ＋1＋4b ＋1＋4c ＋1)12(12＋12＋12)12 ＝7×3＝21.当且仅当4a ＋11＝4b ＋11＝4c ＋11时取等号. 即a ＝b ＝c ＝13时，所求的最大值为21.【反思感悟】 利用柯西不等式，可以方便地解决一些函数的最大值或最小值问题.通过巧拆常数、重新排序、改变结构、添项等技巧变形为能利用柯西不等式的形式.2.设2x ＋3y ＋5z ＝29，求函数u ＝2x ＋1＋3y ＋4＋5z ＋6的最大值. 解 根据柯西不等式120＝3[(2x ＋1)＋(3y ＋4)＋(5z ＋6)]≥(1×2x ＋1＋1×3y ＋4＋1×5z ＋6)2， 故2x ＋1＋3y ＋4＋5z ＋6≤230. 当且仅当2x ＋1＝3y ＋4＝5z ＋6，即x ＝376，y ＝289，z ＝2215时等号成立，此时u max ＝230.知识点3 利用柯西不等式解方程【例3】 在实数集内解方程⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＋z 2＝94，－8x ＋6y －24z ＝39.解 由柯西不等式，得(x 2＋y 2＋z 2)[(－8)2＋62＋(－24)2] ≥(－8x ＋6y －24z )2.①∵(x 2＋y 2＋z 2)[(－8)2＋62＋(－24)2]＝94×(64＋36＋576)＝392，又(－8x ＋6y －24y )2＝392， ∴(x 2＋y 2＋z 2)[(－8)2＋62＋(－24)2] ＝(－8x ＋6y －24z )2， 即不等式①中只有等号成立，从而由柯西不等式中等号成立的条件，得 x －8＝y 6＝z －24， 它与－8x ＋6y －24z ＝39联立，可得 x ＝－613，y ＝926，z ＝－1813.【反思感悟】 利用柯西不等式解方程，关键是由不等关系转换成相等关系，然后再通过等号成立的条件求出未知数的值.3.利用柯西不等式解方程：21－2x ＋4x ＋3＝15. 解 ∵21－2x ＋4x ＋3＝22－4x ＋1·4x ＋3 ≤2－4x ＋4x ＋3·2＋1＝5·3＝15. 又由已知21－2x ＋4x ＋3＝15.所以等号成立， 由等号成立的条件2－4x ·1＝4x ＋3· 2 得：2－4x ＝8x ＋6，∴x ＝－13， 即方程的解为x ＝－13.课堂小结柯西不等式的证明有多种方法，如数学归纳法；教材中的参数配方法(或判别式法)等，参数配方法在解决其它问题方面也有广泛的应用.柯西不等式的应用比较广泛，常见的有证明不等式，求函数最值，解方程等.应用时，通过拆常数、重新排序、添项、改变结构等手段改变题设条件，以利于应用柯西不等式.随堂演练1.△ABC 的三边长为a 、b 、c ，其外接圆半径为R ，求证： (a 2＋b 2＋c 2)⎝ ⎛⎭⎪⎫1sin 2A ＋1sin 2B ＋1sin 2C ≥36R 2.证明 由三角形中的正弦定理得sin A ＝a2R ， 所以1sin 2A ＝4R 2a 2，同理1sin 2B ＝4R 2b 2，1sin 2C ＝4R 2c 2于是左边＝(a 2＋b 2＋c 2)⎝ ⎛⎭⎪⎫4R 2a 2＋4R 2b 2＋4R 2c 2≥⎝ ⎛⎭⎪⎫a ·2R a ＋b ·2R b ＋c ·2R c 2＝36R 2. 故原不等式获证.2.已知a 1，a 2，…，a n 都是实数，求证： 1n(a 1＋a 2＋…＋a n )2≤a 21＋a 22＋…＋a 2n . 证明 (12＋12＋…＋12)(a 21＋a 22＋…＋a 2n )≥(1×a 1＋1×a 2＋…＋1×a n )2.∴n (a 21＋a 22＋…＋a 2n )≥(a 1＋a 2＋…＋a n )2∴1n (a 1＋a 2＋…＋a n )2≤a 21＋a 22＋…＋a 2n .一、选择题1.设a ，b ，c ∈(0，＋∞)，且a ＋b ＋c ＝3，则1a ＋1b ＋1c 的最小值为( ) A.9 B.3 C.3 D.1解析 [(a )2＋(b )2＋(c )2]·⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1b 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1c 2 ≥⎝⎛⎭⎪⎫a ·1a ＋b ·1b ＋c ·1c 2即(a ＋b ＋c )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＋1c ≥32.又∵a ＋b ＋c ＝3，∴1a ＋1b ＋1c ≥3，最小值为3. 答案 B2.已知a 21＋a 22＋…＋a 2n ＝1，x 21＋x 22＋…＋x 2n ＝1，则a 1x 1＋a 2x 2＋…＋a n x n 的最大值为( ) A.1B.nC.nD.2解析 由柯西不等式(a 21＋a 22＋…＋a 2n )(x 21＋x 22＋…＋x 2n )≥(a 1x 1＋a 2x 2＋…＋a n x n )2得1·1≥(a 1x 1＋a 2x 2＋…＋a n x n )2，∴a 1x 1＋a 2x 2＋…＋a n x n ≤1.所求的最大值为1. 答案 A3.已知2x ＋3y ＋4z ＝10，则x 2＋y 2＋z 2取到最小值时的x ，y ，z 的值为( ) A.53，109，56 B.2029，3029，4029 C.1，12，13D.1，14，19解析 x 2＋y 2＋z 2＝（x 2＋y 2＋z 2）（22＋32＋42）29≥（2x ＋3y ＋4z ）229＝10029，当且仅当⎩⎨⎧x ＝2k ，y ＝3k ，z ＝4k时，等号成立，则4k ＋9k ＋16k ＝29k ＝10，解得k ＝1029，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2029，y ＝3029，z ＝4029.选B.答案 B 二、填空题4.已知实数a ，b ，c ，d ，e 满足a ＋b ＋c ＋d ＋e ＝8，a 2＋b 2＋c 2＋d 2＋e 2＝16，则e 的取值范围为________.解析 4(a 2＋b 2＋c 2＋d 2)＝(1＋1＋1＋1)(a 2＋b 2＋c 2＋d 2) ≥(a ＋b ＋c ＋d )2即4(16－e 2)≥(8－e )2，即64－4e 2≥64－16e ＋e 2 ∴5e 2－16e ≥0，故0≤e ≤165. 答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，1655.设a ，b ，c ＞0且a ＋b ＋c ＝A (A 为常数).则1a ＋1b ＋1c 的最小值为________.解析 1a ＋1b ＋1c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＋1c （a ＋b ＋c ）A≥⎝ ⎛⎭⎪⎫a ·1a ＋b ·1b ＋c ·1c 2A ＝9A . 答案 9A 三、解答题6.已知实数a ，b ，c ，d 满足a ＋b ＋c ＋d ＝3，a 2＋2b 2＋3c 2＋6d 2＝5，试求a 的最值.解 由柯西不等式得，有(2b 2＋3c 2＋6d 2)⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋13＋16≥(b ＋c ＋d )2，即2b 2＋3c 2＋6d 2≥(b ＋c ＋d )2 由条件可得，5－a 2≥(3－a )2 解得，1≤a ≤2当且仅当2b 12＝3c 13＝6d 16时等号成立，代入b ＝12，c ＝13，d ＝16时，a max ＝2.b ＝1，c ＝23，d ＝13时，a min ＝1. 7.设a 1>a 2>…>a n >a n ＋1，求证：1a 1－a 2＋1a 2－a 3＋…＋1a n －a n ＋1＋1a n ＋1－a 1>0. 证明 ∵a 1－a n ＋1＝(a 1－a 2)＋(a 2－a 3)＋…＋(a n －a n ＋1)， ∴[(a 1－a 2)＋(a 2－a 3)＋…＋(a n －a n ＋1)]· ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1a 1－a 2＋1a 2－a 3＋…＋1a n －a n ＋1 ≥(a 1－a 2·1a 1－a 2＋a 2－a 3·1a 2－a 3＋…＋a n －a n ＋1·1a n －a n ＋1)2＝n 2>1. ∴(a 1－a n ＋1)⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 1－a 2＋1a 2－a 3＋…＋1a n －a n ＋1>1.即1a 1－a 2＋1a 2－a 3＋…＋1a n －a n ＋1>1a 1－a n ＋1，故1a 1－a 2＋1a 2－a 3＋…＋1a n －a n ＋1＋1a n ＋1－a 1>0. 8.设P 是△ABC 内的一点，x ，y ，z 是P 到三边a ，b ，c 的距离.R 是△ABC 外接圆的半径，证明：x ＋y ＋z ≤12R·a 2＋b 2＋c 2. 证明 由柯西不等式得， x ＋y ＋z ＝ax 1a ＋by 1b ＋cz1c≤ax ＋by ＋cz1a ＋1b ＋1c .设S 为△ABC 的面积，则 ax ＋by ＋cz ＝2S ＝2abc 4R ＝abc2R ， x ＋y ＋z ≤ abc 2Rab ＋bc ＋caabc＝12R ab ＋bc ＋ca ≤12Ra 2＋b 2＋c 2，故不等式成立.9.已知a ＞0，b ＞0，c ＞0，函数f (x )＝|x ＋a |＋|x －b |＋c 的最小值为4. (1)求a ＋b ＋c 的值； (2)求14a 2＋19b 2＋c 2的最小值.解 (1)因为f (x )＝|x ＋a |＋|x －b |＋c ≥|(x ＋a )－(x －b )|＋c ＝|a ＋b |＋c ， 当且仅当－a ≤x ≤b 时，等号成立. 又a ＞0，b ＞0，所以|a ＋b |＝a ＋b . 所以f (x )的最小值为a ＋b ＋c .又已知f (x )的最小值为4，所以a ＋b ＋c ＝4. (2)由(1)知a ＋b ＋c ＝4，由柯西不等式，得 ⎝ ⎛⎭⎪⎫14a 2＋19b 2＋c 2(4＋9＋1) ≥⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2×2＋b 3×3＋c ×12＝(a ＋b ＋c )2＝16， 即14a 2＋19b 2＋c 2≥87.当且仅当12a 2＝13b 3＝c 1，即a ＝87，b ＝187，c ＝27时等号成立，故14a 2＋19b 2＋c 2的最小值是87.§2 排序不等式学习目标1.了解排序不等式的“探究—猜想—证明—应用”的研究过程.2.初步认识排序不等式的有关知识及简单应用.预习自测1.定理1：设a ，b 和c ，d 都是实数，如果a ≥b ，c ≥d ，那么ac ＋bd ≥ad ＋bc ，此式当且仅当a ＝b (或c ＝d )时取“＝”号.2.定理2：(排序不等式)设有两个有序实数组 a 1≥a 2≥…≥a n 及b 1≥b 2≥…≥b n ， 则 (顺序和) a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n ≥ (乱序和) a 1b j 1＋a 2b j 2＋…＋a n b jn ≥ (逆序和) a 1b n ＋a 2b n －1＋…＋a n b 1.其中j 1，j 2，…，j n 是1，2，…，n 的任一排列方式.上式当且仅当a 1＝a 2＝…＝a n (或b 1＝b 2＝…＝b n )时取“＝”号.自主探究1.某班学生要开联欢会，需要买价格不同的礼品4件、5件及2件，现在选择商店中有单价为3元、2元和1元的礼品，问有多少不同的购买方案？在这些方案中哪种花钱最少？哪种花钱最多？提示 有多少种不同的购买方案，实质上就是礼品和单价有多少种不同的对应关系.与单价3元对应的礼品可以是4件的礼品，也可以是5件或2件的礼品共有三种对应关系，与单价2元对应的只还有剩下的2种.与单价一元对应的只有一种.由乘法分步计数原理知共有3×2×1＝6种不同的购买方案.根据生活的实际经验，花钱最少的方案应是最贵的礼品买最少的件数，最便宜的礼品买最多的件数，即1×5＋2×4＋3×2＝19元，花钱最多的方案应是：单价最高的礼品买最多的件数，单价最低的礼品买最少的件数，即1×2＋2×4＋3×5＝25元.2.设有两组实数，a 1<a 2<a 3，b 1<b 2<b 3，设c 1、c 2、c 3是b 1、b 2、b 3的任一个排列，作和a 1c 1＋a 2c 2＋a 3c 3，你能猜测和的最大值及最小值分别是怎样的和式吗？ 提示 由问题1我应得到启发，和最大的应该为a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3，和最小的应该是a 1b 3＋a 2b 2＋a 3b 1.3.有10个人各拿一只水桶去接水，设水龙头注满第i (i ＝1，2，…，10)个人的水桶需要t i 分，假设这些t i 各不相同，问只有一个水龙头时，应如何安排10人的顺序，使他们等候的总时间最小？这个最少的总时间等于多少？(根据排序原理回答)提示 不妨设t 1<t 2<…<t 10，∵1<2<3<…<10，由排序原理知逆序和最小，即10t 1＋9t 2＋…＋t 10最小，所以按注水时间由小到大的顺序注水，则他们10人等候的总时间最小，最少的总时间为10t 1＋9t 2＋…＋t 10.典例剖析知识点1 利用排序原理证明不等式【例1】 已知a ，b ，c 为正数，求证：b 2c 2＋c 2a 2＋a 2b 2a ＋b ＋c≥abc .证明 根据所需证明的不等式中a ，b ，c 的“地位”的对称性，不妨设a ≥b ≥c ，则1a ≤1b ≤1c ，bc ≤ca ≤ab .由排序原理：顺序和≥乱序和，得： bc a ＋ca b ＋ab c ≥bc c ＋ca a ＋ab b . 即b 2c 2＋c 2a 2＋a 2b 2abc≥a ＋b ＋c ，因为a ，b ，c 为正数，所以abc >0，a ＋b ＋c >0， 于是b 2c 2＋c 2a 2＋a 2b 2a ＋b ＋c≥abc .1.已知a 1≤a 2≤…≤a n ，b 1≤b 2≤…≤b n ，求证：(a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n )≥1n (a 1＋a 2＋…＋a n )(b 1＋b 2＋…＋b n ). 证明 令S ＝a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n ，则 S ≥a 1b 2＋a 2b 3＋…＋a n b 1， S ≥a 1b 3＋a 2b 4＋…＋a n b 2， ……S ≥a 1b n ＋a 2b 1＋…＋a n b n －1，将上面n 个式子相加，并按列求和可得nS ≥a 1(b 1＋b 2＋…＋b n )＋a 2(b 1＋b 2＋…＋b n )＋…＋a n (b 1＋b 2＋…＋b n ) ＝(a 1＋a 2＋…＋a n )(b 1＋b 2＋…＋b n ) ∴S ≥1n (a 1＋a 2＋…＋a n )(b 1＋b 2＋…＋b n ) 即(a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n )≥1n (a 1＋a 2＋…＋a n )(b 1＋b 2＋…＋b n ).【例2】 设a 1，a 2，…，a n 是n 个互不相同的正整数，求证：1＋12＋13＋…＋1n ≤a 1＋a 222＋a 332＋…＋a n n 2.证明 ∵12<22<32<…<n 2，∴112>122>…>1n 2.设c 1，c 2，…，c n 是a 1，a 2，…，a n 由小到大的一个排列， 即c 1<c 2<c 3<…<c n ，根据排序原理中，逆序和≤乱序和， 得c 1＋c 222＋c 332＋…＋c n n 2≤a 1＋a 222＋a 332＋…＋a nn 2， 而c 1，c 2，…，c n 分别大于或等于1，2，…，n ， ∴c 1＋c 222＋c 332＋…＋c n n 2≥1＋222＋332＋…＋n n 2 ＝1＋12＋…＋1n ，∴1＋12＋13＋…＋1n ≤a 1＋a 222＋…＋a nn 2.2.设c 1，c 2，…，c n 为正数组a 1，a 2，…，a n 的某一排列，求证：a 1c 1＋a 2c 2＋…＋a ncn≥n .证明 不妨设0<a 1≤a 2≤…≤a n ，则1a 1≥1a 2≥…≥1a n.因为1c 1，1c 2，…，1c n 是1a 1，1a 2，…，1a n 的一个排序，故由排序原理：逆序和≤乱序和 得a 1·1a 1＋a 2·1a 2＋…＋a n ·1a n≤a 1·1c 1＋a 2·1c 2＋…＋a n ·1c n.即a 1c 1＋a 2c 2＋…＋a nc n≥n . 知识点2 利用排序原理求最值【例3】 设a ，b ，c 为任意正数，求a b ＋c ＋b c ＋a ＋c a ＋b的最小值. 解 不妨设a ≥b ≥c ， 则a ＋b ≥a ＋c ≥b ＋c ，1b ＋c ≥1c ＋a ≥1a ＋b， 由排序不等式得，a b ＋c ＋b c ＋a ＋c a ＋b ≥b b ＋c ＋c c ＋a ＋a a ＋b a b ＋c ＋b c ＋a ＋c a ＋b ≥c b ＋c ＋a c ＋a ＋b a ＋b 上述两式相加得：2⎝ ⎛⎭⎪⎫ab ＋c ＋b c ＋a ＋c a ＋b ≥3.即a b ＋c ＋b c ＋a ＋c a ＋b ≥32. 当且仅当a ＝b ＝c 时，a b ＋c ＋b c ＋a ＋c a ＋b 取最小值32.3.设0<a ≤b ≤c 且abc ＝1.试求1a3（b＋c）＋1b3（a＋c）＋1c3（a＋b）的最小值.解令S＝1a3（b＋c）＋1b3（a＋c）＋1c3（a＋b），则S＝（abc）2a3（b＋c）＋（abc）2b3（a＋c）＋（abc）2c3（a＋b）＝bca（b＋c）·bc＋acb（a＋c）·ac＋abc（a＋b）·ab，由已知可得：1a（b＋c）≥1b（a＋c）≥1c（a＋b），ab≤ac≤bc，∴S≥bca（b＋c）·ac＋acb（a＋c）·ab＋abc（a＋b）·bc＝ca（b＋c）＋ab（a＋c）＋bc（a＋b）又S≥bca（b＋c）·ab＋acb（a＋c）·bc＋abc（a＋b）·ac＝ba（b＋c）＋cb（a＋c）＋ac（a＋b），两式相加得：2S≥1a＋1b＋1c≥3·31abc＝3.∴S≥32，即1a3（b＋c）＋1b3（a＋c）＋1c3（a＋b）的最小值为32.课堂小结排序不等式有着广泛的实际应用，在应用时，一定在认真分析题设条件的基础上观察要证结论的结构特征，从而分析出要用排序原理中逆序和≤乱序和，或是乱序和≤顺序和，或者逆序和≤顺序和.不少命题的证明可能多次用到排序原理.随堂演练1.利用排序原理证明：若a1，a2，…，a n为正数，则a1＋a2＋…＋a nn≥n1a1＋1a2＋…＋1a n.证明不妨设a1≥a2≥a3≥…≥a n>0，则有1a1≤1a2≤…≤1a n由排序不等式，得a 1·1a 1＋a 2·1a 2＋…＋a n ·1ann≤a 1＋a 2＋…＋a n n ·1a 1＋1a 2＋…＋1a n n ， 即n n ≤a 1＋a 2＋…＋a n n ·1a 1＋1a 2＋…＋1a n n ，∴a 1＋a 2＋…＋a nn≥n1a 1＋1a 2＋…＋1a n. 2.已知a ，b ，c 为正数，a ≥b ≥c .求证：a 5b 3c 3＋b 5c 3a 3＋c 5a 3b 3≥1a ＋1b ＋1c . 证明 ∵a ≥b ≥c ≥0，∴a 3≥b 3≥c 3，∴a 3b 3≥a 3c 3≥b 3c 3， ∴1a 3b 3≤1a 3c 3≤1b 3c 3，又a 5≥b 5≥c 5，由排序原理得： a 5b 3c 3＋b 5a 3c 3＋c 5a 3b 3≥a 5a 3b 3＋b 5b 3c 3＋c 5a 3c 3(顺序和≥乱序和)， 即a 5b 3c 3＋b 5a 3c 3＋c 5a 3b 3≥a 2b 3＋b 2c 3＋c 2a 3， 又∵a 2≥b 2≥c 2，1a 3≤1b 3≤1c 3由乱序和≥逆序和得：a 2b 3＋b 2c 3＋c 2a 3≥a 2a 3＋b 2b 3＋c 2c 3＝1a ＋1b ＋1c . ∴a 5b 3c 3＋b 5c 3a 3＋c 5a 3b 3≥1a ＋1b ＋1c.一、选择题1.有三个房间需要粉刷，粉刷方案要求：每个房间只用一种颜色，且三个房间颜色各不相同.已知三个房间的粉刷面积(单位：m 2)分别为x ，y ，z ，且x ＜y ＜z ，三种颜色涂料的粉刷费用(单位：元/m 2)分别为a ，b ，c ，且a ＜b ＜c .在不同的方案中，最低的总费用(单位：元)是( ) A.ax ＋by ＋cz B.az ＋by ＋cx C.ay ＋bz ＋cxD.ay ＋bx ＋cz解析 法一 用特值法进行验证.令x ＝1，y ＝2，z ＝3，a ＝1，b ＝2，c ＝3.A 项：ax ＋by ＋cz ＝1＋4＋9＝14；B 项：az ＋by ＋cx ＝3＋4＋3＝10；C 项：ay ＋bz ＋cx ＝2＋6＋3＝11；D 项：ay ＋bx ＋cz ＝2＋2＋9＝13.故选B. 法二 由顺序和≥乱序和≥反序和.可得az ＋by ＋cx 最小. 答案 B 二、填空题2.设a 1，a 2，a 3，…，a n 为正数，那么P ＝a 1＋a 2＋…＋a n 与Q ＝a 21a 2＋a 22a 3＋…＋a 2n －1an＋a 2na 1的大小关系是________.解析 假设a 1≥a 2≥a 3≥…≥a n ，则1a n ≥1a n －1≥…≥1a ≥1a 1，并且a 21≥a 22≥a 23≥…≥a 2n ，P ＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ＝a 21a 1＋a 22a 2＋a 23a 3＋…＋a 2n a n，是反顺和，Q 是乱顺和，由排序不等式定理P ≤Q . 答案 P ≤Q 三、解答题3.设a 1，a 2，…，a n 为正数，求证：a 21a 2＋a 22a 3＋…＋a 2n －1a n ＋a 2na 1≥a 1＋a 2＋…＋a n .证明 不妨设a 1>a 2>…>a n >0，则有a 21>a 22>…>a 2n也有1a 1<1a 2<…<1a n，由排序原理：乱序和≥逆序和，得：a 21a 2＋a 22a 3＋…＋a 2n a 1≥a 21a 1＋a 22a 2＋…＋a 2n a n ＝a 1＋a 2＋…＋a n .4.设A 、B 、C 表示△ABC 的三个内角的弧度数，a ，b ，c 表示其对边，求证：aA ＋bB ＋cC a ＋b ＋c≥π3.证明 法一 不妨设A >B >C ，则有a >b >c ，由排序原理：顺序和≥乱序和. ∴aA ＋bB ＋cC ≥aB ＋bC ＋cA ；aA ＋bB ＋cC ≥aC ＋bA ＋cB ； aA ＋bB ＋cC ＝aA ＋bB ＋cC .上述三式相加得 3(aA ＋bB ＋cC )≥(A ＋B ＋C )(a ＋b ＋c )＝π(a ＋b ＋c ). ∴aA ＋bB ＋cC a ＋b ＋c≥π3.法二 不妨设A >B >C ，则有a >b >c ，由排序不等式aA ＋bB ＋cC 3≥A ＋B ＋C 3·a ＋b ＋c3，即aA ＋bB ＋cC ≥π3(a ＋b ＋c )，∴aA ＋bB ＋cC a ＋b ＋c≥π3.5.设a ，b ，c 为正数，利用排序不等式证明a 3＋b 3＋c 3≥3abc . 证明 不妨设a ≥b ≥c >0，∴a 2≥b 2≥c 2， 由排序原理：顺序和≥逆序和，得：a 3＋b 3≥a 2b ＋b 2a ，b 3＋c 3≥b 2c ＋c 2b ，c 3＋a 3≥a 2c ＋c 2a ， 三式相加得2(a 3＋b 3＋c 3)≥a (b 2＋c 2)＋b (c 2＋a 2)＋c (a 2＋b 2). 又a 2＋b 2≥2ab ，b 2＋c 2≥2bc ，c 2＋a 2≥2ca . 所以2(a 3＋b 3＋c 3)≥6abc ， ∴a 3＋b 3＋c 3≥3abc .当且仅当a ＝b ＝c 时，等号成立.6.设a ，b ，c 是正实数，求证：a a b b c c≥(abc )a ＋b ＋c3.证明 不妨设a ≥b ≥c >0，则lg a ≥lg b ≥lg c . 据排序不等式有：a lg a ＋b lg b ＋c lg c ≥b lg a ＋c lg b ＋a lg c a lg a ＋b lg b ＋c lg c ≥c lg a ＋a lg b ＋b lg c a lg a ＋b lg b ＋c lg c ＝a lg a ＋b lg b ＋c lg c 上述三式相加得：3(a lg a ＋b lg b ＋c lg c )≥(a ＋b ＋c )(lg a ＋lg b ＋lg c )， 即lg(a a b b c c)≥a ＋b ＋c3lg(abc ).故a a b b c c ≥(abc )a ＋b ＋c3.7.设x i ，y i (i ＝1，2，…，n )是实数，且x 1≥x 2≥…≥x n ，y 1≥y 2≥…≥y n ，而z 1，z 2，…，z n 是y 1，y 2，…，y n 的一个排列.求证：∑ni ＝1 (x i －y i )2≥∑ni ＝1 (x i －z i )2. 证明 要证∑ni ＝1 (x i －y i )2≥∑ni ＝1(x i －z i )2只需证∑ni ＝1y 2i －2∑n i ＝1x i y i ≥∑n i ＝1z 2i －2∑ni ＝1x i z i . 因为∑n i ＝1y 2i ＝∑n i ＝1z 2i ，∴只需证∑n i ＝1x i z i ≤∑ni ＝1x i y i. 而上式左边为乱序和，右边为顺序和. 由排序不等式得此不等式成立.故不等式∑ni ＝1 (x i －y i )2≥∑ni ＝1(x i －z i )2成立. 8.已知a ，b ，c 为正数，且两两不等，求证：2(a 3＋b 3＋c 3)>a 2(b ＋c )＋b 2(a ＋c )＋c 2(a ＋b ).证明 不妨设a >b >c >0.则a 2>b 2>c 2，a ＋b >a ＋c >b ＋c ， ∴a 2(a ＋b )＋b 2(a ＋c )＋c 2(b ＋c ) >a 2(b ＋c )＋b 2(a ＋c )＋c 2(a ＋b )， 即a 3＋c 3＋a 2b ＋b 2a ＋b 2c ＋c 2b >a 2(b ＋c )＋b 2(a ＋c )＋c 2(a ＋b )， 又∵a 2>b 2>c 2，a >b >c ，∴a 2b ＋b 2a <a 3＋b 3，b 2c ＋c 2b <b 3＋c 3. 即a 2b ＋b 2a ＋b 2c ＋c 2b <a 3＋2b 3＋c 3，所以有2(a 3＋b 3＋c 3)>a 2(b ＋c )＋b 2(a ＋c )＋c 2(a ＋b ).§3 数学归纳法与贝努利不等式3.1 数学归纳法学习目标1.理解归纳法和数学归纳法原理.2.会用数学归纳法证明有关问题.预习自测1.由有限多个个别的特殊事例得出一般结论的推理方法，通常称为归纳法.2.一般地，当要证明一个命题对于不小于某正整数n 0的所有正整数n 都成立时，可以用以下两个步骤：(1)证明当n 取初始值n 0时命题成立；(2)假设当n ＝k 时命题成立，证明n ＝k ＋1时命题也成立.在完成了这两个步骤后，就可以断定命题对于从初始值n 0开始的所有自然数都正确.这种证明方法称为数学归纳法.自主探究1.为什么数学归纳法能够证明无限多个正整数都成立的问题呢？提示 这是因为第一步首先验证了n 取一个值n 0，这样假设就有了存在的基础，至少k ＝n 0成立，根据假设和合理推证，证明出n ＝k ＋1也成立.这实质上是证明了一种循环.如验证了n 0＝1成立，又证明了n ＝k ＋1也成立，这就一定有n ＝2成立；n ＝2成立，则n ＝3也成立；n ＝3成立，则n ＝4也成立.如此反复，以至对所有n ≥n 0的整数就都成立了.数学归纳法非常巧妙地解决了一种无限多的正整数问题，这就是数学方法的神奇.2.在用数学归纳法证明数学命题时，只有第一步或只有第二步可以吗？为什么？ 提示 不可以；这两个步骤缺一不可，只完成步骤①而缺少步骤②，就作出判断可能得出不正确的结论.因为单靠步骤①，无法递推下去，即n 取n 0以后的数时命题是否正确，我们无法判定.同样，只有步骤②而缺少步骤①时，也可能得出不正确的结论，缺少步骤①这个基础，假设就失去了成立的前提，步骤②也就没有意义了.3.利用数学归纳法时，第二步为什么必须利用归纳假设？提示 第二步实际上是证明一个条件命题：“假设n ＝k (k ≥n 0，k ∈N ＋)时命题成立，证明当n ＝k ＋1时命题也成立”，其本质是证明一个递推关系，若不用归纳假设，就是没有证明这种递推关系，所以归纳假设是必须要用的.假设是起桥梁作用的，桥梁断了就通不过去了.典例剖析知识点1 利用数学归纳法证明等式【例1】 用数学归纳法证明12－22＋32－42＋…＋(－1)n －1·n 2＝(－1)n －1n （n ＋1）2.证明 (1)当n ＝1时，左边＝12＝1，右边＝(－1)0·1×（1＋1）2＝1，∴等式成立.(2)假设n ＝k (k ∈N ＋，k ≥1)时，等式成立， 即有12－22＋32－42＋…＋(－1)k －1·k 2＝(－1)k －1·k （k ＋1）2.那么，当n ＝k ＋1时，则有：12－22＋32－42＋…＋(－1)k －1·k 2＋(－1)k (k ＋1)2 ＝(－1)k －1k （k ＋1）2＋(－1)k (k ＋1)2＝(－1)k k ＋12[－k ＋2(k ＋1)] ＝(－1)k（k ＋1）（k ＋2）2，∴n ＝k ＋1时，等式也成立.由(1)(2)得对任意n ∈N ＋有：12－22＋32－42＋…＋(－1)n －1·n 2＝(－1)n －1·n （n ＋1）2.【反思感悟】 利用数学归纳法证明等式的关键是当n ＝k ＋1时利用假设n ＝k 成立进行转化证明，要分清楚增加的几项分别是什么.1.用数学归纳法证明：1－12＋13－14＋…＋12n －1－12n ＝1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n . 证明 (1)当n ＝1时，左边＝1－12＝12，右边＝12，命题成立. (2)假设当n ＝k (k ≥1)时命题成立，即 1－12＋13－14＋…＋12k －1－12k＝1k ＋1＋1k ＋2＋…＋12k ， 那么当n ＝k ＋1时， 左边＝1－12＋13－14＋…＋12k －1－12k ＋12k ＋1－12k ＋2＝1k ＋1＋1k ＋2＋…＋12k ＋12k ＋1－12k ＋2＝1k ＋2＋1k ＋3＋…＋12k ＋1＋12k ＋2.上式表明当n ＝k ＋1时命题也成立.由(1)和(2)知，命题对一切自然数均成立. 【例2】 证明12＋122＋123＋…＋12n －1＋12n ＝1－12n (其中n ∈N ＋)成立的过程如下，请判断证明是否正确？为什么？证明：(1)当n ＝1时，左边＝12，右边＝1－12＝12. ∴当n ＝1时，等式成立.(2)假设当n ＝k (k ≥1)时，等式成立，即 12＋122＋123＋…＋12k －1＋12k ＝1－12k ， 那么当n ＝k ＋1时，左边＝12＋122＋123＋…＋12k －1＋12k ＋12k ＋1＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12k ＋11－12＝1－12k ＋1＝右边. 这就是说，当n ＝k ＋1时，等式也成立. 根据(1)和(2)，可知等式对任何n ∈N ＋都成立.解 不正确，错误的原因在第(2)步，它是直接利用等比数列的求和公式求出了当n ＝k ＋1时，式子12＋122＋123＋…＋12k －1＋12k ＋12k ＋1的和，而没有利用“归纳假设”.正确的证明如下：(1)当n ＝1时，左边＝12，右边＝1－12＝12，等式成立. (2)假设当n ＝k (k ∈N ＋，k ≥2)时，等式成立，就是 12＋122＋123＋…＋12k －1＋12k ＝1－12k ， 那么当n ＝k ＋1时，左边＝12＋122＋123＋…＋12k －1＋12k ＋12k ＋1＝1－12k ＋12k ＋1＝1－2－12k ＋1＝1－12k ＋1＝右边.这就是说，当n ＝k ＋1时，等式也成立. 根据(1)和(2)，可知等式对任意n ∈N ＋都成立.【反思感悟】 在推证“n ＝k ＋1”命题也成立时，必须把“归纳假设”n ＝k 时的命题，作为必备条件使用上，否则不是数学归纳法.对项数估算的错误，特别是寻找n ＝k 与n ＝k ＋1的关系时，项数发生什么变化被弄错是常见错误.2.用数学归纳法证明：⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14⎝ ⎛⎭⎪⎫1－19⎝ ⎛⎭⎪⎫1－116…⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1n 2＝n ＋12n (n ≥2). 证明 (1)当n ＝2时，左边＝1－122＝34， 右边＝2＋12×2＝34，等式成立.(2)假设当n ＝k (k ∈N ＋，k ≥2)时，等式成立， 即⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14⎝ ⎛⎭⎪⎫1－19…⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1k 2＝k ＋12k . 则当n ＝k ＋1时，⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14⎝ ⎛⎭⎪⎫1－19⎝ ⎛⎭⎪⎫1－116…⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1k 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－1（k ＋1）2 ＝k ＋12k ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－1（k ＋1）2＝k ＋12k ·k 2＋2k （k ＋1）2＝k ＋22（k ＋1）， 即n ＝k ＋1时，等式成立.由(1)(2)知，对于任意正整数n (n ≥2)，原等式成立.知识点2 用数学归纳法证明不等式【例3】 用数学归纳法证明： 1＋122＋132＋…＋1n 2<2－1n (n ≥2).证明 (1)当n ＝2时，1＋122＝54<2－12＝32，命题成立. (2)假设n ＝k (k ∈N ＋，k ≥2)时命题成立， 即1＋122＋132＋…＋1k 2<2－1k ，当n ＝k ＋1时，1＋122＋132＋…＋1k 2＋1（k ＋1）2<2－1k ＋1（k ＋1）2<2－1k ＋1k （k ＋1）＝2－1k ＋1k －1k ＋1＝2－1k ＋1，命题成立.由(1)、(2)知原不等式在n ≥2时均成立.【反思感悟】 (1)由n ＝k 到n ＝k ＋1时的推证过程中应用了“放缩”的技巧，使问题简单化，这是利用数学归纳法证明不等式时常用的方法之一.(2)数学归纳法的应用通常与数学的其他方法联系在一起，如比较法、放缩法、配凑法、分析法和综合法等.3.1＋122＋132＋…＋1n 2≥3n 2n ＋1 (n ∈N ＋).证明 (1)当n ＝1时，左边＝1，右边＝1， ∴左边≥右边，即命题成立.(2)假设当n ＝k (k ∈N ＋，k ≥1)时，命题成立， 即1＋122＋132＋…＋1k 2≥3k 2k ＋1.那么当n ＝k ＋1时， 1＋122＋132＋…＋1k 2＋1（k ＋1）2≥3k 2k ＋1＋1（k ＋1）2＝3k 2k ＋1＋1k 2＋2k ＋1≥3k 2k ＋1＋3（2k ＋1）（2k ＋3）＝3k （2k ＋3）＋3（2k ＋1）（2k ＋3）＝（3k ＋3）（2k ＋1）（2k ＋1）（2k ＋3）＝3k ＋32k ＋3＝3（k ＋1）2（k ＋1）＋1. 由(1)(2)知原不等式在n ∈N ＋时均成立.课堂小结1.数学归纳法的两个步骤缺一不可，只完成步骤(1)而缺少步骤(2)就可能得出不正确的结论，因为单靠(1)无法递推下去，即n 取n 0以后的数时命题是否正确无法判断.同样只有步骤(2)而没有步骤(1)也可能得出不正确的结论.因为缺少(1)，假设就失去了成立的前提，步骤(2)也就没有意义了.2.数学归纳法证明的关键是第二步，此处要搞清两点：(1)当n ＝k ＋1时，证明什么，即待证式子的两端发生了哪些变化.(2)由n ＝k 推证n ＝k ＋1时，可以综合应用以前学过的定义、定理、公式、方法等来进行证明，只不过必须得把n ＝k 时的结论作为条件应用上.随堂演练1.用数学归纳法证明：“1＋a ＋a 2＋…＋a n ＋1＝1－a n ＋21－a(a ≠1)”在验证n ＝1时，左端计算所得项为( ) A.1 B.1＋a C.1＋a ＋a 2 D.1＋a ＋a 2＋a 3答案 C2.用数学归纳法证明等式：1＋2＋3＋…＋n 2＝n 4＋n 22 (n ∈N ＋)，则从n ＝k 到n ＝k ＋1时，左边应添加的项为( ) A.k 2＋1 B.(k ＋1)2C.（k ＋1）4＋（k ＋1）22D.(k 2＋1)＋(k 2＋2)＋(k 2＋3)＋…＋(k ＋1)2 答案 D3.已知a 1＝2，a n ＋1＝2＋a n ，n ∈N ＋，求证：a n <2. 证明 (1)n ＝1时，∵a 1＝2，∴a 1<2. (2)假设n ＝k (k ≥1)时，a k <2，当n ＝k ＋1时，a k ＋1＝2＋a k <2＋2＝2. 故n ＝k ＋1时，命题成立.由(1)(2)知，n ∈N ＋时，a n <2都成立.一、选择题 1.设f (n )＝1n ＋1＋1n ＋2＋1n ＋3＋…＋12n (n ∈N ＋)，那么f (n ＋1)－f (n )等于( ) A.12n ＋1B.12n ＋2C.12n＋1＋12n＋2D.12n＋1－12n＋2解析f(n)＝1n＋1＋1n＋2＋1n＋3＋…＋12nf(n＋1)＝1n＋2＋1n＋3＋…＋12n＋12n＋1＋12n＋2∴f(n＋1)－f(n)＝12n＋1＋12n＋2－1n＋1＝12n＋1－12n＋2，选D.答案 D2.用数学归纳法证明：“1＋a＋a2＋…＋a n＋1＝1－a n＋21－a(a≠1)”在验证n＝1时，左端计算所得的项为()A.1B.1＋aC.1＋a＋a2D.1＋a＋a2＋a3解析当n＝1时，a n＋1＝a2，∴左边应为1＋a＋a2，故选C.答案 C3.用数学归纳法证明：(n＋1)(n＋2)…·(n＋n)＝2n×1×3…(2n－1)时，从“k到k ＋1”左边需增乘的代数式是()A.2k＋1B.2k＋1 k＋1C.2(2k＋1)D.2k＋2 k＋1解析n＝k时，(k＋1)(k＋2)…(k＋k)＝2k×1×3×…×(2n－1). n＝k＋1时，(k＋2)…(k＋k)·(k＋1＋k)(k＋1＋k＋1).∴增乘的代数式是（2k＋1）（2k＋2）k＋1＝2(2k＋1)，选C.答案 C二、填空题4.数列{a n}中，已知a1＝1，当n≥2时，a n＝a n－1＋2n－1，依次计算a2，a3，a4后，猜想a n的表达式是________.解析a1＝1，a2＝a1＋3＝4，a3＝4＋5＝9，a4＝9＋7＝16，猜想a n＝n2.答案 a n ＝n 25.记凸k 边形对角线的条数为f (k )(k ≥4)，那么由k 到k ＋1时，对角线条数增加了________条.解析 ∵f (k )＝12k (k －3)，f (k ＋1)＝12(k ＋1)(k －2)，f (k ＋1)－f (k )＝k －1. 答案 k －16.在数列{a n }中，a 1＝13，且S n ＝n (2n －1)a n .通过求a 2，a 3，a 4猜想a n 的表达式是________.解析 13＋a 2＝2(2×2－1)a 2，a 2＝115， 13＋115＋a 3＝3(2×3－1)a 3，a 3＝135， 13＋115＋135＋a 4＝4(2×4－1)a 4，a 4＝163， 猜想a n ＝1（2n ）2－1.答案 a n ＝1（2n ）2－1三、解答题7.求证：(n ＋1)·(n ＋2)·…·(n ＋n )＝2n ·1·3·5·…·(2n －1) (n ∈N ＋). 证明 (1)当n ＝1时，等式左边＝2，等式右边＝2×1＝2， ∴等式成立.(2)假设n ＝k (k ∈N ＋ )时，等式成立.即(k ＋1)(k ＋2)·…·(k ＋k )＝2k ·1·3·5·…·(2k －1)成立. 那么当n ＝k ＋1时，(k ＋2)(k ＋3)·…·(k ＋k )(2k ＋1)(2k ＋2) ＝2(k ＋1)(k ＋2)(k ＋3)·…·(k ＋k )(2k ＋1) ＝2k ＋1·1·3·5·…·(2k －1)[2(k ＋1)－1]. 即n ＝k ＋1时等式成立.由(1)、(2)可知对任意n ∈N ＋，等式都成立. 8.求证：1n ＋1＋1n ＋2＋…＋13n >56(n ≥2，n ∈N ＋).。
高中数学北师大版选修4-5练习第二章 几个重要的不等式 测评 Word版含解析
第二章测评
(时间分钟满分分)
一、选择题(本大题共小题,每小题分,共分)
.用数学归纳法证明≥(≥∈)成立时第二步归纳假设的正确写法是() .假设时命题成立
.假设(∈)时命题成立
.假设(≥)时命题成立
.假设(>)时命题成立
解析:由数学归纳法的步骤可知项正确.
答案
.下列不等式一定成立的是()
.()≥()()
≥
.()()≥()
.()()≥()
解析:由柯西不等式可知,只有项正确.
答案
.若>≠,则下列不等式不正确的是()
.()>
.(>
.()>
.(>
解析:由贝努利不等式可得项不正确.
答案
.若,则的最小值是()
. .
.
解析:由柯西不等式可得()()≥(),即()≥(),于是≥,当且仅当,即时取等号,故的最小值是.
答案
.设≤≤…≤≤≤…≤为两组实数……,则有()
>≥
<≤
解析:显然为逆序和为顺序和,由排序不等式可知≤.
答案
.设<θ<,已知θ,则猜想为()
解析θ,猜想.
答案
.学校要开运动会,需要买价格不同的奖品件、件、件,现在选择商店中单价为元、元、元的奖品,则至少要花()
元元
元元
解析:由排序原理知,逆序和最小,所以至少要花×××(元).。
高中数学 第二章 几个重要的不等式 2.2 排序不等式 北师大版选修4-5
(乱序和) a1bj1＋a2bj2＋…＋anbjn≥ (逆序和) a1bn＋a2bn－1＋…＋anb1. 其中 j1，j2，…，jn 是 1，2，…，n 的任一排列方式.上式当且仅当 a1＝a2＝…＝an(或 b1＝b2＝…＝bn)时取“＝”号.
2.已知 a，b，c 为正数，a≥b≥c.求证：ba3c53＋cb3a53＋ac3b5 3≥ 1a＋1b＋1c. 证明 ∵a≥b≥c≥0，∴a3≥b3≥c3，∴a3b3≥a3c3≥b3c3， ∴a31b3≤a31c3≤b31c3，又 a5≥b5≥c5，由排序原理得： ba3c53＋ab3c53＋ac3b5 3≥aa3b5 3＋bb3c53＋ac3c5 3(顺序和≥乱序和)， 即ba3c53＋ab3c53＋ac3b5 3≥ab23＋bc32＋ac23，
上述两式相加得：2b＋a c＋c＋b a＋a＋c b≥3. 即b＋a c＋c＋b a＋a＋c b≥32. 当且仅当 a＝b＝c 时，b＋a c＋c＋b a＋a＋c b取最小值32.
3.设0<a≤b≤c且abc＝1. 试求a3（b1＋c）＋b3（a1＋c）＋c3（a1＋b）的最小值. 解 令 S＝a3（b1＋c）＋b3（a1＋c）＋c3（a1＋b）， 则 S＝a（3（abb＋c）c）2 ＋b3（（aab＋c）c）2 ＋c3（（aab＋c）b）2
§2 排序不等式
学习目标 1.了解排序不等式的“探究—猜想—证明—应用”的
研究过程. 2.初步认识排序不等式的有关知识及简单应用.
预习自测 1.定理 1：设 a，b 和 c，d 都是实数，如果 a≥b，c≥d，那么
_a_c_＋__b_d_≥__a_d_＋__b_c，此式当且仅当 a＝b(或 c＝d)时取“＝”号. 2.定理 2：(排序不等式)设有两个有序实数组
高中数学 第二章 几个重要的不等式章末复习提升 北师大版选修4-5
(2)解 ba11＝1·1＋111＝1＋1＝2； ba11ba22＝ba11·ba22＝2·21＋122＝(2＋1)2＝32； ba11ba22ba33＝ba11ba22·ba33＝32·31＋133＝(3＋1)3＝43. 由此推测：ba11ba22… …bann＝(n＋1)n.(*2) 下面用数学归纳法证明(*2).
于是a＋2 b＋b＋2 c＋c＋2 d＋d＋2 a≥a＋b1＋6c＋d，
等号成立⇔
a1＋b＝
b1＋c＝
c1＋d＝
d＋a 1
a＋b b＋c c＋d d＋a
⇔a＋b＝b＋c＝c＋d＝d＋a⇔a＝b＝c＝d.
因题设 a，b，c，d 不全相等，
故a＋2 b＋b＋2 c＋c＋2 d＋d＋2 a>a＋b1＋6c＋d.
即 3x＋1＝3y＋2＝3z＋3 设 3x＋1＝k， 则 x＝k－3 1，y＝k－3 2，z＝k－3 3. 代入 x＋y＋z＝1，得 k＝3. ∴x＝23，y＝13，z＝0 时取等号.
专题三 利用排序不等式证明不等式 【例 3】 设 a，b，c 为正数，求证：
2b＋a2 c＋c＋b2a＋a＋c2 b≥bb2＋ ＋cc2＋cc2＋ ＋aa2＋aa2＋＋bb2. 证明 由对称性，不妨设 a≥b≥c>0， 于是 a＋b≥a＋c≥b＋c， 故 a2≥b2≥c2，b＋1 c≥c＋1 a≥a＋1 b，
专题六 与数列通项有关的归纳、猜想、证明
【例 6】 已知数列{an}的各项均为正数，bn＝n1＋1nnan(n∈N＋)，e 为自然对数的底数. (1)求函数 f(x)＝1＋x－ex的单调区间，并比较1＋1nn与 e 的大小； (2)计算ba11，ab11ab22，ba11ba22ba33，由此推测计算ba11ba22… …bann的公式，并给出 证明； (3)令 cn＝(a1a2…an)1n，数列{an}，{cn}的前 n 项和分别记为 Sn， Tn，证明：Tn<eSn.
高二数学北师大版选修4-5课件第二章 几个重要的不等式 整合
< .所以范围是
π 2
π π , 3 2
.
专题一
专题二
专题三
专题二
利用不等式的性质解决实际应用题
解决实际应用问题,主要在于数学模型的建立和目标函数的求解.只要 找好这两点问题便容易解决. 1.柯西不等式型:主要需要找到一个定值,从而得到确定最值的条件,其 思想类似于平均值不等式. 【例题 3】把一条长度是 m 的绳子截成三段,各围成一个正方形,怎样 截才能使这三个正方形的面积和最小? 提示:建立适当的数学模型,利用柯西不等式求解.
≥ .
π 3
又由 0<b+c-a,0<a+b-c,0<a+c-b,有 0<A(b+c-a)+C(a+b-c)+B(a+c-b)=a(B+C-A)+b(A+C-B)+c(A+B-C)=a(π-2A) +b(π-2B)+c(π-2C)=(a+b+c)π-2(aA+bB+cC), 得
������������+������������+������������ ������+������+������
专题一
专题二
专题三
解:设三段绳子的长度分别为 x,y,z,则 x+y+z=m,这三个正方形的面积 和 S=2 4
+
������ 2 4
= 16(x2+y2+z2).因为
������
1
(x2+y2+z2)(12+12+12)≥(x+y+z)2=m2,当且仅当 x=y=z= 3 时,等号成立,所以 x +y +z
高中数学第二章几个重要的不等式2.3.1数学归纳法训练北师大版选修4_5word格式
数学概括法一、选择题1. 设f ( n)＝ 1 ＋ 1 ＋ 1 ＋＋ 1 ( n∈ N＋ ) ，那么f ( n＋ 1) －f ( n) 等于 ()n＋1 n＋ 2 n＋3 2n1 1A.2n＋1 B.2n＋ 21 1 1 1C.2n＋1＋2n＋2D.2n＋ 1－2n＋ 21 1 1 1分析 f ( n)＝n＋1＋n＋2＋n＋3＋＋2nf ( ＋1) ＝ 1 ＋ 1 ＋＋ 1 ＋ 1 ＋ 1n n＋2 n＋3 2n 2n＋1 2n＋21 1 1 1 1∴f ( n＋1)－ f ( n)＝2n＋1＋2n＋2－n＋1＝2n＋1－2n＋2，选D.答案 D2. 用数学概括法证明：“2 n＋ 11－an＋ 21＋a＋a＋＋a＝1－a ( a≠ 1) ”在考证n＝ 1 时，左端计算所得的项为 ()A.1B.1 ＋aC.1 ＋a＋a2D.1 ＋a＋a2＋a3分析当 n＝1时， a n＋1＝ a2，∴左侧应为 1＋a＋a2，应选 C.答案 C3.用数学概括法证明： ( n＋ 1)( n＋2) ·(n＋n) ＝ 2n× 1× 3 (2 n－ 1) 时，从“k到k＋ 1”左侧需增乘的代数式是 ()A.2 k＋ 12k＋ 1 B.k＋1C.2(2 k＋ 1)2k＋ 2 D.k＋1分析n＝ k 时，( k＋1)( k＋2)( k＋k) ＝2k× 1× 3× × (2 n－ 1). n＝ k＋1时，( k＋2)( k＋k) ·(k＋ 1＋k)( k＋ 1＋k＋ 1).（2k＋1）（ 2k＋2）∴增乘的代数式是k＋1 ＝2(2 k＋1)，选C.答案 C二、填空题4. 数列 { a n } 中，已知a 1＝1，当n ≥ 2时， a n ＝a n － 1＋ 2n － 1，挨次计算a 2， a 3， a 4 后，猜想a n 的表达式是 ________.分析a 1＝ 1，a 2＝ a 1＋ 3＝4， a 3＝ 4＋5＝ 9， a 4＝ 9＋ 7＝ 16，猜想 a n ＝n 2.答案a n ＝ n 25. 记凸 k 边形对角线的条数为 f ( k )( k ≥4) ，那么由 k 到 k ＋ 1 时，对角线条数增添了________条 .11分析 ∵ f ( k ) ＝ 2k ( k － 3) ， f ( k ＋ 1) ＝ 2( k ＋ 1)( k － 2) ， f ( k ＋ 1) － f ( k ) ＝ k －1. 答案 k － 16. 在数列 { n } 中， 1＝ 1，且 n ＝ (2 － 1) n . 经过求 2， 3， 4猜想n的表达式是 ________.a a3S nn a a a a a分析12221 3＋ a ＝2(2 × 2－1) a ， a ＝ 15，1 1＋ a 3＝3(2 × 3－ 1) a 3， a 3＝ 1＋，3 15351 1 113＋ 15＋ 35＋ a4＝4(2 × 4－1) a 4， a 4＝63，1 猜想a n＝（2n ）2－1.1答案a n ＝（2n ）2－1三、解答题7. 求证： ( n ＋1) ·(n ＋ 2) · ·(n ＋ n ) ＝ 2n ·1· 3· 5· · (2 n －1) ( n ∈N ＋ ).证明(1) 当 n ＝ 1 时，等式左侧＝ 2，等式右侧＝ 2× 1＝ 2，∴等式建立 .(2) 假定 n ＝ k ( k ∈ N ＋ ) 时，等式建立 .即( k ＋ 1)( k ＋ 2) · ·(k ＋ k ) ＝2k · 1· 3· 5· · (2 k － 1) 建立 .那么当 n ＝k ＋ 1 时，( k ＋ 2)( k ＋3) · ·(k ＋ k )(2 k ＋ 1)(2 k ＋ 2)＝ 2( k ＋ 1)( k ＋ 2)( k ＋ 3) · ·(k ＋ k )(2 k ＋ 1)＝2k ＋1· 1· 3· 5· · (2 k － 1)[2( k ＋1) － 1]. 即 n ＝ k ＋ 1 时等式建立 .由(1) 、 (2) 可知对随意 n ∈ N ，等式都建立 .＋11 1 58. 求证： n ＋1＋ n ＋2＋ ＋ 3n >6( n ≥ 2， n ∈N ＋).1 1 1 15证明(1) 当 n ＝ 2 时，左侧＝ 3＋ 4＋ 5＋ 6>6，不等式建立 .11 1 5(2) 假定 n ＝ k ( k ≥ 2，k ∈ N ＋ ) 时命题建立，即 k ＋1＋k ＋2＋ ＋ 3k >6，则当 n ＝ k ＋1 时，111111（k ＋1）＋1＋（k ＋1）＋ 2＋ ＋3k ＋3k ＋1＋3k ＋2＋3（ k ＋1）1111 1 1 1＝k ＋1＋ k ＋ 2＋ ＋ 3k ＋3k ＋1＋3k ＋2＋3k ＋3－k ＋15 111 1>6＋3k ＋1＋3k ＋2＋3k ＋3－ k ＋1511 5>6＋ 3× 3k ＋3－k ＋ 1 ＝ 6，因此当 n ＝k ＋ 1 时不等式也建立 .由(1)(2) 可知，原不等式对全部 n ≥ 2， n ∈ N 均建立 .＋9. 在数列n 中， b 1n ＋ 13bn ＋4＋23 n与 2的大小，并加以{ b } ＝ 2， b＝ 2bn ＋3( n ∈ N ). 求 b ，b ，试判断 b 证明 .解 由 b 1＝ 2， n ＋1 ＝ 3bn ＋ 43×2＋4 1058，得2＝＝ ，3＝.b2bn ＋ 3b2×2＋37b41经比较有b 1＞2 ， 2＞， 3＞2 .b 2b猜想 b n ＞ 2( n ∈ N ＋ ).下边利用数学概括法证明.(1) 当 n ＝ 1 时，因 b 1＝2，因此2＜ b 1.(2) 假定当 n ＝ k ( k ≥1， k ∈ N ＋ ) 时，结论建立，即 2＜ b k .∴b k － 2＞0.3bk ＋4当 n ＝ k ＋ 1 时， b k ＋ 1－ 2＝ 2bk ＋3－ 2（ 3－2 2） bk ＋（4－3 2） （3－2 2）（ bk － 2）＝2bk ＋3 ＝＞ 0.2bk ＋3∴b k ＋ 1＞ 2，也就是说，当 n ＝ k ＋ 1 时，结论也建立 . 依据 (1) 、 (2) ，知 b ＞ 2( n ∈ N ).n＋10. 用数学概括法证明：当 n ∈ N ＋ 时， (1 ＋ 2＋ 3＋ ＋ n ) 11 11≥n 2.2 3n证明(1) 当 n ＝ 1 时，左侧＝ 1，右侧＝ 12＝ 1，左侧≥右侧，不等式建立.(2) 假定 n ＝ k ( k ≥ 1， k ∈ N ＋) 时不等式建立，1 1 12 即(1 ＋ 2＋ 3＋ ＋ k ) 1 2 3k ≥k ，则当 n ＝ k ＋ 1 时，左侧＝ [(1 ＋ 2＋ ＋ k ) ＋ ( k ＋1)] ·11111 1 11 2 3k k 1 ＝ (1 ＋ 2＋ 3＋ ＋k )1 2 3k ＋ (1 ＋ 2＋ 3＋ ＋ 11 1 12k k 11k ) k 1＋ ( k ＋ 1) 12 3k ＋ 1≥k ＋2·k 1＋( k ＋ 1)1111＋12 3k＝ k 2＋k2＋ 1＋( k ＋ 1) 1 12 131k ，1 111 3∵当 k ≥ 2 时， 1＋ 2＋ 3＋ ＋ k ≥1＋ 2＝ 2，∴左侧≥ k 2＋ k＋ 1＋ ( k ＋1) × 322＝ k 2＋ 2k ＋ 1＋3≥ ( k ＋1) 2.2这就是说，当 n ＝ k ＋1 时，不等式建立 .由(1)(2) 知，当 n ∈N ＋ 时，不等式建立 .。
最新学年高中数学 第二章 几个重要的不等式 2.3.1 数学归纳法训练 北师大版选修4-5(考试必备)
2.3.1 数学归纳法一、选择题 1.设f (n )＝1n ＋1＋1n ＋2＋1n ＋3＋ (12)(n ∈N ＋)，那么f (n ＋1)－f (n )等于( ) A.12n ＋1B.12n ＋2 C.12n ＋1＋12n ＋2D.12n ＋1－12n ＋2解析 f (n )＝1n ＋1＋1n ＋2＋1n ＋3＋ (12)f (n ＋1)＝1n ＋2＋1n ＋3＋…＋12n ＋12n ＋1＋12n ＋2∴f (n ＋1)－f (n )＝12n ＋1＋12n ＋2－1n ＋1＝12n ＋1－12n ＋2，选D.答案 D2.用数学归纳法证明：“1＋a ＋a 2＋…＋a n ＋1＝1－a n ＋21－a(a ≠1)”在验证n ＝1时，左端计算所得的项为( ) A.1 B.1＋a C.1＋a ＋a 2D.1＋a ＋a 2＋a 3解析 当n ＝1时，an ＋1＝a 2，∴左边应为1＋a ＋a 2，故选C. 答案 C3.用数学归纳法证明：(n ＋1)(n ＋2)…·(n ＋n )＝2n×1×3…(2n －1)时，从“k 到k ＋1”左边需增乘的代数式是( ) A.2k ＋1 B.2k ＋1k ＋1 C.2(2k ＋1)D.2k ＋2k ＋1解析 n ＝k 时，(k ＋1)(k ＋2)…(k ＋k )＝2k×1×3×…×(2n －1).n ＝k ＋1时，(k ＋2)…(k ＋k )·(k ＋1＋k )(k ＋1＋k ＋1).∴增乘的代数式是（2k ＋1）（2k ＋2）k ＋1＝2(2k ＋1)，选C.答案 C 二、填空题4.数列{a n }中，已知a 1＝1，当n ≥2时，a n ＝a n －1＋2n －1，依次计算a 2，a 3，a 4后，猜想a n 的表达式是________.解析 a 1＝1，a 2＝a 1＋3＝4，a 3＝4＋5＝9，a 4＝9＋7＝16，猜想a n ＝n 2. 答案 a n ＝n 25.记凸k 边形对角线的条数为f (k )(k ≥4)，那么由k 到k ＋1时，对角线条数增加了________条.解析 ∵f (k )＝12k (k －3)，f (k ＋1)＝12(k ＋1)(k －2)，f (k ＋1)－f (k )＝k －1.答案 k －16.在数列{a n }中，a 1＝13，且S n ＝n (2n －1)a n .通过求a 2，a 3，a 4猜想a n 的表达式是________.解析 13＋a 2＝2(2×2－1)a 2，a 2＝115，13＋115＋a 3＝3(2×3－1)a 3，a 3＝135， 13＋115＋135＋a 4＝4(2×4－1)a 4，a 4＝163， 猜想a n ＝1（2n ）2－1. 答案 a n ＝1（2n ）2－1 三、解答题7.求证：(n ＋1)·(n ＋2)·…·(n ＋n )＝2n·1·3·5·…·(2n －1) (n ∈N ＋). 证明 (1)当n ＝1时，等式左边＝2，等式右边＝2×1＝2， ∴等式成立.(2)假设n ＝k (k ∈N ＋ )时，等式成立.即(k ＋1)(k ＋2)·…·(k ＋k )＝2k·1·3·5·…·(2k －1)成立. 那么当n ＝k ＋1时，(k ＋2)(k ＋3)·…·(k ＋k )(2k ＋1)(2k ＋2) ＝2(k ＋1)(k ＋2)(k ＋3)·…·(k ＋k )(2k ＋1) ＝2k ＋1·1·3·5·…·(2k －1)[2(k ＋1)－1].即n ＝k ＋1时等式成立.由(1)、(2)可知对任意n ∈N ＋，等式都成立. 8.求证：1n ＋1＋1n ＋2＋…＋13n >56(n ≥2，n ∈N ＋). 证明 (1)当n ＝2时，左边＝13＋14＋15＋16>56，不等式成立.(2)假设n ＝k (k ≥2，k ∈N ＋)时命题成立，即1k ＋1＋1k ＋2＋…＋13k >56，则当n ＝k ＋1时，1（k ＋1）＋1＋1（k ＋1）＋2＋…＋13k ＋13k ＋1＋13k ＋2＋13（k ＋1）＝1k ＋1＋1k ＋2＋…＋13k ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13k ＋1＋13k ＋2＋13k ＋3－1k ＋1>56＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13k ＋1＋13k ＋2＋13k ＋3－1k ＋1>56＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3×13k ＋3－1k ＋1＝56，所以当n ＝k ＋1时不等式也成立.由(1)(2)可知，原不等式对一切n ≥2，n ∈N ＋均成立.9.在数列{b n }中，b 1＝2，b n ＋1＝3b n ＋42b n ＋3(n ∈N ＋).求b 2，b 3，试判定b n 与2的大小，并加以证明.解 由b 1＝2，b n ＋1＝3b n ＋42b n ＋3，得b 2＝3×2＋42×2＋3＝107，b 3＝5841.经比较有b 1＞2，b 2＞2，b 3＞ 2. 猜想b n ＞2(n ∈N ＋). 下面利用数学归纳法证明.(1)当n ＝1时，因b 1＝2，所以2＜b 1.(2)假设当n ＝k (k ≥1，k ∈N ＋)时，结论成立，即2＜b k . ∴b k －2＞0.当n ＝k ＋1时，b k ＋1－2＝3b k ＋42b k ＋3－ 2 ＝（3－22）b k ＋（4－32）2b k ＋3＝（3－22）（b k －2）2b k ＋3＞0.∴b k ＋1＞2，也就是说，当n ＝k ＋1时，结论也成立. 根据(1)、(2)，知b n ＞2(n ∈N ＋).10.用数学归纳法证明：当n ∈N ＋时，(1＋2＋3＋…＋n )⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12＋13＋…＋1n ≥n 2.证明 (1)当n ＝1时，左边＝1，右边＝12＝1，左边≥右边，不等式成立. (2)假设n ＝k (k ≥1，k ∈N ＋)时不等式成立， 即(1＋2＋3＋…＋k )⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12＋13＋…＋1k ≥k 2，则当n ＝k ＋1时，左边＝[(1＋2＋…＋k )＋(k ＋1)]·⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12＋13＋…＋1k ＋1k ＋1＝(1＋2＋3＋…＋k )⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12＋13＋…＋1k ＋(1＋2＋3＋…＋k )1k ＋1＋(k ＋1)⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12＋13＋…＋1k ＋1≥k 2＋k （k ＋1）2·1k ＋1＋(k ＋1)⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12＋13＋…＋1k ＋1＝k 2＋k 2＋1＋(k ＋1)⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12＋13＋…＋1k ，∵当k ≥2时，1＋12＋13＋…＋1k ≥1＋12＝32，∴左边≥k 2＋k 2＋1＋(k ＋1)×32＝k 2＋2k ＋1＋32≥(k ＋1)2.这就是说，当n ＝k ＋1时，不等式成立. 由(1)(2)知，当n ∈N ＋时，不等式成立.。
高中数学 第二章 几个重要的不等式测评 北师大版选修4-5-北师大版高二选修4-5数学试题
第二章几个重要的不等式测评(时间:120分钟满分:150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)1.用数学归纳法证明2n≥n2(n≥5,n∈N+)成立时第二步归纳假设的正确写法是()A.假设n=k时命题成立B.假设n=k(k∈N+)时命题成立C.假设n=k(k≥5)时命题成立D.假设n=k(k>5)时命题成立解析:由数学归纳法的步骤可知,C项正确.答案:C2.下列不等式一定成立的是()A.(ax+by)2≥(a2+b2)(x2+y2)B.|ax+by|≥C.(a2+b2)(x2+y2)≥(ay+bx)2D.(a2+b2)(x2+y2)≥(ab+xy)2解析:由柯西不等式可知,只有C项正确.答案:C3.若x>-1,x≠0,则下列不等式不正确的是()A.(1+x)4>1+4xB.(1+x>1+xC.(1+x)-3>1-3xD.(1+x>1+x解析:由贝努利不等式可得D项不正确.答案:D4.若3x+2y+z=,则x2+y2+z2的最小值是()A. B.C. D.2解析:由柯西不等式可得(32+22+12)(x2+y2+z2)≥(3x+2y+z)2,即14(x2+y2+z2)≥()2=7,于是x2+y2+z2≥,当且仅当=z,即x=,y=,z=时取等号,故x2+y2+z2的最小值是.答案:A5.设a1≤a2≤…≤a n,b1≤b2≤…≤b n为两组实数,S1=a1b n+a2b n-1+…+a n b1,S2=a1b1+a2b2+…+a n b n,则有()A.S1>S2B.S1≥S2C.S1<S2D.S1≤S2解析:显然S1为逆序和,S2为顺序和,由排序不等式可知S1≤S2.答案:D6.设0<θ<,已知a1=2cos θ,a n+1=,则猜想a n为()A.2cosB.2cosC.2cosD.2sin解析:a1=2cos θ,a2==2cos,a3==2cos,猜想a n=2cos.答案:B7.学校要开运动会,需要买价格不同的奖品40件、50件、20件,现在选择商店中单价为5元、3元、2元的奖品,则至少要花()A.300元B.360元C.320元D.340元解析:由排序原理知,逆序和最小,所以至少要花50×2+40×3+20×5=320(元).答案:C8.已知x,y,z是正实数,且=1,则x+的最小值是()A.5B.6C.8D.9解析:由柯西不等式可得x+=9,当且仅当x=3,y=6,z=9时等号成立,故x+的最小值是9.答案:D9.已知数列{a n}中,a1=1,a2=2,a n+1=2a n+a n-1(n∈N+),用数学归纳法证明a4n能被4整除,假设a4k能被4整除,然后应该证明()A.a4k+1能被4整除B.a4k+2能被4整除C.a4k+3能被4整除D.a4k+4能被4整除解析:由假设a4k能被4整除,则当n=k+1时,应该证明a4(k+1)=a4k+4能被4整除.答案:D10.若A=+…+,B=x1x2+x2x3+…+x n-1x n+x n x1,其中x1,x2,…,x n都是正数,则A与B的大小关系为()A.A>BB.A<BC.A≥BD.A≤B解析:不论x1,x2,…,x n的大小顺序如何,A一定是顺序和,所以A≥B.答案:C11.若x,y,z是非负实数,且9x2+12y2+5z2=9,则函数u=3x+6y+5z的最大值为()A.9B.10C.14D.15解析:u2=(3x+6y+5z)2≤[(3x)2+(2y)2+(z)2]·[12+()2+()2]=9×9=81,当且仅当x=,y=,z=1时,等号成立.故所求的最大值为9.答案:A12.设P为△ABC内一点,D,E,F分别为P到BC,CA,AB所引垂线的垂足,如图.若△ABC的周长为l,面积为S,则的最小值为()A. B.C. D.解析:设AB=a1,AC=a2,BC=a3,PF=b1,PE=b2,PD=b3,则a1b1+a2b2+a3b3=2S.∵(a3b3+a2b2+a1b1)≥=(a3+a2+a1)2=l2,∴,当且仅当b1=b2=b3,即PE=PF=PD时,等号成立.答案:A二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13.若=2,=3,则x1y1+x2y2+x3y3的最大值为.解析:由柯西不等式可得()()≥(x1y1+x2y2+x3y3)2,即(x1y1+x2y2+x3y3)2≤6,所以x1y1+x2y2+x3y3≤,当且仅当时等号成立,故x1y1+x2y2+x3y3的最大值为.答案:14.已知正实数x1,x2,…,x n满足x1+x2+…+x n=P,P为定值,则F=+…+的最小值为.解析:不妨设0<x1≤x2≤…≤x n,则≥…≥>0.且0<≤…≤.,…,为序列的一个排列,根据排序不等式,得F=+…+≥+…+=x1+x2+…+x n=P(定值),即F=+…+的最小值为P.答案:P15.设f(n)=,用数学归纳法证明f(n)≥3.在“假设n=k时成立”后,f(k+1)与f(k)的关系是f(k+1)=f(k)·.解析:当n=k时,f(k)=;当n=k+1时,f(k+1)=,所以f(k)应乘.答案:16.设a,b均为正实数,n∈N+,已知M=(a+b)n,N=a n+na n-1b,则M,N的大小关系为.解析:由贝努利不等式(1+x)n>1+nx(x>-1,且x≠0,n>1,n∈N+),当n>1时,令x=,所以>1+n·,所以>1+n·,即(a+b)n>a n+na n-1b,当n=1时,M=N,故M≥N.答案:M≥N三、解答题(本大题共6小题,共70分)17.(本小题满分10分)已知a>0,b>0,a+b=1,求证:≤2.证明由柯西不等式可得()2=(·1+·1)2≤[()2+()2](12+12),因此()2≤2(2a+2b+2)=8,当且仅当a=b=时等号成立,故≤2.18.导学号35664049(本小题满分12分)求证:tan α·tan 2α+tan 2α·tan3α+…+tan(n-1)α·tan nα=-n(n≥2,n∈N+).证明(1)当n=2时,左边=tan α·tan 2α,右边=-2=-2=-2==tan α·tan 2α=左边,等式成立.(2)假设当n=k(k≥2,k∈N+)时等式成立,即tan α·tan 2α+tan 2α·tan 3α+…+tan(k-1)α·tan kα=-k.则当n=k+1时,tan α·tan 2α+tan 2α·tan 3α+…+tan(k-1)α·tan kα+tankα·tan(k+1)α=-k+tan kα·tan(k+1)α=-k =[1+tan(k+1)α·tan α]-k=[tan(k+1)α-tan α]-k=-(k+1),所以当n=k+1时,等式也成立.由(1)(2)可知,当n≥2,n∈N+时等式恒成立.19.导学号35664050(本小题满分12分)设x2+4y2=1,求u=2x+y的最值以及取得最值时,实数x,y的值.解u=2x+y=2·x+·2y.由柯西不等式可得[x2+(2y)2]≥,即(2x+y)2≤·1.所以u2≤,故-≤u≤,当且仅当4y=x,且x2+4y2=1时,等号成立,解得x=±,y=±.所以u的最大值是,此时x=,y=;u的最小值是-,此时x=-,y=-.20.(本小题满分12分)设a,b,c∈(0,+∞),利用排序不等式证明:a2a b2b c2c≥a b+c b c+a c a+b.证明不妨设a≥b≥c>0,则lg a≥lg b≥lg c,由排序不等式可得a lg a+b lg b+c lg c≥b lg a+c lg b+a lg c,a lg a+b lg b+c lg c≥c lg a+a lg b+b lg c,以上两式相加可得2a lg a+2b lg b+2c lg c≥(b+c)lg a+(a+c)lg b+(a+b)lg c,即lg a2a+lg b2b+lg c2c≥lg a b+c+lg b a+c+lg c a+b,lg(a2a·b2b·c2c)≥lg(a b+c·b a+c·c a+b),故a2a b2b c2c≥a b+c b c+a c a+b.21.导学号35664051(本小题满分12分)已知a>0,b>0,c>0,函数f(x)=|x+a|+|x-b|+c的最小值为4.(1)求a+b+c的值;(2)求a2+b2+c2的最小值.解(1)因为f(x)=|x+a|+|x-b|+c≥|(x+a)-(x-b)|+c=|a+b|+c,当且仅当-a≤x≤b时,等号成立.又a>0,b>0,所以|a+b|=a+b,所以f(x)的最小值为a+b+c.又已知f(x)的最小值为4,所以a+b+c=4.(2)由(1)知a+b+c=4,由柯西不等式得(4+9+1)≥=(a+b+c)2=16,即a2+b2+c2≥.当且仅当,即a=,b=,c=时等号成立.故a2+b2+c2的最小值为.22.导学号35664052(本小题满分12分)已知函数f(x)=x3-x,数列{a n}满足条件:a1≥1,a n+1≥f'(a n+1).试比较+…+与1的大小,并说明理由.解因为f'(x)=x2-1,a n+1≥f'(a n+1),所以a n+1≥(a n+1)2-1.设函数g(x)=(x+1)2-1=x2+2x,则g(x)在区间[-1,+∞)上是增加的,于是由a1≥1,得a2≥(a1+1)2-1≥22-1,进而得a3≥(a2+1)2-1≥24-1>23-1,由此猜想:a n≥2n-1.下面用数学归纳法证明这个猜想:①当n=1时,a1≥21-1=1,结论成立;②假设当n=k(k≥1且k∈N+)时结论成立,即a k≥2k-1,则当n=k+1时,由g(x)=(x+1)2-1在区间[-1,+∞)上是增加的知,a k+1≥(a k+1)2-1≥22k-1≥2k+1-1,即n=k+1时,结论也成立.由①②知,对任意n∈N+,都有a n≥2n-1.于是有1+a n≥2n,因此,所以+…+≤+…+=1-<1.所以+…+<1.。
高中数学第二章几个重要的不等式2.2排序不等式课后练习北师大版选修4_
)
A． 0 C． 4
B． 1 D ．9
答案： A
a2 a3
4．已知 a1，a2， a3 为正整数，则 a1＋ 4 ＋ 9 的最大值为 (
)
A． 3
1 B． 3
5 C． 6
49 D ．36
答案： D
二、填空题
a1
a2
an
5．设正实数 a1，a2，…， an 的任一排列为 a1′， a2′， …，an′，则 a1′ ＋a2′ ＋…＋ an′
答案： 19,25
三、解答题
7．设 c1， c2，…， cn 为正数 a1， a2，…， an 的某一排列，
a1 a2
an
求证：
c1＋ c2＋…＋
≥ n. cn
证明： 不妨设 0< a1≤ a2≤…≤ an，则
11
1
a1≥ a2≥…≥ an.
11
111
1
∵
c1， c2，…，
是 cn
a1，
a2，…，
的一个排列，故由排序原理： an
a1 a2
an －1 b1 b2
bn－ 1
a2＋ a3＋…＋ an ≥ c1＋ c2＋…＋ cn－ 1
①
由于 b1≥ 1， b2≥ 2，…， bn－ 1≥ n－ 1，
c1≤ 2， c3≤ 3，…， cn－ 1≤n，
b1 b2
bn－ 1
于是 ＋ ＋…＋
c1 c2
cn－ 1
12
n－ 1
≥ 2＋ 3＋…＋ n ，
反序和≤乱序和得
1
1
1
a1· a1＋a2· a2＋…＋ an· an
1
1
≤
a1
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高中数学第二章几个重要的不等式专题训练北师大版选修45
2021年高中数学第二章几个重要的不等式专题训练北师大版选修451．已知a 2＋b 2＋c 2＝1，若不等式a ＋b ＋2c ≤|x ＋1|对任意实数a ，b ，c 恒成立，则实数x 的取值范畴是( )A ．(－∞，－3]∪[1，＋∞)B ．[－3，－1]C ．(－∞，－1]∪[3，＋∞)D ．[－1,3]解析：由柯西不等式，得(a 2＋b 2＋c 2)(1＋1＋2)≥(a ＋b ＋2c )2.因此a ＋b ＋2c ≤2.因为a ＋b ＋2c ≤|x ＋1|，因此|x ＋1|≥2.解得x ≥1或x ≤－3. 答案：A2．若a ，b ，c ∈(0，＋∞)，且a ＋b ＋c ＝1，则a ＋b ＋c 的最大值为( ) A ．1 B ． 2 C ． 3D ．2解析：a ＋b ＋c ≤12＋12＋12[a2＋b2＋c2]＝3a ＋b ＋c ，当且仅当a ＝b ＝c 时取等号． 又a ＋b ＋c ＝1，则a ＋b ＋c ≤ 3. ∴a ＋b ＋c 的最大值为 3. 答案：C3．若A ＝x 21＋x 22＋…＋x 2n ，B ＝x 1x 2＋x 2x 3＋…＋x n －1x n ＋x n x 1，其中x 1，x 2，…，x n 差不多上正数，则A 与B 的大小关系为( )A ．A >B B ．A <BC ．A ≥BD ．A ≤B解析：不论x 1，x 2，…，x n 的大小顺序如何， 其中A ＝x 21＋x 22＋…＋x 2n 一定是顺序和， ∴A ≥B ． 答案：C4．已知n 为正偶数，用数学归纳法证明“1－12＋13－14＋…＋1n －1＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＋2＋1n ＋4＋…＋12n ”时，若已假设当n ＝k (k ≥2且为偶数)时等式成立，则还需要利用归纳假设再证( )A ．当n ＝k ＋1时等式成立B ．当n ＝k ＋2时等式成立C ．当n ＝2k ＋2时等式成立D ．当n ＝2(k ＋2)时等式成立解析：偶数k 的后继偶数为k ＋2，故应再证当n ＝k ＋2 时等式成立． 答案：B5．已知a >0，且M ＝a 3＋(a ＋1)3＋(a ＋2)3，N ＝a 2(a ＋1)＋(a ＋1)2(a ＋2)＋a (a ＋2)2，则M 与N 的大小关系是________.解析：取两组数a ，a ＋1，a ＋2与a 2，(a ＋1)2，(a ＋2)2，明显a 3＋(a ＋1)3＋(a ＋2)3是顺序和，而a 2(a ＋1)＋(a ＋1)2(a ＋2)＋a (a ＋2)2是乱序和．由排序不等式易知M >N .答案：M >N6．设a ，b ，c ∈(0，＋∞)，若不等式(a ＋b ＋c )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＋k c ≥25恒成立，则正数k 的最小值是________.解析：因为(a ＋b ＋c )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＋k c ≥(1＋1＋k )2＝(2＋k )2，当且仅当a ＝b ＝c k时等号成立，因此(a ＋b ＋c )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＋k c 的最小值是(2＋k )2.由不等式(a ＋b ＋c )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＋k c ≥25恒成立，得(2＋k )2≥25.因此k ≥9.因此正数k 的最小值是9.答案：97．设c 1，c 2，…，c n 为正数a 1，a 2，…，a n 的某一排列，则a 1c 1＋a 2c 2＋…＋a nc n与n 的大小关系是_________. 解析：不妨设0<a 1≤a 2≤…≤a n ，则1a 1≥1a 2≥…≥1a n.因为c 1，c 2，…，c n 是a 1，a 2，…，a n 的一个排列，因此1c 1，1c 2，…，1c n 是1a 1，1a 2，…，1a n 的一个排列．由逆序和≤乱序和，得a 1·1a 1＋a 2·1a 2＋…＋a n ·1a n ≤a 1·1c 1＋a 2·1c 2＋…＋a n ·1c n ，即a 1c 1＋a 2c 2＋…＋a nc n≥n ，当且仅当a 1＝a 2＝…＝a n >0时等号成立．答案：a 1c 1＋a 2c 2＋…＋a n c n≥n8．若正数a ，b ，c 满足a ＋b ＋c ＝1，求12a ＋1＋12b ＋1＋12c ＋1的最小值．解：由a ＋b ＋c ＝1，可得 (2a ＋1)＋(2b ＋1)＋(2c ＋1)＝5. 因为2a ＋1,2b ＋1,2c ＋1均为正数， 由柯西不等式，得⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ＋1＋12b ＋1＋12c ＋1(2a ＋1＋2b ＋1＋2c ＋1)≥ 12a ＋1·2a ＋1＋12b ＋1·2b ＋1＋12c ＋1·2c ＋12＝9， 当且仅当a ＝b ＝c 时取等号， 因此12a ＋1＋12b ＋1＋12c ＋1≥95.故12a ＋1＋12b ＋1＋12c ＋1的最小值为95. 9．在△ABC 中，试证：π3≤aA ＋bB ＋cC a ＋b ＋c <π2.证明：不妨设a ≤b ≤c ，因此A ≤B ≤C ． 由排序不等式，得aA ＋bB ＋cC ＝aA ＋bB ＋cC ，aA ＋bB ＋cC ≥bA ＋cB ＋aC ， aA ＋bB ＋cC ≥cA ＋aB ＋bC ．以上三式相加，得3(aA ＋bB ＋cC )≥(a ＋b ＋c )(A ＋B ＋C ) ＝π(a ＋b ＋c )． 因此aA ＋bB ＋cC a ＋b ＋c ≥π3.①由0<b ＋c －a,0<a ＋b －c,0<a ＋c －b ，得 0<A (b ＋c －a )＋C (a ＋b －c )＋B (a ＋c －b ) ＝a (B ＋C －A )＋b (A ＋C －B )＋c (A ＋B －C ) ＝a (π－2A )＋b (π－2B )＋c (π－2C ) ＝(a ＋b ＋c )π－2(aA ＋bB ＋cC )． 因此aA ＋bB ＋cC a ＋b ＋c <π2.②由①②，得原不等式成立．10．已知函数y ＝f (x )满足f (n －1)＝f (n )－lg an －1(n ≥2，n ∈N ＋)，且f (1)＝－lg a ．是否存在实数α，β，使f (n )＝(αn 2＋βn －1)lga 对任意n ∈N ＋都成立？证明你的结论．解：f (n )＝f (n －1)＋lg an －1，令n ＝2，则f (2)＝f (1)＋lg a ＝－lg a ＋lg a ＝0. 又f (1)＝(－1)lg a ，因此⎩⎪⎨⎪⎧α＋β－1＝－1，4α＋2β－1＝0.解得α＝12，β＝－12.因此f (n )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n 2－12n －1lg a .下证对任何n ∈N ＋都成立． (1)当n ＝1时，明显成立．(2)假设当n ＝k (k ≥1)时等式成立，即f (k )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12k 2－12k －1lg a ，则当n ＝k ＋1时，f (k ＋1)＝f (k )＋lg a k ＝f (k )＋k lg a＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12k 2－12k －1＋k lg a＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12k ＋12－12k ＋1－1lg a .因此当n ＝k ＋1时等式也成立．综合(1)(2)，知存在α＝12，β＝－12，使f (n )＝(αn 2＋βn －1)lg a 对任意n ∈N ＋都成立．。
北师大版数学高二选修4-5单元检测第二章几个重要的不等式
数学北师版选修4—5第二章几个重要的不等式单元检测(时间：90分钟 满分：100分)一、选择题(每小题5分，共50分)1．已知x ＋3y ＋5z ＝6，则x 2＋y 2＋z 2的最小值为( )． A ．65 B ．635 C ．3635D ．6 2．已知3x 2＋2y 2≤1，则3x ＋2y 的取值范围是( )．A ．⎡⎣B ．⎡⎤⎣⎦C ．⎡⎣D ．[－5,5]3．已知a ，b ，c ∈R ＋，则a 2(a 2－bc )＋b 2(b 2－ac )＋c 2(c 2－ab )的正负情况是( )． A ．大于零 B ．大于等于零 C ．小于零 D ．小于等于零 4．用数学归纳法证明221111n n a a a aa++-++++=-(a ≠1，n ∈N ＋)．在验证n ＝1成立时，左边计算所得的项是( )．A ．1B ．1＋aC ．1＋a ＋a 2D ．1＋a ＋a 2＋a 35．111122k S k k k =+++++(k ＝1,2,3，…)，则S k ＋1＝( )． A ．122k S k ++ B ．11221k S k k ++++ C ．112122k S k k +-++ D ．112122k S k k ++++ 6．设n ∈N ＋，则4n与3n 的大小关系是( )． A ．4n ＞3n B ．4n ＝3n C ．4n＜3n D ．不确定7．设a ，b ，c ∈(0，＋∞)，a ＋b ＋4c 2＝1的最大值是( )．A ．5BC ．8D 8．用数学归纳法证明()11111223341+1n n n n ++++=⨯⨯⨯+(n ∈N ＋)时，从“n ＝k ”到“n ＝k ＋1”，等式左边需增添的项是( )．A ．()11k k +B ．()()()11112k k k k ++++C ．()()112k k ++ D ．()12k k +9．用数学归纳法证明“42n －1＋3n ＋1(n ∈N ＋)能被13整除”的第二步中，当n ＝k ＋1时为了使用归纳假设，对42k ＋1＋3k ＋2变形正确的是( )．A ．16(42k －1＋3k ＋1)－13×3k ＋1B ．4×42k ＋9×3kC ．(42k －1＋3k ＋1)＋15×42k －1＋2×3k ＋1D ．3(42k －1＋3k ＋1)－13×42k －110．设函数f (n )＝(2n ＋9)·3n ＋1＋9，当n ∈N ＋时，f (n )能被m (m ∈N ＋)整除，猜想m 的最大值为( )．A ．9B ．18C ．27D ．36 二、填空题(每小题5分，共25分)11．设f (n )＝62n －1＋1，则f (k ＋1)用含有f (k )的式子表示为________． 12．已知数列{a n }的各项均为自然数，a 1＝1且它的前n 项和为S n ，若对所有的正整数n ，有S n ＋1＋S n ＝(S n ＋1－S n )2成立，通过计算a 2，a 3，a 4可归纳出S n ＝__________________________．13．设a ，b ，c 为正数，则()4936a b c a b c ⎛⎫++++⎪⎝⎭的最小值是__________． 14．在△ABC 中，不等式1119A B C ++≥π成立；在四边形ABCD 中，不等式111116A B C D +++≥2π成立；在五边形ABCDE 中，不等式1111125A B C D E ++++≥3π成立．猜想在n 边形A 1A 2…A n 中，其不等式为__________．15．三角形的三边a ，b ，c 对应的高为h a ，h b ，h c ，r 为三角形内切圆的半径．若h a ＋h b ＋h c 的值为9r ，则此三角形为__________三角形．三、解答题(共25分)16．(10分)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足S n ＋a n ＝2n ＋1． (1)写出a 1，a 2，a 3，并推测a n 的表达式． (2)用数学归纳法证明所得结论．17．(15分)设a i ∈R ＋(i ＝1,2，…，n )，a 1＋a 2＋…＋a n ＝1，求证：()2222212121111n n n a a a a a a n+⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++++≥⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭．参考答案1．答案：C 由柯西不等式，得2222222222221(1+3+5)()135x y z x y z ++=++⨯++ ()2211361356353535x y z ≥⨯+⨯+⨯⨯=⨯=． 当且仅当135x y z ==，即635x =，1835y =，67z =时等号成立．2．答案：C32|x y +≤≤．所以32x y ≤+≤．3．答案：B 设a ≥b ≥c ＞0，所以a 3≥b 3≥c 3．根据排序不等式，得a 3×a ＋b 3×b ＋c 3×c ≥a 3b ＋b 3c ＋c 3a ．又知ab ≥ac ≥bc ，a 2≥b 2≥c 2，所以a 3b ＋b 3c ＋c 3a ≥a 2bc ＋b 2ca ＋c 2ab ．所以a 4＋b 4＋c 4≥a 2bc ＋b 2ca ＋c 2ab ．即a 2(a 2－bc )＋b 2(b 2－ac )＋c 2(c 2－ab )≥0．4．答案：C 当n ＝1时，左边＝1＋a ＋a 2． 5．答案：C1111112322122k S k k k k k +=+++++++++ 1111112221k S k k k k +⎛⎫=++++ ⎪+++⎝⎭ 111112322122k k k k k =+++++++++． 6．答案：A 4n＝(1＋3)n．根据贝努利不等式，有(1＋3)n≥1＋n ×3＝1＋3n ＞3n ，即4n＞3n ．7．答案：B 2222211(4))a b c ⎡⎤++++≥⎢⎥⎢⎥⎣⎦，2≤=．当且仅当25a b ==，c =时等号成立．8．答案：C 由11n n (+)，可得到从“n ＝k ”到“n ＝k ＋1”时增添的项为112k k (+)(+)．9．答案：A 42k ＋1＋3k ＋2＝16×42k －1＋3k ＋2＝16(42k －1＋3k ＋1)＋3k ＋2－16×3k ＋1＝16(42k －1＋3k ＋1)－13×3k ＋1．10．答案：D11．答案：36f (k )－35 f (k )＝62k －1＋1，f (k ＋1)＝62(k ＋1)－1＋1＝62k －1·62＋1＝36·62k－1＋1＝36(62k －1＋1)－35＝36f (k )－35．12．答案：12n n (+) 由已知，得211+n n n S S a ++=， ∴21+n n n S S a -=，两式相减，得2211n n n n a a a a +++=-．∴a n ＋1－a n ＝1，即{a n }为等差数列，公差d ＝1． ∴a 2＝2，a 3＝3，…，a n ＝n ． ∴12n n n S (+)=． 13．答案：1212222224936()]a b c a b c ⎡⎤⎛⎫++++=++++⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦22(236)=121≥=++．当且仅当=236a b ck ==(k 为正实数)时等号成立．14．答案：212311112n n A A A A n ++++≥(-)π15．答案：等边 记三角形的面积为S ，则2S ＝ah a ＝bh b ＝ch c ． 又因为2S ＝r (a ＋b ＋c )， 所以1112a b c h h h S a b c ⎛⎫++=++⎪⎝⎭111()r a b c a b c ⎛⎫=++++ ⎪⎝⎭．由柯西不等式，得111()a b c a bc ⎛⎫++++ ⎪⎝⎭＝222222]⎡⎤++++⎢⎥⎢⎥⎣⎦29≥+=．所以h a ＋h b ＋h c ≥9r ，当且仅当a ＝b ＝c 时取等号．故h a ＋h b ＋h c ＝9r 时，三角形为等边三角形． 16．答案：解：(1)132a =，274a =，3158a =． 猜想：122n na =-． (2)证明：①当n ＝1时，131222a ==-，猜想成立．②假设n ＝k (k ∈N ＋，且k ≥1)时，122k ka =-成立． 当n ＝k ＋1时，a 1＋a 2＋…＋a k ＋a k ＋1＋a k ＋1＝2(k ＋1)＋1， 且a 1＋a 2＋…＋a k ＝2k ＋1－a k ，∴2k ＋1－a k ＋2a k ＋1＝2(k ＋1)＋1＝2k ＋3． ∴1122222k k ka a +=+=+-， ∴11122k k a ++=-． ∴当n ＝k ＋1时，猜想成立． 综合①②知，122n na =-(n ∈N ＋)成立． 17．答案：证明：首先证明对任何a i ∈R ＋(i ＝1,2，…，n )，有21212111()n n a a a n a a a ⎛⎫+++++≥ ⎪⎝⎭． 事实上，由柯西不等式，得1212111()nn a a a aa a ⎛⎫++++ ⎪⎝⎭222222]na ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎢⎥+++++ ⎪⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦22n a n ⎫≥+⋅＝． 又由柯西不等式，得21212111111n n a a a a a a ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⨯++⨯+++⨯+⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦2221212111n n n a a a a a a ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎢⎥≤++++++ ⎪⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦． ∵a 1＋a 2＋…＋a n ＝1，∴2221212111n n n a a a a a a ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎢⎥++++++ ⎪⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦2121111n a a a ⎡⎤≥++++⎢⎥⎣⎦()212121111n n a a a a a a ⎡⎤⎛⎫=+++++++⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦22(1)n ≥+． ∴2222121111n n a a a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭221n n (+)≥．。
高中数学第二章几个重要的不等式章末复习提升北师大版选修4-5(2021年整理)
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第二章几个重要的不等式一、选择题1.一批救灾物资随26辆汽车从A市以v km/h匀速直达灾区,已知两地公路长400 km，为安全起见,两车间距不得小于错误!错误! km，那么这批物资全部到灾区，至少需要______h（）A.5B.10 C。
15 D。
20解析依题意，所用时间为错误!＝错误!v＋错误!≥10，当且仅当v＝80时取等号。
答案B二、填空题2。
设通过一点的k的平面，其中任何三个或三个以上的平面不共有一条直线，这k个平面将空间分成f(k）个部分，则k＋1个平面将空间分成f（k＋1)＝f(k）＋________个部分。
解析k＝1，f(k)＝2。
k＝2,f(k)＝4,4－2＝2×1。
k＝3，f(k)＝8，8－4＝4＝2×2。
所以，f(k＋1)－f(k)＝2k。
答案2k三、解答题3.已知正数a,b，c满足a＋b＋c＝1,证明：a3＋b3＋c3≥错误!。
证明利用柯西不等式错误!错误!＝错误!错误!≤错误![a＋b＋c]＝（a3＋b3＋c3)(a＋b＋c)2（∵a＋b＋c＝1）又因为a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca,在此不等式两边同乘以2,再加上a2＋b2＋c2得：(a＋b＋c）2≤3（a2＋b2＋c2)∵（a2＋b2＋c2）2≤(a3＋b3＋c3)·3(a2＋b2＋c2),故a3＋b3＋c3≥错误!.4。
高中数学 第二章 几个重要的不等式 2.2 排序不等式训练 北师大版选修4-5
2.2 排序不等式一、选择题1.有三个房间需要粉刷，粉刷方案要求：每个房间只用一种颜色，且三个房间颜色各不相同.已知三个房间的粉刷面积(单位：m 2)分别为x ，y ，z ，且x ＜y ＜z ，三种颜色涂料的粉刷费用(单位：元/m 2)分别为a ，b ，c ，且a ＜b ＜c .在不同的方案中，最低的总费用(单位：元)是( )A.ax ＋by ＋czB.az ＋by ＋cxC.ay ＋bz ＋cxD.ay ＋bx ＋cz 解析 法一 用特值法进行验证.令x ＝1，y ＝2，z ＝3，a ＝1，b ＝2，c ＝3.A 项：ax ＋by ＋cz ＝1＋4＋9＝14；B 项：az ＋by ＋cx ＝3＋4＋3＝10；C 项：ay ＋bz ＋cx ＝2＋6＋3＝11；D 项：ay ＋bx ＋cz ＝2＋2＋9＝13.故选B.法二 由顺序和≥乱序和≥反序和.可得az ＋by ＋cx 最小.答案 B二、填空题2.设a 1，a 2，a 3，…，a n 为正数，那么P ＝a 1＋a 2＋…＋a n 与Q ＝a 21a 2＋a 22a 3＋…＋a 2n －1a n ＋a 2n a 1的大小关系是________.解析 假设a 1≥a 2≥a 3≥…≥a n ，则1a n ≥1a n －1≥…≥1a ≥1a 1， 并且a 21≥a 22≥a 23≥…≥a 2n ， P ＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ＝a 21a 1＋a 22a 2＋a 23a 3＋…＋a 2n a n， 是反顺和，Q 是乱顺和，由排序不等式定理P ≤Q .答案 P ≤Q三、解答题3.设a 1，a 2，…，a n 为正数，求证：a 21a 2＋a 22a 3＋…＋a 2n －1a n ＋a 2n a 1≥a 1＋a 2＋…＋a n . 证明 不妨设a 1>a 2>…>a n >0，则有a 21>a 22>…>a 2n也有1a 1<1a 2<…<1a n，由排序原理：乱序和≥逆序和，得： a 21a 2＋a 22a 3＋…＋a 2n a 1≥a 21a 1＋a 22a 2＋…＋a 2n a n＝a 1＋a 2＋…＋a n . 4.设A 、B 、C 表示△ABC 的三个内角的弧度数，a ，b ，c 表示其对边，求证：aA ＋bB ＋cC a ＋b ＋c ≥π3. 证明 法一 不妨设A >B >C ，则有a >b >c ，由排序原理：顺序和≥乱序和.∴aA ＋bB ＋cC ≥aB ＋bC ＋cA ；aA ＋bB ＋cC ≥aC ＋bA ＋cB ；aA ＋bB ＋cC ＝aA ＋bB ＋cC .上述三式相加得3(aA ＋bB ＋cC )≥(A ＋B ＋C )(a ＋b ＋c )＝π(a ＋b ＋c ).∴aA ＋bB ＋cC a ＋b ＋c ≥π3. 法二 不妨设A >B >C ，则有a >b >c ，由排序不等式aA ＋bB ＋cC 3≥A ＋B ＋C 3·a ＋b ＋c 3，即aA ＋bB ＋cC ≥π3(a ＋b ＋c )，∴aA ＋bB ＋cC a ＋b ＋c ≥π3. 5.设a ，b ，c 为正数，利用排序不等式证明a 3＋b 3＋c 3≥3abc .证明 不妨设a ≥b ≥c >0，∴a 2≥b 2≥c 2，由排序原理：顺序和≥逆序和，得： a 3＋b 3≥a 2b ＋b 2a ，b 3＋c 3≥b 2c ＋c 2b ，c 3＋a 3≥a 2c ＋c 2a ，三式相加得2(a 3＋b 3＋c 3)≥a (b 2＋c 2)＋b (c 2＋a 2)＋c (a 2＋b 2).又a 2＋b 2≥2ab ，b 2＋c 2≥2bc ，c 2＋a 2≥2ca .所以2(a 3＋b 3＋c 3)≥6abc ，∴a 3＋b 3＋c 3≥3abc .当且仅当a ＝b ＝c 时，等号成立. 6.设a ，b ，c 是正实数，求证：a a b b c c ≥(abc )a ＋b ＋c 3.证明 不妨设a ≥b ≥c >0，则lg a ≥lg b ≥lg c .据排序不等式有：a lg a ＋b lg b ＋c lg c ≥b lg a ＋c lg b ＋a lg ca lg a ＋b lg b ＋c lg c ≥c lg a ＋a lg b ＋b lg ca lg a ＋b lg b ＋c lg c ＝a lg a ＋b lg b ＋c lg c上述三式相加得：3(a lg a ＋b lg b ＋c lg c )≥(a ＋b ＋c )(lg a ＋lg b ＋lg c )，即lg(a a b b c c )≥a ＋b ＋c 3lg(abc ). 故a a b b c c ≥(abc )a ＋b ＋c 3. 7.设x i ，y i (i ＝1，2，…，n )是实数，且x 1≥x 2≥…≥x n ，y 1≥y 2≥…≥y n ，而z 1，z 2，…，z n 是y 1，y 2，…，y n 的一个排列.求证：∑ni ＝1 (x i －y i )2≥∑n i ＝1(x i －z i )2. 证明 要证∑ni ＝1 (x i －y i )2≥∑n i ＝1(x i －z i )2只需证∑ni ＝1y 2i －2∑n i ＝1x i y i ≥∑n i ＝1z 2i －2∑n i ＝1x i z i . 因为∑ni ＝1y 2i ＝∑n i ＝1z 2i ，∴只需证∑n i ＝1x i z i ≤∑n i ＝1x i y i . 而上式左边为乱序和，右边为顺序和.由排序不等式得此不等式成立.故不等式∑ni ＝1 (x i －y i )2≥∑n i ＝1(x i －z i )2成立. 8.已知a ，b ，c 为正数，且两两不等，求证：2(a 3＋b 3＋c 3)>a 2(b ＋c )＋b 2(a ＋c )＋c 2(a ＋b ). 证明 不妨设a >b >c >0.则a 2>b 2>c 2，a ＋b >a ＋c >b ＋c ，∴a 2(a ＋b )＋b 2(a ＋c )＋c 2(b ＋c )>a 2(b ＋c )＋b 2(a ＋c )＋c 2(a ＋b )，即a 3＋c 3＋a 2b ＋b 2a ＋b 2c ＋c 2b>a 2(b ＋c )＋b 2(a ＋c )＋c 2(a ＋b )，又∵a 2>b 2>c 2，a >b >c ，∴a 2b ＋b 2a <a 3＋b 3，b 2c ＋c 2b <b 3＋c 3.即a 2b ＋b 2a ＋b 2c ＋c 2b <a 3＋2b 3＋c 3，所以有2(a 3＋b 3＋c 3)>a 2(b ＋c )＋b 2(a ＋c )＋c 2(a ＋b ).。
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第二章 几个重要的不等式滚动训练四一、选择题1．设a ，b ∈R ＋且a ＋b ＝16，则1a ＋1b的最小值是( )A.14B.18C.116D.12答案 A解析 (a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ≥⎝⎛⎭⎪⎫a ·1a＋b ·1b 2＝4，∴1a ＋1b ≥14. 当且仅当a ·1b＝b ·1a，即a ＝b ＝8时取等号．2．若A ＝x 21＋x 22＋…＋x 2n ，B ＝x 1x 2＋x 2x 3＋…＋x n －1x n ＋x n x 1，其中x 1，x 2，…，x n 都是正数，则A 与B 的大小关系为( ) A ．A ＞B B ．A ＜B C ．A ≥B D ．A ≤B答案 C解析 依数列{x n }的各项都是正数，不妨设0＜x 1≤x 2≤…≤x n ，则x 2，x 3，…，x n ，x 1为数列{x n }的一个排列．依排序原理，得x 1x 1＋x 2x 2＋…＋x n x n ≥x 1x 2＋x 2x 3＋…＋x n x 1，即x 21＋x 22＋…＋x 2n ≥x 1x 2＋x 2x 3＋…＋x n x 1.3．用数学归纳法证明1＋2＋22＋…＋2n ＋1＝2n ＋2－1(n ∈N ＋)的过程中，在验证n ＝1时，左端计算所得的项为( ) A ．1 B ．1＋2 C ．1＋2＋22D ．1＋2＋22＋23答案 C解析 当n ＝1时，左端＝1＋2＋22，故选C.4．已知x ，y ，z ，a ，b ，c ，k 均为正数，且x 2＋y 2＋z 2＝10，a 2＋b 2＋c 2＝90，ax ＋by ＋cz ＝30，a ＋b ＋c ＝k (x ＋y ＋z )，则k 等于( ) A.19B.13C ．9D ．3 答案 D解析 因为x 2＋y 2＋z 2＝10，a 2＋b 2＋c 2＝90，ax ＋by ＋cz ＝30， 所以(a 2＋b 2＋c 2)(x 2＋y 2＋z 2)＝(ax ＋by ＋cz )2， 又(a 2＋b 2＋c 2)(x 2＋y 2＋z 2)≥(ax ＋by ＋cz )2， 当且仅当a x ＝b y ＝cz＝k 时，等号成立，则a ＝kx ，b ＝ky ，c ＝kz ，代入a 2＋b 2＋c 2＝90， 得k 2(x 2＋y 2＋z 2)＝90， 于是k ＝3，故选D. 5．用数学归纳法证明不等式1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n ＜1314(n ≥2，n ∈N ＋)的过程中，由n ＝k 递推到n ＝k ＋1不等式左边( ) A ．增加了一项12(k ＋1)B ．增加了两项12k ＋1，12k ＋2C ．增加了B 中两项但减少了一项1k ＋1D ．以上各种情况均不对 答案 C解析 ∵n ＝k 时，左边＝1k ＋1＋1k ＋2＋…＋12k ， n ＝k ＋1时，左边＝1k ＋2＋1k ＋3＋…＋12k ＋12k ＋1＋12k ＋2，∴增加了两项12k ＋1，12k ＋2，少了一项1k ＋1.6．函数y ＝5x －1＋9－3x 的最大值是( ) A ．6 3 B ．2 3 C ．5 2 D ．214答案 D解析 函数的定义域为[1,3]，且y ＞0.由柯西不等式可得y ＝5x －1＋9－3x ＝5x －1＋3×3－x ≤(25＋3)(x －1＋3－x )＝214，当且仅当53＝x －13－x，即x ＝3914时，函数取得最大值214，故选D.7．若2x ＋3y ＋5z ＝29，则函数μ＝2x ＋1＋3y ＋4＋5z ＋6的最大值为( ) A. 5 B ．215 C ．230 D.30答案 C解析 由柯西不等式可得(2x ＋1·1＋3y ＋4·1＋5z ＋6·1)2≤(2x ＋1＋3y ＋4＋5z ＋6)(12＋12＋12)， ∵2x ＋3y ＋5z ＝29，∴(2x ＋1·1＋3y ＋4·1＋5z ＋6·1)2≤120， ∴μ＝2x ＋1＋3y ＋4＋5z ＋6≤230，∴μ＝2x ＋1＋3y ＋4＋5z ＋6的最大值为230.故选C. 二、填空题8．已知a ，b ，c 都是正数，且2a ＋b ＋c ＝6，则a 2＋ab ＋ac ＋bc 的最大值为________． 答案 9解析 ∵a ，b ，c 都是正数，∴a 2＋ab ＋ac ＋bc ＝(a ＋b )(a ＋c )≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b ＋a ＋c 22.∵2a ＋b ＋c ＝6，∴a 2＋ab ＋ac ＋bc ≤9， ∴a 2＋ab ＋ac ＋bc 的最大值为9.9．已知两组数1,2,3和45,25,30，若c 1，c 2，c 3是45,25,30的一个排列，则c 1＋2c 2＋3c 3的最大值是________，最小值是________． 答案 220 180解析 由排序不等式知顺序和最大，逆序和最小，故所求最大值为1×25＋2×30＋3×45＝220，最小值为1×45＋2×30＋3×25＝180.10．已知实数x ，y ，z 满足2x ＋y ＋3z ＝32，则(x －1)2＋(y ＋2)2＋z 2的最小值为________． 答案16147解析 ∵12＋22＋32＝14，由柯西不等式可得(22＋12＋32)[(x －1)2＋(y ＋2)2＋z 2]≥(2x －2＋y ＋2＋3z )2＝322，∴(x －1)2＋(y ＋2)2＋z 2≥16147，当且仅当2x －1＝1y ＋2＝3z时，等号成立， 即(x －1)2＋(y ＋2)2＋z 2的最小值是16147.11．已知a ，b ，c 都是正数，a ＋2b ＋3c ＝9，则14a ＋118b ＋1108c 的最小值为________．答案 19解析 ∵(a ＋2b ＋3c )⎝ ⎛⎭⎪⎫14a ＋118b ＋1108c＝[(a )2＋(2b )2＋(3c )2]·⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫12a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫132b 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫163c 2≥⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋13＋162＝1， 当且仅当a ＝3b ＝9c 时取等号，又a ＋2b ＋3c ＝9，∴14a ＋118b ＋1108c ≥19，即最小值为19.三、解答题12．设函数y ＝|x ＋1|＋|x －2|的最小值为M . (1)求实数M 的值；(2)若不等式a －x ＋4＋2x ≤M (其中a ＞0)恒成立，求实数a 的取值范围． 解 (1)因为|x ＋1|＋|x －2|≥|(x ＋1)－(x －2)|＝3，所以M ＝3.(2)因为(a －x ＋2·2＋x )2≤[12＋(2)2](a －x ＋2＋x )＝3(a ＋2)，当且仅当2＋x ＝2·a －x 时，等号成立，即当x ＝2a －23∈[－2，a ]时，a －x ＋2(2＋x )取得最大值3(a ＋2)，所以3(a ＋2)≤3. 又a ＞0，所以0＜a ≤1.13．已知函数f (x )＝|x ＋1|－|2x －2|. (1)求不等式f (x )≥x －1的解集；(2)若f (x )的最大值是m ，且a ，b ，c 均为正数，a ＋b ＋c ＝m ，求b 2a ＋c 2b ＋a 2c的最小值．解 (1)由已知可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＜－1，x －3≥x －1或⎩⎪⎨⎪⎧－1≤x ≤1，3x －1≥x －1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＞1，－x ＋3≥x －1，解得0≤x ≤2.故不等式的解集为[0,2]．(2)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －3，x ＜－1，3x －1，－1≤x ≤1，显然当x ＝1时，f (x )取－x ＋3，x ＞1，得最大值，∴m ＝f (1)＝2， ∴a ＋b ＋c ＝2.又(a ＋b ＋c )⎝ ⎛⎭⎪⎫b 2a ＋c 2b ＋a 2c ＝[(a )2＋(b )2＋(c )2]·⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c b 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a c 2≥(a ＋b ＋c )2，∴b 2a ＋c 2b ＋a 2c ≥a ＋b ＋c ＝2，当且仅当a ＝b ＝c 时取等号，故b 2a ＋c 2b ＋a 2c的最小值是2. 14．已知数列{a n }和{b n }，其中a n ＝1＋3＋5＋…＋(2n ＋1)，b n ＝1＋2＋…＋2n －1，当n ∈N ＋时，试比较a n 与b n 的大小，并证明你的结论．解 由已知得a n ＝1＋(2n ＋1)2·(n ＋1)＝(n ＋1)2，b n ＝2n－12－1＝2n －1.当n ＝1时，a 1＝4，b 1＝1，则a 1＞b 1， 当n ＝2时，a 2＝9，b 2＝3，则a 2＞b 2， 当n ＝3时，a 3＝16，b 3＝7，则a 3＞b 3， 当n ＝4时，a 4＝25，b 4＝15，则a 4＞b 4， 当n ＝5时，a 5＝36，b 5＝31，则a 5＞b 5 当n ＝6时，a 6＝49，b 6＝63，则a 6＜b 6， 当n ＝7时，a 7＝64，b 7＝127，则a 7＜b 7， …，由此猜想，当n ∈N ＋，n ≤5时，a n ＞b n . 当n ∈N ＋，n ≥6时，a n ＜b n . 前一结论上面已用列举法证明， 后一结论用数学归纳法证明如下： ①当n ＝6时，上面已证a 6＜b 6.②假设当n ＝k (k ∈N ＋，k ≥6)时，上述结论成立， 即当k ≥6时，(k ＋1)2＜2k－1. 当n ＝k ＋1时，要证a k ＋1＜b k ＋1， 即证(k ＋2)2＜2k ＋1－1，只需证(k ＋2)2＜2·2k－1，根据归纳假设，2·2k－1＞2[(k ＋1)2＋1]－1， 所以只需证(k ＋2)2＜2(k ＋1)2＋1，即证k2＋4k＋4＜2k2＋4k＋3，即证k2＞1.因为k≥6，所以此式显然成立．故当n＝k＋1时结论成立．由①②可知，当n∈N＋，n≤5时，a n>b n，当n∈N＋，n≥6时，a n<b n.。