2017-2018学年高中数学人教B版选修4-1：第一章 1.1 1.1.3 平行截割定理

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2017-2018学年高中数学人教B版选修4-1教学案：第一章章末小结精品

[对应学生用书P32][对应学生用书P32]证明点共圆的方法有以下几种：(1)利用到一定点的距离相等的各点在一个圆上；(2)利用同斜边的几个直角三角形的各直角的顶点在一个圆上；(3)如图，只要具备以下条件之一者，A、B、C、D四点共圆：①∠BAC＝∠BDC；②∠BAD＋∠BCD＝180°；③∠F AD＝∠BCD；④AE·CE＝BE·DE；⑤AF·BF＝CF·DF.[例1]已知四边形ABCD为平行四边形，过点A和点B的圆与AD、BC分别交于E、F，求证：C、D、E、F四点共圆．[证明]连接EF，因为四边形ABCD为平行四边形，所以∠B＋∠C＝180°.因为四边形ABFE内接于圆，所以∠B＋∠AEF＝180°.所以∠AEF＝∠C.所以C、D、E、F四点共圆．[例2]已知：如图，四边形ABCD中，∠1＝∠2.求证：A、B、C、D四点共圆．[证明]由A、B、D三点可以确定一个圆，设该圆为⊙O.(1)如果点C在⊙O的外部(如图)．与圆相交于点E，∵∠1＝∠AEB，∠1＝∠2，∴∠2＝∠AEB.而∠AEB>∠2，矛盾，故点C不可能在圆外．(2)如果点C在⊙O的内部(如图)．延长BC与圆相交于点E，连接AE.则∠1＝∠AEB，而∠1＝∠2，∴∠2＝∠AEB，与∠2>∠AEB矛盾，∴点C不可能在圆内，∴点C只能在圆上.证明命题的一般步骤：(1)弄清题意，辨明题设和结论； (2)用分析法探明证题思路和方法；(3)若已知条件不足，可添设适当辅助线以暴露隐含的已知条件； (4)用综合法有条理地写出证明过程； (5)检查证明过程的合理性． 1．利用相似三角形[例3] 如图，⊙O 和⊙O ′相交于A ，B 两点，过A 作两圆的切线分别交两圆于C ，D 两点，连结DB 并延长交⊙O 于点E .证明：(1)AC ·BD ＝AD ·AB ； (2)AC ＝AE .[证明] (1)由AC 与⊙O ′相切于A ，得∠CAB ＝∠ADB ，同理∠ACB ＝∠DAB ，所以△ACB ∽△DAB .从而AC AD ＝AB BD ，即AC ·BD ＝AD ·AB .(2)由AD 与⊙O 相切于A ，得∠AED ＝∠BAD ，又∠ADE ＝∠BDA ，得 △EAD ∽△ABD .从而AE AB ＝AD BD ，即AE ·BD ＝AD ·AB . 结合(1)的结论，得AC ＝AE .2．利用三角形内(外)角平分线的性质[例4] 已知C 点在圆O 直径BE 的延长线上，CA 切圆O 于A 点，DC 是∠ACB 的平分线交AE 于点F ，交AB 于D 点．(1)求∠ADF 的度数； (2)若AB ＝AC ，求AC ∶BC . [解] (1)∵AC 为圆O 的切线， ∴∠B ＝∠EAC .又∵DC 是∠ACB 的平分线， ∴∠ACD ＝∠DCB .∴∠B ＋∠DCB ＝∠EAC ＋∠ACD ，即∠ADF ＝∠AFD ，又因为BE 为圆O 的直径， ∴∠DAE ＝90°，∴∠ADF ＝12(180°－∠DAE )＝45°.(2)∵∠B ＝∠EAC ，∠ACB ＝∠ACB ， ∴△ACE ∽△BCA ， ∴AC BC ＝AE AB. 又∵AB ＝AC ，∴∠B ＝∠ACB ＝30°.∴在Rt △ABE 中，AC BC ＝AE AB ＝tan ∠B ＝tan 30°＝ 33.3．利用面积关系[例5] Rt △ABC 中，O 是斜边BC 上一点，以O 为圆心的半圆与两直角边相切于M 、N ，如果两直角边分别为a 、b ，半圆的半径为r .求证：1r ＝1a ＋1b.[证明] 连接AO 、OM 、ON . ∵AB 、AC 与半圆相切于M 、N ， ∴OM ⊥AB ，ON ⊥AC .又设AB ＝a ，AC ＝b ，半圆的半径为r ， ∴S △ABC ＝12ab .又S △ABC ＝S △AOB ＋S △AOC ＝12ar ＋12br ＝12r (a ＋b )． ∴ab ＝r (a ＋b )．则1r ＝1a ＋1b .4．利用射影定理[例6] 如图，AB 是⊙O 直径，过A 作切线，过B 作割线交⊙O 于E ，交切线于F ，过B 再作割线交⊙O 于C ，交切线于D .求证：BE ·BF ＝BC ·BD . [证明] 连接AE 、AC . ∵AD 是切线，∴BA ⊥AD .∵AB 是直径， ∴AE ⊥BF ，AC ⊥BD . ∴AB 2＝BE ·BF ， AB 2＝BC ·BD . ∴BE ·BF ＝BC ·BD .5．利用相交弦定理及切割线定理[例7] 如图所示，两圆内切于点T ，大圆的弦AB 切小圆于点C ，TA 、TB 与小圆分别相交于点E 、F ，FE 的延长线交两圆的公切线TP 于点P .求证：(1) CE＝ CF ； (2)AC ·PF ＝BC ·PT .[证明] (1)设小圆的圆心为点O ，连接OC .∵AB 切小圆于点C ， ∴OC ⊥AB . ∵∠1＝∠3＝∠2， ∴EF ∥AB ，∴OC ⊥EF ，∴ CE＝ CF . (2)∵EF ∥AB ，∴AE BF ＝AT BT ＝TE TF .∵AB 切小圆于点C ， ∴AC 2＝AE ·AT ，BC 2＝BF ·BT . ∴AC 2BC 2＝AE ·AT BF ·BT ＝TE 2TF 2，AC BC ＝TE TF . ∵PT 是公切线，∴∠PTF ＝90°，∵TF 是⊙O 的直径，∴TE ⊥PF ，△PTF ∽△TEF ， ∴PT PF ＝TE TF ，∴AC BC ＝PTPF，∴AC ·PF ＝BC ·PT .构造出平行关系或作恰当的辅助线是解此类问题的关键，利用成比例或一些特殊的图形形状是常用的构造平行关系的方法．[例8] 如图，已知梯形ABCD 中，AD ∥BC ，BD 、AC 交于O 点，过O 的直线分别交AB 、CD 于E 、F ，EF ∥BC ，AD ＝12 cm ，BC ＝20 cm ，OD OB ＝ADBC.求EF 的长． [解] ∵AD ∥BC ，EF ∥BC ， ∴EF ∥AD . ∵OD OB ＝ADBC，AD ＝12 cm ，BC ＝20 cm ， ∴OD OB ＝1220＝35，∴OB BD ＝58. ∴OE AD ＝OB BD ＝58. ∴OE ＝58×AD ＝58×12＝152 (cm)．同理：OF ＝38×BC ＝38×20＝152(cm)．∴EF ＝OE ＋OF ＝15(cm)．[例9] 已知：在△ABC 中，点D 在BC 边上，过点C 任作一直线与边AB 及AD 分别交于点F ，E .(1)如图(1)，当BD DC ＝12时，求证：AE ED ＝3AF2FB；(2)如图(2)，当BD DC ＝m n 时，猜想：AE ED 与AFFB 之间是否存在着一定的数量关系？若存在，请写出它们之间的关系式，并给出证明过程；若不存在，请说明理由．[解] (1)证明：过点D 作DG ∥CF 交AB 于G 点， ∴AE ED ＝AFFG. 又BD DC ＝12，∴DC ＝2BD ＝23BC . ∵DG ∥FC ，∴FG BF ＝DC BC ＝23.∴FG ＝23BF ，∴AE ED ＝AF 23BF ＝3AF2BF.(2)当BD DC ＝m n 时，有关等式：AE ED ＝m ＋n n ·AF FB. 证明：过D 作DG ∥CF 交AB 于G 点． ∴AE ED ＝AF FG.又∵BD DC ＝m n ，∴BC DC ＝m ＋n n .∵DG ∥FC ，∴BF FG ＝BC DC ＝m ＋n n .∴FG ＝nm ＋nBF . ∴AE ED ＝AFn m ＋nBF ＝m ＋n n ·AF BF.[对应学生用书P35]一、选择题1.如图，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB 于点D ，以BD 为直径的圆与BC交于点E ，则( )A ．CE ·CB ＝AD ·DB B ．CE ·CB ＝AD ·ABC ．AD ·AB ＝CD 2 D ．CE ·EB ＝CD 2解析：在Rt △ABC 中，∵∠ACB ＝90°，CD ⊥AB ， ∴CD 2＝AD ·DB .又CD 是圆的切线，故CD 2＝CE ·CB . ∴CE ·CB ＝AD ·DB . 答案：A2.如图，直线PB 、PD 分别交⊙O 于A ，B 和C ，D ，P A ＝4，AB＝2，CD ＝5，那么线段PC 的长是( )A ．3 B.65 C ．10D ．1解析：∵P A ＝4，AB ＝2，∴PB ＝6，设PC ＝x ，∴x ·(x ＋5)＝4×6. ∴x 2＋5x －24＝0.∴x 1＝3，x 2＝－8(舍去)，即PC ＝3. 答案：A3．如图所示，△ABC 内接于圆O ，过点A 的切线交BC 的延长线于点P ，D 为AB 的中点，DP 交AC 于点M ，若BP ＝8，AM ＝4，AC ＝6，则P A ＝( )A ．4 2B ．3 2 C. 2D ．5 2解析：由题意MC ＝AC －AM ＝6－4＝2. 又D 为AB 的中点，∴AD ＝BD .过点C 作CN ∥AB 交PD 于N ， ∴AM MC ＝AD CN ＝BD CN ＝BP CP ， ∴8PC ＝42，∴PC ＝4. ∵P A 2＝PC ·PB ＝32， ∴P A ＝4 2. 答案：A4．如图，两个等圆⊙O 和⊙O ′外切，过O 作⊙O ′的两条切线OA ，OB ，A ，B 是切点，则∠AOB 等于( )A ．90°B ．60°C ．45°D ．30°解析：连接OO ′，O ′A .∵OA 为⊙O ′的切线，∴∠OAO ′＝90°. 又∵⊙O 与⊙O ′为等圆且外切， ∴OO ′＝2O ′A .∴sin ∠AOO ′＝AO ′OO ′＝12，∴∠AOO ′＝30°.又由切线长定理知∠AOB ＝2∠AOO ′＝60°. 答案：B 二、填空题5．如图，EB 、EC 是⊙O 的两条切线，B 、C 是切点，A 、D 是⊙O 上两点，如果∠E ＝46°，∠DCF ＝32°，则∠A 的大小为________．解析：因为EC ＝EB ，所以∠EBC ＝∠ECB ＝67°，又∠DCF ＝32°，所以∠BCD ＝180°－67°－32°＝81°.所以∠A ＝180°－∠BCD ＝99°. 答案：99°6．如图，在圆O 中，直径AB 与弦CD 垂直，垂足为E ，EF ⊥DB ，垂足为F ，若AB ＝6，AE ＝1，则DF ·DB ＝____________.解析：由相交弦定理可知 ED 2＝AE ·EB ＝1×5＝5，又易知△EBD 与△FED 相似，得DF ·DB ＝ED 2＝5. 答案：57.如图，圆O 的半径为1，A ，B ，C 是圆周上的三点，满足∠ABC＝30°，过点A 作圆O 的切线与OC 的延长线交于点P ，则P A ＝________.解析：连接OA . ∵OP 为⊙O 的切线，∴OA ⊥AP .又∠ABC ＝30°，∴∠AOC ＝60°.∴在Rt △AOP 中，OA ＝1，P A ＝OA ·tan 60°＝ 3. 答案： 38.如图，P A 、PB 分别切⊙O 于A 、B 两点，在劣弧 AB 上任取一点C ，过C 作⊙O 的切线分别交P A 、PB 于D 、E 两点．(1)若P A ＝5，则△PDE 的周长为________； (2)若∠APB ＝50°，则∠DOE ＝________. 解析：(1)由切线长定理知， DC ＝DA ，EC ＝EB ，P A ＝PB ，∴△PDE 周长为PD ＋PE ＋DE ＝PD ＋DC ＋PE ＋CE ＝PD ＋DA ＋PE ＋EB ＝P A ＋PB ＝2P A ＝10.(2)连接OC ，因为DA ，DC 与圆O 相切，所以∠AOD ＝∠COD . 同理，∠COE ＝∠BOE . ∴∠DOE ＝12∠AOB＝12(180°－∠APB ) ＝65°. 答案：10 65°三、解答题9．如图，AB 是⊙O 的直径，弦BD 、CA 的延长线相交于点E ，EF 垂直BA 的延长线于点F .求证：(1)∠AED ＝∠AFD ； (2)AB 2＝BE ·BD －AE ·AC . 证明：(1)连接AD .因为AB 为圆的直径，所以∠ADB ＝90°. 又EF ⊥AB ，∠EF A ＝90°，则A 、D 、E 、F 四点共圆，∴∠DEA ＝∠DF A .(2)由(1)知，BD ·BE ＝BA ·BF . 连接BC ，显然△ABC ∽△AEF ， ∴AB AE ＝ACAF，即AB ·AF ＝AE ·AC ， ∴BE ·BD －AE ·AC ＝BA ·BF －AB ·AF ＝AB (BF －AF )＝AB 2.10．如图，已知在⊙O 中，P 是弦AB 的中点，过点P 作半径OA 的垂线分别交⊙O 于C ，D 两点，垂足是点E .求证：PC ·PD ＝AE ·AO .证明：连接OP ，∵P 为AB 的中点，∴OP ⊥AB ，AP ＝PB . ∵PE ⊥OA ， ∴AP 2＝AE ·AO .∵PD ·PC ＝P A ·PB ＝AP 2， ∴PD ·PC ＝AE ·AO .11.如图，D，E分别为△ABC边AB，AC的中点，直线DE交△ABC的外接圆于F，G两点，若CF∥AB，证明：(1)CD＝BC；(2)△BCD∽△GBD.证明：(1)因为D，E分别为AB，AC的中点，所以DE∥BC.又已知CF∥AB，故四边形BCFD是平行四边形，所以CF＝BD＝AD.而CF∥AD，连接AF，所以四边形ADCF是平行四边形，故CD＝AF.因为CF∥AB，所以BC＝AF，故CD＝BC.(2)因为FG∥BC，故GB＝CF.由(1)可知BD＝CF，所以GB＝BD，所以∠BGD＝∠BDG.由BC＝CD知∠CBD＝∠CDB，又因为∠DGB＝∠EFC＝∠DBC，所以△BCD∽△GBD.[对应学生用书P45](时间90分钟，总分120分)一、选择题(本大题共10个小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．如图，AB与圆O相切于点B，过点A作圆O的割线交圆O于C，D两点，BC⊥AD，AB＝2AC＝2，则圆O的直径等于()A. 3 B．2 3C．3 3 D．4解析：由切割线定理知AB2＝AC·AD，即22＝1·AD，解得AD＝4，所以CD＝AD－AC ＝3，连接BD，因为BC⊥AD，所以BD为圆O的直径，又因为BC2＝AB2－AC2＝3，所以BD＝CD2＋BC2＝32＋3＝2 3.2．在⊙O 的直径CB 的延长线上取一点A ，AP 与⊙O 相切于点P 上∠APB ＝30°，AP ＝3，则CP 等于( )A. 3 B ．23 C.23－1D ．23＋1解析：连接CP ，BP ，则∠PCB ＝30°，∠CPB ＝90°. 于是∠PBC ＝60°， ∠PBA ＝120°， ∠A ＝30°＝∠PCB ， ∴CP ＝P A ＝ 3. 答案：A3．点P 为⊙O 的弦AB 上一点，且AP ＝9，PB ＝4，连接PO ，作PC ⊥OP 交圆于点C ，则PC 等于( )A ．4B ．6C ．8D ．9 解析：延长CP 交⊙O 于点D ，则OP 垂直平分弦CD ，且CP ·PD ＝AP ·PB ＝36 ∴PC 2＝36，PC ＝6. 答案：B4．如图，已知⊙O 是△ABC 的外接圆，⊙I 是△ABC 的内切圆，∠A ＝80°，则∠BIC 等于( )A ．80°B ．100°C ．120°D ．130°解析：∵∠A ＝80°， ∴∠ABC ＋∠ACB ＝100°. ∵∠IBC ＝12∠ABC ，∠ICB ＝12∠ACB ，∴∠IBC ＋∠ICB ＝12(∠ABC ＋∠ACB )＝50°，∴∠BIC ＝180°－50°＝130°.5.如图，在⊙O 中，弦AB 与CD 相交于P 点，∠B ＝30°，∠APD ＝80°，则∠A ＝( )A ．40°B ．50°C ．70°D ．110°解析：易知∠A ＝∠D ，又∵∠APD ＝∠B ＋∠D ，∠B ＝30°，∠APD ＝80°， ∴∠D ＝∠APD －∠B ＝80°－30°＝50°. ∴∠A ＝50°. 答案：B6．如图所示，PC 切⊙O 于A ，PO 的延长线交⊙O 于B ，BC 切⊙O 于B ，若AC ∶CP ＝1∶2，则PO ∶OB 等于( )A ．2∶1B ．1∶1C ．1∶2D ．1∶4 解析：连接OA ，则OA ⊥PC ， ∴△P AO ∽△PBC ，∴PO PC ＝OA BC ，即PO OA ＝PCBC，又∵OA ＝OB ，AC ∶CP ＝1∶2，设AC ＝x ，则CP ＝2x ，∴CA ＝x ＝BC ，∴PO OA ＝2xx ＝2，∴PO ∶OB ＝2∶1.答案：A7．在等腰△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝120°，BC ＝6 cm ，则其外接圆的直径为( ) A. 3 cm B ．2 3 cm C ．4 3 cmD ．6 3 cm解析：作BC 边上的中线AD ，则AD ⊥BC ，延长AD 交△ABC 外接圆于E ，连接CE .∵AE ⊥BC ，AE 平分BC ， ∴AE 为△ABC 外接圆的直径， ∴∠ACE ＝90°. 在Rt △ACD 中， ∠CAD ＝12∠BAC ＝60°，CD ＝12BC ＝3 cm ，∴AC ＝CD sin ∠CAD ＝332＝23(cm)．在Rt △ACE 中，AE ＝AC cos ∠CAD＝2312＝43(cm)．即△ABC 外接圆的直径为4 3 cm. 答案：C8.如图所示，在⊙O 中，弦AB 与半径OC 相交于点M ，且OM ＝MC ，AM ＝1.5，BM ＝4，则OC 等于( )A ．2 6B ． 6C ．2 3D ．2 2解析：延长CO 交⊙O 于D ，则DM ＝3CM ，CM ·MD ＝MA ·MB ，所以1.5×4＝3CM 2，CM ＝ 2，OC ＝2 2.答案：D9．(天津高考)如图，△ABC 是圆的内接三角形，∠BAC 的平分线交圆于点D ，交BC 于点E ，过点B 的圆的切线与AD 的延长线交于点F .在上述条件下，给出下列四个结论：①BD 平分∠CBF ； ②FB 2＝FD ·F A ； ③AE ·CE ＝BE ·DE ； ④AF ·BD ＝AB ·BF .则所有正确结论的序号是( ) A ．①② B ．③④ C ．①②③D ．①②④解析：因为∠BAD ＝∠FBD ，∠DBC ＝∠DAC ，又AE 平分∠BAC ，即∠BAD ＝∠DAC ，所以∠FBD ＝∠DBC ，所以BD 平分∠CBF ，结论①正确；易证△ABF ∽△BDF ，所以AB AF ＝BD BF ，所以AB ·BF ＝AF ·BD ，结论④正确；由切割线定理，得BF 2＝AF ·DF ，结论②正确；由相交弦定理，得AE ·DE ＝BE ·CE ，结论③错误．选D.答案：D10．如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝8 cm ，AB ＝10 cm ，点P 由C 出发以每秒2 cm的速度沿线段CA 向点A 运动(不运动至A 点)，⊙O 的圆心在BP 上，且⊙O 分别与AB 、AC 相切，当点P 运动2 s 时，⊙O 的半径是( )A.127 cm B ．125 cmC.53cm D ．2 cm解析：∵PC ＝2×2＝4 cm ， ∴P 是AC 的中点，∴BC ＝6 cm ，BP ＝213 cm.连接OD ， ∵D 为切点，∴OD ⊥AC ，则OD ∥BC ，即DP OD ＝PC BC ＝46＝23. 设半径OD ＝3k ，DP ＝2k ， ∴OP ＝(3k )2＋(2k )2＝13k ， ∴OB ＝213－13k . ∵AE 、AD 为⊙O 的切线， ∴AE ＝AD ＝AP ＋PD ＝4＋2k ， BE ＝10－(4＋2k )＝6－2k .在Rt △BOE 中，∵OB 2＝BE 2＋OE 2， ∴(213－13k )2＝(6－2k )2＋(3k )2，解得k ＝47.故半径OD ＝3k ＝127.答案：A二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分．把答案填写在题中的横线上) 11.如图，在▱ABCD 中，BC ＝24，E 、F 为BD 的三等分点，则BM ＝________，DN ________.解析：BM AD ＝BE ED ＝12，∴BM ＝12BC ＝12，DN BM ＝DF FB ＝12，∴DN ＝12BM ＝6.答案：12 612．(湖南高考)如图，已知AB ，BC 是⊙O 的两条弦，AO ⊥BC ，AB ＝3，BC ＝22，则⊙O 的半径等于________．解析：设AO ，BC 的交点为D ，由已知可得D 为BC 的中点，则在直角三角形ABD 中，AD ＝AB 2－BD 2＝1，设圆的半径为r ，延长AO 交圆O 于点E ，由圆的相交弦定理可知BD ·CD ＝AD ·DE ，即(2)2＝2r －1，解得r ＝32.答案：3213．如图，⊙O 中的弦AB 与直径CD 相交于P ，M 为DC 延长线上一点，MN 为⊙O 的切线，N 为切点，若AP ＝8，PB ＝6，PD ＝4，MC ＝6，则MN 的长为________．解析：由相交弦定理得：CP ·PD ＝AP ·PB ，CP ＝AP ·PBPD ＝12，又由切割线定理得：MN 2＝MC ·MD ＝6×22，所以，MN ＝233.答案：23314．如图，圆O 上一点C 在直径AB 上的射影为D ，点D 在半径OC 上的射影为E .若AB ＝3AD ，则CEEO的值为________．解析：连接AC ，BC ，则AC ⊥BC .∵AB ＝3AD ，∴AD ＝13AB ，BD ＝23AB ，OD ＝16AB .又AB 是圆O 的直径，OC 是圆O 的半径， ∴OC ＝12AB .在△ABC 中，根据射影定理有： CD 2＝AD ·BD ＝29AB 2.在△OCD 中，根据射影定理有：OD 2＝OE ·OC ， CD 2＝CE ·OC ，可得OE ＝118AB ，CE ＝49AB ，∴CE EO ＝8.答案：8三、解答题(本大题共4个小题，共50分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15．(本小题满分12分)如图所示，已知边长为12的正三角形ABC ，DE ∥BC ，S △BCD ∶S △BAC ＝4∶9，求EC 的长．解：如图，过D 作DF ⊥BC ，过A 作AG ⊥BC ， S △BCD ＝12BC ·DF ，S △BAC ＝12BC ·AG .因为S △BCD ∶S △BAC ＝4∶9，所以DF ∶AG ＝4∶9. 因为△BDF ∽△BAG ，所以BD ∶BA ＝DF ∶AG ＝4∶9. 因为AB ＝12，所以CE ＝BD ＝163.16．(本小题满分12分)如图，AD 是∠BAC 的平分线，⊙O 过点A 且与BC 边相切于点D ，与AB ，AC 分别交于E ，F ，求证：EF ∥BC .证明：如图，连接DF .因为BC 与圆相切，所以∠CDF ＝∠DAF .因为∠EFD 与∠EAD 同为弧 DE所对的圆周角，所以∠EFD ＝∠EAD .又因为AD 是∠BAC 的平分线，故∠EAD ＝∠DAF . 所以∠CDF ＝∠EFD ，所以EF ∥BC .17．(本小题满分12分)在△ABC 中，∠B ＝∠C ＝2∠A . 求证：AB 2＝BC 2＋AB ·BC . 证明：如图所示．延长BC 到点D ，使CD ＝AB ，连接AD . ∵∠B ＝∠ACB ，∴AB ＝AC . 又∵AB ＝CD ，∴AC ＝CD .∴∠D ＝12∠ACB ＝∠BAC .∵∠B ＝∠B ，∴△ABC ∽△DBA . ∴AB BD ＝BC AB. ∴AB 2＝BC ·BD ＝BC (BC ＋CD ) ＝BC 2＋BC ·CD ＝BC 2＋AB ·BC .18．(本小题满分14分)(辽宁高考)如图，EP 交圆于E ，C 两点，PD切圆于D ，G 为CE 上一点且PG ＝PD ，连接DG 并延长交圆于点A ，作弦AB 垂直EP ，垂足为F .(1)求证：AB 为圆的直径； (2)若AC ＝BD ，求证：AB ＝ED .证明：(1)因为PD ＝PG ，所以∠PDG ＝∠PGD . 由于PD 为切线，故∠PDA ＝∠DBA ，又由于∠PGD ＝∠EGA ，故∠DBA ＝∠EGA ，所以∠DBA ＋∠BAD ＝∠EGA ＋∠BAD ，从而∠BDA ＝∠PF A .由于AF ⊥EP ，所以∠PF A ＝90°，于是∠BDA ＝90°.故AB 是直径． (2)连接BC ，DC .由于AB 是直径，故∠BDA ＝∠ACB ＝90°.在Rt △BDA 与Rt △ACB 中，AB ＝BA ，AC ＝BD ，从而Rt △BDA ≌Rt △ACB ，于是∠DAB ＝∠CBA .又因为∠DCB ＝∠DAB ，所以∠DCB ＝∠CBA ，故DC ∥AB .由于AB⊥EP，所以DC⊥EP，∠DCE为直角．于是ED为直径．由(1)得ED＝AB.。

高中数学第一章相似三角形定理与圆幂定理1.1.3平行截割定理学案新人教B版选修4-1(2021学年)

2017－２０18学年高中数学第一章相似三角形定理与圆幂定理１.1．3 平行截割定理学案新人教B版选修4-1编辑整理：尊敬的读者朋友们:这里是精品文档编辑中心,本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的,发布之前我们对文中内容进行仔细校对,但是难免会有疏漏的地方,但是任然希望(2０17-2018学年高中数学第一章相似三角形定理与圆幂定理 1.1．３平行截割定理学案新人教B版选修4-１)的内容能够给您的工作和学习带来便利。

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1.1。

3 平行截割定理错误!［读教材·填要点]1.平行截割定理(1)定理的内容:三条平行线截任两条直线，所截出的对应线成比例.(２）符号语言表示：如图,若l1∥ｌ2∥l3,则错误!=错误!。

２．平行截割定理的推论(1）推论的内容：平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线）,所得的对应线段成比例．（2)符号语言表示:如图,若l1∥l2∥l3,则错误!＝错误!=错误!。

［小问题·大思维]1．在平行截割定理中，被截的两条直线m,n应满足什么条件？提示:被截取的两条直线m、n可以平行，也可以相交,但它们必须与已知的平行直线a、b、c都相交．２．若将定理中的“三条平行线”改为“三个互相平行的平面”,是否仍然成立?提示:仍然成立.错误!利用定理证明“比例式”[例１］已知：如图,l1∥ｌ2∥ｌ3,＼f（ＡB，BC）=错误!。

求证：＼f（ＤE,DＦ）＝错误!。

［思路点拨］本题考查平行截割定理及比例的基本性质.解答本题需要利用定理证得错误!=错误!，然后利用比例的有关性质求出错误!即可.［精解详析] ∵ｌ1∥ｌ2∥ｌ3,∴ＡBBC＝错误!=错误!.∴错误!＝错误!,错误!=错误!,即错误!＝错误!,∴错误!=错误!。

人教B版高中数学-选修4-1教学案-第一章-圆幂定理 (Word)

_1.3圆幂定理与圆内接四边形1．3.1圆幂定理[对应学生用书P25][读教材·填要点]1．相交弦定理圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等．2．切割线定理从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项．3．圆幂定理已知⊙(O，r)，通过一定点P，作⊙O的任一条割线交圆于A，B两点，则PA·PB为定值，设定值为k，则：(1)当点P在圆外时，k＝PO2－r2，(2)当点P在圆内时，k＝r2－OP2，(3)当点P在⊙O上时，k＝0.[小问题·大思维]1．从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积有什么关系？提示：相等．2．从圆外一点引圆的切线，则这一点、两个切点及圆心四点是否共圆？若共圆，圆的直径是什么？提示：四点共圆．且圆心为圆外一点与原圆心连线的中点，直径为圆外一点到原圆心的距离．[对应学生用书P26][例1] 如图，AB 、CD 是半径为a 的圆O 的两条弦，它们相交于AB 的中点P ，PD ＝23a ，∠OAP ＝30°，求CP 的长．[思路点拨] 本题考查相交弦定理及垂径定理、勾股定理的综合应用．解决本题需要先在Rt △OAP 中，求得AP 的长，然后利用相交弦定理求解．[精解详析] ∵P 为AB 的中点， ∴由垂径定理得OP ⊥AB .在Rt △OAP 中，BP ＝AP ＝a cos30°＝32a . 由相交弦定理，得BP ·AP ＝CP ·DP ，即⎝⎛⎭⎫32a 2＝CP ·23a ，解之得CP ＝98a .在实际应用中，若圆中有两条相交弦，要想到利用相交弦定理．特别地，如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项．1．如图，已知AB 和AC 是圆的两条弦，过点B 作圆的切线与AC 的延长线相交于点D .过点C 作BD 的平行线与圆相交于点E ，与AB 相交于点F ，AF ＝3，FB ＝1，EF ＝32，则线段CD 的长为________．解析：因为AF ＝3，EF ＝32，FB ＝1，所以CF ＝AF ·FB EF ＝3×132＝2，因为EC ∥BD ，所以△ACF ∽△ADB ，所以AF AB ＝CF BD ＝AC AD ＝AD －CD AD ＝34，所以BD ＝CF ·AB AF ＝2×43＝83，且AD ＝4CD ，又因为BD 是圆的切线，所以BD 2＝CD ·AD ＝4CD 2，所以CD ＝43.答案：43[例2] 自圆O 外一点P 引圆的一条切线PA ，切点为A ，M 为PA 的中点，过点M 引圆的割线交圆于B ，C 两点，且∠BMP ＝100°，∠BPC ＝40°.求∠MPB 的大小．[思路点拨] 本题考查切割线定理，由定理得出△BMP ∽△PMC 而后转化角相等进行求解．[精解详析] 因为MA 为圆O 的切线，所以MA 2＝MB ·MC . 又M 为PA 的中点，所以MP 2＝MB ·MC . 因为∠BMP ＝∠PMC ，所以△BMP ∽△PMC ，于是∠MPB ＝∠MCP .在△MCP 中，由∠MPB ＋∠MCP ＋∠BPC ＋∠BMP ＝180°，得∠MPB ＝20°.相交弦定理、切割线定理涉及与圆有关的比例线段问题，利用相交弦定理能做到知三求一，利用切割线定理能做到知二求一．。

人教版B版高中数学选修4-1(B版)平行投影的性质

2 1) ;如果将玻璃杯倾斜一定角度(图3 22) ,此时
水平面又是什么图形?
可以看出 ,图3 2 2的水
平面是一个椭圆. 定义平面上到两个定
点的距离之和等于定长的点的轨迹叫做椭圆.
1
2
平行投影的性质
一、重难点：通过圆柱与平面的位置关系，
体会平行投影；探讨直线与球的位置关系，平
面与球的位置关系，并归纳出结论。
二、教学过程
（一）、探索直线与球、平面与球的位置关系
1、直线与球的位置关系：类比直线与圆的位置关系的研究方法来探究直线与球的位置关系。学生探究交流，并阅读课本，归纳结论。
结论：把球心O到直线L的距离记为OH，当 OH>R时，相离，直线与球没有公共点；当 OH=R时，相切，直线与球只有一个公共点；当OH<R时，相切，直线与球有两个公共点。
提出问题：
（1）在平面内，过圆外一点可以作两条相等
的切线。
（2）过球外一点能作多少条切线呢？所有的切线长相等吗？所有的切点组成什么图形？
垂足为点A`.称点A`为点A在平面上的正
射影 .一个图形上各点在平面上的正射影所组成的图形, 称为这个图形在平面上的
正射影.
2、思考一个圆所在的平面与平面平行时, 该
圆在上的正射影是什么图形?当与不平行时,圆在上的正射影是什么图形?如果与垂直时, 圆在上的正射影又是什么图形 ?
*
如果取消" 垂直"的限定, 那么正射影的概念可以作进一步推广.
L
A
设直线l与平面相交图3 1, A`

2017-2018学年高中数学人教B版选修4-1：第一章 1.1 1.1.2 相似三角形的性质

1．1.2　相似三角形的性质[读教材·填要点]相似三角形的性质定理(1)性质定理1：相似三角形对应边上的高、中线和它们周长的比都等于相似比．(2)性质定理2：相似三角形面积的比等于相似比的平方．[小问题·大思维]1．两个相似三角形的外接圆的直径比、周长比、面积比与相似比有什么关系？提示：相似三角形外接圆的直径比、周长比等于相似比，外接圆的面积比等于相似比的平方．2．两个相似三角形的内切圆的直径比、周长比、面积比与相似比之间又有什么关系？提示：相似三角形内切圆的直径比、周长比等于相似比，内切圆的面积比等于相似比的平方．利用性质1求边长或面积[例1]　如图，梯形ABCD，AB∥CD，E是对角线AC和BD的交点，S△DEC∶S△DBC＝1∶3，求：的值．[思路点拨]　本题考查相似三角形的判定及性质的应用．解答本题需要利用相似三角形的性质求得之比，进而求得的值，最后求得的值．[精解详析]　∵S△DEC∶S△DBC＝1∶3，∴DE∶DB＝1∶3，即DE∶EB＝1∶2.又∵DC∥AB，∴△DEC∽△BEA.∴S△DEC∶S△BEA＝1∶4.又∵DE∶EB＝CE∶EA＝1∶2，∴S△DEC∶S△DEA＝1∶2.∴S△DEC∶S△ABD＝1∶6.即＝.相似三角形的性质把相似三角形对应边上的高、中线，以及周长、面积都与相似三角形的对应边的比(相似比)联系起来，利用相似三角形的性质可得到线段的比例，线段的平方比或角相等，有时还可用来计算三角形的面积、周长和边长．1．△ABC∽△A′B′C′，AD和A′D′分别是△ABC和△A′B′C′的中线，且AD∶A′D′＝7∶3，下面给出四个结论：①BC∶B′C′＝7∶3；②△ABC的周长与△A′B′C′的周长之比为7∶3；③△ABC与△A′B′C′的对应高之比为7∶3；④△ABC与△A′B′C′的对应中线之比为7∶3.其中正确的个数为( )A．1 B．2C．3 D．4解析：由相似三角形的性质知4个命题均正确，故选D.答案：D利用相似三角形的性质解决实际问题[例2]　如图，△ABC是一块锐角三角形余料，边BC＝200 mm，高AD＝300 mm，要把它加工成长是宽的2倍的矩形零件，使矩形较短的边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上，求这个矩形零件的边长．[思路点拨]　本题考查相似三角形性质的应用．解答本题需要设出所求矩形零件的某一边长，然后借助△AEH∽△ABC求解．[精解详析]　设矩形EFGH为加工成的矩形零件，边FG在BC上，则点E、H分别在AB、AC上，△ABC的高AD与边EH相交于点P，设矩形的边EH的长为x mm.因为EH∥BC，所以△AEH∽△ABC.所以＝.所以＝，解得x＝(mm)，2x＝ (mm)．答：加工成的矩形零件的边长分别为 mm和 mm.将实际问题转化为平面几何问题是解决此题的关键，要注意相似三角形的性质在实际问题中的作用．2．如图，小明欲测量一座古塔的高度，他站在该塔的影子上前后移动，直到他本身影子的顶端正好与塔的影子的顶端重叠，此时他距离该塔18 m，已知小明的身高是1.6 m，他的影长是2 m.(1)图中△ABC与△ADE是否相似？为什么？(2)求古塔的高度．解：(1)△ABC∽△ADE.∵BC⊥AE，DE⊥AE，∴∠ACB＝∠AED＝90°.∵∠A＝∠A，∴△ABC∽△ADE.(2)由(1)得△ABC∽△ADE，∴＝.∵AC＝2 m，AE＝2＋18＝20 m，BC＝1.6 m.∴＝，∴DE＝16 m.答：古塔的高度为16 m.相似三角形性质的综合应用[例3]　如图，已知矩形ABCD的边长AB＝2，BC＝3，点P是AD边上的一动点(P异于A、D)，Q是BC边上的任意一点．连AQ、DQ，过P作PE∥DQ交AQ于E，作PF∥AQ交DQ于F.(1)求证：△APE∽△ADQ；(2)设AP的长为x，试求△PEF的面积S△PEF关于x的函数关系式，并求当P在何处时，S取得最大值？最大值为多少？△PEF(3)当Q在何处时，△ADQ的周长最小？(必须给出确定Q在何处的过程或方法，不必给出证明)[思路点拨]　本题考查相似三角形的判定及性质的综合应用．解答问题(1)只需证明△APE和△ADQ中有两个角对应相等即可；解答问题(2)要注意△ADQ的面积为定值，且S＝(S△ADQ－S△APE－S△PDF)；解答问题(3)可作点A关于直线BC的对称点A′，利用三点共△PEF线解决．[精解详析]　(1)证明：因为PE∥DQ，所以∠APE＝∠ADQ，∠AEP＝∠AQD，所以△APE∽△ADQ.(2)因为△APE∽△ADQ，所以＝2.因为AD∥BC，所以△ADQ的高等于AB.所以S△ADQ＝3.所以S△APE＝x2.同理，由PF∥AQ，可证得△PDF∽△ADQ，所以＝2.因为PD＝3－x，所以S△PDF＝(3－x)2.因为PE∥DQ，PF∥AQ，所以四边形PEQF是平行四边形．所以S△PEF＝S▱PEQF＝(S△ADQ－S△APE－S△PDF)＝－x2＋x＝－2＋.所以当x＝时，即P是AD的中点时，S△PEF取得最大值，最大值为.(3)作A关于直线BC的对称点A′，连接DA′交BC于Q，则这个Q点就是使△ADQ周长最小的点，此时Q是BC的中点．在三角形中有平行于一边的直线时，通常考虑三角形相似，利用比值获得线段的长或三角形的面积．3．如图(1)，已知矩形ABCD中，AB＝1，点M在对角线AC上，AM＝AC，直线l过点M 且与AC垂直，与边AD相交于点E.(1)如果AD＝，求证点B在直线l上；(2)如图(2)，如果直线l与边BC相交于点H，直线l把矩形分成的两部分的面积之比为2∶7，求AD的长；(3)如果直线l分别与边AD，AB相交于E，G.当直线l把矩形分成的两部分的面积之比为1∶6时，求AE的长是多少？解：(1)证明：连接BD，交AC于O点，∵四边形ABCD为矩形，∴OA＝AC.∵AM＝AC，∴AM＝OM.在Rt△ABD中，AB＝1，AD＝，∴BD＝＝2.∴BO＝OA＝AB＝1，∴△AOB是等边三角形，又AM＝OM，∴BM⊥AO，∴点B在直线l上．(2)设AD＝a，则AC＝.∵∠EAM＝∠CAD，∠AME＝∠D＝90°，∴△AEM∽△ACD，∴＝.又AM＝AC＝，∴AE＝＝.由AE∥HC，得△AEM∽△CHM，∴＝＝，∴HC＝3AE.又BH＝BC－HC＝a－＝，而S梯形ABHE＝(AE＋BH)·AB＝(＋)·1＝.∵S梯形ABHE∶S梯形EHCD＝2∶7，∴S梯形ABHE＝S矩形ABCD＝a，∴＝a，解得a＝3，即AD＝3.(3)如图，设l分别交AD、AC、AB于E、M、G三点，则有△AEG∽△DCA，∴＝.∵DC＝1，∴AE＝.∵S△AEG＝AE·AG，＝，∴＝.∴＝，即＝.∴AE2＝，AE＝.一、选择题1．在△ABC和△DEF中，AB＝2DE，AC＝2DF，∠A＝∠D，如果△ABC的周长是16，面积是12，那么△DEF的周长、面积依次为( )A．8,3 B．8,6C．4,3 D．4,6解析：∵AB＝2DE，AC＝2DF，∠A＝∠D，∴△ABC∽△DEF，且相似比为2.∵△ABC的周长是16，面积是12，∴△DEF的周长是8，面积是3.答案：A2．如图，在四边形ABCD中，EF∥BC，FG∥AD，则＋＝( )A．1 B．2C．3 D．4解析：∵EF∥BC，∴＝，又∵FG∥AD，∴＝，∴＋＝＋＝＝1.答案：A3．如图所示，已知在△ABC中，∠C＝90°，正方形DEFG内接于△ABC，DE∥AC，EF∥BC，AC＝1，BC＝2，则AF∶FC等于( )A．1∶3 B．1∶4C．1∶2 D．2∶3解析：设正方形边长为x，则由△AFE∽△ACB，可得AF∶AC＝FE∶CB，即＝.所以x＝，于是＝.答案：C4．如图，D，E分别是△ABC的边AB，AC上的点，DE∥BC且＝2，那么△ADE与四边形DBCE的面积比是( )A. B．C. D．解析：∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴＝.∵＝2，∴＝，∴＝，∴＝.答案：C二、填空题5．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，直线EF∥BD，交AB于点E，交AC于点G，交AD于点F.若S△AEG＝S四边形EGCB，则＝________.解析：∵S△AEG＝S四边形EGCB，∴＝.由相似三角形的性质定理，得＝，∴E为AB的中点．由平行线等分线段定理的推论，知G为AC的中点．∵EF∥BC，AC⊥BC，∴FG⊥AC.又点G为AC的中点，∴FG为AC的中垂线．∴FC＝FA.∵EF∥BD，E为AB的中点，∴F为AD的中点，∴＝＝.答案：6．如图，在△ABC中，D为AC边上的中点，AE∥BC，ED交AB于G，交BC延长线于F，若BG∶GA＝3∶1，BC＝10，则AE的长为________．解析：∵AE∥BC，∴△BGF∽△AGE.∴BF∶AE＝BG∶GA＝3∶1.∵D为AC中点，∴＝＝1.∴AE＝CF.∴BC∶AE＝2∶1，∵BC＝10，∴AE＝5.答案：57．(广东高考)如图，在平行四边形ABCD中，点E在AB上且EB＝2AE，AC与DE交于点F，则＝________.解析：由CD∥AE，得△CDF∽△AEF，于是＝2＝2＝9.答案：98．△ABC是一块锐角三角形余料，边BC＝12 cm，高AD＝8 cm，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB，AC上，则这个正方形的边长为________ cm.解析：设正方形PQMN为加工成的正方形零件，边QM在BC上，顶点P，N分别在AB，AC上，△ABC的高AD与边PN相交于点E，设正方形的边长为x cm.∵PN∥BC，∴△APN∽△ABC.∴＝，∴＝.解得x＝4.8.即加工成的正方形零件的边长为4.8 cm.答案：4.8三、解答题9．如图，在△ABC中，D是AC的中点，E是BD的三等分点，AE的延长线交BC于F，求的值．解：过D点作DM∥AF交BC于M，因为DM∥AF，所以＝＝，因为EF∥DM，所以＝，即S△BDM＝9S△BEF，因为D为AC的中心，且AF∥DM，则M为FC的中点．所以＝，即S△DMC＝S△BDM＝6S△BEF，所以S四边形DEFC＝14S△BEF，因此＝.10．有一块三角形铁片ABC，已知最长边BC＝12 cm，高AD＝8 cm，要把它加工成一个矩形铁片，使矩形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上，且矩形的长是宽的2倍．则加工成的铁片的面积为多少？解：本题有图(1)和图(2)两种情况．如图(1)，矩形的长EF在BC上，G、H分别在AC、AB上，高AD交GH于K，设矩形的宽为x cm，则长为2x cm.由HG∥BC，得△AHG∽△ABC.得AK∶AD＝HG∶BC，所以(8－x)∶8＝2x∶12，即x＝(cm)．则S矩形EFGH＝2x2＝(cm2)．如图(2)，矩形的宽MN在BC上，类似地可求得S矩形MNPQ＝18(cm2)．即加工成的铁片的面积为 cm2或18 cm2.11．如图所示，在矩形ABCD中，E为AD的中点，EF⊥EC交AB于F，连接FC(AB>AE)．(1)△AEF与△ECF是否相似？若相似证明你的结论；若不相似，请说明理由．(2)设＝k，是否存在这样的k值，使得△AEF与△BFC相似，若存在，证明你的结论，并求出k的值；若不存在，说明理由．解：(1)相似．在矩形ABCD中，∠A＝∠D＝90°.∵EF⊥EC，A、D、E共线，∴∠AEF＋∠DEC＝90°.又∵∠DCE＋∠DEC＝90°，∴∠AEF＝∠DCE.∴△AEF∽△DCE，∴＝.∵AE＝DE，∴＝.又∵∠A＝∠FEC＝90°，∴△AEF∽△ECF.(2)存在，由于∠AEF＝90°－∠AFE<180°－∠CFE－∠AFE＝∠BFC，∴只能是△AEF∽△BCF，∠AEF＝∠BCF.由(1)知∠AEF＝∠DCE＝∠ECF＝∠FCB＝30°.∴＝＝＝，即k＝.反过来，在k＝时，＝，∠DCE＝30°，∠AEF＝∠DCE＝30°，∠ECF＝∠AEF＝30°，∠BCF＝90°－30°－30°＝30°＝∠AEF.∴△AEF∽△BCF.第11页。

2016-2017学年人教B版选修4-1 第1章 1.1 1.1.2 相似三角形的性质课件 (36张)

图 1125
【思路探究】
解答本题的关键是添加适当的辅助线，构造相似三角形，
利用相似三角形的知识解题.
【尝试解答】如图，设小张与教学楼的距离至少应有 x 米，才能看到水塔.
连接 FD，由题意知，点 A 在 FD 上，过 F 作 FG⊥CD 于 G，交 AB 于 H，则四边形 FEBH，四边形 BCGH 都是矩形. ∵AB∥CD，∴△AFH∽△DFG. ∴AH∶DG＝FH∶FG.
[再练一题] 2.如图 1124，在矩形 ABCD 中，E 是 DC 的中点，BE⊥AC 交 AC 于 F，过 F 作 FG∥AB 交 AE 于 G.
求证：AG2＝AF· FC.
图 1124
【证明】 ∴AE＝BE.
∵E 为矩形 ABCD 的边 DC 的中点，
又∵GF∥AB，∴EG＝EF，∴AG＝BF. ∵BE⊥AC 于 F， ∴Rt△ABF∽Rt△BCF， BF AF ∴CF＝BF，∴BF2＝AF· FC， ∴AG2＝AF· FC.
【命题意图】想.
本题主要考查相似三角形的判定和性质以及分类讨论的思
【解析】
(1)当 AD 在△ABC 内部时，如图(1)，由 AD2＝BD· DC，可得
△ABD∽△CAD. ∴∠BCA＝∠BAD＝65°；
(2)当 AD 在△ABC 外部时，如图(2)，由 AD2＝BD· DC，得△ABD∽△CAD， ∴∠B＝∠CAD＝25°， ∴∠BCA＝∠CAD＋∠ADC＝25°＋90°＝115°.
积比等于相似比的平方.
[自主· 测评] 1 1.已知△ABC∽△A′B′C′，且＝，BC＝2，则 B′C′等于( S△A′B′C′ 4 A.2 B.4 C.8 D.16 S△ABC )

人教B版高中数学选修4-1习题课件：1.1.4 锐角三角函数与射影定理

重难聚焦
HONGNAN JVJIAO
D S 典例透析 IANLI TOUXI
随堂演练
UITANGYANLIAN
【做一做1】线段MN在直线l上的射影不可能是 ( )
A.点
B.线段
C.与MN等长的线段 D.直线
解析:当MN⊥l时,射影是一个点;当MN与l不垂直时,射影是一条
线段;特别地,当MN∥l或MN在l上时,射影与MN等长,线段MN的射影
不可能是直线.
答案:D
-4-
1.1.4 锐角三角函数与射影定理
M Z Z 目标导航 UBIAODAOHANG
知识梳理
HISHI SHULI
重难聚焦
HONGNAN JVJIAO
D S 典例透析 IANLI TOUXI
随堂演练
UITANGYANLIAN
3.射影定理
文字语言
在直角三角形中,每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项;斜边上的高是两条直角边在斜边上的射影的比例中项
D S 典例透析 IANLI TOUXI
随堂演练
UITANGYANLIAN
名师点拨(1)勾股定理:
AC2+BC2=AB2,AD2+CD2=AC2,BD2+CD2=BC2.
(2)面积关系:AC·BC=AB·CD=2S△ABC,
��△�� △��
=
��
=
��2 ��2
-6-
1.1.4 锐角三角函数与射影定理
M Z Z 目标导航 UBIAODAOHANG

人教B版高中数学-选修4-1教学案-第一章-弦切角定理 (Word)

1．2.3弦切角定理[对应学生用书P22][读教材·填要点]1．弦切角顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫弦切角．2．弦切角定理弦切角的度数等于它所夹的弧的度数的一半．3．弦切角定理的推论弦切角等于它所夹弧所对的圆周角．[小问题·大思维]一边和圆相交，另一边和圆相切的角是弦切角吗？提示：不一定．弦切角必须同时具备三点：①顶点在圆上；②一边和圆相交；③一边和圆相切．[对应学生用书P23][例1]如图，AB、CB分别切⊙O于D、E，试写出图中所有的弦切角．[思路点拨]本题考查弦切角的定义．解答本题需要明确构成弦切角的三个条件，然后依据定义作出判断．[精解详析]由弦切角的定义可知，∠ADE、∠BDE、∠BED、∠CED都是弦切角．解决此类问题的关键是把握弦切角的三个要素：(1)顶点在圆上(顶点为圆切线的切点)；(2)一边和圆相切(一边所在直线为圆的切线)；(3)一边和圆相交(一边为圆的过切点的弦)．三者缺一不可，例如上图中，∠CAD很像弦切角，但它不是弦切角，因为AD与圆相交，∠BAE也不一定是弦切角，只有已知AE切圆于点A，才能确定它是弦切角．1．如图，NA与⊙O切于点A，AB和AD是⊙O的弦，AC为直径，试指出图中有哪几个弦切角？解：弦切角分三类：如题图：(1)圆心在角的外部；(2)圆心在角的一边上；(3)圆心在角的内部．即∠BAN、∠CAN、∠DAN为弦切角.[例2]已知：AB切⊙O于A，OB交⊙O于C，AD⊥OB于D.求证：∠DAC＝∠CAB.[思路点拨]本题考查弦切角定理的应用．解答本题需要根据题意画出图形，然后利用相关定理解决．[精解详析]法一：如图(1)，延长AD交⊙O于E，AB切⊙O于A，∵CD⊥AE，∴AC＝CE.又∵∠DAC的度数＝1CE的度数．2∠CAB的度数＝1AC的度数．2∴∠DAC＝∠CAB.法二：如图(2)，延长BO交⊙O于E，连接AE，则∠CAE＝90°.又∵AD⊥CE，∴∠DAC＝∠E.∵AB是⊙O的切线，∴∠CAB＝∠E.∴∠DAC＝∠CAB.法三：如图(3)，连接OA.∵AB切⊙O于A，∴OA⊥AB.∴∠CAB与∠OAC互余．又∵AD⊥OB，∴∠DAC与∠ACO互余．∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠ACO.∴∠DAC＝∠CAB.法四：如图(4)，过C作⊙O的切线交AB于G∵AB是⊙O的切线，∠CAG＝∠ACG，又∵OC⊥CG，AD⊥OB，∴CG∥AD.∴∠ACG＝∠DAC，即∠DAC＝∠CAB.(1)由弦切角定理及其推论可直接得到角相等，在与弦切角有关的几何问题中，往往还需要借助其它几何知识来综合解答，由弦切角得到的角相等只是推理论证中的一个条件．(2)借助弦切角定理及其推论和圆的其他性质(如等弧所对的弦相等)以及三角形有关知识我们可以得到特殊三角形或全等三角形，从而证得线段相等．2．如图，△ABD的边AB为直径，作⊙O交AD于C，过点C的切线CE和BD互相垂直，垂足为E.证明：AB＝BD.证明：如图所示，连接BC，延长EC至F.。

2017-2018学年高中数学第一章相似三角形定理与圆幂定理 1.1.4 锐角三角函数与射影定理新人教B版选修4-1

知，斜边上的高为
4×16
＝8，所以直角三角形的面积为
1 2
×20×8＝80.
答案：80
6．已知：在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边上的高，BC ＝ 15 cm，BD＝3 cm，则AD的长是________．解析：∵BC2＝BD·AB， ∴15＝3AB，∴AB＝5(cm)． ∴AD＝AB－BD＝5－3＝2(cm)．答案：2 cm
三角比)为：
α的对边
α的邻边
对边
sinα＝斜边，cosα＝斜边，tanα＝邻边 .
2．射影定理 (1)定理的内容：直角三角形中，每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项；斜边上的高是两条直角边在斜边上的射影的比例中项． (2)符号语言表示：如图若 CD 是 Rt△ABC 的斜边 AB 上的高，则： ①AC2＝ AD·AB ②BC2＝ BD·AB ③CD2＝ AD·BD
[小问题·大思维] 1．线段的正射影还是线段吗？提示：不一定．当该线段所在的直线与已知直线垂直时，线段的正射影为一个点． 2．如何用勾股定理证明射影定理？提示：如图，在 Rt△ABC 中， ∵AB2＝AC2＋BC2， ∴(AD＋DB)2＝AC2＋BC2， ∴AD2＋2·AD·DB＋DB2 ＝AC2＋BC2，
利用射影定理解决证明问题
[例 2] 如图所示，在△ABC 中，∠CAB ＝90°，AD⊥BC 于 D，BE 是∠ABC 的平分线，交 AD 于 F.
求证：DAFF＝EACE. [思路点拨] 本题考查射影定理的应用，利用三角形的内角平分线定理及射影定理可证得．
[精解详析] 由三角形的内角平分线定理得，
AC2＝CD·CB，AB2＝BD·BC，

高中数学第一章坐标系1.1平面直角坐标系1.1.1平面直角

题型一题型二题型三
解:(1)设
��
=
��,
得y=kx,所以
k
为过原点的直线的斜率.
又 x2+y2-4x+1=0 可化简为(x-2)2+y2=3,
它表示以(2,0)为圆心, 3为半径的圆,如图所示.
当直线 y=kx 与已知圆相切,且切点在第一象限时,k 最大,
此时,|CP|= 3, |��| = 2,
(2)曲线可看作是满足某些条件的点的集合或轨迹,由此我们可借助坐标系,研究曲线与方程间的关系.
名师点拨1.两点间的距离公式:在平面直角坐标系中,P1(x1,y1),P2(x2,y2)两点之间的距离公式为
|P1P2|= (��1-��2)2 + (��1-��2)2.
所以
-1 + 2�� < -3-�� < 0,
0,
即
��
<
1 2
,
�� > -3.
所以-3<m< 12.
答案:-3<m<
1 2
2.曲线与方程在平面直角坐标系中,如果某曲线C上的点与一个二元方程 f(x,y)=0的实数解建立了如下关系: (1)曲线C上的点的坐标都是方程f(x,y)=0的解; (2)以方程f(x,y)=0的解为坐标的点都在曲线C上. 那么,方程f(x,y)=0叫作曲线C的方程,曲线C叫作方程f(x,y)=0的曲线. 名师点拨求曲线的方程一般有以下五个步骤:(1)建立适当的平面直角坐标系,并用(x,y)表示曲线上任意一点M的坐标;(2)写出适合条件p的点M的集合p={M|P(M)};(3)用坐标表示条件p(M),写出方程 f(x,y)=0;(4)化简方程f(x,y)=0(必须等价);(5)证明以(4)中方程的解为坐标的点都在曲线上.一般地,方程的变形过程若是等价的,则步骤 (5)可以省略.

2017-2018学年高中数学第一章直线、多边形、圆 1 第二课时平行线分线段成比例定理北师大版选修4-1

．
解析：过点 D 作 DM∥AF 交 BC 于点 M，
∵点 E 是 BD 的中点，
∴在△BDM 中，BF＝FM.
∵点 D 是 AC 的中点，
∴在△CAF 中，CM＝MF.
∴BFFC＝FMB＋FMC＝12. 答案：12
三、解答题 9．已知线段 OA⊥OB，点 C 为 OB 中点，D 为线
段 OA 上一点．连接 AC，BD 交于点 P.如图，当 OA＝OB，且 D 为 OA 中点时，求APCP的值．解：过 D 作 DE∥CO 交 AC 于 E，因为 D 为 OA 中点，所以 AE＝CE＝12AC，DCOE＝12，因为点 C 为 OB 中点，所以 BC＝CO，DBCE＝12，
对于 C，根据平行线分线段成比例定理得，此结论正确；
对于 D，由平行四边形性质知，正确．
答案：B
4．如图，在△ABC 中，AE∶EB＝1∶3，BD∶
DC＝2∶1，AD 与 CE 相交于 F，则FECF＋
FADF的值为
A．12
B．1
C．32
D．2
()
解析：过点 D 作 DG∥AB 交 EC 于 G，则DBEG＝CBDC＝CEGC＝13，而BAEE＝13，即ABEE＝DBEG.∴AE＝DG. ∴AF＝DF，EF＝FG＝CG. ∴FECF＋FADF＝2EEFF＋AAFF＝12＋1＝32. 答案：C
3．如图，在平行四边形 ABCD 中，E 是 AD 上一
点，连接 CE 并延长交 BA 的延长线于点 F，则
下列结论中错误的是
()
A．∠AEF＝∠DEC
B．FA∶CD＝AE∶BC
C．FA∶AB＝FE∶EC
D．AB＝DC
解析：对于 A，根据对顶角相等，此结论正确；

2017-2018学年高中数学第一章不等式的基本性质和证明不等式的基本方法 1.5.1 比较法课件新人教B版选修4-

一、选择题
1．下列关系中对任意 a＜b＜0 的实数都成立的是 ( )
A．a2＜b2
B．lgb2<lga2
C．ba>1
D．

1 2
a

2
＞
1 2
b2

解析：∵a＜b＜0，∴－a>－b>0.
(－a)2>(－b)2>0.
即 a2>b2>0. ∴ab22＜1.
又 lg b2－lg a2＝lgba22＜lg 1＝0. ∴lg b2＜lg a2.
1．已知 x>－1，求证： 1＋x≤1＋x2. 证明：∵x＞－1，
∴1＋x>0， 1＋x>0. ∵ 1＋x－(1＋x2)＝ 1＋x－x＋21＋1 ＝ x＋1－x＋2 1－12 ＝－12[(x＋1)－2 x＋1＋1] ＝－12( x＋1－1)2≤0， ∴ 1＋x≤1＋x2.
比较法的实际应用
[例 2] 甲、乙二人同时同地沿同一路线走到同一地点，甲有一半时间以速度 m 行走，另一半以速度 n 行走；乙有一半路程以速度 m 行走，另一半路程以速度 n 行走．如果 m≠n，问甲、乙二人谁先到达指定地点？
[小问题·大思维]
作差比较法的主要适用类型是什么？实质是什么？提示：作差比较法尤其适用于具有多项式结构特征的不等式的证明．实质是把两个数或式子的大小判断问题转化为一个数(或式子)与 0 的大小关系.
比较法证明不等式
[例 1] 求证：(1)当 x∈R 时，1＋2x4≥2x3＋x2；
a+b
(2)当 a，b∈(0，＋∞)时，aabb≥(ab) 2 .
(2)
aabb
a+b
a-b

2016-2017学年人教B版选修4-1 第1章 1.1 1.1.3 平行截割定理课件 (39张)

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[真题链接赏析] (教材 P8 练习 T5) 已知：如图 1147，AB⊥BD，ED⊥BD，垂足分别为 B，D. AC BC 求证：EC＝DC.
图 1147
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图 1148
如图 1148 所示，已知直线 l 截△ABC 三边所在的直线分别于 E、 F、D 三点，且 AD＝BE. 求证：EF∶FD＝CA∶CB.
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∴AB＝GC. EP FP AP ∵CM∥EF，∴MN＝CN＝AN， EP MN ∴FP＝ CN . 又 AB∥GC，AM＝AC，GC＝AB， MN AM AC ∴ CN ＝GC ＝ AB. EP AC ∴FP＝AB .
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1.解答本题的关键是添加辅助线，构造平行四边形. 2.比例线段常由平行线产生，因而研究比例线段问题应注意平行线的应用，在没有平行线时，可以添加平行线来促成比例线段的产生. 3.利用平行线转移比例是常用的证题技巧，当题中没有平行线条件而有必 EP 要转移比例时，也常添加辅助平行线，从而达到转移比例的目的，如本题中，FP MN AM AC ＝ CN ＝GC ＝ AB.
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类型二
证明线段相等如图 1143 所示，已知梯形 ABCD 的对角线 AC 与 BD 相交于点 P，
两腰 BA、CD 的延长线相交于点 O，EF∥BC 且 EF 过点 P.
图 1143 求证：(1)EP＝PF；(2)OP 平分 AD 和 BC.
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a b a b 【思路探究】 (1)要证明线段 a＝b，只要证明c ＝c ；或者先证m＝n，再证明 m＝n，即可得到结论. (2)通过证明线段相等来证明 OP 平分 AD 和 BC.

高中数学教材人教B版目录(详细版)

数学①必修第一章集合1.1 集合与集合的表示方法1.1.1 集合的概念1.1.2 集合的表示方法1.2 集合之间的关系与运算1.2.1 集合之间的关系1.2.2 集合的运算第二章函数2.1 函数2.1.1 函数2.1.2 函数的表示方法2.1.3 函数的单调性2.1.4 函数的奇偶性2.1.5 用计算机作函数的图像（选学）2.2 一次函数和二次函数2.2.1 一次函数的性质和图像2.2.2 二次函数的性质和图像2.2.3 待定系数法2.3 函数的应用（I）2.4 函数与方程2.4.1 函数的零点2.4.2 求函数零点近似解的一种近似方法——二分法第三章基本初等函数（I）3.1 指数与指数函数3.1.1 有理指数幂及其运算3.1.2 指数函数3.2 对数与对数函数3.2.1 对数及其运算3.2.2 对数函数3.2.3 指数函数与对数函数的关系3.3 幂函数3.2 函数的应用（II）数学②必修第一章立体几何初步1.1 空间几何体1.1.1 构成空间几何体的基本元素1.1.2 棱柱、棱锥和棱台的结构特征1.1.3 圆柱、圆锥、圆台和球1.1.4 投影与直观图1.1.5 三视图1.1.6 棱柱、棱锥、棱台和球的表面积1.1.7 柱、锥、台和球的体积1.2 点、线、面之间的位置关系1.2.1 平面的基本性质与推论1.2.2 空间中的平行关系1.2.3 空间中的垂直关系第二章平面解析几何初步2.1 平面直角坐标系中的基本公式2.1.1 数轴上的基本公式2.1.2 平面直角坐标系中的基本公式2.2 直线的方程2.2.1 直线方程的概念与直线的斜率2.2.2 直线方程的集中形式2.2.3 两条直线的位置关系2.2.4 点到直线的距离2.3 圆的方程2.3.1 圆的标准方程2.3.2 圆的一般方程2.3.3 直线与圆的位置关系2.3.4 圆与圆的位置关系2.4 空间直角坐标系2.4.1 空间直角坐标系2.4.2 空间两点的距离公式数学③必修第一章算法初步1.1 算法与程序框图1.1.1 算法的概念1.1.2 程序框图1.1.3 算法的三种基本逻辑结构和框图表示1.2 基本算法语句1.2.1 赋值、输入和输出语句1.2.2 条件语句1.2.3 循环语句1.3 中国古代数学中的算法案例第二章统计2.1 随机抽样2.1.1 简单随机抽样2.1.2 系统抽样2.1.3 分层抽样2.1.4 数据的收集2.2 用样本估计总体2.2.1 用样本的频率分布估计总体分布2.2.2 用样本的数字特征估计总体的数字特征2.3 变量的相关性2.3.1 变量间的相关关系2.3.2 两个变量的线性相关第三章概率3.1 事件与概率3.1.1 随机现象3.1.2 事件与基本事件空间3.1.3 频率与概率3.1.4 概率的加法公式3.2 古典概型3.2.1 古典概型3.2.2 概率的一般加法公式（选学）3.3 随机数的含义与应用3.3.1 几何概型3.3.2 随机数的含义与应用3.4 概率的应用数学④必修第一章基本初等函数（II）1.1 任意角的概念与弧度制1.1.1 角的概念的推广1.1.2 弧度制和弧度制与角度制的换算1.2 任意角的三角函数1.2.1 三角函数的定义1.2.2 单位圆与三角函数线1.2.3 同角三角函数的基本关系式1.2.4 诱导公式1.3 三角函数的图像与性质1.3.1 正弦函数的图像与性质1.3.2 余弦函数、正切函数的图像与性质1.3.3 已知三角函数值求角第二章平面向量2.1 向量的线性运算2.1.1 向量的概念2.1.2 向量的加法2.1.3 向量的减法2.1.4 向量的数乘2.1.5 向量共线的条件与轴上向量坐标运算2.2 向量的分解与向量的坐标运算2.2.1 平面向量基本定理2.2.2 向量的正交分解与向量的直角坐标运算2.2.3 用平面向量坐标表示向量共线条件2.3 平面向量的数量积2.3.1 向量数量积的物理背景与定义2.3.2 向量数量积的运算律2.3.2 向量数量积的坐标运算与度量公式2.4 向量的应用2.4.1 向量在几何中的应用2.4.2 向量在物理中的应用第三章三角恒等变换3.1 和角公式3.1.1 两角和与差的余弦3.1.2 两角和与差的正弦3.1.3 两角和与差的正切3.2 倍角公式和半角公式3.2.1 倍角公式3.2.2 半角的正弦、余弦和正切3.3 三角函数的积化和差与和差化积数学⑤必修第一章解三角形1.1 正弦定理和余弦定理1.1.1 正弦定理1.1.2 余弦定理1.2 应用举例第二章数列2.1 数列2.1.1 数列2.1.2 数列的递推公式（选学）2.2 等差数列2.2.1 等差数列2.2.2 等差数列的前n项和2.3 等比数列2.3.1 等比数列2.3.2 等比数列的前n项和第三章不等式3.1 不等关系与不等式3.1.1 不等关系与不等式3.1.2 不等式的性质3.2 均值不等式3.3 一元二次不等式及其解法3.4 不等式的实际应用3.5 二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题3.5.1 二元一次不等式（组）所表示的平面区域3.5.2 简单线性规划数学选修1-1第一章常用逻辑用语1.1 命题与量词1.1.1 命题1.1.2 量词1.2 基本逻辑关联词1.2.1 “且”与“或”1.2.2 “非”（否定）1.3 充分条件、必要条件与命题的四种形式1.3.1 推出与充分条件、必要条件1.3.2 命题的四种形式第二章圆锥曲线与方程2.1 椭圆2.1.1 椭圆及其标准方程2.1.2 椭圆的几何性质2.2 双曲线2.2.1 双曲线及其标准方程2.2.2 双曲线的几何性质2.3 抛物线2.3.1 抛物线及其标准方程2.3.2 抛物线的几何性质第三章导数及其应用3.1 导数3.1.1 函数的平均变化率3.1.2 瞬时速度与导数3.1.3 导数的几何意义3.2 导数的运算3.2.1 常数与幂函数的导数3.2.2 导数公式表3.2.3 导数的四则运算法则3.3 导数的应用3.3.1 利用导数判断函数的单调性3.3.2 利用导数研究函数的极值3.3.3 导数的实际应用数学选修1-2第一章统计案例1.1 独立性检验1.2 回归分析第二章推理与证明2.1 合情推理与演绎推理2.1.1 合情推理2.1.2 演绎推理2.2 直接证明与间接证明2.2.1 综合法与分析法2.2.2 反证法第三章数系的扩充与复数的引入3.1 数系的扩充与复数的引入3.1.1 实数系3.1.2 复数的引入3.2 复数的运算3.2.1 复数的加法和减法3.2.2 复数的乘法和除法第四章框图4.1 流程图4.2 结构图数学选修2-1第一章常用逻辑用语1.1 命题与量词1.1.1 命题1.1.2 量词1.2 基本逻辑关联词1.2.1 “且”与“或”1.2.2 “非”（否定）1.3 充分条件、必要条件与命题的四种形式1.3.1 推出与充分条件、必要条件1.3.2 命题的四种形式第二章圆锥曲线与方程2.1 曲线与方程2.1.1 曲线与方程的概念2.1.2 由曲线求它的方程、由方程研究曲线的性质2.2 椭圆2.2.1 椭圆的标准方程2.2.2 椭圆的几何性质2.3 双曲线2.3.1 双曲线的标准方程2.3.2 双曲线的几何性质2.4 抛物线2.4.1 抛物线的标准方程2.4.2 抛物线的几何性质2.5 直线与圆锥曲线第三章空间向量与立体几何3.1 空间向量及其运算3.1.1 空间向量的线性运算3.1.2 空间向量的基本定理3.1.3 空间向量的数量积3.1.4 空间向量的直角坐标运算3.2 空间向量在立体几何中的应用3.2.1 直线的方向向量与直线的向量方程3.2.2 平面的法向量与平面的向量表示3.2.3 直线与平面的夹角3.2.4 二面角及其度量3.2.5 距离（选学）数学选修2-2第一章导数及其应用1.1 导数1.1.1 函数的平均变化率1.1.2 瞬时速度与导数1.1.3 导数的几何意义1.2 导数的运算1.2.1 常数函数与幂函数的导数1.2.2 导数公式表及数学软件的应用1.2.3 导数的四则运算法则1.3 导数的应用1.3.1 利用导数判断函数的单调性1.3.2 利用导数研究函数的极值1.3.3 导数的实际应用1.4 定积分与微积分基本定理1.4.1 曲边梯形面积与定积分1.4.2 微积分基本定理第二章推理与证明2.1 合情推理与演绎推理2.1.1 合情推理2.1.2 演绎推理2.2 直接证明与间接证明2.2.1 综合法与分析法2.2.2 反证法2.3 数学归纳法 2.3.1 数学归纳法2.3.2 数学归纳法应用举例第三章数系的扩充与复数3.1 数系的扩充与复数的概念3.1.1 实数系3.1.2 复数的概念3.1.3 复数的几何意义3.2 复数的运算3.2.1 复数的加法与减法3.2.2 复数的乘法3.2.3 复数的除法数学选修2-3第一章计数原理1.1 基本计数原理1.2 排列与组合1.2.1 排列1.2.2 组合1.3 二项式定理1.3.1 二项式定理1.3.2 杨辉三角第二章概率2.1 离散型随机变量及其分布列2.1.1 离散型随机变量2.1.2 离散型随机变量的分布列2.1.3 超几何分布2.2 条件概率与事件的独立性2.2.1 条件概率2.2.2 事件的独立性2.2.3 独立重复试验与二项分布2.3 随机变量的数字特征2.3.1 离散型随机变量的数学期望2.3.2 离散型随机变量的方差2.4 正态分布第三章统计案例3.1 独立性检验3.2 回归分析数学选修4-5不等式选讲第一章不等式的基本性质和证明的基本方法1.1 不等式的基本性质和一元二次不等式的解法1.1.1 不等式的基本性质1.1.2 一元一次不等式和一元二次不等式的解法1.2 基本不等式1.3 绝对值不等式的解法1.3.1 |ax+b|≤c、|ax+b|≥c型不等式的解法1.3.2 |x-a|+|x-b|≥c、|x-a|+|x-b|≤c型不等式的解法1.4 绝对值的三角不等式1.5 不等式证明的基本方法1.5.1 比较法1.5.2 综合法和分析法1.5.3 反证法和放缩法第二章柯西不等式与排序不等式及其应用2.1 柯西不等式2.1.1 平面上的柯西不等式的代数和向量形式2.1.2 柯西不等式的一般形式及其参数配置方法的证明2.2 排序不等式2.3 平均值不等式（选学）2.4 最大值与最小值问题，优化的数学模型第三章数学归纳法与贝努利不等式3.1 数学归纳法原理3.1.1 数学归纳法原理3.1.2 数学归纳法应用举例3.2 用数学归纳法证明不等式，贝努利不等式3.2.1 用数学归纳法证明不等式3.2.2 用数学归纳法证明贝努利不等式。

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解决此类问题要结合几何直观，合理地利用比例的性质，常见的性质有： (1)比例的基本性质：＝(bd≠0)⇔ad＝bc；＝(bc≠0)⇔b2＝ac；＝(abcd≠0)⇔＝. (2)合分比性质：如果＝，那么＝. (3)等比性质：如果＝＝…＝(bd…n≠0，b＋d＋…＋n≠0)，那么＝.
1．如图，已知在△ABC中，∠BAC＝120°，AD平分∠BAC交BC 求证：＝＋. 证明：过D点作DE∥AB交AC于E点， ∵∠BAC＝120°，AD平分∠BAC， ∴∠DAE＝60°，∠BAD＝60°. ∵DE∥AB，∴∠ADE＝60°， ∴AD＝DE＝AE， ∴＝＝. ∴＋＝＋＝＋. ∵＋＝＝1，∴＋＝1. ∴＋＝. 利用定理证明“乘积式”
图1 法二：如图2，过E作EP∥AB，交CA的延长线于点P. ∵AB∥EP， ∴＝，即＝. 在△DPE中，∵AF∥PE， ∴＝. ∵AD＝BE，∴＝.∴EF· CB＝FD· CA.
图2 法三：如图3，过D作DN∥BC，交AB于N. ∵ND∥EB，∴＝， ∵DN∥BC，∴＝，即＝. ∵AD＝EB，∴＝，即EF· CB＝FD· CA.
则MN的长是________．
解析：易知EF＝(AD＋BC)， EM＝FN＝AD. 又AD∶BC＝a∶b，设AD＝ak，则BC＝bk. ∵EF＝(AD＋BC)， ∴m＝(a＋b)，∴k＝. ∴MN＝EF－EM－NF＝m－ak－ak ＝m－ak＝. 答案：三、解答题 9．如图，M是▱ABCD的边AB的中点，直线l过M分别交AD、AC于E、F，交CB的延长线于N.若AE＝2，AD＝6. 求：AF∶AC的值．
于D.
[例2] 如图所示，已知直线l截△ABC三边所在的直线分别三点，且AD＝BE. 求证：EF· CB＝FD· CA.
于E，F，D
第2页
[思路点拨] 借助平行线分线段成比例定理即可证得． [精解详析] 法一：如图1，过D作DK∥AB交EC于点K，则＝，＝，即＝. ∵AD＝BE， ∴＝，∴＝. 即EF· CB＝FD· CA.
第5页
①＝；②＝；③＝； ④＝，其中正确的个数是( ) A．1个 C．3个 B．2个 D．4个
解析：∵BC∥AD，∴＝，＝，∴①、②正确．由BC∥AD得＝， ∴＝. 即＝，即＝，∴④正确．答案：C 4．如图，已知P、Q分别在BC和AC上，＝，＝，则＝( )
A．3∶14 C．17∶3 解析：过点P作PM∥AC，交BQ于M，则＝. ∵PM∥AC且＝， ∴＝＝. 又∵＝， ∴＝· ＝×＝. 即＝. 答案：B 二、填空题
第4页
∴＝＝＝. 又∵AD平分∠BAC， ∴＝＝＝，解得x＝6. 答案：6
[对应学生用书P11]
一、选择题 1．如图，AB∥CD∥EF，AF，BE相交于O，若AO＝OD＝DF，BE＝10 cm，则BO的长为( )
A. cm C. cm 解析：∵CD∥EF，OD＝DF， ∴C为OE中点，∴OC＝CE.
解：∵AD∥BC， ∴＝，∴＝.
第7页
∵AM＝MB， ∴＝＝1，∴AE＝BN. ∴＝＝. ∵AE＝2，BC＝AD＝6，∴＝＝. 即AF∶AC＝1∶5. 10．如图，在▱ABCD中，E和F分别是边BC和AD的中点，BF和DE分别交AC于P，Q两点．求证：AP＝PQ＝QC.
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，E，F分别是BC，AD边上的中点， ∴DF綊BE，∴四边形BEDF是平行四边形． ∵在△ADQ中，F是AD的中点，FP∥DQ， ∴P是AQ的中点，∴AP＝PQ. ∵在△CPB中，E是BC的中点，EQ∥BP， ∴Q是CP的中点，∴CQ＝PQ. ∴AP＝PQ＝QC. 11．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，EF经过梯形对角线的交点O，且EF∥AD. (1)求证：OE＝OF； (2)求＋的值； (3)求证：＋＝.
B．14∶3 D．17∶14
5．如图，AB∥EM∥DC.AE＝ED，EF∥BC，EF＝12 cm，则BC的长为________．
解析：⇒E为AD中点，M为BC的中点． EF∥BC⇒EF＝MC＝12 cm.
第6页
∴BC＝2MC＝24 cm. 答案：24 cm 6．如图，▱ABCD中，N是AB延长线上一点，－的值为________．解析：∵AD∥BM，∴＝. 又∵DC∥AN，∴＝， ∴＝，即＝. ∴－＝－＝＝1. 答案：1 7.如图所示，l1∥l2∥l3，若CH＝4.5 解析：由l1∥l2∥l3，可得＝，所以DH＝＝＝7.5 (cm)，同理可得EK的长度．答案：7.5 cm 34.4 cm 8.梯形ABCD中，AD∥BC，AD∶BC＝a∶b.中位线EF＝m， cm，AG＝3 cm，BG＝5 cm，EF＝12.9 cm，则DH＝________，EK＝________.
图3
本题所作的辅助线，不仅构造了两个常见的基本图形，而且可以直接利用三角形一边的平行线的性质定理，找到与的比值关系，再借助等量代换，使问题得以突破．
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2.如图所示，已知直线FD和△ABC的BC边交于D，与AC边交于E，与BA的延长线交于F，且BD＝DC，求证：AE· FB＝EC· FA. 证明：过A作AG∥BC，交DF于G点． ∵AG∥BD，∴＝. 又∵BD＝DC，∴＝. ∵AG∥DC，∴＝. ∴＝，即AE· FB＝EC· FA. 利用定，延长AB到E，使BE＝AB，连接ED 交BC、AC于F、G.求EF∶FG∶GD的值． [思路点拨] 本题考查平行截割定理及其推论的应用．解答本题需要求出EF∶FG，EF∶GD的比值，进而求出EF∶FG∶GD的值． [精解详析] ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC. ∵BE＝AB， ∴＝＝＝. 设EF＝k，ED＝3k，∴FD＝2k. ∵BC∥AD，∴＝＝. ∴＝，∴FG＝k，GD＝k， ∴EF∶FG∶GD＝k∶k∶k，即EF∶FG∶GD＝5∶4∶6.
求线段长度比的问题，通常引入一个参数k，然后用所设的参数k表示所求结论中的各个线段，最后消掉参数k即可得到所求结论．
3.如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE∥AC，EF∥BC，AB ＝15，AF＝4，则DE＝________. 解析：设DE＝x，∵DE∥AC，EF∥BC， ∴＝，解得BE＝.
解：(1)证明：∵EF∥AD，AD∥BC， ∴EF∥AD∥BC. ∵EF∥BC，∴＝，＝. ∵EF∥AD∥BC，∴＝. ∴＝，∴OE＝OF. (2)∵OE∥AD，∴＝. 由(1)知＝， ∴＋＝＋＝＝1. (3)证明：由(2)知＋＝1，
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∴＋＝2.又EF＝2OE， ∴＋＝2， ∴＋＝.
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[小问题·大思维] 1．在平行截割定理中，被截的两条直线m，n应满足什么条件？提示：被截取的两条直线m、n可以平行，也可以相交，但它们必须与已知的平行直线a、b、c都相交． 2．若将定理中的“三条平行线”改为“三个互相平行的平面”，是否仍然成立？提示：仍然成立．
利用定理证明“比例式”
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[例1] 已知：如图，l1∥l2∥l3，＝. 求证：＝. [思路点拨] 本题考查平行截割定理及比例的基本题需要利用定理证得＝，然后利用比例的有关性质求出即可． [精解详析] ∵l1∥l2∥l3，∴＝＝. ∴＝，＝，即＝，∴＝. 性质．解答本
B．5 cm D．3 cm
∵AB∥CD，AO＝OD，∴O为BC中点， ∴BO＝OC，∴OB＝BE＝ cm. 答案：A 2．如图，AD是△ABC的中线，E是CA边的三等分点，BE交AD于点F，则AF∶FD为( ) A．2∶1 C．4∶1 B．3∶1 D．5∶1
解析：要求AF∶FD的比，需要添加平行线寻找与之相等的比．过D作DG∥AC交BE于G，如图，因为D是BC的中点，所以DG＝EC，又AE＝2EC，故AF∶FD＝AE∶DG＝2EC∶EC＝4∶1. 答案：C 3.如图，梯形ABCD中，E是DC延长线上一点，AE交BD于G，交BC 于F，下列结论：
1．1.3 平行截割定理
[读教材·填要点] 1．平行截割定理 (1)定理的内容：三条平行线截任两条直线，所截出的对应线成比例． (2)符号语言表示：如图，若l1∥l2∥l3，则＝.
2．平行截割定理的推论 (1)推论的内容：平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)，所得的对应线段成比例． (2)符号语言表示：如图，若l1∥l2∥l3，则＝＝.